Il cerchio dei Sape rI
Con ESERCIZIARIO, INVALSI
e VERIFICHE A LIVELLI
In allegato MateMAP
Vincenza Cantillo
Matematica
misura
Il numero
La parola “matematica” deriva dal greco mathema, che vuol dire “scienza, conoscenza, apprendimento”. È la scienza che studia i numeri, lo spazio e le forme. I numeri fanno parte della nostra vita e li usiamo in tantissime occasioni.
IL CERCHIO DEI SAPERI
Osserva la mappa e, con l’aiuto delle domande, fai delle ipotesi sugli argomenti che studierai.
Ti è capitato di digitare un numero su uno smartphone? Oppure di dire a qualcuno la tua età?
Il numero
Quali sono i simboli e le regole per contare e calcolare?
Che cosa ti può aiutare a comprendere il valore di ogni cifra?
A che cosa ti fa pensare il tabellone luminoso?
disegno
Il sistema di numerazione
Il sistema di numerazione è un insieme di simboli. È formato da dieci cifre (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9) con le quali, tramite diverse combinazioni, possiamo scrivere tutti i numeri.
I numeri naturali (insieme N) sono ordinati e infiniti; ciascuno ha un precedente e un successivo, tranne lo zero che ha solo il successivo. I numeri naturali indicano la quantità di oggetti, cose, persone.
Il sistema di numerazione che utilizziamo è:
• decimale: raggruppa le quantità di 10 in 10
Le cifre che compongono i numeri si riuniscono in gruppi di 3 e ogni gruppo di 3 cifre forma un periodo. Le unità (u), le decine (da) e le centinaia (h) formano il periodo delle unità semplici
• posizionale: il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che occupa all’interno del numero. Se, per esempio, combini le cifre 9 5 1 in modo diverso, puoi formare questi numeri: 159 • 591 • 195 • 915 • 519 • 951
La cifra 0 (zero) indica la mancanza del valore corrispondente all’interno del numero e assume così il ruolo di segnaposto
1 Scrivi sul quaderno quattro numeri composti da tre cifre. Poi rappresentali sugli abachi.
2 Scrivi sul quaderno tutti i numeri che puoi ottenere combinando le cifre 8 • 2 • 7.
3 Che cosa significa “zero segnaposto”?
+1 h da u
Il periodo delle migliaia
Il nostro sistema di numerazione è decimale, per cui, quando si hanno 10 centinaia, si cambiano e si ottiene 1 unità di migliaia (uk). Occorre aggiungere sull’abaco una nuova asticella, cioè l’asticella delle migliaia.
Il periodo (o classe) delle migliaia precede quello delle unità semplici ed è formato da:
• unità di migliaia (uk)
• decine di migliaia (dak)
uk h da u
Periodo delle migliaia
• centinaia di migliaia (hk)
Periodo delle unità semplici
Rappresentiamo sull’abaco il numero 912 345 e facciamo attenzione al valore posizionale delle cifre che lo compongono, partendo dalla prima cifra a destra.
La cifra 5 vale 5 u, cioè 5 × 1
La cifra 4 vale 4 da, cioè 4 × 10
La cifra 3 vale 3 h, cioè 3 × 100
La cifra 2 vale 2 uk, cioè 2 × 1 000
La cifra 1 vale 1 dak, cioè 1 × 10 000
La cifra 9 vale ..............................................
1 Inserisci i seguenti numeri nella tabella: 2 671 • 301 • 23 478
2 Indica sul quaderno il valore posizionale della cifra 5 nei seguenti numeri.
Leggere e scrivere i numeri
Ogni numero può essere scritto in modi differenti:
• in cifre: 32 429;
• in lettere: trentaduemilaquattrocentoventinove;
• secondo il valore posizionale: 3 dak 2 uk 4 h 2 da 9 u;
• come somma di unità: 30 000 + 2 000 + 400 + 20 + 9.
Per scrivere i numeri occorre raggruppare le cifre in periodi (o classi) e inserire uno spazio o un punto tra una classe e l’altra.
In cifre
453 628
classe delle migliaia SPAZIO classe delle unità semplici
Per leggere i numeri grandi basta inserire al posto dello spazio la parola mila (o mille se la cifra 1 è presente nelle unità di migliaia).
In lettere
453 628
quattrocentocinquantatre mila seicentoventotto
ESERCIZI GRADUATI
1 Scrivi in lettere sul quaderno i seguenti numeri.
Fai sempre attenzione allo zero: indica una posizione vuota e quindi ha la funzione di segnaposto. Osserva e completa: 278 001
Si legge: ................................ mila ........
Gli zeri occupano il posto vuoto delle ...................................... e delle .........................................
2 Scrivi il numero corrispondente in cifre.
2 centinaia di migliaia ........................................... 48 decine di migliaia ................................................ 500 unità di migliaia ............................................ 13 centinaia .............................................................. 8 decine di migliaia .............................................. 38 decine di migliaia ................................................
3 Ricomponi i numeri. Segui l’esempio.
1 uk 3 h 2 da 5 u = 1 325 3 hk 4 da 4 u = ........................................................ 7 dak 6 uk 8 h 2 da 1 u = ..................................... 8 hk 6 uk 4 h 8 u = .................................................. 4 uk 1 h 3 da = .................................................... 2 dak 5 da 6 u = .......................................................
Ordinare i numeri
Ogni volta che aggiungi 1 unità a un numero, trovi il successivo.
Ogni volta che togli 1 unità, trovi il precedente.
Insieme si può
Inventa con un tuo compagno una successione di numeri in ordine crescente e una in ordine decrescente. Poi completate le affermazioni.
Tutti i numeri naturali hanno un precedente?
Tra tutti i numeri naturali, qual è il minore?
I numeri naturali sono infiniti?
Qual è il numero più grande che conosci?
Scambiatevi i risultati in classe.
I numeri naturali sono una successione infinita. Possono essere ordinati in senso:
• crescente: quando si va da un numero minore a un numero maggiore;
• decrescente: quando si va da un numero maggiore a un numero minore.
Il nostro sistema di numerazione, oltre a essere decimale e posizionale, è anche un sistema ordinato.
Osserva la linea dei numeri.
ESERCIZI GRADUATI
1 Completa la tabella.
2 Riscrivi i numeri in ordine crescente. 5 663 • 6 543 • 5 659 • 7 001 • 6 589
3 Riscrivi i numeri in ordine decrescente. 78 321 • 78 672 • 78 329 • 78 229 • 78 119
Confrontare i numeri
Per confrontare i numeri naturali occorre analizzare e confrontare le cifre che hanno la stessa posizione. Procediamo con ordine.
Osserva gli esempi e leggi le regole.
Confrontare numeri con un diverso numero di cifre È maggiore il numero con più cifre.
557 890 > 55 678
Confrontare numeri con lo stesso numero di cifre
• Parti dalla cifra più a sinistra e confronta il valore delle cifre nella stessa posizione;
• se la prima cifra è uguale, si confronta la seconda e così via.
3 298 > 2 398
1 740 < 1 830
435 327 < 435 629
Insieme si può
Lavora in coppia con un compagno.
INVALSI
Riscrivi il numero 2 985 aggiungendogli la cifra 0 nella posizione che vuoi, per ottenere:
• un numero minore di 21 000
• un numero pari
• un numero compreso tra 29 000 e 29 100
Scrivete su un foglio tutti i numeri che si possono comporre a partire da queste cifre: 4 8 1 6, cambiandone la posizione. Indicate il numero maggiore e il numero minore che avete ottenuto.
ESERCIZI GRADUATI
1 In ciascuna riga cerchia in blu il numero maggiore e in rosso quello minore.
2 Confronta e inserisci i simboli <, > o =.
3 Confronta e inserisci i simboli <, > o =.
12
Matematica in gioco
Osserva lo schema e trova il numero finale.
= 50
+ = + + = 90
= 5
Osserva la successione e completa l’ultimo disegno con i simboli al posto giusto.
Risolvi il sudoku con i numeri e il sudoku con le forme. 1 4 1
Completa il cruciverba matematico.
Osserva le due sequenze e cancella il numero estraneo in ognuna.
Risolvi gli indovinelli matematici.
a. Se una squadra di calcio ha 10 giocatori più il portiere, quanti giocatori ci sono in campo durante una partita?
b. Quante volte posso togliere una caramella da un barattolo che contiene 100 caramelle?
1 Completo la mappa con le parole corrette. cifre - posizionale - posto - raggruppa - periodi
Il sistema di numerazione
decimale ................................... di 10 in 10 ................................... il valore di ogni cifra dipende dal ........................... che occupa
2 Cerchio in giallo il periodo delle unità semplici e in rosso quello delle migliaia. 234 452 128 967 45 000 209 700 245 600 325 791
3 Segno con una X la cifra che nel numero 108 indica la posizione vuota. 1 0 8
4 Completo la tabella componendo e scomponendo i numeri. Seguo l’esempio.
18 450 1 dak, 8 uk, 4 h, 5 da 10 000 + 8 000 + 400 + 50 25 674
........................... 2 dak, 4 uk, 1 h, 3 da, 3 u
5 Leggo e completo.
• Leo, Thomas, Bea e Robert hanno partecipato al torneo di scacchi. Leggono i loro punteggi: Bea ha 1 334 punti, Robert 1 146, Thomas 1 290 e Leo 1 080. Scrivi nella tabella i numeri dal minore al maggiore. Infine, cerchia il nome del vincitore.
1 Osserva questi cartellini.
Utilizza tutti i cartellini una volta sola per comporre un numero che abbia queste caratteristiche:
• è maggiore di seicentomiladuecento;
• ha la cifra delle decine uguale a quella delle centinaia.
Risposta: Il numero è .........................................
2 Quale numero è rappresentato sull’abaco?
A. 125 C. 512
B. 215 D. 1 012
3 Quale delle seguenti addizioni dà come somma 342? A. 300 + 40 + 2 B. 30 + 4 + 2 C. 3 000 + 400 + 2 D. 3 + 4 + 2
4 Scrivi il numero maggiore che puoi ottenere ordinando questi cartellini: ............................
5 La tabella qui sotto indica il numero di alunni, suddivisi tra maschi e femmine, che hanno frequentato una scuola dal 2016 al 2019.
Scrivi gli anni in cui i maschi sono più numerosi delle femmine: ............................................................ Nel 2019 qual è il numero complessivo di alunni? .............................................................................................
6 L’insegnante chiede di scrivere il precedente del numero che corrisponde a 150 centinaia. Indica, tra quelle fornite da quattro alunni, la risposta corretta.
A. Alba: 149 B. Ricky: 15 001 C. Ali: 149 999 D. Enza: 14 999
Mi valuto x
La verifica mi ha fatto capire che conosco bene tutti gli argomenti.
La verifica mi ha fatto capire che devo ripassare alcuni argomenti.
La verifica non mi ha fatto capire molto.
L’addizione tra due numeri è sempre possibile.
Puoi eseguire le addizioni sia in riga sia in colonna, ricordando di rispettare sempre il valore posizionale delle cifre.
L’addizione
L’addizione è l’operazione aritmetica che consente di aumentare o aggiungere una o più quantità a un’altra.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa.
Brian ha posizionato 45 tessere di un puzzle. Per completarlo, ne deve posizionare ancora 73.
Quante sono in tutto le tessere del puzzle?
Calcola: .....................................................................................
Rispondi: ...................................................................................
Quale operazione hai eseguito? ...............................................
45 + .... = ....
addendo addendo somma o totale
IN RIGA
246 + 52 = 298
• Addiziona prima le unità tra loro, poi le decine con le decine, le centinaia con le centinaia e così via.
• Se la somma è maggiore di 9, ricorda di eseguire il cambio.
Lo 0 (zero) è l’elemento neutro dell’addizione: ogni numero addizionato a 0 rimane se stesso.
25 + 0 = 25 0 + 12 = 12
ESERCIZI GRADUATI
IN COLONNA
Senza cambio Con il cambio
addendo addendo somma o totale
• Metti in colonna le cifre di ogni addendo, secondo il valore posizionale.
• Addiziona a partire dalle unità, poi continua con le decine e le centinaia.
• Se la somma è maggiore di 9, esegui il cambio h da u
Esegui sul quaderno le addizioni in riga, in colonna senza cambio e con il cambio.
1 In riga
34 + 23 = .................................
124 + 15 = ................................ 205 + 42 = ...............................
2 In colonna senza cambio
123 + 234 = ..............................
306 + 392 = ............................. 122 + 74 = ................................
3 In colonna con il cambio
756 + 98 = ............................... 1 234 + 299 = ........................... 784 + 398 = .............................
Le proprietà dell’addizione
Per l’addizione valgono la proprietà commutativa e quella associativa, che servono a semplificare i calcoli.
Leggi con attenzione, rifletti e completa.
Proprietà commutativa
Se cambi l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.
3 + 2 4 = 6 7
Proprietà associativa
Se sostituisci a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia.
4 + 4 3 = ........ 4 3 + 2 4 + 2 4 = 4 3 =
La proprietà commutativa si usa per fare la prova dell’addizione, cioè per controllare che il calcolo sia esatto.
Per semplificare alcuni calcoli puoi sostituire uno o più addendi con la loro scomposizione e poi associare i numeri ottenuti in modo corretto.
5 + 1 2 = 2 7
ESERCIZI
GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno. Applica la proprietà associativa nel modo più opportuno.
2 Calcola sul quaderno. Applica la proprietà commutativa.
3 Esegui le addizioni in colonna sul quaderno, poi fai la prova, utilizzando la proprietà commutativa.
987 + 7 409 =
4 Calcola a mente, dissociando e associando gli addendi come risulta più utile.
Esegui le sottrazioni in riga e in colonna rispettando sempre il valore posizionale delle cifre
La sottrazione
La sottrazione è l’operazione che consente di calcolare il resto e confrontare quantità.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa. Ilaria ha comprato 152 perline colorate. Ne regala 74 alla sua amica Bianca. Quante perline restano a Ilaria?
Calcola: .....................................................................................
Rispondi: ...................................................................................
Quale operazione hai eseguito? ...............................................
152 – .... = .... minuendo sottraendo resto o differenza
IN RIGA
457 – 34 = 423
• Sottrai prima le unità, poi le decine e così via.
• Quando la cifra del minuendo è minore della corrispondente cifra del sottraendo, esegui il cambio.
Per eseguire una sottrazione con i numeri naturali, occorre che il minuendo sia sempre maggiore o uguale al sottraendo.
12 – 5 si può fare 5 – 9 NON si può fare
Se da un numero togli 0, ottieni il numero stesso.
ESERCIZI GRADUATI
Calcola le sottrazioni.
1 In riga
145 – 23 = ...............................
2 364 – 121 = 98 – 45 =
IN COLONNA
Senza cambio Con il cambio
• Quando la cifra del minuendo è minore della corrispondente cifra del sottraendo, esegui il cambio. h da u 3 7 5 –4 2 = 3 3 3 h da u 2 9 4 –5 6 = 2 3 8 minuendo sottraendo resto o differenza 1 8
• Metti in colonna le cifre di minuendo e sottraendo, secondo il valore posizionale.
• Sottrai a partire dalle unità, poi continua con le decine e le centinaia.
2 In colonna senza cambio
744 – 124 = ..............................
3 205 – 1 004 = 15 400 – 1 400 =
3 In colonna con il cambio
3 741 – 862 = ...........................
906 – 369 = 673 – 178 =
La proprietà della sottrazione
Per la sottrazione vale un’unica proprietà, ovvero la proprietà invariantiva, che serve a semplificare i calcoli. Leggi con attenzione e rifletti.
Proprietà invariantiva
Se aggiungi o sottrai lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, il risultato non cambia.
Puoi togliere lo stesso numero.
Per fare la prova della sottrazione si utilizza l’addizione, che è la sua operazione inversa. Puoi aggiungere lo stesso numero.
– 149 + 149 sottraendo
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola. Segui l’esempio. 54 – 13 = (54 – 2) – (13 – 2) = ............................... 908 – 96 = (............) – (............) = ...................... = (54 + 3) – (13 + 3) = ...............................
2 Esegui in colonna sul quaderno con la prova. 345 – 129 = 4 789 – 3 425 = 267 – 125 = 864 – 261 = 6 765 – 543 = 21 609 – 1 367 = 673 – 210 = 1 267 – 342 = 78 546 – 10 191 = 40 797 – 379 =
3 Completa con il minuendo. Usa l’operazione inversa. Segui l’esempio. 91 – 15 = 76 76 + 15 = 91
– 28 = 78
– 16 = 67
4 Completa la tabella. –2 uk –1 dak –1 hk
FARE PER IMPARARE
Addizioni e sottrazioni veloci
Per eseguire velocemente addizioni e sottrazioni esistono alcune “strategie”.
Osserva le tabelle e memorizza il procedimento.
ADDIZIONI
Per aggiungere 9 Per aggiungere 99 Per aggiungere 11 Per aggiungere 101
34 + 9 = = (34 + 10) – 1 = ..........
Aggiungo prima 10 e poi tolgo 1. 77 + 99 = = (77 + 100) – 1 = .........
Aggiungo prima 100 e poi tolgo 1. 94 + 11 = = (94 + 10) + 1 = .........
Aggiungo prima 10 e poi aggiungo 1. 103 + 101 = = (103 + 100) + 1 = .......
SOTTRAZIONI
Aggiungo prima 100 e poi aggiungo 1. Per sottrarre 9 Per sottrarre 99 Per sottrarre 11 Per sottrarre 101
74 – 9 = = (74 – 10) + 1 = ..........
Tolgo prima 10 e poi aggiungo 1.
187 – 99 = = (187 – 100) + 1 = .......
Tolgo prima 100 e poi aggiungo 1. 194 – 11 = = (194 – 10) – 1 = .........
Tolgo prima 10 e poi tolgo 1.
234 – 101 = = (234 – 100) – 1 = ......
Tolgo prima 100 e poi tolgo 1.
PER SOMMARE DUE O PIÙ NUMERI DI DUE CIFRE LA CUI CIFRA DELLE UNITÀ È 0
È semplice: basta sommare le decine, quindi aggiungere uno zero al totale. Prova con la tabella.
Insieme si può
Che cosa potresti fare per aggiungere e sottrarre 12 o 102? Formula delle ipotesi, poi confrontale con quelle dei tuoi compagni.
Calcola a mente.
a. 435 – 11 = ............
87 – 11 = ..............
45 – 11 = ..............
2 567 – 11 =
56 + 11 =
18 + 11 =
b. 3 460 + 11 = ...........
29 + 11 = ..............
7 567 – 99 = .........
2 065 – 999 =
573 – 9 =
3 432 – 9 =
c. 701 + 9 = ..............
2 456 + 99 = ..........
34 086 + 999 = ......
1 280 + 99 =
23 915 – 9 =
9 016 – 999 =
d. 52 107 – 99 = ........
56 780 – 999 = ......
1 234 + 99 = ..........
15 402 + 999 =
258 + 999 =
566 + 999 =
Problemi da risolvere
Leggi, completa e risolvi.
CON L’ADDIZIONE
Marco ha lavorato alcuni giorni nel negozio di suo zio e ha ricevuto € 560 come compenso. Per eseguire alcune riparazioni, il nonno gli ha dato € 115. Quanti euro ha ricevuto in tutto Marco?
Scrivi i dati: ..........................................................................
Che cosa devi trovare? (domanda del problema) ...................
Per calcolare quanti euro in tutto ha ricevuto Marco, occorre eseguire un’........................................
CON LA SOTTRAZIONE
Il signor Rossi ha acquistato un’auto che costa € 25 750. Ha rottamato la sua vecchia auto ottenendo uno sconto di € 1 270. Quanto pagherà il veicolo nuovo?
Scrivi i dati: ..........................................................................
Che cosa devi trovare? .........................................................
Per calcolare il prezzo finale dell’auto, occorre eseguire una .......................................
ESERCIZI GRADUATI
Risolvi i problemi sul quaderno.
1 Un aereo proveniente da Miami e diretto a Roma trasporta 525 passeggeri. Fa scalo a Madrid dove scendono 202 passeggeri e ne salgono 75. Quanti passeggeri arriveranno a Roma?
2 Giorgia è alta 152 cm e suo cugino Teo è alto 161 cm. Di quanti centimetri è più alto Teo?
3 Jimmy acquista una nuova bicicletta. Tino ne acquista una identica a € 225, grazie a un buono sconto di € 55. Quanto ha pagato la bicicletta Jimmy?
Risolvi sul quaderno i problemi con una domanda e due operazioni.
4 Luca possedeva 185 card da gioco. Ha deciso di regalarne 16 a Chiara e 14 ad Ahmed. Quante card da gioco ha ora Luca?
5 In un magazzino ci sono 12 decine di sacchi di cemento bianco e 9 decine di sacchi di cemento colorato. Un camion preleva 65 sacchi di cemento per portarlo in cantiere. Quanti sacchi restano in magazzino?
Divento Competente
1 Completo la mappa con le parole corrette. resto - commutativa - invariantiva - inversa - minuendo
- i termini si chiamano addendi
- il risultato si chiama somma o totale
- i termini si chiamano: .................................... e sottraendo
- il risultato si chiama ........... o differenza
togliere, trovare la differenza, calcolare una parte di tutto
permette di permette di aggiungere, aumentare, unire
Addizione
è l’operazione ............................... si calcola proprietà proprietà si calcola
Sottrazione
al primo addendo si aggiunge il secondo addendo, il terzo e così via - .............................. - associativa - .............................. al minuendo si toglie il sottraendo
2 Indico le sottrazioni in cui
NON è stata applicata correttamente la proprietà invariantiva. Correggo e calcolo.
473 – 158 = (473 – 3) – (158 – 2) = ...............
984 – 244 = (984 + 6) – (244 + 6) = ...............
828 – 140 = (828 + 2) – (140 – 2) = ...............
3 Calcolo velocemente in riga.
160 + 99 = ................. 1 100 + 999 = ......................
497 + 9 = 874 + 11 = 536 – 11 = ................... 459 – 99 = ...........................
4 Eseguo le operazioni in colonna con la prova sul quaderno. 34 582 + 26 342 = 286 371 + 154 897 = 64 289 – 34 561 = 155 765 – 65 430 = 89 123 – 8 712 = 54 980 – 18 005 =
5 Scrivo le cifre mancanti.
1 Indica con una X la risposta corretta.
Qual è l’operazione in cui è stata applicata correttamente la proprietà invariantiva?
A. (735 + 5) – (25 – 5)
B. (472 + 2) – (124 + 3)
2 Segna con una X la risposta corretta.
L’addizione gode della proprietà:
C. (564 + 6) – (145 + 6)
D. (187 + 4) – (122 – 4)
A. invariantiva B. commutativa C. distributiva D. nessuna
3 Indica con una X quali operazioni non possono essere svolte.
A. 32 – 0
75 – 96
12 000 – 21 000
189 – 67
4 Indica con una X qual è la strategia corretta per calcolare a mente il risultato. Poi calcola e scrivi il risultato.
a. 471 – 9 =
A. 471 – 10 + 1 = ........................
B. 471 + 10 – 1 = ........................
5 Scrivi il numero nascosto dalla macchia.
b. 724 – 11 = A. 724 – 10 + 1 = ........................
B. 724 – 10 – 1 = ........................
138 + = 260 .......... + 84 = 120 ..........
178 – = 22 .......... – 2 801 = 1 600 ..........
6 Leggi il problema, risolvilo e completa.
Al saggio di danza, Camilla ritrova le ginnaste della sua vecchia scuola. Camilla ha 10 anni ed è la più grande tra tutte le atlete. Mary ha 6 anni ed è la più piccola del gruppo di danza. Fatim ha un anno in meno di Camilla. Luisa ha un anno in più di Mary. Anja è più grande di Mary e più piccola di Fatim. Sapendo che tutte le atlete hanno un numero di anni diverso, scrivi l’età di ciascuna.
Fatim ........... Mary ........... Luisa ........... Camilla ........... Anja ...........
Mi valuto x
La verifica mi ha fatto capire che conosco bene tutti gli argomenti.
La verifica mi ha fatto capire che devo ripassare alcuni argomenti.
La verifica non mi ha fatto capire molto.
Esegui le moltiplicazioni rispettando sempre il valore posizionale delle cifre.
La moltiplicazione
La moltiplicazione è l’operazione che consente di ripetere la stessa quantità un certo numero di volte.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa. Omar ha comprato 4 album di cartoncini colorati. Ogni album contiene 24 cartoncini. Quanti cartoncini avrà in tutto Omar?
Calcola: .....................................................................................
Rispondi: ...................................................................................
Quale operazione hai usato? .....................................................
24 × 4 = ......
moltiplicando moltiplicatore prodotto (finale)
IN COLONNA CON UNA CIFRA AL MOLTIPLICATORE
da u 1 4 × 3 = 2 moltiplicando (1° fattore) moltiplicatore (2° fattore) prodotto 1 1 da u 1 4 × 3 = 4 2 1
Moltiplica il moltiplicatore per le unità del moltiplicando.
Moltiplica il moltiplicatore per le decine del moltiplicando e aggiungi il riporto.
IN COLONNA CON DUE CIFRE AL MOLTIPLICATORE
h da u 1 8 × 2 7 = 1 2 6
Scrivi il riporto se il prodotto è maggiore di 9. prodotto parziale
Moltiplica le unità del moltiplicatore per tutte le cifre del moltiplicando.
Scrivi il prodotto parziale.
u 1 8 × 2 7 = 1 2 6 3 6 0 (2 da, cioè 20 u)
Metti uno zero nella colonna delle unità.
Moltiplica le decine del moltiplicatore per tutte le cifre del moltiplicando.
Lo 0 è l’elemento assorbente: se si moltiplica un numero per 0, il prodotto della moltiplicazione è sempre 0. 25 × 0 = 0
Addiziona i prodotti parziali.
L’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione: se si moltiplica un numero per 1, il risultato è il numero stesso. 234 × 1 = 234 1 × 524 = 524
Le proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, distributiva e associativa Leggi con attenzione, rifletti e completa.
Proprietà commutativa
Cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
Il prodotto delle due moltiplicazioni
è
Proprietà distributiva
Con moltiplicatore a due cifre: 4 × 7 = 7 × 4 = ........
La proprietà commutativa si usa come prova per verificare l’esattezza della moltiplicazione. 1 2 × 1 3 × 1 3 = 1 2 =
Se scomponi un fattore in una somma di numeri e moltiplichi i numeri ottenuti per l’altro fattore, il risultato non cambia.
Con moltiplicatore a una cifra: 31 × 5 = = (30 + 1) × 5 = = (30 × 5) + (1 × 5) = = 150 + = 13 × 28 = = (10 + 3) × (20 + 8) = = (10 × 20) + (3 × 20) + (10 × 8) + (3 × 8) = = 200 + + + =
Scomponi un fattore in addendi.
Distribuisci il moltiplicatore a ogni addendo.
Somma i prodotti.
Proprietà associativa
Se sostituisci a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.
14 × 2 × 5 = ....... 15 × 4 × 7 = .......... = 14 × 10 = = × 7 =
Il prodotto è cambiato? Sì No
MOLTIPLICAZIONI
PER 10, 100, 1 000
Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1 000 basta aggiungere uno, due, tre zeri alla destra del numero:
35 × 10 = 350
7 258 × 100 = 725 800
23 × 1 000 = 23 000
Gli alunni della 4ª A sono 25. La maestra li divide in gruppi da 5. Quanti gruppi potrà fare?
totale alunni alunni per gruppo gruppi
25 : 5 = 5
Elena, Samir e Giulia si dividono in parti uguali 21 figurine. Quante figurine avrà ogni bambino?
totale figurine figurine bambini per bambino
21 : 3 = 7
La divisione
La divisione è l’operazione che consente di raggruppare o distribuire una quantità in parti uguali
Quando si calcola una divisione, il resto (che si indica con la lettera r) può essere:
• uguale a 0: 21 : 7 = 3 perché 3 × 7 = 21
• diverso da 0: 15 : 2 = 7 r 1 perché 7 × 2 = 14 14 + 1 = 15
15 : 2 = 7 r 1
divisore quoziente (o quoto quando r = 0)
Se dividi per 1 un numero, ottieni il numero stesso.
1 289 : 1 = 1 289
Se lo 0 si trova solo al dividendo, il quoziente è sempre 0. 0 : 35 = 0 perché 0 × 35 = 0
Se lo 0 si trova solo al divisore, non è possibile effettuare la divisione.
18 : 0 = IMPOSSIBILE perché nessun numero moltiplicato per 0 dà 18
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Per fare la prova si moltiplica il quoto per il divisore. Nel caso si abbia una divisione con il resto, si aggiunge il resto al prodotto ottenuto.
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola a mente. Scrivi “impossibile” quando non si può eseguire la divisione.
81 : 9 = 0 : 13 =
25 : 25 = 36 : 6 =
12 : 0 = 64 : 8 =
0 : 89 = ...................... 45 : 45 = ..................
100 : 10 = ................... 50 : 1 = .....................
1 : 0 = ......................... 72 : 8 = .....................
Insieme si può
PROVA
64 : 7 = 9 r 1 9 × 7 = 63
63 + 1 = 64
Lavora in coppia con un compagno. Trovate il dividendo o il divisore nelle seguenti operazioni. Poi ciascuno spieghi come ha fatto.
45 : ...... = 9 ...... : 4 = 4
27 : ...... = 3 ...... : 11 = 8
64 : ...... = 8 54 : ...... = 9 ...... : 7 = 5 ...... : 6 = 4
La proprietà della divisione
La divisione gode della proprietà invariantiva che si applica per semplificare il calcolo del quoziente. Leggi con attenzione e rifletti.
Proprietà invariantiva
Se dividi o moltiplichi il dividendo e il divisore per uno stesso numero, diverso da 0, il risultato non cambia.
Dividi per lo stesso numero i termini della divisione.
4 0 : 8 = 2 0 : 4 = : 2 : 2 ............
DIVISIONI PER 10, 100, 1 000
Moltiplica per lo stesso numero i termini della divisione. 1 2 : 4 = 2 4 : 8 = × 2 × 2
Per dividere un numero naturale che termina con gli zeri per 10, 100, 1 000, basta togliere rispettivamente uno, due, tre zeri
3 400 : 10 = 340 56 000 : 100 = 560
ESERCIZI GRADUATI
1 Esegui le divisioni applicando la proprietà invariantiva.
240 : 5 = (240 × ....) : (5 × ....) = .....................
81 : 27 = ...........................................................
60 : 15 = ...........................................................
2 Scrivi il divisore.
000 : 1 000 = 30
400 : 50 = ................................................................ 240 : 60 = ................................................................ 1 200 : 200 = ............................................................
15 700 : = 157 340 000 : = 3 400 1 200 : = 120
3 Applica la proprietà invariantiva: indica con una X l’operatore adatto per facilitare il calcolo. Segui l’esempio dato.
45 800 : 10 = 4 580 900 000 : 1 000 = 900 4 000 : 100 = 40 : 2 : 3
32 : 8 X (32 : 2) : (8 : 2) = 16 : 4 = 4
81 : 27
56 : 14
18 : 9
4 Calcola applicando la proprietà invariantiva.
40 : 8 = ...........................
18 : 9 = ............................
72 : 18 = ..........................
150 : 30 = .......................
32 : 8 = ...........................
60 : 5 = ..........................
Divisioni in colonna
DIVISIONI CON UNA CIFRA AL DIVISORE
Leggi le istruzioni ed esegui il calcolo in colonna.
• Considero la prima cifra a sinistra del dividendo: è minore del divisore. Il 4 non è contenuto nel 2.
• Considero quindi le prime 2 cifre: il 4 nel 27 sta 6 volte.
DIVISIONI CON DUE CIFRE AL DIVISORE
1° modo: con la tabella del divisore Leggi le istruzioni ed esegui il calcolo in colonna.
Per eseguire le divisioni puoi usare la tabella moltiplicativa del divisore.
• Scrivo 6 nel risultato.
• Calcolo il resto: moltiplico il 6 per il divisore e sottraggo il prodotto dal 27.
6 × 4 = 24
27 – 24 = 3
• Scrivo il resto 3 sotto 27.
• Trascrivo le unità vicino al resto.
• Il 4 nel 34 sta 8 volte.
Scrivo 8 nel risultato.
• Calcolo il resto.
8 × 4 = 32
34 – 32 = 2
• Scrivo il resto 2 sotto le unità.
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno.
567 : 3 = 1 332 : 6 = 5 076 : 3 =
712 : 5 =
: 9 =
: 7 =
× 1 = 14
× 2 = 28
× 6 = 84
• Considero due cifre (74).
• Moltiplico il 14 fino a ottenere il numero più vicino a 74, senza superarlo.
• Il 14 nel 74 sta volte. 14 × 5 = 70
• Calcolo il resto. 74 – 70 = ............
• Scrivo il resto 4 sotto 74.
• Trascrivo le unità vicino al resto e ottengo 48.
• Moltiplico il 14 fino a ottenere il numero più vicino a 48, senza superarlo.
• Il 14 nel 48 sta ...... volte. 14 × 3 = 42
• Calcolo il resto: 48 – ............
2 Calcola con la tabella moltiplicativa. 360 : 15 =
: 12 =
: 15 = 336 : 12 =
: 15 = 516 : 12 =
DIVISIONI CON DUE CIFRE AL DIVISORE
2° modo: con la scomposizione
Leggi le istruzioni ed esegui il calcolo in colonna.
• Considero tre cifre e lavoro separatamente con le decine e con le unità del divisore.
DIVISIONE CON PIÙ TENTATIVI
Leggi le istruzioni ed esegui il calcolo in colonna.
• Considero tre cifre, calcolo quante volte il 36 sta nel 183 e lavoro separatamente con le decine e con le unità del divisore.
Prima lavoro con le decine.
• Il 5 nel 39 sta 7 volte con il resto di 4, che metto vicino al 7 e forma 47.
Poi lavoro con le unità.
• Il 6 sta almeno 7 volte nel 47? Sì, quindi il 56 nel 397 sta 7 volte.
• Scrivo 7 nel risultato.
• Calcolo il resto. 7 × 56 = 392 397 – 392 = 5
• Scrivo il resto 5.
• Il 3 nel 18 sta 6 volte.
• Il 6 nel 3 sta almeno 6 volte? Sì No
• NO, allora provo una volta di meno
• Il 3 nel 18 sta 5 volte con resto di 3.
• Lo metto vicino al 3 e forma 33.
• Il 6 nel 33 sta almeno 5 volte? Sì No
• Sì, allora scrivo 5 nel risultato.
• Calcolo il resto. 5 × 36 = 180 183 – 180 = 3
• Scrivo il resto 3. Trascrivo le unità vicino al resto e ottengo 36.
• Il 36 nel 36 sta 1 volta. Scrivo 1 al risultato.
• Calcolo il resto.
36 × 1 = 36
36 – 36 = 0
• Scrivo il resto 0.
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola, poi colora i riquadri con il colore del risultato corrispondente.
2 Esegui in colonna con la prova sul quaderno.
Strategie per calcoli veloci
Per eseguire a mente alcune moltiplicazioni e divisioni, puoi utilizzare particolari strategie e rappresentazioni.
1 Esegui le moltiplicazioni a mente, ripetendo le quantità come nell’esempio. Usa il modello vuoto per visualizzare gli altri numeri.
× 2
Il doppio
Ripeti 2 volte
× 4 Il quadruplo Il doppio del doppio
× 5 Il quintuplo La metà di × 10
× 10 Per 10 volte
Aggiungi uno zero
2 Esegui le divisioni a mente, ripartendo le quantità come nell’esempio.
: 2
La metà
Dividi a metà : 4
La quarta parte
La metà della metà : 5
La quinta parte Il doppio di : 10 : 10
La decima parte Togli uno zero
Esegui le operazioni in riga. Utilizza la stessa procedura del calcolo in colonna.
2 1 9 × 3 = 6 5 7 inizia dalle unità inizia dalle centinaia
2 u u
• 3 × 9 = 27
• Scrivi 7 e riporta 2 decine.
• Continua come in colonna. h h
6248 : 4 = 162
• Il 4 nel 6 è contenuto 1 volta, con il resto di 2.
• Il 4 nel 24...
• Continua. 152 × 3 =
Multipli e divisori
I multipli di un numero si ottengono moltiplicando il numero stesso per un qualunque altro numero naturale. Sono quindi infiniti perché la successione dei numeri è infinita.
Osserva l’esempio e completa.
6 × 0 = 0 6 × 1 = 6 6 × 2 = 12 6 × 3 = 18
6 × 4 = 24 6 × 5 = 30 6 × 6 = 36 6 × 7 = 42
6 × 8 = 48 6 × 9 = 54 6 × 10 = 60
I numeri che hai ottenuto sono i multipli del
Completa le tabelle con i primi sei multipli del 4 e del 7.
• Ogni numero naturale è multiplo di 1. 1 × 5 = 5
• Ogni numero naturale ha come multiplo se stesso. 4 × 1 = 4
• Lo 0 è multiplo di ogni numero. 0 × 8 = 0
I divisori di un numero sono quei numeri che lo dividono in modo esatto, cioè con resto zero. A differenza dei multipli, i divisori sono finiti perché sono compresi tra 1 e il numero stesso.
Osserva.
20 : 5 = 4 20 : 10 = 2 20 : 4 = 5 12 : 3 = 4 12 : 6 = 2 18 : 2 = 9
Tutti i numeri evidenziati sono divisori di quel numero perché lo dividono esattamente, cioè con resto 0.
• Ogni numero, escluso lo zero, è divisore di se stesso 4 : 4 = 1
• Il numero 1 è divisore di tutti i numeri 4 : 1 = 4
Se un numero è multiplo di un altro, questo, a sua volta, è un suo divisore. 3 12 × 4 : 4 4 12 × 3 : 3 12 3 e 4
è multiplo di sono divisori di
ESERCIZI GRADUATI
1 Scrivi sul quaderno tutti i multipli di 6 compresi tra 25 e 54.
2 Cerchia i divisori dei seguenti numeri.
3 Indica V (vero) o F (falso).
• 21 è divisore di 7. V F
• 10 è divisibile per 7. V F
• 1 è divisore di 120. V F
• 81 è multiplo di 9. V F
Leggi, completa e risolvi.
Problemi da risolvere
CON LA MOLTIPLICAZIONE
Un parcheggio auto di 4 piani ha 78 posti auto e 25 posti moto su ogni piano. Quanti sono i mezzi di trasporto che il parcheggio può contenere?
Scrivi i dati:
Che cosa devi trovare?
Occorre eseguire una
CON LA DIVISIONE
Un negoziante spende € 2 880 per acquistare 72 maglioni della nuova collezione. Quanto costa ogni maglione? Paga la somma in 6 rate. A quanto ammonta ogni rata?
Scrivi i dati:
Che cosa devi trovare?
Occorre eseguire una
ESERCIZI GRADUATI
Risolvi i problemi sul quaderno.
1 Il commesso di un negozio ha venduto in un mese 63 tute al costo di € 87 ciascuna. Quanto ha incassato in tutto?
2 Per giocare a domino, 4 amici si dividono in parti uguali le 76 tessere. Quante tessere riceve ognuno?
3 Noah sistema 72 soldatini di latta in scatole da una dozzina di soldatini ciascuna. Di quante scatole ha bisogno? E se ogni scatola costa € 2,50, quanto spende?
4 Lorenzo ha deciso di acquistare un nuovo televisore che costa € 1 250. Paga subito € 350 e il resto in 5 rate mensili. Quanto dovrà versare per ogni rata?
5 Gli alunni della 4ª B aiutano le maestre a sistemare la biblioteca di classe. Classificano i libri così: 31 libri di scienze, 26 di storia, 26 di avventura, 15 di fiabe e 98 di narrativa. Ogni scaffale contiene 28 volumi. Quanti scaffali saranno occupati dai libri?
6 Al teatro “Andromeda” il costo dei biglietti interi è € 28, quello dei ridotti € 22. Alla rappresentazione di sabato si incassano € 3 460. Se 100 persone hanno pagato il biglietto intero, quanti biglietti ridotti sono stati venduti?
Divento Competente
1 Completo la mappa con le parole corrette. moltiplicatore - inversa - dividendo - commutativa - distributiva - assorbente
- i termini si chiamano moltiplicando e ...............................
- il risultato si chiama prodotto
- l’elemento neutro è 1
- l’elemento ............................... è 0
- ripetere quantità uguali
- trovare combinazioni tra elementi diversi
- i termini si chiamano dividendo e divisore
- il risultato si chiama quoto (senza resto) o quoziente
- raggruppare - distribuire
permette di permette di
Moltiplicazione
è l’operazione
Divisione
si calcola proprietà proprietà si calcola
Si ripete il moltiplicando tante volte quante ne indica il moltiplicatore - .............................. - associativa- invariantiva
2 Eseguo sul quaderno le moltiplicazioni e le divisioni in colonna con la prova.
a. 427 × 12 = b. 148 × 27 = c. 496 : 14 =
2 370 × 16 = 40 × 78 = 1 502 : 3 = 870 × 53 = 177 × 23 = 8 476 : 13 = 61 × 45 = 653 : 28 = 578 : 45 = 200 × 21 = 7 206 : 28 = 802 : 12 = 209 × 16 = 780 : 14 = 114 : 19 =
Si divide il ...................... in tante parti uguali, quante ne indica il divisore
3 Applico la proprietà invariantiva e risolvo sul quaderno.
165 : 15 = 84 : 14 = 360 : 6 =
4 Risolvo sul quaderno.
• 108 turisti raggiungono la piazzetta di Capri con le 9 cabine della funicolare. Quante persone trasporta ogni cabina?
Il biglietto costa € 2 a testa. Quanto sarà il totale dei biglietti?
Divento Competente
1 Scrivo sul quaderno tutti i multipli di 3 compresi tra 0 e 58.
2 Calcolo a mente.
0 : 15 = .......... 2 890 : 10 = ..........
849 : 1 = .......... 9 876 × 1 =
:
=
3 Trovo il dividendo e il divisore. Poi spiego brevemente sul quaderno quale procedimento ho adottato.
4 Calcolo velocemente e completo le tabelle.
5 Calcolo a mente e poi scrivo il perché della mia risposta.
• Se 100 t-shirt costano € 1 500, quanto costa una t-shirt? Una t-shirt costa € ............................., perché ...........................................................................................................................................................................................
• Se un mappamondo costa € 28, quanto costano 10 mappamondi? Costano € ............................., perché
6 Eseguo sul quaderno le divisioni in colonna con la prova.
7 Individuo le operazioni inverse. Scrivo la lettera corretta nella casella.
1 Segna con una X dove è stata applicata la proprietà associativa.
A. 8 × 6 = 6 × 8
B. 15 × 3 = 10 × 5 + 5 × 3
C. 5 × 4 × 6 = 20 × 6
D. 9 × 5 = 9 × 5 + 4
2 La maestra propone ai suoi alunni il seguente problema.
Iris vuole mettere in ordine le sue 27 bambole da collezione.
Ha a disposizione alcune scatole.
Ogni scatola può contenere al massimo 3 bambole.
Quante scatole servono a Iris per sistemare le sue bambole?
Leggi le risposte di Manuel, Tim e Lea. Segna con una X la risposta corretta.
Manuel: “Iris può mettere le bambole in 7 scatole”.
Tim: “Iris può mettere le bambole in 3 scatole”.
Lea: “Iris può mettere le bambole in 9 scatole”.
A. Manuel B. Tim
3 Giulia chiede ai suoi compagni di calcolare a mente 173 × 5.
Max risponde: “Io ho moltiplicato cento per cinque, settanta per cinque e tre per cinque e poi ho sommato i risultati”.
Luca risponde: “Io invece ho moltiplicato tre per cinque, sette per cinque e uno per cinque e poi ho sommato i risultati”.
Chi ha eseguito il procedimento corretto per fare la moltiplicazione?
A. Nessuno dei due
B. Tutti e due
C. Solo Luca
D. Solo Max
C. Lea
Tutti e tre
4 Segna con una X l’affermazione corretta.
A. 4 è multiplo di 10
B. 36 è multiplo di 5
C. 3 è multiplo di 13
D. 20 è multiplo di 2
5 Quale tra queste brevi espressioni ha come risultato 80?
A. 16 × 5 – 10
B. 35 × 3 – 100
C. 900 : 100 + 71
D. 10 × 8 – 10
6 Marisa esegue in colonna 1 800 : 12. Mirko invece calcola 1 824 : 12.
Qual è la differenza tra i risultati ottenuti da Mirko e Marisa?
A. 24 B. 12 C. 6 D. 2
La verifica non mi ha fatto capire molto. Mi valuto x
La verifica mi ha fatto capire che conosco bene tutti gli argomenti.
La verifica mi ha fatto capire che devo ripassare alcuni argomenti.
D.
Il problema aritmetico
Spesso ti capita di affrontare e risolvere problemi. Parliamo di problemi aritmetici quando, per giungere alla soluzione, servono numeri e operazioni.
Occorre procedere con attenzione, ragionare e seguire le indicazioni che, passo dopo passo, ti porteranno alla soluzione.
Ecco le fasi da seguire per la risoluzione di un problema.
1 Leggi attentamente il testo: vai alla ricerca dei termini e delle informazioni importanti.
2 Immagina la situazione descritta nel testo.
3 Sottolinea la domanda (o le domande) nel testo.
4 Cerchia i dati che servono per rispondere alle domande. Riconosci, se ci sono, i dati superflui, quelli nascosti e individua i dati mancanti.
5 Rappresenta i dati con un disegno o uno schema.
6 Scegli le operazioni necessarie per risolvere il problema ed eseguile.
7 Verifica la correttezza dei calcoli: fai la prova.
8 Rileggi la domanda e scrivi la risposta.
Leggi con attenzione i seguenti problemi e risolvili.
a. Greta ha deciso di realizzare delle collane con le sue amiche. Lei prepara 5 collane, Raja ne prepara 9 e Luana prepara 4 collane più di Raja. Rivendono ogni collana a € 4. Quante collane realizzano in tutto?
Operazione
Risposta: ............................................................
b. Yussef acquista 3 palloni da basket per la sua squadra e spende € 69. Quanto costa ogni pallone?
Operazione
Risposta: ............................................................
Comprendere il testo
Ogni parola che forma il testo di un problema ha un suo preciso significato.
Lavora con un compagno. Leggete con attenzione il testo del problema: sottolineate le informazioni utili, quindi collegate il testo alla domanda adatta e risolvete il problema. Insieme si può
Mia ha un pacco di cartoncini colorati che ha acquistato in cartoleria la scorsa settimana. Ne dà 17 a ognuno dei suoi 24 alunni e gliene restano 42. I cartoncini servono per completare il lavoro di arte svolto in classe.
Per allenarsi Nora, ogni giorno, fa 5 giri della pista di atletica. Nora si sta preparando alla gara che si svolgerà tra due mesi nella sua scuola.
Quanti giri fa in quindici giorni?
Tra quanti giorni si svolgerà la gara?
Quanti ne contiene il pacco in tutto?
Quanto è costato a Mia il pacco di cartoncini?
Leggi il testo. Sottolinea le informazioni importanti e rifletti sulla domanda. Infine, completa la tabella sottostante.
Per la gita delle classi quarte della scuola Leopardi, gli insegnanti hanno prenotato 3 pullman per portare i 180 bambini al parco Valle in fiore. La partenza è fissata per le ore 8:30 e il rientro a scuola è previsto per le ore 16:00. La quota di € 28 prevede il trasporto, l’ingresso al parco e la guida. Tutti hanno versato la quota.
Qual è il costo complessivo della gita?
Indica i dati importanti
Individua l’operazione corretta e poi esegui il calcolo
Scrivi la risposta
Dati utili, superflui, mancanti e nascosti
Le informazioni indispensabili per la soluzione di un problema si chiamano dati utili. Alcuni problemi possono contenere:
• dati superflui: non sono utili o necessari per risolverlo;
• dati mancanti: è impossibile risolvere questi problemi;
• dati nascosti: sono espressi da parole (coppia, paio, dozzina, settimana...) o da operatori (doppio, metà, terza parte...).
Leggi e indica qual è il tipo di dato presente nel testo. Risolvi sul quaderno.
Tutti i giorni Marta esegue 4 moltiplicazioni e 3 divisioni.
Quante operazioni esegue in una settimana?
4 è un dato: utile superfluo nascosto
3 è un dato: utile superfluo nascosto
settimana è un dato: utile superfluo nascosto
Monica ha 36 anni, sua sorella Marika ne ha 44. La loro amica
Stella ne ha 6 in meno.
Qual è la differenza di anni tra Marika e Monica?
36 è un dato: utile superfluo nascosto
44 è un dato: utile superfluo nascosto
6 è un dato: utile superfluo nascosto
Leggi e completa con il dato mancante. Il pasticciere Ernst vende tutti i cioccolatini che ha in negozio. Ogni cioccolatino costa € 1,20. Quanto ricava in tutto?
Inserisci il dato o i dati presenti nel testo.
Segna con una X il dato che può completare il problema.
Tutti i cioccolatini costano € 25.
Il pasticciere Ernst vende 35 cioccolatini.
I bambini che comprano i cioccolatini sono 12.
Dati utili
Dati mancanti
Domanda esplicita e implicita
In un problema puoi individuare i dati e decidere quali utilizzare e quali tralasciare per risolverlo, solo in relazione alla domanda.
Se la domanda cambia, occorre analizzare di nuovo il testo e individuare i nuovi dati utili. Nel testo del problema, la domanda può essere:
• esplicita, quando occorre trovare una strategia risolutiva per risolvere il problema;
• implicita o nascosta, cioè non scritta. In questo caso bisogna individuare la domanda nascosta per arrivare alla soluzione finale. Nei problemi con domande implicite, ricorda che il numero delle operazioni non è sempre uguale al numero delle domande.
Leggi e analizza il testo dei problemi. Segui i passaggi e risolvi i due quesiti.
Testo con domanda esplicita
Sul traghetto per Capri salgono 750 passeggeri. Tra questi ci sono 280 bambini e maestre di una scuola primaria di Salerno. Quanti sono i passeggeri che non fanno parte della scuola?
1 Sottolinea di rosso la domanda.
2 Cerchia i dati utili.
3 Scegli l’operazione giusta e calcola.
4 Rispondi alla domanda.
Dati utili
Scegli l’operazione corretta + – ×
Testo con domanda implicita
Bryan, per preparare il modellino della ziqqurat, ha bisogno di 400 g di argilla. Ne possiede due confezioni: la prima con 120 g e l’altra con 180 g.
Di quanti grammi di argilla ha ancora bisogno?
1 Sottolinea la domanda e rifletti.
2 Per risolvere il problema ti manca un dato, cioè la domanda implicita o nascosta (Quanti grammi di argilla ha in tutto?).
3 Scegli le operazioni adatte e utili a risolvere il problema.
4 Rispondi.
Dato mancante
Scegli l’operazione corretta + – × :
Scrivi la risposta
Scrivi la risposta
Problemi
Rappresentare per risolvere
Per risolvere un problema può essere utile rappresentare con un disegno la situazione descritta nel testo. Ricorda però che non sempre è possibile farlo, per esempio quando i numeri sono grandi o i dati sono numerosi e la situazione è complessa. In questo caso, al posto del disegno, si può utilizzare uno schema, una rappresentazione simbolica che mostra la relazione tra i dati. Leggi il testo del problema, osserva il disegno e risolvi.
a. Nell’armadietto della palestra ci sono 12 birilli su ogni ripiano. I ripiani sono 4. Quanti birilli ci sono in tutto nell’armadietto?
Dati: ..........................................................................................
Operazione: ...............................................................................
Risposta: ...................................................................................
ESERCIZI GRADUATI
b. Nella libreria di Adiba ci sono 45 libri: 25 sono di avventura, 5 di fiabe e i rimanenti sono di scienze. Quanti sono i libri di scienze che ha Adiba?
45 libri
25 libri di avventura 5 libri di fiabe ? libri di scienze
Dati:
Operazione:
Risposta:
Risolvi i problemi sul quaderno. Rappresenta con un disegno o con uno schema.
1 Elia ha 19 anni, Viola ne ha 5 in meno e Fabrizio ne ha 8 in più di Viola. Quanti anni hanno Viola e Fabrizio?
2 Il giornalino dei cruciverba costa € 2. Quanto costano 3 giornalini?
Risolvi il problema sul quaderno. Segna le dosi degli ingredienti con una tabella.
3 Nonna Ida usa 250 g di farina, 150 g di zucchero e 2 uova per fare una torta per 5 persone. Quali ingredienti le servono se deve preparare la stessa torta per 15 persone?
Rappresentare per risolvere: il diagramma
Per risolvere i problemi che richiedono più operazioni, puoi adoperare un diagramma a blocchi
Leggi il testo, completa il diagramma e calcola. Fai attenzione alla domanda nascosta.
a. Una confezione di pietre colorate contiene 6 pacchi di perline da 15 perline ciascuna. Se Gaia ne usa 57 per il suo bracciale, quante perline le restano per realizzare altri gioielli?
perline in ogni pacco pacchi perline adoperate
Scopri e scrivi la domanda nascosta (Quante perline in tutto?)
Domanda esplicita (Quante perline restano?)
Il diagramma a blocchi ti aiuta: - nei problemi con domande nascoste, perché ti permette di trovare più facilmente la domanda; - per evidenziare la sequenza ordinata delle operazioni utili a risolvere il problema. Spesso il risultato della prima operazione serve per impostare l’operazione successiva e così via.
b. Isabel ha avuto in regalo € 250. Acquista la tela del suo quadro preferito dal valore di € 180. Compra anche la cornice che costa € 35. Quanti euro le restano?
Scopri e scrivi la domanda nascosta (Quanto .................. in tutto Isabel?)
Domanda esplicita (Quanti euro restano a Isabel?)
Problemi
Dall’operazione alla soluzione
Leggi e risolvi con le operazioni in sequenza e con il diagramma a blocchi. Filippo compra 9 pacchetti di card da gioco con i soldi che gli ha regalato sua nonna. Poi ne compra altri 4 quando esce per andare in palestra. Ogni pacchetto di card costa € 3. Quanto spende in tutto Filippo?
Risoluzione con OPERAZIONI IN SEQUENZA
+ 4 = (totale pacchetti card)
× 3 = (spesa totale per )
ESERCIZI GRADUATI
Risoluzione con DIAGRAMMA A BLOCCHI
Leggi i problemi e risolvili sul quaderno nei due modi che conosci.
1 Mauro ha insegnato ai bambini del coro le canzoni per la festa di fine anno. Nelle classi quarte gli alunni sono 73, nelle classi quinte gli alunni sono 86 e nelle terze gli alunni sono 61. Le classi prime e seconde non partecipano alle lezioni di canto. Quanti bambini fanno parte del coro della scuola?
2 Al supermercato sono in vendita delle confezioni di succhi di frutta da 4 bottiglie ciascuna. Le confezioni sono 32.
Solo 2 confezioni sono succhi di frutta al gusto di mela, tutte le altre sono al gusto di ananas. Quante sono in tutto le bottiglie? Quante sono le bottiglie al gusto di ananas?
3 Un fioraio compra 96 rose blu e le confeziona in mazzi da 12 rose ciascuno. Vende ogni mazzo a € 22. Quanto incassa complessivamente?
4 Un agricoltore, per trasportare 210 kg di carote, utilizza cassette di legno che contengono 7 kg ciascuna.
Di quante cassette ha bisogno per trasportare tutta la merce? Rivende al mercato ogni cassetta a € 15. Quanto incassa?
5 Riky prende lezioni di nuoto 2 volte alla settimana e paga € 25 a lezione. Quanto spende in un mese? Considera 4 settimane in un mese.
6 In un recinto ci sono caprette e galline e da sotto lo steccato si vedono 44 zampe. Se le caprette sono 8, quante sono le galline?
7 Un gruppo di amici va al bar e ordina per la colazione 4 cappuccini da € 1,50 l’uno, 3 brioche da € 1,40 l’una e 1 toast da € 3. Quanto spendono in tutto?
Strategie per risolvere
Per risolvere correttamente i problemi, è importante trovare delle strategie Uno dei modi che ti permette di risolvere i problemi è dato dal pensiero computazionale: il problema viene suddiviso in una serie di passaggi che, seguiti in modo ordinato, conducono alla soluzione.
Leggi e metti in ordine le affermazioni in modo da costruire una procedura corretta per risolvere i problemi aritmetici.
... Rifletto sulla domanda.
... Individuo i dati numerici e non numerici e cerco le parole che li mettono in relazione.
Scrivo la/le risposta/e.
Rileggo la domanda.
Insieme si può
Leggo il testo del problema con attenzione.
Scrivo l’algoritmo di calcolo.
Dividete la classe in due gruppi e disponetevi in cerchio.
A turno un gruppo inventa il testo di un problema e lo scrive su un cartellone, mentre l’altro gruppo ascolta e riflette sulle rappresentazioni e strategie proposte dai compagni.
Ciascun gruppo procede nella soluzione del problema seguendo le indicazioni:
• riflettete sulla domanda;
• cerchiate di rosso i dati e le parole utili alla soluzione;
• completate la tabella.
Alla fine del lavoro, ogni gruppo risponderà alla seguente domanda: “È stata un’esperienza positiva partecipare al gruppo di lavoro? Spiegane i motivi“. Le risposte vengono poi riportate su un cartellone.
Dati importanti
Scegli l’operazione corretta + – × :
Scrivi la risposta
ESERCIZI GRADUATI
Applica le strategie e risolvi sul quaderno.
1 È arrivata la primavera. Nel cortile della scuola ci sono 5 aiuole senza fiori. I bambini delle classi quarte decidono quindi di piantare delle primule e dei tulipani. Comprano 25 piante di primule e 75 bulbi di tulipano. Ogni pianta di primula costa € 1,50 e ogni bulbo costa € 0,90. I bambini hanno a disposizione la somma di € 130. La cifra è sufficiente per acquistare tutte le piante?
Problemi
Strategie per risolvere
Per affrontare nel modo giusto un problema, è importante pianificare: infatti se predisponi i passaggi in sequenza, puoi raggiungere la soluzione di problemi con una o più domande e più operazioni.
1 Leggi il problema e rifletti sulla domanda.
2 Riconosci gli elementi essenziali del testo facendo attenzione a non farti confondere da dati o parole inutili.
3 Elimina le frasi e le parti poco importanti.
4 Ricomponi il testo con tutti i pezzi a disposizione.
5 Risolvi il problema.
6 Confronta il tuo lavoro con quello dei compagni
Risolvi il problema seguendo le fasi sopra elencate.
Romina è il nome della proprietaria della pasticceria che si trova sotto casa della nonna.
Ogni giorno prepara 40 cornetti alla crema, 20 alla cioccolata e 10 alla marmellata. È molto brava anche a preparare la torta al caffè, che vende a € 35 al chilogrammo.
Una volta Romina ha fatto cadere 10 cornetti sul pavimento del suo negozio.
Quanti cornetti produce in una settimana Romina? Rivende ogni cornetto a € 1,20. Quanto incassa dalla vendita, in un solo giorno, di 50 cornetti?
Riordina i pezzi. Pianifica il lavoro e risolvi sul quaderno.
La nave è pronta per partire ed è al completo.
Quanti sono i passeggeri a bordo della nave?
Leggi i problemi e risolvili sul quaderno.
1 Martin, per festeggiare il suo compleanno, ha acquistato 5 confezioni di gelati. Ciascuna ne contiene 4. Li distribuisce ai suoi 10 amici. Ogni amico quanti gelati riceverà?
2 Su uno scaffale del supermercato sono in vendita 72 uova fresche in contenitori da 6 e 60 uova freschissime in contenitori da 4. Quanti contenitori ci sono sullo scaffale?
Una nave da crociera ha 170 cabine da 4 passeggeri.
Ci sono anche 60 cabine da 2 passeggeri.
3 Un pomeriggio di autunno, Santiago decide di andare al lago con i suoi 5 amici della squadra di basket. Partono con il treno alle 14:20 da Milano e raggiungono Como alle ore 15:45. Quanto è durato il viaggio?
Se il biglietto di sola andata costa € 4,80, quanto spenderanno in tutto Santiago e i suoi amici per andare a Como e tornare a Milano?
ESERCIZI GRADUATI
Il diagramma di flusso
Il diagramma di flusso ti aiuta a scegliere una strategia che ti indica, di volta in volta, le azioni da eseguire per arrivare alla soluzione di un problema. Il diagramma è composto da forme geometriche, ciascuna con un preciso significato.
Inserisci nel diagramma di flusso i passaggi per arrivare alla soluzione del problema. Vuoi comprare una felpa che hai visto nel tuo negozio sportivo preferito.
Per il tuo acquisto non vuoi spendere più di € 35.
- Controlli il costo e la taglia della felpa.
- Scegli la felpa che ti piace.
- Paghi la cifra indicata dal cartellino.
- Provi la felpa.
Forma Significato
Inizio e fine del percorso
Comandi o istruzioni contenute nel testo
Vai nel tuo negozio preferito.
Costa meno di € 35?
Domanda/e a cui si risponde con sì oppure no Non fai alcun acquisto.
Insieme si può
Con un tuo compagno inventa un problema, poi costruisci sul quaderno un diagramma di flusso. Infine confrontatevi sulle strategie che avete adoperato per risolverlo e stabilite qual è stata la migliore.
FARE PER IMPARARE
Il problem solving
L’insieme delle strategie usate per risolvere un problema è il problem solving. Con il problem solving puoi sviluppare la capacità di elaborare un pensiero creativo che ti permette di analizzare il problema da diversi punti di vista e di riformularlo in termini nuovi.
Nel problem solving si distinguono 5 fasi.
1 Comprensione: analizzi il problema, comprendi le sue parti e ti chiedi se hai mai incontrato qualcosa di simile.
2 Previsione: inizi il ragionamento, ti chiedi di che cosa hai bisogno (strumenti...), calcoli indicativamente il tempo per la risoluzione.
3 Pianificazione: questo è l’inizio della fase di risoluzione, in cui stabilisci i dati in tuo possesso e le conoscenze.
4 Monitoraggio: durante lo svolgimento del compito ti chiedi se stai raggiungendo la soluzione o devi cambiare strategia, se hai bisogno di aiuto o hai già qualche conclusione importante.
5 Valutazione: alla risoluzione del problema ti chiedi se i tempi da te calcolati erano giusti, se hai scelto la strategia corretta, dove hai commesso errori e come puoi migliorare.
Affrontiamo un problema con il problem solving. L’insegnante scrive il testo su un grande foglio bianco e lo posiziona al centro dell’aula.
Maria va in palestra e scopre di aver dimenticato le nuove scarpette da danza. La rabbia lascia presto il posto all’ansia perché adesso teme di non poter fare le prove del saggio e che questo le comporterà un rimprovero dell’istruttore.
A La classe viene suddivisa in un gruppo che “elabora” rappresentazioni e intuizioni e in un gruppo che “ascolta” e riflette sulle rappresentazioni e strategie dei compagni, per utilizzarle al momento giusto.
B Poi, sul foglio preparato dall’insegnante, ogni bambino scrive o disegna le idee sostenute per la soluzione del problema.
C Il primo gruppo pone domande ai compagni “osservatori” su che cosa pensano delle idee e del lavoro prodotti dai compagni in questa esperienza, quindi si riflette insieme.
D Alla fine interviene l’insegnante perché gli alunni riflettano sulle soluzioni trovate, sulla possibilità di individuarne altre e se c’è stata collaborazione.
Con i compagni inventate un problema e mettete in atto le strategie suggerite.
dati
1 Completo la mappa con le parole corrette. mancanti - testo - nascosti - domanda - utili - diagramma a blocchidisegno - operazioni - superflui
Il problema aritmetico
è composto da si risolve con che portano alla si rappresenta con che aiutano per arrivare alla
schema,
in sequenza
RISOLUZIONE
2 Sottolineo di verde i dati e di rosso la domanda. Risolvo sul quaderno.
a. Raphael controlla le 120 lampadine a led delle luminarie. 26 non funzionano. Quante sono le lampadine che ancora funzionano?
b. Paola prepara un mazzo di rose bianche per la vicina di casa e un mazzo di rose blu per la sua amica Marina. Per il primo utilizza 2 dozzine di rose, per il secondo una decina di rose. Quante rose ha dovuto comprare in tutto?
c. Per partecipare alla gara di atletica della scuola, Davide corre ogni giorno 3 chilometri. Quanti chilometri percorre in quindici giorni?
3 Leggo il testo, ricavo i dati e invento il dato mancante. Risolvo sul quaderno.
a. Il parco avventura Natura è stato visitato, nella prima settimana di marzo, da 132 alunni. Quanto ha incassato in quella settimana?
b. Jonathan ha 5 anni in meno di sua cugina Matilde. Quanti anni ha Jonathan?
4 Risolvo sul quaderno.
• La maestra Ludovica ha invitato i suoi 16 alunni in gelateria per festeggiare la vittoria del torneo di scacchi della scuola. Paga con una banconota da € 50 ricevendo di resto € 2. Quanto ha speso per ogni alunno?
1 Leggo con attenzione. Segno con una X il testo adatto alla domanda.
Quante sono le foto scartate?
Rebecca adora fare fotografie. Delle 73 foto scattate, ne sceglie 29 per il suo album di scuola.
Andrej ha acquistato 5 foto antiche che raffigurano i monumenti più belli della sua città. Ogni foto costa € 15.
Nell’album di famiglia la mamma ha incollato 28 foto di quando era piccola e 15 foto del suo primo anno al liceo.
2 Cerchio in rosso i dati utili; cancello i dati e le frasi inutili. Infine risolvo.
a. Fabio ha 4 scatole che ha riposto sui 4 scaffali della sua libreria. In ogni scatola conserva 23 matite colorate. Ogni scatola, costata € 2,50, è stata acquistata dal cartolaio vicino alla scuola. Quante matite colorate ha Fabio?
b. Sophia e Nicholas hanno un labrador di nome Attila che è molto goloso di croccantini. A ciascuno dei 3 pasti giornalieri, gli danno 15 croccantini e una scatoletta di bocconcini di carne che pesa 250 grammi. Quanti croccantini mangia Attila in una settimana?
3 Leggo il problema e lo risolvo con il diagramma a blocchi sul quaderno. Al torneo “Sparviero” si sono iscritti 84 alunni, ma 36 bambini delle classi prime non possono più partecipare. Quante squadre si formano, sapendo che ciascuna deve essere composta da 16 giocatori?
Lavora in coppia con un tuo compagno. Inventate il testo di un problema avendo a disposizione le operazioni indicate a fianco del diagramma.
Insieme si può 8 24 4 6 3 × :
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Coordinamento: Corrado Cartuccia
Redazione: Corrado Cartuccia
Pagine speciali: Anna Valsecchi
Grafica: Giacomo Paolini
Impaginazione: Sei Servizi
Illustrazioni e colore: Anna Cola, Maria Alejandra Ardila
Eserciziario: E. Battiston, P. Cantarini, T. Rigante (testi), Pagina49 (redazione-impaginazione)
Verifiche a livelli: Roberto Morgese (testi), Valentina Mazzarini (impaginazione)
MateMap: Sei Servizi (impaginazione)
Copertina: Mauro Aquilanti
Referenze fotografiche: iStock, Shutterstock, Alamy
Coordinamento multimedia: Paolo Giuliani
Redazione multimedia: Sara Ortenzi
Ufficio multimedia: Enrico Campodonico, Claudio Marchegiani, Luca Pirani
Stampa: Gruppo Editoriale Raffaello
Per esigenze didattiche alcuni testi sono stati ridotti e/o adattati. L’Editore è a disposizione per eventuali omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti. Tutti i diritti sono riservati. È vietata la riproduzione dell’opera o di parti di essa con qualsiasi mezzo, compresa stampa, fotocopia, microfilm e memorizzazione elettronica, se non espressamente autorizzata. Questo testo tiene conto del codice di autoregolamentazione Polite (Pari Opportunità Libri di Testo), per la formazione di una cultura delle pari opportunità e del rispetto delle differenze.
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Per i primi giorni di scuola
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• Codice adozionale ANTROPOLOGICO classe 5a 978-88-472-3469-7
Ambito SCIENTIFICO
• Codice adozionale SCIENTIFICO classe 4a 978-88-472-3458-1
• Codice adozionale SCIENTIFICO classe 5a 978-88-472-3470-3
Per ogni materia
è allegato il fascicolo con mappe, riassunti e metodo di studio
Codice per l’adozione Il cerchio dei saperi - Pack 4 scientifico ISBN 978-88-472-3458-1 Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2 L. 633/1941). Esente da I.V.A. (D.P.R. 26-10-1972, n° 633, art. 2 lett. d). Esente da bolla di accompagnamento (D.P.R. 6-10-1978, n° 627, art.4. n° 6).
Per educare i cittadini di oggi alle competenze sociali e civiche con schede per la valutazione
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