Il cerchio dei Sape rI
• Con ESERCIZIARIO, INVALSI
e VERIFICHE A LIVELLI
• Sezione VERSO LA SECONDARIA
In allegato MateMAP
Vincenza Cantillo
Matematica
Il
misura
Il numero
“Tutto è numero!” diceva Pitagora, un grande matematico vissuto tra il 570 a.C. e il 495 a.C. Quando vai al cinema, la matematica ti aiuta a prevedere la durata di un film, a trovare il tuo posto e a pagare il biglietto. Guardando o praticando il tuo sport preferito, la matematica serve a valutare una distanza e sapere quanto tempo è trascorso. I numeri sono ovunque.
IL CERCHIO DEI SAPERI
Osserva la mappa e, con l’aiuto delle domande, fai delle ipotesi sugli argomenti che studierai.
Pane € 2,70 al kg
Sapresti dire quanto costa?
Sai leggere la temperatura della tua città?
Il numero
384 400 km
Sai quanto è distante la Luna dalla Terra?
disegno
Sai che cos’è un bancomat? Che cosa accade quando si digitano dei numeri?
I grandi numeri
Ti sei mai chiesto quanti abitanti ci sono in Italia o quanti metri separano la Terra dal Sole? Per poter rispondere a queste domande non bastano più le classi delle unità e delle migliaia, cioè i numeri con 6 cifre, ma abbiamo bisogno di numeri ancora più grandi, che comprendono le classi dei milioni e dei miliardi.
Ecco le risposte alle domande poste nelle righe precedenti:
• in Italia vivono 60 359 546 persone;
• la distanza tra Terra e Sole è di 149 597 870 700 m.
Per rappresentare i numeri si raccolgono le cifre a gruppi di tre; partendo dalla cifra delle unità e procedendo verso sinistra, abbiamo:
Ogni gruppo di 3 cifre forma una classe. Ogni classe è composta da tre ordini: unità, decine, centinaia.
classe dei miliardi (G) classe dei milioni (M) classe delle migliaia (k) classe delle unità semplici (u)
I grandi numeri fanno parte dell’insieme N dei numeri naturali. La loro successione è infinita, perché a ogni numero si può sempre aggiungere 1 e ottenere il numero successivo.
1 Separa le classi con una linea. Poi, sul quaderno, inserisci i numeri in una tabella simile a quella sopra.
2 Per ogni numero scrivi sul quaderno il precedente e il successivo.
3 Completa le uguaglianze. Scrivi il numero corrispondente a quanto indicato.
3 uk = 4 uM = 1 daM 6 uM =
Leggere, scrivere e confrontare numeri
Periodo dei miliardi
Per leggere e scrivere i grandi numeri occorre suddividere correttamente le cifre in periodi.
Osserva e segui le procedure.
Per scrivere il numero occorre:
• dividere il numero in periodi a partire da destra;
• lasciare uno spazio a ogni cambio di periodo.
Per leggere il numero occorre:
• partire da sinistra e pronunciare un periodo per volta;
• inserire nello spazio il nome dei periodi.
Periodo dei milioni
420 300 150 780 Periodo delle unità
Periodo delle migliaia
Si legge: quattrocentoventimiliarditrecentomilionicentocinquantamilasettecentottanta
Osserva e segui la procedura.
Per confrontare due grandi numeri occorre comparare le cifre che li compongono partendo da sinistra.
1 Il numero maggiore è quello che presenta il maggior numero di cifre.
345 550 000 > 5 234 000
2 Quando abbiamo lo stesso numero di cifre, il numero maggiore è quello che ha la prima cifra a sinistra maggiore.
1 200 000 < 5 700 000
3 Quando la prima cifra è uguale in entrambi i numeri, è maggiore il numero che ha la seconda cifra a sinistra maggiore e si procede in questo modo per tutte le altre cifre.
2 800 458 > 2 680 000
ESERCIZI GRADUATI
1 Leggi e scrivi sul quaderno in lettere i seguenti numeri.
4 500 000 5 000 000 000
34 670 000 000 2 500 200 000
46 700 350 704 082 000
2 Confronta i numeri inserendo i simboli > o <.
3 450 890 000
234 650 009
2 000 000 000
1 670 800
3 400 800 000
234 658 007
1 900 000 000
3 Riscrivi in ordine crescente.
2 443 526 • 23 670 004 • 24 567 890 • 2 453 809 ................................................................................
4 Riscrivi in ordine decrescente.
6 208 443 • 907 601 • 6 578 900 • 910 670 ................................................................................
5 Circonda in rosso la quantità maggiore.
3 daM e 2 dak • 2 daM e 3 dak • 30 dak • 1 hM • 30 uM
I numeri decimali
Nella vita di tutti i giorni ti sarà capitato di vedere come il costo dei quaderni, di un pacchetto di figurine o del latte sia rappresentato da numeri con la virgola, cioè dai numeri decimali.
I numeri decimali sono formati da una parte intera e da una parte decimale, separate dalla virgola
Il valore delle cifre di un numero decimale è indicato dalla loro posizione, così come accade per i numeri naturali.
Osserva e inserisci in tabella il prezzo che vedi nella foto. Si legge: trantaquattro euro e novantanove centesimi
migliaia unità semplici hk dak uk h da u d c m , € 34,99
parte intera parte decimale
La classe dei decimali comprende: decimi, centesimi, millesimi.
Le cifre dopo la virgola possono essere infinite.
Per confrontare i numeri decimali, occorre seguire alcune regole. Osserva e segui la procedura.
1 Se la parte intera è uguale bisogna confrontare la parte decimale seguendo l’ordine: prima i decimi, poi i centesimi e i millesimi.
3,567 > 3,347
1,429 < 1,459
2 Se la parte intera è diversa, è maggiore il numero che presenta la parte intera maggiore.
3 490,45 > 2 890,34
3 Quando due numeri decimali hanno un numero diverso di cifre decimali, occorre prima pareggiare la parte decimale con gli zeri segnaposto, poi si procede al confronto.
156,8 .... 156,781
156,800 > 156,781
ESERCIZI GRADUATI
1 Confronta inserendo i simboli >, < o =. 23,89 ..... 23,129 77,89 ..... 77,890
2 Scomponi i numeri. Segui l’esempio.
1 234,6 1 uk 2 h 3 da 4 u 6 d
67 888 000
780,296
4 222 864,345
3 Completa i confronti con un numero in cifre.
3 decimi e 10 centinaia < 9 centesimi e 2 millesimi > ......................
50 decimi = ......................
200 centesimi e 8 unità = > 75 decimi
< 5 decimi e 5 decine ...................... > 5 000 millesimi
€ 10,20
78,90
Arrotondare per difetto
L’approssimazione
A volte per semplificare i calcoli è molto utile approssimare i numeri sia interi sia decimali.
Approssimare significa trasformare il numero in un altro numero molto vicino a quello dato.
Osserva l’illustrazione e leggi.
Ilaria vorrebbe acquistare un profumo e una collana per la sua amica del cuore. La collana costa circa € 80 e il profumo costa circa € 10.
Per arrotondare un numero segui queste istruzioni:
• scegli la cifra a cui lo vuoi arrotondare;
• considera la cifra che si trova alla sua destra;
• considera i due modi di procedere spiegati di seguito.
Se la cifra a destra di quella che si vuole arrotondare è minore di 5:
• si sostituisce questa cifra con 0;
• si procede nello stesso modo con tutte le altre cifre.
2,62 2,60 144 140
ESERCIZI GRADUATI
1 Arrotonda alle unità e segna con una X se hai eseguito un arrotondamento per difetto (p.d.) o per eccesso (p.e.).
2 Arrotonda ai centesimi.
Arrotondare per eccesso
Se la cifra a destra di quella che si vuole arrotondare è maggiore o uguale a 5:
• si sostituiscono questa cifra e tutte quelle alla sua destra con 0;
• si aumenta di 1 la cifra a cui si è scelto di arrotondare.
6,86 6,90
379 380
L’addizione
L’addizione è l’operazione che serve per unire due o più quantità o per aggiungere una quantità a un’altra.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa.
La maestra Lorella ha acquistato per i suoi alunni un libro sulle scoperte scientifiche che costa € 19,70 e un libro per colorare i mandala dal costo di € 10,50. Quanto spende in tutto?
Operazione: ........................... Risposta: ..................................
Nell’addizione valgono le seguenti proprietà.
Proprietà commutativa
Cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.
La proprietà commutativa serve anche per eseguire la prova dell’addizione.
1 600 + 2 500 + 800 = 4 900
Proprietà associativa
Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia.
18,7 + 11,3 + 10 = 40
18,7 + 21,3 = 40
Leggi le istruzioni e calcola in colonna.
• Incolonna gli addendi. Rispetta il valore posizionale di ogni cifra.
• Se ci sono decimali, aggiungi gli 0 per pareggiare le cifre.
• Somma le cifre di ogni colonna. Inizia dalla cifra più a destra.
• Quando la somma è maggiore di 9, esegui il cambio. da u d c m 3 2 7 + 0 5 8 5 = , , ... ... .....................
1 600 + 800 + 2 500 = 4 900 PROVA +
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno con la prova.
405,56 + 789 + 45,2 = ........................................
890,343 + 0,07 + 23,894 = ................................
5 649,12 + 671 + 0,50 =
8,9 + 123,76 + 34 =
2 Calcola in colonna sul quaderno.
2 345 600 + 200 000 + 125 987 = .......................
3 500 900,4 + 1,5 + 2 000 050 = .........................
1 200 368 000 + 800 000 000 =
3 Applica le proprietà dell’addizione. Segui l’esempio e svolgi sul quaderno.
27 + 13 + 2 + 45
40 + 47 = 87
230 + 150 + 40 + 27 = ........................................
1,6 + 8,4 + 20 + 78 = ..........................................
somma o totale
17,36 + 4,72 = 22,08 1° addendo 2° addendo
3,8 + 4,2 + 11,4 + 42,3 = ....................................
460 + 40 + 29 + 12 = .........................................
Proprietà invariantiva
La sottrazione
La sottrazione è l’operazione che toglie una quantità a un’altra, calcola il resto, trova quanto manca per completare una quantità e confronta le quantità.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa.
L’abbonamento al giornalino della scuola costa € 12. Bruno ha già versato € 7,20. Quanti euro gli mancano per pagare l’intera quota?
Operazione: ........................... Risposta: ..................................
La sottrazione gode della proprietà invariantiva.
Se si aggiunge o si toglie lo stesso numero a entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.
– 10,7 =
Come prova della sottrazione si usa l’addizione.
PROVA + ............. = 175,26 –37,12 = minuendo sottraendo resto o differenza
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
Leggi le istruzioni ed esegui il calcolo in colonna.
• Incolonna i termini. Rispetta il valore posizionale delle cifre.
• Se ci sono decimali, aggiungi gli 0 necessari per pareggiare le cifre.
• Sottrai le cifre di ogni colonna. Parti dalla cifra più a destra.
• Quando la cifra del minuendo è minore di quella del sottraendo, esegui il cambio.
1 Calcola in colonna sul quaderno con la prova.
308,600 – 0,089 = 9 000 – 346,18 = 2 003,4 – 56,09 = 4
2 Applica la proprietà invariantiva della sottrazione come indicato e calcola a mente. 9,7 – 4,7 = ...........
–0,7
– 1,9 =
–
–
–
La moltiplicazione
La moltiplicazione è l’operazione che ripete più volte la stessa quantità e che calcola le possibili combinazioni
Leggi il testo del problema, risolvi e completa.
Un pasticciere ha confezionato 45 scatole di biscotti. Le rivende ciascuna a € 15,50. Quanto incassa dalla vendita di tutte le confezioni?
Operazione: ............................ Risposta: .........................................
Per la moltiplicazione valgono le seguenti proprietà.
Proprietà commutativa
Se cambi l’ordine dei fattori, il risultato non cambia.
La proprietà commutativa si usa come prova della moltiplicazione, per verificare se il risultato è esatto.
Proprietà distributiva
Se scomponi un fattore come somma o differenza di numeri e moltiplichi i numeri ottenuti per l’altro fattore, il risultato non cambia.
somma differenza
36 × 3 = 108 38 × 8 = 304
(30 + 6) × 3 = (40 – 2) × 8 = = (30 × 3) + (6 × 3) = = (40 × 8) – (2 × 8) = = 90 + 18 = 108 = 320 – 16 = 304
Proprietà associativa
Se sostituisci a due fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.
1 Applica la proprietà associativa e calcola a mente.
4 × 3 × 5 × 2 = .......... 4 × 2 × 6 × 25 = ..........
2 Applica la proprietà distributiva e calcola sul quaderno.
3 Segna con una X dove è stata applicata una strategia per semplificare il calcolo.
Usa la calcolatrice per verificare la tua scelta.
22 × 20 × 5 = 22 × 100
Calcolare le moltiplicazioni in colonna
Per calcolare una moltiplicazione in colonna, sia con i numeri interi sia con i numeri decimali, è importante seguire alcuni passi e procedere con ordine.
Insieme si può
Osserva e segui le indicazioni per il calcolo in colonna con i numeri decimali.
Con un compagno inventate 5 moltiplicazioni e calcolate il prodotto applicando la proprietà associativa o distributiva. Scambiatevi le operazioni e confrontatevi sui risultati ottenuti. Potete poi verificare con la calcolatrice l’esattezza dei calcoli.
ESERCIZI GRADUATI
1 Inserisci la virgola nel risultato.
1° fattore
2° fattore , , ,
prodotti parziali prodotto finale
• Incolonna i fattori senza considerare la virgola.
, , ,
• Moltiplica ogni cifra del secondo fattore per ciascuna cifra del primo fattore. Ricorda di partire dall’ultima cifra a destra del secondo fattore.
• Se necessario, esegui i cambi.
• Somma i prodotti parziali.
• Scrivi il prodotto finale.
• Separa con la virgola, nel prodotto finale, tante cifre quante sono complessivamente le cifre decimali di entrambi i fattori. Ricorda di partire da destra.
• Esegui la prova applicando la proprietà commutativa.
7,2 × 6 = 432 1,23 × 2,3 = 2829 6,35 × 12,5 = 79375 8,3 × 7,12 = 59096
2 Leggi il risultato delle moltiplicazioni e inserisci la virgola in uno dei due fattori nel punto giusto.
6,4 × 96 = 61,44 0,31 × 15 = 0,465 23 × 0,28 = 0,644 0,109 × 53 =
3 Calcola in colonna sul quaderno con la prova.
1 009 × 34 =
=
4 Colora il riquadro con il risultato più vicino a quello di ogni operazione indicata. I fattori delle moltiplicazioni sono stati arrotondati.
4,15 × 6,8
La divisione
La divisione è l’operazione che consente di distribuire o raggruppare una quantità in parti uguali.
Leggi il testo del problema, risolvi e completa.
Omar e i suoi amici festeggiano la vittoria del campionato di basket al ristorante. Spendono complessivamente € 72,50. Decidono di dividere il conto in 5 parti uguali. Quanto paga ciascuno di loro?
Operazione: ........................... Risposta: ..........................................
Per la divisione vale la proprietà invariantiva.
Proprietà invariantiva
Se dividi o moltiplichi per uno stesso numero, diverso da 0, entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Nel caso ci fosse il resto, occorre aggiungerlo al risultato della moltiplicazione. 120 10 : 12 × 12
La prova della divisione si esegue con l’operazione inversa: la moltiplicazione.
ESERCIZI GRADUATI
divisore dividendo quoziente
1 Calcola a mente. Scrivi “impossibile” nel caso non sia possibile eseguire la divisione. 12 378 : 12 378 = ........ 0 : 78 = ........ 23 : 0 =
2 Calcola a mente usando, quando serve, la proprietà invariantiva. 700 : 20 = ................................ 1 500 : 2 = ................................
3 Calcola il dividendo, usando l’operazione inversa.
: 27 = 45
: 85 = 21
: 32 = 76
: 54 = 33
: 65 = 13
: 72 = 24
Calcolare le divisioni in colonna
Per calcolare le divisioni con una o più cifre al divisore, è bene ricordare alcuni passaggi fondamentali.
Segui le istruzioni e i calcoli saranno molto più facili.
DIVISIONI CON UNA CIFRA AL DIVISORE
• Considero la prima cifra a sinistra del dividendo: è minore del divisore. Il 6 non è contenuto nel 5.
• Considero quindi le prime due cifre: il 6 nel 52 sta 8 volte.
• Scrivo 8 nel risultato.
• Calcolo il resto: moltiplico 8 per il divisore.
8 × 6 = 48
52 – 48 = 4
• Scrivo il resto 4 sotto 52.
• Trascrivo le unità vicino al resto.
• Il 6 nel 41 sta 6 volte. Scrivo 6 nel risultato.
• Calcolo il resto.
6 × 6 = 36
41 – 36 = 5
• Scrivo il resto 5 sotto le unità.
Insieme si può
Con un tuo compagno inventate 5 divisioni ciascuno e risolvetele applicando la proprietà invariantiva. Poi scambiatevi le operazioni e verificate, anche con l’uso della calcolatrice, chi ne ha risolte correttamente il numero maggiore. Poi scrivete 4 divisioni di cui 2 impossibili e 2 che danno come risultato 0.
DIVISIONI CON DUE CIFRE AL DIVISORE
Metodo con la tabella del divisore
Per eseguire le divisioni puoi usare la tabella moltiplicativa del divisore.
• Considero due cifre (41).
• Moltiplico il 12 fino a ottenere il numero più vicino a 41, senza superarlo.
• Il 12 nel 41 sta volte. 12 × 3 = 36
• Calcolo il resto: 41 – 36 = ............
12 × 1 = 12
12 × 2 = 24
12 × 3 = 36
12 × 4 = 48
12 × 5 = 60
• Trascrivo le unità vicino al resto e ottengo 57.
• Moltiplico il 12 fino a ottenere il numero più vicino a 57, senza superarlo.
• Il 12 nel 57 sta ...... volte. 12 × 4 = 48
• Calcolo il resto: 57 – = 4 1 7 1 2 5 7 9 3 4
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno con la prova. 1
2 Inventa il testo di due problemi che vanno risolti con una divisione
3 Calcola sul quaderno e fai la prova.
Le divisioni con i decimali
Leggi con attenzione le procedure.
DIVISIONE CON DIVIDENDO DECIMALE
• Dividi la parte intera del numero e calcola la divisione utilizzando il procedimento che conosci.
• Dopo aver abbassato i decimi, metti la virgola al quoziente.
• Poiché la divisione ha resto (1), per avere un risultato più preciso si aggiunge 0 al dividendo e si prosegue nel calcolo.
• Quando fai la prova ricorda di aggiungere, se c’è, il resto.
DIVISIONE CON DIVISORE DECIMALE
• Applica la proprietà invariantiva per rendere intero il divisore: moltiplica per 10, 100 o 1 000.
• Prosegui secondo il metodo che già conosci.
• Aggiungi gli zeri (0) al dividendo per continuare la divisione, in questo caso fino ai decimi.
• Metti la virgola al risultato.
DIVISIONE CON DIVIDENDO E DIVISORE DECIMALE
• Applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 10, 100 o 1 000 fino a rendere intero il divisore.
• Prosegui il calcolo con il procedimento che conosci.
• Ricorda di mettere la virgola al risultato prima di abbassare i decimi.
• Puoi continuare la divisione aggiungendo gli zeri al resto per avere un calcolo più preciso.
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno.
8 47,26 : 6 = .............. 564,5 : 5 = ................ 981,72 : 0,81 = ..........
:
: 2,8 =
: 3,8 =
: 0,57
2 Calcola in colonna sul quaderno fino ai millesimi.
Moltiplicazione e divisione: casi particolari
La moltiplicazione e la divisione possono presentare alcuni casi particolari.
Leggi con attenzione le indicazioni per eseguire i calcoli.
Moltiplicazione: uno dei fattori è minore di 1
La moltiplicazione ha in questo caso un fattore che è un numero decimale ma è minore di 1. Il risultato è minore dell’altro fattore.
Divisione
, 23 : 4 =
:
ESERCIZI
1° CASO: DIVISIONI TRA NUMERI NATURALI
CHE CONTINUANO FINO AI DECIMALI
Leggi le istruzioni, poi calcola.
• Calcola la divisione con il procedimento che conosci.
• Aggiungi al resto 0 centesimi e continua a calcolare. 2 3 4 3 0 5
• Aggiungi al resto 0 decimi, metti la virgola al quoziente e calcola.
2° CASO: IL DIVIDENDO È MINORE DEL DIVISORE
Leggi le istruzioni, poi calcola.
• Scrivi 0 al quoziente, seguito dalla virgola.
• Aggiungi 0 decimi al dividendo.
• Calcola la divisione con il procedimento che conosci. 2 8 3 2
GRADUATI
1 Calcola in colonna sul quaderno e verifica i risultati con la calcolatrice.
× 0,3 =
2 Calcola in colonna le divisioni con il dividendo minore del divisore. 18 : 25 = .......... 3 : 15 = ..........
:
3 Calcola in colonna le divisioni sul quaderno. Prosegui fino ai centesimi.
7,8 : 2,3 = 4 567 : 24 = 5 089 : 49 =
4 Calcola in colonna sul quaderno fino ad avere resto 0. 165 : 24 = 14,06 :
:
=
: 28 =
La numerazione romana
Gli antichi Romani usavano una numerazione speciale, composta da 7 lettere del loro alfabeto combinate secondo cinque precise regole
Regola 1 I simboli I, X, C, M non si possono ripetere più di tre volte.
Regola 2 I simboli V, L, D si possono scrivere nel numero una sola volta.
Regola 3 Si addiziona quando il valore maggiore è scritto a sinistra.
XI 10 + 1 = 11
VIII 5 + 3 = 8
XXII 10 + 10 + 1 + 1 = 22
Regola 4 Si sottrae quando il valore maggiore è a destra.
Non si possono sottrarre i simboli V, L, D.
IV 5 – 1 = 4
IX 10 – 1 = 9
XC 100 – 10 = 90
Regola 5 Quando sopra a uno o più simboli c’è una linea, il valore va moltiplicato per 1 000.
XIICC 12 × 1 000 + 100 + 100 = 12 200
La numerazione romana è ancora usata in alcuni orologi. Esercitati
i numeri corrispondenti.
Calcola e scrivi il risultato con i numeri romani.
Le espressioni
L’espressione aritmetica è una sequenza ordinata di operazioni. Leggi il testo del problema e segui il procedimento. Josif ha comprato 18 pacchetti di figurine. Ne ha avuti in regalo altri 6 dalla nonna e 4 dalla zia. Poi regala 3 pacchetti a suo fratello Denis. Quanti pacchetti di figurine restano a Josif? Per risolvere il problema occorre eseguire più operazioni.
18 + 6 + 4 = 28 28 – 3 = 25
Le operazioni possono essere scritte in una sequenza ordinata, cioè con un’espressione.
18 + 6 + 4 – 3 = 25
ESPRESSIONI SENZA PARENTESI
Quando l’espressione NON presenta parentesi, si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui si presentano; a seguire, le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui si presentano.
4 × 3 + 16 : 4 – 2 = 12 + 4 – 2 = 14
ESPRESSIONI CON LE PARENTESI
Se in un’espressione sono presenti delle parentesi, occorre eseguire le operazioni nel seguente ordine: ( ) Parentesi tonde [ ] Parentesi quadre { } Parentesi graffe
16 + {280 : [60 – (35 + 5)]} =
= 16 + {280 : [60 – 40]} =
= 16 + {280 : 20} =
= 16 + 14 = 30
• Prima si eseguono le operazioni nelle parentesi tonde
• Poi quelle nelle parentesi quadre.
• Per ultime le operazioni nelle parentesi graffe.
• Alla fine si risolvono le operazioni rimaste fuori dalle parentesi
ESERCIZI GRADUATI
1 Risolvi sul quaderno.
14 + (20 + 4) – (7 – 6) + 28 =
[45 – (14 + 2) – 7] + 34 =
40 + 56 : 8 – (12 × 2 + 2 × 3) – 7 =
25 : 5 + {2 × [49 : 7 + 3 × (24 : 3 + 2 × 1) + 2] – 5} =
2 Risolvi sul quaderno con un’espressione.
Un teatro organizza tre spettacoli di beneficenza. Al primo partecipano 125 spettatori, al secondo 208, al terzo 310. Se il biglietto costa € 22,50, quanto incassa il teatro? Dovendo pagare € 7 500 per luci e scenografie, quale sarà la cifra data in beneficenza?
Multipli e divisori
Osserva.
6 × 3 = 18 3 × 6 = 18 18 è multiplo di 3 e di 6.
Ogni numero ha come multiplo se stesso.
4 × 1 = 4
1 ha come multipli tutti i numeri.
1 × 234 = 234
0 è multiplo di qualsiasi numero.
458 × 0 = 0
Osserva.
18 : 3 = 6 18 : 2 = 9 3 e 2 sono divisori di 18.
Ogni numero naturale diverso da 0 è divisore di se stesso.
4 : 4 = 1
1 è divisore di tutti i numeri.
8 : 1 = 8
1 ha un solo divisore: se stesso.
1 : 1 = 1
0 non è divisore di alcun numero. 23 : 0 = impossibile
Multipli e divisori hanno una stretta relazione: se un numero è multiplo di un altro, questo, a sua volta, è un suo divisore.
ESERCIZI GRADUATI
I multipli di un numero si ottengono moltiplicando il numero per qualsiasi altro numero intero; sono infiniti, in quanto la sequenza dei numeri è infinita.
I divisori di un numero sono i numeri che lo dividono esattamente, senza cioè avere resto.
20 4 e 5
1 Scrivi sul quaderno per ciascun numero almeno due divisori.
15 • 30 • 18 • 54
2 Scrivi sul quaderno per ciascun numero 10 multipli.
2 • 4 • 5 • 9 • 3 • 7 • 15 • 10
è multiplo di sono divisori di
4 20 × 5 : 5
5 20 × 4 : 4
3 Indica con una X se l’affermazione
è vera (V) o falsa (F).
• 27 è multiplo di 3. V F
• 44 è multiplo di 5. V F
• 72 è multiplo di 9. V F
• 5 è divisore di 45. V F
• 7 è divisore di 23. V F
Criteri di divisibilità
I criteri di divisibilità sono regole che consentono di stabilire a mente se un numero è esattamente divisibile per un altro.
Leggi con attenzione le regole. Poi cerchia i numeri divisibili per il numero dato.
Un numero è divisibile per 2 se termina per 0, 2, 4, 6, 8, cioè quando è pari.
Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.
Un numero è divisibile per 4 quando le ultime due cifre formano un multiplo di 4 o sono due 0.
Un numero è divisibile per 5 se termina con 5 oppure con 0.
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9.
Un numero è divisibile per 10 quando termina con 0.
ESERCIZI GRADUATI
1 Cerchia di rosa i numeri divisibili per 4 e di blu i numeri divisibili per 9. 138 • 1 514 • 18 050 • 868 • 58
2 Aggiungi una cifra ai numeri in modo che risultino divisibili per 5. 3023 108 1608 127
3 Cancella i numeri non divisibili per 3: 156 • 428 • 2 639 • 456 •
La scomposizione in fattori primi
I numeri primi sono numeri naturali maggiori di 1, divisibili solo per 1 e per se stessi. I numeri che hanno anche altri divisori si chiamano numeri composti.
Ogni numero composto può essere scomposto in fattori primi, cioè i numeri primi il cui prodotto corrisponde al numero dato. La scomposizione in fattori primi termina quando tutti i fattori sono numeri primi.
Per scomporre un numero composto in fattori primi ci sono due procedimenti. Osserva e segui le istruzioni.
1° MODO
Con il diagramma ad albero.
Quindi: 30 = 2 × 3 × 5
2° MODO
Segui le istruzioni, poi completa.
• Considera il numero 12. Trascrivi il numero da scomporre e traccia a fianco a esso una riga verticale. La riga indica una divisione (:).
• Pensa ai criteri di divisibilità e trova il fattore primo minore che divide il numero: qui è 2.
• Prosegui fino a ottenere 1.
Il numero 12 è stato scomposto in fattori primi.
Puoi registrare la scomposizione con una moltiplicazione: 12 = 2 × 2 × 3
ESERCIZI GRADUATI
1 Scomponi in fattori primi con il diagramma ad albero.
2 Scomponi i numeri in fattori primi. Segui l’esempio e continua sul quaderno.
18 = 2 × 3 × 3
Problemi
Problemi con diagrammi ed espressioni
Leggi e risolvi sul quaderno. Puoi usare il diagramma ad albero o un’espressione.
1 Indica l’espressione che risolve il problema.
L’agriturismo “Al chiaro di luna” acquista 15 casse contenenti 18 bottiglie di vino ciascuna e 21 casse contenenti 15 bottiglie di acqua minerale. Quante bottiglie ha acquistato in tutto?
(15 + 18) + 21 × 15
(15 × 18 + 21) × 15
15 × 18 + 21 × 15
15 + 18 × 21 × 15
2 Indica l’espressione che risolve il problema. Per le Mini Olimpiadi della Matematica si sono iscritti 78 alunni delle classi quarte e 120 alunni delle classi quinte. Ciascuno dovrà versare una quota d’iscrizione di € 2,50. A quanto ammonta la cifra totale da versare?
78 + 120 + 2,50
78 + 120 × 2,50 (78 + 120) × 2,50
78 × 2,50 + 120
3 La zia Mara guadagna mensilmente € 1 400. Ogni mese per l’affitto della casa spende € 450, per le bollette € 180 e € 25 per le ricariche telefoniche. Quanto le resta?
4 Paola e Martin sono fratelli e ricevono in regalo € 250 da dividere a metà. Martin aveva già da parte € 12. Quanto ha adesso Martin?
5 Hans organizza la festa per l’anniversario dei nonni. Compra 3 scatole di palloncini bianchi e 2 di palloncini rosa. Ogni scatola costa € 5,90 e contiene 19 palloncini. Hans ha € 35. Quanto spende per i palloncini? E quanti euro gli restano?
6 Elettra ha sottoscritto un’assicurazione. Ogni mese dovrà versare una quota di € 180 per 10 anni. Quanto avrà versato Elettra dopo 6 anni?
× × 6 =
7 Per l’acquisto dei nuovi computer dell’ufficio di Sergio occorrono € 27 000. Sergio riesce a ottenere lo sconto di un terzo sulla cifra dovuta. Quanto dovrà pagare per i nuovi computer?
8 Inserisci le parentesi nelle espressioni per calcolare correttamente il risultato.
Nel negozio di ceramiche su ciascuno dei 3 ripiani dei 4 espositori ci sono 2 vasi e 4 piatti. Quanti vasi ci sono in tutto? E quanti piatti?
2 + 2 + 2 × 4 = .......... n. dei vasi
4 + 4 + 4 × 4 = .......... n. dei piatti
9 Linda, Mira e Clara sono state invitate alla festa di laurea di George. Come regalo decidono di acquistare un cellulare che costa € 820. Dividono la spesa in parti uguali, ma la cifra non è perfettamente divisibile. Calcola qual è la cifra che ognuna dovrebbe dare e qual è l’arrotondamento possibile.
10 Roberto lavora per 8 ore a settimana come istruttore in una palestra. Guadagna € 29 all’ora e riceve lo stipendio a fine mese (4 settimane). In questo mese dovrà pagare la rata dell’auto che è pari a un quarto del suo stipendio mensile e € 400 di affitto. Quanto gli rimane?
11 Un’azienda acquista un capannone grande 1 200 m2 e lo paga € 400 al m2. Versa subito la metà e il resto in 5 rate. Calcola a quanto ammonta ogni rata.
12 Completa l’espressione risolutiva con le parentesi necessarie, poi trasformala in un diagramma.
In una cisterna contenente 87 ℓ di liquore all’arancia, vengono aggiunti altri 31 ℓ. Tutto il liquore viene imbottigliato in bottiglie della capacità di 0,50 ℓ ciascuna. Se ogni bottiglia viene rivenduta a € 4,50, quanto si ricaverà?
87 + 31 : 0,50 × 4,50 =
13 È appena iniziata la nuova stagione teatrale. Fanny acquista un abbonamento ridotto per studenti al costo di € 80. Gli spettacoli previsti sono 5. Se volesse acquistare il solo biglietto per uno spettacolo, spenderebbe € 20. Quanto risparmia Fanny per ogni spettacolo con il suo abbonamento?
14 Perla e Jonathan decidono di fare merenda insieme: acquistano 2 hg di prosciutto che costa € 2,30 all’etto, 2 bottigliette d’acqua che costano € 1,50 ciascuna e due panini che costano € 1,20. Pagano con una banconota da € 20. Quanto ricevono di resto?
15 Lo zio di Stefano gli ha regalato un buono postale del valore di € 330. Anche la nonna gli regala un buono postale che vale un terzo in più rispetto a quello dello zio. A quanto corrispondono in totale i due buoni postali?
16 Laura, Jasin, Carlo e Teo sono andati a visitare il Museo di Scienze Naturali a Milano con i nonni Mario e Lea. Per ogni nipote i nonni spendono € 6,50 per il biglietto d’ingresso e € 2,50 per un gadget acquistato al bookshop. Il costo del biglietto per gli adulti è di € 8. I nonni avevano € 100 nel portafoglio. Quanto resta loro?
17 Amir e Beba hanno prenotato un albergo al mare. Ogni giorno di pernottamento, che comprende la camera e i pasti, costa € 120 a persona. Hanno anche previsto un budget di spesa extra di € 300 per entrambi. Se la cifra totale di cui dispongono è di € 3 000, calcola quanti giorni possono pernottare.
18 La moto d’epoca della zia Amalia consuma in media 2 ℓ di benzina ogni 30 km. Quanti litri di benzina occorrono per percorrere 690 km? Se ogni litro di benzina costa € 1,670, quanto spenderà la zia per questo tragitto?
19 Trasforma il diagramma in un’espressione. Per imbiancare il laboratorio della scuola occorrono € 2 000. I ragazzi delle classi quinte organizzano una vendita di lavoretti artigianali e dolci per partecipare alle spese. Vengono venduti 120 torte a € 6,20; 50 braccialetti a € 4,50 e 200 collanine a € 3,70 l’una. La cifra raccolta è sufficiente per coprire le spese dell’imbiancatura? Se non lo è, quanti soldi mancano?
1 Completo la mappa con le parole corrette. intera - decimali - centesimi - 1 - composti - primi - divisori
una parte
una parte decimale numeri
hanno altri
se stessi decimi
oltre a 1 e a se stessi millesimi formati da si possono suddividere in hanno come divisori composta da possono essere I numeri interi
2 Inserisco nella tabella i seguenti numeri: 16 000 890 000 • 34 560 000 • 234 500 000 000 • 567 400 320
3 Ordino i seguenti numeri decimali dal maggiore al minore sul quaderno.
classe dei miliardi (G)
classe dei milioni (M)
classe delle migliaia (k)
1 Completo la mappa con le parole corrette: invariantiva - commutativa - distributiva - associativa
Operazioni e proprietà
Proprietà ............................... 12 + 4 = 16
4 + 12 = 16
Proprietà associativa
5 + 7 + 3 = 15
5 + 10 = 15
Proprietà commutativa 2 × 6 = 12 6 × 2 = 12
Proprietà ............................... 2 × 4 × 5 = 40 2 × 20 = 40
Proprietà ...............................
13 × 4 = 52 (10 + 3) × 4 (10 × 4) + (3 × 4) 40 + 12 = 52
2 Completo con il numero mancante.
17 890 + .................................. = 19 179
345 678 000 + .................................. = 346 226 369
3 Calcolo in colonna sul quaderno, poi scrivo l’arrotondamento del risultato alle unità di migliaia.
7 934 – 4 456 = .......... 2 340 + 9 921 = ..........
Proprietà invariantiva
= 16
– 7 = 16
– 10 = 16
Proprietà ...............................
4 Scompongo i numeri in fattori primi sul quaderno. Seguo l’esempio. 27 = 3 × 9
1 Osserva le uguaglianze.
: 4 = 10
× 6 + 4 =
Per rendere vere le uguaglianze, quali numeri devi inserire al posto dello smile e della stella?
A. = 40 = 2
B. = 40 = 6
C. = 40 = 8
D. = 6 = 40
2 Indica con una X quali sono le affermazioni corrette per ciascun numero.
75 È divisibile per 2.
È un multiplo di 3.
Ha 5 come divisore.
600 Ha 4 come multiplo.
È multiplo di 3.
È divisibile per 5.
80 È multiplo di 10.
È divisibile per 7.
Ha 2 come divisore.
3 Segna con una X l’espressione corretta per risolvere il problema.
18 bignè alla crema e 7 bignè al caffè possono essere divisi in parti uguali e sistemati in 5 vassoi?
A. (18 + 7) : 5
B. 18 + 7 : 5
C. 5 : (18 + 7)
D. 18 × 7 : 5
4 Calcola qual è il numero coperto dalla macchia.
11 216 – = 8 900
– 46,59 = 595,71 ....................
78 775 – = 73 086 ....................
5 Indica con una X qual è l’espressione che risolve correttamente il problema.
In un magazzino ci sono 12 casse di aranciata. Ogni cassa contiene 26 bottiglie. Ne vengono vendute i 5 12 nei primi tre giorni della settimana.
Ogni bottiglia di aranciata costa € 1,20. Quanto si incassa dalla loro vendita?
A. (12 × 22) : 12 × 5 : 1,20
B. {[(12 × 26) : 12] × 5} × 1,20
C. (12 × 22 : 12 × 5) : 1,20
D. 12 × 22 × (5 : 12) : 1,20
6 Quale di questi numeri si avvicina di più a una decina?
A. 10,1 C. 9,98
B. 9,099 D. 10,05
7 Riccardo deve eseguire la moltiplicazione 2,45 × 42,8 ma sulla sua calcolatrice il tasto della virgola è fuori uso, perciò digita i numeri senza virgole. Per rimediare quale operazione deve eseguire sul risultato?
A. Dividerlo per 100
B. Dividerlo per 1 000
C. Moltiplicarlo × 1 000
D. Togliervi 100
valuto x
La verifica mi ha aiutato a capire la mia preparazione.
La verifica mi ha aiutato solo in parte.
Devo ripassare perché non ho capito alcuni argomenti.
I numeri relativi
Osserva le immagini e rifletti.
Le grandezze che servono per indicare la temperatura o a che piano ci può portare un ascensore sono espresse da numeri preceduti dal segno + o –.
Questi numeri vengono chiamati relativi perché indicano un valore in relazione allo 0 (prima o dopo).
I numeri relativi si possono rappresentare sulla linea dei numeri.
Lo zero non ha segno e rappresenta il punto di separazione tra i numeri positivi e negativi.
Un numero negativo è sempre minore di 0. Il valore diminuisce quando ci si allontana dallo 0, verso sinistra
Confrontando due numeri negativi è minore quello più lontano dallo 0. –7 < –2
ESERCIZI GRADUATI
1 Confronta i numeri inserendo i simboli < o >. +5
Un numero positivo è sempre maggiore di 0. Il valore aumenta quando ci si allontana dallo 0, verso destra
Confrontando due numeri positivi è maggiore quello più lontano dallo 0. +7 > +5
2 Segna con una X quale numero indica la quantità corretta.
• 3 piani sotto terra. +3 –3
• Giulia è cresciuta di 10 cm. +10 –10
• Ho perso 2 euro. +2 –2
La sottrazione con i numeri relativi è sempre possibile.
Operazioni con i numeri relativi
Per eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri relativi è importante seguire alcune regole.
Leggi, osserva le frecce sulla linea dei numeri e calcola. Segui la procedura.
• Posizionati sul primo numero;
• se il segno è +, spostati verso destra di tanti passi quanti ne indica il secondo numero;
• se il segno è –, spostati verso sinistra di tanti passi quanti ne indica il secondo numero;
• registra il risultato.
ESERCIZI GRADUATI
1 Esegui le operazioni aiutandoti con la linea dei numeri.
+9 – 4 =
+12 – 7 = +2 + 4 – 5 =
+ 4 =
5
+ 6 =
2 Scrivi il segno e il numero che manca.
3 Risolvi sul quaderno.
a. Mia ha 14 figurine. Durante la prima partita ne vince 5. Nella seconda partita ne perde 7, nella terza ne perde altre 2 e nell’ultima ne vince 5. Quante figurine ha Mia alla fine?
b. Un mobilificio ha 6 piani fuori terra e 3 interrati, di cui 2 vengono adoperati come deposito e l’ultimo come garage. Quanti piani ha in tutto il mobilificio? A quale piano si trova il garage?
c. Circonda l’operazione che dà il risultato minore.
–200 + 150 +200 – 150
–100 – 50 –50 + 200
1 Scrivo i numeri relativi al posto giusto sulla linea dei numeri.
2 Leggo la tabella e calcolo la differenza di temperatura registrata in alcune città nel mese di marzo.
Temperatura massima (°C)
Temperatura minima (°C)
Torino +9 +2
Differenza (°C)
Milano +10 +3 ..........................
Salerno +12 +8 ..........................
Berlino +6 –4 ..........................
Oslo +1 –5 ..........................
3 Completo con il numero relativo corrispondente indicando il segno + o –.
• Il fondale si trova a 450 m sotto il livello del mare. .....................
• In inverno la temperatura minima è arrivata a 9 °C sotto lo zero. .....................
• Francesca ha parcheggiato al 4° piano del sotterraneo. .....................
• Ho un credito di € 30.
• Il paese è a 850 m sopra il livello del mare. .....................
4 Calcolo sul quaderno e rispondo. In una giornata di fine dicembre il termometro ha segnato una temperatura di +9 °C. Durante la notte è scesa a –4 °C. Di quanti gradi è diminuita la temperatura? .....................
La notte seguente la temperatura subisce un ulteriore abbassamento di 1 °C.
Qual è la temperatura registrata? .....................
5 Leggo, rifletto e rispondo.
a. Siamo nell’anno 12 d.C. Il nobile romano Lucius ha 35 anni, 5 in più del suo amico Terenzio. In quale anno è nato Terenzio? ...........................
b. In un hotel le cucine si trovano al piano –2. Un cameriere sale di 11 piani per portare un’ordinazione, poi scende di 5 piani per portarne un’altra. Di quanti piani deve scendere per tornare in cucina? ...........................
c. La tavoletta di Narmer, esposta al Museo egizio del Cairo, risale a 31 secoli prima di Cristo. Quanti anni ha, quindi, questo reperto? ...........................
In ogni potenza distinguiamo due numeri:
43
l’esponente: indica quante volte si ripete la base ed è il numero scritto in alto a destra
la base: indica il fattore che si ripete
ESERCIZI GRADUATI
Le potenze
Le potenze si possono intendere come un modo per scrivere i numeri tramite una moltiplicazione abbreviata
Leggi con attenzione il testo e segui il procedimento. Tiziano ha sistemato sulle 4 mensole del suo negozio 4 vasi, ognuno dei quali contiene 4 tulipani. Quanti sono i tulipani in tutto?
Per risolvere il problema, sai già che puoi usare la moltiplicazione: 4 × 4 × 4 = 64 (tulipani)
Hai ottenuto un prodotto con fattori tutti uguali a 4.
Questa moltiplicazione ripetuta si può esprimere anche sotto forma di potenza: 43
Quindi:
4 × 4 × 4 = 43 = 64
Si legge 4 elevato a 3 oppure 4 alla terza.
Ogni numero elevato a 1 resta uguale a se stesso. 561 = 56
Ogni numero diverso da 0, elevato a 0, è uguale a 1. 3550 = 1
Tutte le potenze con base 0 ed esponente diverso da 0 danno come risultato 0. 07 = 0
Tutte le potenze con base 1 danno come risultato 1 15 = 1
1 Scrivi la potenza in cifre e in parole sul quaderno. Segui l’esempio.
5 × 5 = 52 cinque alla seconda
7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = ............................................
9 × 9 × 9 × 9 = ......................................................
15 × 15 × 15 = .........................................................
6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = ....................................
25 × 25 =
4 × 4 × 4 × 4 × 4 =
12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 =
2 Risolvi sul quaderno i problemi.
a. La commessa del negozio di scarpe ha portato 8 scatoloni, all’interno di ognuno ci sono 8 pacchi. Dentro ogni pacco ci sono 8 paia di scarpe. Quante paia di scarpe ci sono in tutto?
b. Nel parcheggio del villaggio turistico Miramare ci sono in fila 4 caravan. Ogni caravan ha 4 ruote. Quante ruote vedi in tutto?
c. Scrivi il numero che elevato alla quarta è uguale a 10 000.
Le potenze di 10
Le potenze con base 10, dette anche potenze di 10, consentono di semplificare la scrittura dei numeri molto grandi e di esprimerli in forma di polinomio, cioè un’espressione numerica.
Rifletti e completa la regola.
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
107 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 000
Per calcolare una potenza con base 10 basta scrivere seguito da tanti quanti ne indica l’esponente.
Nella scrittura polinomiale ogni cifra è abbinata a una potenza di 10:
25194
4 × 100 9 × 101 1 × 102
5 × 103 2 × 104 unità
100 = 1 decine
101 = 10 centinaia
102 = 100 unità di migliaia
103 = 1 000 decine di migliaia 104 = 10 000 2 × 104 +
I grandi numeri che rappresentano la distanza tra i pianeti si scrivono più facilmente in forma polinomiale.
Questa è la tabella delle classi per scomporre i numeri in potenze di 10.
ESERCIZI GRADUATI
1 Completa. Segui l’esempio.
3 × 102 = 3 × 100 = 300 34 × 101 = 7 × 103 = 9 × 104 =
2 Completa la tabella.
3 Scomponi in forma di polinomio. Se hai bisogno, consulta la tabella delle classi.
=
Le frazioni proprie, improprie, apparenti
Frazioni proprie
Il numeratore è minore del denominatore.
Ogni frazione è formata da una coppia di numeri: il numeratore e il denominatore, divisi da una linea di frazione.
Linea di frazione
Numeratore
Indica quante parti sono da considerare.
2
7
Indica una divisione.
Denominatore
Indica in quante parti è stato diviso l’intero.
Le frazioni possono essere di diverso tipo a seconda della parte di intero che rappresentano.
Colora i barattoli che rappresentano una frazione propria.
Frazioni improprie
Il numeratore è maggiore del denominatore e il numeratore non è multiplo del denominatore.
Colora la parte corrispondente alla frazione.
Frazioni apparenti
Il numeratore è multiplo del denominatore.
Scrivi le frazioni corrispondenti alla parte colorata.
Confrontare frazioni
Due o più frazioni si possono confrontare per sapere qual è quella maggiore o quella minore.
Osserva le immagini e leggi.
Tra due frazioni con lo stesso denominatore è maggiore quella con il numeratore maggiore.
Le frazioni equivalenti
Tra due frazioni con lo stesso numeratore è maggiore quella con il denominatore minore.
Quando le frazioni hanno numeratore e denominatore diversi ma indicano la stessa quantità si chiamano equivalenti.
Leggi, osserva e rifletti.
Quando numeratore e denominatore sono diversi, si divide il numeratore per il denominatore e si confrontano i numeri decimali ottenuti.
Immaginiamo di avere 3 tavolette di cioccolata tutte uguali sia per peso sia per grandezza.
• Marta mangia 1 2 della sua tavoletta.
• Annabel mangia 2 4 della sua tavoletta.
• Kleidy mangia 4 8 della sua tavoletta.
Marta, Annabel e Kleidy hanno mangiato la stessa quantità di cioccolata. Anche se scritte in modo diverso, le frazioni 1 2 , 2 4 e 4 8 hanno lo stesso valore: sono equivalenti.
Per passare da una frazione a un’altra equivalente, si applica la proprietà invariantiva. Si moltiplica o si divide sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.
ESERCIZI GRADUATI
Inserisci i
2 Per ogni frazione scrivine quattro equivalenti sul quaderno.
Dall’intero alla frazione
Leggi il problema e scopri la strategia per risolverlo.
Nell’armadio della classe ci sono 120 quaderni. I 2 3 sono a righe. Quanti sono i quaderni a righe?
Per risolvere il problema, occorre calcolare il valore della frazione
2 3 rispetto al numero che rappresenta l’intero, cioè 120.
Procediamo in questo modo per calcolare la frazione di un numero: 1 dividi il numero dell’intero per il denominatore; 120 : 3 = 40
2 moltiplica il risultato per il numeratore. 40 × 2 = 80
La risposta è: 80 quaderni a righe.
Leggi il problema. Si può procedere in due modi per risolverlo.
Luca ha 45 euro. Ne spende i 3 5 per acquistare una felpa. Quanti soldi gli rimangono?
Con la sottrazione
Calcolo prima i soldi spesi e poi quelli rimanenti.
Divido il valore per il denominatore.
45 : = (valore di 1 5 )
Moltiplico il risultato per il numeratore.
...... × 3 = ...... (valore di 3 5 , cioè dei soldi spesi)
Sottraggo i soldi spesi
dai soldi totali.
45 – ........ = ........ (soldi rimanenti)
Inserisci i dati nel diagramma risolutivo.
ESERCIZI GRADUATI
Con la frazione complementare
Il valore dei soldi rimanenti corrisponde alla frazione complementare.
Divido i soldi per il denominatore.
45 ...... 5 = ...... (valore di 1 5 )
Moltiplico il risultato per il numeratore della frazione complementare.
...... × 2 = ...... (valore di 2 5 , cioè dei soldi rimanenti) 45
Per calcolare la frazione di un numero: • dividi il numero (intero) per il denominatore; • moltiplica il risultato per il numeratore. 3 5 2 5 45 euro
1 Calcola il valore della frazione con l’uso dell’espressione. Segui l’esempio. 3 8 di 800 = (800 : 8) × 3 =
Dalla frazione all’intero
Leggi il problema e scopri la strategia per risolverlo. Corrado si è allenato nella corsa percorrendo 420 m. L’allenamento fatto corrisponde ai 5 8 del percorso giornaliero. A quanti metri corrisponde l’intero percorso giornaliero?
In questo caso il dato che si conosce è il valore della frazione e non quello dell’intero. Per risolvere il problema occorre calcolare proprio il valore dell’intero, seguendo un preciso procedimento.
1 Dividi il numero dato, in questo caso 420, per il numeratore. 420 : 5 = 84 (valore di 1 8 = unità frazionaria)
2 Moltiplica il risultato per il denominatore. 84 × 8 = 672 (valore di 8 8 = intero)
3 Il valore che hai ottenuto, 672, è il valore di 8 8 , cioè dell’intero, e rappresenta quindi il percorso giornaliero.
Il procedimento può essere scritto anche con un’espressione: (420 : 5) × 8 = ........... × 8 = ...........
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola il valore dell’intero.
2 Risolvi sul quaderno i problemi.
a. Nello stabilimento balneare Ondablu ci sono 48 ombrelloni. Il bagnino ne ha lasciati chiusi i 3 8 . Quanti sono gli ombrelloni che ha aperto?
b. Per raggiungere il suo posto di lavoro, Marco deve percorrere 60 km. Si ferma all’autogrill per fare colazione dopo aver percorso i 4 5 del tragitto. Quanti chilometri gli mancano per arrivare al lavoro?
c. In una settimana Luigi mangia 15 dolcetti, cioè i 3 4 di quelli contenuti nella scatola. Quanti dolcetti c’erano in tutto?
Insieme si può
Con un tuo compagno risolvete il seguente problema. Poi ciascuno modifichi i dati. Infine, scambiatevi il testo del problema e risolvetelo. Confrontatevi sulle strategie adoperate e su come avete raggiunto il risultato.
In una scuola ci sono 78 bambini di classe prima, che corrispondono ai 3 7 dei bambini presenti nelle classi seconde. Quanti sono i bambini che frequentano la classe seconda?
Frazioni e numeri decimali
Le frazioni che presentano al denominatore 10, 100, 1 000 e loro multipli si chiamano frazioni decimali
Le frazioni decimali possono essere trasformate in numeri decimali
Dalla frazione decimale al numero decimale
Si divide il numeratore per il denominatore.
4 10 = 4 : 10 = 0,4
7 100 = 7 : 100 = 0,07 15 1 000 = 15 : 1 000 = 0,015
ESERCIZI GRADUATI
1 Completa la tabella. Segui l’esempio.
Dal numero decimale alla frazione decimale
Si scrive al numeratore il numero senza virgola. Al denominatore si scrive 1 seguito da tanti zeri (0) quante sono le cifre decimali.
0,5 = 5 10 1,834 = 1 834 1 000
0,009 = 9 1 000 1,89 = 189 100
Se la frazione non è decimale, puoi trasformarla in numero dividendo il numeratore per il denominatore.
3 4 = 3 : 4 = 0,75
Dalla frazione alla percentuale
Osserva le immagini, rifletti e completa.
Ti sarà capitato di vedere il simbolo % su un cellulare in carica.
Sai che cosa significa?
Vediamo di capire insieme che cosa indica e come si legge.
Il simbolo % che vedi nelle immagini indica una percentuale, cioè corrisponde a una frazione con denominatore 100 e si legge “per cento”.
Si legge settantacinque per cento e corrisponde alla frazione 75 100
Il primo cellulare ha un livello di carica della batteria del ......%.
Quanto manca in percentuale alla batteria per essere completamente carica? ..............................
Leggi il testo e segui il procedimento.
I 20 giocatori di una squadra di basket devono decidere se giocare la finale di un torneo di sabato o di domenica. In 15 scelgono il sabato. A quanto corrisponde la loro percentuale?
Si rappresentano i dati in frazione: 15 20
è una parte dell’intero è l’intero
Si divide il numeratore per il denominatore, fino ai centesimi: 15 : 20 = 0,75
Si scrive il numero decimale come frazione decimale: 0,75 = 75 100
Si trasforma la frazione decimale in percentuale:
100 = 75%
Per trasformare una frazione in percentuale, occorre:
• dividere il numeratore per il denominatore;
• trasformare il risultato in frazione decimale;
• trasformare la frazione decimale in percentuale.
Si legge cento per cento e corrisponde alla frazione 100 100 .
ESERCIZI GRADUATI
Intero e percentuale
Per calcolare le percentuali, occorre seguire lo stesso procedimento usato per calcolare la frazione di un numero.
Leggi il testo e segui il procedimento. Al cinema sono stati venduti 120 biglietti per la proiezione del film delle ore 16:00. Il 5% dei biglietti ha un prezzo scontato perché sono riservati ai bambini di età inferiore a 6 anni. Quanti sono i biglietti con il prezzo scontato?
Per calcolare il numero dei biglietti scontati occorre trovare il valore della percentuale di un numero.
5% = 5 100 (biglietti con sconto)
120 : 100 = 1,2
1,2 × 5 = 6 (numero dei biglietti con prezzo scontato)
Leggi il testo e segui il procedimento.
Per calcolare la percentuale di un numero:
• trasforma la percentuale in una frazione decimale;
• dividi il numero per il denominatore 100;
• moltiplica il risultato per il numeratore.
Un corso di judo è frequentato da 28 ragazzi che corrispondono al 5% degli iscritti totali alla palestra
Body Line. Quanti sono in tutto gli iscritti?
5 = 5
100 (iscritti a judo)
28 : 5 = 5,6
5,6 × 100 = 560 (numero totale di iscritti alla palestra)
ESERCIZI GRADUATI
1 Calcola il valore delle percentuali.
12% di 2 400 = 30% di 1 500 = 26% di 4 000 =
2 Calcola il valore dell’intero.
2 520 = 20% di
800 = 20% di 952 = 68% di
270 = 30% di
Per calcolare l’intero da una percentuale:
• trasforma la percentuale in una frazione decimale;
• dividi il numero per il numeratore;
• moltiplica il risultato per il denominatore 100.
3 Risolvi sul quaderno.
a. In una scuola primaria formata da 500 alunni, il 45% pratica pallavolo; il 15% si dedica al tennis; il 30% fa danza; i rimanenti giocano a calcio. Calcola quanti sono gli alunni che praticano gli sport elencati.
b. Enea vuole essere in forma e spende ogni mese € 500, cioè 2 5 del suo stipendio, per gli abbonamenti della palestra e della piscina. A quanto ammonta lo stipendio di Enea?
Sconto e aumento
Calcolare le percentuali consente di avere un grande aiuto nella vita di tutti i giorni perché permette di calcolare sconti e aumenti
Lo sconto indica una diminuzione del costo iniziale di vendita di un articolo.
È indicato da una percentuale.
Prezzo dell’abito: € 250
Percentuale di sconto: 20%
Calcolo dello sconto:
(250 : 100) × 20 = € 50
Ora si sottrae lo sconto dal prezzo iniziale dell’abito: 250 – 50 = € 200
€ 250 Saldi 20%
L’aumento è il rincaro aggiunto al prezzo di un articolo. Viene indicato da una percentuale.
Prezzo delle scarpe: € 90
Aumento dovuto a una variazione del modello: 2%
Calcolo dell’aumento del prezzo: (90 : 100) × 2 = € 1,80
Ora si aggiunge l’aumento al prezzo iniziale delle scarpe: 90 + 1,80 = € 91,80 € 90
ESERCIZI GRADUATI
1 Completa la tabella.
Bolletta acqua: € 58
Abbonamento palestra: € 95
3 gg. in albergo: € 350
Risma di fogli: € 4,50
Confezione acqua: € 3,50
Profumatore ambienti: € 7
2 Risolvi sul quaderno i problemi.
a. Iris paga € 200 per l’abbonamento dei mezzi di trasporto. Per il prossimo rinnovo è previsto un aumento del 5%. Quanto pagherà Iris per il prossimo abbonamento?
b. Un paio di scarpe costa € 80. Il negoziante applica uno sconto del 15%. Quanto costano le scarpe dopo l’applicazione dello sconto?
c. Rina ha uno stipendio di € 1 300, ma dal mese di gennaio riceverà un aumento del 15%. Per festeggiare acquista dei nuovi sci da € 380, venduti con uno sconto del 20%. Quanto le resta dello stipendio?
Problemi
Percentuali... problematiche
Leggi il testo dei problemi e risolvi sul quaderno.
1 Un tortino alle mele pesa 250 g ed è composto per il 40% da pasta frolla e per la restante parte da frutta. Quanti grammi di frutta ci sono nel tortino?
2 All’hotel Torre Saracena soggiornano 260 turisti. Il 5% è di nazionalità francese. Quanti sono gli ospiti francesi?
3 Nel frutteto di nonno Mario ci sono 60 alberi da frutto. Solo 21 sono meli. Calcola la percentuale degli altri alberi da frutto.
4 Il 30% dei 130 alunni della scuola primaria delle classi quinte si è iscritto al corso di inglese. Quanti alunni si sono iscritti?
5 Dei 200 calciatori delle squadre di serie A, solo 30 hanno segnato il gol decisivo nella partita per la vittoria dello scudetto. Qual è la percentuale dei calciatori che non hanno segnato un gol per lo scudetto?
6 Nel condominio della zia ci sono 63 bici parcheggiate nell’area apposita, che corrispondono al 45% dei posti disponibili. Quante bici può ospitare in tutto quell’area?
7 In un negozio di abbigliamento sportivo una tuta da ginnastica costava € 25, una t-shirt € 19,50 e una camicia € 31. Ora i prezzi sono stati scontati del 20%. Calcola quanto costa ogni capo di abbigliamento.
8 Calcola il prezzo di una borsa che prima costava € 75, alla quale è stato applicato un aumento del 5%.
9 Catia ha acquistato per la festa di sua nonna 35 tulipani dei quali 2 5 sono bianchi. Quanti sono i tulipani non bianchi?
10 Il prezzo di una TV che valeva € 2 500 è scontato del 25%. Quanti euro si risparmiano acquistandola ora? Qual è il suo nuovo prezzo?
11 Il 65% dei 200 bambini di un corso di vela si iscrive a una gara. Quanti sono i bambini che partecipano alla gara?
12 250 spettatori hanno assistito ieri sera a un film di animazione.
Di questi, 80 hanno pagato un biglietto ridotto. Qual è la percentuale di spettatori che hanno pagato il biglietto intero?
13 Nella libreria di zio Peppe ci sono 530 volumi. Il 40% è formato da libri storici; il 30% da libri di narrativa. Il rimanente è costituito da libri di biografie dei grandi personaggi del passato. Calcola quanti sono i libri di ogni tipo.
14 Amir e Nico si incontrano al parco giochi. Amir, a 2 3 della distanza complessiva, ha già percorso 250 m. Quanti metri è lungo il percorso che da casa di Amir conduce al parco giochi? Il tragitto di Nico corrisponde al 70% di quello di Amir; quanto è lungo il tragitto di Nico?
15 Il parco di Giulio occupa il 70% dell’intera proprietà. Quanti metri quadrati misura la casa?
Area verde: 560 m2 Casa di Giulio
1 Completo la mappa con le parole, i numeri o i simboli corretti.
7% - linea di frazione -
> - percentuale - multiplo -
coppia - equivalente -
impropria - 10 -
decimale - 0,07
La frazione
può essere
Si rappresenta come una ............................. di numeri separati da una
propria N < D decimale il D è o un suo multiplo ............................. N D e N non multiplo di D apparente il N è del D ............................. a un’altra frazione
N = numeratore
D = denominatore
2 Scrivo in cifra ogni potenza.
• tre alla quinta = ...............
• sei alla nona = ...............
• due elevato alla sesta = ...............
può essere trasformata in numero ............................... = .............. 7 100
• nove elevato alla settima = ...............
• dieci alla quarta = ...............
• otto alla quarta = ...............
3 Calcolo le potenze.
70 = ......... 210 = .........
451 = ......... 82 = .........
17 = ......... 110 = .........
può essere espressa in ....................................... = .............. 7 100
4 La signora Marta ha un orto di forma esagonale, rappresentato nel disegno.
La zona verde è coltivata a spinaci, la zona bianca a zucchine, la zona rosa a pomodori. L’area dell’orto è di 120 m2.
Indica se le frasi in tabella sono vere (V) o false (F).
Tre quinti dell’orto sono coltivati a spinaci. Il 50% dell’orto non è coltivato a spinaci. 20 m2 sono coltivati a zucchine.
100 m2 non sono coltivati a pomodori.
F
V
1 Cerchio di viola le frazioni proprie, di verde le frazioni improprie e di giallo le frazioni apparenti. 2
2 Cerchio con lo stesso colore le frazioni equivalenti.
=
3 Scrivo sotto forma di frazione decimale i seguenti numeri.
4 Inserisco al posto giusto le frazioni sulla linea dei numeri.
5 Calcolo il valore delle frazioni usando un’espressione. 4 7 di 63 = ....................................................
6 Completo la tabella. Seguo l'esempio.
7 Risolvo sul quaderno.
a. Rayan ha studiato 12 pagine di storia, cioè i 2 9 delle pagine assegnate dalla maestra per l’interrogazione. Oggi ha letto il doppio delle pagine di ieri. Quante pagine deve ancora leggere e studiare?
b. Irama, Bea e Dario hanno in tutto 75 pietre della raccolta dei minerali. Di queste, 1 5 appartiene a Irama, che ha 1 3 delle pietre di Bea. Quante pietre possiede Dario?
1 Osservo la sequenza e scrivo la frazione corrispondente a ciascun simbolo.
2 Completo con il segno <, > o =.
3 Risolvo sul quaderno.
a. Boris ha 16 giorni di vacanza. Ne trascorrerà 3 4 in montagna in Trentino e il resto al mare. Quanti giorni trascorrerà in montagna? E al mare?
b. Per la festa di laurea, Chiara riceve dai suoi parenti € 1 200. Ne spende subito 5 6 . Quanti euro le restano?
c. La scuola Collefiorito è frequentata da 860 bambini. 1 4 frequenta la prima classe; 1 5 la seconda; 1 10 la terza e i rimanenti frequentano la quarta/quinta. Quanti alunni frequentano le prime tre classi?
d. Con i 2 7 della farina un fornaio può preparare 140 kg di panini. Quanti chilogrammi di panini può preparare con tutta la farina a disposizione, cioè i 7 7 ?
4 Invento il testo di un problema con i dati a disposizione. Poi risolvo sul quaderno.
5 Suddivido ogni figura secondo la frazione indicata. Poi coloro.
1 Segna con una X qual è la percentuale esatta corrispondente alla parte colorata.
4 Osserva il grafico: rappresenta le percentuali del consumo dell’acqua in Italia. Scrivi qual è la percentuale per ogni destinazione d’uso. Segui le indicazioni dei colori. uso personale lavaggio di vestiti, piatti... .............. uso in cucina .............. sciacquoni dei gabinetti .............. annaffiature .............. perdite degli impianti ..............
A. 20%
B. 25%
C. 27%
D. 30%
2 Quale tra i seguenti numeri ha valore maggiore? 6 12 0,5 50%
A. 0,5 perché è un valore espresso da un numero decimale.
B. 50%.
C. Hanno tutti lo stesso valore.
D. Non si possono confrontare.
3 Jessica ha 24 anni, la sua amica Lorenza ne ha la metà e suo cugino Max ha 1 4 di quelli di Lorenza. Quanti anni ha Max?
A. 3
B. 9
C. 16
D. 6
Mi valuto x
5 Sulla linea dei numeri che segue, Elisa scrive al posto del triangolino 0,75 mentre Kabir scrive 3 4 . Chi ha ragione?
A. Entrambi B. Solo Elisa C. Solo Kabir D. Nessuno dei due 1 4 1
La verifica mi ha aiutato a capire la mia preparazione.
La verifica mi ha aiutato solo in parte. Devo ripassare perché non ho capito alcuni argomenti.
I problemi
George Polya, un famoso matematico del secolo scorso, disse: ”Un problema è una situazione, non un semplice testo con delle domande. È da qui che si parte per individuare strategie e risorse per arrivare alla soluzione dei problemi.”
IL CERCHIO DEI SAPERI
Osserva la mappa e, con l’aiuto delle domande, fai delle ipotesi sugli argomenti che studierai.
Quanto riceverai di resto?
150 – [(2 × 5) =
Conosci le espressioni? Ottieni risultati differenti dall’uso di operazioni distinte?
I problemi
Un problema è solo un testo in cui ci sono i numeri e le domande?
Conosci degli schemi per semplificare il ragionamento e verificare se le risposte sono corrette?
Problemi
Risolvere un problema
Per risolvere un problema, occorre:
• Leggere attentamente il testo.
• Evidenziare la/le domanda/e.
• Individuare i dati numerici utili.
• Scoprire se ci sono domande nascoste.
• Scegliere il piano di risoluzione più opportuno.
• Eseguire i calcoli e indicare che cosa è stato calcolato.
• Scrivere la risposta completa.
Per risolvere i problemi aritmetici è importante procedere con ordine. Si può arrivare alla stessa soluzione seguendo procedimenti di risoluzione differenti. L’importante è partire sempre dalla domanda e capire se ci sono domande nascoste.
Leggi il problema e segui i due differenti procedimenti. Completa dove è necessario. Ogni giorno, tranne la domenica, prima del lavoro Alda si ferma in edicola e compra un quotidiano da € 1,50 e una bustina di figurine per suo figlio da € 0,75. Quanto spende in una settimana?
1° PROCEDIMENTO
Per calcolare le spese, occorre trovare il dato nascosto. Una settimana ha 7 giorni, però un giorno, la domenica, è escluso, perciò si moltiplica per 6.
• Calcola la spesa per i quotidiani: 1,50 × 6 = € 9
• Calcola la spesa per le figurine: 0,75 × 6 = € 4,50
• Ora si può calcolare la spesa totale: 4,50 + 9 = € 13,50
2° PROCEDIMENTO
• Calcola la spesa giornaliera per il quotidiano e le figurine: 1,50 + 0,75 = € 2,25
• Moltiplica la spesa giornaliera per il numero di giorni: 2,25 × 6 = € 13,50
ESERCIZI GRADUATI
Risolvi sul quaderno. Scegli il percorso che preferisci.
1 La maestra ha corretto i compiti dei suoi 25 alunni. Ogni giorno ha assegnato 12 operazioni. Quante operazioni ha corretto in 5 giorni se nessun alunno è stato assente?
2 Alessia e Marco vanno al bar della spiaggia con i loro genitori e acquistano ogni giorno, per una settimana, 4 gelati da € 1,50 l’uno e 2 caffè a € 0,90 l’uno. Quanto spende la famiglia al bar in tutta la settimana?
IL TUO LIBRO DIGITALE
Strumenti per la didattica personalizzata, individualizzata, inclusiva, per la lezione in classe con la LIM e il ripasso a casa.
Il tuo libro si arricchisce di video di approfondimento, video lezioni, video tutorial, laboratori di ascolto, lettura dei testi, canzoni, mappe ed esercizi interattivi, audio CLIL in lingua inglese e tanto altro ancora. Puoi ascoltare l'audiolibro completo, letto da speaker professionisti, modificare il carattere dei testi, utilizzare il dizionario interattivo e la traduzione multilingue.
RAFFAELLO PLAYER
Per accedere ai contenuti e agli strumenti digitali, entra in Raffaello Player (rp.raffaellodigitale.it) o scarica l’applicazione Raffaello Player dal portale www.raffaellodigitale.it, da Google Play o dall’App Store e inserisci il codice di attivazione. Non è richiesta alcuna registrazione.
Personalizza i tuoi contenuti, allega file, crea nuovi documenti e condividili con gli altri. Connessione internet necessaria.
Inquadra e visualizza i contenuti presenti nel libro digitale. Connessione internet necessaria.
REALTÀ AUMENTATA
Installa l'app Raffaello Player e inquadra la pagina.
QR CODE
Inquadra i QR Code direttamente con la fotocamera oppure con un’app a tua scelta.
Collegati al portale www.raffaellodigitale.it per scaricare il materiale digitale extra e richiedere assistenza. Registrati per ricevere gli aggiornamenti del testo digitale.
Coordinamento: Corrado Cartuccia
Redazione: Corrado Cartuccia, Sei Servizi
Pagine speciali: Anna Valsecchi
Grafica: Giacomo Paolini
Impaginazione: Sei Servizi
Illustrazioni e colore: Anna Cola, Maria Alejandra Ardila
Eserciziario: E. Battiston, P. Cantarini, T. Rigante (testi), Pagina49 (redazione-impaginazione)
Verifiche a livelli: Roberto Morgese (testi), Valentina Mazzarini (impaginazione)
MateMap: Sei Servizi (impaginazione)
Copertina: Mauro Aquilanti
Referenze fotografiche: iStock, Shutterstock, Alamy
Coordinamento multimedia: Paolo Giuliani
Redazione multimedia: Sara Ortenzi
Ufficio multimedia: Enrico Campodonico, Claudio Marchegiani, Luca Pirani
Stampa: Gruppo Editoriale Raffaello
Per esigenze didattiche alcuni testi sono stati ridotti e/o adattati. L’Editore è a disposizione per eventuali omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti. Tutti i diritti sono riservati. È vietata la riproduzione dell’opera o di parti di essa con qualsiasi mezzo, compresa stampa, fotocopia, microfilm e memorizzazione elettronica, se non espressamente autorizzata. Questo testo tiene conto del codice di autoregolamentazione Polite (Pari Opportunità Libri di Testo), per la formazione di una cultura delle pari opportunità e del rispetto delle differenze.
Raffaello Libri S.p.A. Via dell’Industria, 21 60037 - Monte San Vito (AN) www.grupporaffaello.it - info@grupporaffaello.it
CODICE DI ATTIVAZIONE
ISBN 978-88-472-3470-3 Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2 L. 633/1941). Esente da I.V.A. (D.P.R. 26-10-1972, n° 633, art. 2 lett. d). Esente da bolla di accompagnamento (D.P.R. 6-10-1978, n° 627, art.4. n° 6).
• Codice adozionale ANTROPOLOGICO classe 4a 978-88-472-3457-4
• Codice adozionale ANTROPOLOGICO classe 5a 978-88-472-3469-7
Ambito SCIENTIFICO
• Codice adozionale SCIENTIFICO classe 4a 978-88-472-3458-1
• Codice adozionale SCIENTIFICO classe 5a 978-88-472-3470-3
Per ogni materia
è allegato il fascicolo con mappe, riassunti e metodo di studio
Disponibile anche la VERSIONE UNICA • Pack 4a 978-88-472-3459-8 • Pack 5a 978-88-472-3471-0
Risorse digitali
Il testo è ricco di contenuti per la lezione in classe e a casa
Alta leggibilità
Alta leggibilità (formato ePub) con testo modificabile
Codice per l’adozione Il cerchio dei saperi - Pack 5 scientifico
Audiobook
Audiolibro integrale a cura di speaker professionisti
Ad adozione avvenuta, in OMAGGIO per l’insegnante e tutti gli alunni della sua classe!
Per i primi giorni di scuola
Per educare i cittadini di oggi alle competenze sociali e civiche con schede per la valutazione
PER L’INSEGNANTE E LA CLASSE
• Guida al testo con progettazioni per competenze, mappe, Coding, STEAM e classe capovolta, attività digitali, schede operative, verifiche a livelli
• Poster disciplinari
il libro digitale e contenuti extra visualizzabili anche in assenza di connessione internet audiolibro
A richiesta i volumi con i percorsi semplif icati di 4a e 5a, anche in versione audiolibro
Attivazione delle risorse digitali tramite smartphone o tablet
www.raffaellodigitale.it www.raffaelloscuola.it
