Buku saku matematika fungsi

Soekirno Elven Seorang guru di Subang

Buku saku matematika Fungsi

Copyright Š oke.or.id Artikel ini boleh dicopy ,diubah , dikutip, di cetak dalam media kertas atau yang lain, dipublikasikan kembali dalam berbagai bentuk dengan tetap mencantumkan nama penulis dan copyright yang tertera pada setiap document tanpa ada tujuan komersial

0 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

Fungsi 1. Pengertian dan Notasi a. Relasi f dari A ke B disebut dengan fungsi yang memetakan elemen pada himpunan A tepat satu pada himpunan B. Maka Ciri Fungsi adalah : Ø Hanya terdapat satu unsur yang memetakan dari himpunan A ke B. Sehingga terdapat pasangan terurut (a ,b) ∈ f. Ø Tidak terdapat dua atau lebih pasangan terurut berlainan yang mempunyai anggota pertama yang sama. b. Notasi fungsi, f : A → B ditulis y = f (x ) , dibaca “ y merupakan fungsi dari x ”. c. Daerah Asal Fungsi ( D f = A = {x | x ∈ R} ) d. Daerah Hasil Fungsi R f = {y | y ∈ B.sehingga.y = f (x ).untuk.satu.x ∈ A}

2. Beberapa Jenis Fungsi §

Fungsi ke Dalam atau into f :A→B dan f (A)∈B 2

a b

3 c A

B

1 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

§

Fungsi ke Kepada atau onto (surjektif) f : A→ B dan f (A)=B a

1

b 2

c

B

A

§

Fungsi satu-satu atau injektif f : A→ B into satu-satu dan a1,a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2).

2 3 5

a b c d

A B

§

Fungsi Bijektif (fungsi yang bersifat injektif dan surjektif) atau korespondensi satu-satu.

2

a

3

b

A

B

2 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

3. Komposisi Fungsi a. Jika fungsi f dan g memenuhi R f ∩ D g ≠ 0 maka terdapat fungsi dari himpunan bagian D f ke himpunan bagian R g yang dinamakan komposisi dari g ke f. b. Notasi : h (x ) = (g o f )(x ) = g(f (x )) c. Sifat § Tidak Komutatif atau f o g ≠ g o f Asosiatif (f o g ) o h = f o (g o h ) § Terdapat unsur identitas I(x ) = x → (f o I ) = (I o f ) = f §

(f o f ) = (f

§

(f o g )−1 = g −1 o f −1

§

[( f o g ) o g ](x ) = [g

§

Jika k = f o g → k o g −1 (x ) = f (x )

§

Jika h = g o f → g −1 o h (x ) = f (x )

−1

−1

)

of =I

−1

−1

]

o (g o f ) (x ) = f (x )

4. Invers Jika f : A → B , f = {(x, y ) | y = f (x )} dimana x∈A, y∈B maka relasi Dari f −1 : B → A , f −1 = (y, x ) | x = f −1 (y ) dimana x∈A, y∈B disebut dengan invers fungsi.

Dimana : D f = R f −1 ; R f = D f −1

{

}

Dengan kata lain : Jika f -1 adalah relasi yang bukan fungsi maka f -1 disebut invers fungsi.

Diket g = {(1,4), (2,4 ), (3,5)} , maka 3 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

g −1 = {(4,1), (4,2), (5,3)} ,

(terlihat g -1, bukan fungsi) Jika f -1 adalah relasi yang merupakan fungsi maka f -1 disebut fungsi invers.

Diket f = {(2,5), (3,7 ), (5,10 )} , maka f −1 = {(5,2 ), (7,3), (10,5)} ,

(terlihat f -1, merupakan fungsi satu-satu)

5. Komposisi Fungsi (g o f ) o f −1( x ) = f −1 o (f o g ) ( x ) = g( x ) 







Jika k = f o g → f −1 o g( x ) = g( x ) Jika h = g o f → h o f −1( x ) = g( x )

(f o g o h)−1 =  h −1 o g −1 o f −1 ( x ) 



6. Beberapa Rumus Khusus Mencari Invers f ( x ) = ax + b ⇒

f (x ) =

ax + b cx + d

⇒

f

f

−1

(x ) =

−1

x−b a

(x ) = − dx + b cx − a

4 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

a

f ( x ) = a bx +c

⇒

log x − c b ax − c f −1 ( x ) = b

f −1 ( x ) =

f ( x )= a log(bx + c ) ⇒

7. Menentukan Domain dan Range dari Suatu Fungsi 7.1. Fungsi Kuadratik f(x) = y = ax2 + bx + c Df = Real Rf : Tergantung pada soalnya Tentukanlah Rf dari fungsi f(x) = x2 -2x + 3 berikut jika a) Df = R b) Df = { x | -1 ≤ x ≤ 4 } Jawab : a) Karena Df Real, maka Rf berada pada kurva dengan a > 0 jadi : Rf = y ≥ y EKSTRIM ; y EKSTRIM =

−D = 2 , Rf : { y | y ≥ 2 } 4a

b) Karena Df ditententukan dalam range [-1,4 ], maka tinggal mensubtitusikan ujung-ujung range tsb thd fungsi.

Dan nilai yekstrim, Kemudian urutkan hasilnya. f (-1) = 6 f (4) = 11, dan nilai y EKSTRIM f (2) = 3 Rf : { y | 3 ≤ y ≤ 11 }

5 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

7.2. Fungsi berbentuk pecahan (linear : linear) Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi f (x) =

2x + 5 x−3

Jawab : Df : R – { x ≠ 3 } atau R – { 3 } Maka untuk mencari Rf ( diinverskan ) mengubah fungsi menjadi x = ..... y=

2x + 5 → x−3

y ( x − 3) = 2 x + 5 x( y − 2) = 5 + 3 y 5 + 3y x = y−2

Rf : R – { y ≠ 2 } atau R – { 2 } 7.3. Fungsi berbentuk pecahan (kuadratik : linear) Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi f ( x) =

x2 − x − 2 x+2

Jawab : Df : R – { x ≠ -2 } atau R – { -2 } Maka untuk mencari Rf menuliskan fungsi dalam : f ( x) =

x2 − x − 2 → x+2

y ( x + 2)

= x2 − x − 2

x 2 − x(1 + y ) − 2 − 2 y = 0

Syarat : Fs kuadratik terdefinisi pada R, maka D ≥ 0.

6 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

Maka :

(1 + y )2 − 4(1)(−2 − 2 y ) ≥ 0 y 2 + 10 y + 9 ≥ 0 y ≤ −9 atau

y ≥ −1

Rf : { y ≤ -9 atau y ≥ -1 } 7.4. Fungsi Irasional ( ax + b ) Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi f ( x) = 2 x − 6

Jawab : Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka 2x – 6 ≥ 0 x≥3 Df : { x | x ≥ 3 } Rf : { y | y ≥ 0 } 7.5. Fungsi Irasional ( ax 2 + bx + c ) Tentukanlah Df dan Rf dari fungsi f ( x) = − x 2 + 4 x

Jawab : Fungsi di bawah tanda akar akan terdefinisi jika nilainya ≥ 0, maka -x2 + 4x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 4 jadi Df : { x | 0 ≤ x ≤ 4 } Untuk mencari nilai Rf, maka kuadratkan kedua ruas : y2 = -x2 + 4x x2- 4x - y2 = 0

7 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

Syarat: terdefinisi fungsi Kuadratik pada R, D ≥ 0 dan y ≥ 0 (syarat tanda di bawah akar) 16 - 4y2 ≥ 0 dan y ≥ 0 0 ≤y ≤2 Rf : { y | 0 ≤ y ≤ 2 }

TIPS - 1 Tidak dianjurkan sebelum memahami konsep-konsep matematika dengan baik, penggunaan tips ini hanyalah sebagai variasi dalam belajar matematika.

Menyelidiki suatu grafik merupakan fungsi atau bukan Tariklah garis-garis sejajar dengan sumbu Y. Jika ada garis yang sejajar dengan sumbu Y memotong grafik di dua titik atau lebih, maka grafik tersebut bukan merupakan suatu fungsi.

Mengenai fungsi komposisi

f o g = k ⇒ k o g −1 = f ⇒

f

−1

ok = g

maka k o g −1 = f = g −1 o h

g o f = h ⇒ h o f −1 = g maka h o f ⇒ g −1 o h = f

−1

= g = f −1 o k

8 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

Beberapa rumus mencari invers f ( x ) = ax + b

⇒ f −1( x ) =

( x − b)

a x − 1 ⇒ f ( x ) = a( x − b) f (x ) = + b a ⇒ f −1( x ) = ( x − b)1/ a f (x ) = x a + b f ( x ) = ( x + p)q + r ⇒ f −1( x ) = ( x − r )1/ q − p

f ( x ) = pqx+ r x +r f (x ) = p q f (x ) =

ax + b cx + d

⇒ f −1( x ) =

plog x − r q

⇒ f −1( x ) = q. plog x − r    − dx + b 1 − ⇒ f (x ) = cx − a

Refferensi

Auvil, Daniel L. 1984. Elementary Algebra 2nd Edition.

Addison Wesley B.K Noormandiri.2004. Matematika SMA untuk kelas X Program Ilmu AlamI. Jakarta : Erlangga 1

Thomas.2005. Calculus 11th Editions. Pearson Addison-Wesley

9 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id

Saran dan Masukan elven.soekirno@gmail.com

10 |Soekirno Elven, Buku saku matematika, Fungsi http://oke.or.id