1
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A. 1.
Bentuk Pangkat
Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka: an
2.
a u a u"u a
Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol x x x
3.
am
am n , a z 0
n
a a0
x
an §a¡ ¨b¸ Š š bn n (a u b) an u bn 1 a m am
B. 1.
a
mn
( p q )n a
a
Bentuk-bentuk akar sekawan x a sekawan dengan a
a a sekawan dengan a a
a b sekawan dengan a b
Bentuk Logaritma
1, a z 0
n
x
mn
C. 1.
Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku: p log a n œ pn a; a ! 0, p ! 0 dan p z 1
2.
Sifat-sifat logaritma
Sifat pemangkatan bilangan berpangkat x (am)n amn x
x
x
am n
am u an
pn a q n a
x
n faktor
2.
x
Bentuk Akar
Sifat-sifat bentuk akar m nn
x
n
am
x
n
ab
x
pn a q n a
x
a n b
n
a
n
b
x
( p q )n a
, b z 0
p
log (ab) plog a plog b log an n
a
p
x
p
x
p
x
p
x
a ˜ nb
n
x x
x
§a¡ log ¨ ¸ Šbš
log 1
p
0
log an
n ¡ plog a
log a ¡ alog q p
p log a pn
x
a
x
p
log a
p
log q
§ q log a ¡ n¨ ¸ ¨ q log p ¸ Š š
a
log am
log a
log a plog b
m p log a n
1 pn
log an
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
1
Contoh Soal 1.
A. B. C.
Nilai x yang memenuhi persamaan
41
x 1
A.
x
B.
x
adalah . . . .
2
2 9 4 9 5 9
x
C.
3 3x 1
D.
x
E.
x
2 5 4 5
23 x 1
x 1
(2 2)x
m n
1 3
3( 2x 2) 6x 6 6x 3x
3x 1 3 3x 1 3x 1 1 6
9x
5 Â&#x; x
5 9
Kunci: C 2
4
Jika log x log
4
y
2
2
log z , maka z
A.
x y
D.
x 4y
B. C.
x2 y xy
E.
x2 4 y
....
y
4
4
log x log
y
4
log x2 ¡
y
4
log x log 2
4
4
log b
u
a
3 log (log x1.000 )
2
log b
3
log a
2
....
1 log (log x )
A.
1
B.
1 1 3.000 1.000 log (log x )
C.
1 1 3 100 log (log x )
D.
1 31
E.
1 3
3 log (log x ) 3log (log x
4
3
log a
Jawab:
Jawab: 2
2
1 n
3 log (log x )
4.
3x 1 2 3
2x 2
2.
m u
( log a u log 3) u ( log b u blog 3) 2 log 3 u 2log 3 2 ( log 3)2 Kunci: E
3x 1 2 3
1
(3log 2)2 (2log 3)2
D. E.
2
x 1
1 22
log 3 3 log 2 4 log 9
Jawab:
Jawab:
41
2
1.000
)
3 log (log x ) 3log (1.000log x ) 3 log (log x ) 3(log 1.000 log log x )
2
log z
log z2
3 log (log x ) 3(3 log log x )
x2 y
log z2 Â&#x; z2
1 3
Kunci: B
Kunci: E
I N G A T 22
2
log x
2
3.
Jika
3
log a
2
m dan
log b
b ! 1, maka
2 log x
m n
4
log x2
3
log a
2
log b
n, a > 1 dan
. . . .
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
5.
Jika 5log 3 a dan 3log 2 b, 6log 75 sama dengan . . . . 2 a a A. 1 b D. 1 b a 2 a B. a b E. a(1 b ) 2 a C. a b
Jawab: •
5
log 3 a œ log 5
•
3
log 2 b œ log 3
log 3 log 2
a œ log 3
•
a log 5
6
log 52 u 3 log 52 u log 3 log 2 u 3 log 2 u log 3 2 log 5 log 3 log 2 log 3 2 log 5 a log 5 ab log 5 a log 5 (2 a ) log 5 2 a 2 a (ab a )log 5 ab a a(1 b )
b
log 2
log 25 u 3 log 2 u 3
log 75 log 6
log 75
b log 3 b (a log 5) ab log 5
Kunci: E
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
3.
4.
5.
Nilai 2 x yang memenuhi 4 x adalah . . . . A. 2 D. 16 B. 4 E. 32 C. 8 Diketahui 2x 2 x A. 23 B. 24 C. 25
Nilai dari
7x
3 6 2
y
27 adalah . . . .
A.
(1 2 2) 9 2
B.
(1 2 2) 9 3
C.
(1 2 2) 18 3
B.
xy 1 xy
C.
xy x y
3
5. Nilai 22x 2 2x D. 26 E. 27
A. B. C.
16 x 5
6. . . . .
untuk x
D. E.
x dan
Nilai p A. B. C.
7. y
4 dan
(1 2 2) 27 3
log 5
D.
1 x y
E.
1 xy
Himpunan penyelesaian persamaan 22x 5 ¡ 2x 1 16 0 adalah . . . .
D. E.
3
3
{1, 8} {2, 8}
2
25 2 ˜ 16 4 ˜ 27 3
adalah . . . .
6250,25 ˜ 810,5
2 8 15
D. E.
16 36
Diketahui 2log 5 p dan 3log 2 Nilai 3log 125 8log 27 . . . . 3p q q
D.
3 p2 3 q
B.
p q 3q
E.
3p q 2 q
C.
3 pq 2 1 q
8.
Akar dari persamaan 35x 1 27x 3 . . . . A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3
9.
Nilai x dari persamaan
y, maka
q.
A.
(1 2 2) 27 2
2
{ 2, 8} { 2, 3} {1, 3} 1
5
1 ¡ 2 § 54 ¨ x 6y 3 ¸ x Š š
Diketahui 3log 2 5 log 15 . . . . x y 1 A. x y
2
§ 3 ¡ ¨ x 2¸ Š3 š
adalah
2 3 1 9
adalah . . . . A.
2 3
D.
3 31
B.
4 21
E.
4 21
C.
3 31
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
3
Analisis Pahami sifat-sifat dari bentuk pangkat, akar, logaritma.
Setiap tahun selalu keluar 1 soal tentang bentuk pangkat, bentuk akar, dan logaritma. Diprediksikan pada tahun 2006 akan keluar juga salah satu dari ketiga bentuk, apakah bentuk pangkat, bentuk akar, atau logaritma.
2
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
A.
Persamaan Kuadrat
3.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 bx c
1.
Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0; a, b, c Â? R dan a z 0 adalah
di mana: p q pq
Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0; a, b, c Â? R dan a z 0 maka: 1.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah: x1 x2
b r b2 4ac 2a
2.
b a
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah: x1 ˜ x2
c a
0 diubah menjadi bentuk
1 (ax p)(ax q) a
D.
Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
0
b ac
Sehingga akan diperoleh x1
4
Jumlah Hasi Kali Persamaan Kuadrat
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Memfaktorkan Bentuk a2 bx c
c
Sehingga diperoleh x1 dan x2
Rumus abc
2.
2
b2
q
0
C.
x1,2
b 2
di mana: p
di mana a, b, c Â? R dan a z 0
B.
Melengkapkan kuadrat Bentuk x2 bx c 0 diubah menjadi bentuk (x p)2 q
p dan x2 a
q a
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan diskriminan D 1. D 0 Â&#x; memiliki dua akar yang sama dan real 2. D ! 0 Â&#x; memiliki dua akar bilangan real yang berbeda (x1 z x2) 3. D 0 Â&#x; tidak memiliki akar bilangan real
E.
Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi
Membentuk Persamaan Kuadrat
1.
Tentukan titik potong terhadap sumbu-x Pada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap sumbu -x berturut-turut adalah titik A dan titik B serta titik D dan titik E.
2.
Tentukan titik potong terhadap sumbu-y Pada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap sumbu-y berturut-turut adalah titik C dan titik F.
3.
Perhatikan koefisien x2, yaitu a.
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalah: a(x x1)(x x2)
F.
0 œ a(x2 (x1 x2) x x1x2)
0
Fungsi Kuadrat
x a ! 0 : Grafik terbuka ke atas Â&#x; Seperti gambar (i) y
y
x a 0 : Grafik terbuka ke bawah Â&#x; Seperti gambar (ii)
F
A
O
B
x
D
E O
4 x
x D
C
(i)
Menentukan nilai diskriminan D 0 : Grafik menyinggung sumbu-x
x D ! 0 : Grafik memotong sumbu-x pada dua titik x D 0 : Grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu-x
(ii)
Contoh Soal 1.
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 x n 0, maka nilai n adalah . . . . A. 8 D. 8 B. 6 E. 10 C. 2 Jawab: Misalkan: x Akar-akar persamaan x2 3x n 0 adalah a dan b x Akar-akar persamaan x2 x n 0 adalah c dan d a2 b2 c3 d3 2 (a b) 2ab (c d)3 3cd(c d) 32 2n ( 1)3 3( n)( 1) 9 2n 1 3n 2n 3n 1 9 n 10 Kunci: E
2.
Jika x, dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 log x 1.000, maka x1 ¡ x2 sama dengan . . . . A. 10 1 D. 10 2 B. 10 E. 100 C. 1 Jawab: x2
log x
2 log x
log x
(2 log x) log x 2
1.000 log 103 3
2 log x log x
3
log 2x 2 log x 3
0
(log x 1)(log x 3)
0
log x x
1
atau
log x
10
Jadi, x1 ¡ x2
x 10 ¡ 10 3
3 10 3 10 2
Kunci: B
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
5
Parabola dengan titik puncak (3, 1) dan melalui (2, 0) memotong sumbu-y di titik . . . .
3.
2
a 1 Sehingga diperoleh,
A.
(0, 5)
B.
(0, 6)
y
C.
(0, 7)
f(x)
D.
(0, 8)
E.
(0, 9)
y
a(x 1)(x 2) 1(x 1)(x 2) (x 1)( x 2)
1
1
2
3 4
5
x
P(p ¡ q) P(3, 1) Â&#x; p 3 dan q 1 x Persamaan kuadrat: y a(x p)2 q x Melalui titik (2, 0) Â&#x; y a(x p)2 q 0 a(2 3)2 ( 1) 0 a( 1)2 1 0 a 1 a 1
Jika grafik fungsi y x2 ax b mempunyai titik puncak (1, 2) maka nilai a dan b adalah . . . . A. a 1, b 3 D. a 0,5, b 1,5 B. a 1, b 3 E. a 0,5, b 1,5 C. a 2, b 3 Jawab: x Persamaan kuadrat y x2 ax b Â&#x; a 1, b x Melalui titik puncak (1, 2) b a x Âœ x 2a 2(1) a 1 2 a 2 x Diskriminan
Sehingga diperoleh persamaan y a(x p)2 q y 1(x 3)2 1 y x2 6x 9 1 y x2 6x 8 Titik potong dengan sumbu-y maka x y x2 6x 8 y 02 6(0) 8 y 8
0
y
Jadi, parabola memotong sumbu-y di titik (0, 8) Kunci: D 4.
Kurva pada gambar berikut adalah grafik fungsi . . . . y A. f(x) (x 1)(2 x) B. f(x) (x 1)(x 2) 2 C. f(x) 2 x x2 D. f(x) x2 x 2 x E. f(x) (x 1)(x 2) 1 O 2 Jawab: x Persamaan kuadrat
x
6
y
a(x x1)(x x2)
y
a(x ( 1))(x 2)
y
a(x 1)(x 2)
Melalui titik (0, 2) y
a(x 1)(x 2)
2
a(0 1)(0 2)
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Kunci: A
(x 1)(2 x) 5.
Jawab:
x
2a
b2 4ac œ2 4a
6.
a2 4(1)(b ) 4(1)
(( 2)2 4b ) 4 4 4b 4b
8 8 4 12 b 2 dan b
b
2
Jadi, a
a, dan c
4b 3 3
Kunci: C
Akar-akar persamaan x2 6x 12 0 adalah x1 dan x2. Persamaan baru yang akar-akarnya 3 3 dan x1x2 adalah . . . . x1 x2
A. B. C. D. E.
x2 9x 18 0 x2 21x 18 0 x2 21x 36 0 2x2 21x 36 0 2x2 18x 18 0
Jawab: x2 6x 12 x
x1 x2 x1 ˜ x2
x
0 Â&#x; a c a
b a
1, b
12 1
6 1
§ §3 3 ¡¡ ¨¨ x ¨ ¸ ¸ ( x x1x2 ) x2 š ¸š Š x1 Š
12
6, dan c
§ 3 x2 3 x1 ¡ ¨x ¸ ( x x1x2 ) x1x2 Š š § 3( x1 x2 ) ¡ ¨x ¸ ( x x1x2 ) x1x2 Š š 3( 6) ¡ § ¨ x 12 ¸ ( x ( 12)) Š š
6 12
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya D dan E adalah (x D)(x E) 0 sehingga jika akar3 3 akarnya x x dan x1x2 diperoleh: 1 2
3¡ § ¨ x 2 ¸ ( x 12) Š š 21 x2 x 18 2 2 x 2 21x 36
0 0 0 0 0 0 0
Kunci: D
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
Akar-akar persamaan 2x2 2px q2 0 adalah p dan q di mana p q 6. Nilai pq adalah . . . . A. 6 D. 6 B. 2 E. 8 C. 4
2.
Absis titik balik grafik fungsi y px2 (p 3)x 2 adalah p. Nilai p sama dengan . . . . 2 A. 3 D. 3 3 B. E. 3 2 C. 1
3.
Persamaan kuadrat mx2 (m 5)x 20 0, akarakarnya saling berlawanan. Nilai m . . . . A. 4 D. 8 B. 5 E. 12 C. 6
4.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 px 1 0, maka persamaan kuadrat yang akar2 2 akarnya x1 x2 dan x1 x2 adalah . . . .
A. B. C. D. E.
x2 x2 x2 x2 x2
2p2x 3p 0 2px 3p2 0 3px 2p2 0 3px p2 0 p2x p 0
5.
Persamaan 2x2 qx (q 1) 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 x22 4, maka nilai q . . . . A. 6 dan 2 D. 3 dan 5 B. 5 dan 3 E. 2 dan 6 C. 4 dan 4
6.
Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 9x c 0 adalah 121, maka nilai c adalah. . . . A. 8 D. 5 B. 5 E. 8 C. 2
7.
Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2 untuk x 3, dan untuk x 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah . . . . A. f(x) 2x2 12x 16 B. f(x x2 6x 8 C. f(x) 2x2 12x 16 D. f(x) 2x2 12x 16 E. f(x) x2 6x 8
8.
Agar F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah . . . . A. p ! 1 D. 1 p 2 B. 2 p 3 E. p 1 atau p ! 2 C. p ! 3
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
7
9.
Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk x 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1), memotong sumbu-y di titik . . . . A.
0, 72
D.
(0, 2)
B.
(0, 3)
E.
0, 32
C.
0, 52
2x y  ° 2y z Ž °¯3 x y z
yang akar-akarnya 5 dan 2 0 0 0 0 0
8 9 3
adalah . . . . A. 4 D. 2 B. 3 E. 3 C. 2 12. Akar-akar persamaan x2 x 6 0 adalah D dan E. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya E D dan 2D 3 adalah . . . . 2E 3
19x 16x 19x 19x 16x
6 6 6 6 6
0 0 0 0 0
13. Persamaan kuadrat x2 (m
1)x 2 41
0
mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah . . . . A. 2 m 4 D. m 2 atau m ! 4 B. 4 m 2 E. m 2 atau m ! 4 C. m 2 atau m ! 4 14. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar
A. B. C.
x (2, 1)
(0, 5)
8
y y
x2 4x 5 x2 4x 5
x 2 dan 2 x1 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x1 21 . Nilai p
4 2 1
D. E.
....
2 4
16. Persamaan kuadrat (m 1)x2 4x 2m 0 mempunyai akar-akar tidak nyata. Nilai m yang memenuhi adalah . . . . A. 2 m 1 D. m 2 atau m ! 1 B. 1 m 2 E. m 1 atau m ! 2 C. 1 m 2 17. Grafik suatu fungsi kuadrat dalam x, memotong sumbu-x di titik yang berabsis 1 dan 5, serta melalui titik (6, 10). Fungsi kuadrat ini mempunyai . . . . A. nilai maksimum 8 B. nilai minimum 8 C. nilai nol untuk x 1 D. nilai maksimum 8 E. nilai minimum 8 18. Akar-akar persamaan kuadrat x2 x 2 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akarx x akarnya x1 dan x2 adalah . . . . 2 1 A. B. C.
2x2 3x 2 2x2 3x 2 2x2 5x 2
D. E.
x2 5x 2 x2 3x 2
0 0 0 0 0
19. Batas-batas nilai p supaya persamaan kuadrat x2 3px 6 3x 10p, mempunyai akar-akar real adalah . . . . A.
p
5 9
atau p ! 3
B.
p d
5 3
atau p ! 3
C.
p d 59 atau p t 3
D.
p t 59 atau p d 3
E.
5 9
y
O
D. E.
15. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
11. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linier
39x2 39x2 39x2 39x2 39x2
. . . . x2 4x 5 x2 2x 5 x2 2x 5
x2 px
10. Persamaan kuadrat adalah . . . . A. x2 7x 10 B. x2 7x 10 C. x2 3x 10 D. x2 3x 10 E. x2 3x 10
A. B. C. D. E.
adalah A. y B. y C. y
d p d 3
20. Grafik fungsi kuadrat y 3x2 12x 6 memotong salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan (b, 0) dengan a ! b. Pernyataan berikut benar,
24. Persamaan kuadrat 2x2 3x 4 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-
kecuali . . . . A. grafik terbuka ke atas B. a ¡ b 2 C. a b 4 D.
a b
E.
a b
1 1 akarnya x1 dan x2 adalah . . . .
4 2
3 2 2
21. Diketahui persamaan kuadrat x2 x 2 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai x13 x23 . . . . A. 7 D. 10 B. 5 E. 13 C. 5
0
22. Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m ! 4 untuk setiap x real, maka haruslah . . . . A. m 0 atau m ! 5 B.
31 m 5
C. D.
0 m 5 5 m 0 1 3
m
E.
m ! 5
x 2 , x z 1 mempunyai kurva x 1
23. Fungsi f(x)
A. B. C. D. E.
4x2 3x 4x2 3x 4x2 3x 4x2 3x 4x2 3x
A.
D. y
y
B.
0 2
x x
x
1
E.
y
y x
0
y x
2
A.
y
21 x 2 2x 3
B.
y
21 x 2 2x 3
C.
y
2x 2
1x 2
3
D.
y
2x 2
1x 2
3
E.
y
2x 2
1
C.
1
3
Analisis
1
0 x
x
1x 2
1
y
y
0 0 0 0 0
26. Fungsi kuadrat yang titik puncaknya adalah perpotongan garis y x 3 dan 5x 2y 20 dan melalui (0, 3) adalah . . . .
1
2
1 0
x
4 2 4 2 2
25. Nilai x yang menyebabkan pernyataan: �Jika x2 x 6 maka x2 3x 9� bernilai salah adalah . . . . A. 3 D. 2 B. 2 E. 6 C. 1
seperti . . . . y
1
Setiap tahun soal tentang persamaan dan fungsi kuadrat pasti keluar minimal 2 soal. Bentuk soal yang sering keluar adalah seperti soal nomor 22, 23, 24, dan 26.
y
x
1
2 0 2
y x
1
Pelajari cara menentukan fungsi kuadrat jika diberikan gambar grafik dan juga cara menentukan persamaan kuadrat yang baru jika diketahui akar-akarnya.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
9
3 A.
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT
Persamaan Kuadrat
x
Jika garis memotong parabola, maka sistem persamaan memiliki dua persamaan. y
1.
SPL
Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel a1x b1y a2 x b2 y
c1 ½ ž c2 ¿
SPK x
di mana a1, b1, c1, a2, b2, c2 Â? R 2.
Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu: x
3.
x
Metode grafik: dilakukan dengan menggambar grafik dari SPL
x
Metode substitusi: dilakukan dengan mensubstitusi salah satu peubah
x
Metode eliminasi: salah-satu variabelnya dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan linier
x
Gabungan metode eliminasi dan substitusi
y SPK SPL x
x
Bentuk umum SPL tiga variabel a1x b1y c1z
d1
a2x b2y c2z
d2
a3x b3y c3z
d3
Jika garis menyinggung parabola, maka sistem persamaan memiliki satu penyelesaian.
Jika garis tidak menyinggung parabola, maka persamaan linier-kuadrat tidak memiliki penyelesaian. y
di mana a1, a2, a3, b1, b2, b3, d1, d2, d3, Â? R
SPL
SPK x
B. 1.
Sistem Persamaan Non-Linier
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier-Kuadrat y px q ‌ Persamaan linier 2 y ax bx c ‌ Persamaan kuadrat
2.
Menentukan banyaknya penyelesaian SPL dan sistem persamaan kuadrat (SPK) adalah sebagai berikut:
10
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
C.
Sistem Persamaan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel y y
ax 2 bx c ½° ž px 2 qx r °¿
dengan a, b, c, p, q, r Â? R
Contoh Soal 1.
Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil bagi sama dengan
1 2
2.
. Jika pembilang ditambah 1
dan penyebut dikurangi 2, diperoleh hasil bagi sama 3 5
dengan A. B. C.
1 maka x y
. Pecahan yang dimaksud adalah . . . .
2 3 6 21 8 12
D. E.
2 7 3 4
a 2 b 1
32
D.
5
B.
5 6
E.
6
C.
6 5
b 1
2a 4
b 1 2a 3
P embilang 1 P enyebut 2 a 1 b 2 5(a 1) 5a 5 3b
2a b a 2b
1 2
2(a 2) b
x
A.
1 8
2a b 2a 3 2a a
.... (1)
1 y
a dan u 1 u 2
b
2a b 2a 4b 5b b
3 5 3(b 2) 3b 6 5a 11
Jadi, .... (2)
Substitusi Persamaan (1) ke Persamaan (2) 3(2a 3) 5a 11 6a 9 5a 11 6a 5a 11 9 a 2 Substitusi nilai a ke Persamaan (1) atau Persamaan (2). Misalkan ke Persamaan (2) 3b 5a 11 3b 5(2) 11 3b 10 11 3b 21 b 7 2 7
.
3.
11 16 15 3
1 1 4 2
Sehingga diperoleh 1 a 2 œ 2 œ x x 1 b 3 œ 3 œ y y
3 5
Jadi, pecahan tersebut adalah
1 x
Misalkan:
a Misalkan pecahan tersebut adalah b Pembilang 2 1 x Penyebut 1 2
x
. . . .
Jawab:
Jawab:
x
Jika x dan y memenuhi persamaan 2 1 1 2 1 dan 8 x y x y
1 x y
1 1 2
1 2
1
1 3
1 6
1 3
6.
Kunci: E
Himpunan penyelesaian sistem persamaan y  x ° 3 2 z ° 3y z °x Ž 4 2 2 ° y z ° x ° 6 4 3 ¯
7 6 1
adalah {x, y, z}. Nilai x y z A. 7 D. 7 B. 5 E. 13 C. 1
. . . .
Kunci: D
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
11
Jawab: y  x ° 3 2 z ° 3y z °x Ž 2 2 °4 y z ° x ° 6 4 3 ¯
x
x 4
x 4
y 2 3y 2
6 ...... (2) 1
5 4
z
u3
z 2
6
u1
3z
21
1z 2
6
x
5z 2
15
x 4
z 2
6
u1
Z 3
1
u 6
3y 2
z 2
6
2z
6
3y 2
34 x
5z 2
.... (5)
12
Eliminasi z pada Persamaan (4) dan Persamaan (5). 5x 4 34 x
52 z 52 z 2 4
15 12
x
3
2x
12
x
6
Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5). Misalkan ke Persamaan (5).
34 (6) 52 z 18 52 z 4 5z 2 20z z
12
.... (4)
3y 2 x y 6 4
x
x
4.
Eliminasi y pada Persamaan (2) dan Persamaan (3). x 4
x
...... (3)
7
3y 2 3y 2
x
x
...... (1)
Eliminasi y pada Persamaan (1) dan Persamaan (2). x 3
x
7
persamaan. Misalkan Persamaan (1). x y z 7 3 2 y 6 ( 3) 7 3 2 y 7 3 2 2 y 2 2 y 4 Jadi, x y z 6 4 3 5. Kunci: B Dua buah mobil menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km lebihnya daripada kecepatan mobil pertama. Jika waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih cepat dari waktu perjalanan mobil pertama, maka ratarata kecepatan kedua mobil tersebut adalah . . . . A.
97,5 km/jam
D.
85 km/jam
B.
92,5 km/jam
E.
82,5 km/jam
C.
87,5 km/jam
Jawab: Misalkan: x Jarak yang ditempuh mobil x Jarak yang ditempuh mobil x Kecepatan mobil 1 v1 x Kecepatan mobil 2 v2 x Waktu perjalanan mobil 1 x Waktu perjalanan mobil 2 Diketahui: s1 s2 450 v1 x v2 v1 15 œ v2 t1 t t2 t1 1 t1 t2
s1 v1
t1 1
30 4 60 3
Substitusi nilai x dan z ke salah satu
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
s1 s2
t1 t2
x 15
450 x s2 450 1 œ v2 x
450 x x
12 12
1 2
450 x 15 450 x 15
(450 )(x 15)
450x
450x 6.750 x2 15x
450x
2
0
2
x 15x 6.750
0
(x 90)(x 75)
0
x 15x 6.750
x 90 x
atau x 75
0 90
x
0
C.
{(5, 20), (1, 4)}
75
D.
{( 5, 20), ( 1, 4)}
E.
{(5, 20), ( 1, 4)}
(tidak memenuhi)
v1
x
v2
v1 15
75 15
v1 v 2 2 82,5
75 90 2
vrata-rata
5.
75
Jawab: y x2 2x 5 y 4x
90
Substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1) 4x x2 2x 5 x2 6x 5 0 (x 5)(x 1) 0
Kunci: E
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x 2 2x 5
° y ÂŽ °¯ y
..... (1) ..... (2)
x 5 x
4x
0 atau x 1 5 x
Untuk x Untuk x
5 Â&#x;y 1 Â&#x;y
A.
{(5, 20), (1, 4)}
• •
B.
{( 5, 20), ( 1, 4)}
HP: {(5, 20), (1, 4)}
adalah . . . .
0 1 4x 4x
4(5) 4(1)
20 4 Kunci: C
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
Â6 3 °° x y ÂŽ7 ° 4 y °¯ x
21 4.
A. B. C.
3.
1 6 1 5 1
Rp109.000,00 Rp108.000,00 Rp107.000,00
D. E.
Rp106.000,00 Rp105.000,00
D.
6
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan 2 1 1 2 8, maka 1 dan x y x y 1 x y . . . .
E.
36
A.
2
adalah {(x0, y0)}. Nilai 6x0y0
2.
A. B. C.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
. . . .
Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah . . . . A. Rp15.000,00 D. Rp22.500,00 B. Rp17.500,00 E. Rp25.000,00 C. Rp20.000,00 Hani dan Yasmin berbelanja di suatu pasar. Hani membayar Rp853.000,00 untuk empat barang I dan tiga barang II. Sedangkan Yasmin membayar Rp1.022.000,00 untuk tiga barang I dan lima barang II. Harga barang I adalah . . . .
B. C.
3 2 5 6 6 5
D.
5
E.
6
Analisis Bentuk soal yang sering keluar adalah seperti soal nomor 1 dan 4. Setiap tahun soal tentang sistem persamaan linier selalu keluar minimal 1 soal.
Pelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua dan tiga variabel.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
13
4
PERTIDAKSAMAAN
A.
D.
Pertidaksamaan Linier
1.
Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu.
2.
Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah
b.
x
x y o x z y z dan x z y z
x
x ! y o x z ! y z dan x z ! y z
Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
f
g
dengan syarat terdefinisi f t 0 dan g d 0
E.
Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak
Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif x
x y dan z ! 0 Â&#x; xz yz dan
x y z z
x
x ! y dan z ! 0 Â&#x; xz yz dan
x y ! z z
1.
B.
Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat x
ax2 bx c 0 atau ax2 bx c ! 0
x
ax2 bx c d 0 atau ax2 bx c t 0
di mana a, b, c Â? R
Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah
Sifat-sifat nilai mutlak
|p|
x
|p q| d |p| |q|
x
| pq |
x
|x| p œ p x p
Pertidaksamaan Pecahan x
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebutnya. Misalkan:
ax 2 c ax
2
bx c
ax 2 bx c x 2 bx c
d 0 atau ! 0
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
p2
x
x
C.
° x, jika x t 0 ÂŽ °¯ x, jika x 0
|x| 2.
14
Pertidaksamaan Bentuk Akar
p q
| p || q |
_p_ , q z 0 _q_
|x| ! p œ x p atau x ! p
Contoh Soal 1.
Perhatikan gambar!
x
6 d x2 5x d x2 5 d 2 x 5x 6 d (x 6)(x 1) d
y C
5
4
Untuk 6 d x2 5x d 6 6 6 0 0
6
1
A
2
B 6
O
2
4
3 2
1
x
5
HP: { 6 d x d 3 atau 2 d x d 1} Nilai minimum f(x, y) 2x 3y Untuk (x, y) di daerah yang diarsir adalah . . . . A.
10
D.
13
B.
11
E.
14
C.
12
Jawab: Perhatikan titik pojok dari daerah yang diarsir Titik Pojok
f(x, y)
2x 3y
A(0, 4)
2(0) 3(4)
12
B(2, 2)
2(2) 3(2)
10
C(5, 5)
2(5) 3(5)
25
Jadi, nilai minimum adalah 10. Kunci: A 2.
Himpunan penyelesaian |x2 5x| d 6 adalah . . . . A.
3.
Jawab: |x 2|2 ! 4 |x 2| 12 Â&#x; Misalkan |x 2| 2
p ! p2 4p 12 ! (p 6)(p 2) ! p!
2
{x| 3 d x d 2} {x| 6 d x d 3 atau 2 d x d 1}
D.
{x| 6 d x d 5 atau 0 d x d 1}
E.
{x| 5 d x d 3 atau 2 d x d 0}
Jawab: Untuk |x2 5x| d 6
x
p
4p 12 0 0 6
{x| 6 d x d 1}
C.
Kunci: C
Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan |x 2|2 ! 4 |x 2| 12 adalah . . . . A. 4 x 8 B. x ! 8 atau 4 C. x ! 2 atau x 2 D. 2 x 2 E. x ! 8 atau x 2
pertidaksamaan
B.
x
6
Untuk p 2 Â&#x; x 2 2 Â&#x; x 0 (tidak memenuhi)
x
Untuk p ! 6 Â&#x; |x 2| ! 6x 2 ! x 2 ! 6 atau x 2 x!8 x
6 6 6 4
|x2 5x| d 6 x2 5 d 6
x2 5x 6 d 0
4
8
(x 3)(x 2) d 0 HP: {x | x ! 8 atau x 4}
3
Kunci: B
2
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
15
4.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2 x 6 adalah . . . .
1 x A.
5 ! x 3
D.
3 d x
B.
5 x 3
E.
3 d x 1
C.
5 x d 1 3
3
5. 5 3
2
x 3x 2 x 4x 3 berlaku untuk . . . . 1 2
A.
x !
B.
x !2
C.
x !3
x 3x 2 3(x2 4x 3) 3x2 12x 9 2x2 3 1 2x2 3x 1 (2x 1)(x 1)
2x 6
1 x 2x 6 3x 5 x ! 53 1 x x x 2x 6 2x x
syarat: •
•
t t d t t t
0 0 1 1 0 6 3
Syarat: •
x 3
2 x 3
E.
2
1 x
1 2
D.
Jawab: 3
Jawab:
5 2
5 2
x 4x 3 5(x2 3x 2) 5x2 15x 10 0 0 1 0
x2 3x 2 z 0 (x 2)(x 1) z 0 x z 2 atau x z 1 2 2
3
HP:
^x | 53
5 3
1
`
3
x2 4x 3 z 0 (x 3)(x 1) z 0 x z 3 atau x z 1 1 1 2
Kunci: C
x d 1
1
2
1
•
1
2 3
Kunci: C
HP: {x| x ! 3}
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional Nilai minimum fungsi objektif 5x 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan seperti daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah . . . .
1.
24 16
16
24
36
48
x
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
400 320 240
Himpunan
A. B. C. D. E.
32
16
2.
x !
y
O
A. B. C.
D. E. penyelesaian
200 160 pertidaksamaan
x 6, x Â? R adalah . . . . {x| 2 x 3, x Â? R} {x|x 3 atau x ! 2, x Â? R} {x| 6 x 2 atau x ! 3, x Â? R} {x|x 2 atau x ! 3, x Â? R} {x|x ! 3, x Â? R}
3.
y
Daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah himpunan (x, y) yang memenuhi . . . . 2x y 2x y x 2y x 2y 2x y
A. B. C. D. E.
d t t d d
30, 30, 30, 30, 30,
4.
Nilai maksimum dari f(x, y) 4x 28y yang memenuhi syarat 5x 3y d 34, 3x 5y d 30, x t 0, y t 0 adalah . . . . A. 104 D. 208 B. 152 E. 250 C. 168
5.
Diketahui sistem pertidaksamaan x t 0, y t 0, x + y d 12 dan x + 2y d 16. Nilai maksimum dari (2x + 5y) adalah . . . . A. 12 D. 40 B. 24 E. 52 C. 36
30 15
O
3x 3x 4x 4x 4x
4y 4y 3y 3y 4y
d d t d d
60, 60, 60, 60, 60,
x
15 20
x x x x x
t t t t t
0, 0, 0, 0, 0,
y y y y y
t t t t t
0 0 0 0 0
Analisis Soal tentang pertidaksamaan keluar pada tahun 2001, 2002, dan 2005. Tetapi tidak keluar pada tahun 2000, 2003, dan 2004.
5 A.
LOGIKA MATEMATIKA
Pernyataan Kalimat terbuka, dan Ingkaran
1.
Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
2.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya karena memuat variabel.
3.
Pelajari cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar.
B. 1.
Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar. p
q
p š q
B B
B S
B S
p
~q
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
17
2.
Disjungsi terdiri dari: x
x
Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar atau salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar. p
q
p q
B B
B S
B B
S
B
B
S
S
S
Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar. p
q
p q
B B
B S
S B
S
B
B
S
S
S
D. 1.
p
1.
p q
B B
B S
B S
S
B
B
S
S
B
Suatu biimplikasi p l q bernilai benar jika pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.
2.
q
p q
B B
B S
B S
S
B
S
S
S
B
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Invers
q p a p q
Kontraposisi a q a ap
S
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Ingkaran dari pernyataan majemuk x a(p q) { p aq artinya ingkaran dari p q adalah p aq x a(p q) { (p aq) (q ap) artinya ingkaran dari adalah p q adalah (p aq) (q ap) x a(p q) { ap aq artinya ingkaran dari p q adalah ap aq x a(p q) { ap aq artinya ingkaran dari p q adalah ap aq
E.
Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan semua atau beberapa anggota semesta mewakili suatu keadaan. Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, a[ x M(x)] { x[aM(x)] di mana Exist Untuk setiap 2.
18
p q
B
1. p
Ingkaran Implikasi Konvers
B
Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa bernilai benar dan konklusi salah. q
q
B
Implikasi dan Bimpikasi
p
Pernyataan majemuk yang ekuivalen x q p disebut konvers dari implikasi p q x ap aq disebut invers dari implikasi p q x aq ap disebut kontraposisi implikasi p q x p q { aq o ap artinya implikasi ekuivalen dengan kontraposisi x q p { ap o aq artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers dari impliksi tersebut
ap aq
2.
C.
Pernyataan Majemuk
Ada dan
All
Semua
Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan, a[ x M(x)] { x[aM(x)]
F. 1.
2.
Pernyataan Majemuk
Modus ponens Premis 1 : p q Premis 2 : p ––––––––––––––––––– ? Konklusi : q
3.
Modus tollens Premis 1 : p q Premis 2 : aq ––––––––––––––––––– ? Konklusi : ap Silogisme Premis 1 : p q Premis 2 : q r ––––––––––––––––––––––– ? Konklusi : p r
Contoh Soal 1.
Perhatikan kalimat “semua pemain basket berbadan tinggi”. Negasi kalimat ini adalah . . . . A. Tidak ada pemain basket yang berbadan tinggi. B. Beberapa pemain basket berbadan tinggi. C. Semua pemain basket berbadan pendek. D. Beberapa pemain basket berbadan pendek. E. Tidak ada pemain basket yang berbadan pendek.
4.
Jawab: Negasi dari ”semua pemain basket berbadan tinggi” adalah ”Beberapa pemain basket berbadan pendek”. 2.
3.
Kunci: D Invers dari pernyataan (p aq) p adalah . . . . A. ap (p aq) D. (ap q) ap B. ap (p q) E. (p aq) p C. (ap q) p Jawab: (p aq) p a(p ~q) ap (ap q) ap Kunci: D Ingkaran dan pernyataan “Semua peserta UMPTN ingin masuk perguruan tinggi negeri” adalh . . . . A. Semua pesera UMPTN tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri. B. Tidak ada peserta UMPTN ingin masuk perguruan tinggi negeri. C. Ada peserta UMPTN ingin masuk perguruan tinggi negeri. D. Ada peserta UMPTN tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri. E. Tidak ada peserta UMPTN tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri. Jawab: Ingkaran dari “Semua peserta UMPTN ingin masuk
5.
perguruan tinggi negeri” adalah ada peserta UMPTN tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri. Kunci: D Kontraposisi dari pernyataan: “Jika sudut di kuadran I makin besar, maka nilai tangennya makin besar” adalah . . . . A. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di kuadran I makin besar B. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di kuadran I makin besar C. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di kuadran I makin besar D. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di kuadran I makin kecil E. Jika sudut di kuadran I makin kecil maka tengennya makin kecil Jawab: Misal: P : sudut di kuadran I makin besar q : nilai tangen makin besar. Dari pernyataan : p q Kontraposisi : q p Jadi, jika nilai tangen makin kecil maka sudut di kuadran I makin kecil. Kunci: E Pernyataan (ap q) (p aq) ekuivalen dengan pernyataan . . . . A. p q D. ap aq B. p aq E. p q C. ap q Jawab:
I
N
G A
T
p q { (ap q ) (p aq) Kunci: E Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
19
6.
Jawab:
Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai salah adalah . . . . A. q ap D. ap aq B. ap aq E. ap q C. aq p
p q a p a q q ap B S
S
B
p q ap aq B S
S
B
ap aq
aq p
B
B
B ap aq
ap q
S
B Kunci: D
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
3.
Kontraposisi dari pernyataan p (p aq) adalah . . . . A. (p aq) ap B. (ap q) ap C. (p aq) p D. (ap q) ap E. (p aq) p
Diketahui Premis I : p aq Premis II : q r –––––––––––––––––––––– ? p r Kesimpulan tersebut merupakan . . . . A. konvers D. modus tollens B. kontraposisi E. silogisme C. modus ponens Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi: ap q q r –––––––––– ? . . . adalah . . . . A. p r B. ap r C. p ar
4.
5.
majemuk
D. E.
B. C. D. E.
Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria’’ adalah . . . .
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid bersuka ria Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid bersuka ria Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria
6.
Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak pandai” adalah . . . . A. Ani tidak cantik dan tidak pandai B. Ani cantik dan pandai C. Ani tidak cantik atau tidak pandai D. Ani tidak cantik atau pandai E. Ani cantik atau pandai
7.
Argumentasi yang sah adalah . . . . A. p aq D. p aq p q p
ap r p r
Penarikan kesimpulan dari premis-premis: p q aq ––––––––– ? . . . adalah . . . . A. p D. a(p q) B. ap E. aq C. q
20
A.
B.
? ap p aq ap ?
C.
8.
aq p aq aq
E.
? aq ap aq p q ?
q
? ap Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,25” adalah . . . . A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila ada nilai ujiannya kurang dari 4,25. B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25.
C. D. E. 9.
Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25. Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat nilai 4,25. semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.
Negasi dari pernyataan majemuk p (q ar) adalah . . . . A. (r aq) ap D. p (aq r) B. (q ar) p E. p (aq r) C. p (q ap)
12. Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujian berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . . A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum mengerjakan soal. B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum mengerjakan soal. C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum mengerjakan soal. D. E.
10. Ingkaran dari pernyataan ”Jika Fathin mendapat nilai 10 maka ia diberi hadiah” adalah . . . . A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka ia tidak diberi hadiah B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia mendapat nilai 10 C. Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak diberi hadiah D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi hadiah. E. Jika Fathin tidak diberi hadiah maka ia tidak mendapat nilai 10 11. Argumen mana yang valid (sah) (i) Premis 1 : p (q r) Premis 2 : p ––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : q r (ii) Premis 1 : q rp Premis 2 : p ––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : rq (iii) Premis 1 : (p q) r Premis 2 : r (p q) ––––––––––––––––––––––––––––– Konklusi : (p q) (p q) A. B. C.
(i) dan (ii) (i) (ii) dan (iii)
Analisis
D. E.
(i) dan (iii) (i) (ii) dan (iii)
Soal tentang trigonometri paling banyak keluar dalam ujian nasional. Tahun 2000 sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7 soal, tahun 2002-2003 sebnayak 4 soal, tahun 2004 sebanyak 6 soal.
Semua peserta ujian berdoa sesudah mengerjakan soal. Beberapa peserta ujian berdoa sesudah mengerjakan soal.
13. Kesimpulan dari tiga premis p q ar q ar ? . . . adalah . . . . A. ap D. p q B. aq E. r ar C. q 14. Pernyataan ap q ekuivalen dengan pernyataan . . . . A. B. C.
p q ap aq ap aq
D. E.
ap q p aq
15. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyatan berikut benar p q q r r s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah . . . . A. ap D. p r B. ar E. p ar C. aq
Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingat kembali rumus penjumlahan dan selisih dua sudut begitu juga dengan penjumlahan dan selisih sinus dan cosinus.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
21
6
TRIGONOMETRI
A. 1.
B.
Rumus-Rumus Trignometri
Perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku di B
x
sin ‘C
x
cos ‘C
x
tan ‘C
A
Trigonometri
y
r
B
x
di mana D adalah sudut yang ditanyakan Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° Cotangen, secan, dan cosecan • Cotangen biasa disingkat dengan “cotâ€? cot ‘C
•
1 tan ‘C
1 cos ‘C
1 sin ‘C
N • •
22
G A
0
1 2
Kosinus
1
Tangen
0
sec2 ‘C tan2 ‘C 1 cosec2 ‘C cot2 ‘C 1
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
f
Secan
1
f
3 3
3 2 3
3 2
1 2
2
1 2
2
60° 1 2
3
f 0
f
2 2 3
1 0
3 1 3
2 2
3 1 2
1 1
90°
3
1
Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif) x sin (90° T ) cos T x cos (90° T ) sin T x tan (90° T ) tan T
2.
Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif) x sin (180° T ) sin T x cos (180° T ) cos T x tan (180° T ) tan T
3.
Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif) x sin (180° T ) sin T x cos (180° T ) cos T x tan (180° T ) tan T
4.
Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif) x sin (360° T ) sin T x cos (260° T ) cos T x tan (360° T ) tan T
r y
T
Cotangen
1 2 1 3
45°
1.
dengan sin ‘C z 0
I
Sinus
C.
r x
dengan cos ‘C z 0 Cosecan biasa disingkat dengan “cosec� cosec ‘C
30°
Cosecan
x dengan tan y
‘C z 0, dan sin ‘c z 0 Secan biasa disingkat �sec� Sec ‘C
•
cos A sin A
0°
C
Sisi di hadapan sudut Sisi terpanjang
sin D
Sudut
Fungsi
y r x r y x
Secara umum didefinisikan
2.
Perbandingan Trignometri Sudut-sudut Istimewa
G A
N
I 1.
T
Jika tinggi segitiga tidak diketahui, pergunakanlah rumus berikut.
Cara cepat mengingat tanda positif ( ) dan negatif ( )
2.
: Semua o
sin
I
II
o
tan
o
III
cos IV
Sudut berelasi lainnya sin (90° T )
x
cot T
sin (270° T )
D.
¡ c ¡ b ¡ sin A
x
L
1 2
¡ a ¡ c ¡ sin B
x
L
1 2
¡ a ¡ b ¡ sin C
E.
cos T
cos (270° T )
x
1 2
sin T
1.
cos (D E)
cos D cos E sin D sin E
cos (270° T )
sin T
tan (270° T )
cot T
2.
cos (D E)
cos D cos E sin D sin E
3.
sin (D E)
sin D cos E cos D sin E
4.
sin (D E)
sin D cos E cos D sin E
5.
tan (D E)
tan D tan E 1 tan D tan E
6.
tan (D E)
tan D tan E 1 tan D tan E
sin ( T )
sin T
cos ( T )
cos T
tan ( T )
tan T
b sin B
c sin C
b
3.
c
Aturan cosinus x a2 b2 c2 2bc cos A x
cos A
x
b2
x
cos B
x
c2
b
2
c a 2bc
Rumus Trigonometri Sudut Ganda atau Rangkap
a
1. A
2
cos 2D
2 cos2D 1 2.
sin 2D
3.
tan 2D
4.
cos 21 T
r
1 cos T 2
5.
sin 21 T
r
1 cos T 2
6.
tan 21 T
r
1 cos T 1 cos T
a2 b2 2ac cos C
cos C
a
b c 2ab
2
Luas segitiga sembarang L
1 2
2 sin D cos D
2
b2 c 2 b2 2ac 2
cos2D sin2D 1 2 sin2D
B
a2 c2 2ac cos B
2
B
Rumus Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut
cos T
Aturan sinus
x
D c
sin (270° T )
C
2.
A
cot T
Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga
a sin A
t
tan (270° T )
F. 1.
a
b
sin T
tan (90° T )
x
L
cos T
cos (90° T ) x
x
C
2 tan D 1 tan2 D
u alas u tinggi
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
23
G.
Rumus Trigonometri untuk Hasil Kali Sinus dan Cosinus
1.
2 sin D cos E
sin (D E) sin (D E)
2.
2 cos D sin E
sin (D E) sin (D E)
3.
2 cos D cos E
4.
2 sin D sin E
cos (D E) cos (D E)
H.
Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus
1.
sin P sin Q
§P Q¡ §P Q¡ 2 sin ¨ ¸ cos ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š
2.
sin P sin Q
§P Q¡ §P Q¡ 2 cos ¨ ¸ sin ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š
3.
cos P cos Q
§P Q¡ §P Q¡ 2 cos ¨ ¸ cos ¨ ¸ 2 Š š Š 2 š
4.
cos P cos Q
§P Q¡ §P Q¡ 2 sin ¨ ¸ sin ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š
cos (D E) cos (D E)
Contoh Soal 1.
Jawab: x A B 90° x sin (A B) 5a x cos2 (A B) 1 sin2 (A B) 1 (5a)2 1 25a2
Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudutsudutnya. Jika tan a sin c 1
B.
24 25
4 3
, maka
D.
24 25
E.
1
tan a tan b
180° œ c
180° (a b)
3, 5 4, 5
Â&#x; sin a Â&#x; sin b
cos a cos b
1 25a2
4 5 3 5
3.
sin c
2.
˜ 54 25 25
1
Kunci: E
Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, dike2 5
tahui bahwa sin A sin B
dan sin (A B)
5a.
Nilai a adalah . . . . A.
51
D.
B.
3 25 1 25
E.
C. 24
4 5
cos (A B) cos (A B)
4 5
1 25a2 cos 90°
4 5
16 25
5 3 3 5
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
9 25
œ 25a2 œ a
sehingga: 3 ˜ 3 4 5 5 5 9 16 25 25
2 5
4 1 25a2 0 5 Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh,
sin (180° (a b)) sin(a b) sin a ¡ cos b cos a ¡ sin b 3 4 4 3
œ 2 sin A sin B
sin A sin B
7 25
sin c
1 25a2
cos (A B) x
Jawab: x a b c x
dan tan b
. . . .
A.
C.
3 4
3 r 25
Untuk 0° d x d 360°, 2 sin 2x t 1 adalah . . A. {x|30° d x d 15°} B. {x|x 45°} ‰ {x|x C. {x|15° d x d 75°} ‰ D. {x|75° d x d 195°} E. {x|15° d x d 75°} Jawab: 2 sin 2x t 1 sin 2x t sin 2x
1 2
sin 30° sin 150°
œ a2
9 252
Kunci: B
himpunan penyelesaian . . 225°} {x|195° x d 225°}
x x
30° k ¡ 360° 15° k ¡ 180° 150° k ¡ 360° 75° k ¡ 180°
2x 2x 2x 2x
{x d 15° d x d 75°} ‰ {195° d x d 225°}
HP
Kunci: C 4.
1 2
2 ¡
cos (D E) cos (D E)
1 cos (D E)
cos (D E) cos (D E) 1 cos (D E)
cos(D E ) cos(D E )
1 cos(D E ) cos(D E ) 1 21 3 1 3 2
3 cos x sin x, untuk 0 d x 2S dapat dinyatakan sebagai . . . .
Bentuk
A.
S¡ § 2 cos ¨ x ¸ 6š Š
D.
7S ¡ § 2 cos ¨ x 6 š¸ Š
B.
11S ¡ § 2 cos ¨ x 6 š¸ Š
E.
S¡ § 2 cos ¨ x ¸ 6š Š
C.
11S ¡ § 2 cos ¨ x 6 š¸ Š
2 3
6.
Jawab: 3 cos x sin x 2
3
a2 b2
r cos (x D)
Kunci: E
3 1
3 sin x 3 mempunyai nilai maksimum m dan minimum n maka nilai mn . . . .
A.
8
D.
2
B.
5
E.
2
C.
5
( 1)2
3 1
y cos x 3 sin x 3
a
2
1, b
3, c
S 6
5S 6
7S 6
ymaksimum
11S 6
S¡ § 2 cos ¨ x ¸ 6š Š 7S ¡ § 2 cos ¨ x 6 š¸ Š Kunci: A
cos D cos E A.
2
B.
1
C.
3 2 3
3 1 3
3
Jawab: 2 cos D cos E
cos(D E ) , maka cos(D E )
D.
1
E.
2 3
1 2
1 2
3 dan
2
3
4 3 2 3 5 m 5
1 2
yminimum
Jika D dan E sudut lancip, cos (D E)
3
1 3 3
(tan 210°)
tan 150°
3 cos x sin x
1 2
1 2
3
Sehingga: tan D (tan 30°) tan 330°
D
3
a2 b2 c
ymaksimum
Nilai tan yang bernilai negatif berada di Kuadran II dan Kuadran IV.
5.
1
cos x
f(x)
f(x)
1
b a
tan D
Jadi,
3 2
Jawab:
Misalkan r
1
3
yminimum
1 3 3 2 3 1 n 1
Nilai mn
5 ¡ 1 = 5
2
3
Kunci: B 7.
2
. . . . 3
2 S 3
3
S 6
3 1
5 S 3
2
cos (D E) cos (D E)
Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar di atas adalah . . . .
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
25
•
A.
S¡ § y sin ¨ 2 x ¸ 3š Š
B.
S¡ § y cos ¨ 2 x ¸ 6š Š
C.
S¡ § y 2 cos ¨ x ¸ 3š Š
D.
S¡ § y 2 sin ¨ x ¸ 3š Š
E.
S¡ § y 2 cos ¨ x ¸ 6š Š
Untuk x 3
cos T
T
0, y
3
2 cos (0 T
1 3 2
S 6
2S 1 (Dari grafik, 2 gelombang 2S Jadi fungsinya:
Jawab: Grafik tersebut berbentuk fungsi cosinus dengan A 2. Jadi dapat ditulis: y A cos (kx T) y 2 cos (kx T)
•
k
y
S¡ § 2 cos ¨ 1 ˜ x ¸ 6š Š
y
S¡ § 2 cos ¨ x ¸ 6š Š
2S)
Kunci: D
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
3.
Luas segitiga ABC adalah (3 2 3) cm2. Panjang (6 2 3) dan BC sisi AB 7 cm. Nilai sin (A C) adalah . . . . 7 1 A. D. 6 4 3 7 1 3 B. 74 3 E. 7 1 C. 2 Diketahui sin x
2 sin x sin 2x 2 cos x
D. E.
26
Batas-batas nilai p agar persamaan p sin x (p 1) cos x p 2 dapat diselesaikan adalah . . . . A. p d 1 atau p t 3 B. p d 1 atau p t 3 C. p d 3 atau p t 1 D. 1 d p d 3 E. 1 d p d 3
6.
Nilai dari cos ‘BAD pada gambar berikut adalah . . . . 17 30 A. D. 33 34 17 33 B. E. 28 35 3 C. 7
cos 2x tan 2x
Himpunan penyelesaian 3 cos (360 x)° ! 2 sin2 x° untuk 0 d x d 360 adalah . . . Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
{60 x t 180} {x d 60 atau x d180} {0 x 60 atau 300 x 360} {0 d x 60 atau 300 x d 360} {60 d x d 180}
5.
0 x 90q
Nilai cos 3x cos x . . . . 18 6 A. D. 25 25 84 12 B. E. 125 25 42 C. 125 2 tan x Bentuk ekuivalen dengan . . . . 1 tan2 x A. B. C.
4.
8 , 10
A. B. C. D. E.
7.
D 3
C
6 3 A
4
B
Diketahui ' PQR dengan PQ 6 cm, QR 4 cm, dan ‘PQR 90°. Jika QS garis bagi ‘PQR, maka panjang QS . . . .
8.
A.
12 10
2 cm
D.
5 6
2 cm
A.
^0, S6 , 56S `
D.
B.
12 5
2 cm
E.
6 2 cm
B.
{0, S, 2S}
E.
C.
24 5
2 cm
C.
^0, S6 , 56S , S , 2S `
Nilai
A. B. C. 9.
8 . 25
Diketahui sin a cos a 1 1 sin D cos D 3 25 9 25 5 8
13. Jika panjang sisi-sisi 'ABC berturut-turut adalah AB 4 cm, BC 6 cm, dan AC 5 cm, sedangkan ‘BAC D , ‘ABC E , dan ‘BCA J, maka sin D : sin E : sin J . . . . A. 4 : 5 : 6 D. 4 : 6 : 5 B. 5 : 6 : 4 E. 6 : 4 : 5 C. 6 : 5 : 4
. . . . D. E.
3 5 15 8
14. Diketahui cos (x y)
Persamaan fungsi pada gambar grafik di bawah adalah . . . .
Nilai tan x tan y
1
B.
2
45 15
75
105
165
135
195
225 285 255
315
345 360
x
C.
O
y
2 sin (3x 45)°
B.
y
2 (3x 45)°
C.
y
sin (3x 45)°
D.
y
sin (3x 60)°
E.
y
2 cos (3x 45)°
B.
{x| 25° d x d 70° atau 135° x d 160°}
C.
{x| x d 70° atau x ³ 160°}
D.
{x| 70° d x d 160°}
E.
{x| 20° d x d 110°}
3 5 5 3
D. E.
E.
A.
y
1 sin 3x
B.
y
1 sin
C.
y
sin (3x 3)
A. B. C.
x 3
1 2 1
2S 3
5S 6
S
x
D.
y
1 3 sin x
E.
y
1 3 sin
x 3
sin (30° x) untuk setiap . . . . D. E.
2 3
17. Diketahui segitiga ABC dengan AC 5 cm, AB 7 cm, dan ‘BCA 120°. Keliling segitiga ABC . . . . A. 14 cm D. 17 cm B. 15 cm E. 18 cm C. 16 cm
^34 S , 56 S , 1312 S ` ^34 S , 74 S , 1312 S `
12. Himpunan penyelesaian cos x sin x 1 untuk 0 d x d 2S adalah . . . .
S 2
x, maka a 3 b
2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2 dengan 0 d x d 2S adalah . . . .
D.
S 3
16. Jika a sin x b cos x
11. Himpunan penyelesaian persamaan
^136 S , 56 S , 41 S ` ^32 S , 34 S , 61 S ` ^12S , 34S , 1312S `
S 6
O
10. Himpunan penyelesaian sin (x 20°) sin (x 70°) 1 d 0 untuk 0° d x d 360° adalah . . . . A. {x| 0° d x d 70° atau 160° d x d 360°}
C.
.
y
A.
B.
3 10
dan sin x sin y
15. Persamaan grafik fungsi di bawah adalah . . . .
1
A.
4 5
. . . .
5 3 4 3 3 5
A.
y
1 2
^0, S6 , 56S , 1 21 S , 2S ` ^0, 31 S , 56S , S , 2S `
18. Diketahui A adalah sudut lancip 0
cos 21 A
x 1 . Nilai sin A adalah . . . . 2x
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
27
x2 1 2x x
A. B.
x2 1
C.
x2 1
D.
x2 1
E.
x 1 x
A. B. C. D. E.
2
S2
O
x
3S 2
S
2S
25. Nilai x yang memenuhi 2 cos x° 2 sin x° adalah . . . . A. 15 atau 255 B. 45 atau 315 C. 75 atau 375
2
A.
y
2 sin x S2
B.
y
sin 2 x S2
C.
y
D.
y
E.
y
2 sin x
S 2
20. Himpunan penyelesaian persamaan 2 untuk 0 x 360
D. E.
{165, 255} {195, 285}
1 3 1 2 2 3
A. B.
4 19 cm
C.
0
D.
B. C.
1
E.
D. E.
105 atau 345 165 atau 285
2 3 4
3
23. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah . . . .
3
D.
3
3
E.
2 3
3 3 5
28. Diketahui sin A
21 dengan
dan cos B
0° A 90°, 90° B 180°. Nilai dari cos (90° A B) . . . . A.
4 5 3 10
D.
3 8 3 10
B.
4 3 3 10
E.
3 8 3 10
C.
4 3 3 10
. . . .
A.
persamaan 2 untuk 0 d x 360
27. Diketahui segitiga PQR dengan PQ 12 cm, 7 PR 8 cm dan QR 4 cm. Jika D adalah sudut QPR, nilai tan D . . . .
21. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB 6 cm, AC 10 cm, dan sudut A 60°. Panjang sisi BC . . . . A. 2 19 cm D. 2 29 cm B. 3 19 cm E. 3 29 cm 22. Nilai tan 75° tan 15°
pertidaksamaan
26. Turunan pertama dari fungsi f(x) cos3 2x adalah fc(x) . . . . A. 6 cos2 2x sin 2x D. 3 cos 2x sin 4x B. 3 cos2 2x sin 2x E. 6 cos 2x sin 4x C. 3 cos 2x sin 4x
sin x S2 2 sin (2x S)
sin x° 3 cos x° adalah . . . . A. {15, 285} B. {75, 165} C. {105, 195}
penyelesaian
2 sin 2x° 3 d 0 untuk adalah . . . . A. {x | 15 d x d 75 atau 195 d x d 255} B. {x | 30 d x d 60 atau 210 d x d 240} C. {x | 60 d x d 120 atau 240 d x d 300} D. {x | 105 d x d 165 atau 285 d x d 345} E. {x | 120 d x d 150 atau 300 d x d 330}
y
C.
2 sin (3x 45)° 2 sin (3x 15)° 2 sin (3x 45)° 2 sin (3x 15)° 2 sin (3x 45)°
24. Himpunan
19. Persamaan grafik di bawah adalah . . . .
S2
y y y y y
29. Persamaan grafik trigonometri pada gambar adalah . . . .
y
y
2 2 0
15
45
75
105
135
x
2 2
28
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
S O
5S 6
4S 3
2S
x
A.
y
B.
y
C.
y
D.
y
E.
y
A. B. C. D. E.
2 sin ¨§ x S ¸¡ 6š Š 2 cos ¨§ x S ¸¡ 6š Š 2 sin ¨§ x S ¸¡ 6š Š S § 2 cos ¨ x ¸¡ 6š Š 2 cos ¨§ 2 x S ¸¡ 6š Š
2 2 2 2 2
cos cos cos cos cos
(3x 2(x 2(x 3(x 3(x
20)° 20)° 20)° 20)° 20)°
35. Himpunan penyelesaian dari 2 cos x cos 10° ! 1 2 sin x sin 10° untuk 0° d x d 360° adalah . . . . A. {0 d x 70, 310 x d 360} B. {0 d x 60, 300 x d 360} C. {60 x 180, 320 x d 360} D. {0 d x 90, 240 x 320} E. {30 x 120, 245 x 330}
30. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos 4x° 3 sin 2x° 2 untuk 0 x 180 adalah . . . . A. {x| 15 x 75} B. {x| 14 x 75} C. {x| 15 x 45} D. {x| 15 x 45 atau 135 x 180} E. {x| 0 x 15 atau 75 x 135}
36. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 sin x 2 cos x
A. B. C.
2 3 cos x sin x untuk 0° d x d 360° adalah . . . . A. 75° dan 285° D. 15° dan 345° B. 75° dan 345° E. 15° dan 75°
15 dan 140 45 dan 150 30 dan 140
D. E.
D 6 3
10 3
6 cm,
QR 10 cm dan sudut P 60°. Sudut R A. 45° D. 90° B. 55° E. 105° C. 75°
....
32. Diketahui segitiga PQR dengan PQ
p, maka cos 2D
. . . . 2
1 p2
A.
D. 2
2(1 p)
B. C.
60 dan 150 90 dan 150
37. Nilai sinus dari sudut C pada gambar berikut adalah . . . .
15° dan 285°
33. Diketahui tan D
2 3
untuk 0° d x d 360° adalah . . . .
31. Nilai x yang memiliki persamaan
C.
y y y y y
E.
(1 p )
C 4
60° A
B
A.
1 3
3
D.
B.
1 6 1 5
11
E.
C.
1 p2
2 3
2 3 5 6
11
38. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dan B
1 p2
lancip, sin A
1 p2
1 2
2 7
dan sin B
1 p2
Nilai cos C
(1 p )2
A.
3 21 14
D.
1 14
7
B.
5 7 14
E.
1 14
21
C.
1 7 14
34. Persamaan grafik pada gambar di bawah ini adalah . . . . y
7.
. . . .
39. Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut ini dapatydinyatakan sebagai . . . .
2 6
80 0 2
20
50
x 110
3 75 0 3
30
120
x 165
6
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
29
A. B. C. D. E.
y y y y y
6 6 6 6 6
sin 2(x 30)° sin (2x 30)° cos (2x 30)° cos 2(x 40)° cos (x 30)°
40. Turunan pertama f(x)
Nilai f c 41 S A. 8 B. 4 C. 2
45. Himpunan penyelesaian persamaan 1 2
sin (x 210)° sin (x 210)°
cos x adalah fc(x). sin x tan x
....
D. E.
3
untuk 0° d x d 360° adalah . . . . A. {30°, 210°} D. {300°, 330°} B. {210°, 300°} E. {300°, 360°} C. {210°, 330°} 46. Grafik fungsi trigonometri di bawah mempunyai persamaan . . . .
2 4
2
1
41. Himpunan 2 cos 2x
penyelesaian
pertidaksamaan
3 d 0 dalam interval S d x d S
45
135
225
315
405
adalah . . . . A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
^x | 1011 S d x d 101 S , 101 S d x d 1011 S ` ^x | 1011 S d x d 111 S , 111 S d x d 1011 S ` ^x | 1211 S d x d 121 S , 121 S d x d 1211 S ` ^x | 1312 S d x d 131 S , 131 S d x d 1312 S ` 1 S , 1 S d x d 13 S S d x d 14 ^x | 13 14 14 14 `
42. Himpunan
penyelesaian
persamaan
3 cos x° sin x° 1 0 untuk 0 d x d 360 adalah . . . . A. {120, 150} D. {150, 300} B. {120, 300} E. {180, 300} C. {150, 270}
43. Segitiga ABC dengan AC Nilai sin ‘A° . . . . A. B. C. D. E.
BC
1 15 2 15 4 15 2 15 1 4
3 5
48. Jika sin D
dan tan E
4, 3
D dan E adalah
sudut lancip, maka nilai sin (D E) sin (D E) adalah . . . .
3.
C
6
47. Nilai x yang memiliki 2 cos x 2 sin x 2 untuk 0° d x 360° adalah . . . . A. 90° dan 180° D. 180° dan 360° B. 90° dan 270° E. 270° dan 360° C. 180° dan 270°
A.
9 25
D.
1
B.
16 25
E.
32 25
C.
18 25
6
15
49. Jika sin x cos x
p, maka sin x cos x
15
A.
1 (p 2
1)
D.
1 (1 2
B.
1 (1 2
p)
E.
1 p2 2
C.
1 ( p2 2
A
3
B
15
44. Diketahui tan D
2 3
; 0° D 90°
Nilai cos2 2D sin2 2D . 5 A. D. 13 7 B. E. 13 81 C. 169
30
6 dan AB
cos (x 45)° 1 cos (x 90)° 1 cos (x 90)° 1 sin (x 45)° 1 sin (x 45)° 1
y y y y y
. . . 119 169 131 169
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
....
2
p )
1)
50. Dalam segitiga ABC diketahui AB 8 cm, BC 11 cm, dan CA 5 cm. Jika D sudut di hadapan sisi BC, maka 10 sin D . . . . A.
2 21
D.
21
B.
4 5
E.
2 21
C.
1 2
21
1 2
51. Jika
S x S dan sin
tan x A. B. C.
D.
2 3 1 3
E.
2
1 4
A.
2
B.
34 2 1 S, 2
a untuk 0 x
2a D.
2
(1 a )
E.
(1 a2 )
persamaan 2
(1 4a ) 2a2
(1 4a2 )
53. Jika dari segitiga ABC diketahui AC 8,17 cm, BC 10 cm dan sudut A 60°, maka sudut C adalah . . . . A. 105° C. 55° B. 95° D. 45° C. 75° 9 54. Pada 'ABC diketahui cos (B C) . Jika 40 panjang AC 10 cm, AB 8 cm, maka panjang sisi BC . . . .
A.
8 2 cm
D.
11 2 cm
B.
9 2 cm
E.
12 2 cm
C.
10 2 cm
55. Gambar di bawah adalah grafik fungsi . . . . y 4
A. B. C.
E.
t2 1 t
360°
4
y y
sin 4x 4 sin x
y
1 sin x 4
56. Jika tan T
2t 1 t2
D. E.
y y
sin x 4 sin x 4
(sudut lancip), maka
T sama dengan . . . .
2 adalah . . . .
3 cos x sin x
75° dan 285° 75° dan 345° 15° dan 285°
D. E.
15° dan 345° 15° dan 75°
58. Jika x memenuhi 2 sin2x 7 sinx 3 0 x S maka cos x . . . . 2 1 A. 3 3 D. 21 2 B.
1
C.
1 2
E.
2
1 2
0 dan
3
59. Penyelesaian 2 cos 3x° - 1 t 0 pada 0° d x d 180° adalah . . . . A. x° d 60°; x t 300° B. x° d 60°; 100° d x d 180° C. 0° d x° d 20°; 100° d x d 140° D. 20° d x° d 100°; 140° d x d 180° E. 0° d x° d 20°; 140° d x d 180° 60. Bentuk 2 cos x 6 sin x dinyatakan ke dalam bentuk k cos (x D), 0 d x d 2 S adalah . . . .
2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 cos x
7S 6
4S 3
7S 6
4S 3
A.
2 2 cos x 31 S
B.
2
C.
2
D.
4
E.
4
180° 90°
1 2
t 1 t2
1 t2
maka
2a
cos
D.
57. Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi
a
A. B. C.
1 1 t2
C.
a
C.
1 t
2
t
2
52. Jika sin x cos x tan 2x . . . .
B.
1
maka
. . . .
2 2
A.
1 3
x
61. Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas AB A. B. C.
2 3 cm maka tan B 1( 3 1( 2
2 2
2
3) 3)
D. E.
. . . .
2 2 3 3 2
3
3
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
31
Analisis
62. Jika T adalah sudut lancip yang memenuhi tan 2T
A.
1 2
2
B.
5
C.
1 5 1 3
D.
1 2
6
E.
1 3 6
7 A.
4 tan T
0 , maka cos T
. . . .
3
Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingat kembali rumus penjumlahan dan selisih dua sudut begitu juga dengan penjumlahan dan selisih sinus dan cosinus.
DIMENSI TIGA
Menggambarkan Bangun Ruang
1.
Bidang gambar adalah bidang datar yang akan digunakan untuk bangun ruang.
2.
Bidang frontal adalah bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar lain.
3.
Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal. x
Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal vertikal dan bidang ortogonal horizontal.
x
Bidang ortogonal vertikal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke kanan.
x
B. 1.
Bidang ortogonal horizontal adalah bidang ortogonal yang menghadap ke atas atau ke bawah.
Jarak Dan Sudut
Perbandingan proyeksi Panjang garis ortogonal pada gambar Panjang garis ortogonal sebenarnya
32
Soal tentang trigonometri paling banyak keluar dalam ujian nasional. Tahun 2000 sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7 soal, tahun 2002-2003 sebanyak 4 soal, tahun 2004 sebanyak 6 soal.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2.
Sudut surut adalah sudut pada gambar yang dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan dengan garis ortogonal arah ke belakang yang berpotongan.
C.
Volume Bangun Ruang
No. Bangun
Volume
Keterangan
Ruang 1.
Prisma
Luas alas u t
t
tinggi
2.
Tabung
Sr2 u t
S
22 7
3.
Limas
1 3
u Luas alas u t t
tinggi
2
1Sr 3
3,14, r
jari-jari, t
tinggi
3,14, r
jari-jari, t
tinggi
t
S
22 7
Bola
4Sr3 3
S
22 7
6.
Kubus
s3
s
sisi atau rusuk
7.
Balok
pulut
p
panjang, l
4.
Kerucut
5.
3,14, r
jari-jari
lebar, t
tinggi
Contoh Soal 1.
•
Rusuk TA, TB, TC pada bidang empat T¡ABC saling tegak lurus pada T. AB AC 2 2 dan AT 2. Jika D adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka tan D . . . . A.
2
D.
B.
3
E.
C.
2 2
2.
3 2 6 2
A.
1 2
D.
B.
2 2
C.
3 2
T 2
E.
Q
2 2
2
Kunci: A
Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45° dengan V dan 30° dengan W. Sinus sudut antara l dan g adalah . . . .
Jawab:
A
Perhatikan ' ATD! AT 2 tan D TD 2
C
1 3
3
2 3
R W
30°
D 2 2
D g B
AB AT
•
Rusuk TA A TB A TC Â&#x; TA A bidang TBC maka TA A TD sehingga ' ATD siku-siku di T
Jawab:
Perhatikan ' ATD!
l
3.
2 TA A TC Â&#x; TC
•
2
Perhatikan ' TBC!
BD
TB 2 TC 2 1 BC 2
QR // garis g
•
sudut antara garis l dan g adalah ‘PQR.
•
' PQR adalah segitiga samasisi Â&#x; ‘PQR 60° sin 60°
(2 2)2 (2)2
BC
•
AB 2 AT 2
TA A TB Â&#x; TB
•
45° P
2 2
•
•
AC 2
V
1 (2 2
22 22 2)
2 2
2
1 2
Kunci: C
3
Pada limas beraturan T¡ABCD, AT 3a 2 dan AB 3a. Luas irisan bidang datar melalui A dan tegak lurus TC dengan limas adalah . . . . A.
a2 3
D.
6a 2 3
B.
3a 2 3
E.
6a 2 6
C.
3a 2 6
Perhatikan ' TBD!
TD
TB 2 BO2
4 2
2
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
33
Jawab:
1 u 2a 2 3 3 a2 2 2
T
6 u 2a 2
3a2 3 Kunci: B
E
4.
F
3a 2
H D
C
G U
A
3a
B
Perhatikan ' TAC! AC
AB 2
AC
AT
3a 2
CT
3a 2 Â&#x; ' TAC adalah segitiga samasisi sehingga: Garis tinggi Garis bagi Garis berat. Titik H merupakan titik berat. Sehingga: TU : HU 2 : 1 FG // DB TH : HU 2 : 3
FG
2 3
2 3
DB
u 3a 2
Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang W membentuk sudut lancip dengan bidang V. Jika W memotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada W . . . . A. tegak lurus pada V B. tegak lurus dengan s C. bersilang tegak lurus dengan g D. sejajar dengan V E. sejajar dengan s Jawab: g V
P
D
Oc s
O
2a 2
W
Perhatikan irisan bidang datar (layang-layang)! C
F
x x
G
H
x x
A
AE
Â&#x; CF2
1 AC 2 1 2
x
u 3a 2
3a 2
AE
x
TC 2 CF 2
TU
2
x 2
3a 2
2
32 a 2
18a2 92 a2 27 a2 2
3a 2
6
Luas layang-layang AGEF 1 2 1 2
34
u diagonal 1 u diagonal 2 u AE u FG
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Garis g A bidang W. Bidang V dan W membentuk sudut D (D sudut lancip). Garis s merupakan garis perpotongan bidang V dan W. P merupakan titik tembus garis g pada bidang V (titik P terletak pada garis g) Proyeksi titik O pada bidang V adalah Oc, sehingga garis OOc A bidang V Garis OOc A bidang V dan garis s terletak pada bidang V, maka garis OOc A garis s Garis g tegak lurus bidang W dan garis s terletak pada bidang W, maka garis g A garis s Sehingga diperoleh: x garis g A bidang OOcP dan x garis OcP pada bidang OOcP maka x garis s A garis OcP OcP merupakan proyeksi garis g pada bidang W tegak lurus dengan s. Kunci: B
5.
Jawab:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah . . . . A.
1a 3
3 cm
D.
a 2 cm
B.
1a 3 2a 3
6 cm
E.
a 3 cm
C.
H
AF 2 FR 2
AR
2
a 2
2
21 a 2
E
F D
3 a2 2
6 cm
1a 6 2 2 AR 3
AS
G R
S
C
a 2
A 2 3
u
1a 2
6
a
1a 3
B
6
Kunci: B
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
3.
4.
Diketahui kubus ABCD.EFGH di mana titik P, Q dan R adalah titik pertengahan rusuk AD, BC, dan CG. Irisan kubus dengan bidang yang melalui P, Q, dan R berbentuk . . . . A. segi empat sembarang B. segitiga C. jajargenjang D. persegi E. persegi panjang Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 2 cm. Jarak A ke TC adalah . . . . A. 6 cm D. 8 cm B. 6 2 cm E. 8 6 cm C. 6 6 cm
5.
6.
7.
Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCD dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah D. Nilai tan D . . . . A.
2 2
B.
2 3
C.
1
2
D.
1 2
3
E.
1 3
3
8.
Panjang rusuk tegak
11 cm dan panjang rusuk alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah D, maka cos D . . . .
A. B.
5 9
C.
2 9
11
14
D.
1 2
E.
8 9
A.
20 cm
D.
12 cm
B.
18 cm
E.
8 cm
C.
14 cm
Pada kubus ABCD.EFGH, D adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Nilai sin D . . . . A.
1 4
3
D.
1 3
3
B.
1 3
6
E.
1 2
3
C.
1 4
2
Prisma segi empat beraturan ABCD EFGH dengan rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D dan TH sama dengan . . . . A.
12 41
41 cm
D.
36 41
B.
24 41 30 41
41 cm
E.
2 41 cm
C.
Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
3 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah . . . .
3
41 cm
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah D, maka sin D . . . . A.
1 4
2
D.
1 2
3
B.
1 2 1 3
2
E.
1 2
6
C. 9.
41 cm
3
Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah . . . .
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
35
A.
69 2
D.
138 12
B.
69 6
E.
138 6
C.
139 24
10. Perhatikan gambar di bawah!
AT , AB dan AC saling tegak lurus di A. Jarak titik A ke bidang TBC adalah . . . . A. B. C. D. E.
T
5 6 cm 4 5 3 cm 3 5 2 cm 2 5 6 cm 3
5 cm
A
C
5 cm B
A.
1 2
3
D.
1 3
2
B.
1 3
3
E.
1 6
2
C.
1 6
3
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal AC dan BD. Jarak E ke garis GM adalah . . . . A. 3 2 cm D. 3 6 cm E.
6 3 cm
13. Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm adalah . . . . A. 2 6 cm D. 6 2 cm B. C.
4 3 cm 3 6 cm
E.
3 10 cm
14. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah . . . . A. 15° D. 60° B. 30° E. 75° C. 45° 15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak titik P ke diagonal ruang AG . . . . 36
D.
3 2 cm
B.
3 5 cm
E.
3 cm
C.
3 3 cm
16. Diketahui limas T.ABC, TA TB 5. TC 2, CA CB 4, AB 6. Jika D sudut antara TC dan bidang TAB, maka cos D . . . . 7 13 A. D. 16 16 9 15 B. E. 16 16 11 16
5 cm
5 2 cm
3 3 cm 4 3 cm
3 6 cm
C.
11. Pada kubus ABCD.EFGH, D adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Nilai cos D . . . .
B. C.
A.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
17. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus dari sudut antara bidang ABC dan bidang ACF adalah . . . . A.
1 2
2
D.
2 2
B.
2 3
2
E.
1 3
C.
3
2
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. P adalah titik tengah FG. Jarak titik P dan garis BD adalah . . . . A.
4 6 cm
D.
2 14 cm
B.
4 5 cm
E.
4 3 cm
C.
6 2 cm
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD dan bidang ACH adalah . . . . A.
1 3
3
D.
1 3
6
B.
1 2 1 2
3
E.
1 2
6
C.
2
20. Pada kubus ABCD.EFGH diketahui P adalah titiktitik tengah rusuk AE. Sudut antara bidang PFH dan bidang BDHF adalah b. Nilai sin b . . . . A. B. C.
1 3 1 2 1 4
6
D.
2
E.
1 3 1 6
3 6
6
21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik potong EG dan FH. Jarak titik P dan bidang BDG adalah . . . . A. B. C.
1 3 2 3 4 3
3 cm
D.
3 cm
E.
3 cm
1 3 2 3
6 cm 6 cm
22. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm, dan TA 9 cm. Sudut antara TA dan bidang TBC adalah D. Nilai tan D . . . . A.
7 23
D.
23 7
B.
46 24
E.
7 23 23
C.
46 12
27. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut antara CG dengan bidang BDG ialah . . . . A.
23. Dari sebuah bidang empat ABCD diketahui BC A BD dan AB tegak lurus bidang BCD (AB A BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut antara bidang ACD dan BCD . . . . S S D. A. 6 3 S S B. E. 5 2 S C. 4 24. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD. Panjang proyeksi TA pada TBC adalah . . . cm. A.
5 34
B.
3 21
C.
3 4 1 2
D. E.
26. Suatu garis lurus mempunyai gradien 3 dan memotong parabola y 2x2 x 6 di titik (2, 4). Titik potong lainnya mempunyai koordinat . . . . A. (4, 2) D. (3, 2) B. (3, 1) E. ( 4, 22) C. (7, 1)
B. C.
3 H
2 1 2
E
2
D.
3
E.
6
G F
D A
C B
Analisis Tahun 2000, soal tentang dimensi tiga sebanyak 4 soal, tahun 2001 dan 2004 keluar 3 soal, sedangkan tahun 2002, 2003, dan 2005 keluar 2 soal.
T
8
cm
55
1 2
61
59
D
C
A
6 cm
B
25. Bidang empat beraturan ABCD. Sudut antara bidang ABC dan BCD adalah D. Nilai tan D . . . . 1 D A. 3 C B. 2 2 C. 2 D.
3 2
E.
2 2 3
2
Pelajari cara menentukan irisan bidang, jarak antara titik terhadap garis pada bidang, dan sudut antara garis pada bidang.
A 4 cm B
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
37
8
STATISTIKA
A.
d.
Ukuran Pemusatan
Kuartil x
1.
Data tunggal Rata-rata ( x )
b.
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data (x) yang telah diurutkan dari data terkecil atau sebaliknya.
x
x
Me
x
Me
xn
1 2
di mana L1
6x i n
Jumlah semua nilai data Banyak data
a.
c. d.
o n ganjil
xn xn 2
2
1
o n genap
x
Modus adalah data yang paling sering muncul. Kuartil adalah nilai yang membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama banyaknya Bagian 1
Data minimum
x
Bagian 2
Q1
x
Bagian 3
Q2
x
Bagian 4
Q3
x
Batas bawah kelas kuartil bawah f1 Frekuensi kelas kuartil bawah 6f1 Jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil bawah N Jumlah data (6f) c Interval kelas Kuartil tengah Median Me Q2 (Lihat median) Kuartil atas: Q3
di mana L3
x
Data maksimum
di mana Q1 kuartir bawah, Q2 (median), dan Q3 kuartil atas 2.
§ N ÂŚ f1 ¡ ¸ ˜ c L1 ¨ 4 ¨ ¸ f1 Š š
Kuartil bawah: Q1
f3
kuartil tengah
6f3
Data berkelompok a.
b.
6f2 ¡ ¸¸ ˜ c š
Q2
di mana
Batas bawah kelas median Frekuensi kelas median Jumlah frekuensi sebelum kelas median Jumlah data (6f) Interval kelas
L f 6f2
f2
B.
f2 c
Batas bawah kelas modus Frekuensi kelas dengan frekuensi sebelum kelas modus Frekuensi kelas dengan frekuensi sesudah kelas modus Interval kelas
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
¡ ¸ ˜ c ¸ š
Batas bawah kelas kuartil atas Frekuensi kelas kuartil atas Jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil atas Jumlah data (6f) Interval kelas
Ukuran Penyebaran 1 2
(Q1 Q3)
1.
Rataan kuartil
2.
Rataan tiga
3.
Statistik lima serangkai
1 4
(Q1 2Q2 Q3)
Q2
§ f1 ¡ L0 ¨ ¸ ˜ c Š f1 f2 š
Modus: M0 di mana L0 f1
38
§N L2 ¨ 2 ¨ Š
Median: Me
N c c.
N c
6xi ˜ fi Rata-rata: x 6fi di mana xi Titik tengah kelas-i fi Frekuensi-i
§ N Œ f3 L3 ¨ 4 ¨ f3 Š
4.
Q1
Q3
Xmin
Xmax
Rentang (jangkauan) adalah selisih antara data terbesar dan terkecil. R
Xmax – Xmin
5.
6.
Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1) H Q3 – Q1 Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan. Qd
1 2
1 2
H
7.
Varians V
8.
1 n ÂŚ ( xi x )2 ni 1
2
S
Simpangan baku
(Q3 – Q1)
S
S2
1 n ( xi x )2 ÂŚ ni 1
Contoh Soal 1.
Misalkan: •
Rata-rata umur dokter x1
•
Banyaknya dokter n1
•
Rata-rata umur jaksa x2 Banyaknya jaksa n2
• x
x 6
n1x1 n2 x2 œ 40 n1 n2
40n1 40n2 5n1 n1 n2
n1 : n2
35n1 50n2 n1 n2
C. D. E.
10 5
10 : 5
2 : 1 Kunci: D
Nilai Ujian Matematika
Frekuensi
4 5 6 8 10
20 40 70 a 10
6 u 70 8 u a 10 u 10 70 a 10 8a 100 a
800 8a 40 20
Kunci: D
Pada ujian Bahasa Inggris yang diikuti oleh 40 murid, rata-rata nilainya 32 dengan simpangan baku 25. Karena rata-rata terlalu rendah, maka nilai dikatrol, masing-masing nilai dikalikan dengan 2 kemudian dikurangi 10. Kesimpulan di bawah ini yang benar adalah . . . . A. rata-rata nilai menjadi 64 B.
35n1 50n2 10n2
4 u 20 5 u 40 20 40 80 200 420 140
840 6a 2a a 3.
Jawab:
2.
Jawab:
Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun. Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun, maka perbandingan banyaknya dokter dan banyaknya jaksa adalah . . . . A. 3 : 2 D. 2 : 1 B. 3 : 1 E. 1 : 2 C. 2 : 3
rata-rata nilai menjadi 63 3 4 simpangan baku tetap 25 simpangan baku menjadi 50 simpangan baku menjadi 40
Jawab: x Jumlah nilai mula-mula 40 u 32 x Simpangan baku (d) mula-mula d
1.280
2( x x )2 ÂŚf
ÂŚ( x 32)2 ÂŚf Jumlah nilai baru (2 u 1.280) (40 u 10) 2.560 400 2.160 25
x
Dari tabel di atas, nilai rata-rata ujian Matematika adalah 6, maka nilai a adalah . . . . A. 0 D. 20 B. 5 E. 30 C. 10
x
x
Rata-rata baru ( xB ) : 2.160 xB 54 40 xB 2xA 10
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
39
x
Simpangan baku baru (dB) dB
Misalkan:
ÂŚ( xB xB )2 ÂŚf
M0
Modus
L1
Tepi bawah kelas modus
ÂŚ(2 x A 10 54)2 ÂŚf
d1
Selisih nilai f modus dengan f di atas
d2
Selisih nilai f modus dengan f di bawah
ÂŚ(2 x A 64)2 ÂŚf
M0
4 ÂŚ(2 x A 32)2 ÂŚf ÂŚ( x A 32)2 2 ÂŚf 2 u 25 50
Perbandingan 7.200 mahasiswa yang diterima pada empat perguruan tinggi digambarkan sebagai diagram lingkaran berikut ini. Banyak siswa yang diterima pada perguruan tinggi IV adalah . . . . A.
1.500 orang
B.
2.240 orang
C.
2.880 orang
D.
2.940 orang
E.
3.200 orang
48,5
14 9 (14 9) (14 10)
48,5
5 5 4
6.
Kunci : A
49,06
Nilai ulangan 40 siswa disajikan dalam histogram berikut: 12 10 8
IV III 90°
I 54° II 72°
6 4 2
54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5
Jawab:
Nilai kuartil bawah pada data di atas adalah . . . .
Misalkan jumlah siswa yang diterima pada perguruan tinggi IV adalah n.
A. 60
D.
70
B. 64
E.
75
360 (90 72 54) u 7.200 360
n
C. 65
20
144 u 7.200 360 2.880
5.
d1 d1 d2
48,5 0,56 Kunci: D
4.
L1
Jawab: Kunci: C
Tabel berikut adalah hasil ulangan Matematika suatu kelas, maka modus adalah . . . . Nilai
31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72
f
4
A.
6
9
14
10
49,06
D.
51,33
B.
50,20
E.
51,83
C.
50,70
5
2
1 u n 4
1 u 40 4
Kelas Q1 Tb (6 f1) f1 c Q1
10
64,5 69,5 64, 5 3 6 9 10 5 § 10 9 ¡ ˜ 5 ¸ 64,5 ¨ Š 10 š
64, 5 0, 5 65
Jawab: Nilai f
40
Kunci: C
31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72 4
6
9
14
10
5
2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
Median dari data umur pada tabel di samping adalah . . . . A. 16,5 B. 17,1 C. 17,3 D. 17,5 E. 18,3
f
Umur 14 - 71
6
18 - 11
10
12 - 15
18
16 - 19
40
20 - 23
16
24 - 27
10
Diagram berikut menyajikan data berat badan (dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .
5.
Rataan hitung dari data pada histogram dari gambar adalah 10. Maka nilai n yang memenuhi adalah . . . . A. 4 9 B. 5 6 n C. 6 3 2 D. 7 Nilai E. 8 2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5
6.
Simpangan kuartil dari data pada gambar di bawah adalah . . . . frekuensi
frekuensi 26 12 14 12 8
8 6
0,5
3 1 O
A. B. C.
4.
36,1 46,5 46,9
D. E.
A. B. C.
berat badan
48,0 40,4
7.
2 21
D.
4
B.
3
E.
4 21
C.
3 21
8.
D. E.
Modus nilai ulangan pada data berikut adalah . . . . A. B. C. D. E.
Simpangan kuartil dari dua data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah . . . . A.
6,25 6,05 4,75
69,75 70,75 72,50 73,25 74,50
nilai
20,5
4,35 3,75
Nilai 55 60 65 70 75 80 85
-
59 64 69 74 79 84 89
f 2 6 11 12 9 7 3
Berat badan 48 siswa disajikan dalam histogram berikut ini.
Kuartil atas dari data pada diagram berikut adalah . . . .
12 10
frekuensi frekuensi
3.
40 44 45 49 50 55 55 59 60 64
10,5
14 10 8 5
8 6 4 2
3 46,5 50,5 54,5 58,5 62,5 66,5 70,5 74,5
data 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5
A. B. C.
71,5 72,0 72,5
D. E.
73,0 73,5
berat badan (kg)
Nilai kuartil bawah data di atas adalah . . . . A. 47,17 D. 59,17 B. 51,17 E. 63,17 C. 55,17 Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
41
9.
A. B. C.
Data berikut adalah hasil ujian Matematika suatu kelas SMA yang nilai rata-ratanya adalah x . Nilai Frekuensi
3 2
4 4
5 8
6 12
7 16
8 4
Pahami cara penyajian data dengan menggunakan diagram dan grafik. Hafalkan rumus-rumus ukuran pemusatan dan penyebaran data.
11. Jangkauan dan median dari data 21, 20, 19, 18, 17, 22, 22, 18, 17, 23, 24, 25, berturut-turut adalah . . . .
PELUANG
Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
5.
Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang sama adalah P
1.
2.
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut dengan memperhatikan urutannya.
3.
n u (n – 1) u (n – 2) u . . . u 3 u 2 u 1
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah Prn
4.
6.
Notasi faktorial n!
7.
Pnn
n
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
n , k l m d n k l m
Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah Psiklis
8.
n , k d n k
Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama adalah P
n , r d n (n r )
Banyak permutasi n unsur yang diambil dan n unsur yang tersedia adalah
42
2 dan 20,5 8 dan 20,5
Soal mengenai statistika keluar sebanyak satu soal pada tahun 2002-2005. Kemungkinan akan muncul juga satu soal pada tahun 2006.
10. Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9 adalah . . . . A. 5,0 D. 7,5 B. 7,0 E. 6,0 C. 5,5
A.
D. E.
Analisis
Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar atau sama dengan x 1 . Banyaknya siswa yang lulus ujian ini adalah . . . . A. 20 D. 36 B. 28 E. 40 C. 32
9
25 dan 21 25 dan 20 17 dan 21
(n 1)
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutannya.
9.
Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah
6.
Frekuensi harapan dari kejadian A fh
n , r d n r (n r )
Crn
B.
di mana N
C.
Peluang Suatu Kejadian
1.
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan.
2.
Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai peluang yang sama untuk muncul maka peluang kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A) adalah
1.
2. P(A) 3.
Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel disebut juga kejadian yang mungkin.
4
Jika Ac komplemen kejadian A maka peluang kejadian Ac adalah P(Ac)
Banyaknya percobaan
Peluang Kejadian Majemuk
Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S maka peluang kejadian A ‰ B adalah P(A ‰ B)
n( A) , A Â? S n(S )
P(A) P(B) P(A ˆ B)
Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang saling lepas maka peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas adalah P(A ‰ B)
3.
P(A) P(B)
Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas, maka berlaku
1 P(A) P(A ˆ B)
5.
P(A) u N
P(A) u P(B)
Frekuensi relatif suatu kejadian A
fr
di mana N
n( A ) N
Banyaknya percobaan
Contoh Soal 1.
Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah . . . . A. 168 D. 231 B. 189 E. 252 C. 210
Jawab: Kemungkinan yang terjadi: x
Semua putra (5 Putra dan 0 Putri) 7 C5
7 5 (7 5)
6 u 7 1u 2
21
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
43
x
4 Putra dan 1 Putri 7 3 u 7 C5 u 3C1 4 (7 4) 1 (3 1)
dapat diambil murid tersebut adalah . . . . A. B. C.
5 u 6 u 7 u 3 1u 2 u 3 35 u 3 105 x
5 u 6 u 7 u 3 1u 2 u 3 35 u 3 105
2.
5 C4
156
D.
600
B.
492
E.
720
C.
546
4.
9 (9 2)
Jadi, 6 u 72 x
9 7
4 2
60 kemungkinan.
Seorang murid diminta mengerjakan 9 soal dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
5
2 6 u (2 2) 2 (6 1) 1 6
Kedua suami istri tidak diundang 6 C3
u 2C0
6 2 u (6 3) 3 (2 0) 0 6 u 2 3 3 2 20 u 1
20
Jadi, banyak kemungkinan cara Linda mengundang temannya adalah 20 6 26 cm. Kunci: E 5.
Sehingga banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah: 432 60 492 Kunci: B
44
x
72
12
u 6C1
1u 6
432 kemungkinan
4 (4 2)
Jadi, 5 u 12
3.
2 C2
Wakil dan Sekretaris Kelas VII adalah 4 orang. 4 P2
5 1 4
A. 18 D. 24 B. 20 E. 26 C. 22 Jawab: x Kedua suami istri diundang
Kemungkinan terpilihnya Ketua Kelas IX ada 6 orang. Wakil dan Sekretaris ada di Kelas VII dan VIII Kemungkinan terpilihnya adalah 9 orang. Kemungkinan terpilihnya susunan 9 P2
5 (5 4) 4
Linda memiliki delapan teman akrab. Dia ingin mengundang tiga dari delapan temannya untuk diajak makan bersama. Tetapi dua di antara mereka adalah pasangan suami istri. Kedua suami istri diundang atau keduanya tidak diundang. Banyak kemungkinan cara Linda mengundang temannya adalah . . . .
Jawab: x Ketua harus di atas kelas yang lain, artinya harus Kelas VIII.
x
9 10
Kunci: B
Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri dari 4 anak Kelas VII, 5 anak Kelas VIII, dan 6 anak Kelas IX. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah . . . . A.
D. E.
Jawab: x Soal nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan x Soal nomor 6 sampai 10, yang dikerjakan hanya 4 soal, sehingga pilihannya adalah 4 soal dari 5 soal.
3 Putra dan 2 Putri 7 3 u 7 C5 u 3C2 3 (7 3) 2 (3 2)
Jadi, banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah: 21 105 105 231 Kunci: D
4 5 6
Sebuah kantong berisi empat buah bola merah dan lima bola berwarna putih. Jika dua buah bola diambil dari dalam kantong satu per satu dengan tidak mengembalikan setiap pengambilan, maka peluang terambilnya kedua bola itu berwarna merah sebesar . . . . A.
1 72
D.
1 12
B.
1 16
E.
1 6
C.
4 27
Jawab: • Banyaknya bola: n(S) 4 bola merah 5 bola putih 9 bola • Banyaknya bola merah: n(A) 4 bola • Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama: n( A ) 4 P ( A) n(S ) 9
•
Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan kedua: n( A ) 3 Â&#x; karena sudah P (B | A ) diambil satu n(S ) 8 P ( A ˆ B ) P ( A ) ˜ P (B | A ) 4 ˜ 3 9 8 12 1 Kunci: E 72 6
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah . . . . A. 336 D. 28 B. 168 E. 16 C. 56
2.
Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar Matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar Matematika maupun IPA adalah . . . .
3.
4.
A.
25 40
B.
12 40
C.
9 40
D.
4 40
E.
3 40
Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah . . . . 1 3 A. D. 10 8 3 57 B. E. 28 140 4 C. 15 Nilai A. B. C.
1 10 4 . . . . 14 15 16 114 9 D. 16 16 108 4 E. 16 16 84 16
5.
Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah . . . . 1 1 A. D. 8 2 1 3 B. E. 3 4 3 C. 8
6.
Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . . . .
7.
8.
A.
5 36
D.
9 36
B.
7 36
E.
11 36
C.
8 36
Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah . . . . A.
1 8
D.
9 16
B.
5 16
E.
7 8
C.
7 16
Populasi satu jenis serangga tiap tahun menjadi dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang akan datang populasinya sama dengan . . . .
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
45
9.
A.
2.557.500 ekor
D.
5.115.000 ekor
B.
2.560.000 ekor
E.
5.120.000 ekor
C.
5.090.000 ekor
Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah . . . . A.
6 36
D.
3 36
B.
5 36
E.
1 36
C.
4 36
10. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Jika dua tiket diambil secara acak, peluang terambilnya satu ganjil dan satu genap adalah . . . . A. B. C.
1 36 1 6 5 18
D.
7 18
E.
5 9
11. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng putih dan 2 kelereng biru. Dari dalam kotak diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah . . . . A.
1 4
D.
2 15
B.
3 20
E.
13 120
C.
1 8
12. Sepuluh kartu diberi nomor 1 sampai dengan 10. Dari kartu-kartu tersebut diambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor bukan prima dan bukan komposit adalah . . . . A. B. C.
46
0 4 10 6 10
D.
6 25
E.
1
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
13. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah . . . . A. 10 D. 80 B. 20 E. 120 C. 40 14. Dalam kotak I terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih, sedangkan dalam kotak II terdapat 7 bola merah dan 2 bola hitam. Dalam setiap kotak diambil satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam pada kotak II adalah . . . . A.
28 63
D.
6 63
B.
21 63
E.
5 63
C.
8 63
15. Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim tersebut adalah . . . . A. 20 D. 90 B. 30 E. 360 C. 60
Analisis
Soal tentang peluang selalu muncul setiap tahun. Tahun 2000-2003 dan 2005 keluar sebanyak 2 soal, sedangkan tahun 2004 hanya keluar 1 soal.
Pahami kisaran nilai peluang, faktorial, permutasi dan kombinasi.
10 A.
LINGKARAN DAN IRISAN KERUCUT
Persamaan-Persamaan Lingkaran
5.
Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran x2 y2 jika dan hanya jika a2 b2 ! r2.
r2
y
1.
2.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak tertentu disebut jari-jari lingkaran.
P(a, b) r O
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2. y
6. P(x, y)
O
OP
x
x
R
x2 y 2
r
2
r
y
2
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x a)2 (y b)2
7.
3.
Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.
r 8. r
x
O
r2
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: x2 y2 Ax By C 0 dengan
y
pusat
B¡ § A P ¨ , ¸ 2š Š 2
dan
jari-jari
A2 B2 C. 4 4
Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran (x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika (h a)2 (k b)2 r2
P(a, b)
4.
x
Titik P(a, b) terletak pada lingkaran x2 y2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.
r2
y
P(a, b) r
y
R(h, k) P(a, b) r O
O
x
x
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
47
9.
Titik R(h, k) terletak pada lingkaran (x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika r2
m(x1, y1) o
(h a)2 (k b)2
y
y1 b o
y R(h, k) P(a, b)
x
o x a o 1
P(a, b) r
x
O
C.
10. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran (x a)2 (y b)2
Persamaan Parabola
r2 jika dan hanya jika y
(h a)2 (k b)2 ! r2
l1
y
a(x, y) Q( p, y) P(a, b) r
0
• R(h, k)
O
f(p, o)
x
x
l2
x
p
11. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika 1.
h2 k2 Ah Bk C 0 12. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika 2
2
h k Ah Bk C
y2 4px 2.
0
13. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika
Persamaan parabola dengan titik fokus F(p, 0) dan garis direktriks x p adalah
Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik fokus F( p, 0) garis direktriks x p adalah y2 4px
3.
h2 k2 Ah Bk C ! 0
Persamaan parabola yang mempunyai fokus F(0, p) dan garis direktriks y p adalah x2 4py
4.
B.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
x2 5.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x a)(x1 a) (y b)(y1 b)
48
r2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik fokus F(0, p) garis direktriks y p adalah 4py
Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik fokus F(h p, k) adalah (y k)2 4p(x h)
6.
Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik fokus F(h p, k) adalah
3.
Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu utama garis y k dan sumbu sekawan garis x k adalah
(y k)2 4p(x h)2 7.
Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan direktriksnya adalah y k p dan titik fokus F(h, k p) adalah
Persamaan parabola di titik (h, k), dengan direktriks y k p dan titik fokus F(h, k p) adalah (x h)2 4p(y k)
D. 1.
2.
3.
4.
4.
• • • 5.
y 6.
y
E.
2.
Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan fokus di F1( c, 0) dan F2(c, 0) adalah
c a a r e
Eksentrisitas : e
•
Direktriks: x
2
h
k
2
k
a2
1.
2.
y
1
2
k
b2
m x h r
2
h
b2 adalah:
Bentuk umum persamaan elips Ax2 By2 Cx Dy E 0 dengan A z 0, B z 0, A z B
•
y
1 dengan gradien m
a2 m2 b2
Persamaan garis singgung elips
x
1.
di mana: • c2 a2 b2
1
Puncak: (h, k a) dan (h, k a) Titik ujung sumbu minor: (h b, k) dan (h b, k) Fokus : (h, k c ) dan (h, k c)
a2 adalah :
Persamaan Elips
1
b2
Persamaan garis singgung elips
x
Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah (y k) m(x h) m2p
a2 b2
2
h
b2
m(x h) m2p
y2
2
k
di mana:
p (y k) m(x h) m Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah p (y k) m(x h) m Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah
x2
y
Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu utama garis x h dan sumbu sekawan adalah garis y k
x
Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien m adalah
E.
di mana : • Puncak: (h a, k) dan (h a, k) • Titik sumbu minor: (h, k b) dan (h, k b) • Fokus : (h c, k ) dan (h c, k)
Persamaan Garis Singgung Parabola
(y k)
h
a2
(x h)2 4p(y k)2 8.
2
x
k
y
2
k
a2
m x h r
1 dengan gradien m
b2 m2 a2
Persamaan Hiperbola
Bentuk umum persamaan hiperbola adalah Ax2 By2 Cx Dy E 0 dengan A z 0 , B z 0 , A z B Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di F1(0, c) dan F2(0, c) selisih jarak terhadap kedua fokus sama dengan 2a adalah x2
di mana: b2
y2
a2 b2 c2 a2
1
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
49
3.
Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di F1(0, c) dan F2(0, c) adalah x2 a
4.
2
y2 b
1
2
a2
•
Persamaan direktriks y
•
Persamaan asimtot :
( y k )2
b2
1
(y k )
6.
di mana: • • • • •
2
2
b c a Sumbu nyata y k, dan sumbu sekawan x h Koordinat puncak (h a, k) dan (h a, k) Koordinat titik ujung (h, k b) dan (h, k b) Fokus (h c, k) dan (h c, k) Eksentrisitas: e
•
Direktriks x
•
Persamaan asimtot :
h r
a e
a
2
( x h )2 b
2
• • • • •
r
1 , mempunyai asimtot
a x b
( y k )2
1
a2 b2 dengan gradien m adalah
(y k ) 2.
b2 c2 a2 Sumbu nyata x h, dan sumbu sekawan y k Koordinat puncak (h, k a)dan (h, k a) Koordinat titik ujung (h b, k ) dan (h b,) Fokus (h , k c) dan (h, k c)
1 , mempunyai asimtot
b2
rb x a
( x h )2
1
di mana:
y2
Persamaan garis singgung hiperbola
Panjang latus rectum
( y k )2
a e
Persamaan Garis Singgung Hiperbola yang Berpusat di A(h, k)
r b ( x h) a
1.
r
k
a ( x h) b
y2 x2 Hiperbola 2 2 a b
G.
2b 2 a Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) sumbu utama sejajar sumbu-y adalah
Hiperbola 2 a
y
c a
•
•
7.
r
x2
y
2
(y k )
5.
Eksentrisitas: e
Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k), sumbu utama sejajar sumbu-x adalah ( x h )2
c a
•
a2 m2 b2
m( x h) r
Persamaan garis singgung hiperbola ( y k )2
( x h )2
1
a2 b2 dengan gradien m adalah
(y k )
b 2 m 2 a 2
m( x h) r
Contoh Soal 1.
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 y2 4x 6y 17 0 dan menyinggung garis 3x 4y 7 0 mempunyai persamaan . . . . A. (x 2)2 (y 3)2 25 B. (x 2)2 (y 3)2 16
C. D. E.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
25 16 25
Jawab: x x2 y2 4x 6y 17 x
50
(x 2)2 (y 3)2 (x 2)2 (y 3)2 (x 4)2 (y 6)2
Pusat:
21 ( 4), 21 (6)
0 Â&#x; P (2, 3)
x
x
2.
Jari-jari lingkaran: 3(2) 4( 3) 7 r (3)2 ( 4)2
ketiga lingkaran tersebut dan lingkaran besar L2 juga menyinggung ketiga lingkaran itu seperti pada gambar. Perbandingan jari-jari lingkaran L2 dan jarijari lingkaran L1 adalah . . . .
6 12 7 9 16
25 5 5 Persamaan lingkaran: (x 2)2 (y 3)2 œ (x 2)2 (y 3)2
52 25
Kunci: A
Jika titik ( 5, k) terletak pada lingkaran x2 y2 2x 5 y 21 0 maka nilai k adalah . . . . A. 1 atau 2 D. 0 atau 3 B. 2 atau 4 E. 1 atau 6 C. 1 atau 6
Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah . . . . x A. S x D. S 2x B. 2S x E. S x C. 2S Jawab: x
Keliling lingkaran (K)
2Sr
r
K 2S
x
Luas lingkaran (L)
x
Substitusi r
L
x
§K ¡ S¨ ¸ Š 2S š
4.
B.
14 : 1
C.
(7 4 3) : 1
D.
(7 4 3) : 1
E.
(7 2 3) : 1
K ke luas lingkaran 2S
S ˜
K2 4S
2
2K 4S
K 2S
3)
Jari-jari L1
r2
Jari-jari L2
R
Jari-jari lingkaran A, B, dan C
O
Titik pusat L1 dan L2
C R O R A D
E
1 2 1 2
Dengan demikian besar ‘DBO
‘ABC u 60q
30q
x
OD
OB
K2 4S
r u tan 30° Â&#x; tan 30° r u
1 3
1r 3
3
r
x
OD r
3
DB Â&#x; cos 30q cos 30q 1r 2
Kunci: C
B
Perhatikan ' ABC dan ' BOD! Segitiga ABC adalah segitiga samasisi, sehingga: ‘ABC ‘CAB ‘BCA 60°
Sr2
2
3) : (1
r1
x
Laju perubahan luas terhadap keliling: Lc
(1
Jawab:
Jawab: x Persamaan lingkaran: x2 y2 2x 5y 21 0 x ( 5, k) Â&#x;( 5)2 k2 2( 5) 5(k) 21 0 25 k2 10 5k 21 0 k2 5k 6 0 (k 1)(k 6) 0 sehingga k 1 atau k 6 Kunci: C 3.
A.
3
2r 3
2r 3
r2
OB BE
2r 3
3 r
r1
OB BE
2r 3
3 r
DB OB
3
Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama saling bersinggungan luar. Lingkaran kecil L2 menyinggung Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
51
x
32 r
r2 : r1
2r 3 2r 3
r2 r1
2 3 2 3
1
1
Dengan demikian
3 r : 32 r 3 r
r 32
3 r
r 32 3
3 r
3
x
r
CS
2 3 1 u 3 2 3 1 3 1 3
3 1
32 2 3 7 3
2
3 1 3
2
4 3
4 3
34 3
1 (7 3
1 3
1 3
5.
x
1
CQ
4 3) 1 3
x
CQ
( 3 )2 32
3 9
2 3
12
CS 3rC3 œ 2 3
9 3 2S
C.
9 3 4S
D.
3 3 S
E.
3 3 2S
x
9 3
S ( 3)2
3 u S u
1 3
3S
3
S
Luas daerah yang diarsir Luas ' PQR Luas lingkaran C (3 u Luas lingkaran kecil)
Kunci: C
9 3 4S
R
Koordinat titik fokus dari persamaan parabola y2 4y 8x 28 0 adalah . . . . A.
( 4, 2)
D.
( 2, 2)
B.
(2, 2)
E.
( 2, 2)
C.
( 2, 4)
Jawab:
C
y2 4y 8x 28
r
2
S
Q
SQ
u 6
x
Perhatikan ' PQR dan ' SQC. Segitiga PQR adalah segitiga samasisi,
3 cm
‘RPQ
8x 28
2
(y 2) 4
8x 28
2
8x 32
2
sehingga: ‘QRP
0
y 4y (y 2)
x
52
3
Luas lingkaran kecil 3 u Luas lingkaran kecil
C3
R
‘PQR
S r2
1 2
9 3 3S S
6.
1 2
u 6 u 6 sin 60°
x
3 u (S rC3)2
3
3
Luas lingkaran C
x
P
PQ
1 3
x
C C2
1 2
Luas ' PQR
3 u 6 u
C1
Jawab:
1 2
2 3
Kunci: E
R
P
3 3rC3
rC3
(7 4 3) : 1
B.
r 3
CS 2 SQ 2
3rC3
9 3 S
30°
3
' PQR segitiga dengan panjang setiap sisinya 6 cm. C lingkaran dalam ' PQR. C1, C2, dan C3 adalah lingkaran di dalam ' PQR yang masingmasing menyinggung luar lingkaran C dan menyinggung dua di antara tiga sisi segitiga itu. Luas bagian ' PQR yang terletak di luar keempat lingkaran itu adalah . . . . A.
u 60°
3
7 4 3 1
Jadi, r2 : r1
1 2
‘PQR
3 u tan 30° Â&#x; tan 30° 3 u
34 3 1
12
1 2
Besar ‘SQC
60°
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x x x
(y 2) (8x 4) Koordinat puncak ( 4, 2) 4p 8 o p 2 Fokus ( 4 p, 2) ( 4 2, 2) ( 2, 2) Kunci: E
7.
Jawab:
Persamaan garis singgung pada parabola x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada garis 2x 4y 7
4x2 48x 9y 72y 2
A.
2x y 5
0
D.
x 2y 5
0
B.
x 2y 5
0
E.
2x y 5
0
C.
2x y 5
144 144 144 4(x 6)2 9 (y 4)
x
0
x
x
x 4x
2y 10
a2 c2
(x 2)2 4
2y 10
c
0
(x 2)2
2y 6
(x 2)2
2(y 3)
2
p
1 2
2x 4y 7 4y
9.
1 7 1 x o m1 2 4 2 1 (karena tegak lurus)
1 ¡ m2 1 2 m2 2 Persamaan garis singgung:
1 2
(y 3) 2(x 2) 4 ¡
1 2
y 3
2x 4 2
y 3
2x 2
36, b2 16, h 36 16
1 2
2 5
Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak (2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik fokusnya adalah (3, 4) adalah . . . . A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22 0 B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0 C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0 D. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 22 0 E. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
x
2x y 5 0 Kunci: A
h c 2 c c
o b2
ax2 9y 48x 72y 144
6 2
B.
6, 2
C.
6 2
5 4
0 adalah . . . .
D.
6 2
5, 4
E.
6 2
5, 4
5, 4
5, 4
x
k
4
3 3 5
c2 a2 52 ( 4)2
Koordinat fokus pada elips
A.
4
6, k
Jawab: Puncak (2, 4), ( 6, 4) Fokus (3, 4) h a 2 h a 6 2h 4 h 2 x h a 2 2 a 2 a 4
(y k) m2(x h) m2 2p
(y 3) 2(x 2) 4 ¡
1
16
Kunci: C
(y 3) 2(x 2) (2)2 ¡
2
4
(6 2 5 , 4)
0 2x 7
m1¡ m2
y
144
Fokus: (6 2 5 , 4) dan
Puncak (2, 3) Â&#x; 4p
y1
8.
2
6
36
Jawab: 2
144
4(x 12x 36) 9(y 8y 16)2
0 adalah . . . .
x2 4x 2y 10
2
25 16 9 b
3
Persamaan asimtot: b y k r (x h) a 3 y k r (x 2) 4 Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
53
(i)
y 4
3 (x 2) 4
y 4
3 3 x 4 2
(ii) y 4
3 (x 2) 4
y 4
3 3 x 4 2
3 5 x 0 4 2 4y 3x 10 0 Jadi persamaan asimtotnya 3 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0 Kunci: B
3 11 x 0 4 2 4y 3x 22 0
y
y
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional Garis singgung lingkaran x2 y2 25 di titik ( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . . A. 3 D. 9 B. 5 E. 11 C. 7
1.
2.
Koordinat fokus elips 9x2 25y2 18x 100y 116 adalah . . . . A. (2, 1) dan ( 6, 1) B. (6, 1) dan (2, 1) C. (3, 2) dan ( 5, 2) D. (3, 2) dan ( 5, 2) E. (5, 2) dan ( 3, 2)
3.
D. E.
( y 1)2 9 3y 11 0 3y 5 0 4y 6 0
5.
54
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
y
x 3 4
B. C.
y y
2x 4 x 4
E.
y
x 2 4
Persamaan garis singgung pada y 2x2 6x 7 yang tegak lurus garis 2y 13 0 adalah . . . . A. 2x y 15 0 B. 2x y 15 0 C. 2x y 15 0 D. 4x 2y 29 0 E. 4x 2y 29 0
8.
Jarak antara titik pusat lingkaran x2 4x y2 4 0 dari sumbu-y adalah . . . .
2 x di titik .. 2 1
Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . .
D.
7.
1 adalah . . . .
Persamaan garis singgung kurva y x pada kurva dengan absis 2 adalah . . A. y 3x 2 D. y 3x B. y 3x 2x E. y 3x C. y 3x 1
4.
x 4
Diketahui persamaan hiperbola 9x2 4y2 54x 8y 41 0 persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah . . . . A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0 B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0 C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0 D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 7 0 E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 1 0
0
3x 4y 10 0 3x 4y 6 0
y
6.
Salah satu persamaan asimtot hiperbola
( x 2)2 16 A. 4x B. 4x C. 3x
A.
9.
A.
3
D.
1 21
B.
2 21
E.
1
C.
2
kurva x
Koordinat salah satu fokus elips 7x2 16y2 28x 96y 60 0 adalah . . . . A. (2, 0) D. ( 1, 3) B. (2, 6) E. ( 2, 3) C. (2, 3)
10. Suatu garis menyinggung kurva y x3 3x2 2x 5 di titik T(1, 3). Persamaan garis singgung tersebut adalah . . . . A. y 5x 7 D. y 7x 5 B. y 5x 10 E. y 7x 10 C. y 7x 3 11. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0), A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . . A. 3x 4y 2 0 B. 3x 4y 32 0 C. 3x 4y 32 0 D. 4x 3y 32 0 E. 4x 3y 32 0 12. Koordinat pusat hiperbola 3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . . A. ( 2, 4) D. (2, 4) B. ( 2, 4) E. (4, 2) C. (2, 4)
B. C.
0, 134
0, 154
0, 174
14. Persamaan (x 4)2 (y x 3y 5 A. y 3x B. y 3x C. y 3x D. y 3x E. y 3x
D. E.
B. C.
garis singgung lingkaran 2 3) 40 yang tegak lurus garis 0, adalah . . . . 1 dan y 3x 30 2 dan y 3x 32 2 dan y 3x 32 5 dan y 3x 35 5 dan y 3x 35
15. Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak (1, 3) dan melalui titik (3, 7) adalah . . . . A. (y 1)2 8(x 3) B. (y 1)2 12(x 3) C. (y 3)2 6(x 1) D. (y 3)2 8(x 1) E. (y 3)2 12(x 1) 16. Panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips tersebut melalui titik P(8, 3). Persamaan elips adalah . . . .
( x 3)2 (y 42 ( x 3)2 (y 45
1)2 9 1)2 9
1 1 1
( x 3)2 ( y 1)2 42 18
1
E.
( x 3)2 ( y 1)2 45 36
1
17. Salah satu simbol asimtot hiperbola
( x 3)2 ( y 1)2 1 16 25 memotong sumbu-y di titik . . . .
B.
0, 194
0, 214
( x 3)2 ( y 1)2 40 9
D.
A.
13. Garis singgung pada parabola y x2 4 yang tegak lurus pada garis y x 3 memotong sumbu-y di titik . . . . A.
A.
C.
0, 2 41
0, 2 34
0, 4 21
D. E.
0, 4 41
0, 4 34
18. Suatu kurva melalui titik P(1, 3). Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama dengan
dy 2x 5 . dx adalah . . . . A. y x2 5x B. y x2 5x C. y x2 5x D. y x2 5x E. y x2 5x
Persamaan kurva tersebut
7 8 9 10 11
19. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser ª 1º  2Ÿ kemudian diputar 90° dengan pusat ( 1, 2). Persamaan bayangan elips tersebut adalah . . . . A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36 B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36 C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36 D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36 E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36 20. Diketahui kurva dengan persamaan y x3 5x2 7. Persamaan garis singgung kurva yang berabsis 1 dan tegak lurus y 2x 3 adalah . . . . A. x 2y 5 0 D. x 2y 6 0 B. x 2y 7 0 E. 2x y 5 0 C. x 2y 7 0
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
55
21. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis x y 1 0 dan garis x y 3 0 serta menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan lingkaran tersebut adalah . . . . A. x2 y2 4x 2y 20 0 B. x2 y2 2x y 20 0 C. x2 y2 4x 2y 20 0 D. x2 y2 2x y 20 0 E. x2 y2 4x 2y 20 0 22. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak ( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis singgung parabola tersebut yang bergradien 2 adalah . . . . A. y 2x 3 D. y 2x 8 B. y 2x 4 E. y 2x 12 C. y 2x 7 23. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan (0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan asimtot hiperbola adalah . . . . A.
y
B.
y
C.
y
D.
y
E.
y
4 3
x 3 dan y
34 x 3 dan y 3 x 3 dan y 4 3 x 3 dan y 4 16 x 3 dan y 9
4 3
x 3
4x 3 34 x 34 x 16 9
3
3 3 x 3
24. Persamaan garis singgung pada kurva y ax3 2x2 di titik (1, a 2) dan tegak lurus garis x 2y 4 adalah . . . . A. y 2x 2 D. y 2x 2 B. y 2x 1 E. y 2x 2 C. y 2x 1 25. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan 2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat di P dan menyinggung garis 3x 4y 0 adalah . . . . A. B. C. D. E.
x2 y2 4x 2y 2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
x y 4x 2y 2 x y 4x 2y 4 x y 8x 4y 4 x y 8x 4y 2
26. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan fokus (1, 2). Persamaan garis singgung parabola tersebut yang sejajar dengan garis 2x y 3 0 adalah . . . . A.
2y
4x 1
D.
2y
4x 1
B.
2y
2x 9
E.
2y
4x 7
C.
2y
4x 11
56
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
27. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta salah satu fokus (7, 1) adalah . . . . A. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 2 2 B. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0 C. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0 D. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0 E. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0 28. Salah satu persamaan garis singgung kurva y x3 6x2 18x 3 yang tegak lurus dengan garis 9y x 2 0 adalah . . . . A. y 9x 7 0 D. y 9x 3 0 B. y 9x 7 0 E. y 9x 3 0 C. y 9x 7 0 29. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0 serta menyinggung garis 3x 4y 8 0 adalah . . . . A. B. C.
x2 y2 6x 4y 12
0
2
2
0
2
2
0
2
2
x y 6x 4y 4 x y 6x 4y 5
D.
x y 6x 4y 23
0
E.
x2 y2 6x 4y 25
0
30. Diketahui parabola dengan koordinat titik puncak (2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3). Persamaan garis singgung pada parabola tersebut dengan gradien 3 adalah . . . . A. y 3x 4 D. y 3x 4 B. y 4x 3 E. y 3x 4 C. y 4x 3 31. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah (3, 4 5 ) dan (3, 4 5 ) sedangkan salah satu titik puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut mempunyai asimtot dengan persamaan . . . . A. y 2x 1 dan y 2x 5 B. y 2x 1 dan y 2x 4 C. y x 3 dan y x 1 D. y 2x 2 dan y 2x 10 E. y 2x 3 dan y 2x 8 32. Garis singgung y x3 2x 1 di titik dengan absis 1 adalah . . . . A.
y
2x 2
D.
y
B. C.
y y
x 1 x 1
E.
y
1x 2
1 2
3x 3
33. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . .
A. B. C. D. E.
(x (x (x (x (x
3)2 1)2 1)2 1)2 1)2
(y (y (y (y (y
1)2 3)2 3)2 3)2 3)2
10 10 10 10 10
34. Persamaan garis singgung pada parabola y2 8x yang sejajar dengan garis 2x y 1 0 adalah . . . . A. y 2x 1 D. 2y x 1 B. y 2x 1 E. y 2x 2 C. 2y x 1 35. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan 9x2 16y2 36x 32y 124 0 adalah . . . . A. 4y 3x 2 0 B. 4y 3x 1 0 C. 3x 4y 2 0 D. 3x 4y 2 0 E. x 3y 4 36. Gradien garis singgung sebuah kurva di setiap titik dy 3 x 2 4 x 3 . Jika kurva tersebut adalah dx melalui titik (3, 10) maka persamaan kurvanya adalah . . . . A. y x3 2x2 3x 10 B. y x3 2x2 3x 16 C. y x3 2x2 3x 26 D. y x3 2x2 3x 16 E. y x3 2x2 3x 26 37. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran x2 y2 4x 6y 12 0 adalah . . . . A. 3x 4y 19 0 B. 3x 4y 19 0 C. 4x 3y 19 0 D. x 7y 26 0 E. x 7y 26 0 38. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan garis direktriks x = 6 adalah . . . . A. B.
y2 2y 8x 31
0
2
C.
y 2y 8x 35
0
D.
x2 8x 8y 18
0
E.
2
x 8x 8y 24
0 adalah . . . .
x2 y2 4 b2 0. Nilai
40. Diketahui salah satu asimtot dari
1
sejajar dengan garis 6x 3y 5 . . . .
b2
A.
1 4
B. C.
1 4
D.
16
E.
25
41. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik ( 8, 1) dan (18,1) serta jarak kedua puncak hiperbola 24 satuan, adalah . . . . A.
( x 1)2 ( y 5)2 12 5
1
B.
( x 5)2 ( y 1)2 144 25
1
C.
( x 1)2 ( y 5)2 12 5
1
D.
( y 1)2 ( x 5)2 25 16
1
E.
( y 1)2 ( x 5)2 144 25
1
Analisis Soal tentang suku banyak selalu keluar setiap tahun. Tahun 2000-2001 keluar sebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005 keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluar juga 1 soal pada tahun 2006.
0
2
y 2y 8x 33
39. Koordinat titik fokus elips 9x2 25y2 36x 50y 164 A. (6, 1) dan ( 2, 1) B. ( 6, 1) dan (2, 1) C. (1, 6) dan (1, 2) D. (1, 6) dan (1, 2) E. (6, 1) dan ( 1, 1)
0
Pelajari cara menentukan sisa pembagian dan menentukan akar-akar persamaan suku banyak.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
57
11
SUKU BANYAK
A.
C.
Pengertian Suku Banyak
1.
Bentuk anxn an 1xn 1 an 2xn 2 ‌ a1x a0, dengan an z 0 dan n bilangan cacah disebut suku banyak dalam variabel x berderajat n.
2.
an, an 1, an 2, ‌ , a1, adalah bilangan-bilangan real yang merupakan koefisien-koefisien suku banyak dari masing-masing variabel x, sedangkan a0 disebut suku tetap.
B. 1.
Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian adalah: Yang dibagi Pembagi u Hasil bagi Sisa pembagian
2.
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x). f(x)
Nilai Suku Banyak
Jika dua buah suku banyak dalam variabel x memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka koefisien-koefisien suku-suku yang sepangkat adalah sama. anxn an 1xn 1 an 2xn 2 ‌ a1x a0 bn 1xn 1 bn 2xn 2 ‌ b1x b0
bnxn
maka: an 2.
1.
Pembagian Suku Banyak
bn, an 1
bn 1, ‌, a1
b1, dan a0
b0
Nilai suku banyak f(x) anxn an 1xn 1 an 2xn 2 ‌ a1x a0 untuk x k adalah: n
n 1
n 2
ank an 1k an 2k k bilangan real.
‌ a1k a0, dengan
h(x)g(x) s(x)
3.
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi x k, maka sisanya f(k).
4.
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
§ b¡ ax b, maka sisanya f ¨ ¸ . Š aš 5.
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2 bx c, maka hasil baginya h(x) berderajat n 2 dan sisanya s(x) px q. Jika pembagi g(x) dapat difaktorkan menjadi faktorfaktor linier (x c)(x d), maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x c)(x d) adalah s(x)
q
px q dengan p
f (c ) f (d ) dan c d
cf (d ) df (c ) c d
Contoh Soal Contoh 1.
Suatu suku banyak f(x) dibagi (x 2) sisanya 5 dan (x 2) adalah faktor dari f(x). Jika f(x) dibagi x2 4, sisanya adalah . . . . A. 5x 10 D. 5x 30 D. C.
58
5 4
x
5 2
E.
54
x
7 2
5x 10 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Jawab: • F(x) dibagi x2 4 sisanya ax b (x2 4) (x 2)(x 2) x 2 Â&#x; F( 2) 2a b 0 x 2 Â&#x; F(2 2a b 5 •
.... (1) .... (2)
Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)
2a b 2a b 4a
0 5 5
Jadi, sisanya adalah 80x 16
5 4
a
3.
5 2
Â&#x; b 2
Jadi, F(x) dibagi x 4 sisanya
5 4
x
Kunci: B 2.
Suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisanya 2 dan dibagi (x 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi (x 1) sisa 3 dan dibagi (x 3) sisa 2. Diketahui h(x) f(x) ¡ g(x), jika h(x) dibagi x2 2x 3, sisanya adalah . . . . A.
S(x)
3x 1
D.
S(x)
6x 1
B.
S(x)
4x 1
E.
S(x)
7x 2
C.
S(x)
5x 1
x
f(x) dibagi (x a) sisanya f(a) f(x) dibagi (x a)(x b) sisanya ax b
a
2
B.
5
E.
4
C.
51 2
Jawab:
Jadi, f(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya
1 Â&#x; f( 1) 2( 1)2 11( 1)2 17( 1) 6 36 z 0 (bukan faktor)
9 4
x
0 (bukan faktor)
1 4
Selanjutnya dicari faktor yang lain dengan cara skematik .
g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya px q p q
g( 1)
3p q
g(3) x
3
2
..... (3)
2
..... (4)
Faktor suku banyak
Eliminasi b dari Persamaan (3) dan (4) p q 3 3p q 2 4p p
Suku ke-3
Suku ke-4
11
17
6
4
14
6
7
2
3
0
Konstanta pada suku banyak
Sisa
(x 2) (2x2 7x 3)
(x 2) (2x2 1) (x 3)
1 4
Â&#x; q
11 4
Jadi, g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya
41 x 114 94 x 41
98 x 11)
1 ( 9 x 2 16 1 ( 9 x 2 16
1x 4
11 . 4
x1
2 x2
1 2
Jadi, x1 2x2
x3
3
1 1 1 x 2 2 ( ) (3) 3 3 2 3
2 1 1
9 16
x 2 2x 3
2
Suku ke-2
2x3 11x2 17x 6
1
1 ( 9 x 2 16
2(2)3 11(2)2 17(2) 6
2 Â&#x; f(2)
p
Suku ke-1
x
2(1)3 11(1) 17 ¡ 1 6
1 Â&#x; f(1)
p
1 4
Â&#x; b
D.
2 z 0 (bukan faktor)
b dari Persamaan (1) dan (2) 2 7 9 9 4
31 2
p
f(x) dibagi (x 1)(x 3) ..... (1) f( 1) a b 2 f(3) 3a b 7 ..... (2) Eliminasi a b 3a b 4a
A.
1 x adalah . . . . 3 3
Misalkan (x b) faktor dari suku banyak f(x) 2x3 11 17x 6. Sehingga p merupakan pembagi dari 6 yaitu r 1, r 2, r 3 dan r 6. Cari nilai dari f(p) untuk nilai-nilai tersebut sampai ditemukan salah satu faktor dari suku banyak f(x).
Jawab: x
Akar-akar persamaan 2x3 11x 17x 6 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x1 x2
5 2
5x 1 Kunci: C
4 Kunci: E
98 x 11) 18 x 27) 80 x 16
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
59
4.
Suku banyak V(x) jika dibagi x2 9 dan x2 16 sisanya 5x 2 dan nol. Jika V(x) dibagi oleh x2 7x 12 maka sisanya adalah . . . . A. S(x) 17x 68 B. S(x) 17x 68 C. S(x) 17x 68 D. S(x) 68 17x E. S(x) 68 17x
5.
A.
Jawab: x V(x) dibagi x2 9 sisanya 5x 2 Â&#x; x2 9 (x 3)(x 3) V(3) 5(3) 2 14 V( 3) 5( 3) 2 17 x
x
(x 3) dan (x 1)
B.
(x 3) dan (x 1)
C.
(x 3) dan (x 1)
D.
(x 3) dan (x 1)
E.
(x 2) dan (x 6)
Jawab: x
2x3 7x2 ax 3
f(x)
21
f
0
3
2
21 7 21
2 81 7 41 2
1 4
7 4
1a 2
a 1a 2
4p q
0
4p q
1a 2
1
a
2
V( 3)
3p q
17
3p q
1 2
..... (2)
2
Eliminsi q dari Persamaan (1) dan (2) 4p q 0 3p q 17 p p
17 17 Â&#x; q
2
2
2x 7x 2x 3.
Jadi, f(x) ..... (1)
3 0
(x 4)(x 3) 3
21 3
3
V(x) dibagi x2 7x 12 sisanya px q V( 4)
1 2
Â&#x; faktor (2x 1) sehingga x
V(x) dibagi x2 16 sisanya nol Â&#x; x2 16 (x 4)(x 4) V(4) 0 V( 4) 0 Â&#x; x2 7x 12
x
Suku banyak (2x3 7x2 ax 3) mempunyai faktor (2x 1). Faktor-faktor linier yang lain adalah . . . .
7
2
3
1
4
3
8
6
0
2x2 8x 6
Â&#x; Hasil bagi
2(x2 4x 3) 2(x 1)(x 3)
f(x) 68
2x3 7x2 2x 3 Kunci: B
2(2x 1)(x 1)(x 3)
2
Jadi, jika V(x) dibagi oleh x 7x 12 maka S(x) 17x 68. Kunci: A
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
2.
Suku banyak P(x) 3x3 4x2 6x 20 habis dibagi (x 2). Sisa pembagian P(x) oleh 3x2 2x 2 adalah . . . . A.
20x 24
D.
8x 24
B.
20x 16
E.
32x 16x
C.
32x 24
3.
Akar-akar persamaan x3 4x2 x 4 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 x22 x32 adalah . . . . A.
2
D.
17
B. C.
14 15
E.
18
60
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4.
Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1) bersisa 8 dan dibagi (x 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x 1) bersisa 9 dan jika dibagi (x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x) g(x) maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 2x 3) adalah . . . . A.
x 7
D.
11x 13
B.
6x 3
E.
33x 39
C.
6x 21
Suku banyak 6x3 13x2 qx 12 mempunyai faktor (3x 1). Faktor linier yang lain adalah . . . .
5.
6.
7.
8.
9.
A.
2x 1
D.
x 4
B.
2x 3
E.
x 2
C.
x 4
Fungsi y
4x3 6x2 2 naik pada interval . . . .
A.
0 x 1
D.
x 0
B.
x !1
E.
x 0 atau x ! 1
C.
x 1
Suatu suku banyak dibagi (x 5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi (x 1) sisanya 5. Suku banyak tersebut jika dibagi x2 6x 5 sisanya adalah . . . . A.
2x 2
D.
3x 2
B.
2x 3
E.
3x 3
C.
3x 1
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x 2 bersisa 11, dibagi oleh x 1 sisanya 4. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 x 2 bersisa . . . . A. x 5 D. 5x 1 B. x 5 E. 5x 1 C. 5x 21 Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi (x 1) (x 3) menghasilkan sisa . . . . A. x 1 D. 2x 1 B. x 3 E. 2x 3 C. 2x 1 Suku banyak P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a, habis dibagi oleh x 2, dibagi x 2 sisanya 4. Nilai a dan b berturut-turut adalah . . . . A. 7 dan 3 C. 3 dan 5 B. 2 dan 6 D. 1 dan 3 E. 4 dan 8
10. Akar real persamaan x5 2x4 4x2 ax b adalah x1 1, x2 3, dan x3. Nilai dari x1 x2 2x3 . . . . A. 0 D. 3 B. 1 E. 4 C. 2 11. Suku banyak x4 5x3 bersisa 2 dan dibagi a 3b . . . . A. 8 B. 6 C. 4
0
ax2 x b jika dibagi x (x 1) bersisa 1. Nilai D. E.
2 0
12. Diketahui persamaan x3 Dx2 x E 0. Jika D 1, E 2 dan J adalah akar-akar persamaan tersebut, maka nilai dari D2 E2 J2 . . . . A. 3 D. 12 B. 6 E. 14 C. 8 13. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa 182. Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . . A. 1 D. 16 B. 4 E. 25 C. 9 14. Akar-akar persamaan suku banyak 3 2 px 5x 22x q 0 adalah x1 1, x2 5 dan x3. Nilai x1 x2 4x3 . . . . A.
10
D.
2 21
B. C.
2 2
E.
10
15. Suku banyak x3 Ax2 Bx 6 habis dibagi (x 3x 2). Nilai A B . . . . A. 5 D. 17 B. 17 E. 19 C. 5 16. Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai akarakar x1, x2, dan x3. Nilai x1 x2 x3 dan x1x2x3 adalah . . . . A. 2 dan 6 D. 5 dan 6 B. 6 dan 2 E. 5 dan 6 C. 2 dan 6 17. Suku banyak f(x) jika dibagi x 2 sisanya 8 dan jika dibagi 3x 1 sisanya 1. Sisa pembagian f(x) oleh 3x2 5x 2 adalah . . . . A. 2x 3 D. 3x 2 B. 3x 3 E. 3x 2 C. 3x 2 18. p dan q merupakan akar-akar rasional dan persamaan 3x4 8x3 7x 2 0. Nilai p q . . . . A.
8 3
D.
B.
7 3
E.
C.
5 3
5 3 7 3
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
61
19. Diketahui suku banyak f(x) 21 x5 4x3 6x2 3x 8. Nilai suku banyak f untuk x 2 adalah . . . . A. 70 D. 18 B. 6 E. 26 C. 40
Pelajari cara menentukan sisa pembagian dan menentukan akar-akar persamaan suku banyak.
Analisis Soal tentang suku banyak selalu keluar setiap tahun. Tahun 2000-2001 keluar sebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005 keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluar juga 1 soal pada tahun 2006.
12 A. 1.
2.
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f(x) dan g(x) masing-masing terdefinisi pada daerah asalnya, maka: x fungsi f(x) dilanjutkan dengan fungsi g(x) dinyatakan oleh (g D f)(x) g(f(x)) terdefinisi jika Rf ˆ Dg z ‡. x fungsi g(x) dilanjutkan dengan fungsi f(x) dinyatakan oleh (f D g)(x) f(g(x)) terdefinisi jika Rg ˆ Df z ‡. Sifat-sifat fungsi komposisi
x
B. 1.
Suatu fungsi f : A o B memetakan setiap anggota A ke B secara unik. Invers dari fungsi f, ditulis f 1 merupakan balikan fungsi tersebut, yaitu relasi yang menghubungkan anggota-anggota di B ke A.
2.
Suatu fungsi f : A o B mempunyai fungsi invers f 1 : B o A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif, yaitu fungsi satu-satu dan onto.
3.
Misalkan f adalah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf maka f 1(x) adalah fungsi invers dari f jika dan hanya jika (f 1 D f)(x) (f D f 1)(x) x.
4.
Grafik fungsi f(x) dan grafik fungsi f 1(x) simetri terhadap garis y x.
5.
Jika f(x) dan g(x) fungsi bijektif dan f 1(x)dan g 1(x) masing-masing merupakan fungsi inversnya maka • (f D g) 1(x) (g 1 D f 1)(x)
Pada umumnya, fungsi komposisi tidak bersifat komutatif (f D g)(x) z (g D f)(x)
x
Fungsi komposisi bersifat asosiatif Untuk sembarang fungsi f(x), g(x), dan h(x), berlaku (f D (g D h))(x)
((f D g) D h)(x)
• 3.
Dalam fungsi komposisi terdapat unsur identitas, yaitu fungsi identitas I(x) x yang memiliki sifat (f D I)(x) (I D f)(x) f(x). 62
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Fungsi Invers
(g D f) 1(x)
(f 1 D g 1)(x)
Contoh Soal Contoh 1.
Jika g(x) (x 1) dan (f D g )( x ) x 2 3 x 1, maka f(x) . . . . A. x2 5x 5 D. x2 6x 1 B. x2 x 1 E. x2 3x 1 2 C. x 4x 3
x2 3x 1 (x 1)2 (x 1) 1 f(x 1) f(x) 2.
1 x 2 4x 5 x 2
(f D g )( x )
f (g ( x ))
Â&#x; Misalkan g(x) 1
f(g(x))
x 2
f ( g ( x ))
x2 4x 5
y2 1
f (y ) kedua ruas ...... dikuadratkan
f(x 1) f(x 1) (x 1)2 (x 1) 1 x2 x 1 Kunci: B
x2 4x 5 ( x 2 )2
y2
x2 4x 5 akan 1 ...... sam penyebut ( x 2 )2
Jika (g D f )( x ) 4x2 4x dan g(x) x2 1, maka f(x 2) adalah . . . . A. 2x 1 D. 2x 3 B. 2x 1 E. 2x 5 C. 2x 2
y2
x 2 4 x 5 ( x 2)2 ( x 2)2 ( x 2)2
y2 y2
Jawab:
y
4x2 4x
Diketahui: (g D f ) (x)
x2 1
Sehingga,
(g D f ) (x)
g(f(x))
g( x )
4x2 4x f(x)2 f(x)2 f(x)
f(x)2 1 4x2 4x 1 (2x 1)2 2x 1
g(x)
Jadi, f(x 2)
3.
y
( f D g )( x )
Jawab: (f D g ) (x)
(f D g )( x )
(f D g )( x )
1 x 2 4 x 5, x 2
maka g(x 3)
. . . .
A.
1 x 5
D.
1 x 3
B.
1 x 1
E.
1 x 3
C.
1 x 1
Jawab: Diketahui: f ( x )
1 ( x 2 )2
1 x 2
1 x 5 Kunci: A
Kunci: C
x 2 1 dan
f (x)
x2 4x 5 (x2 4x 4) ( x 2 )2 1 ( x 2 )2
1 x 2 1 x 3 2
y
g ( x 3)
4.
2(x 2) 1 2x 4 1 2x 3
y2 1
5x 3 , x z 21 , dan 2x 1 g(x) 3x 2. Hasil dari (f 1 D g )( x ) . . . . 3x 5 1 A. 6 x 1 , x z 6 3x 5 1 B. 6 x 1 , x z 6 3x 5 1 C. 6 x 1 , x z 6 6x 5 1 D. 6 x 3 , x z 2 6x 5 1 E. 6 x 3 , x z 2
Diketahui fungsi f ( x )
Jawab: f(x)
x2 1 y
5x 3 Â&#x; Misalkan f(x) 2x 1
y
5x 3 2x 1
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
63
(f
2yx y
5x 3
Jawab:
2yx 5x
3 y
(g D f )( x )
x(2y 5)
3 y
1
x
3 y 2y 5
f 1(x)
3 x 2x 5
D g )( x )
f 1(g(x))
Misalkan: (g D f )( x ) y y x y y x
f 1(3x + 2)
3 (3 x 2) 2(3 x 2) 5
(f 1 D g )( x )
5.
Jika f ( x )
3x 5 6x 4 5
Kunci: A
x , x t 0 dan g ( x )
x , x z 1, x 1
. . . .
A.
1 4
D.
2
B.
1 2
E.
4
C.
1
x x 1
g( x ) y x x 1 x
x
y
x ( y 1)
y
x ( y 1)2
y2
x
3x 5 , x z 1 6x 1 6
1 maka (g D f ) (2)
g (f ( x ))
kedua ruas ..... dikuadratkan
y2 ( y 1)2
(g D f ) 1( x )
x2 ( x 1)2
(g D f ) 1(2)
22 (2 1)2
4 1
4
Kunci: E
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
Diketahui: f(x)
2x 1
(f D g ) (x 1)
Nilai g( 2) A. 5 B. 4 C. 1 2.
2x 4x 1
. . . . D. E.
Diketahui f(x)
B. C. D. E. 3.
. . . .
4 x , x z 5 4x 5 4 x 4 , x z 5 4x 5 4 x 2 3 , x z 4x 3 4
x , x z 3 4x 3 4 x , x z 5 4x 5 4
(f D g ) (a)
81. Nilai a
6x 3, g(x)
5x 4, dan
. . . .
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2 1 1
Jika f(x)
D. E.
2 3
x 1 dan (f D g ) (x)
2 x 1,
maka fungsi g adalah g(x) . . . . A. 2x 1 D. 4x 3 B. 2x 3 E. 5x 4 C. 4x 5
2 3x , x z 1 . Jika f 1 adalah 4x 1 4
Diketahui fungsi f(x)
64
4.
1 5
invers fungsi f, maka f 1(x 2) A.
A. B. C.
2
5.
Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) 2x 1 dan x , x z 1 (f D g )( x ) maka invers dari x 1 1 fungsi adalah g (x) . . . . x , x z 1 x 1
A.
B.
2x 1 , x z 0 2x
C.
x 1 , x z 0 x
D.
2x , x z 1 2 2x 1
E.
2x 1 , x z 0 2x
6.
Diketahui f : R o dan g : R o R, didefinisikan dengan f(x) x3 4 dan g(x) 2 sin x. Nilai (f D g )
A. B. C. 7.
21 S
adalah . . . .
4 2 3
D. E.
6 12
B. C. 8.
g(4) . . . . A. 15 B. 16 C. 51
2
3x 7 dan (g D f ) (x)
15x 6x 19.
5x2 6x 12
D.
2
5x 6x 4
E.
2
2x 3 dan g(x)
D.
5x 4 , x z 2x 1
B.
1 x , x z 1 2x
1 2
E.
5x 4 , x z 21 2x 1
C.
1 x , x z 2x 1
1 2
3x 1.
f(x) 2g(x)
12
D.
B. C.
1 2
E.
maka (g D f ) 1( x )
C.
2x,
. . . .
x 2 ,x z 1 3x 1 3 2x 5 , x z 2 3x 2 3 4 x 6 ,x z 4 x 4
B.
(f D g ) (x)
2x 3 , x z 4 dan g(x) x 4
Diketahui f(x)
D. E.
Nilai f(0) sama dengan . . . . A. 20 D. 8 B. 16 E. 6 C. 15
10 , x z 3 x 10 ,x z3 x
2x 3 , x z 4 x 4 (g D f ) (x) x2 7x 8
A. B. C.
g 58
. . . .
8 6 4
D. E.
A.
5x 1 , x z 1 2x
1 2
D.
x 2 , x z 21 2x 1
B.
x 1 , x z 1 2x
1 2
E.
2x 3 , x z 21 2x 1
C.
5 x 3 , x z 2x 1
1
f (x) A. B. C.
0 4
maka f
1 x 3 )5
2 adalah
^1 ( x 2) ` ^1 ( x 2)5 `
1
5 3
1 3
1 (x
5 2) 3
D.
1 (x
E.
5 2) 3
(x
5 2) 3
(x)
x 9
D.
2
x 1
B. C.
2 x x2 4x 3
E.
2
x 7
g(x)
2x 4,
. . . .
A.
17. f(x)
. . . .
-1
1 2
4x2 8x 3 dan g(x)
16. Jika (f D g )(x)
(1
11. Fungsi invers dari f ( x )
x 5 , x z 21 2x 1
Jika f 1 (x) adalah invers dari f(x) maka f 1(x) . . . .
10. Diketahui: f : x o
Nilai dari
x2 3x 2.
15. Diketahui f(x 2)
4x 3 4x 3
1 2
x 4
14. Diketahui: g(x)
1 2 12
. . . .
1 2
adalah . . . . A.
dan f 1(x) adalah
1 x , x z 1 2x
5x 2x 3
5x 3x 4
Diketahui fungsi f(x)
5 2,
A.
2
A.
52 57
invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x)
5x2 2x 4
Nilai x yang memenuhi (f D g ) (x 4)
9.
D. E.
x 4 untuk x z 2x 5
f(x 3)
Rumus untuk f(x) adalah . . . . A.
3x2 4 maka
x 1 dan (f D g ) (x)
13. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan
Diketahui f : R o R, g : R o R dengan g(x)
12. Diketahui f(x)
x 2 untuk x ! 0 15 x
untuk x ! 0
1 1 Dengan demikian f D g ( x )
dengan . . . . A. 1 B. 3 C. 5
D. E.
1 untuk x sama
8 10
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
65
18. Fungsi invers dari f(x)
Analisis
3x 4 adalah . . . . 2x 1
A.
2x 1 3x 4
D.
2x 3 x 4
B.
x 4 2x 3
E.
x 4 2x 3
C.
3x 4 2x 1
Tahun 2002 dan 2003 soal tentang fungsi komposisi dan fungsi invers keluar sebanyak 2 soal. Tahun 2001-2002 dan 2004-2005 hanya keluar 1 soal saja.
Pahami cara menentukan fungsi komposisi jika salah satu fungsi diketahui, begitu juga cara menentukan invers dari suatu fungsi.
13 A.
LIMIT FUNGSI
Pengertian Limit di Suatu Titik
Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar x lim f ( x )
xoa
2.
a, maka
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x) bernilai positif maka
L jika dan hanya jika
lim
f (x)
x of g ( x )
lim f ( x )
x o a
L
lim f ( x )
x o a
L
3. x
x
lim f ( x )
L disebut limit kiri
lim f ( x )
L disebut limit kanan
x oa
x oa
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x) bernilai negatif maka
lim
f (x)
x of g ( x )
B. 1.
Limit Fungsi Aljabar
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka f (x) x of g ( x ) lim
koefisien variabel x n dari f ( x ) koefisien variabel x n dari g ( x )
n adalah pangkat tertinggi variabel x.
66
f
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4.
f
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) kurang dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka
lim
f (x)
x of g ( x )
0
C.
lim n f ( x )
9.
Teorema Limit
n
x oc
lim f ( x ) ,syaratnya lim f ( x ) t 0
x oc
x oc
untuk n bilangan genap. Misalkan n bilangan asli, k konstanta, dan f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka: 1. 2. 3. 4. 5.
lim k
k
lim x
c
x oc x oc
lim kf ( x )
x oc
lim (f ( x ) g ( x ))
x oc
f (x) x oc g ( x )
8.
2.
lim f ( x ) lim g ( x )
3.
x oc
x oc
x oc
x oc
xoc
4.
xoc
lim f ( x )
x oc
lim
lim
sin x x
1 atau lim
x sin x
lim
tan x x
1 atau lim
x tan x
x o0
lim g ( x )
5.
, syaratnya g(x) z 0.
x o0
lim cos x
x o0
x o0
x o0
1
1
lim
sin ax bx
a atau lim ax b x o0 sin bx
lim
tan ax bx
a atau lim ax b x o0 tan bx
x o0
x o0
1
a b a b
x oc n
lim >f ( x )@
x oc
lim f ( x ) lim g ( x )
lim f ( x ) ˜ lim g ( x )
lim (f ( x ) g ( x ))
7.
Limit Trigonometri
x oc
x oc
x oc
1.
k lim f ( x )
lim (f ( x ) g ( x ))
6.
D.
ª lim f ( x )º  x oc Ÿ
n
Contoh Soal Contoh 1.
lim (3 x 2)
x of
A. B. C.
0 1 3 1
9 x 2 2x 5 D.
4 3
E.
5 3
N
I
....
G A a2
x
T
a
lim ¨§ ax 2 bx c ax 2 dx c ¸¡ š b d 2 a
x
x o fŠ
Jawab: lim (3 x 2)
x of
9 x 2 2x 5
2.
lim ¨§ (3 x 2)2 9 x 2 2 x 5 ¸¡ š x of Š lim §¨ 9 x 2 12 x 4 9 x 2 2 x 5 ¡¸ š x of Š 12 ( 12) 10 5 6 3 2 9
lim
x lf
( x a )( x b ) x
a b 2 B. f C. 0 Jawab: A.
....
a b 2 E. a b D.
Kunci: E
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
67
( x a )( x b ) x
lim
x of
( x a )( x b ) x ( x a )( x b ) x
lim
( x a )( x b ) x ˜
lim
( x a )( x b ) x 2 ( x a )( x b ) x
xo f
x of
x (a b )x ab x lim x of ( x a )( x b ) x 1 (a 2
x o0 3 1
A.
0
B.
1 3
C.
2 3
1u 2 u 1u
2
Kunci: D
b)
1 x 1
lim
x 1
D. E.
3 2
x)
x o0 1 (1 3
x)
lim
x 1
21
1 (1 2
1 2 1 3
x4
x o0
0
C.
1 2
D. E.
B.
1 13
E.
f
C.
1 9
1 2 x
x 7
lim
x o7
3 2
lim
....
1 1
31
x o7
3(
1 cos2 x cos x sin2 x x4 lim
sin2 x cos x ˜ sin2 x x4
x o0
lim
x o0
sin2 x (1 cos x ) x4
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3
lim
x 7
2 x
2 x ( x 7)
u
3
2 x
3
2 x
9 (2 x )
3
2 x ( x 7) 3
2 x
2 x
( x 7)
3
2 x ( x 7) 3
1 x o7 (3 2 x ) 3 lim
2 x
3 2 x
x o7
3
1 3 2 7 3
1 9 ˜ 6
x o0
68
0
x o7
Jawab: lim
....
D.
lim
32
1 cos2 x cos x sin2 x
1 4
Kunci: C
1 54
lim
1 x 1
B.
1 2
A.
x o7
Kunci: D
A.
31
x 7
x o7
2
1 1 (1) 2 2 2 1 (1) 3 3
4.
lim
1 2 x
1 4
Jawab:
x o0 3 1
lim
5.
sama dengan . . . .
Jawab:
lim
2 2 sin2 21 x ˜ 41 lim sin x ˜ 2 x o0 1x x2 2
2
3.
sin2 x 2 sin2 21 x x o0 x4 lim
1 54
2 7
2 x
1 (3 ˜ 3)(3 3)
Kunci: A
Soaloal-Soal oal Ujian Nasional 1.
x o0
A. B. C. 2.
1
. . . .
1 x2
2 0 1
D. E.
sin 2 x Nilai lim x o 0 3 2x 9
A. B. C. 3.
x2
Nilai lim
3 1 0
D. E.
2 3
x of
3 6
x 5
2x 1
1 0 1
D. E.
x S x oS 2( x S ) tan ( x S )
Nilai lim A.
1 2
D.
1 3
B.
1 4
E.
2 5
C.
1 4
. . . .
9.
Nilai lim A. B. C.
8.
2x 2 9 x 5 x 5 x o5
Nilai lim A. B. C.
. . . .
2 f
0 8 9
x o0
2
4.
Nilai lim
x o0
A. B. C. 5.
D. E.
2 4
§ 6 x 1 ¡ ¸ Nilai lim ¨¨ 2 x 2 š¸ x o2 Š x 4
B. C.
1 2
E.
0 1 3 1 3
C.
x of
D.
1 3
B.
1 6
E.
2 3
C.
2 9
1 2
D.
1
E.
3
B.
A.
2
D.
7
B.
3
E.
14
C.
7
0 1 2 1
12. Nilai lim
x of
A. B. C. 13. Nilai
(2 x 5)(2 x 1) (2 x 5)
4x 1 2x 1 2x
lim
x of
A.
. . . .
3 x 2 12 x 12
B.
11.
. . . .
. . . .
1 9
. . . .
1 4
x tan 2 x 1 cos 6 x
11 f
A.
C.
1 cos2 ( x 2)
x o2
lim
D.
1 4 0
lim
A.
7.
. . . .
2 1 1
A.
6.
4x 1 cos 2 x
. . . .
D. E.
10. Nilai lim
A. B. C.
2 x tan x 1 cos x
4 1 0 x 2
x o 2
1 4 1 6 0
x
2
2x
. . . .
D.
2
E.
f
. . . . D. E.
lim
. . . .
1 4
....
D.
1 6
E.
1 4
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
69
2 sin x cos x 1
lim
14.
6 cos2 x 3
x oS
4
2 3
A.
1 3 0
B. C.
....
D.
1 3
A.
E.
2 3
B.
f(x)
3x2 cos3 (x2 S) adalah . . . .
A.
18x3 sin3(x2 S) 3x cos2(x2 S)
B.
sin2(x2 S){cos(x2 S) 3x2 sin(x2 S)}
C.
cos2(x2 S){sin(x2 S) 3x2 sin(x2 S)}
D.
6x cos2(x2 S){cos(x2 S) 3x2 sin(x2 S)}
E.
6x cos2(x2 S){cos(x2 S) 3x2 sin(x2 S)}
21.
4 x 6 x 2 3 x 18 16. lim 3 x x o3
A.
1
C. lim
17.
D.
1 2 1 4
B.
E.
4x3
3
B.
3 2
C.
3 4
D. E.
C. 22.
23.
....
2 3 1 2
24.
lim
x
x o3
x
2
27 9
....
D.
4 21
B.
2
E.
f
C.
2 21
f
D.
5 3
D.
1
....
D.
B. C.
2 1
E.
lim §¨ 3 x 2 Š
x of
9 x 2 2 x 5 ¡¸ š
5 6
D.
2 31
B.
2 31
E.
5 6
C.
1 32
lim
x o0
A.
4x x sin 3 x
A. B. C.
....
3 4 1 4 3
2 5 0
D.
3
E.
4
D. E.
1 f
....
cos2 (S x ) (2 x S ) tan ( S2 x )
26. x o S 2
4
A.
f
D.
2
B.
2
E.
21 2
C.
1
70
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 2 2
A.
lim
. . . .
E.
4
x 1 x o1 1 x
0
cos x sin x 19. limS 2 x S2 xo
x tan x 1 cos x
25. lim
A.
5 4
A.
C. 18.
3 5 0
lim
D.
....
1
x o0
B. 3
sin 5 x sin 3 x
x o0
B.
....
13 4 27 4
sin 3 x sin 3 x cos 2 x
x o0
A.
4 3 12 5
lim
A.
....
0
C.
h o0
lim
t2 t 6
t o2
f ( x h) f ( x ) untuk h
15.
t3 8
20. lim
A.
1
D.
B.
1
E.
C.
1 2
1 2 0
....
Analisis
Alokasikan waktu yang lebih banyak untuk mempelajari cara menyelesaikan limit fungsi yang mengandung akar dan fungsi trigonometri.
Diprediksikan soal tentang limit akan muncul sebanyak 2 soal dalam ujian nasional pada tahun 2006.
14
TURUNAN FUNGSI
A.
6.
Aturan Turunan
Aturan jumlah Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan fc(x) dan g c(x), maka
1.
Turunan fungsi f(x) pada sebarang bilangan c adalah
f c(c )
f (c h ) f (c ) , h x o0
(f g)c(x)
lim
7.
Aturan fungsi konstan
(f g)c(x)
Jika f(x) k, dengan k sebuah konstanta, maka untuk setiap x Â? R, berlaku f c(x) 0. 8. 3.
x maka f c(x)
Aturan hasil kali
1.
(f . g)c(x) 4.
f(x)gc(x) g(x)fc(x)
Aturan pangkat Jika f(x) axn, dengan a bilangan real tidak nol dan n bilangan asli maka f c(x)
5.
fc(x) gc(x)
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan fc(x) dan gc(x), maka
Aturan fungsi identitas Jika f(x)
Aturan selisih Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan fc(x) dan gc(x), maka
asalkan limit ini ada 2.
fc(x) gc(x)
anxn
1
Aturan kelipatan konstanta Jika f(x) ku(x), dengan k suatu konstanta dan u(x) mempunyai turunan uc(x) maka fc(x)
9.
Aturan hasil bagi Jika f(x) dan g(x), dengan g(x) z 0 merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan fc(x) dan gc(x), maka § f ¡c ¨ ¸ (x) Šg š
g ( x )f c(c ) f ( x )g c( x ) [g ( x )]2
kuc(x)
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir
71
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN KOMPILASI SOAL UJIAN NASIONAL Lima Tahun Terakhir
5.
1. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma 1.
3
16 x 5 œ 22( x 2) 2x 4 6x 12 2x x
2.
4
Misalkan
2x
aÂ&#x;
untuk a
8
o
2x
8
Â&#x; x
3
untuk a
2
o
2x
2
Â&#x; x
1
x 5
2 3 4 x 20 3 4x 20 8 4
0 o (2x)2 5 ¡ 2x ¡ 2 16 a2
10a 16 (a 8) (a 2) a 8 atau a
HP {1, 3} 6.
Kunci Jawaban: C
(2x 2 x)2 2(2x ¡ 2 x) 52 2 25 2 23
1
p
3
(625 100 ) 3 ˜ (8110 ) 3
3 6 4 2
275 1 ¡ 2 § 54 ¨ 4 6 ˜ 27 3 ¸ 4 Š š 7˜
7.
15
14 ˜ 9 3
2
1
5 z log
x dan 2log 5 15
z
log 5 log 2
p Â&#x; log 5 p log 2
3
p Â&#x;
log 2 log 3
q Â&#x; log 3
3
log 125
z
z
8
log 27
log 2 x
log 5 log 3 log 5
z
log 5 log 2 log 5 y log 2 2
log 5
yÂ&#x;
log 27 log 8
8.
35x 1
27x 3
y 1
§ xy 1 ¡ 1 ¸ ¨ y xš y Š x xy 1 xy 1 xy xy xy x
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
9.
3pq
1 q
Kunci Jawaban: D
§ 3 ¡ ¨ 2 ¸ Š 3x š Âœ
2
32 3
2x 4
3 1 9
1 2 33
œ
9 32 x 4
œ 32 x 4
3 1 32 8
33
1 q
3 pq 2 1 q
œ 35x 1 33x 9 5x 1 3x 9 2x 10 x 5
x
x
log 2 1 u q log 2
Kunci Jawaban: E
y log 2
y log 2
3 log 3 3 log 2
log 23
Jadi, 3log 125 8log 27
y
log 2 ( y 1 )
log 33 log 3 log 2
log 2 x
y log 2 1 log 2
16
log 53 3 log 5 log 3 log 3 3 ( p log 2) 3 pq log 2 q
log 125 log 3
7 ˜ 9 3(2 2 1) 7
x Â&#x; log 3
log 2 q
Sehingga,
3
log 2 log 3
log 15 log 5 log 5 ˜ 3 log 5
2
p Â&#x;
log 5
z
y
2
53 ˜ 33
2
log 5
z
Kunci Jawaban: B 2
1
2
53 ˜ 2 ˜ 33
5
(1 2 2) 9 3 3log
1
5
1
Kunci Jawaban: C z
7˜9 3 2 2 1 ˜ 2 2 1 4 2 1
7 ˜ 9 3 (2 2 1) 8 1
25
(5 4 ) 300 ˜ (3 4 ) 30
7 ˜ 2 3 ˜ 3 6 § 52 1 ¡ 4 ¨2 6 ˜ 3 ¸2 Š š 7 2 21 7 ˜3 ˜3 6˜ ˜9 3 8 8 § 2 21 6 ¡ 1 4 2 2 ¨2 ˜ 2 ¸ 3 š 16 Š
2(2 2 1)
3
25
27
2 1
6250,25 ˜ 810,5 1
4 dan y
3 1
1 1
(25 2 ) 2 ˜ (16 4 ) 3 (27 3 ) 3
(52 ) 6 ˜ (24 )12 (33 ) 9
32 6
y5 Â&#x; substitusikan nilai x 5 31 ¡ 2 § 4 6 x y x ¨ ¸ Š š Akan diperoleh:
2
2
25 2 ˜ 16 4 ˜ 27 3
Kunci Jawaban: B 7x
4.
0 0 2
Kunci Jawaban: A 22x 2 2x
3.
22x 5 ¡ 2x 1 16
Kunci Jawaban: B
4x 2
Kunci Jawaban: C 0
2x 4 6 x 12 6x x
8 3 8 20 1 3 3
Misalkan akar-akar persamaan yang baru adalah
z
D
2 2 x1 x2
E
x1 x2
2( x1 x2 ) x1 x2
2( p ) 1
2 p
p
Persamaan kuadrat yang baru
z
2
x (D E) D ¡ E 0 2 x ( 2p p)x ( 2p) ( p) 2 2 0 x 3px 2p
2. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 5. 1.
2
2
2x 2px q
2x qx (q 1)
0, akar-akarnya p dan q.
Diketahui p q 6 œ p q 6 Karena pada persamaan kuadrat di atas a 2, b dan akar-akarnya x1 p dan x2 q maka:
b a
p q
2
q ,
p
q 6, berarti: q 6 q 6 2q 3q
Dari p q 6 didapat: p ( 4) 6 2 sehingga p ¡ q 2 ¡ ( 4) 2.
(q 6) q 6 12 Â&#x; q
8
b dan y 0 2a
2
ax bx c adalah (x0, y0) dengan x0
6.
D 4a
b ( p 3) 2a 2˜ p p 3 2p
p p
2
2p p 3
7.
0
(2p 3) (p 1)
0
3 atau p 2
1
Kunci Jawaban: B Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 berlawanan adalah ax c 0, maka b 0. Untuk persamaan kuadrat: 2
mx (m 5)x 20 p a 4.
p b
Â&#x;
0
m 5
0
m
5
p c
2
x px 1
x1 x2
x1 ˜ x2
c a
b a
4
q2 q 1 4 4
0
q2 q 3 4
0
0 Â&#x; a
p 1
1 1 1
Kunci Jawaban: B
8.
2
b 4ac 2 ( 9) 4(2)(c) 81 8c 40 5
Kunci Jawaban: A Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x adalah: 2 f(x) a(x 3) 2 2 x 0 o f(0) a(0 3) 2 16 9a 2 16 9a 18 a 2 2 Jadi f(x) 2(x 3) 2 2 2x 12x 18 2 2 2x 12x 16
1, b
p
p, c
1
3
Kunci Jawaban: C 2
F(x) (p 2)x 2(2p 3)x 5p 6, bernilai positif untuk semua x. Syarat selalu bernilai positif: a ! 0, berarti p 2 ! 0 œ p ! 2 D 0, berarti: 2 {2(2p 3)} 4(p 2) (5p 6) 0 2 2 4(4p 12p 9) 20p 64p 48 0 2 4p 16p 12 0 2 p 4p 3 0 ( p 3) (p 1) 0
(i) (ii)
Kunci Jawaban: C z
§ q ¡ § q 1¡ ¨ 2 ¸ 2¨ 2 ¸ Š š Š š
4
2
2
3.
z
2x 9x c 0 Diskriminan: D 121 121 8c c
di mana D determinan b 4ac. Pada fungsi di atas a p, b (p 3) dan c 2 Diketahui absis titik baliknya adalah p, maka:
2
(x1 x2) 2x1x2
q 4q 12 0 (q 6) (q 2) 0 q 6 0 o q 6 q 2 0 o q 2 Jadi nilai q adalah 2 dan 6.
2
Jadi, p
2
x1 x2
2
Absis titik balik fungsi y px (p 3) x 2 adalah p. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:
x0
2
q 1 2
z
4
Kunci Jawaban: B
y
q dan x1 ˜ x2 2
x1 x2 2p, c
0
2
2 p 2
Karena p
Kunci Jawaban: E 2
Kunci Jawaban: E
0
1
3
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
17
p 1 atau p ! 3 Karena syarat (i) p ! 2 maka yang memenuhi adalah p ! 3. 9.
Kunci Jawaban: C F(x) memiliki nilai maksimum Berarti:
b 2a
1Â&#x; b
3 untuk x
§ D ¡§ E ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 2E 3 š Š 2D 3 š
DE 4DE 6(D E ) 9
1.
6 4(6) 6( 1) 9 6 39
2a
Fungsi kuadratnya dapat ditulis: 2 F(x) ax 2ax c F(1) a 2a c a c 3 . . . (i) Melalui titik (3, 1), maka: 2 1 F(3) a ¡ 3 2a ¡ 3 c 3a c 1 Dari (i) dan (ii) didapat: u3 3a 3x a c 3 u1 3a c 3a c 1 4c
Berarti, grafiknya melalui titik (0, 10.
11.
12.
DE (2E 3)(2D 3)
Persamaan kuadrat yang baru adalah
6 § 19 ¡ x2 ¨ ¸ x 39 Š 39 š . . . (ii)
9 1
2
39x 19x 6 13.
10 œ c
5 2 z
x (m 1) x 2
1 4
p a
p c
2
p b
2
m 2m 1 9 ! 0 2 m 2m 8 ! 0 (m 4) (m 2) ! 0
z
z
x 6
D E
D˜E
c a
b a
0 Â&#x; a
1, b
1, c
14.
4
z
P(m, n) P(2, 1) Â&#x; m 2, n 1 2 Persamaan kuadrat: y a(x m) n melalui titik (0, 5) Â&#x; 5
2
a(0 2) 1
5
4a 1
4a
4
a
1
6
Sehingga diperoleh persamaan 2 y a(x m) n
6
D E dan Akar-akar persamaan yang baru adalah 2E 3 2D 3
15.
D(2D 3) E (2E 3) (2E 3)(2D 3)
2
œ y
1(x 2) 1
œ y
x 4x 4 1
œ y
x 4x 5
2
2
Kunci Jawaban: A z
D E 2E 3 2D 3
2
x px
z
x1 x2
2D 2 3D 2E 2 3E 4DE 6D 6E 9
z
x1 ¡ x2
2(D E )2 4DE 3(D E ) 4DE 6(D E ) 9
z
2( 1)2 4(6) 3( 1) 4(6) 6( 1) 9 19 39
x1 2x2
2
2 œ x px 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
0 Â&#x; a
1, b
b p p a 1 c 2 2 a 1
x1
x 1 œ 1 2 2x2 2x1 2x1
2x1 1 2 2x2(2x1 1) 4x1 ˜ x2 2x2
2 x1 2 x2 4 x1 ˜ x2
0
2( x1 x2 ) 4 x1 ˜ x2
0
2( p ) 4( 2) 2p p
18
2
Kunci Jawaban: D z
1 6 1
Jadi batas-batas nilai m yang memenuhi adalah m ! 4 atau m 2.
Kunci Jawaban: A x2
D !0 b 4ac ! 0
§9¡ 2 (m 1) 4(1) ¨ ¸ ! 0 Š4š
. . . (4) . . . (5) . . . (6)
0
Dua akar berlainan Â&#x;
Kunci Jawaban: E Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2 adalah: (x x1)(x x2) 0 (x 5)(x 2) 0 2 x 3x 10 0
11
0
Kunci Jawaban: E z
5 ). 2
Kunci Jawaban: E 2x y 8 . . . (1) o y 2x 8 2y z 8 . . . (2) o 2(2x 8) z 8 4x 16 z 8 3x y z 3 . . . (3) o 3x (2x 8) z (5) (6) o 4x z 8 5x z 11 x 3 x 3
0 . . . kedua ruas dikali 39
0 8 4
p, c
2
2
16. Kunci Jawaban: D z
2
(m 1)x 4x 2m p a
z
p b
b 4ac 2 [ (3p 3)] 4 ¡ 1 (10p 6) 9p2 18p 9 40p 24 9p2 22p 15 (9p 5)(p 3)
0
p c
Akar-akar tidak nyata Â&#x; D b2 4ac 2 4 4(m 1)(2m) 16 (4m 4)2m 16 8m2 8m m2 m 2 (m 2) (m 1)
O 0 0 0 0 0 0
1
Jadi, p d
Nilai m yang memenuhi adalah m 2 atau m ! 1. 17. Kunci Jawaban: B z
z
a(x 1)(x 5)
Melalui titik (6, 10) y a(x 1)(x 5) 10 a(6 1)(6 5) 10 5a a 2 Karena a ! 0 maka mempunyai titik balik Nilai minimum yc 0. y 2(x 1)(x 5) z yc y 2(x2 6x 5) 4x 12 4x y 2x2 12x 10 x 2 Nilai minimum: y 2(3 ) 12(3) 10 18 36 10 8
x2 x 2 x1 x2
0 Â&#x; a
b a
Fungsi kuadrat: y 3x2 12x 6 Â&#x; a 3, b 12, c 6 Memotong salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan (b, 0) Â&#x; x1 a, x2 b. Sehingga diperoleh: z a 3 Â&#x; a ! 0 maka grafik terbuka ke atas. a¡b
x1 ˜ x2
z
a b
x1 x2
z
a b
x1 x2
minimum. 0 0 12 3
1, b
1, c
x1 ¡ x2 z
8
4
( x1 x2 )2 4 x1 x2
z
x2 x 2 0 Â&#x; a 1, b x1 x2
x1 ¡ x2
c a
b a
x13 x23
1, c
( 1) 1
2 1
16 (4)(2)
2
1
2
( x1 x2 )3 3 x1 ˜ x2 ( x1 x2 ) (1)3 3(2)(1) 1 6
( 1)2 2(2) 2 x1 ˜ x2 1 x1 x2
§ 12 ¡ ¨ 3 ¸ Š š
b a
2 2
2
x12 x22 x1 x2
2
21. Kunci Jawaban: C
( x1 x2 ) 2 x1 x2 x1 x2 3 2
5
22. Kunci Jawaban: C z
§ x1 ¡§ x2 ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š x2 šŠ x1 š
6 3
Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan D.
2
x x Akar-akar persamaan yang baru adalah 1 dan 2 . x1 x2
x1 x2 x2 x1
c a
z
1 2 1
5 atau p t 3 9
z
z
c a
3
20. Kunci Jawaban: D
18. Kunci Jawaban: B z
z
Memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan (5, 0) sehingga diperoleh persamaan kuadrat. y a(x x1)(x x2) Âœy
z
5 9
2
t0 t0 t0 t0 t0
2
(3m 1)x 4(m 1)x m ! 4 2 (3m 1)x 4 (m 1) x (m 4) ! 0 p a
z
p b
p c D ! 0
Akar real
b2 4ac ! 0 ( 4m 4)2 4(3m 1)(m 4) ! 0 2
16m 32m 16 (12m 4)(m 4) ! 0 sehingga diperoleh persamaan kuadrat yang baru:
§ 3 ¡ x2 ¨ x ¸ 1 Š 2 š Âœ
2x2 3x 2
2
16m2 32m 16 12m 52m 16 ! 0 4m2 20m ! 0
0 . . . kedua ruas dikali 2
m2 5m ! 0 m(m 5) ! 0
0
19. Kunci Jawaban: C Pers. Kuadrat: x2 3px 6 2 x 3px 3x 6 10p x2 (3p 3)x 10p 6 Akar real: Dt0
3x 10p 0 0
0
5
Nilai m yang memenuhi adalah 0 m 5.
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
19
Sehingga,
23. Kunci Jawaban: C
x 2 , x z 1 x 1 Memotong sumbu-x Â&#x; f(x) 0 x 2 0Âœx 2 0 x 1 x 2 . . . . (2, 0) Memotong sumbu-y Â&#x; x 0
f (x) z
z
1.
0 2 . . . . (0, 2) 2 0 1 Jadi, grafik yang memenuhi adalah pilihan C.
z
x1 x2
b a
x1 ¡ x2
c a
0 Â&#x; a
( 3) 2 4 2
3, c
4
6y 3x
1 x1 x2
6y 3 ¡
1 2
6y
x2 x 6 Â&#x; (x 3) (x 2) 0 x 3 atau x 2
x2 3x 9 z untuk x 3 ( 3)2 3(3) 9 0 9 (benar) z untuk x 2 (2)2 2(3) 9 10 9 (salah)
2.
z
z
x y 5x 2y
3 20
œ
3 3 4a a
20
45y
90xy
2
a (0 2) 5 4a 5 2
1 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
45y œ x
1 2
1 y 2
3 2
9 y 2
3 œ y 2
1 3
6˜
1 1 ˜ 2 3
1.
Kunci Jawaban: B Sn 100.000, n
4, dan b
5.000
§ 2U b(n 1) ¡ n¨ 1 ¸ 2 Š š
100.000
§ 2U ( 5000) (4 1) ¡ 4¨ 1 ¸ 2 Š š
100.000
4U1 30.000
130.000 4
32.500
sehingga, U4
U1 (n 1)b 32.500 (4 1) ( 5.000) 17.500 Jadi jumlah uang yang diterima si bungsu adalah Rp17.500,00.
6 20
a(x 2)2 5
21 ¡
21 y 2
U1
u2 u1
7x 14 x 2 Â&#x; y 5 Sehingga diperoleh titik puncak adalah P(2, 5) Persamaan parabola 2 y a(x p)2 q a(x 2) 5 Melalui titik (0, 3) Â&#x; x 0, y 3 y
1 2
Sn
26. Kunci Jawaban: B z Titik potong kedua garis
2x 2y 5x 2y
84xy 6xy
1 didapat: 2
21xy untuk x
Jadi, 6x0 y0
Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan bernilai salah adalah x 2.
œ
24y 12x 21y 12x
§ 1 1 ¡ ½ Himpunan penyelesaiannya adalah Ž¨ ˜ ¸ ž . ¯Š 2 3 š Âż
25. Kunci Jawaban: D
x 3
u4 u3
. . . . (2)
Dari persamaan (1) diperoleh:
Persamaan kuadrat yang baru adalah 3 1 0 . . . kedua ruas dikali 4 x2 4 2 4x2 3x 2 0
y
21xy 2xy
2 xy
90xy
3 4
2
1 2 x 2x 3 2
21xy . . . . (1)
2 œ 7y 4 x
6y 3x 7y 4x
3 2
§ 1¡ § 1¡ Akar-akar persamaan yang baru adalah ¨ x ¸ dan ¨ x ¸ . Š 1š Š 1š x2 x1 ( x1 x2 ) 1 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2
§ 1¡§ 1 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ Š x1 š Š x2 š
21 œ 6 y 3 x
2
32
z
2, b
Kunci Jawaban: C
Â6 3 °x y ° ÂŽ °7 4 °¯ x y
24. Kunci Jawaban: D 2x2 3x 4
1 2 (x 2) 5 œ y 2
ie 3. Sistem Persamaan Lin Linie ierr dan Kuadrat
f (x)
z
y
3.
Kunci Jawaban: A Misalkan: Barang I Barang II 4x 3y 853 3x 5y 1.022.000 20x 15y 9x 15y
x y
4.265.000 3.066.000
u5 u3
11x 1.199.000 x 109.000 Jadi harga barang I adalah Rp109.000,00.
4.
Kunci Jawaban: E a dan
1 y
1 œ 2a b
1
u1
8 œ a 2b
8
u2
1 x
Misalkan:
2 1 x y 1 2 x y
z
2a b 2a 4b
b
3
Â&#x;
a
2
1 y
3
1 x
2
y
1 3
x
1 2
1 x y
Sehingga,
5x 10y
A(0, 32)
5 ¡ 0 10 ¡ 32
320
B(6, 20)
5 ¡ 6 10 ¡ 20
230
C(24, 8)
5 ¡ 24 10 ¡ 8
200
D(48, 0)
5 ¡ 48 10 ¡ 0
240
Jadi, nilai minimumnya adalah 200.
15
b
F(x, y)
Titik Pojok
1 16
5b
Uji titik pojok
1 2
1
1 1 3
1 6
3.
Kunci Jawaban: A z Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan (0, 15) 15x 20y d 20 ¡ 15 3x 4y d 60 z Persamaan garis yang melalui titik (15, 0) dan (0, 30) 30x 15y d 30 ¡ 15 2x y d 30
4.
Kunci Jawaban: A y
6
F(x, y) 4x 28y maksimum di titik P(5,3) F(5, 3) 4(5) 28(3) 104
z
1z
11 3
4. Pertidaksamaan
6z
P (5, 3) z
1.
Kunci Jawaban: D y
z
O
5.
32 z A 24
B
z
16
O
y D z
8
16
24
36
48
z
Titik A adalah (0, 32)
z
Titik B Â&#x;Titik potong persamaan garis 2x y 2x y 2x 3y 2y y
x z
z
(8, 4) z
F(x, y) F(8, 4)
z
12
x
z
16
2x 5y maksimum di titik (0, 8) 2(0) 5(8) 40
5. Logika Matematika 1.
40
Kunci Jawaban: B p Â&#x; ( p › q )
20 Â&#x; x
6
Titik C Â&#x; Titik potong persamaan garis 2x 3y 2x 3y x 3y
8
8
32 dengan
72.
32 72
x 3y
4 Â&#x; x
12 z
O
Kontraposisi: ( p › q ) Â&#x; p ( p š q ) Â&#x; p
Jadi titik B adalah (6, 20) z
y
x z
2x 3y
x
10
Kunci Jawaban: D x y 12 x 2y 16 y 4
C z
8
z
4
65
72 dengan
2.
36.
po q q › r ?p o r
72 48 24 Â&#x; y
8
Jadi, titik C adalah (24, 8) Titik D adalah (48, 0)
Kunci Jawaban: E
po q qo r ?p o r
Jadi cara penarikan kesimpulan tersebut adalah silogisme. 3.
Kunci Jawaban: E
po q q › r ?p o r
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
21
p
r
ap o r
B B S S
B S B S
p š š r
B B B S
ap › › r
p š a š ar
ap š š r
p › › r
B S B B
S B S S
S S B S
B B B S
B S S S
12. Kunci Jawaban: C Ingkaran dari pernyataan: “Semua peserta ujian berdoa sebelum mengerjakan soal� adalah “Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum mengerjakan soal�. 13. Kunci Jawaban: A
pÂ&#x;q pÂ&#x;q½ q Â&#x;r ° q Â&#x; r ž ekuivalen dengan ? p Â&#x; r (Silogisme) r °¿
Dari tabel kebenaran diperoleh: (ap o r) 4.
(p › r)
p › q½ ž ekuivalen dengan q¿ ... 5.
..
Kunci Jawaban: A
Kunci Jawaban: D Negasi dari pernyataan: “Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria� adalah “Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria�.
6.
Kunci Jawaban: D Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak pandai� adalah “Ani tidak cantik atau pandai�.
7.
Kunci Jawaban: B
qÂ&#x;p p o q½ q ekuivalen dengan ž qÂż q ? q Dengan demikian argumennya dapat dinyatakan menjadi modus tolens dan kesimpulan argumen tersebut adalah sah. 8.
9.
Kunci Jawaban: E Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,01â€? adalah “Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,01 tetapi ia tidak lulusâ€?. Kunci Jawaban: E p Â&#x; (q › ar)
r ? p (Modus tollens)
pÂ&#x;q q ?p
Jadi, kesimpulannya adalah ap. 14. Kunci Jawaban: A Kontraposisi: ap Â&#x; q
15. Kunci Jawaban: D s pernyataan yang salah p Âœ q : Benar o p : Salah q Â&#x; r : Benar o q : Salah r Â&#x; s : Benar o r : Salah Sehingga
p : Benar ½ p š r : Salah ° q : Benar ž Â&#x; p › r : Benar ° r : Benar Âż 16. Kunci Jawaban: C (p š q) Â&#x; r { a(p š q) › r { (ap › aq) › r Ingkaran: a[(ap › aq) › r] { p š q š ar
6. Trigonometri C
1.
Luas 'ABC
{ a[ap › (q › ar)]
AB (6 4 3 ) cm dan BC Lihat gambar! Luas 'ABC
10. Kunci Jawaban: C Ingkaran dari pernyataan: “Jika Fathin mendapat nilai 10 maka ia diberi hadiah� adalah “Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak diberi hadiah�.
p Â&#x; (q š r ) ½ ž pÂż ?q š r
sin (A C)
q Â&#x; rp p ? r q
r½ ž r Â&#x; p › qÂż ? (p š q) Â&#x; (p › q)
cos x
sin (180q B) sin (180q T)
1 7
1 sin2 x 1
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
6 4 3 7 ˜ (6 4 3)
8 ; 0q x 90q 10
Jadi, argumen yang sah adalah (i) dan (iii).
22
3 2 3
Kunci Jawaban: C
sin x
T
A
3 2 3
sin T
(p š q Â&#x;
7
7 cm
(3 2 3 ) cm2, jadi:
sin T
2. (iii)
(3 2 3 ) cm2
AB ˜ BC sin T 2 (6 4 3) ˜ 7 sin T 2
11. Kunci Jawaban: D
(ii)
Kunci Jawaban: A
{ ap › (q › ar) { p š (aq š r)
(i)
p › q
2
108
r
6 10
1 7
6 4 3
B
Karena 0q x 90q , maka nilai cos x ! 0q , jadi yang dipakai
k sin T sin x k cos T cos x œ k cos (x T)
6 10
adalah cos x
cos A cos B
§A B¡ §A B¡ 2 cos ¨ ¸ cos ¨ 2 ¸ Š 2 š Š š
z
3.
§ 3x x ¡ § 3x x ¡ cos 3x cos x 2 cos ¨ ¸ cos ¨ 2 ¸ Š 2 š Š š 2 cos 2x cos x cos 2x 1 2 sin2x, sehingga diperoleh cos 3x cos x 2(1 2 sin2x) cos x
œ0d
90q
6.
‘BAD dan ‘BCD adalah sudut keliling yang saling berhadapan.
D ‘BCD
42 62 2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ cos D 52 48 cos D BD2
BC2 CD2 2 ¡ BC ¡ CD ¡ cos (180 D) 32 32 2 ¡ 3 ¡ 3 ( cos D)
18 18 cos D . . . . (2) Dari (1) dan (2) diperoleh BD2
52 48 cos D
BD2
18 18 cos D
0
34 66 cos D
34
66 cos D
34 36
17 33
Kunci Jawaban: B R S
U 4 cm
p 2 k
45q 45q Q 6 cm
T
P
p
p2 ( p 1)2
Persamaan di atas dapat ditulis:
. . . . (1)
Perhatikan 'BCD!
360q
2 p2 2 p 1
D
AB2 AD2 2AB ¡ AD cos D
BD2
300q
Kunci Jawaban: A
k
Misalkan ‘BAD
180q
‘BCD 180q D Dengan rumus cosinus diperoleh
1 ; 0 d x d 360q 2
p p 1
180q Â&#x;
‘BAD ‘BCD
7.
tg T
3
Kunci Jawaban: A Perhatikan gambar pada soal!
Nilai-nilai x yang memenuhi adalah: 0q d x 60q atau 300q x d 360q HP {0 d x 60q atau 300q x d 360q } p sin x (p 1) cos x
d1
HP: {x d 1 atau x t 3}
cos D
5.
1
270q
d1
2p2 2p 1
p2 4p 4 d 2p2 2p 1 p2 2p 3 d 0 ( p 1) (p 3) d 0
Kunci Jawaban: D 3 cos (360 x)q ! 2 sin2 xq ; 0 x 360q 3 cos xq 2 sin2 xq ! 0 3 cos xq 2(1 cos2 xq ) ! 0 2 cos2 xq 3 cos xq 2 ! 0 (2 cos xq 1) (cos xq 2) ! 0 Karena (cos xq 2) selalu positif, berarti tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Jadi tinggal menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 cos xq 1 ! 0.
60q
( p 2)2
2p2 2p 1
2 § § 8 ¡ ¡§ 6 ¡ 2 ¨1 2 ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ Š 10 š ¸š Š 10 š Š § 100 128 ¡ § 6 ¡ 42 2¨ ¸ ¨ 10 ¸ 125 100 Š šŠ š
œ cos xq !
d1
2
( p 2)2
§ sin x ¡ 2 ˜ sin x cos x 2¨ ¸ Š cos x š cos2 x 2 2 sin x (cos x sin2 x ) 1 2 cos x cos2 x 2 ˜ sin x cos x 2 sin x cos x sin2 x cos2 x sin 2 x
2 tan x
p 2 2p2 2p 1
2p 2p 1
Kunci Jawaban: B
1 tan2 x
4.
p 2
1d
p 2 k
Persamaan nilai dari consinus antara lain 1 dan 1, maka:
Jadi: z
p 2
cos (x T)
Gunakan rumus penjumlahan trigonometri:
p 2
T p 1
Luas 'PQR
Luas 'PQS Luas 'QSR
PQ u QR 2 PQ u QR 6u4
PQ u ST QR u SU 2 2 PQ u ST QR u SU 6 ¡ QS ¡ sin 45q 4 ¡ QS ¡ sin 45q
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
23
8.
1 1 2 4QS ˜ 2 2 2
24
6QS ˜
24
3 2 QS 2 2 QS
24
5 2 QS
QS
24 5 2
24 2 5˜2
25q 65q 160q
12 2 cm 5
Jadi, himpunan penyelesaian dari nilai sinus yang kurang dari
1 2 adalah 2 {x | 0 d x d 70q atau 160q d x d 360q }
Kunci Jawaban: E
atau sama dengan
z
sin D cos D
8 25
z
1 1 sin D cos D
cos D sin D sin D ˜ cos D
11.
Kunci Jawaban: E 2 3 cos 2x 4 sin x cos x 3 cos 2x 2 sin x cos x tan 60 cos 2x sin 2x
2
Â&#x; cos D sin D
(cos D sin D )
sin 60q cos 2x sin 2x cos 60q sin 60q cos 2x cos 60q sin 2x
cos2 D sin2 D 2 sin D cos D 1 2 sin D cos D § 8 ¡ 1 2 ¨ ¸ Š 25 š
9 25
3 5
9.
3 5 8 25
15 8
Kunci Jawaban: C z Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri: y A sin k(x T) z Pada grafik amplitudonya (A) dengan nilai tertinggi adalah 1 Â&#x; A 1 Periode 165q 45q
z
x
120q z
360q 120q
sehingga, k
3
2(x 30q ) x 30q
Karena k
Kunci Jawaban: A z Ingat rumus:
§A B¡ §A B¡ 2 sin ¨ ¸ ˜ cos ¨ 2 ¸ Š 2 š Š š sin (x 20q ) sin (x 70q ) 1 d 0
z
x
3 S S 4
z
x
13 S S 12
2 sin (x 25q ) ˜
ÂŞ ( x 20q) ( x 70q) Âş ÂŤ Âť 1d0 2 ÂŹ Âź d0
1 2 1 d0 2
sin (x 25q ) d x 25q x
1 2
1 2
sin(2x 60q )
1 2
2 (x 30) 210q 105q 3 S 135q 4 q 330 165q
20q atau 330q
7 S 4 25 S (tidak memenuhi) 12
cos 2x sin x 1 (cos2 x sin2 x) sin x (cos2 x sin2 x) 2 sin2 x sin x sin x( 2 sin x 1) z sin x 0 x 0q atau 360q Â&#x; x 0; x 2S z
2 sin x 1 0 2 sin x 1
45q atau 135q sin x
70q atau x 160q
Jadi, HP
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 2
sin 2(x 30q )
Kunci Jawaban: C
x
24
cos 60q
 3 7 13 ½ Sž Ž S, S, ¯ 4 4 12 ¿
sehingga, HP 12.
ÂŞ ( x 20q) ( x 70q) Âş 2 sin ÂŤ Âť cos 2 ÂŹ Âź 2 sin (x 25q ) cos (45q ) 1
1
13 S 12 2, yaitu koefisien x, maka nilai x yang lain adalah:
sin A sin B z
1
195q
x
Sumbu tegak bergeser ke kanan sejauh 15q Â&#x; T 15q . Jadi, fungsi trigonometri adalah: y 1 sin 3(x 15)q sin (3x 45)q z
10.
2(x 30q ) x 30q
1
sin (60q 2x)
Sehingga
1 1 sin D cos D
2 . . . kedua ruas dibagi 2
1 2
S 5S ; 6 6
{0, S , 5S S 2S} 6 6
0 0 0 0
13.
Kunci Jawaban: C
Dengan rumus cosinus didapat: AC2 CB2 2AC ¡ CB cos ‘ACB 52 x2 2 ¡ 5 ¡ x cos 120q
A D c
b
4 cm
B
J a
a sin D 6 sin D
b sin E 5 sin E
x2 5x 24 (x 3)(x 8) x1 3 atau x2
C
6 cm
Maka, keliling 'ABC
c sin J 4 sin J
18.
Jadi sin D : sin E : sin J 14.
25 x2 10x ( 21 )
5 cm
E
cos
1 2
cos x cos y sin x sin y
4 5
3 10
4 5
z
sin
1A 2
cos x cos y
1 2
z
19.
1 cos2
tan x tan y
z z
sin x sin y ˜ cos x cos y
sin x sin y cos x cos y
3 10 1 2
3 5
sin A
z
Kunci Jawaban: A
x 1 2x
2 sin
1 2
2˜
x 1 2x
2S Â&#x; y 3
x 2 1 x
x 1 2x
˜
A
Nilai maksimumnya adalah 2 Â&#x; A 2 Persamaan fungsi trigonometri: y A cos (kx T) Untuk x 0 mencapai maksimum, sehingga x 0 dan y 2 2 cos (0 T) 2 2 cos T cos T 1 T 1
2S 1 2S Jadi persamaannya: y Periode: k
2 cos x 2 sin (x
S ) 2
sin 3x 20. 1 sin 3x.
Kunci Jawaban: D a sin x b cos x sin (30q x) a sin x b cos x sin 30q cos x cos 30q sin x
1 1 cos x 3 sin x 2 2 1 1 3 sin x cos x 2 2 sehingga diperoleh a
1 3 dan b 2
1 2
Kunci Jawaban: C z sin xq 3 cos xq Â&#x; a k
z
tan T
2 ; 0q x 360q
1, b 3
12 ( 3)2
z
a b
1 3
1 3
4
2
1 3 3
Â&#x; T 150q Sehingga, 2 sin 150q sin xq 2 cos 150q cos x
maka:
2
2 2
sin 150q sin xq cos 150q cos xq
a 3 b 17.
1 2
œ y
Digeser ke atas sejauh 1 satuan maka y 16.
x 1 2x
A cos
Perhatikan gambar pada soal! Periode
1A 2
Kunci Jawaban: C Perhatikan grafik pada soal! z
Sehingga,
15 cm.
x 1 2x
A
1
cos x cos y
15.
z
Kunci Jawaban: D
4 5
5 7 3
49 0 0 8 (tidak memenuhi)
Kunci Jawaban: A
6:5:4
cos (x y)
AB2 72
1 1 3 ( 3) 2 2
3 1 2 2
2 cos (x 150)q
(x 150)q 45q 195q z 315q x 465q 465q 360q 105q Jadi, HP {105q , 195q }
Kunci Jawaban: B
z
C 120q x
5 A
1 2 2 45q atau 315q
x 150q x x 150q
B 7
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
25
2
21.
Kunci Jawaban: A a2 b2 c2 2bc cos A
2 cos 2 sin x
2 2 cos (x 45)°
102 62 2 ¡ 10 ¡ 6 cos 60q
1 2
100 36 120 ¡ 136 60 76
a2 a
76
a
cos (x 45)°
C
b
10
A
60q c
a
2
1 2
x 45° 60° k ¡ 360° x 105° k ¡ 360° k 0 o x 105° atau x 45 60° k ¡ 360° k 1 o x 15° k ¡ 360° x 345°
?
B 6 cm
2 19
Maka nilai x yang memenuhi adalah 105° atau 345°. 22.
Kunci Jawaban: E tan 75q tan 15q tan (45 35)q tan (45 30)q
2 19 2 3 23.
26.
Kunci Jawaban: D f(x) cos3 2x untuk menentukan f c (x) digunakan rumus f(x) coscc g(x) f c (x) n cosn 1 g(x) ( sin g(x) ¡ gc (x)) f(x) 3 cos2 2x ( sin 2x ¡ 2) 6 cos2 2x ¡ sin 2x 3 cos 2x (2 sin 2x cos 2x) 3 cos 2x sin 4x
27.
Kunci Jawaban: D
4
Kunci Jawaban: E Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri adalah: y A sin k(x T) Â&#x; A Amplitudo dan q pergeseran sumbu tegak Pada grafik amplitudo (nilai tertinggi) 2 jadi A 2 Periodenya 135q 15q 120q
360q 120q
Jadi k
R
3
Sumbu tegaknya bergeser ke kiri sejauh 15q , jadi T Maka fungsi trigonometrinya y 2 sin 3(x 15) y 2 sin (3x 45)
15q
4
3 0 untuk 0q x 360q
2 sin 2x
3
0 o 2 sin 2x
atau
90 120 150
x
0q
x
90q o
HP 25.
o
2 sin 0q
z
64 144 192 cos D 208 192 cos D
3 ! 0
28.
tan D
26
2 2
8
96 192 x r
1 2 1 Â&#x; x 2
y r
3 2
tan D
sin D cos D
1, r
2 maka y
3
1 3 2
c 1 atau 1 k
c a2 b2
1
r cos (x D)
2 2
1, D di kuadran 1 o D
45°
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 2
3 1 2
3
Kunci Jawaban: E
2 untuk 0 x < 360 Ingat persamaan a cos x b sin x c mempunyai
4 4
sin D
sin A
3 5
Â&#x; cos A
cos B
1 Â&#x; sin B 2
2 cos x 2 sin x
r
2
112
cos D
z
2
2
8 12 2 ¡ 12 ¡ 8 ¡ cos D
330
Kunci Jawaban: D
Misal 2 cos x 2 sin x
2
112
cos D
2 sin 180q 3 0 3 ! 0 {x | 120q x 150q atau 300q x 330q }
penyelesaian jika 1
2
PR QP 2 ¡ PQ ¡ QP ¡ cos D
2
0
3
2
4 7
3
2x x x x x
300
Aturan cosinus QR
1 3 2 240q k ¡ 360q 120q k ¡ 180q 120q ; 300q 30q k ¡ 180q 150q ; 330q
sin 2x
P
12
Kunci Jawaban: E 2 sin 2x
D
Q z
24.
8 7
z
z
4 5 3
cos (90q (A B)) cos 90q ¡ cos (A B) sin 90q ¡ sin (A B) 0 ¡ cos (A B) 1 ¡ sin (A B) sin (A B) sin (A B) [sin A cos B cos A ¡ sin B] sin A cos B cos A ¡ sin B
§ 3 ¡§ 1 ¡ § 4 ¡ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Š 5 šŠ 2 š Š 5 š
3
x 345q r k ¡ 360q k 0 o x 345q Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75q dan 345q .
3 8 3 10
32. 29.
P 60q
z
Nilai maksimumnya adalah 2 Â&#x; A
z
Periode: k
z
2
10 3
1
S 6
Dengan aturan sinus 2 sin (x
S ) 6
10 sin 60q
Kunci Jawaban: E cos 4xq 3 sin 2xq 2 1 2 sin2 2xq 3 sin 2xq 2 0 2 sin2 2x 3 sin 2xq 1 0 Â&#x; Misalkan sin 2xq a
10 3
sin Â&#x2018;R
33.
3, b
1, c
cos2 x sin2 x sin x cos x cos2 x sin2 x sin x cos x cos x sin x cos x sin x
2
a b
r
3 1
1 p p
c merupakan penyelesaian c a2 b2
4
34.
2
z
tan T Â&#x; T
1 3 3
2 cos ( x 30q) cos ( x 30q) x 30q x 30q x k
1 p2
Nilai maksimumnya adalah 2 Â&#x; A Bergeser ke kanan sejauh 20q
z
Periode
75q r k ¡ 360 0 o x 75q
2
120 diperoleh dari gambar, bahwa
1 periode 2
60q
Â&#x;n
2
45q r k ¡ 360
p
360q 3 120q Jadi fungsi persamaannya adalah y 2 cos 3(x 20)q
2 1 2 2 45q atau 315q
p
1 p2
110q 50q
3 cos x sin x
1 p 1 p
z
Sehingga,
z
sin x cos x sin x cos x
Kunci Jawaban: D Perhatikan grafik pada soal! z
b 1 a 3 30q
2
1 p2 p
d 1
Misalkan 3 cos x sin x sama dengan r cos (x T) z
1 2 2
cos2 x sin2 x
c d 1 atau 1 d r
2
5 2
cos2 x sin2 x
2Â&#x;a
Ingat: a cos x b sin x
2
sin Â&#x2018;R
Kunci Jawaban: E tan D p z cos 2D cos2 x sin2 x
Kunci Jawaban: B
1 d
6
z
sin 2x 1 2x 90q ; 270q x 45q ; 135q Jadi, HP {x | 0q x 15q atau 75q x < 135q }
3 cos x sin x
10 3
10 3
1 2
Â&#x2018;R 45q Jadi, benar sudut R adalah 45q .
0 0
z
31.
Â&#x153;
sin Â&#x2018;R
30q ; 150q 15q ; 75q
2x x
6
10 sin Â&#x2018;R
1 2
sin 2x
R 10
Bergeser ke kiri sejauh
2 a2 3a 1 (2a 1) (a 1) z 2 sin 2x 1
6
Q
Jadi, persamaannya adalah y 30.
Kunci Jawaban: A
Kunci Jawaban: A Perhatikan grafik pada soal!
2S 2S
315q r k ¡ 360q
x 30
15 40 3 50
3 4 3 10 5
35.
Kunci Jawaban: A 2 cos x cos 10q ! 1 2 sin x sin 10q 2 cos x cos 10q 2 sin x sin 10q ! 1 2 cos (x 10)q ! 1 cos (x 10)q !
1 2
x 10q ! 60q atau 300q
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
27
x 10q
z
k z
60q r k ¡ 360q z
x 70q r k ¡ 360q 10q o x 70q x 10q 300q r k ¡ 360q
cos C
cos (180q ( A B ) ) cos ( A B ) [cos A cos B sin A sin B } § 3 ¡ 21 1 2 ¨¨ Â&#x2DC; Â&#x2DC; 7 ¸¸ 2 7 2 7 Š š
x 310q r k ¡ 360q k 0 o x 310q Jadi, HP {0q d x 70q , 310q x d 360} 36.
§ 63 2 7 ¡ ¨¨ ¸ 14 ¸š Š 14
Kunci Jawaban: E 2 3 sin x 2 cos x Â&#x; a
2, c
2 3, b
§3 7 2 7 ¡ ¨¨ ¸ 14 ¸š Š 14
2 3 2 3
Misalkan 2 3 sin x 2 cos x sama dengan r cos (x T) z
2
a b
r
2
12 4
16
39.
4
a 2 3 2 b 60q
tan T Â&#x; T
3
z
Nilai maksimumnya adalah 6 Â&#x; A Bergeser ke kanan sejauh 30q
z
Periode
z
4 cos (x 60q )
2 3
cos (x 60q )
1 3 2
37.
40.
x 90q r k ¡ 360q 0 o x 90q
Kunci Jawaban: B Perhatikan gambar pada soal! z
BD
periode
2
cos x sin x tan x
cos x sin x
sin x cos x
2
cos x
cos x
sin2 x cos x
sin2 x
Misalkan: uc Â&#x;
3 BD 3 sin 60q
AD Â&#x153; sin 60q BD
sin B
90q ) Â&#x; n
1 2
Kunci Jawaban: B
f (x)
x 60q 30q atau 330q q x 60 30q r k ¡ 360q k
180q (diperoleh dari gambar bahwa
adalah 165q 75q
2 3
6
360q 180q Jadi, fungsi persamaannya adalah y 6 sin (2x 30)q
Sehingga,
2 3 sin x 2 cos x
1 7 14
Kunci Jawaban: B Perhatikan grafik pada soal! z
z
6 3
zu
cos2 x
o uc
2 cos x ( sin x) 2 sin x cos x
zv
sin2 x
o vc
2 sin x cos x
3 1 3 2
ucv uv c
f ' (x)
v2
2 3
2 sin3 x cos x 2 sin x cos3 x sin4 x
z
BD
2
2
2
BC DC 2 ¡ BC ¡ DC ¡ cos Â&#x2018;C
12 52
48 cos Â&#x2018;C
cos Â&#x2018;C
40 48
5 6 x r
cos Â&#x2018;C
Ingat:
5Â&#x;x 6
5, r
6 41.
r 2 x2
maka y
11 6 Kunci Jawaban: C Jadi, sin Â&#x2018;C
38.
z
z
36 25
11
Kunci Jawaban: C 2 cos 2x
1 Â&#x; cos A 2
sin B
2 7 Â&#x; cos B 7
cos 2x
3 2 21 7
180q
d 0
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3
1 3 2
2x
30q r k ¡ 360q
x
15q r k ¡ 180q
165q
Jadi, HP
28
3
2 cos 2x d
1 11 6
sin A
3
21 2 21 2 2 21 2 21 2
f c
4 21 2
4 21 2 ( 2 2) 4 4 21 2
2
1S 4
16 36 2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ cos Â&#x2018;C
12
3
15q
150q
165q
11 1 1 11 ½  S dxd S, S d x d Sž Žx 12 12 12 12 ¿ ¯
180q
42.
sin x cos 210q cos x sin 210q [sin x cos 210q cos x sin 210q]
Kunci Jawaban: C 3 cos x sin x 1
Â&#x; a z
3, b
tan T
0 2
1, k
b a
1 3
a b
2
4
1 3 2
2
1 3 3
2 sin x cos 210q
1 3 2
§ 1¡ 2 sin x ¨ ¸ Š 2š
1 3 2
Â&#x; T 30q Sehingga, 3 cos x sin x 1 2 cos (x 30)q 1
0 0
x 30q z
x 30q
x Jadi, HP
1 2
cos (x 30)q
47.
Kunci Jawaban: A 2 cos x 2 sin x 2 Â&#x; a 2, b 2 Misalkan 2 cos x 2 sin x sama dengan r cos (x T).
Kunci Jawaban: E z Dengan aturan cosinus 2
2
y 15 r 4 Kunci Jawaban: D z
y x
15
1 15 4
sin A
tan D
2
4 1
y
z
a2 b2
z
r
z
tan T
2 Â&#x; y 3 r 2 13
z
sin D
z
cos D
x r
3 13
z
cos2 2D sin2 2 D
b a
2 2
2 2
1
Â&#x; T 135 Sehingga diperoleh, 2 cos x 2 sin x
2
2 2 cos (x 135q)
2
1 2 2
cos (x 135q)
2, x
x 135q
3 maka:
22 32
4 9
13 Jadi, HP
y r
( 2)2 22
2
6 3 6 36 9 36 2Â&#x2DC;6Â&#x2DC;3 36 9 1 Â&#x; x 1, r 4 maka: 36 4
cos A
44.
Kunci Jawaban: D Perhatikan grafik pada soal! Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh persamaan y sin (x 45)q 1
120q r n ¡ 360q
2
[210q, 330q}
46.
120q
x 150q r n ¡ 360q x 150q ; 270q Jadi, HP {150q, 270q} 43.
1 3 2 210q atau 330q
sin x
48.
cos 4D 1 2 sin2 2D
45q r k ¡ 360q
x 180q r k ¡ 360q x 90q ; 180q {90q, 180q}
Kunci Jawaban: C z
sin D
3 5
z
tan E
4 Â&#x; cos E 3
z
sin (D E) sin (D E)
3 5 2 sin D cos E
1 2(2 sin D cos D)2
2Â&#x2DC;
1 2(4 sin2 D cos2 D)
§ § 2 ¡2 § 3 ¡2 ¡ ¨4 ¨ ¸ ¨ Š 13 ¸š ¨Š 13 ¸š ¸ Š š
1 2
§ 16 9 ¡ Â&#x2DC; 1 2¨ ¸ Š 13 13 š
288 169 45.
119 169
18 25 49.
Kunci Jawaban: D z sin x cos x p
z
Kunci Jawaban: C sin (x 210)q sin (x 210)q
288 1 169
1 3 2
3 3 Â&#x2DC; 5 5
sin x cos x
ÂŞ Âş 1ÂŤ 2 sin x cos2 x (sin x cos x )2 Âť
Âť 2ÂŤ p 1 ÂŹ Âź 1 (1 p2 ) 2
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
29
50.
Kunci Jawaban: E
55.
Kunci Jawaban: B Perhatikan grafik pada soal! Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh persamaan y 4 sin x
56.
Kunci Jawaban: A
A D 8
5
B
C 11
z
z
cos D
52 82 112 2Â&#x2DC;8Â&#x2DC;5
cos D
x Â&#x; x r
10 sin D
51.
Kunci Jawaban: D sin x
2, r
y r
tan x
1 Â&#x; 3
y x
y x
tan T
25 4
21
2 21
z
cos T
z
cos T
x r
2t
2t , x 1 t 2 maka:
Â&#x; y
1 t2
(2t )2 (1 t 2 )2
y
1, r
1 2 2
32 1
cos2 21
3 maka: 8
1 t2 1 t2 1 2
2 cos2
2 cos2 21 T
x z
z
5 maka:
§ 21 ¡ 10 ¨¨ ¸¸ Š 5 š
§y¡ 10 ¨ ¸ Šr š
z
2 5
r
52 ( 2)2
y
z
32 80
T 1
cos T 1 cos T 1 2
T
1 t2 1 t2
2 2
1 t2 1 t2
1
1 t2
2
1 2 4
1
3
2
2 1 t2
1
2
1 t2
2 2
52.
Kunci Jawaban: C z sin x cos x a z sin 2x 2 sin x cos x
y r
sin 2x
2a Â&#x; y 1 x
z
53.
tan 2x
2a
2a, r
1
12 2a2
1 4a
8,17
A
54.
sin B B
60q
Jadi, Â&#x2018;C
Dengan aturan sinus
10
cos x ! 59.
75q
Kunci Jawaban: C z z
cos (B C) cos A
BC2
cos 3x C
9 40
9 10
x x 8
30
BC
10 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 2 60q r k ¡ 360 20q r k ¡ 120 0q ; 20q ; 100q ; 140q
60.
20q
Jadi HP
AC2 AB2 2AC ¡ AB ¡ cos A
200
1 3 2
B 0q
§ 9 ¡ 102 82 2 ¡ 10 ¡ 8 ¨ ¸ Š 40 š 100 64 36 200 z
3x
10
A
3 (tidak memenuhi)
Kunci Jawaban: C 2 cos 3x 1 t 0 2 cos 3x 1
cos (180 (B C)) cos (B C)
z
1 atau sin x 2
0 0
Karena x berada di kuadran I dan IV maka: cos x ! 0
8, 17 sin B 1 2 2 45q
B
180q 60q 45q
1 t2
Kunci Jawaban: E 2 sin2 x 7 sin x 3 (2 sin x 1)(sin x 3) sin x
10 sin 60q
1 t
1 2
58.
1 4a2
Kunci Jawaban: C C
1
T
Kunci Jawaban: B Pembahasan sama dengan soal nomor 31.
2
z
1 2
57.
2a
y x
cos
z
100q
140q
{0q d x d 20q ; 100q d x d 140q}
Kunci Jawaban: A
2 cos x 6 sin x dinyatakan ke dalam bentuk k cos (x D) Â&#x;a
2, b
6
1 t2
a2 b2
z
k
z
tan D
b a
Â&#x; D
1 S 3
2 6
6 2
8
2.
3
Kunci Jawaban: C T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan
12 2 cm.
rusuk tegak
T
Sehingga, 2 cos x 6 sin x 61.
Irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dengan kubus membentuk segi empat sembarang.
2 2
Jarak A ke TC
1 S) 3
2 2 cos ( x
Kunci Jawaban: C z
AB
2 3 Â&#x; BD
z
AO
3 Â&#x; DO
z
'ATP
z
AT
P
AP
' siku-siku di P
12 2 ; TP
C
6
6 2
(12 2 )2 ( 6 2 )2
AP
z
3 6 u 3
3 62.
3. A
D
z z
4 tan T 2 tan T 4 1 tan2 T tan T
12
z
tan T
x r
cos T
2 Â&#x; y 1 r 1 3
C A
D
2
Q
4
P 2 B
2 ¡ TP ¡ PC cos D
0 0 0 4 2 2
2
2 3 2 3 2 3 2 3 cos D
16
12 12 2 ¡ 12 cos D
8
24 cos D
8 24 Lihat gambar!
1 3
cos D
2, x
1 maka:
2 1
1 3 3
2 2 1
tan D
3 4.
2
4
2
z
4
2 3
dan TC 4 z Dari rumus cosinus didapat: 2 2 2 TP PC TC
0
2 tan2 T 4 4 tan2 T 2 tan2 T 4 2 tan2 T tan2 T tan T
y x
T
42 22
TP
Kunci Jawaban: C
tan 2T
B
12
Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm. Sudut antara TP dengan bidang atas sudut TPC. Dari 'TPC terlihat TP PC
3 3 3 2 3 2 3
2
A
6 6 cm
Kunci Jawaban: A z
B
3 3
3 3 18 3
216
O
CD OC DO BD BD 3 6 3
tan B
C
12 2
3 288 72
z
D
3 2 2
D
2 2
1
Kunci Jawaban: B T
D
11 cm
D
7. Dimensi Tiga
C Q
P
1.
Kunci Jawaban: A Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk AB, BC, dan CG. H
G
E
F R
B 2 2
A
Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah D. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah Â&#x2018;PTQ TP TQ TP
2
2 2 TA AP o AP
2
1 AD 2
D.
2
2
11 2
D
C Q
A
P
11 2 TP
9
PQ
AB
B
9
3
TQ
2 2 cm
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
31
Dari rumus cosinus didapat: PQ
2
2
DP
2
2 2
2
2
3 3 2 ¡ 3 ¡ 3 cos D
18 cos D
10
cos D
10 18
P
2
2
4 4 2 CF
2
G F
T
4 2
3 2u8 2 41
32
24 41
H
4 2
24 41 41
G I
E
F 4
2
6 (4 2) 2 . 6 . 4 2 cos Â&#x2018;PCF
20
D D
68 20 48 2
cos Â&#x2018;PCF
6¡
1 2 2
3 2
1 2 , jadi: 2
32 Â&#x2DC; 2
18
F
H
D adalah sudut antara BF dan bidang BEG
z
sin D
z
FI
z
BI
FI BI 1 diagonal sisi 2
2
24
1 C
D
P
P B
§1 ¡ 12 ¨ 2¸ Š2 š PF sin D 1
2
1
PF
1 PF
sin D
7.
1 3 2
2 3
2 4
1 1 2 2
42
8 16
2 6
B
sin D
3 2 1 6 3
G
FI BI
2 2 2 6
2 6
2 2Â&#x2DC; 3 9.
1 3
1 3 3
Kunci Jawaban: D Sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah Â&#x2018;TDC
D
cos D
DE TD
T 9 9 C
E
F
D A 8 D
P
C
T A
32
2 2
Sehingga didapat:
D
Kunci Jawaban: B H
1 u4 2 2
FI 2 BF 2
2 2
F
A
B
z
G
D
4
A
Kunci Jawaban: B
E
C 4
CP sin Â&#x2018;PCF
PQ
6.
1 2 2
1 ( 21 2 )2
sin Â&#x2018;PCF
8 82
3 2Â&#x2DC;
Kunci Jawaban: C
Jadi, 2
82
6 8.
32 o CF
18 64
TD sin Â&#x2018;HTD
DP
CB BF 2
TD 2 DH 2
8 82 Sehingga diperoleh:
B
36
8 cm
sin Â&#x2018;HTD C
36 o CP
DH TH DH tinggi prisma
3 2 cm
Maka,
D
A
2
2
sin Â&#x2018;HTD
1 u6 2 2
(3 2)2 82
Q
CP sin (Â&#x2018;PCF)
2
z
TH E
TD sin Â&#x2018;HTD
1 diagonal alas 2
TD
H
Untuk mencari sin Â&#x2018;PCF digunakan rumus cosinus. 2 2 2 CP CF 2CP ¡ CF cos T PF 2 2 2 2 2 PF FE EP 4 2 20 2 2 2 2 CP CD DH HP 2
Â&#x2018;HTD, jadi DP
z
5 9
Kunci Jawaban: B Jarak suatu titik terhadap garis adalah jarak tegak lurus titik tersebut terhadap garis atau perpanjangannya. Jarak P terhadap CF adalah PQ. PQ
TD sin Â&#x2018;PTD
Â&#x2018;PTD
18 18 cos D
8
5.
Jarak D ke garis HT adalah DP
2
TP TQ 2 ¡ TP ¡ TQ cos D
B
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3
D
6
E 3
B
Karena T.ABC limas beraturan, maka DE
1 DC. 3
z
D Â&#x2018;(ADHE, ACH) Â&#x2018;CPD Misalkan: rusuk kubus a
1 Â&#x2DC; BC 2 BD 2 3 1 1 Â&#x2DC; 62 32 27 3 3 1 3 Â&#x2DC;3 3 3
DE
P
D 1 P2 a 2
D z
2
TB BD
TD
72 z
z
2
9 3
3 6 2
6 12
1
144 6 144
6 144
10. Kunci Jawaban: B
PD
1 2
1a 2
z
CP
CD 2 PD 2
ED
2
1a 2 1a 2
PD CP
cos D
3 2 a 2
2
2
21 a 2
1 2
a 6
2 6
6
1 3
1 3
H
6 2 cm
E
G
E
36 36
D
F
D
C
C z
MC
F
5 cm
3
62 62
AC
T
jarak (A, TBC)
1 a2 2
a2
12. Kunci Jawaban: A
A
AE
C
z
z
138 12
5 cm
z
a
a2
§ 6¡ 1 ¨¨ ¸¸ Š 12 š
1 cos2 D
sin D
2
6 2
DE TD
cos D
2
1 2
1 2
AC
Â&#x2DC;6 2
M
3 2 A
B
B z
'ABC o BC
52 52
5 2
z
'TAC o TC
52 52
5 2
z
CD
1 TC 2
MC 2 CG 2
GM
EM
2
(3 2)2 62
36(2) 9(6)
18 36
72 54
54 z
BC 2 CD 2
'ABC o BD
2
5 2
50
§5 ¡ 2¸ ¨ Š2 š
25 2
18
6Â&#x2DC;9 2
2Â&#x2DC;9
3 6 cm
75 2
13.
3 2 cm
Kunci Jawaban: C H
BD Garis berat pada BCT E Perpotongan ketiga garis berat Jadi BE : ED 2 : 1 z
BE
2 BD 3
2 3
G
E
75 2
F
D
C P
A z
2
AB BE
'AEB o AE
50 25 3
2
25 3
5 3 3
14. C B
z
GP
6, BD
, BP
o 6 2 o BP
1 BD 2
3 2
GB 2 BP 2 72 18
3 6
Maka panjang proyeksi kecil garis EG pada bidang BDG
F P D
A
GC
54
G
D
z
(6 2)2 (3 2)2
11. Kunci Jawaban: B
E
B
Pada kubus ABCD EFGH, AC tegak lurus BD. Misalkan proyeksi EG pada bidang AC dan BD, maka proyeksi pada bidang BDG adalah GP.
2
§ 2 75 ¡ 52 ¨¨ ¸¸ Š3 2 š
H
2
6 2 3 6
9(2) 36
5 2 2
GE 2 GM 2
3 6
Kunci Jawaban: C Limas segi empat beraturan T. ABCD semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah D. Misalkan AB BC CD AD TA TB TC TD a
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
33
1 AC 2
a 2 o AO
AC
1 a 2
2
T z
AF 2 AP 2
FP
Perhatikan 'AOF! AO AT 45q
cos D o D
15.
1 2
a
2
D
C
D
2a2
O
A
B
a 2
Kunci Jawaban: D
H
G
z
Rusuk
z
Diagonal ruang
P D
2
s 3
z
A
2
a2 6 a2 2 a2 2 a2 6 a2 2
cos D
6 3
2
C
z
AQ
z
AP
1 AG 2
B
6 2 a 4
6
F
Q
2 a2 4
6 cm
Â&#x; AG
E
2
21 a 2
(a 2)2
1a 2 2
2a a
3 3
a
a2 3
62 32 36 9
2
18.
a2
(a
1 3
a2 3
1 a2 2 6) a2
2
1 3 3
Kunci Jawaban: E z
45
2
3 2 a 2
Jarak titik P ke AG adalah PQ.
Panjang rusuk
Â&#x; BD
8 maka panjang diagonal
8 2
8 2 H
PQ
AP 2 AQ 2
z
2
FP BF
BP
45 27 18
80
T
16.
Kunci Jawaban: D TA TB 5 TC 2 AC BC 4 AB 6 BP
z
z
1 2
AP
TP
AB
D
A
z
52 32
25 9
4
6
BC 2 PB2
19.
B
42 32
2
16 4 7 16
2
z
AI
1 AC 2
z
HI
z
P A
a
HF
a 2
D
C
D
1 3
A
54
B
3 6
6
a 2 (diagonal bidang)
UF
1 HF 2
z
H
G U
1 a 2 2
b E
2
21 a
a 2
z
2 a2 4
2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
PU
F
EP 2 EF 2
PF
B
2 a2 1 a 2
4
F
Kunci Jawaban: A z UV FB a
1 a2 4
a2 2 a2
G
E
3 2
6 3 6
6
2
3 2
62 (3 2)2
sin D
AB 2 AP 2
BP
H
C
D
2
6 a2 4
4
AH
F
D
1a 2
2a 2 2 a 2
34
DI
z
a 2
z
z
1 1 Â&#x2DC;6 2 DB = 2 2
z
AF 2 AP 2
a 2
G
E
2
6 2
CH
36 18
20.
1a 2 2
FP
B
4 3
AC
13 16
H
z
O A
I
bidang adalah a 2 . AP
48
C 8
2
Kunci Jawaban: E Misalkan panjang rusuk adalah a, maka panjang diagonal
z
D
Kunci Jawaban: D
7
42 22 ( 7 )2 2Â&#x2DC; 4 Â&#x2DC; 2
17.
8
Jadi, jarak titik P dan garis BD adalah 4 3 .
z
TP TC PC 2 Â&#x2DC; TP Â&#x2DC; TC
cos D
80 32
F
C A
2
4 5
BO
OP
3
16 9
E
16 64
1 BD 4 2 2 Jarak titik P dan garis BD adalah OP z
TB2 BP 2
PC
P
42 82
3 2
G
2
D
a2
a2
V A
5 2 a 4
B
5
2
2
PF 2 UF 2
a2 5 21 a 2
5 2 a 4
3 2 a 4
2 a2 4
C
a 2
3
24. z
PV
PA2 AV 2 1 a2 4
1 a2 2
2
1a 2
3 2 a 4
a 2
3
1a 2
2
Kunci Jawaban: A
TU
TC
PU 2 UV 2 PV 2 Â&#x2DC; PU Â&#x2DC; UV
cos b
3 2 a 4
a2
3 4
z
z
21.
cos b
1 3
y r
sin b
a2 3
a2
3
Â&#x; y
a2 3
a 2
3 Â&#x2DC;a
12
3 3
6 3
EC
4 3
EQ
2 Â&#x2DC;4 3 3
z
A
z
PR : EQ PR : EQ
Kunci Jawaban: E z Misalkan persamaan garis lurus yang bergradien m adalah y 3x n z Memotong parabola di titik (2, 4), maka:
2 x x 6 °½ ž Â&#x; 2x2 x 6 3 x 10 °¿
2 PR PR
R
EQ 1 EQ 2
F
4 3 3
C
A
27.
B
AB 2 BP 2
AP
36 9 z
TB BP
TP
81 9 z
AP
2
27
2
AT PT 2 AT ¡ PT cos D
D
1.
1a 2
2
D A
2
1 2
a
F D
C T
B
2
Kunci Jawaban: B
A
C
7 6 2
B
3
P3
6 2
23
23 7
D 7
Umur
f
4-7 8 - 11 12 - 15 16 - 19 20 - 23 24 - 27
6 10 18 40 16 10
Kunci Jawaban: C CD
AC
Me
BC 2 BD 2 18 18
AD
BC 2 AB 2
3
18 9
B
3 3
BD 2 AB 2 18 9
BP
tan Â&#x2018;P
C
3P
3
D
f2
3 3
BC 2 CP
AB BP
L2 c N ÂŚf2
A
6
3 23
z
a 2
AC
G
E
81 72 2 ¡ 9 ¡ 6 2 cos D
Maka,
z
1 2
a H
T
126 108 2
z
Â&#x; ( 2, 4)
8. Statistika
6 2 2
cos D
z
4
Kunci Jawaban: C Misalkan panjang semua rusuk kubus
2
2 Â&#x2DC; 9 Â&#x2DC; 6 2 cos D
z
4
2 maka y
tan D
126
tan D
x
TC
3 3
2
2 atau x
TC tan D GC AC a 2 (diagonal sisi)
Kunci Jawaban: D z
x z
0 0 0
z x 4 maka y 22 Â&#x; ( 4, 22) Jadi titik potong lainnya adalah ( 4, 22)
Q D
3x 10
3x 10
2x2 4x 16 x2 2x 8 (x 2) (x 4) G
3
2
y
P
GP : GE 1:2
B
Kunci Jawaban: B
2
E
C U
26.
1 6 3
8 3 3
D
4 3(2) n Â&#x; n 10 Sehingga diperoleh persamaan y
H
23.
8 3
2
55
Kunci Jawaban: C z
22.
2
6 2
y
2 u 3
UC
2
25.
1 3
a2 3 2
2
a2
2Â&#x2DC;
a2
a2 3 x r
2
2
2
64 9 AC
z
T
2
3 3
Me 18 9
1 o Â&#x2018;P
3
2.
3,5 7,5 11,5 15,5 19,5 23,5
6 16 34 74 90 100
§ N ÂŚ f2 ¡ ¸Â&#x2DC;c L2 ¨ 2 ¨ f2 ¸ Š š Tepi bawah kelas median 15,5 Internal kelas 4 Jumlah frekuensi 100 Frekuensi kumulatif sebelum kelas median (6 16 18 34) Frekuensi kelas median
§ 100 34 ¡ ¸ 15,5 4 ¨ 2 ¨ 40 ¸ Š š 15,5 1,6
S 4
fk
Tepi bawah
§ 50 34 ¡ 15,5 ¨ ¸ Š 10 š
17,1
Kunci Jawaban: D M0
§ ¡ f0 f 1 L0 ¨ 2f (f f ¸ Â&#x2DC; c 1 1 š Š 0
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
35
TB I f0 f 1 f 1
Tepi bawah kelas modus 44,5 Interval 5 Frekuensi kelas modus 12 Frekuensi kelas sebelum kelas modus 6 Frekuensi kelas setelah kelas modus 8
M0
§ ¡ 12 6 44,5 5 ¨ 2 Â&#x2DC; 12 (6 8) ¸ Š š 44,5
3.
30 24 14
Kelas Q1
p
p Q3
4.
L2
3N 4
f3
15; ( ÂŚ f )3 14
Q3
§ 54 46 ¡ 15 ¨ ¸ Â&#x2DC; 5 Š 14 š
7.
Â&#x2DC;c
Q3 c
Kuartil atas Panjang kelas
6f3
Jumlah frekuensi sebelum frekuensi yang memuat
f3
kuartil atas 27 Frekuensi kelas yang membuat kuartil atas
Q3
70,5
70,5
8.
3 Â&#x2DC;5 10
( ÂŚ f )1 Q1
xi
3-5 6-8 9 - 11 12 - 14 15 - 17
3 n 9 6 2
4 7 10 13 16 20 n
ÂŚfi
x
6.
fi ¡ xi 12 7n 90 78 32 Œfi ¡ xi 212 7n
ÂŚ fi fi Â&#x153; 10 ÂŚ fi
212 7n 20 n
200 10n 3n n
212 7n 12 4
n
36
Tepi bawah
fk
1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 2
8 12 14 26 12
2,5 5,5 10,5 15,5 20,5
8 20 26 52 64
3 n 4
17 76
1 1 (Q3 Q1) 17 76 9 61 2 2 1 (8,69) 4,345 | 4,35 2
70,75
54,5 58,5
4 6
10 ; f1
12; c
§ 12 10 ¡ 54,5 ¨ ¸4 Š 12 š
4
54,5
2 3
55,17
Kunci Jawaban: E
x
ÂŚ xi Â&#x2DC; fi ÂŚ fi (3 u 2) (4 u 4) (5 u 8) (6 u 12) (7 u 16) (8 u 4) 2 4 8 12 16 4 6 16 40 72 112 32 278 46 46 6,04
10.
fi
18 ;
20 7
Jumlah siswa yang nilainya t 5,04 adalah 12 16 4 orang.
Nilai
1 Â&#x2DC; n 4
15
Siswa dinyatakan lulus bila nilai t x 1 Â&#x153; nilai t 5,04
Kunci Jawaban: D
72 Â&#x;
9.
46
1 u 48 12 4
Kelas Q1 Tb 54,5
Kunci Jawaban: A fi
9 61
Kunci Jawaban: C
1 un 4
10
72,0
Nilai
8 12 26
§ 1 ¡ 69,5 ¨ ¸Â&#x2DC;5 Š 1 3 š 5 69,5 69,5 1,25 4
5
30 27 Â&#x2DC;5 10
5
Kunci Jawaban: B Kelas modus 70 74 L Tepi bawah kelas 69,5 12 11 1 f1 f2 12 9 3 c Panjang kelas 5 M0
70,5 1,5 5.
Tb f3
Simpangan kuartil
1 (Q Q1) 2 3 1 1 (12 3) 4 2 2
ÂŚ f3
12, c
25 § 18 8 ¡ 5 ¨ ¸ Â&#x2DC;5 5 6 Š 12 š Kelas Q3 15,5 20,5
Kunci Jawaban: B Q3
8; f1
Q1
4,75
Q2
Simpangan kuartil
5; ( ÂŚ f )1
Tb
Kunci Jawaban: C Data setelah diurutkan adalah sebagai berikut. 2 3 4 6 8 9 12 14 p Q1
5,5 10,5
54
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
11.
Kunci Jawaban: A Data diurutkan: 3 4 Modus: 5
5
5
6
7
Kunci Jawaban: E z Data diurutkan 17 17 18 18 19 20 21 22 22 23 24 25 z Jangkauan Xmax Xmin 25 17 z
Median
x6 x7 2
20 21 2
41 2
8
8
20,5
9
32
5.
9. Peluang 1.
Kunci Jawaban: D Ada 8 titik, tidak ada 3 titik yang segaris. Karena tidak ada 3 titik yang segaris, maka dalam setiap pembuatan garis memerlukan 2 titik. Jadi persoalannya kombinasi 2 dari 8.
2.
8Â&#x2DC;7Â&#x2DC;6 6! 2!
8! 6! 2!
C(8, 2)
Kunci Jawaban: E S Jumlah siswa 40 A Jumlah siswa gemar Matematika B Jumlah siswa gemar IPA A Â&#x2C6; B Jumlah siswa gemar mMatematika dan IPA c (A Â&#x2C6; B) Jumlah siswa tidak gemar Matematika dan IPA S M 9
c
P(A Â&#x2C6; B) 3.
7.
12
P(M)
n(M)
C(3, 2)
5! 3!2!
10
3! 2! !!
3
z
n(M ) n(S )
5 2 u 8 8
10 64
Peluang bola kuning dari kotak I
3 8
3 6 18 u 8 8 64 Peluang kedua bola berwarna sama: P(K)
3 10
n(S)
C(8, 2)
8! 6!2!
28
n(B)
C(5, 2)
5! 2!3!
10
P (M ) P (K )
P 8.
Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II
P2
7 36
6 8 Peluang kedua bola berwarna kuning:
Kotak II: 3 bola hijau, 5 bola biru
n( B ) n(S )
7 6u6
Peluang bola kuning dari kotak II
Peluang terambilnya dua bola merah dari kotak I
P1
28 64
7 16
Kunci Jawaban: D Populasi serangga setiap tahun menjadi 2 kali lipat membentuk barisan geometri, dengan U1 a 5000 r
10 28
10 18 64 64
10.000 5.000
2
10 tahun yang akan datang populasinya
Jadi, peluangnya adalah:
P 4.
P1 u P2
3 10 u 10 28
3 28
Sn
Kunci Jawaban: C n ! n faktorial n (n 1) (n 2) . . . 1 16! 16 ¡ 15 ¡ 14 . . . 1, dengan ketentuan: 0! 1 dan 1! 1
1 14!
16 Â&#x2DC; 15 16 Â&#x2DC; 15 Â&#x2DC; 14!
240 160 4 16!
Â&#x; S10
9.
S10
(r n 1) r 1 5.000(210 1) 2 1
5.000(1.024 1) 1
5.000 (1.023)
5.115.000
Kunci Jawaban: E Dua dadu dilambungkan bersama-sama
240 16!
10 10 Â&#x2DC; 16 160 15! 16 Â&#x2DC; 15! 16! Karena penyebutnya sudah sama maka: 1 10 4 14! 15! 16!
(3, 6), (4, 5),
Kunci Jawaban: C Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Ditanyakan peluang kedua bola berwarna sama. z Peluang bola merah dari kotak I z Peluang bola merah dari kotak II z Peluang kedua bola berwarna merah:
3 40
C(5, 2)
1 . 2
Kunci Jawaban: B Muncul mata dadu berjumlah 9 atau 10 adalah
Peluangnya
Kunci Jawaban: B Kotak I : 3 bola merah, 2 bola putih. n(S)
2 4
(5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4) Â&#x; Ada 7 kejadian.
3
B
16
Peluangnya 6.
28
Kunci Jawaban: D P Perempuan, L Laki-laki Kemungkinannya PPP, LLL, LLP, LPP. o Ada 4 kemungkinan Kemungkinan paling sedikit mempunyai 2 anak laki-laki adalah LLL dan LLP.
84 16!
1 Munculnya mata dadu pertama 3 adalah dan mata dadu 6 1 kedua 5 adalah . 6 1 1 1 u Maka kejadian yang diharapkan 6 6 36 10. Kunci Jawaban: C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n(S) 9
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
37
Banyaknya tiket dengan nomor ganjil adalah n(A) 5 z Peluang terambilnya tiket bernomor ganjil pada pengambilan pertama adalah
n( A ) n(5)
P(A)
P (B )
4 8
10! 7! 3!
10 C3
1.
Kunci Jawaban: C 2 2 25 Diketahui lingkaran x y Garis singgung di titik ( 3, 4) menyinggung lingkaran lain yang pusatnya (10, 5). z Gradien garis singgung:
120 cara.
z
10 cara
1 putih dapat diambil dari 3 putih
z
3 cara
30 120
Jadi, P (2 merah, 1 putih)
B
6 Â&#x; P ( A)
Bukan komposit
P( A Â&#x2C6; B)
6 10
5
4 10
P ( A) u P (B )
2 5 3 2 u 5 5
§3¡ R 1 ¨ ¸ Š4š
6 25
2u5u4
z
Kotak II
2. 7 bola
3 7 7 bola merah 2 bola hitam
9 bola
2 9 Jadi, peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah
3 2 u 7 9
6 63
15. Kunci Jawaban: B z 2 orang matematikawan dari 3 orang
38
3! 1! 2!
2
25 16 5 RÂ&#x2DC; 4
3 35 (x 10) 4 4
3 cara
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
35 42 32 Â&#x153;R 4 42 35 4 35 Â&#x153; R 4
35 5
35 4
7
Kunci Jawaban: E 2 2 Persamaan: 9x 25y 18x 100y 116 dapat disederhanakan menjadi: 2
P(hitam)
3 C2
RÂ&#x2DC;
40.
14. Kunci Jawaban: D z Kotak I 4 bola merah 3 bola putih P(putih)
39 3 1 (x 10) 4 4
Sehingga,
4
Banyaknya cara
(y 5) 1
(y 5)
13. Kunci Jawaban: C Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dalam 3 digit. 2
3 (x 10 13) 4
10
3 5
3 (x 3) 4
(y 5) 1
2 ,3 ,5 , 7
4 Â&#x; P (B )
n(B)
3 ( x 3) . . . . (i) 4
Karena yang ditanyakan panjang jari-jari lingkaran kedua yang berpusat di (10, 5), maka dapat langsung digunakan rumus garis singgung lingkaran:
y 4
1 4
Kunci Jawaban: D A Bukan prima 1 , 4 , 6 ,8 , 9 , n(A)
3 Â&#x153; y 4 4
m(x a) R 1 m 2 dengan (a, b) adalah pusat lingkaran kedua. Persamaan garis singgung dari persamaan (i) adalah:
Maka kemungkinan terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah 10 u 3 30 cara.
12.
3 4
y b
3! 1! 2!
3 C1
( 3) 4
Persamaan garis singgungnya melalui titik ( 3, 4):
y 4 x ( 3) z
5! 2! 3!
x y
m
Terambilnya 2 merah dan 1 putih, yaitu: z 2 merah dapat diambil dari 5 merah. 5 C2
10 cara
10. Lingkaran
11. Kunci Jawaban: A 5 merah, 3 putih, 2 biru 10 kelereng Dari 10 buah kelereng diambil 3 kelereng secara acak, seluruhnya ada
4u5 2
5! 2! 3!
Jadi banyaknya cara menyusun tim tersebut adalah 3 u 10 30
1 Â&#x; karena sudah diambil satu. 2 5 1 5 Â&#x2DC; P ( A) Â&#x2DC; P (B ) 9 2 18
Jadi, P
3 orang teknisi dari 5 orang teknisi 5 C3
5 9
Peluang terambilnya tiket bernomor genap pada pegambilan kedua adalah
z
z
9(x 2x) 25(y 4y) 116
2
0
2
2
9(x 1) 9 25(y 2) 100 116 2 2 9(x 1) 25(y 2) 225
0 0
9( x 1)2 25( y 2)2 225
1
( x 1)2 ( y 2)2 25 9
1
0
Persamaan elips di atas memiliki pusat di (1, 2) dan sumbu panjang sejajar dengan sumbu-x, jadi fokusnya: F1(D c , E) dan F2(D c , E) dengan titik (D , E) adalah pusat elips.
Kunci Jawaban: D Diketahui hiperbola dengan persamaan:
Kunci Jawaban: A Diketahui persamaan hiperbola: 2 2 9x 4y 54x 8y 41 0 2 2 0 9(x 6x) 4(y 2y) 41 2 2 0 9(x 3) 81 4(y 1) 4 41 2 2 9(x 3) 4(y 1) 36
( x 2)2 ( y 1)2 16 9
( x 3)2 ( y 1)2 4 9
a2 b2
c
25 9
6.
4
sehingga D c 1 4 5 dan D c 1 4 Jadi, fokusnya adalah (5, 2) dan ( 3, 2). 3.
1
Pusatnya (2, 1), a 16 dan b Persamaan asimptotnya adalah
b r ( x D ) Â&#x153; ( y 1) a Jadi garis singgungnya: (y E )
y 1
z
y 1
z
4.
3
9
( x 3)2
3
2
2
( x p )2 a
3 (x 2) Â&#x153; 4y 3x 2 4 3x 4y 2
2
b
2y 2 2y 3x 11 3x 2y 11
0 0 7.
Ditanyakan persamaan garis singgung pada x 2 Persamaan garis singung pada kurva y f(x) di titik x a adalah: y f '(a)(x a) f(a)
2 Â&#x2DC;2
2 Â&#x2DC;2Â&#x2DC; 2
f (x)
2x 2 Â&#x; f ' ( x )
f ' (2)
3 2 21 3 2 Â&#x2DC;2 Â&#x2DC; 2 2 2
3
z
4
g
8.
y1
4
m Â&#x2DC; 0 2 1 m
m2
4 1 3
m
r 3
r
3( x 0) 4
0 0
1 13 x 2 2 1 2 1 ml
1 1 2
2
y'
Kunci Jawaban: C Lingkaran: x 4x y 4 x y 4x 4
1 ¡ § 1 Pusat: ¨ A B ¸ 2 š Š 2
0 0
1 ¡ §1 ¨ 2 ( 4) 2 (0) ¸ Š š
(2, 0)
Jarak antara pusat dengan sumbu-y adalah 2.
4
9.
Jadi persamaan garis singgungnya:
y
(0, 4).
2
1 m2 Â&#x; 1 m2
2
2, dan (x1, y1)
3 ( x 3) 2
4x 6 2 4x 8 o x 2 x 2 o 2 (2) 6 (2) 7 8 12 7 11 Jadi titik singgung: P(2, 11) g melalui P(2, 11) dengan gradien 2 y y1 m (x x1) y 11 2 (x 2) y 2x 4 11 y 2x 15 2x y 15 0 mg
3
Kunci Jawaban: D 2 2 4 Diketahui lingkaran x y Ditanyakan persamaan garis singgung dari titik (0, 4). Persamaan garis singung pada lingkaran yang ditarik dari titik (x , y) di luar lingkaran adalah: y m(x x1) y1 dengan m (gradien) dicari dari: mx1 R 1 m 2 R Jari-jari lingkaran Pada lingkaran di atas R Jadi:
b ( x p) a
garis singgung
g A l o mg
3 2 21 x 2
Jadi persamaan garis singgungnya adalah: y f' (2) (x 2) f(2) 3(x 2) 4 3x 2 5.
r
Kunci Jawaban: B l : x 2y 13 0 2y x 13
gradien l : Me
f (2)
r
y
2 x 2 , jadi 3 2
1 adalah y q
2
r 3 (x 3) 0 atau 2y 3x 7 0 atau 3x 2y 7
3
f (x)
z
1
( y q )2
y 1
3 2x 2
x 2x
32
Jadi persamaan asimtot untuk hiperbola di atas adalah:
Kunci Jawaban: A Diketahui kurva y
( y 1)2
Persamaan asimtot hiperbola yang persamaan umumnya
3 r ( x 2) 4
3 ( x 2) Â&#x153; 4y 3x 10 0 4 3x 4y 10 0
1
r
3 x 4
Kunci Jawaban: D 2 2 7x 16y 28x 96y 60 2 2 (7x 28x) (16y 96y) 2 2 7(x 4x) 16(y 6y) 2 2 7(x 4x 4) 16(y 6y 6y 9) 2 2 7(x 2) 16(y 3) ( x 2)2 ( y 3)2 16 7
0 60 60 60 28 144 112 1
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
39
Pusat:
(2, 3) o (p, q) 2
2
16; b
a
2
2
14. Kunci Jawaban: D 2 2 Diketahui persamaan lingkaran (x 4) (y 3) Tegak lurus garis x 3y 5 0
7
2
c a b 16 7 9 c 3 Fokus: F1(p c, q) o F1(2 3, 3) F1(5, 3) F2(p c, q) o F2(2 3, 3) F2( 1, 3) Jadi, salah fokusnya adalah F( 1, 3)
Pusat lingkaran (4, 3), r Gradien garis singgungnya x 3y 5 0 3y x 5
3
2
x 3x 2x 5
m2 7
2
O
x
2
0 0 0 0
40 32 1
3 x 12 3 r
z
3x 15 20 3x 15 20
y1 y2
40 10
3x 5 3x 35
6 o 2b
Sumbu minor
2x
Garis singgungnya A pada garis y x 1 Â&#x; m Gradien garis singgung 1. Jadi:
Untuk x
3( x 4) r
16. Kunci Jawaban: C Diketahui panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang pusatnya M(3, 1) sama dengan 6 dan melalui titik P(8, 3).
13. Kunci Jawaban: C
1 2x Â&#x; x
y 3
6
b 3 Persamaan elips dengan pusat M(3, 1), panjang sumbu minor adalah 6 dan melalui titik P(8, 3) adalah:
1
( x h )2
1 2
a
2
( y k )2 b
2
2
1 Â&#x153;
(8 3)2 a
25 4 a2 9 225 4a 225 a
1 didapat: 2
15 § 1¡ y ¨ ¸ 4 4 Š 2š Persamaan garisnya:
1 Â&#x153;
y
§ § 1 ¡ ¡ 1¨ x ¨ ¸ ¸ Š 2 šš Š 1 15 x Â&#x153;y 2 4
0
17 4
x
Pusat (3, 1), a 16
17 4
Asimtot: y k
0
. . . . (0, 17 ) 17 4 4
Jadi garis singgungnya memotong sumbu-y pada 0,
40
(3 1)2 32
17 4
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
y 1
r
1
1
9a2
9a 5a 45 ( x 3)2 ( y 1)2 45 9
17. Kunci Jawaban: E
Jika memotong sumbu-y maka x y
2
225 4a2
Jadi, persamaan elips adalah
§ 15 ¡ y ¨ ¸ Š 4 š
0 dapat digunakan rumus
15. Kunci Jawaban: D Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak (1, 3) dan melalui titik (3, 7) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: (y b) 4p (x a) (7 3) 4p (3 1) 16 4p(2) 16 8p p 2 maka persamaan parabola adalah (y 3) 8(x 1)
0
3(x 2) 4(y 4) 62 Koordinat pusatnya adalah ( 2, 4)
m ( x a) r r m2 1
z
8¡6
12. Kunci Jawaban: A 2 2 3x 4y 12 32y 10 2 2 3(x 4x) 4(y 8y) 10 2 2 3{(x 2) 4} 4 {(y 4) 16} 10
dy dx
2
3 x 15 r 400 3 x 15 r 20
8x 6y 48 3x 4y 32
dy dx
3
y b
y
B(6, 0)
6y
Persamaan garis BA adalah: 8x
2
1
1
(x 4) (y 3) 40 yang tegak lurus garis x 3y 5
BA diameter. Garis singgung yang melalui titik A harus tegak lurus pada garis BA.
x2 4 Â&#x;
3
Maka persamaan garis singgung lingkaran
11. Kunci Jawaban: B y Lingkaran melalui titik O(0, 0), A(0, 8) dan B(6, 0) A(0, 8) Penyelesaian paling sederhana dengan sketsa. 'AOB 90q , berarti
y
1
3
1 Â&#x153; 1 Â&#x2DC; m2 3
m1 ¡ m2
2
m 3¡1 6¡1 2 Persamaan garisnya: y ( 3) 7 (x 1) y 7x 10
3
Karena lingkaran tegak lurus garis maka hasil kali gradien
y 3x 6x 2 Gradiennya pada x 1 2
40
1 x 5 Â&#x; m1
y
10. Kunci Jawaban: E Garis menyinggung kurva y di titik T(1, 3)
40
4 b 25
5
r b ( x h) a
5 ( x 3) 4
Asimtot memotong sumbu-y, jika x
0.
1
y 1 y 1 y y1 y2
21. Kunci Jawaban: A
5 (0 3) 4 5 r ( 3) 4 § 15 ¡ 1 r ¨ ¸ Š 4 š r
x y 1
0 Â&#x; x y
x y 3
11 2 § 15 ¡ 1 ¨ ¸ 2 4 4 Š 4 š 15 19 4 1 4 4 4 3
2¡ § . . . . ¨ 0, ¸ 4š Š 3¡ § . . . . . ¨ 0, 4 ¸ 4š Š
0 Â&#x; x y 2x x Substitusi x 2 ke (i) 2 y 1 o y 1 Diperoleh x 2, y 1
3 x1 4 y1 35
r
2
3 4 18. Kunci Jawaban: A Suatu kurva melalui titik P(1, 3) Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama dengan
dy dx
Âł (2x 5)dx
2x 5 o y
y
x 2 5x c
y
12
x' § y 2 ¡ § 1 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ Â&#x; x 1 2 y' Š š Š š
y 1 x 3 2
20. Kunci Jawaban: B 3 2 y x 5x 7 . . . (i) y
2x 3 o m1
2
y Â&#x153; 2y
m(x a)
p m
y 3
2(x 1)
4 2
y 3 y
2x 2 2 2x 7
k
z
1 1
3
3 Â&#x; a
k c 8 3 c 8oc 5 2 2 2 c a b 2 2 2 2 5 3 b ob
2
3
16 o b
Persamaan hiperbola:
4
x ( y 3)2 16 9
Persamaan asimtot: y 3
y
1 (x 1) 2
x 7 Â&#x; x 2y 7
2
5 0 0
2
1 2
1 1 x 3 Â&#x153; y 2 2
2
23. Kunci Jawaban: A Hiperbola: Puncak (0, 6) dan (0, 0) Fokus (0, 8) z h 0, k a 0 k a 6 2k 6 z
Absis x 1 Substitusi x 1 ke (i) 3 2 y 1 5¡1 7 3 Diperoleh titik (1, 3) y y1 m2 (x x1) y 3
36 adalah
y b
2
m2
3, a p
R[( 1, 2), 90q]
Maka persamaan bayangan 4(x 1) 9(y 2) 2 2 36 4( y 1 1) 9(x 3 2) 2 2 36 4( y 2) 9(x 1) 9(x 1) 4(y 2) 36
Karena A maka m1 ¡ m2 2 ¡ m2
1, b
36 o
§ x' 1 ¡ § cos 90q sin 90q ¡§ y 1 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ Š y' 2 š Š sin 90q cos 90q šŠ y 2 š § x' ¡ § 0 1 ¡§ x 1 ¡ § 1 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Š y' š Š 1 0 šŠ y 2 š Š 2 š
§ x' ¡ ¨ ¸ Š y' š
2
Â&#x; 1 p 3 o p 4 Persamaan parabola: 2 4 ¡ 4(x 1) (y 3) 2 (y 3) 16(x 1) Persamaan garis singgung dengan m
36
R(P, 90q)
o 4( x 1)2 9( y 2)2
5
Persamaan lingkaran: (x 2) (y 1) 2 2 x 4x 4 y 2y 1 25 2 2 x y 4x 2y 20
Â&#x; a
36
o 4 ( x 1)2 9( y 2)2
25 5
22. Kunci Jawaban: C Titik puncak (a, b) ( 1, 3) Titik fokus (a p, b) (3, 3)
2
Kurva melalui titik P(1, 3) o 3 1 5 ¡ 1 c c 7 2 Maka persamaan kurva adalah y x 5x 7. 19. Kunci Jawaban: D 2 2 Persamaan 4x 9y
. . . (i) . . . (ii)
3(2) 4 Â&#x2DC; 1 35 9 16
2
6 4 35 5
1 3 4 2
r
4 ( x 0) 3
r
4 x 0 3
1
4 x 3 atau 4 x 3 3 3 24. Kunci Jawaban: D 3 2 y ax 2x di titik (1, a 2) maka Jadi, y
1 7 x 2 2 0
3
2
a 2 a ¡ 1 2 ¡ 1 Â&#x153; a 2 a 2 Karena a 2 a 2, maka nilai y 0
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
41
Jadi (1, 0) A dengan garis x 2y 2y
4 x 4
1 x 2 Â&#x; m1 2
y
1 o
m1 ¡ m2 m2 y
1 Â&#x2DC; m2 2
1 2
m(x 1)
2(x 1)
3 x1 4 y1 9 16
2x 2 4
1 ¡ m2 9
20 5
4 2
Â&#x; p 1 2 2 (x 1) 4(y 3) Garis 2x y 3 0 y 2x 3 o m1 2 m1 m2 2 (karena sejajar) Persamaan garis singgung: (y b) (y 3) y y
2
4 0 0
r 2 m2(x a) m2
2(x 1) 4 2x 2 4 3 2x 9
27. Kunci Jawaban: D Hiperbola:Puncak ( 2, 1), (6, 1) Fokus (7, 1) z r a h a 2 h a 6 a 2h 4 z h c h 2 2 c c 2
5 2 b 2 b Persamaan asimtot:
y
z
42
y
2
2, k 4 7 7 5
1
2
4 b 25 16 9ob 3
1 o m2
0
3x2 12x 18
1 x 2 9 1
9 2
3x2 12x 18
3 x1 4 y1 8
3( 3) 4 Â&#x2DC; 2 8 5
9 16 9 8 8 5
5
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran: 2 2 25 (x 3) (y 2) 2 2 x y 6x 4y 9 4 25 0 2 2 x y 6x 4y 12 0 30. Kunci Jawaban: E p 3 2 Persamaan parabola (y 3) 12(x 2) Persamaan garis singgung dengan m 3 p y 3 m(x 2) m y 3
3(x 2)
3x 6 1 3 o y
3x 4
§3 3 4 5 4 5 ¡ , Pusat: ¨¨ ¸¸ 2 Š 2 š
3 3 x 1 4 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
( 1, 3)
(2, 3)
3 3
31. Kunci Jawaban: D
3 ( x 2) 1 4 3 ( x 2) 1 4
m2
y
3 r ( x 2) 4 r
3 3 x 1 4 2
9 o 3x 12x 9 0 3(x 3) (x 1) 0 x 3 atau x 1 x 3 o y1 33 62 ¡ 3 18 ¡ 3 3 30 . . . . (3, 30) Persamaan garis singgung: y 30 9(x 3) y 9x 3 y 9x 3 0 x 1 o y1 13 6 ¡ 12 18 ¡ 1 3 16 . . . . (1, 16) Persamaan garis singgung: y 16 9 (x 1) y 9x 7 y 9x 7 0 29. Kunci Jawaban: A I : 2x 6y 6 0 II : 2x y 4 0 5 y 10 0 o y 2 ½ ž ( 3, 2) II : 2 x 2 4 0 o x 3 ¿ y1'
26. Kunci Jawaban: B Parabola: Puncak (1, 3) Fokus (1, 2) a 1, b 3, b p 2
2
0 o y2
Karena A maka m1 ¡ m2
18 2
0
3x 2 Â&#x; 3x 4y 2
9y2 x 2
3Â&#x2DC;4 4Â&#x2DC;2 5
a b Â&#x153;
28. Kunci Jawaban: A y1 x3 6x2 18x 3 o y1'
. . . (i) . . . (ii)
2
2
3 ( x 2) 1 4 3 1 x 4 2
y
4y
Persamaan lingkaran: (x 4) (y 2) 2 2 x 8x 16 y 4y 4 16 2 2 x y 8x 4y 4
y 1
3x 10 Â&#x; 3x 4y 10
y
Substitusi y x 4(2) 4 x 8 4 x 4 8 4 Diperoleh x 4, y 2
2
4y
2
9y y 2 ke (i)
c
3 5 x 4 2
z
1
25. Kunci Jawaban: D x 4y 4 0 o x 4y 2x y 10 2 (i) (ii) o 2x 8y 8 2x y 10
r
y
(3, 4) Pusat (3, 4), Puncak (3, 6) F2(3, 4 5 )
O
Â&#x;
a
2
2 , c 2
a b o 5 b2
c
36.
5
2
F2
2
4 b 1
2x 6 4 oy 2 x 6 4 o y
I: y II : y
dy dx
(3, 6)
3x 2 4x 3
(3, 4)
( x 3)2 ( y 4)2 Persamaan hiperbola: 1 4
Persamaan asimtot: y 4
Kunci Jawaban: E
1
y F1
Âł 3x
2
4 x 3dx
Kurva melalui titik (3, 10) 10 33 2 ¡ 32 3 ¡ 3 c 10 27 18 9 c c 10 36 26 Persamaan kurva: y x3 2x2 3x 26
2 ( x 3) 1 2x 2 2x 10 r
32. Kunci Jawaban: B 37.
3
y x 2x 1 , x 1 2 y ' 3x 2 2 m y ' 3(1) 2 3 2 1 3 Substitusi x 1 ke y x 2x 1
Kunci Jawaban: A L { x2 y2 4x 6x 6y 12 xx1 yy1
3
Â&#x; y
1 2¡1 1 0 Persamaan garis singgung: y 0 1 (x 1) y x 1 38.
33. Kunci Jawaban: E Ujung diameter A(2, 4), B( 4, 2)
§2 4 4 2¡ , Pusat ¨ 2 ¸š Š 2
( 1, 3)
r 2 ( 1)2 32 1 9 10 Persamaan lingkaran: (x 1)2 (y 3)2
10
2x
Â&#x153; y
2
z
39.
2x 1 1
1
40.
y
di mana m
r
6x 3y
0
3 ( x 2) 1 4
z
y
3 3 3 ( x 2) 1 x 1 4 4 2
3y
3 1 x o 4y 3 x 1 0 4 2 3 (x 2) 1 4
1
y
r
b x a
b a m1
r
b a
6x 5
2
r
b 2
5 3
4
r b
r
2x
3 3 x 1 4 2
3 5 x o 4y 3x 5 4 2
4p (x a) 8 (x 4) 8x 32 0
Kunci Jawaban: D
z
y
1
Kunci Jawaban: A 0 Elips: 9x2 25y2 36x 50y 164 9(x2 4x 4) 25(y2 2y 1) 164 36 25 9(x 2)2 25 (y 1)2 225
Asimtot hiperbola: y
r
b
c2 a2 b2 25 9 16 c 4 h 2 dan k 1 Fokus: (h c, k) dan (h c, k) (2 4, 1) dan (2 4, 1) ( 2, 1) dan (6, 1)
0 124 36 16 144
Sehingga diperoleh, a2 16 o a 4 b2 9 o b 3 h 2 dan k 1
3 ( x 2) Â&#x153; y 4
z
0 0 0
Sehingga diperoleh,
( x 2)2 ( y 1)2 16 9
z
2p 4 p 2 Persamaan parabola: (y b)2 (y 1)2 2 y 2y 1 y2 2y 8x 31
( x 2)2 ( y 1)2 25 9
35. Kunci Jawaban: B Hiperbola: 9x2 16y2 36x 32y 124 9(x2 4x 4) 16(y2 2y 1) 9(x 2)2 16(y 1)2
r
1 1 ¡ 4 (x x1) ¡ 6 (y y1) 12 0 2 2 x ¡ 5 y ¡ 1 2(x 5) 3(y 1) 12 5x y 2x 10 3y 3 12 3x 4y 19
2 2 y y 2x
y 1
0 di titik (5, 1)
Kunci Jawaban: A Parabola: F(2, 1), direktris x 6 z a p 2 z a 2 2 a p 6 a 4
34. Kunci Jawaban: A y2 8x o 4p 8 o p 2 Garis 2x y 1 0 y 2x 1 o m1 Karena sejajar m1 m2 2 p y m2 x m
x 3 2x 2 3 x c
b a
z
b Â&#x; m1
m2
2
16
2
0
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
43
41.
Ditanyakan sisa pembagian h(x) oleh (x 2x 3) x 2x 3 (x 3) (x 1) Misalkan sisa pembagian itu adalah ax b, maka: z Untuk x 1 a( 1) b f( 1) ¡ g( 1) a b 8 ¡ 9 72 . . . . (i) z Untuk x 3 a(3) b f(3) ¡ g(3) 3a b 4 ¡ 15 60 . . . . (ii) Dari (i) dan (ii) didapat sistem persamaan: z b 72 a a b 72 3a b 60 72 33
Kunci Jawaban: B Hiperbola: z h c h c 2h
Fokus ( 9 , 1) dan (18, 1) Â&#x; k 8 z 5 c 8 18 c 13 z 2a 24 10
h 2
2
( x h )2 a
a 2
2
c a
b
z
5
2
( x 5) 2
12
13 12
( y k )2
2
12 Â&#x; a2
1
144
25
1
b2 ( y 1)2
1
52
4a 132 Â&#x; a 33 39 Jadi sisa pembagian itu adalah 33x 39.
2
( x 5)2 y 1
144 25 .
1
4.
3
2
Â&#x; 3(2) 4(2) 6(2) k 24 16 12 k k Suku banyak tersebut adalah 3 2 P(x) 3x 4x 6x 4 Sisanya adalah: 3x 10 0
2
3
x 2x 2
1 3
0 0 4
12
2
3x 4x 6x 4 2 3x 6x 6x
13
q
2
5
6
15
q 15
q 5 3
0 Â&#x153; q 5
3
2
6x 13x 41x 12
2
ax bx cx 4 0, maka berlaku:
3 ¡ ( 12)
36
36 5
41
2 (6x 15x 36)(x
1 ) 3
2 3(2x 5x 12)(x
1 ) 3
c a
(2x 5x 12)(3x 1) (2x 3)(x 4)(3x 1) Jadi faktor yang lainnya adalah (2x 3) dan (x 4). 5.
d a
Pada persamaan di atas: a 1, b 4, c 1 dan d 4 2 2 2 2 x1 x2 x3 (x1 x2 x3) 2(x1 x2 x1 x3 x2 x3) 2
§ b ¡ 2 Â&#x2DC; c ¨ ¸ a Šaš
2
§ ( 4) ¡ 1 ¨ ¸ 2Â&#x2DC; 1 Š 1 š 16 2 14
Kunci Jawaban: E f(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 8, berarti f( 1) 8 f(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 4, berarti f(3) 4 g(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 9, berarti g( 1) 9 g(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 15, berarti g(3) 15 Diketahui pula: h(x) f(x) ¡ g(x)
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Kunci Jawaban: E 3 2 Diketahui fungsi y f(x) 4x 6x 2 z Fungsi akan naik apabila f ' (x) ! 0 dan turun apabila f'(x) 0. z Titik stasionernya f'(x) 0 3 2 f(x) 4x 6x 2 2 f'(x) 12x 12x f'(x) 0 Â&#x; 12x 12x Titik stasionernya x 0 dan x f'(x) ! 0 f'(x) 0
2
44
q 5 3 0
2
b a
x1 . x2 x1 . x3 x2 . x3
3.
12
6x 15x 36. Jadi dapat ditulis:
Kunci Jawaban: B Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan berderajat tiga:
x1 . x2 . x3
0
2
8x 24 (sisa)
x1 x2 x3
31
Suku banyak itu apabila dibagi oleh x 31 hasil baginya adalah
2
3
6
q
10x 12x 4 2 10x 20x 20
2.
(3x 1), 3 x 31 , berarti f
Kunci Jawaban: D 3 2 P(x) 3x 4x 6x k habis dibagi (x 2) sehingga: P(2)
Kunci Jawaban: D
0 Â&#x153; 12x (x 1) 1 f'(x) ! 0
0
0 1 Jadi fungsi f(x) di atas naik pada selang x 0 atau x ! 1. 6.
Kunci Jawaban: B 2 F(x) (x 6x 5) ¡ H(x) (ax b) (x 5) (x 1) ¡ H(x) (ax b) F(x) dibagi (x 5) o sisa
5a b
F(x) dibagi (x 1) o sisa
a b
5
4a a
8 2
13
Sehingga, 2 b 5 o b 3 Jadi sisanya adalah ax b 2x 3 7.
Sehingga, a b 3a b
Kunci Jawaban: D 2 F(x) (x x 2) ¡ H (x) (ax b) (x 2) (x 1) H(x) (ax b) F(x) dibagi (x 2) o sisa 2a b F(x) dibagi (x 1) o sisa a b
11 4
3a a
15 5
2a
5 b 4 b 1 Jadi sisanya adalah 5x 1.
x 2 4 x 3 x 5 2x 4 4 x 2 2x 3
3
f( 1) f(3)
Sisa
4
3
2
2x 3x 4x 2x 3 4 3 2 2x 8x 6x 3
4
3
2
10x 13x 3 2 10x 40x 30 27x 27
2
( 1) 7 ( 1) 9 ( 1) 13 ( 1) 7 1 7 9 13 7 3 4 3 2 3 7(3) 9 . 3 13 . 3 7 81 189 81 39 7 5
Maka: 5 4 2 x 2x 4x 2x 3 3 2 (x 1) (x 3) (x 2x 5x 10) 27x 27 2 (x 1) (x 3) (x 2) (x 5)
3 5 1 Â&#x2DC; 5 3( 3) x 1 3 1 3
p p p p x1 1 x2 3 x3 2 x4 Jadi, x1 x2 2x3 1 3 2 ( 2)
2x 1
Kunci Jawaban: C 3 2 P(x) x (a 1)x bx 2a z Habis dibagi (x 2), berarti: 2 2 P( 2) ( 2) (a 1)( 2) b( 2) 2a 0 8 4(a 1) 2b 2a 0 8 2a 4 2b 4 2a 2b 2a 2b 4 . . . (i) z Dibagi (x 2) sisa 4 P(2) 8 (a 1)4 2b 2a 4 2a 2b 12 4 2a 2b 16 . . . (ii) (i) dan (ii) 2a 2b 4 2a 2b 16
11. Kunci Jawaban: A 4 3 2 P(x) x 5x ax x b z Dibagi x sisa 2 P(0) b 2 z Dibagi (x 1) sisa 1 P(1) 1 5 a 1 2 1 a 1 3 Nilai: a 3b 2 3 (2) 2 6 8.
b a 5
b a 2
1
a 1
a 2
a b 2 sisa
1
a 2
1 2a 4
b 4a 10
1
a 2
2a 5
4a b 10 sisa
1
5
a 5
a b 5
1
2 3
4 3
a 3
b 3a 9
1
1
1
a 3
3a b 9 sisa
sisa
0 . . . (1) 0 . . . (2)
0
4a b 9
0
3a 12 a 4 o b 6 Maka suku banyak tersebut adalah 2 2 x 4x x 6 0 (x 1)(x 2) J 2
0 Â&#x; a b 5 3a b 9
0Â&#x; a b 2
Sehingga, a b 2 4a b 10
1
Sisa
2
1 a 1
Sisa
a 5
0
12. Kunci Jawaban: E 1 1 a 1 2
4a 12 a 3 (i) 6 2b 4 2b 10, b 5 Jadi nilai a 3 dan b 5 10. Kunci Jawaban: A 1 1 2 4 1 1
2
5x 10x 2x 3 3 2 5x 20x 15x
2
8 5 9 x 4 4
3
x5 4x 4 3x3
x 7x 9x 13x 7
f(x)
9.
x 3 2 x 2 5 x 10
Kunci Jawaban: C 4 3 2 Suku banyak (x 7x 9x 13x 7) dibagi (x 1) (x 3) Menghasilkan sisa dengan menggunakan rumus. Jika f(x) dibagi (x a)(x b) maka sisa pembagian adalah: f (a ) f ( b ) af (b ) bf (a) x a b a b 4
4
a 2 Â&#x; b 3 Maka suku banyak tersebut adalah: 5 4 2 0 x 2x 4x 2x 3 0 (x 1) (x 3) x3 2 0 (x 4x 3) x3 Hitung nilai x3.
Sehingga,
8.
5 9
(x x 2) J
0 0
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
45
15. Kunci Jawaban: C
Hitung nilai J
3
3x2 3x 6 3x2 3x 6 0
Maka: 3 2 x 4x x 6
2
2
Jadi D E J
2
1 A B A B
2
182
a 3 Â&#x; b 1 2 2 2 9 4( 3)1 4 ¡ 1 Nilai a 4ab 4b 9 12 4 25 14. Kunci Jawaban: B 3 2 Suku banyak: px 5x 22x q 0 , x1
12 6
3
5 x3 (4)
11
20 16 (ii) o p 20 22 p p 42 p
5 11 6 11 5
F 31
2 6
1 a b 3
1
2 31 a
7
a 1, x2
22 5 p
P(x)
4
3
3x 8x 7x 2 3
2
(x 2) (3x 2x 4x 1)
1 3
x1
2
(3x 3x 3)
0
1 2 ) (x x 1) 3
0
2 dan x2
p
2
0 0
1 3
1 3
q
5 3
19. Kunci Jawaban: B 2
5 16 21 o 42 p
21p
1 2
1 2
0
4
6
3
8
1
2
4
4
14
1
2
2
7
6
2
p f( 2)
Nilai x1 x2 4x3
46
8
18. Kunci Jawaban: C
3(x 2) (x
22 5 . . . (ii) p
3 o 2(3) b b 8 6 2
Jadi, sisanya adalah 3x 2.
5
5 p 5 4 . . .(i) p
22 p 22 p 22 o 4 x3 p
0 0 0
17. Kunci Jawaban: D 2 F(x) (3x 5x 2) H(x) ax b (3x 1) (x 2) H(x) ax b F(2) 2a b 8
p q 4(i)
(ii) 6 B B
Maka: A B
2
(x 2) x
5 x3 ( x2 x2 )
z
Sehingga diperoleh, x1 x2 x3 3 2 1 x1 ¡ x2 ¡ x3 3( 2) ¡ 1
7
8a 2b 22 o 4a b x 3 o 81 27a 18 3b 5 182 27a 3b 78 9a b 26 9a b 26 4a b 11 5a 15
x1 x2 x1 x3 x2 x3
. . . (ii)
x 2x 5x 6 2 (x 3)(x x 2) (x 3)(x 2) (x 1) x1 3, x2 2, x3 1
P(x)
x3
6 5
16. Kunci Jawaban: A
2
( 1) 2 3 1 4 9 14
5 o 1 5 x3 p
0 2 . . . (i)
(i) dan (ii) 4A 2B 2 2A 2B 10 2A A
E 2 J 3
2 o 16 8a 8 2b 5
x1 x2 x3
P(1)
p
13. Kunci Jawaban: E 4 3 2 Suku banyak x ax 2x bx 5 dibagi (x 2), S(x) 7, dibagi (x 3), S(x) x
8 4A 2B 6 4A 2B
z
p
D 1 2
P(2)
(x 1)(x 2) (x 3) p
2
P(x) x Ax Bx 6 2 Habis dibagi (x 3x 2) (x 2) (x 1)
x 3 x2 x 2 x3 4x2 x 6 x3 x2 2x
1 5 ¨§ 22 5 ¸¡ Š 2 š 1 5 11 5 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
6
12. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 1.
Kunci Jawaban: B 2 f(x) 2x 1 dan (f D g)(x 1) 2x 4x 1 (f D g)(x 1) f{g(x 1)} Misalkan g(x 1) t, maka dapat ditulis: 2 f(t) 2t 1 2x 4x 1 2 2t 2x 4x 2 2 t ( x 2x 1) (x 1)
t Jadi g(x 1) g(x) g( 2) 2.
1 2( x 1) y, maka:
1 Â&#x153; 2xy 2y 2( x 1) x
6.
7.
4 xt t t 2 t 2
(x 2)
2 t 3 4t
2 x 3 ;xz 3 4x 4
8 sin
3
21 S 4
3
8( 1) 4
4
Kunci Jawaban: D g(x) 3x 7 g(f(x)) 3f(x) 7 . . . . (i) 2 z (g D f)(x) 15x 6x 19 2 g(f(x)) 15x 6x 19 . . . . (ii) 2 Dari (i) dan (ii) diperoleh: 3f(x) 7 15x 6x 19 2 3f(x) 15x 6x 12 2 f(x) 5x 2x 4
8.
Kunci Jawaban: A f(x) 2x 3, g(x) 3x 1 (f D g) (x 4) f(x) 2g(x) f(g(x 4)) 2x 3 2(3x 1) f(3(x 4) 1) 2x 3 6x 2 f(3x 13) 8x 1 2(3x 13) 3 8x 1 6x 26 3 8x 1 2x 24 x 12
9.
Kunci Jawaban: C
2 ( x 2) 3 4( x 2) 4 x 5 ; xz 4x 5 4
Kunci Jawaban: D (f D g)(a) f(g(a)) f(5a 4) 6(5a 4) 3 30a 24 3 Jadi, 30a 21
z
t 2 Â&#x153; x 3 4t
1
1 2y 2y
2x 1 1 2 x 2x 2x Kunci Jawaban: A 3 f(x) x 4 dan g(x) 2 sin x 3 3 (f D g) (x) (2 sin x) 4 8 sin x 4
(f D g) 21 S
1
Jadi f (x)
30a 21
60 30
81 Â&#x153; a
2 f(x)
2x 3 ; x z 4 dan g ( x ) x 4
2x
Kunci Jawaban: C f (x)
x 1
y
x 1
y
2
y2 1
f 1( x )
x2 1
g( x )
(g D f)(x)
x 1
x
(f D g )( x )
f
y
1) Â&#x2DC; 2
x 1
(x) Â&#x2DC; 2 x 1
2
§ 2x 3 ¡ g¨ ¸ Š x 4 š § 2x 3 ¡ 4 x 6 2¨ ¸ Š x 4 š x 4 g (f ( x ))
Sehingga,
2 x 1
1
(x
4x 6 Â&#x153; xy 4y 4 x 6 x 4 xy 4x 6 4y x(y 4) 6 4y x
2
(2 x 1) 1 4 ( x 1) 1 4 x 5
5.
1
Jadi, g 1( x )
t, maka:
x
4.
g(x)
1 x 1
2
2 3x 4x 1 2 3x 3 x 4 xt x (3 4)
3.
x 1 x 1
x x 1
(x 1) 2 x ( 2) 1
Misalkan f(x)
1
2g(x)
y
2
2 3x 1 ;x z 4x 1 4
f
2g(x) 1
Misalkan g(x)
Kunci Jawaban: A
f (x)
f(g(x))
1
(g D f)
Kunci Jawaban: E
(x)
4 y 6 y 4
4 x 6 ; xz4 x 4
10. Kunci Jawaban: E f(x)
2x 1 ; (f D g)(x)
x f ( g( x ) ) x 1
f (x)
2x 3 ; xz4 x 4
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
47
2
(g D f)(x) g(f(x))
x 7x 8 2 x 7x 8
§ 2x 3 ¡ ¸ g¨ Š x 4 š
x 7 8
2
f
2x 3 5 x 4 8 8(2x 3) 5(x 4) 16x 24 5x 20 11x 44 o x 2 4 7¡4 8 16 28 8 4
Misalkan:
g(4)
4
1
f(x)
(1 x3 )5 2
y
(1 x3 )5 2
1
1
5
(x)
4 r ( 4)2 4(1)( 3 y ) 2 Â&#x2DC;1 4 r 16 12 4 y 4 r 28 4 y 2 2 4r2 7 y 2r 7 y 2
x1,2
(1 x 3 )5 3
(y 2) 3 x
1 x 5 1 (y 2) 1
1
f
x
(1 ( y 2)5 )3
(x)
(1 ( y 2)5 )3
1
Jadi, f 1( x )
12. Kunci Jawaban: C f(x) x 1 dan (f D g) (x) 2 f(g(x)) 3x 4 2
g(x) 1
2
z
1 1
x 4 o f (x) 2x 5
f
1
o
1
(x)
1
( x 3) 4 2( x 3) 5
x 1 2x 1
2 1
x 1 2 x 1
1 x 1 2x
15. Kunci Jawaban: -
x 5 o f (x) 2x 1 x 3 o y 2x 5
y(2x 5)
x 3
2xy 5y
x 3
2xy x
5y 3
x(2y 1)
5y 3
48
g(x)
15 x
x 2
y
15 x
x
y 2
x
15 y
f
1
1
f
g(x) x 4 2 f(g(x)) x 3x 2 2 f(x 4) x 3x 2 2 f(x 4) ((x 4) 8x 16) 3x 2 2 (x 4) 5x 14 2 (x 4) 5(x 4) 6 2 f(x) x 5x 6 2 f(0) 0 5¡0 6 6
f (x)
z
y
f(x) z
1
14. Kunci Jawaban: E
f ( x 2)
x 2 , x!0
f(x)
2
13. Kunci Jawaban: B f(x 3)
2r 7 x
17. Kunci Jawaban: C
3x 4
3x 4 Â&#x; g(x) 3x 3 3 ¡ 16 3 48 3 51
g(4)
2
1 5 x 3 ; xz 2x 1 2
1
16. Kunci Jawaban: E 4x 8x 3 (f D g)(x) g(x) 2x 4 (f D g)(x) f(g(x)) 4x 8x 3 f(2x 4) 2 f(2x 4) (2x 4) 4(2x 4) 3 2 f(x) x 4x 3 2 y x 4x 3 Sehingga, 2 x 4x 3 y 0
11. Kunci Jawaban: B
y 2
5 y 3 2y 1
x
( x 2) 5 2( x 2) 1 x 3 2x 5
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x 2
D g 1 ( x )
1
g
1
(x)
15 2 x 15 x x
1 f 1 1 3 5
18. Kunci Jawaban: B f(x)
3x 4 2x 1
y(2x 1)
3x 4 2x 1 3x 4
2xy y
3x 4
y
2xy 3x
y 4
x(2y 3)
y 4
x
y 4 2y 3
f 1( x )
x 4 2x 3
15x
1
, x!0
o g 1( x )
15 x
6.
13. Limit Fungsi
Kunci Jawaban: B
lim
1.
x o2
Kunci Jawaban: D
x2 1 1 x2
x2 1 1 x2
lim
2
3 x 12 x 12
x o2
lim
x o2
1 1 x2 1 1 x2
x2 1 1 x2
1 cos2 ( x 2)
sin2 ( x 2) 3 ( x 2 4 x 4) sin2 ( x 2) 3( x 2)
1 sin2 ( x 2) Â&#x2DC; x o2 3 ( x 2) 1 1 Â&#x2DC;1 3 3
lim
2
1 (1 x ) 2
x 1 1 x2
7.
lim
(2 x 5)(2 x 1) (2 x 5) dapat ditulis sebagai berikut:
lim
4 x 2 8 x 5 (2 x 5)2
x of
x2
1 1 x2
Kunci Jawaban: B
x of
Sehingga,
4 x 2 8 x 5 4 x 2 20 x 25
Â&#x153; lim
x of
x2
lim
1 1 x2
x o0
sin 2 x 3 2x 9
lim
3.
(1 1)
x of
2
Kunci Jawaban: E
x o0
Jika:
sin2 x (3 2 x 9) 2 x sin 2 x lim Â&#x2DC; lim (3 x 9) x o0 2 x x o0 1 Â&#x2DC; (3 3) 6 lim
x 2x
a
b 1 2 p
pÂ&#x;
a ! pÂ&#x; f a pÂ&#x; f Limit di atas a p 4. Maka hasilnya adalah: z
8 ( 20) 2 4
Kunci Jawaban: E Perhatikan bahwa apabila nilai x mendekati tak terhingga, maka: x 5 | x begitu pula 2 x 1 sehingga untuk x tak terhingga:
z
z
x o0
x 5 2x 1
ax 2 bx c px 2 qx r
Â&#x153; lim
(1 1 0 2.
Limit berbentuk:
lim (1 1 x 2 )
x o0
8.
2x
12 4
3
Kunci Jawaban: D
lim
x oS
x S 2( x S ) tan ( x S )
f
lim ( x 5
4.
2 x 1)
f
9.
Kunci Jawaban: D 1 cos 2x (sin2x cos2x) (cos2x sin2x) Sehingga, 2
lim
x o0
4x 1 cos 2 x
lim
x o0
4x
2
2 sin x
lim
x o5
2x 2 9 x 5 x 5
(3 x 1) ( x 5) x 5 lim 2 x 1 lim
x o5
2 Â&#x2DC; 5 1
11
2
2 sin x
10. Kunci Jawaban: A z cos 6x cos2 3x sin2 3x z 1 cos 6x 2 sin2 3x
2 2
2 Â&#x2DC;1
2
lim
x o0
1 ¡ § 6 x lim ¨ 2 ¸ Š x 4 x 2š
1 3
x o5
Kunci Jawaban: A
x o2
tan( x S ) x S
Kunci Jawaban: D
2
§ x ¡ lim 2 Â&#x2DC; ¨ ¸ x o0 Š sin x š 5.
2
1 2 1
Jadi: x of
1
lim
x oS
(6 x x ) ( x 2) ( x 2))( x 2) 2 x 4 lim x o 2 ( x 2)( x 2)
x Â&#x2DC; tan 2 x 2 sin2 3 x
. . . . dikalikan
1 2 sin2 3x
9x 9x
lim
x o2
2( x 2) lim x o 2 ( x 2)( x 2) 2 2 lim x o2 x 2 2 2
2 4
lim
x o0
1 tan 2 x 9x2 Â&#x2DC; Â&#x2DC; 9 2x sin2 3 x
§ 3x ¡ 1 tan 2 x lim Â&#x2DC; lim ¨ ¸ x o0 Š sin 3 x š 9 x o0 2 x 1 1 Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC; 12 9 9
1 2
2
11. Kunci Jawaban: D
lim
x of
4x 1 2x 1 2x Â&#x2DC; 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
49
17. Kunci Jawaban: B 4x lim
1 2x 1 2x
(1 2 x ) (1 2 x )
x of
4x lim
lim
1 2x 1 2x
sin 3 x sin 3 x cos 2 x 4x3
x o0
1 1
2 3 tan 3 x Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; sin x Â&#x2DC; 3 x 2 3x x 4x3 2 3 3 1Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC;1 Â&#x2DC; 4 2
x of
x o0
1 x 2
2 sin2
2 x Â&#x2DC; tan x 1 cos x
2 x Â&#x2DC; tan x
lim
x of
. . . . dikalikan
sin2 21 x
2
1 4 1 4
x 18. Kunci Jawaban: D
x
1 x2 tan x 1 Â&#x2DC; 42 Â&#x2DC; x sin 21 x 41
lim
x of
1 2
§ x ¡ tan x ¸ Â&#x2DC; lim ¨ x of ¨ sin 1 x ¸ x 2 š Š
4 lim x of
lim
x o3
x 3 27 x2 9
lim
x 2 x 2 2x
x 2 x( x 2) 2 2 0 2( 2 2) 8
x 3x 9 x 3 9 9 9 6 27 9 1 4 6 2 2
x o3
4 ¡ 1¡ 12
4
lim
19. Kunci Jawaban: E
lim
x o S4
1 3
lim
x o S4
tan
Ingat:
0
3 ¡ cos 2x
Sehingga,
lim
1 3
2x cos x sin x
cos x sin x
tan 2 x
S 2
cos2 x sin2 x (cos x sin x) (cos x sin x)
cos 2x cos 2x
14. Kunci Jawaban: C Ingat: z 2 sin x cos x sin 2x 2 2 z 6 cos x 3 3 (2 cos x 1) 1 3
( x 3) ( x 3)
x o3
lim
2
x o 2
2 sin 2 x 6 3 Â&#x2DC; cos 2 x
( x 3) ( x 2 3 x 9)
lim
2
13. Kunci Jawaban: C
x o 2
Â&#x2DC;0
0
x o S4
cos x sin x 2 x S2
15. Kunci Jawaban: E
lim
h o0
x o S4
f ( x h) f ( x ) h
4 x 6 x 2 3 x 18 3 x 4 0 21 ( x 2 3 x 18)
21
cos 1 2
1 2
1
(9 9 18)
2
lim
t o2
1 sin
1 2 21 2
S 4
1 2
1 2 2
t3 8 2
t t 6
lim
t o2
( t 2 )(t 2 2t 4) ( t 2 )(t 3)
t 2 2t 4 t 3 4 4 4 12 5 5 lim
1
t o2
1 § ¡ 4 ¨ 21 (36) 2 Â&#x2DC; 9 ¸ 4 1 Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC; 9 2 6 Š š 1 1 9 4 12 4 34 1 13 3 4 4 1 1
21. Kunci Jawaban: D
lim
t o0
50
S 4
20. Kunci Jawaban: C
(6 3)
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
sin 5 x 9 . . . . dikali sin 3 x 25
2 x S2 cos x sin x
1 cos x sin x
lim
(2 x 3)
0 1
x o3
4
x o S4
lim
sin 2 x S2
x o S4
16. Kunci Jawaban: D
lim
cos 2 x cos x sin x 2 x S2
lim
lim
f(x) 3x2 cos3 (x2 S) u 3x2 o u' 6x v cos3 (x2 S) o v' 6x cos2 (x2 S) sin (x2 S) f'(x) 6x (cos3 (x2 S)) 3x2 ( 6x cos2 (x2 S) sin (x2 S)) 6x cos2 (x2 S) {cos (x2 S) 3x2 sin (x2 S)}
x o3
4x3
lim
12. Kunci Jawaban: E
lim
tan 3 x Â&#x2DC; 2 tan2 x
x o0
2
Ingat: 1 cos x
4x3
lim
4x
x of
sin 3 x (1 cos 2 x )
lim x o0
lim
x o0
3 sin 5 x 5 Â&#x2DC; lim Â&#x2DC; x o0 sin 3 x 5 3
5 Â&#x2DC;1Â&#x2DC;1 3
lim
3
x o0
sin2 21 x
12
lim
. . . . dikalikan
1x 4 1x 4
4 2
1.
2
3 x 2 9 x 2 2x 5
3 x 2 9 x 2 2x 5 2
2
2.
( 9 x 12 x 4 9 x 2 x 5) 2
3 x 2 9 x 2x 5 10 x 9
3
10 9x 2 9 2 x x
10 0 3 0 9 5 2 1 3 3
10 3 3
f(u) f(x)
5 x2
df dx
10 6
lim
4x x sin 3 x
(3 2x) Â&#x; u' sin u Â&#x; f c(u) f(u)
df du Â&#x2DC; du dx
3.
lim
4x x x sin 3 x x x
lim
4 1 3
x o0
Kunci Jawaban: A b
b
1
25. Kunci Jawaban: A
lim
x 1 1 x Â&#x2DC; 1 x 1 x
a
lim
x o1
( x 1 ) (1 x ) 1 x
1 1
x o S2
cos2 (S x ) (2 x S ) tan
S2 x
lim 1 x
x o1
2
26. Kunci Jawaban: C
lim
2
3 sin u cos u
3 sin2 (3 2 x ) cos(3 2 x ) Â&#x2DC; ( 2) 3 {2 sin (3 2 x ) cos (3 2 x )} sin (3 2 x ) 3 sin (6 4 x ) sin (3 2 x )
x o0
x o1
2 dx
3
3 sin2 u Â&#x2DC; cos u Â&#x2DC; ( 2)
24. Kunci Jawaban: B
x o0
100 x 2 Â&#x153; y c
Kunci Jawaban: E 3 f(x) sin (3 2x) Fungsi di atas merupakan fungsi komposisi, kita misalkan: u
3 x 2 9 x 2 2x 5
lim
x of
100 02
y
(3 x 2) (9 x 2 x 5)
lim
2
1 1 (100 x 2 ) 2 2 x
2 0 10 x x 10 Jadi diperoleh nilai maksimumnya adalah 10.
3 x 2 9 x 2 2x 5
2
x of
1 2
100 10 Dapat juga menggunakan cara turunan pertama.
lim 3 x 2 9 x 2 x 5 Â&#x2DC;
x of
sin x 2
100 x 2 ; 6 d x d 8
y
x of
lim
1 2
1Â&#x2DC;
x o S2
Nilai maksimumnya diperoleh saat x paling kecil. Nilai x paling kecil adalah pada saat x 0, yaitu didapat:
2
2
lim
2
Â&#x2DC; lim
Kunci Jawaban: C y
23. Kunci Jawaban: C
x of
sin S2
( S2 x )
14. Turunan Fungsi
§ 1x ¡ 1 ¨ 2 ¸ Â&#x2DC; ¨ sin 1 x ¸ 2 Â&#x2DC; 1 2 š 4 Š
tan x Â&#x2DC; lim x o0 x
1 Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC;
sin ( S2 x )
1Â&#x2DC;
2
x o0
lim
2( S2 x )
x o S2
x tan x (hampir mirip dengan nomor 12) 1 cos x lim
sin ( S2 x ) Â&#x2DC; sin x
x o S2
5 3
22. Kunci Jawaban: B x o0
lim
Panjang kawat 10 m akan dibuat bangun seperti gambar. Keliling bangun seluruhnya: K 5a 5b Karena panjang kawat 10 m, berarti: 5a 5b
lim
cos2 x (2 x S ) cot x
lim
cos x Â&#x2DC; sin x 2x S
lim
cos x Â&#x2DC; sin x 2( S2 x )
x o S2
x o S2 x o S2
a
10 Â&#x153; a b
2
b 2 a Luas bangunan seluruhnya: 2 A 3a u b 3a (2 a) 6a 3a
dA da
6 6a
0
6a 0 a 1m Jadi panjang b 2 a
2 1
1m
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
51
Luas seluruhnya: A 3(a u b) 4.
3(1 u 1)
3m
2
Kunci Jawaban: B 3 2 f(x) x 3x 9x, dengan 3 d x d 2 2 f ' (x) 3x 6x 9 2
0
2
0
0 Â&#x; 3x 6x 9
f ' (x)
x 2x 3
9.
Kunci Jawaban: D g(x)
Kunci Jawaban: E 3 F(x) (6x 3) (2x 1) Jika F(x) U u V maka: F(x) U ' V U ¡ V'
g'(x)
g'(1)
2x 3 ; f (1) f (x)
U
{f ( x )} 2 2f (1) (2 Â&#x2DC; 1 3) Â&#x2DC; f '(1)
7.
3(6x 3) ¡ 6
18(6x 3)
Kunci Jawaban: D 2 f(x) (2x 1) (x 2) f(x) u ¡ v o f'(x) u' u'v uv' 2 Misalkan: u (2x 1) o u' 4(2x 1) v (x 2) ov' 1 2 f ' (x) 4(2x 1)(x 2) (2x 1) (1) 4(2x 1)(4x 8 2x 1) (2x 1) (6x 7) Kunci Jawaban: D Misalkan: a rusuk alas t tinggi 2 Luas kotak a 4at 432 4at 432 a
8 3
p
atau p
2 3 2 (p 2) ¡ 3 3 5p ¡ 3
2 9(p 4p 4) 9 15p 0 0
3
11. Kunci Jawaban: B f(x) (x sin 3x) dan g(x) 2(2x 1) ¡ 2
u(x) u'(x)
2
x
12. Kunci Jawaban: C z Keliling kebun 2x y 48 2x y y 48 2x z Luas kebun xy x(48 2x) 2 48x 2x 2 z L(x) 48x 2x 48x 2x
§ 432 a 2 ¡ a2 ¨ ¸¸ ¨ 4a Š š 108a
3, maka tidak perlu
g(f(x)) Â&#x; u ' ( x) g' (f(x)) ¡ f ' (x) 2(x sin 3x) (1 3 cos 3x) 2(x 3x cos 3x sin 3x 3 sin 3x cos 3x) 2x 6x cos 3x 2 sin 3x 3 sin 6x
Luas maksimal kebun
432a a3 4 4
3
Karena pada pilihan jawaban hanya ada p uji turunan pertama.
Volume kotak: a 2t
27 9p 51p 72 3(3p 8)(p 3) 2
432 a 2 4a
t
V
1 3
27 2
3
1 2 3 2 (p 2) x x 5px 3
Memiliki nilai minimum 27 untuk x Berarti grafiknya melalui titik (3, 27)
V (2x 1) Â&#x; V ' 2, jadi 3 3 F(x) 18(6x 3) (2x 1) (6x 3) ¡ 2 2 3 F(1) 18(6 ¡ 1 3) (2 ¡ 1 1) (6 ¡1 3) ¡ 2 2 3 18 ¡ 3 ¡ 1 3 ¡ 2 162 54 216 6.
2 Â&#x2DC; 1 ( 1) Â&#x2DC; 1 1
{f (1)} 2
10. Kunci Jawaban: C y
2
(6x 3) Â&#x; U '
f '(1) 1
2f ( x ) (2 x 3) Â&#x2DC; f '(1)
Untuk fungsi di atas: 3
21
3 x (3 x 2 5)
3x 2 5
(x 3) (x 1) 0 Titik-titik ekstrimnya x 3 dan x 1 3 2 f( 3) ( 3) 3( 3) 9 ¡ ( 3) 27 27 27 27 2 2 f(1) 1 3 ¡ 1 9 ¡ 1 5 3 2 f(2) 2 3 ¡ 2 9 ¡ 2 2 Jadi nilai maksimumnya pada selang tersebut adalah 27. 5.
1 1 (3 x 2 5) 2 (6 x ) 2 3x
f'(x)
D 4a
x y
sungai
(b2 4ac ) 4a
(482 4 Â&#x2DC; ( 2) Â&#x2DC; 0) 4( 2) (2304) 288 8
1 3 a 4
13. Kunci Jawaban: D
V'
108
3 2 a 4 3 2 a 4
0 f(x)
108
2
8.
a a Kunci Jawaban: A f(x)
52
2
3x 5
2
(3 x
144 12 cm
f ' (x)
3x 2 Â&#x2DC; f '(x) 2x 1
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
v2
6 x(2 x 1) 3 x 2 Â&#x2DC; 2 2
(2 x 1) 2
1 5) 2
u'v uv'
6x 6x
6 x( x 1)
(2 x 1)2
(2 x 1)2
12 x 2 6 x 6 x 2 (2 x 1)2
14. Kunci Jawaban: B
sin x cos x Â&#x; u sin x u' v v'
f(x)
sin x cos x cos x sin x sin x cos x
(cos x sin x ) sin x (sin x cos x ) cos x
f ' (x)
sin2 x 2
cos x sin x sin x sin x cos x cos2 x sin2 x (sin2 x cos2 x )
sin2 x f ' ( S2 )
1
sin2 ( S2 )
1 12
19. Kunci z K 8 8 2l l
Jawaban: C 2(p l) 2(3 x l) 6 2x 2l 2 3x 1 x
z
1 sin2 x
pul (3 x) (1 x) 2 (3 2x x ) Max pada saat L' L' 2x x L
0 2 2x 2 1
0
20. Kunci Jawaban: E 2 f(x) cos (1 3x) Misalkan: u 1 3x o u 3dx 2 f(u) cos u f ' (u) 2 cos u ¡ sin u f(x) f(u)
1
15. Kunci Jawaban: E 3 f(x) 2 cos (1 2x) Misalkan: u 1 2x o u 2dx 3 f(u) 2 cos 4 2 f ' (u) 6 sin u ¡ cos u f(x) f(u)
df dx
18. Kunci Jawaban: D 2 3 f(x) sin (2x 5) 3 3 2 f'(x) 2 sin (2x 5) cos (2x 5) ¡ 6x 2 3 6x sin (4x 10)
df dx
df du Â&#x2DC; du dx 2 cos u ¡ sin u ¡ 3 3 ¡ 2 cos( 3x) sin (1 3x) 3 ¡ sin (2 6x)
df du Â&#x2DC; du dx 2
6 sin u ¡ cos u ¡ ( 2) 2 6 sin u cos u ¡ (2) 6 {2 sin (1 2x) cos (1 2x)} ¡ cos (1 2x) 6 ¡ sin (2 4x) cos (1 2x)
21. Kunci Jawaban: B 2x y x¡e
dy dx
2x
u' v'
1 2x 2e
2x
1¡e
x ¡ 2e
2x
2x
e
x o u 2x e o v
2xe
2x
e
(1 2x)
16. Kunci Jawaban: E
1 cos x Â&#x; u sin x u' v vc
f(x)
f ' (x)
22. Kunci Jawaban: D 2 3 f(x) 5 15x 9x x f naik jika f'(x) ! 0 2 f ' (x) 15 18x 3x ! 0 2 3(x 6x 5) 0 5 1 3(x 5) (x 1) 0 x 5 atau x 1 Nilai x yang memenuhi adalah x 5 atau x ! 1
1 cos x sin x sin x cos x
sin x( sin x ) (1 cos x ) ( cos x ) ( sin x )2 2
2
sin x cos x cos x
2
sin x
f ( S3 )
sin x
1 cos ( S3 ) sin2 ( S3 ) 3 2 3 4
3 4 u 2 3
1
2
( 21 3 )
Jadi, K'
2 Â&#x; a 2ax b
b 2 . . . (*)
Garis A maka m1 ¡ m2
1 . m2 6
12
12 x
y'
3x 4y 3x 48x
0 o 3 48 x 2 48 x2 48
1 7 x o m1 6 6
Garis: 6y x 7 o y
2
y K
a b y'
1 2
17. Kunci Jawaban: E z Luas: 2 ¡ xy 24 o xy
z Keliling:
23. Kunci Jawaban: E 2 y ax bx 3 di titik (1, 1) 2 1 a¡1 b¡1 3
1 cos x
2
0 3 3 x
2
x2
16 o x
4
xy
12 o y
3
m2
1 o m2
1
6
2ax b 2ax
6 b 6
x
b 6 2a
1
b 6 o 2a 2a
Masukan (*) ke 2a 2(b 2) b 6 2b 4 b 6
1 6
b 6
b 6
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
53
b 6 4 2 a b 2 2 2 4 2 2 2 2 Maka a b ( 4) ( 2) 24.
1
16 4
Âş 5 x 5 § 1¡ Â&#x2DC; ¨ ¸ (1 x )8 Âť (1 x )7 7 7 Š 8š Âź0
20
Kunci Jawaban: E 2 y 2(x 2)(x 3x 1) 2 (2x 4) (x 3x 1) Misalkan: u 2x 4 o u' 2 2 v x 3x 1 o v' 2x 3 2 y ' 2(x 3x 1) (2x 4)(2x 3) 2 2 2x 6x 2 4x 2x 12 2 6x 4x 10
1
5 x 5 º (1 x )7 (1 x )8  7 56 Ÿ0 5 5  5 . 1 ½  5 . 0 ½ (1 1)7 (1 1)8 ž Ž (1 0)7 (1 0)8 ž Ž 56 56 ¯ 7 ¿ ¯ 7 ¿  5 ½ 5 ^0` Ž ž ¯ 56 ¿ 56 2.
25.
Kunci Jawaban: D
y
cos
3 x 3 o uc x
Misalkan: u y
3 x 2dx
1
1
f(u) cos u f ' (u) sin u
dy dx
df df Â&#x2DC; du dx du dx 3 sin § 3 ¡ ¨ ¸ Šxš x2
yc 26.
x
1 2
cos §¨ 3 ¡¸ Šxš
f(x)
y
Kunci Jawaban: E 3 y y x 1
Terlihat luas daerah antara 1 dan 1 adalah di bawah kurva dan antara 1 dan 2 di atas kurva. Sehingga untuk mencari luasnya tidak boleh sekaligus. I. Antara 1 dan 1
sin u ( 3 x 2 )
1
Âł
Kunci Jawaban: D
1
ÂŞ1 4 Âş ÂŤ4 x xÂť ÂŹ Âź 1
( x 3 1) dx
1
ÂŞ1 4 Âş ÂŞ1 Âş 4 ÂŤ 4 .1 1Âť ÂŤ 4 ( 1) ( 1)Âť ÂŹ Âź ÂŹ Âź ÂŞ1 Âş ÂŞ1 Âş ÂŤ 4 1Âť ÂŤ 4 1Âť 2 ÂŹ Âź ÂŹ Âź
Lihat jawaban nomor 7. 2 Luas kotak a 4at 432 t
432 4a
2
Volume kotak: V a t 2 2 § 432 a ¡
a ¨¨ Š
V maks 108
V'
¸¸ š
2
ÂŞ1 4 Âş ÂŞ1 4 Âş ÂŤ 4 .2 1Âť ÂŤ 4 .1 1)Âť ÂŹ Âź ÂŹ Âź 1 1 3 2 ( 1) 3 | 2 4 4 4
144 12
108 (12)
1 (12)3 4
1296 432
864 Luas seluruhnya: L
15. Integral
3.
1
Kunci Jawaban: D
5 x Â&#x; u'
v'
(1 x ) 6 Â&#x; v
1 6
Âł 5 x(1 x ) 0
dx
3 4
x2 diputar mengelilingi sumbu x 4
5 dx 1
71 (1 x )7 1 5 x Â&#x2DC; (1 x )7 7
Âł
5 x 5 (1 x )7 7 7
(1 x )7 dx
Âł
§ 1¡ 5 ¨ ¸ (1 x )7 dx Š 7š
0
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x
2
Kurva diputar mengelilingi sumbu x, berarti 2
V
S
Âł 0
54
2 2
y
u.v Âł uv'dx
u
L1 L2
Kunci Jawaban: C y
Âł uv' dx
ÂŞ1 4 Âş ÂŤ4 x xÂť ÂŹ Âź1
1) dx
0
2
1.
2
1
3 2 a 4
2.
2
Âł (x
0
a a V
4a
Karena luas selalu positif, berarti L1 II. Antara 1 dan 2
108a 1 a3 4
2
y 2 dx
S
Âł 0
2
§ x2 ¡ ¨¨ 1 ¸ dx 4 ¸š Š
4
3 4
2
Âł
S
0
2u du 2x dx Â&#x; u du x dx Jadi integral di atas dapat diganti menjadi:
2
§ x 3 x4 ¡ ¨1 ¸ dx ¨ 2 16 ¸š Š
ª x3 x2 º S x  6 80 Ÿ  0
Âł
8 22 ¡ 4 2 § S ¨2 0 (2 ) Â&#x2DC; S 6 80 ¸š 3 5 Š 16 § 30 20 6 ¡ ¨ 15 15 15 ¸ S 15 S satuan volum Š š 4.
9 x 2 x dx
Âł u Â&#x2DC; ( u du ) 2 Âł u du 1 3 u C 3 3 1 9 x2 C 3 1 (9 x 2 ) Â&#x2DC; 9 x 2 C 3
Kunci Jawaban: B
1 >cos( x 4 x ) cos( x 4 x )@ 2 1 >cos 5 x cos( 3 x )@ 2
cos x cos 4x
7.
Kunci Jawaban: C
Karena cosinus merupakan fungsi genap, maka cos ( 3x) cos 3x. Jadi:
Âł (3x
1 dan x
2 x 2) dx 3
x 3 x 2 2 x @p 3
1 (cos 5 x cos 3 x ) dx 2 1 ÂŞ1 1 Âş sin 5 x sin 3 x Âť C 2 ÂŤÂŹ 5 3 Âź 1 1 sin 5 x sin 3 x C 10 6
Kunci Jawaban: C Diketahui kurva y x 1 Diputar mengelilingi sumbu x antara x
2
40
p
2
2
(27 9 6) (p p p) 3 2 p p 2p 16
Âł
Âł cos x cos 4x dx
5.
3
1 (cos 5 x cos 3 x ), sehingga: 2
cos x cos 4x
( p 2)( p2 3 p 8)
40 40 0
0
Definit positif
z
z
1
y
8.
p 2 p
0 2
1 Â&#x2DC;p 2
1 Â&#x2DC; ( 2) 2
1
Kunci Jawaban: D Luas daerah yang diarsir
y
2x
Y
2
L 1
x
1
O
2 1 3 x x2 º Ÿ 0 3 8 1 § ¡ ¨ 16 3 4 ¸ 0 9 3 Š š
Volum benda putarnya:
S
Âł
y y
1
r 2 dx
S
1
Âły
2
dx
1
S
Âł
2S
0
1
Âł (x
2
y
8 x2
8 x2
2
1
y2
2x ½° ž 2x 8 x 2 ¿°
X
2
x 2x 8 0 (x 4) (x 2) 0 x1 4 atau x2 2 Jadi, daerah yang diarsir adalah: 0 x 2
1
Karena kurvanya simetris, maka:
V
2 x ) dx
8x
1
V
2
0
r
1
Âł (8 x
1)2 dx
2S
0
Âł (x
4
2 x 2 1) dx
9.
Kunci Jawaban: D Y
0
x2
y
1
2 ª1 º 2 S  x 5 . 13 1 3 5 Ÿ0 ª1 2 º § 3 10 15 ¡ 2 S  1 2 S ¨ ¸ 15 5 3 Ÿ Š š § 8 ¡ 16 2S ¨ S ¸ Š 15 š 15
6.
Kunci Jawaban: A Gunakan cara substitusi
Âł
2
x 9 x dx 2
Misalkan: u
Âł
9 x
2 9 x Â&#x;
2
2 2
Âł
0
x dx 9 x2
X
2 x y 2
x y 2
° y 0 ÂŽ °¯ y
0
x 2 x2
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
55
2
Â&#x;
x
x 2 2 x x 2 (x 2) (x 1) x
12.
2
0 0 2, x
1
Jadi luas daerah di atas kurva f(x) dan di bawah garis y adalah:
b
a 1
S
S
16 Â&#x2DC; 16 16 Â&#x2DC; 4 64 32 6Â&#x2DC;1 6 6 3 Karena f(x) dan g(x) setangkup maka luas seluruhnya adalah:
ª( x 2)2 ( x 2 )2 º dx  Ÿ
Âł
ª( x 2 4 x 4 x 4 )º dx  Ÿ
2
13.
1
S §¨ 14 6 ¡¸ Š 15 š
64 3
14 2 S 5
Âł
V S 2
sin 3 x cos 5 x dx
0
Âł
0
1 (2 sin 3 x cos 5 x ) dx 2
S
y 2 dx
Âł
(1 cos 2 x ) dx 2
0 S
S
2
Âł (sin x )
S
S 2
0
S 2
S 2
0
S2 satuan volume 2
S
1 ª 1 cos 8 x 1 cos 2 x º 2 2  8 2 Ÿ 0
14.
1 ª§ 1 cos 4S 1 cos S ¡ § 1 cos 0 4 cos0 ¡ º ¨ ¸ ¨ ¸ 2 Š 8 2 2 š Š 8 š Ÿ
Âł (1 cos 2x ) dx 0
1  ½ Ž(S 0) (sin 2S sin 0)ž 2 ¯ ¿
Âł
cos x sin2 x dx
0
Misalkan u
sin2 x (cos x dx ) cos x dx
S 2
2
sin x (cos x dx )
Âł
S
1 3º2 u 3 Ÿ 0
u 2 du
0
3
1§ S¡ sin ¸ 0 3 ¨Š 2š
Kunci Jawaban: D Misalkan: u
x o du
dx
dv
sin x dx
o v
Âł sin x dx cos x
15.
1 3
Kunci Jawaban: D
cos 1 Â&#x; du x
Misalkan: u
S
x sin x dx
Âł
sin x Â&#x; du
S 2
Âł
S 2
0
0
Âł
1 S§ ¡º ¨ x sin 2 x ¸  2Š 2 šŸ0
Kunci Jawaban: A S 2
1 ÂŞ 1 Â&#x2DC; 1 1 ( 1) 1 1 Âş 2 ÂŤÂŹ 8 2 8 2 Ÿ 1 ÂŞ 1 1 1 1 Âş 2 ÂŹÂŤ 8 2 8 2 Ÿ 1 ( 1) 1 8 2 2 16
dx
0
S 2
1 (sin 8 x sin 2 x ) dx 2Âł
S
S
Âł
S
0 S
1 (sin(3 x 5 x ) sin (3 x 5 x )) dx 2Âł
11.
y
Kunci Jawaban: C
S
Kunci Jawaban: B S 2
21 1 satuan luas 3
y sin x ; 0 d x d S Daerah D diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360q . Volume benda putar yang terjadi:
ª º S ¨§ 1 2 4 1 ¸¡ ¨§ 8 8 8 32 ¸¡  5š Š 3 5 šŸ Š 3
S §¨ 2 2 12 4 ¡¸ 15 š Š 15
2 Â&#x2DC; 32 3
L
º S §¨ 1 x 3 2 x 2 4 x 1 x 5 ¡¸  5 š Ÿ 2 Š3
10.
x ( cos x ) Âł cos x dx
§ ¡ sin Â&#x2DC; ¨ 1 ¸ dx Š x2 š sin 1
0
x dx
x2
S
( x cos x sin x )@0 Jadi dapat ditulis: ( S ( 1) 0) (0 0)
S
56
0
L
Âł
2 1
2
f(x) (x 2) 4 x 4x g(x) f(x) ; berarti f(x) dan g(x) setangkup. 2 Determinan dari x 4x 0 adalah: 2 D ( 4) 4 ¡ 1 ¡ 0 16
S Âł ( y 22 y12 ) dx
V
Kunci Jawaban: B
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Âł
sin 1
x dx
x2
Âł
du
u C
cos 1 C x
x
16.
Kunci Jawaban: A 2
x Â&#x; du
u
cos x Â&#x; v
dv
Âł u dv Âł
2x dx
u Â&#x2DC;v
1 2
sin x
Âł
x sin 4 x dx
Âł v du
x 2 cos x dx
x 2 Â&#x2DC; sin x
^
x 2 cos x dx
x 2 sin x 2 x ( cos x )
Âł 2( cos x ) dx`
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C
17.
Kunci Jawaban: A Untuk menentukan luas daerah antara parabola dan parabola dapat dirumuskan dengan menggunakan diskriminan yaitu:
³ cos 4x dx ž¿
½
a
Âł (3 x
2
4 x 4) dx a
2x 16x 30
2
x 9x 15 dan y 2 x 7x 15
18
0 o a
2, b
x 3 2 x 2 4 x @1
18
(a 2a 4a) (1 2 4 ) 3 2 (a 2a 4a) 3 3 2 a 2a 4a 21
18 18 0
2
x 7x 15
16, c
3
30
2
b 4ac 2 ( 16) 4 . 2 . 30 256 240 16
Luas
½ 1 cos 4 x dx ž 4 ¿
Kunci Jawaban: C
6a 2
2
D
1Â 1 1 ÂŽ x cos 4 x 2ÂŻ 4 4
1
Parabola: y 2 x 9x 15
18.
20.
D D
L
Âł
1 1 1 1 ½ Â&#x2DC; sin 4 x ž C ÂŽ x cos 4 x 2ÂŻ 4 4 4 Âż 1 1 x cos 4 x sin 4 x C 8 32 1 (4 x cos 4 x sin 4 x ) C 32
Âł 2x sin x dx
Dengan cara yang sama seperti di atas dapat ditulis:
Âł
1 § 1 ¡ Ž x ¨ cos 4 x ¸ 2¯ Š 4 š
2
(a 3)(a2 a 7)
0
definitif positif
D D
16 16
6a 2
6 Â&#x2DC; 22
16 Â&#x2DC; 4 24
8 3
2
2 3
a 3 21.
0oa
y
3
Kunci Jawaban: E
Kunci Jawaban: A
Âł S 6
2S 3
sin x cos x dx
Âł
2S 3
2x2
y
1 2
sin 2x dx
S 6
1
1 2S
Âł
y
2S 3
sin 2 x dx
4x 22
x
O
6 2S
1ÂŞ 1 Âş3 cos 2 x Âť 2 ÂŤÂŹ 2 ÂźS
2
Âł0
L
6
S¡ 1§ 4 ¨ cos S cos ¸ 4Š 3 3š 1 § 1 1¡ 1 ¨ ¸ ( 1) 4 Š2 2š 4 1 0,25 4 19.
x sin 2x cos 2x dx
Misalkan:u dv
x Â&#x; du
xÂ&#x2DC;
Âł
1 x sin 4 x dx 2
1 2
Âł
du dx du 2 du
x sin 4 x dx Â&#x;
dx
sin 4x dx Â&#x; v
Kunci Jawaban: D Misalkan:
1 sin 4 x dx 2
Âł
Âł sin 4x dx 1 cos 4 x 4
2 x 2 4 x 4 dx
2 3 2 x 2 x 2 4 x @0 3 16 16 satuan luas 8 8 3 3 22.
Kunci Jawaban: E
Âł
2
Âł0
2 x 2 (4 x 4) dx
Âł
2 du u 31
u
(x 2)(x 3)
2
x 5x 6
2x 5 (2x 5) dx (10 4x) dx
Âł
2 u
31
du
§3 2 ¡ 2 Â&#x2DC; ¨ u 3 C ¸ Š2 š
2
3u 3 C
3 3 ( x 2 5 x 6)2 C
Âł
Gunakan rumus integral parsial
Âł u dv
u Â&#x2DC;v
Âł v du Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
57
23. Kunci Jawaban: C 6
Âł
L
( x 3 x ) dx
0
1 3 (6)3 (6)2 3 2
72 54
24.
31
Âł
18
18 satuan luas.
Âł
31
y 2
2
3x dx
1 du 3
d ( x 2 1)
dy
2
y3 2 3
C 2
3( x 2 1) 3 C
3y 3 C
9 x o du
d ( x 2 1) 2x
2
Kunci Jawaban: C Misalkan u
21
2 ( x 2 1) 2
Karena L positif maka L
4 x ( x 2 1)
Âł
6
1 3 Âş x3 x2 Âť 3 2 Âź0
2
3 3 ( x 2 1) C
x 2 dx
28.
Kunci Jawaban: D Titik perpotongan 2 2x 3 x x 1 2 0 x x 2 (x 2) (x 1) 0 x 2 atau x 1
y 2
1 1 du 3 u 32
Âł0
1 3
Âłu
32
du 2
1 1 ( 2) u 2 3 0 2
Âş Âť Âź0
2 3
3 9 x 2 2 6 2 3 9 9 9
25.
y 2
º  1 3(9 x ) 2 Ÿ 0 2
z
Âł1 a
Âł1
2 2 3 9 8 3 9 0 4 9
x
2
Âł
(2 x 3) ( x 2 x 1) dx
1
2
(3 x 2)( x 4) dx
2 Âł x x 2 dx
50
1
2
2
(3 x 10 x 8) dx a
50
1 1 Âş x 3 x 2 2x Âť 3 2 Âź 1
50
§ 8 ¡ §1 1 ¡ ¨ 2 4¸ ¨ 3 2 2¸ Š 3 š Š š 1 1 1 3 1 4 3 6 2
2
(a 5a 8a) (1 5 8) 50 3 2 a 5a 8a 48 0 a 4 o 64 80 32 48 0 26.
y x2 x 1
O
Â&#x;L
ÂŞ x3 5x2 8x Âş ÂŹ Âź1 3
z
1
Kunci Jawaban: A a
2x 3
Kunci Jawaban: C 2 y x 4x 3, y 2x Perpotongan kedua kurva: 2 x 4x 3 2x 2 x 2x 3 0 o (x 3) (x 1) 0 x 3 atau x 1 untuk x 3 o y 6 . . . (3, 6) x 1 o y 2 . . . ( 1, 2)
29. y
Kunci Jawaban: C 2 Misalkan: u x 4 du 2x dx
1 du 2 3 1
x
Â&#x;
1 2
Âł
du
1 2
u
x dx
Âł
1 du u
1 In u C 2
1
In u 2 C
3
2 Âł ^( 2x ) ( x 4 x 3)` dx
L
1 3
Âł
In u C
30.
Kunci Jawaban: C
( x 2 2 x 3) dx
1 3
ª x3 º x2 3x   3  Ÿ 1 2 9 1 3
§1 ¡ ( 9 9 9) ¨ 1 3 ¸ Š3 š
2 10 satuan luas 3
Âł
a
(3 x 2 2 x ) dx
Kunci Jawaban: E
Âł
58
4x 3
x2 1
dx
Âł 4 x( x
2
1
1) 3 dx
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
78
1
a
3
x3 x2 Âş Âź1
78
2
78
(a a ) (1 1) 3
27.
In x 2 4 C
2
a a 80
0
(a 4)(a 2 5a 20)
0
a 4 a
0 4
31.
Kunci Jawaban: C
Âł
1S 3
Âł
sin 3 x cos 3 x dx
0
1S 3
0
1 2
Âł
1 1 1 x cos 2 x Â&#x2DC; sin 2 x C 2 2 2 1 1 ( x cos 2 x sin 2 x ) C 2 2
1 Â&#x2DC; Â&#x2DC; sin 6 x dx 2 1S 3
sin 6 x dx
0
16. Program Linier
1S
Âş3 1 1 Â&#x2DC; ( cos 6 x ) Âť 2 6 Âź0
1.
1S
1 Âş3 cos 6 x Âť 12 Âź0
x y z 3 2
1 (cos 2S cos 0) 12 1 (1 1) 0 12
32.
Kunci Jawaban: E Titik perpotongan:
2
x 2x 2 x x 6 (x 3)(x 2) x 3 atau
L
Âł
2
( x 6) ( x 2 2 x ) dx
2
( x 2 x 6) dx
x 3y z 4 2 2 x y z 6 4 3
33.
S
Âł
1
y 1 2 y 2 2 dx
Âł
1
x 2 ( x 2 )2 dx
6 o x 6y 2z 1 o 2x 3y 4z
2x 3y 6z x 6y 2z
3
y y1 y2
y
x
z
2
x
0
1
1 Âş ÂŞ1 S ÂŤ x3 x5 Âť 5 Âź0 ÂŹ3
34.
42 48
2.
dv
Âł
x sin 2 x dx
24
x 24 6 24 x 6 6 4 ( 3) 5
Kunci Jawaban: C B o 3x 2y 12 x y 9
u1 u2
2 S 15
x o du
15 ................... (4)
u1 u2
Kunci Jawaban: B Misalkan: u
12 ........................(3)
4 ½ ž o (2): x 6(4) 2 3) 3 ¿
Nilai x y z x
ÂŞ 1 1Âş SÂŤ Âť ÂŹ3 5Âź
24 .................. (2)
15y 10z 90 18 ................................... (5) 3y 2z Dari (4) dan (5) eliminasikan y 3y z 15 3y 2z 18 z 3 z 3 o (5): 3y 2 ( 3) 18 3y 6 18 3y 12 y 4
2
0
S
42 24
2x 3y 6z 2x 12y 4z
9 § 8 ¡ § ¡ ¨ 2 12 ¸ ¨ 9 18 ¸ 2 Š 3 š Š š 1 1 5 7 13 20 3 2 6 Kunci Jawaban: D 2 x Titik potong: x 2 x x 0 x(x 1) 0 x 0 atau x 1 V
42 ....................... (1)
Dari (1) dan (2) eliminasikan x
3
1 1 x3 x2 6x 3 2
7 o 2x 3y 6z
Dari (1) dan (3) eliminasikan x 2x 3y 6z 42 2x 3y 4z 12 6y 2z 30 o 3y z
x 6 0 0 x 2
3
Âł
Kunci Jawaban: B
3x 2y 2x 2y 5x
12 18 30
x
6
6 y
9
y
3
dx
sin 2x dx o v
1 cos 2x 2
§ 1 ¡ x ¨ cos 2 x ¸ Š 2 š 1 1 x cos 2 x 2 2
Âł
1 cos 2 x Â&#x2DC; dx 2
Âł cos 2x dx
C o 2x 3y 12 x y 9
u1 u2
2x 3y 2x 2y
12 18
5y
30
y
6
x 6
9
x
3
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
59
4x 4 x 1 Jadi, keuntungan maksimum per hari adalah 2 2( 1) 4( 1) 61 2(1) 4 61 2 4 61 63 (dalam jutaan rupiah) Rp63.000.000,00
Fungsi obyektif: 4x 2y Nilai maksimum terjadi pada titik-titik A, B, C, D A(4, 0) o 4x 2y 4(4) 2(0) 16 B(6, 3) o 4x 2y 4(6) 2(3) 30 C(3, 6) o 4x 2y 4(3) 2(6) 24 D(0, 4) o 4x 2y 4(0) 2(4) 8 Nilai maksimum 30 3.
6.
Kunci Jawaban: E x t 0, y t 0; 2x y d 11 dan x 2y d 10
Kunci Jawaban: E Perhiasan Emas
y 11
Perak Banyaknya
Jenis I
1
1,5
x
Jenis II
2
0,5
y
Tersedia
20
10
2x y d 11
x 2y 1,5x 05y x y (i) dan (ii):
d 20 ...... (i) d 10 ...... (ii) t 0 ...... (iii) t 0 ...... (iv) x 2y 20 6x 2y 40 5x 20 x 4 (i) 4 2y 20 2y 16 y 8 Jadi emas 4 dan perak 8
5 x 2y d 10
5,5
x
10
Nilai maksimum untuk fungsi objektif k pada titik (3, 4). o k 3 ¡ 3 4 ¡ 4 25 4.
3x 4y diperoleh
Kunci Jawaban: C Pakaian
Kain polos
Kain corak
Banyaknya
Model pertama
1
1,5
x
Model kedua
2
0,5
y
Tersedia
20
10
7.
Kunci Jawaban: D S r 2 t 1000 cm3 V m
Misal banyak pakaian model pertama x dan model kedua y, tujuannya untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat. Jumlah persediaan kain polos 20, maka x 2y d 20 jumlah persediaan kain corak 10, maka 1,5x 0,5y d 10. Banyak pakaian model pertama dan kedua harus t 0 yaitu x t 0 dan y t 0. Jadi model matematikanya adalah: x 2y d 20 ................ (1) 1,5x 0,5y d10 ................ (2) xt0 ................ (3) yt0 ................ (4) Untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat, maka kita selesaikan sistem pertidaksamaan di atas. x 2y 20 ......... (1) u 1 x 2y 20 1,5x 0,5y 10 ......... (2) u 4 6x 2y 40 5x 20 x 4 untuk x 4 o (1): x 2y 20 4 2y 20 2y 16 y 8 Maka jumlah maksimum pakaian-pakaian yang dapat dibuat adalah 4 8 12. 5.
Kunci Jawaban: D 2 Pembelian: P(x) 2x 3x 36 Penjualan: H(x) x 25 Keuntungan H(x) P(x) 2 (x 25) (2x 3x 36) 2 x 25 2x 3x 36 2 2x 4x 61 Keuntungan maksimum: K(x)
60
0 Â&#x; 4x 4
0
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
n
8.
2S r t S r 2S r t 2t S ( 2t)2 ¡ t 1000
3
2S r
o n'
t
V' Sr2 r V 3 4S t t
S r 2 o m'
1, agar tinggi minimum, maka: 2
250 Â&#x; t S
¡1
0
1000
3 250 cm
S
Kunci Jawaban: D Tas (x) Sepatu (y) Kulit Plastik
... ...
Keuntungan sepatu Jumlah sepatu x 30x 15y 30x 15x 45 x
30 cm 15 cm Keuntungan tas maka: Jumlah tas y 450 450 450
x 10 Â&#x; y 10 Jadi perusahaan akan mendapat keuntungan maksimum jika dibuat 10 tas dan 10 sepatu 9.
Kunci Jawaban: D Kendaraan Sedan Bus
Luas parkir/m
2
4 20
Misalkan banyaknya sedan bus
Biaya parkir 1000 2000
x y
Pertidaksamaan x y d 20 4x 20y d 176 o x 5y x t 0, y t 0
25
44
25
ÂŚ (2 pk )
Jadi,
42
k 5
ÂŚ pk
40
ÂŚ pk
40
ÂŚ pk
42 40
k 5 25
42
y
k 5 25
20
82
k 5
8,8
(14, 6)
O
20
2. x 5y
44
44 x
U1 Un 2 a [a (n 1) b] 2 2a (n 1)b
Perpotongan kedua garis x y 20 x 5y 44
4y
24 o y
x 6
20
Max: 1000x 2500y (0, 0) o 0 0 0 (20, 0) o 20.000 0 20.000 (14, 6) o 14.000 12.000 26.000 (0, 8) o 0 16.000 16.000 (1, 8) o 1000 16.000 17.000 (2, 8) o 2000 16.000 18.000 Jadi, laba maksimum Rp26.000,00 10.
Luas
Tipe A(x)
100
800.000
Tipe B(y)
75
600.000
Tersedia
n u 64 2 3.
1
Œ ¨§Š 2 ¸¡š
k
k 5
672 32
21
2n 1 2n
k 1
k 1
8
1
k
1
1
Œ ¨§Š 2 ¸¡š Œ ¨§Š 2 ¸¡š k 1
k
k 1
28 1
Kunci Jawaban: D
k 5
1
1 2 28 256 1 128 256 256
10.000
25
64, berarti:
Kunci Jawaban: B n
4.
S2 S1 U2 U1
25
40
U2 U1 11 7 2 2
4 2
2
Kunci Jawaban: E Untuk barisan geometri berlaku Un
k 5
5 n 2 5 22 Â&#x2DC; 2 4 5 9 2 5 7 2 1 Â&#x2DC;1 2 2 7 11 S2 S1 9 2 2 7 S1 2 n2
Beda: b
5.
127 256
Kunci Jawaban: C
Sn
17. Barisan, Deret dan Notasi Sigma
25
672
672
672 Â&#x; n
Œ §¨Š 2 ¡¸š
Laba
ÂŚ (2 pk ) ÂŚ 2 ÂŚ pk
64 . . . (i)
Karena 2a (n 1)b
k 1 7
100x 75y d 10.000 . . . . (i) x y d 125 . . . . (ii) (i) dan (ii) 100x 75y 10.000 75x 75y 9.375 25x 625 x 25 (ii) x y 125 25 y 125 y 100 Laba maksimum: 8000.000x 600.000y 800.000 (25) 600.000 (100) 20.000.000 60.000.000 80.000.000
1.
32
n {2a (n 1)b} 2
Kunci Jawaban: C Perumahan
32
Jumlah a suku yang pertama
6 ½ ž . . . . (14,6) 14 ¿
o x
Kunci Jawaban: C Deret aritmetika diketahui: Suku tengahnya 32, berarti:
U1 r n 1
25
Â&#x;
ÂŚ2
(25 5 1) Â&#x2DC; 2
21 Â&#x2DC; 2
42
k 5
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
61
2
4
U1
3 4
x3
x dan U 4
U 4 U1 Â&#x2DC; r 4 1 3
x x
x
U1 r 3
3
x 4 Â&#x2DC; r 3 jadi:
x2
x
r3
3 2
x
3
3 2
3 4
x
b
3 4
3 4
§ ¡ ¨x ¸ Š š
6.
1 3
x
1 Â&#x2DC;3 3 4
x
1 4
4
3¡ 3¡ § § ¨ 4 1 5 ¸ , 4, ¨ 4 1 5 ¸ Š š Š š
x
Kunci Jawaban: A Deret aritmetika: Un 3n 5 U1 3 ¡ 1 5 Jumlah n suku pertama:
7.
2
10.
Kunci Jawaban: E
Sn S2 S1 8.
n (5n 19) 2 2 (5 Â&#x2DC; 2 19) 9 2 1 (5 Â&#x2DC; 1 19) 7 U1 2 11.
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
1
3 5
7
6
3¡ § 2 ¨ 2 , 4, 5 5 ¸ Š 5 š
A Â&#x2DC; 4 sin 120q 1 3 2
Â&#x2DC; 4 Â&#x2DC; 12 3 5
Kunci Jawaban: C 6 anak usianya membentuk barisan aritmetika. U3 7 tahun, U5 12 tahun. Karena ada 6 suku, maka rata-ratanya adalah
5
Kunci Jawaban: D r
x 2
lim
2x 2 6 x 4 1 1 lim x o2 2x 2 2 x o2
4 ¡ 7 ¡ 6 ¡ 5 840 Keterangan: Ribuan : Ada 4 angka yang dapat dipakai yaitu: 2, 3, 4, dan 5. (Bilangan yang diminta antara 2000 dan 6000). Ratusan : Ada 7 angka yang dapat dipakai, sebab dari 8 angka, 1 angka sudah dipakai untuk ribuan. Puluhan : Ada 6 angka yang dapat dipakai sebab 2 angka sudah dipakai untuk ribuan dan ratusan. Satuan : Ada 5 angka yang dapat dipakai sebab 3 angka sudah dipakai untuk ribuan, ratusan dan puluhan. 9.
32 20
U3 U 4 U1 U6 2 2 U3 U5 7 12 U4 9,5 tahun 2 2 U U4 7 9,5 Sn n u 3 6u 49,5 tahun 2 2
Kunci Jawaban: E 4
1 bc sin 2 1 2 Â&#x2DC; 2 2 5 1 2 Â&#x2DC; 2 2 5 2 2 3 5
Luas
n (U1 Un ) 2 n ( 2 3n 5) 2 n (3n 7) 2
Sn
0 32
Jadi sisi segitiga:
x4 r
2
2ab a 2ab a ab 2a 5ab 0 2 a 4o2¡4 5¡4b 20b 2
3 2
Kunci Jawaban: D
lim
x o2
x 2 ( x 2)(2 x 2)
Suku pertama deret hasil kali vektor skalar. a
i j 2k dan b
aÂ&#x2DC;b
2i j k
(1, 1, 2) Â&#x2DC; (2, 1, 1)
2 1 2
1
Jadi U1 1
Sn 12.
U1 1 r
1 1 21
2
Kunci Jawaban: A
C
5
Nilai
n 1
a b
6
ÂŚ (3n 7) ÂŚ (5n 6) n 2
5
a b
z
ÂŚ (3n 7)
(3 ¡ 1 7) (3 ¡ 2 7) (3 ¡ 3 7) (3 ¡ 4 7)
n 1
120q
A
a
(3 ¡ 5 7) B
Misalkan sisi-sisi segitiga: (a b), a, (a b) Keliling (a b) a (a b) 12 3a 12 o a 4 Aturan cosinus: 2 2 2 a (a b) 2a(a b) cos 120q (a b) 2
2
a 2ab b
62
1 2 2 2 a a 2ab b (2a 2ab) §¨ ¡¸ Š 2š
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4 ( 1) 2 5 8
10
6
z
ÂŚ (5n 6)
(5 ¡ 2 6) (5 ¡ 3 6) (5 ¡ 4 6) (5 ¡ 5 6)
n 2
(5 ¡ 6 6) 16 21 26 31 36 Maka hasilnya 10 130
140.
130.
13.
Kunci Jawaban: C Barisan aritmetika: k, k n, k 2n z k (k n) (k 2n) 12 z k ¡ (k n) ¡ (k 2n) 63 Â&#x;
3k 3n k n
12 4
r3
. . . . . . . . . . . (i)
Â&#x; k ¡ 4 ¡ (k 2n) 2
4k 8kn 63 . . . . . . . . . . . (ii) (i) k n 4 o kedua ruas dikuadratkan k 2kn n 16 . . . . . . .. . . (iii) 2 63 (ii) dan (iii) 4k 8kn 2 2 4k 8kn 4n 64 2 2
n (i)
k n
4
1 2
4
k
3
k
14.
1 2
Kunci Jawaban: A 2 3 a ar ar ar . . .
4
2u
1 2
7 2
7
4 4 §2¡ o aÂ&#x2DC;¨ ¸ 3 3 Š3š 4 o a 3 3 3 3 a 9 1 r 1 32 31
Kunci Jawaban: B z U1 U2 U3 9 a (a b) (a 2b) 9 3a 3b 9 o a b 3 . . . . (*) z U3 U4 U5 15 (a 2b) (a 3b) (a 4b) 15 3a 9b 15 a 3b 5 a 3b 5 a b 3 . . . . . . . . . (*)
8 . . . . . . . . . . . . (i)
2b a 4
. . . . . . . . . . . . (ii)
16 3
. . . . . . . . . . . . (iii)
. . . . . . . . . . . . (iv)
18.
3 o a
2
a 1 r
4
Persamaan (ii):
a 1 r
16 . . . . . . . . . . . (v) 3
Bagilah (iv) dengan (v) diperoleh r
4
Sf
a
5 1 r 2 5
1 2
9r 2 r
U5 15.
16.
ar
4
8(1
§ 1¡ 4¨ ¸ Š2š
1 ) 2
4
4 u
1 16
Kunci Jawaban: C 2 Sn 4n 3n 2 S5 4 ¡ 5 3 ¡ 5 100 15 115 2 S4 4 ¡ 4 3 ¡ 4 64 12 76 U5 S5 S4 115 76 39 2 S3 4 ¡ 3 3 ¡ 3 36 9 45 U4 S4 S3 76 45 31 b U5 U4 39 31 8 Jadi: U5 39 dan b 8
Sf
19.
ar 2
4 32 , U6 3 81 4 32 5 , ar 3 81
a 1 r
5 1 32
9 9 9r 2 4 4 9 2 3
5 1 3
15
Kunci Jawaban: A 50
ÂŚ (n 2)
(1 2) (2 2) (3 2) . . . (50 2)
n 1
52
3 4 5 . . . 52
ÂŚn
k 3
20.
Kunci Jawaban: B n 1 Deret geometri: Un ar z
Kunci Jawaban: E
U3
2
r
4
1 4
5
9
1 r 2
Dari persamaan (iv) a 8(1 r) a
4
Kunci Jawaban: C U1 U3 U5 . . . 9 a ar ar . . .
Persamaan (i):
8 o b
7
5 ^2a (5 1)b` 2 5 5 Â&#x2DC;2 ^ 14 16` 2 2
S5
8 3 5 ar ar ar . . . 3 (i) dan (ii) dikurangkan 2
S
8 3
U2 U4 U6 . . .
a ar ar . . .
1 on 4
4 9
aÂ&#x2DC;
17.
1
7 o nilai 2k 2
32 81
2
ar 2
Â&#x;
63
4n
32 4 3 o Â&#x2DC;r 81 3 8 2 o r 27 3
Â&#x; ar 2r 3
U2 ¡ U4
16
3
Â&#x; ar ¡ ar 2 4 a r 2 ar
16 16 4 . . . (1) 2
U1 U2 U3 7 Â&#x; a ar ar 7 . . . (2) Untuk menentukan nilai r, bagilah persamaan (2) ke persamaan (1). z
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
63
2
ar 2 a ar ar 2
A
4 7 7r 2 Â&#x153; 4 4r 4r 2 4
1 r r2
3r 2 4r 4 (r 2)(3r 2) r
§1 0 ¡ ¨ ¸ Š0 1 š
7r 2 0 0
Â&#x153;
2 3
2 atau
xA yB dapat ditulis: 12 ¡ § 2 3¡ § 6 x¨ ¸ y ¨ ¸ Š 1 2 š Š 4 10 š 3 x 12y ¡ § 2x 6y ¨ ¸ Š x 4 y 2 x 10 y š
2x 6y 3x 12y
u2 u1
1 0
4x 12y 3x 12y
2 0
x
2
Substitusikan nilai r ke salah satu persamaan ar
21.
2
2
4 Â&#x; a(2) 4a a
Dari persamaan 2x 6y 6y 1 2x 6y 1 2 ¡ 2 3
4 4 1
y
Kunci Jawaban: B U1 U3 U1 U15
Tahun pertama 110 Tahun ketiga 150 a, U3 a 2b tahun ke-15 a 14b
Â&#x; U3
110 2b 150 2b 40 b 20 110 14(20) 110 280
U15 22.
2.
Â&#x; S Â&#x; S
a 1 r a 1 r2
6 o a
1 oa 2 U6
23.
ar
5
4 o 6 6r
4 4r
0
2
0
1 2
3.
0
6 3
5
§ 1¡ 3¡ ¨ ¸ Š 2š
3 32
884
18. Matriks Kunci Jawaban: B
2
A
A2
64
3¡ §2 ¨ ¸, B Š 1 2 š xA yB
Jadi: x 2y 4.
Un 1 Un 6 17 S17 (100 4) 17 u 52 2
§ 6 12 ¡ ¨ ¸ Š 4 10 š
§ 2 3 ¡§ 2 3 ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 1 2 š Š 1 2 š 6 6 ¡ § 4 3 ¨ ¸ Š 2 2 3 4 š
1 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
§1 0 ¡ ¨ ¸ Š0 1 š §1 0 ¡ ¨ ¸ Š 0 1š
0 0 16 Â&#x153; p
1 2
1
§ 2¡ ¨ ¸ Š0š u2 u1
2 0
2 2¡2
6x 4y 4x 4y
4 0
2x
4 Â&#x; x
2
4x 4y
0 Â&#x153; y
x
6
Kunci Jawaban: B
§ a 2¨ Šc 4
b 2¡ ¸ d š
2a 4 10 2a 6 a 3 2(b 2) b c 2b 4 b c 3b c 2(c 4) 8 2c 8 8 2c c Untuk c
§1 0 ¡ ¨ ¸ Š0 1 š
1
Kunci Jawaban: A
Â&#x153; 3x 2y 4 4y
3
1 3¡ 32
2 Â&#x2DC;
§3 2¡ § x ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 4 4 š Š y š
1 ) 2
1 (Gunakan r
6 6¡
Jadi, 2p
b
A
1
32p 2
§ 10 8 ¡ ¨ ¸ Š 4 6 p š
CuC
4(4 5p) 6p ¡ 2 16 20p 12p
2
Kunci Jawaban: D
1.
C 1 atau C u (A B)
6 6r . . . (i)
(2r 1) (r 1)
r
§ 5p 5 ¡ ¨ ¸ dan C 3š Š1
1
A B 1 CuC
390
4
2r 3r 1
1 atau r 2
§4 9 ¡ ¨ ¸; B Š 3 4p š
1
§ 10 8 ¡ ª§ 4 9 ¡ § 5 p 5 ¡ º ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 3š Ÿ Š 4 6 p š  Š 3 4 p š Š 1 4¡ § 10 8 ¡§ (4 5 p ) ¨ ¸¨ ¸ Š 4 6 p šŠ 2 4 p 3 š
4r 6r 2
r
1 2
§ 1 ¡ 2¨ ¸ Š 2š Kunci Jawaban: D
A
6
U1 U3 U5 . . .
Jadi nilai xy
Kunci Jawaban: C
Sf
3 6
1 diperoleh:
§4 b c¡ ¨ ¸ Š 8 2d š
7 7 11 4 4 4 2
2 Â&#x; 3b c 3b 2 3b b
11 11 9 3
§ 10 ¨ Š 4
7¡ ¸ a 1š
2
2d 2d 4d 4d d Maka nilai a b c d 5.
ยง 10 2 p ยจ ยฉ 18 4 p
8. 1 ยท ยธ p qยน 1 ยท ยง 10 2 p ยธ ยจ p q ยน ยฉ 18 4 p
ยง2 ยจ ยฉp
5 2 p 2q ยท ยธ 9 4 p 4q ยน
10 2p 2p
9
2q
2q
14
q
7
5 2
9 14 2 2
BAB 1 BABB
BA
X
5 2p 2q
9 7 2
XB 1 XBB
9 2
0
ยง0 7 ยท ยจ ยธ ยฉ 11 16 ยน
X 9.
ยง 3 2 ยทยง 2 1 ยท ยจ ยธยจ ยธ ยฉ 1 3 ยนยฉ 3 5 ยน
Kunci Jawaban: B y
1 u QR u PR 2 1 u 1u 2 1 2
L'PQR
23 2
R
Kunci Jawaban: C
ยง 1 ยจ ยจ ยฉ 4m
A
A2 C
1ยท 2 ยธ,
1ยนยธ
B
ยง 1 1 ยท ยง 1 2ยธ ยจ ยจ ยจ 4m 1ยธ ยจ 4m ยฉ ยนยฉ ยง 1 8m ยท ยจ ยธ ยฉ 1 5 ยน 2
2
ยง 6m 4 ยท ยจ ยธ, C ยฉ 1 1ยน 1 2
ยท ยธ ยธ 1ยน
C, . . . . dikalikan B
1
BC ; BB
1
BA BB
ยง 1 ยจ ยฉ 1
1
ยง1 ยจ ยฉ0
BC
ยง 12m 2 6m ยจยจ ยฉ 2m 1
8m 4 ยท ยง 1 0 ยท ยธ ยจ ยธ 2m 1 ยนยธ ยฉ 0 1 ยน
2m 1 2m m
A
AX
T
1
ยง 4ยท ยจ ยธ ยฉ1 ยน
4 o x 1 o 2y y
1 6 3
X2
12.
1 2
1
AX A 1 T X A B
13. T
B
4
1 ยง 2 2ยท ยจ ยธ 2 ยฉ 2 3ยน 1 1 ยง 2 2 ยท ยง 2 2 ยท ยงยจ 2 2 2 ยทยธ ยจ ยธยจ ยธ 4 ยฉ 2 3 ยน ยฉ 2 3 ยน ยจ 2 1 3 1 ยธ 4ยน ยฉ 2
Kunci Jawaban: E ยง3 1 ยท ยจ ยธX ยฉ3 2ยน
ยง 7 10 ยท ยจ ยธ ยฉ 7 9 ยน
1 3
ยง 2 2ยท 1 ยจ ยธ 3(2) 2(2) ยฉ 2 3 ยน
X
ยง2 4ยท ยง1 2 ยท ยจ ยธ, Q ยจ ยธ, B ยฉ3 1 ยน ยฉ1 2 ยน ยง3 2ยท P Q ยจ ยธ ยฉ4 3ยน
B oA
ยง3 x ยท ยจ ยธ ยฉ 7 2y ยน
Kunci Jawaban: C X
Kunci Jawaban: E P
ยง 4ยท ยจ ยธ ยฉ1 ยน
Maka x y
ยง 6m 4 48m 2 2 ยท ยจยจ ยธ 2 8m 5 ยนยธ ยฉ
2 1
1 ยทยง 1 ยท ยธยจ ยธ 2 y ยนยฉ 2 ยน
3 x 7 2y
11.
4
Kunci Jawaban: A
ยง1 x ยจ ยฉ 3
0ยท ยธ 1ยน
ยง 12m2 6m 8m 4 ยท ยจยจ ยธ 2m 1 ยธยน ยฉ 2m 1 ยง 6m 4 48m 2 20 ยท ยจยจ ยธ 2 8m 5 ยธยน ยฉ
BA2
x
0 ( 4)
10.
Q
P
1 2 ย 1 2 0
L'P'Q'R'
8m ยท ยธ 5 ยน
ยง 2m 1 0 ยท ยจ ยธ 0 2 m 1 ยฉ ยน
1
A B
7.
5 2( p q ) ยท ยธ 9 4( p q ) ยน
ยง 3 2 ยท ยจ ยธ ยฉ 1 3ยน
ยง2 1 ยท ยจ ยธ dan B ยฉ3 5ยน
A
1
Maka: p q
Kunci Jawaban: B
ยง1 0 ยท ยจ ยธ ยฉ0 1 ยน
9 2
p
1 ยง 3 2ยทยง7 7ยท ยจ ยธยจ ยธ 9 8 ยฉ 4 3 ยน ยฉ 10 9 ยน 20 18 ยท ยง 1 3 ยท ยง 21 20 ยจ ยธ ยจ ยธ 28 2 ยน ยฉ 2 1 ยน ยฉ 28 30
9
Kunci Jawaban: A ยง5 2 ยท A ยจ ยธ, B ยฉ9 4ยน ยง5 2ยทยง2 AB ยจ ยธยจ ยฉ9 4ยนยฉ p
6.
a 1 3 1 4 1 3 3 2 1
ยง 2 1ยท ยจ ยธ ยฉ 1 1ยน 1 ยง 2 1ยท ยง 2 1ยท ยจ ยธ ยจ ยธ 6 3 ยฉ 3 3 ยน ยฉ 1 1 ยน 1 ยง 3 3 ยท ยง 1 1ยท ยจ ยธ ยจ ยธ 3 ยฉ 3 6 ยน ยฉ 1 2 ยน
Kunci Jawaban: A AC B ย C 1 B 1 ย A
1 ยง 1 3 ยทยง 4 2 ยท ยจ ยธยจ ยธ 11 ยฉ 2 5 ยนยฉ 3 4 ยน 1 ยง 13 10 ยท ยจ ยธ 11 ยฉ 7 24 ยน Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
65
14.
2.
1 ( 13(24) 7(10)) 121 242 2 121
C 1
q ¡§ x ¡ ¸¨ ¸ p šŠ y š
px qy qx py 2 p x pqy 2 q x pqy 2
2
3 (seperti yang terlihat pada gambar) 2 Panjang proyeksi ortogonal vektor a terhadap b adalah:
. . . (i) . . . (ii)
2
0 o y
Maka x 2y 15.
3 jadi, 2
a cos T
(p q )x p q x 1 Substitusi x 1 ke (i) p qy p qy
a
b
up uq
2
3 p2 cos T 4 p 2 cos T
0
1 2¡0
1.
3
cos T
§p 1 p q¡ § 1 ¨ ¸, B ¨ p 2 s Š š Š s 0¡ §1 §1 0 ¡ 2 ¨ ¸, C ¨ ¸ 0 1 Š š Š0 1 š
C
A B
0¡ ¸ tš
2 4 p2
a b cos T
a.b
( 3i p j k)( 3i 2j pk 1
0¡ §1 ¨ ¸ 0 1š Š 0¡ §1 ¨ ¸ Š 0 1š
1
( 3 2 p p ) ( 3 3 p )
s 0 1 s 0 s 1 1 2 ( 1) 1 2
( 3 3 p )
z p
1
Kunci Jawaban: C
a
2
b
2
2
2
2
0, maka a b
Â&#x153; a
a ¡ (a b) 2 a a¡b
a
3.
0 dan a ¡ (a b) 3, maka:
6, (a b) . (a b)
* (a b) ¡ (a b)
b
2 ( 3 3 p ) 3
(7 p 2 ) 2
( 2 2 p )2
(7 p2 )
3, b
1 dan a b
2
2
a
1
6
a b
2 §¨ a Š
2 b ¡¸ a b š
2 ( 3)2 12 12
2
2(3 1) 1 7
7
3 3 a a b
cos T
4.
2
3 ( 6)2 6 6 1 Â&#x153; T 2
1
0 atau
a b
cos T
3 2
Kunci Jawaban: C
3 3
a b cosT
(7 p 2 ) 2 .
3 p2 8 p 3 0 (3 p 1)( p 3) 0 1 p atau p 3 3
19. Vektor
Diketahui a
1
(4 p 2 ) 2 (7 p 2 ) 2 . cos T 1 1 3 (4 p 2 ) 2 (7 p 2 ) 2 . 2 4 p2 1
1, p q 0 1 q 0 q 1 2s t 1 o q 2t 2¡1 t 1 2 t 1 t 1
z p
z
1
(( 3 )2 p 2 12 ) 2 (( 3 )2 22 p 2 ) 2 cos T
2
C
§ p 1 p q¡ § 1 0¡ ¨ ¸ ¨ ¸ 2s š Š s t š Š p p q¡ § p ¨ ¸ Š p 5 2s t š
Kunci Jawaban: A
a 3 6 6
1 2
S 3
§1 ¡ ¨ ¸ ¨x¸ , b ¨2¸ Š š
§ 2¡ ¨ ¸ ¨ 1¸ ¨ 1 ¸ Š š
Panjang proyeksi a pada b adalah Panjang proyeksi a pada b adalah:
66
3 2 3 2 3 2
( 3i p j k)( 3i p j k) cosT
Kunci Jawaban: E A
1.
3 I 2j pk
Panjang proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b
§ p¡ ¨ ¸, p z q Šq š p q 2 p 2 q
3 I p j k dan b
a
Kunci Jawaban: D
§p ¨ Šq
Kunci Jawaban: A
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2 6
JJJG PQ
Panjang proyeksi a pada b adalah: a Â&#x2DC; b
a cos T
2 6
b
(1, x, 2) Â&#x2DC; (2, 1, 1) 2
2
8.
2 6
2
2 1 ( 1)
2 x 2 6
2 6 Â&#x; x
Jadi vektor a adalah a
2
G G a.b G G 2 (b) b
(1, 2, 2)
a.b
(1, 2, 2) . (2, 1, 1)
a b
12 22 22 . 6
2 2 2 9. 6
5.
2 3 6
9.
3 Â&#x2DC; 2 2 Â&#x2DC; 3 4( 3) a Â&#x2DC; b
§ 4¡ ¨ ¸ G ¨ 2 ¸, v ¨5¸ Š š
G G JJG 3u 2v w
6 6 12 a Â&#x2DC; b 0 a Â&#x2DC; b 0 oD
90q 10.
6.
(1, 2, 3) . (5, 4, 2) 52 ( 4)2 22
(5, 4, 2)
Kunci Jawaban: A
G u
a Â&#x2DC; b a Â&#x2DC; b
cos D
(5 8 6) (5, 4, 2) 45 9 1 (5, 4, 3) ( 5, 4, 2) 45 5
Kunci Jawaban: B
cos D
Kunci Jawaban: C G G G G G G G G a i 2j 3k ; b 5i 4j 2k G G Proyeksi vektor a pada vektor b adalah:
Sudut antara a dan b adalah D, maka: cos D
1 JJJK 1 JJJG JJJG BQ CA CB 3 2 1§ 1 G G¡ 1 G 1 G u v ¨ u v¸ 3Š2 3 š 6
Kunci Jawaban: E Misal w Proyeksi vektor ortogonal u pada y
§5¡ JJG ¨ ¸ ¨ 3 ¸ , dan w ¨7¸ Š š
§7¡ ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨ 4¸ Š š
§4¡ §5¡ §7 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 3 ¨ 2 ¸ 2 ¨ 3 ¸ ¨1 ¸ ¨5 ¸ ¨7¸ ¨ 4¸ Š š Š š Š š § 12 ¡ § 10 ¡ § 7 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 6 ¸ ¨ 6 ¸ ¨1 ¸ ¨ 15 ¸ ¨ 14 ¸ ¨ 4 ¸ Š š Š š Š š
§9¡ ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨5¸ Š š
Kunci Jawaban: D
G Diketahui vektor a
u
§2¡ G ¨ ¸ ¨ 4 ¸ dan b ¨5¸ Š š
§ 3 ¡ ¨ ¸ ¨ m¸ ¨ 5 ¸ Š š
Jika proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor sama dengan
w
w
u.v v
2
3 5 , maka nilai m sama dengan nilai m dapat dihitung 5
v
menggunakan rumus proyeksi skalar ortogonal vektor G b pada vektor
.v
(2) . (2) ( 4)( 2) ( 6)(4) 22 ( 2)2 (4)2
2
ª 2º 12   2 24    2Ÿ
G c 3 5 5
ª 2º ª 2º 4 8 24   12   2 2 4 4 16   24    4 Ÿ  4 Ÿ ª 2 º ª 1º 1  2   1  2  4 Ÿ  2Ÿ
Jadi w 7.
3 5 5 3 5 5 4m 19
i i 2k
4m 19
Kunci Jawaban: D P titik berat 'ABC, Q JJJG K JJJK K CA u dan CB v
Q
u A
4m 19
C
titik tengah AC
4m m
P
v
G G b.a G a 6 4m 25 22 42 52 4m 19 4 16 25 4m 19 45 3 5Â&#x2DC; 5 5 3 5Â&#x2DC; 3 5 5 9 Â&#x2DC;5 5 28 7
B
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
67
11.
2
Kunci Jawaban: C a
4i 3 j pk
b
3i 4 j pk
10x 72x 184 2(x 2)(5x 46) x 14.
A
2
4 3 p
2
2
25 p 2
3 ( 4) p
B
2
E O
C C
25 p 2
JJJG CP
15.
2p2
(7, 6, 4) ( 4, 3, 0) ( 4)2 32 02
28 18 0 ( 4, 3, 0) 16 9
Kunci Jawaban: C B
P C
JJJG OP
16.
( 4, 3, 0)
§ 4 ¡ 10 ¨ ¸ 3 25 ¨¨ ¸¸ Š 0š
JJJG 1 JJJG OB (DC) 3 1 G 1§ 1 G G¡ a ¨ a b¸ 2 3Š2 š 2G 1G a b 3 3
Kunci Jawaban: C
a
2i j 9k, b
c
3i 2j k
d
a 2b
c
Kunci Jawaban: E
u
§ x¡ ¨ ¸ ¨ 1 ¸, v ¨ 3 ¸ Š š
17.
cos
S 3 1 2 1 2
9 x 18 2 x
2
14 (10 x ) 2 140 14x
68
§ 2¡ § 1¡ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 2 ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 9 ¸ ¨ 3¸ Š š Š š
2
. (c)
§ 4¡ ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 3 ¸ Š š
(4, 1, 3) (3, 2, 1) 32 22 12
12 2 3 (3, 2, 1) 9 4 1 1 c 2
§ 1 ¡ ¨ ¸ ¨ 3¸ ¨ 2 ¸ Š š
cos T
i j 3k
Proyeksi vektor d pada c adalah
d.c 13.
v u
A
§ 8 ¡ ¨ 5 ¸ ¨ 6 ¸ ¨ 5¸ ¨ 0 ¸ Š š
§ 4 ¡ 2¨ ¸ ¨ 3¸ 5¨ ¸ Š 0š
u v
D
Kunci Jawaban: A § 2¡ §3¡ § 4 ¡ G ¨ ¸ G ¨ ¸ G ¨ ¸ a ¨ 2 ¸, b ¨ 2 ¸, c ¨ 3 ¸ ¨1 ¸ ¨ 2¸ ¨ 0¸ Š š Š š Š š JG G proyeksi vektor d pada c adalah G G d.c G G 2 (c) c
D
D
O
p2 25 0 ( p 5)( p 5) 0 p 5 atau p 5
o
v
v
p2
25 p2
A
u B
2
12 12 p2
1 (25 p2 ) 2
F
u
(4, 3, p )(3, 4, p ) 2
1 2
12.
Kunci Jawaban: E
a b
cos 60q
46 5
2 atau x
aÂ&#x2DC;b
cos T
0 0
7 (3, 2, 1) 14
Kunci Jawaban: B a
u.v
(3, 2, 1)
i j 2 k , b
ni j 2 k
u v ( x, 1, 3)( 1, 3, 2) 2
2
2
x 1 ( 3)
2
2
cos T 2
( 1) 3 ( 2)
x 3 6
cos 60q
2
x 1 9 1 9 4 9 x 10 x
2
1 2
14
1 14 10 x 2 2
a . b a b ( 1, 1, 2)(n, 1, 2) ( 1)2 1 ( 2)2 n 1 2 4
2
n 3
1
(n 2 3) 2
14 10 x 2
2
n 3 3 2n n
2
324 72x 4x 2 324 72x 4x
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
18.
1 n 2
1 2n n 1 2n 2 1
Kunci Jawaban: E
o
1 2
n 2 ( 1)2 ( 2 )2 1 n 2 n2 3
§ 3¡ § 2¡ ¨ ¸ ¨ ¸ a ¨ 1 ¸, b ¨ 3 ¸, ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ Š š Š š § 3 4¡ ¨ ¸ a 2b ¨ 1 6 ¸ ¨ 1 4 ¸ Š š
a b cos 60q a a cos0q
§6¡ ¨ ¸ c ¨6¸ ¨3¸ Š š § 1 ¡ ¨ ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 3¸ Š š
1 2 Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC;1 2 5 4 9 2Â&#x2DC;5Â&#x2DC;
22.
Proyeksi vektor (a 2b) pada c:
(a 2b) . c c
19.
2
Â&#x2DC;c
§ 1 ¡ § 6 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 5 ¸ Â&#x2DC; ¨ 6 ¸ ¨ 3¸ ¨3¸ Š š Š š
A
P
z 2 z
2 Â&#x; 2x 4 (2) 12 2x 4 x Maka, G G G G a 2i 4j 3k G G G G b 2i 2j 4k
(1, 3, 2) 23.
2 : 3, maka kordinat titik P:
Py Pz
Kunci Jawaban: D
a
i 2 j pk dan b 1 2 j pk
20.
(1, 2, p )(1, 2, p ) 2
1 ( 2 )2 p2 1 2 p2
1 2 1 2
18
(1)2 ( 2 )2 p2
1 2 p2
1 2 p2
p2 1 ( 3 p2 )2
Kunci Jawaban: D
a
6i 2j 4k , b
3 p p 5
2i j 2k
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah
(6, 2, 4) (2, 1, 2) 22 12 ( 2)2
(2, 1, 2)
12 2 8 (2, 1, 2) 4 1 4 18 Â&#x2DC; (2, 1, 2) (4, 2, 4) 9 4i 2j 4k
Kunci Jawaban: D
a
2, b a (b a)
24.
5 atau p
(3, 1, 1)(2, 5, 1) 22 52 12
25.
0 5
Kunci Jawaban: B Proyeksi vektor (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah Â&#x2DC; (2, 5, 1)
6 5 1 (2, 5, 1) 30 1 (2, 5, 1) 3
Kunci Jawaban: D P ( 1, 1) dan R (3, 5) PQ QR, maka koordinat titik Q adalah
5 ab aÂ&#x2DC;a
2p 2 0
(p 5 ) (p 5 ) p
 ½ °a Â&#x2DC; b ° ÂŽ 2žb ° b ° ÂŻ Âż
21.
a b
cos 60q
(5 1)2 (4 3)2 (3 2)2 42 12 12
aÂ&#x2DC;b
cos T
Jadi, koordinat titik P adalah P(5, 4, 3) CP
0 0 2
G G G G G G 2i ( 2i) 4j 2j 3k 4k G G G 4i 6j k
2 Â&#x2DC; 2 3 Â&#x2DC; 7 25 5 3 4 5 2 Â&#x2DC; 4 3 Â&#x2DC; 4 20 4 3 2 5 2 Â&#x2DC; 9 3 Â&#x2DC; ( 1) 15 3 3 2 5
Px
0 2
z
Jadi, G G a b
B
AP : PB
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2x 4z 12 0 2x 3z 10 0
§6¡ ¨ ¸ ¨6¸ ( 36 36 9)2 ¨ 3 ¸ Š š §6¡ 6 30 9 ¨ ¸ ¨6¸ 81 ¨3¸ Š š §6¡ 27 ¨ ¸ 6 81 3 ¨¨ ¸¸ 3 Š š 2a 2j k
Kunci Jawaban: D A (7, 4, 1), B (2, 4, 9), C
Kunci Jawaban: E G G G G aAb Â&#x; aÂ&#x2DC;b 0 2 x 4z 12 0 . . . (1) G G JJG G cAd Â&#x; cÂ&#x2DC;d 0 10 3z 2 x 0 . . . (2)
x y Q
3 ( 1) 3 1 1 2 2 5 1 6 3 2 2 (1, 3) Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
69
26.
Kunci Jawaban: C a
( x, 1, 5)
b
(6, 3, 6)
§0 1¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸ 0šŠ y š Š1 § y ¡ ¨ ¸ Š xš
Panjang proyeksi a pada b adalah a Â&#x2DC;b o 5 b
5
6 x 3 30 o 45 81 12 o x 2
5 6x
Jadi, xc
( x, 1, 5)(6, 3, 6) 36 9 36 6 x 33
Â&#x153; yc 2xc 4 0 Selanjutnya dicerminkan terhadap garis y transformasinya:
22 ( 1)2 52
a
4 1 25
30
§ x'' ¡ ¨ ¸ Š y'' š
Jadi, xcc yc Â&#x153; yc xcc
Kunci Jawaban: B Diketahui tiga buah titik, yaitu: A(3, 2, 1), B(1, 2, 1) dan C(7, p 1, 5) Agar ketiga titik segaris, maka harus berlaku:
c a (7, p 1, 5) (3, 2, 1) (4, p 3, 4) Jadi diperoleh: 4 k 2 Â&#x; k 2 p 3 2 ¡ 4 8 p 8 3 11 2.
ycc xc Â&#x153; xc ycc Persamaan garisnya ganti yc dengan xcc dan xc dengan ycc yc 2xc 4 0 xcc 2ycc 4 0 Jadi hasil transformasinya adalah: x 2y 4 0
k (b a) k{(1, 2, 1) (3, 2, 1)} k ( 2, 4, 2) 4.
§ 1 0 ¡ refleksi terhadap sumbu-y adalah ¨ 0 1 ¸ dan matriks Š š
y
transformasi dengan pusat O dan sudut rotasi T adalah 2 p 1
1
§ cos T sin T ¡ ¨ ¸ untuk T 90q maka Š sin T cos T š
x
§ cos 90q sin 90q ¡ ¨ ¸ Š sin 90q cos 90q š
§0 1¡ ¨ ¸ Š1 0 š Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan rotasi 90q adalah:
Karena fokusnya ada di kanan direktris berarti parabola menghadap ke kanan. Persamaan parabolanya: 2
(y E)
4p(x D)
§ 0 1¡§ 1 0 ¡ § 0 1¡ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Š 1 0 šŠ 0 1 š Š 1 0 š Jadi bayangan titik A, B dan C adalah:
di mana: (D, E) titik puncak parabola p jarak antara fokus dan puncak Pada soal diketahui titik puncak titik tengah antara fokus dan direktris. Jadi:
§ x1' x2' x3' ¡ ¨¨ ¸¸ Š y1' y 2' y 3' š
(D, E) p
(0, 2) dan p 1, sehingga: 1, jadi: 2 4 ¡ 1 (x 0) (y 2) 2 y 4y 4 4x 2 y 4y 4x 4 0 3.
Kunci Jawaban: A Garis x 2y 4 0 dirotasikan sejauh 90q . Matriks transformasinya:
§ x' ¡ ¨ ¸ Š y' š
Kunci Jawaban: D Diketahui 'ABC dengan A(2, 1), B(6, 1) dan C(5, 3). 'ABC tersebut ditransformasikan dengan refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan dengan rotasi (0, 90q ). Matriks transformasi untuk
Kunci Jawaban: B Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (1, 2) dan garis x 1 adalah parabola yang berpuncak di titik (0, 2) dan garis arah (direktris) adalah garis x 1.
§ cos 90q sin 90q ¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸ cos 90q šŠ y š Š sin 90q
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
§ 0 1¡ § 2 6 5 ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 1 0 š Š 1 1 3 š § 1 1 3 ¡ ¨ ¸ Š 2 6 5 š
Jadi Ac ( 1, 2), Bc ( 1, 6) dan Cc ( 3, 5) 5.
Kunci Jawaban: E Diketahui persegi panjang PQRS dengan P( 1, 2), Q(3, 2), R(3, 1) dan S( 1, 1) mengalami dilatasi [O, 3] kemudian rotasi [0, z
S] 2
.
Panjang dan lebar persegi panjang mula-mula: p (x2 x1) (3 ( 1)) 4 l
70
x. Matriks
§ 0 1 ¡ § x' ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 1 0 š Š y' š § y' ¡ ¨ ¸ Š x' š
20. Transformasi Geometri 1.
xc
yc x Â&#x; x yc Persamaan garis yang baru ganti x dengan yc dan y dengan xc yc 2( xc ) 4) 0
(2, 1, 5)
a
y Â&#x; y
(y3 y2)
( 1 2)
3 Â&#x; l
3
Panjang bangun setelah dilatasi [O, 3] p' 3 u 4 12 l' 3u3 9 z Karena dilatasi tidak mengubah bentuk geometri maka bentuk hasil dilatasinya tetap persegi panjang. Jadi: Luas bayangannya setelah dilatasi [O, 3] adalah: A p' u l' 12 u 9 108 Rotasi tidak mengubah bentuk bangun dan ukuran (hasil rotasi (0, 0) kongruen dengan bangun aslinya), jadi tidak mengubah luas. z
6.
Kunci Jawaban: C Garis y 2x 2 dicerminkan terhadap garis y y 2x 2 p p x y Jadi x 2y y
7.
[ F (1, 2), 2]
A' ( 2 b, a ) o A'' (2[ 2 b 1] 1, 2( a 2) 2)12] A'' (2[ 2 b 1] 1, 2( a 2) 2)
Sehingga, z 2( 2 b 1) 1 1 4 2b 2 1 1 2b 6 b 3 Jadi, A (a, b) A (3, 3). 10.
x
Kunci Jawaban: D Titik A(x, y) direfleksikan terhadap garis x 2, dilanjutkan refleksi terhadap garis y 3 dan rotasi dengan pusat O sejauh
q dan rotasi sejauh
§ 2q y ¡ ¨ ¸ Š 2p x š 2 Â&#x2DC; 3 y 2 Â&#x2DC; ( 2) x
§ 4 ¡ ¨ ¸ Š 6š 4 Â&#x;y 6 Â&#x;x
S adalah: 2
11.
4 4 6 3
§ 1 0 ¡ § 0 1 ¡ § x ¡ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ Š 0 1 š Š 1 0 š Š y š § 0 1¡ § x ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 1 0 š Š y š § y¡ ¨ ¸ Š x š
Kunci Jawaban: A § 2 1 ¡ § 0 1 ¡ § x1 x2 ¨ ¸¨ ¸¨ Š 1 3 š Š 1 0 š Š y1 y 2 § 5 12 5 ¡ § 1 2 ¡ § x1 x2 x3 ¡ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ Š 0 11 5 š Š 3 1 š Š y1 y 2 y 3 š 2¡ § 1 ¸ § 5 12 § x1 x2 x3 ¡ ¨ 5 5 ¸¨ ¨ ¸ ¨ y y y 3 1 0 11 Š 1 2 3 š ¨¨ ¸¸ Š 5š Š 5 § x1 x2 x3 ¡ § 1 2 1 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ Š y1 y 2 y 3 š Š 3 5 2 š § 5 12 5 ¡ ¨ ¸ Š 0 11 5 š
2 10
Jadi titik A( 10, 2). 8.
2 ( a 2) 2 2a 4 2 2a a
xc y yc x l x yc Substitusi ke (*) 2 xc ( yc ) 3 ( yc ) 1 2 xc y 3yc 1 2 x y 3y 1
S . Refleksi titik A(x, y) terhadap garis x p, kemudian terhadap 2 garis y
z
Kunci Jawaban: y x2 3x 1 . . . (*) § x' ¡ ¨ ¸ Š y' š § x' ¡ ¨ ¸ Š y' š § x' ¡ ¨ ¸ Š y' š
2y 2 x 2 1 x 1 2
A'' (1, 4)
Kunci Jawaban: E Bayangan titik M(x, y) oleh transformasi yang bersesuaian
§ 2 1¡ § 3 2 ¡ dengan matriks ¨ 1 0 ¸ dilanjutkan dengan ¨ 0 1 ¸ adalah Š š Š š
x3 ¡ ¸ y3 š
5¡ ¸ 5š
titik M( 50, 5) maka koordinat titik M adalah (x, y) Misalkan: T1 § 50 ¡ ¨ ¸ Š 5 š § 50 ¡ ¨ ¸ Š 5 š
§ 3 ¨ Š 0 § 4 ¨ Š 1
§2 1¡ ¨ ¸ , T2 Š1 0 š
§ 3 2 ¡ ¨ ¸ Š 0 1š
2¡§ 2 1 ¡§ x ¡ ¸¨ ¸¨ ¸ 1 š Š1 0 š Š y š 3¡§ x ¡ ¸¨ ¸ 0 šŠ y š
Jadi titik A( 1, 3), B(2, 5) dan C(1, 2). 12. 13.
Kunci Jawaban: B Kunci Jawaban: A T1 Pencerminan terhadap sumbu-x z T2 Pencerminan terhadap y x z T3 R (0, 90q ) z
z
§x¡ ¨ ¸ Šy š
§x¡ ¨ ¸ Šy š
9.
1 § 0 3 ¡ § 50 ¡ ¨ ¸¨ ¸ 0 3 Š 1 4 š Š 5 š 1 § 15 ¡ ¨ ¸ 3 Š 30 š § 5 ¡ ¨ ¸ o Koordinat M (5, 10) Š 10 š
T4
T
A(a, b)
T
3 2 o ( y , x ) o ( x, y ) A( x, y )
p p x1 y1 T
p p x2 y 2
T
1 4 o o (8, 6) ( x, y )
Kunci Jawaban: D 90q o ( 1, 1)
§3 2¡ ¨ ¸ Š2 1 š
A' ( 2 b, a) § x1 ¡ ¨ ¸ Š y1 š
p p
p
x3 y 3
x4 y 4
§ cos 90q ¨ Š sin 90q
p
sin 90q ¡ ¸ cos 90q š
§x¡ ¨ ¸ Šy š
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
71
17.
§ x4 ¡ ¨ ¸ Š y4 š
§ 0 1 ¡ § y ¡ § y ¡ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Š1 0 š Š x š Š x š § 3 2 ¡ § x3 ¡ §8¡ ¨ ¸¨ ¸ o ¨ ¸ Š 2 1 š Š y3 š Š6š
Kunci Jawaban: B
P
Q
R
P'
§ 1 2 ¡§ 2 1 2 ¡ ¨ ¸¨ ¸ 4 4š Š 2 0 šŠ 2
§3 2¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š2 1 šŠ y š
Q'
§ 6 ¨ Š 4
R'
9 10 ¡ ¸ 2 4š y
atau 1 § 1 2¡§8 ¡ ¨ ¸¨ ¸ 3 4 Š 2 3 š Š 6 š § 8 12 ¡ § 4 ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ o Š 16 18 š Š 2 š
§x¡ ¨ ¸ Šy š
P'
Jadi, A(4, 2). 14.
sb- x
P'R' u OQ' 2
y x
p ( x2 , y 2 ) x2 y o y x2 y2 x o x y2 Persamaan peta: y 5x 5 x2 5y2 5 5y2 x2 5
1.
Kunci Jawaban: A Digeser ke kanan maka x 1 3(x 1) 4y 2 0 3x 3 4y 2 0 3x 4y 5 0
§ x' ¡ ¨ ¸ Š y' š xc
8 3
2 6 x !
1 y' 3 2 1 y' 3 2 y' 6 y' y
(64)3 x 218 x 36 218 x 18 x 36
2
2 2 x ! 236 2 x ! 36 x 18 2.
Kunci Jawaban: D 2 1 x 8 ¡3 3 !0 3 1
x 2
x
Â&#x153; 3 (3 ) 8 ¡ 3 3 ! 0 x Misalkan 3 y, maka: 2 3y 8y 3! 0
§x 1¡ ¨ ¸ Š y 3š oleh [0, 2], maka
Â&#x153; (3y 1) (y 3) ! 0 1 3
3
y 3 atau y !
1 xc 1 2
2
§1 ¡ 2 ¨ x' 1¸ 4 Š2 š §1 2 ¡ 2 ¨ x' x' 1¸ 4 Š4 š 1 2 x' 2 x' 2 4 2 x' 2 4 x' 4 8 x' 2 4 x' 18 x 2 4 x 18
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 3
Karena nilai dari eksponen tidak boleh negatif, maka yang dipakai y ! x
3 ! 3.
1 y' 3 2
!
2x
§ 2x 2 ¡ ¨ ¸ Š 2y 6 š
2x 2 o x
4
2 2 x ! 218 x 18 x 36
1 yc 3 y c 2y 6 o y 2 Substitusi nilai x dan y ke (*)
72
1
3
Kunci Jawaban: A 2 y 2x 4 . . . (*)
§ x' ¡ § 1 ¡ § x ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Š y' š Š 3 š Š y š Kemudian dilatasi
8 2
Kunci Jawaban: E
1 x 1 5
y
4u2 2
21. Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen
1 x2 1 5
y2
16.
R'
Luas bayangan P ' Q'R' adalah
Kunci Jawaban: A
( x, y ) o( x, y ) o( y , x )
15.
x
Q'
1 3
1 3
, berarti:
Â&#x153; x ! 1
Kunci Jawaban: D 2x x 2 32 2 3¡2 x 2 2 x (2 ) 3 ¡ 2 ¡ 2 32 x Misalkan: 2 y 2 y 12y 32 (y 8) (y 4) y 8 atau y 4 x x z y 8 o 2 8o 2 x x x z y 4 o 2 4o 2 x a b 3 2 5
0 0 0 0 3
2 a 3 2 2 b 2
4.
Kunci Jawaban: E
§ 1¡ ¨ ¸ Š8š
2x x2
2x
2
HP {x ! 0 atau x 2} Selanjutnya selesaikan pertidaksamaan logaritma:
2x 5
1 2
9
log (x 2x)
Mempunyai akar-akar persamaan p dan q.
2 3(2 x x
2
)
3x 2 6x
2x
2
6.
22(2 x
9
9
2
9
x 2x 3 2
x 2x 3 0
4 2
2
(x 3) (x 1) 0
3
2
3 x 5
2
3 x 5)
2 6
1 64
0
HP { 3 x 1} Irisan dari penyelesaian pertama dan kedua adalah: { 3 x 2 atau 0 x 1}
HP
4 x 2 6 x 10 6
3.
4x 2 6x 4 0 2x 3 x 2 0 (2 x 1)( x 2) 0 1 x atau x 2 2
2
1
2
Kunci Jawaban: C 42 x
2
log (x 2x) log 3
x 2 2x 5
2x 2 4 x 5 0 b ( 4) Jadi, p q 2 a
9
log (x 2x) log 9 2
2x 5
Kunci Jawaban: A x
3
x
log (10x 9x) 3
x
5
3
5
0
4
2
x(x 10x 9)
0
x(x 1)(x 9)
0
10x 9x x 10x 9x
1 2
Nilai x yang memenuhi adalah x
x(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)
1 atau x 2. 2
5
log x
0
x1 0; x2 1; x3 1; x4 Syarat: x ! 0; x z 1
3; x5
3
3
22. Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
10x 9x ! 0 5 x !0 x1 0 (tidak memenuhi)
1. Kunci Jawaban: E 2 log (x 1) log (x 1) z Syarat pertama: 2 (x 1) ! 0 (selalu dipenuhi) z Syarat kedua: x 1 ! 0 Â&#x153; x ! 1 z
x3 1 (tidak memenuhi) x4 3 (tidak memenuhi) x5 4.
Syarat ketiga: 2 log (x 1) log (x 1) Â&#x153;
x2 1 (tidak memenuhi)
3 (memenuhi)
Kunci Jawaban: B 2
2
( x 1)2 log 0 Â&#x153; log ( x 1) 0 (x 1
2
2
Agar log (x 1) < 0 maka harus dipenuhi:
2
2
2
4
2
2
0
(p 1) (p 3)
0
1 2 Untuk menyelesaikan soal seperti di atas, pertama cari dulu nilai-nilai x yang membuat bilangan yang dilogaritmakan lebih besar dari nol. Jadi:
4x 4 z
p
2
3 2
Â&#x153; x (x 2) ! 0
4x
2
2 Â&#x; x
4x 4 4x 4
3
1
3 Â&#x; log (4x 4)
x 2x ! 0
2
1 atau p
2
1 Â&#x; log (4x 4)
log (x 2x)
3
p 4p 3
p
3
p, maka
2
p
1 8
log 2
{ log (4x 4) 4 log (4x 4)
z
Kunci Jawaban: E
log
2
Misalkan log (4x 4)
adalah 1 x 2.
9
4
log (4x 4) log (4x 4)
2
x 1 1 Â&#x153; x 2 Jadi batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas
2.
2
log (4x 4) log (4x 4)
2
log (x 1) log (x 1) 0
3 2
3
8 12 Â&#x; x
3
0
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
73
5.
Kunci Jawaban: B
3
2 5
log ( x 2 2 x 3) 1
1 5
p
1
log ( x 2 2 x 3) 5 log 5 x 2x 3 5
p2 5p 6 ! 0 (p 6)(p 1) ! 0
x 2 2x 8 0 (x 4)(x 2) 0
ž
x
5p ! 3 . 2
1 p
2
2
4 atau x
4
p 1
{x | 2 x 4}
3
6
log (x 1) log (x 4)
6
log 6
2
6
x 3x 10
2
0
(x 5) (x 2)
0
(x 3x 4)
x
9.
2
log (x 2) log (x 3) 2
Kunci Jawaban: B 2
log x 3 2 log 2 2
log x
3 2log x 1 2
log x
log (x 2) ¡ (x 3)
! 2log x
log x
0
x 5x 6 90 2
x 5x 84
log x
p
2 atau x
x
10.
3 p 1 p2 1 ! p p
z
2
2
log (x x) d 1 2 2 log x x d log 2 2 x x 2d0 (x 2) (x 1)
z
2
log x 2 2 x 2 x 4
log 9
1
10 3log x 2 ! 4
4
log 3 4log 2
2 log 3
74
ž
10 3log x ! 4 2log 3 2log 2
2 3log x x
HP: { 1 d x x d 2} Syarat: x x ! 0
z
ž
Kunci Jawaban: A
x
2
2
2
2 3log x
1
log x ! 1 1 x ! 2 x ! 2 Nilai x adalah 2 x 4
8.
7
2
(p 2)(p 1) 0
z
0
Kunci Jawaban: C
p2 3 p 2 0
1
0
HP: { 12, 7}
3p 1 1 !p p p
log 2 ¡ 45
90
(x 12) (x 7)
2
2
(x 2) (x 3)
1 2
2
1 log 45
2
1 2
2
! log x
Misalkan: log x
1 atau x ! 36 } 3
Kunci Jawaban: E 2
HP: { 2, 5} 7.
x ! 66
HP: { x 0 x
2
5 atau x
log x ! 6
x 3 1 1 x 3
1
log (x 1) (x 4)
p!6 3
log x 1
Kunci Jawaban: C 6
6
6
2
HP
ž
1
6.
1 p
x
p o log 3
Misalkan: log x
3
log x
x
log 3
5 3log ! 4
4
log 3 . 4 4log 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x(x 1) ! 0 HP: { 1 d x 0 atau 1 x d 2}
11.
12.
Kunci Jawaban: D
4
log x
4
2
log x
3 4 3 2log x 4
2log x 2
4
Â&#x; Misalkan:
4p 4p 3 (p 3) (2p 1)
0 0
z
p
1 log x
2
2
x 1
3)
2
2
x 1
3)
2x
2
x 1
3)
2
log (2
x 1
3 atau p 2
3 42
x
1 2
23
p
1 Â&#x; 4log x 2
1 2 1
x Nilai x
8 atau
1 2
x 2
2¡2 3
(2 )
42
1 2
x
x 2
p 2
2p 3
p
p 2p 3
0
(p 3) (p 1)
0
2
p
8
p
Â&#x;
p
1 Â&#x;
Jadi x
2
z
1
3 atau p
3
2x
log 2
(2 )
Misalkan: 2
z z
log 2 ¡ x
3
2
3 2
log x
2
x
2
4
3)
log (2
0
3 Â&#x; 2
x 1
log log (2
3 4
p
2
0 p
2
2
log log (x
0
log x
p p
Kunci Jawaban: B
x
2 x
2
3 log 3
2
1 (tidak memenuhi)
log 3.
.
Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
75
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN TRY OUT 1 UJIAN NASIONAL 2005/2006
1. Kunci Jawaban: A p 2q 3r 7 2p 3q 3r 5 3p 3q 2r 8 x
x
....... (1) ....... (2) ....... (3)
D2 E2 DE
D E E D
(D E )2 2DE (DE )2 22 2
Eliminasi r dari Persamaan (1) dan (2)
21
2
p 2q 3r 2p 3q 3r
7
u1
p 2q 3r
5
u3
6p 3q 3r 7p q
x
15 8
4 1
u2 u1
5 8
4p 2q 2r 3p 3q 2r p q
x
10 18 2 ..... (5)
Eliminasi q dari Persamaan (4) dan (5) 7p q 8 p q 2 6p 6 p 1
x
Substitusi nilai p ke Persamaan (4) atau (5) 7p q Â&#x153; 7(1) q 8 7 q 8 q 1
x
Substitusi nilai p dan q ke salah satu persamaan p 2q 3r 7 1 2( 1) 3r 7 1 2 3r 7 1 3r 7 3r 6 r 2 1 2
Jadi, q r
§ 9 2 3x 2 ¡ ¨ 3 ¸ 15 Š š § 9 3 x ¡ ¨ 3 15 ¸ Š š 3 x x
§ 9 15 ¡ ¨ 3 15 ¸ Š š 15 5
2, b
D E
2
D Â&#x2DC; E
76
0 maka a ( 4) b a 2 c 1 a 2
4, c
1
a 2b a 6b
8 b
4b 2
Sehingga diperoleh x
a 2b a 4 a
x
10 10 6
S25
5. Kunci Jawaban: B x
U1
4
U2 U3
2 1
x
a
4 1 ( 21 )6
S6
1 8
6364
U2 U1
r
2 4
1 2
a(1 r n ) 1 r
r 1 o Sn
1) 4 1 ( 64
1 2
1 2
63 8
6. Kunci Jawaban: A sin D r
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
a 24b 6 24(2) 54
12,5 Â&#x2DC; 60 750
B
1
U25
1 n(a U ) n 2 1 Â&#x2DC; 25(6 54) 2
Sn
3. Kunci Jawaban: 2x2 4x 1
1 2 1 2
DE ED
4. Kunci Jawaban: C U3 a 2b o 10 U7 a 6b o 18
2. Kunci Jawaban: A § 2 3 ¡ § 0 4 ¡ 3¨ ¸¨ ¸ Š 1 1š Š 1 1š § 6 9 ¡ § 0 4 ¡ ¨ 3 3 ¸ ¨ 1 1¸ Š šŠ š § 6 Â&#x2DC; 0 ( 9)( 1) 6 Â&#x2DC; 4 ( 9)1¡ ¨ 3 Â&#x2DC; 0 3( 1) 3 Â&#x2DC; 4 (3)1 ¸š Š
§ D ¡§ E ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š E šŠ D š
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 12x 1
3
§ 10 2 ¡ § 1 3x 2 ¡ ¨ 5 11¸ ¨ 2 4 ¸š Š š Š § 9 2 (3 x 2) ¡ ¨ 3 ¸ 15 Š š
12
1 4
..... (4)
Eliminasi r dari Persamaan (2) dan (3) 2p q 3r 3p q 2r
x
21
7
A
7
y
D
5
C x
6
7. Kunci Jawaban: E 2 sin2 x 5 sin x 3 (2 sin x 1)(sin x 3)
0 0
y r
BC AB
5 7
0.
2 sin x 1 2 sin x
0 1
sin x
1 2
x Sehingga, cos x
sin x 3 sin x
atau
0 3
x
(tidak memenuhi)
1 2
fi xi
3
Â&#x; Misalkan:
8. Kunci Jawaban: D 6 cos x° 6 3 sin x° dapat ditulis dalam bentuk k cos (x D)° k cos (x D)
menjadi a cos x b sin x Â&#x;a
6, b
6 3
k
2
2
a
b
6 3 6
b a
tan D Â&#x; D
62 ( 6 3)2
36 108
144
300° 12 cos (x 300)°
3
log2 6 3log2 2 2 Â&#x2DC; 2
3
2
32
log 6
3
log 6 log 2 log 6 log 6 (3log 6 1) 3log2 2
3
3
log 2 3
b
3
log 2
3 2 3
a b
3 2
4
1 log 9
9
6 6
log 4 log 8 3
log 2 3 Â&#x2DC; 3log 2
log 6(3 log 6 1) 21 Â&#x2DC; 3log 2
(3 log 2 1) 3log 2 21 3log 2 3
log 8 log 3
3
Â&#x2DC; 3log 2
log 2 1 21
3
log 2
3
12
f (y )
2(1 (1
f (x)
1 5
1 2
Â&#x2DC; 3log 2
log2 2 log2 2
lim
x o3
x2 9 4
x2 7
x o3
2 x o3
11. Kunci Jawaban: D
x o3
lim
x2 7
4
x
2
fi
x
2
fi xi
2 7 12 17 22 27 32
114 156 196 170 176 108 64
4
x2 7
x2 7
x2 7
9 4
9 x2
x o3
xi
x2 7
16 ( x 2 7)
lim 4
210
4
lim 4
7 Â&#x2DC; 6 Â&#x2DC; 5 Â&#x2DC; 4 4
Â&#x2DC;
9 4
x o3
12. Kunci Jawaban: E Nilai
x2 9
lim
10. Kunci Jawaban: C 34 x 3x 30 0 34 x 3x 30 x 3
7 (7 3)
x z 5
Substitusi nilai x ke Persamaan (1) atau (2) 1 x y 48 Â&#x153; 12 y 48 Â&#x; y 36 Sehingga pendapatan maksimum: f(x, y) f(12, 36) f(12, 36) 600.000(12) 400.000(36) 7.200.000 14.400.000 21.600.000
lim
7 P3
1 2 y 5 y
15. Kunci Jawaban: A
3
1 21
1 x y 1 y x x 1 y y) 3 2 2y 3 y) 4 1 y 4 2x 2x 1 2x 1 , x x 5 x 5
Maksimum pada f(x, y) 600.000x 400.000y Kalikan Persamaan (1) dengan 20, kemudian eliminasi y dari Pesamaan (1) dan (2) 20x 20y 1.960 60x 70y 1.440 40x 480 x 12
9. Kunci Jawaban: B a 3log2 6 3log2 2 2 ¡ 9log 6 3
16,85
14. Kunci Jawaban: C Misalkan: Kelas utama x Kelas ekonomi y 60x y20 d 48 ...... (1) 60x 20y d 1.440 ...... (2)
3 (D di kuadran IV)
Jadi, 6 cos x° 6 3 sin x°
674 40
fi
13. Kunci Jawaban: B (f D g )( x ) f (g ( x )) 2x 3 f (1 x ) x 4
30°
cos 30°
ÂŚ
x2 7
x2 7
4
(3)2 7
4
16
4 4
8
16. Kunci Jawaban: A 0 4 5 9 10 14 15 19 20 29 25 29 30 34
2 6 8 10 8 4 2 6fi
40
6fi xi
674
lim
x o2
( x 3) sin ( x 2) 2 x 2 6 x 20 (2 3) sin 0 2(0) 6(0) 20
lim
x o2
0 20
( x 3) sin ( x 2) (2 x 4)( x 5) 0
17. Kunci Jawaban: D Fungsi keuntungan k(x) (225x x2)x k(x) 225x2 x3 Keuntungan maksimum dicapai jika kc(x) 450x 3x2 0
0
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
77
x2 150x 0 x(x 150) 0 x 150 atau x
0 (tidak memenuhi)
Maka banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah barang. 18. Kunci Jawaban: B 1 2 3x 1
y
Â&#x; u
1 o uc
0 1 1) 2
v
2(3 x
vc
(3 x 1)
2
2
(2 3 x 1) 1
(3 x 1) 2 4(3 x 1) 1
4 (3 x 1)3 y
19. Kunci Jawaban: -2 S ( x 2 x 2) dx 0 2 S ª 1 x 3 1 x 2 2 x º 2 3 Ÿ0 S ª 8 2 4º 3 Ÿ 8 2 S satuan volum e 3
A(x x1)
(10)(x 9)
1 2
1 2
12 dan C
B(y y1) C
0
( 12)(y 1) 20
0
20.
9x y 5x 45 6y 6 20 0 4x 5y 31 0 4x 5y 31 0 24. Kunci Jawaban: C Persamaan parabola yang koordinat puncak ( 2, 4) dan fokus ( 6, 4) P( 2, 4) Â&#x; a 2, b 4 F( 6, 4) Â&#x; a p 6, b 4 x a p 6 Â&#x; p 4 Sehingga diperoleh persamaan parabola (y b)2 4p(x a) (y 4)2 16(x 2)
1
Âł
V
1 2
9x y
2
v2 0 (3 x 1)
1 2
x1x y1y
1
u c v uv c
yc
f (a ) f ( b ) af (b ) bf (a ) x a b a b 24 4 (3)(4) ( 1)(24) S( x ) x 3 1 3 1 20 x 12 24 5x 9 4 3 23. Kunci Jawaban: D Persamaan garis singgung lingkaran x2 y2 10x 12y 20 0 melalui titik ( 9, 1) Â&#x; x1 9, y1 1, A 10, B S( x )
25. Kunci Jawaban: A
( x 2)2 ( y 1)2 1 tegak lurus garis x y 16 9 maka gradien dari persamaan elips adalah m 1
2
x 2
O
2
20. Kunci Jawaban: A
(y q)
m(x p) r
a 2m 2 b 2
y 1
1(x 2) r
16( 1)2 9
3
3 1
Âł
2 x (4 x 5) 2
2 x (4 x 5) 2 dx
3 10) 2
4 (8 x 3 4 (5 x ) 3
4 3
3(6) 1(2) 4 3(4) 1( 4) yR 4 3(7) 1(3) zR 4 Sehingga diperoleh JJJG PR JJJG PR
§ 1 5 ¡ ¨ 2 2¸ ¨ ¸ Š 2 6š
x 2 r
y1 atau y2
x 2 5 1 Â&#x;
y1
x 8
x 2 5 1 Â&#x;
y2
x 2
(8 x 10)3 C
4x 5
20 5 4 8 2 4 24 6 4 R(5, 2, 6)
M1 § xc ¡ ¨ ¸ Š ycš § xc ¡ ¨ yc¸ Š š
16 16 64
98
2 7
22. Kunci Jawaban: E P(x) x3 2x 3 dibagi oleh x2 2x 3 P(x) h(x)g(x) s(x) Faktor faktor dari x2 2x 3 adalah (x 3) dan (x 1). f(a) f(3) 33 2(3) 3 27 6 3 24 f(b) f( 1) ( 1)3 2( 1) 3 1 2 3 4
xc
6x o x
1 6
yc
25y o y
1 25 yc
xc
Kemudian substitusikan nilai x dan y yang baru ke dalam persamaan garis. 2x y 5 0 2( 61 xc) ( 1 3
x
1 25 yc)
1 25
5
y 5
27. Kunci Jawaban: E ap o a(p Â&#x161; q) ap o ap Â&#x203A; aq
78
3
§ 6 0 ¡ § 2 4 ¡ ¨ 0 5 ¸ dan M2 ¨ 1 1 ¸ Š š Š š § 6 0 ¡ § 2 4 ¡ § x ¡ §6 0 ¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ Š 0 5 š Š 1 1 š Š y š Š 0 25 š Š y š § 6x ¡ ¨ 25 y ¸ Š š
Sehingga diperoleh,
§ 4¡ ¨ 4¸ ¨ ¸ Š8š
42 42 82
25
26. Kunci Jawaban: -T1 Refleksi terhadap garis x
21. Kunci Jawaban: A
xR
y 1
3 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
0 0
28. Kunci Jawaban: D I. pÂ&#x;q ap ? aq II.
III.
x
2
8 1
EM
128 16
(sah)
144
pÂ&#x;q ap Â&#x203A; r
p Â&#x;q p Â&#x;r
? p Â&#x; r
? p Â&#x; r
(sah)
H
G N
p Â&#x;q p Â&#x; r ? q Â&#x; r
E
F
4 5 8 2
MN 12
48 5
8 2 MN
MN
48 5 u 8 2
D
C
x
82 82
8 2
4
A
Perhatikan ' MCG!
MG
4
8
80
2
16 64 E
EB
8 2
3 10
TR
TS
12 ( 3)2
G
1 3
4 5
EG
48 10 16
' RST merupakan segitiga samasisi karena TR TS RS 3
N
4 5
12
x
T
M
B 8 2
2
2 2
30. Kunci Jawaban: C Perhatikan ' RST!
4
EG
12
8
(tidak sah)
29. Kunci Jawaban: -x
42
S
D
C 2
D
M A
R
4
2 cm
Besar sudut antara bidang TAB dan TCD adalah D 60°
B
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN TRY OUT 2 UJIAN NASIONAL 2005/2006
1. Kunci Jawaban: --
1 1 1 x y z 2 2 1 x y z 3 1 2 x y z Misalkan
1 x
x
x
(1) (2) o
Substitusi nilai b ke Persamaan (4) atau (5). a b 3 Â&#x153; a (1) 3 a 4 Â&#x; a 4
x
Substitusi nilai a dan b ke salah satu persamaan. a b c 6 Â&#x153; 4 (1) c 6 3 c 6 Â&#x; c 9
6 3 7
a, 1 y
Sehingga diperoleh,
b, dan 1 z
persamaan berikut ini. a b c 6 2a 2b c 3 3a b 2c 7 x
x
c , sehingga diperoleh
...... (1) ...... (2) ...... (3)
a 2b c 2a 2b c
6 3
a b
4
6 7
a 3b
1
3 1
2b b
2 1
a
4
Â&#x; x
1 4
b
1
Â&#x; y
1
c
9
Â&#x; z
1 9
Jadi, x 2y 3z
2(2) (3) o 4a 4b 2c 3a b 2c
(4) (5) o a 3b a 3b
1 x 1 y 1 z
...... (4)
1 2(1) 3 91 4 25 1 2 1 4 3 12
2. Kunci Jawaban: C A u P ...... (5)
§ 1 2 ¡ § P1 P2 ¡ ¨3 5¸¨P P ¸ Š šŠ 3 4š P2 2P4 ¡ § P1 2P3 ¨ 3P 5P 3P 5P ¸ 3 3 4š Š 1
2,08
B § 3 2 ¡ ¨ 1 4 ¸ Š š § 3 2 ¡ ¨ 1 4 ¸ Š š
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
79
x
x
x
P1 2P3 P1
x
3 3 2P3
3P1 5P3 3(3 2P3) 5P3 9 6P3 5P3 P3 P3 P1 2P3 P1 2(8) P1
P2 2P4 P2
x
1 1 1 8 8
3P2 5P4 3(2 2P4) 5P4 6 6P4 5P4 P4 P4
x
3 3 13
2 2 2P4
P2 2P4 P2 2( 10) P2
16 b
x
13 13 13 a
a 2b a 2(4) a 8 5
U25
a 24b 5 24(4) 5 96 101
x
a 2b a 6b 4b 4
(2x x) cos
U1
r
a
x
0
3 2
x
90° k ¡ 360°
cos
x
r
x
sin Â&#x2018;ACB
Sn
1 2
n(a Un)
S25
1 2
(25)(5 101)
cos
1 2
x
atau
1 2
x
90° k ¡ 360°atau
1 2
180° k ¡ 720° 180°
k
a S25 1 r
1 5
y r
25 1
24 5
periode
2
a
1, b
3
x
k
a2 b2
x
tan D Â&#x; D
x
90° k ¡ 360°
x
180° k ¡ 720° 0 o x 180°
S dan S jika batas 0 x d S. 3
( 1)2 ( 3)2 4
2
3 1
b a
3
150° atau 330°
Jadi, cos 2x
3 sin 2x
log §¨ 27 ¡¸ Š 8 š
2 cos 2(x 56 S)
log 27 log 8
3 log 3 3 log 2 3a 3b 10. Kunci Jawaban: D 2 ¡ 9x 3x 1 1
0
2 ¡ (32)x 3x ¡ 3 1
0
x
Â&#x; Misalkan 3
2a
0
(2a 1)(a 1)
0
1 atau
2a
1 2
a
1 2
5
a
2 ¡ a2 3a 1 a
o 3x
24
2 6 5
60° k ¡ 240 0 o x 180°
3 sin 2x ditulis dalam bentuk k cos n(x D)
n
25 1 54
25
2
90° k ¡ 360°
x
k
cos 90°
log (33) log (23)
1, r
3 2
x
x 0o
log 3 38
x Â&#x; x r
0
x
9. Kunci Jawaban: E log 3 a dan log 2 b
2 6 5
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
a
log
1 o 3x x2
Maka HP
^0,
1
1 2 3
x1
7. Kunci Jawaban: D cos 2x cos x 0, untuk 0 x S Ingat rumus: cos A cos B
80
0
1 2
cos 2x
0
6. Kunci Jawaban: A x c 2 a2 b2 2ab cos c 49 25 36 2(30) cos c 60 cos c 12 2 ¡ 5 ¡ 6 cos 12
y
x
8. Kunci Jawaban: --
4 m 5
2
0
x 60° k ¡ 240° 0 o x 60°
1 3
x
1 5
1 2
Maka nilai x yang memenuhi adalah
12,5 u 106 1.325
25 m
cos c
atau
x cos
3 2
k
125 m
x
0
0
(2x x)
cos
5. Kunci Jawaban: B x
2 cos
3 2
x
k
x
1 2
3 2
2 cos
x
3. Kunci Jawaban: D x2 4x 3 0 (x 1)(x 3) 0 x 1 atau x 3 x 2x1 5 2(1) 5 7 Â&#x; D 7 x 2x2 5 2(3) 5 11 Â&#x; E 11 x Persamaan kuadrat yang baru adalah (x 7)(x 11) 0 Â&#x153; x2 18x 77 4. Kunci Jawaban: D U3 a 2b o 13 U7 a 6b o 29
2 cos
2 2 18
§ 13 18 ¡ ¨ ¸ Š 8 10 š
Jadi, matriks P
x
4 4 4 10 10
cos 2x cos x 1 2
1 2
1 0 3
log
1 2
`
11. Kunci Jawaban: C
Keliling
1 2
lingkaran
(2S r) S r
2S 4r S r (4 S)r 2S
K 2S 4 S
r
18. Kunci Jawaban: C f(x) cos3 x f c(x) 3 cos x( sin x) 3 cos x sin x
6,3
13. Kunci Jawaban: A
19. Kunci Jawaban: --
f(g(x))
42x 1
f(2x 1) f(2x 1) f(x)
2x 1
(f D g )( x )
1 2
Keliling kusen K
12. Kunci Jawaban: E (4 Â&#x2DC; 3) (5 Â&#x2DC; 7) (6 Â&#x2DC; 12) (7 Â&#x2DC; 11) (8 Â&#x2DC; 7) x 3 7 12 11 7
252 40
2S 4r
Keliling ABCD
7 35 x 3 pria dari 7 : 7C3 3 (7 3) 9 36 x 2 wanita dari 9 : 9C2 2 (9 2) Jadi, banyak susunan panitia yang dibentuk adalah 35 u 36 1.260 cara.
y y
4 4(2x 1) 2 4x 2 22x 4
x
4
1 2
x 1
y
2x 2
14. Kunci Jawaban: C x
Misalkan sepeda A adalah x dan sepeda B adalah y. x y d 25 ...... (1) 600.000x 800.000y d 16.800.000 ...... (2) F(x, y) 100.000x 120.000y
x
x O
Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2) x y 6x 8y
u6 u1
25 168
6x 6y 6x 8y
18 9 Â&#x;x
16
15. Kunci Jawaban: B
20 S 3
x (4 x 5) 2 x 1
lim
x of
lim
x of
lim
x of
(2 x 1)2
4x 5x
lim
x of
ax
px
2
qx r
b q 2 a
Âł
u dv
x lim x o 0 1 (1 2 sin 2 lim
x2 2 sin2
lim
x 2 sin
x o0
lingkaran
Luas kusen L
1 (16 Âş 4 Âź
2S r
Âł
Â&#x2DC;
x sin 21 x
2
b 1Â&#x2DC; 2
2
Âł
Âł
4 x 2 sin 2 x dx
Âł
4x2 o du sin 2x dx
uv
Â&#x; Misalkan a db
1x 2 1x 2
0 º Ÿ
6 32 S
2x
1 x) 2
8x dx
v du
Â&#x2DC; 21 cos 2 x 2
1 cos 2 2
sin 2x dx
cos 2 x
Âł
Âł
1 2
cos 2 x Â&#x2DC; 8 x dx
4 x cos 2 x dx
4x o da 4 dx cos 2x dx
Âł
sin 2x dx
1 sin 2x 2
8 x 2 sin x cos x dx 2x2 cos 2x 2 sin 2x cos 2x C
17. Kunci Jawaban: -Luas ABCD 2S r 1 2
1 (4)2 4
4x 2
x o0
Luas
Â&#x; Misalkan u dv
16. Kunci Jawaban: A x lim x o 0 1 cos x
4
Âź0
v
bx c
2
1 x2 Âş Âť 3
dx
8 x 2 sin x cos x dx
Âł
1 4
4x 2 4x 1
Petunjuk: Jika a p maka diperoleh 2
š
20. Kunci Jawaban: C
4x 2 5x
1 x¡ 2 ¸
S ª 34 43  S ª 34 64  S ª 34 (8) 4 ºŸ
100.000 (16) 120.000 (9) 1.600.000 1.080.000 2.680.000
F(x, y)
§ 21 ¨ 2x Š
4 0
ÂŞ 3 S ÂŤ 34 x 2 ÂŹ
2y y x
SÂł
V
150 168
4
1 2 1 2
D
Sr2 Sr
r
C
r
xP
2
§ k 2S ¡ 1 § k 2S ¡ 2S ¨ ¸ S¨ ¸ 2 Š 4 S š Š 4 S š
21. Kunci Jawaban: D
S
S
yP
2
A
2r
B
zP
( 4) 3(4) 4 ( 3) 3(9) 4 2 3( 6) 4
8 2 4 24 6 4 16 4 4
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
81
Sehingga diperoleh P(2, 6, 4)
§ 4 2 ¡ ¨ 3 6 ¸ ¨ ¸ Š 2 4 š
JJJG PB JJJG PB
Sehingga diperoleh, xc y o y xc yc x o x yc 2x 3y 1 2( yc) 3( xc) 1 2yc 3xc 1 3x 2y 1
§ 6 ¡ ¨ 9 ¸ ¨ ¸ Š 2š
( 6)2 ( 9)2 (2)2 36 81 4
121
22. Kunci Jawaban: A x Misalkan P(x) dibagi 2x2 5x 3 mempunyai hasil bagi H(x) dan sisa Ax B, maka: P(x) (2x 1)(x 3) ¡ H(x) Ax B x
P(x) dibagi (2x 1) sisanya P 1 2
A B
17
21
27. Kunci Jawaban: E a(ap Â&#x203A; q) Â&#x; a(ap Â&#x; q) (p Â&#x161; q) Â&#x; a(p Â&#x203A; q) (p Â&#x161; aq) Â&#x; (ap Â&#x161; aq)
17 , sehingga:
...... (1)
x
P(x) dibagi (x 3) sisanya P( 3) 3A B 3 ...... (2)
x
Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh:
3, sehingga:
28. Kunci Jawaban: E I. ap Â&#x; q ap Â&#x; q ap ap ? aq ? aq (tidak sah)
A B
17
ap Â&#x203A; q q Â&#x; r
pÂ&#x;q qÂ&#x; r
3A B
13
?p Â&#x; r
pÂ&#x; r
1 2
7 2
II.
III.
A
14
A
4Â&#x;B
15
2
Jadi, P(x) dibagi 2x 5x 3 memiliki sisa 4x 15.
Â&#x; x1
7, y1
2, A 1 2
x1x y1y 7x 2y
1 2
6, B
2, dan C
A(x x1)
1 2
0
7x 2y 3x 21 y 2 15 4x 3y 34
0 0
24. Kunci Jawaban: A Persamaan parabola dengan F(6, 3) dan P(1, 3) Â&#x; a p 6, b 3, a 1 x a p 6 Â&#x153; 1 p 6 Â&#x; p 5 x Persamaan parabola: (y b)2 4p(x a) (y 3)2 4( 5)(x 1) 2 y 6y 9 20x 20 Â&#x; y2 6y 20x 29 0 25. Kunci Jawaban: C Persamaan garis singgung elips x2 2y2 2 0 maka m
y
mx r
a 2m 2 b 2
y
2x r
1(2)2 2
y
2x r
6
y1
2x
6 atau y 2
26. Kunci § xc ¡ ¨ ¸ Š ycš
82
?
?
ap
ap
(sah)
2
(2)(y 2) 15
garis 2x y 1
ap Â&#x; p Â&#x161; aq p Â&#x161; aq
15 0
( 6)(x 7)
p Â&#x; (ap Â&#x203A; q) p Â&#x161; aq
T
B(y y1) C
1 2
(sah)
29. Kunci Jawaban: B
23. Kunci Jawaban: E Persamaan garis singgung lingkaran x2 y2 6x 2y 15 0 di titik (7, 2)
§ xc ¡ ¨ yc¸ Š š §x¡ ¨y ¸ Š š
0 0 0 0
R 2
D P
x
U
Q
Perhatikan ' TUR!
TQ 2 UQ 2
TU UV
2
22 12
3
2
TU TV 2 ¡ TU ¡ TV ¡ cos D
2
( 3)2 ( 3)2 2 Â&#x2DC;
2
2
3 Â&#x2DC;
3 cos D
3 3 6 cos D 6 4 2
4 6 cos D 6 cos D
1 3
cos D 0 sejajar dengan
V
A
30. Kunci Jawaban: B
2 H
G
D
D E
2x
F D D
6
Jawaban: E 1¡ § 1 0 ¡ § x ¡ 0 š¸ Š¨ 0 1 š¸ Š¨ y š¸ 1¡ § x ¡ 0 ¸š ¨Š y ¸š § y ¡ ¨ x ¸ Š š §0 ¨ Š1 §0 ¨ 1 Š
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A
C A
B
B
Perhatikan ' ADB! Segitiga ADB adalah segitiga siku siku samakaki sehingga besar sudut D 45°
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN TRY OUT 3 UJIAN NASIONAL 2005/2006
1.
Kunci Jawaban: A 2 log x d log(2x 5) 2 log 2 log x d log(2x 5) log 2
4.
x d (2x 5) ¡ 4 x d 8x 20 x 8x 20 d 0 (x 10) (x 2) 0 x 10 atau x 2 2
x1, 2
x1
Luas (m 2)
Tipe A (x)
100
Tipe B (y)
75 10.000
x y d 125 100 75y
10.000
(ii) 100x 100y
12.500
(i)
10
Kunci Jawaban: E AB AC x BC y K AB AC BC 8 x x y 8 2x y 8 y 8 2x Rumus Phytagoras AB AC BC x x y 2x y Substitusikan (i) dan (ii) 2x (8 2x) 2x 64 32x 4x 2x2 32x 64 0 2 (x2 16x 32) 0
Rumah
100x 75y
HP: {x | 2 d x d 10} 2.
Kunci Jawaban: A
25y
2.500
y
100
x
125 100
Tipe A
x
25 unit
Tipe B
y
100 unit
Keuntungan
(25 u 6.000.000) (100 u 4.000.000) 150.000.000 400.000.000
. . . (i)
550.000.000 5. . . . (ii)
Kunci Jawaban: D C
a 60 b ... 30q c 30
A
b2
16 r ( 16)2 4 Â&#x2DC; 32 16 r 128 2 2 16 r 8 2 8r4 2 2 AB 8 4 2 atau x2 AB 8 4 2
Kunci Jawaban: B Misalkan umur ayah x umur Budi y Â&#x153; x 7 6 (y 7) x 7 6y 42 x 6y 35 . . . (1) Â&#x153; 2(x 4) 5 (y 4) 9 2x 8 5y 20 9 2x 5y 21 . . . (2) Persamaan (1) dan (2) 2x 12y 70 2x 5y 21 7y 91 y 13 x 6 (13) 35 x 78 35 x 43
B
a2 c2 2 ¡ a ¡ c ¡ cos 30 (60)2 (30)2 2 (60) (30) . 3600 900 1800 4500 1800 900 (s 2
3.
25
b 6.
30
1 2
1 2
3
3
3 3)
5 2 3
Kunci Jawaban: A
tan 165q
sin 165q sin (120 45)q cos 165q cos (120 45)q sin 120q Â&#x2DC; cos 45q cos 120q Â&#x2DC; sin 45q cos 120q Â&#x2DC; cos 45q sin 120q Â&#x2DC; sin 45q 1 3. 1 2 2 1 . 1 2 2 2 1 6 1 4 4 1 2 1 4 4
2 ( 1) . 1 2 2
1 2
2 6
2
3.1
2
2 1 2 ( 3 1) 4 1 2 ( 1 3) 4
3 1 ( 3 1) 3 1 ( 3 1)
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
83
3 3 3 1 3 3 3 1 2 ( 2 3 ) 2 7.
10.
4 2 3 2
r
2 3
2 3 cos2 x 2sin x . 3 cos x 3
2
Ingat: cos x sin x 2
2 3 cos x
2
3
0
11.
1 2
2
2 sin x cos x 3 cos x sin x
3 cos2 x 2sin x cos x 3 sin2 x
0
y
3 y 1 3y
y
3 , atau y
y 12.
0
1 3 3
Â&#x; y 3 l tan x 3 tan x tan 120 x 120 k. 180 k 0 o x 120 k 1 o x 300
Kunci Jawaban: D Banyak bola 5 4 3 z
5! 3! 2!
z
4u5 2
4! 1! 3!
4 22
9.
13. 12
10 cara
S24
14.
40 220
384 (1 21 )7 1
13
5
65
18
6
108
23
12
276
28
18
504
33
9
297
6fi 6xi fi
X
50 1250
X x
ÂŚ xi fi ÂŚ fi 25
1250 50
14.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
U6
1 2
3 u 127 u 2
§4 3¡ ¨ 2 1¸ Š š 1 § 4 2 ¡§ 4 3 ¡ ¨ ¸¨ ¸ 4 6 Š 3 1 šŠ 2 1 š § 2 1 ¡ 4 3 ¡ ¨3 ¸§ 1 ¸ ¨Š 2 1 ¸š ¨ 2š Š2 § 6 5 ¡ ¨5 4 ¸š Š
Kunci Jawaban: A A (1, 2, 3) , B (3, 3, 1) , C (7, 5, 3) AB
84
1 2
Kunci Jawaban: A
Kunci Jawaban: B xi ¡ fi
1 384 1 128
b 5.000 [2 . (50.000) (24 1) . 5000] [100.000 115.000] 12 (215.000) 2.580.000.
X
fi
U5
1 2
§ 1 2¡ ¨3 4¸ X Š š
2 11
U4 384
Kunci Jawaban: D BA: U1 a 50.000 U2 a b 55.000 U3 a 2b 60.000 U3 U2 a 2b 60.000 a b 55.000
4 cara
xi
2
1 64
3 § 127 ¡ 384 ¨ ¸ u 2 Š 128 š
Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru 10 u 4 12C3
0
2x 5 5
Kunci Jawaban: D BG U1 U2 U3 Tali terpanjang a U1 Tali terpendek 47 6 U7 ar 6 384 r 6 6
S7
Peluang terambil 1 bola biru:
4C1
, maka gradien m
2x 5 5 atau y
r
Peluang terambil 2 bola merah:
5C2
x
3 2
2 x r 5 ( 2)2 1
r6
Â&#x; y tan x tan x tan 30 x 30 k.180 k 0 o x 30 k 1 o x 210 HP :{30, 120, 210, 300} 8.
1 2
2 x r 5 5
0
0
3
Persamaan garis singgung lingkaran
Dibagi cos x
3 2y 3 y
15 5
2
Kunci Jawaban: D Persamaan lingkaran: x y 25 Tegak lurus dengan garis 2y x 3 atau y
0
2
3 2 tan x 3 tan x Misalkan: tan x y
2
L { (x 1)2 (y 4)2 32 x2 2x 1 y2 8y 16 9 x2 y2 2x 8y 8 0
0
3 cos x 2sin x .cos x cos x sin2 x 2
3.(1) 4.(4) 2 3 4
Kunci Jawaban: D
2
Kunci Jawaban: D Lingkaran pusat (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2
§ 3 ¡ § 1¡ ¨3¸ ¨ 2¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Š 1š Š 3 š
§ 2¡ ¨ 1¸ ¨ ¸ Š 2 š
762
U7
0
18.
§ 7 ¡ §3¡ ¨ 5 ¸ ¨3¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Š 3 š Š 1 š § 2¡ AB : BC ¨ 1 ¸ : ¨ ¸ Š 2 š
BC
Kunci Jawaban: A
§ 4¡ ¨ 2¸ ¨ ¸ Š 4 š § 4¡ ¨ 2¸ ¨ ¸ Š 4 š
4x lim
4x lim
lim
. . . (*)
19.
§ 1 y'' ¡ ¨ 2 ¸ ¨ 1 x'' ¸ Š 2 š
lim
x o0
2x 2y
20.
sin 3 x sin 3 x (1 2 sin2 x ) 2x 3
sin 3 x 1 (1 2 sin2 x ) sin 3 x Â&#x2DC; 2 sin2 x 2 x3 sin3 x Â&#x2DC; sin x sin x
f(t)
3t 1
3 Â&#x2DC; 8 1
30
l L
1 b ! 1
M0 (1 b ) (1 b )n 1
p u 2l
p u 2 (30
3 2
1 b 1
M5
1.000.000
0,15 : n
(1, 15) (1, 15)5 1 0,15
1.150.000 (1, 15) 1, 155 1 0,15
3 2
p)
p)
60p
3 2
Agar L maksimum maka Lc 60 3p 0 3p 60 p 20 m
M0 (1 b ) (1 b )n 1 15%
3 p 4
p u (l l)
p (60
M0
24 1
25 5 21. Kunci Jawaban: C K 3p 4l 120 4l 120 3p
Sehingga,
b 1.000.000, b
dikali
3
f(8)
2x 3
Kunci Jawaban: E S
2
3 3 x sin 3 x sin x sin x Â&#x2DC; lim Â&#x2DC; lim 3lim x o0 x o0 x x 3x x o0 3 Â&#x2DC;1 Â&#x2DC;1 Â&#x2DC;1 3
Kunci Jawaban: D Misalkan: Modal awal M0 Suku bunga b Mn M0 (1 b) M0 (1 b)2 . . . M0 (1 b)n (1 b )2 1 b
2x 3
lim
21 x'' l x''
Mn
(1 1)
x o0
l y''
sin 3 x sin 3 x cos 2 x
lim
2 ¡§ x'' ¡ ¸¨ ¸ 0 šŠ y'' š
o y
r
x o0
1 2
Rasio
1 2x 1 2x
x o0
Substitusi ke (*) ( 2y) 2 2x (2x)2 2y 2 2x 4x2 y 2x2 x 1 17.
1 1
lim
o x
y''
lim
¨ ¸ 0 ¸š Š y'' š
§x¡ ¨ ¸ Šy š
1 2x 1 2x
x o0
1¡ 2 ¸ § x'' ¡
§ 0 1 ¨ 0 ( 4) Š 2
Kunci Jawaban: E
§ 2 0 ¡§ 0 1 ¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ Š 0 2 šŠ 1 0 šŠ y š § 0 2 ¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸ Š 2 0 šŠ y š
§x¡ ¨ ¸ Šy š
4 x
x o0
§ 0 ¨ ¨ 1 Š 2
1 2x 1 2x
x o0
Kunci Jawaban: E Peta kurva: x'' 2 y'' y''
§ x'' ¡ ¨ ¸ Š y'' š
(1 2 x ) (1 2 x )
x o0
§ 2¡ § 2¡ ¨ 1 ¸ : 2¨ 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š 1: 2 16.
4x 1 2 x 2 x u 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x
lim
x o0
5
22.
p2 0
Kunci Jawaban: C Misalkan: Biaya C 4x 800 1200 1 C 4x2 800x 120 C minimum, maka C1 0 C1 8x 800 0 8x 800 x 100
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
85
23.
26.
Kunci Jawaban: E 3 cos2
F(x) F(x)
(3 x 2 5 x )
cos (3x
y
2
5x )
5
Âł cos
32
u3 Dengan u cos x dan x
Âł cos x (1 sin
2
2
Âł (cos x 2 sin
dy du dx Â&#x2DC; Â&#x2DC; du dx dx 2 31 u Â&#x2DC; ( sin x ) Â&#x2DC; (6 x 5) 3 1 2 cos (3 x 2 5 x ) 3 sin (3 x 2 5 x )(6 x 5) 3
Misalkan:
Misalkan: 1 2
1
Âł 0
4
u4 ¡ du
1 5
â&#x20AC;˘
Âł sin
Â&#x153;
x ¡ cos x dx
Âł (cos x 2 sin sin x c1
27.
3x 1 6x dx
dx
3x dx
2 3
1 2
1
Âł 0
x
B2
0 Â&#x153;
y
x 2y
0 Â&#x153;
y
Garis lurus:
(1) (2) : x2 2x x2 2
32
b 4ac
86
1 5
5
sin x c3
sin5 x c
9 4
panjang sisi kubus
Jari-jari B2
a 2
a
V2 3
4 §a¡ ¡ 3¸ : S ¨ ¸ 3 Š2š š
4 §a S 3 ¨Š 2
3
3 3 3 a3 a : 8 8
3 2
x 2
0
x
0 Â&#x; a
x2 2x . . . (1) x 2
. . . (2)
28.
Kunci Jawaban: B H
1, b
3 2
Q
E
,c
G F P
0 D
9 4 A
x DQ 2
9 4 2
C
D 4
B
HD2 HQ2 2
4 2
6(1) 27 48
a 3 2
Diameter B2
Maka: V1
Luas daerah yang diarsir:
6
sin x c2
1 5
3 3 :1
Parabola: x2 2x y
3 2
Âł
3
4 S r2 3 3
V2
Kunci Jawaban: A
Â&#x2DC;
x ¡ cos x dx sin4 x ¡ cos x dx
panjang diagonal ruang
Jari jari B1
1
3 Âş 1ÂŞ 2 2 ÂŤ(3 Â&#x2DC; 1) (3 Â&#x2DC; 0 1Âť 2ÂŹ Âź 3 3 ÂŞ Âş 1 2 7 2 ÂŤ 4 1 Âť (8 1) 2ÂŹ 2 Âź
9 4
2 3
2
4 S r13 3
V1
B1
u 2 dx
1 (3 x 2 1) 2 Âť 2 Âź0
6a2
x cos x sin4 x cos x) dx
sin3 x
Diameter B1
3 1 Âş
L
sin5 x
a 3
1 21 Â&#x2DC; u du 2
D D
1 5
u5
Kunci Jawaban: A x
1
D
1 3 3 sin x
c1 c2 c3
dengan c
u du
2
³ cos x ¡ dx 2 ³ sin
1 2 32 Âş Â&#x2DC; u Âť 2 3 Âź0
25.
1 3 3 u
...
0
sin x cos x dx u2 ¡ du
Âł sin
sin x
3 x 2 1 dx
x cos x sin4 x ¡ cos x) dx
Maka,
0
3x
u du
2
x sin4 x) dx
2 x ¡ cos x dx
â&#x20AC;˘
Kunci Jawaban: A
Âł
x) (1 sin2 x) dx
Âł cos x (1 2 sin
3x2 5x
2 sin(3 x 2 5 x ) 2 (6 x 5) cos (3 x 2 5 x ) 3 3 cos (3 x 2 5 x ) 2 1 (6 x 5) tan (3 x 2 5 x ) (cos2 (3 x 2T x ) 3 3 2 (6 x 5) tan (3 x 2 5 x 3 cos2 (3 x 2 5 x ) 3 24.
x ¡ cos2 x ¡ cos2 x dx
Âł cos
x dx
2
y
dy dx
Kunci Jawaban: D
2
16 4 20
9 16
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
DQ BQ
2 5 4
x BQ2
BP2 PQ2
( 2)2 (2 2)2 8 8 16
x BD
2 2
BD 2 BQ 2 DQ 2 2Â&#x2DC; 4Â&#x2DC; 4 2
cos D
x
Â&#x;
2
Â&#x; AM
(4 2)2 (4)2 (2 5)2 32 2 32 16 20 88 7 32 2 32 2 8 2 7, r
Â&#x; x
r x
2
2
(8 2) (7)
128 49 tan D 29.
y x
2
30.
2
AT TM 12 12 1 1 2 2
Kunci Jawaban: C Misalkan: p
Budi rajin belajar
q
Ia menjadi pandai
r
Ia lulus ujian
1. p o q
Kesimpulan yang sah I.
G
E
2
1
3. r
1 79 7
Kunci Jawaban: D H
1 BT 2
2. q o r
79
79 7
BM
AM
8 2
2
y
TM
poq qor por
F
Jika Budi rajin belajar maka ia lulus ujian. D A
Kesimpulan: Budi lulus ujian.
C
T
M
a
Â&#x; BT
3 2
B 2
AB2 AT
2
( 3 )2 (1) BT
3 1
4
2 ¡2
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
87
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN PREDIKSI 1 UJIAN NASIONAL 2005/2006
1. Kunci Jawaban: C x Eliminasi z dari Persamaan (1) dan (2) x 2y 3z 11 2x 2y 3z 4 3x y 7 ....... (4) x
§ 1 3 x12 ¡ § 1 3 x22 ¡ ¨ ¸¨ ¸ ¨ x2 ¸¨ x 2 ¸ Š šŠ š 1 2 1 3 x12 3 x22 9 x12 x22
u1 u3
11 3
x 2y 3z 3x 6y 3z
11 9
4x 4y
20
x12 x22
1 3( x1 x2 )2 2 x1 Â&#x2DC; x2 9( x1 Â&#x2DC; x2 )2 ( x1 Â&#x2DC; x2 )2
..... (5)
2 21
Eliminasi y dari Persamaan (4) dan (5) 3x 4y 4x 4y
x
u4 u1
7 20
12x 4y 4x 4y
28 20
16x x
48 3
x
x
2. Kunci Jawaban: D
§1 ¨3 Š §2 ¨6 Š
( A C ) (B C )
§ 1 2¡ ¨ ¸ Š3 4š
2¡ § 1 2¡ § 2 3 ¡ § 1 2 ¡ ¨ ¸ ¨ 0 1¸ ¨ 3 4 ¸ 4 ¸š Š3 4š Š šŠ š 4¡ § 1 5 ¡ ¨ ¸ 8 ¸š Š 3 5š
§ 3 1¡ ¨3 3¸ Š š
3. Kunci Jawaban: 2x2 4x 1 Â&#x153; 2x2 4x 1
x
x1 x2
b a
x1 ¡ x2
c a
( 4) 2
1 2
2, b
4, c
1
2
2
( x2 Â&#x2DC; x1)
6
(2)2 2 21 2
21
Un U2 8
a (n 1)b a (2 1)b a b ..... (1)
x
Un U6 8
a (n 1)b a (6 1)b a 5b
..... (2)
Eliminasi a dari Persamaan (1) dan (2) a 5b 8 a 5b 8 4b 16 b 4 Â&#x; a 12 Un U7
a (n 1)b 12 (7 1)( 4) 12
5. Kunci Jawaban: A U1 a Jumlah penduduk pada tahun 1950 1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 p 3,2 juta r 2, n 6, U6 3,2 juta U6 ar5 Â&#x153; a ¡ 25 3,2 juta a
1 2
3,2 juta 25
3,2 juta 32
0,1 juta 100.000
§ 1 ¡ § 1 ¡ ¨ 2 3¸ ¨ 2 3¸ ¨x ¸ ¨x ¸ Š 1 š Š 2 š
x22 x12
88
0 maka a
0
4. Kunci Jawaban: C U2 8 U6 8
Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan. x 2y 3z 11 3 2( 2) 3z 11 Â&#x153; 3 4 3z 11 3z 12 z 4 Jadi, x y z 3 ( 2) 4 5
§ 2 3 ¡ ¨ ¸, C Š 0 1š
65
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 20x 65
Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5) 3(3) y 7 Â&#x153; 9 y 7 Â&#x; y 2
§ 1 2¡ ¨ ¸, B Š3 4š
2
1 3(2)2 2 21 9 21
x
A
§ 1 ¡§ 1 ¡ ¨ 2 3 ¸¨ 2 3 ¸ ¨x ¸¨ x ¸ Š 1 šŠ 2 š
Eliminasi z dari Persamaan (2) dan (3) x 2y 3z x 2y 3z
x
x
A
6. Kunci Jawaban: E 1 2
u Keliling ' ABC
( x2 Â&#x2DC; x1)
1 2
(AB BC AC)
20
1 2
(15 13 14)
( x1 x2 )2 2x1x2 2
4 1 1 4
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
s
14
15
D 1 2
u 42
21 C
13
B
2 14
BD
1 7
11. Kunci Jawaban: C n 10 n Cr r (n r ) 3 (10 3)
21(21 13)(21 14)(21 15)
1 7
(21)(8)(7)(6) 1 7
7.056
u 84
12 cm
7. Kunci Jawaban: E cos 2x 3 sin x 1 (1 2 sin2 x) 3 sin x 1 2 sin2 x 3 sin x 1 1
8
0 0 0
1 2
atau a
13 15 16 18 19 11 12 14 15 17
2
1 2
sin x
atau
sin x
30q
x
150q
6fi
2 (tidak memenuhi)
1S 6 5 S 6
^
1 S, 5 S 6 6
`
3 cos (x S)
(f D g )( x )
3 sin (x S) dalam bentuk k cos (x a)
a2 b2 12
32
2
3
3, b
Â&#x; D
9 3
2 3
3 sin ( x S )
9. Kunci Jawaban: A r log p 5 ¡ qlog r 3 ¡ plog q 1 5 rlog p ¡ 3 qlog r ¡ ( 1) plog q ( 5)( 3)( 1) rlog p ¡ plog q ¡ qlog r 10. Kunci Jawaban: D 2 ¡ 22x 17 23 2x 2 ¡ 22x 23 ¡ 2 2x 17 2 ¡ 22x Misalkan 22x
a
Misalkan mobil adalah x dan bus adalah y 10x 20y d 300 ...... (1) ...... (2) x y d 324 x t 0 dan y t 0 f(x, y) 1.000x 3.000y Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2) 10x 20y x y
.... kedua ruas dikali a
u1 u 10
10x 20y 10x 10y
f(x,y)
300 240 60 6
Â&#x;x
18
1.000x 3.000y
(18, 6)
Rp36.000,00
(24, 0)
Rp24.000,00
(0, 15)
Rp45.000,00
24 24
15 (18, 6)
atau
a
8
2 1 1
22x 2x
23 3
x1
21
x2
2 3
21
300 24
Titik Pojok 15
x y
22x 2x
Jadi, x1 x2
3(4x2 12x 9) (4x 6) 5 3(2x 3)2 2(2x 3) 5 3x2 2x 5
y
0 2a2 17a 8 0 (2a 1)(a 8) 0 Sehingga diperoleh, 1 2
240
12x2 32x 26
f(g(x)
0
0
6fi xi
10y y
a
8 17 a 2 2a 8 17a
2a
2 3 cos ¨§ x 4S ¸¡ 6 š Š
0
8 17 22 x
12 28 90 78 32
14. Kunci Jawaban: D
x
Sehingga, 3 cos ( x S )
4 7 10 13 16
10
f(2x 3) f(2x 3) f(x)
3
b 3 1 3 a 3 3 120q ; 300q
tan D
fi xi
13. Kunci Jawaban: A
½ 3 cos ( x S ) 3 cos x ž Â&#x; a 3 cos x Âż 3 sin ( x S )
k
xi
24
240 24
x
Rataan
½° ž HP °¿
8. Kunci Jawaban: C
x x
3 4 9 6 2
30° ; 150°
x
120 cara
fi
Nilai
Sehingga, sin x
3
u 9 u 10 1u 2 u 3
12. Kunci Jawaban: D
Â&#x; Misalkan sin x a 2a2 3a 2 0 (2a 1)(a 2) 0 a
4
2 3
6 x O
18
24
30
10x 20y
300
Jadi, hasil maksimum tempat parkir tersebut adalah Rp45.000,00.
1
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
89
20. Kunci Jawaban: A
15. Kunci Jawaban: E
lim ÂŞ (3 x 1)2 x o0 ÂŤ ÂŹ lim ÂŞ 9 x x o0 ÂŤ ÂŹ p a
2
6x 1 p b
Karena a
p maka
Âł
9 x 2 11x 9 º Ÿ 9x p p
2
b q 2 a
( x 2 1) cos x dx
11x 9 º Ÿ p q
x o0
6 ( 11) 2 9
5 6
Âł
x
Âł
x
tan 2 x (1 2 sin2 4 x 1) lim x o0 16 x 3
uv
u dv
Âł
20 10
ÂŞ x 2Âş 2 ÂŤy 3Âť ÂŤ Âť ÂŹz 4Âź
ÂŞ 3Âş 3 ÂŤ 3Âť ÂŤ Âť ÂŹ 3 Âź
x
2x 4 2x
9 13
3x 6y 3x 6y
60 20
x
13 2
5y y
40 8
ÂŞ4 ÂŤ ÂŤ2 ÂŤ ÂŹÂŤ 5
13 Âş 2 Âť 3 2 Âť 5 Âť Âť 2 Âź
Â&#x;x
4
JJJG PC JJJG PC
18. Kunci Jawaban: D f(x) sin 2(2x 3) f(x) sinn x dx Â&#x; f c(x) n sinn 1 x (cos x)
SÂł SÂł SÂł S
b a
99 4
2 sin (2x 3) cos (2x 3) ¡ 2 4 sin (2x 3) cos (2x 3) 2 sin (4x 6)
1 0 1 0
ÂŞf ( y )2 g ( y )2 Âş dy ÂŹ Âź ÂŞ( y )2 ( y 2 )2 Âş dy ÂŹ Âź ( y y 4 ) dy
ÂŞ1 y2 ÂŹ2
S ÂŞ 21 (1)2 ÂŹ S
90
21
1 5
1 y
y
sin x Â&#x2DC; 2x dx
2 x ( cos x )
a db b
Âł
2x Â&#x; da sin x dx cos x
2 dx
( cos x ) Â&#x2DC; 2 dx
2y 6 2y
9 3
y
3 2
x
2z 4 2z
9 5
z
5 2
ª 5 º  72   2  5  2 Ÿ 2
72
49 4
3 2
11
52
25 4
x4 x3 10x2 9x 5 dibagi x2 3x 2 Faktor faktor dari x2 3x 2 adalah (x 1) dan (x 2) f(1) 14 13 10(1)2 9(1) 5 1 1 10 9 5 4 f(2) 24 23 10(2)2 9(2) 5 16 8 40 18 5 3
y x
x
22. Kunci Jawaban: D
y
x
y2
1 5Âş
Âź0
2
52
25 4
19. Kunci Jawaban: D
V
1) sin x
sin x du
21. Kunci Jawaban: -JJJG AB (5 2, 0 ( 3), 1 4) (3, 3, 3) AP : AB 2 : 3
Jadi pakaian akan maksimum jika jumlah model I dan II masing masing adalah 4 dan 8.
Jadi, f c(x)
(x
Âł Âł
x2 sin x sin x 2x cos x 2 sin x C (x2 1) sin x 2x cos x C
...... (1) ...... (2)
u3 u2
1) sin x
2
(x2 1) sin x 2x cos x 2 sin x C
u dv
Titik potong Persamaan (1) dan (2) x 2y 1,5x 0,5y
(x
Sehingga,
tan 2 x 2 sin2 4 x Â&#x2DC; x o0 4x 4x tan 2 x § sin 2 x Â&#x2DC; 2 ¡ lim Â&#x2DC; ( 2) ¨ ¸ x o0 2 Â&#x2DC; 2 x 2x Š š lim 1 Â&#x2DC; ( 2)(2)2 4 x o0 2
x
v du
2
2 x sin x dx
lim
17. Kunci Jawaban: A x 2y d 20 1,5x 0,5y d 10 x t 0, y t 0
Âł
sin x
2 x cos x 2 sin x C
tan 2 x ( 2 sin2 4 x ) 16 x 3
x o0
cos x dx
2x dx
Â&#x; Misalkan
tan 2 x cos 8 x tan 2 x 16 x 3 tan 2 x (cos 8 x 1) lim x o0 16 x 3
lim
Âł
v
16. Kunci Jawaban: A
lim
x2 1 o du cos x dx
Â&#x; Misalkan u dv
S( x ) x
1 (1)5 5
0Âş Âź 3S 9 S 10 30
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
f (a ) f ( b ) af (b ) bf (a ) x a b a b 1( 3) 2( 4) 4 ( 3) x 1 2 1 2 1 x 3 8 x 5 1 1
23. Kunci Jawaban: B
28. Kunci Jawaban: A I. p Â&#x;q p Â&#x;q aq aq ? p ? ap (tidak sah)
Persamaan garis singgung lingkaran x2 y2 4x 2y 20 0 di titik P(5, 3) Â&#x; x1
5 dan y1
3, A 1 2
x1x y1y 5x 3y
1 2
4, B
A(x x1)
2, dan C 1 2
20
B(y y1) C
0
(2)(y 3) ( 20)
0
5x 3y 2x 10 y 3 20 3x 4y 27
0 0
( 4)(x 5)
1 2
p Â&#x; q ar Â&#x; aq
II.
?p Â&#x; III.
24. Kunci Jawaban: B Persamaan parabola dengan titik puncak P( 4, 2) dan titik fokus F(2, 2) Â&#x; a 4, b 2 dan a p 2 Sehingga diperoleh, a p 2 Â&#x153; 4 p 2 Â&#x; p 6 Maka persamaan parabola adalah (y b)2 4p(x a) (y 2)2 4( 6)(x 4) (y 2)2 24(x 4) y2 4y 4 24x 96 2 y 4y 24x 92 0
r
(sah)
p Â&#x203A; aq aq Â&#x; ar
ap Â&#x; aq aq Â&#x; ar
?r Â&#x; p
? ap Â&#x; ar
(tidak sah)
29. Kunci Jawaban: C H
G
E
8
F
T
D
4
4 2
C 8
S
A
B
25. Kunci Jawaban: A 16x2 9y2 64x 54y 1 0 sejajar garis x y 4 gradien elips adalah m 1. 16x2 9y2 64x 54y 1
Â&#x153;
( x 2)2 ( y 3)2 9 16
0, maka
x
82 82
AC
x
AS
x
TS
1 2
AC
1 2
8 2 cm u 8 2
42 (4 2)2
4 2 cm 16 32
4 3 cm
122 30. Kunci Jawaban: A
Persamaan garis singgungnya adalah y q
m(x p) r
a 2m 2 b 2
y 3
1(x 2) r
(9)(1)2 16
y 3
x 2 r
y1 y2
x 2 5 3 x 2 5 3
T
25 x 10 x
D D Q
26. Kunci Jawaban: A § xc ¡ ¨ ¸ Š ycš
§ xc ¡ ¨ ¸ Š ycš
§ 0 1¡ § 0 1 ¡ § x ¡ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ Š 1 0šŠ 1 0šŠ y š § 1 0¡§ x ¡ ¨ 0 1¸ ¨ y ¸ Š šŠ š § x¡ ¨ ¸ Š y š
Sehingga diperoleh, xc x Â&#x; x xc yc y Â&#x; y yc x 2y 4 0 xc 2( yc) 4 0 x 2y 4 0
C P
A
B
Sudut antara TAD dan alas adalah D PQ
1 2
AB
3
TP
3
tan D
TP PQ
tan D
30° atau 210°
3 3
1 3
3
27. Kunci Jawaban: B a(p Â&#x203A; aq) Â&#x; ap ap Â&#x161; q Â&#x; ap
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
91
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN PREDIKSI 2 UJIAN NASIONAL 2005/2006 1.
3.
Kunci Jawaban: B 2
2
log (x 2x) 3
I.
2
3
(x 2x) 2
8
(x 18) (y 18)
2
x 2x 8 0 (x 4) (x 2) x 2
x 2x ! 0 x(x 2)
0
0 atau x
2x 8 2y 8 2x 2y z 2x 2y z
Jadi, HP: {xÂľ 2 x 0 atau 2 x 4}
(2)
....
(3)
....
(5)
....
(6)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
Kunci Jawaban: C Q
P
(1)
....
(4)
1 z 4
2 z 4 4 16 12
x 4 y 4
2
HP II: x 0 atau x ! 2
2.
z 18
z. ....
Persamaan (3) dapat ditulis:
x (x 2) ! 0 x
y, dan Ayah
1 z 4
2 Persamaan (ii) dapat ditulis: x 18 y 18 z 18 x y z 18 ....
HP I: 2 x 4 II.
x, Ari
x 4 y 4
0 2
4 atau x
Kunci Jawaban : E Misalkan umur Sultan x y 6
x y z
18
2x 2y z
12
x y
30
Dari persamaan (1) dan (6) diperoleh:
S
R
T
Misalkan PQ
x dan QS
PQ
QT
KPQRS 14 14 y
RT
PR
y
TS
x y
6
x y
30
2x
36
x
18
Subtitusi nilai x ke persamaan (1) x Â&#x; RS
2x
PQ PR RS QS x x 2x y 4x y 14 4x
18 y 6 Â&#x; y
12
Subsitusi nilai x
18 dan y
12 ke persamaan (4):
x y z 18 18 12 z
. . . . (i)
18
z 18 30
Dengan rumus Pythagoras : QT2 TS2 QS2 x2 x2 y2 2x2 y2
z
48
Jadi, x y z . . . . (ii)
4.
18 12 48
78 tahun.
Kunci Jawaban: C
Subtitusi Persamaan (i) ke Persamaan (ii) (14 4x)
2x2
196 112x 16x2
2
0
14 8x x2
0
196 112x 14x
x
x1
8 r
2
8 4(1)(14) 2(1)
8r 8 2 4 2
Kayu (kg)
2x2
8r2 2 2 atau x2
8r
64 56 2
4 r
2
4
2
Produk A Produk B
Jadi, panjang RS adalah 8 2 2 cm atau 8 2 2 cm .
1 3 2400
Plastik (kg) Kaca (kg) 3 4 3700
2 1 1300
Misalkan: Produk A x Produk B y x 3y 2400 . . . (i) 3x 4y 3700 . . . (ii) 2x y 1300 . . . (iii) Substitusi Persamaan (i) dan (iii) x 3y 2400 u1 x 3y 2x y 1300 u3 6x 3y 5x x
92
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2400 3900 1500 300
Substitusi x 300 ke (ii) 3(300) 4y 3700 4y 2800 o y 700 Pendapatan max (300 u Rp40.000) (700 u Rp60.000) Rp12.000.000 Rp42.000.000 Rp54.000.000 5.
cos 3 x
Â&#x;
90q k Â&#x2DC; 360q 60q k Â&#x2DC; 240q 180q atau x S
x x sin 1 x
Â&#x;
sin 0q
2 1x 2
Kunci Jawaban: C b2
90q
2 3x 2
a2 c2 2 ¡ a ¡ c ¡ cos 150º
0q k Â&#x2DC; 360q 0q k Â&#x2DC; 720q o x
x
1 3 102 152 2 ¡ 10 ¡ 15 ¡ 2
1 !0
100 225 150 3 0
325 150 3
S 2
2
S
2
3 2
5 13 6 3
C
sin 1 x
Â&#x;
a
180q k Â&#x2DC; 360q 360q k Â&#x2DC; 720q 360q atau x 2S
x x
10 km 150Âş B
c
1
15 km
A ! 0 0
Kunci Jawaban: D
S
3 2
S
2S
1
S
sin (45 30)Âş
HP: { x | 0 x 3 atau S x 2S }
(sin 45Âş cos 30Âş cos 45Âş sin 30Âş)
8.
§¨ 1 2 Â&#x2DC; 1 3 1 2 Â&#x2DC; 1 ¡¸ 2 2 2š Š2 1 4
6
2
15 cara Banyaknya cara ahli biologi yang terpilih:
2 cos 1 (2 x x ) sin 1 (2 x x ) 2
2
5 C3
0
9.
0
0 atau sin 1 0 2 2 cos 3 x ! 0 atau sin 1 x ! 0 2 2 2 cos 3 x 2 3x 2
x
Kunci Jawaban: C
ÂŚ fi Â&#x2DC; xi ÂŚ fi
x
40
cos 90 6040
90 k Â&#x2DC; 360 60 atau x
S 3
! 0
! 0
S a2
nilai tengah data.
3 5 8 10 9 5 411 710 1176 1520 1413 810
40
10.
S
151
Kunci Jawaban: A AB
1
, di mana xi
(3 u 137) (5 u 142) (8 u 147) (10 u 152) (9 u 157) (5 u 162)
x
0
1 0
5 u 4 u 3! 2 u 1 u 3!
5! 3! 2!
10 cara Banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemilihan itu adalah: 15 u 1 150 cara.
cos 3 x
cos 3 x
6 Â&#x2DC; 5 Â&#x2DC; 4! 2 u 1 Â&#x2DC; 4!
6! 4! 2!
6Â?4
sin 2x ! sin x, di mana 0 d x d 2S Â&#x; sin 2x sin x ! 0 Ubah dulu menjadi persamaan sin x sin x ! 0 1 2 cos 3 x sin x 2 2
Kunci Jawaban: C Banyaknya cara ahli kimia yang terpilih:
Kunci Jawaban: A
Â&#x;
! 0
a S3 a S2
sin 75Âş
sin 255Âş
7.
2S
sin 180q
2 1x 2
b
6.
S
1
25 (13 6 3 ) b
0q
r
diameter lingkaran jari-jari 82 62
AB r
1 AB 2
100
10
5
Titik pusatnya
§7 1 6 2¡ ¨ 2 , 2 ¸ Š š
(4, 2)
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
93
m tan 120° 3 Persamaan garis singgungnya y 2
3( x 4) r 5 ( 3 )2 1
y 2
3 x 4 3 r 10
Â&#x; y
11.
x
3 x 4 3 12 atau y
x 2y ( 2x y) x y
3x 4 3 8
0
(x 1)2 1 (y 2)2 4 2
2
(x 1) (y 2)
Â&#x160;
sejajar : m1 Â&#x160;
m2
15 x 15 o m 1 12 12
5 12
15.
Kunci Jawaban: E A
5 12
C
c
aÂ&#x2DC; c
2
bÂ&#x2DC;c
y 2
5 x 1 r 39
12 12
(i) dan (ii) 2m n 3 m 3n 6
4 m 3n
y1
5 x § 29 39 ¡ ¨ ¸ 12 Š 12 š
5 x 17 12 3
y2
5 x § 29 39 ¡ ¨ ¸ 12 Š 12 š
5 x 5 12 6
5
r
4 5
3 l 2m n
2 l m 3n
u1 u2
U1 U2 U3 . . .
5 1 54
5 45
Jadi panjang lintasan
U1
10 , U3
2b
150 110 Â&#x; b
AC
(2, 3, 3) (3, 2, 1)
AB
(2, 1, 3) (3, 2, 1)
pÂ&#x2DC;q q
( 1, 5, 2)
Sf
16.
20
110 14(20)
8 26
390
4x y 5
A 1 B
y cc
3 x o x
C
3 2
§ 2 3 ¡ 2 ¸ ¨ ¨1 1¸š Š
¡ § x 2y 2¡ ¸¨ ¸ ¸ 2 x y 0 1 šŠ š
§ 8 ¨ Š 5
Â&#x;
8
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4 13
26
0
o y
1 x cc 3 1 3
4 1 y cc 1 x cc 5 3
3 4 y cc 1 x cc 5 3 3
0 0
4 y cc x cc 15 0 Peta garisnya adalah x 4y 15
4¡ ¸ 2š
17.
3 2 (x 2y) ( 2x y) 2
26
§ 3 0 ¡§ 0 1 ¡§ x ¡ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ Š 0 3 šŠ 1 0 šŠ y š § 0 3 ¡§ x ¡ § 3 y ¡ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Š 3 0 šŠ y š Š 3 x š 3y
3¡ 1 § 4 ¨ ¸ 2 Š 2 2 š
8 26
Kunci Jawaban: C Garis: § x cc ¡ ¨ ¸ Š y cc š
150
a 14b
( 1)2 ( 3)2 ( 4)2
1 15 8 1 9 16
25 25 meter.
3
Kunci Jawaban: D Nilai jual barang tahun 2003 Nilai jual barang tahun 2007
p
( 1, 3, 4)
( 1, 5, 2)( 1, 3, 4)
y cc
94
3 12 15 o n
(2, 3, 3)
c
Jadi C
Kunci Jawaban: E
x
2m n 2m 6n 5n
Substitusi n 3 ke (i) 2m 3 3 2m 6 o m 3
Kunci Jawaban: B
§ 2 Â&#x;¨ ¨ 1 Š
2
6 . . . (ii)
Proyeksi skalar ortogonal p pada q.
4 1 r
A 1
3
3 . . . (i)
2 l (2, 1, 3) (2, m, n)
x
5x 5 r 39 5x 29 r 39
(2, 1, 3)
b
3 l (3, 2, 1) ¡ (2, m, n)
6 2m n
5 x 1 r 3 § 5 ¡ 1
¨ ¸ 12 Š 12 š
U1
U15
(3, 2, 1), B (2, m, n)
x
Kunci Jawaban: E
Sf
a
y 2
Panjang lintasan
14.
0
Persamaan garis singgung lingkaran adalah:
12y 24 12y
13.
9 3
0 l y
5x 12y 15
12.
4
Sejajar dengan 5x 12y 15
5
3 y 3 2 y 2 Substitusi y 2 ke (ii) x 2 5 o x 3 maka nilai x y 3, 2 5
9
Â&#x; Pusat (1,2) dan r
8 . . . (i)
8
8
x y
x2 y2 2x 4y 4
5 y 2
3 y 2
5 5 . . . (ii)
5 y 2
(i) dan (ii) x
Kunci Jawaban: A Â&#x160;
4y 3x
x
3 x 4 3 r 10 2
y
2x
0
m m(1 p)7
q
18.
9 x2
lim
2 x
lim
x o3 4 x 2 7
x o3
2 lim
x o3
2 Â&#x2DC; 19.
dy dx
1
1 x 2 7 2 Â&#x2DC; 2x 2
lim 2 x 2 7
16
2 Â&#x2DC; 4
x o3
1 sin2x cos2 2x
x oS 4
dy du
x2 7
8
24.
Kunci Jawaban: D
x 5 dan u' 1 (4 3 x ) 2
dv
Âł ( x 5)
1 sin 2 x 2 x 1 sin 2 x
1 sin
x oS 4
4 3 x dx
Misalkan: u
1 sin2x
2 x oS 1 sin 2x 4
lim
sin u Â&#x2DC; ( 48 x 64 x 3 ) 2
Âł ( x 5)
lim
48x 64x cos 4 Â&#x; y' sin u
16x (3 4x ) Â&#x2DC; sin 4 2 2 4 16x (3 4x ) sin (9 24x 16x ) 2 2 2 16x (3 4x ) sin (3 4x )
Kunci Jawaban: C
lim
3
u' y
Kunci Jawaban: D
9
3
3
( x 5) 1 (4 3 x ) 2 2 (4 3 x ) 2 dx
Âł9
3
1
3
^
`
2 (4 3 x ) 2 ( x 5) 2 (4 3 x ) C 9
1 2
5
2 ( x 5) (4 3 x ) 2 2 Â&#x2DC; 2 (4 3 x ) 2 C 9 9 15
x oS 1 sin2x 4
1 1 1
3
2 (4 3 x ) 2
dx o v
4 3 x dx 9
lim
1
25.
15
Kunci Jawaban: A 2
Â&#x; y x x 2 2 x x 2 0 (x 2)(x 1) 0 x 2 atau x 1
20. Kunci Jawaban: C g(x) 3x 1 2 f(g(x)) 9x 12x 8 2 f(3x 1) 9x 12x 8 f( 2) . . . Â&#x; f(3x 1)
f(x) f( 2)
(3x 1) 6x 1 12x 8 2 (3x 1) 6x 7 2 (3x 1) 2 (3x 1) 5 2 x 2x 5 2 ( 2) 2 ( 2) 5 4 4 5 13
Âł x (x
2
x
Âł x x
2
x (3x 900
2 dx
1 x 2 1 x 3 2x 2
3
2
2
3
1 1 2 2 8 4 2 3 3 1 1 ( 3 1 ) 4 1 9 6 3 2 2 26.
2
3
Kunci Jawaban: A 3
Âł sin
x cos x dx o Misalkan u du
sin x cos x dx
Sehingga, 3
Âł sin
Âłu
x cos x dx
B(x) 3x2 900x 120
x Biaya proyek minimum : Bc(x) 0 6x 900 0 6x 900 x 150 Jadi, agar biaya proyek minimum harus diselesaikan dalam 150 hari. 23. Kunci Jawaban: D 2 2 y cos (3 4x ) 2 4 cos (9 24x 16x ) 2 4 Misalkan: u 9 24x 16x
3
du
1 u4 C 4
120 ) x
1
1 Â&#x2DC; 12 1 13 2 Â&#x2DC; 1 1 ( 2)2 1 ( 2)3 2( 2)
22. Kunci Jawaban: E
B(x)
2) dx
2
4 2.
x Misalkan biaya proyek
x2 2
2 1
2
V a t 32 V minimum, maka Vc 0 2 Misalkan: m a o m c 2a n t o nc 1 2 â&#x20AC;˘ V 2at a ¡ 1 0 2 2at a a 2t 2 â&#x20AC;˘ V ( 2t) ¡ t 32 3 4t 32 3 t 8 2 atau t
y
x 2
1
L
2
21. Kunci Jawaban: D
Jadi, t
y y x
1 sin4 x C 4
27.
Kunci Jawaban: D Volume tabung
VT S r 2t 3,14 x 102 x 20 6280 cm3
Volume bola
VB
4Sr3 3 4 u 3,14 u103 3 4186,7 cm3
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
95
VT VB
Volume air
6280 4186,7 2093,3 cm3 28.
Â&#x; tan Â&#x2018;TOR TR
Kunci Jawaban: A H
30. F I
I.
poq qor ? p o r
II.
pÂ&#x203A;q p
M D
soal:
poq q o r ? r o p
C 8 8
A
B
1 CH 2
8 2 , HI
HE 2 EM 2
4 2 82 42
III.
80 MI 2 HM 2 HI 2 80 32
q o p q Â&#x203A; r
Â&#x; p o q q o r ? q Â&#x;
q o p q o r
Soal:
Â&#x;
( 80)2 (4 2)2 Soal:
112 MI
3 2
Kunci Jawaban: D
8
HM
3 2 5
G
E
CH
TR 5
4 7
q o p qor poq
Argumen yang benar adalah II dan III. 29.
Kunci Jawaban: B Sudut antara TPQ dan PQR adalah sudut TOR.
TR OR
tan Â&#x2018;TOR
3 2 5
1 u QR 2
OR
1 u 10 2
5
T
q R 90
10
Q O
10 P
96
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
pÂ&#x203A;q p ? q
p o q q or ?poq
1.
2.
2 d x d 10
D.
52
B.
2
< x < 10
E.
0 d x d 10
C.
52
D. E.
5.
d x
< 10
Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB adalah . . . . A. 4 2 cm C
C.
4.
<xd0
A.
B.
3.
terhadap posisi saat kapal berangkat adalah . . . .
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log x d log (2x 5) 2 log 2 adalah . . . .
4 2 cm 4 2 2 cm 8 2 2 cm 8 4 2 cm
6.
7. A
Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00 per unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah . . . . A. Rp550.000.000,00 B. Rp600.000.000,00 C. Rp700.000.000,00 D. Rp800.000.000,00 E. Rp900.000.000,00 Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 30° sejauh 60 mil. Jarak kapal
10 37 mil
D.
30 (5 2 3) mil
B.
30 7 mil
E.
30 (5 2 3) mil
C.
30 (5 2 2) mil
Nilai dari tan 165° adalah . . . . A.
2 3
D.
2 3
B.
1 3
E.
2 3
C.
1 3
Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 cos2 x q 2 sin x q cos x q 1 3
B
Tujuh tahun lalu umur Ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur Ayah sekarang adalah . . . . A. 39 tahun D. 54 tahun B. 43 tahun E. 78 tahun C. 49 tahun
A.
0 d A. B. C. D. E. 8.
0 untuk
x d 360 adalah . . . . 60°, 240°, 270°, 330° 60°, 150°, 270°, 330° 60°, 120°, 150°, 300° 30°, 120°, 210°, 300° 30°, 150°, 240°, 330°
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah . . . . A. B. C.
12.
1 10 5 36 1 6
D. E.
2 11 4 11
Frekuensi 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 6 5
Data
10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
117
Nilai rataan dari data pada diagram tersebut adalah . . . . A. B. C.
23 25 26
D. E.
28 30
10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2 0 adalah . . . . A. x2 y2 3x 4y 2 0 B. x2 y2 4x 6y 3 0 C. x2 y2 2x 8y 8 0 D. x2 y2 2x 8y 8 0 E. x2 y2 2x 8y 16 0
15. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1), dan C(7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan JJJK JJJG . . . . AB : BC A. 1 : 2 D. 5 : 7 B. 2 : 1 E. 7 : 5 C. 2 : 5 16. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut
52
A.
y
B.
y
1x 2
C.
y
2x 5 5
D.
y
2x 5 5
E.
y
2x 5 5
5
5 5
13. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 50.000,00 bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah . . . . A. Rp 1.315.000.00 D. Rp 2.580.000,00 B. Rp 1.320.000.00 E. Rp 2.640.000,00 C. Rp 2.040.000.00 14. Matriks X berordo (2 u 2) yang memenuhi §1 2 ¡ § 4 3¡ ¨ ¸X ¨ ¸ adalah . . . . 3 4 Š š Š2 1 š § 6 5 ¡ § 4 2¡ ¸ ¸ A. ¨ D. ¨ Š 5 4š Š 3 1š B. C.
§ 6 5 ¡ ¨ ¸ Š 5 4 š
118
1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 2 2
A.
y
B.
y
C.
y
D.
y 2x x 1
E.
y 2x2 x 1
x 4 x 4 x 4
17. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp1.000.000,00 pada suatu bank dengan bunga majemuk 15% per tahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun kelima adalah . . . .
12. Seutas tali dipotong manjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah . . . . A. 378 cm D. 762 cm B. 390 cm E. 1.530 cm C. 570 cm
§5 6¡ ¨ ¸ Š4 5š
, dilanjutkan dilatasi [0, 2] adalah
x 2 y y 2 Persamaan kurva semula adalah . . . .
11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 y2 25 yang tegak lurus garis 2y x 3 0 adalah . . . . 1x 2
1S 2
E.
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
§ 12 10 ¡ ¨ ¸ Š 10 8 š
18.
A.
Rp1.000.000,00 u (1,15)5
B.
Rp1.000.000,00 u
C.
Rp1.000.000,00 u
(1,154 1) 0,15
D.
Rp1.150.000,00 u
(1,155 1) 0,15
E.
Rp1.150.000,00 u
(1,154 1) 0,15
19.
4x
lim
1 2x
x o0
A. B. C.
lim
B. C.
. . . .
1 2x
2 0 1
D. E.
2 4
sin 3 x sin 3 x cos 2 x
. . . .
2x 3
x o0
A.
(1,155 1) 0,15
1 2 2 3 3 2
D.
2
E.
3
20. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s f (t ) 3t 1 (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t 8 detik) adalah . . . .
3 10 3 5 3 2
A. B. C.
m/det m/det
D.
3 m/det
A.
9 16
E.
5 m/det
B.
2 satuan luas
C.
2 21 satuan luas
m/det
21. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah . . . . A. 16 m l B. 18 m C. 20 m l D. 22 m p E. 24 m 22. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya 120 x
) ratus ribu rupiah. Agar per jam (4x 800 biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu . . . . A. 40 jam D. 120 jam B. 60 jam E. 150 jam C. 100 jam 23. Turunan Fc(x)
1
2
adalah
cos (3 x 5 x )
(3 x 2 5 x ) sin (3 x 2 5 x )
2 3
cos
B.
2 3
(6 x 5) cos
C.
32 cos
D.
2 (6 x 3
E.
2 3
Âł
2
3
. . . .
A.
1
24.
dari
3
1
3 (3 x 2
1
2
3
2
2
2
3
2
2
. . . .
A. B. C. 25.
7 2 8 3 7 3
E.
y
x 2y
0
x2 2x y
O
1
2
0
x
. . . .
C.
sin x
D.
sin x 32 sin3 x
E.
sin x
cos6 x sin x C
2 3
2 3
sin3 x
sin3 x
1 5 51
1 5
sin5 x C
sin5 x C sin5 x C
27. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume bola B1 dan bola B2 adalah . . . . A.
3 3 :1
D.
3 : 1
B.
2 3 :1
E.
2 : 1
C.
3 :1
28. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang AT 1 cm. Jarak A pada BT adalah . . . . 1 2 1 3 1 2
cm
D.
3 cm
E.
2 cm 2 3
3 cm
3 cm
29. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah D, nilai tan D . . . .
C.
1
2 38 satuan luas
1 6
B.
4 3 2 3
D.
E.
B.
A.
0
2 81 satuan luas
61 cos6 x sin x C
C.
(6 x 5) tan (3 x 5 x ) cos (3 x 5 x )
cos5 x dx
D.
A.
B.
5) sin (3 x 2 5 x )
5) tan (3 x 5 x ) cos (3 x 5 x )
3 x 3 x 2 1 dx
Âł
A.
(3 x 2 5 x )
3
26.
satuan luas
3 8 1 7
2
D.
3 2
79
E.
2 2
2
79
30. Diketahui premis-premis berikut ini. 1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. 2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. 3. Budi tidak lulus ujian. Kesimpulan yang sah adalah . . . . A. Budi menjadi pandai. B. Budi rajin belajar. C. Budi lulus ujian. D. Budi tidak pandai. E. Budi rajin belajar.
Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah . . . .
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
119
1.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x2 2x) 3 adalah . . . . A. {x _ 4 x 2 atau x ! 0} B. {x _ 2 x 0 atau 2 x 4} C. {x _ 0 x 2 atau x ! 4} D. {x _ x ! 2 atau 4 x 0} E. {x _ x ! 4 atau x 2}
5.
2
2.
D.
4 2 cm 8 2 2 cm 8 2 cm
E.
2 2 cm
B. C.
3.
4.
A. B.
Keliling trapesium PQRS pada gambar adalah 14 cm. Panjang RS adalah . . . . A.
4 2 2 cm
P
Sebuah mobil melaju ke arah Barat 15 km. Kemudian mobil melanjutkan perjalanan dengan arah 150ยบ sejauh 10 km. Jarak mobil terhadap posisi saat mobil berangkat adalah ....
C.
Q
D. E. R
T
S
6.
5 7 km
Nilai dari sin 255ยบ adalah . . . . A.
Umur Sultan dan Ari berselisih enam tahun. Delapan belas tahun lagi jumlah umur mereka sama dengan umur Ayah. Empat tahun yang lalu jumlah umur mereka sama dengan setengah umur Ayah. Jumlah umur Sultan, Ari, dan Ayah sekarang adalah . . . . A. 48 tahun D. 76 tahun B. 42 tahun E. 78 tahun C. 60 tahun Sebuah pabrik mempunyai kayu, plastik, dan kaca masing-masing 2.400 kg, 3.700 kg, dan 1.300 kg. Produk A memerlukan kayu, plastik, dan kaca. Masing-masing 1 kg, 3 kg, dan 2 kg. Produk B memerlukan masing-masing 3 kg, 4 kg, dan 1 kg. Jika produk A dijual seharga Rp40.000,00 dan produk B seharga Rp60.000,00 maka pendapatan maksimum pabrik tersebut adalah . . . . A. Rp 64.000.000,00 B. Rp 62.000.000,00 C. Rp 54.000.000,00 D. Rp 48.000.000,00 E. Rp 46.000.000,00
5 13 6 3 km 5 13 6 3 km 5 13 6 2 km 5 13 6 7 km
7.
8.
2
6
B.
1 4
2
6
C.
1 4
2
6
D.
1 4
6
2
E.
1 4
6
2
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan sin 2x ! sin x, untuk 0 d x d 2S adalah . . . . A.
{x
B.
{x
C.
{x
D.
{x
E.
{x
_ 0 x S3 atau S x 2S} _ 0 x S6 atau S x 1 32 S } _ S6 x S atau 1 56 S x 2S} _ x S6 atau S x 1 56 S} _ S3 x S atau 1 32 S x 2S}
Dari 6 ahli kimia dan 5 ahli biologi, dipilih 7 anggota untuk sebuah panitia, di antaranya 4 adalah ahli kimia. Banyaknya cara yang dapat dilakukan
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
129
dalam pemilihan itu adalah . . . . A. 25 D. 300 B. 50 E. 600 C. 150 9.
f
13. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada pada tahun ketiga 150 unit, maka produksi tahun ke-15 adalah .... A. 370 D. 430 B. 390 E. 670 C. 410
10
10 8
8 5
5
9
4
3
3
B 134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5
Rataan dari data pada diagram adalah . . . . A. 153,5 D. 149 B. 152 E. 148,5 C. 151 10. Salah satu persamaan garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu x pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, 2) adalah . . . . A. y x 3 4 3 12 B. y x 3 4 3 8 C. y x 3 4 3 4 D. y x 3 4 3 8 E. y x 3 4 3 4 11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2
15. Diketahui titik A(3, 2, 1), B(2, 1, 3), C(2, m, n) _ _ _
dan vektor a, b, c berturut-turut vektor posisi titik _
A, B, C. Jika a Â&#x2DC; c 3, b Â&#x2DC; c 2, AC
y
5 x 5 12 6
B.
y
5x 5 6 12
C.
y
5 x 17 12 3
D.
y
5 x 17 4 3
E.
y
5x 5 4 12
12. Sebuah kelereng jatuh dari ketinggian 5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 54 kali tinggi sebelumnya, demikian seterusnya sampai kelereng berhenti. Panjang lintasan kelereng adalah . . . . A. 55 m D. 40 m B. 50 m E. 25 m C. 45 m 130
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
p dan
q , maka proyeksi skalar ortogonal vektor
AB _
p pada q adalah . . . .
A.
12 14
28
D.
8 13
26
B.
11 14
28
E.
4 13
26
C.
12 13
26
5x -12y +15=0 adalah . . . .
A.
4¡ ¸. 2š
Jika A 1B C dan A 1 invers matriks A, maka nilai x y . . . . A. 5 D. 3 B. 3 E. 5 C. 1
2
x + y - 2x + 4y - 4=0 yang sejajar dengan garis
§ 2 3 ¡ ¨ ¸, 4š Š 2 2¡ § x 2y § 8 ¨ ¸ dan C ¨ 2 x y 0 Š š Š 5
14. Diketahui matriks A
16. Persamaan peta garis 4x y 5 0 karena rotasi pusat O sebesar 32S dilanjutkan dilatasi [0, 3] adalah . . . . A. x 4y 5 0 D. x 4y 5 0 B. x 4y 15 0 E. x 4y 15 0 C. x 4y 15 0 17. Suatu barang diperkirakan akan mengalami pengurangan harga setiap tahunnya sebesar p%. Jika nilai jual barang tersebut pada tahun 2003 adalah M rupiah, maka nilai jual barang itu pada tahun 2010 adalah . . . . 7
A.
p ¡ § M M ¨1 ¸ rupiah 100 š Š
B.
p ¡ § M M ¨1 ¸ rupiah 100 š Š
C.
p ¡ § M ¨1 ¸ rupiah 100 Š š
8
7
A. B. C. D. E.
6
D.
p ¡ § M ¨1 ¸ rupiah 100 š Š
E.
p ¡ § M ¨1 ¸ rupiah 100 Š š
8
lim 18. x o3 4
A. B. C.
9 x2 x2 7
lim 19. x oS
....
D. E.
cos2 2 x
4
8 10
1 2
D.
1 4
B.
0
E.
1 16
C.
1 2
C.
B.
2 9
4 3 x 2 {( x 5) (4 3 x ) 2 } C
C.
2 9
4 3 x 2 {( x 5) (4 3 x )} C
D.
2 (4 3 x )} C 92 4 3 x 2 {( x 5) 15
E.
92 4 3 x 2 {( x 5) (4 3 x ) 2 } C
m
D.
m
E.
m m
m
22. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek 120 per hari 3 x 900 ratus ribu rupiah. Agar x biaya proyek minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu . . . .
A.
40 hari
D.
120 hari
B. C.
60 hari 90 hari
E.
150 hari
23. Turunan pertama dari y yc . . . .
1
3
3
3
1
3
9 2 10 3 8 3
A.
C.
21. Dari selembar karton akan dibuat kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dengan volume 32 m3. Supaya karton yang diperlukan minimum maka tinggi kotak adalah . . . .
B.
4 3 x 2 {( x 5) 152 (4 3 x )} C
25. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 2, y x, x 2 dan sumbu -y adalah . . . .
20. Diketahui: g(x) 3x 1 f(g(x)) 9x2 12x 8. Nilai f( 2) . . . . A. 17 D. 9 B. 15 E. 5 C. 13
A.
3
2 9
B.
4 2 8 2
4 3 x dx . . . .
A.
....
A.
1 2 2 2 3 2
Âł x 5
24. Hasil
0 5 6,5
1 sin 2 x
2 sin (3 4x2) 16x sin (3 4x2) 16x sin (3 4x2)2 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2
26.
3
Âł sin
satuan luas satuan luas
D. E.
5 2 2 3
satuan luas satuan luas
satuan luas
x cos x dx
....
A.
1 sin4 x C 4
D.
1 sin2 x C 3
B.
1 cos4 x C 4
E.
1 sin4 x C 3
C.
1 cos2 x C 4
27. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm diisi air sampai penuh. Sebuah bola kaca padat berdiameter 20 cm, dimasukkan ke dalam tabung tersebut. Volume air yang masih ada dalam tabung tersebut . . . . A.
6.280 cm3
D.
2.093,3 cm3
B.
4.186,7 cm3
E.
10.466,7 cm3
C.
4.186,6 cm3
28. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Jika M titik tengah AE maka jarak M dan CH adalah . . . . A. 4 7 cm D. 2 19 cm B. 4 6 cm E. 6 2 cm C. 4 5 cm
cos (3 4x2)2 adalah
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
131
29. Diketahui bidang empat T.PQR, TR tegak lurus bidang PQR, PRQ 90° dan PR QR 10 cm. 3 2 Jika tan (TPQ, PQR) , maka TR . . . . 5 A. 4 cm D. 5 2 cm B. 3 2 cm E. 8 cm C. 6 cm
132
PT LITERATUR MEDIA SUKSES
30. Diketahui argumentasi I. p o q II. p q III. q oa p q oa r ap q r ? a r o a p ?q ? p o r Yang merupakan argumentasi sah adalah . . . . A. Hanya I D. Hanya II & III B. Hanya I & II E. Hanya III C. Hanya I & III