1
Rango de una Matriz
El rango de una matriz es tratado mas ampliamente en los espacios vectoriales. De…nición 1.1. El rango de una matriz A de orden m de la submatriz no-singular de A de mas alto orden
n es de…nido como el orden (tamaño)
El rango de la matriz A se suele denotar como rank (A) o R (A) Ejemplo 1.1. Sea la matriz
Notemos que la submatriz de mayor nantes son: 0 1 1 det @ 1 1 2 0 0 1 1 0 det @ 2 1 1
por tanto el rango no puede ser tres.
0
1 B 1 A=B @ 2 1
1 1 0 1
1 1 0 C C 1 A 0
tamaño es de orden 3 1 0 1 0 A = 0 det @ 1 1 0 1 1 A = 0 det @ 0
1 1 1 1 2 1
3; estas submatrices y sus determi1 1 1 1 0 A=0 1 0 1 1 0 0 1 A=0 1 0
Consideremos la matriz cuadrada de orden 2 M=
1 1
1 1
su determinante es igual a det M 6= 0 por tanto esta matriz es no singular luego el rango es 2 R (A) = 2 Este forma de hallar el rango es muy costoso, mas adelante veremos otra manera de encontrar dicho rango. Proposición 1.1. El rango de una matriz A de orden m mínimo entre m y n; esto es R (A) min fm; ng
1.1
n es siempre menor o igual que el
Operaciones Elementales
Se de…nen tres operaciones elementales sobre las …las (o columnas) de una matriz que a continuación enunciamos 1. Intercambiar las …las (columnas) i y j fi
1
fj
2. Multiplicar una …la (columna) por un escalar k 6= 0 fi ! kfi 3. Añadir k-veces la …la (columna) i a la …la (columna) j fj ! fj + kfi El siguiente teorema es importante para el calculo del rango de una matriz Teorema 1.2. El rango de una matriz no cambia si aplicamos cualquiera de las operaciones elementales de…nidas previamente.
1.2
Matrices Elementales
En lo que sigue, mostraremos que cada operación elemental por …la puede ser expresado como una matriz no-singular, llamada matriz elemental De…nición 1.2. Una matriz E obtenido de la matriz identidad I realizando exactamente una operacion elemental por …la es llamada una matriz elemental. Ejemplo 1.2. Las 0 0 0 @ 0 1 1 0 1 0
siguientes matrices son matrices elementales 1 1 0 A : se obtiene intercambiando las …las 1 y 3 de I3 0 0 8
1 0 3 1
: se obtiene multiplicando por ( 8) la …la 2 de I2 : se obtiene sumando tres veces la …la 1 a la …la 2 de I2
Observación 1.1. Debemos notar que si E es una matriz obtenida por una operacion elemental por …la sobre la matriz identidad Im entonces, para cualquier matriz A de orden m n; el producto EA es exactamente la matriz que se obtiene cuando se aplica la misma operación elemental por …la sobre A Ejemplo 1.3. Sea la matriz
0
1 2 3 5 5 4 1 A 1 0 3
1 A=@ 1 0
apliquemos la operación elemental f2 ! f2 + 5f3 0 1 2 @ 1 10 0 1 ahora si esta misma operación elemental por …la 0 1 @ 0 E= 0
2
entonces obtenemos 1 3 5 4 16 A 0 3
(1)
la aplicamos a la matriz identidad I3 obtenemos 1 0 0 1 5 A 0 1
luego el producto de la matriz E por la matriz A es: 0 1 1 2 3 5 10 4 16 A EA = @ 1 0 1 0 3
(2)
como se ve tenemos que (2) es igual a (1)
El siguiente teorema determina la inversa de una matriz elemental Teorema 1.3. Una matriz elemental es invertible y su inversa es tambien una matriz elemental del mismo tipo. Ademas 1. Si E multiplica a una …la por c 6= 0, entonces E 2. Si E intercambia dos …las, entonces, E
1
1
multiplica a la misma …la por
1 c
los intercambia tambien
3. Si E añade un multiplo de una …la a otra, entonces E misma …la a la otra
1
resta el mismo multiplo desde la
Para aclara este punto veamos este ejemplo Ejemplo 1.4. Sea la matriz
0
1 A=@ 2 1
1 2 3 1 0 8 1 0 3 A 1 0 1 1
Primero la operacion elemental consiste en multplicar la segunda 1 0 0 1 0 1 0 0 Si E = @ 0 5 0 A ! E 1 = @ 0 51 0 0 1 0 0
…la por 5, entonces 1 0 0 A 1
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental f2 ! 5f2 y la la matriz elemental E viene de la operacion elemental f2 ! 15 f2 Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 8 1 3 A 40 5 0 15 A y E 1 A = @ 52 EA = @ 10 5 5 0 5 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
1
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental f2 f3 y la la matriz elemental E viene de la operacion elemental f2 f3 Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la matriz A es 0 1 0 1 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 1 0 1 1 A y E 1A = @ 1 1 0 1 1 A EA = @ 1 2 8 1 0 3 2 8 1 0 3
1
Segundo la operación elemental consiste en intercambiar la segunda y tercera …la, entonces 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 Si E = @ 0 0 1 A ! E 1 = @ 0 0 1 A notar que E 1 = E T 0 1 0 0 1 0
3
Tercero, la operación elemental es sumar a la …la 2 3 veces la 0 1 0 1 0 0 1 1 @ A @ 0 1 3 0 Si E = !E = 0 0 1 0
Notar que la matriz E viene de la operacion elemental E 1 viene de la operacion elemental f2 ! f2 3f3 : Ahora el efecto de esta operación elemental sobre la 0 1 0 1 2 3 1 0 1 11 1 3 6 A y E 1 A = @ 0 EA = @ 5 1 1 0 1 1 0
…la 3,entonces 1 0 0 1 3 A 0 1
f2 ! f2 + 3f3 y la la matriz elemental
matriz A es 10 0 0 1 1 3 A@ 2 0 1 1
1 2 3 1 0 8 1 0 3 A 1 0 1 1
De…nición 1.3. Una matrix de permutación es una matriz cuadrada obtenido de la matriz identidad por permutación de …las Ejemplo 1.5. Sea la matriz
0
0 B 1 P =B @ 0 0
1 0 0 0
1 0 0 C C 1 A 0
0 0 0 1
es una matriz de permutación pues se obtiene de intercambiar f1
f2 y f3
f4
Problema 1.4. Probar que 1. Una matrix de permutación es el producto de un número …nito de matrices elementales las cuales corresponden a la operación elemental por …las de "intercambio de …las" 2. Toda matriz de permutación es invertible y P
1
= PT
3. El producto de dos matrices de permutación es tambien una matriz de permutación 4. La transpuesta de una matria de permutación es tambien una matriz de permutación Problema 1.5. De…na las operacones elementales por columna para una matriz reemplazando "…la" por "columna" en la de…nición de operaciones elementales sobre …las. Mostrar que si A es una matriz de orden m n y E es una matriz elemental al realizar una operación elemental sobre columnas a la matriz identidad In , entonces AE es exactamente la matriz que se obtiene de A cuando realizamos la misma operacion elemental sobre la matriz A
1.3
Inversa de una Matriz por Operaciones Elementales
Estableceremos una relación entre una matriz invertible y las matrices elementales y tambien entre una matrices triangular y las matrices elementales Teorema 1.6. Sea A una matriz de orden n producto de matrices elementales.
n, entonces A es invertible si y solo si A e el
4
Prueba. Primero supongamos que A es el producto de matrices elementales entonces A = E1 E2
Em
como las matrices elementales son invertibles entonces AEm1 Em1 1
E1 1 = I
luego entonces A
1
= Em1 Em1 1
E1 1
por lo que A es invertible Ahora supongamos que la matriz A es invertible, entonces R (A) = n pues det (A) 6= 0 por otro lado del teorema (1.2) el rango no cambia si realizamos una operacion elemental, luego podemos aplicar sucesivas operaciones elementales y llevar la matriz A hasta la identidad Em
E2 E1 A = I
entonces A = E1 1 E2 1
1.4
Em1
Factorización LU
Antes de pasar al proceso de factorización primero debemos establecer lo siguiente Problema 1.7. Sea A y B dos matrices triangulares inferiores (superiores) cuadradas del mismo orden. Probar que 1. El producto tambien es triangular inferior (superior) 2. Si A es invertible, entonces su inversa es triangular inferior (superior) 3. Si los elementos de la diagonal de A y B son iguales a uno, entonces el producto tambien sus elementos de la diagonal igual a uno Una matriz A puede ser llevado a una matriz triangular superior U mediante el siguiente proceso 1. para i = 1
n
1
2. si aii 6= 0 entonces
aj;i fi aii en caso contrario intercambiar con alguna …la posterior
para j = i + 1
n hacer fj ! fj
5
luego hemos llevado la matrices A hacia una matriz triangular superior mediante un número …nito de operaciones elementales, esto es Em Em
E1 A = U
1
Si no ocurre una permutación entre …las entonces E1 ; E2 ; Em son matrices triangulares.inferiores (debera probarlo) por lo tanto E1 1 ; E2 1 ; Em1 son tambien matrices triangulares inferiores luego A = E1 1 E2 1 Em1 U haciendo L = E1 1 E2 1 ización LU
Em1 ; tenemos que L es triangular inferior, y hemos obtenido la factorA = LU
Ejemplo 1.6. Hallar la descomposición LU de la matriz 0 1 1 1 0 1 A A=@ 1 2 0 1 2
1.5
Factorizacion P A = LU
Supongamos que durante la factorización LU de la matriz A es necesario intercambiar …las, En este caso, podemos primero intercambiar todas las …las necesarias antes de hacer cualquier otra operación elemental por …las, dado que el intercambio de …las puede ser hecho en cualquier momento, antes o despues de otra operación, con el mismo efecto sobre la solución. Así no se necesitan mas intercambios de …las durante el proceso de factorización y lo que conseguimos es la factorización LU de la matriz P A: Ejemplo 1.7. Hallar la factorizacion LU de la 0 0 A=@ 0 1
matriz 1 1 2 1 0 A 0 0
Es obvio que necesitamos intercambiar las …las 1 y 3 de la matriz A , asi necesitamos multiplicar por la matriz 0 1 0 0 1 P =@ 0 1 0 A 1 0 0 entonces
0
1 1 0 0 PA = @ 0 1 0 A 0 1 2
y ahora para factorizar la matriz P A usamos 0 1 0 @ 0 1 LU = 0 1
el procedimento anterior y obtenemos 10 1 0 1 0 0 0 A@ 0 1 0 A 1 0 0 2
A continuación describimos con un ejemplo, el método para determinar la matriz L. 6
Suponiendo que es posible la factorización sin 0 2 B 1 A=B @ 2 3
intercambiar …las. Sea la mariz 1 4 3 3 0 C C 6 2 A 3 5
Paso 1.Hacemos que los elementos debajo de la diagonal de la primera columna sean iguales a cero f2 ! f2 f3 ! f3 f4 ! f4
1 f1 (E1 ) 2 2 f1 = f3 + f1 2 3 f1 (E3 ) 2
(E2 )
Hasta este punto tenemos que 0
2 B 0 E3 E2 E1 A = B @ 0 0
4 1 2 3
3
1
C C = A(1) 5 A 3 2
1 2
Luego la matriz L en este instante es de la forma 0 1 1 0 0 0 B 1 1 0 0 C 2 C L=B @ 1 1 0 A 3 1 2
Paso 2. Hacemos que los elementos de la segunda columna debajo de la diagonal de A(1) sean iguales a cero f3 ! f3 f3 ! f3
2 f1 = f3 1 3 f1 = f3 1
( 2) f1
(E4 )
( 3) f1
(E5 )
Hasta este punto tenemos que
E5 E4 A(1)
0
2 B 0 = E5 E4 E3 E2 E1 A = B @ 0 0
4 1 0 0
Luego la matriz L en este instante es de la forma 0 1 1 0 0 0 B 1 1 0 0 C 2 C L=B @ 1 2 1 0 A 3 3 1 2 7
3
1
C C = A(2) 2 A 4 3 2
Paso 3. Por Ăşltimo hacemos que los elementos de la tercera columna debajo de la diagonal de A(2) sean iguales a cero 4 f4 ! f4 f3 = f4 ( 2) f3 2 tenemos que 1 0 2 4 3 3 C B 0 1 (3) 2 C E6 A(2) = E6 E5 E4 E3 E2 E1 A = B @ 0 0 2 A=A =U 0 0 0 y la matriz L es
Compruebe que A = LU
0
B L=B @
1 1 2
1 3 2
0 1 2 3
8
0 0 1 2
1 0 0 C C 0 A 1