Metodos multifractales aplicados a la precipitación

PRECIPITACIONES MAXIMAS MULTIFRACTALES ANALISIS TEORICO Y ESTIMACION PRÁCTICA

GRUPO 8: JACAY PEREZ,MAYRA ROMERO TAMARA, RAUL HUAPAYA CUPE, HILDEBRANDO HERNANDEZ PUSARI, ROBERTH

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA

PRECIPITACIONES MAXIMAS MULTIFRACTALES: ANALISIS TEORICO Y ESTIMACION PRÁCTICA 1.- Introducción La estimación de las lluvias extremas es un problema central de la hidrología estocástica, estos extremos son cuantificados típicamente a través

ε d ,T

la intensidad promedio de precipitaciones en un

intervalo de duracion d con un periodo de retorno de T años. Las curvas de intensidad-duraciónfrecuencia son gráficos de

Los valores

ε d ,T

ε d ,T Vs. d para diferentes valores de T.

del IDF dependen de alguna manera en la definición del periodo de retorno T.

cuando el registo de precipitaciones consiste deen los, valores máximos anuales, T es definido como el rerecíproco del ratio dede execendia por el máximo anual y el

ε d ,T

es obtenido como el máximo

cuántil de 1/T de ese máximo para una duración d. Cuando un registro de precipitaciones continuó está disponible, T puede ser tomado como el recíproco del ratio al que la intensidad límite es superada (también llamada pico sobre límite o método de duración parcial). Finalmente cuando una precipitación es representada como un proceso aleatorio a veces más conveniente definir T como el recíproco del

ε d ,T

ratio de excedencia marginal. En este último caso

el valor excedido con probabilidad d/T por

ε d , el intervalo de precipitación es un intervalo genérico d. Excepto para periodos de retorno T de muy pequeños, estas definiciones producen resultados muy similares.

Así usamos la última definición citada de T para estudiar las precipitaciones extremas bajo la condición que es la precipitación tiene una invarianza a escala multifractal. Esta propiedad de invarianza aplica como una buena aproximación de la precipitación, típicamente para duración “d” que van desde una hora a varios días. Cómo sabemos, la multi fractalidad produce interesantes puntos de vista teóricos de la estructura de las curbvas IDF y sugiere simples aproximaciones, lo que puede resultar atractivo en práctica elucidar esas consecuencias teóricas y prácticas de la multifractalidad es nuestro objetivo principal.

1

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La multifractalidad controla ciertas propiedades de escala asintóticas de

ε d ,T

no caracteriza

completamente el proceso de lalos precipitacion o los valores del IDF; por tanto cualquier derivación de las curvas IDF debe estar en el contexto de una específica representación multifractal de la precipitación.

Recientemente Langousis y Veneziano han estudiado las curvas IDF bajo varios modelos multifractales de precipitaciones. El modelo preferido idealiza la precipitación como una secuencia de tormentas independientes e idénticamente distribuidas separadas por períodos secos. La duración D y la intensidad promedio I de cada tormenta son variables aleatorias conjuntamente distribuidas y la precipitación en D es descrita por un proceso estacionario multifractal (una cascada multiplicativa).

Modelos más simples fueron también considerados. En particular, el modelo 3 particiona el eje del tiempo en intervalos de constante (larga) duración D y representa la precipitación en diferentes intervalos D como realizaciones independientes de un proceso multifractal estacionario del tipo betalognormal. El componente beta del proceso modela la alternación de periodos secos y húmedos y el componente lognormal describe las fluctuaciones de la intensidad de la precipitación cuando llueve.

Como fue definido anteriormente,

ε d ,T

es un cuántil de

ε d . Sin embargo, en un análisis

multifractal lo que es fundamental no es la duración promedio d, sino la resolución

equivalentes una vez que D Es especificada). Por esto trabajamos con

la precipitación en

valor exedido por

d=

D r

y satisface

P[ε r > ε r , T ]=

(r y d son

ε r ,T

en IDF es el

D rT .

Un hecho importante acerca de los máximos multifractales es que, cuando

ε r ,T

D d

ε r , la intensidad promedio de

. Con esa notación la intensidad de la precipitación

1 ε r con ratio T

r=

r →∞

oT

→∞ ,

tiene una dependencia exponencial con r y T, con exponentes diferentes en los dos casos

límites. La mayoría de los análisis previos de IDF utilizando modelos multifractales de precipitaciones se han concentrado en éstos resultados asintóticos, pero las propiedades de escala asintótica no son suficientes para las aplicaciones hidrológicas dónde uno necesita los valores reales IDF para

2

r

y

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T

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finitos. El presente análisis apunta a encontrar los calores IDF y cubre los regímenes de escala

asintótica y el rango no escalable transitorio.

Bajo el modelo 3, la exacta calculación de la curva IDF requiere análisis numérico. La sección 2 usa éste enfoque para ilustrar el comportamiento de las curvas IDF bajo la multifractalidad. Sin embargo el análisis numérico no es conveniente para estudiar propiedades generales de las curvas IDF. Para éste propósito, la sección 3 introduce y evalúa numerosas aproximaciones. Las aproximaciones son después usadas en la sección 4 para derivar propiedades interesantes de las curvas IDF y en la sección 5 para desarrollar un método de estimación IDF Practico. La aplicación a un registro simulado a 50 años ilustra el procedimiento y su exactitud. Las conclusiones son establecidas en la sección 6.

A través del informe, empleamos técnicas probabilísticas estándares con un formalismo multifractal mínimo. Esto hace el enfoque más transparente que usando teorías de grandes desviaciones y conceptos multifractales como singularidades y sus dimensiones fractales, aunque las últimas herramientas son más elegantes y generales. Las referencias de grandes desviaciones y teorías multifractales son hechas cuando nos interpretan los resultados.

3

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2.-LAS CURVAS EXACTAS IDF BAJO EL MODELO 3 Se dice que Las precipitaciones temporales son multifractales y sus estadísticas se mantienen sin cambios cuando el tiempo es contraído por un factor

A r . La distribución de

algunos variables no negativas

r >1

y la intensidad es multiplicada por

A r controla la escala y otras propiedades

del proceso de precipitación incluyendo la distribución marginal, el espaciamiento y duración de los intervalos húmedos y secos, y los extremos. En el caso del modelo 3, la distribución

masa de probabilidad

β

en 0 y

mln( Ar∨ Ar >0)=(C β −C ln )ln ⁡( r)

mean

Cβ

1−r −C

y

C ln

Ar

tiene una

( Ar ∨A r > 0) tiene una distribución lognormal con logy log varianza

son parámetros positivos tal que

σ 2ln (Ar ∨Ar >0) =2C ln ln ⁡( r) , donde

C β +C ln <1 . Llamamos a esa distribución de

A r una distribución beta lognormal y el proceso de precipitación resultante, un proceso multifractal betalognormal (la nomenclatura beta viene de la literatura multifractal y no tiene relación con la distribución beta).

El modelo 3 tiene 4 parámetros: el límite exterior de la escala multifractal D (típicamente entre 10 y 15 días) la intensidad promedio I, y los parámetros multifractales

0.4 ¿ C β < 0.6

1−C (¿¿ β) ¿

0.05<C ln <0.1 . El parámetro

y

del soporte de lluvia, mientras que

intensidad cuándo llueve.

Cβ

intensidad

precipitación

promedio

de

y

C ln

C ln

Cβ Cβ

y

C ln

con rangos típicos

controla la dimensión fractal

controla la amplitud de las fluctuaciones de

también determinan la escala de los momentos de

εr

para

4

distintas resoluciones

r . De hecho

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E [ ε qr ] r K (q)

con

la

función

K ( q )=log r E [( A r )q ]=C β ( q−1 ) +C ln (q 2−q)

del

instante

. Esta propiedad de escala de instante es usada

C β y C ln de los datos.

para inferir

Ya que

escala

ε r ,T

I =1

es proporcional a I, en el análisis que sigue igualamos

. Dado

(I =1,C β ,C ln ) uno puede calcular la distribución marginal de ε r y a partir de eso obtener los valores

ε r ,T

dónde

A r es la variable beta lognormal introducida arriba y Z es la también llamada factor vestido,

exactos de IDF. El cálculo de la distribución marginal usa el hecho que

ε r = Ar Z

,

que cuenta por las fluctuaciones de la intensidad de precipitación para resoluciones más altas que r. La

Cβ y

distribución Z no tiene una forma analítica, pero puede ser calculada numéricamente de

C ln usando un procedimiento iterativo.

Importantes características de distribución de Z son la cola superior asintótica de Pareto

P [ Z> z ] z−q

¿

con exponentes

q ¿=(1−C β )/ C ln > 1

y el hecho de que, como

tiene una masa de probabilidad diferente de 0 en 0. Debido a estas propiedades de

ε r = Ar Z

tiene una cola superior de Pareto asintótica

probabilistico en 0. Exepto por resoluciones

dominada por

r

−q

P [ εr > ε ] ε

Ar

probabilidad en cero crece y el rango de cercanía a lognomal de

5

(ε r ∨ε r >0)

y

Z ,

¿

y un átomo

cercanas a 1, el resto de la distribución

( Ar ∨A r > 0) y es aproximadamente log normal. Mientras r

Ar , Z

εr

es

crece, la masa de

se amplía.

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Para ejemplificar hemos calculado la distribución de

ε r para

C β =0.4,C ln =0.05 y diferentes ε r ,T

valores de

r . La figura 1 muestra las curvas IDF resultantes como gráficos de

diferentes

T /D en el panel superior y como gráfico de ε r ,T Vs T /D para diferentes r en el

vs

panel inferior. Los gráficos en el panel superior son casi rectos y paralelos pata ambos ( r

T pequeño) o ( r pequeño, T corresponden a rango escalados de

r

para

grande,

muy grande). Como mostramos en la sección 4, estas regiones

ε r ,T . Consistentes con éste comportamiento, las curvas de

crecimiento en el panel inferior de la figura 1 son funciones exponenciales para pequeños y muy largos periodos de retorno T, con una región transitoria que se amplía mientras que

r

crece. La forma

general de éstas curvas se parecen a la función logarítmica que, basada en propiedades asintóticas de la distribución gumbel a es a veces asumida en estimaciones empíricas IDF.

6

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Fig. 1 (a)

ε r ,T

como función de r para

como una función de T/D para

log 10

log 10

T =1 ( 1 ) 10 D

T =0 ( 1 ) 4 D

. (b)

ε r ,T

. Las líneas punteadas

delimitan las regiones de escalamiento aproximado; ver sección 2.

3.- APROXIMACIONES Un cálculo exacto de las curvas IDF es tedioso, principalmente porque obtener la distribución del factor vestido

Z

requiere múltiples circunvoluciones. Adicionalmente, los resultados exactos no tienen una

forma analítica. Por esto para un análisis teórico más profundo así como para un uso práctico, es

ε r . Tres aproximaciones son

importante desarrollar aproximaciones para la distribución de introducidas y evaluadas en ésta sección.

Como se discutió en la sección 2, la intensidad de precipitación incondicional (

ε r ∨ε r >¿ 0) tiene un

cuerpo cerca a un lognormal y una cola superior de Pareto asintótica. En la primera aproximación

εr

presentada abajo, reemplazamos

lognormal bajo algun valor

ε¿r

con

ε 'r

tal que (

y excatamento Pareto sobre

ε ' r ∨ε ' r >¿ 0) es exactamente

ε¿r

. Ésta operación produce mas

simples pero aunno analíticas curvas IDF y es el trampolín para las otras dos aproximaciones, las que simplifican más aun la distribución de

ε ' r . Ya que las simplificaciones guían a los resultados que son

consistentes con la también llamadas aproximados y refinados límites de la teoría de gran desviación, nos referimos a estas aproximaciones como las aproximadas y refinadas aproximaciones de

31.-APROXIMACIÓN DE La distribución de

ε 'r

ϵ 'r

es obtenida en dos pasos:

7

ε 'r

.

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Paso 1: (aproximación de

ε¿r

bajo

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Z

y la aproximación de

Z

el factor de vestido

ε 'r

bajo

ε¿r

es reemplazado por una variable

εr

). Para aproximar

Ar

β−ln

Z

, donde

r Z es legida para coincidir algunas características de Z . Es especialmente conveniente emparejar Z , ya que el calculo de estos instantes es mas directa y los instantes de

un instante entero de

Ar

Z

son dados por

reemplazado por

Ar

Z

[

E ( Ar

) ] =r z q

Z

K (q )

K ( q )=C β ( q−1 )+ Cln (q2−q ) . Con

con

Arr

ε ' r ’ tiene la misma distribución beta lognormal que

y

εr

comparar esta distribución excata de

Arr

con la distribución aproximada de

encontrado que un buen criterio para seleccionar

rZ

Z

Z

Z

. Al

, hemos

Z de orden q

es emparejar un instante de

cerca a q*/2, donde (formula) es el orden tras el cual los instantes de Z divergen. Por ejemplo, para

C β =0.4,C ln =0.05

uno encuentra

E [ Z 6 ] nos da

q ¿=12 y la pareja

Usando el criterio de emparejamiento instante

C ln en el rango de interés para la precipitación. Los valores mas bajos de

rZ

para

Cβ

ε ¿ r y distribución ε ' r / ε ¿ r ). Para mejorar la aproximación de arriba en la cola

superior, injertamos una cola exponencial a la distribución de

pendiente log- log

dlnP [ Ar r > ε ] Z

dlnε

Arr

Z

sobre el valor

ε ¿ r . Tal que la

¿

' −q ¿ ε =−q¿ . Por tanto asumimos que P [ ε r > ε ] α ε . La ¿

r

constante de proporcionalidad es usada para reforzar la continuidad del CDF del

8

y

entre 2.0-2.3, son

C β =0 .

encontrados por casos puramente log normales con

Paso 2: (

rZ

q ¿ /2 , la figura 2 nos da

r Z =4.36 .

¿ ' ε r en ε r .

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La figura 3 compara la distribución exacta de

y la distribución de

para

ε r con la distribución con A r r

Z

después del paso 1

ε ' r después del paso 2, en la resoluciones r=1 y r=100 . Nota que

r=1 , Er es distribuido como Z . Para ambos valores de r , la aproximación de ε ' r

es muy excata.

Fig. 2 Valores de

r Z que reproducen de instante Z de orden q ¿ / 2

9

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Fig3. Comparación de la distribución exacta de

ε r con la distribuciones de A r r

r=1 y r=100 . Otros parámetros son C β =0.4,C ln =0.05

Una expresión para el punto de cambio

ε

y

Z

y

ε'r

para

r Z =4.36 .

¿ r

que separa del cuerpo lognormal de la cola Pareto de

'

ε r es dada en el apéndice A, (ecuación A.2.) Otra cantidad importante derivada en el apéndice. ( ecuación A.4) es T*r, el periodo de retorno del evento

Habiendo determinado

'

¿

ε r>ε r .

ε ¿ r y T ¿ r , las curvas IDf bajo ε ' r son dadas por:

10

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(rr )

C β−C ln

Z

exp

{√

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¿ −1

2C ln ln ( r r ) ∅ Z

[

1−

(rr )

Cβ

Z

D

rT

]}

¿ , T ≤ T ¿r ( a ) ε

¿ r

T T ¿r

C ln /(1−C β)

( )

, T >T ¿ r (b)

ε r ,T =¿

Donde

−1

∅

es la inversa de la normal estándar CDF. Si bien es simple, la ecuación 1 no es conveniente −1

∅

para estudiar las propiedades de las curvas IDF dado a la función

no analítica. Las

aproximaciones en las dos secciones siguientes son más adecuadas para este propósito. Estas aproximaciones también proveen vínculos a resultados de valores extremos de técnica multifractales y de gran divergencia.

ϵ 'r

3.2.- APROXIMACIÓN REFINADA DE

Una propiedad muy conocida de la distribución normal es que

φ ( x ) y ∅ ( x ) Y h ( x )=φ(x )/ [ 1−∅ (x ) ]

lim X→∞

x [ 1−∅( x ) ] =1 , donde φ(x)

son respectivamente la función de densidad de

probabilidad (PDF), la función de distribución acumulativa (CDF) y la función riesgo de la variable normal estándar. Éste limite sugiere reemplazar la probabilidad de excedencia la función riesgo

h ( x ) con x . Con estos reemplazos, el análisis en el apéndice A nos da las

formulas simplificadas para

ε¿r ≈ (r r

1−∅( x ) con φ( x )/ x y

ε ¿ r y T ¿r

¿

Z

γ ) ,( a)

(2)

{

( 1−C β ) D T r≈ ( 2 π ) 2 ln ( r r ) r C ln ¿

Z

2 1 2

}

(r r

Z

[ )

( 1−C β) C ln

11

2

+C β

]

,

(b)

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Donde

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γ ¿=2−C β −C ln

T r ,ε , el periodo de retorno del evento ε ' r > ε , para

Las curvas IDF pueden ser caracterizadas por

r γ ε y r ε diferentes , pero aquí es más conveniente escribir como (¿ ¿ r Z ) y encontrara el ¿ periodo de retorno

T r ,γ , como una función de r y γ . Nótese de la ecuación 2(a) que los rangos ε ' r corresponden a γ ≤ γ ¿ y

de la lognormal y Pareto

¿

[

]

1

γ >γ ¿ , respectivamente. Encontramos

2

γ−C β

1 C + +C γ−C β 1 2 D ( 2C 2) ( 2 π ) 2 Cln + ln ( r r ) ( r r ) , γ ≤ γ ¿ (a) r 2C ln 2 ¿ 1−C 2 1 /2 1 +(γ −1) ( 1−C β ) C D ¿ ( 2 π ) 2 ln ( r r ) rr , γ > γ (b) r C ln T r,γ ≈ ¿ 2

(

[

)

Z

Si es necesario, la relación inversa (

Z

]

ln

β

ln

Z

[

β

ln

(3)

]

Z

ε r ,T como la función de r y T ) puede ser calculada

numéricamente.

Una característica interesante de la ecuación 3(a) es que puede ser obtenida también de la teoría de gran divergencia, usando el límite refinado de Cramer. Es por esto que nos referimos a la aproximación presente como la aproximación refinad de

ε' r .

3.3.- APROXIMACIÓN ASINTÓTICA INEXACTA DE

12

ϵ 'r

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Mayor simplificación sigue de aproximar al factor

1≤ r ≤100 y

(2 π ) 2C ln

(

)

r γ ocurren aproximadamente una vez por año, mientras que (¿ ¿ r Z ) ¿

γ 1 =0.7 y

1

¿

marca la transición lognormal

' ε r . Las combinaciones ( r , γ ) con r >10 y γ >1 producen pequeñas

r γ probabilidades de excedencia (¿ ¿ r Z ) ¿

(2 π ) 2C ln

(

¿

γ −C β 1 2 + ln ( r r 2 C ln 2

)

y no deberían ser consideradas. Bajo estas restricciones, el

Z

)

]

1 2

tiene baja sensibilidad de

aproximada por una constante δ . Por ejemplo para estos factor oscila entre 3(ambos tomar

en la

r γ en exceso de (¿ ¿ r Z ) ¿

γ =1.55 . El límite inferior γ 1 es tal que los valores de ε r

[

]

uno encuentra

¿

factor

)

γ 1< γ < γ ¿ , donde γ 1=C β −C ln +2 √ C ln (1−C β )<1 y

γ ¿=2−C β −C ln>1. Por ejemplo, para C β =0.4,C ln =0.05

Pareto de

Z

1 2

r y γ de interés para aplicaciones hidrológicas están en

ecuación 3(a) por una constante. Valores de rangos

[

2

γ −C β 1 + ln ( r r 2 C ln 2

r y γ y puede ser

C β =0.4,C ln =0.05

r y γ pequeños) a cerca de 10 (r o γ

y

r Z =4.36 ,

grandes) y podemos

δ =5. Más aun, δ es insensible a C β y C ln en el rango de interés para las

precipitaciones.

Con la aproximación

δ , la ecuación 3 se convierte en:

13

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γ −C β 1 + 2 C ln 2 ¿ ¿ 1 ¿ +C β 2 ¿ Cln ¿ ¿ Dδ ¿ (r ) r r T r ,γ ≈ ¿

(4)

Z

δ=¿ 1) puede ser derivada la teoría de la gran

También la expresión en la ecuación 4(a) (para

divergencia, en este caso usando límite aproximado de Cramer.

A diferencia de la ecuación (3), la ecuación (4) puede ser invertida y nos da

ε r ,T ≈

{

√[

C β−C ln +2 C ln log r

(r r )

r

Z

1+

( rr )

Z

(δDrT )−C ] , T ≤T ¿ β

[ ( ) ], T > T

C ln rT log r −1 1−C β δD r

Z

Dδ r Donde T r ≈ r ( r ¿

Z

[ )

Z

2

(1−C β) +C β C ln

¿ r

r

( a)

(b)

}

(5)

]

La figura 4 compara las curvas IDF exactas con las aproximaciones en la ecuación 1,3 y 5 para

log 10

( TD )=1

En todos los casos

C β =0.4,C ln =0.05

y

r Z =4.36 . Los resultados de las

ecuaciones 1 y 3 son casi idénticas y todas las aproximaciones son precisas sobre un rango de

14

r yT .

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Fig. 4 Comparación de las curvas IDF exactas (líneas continuas) y aproximadas (Líneas punteadas) para

log 10

( TD )=1

. Otros parámetros son

aproximaciones,

C β =0.4,C ln =0.05

y, para las

r Z =4.36

4.- PROPIEDADES DE LAS CURVAS IDF A continuación usamos la aproximación de la ecuación 5 para discutir dos propiedades de las curvas IDF bajo condiciones de multifractalidad. Una es el escalamiento de rangos de

r yT

los valores IDF tienen una dependencia potencial sobre

ε r ,T (Para los r yT

y con los

exponentes). El otro problema es la relación entre el escalamiento de la curva IDF y la cola superior de Pareto que es frecuentemente observada en la distribución empírica de

15

εr

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4.1.- RANGOS DE ESCALAMIENTO DE LA CURVA IDF

ε r ,T tiene una dependencia potencial sobre r y T / D bajo dos

La ecuación 5 implica que condiciones:

1.

r →∞ o mas específicamente cuando log r

En el límite de alta resolución

Escribiendo

log r

rZ

log r

rZ

rr

( rTD ) → 0.

≈ (δ

−1 q1

rz

γ1 −

Z

Z

1 q1

)r

rZ

γ1

( DTr ) ≤ 1 Z

( rTD ) →1

.

, esta condición limitante es equivalente a

T ≤ T ¿r ,ε ,T

Ya que en este caso

log r

notando que aquí

ε r ,T

( rTD )=1+ log ( DTr )

rZ

r

debe ser calculada de la ecuación 5(a)

, hallamos después de cálculos algebraicos

1/ q1

(T /D)

(6)

γ 1=C β −C ln+2 √ C ln ( 1−C β ) y q1 =√(1−C β )/C ln . Por tanto para r de

Donde

alta resolución las curvas IDF tiene una dependencia potencial sobre

ry T . Una validación

numérica de este resultado es mostrado en la figura 1, donde los exponentes del escalamiento

γ 1 de r y 1/q1 2.

de T

son indicadas.

En el límite de largo periodo de retorno y ms precisamente cuando

log r

( δDrT ) ≥C +( 1−C ) /C 2

rZ

β

puede ser escrita como

Donde

β

ε r ,T ≈( γ

ln

−1 ¿ q

. En este caso la ecuación 5(b) aplica. Esta ecuación 1−

rZ

1 ¿ q

) r (T / D)

1 ¿ q

(7)

¿ 2 q =(q1 ) =(1−C β )/C ln . Por tanto también en este caso ε r ,T es una función

potencial de

r y T /D , Pero los exponentes de escalamientos son algo diferentes de

aquellos en la ecuación (6). También la relación de escalamiento en la ecuación (7) es verificada numéricamente en la figura 1.

Las constantes

γ 1 , q 1 , y q¿ en las ecuaciones (6) y (7) tiene una simple interpretación

geométrica en términos de la función de escalamiento instantánea

16

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K ( q )=C β ( q−1 )+ Cln ( q2−q ) : γ 1 es la pendiente de la tangente K (q) con

K=−1 , q1 es el orden de instante q en el punto de tangencia, y q ¿ >1 satisface

K ( q¿ )=q ¿−1 . La ecuación (7) fue obtenida primero por [15] y la ecuación (6) fue derivada por [9] usando técnicas de gran divergencia.

Es interesante que la dependencia de

ε r ,T sobre r=D / d y T

muestra dos

regímenes potenciales para pequeños ya grandes valores de los parámetros. En estos regímenes la función

log r

( δDrT ) ≥C +(1−C ) /C 2

rZ

β

β

ln

. Es separable, una propiedad que

es frecuentemente asumida en la estimación practica de IDF sin embargo, en el rango no escalable transitorio la función es no separable. Este comportamiento es diferente de cualquier otro sugerido anteriormente.

Para una mejor caracterización de la forma de las curvas IDF y ver si en práctica algún régimen

r yT

de escalamiento es de interés, estudiamos el rango de

bajo el cual cada

comportamiento escalamiento puede considerarse aplicar. Empezamos con el segundo comportamiento de escalamiento, dado por la ecuación (7). Las curvas IDF exactas satisfacen la

T → ∞ , mientras que en la proximacion de ε ' r , la

ecuación (7) asintóticamente y

ecuación (7) aplica para

log r

( δDrT ) ≥C +(1−C ) /C 2

rZ

β

β

ln

. Podemos tomar la desigualdad

posterior como el rango practico de la validez de la ecuación (7); ver líneas punteadas en la figura 1 delimitando la región de escalamiento alta

T .

Para determinar la región de validez aproximada de la ecuación (6), consideramos las derivadas parciales

δ log ⁡(ε r ,T ) y δlogr

δ log ⁡( ε r ,T ) ε δ log ⁡(T / D) de r ,T en la ecuación (5.a) .Los ratios

entre estas derivadas y sus valores asintóticos de la ecuación (6) son:

δ log ( ε r , T ) 1 C β−C ln + ξ+ √ C ln ( 1−C β ) ξ δlogr Sr = = , ( a) γ1 C β −C ln +2 √ C ln ( 1−C β )

( )

δ log ( ε r ,T ) δ log ⁡( T / D) ST / D= =ξ 1( b) 1 /q 1

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(8)

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Donde

ξ=

√

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1−C β log r

rZ

r →∞ , estos ratios se acercan a 1. Las rT −C β . Mientras δD

( )

r en la figura 1 satisfacen S T , D > 0.9 (En estas regiones,

regiones de escalamiento altas

S r está muy cerca de 1, indicando que escalar con r es logrado sobre un rango amplio de los parámetros que escalando con T ). Como la figura 1 muestra hay un rango transitorio amplio de

r y T / D en que ninguna relación de escalamiento se mantiene. En ese rango las

curvas IDF no son separables.

εr

4.2.- COLA DE PARETO DE

El hecho de que

ε r tiene una cola asintótica de pareto con exponente q ¿=(1−C β )/ C ln es

frecuentemente usado para estimar

q

De acuerdo a la aproximación refinada que la relación de potencia es dada por rápidamente mientras que D=15 días hallamos años para

¿

de gráficos empíricos de

log ⁡( P[ε r > ε ]) Vs logε .

ε ' r , la mínima longitud de registro necesaria para observar T ¿ r en la ecuación (2.b). T ¿ r

Es grande y se incrementa

r crece. Por ejemplo para C β =0.4,C ln =0.05

y

r Z =4.36 y

T ¿ r ≈ 1.5 x 104 años a la resolución mínima r=1 y T ¿ r ≈ 1.5 x 106

r=2 . Estas longitudes mínimas son bastante más largas que cualquier registro de

precipitaciones disponible, implicando que la pendiente empírica subestima Supongamos que el registro tiene una longitud

q

¿

.

T <T ¿r podemos usar la ecuación 5(a) para

cuantificar la predisposicion cuando q* es estimada como una pendiente negativa del grafico empírico (exp Vs. (exp). Cerca al valor máximo observado de Er, el valor teórico de esta pendiente negativa es

−(

δ log ( ε r ,T ) δ log

( TD )

−1

) =η

(9)

1−C β =η q¿ C ln

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Dónde

η=

√

[ ( ) ]

C ln log r

es el factor de predisposición. La figura (5) muestra como n

1−C β

depende de r y t/D para años y D=15 días

rT −C β δD

rZ

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C β =0.4,C ln =0.05

y

r Z =4.36 y sigma =5. Por ejemplo, para T=50

, T / D=1217 y n varía desde 0.68 para r=1 hasta 0.39 para r=1000. Ya que el

análisis de q* es típicamente hecho para resoluciones r en el orden de 100, La subestimación esta por un factor cercano a 0.4. Esto explica por qué la literatura frecuentemente reporta valores estimados de q* cerca de 3.5. Éstas estimaciones son realmente cercanas a r crece, Er desarrolla un rango de Pareto con exponente

¿ q1 =√ q¿ que a q . De hecho mientras

q1 =√ (1−C β ) /C ln sobre un grupo más

amplio de periodos de retorno; ver ecuación (6). Esto es consistente con el hecho de que, mientras

r →∞ , n en la ecuación (9) se aproxima a 1/q1 para cualquier T → ∞ . Una observación relacionada es el enderezamiento de la función de escalamiento instantánea empírica

K (q) para q más grande que 3-3.5 . Para un análisis más detallado de la causa raíz de estos fenómenos (el hecho de que singularidades de alto orden no son observables en cascadas unidimensionales)

Fig. 5 Factor de predisposición cuando se estima q* como la pendiente empírica de

log ⁡( ε r ,T ) vs log T Modelo 3 con

C β =0.4,C ln =0.05

y

r Z =4.36 y δ=5 .

5.- METODO DE ESTIMACION IDF PRÁCTICO Langousis y Veneziano hallaron que el modelo 3 produce curvas IDF precisas sobre el rango de escalamiento de las duraciones, lo que en muchos climas temperados se extiende desde una 19

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hora a varios días. La figura 4 muestra más aún que poca precisión es perdida si reemplazamos las curvas IDF exactas con las aproximaciones en las ecuaciones 1, 3 y 5. Aquí vemos un procedimiento de estimación IDF usando esas aproximaciones, como una alternativa al método estándar de ajuste de distribuciones tipo extremo a precipitaciones anuales máximas.

El método propuesto consiste en 4 pasos. Los 3 primeros pasos estiman los parámetros del modelo 3 y el paso final estima las curvas IDF: 1. Estimar la intensidad de precipitación media I como la intensidad promedio de precipitaciones en el registro histórico; 2. Usando el rango de escalamiento en los instantes empíricos, estimar la función K(q) y los parámetros multifractales

C β y C ln . Recomendamos elegir C β y C ln

para producir los escalamientos de los instantes de orden 0 y 3. Esto nos da

C β =−K ( 0 ) y Cln = parámetro

[ K ( 3 ) +2 K ( 0 ) ] .

6

Los resultados IDF son insensibles al

r Z . Podemos obtener este parámetro de la figura 2 o podemos fijarla a

una constante tal como

r Z =4;

3. Ajustar los instantes terceros empíricos con una función lineal log-log de d. El parámetro D es estimado como el valor de d para el cual esa función se igual al tercer instante teórico

I 3 r Kz (3) . ;

4. Estimar las curvas IDF para diferentes duraciones promedios d=D/r y diferentes periodos de retorno T usando ecuaciones 1,3 y 5, la última como

δ

=5. Para todos

los casos multiplicar los valores IDF calculados por la intensidad promedio de precipitaciones.

La razón por la cual el valor de

r Z no es importante es que para cualquier r Z dado

estimamos que D reproduce el tercer instante empírico. Lo que importa a las curvas IDF es que este instante sea reproducido, no la combinación especifica de

r Z y D. Distintas

aproximaciones en el paso 4 producen estimaciones IDF similares. El uso de la ecuacion 5 es la más simple, pero la implementación de las ecuaciones 1 y 3 es más directa. Una característica simplificadora cuando se usa la ecuación 1 es que uno está interesado principalmente en el rango log- normal; por esto se necesita trabajar solo con la ecuación 1(a).

La figura 6 ilustra el procedimiento de arriba usando una simulación continua de 50 años del modelo 3 con parámetros

I =1, D=15 dias , C β =0.4,C ln =0.05 . La intensidad

promedio empírica para esta realización es 1.012. Desde el instante graficado en la figura 6 a estimamos K(0) =-0.397 y K(3)= 1.086 (Los valores exactos son -0.4 y 1.1); por tanto los parámetros

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multifractales son aproximados a

C β =0.397 , Cln =0.0 49

. Tomando

r Z =4, uno

encuentra el tercer instante teórico de la intensidad promedio de precipitaciones en D que es

I 3 4 K(3) =4.506 Esto es emparejado al tomar T=9,24 días; ver figura 6ª. Notar que el valor exacto D no es recuperado del registro sintético. Esto es dado al hecho de que el valor de sido arbitrariamente elegido a 4, y por esto T es hallado tal que la combinación (

r Z ha

r Z ,D)

reproduce el tercer instante empírico.

Fig. 6 Ajuste del modelo y la estimación de la curva IDF usando una simulación de 50 años del modelo 3 con parámetros

I =1, D=15 días, C β =0.4 y Cln =0.05

empíricos (círculos), líneas rectas ajustadas para estimar

. (a) instantes

K (q) , y la estimación de D. (b,c)

Comparación de las curvas IDF exactas (líneas continuas) con los valores IDF de las ecuaciones 1 y5

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(líneas punteadas). Todas las curvas son para periodo de retorno

log 10 T ( yr )=1(2)9 ,

creciendo desde abajo.

Finalmente, la figura 6by c compara las curvas IDF de las ecuaciones 1 y 5 con las curvas IDF exactas para los parámetros usados en la simulación. Ya que las estimaciones de parámetros son muy buenas, la precisión de Las aproximaciones de las curvas IDF es comparable a la ya observada en la figura 4.

6.- CONCLUSIONES Ha sido conocido por algún tiempo que las curva IDF generadas por modelos multifractales de precipitaciones muestran dos comportamientos de escalamiento asintótico, uno como la duración promedio

d →0 o más precisamente como la resolución

r=D /d → ∞ donde D es el límite

superior de rango de escalamiento) y el otro como el periodo de retorno T tiende a infinito. Sin saber el rango de ( r ,T ¿

para los cuales estas relaciones de escalamiento aplican como buenas

aproximaciones estos resultados asintóticos han limitado el valor práctico. Al usar ciertas aproximaciones a las curvas IDF exactas hemos determinado este rango. Los resultados muestran que los dos régimen de escalamiento están separados ampliamente y el escalamiento para T → ∞ solo aplica para periodos de retorno muy largos; ver el ejemplo figura 1.

Una consecuencia de este hecho es que la cola potencial asintótica de la intensidad de precipitaciones en resoluciones

r , ε r , no pueden ser observada al menos que el registro de precipitaciones sea

irracionalmente largo. Este resultado muestra que la práctica común de estimar el decaimiento de la potencia de la cola superior empírica de la distribución Er produce estimaciones muy pequeñas.

Otra deficiencia actual que hemos presentado es el cálculo de los valores reales IDF (al contrario del cálculo de los exponente del escalamiento asintótico) sobre el rango de resoluciones r y periodos de retorno T. Para este propósito hemos desarrollado 3 aproximaciones diferentes, que son mucho más simples que el cálculo numérico de los valores exactos IDF. Hemos derivado estas aproximaciones usando métodos clásicos de probabilidad, los que son más transparentes que teoría de gran divergencia y análisis de singularidades.

Finalmente, hemos propuesto un método especialmente simple para estimar las curvas IDF bajo la condición de multifractalidad. El método trabaja bien cuando se aplica a simulaciones de modelos multifractales.

Una valoración más extensiva de método y comparación con procedimientos de estimación tradicionales IDF será presentado en el informe de acompañamiento.

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