Exercices d’application

θ

Figure I.3 : produit vectoriel

I.3.4 Moment d’un vecteur par rapport à un point Soit un vecteur et O un point quelconque. On appelle moment de par rapport à O, le vecteur défini par :

Remarque : moment par rapport à une droite : Pour calculer le moment par rapport à une droite qui est un scalaire il faut le calculer par rapport à un point sur cette droite puis le projeter sur cette dernière. Dérivées de vecteurs Soit alors la dérivée de est défini par: une fonction vectorielle de u (champ de vecteurs),

Ainsi, si ϕ(u) est une fonction scalaire et si sont des champs de vecteurs, on a alors :

Intégrales de vecteurs Soit le vecteur On défini une intégrale de par : qui est une fonction vectorielle de u.

I.4 DERIVATION ET INTEGRATION

I.4.1 La dérivation

I.4.1.1 La fonction dérivée

On définit la fonction dérivée de f(x), notée f’(x). En physique on la note aussi df/dx. Cette fonction permet de traduire l’évolution f en fonction des valeurs de x. A titre d’exemple, en considérant un problème sur un seul axe, l’axe des x : - L’accélération se définit par c’est la manière dont la vitesse évolue en fonction du temps - De même, la vitesse se définie par , c’est la manière dont la position évolue en fonction du temps

I.4.1.2 Détermination des fonctions dérivée

Pour déterminer la fonction dérivée d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de dérivées usuelles et de règles de calculs. Celles-ci sont à connaitre par cœur : fonction Fonction dérivée

K avec k ∈ ℜ 0

1

Tableau I.3 : Quelques dérivées usuelles

Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des fonctions aux quelles sont appliqués d’autres fonctions, leurs dérivées sont aussi à connaitre : On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ sa fonction dérivée de u :

Fonction composée Dérivée de la composée

Tableau I.4 : Fonctions composées

Enfin, des règles de calculs de bases sont à connaitre pour le calcul de dérivée. Considérons deux fonctions notées u et v. On note u’ et v’ leurs dérivées respectives. Opération sur les fonctions Opération sur les dérivées

Tableau I.5 : Opération sur les dérivées composées

Remarques sur la dérivation d’une fonction composée : • Dans le cours, lorsqu’une fonction f qu’on dérive dépend d’une variable u qui ellemême dépend de x, on emploie souvent la notation suivante :

I.4.2 L’intégration I.4.2.1 La primitive d’une fonction

Soit une fonction f telle que , on dit que F est une primitive de f. Autrement dit, c’est en quelque sorte « l’inverse de la dérivation ». Note :

Comme la dérivée d’une constante est nulle, chaque fonction présente une infinité de fonctions primitives du fait de l’existence d’une constante d’intégration. L’ensemble des fonctions primitives d’une fonction f sont notées F + k, avec k∈ℜ .

I.4.2.2 Détermination de la primitive d’une fonction

Pour déterminer la fonction primitive d’une autre fonction, on se rapporte à un certain nombre de primitives usuelles et de règles de calculs : Fonction Fonction primitive 0

Tableau I.6 : quelques primitives usuelles

Il arrive aussi que nous rencontrions des fonctions composées d’autres fonctions, c’est-à-dire des fonctions auxquelles sont appliqués d’autres fonctions, ces fonctions composées correspondent à des primitives particulières, les voici : On note u la fonction à laquelle est appliquée une autre fonction et u’ la fonction dérivée de u : Fonction composée Primitive de la composée

Tableau I.7 : Fonction composée

I.4.2.3 Les intégrales

Reprenons l’exemple précédent, en notant cette fois-ci :

On note la somme de toutes les valeurs prises par f entre les abscisses a et b.

Comme il y a une infinité de point entre a et b, on considère que la primitive correspond à la somme d’un nombre infini de termes.

Il s’agit de l’aire sous la courbe représentant la fonction f entre a et b. Par exemple ici nous avons coloriés la grandeur :

Comment calculer une intégrale ? Le calcul de l’intégrale nécessite la connaissance d’une primitive de la fonction f.

On a : Aussi, on note souvent la grandeur F(b)-F(a) par l’écriture Ainsi, dans l’exemple choisi on a :

On remarque que la constante d’intégration s’annule dans le calcul de l’intégrale, cette dernière n’y interfère donc pas. Opération entre les intégrales Il y a un certain nombre d’opération mettant en jeu les intégrales à connaitre :

(relation de Chasles)