Strukturen hos amöbor och koamöbor i två dimensioner

Strukturen hos am¨obor och koam¨obor i tv˚ a dimensioner Anna Broms anbr0814@gymnasiumskovde.se Isak Nilsson isak.n@bredband.net

Forskningsmentor Prof. Mikael Passare Matematiska institutionen Stockholms universitet

Research Academy for Young Scientists July 6, 2011

Abstract We study complex functions on the form f (z,w) = 1+az 2 +w2 +z 2 w+zw2 +bzw through topological studies of their amoebas and coamoebas.

For different values a, we numerically find a set B containing all b for which the amoeba of the function is solid. We also calculate the discriminant loci and compare their positions in C to the limits of B, discussing relations between these positions and the topological properties of functions with the discriminant loci inserted as the coefficient b. Values of b equaling discriminant loci are in all studied cases connected to the topological structure of the amoebas when found at the edge of and outside B, while values of b in B do not.

For different values a, we study the topological structure of coamoebas for functions with coefficients b equal and close to discriminant loci values. Such values located to the edge of B once again prove important as they consistently result in topological differences compared to coefficients b with slightly smaller absolute values. Discriminant loci found in B are found to have differing properties.

No specific trend was noticed.

2

Tillk¨ annagivanden Stort tack till professor Mikael Passare som uppfunnit b˚ ade projektet och stora delar av det ¨ amne det behandlar. Tack f¨or ditt engagemang, dina t˚ almodiga svar p˚ a v˚ ara st¨andiga fr˚ agor och f¨ or tv˚ a trevliga veckors v¨ agledning. Vi vill ¨aven tacka doktoranderna Johannes Lundqvist och Petter Johansson f¨ or koden i Mathematica samt hj¨alp med b˚ ade teoretiska och praktiska sv˚ arigheter. Sist men inte minst vill vi tacka arrang¨ orerna bakom Rays* 2011, som gjort detta m¨ojligt.

3

Inneh˚ all 1 Bakgrund 1.1 Am¨ obor och koam¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Anv¨ andningsomr˚ aden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5

2 Introduktion 2.1 Am¨ obans definition . .

2.2 Koam¨ obans definition 2.3 Newtonpolygonen . . .

2.4 Am¨ obans ryggrad . . .

2.5 Diskriminanter . . . .

2.6 Studiens fokus . . . .

. . . . . .

6 6 7 7 8 8 9

3 Underso ¨kning 3.1 Gr¨ anser f¨ or h˚ al i am¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨anser f¨or B . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Unders¨ okning av koam¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 11

4 Diskussion 4.1 Gr¨ anser f¨ or h˚ al i am¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨anser f¨or B . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Unders¨ okning av koam¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 13

5 Framtida arbete

13

Referenser

15

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

A Appendix A.1 Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨ansen f¨or B A.2 Unders¨ okning av koam¨ oban . . . . . . . . . . . . . . . .

A.3 Programkod f¨ or am¨ obor och koam¨obor . . . . . . . . . .

A.3.1 Kod: Koam¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.3.2 Kod: Am¨ obor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.4 Programkod snitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.4.1 Kod: Snitt version 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

A.4.2 Kod: snitt version 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

A.4.3 Kod: Ber¨ akning av diskriminantlokus . . . . . .

A.4.4 Kod: Hplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19

1 1.1

Bakgrund Am¨ obor och koam¨ obor

Am¨ obor ¨ ar verktyg som anv¨ ands f¨ or att f¨orst˚ a algebraiska kurvors egenskaper i flerdimensionella komplexa rum [4]. Begreppet am¨ oba introducerades f¨orsta g˚ angen ˚ ar 1994 av matematikerna I.M. Gelfand, M.M. Kapranov och A.V.Zelevinsky [2]. Namnet f¨orklaras av att den matematiska am¨oban har flera likheter med den biologiska namnen. Bilden av en am¨oba ¨ar en kropp med l˚ anga armar, tentakler som str¨ acker sig ut mot o¨ andligheten. Armarna ¨ar st¨andigt avsmalnande och anpassar sig till varsin linje [8].

Am¨ obans armar delar det reella planet i flera omr˚ aden. Samtliga dessa omr˚ aden ¨ar sammanh¨angande oppna komponenter av am¨ obans komplement [1]. Am¨oban kan ¨aven ha ett eller flera h˚ al, vakuoler. De ¨ a r sammanh¨ a ngande slutna komponenter av am¨ o bans komplement.

Samtliga komponenter i am¨obans ¨ komplement ¨ ar konvexa [8].

Koam¨ obor introducerades ˚ ar 2005 av M.Passare och A.Tsikh. Koam¨obor har starka kopplingar till am¨ obor. B˚ ada avbildar komplexv¨ arda funktioner och f¨or varje funktion finns en unik am¨oba och en unik koam¨ oba, vilket g¨ or koam¨ obor och am¨obor till dualer. Eftersom koam¨obor endast har studerats i sex ˚ ar a r de betydligt mer ok¨ a nda a ¨ ¨n am¨obor och grundl¨aggande egenskaper hos koam¨obor studeras fortfarande [3]. Koam¨ oban utg¨ ors v¨ asentligen av ett m¨onster av linjer d¨ar f¨alten som skapas mellan linjerna kallas h˚ al om de ¨ ar tomma.

1.2

Anv¨ andningsomr˚ aden

Am¨ obor binder samman omr˚ aden som algebraisk geometri, komplex analys och tropisk geometri och har till¨ ampningar b˚ ade inom ren och till¨ampad matematik [7]. Am¨obor anv¨ands f¨or att avg¨ora det topologiska utseendet f¨ or komplexa kurvor. Detta g¨or dem anv¨andbara f¨or att behandla Hilberts 16:e problem [4]. Problemet handlar bland annat om att f¨ors¨oka f¨orst˚ a hur de topologiska strukturerna ser ut f¨ or algebraiska kurvor. Det intessanta ¨ ar antalet sammanh¨angande komponenter i kurvans komplement och hur dessa ligger i f¨ orh˚ allande till varandra.

Anv¨ andningsomr˚ aden f¨ or am¨ obor har hittats inom str¨angteori, som ¨ar en gren av teoretisk fysik, samt inom statistisk mekanik. Ett exempel fr˚ an statistisk mekanik ¨ar hur kristaller p˚ a olika platser i en sockerbit har olika l¨ att att n¨ otas loss. Avg¨orande ¨ar om kristallen sitter p˚ a en sida, p˚ a en kant eller p˚ a ett h¨ orn av sockerbiten. Am¨ obor kan anv¨andas f¨or att f˚ a en bild av hur sannolikt det ¨ar att olika kristaller, p˚ a olika platser, n¨ ots bort [5].

Am¨ obor ¨ ar ¨ aven starkt kopplade till tropisk geometri som bygger p˚ a tropiska funktioner. S˚ adana funktioner till¨ ampar tropisk aritmetik d¨ar exponenter blir koefficienter, koefficienter blir konstanter och summan av tv˚ a termer ¨ ar den st¨ orre av termerna. Tropiska polynom ger p˚ a s˚ a s¨att styckvis linj¨ ara ¨ konvexa grafer. Aven tropisk geometri ger styckvis linj¨ara grafer, som kan anv¨andas f¨or att unders¨ oka sv˚ ara problem i en enklare form.

5

2 2.1

Introduktion Am¨ obans definition

Komplexa tal kan liknas vid reella tal i tv˚ a dimensioner. P˚ a samma s¨att g¨aller f¨or komplexa rum av godtycklig dimension (z1 , . . . ,zn ) = (x1 + iy1 , . . . ,xn + iyn ) ∈ Cn ∼ = R2n 3 (x1 ,y1 , . . . ,xn ,yn ) Att studera komplexa funktioner blir l¨att komplicerat j¨amf¨ort med reella funktionsstudier. D¨arf¨or anv¨ ands am¨ obor f¨ or att visualisera komplexa funktioner.

Definition Definitionen av am¨ oban a ¨r avbildningen Log : (C∗ )n → Rn d¨ar C∗ = C\{0} (z1 , . . . ,zn 7→ (log |z1 |, . . . , log |zn | Am¨ obor m¨ ojligg¨ or allts˚ a Cn → Rn , vilket enligt samma resonemang som ovan motsvarar en halvering av antalet dimensioner. P˚ a s˚ a s¨ att kan am¨obor underl¨atta studierna av komplexv¨arda funktioner avsev¨ art.

N¨ ar n = 1 ¨ ar am¨ oban bara en diskret m¨angd av punkter i R, men i h¨ogre dimensioner ¨ar am¨oban mycket mer komplicerad [7].

Vi unders¨ oker ett komplext Laurentpolynom i tv˚ a variabler. Laurentpolynom till˚ ater till skillnad fr˚ an vanliga polynom ¨ aven negativa heltalsexponenter. Polynomet kan skrivas som den ¨andliga summan f (z,w) =

X

cmn z m wn = 0

d¨ ar funktionens nollst¨ allem¨ angd Zf definieras som Zf = {(z,w) ∈ (C∗ )2 ; f (z,w) = 0} Am¨ oban till funktionen f betecknas Af d¨ar enligt tidigare definition Af = Log(Zf ) Log : (C∗ )2 → R2 (z,w) 7→ (log |z|, log |w|)

6

2.2

Koam¨ obans definition

F¨ or att f˚ a fram am¨ oban logaritmeras beloppet av de komplexa variablerna z och w. Koam¨oban ¨ar ist¨ allet en bild av de komplexa talens argument. Koam¨oban betecknas A0f = Arg(Zf ) Definition Definitionen av koam¨ oban ¨ ar avbildningen Arg : (C∗ )2 → R2 → (R/2πZ)2 = T2 (z,w) 7→ (arg z, arg w) Detta inneb¨ ar att ett tv˚ adimensionellt komplext rum, j¨amf¨orbart med ett fyrdimensionellt reellt rum, avbildas p˚ a en torus (Fig.1). En torus kan uppfattas som en delm¨angd av R3 . Ett ortogonalt koordinatsystem placerat p˚ a en torus kommer ¨ overlappa sig sj¨alvt efter varje varv. Detta medf¨or en periodicitet f¨ or b˚ ada koordinataxlarna, s˚ a att hela koordinatsystemet kan avbildas p˚ a ett intervall av 2π. Annorlunda uttryckt f˚ ar intervallet representera hela koordinatsystemet modulo 2π.

Att koam¨ oban befinner sig p˚ a en torus inneb¨ar att linjer som f¨orsvinner utanf¨or en sida dyker upp igen p˚ a motsatta sidan - linjen har g˚ att ett varv runt torusen i n˚ agon riktning. D¨arf¨or ¨ar ocks˚ a ett h˚ al i koam¨ oban som ligger vid kanten samma h˚ al som ligger vid den motsatta kanten. En koam¨oba kan allts˚ a synas ha fler h˚ al ¨ an vad som ¨ ar fallet.

Figur 1: Ett koordinatsystem p˚ a en torus blir periodiskt.

2.3

Newtonpolygonen

Newtonpolygonen Nf a angh¨orning som innesluter den givna m¨angd av heltals¨r den minsta konvexa m˚ 2 punkter (m,n) i R , d¨ ar m och n ¨ ar heltalsexponenter till z respektive w i f . c 2 Komplementet Af = R \Af till am¨oban best˚ ar av ett visst antal konvexa komponenter. Att finna c Af till en am¨ oba ¨ ar ett sv˚ art och intressant problem[2].

Varje h¨ orn i Nf motsvarar en obegr¨ansad komplementkomponent och antalet h¨orn i Nf ¨ar det minsta antalet komponenter i cAf . Heltalspunkter inuti Newtonpolygonen kan ge upphov till begr¨ansade komplementkomponenter, det vill s¨ aga h˚ al i am¨oban. Huruvida det sker beror p˚ a ett komplicerat s¨ att av koefficienterna i det komplexa polynom am¨oban avbildar.

En funktion vars nollskilda monom alla motsvarar h¨orn i Newtonpolygonen kallas maximalt gles.

Am¨ oban till en s˚ adan funktion kallas solid. Antalet komponenter till c Af ¨ar d˚ a lika med antalet h¨ orn i Nf . Som mest ¨ ar antalet komplementkomponenter lika med det totala antalet heltalspunkter i Newtonpolygonen som motsvarar monom med nollskilda koefficienter [6].

7

2.4

Am¨ obans ryggrad

Triangulering av Newtonpolygonen inneb¨ar att linjer dras mellan de av Newtonpolygonens heltalspunkter som svarar mot monom med nollskild koefficient. Olika trianguleringar mellan heltalspunkterna motsvarar olika strukturer f¨ or am¨ obans topologiska utseende. Antalet m¨ojliga trianguleringar varierar med Newtonploygonens utseende.

Efter trianguleringen dras en upps¨ attning linjer ortogonalt mot de linjer som lagts till vid trianguleringen. Dessa nya linjer bildar en polygon inuti Nf . Fr˚ an denna polygons h¨orn dras sedan ytterligare linjer, ortogonala mot Newtonpolygonens sidor. Den totala upps¨attningen nya linjer ¨ar en tropisk kurva och kallas am¨ obans ryggrad. Ryggraden har flera egenskaper:

• De linjer som dragits ortogonalt mot sidorna i Newtonpolygonen ligger i am¨obans armar.

• Om funktionens koefficienter f¨ or¨ andras, f¨or¨andras i allm¨anhet ¨aven ryggraden.

• Varje omr˚ ade som avgr¨ ansas av ryggraden inneh˚ aller exakt en komplementkomponent till am¨oban.

Am¨ obans ryggrad kan ses som en kraftig f¨ortunning av am¨oban.

6

4

2

-6

-4

2

-2

4

6

-2

-4

-6

(a) Newtonpolygonen till funktionen

(b) Am¨ oban Af d¨ ar a = 1, b = 1

(c) Koam¨ oban A0f d¨ ar a = 1, b = 1

Figur 2: Exempel p˚ a sammanh¨orande Newtonpolygon, am¨oba och koam¨oba

2.5

Diskriminanter

Diskriminanten till polynomet f ¨ ar sj¨ alvt ett polynom i koefficienterna i f . Diskriminantens v¨arde ¨ ar noll d˚ a Zf har speciella egenskaper. Detta intr¨affar d˚ a funktionen och alla dess partiella f¨orstaderivator har ett gemensamt nollst¨ alle.

Exempel. S¨ att f (z) = a + bz + cz 2 , f 0 (z) = b + 2cz. b b 0 f (z) = f (z) = 0 ⇒ z = − 2c vilket vid ins¨attning i f ger f (− 2c ) = 4ac − b2 . Detta ¨ar diskriminanten till f . Diskriminantpolynomet har v¨ ardet 0 precis d˚ a f (z) = f 0 (z) = 0.

8

I detta arbete unders¨ oks am¨ oban till en femh¨ornig Newtonpolygon. Den funktion som valts ¨ar f (z,w) = 1 + w2 + az 2 + w2 z + wz 2 + bzw och dess diskriminant har l¨ osningar precis d˚ a    f (z,w) = 0 fz0 (z,w) = 0   0 fw (z,w) = 0

I dessa fall kan variablerna elimineras ur ekvationen. Kvar finns diskriminanten som kan skrivas 91 + 48a + 176a2 + 304a3 + 192a4 + 64a5 − 96b − 12ab − 512a2 b − 416a3 b− −64a4 b + 30b2 + 110ab2 + 456a2 b2 + 32a3 b2 − 48a4 b2 + b3 − 116ab3 − 116a2 b3 + +48a3 b3 − b4 + 33ab4 + 11a2 b4 + 12a3 b4 + b5 + ab5 − 12a2 b5 − ab6 − a2 b6 + ab7 Om a fixeras erh˚ alls ett sjundegradspolynom i b. Detta sjundegradspolynoms r¨otter kallas h¨ar f¨or diskriminantpunkter och betecknas b∗ .

2.6

Studiens fokus

H¨ ar studeras f (z,w) = 1 + w2 + az 2 + w2 z + wz 2 + bzw d¨ ar a och b ¨ ar koefficienter som f˚ ar variera mellan olika f¨ors¨ok. zw ¨ar det monom som kan ge upphov till h˚ al i am¨ oban beroende p˚ a v¨ ardet p˚ a koefficienten b.

Arbetet har delats upp i tre olika delunders¨okningar:

1. Att f¨ or olika fixerade v¨ arden p˚ a a finna gr¨ansen f¨or den m¨angd B av komplexa koefficienter b s˚ adana att Af saknar h˚ al.

2. Att unders¨ oka sambandet mellan dessa gr¨anser och de diskriminantpunkter som genereras av de unders¨ okta v¨ ardena p˚ a a.

3. Att vid olika fixerade v¨ arden p˚ a a studera hur antalet h˚ al i koam¨oban varierar n¨ara ovan n¨amnda diskriminantpunkter.

9

3

Unders¨ okning

3.1

Gr¨ anser f¨ or h˚ al i am¨ obor

Arbetet har utf¨ orts med hj¨ alp av programkod skriven i Wolfram Mathematica 8.0. Sj¨alva arbetet har utf¨ orts i tv˚ a olika versioner av programmet, 8.0 och 7.0, vilket emellertid inte b¨or p˚ averka resultatet som inte ¨ ar beroende av exakt koherens mellan samtliga delsteg.

V¨ ardet p˚ a koefficienten a fixerades. Enligt principen om bin¨ars¨okning varierades d¨arefter v¨ardet p˚ a koefficienten b i syfte att hitta gr¨ ansen till den m¨angd B av koefficienter b f¨or vilka am¨oban saknar h˚ al.

Till en b¨ orjan studerades am¨ oban till funktionen med a = 1. F¨orst s¨oktes gr¨ansen f¨or ett positivt och ett negativt v¨ arde l¨ angs den reella axeln och sedan gr¨ansen f¨or ett positivt och ett negativt v¨arde l¨ angs den imagin¨ ara axeln. D¨ arefter togs ytterligare v¨arden fram f¨or gr¨ansen d¨ar |Im(z)| > 0 och |Re(z)| > 0.

Med denna metod konstruerades en approximativ bild av gr¨ansen f¨or B (Fig. 3).

Efter detta skrevs en ny kod i Wolfram Mathematica, vilken direkt tar fram den s¨okta m¨angden B. Programmet arbetar med tv˚ a bilder samtidigt. Det intressanta ¨ar snittet mellan de tv˚ a bilderna, det vill s¨ aga hur de ¨ overlappar varandra. Snittbilden ¨ar en approximation av den m¨angd koefficienter som ger en am¨ oba utan h˚ al (Fig. 3). Att p˚ a detta s¨att ta fram snittbilder har visat sig anv¨andbart f¨or att hitta gr¨ anser f¨ or B f¨ or olika v¨ arden p˚ a a.

Im z

2

2

1

1

-5

-4

-3

-2

0 Re z

-1

1

2

-1

-1 -2 -2 -4

(a) Gr¨ ans f¨ or B d˚ a a = 1 som togs fram med bin¨ ars¨ okning.

-2

0

2

(b) Gr¨ ans f¨ or B d˚ a a = 1 som togs fram med en snittbild.

Figur 3: Gr¨ anser f¨ or B d˚ a a = 1, framtagna med tv˚ a olika metoder. Den horisontella axeln visar Re b, den lodr¨ ata axeln Im b.

3.2

Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨ anser f¨ or B

Diskriminantpunkter plottades ut i snittbilder f¨or att se hur dessa l˚ ag i f¨orh˚ allande till snittets gr¨anser.

F¨ or de v¨ arden p˚ a a som har unders¨ okts (Tabell 1, Appendix) har funktionen sju diskriminantpunkter, b∗ , med olika v¨ arden p˚ a b (Fig. 4).

Till en b¨ orjan framtr¨ adde ett tydligt m¨onster d¨ar vissa diskriminantpunkter ligger l¨angs kanten p˚ a snittet medan de ¨ ovriga befinner sig inuti snittet. Antalet punkter p˚ a kanten var aldrig l¨agre ¨an tv˚ a.

Det samma g¨ allde f¨ or antalet punkter inom snittet. Dessa fall troddes l¨ange vara de enda m¨ojliga. ¨ D˚ a a = 100 ligger dock diskriminantpunkten b∗ = 101 l˚ angt utanf¨or snittet. Aven vid a = 5i ligger ∗ diskriminantpunkten b = 0.96 + 5.01i utanf¨or snittet. Detta motbevisade den tidigare f¨ormodan att diskriminantpunkterna alltid ligger inom snittet.

10

2

1

0

-1

-2

-4

-2

0

2

¨ Figur 4: Funktionen har sju diskriminantpunkter, varav tre ligger p˚ a gr¨ansen f¨or snittet. Ovriga tv˚ a punkter ligger inuti snittet. Den horisontella axeln visar Re b, den lodr¨ata Im b.

Ytterligare ny programkod f¨ orb¨ attrade processen, genom att gr¨ansen f¨or B kunde tas fram med hj¨ alp av snittet mellan fler ¨ an tv˚ a bilder. Denna kod anv¨andes i unders¨okningarna av h˚ al i koam¨obor.

3.3

Unders¨ okning av koam¨ obor

Koam¨ obor har unders¨ okts f¨ or fyra olika v¨arden p˚ a a. V¨ardet p˚ a b har varierat kring diskriminantpunkterna. |b| ≥ |b∗ | betyder nedan att b˚ ade |Reb| och |Im b| ¨okades med en eller tv˚ a tiondelar gentemot b∗ .

St¨ orre skillnader unders¨ oktes inte.

Exempel 1: a = 1 Bland sju diskriminantpunkter b∗ fanns endast fem unika v¨arden att unders¨ oka eftersom tv˚ a v¨ arden var dubbletter.

F¨ or dessa fem olika v¨ arden fanns ett tydligt samband. F¨or |b| < |b∗ | hade koam¨oban alltid sju h˚ al, ∗ det st¨ orsta antal som uppn˚ addes f¨ or a = 1. F¨or |b| ≥ |b | sj¨onk antalet h˚ al.

F¨ or samtliga b∗ placerade l¨ angs kanten p˚ a B g¨allde att antalet h˚ al minskade fr˚ an sju till sex stycken ∗ d˚ a |b| ≥ |b |.

F¨ or samtliga b∗ placerade inuti p˚ a B g¨allde att antalet h˚ al minskade fr˚ an sju till fem stycken d˚ a ∗ |b| ≥ |b |.

Exempel 2: a = 1 + i Sju unika diskriminantpunkter fanns att unders¨oka.

F¨ or samtliga b∗ placerade l¨ angs kanten p˚ a B g¨allde att antalet h˚ al minskade med ett d˚ a |b| ≥ |b∗ |.

Hur m˚ anga h˚ al som fanns d˚ a |b| < |b∗ | varierade emellertid mellan fyra, fem och sex. ∗ F¨ or samtliga b placerade inuti B g¨ allde att antalet h˚ al var of¨or¨andrat n¨ar v¨ardet p˚ a b varierades ∗ med enstaka tiondelar. Antalet h˚ al varierade emellertid mellan omr˚ aden runt olika b ; antingen fem eller sex h˚ al.

11

Exempel 3: a = 2 + 0.5i Sju unika diskriminantpunkter fanns att unders¨oka.

F¨ or samtliga b∗ placerade l¨ angs kanten p˚ a B g¨allde att antalet h˚ al minskade fr˚ an sju till sex d˚ a ∗ |b| ≥ |b |.

F¨ or de b∗ som var placerade inuti B g¨allde observerades f¨oljande: f¨or tv˚ a av dem g¨allde att antalet ∗ h˚ al minskade fr˚ an sju till sex d˚ a |b| ≥ |b |. F¨or de andra tv˚ a skildes resultatet ˚ ater. F¨or den ena minskade antalet h˚ al fr˚ an sex till fem f¨ orst n¨ ar |b| > |b∗ |. F¨or den andra minskade antalet h˚ al fr˚ an sju till sex n¨ ar ∗ ∗ b = b men ¨ okade sedan p˚ a nytt till sju n¨ar |b| > |b |.

Exempel 4: a = −2 − 1.5i Sju unika diskriminantpunkter fanns att unders¨oka.

F¨ or samtliga b∗ placerade l¨ angs kanten p˚ a B g¨allde att antalet h˚ al minskade med ett d˚ a |b| ≥ |b∗ |.

Hur m˚ anga h˚ al som fanns d˚ a |b| < |b∗ | varierade emellertid mellan fyra och fem. ∗ F¨ or de b som var placerade inuti B skildes resultatet ˚ at. F¨or tv˚ a av dem minskade antalet h˚ al med ∗ ett d˚ a |b| ≥ |b | fr˚ an sex till fem stycken. F¨or de andra tv˚ a var antalet h˚ al fem respektive sex och f¨orblev of¨ or¨ andrat.

Ett f¨ ors¨ ok gjordes slutligen att ta fram en gr¨ans f¨or de v¨arden p˚ a b som resulterar i ett visst antal h˚ al i koam¨ oban. F¨ ors¨ oket bestod i att v¨ alja v¨arden p˚ a b j¨amnt spridda ¨over en enhetsskiva med radien fem l¨ angdenheter och anteckna antalet h˚ al i koam¨obaor med dessa v¨arden p˚ a b. I detta f¨ors¨ok var a = −2 − 1.5i.

Resultatet blev en grov skiss ¨ over olika m¨angder, inneh˚ allandes koefficientv¨arden som gav ett visst antal h˚ al. Diskriminantpunkter lades in i samma bild och reslutatet indikerar att flera av dessa v¨arden p˚ a b kan f¨ orknippas med f¨ or¨ andringar i koam¨obans topologiska struktur (Fig.5, Appendix).

4

Diskussion

4.1

Gr¨ anser f¨ or h˚ al i am¨ obor

Trots att flera olika metoder f¨ or att approximera B har beskrivits ovan grundar de sig p˚ a samma principer. Metoderna fungerar v¨ al eftersom de mycket riktigt tar fram approximationer av B p˚ a kort tid och med s˚ a stor noggrannhet att vidare unders¨okningar kunnat genomf¨oras.

4.2

Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨ anser f¨ or B

Sambandet mellan B och olika b∗ f¨ or ett givet a ¨ar ¨annu inte helt klarlagt. Vissa observationer har dock gjorts under unders¨ okningarna: • I samtliga unders¨ okta fall fanns flera b∗ p˚ a kanten av B. • I samtliga unders¨ okta fall fanns flera b∗ inuti B. • I ett f˚ atal av de unders¨ okta fallen fanns ett enstaka b∗ utanf¨or B. Den f¨ orsta tv˚ a punkterna g¨ aller f¨ or alla f¨ors¨ok och leder d¨arf¨or till f¨oljande antagande: Antagande. Det finns alltid b∗ placerade vid kanten av B och b∗ placerade inuti B. Varken p˚ a kanten eller inuti snittet kan antalet punkter vara l¨agre ¨an tv˚ a.

12

Den sista punkten ¨ ar intressant eftersom den bryter ett tidigare f¨ormodat m¨onster. Orsakerna till varf¨ or vissa diskriminantpunkter hamnar utanf¨or snittet ¨ar ett omr˚ ade f¨or vidare utredning. Det tycks emellertid finnas ett samband mellan dessa b∗ och ¨overg˚ angen till en annorlunda triangulering av Nf vilket ¨ inneb¨ ar en annorlunda ryggrad. B ¨ ar m¨angden av koefficienter f¨or vilka Af saknar h˚ al. Aven n¨ar ett h˚ al uppst˚ ar ¨ andras trianguleringen av Nf och d¨armed am¨obans ryggrad. Detta leder till f¨oljande antagande: Antagande. Det finns en stark koppling mellan diskriminantpunkterna b∗ och de m¨angder av koefficienter b som ger en viss triangulering av Nf .

4.3

Unders¨ okning av koam¨ obor

Det verkar finnas en tydlig koppling mellan antalet h˚ al i am¨oban och i dess motsvarande koam¨oba.

Enligt ovan ligger det alltid diskriminantpunkter i kanten av B. Detta inneb¨ar att am¨oban f˚ ar ett h˚ al ∗ d˚ a |b| > |b |. Unders¨ okningarna tyder p˚ a ett liknande samband f¨or koam¨oban. F¨or samtliga unders¨ okta diskriminantpunkter p˚ a kanten av B g¨ allde att antalet h˚ al i koam¨oban minskade med ett d˚ a |b| ≥ |b∗ |.

F¨ or |b| < |b∗ | observerades det st¨ orsta antalet h˚ al. Detta leder till f¨oljande antagande: Antagande. N¨ ar am¨ oban f˚ ar ett h˚ al f¨orlorar koam¨oban ett h˚ al. N¨ar am¨oban saknar h˚ al har koam¨ oban det st¨ orsta antal h˚ al som kan ˚ astadkommas f¨or ett givet a d˚ a samtliga koefficienter f¨orutom a och b ¨ ar 1.

Runt de inre diskriminantpunkterna f¨ orblev antalet h˚ al of¨or¨andrat, bortsett fr˚ an tv˚ a diskriminantpunkter f¨ or a = 1, tv˚ a f¨ or a = 2 + 0.5i och tv˚ a f¨or a = −2 − 1.5i.

• a = 1 De tv˚ a diskriminantpunkter som l˚ ag inuti snittet var dubbla vilket inneb¨ar att de i sj¨ alva verket var fyra stycken men parvis ¨overlappande. N¨ar |b| ≥ |b∗ | minskade antalet h˚ al med tv˚ a, fr˚ an sju till fem. Troligtvis beror detta p˚ a de dubbla diskriminantpunkterna.

• a = 2 + 0.5i F¨ or en av de inre diskriminantpunkterna minskade antalet h˚ al f¨orst d˚ a |b| > |b∗ |.

F¨ or en annan inre punkt minskade antalet h˚ al med ett d˚ a |b| = |b∗ | f¨or att sedan ¨oka med ett d˚ a |b| > |b∗ |.

• a = −2 − 1.5i F¨ or tv˚ a av de inre diskriminantpunkterna sj¨onk antalet h˚ al med ett d˚ a |b| ≥ |b∗ |.

Inre diskriminantpunkter gav allts˚ a flera olika effekter p˚ a antalet h˚ al i koam¨obor. Underlaget r¨acker inte f¨ or att formulera n˚ agon hypotes f¨ or n¨ ar s˚ adana punkter p˚ averkar antalet h˚ al eller ej.

5

Framtida arbete

F¨ or att se om v˚ art antagande g¨ allande samband mellan h˚ al i koam¨oban och am¨oban vid diskriminantpunkterna ovan st¨ ammer, beh¨ over fr¨ amst fler am¨obor och koam¨obor unders¨okas f¨or fler v¨arden p˚ a a.

F¨ or de v¨ arden p˚ a a som redan har unders¨okts, b¨or fler v¨arden p˚ a b unders¨okas f¨or att f˚ a fram en mer utt¨ ommande bild av hur antalet h˚ al i koam¨oban varierar. Genom att unders¨oka nya v¨arden p˚ a a kan nya egenskaper hos koam¨ obor hittas och i f¨orl¨angningen kan en st¨orre f¨orst˚ aelse f˚ as f¨or n¨ar och varf¨ or dessa egenskaper uppst˚ ar.

13

Ett tidigare k¨ ant antagande ¨ ar att koam¨oban kan ha ett visst maximalt antal h˚ al. Ett viktigt steg fram˚ at vore att visa att det alltid g˚ ar att hitta koefficienter till monomen i f (z,w) s˚ a att detta maximala antal visar sig, alternativt att maximalt antal h˚ al inte g˚ ar att finna. Antagandet beh¨over allts˚ a bevisas eller motbevisas. Till en b¨ orjan kan detta unders¨okas empiriskt genom att variera fler koefficienter.

Diskriminantpunkter hittades utanf¨ or B. En uppgift att arbeta vidare med ¨ar att studera koam¨obans egenskaper vid dessa punkter. ¨ Aven kartl¨ aggningen av koefficienters effekter p˚ a koam¨obor kan bli mer utf¨orlig och detaljerad.

Gr¨ ansen b¨ or i s˚ a fall tas fram p˚ a ett mindre standardiserat s¨att d¨ar alla m¨atpunkter inte ligger p˚ a j¨ amna avst˚ and. Bin¨ ars¨ okning f¨ or att finna gr¨anserna vore ett s¨att, men det vore tidskr¨avande. B¨ attre vore att n˚ a tillr¨ acklig insikt om m¨ angdernas uppkomst och d¨arefter ta fram en b¨attre och snabbare metod f¨ or att sedan g˚ a vidare med dessa bilder som underlag.

En utveckling av v˚ art arbete som helhet vore att titta p˚ a am¨obor och koam¨obor till alla funktioner som har en femh¨ orning newtonpolygon, och inte enbart p˚ a det specifika fallet som i det h¨ar arbetet, samt att f¨or dessa funktioner variera koefficienterna framf¨or alla monom.

14

Referenser [1] M. Forsberg, M. Passare, A. Tsikh (2010) Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas Advances in Mathematics, volym 151, s.45 [2] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky (1994) Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants, Boston: Birkh¨auser [3] P. Johansson (2010) Coamoebas Lic. Stockholms universitet [4] K. Jung (2007) Am¨ oben und Algen, Diplomarbeit, Johannes Gutenberg Universit¨at [5] R. Kenyon, A. Okounkov, S. Sheffield Dimers, Amoebae and Limit Shapes www.math.brown.edu/ rkenyon/talks/amsterdam.pdf Richard Kenyon, Andrei Okounkov (2006) Planar Dimers and Harnack Curves Duke Mathematical Journal, volym 131, nummer 3, s.499-523 [6] J. Lundqvist (2010) An explicit calculation of the Ronkin funktion Lic. Stockholms universitet [7] M. Passare, A. Tsikh (2005) Amoebas: their spines and their contours Contemporary Mathematics, Volym 377, sid. 275 - 287 [8] O. Viro (2002) What is an amoeba? Notices of American Math Society, volym 49, nummer 8, sid. 916-917

15

A

Appendix

A.1

Samband mellan diskriminantpunkter och gr¨ ansen f¨ or B

F¨ oljande v¨ arden p˚ a koefficienten a har unders¨okts.

Test nr.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A.2

a 2 -4 5i 1+i 20 100 −3 − 2i 2 + 0.5i −2 − 1.5i 1−i

Unders¨ okning av koam¨ oban

Figur 5: Punkter markerar unders¨ okta v¨arden p˚ a b.

Stj¨ arnor markerar diskriminantlokus.

Gul = 6 h˚ al, orange = 5 h˚ al, r¨ od = 4 h˚ al.

16

A.3 A.3.1

Programkod f¨ or am¨ obor och koam¨ obor Kod: Koam¨ obor

Clear[CoAmoebaPlot, AmoebaPlot]; CoAmoebaPlot[func_] := Module[{rmax, rstep, tstep, lattice, solutions, internSolver, r, t, z, w, ExponentList, infunc, minExp}, ExponentList = Map[Function[{x}, {Exponent[Expand[func[z, w]][[x]], z], Exponent[Expand[func[z, w]][[x]], w]}], Table[n, {n, 1, Length[Expand[func[z, w]]]}]]; minExp = Min /@ (ExponentList\[Transpose]); infunc[z_, w_] := Expand[func[z, w]/(z^minExp[[1]] w^minExp[[2]])]; rmax = 4; rstep = .5; tstep = Pi/60; lattice = Flatten[Table[ Exp[r + I t], {r, -rmax, rmax, rstep}, {t, 0, 2 Pi, tstep}]]; internSolver[pair_] := Module[{sols}, sols = z /. NSolve[pair[[1]] == 0, z]; Return[{sols, Table[pair[[2]], {n, 1, Length[sols]}]}\[Transpose]];]; solutions = Select[Join[ Flatten[internSolver /@ ({infunc[z, lattice], lattice}\[Transpose]), 1], Reverse /@ Flatten[ internSolver /@ ({infunc[lattice, z], lattice}\[Transpose]), 1]], #[[1]] != 0 && #[[2]] != 0 &]; Return[ ListPlot[Function[{x}, Arg /@ x] /@ solutions, AspectRatio -> 1, Axes -> False]]; ];

A.3.2

Kod: Amo ¨bor

AmoebaPlot[func_] := Module[{rmax, rstep, tstep, lattice, solutions, internSolver, r, t, z, w, ExponentList, infunc, minExp, LogAbs}, ExponentList = Map[Function[{x}, {Exponent[Expand[func[z, w]][[x]], z], Exponent[Expand[func[z, w]][[x]], w]}], Table[n, {n, 1, Length[Expand[func[z, w]]]}]]; minExp = Min /@ (ExponentList\[Transpose]); infunc[z_, w_] := Expand[func[z, w]/(z^minExp[[1]] w^minExp[[2]])]; rmax = 4; rstep = .2; tstep = Pi/30; lattice = Flatten[Table[ Exp[r + I t], {r, -rmax, rmax, rstep}, {t, 0, 2 Pi, tstep}]];

17

internSolver[pair_] := Module[{sols}, sols = z /. NSolve[pair[[1]] == 0, z]; Return[{sols, Table[pair[[2]], {n, 1, Length[sols]}]}\[Transpose]];]; solutions = Select[Join[ Flatten[internSolver /@ ({infunc[z, lattice], lattice}\[Transpose]), 1], Reverse /@ Flatten[ internSolver /@ ({infunc[lattice, z], lattice}\[Transpose]), 1]], #[[1]] != 0 && #[[2]] != 0 &]; LogAbs[x_] := Log[Abs[x]]; Return[ ListPlot[Function[{x}, LogAbs /@ x] /@ solutions, AspectRatio -> 1]]; ];

A.4 A.4.1

Programkod snitt Kod: Snitt version 1

z = Exp[0.3 + I*t]; w = Exp[0.2 + I*s]; f = -(1 + z^2 + w^2 + z^2*w + w^2*z)/(z*w); z1 = Exp[I*t]; w1 = Exp[-0.1 + I*s]; g = -(1 + z1^2 + w1^2 + z1^2*w1 + w1^2*z1)/(z1*w1); Show[ParametricPlot[{{Re[f], Im[f]}, {Re[g], Im[g]}}, {t, 0, 2*Pi}, {s, 0, 2*Pi}, Mesh -> False], Graphics[ Point[{{-5, 0}, {-0.5, 2.6}, {-0.5, -2.6}, {2, -1}, {2, 1}}]]]

A.4.2

Kod: snitt version 2

Clear[a]; a[z_, w_] := -(1 + (-2 - 1.5 I) z^2 + w^2 + z^2 w + z w^2)/(z w); IntersectionPlot[data_] := Module[{getParamPlot, gs, pr, pss, rasters, matrices, scale, plotRange, fmat, g, plotPts, ymax, xmax}, imageSize = 300; getParamPlot[{x_, y_}] := Module[{param, g, p, pts}, param[s_, t_] := Evaluate[a[E^(x + I s), E^(y + I t)]]; g = ParametricPlot[ With[{p = param[s, t]}, {Re@p, Im@p}], {s, 0, 2 Pi}, {t, 0, 2 Pi}, Mesh -> None, Frame -> False, Axes -> None, PlotStyle -> {Black, Opacity[1]}, BoundaryStyle -> None]; Return[g]; ]; gs = getParamPlot /@ data; (* Excract plotranges *) plotRange[ g_] := {{Min[First /@ #], Max[First /@ #]}, {Min[Last /@ #], Max[Last /@ #]}} &@g[[1, 1]]; pss = plotRange /@ gs; pr = Fold[{{Max@#[[1, 1]], Min@#[[1, 2]]}, {Max@#[[2, 1]], Min@#[[2, 2]]}} &, First@pss, Rest@pss]; gs = Show[#, PlotRange -> pr] & /@ gs;

18

rasters = Rasterize[#, RasterSize -> imageSize, ImageSize -> imageSize] & /@ gs; matrices = First[ImageData[#, "Bit", Interleaving -> False]] & /@ rasters; fmat = 1 - Times @@ (1 - matrices); {ymax, xmax} = Dimensions[fmat]; scale[x_, y_] := ({x, y}/{xmax, ymax})*(Last /@ pr - First /@ pr) + First /@ pr; plotPts = Flatten[Table[ If[fmat[[y, x]] == 0, scale[x, ymax - y + 1], Sequence @@ {}], {x, 1, xmax}, {y, 1, ymax}], 1]; If[plotPts == {}, Return["Empty intersection"]]; g = ListPlot[plotPts, PlotStyle -> {PointSize[Medium]}, Axes -> False, Frame -> True]; Return[g]; ]; g = IntersectionPlot[{{0, 0}, {0.2, 0.2}, {-.2, -.3}, {.5, .5}, {.3, .3}, {1, 1}}]; Show[g, Epilog -> {Red, Point[{{1.55, -0.836}}]}]

A.4.3

Kod: Ber¨ akning av diskriminantlokus

z =. w =. a =. h = 1 + (2 + 0.5 I) z^2 + w^2 + z^2*w + w^2*z + a*z*w; N[Solve[{h == 0, D[h, z] == 0, D[h, w] == 0}, {z, w, a}]]

A.4.4

Kod: Hplot

(Hplot har anv¨ ants f¨ or att kontrollera koam¨ obans grundl¨ aggande struktur.) igr¨ ans = 3; intervall¨ angd = Pi; HPlot[v_] := Module[{T = {}, S = {}, U = {}, K = {}, a, b, c, d, q, g, D, meddelande = {}}, m = 1; While[m <= Length[v], g = v[[m]][[1]]; p = 1; a = v[[m]][[2]] - v[[Mod[m, Length[v]] + 1]][[2]]; b = v[[m]][[3]] - v[[Mod[m, Length[v]] + 1]][[3]]; D = GCD[a, b]; a = a/D; b = b/D; While[ m + p <= Length[v] + 1 && a (v[[m]][[3]] v[[Mod[m + p - 1, Length[v]] + 1]][[3]]) == (v[[m]][[2]] v[[Mod[m + p - 1, Length[v]] + 1]][[2]]) b, c = v[[m]][[2]] - v[[Mod[m + p - 1, Length[v]] + 1]][[2]]; d = v[[m]][[3]] - v[[Mod[m + p - 1, Length[v]] + 1]][[3]]; g = g + v[[Mod[m + p - 1, Length[v]] + 1]][[1]] q^GCD[c, d]; p = p + 1]; m = m + p - 1; AppendTo[T, g]; AppendTo[ K, {a, b, v[[Mod[m, Length[v]] + 1]][[2]] - v[[m - p + 1]][[2]]}]]; For[k = 1, k <= Length[T], k += 1, kSidan = Solve[T[[k]] == 0, q]; If[Length[kSidan] < K[[k]][[3]], AppendTo[meddelande, k]]; AppendTo[S, kSidan]]; S = q /. S; For[k = 1, k <= Length[K], k += 1, For[j = k + 1, j <= Length[K], j += 1, If[K[[k]][[1]] K[[j]][[2]] == K[[j]][[1]] K[[k]][[2]] &&

19

Length[Intersection[Arg[S[[k]]], Arg[S[[j]]]]] > 0, AppendTo[meddelande, {k, j}];];];]; meddelande For[k = 1, k <= Length[S], k += 1, For[j = 1, j <= Length[S[[k]]], j += 1, For[i = -igr¨ ans, i <= igr¨ ans, i += 1, AppendTo[U, ContourPlot[ Evaluate[Arg[S[[k]][[j]]]] + Pi (2 i) + K[[k]][[1]] x + K[[k]][[2]] y == 0, {x, -intervall¨ angd, intervall¨ angd}, {y, -intervall¨ angd, intervall¨ angd}]]];];]; {meddelande, Show[U]} ]; f = {{1, 0, 0}, {(1), 2, 0}, {1, 2, 1}, {1, 1, 2}, {1, 0, 2}}; HPlot[f]

20