Mejías G. Rubén D.
Teoría de Control II Transformada Z Prof. Evaluador: Ing. Marienny Arrieche
Ejercicios
Mejías G. Rubén D. - Teoría de Control II – Transformadas Z
Universidad Fermín Toro Barquisimeto – Venezuela EJERCICIOS 1. Dada las siguientes funciones determine la transformada z por definición: a. x(t) = senwtu(t)
(1,5 Pts)
; donde u(t) = 1 ;t ≥ 0 0 ; t< 0
b. Obtenga la transformada z de la siguiente señal, considere un periodo de muestreo de 2 segundos (T=2):
q(t)
6 (2 Pts)
t 0
2
8
10
SOLUCIÓN a) x(t) = senwtu(t)
; donde u(t) = 1 ;t ≥ 0 0 ; t< 0
Por definición Sabemos:
( ) = [ ( )] = [ (
Donde se encuentre t lo sustituiremos por kT
( )= ( )= ( )=
(
). ( ) ( ). ( (
). (
) )
Notamos que nos queda una definición llamada Euler
)] =
(
)
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(
− 2
)=
− 2
( )= 1 2
. ( . (
−
Así:
( )=
( (
)= )=
)
)
. ( ) . ( )
1 [ ( )− 2
( )]
Descomponemos Para
( )= ( )=
. ( . (0)
+
( )=1+
) . ( )
+
Serie Geométrica Nuestra formula sería la siguiente:
( )=
=
1
.
é (1 − ) =
. (2 )
+
+
+
+ ⋯.
. (3 )
+⋯
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( )=
1 1−
Para
( )=
. (
( )=
. (0)
+
( )=1+
) . ( )
. (2 )
+
+
+
+⋯
Serie Geométrica Nuestra formula sería la siguiente:
( )=
1
.
é (1 − )
=
=
( )=
1 1−
Agrupamos nuevamente nuestras X (x1,x2)
( )=
1 [ ( )− 2
( )]
( )=
1 1 2 1−
−
( )=
1 1− 2 (1 −
( )=
1 2 1−
1 1−
− 1− )(1 −
)
− −
+
+
. (3 )
+..
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( )=
( )= ( )=
1−
1−2 −2
(
− 2 +
)+
+ +1
Finalmente obtenemos nuestro resultado
x(t) = Sen(wt). u(t) =
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SOLUCION b. Obtenga la transformada z de la siguiente señal, considere un periodo de muestreo de 2 segundos (T=2):
q(t)
6 (2 Pts)
t 0
2
8
10
Por definición Sabemos:
( ) = [ ( )] = [ ( ( )=
+ ( )
+ (2 )
+ (2)
+ (4)
+ (3 )
)] =
(
+ (4 )
) +⋯
Pero T=2
( )=
(
)=
( ) = (6
( )=
6
0 6 0
+6 +6
+ (6)
k=0 k=2,4,6,8 k ≥ 10
+6 +6 +6
+6
)
+ (8)
+ (10)
+ (12)
+..
Mejías G. Rubén D. - Teoría de Control II – Transformadas Z 2. Dada las siguientes funciones determine la transformada z utilizando las propiedades de la transformada z: (1 Pt cada una) a. r(t) = t a2 b. x(kT) = u(k-2) – u (k – 6); donde u(k) es la función escalón unitario c. p(t) = 5 e-2t coswt
a) r(t) = t a2
SOLUCION ( )=
Sea
( ) = [ ( )] = [ (
=
(1 −
)
Así: [
b)
= 1−
]=
1
)] = [
=
−1
[ ]=
(
=
]
( − 1)
=
( − 1)
SOLUCION
)] = [ ( − 2) − ( − 6)]
= [ ( − 2)] − [ ( − 6)]
Como
Y como
[ ( )] = [ ( − )] =
(Linealidad)
(Por Tabla)
( )
( − 1)
(Propiedad de la Linealidad)
)
x(kT) = u(k-2) – u (k – 6)
( )= [ (
=
Teorema de Traslación.
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Así:
[ ( − 2)] =
[ ( )] =
1 1−
=
[ ( − 6)] =
[ ( )] =
1 1−
=
( )=
1−
−
1−
1
=
− )
(
1 − −
=
1
1−
1− 1 (1 −
1 −
(
− )−( − ) = ( − )( − ) =
=
− − + ( − 1) ( − 1) [
( )=
− − + 1] ( − 1) −
− +1 ( − 1)
)
Mejías G. Rubén D. - Teoría de Control II – Transformadas Z c) p(t) = 5 e
-2t
cos(wt)
SOLUCION Por linealidad
( ) = [5
]=5 [
]
Pero [
]=
1− 1−2
+
Como
[ [ =
( )] = ( −2
]=
) 1−(
1 − 2(
2
2
)−1
)−1 +(
1− 1−2 2
=
2
−2
+ −
−2
−2
+
−4
Así: [5
]=5
− −2
+
2 1 )−2