TEORIA DE CONTROL

ENERO 2013

Control Digital Carla Gonzalez C.I: 17.625.228 Ellenny Rivero C.I: 16.403.047 Jolber Alvarado C.I: 18.422.080

CONTENIDO: • Teoría • Teoremas

• Propiedades • Funciones Elementales • Definición • Tips para Solución de Ejercicios • Ejemplos

CONTENIDO

EDITORIAL

Contenido y Editorial 1 Muestreo 6 Reconstruccion

Guia Completa sobre 10 Control Digital

CONTROL

DIGITAL

El control digital es una implementación de control empleando lógica programada. En nuestros tiempos el uso del computador digital como controlador de un sistema hace necesaria la determinación de los efectos de las operaciones de muestreo y reconstrucción sobre el contenido de la señal a muestrear.

En los últimos años los sistemas de control automático

Facultad:

Ingeniería

analógicos se han venido reemplazando por sistemas de control Digital. Esto gracias a los avances de la computación

Carrera:

Ingeniería Computacion

Cátedra:

Teoria de Control II

y de las nuevas tecnologías que están a nuestro alcance como son los microcontroladores, etc. Además los sistemas digitales dan una mayor flexibilidad pues permiten cambiar la

Prof.:

Ing. Barbara Vasquez

Elaborado y Diseñado Por:

estrategia de control con solo cambiar algunas instrucciones en el programa de control, controlar varios procesos en forma simultánea.

Carla Gonzalez

C.I: 17.625.228

Ellenny Rivero

C.I: 16.403.047

Jolber Alvarado

C.I: 18.422.080

MUESTREO

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El muestreo está basado en el teorema de muestreo, que es la base de la representación discreta de una señal continua en banda limitada.

Es útil en la digitalización de señales (y por consiguiente en las telecomunicaciones) y en la codificación

del

sonido

en

formato

digital.

Independientemente del uso final, el error total de

las muestras será igual al error total del sistema de adquisición y conversión más los errores añadidos por

el

Para

ordenador dispositivos

o

cualquier

sistema

digital.

tales

como

incrementales,

motores paso a paso y conmutadores, el error medio

de

importante

los

datos

como

muestreados

para

los

no

es

dispositivos

tan que

requieren señales de control continuas El muestreo digital es uno de los procesos involucrados en la digitalización de las señales periódicas. Consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de la señal analógica. El intervalo entre muestras debe ser constante. El ritmo de este muestreo, llamado frecuencia o tasa de muestreo determina el número de muestras que se toma en un intervalo de tiempo.

El proceso de muestreo no debe ser confundido con el de cuantificación. A diferencia de éste, el muestreo es un proceso que la teoría describe como reversible, esto es, es posible reconstruir la señal en modo exacto a partir de sus muestras siempre que la señal esté limitada en banda y la tasa de muestreo cumpla el criterio de Nyquist.

En toda digitalización, al proceso de muestreo le sigue el de cuantificación En la figura 1a se muestra un ejemplo de señal analógica periódica y en la figura 1b un ejemplo de muestreo con impulsos de ancho despreciable.

Obsérvese que el valor de las muestras de la figura 1b no han sido aún cuantificadas, esto es, pueden tomar cualquier valor analógico y seguir sin error a la señal original.

En esta situación (previa a la cuantificación) este es un proceso reversible: se puede pasar de las muestras de la figura 1b a la señal de la figura 1a sin pérdida alguna en un ciclo que se puede repetir indefinidamente.

MUESTREO El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-NyquistKotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist,

es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones.

Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949.

El teorema trata del muestreo, que como antes mencionamos, no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido).

Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas.

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MUESTREO

De la propiedad de la multiplicación del teorema de convolución, sabemos que

La transformada de Fourier de un impulso periódico tren p (t) es también un tren de impulsos periódica en el dominio de la frecuencia.

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Si w s , definida como 2π/T, donde T es el periodo de muestreo, es mayor que 2w 1 , o : w s > 2w 1 donde 2w 1 es la componente de más alta frecuencia presente en la señal en tiempo continuo x(t), entonces la señal x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la señal muestreada x*(t) el espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se produce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor 1/T Esto en si es el teorema de muestreo por impulsos.

MUESTREO

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La frecuencia de muestreo de una señal en un segundo es conocida como razón de muestreo medida en Hertz (Hz). 1 Hz = 1/seg La razón de muestreo determina el rango de frecuencias [ANCHO DE BANDA] de un sistema.

Como ejemplo de audio digital se usan las siguientes razones de muestreo: 24,000 = 24 kHz - 24,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/24,000 de segundo.

30,000 = 30 kHz - 30,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/30,000 de segundo.

44,100 = 44.1 kHz - 44,100 muestras por segundo. Una muestra cada 1/44,000 de segundo.

8,000 = 48 kHz - 48,000 muestras por segundo. Una muestra cada 1/48,000 de segundo.

Una señal de audio muestreada a 48 KHz tiene una mejor calidad [el doble], que una señal muestreada a 24 KHz. Pero, una señal muestreada a 48 KHz, ocuparía el doble del ancho de banda que la de 24 KHz. Por lo que si queremos mayor calidad, lo perdemos en ancho de banda.

Cuando bajan archivos en Inter-net MP3 por ejemplo, éstos tienen diferentes calidades, un archivo MP3 de mejor calidad, ocupará mayor espacio en disco.

Teorema del Muestreo

MUESTREO EJERCICIO: Se desea leer con un ADC a 8 bits de resolución una señal análoga que varia de 0 a 1.5Vdc. Seleccione VREF+ y VREF- para el ADC.

SOLUCIÓN: Se deben revisar los 2 valores extremos que podrá tener la señal análoga de entrada.

Vmínimo seria de 0V y Vmáximo seria de 1.5v.

VREF- debería ser conectado a GND y VREF+ debería conectarse a un voltaje de 1.5V, pero se recomienda por protección subir este vol-taje a 1.6Vdc. Ahora si predecimos cual seria el valor binario que representaría la señal análoga cuando este en su máximo valor obtendríamos: Doutput =((Vinput+ - VREF-)/(VREF+ - VREF-))(n^2-1) =((1.5V - 0)/(1.6-0))(255) = 239.0625 Doutput= 240 base 10. Pasado a binario obtendríamos: Doutput=1111|0000 base 2.

Cuando se usan microcontroladores con ADC interno, es común usar VREF- de GND y VREF+ de 5V que es el mismo VCC, esto para evitar el uso de reguladores especiales solo para el ADC. Si intentamos convertir a digital la misma señal del ejercicio anterior con estos datos de VREF+ y VREF-, encontraríamos que: Doutput=((Vinput+ - VREF-)/(VREF+ - VREF-))(n^2-1) = ((1.5V - 0)/(5-0))(255)=76.5 Doutput = 78 base 10.

Pasado a binario obtendríamos: Doutput=1001110 base 2.

De este resultado podemos recalcar que al máximo voltaje en la señal de entrada, solo se usarían 7 bits para representar la señal, mientras que el ADC es de 8 bits, lo que se puede llamar perdida de resolución.

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RECONSTRUCCION

Si la señal en tiempo continuo x (t) se muestra mediante impulsos en forma periódica, la señal muestreada se puede representar de una forma matemática

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Si w s , definida como 2π/T, donde T es el periodo de muestreo, es mayor que 2w 1 , o :w s > 2w 1 Donde 2w 1 es la componente de más alta frecuencia presente en la señal en tiempo continuo x(t), entonces la señal x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la señal muestreada x*(t) Espectro en Frecuencia

En forma grafica

El espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se produce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor 1/T

El espectro en frecuencia de la señal muestreada, este se produce en un número infinito de veces y se atenúa en un factor 1/T Este proceso se conoce como MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS. Esta se presenta como un modelo matemático único, es ficticio (Ideal), no existe en el mundo real

RECONSTRUCCION Como se hablo anteriormente para una adecuada reconstrucción de señal así mismo como para una adecuada representación digital de la misma se debe tomar en cuenta la velocidad de muestreo y en si el Teorema o Criterios de Nyquist.

Para la reconstrucción de la señal a partir de la señal muestreada hay una frecuencia de muestreo mínima ω1que debe satisfacer la operación de muestreo.

El teorema del muestreo afirma que x(t)puede ser reconstruida a partir de sus muestras x*(t)si se cumple que

EL Hold1 presenta, pues mayor retardo que el Hold0, y no mejora mucho más su característica magnitud, por tanto, los circuitos Hold0 son los más empleados en la práctica siempre que el T esté bien elegido.

En efecto, el espectro de frecuencias de x*(t) será Según el Teorema de muestreo para la reconstrucción de la señal a partir de la señal muestreada hay una frecuencia de muestreo mínima ω1que debe satisfacer la operación de muestreo

Será que es la reproducción del espectro de x(t) múltiplemente desplazado y atenuado en 1/T

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RECONSTRUCCION Por lo tanto se puede decir:

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RECONSTRUCCION

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Banda Previo

CONTROL DIGITAL En la época previa al auge y desarrollo de la automatización industrial, en el campo de la regulación y control eran los operarios los que, manualmente, realizaban las modificaciones que su experiencia y buen criterio aconsejaban, para mantener la variable de salida controlada, para alcanzar los resultados finales deseados.

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Controladores o computadores analógico-digitales: Son los denominados controladores híbridos, los controles de funcionamiento más sofisticados suelen ser de este tipo, ya que es probable que tengan que procesar diversas señales de ambos tipos.

*POTENCIALIDAD: Realización de acciones de control de elevada complejidad

VENTAJAS DE CONTROLADORES DIGITALES ANTES A LOS ANALÓGICOS

*FLEXIBILIDAD: Fácil cambio de estrategias de control, modificando o sustituyendo el programa.

Las ventajas más significativas de los controladores digitales ante a los analógicos son:

*PRECISIÓN: Es capaz de presentar un margen de precisión tan fino como se necesite.

* Los controladores digitales pueden realizar cálculos muy complejos a una velocidad muy alta y con el grado de exactitud que se necesite, con un coste relativamente reducido, mientras que en CONTROLADOR ANALÓGICO, DIGITAL,los analógicos el coste aumenta rápidamente ante la complejidad HÍBRIDO, EL ORDENADOR COMO de los cálculos si se requiere una ELEMENTO DE CONTROL. elevada exactitud y no es posible alcanzar la misma velocidad de El tipo de control puede ser de resolución. tres tipos: analógico, digital e hí-

*INMUNIDAD: Al actuar con señales digitales, éstas son inmunes al ruido y a las distorsiones, pudiendo regenerarse en caso de ser necesario.

Hoy en día, en las aplicaciones industriales, se utilizan los ordenadores como elemento de control.

El regulador o controlador constituye el elemento básico de un sistema de control, ya que determina su comportamiento, condicionando la acción de los actuadores en función de la señal de error obtenida.

brido en función del tipo de la señal que use el detector de error, en caso de ser un sistema en bucle cerrado, o en el regulador en caso de ser un sistema en bucle abierto. Vamos a ver cada uno: * Controles o computadores analógicos: Las variables están representadas por ecuaciones con cantidades físicas continuas.

El proceso directo de la señal analógica está ligado al uso de amplificadores operacionales y sus propiedades.

* Los controladores digitales son mucho más versátiles, simplemente cambiando el programa de aplicación, se pueden modificar absolutamente las operaciones a realizar.

En la actualidad la función de controlador dentro de un sistema de control suele desempeñarla un ordenador, porque presenta una serie de ventajas como son:

*CONTROL MULTIVARIABLE: Es capaz de controlar simultáneamente varios procesos o varias variables de un mismo proceso.

*VERSATILIDAD: Además de la propia función de control puede desempeñar otras simultáneamente, estadísticas, informes, emisión de alarmas Tiene no obstante un grave inconveniente y es que un fallo en el sistema paraliza todo el proceso, así como el que para controlar sistemas sencillos se necesita elementos de software y hardware sofisticados.

Otra desventaja significativa, es que a día de hoy el precio de este tipo de controladores es bastante superior a los controladores continuos.

CONTROL DIGITAL

En el esquema se puede observar el principio de funcionamiento de un control digital directo, en el la señal controlada es captada por un transductor, posteriormente se adecúa (S/H) y se convierte de analógica en digital (en el A/D), ya que el computador trabaja con este tipo de señales.

Una vez procesada la señal por el computador se vuelve a transformar de digital en analógica (en el D/A), se amplifica (el el H), si fuese necesario y se ataca con ella a la planta o proceso a controlar, para tratar de conseguir que la señal de salida adquiera el valor deseado.

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CONTROL DIGITAL Carla Gonzalez C.I: 17.625.228 Ellenny Rivero C.I: 16.403.047 Jolber Alvarado C.I. 18.422.080