Cuadernillos 3º ESO. Catalán by Red Educativa Digital Descartes

____________________________

INS __________________________

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Els nombres racionals Continguts 1. Nombres racionals Decimals periòdics Fracció generatriu Ordenació i representació 2. Operacions amb fraccions Sumes i restes Productes i quocients Operacions combinades 3. Potències d’exponent enter Definició Operacions 4. Notació científica Introducció Nombres molt grans i nombres molt petits Operacions 5. Mesura d’errors Aproximacions Error absolut i relatiu 6. Aplicacions Problemes d’aplicació

Objectius • • • • • • •

Identificar, ordenar i representar nombres racionals. Efectuar operacions amb fraccions. Expressar fraccions com a nombres decimals i nombres decimals com a fraccions. Calcular potències amb exponent enter i efectuar operacions amb potències. Aproximar nombres i calcular l’error absolut i relatiu. Expressar un nombre en notació científica i efectuar operacions amb nombres en aquesta notació. Utilitzar els nombres racionals per resoldre problemes relacionats amb la vida quotidiana.

Autora: Conxa Sanchis Sanz

Nombres racionals

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Abans de començar Per repassar conceptes fonamentals de fraccions, com ara l’obtenció de fraccions Clica… equivalents o la reducció de fraccions a denominador comú...

Després de repassar, clica

per anar als continguts de la quinzena.

ACTIVITAT: Observa la figura que apareix a l’escena. En quants triangles es divideix inicialment? _____ Al final només queden els polígons que es veuen en aquesta figura. Escriu dins de cadascun la fracció que correspon al seu tamany, considerant el quadrat complet com una unitat. En tots els casos, escriu aquesta fracció de dues maneres: Simplificada i amb denominador 64.

1. Nombres racionals 1.a. Decimals periòdics Llegeix el text de la pantalla. EXERCICI. Completa el text següent: Una fracció és un _____________ entre dos nombres enters.

El resultat d’aquesta divisió és un ____________________ amb un grup de xifres que ________________________, anomenat __________, i que pot ser: Exemple: •

Decimal ______________

12 = ______________ 11

•

Decimal ______________

31 = ______________ 15

•

Decimal ______________

1 = ______________ 8

S’escriu:

El període és:

Llegeix l’explicació de l’escena….

Nombres racionals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Fes l’activitat de l’escena i completa aquest quadre amb els exemples que apareixen i amb quatre exemples més, els que tu triïs. Expressió decimal

Fracció

15 11

1,363636…

Decimal exacte

Decimal periòdic pur

Decimal periòdic mixt

Període

12 7 31 15 17 8

Per què podem afirmar que la representació decimal d’una fracció és sempre un decimal finit o infinit periòdic? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Ara fes clic al botó

para fer uns exercicis.

S’obre una escena en què hi apareix un nombre decimal i has d’indicar de quin tipus és. Completa aquest quadre amb vuit dels exercicis que resolguis en aquesta escena. Fracció

Nombre decimal

Tipus

Quan acabis …

Nombres racionals

Fracció

Clica

Nombre decimal

Tipus

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

1.b. Fraccions generatrius Llegeix atentament a l’escena el procediment per a obtenir la fracció generatriu segons els diferents tipus de decimals. Copia en el requadre següent un exemple de cada tipus seguint pas a pas l’explicació de l’escena: Exemple

Procés: Multipliquem per 10

• Exacte

Aïllem: x = Multipliquem per 10

• Periòdic pur

: ________x = _________

Restem les dues equacions: _______x = __________ Aïllem: x =

• Periòdic mixt

Multipliquem per 10

: ________x = _________

Multipliquem per 10

: ________x = _________

Restem les dues darreres equacions: _____x = ________ Aïllem: x =

A la banda esquerra apareixen els tres tipus de decimals. Si passes el ratolí per sobre de la paraula destacada podràs veure l’explicació o fórmula de cadascun dels mètodes. Escriu-los en el requadre:

Mètode

• Decimal exacte

• Decimal periòdic pur

• Decimal periòdic mixt

Ara clica al botó

per fer uns exercicis.

Apunta quatre resultats en la taula següent: Nombre decimal

Fracció

Quan acabis … Nombres racionals

Nombre decimal

Clica

Fracció

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

1.c. Ordenació i representació gràfica A l’escena inferior esquerra, COMPARACIÓ DE FRACCIONS, aprendràs a comparar fraccions amb procediments aritmètics. En primer lloc, repassa el càlcul del mínim comú múltiple: A l’escena, et proposen que calculis el m.c.m. de dos nombres: calcula’l i, després, fes clic a COMPROVAR per veure si el teu càlcul és correcte. Anota quatre resultats en aquesta taula (practica a l’escena fins a conseguir un mínim de tres encerts consecutius). Parell de nombres

Mínim comú múltiple

Parell de nombres

Mínim comú múltiple

En aquesta mateixa escena de COMPARACIÓ DE FRACCIONS: Clica al botó

per

repassar el procés de reducció de fraccions a comú denominador. per

Llegeix atentament el text en què s’explica com es fa i després clica a practicar. Repeteix l’exercici fins a obtenir un mínim de 3 encerts consecutius. Anota quatre resultats en aquesta taula:

Fraccions

Fraccions amb denominador comú

Fraccions

Ara ja pots emprendre la comparació de fraccions. Clica al botó

Fraccions amb denominador comú

per començar.

Fes exercicis de comparació de fraccions positives i de fraccions negatives fins a obtenir un mínim de tres resultats correctes consecutius en cada cas. Anota sis exercicis en els requadres següents: Fraccions

Nombres racionals

Fraccions ordenades

Fraccions

Fraccions ordenades

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

EXERCICIS de REFORÇ Ordena els següents parells de fraccions: 3 1 1 1 a) − i − b) − i − 2 2 5 3

3 8 i 5 15

d) −

3 1 i 5 7

A l’escena de la dreta, REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FRACCIONS, aprendràs a comparar fraccions per procediments gràfics. Clica a per seguir l’explicació. Has de veure diversos exemples, fins que entenguis bé el procediment, tant en el cas de fraccions pròpies com impròpies. Quan ho hagis entès, clica…

per fer uns exercicis.

Fes tres exercicis de cada tipus i escriu els resultats a les taules següents: Fraccions

Fraccions ordenades

Fraccions

Representació gràfica

EXERCICIS 1.

Esbrina de quin tipus són els decimals que resulten de les fraccions següents: 92 57 27 a) b) c) 22 73 36 Calcula les fraccions generatrius dels decimals següents: a) x = 2,375 b) x = 43,666... c) x = 4,3666... −5

Ordena de menor a major les fraccions següents: 10

Representa en la recta les fraccions: 2 19 3 a) b) =4+ 4 4 3 Quan acabis …

Nombres racionals

3 , 12 ,

c) −

Clica

−9 9

, 59 ,

−9 2

23 2 = −5 + 5 5 per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

2. Operacions amb fraccions 2.a. Sumes i restes Llegeix el text on s’expliquen els procediments per SUMAR i RESTAR fraccions. EXERCICI 1: Completa. Exemple SUMES: Si les fraccions tenen el mateix denominador _________________ ______________________________________________________. Si no tenen el mateix denominador, _________________________ ______________________________________________________. RESTES: ______________________________________________________.

Llegeix atentament l’escena de la dreta per comprendre el procediment a seguir per calcular una suma de fraccions. EXERCICI 2: Completa. Respostes Escriu la suma que representa la quantitat que ha menjat el primer amic:

Per calcular aquesta suma cal dividir cadascuna de les pizzes en el mateix nombre de porcions. ¿Quin és el nombre mínim de porcions en què s’han de dividir per poder fer la suma? Així podem expressar aquesta suma de fraccions como la suma de dues que tenen el mateix denominador. Indica-la i calcula’n el resultat:

Consulta ara l’escena d’a baix a l’esquerra per conèixer les propietats de la suma de fraccions. EXERCICI 3: Escriu els noms de les propietats i un exemple de cadascuna. Exemple 1 2 3 4

Clica el botó

Per fer uns exercicis.

Fes quatre exercicis de cada tipus. Després clica COMPROVAR per veure si ho has fet bé. Utilitza els espais de la taula de la pàgina següent per resoldre’ls.

Nombres racionals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Suma de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Suma de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Resta de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Resta de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Suma d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Suma d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Sumes combinades Desenvolupament i resultat

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.b. Productes i quocients Llegeix el text on s’expliquen els procediments per a calcular PRODUCTES i QUOCIENTS de fraccions. EXERCICI 1: Completa: Exemple PRODUCTES: ______________________________________________________. La inversa d’una fracció s’obté _______________________ ______________________________________________________. QUOCIENTS: ______________________________________________________.

Nombres racionals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

EXERCICI 2: Llegeix atentament l’escena de la dreta per comprendre el procediment a seguir en calcular productes de fraccions i completa allò que falta en aquesta taula. Respostes Comencem amb els adossats: Cada fase representa

del total. Cada zona d’adossats és

de la fase

⋅

en què es troba. ¿Amb quina operació es calcula la part del total reservada a zona d’adossats de cada fase i quin és el resultat? Quina fracció de la parcel.la ocupen els adossats? Hi ha adossats dins de parts representen

parts de la parcel.la i en cadascuna d’aquestes de la mateixa. Indica l’operació i el resultat de la

fracció del total que ocupen els adossats: Quina fracció de la parcel.la ocupen els pisos? Hi ha pisos dins de parts representen els

parts de la parcel.la i en cadascuna d’aquestes de la mateixa. Indica l’operació i el resultat de la

fracció del total que ocupen els pisos: Quina fracció de la parcel.la ocupen les zones verdes? Hi ha zones verdes dins de els

part de la parcel.la i dins d’ella representen

de la mateixa. Indica l’operació i el resultat de la fracció del total

que ocupen les zones verdes: Quina fracció de la parcel.la ocupen les zones dotacionals? Hi ha zones dotacionals en representen

part de la parcel.la i dins d’ella

de la mateixa. Indica l’operació i el resultat de la fracció

del total que ocupen les zones dotacionals: En resum

EXERCICI 3: Consulta ara l’escena de la part inferior esquerra per conèixer les propietats del producte de fraccions. Escriu els noms de les propietats i un exemple de cadascuna en aquesta taula. Exemple 1 2 3 4 5 6 7

Nombres racionals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

Clica al botó

DATA:

per fer uns exercicis.

Fes quatre exercicis de cada tipus. Després clica COMPROVAR per a veure si ho has fet bé. Utilitza els espais de la taula per a resoldre’ls. Producte de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Producte de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Quocient de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Quocient de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Producte d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Producte d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Producte d’un enter i una fracció

Desenvolupament i resultat

Producte d’un enter i una fracció

Desenvolupament i resultat

Quocient d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Quocient d’una fracció i un enter

Desenvolupament i resultat

Quocient d’un enter i una fracció

Desenvolupament i resultat

Quocient d’un enter i una fracció

Desenvolupament i resultat

Quan acabis … Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent. -

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

2.c. Operacions combinades Llegeix el text en què es recorden les normes de prioritat. EXERCICI 1: Escriu en els cercles el nre d’ordre de l’operació corresponent. Ordre en què Si no hi ha parèntesis Si hi ha parèntesis s’ha de fer Sumes i restes

Sumes i restes

Productes i quocients

Efectuar els parèntesis

Ordre en què s’ha de fer

Productes i quocients EXERCICI 2: Observa en l’escena diferents exemples de càlcul amb operacions combinades fins que hagis entès bé el procés. Després, fes dos exercicis de cada tipus en els requadres següents, sense consultar la solució fins que els hagis acabat. Comprova després si ho has fet bé: Operacions sense parèntesis

Operacions amb parèntesis

Operacions amb parèntesis dins de parèntesis

Nombres racionals

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Operacions amb parèntesis implícits

EXERCICIS 5.

Calcula −1 + 9 11

Calcula −9 − −7 5

Calcula −9 − 7 5

Calcula −9 − −7 + 2 + 9 − −8 5

Calcula −1 · −6

−5

10.

Calcula −1 : −6

−5

11.

Calcula −1 · (−6)

12.

Calcula (−6) · −1

13.

Calcula −1 : (−6)

14.

Calcula (−6) · −1

15.

Calcula 4 : 4 + 1 − 6 · 3 − 2 − 2

16.

Calcula 4 +  1 · 7  · 7 −  1 + 1 : 7  6

7



2

6

2 3 5 2 : 1 1 7 1 + + 7 2 2 2 5

17.

Calcula 7

Quan acabis …

Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

3. Potències d’exponent enter 3.a. Definició Llegeix la definició de potència d’exponent enter. Fixa’t, sobretot, en la definició de potència d’exponent negatiu. EXERCICI 1: Completa.

an =

     

Si n = 1 Si n > 1 Si n = 0 Si n < 0

EXERCICI 2: Completa les igualtats següents com a l’exemple: 1 1 5−2 = = 5−3 = = 2 25 5

4−2 =

6 −2 =

Clica al botó

3−2 =

7−3 =

per fer exercicis de càlcul de potències. Escriu-ne sis a la taula

de sota. Després de cada exercici, clica COMPROVAR per corregir-lo. Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

En l’escena de la dreta pots veure les PROPIETATS DE LES POTÈNCIES. Clica

per avançar per l’escena i anar-les veient.

Nombres racionals

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Escriu les propietats en aquest quadre amb dos exemples de cadascuna.

RECORDA

PROPIETATS DE LES POTÈNCIES

1. Per multiplicar potències de la mateixa base: _____________________________________________________________. Exemples:

2. Per dividir potències de la mateixa base: _____________________________________________________________. Exemples:

3. Per elevar una potència a un exponent: _____________________________________________________________. Exemples:

4. Per elevar un producte a un exponent: ______________________________________________________________. Exemples:

5. Per elevar una fracció a un exponent: ______________________________________________________________. Exemples:

NOTA: Llegeix l’explicació de l’ús de parèntesis quan la base és negativa. Exemples:

6. Potències d’exponent zero: a0 = __ Exemples:

7. Potències d’exponent negatiu: a-n = Exemples:

Quan acabis …

Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent. -

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

3.b. Operacions amb potències Llegeix l’explicació: “Quan hem d’efectuar operacions combinades... ” EXERCICI: Completa a continuació les normes de prioritat quan hi ha potències. • S’efectuen en primer lloc: ________________________________________________. • Tot seguit ___________________________________________________________. • Amb els resultats obtinguts es fan les _____________________________________. • Les prioritats anteriors es poden alterar amb ______________, o també si es poden aplicar algunes de les propietats que hem vist a la pàgina anterior (productes o quocients de potències amb la mateixa base). EXERCICI 2: Observa a l’escena diferents exemples de càlcul amb operacions combinades que inclouen potències. Tot seguit, fes dos exercicis de cada tipus en els requadres segUents, sense consultar la solució fins que els hagis acabat. Comprova després si ho has fet bé. Operacions senzilles Exemple 1.1:

Exemple 1.2:

Transformar nombres en potències Exemple 2.1:

Exemple 2.2:

Productes i quocients de potències de la mateixa base Exemple 3.1:

Exemple 3.2:

Nombres racionals

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Potències del mateix exponent Exemple 4.1:

Exemple 4.2:

Fes clic al botó

i aniràs a una pàgina de jocs amb potències.

Ara, escriu a cada lloc un dels resultats dels jocs que vas resolent: 1. Triangle de multiplicacions divisions amb quatre potències.

2. Triangles de quocients amb potències de 2.

3. Triangles de quocients amb les potències de 10

4. Triangle de quocients amb potències

Nombres racionals

4. Triangle de quocients amb potències

Triangles màgics multiplicatius 5. …amb potències de 2 6. … amb potències de 3

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

7. Triangle màgic multiplicatiu amb potències

Tres anelles màgiques multiplicatives 8. … amb potències de 10 9. …amb potències

10. Estrella màgica multiplicativa de tres puntes, amb nou potències de 2

11. Estrella màgica multiplicativa de sis puntes, amb potències

12. Quadrat màgic multiplicatiu de 3x3 amb les potències de 2

EXERCICIS 18. 20.

Calcula

5   9

19. Calcula −  − 2 

−2

 5 

21. Calcula  1 

Calcula 3−4

−3

2

22.

Calcula − 5 −  1  : 6 : 3 : (− 1)0 3

2

23.

Transforma 1000 en potència de 10.

24.

Transforma 0,00001 en potència de 10.

25.

Transforma 16 en potència de 2.

26.

Transforma 0,0016 en potència de 5.

27.

−2 2 2 Expressa cada terme com a potència de 10 i simplifica: (− 0,1) : (− 1000 ) ·(0,01)

0,01−2·10−2

16·

(− 64)−2 64−2 (− 64) : 4

28.

Expressa cada terme com a potència de 4 i simplifica:

29.

Simplifica tant com es pugui la següent fracció de manera que el resultat quedi en  −2 3 forma de productes i quocients de potències d’exponent positiu:  (2 ·3) ·5 

( )

 23· 3·73 

Quan acabis … Nombres racionals

Clica

−2

 

per anar a la pàgina següent. -

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

4. Notació científica 4.a. Productes i quocients per potències de 10 Llegeix el text per tal de repassar les regles de càlcul del producte i la divisió d’un nombre per una potència de 10. EXERCICI: Completa. n

• Multiplicar per 10 (equival a ______________________________ ) o Si el nombre és enter __________________________________________. o Si no és enter _______________________________________________________ ____________________________________________________________________. n

• Dividir per 10 (equival a ______________________________ ) o ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. Després, ves a l’escena i llegeix tants exemples com calgui fins que comprenguis el procediment. Copia un d’aquests exemples a l’espai següent:

Clica al botó

Per fer exercicis de productes i quocients per potències de 10.

Resol-ne almenys sis i escriu-los aquí. Clica COMPROVAR després de resodre cadascun per veure si l’has fet bé. Operació

Resultat

Operació

Resultat

Operació

Resultat

Operació

Resultat

Operació

Resultat

Operació

Resultat

Quan acabis …

Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent.

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

4.b. Nombres molt grans o molt petits Llegeix l’explicació: “Es diu que un nombre… ” EXERCICI 1: Completa: La notació científica és útil per a representar nombres _____________________________ o ________________________________________ . Aquests nombres apareixen sovint en ______________________________________ , d’aquí el seu nom. n Si un nombre està escrit en notació científica, té l’aparença c0,c1c2..cp·10 c0 és una xifra _____________ de zero i l’ordre de magnitud del nombre és _____. En l’escena, apareixen exemples de situacions en les quals es treballa amb nombres molt grans o molt petits. Llegeix-los atentament. EXERCICI 2: Completa: Diàmetre de la galàxia Andròmeda, amb totes les seves xifres: Diàmetre de la galàxia escrit en Notació Científica: Quin és l’ordre de magnitud del diàmetre d’aquesta galàxia? Distància de la nostra galàxia a la galàxia Andròmeda: Quin és l’ordre de magnitud d’aquesta distància? ¿Quantes vegades, aproximadament, és més gran la distància a la galàxia Andròmeda que el diàmetre d’aquesta galàxia? Diàmetre del nostre Sistema Solar: Quin és l’ordre de magnitud del diàmetre del Sistema Solar? Distància de La Terra a la Lluna: Quin és l’ordre de magnitud de la distància Terra-Lluna? ¿Quantes vegades, aproximadament, és més gran el diàmetro del Sistema Solar que la distància Terra-Lluna? EXERCICI 3: En la mateixa escena, passem al “món d’allò molt petit”. Completa:

10 − 1 =

= 0' ________

10 − 3 =

= 0' __________

10 − 5 =

= 0' __________

10 − 2 =

= 0' ________

10 − 4 =

= 0' __________

10 − 6 =

= 0' __________

Tamany d’una puça: Mesura d’una aresta de silici Mesura d’una escata de l’ala d’una papallona

Nombres racionals

Ordre de magnitud Ordre de magnitud Ordre de magnitud

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Mesura d’una bactèria del còlera

Ordre de magnitud

Mesura d’un virus

Ordre de magnitud

Diàmetre d’un àtom d’oxigen Diàmetre del nucli d’un àtom d’oxigen

Ordre de magnitud Ordre de magnitud

Quants àtoms d’oxigen caben dins d’un virus, aproximadament? ¿Quantes vegades cabria el nucli al llarg d’un àtom d’oxigen, aproximadament? Clica

Per fer exercicis.

trobaràs instruccions per introduir

nombres en notació científica. Llegeix-les atentament, perquè et caldran pels exercicis trobaràs exercicis per practicar el pas de notació següents. En i decimal a científica i a l’inrevés. Fes sis exercicis de cada tipus a la taula següent: Pas de forma decimal a científica Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Pas de forma científica a decimal Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Notació decimal

Notació científica

Quan acabis …

Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent.

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

4.c. Operacions en notació científica Llegeix l’explicació: “Els nombres escrits en notació científica només se solen presentar en… ” EXERCICI 1: Completa les fórmules per multiplicar i dividir potències de 10.

x = a·10n

x = y

x ⋅ y = ___ ·10

y = b ·10

·10

EXERCICI 2: Completa: Distància de la nostra galàxia a la galàxia Andròmeda: Diàmetre de la galàxia Andròmeda: Comparació entre els ordres de magnitud (fet abans):

Quocient entre les mesures completes:

Clica el botó

per fer exercicis d’operacions en notació científica.

Escriu-ne sis en la taula següent. Després de resoldre cada exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo. Operació

Nombres racionals

Resultat

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

EXERCICIS 8

30.

Calcula: 63.785·10

31.

Calcula 133,75078·1010

32.

Calcula: 30189·10-2

33.

Calcula: 626,2·10-5

34.

Passa a forma científica el nombre 94494000

35.

Passa a forma científica el nombre 0,0000007308

36.

Efectua l’ operació següent i deixa el resultat en notació científica: (5,6733·102) · (1,6258·10-6)

37.

Efectua l’ operació següent i deixa el resultat en notació científica: (1,2319·10-9) · (8,4798·10-1)

38. 39.

11 Efectua l’ operació següent i deixa el resultat en notació científica: 9,9989·10 1,6422·10 −10 −10 Efectua l’ operació següent i deixa el resultat en notació científica: 1,3472·10 3,217·10 4

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

5. Mesura d’errors 5.a. Aproximacions EXERCICI 1: Llegeix l’explicació: “A la vida real se solen presentar… ” i contesta. ¿En quines situacions es calcula amb valors aproximats? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

A l’escena pots veure tres botons que et permeten accedir a exemples d’aproximacions. Clica:

Aproximacions amb enters

S’obre un quadre amb diversos exemples trets de buscadors d’Internet. Completa les dades que falten en els següents requadres: Buscador

Resultats

Arrodoniment a les…

Valor exacte entre:

Google Ask Yahoo Clica:

Aprox. en càlculs no exactes

S’obre un quadre amb una factura. Completa les dades que falten en els requadres: Preu del llibre sense IVA

Nombres racionals

Import IVA

IVA aprox. con dues xifres

Preu final

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

Clica:

NOM:

DATA:

Aproximacions en mesures

En l’escena apareix un segment blau. Pots mesurar-lo utilitzant el regle que apareix en l’escena. Completa les dades que falten en els següents requadres: Aproximació per defecte

Aproximació per excés

Valor més probable

EXERCICI 2: Respon: Com s’arrodoneix una quantitat a un ordre determinat? Posa un exemple. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Clica el botó

per fer exercicis d’aproximacions. Després de resoldre cada

exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo i a UN ALTRE EXEMPLE per generar-ne un de nou. Quantitat Aproximació Expressió en notació científica

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

5.b. Error absolut i error relatiu Llegeix l’explicació: “Presentem aquí un seguit de mesures… ” EXERCICI: Completa les següents definicions tot seguit: • Error absolut: És la diferència entre _________________ i el __________________. Té ____________________________ que els valors que s’utilitzen. • Cota de error: És la _____________________ en el qual es pot trobar el valor exacte. Aquesta mesura s’utilitza quan ____________________________. • Error relatiu: És el quocient entre ______________ i _______________. No té ____________ i es pot expressar també _________________________.

Nombres racionals

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

A l’escena de la dreta pots veure exemples d’aquestes mesures. Exemple 1: La factura

Exemple 2: Els buscadors

Preu sense IVA

Google

Valor exacte de l’IVA

Valor exacte

Valor aproximat (dues xifres)

Valor aproximat

Error absolut

Cota d’error

Error relatiu

Exemple 3: La factura

Cota d’error

Aproximació per defecte

0,1

Ask

Aproximació per excés Valor més probable

Clica el botó

Per fer exercicis d’aproximacions. Després de resoldre cada

exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo i a UN ALTRE EXEMPLE per generar-ne un de nou. Quantitat Aproximació Error absolut Error relatiu

EXERCICIS 40.

Arrodoneix a les centèsimes 171,39664703

41.

Arrodoneix a les deumil.lèsimes i passa a notació científica 0,0065439

42.

Arrodoneix a les desenes de miler i passa a notació científica 859.417.590

43.

460.000.000 és un arrodoniment a les desenes de milió de 456.099.072. Calcula l’error absolut i el relatiu.

Quan acabis …

Nombres racionals

Clica

per anar a la pàgina següent.

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

6. Aplicacions 6.a. Problemes d’aplicació Clica als botons superiors

per accedir als diferents exercicis.

Un cop resolts, clica a COMPROVAR per corregir-los. PROBLEMA 1 La piscina d’un xalet disposa de dues entrades d’aigua per omplir-la. Si només s’utilitza la primera, la piscina triga ___ ___ hores en omplir-se. Si s’utilitza només la segona, tarda ___ ___ hores. Quant trigarà en omplir-se si s’utilitzen les dues a la vegada?

PROBLEMA 2 El triangle de Sierpinski és una figura geométrica d’un tipus especial anomenat fractal. Es construeix així: Es parteix d’un triangle equilàter. Nivell 1: S’elimina el triangle que uneix els punts mitjans. Nivell 2: Es repeteix el procés amb els tres triangles que queden. Nivell 3: Es repeteix el procés amb els nou triangles que queden. Encara que aquí només es veuen 4 etapes, el procés segueix indefinidament. Si l’àrea del triangle inicial és d’ 1 m2, quant val l’àrea del triangle de Sierpinski de nivell 4?

Nombres racionals

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

PROBLEMA 3 L’aire pressiona sobre cada centímetre quadrat de la superfície terrestre amb la força d’1 kg. Si la superfície del planeta és de, aproximadament, 510 milions de quilòmetres quadrats, Quant pesa l’atmosfera? Si la massa de la Tierra es d’unes 6·1021 Tm, quantes vegades és més pesat el planeta que l’atmosfera?

PROBLEMA 4 En joieria s’utilitza l’unça troy com a unitat de pes per l’or. Una unça troy pesa 31,1034768 g. Si el preu de l’or és de 273 €/oz, calcula el preu d’un gram d’or. Un joier que treballa l’or disposa d’una balança que comet un error màxim de 5 centèsimes de gram per gram. Amb el preu anterior, calcula quant pot guanyar o perdre por cada unça i per cada gram a causa de l’error.

Nombres racionals

26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Completa: Un nombre racional és: _____________________________________________________. Tot nombre racional es pot expressar com ___________________________________. Els nombres racionals estan ___________ i es poden ____________________. Els nombres enters _____________________________. Operacions amb fraccions Sumar i restar:____________________________________________________________. Multiplicar i dividir:

Per elevar a un exponent:

Mesura d’errors L’error absolut és _______________________________________________________. L’error relatiu és ________________________________________________________. La cota d’error és ________________________________________________________. 1) _______________________________________

Prioritats en les operacions (quan intervenen potències)

2) _______________________________________ 3) _______________________________________ 4) _______________________________________

Potències Si n > 0, an = Si a ≠ 0, a0 =

a-n =

En particular: a-1 =

 a   b 

−n

Notació científica Els nombres molt grans o molt petits s’expressen en notació científica: __________. Per operar amb nombres en notació científica apliquem____________________________. Clica

Nombres racionals

per anar a la pàgina següent

27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Per practicar A la pàgina d’ EXERCICIS, en trobaràs de diferents tipus: • Problemes per practicar les operacions amb fraccions • Problemes amb potències i notació científica • Problemes amb valors aproximats

Problemes per practicar les operacions amb fraccions Per començar, clica en el control Tria opció per escollir el tipus de problema que prefereixis. Convé que resolguis un problema de cada tipus. A l’enunciat, omple l’espai reservat a la dada o dades que falten, i després resol el problema. 1. Problemes d’urbanisme L’ajuntament d’una ciutat ven ____ d’un solar a una empresa i ____ de la resta a una altra. Queden sense vendre ____ ha. Quina superfície té el solar? 2. Amb IVA o sense IVA? L’import de la reparació d’un cotxe en un taller és de _____ € sense IVA. Quant puja la factura amb IVA? (L’IVA és del ____ %). 3. Les rebaixes Per un vestit hem pagat ____ . € i a l’etiqueta ens indiquen que se li ha aplicat una rebaixa del ___ . %. Quin era el preu del vestit abans del descompte? 4. El celler Quina quantitat de vi hi ha emmagatzemat en ____ caixes i ____ , si cada caixa conté _____ . ampolles de _____ litre cada una? 5. Omplint un dipòsit Una font omple un dipòsit en ____ hores i una altra en ____ hores. Quina fracció del dipòsit omple cada una en una hora? I les dues juntes? Quant trigaran en omplir-lo les dues a la vegada? 6. A quin preu està el cafè? En un magatzem venen cafè en paquets de ___ kg i descafeïnat en paquets de ___ kg. El preu per kg de les dues varietats és el mateix. Un bar ha comprat ____ paquets de normal i ____ de descafeïnat, i en total ha pagat ____ €. Quin és el preu del kg de cafè?

Clica Nombres racionals

per anar a la pàgina següent -

28 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Problemes amb potències i notació científica 1. Còpia de seguretat Vull fer una còpia de seguretat dels arxius del meu PC, que ocupen ___ GB. Quants DVD’s de 4,5 GB necessito com a mínim per fer-ho? I si faig servir CD’s de 700 MB? I amb disquets antics d’ 1,4 MB? I amb els antiquíssims de 360 MB? (Utilitza la taula adjunta). 2. La densitat dels planetes Sabent que el radi de ___ és de ___ km, calcula el seu volum. Si la seva massa és de ___ kg, calcula la seva densitat en g/cm3. 3. El pes de les molècules En condicions normals, en un mol de ______ hi ha 6,022·1023 molècules d’aquest gas i pesen ____ g. Calcula el pes en grams d’una molècula de __________ Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

Problemes amb valors aproximats 1. Mesurant terrenys Mesurem una parcel.la rectangular amb una corda molt llarga amb marques a cada metre (mesures al marge). Repetim les mesures amb un teodolit, millorant la precisió. Calcula les cotes d’error que es produieixen al calcular la superfície en cada cas. Amb el preu que s’indica, calcula les majors diferències de cost en cada cas segons la mesura que agafem. 2. Enquesta electoral Una empresa de demoscòpia ha fet una enquesta d’intenció de vot, i ha obtingut els resultats que veus al marge. Amb aquestes dades la cadena de televisió ABCD informa que el ___ guanyarà les eleccions. Per altra banda, la cadena DCBA diu que hi ha un empat tècnic entre PBP i PTC. Qui creus que té raó?

Clica

Nombres racionals

per anar a la pàgina següent

29 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Autoavaliació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i soluciona’l. Després introdueix el resultat per a comprovar si la solució és correcta. Enunciat

Solució

Corrección

Escriu la fracció generatriu del número _____

Ordena de menor a major les fraccions següents: ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , Calcula el resultat de ____________________________ Calcula el resultat de ____________________________ Calcula el resultat de ____________________________ Calcula el resultat de ___________________________ Calcula ____________ i deixa el resultat en forma de productes o quocients de potències d’exponent positiu. Calcula el resultat de ______________________________ Arrodoneix el __________

nombre

_________

les

Un obrer triga ________ dies en fer una tanca. Un altre triga _______ dies. Quant trigarien treballant junts?

Activitats per enviar al tutor Fes les activitats i envia-les al teu professor/a seguint les seves instruccions. Finalment, no oblidis visitar l’enllaç Per saber-ne més per ampliar els teus coneixements. Nombres racionals

30 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Polinomis Continguts 1. Monomis i polinomis Expressions algebraiques Expressió en coeficients Valor numèric d’un polinomi 2. Operacions Suma i diferència Producte Factor comú 3. Identitats notables Suma al quadrat Diferència al quadrat Suma per diferència

Objectius •

Emprar les expressions algebraiques i calcular-ne el valor numèric.

•

Reconèixer els polinomis i el seu grau.

•

Sumar, restar i multiplicar polinomis.

•

Treure factor comú.

•

Conèixer i utilitzar les identitats notables.

Autora: Conxa Sanchis Sanz

Polinomis

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Abans de començar ACTIVITATS: En l’escena, clica a

i observa l’animació

en què apareix el valor numèric de l’expressió x2 +x+17 per a diferents valors de x. Després, completa la taula següent com a l’exemple: Valor de x 13

Valor numèric de x2 +x+17 132 +13+17 = 169 + 13 + 17 = 199

2 7 11

Ara, visita els enllaços de la part inferior esquerra: A Expressions, podràs repassar l’expressió polinòmica d’un nombre en una base i el seu significat. A Bases 10, 12, 60 podràs veure un vídeo sobre la base 60, que es fa servir per a la mesura d’angles i del temps, i la seva relació amb la base del nostre sistema de numeració, 10, i la base 12. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS:

RESPOSTES

Quines magnituds es mesuren fent servir la base 60? En quina regió utilitzaven el sistema de numeració de base 60? Entre quins rius està situada? En què es fonamenta el sistema de numeració de base 12?

Quina és la base del sistema de numeració que fem servir nosaltres? Per què?

Quin pot ser el motiu que existeixi la base 60?

Ara, clica

Polinomis

per accedir als continguts de la quinzena.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

1. Monomis i polinomis 1.a. Expressions algebraiques Llegeix atentament el text de la pantalla. EXERCICI. Completa el text següent: Un monomi és una _____________________ que només conté _____________________ i ____________________________________ . Un polinomi és una _____________ de diversos __________________. A continuació, vés a l’escena i explora els diferents exemples. Fes els dibuixos i completa les solucions de les qüestions: (Fes abans el dibuix)

Calcula l’expressió algebraica que ens dóna el nombre de quadradets del rectangle: Expressió Grau Coeficients

Quin monomi ens dóna l’àrea del rectangle de base x i altura y? Expressió Grau Coeficients

Quina expressió ens dóna el volum d’un cub d’aresta x? Expressió Grau Coeficients

Quina expressió ens dóna l’espai recorregut a una velocitat constant de x km/h durant t hores? Expressió Grau Coeficients

Quin polinomi ens dóna la longitud del segment marró? Expressió Grau Coeficients

Polinomis

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Quin polinomi ens dóna la mitjana aritmètica de dos nombres? Expressió Grau Coeficients

Quin polinomi ens dóna el triple d’un nombre menys cinc? Expressió Grau Coeficients

Quin polinomi ens dóna la suma dels quadrats de dos nombres? Expressió Grau Coeficients

Quina expressió defineix la diagonal d’un quadrat? Expressió Grau Coeficients

Quina expressió defineix la diagonal d’un rectangle de base x i altura y? Expressió Grau Coeficients

Ara fes clic a

per fer uns exercicis.

S’obre una escena en què apareixen, a l’esquerra, diferents nombres i potències de x i, a la dreta, les condicions que ha de verificar el polinomi buscat. Practica l’exercici fins a aconseguir tres encerts consecutius. Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

1.b. Expressió en coeficients Llegeix atentament el text “Un polinomi es pot definir....” i tot seguit completa: L’expressió d’un polinomi en coeficients consisteix en__________________________ _____________________________________________________________________ . Així, per exemple, el polinomi x3 +4x2 +3x -2 s’expressa per _____________________. Ara clica en el botó

per fer uns exercicis. A la part superior de l’escena

veuràs els controls per a triar els coeficients del polinomi de major a menor grau. Modifica’ls com tu vulguis: tria algun coeficient igual a 0, 1 o -1 i aprèn a escriure el polinomi de la manera usual. Completa la taula següent amb cinc exemples més, com a l’exemple de la primera fila: Coeficients gr4

gr3

gr2

gr1

gr0

-3

-1

Clica a

Polinomi

Manera usual d’escriure el polinomi

1x4+(-3)x3+0x2+(-1)x+4

x4-3x3-x+4

per fer exercicis sobre l’expressió en coeficients d’un polinomi.

Hi ha dos tipus d’exercici: en un, apareixerà un polinomi i hauràs d’introduir els seus coeficients amb els controls de la part superior i, tot seguit, prémer intro. En l’altre, es dóna l’expressió del polinomi en coeficients i hauràs d’escriure el polinomi en la forma usual. Pots clicar Solució per tal de corregir els teus resultats. Fes quatre exercicis de cada tipus i copia’ls a la taula: Polinomi

Polinomis

C. gr 3

C. gr 2

C. gr 1

C. gr 0

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Completa: Dos polinomis són iguals si _________________________________________________. A l’escena de la dreta apareixen dos polinomis P(x) i Q(x). Has de deduir quin es el valor del coeficient desconegut “a”, en Q(x), perquè els dos polinomis siguin iguals. Practica fins a tenir un mínim de 3 encerts consecutius. P(x)

Q(x)

Quan acabis …

clica

Valor de a

per anar a la pàgina següent.

1.c. Valor numèric d’un polinomi Llegeix atentament el text en què es relaciona el valor numèric d’un polinomi amb el nostre sistema de numeració, el decimal, i amb el sistema utilitzat per a la mesura del temps, el sexagesimal. Completa: El valor numèric del polinomi 5x2 + 2x + 3 per x = 10 és _______, el nombre d’ _______ que hi ha en ___ centenes, ____ desenes i _____ unitats. El valor numèric del polinomi 5x2 + 2x + 3 per x = 60 és ________ , el nombre de ______ que hi ha en ___ hores, ____ minuts i _____ segons. A l’escena de la dreta tens exemples de càlcul del valor numèric d’un polinomi per a un valor determinat de x. Modifica el valor de x amb el control

i calcula el corresponent valor numèric del

polinomi que apareix a l’escena. Pots utilitzar calcuculadora. Per comprovar si ho has fet bé, clica Veure el resultat del valor numèric. Per a canviar de polinomi, clica en Altres polinomis. Anota sis exemples en la taula inferior, tres de cada opció: Opció

Polinomis

P(x)

Valor numèric P(

) = ___________________ =

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

Ara clica a

NOM

DATA:

per veure més exemples i fer exercicis.

A la primera sèrie (Sèrie 1 de 2), apareixeran 7 exemples resolts. En cada exemple pots veure a la dreta, en el requadre de color taronja, els passos a seguir. Fes-ne tants com calgui fins a entendre bé el procediment. Per a passar d’un exemple a un altre, clica al botó > de la part superior. Copia dos d’aquests exemples a continuació: Exemple 1. Valor numèric del polinomi _____________________________ per x = ___

Exemple 2. Valor numèric del polinomi _____________________________ per x = ___

Ara, per fer exercicis, clica al botó >> de la part superior. Accedeixes a la sèrie 2 de 2 en què hi tens 10 exercicis proposats que has de resoldre a l’escena. Anota els resultats dels quatre últims exercicis en aquesta taula: Polinomi

Polinomis

Valor de x

Valor numèric del polinomi

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

EXERCICIS 1.

Troba les expressions algebraiques associades a cada imatge Quin polinomi expressa la mitjana aritmètica de dos nombres x, y?

Longitud del segment marró

La suma dels quadrats de dos nombres

El triple d’un nombre menys cinc

La diagonal d’un La diagonal d’un rectangle de base x quadrat de costat x i altura y

Escriu un polinomi tal que:

Troba l’expressió en coeficients dels polinomis P(x)=3x2-2x+1; Q(x)=x3-4 R(x)=0,5x2 +3x

Escriu les expressions polinòmiques dels polinomis que tenen expressió en coeficients: P(x) Q(x) R(x)

1 0 3 -1 3 2 0 0 3/2 -3 0 5

Troba el valor numèric en 1, 0 i –2 dels polinomis següents: POLINOMI 5

Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x -2x -x x2/5-1

- 2x3 + π x2 -x3+1+ 2x2-1/5 -

x2+1

Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

2. Operacions amb polinomis 2.a. Sumes i restes Llegeix el text en què s’explica la forma de sumar i restar polinomis. A l’escena, es mostra com calcular una suma o una resta utilitzant les expressions en coeficients dels polinomis. o

Clica

per a veure un exemple de suma o resta, respectivament.

Copia un exemple de cada operació: SUMA:

RESTA:

Ara clica a

per fer exercicis.

Apareixerà una escena amb dos polinomis i l’operació a efectuar. Fes 6 d’aquests exercicis tot seguit. Per a comprovar el resultat, clica I per a canviar de dades, EXEMPLE P(x) =

Altres polinomis Polinomis

4 3 x + x2 – x – 1 5

Operació P(x) + Q(x)

1 3 1 2 Q(x) = − x + x – 2x – 3 5 4 P(x) + Q(x) = EXERCICI 1

RESULTAT

Coeficients

4 5 1 − 5 3 5

1 4 5 4

–1

–2

–3

–4

3 3 5 2 x + x – 3x – 4 5 4 Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Polinomis

Q(x) =

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

EXERCICI 2

Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Q(x) =

EXERCICI 3

Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Q(x) =

EXERCICI 4

Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Q(x) =

EXERCICI 5

Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Q(x) =

EXERCICI 6

Operació

Coeficients

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTAT P(x)

Q(x) =

Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent. -

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

2.b. Producte Abans de passar als continguts d’aquesta pàgina, fes clic a

per veure una animació en

què es recorden les prioritats aritmètiques i els aspectes que cal tenir en compte quan s’opera amb monomis en lloc de fer-ho amb nombres. Ara, llegeix l’explicació del text i completa: Els polinomis es multipliquen _________ a _________, aplicant la propietat ___________ del producte. I ordenem els _____________ segons el seu _______.

Igual com amb la suma, pot resultar còmode passar els polinomis a la seva expressió en coeficients, tal i com s’explica en l’escena de la dreta.

Examina diferents exemples fins que entenguis bé la mecànica de l’operació, i copia’n un al requadre de la dreta:

Ara clica a

per fer exercicis.

Has de calcular el producte dels dos polinomis que apareixen a l’escena. Fes 6 d’aquests exercicis tot seguit. Per comprovar el resultat, clica a I per a canviar de dades, P(x)

Altres polinomis Q(x)

Quan acabis … clica Polinomis

P(x)·Q(x)

per anar a la pàgina següent. -

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

2.c. Factor comú Llegeix el text, i fixa’t bé en l’exemple en què s’explica el procediment per a treure factor comú. Tot seguit, a l’escena, introdueix el factor comú als coeficients i la potència de x que es poden treure en tots els monomis, i col.loca els nombres escaients en els corresponents requadres. Despres, prem intro. Seguidament, fes clic a Clica per treure el factor per veure el resultat d’aquesta operació. Per a canviar d’exercici clica a Un altre polinomi. Fes deu exercicis a la taula següent:

P(x)

Ara clica a

Factor comú

Resultat de treure factor

per fer exercicis.

S’obrirà una escena amb un polinomi en el qual has de treure factor comú la màxima potència possible de x: per fer-ho, hauràs d’introduir els números escaients en els requadres i prémer intro. Si has fet bé l’exercici, apareixerà el missatge “Clica inici per fer un altre exercici”. Si no, apareixerà el botó

que permet veure el resultat correcte.

Fes deu d’aquests exercicis a la taula següent:

Polinomis

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

P(x)

DATA:

P(x) és igual a

P(x)

P(x) és igual a

EXERCICIS 6.

Troba P(x)+Q(x) i 3·P(x)-Q(x) P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5

Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 per Q(x)= x3+3x2+5

Suma P(x) i Q(x)

Treu factor comú:

Multiplica P(x) i Q(x)

P(x)= 4x13 – 4x11 - 6x5 – 3x4 P(x)= -8x10 + 6x9 – 2x3 – 4x2 P(x)= 6x5 + x2 – 4x

P(x)= P(x)= P(x)=

Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent.

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

3. Identitats notables 3.a. Quadrat d’una suma A l’escena apareix un puzzle que et permetrà deduir la fórmula per a obtenir el quadrat d’una suma. Hi tens: • Un quadrat blau de costat 3, per tant d’àrea ____ • Un altre de vermell de costat 4 i àrea ____ • Dos rectangles de costats 3 i 4, per tant l’àrea de cadascun és ____ • Un quadrat de costat 3+4, amb àrea _______. Arrossega les peces de colors fins a completar el quadrat gris. Quan ho hagis fet, apareixerà a la part inferior l’expressió:

L’àrea del quadrat gris és la suma de les àrees de les peces de colors. Modifica els valors de a i b amb els controls

i comprova la validesa de la fórmula per a diferents parells de valors. Completa com a l’exemple: a 3

b 4

(a+b)2 (3+4) = 32 + 42 + 2 · 3 · 4

(a+b)2

També pots veure una demostració aritmètica de la fórmula en l’animació que apareix fent clic a

. Copia en aquest espai la fórmula que ens dóna el quadrat d’una suma:

També has de reconèixer aquesta igualtat a l’inrevés, de manera que identifiquis el polinomi x2+6x+9 amb l’expressió (x+3)2 Ara clica a

per fer exercicis.

S’obre una escena en què, a la part superior, hi veuràs:

Hauràs d’anar avançant per les 11 sèries d’exercicis, que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que s’indica en els requadres següents: Polinomis

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 1. Quadrat d’una suma (automàtic, guiat) (a+b)2 =

Per a efectuar el quadrat d’una suma, S’efectua en primer lloc el quadrat del primer sumand El doble del primer pel segon Finalment es troba el quadrat del segon sumand I ho sumem tot

Clica

Sèrie 2. Quadrat d’una suma (automàtic, lliure) (

)2 =

Clica Sèrie 3. Quadrat d’una suma (automàtic, guiat) És el mateix exemple que a la sèrie 2, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 4. Quadrat d’una suma (automàtic, lliure) (

Clica Sèrie 5. Quadrat d’una suma (automàtic, guiat) És el mateix exemple que en la sèrie 4, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 6. Quadrat d’una suma (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els exemples següents. (

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la sèrie 6: Exercici 2

(

)2 =

Exercici 3

(

)2 =

Exercici 4

(

)2 =

Exercici 5

(

)2 = Per passar a la següent sèrie d’exercicis

Polinomis

clica

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 7. Quadrat d’una suma (automàtic, guiat) (

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Sèrie 8. Quadrat d’una suma (escriure, guiat) Has d’anar escrivint les operacions en cada pas, tot seguint les indicacions del requadre taronja. (Recorda que per elevar al quadrat es fa servir la tecla ^) Exercici 1 de 3. (

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 2 de 3. (

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 3 de 3. (

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Sèrie 9. Quadrat d’una suma (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat (

)2 = Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat (

)2 = Clica

Exercici 3 de 5. Directament el resultat (

)2 = Clica

Exercici 4 de 5. Directament el resultat (

)2 = Clica

Exercici 5 de 5. Directament el resultat (

)2 = Clica

Polinomis

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 10. Quadrat d’una suma (automàtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a l’inrevés Busquem dos sumands que siguin quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ L’altre sumand és el doble de __ per __ Podem escriure l’expressió inicial com una suma al quadrat.

Clica

Exercici 2 de 3. Ara a l’inrevés Busquem dos sumands que siguin quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ L’altre sumand és el doble de __ per __ Podem escriure l’expressió inicial com una suma al quadrat.

Clica

Exercici 3 de 3. Ara a l’inrevés Busquem dos sumands que siguin quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ L’altre sumand és el doble de __ per __ Podem escriure l’expressió inicial com una suma al quadrat.

Clica

Sèrie 11. Quadrat d’una suma (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una suma. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 2 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una suma. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 3 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una suma. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

)

Resultat

Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent.

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

3.b. Quadrat d’una diferència En l’escena apareix un puzzle que et permetrà deduir la fórmula per a obtenir el quadrat d’una diferència. Tens: • Un quadrat blau de costat 7, per tant d’àrea ____ • Un altre vermell de costat 3 i àrea ____ • Dos rectangles de costats 3 i 7, per tant l’àrea de cadascun és ____ • Un quadrat de costat 7–3, l’àrea del qual és _______. Arrossega les peces de colors per tal de completar la figura vermella i blava. Quan ho hagis fet, apareixerà a la part inferior l’expressió:

L’àrea del quadrat gris és la suma de les àrees de les peces de colors. Modifica els valors de a i b amb els controls i i comprova la validesa de la fórmula per a diferents parells de valors. Completa com a l’exemple: a 7

b 3

(a–b)2 (7–3) = 72 + 32 – 2 · 7 · 3

(a–b)2

També pots veure una demostració aritmètica de la fórmula en l’animació que apareix fent clic a

. Copia en aquest espai la fórmula que ens dóna el quadrat d’una diferència:

També has de reconèixer aquesta igualtat a l’inrevés, de manera que identifiquis el polinomi x2–10x+25 amb l’expressió (x–5)2 Ara clica en

per fer exercicis.

S’obre una escena en què veuràs, a la part superior:

Hauràs d’anar avançant per les 11 sèries d’exercicis que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que s’indiquen en els requadres següents: Sèrie 1. Quadrat d’una diferència (automàtic, guiat) Polinomis

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

(a–b)2 =

DATA:

Per efectuar el quadrat d’una diferència, S’efectua en primer lloc el quadrat del primer sumand El doble del primer pel segon Finalment es troba el quadrat del segon sumand I ho sumem tot

Clica

Sèrie 2. Quadrat d’una diferència (automàtic, lliure) (

–

)2 =

Clica Sèrie 3. Quadrat d’una diferència (automàtic, guiat) És el mateix exemple que en la sèrie 2, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 4. Quadrat d’una diferència (automàtic, lliure) (

–

Clica Sèrie 5. Quadrat d’una diferència (automàtic, guiat) És el mateix exemple que en la sèrie 4, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 6. Quadrat d’una diferència (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els següents exemples. (

–

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la sèrie 6: Exercici 2

(

–

)2 =

Exercici 3

(

–

)2 =

Exercici 4

(

–

)2 =

Exercici 5

(

–

)2 = Per passar a la següent sèrie d’exercicis

Polinomis

clica

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 7. Quadrat d’una diferència (automàtic, guiat) (

–

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Sèrie 8. Quadrat d’una diferència (escriure, guiat) Has d’anar escrivint les operacions en cada pas, seguint les indicacions del requadre taronja. (Recorda que per elevar al quadrat es fa servir la tecla ^) Exercici 1 de 3. (

–

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 2 de 3. (

–

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 3 de 3. (

–

)2 =

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Sèrie 9. Quadrat d’una diferència (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat (

–

)2 = Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat (

–

)2 = Clica

Exercici 3 de 5. Directament el resultat (

–

)2 = Clica

Exercici 4 de 5. Directament el resultat (

–

)2 = Clica

Exercici 5 de 5. Directament el resultat (

–

)2 = Clica

Polinomis

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 10. Quadrat d’una diferència (automàtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a l’inrevés Busquem dos sumands que siguin quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ L’altre sumand és el doble de __ per __ Podem escriure l’expressió inicial com una diferència al quadrat.

Clica

Sèrie 11. Quadrat d’una diferència (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una diferència. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

–

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 2 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una diferència. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

–

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 3 de 3. Has d’escriure l’expressió com el quadrat d’una diferència. Escriu la fórmula de cop, sense operar =(

–

)

Resultat

Quan acabis …

Polinomis

clica

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

3.c. Suma per diferència En l’escena apareix una demostració geomètrica de la fórmula que ens dóna l’expressió per a la suma per diferència. Tens: • Un quadrat blau de costat 7, per tant d’àrea ____ • Un altre gris de costat 3 i àrea ____ • En blau apareix la diferència dels dos quadrats, ___________ Arrossega i gira el rectangle inferior fins al contorn vermell. S’haurà format un rectangle de costats: _____ i _____ i la seva àrea serà _______. En fer-ho apareixerà l’expressió:

Modifica els valors de a i b amb els controls i i comprova la validesa de la fórmula per diferents parells de valors. Completa com a l’exemple: a 7

b 3

(a+b) · (a–b) (7+3) · (7–3) = 72 – 32 = 40

(a+b) · (a–b)

També pots ver una demostració aritmètica de la fórmula en l’animació que apareix fent clic en . Copia en aquest espai la fórmula que ens dóna producte de suma per diferència:

Has de reconèixer aquesta igualtat també a l’inrevés, de manera que identifiquis el polinomi x2–16 amb l’expressió (x+4) · (x–4). Ara clica a

per fer exercicis.

S’obre una escena en què a la part superior veuràs:

Hauràs d’anar avançant per les 11 sèries d’exercicis que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que s’indiquen en els requadres següents:

Polinomis

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 1. Suma per diferència (automàtic, guiat) (a+b) · (a–b) =

Per efectuar suma per diferència, Efectuem el quadrat del primer sumand El quadrat del segon sumand I restem

Clica

Sèrie 2. Suma per diferència (automàtic, lliure) (

)·(

–

Clica Sèrie 3. Suma per diferència (automàtic, guiat) És el mateix exemple que en la sèrie 2, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 4. Suma per diferència (automàtic, lliure) (

)·(

–

)

Clica Sèrie 5. Suma per diferència (automàtic, guiat) És el mateix exemple que en la sèrie 4, però amb les explicacions en el requadre taronja. Sèrie 6. Suma per diferència (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els següents exemples. (

)·(

–

)

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la sèrie 6: Exercici 2

(

)·(

–

Exercici 3

(

)·(

–

Exercici 4

(

)·(

–

Exercici 5

(

)·(

–

)= Per passar a la següent sèrie d’exercicis

clica

Sèrie 7. Suma per diferència (automàtic, guiat) (

)·(

–

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Polinomis

Clica

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Sèrie 8. Suma per diferència (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. (

)·(

–

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 2 de 3. (

)·(

–

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Exercici 3 de 3. (

)·(

–

Escriu la fórmula de cop, sense operar Opera tots els sumands Resultat

Clica

Sèrie 9. Suma per diferència (automàtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat (

)·(

–

Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat (

)·(

–

Clica

Exercici 3 de 5. Directament el resultat (

)·(

–

Clica

Exercici 4 de 5. Directament el resultat (

)·(

–

Clica

Exercici 5 de 5. Directament el resultat (

)·(

–

Clica

Sèrie 10. Suma per diferència (automàtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a l’inrevés Tenim una diferència de quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ S’expressa com suma per diferència

Clica

Exercici 2 de 3. Ara a l’inrevés Tenim una diferència de quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ S’expressa com suma per diferència

Polinomis

Clica

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Exercici 3 de 3. Ara a l’inrevés Tenim una diferència de quadrats El primer sumand és el quadrat de __ El segon sumand és el quadrat de __ S’expressa com suma per diferència

Clica

Sèrie 11. Suma per diferència (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has d’escriure l’expressió com suma per diferència. =(

)·(

–

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 2 de 3. Has d’escriure l’expressió com suma per diferència. =(

)·(

–

)

Resultat

Si està “Molt bé”,

clica

Exercici 3 de 3. Has d’escriure l’expressió com suma per diferència. =(

)·(

–

)

Resultat

Pots tancar el quadre

EXERCICIS 10.

Desenvolupa les expressions següents: Expressió (x+1)

11.

Expressió

Solució

(x-1)

(2x+1)2

(3-2x)2

(3x/2+5)2

(x/3-2)2

( 2 x+2)2

(x- 3 )2

Troba l’expressió en coeficients dels següents productes Productes

12.

Solució

Productes

(x+2)·(x-2)

(x-1/4)·(x+1/4)

(3x+7)· (3x-7)

(1+ 2 x)·(1- 2 x)

Solució

Aplica les identitats notables per tal de descompondre en factors els polinomis: Expressió

Solució

Expressió

4x2+12x+9

49x2-36

36x2+36x+9

25x2-9/4

6x5-12x4+6x3

4x2-3

Quan acabis …

Polinomis

clica

Solució

per anar a la pàgina següent.

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Recorda el més important – RESUM Fes clic a

per veure una animació.

Completa: Coeficient

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

Variable

Grau

Clica

Escriu a la dreta de cada imagen l’expressió algebraica corresponent i la seva classificació: x·t Monomi 2 variables. Grau 2

A l’escena de la dreta tens un llibret en què podràs repassar els continguts d’aquesta per passar de pàgina. quinzena. Arrossega les pàgines o fes clic a Repassaràs: • Valor numèric • Operacions amb polinomis: o Suma o Diferència o Producte o Factor comú •

•

Identitats notables (completa les fórmules) o (a + b)2 = o (a – b)2 = o (a + b) · (a – b)= Alguns exemples d’identificacions útils: o x2 + 6x + 9 = o x2 – 10x + 25 = o x2 – 49 =

Clica

Polinomis

per anar a la pàgina següent

26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Per practicar A la pàgina d’exercicis, en trobaràs de diversos tipus: • Expressions algebraiques, polinomis, valor numèric • Operacions amb polinomis. Identitats notables

Expressions algebraiques, polinomis Per començar, clica en el control tria opció per escollir el tipus de problema que prefereixis. Convé que resolguis un problema de cada tipus. A l’enunciat, omple l’espai reservat a la dada o dades que falten, i després resol el problema. 1. Nombres Trobar l’expressió algebraica d’un nombre de ___ xifres si la xifra de les unitats és ______________ la xifra de les desenes. 2. Quant camino? De dilluns a dijous camino x km diaris i de divendres a diumenge, ______ km cada dia. Troba l’expressió algebraica dels km que camino en z setmanes. 3. Km de ciclisme Si practico ciclisme a una velocitat mitjana de ____ km/h durant t hores al mes, Quants km faig al cap de l’any? 4. Sou El meu sou mensual és de ____ euros . Cada any augmenta un x%. Calcular el sou mensual d’aquí a _________ anys. 5. Geometria __________________ és l’expressió que defineix _________________________ en funció del seu radi. Quina és la variable? El grau? El coeficient? El _____________ per un radi de _______ cm? 6. Coeficient Quin és el grau del polinomi de l’esquerra? Quin és el seu coeficient de grau _____? I el de grau ______? Calcula el seu valor numèric en x = ___ 7. Hores Quina fracció d’hora són ______ minuts i _____ segons? Saps expressar-la com a valor numèric d’un polinomi de segon grau? 8. Segons Quants segons hi ha en __ h ___ min ___ seg? Saps expressar-los com el valor numèric d’un polinomi de segon grau?

Polinomis

27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

9. Dotzenes, grosses, masses Quantes unitats hi ha en _____ masses, _____ grosses i _______dotzenes? Saps expressar-les com el valor numèric d’un polinomi de segon grau? Una massa = 12 grosses, una grossa = 12 dotzenes, una dotzena = 12 unitats.

Operacions amb polinomis. Identitats notables 1. Suma i resta P(x) = _______________________ Q(x)= _______________________ Troba els coeficients de _________________ 2. Multiplica P(x) = _______________________ Q(x)= _______________________ Troba els coeficients de P(x) · Q(x) 3. Factor comú P(x) = _______________________ Treu factor comú en el polinomi P(x) 4. Converteix en quadrat Quantes unitats has d’afegir a ___________ per convertir aquest binomi en el quadrat d’un altre binomi? És a dir, observa la figura i converteix el rectangle inicial en un quadrat. 5. Efectua el quadrat (tipus 1) Efectua la potència ___________________ 6. Efectua el quadrat (tipus 2) Efectua la potència ___________________ 7. Càlcul mental Calcula mentalment _______________ Si apliques les identitats notables, has de trigar menys de 5 segons a donar la resposta. 8. Simplificar fraccions (tipus 1) Aplica les identitats simplificar la fracció

notables

per

tal

per

tal

per

tal

9. Simplificar fraccions (tipus 2) Aplica les identitats simplificar la fracció

notables

10. Simplificar fraccions (tipus 3) Aplica les identitats simplificar la fracció

notables

Clica

Polinomis

per anar a la pàgina següent

28 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM

DATA:

Autoavaliació Completa aquí cadascun dels enunciats que apareixen a l’ordenador i resol-lo, després introdueix el resultat per tal de comprovar si la solució és correcta. Enunciat

Solució

Correcció

P(x) = __________________ Q(x) = __________________ R(x) = __________________ Calcula P(x) · Q(x) + P(x) · R(x) i escriu els coeficients del resultat. Calcula el valor numèric de _________________ en x = ________. Troba l’expressió algebraica que defineix l’àrea de _____ quadrats de costat x+y i _____ rectangles de base x i altura y. És certa la igualtat? ____________________________ En cas afirmatiu introdueix 1, en cas negatiu, -1 Troba els coeficients de ____________________________ Quina constant s’ha de sumar a _________________ per tal d’obtenir el quadrat de un binomi? Calcula el coeficient ____________

primer

grau

Aplica les identitats notables per calcular mentalment el nombre que apareix en clicar Nombre:________________ Simplifica la fracció ___________________ Treu factor comú la major potència de x en _____________

Activitats per enviar al tutor Fes les activitats i envia-les al teu professor/a tot seguint les seves instruccions. Finalment, no oblidis visitar l’enllaç Per saber-ne més per ampliar els teus coneixements. Polinomis

29 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Equacions de segon grau Continguts 1. Expressions algebraiques Identitat i equació Solució d’una equació 2. Equacions de primer grau Definició Mètode de resolució Resolució de problemes 3. Equacions de segon grau Definició. Tipus Resolució de ax2+bx=0 Resolució de ax2+c=0 Resolució de ax2+bx+c=0 Suma i producte de les arrels Discriminant d’una equació Equació (x–a)·(x–b)=0 Resolució de problemes

Objectius •

Identificar les solucions d’una equació.

•

Reconèixer i obtenir equacions equivalents.

•

Resoldre equacions de primer grau.

•

Resoldre equacions de segon grau tant completes com incompletes.

•

Utilitzar el llenguatge algebraic i les equacions per resoldre problemes.

Autor: José Luis Alcón Camas Versió en català: Francesc Cassasas Canals

Equacions de segon grau

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Abans de començar empezar Recorda Fes memòria de com resolíem les equacions a 2n d’ESO.

Ara intenta resoldre el següent problema:

Clica a

Quant et va costar aquesta radio? Un quart, més un cinquè, més un sisè, menys 21 euros va ser la meitat de tot.

per anar a la següent pàgina.

1. Igualtats algebraiques 1.a. Identitat i equació Llegeix el text de pantalla:

“Una igualtat algebraica està ...”

EXERCICI. Contesta: Quina diferència hi ha entre una equació i una identitat?

A l’escena: Clica UN EXEMPLE MÉS per veure diferents exemples d’Identitats i d’Equacions: a) Copia un exemple b) Copia un exemple complet tal com apareix a la complet tal com apareix a pantalla per IDENTITAT. la pantalla per EQUACIÓ verificant amb la solució.

Clica sobre el botó

Equacions de segon grau

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per EQUACIÓ amb un nombre diferent de la solució.

per fer uns exercicis.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1. Classifica l’expressió algebraica: 6(7x − 1) + 3x = 4x + 76 , com identitat o equació. 2. Classifica l’expressió algebraica: 7(5x − 1) + 5x = 40x − 7 , com identitat o equació. 3. Escriu una equació de la forma ax+b=c que tingui per solució x=4.

1.b. Solució d’una equació Llegeix el text de pantalla:

“El valor de la lletra que ...”

EXERCICI. Contesta les següents preguntes: a) Quan és incompatible una equació? ____________________________________ b) Com s’obtenen equacions equivalents? ________________________________ Clica a UN EXEMPLE MÉS per a) Copia un exemple (1) complet tal com apareix a la pantalla per EQUACIÓ COMPATIBLE.

Clica sobre el botó

veure diferents exemples. b) Copia un exemple (2) complet tal com apareix a la pantalla per EQUACIÓ COMPATIBLE.

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per EQUACIÓ INCOMPATIBLE.

per fer uns exercicis.

EXERCICIS 4. Escriu una equació de la forma ax =b que sigui equivalent a 5x + 4 = −16 5. Escriu una equació de la forma x +b=c que sigui equivalent a 5x + 20 = 15 6. Raona si x=2 és solució de l’equació: 5x + 3(x − 1) = 13 7. Raona si x=3 és solució de l’equació: 7x + 3(x − 2) = 16 8. Comprova que x=-1, és solució de l’equació 5x + x 2 = −4 9. Escriu una equació que sigui incompatible. Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

2. Equacions de primer grau 2.a. Definició Llegeix el text de pantalla:

“Una equació de primer grau amb una incògnita és ...”

EXERCICI. Contesta la següent pregunta: De quin grau és l’exponent de la “x”? _____ Clica UN EXEMPLE MÉS per veure diferents exemples. a) Copia un exemple (1) b) Copia un exemple (2) c) Copia un exemple (3) complet tal com apareix a la complet tal com apareix a la complet tal com apareix a la pantalla. pantalla. pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol aplicant les regles de la suma i el producte les següents equacions de primer grau: a) 18x+1=–7 b) 2x+15=9 c) 10x+13=–17x+5 d) –9x–8=15x e) 12x+15=–5x f) –x+15=18x+4

Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

2.b. Mètode de resolució Llegeix el text de pantalla:

“Per resoldre una equació de primer grau ...”

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure diferents exemples. a) Copia un exemple (1) b) Copia un exemple (2) c) Copia un exemple (3) complet tal com apareix a la complet tal com apareix a la complet tal com apareix a pantalla. pantalla. la pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS 10. Resol les següents equacions: a)

−7x + 5 9x − 7 + = −1 7 8

2x − (x + 1) 5x + 2 = 4 6

3x − 7(x + 1) 2x − 1 = −2 6 3

2x − 5 −2x + 8 − =x 3 7

6x − (x − 8) −2x − 17 = +x 6 3

Equacions de segon grau

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

2.c. Resolució de problemes Llegeix el text de pantalla: “Per resoldre un problema mitjançant una equació,s’han de...” Exemples Clica sobre

i continua amb

per veure com es fa.

I “<tornar” per tornar al menú. Per altres exemples del mateix tipus: a) Copia un exemple complet b) Copia un exemple c) Copia un exemple tal com apareix a la pantalla complet tal com apareix a complet tal com apareix a la tipus EDATS. la pantalla tipus pantalla tipus MOVIMENTS. MESCLES.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS 11. L’ edat d’un pare és el triple que la del seu fill, si entre tots dos sumen 56 anys Quina és l’edat de cadascun d’ells? 12. Quants litres de vi de 5€ el litre han de barrejar-se amb vi de 3€ el litre per obtenir 50 litres de vi amb un preu de 4€ el litre?

Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS de Reforç Resol els problemes pas a pas: a) Un ciclista surt de la ciutat A cap a la ciutat B a una velocitat constant de 30 km/h i un altre ciclista surt de B cap a A a una velocitat constant de 20 km/h. Si la distància entre les dues ciutats és de 30 km, a quina distància de B es trobaran? b) Tenim 180 pedres i volem fer dues piles, de manera que una tingui el triple de pedres que l’altra. Quantes pedres tindrà cada pila?

3. Equacions de segon grau 3.a. Definició. Tipus. Llegeix el text de pantalla:

“Una equació de segon grau amb...”

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure diferents exemples. a) Copia un exemple (1) d’equació de segon grau COMPLETA tal com apareix a la pantalla.

Clica sobre el botó

b) Copia un exemple (2) d’equació de segon grau INCOMPLETA SENSE terme independent.

c) Copia un exemple (3) d’equació de segon grau INCOMPLETA AMB terme independent.

per fer uns exercicis.

Equacions de segon grau

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICOS de Reforç Indica els valors dels coeficients “a”, “b” i “c” en cada una de les següents equacions de segon grau: a) x2 + 9 = 0 b) x2 + 3 = 4x2 c) 7x2 + 5x - 7 = 6x d) -x2 - 7 = 1 e) 7x2 - 1 = -4x Clica

per anar a la següent pàgina.

3.b. Resolució de ax2+bx=0. Llegeix el text de pantalla:

Clica sobre

Pas 1

“Per resoldre aquest tipus...”

per veure com es fa. Clica

UN EXEMPLE MÉS

per veure més exemples.

a) Copia un exemple (1) tal b) Copia un exemple (2) c) Copia un exemple (3) tal com com apareix ala pantalla. tal com apareix a la apareix a la pantalla. pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol les següents equacions incompletes: a) -x2 + 13x = 0 b) 16x2 + x = 0 c) x2 + 85x = 0 d) 27x2 + 23x = 0 e) 73x2 - 81x = 0 Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

3.c. Resolució de ax2+c=0. Llegeix el text de pantalla:

“Per resoldre aquest tipus...”

EXERCICI. Contesta la següent pregunta: 2 Quan hi ha dues solucions per l’equació ax +c=0? ___________________________ Escriu dos exemples d’equacions d’aquest tipus:

Clica sobre

per veure com es fa. Clica UN EXEMPLE MÉS per veure més exemples.

a) Copia un exemple (1) tal b) Copia un exemple (2) tal c) Copia un exemple (3) tal com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol les següents equacions incompletes: a) 2x2 - 162 = 0 b) 4x2 - 9 = 0 c) 4x2 - 64 = 0 d) -2x2 + 128 = 0 e) 18x2 - 162 = 0 Clica

per anar a la següent pàgina.

3.d. Resolució de ax2+bx+c=0. Llegeix el text de pantalla:

“L’equació de segon grau completa...”

EXERCICI. Escriu la fórmula de la solució de l’equació de segon grau completa. Equació

Equacions de segon grau

Fórmula

INS _______________________ QUADERN Num. 3

Clica sobre

NOM:

DATA:

Per veure com es fa.

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure més exemples.

a) Copia un exemple (1) tal com apareix a b) Copia un exemple (2) tal com apareix a la pantalla. la pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol les següents equacions de segon grau completes: a) - x2 - 11x - 28 = 0 b) - x2 - x + 30 = 0 c) - x2 + 2x + 24 = 0 d) - x2 + 11x - 30 = 0 e) x2 – 7x - 10 = 0 Clica

per anar a la següent pàgina.

3.e. Suma i producte de les arrels. Llegeix el text de pantalla:

“Si x1 i x2 són les arrels d’una equació...”

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure més exemples. a) Copia un exemple (1) tal com apareix a b) Copia un exemple (2) tal com apareix a la pantalla. la pantalla.

Clic sobre el botó

per fer uns exercicis.

Equacions de segon grau

10 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS de Reforç Resol els següents exercicis sobre la suma i el producte de les arrels d’una equació de segon grau: a) Escriu una equació de segon grau que tingui per arrels -8 i 1. b) Calcula el valor de m, sabent que x = -8 és una de les solucions de l’equació de segon grau x2 + 3x + m = 0 c) Sense resoldre l’equació, indica les arrels de l’equació de segon grau x2 - 12x + 32 = 0 d) Calcula el valor de m, sabent que x = - 10 és una de les solucions de l’equació de segon grau x2 + 12x + m = 0 e) Sense resoldre l’equació, indica les arrels de l’equació de segon grau x2 - 11x + 30 = 0 Clica

per anar a la següent pàgina.

3.f. Discriminant. Llegeix el text de pantalla:

“S’anomena discriminant d’una equació...”

EXERCICI. Contesta les següents preguntes: a) Escriu l’expressió d’una equació de segon grau i la del seu discriminant. Equació:

Discriminant:

b) Quina condició ha de complir el discriminant per tenir una única solució? c) Quina condició ha de complir el discriminant per tenir dues solucions? En l’escena de la dreta pots veure un exemple del càlcul del discriminant. Clica sobre

per veure com es fa.

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure més exemples.

a) Copia un exemple (1) tal b) Copia un exemple (2) tal c) Copia un exemple (3) tal com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

Equacions de segon grau

11 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS de Reforç Indica sense resoldre-la, el nombre d’arrels diferents que té cada una de les següents equacions de segon grau: a) 6x2 + 3 = 0 b) - 3x2 - 60x - 300 = 0 c) - 2x2 + 32x - 128 = 0 d) - 2x2 + 6x - 4 = 0 e) - x2 – 16x - 64 = 0 Clica

per anar a la següent pàgina.

3.g. Equació (x-a)(x-b)=0 Llegeix el text de pantalla: Clica sobre

“Com ja saps, per tal que un producte de...”

per veure com es fa.

Clica UN EXEMPLE MÉS per veure més exemples.

a) Copia un exemple (1) tal b) Copia un exemple (2) tal c) Copia un exemple (3) tal com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla. com apareix a la pantalla.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol les següents equacions de segon grau del tipus (x-a)(x-b) = 0 a) (-x + 2) · (5x + 10) = 0 b) (-x + 3) · (2x - 6) = 0 c) 2x · (x - 7) = 0 d) (-5x - 6) · (x + 2) = 0 e) (9x + 4) · (5x + 10) = 0 Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

12 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS 13. Resol les següents equacions de segon grau incompletes: 2 a) x − 6x = 0 2 b) x + 27x = 0 2 c) 3x + 5x = 0

14. Resol les següents equacions de segon grau incompletes: 2 a) x − 36 = 0 2 b) 4x − 9 = 0 2 c) x + 9 = 0

15. Resol les següents equacions de segon grau completes: 2 a) x − 7x + 10 = 0 2 b) 3x + 17x + 20 = 0 2 c) 3x + 5x + 4 = 0

16. Escriu una equació de segon grau que tingui per arrels x=-1 i x=4. 17. Resol les següents equacions: a) b)

(x − 2)(x + 3) = 0 (3x − 1)(x − 5) = 0

3.h. Resolució de problemes. Llegeix el text de pantalla: Exemplos:

“Per resoldre un problema mitjançant una equació, s’han de...”

Clica sobre

i continua amb

per veure com es fa.

I “< tornar” per tornar al menú. Per altres exemples del mateix tipus: a) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus EDATS.

Equacions de segon grau

13 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

b) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus GEOMETRIA.

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus NOMBRES.

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICIS de Reforç Resol els problemes pas a pas: a) La Llúcia té el quàdruple d’edat que en Miquel. Si multipliquem les seves edats obtenim el nombre 1444. Quina edat té cada un? b) La diagonal d’un rectangle mesura 13 cm. Troba les seves dimensions si un catet fa 7 cm més que l’altre. c) El producte d’un nombre positiu pel doble d’aquest mateix nombre és 1682. De quin nombre es tracta? d) La suma del quadrat d’un nombre amb aquest mateix nombre és 20. De quin nombre es tracta? e) Per tancar una finca rectangular de 187 m2 s’utilitzen 56 m de tanca. Calcula les dimensions de la tanca.

Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

14 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Llegeix el resum tranquil·lament i contesta les següents preguntes: Què és una solució d’una equació?

Quan es diu que una equació és incompatible?

Quan es diu que una equació és compatible?

Quan són equivalents dues equacions?

Expressió general d’una equació de primer grau:

Solució:

Expressió general d’una equació de segon grau completa:

Fórmula per calcular les solucions d’una equació de 2n grau completa:

Expressió general d’una equació de segon grau incompleta (c=0):

Fórmula per calcular les solucions d’una equació de 2n grau incompleta (c=0):

Expressió general d’una equació de segon grau incompleta (b=0):

Fórmula per calcular les solucions d’una equació de 2n grau incompleta (b=0):

Equació canònica: La suma de les solucions d’una equació de segon grau és:__________________________ El producte de les solucions d’una equació de segon grau és: _______________________ Una equació de segon grau no té solució quan: Escriu un exemple. Una equació de segon grau té només una solució quan: Escriu un exemple. Una equació de segon grau té dues solucions quan: Escriu un exemple.

Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

15 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Per practicar Pots anar a l’apartat que vulguis des d’aquesta pàgina (Equacions de primer grau, equacions de segon grau), clicant sobre els diferents enllaços, o bé seguint l’ordre correlatiu de les pàgines amb l’enllaç que hi ha a sota.

EQUACIONS DE PRIMER GRAU Apareix l’enunciat d’un exercici o d’un problema. Copia’l a continuació i el resols. Després comprova la solució. Escull un altre exercici i repeteix el mateix procés. Fes almenys DOS exercicis d’equacions i QUATRE problemes amb els enunciats diferents. EXERCICIS D’EQUACIONS DE 1r GRAU. 1.

PROBLEMES D’ENUNCIAT. 3.

Clica Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina. -

16 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

EQUACIONS DE SEGON GRAU Apareix l’enunciat d’un exercici o d’un problema. Copia’l a continuació i el resols. Després comprova la solució. Escull un altre exercici i repeteix el mateix procés. Fes almenys TRES exercicis d’equacions i TRES problemes amb enunciats diferents. EXERCICIS D’EQUACIONS DE 2n GRAU. 7.

PROBLEMES D’ENUNCIAT. 10.

11.

12.

Clica

Equacions de segon grau

per anar a la següent pàgina.

17 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Autoavaliació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent en l’ordinador,el resols i després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escriu una equació de la forma _______ que tingui per solució x= ___

Resol l’equació:

Troba un nombre sabent que ____ __________________________________ _________________________________.

Resol l’equació:

Escriu una equació de segon grau que tingui per solucions ___ i ___

El quadrat d’un nombre positiu més el doble del seu oposat és _____. Quin és aquest nombre?

Resol sense aplicar la fórmula general:

Equacions de segon grau

18 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Determina si les següents igualtats algebraiques són identitats o són equacions:

6(x − 1) − 3x = 4x + 6

(x + 1) = x + 2x + 1

3(x − 1) − 5 = 3x − 8

x − (2x − 5) = 3x − 8

2. Indica el grau de les següents equacions:

x2 − 1 = x + 2

x 3 − 1 = x3 + x2 + 2

x2 − 1 = x2 + x + 2

x − 1 = 3x + 2

3. Indica si x=4 és solució de les següents equacions:

3(x − 1) − 5 = 3x − 8

2(x + 3) − 5x = x + 2

(x − 1) − 5 = x

x3 − 60 = x

4. Escriu una equació de primer grau que tingui per solució:

x=2

b) x=3

x=1

5. Resol les següents equacions de primer grau:

10 − x = 3

2x − 5 = 15

−9 + 4x = x

3x − 10 = 50 + x

6. Calcula el valor de x:

3(x − 1) + 2x = x + 1

2 − 2(x − 3) = 3(x − 3) − 8

2(x + 3) + 3(x + 1) = 24

3x + 2(x − 1) = 12 2

7. Obté la solució de les següents equacions:

x −1 x + 3 − =1 2 3

Equacions de segon grau

19 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

x−3 − 3(x + 2) = −20 2

2 − 2(x − 3) x + 4 − =3 2 4

4(x + 1) x+3 +x− = 5 + 3(x − 2) 2 3

DATA:

8. Troba dos nombres consecutius que sumin 71

9. Troba un nombre tal que sumat al seu triple doni 100

10. Quina edat tinc si d’aquí a 12 anys tindré el triple de l’edat que tenia fa 8 anys?

11. En Joan té 12 anys menys que la Maria. D’aquí a 4 anys la Maria tindrà el triple de l’edat del Joan. Quants anys tenen ara?

12. A una festa hi ha 43 persones. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quants nois i quantes noies hi ha a la festa?

13. Resol

x2 − 5x = 0

x2 − 9 = 0

x2 + 3x = 0

x2 + 5 = 0

14. Resol

x2 − 5x + 6 = 0

Equacions de segon grau

20 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

x2 − 3x − 4 = 0

x2 + 3x − 10 = 0

x2 − 6x + 9 = 0

DATA:

15. Resol

(x + 2)(x − 3) = 0

(3x + 1)(x + 5) = 0

x(x + 9) = 0

(2x + 8)(3x − 9) = 0

16. Escriu una equació de segon grau que tinguin les següents arrels:

x=3 y x=-5

x=2 y x=4

x=-1 y x=-9

x=0 y x=-5

17. Resol

(x + 2)(x − 3) = 6

(x + 1)(x − 5) = 16

18. Calcula el valor de m sabent que x=3 és solució de l’equació de segon grau x2 – mx+27=0

19. La suma d’un nombre natural i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?

Equacions de segon grau

21 -

INS _______________________ QUADERN Num. 3

NOM:

DATA:

20. La diagonal d’un rectangle mesura 10 cm. Troba les seves dimensions si un costat mesura 2 cm menys que l’altre.

21. Troba dos nombres positius que es diferencien en 7 unitats sabent que el seu producte és 44.

22. Troba dos nombres que sumin 10 i que el seu producte sigui 24.

23. Un camp de futbol mesura 30 m més de llarg que d’ample i la seva àrea és de 7000 m2. Troba les seves dimensions.

24. Tenim un filferro de 17 cm. Com cal doblar-lo de manera que formi un angle recte i que els seus extrems quedin a 13 cm?

25. Troba el valor dels coeficients a,b i c en l’equació de segon grau 7x2 + bx + c = 0 de manera que tingui per solucions x= 3 i x = -2.

26. La diagonal d’un rectangle fa 10 cm. Calcula les seves dimensions si el costat petit mesura ¾ del costat gran.

27. Reparteix el nombre 20 en dues parts de manera que la suma dels seus quadrats sigui igual a 202.

28. Troba dos nombres positius sabent que es diferencien en 7 unitats i que el seu producte és igual a 60.

29. El perímetre d’un triangle rectangle fa 24 metres, i la longitud d’un catet és igual a ¾ de l’altre. Troba els seus costats.

30. Troba dos nombres sabent que sumen 18 unitats i que el seu producte és 77.

Equacions de segon grau

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Sistemes d’equacions Continguts 1. Equacions lineals Definició. Solució 2. Sistemes d’equacions lineals Definició. Solució Nombre de solucions 3. Mètodes de resolució Reducció Substitució Igualació 4. Aplicacions pràctiques Resolució de problemes

Objectius •

Reconèixer i classificar els sistemes d’equacions segons el seu nombre de solucions.

•

Obtenir la solució d’un sistema mitjançant unes taules.

•

Resoldre sistemes lineals de dues equacions amb dues incògnites, pels mètodes de substitució, igualació i reducció.

•

Utilitzar el llenguatge algebraic i els sistemes per resoldre problemes.

Autor: Xosé Eixo Blanco Versió en català: Francesc Cassasas Canals

Sistemes d’equacions

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Abans de començar empezar Llegeix el poema de l’escena, intenta plantejar una equació i mira de trobar-ne la solució. Per presumir de certer un tirador agosarat es va trobar compromès en l’afer que os refereixo. I va ser que en una caseta de la fira de la vila va presumir de no fallar ni un tir amb l’escopeta, i el firataire alçant el gall un duro va oferir pagar per cada encert i cobrar tres pessetes per marrar

Setze vegades tirà el tirador afamat i a la fi digué, enfadat per les tirades errades: “Mala escopeta és l’esquer i el motiu del meu greuge però ajustat el compte res et dec ni et quedo a deure”. I tot el que atentament aquest relat ha escoltat podrà dir fàcilment les vegades que encertà.

En acabar

clica

Completa la taula de premis per obtenir la solució d’una altra manera: Encerts 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6

Errors 0 1

Premi 80 72

per anar a la següent pàgina.

1. Equacions lineals 1.a. Definició. Solució. Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Respostes Quin és el grau de les equacions lineals? Quina és l’expressió general d’una equació lineal amb dues incògnites? Què és una solució d’una equació lineal amb dues incògnites? Quantes solucions té una equació lineal amb dues incògnites? Quin tipus de corba formen les solucions d’una equació lineal amb dues incògnites si les representem gràficament? Copia quatre dels exemples que apareixen a l’escena en els següents requadres i fes la gràfica de la recta que formen les solucions de cada una de les equacions: Equació: x

Equació: y

Sistemes d’equacions

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Equació: x

Equació: y

Quan tinguis ben clar el concepte …

Clica a

per fer uns exercicis.

EXERCICI: Completa a continuació tres dels enunciats que apareixen en aquesta escena d’exercicis i els resols. Després comprova la solució a l’escena: Solucions Troba una solució (x,y) de l’equació __________ sabent que _______ Raona si x =

,y=

és una solució de l’equació: __________

Quin és el valor de c si x =

,y=

és una solució de l’equació:_________ ?

Resol més exercicis fins que hagis entès bé el concepte de solució d’una equació lineal amb dues incògnites.

EXERCICIS 1.

Donada l’equació: 3x + 2y = 17 , raona si els següents parells són solució. a) x=1 , y=3 b) x=5 , y=1

Donada l’equació 5x − 2y = c , troba el valor de c sabent que una solució és: a) x=3 , y=6 b) x=4 , y=1

Troba una solució (x,y) de l’equació −4x + 5y = 17 sabent que: a) x=7 b) y=1

Escriu una equació lineal amb dues incògnites que tingui solució: a) x=1 , y=3 b) x=-2 , y=1

Fes una taula de valors (x,y) que siguin solució de l’equació: 2x + y = 17 , i representa aquests valors en un sistema de coordenades. Quan acabis …

Sistemes d’equacions

Clica

per anar a la següent pàgina. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

2. Sistemes d’equacions lineals 2.a. Definició. Solució. Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Fórmula general d’un sistema de dues equacions Una solució d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites és _____________ __________________________________________________________________________ Copia dos exemples dels que apareixen en l’escena, fes la gràfica de les rectes que corresponen a cada una de les equacions i indica quina és la solució del sistema: Sistema:

  

Gràfica

Eq. 1:

Eq. 2:

y= x

Solució del sistema x

( , )

Sistema:

  

Gràfica

Eq. 1:

Eq. 2:

y= x

Solució del sistema x

( , )

Quan hagis entès bé el concepte … Sistemes d’equacions

Clica a

per fer uns exercicis. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

EXERCICI: Completa a continuació tres dels enunciats que apareixen en aquesta escena d’exercicis i els resols. Després comprova la solució en l’escena: Solucions Escriu un sistema de dues equacions amb dues incògnites que tingui per solució: x = , y = Raona si x =

,y=

és una solució del sistema:

  

Fes una taula de valors i troba la solució del sistema:

  

X y

Resol més exercicis fins que hagis entès bé el concepte de solució d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Quan acabis …

Clica

per anar a la següent pàgina.

2.b. Nombre de solucions. Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Aprèn com s’anomenen els sistemes segons el nombre de solucions que tenen i com són en cada cas les rectes que formen les solucions corresponents a cada una de les equacions que el formen. EXERCICI: Contesta: Respostes Com s’anomena un sistema que té una única solució? Com són les rectes que el formen? Com s’anomena un sistema que té infinites solucions? Com són les rectes que el formen? Com s’anomena un sistema que no té solució? Com són les rectes que el formen? En l’escena de la dreta escull l’opció: Sistema: Eq. 1:

   Eq. 2:

Las rectes són:

= x

Quantes solucions té el sistema?

Gràfica Sistemes d’equacions

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

En l’escena de la dreta escull l’opció: Sistema:

  

Eq. 1:

Eq. 2:

Les rectes són:

= x

Quantes solucions té el sistema?

En l’escena de la dreta escull l’opció: Sistema: Eq. 1:

   Eq. 2:

Les rectes són:

= x

Quantes solucions té el sistema?

EXERCICIS 6.

3x + 2y = 17 Donat el sistema:  , raona si els següents parells són solució. 5x − y = 11 a) x=3 , y=4

b) x=5 , y=1

c) x=3 , y=1

Escriu un sistema de dues equacions que tingui solució: b) x=1 , y=2

b) x=3 , y=1

c) x=2 , y=3

3x + 2y = 8 Fes una taula de valors i dóna la solució del sistema:  5x − y = 9

x + y = 2 Indica quantes solucions té el sistema:  x − 3y = −2

Sistemes d’equacions

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

3. Mètodes de resolució 3.a. Reducció. Llegeix a la pantalla en què consisteix el mètode de reducció. EXERCICI: Completa: Resoldre un sistema pel mètode de reducció consisteix a trobar un altre sistema, _________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ En l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode de reducció pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix a l’escena. Resoldre el sistema:

  

Pas 1:

Multiplicar la primera equació per Multiplicar la segona equació per Sumar les dues equacions per eliminar la lletra

Pas 2:

Substituir

Pas 3:

Aïllar la

en la

Equació

Pas 4: Donar la solució

Observa que pots canviar la lletra que es redueix i que pots utilitzar qualsevol de les dues equacions al substituir per trobar el valor de l’altra incògnita. Practica amb aquesta escena fins que hagis entès bé el mètode. Desprès… Apareix una escena amb un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. L’has de resoldre en aquest requadre.

Clica a

Resoldre el sistema per reducció:

per fer uns exercicis.

  

Multiplicar la primera equació per Multiplicar la segona equació per Sumar les dues equacions per eliminar la lletra

Substituir el valor de

Després clica Solució per comprovar Sistemes d’equacions

en l’equació x= y=

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Clica UN EXEMPLE MÉS

Resoldre el sistema por reducció:

  

Multiplicar la primera equació per Multiplicar la segona equació per Sumar les dues equacions per eliminar la lletra

I el resols de la mateixa manera: Primer en el paper i després comprova la solució.

Substituir el valor de

en l’equació x= y=

Fes alguns exemples. Quan acabis …

Clica

per anar a la següent pàgina.

3.b. Substitució. Llegeix a la pantalla en què consisteix el mètode de substitució. EXERCICI: Completa: Per resoldre un sistema pel mètode de substitució _________________________________ __________________________________________________________________________ En l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode de substitució pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix en l’escena. Resoldre el sistema:

  

Pas 1:

Aïllar la lletra la

en equació

Pas 2:

Substituir la lletra en la equació

Pas 3:

Resoldre l’equació d’una incògnita que resulta:

Pas 4:

Calcular la

substituint en l’equació aïllada Pas 5: Donar la solució

Observa que podries començar aïllant la mateixa lletra en l’altra equació o l’altra lletra en qualsevol de les equacions i sempre obtindries el mateix resultat. Practica amb aquesta escena fins que hagis entès bé el mètode. Després… Sistemes d’equacions

Clica

per fer uns exercicis. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4 Apareix una escena amb un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.

NOM:

DATA:

Resoldre el sistema per substitució:

S’aïlla la

  

en la

equació …

L’has de resoldre en aquest requadre. Solució: Després clica

x= y=

Solució per comprovar Fes uns quants exemples. Quan acabis …

Clica

per anar a la següent pàgina.

3.c. Igualació. Llegeix a la pantalla en què consisteix el mètode d’igualació. EXERCICI: Completa: Per resoldre un sistema pel mètode d’igualació ____________________________________ __________________________________________________________________________ En l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode d’igualació pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix en l’escena.

Resoldre el sistema:

  

Pas 1:

Aïllar la lletra les dues equacions

Pas 2:

Igualar les dues equacions aïllades

Pas 3:

Resoldre l’equació d’una incògnita que resulta:

Pas 4:

Calcular la

Substituint en l’equació aïllada Pas 5: Donar la solució

Observa que podries començar aïllant l’altra lletra en les dues equacions i obtindries el mateix resultat. Practica amb aquesta escena fins que hagis entès bé el mètode. Després…

Sistemes d’equacions

Clica

per fer uns exercicis.

INS _______________________ QUADERN Núm. 4 Apareix una escena amb un sistema de dues equacions lineals amb dos incògnites.

NOM:

DATA:

Resoldre el sistema per igualació:

S’aïlla la

  

en les dues equacions…

L’has de resoldre en aquest requadre. Solució:

Després clica

x= y=

Solució per comprovar

EXERCICIS 11.

Resol els següents sistemes utilitzant el mètode de reducció: 2x + 7y = 20 a)  3x − 7y = 4

2x + 3y = 9 b)  3x − 5y = 4 12.

Resol els següents sistemes utilitzant el mètode de substitució: x + 7y = 11 a)  3x − 5y = 7

2x + y = 7 b)  3x + 4y = 13 13.

Resol els següents sistemes utilitzant el mètode d’igualació: x + 7y = 23 a)  x − 5y = −13

2x + y = 13 b)  x + y = 9

EXERCICIS de Reforç Resol els següents sistemes pel mètode que consideris més adequat en cada cas:

2x − 3y = 0 a)  3x + y = 11

x − 5y = 11  − 2x + 7y = −19

3x − 2y = 1 b)  2x + 5y = −12

2x + 5y = −2 d)  4x − 3y = 9 Quan acabis …

Sistemes d’equacions

− 2x + y = 2 e)  4x + 5y = 17 f) Clica

4x + 3y = 3  2x + 9y = 4 per anar a la següent pàgina.

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

4. Aplicacions pràctiques 4.a. Resolució de problemes. Llegeix el text de pantalla: “Per resoldre un problema mitjançant un sistema...” Exemples. En l’escena pots veure exemples de problemes de tres tipus Clica sobre

i continua amb

per veure com es fa.

“< tornar” per tornar al menú. Per d’altres exemples del mateix tipus:

a) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus EDATS.

b) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus GEOMETRIA.

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla tipus MESCLES.

Després…

Sistemes d’equacions

Clica

per fer uns exercicis.

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

A l’escena aniran apareixent diferents problemes. Busca sis enunciats que comencin amb les frases que s’indiquen a continuació. Els completes i els resols(utilitza el mètode que consideris més adequat en cada problema). Després comprova si ho has fet bé. Exemple 1: Troba dos nombres sabent que ________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solució:

Exemple 2: En Cesc té en el moneder ____________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solució:

Exemple 3: En dividir un nombre entre un altre _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solució: Sistemes d’equacions

y= -

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Exemple 4: La base d’un rectangle mesura ________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solució:

Exemple 5: En una classe ______________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Solució:

Exemple 6: En Sergi ha fet un examen que _______________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solució:

Sistemes d’equacions

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

EXERCICIS 14.

L’Anna té a la seva cartera bitllets de 10€ i 20€, en total té 20 bitllets i 440€ Quants bitllets té de cada tipus?

15.

La suma de les edats d’en Miquel i en Pere és 97. D’aquí a 4 anys l’edat d’en Pere serà quatre vegades l’edat d’en Miquel. Quina edat té cadascun d’ells?

16.

Es volen obtenir 90 kg de cafè a 8’5 €/kg mesclant cafè de 15 €/kg amb cafè de 6 €/kg, quants kg de cada classe cal mesclar?

17.

En un taller hi ha 154 vehicles entre cotxes i motocicletes, si el nombre de rodes és de 458, quantes motocicletes i quants cotxes hi ha?

Recorda el més important – RESUM Equació de primer grau amb dues incògnites: ____________ a i b són els ________________, c és el ___________________________. Las solucions de l’equació són ______________________________________________ Hi ha ___________________. Les solucions, si les representem, estan ______________

Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites

  

a, b, p ,q són els _________________, c i r són els _________________________. Mètodes de resolució:

• • •

Sistema Compatible Determinat: Sistema Compatible Indeterminat: Sistema Incompatible:

El que ______________________ El que ______________________

El que ______________________ 1) ____________________________

Per resoldre problemes:

2) ____________________________ 3) ____________________________ 4) ____________________________ 5) ____________________________

Clica Sistemes d’equacions

per anar a la següent pàgina. -

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs dues pàgines d’exercicis: Sistemes d’equacions i Resoldre problemes amb sistemes

SISTEMES D’EQUACIONS Resol dos sistemes dels que apareixen en aquesta pàgina d’exercicis, per cada mètode: Per SUBSTITUCIÓ 1.

  

Per IGUALACIÓ 3.

  

Sistemes d’equacions

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Per REDUCCIÓ 5.

  

RESOLDRE PROBLEMES AMB SISTEMES Apareix l’enunciat d’un problema. El copies en el primer requadre i el resols en l’espai reservat per fer-ho. Després comprova en l’ordinador si l’has fet bé. Clicant a “ Exercici” apareixeran d¡altres enunciats. Resol un mínim de cinc problemes procurant que els enunciats siguin diferents. 7.

Resolució:

Sistemes d’equacions

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Resolució:

10.

Resolució:

11.

Resolució:

Sistemes d’equacions

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent en l’ordinador i el resols, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escriu un sistema de dues equacions lineals que tinguin com a única solució x= __, y=___

  

Completa el sistema per tal que sigui:

  

____________________________________

(Dibuixa les rectes en els eixos) Indica quin tipus de sistema de dues equacions amb dues incògnites s’ha representat.

Escriu una solució de l’equació: ___________

Resol per reducció el sistema següent:

  

Resol per substitució el sistema següent:

Resol per igualació el sistema següent:

  

Troba dos nombres _________________ sigui ___ i ______________ sigui ____ .

Indica, sense resoldre’l, si el sistema és Incompatible o Compatible Indeterminat.

  

Troba les dimensions d’un rectangle de perímetre ________ sabent_____________ ________________________________.

Sistemes d’equacions

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Calcula el valor de c de manera que la solució de l’equació, x + 7y = c sigui: a) x = 1 , y = 2

x =5 , y =0

b) x = 3 , y = −3

x = −2 , y = 3

2. Troba una solució (x,y) de l’equació −4x + y = 17 sabent que: a) x = 1

y = −7

3. Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tingui per solució: a) x = 4 , y = −3

  

x =0 , y =5

  

b) x = 1 , y = −2

  

x =1 , y =1

  

4. Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que: a) tingui infinites solucions

  

b) tingui una única solució

  

c) no tingui solució

  

5. Raona si el punt (x,y) és solució del sistema:

2x + 3y = 18 a) x = 3 , y = 4 →  3x + 4y = 24 5x − 3y = −1 b) x = 1 , y = 2 →  3x + 4y = 11 6. Resol gràficament els següents sistemes:

x + y = 6 a)  2x + 2y = 12

Sistemes d’equacions

x + y = 8 b)  x − y = 2

x + y = 6  x + y = 10

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

7. Resol per reducció:

2x + y = 15 a)  x − 2y = −15

 −7x + 6y = −29 b)  x + 3y = 8

 −9x − 4y = −53  9x + 8y = 61

x + 6y = 3 b)   −9x + 2y = −83

x + 2y = −17  5x + 2y = −21

x − 4y = 32 b)  x − 3y = −17

x − 2y = −14  x + 4y = 4

8. Resol per substitució:

x − 12y = 1 a)   −4x − 9y = 15

9. Resol per igualació:

x − 2y = 17 a)  7x − 6y = 47

Sistemes d’equacions

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

10. Troba dos nombres sabent que el més gran més sis vegades el més petit és igual a 62 i el més petit més cinc vegades el més gran és igual a 78.

11. En dividir un nombre entre un altre el quocient és 2 i el residu és 5. Si la diferència entre el dividend i el divisor és de 51, quins són aquests nombres?.

12. La base d’un rectangle mesura 20 dm més que la seva altura. Si el perímetre mesura 172 dm, quines són les dimensions del rectangle?

13. En una classe hi ha 80 alumnes entre noies i nois. En el darrer examen de matemàtiques han aprovat 60 alumnes, el 50% de les noies i el 90 % dels nois. Quants nois i quantes noies hi ha en la classe?

14. La base d’un rectangle mesura 70 dm més que la seva altura. Si el perímetre mesura 412 dm, quines són les dimensions del rectangle?

15. En Joan ha fet un examen que tenia 68 preguntes, n’ha deixat 18 sense contestar i ha obtingut 478 punts. Si per cada resposta correcta es sumen 10 punts i per cada resposta incorrecta se’n resta un, quantes preguntes ha contestat bé i quantes malament?

16. En Paco té en el seu moneder 210€ en bitllets de 5 i 20 euros. Si disposa de 15 bitllets, quants en té de cada tipus?

17. La suma de dos nombres és 85 i la seva diferència és 19.Quins són aquests nombres?

18. La suma de les edats de la Lluïsa i en Miquel és 32 anys. D’aquí a 8 anys l’edat d’en Miquel serà dues vegades la de la Lluïsa. Quina és l’edat de cadascun d’ells?

Sistemes d’equacions

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

19. La Maria ha comprat una camisa i un jersei. Els preus d’aquestes peces sumaven 77€, però li han fet un descompte del 10% en la camisa i un 20% en el jersei, pagant en total 63’60€. Quin era el preu sense rebaixar de cada peça?

20. Troba un nombre de dues xifres sabent que sumen 10 i que si li restem el nombre que resulta en intercanviar les seves xifres el resultat és 72.

21. Troba les dimensions d’un rectangle sabent que el seu perímetre mesura 88cm i que el triple de la base més el doble de l’altura és igual a 118.

22. La suma de les edats de la Raquel i la Lluïsa són 65 anys. L’edat de la Lluïsa més quatre vegades la de la Raquel és igual a 104. Quina és l’edat de cada una d’elles?.

23. Es volen obtenir 25 kg de cafè a 12’36 €/kg, mesclant cafè de 15 €/kg amb cafè de 9 €/kg. Quants kilograms de cada tipus cal mesclar?

24. Un hotel té 94 habitacions entre dobles i individuals. Si en total hi ha 170 llits. Quantes habitacions dobles té? I quantes d’individuals?

25. Troba dos nombres tals que si es divideixen el primer per 3 i el segon per 4, la suma dels quocients és 15, i si es multiplica el primer per 2 i el segon per 5 la suma dels productes és 188.

26. En un corral hi ha gallines i conills: si en total hi ha 50 caps i 134 potes. Quants animals de cada classe hi ha?.

27. Calcula dos nombres que sumen 150 i la diferència dels quals sigui el quatre vegades el menor.

Sistemes d’equacions

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Progressions Continguts 1. Successions Definició. Regla de formació Terme general 2. Progressions Aritmètiques Definició Terme general Suma de n termes 3. Progressions Geomètriques Definició Terme general Suma de n termes Suma de tots els termes Producte de n termes 4. Aplicacions Interpolació Interès Compost Resolució de problemes

Objectius • • • • • • •

Reconèixer una successió de nombres. Reconèixer i distingir les progressions aritmètiques i geomètriques. Calcular el terme general d’una progressió aritmètica i geomètrica. Trobar la suma dels termes d’una progressió aritmètica finita i geomètrica finita o infinita. Trobar el producte dels termes d’una progressió geomètrica finita. Resoldre problemes amb l’ajuda de les progressions. Resoldre problemes d’interès compost.

Autor: José Luis Alcón Camas Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Progressions

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

-1-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Abans de començar empezar Per començar es proposa un joc en què has d’esbrinar quina es la fitxa que falta a cada seqüència de fitxes de dominó TROBA EL DOMINÓ QUE FALTA I PREM INTRO

Hi ha 10 propostes diferents.

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.- Successions 1.a. Definició. Regla de formació Llegeix el text de la pantalla. Respon: Què és una successió? _____________________________________________________ Com s’anomena cada element de la successió? ____________________ Com s’anomena el criteri a partir del qual es determinen els termes d’una successió? _______________________________________________________________________ A l’escena tens exemples per veure les regles de formació de successions. Llegeix detingudament els exemples i completa’n dos en els quadres següents. Exemple 1

Exemple 2

Successió: _________________________

Successió:__________________________

Regla de formació:

Termes:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena. Progressions

-2-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

EXERCICIS de Reforç A. Escriu la regla de formació de la següent successió: a) 9, 11, 14, 18, … b) 7, -21, 63, -189, ... c) -8, 34, -134, 538, … d) -729, -243, -81, -27, … B. Escriu els 4 primers termes d’una successió si el primer terme és -4, i la regla de formació és: Cada terme és igual a l’anterior més 4. C. Escriu els 4 primers termes d’una successió si el primer terme és -9, i la regla de formació és: Cada terme és igual a l’anterior per 2 més 4. D. Escriu els 4 primers termes d’una successió si el primer terme és es -6, i la regla de formació és: Cada terme és igual a l’anterior per 5 més 4. E. Escriu els 4 primers termes d’una successió si el primer terme és 9, i la regla de formació és: Cada terme és igual a l’anterior per 4.

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Terme general Llegeix el text de la pantalla i respon: Quina posició ocupa el terme general d’una successió? ____________________. A l’escena tens exemples sobre “Terme general” de successions. Llegeix detingudament els exemples i completa’n dos en els quadres següents. Exemple 1

Exemple 2

Successió: ________________________

Regla de formació:

Terme general:

an =

Termes:

Terme general: Termes:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Després… Progressions

an =

Clica el botó

per fer exercicis. -3-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Els següents exercicis de càlcul dels primers termes d’una successió a partir del seu terme general, són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç Escriu els 4 primers termes de cadascuna de les següents successions:

a) a n = 9 n b) a n = − 3 n − 7 c) a n = 5 n 2 + 9 d) a n = − 9 n 2 + 6 e) a n = 4 n −1 f)

a n = 3− n+5

EXERCICIS 1.

El primer terme d’una successió és 4. Escriu-ne els quatre primers termes si: “Cada terme és igual a l’anterior més el lloc que ocupa”:

Escriu la regla de formació de la següent successió: 3, 8, 13, 18 ,...

Escriu els cinc primers termes de la successió formada pels quadrats dels nombres naturals.

Calcula els 4 primers termes de la successió de terme general: an =

Escriu els 5 primers termes d’una successió, la regla de formació de la qual és: “Cada terme és la suma dels dos anteriors”

Escriu el terme general d’aquestes successions: a) 2, 3, 4,5, 6,....

n n+1

b) 2, 4, 8,16, 32,....

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.- Progressions Aritmètiques 2.a. Definició Llegeix el text de la pantalla i completa: Una progressió aritmètica és ______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. Si d>0, els nombres són _________________, es diu que la progressió és ____________ Si d<0, els nombres són _________________, es diu que la progressió és ____________ Progressions

-4-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

A l’escena tens exemples per veure les regles de formació de progressions aritmètiques. Llegeix detingudament els exemples i completa’n dos en els requadres següents: Exemple 1

Exemple 2

Progressió: ________________________

Regla de formació:

Termes:

a2 = a 1 +

a2 = a1 +

a3 = a 2 +

a3 = a2 +

a4 = a 3 +

a4 = a3 +

a5 = a 4 +

a5 = a4 +

a6 = a 5 +

a6 = a5 +

La diferència és: d =

La progressió és _______________

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Escriu el següent terme de la progressió aritmètica: a)

0, -2, -4, -6, ...

b) 14, 7, 0, -7, …

-4, 5, 14, 23, ...

11, 6, 1, -4, …

B. Raona si la següent progressió aritmètica és creixent o decreixent: a)

3, 4, 5, 6, ...

b) -2, -7, -12, -17, …

-3, -6, -9, -12, …

-2, -1, 0, 1, ...

C. Raona si la següent successió és una progressió aritmètica: a)

2, 5, 8, 11, …

11, 8, 5, 2, …

b) 1, -6, -13, -20, ...

9, 3, -3, -9, …

D. Escriu la regla de formació de la següent progressió aritmètica: a)

4, 8, 12, 16, ...

b) 2, -2, -6, -10, …

16, 9, 2, -5, …

-6, -3, 0, 3, …

Clica

Progressions

per anar a la pàgina següent.

-5-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

2.b. Terme general Llegeix el text de la pantalla. Fixa’t en el procés que se segueix per obtenir el terme general d’una progressió aritmètica i completa la fórmula en el requadre: El terme general d’una progressió aritmètica és

a1 és __________________ i d és ___________________ A l’escena tens exemples de càlcul del terme general. Completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1

Exemple 2

Progressió: ________________________

El primer terme és: a1 =

La diferència és: d =

El terme general és:

an =

Després…

an =

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. En una progressió aritmètica, el terme 9 és 31 i la diferència és 4. Troba el terme general. B. En una progressió aritmètica, el terme 8 és 35 i el terme 18 és 105. Troba el terme general. C. Troba el terme general de la progressió aritmètica: 2, -6, -14, -22, … D. En una progressió aritmètica, el terme 10 és 43 i la diferència és 5. Troba el terme general. E. En una progressió aritmètica, el terme 4 és 1 i el terme 19 és -44. Troba el terme general. F. Troba el terme general de la progressió aritmètica:-1, -8, -15, -22, ... G. En una progressió aritmètica, el terme 10 és -46 i la diferència és -6. Troba el terme general. H. En una progressió aritmètica, el terme 4 és -1 i el terme 23 és 56. Troba el terme general. I. Troba el terme general de la progressió aritmètica: 12, 4, -4, -12, ... Clica Progressions

per anar a la pàgina següent. -6-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

2.c. Suma de n termes Llegeix el text de la pantalla. Fixa’t en l’explicació en què s’arriba a la fórmula per calcular la suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica. Observa que hi ha un enllaç: “Per veure com s’obté la fórmula fes "clic" aquí” que obre una finestra amb una explicació més detallada de l’obtenció de la fórmula. Completa: La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica és

a1 és ____________, an és ____________, i n és ________________ A l’escena tens exemples sobre “Suma dels termes” i “termes equidistants” de progressions aritmètiques. Llegeix detingudament i completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1

Exemple 2

Termes equidistants: __________________________________ Observem que la suma dels termes equidistants és la mateixa:

a1 +

a2 +

a3 +

a4 +

a5 +

…

Suma dels n termes: Hi ha ___ termes El primer és: ___

Hi ha ___ termes S=

L’últim és: ___

Després…

Suma dels n termes:

Clica el botó

El primer és: ___

L’últim és: ___

per fer exercicis.

Resol uns quants exercicis dels que es proposen a l’escena. Quan hagis practicat suficientment, fes els que es proposen en el següent requadre que són similars als d’aquesta escena.

Progressions

-7-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

EXERCICIS de Reforç A. Calcular la suma dels primers 22 múltiples de 4. B. Calcular la suma dels 800 primers termes de la successió: -9, -7, -5, -3, -1, … C. Calcular la suma dels termes d’una progressió aritmètica de diferència -4 sabent que el primer és 3 i l’últim és -45. D. Calcular la suma dels 300 primers termes de la successió: 10, 8, 6, 4, 2, … E. Calcular la suma dels múltiples de 4 compresos entre 10 i 650. F. Calcular la suma dels termes d’una progressió aritmètica de diferència -2 sabent que el primer és -5 i l’últim és -23. G. Calcular la suma dels múltiples de 7 compresos entre 22 i 3032. H. Calcular la suma dels 43 primers termes de la successió: 3, 1, -1, -3, -5, … I. Calcular la suma dels termes d’una progressió aritmètica de diferència 2 sabent que el primer és -8 i l’últim és 28.

EXERCICIS 7.

Determina la diferència de les següents progressions aritmètiques: a) 1, 4, 7,10,13.... b) 8, 6, 4, 2, 0,.... c) 2, 6,10,14,18,....

Escriu el terme general de les següents progressions aritmètiques: a) 4, 6, 8,10,.... b) 3, −1, −5, −9,.... c) 5, 8,11,14,....

Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió aritmètica: 2, 4, 6, 8,10,...

10.

Calcula la suma dels 20 primers termes de la progressió aritmètica: 3, 7,11,15,19,...

11.

El primer terme d’una progressió aritmètica de diferència 5 és 4 i l’últim terme és 499. Troba la suma de tots ells.

Quan acabis …

Progressions

Clica

per anar a la pàgina següent.

-8-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

3.- Progressions geomètriques 3.a. Definició Llegeix el text de la pantalla i completa: Una progressió geomètrica és ______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. A l’escena tens exemples per veure les regles de formació de progressions geomètriques. Llegeix detingudament els exemples. Completa’n dos en els requadres següents: Exemple 1

Exemple 2

Progressió: ________________________

Regla de formació:

Termes:

a2 a3 a4 a5

= = = =

a1 a2 a3 a4

· · · ·

= = = =

· · · ·

= = = =

a2 a3 a4 a5

= = = =

a1 a2 a3 a4

· · · ·

= = = =

· · · ·

= = = =

La raó és: r =

La progressió és _______________

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Escriu el següent terme de la progressió geomètrica: a)

81, 27, 9, 3, ...

b) 64, 32, 16, 8, …

4096, 1024, 256, 64, …

-27, -81, -243, -729, ...

B. Raona si la següent progressió geomètrica és creixent, decreixent o alternada: a)

243, 81, 27, 9, ...

b) -81, -243, -729, -2187, …

4096, 512, 64, 8, …

256, 64, 16, 4, ...

C. Raona si la següent successió és una progressió geomètrica: a)

1, 5, 25, 125, …

-7, -35, -175, -1750, …

5, 35, 245, 1715, …

-9, -36, -144, -576, ...

Clica Progressions

per anar a la pàgina següent. -9-

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

3.b. Terme general Llegeix el text de la pantalla. Fixa’t en el procés que se segueix per obtenir el terme general d’una progressió geomètrica. Completa: El terme general d’una progressió geomètrica és

a1 és __________________ i r és ________________ A l’escena tens exemples sobre “Terme general” de progressions geomètriques. Completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1

Exemple 2

Progressió: ________________________

El primer terme és: a1 =

La raó és: r =

El terme general és:

an =

Després…

an =

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. En una progressió geomètrica, el terme 3 és 28 i la raó és -2. Troba el terme general. B. En una progressió geomètrica, el terme 6 és 6561 i la raó és 3. Troba el terme general. C. En una progressió geomètrica creixent, el terme 5 és 112 i el terme 6 és 224. Troba el terme general. D. En una progressió geomètrica creixent, el terme 4 és 81 i el terme 5 és 243. Troba el terme general. E. En una progressió geomètrica decreixent, el terme 4 és -40 i el terme 5 és -80. Troba el terme general. F. En una progressió geomètrica decreixent, el terme 4 és -40 i el terme 5 és -80. Troba el terme general. G. Troba el terme general de la progressió geomètrica: 9, 27, 81, 243, … H. Troba el terme general de la progressió geomètrica: 3, -6, 12, -24, … Quan acabis … Progressions

Clica

per anar a la pàgina següent. - 10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

3.c. Suma de n termes Llegeix el text de la pantalla. Fixa’t en l’explicació en què s’arriba a la fórmula per calcular la suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica i completa: La suma dels n primers termes d’una Observem que la fórmula també es pot escriure: progressió geomètrica és:

a1 és ____________, i r és ________

a1 és ________, an és _______, i r és _______

A l’escena tens exemples sobre “Suma dels n termes” de progressions geomètriques. Llegeix detingudament els exemples i completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1

Exemple 2

Suma dels n termes: __________________________________

Després…

Hi ha ___ termes

El primer és: ___

La raó és: ___

El primer és: ___

L’últim és: ___

La raó és: ___

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EJERCICIOS de Reforç A. Troba la suma dels primers 8 termes de la progressió: -3, -9, -27, -81, ... B. En una progressió geomètrica creixent, el terme 7 és 512 i el terme 8 és 1024. Troba la suma dels primers 12 termes. C. En una progressió geomètrica, el terme 3 és 27 i la raó és -3. Troba la suma dels 7 primers termes. D. Troba la suma dels primers 13 termes de la progressió: -1, 2, -4, 8, ... E. Troba la suma dels primers 6 termes de la progressió geomètrica que té per terme general: a n = (− 4 )

n −1

F. En una progressió geomètrica creixent, el terme 9 és 4096 i el terme 10 és 8192. Troba la suma dels primers 13 termes.

Progressions

- 11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

G. Troba la suma dels primers 10 termes de la progressió geomètrica que té per terme general: a n = − 7·3n −1

H. En una progressió geomètrica, el terme 6 és 96 i la raó és 2. Troba la suma dels 13 primers termes.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.d. Suma de tots els termes (|r|<1) Llegeix l’explicació per comprendre com s’arriba a la fórmula per calcular la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica, quan la raó està entre –1 i 1. Completa: La suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó r, –1<r<1 és:

a1 és ____________ A l’escena tens exemples sobre “Suma de tots els termes (|r|<1)” de progressions geomètriques. Llegeix els exemples i completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1

Exemple 2

Suma de tots els termes: __________________________________

El primer és: ___

La raó és: ___

La suma és: S =

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Troba la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica sabent que a7 = 3 i

a6 = 6 B. Troba la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó

1 i primer 7

terme 7. C. Troba la suma dels infinits termes de la progressió geomètrica que té de

terme

general: a n = 2 − n +5 D. Troba la suma dels infinits termes de la progressió: -4, -8, -16, -32, ... E. En una progressió geomètrica la suma dels infinits termes és 16 i la raó

1 . Troba el 2

primer terme. Progressions

- 12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

F. Troba la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica sabent que a4 = 2 i

1 4

G. En una progressió geomètrica la suma dels infinits termes és 1458 i la raó

1 . Troba 3

el primer terme. H. Troba la suma dels infinits termes de la progressió: 5 , I.

− 20 − 80 − 320 , , , ... 3 9 27

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.e. Producte dels n termes Llegeix el text de la pantalla. Fixa’t en l’explicació en què s’arriba a la fórmula per calcular el producte de s n primers termes d’una progressió geomètrica. Observa que hi ha un enllaç: “Si vols veure com s’obté la fórmula clica aquí” que obre una finestra amb una explicació més detallada de l’obtenció de la fórmula. Completa: El producte dels n primers terme d’una progressió geomètrica és

a1 és ____________, an és ____________, i n és ________________

A l’escena tens exemples sobre “Producte dels termes” i “Termes equidistants” de progressions geomètriques. Llegeix detingudament els exemples i completa’n dos en els següents requadres: Exemple 1 Termes equidistants: __________________________________ Observem que el producte dels termes equidistants és el mateix: a1 · = a2 · = a3 · = … Producte dels n termes: Hi ha ___ termes El primer és: ___ L’últim és: ___

Progressions

Exemple 2 Termes equidistants: __________________________________ Observem que el producte dels termes equidistants és el mateix: a1 · = a2 · = a3 · = … Producte dels n termes: Hi ha ___ termes

El primer és: ___

L’últim és: ___

- 13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

Després…

NOM:

DATA:

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Troba el producte dels primers 7 termes de la progressió: 3, 9, 27, 81, … B. En una progressió geomètrica, el terme 2 és 4 i el terme 4 és 16. Troba el producte dels primers 5 termes. C. Troba el producte dels primers 34 termes de la progressió geomètrica que té per terme general: a n = 2 n +1

D. En una progressió geomètrica, el terme 6 és 2187 i la raó és 3. Troba el producte dels primers 6 termes. E. Troba el producte dels primers 6 termes de la progressió: 27, 81, 243, 729, … F. En una progressió geomètrica, el terme 4 és 64 i la raó és 2. Troba el producte dels primers 7 termes. G. En una progressió geomètrica, el terme 2 és 8 i el terme 3 és 16. Troba el producte dels primers 4 termes. H. Troba el producte dels primers 14 termes de la progressió geomètrica que té per terme general: a n = 7 4n +4

EXERCICIS 12.

Determina la raó de les següents progressions geomètriques: a) 1,2, 4, 8,16.... b) 81, 27, 9, 3,1,....

13.

Escriu el terme general de les següents progressions geomètriques: a) 4,12, 36,108,.... b) 8,16,32, 64,....

14.

Calcula la suma de los 10 primers termes de la progressió geomètrica: 1,2, 4, 8,16,...

15.

Calcula la suma dels termes d’una progressió geomètrica finita de primer terme 1, raó 3 últim terme 243:

16.

Calcula la suma de tots els termes de la progressió geomètrica: 8, 4,2,1,...

17.

Calcula el producte dels 8 primers termes de la progressió geomètrica: 1 1 1 , , ,1, 2,... 8 4 2

Quan acabis … Clica Progressions

per anar a la pàgina següent. - 14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

4. Aplicacions 4.a. Interpolació Llegeix l’explicació per comprendre el concepte d’interpolació i completa: Interpolar significa: ________________________________________________________. Donats dos nombres a i b, interpolar n mitjans (diferencials o geomètrics) entre a i b és ________________________________ de forma que __________________________ formin una progressió (aritmètica o geomètrica).

A l’escena tens exemples sobre “Interpolació aritmètica” i “Interpolació geomètrica”. Llegeix detingudament i completa’n dos de cada tipus en els següents requadres:

INTERPOLACIÓ ARITMÈTICA Exemple 1 Interpolar ___ mitjans aritmètics entre ____ i ____ S’han de trobar ___ nombres entre ____ i ____ de manera que formin una progressió aritmètica de ____ termes, amb a1 = ____ i a__ = ____ Per fer-ho, s’ha de trobar _________________ de la progressió:

an = a1 + (n-1)·d

d= Els mitjans aritmètics són: Exemple 2 Interpolar ___ mitjans aritmètics entre ____ i ____ S’han de trobat ___ nombres entre ____ i ____ de manera que formin una progressió aritmètica de ____ termes, amb a1 = ____ i a_ = ____ Per fer-ho, s’ha de trobar _________________ de la progressió:

an = a1 + (n-1)·d

d= Els mitjans aritmètics són:

Progressions

- 15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

INTERPOLACIÓN GEOMÈTRICA Exemple 1 Interpolar ___ mitjans geomètrics entre ____ i ____ S’han de trobar ___ nombres entre ____ i ____ de manera que formin una progressió geomètrica de ____ termes, amb a1 = ____ i a__ = ____ Per fer-ho, s’ha de trobar _________________ de la progressió:

an = a1 · rn-1 r= Els mitjans geomètrics són: Ejemplo 2 Interpolar ___ mitjans geomètrics entre ____ i ____ S’han de trobar ___ nombres entre ____ i ____ de manera que formin una progressió geomètrica de ____ termes, amb a1 = ____ i a__ = ____ Per fer-ho, s’ha de trobar _________________ de la progressió:

an = a1 · rn-1 r= Els mitjans geomètrics són:

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Interpolar 4 mitjans aritmètics entre -9 i 1. B. Interpolar 6 mitjans aritmètics entre 1 i 71. C. Interpolar 5 mitjans aritmètics entre 2 i 110. D. Interpolar 2 mitjans geomètrics entre 6 i 750. E. Interpolar 3 mitjans geomètrics entre 3 i 768. F. Interpolar 4 mitjans geomètrics entre 2 i 64.

Quan acabis … Clica Progressions

per anar a la pàgina següent. - 16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

4.b. Interès compost Llegeix l’explicació per comprendre el concepte d’interès compost i respon: Com s’ha de fer una inversió d’un capital durant un període de temps, t, a un rèdit, r %, perquè sigui una operació d’interès compost? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ El capital final Cf obtingut en invertir un Capital C, al rèdit r %, durant t anys, a interès compost ve donat per la fórmula:

Observa que hi ha un enllaç: “Per veure com s’obté la fórmula clica aquí” que obre una finestra amb la seqüència de fórmules que condueixen a la seva obtenció. A l’escena tens exemples sobre “Interès compost”. Llegeix detingudament els exemples i completa’n un en els següents requadres: INTERÈS COMPOST Exemple Dipositem ______ al _____ d’interès compost anual. Quants diners tindrem al cap de ____ anys? S’han de trobar ___ nombres entre ____ i ____ de manera que formin una progressió aritmètica de ____ termes, amb a1 = ____ i a__ = ____

Apliquem la fórmula de l’interès simple: Any

C. Inicial

Interès

C. Final

Observa que si apliquem la fórmula de l’interès compost: S’obté el mateix capital final:

Progressions

- 17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

Després…

NOM:

DATA:

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. Dipositem 8000 € al 6% d’interès compost anual. Quina quantitat de diners tindrem al cap de 367 dies? B. Dipositem 20 € al 3% d’interès compost anual. Quina quantitat de diners tindrem al cabo de 9 mesos? C. Dipositem 3000 € al 4% d’interès compost anual. Quina quantitat de diners tindrem al cap de 5 anys? D. Un capital de 9000 € es converteix en 10528,73 € al cap de 4 anys, a un cert interès compost anual. Quin és l’interès? E. Un capital de 70 € es converteix en 81,89 € al cap de 4 anys, a un cert interès compost anual. Quin és l’interès? F. Un capital de 100 € es converteix en 104,04 € al cap de 2 anys, a un cert interès compost anual. Quin és l’interès? G. Calcula el capital, que invertit a un interès compost del 3%, produeix en 4 anys un capital de 90,04 €. H. Calcula el capital, que invertit a un interès compost del 5%, produeix en 3 anys un capital de 81,03 €. I. Calcula el capital, que invertit a un interès compost del 6%, produeix en 2 anys un capital de 8988,8 €. Quan acabis … Clica

per anar a la pàgina següent.

4.c. Resolució de problemes Les progressions apareixen en multitud d’ocasions en la resolució de diferents problemes de la vida real. A l’escena tens exemples sobre resolució de problemes. Apareixen tres tipus de problemes: Economia, Capitalització i Generatriu. Tria cada un d’aquests tipus i llegeix detingudament la seva resolució. Completa un de cada tipus en els següents requadres: PROBLEMA D’ECONOMIA 1r Comprendre l’enunciat:

2n Interpretar el problema:

Progressions

- 18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

3r Identificar la progressió:

4t Aplicar la fórmula adequada per donar la solució:

PROBLEMA DE CAPITALITZACIÓ 1r Comprendre l’enunciat:

2n Interpretar el problema:

3r Identificar la progressió:

4t Aplicar la fórmula adequada per donar la solució:

Progressions

- 19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

PROBLEMA DE FRACCIONS GENERATRIUS 1r Comprendre l’enunciat:

2n Interpretar el problema:

3r Identificar la progressió:

4t Aplicar la fórmula adequada per donar la solució:

Després…

Clica el botó

per fer exercicis.

Els següents exercicis són similars als d’aquesta escena:

EXERCICIS de Reforç A. El nombre d’usuaris d’un gimnàs a la primera setmana va començar sent de 140 persones i va augmentar en 50 persones cada setmana. Quantes persones hi haurà al gimnàs a les 5 setmanes? B. En un pàrquing cobren 0,15€ per la primera hora d’estacionament i, per cada hora següent, el triple del que es cobra en l’hora anterior. Quant pagarem per estar aparcats 6 hores? C. Un arbre de creixement ràpid multiplica la seva altura per 1,8 cada any. Si en començar l’any mesurava 0,5 m, quina altura tindrà dintre de 5 anys? D. Troba la profunditat d’un pou si per l’excavació del primer metre s’han pagat 30€ i per la de cada un dels restants, es paguen 5€ més que en l’anterior, essent el cost total de 450€. Progressions

- 20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

E. Una granota està a la vora d’una bassa circular de 8m de radi i vol arribar al centre saltant. Dóna un primer salt de 5m i, després, avança en cada salt la meitat del salt anterior. Podrà arribar al centre? F. Durant els cinc primers mesos de vida, un nadó ha anat guanyant cada mes un 10 % de pes. Si en néixer pesava 3000 grams, quin ha estat els seu pes al final del cinquè mes? G. Una escala té tots els esglaons iguals menys el primer, que mesura 23 cm. En pujar 70 esglaons, l’altura que s’assoleix és de 1472 cm. Quina altura té cada esglaó? H. En un examen les preguntes estaven ordenades segons la seva dificultat. La primera valia 2 punts i cada una de les restants valia 3 punts més que l’anterior. Si en total compten 100 punts, quantes preguntes tenia l’examen? I. Les mesures dels angles d’un triangle formen una progressió aritmètica. Si l’angle menor mesura 21º, quina és la mesura dels altres dos? J. Per participar en una carrera, en Joan entrena el primer dia 7 km i cada dia augmenta en 3 km la distància recorreguda el dia anterior. Quina distància recorre l’onzè dia? K. Un jardiner planta geranis en un jardí en forma de triangle. A la primera fila en planta 4, a la segona, 9, a la tercera, 14, i així fins plantar 9 files. Quants geranis planta en total? L. El preu d’un cotxe decreix un 30% per cada any que passa. Quin serà el preu d’un cotxe que val 17000€ dintre de 7 anys?

EXERCICIS 18.

Interpola 3 mitjans aritmètics entre 4 i 29.

19.

Interpola 4 mitjans geomètrics entre 1 i 243:

20.

Calcula el capital obtingut invertint 2000 € al 3 % d’interès compost anual durant 5 anys.

21.

Un arbre de creixement ràpid multiplica la seva altura per 1,2 cada any. Si en començar l’any mesurava 0,75 m, quina alçada tindrà dintre de 8 anys?

22.

Llancem una pilota en un passadís. En cada salt que dóna avança una distància igual a la meitat de la distància anterior. Si al vuitè salt cau en una fosa de terra i s’atura, quina distància haurà recorregut si abans del primer salt ha recorregut 2 m?

Quan acabis … Clica

Progressions

per anar a la pàgina següent.

- 21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Completa els textos:

Successió de nombres Terme de la successió

Successió decreixent

Successió creixent

Progressió Aritmètica

Terme General d’una progressió aritmètica

Suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica

Progressió Geomètrica

Terme General d’una progressió geomètrica

Suma dels n primers termes d’una progressió geomètrica

Producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica

Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica

Clica

Progressions

per anar a la pàgina següent.

- 22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs exercicis relacionats amb progressions aritmètiques i geomètriques.

PROGRESSIONS Copia l’enunciat i resol l’exercici en el requadre reservat. Després de resoldre’l comprova la solució amb l’ordinador per veure si l’has fet bé. Has de fer un mínim de 15 exercicis. 1)

Progressions

- 23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Progressions

- 24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Autoavaliació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i troba la solució. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escriu el terme __ de la successió: __ , __ , __ , __ , __ , ... Escriu el terme general de la successió: __ , __ , __ , __ , __ , ... Escriu el terme general de la successió: __ , __ , __ , __ , __ , ...

Escriu el terme de __ de la successió: __ , __ , __ , __ , …

Troba la suma progressió:

tots

els

termes

__ , __ , __ , __ , … Troba la suma dels __ primers termes de la successió: __ , __ , __ , __ , … Troba el producte dels __ primers termes de la successió: __ , __ , __ , __ , … Quants diners em retornarà el banc si faig una imposició de _______ € a termini fix durant _______ al ___ % d’interès compost anual? Calcula la suma de tots els múltiples de ___ de __ xifres.

El pare d’en Joan decideix estalviar un euro el dia que en Joan fa un any. Anirà duplicant la quantitat en tots els aniversaris del seu fill. Quants diners haurà estalviat el dia que faci ___ anys?

Progressions

- 25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Completa les successions termes que falten:

amb

els

5. Esbrina la llei de recurrència de cada una de les successions:

a) 3, 7,11,15, __, __,....

a) 3, 7,10,17, 27,....

b) 3, 6,12, 24, __, __,....

b) 3, 6,12, 24, 48,....

c) 32,16, 8, 4, __, __,....

c) 3, 7,11,15,19,.... d) 9, 3, 6, −3, 9,....

d) 5,10,17, 26, __, __,....

2. Calcula els 4 primers termes de la successió de terme general:

6. Calcula el terme general de les següents progressions aritmètiques.

a) an = n + 5

a) 4, 7,10,13,16,....

b) an = 2n−1

b) 1, 3, 5, 7, 9,....

c) an =

n+1

c) 7,11,15,19, 23,....

n+2

d) 3, 4, 5, 6, 7,....

d) an = 5n

3. Calcula el terme successions:

general

les

a) 1, 2, 3, 4, 5,.... b) 1, 4, 9,16, 25,.... c) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,.... 2 3 4 5 6 d)

2 , 3 , 4 , 5 ,.... 3 4 5 6

4. Troba el terme 100 de la successió de terme general: a) an = 3n + 2 b) an =

2n + 1 n −1

c) an =

(−1)n n+1

7. Calcula el terme general de les següents progressions geomètriques. a) 4, 8,16, 32, 64,.... b) 1, 3, 9, 27, 81,.... c) 16, 8, 4, 2,1,.... d)

2 4 ,

3 9 27 81

, ....

8. Calcula la diferència d’una progressió aritmètica si es coneixen: a) a10 = 30 i a1 = −6 b) a30 = 95 i a20 = 45

9. Calcula la raó d’una geomètrica si es coneixen:

progressió

a) a9 = 80 i a8 = 16 b) a10 = 40 i a7 = 5

Progressions

- 26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

10. Calcula el primer terme d’una progressió aritmètica si es coneix: a) a20 = 34 i d = 7 b) a31 = 13 i d = 3

11. Calcula el primer terme d’una progressió geomètrica si es coneix: a) a7 = 320 i r = 2 b) a6 = 915

DATA:

20. Determina el capital que, amb un interès compost del 5% anual, produeix 200 € en 4 anys.

21. Troba el capital obtingut invertint 100 € al 3 % d’interès compost anual durant 4 anys?

22. Interpola 6 termes entre 1 i 10 para que formin una progressió aritmètica.

i r=3

12. Calcula el nombre de termes d’una progressió aritmètica finita si el primer és 100, l’últim 420 i la diferència és 4.

13. Calcula la suma dels primers 101 termes de la progressió: 1, 4, 7,17, 20,....

14. Calcula la suma dels múltiples de 3 menors que 1000 i més grans que 100

15. Calcula la suma de los primers 8 termes de la progressió: 1, 2, 4, 8,16,....

16. Calcula el producte de los primers 8 1 1 1 termes de la progressió: , , ,1, 2,.... 8 4 2

17. Calcula la suma dels infinits termes de la progressió: 16, 8, 4, 2,1,....

18. Calcula el producte dels primers 10 termes de la progressió 16, 8, 4, 2,1,....

23. Interpola 3 termes entre 1 i 16 para que formin una progressió geomètrica

24. En un examen la primera pregunta valia dos punts i cada una de les següents valia tres punts més que l’anterior. Si en total hi ha 50 preguntes, quants punts val l’examen?

25. El nombre inicial de mosques d’una població és de 50 i cada tres dies el nombre de mosques es duplica. Quantes mosques hi haurà als 30 dies? ) 26. Escriu la fracció generatriu de 1 ' 2 , fent servir la suma d’una progressió.

27. En una progressió geomètrica el terme sisè val 64 i el quart és 16. Determina el terme general. 28. Els angles d’un triangle estan en progressió aritmètica. Si el més petit mesura 40º, què mesuren els altres dos?

19. Dipositem 6000 € al 5 % d’interès compost anual. Quants diners tindré després de 3 anys?

Progressions

- 27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Figures planes, propietats mètriques Continguts 1. Angles en la circumferència Angle central i angle inscrit 2. Semblança Figures semblants Semblança de triangles, criteris 3. Triangles rectangles Teorema de Pitàgores Aplicacions del Teorema de Pitàgores 4. Llocs geomètrics Definició i exemples Més llocs geomètrics: les còniques 5. Àrees de figures planes

Objectius •

Reconèixer els angles importants en una circumferència i les seves relacions.

•

Esbrinar quan dos triangles són semblants.

•

Utilitzar el teorema de Pitàgores per resoldre alguns problemes.

•

Identificar la mediatriu d’un segment i la bisectriu d’un angle com conjunts de punts.

•

Calcular l’àrea de recintes limitats per línies rectes i per línies corbes.

Autor: Xosé Eixo Blanco Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Figures planes, propietats mètriques

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Abans de començar empeza Observa a l’escena com van apareixent algunes figures geomètriques. En aquest tema treballarem amb aquestes figures i estudiarem les seves propietats. Quines figures reconeixes en aquesta escena?

En aquestes dues figures de la dreta apareixen dues construccions que hauràs estudiat en cursos anteriors.

Sabries dir a quina correspon cada una d’elles?

Clica en

per RECORDAR una propietat important dels triangles.

PROPIETAT Completa el dibuix i la demostració La suma dels angles interiors d’un triangle és igual a _______

Clica

per veure la demostració

Quan acabis clica Figures planes, propietats mètriques

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

1. Angles en la circumferència 1.a. Angle central i angle inscrit Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. En la circumferència de l’escena de la dreta: On té el seu vèrtex l’angle α? __________________________________________ Com s’anomena aquest angle? ___________________________________________ A quin arc correspon la seva amplitud? _____________ On té el seu vèrtex l’angle β? __________________________________________ Com s’anomena aquest angle? ___________________________________________ A quin arc correspon la seva amplitud? _____________

A l’escena clica Apareix un cercle i en el cercle un angle central i un angle inscrit que comparteixen un mateix arc de circumferència RS. Mou el punt R fins un punt qualsevol. Quina relació hi ha entre les amplituds de l’angle central i de l’inscrit? _________________________________________________________________________ Clica un altre cop Ara mou el punto P i fixa’t en l’amplitud de l’angle inscrit. Canvia el valor de l’angle inscrit quan es canvia el vèrtex de posició? ____ És a dir, angles inscrits que abracen el mateix arc de circumferència són _______ Clica un altre cop Ara situa el punt R en x=–5, y=0 Quant mesura ara l’angle central? ________ I l’inscrit? ___________ Escriu la propietat que relaciona les amplituds d’un angle central i d’un angle inscrit que abracen un mateix arc de circumferència:

Després…

Clica en

per fer exercicis.

S’obre una finestra en la qual apareixeran 3 escenes amb exercicis que has de resoldre en els quadres de la pàgina següent. Clica Començar Figures planes, propietats mètriques

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1. Calcula el valor de l’angle o dels angles marcats en cada cas. Circumferència dividida en tres parts iguals Operacions

Valor de

α=

Circumferència dividida en sis parts iguals Operacions

Valor de Valor de

α= β=

Circumferència dividida en vuit parts iguals Operacions

Valor de Valor de

α= β=

Quan acabis Figures planes, propietats mètriques

clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

2. Semblança 2.a. Figures semblants Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Observa a la dreta, a l’escena de pantalla, alguns parells de figures semblants. Què és el que tenen en comú? ___________________ Què és el que tenen diferent? ____________________

Completa: Dues figures planes es consideren semblants si existeix ___________ ____________________, anomenada ___________________________, entre els seus _________ homòlegs i, a més a més, els seus __________ homòlegs són _________________.

Clica la fletxa d’avançar

a l’escena de la dreta.

A les següents escenes veuràs l’explicació del TEOREMA DE TALES. A la primera apareix l’enunciat d’aquest teorema. Si vols detenir l’ escena, prem el botó secundari del ratolí i apareixerà un requadre que a la seva part inferior té els botons de retrocés i pausa/avanç: Enunciat del Teorema de Tales

Clicant

Continuar

Apareixerà una figura formada per tres rectes paral·leles (que pots moure arrossegant el punt taronja) i dues rectes que les tallen (que també pots moure fent servir els punts blaus). Anota aquí les mesures dels segments que s’indiquen i els quocients entre aquests segments:

AB =

A' B' =

AB =

A' B' =

BC =

B' C' =

AC =

A' C' =

A' B'

AB BC

B' C'

A' B' A' C'

Quines relacions observes? Figures planes, propietats mètriques

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

Clica

NOM:

DATA:

Continuar

Fes el que s’indica: Uneix els punts blaus per construir dos triangles PAB i PA’B’. En quina posició es diu que estan? ____________________________________ Mou a l’escena el punt P i en qualsevol posició pren nota de les següents mesures:

PA =

PB =

PA' =

PB' =

AA' =

PB PB' PA'

BB' =

= =

BB' = AA' Clica

Continuar

Apareixen dues figures semblants. Observa l’escena detingudament. Com són entre si els angles homòlegs? A

A’

B’

C’

D’

Els quatre parells de costats guarden mateixa:___________________________

Clica en

A' B'

B' C'

A' D'

D' C'

per fer exercicis. Apareixeran els mateixos dels següents requadres:

EXERCICIS 2. a) Calcula el valor de “x” fent servir el teorema de Tales. Operacions

Valor de

Figures planes, propietats mètriques

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

EXERCICIS 2. b) Calcula la longitud del segment BC. Operacions

Mesura de BC =

3. Calcula l’altura “h” de l’edifici. Operacions

Altura: h

4. Utilitza el teorema de Tales per calcular les mesures de x, y, z: Operacions

Mesures: x =

5. Calcula la distància entre els punts A i B. Operacions

Distància entre A i B = Figures planes, propietats mètriques

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

2.b. Triangles semblants. Criteris Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Quan es diu que dos triangles són semblants? __________________________________ __________________________________. Com són entre si els costats homòlegs? __________________________________. Com són entre si els angles? __________________________________.

Criteris de semblança de triangles A l’escena de la dreta pots veure els tres criteris de semblança de triangles. De cada un dels criteris pots veure la demostració clicant Llegeix atentament cada una de les demostracions i escriu cada un dels criteris en els següents requadres: Clica Primer criteri de semblança ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Clica Segon criteri de semblança ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Clica Tercer criteri de semblança ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Figures planes, propietats mètriques

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

Clica en

NOM:

DATA:

per fer exercicis. Apareixeran els mateixos del següents requadre:

EXRECICIS 6. En un triangle rectangle ABC (B=90º) es traça l’altura sobre el costat AC, així es formen els triangles BDA i BCD, també rectangles. Aquests triangles, també són rectangles? Quin criteri apliques? B

β α

7. En un triangle qualsevol ABC, s’uneixen els punts mitjans dels costats per formar un altre triangle DEF. Són semblants aquests dos triangles? Quin criteri apliques? B

C F

8. La figura era coneguda a l’antiguitat com “pentagrama pitagòric”. En aquesta figura s’hi poden veure força parells de triangles semblants. Els de color groc i morat, són semblants? Quin criteri apliques? b

a’

b’

9. Els triangles de la figura, són semblants?

5 10

6 Quan acabis

Figures planes, propietats mètriques

clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

3. Triangles rectangles 3.a. El teorema de Pitàgores. Llegeix a la pantalla l’enunciat del Teorema de Pitàgores i escriu-lo en el següent requadre: ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

A sota de l’enunciat del teorema de Pitàgores pots veure una explicació geomètrica.

Completa el que falta en aquest dibuix:

Clica a l’escena

per veure una demostració del TEOREMA DE PITÀGORES

Apareix un triangle rectangle d’hipotenusa a i catets b i c Pas 1. Construïm un quadrat de costat el catet b i un altre quadrat de costat el catet c: (Completa el dibuix) Clica una altre cop Observa com, a partir dels quadrats anteriors pots obtenir el següent quadrat. Completa les dades en el dibuix: Quina és l’àrea del quadrat de costat b? Quina és l’àrea del quadrat de costat c? Quina és l’àrea del quadrat gran que s’ha construït? Quina relació hi ha entre aquestes tres àrees?

Clica Repetir

per veure una altra vegada aquesta demostració.

Per veure una altra demostració clica sobre Quan acabis … Figures planes, propietats mètriques

Clica

per anar a la pàgina següent. -

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

3.b. Aplicacions del teorema de Pitàgores El teorema de Pitàgores és de gran utilitat en multitud de problemes en què es presenta algun triangle rectangle. A l’escena de la dreta veuràs exemples de cadascun d’ells. Clica Començar

per veure el 1r exemple

Clica Continuar

per veure el següent

DIAGONAL D’UN RECTANGLE

ALTURA D’UN TRIANGLE ISÒSCELES

Completa el dibuix

Fórmules

Clica Continuar

per veure el següent

Clica Continuar

Fórmules

per veure el següent

COSTAT D’UN ROMBE Completa el dibuix

Clica Continuar

ALTURA DE UN TRAPECI Fórmules

per veure el següent

Completa el dibuix

Clica Continuar

Fórmules

per veure el següent

SEGMENT DE TANGENT A UNA CIRCUMFERÈNCIA

DIAGONAL D’UN CUB

Completa el dibuix

Fórmules

Figures planes, propietats mètriques

Fórmules

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

Clica en

NOM:

DATA:

per fer exercicis. Apareixeran els mateixos del següent requadre:

EXERCICIS 10. En el triangle rectangle de la figura es traça l’altura sobre la hipotenusa donant lloc als triangles taronja i blau. Calcula el valor de m i de n. 6

8 n

11. Calcula quant mesura l’apotema d’un octògon regular de costat 1 dm i radi 1,3 dm.

12. En una circumferència sabem la longitud d’una corda AB, 6 cm, i la seva distància al centre de la circumferència, 4 cm. Quant mesura el radi?

13. La recta r és tangent a les dues circumferències en els punts A i B. Troba la distància que hi ha entre ambdós punts de tangència.

14. La piràmide de la figura és regular, les seves cares són triangles equilàters i la seva base un quadrat de costat 2 m. Calcula la seva altura.

Figures planes, propietats mètriques

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

4. Llocs geomètrics 4.a. Definició i exemples Completa: Un lloc geomètric en el pla és ___________________________, que acompleixen tots ells ___________________________.

A l’escena de la dreta, clica A les següents escenes veuràs l’explicació de la construcció geomètrica amb regle i compàs de la MEDIATRIU D’UN SEGMENT. Si vols detenir l’escena, prem el botó secundari del ratolí i apareixerà un requadre que a la seva part inferior té els botons de retrocés i pausa/avanç: PASOS PER REALITZAR LA CONSTRUCCIÓ

DIBUIX DE LA MEDIATRIU

1.- Tracem un arc de circumferència ___________ _______________________________________ 2.- Amb centre en B __________________________ _______________________________________ La recta que passa ___________________________ ___________________________________________ La MEDIATRIU del segment AB és _____________ _______________________________________ _______________________________________ Una vegada dibuixada la mediatriu del segment AB, anem a definir-la com LLOC GEOMÈTRIC. Completa el gràfic següent i raona quina és la propietat que acompleix qualsevol punt P que estigui situat en la mediatriu. La MEDIATRIU del segment AB és el LLOC GEOMÈTRIC dels punts P que:___________________________ _______________________________

Figures planes, propietats mètriques

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

A l’escena de la dreta, clica Ara veurem la construcció geomètrica amb regle i compàs de la BISECTRIU D’UN ANGLE. PASOS PER REALITZAR LA CONSTRUCCIÓ

DIBUIX DE LA BISECTRIU

1.- Amb centre en O, tracem __________________ ________________________________________ 2.- Aquest arc talla ___________________________ ________________________________________ 3.- Amb centres en A i B _______________________ ________________________________________

La recta que passa ____________________________ ___________________________________________

La BISECTRIU d’un angle és _________________ ________________________________________ ________________________________________ Ara anem a definir la bisectriu com LLOC GEOMÈTRIC. A l’escena veus que situant un punt P en qualsevol lloc de la bisectriu, es tracen perpendiculars als costats de l’angle r i s, obtenint els punts Q i R. Així es formen dos triangles rectangles OQP i ORP. Com són entre si els dos triangles ORP i OQP? ___________________________________________ Com són entre si els segments RP i QP? ___________________________________________ CONCLUSIÓ: La BISECTRIU d’un angle és el LLOC GEOMÈTRIC dels punts del pla que__________________________ ____________________________

Figures planes, propietats mètriques

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

Clica en

NOM:

DATA:

per veure un altre exemple interessant: ARC CAPAÇ

Clica en Completa: L’arc capaç d’un angle α sobre un segment AB és ___________________________________ ___________________________________________________________________________

Clica en Indica un valor per l’angle fent servir el control numèric

PASOS PARA REALIZAR LA CONSTRUCCIÓN

Clica Continuar

DIBUJO DEL ARCO CAPAZ

1.- Comencem traçant_______________ ___________________________________ ___________________________________ Clica Continuar 2.- A continuació tracem ____________ ___________________________________ ___________________________________ I obtenim el punt _____________________ ___________________________________ ___________________________________

Clica Continuar 3.- Observem que l’angle inicial α és igual a l’angle blau que obtenim, format per _________________________ Clica Continuar 4.- Per acabar tracem__________________ ___________________________________ ___________________________________ Clica Continuar Observa a l’escena, tot movent el punto P, que ha quedat dibuixat l’arc capaç. Quan acabis Figures planes, propietats mètriques

clica

per anar a la pàgina següent. -

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

4.b. Més llocs geomètrics: Còniques Completa: Les corbes còniques, conegudes des de l’antiguitat, es poden obtenir seccionant __________ amb ___________. Les corbes còniques són tres: •

_________________________

•

_________________________

•

_________________________

A l’escena de la dreta apareix un con (superfície cònica il·limitada). Fixa’t que pots girar-lo verticalment si arrossegues mentre prems el botó del ratolí. En el menú superior tria: Apareix un pla que talla la superfície cònica. Dibuixa’l a continuació: En quina posició està el pla? __________________________

Clica sobre la cantonada inferior dreta de l’escena: Definició>> Apareix una nova escena en la qual s’observa la propietat i la definició d’aquesta corba cònica com lloc geomètric. Escriu la fórmula en el requadre.

COMPLETA: Circumferència: Lloc geomètric dels punts del pla que __________________ ______________________ ______________________ ______________________

Clica sobre la cantonada inferior esquerra de l’escena: << Tornar per veure una altra corba cònica…

Figures planes, propietats mètriques

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

En el menú superior tria:

Apareix un pla que talla la superfície cònica. Dibuixa’l.

En quina posició està el pla? ___________________________ Clica sobre la cantonada inferior dreta de l’escena: Definició>> Escriu la fórmula en el requadre.

COMPLETA: El·lipse: Lloc geomètric dels punts del pla que ________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

Clica sobre la cantonada inferior esquerra de l’escena: << Tornar per veure una altra corba cònica… En el menú superior tria:

Apareix un pla que talla la superfície cònica. Dibuixa’l.

En quina posició està el pla? __________________________

Clica sobre la cantonada inferior dreta de l’escena: Definició>> Escriu la fórmula en el requadre.

COMPLETA: Hipèrbola: Lloc geomètric dels punts del pla que ____ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

Figures planes, propietats mètriques

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Clica sobre la cantonada inferior esquerra de l’escena: << Tornar per veure una altra corba cònica… En el menú superior tria:

Apareix un pla que talla la superfície cònica. Dibuixa’l.

En quina posició està el pla? _________________________

Clica sobre la cantonada inferior dreta de l’escena: Definició>> Escriu la fórmula en el requadre.

COMPLETA: Paràbola: Lloc geomètric dels punts del pla que ____________________ ____________________ ____________________ ____________________

Clica en

per veure una altra propietat de les còniques:

Completa: Les corbes còniques tenen un paràmetre que permet _______________. Aquest paràmetre s’anomena ________________.

I a sota el dibuix d’una el·lipse.

A l’escena apareix Clica el botó

I observa com evoluciona l’el·lipse.

Quan e = 0, quina corba cònica s’obté? _____________________________________ Clica el botó

I observa com evoluciona l’el·lipse.

Quan e = 1, quina corba cònica s’obté? _____________________________________ Quan e > 1, quina corba cònica s’obté? _____________________________________ Clica Exercici

Escriu a sota de cada figura el valor de la seva excentricitat.

e= Quan acabis

Figures planes, propietats mètriques

clica

per anar a la pàgina següent. -

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

5. Aplicacions 5.a. Àrees de figures planes Completa ls noms de les figures geomètriques i les fórmules per calcular les seves àrees: Figura Nom i Àrea Figura Nom i Àrea

EXERCICIS 15. La figura de la dreta està composta per àrees de color blanc (quadrats i triangles), vermell (pentàgons) i negre. Calcula l’àrea de cada color. Tota la figura és un quadrat de 12 m de costat.

3+1,5=4,5

3 1,5

1,5

Figures planes, propietats mètriques

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Teorema de Tales

Teorema de Pitàgores

Semblança Dues figures planes són semblants si ________________________________, anomenada _____________________, entre____________________________

1. ________________________

__________________________________ En el cas dels triangles n’hi ha prou que s’acompleixi un dels criteris:

a’

b’

2. ________________________ ________________________

3. ________________________

Llocs geomètrics La mediatriu d’un segment AB és el lloc geomètric ______________________ ______________________.

Un lloc geomètric en el pla és ___________________ ________________________________________________. La bisectriu d’un angle és La circumferència, és el lloc el lloc geomètric ________ geomètric ________________ _____________________ ________________________ _____________________. ________________________.

(Completa els dibuixos)

Clica Figures planes, propietats mètriques

per anar a la pàgina següent. -

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs exercicis de: • Semblança, teorema de Pitàgores i llocs geomètrics • Àrees de figures planes Completa els enunciats i resol-los. Després comprova si ho has fet bé. TEOREMA DE TALES 1.

Les rectes r, s i t són paral·leles, determina el valor de x en cada cas:

Figures planes, propietats mètriques

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

SEMBLANÇA 2.

Els quadrilàters de la figura són semblants. Troba la longitud del costat x i l’angle B.

Els triangles de la figura són rectangles i semblants, calcula els elements que falten en cadascun.

Comprova que en un triangle rectangle ABC, els triangles que determina l’altura sobre la hipotenusa i el mateix ABC són semblants. Si els catets mesuren 8 cm i 5 cm, calcula’n l’altura. A

TEOREMA DE PITÀGORES 5. Els costats d’un triangle mesuren____________________________. És rectangle? En cas afirmatiu, quant mesura la hipotenusa?

Figures planes, propietats mètriques

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Quant mesura el radi de la circumferència de la figura?

En un triangle isòsceles els costats iguals mesuren 12 cm i el costat desigual 8 cm. Quant mesura l’altura?

Si el radi de la circumferència major mesura 10 cm, quant mesura el radi de la menor?

LLOCS GEOMÈTRICS 9.

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten de les rectes de les figures:

Figures planes, propietats mètriques

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

10.

El triangle de la figura és isòsceles. Si es desplaça el vèrtex C de manera que el triangle segueixi sent isòsceles, quin lloc geomètric determina C?

11.

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten de dues circumferències concèntriques, de radis respectius ___________.

ÀREES DE RECINTES PLANS El mural – Tipus 1 12. Es vol construir un mural de ____ de llarg per _____ d’alt, unint quadrats de ______ de costat com el de la figura. Quina superfície quedarà de color blau?

El mural – Tipus 2 13. Es vol construir un mural de ____ de llarg per _____ d’alt, unint quadrats de ______ de costat com el de la figura. Quina superfície quedarà de color blau?

El mural – Tipus 3 14. Es vol construir un mural de ____ de llarg per _____ d’alt, unint quadrats de ______ de costat com el de la figura. Quina superfície quedarà de color blau?

Figures planes, propietats mètriques

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

L’estadi 15.

Un estadi té la forma i dimensions del dibuix. Quina superfície ocupen les pistes?

La plaça 16. Una plaça té forma el·líptica i les dimensions de la figura. En el centre hi ha una font circular de _______ de radi, envoltada d’un passeig de terra i a la resta hi ha gespa. Quina superfície ocupa la gespa? I el passeig?

L’estel – Tipus 1 17. Per construir un estel s’ha fet servir tela de color verd i taronja com en la figura. Quina quantitat de cada color?

L’estel– Tipus 2 18. Per construir un estel s’ha fet servir tela de color verd i taronja com en la figura. Quina quantitat de cada color?

Figures planes, propietats mètriques

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

La cabra – Tipus 1 19. Una cabra està lligada a la cantonada d’un corral quadrat de _____ de costat, amb una corda de ______ de llarg. En quanta superfície pot pasturar?

La cabra – Tipus 2 20. Una cabra està lligada a la cantonada d’un corral quadrat de _____ de costat, amb una corda de ______ de llarg. En quanta superfície pot pasturar?

La catedral 21. La portada d’una catedral romànica està decorada amb frescos pintats sobre una zona como l’ombrejada en la figura. Quanta superfície s’ha pintat?

Les lúnules 22. La base del triangle de la figura mesura ______ i l’altura ______. Calcula l’àrea del recinte de color blau (format per dues figures semblants a dues llunes).

Figures planes, propietats mètriques

26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-los. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. ¿Són paral·leles les dues rectes de color blau de la figura?

(Utilitza el teorema de Tales per comprovar la resposta)

Quant mesura l’angle α de la figura?

(Dibuixa’l primer en el cercle de la dreta)

Quant mesura l’angle B de la figura?

Els costats d’un rectangle mesuren ________ i els d’un altre _________. Són semblants aquests dos rectangles?

Els costats del triangle verd (l’interior) mesuren __________________. Quant mesura el costat més llarg del triangle taronja?

Els costats iguals d’un triangle isòsceles i rectangle mesuren _____. Quant mesura el costat desigual?

Figures planes, propietats mètriques

27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Calcula el radi de la circumferència de la figura.

La suma de les distàncies d’un punt de la el·lipse als focus és _______ i el semieix menor mesura _____. Quina és la distància entre els focus?

Calcula l’àrea de la figura blava inscrita en una circumferència de radi _____.

Les diagonals del rombe de la figura mesuren ______ i ______. Calcula l’àrea del recinte de color blau. (Comprès entre el rombe i l’el·lipse)

Figures planes, propietats mètriques

28 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Moviments al pla Continguts 1. Vectors Concepte de vector. Components Vectors equipol·lents Suma de vectors 2. Translacions Translació segons un vector Composició de translacions 3. Girs Gir de centre O i angle α Simetria central Figures invariants d’ordre n 4. Simetria axial Simetria d’eix e Figures amb eix de simetria Composició de simetries axials

Objectius •

Utilitzar el concepte de vector com element direccional del pla.

•

Reconèixer els moviments principals en el pla: translacions, girs i simetries.

•

Aplicar un o més moviments a una figura geomètrica.

•

Reconèixer moviments geomètrics a l'art, la natura, etc..

Autor: Aurelio Conde Casas Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Moviments al pla

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Abans de començar Recorda … que en el pla cada punt té les seves coordenades. Clica el botó

per fer exercicis.

EXERCICI de Reforç Representa sobre el sistema de coordenades els següents punts: a) P(-1,3) b) Q(0,-2) c) R(2,–5) d) S(2,5) e) T(-2,5)

Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Vectores 1.a. Concepte de vector. Components. Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i clica el botó play veure l’animació.

de l’escena per

EXERCICI: →

Donat un vector AB determinat per A(x1,y1) i B(x2,y2), completa: ORIGEN: EXTREM: COMPONENTS: MÒDUL: DIRECCIÓ: SENTIT:

Quan hagis comprès bé els conceptes …

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1.

→

Els components del vector AB són les coordenades de B menys les de A. Calcula: →

a) Els components del vector AB

b) Les coordenades del punt B.

Els triangles groc i verd són iguals, quina distància hi ha entre els punts homòlegs A(–3,2) i B(1,5)?

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Vectors equipol·lents Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Dos vectores

s’anomenen EQUIPOL·LENTS si________________________________

__________________________________________________________________________ Si els vectores

són equipol·lents, el polígon ABDCA és un ___________________

Clica el botó de l’escena per veure l’animació sobre vectors equipol·lents i sobre el paral·lelogram format per dos vectors equipol·lents. Completa: Dos vectores equipol·lents es consideren representants del __________________________

Quan hagis comprès bé el concepte …

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI 3.

Els vectors equipol·lents tenen els mateixos components. Donats el punt A(5,-2) i el B(-1,1), quines són les coordenades del punt D?

EXERCICIS de Reforç → → r a) Sabent que els vectors AB i CD són equipol·lents al vector u de components (2,-1) completa la taula següent:

Vector

Origen

Extrem

→

A(1,1)

→

D(0,0)

b) Donats dos punts qualssevol A i B: →

→

Com són els mòduls de AB i BA ? ________________ I les seves direccions? ___________________ I els seus sentits? ___________________ Són equipol·lents aquests dos vectors? ___________________

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.c. Suma de vectores Llegeix el text de la pantalla: “La suma de dos vectors...” Completa: r r r r La suma de dos vectors, u i v , és un altre vector, u + v , que podem construir de dues formes:

•

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

•

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

r r Observa l’escena per veure detalladament com se sumen dos vectors u i v .

Després…

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI 4.

Suma en cada cas gràficament i analítica, els vectors verd u , i blau v . a) u =(-4,-3) v =(6,-3)

b) u =(6,-3) v =(-3,-3)

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

2. Vectors 2.a. Translació segons un vector Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Una translació de vector u és un moviment que transforma _________________________ __________________________________________________________________________ Una translació és un moviment directe (_______________________________________) e isomorf (_______________________________________). Practica en l’escena per veure translacions de diferents figures. EXERCICI: Copia exemples de translacions de diferents figures: SEGMENT

Moviments al pla

TRIANGLE

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

RECTANGLE

POLÍGON

Després…

Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICIS 5.

Quan es traslladen les coordenades d’un punt se veuen incrementades pels components del vector de translació. Comprova-ho en los següents casos:

A(__ , __) 6.

B(__ , __)

P(__ , __)

u= P’(__ , __)

P(__ , __)

P’(__ , __)

El quadrilàter verd és el traslladat del groc en cada cas. Calcula les coordenades del punt A. a) v =(-5,5)

A’(-2,2)

b) v =(5,-6)

A’(0,-1)

Quan acabis …

Moviments al pla

Clica

c) v =(6,4)

A’(3,-1)

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

2.b. Composició de translacions Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i observa a l’escena com es construeix un fris i un mosaic a partir de cada una de les figures que apareixen. EXERCICI: Copia un parell d’exemples de frisos i un altre parell de mosaics: FRIS 1

FRIS 2

MOSAIC 1

MOSAIC 2

Després…

Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI 7.

L’art mostra translacions com pots apreciar en els exemples següents. Dibuixa sobre ells el vector de translació que ha donat lloc als frisos.

Quan acabis …

Moviments al pla

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

3. Girs

3.a. Gir de centre O i angle α Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Un gir, de centre un punt O i amplitud un angle

α, transforma _____________________

__________________________________________________________________________ Has de tenir present que un gir pot tenir orientació positiva (_________________ ________________________) o negativa (____________________________________). Practica en l’escena per veure girs de diferents figures. EXERCICI: Copia exemples de girs de diferents figures fent servir diferents centres i angles (positius i negatius):

Després…

SEGMENT

TRIANGLE

QUADRAT

PUNT

Clica sobre

Moviments al pla

per veure com es determina el centre i l’angle de gir.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI 9.

Quin és el centre del gir que transforma el triangle groc en el verd?

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Simetria central Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Defineix: Simetria central:____________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Centro de simetria: __________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Practica en l’escena per veure simetries centrals de diferents figures, exemples de centre de simetria i una aplicació de les simetries centrals a la producció de mosaics. EXERCICI: Copia dos exemples de simetries centrals aplicades a diferents figures. PUNT

TRIANGLE

Després…

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICIS 9.

Quines són les coordenades del punt P’, simètric del P en la simetria de centre el punt O? a) O(1,1)

P(-3,-3)

b) O(-2,1)

P(2,-3)

10.

A la imatge es mostra un polígon (color groc) i el seu simètric (color verd) respecte el punt O, quines són les coordenades de O?

11.

Al triangle groc li apliquem successivament dues simetries centrals respecte al mateix punt, O, quin és el resultat?

Moviments al pla

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI 12.

S’aplica al triangle groc una simetria de centre O, i després una altra de centre O’, quin és el resultat?

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. Figures invariants d’ordre n Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Defineix: Centre de gir:________________________________________ _____________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Figura invariant d’ordre n: __________________________________________________ __________________________________________________________________________ Observa a l’escena diferents figures amb centre de gir. Fixa’t bé com es troba el centre de gir i quina és l’amplitud del gir en les successives coincidències. EXERCICI: Dibuixa figures amb centre de gir assenyalant-hi en cadascuna el centre de gir: FIGURA INVARIANT D’ORDRE 3

Després… Moviments al pla

FIGURA INVARIANT D’ORDRE 6

Clica sobre

per fer exercicis. -

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI: Indica l’ordre del centre de gir de les següents figures (nombre de coincidències) i l’amplitud del gir en què es produeix la primera coincidència: FIGURA 1

Ordre: ____ Angle: ______ FIGURA 4

Ordre: ____ Angle: ______

FIGURA 2

FIGURA 3

Ordre: ____ Angle: ______ FIGURA 5

FIGURA 6

Ordre: ____ Angle: ______ Quan acabis …

Ordre: ____ Angle: ______

Clica

Ordre: ____ Angle: ______ per anar a la pàgina següent.

4. Simetria axial 4.a. Simetria d’eix e Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Una simetria respecte a un eix e és un moviment que transforma ____________________ __________________________________________________________________________ Segons aquesta definició, s’ha d’acomplir que: •

__________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________

Una simetria axial és un moviment __________ perquè és _________ el sentit de gir. Practica en l’escena per veure com es troba el simètric d’un punt, com s’obté l’eix de simetria donat un punt i el seu simètric, l’efecte d’una simetria en l’orientació i què passa quan l’eix de simetria coincideix amb un costat del triangle. Després…

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICIS 13.

Calcula les coordenades del punt P’, simètric del P respecte l’eix de la figura. a) P (-2,4)

14.

b) P (2,3)

En cada cas dibuixa el triangle simètric respecte l’eix e, del de color groc i indica les coordenades dels vèrtexs del transformat. a) A (5,0), B (0,-2), C (1,-7)

b) A (5,6), B (1,6), C (0,3)

Quan acabes …

Clica

per anar a la pàgina següent.

4.b. Figures amb eix de simetria Llegeix a la pantalla el text “Hi ha figures que són…” i observa a l’escena de la dreta els eixos de simetria d’algunes figures. Respon: Què és una figura invariant en aplicar-li una simetria axial? _________________________ _________________________________________________________________________ Quin és l’eix de simetria d’una figura? _________________________________________ __________________________________________________________________________ Quants eixos de simetria té un triangle equilàter? ____ I un hexàgon regular? ____ Després…

Moviments al pla

Clica sobre

per veure unes imatges.

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICI: Dibuixa en cada imatge un eix de simetria que la deixi invariant:

EXERCICI: Quants eixos de simetria té cada figura?

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

4.c. Composició de simetries axials Llegeix a la pantalla el text “L’aplicació consecutiva de dos…” EXERCICI: L’aplicació consecutiva de dos simetries axials, d’eixos e i e', dóna lloc a un nou moviment que depèn de la situació relativa dels eixos e i e':

•

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Completa: El resultat de compondre dues simetries axials és un ___________________________ Observa a l’escena els dos casos possibles en la composició de dos simetries axials. Després…

Moviments al pla

Clica sobre

per fer exercicis.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

EXERCICIS 15.

Calcula les coordenades del punt que resulta en aplicar-li a P primer una simetria d’eix e i després una altra d’eix e’. a) P (-2,3)

16.

b) P (2,3)

Quin és el transformat del triangle de color morat respecte a la composició de simetries d’eixos e i e’?

Quan acabis …

Moviments al pla

Clica

per anar a la pàgina següent.

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM

Un vector té MÒDUL que és ______________________________________________ _______________ , DIRECCIÓ que és ________________________________________ _______________________________ i SENTIT que és __________________________ _____________________________. r Una translació de vector u és un __________________ que transforma cada punt A del

pla, en un altre punt B de manera que el vector AB és igual al vector ___. Un gir, de centre un punto O i amplitud un angle α, transforma cada punt P del pla en un altre punt P’ de manera que l’angle ______ és igual a α i les distàncies OP i OP' són __________. Si en girar una figura amb centre en un punt O i segons un angle menor que 360º, coincideix amb ella mateixa, diem que el punt O és _____________________ de la figura. Una simetria central, o simetria respecto un punt O, és un _______ de centre O i amplitud ______. Transforma doncs, cada punt P en un altre punt ___ de manera que l’angle _____ és igual a 180º i les distàncies OP i OP' són _________. Una simetria axial respecte un ____ e és un ____________ que transforma cada punt P del pla en un altre P' de manera que la recta e és ____________ del segment d’extrems P i P'

Clica

Moviments al pla

per anar a la pàgina següent.

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs exercicis de Translacions, Girs i Simetries. Fes-ne, al menys, un de cada classe i, una vegada resolts, comprova la solució. Translacions 1.

Determina els components i el mòdul del vector de la translació que transforma el punt A _____ en el punt B _____.

Troba el triangle que ha donat lloc al de la figura, en aplicar-li una translació de vector _____.

El triangle de la figura s’ha traslladat primer de la posició 1 a la 2, mitjançant una translació de vector _____, i després a la 3 per una translació de vector ____. Quin és el vector de la translació que passa directament de 1 a 3?

Moviments al pla

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Calcula els vèrtexs del triangle que resulta en aplicar al de la figura una translació de vector v =____.

Girs 5.

El triangle ABC gira 90º al voltant de l’origen de coordenades en ________ ________________ les busques del rellotge, en quin triangle es transforma?

El triangle morat resulta en girar el blau, sent els punts de color taronja homòlegs en el gir i els de color verd també. Determina el centre de gir i l’angle. El gir es realitza en sentit positiu.

Moviments al pla

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

El quadrat de la figura gira 45º en __________________ les busques del rellotge, al voltant del vèrtex ___, quins són els vèrtexs del quadrat transformat?

Simetries 8.

Troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria d’eix el de la figura.

Troba la figura transformada del triangle ABC per una composició de simetries, primer la d’eix blau i després la d’eix vermell.

Moviments al pla

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

10.

Troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria central, de centre l’origen de coordenades.

11.

Troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria d’eix el de ____________.

Moviments al pla

DATA:

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Donats els punts A(-2,2) i B(3,-4), escriu els components del vector AB .

Quin punt s’obté en traslladar el punt P(-1,4) mitjançant el vector v =(4,-1)?

Troba els components del vector de la translació que transforma el triangle blau en el taronja.

El punt B(4,2) és el resultat de traslladar el punt A(-4,6) mitjançant una translació de vector v . Quina distància hi ha entre A i B?

Quin punt resulta en girar P(4,1) al voltant de l’origen de coordenades, un angle de 90º en sentit contrari a les busques del rellotge?

Quin és el centre de la simetria que transforma el punt P(4,-2) en el P’(-2,0)?

Moviments al pla

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

La figura de l’esquerra té centre de simetria. Quin és el menor angle que ha de girar per quedar invariant?

Quines són les coordenades del punt simètric del P(4,-2) en la simetria d’eix la bisectriu del primer quadrant?

Quants eixos de simetria té la figura de la dreta?

En aplicar al punt P primer una simetria d’eix e1 i després una simetria d’eix e2, resulta el punt P’’. Quin és l’angle del gir que transforma directament P en P’’?

Moviments al pla

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Per practicar més

1. Determina els components i el mòdul del vector de la translació que transforma el punt A en el punt B.

4. Calcula els vèrtexs del triangle que resulta en aplicar al de la figura una

2. Troba el triangle que ha donat lloc al de la figura, en aplicar-li una translació de vector (3,2).

5. El triangle ABC de la figura gira 90º al voltant de l’origen de coordenades. En quin triangle es transforma?

3. El triangle de la figura s’ha traslladat primer de la posició 1 a la 2, mitjançant una translació de vector (3,-3), i després a la 3 per una translació de vector (2,-3). Quin és el vector de la translació que passa directament de 1 a 3?

6. El quadrat de la figura gira 45º en sentit contrari a les busques del rellotge, al voltant del vèrtex assenyalat. Quins són els vèrtexs del quadrat transformat?

Moviments al pla

translació de vector v =(3,2).

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

7. troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria: a) d’eix el d’ordenades

DATA:

10. El triangle blau es transforma en el morat després d’un gir de centre O. Dibuixa’l i calcula el centre de gir.

b) d’eix el d’abscisses.

8. Troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria d’eix el de la figura.

9. Troba la figura transformada del quadrilàter ABCD per una simetria central, de centre l’origen de coordenades.

Moviments al pla

11. Troba la figura transformada del triangle ABC per una composició de simetries, primer la d’eix blau i després la d’eix vermell.

12. Troba la figura transformada del triangle ABC per una composició de simetries, primer la d’eix blau i després la d’eix vermell.

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Cossos geomètrics Continguts 1. Poliedres regulars Definicions Desenvolupaments Poliedres duals 2. Altres poliedres Prismes Piràmides Poliedres semiregulars 3. Cossos de revolució Cilindres Cons Esferes 4. L’esfera terrestre Coordenades geogràfiques Fusos horaris 5. Mapes Projeccions

Objectius • • • • • •

Distingir les classes de cossos geomètrics. Construir els poliedres a partir del seu desenvolupament pla. Calcular les seves àrees i volums. Localitzar un punt sobre la Terra. Calcular l’hora en cada país. Conèixer com es fan els diferents tipus de mapes i els avantatges i inconvenients de cadascun.

Autor: Xosé Eixo Blanco Versió en català: Francesc Cassasas Canals

Cossos geomètrics

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Abans de començar Prem…

Recorda

per repassar alguns conceptes.

Veuràs una finestra amb una explicació teòrica i dues escenes. Llegeix el text i fes servir les escenes per fer els següents exercicis. EXERCICI 1: Completa les frases següents.

Poliedres Un poliedre és un cos tancat ____________________________________________. Cadascun d’ells rep el nom de _____. Els costats de les cares són les ___________ del poliedre. Els extrems de les arestes són els ___________ del poliedre. EXERCICI 2: En la primera escena escull un a un els poliedres, observa i compta quantes cares, arestes i vèrtexs té cadascun i completa amb aquestes dades aquesta taula. Cares

Arestes

Vèrtexs

A–V+2

Cub Prisma recte Piràmide Dodecaedre EXERCICI 3: Completa la frase següent i la fórmula: En tot poliedro simple (sense forats) es compleix la relació d’Euler: El nombre de cares d’un poliedre (C) és igual ____________________________________ ______________________________.

EXERCICI 4: Completa les frases següents.

Cossos de revolució Un cos de revolució és qualsevol figura geomètrica construïda ___________________ __________________________________________________________________________. EXERCICI 5: En la seona escena escull un a un els cossos de revolució i observa quina és en cada cas la figura que en girar al voltant de l’eix dóna lloc a cada un d’ells. Completa: Cos de revolució

Figura que gira

En acabar prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

1. Poliedres regulars 1.a. Definicions Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i escull en l’escena un a un els poliedres per veure’n les seves característiques. EXERCICI 1: Completa les frases següents. Direm que un poliedre és regular quan es compleixen les següents condicions: • Les seves cares són __________________________. • En cada vèrtex ________________________________. EXERCICI 2: Completa aquesta taula amb els noms i les característiques dels poliedres regulars (Nombre de cares, tipus de polígon de les cares). Escriu també un exemple d’una figura o compost químic que tingui una forma semblant a cada un d’aquests poliedres. Nom

Nombre de cares

Polígon de les cares

Exemple

Els cinc poliedres regulars també s’anomenen ____________________________. (Si fas clic en aquest altre nom pots llegir un article de la wikipèdia) En acabar prem

per anar a la següent pàgina.

1.b. Desenvolupaments Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i l’escena per entendre millor les explicacions. EXERCICI 1: Completa les frases següents. Es diu que un cos geomètric és desenvolupable si _______________________________ _________________________________________________________________________. En l’escena, selecciona el poliedre, col·loca la plantilla amb el ratolí en la posició que vulguis...

... i prem el botó

Animar

EXERCICI 2: Escriu sota de cada desenvolupament el nom del poliedre corresponent.

En acabar prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

1.c. Poliedres duals Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i fes servir l’escena per entendre millor el que s’explica. EXERCICI 1: Completa les frases següents.

Poliedres duals Es diu que dos poliedres són duals si el ________________________________________ _________________________________________________________________________. A més ambdós han de tenir __________________________________________________. EXERCICI 2: Contesta les següents preguntes. RESPOSTES Quins punts cal unir per obtenir el poliedre dual? Quin és el poliedre dual d’un octaedre? Quin és el poliedre dual d’un icosaedre? Quin és el poliedre dual d’un dodecaedre? Quin és el poliedre dual d’un tetraedre? Quin és el poliedre dual d’un hexaedre? En acabar prem

per anar a la següent pàgina.

2. Altres poliedres 2.a. Prismes Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Fes servir l’escena per veure les característiques d’aquests cossos geomètrics. Si surt el botó Desenvolupament animat (En els prismes regulars de 5 costats) Clicant-hi pots accedir a una altra pàgina en la que veuràs detalladament el desenvolupament dels prismes EXERCICI 1: Completa les frases següents. Un prisma és un _____________amb ________________________que són ____________ i els costats dels quals s’uneixen mitjançant ________________. EXERCICI 2: Contesta les següents preguntes. RESPOSTES Quines són les bases d’un prisma? Quins són els costats d’un prisma? Com són els costats d’un prisma recte? Com són els costats d’un prisma oblic? Com són les bases d’un paral·lelepípede? Com són les bases i els costats d’un ortoedre? Quan es diu que un prisma és regular?

Cossos geomètrics

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

Prem…

NOM

DATA:

Desenvolupaments, àrees i volums dels prismes regulars

S’obre una escena en la que pots escollir: Desenvolupaments de prismes regulars Àrea d’un prisma Volum d’un prisma Escull: Àrees d’un prisma I indica nombre de costats = 5 Apareix un prisma regular pentagonal, el seu desenvolupament i les fórmules per calcular la seva àrea. EXERCICI: Completa.

Desenvolupaments, àrees i volums de prismes regulars Els prismes són cossos desenvolupables. En particular, els prismes regulars tenen un desenvolupament molt senzill, format per tants rectangles iguals com costats tingui i dos polígons regulars que formen les bases. Això facilita el càlcul de les seves àrees i volums. 1.

Desenvolupament i àrea d’un _______________________:

Escull:

Volum d’un prisma

I indica nombre de costats = 5

2. Volum d’un prisma pentagonal regular: Podem considerar que està format per una sèrie apilada de prismes del mateix tipus d’altura la unitat. El volum de cada un d’aquests petits prismes és igual a l’àrea de la base, A, de manera que el volum del prisma gran serà:

Sent H l’altura del prisma V=

En acabar prem Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

2.b. Piràmides Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Fes servir l’escena per veure les característiques d’aquests cossos geomètrics. Desenvolupament animat (En les piràmides regulars de 5 costats) Si apareix el botó Et permet veure més detalladament el desenvolupament de les piràmides. EXERCICI 1: Completa les frases següents. Una piràmide és un __________ amb __________ formada per ______________________ sobre els costats del qual _________________________ que ______________________. EXERCICI 2: Contesta les següents preguntes.

RESPOSTES

Què és la base d’una piràmide? Què són els costats d’una piràmide? Què és el vèrtex d’una piràmide? Què és l’altura d’una piràmide? Quan diem que una piràmide és recta? Quan diem que una piràmide és obliqua? Com són els costats d’una piràmide obliqua? Quan diem que una piràmide és regular? Quin poliedre que ja has estudiat és un cas particular de piràmide? Com són els seus costats?

Prem…

Desenvolupaments, àrees i volums de les piràmides regulars

S’obre una escena en la que pots escollir: Desenvolupaments de piràmides regulars Àrea de les piràmides regulars Volum de les piràmides Escull:

Desenvolupaments de piràmides regulars

I indica nombre de costats = 5

EXERCICI: Completa el text i dibuixa el desenvolupament en el següent requadre.

Desenvolupaments, àrees i volums de piràmides regulars Les piràmides són______________________. En particular, les piràmides regulars tenen un desenvolupament molt senzill, format per tants _____________________ iguals com costats tinguin i ______________________ que forma la base. 3.

Desenvolupament d’una piràmide regular pentagonal:

Cossos geomètrics

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

Escull:

NOM

DATA:

Àrea de les piràmides regulars

I indica nombre de costats = 5

EXERCICI: Completa les fórmules de les àrees d’un prisma pentagonal. 4.

Escull:

Àrea d’una piràmide regular pentagonal:

Volum de les piràmides

I indica nombre de costats = 5

EXERCICI: Completa el text i les fórmules per obtenir el volum d’una piràmide pentagonal. 5.

Volum d’una piràmide pentagonal regular: El volum de qualsevol piràmide és sempre igual a _____ _______________________________________________ _______________________________________________. V= essent _________________________________ PIRÀMIDE PENTAGONAL Àrea de la base: AB=

Volum: V =

En acabar prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

2.c. Poliedres semiregulars Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa les frases següents.

Poliedres semiregulars Un poliedre semiregular és un poliedre les cares del qual són __________________________ de ________________, de forma que en cada vèrtexs ______________________________. Es poden obtenir amb certa facilitat poliedres semiregulars a partir dels poliedres regulars mitjançant la tècnica del truncament. Truncar un poliedre consisteix en suprimir un dels seus vèrtexs mitjançant l’aplicació d’un tall pla. En la escena escull en el menú:

Tetraedre En la part inferior de l’escena pots variar la longitud del tall: Longitud del tall Indica Longitud del tall = 1,3 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: 4 __________________ i 4 ___________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________

Indica Longitud del tall = 2 Aquesta vegada el poliedre semiregular que s’obté és un _____________________. En l’escena escull en el menú:

Cub Indica Longitud del tall = 1,2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: _________________________ Indica Longitud del tall = 2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Rep el nom de: _____________________ Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: _________________________

Cossos geomètrics

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

En l’escena escull en el menú:

DATA:

Octaedre Indica Longitud del tall = 1,4 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________ Indica Longitud del tall = 2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Rep el nom de: __________________________________ Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________

En l’escena escull en el menú:

Dodecaedre Indica Longitud del tall = 1,2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________ Indica Longitud del tall = 2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________

En l’escena escull en el menú:

Icosaedre Indica Longitud del tall = 1,4 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________ Indica Longitud del tall = 2 Completa les dades del poliedre semiregular que apareix: Cares: __ ________________ i __ __________________ En cada vèrtex conflueixen: ________________________

Prem…

Per veure algunes qüestions relatives a aquest tema

Cossos geomètrics

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

EXERCICIS 6.

Determina la longitud de l’aresta d’un tetraedre, d’un octaedre o d’un icosaedre que s’ha de truncar a partir d’un vèrtex per obtenir un poliedre semiregular. En l’escena d’exercicis prem El triangle representa una cara d’un tetraedre. Movent el punt vermell es simula el truncament dels vèrtexs. Utilitza l’escena per deduir per on ha de produir-se el tall per obtenir un poliedre semiregular (de manera que apareixi un hexàgon)

Determinar la longitud de l’aresta del cub que s’ ha de truncar a partir d’un vèrtex per obtenir un poliedre semiregular. En l’escena d’exercicis prem El quadrat representa una cara d’un cub. Movent el punt vermell es simula el truncament dels vèrtexs. Utilitza l’escena per deduir per on ha de produir-se el tall per obtenir un poliedre semiregular (de manera que apareixi un octògon)

Analitza la dualitat de poliedres regulars quan es trunquen per la meitat de l’aresta. En l’escena d’exercicis prem El cub i l’octaedre són duals. En ambdós casos s’obté un _________________ El dodecaedre i l’icosaedre són duals. En ambdós casos s’obté un _________________________

En acabar prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

3. Cossos de revolució 3.a. Cilindres Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa les següents frases. Un cilindre és un cos generat per ______________ (____________) al girar al voltant d’una ______________________ (____). El cilindre és un cos _____________________. En l’escena escull en el menú:

Elements del cilindre

EXERCICI 2: Escriu en el dibuix els noms dels elements i contesta les preguntes. RESPOSTES Quantes cares té un cilindre? Com són les dues cares que són iguals? Com s’anomenen aquestes dues cares? Quina figura geomètrica és l’altra cara? Quin és el radi d’un cilindre? Quina és l’altura d’un cilindre? Quina és la base de la cara lateral? Quina és l’altura de la cara lateral? En la escena escull en el menú: Pots clicar en el botó

Desenvolupament del cilindre

Desenvolupament animat

per accedir a una altra pàgina en la que

pots veure més detalladament el desenvolupament dels cilindres En l’escena escull en el menú:

Àrea del cilindre

EXERCICI 3: Dibuixa el desenvolupament i escriu les següents fórmules. Àrea de la base:

AB = Àrea lateral:

AL = Àrea total:

AT =

En l’escena escull en el menú:

Volum del cilindre

Prem Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina. -

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

3.b. Cons Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa les següents frases. Un con és un cos generat per ______________ (____________) al girar al voltant d’una ___________________________________ (____). El con és un cos ______________. Elements del con

En l’escena escull en el menú:

EXERCICI 2: Escriu en el dibuix els noms dels elements i contesta les preguntes. RESPOSTES Quantes cares té un con? Com és la cara de la base? Quina figura geomètrica és la cara lateral? El punto de recolzament de la generatriu sobre l’eix és el … Quin és el radi d’un con? Quina és l’altura d’un con? Quin és el radi del desenvolupament de la cara lateral? Quina és l’amplitud del desenvolupament de la cara lateral? En l’escena escull en el menú:

Desenvolupament del con

EXERCICI 3: Fixa’t en el desenvolupament del con i escriu les següents fórmules. Relació entre “r”, “g” i “h”:

En l’escena escull en el menú:

Base del desenvolupament lateral

Àrea del con

EXERCICI 4: Dibuixa el desenvolupament i escriu les següents fórmules. Àrea lateral:

AL = Àrea de la base:

AB = Àrea total:

AT = En l’escena escull en el menú:

Volum del con

V= Prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

3.c. Esferes EXERCICI 1: Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i completa la frase següent. Una esfera és un cos generat per ______________ al girar al voltant de _______________ ______________________. En l’escena apareix l’apartat

Construcció de l’esfera

EXERCICI 2: Escriu en el dibuix els noms dels elements i completa les frases: El radi d’una esfera és el mateix que ________________________ i coincideix amb la distància ___________________________________ ____________________. Aquesta propietat caracteritza a l’esfera: ________________________________________________________ _______________________________________________________.

Les esferes no són desenvolupables. Per aquest motiu l’elaboració de mapes és un problema important. Analitzarem aquest problema amb més detall en l’últim capítol. En l’escena escull l’apartat

Parts d’una esfera

EXERCICIO 3: Escriu en el dibuix els noms dels elements i escriu les definicions: Casquet esfèric: ____________________________________ ___________________________________. Zona esfèrica: ____________________________________ ___________________________________.

En l’escena escull l’apartat

Àrea d’una esfera

EXERCICI 4: Escriu en el dibuix els noms dels elements i escriu les definicions: L’àrea d’una esfera de radio r és igual ________________________ ________________________________________. Àrea de l’esfera: A = Àrea del casquet: Ac = Àrea de la zona: Az =

Cossos geomètrics

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

En l’escena escull l’apartat

DATA:

Volum d’una esfera

EXERCICI 5: Escriu els noms dels elements i escriu les fórmules: Volum de l’esfera: Ve = El volum del cilindre circumscrit és: Vci = El volum de l’esfera equival a _____________________________ ________________________________________. Com que el volum d’un con del mateix radi i altura és ___________ ________________________________________:

El volum d’una zona esfèrica és igual ________________________ ________________________________________:

Prem…

Cercles sobre una esfera

Cercles en l’esfera Quan un pla talla una esfera la intersecció d’ambdues figures és sempre un cercle. Si aquest cercle conté el centre de l’esfera es diu que és un CERCLE MÀXIM. Pots moure la imatge per veure-la des d’una altra perspectiva. També pots modificar el control Pos per variar la posició del pla que talla a les dues primeres esferes. Completa: Les circumferències que limiten als cercles màxims tenen la propietat que: _____________________________________ __________________________________.

Prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

4. L’esfera terrestre 4.a. Coordenades geogràfiques Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa les següents frases. La Terra té una forma ______________. Gira sobre una línia anomenada _______. Els punts en què l’eix talla a la superfície de la Terra són els ___________________. Els plans que contenen l’eix tallen a la Terra en _________________ les vores dels quals són ________________ anomenades _______________. El pla perpendicular a l’eix que passa pel centre de la Terra la talla en un ___________ la vora del qual és ______________. Els plans paral·lels al pla de l’Equador tallen a la Terra en cercles que ja ___________. Les seves vores són els _____________. EXERCICI 2: Situa el punter del ratolí en la paraula meridians i després en la paraula Equador i contesta les següents preguntes. Per què s’anomenen meridians? Per què s’anomena Equador?

En l’escena escull en el menú:

Latitud

EXERCICI 3: Llegeix el text de l’escena i contesta: Què és la latitud? RESPOSTES Quants paral·lels passen per cada punt de la Terra? En què es mesura la latitud? Què s’ha d’indicar en donar la mesura de la latitud? Quina és la latitud mínima i on s’obté? Quina és la latitud màxima i on s’obté? Quina és la latitud de Valladolid? En l’escena escull en el menú:

Longitud

EXERCICI 4: Llegeix el text de l’escena i contesta: Què és la longitud? RESPOSTES Quants meridians passen per cada punt de la Terra? En què es mesura la longitud? Què s’ha d’indicar en donar la mesura de la longitud? Entre quins valors varia la longitud? Quina és la longitud de Valladolid?

Cossos geomètrics

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

En la escena escull en el menú:

DATA:

Coordenades geogràfiques

EXERCICI 4: Pots variar la latitud i la longitud del punt i observar como varia la seva posició. Contesta: Com s’anomena el punt del planeta situat més al Nord? I el situat més al Sud? Quines són les coordenades geogràfiques del punt P de la figura?

En l’escena escull en el menú:

GPS

EXERCICI 5: Llegeix el text de l’escena i contesta: Quines són les coordenades geogràfiques d’un punt?

Quina és la utilitat de les coordenades geogràfiques?

Com s’anomena el sistema que serveix per localitzar amb precisió a una persona, objecte, etc.? Si fas clic sobre la imatge, en la que pots veure la quantitat de satèl·lits artificials visibles des d’un punt concret del planeta a mesura que va girant, podràs veure un article de la wikipedia en el que s’explica de forma detallada el funcionament i les característiques del GPS. Prem…

Anem a practicar una mica

EXERCICIS 9. Encara que ara s’usa una definició més precisa, el metro és, aproximadament, la deumilionesima part del quadrant d’un meridià qualsevol. Això significa que tots els cercles màxims sobre la Terra mesuren, aproximadament, 40.000.000 de metres (en particular, tots els meridians i l’Equador). A partir d’aquesta dada calcula la longitud del radi de la Terra, la seva superfície i el seu volum. 10. Excepte l’Equador, els paral·lels no són cercles màxims i calcular la seva longitud requereix l’ús d’unes eines que no veuràs fins el curs que ve. En canvi, en alguns casos concrets i amb ajuda del nostre vell amic, el Teorema de Pitàgores, podem fer-ho. Calcula la longitud en km dels paral·lels de latitud 30ºN, 45ºN i 60ºN. Quina és la ruta més curta? Volem calcular la distància entre un punt situat a 10º de longitud O i 30º de latitud N i un altre punt situat a 80º de longitud O i a 30º de latitud N, movent-nos només pel paral·lel comú. I si ens movem d’un punt a l’altre al llarg d’un cercle màxim?

Prem Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina. -

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

4.b. Fusos horaris Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i llegeix el text que apareix en l’escena de la dreta. EXERCICI 1: Contesta. Què és un dia? Quina és l’amplitud d’un fus esfèric? Quants fusos esfèrics hi ha en total? Quant tarda el Sol en creuar cada fus? Què és un fus horari?

Anem a practicar una mica i a analitzar els fusos horaris en la realitat.

Prem…

EXERCICIS 11. Tenim una esfera de 9 cm de radi. L’amplitud d’un fus esfèric sobre aquesta esfera és de 59º d’amplitud. Calcula la superfície del fus.

12. La ciutat A té una longitud de 123ºO i la ciutat B de 23ºE. Calcula l’hora que és en la ciutat B si en la ciutat A són les 10 hores.

Llegeix l’explicació en el requadre sobre: ELS FUSOS HORARIS EN LA REALITAT Si vols ampliar la informació d’aquests temes pots fer-ho clicant en els enllaços següents: Mapa de fusos horaris al món Calcular l’hora en qualsevol part del món Rellotge mundial

Prem

per anar a la següent pàgina.

5. Mapes 5.a. Projeccions de l’esfera sobre un pla Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa. Un mapa és ______________________________________________________________.

Cossos geomètrics

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Escull una a una en l’escena de la dreta els diferents tipus de projeccions i completa les frases en els següents requadres: En l’escena escull el tipus de projecció:

Projecció de Mercator

Projecció _________________________________________________________________. Característiques: Els meridians es representen mitjançant _______________________________________. Els paral·lels es representen mitjançant _______________________________________. Avantatges: Manté ________________________________________________________________. Inconvenients: Disminueix _____________ a mesura que ________________________________, el que fa que la superfície dels països d’____________________________ sembli molt més gran del que és en realitat. En l’escena escull el tipus de projecció:

Projecció de Gall-Peters

Projecció _____________________________________________. Característiques: Els meridians es representen mitjançant _______________________________________. Els paral·lels es representen mitjançant ________________________________________. Avantatges: Conserva ___________________ Inconvenients: No es manté ______________________________________. Les zones properes a l’Equador es veuen ____________________________ i les zones properes als pols es veuen ____________________________ En l’escena escull el tipus de projecció:

Projecció cònica

Projecció ________________________________________________________________. Característiques: Els meridians es representen mitjançant _______________________________________. Els paral·lels es representen mitjançant _______________________________________. Avantatges: És molt adequat per representar ___________________. És molt precís a prop del ___________________. Inconvenients: Les distorsions augmenten en _______________________________________________. En l’escena escull el tipus de projecció: Projecció azimutal Projecció ________________________________________________________________. Característiques: El mapa és ____________ Els meridians es representen mitjançant _______________________________________. Els paral·lels es representen mitjançant _______________________________________. Avantatges: És molt adequat per representar ____________________. És molt precís a prop del ___________________. Inconvenients: Les distorsions augmenten en _______________________________________________. Prem Cossos geomètrics

per anar a la següent. -

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Recorda el més important – RESUM POLIEDRES Regulars: Les seves cares són _______ ______________ i en cada vèrtex concorre ____________________.

Semiregulars: Les cares són ____________________________ _____________ i amb _________ ___________________________.

Prismes: Les bases són _________ ________________ i els costats són _____________________.

Piràmides: La base és _________ _______________i els costats són ____________________________ ___________________________.

Tots els poliedres es poden ___________________________

COSSOS DE REVOLUCIÓ Cilindre: Generat per un ______ ________ en girar al voltant _________ _______________.

Con: Generat per un ________ _____________en girar al voltant ___________________.

Esfera: Generada per una ______________________ en girar al voltant ____________________.

El cilindre i el con _______ desenvolupables. L’esfera _______ desenvolupable.

ÀREES I VOLUMS

A. lat.

A. total

Volum

Prismes Piràmides

p =___________________________, B = __________________________, h = _______, a = ________ (piràmide), r = ______________ (cons i cilindres), R = _____ (esfera), g = _____________ (con). Poliedres: L’àrea d’un poliedre és sempre igual a ______________________________________.

Cilindres Cons

El volum es calcula _____________________ _____________________________________.

Esferes L’ESFERA TERRESTRE

Meridians:________________________________. Es numeren de ___________________ a partir del _________________________. El meridià d’un indret és la seva ______________. Paral·lels:_________________________________. Es numeren de ___________________ a partir de l’ ____________. El paral·lel d’un indret és la seva ____________. Fusos horaris: La Terra es divideix en __ fusos horaris de __ d’amplitud amb _______ de diferència entre ells.

MAPES

Proj.______________

Proj.____________

Proj._____________ Prem

Cossos geomètrics

Proj._____________

per anar a la següent pàgina

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs exercicis de: • Àrees • Volums. • Coordenades geogràfiques Completa els enunciats i resol els exercicis. Després comprova si ho has fet bé.

Exercicis d’àrees Poliedres semiregulars (Fes com a mínim quatre exercicis amb figures diferents) 1.

Calcula l’àrea total d’un ______________________________ sabent que la seva aresta mesura _______.

Cossos geomètrics

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Prismes 5.

Calcula l’àrea total d’un prisma recte sabent

que

les

seves

bases

són

rombes de diagonals D=_______ i d=______ i la seva altura h=_______.

Piràmides 6.

Calcula l’àrea lateral d’un tronc de piràmide quadrangular regular sabent que el costat de la base major és B=_______.

costat

base

menor és b=_______ i l’aresta lateral és a=_______.

Cilindres i cons 7.

Calcula l’àrea total del recipient de la figura sabent que el radi de la base és r=_______ i l’altura és h=_______.

Cossos geomètrics

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

L’observatori astronòmic 8.

Quants

litres de pintura es necessiten per pintar

paret

exterior

d’una

torre

d’observació

astronòmica sabent que té un radi de _____, que l’altura del cilindre és de _____ i que amb cada litre es poden pintar _______________?

La bola de Nadal 9.

Una bola de Nadal de 3cm de radi es vol cobrir parcialment amb pa d’or de forma que la franja coberta tingui una amplitud de 60º

des del

centro de la bola. Calcula la superfície de la bola que es pintarà.

Exercicis de volums Tetraedre regular 10.

Calcula el volum del tetraedre regular de la figura sabent que la seva aresta AB=10cm. (El triangle APB t’ajudarà)

Cossos geomètrics

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Cub i tetraedre 11.

El cub de la figura té 10 cm d’aresta. Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs BCDG i comprova que és la sexta part del volum del cub.

Prisma truncat 12.

Calcula el volum dels dos prismes en que queda dividit el prisma regular triangular de la figura si es talla per un pla perpendicular a las bases que passa pel punt mig de les arestes. AD=20m i AC=15m.

Piràmide truncada 13.

Calcula el volum d’un tronc de piràmide quadrangular sabent que l’aresta de la base major és EF=20cm, l’aresta de la base menor és AB=8cm i l’altura del tronc és PQ=15cm.

Cossos geomètrics

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Cilindres 14.

Calcula el volum de la peça de sota sabent

que

diàmetre

circumferència exterior és de 10cm, el diámetro de la circumferència interior és de 5 cm i l’altura és de 10 cm.

Cilindre i con truncat 15.

Les figures representen un vas cilíndric de 6 cm de diàmetre i 8 cm d’altura i una copa amb forma de tronc de con amb 7cm de diàmetre major, 5 cm de diàmetre menor i 8 cm de generatriu. Quin té més capacitat?

Cub i esfera 16.

Un recipient cùbic de 10 cm d’aresta està ple d’aigua. S’hi introdueix amb compte una bola de vidre de 5 cm de radi i desprès es treu amb compte. Calcula

volum

d’aigua que s’ha

vessat i l’altura a la que queda l’aigua quan es treu la bola.

Cossos geomètrics

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Exercicis de coordenades geogràfiques Distàncies sobre meridians 17.

Calcula la distància entre dos puntos de la Terra, A i B, situats en el mateix meridià, si la latitud de A és de ___________ i la de B és de __________.

Fusos horaris 18.

El punt A es troba en el meridià ____ i el punt B està al meridià ______. Si a A són les ___ hores, quina hora és a B?

El camí més curt 19.

Els punts A i B estan sobre el paral·lel 45ºN i les seves longituds difereixen en 180º. Un avió ha d’anar de A a B. Quina ruta és més curta: la que segueix el paral·lel o la que segueix el meridià pel pol Nord?.

Prem

Cossos geomètrics

per anar a la següent pàgina.

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol els exercicis, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Indica quin poliedre s’obté en truncar un S’obté un: _____________________ _______ per la meitat de les seves arestes Cares= ___ Arestes= ___ Vèrtexs = ___ i escriu el nombre de cares, arestes i vèrtexs que té.

Els catets d’un triangle rectangle mesuren ______ i ______. Quin con té àrea total més gran, el que s’obté girant el triangle al voltant del primer catet o el que s’obté girant sobre el segon?.

Calcula l’àrea total del poliedre semiregular de la imatge sabent que la seva aresta és a. (Expressa el resultat en funció de a)

Calcula l’àrea del triangle de la figura sabent que l’aresta del cub és a.

(Expressa el

resultat en funció de a)

La “zona tropical” de la Terra està situada, aproximadament, entre els paral·lels 30º N i 30º S. Quin percentatge de la superfície de la Terra està situada en la zona tropical?

Una piràmide de base quadrada es talla amb un pla paral·lel a la base per la meitat de l’altura de la piràmide: així s’obtenen una altra piràmide més petita i un tronc de piràmide.

Com

és

volum

del

tronc

respecte del volum de la piràmide petita?

Cossos geomètrics

26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 8

NOM

DATA:

Es talla una semiesfera de radi R amb un pla paral·lel a la base de la semiesfera, a una altura de 2/3 del radi. Troba el volum de la més gran de les dus zones en que queda dividida. (Expressa el resultat en funció de R)

Una milla nàutica és la distància entre dos punts de l’Equador que tenen una diferència de longituds de 1’. A quants km equival una milla nàutica si el radi de la Terra és de 6366 km?

Boston està en el meridià 71º O i Frankfurt en el meridià 9ºE. Un avió surt de Frankfurt a les 23 hores i triga 8 hores en arribar a Boston. Quina hora és a Boston en aquest moment?

Associa els següents tipus de mapes amb les seves característiques. a)

Mapa de Mercator

Mapa de Gail Peters

Mapa azimutal

Mapa cònic

Cossos geomètrics

Els paral·lels són cercles i els meridians radis Els paral·lels i els meridians són rectes perpendiculars i els paral·lels estan més separats com més lluny de l’Equador Els paral·lels són arcs de circumferència i els meridians són rectes convergents Els paral·lels i els meridians són rectes perpendiculars i els paral·lels estan més junts com més lluny de l’Equador

27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Funcions i gràfiques Continguts 1. Relacions funcionals Concepte i taula de valors Gràfica d’una funció Imatge i antiimatge Expressió algebraica Relacions no funcionals 2. Característiques d’una funció Domini i recorregut Continuïtat Punts de tall amb els eixos Creixement i decreixement Màxims i mínims Periodicitat

Objectius • • • • • •

Reconèixer si una relació entre dues variables és una funció o no. Distingir la variable independent i la dependent. Expressar una funció utilitzant una taula de valors, una gràfica o una fórmula. Determinar el domini i el recorregut d’una funció. Interpretar algunes característiques de la gràfica d’una funció: el creixement i decreixement, els extrems relatius, la periodicitat... Representar i analitzar gràfiques de funcions tretes de diferents situacions quotidianes.

Autor: José Luis Alcón Camas Versió en català: Francesc Cassasas Canals

Funcions i gràfiques

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

-1 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Abans de començar Per començar es proposa un repte, ORBITANT LA TERRA, i una investigació sobre una de les lleis de Kepler. Com varia la distància en línia recta entre aquests dos satèl·lits a mesura que passa el temps?

Prem

per veure como resoldre la pregunta.

En acabar …

Prem

per anar a la següent pàgina.

1. Relacions funcionals 1.a. Concepte i taula de valors Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què és una funció? _____________________________________________________ Com s’anomena la causa? ________________________________________________ Quina variable depèn de l’altra? ___________________________________________ En l’escena tens una taula que relaciona longitud del costat i l’àrea del polígon. Mou el vèrtex indicat del polígon de manera que obtinguis cada un dels valors del costat que s’indiquen en la taula i escriu en el lloc corresponent el seu valor. Completa-la també aquí: Longitud del costat Àrea del polígon Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als d’aquesta escena.

EXERCICIS de Reforç LES REBAIXES Si en un producte ens ofereixen un descompte del 10%, pagarem el 90% del preu original. El preu rebaixat (PR) és funció del preu inicial (PI): PR = f (PI) Completa aquesta taula canviant el control PI. PI

PR = 0,90·PI

PR Fes la mateixa activitat canviant el preu inicial i el percentatge de descompte.

Funcions i gràfiques

-2 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

DENSITAT DELS MATERIALS A una pressió i temperatura donades, el quocient entre el pes (P) d’un material i el volum (V) que ocupa és constant. Direm, aleshores, que el pes és funció del volum i ho representarem així: P = f (V) (La constant que relaciona aquestes dues magnituds és la densitat, (d), P=d·V Calcula el valor de P si d=0,8 V

2,8 3,9

8,3

P Fes la mateixa activitat canviant el valor del volum i la densitat.

INTERESSOS BANCARIS Un banc ofereix un dipòsit al 5%. En la lletra petita es diu que hi ha una comissió fixa d’obertura de 20€. Si anomenem C la quantitat invertida i I als interessos produïts, diem que I és funció de C i ho escriurem així: I = f ( C ) I = 0,05·C - 20 Calcula el valor de I amb el valor del dipòsit donat. C

533

626

709

804

I Fes la mateixa activitat canviant el tipus d’interés i el capital.

ÀREA D’UN QUADRAT L’àrea, A, d’un quadrat és funció de la longitud del seu costat, c. Ho escriurem així: A=f(c) A = c·c = c² Calcula el valor d’A amb els diferents valors per c. l

0,1

0,4

1,5

ALTURA D’UN TRIANGLE RECTANGLE L’altura d’un triangle rectangle és funció de l’angle oposat: h = f ( α ) Modifica el valor de l’angle i completa la taula: α

Prem

Funcions i gràfiques

per anar a la següent pàgina.

-3 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

1.b. Gràfica d’una funció Llegeix el text de la pantalla i explica pas a pas què cal fer per obtenir la gràfica d’una funció: 1)

Reflexiona sobre la situació plantejada, CAPTACIÓ D’AIGÜES. Com construir la gràfica de la longitud total de les canonades en funció de la distància de l’estació captadora a un punt fix del riu.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En la escena tens una taula que relaciona la distància al pont de l’estació captadora (C) i la longitud total de les canonades. Mou el punt C per mesurar cada un dels valors que s’indiquen en la taula i escriu en el lloc corresponent el valor de la longitud total. Completa-la també aquí: Distància al pont (km) Longitud de les canonades (km) Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als d’aquesta escena.

EXERCICIS de Reforç Dibuixa els punts de les taules dels Exercicis de Reforç de l’apartat anterior i representa les gràfiques de les funcions corresponents. LES REBAIXES PI

Funcions i gràfiques

-4 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

DENSITAT DELS MATERIALS V

INTERESSOS BANCARIS

ÀREA D’UN QUADRAT

ALTURA D’UN TRIANGLE RECTANGLE

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-5 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

1.c. Imatge i antiimatge Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què és l’antiimatge? _____________________________________________________ Què és la imatge? _______________________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, BALA DE CANÓ. Com construir la gràfica de l’abast de la bala en funció de l’angle del canó amb l’horitzontal.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena tens una gràfica que relaciona l’angle del canó amb la distància a la que arriba la bala. Apareix un canó que has de disparar i has d’observar l’abast en funció de l’angle. Completa les dades del primer tret: f( ) =

és a dir:

és la imatge

o bé,

és una antiimatge de Angle

Després…

Prem

per fer el segon tret

Has de fer un mínim de 6 trets per poder veure la gràfica. Escriu a la següent taula els angles i les distàncies que vas assolint en els teus trets i fes la gràfica:

Distància

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als d’aquesta escena.

EXERCICIS de Reforç 1) Amb l’ajuda de l’escena contesta les preguntes sobre la següent gràfica:

a) Calcula la imatge de -8, és a dir, f(-8). b) Calcula l’antiimatge de 3, és a dir, f(x)=3.

Funcions i gràfiques

-6 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

EXERCICIS de Reforç 2) Amb l’ajuda de l’escena contesta les preguntes sobre la següent gràfica:

a) Calcula la imatge de 9, és a dir, f(9). b) Calcula l’antiimatge de 1, és a dir, f(x)=1. 3) Amb l’ajuda de l’escena contesta les preguntes sobre la següent gràfica:

a) Calcula la imatge de 3, és a dir, f(3). b) Calcula l’antiimatge de 8, és a dir, f(x)=8. 4) Amb l’ajuda de l’escena contesta les preguntes sobre la següent gràfica:

a) Calcula la imatge de 3, és a dir, f(3). b) Calcula l’antiimatge de 6, és a dir, f(x)=6.

En acabar … Prem

Funcions i gràfiques

per anar a la següent pàgina.

-7 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

1.d. Expressió algebraica Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què és una expressió algebraica? ______________________________________________ _________________________________________________________________________ Com s’obté una taula de valors a partir d’una expressió algebraica? ___________________ _________________________________________________________________________

Llegeix la situació plantejada: COLONITZACIÓ DE L’OEST.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

Comencem escollint la variable independent( la longitud a ), i la variable dependent( l’àrea del rectangle). Calculem el resultat (l’Àrea) que s’obté per a=5 hm: f(5) = _________ hm2 En la següent escena pots arrossegar la cantonada del rectangle i veure como s’obtenen diferents àrees depenent de la longitud del costat a. En la següent escena obtindràs l’expressió algebraica per calcular l’àrea. Anomenem “x” al costat a i obtenim l’expressió:

f(x) = ____________________

Quan tenim l’expressió de f(x) és més fàcil calcular imatges i antiimatges. Exemple: Per x=9, quant val f(x)? ____________ Per f(x) = 88, quant val x? ___________ De quantes maneres es pot obtenir l’àrea de 88 hm2? _______________ Completa la taula

f(x)

i fes-ne la gràfica. Quins tipus de funció s’ha obtingut? _______________________ Com s’anomena la corba obtinguda en la gràfica? _______________________

Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als d’aquesta escena.

Funcions i gràfiques

-8 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

EXERCICIS de Reforç 1) Completa les dades que falten i escriu l’àrea de la part acolorida en funció de x: a)

A(x) =

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-9 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

1.e. Relaciones que no són funcionals Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Quina diferència hi ha entre una relació funcional i una no funcional? __________________ __________________________________________________________________________ Per què les relacions estadístiques no són relacions funcionals? _______________________ __________________________________________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, PES I ALTURA. El pes d’una persona, és funció de la seva altura?

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena pots veure una gràfica amb punts i aclariments sobre aquests. Contesta: Què representa cada punt d’aquesta gràfica? _________________ Busca una altura “x” a la que no li correspongui cap pes.________ Busca una altura “x” a la que li correspongui més d’un pes.______

Aquesta gràfica, correspon a una relació funcional? ____ Per què?____ ________________________________________________________ Quin tipus de relació és? ______________________ Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als d’aquesta escena.

EXERCICIS de Reforç 1) Raona si la relació entre les magnituds de les següents situacions és funcional o no: a) b) c) d) e) f) g)

L’altura d’una persona és funció de la seva edat? El temps usat en realitzar un trajecte és funció de la velocitat a la que s’ha realitzat? El cost de la factura de l’aigua és funció del volum consumit? El cost de la factura de l’aigua és funció del nombre d’aixetes que es tenen a casa? A pressió constant, el volum d’un gas és funció de la seva temperatura? El nombre d’accidents de trànsit és funció del nombre de vehicles que circulen? Els interessos bancaris són funció del nombre de dies que dura una inversió a termini fix?

Funcions i gràfiques

-10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

2) Raona si la relació entre les magnituds de les següents gràfiques és funcional o no: a)

Resposta:

EXERCICIS 1.

Les rebaixes: si en un producte ens ofereixen un descompte del 10% haurem de pagar el 90% del preu original. Aleshores, el preu rebaixat (PR) és funció del preu inicial (PI) mitjançant l’expressió PR = f(PI) = 0,9·PI. Construeix una taula de valors per aquesta funció (per exemple amb quatre valors) i dibuixa la gràfica corresponent.

Funcions i gràfiques

-11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Amb l’ajuda de les gràfiques adjuntes calcula les imatges i antiimatges següents: a) La imatge de -3, l’antiimatge de 3.

b) La imatge de -3, l’antiimatge de 8 i de -4

Escriu en funció de x l’àrea de la part acolorida de la figura

Indica de forma raonada si les següents frases són certes o falses: a) El cost de la factura de l’aigua és funció del volum consumit. b) El nombre d’accidents de trànsit és funció del nombre de vehicles que circulen. c) A pressió constant, el volum d’un gas és funció de la seva temperatura.

La gràfica de la imatge correspon a una funció?

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Característiques d’una funció

2.a. Domini i recorregut Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què és el domini d’una funció? _______________________________________________ _________________________________________________________________________ Què és el recorregut o la imatge d’una funció? ___________________________________ _________________________________________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, JUGADOR DE FUTBOL SALA. Com és la gràfica que dóna l’angle sota el que veu la porteria contrària en funció de la distància que hi ha des de la línia de fons del seu camp.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena es veuen un dibuix i una gràfica amb els valors que es poden donar. Fes el dibuix de la gràfica i escriu els conceptes relacionats de domini i recorregut.

Mou el jugador en l’escena cap a davant i cap endarrere i observa com varia l’angle. Contesta: Quina és la variable independent x? _________________________________________ Quina és la variable dependent y? ___________________________________________ Entre quins valors varia la variable independent? _______________________________ Entre quins valores varia la variable dependent? ________________________________ Quin és el DOMINI de la funció? ____________________________________________ Quin és el RECORREGUT o LA IMATGE de la funció? ____________________________

Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena.

Funcions i gràfiques

-13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

EXERCICIS de Reforç 1) Determina de forma raonada el domini de les següents funcions:

a) f(x) = 0,8 x + 3 b) f(x) = c)

x+8

f(x) = 2,1 x 2 − 8,4 x − 126

d) f(x) =

1,7 x + 3

(x − 6)(x − 8)

2) Determina el domini i el recorregut de les funcions associades a les gràfiques (blau) de sota: a)

Domini:

Recorregut:

Domini:

Recorregut:

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

2.b. Continuïtat Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Com pots saber quan una funció és contínua? ___________________________________ _________________________________________________________________________ Com s’anomenen els punts on la gràfica té salts? _________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, TAXÍMETRE. Estudiem el preu d’un trajecte en taxi realitzat en una certa zona rural en funció de la distància recorreguda.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena es mostra una gràfica amb els valors que es poden donar, i una sèrie de preguntes que has de contestar. Observa la gràfica i respon les preguntes, que et serviran d’exemple. Quants euros suposa la baixada de bandera? _______

Quants quilometres es poden fer amb aquest import? ______

Si el recorregut és d’ “una mica més” de ____ km el cost del trajecte és de _____ Si el recorregut és exactament de ____ el preu és de ____ La imatge de x = ___ és y = ____ Completa la taula: x (km. Recorreguts) y (preu en €) Quan x tendeix a ____ per l’esquerra, les imatges tendeixen a ____ Quan x tendeix a ____ per la dreta, les imatges tendeixen a ______ Així doncs: El límit quan x tendeix a ____ per l’esquerra és ______ El límit quan x tendeix a ____ per la dreta és _______ La imatge de x= ___ és ___ Si la funció fos contínua en ___, aquestes tres quantitats serien ______ La funció té una ________________ (________________) en x = ___ : La seva gràfica no es pot dibuixar sense ______________________________________ en ________________________.

Funcions i gràfiques

-15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

Després…

NOM

Prem el botó

DATA:

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena.

EXERCICIS de Reforç 1) Un rellotge d’aigua funciona tal com s’explica a continuació: A la dreta hi ha 60 atuells que es van omplint d’aigua poc a poc. Quan s’omple el que fa el pis 60 es buida de cop tota la columna i s’omple una de les boles en una columna esquerra (que té un total de 12 boles). La columna esquerra representa les hores i la columna dreta els minuts. Indica si la funció que relaciona l’altura de la columna dreta amb el temps és contínua. Analitza la situació només en l’interval de temps que va des de que està buida fins que s’omple. a) X= temps en minuts.

b) X= temps en hores.

2) En Joan avui va d’excursió amb l’institut. Com que viu lluny acostuma a anar amb bicicleta. Així que arriba a l’institut, surt tot l’alumnat caminant fins l’estació de trens i allà esperen una estona a que arribi el tren. Pugen al tren i finalment arriben al destí. A sota pots veure dues gràfiques: una representa la distància que va recorrent en Joan des de casa seva respecte el temps transcorregut i l’altra representa la velocitat a la que es desplaça en cada instant, també en funció del temps transcorregut. Indica de forma raonada quina gràfica correspon a cada una de les dues situacions i indica en cada cas si la funció representada és o no és contínua. a)

En acabar … Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina. -16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

2.c. Punts de tall amb els eixos Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Quines coordenades té un punt sobre l’eix d’ordenades? _________________________ Quines coordenades té un punt sobre l’eix d’abscisses? __________________________ Completa: •

Per trobar y0 es fa _____ en l’expressió de la funció i es calcula ___.

•

Per trobar x0 es substitueix ___ per ___ en l’expressió de la funció i s’aïlla ___.

Reflexiona sobre la situació plantejada, TEMPERATURA. Estudiem la gràfica de la temperatura en funció de l’hora del dia.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena es mostra una gràfica de la temperatura i l’hora del dia. Observa la gràfica. Arrossega el punt que s’indica sobre la gràfica per observar les diferents temperatures en funció de les hores. Fes-ho fins que surti la fletxa per avançar. Contesta: Quants punts de tall poden haver amb l’eix d’ordenades? ________________ I amb el d’abscisses? __________________________________________________

Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena.

EXERCICIS de Reforç 1) Determina les coordenades dels punts de tall amb els eixos de les següents funcions: a) f(x)= 2-x b)

f(x)= -3

f(x)= -2x – 1

f(x) = -2x

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

2.d. Creixement i decreixement Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què succeeix al voltant d’una funció creixent en un punt? __________________________ _________________________________________________________________________ Què succeeix al voltant d’una funció decreixent en un punt? _________________________ __________________________________________________________________________ Quan es diu que una funció és monòtona? ________________________________________ Quan es diu que una funció és constant? _________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, TEMPERATURA D’UN FORN. Estudiem la gràfica de la temperatura del forn en funció del temps.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena es mostra una gràfica de la temperatura i el temps. Observa la gràfica. Arrossega el punt que s’indica sobre la gràfica per observar les diferents temperatures en funció dels minuts. Contesta: Com és la funció fins el minut 10? __________________________ Com és la funció entre el minut 10 i el 20? ____________________ Com és la funció entre el minut 20 i el 36? ____________________ Com és la funció a partir del minut 36? _______________________

Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena.

EXERCICIS de Reforç Determina els intervals de creixement i decreixement de les funcions definides en l’interval (-5,5) que tenen per gràfica cada una de las següents( dibuixades en color blau): a)

Funcions i gràfiques

-18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

En acabar …

Prem

per anar a la següent pàgina.

2.e. Màxims i mínims Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Què és un màxim absolut? _________________________________________________ Què és un mínim absolut? __________________________________________________ Què és un mínim relatiu? ____________________________________________________ Què és un màxim relatiu? ____________________________________________________ Quants màxims o mínims poden haver? ________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, VELOCITAT DEL VENT. Estudiem la gràfica de la velocitat del vent en funció del temps.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

Funcions i gràfiques

-19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

En l’escena es mostra una gràfica de la velocitat i el temps. Completa la gràfica indicant on és creixent, on decreixent i indicant els màxims i mínims locals i quins d’ells són els absoluts.

Després…

Prem el botó

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena

EXERCICIS de Reforç Determina els extrems relatius de les funcions definides en l’interval (-5,5) la gràfica de les quals es cada una de les següents dibuixades en color blau: a)

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

2.f.

NOM

DATA:

Periodicitat

Llegeix el text de la pantalla. Contesta: Quan una funció és periòdica? ______________________________________________ ________________________________________________________________________ A què s’anomena període? __________________________________________________ Reflexiona sobre la situació plantejada, FASES DE LA LLUNA. Estudiem la gràfica del percentatge visible de la lluna en funció del dia.

Prem

per veure com es resol la qüestió.

En l’escena es mostra una gràfica del percentatge visible en funció del dia. Observa com es va construint la gràfica. Contesta: Cada quant de temps es repeteixen els mateixos valors de la imatge? ______________ Com s’anomenen aquestes funcions?_________________________________________ Quin és el període en aquesta funció? ________ A continuació fes la gràfica

Arrossega el rectangle sobre cada un dels períodes per veure la gràfica completa Modifica el dia en el control:

Visible: ____

Observa quins són els valors de x que tenen la mateixa imatge: x ; x+__ ; x+ __

Després…

f(x) = f(

Prem el botó

) = f(

)

per fer uns exercicis.

Els següents exercicis són semblants als de l’escena.

Funcions i gràfiques

-21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

EXERCICI de Reforç Calcula el període i el valor aproximat de la funció per x=860:

EXERCICIS 6.

Determina de forma raonada el domini de la funció f(x) =

Determina el domini i el recorregut de la gràfica blava de la imatge.

Indica si són contínues o discontínues: En Joan avui va d’excursió amb l’nistitut. Com que viu lluny acostuma a anar amb bicicleta. Així que arriba a l’institut, surt tot l’alumnat caminant fins l’estació de trens i allà esperen una estona a que arribi el tren. Pugen al tren i finalment arriben al destí. A sota pots veure dues gràfiques: una representa la distància que va recorrent en Joan des de casa seva respecte el temps transcorregut i l’altra representa la velocitat a quee e desplaça en cada instant, també en funció del temps transcorregut. Indica de forma raonada quina gràfica correspon a cada una de les dues situacions i indica en cada cas si la funció representada és o no és contínua.

Funcions i gràfiques

x+8

-22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

EXERCICIS 9.

Calcula els punts de tall amb els eixos de la funció f(x)=2-x

10.

La funció blava de la imatge està definida en l’interval (-5,5). Determina els seus intervals de creixement i de decreixement.

11.

La funció blava de la imatge està definida en l’interval (-5,5). Determina els seus màxims i els seu mínims relatius.

12.

La funció adjunta és periòdica. Calcula el seu període i el valor de la funció quan x sigui igual a 265.

En acabar …

Funcions i gràfiques

Prem

per anar a la següent pàgina.

-23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Recorda el més important – RESUM Completa per recordar el que has après: Taula i gràfica Assenyala en la gràfica els punts de la taula.

Imatge i antiimatge Assenyala en la gràfica i escriu com a mínim 4 exemples d’imatges i les corresponents antiimatges.

Expressió algebraica Explica com trobar l’expressió algebraica de la funció de la gràfica.

Domini i recorregut Explica com s’observa el domini i el recorregut de la funció de la gràfica.

Continuïtat Explica amb l’ajuda de les gràfiques de la dreta els conceptes relacionats amb la continuïtat.

Funcions i gràfiques

-24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Talls amb els eixos Assenyala en la gràfica els punts de tall amb els eixos, i caracteritza aquests punts.

Creixement i decreixement Descriu en què t’has de fixar i com has d’escriure els intervals de monotonia.

Màxims i mínims Assenyala en la gràfica els extrems de la funció, i fes-ne una classificació.

Relació no funcional Explica com diferenciar una gràfica d’una relació funcional d’una no funcional, i dibuixa dues gràfiques que siguin exemples de les mateixes.

Periodicitat Assenyala en la gràfica el període i defineix què és una funció periòdica.

Prem

Funcions i gràfiques

per anar a la següent pàgina.

-25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Per practicar En aquest apartat trobaràs exercicis relacionats amb relacions funcionals i característiques d’una funció. Les següents activitats es troben en les escenes. Observa en cada apartat com es resolen.

RELACIONS FUNCIONALS Concepte (Fes com a mínim de quatre exercicis dels tipus que s’indiquen) 1.

S’està provant un medicament injectant-ne una dosis a un pacient. Anomenem q a la quantitat de medicament per litre de sang (mesurada en ml) i t al temps transcorregut des de la inoculació del mateix (mesurat en hores). Què

representa la gràfica adjunta: q en

funció de t o t en funció de q?

Tirem una pedra dins d’un pou i anomenem p a la fondària del pou mesurada en metres i t al temps transcorregut entre el llançament i l’instant en que se sent l’impacte (mesurat en segons). Què representa la gràfica adjunta: p en funció de t o t en funció de p?

Una empresa fabrica cada dia x peces. Si anomenem B al benefici que produeix la seva venda (mesurada en mils d’euros). Què representa la gràfica adjunta: B en funció de x o x en funció de B?

Observant l’evolució d’un cultiu de bacteris anomenem P al

nombre

milions

bacteris

temps

transcorregut( mesurat en hores). Què representa la gràfica adjunta: P en funció de T o T en funció de P?

Funcions i gràfiques

-26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Notació (Fes com a mínim de tres exercicis com els que s’indiquen) 5.

Associa correctament les expressions que es mostren al costat. (Has d’indicar a quina expressió de la segona columna

correspon

cada

expressió

primera)

Expressa simbòlicament de dues maneres diferents la funció f que associa a cada instant t l’altura h del mar en un port.

Expressa simbòlicament de dues maneres diferents

funció

que

representa

l’evolució de la potència P subministrada per una central hidroelèctrica en funció del temps T. Taules de valors i gràfiques 8.

Donada la funció

f(x) = _________

completa la taula de valors adjunta i fes una

representació

gràfica

una

quadrícula: X y

-3

-2

-1

Imatge i antiimatge en forma gràfica 9.

Calcula possibles

imatge

antiimatges

_____ de

les

____

mitjançant la gràfica de la imatge:

Imatge i antiimatge en forma analítica 10.

Donada la funció f(x) = ______ calcula la imatge de ___ l’antiimatge de ___.

Funcions i gràfiques

-27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Gràfiques que no són funcions 11.

Determina de forma raonada si les gràfiques adjuntes corresponen o no a gràfiques de funcions:

CARACTERÍSTIQUES D’UNA FUNCIÓ Domini i recorregut 12.

Determina el domini i el recorregut de les següents funcions:

Funcions i gràfiques

-28 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Continuïtat (Fes com a mínim de tres exercicis com els que s’indiquen). 13.

S’anomena valor absolut d’un nombre al mateix nombre si és positiu i al seu oposat si és negatiu. El valor absolut de x es representa |x|. Per exemple: |5| = 5, |0| = 0, |-3| = 3. Dibuixa la gràfica de la funció y = |x| i indica si és continua o no ho és.

14.

S’anomena part entera

d’un nombre al major

nombre enter que és menor o igual que el nombre donat. Per exemple: Ent(5,72) = 5, Ent(3) = 3, Ent(-2,54) = -3. Dibuixa la gràfica de la funció y = Ent (x) i indica si és contínua o no.

15.

Amb les dades del preu de l’aigua per metre cúbic adjuntes es considera la funció que relaciona el cost total que ha de pagar un consumidor en relació amb el volum d’aigua gastat, sabent que hi ha un cost mínim de 5€ encara que el consum sigui menor de 15 metres cúbics. Indica de forma raonada si és una funció contínua i dibuixa-la.

Funcions i gràfiques

-29 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Talls amb els eixos (Fes com a mínim de tres exercicis com els que s’indiquen) 16.

Determina els punts de tall de les següents

funcions amb els eixos de coordenades.

Eix X: Eix Y:

(Fes una de cada tipus) a.

x2 - x

x +4

y=-1

(f. quadràtica : de grau 2)

(f. afí : de grau 1)

Eix X: Eix Y:

(f. constant : de grau 0) c.

Eix X: Eix Y:

17.

L’equació h = 4t – t2 indica l’altura a la que es troba un projectil llençat cap a dalt des de terra en funció del temps (mesurat en minuts). Esbrina quant trigarà en tornar a caure.

18.

La funció F=1,8·C+32 ens dóna la relació entre la temperatura en graus Fahrenheit (F) i la temperatura en graus Celsius (C). Calcula la temperatura a la que es congela l’aigua en ºF. Desprès esbrina el valor en graus Celsius d’una temperatura de 0ºF.

Creixement i decreixement (Fes com a mínim tres exercicis dels tipus que s’indiquen) 19.

La gràfica adjunta representa la variació del PH d’una dissolució d’àcid acètic al ser neutralitzat amb una dissolució de sosa. Indica, raonadament si es tracta d’una funció creixent, decreixent o cap de les dues coses.

20.

La gràfica adjunta representa el benefici (B) d’una empresa (en milers de €) en funció del nombre de peces que produeix. Fes un informe de la situació en termes de creixement i decreixement.

Funcions i gràfiques

-30 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

21.

NOM

DATA:

La gràfica adjunta representa el temps que tarda en caure una pedra al fons d’un pou en funció de la seva profunditat. Indica raonadament si es tracta d’una funció creixent, decreixent o cap de les dues coses.

Màxims i mínims (Fes com a mínim dos exercicis dels tipus que s’indiquen) 22.

gràfica

adjunta

representa

l’altura de les marees al lo llarg d’un dia a Gijón. Indica a quina hora hi va haver la major i la menor altura de la marea. Esbrina també en quins instants es van

produir

màxims

mínims

relatius.

23.

La gràfica adjunta representa el benefici (B) d’una empresa (en milers de €) en funció del nombre de peces que produeix. Indica quantes peces cal fabricar per obtenir un benefici màxim. Indica també quin és aquest benefici.

Periodicitat (Fes com a mínim tres exercicis dels tipus que s’indiquen) 24.

Determina el període de la funció de la imatge i calcula el valor aproximat de la mateixa quan x = ____

En acabar … Prem Funcions i gràfiques

per anar a la següent pàgina. -31 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van sortint a l’ordinador i els resols, després introdueix el resultat pe comprovar si la solució és correcta. Indica quina de les següents expressions equival a ______________

_______ , _______ , _______ , _______ Esbrina si el punt de coordenades ( __ , __ ) pertany a la gràfica de la funció __________

Calcula la imatge de ____ i l’antiimatge de ____ per la funció del dibuix. (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

Calcula la imatge de ___ i l’antiimatge de ___ per la funció _________.

Determina el domini i el recorregut de la funció adjunta. (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

És contínua la funció de la imatge? (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

Funcions i gràfiques

-32 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Calcula les coordenades dels punts de tall de la gràfica de la funció ____________ amb els eixos.

Troba l’interval en el qual la funció adjunta no creix. (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

Troba els valors en els quals la funció de la imatge assoleix un mínim i un màxim relatiu. (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

Determina el període de la funció de la imatge. (Observa el dibuix i copia’l amb la resposta)

Funcions i gràfiques

-33 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 9

NOM

DATA:

Per practicar més... 8. La taula adjunta mostra un extracte del rebut de l’aigua en la que es mostra el preu unitari del metre cúbic d’aigua consumida en funció de l’aigua consumida. Indica de forma raonada si es tracta d’una funció contínua o discontínua i dibuixa la seva gràfica.

1. Observant l’evolució d’un cultiu de bacteris anomenem P al nombre de milions de bacteris i T al temps transcorregut en hores. Què representa la gràfica adjunta: P en funció de T o T en funció de P? 2. Una empresa fabrica i comercialitza un producte. La quantitat produïda es representa per x i el cost de producció amb C Què representa la funció h(x)=C: el cost en funció de la quantitat o a l’inrevés? 3. Donada la funció y = f(x) = 2x – 1 completa la taula de valors adjunta i representa-la en una quadrícula: X y

-3

-2

-1

4. Calcula la imatge de -0,5 i les possibles antiimatges de 1,5 per la funció de la gràfica de sota.

9. La funció F = 1,8·C+32 estableix la relació entre la temperatura en graus Fahrenheit (F) i la temperatura en graus Celsius (C). Calcula la temperatura en graus Fahrenheit a la que es congela l’aigua. Després calcula a quina temperatura Celsius equivalen 0º F. 10.Calcula les coordenades dels punts de tall amb els eixos de la funció y = x + 4.

5. Donada la funció f(x) = 3x + 2 calcula la imatge de 0,2 i l’antiimatge de 2,2.

11.La gràfica representa la concentració (q en ml) a la sang d’un medicament injectat a un pacient en funció del temps (t en hores). Fes un informe que descrigui la situació en creixement de la funció.

6. Determina de forma raonada si la gràfica adjunta correspon o no a la gràfica d’una funció.

12.Determina els màxims i mínims relatius de la funció que té per gràfica la de sota.

7. Determina el domini i el recorregut de la funció de la gràfica adjunta.

Funcions i gràfiques

termes

13.Determina el període de la funció de la imatge i calcula el valor aproximat d’aquesta funció quan x = 23

-34 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Funcions lineals Continguts 1. Funció de proporcionalitat directa Definició Representació gràfica 2. Funció afí Definició Representació gràfica 3. Equació de la recta Forma punt-pendent Recta que passa per dos punts Forma general 4. Posició relativa de dues rectes Anàlisi en forma explícita Anàlisi en forma general 5. Aplicacions Problemes simples Problemes combinats

Objectius •

Identificar problemes en què intervenen magnituds directament proporcionals..

•

Calcular la funció que relaciona aquestes magnituds a partir de diferents dades i representar-la gràficament.

•

Representar aquestes funcions de diferents maneres.

•

Comparar funcions d'aquest tipus.

•

Resoldre problemes reals en què intervenen aquestes funcions.

Autor: Aurelio Conde Casas Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Funcions lineals

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Abans de començar Observa l’escena de la dreta. A l’escena es mostra la relació entre el temps transcorregut i la longitud del tros d’espelma consumida. EXERCICI: Completa la següent taula: Temps transcorregut (en hores) Longitud del tros consumit (en mm)

Investiga Si una síndria pesa 3 kg i una altra pesa 6 kg ens cobraran el doble per la segona. Però, si la primera té un diàmetre de 15 cm i l'altra el té de 30 cm, el preu de la segona serà el doble que el de la primera? Intenta trobar la resposta donant una explicació raonada.

Clica sobre el botó Quan hagis fet uns quants exercicis clica

per fer exercicis.

per anar a la pàgina següent.

1. Funció de proporcionalitat directa 1.a. Definició Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: L’equació d’una funció de proporcionalitat directa o lineal és: f(x)=mx. Defineix: FUNCIÓ LINEAL: PENDENT: Observa la gràfica de la dreta en què es mostra la relació entre el temps transcorregut des del llançament de la llançadora espacial i la seva velocitat. EXERCICI: Quina funció relaciona ambdues magnituds (temps i velocitat)? _______________________ Quin és el pendent? _____________________ Quina és la velocitat als 225 segons? ___________________________ Quan hagis comprès bé els conceptes …

Funcions lineals

clica sobre

per veure uns exemples.

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

EXERCICI 1.

Determina si les relacions entre els parells de magnituds següents són lineals o no, escrivint, si és el cas, l’equació que les relaciona. a. Relació entre el preu inicial i el preu rebaixat en un 10%. b. Relació entre el pes i el volum d’un material en condicions constants de pressió i temperatura. c. Un banc ofereix un dipòsit anual al 5% amb una comissió fixa de 20€. Relació entre la quantitat invertida i els interessos rebuts. d. Relació entre l’àrea d’un quadrat i la longitud del seu costat.

Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Representació gràfica Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Les funciones lineals es representen gràficament com ____________________________. La gràfica de totes les funcions lineals passa pel punt __________________________. Per dibuixar la gràfica n’hi ha prou amb obtenir un altre punt i unir-lo amb______________. Si m és positiu, representa ___________________________________________________. Observa a l’escena com es construeix la gràfica d’una funció lineal.

EXERCICIS de Reforç a) Representa gràficament les següents funcions lineals: y = -2x

y = -0.5x

y = 0.2x

b) Esbrina el pendent de cada una de les funcions anteriors. y = -2x y = -0.5x y = 0.2x Pendent

Clica sobre el botó Funcions lineals

y = 2x

per fer exercicis. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

EXERCICI 2.

Determina les equacions de les funcions lineals que tenen per gràfiques: a)

Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

2. Funció afí 2.a. Definició Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Quina és l’equació d’una funció afí? __________________________________________ Quina és l’ordenada en l’origen? ________________________________________________ Practica amb l’escena per veure diferents funcions afins. EXERCICI: És constant el quocient entre f(x) i x? ___________________________________________ Passen pel punt (0,0) les funcions afins? ______________________________________ Clica sobre

per veure un cas particular.

El caso particular que has vist és aquell en què el pendent és nul i la recta és, per tant, horitzontal. El cas contrari és aquell en què la recta és vertical i en diem que el pendent és infinit. En aquest cas l’equació es x=n i no és una funció.

EXERCICI de Reforç c) Representa gràficament les següents rectes: y = -2, y = 2, x = -2, x = 2.

Quan acabis … Funcions lineals

clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

2.b. Representació gràfica Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat i observa a l’escena com es construeix la gràfica d’una funció afí.

EXERCICIS de Reforç d) Representa gràficament les següents funcions afins: y = -2x + 2

y = 2x - 2

y = 0.5x - 1

y = -0.5x + 3

e) Esbrina el pendent i l’ordenada en l’origen de cada una de les funcions anteriors. y = -2x + 2 y = 2x - 2 y = 0.5x - 1 y = -0.5x + 3 m n

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

EXERCICIS 3.

Determina les equacions de les funcions afins que tenen per gràfiques: b) a)

Determina les equacions de les rectes: a)

Quan acabis … Funcions lineals

clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

3. Equació de la recta 3.a. Forma punt-pendent Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: L’equació ___________ que has vis en l’apartat anterior es denomina __________ ________________ de l’equació de la recta, i ens permet determinar l’equació quan coneixem la ___________ i _________________________________. Quan només coneixem ___________, m, i les coordenades d’un altre dels punts de la recta, _______, la seva equació és __________________. Aquesta equació rep el nom de ______________________ de l’equació de la recta. Observa a l’escena com s’obté la forma punt-pendent de l’equació de la recta i com es passa a la forma explícita. Clica sobre

per practicar aquests conceptes amb exercicis resolts.

EXERCICIS 5.

Determina l’equació de la recta que passa per P (-8,-5) i té pendent m = 2/7.

Determina l’equació d’aquesta recta:

Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Recta que passa per dos punts Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: L’equació de la recta que passa pels punts P(x0,y0) i Q(x1,y1) és: _________________ . Aquesta equació rep el nom de ___________________________________________ . Observa a l’escena com s’obté la forma contínua de l’equació de la recta i els casos especials. Funcions lineals

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

EXERCICIS de Reforç f) Representa gràficament les rectes que passen pels punts que s’indiquen, i determina les seves equacions: P(2,-3), Q(2,1)

P(2,-3), Q(-1,-3)

P(0,2), Q(0,-2)

Després…

clica en

P(2,0), Q(-2,0)

per veure exemples.

EXERCICIS 7.

Troba l’equació de la recta que passa per P (5,-9) i Q(6,8). Passa-la a forma explícita i determina el pendent i l’ordenada en l’origen.

Esbrina l’equació de la recta que passa per P (7,4) i Q(-3,-1). Passa-la a forma explícita i determina el pendent i l’ordenada en l’origen.

EXERCICI de Reforç g) Representa gràficament les rectes de l’exercici anterior: 7.

Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. Forma general Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI La manera més habitual de representar rectes és ____________________________________ l’equació de la qual és: ____________________ . Si B = 0 es tracta d’una recta ___________________ . Si A = 0 es tracta d’una recta ____________________ . Si B no é zero, el pendent de la recta és __________ . Funcions lineals

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Observa a l’escena la representació d’una recta en forma general i com es passa de qualsevol forma de l’equació de la recta a la forma general. Després…

clica sobre

per practicar una mica.

EXERCICIS 9.

Determina l’equació de la recta que –2/3. Després passa-la a forma general.

passa

pel

punt

(1,-7)

té

pendent

10.

Determina l’equació de la recta que passa pel punt (-4,-2) i té pendent 0. Després passa-la a forma general.

11.

Determina l’equació de la recta que passa pels punts P(2,-2) i Q(-8,3). Després passala a forma general.

12.

Determina l’equació de la recta que passa pels punts P(5,-2) i Q(3,-2). Després passala a forma general.

13.

Determina l’equació de la recta que passa pels punts P(6,5) i Q(6,-2). Després passala a forma general.

14.

Representa gràficament les rectes que tenen per equació general x + y – 5 = 0 i x – y + 5 = 0. Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

4. Posició relativa de dues rectes 4.a. Anàlisi en forma explícita Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Donades dues rectes y = m1x + n1 e y = m2x + n2. Quan són secants? ___________________________________________ . Quan són paral·leles? ___________________________________________ . Observa a l’escena diferents exemples de rectes secants i rectes paral·leles. Després…

Clica sobre

per veure exemples.

EXERCICIS 15.

Determina la posició relativa de les rectes y = - 4x + 1, y = 4x. En cas que siguin secants, determina les coordenades del punt d’intersecció.

16.

Determina la posició relativa de les rectes y = - 2x + 3, y = -2x - 2. En cas que siguin secants, determina les coordenades del punt d’intersecció. Quan acabis …

Funcions lineals

clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

4.b. Anàlisi en forma general Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Donades dues rectes A1x + B1y+ C1 = 0 i A2x + B2y+ C2 = 0. Quan són secants? ___________________________________________ . Quan són paral·leles? ___________________________________________ . Canvia els valors de A1 i A2 en l’escena per veure quan són paral·leles i quan són secants les rectes vermella i blava.

EXERCICIS de Reforç h) Calcula el punt de tall en el cas A1 = 3, A2 = 4. i) Calcula el punt de tall en el cas A1 = 2, A2 = 5.

Després…

clica sobre

per veure exemples.

EXERCICIS 17.

Determina la posició relativa de les rectes x – 3y – 1 = 0, 4x + y + 1 = 0. En cas que siguin secants, determina les coordenades del punt d’intersecció.

18.

Determina la posició relativa de les rectes 2x – 5y – 1 = 0, -4x + 10y + 1 = 0. En cas que siguin secants, determina les coordenades del punt d’intersecció. Quan acabis …

clica

per anar a la pàgina següent.

5. Aplicacions 5.a. Problemes simples Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Les funcions lineals descriuen _________________________________________________ ________________ . La representació gràfica serà una recta, el pendent de la qual ens informa de ________________________________ d’una magnitud respecte a l’altra i l’ordenada en l’origen ens informa sobre les ___________________ . En la descripció de fenòmens reals és freqüent que les magnituds que es relacionen vinguin donades per nombres de mides __________, per la qual cosa en representar-les gràficament, caldrà triar unes ___________ en els eixos corresponents. En l’escena es mostren alguns exemples d’obtenció de funcions a partir del pendent i l’ordenada en l’origen o a partir de valors de la mateixa, tant de funcions lineals como afins. Estudia’ls amb atenció abans de fer els exercicis següents.

Funcions lineals

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

EXERCICIS 19.

En una ciutat tenen implantada l’Ordenança de Regulació de l’Aparcament (ORA). La norma indica que s’ha pagar certa quantitat per cada minut i que no hi ha un mínim. En Joan posa 1,20€ i el parquímetre indica que disposa de 30 minuts. La Sara amb 1€ té 25 minuts. Troba l’equació que relaciona el preu amb el temps i dibuixa-la. Quant s’ha de pagar per un aparcament de 50 minuts? Si paguem 0,84€, de quant temps disposem?

20.

En els països anglosaxons solen utilitzar l’escala Fahrenheit per mesurar temperatures. En aquesta escala, el punt de congelació de l’aigua és de 32ºF, i el d’ebullició de 212ºF. Nosaltres utilitzem l’escala Celsius, en la qual aquests punts s’assoleixen a 0ºC i 100ºC respectivament. Troba l’equació que relaciona ºC amb ºF i dibuixa-la. Quants ºC equivalen a 80ºF? Quants ºF equivalen a 36ºC?

21.

En un comerç apliquen el 15% de descompte a tots els seus productes. Troba l’equació que relaciona el preu rebaixat amb el preu original i dibuixa-la. Quin és el preu d’una camisa que abans costava 75€? He pagat per uns pantalons 42,50€, quant costaven abans? Quan acabis … clica

22.

per anar a la pàgina següent.

En un banc ens ofereixen un termini fix al 4% anual amb una comissió de manteniment de 15€ anuals, sigui quina sigui la inversió realitzada. Troba l’equació que relaciona l’interés produït amb el capital invertit. Quant produiran 3000€ en un any? Quant s’ha invertit si s’han rebut 185€ d’interessos?

Funcions lineals

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

5.b. Problemes combinats Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICIS: Completa: On realment resulta interessant l'aplicació de les funcions lineals és en l'estudi de __________ ________________________ de forma que puguem __________________ amb facilitat Estudia amb deteniment els problemes combinats que es mostren como exemple a l’escena.

EXERCICIS 23.

Vull comprar-me companyies.

telèfon

mòbil

visitat

diverses

La companyia A m’ofereix una quota fixa de 9€ al mes, més 6 cèntims per minut. La companyia B m’ofereix pagar només pel consum a 0,20€/min. La companyia C m’ofereix un cost de 0,10€/min amb un consum mínim de 10€. Quina companyia m’interessa més?

24.

Final d’etapa. En una etapa amb final en alt, un escapat està a 6 Km de la meta y circula a 9 Km/h. El grup perseguidor es troba a 10 Km del final corrent a 12 Km/h. Atraparan l’escapat si mantenen les velocitats? En cas afirmatiu, quant de temps tardaran i a quina distància de la meta?

25.

Repeteix el problema anterior suposant que el grup perseguidor es troba a 8 Km de la meta.

Quan acabis …

Funcions lineals

clica

per anar a la pàgina següent.

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Recorda el més important – RESUM Funcions lineals Són les funcions que relacionen magnituds _____________________ i la seva equació és de la forma____________. La seva representació gràfica és sempre ___________ que_________________. El pendent, m, és _________________________. Funcions afins Relacionen magnituds directament proporcionals sotmeses a alguna ___________. Tenen la forma________________. La seva gràfica és una recta de pendent m que passa pel punt ____ (n és_______________ en l'origen). Equació de la recta Forma explícita: __________________. Forma punt-pendent: __________________. Recta per dos punts: __________________. Forma general: __________________. Posició relativa de dues rectes •

r1: y=m1+n1;

r2: y=m2+n2

Són paral·leles si __________________ . Són secants si __________________. •

r1:A1x+B1y+C1=0;

r2:A2x+B2y+C2=0

Són paral·leles si __________________ . Són secants si __________________. Casos particulars El pendent d’una recta horitzontal és ___________ i la seva equació és _____________ . És una funció _____________ . El pendent d’una recta vertical és ____________ i la seva equació és _____________. No és una ___________.

Clica

Funcions lineals

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs Exercicis amb gràfiques i equacions i Problemes amb funcions lineals i afins. Fes-ne, al menys, un de cada classe i una vegada resolts, comprova la solució. Exercicis amb gràfiques i equacions DIBUIXA LA GRÀFICA 1.

Representa gràficament les rectes d’equacions _____________ i ______________.

DETERMINA L’EQUACIÓ 2.

Determina l’equació de la recta de la imatge:

FORMES DE L’EQUACIÓ DE LA RECTA I 3.

Calcula la forma general de l’equació de la recta que passa pel punt P ______ i que té per pendent m = ______.

FORMES DE L’EQUACIÓ DE LA RECTA II 4.

Calcula la forma general de l’equació de la recta que passa pels punts P ______ i Q ______.

Funcions lineals

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

14 -

FORMES DE L’EQUACIÓ DE LA RECTA III 5.

Determina el pendent i l’ordenada en l’origen de la recta d’equació ____________. Després, troba’n dos punts i dibuixa-la.

COMPARAR RECTES 6.

Determina la posició relativa de les rectes _______________ i ______________. Si es tallen, troba també les coordenades del punt de tall. Dibuixa les rectes i, si és el cas, el punt.

PUNTS ALINEATS 7.

Esbrina si els punts A_______, B______ i C______ estan alineats.

PARAL·LELA PER UN PUNT EXTERIOR 8.

Troba l’equació de la recta paral·lela a ___________ que passa pel punt _______. Dibuixa ambdues rectes.

Funcions lineals

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Exercicis amb gràfiques i equacions CONREANT BLAT 9.

Dos agricultors de zones diferents conreen blat amb els rendiments i costos que s’indiquen a sota. Esbrina quantes hectàrees ha de tenir cada un per obtenir beneficis i qui té més beneficis en funció del nombre d’hectàrees conreades. Agricultor 1: Rendiment: _______ Costos per reg, adob, etc: _______ Costos fixos ________

(assegurança,

impostos,

etc):

Agricultor 2: Rendiment: _______ Costos per reg, adob, etc: _______ Costos fixos ________

(assegurança,

impostos,

etc):

Preu del blat: ________

EL RELLOTGE DE SORRA 10.

La sorra continguda en un rellotge de sorra ocupa un volum de _____ cm3 i el fabricant indica que la velocitat de caiguda de la sorra és de ____ cm3/s. Quin temps ha de passar perquè hi hagi la mateixa quantitat de sorra en les dues parts del rellotge?

INTERPRETANT GRÀFIQUES 11.

La gràfica de la dreta representa la distància en la qual es troba una persona amb respecte a mi en relació amb el temps transcorregut. Expressa amb una frase el seu significat. _______________________________ _______________________________

REPRESENTANT SITUACIONS 12.

Troba l’equació de la funció que descriu la següent frase: “Un mòbil està a ____ Km de mi i s’apropa a ____ Km/h”.

13.

Troba l’equació de la funció que descriu la següent frase: “Un mòbil està a ____ Km de mi i s’allunya a ____ Km/h”. Clica

Funcions lineals

per anar a la pàgina següent.

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 10

NOM

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i els resols. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escriu el pendent i l’ordenada en l’origen de la recta de la imatge.

Calcula l’ordenada en l’origen de la recta que passa pel punt _______ i que té per pendent ___. Calcula l’ordenada en l’origen de la recta l’equació general de la qual és __________________. Calcula el pendent de la recta l’equació general de la qual és __________________. Calcula el pendent de la recta que passa pels punts P______ i Q______. Determina la posició relativa de les rectes: ________________ __________________ Determina la posició relativa de les rectes: ________________ _________________ Calcula les coordenades del punt de tall de les rectes: ______________ ______________ Esbrina si els punts següents estan alineats: _______ _______ _______ Determina l’equació de la recta paral·lela a r que passa per P. P = ________ r : _________________ No oblidis visitar l’enllaç Per saber-me més per ampliar els teus coneixements. Funcions lineals

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Estadística Continguts 1. Fer estadística Necessitat Població i mostra Variables 2. Recompte i gràfics Recompte de dades Gràfics Agrupació de dades en intervals 3. Mesures de centralització i posició Mitjana Moda Quartils i mediana 4. Mesures de dispersió Rang i desviació mitjana Desviació típica Coeficient de variació

Objectius •

Distingir els diferents tipus de variables estadístiques.

•

Distingir els diferents tipus de variables estadístiques.

•

Distingir els diferents tipus de variables estadístiques.

•

Representar i interpretar gràfics estadístics, i saber quan és convenient utilitzar cada tipus.

•

Calcular la mitjana, la moda, la mediana i els quartils d'un conjunt de dades.

•

Què són i com es calculen els paràmetres de dispersió: el rang o recorregut, la variància i la desviació típica, el coeficient de variació.

Autor: Aurelio Conde Casas, Manuel González Morales Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Estadística

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Abans de començar Observa l’escena de la dreta. Es mostra l’ocupació d’una plaça per un grup de manifestants. Sabries dir el nombre aproximat de persones que hi ha a la plaça? Aquesta qüestió es denomina fer una estimació, o estimar. Fes servir l’ajuda per calcular aquest nombre.

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Fer estadística 1.a. Necessitat Llegeix en la pantalla el perquè de la necessitat de fer estadística. Observa l’escena amb atenció i realitza diverses estimacions del nombre de cèl·lules de cada tipus que tenen els marcians analitzats. EXERCICI. Respon: Per a què serveix una enquesta? _______________________________________________

Realitza l’exercici que es proposa a l’escena per estimar la quantitat de glòbuls de cada color del marcià. Compara la teva estimació amb els valors reals. EXERCICI: Completa la següent taula: Estimació

Valors reals

Quan acabis …

Estadística

Clica

Diferències

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

1.b. Població i mostra Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Quan es realitza un estudi ____________ l’investigador decideix si analitzarà tota la població o una ________ escollida prèviament. _________ és el conjunt d’individus, amb alguna característica comuna, sobre el qual es fa un estudi estadístic. La _____________ és un subconjunt de la població. S’ha de triar que sigui representativa de tota la població en la característica estudiada. Observa amb atenció l’escena. Compara els resultats que s’obtenen amb diferents grandàries de la mostra.

EXERCICI: Completa la següent taula: Nre. de germans

Grandària mostra: ____ Quantitat

Total alumnes: ____ Quantitat

Sense germans 1 germà 2 germans 3 germans 4 germans

Quina és més representativa? ____________________

EXERCICIS 1.

Quantes persones suposen una mostra del 10% d’una població de 10.000 habitants? I d’una de 6000 habitants?

Una empresa de sondejos estadístics té capacitat per entrevistar a 1000 persones per setmana. Si disposa de 4 setmanes, quin percentatge d’una població de 100.000 habitants pot entrevistar per obtenir una mostra?

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

1.c. Atributs i variables Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat.

EXERCICI: Completa:

Una _____________________ és cada una de les propietats o característiques que podem estudiar. Variables qualitatives o _______________. Els valors de la variable no són nombres, sinó _______________, s’expressen amb _______________. El color, la forma, el sexe, ... són exemples de variables qualitatives. Variables __________________. Les dades s’expressen numèricament i poden ser: •

_________. Cada una de las variables només pot prendre valors ______________ (1, 2, 3...). El nombre de germans, el nombre de finestres de casa, el nombre d’escoles de la teva població,...

•

___________. Poden prendre qualsevol valor d’un interval donat. El nostre pes, altura, força, no és possible mesurar-les amb nombres enters, la densitat de l’aire, la velocitat mitjana dels fórmula 1 en una carrera,...

Respon les preguntes de l’escena per comprovar si has comprès els conceptes de variable qualitativa, variable quantitativa discreta i variable quantitativa continua.

EXERCICI 3.

Amb la finalitat de conèixer millor la manera de viatjar d’una població, han preparat una enquesta. Algunes de les preguntes van tractar sobre: nombre de dies de viatge, diners fets servir, nombre de paquets, zones geogràfiques, mitjà de transport, naturalesa del viatge (negocis, turisme, familiar, salut…) i nombre de persones. Classifica aquestes variables estadístiques.

Quan acabis … Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

2. Recompte i gràfics 2.a. Recompte de dades Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Freqüència ____________, és el nombre de vegades que apareix una dada. A la de xi l’anomenarem fi. Freqüència relativa, és el __________ entre la freqüència __________ i el nombre total de dades. Freqüència acumulada d’un dada, és la _________ de les freqüències absolutes dels valors que són menors o iguals que ell, la indicarem amb Fi. També es poden calcular les freqüències relatives acumulades.

Clica sobre

per fer més exercicis.

EXERCICI 4.

Fes un recompte de les dades següents: 4 4 2 1 2 3 2 2 2 4

2 4

4 3

4 4

2 4

3 2

4 1

A la taula han d’aparèixer les freqüències absolutes, freqüències relatives, freqüències acumulades i les freqüències relatives acumulades. Valors

Freqüència absoluta

F. absoluta acumulada

Quan acabis …

Estadística

Clica

Freqüència relativa

Freq. relativa acumulada

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

2.b. Diagrames de barres i de sectors Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Per a què serveixen els gràfics estadístics? _______________________________________ Què és un diagrama de sectors? _____________________________________________ _______________________________________________ A quin tipus de variables és aplicable? ___________________________________________ Com es construeix un diagrama de barres? _____________________________________ _______________________________________________

Practica amb l’escena i, quan hagis comprès bé com es construeixen els diferents tipus de gràfics, realitza el següent exercici.

EXERCICI 5.

Fes un recompte de les següents dades, un gràfic de sectors i un altre de barres. Indica l’angle de cada sector. Pilota, màscara, pilota, màscara, màscara, bici, màscara, bici, bici, màscara, màscara, màscara, màscara, videojoc, màscara, pilota, videojoc, pilota, videojoc, videojoc, pilota, videojoc, pilota, màscara. Xi

graus

Videojoc Màscara Bici Pilota

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

2.c. Agrupació de dades en intervals Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa:

Quin altre nom reben els intervals en els quals s’agrupen les dades quan el nombre es fa tant gran com la grandària de la mostra?_____________________ Amb quin valor representem totes les dades d’un mateix interval?_____________ Com s’anomena aquest valor?_____________________ Per representar gràficament les dades quan venen agrupades en intervals, es fa servir usa el ______________. Cada valor es representa per un _________________d’amplada l’ interval corresponent i amb l’altura proporcional a la seva ________________. Observa amb atenció l’escena. Clicant sobre noves dades.

podràs comprovar com canvien les freqüències dels intervals quan es generen

Clicant sobre podràs canviar el nombre d’intervals. Posa especial atenció als intervals, les marques de classe, les freqüències i a l’ histograma en cada cas.

EXERCICIS 6.

Agrupa les següents dades en 10 grups. Agrupa les mateixes dades, ara, en 5 grups i fes un gràfic per cada agrupació. 2

Agrupa les dades següents en 5 intervals d’igual amplitud, fes un gràfic i un polígon de freqüències. 7,2

6,3

9,8

9,1

9,3

5,7

6,7

8,4

5,7

3,1

1,4

5,4

1,1

4,8

2,5

0,1

5,3

1,3

3,6

1,9

5,2

1,7

Quan acabis … Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

3. Mesures de centralització i posició 3.a. La Mitjana Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Per calcular la mitjana, si són poques les dades, es ___________ totes i es ____________ entre el _______________. Si són moltes, les tindrem agrupades, aleshores se sumen els productes de cada dada per la seva __________________ i es divideix aquesta suma pel nombre total de dades. S’ indica amb

___.

EXERCICI: Completa:

Observa en l’escena com es calcula la mitjana depenent de si les dades estan o no agrupades. Posa especial atenció a la construcció de la taula de dades. En , canvia el nombre d’intervals i veuràs que la mitjana, tot i tenir les mateixes dades, varia. Després...

Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICIS 8.

Calcula la mitjana en cada cas: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6

c) 100, 120, 180, 200

10.

Calcula la mitjana de les següents dades: 0

Calcula la mitjana de les següents dades: 2,4

1,1

3,5

0,7

2,8

3,8

0,2

2,8

1,9

0,6

3,8

3,1

2,8

0,2

0,4

3,1

1,5

1,9

1,8

3,1

Després... Estadística

Clica sobre

per fer exercicis. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

3.b. La Moda Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: La moda, Mo, d’una distribució estadística és el valor de la variable que més es _________, el de major ______________________.

Observa l’escena i realitza més d’un exemple, fins que comprenguis bé el concepte de moda.

Després...

Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI 11.

Determina la moda de les dades 2

EXERCICI de Reforç a) Determina la moda en les següents seqüències de dades: •

A, A, B, C, B, C, B, C, B, C, B, A, A, A, A

•

4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 1

•

2, 4, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1

•

4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 0, 1, 1

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

3.c. La mediana i els quartils Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: La mediana i els quartils, como la mitjana __________, només es poden calcular quan la variable és ___________________. La __________, Me, és el valor que ocupa la posició __________ una vegada ordenades les dades en ordre ___________, és a dir, el valor que és major que el 50% i menor que l’altre 50%. La mediana divideix la distribució en dues parts amb igual nombre de dades, si la dividim en quatre parts obtenim els _________________, 1r, 2n i 3r, que s’indiquen, respectivament, Q1, Q2 i Q3. Ordenades les dades, el primer quartil, és major que el ____% d’aquestes; el tercer quartil, major que el ____%, i el segon coincideix amb la __________.

Practica amb l’escena i posa atenció en com es calculen la mediana i els quartils en el cas d’una variable estadística discreta.

Després…

Clica sobre

per practicar una mica.

EXERCICI 12.

Calcula la mediana, el primer i tercer quartil de les següents dades: 2

Quan acabis …

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

4. Mesures de dispersió 4.a. Rang i Desviació mitjana Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Les mesures de _______________ indiquen si les dades estan més o menys ____________ respecte de les mesures de ________________. ____________ o recorregut, és la ________________ entre el major i el menor valor de la variable, indica la longitud de l’ interval en el qual es troben totes les dades. ________________, és la mitjana dels valors absoluts de les diferències entre la mitjana i les diferents dades.

Observa l’escena i assegura-te’n de que comprens bé el concepte. Després…

Clica sobre

per veure exemples.

EXERCICI 13.

14.

Calcula el rang i la desviació mitjana de les dades: 8

Calcula la desviació mitjana de les dades tabulades següents: xi [0,200)

100

[200,400)

300

[400,600)

500 13

[600,800)

700

[800,1000) 900

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

4.b. Variància i Desviació típica Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: És una altra manera de mesurar si les dades estan o no ____________ a la mitjana i és la més utilitzada.

La __________ és la mitjana dels quadrats de les desviacions. La desviació típica és l’arrel quadrada positiva de la ____________________. Per designar-la, farem servir la lletra grega “sigma”, σ.

σ=

És important que entenguis el significat d’aquestes mesures, com _____________ siguin més ___________ estaran les dades. Els intervals al voltant de la mitjana d’amplitud 2 o 4 vegades la desviació típica tenen importància pel ______________________________________________ .

Observa l’escena i fixa’t com es tabulen les dades. Després...

Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI 15.

Calcula la mitjana i la desviació típica en a) 200, 250

b) 175, 275

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

4.c. Coeficient de variació Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Completa: Es el __________ entre la desviació típica i la mitjana, s’utilitza per comparar les dispersions de dades de diferent mitjana. Observa l’escena i després realitza l’exercici d’aquesta pantalla.

EXERCICIS 16.

Calcula la mitjana i la desviació típica en: a) 7, 5, 3, 2, 4, 5

b) 20, 25, 20, 22, 21

17.

Quina de les dues distribucions anteriors presenta major dispersió?

18.

Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades agrupades següents:

19.

Quin és el coeficient de variació de la distribució anterior?

Quan acabis …

Estadística

Clica

per anar a la pàgina següent.

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Recorda el més important – RESUM 1. Població:

2. Mostra:

3. Variables estadístiques: •

Quantitativa:

•

Qualitativa Discreta:

•

Qualitativa Continua:

Exemples

Completa la següent taula a mesura que avances pels següents conceptes, escrivint les seves definicions i realitzant els càlculs:

4. Taula de valors Xi

Xi·fi

X − xi

(X − x )

X − x i ·fi

(X − x )

·fi

TOTAL

5. Gràfics. Tipus de gràfics: Resultats de l’exemple

Definicions: 6. Moda 7. Rang 8. Mediana 9. Quartil 1r 10. Quartil 3r 11. Mitjana 12. Desviació mitjana 13. Desviació típica 14. Coeficient de variació

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs Estadística. Recompte i càlculs i Estadística. Dades de l’ INE. Fes, al menys, un de cada classe i una vegada resolt, comprova la solució. Estadística. Recompte i càlculs DADES 1.

Fes un recompte de les següents dades ________________________________

Quan hi ha eleccions tots els ciutadans majors de 18 anys poden votar. Les dades obtingudes, constitueixen una mostra? Què n’opines al respecte?

Classifica les següents variables estadístiques: Nombre de fills, Flor preferida, Pes, Temperatura mitjana, Sabor, Altura, Velocitat, Acceleració, Nombre de vàlvules, Nombre de places, Tipus de vehicle, Nombre de rodes, Càrrega neta i Tipus de tapisseria.

Agrupa les dades en intervals d’amplitud 10 i fes-ne el recompte. 5, 12, 4, 23, 34, 6, 14, 25, 11, 1, 37, 24, 31, 21, 4, 7

MODA I MEDIANA 5.

Quina és la moda en cada grup? A = {__________________________} B = {__________________________} C = {__________________________}

Estadística

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Quina és la mediana en cada cas? A = {__________________________} B = {__________________________} C = {__________________________} D = {__________________________} E = {__________________________}

Agrupa les dades {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4} i determina la moda i la mediana.

Tenim 20 dades ordenades de menor a major i en el lloc 10è, 11è i 12è hi ha les dades 30, 40 i 40. Quina és la mediana?

MITJANA 9.

10.

11.

Quin nombre s’ha d’afegir a cada un dels següents nombres per tenir de mitjana 7? a)

Calcula la mitjana de les següents dades: x1=10

f1=__

x2=12

f2=__

x3=14

f3=__

Quina és la mitjana en cada cas? A= B= C=

Estadística

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

12.

4 dades tenen per mitjana 5. Quant ha de valer una 5a dada perquè la mitjana sigui 6?

13.

Quina dada sobra per a què la mitjana de la sèrie 3, 4, 5, 6, 7, 8 sigui 5?

QUARTILS I DESVIACIÓ MITJANA 14.

Posa exemples d’igual mitjana i diferent desviació mitjana.

15.

Determina la desviació mitjana en cada cas: A= B=

16.

Determina els quartils de les dades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

17.

En 100 dades ordenades de menor a major, les dades 74, 75 i 76 són 100, 120 i 130. Calcula Q3.

18.

En 50 dades ordenades de menor a major, les dades 10a, 11a, 12a, 13a i 14a són 22, 24, 24, 26 i 28. Calcula Q1.

Estadística

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

DESVIACIÓ TÍPICA I COEFICIENT DE VARIACIÓ 19.

En tres casos amb la mateixa mitjana i diferent desviació, quin grup de dades està més dispers?

20.

Determina el CV en cada cas. a) X = 10, b) X = 10, c) X = 10,

σ= 1 σ = 0.1 σ= 5

Expressa el resultat en percentatge.

21.

Determina el CV sabent que X = ____ i

22.

Quina és la desviació típica en cada cas?

σ = ___.

A = (5, 5) B = (4, 6) C = (10, 0)

23.

Calcula la desviació típica per a les dades següents: x1=10

f1=__

x2=12

f2=__

x3=14

f3=__

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Estadística. Dades del INE POBLACIÓ 24.

A partir de quina edat hi ha més dones que homes? Quin percentatge d’espanyoles té 85 anys o més? Entre els 20 i els 44 anys, quin percentatge de població espanyola hi ha? Els naixements de els últims 20 anys, han anat creixent o disminuint?

EDUCACIÓ 25.

En quines zones geogràfiques es llegeixen menys llibres? Quina es l’opció més escollida? Quina zona, amb més d’un 60% de persones que llegeixen llibres, està envoltada de zones amb menys percentatge de lectura? On es llegeix més, en la zona Nord o en la zona Sud?

Estadística

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

SALUD 26.

La depressió afecta al mateix percentatge d’homes que de dones? Indica alguna zona geogràfica amb més de 1000 morts cada 100000 habitants. Indica alguna zona amb una mortalitat per sota de la mitjana. Quina malaltia té major percentatge de població?

CONDICIONS DE VIDA 27.

Algú que gasti en alimentació com en el gràfic, quant gasta en peix de cada 500 euros? En què ens gastem més diners per alimentar-nos? Indica una zona on la despesa mitjana per persona sigui inferior a la mitjana. Indica les zones amb major despesa mitjana per persona.

Estadística

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

TREBALL 28.

En quin període de tres anys disminuí més ràpid l’atur? Des de el 2001, en quin any disminuí més l’atur? En els 20 anys del gràfic, la dona ha tingut alguna vegada menys atur que l’home? A partir de quin any la taxa d’activitat de la dona va sobrepassar el 40%?

TURISME 29.

On t’allotjaries per trobar-te amb un belga per cada 3 francesos? De quina nacionalitat de procedència hi ha major ocupació en els hotels d’Espanya? Quins dos països tenen major presencia turística en España? En quin tipus de pernoctació hi ha més turistes dels Països Baixos que d’altres nacionalitats?

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordenador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Compta quants __ hi ha.

Quina freqüència té el valor ___?

Calcula la mitjana: xi

xi ·fi

Calcula la mediana: xi

Amb les dades de l’exercici 4, calcula el primer quartil.

Estadística

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Amb les dades de l’exercici 4, calcula el tercer quartil.

Calcula l’amplitud del rang. xi

Calcula la desviació mitjana. xi

xi ·fi

| X - xi |·fi

Calcula la desviació típica. xi

xi ·fi

( X - x i ) ·fi

Amb les dades de l’exercici 9, calcula el coeficient de variació, en tant per u.

Estadística

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

DATA:

Per practicar més 1. Quantes persones suposen una mostra del 5% d’una població de 20 000 habitants? I d’una de 1000 habitants? 2. D’una població de 30 000 individus s’han estudiat diverses característiques en 150 individus. Quin percentatge del total ha estat estudiat? 3. Un veterinari estudia les següents característiques en una mostra d’animals d’una granja tipus d’animal, pes, color dels ulls, temperatura corporal, nombre de companys i metres quadrats per animal. 4. Fes un recompte de les següents dades, un gràfic de sectors i un altre de barres. Indica l’angle de cada sector. a b c a c c d c d b d a d a b b c c a a b a b d 5. Fes un recompte un diagrama de freqüències. 3 3 3 3 2 3 2 2

de les següents dades i barres amb polígon de 1 2 1 4

1 1 1 4

3 3 4 3

2 2 3 3

6. Agrupa les següents dades en 10 grups. Agrupa les mateixes dades, ara, en 5 grups. 3 6 5 9 2 6 2 2 7 9 4 6 2 5 9 9 1 0 2 5 3 6 7 8 6 4 3 6 7 9 10 10 9 1 6 8 6 2 3 9 6 5 6 6 5 7 6 6 10 1 3 4 4 4 7. Calcula la mitjana en cada cas: a) 14,16, 18 b) 24, 26, 28, 26 c) 1000, 1200, 1800, 2000

Estadística

8. Calcula dades: 3 3 2 2

9. Calcula dades: 10 9,5 8,5 20

mitjana

3 3 3 2

1 2 1 4 mitjana

1,5 5,50 7,5 12,5

18 15,5 1,5 7,5

les 1 1 1 4

següents 3 3 4 3

les 20 6,5 15 4,5

2 2 3 3

següents 16 4,5 13 14,5

10. Determina la moda per les dades: 3 3 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 1 1 4 2 2 4 4 3

1 4 0 9 2 2 3 3

11. Calcula la mediana, el primer i el segon quartil de les dades de l’exercici anterior. 12. Calcula de desviació mitjana en cada cas: a) 14, 16, 18 b) 34, 36, 38, 36 c) 1000, 1200, 1800, 2000 13. Calcula el rang i la desviació mitjana de les dades: 23 8 21 24 20 9 33 20 11 36 13 1 40 25 30 12 18 5 40 27 16 26 9 7 14. Calcula la desviació mitjana dades tabulats següents:

de les

15. Calcula la mitjana i la desviació típica en: a) 2000, 2500 b)1750, 2750 c) 2500, 2500

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM

16. Calcula la mitjana i la desviació típica les dades: 3 1 1 3 1 4 4 4 1 1 4 2 2 2 3 4 2 4 2 1

DATA: de

22. De cada milió de viatgers, corresponen a cada sector?

quants

4 4 2 3

17. Calcula el coeficient de variació de les dades de l’exercici anterior. 18. Calcula la mitjana i la desviació típica les dades: 25 29 40 9 32 15 35 26 24 16 11 16 37 10 30 35 17 8 40 38

de 4 2 2 5

19. Calcula el coeficient de variació de les dades de l’exercici anterior. 20. Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades agrupades següents:

23. Quants conductors hi havia l’any 2002? Quants eren homes i quantes dones?

21. Fes els càlculs per a un milió d’habitants en cada comunitat.

24. Entre quins anys augmentaren més els detinguts per infraccions penals?

Estadística

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Probabilitat Continguts 1. Experiments aleatoris Espai mostral i esdeveniments Tècniques de recompte Operacions amb esdeveniments Propietats 2. Probabilitat Probabilitat d’un esdeveniment Regla de Laplace Propietats de la probabilitat Probabilitat experimental Simulació

Objectius •

Distingir els experiments aleatoris dels que no ho són.

•

Trobar l'espai mostral i diferents esdeveniments d'un experiment aleatori.

•

Realitzar operacions amb esdeveniments.

•

Determinar si dos esdeveniments són compatibles o incompatibles.

•

Calcular la probabilitat d'un esdeveniment mitjançant la regla de Laplace.

•

Calcular algunes probabilitats mitjançant l'experimentació.

•

Conèixer i aplicar les propietats de la probabilitat.

Autor: Aurelio Conde Casas Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Probabilitat

Sota llicència Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Abans de començar

Un joc per començar Es tiren dos daus, la fitxa el nombre de la qual coincideix amb la suma dels resultats avança una casella. Es tornen a tirar els daus fins que una fitxa arribi al final. Per quina apostaries? Abans de practicar amb l’escena, respon la següent pregunta: tenen totes les fitxes la mateixa probabilitat de guanyar?

Ara practica amb l’escena per veure si la teva resposta és correcta.

Investiga per què guanya quasi sempre la mateixa fitxa. Et donem algunes preguntes per dirigir la teva investigació. Per què no hi ha cap fitxa amb l’1?

Què ha de passar perquè avanci la fitxa amb el nombre 2?

I perquè avanci la fitxa amb el nombre 3?

Clica sobre el botó

Clica

Probabilitat

per veure un vídeo.

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

1. Experiments aleatoris 1.a. Espai mostral i esdeveniments Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Defineix: EXPERIMENT ALEATORI: EXPERIMENT DETERMINISTA: EXERCICI 2. Completa: •

L’ ____________________________ és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori. Se sol designar amb la lletra ____.

•

Cadascun d’aquests possibles resultats s’anomena _____________________.

•

Anomenarem _________ a qualsevol subconjunt de l’espai mostral.

•

El mateix espai mostral és un esdeveniment anomenat __________________

i el

conjunt buit, _ , és l’ _________________.

Quan hagis comprès bé els conceptes …

Clica sobre

per fer un exercici.

EXERCICI 1.

Indica quins dels següents experiments són aleatoris i, en cas afirmatiu, troba el seu espai mostral: a) Extraure una carta d’una baralla espanyola i anotar el coll. b) Pesar un litre d’oli. c) Mesurar la hipotenusa d’un triangle rectangle coneguts els seus catets. d) Triar sense mirar una fitxa de dominó. e) Esbrinar el resultat d’un partit de futbol abans no es jugui. f) Treure una bola d’una bossa amb 4 boles vermelles. g) Treure una bola d’una bossa amb 1 bola vermella, 1 verda, 1 blava i 1 blanca. h) Llançar a l’aire una moneda i observar el temps que triga en arribar a terra.

Fes servir l’escena per repassar els conceptes que has vist. Prova amb els diferents experiments aleatoris. Quan acabis …

Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

1.b. Tècniques de recompte Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Completa: S’anomena experiment compost al format per _________________________________ _____________________________. En aquests casos l’espai mostral es pot obtenir utilitzant alguna d’aquestes tècniques: •

Taula _______________________.

•

Diagrama ___________________.

Si el primer experiment té ___ resultats diferents i el segon ___, el nombre de resultats de l’experiment compost és ______.

Quan hagis comprès bé els conceptes …

Clica sobre

per fer un exercici.

EXERCICI 2.

Calcula les possibilitats mitjançant un diagrama d’arbre: a) Per jugar en un equip de futbol-sala disposen de pantalons blancs o negres, i de samarretes vermelles, blaves o verdes. De quantes maneres es poden vestir per un partit? b) Es tira una moneda i un dau. Quins són els resultats possibles? c) Es tira una moneda. Si surt cara, s’extrau una bola de l’urna A, que conté una bola vermella, una blava i una verda; i si surt creu, s’extrau de l’urna B, que conté una bola vermella, una blava, una blanca i una negra. Escriu els possibles resultats. d) La Marta i la Maria juguen un campionat de parxís. Guanya la primera que guanyi dos partides seguides o tres alternes. De quantes maneres es pot desenvolupar el joc?

Realitza l’exercici sobre el Llançament de dos daus en la pestanya “taula de doble entrada” de l’escena. Quan l’hagis fet correctament, observa en la pestanya “diagrama d’arbre” com es poden representar tots els resultats possibles de l’experiment Tirar una moneda 3 vegades fent servir un diagrama d’arbre.

Quan acabis …

Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

1.c. Operacions amb esdeveniments Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Completa: Donats dos esdeveniments A i B d’un espai mostral E, anomenarem: •

Esdeveniment contrari de A ___________________________________________.

•

Esdeveniment unió de A i B ____________________________________________.

•

Esdeveniment intersecció de A i B_______________________________________.

•

Esdeveniments incompatibles __________________________________________.

Utilitza l’escena per veure diferents esdeveniments i operacions que es realitzen, dels experiments aleatoris “tirar un dau” “extraure una bola”.

EXERCICI de reforç a) En l’experiment aleatori “tirar un dau”, descriu els esdeveniments: • • • • • •

A : “sortir nombre senar” = {__________________} B : “sortir un nombre major que 4” = {__________________} A∩B = {__________________} A∪B = {__________________} A = {__________________} A ∩ B = {__________________}

Quan hagis comprès bé els conceptes …

Clica sobre

per fer un exercici.

EXERCICI 3.

Considera l’experiment aleatori d’extraure una carta de la baralla.

Expressa amb unions i interseccions de A i de B, o amb el contrari, els següents esdeveniments: a) A=”sortir figura”

B=” sortir bastos”

“Que surti figura o sigui de bastos”

b) A= “sortir un rei”

B=” sortir copes”

“Sortir copes però que no sigui rei”

c) A=” sortir un as”

B=” sortir oros”

d) A=” sortir un rei”

B=” sortir espases”

“Que no surti un as ni d’oros” “Sortir el rei d’espases”

Quan acabis …

Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

1.d. Propietats de les operacions amb esdeveniments Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Completa: La unió i intersecció d’esdeveniments i l’esdeveniment contrari acompleixen: •

La unió d’un esdeveniment i el seu contrari és _____________________________.

•

La intersecció d’un esdeveniment i el seu contrari és _______________________.

•

El contrari de A és __.

•

El contrari de la unió de dos esdeveniments és _____________________________.

•

El contrari de la intersecció de dos esdeveniment és_________________________.

EXERCICI 2: Completa:

A∪A =

A∩A =

A ∪B =

Practica

amb

diferents

A ∩B =

l’escena.

Clicant

sobre

els

esdeveniments

podràs

comprovar

quins són iguals.

Quan hagis comprès bé els conceptes …

Clica sobre

per fer un exercici.

EXERCICI 4.

S’extrauen dues cartes de la baralla i es mira el coll. Indica quin, a, b o c, és l’esdeveniment contrari a S. S = “Les dues són de oros”

a) “Cap és d’oros” b) “Al menys una és d’oros” c) “Al menys una no és d’oros”

S = “Cap és de copes” a) “Les dues són de copes” b) “Al menys una és de copes” c) “Al menys una no és de copes”

Quan acabis …

Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

2. Probabilitat 2.a. Probabilitat d’un esdeveniment Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Donat un esdeveniment S, Què indica la probabilitat de S? _________________________________________ Què significa que aquesta probabilitat estigui pròxima a 1? ____________________ Quina és la probabilitat de l’esdeveniment segur? ______ Quina és la freqüència relativa? _______________________________________________ Quina estableix la llei dels grans nombres? ____________________________________ _________________________________________________________________________ Practica amb l’escena per veure les freqüències de dos experiments aleatoris; el resultat obtingut en tirar un dau i la puntuació més alta en tirar dos daus. EXERCICI 2: En l’experiment “tirar un dau”, quin valor assignaries a la probabilitat de que surti un 4? ___________ En l’experiment “tirar dos daus”, quin valor assignaries a la probabilitat de que el major dels nombres obtinguts sigui un 4? ___________

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.b. Regla de Laplace Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1. Defineix: Esdeveniments equiprobables: _____________________________________________________ Experiment regular: _______________________________________________________ EXERCICI 2. Completa:

P(A) = Practica la regla de Laplace amb l’escena d’aquest apartat. A l’escena tens tres experiments per practicar: l’extracció d’una bola d’una urna, el llançament de dos daus per triar la puntuació més alta i el llançament de 3 monedes. Quan hagis comprès bé els conceptes …

Probabilitat

Clica sobre

per fer un exercici.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

EXERCICI 5.

La ruleta es un conegut joc dels casinos. Consisteix en una roda equilibrada, dividida en 37 caselles numerades del 0 al 36. El 0 és de color verd i si surt guanya la banca. Hi ha diferents tipus d’apostes, a un únic nombre, a “parell” o a “senar”, a “vermell” o a “negre, a “passi” (nre.>18) o a “falti” (nre.<18), a una columna, …

Calcula les següents probabilitats: a) P(17)= b) P(“senar”)= c) P(“2a columna”)= d) P(“parell i vermell”)= e) P(“senar i falti”)= f) P(“vermell”)=

Quan acabis …

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.c. Propietats de la probabilitat Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI: Escriu • • • Escriu • •

les 3 propietats fonamentals de la probabilitat: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2 propietats de la probabilitat que es dedueixen de les anteriors: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Observa a l’escena com s’utilitzen les propietats de la probabilitat. Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI 6.

A l’última avaluació, a la meva classe van aprovar les Matemàtiques el 67% i l’Anglès el 63%, el 38% van aprovar les dues assignatures. Tria un estudiant de la classe a l’atzar i calcula la probabilitat de que: a) Hagi aprovat alguna de les dues. b) No hagi aprovat cap de les dues. c) Hagi aprovat només les Matemàtiques. d) Hagi aprovat només una de les dues. Quan acabis … Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

2.d. Probabilitat experimental Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Completa: La llei de Laplace ens permet calcular la probabilitat de ________________, però si l’experiència es irregular, desconeixem la probabilitat de cada un dels casos, aleshores és necessari recórrer a __________________. La probabilitat experimental és la probabilitat assignada a un esdeveniment mitjançant el càlcul de la ___________________ del mateix en repetir l’experiment moltes vegades. Com més gran és el nombre de proves realitzades més s’aproxima el valor obtingut al valor desconegut de la _________________. El nombre de proves a realitzar dependrà de l’experiment i del nombre dels seus ______________________. Observa a l’escena dos exemples d’experiments irregulars i com si es repeteixen moltes vegades les freqüències relatives s’estabilitzen i s’aproximen a la probabilitat teòrica. Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI 7.

En tirar una xinxeta pot caure amb la punta cap a dalt o cap a baix. Per esbrinar la probabilitat de cada un d’aquests esdeveniments, s’ha realitzat l’experiment moltes vegades, obtenint els resultats que apareixen a la taula. Mirant la taula, quina probabilitat assignaries a l’esdeveniment “caure amb la punta cap a baix”? Nre. de tirades Punta cap a dalt

10 7

50 29

100 65

Quan acabis …

500 337

Clica

1000 668

per anar a la pàgina següent.

2.e. Simulació d’experiments Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Contesta: En què consisteix la simulació d’experiments aleatoris? ___________________________ ___________________________________________________________________________ Què passa quan es prem la tecla RAND (RAN#, RANDOM…) de la teva calculadora? ___________________________________________________________________________ _______________ Practica la simulació amb l’aplicació que tens a sota de l’explicació teòrica. Introdueix nombres entre 0 i 1 i clica el botó per veure com l’aplicació transforma el teu nombre en una tirada del dau. Quan acabis … Probabilitat

Clica

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Espai mostral i esdeveniments

• • • •

_____________________, és aquell en què no es pot predir el resultat. Espai mostral conjunt de tots els ____________________. Anomenarem esdeveniment a _______________________ de l’espai mostral. Esdeveniments ___________________ si no es poden realitzar a la vegada.

Operacions amb esdeveniments

• Esdeveniment _____ de A i B, A∪ ∪B, és aquell que es produeix quan ocorren A o B. • Esdeveniment intersecció de A i B, A∩ ∩B, esdeveniment que es produeix quan ___________________.

• Esdeveniment contrari de A, aquell que ocorre quan _____________, l’indicarem com A . A

____

___

____

Calcular probabilitats

•

En experiments regulars, quan els esdeveniments elementals són equiprobables, amb la Regla de Laplace.

P(A) =

•

Si l’experiment no és regular es recorre a la _________________, prenent la probabilitat de A com la seva freqüència __________ en repetir l’experiment moltes vegades.

Propietats de la probabilitat •

__≤P(A)≤__

•

P(E)=__, P(Ø)=__

•

P( A )=1-____

•

Probabilitat de la unió

• A i B incompatibles: P(AUB)=__________ • A i B compatibles: P(AUB)=____________________ Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Per practicar En aquesta unitat trobaràs Exercicis d’esdeveniments, regla de Laplace i propietats de la probabilitat i Problemes amb probabilitats. Fes-ne, al menys, un de cada classe i una vegada resolt comprova la solució. Exercicis d’esdeveniments, regla de Laplace i propietats de la probabilitat ESPAI MOSTRAL I ESDEVENIMENTS 1.

Escollim una fitxa de dominó a l’atzar, a) Descriu els esdeveniments: A=”Treure ______________” B=”Treure __________________________” b) Escriu A∪B i A∩B.

Escriu l’espai mostral de l’experiment resultant de tirar 3 monedes. Considera els esdeveniments: A=”Sortir ________” B=” Sortir ____________________” Escriu A∪B, A∩B i l’esdeveniment contrari de B.

En una urna hi ha 15 boles numerades de l’1 al 15. Se’n treu una. Considera els esdeveniments: A=”Treure _________” B=”Treure _________________” Escriu A∪B i A∩B.

Tirem un dau dodecaèdric i anotem el nombre de la cara superior. Descriu els esdeveniments: A=”Treure ___________” B=”Treure _________________” Escriu A∩B, A ∩ B i A ∩ B .

REGLA DE LAPLACE 5.

En una caixa hi ha __ boles vermelles, __ verdes i __ blaves. Es treu una bola i s’anota el color. Calcula la probabilitat de que sigui ______.

Es tria a l’atzar un nombre entre els primers ___ naturals (a partir de l’1). Calcula la probabilitat dels esdeveniments: A=”Sortir un nombre més gran que __ i més petit que ___”. B=”Sortir un quadrat perfecte”

Probabilitat

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12 7.

NOM:

DATA:

D’una baralla de 40 (espanyola) s’extrau una carta. Calcula la probabilitat dels esdeveniments: A=”Sortir ______” B=”No sortir _____________________”

Tirem dos daus i ens fixem en la _____ de les puntuacions. Calcula la probabilitat de que sigui un ___.

Damunt la taula tenim les dues cartes d’una baralla que apareixen al costat, traiem una altra carta i ens fixem en el seu nombre. Calcula la probabilitat de que la suma dels nombres de les tres cartes sigui 15.

10.

Extraiem una fitxa de dominó, calcula la probabilitat de que la suma dels punts sigui menor que ___.

11.

Amb un __, un __ i un __, formem tots els nombres de tres xifres possibles, si triem un estos a l’atzar, calcula la probabilitat de que acabi en __.

12.

En girar la ruleta de la figura, calcula la probabilitat de que surti _____ i més gran que __.

Probabilitat

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

PROPIETATS DE LA PROBABILITAT 13.

La probabilitat d’un esdeveniment és _____, calcula la de l’esdeveniment contrari.

14.

La probabilitat d’un esdeveniment A és P(A)=____, la de l’altre esdeveniment B és P(B)=____ i la de la intersecció de ambos és P(A∩B)=____. Calcula la probabilitat de A∪B.

15.

Considera dos esdeveniments A i B d’un experiment aleatori. Si P(A)=____; P(A∪B)=____ i P(A∩B)=____; calcula P( B ).

16.

Un dau està trucat de manera que la probabilitat de treure un nombre _______ és _____; a més P(1)=P(3)=P(5). Calcula la probabilitat de treure un __.

Problemes amb probabilitats EN LA REUNIÓ 17.

A una reunió assisteixen ___ homes i ___ dones. La meitat dels homes i la quarta part de les dones tenen 40 anys o més. Triada una persona a l’atzar, calcula la probabilitat de que sigui ________________________. Suggeriment: completa la taula. 40 o més

<40

HOME DONA

MENÚ DEL DIA 18.

En un restaurant ofereixen un menú que consta a triar de primer plat entre amanida, pasta o llegums, de segon plat, carn o peix, i postres a escollir entre fruita o gelat. L’Anna tria el seu menú a l’atzar. Quina probabilitat hi ha de que mengi “____________________”? Suggeriment: fes un diagrama d’arbre per veure de quantes maneres es pot triar el menú.

Probabilitat

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

FUTBOL O BÀSQUET 19.

En un institut el ___% dels estudiants són afeccionats al futbol i el ___% ho són al bàsquet. Hi ha un ___% que són afeccionats a ambdós esports. Calcula la probabilitat de que escollit un estudiant a l’atzar no sigui afeccionat al futbol ni al bàsquet. Suggeriment: fes servir diagrames.

MONEDES DE LA BUTXACA 20.

Porto a la butxaca 2 monedes de 50 cèntims, dos de 20 cèntims i dos de 10 cèntims, però també porto un forat pel qual em cauen dos i les perdo. Calcula la probabilitat d’haver perdut ________________. Suggeriment: fes una taula de doble entrada.

FALTEN CARTES 21.

He perdut algunes cartes d’una baralla. Si d’ entre les quals em queden trec una a l’atzar, la probabilitat de que sigui de _______ és _____, de que sigui _______ és ____ i de que sigui ______ o de ________ és _____. Està el ______________ entre les cartes que em queden? Suggeriment: calcula la probabilitat de l’esdeveniment intersecció.

LES GRUES DE LA LLACUNA 22.

A un aiguamoll arriben totes les tardors bandades de grues en el seu camí a zones càlides. Per observar quantes n’hi ha, s’ha capturat i anellat una mostra de ___ grues. Posteriorment se observen ___ de las quals ___ porten anella. Quantes grues estimarem que hi ha?

FER DIANA 23.

Se suposa que la probabilitat d’encertar en qualsevol punt de la diana és la mateixa. Calcula la probabilitat d’encertar la zona de color _______.

r R=4 r

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escrivim cada una de les lletres de la paraula ______________ en un paper i en traiem una a l’atzar. Escriu l’esdeveniment “sortir vocal”. Escriu l’esdeveniment l’exercici anterior.

contrari

calculat

En una bossa hi ha 100 boles, de la 0 a la 99, i se’n treu una a l’atzar. Calcula la probabilitat de que en les seves xifres estigui el ____. En una bossa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles verdes i ___ blaves. S’extrau una bola a l’atzar. Calcula la probabilitat de que _________________. Calcula vermell figura.

la en

probabilitat de la ruleta de la

Es treu una carta d’una baralla de 40. Calcula la probabilitat de que sigui de ___ o un ____. Si A i B són dos esdeveniments tals que P(A)=__, P(B)=__ i P(A∩B)=__, calcula P(A∪B). Els resultats d’un examen de dos grups de 3r d’ESO es mostren a la taula adjunta. Seleccionat un estudiant a l’atzar, calcula la probabilitat de que sigui del grup ____ i ____.

aproven

suspenen

Grup A Grup B

Un dau cúbic està trucat de manera que la probabilitat de treure un ______ és ______ vegades la probabilitat de qualsevol de les altres cares. Calcula la probabilitat d’obtenir un _______. Es llancen una moneda i un dau. Calcula la probabilitat de que surti _____ i nombre _______. No oblidis visitar l’enllaç Per saber-ne més per ampliar els teus coneixements. Probabilitat

15 -