Cuadernillo 3º ESO. Gallego by Red Educativa Digital Descartes

____________________________

IES __________________________

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Os números racionais Contidos 1. Números racionais Decimais periódicos Fracción xeratriz Ordenación e representación 2. Operacións con fraccións Sumas e restas Produtos e cocientes Operacións combinadas 3. Potencias de expoñente enteiro Definición Operacións 4. Notación científica Introdución Números extremos Operacións 5. Medida de erros Aproximacións Erro absoluto e relativo 6. Aplicacións Problemas de aplicación

Obxectivos • • •

Identificar, ordenar e representar números racionais.

•

Calcular potencias con expoñente enteiro e efectuar operacións con potencias.

•

Aproximar números e calcular o erro absoluto e relativo.

•

Expresar un número en notación científica e realizar operacións con números nesta notación.

•

Utilizar os números racionais para resolver problemas relacionados coa vida cotiá.

Efectuar operacións con fraccións. Expresar fraccións como números decimais e números decimais como fraccións.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Números racionais

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Antes de empezar Para repasar conceptos fundamentais de fraccións, como son a obtención de fraccións equivalentes ou a redución de fraccións a denominador común...

Cando o teñas feito, pulsa

Pulsa...

para acceder aos contidos da quincena.

ACTIVIDADE: Observa a figura que aparece na escena. En cantos triángulos se divide inicialmente? _____ Ao final só quedan os polígonos que se ven nesta figura. Escribe dentro de cada un deses polígonos a fracción que corresponde ao seu tamaño, considerando o cadrado completo como unha unidade. En todos os casos escribe esa fracción de dúas maneiras: Simplificada e con denominador 64.

1. Números racionais 1.a. Decimais periódicos Le o texto da pantalla. EXERCICIO. Completa o seguinte texto: Unha fracción é unha _____________ entre dous números enteiros.

O resultado desa división dá lugar a unha ____________________ cun grupo de cifras que ________________________, o chamado __________, e que pode ser: Exemplo: •

Decimal ______________

12 = ______________ 11

•

Decimal ______________

31 = ______________ 15

•

Decimal ______________

1 = ______________ 8

Escríbese:

O período é:

Le a explicación da escena....

Números racionais

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Fai a actividade da escena e completa este cadro cos exemplos que aparecen e con outros catro exemplos que ti elixas. Fracción

15 11

Expresión decimal 1,363636…

Decimal exacto

Decimal periódico puro

Decimal periódico mixto

Período

Non

12 7 31 15 17 8

Por que podemos afirmar que a representación decimal dunha fracción é sempre un decimal finito ou infinito periódico? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Agora pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Ábrese unha escena na que aparece un número decimal e tes que indicar de qué tipo é. Completa este cadro con oito dos exercicios que resolvas nesa escena. Fracción

Número decimal

Tipo

Fracción

Cando remates... Pulsa Números racionais

Número decimal

Tipo

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

1.b. Fraccións xeratrices Le atentamente na escena o procedemento para obter a fracción xeratriz segundo os diferentes tipos de decimais. Copia no seguinte recadro un exemplo de cada tipo seguindo paso a paso a explicación da escena: Exemplo

Proceso: Multiplicamos por 10

• Exacto

Despexamos: x = Multiplicamos por 10

• Periódico puro

: ________x = _________

Restamos as dúas ecuacións: _______x = __________ Despexamos: x =

• Periódico mixto

Multiplicamos por 10

: ________x = _________

Multiplicamos por 10

: ________x = _________

Restamos as dúas últimas ecuacións: _____x = ________ Despexamos: x =

Na parte esquerda aparecen os tres tipos de decimais. Se pasas o rato por enriba da palabra destacada poderás ver a explicación ou fórmula de cada un dos métodos. Escríbeos neste recadro:

Método

• Decimal exacto

• Decimal periódico puro

• Decimal periódico mixto

Agora pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Anota catro resultados na seguinte táboa: Número decimal

Fracción

Número decimal

Cando remates... Pulsa

Números racionais

Fracción

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

1.c. Ordenación e representación gráfica Na escena inferior esquerda, COMPARACIÓN DE FRACCIÓNS, aprenderás a comparar fraccións mediante procedementos aritméticos. En primeiro lugar, repasa o cálculo do mínimo común múltiplo: Na escena, propóñenche que calcules o m.c.m. de dous números: calcúlao e, despois, fai clic en COMPROBAR para ver se o teu cálculo é correcto. Anota catro resultados nesta táboa (practica na escena ata que consigas un mínimo de tres acertos consecutivos). Par de números Mínimo común múltiplo

Par de números Mínimo común múltiplo

Nesa mesma escena de COMPARACIÓN DE FRACCIÓNS: Pulsa o botón

para repasar o proceso de redución de fraccións a común denominador. para practicar.

Le atentamente o texto no que se explica como facelo, e despois pulsa Repite o exercicio ata que obteñas un mínimo de 3 acertos consecutivos. Anota catro resultados nesta táboa:

Fraccións

Fraccións con denominador común

Fraccións

Agora xa podes abordar a comparación de fraccións. Pulsa o botón

Fraccións con denominador común

para empezar.

Fai exercicios de comparación de fraccións positivas e de fraccións negativas ata que obteñas un mínimo de tres resultados correctos consecutivos en cada caso. Anota seis exercicios nos recadros seguintes: Fraccións

Números racionais

Fraccións ordenadas

Fraccións

Fraccións ordenadas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo Ordena cada un dos pares de fraccións seguintes: 3 1 3 8 1 1 e − b) − e − c) e a) − 2 2 5 15 5 3

d) −

3 1 e 7 5

Na escena da dereita, REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIÓNS, aprenderás a comparar fraccións mediante procedementos gráficos. Pulsa a frecha para seguir a explicación. Debes ver varios exemplos ata comprender ben o procedemento, tanto no caso de fraccións propias como impropias. para facer uns exercicios.

Cando o comprendas, pulsa...

Fai tres exercicios de cada tipo e escribe os resultados nas seguintes táboas: Fraccións

Fraccións ordenadas

Fraccións

Representación gráfica

EXERCICIOS 1.

2. 3. 4.

Determina de que tipo son os decimais que resultan das fraccións seguintes: 92 57 27 b) c) a) 22 73 36 Calcula as fraccións xeratrices dos seguintes decimais: a) x = 2,375 b) x = 43,666... c) x = 4,3666... −5 , 3 , −9 , 9 , −9 Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 10 12 9 5 2 Representa na recta as seguintes fraccións: 2 19 3 a) b) =4+ 4 4 3

Cando remates... Pulsa Números racionais

c) −

23 2 = −5 + 5 5 para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

2. Operacións con fraccións 2.a. Sumas e restas Le o texto onde se explican as fórmulas para SUMAR e RESTAR fraccións. EXERCICIO 1: Completa. Exemplo SUMAS: Se as fraccións teñen o mesmo denominador __________________ ______________________________________________________. Se non teñen o mesmo denominador, _______________________ ______________________________________________________. RESTAS: ______________________________________________________.

Le atentamente a escena da dereita para comprender o procedemento a seguir para calcular unha suma de fraccións. EXERCICIO 2: Completa. Respostas Escribe a suma que representa a cantidade que comeu o primeiro amigo: Para calcular esa suma hai que dividir cada unha das pizzas no mesmo número de porcións. Cal é o número mínimo de porcións en que hai que dividilas para poder facer a suma? Así podemos expresar esa suma de fraccións como a suma doutras dúas que teñen o mesmo denominador, indica esa suma e calcula o resultado:

Consulta agora a escena da parte inferior esquerda para coñecer as propiedades da suma de fraccións. EXERCICIO 3: Escribe os nomes das propiedades e un exemplo de cada unha. Exemplo 1 2 3 4

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Fai catro exercicios de cada tipo. Despois pulsa COMPROBAR para ver se o fixeches ben. Utiliza os espazos da táboa da páxina seguinte para resolvelos.

Números racionais

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Suma de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Suma de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Resta de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Resta de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Desenvolvemento Suma dunha e resultado fracción e un enteiro

Sumas combinadas

Suma dunha fracción e un enteiro

Desenvolvemento e resultado

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.b. Produtos e cocientes Le o texto onde se explican as fórmulas para calcular PRODUTOS e COCIENTES de fraccións. EXERCICIO 1: Completa: Exemplo PRODUTOS: ______________________________________________________. A inversa dunha fracción obtense __________________________ ______________________________________________________. COCIENTES: ______________________________________________________.

Números racionais

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

EXERCICIO 2: Le atentamente a escena da dereita para comprender o procedemento a seguir para calcular produtos de fraccións e completa o que falta nesta táboa. Respostas Empecemos cos adosados: Cada fase representa

do total. Cada zona de adosados o

da fase.

⋅

Con qué operación se calcula a parte do total reservada a zona de adosados de cada fase e cál é o resultado? Que fracción da parcela ocupan os adosados? Hai adosados nas

das fases e dentro de cada unha é

desta.

Indica a operación e o resultado da fracción do total que ocupan os adosados: Que fracción da parcela ocupan os pisos? Hai pisos nas

das fases e dentro de cada zona é

desta.

Indica a operación e o resultado da fracción do total que ocupan os pisos: Que fracción da parcela ocupan as zonas verdes? Hai zona verde nas

das fases e dentro de cada unha é

desta.

Indica a operación e o resultado da fracción do total que ocupan as zonas verdes: Que fracción da parcela ocupan as zonas de servizos? Hai Servizos nas

das fases e dentro de cada unha é

desta.

Indica a operación e o resultado da fracción do total que ocupan as zonas de servizo: Resumindo

EXERCICIO 3: Consulta agora a escena da parte inferior esquerda para coñecer as propiedades do produto de fraccións. Escribe os nomes das propiedades e un exemplo de cada unha nesta táboa. Exemplo 1 2 3 4 5 6 7

Números racionais

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

Pulsa o botón

DATA:

para facer uns exercicios.

Fai catro exercicios de cada tipo. Despois pulsa COMPROBAR para ver se o fixeches ben. Utiliza os espazos da táboa da páxina seguinte para resolvelos. Produto de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Produto de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Cociente de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Cociente de dúas fraccións

Desenvolvemento e resultado

Produto dunha fracción e un enteiro

Desenvolvemento e resultado

Produto dunha fracción e un enteiro

Desenvolvemento e resultado

P. dun enteiro e unha fracción

Desenvolvemento e resultado

P. dun enteiro e unha fracción

Desenvolvemento e resultado

Cociente dunha fracción e un enteiro

Desenvolvemento e resultado

Cociente dunha fracción e un enteiro

Desenvolvemento e resultado

Cociente dun enteiro e unha fracción

Desenvolvemento e resultado

Cociente dun enteiro e unha fracción

Desenvolvemento e resultado

Cando remates... Pulsa Números racionais

para ir á páxina seguinte. -

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

2.c. Operacións combinadas Le o texto no que se recordan as regras de prioridade. EXERCICIO 1: Escribe nos círculos o nº de orde da correspondente operación. Orde en que Se non hai paréntese Se hai paréntese debe facerse Sumas e restas

Sumas e restas

Produtos e cocientes

Operar as parénteses

Orde en que debe facerse

Produtos e cocientes EXERCICIO 2: Observa na escena distintos exemplos de cálculo con operacións combinadas ata que comprendas ben o proceso. A continuación, Fai dous exercicios de cada tipo nos seguintes recadros, sen consultar a solución ata que os finalices. Comproba despois se o fixeches ben: Operacións sen parénteses

Operacións con parénteses

Operacións con parénteses aniñados

Números racionais

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Operacións con parénteses implícitas

EXERCICIOS 5.

Calcula − 1 + 9 11 8

Calcula −9 − −7 5

Calcula −9 − 7 5

Calcula −9 − −7 + 2 + 9 − −8 5

Calcula −1 · −6

−5

10.

Calcula −1 : −6

−5

11.

Calcula −1 · (−6)

12.

Calcula (−6) · −1

13.

Calcula −1 : (−6)

14.

Calcula (−6)· −1

15.

Calcula 4 : 4 + 1 − 6 · 3 − 2 − 2

16.

Calcula 4 +  1 · 7  · 7 −  1 + 1 : 7  7



2

6

2 3 5 2 : 1 1 7 1 + + 7 2 2 2 5

17.

Calcula 7

Cando remates... Pulsa

Números racionais

para ir á páxina seguinte.

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

3. Potencias de expoñente enteiro 3.a. Definición Le a definición de potencia de expoñente enteiro. Fíxate, en especial, na definición de potencia de expoñente negativo. EXERCICIO 1: Completa.

an =

     

Se n =1 Se n >1

Se n =0

Se n <0

EXERCICIO 2: Completa as seguintes igualdades ao xeito do exemplo: 1 1 5−3 = = 3−2 = 5−2 = = 2 25 5

4−2 =

6 −2 =

Pulsa o botón

7−3 =

= =

para facer exercicios de cálculo de potencias. Escribe seis na táboa

que hai a continuación. Despois de cada exercicio, pulsa COMPROBAR para corrixilo. Exercicio 1

Exercicio 2

Exercicio 3

Exercicio 4

Exercicio 5

Exercicio 6

Na escena da dereita podes ver as PROPIEDADES DAS POTENCIAS. Pulsa

para avanzar pola escena e ir véndoas.

Números racionais

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Escríbe as propiedades neste cadro con dous exemplos de cada unha.

LEMBRA

PROPIEDADES DAS POTENCIAS

1. Para multiplicar potencias da mesma base: _____________________________________________________________. Exemplos:

2. Para dividir potencias da mesma base: _____________________________________________________________. Exemplos:

3. Para elevar unha potencia a outra potencia: _____________________________________________________________. Exemplos:

4. Para elevar un produto a unha potencia: ______________________________________________________________. Exemplos:

5. Para elevar unha fracción a unha potencia: ______________________________________________________________. Exemplos:

NOTA: Le a explicación do uso de parénteses cando a base é negativa. Exemplos:

6. Potencias de expoñente cero: a0 = __ Exemplos:

7. Potencias de expoñente negativo: a-n = Exemplos:

Pulsa

Números racionais

para continuar.

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

3.b. Operacións con potencias Le a explicación: "Cando se van efectuar operacións combinadas... " EXERCICIO: Completa a continuación as regras de prioridade cando hai potencias. • Efectúanse en primeiro lugar: _______________________________________________. • A continuación ___________________________________________________________. • Cos resultados obtidos fanse as _____________________________________________. • As prioridades anteriores poden alterarse cando ______________, podéndose aplicar tamén algunhas das propiedades vistas na páxina anterior (produtos ou cocientes de potencias de igual base). EXERCICIO 2: Observa na escena distintos exemplos de cálculo con operacións combinadas que inclúen potencias. A continuación, Fai dous exercicios de cada tipo nos seguintes recadros, sen consultar a solución ata que os finalices. Comproba despois se o fixeches ben. Operacións sinxelas Exemplo 1.1:

Exemplo 1.2:

Transformar números en potencias Exemplo 2.1:

Exemplo 2.2:

Produtos e cocientes de potencias de igual base Exemplo 3.1:

Exemplo 3.2:

Números racionais

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Potencias de igual expoñente Exemplo 4.1:

Exemplo 4.2:

Fai clic no botón

irás a unha páxina de xogos con potencias.

Escribe a continuación en cada lugar un dos resultados dos xogos que vas resolvendo: 1. Triángulo de multiplicacións e divisións con catro potencias.

2. Triángulos de cocientes con potencias de 2.

3. Triángulos de cocientes coas potencias de 10

4. Triángulo de con potencias

Números racionais

cocientes

4. Triángulo de cocientes con potencias

Triángulos máxicos multiplicativos 5. ... con potencias de 2 6. ... con potencias de 3

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

7. Triángulo máxico multiplicativo con potencias

10. Estrela máxica multiplicativa de tres puntas, con nove potencias de 2

Tres aros máxicos multiplicativos 8. ... con potencias de 10 9. ... con potencias

11. Estrela máxica multiplicativa de seis puntas, con potencias

12. Cadrado máxico multiplicativo de 3x3 coas potencias de 2

EXERCICIOS 18.

Calcula  5 

19. Calcula −  − 2 

9

20.

−2

 5 

21. Calcula  1 

Calcula 3−4

−3

2

22.

Calcula − 5 −  1  : 6 : 3 : (− 1)0

23.

Transforma 1000 en potencia de 10.

24.

Transforma 0,00001 en potencia de 10.

25.

Transforma 16 en potencia de 2.

26.

Transforma 0,0016 en potencia de 5.

2

27.

−2 2 2 Expresa cada termo como potencia de 10 e simplifica: (− 0,1) : (− 1000) ·(0,01)

28.

Expresa cada termo como potencia de 4 e simplifica:

29.

Simplifica todo o posible a fracción seguinte de maneira que o resultado quede en

0,01−2·10−2 1 1 16· · −2 −2 64 (− 64)

(− 64) : 4

 −2 3 forma de produtos e cocientes de potencias de expoñente positivo:  (2 ·3) ·5 

( )

 3 3  2 · 3·7

Cando remates... Pulsa Números racionais

−2

 

para ir á páxina seguinte. -

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

4. Notación científica 4.a. Produtos e cocientes por potencias de 10 Le o texto para repasar as regras de cálculo do produto e a división dun número por unha potencia de 10. EXERCICIO: Completa. n

• Multiplicar por 10 (equivale a ______________________________ ) o Se o número é enteiro __________________________________________. o Se non é enteiro _______________________________________________________ ____________________________________________________________________. n

• Dividir por 10 (equivale a ______________________________ ) o ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________. A continuación, vai á escena e le tantos exemplos como sexa necesario ata que comprendas o procedemento. Copia unha destes exemplos no espazo seguinte:

Pulsa o botón

para facer exercicios de produtos e cocientes por potencias de 10.

Resolve polo menos seis e escríbeos aquí. Pulsa COMPROBAR despois de resolver cada un deles para ver se o fixeches ben. Operación

Resultado

Operación

Resultado

Operación

Resultado

Operación

Resultado

Operación

Resultado

Operación

Resultado

Pulsa

Números racionais

para continuar.

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

4.b. Números moi grandes ou moi pequenos Le a explicación: "Dise que un número... " EXERCICIO 1: Completa: A notación científica é útil para representar números _____________________________ ou ________________________________________. Estes números aparecen con frecuencia en ______________________________________, de aí o seu nome. n Se un número está escrito en notación científica, ten o aspecto c0,c1c2..cp·10 c0 é unha cifra _____________ de cero e a orde de magnitude do número é _____. Na escena, aparecen exemplos de situacións nas que se manexan números moi grandes ou moi pequenos. Leos atentamente. EXERCICIO 2: Completa: Diámetro da galaxia Andrómeda, con todas as súas cifras: Diámetro da galaxia escrito en Notación Científica: Cal é a orde de magnitude do diámetro desa galaxia? Distancia da nosa galaxia á galaxia Andrómeda: Cal é a orde de magnitude desta distancia? Cantas veces, aproximadamente, é maior a distancia á galaxia Andrómeda que o diámetro desa galaxia? Diámetro do noso Sistema Solar: Cal é a orde de magnitude do Sistema Solar? Distancia da Terra á Lúa: Cal é a orde de magnitude da distancia Terra-Lúa? Cantas veces, aproximadamente, é maior o diámetro do Sistema Solar que a distancia Terra-Lúa? EXERCICIO 3: Na mesma escena, pasamos ao "mundo do moi pequeno". Completa:

10 − 1 =

= 0' ________

10 − 3 =

= 0' __________

10 − 5 =

= 0' __________

10 − 2 =

= 0' ________

10 − 4 =

= 0' __________

10 − 6 =

= 0' __________

Tamaño dunha pulga: Medida dunha aresta de silicio: Medida dunha escama da á dunha bolboreta: Medida dunha bacteria da cólera: Números racionais

Orde de magnitude: Orde de magnitude: Orde de magnitude: Orde de magnitude: -

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Medida dun virus:

Orde de magnitude:

Diámetro dun átomo de osíxeno: Diámetro do núcleo dun átomo de osíxeno:

Orde de magnitude: Orde de magnitude:

Cantos átomos de osíxeno caben nun virus, aproximadamente? Cantas veces cabería o núcleo ao longo dun átomo de osíxeno, aproximadamente? Pulsa

para facer exercicios.

atoparás instrucións para introducir

números en notación científica. Leas atentamente, porque o necesitarás para os exercicios seguintes. En e atoparás exercicios para practicar o paso de notación decimal a científica e ao revés. Fai seis exercicios de cada tipo na táboa seguinte: Paso de forma decimal a científica Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Paso de forma científica a decimal Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Notación decimal

Notación científica

Cando remates... Pulsa

Números racionais

para ir á páxina seguinte.

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

4.c. Operacións en notación científica Le a explicación: "Os números escritos en notación científica só adoitan presentarse en... " EXERCICIO 1: Completa as fórmulas para multiplicar e dividir potencias de 10.

x = a·10n

x ⋅ y = ___ ·10 ____

y = b ·10m

x = y

·10 ____

EXERCICIO 2: Completa: Distancia da nosa galaxia á galaxia Andrómeda: Diámetro da galaxia Andrómeda: Comparación entre as ordes de magnitude (feito antes):

Cociente entre as medidas completas:

Pulsa o botón

para facer exercicios de operacións en notación científica.

Escribe seis na táboa seguinte. Despois de resolvelo, pulsa COMPROBAR para corrixilo. Operación

Números racionais

Resultado

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 8

30.

Calcula: 63.785·10

31.

Calcula 133,75078·1010

32.

Calcula: 30189·10-2

33.

Calcula: 626,2·10-5

34.

Pasa a forma científica o número 94494000

35.

Pasa a forma científica o número 0,0000007308

36.

Efectúa a seguinte operación deixando o resultado en notación científica: (5,6733·102) · (1,6258·10-6)

37.

Efectúa a seguinte operación deixando o resultado en notación científica: (1,2319·10-9) · (8,4798·10-1)

38.

11 Efectúa a seguinte operación deixando o resultado en notación científica: 9,9989·10

39.

−10 Efectúa a seguinte operación deixando o resultado en notación científica: 1,3472·10

1,6422·10−10 3,217·104

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

5. Medida de erros 5.a. Aproximacións EXERCICIO 1: Le a explicación: "Na vida real poden presentarse... " e contesta. En que situacións se calcula con valores aproximados? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Na escena podes ver tres botóns que che permiten acceder exemplos de aproximacións. Pulsa:

Aproximacións con enteiros

Ábrese un cadro con varios exemplos extraídos de buscadores de Internet. Completa os datos que faltan nos seguintes recadros: Buscador

Resultados

Redondeo ás ...

Valor exacto entre:

Google Ask Yahoo Pulsa:

Aprox. en cálculos non exactos

Ábrese un cadro cunha factura. Completa os datos que faltan nos recadros: Prezo do libro sen IVE

Números racionais

Importe IVE

IVE aprox. con dúas cifras

Prezo final

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Aproximacións en medidas

Pulsa:

Na escena aparece un segmento azul. Podes medilo utilizando a regra que aparece na escena. Completa os datos que faltan nos seguintes recadros: Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

Valor máis probable

EXERCICIO 2: Contesta. Como se redondea unha cantidade a certa orde? Pon un exemplo. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Pulsa o botón

para facer exercicios de aproximacións. Despois de resolvelo,

pulsa COMPROBAR para corrixilo e OUTRO EXEMPLO para xerar un novo. Cantidade

Aproximación

Expresión en notación científica

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

5.b. Erro absoluto e erro relativo Le a explicación: "Presentamos aquí unha serie de medidas... " EXERCICIO: Completa a continuación as seguintes definicións: • Erro absoluto: É a diferenza entre _________________ e o __________________. Ten ____________________________ que os valores que se usan. • Cota de erro: É o _____________________ no que pode atoparse o valor exacto. Esta medida úsase cando ____________________________. • Erro relativo: É o cociente entre ______________ e _______________. Non ten ____________ e pode expresarse tamén _________________________.

Números racionais

23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Na escena da dereita podes ver exemplos destas medidas. Exemplo 1: A factura

Exemplo 2: Os buscadores

Prezo sen IVE

Google

Valor exacto do IVE

Valor exacto

Valor aproximado (dúas cifras)

Valor aproximado

Erro absoluto

Cota de erro

Erro relativo

Exemplo 3: A factura

Ask

Cota de erro

Aproximación por defecto

0,1

Aproximación por exceso Valor máis probable

Pulsa o botón

para facer exercicios de aproximacións. Despois de resolvelo,

pulsa COMPROBAR para corrixilo e OUTRO EXEMPLO para xerar un novo. Cantidade

Aproximación

Erro absoluto

Erro relativo

EXERCICIOS 40.

Redondea ás centésimas 171,39664703

41.

Redondea ás dezmilésimas e pasa a notación científica 0,0065439

42.

Redondea ás decenas de millar e pasa a notación científica 859.417.590

43.

460.000.000 é un redondeo ás decenas de millón de 456.099.072. Calcula o erro absoluto e o relativo.

Cando remates... Pulsa

Números racionais

para ir á páxina seguinte.

24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

6. Aplicacións 6.a. Problemas de aplicación Pulsa os botóns superiores

para acceder aos diferentes exercicios.

Unha vez resoltos, pulsa COMPROBAR para corrixilos. PROBLEMA 1 Para encher a piscina dun chalé disponse de dúas billas de entrada de auga. Se só se usa a primeira, a piscina tarda ___ horas en encherse. Se se usa só a segunda, tarda ___ horas. Canto tardará en encherse se se usan as dúas á vez?

PROBLEMA 2 O triángulo de Sierpinski é unha figura xeométrica dun tipo especial chamado fractal. Constrúese así: Pártese dun triángulo equilátero. Nivel 1: Elimínase o triángulo que une os puntos medios. Nivel 2: Repítese o proceso cos tres triángulos que quedan. Nivel 3: Repítese o proceso cos nove triángulos que quedan. Aínda que só vemos 4 etapas, o proceso segue indefinidamente. Se a área do triángulo inicial é de 1 m2, cal é a área do triángulo de Sierpinski de nivel 4?

Números racionais

25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

PROBLEMA 3 O aire presiona sobre cada centímetro cadrado da superficie terrestre cunha forza de 1 kg. Se a superficie do planeta é de, aproximadamente, 510 millóns de quilómetros cadrados, canto pesa a atmosfera? Se a masa da Terra é dunhas 6 · 1021 Tm, cantas veces é máis pesado o planeta que a atmosfera?

PROBLEMA 4 En xoiaría utilízase a onza troy como unidade de peso para o ouro. Unha onza troy pesa 31,1034768 g. Se o prezo do ouro é de 273 €/oz, calcula o prezo dun gramo de ouro. Certo xoieiro que traballa o ouro dispón dunha balanza que comete un erro máximo de 5 centésimas de gramo por gramo. Co prezo anterior, calcula cánto pode gañar ou perder por cada onza e por cada gramo a causa do erro.

Números racionais

26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Completa: Un número racional é: _____________________________________________________. Todo número racional pode expresarse como ___________________________________. As solucións da ecuación son ______________________________________________ Os números racionais están ___________ e pódense ____________________. Os números enteiros _____________________________. Operacións con fraccións Sumar e restar:____________________________________________________________. Multiplicar e dividir:

Para elevar a potencias:

Medida de erros O erro absoluto é _______________________________________________________. O erro relativo é ________________________________________________________. A cota de erro é ________________________________________________________. 1) _______________________________________

Prioridade das operacións (cando interveñen potencias)

2) _______________________________________ 3) _______________________________________ 4) _______________________________________

Potencias Se n >0, an = Se a≠ 0, a0 =

a-n =

En particular: a-1 =

 a e   b 

−n

Notación científica Os números moi grandes ou moi pequenos exprésanse en notación científica: __________. Para operar con números en notación científica aplicamos____________________________. Pulsa

Números racionais

para ir á páxina seguinte

27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Para practicar Na páxina de EXERCICIOS, atoparalos de varios tipos: • Problemas para practicar as operacións con fraccións • Problemas con potencias e notación científica • Problemas con valores aproximados

Problemas para practicar as operacións con fraccións Para empezar, pulsa no control “Escolle opción” para indicar o tipo de problema que prefiras. É conveniente que resolvas un problema de cada tipo. No enunciado, enche o espazo reservado ao dato ou datos que faltan, e despois resolve o problema. Despois de resolvelo comproba se o fixeches ben. 1. Problemas de urbanismo O concello dunha cidade vende ____ dun solar a unha empresa e ____ do resto a outra, quedando sen vender ____ Ha. Que superficie ten o solar?

2. Con IVE ou sen IVE? O importe da reparación dun coche nun taller é de _____ € sen IVE. A canto ascende a factura con IVE? (O IVE é do ____ %).

3. As rebaixas Pagamos por un vestido ____ € e na etiqueta indícannos que se lle aplicou unha rebaixa do ___ %. Cal era o prezo do vestido antes do desconto?

4. Na adega Que cantidade de viño hai almacenado en ____ caixas e __________ se cada caixa contén ___ botellas de ____________ litro cada unha? 5. Enchendo un depósito Unha outra enche Canto

billa enche un depósito en ____ horas e en ____ horas. Que fracción do depósito cada unha nunha hora? E as dúas xuntas? tardarán en enchelo as dúas á vez?

6. A canto está o café? Nun almacén venden café en paquetes de ___ Kg e descafeinado en paquetes de ___ kg. O prezo por kg de ambas as dúas variedades é o mesmo. Un bar mercou ____ paquetes do normal e ____ de descafeinado, pagando en total ____ €. Cal é o prezo do kg de café?

Pulsa Números racionais

para ir á páxina seguinte -

28 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Problemas con potencias e notación científica 1. Copia de seguridade Quero facer unha copia de seguridade dos arquivos do meu PC, que ocupan ___ GB. Cantos DVD de 4,5 GB necesito polo menos para facelo? E se uso CD de 700 MB? E con antigos disquetes de 1,4 MB? E cos antiquísimos de 360 MB? (Usa a táboa adxunta). 2. A densidade dos planetas Sabendo que o radio de ___ é de ___ km, calcula o seu volume. Se a súa masa é de ___ kg, calcula a súa densidade en g/cm3. 3. O peso das moléculas En condicións normais, nun mol de _________ hai 6,022 · 1023 moléculas do devandito gas e pesan ____ g. Calcula o peso en gramos dunha molécula de __________ Pulsa

para ir á páxina seguinte

Pulsa

para ir á páxina seguinte

Problemas con valores aproximados 1. Medindo terras Medimos unha parcela rectangular cunha longa corda con marcas en cada metro (medidas á marxe). Repetimos as medidas cun teodólito, mellorando a precisión. Calcula as cotas de erro que se cometen ao calcular a superficie en cada caso. Co prezo que se indica, calcula as maiores diferenzas de custo en cada caso segundo a medida que tomemos. 2. Enquisa electoral Unha empresa de demoscopia realizou unha enquisa de intención de voto, obtendo os resultados que ves á marxe. Con estes datos a cadea de televisión ABCD informa que o ___ gañará as eleccións. Pola súa banda, a cadea DCBA di que hai un empate técnico entre PBP e PTC. Quen cres que ten razón?

Números racionais

29 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 1

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Enunciado

Solución

Corrección

Escribe a fracción xeratriz do número _____ Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: ____ , ____ , ____ , ____ , ____ , Calcula o resultado de ____________________________ Calcula o resultado de ____________________________ Calcula o resultado de ____________________________ Calcula o resultado de ___________________________ Calcula ____________ deixando o resultado como produtos ou cocientes de potencias de expoñente positivo. Calcula o resultado de ______________________________ Redondea o número ____________ ás __________ Un obreiro tarda ________ días en levantar unha valla. Outro tarda _______ días. Canto tardarían traballando xuntos?

Actividades para enviar o titor Fai as actividades e envíaas ao teu profesor/a seguindo as súas instrucións. Finalmente, non esquezas visitar o enlace Para saber máis para ampliar os teus coñecementos. Números racionais

30 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma ao cadrado Diferenza ao cadrado Suma por diferenza

Obxectivos •

Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.

•

Recoñecer os polinomios e o seu grao.

•

Sumar, restar e multiplicar polinomios.

•

Sacar factor común.

•

Coñecer e utilizar as identidades notables.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Polinomios

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Antes de empezar ACTIVIDADES: Na escena, fai clic en

e observa a

animación na que aparece o valor numérico da expresión x2 +x+17 para distintos valores de x. Despois, completa a táboa seguinte como no exemplo: Valor de x 13

Valor numérico de x2 +x+17 132 +13+17 = 169 + 13 + 17 = 199

2 7 11 A continuación, visita os enlaces da parte inferior esquerda: En Expresións, poderás repasar a expresión polinómica dun número nunha base e o seu significado. En Bases 10, 12, 60 poderás ver un vídeo sobre a base 60, utilizada na medida de ángulos e do tempo, e a súa relación coa base do noso sistema de numeración, 10, e a base 12. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Na medida de que magnitudes se usa a base 60? En que rexión utilizaban o sistema de numeración de base 60? Entre que ríos está situada? En que se basea o sistema de numeración de base 12?

Cal é a base do sistema de numeración que usamos nós? Por que?

Cal pode ser o motivo da existencia da base 60?

Agora, pulsa

Polinomios

para acceder aos contidos do tema.

-2 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

1. Monomios e polinomios 1.a. Expresións alxébricas Le atentamente o texto da pantalla. EXERCICIO. Completa o seguinte texto: Un monomio é un _____________________ que só contén _____________________ e ____________________________________ . Un polinomio é un _____________ de varios __________________. A continuación, vai á escena e explora os diferentes exemplos. Fai os debuxos e completa as solucións das cuestións: (Fai primeiro o debuxo)

Calcula a expresión alxébrica que nos dá o número e cadradiños do rectángulo: Expresión Grao Coeficientes

Que monomio nos dá a área do rectángulo de base x e altura e? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión nos dá o volume dun cubo de aresta x? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión nos dá o espazo percorrido a unha velocidade constante de x km/h durante t horas? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá a lonxitude do segmento marrón? Expresión Grao Coeficientes

Polinomios

-3 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Que polinomio nos dá a media aritmética de dous números? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá o triplo dun número menos cinco? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá a suma dos cadrados de dous números? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión define a diagonal dun cadrado? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión define a diagonal dun rectángulo de base x e altura e? Expresión Grao Coeficientes

Agora pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Ábrese unha escena na que aparecen, á esquerda, diferentes números e potencias de x e, á dereita, as condicións que debe verificar o polinomio buscado. Practica o exercicio ata que consigas tres acertos consecutivos. Cando remates... pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte.

-4 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

1.b. Expresión en coeficientes Le atentamente o texto "Un polinomio pódese definir. "... e, a continuación, completa: A expresión dun polinomio en coeficientes consiste en__________________________ _____________________________________________________________________ . Así, por exemplo, o polinomio x3 +4x2 +3x -2 a expresa por _____________________. Agora pulsa no botón

para facer uns exercicios. Na parte superior da escena

verás os controis para escoller os coeficientes do polinomio de maior a menor grao. Modifícaos ao teu gusto: elixe algún coeficiente igual a 0, 1 ou -1 e aprende a escribir o polinomio do xeito usual. Completa a táboa seguinte con outros cinco exemplos, tal como a mostra inicial: Coeficientes gr4

gr3

gr2

gr1

gr0

-3

-1

Pulsa en

Polinomio

Xeito usual de escribir o polinomio

1x4 +(-3)x3+0x2+(-1)x+4

x4-3x3-x+4

para facer exercicios sobre a expresión en coeficientes dun polinomio.

Hai dous tipos de exercicio: nun, aparecerá un polinomio e deberás introducir os seus coeficientes cos controis da parte superior e, seguidamente, pulsar intro. No outro, dáse a expresión do polinomio en coeficientes e terás que escribir o polinomio na forma usual. Podes pulsar Solución para corrixires os teus resultados. Fai catro exercicios de cada tipo e cópiaos na táboa: Polinomio

Polinomios

C. gr 3

C. gr 2

C. gr 1

C. gr 0

-5 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Completa: Dous polinomios son iguais se _________________________________________________. Na escena da dereita aparecen dous polinomios P(x) e Q(x). Tes que deducir cál é o valor do coeficiente descoñecido "a", en Q(x), para que ambos os dous polinomios sexan iguais. Practica ata teres un mínimo de 3 acertos consecutivos. P(x)

Q(x)

Valor da

Cando remates... pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.c. Valor numérico dun polinomio Le atentamente o texto no que se relaciona o valor numérico dun polinomio co noso sistema de numeración, o decimal, e co sistema utilizado para a medida do tempo, o sesaxesimal. Completa: O valor numérico do polinomio 5x2 + 2x + 3 para x =10 é _______, o número de _______ que hai en ___ centenas, ____ decenas e _____ unidades. O valor numérico do polinomio 5x2 + 2x + 3 para x =60 é ________, o número de ______ que hai en ___ horas, ____ minutos e _____ segundos. Na escena da dereita tes exemplos de cálculo do valor numérico dun polinomio para un valor determinado de x. Modifica o valor de x co control

e calcula o correspondente valor numérico do

polinomio que aparece na escena. Podes utilizar calculadora. Para comprobar se o fixeches ben, pulsa Ver o resultado do valor numérico. Para cambiares de polinomio, pulsa en Outros polinomios. Anota seis exemplos na táboa inferior, dous de cada opción: Opción

Agora pulsa en Polinomios

P(x)

Valor numérico P(

) = ___________________ =

para ver máis exemplos e facer exercicios. -6 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Na primeira serie (Serie 1 de 2), aparecerán 7 exemplos resoltos. En cada exemplo podes ver á dereita, no recadro de cor laranxa, os pasos a seguir. Fai tantos como necesites ata entenderes ben o procedemento. Para pasar dun exemplo a outro, pulsa o botón > da parte superior. A continuación, copia dous destes exemplos: Exemplo 1. Valor numérico do polinomio _____________________________ para x = ___

Exemplo 2. Valor numérico do polinomio _____________________________ para x = ___

Agora, para facer exercicios, pulsa o botón > > da parte superior. Accedes á serie 2 de 2 na que tes 10 exercicios propostos que debes resolver na escena. Anota os resultados dos catro últimos exercicios nesta táboa: Polinomio

Polinomios

Valor de x

Valor numérico do polinomio

-7 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 1.

Acha as expresións alxébricas asociadas a cada imaxe Lonxitude do segmento marrón

Volume, aresta=x

O triplo dun número menos cinco

A suma dos cadrados de dous números A diagonal dun cadrado de lado x

Escribe un polinomio tal que:

Acha a expresión en coeficientes dos polinomios

Que polinomio expresa a media aritmética de dous números x, y?

A diagonal dun rectángulo de base x e altura y

P(x)=3x2-2x+1; Q(x)=x3-4 R(x)=0,5x2 +3x 4.

Escribe as expresións polinómicas dos polinomios cuxa expresión en coeficientes é: P(x) Q(x) R(x)

1 0 3 -1 3 2 0 0 3/2 -3 0 5

Acha o valor numérico en 1, 0 e -2 dos seguintes polinomios: POLINOMIO

Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x5-2x3 -x2 x2/5-1 - 2x3 + π x2 -x3+1, 2x2-1/5 -

x2+1

Cando remates... pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte.

-8 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

2. Operacións con polinomios 2.a. Sumas e restas Le o texto no que se explica a forma de sumar e restar polinomios. Na escena, móstrase como calcular unha suma ou unha resta utilizando as expresións en coeficientes dos polinomios. Pulsa

para ver un exemplo de suma ou resta, respectivamente.

Copia un exemplo de cada operación: SUMA:

RESTA:

Agora pulsa en

para facer exercicios.

Aparecerá unha escena con dous polinomios e a operación a efectuar. Fai 6 destes exercicios a continuación. Para comprobar o resultado, pulsa e para cambiar de datos, EXEMPLO P(x) =

Outros polinomios Polinomios

Operación

4 3 x + x2 -x -1 5

Q(x) = −

P(x) + Q(x)

1 3 1 2 x + x -2x -3 5 4

RESULTADO P(x) + Q(x) =

EXERCICIO 1

Coeficientes

4 5 1 − 5 3 5

1 4 5 4

-1

-2

-3

-4

3 3 5 2 x + x -3x -4 5 4

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

Polinomios

-9 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

EXERCICIO 2

DATA:

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

EXERCICIO 3

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

EXERCICIO 4

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

EXERCICIO 5

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

EXERCICIO 6

Operación

Coeficientes

P(x)

P(x) =

Q(x) Q(x) =

RESULTADO P(x) Q(x) =

Cando remates... pulsa Polinomios

para ir á páxina seguinte. -10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

2.b. Produto Antes de pasares aos contidos desta páxina, fai clic en

para ver unha animación na

que se recordan as prioridades aritméticas e os aspectos que hai que ter en conta cando, en lugar de operar con números, se opera con monomios. Agora, le a explicación do texto e completa: Os polinomios multiplícanse _________ a _________, aplicando a propiedade ___________ do produto. E ordenamos os _____________ segundo o seu _______.

Igual que coa suma, pode resultar cómodo pasar os polinomios á súa expresión en coeficientes, tal e como se explica na escena da dereita.

Examina diferentes exemplos ata que entendas ben a mecánica da operación, e copia unha no recadro da dereita:

Agora pulsa en

para facer exercicios.

Na escena aparecen dous polinomios cuxo produto debes calcular. Fai 6 destes exercicios a continuación. Para comprobar o resultado, pulsa e para cambiar de datos, P(x)

Outros polinomios Q(x)

Cando remates... pulsa Polinomios

P(x)·Q(x)

para ir á páxina seguinte. -11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

2.c. Factor común Le o texto, fixándote ben no exemplo no que se explica o procedemento para sacar factor común. Seguidamente, na escena, introduce o factor común aos coeficientes e a potencia de x que se poden sacar en todos os monomios, colocando os números axeitados nos recadros correspondentes e pulsando intro. Despois, fai clic en Pulsa para extraer o factor para ver o resultado desta operación. Para cambiares de exercicio pulsa Outro polinomio. Fai dez exercicios na táboa seguinte:

P(x)

Agora pulsa en

Factor común

Resultado de extraer factor

para facer exercicios.

Abrirase unha escena cun polinomio no que debes sacar factor común a máxima potencia posible de x: para iso, haberás de introducir os números axeitados nos recadros e pulsar intro. Se fixeches ben o exercicio, aparecerá a mensaxe "Pulsa inicio para facer outro exercicio". Se non, aparecerá o botón

que permite ver o resultado correcto.

Fai dez destes exercicios na táboa seguinte: Polinomios

-12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

P(x)

DATA:

P(x) é igual a

P(x)

P(x) é igual a

EXERCICIOS 6.

Calcula P(x)+Q(x) y 3·P(x)-Q(x) P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5

Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5

Suma P(x) y Q(x)

Saca factor común:

Multiplica P(x) y Q(x)

P(x)= 4x13 - 4x11 - 6x5 - 3x4 P(x)= -8x10 + 6x9 - 2x3 - 4x2 P(x)= 6x5 + x2 - 4x

P(x)= P(x)= P(x)=

Cando remates... pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte.

-13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

3. Identidades notables 3.a. Cadrado dunha suma Na escena aparece un crebacabezas que che permitirá deducir a fórmula para obter o cadrado dunha suma. Tes: • Un cadrado azul de lado 3, polo tanto de área ____ • Outro vermello de lado 4 e área ____ • Dous rectángulos de lados 3 e 4, logo a área de cada un é ____ • Un cadrado de lado 3+4, a área das cales é _______. Arrastra as pezas de cores para completar o cadrado gris. Cando o fagas, aparecerá na parte inferior a expresión:

A área do cadrado gris é a suma das áreas das pezas de cores. Modifica os valores de a e b cos controis

e comproba a validez da fórmula para distintos pares de valores. Completa como no exemplo: a 3

b 4

(a+b)2 (3+4)2 = 32 + 42 + 2 · 3 · 4

(a+b)2

Tamén podes ver unha demostración aritmética da fórmula na animación que aparece facendo clic en

. Copia neste espazo a fórmula que nos dá o cadrado dunha suma:

Debes recoñecer esta igualdade tamén ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2+6x+9 coa expresión (x+3)2 Agora pulsa en

para facer exercicios.

Ábrese unha escena na que verás na parte superior:

Terás que ir avanzando polas 11 series de exercicios que funcionan de diferentes modos. Completa os exercicios e exemplos que se indican nos recadros seguintes: Polinomios

-14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 1. Cadrado dunha suma (automático guiado) (a+b)2 = Para efectuar o cadrado dunha suma, Efectúase en primeiro lugar o cadrado do primeiro sumando O dobre do primeiro polo segundo Por último áchase o cadrado do segundo sumando E sumamos todo

Pulsa

Serie 2. Cadrado dunha suma (automático, libre) ( + )2 =

Pulsa Serie 3. Cadrado dunha suma (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 4. Cadrado dunha suma (automático, libre) ( + )2

Pulsa Serie 5. Cadrado dunha suma (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 6. Cadrado dunha suma (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. ( + )2

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2 ( + )2 = Exercicio 3

(

)2 =

Exercicio 4

(

)2 =

Exercicio 5

(

)2 = Para pasar á seguinte serie de exercicios

Polinomios

Pulsa

-15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 7. Cadrado dunha suma (automático guiado) ( + )2 = Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Serie 8. Cadrado dunha suma (escribir guiado) Tes que ir escribindo as operacións en cada paso, seguindo as indicacións do recadro laranxa. (Lembra que, para elevar ao cadrado, se utiliza a tecla ^) Exercicio 1 de 3. ( + )2 =

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Exercicio 2 de 3. ( + )2 =

Pulsa

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Exercicio 3 de 3. ( + )2 =

Pulsa

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Serie 9. Cadrado dunha suma (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado ( + )2 = Pulsa Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado ( + )2 = Pulsa Exercicio 3 de 5. Directamente o resultado ( + )2 = Pulsa Exercicio 4 de 5. Directamente o resultado ( + )2 = Pulsa Exercicio 5 de 5. Directamente o resultado ( + )2 = Pulsa

Polinomios

-16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 10. Cadrado dunha suma (automático guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ O outro sumando é o dobre de __ por __ Podemos escribir a expresión inicial como unha suma ao cadrado.

Pulsa

Exercicio 2 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ O outro sumando é o dobre de __ por __ Podemos escribir a expresión inicial como unha suma ao cadrado.

Pulsa

Exercicio 3 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ O outro sumando é o dobre de __ por __ Podemos escribir a expresión inicial como unha suma ao cadrado.

Pulsa

Serie 11. Cadrado dunha suma (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha suma. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

Resultado

Se está "Moi ben",

pulsa

Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha suma. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

Resultado

Se está "Moi ben",

pulsa

Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha suma. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

Resultado

Cando remates... Pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte.

-17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

3.b. Cadrado dunha diferenza Na escena aparece un crebacabezas que che permitirá deducir a fórmula para obter o cadrado dunha diferenza. Tes: • Un cadrado azul de lado 7, polo tanto de área ____ • Outro vermello de lado 3 e área ____ • Dous rectángulos de lados 3 e 7, logo a área de cada un é ____ • Un cadrado de lado 7-3, a área do cal é _______. Arrastra as pezas de cores para completar a figura vermella e azul. Cando o fagas, aparecerá na parte inferior a expresión:

A área do cadrado gris é a suma das áreas das pezas de cores. y

Modifica os valores de a e b cos controis e comproba a validez da fórmula para distintos pares de valores. Completa como no exemplo: a 7

(a-b)2 (7-3) = 72 + 32 - 2 · 7 · 3

b 3

(a-b)2

Tamén podes ver unha demostración aritmética da fórmula na animación que aparece facendo clic en

. Copia neste espazo a fórmula que nos dá o cadrado dunha diferenza:

Debes recoñecer esta igualdade tamén ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2-10x+25 coa expresión (x-5)2 Agora pulsa en

para facer exercicios.

Ábrese unha escena na que verás na parte superior:

Terás que ir avanzando polas 11 series de exercicios que funcionan de diferentes modos. Completa os exercicios e exemplos que se indican nos recadros seguintes:

Polinomios

-18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 1. Cadrado dunha diferenza (automático guiado) (a-b)2 = Para efectuar o cadrado dunha diferenza, Efectúase en primeiro lugar o cadrado do primeiro sumando O dobre do primeiro polo segundo Por último áchase o cadrado do segundo sumando E sumamos todo

Pulsa

Serie 2. Cadrado dunha diferenza (automático, libre) ( - )2 =

Pulsa Serie 3. Cadrado dunha diferenza (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 4. Cadrado dunha diferenza (automático, libre) ( - )2

Pulsa Serie 5. Cadrado dunha diferenza (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 6. Cadrado dunha diferenza (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. ( - )2

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2 ( - )2 = Exercicio 3

(

)2 =

Exercicio 4

(

)2 =

Exercicio 5

(

)2 = Para pasar á seguinte serie de exercicios

Polinomios

Pulsa

-19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 7. Cadrado dunha diferenza (automático guiado) ( - )2 = Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Serie 8. Cadrado dunha diferenza (escribir guiado) Tes que ir escribindo as operacións en cada paso, seguindo as indicacións do recadro laranxa. (Lembra que, para elevar ao cadrado, se utiliza a tecla ^) Exercicio 1 de 3. ( - )2 =

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Exercicio 2 de 3. ( - )2 =

Pulsa

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Exercicio 3 de 3. ( - )2 =

Pulsa

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Serie 9. Cadrado dunha diferenza (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado ( - )2 = Pulsa Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado ( - )2 = Pulsa Exercicio 3 de 5. Directamente o resultado ( - )2 = Pulsa Exercicio 4 de 5. Directamente o resultado ( - )2 = Pulsa Exercicio 5 de 5. Directamente o resultado ( - )2 = Pulsa

Polinomios

-20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 10. Cadrado dunha diferenza (automático guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ O outro sumando é o dobre de __ por __ Podemos escribir a expresión inicial como unha diferenza ao cadrado.

Pulsa

Serie 11. Cadrado dunha diferenza (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha diferenza. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

)

Resultado

Se está "Moi ben",

pulsa

Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha diferenza. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

)

Resultado

Se está "Moi ben",

pulsa

Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresión como o cadrado dunha diferenza. Escribe a fórmula de golpe, sen operar =(

)

Resultado

Cando remates... Pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte.

-21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

3.c. Suma por diferenza Na escena aparece unha demostración xeométrica da fórmula que nos dá a expresión para a suma por diferenza. Tes: • Un cadrado azul de lado 7, polo tanto de área ____ • Outro gris de lado 3 e área ____ • En azul aparece a diferenza dos dous cadrados, ___________ Arrastra e xira o rectángulo inferior ata o contorno vermello. Formaríase un rectángulo de lados: _____ e _____ e a súa área será _______. Ao facelo, aparecerá a expresión:

Modifica os valores de a e b cos controis

e comproba a validez da fórmula para distintos pares de valores. Completa como no exemplo: a 7

b 3

(a+b) · (a-b) (7+3) · (7-3) = 72 - 32 = 40

(a+b) · (a-b)

Tamén podes ver unha demostración aritmética da fórmula na animación que aparece facendo clic en

Copia neste espazo a fórmula que nos dá produto de suma por diferenza:

Debes recoñecer esta igualdade tamén ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2-16 coa expresión (x+4) · (x-4). Agora pulsa en

para facer exercicios.

Ábrese unha escena na que verás na parte superior:

Terás que ir avanzando polas 11 series de exercicios que funcionan de diferentes modos. Completa os exercicios e exemplos que se indican nos recadros seguintes:

Polinomios

-22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 1. Suma por diferenza (automático guiado) (a+b) · (a-b) =

Para efectuar suma por diferenza, Efectuamos o cadrado do primeiro sumando O cadrado do segundo sumando E réstase

Pulsa

Serie 2. Suma por diferenza (automático, libre) (

)·(

Pulsa Serie 3. Suma por diferenza (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 4. Suma por diferenza (automático, libre) (

)·(

)

Pulsa Serie 5. Suma por diferenza (automático guiado) É o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacións no recadro laranxa. Serie 6. Suma por diferenza (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. (

)·(

)

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2

(

)·(

Exercicio 3

(

)·(

Exercicio 4

(

)·(

Exercicio 5

(

)·(

)= Para pasar á seguinte serie de exercicios

Pulsa

Serie 7. Suma por diferenza (automático guiado) (

)·(

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Polinomios

Pulsa

-23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Serie 8. Suma por diferenza (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. (

)·(

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Exercicio 2 de 3. (

)·(

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Exercicio 3 de 3. (

)·(

Escribe a fórmula de golpe, sen operar Opera todos os sumandos Resultado

Pulsa

Serie 9. Suma por diferenza (automático, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado (

)·(

Pulsa

Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado (

)·(

Pulsa

Exercicio 3 de 5. Directamente o resultado (

)·(

Pulsa

Exercicio 4 de 5. Directamente o resultado (

)·(

Pulsa

Exercicio 5 de 5. Directamente o resultado (

)·(

Pulsa

Serie 10. Suma por diferenza (automático guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ Exprésase como suma por diferenza

Pulsa

Exercicio 2 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ Exprésase como suma por diferenza

Polinomios

Pulsa

-24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Exercicio 3 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados O primeiro sumando é o cadrado de __ O segundo sumando é o cadrado de __ Exprésase como suma por diferenza

Pulsa

Serie 11. Suma por diferenza (escribir, guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresión como suma por diferenza. =(

)·(

–

)

Resultado

Se está “Moi ben”,

pulsa

Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresión como suma por diferenza. =(

)·(

–

)

Resultado

Se está “Moi ben”,

pulsa

Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresión como suma por diferenza. =(

)·(

–

)

Resultado

Podes cerrar o cadro

EXERCICIOS 10.

Desenvolve as seguintes expresións Expresión (x+1)

11.

Expresión

Solución

(x-1)

(2x+1)2

(3-2x)2

(3x/2+5)2

(x/3-2)2

( 2 x+2)2

(x- 3 )2

Calcula a expresión en coeficientes dos seguintes produtos Produtos

12.

Solución

Produtos

Solución

(x+2)·(x-2)

(x-1/4)·(x+1/4)

(3x+7)· (3x-7)

(1+ 2 x)·(1- 2 x)

Aplica as identidades notables para descompoñer en factores os seguintes polinomios Expresión 2

Solución

Expresión

4x +12x+9

49x -36

36x2+36x+9

25x2-9/4

6x5-12x4+6x3

4x2-3

Cando acabes … Pulsa

Polinomios

Solución

para ir á páxina seguinte.

-25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Fai clic en

para ver unha animación.

Completa: Coeficiente

EXPRESIÓNS ALXÉBRICAS

Variable

Grao

Pulsa

Escribe á dereita de cada imaxe a expresión alxébrica correspondente e a súa clasificación: x·t Monomio 2 variables Grao 2

Na escena da dereita tes un libriño no que poderás repasar os contidos desta quincena. Arrastra as páxinas ou fai clic en para pasar de páxina. Repasarás: • Valor numérico • Operacións con polinomios: o Suma o Diferenza o Produto o Factor común •

•

Identidades notables (completa as fórmulas) o (a + b)2 = o (a - b)2 = o (a + b) · (a - b)= Algúns exemplos de identificacións útiles: o x2 +6x +9 = o x2 -10x +25 = o x2 - 49 =

Pulsa

Polinomios

para ir á páxina seguinte

-26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Para practicar Na páxina de EXERCICIOS, atoparalos de varios tipos: • Expresións alxébricas, polinomios, valor numérico • Operacións con polinomios. Identidades notables

Expresións alxébricas, polinomios Para empezar, pulsa no control elixe opción para escoller o tipo de problema que prefiras. É conveniente que resolvas un problema de cada tipo. No enunciado, enche o espazo reservado ao dato ou datos que faltan, e despois resolve o problema. 1. Números Achar a expresión alxébrica dun número de ___ cifras se a cifra das unidades é ______________ a cifra das decenas. 2. Canto camiño? De luns a xoves, camiño x km diarios e, de venres a domingo, ______ km cada día. Acha a expresión alxébrica dos km que camiño en z semanas. 3. Km de ciclismo Se practico ciclismo a unha velocidade media de ____ km/h durante t horas ao mes, cantos km fago ao cabo do ano? 4. Soldo O meu soldo mensual é de ____ euros. Cada ano aumenta un x%. Calcular o soldo mensual dentro de _________ anos. 5. Xeometría __________________ é a expresión que define _________________________ en función do seu raio. Cal é a variable? O grao? O coeficiente? O _____________ para un raio de _______ cm? 6. Coeficiente Cal é o grao do polinomio da esquerda? Cal é o seu coeficiente de grao _____? E o de grao ______? Calcula o seu valor numérico en x = ___ 7. Horas Que fracción de hora son ______ minutos e _____ segundos? Sabes expresala como valor numérico dun polinomio de segundo grao? 8. Segundos Cantos segundos hai en __ h ___ min ___ seg? Sabes expresalos como o valor numérico dun polinomio de segundo grao?

Polinomios

-27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

9. Ducias, grosas, masas Cantas unidades hai en _____ masas, _____ grosas e _______ ducias? Sabes expresalas como o valor numérico dun polinomio de segundo grao? Unha masa =12 grosas, unha grosa =12 ducias, unha ducia =12 unidades.

Operacións con polinomios. Identidades notables 1. Suma e resta P(x) = _______________________ Q(x)= _______________________ Acha os coeficientes de _________________ 2. Multiplica P(x) = _______________________ Q(x)= _______________________ Acha os coeficientes de P(x) · Q(x) 3. Factor común P(x) = _______________________ Saca factor común no polinomio P(x) 4. Converte en cadrado Cantas unidades tes que engadir a ___________ para converter este binomio no cadrado doutro binomio? É dicir, observa a figura e converte o rectángulo inicial nun cadrado. 5. Efectúa o cadrado (tipo 1) Efectúa a potencia ___________________ 6. Efectúa o cadrado (tipo 2) Efectúa a potencia ___________________ 7. Cálculo mental Calcula mentalmente _______________ Se aplicas as identidades notables, debes tardar menos de 5 segundos en dar a resposta. 8. Simplificar fraccións (tipo 1) Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción 9. Simplificar fraccións (tipo 2) Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción 10. Simplificar fraccións (tipo 3) Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción Pulsa Polinomios

para ir á páxina seguinte -28 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 2

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Enunciado

Solución

Corrección

P(x) = __________________ Q(x) = __________________ R(x) = __________________ Calcula P(x) · Q(x) + P(x) · R(x) e escribe os coeficientes do resultado. Calcula o valor numérico de _________________ en x = ________. Acha a expresión alxébrica que define a área de _____ cadrados de lado x+y e _____ rectángulos de base x e altura e. É certa a igualdade? ____________________________ En caso afirmativo introduce 1, en caso negativo, -1 Acha os coeficientes de ____________________________ Que constante hai que sumar a _________________ Para obter o cadrado dun binomio? Calcula o coeficiente ____________

primeiro

grao

Aplica as identidades notables para calcular mentalmente o número que aparece ao pulsar Número:________________ Simplifica a fracción ___________________ Saca factor común a maior potencia de x en _____________

Actividades para enviares ao titor Fai as actividades e envíaas ao teu profesor/a seguindo as súas instrucións. Finalmente, non esquezas visitar o enlace Para saber máis para ampliar os teus coñecementos.

Polinomios

-29 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Ecuacións de segundo grao Contidos 1. Expresións alxébricas Identidade e ecuación Solución dunha ecuación 2. Ecuacións de primeiro grao Definición Método de resolución Resolución de problemas 3. Ecuacións de segundo grao Definición. Tipos Resolución de ax2+bx=0 Resolución de ax2+c=0 Resolución de ax2+bx+c=0 Suma e produto das raíces Discriminante dunha ecuación Ecuación (x-a)·(x-b)=0 Resolución de problemas

Obxectivos •

Identificar as solucións dunha ecuación.

•

Recoñecer e obter ecuacións equivalentes.

•

Resolver ecuacións de primeiro grao.

•

Resolver ecuacións de segundo grao tanto completas como incompletas.

•

Utilizar a linguaxe alxébrica e as ecuacións para resolver problemas.

Autor: José Luis Alcón Camas Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Ecuacións de segundo grao

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Antes de empezar Lembra Fai memoria de como resolvías as ecuacións en 2º ESO.

Canto che custou esa radio? Un cuarto, máis un quinto, máis un sexto, menos 21 euros foi a metade de todo.

Intenta agora resolver o seguinte problema:

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Igualdades alxébricas 1.a. Identidade e ecuación Le o texto de pantalla:

"Unha igualdade alxébrica está "...

EXERCICIO. Contesta: Que diferenza hai entre unha ecuación e unha identidade?

Na escena: Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos de Identidades e Ecuacións: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para IDENTIDADE.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIÓN verificando coa solución.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIÓN cun número diferente da solución.

para facer uns exercicios.

Ecuacións de segundo grao

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 1. Clasifica a expresión alxébrica: 6(7x − 1) + 3x = 4x + 76 , en identidade ou ecuación. 2. Clasifica a expresión alxébrica: 7(5x − 1) + 5x = 40x − 7 , en identidade ou ecuación. 3. Escribe unha ecuación da forma ax+b=c cuxa solución sexa x=4

1.b. Solución dunha ecuación Le o texto de pantalla:

"O valor da letra que "...

EXERCICIO. Contesta as seguintes preguntas: a) Cando é incompatible unha ecuación? ____________________________________ b) Como se obteñen ecuacións equivalentes? ________________________________ Pulsa OUTRO EXEMPLO para a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIÓN COMPATIBLE.

Pulsa no botón

ver distintos exemplos. b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIÓN COMPATIBLE.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIÓN INCOMPATIBLE.

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS 4. Escribe unha ecuación da forma ax =b que sexa equivalente a 5x + 4 = −16 5. Escribe unha ecuación da forma x +b=c que sexa equivalente a 5x + 20 = 15 6. Razoa se x=2 é solución da ecuación: 5x + 3(x − 1) = 13 7. Razoa se x=3 é solución da ecuación: 7x + 3(x − 2) = 16 8. Comproba que x=-1 é solución da ecuación 5x + x 2 = −4 9. Escribe unha ecuación que sexa incompatible. Pulsa Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

2. Ecuacións de primeiro grao 2.a. Definición Le o texto de pantalla:

"Unha ecuación de primeiro grao cunha incógnita é "...

EXERCICIO. Contesta a seguinte pregunta: De que grao é o expoñente da "x"? _____ Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos. a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla.

c) Copia un exemplo (3) completo tal e como aparece na pantalla.

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolve, aplicando as regras da suma e do produto, as seguintes ecuacións de primeiro grao: a) 18x+1=-7 b) 2x+15=9 c) 10x+13=-17x+5 d) -9x-8=15x e) 12x+15=-5x f) -x+15=18x+4

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

2.b. Método de resolución Le o texto de pantalla:

"Para resolver unha ecuación de primeiro grao "...

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos. a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla.

c) Copia un exemplo (3) completo tal e como aparece na pantalla.

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS 10. Resolve as seguintes ecuacións: a)

−7x + 5 9x − 7 + = −1 7 8

2x − (x + 1) 5x + 2 = 4 6

3x − 7(x + 1) 2x − 1 = −2 6 3

2x − 5 −2x + 8 − =x 3 7

6x − (x − 8) −2x − 17 = +x 6 3

Ecuacións de segundo grao

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

2.c. Resolución de problemas Le o texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante unha ecuación, hai que "... Exemplos Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E “< volver” para ir de novo ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo IDADES.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MESTURAS.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MOVEMENTOS.

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS 11. A idade dun pai é triple que a do seu fillo, se entre os dous suman 56 anos, cal é a idade de cada un? 12. Cantos litros de viño de 5€ o litro deben mesturarse con viño de 3€ o litro para obter 50 litros de viño cuxo prezo sexa de 4€ o litro?

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo Resolve os problemas paso a paso: a) Un ciclista sae da cidade A cara a cidade B a unha velocidade constante de 30 km/h e outro ciclista parte de B cara A a unha velocidade constante de 20 km/h. Se a distancia entre as dúas cidades é de 30 km, a que distancia de B se atoparán? b) Temos 180 pedras e queremos facer dous montóns, de forma que un teña o triple de pedras que o outro. Cantas pedras terá cada montón?

3. Ecuacións de segundo grao 3.a. Definición. Tipos. Le o texto de pantalla:

"Unha ecuación de segundo grao con "...

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos. a) Copia un exemplo (1) de ecuación de segundo grao COMPLETA tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo (2) de ecuación de segundo grao INCOMPLETA SEN termo independente.

c) Copia un exemplo (3) de ecuación de segundo grao INCOMPLETA CON termo independente.

para facer uns exercicios.

Ecuacións de segundo grao

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo Indica os valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” en cada unha das seguintes ecuacións de segundo grao: a) x2 + 9 = 0 b) x2 + 3 = 4x2 c) 7x2 + 5x - 7 = 6x d) -x2 - 7 = 1 e) 7x2 - 1 = -4x Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.b. Resolución de ax2+bx=0 Le o texto de pantalla:

Pulsa sobre

Paso 1

"Para resolver este tipo "...

para ver como se fai. Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos.

a) Copia un exemplo (1) tal b) Copia un exemplo (2) tal c) Copia un exemplo (3) tal e e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla. como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacións incompletas: a) -x2 + 13x = 0 b) 16x2 + x = 0 c) x2 + 85x = 0 d) 27x2 + 23x = 0 e) 73x2 - 81x = 0 Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

3.c. Resolución de ax2+c=0 Le o texto de pantalla:

"Para resolver despéxase "...

EXERCICIO. Contesta a seguinte pregunta: 2 Cando hai dúas solucións para a ecuación ax +c=0? ___________________________ Escribe dous exemplos de ecuacións deste tipo:

Pulsa sobre

para ver como se fai.

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos.

a) Copia un exemplo (1) tal b) Copia un exemplo (2) tal c) Copia un exemplo (3) tal e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacións incompletas: a) 2x2 - 162 = 0 b) 4x2 - 9 = 0 c) 4x2 - 64 = 0 d) -2x2 + 128 = 0 e) 18x2 - 162 = 0 Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.d. Resolución de ax2+bx+c=0 Le o texto de pantalla:

"A ecuación de segundo grao completa "...

EXERCICIO. Escribe a fórmula da solución da ecuación de segundo grao completa. Ecuación

Ecuacións de segundo grao

Fórmula

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

Pulsa sobre

NOME:

para ver como se fai.

a) Copia un exemplo (1) tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

DATA:

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos. b) Copia un exemplo (2) tal e como aparece na pantalla.

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao completas: a) - x2 - 11x - 28 = 0 b) - x2 - x + 30 = 0 c) - x2 + 2x + 24 = 0 d) - x2 + 11x - 30 = 0 e) x2 - 7x - 10 = 0 Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.e. Suma e produto das raíces Le o texto de pantalla:

"Se x1 e x2 son as raíces dunha ecuación "...

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos a) Copia un exemplo (1) tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

b) Copia un exemplo (2) tal e como aparece na pantalla.

para facer uns exercicios.

Ecuacións de segundo grao

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo Resolve os seguintes exercicios sobre a suma e o produto das raíces dunha ecuación de segundo grao: a) Escribe unha ecuación de segundo grao cuxas raíces sexan -8 y 1. b) Calcula o valor de m, sabendo que x = -8 é unha das solucións da ecuación de segundo grao x2 + 3x + m = 0 c) Sen resolver a ecuación, indica as raíces da ecuación de segundo grao x2 - 12x + 32 = 0 d) Calcula o valor de m, sabendo que x = - 10 é unha das solucións da ecuación de segundo grao x2 + 12x + m = 0 e) Sen resolver a ecuación, indica as raíces da ecuación de segundo grao x2 - 11x + 30 = 0 Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.f. Discriminante Le o texto de pantalla:

"Chámase discriminante dunha ecuación "...

EXERCICIO. Contesta as seguintes preguntas: a) Escribe a expresión dunha ecuación de segundo grao e a do seu discriminante. Ecuación:

Discriminante:

b) Que condición cumpre o discriminante para que haxa unha única solución? c) Que condición cumpre o discriminante para que haxa dúas solucións? Na escena da dereita podes ver un exemplo do cálculo do discriminante. Pulsa sobre

para ver como se fai. Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos.

a) Copia un exemplo (1) tal b) Copia un exemplo (2) tal c) Copia un exemplo (3) tal e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla.

Ecuacións de segundo grao

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

Pulsa no botón

DATA:

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Indica sen resolvela, o número de raíces distintas que ten cada unha das seguintes ecuacións de segundo grao: a) 6x2 + 3 = 0 b) - 3x2 - 60x - 300 = 0 c) - 2x2 + 32x - 128 = 0 d) - 2x2 + 6x - 4 = 0 e) - x2 - 16x - 64 = 0 Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.g. Ecuación (x-a)(x-b)=0 Le o texto de pantalla: Pulsa sobre

"Como sabes, para que un produto de "...

para ver como se fai.

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver máis exemplos.

a) Copia un exemplo (1) tal b) Copia un exemplo (2) tal c) Copia un exemplo (3) tal e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla. e como aparece na pantalla.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolver as seguintes ecuacións de segundo grao do tipo (x-a) · (x-b) = 0 a) (-x + 2) · (5x + 10) = 0 b) (-x + 3) · (2x - 6) = 0 c) 2x · (x - 7) = 0 d) (-5x - 6) · (x + 2) = 0 e) (9x + 4) · (5x + 10) = 0 Ecuacións de segundo grao

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 13. Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao incompletas: 2 a) x − 6x = 0 2 b) x + 27x = 0 2 c) 3x + 5x = 0

14. Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao incompletas: 2 a) x − 36 = 0 2 b) 4x − 9 = 0 2 c) x + 9 = 0

15.Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao completas: 2 a) x − 7x + 10 = 0 2 b) 3x + 17x + 20 = 0 2 c) 3x + 5x + 4 = 0

16.Escribe unha ecuación de segundo grao cuxas raíces sexan x=-1, x=4. 17.Resolve as seguintes ecuacións: a) b)

(x − 2)(x + 3) = 0 (3x − 1)(x − 5) = 0

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.h. Resolución de problemas Le o texto de pantalla: Exemplos:

"Para resolver un problema mediante unha ecuación, hai que "...

Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E "< volver" para ir de novo ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo IDADES.

Ecuacións de segundo grao

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo XEOMETRÍA.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo NÚMEROS.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS de Reforzo Resolve os problemas paso a paso: a) Lucía ten o cuádruplo da idade de Miguel. Se multiplicamos as súas idades obtemos o número 1444. Que idade ten cada un? b) A diagonal dun rectángulo mide 13 cm. Acha as súas dimensións se un cateto mide 7 cm máis que o outro. c) O produto dun número positivo polo dobre dese mesmo número é 1682. Que número é? d) A suma do cadrado dun número con ese mesmo número é 20. Que número é? e) Para cercar unha finca rectangular de 187 m2 utilízanse 56 m de cerca. Calcula as dimensións da cerca.

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Le o resumo tranquilamente e contesta ás seguintes preguntas: Que é unha solución dunha ecuación?

Cando se di que unha ecuación é incompatible?

Cando se di que unha ecuación é compatible?

Cando son equivalentes dúas ecuacións?

Expresión xeral dunha ecuación de primeiro grao:

Solución:

Expresión xeral dunha ecuación de segundo grao completa:

Fórmula para calcular as solucións dunha ecuación de 2º grao completa:

Expresión xeral dunha ecuación de segundo grao incompleta (c=0):

Fórmula para calcular as solucións dunha ecuación de 2º grao incompleta (c=0):

Expresión xeral dunha ecuación de segundo grao incompleta (b=0):

Fórmula para calcular as solucións dunha ecuación de 2º grao incompleta (b=0):

Ecuación canónica: A suma das solucións dunha ecuación de segundo grao es:_____________________ O produto das solucións dunha ecuación de segundo grao é: __________________ Unha ecuación de segundo grao non ten solución cando: Escribe un exemplo. Unha ecuación de segundo grao ten só unha solución cando: Escribe un exemplo. Unha ecuación de segundo grao ten dúas solucións cando: Escribe un exemplo.

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Para practicar Podes ir ao apartado que queiras dende esta páxina (Ecuacións de primeiro grao, ecuacións de segundo grao), pulsando sobre os distintos enlaces, ou ben seguindo a orde correlativa das páxinas co enlace de abaixo.

ECUACIÓNS DE PRIMEIRO GRAO Aparece o enunciado dun exercicio ou dun problema. Cópiao a continuación e resólveo. Despois comproba a solución. Elixe outro exercicio e repite o mesmo proceso. Fai polo menos 2 exercicios de ecuacións e CATRO problemas con enunciados diferentes. EXERCICIOS DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO. 1.

PROBLEMAS DE ENUNCIADO 3.

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

ECUACIÓNS DE SEGUNDO GRAO Aparece o enunciado dun exercicio ou dun problema. Cópiao a continuación e resólveo. Despois comproba a solución. Elixe outro exercicio e repite o mesmo proceso. Fai polo menos TRES exercicios de ecuacións e TRES problemas con enunciados diferentes. EXERCICIOS DE ECUACIÓNS DE 2º GRAO. 7.

PROBLEMAS DE ENUNCIADO 10.

11.

12.

Pulsa

Ecuacións de segundo grao

para ir á páxina seguinte.

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Escribe unha ecuación da forma _______ a solución da cal sexa x= ___

Resolve a ecuación:

Atopa un número sabendo que ____ __________________________________ _________________________________.

Resolve a ecuación:

Escribe unha ecuación de segundo grao as solucións do cal sexan ___ e ___

O cadrado dun número positivo máis o dobre do seu oposto é _____. Cal é ese número?

Resolve sen aplicar a fórmula xeral:

Ecuacións de segundo grao

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

Para practicar máis 1. Determina se as seguintes igualdades alxébricas son identidades ou son ecuacións:

6(x − 1) − 3x = 4x + 6

(x + 1) = x + 2x + 1

3(x − 1) − 5 = 3x − 8

x − (2x − 5) = 3x − 8

2. Indica o grao das seguintes ecuacións:

x2 − 1 = x + 2

x 3 − 1 = x3 + x2 + 2

x2 − 1 = x2 + x + 2

x − 1 = 3x + 2

3. Indica se x=4 é solución das seguintes ecuacións:

3(x − 1) − 5 = 3x − 8

2(x + 3) − 5x = x + 2

(x − 1) − 5 = x

x3 − 60 = x

4. Escribe unha ecuación de primeiro grao a solución da cal sexa:

x=2

x=3

x=1

5. Resolve as seguintes ecuacións de primeiro grao:

10 − x = 3

2x − 5 = 15

−9 + 4x = x

3x − 10 = 50 + x

6. Calcula o valor de x:

3(x − 1) + 2x = x + 1

2 − 2(x − 3) = 3(x − 3) − 8

2(x + 3) + 3(x + 1) = 24

3x + 2(x − 1) = 12 2

7. Obtén a solución das seguintes ecuacións:

x −1 x + 3 − =1 2 3

Ecuacións de segundo grao

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

x−3 − 3(x + 2) = −20 2

2 − 2(x − 3) x + 4 − =3 2 4

4(x + 1) x+3 +x− = 5 + 3(x − 2) 2 3

DATA:

8. Atopa dous números consecutivos que sumen 71

9. Atopa un número tal que sumado co seu triplo sexa igual a 100

10.Que idade teño agora se dentro de 12 anos terei o triplo da idade que tiña hai 8 anos?

11.Xoan ten 12 anos menos que María, dentro de 4 anos María terá o triplo da idade de Xoan cantos anos teñen agora?

12.A unha festa asisten 43 persoas. Se marchasen 3 rapaces, habería o triplo de rapazas que de chicos. Cantos rapaces e rapazas hai?

13.Resolve

x2 − 5x = 0

x2 − 9 = 0

x2 + 3x = 0

x2 + 5 = 0

14.Resolve

x2 − 5x + 6 = 0

Ecuacións de segundo grao

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

x2 − 3x − 4 = 0

x2 + 3x − 10 = 0

x2 − 6x + 9 = 0

DATA:

15.Resolve

(x + 2)(x − 3) = 0

(3x + 1)(x + 5) = 0

x(x + 9) = 0

(2x + 8)(3x − 9) = 0

16.Escribe unha ecuación de segundo grao as raíces do cal sexan:

x=3 e x=-5

x=2 e x=4

x=-1 e x=-9

x=0 e x=-5

17.Resolve

(x + 2)(x − 3) = 6

(x + 1)(x − 5) = 16

18.Calcula o valor de m sabendo que x=3 é solución da ecuación de segundo grao x2 mx+27=0

19.A suma dun número natural e o seu cadrado é 42. De que número se trata?

Ecuacións de segundo grao

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 3

NOME:

DATA:

20.A diagonal dun rectángulo mide 10 cm. Acha as súas dimensións se un lado mide 2 cm menos que o outro.

21.Atopa dous números positivos que se diferencien en 7 unidades sabendo que o seu produto é 44.

22.Atopa dous números a suma da cal sexa 10 e o seu produto 24

23.Un campo de fútbol mide 30 m máis de longo que de ancho e a súa área é de 7000 m2, acha as súas dimensións.

24.Temos un arame de 17 cm. Como habemos de dobralo para que forme un ángulo recto de modo que os seus extremos queden a 13 cm?

25.Acha o valor dos coeficientes a,b e c na ecuación de segundo grao 7x2 + bx + c = 0 para que as súas solucións sexan 3 e -2.

26.A diagonal dun rectángulo ten 10 cm. Calcula as súas dimensións se o lado pequeno mide ¾ do lado grande.

27.Reparte o número 20 en dúas partes de forma que a suma dos seus cadrados sexa 202.

28.Atopa dous números positivos sabendo que se diferencian en 7 unidades e o seu produto é 60.

29.Un triángulo rectángulo ten de perímetro 24 metros, e a lonxitude dun cateto é igual a ¾ do outro. Acha os seus lados.

30.Atopa dous números sabendo que suma 18 unidades e o seu produto é 77.

Ecuacións de segundo grao

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Sistemas de ecuacións Contidos 1. Ecuacións lineais Definición. Solución 2. Sistemas de ecuacións lineais Definición. Solución Número de solucións 3. Métodos de resolución Redución Substitución Igualación 4. Aplicacións prácticas Resolución de problemas

Obxectivos •

Recoñecer e clasificar os sistemas de ecuacións segundo o seu número de solucións.

•

Obter a solución dun sistema mediante unhas táboas.

•

Resolver sistemas lineais de dúas ecuacións con dúas incógnitas, polos métodos de substitución, igualación e redución.

•

Utilizar a linguaxe alxébrica e os sistemas para resolver problemas.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Sistemas de ecuacións

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Le na escena o texto do poema e trata de formular unha ecuación e de buscar a solución. Completa a táboa de premios para obter a solución doutra forma: Por presumir de bo tiro Dezaseis veces tirou un tirador moi ousado atopouse mergullado neste asunto que refiro. E foi, ante una caseta da feira do seu lugar, presumiu de non errar nin un tiro de escopeta, e o feirante izando o berro un duro ofreceu pagarlle por cada acerto e cobrarlle a tres pesetas o erro.

o tirador afamado ao fin dixo, enfadado polos tiros que fallou: “A escopeta foi o cebo e causa da miña afronta pero axustada a conta ni me debes nin che debo”. E todo o que atentamente este relato mirou poderá dicir doadamente cantos tiros acertou. Cando remates pulsa

Aciertos 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6

Fallos 0 1

Premio 80 72

para ir á páxina seguinte.

1. Ecuacións lineais 1.a. Definición. Solución Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Respostas Cal é o grao das ecuacións lineais? Cal é a expresión xeral dunha ecuación lineal con dúas incógnitas? Que é unha solución dunha ecuación lineal con dúas incógnitas? Cantas solucións ten unha ecuación lineal con dúas incógnitas? Que tipo de liña forman as solucións dunha ecuación lineal con dúas incógnitas se as representamos graficamente? Copia catro dos exemplos que aparecen na escena nos seguintes recadros e fai a gráfica da recta que forman as solucións de cada unha das ecuacións: Ecuación: x

Ecuación: y

Sistemas de ecuacións

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Ecuación: x

Ecuación: y

Cando comprendas ben o concepto...

Pulsa en

para facer exercicios.

EXERCICIO: Completa a continuación tres dos enunciados que aparecen nesa escena de exercicios e resólveos. Despois comproba a solución na escena: Solucións Acha unha solución (x,y) da ecuación __________ sabendo que _______ Razoa se x=

, y=

Canto vale "c" se x=

é unha solución da ecuación: __________ , y=

é unha solución da ecuación:__________

Resolve máis exercicios ata que comprendas ben o concepto de solución dunha ecuación lineal con dúas incógnitas.

EXERCICIOS 1.

Dada a ecuación: 3x + 2y = 17 , razoa se os seguintes pares son solución. a) x=1 , y=3 b) x=5 , y=1

Dada a ecuación 5x − 2y = c , acha o valor de c sabendo que unha solución é: a) x=3 , y=6 b) x=4 , y=1

Acha unha solución (x,y) da ecuación −4x + 5y = 17 sabendo que: a) x=7 b) y=1

Escribe unha ecuación lineal con dúas incógnitas cuxa solución sexa: a) x=1 , y=3 b) x=-2 , y=1

Fai unha táboa de valores (x,y) que sexan solución da ecuación: 2x + y = 17 , e representa estes valores nun sistema de coordenadas. Cando remates... Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

2. Sistemas de ecuacións lineais 2.a. Definición. Solución Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas ____________________________ __________________________________________________________________________ Fórmula xeral dun sistema de dúas ecuacións Unha solución dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas é _____________ __________________________________________________________________________ Copia dous exemplos dos que aparecen na escena e fai a gráfica das rectas que corresponden a cada unha das ecuacións e indica cal é a solución do sistema:



Gráfica

Sistema: 



Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

Solución do sistema x

( , )



Gráfica

Sistema: 



Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

Solución do sistema x

( , )

Cando comprendas ben o concepto... Sistemas de ecuacións

Pulsa en

para facer exercicios. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

EXERCICIO: Completa a continuación tres dos enunciados que aparecen nesa escena de exercicios e resólveos. Despois comproba a solución na escena: Solucións  Escribe un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas a solución  das cales sexa: x = , y =  Razoa se x =



é unha solución do sistema: 

,y=

  Fai unha táboa de valores e dá a solución do sistema:  

X y

Resolve máis exercicios ata que comprendas ben o concepto de solución dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.b. Número de solucións Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Aprende como se chaman os sistemas dependendo do número de solucións que teñen e como son en cada caso as rectas que forman as solucións correspondentes a cada unha das ecuacións que o forman. EXERCICIO: Contesta: Respostas Como se chama un sistema que ten unha única solución? Como son as rectas que o forman? Como se chama un sistema que ten infinitas solucións? Como son as rectas que o forman? Como se chama un sistema que non ten solución? Como son as rectas que o forman? Na escena da dereita elixe a opción:



Gráfica

Sistema: 



Ec. 1:

Ec. 2:

As rectas son:

= x

Sistemas de ecuacións

Cantas solucións ten o sistema?

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Na escena da dereita elixe a opción:



Sistema: 



Ec. 1:

Ec. 2:

As rectas son:

= x

Cantas solucións ten o sistema?

Na escena da dereita elixe a opción:



Sistema: 



Ec. 1:

Ec. 2:

As rectas son:

= x

Cantas solucións ten o sistema?

EXERCICIOS 6.

3x + 2y = 17 Dado o sistema:  , razoa se os seguintes pares son solución. 5x − y = 11 a) x=3, y=4

b) x=5, y=1

c) x=3, y=1

Escribe un sistema de dúas ecuacións a solución das cales sexa: b) x=1, y=2

b) x=3, y=1

c) x=2, y=3

3x + 2y = 8 Fai unha táboa de valores e dá a solución do sistema:  5x − y = 9

x + y = 2 Indica cántas solucións ten o sistema:  x − 3y = −2

Sistemas de ecuacións

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

3. Métodos de resolución 3.a. Redución Le na pantalla en que consiste o método de redución. EXERCICIO: Completa: Resolver un sistema polo método de redución consiste en atopar outro sistema, __________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de redución paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena.



Resolver o sistema: 



Paso 1:

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

Paso 2:

Substituír

Paso 3:

Despexar a

ecuación

Paso 4: Dar a solución

Observa que podes cambiar a letra que se reduce e que podes utilizar calquera das dúas ecuacións á hora de substituír para achar o valor da outra incógnita. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método. Despois... Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

Pulsa en

Resolver o sistema por redución:

para facer exercicios.

  

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

Resólveo neste recadro. Despois pulsa

Substituír o valor de

Solución para comprobar Sistemas de ecuacións

na ecuación x= y= -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Pulsa Resolver o sistema por redución:

OUTRO EXEMPLO

  

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

E resólveo do mesmo modo: Primeiro no papel e despois comproba a solución.

Substituír o valor de

na ecuación x= y=

Fai varios exemplos. Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.b. Substitución Le na pantalla en que consiste o método de substitución. EXERCICIO: Completa: Para resolver un sistema polo método de substitución _______________________________ __________________________________________________________________________ Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de substitución paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena.



Resolver o sistema: 



Paso 1:

Despexar a letra na ecuación

Paso 2:

Substituír a letra na ecuación

Paso 3:

Resolver a ecuación dunha incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular a

substituíndo na ecuación despexada Paso 5: Dar a solución

Observa que poderías empezar despexando a mesma letra na outra ecuación ou a outra letra en calquera das ecuacións e sempre obterías o mesmo resultado. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método. Despois... Sistemas de ecuacións

Pulsa en

para facer exercicios. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4 Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

NOME:

DATA:

Resolver o sistema por substitución:

Despéxase a

   ecuación …

Resólveo neste recadro. Despois pulsa Solución para comprobar

Solución:

x= y=

Fai varios exemplos. Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.c. Igualación Le na pantalla en que consiste o método de igualación. EXERCICIO: Completa: Para resolver un sistema polo método de igualación _______________________________ __________________________________________________________________________ Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de igualación paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena.



Resolver o sistema: 



Paso 1:

Despexar a letra nas dúas ecuacións

Paso 2:

Igualar as dúas ecuacións despexadas

Paso 3:

Resolver a ecuación dunha incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular a

substituíndo na ecuación despexada Paso 5: Dar a solución

Observa que poderías empezar despexando a outra letra nas dúas ecuacións e obterías o mesmo resultado. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método. Despois... Sistemas de ecuacións

Pulsa en

para facer exercicios. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4 Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

NOME:

DATA:

Resolver o sistema por igualación:

Despéxase a

  

nas dúas ecuacións…

Resólveo neste recadro. Despois pulsa Solución para comprobar

Solución:

x= y=

EXERCICIOS 10.

Resolve os seguintes sistemas utilizando o método de redución:

2x + 7y = 20 a)  3x − 7y = 4 2x + 3y = 9 b)  3x − 5y = 4 11.

Resolve os seguintes sistemas utilizando o método de substitución:

x + 7y = 11 a)  3x − 5y = 7 2x + y = 7 b)  3x + 4y = 13 12.

Resolve os seguintes sistemas utilizando o método de igualación:

x + 7y = 23 a)  x − 5y = −13 2x + y = 13 b)  x + y = 9

EXERCICIOS de Reforzo Resolve os seguintes sistemas polo método que consideres máis adecuado en cada caso:

2x − 3y = 0 a)  3x + y = 11

x − 5y = 11  − 2x + 7y = −19

3x − 2y = 1 b)  2x + 5y = −12

2x + 5y = −2 d)  4x − 3y = 9

Cando remates...

Sistemas de ecuacións

− 2x + y = 2 e)  4x + 5y = 17 f)

Pulsa

4x + 3y = 3  2x + 9y = 4

para ir á páxina seguinte.

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

4. Aplicacións prácticas 4.a. Resolución de problemas Le o texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante un sistema "... Exemplos. Na escena podes ver exemplos de problemas de tres tipos Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E "< volver" para volver ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo IDADES.

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo XEOMETRÍA.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MESTURAS.

Despois...

Sistemas de ecuacións

Pulsa en

para facer exercicios.

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Na escena irán aparecendo diferentes problemas. Busca seis enunciados que comecen coas frases que se indican a continuación. Complétaos e resólveos (utiliza o método que consideres máis axeitado a cada un deles). Despois comproba se o fixeches ben. Exemplo 1: Achar dous números sabendo que ______________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución:

x=y=

Exemplo 2: Paco ten no seu moedeiro ___________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución:

x=y=

Exemplo 3: Ao dividir un número entre outro ________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución: Sistemas de ecuacións

x=y= -

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Exemplo 4: A base dun rectángulo mide ________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución:

x=y=

Exemplo 5: Nunha clase ______________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución:

x=y=

Exemplo 6: Salvador fixo un exame que __________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Solución:

Sistemas de ecuacións

x=y=

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 13.

Ana ten nos eu peto billetes de 10€ e de 20€, en total ten 20 billetes e 440€. Cantos billetes ten de cada tipo?

14.

A suma das idades de Miguel e Pedro é 97. Dentro de 4 anos a idade de Pedro será catro veces a idade de Miguel. Que idades teñen ambos?

15.

Quérese obter 90 kg de café a 8'5 €/kg mesturando café de 15 €/kg con café de 6 €/kg, cantos kg de cada clase hai que mesturar?

16.

Nun taller hai 154 vehículos entre coches e motocicletas, se o número de rodas é de 458, cantas motocicletas e coches hai?

Lembra o máis importante - RESUMO Ecuación de primeiro grao con dúas incógnitas: ____________ a e b son os ________________, c é o ___________________________. As solucións da ecuación son ______________________________________________ Hai ___________________. As solucións, se as representamos, están ______________

Sistemas de dúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

  

a, b, p ,q son os _________________, c e r son os _________________________. Métodos de resolución:

• • •

Sistema Compatible determinado: Sistema Compatible Indeterminado: Sistema Incompatible:

O que ______________________ O que ______________________

O que ______________________ 1) ____________________________

Para resolver problemas:

2) ____________________________ 3) ____________________________ 4) ____________________________ 5) ____________________________

Pulsa Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte -

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás dúas páxinas de exercicios: Sistemas de ecuacións e Resolver problemas con sistemas

SISTEMAS DE ECUACIÓNS Resolver dous sistemas dos que aparecen nesa páxina de exercicios, por cada método: Por SUBSTITUCIÓN 1.

  

Por IGUALACIÓN 3.

  

Sistemas de ecuacións

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Por REDUCIÓN 5.

  

RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS Aparece o enunciado dun problema. Cópiaos no primeiro recadro e resólveo no espazo reservado para iso. Despois comproba no ordenador se os fixeches ben. Pulsando en " Exercicio" aparecerán outros enunciados. Resolve un mínimo de cinco problemas procurando que os enunciados sexan diferentes. 7.

Resolución:

Sistemas de ecuacións

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nยบ 4

NOME:

DATA:

Resoluciรณn:

10.

Resoluciรณn:

11.

Resoluciรณn:

Sistemas de ecuaciรณns

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas a solución das cales sexa x= __, y=___

  

Completa o sistema para que sexa:

  

____________________________________

(Debuxa as rectas nos eixes) Indica que tipo de sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas é o representado.

Escribe unha solución da ecuación: ______________



Resolve por redución: 

 

Resolve por substitución: 





Resolve por igualación: 



Atopa dous números _________________ sexa ___ e ______________ sexa ____.

Indica sen resolver se o sistema é Incompatible ou Compatible Indeterminado.

  

Acha as dimensións dun rectángulo de perímetro ________ se ________________________________. Sistemas de ecuacións

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

Para practicar máis 1. Calcula o valor de c para que a solución da ecuación, x + 7y = c sexa: a) x = 1 , y = 2

x =5 , y =0

b) x = 3 , y = −3

x = −2 , y = 3

2. Acha unha solución (x,y) da ecuación −4x + y = 17 sabendo que: a) x = 1

y = −7

3. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas a solución da cal: a) x = 4 , y = −3

  

x =0 , y =5

  

b) x = 1 , y = −2

  

x =1 , y =1

  

4. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas que: a) teña infinitas solucións

  

b) teña unha soa solución

  

c) non teña solución

  

5. Razoa se o punto (x,y) é solución do sistema:

2x + 3y = 18 a) x = 3 , y = 4 →  3x + 4y = 24 5x − 3y = −1 b) x = 1 , y = 2 →  3x + 4y = 11 6. Resolve graficamente os seguintes sistemas:

x + y = 6 a)  2x + 2y = 12

Sistemas de ecuacións

x + y = 8 b)  x − y = 2

x + y = 6  x + y = 10

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

7. Resolve por redución:

2x + y = 15 a)  x − 2y = −15

 −7x + 6y = −29 b)  x + 3y = 8

 −9x − 4y = −53  9x + 8y = 61

x + 6y = 3 b)   −9x + 2y = −83

x + 2y = −17  5x + 2y = −21

x − 4y = 32 b)  x − 3y = −17

x − 2y = −14  x + 4y = 4

8. Resolve por substitución:

x − 12y = 1 a)   −4x − 9y = 15

9. Resolve por igualación:

x − 2y = 17 a)  7x − 6y = 47

Sistemas de ecuacións

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

10. Achar dous números sabendo que o maior máis seis veces o menor é igual a 62 e o menor máis cinco veces o maior é igual a 78.

11. Ao dividir un número entre outro o cociente é 2 e o resto é 5. Se a diferenza entre o dividendo e o divisor é de 51, de qué números se trata?.

12. A base dun rectángulo mide 20 dm máis que a súa altura. Se o perímetro mide 172 dm, cales son as dimensións do rectángulo?

13. Nunha clase hai 80 alumnos entre rapaces e rapazas. No último exame de matemáticas aprobaron 60 alumnos, o 50% das rapazas e o 90% dos chicos. Cantos rapaces e rapazas hai na clase?

14. A base dun rectángulo mide 70 dm máis que a súa altura. Se o perímetro mide 412 dm, cales son as dimensións do rectángulo?

15. Xoan realizou un exame que constaba de 68 preguntas, deixou sen contestar 18 preguntas e obtivo 478 puntos. Se por cada resposta correcta se suman 10 puntos e por cada resposta incorrecta se resta un punto, cantas preguntas contestou ben e cantas contestou mal?

16. Paco ten no seu moedeiro 210 € en billetes de 5 e 20 euros. Se dispón de 15 billetes, cantos billetes ten de cada clase?

17. A suma de dous números é 85 e a súa diferenza é 19. Cales son os números?

18. A suma das idades de Luísa e de Miguel é 32 anos. Dentro de 8 anos a idade de Miguel será dúas veces a idade de Luísa. Que idades teñen ambos os dous?

Sistemas de ecuacións

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 4

NOME:

DATA:

19. María comprou un pantalón e un xersei. Os prezos destes artigos suman 77€ pero fixéronlle un desconto do 10% no pantalón e un 20% no xersei, pagando en total 63'60€. Cal é o prezo sen rebaixar de cada artigo?

20. Atopar un número de dúas cifras sabendo que suman 10 e que se lle restamos o número que resulta ao intercambiar as súas cifras o resultado é 72.

21. Acha as dimensións dun rectángulo sabendo que o seu perímetro mide 88 cm e que o triplo da base máis o dobre da altura é igual a 118.

22. A suma das idades de Raquel e Luísa son 65 anos. A idade de Luísa máis catro veces a idade de Raquel é igual a 104. Que idades teñen ambas as dúas?.

23. Quérese obter 25 kg de café a 12'36 €/kg, mesturando café de 15 €/kg con café de 9 €/kg. Cantos quilogramos de cada clase hai que mesturar?

24. Un hotel ten 94 cuartos entre dobres e individuais. Se o número de camas é 170. Cantos cuartos dobres ten?. Cantos individuais?

25. Acha dous números tales que se se dividen o primeiro por 3 e o segundo por 4, a suma dos cocientes é 15, mentres se se multiplica o primeiro por 2 e o segundo por 5 a suma dos produtos é 188.

26. Nun curral hai galiñas e coellos: se se contan as cabezas, son 50, se se contan as patas son 134. Cantos animais de cada clase hai?.

27. Calcula dous números que sumen 150 e a diferenza da cal sexa cuádruplo do menor.

Sistemas de ecuacións

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Progresións Contidos 1. Sucesións Definición. Regra de formación Termo xeral 2. Progresións Aritméticas Definición Termo xeral Suma de n termos 3. Progresións Xeométricas Definición Termo xeral Suma de n termos Suma de todos o termos Produto de n termos 4. Aplicacións Interpolación Xuro composto Resolución de problemas

Obxectivos • • • • • • •

Recoñecer unha sucesión de números. Recoñecer e distinguir as progresións aritméticas e xeométricas. Calcular o termo xeral dunha progresión aritmética e xeométrica. Achar a suma dos termos dunha progresión aritmética finita e xeométrica finita ou infinita. Achar o produto dos termos dunha progresión xeométrica finita. Resolver problemas coa axuda das progresións. Resolver problemas de xuro composto.

Autor: José Luis Alcón Camas Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Progresións

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Antes de empezar Para empezar proponse un xogo no que debes descubrir cal é a ficha que falta en cada secuencia de fichas de dominó ATOPA O DOMINÓ QUE FALTA E PULSA INTRO

Hai 10 propostas diferentes.

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Sucesións 1.a. Definición. Regra de formación Le o texto da pantalla. Contesta: Que é unha sucesión? _____________________________________________________ Como se chama cada elemento da sucesión? ____________________ Como se chama o criterio a partir do cal se determinan os termos dunha sucesión? _______________________________________________________________________ Na escena tes varios exemplos para ver as regras de formación de sucesións. Le detidamente varios exemplos e completa dous deles nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Sucesión: __________________________

Regra de formación:

Termos:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena Progresións

-2 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo A. Escribe a regra de formación da seguinte sucesión: a) 9, 11, 14, 18, … b) 7, -21, 63, -189, ... c) -8, 34, -134, 538, … d) -729, -243, -81, -27, … B. Escribe os 4 primeiros termos dunha sucesión se o primeiro termo é -4, e a regra de formación é: Cada termo é igual ao anterior máis 4. C. Escribe os 4 primeiros termos dunha sucesión se o primeiro termo é -9, e a regra de formación é: Cada termo é igual ao anterior por 2 máis 4. D. Escribe os 4 primeiros termos dunha sucesión se o primeiro termo é -6, e a regra de formación é: Cada termo é igual ao anterior por 5 máis 4. E. Escribe os 4 primeiros termos dunha sucesión se o primeiro termo é 9, e a regra de formación é: Cada termo é igual ao anterior por 4.

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Termo xeral Le o texto da pantalla e contesta: Que posición ocupa o termo xeral dunha sucesión? ____________________. Na escena tes varios exemplos sobre "Termo xeral" de sucesións. Le detidamente varios exemplos e completa dous deles nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Sucesión: __________________________

Regra de formación:

Termo xeral:

an =

Termos:

Termo xeral: Termos:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Despois...

an =

Pulsa o botón

Progresións

para facer uns exercicios. -3 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Os seguintes exercicios de cálculo dos primeiros termos dunha sucesión a partir do seu termo xeral, son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo Escribe os 4 primeiros termos de cada unha das seguintes sucesións: a) a n = 9 n b) a n = − 3 n − 7 c) a n = 5 n 2 + 9 d) a n = − 9 n 2 + 6 e) a n = 4 n−1 f)

a n = 3 −n+5

EXERCICIOS 1.

O primeiro termo dunha sucesión é 4, escribe os seus catro primeiros termos se: "Cada termo é igual ao anterior máis o lugar que ocupa":

Escribe a regra de formación da seguinte sucesión: 3, 8, 13, 18 ,...

Escribe os cinco primeiros termos da sucesión formada polos cadrados dos números naturais.

Calcula os 4 primeiros termos da sucesión de termo xeral: an =

Escribe os 5 primeiros termos dunha sucesión cuxa regra de formación é: "Cada termo é a suma dos dous anteriores", a1 = 3 e a2 = 7

Escribe o termo xeral destas sucesións: a) 2, 3, 4,5, 6,....

n n+1

b) 2, 4, 8,16, 32,....

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2. Progresións Aritméticas 2.a. Definición Le o texto da pantalla e completa: Unha progresión aritmética é ______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. Se d>0, os números cada vez son ____________, dise que a progresión é ____________ Se d<0, os números cada vez son ____________, dise que a progresión é ____________ Progresións

-4 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Na escena tes varios exemplos para ver as regras de formación de progresións aritméticas. Le detidamente varios exemplos e completa dous nos recadros seguintes: Exemplo 1

Exemplo 2

Progresión: ________________________

Regra de formación:

Termos:

a2 = a 1 + = + =

a3 = a 2 + = + =

a4 = a 3 + = + =

a5 = a 4 + = + =

a6 = a 5 + = + =

A diferenza é: d =

A progresión é _______________

Despois...

para facer uns exercicios.

Pulsa o botón

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Escribe o seguinte termo da progresión aritmética: a) 0, -2, -4, -6, ...

-4, 5, 14, 23, ...

b) 14, 7, 0, -7, …

11, 6, 1, -4, …

B. Razoa se a seguinte progresión aritmética é crecente ou decrecente: a) 3, 4, 5, 6, ...

-3, -6, -9, -12, …

b) -2, -7, -12, -17, …

-2, -1, 0, 1, ...

C. Razoa se a seguinte sucesión é unha progresión aritmética: a) 2, 5, 8, 11, …

11, 8, 5, 2, …

b) 1, -6, -13, -20, ...

9, 3, -3, -9, …

D. Escribe a regra de formación da seguinte progresión aritmética: a) 4, 8, 12, 16, ...

16, 9, 2, -5, …

b) 2, -2, -6, -10, …

-6, -3, 0, 3, …

Pulsa Progresións

para ir á páxina seguinte. -5 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

2.b. Termo xeral Le o texto da pantalla. Fíxate no proceso que se segue para obter o termo xeral dunha progresión aritmética e completa a fórmula no recadro: O termo xeral dunha progresión aritmética é

a1 é __________________ e d é ___________________ Na escena tes varios exemplos de cálculo do termo xeral. Completa dous deles nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Progresión: ________________________

O primeiro termo é: a1 =

A diferenza é: d =

O termo xeral é:

an =

Despois...

an =

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Nunha progresión aritmética, o termo 9 é 31 e a diferenza é 4. Acha o termo xeral. B. Nunha progresión aritmética, o termo 8 é 35 e o termo 18 é 105. Acha o termo xeral. C. Acha o termo xeral da progresión aritmética: 2, -6, -14, -22, … D. Nunha progresión aritmética, o termo 10 é 43 e a diferenza é 5. Acha o termo xeral. E. Nunha progresión aritmética, o termo 4 é 1 e o termo 19 é -44. Acha o termo xeral. F. Acha termo xeral da progresión aritmética: -1, -8, -15, -22,... G. Nunha progresión aritmética, o termo 10 é -46 e a diferenza é -6. Acha o termo xeral. H. Nunha progresión aritmética, o termo 4 é -1 e o termo 23 é 56. Acha o termo xeral. I. Acha termo xeral da progresión aritmética: 12, 4, -4, -12, ...

Pulsa

Progresións

para ir á páxina seguinte.

-6 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

2.c. Suma de n termos Le o texto da pantalla. Fíxate na explicación pola cal se chega á fórmula para calcular a suma dos n primeiros termos dunha progresión aritmética. Observa que hai un enlace: "Para ver como se obtén a fórmula fai clic aquí" que abre unha ventá cunha explicación máis detallada da obtención da fórmula. Completa: A suma dos n primeiros termos dunha progresión aritmética é

a1 é ____________, an é ____________, e n é ________________ Na escena tes varios exemplos sobre "Suma dos termos" e "Termos equidistantes" de progresións aritméticas. Le detidamente e completa dous nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Termos equidistantes: __________________________________ Observamos que a suma dos termos equidistantes é a mesma:

a1 +

a2 +

a3 +

a4 +

a5 +

…

Suma dos n termos: Hai ___ termos O primeiro é: ___

Hai ___ termos S=

O último é: ___

Despois...

Suma dos n termos:

Pulsa o botón

O primeiro é: ___

O último é: ___

para facer uns exercicios.

Resolve varios exercicios dos que se propoñen na escena. Cando practiques suficientemente, fai os que se propoñen no seguinte recadro que son similares aos desa escena.

Progresións

-7 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo A. Calcular a suma dos primeiros 22 múltiplos de 4. B. Calcular a suma dos 800 primeiros termos da sucesión: -9, -7, -5, -3, -1, … C. Calcular a suma dos termos dunha progresión aritmética de diferenza -4 sabendo que o primeiro é 3 e o último é -45. D. Calcular a suma dos 300 primeiros termos da sucesión: 10, 8, 6, 4, 2, … E. Calcular a suma dos múltiplos de 4 comprendidos entre 10 e 650. F. Calcular a suma dos termos dunha progresión aritmética de diferenza -2 sabendo que o primeiro é -5 e o último é -23. G. Calcular a suma dos múltiplos de 7 comprendidos entre 22 e 3032. H. Calcular a suma dos 43 primeiros termos da sucesión: 3, 1, -1, -3, -5, … I. Calcular a suma dos termos dunha progresión aritmética de diferenza 2 sabendo que o primeiro é -8 e o último é 28.

EXERCICIOS 7.

Determina a diferenza das seguintes progresións aritméticas: a) 1, 4, 7,10,13.... b) 8, 6, 4, 2, 0,.... c) 2, 6,10,14,18,....

Escribe o termo xeral das seguintes progresións aritméticas: a) 4, 6, 8,10,.... b) 3, −1, −5, −9,.... c) 5, 8,11,14,....

Calcular a suma dos 10 primeiros termos da progresión aritmética: 2, 4, 6, 8,10,...

10.

Calcular a suma dos 20 primeiros termos da progresión aritmética: 3, 7,11,15,19,...

11.

O primeiro termo dunha progresión aritmética de diferenza 5 é 4 e o último termo é 499. Acha a suma de todos eles.

Cando remates... Pulsa

Progresións

para ir á páxina seguinte.

-8 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

3. Progresións xeométricas 3.a. Definición Le o texto da pantalla e completa: Unha progresión xeométrica é ______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. Na escena tes varios exemplos para ver as regras de formación de progresións xeométricas. Le detidamente varios exemplos. Completa dous nos recadros seguintes: Exemplo 1

Exemplo 2

Progresión: ________________________

Regra de formación:

Termos:

a2 a3 a4 a5

= = = =

a1 a2 a3 a4

· · · ·

= = = =

· · · ·

= = = =

a2 a3 a4 a5

= = = =

a1 a2 a3 a4

· · · ·

= = = =

· · · ·

= = = =

A razón é: r =

A progresión é _______________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Escribe o seguinte termo da progresión xeométrica: a) 81, 27, 9, 3, ...

4096, 1024, 256, 64, …

b) 64, 32, 16, 8, …

-27, -81, -243, -729, ...

B. Razoa se a seguinte progresión xeométrica é crecente, decrecente ou alternada: c)

243, 81, 27, 9, ...

d) -81, -243, -729, -2187, …

4096, 512, 64, 8, …

256, 64, 16, 4, ...

C. Razoa se a seguinte sucesión é unha progresión xeométrica: a) 1, 5, 25, 125, …

-7, -35, -175, -1750, …

b) 5, 35, 245, 1715, …

-9, -36, -144, -576, ...

Pulsa Progresións

para ir á páxina seguinte. -9 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

3.b. Termo xeral Le o texto da pantalla. Fíxate no proceso que se segue para obter o termo xeral dunha progresión xeométrica. Completa: O termo xeral dunha progresión xeométrica é

a1 é __________________ e r é ________________ Na escena tes varios exemplos sobre "Termo xeral" de progresións xeométricas. Completa dous deles nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Progresión: ________________________

O primeiro termo é: a1 =

A razón é: r =

O termo xeral é:

an =

Despois...

an =

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Nunha progresión xeométrica, o termo 3 é 28 e a razón é -2. Acha o termo xeral. B. Nunha progresión xeométrica, o termo 6 é 6561 e a razón é 3. Acha o termo xeral. C. Nunha progresión xeométrica crecente, o termo 5 é 112 e o termo 6 é 224. Acha o termo xeral. D. Nunha progresión xeométrica crecente, o termo 4 é 81 e o termo 5 é 243. Acha o termo xeral. E. Nunha progresión xeométrica decrecente, o termo 4 é -40 e o termo 5 é -80. Acha o termo xeral. F. Nunha progresión xeométrica decrecente, o termo 4 é -40 e o termo 5 é -80. Acha o termo xeral. G. Acha o termo xeral da progresión xeométrica: 9, 27, 81, 243, … H. Acha o termo xeral da progresión xeométrica: 3, -6, 12, -24, …

Progresións

-10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.c. Suma de n termos Le o texto da pantalla. Fíxate na explicación pola cal se chega á fórmula para calcular a suma dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica e completa: A suma dos n primeiros termos dunha Observamos que a fórmula tamén se pode progresión xeométrica é: escribir:

a1 é ____________, e r é ________

a1 é ________, an é _______, e r é _______

Na escena tes varios exemplos sobre "Suma dos n termos" de progresións xeométricas. Le detidamente varios exemplos e completa dous nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Suma dos n termos: __________________________________

Despois...

Hai ___ termos

O primeiro é: ___

A razón é: ___

O primeiro é: ___

O último é: ___

A razón é: ___

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Acha a suma dos primeiros 8 termos da progresión: -3, -9, -27, -81, ... B. Nunha progresión xeométrica crecente, o termo 7 é 512 e o termo 8 é 1024. Acha a suma dos primeiros 12 termos. C. Nunha progresión xeométrica, o termo 3 é 27 e a razón é -3. Acha a suma dos 7 primeiros termos. D. Acha a suma dos primeiros 13 termos da progresión: -1, 2, -4, 8, ... E. Acha a suma dos primeiros 6 termos de progresión xeométrica cuxo termo xeral é: an = (− 4)

n −1

F. Nunha progresión xeométrica crecente, o termo 9 é 4096 e o termo 10 é 8192. Acha a suma dos primeiros 13 termos. Progresións

-11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

G. Acha a suma dos primeiros 10 termos de progresión xeométrica o termo xeral da cal é: a n = − 7·3 n −1 H. Nunha progresión xeométrica, o termo 6 é 96 e a razón é 2. Acha a suma dos 13 primeiros termos. Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.d. Suma de todos os termos (|r|<1) Le a explicación para comprender como se chega á fórmula para calcular a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica, cando a razón esta entre -1 e 1. Completa: A suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica de razón r, -1 < riron <1 é:

a1 é ____________ Na escena tes varios exemplos sobre "Suma de todos os termos (|r|<1)" de progresións xeométricas. Le varios exemplos e completa dous nos seguintes recadros: Exemplo 1

Exemplo 2

Suma de todos os termos: __________________________________

O primeiro é: ___

A razón é: ___

A suma é: S =

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Acha a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica sabendo que a7 = 3 e

a6 = 6 B. Acha a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica de razón

1 7

primeiro termo 7. C. Acha a suma dos infinitos termos da progresión xeométrica cuxo termo xeral é: a n = 2 −n + 5

D. Acha a suma dos infinitos termos da progresión: -4, -8, -16, -32, ... E. Nunha progresión xeométrica a suma dos infinitos termos é 16 e a razón

1 . Acha o 2

primeiro termo.

Progresións

-12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

F. Acha a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica sabendo que a4 = 2 e

1 4

G. Nunha progresión xeométrica a suma dos infinitos termos é 1458 e a razón

1 . Acha 3

o primeiro termo. H. Acha a suma dos infinitos termos da progresión: - 5 ,

Pulsa

−10 −20 −40 , , , ... 3 9 27 para ir á páxina seguinte.

3.e. Produto dos n termos Le o texto da pantalla. Fíxate na explicación pola cal se chega á fórmula para calcular o produto dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica. Observa que hai un enlace: "Se queres ver como se obtén a fórmula pulsa aquí" que abre unha ventá cunha explicación máis detallada da obtención da fórmula. Completa: O produto dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica é

a1 é ____________, an é ____________, e n é ________________

Na escena tes varios exemplos sobre "Produto dos termos" e "Termos equidistantes" de progresións xeométricas. Le detidamente varios exemplos e completa dous nos seguintes recadros: Exemplo 1 Termos equidistantes: __________________________________ Observamos que o produto dos termos equidistantes é o mesmo: a1 · = a2 · = a3 · = … Produto dos n termos: Hai ___ termos O primeiro é: ___ O último é: ___ Progresións

Exemplo 2 Termos equidistantes: __________________________________ Observamos que o produto dos termos equidistantes é o mesmo: a1 · = a2 · = a3 · = … Produto dos n termos: Hai ___ termos

O primeiro é: ___

O último é: ___ -13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

Despois...

NOME:

Pulsa o botón

DATA:

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Acha o produto dos primeiros 7 termos da progresión: 3, 9, 27, 81, … B. Nunha progresión xeométrica, o termo 2 é 4 e o termo 4 é 16. Acha o produto dos primeiros 5 termos. C. Acha o produto dos primeiros 34 termos da progresión xeométrica de termo xeral:

an = 2n+1 D. Nunha progresión xeométrica, o termo 6 é 2187 e a razón é 3. Acha o produto dos primeiros 6 termos. E. Acha o produto dos primeiros 6 termos da progresión: 27, 81, 243, 729, … F. Nunha progresión xeométrica, o termo 4 é 64 e a razón é 2. Acha o produto dos primeiros 7 termos. G. Nunha progresión xeométrica, o termo 2 é 8 e o termo 3 é 16. Acha o produto dos primeiros 4 termos. H. Acha o produto dos primeiros 14 termos da progresión xeométrica de termo xeral:

an = 7 4n+ 4

EXERCICIOS 12.

Determina a razón das seguintes progresións xeométricas: a) 1,2, 4, 8,16.... b) 81, 27, 9, 3,1,....

13.

Escribe o termo xeral das seguintes progresións xeométricas: a) 4,12, 36,108,.... b) 8,16,32, 64,....

14.

Calcula a suma dos 10 primeiros termos da progresión xeométrica:1,2, 4, 8,16,...

15.

Calcula a suma dos termos dunha progresión xeométrica finita de primeiro termo 1, razón 3 e último termo 243:

16.

Calcula a suma de todos os termos da progresión xeométrica: 8, 4,2,1,...

17.

Calcula o produto dos 8 primeiros termos da progresión xeométrica:

Cando remates... Pulsa Progresións

1 1 1 , , ,1, 2,... 8 4 2

para ir á páxina seguinte. -14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

4. Aplicacións 4.a. Interpolación Le a explicación para comprender o concepto de interpolación e completa: Interpolar significa: ________________________________________________________. Dados números a e b, interpolar n medios (diferenciais ou xeométricos) entre a e b é ________________________________ de forma que __________________________ formen unha progresión (aritmética ou xeométrica).

Na escena tes varios exemplos sobre "Interpolación aritmética" e "Interpolación xeométrica". Le detidamente e completa dous de cada tipo nos seguintes recadros:

INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA Exemplo 1 Interpolar ___ medios aritméticos entre ____ e ____ Hai que atopar ___ números entre ____ e ____ de modo que formen unha progresión aritmética de ____ termos, con a1 = ____ e a__ = ____ Para iso hai que atopar _________________ da progresión:

an = a1 + (n-1)·d

d= Os medios aritméticos son: Exemplo 2 Interpolar ___ medios aritméticos entre ____ e ____ Hai que atopar ___ números entre ____ e ____ de modo que formen unha progresión aritmética de ____ termos, con a1 = ____ e a__ = ____ Para iso hai que atopar _________________ da progresión:

an = a1 + (n-1)·d

d= Os medios aritméticos son:

Progresións

-15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

INTERPOLACIÓN XEOMÉTRICA Exemplo 1 Interpolar ___ medios xeométricos entre ____ e ____ Hai que atopar ___ números entre ____ e ____ de modo que formen unha progresión xeométrica de ____ termos, con a1 = ____ e a__ = ____ Para iso hai que atopar _________________ da progresión:

an = a1 · rn-1 r= Os medios xeométricos son: Exemplo 2 Interpolar ___ medios xeométricos entre ____ e ____ Hai que atopar ___ números entre ____ e ____ de modo que formen unha progresión xeométrica de ____ termos, con a1 = ____ e a__ = ____ Para iso hai que atopar _________________ da progresión:

an = a1 · rn-1 r= Os medios xeométricos son:

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Interpolar 4 medios aritméticos entre -9 e 1. B. Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 e 71. C. Interpolar 5 medios aritméticos entre 2 e 110. D. Interpolar 2 medios xeométricos entre 6 e 750. E. Interpolar 3 medios xeométricos entre 3 e 768. F. Interpolar 4 medios xeométricos entre 2 e 64.

Cando remates... Pulsa Progresións

para ir á páxina seguinte. -16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

4.b. Xuro composto Le a explicación para comprender o concepto de xuro composto e contesta: Como hai que facer unha inversión dun capital durante un período de tempo, t, a un rédito, r %, para que sexa unha operación de xuro composto? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ O capital final Cf obtido ao inverter un Capital C, ao rédito r %, durante t anos, a xuro composto ven dado pola fórmula:

Observa que hai un enlace: "Para ver como se obtén a fórmula pulsa aquí" que abre unha ventá coa secuencia de fórmulas que conducen a súa obtención. Na escena tes varios exemplos sobre "Xuro composto". Le detidamente varios exemplos e completa un nos seguintes recadros: XURO COMPOSTO Exemplo Depositamos ______ ao _____ de xuro composto anual. Que cantidade de diñeiro teremos ao cabo de ____ anos? Hai que atopar ___ números entre ____ e ____ de modo que formen unha progresión aritmética de ____ termos, con a1 = ____ e a__ = ____

Aplicamos a fórmula do xuro simple: Ano

C. Inicial

Xuro

C. Final

Observa que se aplicamos a fórmula do xuro composto: Obtense o mesmo capital final:

Progresións

-17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

Despois...

NOME:

Pulsa o botón

DATA:

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. Depositamos 8000 € ao 6% de xuro composto anual. ¿Que cantidade de diñeiro teremos ao cabo de 367 días? B. Depositamos 20 € ao 3% de xuro composto anual. ¿Que cantidade de diñeiro teremos ao cabo de 9 meses? C. Depositamos 3000 € ao 4% de xuro composto anual. ¿Que cantidade de diñeiro teremos ao cabo de 5 anos? D. Un capital de 9000 € convértese en 10528,73 € ao cabo de 4 anos, a certo xuro composto anual. ¿Cal é o xuro? E. Un capital de 70 € convértese en 81,89 € ao cabo de 4 anos, a certo xuro composto anual. ¿Cal é o xuro? F. Calcula o capital, que investido a un xuro composto do 3%, produce en 4 anos un capital de 90,04 €. G. Calcula o capital, que investido a un xuro composto do 6%, produce en 2 anos un capital de 8988,8 €.

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

4.c. Resolución de problemas As progresións aparecen en multitude de ocasións na resolución de distintos problemas da vida real. Na escena tes varios exemplos sobre resolución de problemas. Aparecen tres tipos de problemas: Economía, Capitalización e Xeratriz. Escolle cada un deses tipos e le detidamente a súa resolución. Completa un de cada tipo nos seguintes recadros: PROBLEMA DE ECONOMÍA 1º. Comprender o enunciado:

2º. Interpretar o problema:

Progresións

-18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

3º. Identificar a progresión:

4º. Aplicar a fórmula axeitada para dar a solución:

PROBLEMA DE CAPITALIZACIÓN 1º. Comprender o enunciado:

2º. Interpretar o problema:

3º. Identificar a progresión:

4º. Aplicar a fórmula axeitada para dar a solución:

Progresións

-19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

PROBLEMA DE FRACCIÓNS XERATRICES 1º. Comprender o enunciado:

2º. Interpretar o problema:

3º. Identificar a progresión:

4º. Aplicar a fórmula axeitada para dar a solución:

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena:

EXERCICIOS de Reforzo A. O número de usuarios dun ximnasio na primeira semana comezou sendo de 140 persoas e aumentou en 50 persoas cada semana. Cantas persoas usarían o ximnasio nas 15 primeiras semanas? B. Nun aparcamento cobran 0,15 € pola primeira hora de estacionamento e, por cada hora seguinte, o triplo do cobrado na hora anterior. Canto pagaremos por aparcar 6 horas? C. Unha árbore de rápido crecemento multiplica a súa altura por 1,8 cada ano. Se ao comezar o ano medía a 0,5 m. Que altura terá ao cabo de 5 anos? D. Acha a profundidade dun pozo se pola escavación do primeiro metro se pagaron 30 € e pola de cada un dos restantes, páganse 5 € máis que no anterior, sendo o custo total de 450 €. Progresións

-20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

E. Unha ra está no bordo dunha poza circular de 8 m de raio e quere chegar ao centro saltando. Dá un primeiro salto de 4 m e, despois, avanza en cada un a metade do salto anterior. Logrará chegar ao centro? F. Durante os cinco primeiros meses de vida, un bebé foi gañando cada mes un 10% de peso. Se ao nacer pesaba 3000 gramos. Cal foi o seu peso ao final do quinto mes? G. Unha escaleira ten todos os chanzos iguais menos o primeiro, que mide 23 cm. Ao subir 70 chanzos, a altura ascendida é de 1472 cm. Que altura ten cada chanzo? H. Nun exame as preguntas estaban ordenadas segundo a súa dificultade. A primeira valía 4 puntos e cada unha das restantes valía 3 puntos máis que a anterior. Se en total contan 100 puntos, cantas preguntas tiña o exame? I. As medidas dos ángulos dun triángulo forman unha progresión aritmética. Se o ángulo menor mide 21º. Cal é a medida dos outros dous? L. Para participar nunha carreira Xoán adestra o primeiro día 7 km e cada día seguinte aumenta en 3 km a distancia recorrida o día anterior. Que distancia percorre o undécimo día? M. Un xardineiro coloca xeranios nun xardín en forma de triángulo, na primeira fila coloca 4, na segunda 9, na terceira 14 e así ata colocar 9 filas. Cantos xeranios coloca en total? N. O prezo dun coche decrece un 30% por cada ano que pasa. Cal será o prezo dun coche que vale 17000 € dentro de 7 anos?

EXERCICIOS 18.

Interpola 3 medios aritméticos entre 4 e 29.

19.

Interpola 4 medios xeométricos entre 1 e 243:

20.

Calcula o capital obtido invertendo 2000 € ao 3% de xuro composto anual durante 5 anos.

21.

Unha árbore de rápido crecemento multiplica a súa altura por 1'2 cada ano. Se ao comezar o ano medía 0'75 m, que altura terá dentro de 8 anos?

22.

Lanzamos unha pelota ao longo dun corredor. En cada bote que dá avanza unha distancia igual á metade da distancia anterior. Se ao oitavo bote cae nun foso de terra e a para, que distancia percorrería se antes do primeiro bote percorreu 2 m?

Cando remates... Pulsa

Progresións

para ir á páxina seguinte.

-21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Completa os textos: Sucesión de números

Termo da sucesión

Sucesión decrecente

Sucesión crecente

Progresión Aritmética

Termo Xeral dunha progresión aritmética

Suma dos n primeiros termos dunha progresión aritmética

Progresión Xeométrica

Termo Xeral dunha progresión xeométrica

Suma dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica

Produto dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica

Suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica

Pulsa Progresións

para ir á páxina seguinte -22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás exercicios relacionados con progresións aritméticas e xeométricas.

PROGRESIÓNS Copia o enunciado e resolve o exercicio no recadro reservado para iso, despois de resolvelo comproba a solución no ordenador para ver se o fixeches ben. Debes facer un mínimo de 15 exercicios. 1)

Progresións

-23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nยบ 5

NOME:

DATA:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Cando remates... Pulsa

Progresiรณns

para ir รก pรกxina seguinte.

-24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Escribe o termo __ da sucesión: __ , __ , __ , __ , __ , ... Escribe o termo xeral da sucesión: __ , __ , __ , __ , __ , ... Escribe o termo xeral da sucesión: __ , __ , __ , __ , __ , ...

Escribe o termo de __ da sucesión: __ , __ , __ , __ , …

Acha a suma de todos os termos da progresión: __ , __ , __ , __ , …

Acha a suma sucesión:

dos

primeiros

termos

__ , __ , __ , __ , … Acha o produto dos __ primeiros termos da sucesión: __ , __ , __ , __ , … Canto diñeiro me devolverá o banco se fago unha imposición de _______ € a prazo fixo durante _______ ao ___ % de xuro composto anual. Calcula a suma de todos os múltiplos de ___ de __ cifras.

O pai de Xoán decide gardar un euro o día que Xoán cumpre un ano. Ira duplicando a cantidade en todos o aniversario do seu fillo. Canto diñeiro terá aforrado o día que faga ___ anos?

Progresións

-25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

Para practicar máis 1. Completa as sucesións cos termos que faltan:

5. Descobre a lei de recorrencia de cada unha das sucesións:

a) 3, 7,11,15, __, __,....

a) 3, 7,10,17, 27,....

b) 3, 6,12, 24, __, __,....

b) 3, 6,12, 24, 48,....

c) 32,16, 8, 4, __, __,....

c) 3, 7,11,15,19,....

d) 5,10,17, 26, __, __,....

d) 9, 3, 6, −3, 9,....

2. Calcula os 4 primeiros sucesión de termo xeral:

termos

6. Calcula o termo xeral das seguintes progresións aritméticas.

a) an = n + 5

a) 4, 7,10,13,16,....

b) an = 2n−1

b) 1, 3, 5, 7, 9,....

c) an =

n+1

n+2

d) an = 5n

3. Calcula o termo xeral das sucesións:

c) 7,11,15,19, 23,.... d) 3, 4, 5, 6, 7,....

7. Calcula o termo xeral das seguintes progresións xeométricas.

a) 1, 2, 3, 4, 5,....

a) 4, 8,16, 32, 64,....

b) 1, 4, 9,16, 25,....

b) 1, 3, 9, 27, 81,....

c) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,.... 2 3 4 5 6

c) 16, 8, 4, 2,1,....

d) 23 , 34 , 54 , 5 ,.... 6

4. Acha o termo 100 da sucesión de termo xeral: a) an = 3n + 2 b) an =

2n + 1 n −1

c) an =

(−1)n n+1

2 4 ,

3 9 27 81

, ....

8. Calcula a diferenza dunha progresión aritmética se se coñecen: a) a10 = 30 e a1 = −6 b) a30 = 95 e a20 = 45

9. Calcula a razón dunha xeométrica se se coñece

progresión

a) a9 = 80 e a8 = 16 b) a10 = 40 e a7 = 5

Progresións

-26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 5

NOME:

DATA:

10. Calcula o primeiro termo dunha progresión aritmética se se coñece: a) a20 = 34 e d = 7 b) a31 = 13 e d = 3

11. Calcula o primeiro termo dunha progresión xeométrica se se coñece: a) a7 = 320 e r = 2

12. Calcula o número de termos dunha progresión aritmética finita se o primeiro é 100 o último 420 e a diferenza é 4.

13. Calcula a suma dos primeiros 101 termos da progresión: 1, 4, 7,17, 20,....

14. Calcula a suma dos múltiplos de 3 menores de 1000 e maiores que 100

15. Calcula a suma dos primeiros 8 termos da progresión: 1, 2, 4, 8,16,....

produto

dos primeiros 1 1 1 termos da progresión: , , ,1, 2,.... 8 4 2

20. Determina o capital que cun xuro composto do 5% anual, produce 200 € en 4 anos.

21. Acha o capital obtido invertendo 100 € ao 3% de xuro composto anual durante 4 anos?

22. Interpola 6 termos entre 1 e 10 para que formen unha progresión aritmética.

b) a6 = 915 e r = 3

16. Calcula

23. Interpola 3 termos entre 1 e 16 para que formen unha progresión xeométrica

24. Nun exame a primeira pregunta valía dous puntos e cada unha das seguintes valía tres puntos máis que a anterior. Se en total hai 50 preguntas, cantos puntos vale o exame?

25. O número inicial de moscas dunha poboación é de 50 e cada tres días o número de moscas duplícase, cantas moscas haberá aos 30 días? ) 26. Escribe a fracción xeratriz de 1 ' 2 , utilizando a suma dunha progresión.

17. Calcula a suma dos infinitos termos da progresión: 16, 8, 4, 2,1,....

18. Calcula o produto dos primeiros 10 termos da progresión 16, 8, 4, 2,1,....

27. Nunha progresión xeométrica o termo sexto vale 64 e o cuarto é 16. Acha o termo xeral.

28. Os ángulos dun triángulo están en progresión aritmética, se o máis pequeno mide 40º cal é a medida dos outros dous?

19. Depositamos 6000 € ao 5% de xuro composto anual. Canto diñeiro terei despois de 3 anos?

Progresións

-27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Figuras planas, propiedades métricas Contidos 1. Ángulos na circunferencia Ángulo central e ángulo inscrito 2. Semellanza Figuras semellantes Semellanza de triángulos, criterios 3. Triángulos rectángulos Teorema de Pitágoras Aplicacións do Teorema de Pitágoras 4. Lugares xeométricos Definición e exemplos Máis lugares xeométricos: as cónicas 5. Áreas de figuras planas

Obxectivos •

Recoñecer os ángulos importantes nunha circunferencia e as súas relacións.

•

Descubrir cando dous triángulos son semellantes.

•

Utilizar o teorema de Pitágoras para resolver algúns problemas.

•

Identificar a mediatriz dun segmento e a bisectriz dun ángulo como conxuntos de puntos.

•

Calcular a área de recintos limitados por liñas rectas e por liñas curvas.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Figuras planas, propiedades métricas

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Antes de empezar Observa na escena que van aparecendo algunhas figuras xeométricas. Neste tema traballaremos con esas figuras e estudaremos as súas propiedades. Que figuras recoñeces nesa escena?

Nestas dúas figuras da dereita aparecen dúas construcións que estudarías en cursos anteriores.

Saberías a que corresponde cada unha delas?

Pulsa en

Para LEMBRAR unha propiedade importante dos triángulos.

PROPIEDADE Completa o debuxo e a demostración A suma dos ángulos interiores dun triángulo é igual a _______

Pulsa

para ver a demostración

Cando remates pulsa

Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

1. Ángulos na circunferencia 1.a. Ángulo central e ángulo inscrito Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Na circunferencia da escena da dereita: Onde ten o seu vértice o ángulo α? __________________________________________ Como se chama ese ángulo? ___________________________________________ A que arco corresponde a súa medida? _____________ Onde ten o seu vértice o ángulo β? __________________________________________ Como se chama ese ángulo? ___________________________________________ A que arco corresponde a súa medida? _____________

Na escena pulsa Aparece un círculo e nel un ángulo central e un ángulo inscrito que comparten un mesmo arco de circunferencia RS. Move o punto R ata un punto calquera. Que relación hai entre as medidas do ángulo central e do inscrito? _________________________________________________________________________ Pulsa novamente Agora move o punto P e fíxate na medida do ángulo inscrito. Cambia o valor do ángulo inscrito ao cambiar o vértice de posición? ____ É dicir, ángulos inscritos que abranguen o mesmo arco de circunferencia son ______ Pulsa novamente Agora sitúa o punto R en x=-5, y=0 Canto mide agora o ángulo central? ________ e o inscrito? ___________ Escribe a propiedade que relaciona as medidas dun ángulo central e dun ángulo inscrito que abranguen un mesmo arco de circunferencia:

Despois...

Pulsa en

para facer exercicios.

Ábrese unha ventá na que aparecerán 3 escenas con exercicios que debes resolver nos cadros da páxina seguinte. Pulsa: Comezar Figuras planas, propiedades métricas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 1. Calcula o valor do ángulo ou dos ángulos marcados en cada caso. Circunferencia dividida en tres partes iguais Operacións

Valor de

α=

Circunferencia dividida en seis partes iguais Operacións

Valor de Valor de

α= β=

Circunferencia dividida en oito partes iguais Operacións

Valor de Valor de

α= β=

Cando remates pulsa

Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

2. Semellanza 2.a. Figuras semellantes Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Observa á dereita, na escena de pantalla, algunhas parellas de figuras semellantes. Que é o que teñen en común? ___________________ Que é o que teñen diferente? ____________________

Completa: Dúas figuras planas considéranse semellantes se existe ____________ ____________________, chamada ____________________________, entre os seus _____________ homólogos e ademais os seus ________ homólogos son ________________.

Pulsa a frecha de avanzar

na escena da dereita

Nas seguintes escenas verás a explicación do TEOREMA DE THALES. Na primeira aparece o seu enunciado deste teorema. Se queres deter a escena, pulsa o botón secundario do rato e aparecerá un recadro que na súa parte inferior ten os botóns de retroceso e pausa/avance: Enunciado do Teorema de Thales

Pulsando

Continuar

Irá aparecendo unha figura formada por tres rectas paralelas (que podes mover arrastrando o punto laranxa) e dúas rectas que as cortan (que tamén podes mover utilizando os puntos azuis). Anota aquí as medidas dos segmentos que se indican e os cocientes entre eses segmentos:

AB =

A' B' =

AB =

A' B' =

BC =

B' C' =

AC =

A' C' =

A' B'

B' C'

A' C'

Que relacións observas? Figuras planas, propiedades métricas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

Pulsa

NOME:

DATA:

Continuar

Fai o que se indica: Une os puntos azuis para construír dous triángulos PAB e PA'B'. En que posición se di que están? ____________________________________ Move na escena o punto P e en calquera posición toma nota das seguintes medidas:

PA =

PB =

PA' =

PB' =

AA' =

PB PB' PA'

BB' =

= =

BB' = AA' Pulsa

Continuar

Aparecen dúas figuras semellantes. Observa a escena detidamente. Como son entre si os ángulos homólogos? A

Á'

Os catro pares de lados gardan a mesma ________________________________

Pulsa en

A' B'

B' C'

A' D'

D' C'

para facer exercicios. Aparecerán os mesmos dos seguintes recadros:

EXERCICIOS 2. a) Calcula o valor de “x” utilizando o teorema de Thales. Operacións

Valor de

Figuras planas, propiedades métricas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 2. b) Calcula a lonxitude do segmento BC. Operacións

Medida de BC

3. Calcula a altura “h” do edificio. Operacións

Altura: h

4. Utiliza o teorema de Thales para calcular as medidas de x, y, z: Operacións

Medidas: x =

5. Calcula a distancia entre os puntos A e B. Operacións

Distancia entre A e B =

Figuras planas, propiedades métricas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

2.b. Triángulos semellantes. Criterios Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Cando se di que dous triángulos son semellantes? __________________________________ __________________________________. Como son entre si os lados homólogos? __________________________________. Como son entre si os ángulos? __________________________________.

Criterios de semellanza de triángulos Na escena da dereita podes ver os tres criterios de semellanza de triángulos. En cada un deles podes ver a demostración pulsando Le atentamente cada unha das demostracións e escribe cada un dos criterios nos seguintes recadros: Pulsa Primeiro criterio de semellanza ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Pulsa Segundo criterio de semellanza ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Pulsa Terceiro criterio de semellanza ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

Figuras planas, propiedades métricas

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

Pulsa en

DATA:

para facer exercicios. Aparecerán os mesmos do seguinte recadro:

EXERCICIOS 6. Nun triángulo rectángulo ABC (B=90º) trázase a altura sobre o lado AC, formándose así os triángulos tamén rectángulos, BDA e BCD, son semellantes tamén estes triángulos? Que criterio aplicas? B

β α

7. Nun triángulo calquera ABC, únense os puntos medios dos lados para formar outro triángulo DEF, son semellantes estes dous triángulos? Que criterio aplicas? B

C F

8. A figura era coñecida na antigüidade como “pentagrama pitagórico”. Nela pódense ver bastantes parellas de triángulos semellantes. Os de cor amarelo e morado, son semellantes? Que criterio aplicas? b

a’

b’

9. Os triángulos da figura, son semellantes?

5 10

Cando remates pulsa Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

3. Triángulos rectángulos 3.a. O teorema de Pitágoras Le en pantalla o enunciado do Teorema de Pitágoras e escríbeo no seguinte recadro: ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

Debaixo do enunciado do teorema de Pitágoras podes ver unha explicación xeométrica.

Completa o que falta neste debuxo:

Na escena pulsa

Para ver unha demostración do TEOREMA DE PITÁGORAS

Aparece un triángulo rectángulo de hipotenusa a e catetos b e c Paso 1. Construímos un cadrado de lado o cateto b e outro cadrado de lado o cateto c: (Completa o debuxo) Pulsa novamente Observa como a partir dos cadrados anteriores podes obter o seguinte cadrado. Completa os datos no debuxo: Cal é a área do cadrado de lado b? Cal é a área do cadrado de lado c? Cal é a área do cadrado grande que se construíu? Que relación hai entre esas tres áreas?

Pulsa Repetir

Para ver de novo esta demostración

Para ver outra demostración pulsa en Cando remates...

Figuras planas, propiedades métricas

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

3.b. Aplicacións do teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras é de grande utilidade en multitude de problemas nos que se presenta algún triángulo rectángulo. Na escena da dereita verás exemplos de cada un deles. Pulsa Comezar

Para ver o 1º exemplo

Pulsa Continuar

para ver o seguinte

DIAGONAL DUN RECTÁNGULO

ALTURA DUN TRIÁNGULO ISÓSCELE

Completa o debuxo

Fórmulas

Pulsa Continuar

para ver o seguinte

Pulsa Continuar

Fórmulas

para ver o seguinte

LADO DUN ROMBO Completa o debuxo

Pulsa Continuar

ALTURA DUN TRAPECIO Fórmulas

para ver o seguinte

Completa o debuxo

Pulsa Continuar

Fórmulas

para ver o seguinte

SEGMENTO DE TANXENTE A UNHA CIRCUNFERENCIA

DIAGONAL DUN CUBO

Completa o debuxo

Fórmulas

Figuras planas, propiedades métricas

Fórmulas

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

Pulsa en

DATA:

para facer exercicios. Aparecerán os mesmos do seguinte recadro:

EXERCICIOS 10. No triángulo rectángulo da figura trázase a altura sobre a hipotenusa dando lugar aos triángulos laranxa e azul. Calcula o valor de m e de n. 6

8 n

11. Calcula canto mide a apotema dun octógono regular de lado 1 dm e raio 1,3 dm.

12. Nunha circunferencia sábese a lonxitude dunha corda AB, 6 cm, e a distancia desta ao centro da circunferencia, 4 cm. Canto mide o raio?

13. A recta r é tanxente ás dúas circunferencias nos puntos A e B. Acha a distancia que hai entre ambos os dous puntos de tanxencia.

14. A pirámide da figura é regular, as súas caras son triángulos equiláteros e a súa base un cadrado de lado 2 m. Calcula a súa altura.

Figuras planas, propiedades métricas

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

4. Lugares xeométricos 4.a. Definición e exemplos Completa: Un lugar xeométrico no plano é ___________________________, que cumpren todos eles ___________________________.

Na escena da dereita, pulsa

Nas seguintes escenas verás a explicación da construción xeométrica con regra e compás da MEDIATRIZ DUN SEGMENTO. Se queres deter a escena, pulsa o botón secundario do rato e aparecerá un recadro que na súa parte inferior ten os botóns de retroceso e pausa/avance: PASOS PARA REALIZAR A CONSTRUCIÓN

DEBUXO DA MEDIATRIZ

1. - Trazamos un arco de circunferencia ___________ _______________________________________ 2. - Con centro en B __________________________ _______________________________________ A recta que pasa ____________________________ ___________________________________________ A MEDIATRIZ do segmento AB é _____________ _______________________________________ _______________________________________ Unha vez debuxada a mediatriz do segmento AB, imos definila como LUGAR XEOMÉTRICO. Completa o seguinte gráfico e razoa cál é a propiedade que cumpre calquera punto P que estea situado na mediatriz. A MEDIATRIZ do segmento AB é o LUGAR XEOMÉTRICO dos puntos P que:___________________________ _______________________________

Figuras planas, propiedades métricas

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Na escena da dereita, pulsa

Agora veremos a construción xeométrica con regra e compás da BISECTRIZ DUN ÁNGULO. PASOS PARA REALIZAR A CONSTRUCIÓN

DEBUXO DA BISECTRIZ

1. - Con centro en O, trazamos __________________ ________________________________________ 2. - Este arco corta ___________________________ ________________________________________ 3. - Con centros en A e B _______________________ ________________________________________

A recta que pasa ____________________________ ___________________________________________

A BISECTRIZ dun ángulo é _________________ ________________________________________ ________________________________________ Agora imos definir a bisectriz como LUGAR XEOMÉTRICO. Na escena ves que situando un punto P en calquera lugar da bisectriz, trázanse perpendiculares aos lados do ángulo, r e s, obtendo os puntos Q e R. Fórmanse así dous triángulos rectángulos OQP e ORP. Como son entre si os dous triángulos ORP e OQP? _________________________________________ Como son entre si os segmentos RP e QP? _________________________________________ CONCLUSIÓN: A BISECTRIZ dun ángulo é o LUGAR XEOMÉTRICO dos puntos do plano que______________________ _________________________________________.

Figuras planas, propiedades métricas

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

Pulsa en

NOME:

DATA:

para ver outro exemplo interesante: ARCO CAPAZ

Pulsa en Completa: O arco capaz dun ángulo α sobre un segmento AB é ________________________________ __________________________________________________________________________

Pulsa en Indica un valor para o ángulo utilizando o control numérico

PASOS PARA REALIZAR A CONSTRUCIÓN

Pulsa Continuar

DEBUXO DO ARCO CAPAZ

1. - Empezamos trazando_______________ ___________________________________ ___________________________________ Pulsa Continuar 2. - A continuación trazamos ____________ ___________________________________ ___________________________________ E obtemos o punto _________________ ___________________________________ ___________________________________

Pulsa Continuar 3. - Observamos que o ángulo inicial α é igual ao ángulo azulado que obtemos, formado por _________________________ Pulsa Continuar 4. - Por fin trazamos __________________ ___________________________________ ___________________________________ Pulsa Continuar Observa na escena, movendo o punto P, que quedou debuxado o arco capaz. Cando remates pulsa

Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte.

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

4.b. Máis lugares xeométricos: Cónicas Completa: As curvas cónicas, coñecidas dende a antigüidade, poden obterse seccionando __________ con ___________. As curvas cónicas son tres: •

________________________________________________________________

•

_________________________

•

_________________________

Na escena da dereita aparece un cono (superficie cónica ilimitada). Fíxate que podes xiralo verticalmente se fas arrastre mentres pulsas o botón do rato. No menú superior escolle: Aparece un plano que corta á superficie cónica. Debúxao a continuación: En que posición está o plano? __________________________

Pulsa na esquina inferior dereita da escena: Definición>> Aparece unha nova escena na que se observa a propiedade e a definición desta curva cónica como lugar xeométrico. Escribe a fórmula no recadro.

COMPLETA: Circunferencia: Lugar xeométrico dos puntos do plano que _____________ ______________________ ______________________ ______________________

Pulsa na esquina inferior esquerda da escena: < < Volver Para ver outra curva cónica...

No menú superior escolle:

Figuras planas, propiedades métricas

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

Aparece un plano que corta á superficie cónica. Debúxao

DATA:

En que posición está o plano? ___________________________

Pulsa na esquina inferior dereita da escena: Definición>> Escribe a fórmula no recadro.

COMPLETA: Elipse: Lugar xeométrico dos puntos do plano que ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

Pulsa na esquina inferior esquerda da escena: < < Volver Para ver outra curva cónica... No menú superior escolle:

Aparece un plano que corta á superficie cónica. Debúxao

En que posición está o plano? __________________________

Pulsa na esquina inferior dereita da escena: Definición>> Escribe a fórmula no recadro.

COMPLETA: Hipérbole: Lugar xeométrico dos puntos do plano que _____________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

Pulsa na esquina inferior esquerda da escena: < < Volver Para ver outra curva cónica...

Figuras planas, propiedades métricas

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

No menú superior escolle:

Aparece un plano que corta á superficie cónica. Debúxao

En que posición está o plano? _________________________

Pulsa na esquina inferior dereita da escena: Definición>> Escribe a fórmula no recadro.

COMPLETA: Parábola: Lugar xeométrico dos puntos do plano que ___________ ____________________ ____________________ ____________________

Pulsa en

para ver outra propiedade das cónicas:

Completa: As curvas cónicas teñen un parámetro que permite _______________. O devandito parámetro chámase ________________. E debaixo o debuxo dunha elipse.

Na escena aparece Pulsa o botón

E observa como evoluciona a elipse.

Cando e =0, que curva cónica se obtén? _____________________________________ Pulsa o botón

E observa como evoluciona a elipse.

Cando e =1, que curva cónica se obtén? _____________________________________ Cando e >1, que curva cónica se obtén? _____________________________________ Pulsa Exercicio

Escribe debaixo de cada figura o valor da súa excentricidade.

Cando remates pulsa

Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte.

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

5. Aplicacións 5.a. Áreas de figuras planas Completa os nomes das figuras xeométricas e as fórmulas para calcular as súas áreas: Figura Nome e Área Figura Nome e Área

EXERCICIOS 15. A figura da dereita está composta por áreas de cor branca (cadrados e triángulos), vermella (pentágonos) e negra. Calcula a área de cada cor. Toda a figura é un cadrado de 12 m de lado.

3+1,5=4,5

3 1,5

1,5

Figuras planas, propiedades métricas

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Teorema de Thales

Teorema de Pitágoras

Semellanza Dúas figuras planas son semellantes se ______________ _____________________, chamada ________________________, entre _____________________________

1. ________________________

2. ________________________ ________________________

_____________________________ No caso dos triángulos abonda que se cumpra un dos criterios:

Lugares xeométricos A mediatriz dun segmento AB é o lugar xeométrico ____ _______________________ ______________________.

3. ________________________

Un lugar xeométrico no plano é _________________ ___________________________________________. A bisectriz dun ángulo é o A circunferencia, é o lugar lugar xeométrico _______ xeométrico ______________ _______________________ _______________________ ______________________. ______________________.

(Completa os debuxos)

Pulsa

Figuras planas, propiedades métricas

para ir á páxina seguinte

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás exercicios de: • Semellanza, teorema de Pitágoras e lugares xeométricos • Áreas de figuras planas Completa os enunciados e resólveos. Despois comproba se o fixeches ben. TEOREMA DE THALES 1.

As rectas r, s e t son paralelas, determina o valor de x en cada caso:

Figuras planas, propiedades métricas

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

SEMELLANZA 2.

Os cuadriláteros da figura son semellantes. Acha a lonxitude do lado x e o ángulo B.

Os triángulos da figura son rectángulos e semellantes, calcula os elementos que faltan en cada un.

Comproba que nun triángulo rectángulo ABC, os triángulos que determina a altura sobre a hipotenusa e o mesmo ABC son semellantes. Se os catetos miden 8 cm e 5 cm, calcula a altura. A

TEOREMA DE PITÁGORAS 5. Os lados dun triángulo miden____________________________. É rectángulo? En caso afirmativo, canto mide a hipotenusa?

Figuras planas, propiedades métricas

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Canto mide o raio da circunferencia da figura?

Nun triángulo isóscele os lados iguais miden 12 cm e o lado desigual 8 cm, canto mide a altura?

O raio da circunferencia maior mide 10 cm, canto mide o raio da menor?

LUGARES XEOMÉTRICOS 9.

Determina o lugar xeométrico dos puntos que equidistan das rectas das figuras:

Figuras planas, propiedades métricas

23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

10.

O triángulo da figura é isóscele. Se se despraza o vértice C de forma que o triángulo siga sendo isóscele, que lugar xeométrico determina C?

11.

Determina o lugar xeométrico dos puntos que equidistan de dúas circunferencias concéntricas, de raios respectivos ___________.

ÁREAS DE RECINTOS PLANOS O mural - Tipo 1 12. Quérese construír un mural de ____ de longo por _____ de alto unindo cadrados de ______ de lado coma o da figura. Que superficie quedará de cor azul?

O mural - Tipo 2 13. Quérese construír un mural de ____ de longo por _____ de alto unindo cadrados de ______ de lado coma o da figura. Que superficie quedará de cor azul?

O mural - Tipo 3 14. Quérese construír un mural de ____ de longo por _____ de alto unindo cadrados de ______ de lado coma o da figura. Que superficie quedará de cor azul?

Figuras planas, propiedades métricas

24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

O estadio 15.

Un estadio ten a forma e dimensións do debuxo. Que superficie ocupan as pistas?

A praza 16. Unha praza ten forma elíptica e as dimensións da figura. No centro hai unha fonte circular de _______ de raio, rodeada dun paseo de terra e no resto hai céspede. Que superficie ocupa o céspede?, e o paseo?

O papaventos - Tipo 1 17. Para construír un papaventos empregouse tea de cor verde e laranxa como na figura. Que cantidade de cada cor?

O papaventos - Tipo 2 18. Para construir un papaventos empregouse tea de cor verde e laranxa como na figura. Que cantidade de cada cor?

Figuras planas, propiedades métricas

25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

A cabra - Tipo 1 19. Unha cabra está atada na esquina dun curral cadrado de _____ de lado, cunha corda de ______ de longo, cal é a superficie sobre a que pode pastar?

A cabra - Tipo 2 20. Unha cabra está atada na esquina dun curral cadrado de _____ de lado, cunha corda de ______ de longo, cal é a superficie sobre a que pode pastar?

A catedral 21. A portada dunha catedral románica está decorada con frescos pintados sobre unha zona como a coloreada na figura. Que superficie se pintou?

As lúnulas 22. A base do triángulo da figura mide ______ e a altura ______. Calcula a área do recinto de cor azul (formado por dúas figuras parecidas a dúas lúas).

Figuras planas, propiedades métricas

26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Son paralelas as dúas rectas de cor azul da figura?

(Utiliza o teorema de Thales para comprobar a resposta)

Canto mide o ángulo α da figura?

(Debúxao primeiro no círculo da dereita)

Canto mide o ángulo B da figura?

Os lados dun rectángulo miden ________ e os doutro _________. Son semellantes eses dous rectángulos?

Os lados do triángulo verde (o interior) miden __________________. Canto mide o lado maior do triángulo laranxa?

Os lados iguais dun triángulo isóscele e rectángulo miden _____. Canto mide o lado desigual?

Figuras planas, propiedades métricas

27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 6

NOME:

DATA:

Calcula o radio da circunferencia da figura.

A suma das distancias dun punto da elipse aos focos é _______ e o semieixe menor mide _____. Cal é a distancia entre os focos?

Calcula a área da figura azul inscrita nunha circunferencia de radio _____.

As diagonais do rombo da figura miden ______ e ______. Calcula a área do recinto de cor azul. (Comprendido entre o rombo e a elipse)

Figuras planas, propiedades métricas

28 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Movementos no plano Contidos 1. Vectores Concepto de vector. Coordenadas Vectores equipolentes Suma de vectores 2. Translacións Translación segundo un vector Composición de translacións 3. Xiros Xiro de centro O e ángulo α Simetría central Figuras invariantes de orde n 4. Simetría axial Simetría de eixe e Figuras con eixe de simetría Composición de simetrías axiais

Obxectivos •

Manexar o concepto de vector como elemento direccional do plano.

•

Recoñecer os movementos principais no plano: translacións, xiros e simetrías.

•

Aplicar un ou máis movementos a unha figura xeométrica.

•

Recoñecer movementos xeométricos na arte, a natureza, etc..

Autor: Aurelio Conce Casas Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Movementos no plano

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Antes de empezar Lembra ... que no plano cada punto ten as súas coordenadas. Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

EXERCICIO de Reforzo Representa sobre o sistema de coordenadas os seguintes puntos: a) P(-1,3) b) Q(0,-2) c) R(2,-5) d) S(2,5) e) T(-2,5)

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Vectores 1.a. Concepto de vector. Coordenadas Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e fai clic no botón play ver a animación.

da escena para

EXERCICIO: →

Dado un vector AB determinado por A(x1,y1) e B(x2,y2), completa: ORIXE: EXTREMO: COORDENADAS: MÓDULO: DIRECCIÓN: SENTIDO:

Cando comprendas ben os conceptos...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 1.

→

As coordenadas do vector AB son as de B menos as de A. Calcula: →

a) As coordenadas do vector AB

b) As coordenadas do punto B.

Os triángulos amarelo e verde son iguais, que distancia hai entre os puntos homólogos A(-3,2) e B(1,5)?

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Vectores equipolentes Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Completa: Dous vectores

chámanse EQUIPOLENTES se ________________________________

_________________________________________________________________________. Se os vectores

son equipolentes, o polígono ABDCA é un _____________________

Pulsa o botón da escena para ver a animación sobre vectores equipolentes e sobre o paralelogramo formado por dous vectores equipolentes. Completa: Dous vectores equipolentes considéranse representantes do __________________________

Cando comprendas ben o concepto...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO 3.

Os vectores equipolentes teñen as mesmas coordenadas. Dados o punto A(5,-2) e o B(-1,1), cales son as coordenadas do punto D?

EXERCICIOS de Reforzo → → r a) Sabendo que os vectores AB e CD son equipolentes ao vector u de coordenadas (2,-1) completa a táboa seguinte:

Vector

Orixe

Extremo

→

A(1,1)

→

D(0,0)

b) Dados dous puntos calquera A e B: →

→

Como son os módulos de AB e BA ? ________________ E as súas direccións? ___________________ E os seus sentidos? ___________________ Son equipolentes eses vectores? ___________________

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.c. Suma de vectores Le o texto de pantalla: "A suma de dous vectores "... Completa: r r r r A suma de dous vectores, u e v , é outro vector, u + v , que podemos construír de dúas formas:

•

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

•

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

r r Observa a escena para ver detalladamente como se suman dous vectores u e v .

Despois...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO 4.

Suma en cada caso gráfica e analiticamente, os vectores verde u , e azul v . a) u =(-4,-3) v =(6,-3)

b) u =(6,-3) v =(-3,-3)

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2. Vectores 2.a. Translación segundo un vector Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Completa: Unha translación de vector u é un movemento que transforma _______________________ __________________________________________________________________________ Unha translación é un movemento directo (_______________________________________) e isomorfo (_______________________________________). Practica coa escena para ver translacións de distintas figuras. EXERCICIO: Copia exemplos de translacións de distintas figuras: SEGMENTO

Movementos no plano

TRIÁNGULO

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

RECTÁNGULO

POLÍGONO

Despois...

Pulsa en

para facer uns exercicios.

EXERCICIOS 5.

Ao trasladarse, as coordenadas dun punto vense incrementadas polas do vector de translación. Compróbao nos seguintes casos:

u= A(__ , __) 6.

u= B(__ , __)

P(__ , __)

u= P'(__ , __)

P(__ , __)

P'(__ , __)

O cuadrilátero verde é p trasladado do amarelo en cada caso. Calcula as coordenadas do punto A. a) v =(-5,5)

A'(-2,2)

b) v =(5,-6)

A'(0,-1)

Cando remates...

Movementos no plano

Pulsa

c) v =(6,4)

A'(3,-1)

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

2.b. Composición de translacións Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e observa na escena como se constrúe un friso e un mosaico a partir de cada unha das figuras que aparecen. EXERCICIO: Copia un par de exemplos de frisos e outro par de mosaicos: FRISO 1

FRISO 2

MOSAICO 1

MOSAICO 2

Despois...

Pulsa en

para ver unhas fotografías.

EXERCICIO 7.

A arte amosa translacións como podes apreciar nos exemplos seguintes. Debuxa sobre eles o vector de translación que deu lugar aos frisos.

Cando remates...

Movementos no plano

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

3. Xiros

3.a. Xiro de centro O e ángulo α Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Completa: Un xiro, de centro un punto O e amplitude un ángulo

α, transforma ____________________

__________________________________________________________________________ Debes ter en conta que un xiro pode ter orientación positiva (_________________ ________________________) ou negativa (____________________________________). Practica coa escena para ver xiros de distintas figuras. EXERCICIO: Copia exemplos de xiros de diferentes figuras usando distintos centros e ángulos (positivos e negativos):

Despois...

SEGMENTO

TRIÁNGULO

CADRADO

PUNTO

Pulsa en

Movementos no plano

para ver como se determina o centro e o ángulo de xiro.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO 8.

Cal é o centro de xiro que transforma o triángulo amarelo no verde?

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.b. Simetría central Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Define: Simetría central:____________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Centro de simetría: __________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Practica coa escena para ver simetrías centrais de distintas figuras, exemplos de centro de simetría e unha aplicación das simetrías centrais á produción de mosaicos. EXERCICIO: Copia dous exemplos de simetrías centrais aplicadas a distintas figuras. PUNTO

TRIÁNGULO

Despois...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 9.

Cales son as coordenadas d punto P', simétrico del P na simetría de centro o punto O? a) O(1,1)

P(-3,-3)

b) O(-2,1)

P(2,-3)

10.

Na imaxe amósase un polígono (cor amarelo) e o seu simétrico (cor verde) respecto ao punto O, cales son as coordenadas de O?

11.

Ao triángulo amarelo aplicámoslle sucesivamente dúas simetrías centrais respecto ao mesmo punto, O, cal é o resultado?

Movementos no plano

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO 12.

Aplícase ao triángulo amarelo unha simetría de centro O, e despois outra de centro O', cal é o resultado?

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.c. Figuras invariantes de orde n Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Define: Centro de xiro:________________________________________ _____________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Figura invariante de orde n: __________________________________________________ __________________________________________________________________________ Observa na escena diferentes figuras con centro de xiro. Fíxate ben en como se acha o centro de xiro e cál é a amplitude do xiro nas sucesivas coincidencias. EXERCICIO: Debuxa figuras con centro de xiro sinalando nelas o devandito centro de xiro: FIGURA INVARIANTE DE ORDE 3

Despois... Movementos no plano

FIGURA INVARIANTE DE ORDE 6

Pulsa en

para facer uns exercicios. -

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO: Indica a orde do centro de xiro das seguintes figuras (número de coincidencias) e a amplitude do xiro en que se produce a primeira coincidencia: FIGURA 1

Orde: ____ Ángulo: ______ FIGURA 4

Orde: ____ Ángulo: ______

FIGURA 2

FIGURA 3

Orde: ____ Ángulo: ______ FIGURA 5

FIGURA 6

Orde: ____ Ángulo: ______ Cando remates...

Orde: ____ Ángulo: ______

Pulsa

Orde: ____ Ángulo: ______ para ir á páxina seguinte.

4. Simetría axial 4.a. Simetría de eixe e Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Completa: Unha simetría respecto a un eixe e é un movemento que transforma ___________________ __________________________________________________________________________ Segundo esta definición, debe cumprirse que: •

__________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________

Unha simetría axial é un movemento __________ porque se _________ o sentido de xiro. Practica coa escena para ver como se acha o simétrico dun punto, como se obtén o eixe de simetría dado un punto e o seu simétrico, o efecto dunha simetría na orientación e que acontece cando o eixe de simetría coincide cun lado do triángulo. Despois...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 13.

Calcula as coordenadas do punto P', simétrico do P respecto ao eixe da figura. a) P (-2,4)

14.

b) P (2,3)

En cada caso debuxa o triángulo simétrico respecto ao eixe e, do de cor amarelo e indica as coordenadas dos vértices do transformado. b) A (5,6), B (1,6), C (0,3)

a) A (5,0), B (0,-2), C (1,-7)

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

4.b. Figuras con eixe de simetría Le na pantalla o texto "Hai figuras que son..." e observa na escena da dereita os eixes de simetría dalgunhas figuras. Contesta: Que é unha figura invariante ao aplicarlle unha simetría axial? ______________________ _________________________________________________________________________ Que é o eixe de simetría dunha figura? _________________________________________ __________________________________________________________________________ Cantos eixes de simetría ten un triángulo equilátero? ____ E un hexágono regular? ____ Despois...

Movementos no plano

Pulsa en

para ver unhas imaxes.

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIO: Debuxa en cada imaxe un eixe de simetría que a deixe invariante:

EXERCICIO: Cantos eixes de simetría ten cada figura?

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

4.c. Composición de simetrías axiais Le na pantalla o texto "A aplicación consecutiva de dúas ...” EXERCICIO: A aplicación consecutiva de dúas simetrías axiais, de eixes e e e', dá lugar a un novo movemento que depende da situación relativa dos eixes e e e':

•

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Completa: O resultado de compoñer dúas simetrías axiais é un ___________________________ Observa na escena os dous casos posibles na composición de dúas simetrías axiais. Despois...

Movementos no plano

Pulsa en

para facer uns exercicios.

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 15.

Calcula as coordenadas do punto que resulta ao aplicarlle ao P primeiro unha simetría de eixe e e despois outra de eixe e'. a) P (-2,3)

16.

b) P (2,3)

Cal é o transformado do triángulo de cor morada respecto á composición de simetrías de eixes e e e'?

Cando remates...

Movementos no plano

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO

Un vector ten MÓDULO que é ______________________________________________ _______________, DIRECCIÓN que é ________________________________________ _______________________________ e SENTIDO que é __________________________ _____________________________. r Unha translación de vector u é un __________________ que transforma cada punto A do

plano, noutro punto B de xeito que o vector AB é igual ao vector ___. Un xiro, de centro un punto O e amplitude un ángulo α, transforma cada punto P do plano noutro punto P' de modo que o ángulo ______ é igual á e α e as distancias OP e OP' son __________. Se ao xirar unha figura con centro nun punto O e segundo un ángulo menor que 360º, coincide con si mesma, o punto O dise que é _____________________ da figura. Unha simetría central, ou simetría respecto a un punto O, é un _______ de centro O e amplitude ______. Transforma pois, cada punto P noutro punto ___ de modo que o ángulo _____ é igual a 180º e as distancias OP e OP' son _________. Unha simetría axial respecto a un _____ e é un ________________ que transforma cada punto P do plano noutro P' de modo que a recta e é _________________ do segmento de extremos P e P'

Pulsa

Movementos no plano

para ir á páxina seguinte

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás exercicios de Translacións, Xiros e Simetrías. Fai polo menos un de cada clase e unha vez resolto comproba a solución. Translacións 1.

Determina as coordenadas e o módulo do vector da translación que transforma o punto A _____ no punto B _____.

Acha o triángulo que deu lugar ao da figura, ao aplicarlle unha translación de vector _____.

O triángulo da figura trasladouse primeiro da posición 1 á 2, mediante unha translación de vector _____, e logo á 3 por unha translación de vector ____. Cal é o vector da translación que pasa directamente de 1 a 3?

Movementos no plano

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Calcula os vértices do triángulo que resulta ao aplicar ao da figura unha translación de vector v =____.

Xiros 5.

O triángulo ABC xira 90º en torno á orixe de coordenadas en ________ ________________ as agullas do reloxo, en que triángulo se transforma?

O triángulo morado resulta ao xirar o azul, sendo os puntos de cor laranxa homólogos no xiro e os de cor verde tamén. Determina o centro de xiro e o ángulo. O xiro realízase en sentido positivo.

Movementos no plano

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

O cadrado da figura xira 45º en __________________ as agullas do reloxo, en torno ao vértice ___, cales son os vértices do cadrado transformado?

Simetrías 8.

Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría de eixe o da figura.

Acha a figura transformada do triángulo ABC por unha composición de simetrías, primeiro a de eixe azul e logo a de eixe vermello.

Movementos no plano

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

10.

Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría central, de centro a orixe de coordenadas.

11.

Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría de eixe o de ____________.

Movementos no plano

DATA:

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Dados os puntos A(-2,2) e B(3,-4), escribe as coordenadas do vector AB .

Que punto se obtén ao trasladar o punto P(1,4) mediante o vector v =(4,-1)?

Acha as coordenadas do vector da translación que transforma o triángulo azul na laranxa.

O punto B(4,2) é o resultado de trasladar o punto A(-4,6) mediante unha translación de vector v . Que distancia hai entre A e B?

Que punto resulta ao xirar P(4,1) arredor da orixe de coordenadas, un ángulo de 90º en sentido contrario ás agullas do reloxo?

Cal é o centro da simetría que transforma o punto P(4,-2) no P'(-2,0)?

Movementos no plano

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

A figura da esquerda ten centro de simetría, Cal é o menor ángulo que ha de xirar para quedar invariante?

Cales son as coordenadas do punto simétrico do P(4,-2) na simetría de eixe a bisectriz do primeiro cuadrante?

Cantos eixes de simetría ten a figura da dereita?

Ao aplicar ao punto P primeiro unha simetría de eixe e1 e logo unha simetría de eixe e2, resulta o punto P''. Cal é o ángulo do xiro que transforma directamente P en P''.

Movementos no plano

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

DATA:

Para practicar máis

1. Determina as coordenadas e o módulo do vector da translación que transforma o punto A no punto B

2. Acha o triángulo que deu lugar ao da figura, ao aplicarlle unha translación de vector (3,2).

3. O triángulo da figura trasladouse primeiro da posición 1 á 2, mediante unha translación de vector (3,-3), e logo á 3 por unha translación de vector (2,-3). Cal é o vector da translación que pasa directamente de 1 a 3?.

resulta ao aplicar ao da figura unha translación de vector v =(3,2).

5. O triángulo ABC da figura xira 90º en torno á orixe de coordenadas, en que triángulo se transforma?.

6. O cadrado da figura xira 45º en sentido contrario ás agullas do reloxo, en torno ao vértice sinalado, cales son os vértices do cadrado transformado?.

4. Calcula os vértices do triángulo que Movementos no plano

23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 7

NOME:

7. Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría: a) de eixe o de ordenadas

DATA:

10. O triángulo azul transfórmase no morado tras un xiro de centro O, debúxao e calcula o centro de xiro.

b) o de abscisas.

8. Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría de eixe o da figura.

9. Acha a figura transformada do cuadrilátero ABCD por unha simetría central, de centro a orixe de coordenadas.

Movementos no plano

11. Acha a figura transformada do triángulo ABC por unha composición de simetrías, primeiro a de eixe azul e logo a de eixe vermello.

12. Acha a figura transformada do triángulo ABC por unha composición de simetrías, primeiro a de eixe azul e logo a de eixe vermello.

24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Corpos xeométricos Contidos 1. Poliedros regulares Definicións Desenvolvementos Poliedros duais 2. Outros poliedros Prismas Pirámides Poliedros semirregulares 3. Corpos de revolución Cilindros Conos Esferas 4. A esfera terrestre Coordenadas xeográficas Fusos horarios 5. Mapas Proxeccións

Obxectivos • • • • • •

Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construílos a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar un punto sobre a Terra. Calcular a hora en cada país. Como se fan os distintos tipos de mapas e as vantaxes e inconvenientes de cada un deles

Autor: Xosé Eixo Blanco

Corpos xeométricos

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Antes de empezar Pulsa... Lembra

para repasar algúns conceptos.

Ábrese unha ventá cunha explicación teórica e dúas escenas. Le o texto e utiliza as escenas para realizar os seguintes exercicios. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes.

Poliedros Un poliedro é un corpo pechado ____________________________________________. Cada un deles recibe o nome de _____. Os lados das caras son os ___________ do poliedro. Os extremos das arestas son os ___________ do poliedro. EXERCICIO 2: Na primeira escena escolle un a un os poliedros, observa e conta cantas caras, arestas e vértices ten cada un e completa con eses datos esta táboa. Caras

Arestas

Vértices

A -V +2

Cubo Prisma recto Pirámide Dodecaedro EXERCICIO 3: Completa a frase seguinte e a fórmula: En todo poliedro simple (sen ocos) cúmprese a relación Euler: O número de caras dun poliedro (C) é igual _______________________________________ ______________________________.

EXERCICIO 4: Completa as frases seguintes.

Corpos de revolución Un corpo de revolución é calquera figura xeométrica construída _____________________ __________________________________________________________________________. EXERCICIO 5: Na segunda escena escolle un a un os corpos de revolución e observa cal é en cada caso a figura que ao xirar arredor do eixe da lugar a cada un deles. Completa: Corpo de revolución

Figura que xira

Cando remates pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

1. Poliedros regulares 1.a. Definicións Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e escolle na escena un a un os poliedros para ver as súas características. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Diremos que un poliedro é regular cando se cumpren as seguintes condicións: • As súas caras son __________________________. • En cada vértice ________________________________. EXERCICIO 2: Completa esta táboa cos nomes e características dos poliedros regulares (Nº de caras, tipo de polígono das caras). Escribe tamén un exemplo dunha figura ou composto químico cuxa forma sexa similar a cada un destes poliedros. Nome

Nº de caras

Polígono das caras

Exemplo

Os cinco poliedros regulares tamén se chaman ____________________________. (Se fas clic nese outro nome aparece un artigo da wikipedia) Cando remates pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Desenvolvementos. Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e a escena para comprender mellor as explicacións. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Dise que un corpo xeométrico é desenvolvible cando ______________________________ _________________________________________________________________________. Na escena, selecciona o poliedro, coloca o panel co rato na posición que queiras...

... e pulsa o botón

Animar

EXERCICIO 2: Escribe debaixo de cada desenvolvemento o nome do poliedro correspondente.

Cando remates pulsa Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

1.c. Poliedros duais. Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e utiliza a escena para comprender mellor o que se explica. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes.

Poliedros duais Dise que dous poliedros son duais se o ________________________________________ _________________________________________________________________________. Ademais ambos os dous deben ter ______________________________________________. EXERCICIO 2: Contesta as seguintes preguntas. RESPOSTAS Que puntos hai que unir para obter o poliedro dual? Cal é o poliedro dual dun octaedro? Cal é o poliedro dual dun icosaedro? Cal é o poliedro dual dun dodecaedro? Cal é o poliedro dual dun tetraedro? Cal é o poliedro dual dun hexaedro? Cando remates pulsa

para ir á páxina seguinte.

2. Outro poliedros 2.a. Prismas. Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Utiliza a escena para ver as características destes corpos xeométricos. Se aparece o botón Desenvolvemento animado (Nos prismas regulares de 5 lados) Facendo clic nel podes acceder a outra páxina na que verás con maior detalle o desenvolvemento dos prismas EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Un prisma é un _______________ de ___________ formadas por ___________________ cuxos lados se unen mediante ________________. EXERCICIO 2: Contesta as seguintes preguntas. RESPOSTAS Cales son as bases dun prisma? Cales son os lados dun prisma? Como son os lados dun prisma recto? Como son os lados dun prisma oblicuo? Como son as bases dun paralelepípedo? Como son as bases e os lados dun ortoedro? Cando se di que un prisma é regular?

Corpos xeométricos

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

Pulsa...

NOME:

DATA:

Desenvolvementos, áreas e volumes dos prismas regulares

Ábrese unha escena na que podes elixir: Desenvolvementos de prismas regulares Área dun prisma Volume dun prisma Escolle: Áreas dun prisma E indica nº de lados =5 Aparece un prisma regular pentagonal, o seu desenvolvemento e as fórmulas para calcular a súa área. EXERCICIO: Completa.

Desenvolvementos, áreas e volumes de prismas regulares Os prismas son corpos desenvolvibles. En particular, os prismas regulares teñen un desenvolvemento moi sinxelo, formado por tantos rectángulos iguais como lados teña e dous polígonos regulares que forman as bases. Isto facilita o cálculo das súas áreas e volumes. 1.

Desenvolvemento e área dun _______________________:

Escolle: 2.

Volume dun prisma

E indica nº de lados = 5

Volume dun prisma pentagonal regular: Podemos considerar que está formado por unha serie apilada de prismas do mesmo tipo cuxa altura é a unidade. O volume de cada un destes pequenos prismas é igual á área da base, A, polo tanto o volume do prisma grande será:

Sendo H a altura do prisma V=

Cando remates pulsa Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

2.b. Pirámides. Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Utiliza a escena para ver as características destes corpos xeométricos. Desenvolvemento animado (Nas pirámides regulares de 5 lados) Se aparece o botón Permíteche ver con maior detalle o desenvolvemento dos prismas. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Unha pirámide é unha __________ con __________ formada por ______________________ sobre os lados da cal _________________________ que ______________________. EXERCICIO 2: Contesta as seguintes preguntas.

RESPOSTAS

Cal é a base dunha pirámide? Cales son os lados dunha pirámide? Cal é o vértice dunha pirámide? Cal é a altura dunha pirámide? Cando se di que a pirámide é recta? Cando se di que a pirámide é oblicua? Como son os lados dun prisma oblicuo? Cando se di que a pirámide é regular? Que poliedro xa estudado é un caso particular de pirámide? Como son os seus lados?

Pulsa...

Desenvolvementos, áreas e volumes das pirámides regulares

Ábrese unha escena na que podes elixir: Desenvolvementos de pirámides regulares Área das pirámides regulares Volume das pirámides Escolle:

Desenvolvementos de pirámides regulares

E indica nº de lados =5

EXERCICIO: Completa o texto e debuxa o desenvolvemento no seguinte recadro.

Desenvolvementos, áreas e volumes de pirámides regulares As pirámides son corpos desenvolvibles. En particular, as pirámides regulares teñen un desenvolvemento moi sinxelo, formado por tantos triángulos isósceles iguais como lados teña e un polígono regular que forma a base. Ao igual que nos prismas isto facilita o cálculo das súas áreas e volumes. 3.

Desenvolvemento dunha pirámide regular pentagonal:

Corpos xeométricos

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

Escolle:

NOME:

DATA:

Área das pirámides regulares

E indica nº de lados =5

EXERCICIO: Completa as fórmulas para as áreas dun prisma pentagonal. 4.

Área dunha pirámide regular pentagonal:

Escolle:

Volume das pirámides

E indica nº de lados =5

EXERCICIO: Completa o texto e as fórmulas para obter o volume dunha pirámide pentagonal. 5.

Volume dunha pirámide pentagonal regular: O volume de calquera pirámide é sempre igual a ________ _______________________________________________ _______________________________________________.

V= Sendo _________________________________ PIRÁMIDE PENTAGONAL Área da base: AB=

Volume: V =

Cando remates pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

2.c. Poliedros semirregulares. Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes.

Poliedros semirregulares Un poliedro semirregular é un poliedro cuxas caras son ___________________________ de ________________, de forma que en cada vértice ______________________________. Pódense obter, con certa facilidade, poliedros semirregulares a partir dos poliedros regulares mediante a técnica do truncamento. Truncar un poliedro consiste en suprimir un dos seus vértices mediante a aplicación dun corte plano. Na escena escolle no menú:

Tetraedro Na parte inferior da escena podes variar a lonxitude do corte: Lonx. corte Indica Lonxitude de corte = 1,3 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: 4 _________________ e 4 __________________ En cada vértice conflúen: __________________________

Indica Lonxitude de corte =2 Neste caso o poliedro semirregular que se obtén é un _____________________. Na escena escolle no menú:

Cubo Indica Lonxitude de corte = 1,2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________ Indica Lonxitude de corte = 2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Recibe o nome de: _____________________ Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________

Corpos xeométricos

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

Na escena escolle no menú:

DATA:

Octaedro Indica Lonxitude de corte = 1,4 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________ Indica Lonxitude de corte = 2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Recibe o nome de: _____________________ Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________

Na escena escolle no menú:

Dodecaedro Indica Lonxitude de corte =1,2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________ Indica Lonxitude de corte =2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________

Na escena escolle no menú:

Icosaedro Indica Lonxitude de corte = 1,4 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________ Indica Lonxitude de corte = 2 Completa os datos do poliedro semirregular que aparece: Caras: __ ________________ e __ __________________ En cada vértice conflúen: __________________________

Pulsa...

Para ver algunhas cuestións relativas a estes temas

Corpos xeométricos

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 6.

Determinar a lonxitude da aresta dun tetraedro, dun octaedro ou dun icosaedro que hai que truncar a partir dun vértice para obter un poliedro semirregular. Na escena de exercicios preme O triángulo representa a cara dun tetraedro. Movendo o vértice simúlase o truncamento dos vértices. Utiliza a escena para deducir por onde debe producirse o corte para obter un poliedro semirregular (de xeito que apareza un hexágono)

Determinar a lonxitude da aresta dun cubo que hai que truncar a partir dun vértice para obter un poliedro semirregular. Na escena de exercicios preme O cadrado representa unha cara dun cubo. Movendo o vértice simúlase o truncamento dos vértices. Utiliza a escena para deducir por onde debe producirse o corte para obter un poliedro semirregular (hai que obter un octógono)

Analiza a dualidade de poliedros regulares cando se truncan pola metade da aresta. Na escena de exercicios preme O cubo e o octaedro son duais. En ambos casos obtense un _________________ O dodecaedro e o icosaedro son duais. En ambos casos obtense un _________________________

Cando remates pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

3. Corpos de revolución 3.a. Cilindros Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Un cilindro é un corpo xerado por ______________ (____________) ao xirar arredor de ______________________ (____). O cilindro é un corpo _____________________. Na escena escolle no menú:

Elementos do cilindro

EXERCICIO 2: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e contesta as preguntas. RESPOSTAS Cantas caras ten un cilindro? Como son as dúas caras que son iguais? Como se chaman esas dúas caras? Que figura xeométrica é a outra cara? Cal é o raio dun cilindro? Cal é a altura dun cilindro? Cal é a base da cara lateral? Cal é a altura da cara lateral? Na escena escolle no menú: Podes pulsar o botón

Desenvolvemento do cilindro

Desenvolvemento animado

para acceder a outra páxina na que

podes ver con maior detalle o desenvolvemento do cilindros Na escena escolle no menú:

Área do cilindro

EXERCICIO 3: Debuxa o desenvolvemento e escribe as fórmulas seguintes. Área da base:

AB = Área lateral:

Ao = Área total:

AT =

Na escena escolle no menú:

Volume do cilindro

Pulsa Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte. -

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

3.b. Conos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. Un cono é un corpo xerado por ______________ (____________) ao xirar arredor de ___________________________________ (____). O cono é un corpo ______________. Elementos do cono

Na escena escolle no menú:

EXERCICIO 2: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e contesta as preguntas. RESPOSTAS Cantas caras ten un cono? Como é a cara da base? Que figura xeométrica é a cara lateral? O punto de apoio da xeratriz sobre o eixe é o... Cal é o raio dun cono? Cal é a altura dun cono? Cal é o raio do desenvolvemento da cara? Cal é a amplitude do desenvolvemento da cara lateral? Na escena escolle no menú:

Desenvolvemento do cono

EXERCICIO 3: Fíxate no desenvolvemento do cono e escribe as fórmulas seguintes. Relación entre "r", "g" e "h":

Na escena escolle no menú:

Base do desenvolvemento lateral

Área do cono

EXERCICIO 4: Debuxa o desenvolvemento e escribe as fórmulas seguintes. Área lateral:

AL = Área da base:

AB = Área total:

AT =

Na escena escolle no menú:

Volume do cono

V= Pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

3.c. Esferas EXERCICIO 1: Le a explicación teórica deste apartado e completa a frase seguinte. Un cono é un corpo xerado por ______________ ao xirar arredor de _____________ ______________________. Na escena aparece o apartado

Construción da esfera

EXERCICIO 2: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e completa as frases: O raio dunha esfera é o mesmo que ________________________ e coincide coa distancia ___________________________________ ____________________. Esta propiedade caracteriza á esfera: ________________________________________________________ _______________________________________________________.

As esferas non son desenvolvibles. Por ese motivo a elaboración de mapas é un problema importante. Analizaremos este problema con máis detalle no último capítulo. Na escena escolle o apartado

Partes dunha esfera

EXERCICIO 3: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e escribe as definicións: Casquete esférico: ____________________________________ ___________________________________. Zona esférica: ____________________________________ ___________________________________.

Na escena escolle o apartado

Área dunha esfera

EXERCICIO 4: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e escribe as definicións: A área dunha esfera de raio r é igual ________________________ ________________________________________. Área da esfera: A = Área do casquete: Ac = Área da zona: Az =

Corpos xeométricos

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

Na escena escolle o apartado

DATA:

Volume dunha esfera

EXERCICIO 5: Escribe no debuxo os nomes dos elementos e escribe as definicións: Volume da esfera: Ve = O volume do cilindro circunscrito é: Vci = O volume da esfera equivale a _____________________________ ________________________________________. Como o volume dun cono do mesmo raio e altura é ___________ ________________________________________:

O volume dunha zona esférica é igual ________________________ ________________________________________:

Pulsa...

Círculos sobre unha esfera

Círculos na esfera Cando un plano corta a unha esfera a intersección de ambas figuras produce sempre un círculo. Se ese círculo contén ao centro da esfera dise que é un CÍRCULO MÁXIMO. Podes mover a imaxe para vela desde outra perspectiva. Tamén podes modificar o control Pos para variar a posición do plano que corta á dúas primeiras esferas. Completa: As circunferencias que limitan aos círculos máximos teñen a propiedade de que: _____________________________________ __________________________________.

Pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

4. A esfera terrestre 4.a. Coordenadas xeográficas Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa as frases seguintes. A Terra ten unha forma ______________. Xira sobre unha liña chamada _______________. Os puntos nos que o eixe corta á superficie da Terra son os __________________________. Os planos que conteñen ao eixe cortan á Terra en _________________ cuxos bordos son ________________ chamadas _______________. O plano perpendicular ao eixe que pasa polo centro da Terra cúrtaa nun ___________ cuxo bordo é ______________. Os planos paralelos ao plano do Ecuador cortan á Terra en círculos que xa ___________. Os seus bordos son os _____________. EXERCICIO 2: Sitúa o punteiro do rato na palabra meridiano e despois na palabra Ecuador e contesta ás seguintes preguntas. Por que se denominan meridianos? Por que se denomina Ecuador?

Na escena escolle no menú:

Latitude

EXERCICIO 3: Le o texto da escena e contesta: Que é a latitude? RESPOSTAS Cantos paralelos pasan por cada punto da Terra? En que se mide a latitude? Que hai que indicar ao dar a medida da latitude? Cál é a latitude mínima e onde se acada? Cál é a latitude máxima e onde se acada? Cal é a latitude de Valladolid? Na escena escolle no menú:

Lonxitude

EXERCICIO 4: Le o texto da escena e contesta: Que é a lonxitude? RESPOSTAS Cantos meridianos pasan por cada punto da Terra? En que se mide a lonxitude? Que hai que indicar ao dar a medida da lonxitude? Cál é a latitude mínima e onde se acada? Entre que valores varía a lonxitude? Cal é a lonxitude de Valladolid? Corpos xeométricos

15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

Na escena escolle no menú:

DATA:

Coordenadas xeográficas

EXERCICIO 4: Podes variar a latitude e a lonxitude do punto e observar como varía a súa posición. Contesta: Como se chama o punto do planeta situado máis ao Norte? E o situado máis ao Sur? Cales son as coordenadas xeográficas do punto P da figura?

Na escena escolle no menú:

GPS

EXERCICIO 5: Le o texto da escena e contesta: Cales son as coordenadas xeográficas dun punto?

Para que se utilizan as coordenadas xeográficas?

Como se chama o sistema que serve para localizar con precisión unha persoa, obxecto, etc.?

Se fas clic sobre a imaxe, na que podes ver a cantidade de satélites artificiais visibles dende un punto concreto do planeta a medida que vai xirando, accederás a un artigo da wikipedia na que se explica detalladamente o funcionamento e características do GPS.

Pulsa...

Imos practicar un pouco

EXERCICIOS 9. Aínda que agora se usa unha definición máis precisa, o metro é, aproximadamente, a dezmillonésima parte do cuadrante dun meridiano calquera. Isto significa que todos os círculos máximos sobre a Terra miden, aproximadamente, 40.000.000 de metros (en particular, todos os meridianos e o Ecuador). A partir deste dato calcula a lonxitude do raio da Terra, a súa superficie e o seu volume. 10. Agás o Ecuador, os paralelos non son círculos máximos e calcular a súa lonxitude require do uso dunhas ferramentas que non verás ata o vindeiro curso. Con todo, nalgúns casos concretos e coa axuda do noso vello amigo, o Teorema de Pitágoras, podemos facelo. Calcula a lonxitude do paralelo de 45ºN. Cal é a ruta máis curta? Queremos calcular a distancia entre un punto situado a 10º lonxitude O e 30º latitude N e outro situado a 80º lonxitude O e a 30º de latitude N movéndonos soamente polo paralelo común. E se nos movemos dun punto ao outro ao longo dun círculo máximo?

Pulsa Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte. -

16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

4.b. Fusos horarios Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e le o texto que aparece na escena da dereita. EXERCICIO 1: Contesta. Que é un día? Cal é a amplitude dun fuso esférico? Cantos fusos esféricos hai en total? Canto tarda o Sol en cruzar cada fuso? Que é un fuso horario?

Imos practicar un pouco e a analizar os fusos horarios na realidade

Pulsa...

EXERCICIOS 11. Temos unha esfera de 9 cm de raio. Calcula a superficie dun fuso esférico sobre esa esfera de 59º de amplitude

12. A cidade A ten unha lonxitude de 123ºO e a cidade B de 23ºE. Calcula a hora que é na cidade B cando na cidade A son as 10 horas.

Le a explicación no recadro sobre: OS FUSOS HORARIOS NA REALIDADE Se queres ampliar a información ao respecto destes temas podes pulsar nos enlaces seguintes: Mapa de fusos horarios no mundo Calcular a hora en calquera parte do mundo Reloxo mundial

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

5. Mapas 5.a. Proxeccións da esfera sobre un plano Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Completa. Un mapa é ______________________________________________________________.

Corpos xeométricos

17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Escolle unha a unha na escena da dereita os distintos tipos de proxeccións e completa as frases nos seguintes recadros: Na escena escolle o tipo de proxección:

Proxección de Mercator

Proxección _________________________________________________________________. Características: Os meridianos represéntanse mediante _______________________________________. Os paralelos represéntanse mediante ________________________________________. Vantaxes: Mantén ________________________________________________________________. Inconvenientes: Diminúe _____________ a medida que ________________________________, o que fai que a superficie dos países de ____________________________ pareza moito maior do que é en realidade. Na escena escolle o tipo de proxección:

Proxección de Gall-Peters

Proxección _____________________________________________. Características: Os meridianos represéntanse mediante _______________________________________. Os paralelos represéntanse mediante ________________________________________. Vantaxes: Conserva ___________________ Inconvenientes: Non se mantén ___________________________________. As zonas próximas ao Ecuador vense ____________________________ e as próximas aos polos vense ____________________________ Na escena escolle o tipo de proxección:

Proxección cónica

Proxección ________________________________________________________________. Características: Os meridianos represéntanse mediante _______________________________________. Os paralelos represéntanse mediante ________________________________________. Vantaxes: É moi axeitado para representar ___________________. É moi preciso preto do ___________________. Inconvenientes: As distorsións aumentan o _______________________________________________. Na escena escolle o tipo de proxección:

Proxección azimutal

Proxección ________________________________________________________________. Características: O mapa é ____________ Os meridianos represéntanse mediante _______________________________________. Os paralelos represéntanse mediante ________________________________________. Vantaxes: É moi axeitado para representar ___________________. É moi preciso preto do ___________________. Inconvenientes: As distorsións aumentan o _______________________________________________. Pulsa Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte. -

18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO POLIEDROS Regulares: As súas caras son ____ _______________ e en cada vértice concorre ____________________.

Semirregulares: As caras son __________________________ _____________ e con _________ ___________________________.

Prismas: As bases son _________ ________________ e os lados son _____________________.

Pirámides: A base é _________ ________________e os lados son ___________________________ __________________________.

Todos os poliedros son ___________________________

CORPOS DE REVOLUCIÓN Cilindro: Xerado por un _________ ________ ao xirar sobre _________ _______________. Esfera: Xerada por ____________ _________________ ao xirar sobre _______________________.

Cono: Xerado por un ______ ______________ao xirar sobre ___________________

O cilindro e o cono _______ desenvolvibles. A esfera _______ desenvolvible.

ÁREAS E VOLUMES

A. lat.

A. total

Volume

Prismas Pirámides Cilindros Conos Esferas

p =___________________________, B = __________________________, h = _______, a = ________ (pirámide), r = ______________ (conos e cilindros), R = _____ (esfera), g = _____________ (cono). Poliedros: A área dun poliedro é sempre igual a ______________________________________. O volume calcúlase _____________________ _____________________________________.

A ESFERA TERRESTRE Meridianos:________________________________. Numéranse de ___________________ a partir do _________________________. O meridiano dun lugar é o seu ______________. Paralelos:_________________________________. Numéranse de ___________________ a partir do ____________. O paralelo dun lugar é o seu ____________. Fusos horarios: A Terra divídese en __ fusos xeográficos de __ de amplitude con _______ de diferenza entre eles.

MAPAS

Prox.______________ Prox.____________

Prox._____________ Pulsa

Corpos xeométricos

Prox.___________

para ir á páxina seguinte -

19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás exercicios de: • Áreas • Volumes. • Coordenadas xeográficas Completa os enunciados e resólveos. Despois comproba se o fixeches ben.

Exercicios de áreas Poliedros semirregulares (Fai un mínimo de catro exercicios con figuras diferentes) 1.

Calcular a área total dun _______________________________ sabendo que a súa aresta mide _____.

Calcular a área total dun ______________________________ sabendo que a súa aresta mide _____.

Corpos xeométricos

20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Prismas 5.

Calcula a área total dun prisma recto sabendo

que

súas

bases

son

rombos de diagonais D=_______ e d=________

súa

altura

h=_______.

Pirámides 6.

Calcula a área lateral dun tronco de pirámide

cuadrangular

regular

sabendo que o lado da base maior é B=_______. O lado da base menor é b=_______

aresta

lateral

a=_______.

Cilindros e conos 7.

Calcula a área total do recipiente da figura esquerda sabendo que o raio da base

r=_______

altura

h=_______.

Corpos xeométricos

21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

O observatorio astronómico 8.

Cantos litros de pintura se necesitan para pintar a parede exterior dun observatorio astronómico sabendo que ten un raio de _____, que a altura do cilindro é de _____ e que con cada litro

poden

pintar

_______________?

A bóla de nadal 9.

Unha bóla de Nadal de 3 cm de raio quérese cubrir parcialmente con pan de ouro de forma que a franxa cuberta teña unha amplitude de 60º dende o centro da bóla. Calcula a superficie da bóla que se pintará.

Exercicios de volumes Tetraedro regular 10.

Calcula o volume do tetraedro regular da figura sabendo que a súa aresta AB=10cm. (O triángulo APB axudarache)

Corpos xeométricos

22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Cubo e tetraedro 11.

O cubo da figura ten 10 cm de aresta. Calcula

volume

tetraedro

vértices BCDG e comproba que é a sexta parte do volume do cubo.

Prisma truncado 12.

Calcula o volume dos dous prismas en que queda dividido o prisma regular triangular da figura ao ser cortado por un plano perpendicular ás bases que pasa polos puntos medios das arestas. AD=20m e AC=15m.

Pirámide truncada 13.

Calcula

volume

dun

tronco

pirámide cuadrangular sabendo que a aresta da base maior é EF=20cm, a aresta da base menor é AB=8cm e a altura do tronco é PQ=15cm.

Corpos xeométricos

23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Cilindros 14.

Calcula o volume da peza de arriba sabendo

que

diámetro

circunferencia exterior é de 10 cm, o diámetro da circunferencia interior é de 5 cm e a altura é de 10 cm.

Cilindro e como truncado 15.

figuras

representan

vaso

cilíndrico de 6 cm de diámetro e 8 cm de altura e unha copa con forma de tronco de cono con 7 cm de diámetro maior, 5 cm de diámetro menor e 8 cm de xeratriz. Cal ten máis capacidade?

Cubo e esfera 16.

Un recipiente cúbico de 10 cm de aresta está cheo de auga. Introdúcese nel con coidado unha bóla de cristal de 5

de raio e logo sácase con

coidado. Calcula o volume da auga que se derramou e a altura á que queda a auga cando se saca a bóla.

Corpos xeométricos

24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Exercicios de coordenadas xeográficas Distancias sobre meridianos 17.

Calcula a distancia entre dous puntos da Terra, A e B, situados no mesmo meridiano, se a latitude de A é de ___________ e a de B é de __________.

Fusos horarios 18.

O punto A atópase no meridiano ____ e o punto B no meridiano ______. Se en A son as ___ horas, que hora é en B?

O camiño máis curto 19.

Os puntos A e B atopan sobre o paralelo 45º N e as súas lonxitudes diferéncianse en 180º. Un avión ten que ir dende A ata B que ruta é máis curta: seguindo o paralelo ou seguindo o meridiano polo Polo Norte?.

Pulsa

Corpos xeométricos

para ir á páxina seguinte.

25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Indica que poliedro se obtén ao truncar as Obtense un: _____________________ arestas dun _____________ pola metade e Caras= ___ Arestas= ___ Vértices = ___ indica o número de caras arestas e vértices que ten.

Os catetos dun triángulo rectángulo miden ______ e ______. Descobre que cono ten maior área total: o que se obtén facendo xirar o triángulo arredor do primeiro cateto ou o que se obtén ao xirar sobre o segundo.

Calcula a área total do poliedro semirregular da imaxe sabendo que a súa aresta é a. (Expresa o resultado en función de a)

Calcula

área

triángulo

figura

sabendo que a aresta do cubo é a. (Expresa o resultado en función de a)

A "zona tropical" da Terra está situada, aproximadamente, entre os paralelos 30º N e 30º S. Que porcentaxe da superficie da Terra está situada na zona tropical?

Unha pirámide de base cadrada córtase cun plano paralelo á base pola metade da altura da pirámide, obtendo unha pirámide máis pequena e un tronco de pirámide. Cantas veces é máis grande o volume do tronco con respecto ao volume da pirámide pequena?

Corpos xeométricos

26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 8

NOME:

DATA:

Córtase unha semiesfera de radio R cun plano paralelo á base da semiesfera, a unha altura de 2/3 do radio. Acha o volume da maior

das

dúas

zonas

que

queda

dividida. (Expresa o resultado en función de R)

Unha milla náutica é a distancia entre dous puntos situados sobre o Ecuador cunha diferenza de lonxitudes de 1'. A cantos km equivale unha milla náutica se o radio da Terra é de 6366 km?

Boston está no meridiano 71º O e Frankfurt no

meridiano

9º

avión

sae

Frankfurt ás 23 horas e tarda 8 horas en chegar a Boston. Que hora é en Boston cando chega?

Asocia os distintos tipos de mapa coas súas características. a)

Mapa de Mercator

Mapa de Gail Peters

Mapa Azimutal

Mapa cónico

Corpos xeométricos

Os paralelos son círculos e os meridianos radios Os paralelos e os meridianos son rectas perpendiculares e os paralelos están máis separados canto máis lonxe do Ecuador Os paralelos son arcos de circunferencia e os meridianos son rectas converxentes Os paralelos e os meridianos son rectas perpendiculares e os paralelos están máis xuntos canto máis lonxe do Ecuador

27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Funcións e gráficas Contidos 1. Relacións funcionais Concepto e táboa de valores Gráfica dunha función Imaxe e antiimaxe Expresión alxébrica Relacións non funcionais 2. Características dunha función Dominio e percorrido Continuidade Puntos de corte cos eixes Crecemento e decrecemento Máximos e mínimos Periodicidade

Obxectivos •

Recoñecer se unha relación entre dúas variables é función ou non.

•

Distinguir a variable independente e a dependente.

•

Expresar unha función utilizando unha táboa de valores, unha gráfica ou unha fórmula.

•

Determinar o dominio e o percorrido dunha función.

•

Interpretar algunhas características da gráfica dunha función: o crecemento e decrecemento, os extremos relativos, a periodicidade...

•

Representar e analizar gráficas de funcións extraídas de distintas situacións cotiás.

Autor: José Luis Alcón Camas Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Funcións e gráficas

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Antes de empezar Para empezar proponse un reto, ORBITANDO A TERRA, e unha investigación sobre unha das leis de Kepler. Como varía a distancia en liña recta entre estes dous satélites a medida que pasa o tempo?

Pulsa

para ir vendo como se resolve a pregunta.

Cando remates...

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Relacións funcionais 1.a. Concepto e táboa de valores Le o texto da pantalla. Contesta: Que é unha función? _____________________________________________________ Como se denomina tamén á causa? ____________________ Que variable depende de cál? _________________________________________ Na escena tes unha táboa que relaciona lonxitude de lado e área do polígono. Move o vértice indicado do polígono para que mida cada un dos valores que se indican na táboa e anota no lugar correspondente o valor da área. Complétaa tamén aquí: Lonxitude do lado Área do polígono Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena

EXERCICIOS de Reforzo AS REBAIXAS Se nun produto nos ofrecen un desconto do 10%, pagaremos 90% do prezo orixinal. O prezo rebaixado (PR) é función do prezo inicial (PI). Completa esta táboa cambiando o control PI. PI

PR = f (PI)

PR = 0,90·PI

PR Realiza a mesma actividade cambiando o prezo inicial e a porcentaxe de desconto.

Funcións e gráficas

-2 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

DENSIDADE DOS MATERIAIS A unha presión e temperatura dada o cociente entre o peso (P) dun material e o volume (V) que ocupa é constante. Diremos, entón, que o peso é función do volume e representarémolo así: P = f (V) (A constante que relaciona esas dúas magnitudes é a densidade, d) P =d · V Calcula o valor de P sendo d=0,8 V

2,8 3,9

8,3

P Realiza a mesma actividade cambiando o valor do volume e a densidade.

XUROS BANCARIOS Un banco ofrece un depósito ao 5%. Na letra pequena dise que hai unha comisión fixa de apertura de 20€. Se chamamos C a cantidade invertida e I aos xuros producidos, dicimos que I é función de C e escribímolo así: I = f ( C ) I = 0,05·C - 20 Calcula o valor de I co valor do depósito dado. C

533

626

709

804

I Realiza a mesma actividade cambiando o tipo de xuro e o capital.

ÁREA DUN CADRADO A área, A, dun cadrado é función da lonxitude do seu lado, l. Escribirémolo así: A=f(l) A = l·l = l² Calcula o valor de A cos distintos valores para l. l

0,1

0,4

1,5

ALTURA DUN TRIÁNGULO RECTÁNGULO A altura dun triángulo rectángulo é función do ángulo oposto: h = f ( α ) Modifica o valor do ángulo e completa a táboa: α

Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -3 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

1.b. Gráfica dunha función Le o texto da pantalla e explica paso a paso que facer para obter a gráfica dunha función: 1)

Pensa sobre a situación formulada, CAPTACIÓN DE AUGAS. Como construír a gráfica da lonxitude total das canalizacións en función da distancia da estación captadora a un punto fixo do río.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena tes unha táboa que relaciona a distancia á ponte da estación captadora (C) e a lonxitude total das canalizacións. Move o punto C para que mida cada un dos valores que se indican na táboa e anota no lugar correspondente o valor da lonxitude total. Complétaa tamén aquí: Distancia á ponte (km.) Lonxitude das canalizacións (km.) Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena

EXERCICIOS de Reforzo Debuxa os puntos das táboas dos Exercicios de Reforzo do apartado anterior e representa as gráficas das funcións correspondentes. AS REBAIXAS PI

Funcións e gráficas

-4 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

DENSIDADE DOS MATERIAIS V

XUROS BANCARIOS

ÁREA DUN CUADRADO

ALTURA DUN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -5 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

1.c. Imaxe e antiimaxe Le o texto da pantalla e contesta: Que é a antiimaxe? _____________________________________________________ Cal é a imaxe? ____________________ Pensa sobre a situación formulada, BALA DE CANÓN. Como construír a gráfica do alcance da bala e ángulo do canón coa horizontal. Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena tes unha gráfica que relaciona o ángulo do canón coa distancia á que chega a bala. Aparece un canón que debes disparar e observar o alcance en función do ángulo. Completa os datos do primeiro disparo: f( ) =

é dicir:

é a imaxe

ou ben,

é un anitiimaxe de Ángulo

Despois...

Pulsa

Para facer o segundo disparo

Tes que facer un mínimo de 6 disparos para poder ver a gráfica. Anota na táboa seguinte os ángulos e as distancias que vas alcanzando nos teus disparos e fai a gráfica:

Distancia

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena

EXERCICIOS de Reforzo 1) Contesta ás preguntas con axuda da escena sobre a gráfica seguinte:

a) Calcula a imaxe de -8, é dicir, f(-8). b) Calcula a antiimaxe de 3, é dicir, f(x)=3. Funcións e gráficas

-6 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo 2) Contesta ás preguntas con axuda da escena sobre a gráfica seguinte:

a) Calcula a imaxe de 9, é dicir, f(9). b) Calcula a antiimaxe de 1, é dicir, f(x)=1. 3) Contesta ás preguntas con axuda da escena sobre a gráfica seguinte:

a) Calcula a imaxe de 3, é dicir, f(3). b) Calcula a antiimaxe de 8, é dicir, f(x)=8. 4) Contesta ás preguntas con axuda da escena sobre a gráfica seguinte::

a) Calcula a imaxe de 3, é dicir, f(3). b) Calcula a antiimaxe de 6, é dicir, f(x)=6.

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -7 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

1.d. Expresión alxébrica Le o texto da pantalla. Contesta: Que é unha expresión alxébrica? _____________________________________________ _________________________________________________________________________ Como constrúes unha táboa a partir dunha expresión alxébrica? ____________________ _________________________________________________________________________

Le a situación formulada en: COLONIZACIÓN DO OESTE.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Empezamos elixindo a variable independente, a lonxitude a e a variable dependente: Área. Calculamos o resultado (Área) que se obtén para a=5 hm: f(5) = _________ hm2 Na seguinte escena podes arrastrar a esquina do rectángulo e ver como se obteñen diferentes áreas dependendo da lonxitude do lado a. Na escena seguinte vas obter a expresión alxébrica para calcular a área. Chamamos "x" ao lado a e obtemos a expresión:

f(x) = ____________________

Unha vez que temos a expresión de f(x) é máis doado calcular imaxes e antiimaxes. Exemplo: Para x=9, canto vale f(x)? ______ Para f(x) =88, canto vale x? ___________ De cantas formas se pode obter a área de 88 hm2? ______ Completa a táboa

f(x)

e fai a gráfica. De que tipo é esta función? _______________________ Como se chama a curva obtida como gráfica? ______________________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena Funcións e gráficas

-8 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo 1) Completa os datos que faltan e escribe a área da parte coloreada en función de x: a)

A(x) =

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -9 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

1.e. Relacións que non son funcionais Le o texto da pantalla. Contesta: Que diferenza hai entre unha relación funcional e unha non funcional? __________________ _________________________________________________________________________ Por que as relacións estatísticas non son relacións funcionais? ____________________ _________________________________________________________________________ Pensa sobre a situación formulada, PESO E ALTURA. O peso dunha persoa, é función da súa altura?

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstrase unha gráfica con puntos e aclaracións sobre estes. Contesta: Que representa cada punto desa gráfica? _________________ Busca unha altura "x" para a que non haxa ningún peso correspondente. Busca unha altura "x" para a que haxa máis dun peso correspondente.

Esa gráfica, corresponde a unha relación funcional? ____ Por que?

Que tipo de relación é? ______________________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos desa escena

EXERCICIOS de Reforzo 1) Razoa se a relación entre as magnitudes das seguintes situacións é funcional ou non: a) A altura dunha persoa é función da súa idade? b) O tempo empregado en realizar un traxecto é función da velocidade á que se realizou? c) O custo da factura da auga é función do volume consumido? d) O custo da factura da auga é función do número de billas que se teñan na casa? e) A presión constante, o volume dun gas é función da súa temperatura? f) O número de accidentes de tráfico é función do número de vehículos que circulan? g) Os xuros bancarios son función do número de días que dure un investimento a prazo fixo?

Funcións e gráficas

-10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

2) Razoa se a relación entre as magnitudes das seguintes gráficas é funcional ou non: a)

Resposta:

EXERCICIOS 1.

As rebaixas: Se nun produto nos ofrecen un desconto do 10% pagaremos o 90% do prezo orixinal. Entón, o prezo rebaixado (PR) é función do prezo inicial (PI) a través da expresión PR = f(PI) = 0,9·PI. Constrúe unha táboa de valores para esta función (por exemplo con catro valores) e debuxa a gráfica correspondente.

Funcións e gráficas

-11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Con axuda da gráfica adxunta calcula as imaxes e antiimaxes pedidas. a) A imaxe de -3, a antiimaxe de 3.

b) A imaxe de -3, a antiimaxe de 8 e de -4

Escribe en función de x a área da parte coloreada da figura

Indica de forma razoada se as respostas ás seguintes preguntas é afirmativa ou negativa. a) O custo da factura da auga é función do volume consumido? b) O número de accidentes de tráfico é función do número de vehículos que circulan? c) A presión constante, o volume dun gas é función da súa temperatura?.

A gráfica da imaxe corresponde a unha función?

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Características dunha función

2.a. Dominio e percorrido Le o texto da pantalla. Contesta: Que é o dominio dunha función? ____________________________________________ _________________________________________________________________________ Que é o percorrido ou imaxe dunha función? ___________________________________ _________________________________________________________________________ Pensa sobre a situación formulada, XOGADOR DE FÚTBOL SALA. Como é a gráfica que da o ángulo baixo o que ve a portería contraria en función da distancia que hai dende a liña de fondo do seu campo.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstranse un debuxo e unha gráfica cos valores que se poden dar. Fai o debuxo da gráfica e anota os conceptos relacionados de dominio e percorrido.

Move o xogador na escena cara a diante e cara a atrás e observa como varía o ángulo. Contesta: Cal é a variable independente x? _____________________________ Cal é a variable dependente y? _______________________________ Entre que valores varía a variable independente? _____________________________ Entre que valores varía a variable dependente? _____________________________ Cal é o DOMINIO da función? _________________________ Cal é o PERCORRIDO ou IMAXE da función? ________________________________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

Funcións e gráficas

-13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo 1) Determina de forma razoada o dominio das funcións coas seguintes expresións:

a) f(x) = 0,8 x + 3 b) f(x) = c)

x+8

f(x) = 2,1 x 2 − 8,4 x − 126

d) f(x) =

1,7 x + 3 (x − 6)(x − 8)

2) Determina o dominio e o percorrido das funciones cuxa gráfica (azul) ves abaixo: a)

Dominio:

Percorrido:

Dominio:

Percorrido:

Cando remates... Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

-14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

2.b. Continuidade Le o texto da pantalla. Contesta: Como podes saber cando unha función é continua? _____________________________ _________________________________________________________________________ Como se chaman os puntos onde a gráfica ten saltos? __________________________ Pensa sobre a situación formulada, TAXÍMETRO. Estudamos o prezo dun traxecto en taxi realizado nunha certa zona rural en función da distancia percorrida.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstrase unha gráfica cos valores que se poden dar, e unha serie de preguntas que debes contestar. Observa a gráfica e responde as preguntas para que che sirvan como exemplo. Cantos euros supón a baixada de bandeira? _______

Cantos quilómetros se poden percorrer por ese importe? ______

Se o percorrido é de "un pouco máis de ____ km o custo do traxecto é de _____ Se o percorrido é exactamente de ____ o prezo é de ____ A imaxe de x = ___ é y = ____ Completa a táboa: x (km. recorrido) y (prezo en €) Cando x tende a ____ pola esquerda, as imaxes tenden a ____ Cando x tende a ____ pola dereita, as imaxes tenden a ____ Polo tanto: O límite cando x tende a ____ pola esquerda é ___ O límite cando x tende a ____ pola dereita é ___ A imaxe de x= ___ é ___ Se a función fose continua en ___ esas tres cantidades sería ______ A función ten unha ________________ (________________) en x = ___: A súa gráfica non se pode debuxar sen ____________________________________ en _______________________________________. Funcións e gráficas

-15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

Despois...

NOME:

Pulsa o botón

DATA:

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

EXERCICIOS de Reforzo 1) Un reloxo de auga ten o funcionamento como segue: Á dereita hai 60 vasillas que se van enchendo de auga pouco a pouco. Cando se enche a que fai o piso 60 baléirase de golpe toda a columna e énchese unha das bólas nunha columna esquerda (que ten un total de 12 bólas). A columna esquerda representa as horas e a columna dereita os minutos. Indica se a función que relaciona a altura da columna dereita co tempo é continua. Analiza a situación só no intervalo de tempo que transcorre dende que está baleira ata que se enche. a) X= tempo en minutos.

b) X= tempo en horas.

2) Xoán ten hoxe unha excursión no colexio. Como vive lonxe adoita ir en bicicleta. Nada máis chegar ao colexio, saen todos os alumnos andando ata a estación de trens e alí esperan un anaco a que chegue o tren. Soben ao tren e por fin chegan ao destino. Abaixo podes ver dúas gráficas: unha representa a distancia que vai percorrendo Xoán dende a súa casa con respecto ao tempo transcorrido e outra representa a velocidade á que se despraza en cada instante, tamén en función do tempo transcorrido. Indica de forma razoada qué gráfica corresponde a cada unha das dúas situacións e indica en cada caso se a función representada é ou non continua. b)

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

2.c. Puntos de cortes cos eixes Le o texto da pantalla. Contesta: Que coordenadas ten un punto sobre o eixe de ordenadas? _______________________ Que coordenadas ten un punto sobre o eixe de abscisas? __________________________ Completa: • Para atopar y0 faise _____ na expresión da función e calcúlase ___. •

Para achar x0 substitúese ___ por ___ na expresión da función e aíllase ___.

Pensa sobre a situación formulada, TEMPERATURA. Estudamos a gráfica da temperatura en función da hora do día.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstrase unha gráfica da temperatura e a hora do día. Observa a gráfica. Arrastra o punto que se indica sobre ela para observar as distintas temperaturas en función das horas. Faino ata que apareza a frecha para avanzar. Contesta: Cantos puntos de corte pode haber co eixe de ordenadas? ________________ E co de abscisas? __________________________________________________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

EXERCICIOS de Reforzo 1) Determina as coordenadas dos puntos de corte cos eixes coas funcións seguintes: a) f(x)= 2-x b)

f(x)= -3

f(x)= -2x - 1

f(x) = -2x

Cando remates... Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

-17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

2.d. Crecemento e decrecemento Le o texto da pantalla. Contesta: Que acontece ao redor dunha función crecente nun punto? _______________________ _________________________________________________________________________ Que acontece ao redor dunha función decrecente nun punto? _____________________ _________________________________________________________________________ Cando se di que unha función é monótona? ___________________________________ Cando unha función é constante? _____________________________________________ Pensa sobre a situación formulada, TEMPERATURA DUN FORNO. Estudamos a gráfica da temperatura do forno en función do tempo.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstrase unha gráfica da temperatura e o tempo. Observa a gráfica. Arrastra o punto que se indica sobre ela para observar as distintas temperaturas en función dos minutos. Contesta: Como é a función ata o minuto 10? ________________ Como é a función entre o minuto 10 e o 20? ________________ Como é a función entre o minuto 20 e o 36? ________________ Como é a función a partires do minuto 36? ________________

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

EXERCICIOS de Reforzo Determina os intervalos de crecemento e decrecemento das funcións definidas no intervalo (-5,5) cuxa gráfica é cada unha das seguintes, debuxadas en cor azul: a)

Funcións e gráficas

-18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.e. Máximos e mínimos Le o texto da pantalla. Contesta: Que é un máximo absoluto? _________________________________________________ Que é un mínimo absoluto? _________________________________________________ Que é un mínimo relativo? __________________________________________________ Que é un máximo relativo? __________________________________________________ Cantos máximos ou mínimos pode haber? ______________________________________ Pensa sobre a situación formulada, VELOCIDADE DO VENTO. Estudamos a gráfica da velocidade do tempo en función do tempo.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Funcións e gráficas

-19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Na escena móstrase unha gráfica da velocidade e o tempo. Completa a gráfica indicando onde é crecente onde decrecente e sinalando os máximos e mínimos locais e cáles deles son os absolutos.

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

EXERCICIOS de Reforzo Determina os extremos relativos das funcións definidas no intervalo (-5,5) cuxa gráfica é cada unha das seguintes, debuxadas en cor azul: a)

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

2.f.

NOME:

DATA:

Periodicidade

Le o texto da pantalla. Contesta: Cando unha función é periódica? ____________________________________________ ________________________________________________________________________ A que se chama período? ________________________________________________ Pensa sobre a situación formulada, FASES DA LÚA. Estudamos a gráfica da porcentaxe visible da lúa en función do día.

Pulsa

para ir vendo como se resolve a cuestión.

Na escena móstrase unha gráfica da porcentaxe visible en función do día. Observa como se vai construíndo a gráfica. Contesta: Cada canto tempo se repiten os mesmos valores da imaxe? ________________ Como se chaman estas funcións? __________________________________________ Cál é o período nesta función? ________ Fai a gráfica a continuación

Arrastra o rectángulo sobre cada un dos períodos para ver a gráfica completa Modifica o día no control:

Visible: ____

Observa cáles son os valores de x que ten a mesma imaxe: x ; x+__ ; x+ __ f(x) = f( ) = f( )

Despois...

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Os seguintes exercicios son similares aos da escena

Funcións e gráficas

-21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

EXERCICIO de Reforzo Calcula o período e o valor aproximado da función para x=860:

EXERCICIOS 6.

Determina de forma razoada o dominio da función f(x) =

Determina o dominio e o percorrido da gráfica azul da imaxe.

Indica se son continuas ou descontinuas: Xoán ten hoxe unha excursión no colexio. Como vive lonxe adoita ir en bicicleta. Nada máis chegar ao colexio, saen todos os alumnos andando ata a estación de trens e alí esperan un anaco a que chegue o tren. Soben ao tren e por fin chegan ao destino. Abaixo podes ver dúas gráficas: unha representa a distancia que vai percorrendo Xoán dende a súa casa con respecto ao tempo transcorrido e outra representa a velocidade á que se despraza en cada instante, tamén en función do tempo transcorrido. Indica de forma razoada qué gráfica corresponde a cada unha das dúas situacións e indica en cada caso se a función representada é ou non continua.

Funcións e gráficas

x+8

-22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 9.

Calcula os puntos de corte cos eixes da función f(x)=2-x

10.

A función azul da imaxe está definida no intervalo (-5,5). Determina os seus intervalos de crecemento e de decrecemento.

11.

A función azul da imaxe está definida no intervalo (-5,5). Determina os seus máximos e mínimos relativos.

12.

A función adxunta é periódica. Calcula o seu período e o valor da función cando x sexa igual a 265.

Cando remates... Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

-23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Completa para lembrar o aprendido: Táboa e gráfica Explica a táboa e a gráfica os puntos que aparecen na imaxe da dereita.

Imaxe e antiimaxe Sinala na gráfica e escribe polo menos 4 exemplos de imaxes e as súas correspondentes antiimaxes.

Expresión alxébrica Explica como construír a expresión alxébrica da función da gráfica.

Dominio e percorrido Explica como se observa o percorrido da función da gráfica.

dominio

Continuidade Explica axudándote das gráficas da dereita os conceptos relacionados con continuidade.

Funcións e gráficas

-24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Cortes cos eixes Sinala na gráfica os puntos de corte cos eixes, e caracteriza aos devanditos puntos.

Crecemento e decrecemento Describe en que debes fixarte e como escribir os intervalos de monotonía.

Máximos e mínimos Sinala na gráfica os extremos da función, e fai unha clasificación dos mesmos.

Relación non funcional Explica como diferenciar unha gráfica dunha relación funcional dunha non funcional, e debuxa dúas gráficas que sexan exemplos destas.

Periodicidade Sinala na gráfica o período e define que é unha función periódica.

Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte -25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás exercicios relacionados con relacións funcionais e características dunha función. As actividades que a continuación seguen son tomadas das que aparecen nas escenas. Observa en cada apartado como se resolven.

RELACIÓNS FUNCIONAIS Concepto (Fai un mínimo de catro exercicios dos tipos que se indican) 1.

Estase a probar un medicamento inxectando unha dose do mesmo a un paciente. Chamamos q á cantidade de medicamento por litro de sangue (medida en ml) e t ao tempo transcorrido dende a inoculación deste (medido en horas). Que representa a gráfica adxunta: q en función de t ou t en función de q?

Lanzamos unha pedra a un pozo e chamamos p á profundidade do pozo medida en metros e t ao tempo transcorrido entre o lanzamento e o momento en que oímos o impacto (medido en segundos). Que representa a gráfica adxunta: p en función de t ou t en función de p?

Unha empresa fabrica cada día x pezas. Se chamamos B ao beneficio que produce a súa venda (medido en miles de euros), que representa a gráfica adxunta: B en función de x ou x en función de B?

Observando

evolución

dun

cultivo

bacterias

chamamos P ao número de millóns de bacterias e T ao tempo transcorrido en horas. Que representa a gráfica adxunta: P en función de T ou T en función de P?

Funcións e gráficas

-26 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Notación (Fai un mínimo de tres exercicios coma os que se indican) 5.

Asocia correctamente as expresións que se mostran ao lado. (Tes que indicar a que expresión da segunda columna lle corresponde cada expresión da primeira)

Expresa simbolicamente de dúas maneiras diferentes a función f que asocia a cada instante t a altura h do mar nun porto.

Expresa simbolicamente de dúas maneiras diferentes a función g que representa a evolución da potencia P subministrada por unha central hidroeléctrica en función do tempo T.

Táboas de valores e gráficas 8.

Dada

función

f(x)

_________

completa a táboa de valores adxunta e represéntaa nunha cuadrícula: x y

-3

-2

-1

Imaxe e antiimaxe en forma gráfica 9.

Calcula a imaxe _____ e as posibles antiimaxes de ____ a través da gráfica da imaxe:

Imaxe e antiimaxe en forma analítica 10.

Dada a función f(x) = ______ calcula a imaxe de ___ e a antiimaxe de ___.

Funcións e gráficas

-27 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Gráficas que non son funcións 11.

Determina de forma razoada se as gráficas adxuntas corresponden ou non a gráficas de funcións:

CARACTERÍSTICAS DUNHA FUNCIÓN Dominio e percorrido 12.

Determina o dominio e o percorrido das seguintes funcións:

Funcións e gráficas

-28 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Continuidade (Fai un mínimo de tres exercicios como os que se indican) 13.

Chámase valor absoluto dun número a o mesmo número se é positivo e ao seu oposto se é negativo. O valor absoluto de x represéntase |x|. Por exemplo: |5| = 5, |0| = 0, |-3| = 3. Debuxa a gráfica da función y = |x| e indica se é continua ou non.

14.

Chámase parte enteira dun número ao maior número enteiro que é menor ou igual que o número dado. Por exemplo: Ent(5,72) =5, Ent(3) =3, Ent(-2,54) =-3. Debuxa a gráfica da función y = Ent (x) e indica se é continua ou non.

15.

Cos datos do prezo da auga por metro cúbico adxuntos considérase a función que relaciona o custo total que debe pagar un consumidor en relación co volume de auga gastado, sabendo que hai un custo mínimo de 5€ mesmo se o consumo é menor de 15 metros cúbicos. Indica de forma razoada se é unha función continua e debúxaa.

Funcións e gráficas

-29 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Corte cos eixes (Fai un mínimo de tres exercicios como os que se indican) 16.

Determina os puntos de corte das seguintes

funcións cos eixes de coordenadas.

Eixe X: Eixe Y:

(Fai unha de cada tipo) a.

(f. cuadrática : de grao 2)

(f. afín : de grao 1)

Eixe X: Eixe Y:

(f. constante : de grao 0) c.

Eixe X: Eixe Y:

17.

A ecuación h =4t - t2 indica a altura á que atopa un proxectil lanzado cara a arriba dende o chan en función do tempo (medido en minutos). Descobre cánto tardará en volver caer.

18.

A función F=1,8·C+32 establece a relación entre a temperatura en graos Fahrenheit (F) e a temperatura en graos Celsius (C). Calcula a temperatura á que se conxela a agua en ºF. Logo averigua o valor en graos Celsius dunha temperatura de 0ºF.

Crecemento e decrecemento (Fai un mínimo de tres exercicios dos tipos que se indican) 19.

A gráfica adxunta representa a variación do PH dunha disolución de ácido acético ao ser neutralizado cunha disolución de sosa. Indica, razoadamente se se trata dunha función crecente, decrecente ou ningunha das dúas cousas.

20.

A gráfica adxunta representa o beneficio (B) dunha empresa (en miles de €) en función do número de pezas que produce. Fai un informe da situación en termos de crecemento e decrecemento.

Funcións e gráficas

-30 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

21.

NOME:

DATA:

A gráfica adxunta representa o tempo que tarda en caer unha pedra ao fondo dun pozo en función da súa profundidade. Indica razoadamente se se trata dunha función crecente, decrecente ou ningunha das dúas cousas.

Máximos e mínimos (Fai un mínimo de dous exercicios dos tipos que se indican) 22.

A gráfica adxunta representa a altura das mareas ao longo dun día en Xixón. Indica a qué hora tivo lugar a maior e a menor altura da marea. Descobre tamén en que outros momentos se produciron máximos e mínimos relativos.

23.

A gráfica adxunta representa o beneficio (B) dunha empresa (en miles de €) en función do número de pezas que produce. Indica cantas pezas hai que fabricar para obter un beneficio máximo. Indica tamén cal é ese beneficio.

Periodicidade (Fai un mínimo de tres exercicios dos tipos que se indican) 24.

Determina o período da función da imaxe e calcula o valor aproximado da devandita función cando x = ____

Cando remates... Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -31 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Indica cal das seguintes expresións equivale a ______________ _______ , _______ , _______ , _______ Descobre se o punto de coordenadas ( __, __, ) pertence á gráfica da función __________

Calcula a imaxe de ____ e a antiimaxe de ____ pola función do debuxo. (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

Calcula a imaxe de ___ e a antiimaxe de ___ pola función _________.

Determina o dominio e o percorrido da función adxunta. (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

É continua a función da imaxe? (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

Funcións e gráficas

-32 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Calcula as coordenadas dos puntos de corte da gráfica da función ____________ cos eixes.

Acha o intervalo no que a función adxunta non crece. (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

Acha os valores nos que a función da imaxe alcanza un mínimo e un máximo relativo. (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

Determina o período da función da imaxe. (Observa o debuxo e cópiao xunto á resposta)

Funcións e gráficas

-33 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 9

NOME:

DATA:

Para practicar máis 8. A táboa adxunta mostra un extracto de recibo de auga na que se mostra o prezo unitario do metro cúbico de auga consumida en función da auga consumida. Indica de forma razoada se se trata dunha función continua ou descontinua e traza a súa gráfica.

1. Observando a evolución dun cultivo de bacterias chamamos P ao número de millóns de bacterias e T ao tempo transcorrido en horas. Que representa a gráfica adxunta: P en función de T ou T en función de P? 2. Unha empresa fabrica e comercializa un produto. A cantidade producida represéntase por x e o custo de produción con C Que representa a función h(x)=C: o custo en función da cantidade ou viceversa? 3. Dada a función y = f(x) =2 x -1 completa a táboa de valores adxunta e represéntaa nunha cuadrícula: X y

-3

-2

-1

4. Calcula a imaxe -0,5 e as posibles antiimaxes de 1,5 pola función a gráfica da cal podes ver abaixo.

5. Dada a función f(x) =3 x +2 calcula a imaxe de 0,2 e a antiimaxe de 2,2. 6. Determina de forma razoada se a gráfica adxunta corresponde ou non á gráfica dunha función.

9. A función F = 1,8·C+32 establece a relación entre a temperatura en graos Fahrenheit (F) e a temperatura en graos Celsius C). Calcula a temperatura en graos Fahrenheit á que se conxela a auga. Logo calcula a qué temperatura Celsius equivalen 0º F. 10.Calcula as coordenadas dos puntos de corte cos eixes da función y =x +4. 11.A gráfica representa a concentración (q en ml) en sangue dun medicamento inxectado a un paciente en función do tempo (t en horas). Fai un informe que describa a situación en termos de crecemento da función. 12.Determina os máximos e mínimos relativos da función a gráfica da cal se mostra abaixo.

7. Determina o dominio e o percorrido da función da gráfica adxunta. 13.Determina o período da función da imaxe e calcula o valor aproximado da devandita función cando x =23

Funcións e gráficas

-34 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Funcións lineais Contidos 1. Función de proporcionalidade directa Definición Representación gráfica 2. Función afín Definición Representación gráfica 3. Ecuación da recta Forma punto-pendente Recta que pasa por dous puntos Forma xeral 4. Posición relativa de dúas rectas Análise en forma explícita Análise en forma xeral 5. Aplicacións Problemas simples Problemas combinados

Obxectivos •

Identificar problemas nos que interveñen magnitudes directamente proporcionais.

•

Calcular a función que relaciona a esas magnitudes a partir de diferentes datos e representala graficamente.

•

Representar estas funcións de diferentes maneiras.

•

Comparar funcións deste tipo.

•

Resolver problemas reais nos que interveñen estas funcións.

Autor: Aurelio Conde Casas Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Funcións lineais

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Antes de empezar Observa a escena da dereita. Nela móstrase a relación entre o tempo transcorrido e o tamaño do anaco que vai consumido. EXERCICIO: Completa a seguinte táboa: Tempo transcorrido (en horas) Tamaño do anaco consumido (en mm)

Investiga Se unha sandía pesa 3 Kg e outra pesa 6 Kg cobrarannos o dobre pola segunda. Pero, se a primeira ten un diámetro de 15 cm e a outra teno de 30 cm, o prezo da segunda será o dobre que o da primeira? Intenta atopar a resposta e dar unha explicación razoada.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Cando fagas varios exercicios pulsa

para ires á páxina seguinte.

1. Función de proporcionalidade directa 1.a. Definición Le na pantalla a súa explicación teórica. EXERCICIO: A ecuación dunha función de proporcionalidade directa ou lineal é: f(x)=mx. Define: FUNCIÓN LINEAL: PENDENTE: Observa a gráfica da dereita na que se mostra a relación entre o tempo transcorrido dende o lanzamento da lanzadeira espacial e a súa velocidade. EXERCICIO: Que función relaciona ambas as dúas magnitudes (tempo e velocidade)? _________________ Cal é a pendente? _____________________ Cal é a velocidade aos 225 segundos? ___________________________ Cando comprendas ben os conceptos... Funcións lineais

Pulsa en

para veres uns exemplos. -2 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

EXERCICIO 1.

Determina se as relacións entre as parellas de magnitudes seguintes son lineais ou non, escribindo para iso a ecuación que as relaciona. a. Relación entre o prezo inicial e o prezo rebaixado cun 10%. b. Relación entre o peso e o volume dun material en condicións constantes de presión e temperatura. c. Un banco ofrece un depósito anual ao 5% cunha comisión fixa de 20€. Relación entre a cantidade investida e os intereses recibidos. d. Relación entre a área dun cadrado e a lonxitude do seu lado.

Cando remates... Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.b. Representación gráfica Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: As funcións lineais represéntanse graficamente como ____________________________. A gráfica de todas as funcións lineais pasa polo punto __________________________. Para debuxar a gráfica abonda con obter outro punto e unilo con ______________________. Se m é positiva, representa ___________________________________________________. Observa na escena como se constrúe a gráfica dunha función lineal.

EXERCICIOS de Reforzo a) Representa graficamente as seguintes funcións lineais: y = -2x

y = -0.5x

y = 0.2x

y = 2x

b) Averigua a pendente de cada unha das funcións anteriores. y = -2x y = -0.5x y = 0.2x Pendente

Pulsa en

Funcións lineais

y = 2x

para faceres uns exercicios.

-3 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

EXERCICIO 2.

Determina as ecuacións das funcións lineais cuxas gráficas son: a)

Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2. Función afín 2.a. Definición Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Cal é a ecuación dunha función afín? __________________________________________ Que é a ordenada na orixe? ________________________________________________ Practica coa escena para ver distintas funcións afíns. EXERCICIO: É constante o cociente entre f(x) e x? ___________________________________________ Pasan polo punto (0,0) as funcións afíns? ______________________________________ Pulsa en

para veres un caso particular.

O caso particular que viches é aquel no que a pendente é nula e a recta é, polo tanto, horizontal. O caso contrario dáse cando a recta é vertical e dise que a pendente é infinita. Neste caso, a ecuación é x=n e non é unha función.

EXERCICIO de Reforzo c) Representa graficamente as seguintes rectas: y = -2, y = 2, x = -2, x = 2.

Cando remates... Funcións lineais

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -4 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

2.b. Representación gráfica Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e observa na escena como se constrúe a gráfica dunha función afín.

EXERCICIOS de Reforzo d) Representa graficamente as seguintes funcións afíns: y = -2x + 2

y = 2x - 2

y = 0.5x - 1

y = -0.5x + 3

e) Encontra a pendente e a ordenada no orixe de cada unha das funcións anteriores. y = -2x + 2 y = 2x - 2 y = 0.5x - 1 y = -0.5x + 3 m n Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 3.

Determina as ecuacións das funcións afíns cuxas gráficas son: a) b)

Determina as ecuacións das rectas: a)

Cando remates... Funcións lineais

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -5 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

3. Ecuación da recta 3.a. Forma punto-pendente Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: A ecuación ___________ que viches no apartado anterior denomínase __________ ________________ da ecuación da recta, e permítenos achar a devandita ecuación cando coñecemos a ___________ e _________________________________. Cando só coñecemos ___________, m, e as coordenadas doutro dos puntos da recta, _______, a súa ecuación é __________________. Esta ecuación recibe o nome de ______________________ da ecuación da recta. Observa na escena como se obtén a forma punto-pendente da ecuación da recta e como se pasa á forma explícita. Pulsa en

para practicares estes conceptos cuns exercicios resoltos.

EXERCICIOS 5.

Acha a ecuación da recta que pasa por P (-8,-5) e ten pendente m = 2/7.

Determina a ecuación desta recta:

Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.b. Recta que pasa por dous puntos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: A ecuación da recta que pasa polos puntos P(x0,y0) e Q(x1,y1) é: _________________ . Esta ecuación recibe o nome de ___________________________________________. Observa na escena como se obtén a forma continua da ecuación da recta e os casos especiais. Funcións lineais

-6 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

EXERCICIOS de Reforzo f) Representa graficamente as rectas que pasan polos puntos que se indican e acha as ecuacións dasdevanditas rectas: P(2,-3), Q(2,1)

P(2,-3), Q(-1,-3)

Despois...

P(0,2), Q(0,-2)

Pulsa en

P(2,0), Q(-2,0)

para veres uns exemplos.

EXERCICIOS 7.

Acha a ecuación da recta que pasa por P (5,-9) e Q(6,8). Pasa a forma explícita e determina a pendente e a ordenada na orixe.

Acha a ecuación da recta que pasa por P (7,4) e Q(-3,-1). Pasa a forma explícita e determina a pendente e l ordenada na orixe.

EXERCICIO de Reforzo g) Representa graficamente as rectas do exercicio anterior: 7.

Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.c. Forma xeral Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: A forma máis habitual de representar rectas é _____________________________________ a ecuación da cal é: ____________________ . Se B =0 trátase dunha recta ____________________. Se A =0 trátase dunha recta ____________________. Se B non é cero, a pendente da recta é __________. Funcións lineais

-7 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Observa na escena a representación dunha recta en forma xeral e como se pasa de calquera forma da ecuación da recta á forma xeral. Despois...

Pulsa en

para practicares un pouco.

EXERCICIOS 9.

Determina a ecuación da recta que pasa polo punto (1,-7) e cuxa pendente é -2/3. Despois pasa a forma xeral.

10.

Determina a ecuación da recta que pasa polo punto (-4,-2) e de pendente 0. Despois pasa a forma xeral.

11.

Determina a ecuación da recta que pasa polos puntos P(2,-2) e Q(-8,3). Logo pasa a forma xeral.

12.

Determina a ecuación da recta que pasa polos puntos P(5,-2) e Q(3,-2). Logo pasa a forma xeral.

13.

Determina a ecuación da recta que pasa polos puntos P(6,5) e Q(6,-2). Logo pasa a forma xeral.

14.

Representa graficamente as rectas cuxa ecuacións xerais son x + y - 5 = 0 e x - y + 5 = 0. Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

4. Posición relativa de dúas rectas 4.a. Análise en forma explícita Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Dadas dúas rectas y = m1x + n1 e y = m2x + n2. Cando son secantes? ___________________________________________ . Cando son paralelas? ___________________________________________ . Observa na escena diferentes exemplos de rectas secantes e rectas paralelas. Despois...

Pulsa en

para veres uns exemplos.

EXERCICIOS 15.

Determina a posición relativa das rectas y = - 4x +1, y =4x. En caso de que sexan secantes, determina as coordenadas do punto de corte.

16.

Determina a posición relativa das rectas y = -2x +3, y = -2x -2. En caso de que sexan secantes, determina as coordenadas do punto de corte. Cando remates...

Funcións lineais

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -8 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

4.b. Análise en forma xeral Le na pantalla o texto. EXERCICIO: Dadas dúas rectas A1x + B1y+ C1 =0 e A2x + B2y+ C2 =0. Cando son secantes? ___________________________________________ . Cando son paralelas? ___________________________________________ . Cambia os valores de A1 e A2 na escena para ver cándo son paralelas e cándo secantes as rectas vermella e azul.

EXERCICIOS de Reforzo h) Calcula o punto de corte no caso A1 = 3, A2 = 4. i) Calcula o punto de corte no caso A1 = 2, A2 = 5.

Despois...

Pulsa en

para veres uns exemplos.

EXERCICIOS 17.

Determina a posición relativa das rectas x - 3y - 1 = 0, 4x + y + 1 = 0. No caso de que sexan secantes, determina as coordenadas do punto de corte.

18.

Determina a posición relativa das rectas 2x - 5y - 1 = 0, -4x + 10y + 1 = 0. No caso de que sexan secantes, determina as coordenadas do punto de corte. Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

5. Aplicacións 5.a. Problemas simples Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: As funcións lineais describen _________________________________________________ ________________. A representación gráfica será unha recta cuxa pendente nos informa de ________________________________ dunha magnitude con respecto á outra e a ordenada na orixe infórmanos sobre as ___________________. Na descrición de fenómenos reais é frecuente que as magnitudes que se relacionan veñan dadas por números de tamaños ________________, polo que, ao representalas graficamente, haberá que escoller unhas ________________ nos eixes correspondentes Na escena móstranse algúns exemplos de obtención de funcións a partir da pendente e a ordenada na orixe ou a partir de valores da mesma, tanto de funcións lineais como afíns. Estúdaos con atención antes de faceres os exercicios seguintes. Funcións lineais

-9 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

EXERCICIOS 19.

Nunha cidade teñen implantada a Ordenanza de Regulación do Aparcamento (O.R.A.). A norma indica que se debe pagar certa cantidade por cada minuto e que non hai un mínimo. Xoan pon 1,20€ e o parquímetro indica que dispón de 30 minutos. Sara con 1€ ten 25 minutos. Acha a ecuación que relaciona o prezo co tempo e debúxaa. Canto hai que pagar por un aparcamento de 50 minutos? Se pago 0,84€, de canto tempo dispoño?

20.

Nos países anglosaxóns adoitan usar a escala Farenheit para mediren temperaturas. Nesta escala, o punto de conxelación da auga alcánzase a 32ºF e o de ebulición, a 212ºF. Nós usamos a escala Celsius na que eses puntos se alcanzan a 0ºC e 100ºC respectivamente. Acha a ecuación que relaciona ºC con ºF e debúxaa. A cantos ºC equivalen 80ºF? A cantos ºF equivalen 36ºC?

21.

Nun comercio aplican o 15% de desconto a todos os seus produtos. Acha a ecuación que relaciona o prezo rebaixado co orixinal e debúxaa. Canto vale unha camisa que antes custaba 75€? Paguei por uns pantalóns 42,50€, canto custaban antes?

22.

Nun banco ofrécennos un prazo fixo ao 4% anual cunha comisión de mantemento de 15€ anuais, sexa cal sexa a inversión realizada. Acha a ecuación que relaciona o interese producido co capital investido. Canto producirán 3000€ nun ano? Canto se investiu se se recibiron 185€?

Cando remates...

Funcións lineais

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

5.b. Problemas combinados Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Onde realmente resulta interesante a aplicación de funcións lineais é no estudo de ________________________________ de forma que poidamos ________________ con facilidade. Estuda con detemento os problemas combinados que se mostran como exemplo na escena.

EXERCICIOS 23.

Quero comprar un teléfono móbil e visitei varias compañías. A compañía A ofréceme unha cota fixa de 9€ ao mes máis 6 céntimos por minuto. A compañía B ofréceme pagar so polo consumo a 0,20€/min. A compañía C ofréceme un custo de 0,10€/min cun consumo mínimo de 10€. Que compañía me interesa máis?

24.

Final de etapa. Nuna etapa con final en alto, un escapado está a 6 Km da meta e circula a 9 Km/h. O grupo perseguidor encóntrase a 10 Km do final, percorrendo a 12 Km/h. Alcanzarán ao escapado se manteñen as velocidades? En caso afirmativo, canto tardarán e a que distancia da meta?

25.

Repite o problema anterior supoñendo que o grupo perseguidor se atopa a 8 Km da meta.

Cando remates...

Funcións lineais

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Funcións lineais Son as funcións que relacionan magnitudes _________________________ e a súa ecuación é da forma _________. A súa representación gráfica é sempre unha liña ___________ que __________________. A pendente, m, é a ___________________________. Funcións afíns Relacionan magnitudes directamente proporcionais sometidas a algunha ______________ __________. Teñen a forma __________________. A súa gráfica é unha recta de pendente m que pasa polo punto _____ (n é a ___________ na orixe). Ecuación da recta Forma explícita: __________________. Forma punto-pendente: __________________. Recta por dous puntos: __________________. Forma xeral: __________________. Posición relativa de dúas rectas •

r1: y=m1+n1;

r2: y=m2+n2

Son paralelas se __________________. Son secantes se __________________. •

r1:A1x+B1y+C1=0;

r2:A2x+B2y+C2=0

Son paralelas se __________________. Son secantes se __________________. Casos particulares A pendente dunha recta horizontal é ___________ e a súa ecuación é _____________. É unha función _____________. A pendente dunha recta vertical é ____________ e a súa ecuación é _____________. Non é un ___________.

Pulsa

Funcións lineais

para ires á páxina seguinte

-12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás Exercicios con gráficas e ecuacións e Problemas con funcións lineais e afíns. Fai polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución. Exercicios con gráficas e ecuacións DEBUXA A GRÁFICA 1.

Representa graficamente as rectas de ecuacións _____________ e ______________.

DETERMINA A ECUACIÓN 2.

Acha a ecuación da recta da imaxe:

FORMAS DA ECUACIÓN DA RECTA I 3.

Calcula a forma xeral da ecuación da recta que pasa polo punto P ______ e cuxa pendente é m = ______.

FORMAS DA ECUACIÓN DA RECTA II 4.

Calcula a forma xeral da ecuación da recta que pasa polos puntos P ______ e Q ______.

Funcións lineais

-13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

FORMAS DA ECUACIÓN DA RECTA III 5.

Determina a pendente e a ordenada na orixe da recta de ecuación _______________. Logo, acha dous puntos desta e debúxaa.

COMPARAR RECTAS 6.

Determina a posición relativa das rectas _______________ e ______________. Se se cortan, acha tamén as coordenadas do punto de corte. Debuxa as rectas e, no seu caso, o punto.

PUNTOS ALIÑADOS 7.

Descobre se os puntos A_______, B______ e C______ están aliñados.

PARALELA POR UN PUNTO EXTERIOR 8.

Acha a ecuación da recta paralela a ___________ que pasa polo punto _______. Debuxa ambas as dúas rectas.

Funcións lineais

-14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Exercicios con gráficas e ecuacións CULTIVANDO MILLO 9.

Dous agricultores de zonas diferentes cultivan millo cos rendementos e custos que se indican debaixo. Descobre cántas hectáreas debe ter cada un para obter beneficios e quen ten máis beneficio en función do número de hectáreas cultivadas. Agricultor 1: Rendemento: _______ Custos por rego, abono, etc: _______ Custos fixos (seguros, impostos, etc): ________ Agricultor 2: Rendemento: _______ Custos por rego, abono, etc: _______ Custos fixos (seguros, impostos, etc): ________ Prezo do millo: ________

O RELOXO DE AREA 10.

A area contida nun reloxo de area ocupa un volume de _____ cm3 e o fabricante indica que a velocidade de caída da area é de ____ cm3/s. Descobre canto tarda en haber a mesma cantidade de area nas dúas partes do reloxo.

INTERPRETANDO GRÁFICAS 11.

A gráfica da dereita representa a distancia á que se atopa unha persoa con respecto a min en relación co tempo transcorrido. Expresa cunha frase o seu significado. _______________________________ _______________________________

REPRESENTANDO SITUACIÓNS 12.

Acha a ecuación da función que describe a seguinte frase: "Un móbil está a ____ Km de min e achégase a ____ km/h".

13.

Acha a ecuación da función que describe a seguinte frase: "Un móbil está a ____ Km de min e afástase a ____ km/h". Pulsa

Funcións lineais

para ires á páxina seguinte

-15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 10

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Escribe a pendente e a ordenada na orixe da recta da imaxe.

Calcula a ordenada na orixe da recta que pasa polo punto _______ e cuxa pendente é __. Calcula a ordenada na orixe da recta a ecuación xeral da cal é _________________. Calcula a pendente da recta a ecuación xeral da cal é __________________. Calcula a pendente da recta que pasa polos puntos P______ e Q______. Determina a posición relativa das rectas: ________________ ___________________ Determina a posición relativa das rectas: _________________ __________________ Calcula as coordenadas do punto de corte das rectas: ____________ ______________ Descobre se os puntos seguintes están aliñados: _______ _______ _______ Acha a ecuación da recta paralela a r que pasa por P. P = ________ r: _________________ Non esquezas visitar o enlace Para saber máis para ampliar os teus coñecementos. Funcións lineais

-16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición Media Moda Cuartís e mediana 4. Medidas de dispersión Rango e desviación media Desviación típica Coeficiente de variación

Obxectivos •

Distinguir os distintos tipos de variables estatísticas.

•

Agrupar en intervalos os datos dun estudo.

•

Facer a táboa estatística asociada a un conxunto de datos.

•

Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

•

Calcular a media, a moda, a mediana e os cuartís dun conxunto de datos.

•

Que son e como se calculan os parámetros de dispersión: o rango ou percorrido, a varianza e a desviación típica, o coeficiente de variación.

Autor: Aurelio Conde Casas, Manuel González Morales Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Estatística

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Antes de empezar Observa a escena da dereita. Nela móstrase a ocupación dunha praza por un grupo de manifestantes. Saberías dicir o número aproximado de persoas que hai na praza? Isto denomínase estimar. Usa a axuda para calculares o devandito número.

Cando remates... Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1. Facer estatística 1.a. Necesidade Le na pantalla o porqué da necesidade de facer estatística. Observa a escena con atención e realiza varias estimacións do número de células de cada tipo que teñen os marcianos analizados. EXERCICIO. Contesta: Para que serve unha enquisa? ________________________________________________

Realiza o exercicio que se propón na escena para estimar a cantidade de glóbulos de cada cor do marciano. Compara a túa estimación cos valores reais. EXERCICIO: Completa a seguinte táboa: Estimación

Valores reais

Cando remates... Pulsa

Estatística

Diferenzas

para ires á páxina seguinte.

-2 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

1.b. Poboación e mostra Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Cando se fai un estudo ____________ o investigador decide se analizará toda a poboación ou unha ________ elixida previamente. _________ é o conxunto de individuos, con algunha característica común, sobre o que se fai un estudo estatístico A _____________ é un subconxunto da poboación. Debe elixirse que sexa representativa de toda a poboación na característica estudada. Observa con atención a escena. Compara os resultados que se obteñen con diferentes tamaños da mostra.

EXERCICIO: Completa a seguinte táboa: nº de irmáns

Tamaño mostra: ____

Cantidade

Total alumnos: ____ Cantidade

Sen irmáns 1 irmán 2 irmáns 3 irmáns 4 irmáns

Cal é máis representativa? ____________________

EXERCICIOS 1.

Cantas persoas supoñen unha mostra do 10% habitantes? E dunha de 6.000 habitantes?

Unha empresa de sondaxes estatísticas ten capacidade para entrevistar a 1.000 persoas por semana. Se dispón de 4 semanas, a que porcentaxe dunha poboación de 100.000 habitantes pode entrevistar para obter unha mostra?

Cando remates... Estatística

Pulsa

dunha poboación de 10.000

para ires á páxina seguinte. -3 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

1.c. Atributos e variables Le na pantalla a explicación teórica deste apartado.

EXERCICIO: Completa:

Unha _____________________ é cada unha das propiedades ou características que podemos estudar. Variables cualitativas ou _______________. Os valores da variable non son números senón _______________, exprésanse con _______________. A cor, a forma, o sexo, ... son exemplos de variables cualitativas. Variables __________________. Os datos exprésanse numericamente e poden ser: •

_________. Cada unha das variables solo pode tomar valores ______________ (1, 2, 3, ...). O nº de irmáns, o nº ventás de casa, o nº colexios da túa poboación,...

•

___________. Poden tomar calquera valor dun intervalo dado. O noso peso, altura, forza, non é posible medilas con números enteiros, a densidade do aire, a velocidade media dos fórmula 1 nunha carreira,...

Contesta as preguntas da escena para comprobares se comprendiches os conceptos de variable cualitativa, variable cuantitativa discreta e variable cuantitativa continua.

EXERCICIO 3.

Co fin de coñecer mellor a forma de viaxar dunha poboación, prepararon unha enquisa. Algunhas das preguntas trataron sobre: Nº de días de viaxe, diñeiro empregado, número de vultos, zonas xeográficas, medio de transporte, natureza da viaxe (negocios, turismo, familiar, saúde …) e nº de persoas. Clasifica estas variables estatísticas.

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-4 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

2. Reconto e gráficos 2.a. Reconto de datos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado e practica coa escena. EXERCICIO: Completa: Frecuencia ____________ é o nº de veces que aparece un dato. Á de xi chamarémola fi. Frecuencia relativa, é o __________ entre a frecuencia __________ e o nº total de datos. Frecuencia acumulada dun dato é o _________ das frecuencias absolutas dos valores que son menores ou iguais ca el, indicarémola con Fi. Tamén se poden calcular as frecuencias relativas acumuladas.

para facer outros exercicios.

Pulsa en

EXERCICIO 4.

Fai un reconto dos seguintes datos: 4 4 2 1 2 3 2 2 2 4

2 4

4 3

4 4

2 4

3 2

4 1

Na táboa deben aparecer as frecuencias absolutas, frecuencias relativas, frecuencias acumuladas e as frecuencias relativas acumuladas. Valores

Frecuencia absoluta

F. absoluta acumulada

Cando remates...

Estatística

Pulsa

Frecuencia relativa

F. relativa acumulada

para ires á páxina seguinte.

-5 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

2.b. Diagrama de barras e de sectores Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Para que serven os gráficos estatísticos? _______________________________________ Que é un diagrama de sectores? _____________________________________________ _______________________________________________ A que tipo de variables é aplicable? ___________________________________________ Como se constrúe un diagrama de barras? _____________________________________ _______________________________________________

Practica coa escena e, cando comprendas ben como se constrúen os distintos tipos de gráficos, realiza o seguinte exercicio.

EXERCICIO 5.

Fai un reconto dos seguintes datos, un gráfico de sectores e outro de barras. Indica o ángulo de cada sector. Pelota, máscara, pelota, máscara, máscara, bici, máscara, bici, bici, máscara, máscara,

máscara,

videoxogo,

máscara,

pelota,

videoxogo,

pelota,

videoxogo, pelota, pelota, videoxogo, pelota, máscara. Xi

graos

Videoxogo Máscara Bici Pelota

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-6 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

2.c. Agrupación de datos en intervalos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa:

Que outro nome reciben os intervalos nos que se agrupan os datos cando o número destes se fai tan grande como o tamaño da mostra?_____________________ Con que valor representamos a todos os datos dun mesmo intervalo?_____________ Como se chama o devandito valor?_____________________ Para representar graficamente os datos cando veñen agrupados en intervalos úsase o ______________. Cada valor represéntase por un _________________ de anchura o intervalo correspondente e coa altura proporcional ao seu ________________. Observa con atención a escena. Pulsando en novos datos.

poderás comprobar como cambian as frecuencias dos intervalos cando se xeran

Pulsando en poderás cambiar o número de intervalos. Presta especial atención aos intervalos, as marcas de clase, as frecuencias e ao histograma en cada caso.

EXERCICIOS 6.

Agrupa os seguintes datos en 10 grupos. Agrupa os mesmos datos, agora, en 5 grupos e fai un gráfico para cada agrupación. 2

Agrupa os datos seguintes en 5 intervalos de igual amplitude, fai un gráfico e un polígono de frecuencias. 7,2

6,3

9,8

9,1

9,3

5,7

6,7

8,4

5,7

3,1

1,4

5,4

1,1

4,8

2,5

0,1

5,3

1,3

3,6

1,9

5,2

1,7

Cando remates... Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -7 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

3. Medidas de centralización e posición 3.a. A Media Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Para calcular a media, se son poucos os datos, ___________ todos e ____________ entre o _______________. Se son moitos, terémolos agrupados; entón súmanse os produtos de cada dato polo seu __________________ e divídese esta suma polo número total de datos. Indícase con ___. EXERCICIO: Completa:

Observa na escena como se calcula a media dependendo de se os datos están ou non agrupados. Presta especial atención á construción da táboa de datos. En , cambia o número de intervalos e verás que a media, aínda cos mesmos datos, varía. Despois...

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 8.

Calcula a media en cada caso: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6

c) 100, 120, 180, 200

10.

Calcula a media dos seguintes datos 0

Calcula a media dos seguintes datos 2,4

1,1

3,5

0,7

2,8

3,8

0,2

2,8

1,9

0,6

3,8

3,1

2,8

0,2

0,4

3,1

1,5

1,9

1,8

3,1

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -8 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

3.b. A Moda Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: A moda, Mo, dunha distribución estatística é o valor da variable que máis se _________, o de maior ______________________.

Observa a escena e realiza varios exemplos ata que comprendas ben o concepto de moda.

Despois...

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 11.

Determina a moda para os datos 2

EXERCICIO de Reforzo a) Determina a moda nas seguintes secuencias de datos: •

A, A, B, C, B, C, B, C, B, C, B, A, A, A, A

•

4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 1

•

2, 4, 0, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1

•

4, 1, 1, 4, 0, 4, 2, 0, 4, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 0, 1, 1

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-9 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

3.c. A mediana e os cuartís Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: A mediana e os cuartís, como a media __________, só se poden calcular cando a variable é ___________________. A __________, Me, é o valor que ocupa a posición __________ unha vez ordenados os datos en orde ___________; é dicir, o valor que é maior que o 50% e menor que o outro 50%. A mediana divide a distribución en dúas partes con igual nº de datos. Se a dividimos en catro partes, obtemos os _________________, 1º, 2º e 3º, que se indican respectivamente Q1, Q2 e Q3. Ordenados os datos, o primeiro cuartil, é maior que o ____% destes; o terceiro cuartil, maior que o ____%, e o segundo coincide coa __________.

Practica coa escena e presta atención a como se calculan a mediana e os cuartís no caso dunha variable estatística discreta.

Despois...

Pulsa en

para practicares un pouco.

EXERCICIO 12.

Calcula a mediana, o primeiro e terceiro cuartil dos seguintes datos: 2

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

4. Medidas de dispersión 4.a. Rango e Desviación media Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: As medidas de _______________ indican se os datos están máis ou menos ____________ respecto das medidas de ________________. ____________ ou percorrido, é o ________________ entre o maior e o menor valor da variable, indica a lonxitude do intervalo no que se achan todos datos. ________________, é a media dos valores absolutos das diferenzas entre a media e os diferentes datos.

Observa a escena e asegúrate de que comprendes ben o concepto Despois...

Pulsa en

para veres uns exemplos.

EXERCICIO 13.

14.

Calcula o rango e a desviación media dos datos: 8

Calcula a desviación media dos datos tabulados seguintes: xi [0,200)

100

[200,400)

300

[400,600)

500 13

[600,800)

700

[800,1000) 900

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

4.b. Varianza e desviación típica Le na pantalla o texto. EXERCICIO: Completa: É outra forma de medir se os datos están ou non ____________ á media e é a máis utilizada.

A __________ é a media dos cadrados das desviacións. A desviación típica é a raíz cadrada positiva da ____________________. Para designala empregaremos a letra grega "sigma", σ.

σ=

É importante que entendas o significado destas medidas. Canto _____________ sexan, máis ___________ estarán os datos. Os intervalos arredor da media de amplitude 2 ou 4 veces a desviación típica teñen importancia por ______________________________________________.

Observa a escena e fíxate como se tabulan os datos. Despois...

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EJERCICIO 15.

Calcula a media e a desviación típica en a) 200, 250

b) 175, 275

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

4.c. Coeficiente de variación Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: É o __________ entre a desviación típica e a media, utilízase para comparar as dispersións de datos de distinta media. Observa a escena e despois realiza o exercicio desta pantalla.

EXERCICIOS 16.

Calcula a media e a desviación típica en: a) 7, 5, 3, 2, 4, 5

b) 20, 25, 20, 22, 21

17.

Cal das dúas distribucións anteriores presenta maior dispersión?

18.

Calcula a media e a desviación típica dos datos agrupados seguintes:

19.

Cal é o coeficiente de variación da distribución anterior?

Cando remates...

Estatística

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

-13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO 1. Poboación:

2. Mostra:

3. Variables estatísticas: •

Cuantitativa:

•

Cualitativa Discreta:

•

Cualitativa Continua:

Exemplos

Completa a seguinte táboa a medida que avanzas polos seguintes conceptos escribindo as súas definicións e facendo os cálculos:

4. Táboa de valores Xi

Xi·fi

X − xi

(X − x )

X − x i ·fi

(X − x )

·fi

TOTAL

5. Gráficos. Tipos de gráficos: Resultados do exemplo

Definicións: 6. Moda 7. Rango 8. Mediana 9. Cuartil 1º 10. Cuartil 3º 11. Media 12. Desviación media 13. Desviación típica 14. Coeficiente de variación

Pulsa Estatística

para ires á páxina seguinte -14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás Estatística. Reconto e Cálculos e Estatística. Datos do INE. Fai polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución. Estatística. Reconto e cálculos DATOS 1.

Fai un reconto dos seguintes datos ________________________________

Cando hai eleccións, todos os cidadáns maiores de 18 poden votar. Os datos obtidos constitúen unha mostra? Que opinas ao respecto?

Clasifica as seguintes variables estatísticas: Nº de fillos, Flor preferida, Peso, Temperatura media, Sabor, Altura, Velocidade, Aceleración, Nº de válvulas, Nº de prazas, Tipo de vehículo, Nº de rodas, Carga neta e Tipo de tapizaría.

Agrupa os datos en intervalos de amplitude 10 e fai o reconto 5, 12, 4, 23, 34, 6, 14, 25, 11, 1, 37, 24, 31, 21, 4, 7

MODA E MEDIANA 5.

Cal é a moda en cada grupo? A = {__________________________} B = {__________________________} C = {__________________________}

Estatística

-15 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Cal é a mediana en cada caso? A = {__________________________} B = {__________________________} C = {__________________________} D = {__________________________} E = {__________________________}

Agrupa os datos {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4} e determina a moda e a mediana.

Temos 20 datos ordenados de menor a maior e o 10º, 11º e 12º son os datos 30, 40 e 40. Cal é a mediana?

MEDIA 9.

10.

11.

Que número hai que engadir a cada un dos seguintes números para ter de media 7? a)

Calcula a media dos seguintes datos: x1=10

f1=__

x2=12

f2=__

x3=14

f3=__

Cal é a media en cada caso? A= B= C=

Estatística

-16 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

12.

4 datos teñen por media 5. Canto ha de valer un 5º dato para que a media pase a ser 6?

13.

Que dato sobra para que a media da serie 3, 4, 5, 6, 7, 8 sexa 5?

CUARTÍS E DESVIACIÓN MEDIA 14.

Pon exemplos de igual media e distinta desviación media.

15.

Determina a desviación media en cada caso: A= B=

16.

Determina os cuartís dos datos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

17.

En 100 datos ordenados de menor a maior, os datos 74, 75 e 76 son 100, 120 e 130. Calcula Q3.

18.

En 50 datos ordenados de menor a maior, os datos 10º, 11º, 12º, 13º e 14º son 22, 24, 24, 26 e 28. Calcula Q1.

Estatística

-17 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

DESVIACIÓN TÍPICA E COEFICIENTE DE VARIACIÓN 19.

En tres casos coa mesma media e distinta desviación, que grupo de datos está máis disperso?

20.

Determina o CV en cada caso. a) X = 10, σ = 1 b) X = 10, σ = 0.1 c) X = 10, σ = 5 Expresa o resultado en porcentaxes.

21.

Determina o CV sabendo que X = ____ e σ = ___.

22.

Cal é a desviación típica en cada caso? A = (5, 5) B = (4, 6) C = (10, 0)

23.

Calcula a desviación típica para os datos seguintes: x1=10

f1=__

x2=12

f2=__

x3=14

f3=__

Pulsa

Estatística

para ires á páxina seguinte

-18 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Estatística. Datos do INE POBOACIÓN 24.

A partir de que idade hai máis mulleres que homes? Que porcentaxe de españolas teñen 85 ou máis anos? Entre os 20 e os 44 anos, que porcentaxe de poboación española hai? Os nacementos dos últimos 20 anos foron crecendo ou diminuíndo?

EDUCACIÓN 25.

En que zonas xeográficas se len menos libros? Cal é a opción máis elixida? Que zona, con máis dun 60% de persoas que len libros, está rodeada de zonas con menos porcentaxe de lectura? Lese máis na zona Norte ou na zona Sur?

Estatística

-19 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

SAÚDE 26.

A depresión afecta á mesma porcentaxe de homes que mulleres? Indica algunha zona xeográfica con máis de 1000 mortes cada 100000. Indica algunha zona cunha mortalidade por debaixo da media. Que doenza ten maior porcentaxe de poboación?

CONDICIÓNS DE VIDA 27.

Alguén que gaste en alimentación como no gráfico, canto gasta en peixe de cada 500 euros? En que gastamos máis diñeiro para alimentarnos? Indica unha zona onde o gasto medio por persoa sexa inferior á media. Indica as zonas con maior gasto medio por persoa.

Estatística

-20 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

TRABALLO 28.

En que período de tres anos diminuíu máis rápido o paro? Dende o 2001, en que ano diminuíu máis o paro? Nos 20 anos do gráfico, a muller tivo algunha vez menos paro que o home? A partir de que ano a taxa de actividade da muller superou o 40%?

TURISMO 29.

Onde te aloxarías para atopar un belga por cada 3 franceses? De que nacionalidade de procedencia hai maior ocupación nos hoteis de España? Que dous países teñen maior presenza turística en España? En que tipo de pernoctación hai máis turistas dos Países Baixos que doutras nacionalidades?

Pulsa

Estatística

para ires á páxina seguinte

-21 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos; despois, introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Conta os __ que hai.

Que frecuencia ten o valor ___?

Calcula a media. xi

xi ·fi

Calcula a mediana xi

Cos datos do exercicio 4, calcula o primeiro cuartil.

Estatística

-22 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Cos datos do exercicio 4, calcula o terceiro cuartil.

Calcula a amplitude do rango. xi

Calcula a desviación media. xi

xi ·fi

| X - xi |· fi

Calcula a desviación típica. xi

xi ·fi

( X - x i ) ·fi

Cos datos do exercicio 9, calcula o coeficiente de variación, en tanto por un.

Estatística

-23 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

Para practicar máis 1. Cantas persoas supoñen unha mostra do 5% dunha poboación de 20.000 habitantes? E dunha de 1000 habitantes? 2. Dunha poboación de 30000 individuos estudáronse varias características en 150 individuos. Que porcentaxe do total foi estudada? 3. Un veterinario estuda as seguintes características nunha mostra de animais dunha granxa tipo de animal: peso, cor dos ollos, temperatura corporal, número de compañeiros e metros cadrados por animal. 4. Fai un reconto dos seguintes datos, un gráfico de sectores e outro de barras. Indica o ángulo de cada sector. a b c a c c d c d b d a d a b b c c a a b a b d 5. Fai un reconto dos seguintes datos e diagrama de barras con polígono frecuencias 3 3 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 1 1 4 2 2 4 4 3

un de 2 2 3 3

6. Agrupa os seguintes datos en 10 grupos. Agrupa os mesmos datos, agora, en 5 grupos. 3 6 5 9 2 6 2 2 7 9 4 6 2 5 9 9 1 0 2 5 3 6 7 8 6 4 3 6 7 9 10 10 9 1 6 8 6 2 3 9 6 5 6 6 5 7 6 6 10 1 3 4 4 4 7. Calcula a media en cada caso: a) 14,16, 18 b) 24, 26, 28, 26 c) 1000, 1200, 1800, 2000

Estatística

8. Calcula a media 3 3 3 3 2 3 2 2

dos seguintes datos 1 1 3 2 1 3 1 1 4 4 4 3

2 2 3 3

9. Calcula a media 10 1,5 9,5 5,50 8,5 7,5 20 12,5

dos seguintes 18 20 15,5 6,5 1,5 15 7,5 4,5

1 4 0 9

10. Determina a moda para 3 3 1 3 3 2 2 3 1 2 2 4

datos 16 4,5 13 14,5

os datos 1 3 1 3 1 4 4 3

2 2 3 3

11. Calcula a mediana, o primeiro e o segundo cuartil dos datos do exercicio anterior. 12. Calcula de desviación media en cada caso: a) 14, 16, 18 b) 34, 36, 38, 36 c) 1000, 1200, 1800, 2000 13. Calcula o rango dos datos: 23 8 33 20 40 25 40 27

e a desviación media 21 11 30 16

24 36 12 26

20 13 18 9

14. Calcula a desviación media seguintes datos tabulados:

9 1 5 7 dos

15. Calcula a media e a desviación típica en a) 2000, 2500 b)1750, 2750 c) 2500, 2500

-24 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 11

NOME:

DATA:

16. Calcula a media e a desviación típica dos datos: 3 1 1 3 1 4 4 4 4 1 1 4 4 2 2 2 3 2 4 2 4 2 1 3

22. De cada millón de viaxeiros, cantos corresponden a cada sector?

17. Calcula o coeficiente de variación dos datos do exercicio anterior. 18. Calcula a media e a desviación típica dos datos: 25 29 40 9 32 4 15 35 26 24 16 2 11 16 37 10 30 2 35 17 8 40 38 5

19. Calcula o coeficiente de variación dos datos do exercicio anterior. 20. Calcula a media e a desviación típica dos seguintes datos agrupados:

21. Fai os cálculos para un millón habitantes en cada comunidade.

23. Cantos condutores había no ano 2002? Cantos eran homes e cantas mulleres?

24. Entre que anos aumentaron máis os detidos por infraccións penais?

Estatística

-25 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Probabilidade Contidos 1. Experimentos aleatorios Espazo mostral e sucesos Técnicas de reconto Operacións con sucesos Propiedades 2. Probabilidade Probabilidade dun suceso Regra de Laplace Propiedades da probabilidade Probabilidade experimental Simulación

Obxectivos •

Distinguir os experimentos aleatorios dos que non o son.

•

Achar o espazo mostral e distintos sucesos dun experimento aleatorio.

•

Realizar operacións con sucesos.

•

Determinar se dous sucesos son compatibles ou incompatibles.

•

Calcular a probabilidade dun suceso mediante a regra de Laplace.

•

Calcular probabilidades mediante a experimentación.

•

Coñecer e aplicar as propiedades da probabilidade.

Autor: Aurelio Conde Casas Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Probabilidade

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Antes de empezar

Investiga xogando Tíranse dous dados, a ficha cuxo número coincide coa suma dos resultados avanza unha casa. Vólvense tirar os dados ata que unha ficha chegue ao final, por cal apostarías? Antes de practicares coa escena, contesta a seguinte pregunta: teñen todas as fichas a mesma probabilidade de gañar?

Agora practica coa escena para veres se a túa resposta é correcta.

Investiga por que gaña case sempre a mesma ficha. Dámosche algunhas preguntas para dirixir a túa investigación. Por que non hai ningunha ficha co 1?

Que ten que acontecer para que avance a ficha co número 2?

E para que avance a ficha co número 3?

Pulsa no botón

Pulsa

Probabilidade

para veres un vídeo.

para ires á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

1. Experimentos aleatorios 1.a. Espazo mostral e sucesos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 1: Define: EXPERIMENTO ALEATORIO: EXPERIMENTO DETERMINISTA: EXERCICIO 2: Completa: •

O ____________________________ é o conxunto de todos os resultados posibles dun experimento aleatorio. Adóitase designar coa letra ____.

•

Cada un destes posibles resultados chámase _____________________.

•

Chamaremos _________ a calquera subconxunto do espazo mostral.

•

O mesmo espazo mostral é un suceso chamado __________________ e o conxunto baleiro, __, é o _________________.

Cando comprendas ben os conceptos...

Pulsa en

para faceres un exercicio.

EXERCICIO 1.

Indica cáles dos seguintes experimentos son aleatorios e, en caso afirmativo, acha o seu espazo mostral: a) Extraer unha carta dunha baralla española e anotar o pau. b) Pesar un litro de aceite. c) Medir a hipotenusa dun triángulo rectángulo coñecidos os catetos. d) Elixir sen mirar unha ficha de dominó. e) Descubrir o resultado dun partido de fútbol antes de que se xogue. f) Sacar unha bóla dunha bolsa con 4 bólas vermellas. g) Sacar unha bóla dunha bolsa con 1 bola vermella, 1 verde, 1 azul e 1 branca. h) Lanzar ao aire unha moeda e observar o tempo que tarda en chegar ao chan.

Usa a escena para repasares os conceptos que viches. Proba cos distintos experimentos aleatorios. Cando remates... Pulsa

Probabilidade

para ires á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

1.b. Técnicas de reconto Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 3: Completa: Chámanse experimento composto o formado por _________________________________ _____________________________. Nestes casos, o espazo mostral pódese obter utilizando algunha destas técnicas: •

Táboa _______________________.

•

Diagrama ___________________.

Se o primeiro experimento ten ___ resultados distintos e o segundo ___, o número de resultados do experimento composto é ______.

Cando comprendas os conceptos...

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 2.

Calcula as posibilidades mediante un diagrama de árbore: a) Nun equipo de fútbol-sala dispoñen para xogar de pantalóns brancos ou negros, e de camisetas vermellas, azuis ou verdes. De cantas maneiras se poden vestir para un partido? b) Tírase unha moeda e un dado, cales son os resultados posibles? c) Tírase unha moeda; se sae cara, sácase unha bóla da urna A que contén unha bóla vermella, unha azul e unha verde; e, se sae cruz, sácase da urna B na que hai unha bóla vermella, unha azul, unha branca e unha negra. Escribe os posibles resultados. d) Marta e María xogan un campionato de parchís; vence a primeira que gañe dúas partidas seguidas ou tres alternas. De cantas maneiras se pode desenvolver o xogo?

Realiza o exercicio sobre o lanzamento de dous dados na pestana "táboa de dobre entrada" da escena. Cando o fagas correctamente, observa na pestana "diagrama de árbore" como se poden representar todos os resultados posibles do experimento lanzar unha moeda 3 veces usando un diagrama de árbore.

Cando remates...

Probabilidade

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

1.c. Operacións con sucesos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 4: Completa: Dados dous sucesos A e B dun espazo mostral E, chamaremos: •

Suceso contrario de A ________________________________________________.

•

Suceso unión de A e B ________________________________________________.

•

Suceso intersección de A e B___________________________________________.

•

Sucesos incompatibles _______________________________________________.

Utiliza a escena para ver diferentes sucesos e operacións con eles, dos experimentos aleatorios "tirar un dado" e "extraer unha bóla".

EXERCICIO de Reforzo a) No experimento aleatorio “tirar un dado”, describe os sucesos: • • • • • •

A : “saír impar” = {__________________} B : “saír maior que 4” = {__________________} A∩B = {__________________} A∪B = {__________________} A = {__________________} A ∩ B = {__________________}

Cando comprendas os conceptos...

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 3.

Considera o experimento aleatorio de extraeres unha carta da baralla.

Expresa con unións e interseccións de A e de B, ou co contrario, os seguintes sucesos: a) A=”saír figura”

B=”saír bastos”

“Que saia figura ou sexa de bastos”

b) A= “saír un rei”

B=”saír copas”

“Saír copas pero que non sexa rei”

c) A=”saír un as”

B=”saír ouros”

“Que non saia un as nin ouros”

d) A=”saír un rei”

B=”saír espadas”

“Saír o rei de espadas”

Cando remates... Probabilidade

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

1.d. Propiedades das operacións con sucesos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 5: Completa: A unión e intersección de sucesos e o suceso contrario cumpren: •

A unión dun suceso e o seu contrario é ____________________.

•

A intersección dun suceso e o seu contrario é _______________________.

•

O contrario de A é __.

•

O contrario da unión de dous sucesos é _______________________________.

•

O contrario da intersección de dous sucesos é __________________________.

EXERCICIO 6: Completa:

A∪A =

A∩A = A ∪B =

A ∩B =

Cando comprendas os conceptos...

Practica coa escena. Pulsando sobre os distintos sucesos poderás comprobar cáles son iguais.

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 4.

Extráense dúas cartas da baralla e mírase o pau. Indica cal: a, b ou c, é o suceso contrario a S? S = “As dúas son de ouros” a) “Ningunha é de ouros” b) “Polo menos unha é de ouros” c) “Polo menos unha non é de ouros” S = “Ningunha é de copas”

a) “As dúas son de copas” b) “Polo menos unha é de copas” c) “Polo menos unha non é de copas”,

Cando remates...

Probabilidade

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

2. Probabilidade 2.a. Probabilidade dun suceso Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 7: Dado un suceso S, que indica a probabilidade de S? ________________________________________ que significa que a devandita probabilidade estea próxima a 1? ________________ Cal é a probabilidade do suceso seguro? ______ Que é a frecuencia relativa? _______________________________________________ Que establece a lei dos grandes números? ________________________________ ________________________________________________________________________ Practica coa escena para veres as frecuencias de dous experimentos aleatorios; o resultado obtido ao lanzares un dado e a puntuación máis alta ao lanzares dous dados. EXERCICIO 8: No experimento “lanzar un dado”, que valor asignarías á probabilidade de que saia un 4? ___________ No experimento “lanzar dous dados”, que valor asignarías á probabilidade de que o maior dos números obtidos sexa un 4? ___________

Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.b. Regra de Laplace Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 9: Define: Sucesos equiprobables: _____________________________________________________ Experimento regular: _______________________________________________________ EXERCICIO 10: Completa:

P(A) = Practica a regra de Laplace coa escena deste apartado. Na escena tes tres experimentos para practicar: a extracción dunha bóla dunha urna, o lanzamento de dous dados para elixir a puntuación maior e o lanzamento de 3 moedas. Cando comprendas os conceptos...

Probabilidade

Pulsa en

para faceres uns exercicios.

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

EXERCICIO 5.

A ruleta é un coñecido xogo dos casinos. Consiste nunha roda equilibrada, dividida en 37 casas numeradas do 0 ao 36. O 0 é de cor verde e, se sae, gaña a banca. Hai diferentes tipos de apostas, a un número só, a “par” ou a “impar”, a “vermello” ou a “negro, a “passe” (nº>18) ou a “falte” (nº<18), a unha columna, …

Calcula as seguintes probabilidades: a) P(17)= b) P(“impar”)= c) P(“2ª columna”)= d) P(“par e vermello”)= e) P(“impar e falte”)= f) P(“vermello”)=

Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.c. Propiedades da probabilidade Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 11: Escribe as tres propiedades fundamentais da probabilidade: •

__________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________

Escribe dúas propiedades da probabilidade que se deducen das anteriores: •

__________________________________________________________________

•

__________________________________________________________________

Observa na escena o uso das propiedades da probabilidade. Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 6.

Na última avaliación, na miña clase aprobaron as Matemáticas o 67% e o Inglés o 63%, o 38% aprobaron as dás materias. Elixido un estudante da clase ao chou, calcula a probabilidade de que: a) Aprobara algunha das dúas. b) Non aprobara ningunha das dúas. c) Aprobara só as Matemáticas. d) Aprobara só unha das dúas. Cando remates... Probabilidade

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

2.d. Probabilidade experimental Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 12: Completa: A lei de Laplace permítenos calcular a probabilidade de ________________, pero se a experiencia é irregular descoñecemos a probabilidade de cada un dos casos; entón é preciso recorrer a __________________. A probabilidade experimental é a probabilidade asignada a un suceso mediante o cálculo da súa ___________________ ao repetir o experimento moitas veces. Canto maior é o número de probas realizadas, máis se aproxima o valor obtido ao valor descoñecido da _________________. O número de probas a realizar dependerá do experimento e do nº dos seus ______________________. Observa na escena dous exemplos de experimentos irregulares e como repetíndoos moitas veces as frecuencias relativas se estabilizan e se aproximan á probabilidade teórica. Pulsa en

para faceres uns exercicios.

EXERCICIO 7.

Ao tirar unha chatola, pode caer coa punta cara arriba ou cara abaixo. Para calcular a probabilidade de cada un destes sucesos, realizouse o experimento moitas veces obtendo os resultados dados na táboa. Á vista deles, que probabilidade asignarías ao suceso “caer coa punta cara abaixo”? Nº de tiradas Punta cara arriba

10 7

50 29

100 65

Cando remates...

500 337

Pulsa

1000 668

para ires á páxina seguinte.

2.e. Simulación de experimentos Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO 13: Contesta: En que consiste a simulación de experimentos aleatorios? ___________________________ ___________________________________________________________________________ Que acontece ao pulsar a tecla RAND (RAN#, RANDOM...) da túa calculadora? _______________ ___________________________________________________________________________ Practica a simulación coa aplicación que tes baixo a explicación teórica. Introduce números entre 0 e 1 e pulsa o botón para veres como a aplicación transforma o teu número nun lanzamento do dado. Cando remates... Probabilidade

Pulsa

para ires á páxina seguinte. -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Espazo mostral e sucesos

• • • •

_____________________, o que non se pode predicir o resultado. Espazo mostral conxunto de todos os ____________________. Chamaremos suceso a _______________________ do espazo mostral. Sucesos ___________________ se non se poden realizar á vez.

Operacións con sucesos

• Suceso _____ de A e B, A∪ ∪B, é o que acontece cando acontece A ou B, algún dos dous. • Suceso intersección de A e B, A∩ ∩B, suceso que acontece cando __________________. • Suceso contrario de A ao que acontece cando _____________, indicarémolo A . A

____

___

____

Calcular probabilidades

•

En experimentos regulares, cando os sucesos elementais son equiprobables, coa Regra de Laplace.

P(A) =

•

Se o experimento non é regular, recorrese á _________________, tomando a probabilidade de A como a súa frecuencia __________ ao repetir o experimento moitas veces.

Propiedades da probabilidade •

≤__P(A)≤__

•

P(E)=__, P(Ø)=__

•

P( A )=1-____

•

Probabilidade da unión

• A e B incompatibles: P(AUB)=__________ • A e B compatibles: P(AUB)=____________________ Pulsa

Probabilidade

para ires á páxina seguinte

10 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Para practicar Nesta unidade atoparás Exercicios de sucesos, regra de Laplace e propiedades da probabilidade e Problemas con probabilidades. Fai polo menos un de cada clase e unha vez resolto comproba a solución. Exercicios de sucesos, regra de Laplace e propiedades da probabilidade ESPAZO MOSTRAL E SUCESOS 1.

Eliximos unha ficha de dominó ao chou, a) Describe os sucesos: A="sacar _______________" B="sacar __________________________" b) Escribe A∪B e A∩B.

Escribe o espazo mostral do experimento resultante de tirares 3 moedas. Considera os sucesos: A="Saír ________" B="Saír ____________________" Escribe A∪B, A∩B e o suceso contrario de B.

Nunha urna hai 15 bólas numeradas do 1 ao 15, extráese unha delas. Considera os sucesos: A="Sacar _________" B="Sacar _________________" Escribe ∪AB e ∩AB.

Lanzamos un dado dodecaédrico e anotamos o nº da cara superior. Describe os sucesos: A="Sacar ___________" B="Sacar ___________________" Escribe A∩B, A ∩ B y A ∩ B .

REGRA DE LAPLACE 5.

Nunha caixa hai __ bólas vermellas, __ verdes e __ azuis. Extráese unha bóla e anótase a cor. Calcula a probabilidade de que sexa ______.

Elíxese ao chou un nº entre os primeiros ___ naturais (a partir do 1). Calcula a probabilidade dos sucesos: A="Saír un nº maior que __ e menor que ___". B="Saír un cadrado perfecto"

Probabilidade

11 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Dunha baralla de 40 (española) extráese unha carta. Calcula a probabilidade dos sucesos: A="Saír ______" B="No saír _____________________"

Lanzamos dous dados e fixámonos na _____ das puntuacións. Calcula a probabilidade de que sexa un ___.

Enriba da mesa temos as cartas dunha baralla que aparecen abaixo; sacamos outra carta e fixámonos no seu número. Calcula a probabilidade de que a suma dos números das tres cartas sexa 15.

10.

Extraemos unha ficha de dominó. Calcula a probabilidade de que a suma dos puntos sexa menor que ___.

11.

Cun __, un __ e un __, formamos todos os números de tres cifras posibles. Se eliximos un destes ao chou, calcula a probabilidade de que remate en __.

12.

Ao xirar a ruleta da figura, calcula a probabilidade de que ______ e maior que __.

Probabilidade

saia

12 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

PROPIEDADES DA PROBABILIDADE 13.

A probabilidade dun suceso é _____. Calcula a do suceso contrario.

14.

A probabilidade dun suceso A é P(A)=____, a doutro suceso B é P(B)=____ e a da intersección de ambos os dous é P∩(AB)=____. Calcula a probabilidade de ∪AB.

15.

Considera dous sucesos A e B dun experimento aleatorio. Se P(A)=____; P∪(AB)=____ e v P∩(AB)=____; calcula P( B ).

16.

Un dado está trucado de maneira que a probabilidade de sacar un nº _______ é _____; ademais P(1)=P(3)=P(5). Calcula a probabilidade de sacar un __.

Problemas con probabilidades NA REUNIÓN 17.

A unha reunión asisten ___ homes e ___ mulleres. A metade dos homes e a cuarta parte das mulleres teñen 40 anos ou máis. Elixida unha persoa ao chou, calcula a probabilidade de que sexa Suxestión: completa a táboa. 40 ou máis

<40

HOME MULLER

MENÚ DO DÍA 18.

Nun restaurante ofrecen un menú que consta de primeiro prato a elixir entre ensalada, pasta ou legumes; un segundo prato a elixir entre carne ou peixe; e sobremesa a elixir entre froita ou xeado. Ana elixe o seu menú ao chou, que probabilidade hai de que coma "_______________"? Suxestión: fai un diagrama de árbore para ver de cantas formas se pode elixir o menú.

Probabilidade

13 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

FÚTBOL OU BALONCESTO 19.

Nun instituto o ___% dos estudantes son afeccionados ao fútbol e o ___% sono ao baloncesto. Hai un ___% que son afeccionados a ambos os dous deportes. Calcula a probabilidade de que, elixido un estudante ao chou, non sexa afeccionado ao fútbol nin ao baloncesto. Suxestión: usa diagramas.

MOEDAS DO PETO 20.

Levo no peto 2 moedas de 50 céntimos, dous de 20 céntimos e dous de 10 céntimos. Tamén levo un burato polo que me caen dúas moedas e pérdoas. Calcula a probabilidade de perder ________________. Suxestión: fai unha táboa de dobre entrada.

FALTAN CARTAS 21.

Perdín algunhas cartas dunha baralla. Se de entre as que me quedan saco unha ao chou, a probabilidade de que sexa de _______ é _____, de que sexa _______ é ____ e de que sexa ______ ou de ________ é _____. Está o ___ ___________ entre as cartas que me quedan? Suxestión: calcula a probabilidade do suceso intersección.

AS GRÚAS DA LAGOA 22.

A un humedal chegan todos os anos bandadas de grúas no seu camiño a zonas cálidas. Para observar cántas hai, capturouse e anelouse unha mostra de ___ grúas. Posteriormente obsérvanse ___ das que ___ levan argola, cantas grúas estimaremos que hai?

DAR NA DIANA 23.

Suponse que a probabilidade de acertar ao tirar un dardo en calquera punto da diana é a mesma. Calcula a probabilidade de acertar na zona de cor _______.

r R=4 r

Pulsa

Probabilidade

para ires á páxina seguinte

14 -

I.E.S. _______________________ CADERNO Nº 12

NOME:

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo; despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Escribimos cada unha das letras da palabra ______________ nun papel e sacamos unha ao chou. Escribe o suceso "saír vocal". Escribe o suceso contrario do calculado en exercicio anterior. Nunha bolsa hai 100 bólas numeradas do 0 ao 99. Extráese unha ao chou, calcula a probabilidade de que nas súas cifras estea o _. Nunha bolsa hai ___ bólas vermellas, ___ bólas verdes e ___ azuis. Sácase unha bóla ao chou. Calcula a probabilidade de que ____________. Calcula a probabilidade de vermello na ruleta da figura.

Sácase unha carta dunha baralla de 40, calcula a probabilidade de que sexa de ____ ou un ____. Se A e B son dous sucesos tales que P(A)=__, P(B)=___ e P (A∩B)=____. Calcula P(A∪B). Os resultados dun exame realizado por dous grupos de 3º ESO móstranse na táboa adxunta. Seleccionado un estudante ao chou, calcula a probabilidade de que sexa do grupo __ e ___________.

aproban

suspenden

Grupo A Grupo B

Un dado cúbico está trucado de maneira que a probabilidade de sacar un ______ é ______ veces a probabilidade de calquera das outras caras. Calcula a probabilidade de obter un _______. Lánzanse unha moeda e un dado. Calcula a probabilidade de que saia _____ e nº _______. Non esquezas visitar o enlace Para saber máis para ampliares os teus coñecementos. Probabilidade

15 -