Cuadernillo 4ºA ESO. Castellano by Red Educativa Digital Descartes

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IES ____________________________

IES _______________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Los números enteros y racionales. Contenidos 1. Números enteros. Representación y orden. Operaciones. Problemas. 2. Fracciones y decimales. Fracciones equivalentes. Expresión decimal. Clasificación. 3. Números racionales. Representación y orden. Suma y resta. Multiplicación y división. Potencias de exponente entero. Operaciones con potencias. Problemas. 4. Notación científica. Definición. Operaciones.

Objetivos •

Representar y ordenar números enteros.

•

Operar con números enteros.

•

Aplicar los conceptos relativos a los números enteros en problemas reales.

•

Reconocer y representar números racionales.

•

Operar con números racionales.

•

Expresar números en notación científica y operar con ellos.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga

Los números enteros y racionales

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar Realiza la actividad siguiente que te ayudará a entender el juego propuesto en la escena… Rellena los recuadros en blanco con números del 1 al 9, de manera que cada fila o columna sumen los valores dados en los recuadros en blanco sin que se repitan en la misma fila o columna.

Te aconsejamos… Empezar, primero, por aquellos cuadrados que sólo tienen la posibilidad de poner un número. Observa, ¿cuántos cuadrados cumplen este requisito? Tras rellenar, busca aquellos que tengan la opción de insertar dos casillas. ¡Cuidado!, que no sólo son el 8 y el 7. ¿Has observado qué tienen en común estos dos números? Busca una combinación que tenga en común un número. Por último, sólo queda probar con las opciones obtenidas de realizar la diferencia entre lo que tienes y te piden para conseguir que se cumplan el cuadrado. Repite el proceso con cada nuevo caso que se propone en la escena y resuelve los siguientes:

Puedes pulsar el botón

para repasar la operaciones con fracciones.

Pulsa

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1. Números enteros 1.a. Representación y orden Lee el texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué números representa el conjunto Z? ¿Qué ocurría si a un número le aplicamos el opuesto y luego el valor absoluto?

RESPUESTAS

En la escena accede a la opción de representación, opuesto, valor absoluto y orden, y observa los ejemplos propuestos, para posteriormente realizar los ejercicios. Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios.

EJERCICIO. Completa la siguiente tabla: Número

-3

-5

-2

Valor Absoluto Opuesto ¿Están ordenados los números propuestos? En caso negativo, ordénalos.

Pulsa

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1.b. Operaciones con números enteros Lee en pantalla las normas de las operaciones con números enteros que ya has estudiado en otros cursos. COMPLETA ESTAS FRASES:

RESPUESTAS

En la suma o resta de números enteros, a ± b, el signo que resulta de la operación es el de mayor ____________________________. El signo del dividendo y el resto de una división de dos números enteros es _____________ ________________________________________________________________________. Observa los ejemplos que aparecen en la escena. EJERCICIO. Elige la opción correcta de las operaciones propuestas en la siguiente tabla: Operación 3 + 4 +7 -3 + 4 - 7 -3 – 4 + 7 Pulsa en el botón

a -14 -6 -8

b 7 0 0

c 14 14 8

Operación (-3) · (-2) · (-6) (+3) · (-2) · (-6) (-3) · (-4) · (+6)

a -11 -1 -72

b -30 0 -42

c -36 36 72

para hacer los ejercicios.

Copia 4 ejercicios de los que aparecen en la escena en los recuadros de la página siguiente y resuélvelos. Después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Los números enteros y racionales

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Calcula:

Pulsa

FECHA:

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1.c. Aplicaciones de los números enteros en problemas de la vida cotidiana En la vida cotidiana aparecen situaciones donde es necesario trabajar con números enteros, y donde aparecen los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo que ya has estudiado en cursos anteriores. EJERCICIO 1. Completa los siguientes textos: El máximo común divisor, abreviado _________, representa el número _________ de los divisores comunes de dos o más números. Se obtiene seleccionando los factores ____________ elevados al ___________ exponente.

El mínimo común múltiplo, abreviado _________, representa el número _________ de los múltiplos comunes de dos o más números. Se obtiene seleccionando los factores _________________________ elevados al ___________ exponente. EJERCICIO 2. Escribe en este recuadro como se calcula el mínimo común múltiplo de 60 y 54. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 60 =

54 =

MCD (60, 54) =

Los números enteros y racionales

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 60 =

54 =

MCM (60, 54) =

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FECHA:

En la escena de la derecha puedes ver problemas de tres tipos: M.C.M.

M.C.D.

Pulsa sobre M.C.M. y continua con “< volver” para volver al menú.

Divisibilidad

para ver como se hace. Para otros ejemplos del mismo tipo:

a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MCM: 1º Comprender el enunciado Completa el enunciado: Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada ____ días y Pedro lo hace cada ____ días. Si han coincidido hoy, ¿cuántos días han de pasar hasta que vuelvan a encontrarse? 2º Analizar el problema

3º Calcular el M.C.M.

4º Dar la solución Pulsa < volver Pulsa sobre M.C.D. y continua con

para ver como se hace.

a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MCD: 1º Comprender el enunciado Completa el enunciado: El pasillo de una casa tiene _________ de largo y ______ de ancho. Se quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible. Halla las dimensiones que deben tener las baldosas si no queremos cortar ninguna. 2º Analizar el problema

3º Calcular el M.C.M.

4º Dar la solución Pulsa < volver

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FECHA:

para practicar el cálculo del m.c.m y del m.c.d. de dos números.

EJERCICIO 3. Existe una propiedad interesante del máximo común múltiplo y mínimo común divisor. Completa la siguiente tabla y descúbrela completando el texto. Producto de los números

Números

m.c.d.

m.c.m

Producto m.c.m y m.c.d

162

61 236 24

216

El producto del máximo común divisor y ______________________ es ________________ que el producto de ambos números. EJERCICIO 4. Lee las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas. VERDADERO

FALSO

El m.c.m o m.c.d. sólo lo utilizamos para hacer problemas. El m.c.m. de 24 y 28 es 168. Para que el número 2X8 sea divisible por 3 el valor de la cifra X tiene que ser 2, 5 o 9. El m.c.d. de 6 y 7 no existe.

EJERCICIOS 1.

Calcular el valor absoluto de -3, 5, 0

Ordena de mayor a menor: -78, -12, -35

Calcula el opuesto de -3, 7, 0

Calcula: 4(1 − 9) − 1 + 8(1 + 2)

Calcular: −8(7 + 3) : (−8)

Halla el m.c.m. (882,168)

PROBLEMAS 7.

Todos los pasteles que hemos fabricado hoy los hemos metido en cajas de 75 y 189 pasteles y no ha sobrado ninguno. ¿Cuántos pasteles como mínimo henos fabricado hoy?

El pasillo de una casa tiene 1024 cm de largo por 192 cm de ancho. Se quieren poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible. Halla las dimensiones que deben tener las baldosas si no queremos cortar ninguna.

¿Cuánto tiene que valer x para qué el número 9x7 sea divisible por 3?.

10.

Escribe un número mayor de 200 y menor 250 que sea múltiplo de 30.

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2. Fracciones y decimales 2.a. Fracciones equivalentes Lee en pantalla la explicación sobre fracciones irreducibles y fracciones equivalentes, observa los ejemplos de ambas desplegando la opción de la escena. RESPUESTAS

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Cómo podemos saber que una fracción no se puede reducir? ¿Qué debe ocurrir para que dos fracciones sean equivalentes, si la primera es a/b y la segunda c/d?

Completa: El conjunto de los números racionales Q, está formado por ______________________________________________ ______________________________________________

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Completa el enunciado de 6 ejercicios de los que aparecen en la escena en los siguientes recuadros (busca dos de cada tipo para completar los enunciados). Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente.

Escribe la fracción irreducible de:

Razona si fracciones

Escribe la fracción irreducible de:

son

equivalentes.

Halla x para que las fracciones sean equivalentes.

Razona si fracciones

son

equivalentes.

Halla x para que las fracciones

sean equivalentes.

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2.b. Expresión decimal. Clasificación Lee en pantalla la explicación y practica con la escena el paso de fracción a decimal, de decimal a fracción y la identificación del tipo de expresión decimal. EJERCICIO 1. Contesta las siguientes cuestiones: ¿Qué tipos de decimales podemos obtener?

¿En qué se diferencian?

¿Si los divisores de un numerador son el 2 y el 5 que tipo de número decimal es?

EJERCICIO 2. Completa el siguiente cuadro: Tipo

Características

Decimal exacto

Divisores del denominador

Regla de paso a fracción

Los únicos divisores del denominador son el 2 o 5.

Se escribe el número sin la coma se le resta la parte entera y se divide por tantos 9 como cifras tiene el periodo. Se simplifica si es posible.

La parte decimal está formada por una parte que no se repite seguida del periodo.

Los números enteros y racionales

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FECHA:

para hacer ejercicios.

Completa el enunciado de dos ejercicios de cada tipo. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Indica que tipo de número decimal sin

Indica que tipo de número decimal sin

dividir:

Escribe la fracción generatriz de:

Escribe la expresión decimal de

EJERCICIOS 11.

Escribe la fracción irreducible de: a)

12.

128 256

14 448

25 75 y x 27

25 75 y 32 x

x 88 y 18 36

11 3

Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones: a)

14.

Halla x para que las fracciones sean equivalentes: a)

13.

160 800

88 9

331 99

Escribe la fracción generatriz de: a) 3,332

b) 7,68

c) 5,80

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3. Números racionales 3.a. Representación y orden Lee en pantalla la explicación sobre fracciones irreducibles y fracciones equivalentes, observa los ejemplos de ambas desplegando la opción de la escena. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cómo se llama al conjunto de números que poseen denominadores? ¿Qué es lo primero que hay que hacer antes de representar una fracción n la recta numérica? ¿Qué hay que hacer para ordenar dos números fraccionarios?

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios de representación y de ordenación.

Completa el enunciado de dos ejercicios de cada tipo. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Ordena de _____ a _______ las fracciones: y

Representa la fracción:

Ordena de _____ a _______ las fracciones: y

Representa la fracción:

EJERCICIO. Representa en una recta numérica los siguientes números racionales:

Pulsa Los números enteros y racionales

5 17 9 , ,− 4 3 5

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3.b. Suma y resta Observa la simulación de esta pantalla, luego lee y observa los ejemplos que aparecen en la escena de la derecha desplegando cada una de las opciones. Completa: Para sumar o restar dos números racionales _________________ _____________________________________________________

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de tres ejercicios de cada tipo. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Sumas y restas de fracciones

Sumas y rsetas de números racionales (en los que aparecen fracciones y decimales)

Calcular:

EJERCICIO. Resuelve la siguiente operación:

⌢ 3 1 + 4,2 - 3,5 + 5 3

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FECHA:

3.c. Multiplicación y división Lee la explicación de los métodos para multiplicar y dividir números racionales. Completa: •

El producto de dos números racionales es _________________________________ ___________________________________________________________________.

•

Para dividir dos números racionales ______________________________________ ___________________________________________________________________.

a c ⋅ = b d a c a : = ⋅ b d b

En la escena de la derecha puedes desplegar las opciones para ver ejemplos de multiplicaciones y divisiones de números racionales en el caso en que vienen dados mediante fracciones o en los que aparecen números periódicos. Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de tres ejercicios de cada tipo. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Productos y divisiones de fracciones

Productos y divisiones en los que aparecen números periódicos.

Calcular:

Los números enteros y racionales

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EJERCICIO. Resuelve la siguiente operación:

FECHA:

⌢ 3 1 ⋅ 4,2 - 3,5 : 5 3

Pulsa

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3.d. Potencias de exponente entero Lee en pantalla y completa: Si a es un número entero y n un número natural, se tiene que:

an = a−n = Además para cualquier valor de a distinto de 0, se cumple:

a0 =

a1 =

a −1 =

Para elevar una fracción a una potencia ________________________________________. En la escena de la derecha puedes desplegar las opciones para ver ejemplos de potencias de exponente entero y base un entero o una fracción. Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de dos ejercicios de cada tipo. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Expresar una fracción en forma de potencia

Calcular potencias con exponente positivo

Calcular potencias con exponente negativo

Expresa como potencia la

 Calcula  

  

 Calcula  

  

 Calcula  

  

 Calcula  

  

fracción:

Expresa como potencia la fracción:

Los números enteros y racionales

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EJERCICIO. Completa: Potencia

Base

Exponente

Resultado

Escribimos con exponente… positivo

1   3

negativo

−2

(7)−3 2   5

Pulsa en el botón

para hacer al menos 10 ejercicios.

Pulsa

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3.e. Operaciones con potencias El pantalla aparecen cuatro de las propiedades que debes saber para realizar operaciones con potencias. En la escena de la derecha puedes elegir una de las propiedades y aparecerá un ejemplo. EJERCICIO. Completa las fórmulas y un ejemplo de cada una: Ejemplos (utiliza la escena) Propiedad Fórmula Enunciado Desarrollo Resultado Producto con la misma base.

ap · aq = ap+q

24 · 2 3

24+3

= 27

Cociente con la misma base. Potencia de una potencia. Potencia negativa de un número fraccionario. Producto de potencias del mismo exponente. Cociente de potencias del mismo exponente. Potencia de números negativos.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de al menos 10 ejercicios en los recuadros de la página siguiente. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Los números enteros y racionales

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10)

Pulsa en el botón

para hacer al menos 10 ejercicios.

Pulsa

3.f.

FECHA:

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Problemas con fracciones

EJERCICIO. Completa: Para resolver problemas con fracciones debes seguir las mismas __________ que con otros tipos de problemas. • Lee _________________ el enunciado. • _________ sobre la situación que propone el problema, qué te pide, qué datos tienes, ... • Organiza la _______________ que tienes, haz un ____________, un _________,... • Una vez que tengas la solución _________________. En la escena de la derecha puedes ver problemas de tres tipos: Alimentación

Compra

Pulsa sobre Alimentación y continua con

Herencias para ver como se hace.

“< volver” para volver al menú. Para otros ejemplos del mismo tipo: a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MCM: 1º Comprender el enunciado Completa el enunciado: Sonia bebe diariamente ____________. Si la leche se vende en botellas de _____________. ¿Cuántas botellas debe comprar para ____ días?

Los números enteros y racionales

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FECHA:

2º Analizar el problema El número de litros que necesitamos es de ________________ 3º Calcular el número de botellas Para calcular el nº de botellas __________________________________________________

4º Dar la solución Las botellas necesarias son: _____ Pulsa < volver Pulsa sobre Compra y continua con

para ver como se hace.

a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MCM: 1º Comprender el enunciado Completa el enunciado: Si _____________ de ____________ cuestan ______. ¿Cuánto costarán ______________? 2º Analizar el problema El precio del quilo de _____________ se obtiene __________________________________ __________________________________________________________________________ Precio de un Kg: 3º Calcular el precio del producto El precio de ______________ será:

4º Dar la solución El precio de ______________ de ______________ es: _____ Pulsa < volver Pulsa sobre Compra y continua con

para ver como se hace.

a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MCM: 1º Comprender el enunciado Completa el enunciado: Al morir, Juan deja una fortuna de ___________. Según el testamento a su mujer le toca ____________ y el resto a sus hijos ____________________. ¿Cuánto le toca a cada uno? 2º Analizar el problema Calculamos primero lo que le queda a la mujer:

Los números enteros y racionales

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3º Hallar lo que le queda a los hijos Calculamos lo que le queda a los hijos: A cada hijo le queda ___ de ___________ =

4º Dar la solución A la mujer le queda ______________ y a los hijos __________ a cada uno. Pulsa < volver

EJERCICIOS 15.

16.

Ordena de mayor a menor: 56 31 a) y 5 2

b) −

10 33 y − 3 2

Calcula dando el resultado en forma de fracción irreducible:

1 2

a) 4 − b)

10  5  ⋅ − 1 +   6   3

1 5 1 2 4 ⋅ − 7⋅  −  − :3 3 2 4 3 5

3 1 2 −3⋅ −  4 4 5 c) 3 1 4 − : 2 5 3 17.

Calcula dando el resultado en forma decimal: ⌢ ⌢ 1 a) 2,98+ 6,4 b) − 5,6 c) 0,1 – 0,24 4

18.

Calcula dando el resultado en forma decimal: a) 1/2 : 2,7

19.

b) 4,6 · 5/3

c) 6,15 : 0,5

Calcula las siguientes potencias: c) (− 3)−4

a) 2−3

5 b)   3 20.

−2



d)  − 

1  2 

−3

Calcula:

1 a) 4 ·  8

−3

−2

2

b)   3  

−4

3 :   2

3435 497

d) (x3)5·(x4)-3

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa Los números enteros y racionales

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FECHA:

4. Notación científica 4.a. Definición Lee en pantalla y completa: Para escribir números muy grandes o muy pequeños se utiliza la llamada _______________.

Un número escrito en notación científica es de la forma

con 1 ≤ a < 10 y k un número entero, que se llama _______ _________________ del número. La notación científica permite _________ fácilmente números ______________________ o con ___________________, basta comparar __________________________. • Si k>0 el número de cifras enteras es _____ • Si k<0 el número de cifras decimales es igual a _________________________________. RESPUESTAS

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: Dado el número 3·106 ¿Cuál es el orden de magnitud? ¿Cuántas cifras enteras tiene? ¿Es correcto escribir el diámetro de la galaxia de Andrómeda como 94,608·1016? Razónalo. Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de dos ejercicios de cada tipo en los recuadros siguientes. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Escribe en notación científica __________

Escribe en notación científica __________

Escribe la expresión decimal __________

¿Cuántas cifras decimales tiene el número _____________?

¿Cuántas cifras enteras tiene el número _____________?

Los números enteros y racionales

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FECHA:

EJERCICIO. Escribe en la notación que se indica: Notación decimal

Notación científica

0,828

7,54 · 103

0,000000000932

9,3 ·10-3

98000

3,6 ·10-5

5,8 ·10-5

258,7

6,7 · 10-4

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa

Notación decimal

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4.b. Operaciones Lee la explicación de los métodos para hacer operaciones con números decimales expresados en notación científica y completa. • Suma y resta Si los sumandos son del mismo orden de magnitud _____________________________ _______________________________________________________________________. Si los sumandos no son del mismo orden de magnitud __________________________ _______________________________________________________________________.

• Multiplicación y división Para multiplicar o dividir dos números en notación científica, _______________________ ______________________________________________________________________.

En todos los casos el resultado se da en ____________________. En la escena de la derecha puedes desplegar las opciones para ver ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números dados en notación científica. Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Completa el enunciado de dos ejercicios de cada operación. Resuélvelos y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente. Calcular y dar el resultado en notación científica Sumar:

Los números enteros y racionales

Sumar:

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Restar:

Multiplicar:

Dividir:

FECHA:

EJERCICIO. Efectúa las siguientes operaciones: Operación

Resultado

Operación

4,8 ·10-5 + 7,86 ·10-7

2,5 ·105 + 7,86 ·104

7,54 · 107 – 1,8 ·106

3,5 · 10-4 – 9,1 ·10-5

9,1 ·10-3 · 2,6 ·10-4

6,7 · 104 · 7,5 ·105

3,65 ·105 : 2,5 ·107

5,8 ·10-6: 2,9 ·10-7

Resultado

EJERCICIOS 21.

Escribe en notación científica: a) 0’0000038 b) 1230000000

22.

Escribe la expresión decimal de: a) 8’44 · 108 b) 2’1 · 10–4

23.

Cuántas cifras decimales tiene el número: a) 3’2 · 10–9 b) 7’27 · 10–19

24.

Cuántas cifras enteras tiene el número: a) 3’2 · 1023 b) 1’234 · 1054

25.

Realiza las siguientes operaciones: a) 3’2 · 1023 + 1’5 · 1022 b) 4’1 · 10–12 – 1’5 · 10–11 c) 4’1 · 1012 · 2 · 1032 d)

6'2 ⋅ 1023 2 ⋅ 10 − 22

e) (3’2 · 1023)2

Los números enteros y racionales

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Números enteros Números enteros positivos: __________________ ,... Números enteros negativos: _________________ ,... El número _____ Valor absoluto:

| +a | =

| –a | =

Opuesto de a:

Op (+a ) =

|0|=

Op (–a ) =

Potencia positiva de un número entero: an = _______________ Potencia negativa de un número entero: a –n = Notación científica: N = _______

__ ≤ | a | < ___

Números racionales Son los que ______________________________________ Números enteros:

Números decimales:

•

_____________

•

_____________

•

_____________

•

_____________

•

________

o ________ o __________

Potencia positiva de una fracción: n

a   = b Potencia negativa de una fracción:

a   b

−n

Pulsa

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos ejercicios en tu cuaderno. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Operaciones con números enteros y racionales. Potencias, notación científica y problemas. En los siguientes EJERCICIOS de operaciones con números enteros y racionales escribe el enunciado que aparece en tu ordenador que cumpla la condición propuesta y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Haz un mínimo de dos de cada tipo. Elige en el menú la opción: Enteros. 1. Ordena de menor a mayor… a) b)

2. Calcula el valor absoluto de… a) b)

3. Ordena de mayor a menor… a) b)

4. Calcula el opuesto de… a) b) Operaciones con números enteros. 5. Operación tipo:

b ± c · (d ± e)

a) b)

6. Operación tipo:

a : b ± c · (d ± e)

a) b)

Los números enteros y racionales

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Fracciones 7. Ordena de menor a mayor… a) b)

8. Ordena de mayor a menor… a) b)

Expresión decimal 9. Escribe la fracción generatriz de decimal exacto… a) b)

10. Escribe la fracción generatriz de decimal periódico… a) b)

11. Escribe la fracción generatriz de decimal periódico mixto… a) b)

12. Escribe la expresión decimal de… a) b)

Los números enteros y racionales

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FECHA:

Operaciones con fracciones 13. Operación tipo:

a ± b · (c ± d)

14. Operación tipo:

a c ± b d+e

Operaciones con números periódicos. 15. Operación tipo:

a+b

a) b)

16. Operación tipo:

a–b

a) b)

17. Operación tipo:

a·b

a) b)

18. Operación tipo:

a:b

a) b)

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

En los siguientes EJERCICIOS de potencias, notación científica y problemas escribe el enunciado que aparece en tu ordenador que cumpla la condición propuesta y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Notación científica 19. ¿Cuántas cifras enteras tiene el número…? a) b)

20. Escribe la expresión decimal de… a) b)

21. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número… a) b)

22. Escribe en notación científica… a) b)

Operaciones en notación científica 23. Calcular, expresa en notación científica, operaciones tipo: a + b a) b)

Los números enteros y racionales

25 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE: __________________________

FECHA:

24. Calcular, expresa en notación científica, operaciones tipo: a – b a) b)

25. Calcular, expresa en notación científica, operaciones tipo: a · b a) b)

26. Calcular, expresa en notación científica, operaciones tipo: a : b a) b)

Potencias 27. Expresa la fracción como potencia de exponente entero a) b)

28. Calcular operaciones tipo: an a) b)

29. Calcular operaciones tipo: a–n a) b)

Los números enteros y racionales

26 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE: __________________________

a 30. Calcular operaciones tipo:   b

FECHA:

a) b)

a 31. Calcular operaciones tipo:   b

−n

a) b)

Operaciones con potencias 32. Calcular operaciones tipo: ap · bq a) b)

33. Calcular operaciones tipo: ap : bq a) b)

PROBLEMAS. Un embalse… 34. Un ________________ que abastece a una población tiene ___________de agua. Si, por término medio, una persona gasta ________ litros de agua anuales ¿a qué población podrá abastecer durante un año?

35. Un ________________ que abastece a una población tiene ___________de agua. Si, por término medio, una persona gasta ________ litros de agua anuales ¿a qué población podrá abastecer durante un año? Los números enteros y racionales

27 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Un microorganismo… 36. Un _________________ mide ___________ micras. Sabiendo que una micra es la ____________ parte de 1 metro, expresa en _______ y en notación científica la longitud de _____ millones de microorganismos puestos en fila.

37. Un _________________ mide ___________ micras. Sabiendo que una micra es la ____________ parte de 1 metro, expresa en _______ y en notación científica la longitud de _____ millones de microorganismos puestos en fila.

En un laboratorio… 38. En un _________________ se ha observado que la población de ciertas _______________ se multiplica por ______ cada ______. Si el número inicial era de ____________ bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá después de ___ horas?

39. En un _________________ se ha observado que la población de ciertas _______________ se multiplica por ______ cada ______. Si el número inicial era de ____________ bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá después de ___ horas?

Pulsa

Los números enteros y racionales

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28 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Autoevaluación Completa aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar si la solución es correcta. Calcular:

¿Cuál es el mayor valor que puede tener x para que el número _________ sea divisible por 3?

Halla el valor de _____ para que las fracciones y

sean equivalentes.

Encuentra el ____________ de la fracción .

Escribe en forma de fracción irreducible el número ________________

Calcular:

¿Cuántas ______________ de _______ de litro se pueden llenar con _______ litros de _____________?

Calcular:

Los números enteros y racionales

29 -

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FECHA:

Los números reales Contenidos 1. Los números reales Números irracionales Números reales Aproximaciones Representación gráfica Valor absoluto Intervalos 2. Radicales Forma exponencial Radicales equivalentes 3. Propiedades de las raíces Ordenación de números reales Valor absoluto y distancias Intervalos y semirrectas 4. Operaciones con raíces Introducir y extraer factores Calcular raíces Sumas y restas Productos Cocientes

Objetivos •

Clasificar los números reales en racionales e irracionales.

•

Aproximar números reales por truncamiento y redondeo.

•

Representar gráficamente números reales.

•

Comparar números reales.

•

Realizar operaciones sencillas con radicales.

Autor: Agustí Estévez Andreu

Los números reales

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

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FECHA:

Antes de empezar

Observa la animación que hay en esta página y responde a las siguientes preguntas: a) De las cantidades 3'14, 3'1416, 3'141592, ¿cuál es el valor real de pi?

b) ¿Cuál es o cuál podría ser la última cifra del número pi? __________________________ c) ¿Cuántas cifras tiene el número pi? _________ Pulsa

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1. Los números reales 1.a. Números irracionales •

Lee el texto de pantalla.

a) ¿A qué llamamos número irracional? ____________________________________________ b) ¿Cuántos decimales tiene un número irracional? ____________ c) ¿Por qué un número irracional no puede escribirse en forma de fracción? _______________ _________________________________________________________________________ d) Un decimal periódico también tiene infinitas cifras decimales, ¿qué le diferencia, entonces, de un número irracional?_____________________________________________________ e) Hay números irracionales que se pueden representar de manera exacta. Escribe cuatro de estos números: _______________________________________

Pulsa el botón en la escena y observa cómo se calcula la longitud de una circunferencia. Sigue las indicaciones que aparecen. ¿Qué tipo de número es la longitud de la circunferencia si el diámetro es un número racional? ____________________________

Pulsa en el botón

para entender por qué

Pulsa

Los números reales

no es un número racional.

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FECHA:

1.b. Números reales Lee el texto de la pantalla. Copia el esquema sobre la clasificación de los números reales:

Pulsa el botón “Otro número” hasta conseguir 3 números de cada conjunto: Irracional

Pulsa

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1.c. Aproximaciones Lee el texto de la pantalla. a) Los siguientes valores son aproximaciones del número pi. Especifica si se tratan de aproximaciones por defecto, por exceso, por redondeo o por truncamiento: 3,14 3,13 3,16 3,1416 3,141592 b) Al truncar un número siempre tenemos una aproximación por _______________. c) Al redondear un número obtenemos una aproximación por defecto si la cifra siguiente a la que se aproxima es ____________________ y una aproximación por exceso si la cifra siguiente a la que se aproxima es ___________________________.

Los números reales

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Pulsa el botón

NOMBRE: _________________________

FECHA:

en la escena de la derecha, a la vez que lees el texto que va apareciendo.

a) Completa la tabla con las siguientes aproximaciones por defecto y por exceso de la raíz cuadrada de 2: Hasta la cifra

1ª

2ª

4ª

6ª

Por defecto Por exceso b) Aproxima por defecto hasta la 3ª cifra decimal la raíz cuadrada de 2: __________. ¿Hay algún otro número racional comprendido entre la raíz y la aproximación? c) Aproxima por exceso hasta la 3ª cifra decimal la raíz cuadrada de 2: __________. ¿Hay algún otro número racional comprendido entre la raíz y la aproximación? d) Las aproximaciones de un número real, ¿a qué conjunto, de los que has visto en el apartado anterior, pertenecen? _____________________________________ Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

El radio de una circunferencia es de 3,96 metros. Utilizando el valor de pi que te da la calculadora averigua: 1. La longitud de la circunferencia, truncando el resultado a los centímetros.

2. La longitud de la circunferencia, redondeando el resultado a los centímetros.

3. El área del círculo, truncando el resultado a los centímetros cuadrados.

4. El área del círculo, redondeando el resultado a los centímetros cuadrados.

Pulsa Los números reales

para ir a la página siguiente. -

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FECHA:

1.d. Representación gráfica Toma regla y compás y siguiendo el ejemplo de la escena realiza la: Representación gráfica de

Pulsa Representación gráfica de

Representación gráfica de

•

Sigue pulsando la tecla

para ir a la página siguiente.

hasta llegar a la representación del número pi

a) De manera similar a la que se muestra en el proceso para acotar el número pi, acota

con un intervalo de longitud 0,0001: ____________________________ b) Acota

con un intervalo de longitud 0,001: ____________________________ Pulsa

Los números reales

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FECHA:

1.e. Valor absoluto Lee el texto de la pantalla y visualiza la escena de la derecha. a) Anota las dos definiciones de valor absoluto. Pon algún ejemplo.

b) A partir de la definición que has leído, el valor absoluto de un número, ¿es positivo o negativo? __________________. c) Si x es un número negativo, ¿cuál será el valor de |x|? ____________. d) Si la operación a-b da un resultado negativo, ¿cuál será el valor de |a-b|? __________. e) Si la operación a+b-c da un resultado negativo, ¿cuál será el valor de |a+b-c|? _________

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Distancia entre dos números reales. Calcula el valor absoluto de los números a y b que aparece en el ejercicio propuesto y calcula su distancia. Posteriormente comprueba el resultado. Ejercicio

|a|

|b|

distancia

Ejercicio

|a|

|b|

Distancia

Valor absoluto y operaciones. Calcula el valor absoluto de la suma, resta, producto y cociente de los números a y b. Posteriormente comprueba el resultado. Ejercicio

|a|

|b|

|a+b|

|b|

|a·b|

|a/b|

1 2 3 4 Pulsa

Los números reales

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1.f.

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Intervalos: segmentos y semirrectas

Lee la definición de intervalo y sigue las anotaciones de la escena. a) Un intervalo de extremos a y b, donde a es menor que b, es un conjunto de __________. comprendido entre a y b. b) Un intervalo cerrado de extremos 3 y 5 se representa por __________ o por __________. c) Un intervalo abierto de extremos -2 y 4 se representa por __________ o por __________. d) Un intervalo de extremos 1 y 7 en el que 1 no está incluido, pero 7 sí, es un intervalo _______________ y se representa por ___________ o por ____________. e) Un intervalo de extremos -4 y 5 en el que -4 está incluido, pero 5 no, es un intervalo _______________ y se representa por ___________ o por ____________. f) Los números mayores que 3 se representan mediante un intervalo ____________ de la siguiente manera __________ o también como ___________. g) ¿A qué llamamos longitud de un intervalo? _____________________________________. h) Un entorno simétrico de un punto es un intervalo ________________________________. i)

Escribe un entorno simétrico del número 3 de manera que el intervalo sea de longitud 0,01: ____________. para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Pulsa en el botón

Valores e intervalos Determina si los valores de los números dados pertenecen al intervalo propuesto. Compruébalo tras introducir en la casilla correspondiente para cada valor, el 0 si no está en el intervalo y un 1 si está en el intervalo. Ejercicio

Intervalo

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Pertenece (si o no) 1

1 2 3 4 Distancias e intervalos Determina si los números propuestos distan del punto dado a la distancia r data. Compruébalo tras introducir en la casilla correspondiente para cada valor, el 0 si no está en el intervalo y un 1 si está en el intervalo. Ejercicio

| x–a |< r

Valor 1

Valor 2

Valor 3

1 2 3 4

Los números reales

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FECHA:

Semirrectas e intervalos Determina si los valores de los números dados pertenecen a la semirrecta. Compruébalo tras introducir en la casilla correspondiente para cada valor, el 0 si no está en el intervalo y un 1 si está en el intervalo. Ejercicio

Semirrecta

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Pertenece (si o no) 1

1 2 3 4

EJERCICIOS de Refuerzo A.

Decide si los siguientes números son racionales (R) o irracionales (I): -5 π/2

7/3

2,313131… 1,01001000100001…

15 -4/5 B.

4,65

Indica a qué conjunto pertenecen los números del ejercicio anterior: Irracional

Representa

El radio de una circunferencia es 5 m. Utilizando la calculadora y el valor de π que da, calcula: a) La longitud de la circunferencia truncando el resultado a cm. b) La longitud de la circunferencia redondeando el resultado a cm c) El área del círculo truncando a cm2 d) El área del círculo redondeando a cm2

Los números reales

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FECHA:

EJERCICIOS de Refuerzo E.

Calcula: |5|=

|-3|=

3− 2 =

| 1 − 2 |=

Escribe en forma de intervalo los siguientes conjuntos numéricos: - Del 3 al 7, incluyendo los extremos: - Los números mayores que -2: - Los números menores o iguales que 1: - Del -1 al 5, incluyendo el -1 y excluyendo el 5: - 1 ≤ x < 3: - x > 4:

Escribe un entorno simétrico de 5 de longitud y 0,0001.

Escribe un entorno simétrico de-3 de longitud 0,1

EJERCICIOS 1. Indicar el menor de los conjuntos numéricos a los que pertenecen los números: ⌢ 2 6 a) 5,97509... b) 6,103 c) d) − e) 5 3 2

f ) 16

2. El radio de una circunferencia es de 4 m. Calcula su longitud 2.1. Truncando el resultado primero a cm y luego a m. 2.2. Redondeando el resultado primero a cm y luego a m 3. Calcula el valor absoluto de los números a=-3 y b=5, y la distancia entre ellos. 4. Calcula |a+b| |a-b| |a·b| y |a/b| 5. Indica qué puntos pertenecen al intervalo en cada caso: 5.1. Intervalo (-74,-52]. Puntos: a) –53

b) –74

c) 11

5.2. Intervalo (-∞,75]. Puntos:

b) 75

c) 76

a) 32

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FECHA:

2. Radicales 2.a. Forma exponencial Lee en el texto la definición de raíz y de cómo un radical se puede escribir como una potencia. Observa en la escena diferentes ejemplos de estas dos definiciones. a) Escribe la definición de raíz n-ésima de un número a _____________________________ b) Escribe la equivalencia entre radical y potencia de exponente fraccionario _____________ c) Si en un radical no aparece el índice, es que éste es igual a _____ y recibe el nombre de raíz ____________. d) Las raíces de índice 3 se llaman raíces __________. e) La raíz cuadrada de 9 es igual a 3, pero también igual a _____. f) La raíz cúbica de 8 es igual a 2. Explica por qué no es igual a -2: __________________ _____________________________________________________________________ g) Los radicales de índice par siempre tienen dos raíces, que entre ellas son __________. h) ¿Cuántas raíces tienen los radicales de índice impar? _______. i)

¿Cuáles son las raíces de cero? ________.

j) ¿Qué tipo de número es la raíz cuadrada de un número negativo? ________________. k) ¿Con qué otros radicales sucede lo mismo que en el apartado anterior? _______________ _______________________________________________.

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Escribe en forma de radical Escribe cuatro ejercicios propuestos en este apartado. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Potencia fraccionaria

Valor a

Valor b

Valor c

Expresión resultante

Los números reales

10 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Escribe como potencia de exponente fraccionario Escribe cuatro ejercicios propuestos en este apartado. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Radical

Valor a

Valor b

Valor c

Expresión resultante

EJERCICIOS de Refuerzo A.

Escribe en forma de radical y exponencial: Índice Radicando

-8

4 3

7 4

9 2

12 32

Forma radical Forma exponencial

Escribe en forma de radical las siguientes potencias: 31/2=

52/3=

(42)1/3= Pulsa

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2.b. Radicales equivalentes Lee el texto de la página. a) Escribe la definición de radicales equivalentes y pon algún ejemplo: __________________ ________________________________________________________________________ b) Además de la definición anterior, dos radicales son equivalentes si sus raíces son _______. c) Al escribir en forma exponencial dos radicales equivalentes, sus exponentes pueden no ser iguales, pero sí __________________. d) Para amplificar un radical, __________________ el índice y el exponente del radicando por un mismo número. Los números reales

11 -

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FECHA:

e) Para simplificar un radical, __________________ el índice y el exponente del radicando por un mismo número. f) Si a partir de un radical obtenemos otro amplificando o simplificándolo, éstos serán _____ ____________. g) Para convertir un radical en irreductible, se tienen que ____________ el índice y el exponente del radicando por el ________________________________ de ambos.

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Escribe un radical equivalente Escribe cuatro ejercicios propuestos en este apartado. Comprueba tu resultado en la escena. Radical

Ejercicio

Radical equivalente irreducible

Radical equivalente

propuesto

EJERCICIOS para practicar 6. Escribe en forma exponencial los siguientes radicales:

53 =

35 =

7. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: 31/2=

52/3=

(42)1/3=

8. Amplifica los siguientes radicales para que el índice sea igual a 12:

53 =

35 =

9. Transforma los siguientes radicales en irreductibles: a)

x28

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12 -

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FECHA:

3. Propiedades de las raíces 3.a. Raíz de un producto Lee el texto de la página y observa los ejemplos que proporciona la escena. a) Escribe la propiedad que explica cómo calcular la raíz de un producto ________________ b) Aplica la propiedad anterior para calcular las siguientes raíces:

9 ⋅ 16 =

x3 ⋅ y6 =

c) Razona por qué es incorrecto el siguiente cálculo: de la operación 5 ⋅ x se simplifica el radical de índice 2 con el cuadrado de la x y se obtiene como resultado 5x ___________ ______________________________________________________________________ d) Investiga si esta propiedad también sirve para la raíz de una suma y comenta tus conclusiones, poniendo algún ejemplo: 2

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan variables. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Los números reales

13 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan números. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Pulsa

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3.b. Raíz de un cociente Lee el texto de la página y observa los ejemplos que proporciona la escena. a) Escribe la propiedad que explica cómo calcular la raíz de un cociente

b) Aplica la propiedad anterior para calcular las siguientes raíces:

9 = 16

x3 = y6

Los números reales

14 -

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NOMBRE: _________________________

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan variables. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan números. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Pulsa

Los números reales

para ir a la página siguiente.

15 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.c. Raíz de una potencia Lee el texto de la página y observa los ejemplos que proporciona la escena. a) Escribe la propiedad que explica cómo calcular la raíz de una potencia

b) Aplica la propiedad anterior para calcular las siguientes raíces:

16 5 = 3

(x )

3 4

c) Razona por qué es incorrecto el siguiente cálculo:

Pulsa en el botón

(2)= 3

2 20

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

1 2 3 4 5

Pulsa Los números reales

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16 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.d. Raíz de una raíz Lee el texto de la página y observa los ejemplos que proporciona la escena. a) Escribe la propiedad que explica cómo calcular la raíz de una raíz

b) Aplica la propiedad anterior para calcular las siguientes raíces:

3 5 4

2 =

c) Razona por qué es incorrecto el siguiente cálculo:

Pulsa en el botón

5 3

2 =8 2

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cuatro ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan variables. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Los números reales

17 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Calcula Escribe cuatro ejercicios propuestos en este apartado en los que intervengan números. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Pulsa

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EJERCICIOS de Refuerzo A.

Aplica la propiedad que corresponda en cada caso para calcular las siguientes raíces:

x2 ⋅ y2 =

4 = 9

(2 )

3 2

27 ⋅ 8 = x3 y6

46 =

215 =

Aplica las propiedades necesarias para demostrar las igualdades siguientes:

4 ⋅ 3 64 = 4

x ⋅ x2

( x)

EJERCICIOS 10.

Escribe con una sola raíz: a)

11.

X4 x

x·5 x2

Escribe con una sola raíz: a)

12.

3·4 27

Escribe con una sola raíz: 3

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18 -

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FECHA:

4. Operaciones con raíces 4.a. Introducir y extraer factores de un radical Lee el texto de la página y observa lo que ocurre en la animación inferior. Manipula la escena de la derecha y contesta a las preguntas. a) Recuerda la definición de factor:

b) ¿Cómo se introduce un factor en un radical de índice n?

c) Y, ¿qué condición se tiene que cumplir para que un factor se pueda extraer de un radical de índice n?

d) Si un factor cumple la condición para poder ser extraído del radical, explica cómo se extrae a través del siguiente ejemplo:

218

e) Explica por qué no se cumple la condición para extraer factores en el siguiente ejemplo. Factoriza al máximo el radicando y comprueba que entonces sí que se podrán extraer factores del radical:

Explica por qué en el radical 5 ⋅ 3 + 2 no se pueden extraer los factores de 57, aunque el exponente sea mayor que el índice:_________________________________________ 6

Los números reales

19 -

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NOMBRE: _________________________

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que introduzcas variables dentro del radical. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que introduzcas números dentro del radical. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Los números reales

20 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que extraigas variables dentro del radical. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado en los que extraigas números dentro del radical. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Pulsa

Los números reales

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21 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

4.b. Calcular raíces Lee el texto de la página. a) Para calcular raíces de un número primero se tiene que ______________ y luego extraer todos los ______________ que sea posible. b) Como un número primo no se puede factorizar, su raíz n-ésima es siempre un número _____________. c) Calcula: 3

216000 =

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Calcula Escribe cinco ejercicios propuestos en este apartado. Comprueba tu resultado en la escena. Ejercicio

Enunciado

Procedimiento

Resultado

Pulsa

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22 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

4.c. Sumas y restas Lee el texto de la página. a) Dos radicales que tienen el mismo índice y radicando son _______________. b) Dos radicales sólo se pueden sumar o restar si son ________________. En la escena, clica sobre “Sumas y restas de radicales semejantes” y observa varios ejemplos. Tal vez, si lo necesitas, deberías repasar las sumas y restas con fracciones. a) Explica por qué es incorrecto el cálculo

3 5 + 4 5 = 7 10

b) Cuando se suman o se restan radicales, en realidad se suman o restan sus _________________, pero no sus _________________. c) Calcula el resultado de la siguiente operación, expresando el resultado con un único radical:

1 2 2 +5 2 − 2 3 7

En la escena, clica sobre “Sumas y restas complejas” y observa varios ejemplos. a) Explica por qué, aunque en principio no lo parezca,

2 y

8 son radicales semejantes:

b) Según lo que has visto en la escena, para intentar sumar o restar radicales que, en principio, no son semejantes se tendrá que _____________ y extraer _____________ del radical. c) Calcula el resultado de la siguiente operación, expresando el resultado con un único radical:

1 2 8 +5 2 − 18 3 7

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23 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

4.d. Productos Lee el texto de la página y manipula la escena de la derecha. a) Dos radicales sólo se pueden multiplicar si tienen el mismo primero habrá que buscar radicales ________________.

________________, si no,

b) Al multiplicar dos radicales se multiplican tanto los ________________ como los ______________ de ambos. d) Calcula el resultado de la siguiente operación, expresando el resultado con un único radical:

1 6 ⋅5 2 3

Pulsa

para ir a la página siguiente.

4.e. Cocientes Lee el texto de la página y manipula la escena de la derecha. a) Dos radicales sólo se pueden dividir si tienen el mismo primero habrá que buscar radicales ________________.

________________, si no,

b) Al dividir dos radicales se dividen tanto los ________________ como los ______________ de ambos. c) Calcula el resultado de la siguiente operación, expresando el resultado con un único radical:

2 75 7 = 5 12 d) Simplificar una fracción para que no aparezcan radicales en el denominador recibe el nombre de ____________________. En el caso de radicales cuadráticos, esto se consigue multiplicando el _________________ y el ________________ por el radical del ___________________. Realiza este cálculo con la siguiente fracción:

3 2

5 3

Los números reales

24 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

EJERCICIOS de Refuerzo B.

Extrae todos los factores que sea posible de los siguientes radicales:

3 4

53 = 7= 343 =

Introduce todos los factores dentro de los radicales:

5⋅4 3 = 34 ⋅ 5 = 2 + 3⋅ 2 = D.

Extrae todos los factores de los radicales y calcula:

58 = 3 64 = 4 162 = E.

¿Cuáles de los siguientes radicales es semejante a 3

22 2

2 ? Justifica la respuesta.

Calcula expresando el resultado final con un único radical:

3 5−

4 5+ 5= 3

2 3 + 5 12 − G.

1 27 = 2

Calcula y simplifica:

(

)

3 ⋅ 5 ⋅ − 2· 15 =

2⋅3 2 ⋅ 2 = 6⋅ 8 2 ⋅ 32

5⋅4 3 2⋅3 5

Los números reales

25 -

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FECHA:

EJERCICIOS 13.

Introduce los factores dentro del radical: a) 2·4 3 7

b) x 2 x 3 14.

Extrae los factores del radical: a) b)

15.

16.

17.

128

x30

Calcular las siguientes raíces: a)

1024

x84

Indica que radicales son semejantes a)

3;54 3

x; 3 x

Calcular la suma: a)

40 + 90

b) 2 32 − 8 18.

Calcular el producto: 6   7  a)  14  ⋅  − 252  7 3    

(

 5  b)  − 175  ⋅ − 2 45 3  

19.

)

Calcular el cociente: 9 24 2 4 108

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Los números reales

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26 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Los números irracionales son los decimales _________________. Los números reales _____________.

están

formados

por

los

números

_______________

los

La expresión decimal de un número irracional es _____________________________. Un número irracional no puede escribirse como una ___________. ¿Qué diferencia entre una aproximación por defecto y una por exceso? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________. ¿Qué es redondear? ________________________________________________________. ¿Qué es truncar? __________________________________________________________. El valor absoluto de un número nos da la distancia del punto que representa ese número en la recta real al _____ y siempre tiene signo ____________. Un intervalo abierto de extremos a y b se denota como ___________ y gráficamente se representa: Un intervalo cerrado de extremos a y b se denota como ___________ y gráficamente se representa: Un intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a y b se denota como ___________ y gráficamente se representa: Un intervalo semiabierto a la derecha de extremos a y b se denota como ___________ y gráficamente se representa: “La raíz n-ésima de un número a es igual a b” se escribe ____________. En ese caso se cumple que “b elevado a n es igual al número a”, lo que se escribe ____________. Un radical se puede escribir como una potencia. Escribe cómo: Escribe cómo se calcula la raíz del producto, del cociente, de la potencia y de la raíz:

¿Qué condición se tiene que cumplir para poder extraer factores de una raíz n-ésima?

Explica qué quiere decir que dos radicales sean semejantes: Dos radicales se pueden sumar o restar si son ________________. También lo podrán ser si extraemos _____________ del radical. Dos radicales se pueden multiplicar o dividir si tienen el mismo _____________ y el mismo _______________. Si no es así, se transforman en radicales _______________. Pulsa Los números reales

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27 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de Ejercicios de aproximaciones Ejercicios de intervalos y semirrectas Radicales Operaciones con radicales Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Ejercicios de aproximaciones Defecto

1. Considerando como exacto el valor de ______ escribe las aproximaciones por defecto, por exceso y redondeos de orden primero, segundo, tercero, cuarto y quinto.

1º

Exceso Redondeo Defecto

Las aproximaciones de ________ orden (hasta las decimas) tiene un error de ± 0,1.

2º

Las aproximaciones de segundo orden (hasta las _______________) tiene un error de ± 0,01.

Exceso Redondeo Defecto

Las aproximaciones de __________ orden (hasta las ____________) tiene un error de ± 0,001.

3º

Exceso Redondeo Defecto

Las aproximaciones de __________ orden (hasta las ____________) tiene un error de ± 0,0001.

4º

Las aproximaciones de quinto orden (hasta las ____________) tiene un error de ± 0,00001.

5º

Exceso Redondeo Defecto Exceso

2. La cinta métrica que aparece abajo tiene unas divisiones hasta el medio cm. La utilizamos para medir una varilla y obtenemos el valor que se muestra en ella. ¿Entre qué valores exactos se encuentra la longitud real, suponiendo que ese valor es: a)por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.

Escribe la longitud: _______ cm

Los números reales

28 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3. Nos dicen que la población de una ciudad es de __________ habitantes y que las 4 primeras cifras de esta cantidad son significativas. ¿Entre qué valores se halla realmente su población?

Pulsa

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Ejercicios de intervalos y semirrectas 4. Determina el conjunto A∩B siendo A y B los siguientes intervalos: A= __________ B= __________

5. Determina el conjunto AUB siendo A y B los siguientes intervalos: A= __________ B= __________

6. Determina el conjunto A-B siendo A y B los siguientes intervalos: A= __________ B= __________

7. Determina el conjunto –A siendo A el siguiente intervalo: A= __________

Los números reales

29 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Radicales 8. Escribe en forma de exponente fraccionario el radical ____________

9. Halla el valor del siguiente radical __________

10. Reduce a índices común ________ y _________

los

radicales

11. Extrae los factores del radical __________

12. Introduce los ___________

coeficientes

radical

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30 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Operaciones con radicales 13. (Sumas y restas) Calcular: ___________

14. (Sumas y restas) Calcular: ___________

15. (Productos)Calcular: ___________

16. (Productos) Calcular: ___________

17. (Cocientes) Calcular: ___________

18. (Cocientes) Calcular: ___________

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31 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

La milla inglesa mide 1609,34 m, redondea a km ______ millas

Con la calculadora escribe un redondeo y un truncamiento a las milésimas de ________.

Indica el intervalo que representa al segmento de la figura:

Calcula el valor de la raíz __________

Escribe en forma de exponente fraccionario __________?

Introduce el factor en el radical: __________

Extrae factores del radical: ___________

Calcular ______________

Calcular y simplificar _______________

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32 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Para practicar más 1. Considerando 7,4833147735.... como el valor exacto de 56 , escribe las aproximaciones por defecto, por exceso y redondeos de orden primero y segundo (décimas y centésimas, respectivamente). 2. La cinta métrica que aparece abajo tiene unas divisiones hasta el medio cm. La utilizamos para medir una varilla y obtenemos el valor que se muestra en ella. ¿Entre qué valores exactos se encuentra la longitud real, suponiendo que ese valor es: a)por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.

5. Escribe como fraccionario:

potencia

exponente d)

6. Escribe como un radical: 1

a) 32

b) 52

c) x 5

d) x 3

7. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales a)

9a3

98a3b5c7

8. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él. a) 3· 5 Las aproximaciones pueden utilizarse también con números enteros. Para generalizar esta idea usaremos el concepto de cifras significativas: “Si un número N es un valor aproximado de otro número P, diremos que N tiene n cifras significativas si las primeras n cifras de N coinciden con las n primeras cifras de P. (No se consideran cifras significativas los ceros cuya única finalidad es situar la coma decimal)”. La definición anterior es bastante intuitiva pero no siempre es correcta del todo., por ello precisamos un poco más: “Diremos que N tiene n cifras significativas si el número formado con las n primeras cifras de N difiere del número formado con las n primeras cifras de P (eliminando las comas decimales si las hubiera) en menos de 0,5”.

3. Nos dicen que la población de una ciudad es de 1579000 habitantes y que las 4 primeras cifras de esta cantidad son significativas. ¿Entre qué valores se halla realmente su población? 4. Determina los conjuntos A∩B, AUB, A-B y -A en los casos siguientes: 1.

A = [-11,-9] B = (-1,6)

A = [-5,5]

A = [-2,7] B = (-2,6)

Los números reales

B = (3,4)

b) 2· a

c) 3a· 2a2 d) ab2 3 a2b 9. Suma los siguientes radicales indicados. a)

45 − 125 − 20

75 − 147 + 675 − 12

175 + 63 − 2 28

20 +

1 45 + 2 125 3

10. Realiza las operaciones siguientes: a)

(

)

2− 3· 2

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3 c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2 d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 ) 11. Divide los siguientes radicales a)

6x 3x

75x2y3 5 3xy

33 -

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FECHA:

Problemas aritméticos Contenidos 1. Proporcionalidad directa e inversa Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Repartos proporcionales Proporcionalidad compuesta 2. Porcentajes Porcentajes Aumentos y disminuciones Porcentajes sucesivos 3. Interés simple y compuesto Interés simple Interés compuesto Tasa anual equivalente (T.A.E.) Capitalización Amortización

Objetivos •

Recordar y profundizar sobre proporcionalidad directa e inversa, proporcionalidad compuesta y repartos proporcionales.

•

Recordar y profundizar sobre porcentajes y variaciones porcentuales.

•

Distinguir entre interés simple e interés compuesto.

•

Conocer el significado de la Tasa anual equivalente en productos financieros.

•

Calcular el capital final que se obtiene si depositamos periódicamente dinero en algunos productos de capitalización y la cuota periódica que hay que pagar para amortizar un préstamo.

•

Utilizar la hoja de cálculo para resolver problemas.

Autor: Agustí Estévez Andreu

Problemas aritméticos

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar Investiga

Utiliza las flechas de dirección para ver algunas de las aplicaciones sobre problemas aritméticos.

En las operaciones bancarias, los bancos y cajas de ahorro ofertan un interés según unos índices de referencia. ¿Cuáles son algunos de estos índices?

¿Cuál es el más utilizado?

En la escena pulsa Aparecen enunciados diversos problemas que aprenderás a resolver en este tema. El primero es de proporcionalidad directa: Preparar distintas cantidades de disolución. EJERCICIO: A continuación aparece una tabla con distintos problemas. Localízalos en la escena y di de que tipo es cada uno de ellos (como en el ejemplo primero) Ejemplo

Tipo de problema

Preparar distintas cantidades de disolución

Proporcionalidad directa

Acabar un trabajo aumentando el nº de trabajadores/as Repartir los gastos de un viaje Saber el tiempo que puede durar la comida según el nº de animales y lo que come cada uno Repartir beneficios entre varios socios de una empresa Expresar la relación entre el nº de aprobados y el nº de alumnos de un instituto La subida de un precio de un año para otro Las rebajas que se aplican en los comercios Lo que puedes obtener al tener tu dinero en el banco durante un tiempo determinado El dinero que una persona puede tener cuando se jubile si cada cierto tiempo ahorra una cantidad

Para repasar los contenidos de 2º de ESO relacionados con este tema, pulsa

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1. Proporcionalidad directa e inversa 1.a. Proporcionalidad directa •

Lee el texto de pantalla y completa:

a) Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda ________________ por ese mismo número. b) Dos magnitudes son directamente proporcionales si al dividir una de ellas por un número la otra queda ________________ por ese mismo número. c) El resultado de dividir un valor de la segunda magnitud entre un valor de la primera recibe el nombre de ___________________________________________. •

¿Qué métodos se pueden utilizar para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa? • _____________________________________. • ___________________________________. • ___________________________________.

•

Observa la escena de la derecha.

a) Completa la tabla que aparece en la escena: Magnitud 1

Magnitud 2 ¿Por qué las siguientes magnitudes son directamente proporcionales? Son directamente proporcionales porque _____________________________________ ______________________________________________________________________ b) Calcula la razón de proporcionalidad directa de la magnitud 2 sobre la magnitud 1: r=____ c) Pulsa sucesivamente los botones: , y y observa cómo se aplican los diferentes métodos para resolver problema de proporcionalidad directa. Completa el enunciado que aparece en la escena y copia el nombre del método y la resolución del problema en los siguientes recuadros: Problema: He comprado ___ lápices por _____ €. ¿Cuánto costarán __ lápices? Procedimiento:

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FECHA:

Procedimiento:

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios. Pulsa

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1.b. Proporcionalidad inversa • Lee el texto de pantalla y completa: a) Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda ________________ por ese mismo número. b) Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al dividir una de ellas por un número la otra queda ________________ por ese mismo número. c) El resultado de dividir un valor de la segunda magnitud entre un valor de la primera recibe el nombre de ___________________________________________. •

¿Qué métodos se pueden utilizar para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa? * ___________________ * __________________ * _________________

•

Observa la escena de la derecha y completa la tabla que aparece en la escena: Magnitud 1

Magnitud 2 Las magnitudes son inversamente proporcionales porque __________________ _____________________________________________________________________. d) Calcula la razón de proporcionalidad inversa: r=____ Problemas aritméticos

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•

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FECHA:

Pulsa sucesivamente los botones: , y y observa cómo se aplican los diferentes métodos para resolver problema de proporcionalidad inversa. Completa el enunciado que aparece en la escena y copia el nombre del método y la resolución del problema en los siguientes recuadros: Problema:

Un grupo de __ alumnos ha ganado un premio por un trabajo realizado y han recibido ___ € cada uno. ¿Cuánto recibirían si hubieran participado ___ alumnos? Procedimiento:

Pulsa en el botón

Procedimiento:

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 1.

Un automóvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilómetros, ¿cuántos litros de gasolina consumirá al recorrer 500 kilómetros? Regla de tres directa

Reducción a la unidad

Un rectángulo tiene 25 cm de base y 18 cm de altura. ¿Qué altura deberá tener un rectángulo de 15 cm. de base para que tenga la misma superficie? Regla de tres directa

Reducción a la unidad

Completar las siguientes tablas según sean las magnitudes: Directamente proporcionales

Inversamente proporcionales

184

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FECHA:

1.c. Repartos proporcionales • Lee el texto y responde: a) Un reparto es equitativo cuando ______________________________________________. b) Cuando se tienen en cuenta las cantidades iniciales de los individuos a los que se repartirá la cantidad final, el reparto es __________________, que puede ser directo si _________ ____________________________________________________ o inverso si __________ ____________________________________________________. •

Observa la escena de la derecha, en la que se proponen varios tipos de problemas de reparto proporcional a unas cantidades iniciales, los cuáles pueden resolver de dos maneras diferentes.

En lo siguientes recuadros completa el enunciado y la resolución, que puedes ver pulsando la flecha de avanzar que aparece en la esquina inferior derecha de la escena. Un padre reparte entres sus dos hijos ___ golosinas de forma directamente proporcional a las edades de cada uno que son __ y __ años. ¿Cuántas golosinas le da a cada uno?

Un padre reparte entres sus dos hijos ___ golosinas de forma inversamente proporcional a las edades de cada uno que son __ y __ años. ¿Cuántas golosinas le da a cada uno?

Un padre reparte entre sus tres hijos ____ euros de forma directamente proporcional al número de asignaturas aprobadas, que han sido __, __ y ___ respectivamente. ¿Cuánto da a cada uno?

Un padre reparte entre sus tres hijos ____ euros de forma inversamente proporcional al número de asignaturas suspensa, que han sido __, __ y ___ respectivamente. ¿Cuánto da a cada uno?

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para hacer unos ejercicios. -

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FECHA:

EJERCICIOS 4.

Un padre reparte entre sus tres hijos 2166 euros de forma directamente proporcional al número de asignaturas aprobadas, que han sido 4, 6 y 9 respectivamente. ¿Cuánto da a cada uno? Un padre reparte entre sus tres hijos 1020 euros de forma inversamente proporcional al número de asignaturas suspensas, que han sido 4, 3 y 8 respectivamente. ¿Cuánto da a cada uno? Cuatro socios pusieron en marcha un negocio aportando 3000 €, 5000 €, 9000 € y 12000 € respectivamente. El primer año obtienen 5800 € de beneficio, ¿cómo deben repartírselos? Cuatro amigos se reparten 35 pasteles de forma inversamente proporcional a sus pesos, que son respectivamente 60 kg, 80 kg, 90 kg y 120 kg. ¿Cuántos pasteles corresponde a cada uno? Pulsa

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1.d. Proporcionalidad compuesta • Lee el texto y contesta: a) La proporcionalidad compuesta se utiliza para resolver problemas en los que aparecen más de _______ magnitudes proporcionales. b) Los problemas de proporcionalidad compuesta se pueden resolver por el método de reducción a la ___________ o mediante la regla _____________________. •

En la escena derecha aparecen cuatro tipos de problemas de proporcionalidad compuesta. Completa el enunciado de cada uno y resuélvelo siguiendo cada uno de los procedimientos. En una cadena de producción, __ personas trabajando __ horas diarias, fabrican ___ piezas. ¿Cuántas piezas fabricarán __ personas trabajando __ horas diarias? Procedimiento: Reducción a la unidad Magnitudes que intervienen: 1ª: _________________ 2ª: _________________ 3ª: _________________ Relación entre ellas: La 1ª y la 3ª son: __________________ La 2ª y la 3ª son: __________________

Paso 1: Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Procedimiento: Regla de tres compuesta Relación entre ellas: La 1ª y la 3ª son: __________________

La 2ª y la 3ª son: __________________

Para vallar un terreno, ___ personas construyen un muro de ____ m2 en ___ días. ¿Cuántos días tardarán ___ personas en construir un muro de ____ m2? Procedimiento: Reducción a la unidad Magnitudes que intervienen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre ellas: 1ª y 3ª son: ____________ 2ª y 3ª son: ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Procedimiento: Regla de tres compuesta Relación entre ellas: La 1ª y la 3ª son: __________________ La 2ª y la 3ª son: __________________

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Para imprimir unos folletos publicitarios, ___ impresoras han funcionado ___ horas al día y han tardado ___ días. ¿Cuántos días tardarán __ impresoras funcionando __ horas diarias? Procedimiento: Reducción a la unidad Magnitudes que intervienen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre ellas: 1ª y 3ª son: ____________ 2ª y 3ª son: ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5: Procedimiento: Regla de tres compuesta Relación entre ellas: La 1ª y la 3ª son: __________________ La 2ª y la 3ª son: __________________

Una piscina de _____ m3 se llena con ___ grifos en ___ horas. ¿Cuántas horas se tardará en llenar una piscina de ____ m3 con __ grifos? Procedimiento: Reducción a la unidad Magnitudes que intervienen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre ellas: 1ª y 3ª son: ____________ 2ª y 3ª son: ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Procedimiento: Regla de tres compuesta Relación entre ellas:

La 1ª y la 3ª son: __________________

La 2ª y la 3ª son: __________________

para hacer unos ejercicios.

Pulsa en el botón

EJERCICIOS 8.

En una cadena de producción, 3 personas trabajando 4 horas diarias, fabrican 240 piezas. ¿Cuántas piezas fabricarán 9 personas trabajando 5 horas diarias? La primera y la tercera magnitud son _______________ proporcionales. La segunda y la tercera magnitud son ________________ proporcionales. Regla de tres compuesta

Reducción a la unidad 1ª magnitud

2ª magnitud

personas

horas

3ª magnitud piezas

Para imprimir unos folletos publicitarios, 12 impresoras han funcionado 6 horas al día y han tardado 7 días. ¿Cuántos días tardarán 3 impresoras funcionando 8 horas diarias? La primera y la tercera magnitud son _______________ proporcionales. La segunda y la tercera magnitud son ________________ proporcionales. Reducción a la unidad 1ª magnitud

2ª magnitud

impresoras

horas

Regla de tres compuesta 3ª magnitud días

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10 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

2. Porcentajes 2.a. Porcentajes • Lee el texto y completa: Al calcular el porcentaje r% de una cantidad C se obtiene como resultado el número P, mediante la fórmula: a) El cálculo de porcentajes equivale a un problema con magnitudes ___________________ proporcionales. •

En la escena de la derecha hay tres problemas de cálculo de porcentajes, en los que hay que calcular P, C o r. Completa el enunciado y la resolución en los siguientes recuadros: Un depósito tiene una capacidad de _____ litros, pero ahora tiene el ___%. ¿Cuántos litros contiene?

Un depósito tiene una capacidad de _____ litros, pero ahora tiene _____ litros. ¿Qué porcentaje tiene?

Un depósito contiene _____ litros, que representa el ___%. ¿Cuál es su capacidad?

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 10.

a) Calcular el 27 % de 450. b) Calcular el 85 % de 2360.

11.

a) ¿Qué porcentaje representa 15 de un total de 120? b) ¿Qué porcentaje representa 3120 de un total de 8000?

12.

a) El 64 % de una cantidad es 112. Calcular dicha cantidad. b) El 3,5 % de una cantidad es 63. Calcular dicha cantidad.

13.

En las vacaciones navideñas un hotel ha tenido una ocupación de un 96%. Si el hotel tiene 175 habitaciones, ¿cuántas se han ocupado?

14.

En mi clase hay 30 alumnos. De ellos, hay 18 que vienen al instituto desde otra localidad utilizando el transporte. ¿Qué porcentaje del total de alumnos utilizan transporte?

15.

El 4,2% de los habitantes de mi pueblo son jóvenes entre 14 y 18 años. Si hay 756 personas en este intervalo de edad, ¿cuántos habitantes habrá? Pulsa

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11 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

2.b. Aumentos y disminuciones porcentuales • Lee el texto y completa: a) Escribe las fórmulas que se utilizan para aumentar o disminuir una cantidad inicial CI en un porcentaje r: Para aumentar en un r% Para disminuir en un r%

b) ¿A qué se le llama índice de variación? •

En la escena de la derecha encontrarás diferentes ejercicios de aumentos y disminuciones porcentuales. Completa los enunciados y la resolución en los siguientes recuadros: Mi padre cobraba al mes _____ € y este año le han subido un __%. ¿Cuánto cobrará ahora? Procedimiento 1º: Se calcula la subida del sueldo: Se suma al sueldo inicial: Procedimiento 2º: Se calcula el índice de variación Se aplica la fórmula: __________

Entre mis hermanos y yo hemos comprado un regalo a mis padres que valía ____ €. Al pagarlo nos han hecho un descuento del __%. ¿Cuánto nos ha costado? Procedimiento 1º: Se calcula el descuento del precio: Se resta al precio inicial el descuento: Procedimiento 2º: Se calcula el índice de variación Se aplica la fórmula: __________

Después del aumento de este año de un ___%, el sueldo de mi padre es ahora de _____ €. ¿Cuánto cobrará antes? Se calcula _______________________ Se conoce __________________ y ___________________. Hay que calcular _______________________.

Después de hacernos un descuento de un ___% en la compra de un regalo, hemos pagado _____ €. ¿Cuál era el precio inicial? Se calcula _______________________ Se conoce __________________ y ___________________. Hay que calcular _______________________.

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12 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Mi padre cobraba al mes _____ € y después de la subida de este año cobra ahora _____ €. ¿Qué % le han subido? Se conoce __________________ y ___________________. Hay que calcular _______________________.

Hemos comprado un regalo que valía ____ €, pero después de hacernos un descuento hemos pagado _______ €. ¿Qué % nos han descontado?

Se conoce __________________ y ___________________. Hay que calcular _______________________.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios. Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.c. Porcentajes sucesivos •

Lee el texto y observa los ejemplos de la escena de la derecha.

1. Describe los dos métodos que has visto para aplicar porcentajes sucesivos a una cantidad inicial CI: Aplicando cada variación por separado Con los índices de variación •

En la escena de la derecha encontrarás diferentes ejercicios de porcentajes sucesivos. Completa los enunciados y la resolución en los siguientes recuadros: El precio de un objeto en una tienda es de ____ €. En primer lugar aumenta el precio un ___% y posteriormente vuelve a aumentar un ___%. ¿Cuál es el precio final? Procedimiento 1º: Calculando cada variación por separado Primera variación: Segunda variación: Precio final: Procedimiento 2º: Directamente con los índices de variación Primer índice de variación: Segundo índice de variación: Precio final:

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13 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

El precio de un objeto en una tienda es de ____ €. En primer lugar aumenta el precio un ___% y posteriormente disminuye un ___%. ¿Cuál es el precio final? Procedimiento 1º: Calculando cada variación por separado Primera variación: Segunda variación: Precio final: Procedimiento 2º: Directamente con los índices de variación Primer índice de variación: Segundo índice de variación: Precio final:

El precio de un objeto en una tienda es de ____ €. En primer lugar reduce el precio un ___% y posteriormente aumenta un ___%. ¿Cuál es el precio final? Procedimiento 1º: Calculando cada variación por separado Primera variación: Segunda variación: Precio final: Procedimiento 2º: Directamente con los índices de variación Primer índice de variación: Segundo índice de variación: Precio final: El precio de un objeto en una tienda es de ____ €. En primer lugar reduce el precio un ___% y posteriormente vuelve a disminuir un ___%. ¿Cuál es el precio final? Procedimiento 1º: Calculando cada variación por separado Primera variación: Segunda variación: Precio final: Procedimiento 2º: Directamente con los índices de variación Primer índice de variación: Segundo índice de variación: Precio final: Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 16. 17. 18. 19. 20.

21.

Después del aumento de este año de un 14%, el sueldo de mi madre es ahora de 1938 euros. ¿Cuánto cobraba antes? Mi padre cobraba al mes 1600 euros y después de la subida de este año cobra ahora 1792 euros. ¿Qué tanto por ciento le han subido? Después de hacernos un 8% de descuento en la compra de un regalo, hemos pagado 156,40 euros. ¿Cuál era el precio inicial? Hemos comprado un regalo que valía 80 euros, pero después de hacernos un descuento hemos pagado 71,20 euros. ¿Qué porcentaje nos han descontado? El precio de un objeto en una tienda de regalos es de 208 euros. En primer lugar aumenta el precio un 45% y posteriormente vuelve a aumentar un 66%. ¿Cuál es el precio final? El precio de un objeto en una tienda de regalos es de 180 euros. En primer lugar reduce el precio un 12% y posteriormente aumenta un 27%. ¿Cuál es el precio final? Pulsa

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14 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3. Interés simple y compuesto 3.a. Interés simple •

Lee el texto de la página y completa:

a) Si depositamos un capital C en un banco durante un año, el banco nos dará una cantidad I, llamada ___________, que se obtiene aplicando un porcentaje r%, llamado _________, a la cantidad C. b) Si depositamos el capital durante un tiempo t, que puede ser en años, meses o días, el interés se calculará con alguna de las fórmulas: t en años

t en meses

t en días

c) I es ___________________ proporcional a las variables C, r y t. •

En la escena de la derecha hay tres botones: , y En cada uno aparecerán 4 problemas diferentes a los que accederás pulsando OTRO EJEMPLO.

Completa el enunciado que aparece en la escena y la resolución de cada problema en los siguientes recuadros: Tiempo “t” en años Datos: C, r, t.

Incógnita: I

1.1. Calcular el interés que produce un capital de _______ € colocado a un interés simple del _____ % durante ___ años.

1.2.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, r, t. Incógnita: C Calcular el capital que hay que colocar durante ___ años a un rédito del ____ % para que produzca un interés de _______ €.

1.3.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t ¿Cuántos años hay que tener un capital de _______ € al ____ % de interés simple para que produzca un interés de _______ €.

Problemas aritméticos

15 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

Datos: I, C, t.

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Incógnita: r

1.4. Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de _______ € durante ___ años para que produzca un interés de _______ €.

Tiempo “t” en meses Datos: C, r, t.

Incógnita: I

2.1. Calcular el interés que produce un capital de _______ € colocado a un interés simple del _____ % durante ___ meses.

2.2.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, r, t. Incógnita: C Calcular el capital que hay que colocar durante ___ meses a un rédito del ____ % para que produzca un interés de _______ €.

2.3.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t ¿Cuántos meses hay que tener un capital de _______ € al ____ % de interés simple para que produzca un interés de _______ €.

2.4.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, C, t. Incógnita: r Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de _______ € durante ___ meses para que produzca un interés de _______ €.

Tiempo “t” en días Datos: C, r, t.

Incógnita: I

3.1. Calcular el interés que produce un capital de _______ € colocado a un interés simple del _____ % durante ___ días.

Problemas aritméticos

16 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.2.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, r, t. Incógnita: C Calcular el capital que hay que colocar durante ___ días a un rédito del ____ % para que produzca un interés de _______ €.

3.3.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t ¿Cuántos meses hay que tener un capital de _______ € al ____ % de interés simple para que produzca un interés de _______ €.

3.4.

Pulsa OTRO EJEMPLO Datos: I, C, t. Incógnita: r Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de _______ € durante ___ días para que produzca un interés de _______ €.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 22.

Calcular el capital que hay que colocar durante 3 años a un rédito del 4% para que produzca un interés de 5640 euros.

23.

Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de 28500 euros durante 2 años para que produzca un interés de 5150 euros.

24.

¿Cuántos años hay que tener un capital de 8500 euros a un rédito del 3,75% para que produzca un interés de 2868,75 euros?

25.

Calcular el capital que hay que colocar durante 10 meses a un rédito del 5% para que produzca un interés de 2956 euros.

26.

Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de 29500 euros durante 8 meses para que produzca un interés de 1710 euros.

27.

Calcular el interés que produce un capital de 10400 euros colocado a un interés simple del 1,5% durante 163 días.

28.

¿Cuántos días hay que tener un capital de 40950 euros a un rédito del 2% para que produzca un interés de 182 euros?

Pulsa

Problemas aritméticos

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17 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.b. Interés compuesto. •

Lee el texto de esta página y las diferentes pantallas en la escena. Completa:

a) Otro tipo de interés es el llamado interés compuesto, en el que cada cierto tiempo, llamado ______________________________, los intereses generados por el capital inicial _______________________________________________. b) Escribe las fórmulas que calculan el capital final (CF) si se ha depositado un capital inicial (CI) a un rédito r% durante t años, según el periodo de capitalización: Anual

•

Semestral

Trimestral

Mensual

En la escena de la derecha hay tres botones: , y En cada uno aparecerán 4 problemas diferentes a los que accederás pulsando OTRO EJEMPLO. Completa el enunciado que aparece en la escena y la resolución de cada problema en los siguientes recuadros: Se deposita un capital de _________ € a un interés compuesto del _____ % durante ___ años. Calcular el capital final si el período de capitalización es anual.

Se coloca un capital de ________ € a un interés del ___ %. Compara el capital final obtenido desde 1 a 5 años distinguiendo los tipos de interés simple y compuesto. Años

Interés simple

Interés compuesto

Diferencia

1 2 3 4 5

Distintos períodos de capitalización Se deposita un capital de _________ € a un interés compuesto del _____ % durante

3.1. ___ años. Calcular el capital final si el período de capitalización es semestral.

Pulsa OTRO EJEMPLO Problemas aritméticos

18 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Se deposita un capital de _________ € a un interés compuesto del _____ % durante

3.2. ___ años. Calcular el capital final si el período de capitalización es trimestral.

3.3.

•

Pulsa OTRO EJEMPLO Se deposita un capital de _________ € a un interés compuesto del _____ % durante ___ años. Calcular el capital final si el período de capitalización es mensual.

Completa las siguientes frases:

a) Para qué se obtenga el mismo capital final a interés simple y compuesto, ¿cuánto tiempo debe durar la inversión? ________________ b) Explica porqué para una inversión a varios años el capital final a interés compuesto es mayor que a interés simple __________________________________________________ ________________________________________________________________________ c) Cuanto mayor sea el periodo de capitalización, _____ intereses se reciben en el mismo tiempo, por que __________________________________________________________ •

Resuelve el siguiente problema:

1. Calcula el capital final que obtendrías al depositar un capital inicial de 2450 € durante 5 años a un rédito del 6,3% si el periodo de capitalización es anual, semestral, trimestral y mensual: Anual

Pulsa en el botón

Semestral

Trimestral

Mensual

para hacer unos ejercicios. Pulsa

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3.c. Tasa anual equivalente (T.A.E.) • Lee el texto de esta y la escena de la derecha: a) Escribe la fórmula que se utiliza para calcular la tasa anual equivalente (que indica el % de crecimiento real del capital durante un año). Explica qué significa la k:

b) A medida que la k aumenta, ¿qué ocurre con la TAE? ______________________________ c) ¿Cuándo la TAE coincide con el rédito r%? ______________________________________ Problemas aritméticos

19 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

d) Explica por qué no es lo mismo un rédito del 12% anual que uno del 1% mensual _____ ________________________________________________________________________. •

Mira el resto de las escenas pulsando en los números de la parte inferior del 2 al 5. Para el mismo porcentaje: ____ % e calcula la TAE correspondiente para los diferentes tipos de capitalización: Mensual

•

Bimensual

Trimestral

Semestral

Resuelve el siguiente problema:

1. Calcula con cuál de las siguientes opciones obtendrías más intereses, con un rédito del 12% con capitalización semestral o con uno del 6% semestral:

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 29.

Se deposita un capital de 8200 euros a un interés compuesto del 5,5% durante 6 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es anual.

30.

Se deposita un capital de 29000 euros a un interés compuesto del 1,75% durante 7 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es trimestral. Si la capitalización es trimestral, en un año habrá 4 periodos de capitalización.

31.

Se deposita un capital de 17600 euros a un interés compuesto del 4,5% durante 5 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es semestral. Si la capitalización es semestral, en un año habrá 2 periodos de capitalización.

32.

Se coloca un capital de 1000 euros a un interés del 1%. Calcular el capital final obtenido desde 1 hasta 5 años distinguiendo los tipos de interés simple y compuesto. Interés Interés Años Diferencia simple compuesto 1 2 3 4 5

33.

Calcular la tasa anual equivalente (TAE) correspondiente a un 2,5% anual con capitalización mensual.

34.

Calcular la tasa anual equivalente (TAE) correspondiente a un 4,75% anual con capitalización trimestral.

Pulsa Problemas aritméticos

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20 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.d. Capitalización •

Lee el texto de esta página:

a) Explica la diferencia entre las operaciones de capitalización y las de interés compuesto:

b) Escribe la fórmula que calcula el capital final CF que se obtiene al ingresar una cantidad c, durante t periodos, a un interés del r% en cada periodo •

En la escena de la derecha encontrarás diferentes ejercicios. Completa los enunciados y la resolución en los siguientes recuadros: Una persona abre un plan de pensiones cuando tiene ___ años. Cada año ingresa ______ €. El banco le da un interés del ____ % anual. ¿Qué cantidad tendrá cuando tenga ___ años?

Una persona abre un plan de pensiones cuando tiene ___ años. Cada mes ingresa ______ €. El banco le da un interés del ____ % anual. ¿Qué cantidad tendrá cuando tenga ___ años?

Una persona abre una cuenta de ahorro vivienda durante ____ años, con una cuota anual de ______ € y un interés del ____ % anual. ¿De qué cantidad dispondrá cuando retire el dinero?

Una persona abre una cuenta de ahorro vivienda durante ____ años, con una cuota mensual de ______ € y un interés del ____ % anual. ¿De qué cantidad dispondrá cuando retire el dinero?

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios. Pulsa

Problemas aritméticos

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21 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

3.e. Amortización •

Lee el texto de esta página:

a) Explica la diferencia entre las operaciones de amortización y las de capitalización:

a) Escribe la fórmula que calcula la anualidad C necesaria para devolver un préstamo CI durante t periodos a un interés del r% en cada periodo •

En la escena de la derecha encontrarás diferentes ejercicios. Completa y resuelve: Una persona tiene u préstamo hipotecario de ________ € a un interés del ___ % anual y a devolver en ____ años. ¿Qué cantidad tendrá que pagar cada año?

Una persona tiene u préstamo hipotecario de ________ € a un interés del ___ % anual y a devolver en ____ años. ¿Qué cantidad tendrá que pagar cada mes?

Una persona tiene u préstamo hipotecario de ________ € a un interés del ___ % anual y a devolver en ____ años. ¿Qué cantidad tendrá que pagar cada trimestre?

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIOS 35.

Una persona abre un plan de pensiones a lo 22 años. Cada año ingresa 1000 €. El banco le da un interés del 5,25% anual. ¿Qué cantidad tendrá a los 65 años? ¿Qé cantidad de dinero corresponde a sus cuotas?

36.

Una persona tiene una cuenta de ahorro vivienda durante 8 años, con una cuota mensual de 150 euros y un interés del 2,5% anual ¿De qué cantidad dispondrá cuando retire el dinero?

37.

Una persona tiene un deposita cada trimestre en un banco 400 euros, durante 10 años. El banco le da un interés del 5%. ¿Qué cantidad de dinero tendrá a los 5 años?

38.

Una persona tiene un préstamo personal de 120000 € a un interés del 5% anual y a devolver en 20 años. ¿Qué cantidad tendrá que pagar cada año? ¿Cuánto pagará en total?

39.

Una persona tiene un préstamo hipotecario de 70000 € a un interés del 4,5% anual y a devolver en 15 años. ¿Qué cantidad tendrá que pagar cada mes? ¿Qué cantidad de dinero pagará en total? Pulsa

Problemas aritméticos

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22 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Proporcionalidad directa e inversa: Magnitudes directamente proporcionales. Si se multiplica o divide una de ellas por un número, la otra queda ________________ o ________________ por el mismo número. Magnitudes inversamente proporcionales. Si se multiplica o divide una de ellas por un número, la otra queda _________________ o _________________ por el mismo número. La proporcionalidad compuesta consiste en relacionar tres o más ______________. Proporcionalidad compuesta Al resolver una actividad de proporcionalidad _____________ se relacionan las magnitudes de dos en dos y se mantienen constantes las demás. También se puede resolver mediante una ________________________________ Repartos proporcionales Reparto directamente proporcional: repartir una cantidad entre varias partes de forma que cada una de ellas reciba una cantidad __________________ a un valor inicial de cada parte. Reparto inversamente proporcional: se hace el reparto de forma directamente proporcional a los _____________ de los valores iniciales de cada una de las partes. Porcentajes Fórmula para aplicar un porcentaje r% a una cantidad C: Aumentos o disminuciones porcentuales Se llama índice de variación a la variación que experimenta una unidad. Para un aumento: Para una disminución: Interés simple. Si depositamos un capital C en un banco, durante un tiempo t a un rédito r%, se obtiene un interés I dado por las siguientes fórmulas,

según t se exprese en años, meses o días. Interés compuesto. Si cada cierto periodo de tiempo, los intereses generados se añaden al capital, éstos producirán más intereses. A estos periodos de tiempo (años, meses, …) se les llama _________________________. Si k es el número de periodos de _________________ que hay en un año, el capital final es igual a: o Tasa anual equivalente (TAE). Expresa el _______________ de un capital durante un año. Se calcula con la formula, siendo k el número de periodos de capitalización. Fórmula:

Capitalización. El capital final que se obtiene al ingresar una cantidad c, durante t periodos a un interés del r% en cada periodo es:

Amortización. Si tenemos un préstamo de una cantidad CI, a un interés del r%, a devolver en t cuotas periódicas, cada cuota es igual a: con Problemas aritméticos

23 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de Proporcionalidad directa e inversa Porcentajes Interés simple y compuesto Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Pulsa

para ir a la página siguiente.

Proporcionalidad directa e inversa Disoluciones 1. Una disolución contiene ___ gr. de un compuesto químico por cada ___ litros de agua. Si se han utilizado ___ litros de agua, ¿cuántos gramos del compuesto químico habrá que añadir?

Construcción 2. Si ___ albañiles realizan un trabajo en ___ días, ¿cuántos se necesitarán para acabar el trabajo en ___ días?

Viaje de estudios 3. Un grupo de ____ alumnos realizan un viaje de estudios. Tienen que pagar el autobús entre todos, pagando cada uno ____ €. Por otra parte los gastos totales de alojamiento son _______ €. ¿Cuál sería el precio total y el precio individual si fuesen ___ personas?

Problemas aritméticos

24 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Animales de granja 4. Pulsa sobre la imagen de cada animal: a. Para alimentar a ___ pollos durante ___ días hacen falta ___ kilos de pienso. ¿Cuántos kilos de pienso harán falta para alimentar a ___ pollos en ___ días?

b. Con ____ kilos de pienso en ___ días comen ___ conejos. ¿Cuántos conejos podrán comer con _____ kilos de pienso durante ____ días

c. Si ___ cerdos comen ____ kilos de pienso durante ___ días. ¿Cuántos días tardarán ___ cerdos en comerse _____ kilos de pienso?

Trabajando a destajo 5. Pulsa sobre la imagen a. Si __ obreros trabajando ___ horas diarias tardan en hacer un trabajo ___ días, ¿cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo ___ obreros trabajando ___ horas diarias?

b. Si __ obreros trabajando ___ horas diarias ponen ____ metros cuadrados de baldosas, ¿cuántos metros cuadrados de baldosas pondrán ___ obreros trabajando ___ horas diarias?

Problemas aritméticos

25 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Reparto de beneficios 6. _____ socios abren un negocio aportando ______, ______ y _______ € respectivamente. Al finalizar el año obtienen unos beneficios de ______ €. ¿Cómo deben repartirlos?

Propinas 7. Tres camareros de un bar se reparten ____ € de las propinas de un mes de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado, que ha sido ___, ___ y ___ días respectivamente. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Calificaciones 8. Dos hermanos traen a casa las calificaciones del primer trimestre. Uno ha obtenido ___ aprobados y ___ suspensos. El otro ha obtenido ___ aprobados y ___ suspensos. El padre les da ______ euros para que se los repartan de forma directamente proporcional al número de aprobados o inversamente proporcional al número de suspensos. ¿Qué reparto interesa más a cada uno?

Pulsa

Problemas aritméticos

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26 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Porcentajes Alumnas y alumnos 9. En mi instituto hay ____ estudiantes. El número de alumnas representa el ___% del total. ¿Cuántas alumnas hay?

Aprobados y suspensos 10. El ___ % de los alumnos de un instituto ha aprobado todas las asignaturas. Sabiendo que han aprobado ___ personas. ¿Cuántos alumnos hay en el instituto?

4ºESO 11. En un instituto hay ____ estudiantes. En 4º ESO hay ____. ¿Qué % del total de alumnos representan los de 4º ESO?

Presupuestos 12. Este año el presupuesto de una localidad ha sido de __________ €. Para el próximo año se va a incrementar un ____ %. ¿Cuál será el presupuesto?

La factura de la luz 13. La factura de la luz se ha incrementado este año en un ____ %. Si este me he pagado ______€. ¿Cuánto habría pagado si no hubiese subido el precio?

Problemas aritméticos

27 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Población veraniega 14. La población de una localidad costera ha pasado de ________ a ________ habitantes. ¿Qué % ha aumentado?

Incendio forestal 15. Un bosque tiene _______ árboles. En un incendio ha ardido el ____ % de los árboles. ¿Cuántos árboles quedan?

Repartidor de leche 16. Después de repartir el ___ % de las botellas que levaba, un lechero regresa a su almacén con ___ botellas. ¿Con cuántas botellas salió?

Pulsa

para ir a la página siguiente.

Interés simple y compuesto Intereses distintos 17. Dos hermanos colocan un mismo capital de _______ € a un rédito del ___% durante ___ años. Uno lo hace a interés simple y otro a interés compuesto con capitalización anual. ¿Qué diferencia hay entre los intereses que recibe cada uno?

Problemas aritméticos

28 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Tiempos distintos 18. Una persona coloca un capital de _______ € durante ___ años a un interés compuesto del ____% con capitalización mensual. ¿Qué tiempo tendría que tener el mismo capital a un interés simple con el mismo rédito para obtener los mismos intereses?

Períodos de capitalización 19. Una persona coloca un capital de _______ € durante ___ años a un interés compuesto del ____%. ¿Qué período de capitalización interesa más: anual, semestral, bimestral o mensual?

Comprobar la TAE 20. Una persona coloca un capital de _______ € durante ___ años a un interés compuesto del ____% con capitalización mensual. Calcula la TAE que corresponde y calcula el capital que se obtendría con los mismos datos a un interés simple igual a la TAE.

Plan de pensiones 21. Una persona abre un plan de pensiones a la edad de ___ años. Cada mes ingresa ____ €. El banco le da un interés del ____ %. ¿Qué cantidad de dinero ingresa durante la vigencia del plan? ¿Cuánto dinero tendrá cuando se jubile a los ___ años?

Problemas aritméticos

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I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Cuenta de ahorro vivienda 22. Una pareja abre una cuenta de ahorro vivienda durante ___ años. Cada trimestre ingresa ____ €. El banco le da un interés del ____ %. ¿Qué cantidad de dinero ingresa en la cuenta vivienda? ¿Cuánto dinero tendrá cuando finalice el plazo?

Préstamo hipotecario 23. Hemos solicitado un préstamo hipotecario de _________ € a pagar en ___ años y a un interés del ___ % anual. ¿Cuándo tendremos que pagar cada mes? ¿Cuál será el importe total del préstamo?

Préstamo personal 24. Un comerciante solicitado un préstamo personal de _________ € a pagar en cuotas semestrales, en ___ años y a un interés del ___ % anual. ¿Cuánto tendrá que pagar cada semestre? ¿Cuál será el importe total del préstamo?

Pulsa

Problemas aritméticos

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30 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Autoevaluación Copia aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar si la solución es correcta.

Problemas aritméticos

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I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Para practicar más

1. Una disolución contiene 176 gr. de un compuesto químico por cada 0,8 litros de agua. Si se han utilizado 0,5 litros de agua, ¿cuántos gramos del compuesto químico habrá que añadir? 2. Si 10 albañiles realizan un trabajo en 30 días, ¿cuántos se necesitarán para acabar el trabajo en 25 días? 3. Un grupo de 43 alumnos realizan un viaje de estudios. Tienen que pagar el autobús entre todos, pagando cada uno 90 €. Por otra parte los gastos totales de alojamiento son 12427 €. ¿Cuál sería el precio total y el precio individual si fuesen 46 personas? 4. Para alimentar a 11 pollos durante 16 días hacen falta 88 kilos de pienso. ¿Cuántos kilos de pienso harán falta para alimentar a 18 pollos en 8 días? 5. Si 10 obreros trabajando 9 horas diarias tardan en hacer un trabajo 7 días, ¿cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 5 obreros trabajando 6 horas diarias? 6. Tres socios abren un negocio aportando 20000, 35000 y 50000 € respectivamente. Al finalizar el año obtienen unos beneficios de 4200 €. ¿Cómo deben repartirlos? 7. Tres camareros de un bar se reparten 238 € de las propinas de un mes de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado, que ha sido 1, 4 y 6 días respectivamente. ¿Cuánto corresponde a cada uno? 8. En mi instituto hay 450 estudiantes. El número de alumnas representa el 52% del total. ¿Cuántas alumnas hay?

10. Este año el presupuesto de una localidad ha sido de 1868500 €. Para el próximo año se va a incrementar un 1.7 %. ¿Cuál será el presupuesto? 11. La población de una localidad costera ha pasado de 44500 a 61410 habitantes. ¿Qué % ha aumentado? 12. Un bosque tiene 30900 árboles. En un incendio ha ardido el 18 % de los árboles. ¿Cuántos árboles quedan? 13. Después de repartir el 90 % de las botellas que levaba, un lechero regresa a su almacén con 27 botellas. ¿Con cuántas botellas salió? 14. Dos hermanos colocan un mismo capital de 22100 € a un rédito del 9% durante 6 años. Uno lo hace a interés simple y otro a interés compuesto con capitalización anual. ¿Qué diferencia hay entre los intereses que recibe cada uno? 15. Una persona coloca un capital de 18000 € durante 1 año a un interés compuesto del 4,2% con capitalización mensual. Calcula la TAE que corresponde y calcula el capital que se obtendría con los mismos datos a un interés simple igual a la TAE. 16. Una persona abre un plan de pensiones a la edad de 28 años. Cada mes ingresa 120 €. El banco le da un interés del 1,5 %. ¿Cuánto dinero tendrá cuando se jubile a los 67 años? ¿Cuánto dinero habrá ingresado durante la vigencia del plan? 17. Hemos solicitado un préstamo hipotecario de 148000 € a pagar en 18 años y a un interés del 9,1 % anual. ¿Cuándo tendremos que pagar cada mes? ¿Cuál será el importe total del préstamo?

9. El 28 % de los alumnos de un instituto ha aprobado todas las asignaturas. Sabiendo que han aprobado 196 personas. ¿Cuántos alumnos hay en el instituto? Problemas aritméticos

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IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Polinomios Contenidos 1. Expresiones algebraicas De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 2. División de polinomios División División con coeficientes Regla de Ruffini Teorema del resto 3. Descomposición factorial Factor común xn Polinomios de segundo grado Regla de Ruffini reiterada Identidades notables

Objetivos •

A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos.

•

La Regla de Ruffini.

•

Teorema del resto.

•

A reconocer los polinomios con coeficientes reales irreducibles.

•

A factorizar polinomios con raíces enteras.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga

Los números reales

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

Antes de empezar Una forma de dividir gráficamente un polinomio entre un binomio, consiste en dibujar cuadrados de lado x (área x2 u2), rectángulos de lados x y 1 (área x u2) y cuadrados de lado 1 (área 1 u2) en función del polinomio. Observa en la escena cómo se puede hacer una división de polinomios. ¿Con qué coincide la cantidad de cuadrados o rectángulos que aparecen dibujados? _________________________________. A la derecha aparece un segmento que corresponde al divisor (en este caso 2x+2). Sobre ella trata de construir un rectángulo lo más alto posible utilizando las piezas que aparecen a la izquierda, que corresponden al polinomio (en este caso 2x2+4x+4 = 2 de tamaño x2, 4 de tamaño x y otras 4 de tamaño unidad) Cuando lo hayas conseguido aparecerá el resultado de la división y a la derecha la comprobación de que efectivamente está correctamente resuelta. ¿Con qué coincide la altura del rectángulo obtenido? ______________________________. ¿Y con los elementos que sobran? ___________________________. EJERCICIO: Repite el proceso con cada nuevo caso que se propone en la escena y representa dos de los que hayas resuelto: Dividir _________________ entre ________ Coloca las piezas:

Dividir _________________ entre ________ Coloca las piezas:

Base _________________________

Dividendo:

Divisor:

Cociente:

Resto:

Puedes pulsar el botón

para repasar conceptos que te van a ser útiles en el tema. Pulsa

Los números reales

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IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

1. Expresiones algebraicas 1.a. De enunciados a expresiones Lee el texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué característica tienen los monomios? ¿Qué aparece si sumamos o restamos varios monomios? En la escena se proponen diez ejercicios para expresar enunciados en expresiones algebraicas. Contesta a los siguientes ejercicios y comprueba el resultado. (Haz primero el dibujo)

Calcula la expresión algebraica que nos da el número e cuadraditos del rectángulo: Expresión Grado Coeficientes

¿Qué monomio nos da el área del rectángulo de base x y altura y? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué expresión nos da el volumen de un cubo de arista x? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué expresión nos da el espacio recorrido a una velocidad constante de x km/h durante t horas? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué polinomio nos da la longitud del segmento marrón? Expresión Grado Coeficientes

Los números reales

IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

¿Qué polinomio nos da la media aritmética de dos números? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué polinomio nos da el triple de un número menos cinco? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué polinomio nos da la suma de los cuadrados de dos números? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué expresión define la diagonal de un cuadrado? Expresión Grado Coeficientes

¿Qué expresión define la diagonal de un rectángulo de base x y altura y? Expresión Grado Coeficientes

Pulsa

para realizar un cuestionario. Escribe en el recuadro la nota obtenida:

Pulsa

Los números reales

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IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

1.b. Valor numérico Lee en pantalla la definición de valor numérico y las normas que tienes que tener en cuenta para calcularlo. A continuación completa el siguiente párrafo: El resultado de ______________ las variables por números en una expresión ______________ da lugar a un número, que llamaremos valor ________________. Debemos aplicar la prioridad de ____________ realizando primero las _____________, seguido de producto y ______________, y, por último, de _______________ y restas.

En la escena se proponen cinco ejercicios para hallar el valor numérico de una expresión algebraica. Resuelve cada uno de los ejercicios arrastrando la etiqueta naranja que contiene al número para sustituirla por la variable de la expresión y siguiendo paso a paso el desarrollo para hallar el valor numérico. Efectúa las operaciones en la tabla siguiente: Valor numérico.. Enunciado

Desarrollo

Resultado

1. La expresión _________________ tiene como valor numérico en x = ___ 2. La expresión _________________ tiene como valor numérico en x = __ /__ 3. La expresión _________________ tiene como valor numérico en x = ____ 4. La expresión _________________ tiene como valor numérico en x=___ e y=___ 5. La expresión _________________ tiene como valor numérico en x=___ e y=___

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios.

Aparecen dos series de ejercicios. La primera es en modo guiado y contiene dos ejemplos que puedes observar. En la segunda, en modo escribir, consiste en resolver 10 ejercicios escribiendo paso a paso los resultados de las operaciones, tal como se te indica en la derecha de la escena. Pulsa

Los números reales

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IES _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE: _________________________

FECHA:

1.c. Polinomios. Expresión en coeficientes Lee el texto de pantalla. EJERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿En qué partes polinomio?

podemos

subdividir

¿Dónde podemos encontrar números negativos o raíces?

RESPUESTAS un

fracciones,

Es muy conveniente que recuerdes la manera de expresar un polinomio por sus coeficientes, para ello ayúdate de la escena de la derecha y explica a continuación un ejemplo. EJERCICIO 2. Completa uno de los ejemplos de la escena: En este polinomio _______________________ hay algunos coeficientes y exponentes ocultos. 1º Completamos el polinomio

2º Ver la expresión en coeficientes del polinomio

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios.

Aparece un polinomio. Escribe su grado en el recuadro correspondiente y pulsa Intro. Aparecen otro recuadros en los que has de escribir los coeficientes del polinomio. Haz varios ejercicios hasta que tengas al menos dos seguidos correctamente resueltos. EJERCICIO 3. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es el grado de un polinomio?

¿Cuántos coeficientes debemos poner si el grado de un polinomio es n?

Los números reales

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EJERCICIOS 1.

Determina la expresión de los siguientes enunciados: Enunciado

Expresión

¿Qué monomio nos da el área rectángulo de base 3·x y altura 2·y?

¿Qué monomio nos da el volumen de un cubo de arista x? ¿Qué polinomio nos da el espacio recorrido por una carretera a una velocidad constante de x km/h durante (t+1) horas? ¿Qué polinomio nos da el triple de la suma de un número menos cinco, y el doble de ese número? ¿Qué expresión nos define la diagonal de un rectángulo de base x y altura 2·y? 2.

Escoge la expresión algebraica en cada caso: Enunciado

Expresión A

6⋅ x +3

3⋅ x + 6

3 ⋅ ( x + 6)

x +6 3

x + 10 5 x+7 4 x⋅ y 2 x ⋅y 2

x + 10 5 x +7 4 x+ y 2 x y ⋅ 2 2

10 x + 5

5 x + 10

14 + 7 4 x +y 2 x− y 2

7 +x 4 x− y 2 x⋅7 2

6. La raíz cuadrada de la suma de dos cuadrados.

x+ y

x2 + y2

7. El 40 % de un número.

0,4 ⋅ x

40 ⋅ x 100

40 x 10

100 ⋅ x 40

8. El cuadrado de la suma de dos números.

( z + y) 2

x2 + y2

x + y2

(12 + y ) 2

9. El cuadrado de la semisuma de dos números.

x2 + y2 4

x + y2 2

( x + y) 2 4

( x + y) 2 2

x+ y+z 3

x+ y+z 2

1. El triple de un número más seis. 2. La quinta parte de un número más diez. 3. Un cuarto de la suma de un número más siete. 4. La semisuma de dos números. 5. La mitad del producto de dos números.

10. La media aritmética de tres números.

Los números reales

 0,5 x + 0,5 y + 0,5 z  x + y + z/ 2   2 

x2 + y2

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EJERCICIOS 3.

Halla los valores numéricos indicados en cada caso:

Desarrollo

Enunciado

Resultado

2 − 7 ⋅ x 5 en (−2) 2 3 + 5 ⋅ x 3 en   3

3 x − 3 ⋅ x 3 en 9 x5 + 4 en x = −2; y = 3 y3 x5 + 1 en x = 4; y = 4 y4 4.

Valor numérico en -3 de P(x) = 2x2 +5x + 6.

Valor numérico en 0,1 de P(x) = 3x2 +7x + 2.

Dados los polinomios, contesta a las preguntas. X3 + 4x - 2 ¿Grado del polinomio?

Escribe los coeficientes en los recuadros

X4 - 2x3 -x2 -2x ¿Grado del polinomio?

Escribe los coeficientes en los recuadros

Pulsa Los números reales

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2. División de polinomios 2.a. División Lee en pantalla la explicación sobre la división de polinomios, observa varios ejercicios propuestos en la escena y realiza las actividades propuestas. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuál es la fórmula que relaciona los términos de una división? ¿Cuándo se cumple la fórmula anterior? En la escena se proponen ejemplos de división de polinomios. Completa uno de los ejemplos paso a paso. _____________________________ : ___________ (Efectúa aquí la división paso a paso)

Dividimos los monomios de mayor grado. Multiplicamos el último monomio escrito en el cociente por el divisor y lo cambiamos de signo. Sumamos. Repetimos el proceso hasta llegar al término independiente del cociente. Determinamos el cociente y resto.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Realiza dos ejercicios propuestos. Divide en espacio reservado P(x) entre Q(x) e introduce los coeficientes del cociente y de resto en los cuadrados de la escena, pulsa intro para comprobar el resultado. P(x) = Ejercicio 1. Q(x) = Realiza la división: Cociente =

Resto=

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P(x) = Ejercicio 2. Q(x) = Realiza la división: Cociente =

Resto= Pulsa

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2.b. División por coeficientes. Lee en pantalla la explicación sobre otro método para realizar la división de polinomios, en este caso utilizando coeficientes. En la escena se proponen ejemplos de división de polinomios utilizando el método de coeficientes. Desarrolla un ejemplo de cada una de las tres opciones y pulsa el botón paso la división.

para ver paso a

P(x) = Q(x) = Se escriben los coeficientes del dividendo y divisor. Obtenemos el primer valor de la división dividendo las primeras cifras. Multiplicamos por el divisor y se resta al dividendo. Repetimos el proceso tanta veces como sea necesaria. Determinamos el cociente y resto. P(x) = Q(x) = Se escriben los coeficientes del dividendo y divisor. Obtenemos el primer valor de la división dividendo las primeras cifras. Multiplicamos por el divisor y se resta al dividendo. Repetimos el proceso tanta veces como sea necesaria. Determinamos el cociente y resto. Los números reales

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2.c. Regla de Ruffini. División entre x - a. Lee la explicación del método, determinado por el médico y matemático italiano Ruffini, para resolver divisiones cuyo divisor es un binomio de grado 1, x – a. En la escena observa detenidamente una animación en la que se explica el proceso a seguir. En la parte de arriba verás la división resuelta a partir de los coeficientes, tal y como aprendiste en el apartado anterior, y debajo puedes ver la forma de hacerlo utilizando el método de Ruffini. Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Realiza al menos dos ejercicios propuestos. Para hacerlo has de escribir paso a paso los coeficientes y los resultados de las operaciones en los recuadros correspondiente. Al finalizar pulsa intro para comprobar el resultado. Resuelve aquí dos ejemplos: P(x) =

P(x) =

2 Q(x) =

Q(x) =

Cociente:

Resto:

Resto: Pulsa

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2.d. Teorema del Resto. Lee el texto de pantalla. EJERCICIO 1. Contesta a estas cuestiones: RESPUESTAS Al dividir un polinomio P(x) por (x-a)... ¿Cuál es el grado del resto? Si llamamos C(x) al cociente… ¿Cuál es la fórmula que relaciona los términos que intervienen en la división? EJERCICIO 2. Completa: En la fórmula: P(x)=(x-a)·C(x)+resto Si sustituimos ahora la x por a, tenemos: P(a) = __________________ Así llegamos a:

Valor numérico de P en a = _____

Este resultado se conoce como _______________________ Observa la escena de la derecha. Está dividida en dos partes. En la de arriba aparece un polinomio P(x) y un valor numéricos a calcular: P(a) =… En la parte de abajo aparece la división por el método de Ruffini de ese mismo polinomio P(x) entre (x–a). Resuelve paso a paso dos ejemplos calculando P(a) y resolviendo la división Puedes hacerlo tu mismo si pulsas O indicar el modo automático en Completa dos ejemplos en los siguientes recuadros:

EJERCICIO 3. Contesta a estas cuestiones: Si el valor numérico de P(x) en a es: P(a) = 0

RESPUESTAS

¿Cuánto vale el resto de la división de P(x) entre (x–a) ¿Qué relación hay entre P(x) y (x–a) ? ¿Qué es “a” del polinomio P(x)? Los números reales

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FECHA:

EJERCICIO 4. Completa la fórmula que aparece en el recuadro amarillo:

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios.

Al abrir la escena te encuentras en la parte superior con los siguientes botones:

Lo primero que ves es el Ejercicio 1, para ver el siguiente pulsa en (>) En total hay 10 ejercicio en la Serie 1 Al ser de modo: escribir, guiado, significa que has de ir escribiendo en la ventana, sustituyendo la letra x por el número dado y realizando paso a paso las operaciones, pero siguiendo las indicaciones que van apareciendo a la derecha. Anota en estos recuadros los resultados de los ejercicios de esta serie nos 1, 4 y 8: Ejercicio 1 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) =__________________ por ______

Ejercicio 4 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) =__________________ por ______

Ejercicio 8 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) =__________________ por ______

Para pasar a la Serie 2, pulsa en (>>): Observa que te han cambiado las instrucciones del recuadro azul y verde por las siguientes:

En esta serie hay 5 ejercicios que has de resolver por el mismo método anterior. Anota en los recuadros siguientes los resultados de los ejercicios de esta serie nos 1, y 3: Los números reales

13 -

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Ejercicio 1 Halla m para que el polinomio P(x) =__________________ Sea divisible por ______

FECHA:

Ejercicio 3 Halla m para que el polinomio P(x) =__________________ Sea divisible por ______

EJERCICIOS 7.

Halla el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) en cada caso a) P(x)=3x2-11x-13

Q(x)=x2-3x-4

b) P(x)=-9x3-15x2+8x+16

Q(x)=3x+4

Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+5x2-2x+1 Q(x)=2x4-5 3

entre x-3 2

R(x)=x -4x+3x 9.

Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+3x2-2x+1 Q(x)=x4-2

entre x+1

R(x)=x3-4x2-x 10.

Si el valor numérico de un polinomio en 2 es igual a 3 y el cociente de su división entre x-2 es x ¿Sabes de que polinomio se trata?

11.

Halla m para que mx2+2x-3 sea divisible entre x+1

12.

Aplica el Teorema del resto y la regla de Ruffini para hallar el valor numérico de P(x)=x3-15x2+24x-3 en x=13

13.

¿Existe algún valor de m para que el polinomio x3+mx2-2mx+5 sea divisible por x–2?

Pulsa

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FECHA:

3. Descomposición factorial 3.a. Sacar factor común una potencia de x EJERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cómo podemos determinar en dónde empieza y en dónde termina un sumando de una expresión algebraica? ¿Cuántos sumandos tiene la expresión: 4x3 + 2x2 -6x·2x2 - 9? EJERCICIO 2: CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es lo primero que debemos observar para descomponer un polinomio en factores? ¿Cuándo será esto posible? y a continuación rellena la siguiente tabla con dos ejemplos de Observa la animación los que aparecen en la escena de la derecha. Introduce primero el factor común, escribiendo el coeficiente y el exponente de x, y si está bien, al pulsar Intro, te aparecerá debajo el mensaje:

Pulsa para extraer el factor Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Realiza cuatro ejercicios propuestos anotando los resultados en la tabla siguiente: Polinomio

Factorización

P(x) =

P(x) = Pulsa

Los números reales

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3.b. Polinomios de 2º grado Recordamos la resolución de ecuaciones de segundo grado: EJERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿A qué llamamos discriminante? ¿Para qué sirve el discriminante? Para cada una de las tres siguientes ecuaciones de 2º grado, observa el valor del discriminante (fíjate en su signo) y el valor de las raíces de la ecuación. Escribe después la descomposición factorial del polinomio de 2º grado del primer miembro. EJERCICIO 2. Completa la siguiente tabla: Ecuación Discriminante Signo 2x2-8x+6 =0

∆ = b2–4ac = 16

Positivo

Raíces

Factorización

x=1;x=3

2x2-8x+6 = 2·(x–1) · (x–3)

3x2+6x+3 =0 2x2+6 = 0 Observa la escena de la derecha y completa la siguiente tabla con tres de los ejemplos que en ella aparecen, procurando que haya uno de cada tipo (Discriminante positivo, negativo y nulo): Pasos

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Identificar a, b y c.

Aplicar la fórmula.

Estudiar el número de soluciones

Descomposición

Pulsa en el botón

para conocer las fórmulas de Cardano.

En la escena puedes observar la explicación y varios ejemplos de estas fórmulas: Si al ecuación de 2º grado es de la forma: x2 + bx + c = 0 Y si X1 y X2 son sus soluciones, se cumplen las fórmulas de Cardano:

Pulsa en el botón

para practicar con estas fórmulas… Cuando acabes… Pulsa

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X 1 + X 2 =   X1 ⋅ X 2 =

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FECHA:

3.c. Regla de Ruffini reiterada. Lee la explicación de pantalla y completa la conclusión a la que se llega al respecto de la relación entre las raíces de un polinomio y el término de menor grado en el siguiente recuadro:

Pulsa en el botón

para copiar un ejemplo. P(x) = x4 -15x2 +10x +24

Vamos a descomponer factorialmente el polinomio Determinamos las posibles raíces enteras(los divisores del término independiente: 24) Probamos con 1 No es raíz (el resto es distinto de cero). Ya no habrá que volver a probarlo después.

-15

Probamos con –1 Si es raíz (el resto es cero). –1 ) Obtenemos un polinomio de grado menor, en este caso de grado 3. Seguimos probando. Ahora con 2

Y finalmente con 3

Obtenemos la factorización:

P(x) =

En la escena de la derecha puedes resolver cuantos ejemplos necesites para entender bien el procedimiento. Copia dos de esos ejemplos en los siguientes recuadros: Ejemplo 1: Ejemplo 2:

Pulsa

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3.d. Identidades notables. Los números reales

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FECHA:

Observa la animación para ver como se obtienen las identidades notables pulsando en Efectúa las operaciones algebraicas en los siguientes recuadros para obtener cada una de las identidades notables: Cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

= RESPUESTAS

¿Cuántas identidades notables hay? ¿A qué es igual el cuadrado de la suma? ¿Cuántos sumandos aparecen? ¿Qué diferencia existe entre el cuadrado de una suma y el de una diferencia? Enuncia la igualdad notable que nos falta

En la escena de la derecha puedes observar como podemos deducir estas fórmulas a partir de una serie de gráficos. Obsérvalo y desarrolla cada una de ellas en el siguiente espacio: Cuadrado de una suma

Pulsa

Cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia

para realizar un cuestionario. Escribe en el recuadro la nota obtenida:

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EJERCICIOS 14.

Saca factor común una potencia de x en cada uno de los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x Q(x)= x4+2x6-3x5 R(x)=2x6+6x5+8x3

15.

Halla la descomposición factorial de x3-7x2+4x+12.

16.

Factoriza:

2x2-8x+6

-x2+3x+4

x2+2x+3

x2+6x+9

17.

Halla la descomposición factorial de x7-x6-4x4

18.

Halla la descomposición factorial de x4-4.

19.

Halla la descomposición factorial de x4+x3-x2-2x-2.

Pulsa

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Expresión en coeficientes Polinomio: 6x4 + 5x2 - 6x + 3, Coeficientes:______________________ Regla de Ruffini. Teorema del resto.

Relación entre raíz y divisor: Raíz = -3

Factor o divisor: ___________

Raíz = _____ Divisor o factor: (x - 6) Igualdades notables: 1) 2) 3) Descomposición factorial. Métodos: 1) 2) 3) Descomposición factorial. Ejemplo: P(x) = 2x4 +10 x3 + 2x2 – 42x – 36.

Pulsa

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Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos ejercicios en tu cuaderno. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Operaciones con polinomios. Descomposición factorial. En los siguientes EJERCICIOS de operaciones con polinomios escribe el enunciado que aparece en tu ordenador que cumpla la condición propuesta y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Haz un mínimo de dos de cada tipo. Elige en el menú la opción: Números 1. Hallar la expresión algebraica de un número de __ cifras si la cifra de las unidades es __________ la cifra de las decenas.

2. Hallar la expresión algebraica de un número de __ cifras si la cifra de las unidades es ___________la cifra de las decenas.

Coeficientes 3. ¿Cuál es el grado del polinomio: _______________________? ¿Cuál es el coeficiente de grado ____? ¿Y el de grado ____? Calcula el valor numérico en x = ____

4. ¿Cuál es el grado del polinomio: ______________________? ¿Cuál es el coeficiente de grado ____? ¿Y el de grado ____? Calcula el valor numérico en x = ____ Suma y resta 5. Halla los coeficientes de __________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

6. Halla los coeficientes de __________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

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FECHA:

Multiplica. 7. Halla los coeficientes de _________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

8. Halla los coeficientes de _________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

Operaciones con fracciones 9. Halla el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

10. Halla el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

Regla de Ruffini. 11. Haz la división de P(x) entre _________ aplicando la regla de Ruffini P(x) = _____________________

12. Haz la división de P(x) entre _________ aplicando la regla de Ruffini P(x) = _____________________

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FECHA:

Divisor x –a ¿resto?. 13. Halla, aplicando el teorema del resto, el resto de la división de P(x) entre _________ P(x) = _____________________ 14. Halla, aplicando el teorema del resto, el resto de la división de P(x) entre _________ P(x) = ____________________ Halla m. 15. Halla m, aplicando el teorema del resto, para que P(x) sea divisible entre _________ P(x) = _____________________ 16. Halla m, aplicando el teorema del resto, para que P(x) sea divisible entre _________ P(x) = _____________________ Pulsa

para ir a la página siguiente.

En los siguientes EJERCICIOS de descomposición factorial escribe el enunciado que aparece en tu ordenador que cumpla la condición propuesta y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Sacar factor común 17. Saca factor común en el Polinomio P(x) [Haz un mínimo de cuatro ejercicios] a)

Raíces enteras 18. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos __________________________ Donde ___ es factor común en todos los monomios.

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FECHA:

19. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos __________________________ Donde ____ es factor común en todos los monomios

Aplicar identidades (Hay dos tipos de ejercicios. Haz un mínimo de dos de cada tipo) 20. Descomponer, aplicando las identidades notables, el siguiente polinomio _________________________ 21. Descomponer, aplicando las identidades notables, el siguiente polinomio _________________________ 22. Descomponer, aplicando las identidades notables, el siguiente polinomio _________________________ 23. Descomponer, aplicando las identidades notables, el siguiente polinomio _________________________ Conocidas las raíces 24. Halla la descomposición de un polinomio de grado 3 que tiene por raíces _______ _______________ y cuyo valor numérico en __________ es igual a __________

25. Halla la descomposición de un polinomio de grado 3 que tiene por raíces ________ ____________ y cuyo valor numérico en _____ es igual a ______

Efectúa la potencia (Hay dos tipos de ejercicios. Haz un mínimo de dos de cada tipo) 26. Efectúa la potencia ______________

27. Efectúa la potencia ______________

Los números reales

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FECHA:

28. Efectúa la potencia ______________

29. Efectúa la potencia ______________

Cálculo mental 30. Calcula mentalmente _____________

31. Calcula mentalmente _____________

Simplificar fracciones (Hay tres tipos de ejercicios. Haz un mínimo de uno de cada tipo) 32. Aplicando las identidades notables, simplifica la fracción:

33. Aplicando las identidades notables, simplifica la fracción:

34. Aplicando las identidades notables, simplifica la fracción:

Pulsa

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25 -

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FECHA:

Escribe los coeficientes del cociente y del resto en la división de P(x) entre Q(x). P(x) = Q(x)=

Calcula el valor numérico __________________ en x= _______.

¿Es cierta la igualdad?

________________________________

Calcula m para que el resto de la división de ______________________ entre ____________ sea _____.

Si P(x)=ax2+bx+____ y a·62+b·6=____, ¿cuál es el resto de la división de P(x) entre x-6?

Los números reales

26 -

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NOMBRE: _________________________

FECHA:

Halla una raíz entera del polinomio _________________________

Halla la descomposición factorial de _________________________

El polinomio ____________________ tiene por raíces ____ y ____. ¿Cuál es la otra raíz?

Las raíces de un polinomio de grado 3 son ____, ______ y ______; su coeficiente de grado 3 es ______. Calcula el valor numérico del polinomio en _______.

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FECHA:

Para practicar más

Halla la expresión algebraica de un número de tres cifras si la cifra de las unidades es 4 veces la cifra de las decenas.

10.

Descomponer, aplicando las identidades notables, los polinomio: a) x4-72x2+362 b) x4-16

¿Cuál es el grado de 2x5-x3+3x2? ¿Su coeficiente de grado 3? ¿y el de grado 2? Calcula su valor numérico en x=2

11.

a) 3x2-10x+3

Halla P(x)-3·Q(x) siendo P(x)=4x2+4x y Q(x)=6x2+2x.

b) x2-4x+5

12.

Multiplica los polinomios

Descomponer los siguientes polinomios, si es posible, aplicando la ecuación de segundo grado.

P(x)=-3x +4x -x-2 y Q(x)=-x +7.

Simplifica las algebraicas

siguientes

fracciones

x2 + 8x + 16 3x + 12 3x2 − 12 b) 2 x − 4x + 4 4x2 + 4x + 1 c) 12x2 − 3 a)

Halla el cociente y el resto de la división de x3+2x2+5x-7 entre –x2+x-1.

Haz la división de x3+4x2+2x-3 entre x–2 con la regla de Ruffini.

Aplica el teorema del resto para calcular el resto de la división de 2x3-2x2+x-7 entre x-5.

Saca factor común en 12x12+24x10

14.

Halla la descomposición en factores primos de los siguientes polinomios a) 3x8-39x7+162x6-216x5

a) Halla m para que x3+mx2-2mx+6 sea divisible por x+2 b) Halla m para que x3+mx2-8mx+4 sea divisible por x-1.

13.

b) 3x9+12x8+15x7+6x6

15.

Un polinomio de grado 3 tiene por raíces –5, 7 y 1. Halla su descomposición factorial sabiendo que su valor en 2 es 128.

16.

¿Cómo realizas mentalmente el cálculo de 232-222?

Efectúa las potencias a) (3x+2)2 b) (2x-4)2 c) (x-5)2

Polinomios

28 -

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FECHA:

Ecuaciones e inecuaciones Contenidos 1. Ecuaciones Elementos de una ecuación Solución de una ecuación 2. Ecuaciones de primer grado Solución Aplicaciones 3. Ecuaciones de segundo grado Solución Incompletas Número de soluciones Aplicaciones 4. Otro tipo de ecuaciones Bicuadradas Tipo (x-a)·(x-b)·...=0 Ensayo-error. Bisección 5. Inecuaciones con una incógnita Definición Inecuaciones de grado una Inecuaciones de grado dos

Objetivos •

Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

•

Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas.

•

Identificar y resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

•

Aplicar las ecuaciones e inecuaciones a la resolución de problemas de la vida real.

Autor: José Luis Alcón Camas

Ecuaciones e inecuaciones

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar Piensa... (Completa el enunciado del problema que aparece en la escena de la derecha y trata de resolverlo. Comprueba la solución en la escena): Encuentra un número tal que el ____ de dicho número más ___ sea igual a _____ veces el propio número.

Pulsa

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1. Ecuaciones 1.a. Elementos de una ecuación Lee el texto de pantalla en el que se explican algunos conceptos relativos a las ecuaciones. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es una incógnita en una ecuación?

¿Qué es un miembro de una ecuación?

¿Qué es un término de una ecuación?

¿Cuál es el grado de una ecuación?

Distingue los elementos de esta ecuación:

Incógnita: Primer miembro:

________________ = _______________

Segundo miembro: Términos: Grado:

Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios.

Cuando hayas comprendido estos conceptos…

Ecuaciones e inecuaciones

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FECHA:

1.b. Solución de una ecuación Lee el texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es una solución de una ecuación? ¿Cuándo es compatible una ecuación? ¿Cuándo es incompatible una ecuación? ¿Cuándo se dice que dos ecuaciones son equivalentes? Ejemplos Observa varios ejemplos de los situados en la escena de la derecha y completa según el caso.

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para resolver unos ejercicios.

Se abre una ventana con una escena en la que aparece un ejercicio propuesto. Introduce tu solución en los recuadros destinados a ello y pulsa “Ver solución” para comprobar si lo has hecho bien.

EJERCICIOS de Refuerzo A. Escribe una ecuación de la forma ax = c que sea equivalente a 5x+7=27 B. Escribe una ecuación de la forma x ± b = c que sea equivalente a 3x – 21 = –42 C. Escribe una ecuación de la forma ax+b=c cuya solución sea x = 7 D. Comprueba si x = –5 es solución de la ecuación 7(9x–2) –2x = –8x + 55 Cuando hayas comprendido estos conceptos… Ecuaciones e inecuaciones

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2. Ecuaciones de primer grado 2.a. Solución Lee el texto de pantalla y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuál es la forma general de las ecuaciones de primer grado? Escribe la fórmula general de la solución de una ecuación de primer grado:

Ejemplos: Observa varios ejemplos de los situado en la escena de la derecha y completa uno sin y otro con denominadores. Ecuación de primer grado sin denominadores

Ecuación de primer grado con denominadores

Ecuaciones e inecuaciones

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 4 ecuaciones de las que se proponen. Copia el enunciado de cada ecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Es muy importante que primero las resuelvas en el cuaderno y después compruebes la solución para ver si lo has entendido bien. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Resuelve la ecuación

Resuelve la ecuación

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Resuelve la ecuación

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2.b. Aplicaciones. Resolución de problemas Lee detenidamente el proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuaciones. COMPLETA: Comienza por ____________________________ hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. ______________________________________ las condiciones del enunciado y después ___________________________________. Una vez resuelta la ecuación ____________________________. Ecuaciones e inecuaciones

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En la escena de la derecha puedes ver ejemplos de tres tipos de problemas (GEOMETRÍA, MEZCLAS y NÚMEROS). Ejemplos Pulsa sobre

y continua con

para ver como se hace.

Y “< volver” para volver al menú. Para otros ejemplos del mismo tipo: Resolución: El perímetro de un triángulo isósceles es ______ . Cada uno de los lados iguales mide _______ más que la mitad de los que mide el lado desigual. Calcula la medida de los tres lados del triángulo.

Resolución: Dos clases de café (natural y torrefacto) se mezclan para obtener un saco de _____ . Si el kilo de café natural cuesta ____ , el kilo de café torrefacto _____ y la mezcla _____ el kilo, ¿cuántos kilos de cada clase de café contiene la mezcla?

Resolución: Halla tres números consecutivos cuya suma sea _______ .

Ecuaciones e inecuaciones

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 8 problemas de los que se proponen (en total hay 11 enunciados diferentes). En escena aparece un enunciado que tienes que buscar en los recuadros siguientes y completarlo. Después debes resolverlo y finalmente comprobar la solución para ver si lo has resuelto correctamente. Problema 1: Problema 2: Tenemos ___ piedras y queremos hacer dos Juan tiene ___ cromos más que Pedro. Si montones, de forma que uno tenga el triple Juan le da ___ de sus cromos a Pedro, Pedro de piedras que el otro.¿Cuántas piedras tendrá cuatro veces más cromos que Juan . tendrá cada montón? ¿Cuántos cromos tiene cada uno?

Problema 3: Un ciclista sale de una ciudad a una velocidad de ___ km/h y ___ horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a ___ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al ciclista?

Problema 4:

Problema 5: Miguel tiene ___años más que Juan y dentro de __ años, entre los dos sumarán ___ años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Problema 6: ¿Qué edad tengo ahora si hace __ años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de ___ años.?

Ecuaciones e inecuaciones

Una parcela de forma rectangular tiene un perímetro de ___ m. Si el ancho mide ___ m más que el largo, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

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Problema 7: El precio de un anillo y su estuche es de ___€ y el anillo vale ___ € más que el estuche. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

FECHA:

Problema 8: La suma de dos números es ___ si un número es la mitad de otro. ¿Qué números son?

EJERCICIOS 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones: −7x + 5 9x − 7 a) + = −1 7 8 b)

2x − (x + 1) 5x + 2 = 4 6

3x − 7(x + 1) 2x − 1 = −2 6 3

2x − 5 −2x + 8 − =x 3 7

6x − (x − 8) −2x − 17 = +x 6 3

La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años ¿Cuál es la edad de cada uno?

¿Cuántos litros de vino de 5€ el litro deben mezclarse con vino de 3€ el litro para obtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4€ el litro?

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Ecuaciones e inecuaciones

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3. Ecuaciones de segundo grado 3.a. Solución Lee el texto de pantalla y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuál es la forma general de las ecuaciones de segundo grado? Escribe la fórmula general para resolver ecuaciones de 2º grado:

x =

Ejemplo: Completa a continuación uno de los que aparecen en la escena de la derecha:

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 ecuaciones de las que se proponen. Copia el enunciado de cada ecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Primero resuélvelas y después comprueba la solución para ver si lo has entendido bien. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Resuelve la ecuación

Resuelve la ecuación

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3.b. Incompletas Lee el texto de pantalla y COMPLETA: La ecuación de segundo grado del tipo ax2+bx=0, se resuelve _____________________ __________________________________________________________________________

La ecuación de segundo grado del tipo ax2+c=0, se resuelve _____________________ __________________________________________________________________________

Ejemplos: Completa a continuación uno de cada tipo de los que aparecen en la escena de la derecha:

Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 ecuaciones de las que se proponen (una de cada tipo). Copia el enunciado de cada ecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Primero resuélvelas y después comprueba la solución para ver si lo has entendido bien. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Resuelve la ecuación

Resuelve la ecuación

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Ecuaciones e inecuaciones

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3.c. Discriminante. Números de soluciones Lee el texto de pantalla y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuál es el discriminante de una ecuación de segundo grado? Completa la siguiente tabla con el nº de soluciones en función del signo del discriminante: Discriminante

Nº de soluciones

Ejemplos: Completa a continuación dos de los que aparecen en la escena de la derecha: Ecuación:

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Ecuación:

para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 de los ejercicios propuestos. Copia el enunciado de cada ecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Primero resuélvelas y después comprueba la solución para ver si lo has hecho bien. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Indica sin resolver el número Indica sin resolver el número de raíces distintas que tiene de raíces distintas que tiene la ecuación: la ecuación:

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Ecuaciones e inecuaciones

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FECHA:

3.d. Aplicaciones. Problemas Lee detenidamente el proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuaciones. COMPLETA: Comienza por ____________________________ hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. ______________________________________ las condiciones del enunciado y después ___________________________________. Una vez resuelta la ecuación ____________________________. Puede ocurrir que _______________________________. En la escena de la derecha puedes ver ejemplos de tres tipos de problemas (CAMINOS, GEOMETRÍA y NÚMEROS). Ejemplos Pulsa sobre

y continua con

para ver como se hace.

Y “< volver” para volver al menú. Para otros ejemplos del mismo tipo: Resolución: En un parque nacional hay casetas forestales unidas todas por senderos. Si el número de senderos es ______ . ¿Cuántas casetas forestales hay?

Resolución: Para construir una caja cúbica se han empleado ________ de cartón. Determina la longitud de las aristas de la caja.

Ecuaciones e inecuaciones

12 -

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FECHA:

Resolución: Descompón ___ en la suma de dos números de manera que el producto de esos dos números sea ____ .

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve los siguientes 6 problemas que se proponen. En escena aparece un enunciado que tienes que buscar en los recuadros siguientes y completarlo. Después debes resolverlo y finalmente comprobar la solución para ver si lo has resuelto correctamente. Problema 1: Problema 2: El producto de un número positivo por el La ________ del cuadrado de un número ________ de ese mismo número es ____. con _______________ ese mismo número ¿Qué número es? es ___.¿Qué número es?

Problema 3: ______ tiene el ______ de edad que ______. Si multiplicamos sus edades obtenemos el número ___.¿Qué edad tiene cada uno?

Ecuaciones e inecuaciones

Problema 4: El producto de las edades de ________ y su hermano que tiene ______ años ______ que ____ es ____.¿Cuántos años tienen ambos?

13 -

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Problema 5: Para vallar una finca rectangular de _____ m² se utilizan __________ m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca.

FECHA:

Problema 6: La diagonal de un rectángulo mide ___ m. Halla sus dimensiones si un cateto mide _____ cm _____ que el otro.

EJERCICIOS 4.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a) x2 − 7x + 10 = 0 b) 3x2 + 17x + 20 = 0 c) 3x2 + 5x + 4 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) x2 − 6x = 0 b) x2 + 27x = 0 c) 3x2 + 5x = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) x2 − 36 = 0 b) 4x2 − 9 = 0 c) x2 + 9 = 0

Indica sin resolver cuántas soluciones tiene la ecuación: x2 + 7x − 11 = 0

Para construir una caja cúbica se han empleado 96 cm2 de cartón. Determina la longitud de las aristas de la caja.

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FECHA:

4. Otro tipo de ecuaciones 4.a. Bicuadradas Lee el texto de pantalla y COMPLETA: Una ecuación bicuadrada es una _______________que se puede expresar de la forma _____________________, con a, b y c números reales y a≠0. Lee detenidamente el método que se debe seguir para resolver este tipo de ecuaciones y observa ejemplos en la escena de la derecha Ejemplo: Completa a continuación uno de los que aparecen en la escena:

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 ecuaciones de las que se proponen. Copia el enunciado de cada ecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Después comprueba la solución. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Resuelve la ecuación

Resuelve la ecuación

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FECHA:

4.b. Tipo (x-a)·(x-b)·....=0 Lee el texto de pantalla y COMPLETA: Para calcular la solución de este tipo de ecuaciones _________________________________ _________________________________________________________________________ (x–a)·(x–b)·(x–c)=0

Ejemplo: Completa a continuación dos de los que aparecen en la escena de la derecha:

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve la ecuación

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Ecuaciones e inecuaciones

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FECHA:

4.c. Ensayo-error. Bisección Lee el texto e intenta comprenderlo, ayúdate del ejemplo para completar el texto: Paso 1: __________________________________________________________________ . Paso 2: __________________________________________________________________ . Paso 3: __________________________________________________________________ . Paso 4: __________________________________________________________________ . Ejemplo: Completa a continuación uno de los que aparecen en la escena:

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EJERCICIOS 9.

10.

Resuelve las ecuaciones: a) x4 - 25x2 + 144 = 0 b) x4 + 9x2 – 162 = 0 c) x4 - 8x2 + 15 = 0 d) x4 + 9x2 + 14 = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x − 2)(x + 3) = 0 b) (3x − 1)(x − 5) = 0 c) (3x − 2)(x + 6) = 0 d) (3x + 1)(7x − 5) = 0

11.

Resuelve la siguiente ecuación por el método de bisección: x3 + 2x + 1 = 0

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Ecuaciones e inecuaciones

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FECHA:

5. Inecuaciones con una incógnita 5.a. Definición. Propiedades Lee el texto de pantalla. Para comprender mejor los conceptos de desigualdad, inecuación, solución, propiedades de las desigualdades,… debes leer paso a paso el contenido de la escena de la derecha. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es una desigualdad? ¿Cuáles son los símbolos que se utilizan en las desigualdades? En la escena pulsa

para seguir leyendo las explicaciones, y sigue respondiendo…

¿Cómo pueden ser las desigualdades? ¿Cómo son estas desigualdades: 2<3

2>3

x<5

¿A qué llamamos miembros de una desigualdad? Pulsa

… y sigue respondiendo…

¿Qué es una inecuación? ¿Qué es una inecuación polinómica? Pon un ejemplo de inecuación polinómica de primer grado Pon un ejemplo de inecuación polinómica de segundo grado Pulsa

… y sigue respondiendo…

¿Qué es resolver una inecuación? ¿Cuántas soluciones suele tener una inecuación? Pulsa

Escribe las propiedades y un ejemplo de cada una…

1.-

2.-

3.-

Pulsa

Ecuaciones e inecuaciones

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18 -

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FECHA:

5.b. Inecuaciones de primer grado Lee el texto de pantalla y COMPLETA: Para resolver una inecuación de primer grado,_____________________________________ ________________________________________________________________________: Inecuación

Solución

Ejemplos: Completa a continuación dos de los que aparecen en la escena de la derecha.

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para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 inecuaciones de las que se proponen. Copia el enunciado de cada inecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Después comprueba la solución. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Resuelve la inecuación

Resuelve la inecuación

Pulsa Ecuaciones e inecuaciones

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19 -

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FECHA:

5.c. Inecuaciones de segundo grado Lee el texto de pantalla y COMPLETA: Una inecuación de segundo grado con una incógnita es ________________________ que se puede expresar en la forma ________________, con a≠0, y a, b, c números reales. Para resolverla, __________________________________. La solución, si tiene, será alguno o algunos de los intervalos ______________________________________ con x1< x2 Para saber si un intervalo es de la solución _______________________________________ _________________________________________________________________________

Ejemplos: Completa a continuación dos de los que aparecen en la escena de la derecha.

Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 inecuaciones de las que se proponen. Copia el enunciado de cada inecuación y resuélvela en los recuadros siguientes. Después comprueba la solución. Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Resuelve la inecuación

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Ecuaciones e inecuaciones

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20 -

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Ecuaciones Una ecuación es

Cada parte al lado del igual

Incógnita es

Llamamos términos a

Y el grado es

Ecuaciones de primer grado y segundo grado completas La solución de una ecuación de primer grado El discriminante es

Hay dos soluciones cuando

∆= Hay una solución cuando

Las soluciones de una ecuación de segundo grado vienen dadas por:

No hay solución cuando

Ecuaciones segundo grado incompletas y bicuadradas Las incompletas de tipo 1 se resuelven

Las incompletas de tipo 2 se resuelven

La ecuación bicuadrada se soluciona

Inecuaciones Las soluciones en una inecuación de primer grado vienen por:

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Ecuaciones e inecuaciones

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21 -

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: • • •

Ecuaciones de primer grado. Problemas Ecuaciones de segundo grado. Problemas Inecuaciones

Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de Ecuaciones de primer grado. Problemas.

Ecuaciones 1.

Resolver la ecuación

Ecuaciones e inecuaciones

22 -

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FECHA:

Problemas Aparece el enunciado de un problema. Cópialo en el primer recuadro y resuélvelo en el espacio reservado para ello. Después comprueba en el ordenador si los has hecho bien. Pulsando en “ Otro Ejercicio” aparecerán otros enunciados. Resuelve un mínimo de ocho problemas procurando que los enunciados sean diferentes (en total hay 12 enunciados diferentes). 4.

Ecuaciones e inecuaciones

23 -

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

10.

11.

Pulsa Ecuaciones e inecuaciones

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24 -

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Los siguientes EJERCICIOS son de Ecuaciones de segundo grado. Problemas.

Ecuaciones 12. Resolver la ecuación

13. Resolver la ecuación

14. Resolver la ecuación

15. Resolver la ecuación

16. Resolver la ecuación

17. Resolver la ecuación

Ecuaciones e inecuaciones

25 -

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Problemas Pulsando en “ Otro Ejercicio” aparecerán otros enunciados. Resuelve un mínimo de cuatro problemas procurando que los enunciados sean diferentes. 18.

19.

20.

21.

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Ecuaciones e inecuaciones

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26 -

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FECHA:

Los siguientes EJERCICIOS son de Inecuaciones. Primer grado 22. Resolver la inecuación

23. Resolver la inecuación

24. Resolver la inecuación

Segundo grado 25. Resolver la inecuación

26. Resolver la inecuación

27. Resolver la inecuación

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Ecuaciones e inecuaciones

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27 -

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FECHA:

Resuelve la ecuación:

Encuentra un número sabiendo que si a dicho número le sumo ___________ el consecutivo el resultado es igual a __________. Encuentra dos números naturales consecutivos, de forma que su producto sea _______.

Resuelve la ecuación:

Resuelve utilizando el método de bisección la ecuación _________________________ (Da la solución con una cifra decimal exacta)

Resuelve sin aplicar la fórmula general:

Ecuaciones e inecuaciones

28 -

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FECHA:

Para practicar más 1. Obtén la solución de las siguientes ecuaciones:

6. Resuelve las inecuaciones: a) x2 – 5x + 6 < 0

x −1 x + 3 − =1 2 3

b) –2x2 + 18x – 36 > 0

x−3 − 3(x + 2) = −20 2

d) 3x2 – 18x + 15 ≤ 0

2 − 2(x − 3) x + 4 − =3 2 4

4(x + 1) x+3 +x− = 5 + 3(x − 2) 2 3

c) x2 + 2x – 8 ≥ 0

7. Encuentra dos números consecutivos que sumen 71. 8. Encuentra un número tal que sumado con su triple sea igual a 100.

2. Resuelve las ecuaciones: a) -6x2 – 7x + 155 = -8x b) 3x2 + 8x + 14 = -5x

9. ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tenía hace 8 años?

c) (x-6)(x-10)=60 d) (x+10)(x-9)=-78 3. Resuelve las ecuaciones:

10. Juan tiene 12 años menos que María, dentro de 4 años María tendrá el triple de la edad de Juan ¿cuántos años tienen ahora?

a) x4 – 24x2 + 144 = 0 b) x4 + 14x2 – 72 = 0 c) x4 – 81 = 0

11. Para vallar una parcela rectangular de 240 m2 se emplean 62 m de cerca. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

d) (x2 – 8)(x2 – 1) = 8 4. Resuelve las ecuaciones:

12. La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 25, ¿cuáles son?

a) (x + 3)(2x − 5) = 0 b) (5x + 3)(2x − 8) = 0 c) (x–2)(2–3x)(4+x) = 0

13. Al sumar una fracción de denominador 3 con su inversa se obtiene 109/30, ¿cuál es la fracción?

d) x(x+3)(2x+1) = 0 5. Resuelve las inecuaciones:

14. El cuadrado de un número más 6 es igual a 5 veces el propio número, ¿qué número es?

a) 3(x–1)+2x < x+1 b) 2 – 2(x–3) ≥ 3(x–3) – 8 c) 2(x+3)+3(x+1) > 24

15. Busca un número positivo tal que 6 veces su cuarta potencia más 7 veces su cuadrado sea igual a 124.

d) 3x≤ 12 – 2(x+1) 16. Encuentra m para que x2–mx+121=0 tenga una solución doble.

Ecuaciones e inecuaciones

29 -

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Sistemas de ecuaciones Contenidos 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas 2. Métodos de resolución Reducción Sustitución Igualación 3. Aplicaciones prácticas Resolución de problemas 4. Sistemas de inecuaciones con una incógnita Resolución

Objetivos •

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por los distintos métodos.

•

Identificar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

•

Utilizar los sistemas de ecuaciones para plantear y resolver problemas.

•

Resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Sistemas de ecuaciones

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

Antes de empezar Lee en la escena el texto y trata de plantear las ecuaciones y de buscar la solución. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos (Escribe aquí tu solución)

Pulsa: Solución

… y comprueba si lo has hecho bien. Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.a. Ecuación lineal con dos incógnitas Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO. Contesta: Respuestas ¿Cuál es el grado de las ecuaciones lineales? ¿Cuál es la expresión general de una ecuación lineal con dos incógnitas? ¿Qué es una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas? ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas? ¿Qué tipo de línea forman las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas si las representamos gráficamente? Copia cuatro de los ejemplos que aparecen en la escena en los siguientes recuadros y haz la gráfica de la recta que forman las soluciones de cada una de las ecuaciones: Ecuación: x

Ecuación: y

Sistemas de ecuaciones

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NOMBRE: ____________________________

Ecuación: x

FECHA:

Ecuación: y

Cuando hayas comprendido bien el concepto …

Pulsa en

para hacer ejercicios.

EJERCICIO: Completa a continuación tres de los enunciados que aparecen en esa escena de ejercicios y resuélvelos. Después comprueba la solución en la escena: Soluciones Halla una solución (x,y) de la ecuación __________ sabiendo que _______ Razona si x =

,y=

¿Cuánto vale “c” si x =

es una solución de la ecuación: __________ ,y=

es una solución de la ecuación:__________

Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien el concepto de solución de una ecuación lineal con dos incógnitas. Cuando acabes … Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.b. Sistemas de ecuaciones lineales Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO: Completa: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ____________________________ __________________________________________________________________________ Fórmula general de un sistema de dos ecuaciones Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es _____________ __________________________________________________________________________ Copia dos ejemplos de los que aparecen en la escena y haz la gráfica de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones e indica cuál es la solución del sistema: Sistemas de ecuaciones

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Sistema:

NOMBRE: ____________________________

  

FECHA:

Gráfica

Ec. 1:

Ec. 2:

y= Solución del sistema x

( , )

Sistema:

  

Gráfica

Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

Solución del sistema x

( , )

Cuando hayas comprendido bien el concepto …

Pulsa en

para hacer ejercicios.

Completa a continuación tres de los enunciados que aparecen en esa escena de ejercicios y resuélvelos. Después comprueba la solución en la escena: Soluciones Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sea: x = , y =

    Haz una tabla de valores y da la solución del sistema:   Razona si x =

,y=

  

es una solución del sistema:

x y

Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien el concepto de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Cuando acabes … Pulsa

Sistemas de ecuaciones

para ir a la página siguiente.

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

1.c. Clasificación de sistemas Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. Aprende cómo se llaman los sistemas dependiendo del número de soluciones que tienen y como son en cada caso las rectas que forman las soluciones correspondientes a cada una de las ecuaciones que lo forman. EJERCICIO: Contesta: ¿Cómo se llama un sistema que tiene una única solución? ¿Cómo son las rectas que lo forman? ¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones? ¿Cómo son las rectas que lo forman? ¿Cómo se llama un sistema que no tiene solución? ¿Cómo son las rectas que lo forman?

Respuestas

En la escena de la derecha elige la opción: Sistema:

  

Ec. 1:

Gráfica

Ec. 2:

Las rectas son:

= x

¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

En la escena de la derecha elige la opción: Sistema: Ec. 1:

   Ec. 2:

Las rectas son:

= x

Sistemas de ecuaciones

¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

En la escena de la derecha elige la opción: Sistema: Ec. 1:

   Ec. 2:

Las rectas son:

= x

¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

Cuando hayas comprendido bien el concepto …

para hacer ejercicios.

Pulsa en

Completa a continuación tres de los enunciados que aparecen en esa escena de ejercicios y resuélvelos. Después comprueba la solución en la escena: Soluciones Calcula a y b para que el sistema

Calcula a y b para que el sistema

        

sea Compatible Determinado

sea Compatible Indeterminado

sea Incompatible

a= b= a= b= a= b=

Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien la relación entre el número de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y su clasificación.

EJERCICIOS 1.

3x + 2y = 17 Dado el sistema:  , razona si los siguientes pares son solución. 5x − y = 11 a) x=3 , y=4

x=3 , y=1

x=2 , y=3

Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea: a) x=1 , y=2

b) x=5 , y=1 b) x=3 , y=1

3x + 2y = 8 Haz una tabla de valores y da la solución del sistema:  5x − y = 9 Escribe una ecuación para completar con la x – y = 1, un sistema que sea: a) Compatible determinado b) Incompatible c) Compatible indeterminado Cuando acabes … Pulsa

Sistemas de ecuaciones

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

2. Métodos de resolución 2.a. Reducción Lee en la pantalla en qué consiste el método de reducción. EJERCICIO: Completa: Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, ______ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de reducción paso a paso. Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena.

Resolver el sistema:

Paso 1:

  

Multiplicar la primera ecuación por Multiplicar la segunda ecuación por Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra

Paso 2:

Sustituir

Paso 3:

Despejar la

en la

ecuación

Paso 4: Dar la solución

Observa que puedes cambiar la letra que se reduce y que puedes utilizar cualquiera de las dos ecuaciones a la hora de sustituir para hallar el valor de la otra incógnita. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método.

Sistemas de ecuaciones

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NOMBRE: ____________________________ Después…

Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro.

Pulsa en

Resolver el sistema por reducción:

FECHA:

para hacer ejercicios.

  

Multiplicar la primera ecuación por Multiplicar la segunda ecuación por Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra

Después pulsa Solución para comprobar

Sustituir el valor de

en la ecuación x= y=

Pulsa Resolver el sistema por reducción:

OTRO EJEMPLO Y resuélvelo del mismo modo: Primero en el papel y después comprueba la solución.

  

Multiplicar la primera ecuación por Multiplicar la segunda ecuación por Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra

Sustituir el valor de

en la ecuación x= y=

Haz varios ejemplos. Cuando acabes …

Sistemas de ecuaciones

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FECHA:

2.b. Sustitución Lee en la pantalla en qué consiste el método de sustitución. EJERCICIO: Completa: Para resolver un sistema por el método de sustitución _______________________________ __________________________________________________________________________ En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de sustitución paso a paso. Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena. Resolver el sistema:

  

Paso 1:

Despejar la letra en la ecuación

Paso 2:

Sustituir la letra en la ecuación

Paso 3:

Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular la

Sustituyendo en la ecuación despejada Paso 5: Dar la solución

Observa que podrías empezar despejando la misma letra en la otra ecuación o la otra letra en cualquiera de las ecuaciones y siempre obtendrías el mismo resultado. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método. Después… Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Pulsa en

Resolver el sistema por sustitución:

Se despeja la

para hacer ejercicios.

  

en la

ecuación …

Resuélvelo en este recuadro. Después pulsa Solución para comprobar Haz varios ejemplos. Cuando acabes … Pulsa

Sistemas de ecuaciones

Solución:

x= y=

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

2.c. Igualación Lee en la pantalla en qué consiste el método de igualación. EJERCICIO: Completa: Para resolver un sistema por el método de igualación _______________________________ __________________________________________________________________________ En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de igualación paso a paso. Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena.

Resolver el sistema:

  

Paso 1:

Despejar la letra las dos ecuaciones

Paso 2:

Igualar las dos ecuaciones despejadas

Paso 3:

Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular la

sustituyendo en la ecuación despejada Paso 5: Dar la solución

Observa que podrías empezar despejando la otra letra en las dos ecuaciones y obtendrías el mismo resultado. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método. Después… Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Pulsa en

Resolver el sistema por igualación:

Se despeja la

para hacer ejercicios.

  

en las dos ecuaciones…

Resuélvelo en este recuadro. Después pulsa Solución para comprobar

Sistemas de ecuaciones

Solución:

x= y=

10 -

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

EJERCICIOS 5.

Resuelve por sustitución:  x + 4y = −25 − 10x − 5y = 5

a) 

 3x + 5y = 45 − 4x − y = −43

b)  6.

Resuelve por igualación: − 4x + y = 20  6x − 9y = 0

a) 

− 3x − 4y = 31  5x − 9y = 11

b)  7.

Resuelve por reducción: 5x − 10y = 25  8x + 2y = 4

a) 

5x + 3y = 21 7x + 8y = 37

b) 

 x y 22  − = Resuelve  3 5 15 7x − 7y = 28 

EJERCICIOS de Refuerzo Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado en cada caso:

2x − 3y = 0 a)  3x + y = 11

3x − 2y = 1 d)  2x + 5y = −12

x − 5y = 11 b)  − 2x + 7y = −19

2x + 5y = −2 e)  4x − 3y = 9

− 2x + y = 2 c)  4x + 5y = 17

4x + 3y = 3  2x + 9y = 4

Cuando acabes …

Sistemas de ecuaciones

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11 -

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

3. Aplicaciones prácticas 3.a. Resolución de problemas Lee el texto de pantalla: “Para resolver un problema mediante un sistema...” Ejemplos. En la escena puedes ver ejemplos de problemas de tres tipos Pulsa sobre

y continua con

para ver como se hace.

“< volver” para volver al menú. Para otros ejemplos del mismo tipo:

a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo EDADES.

b) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo GEOMETRÍA.

c) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MÓVILES.

Sistemas de ecuaciones

12 -

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NOMBRE: ____________________________ Después…

Pulsa en

FECHA:

para hacer ejercicios.

En la escena irán apareciendo diferentes problemas. Busca seis enunciados que comiencen con las frases que se indican a continuación. Complétalos y resuélvelos (utiliza el método que consideres más adecuado en cada uno de ellos). Después comprueba si lo has hecho bien. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Hallar dos números sabiendo que _________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Paco tiene en su monedero ______________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

Al dividir un número entre otro ___________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

La base de un rectángulo mide ___________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

Sistemas de ecuaciones

Solución:

13 -

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FECHA:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

En una clase _________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Salvador ha hecho un examen que ________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

EJERCICIOS 10.

Jorge tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 20 billetes y 440€ ¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?

11.

En un examen de 100 preguntas Ana ha dejado sin contestar 9 y ha obtenido 574 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se restan 2 puntos, ¿cuántas ha contestado bien y cuántas mal?

12.

En una curso hay 70 alumnos matriculados. En el último examen de Matemáticas han aprobado 39 alumnos, el 70% de las chicas y el 50% de los chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en el curso?

13.

Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es dos. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es 54, ¿de qué números se trata?

Sistemas de ecuaciones

14 -

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FECHA:

4. Sistemas de inecuaciones con una incógnita 4.a. Resolución Lee el texto de pantalla y COMPLETA: Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita __________________________ _________________________________________________________________________. Observa el ejemplo. En la escena de la derecha aparecen más ejemplos de resolución de sistemas de dos inecuaciones con una incógnita. Copia uno de esos ejemplos en el siguiente recuadro:

Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios.

Resuelve al menos 2 sistemas de los que se proponen.

EJERCICIOS 16x − 9 < 19x  15x + 20 ≥ 5x

14.

Resuelve:

15.

Resuelve: 

16.

Resuelve: 

− 11x < 3x − 28 14x + 42 ≥ 16x 3(2x + 5) < x 13x ≤ 16x − 18

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15 -

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN

Ecuación de primer grado con dos incógnitas: ____________

Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

  

• Métodos de resolución:

• •

Método de sustitución:

Método de igualación:

Método de reducción:

Sistemas de inecuaciones:

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16 -

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: • •

Sistemas de ecuaciones. Problemas Sistemas de inecuaciones. Problemas

  

Por IGUALACIÓN 3.

  

Sistemas de ecuaciones

17 -

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NOMBRE: ____________________________

FECHA:

  

Por REDUCCIÓN 5.

  

RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS Aparece el enunciado de un problema. Cópialos en el primer recuadro y resuélvelo en el espacio reservado para ello. Después comprueba en el ordenador si los has hecho bien. Pulsando en “ Otro Ejercicio” aparecerán otros enunciados. Resuelve un mínimo de cinco problemas procurando que los enunciados sean diferentes (en total hay 11 enunciados diferentes). 7.

Resolución:

Sistemas de ecuaciones

18 -

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FECHA:

Resoluci贸n:

10.

Resoluci贸n:

Sistemas de ecuaciones

19 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 5

NOMBRE: ____________________________

FECHA:

11.

Resolución:

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Los siguientes EJERCICIOS son de Sistemas de inecuaciones. Problemas. Resolver un mínimo de cuatro sistemas de inecuaciones de los cuales al menos dos tengan alguna inecuación de 2º grado y al menos uno esté formado por tres inecuaciones: 12.

  

13.

  

14.

  

Sistemas de ecuaciones

20 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 5

15.

NOMBRE: ____________________________

FECHA:

  

Resolver problemas con sistemas de inecuaciones Pulsando en “ Otro Ejercicio” aparecerán otros enunciados. Resuelve un mínimo de tres problemas procurando que los enunciados sean diferentes. 16.

Resolución:

17.

Resolución:

18.

Resolución:

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Sistemas de ecuaciones

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21 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 5

NOMBRE: ____________________________

FECHA:

Halla el valor de a para que el sistema siguiente sea compatible indeterminado.

  

Resuelve el sistema de inecuaciones:

Escribe una solución de la ecuación: ___________

Resuelve por reducción:

  

Resuelve por sustitución:

Resuelve por igualación:

     

Halla dos números _________________ sea ___ y ______________ sea ____ .

Indica de que tipo es el sistema:

  

Halla las dimensiones de un rectángulo de perímetro ________ si ____________________ _______________.

Sistemas de ecuaciones

22 -

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar más 1. Calcula el valor de c para que la solución de la ecuación, x + 7y = c sea: a) x = 1 , y = 2 b) x = 3 , y = −3 c) x = 5 , y = 0

6. Resuelve gráficamente sistemas:

los siguientes

x + y = 6 a)  2x + 2y = 12 x + y = 8 b)  x − y = 2

d) x = −2 , y = 3 7. Resuelve por reducción: 2. Halla una solución (x, y) de la ecuación −4x + y = 17 sabiendo que: a) x = 1 b) y = −7

3. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución: a) x = 4 , y = −3 b) x = 1 , y = −2

2x + y = 15 a)  x − 2y = −15  −7x + 6y = −29 b)  x + 3y = 8

8. Resuelve por sustitución:

x − 12y = 1 a)   −4x − 9y = 15 x + 6y = 3 b)   −9x + 2y = −83

c) x = 0 , y = 5 d) x = 1 , y = 1

4. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que: a) tenga infinitas soluciones b) tenga una sola solución c) no tenga solución

5. Razona si el punto (x, y) es solución del sistema:

2x + 3y = 18 a) x = 3 , y = 4 →  3x + 4y = 24 5x − 3y = −1 b) x = 1 , y = 2 →  3x + 4y = 11

Sistemas de ecuaciones

9. Resuelve por igualación:

x − 2y = 17 a)  7x − 6y = 47 x − 4y = 32 b)  x − 3y = −17 x − 2y = −14 c)  x + 4y = 4

10. Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado: −3 x y  − = 8 8 8x + 5y = 33 

x y 3  − =− 4 5 4x − 2y = 12 

b)  4

8 x y =  + 3 3 7x + 3y = 34 

d)  9

a)  5

c)  2

4 x y =  − 2 9 5x − 7y = 20 

23 -

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NOMBRE:

11. Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78. 12. Dos números suman 241 y su diferencia es 99. ¿Qué números son? 13. Pedro tiene 335 € en billetes de 5€ y de 10€; si en total tiene 52 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase? 14. En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 92, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?. 15. Se desea mezclar vino de 1 €/litro con vino de 3 €/litro para obtener una mezcla de 1,2 €/litro. ¿Cuántos litros deberemos poner de cada precio para obtener 2000 litros de mezcla? 16. En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan 2 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo? 17. En un parque de atracciones subir a la noria cuesta 1 € y subir a la montaña rusa 4 €. Ana sube un total de 13 veces y gasta 16 €, ¿cuántas veces subió a cada atracción? 18. En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? 19. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es 7 y la diferencia entre el número y el que resulta al intercambiarlas es 27. 20. La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?

Sistemas de ecuaciones

FECHA:

21. María ha comprado un pantalón y un jersey. Los precios de estas prendas suman 77€, pero le han hecho un descuento del 10% en el pantalón y un 20% en el jersey, pagando en total 63’6€. ¿Cuál es el precio sin rebajar de cada prenda? 22. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de los cocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma de los productos es 188. 23. Resuelve los sistemas de inecuaciones: − 3x < 2(−6x + 8) a)  − 16x − 31 ≤ −5x

− 9x ≥ 12x − 28 b)  6(x + 5) < 2x

x2 − 3x ≤ 0 c)  2x − 56 < 11x

16x − 39 < 5x  d) − 4x ≥ 12x − 15 6(2x + 7) ≤ 2x 

24. Rosa quiere comprar globos y serpentinas para adornar la fiesta de fin de curso. Quiere comprar doble número de paquetes de globos que de serpentinas y no quiere comprar menos de 30 paquetes de globos. Si el paquete de serpentinas vale 4€ y el de globos 3€, y además no quiere gastar más de 248€. ¿Cuántos paquetes de serpentinas puede comprar? 25. La piscina del edificio A es un cuadrado y la del edificio B un rectángulo, uno de cuyos lados mide lo mismo que el del cuadrado y otro 6 m. ¿Para qué medidas del lado del cuadrado el perímetro de la piscina del edificio A es mayor que el de la piscina del edificio B? 26. Pedro tiene 87 € para comprar todos los discos de su cantante preferido. Si cada disco costase 23 € no tendría suficiente dinero, pero si costase 15 € entonces le sobraría. ¿Cuántos discos tiene del cantante?

24 -

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Semejanza y trigonometría Contenidos 1. Semejanza. Teorema de Tales. Triángulos semejantes. Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias. 2. Razones trigonométricas. Definición. Relaciones fundamentales. 3. Resolución de triángulos rectángulos. Dos lados. Un cateto y un ángulo agudo. Hipotenusa y un ángulo agudo.

Objetivos •

Reconocer triángulos semejantes.

•

Calcular distancias inaccesibles aplicando la semejanza de triángulos.

•

Nociones básicas de trigonometría.

•

Calcular la medida de todos los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo a partir de dos datos.

Autora: Montserrat Gelis Bosch

Semejanza y trigonometría

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Pulsa en la imagen de la derecha de la pantalla para ver una serie de videos, de unos tres minutos cada uno, con los que verás algunas de las aplicaciones de la trigonometría y la semejanza. “Los misterios de la vida” con Tim y Moby ¿Cómo hacemos a escala algo que queremos dibujar?

Taller de geometría del IES Jaume I de Sagunto: “Tales” Tales midió la altura de una pirámide con la sombra de una estaca.

Taller de geometría del IES Jaume I de Sagunto: “Euclides” Con un espejo se mide la altura de la canasta.

Congreso ICM06. TVE En la naturaleza hay orden y autosemejanza, un pétalo o una rama es igual a todas las demás. Universo Matemático. TVE. “Pitágoras” Una cuerda con 12 nudos era una herramienta para trazar perpendiculares. Universo Matemático. TVE. “Trigonometría” Con cálculos de trigonometría se demostró que la Tierra estaba achatada por los polos. Carl Sagan. “Eratóstenes” Midiendo sombras y ángulos Eratóstenes calculó el Radio de la Tierra hace 2200 años.

El billar La semejanza es la clave para hacer carambola. Puedes pulsar en la imagen para simular el juego. Sigue las instrucciones y prueba tus habilidades. Pulsa

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FECHA:

1. Semejanza 1.a. Teorema de Tales Lee con atención el texto de pantalla. Completa el enunciado del teorema de Tales: Cuando se cortan dos ___________________________ con dos rectas ________________, los segmentos que se obtienen en cada semirrecta guardan la misma __________________.

En la escena de la derecha de la pantalla, mueve los puntos y comprueba que cuando las rectas azules son paralelas, los segmentos que se obtienen son proporcionales.

A partir de la siguiente proporción:

Comprueba que también se cumple:

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Realiza varios ejercicios aplicando el teorema de Tales. En cada ejercicio escribe los valores de la proporción, realiza la división y comprueba el resultado pulsando el botón solución. EJERCICIO: Halla en los casos a) y b) las proporciones

y comprueba el

resultado en el ordenador.

Pulsa

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FECHA:

1.b. Triángulos semejantes Lee en pantalla las condiciones que deben cumplir dos figuras semejantes. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Cómo deben ser los ángulos de dos polígonos semejantes? Si dos triángulos tienen todos los ángulos iguales, ¿podemos afirmar que son semejantes? Si dos cuadriláteros tienen todos los ángulos iguales, ¿qué otra condición deben cumplir para ser semejantes?

RESPUESTAS

Triángulos semejantes Escribe los criterios de semejanza para dos triángulos:

En la escena de la derecha de la pantalla se proponen diversos ejercicios de semejanza. Resuélvelos y comprueba la solución en el ordenador. TEST SOBRE FIGURAS SEMEJANTES a) ¿Son semejantes?

b) Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?

Un triángulo de lados 3, 6 y 7 cm, ¿es semejante a otro cuyos lados miden 9, 36 y 49 cm?

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FECHA:

d) Un cuadrilátero de lados 3, 4, 5 y 6 cm ¿es necesariamente semejante a otro de lados 6, 8, 10 y 12 cm?

e) Un triángulo con un ángulo C=20º y los lados a=6cm y b=15cm y otro con un ángulo C=20º y los lados a=4cm y b=10cm ¿Son semejantes?

Un triángulo con un ángulo C=50º y los lados a=3cm y b=5cm y otro con un ángulo C=100º y los lados a=6cm y b=10cm ¿Son necesariamente semejantes?

g) Dos polígonos regulares con el mismo número de lados, ¿son semejantes?

h) Los lados de dos triángulos miden 3, 6 y 7cm, en uno, y

18 ,

12 2

y 7 2 en otro. ¿Son

semejantes?

Los triángulos de la figura son semejantes, completa el enunciado y halla la medida del lado x. b)

En el mismo lugar y en la misma hora, alturas y sombras definen triángulos semejantes. Completa el enunciado y resuélvelos. Halla la altura del árbol.

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FECHA:

Halla la altura del paseante.

Calcula la sombra del paseante.

Calcula la sombra del árbol.

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1.c. Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, de catetos a y b, y de hipotenusa c, se cumple que

Hay muchas demostraciones de dicho teorema. En la pantalla puedes ver una demostración gráfica del teorema de Pitágoras. En la escena de la derecha puedes ver unos ejemplos en los que se aplica este teorema. Puedes elegir entre varias opciones. Para cada opción, observa primero el ejemplo para ver cómo se resuelve. Moviendo los puntos podrás cambiar las dimensiones de las figuras.

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FECHA:

¿Hipotenusa? Observa primero el ejemplo para ver cómo se resuelve. Moviendo los puntos naranjas podrás modificar el triángulo. Pulsa el botón

y completa las dimensiones de los catetos.

Resuélvelo y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente.

¿Cateto? Observa primero el ejemplo para ver cómo se resuelve. Moviendo los puntos naranjas podrás modificar el triángulo. Pulsa el botón

y completa las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto.

Resuélvelo y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente.

Distancia entre dos puntos Observa primero el ejemplo para ver cómo se resuelve. Moviendo los puntos naranjas podrás cambiar la posición de los dos puntos. Pulsa el botón

y escribe las coordenadas de los dos puntos.

Resuélvelo y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente.

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FECHA:

Ecuación de la circunferencia Observa primero el ejemplo para ver cómo se resuelve. Puedes modificar el centro y el radio. Pulsa el botón

y escribe el radio y las coordenadas del centro.

Resuélvelo y después comprueba en la escena si lo has hecho correctamente.

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1.d. Cálculo de distancias inaccesibles En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones donde es necesario calcular distancias inaccesibles. En la escena de la derecha de la pantalla se proponen cuatro ejemplos de estas situaciones. Pulsa para ver en cada caso como se dibujan los triángulos. Resuélvelos y comprueba el resultado en el ordenador.

Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Calcula la distancia al barco.

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FECHA:

Calcula la distancia entre los árboles A y B

Calcula la profundidad del pozo.

Halla la longitud x del sedal que no está en el agua.

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

2. Razones trigonométricas 2.a. Definición Lee en pantalla la explicación sobre razones trigonométricas. Observa, pulsando sobre la , que dos triángulos rectángulos cuyos catetos mantienen la misma proporción imagen son semejantes. Completa: Llamamos razones trigonométricas a las razones entre _______________ de un triángulo ________________.

Razones trigonométricas

seno

coseno

tangente

Abreviaturas

sen

cos

sen α =

cos α =

tg α =

El seno es el cociente entre el ______________________ y ____________________. El coseno es el cociente entre el ______________________ y ____________________. La tangente es el cociente entre el ______________________ y ____________________. Dibuja los dos triángulos de la escena de la derecha de la pantalla. Elige una razón y observa cómo se obtienen por semejanza las fórmulas de las razones trigonométricas. Puedes modificar las dimensiones del triángulo y el valor del ángulo agudo, observa que sigue cumpliéndose la misma proporción.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Semejanza y trigonometría

10 -

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FECHA:

Realiza los ocho ejercicios propuestos aplicando los conceptos estudiados en el capítulo. En el ejercicio 8 utiliza tu calculadora para calcular las razones trigonométricas de un ángulo dado y también, para hallar un ángulo a partir de las razones trigonométricas. Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.b. Relaciones fundamentales Lee en pantalla la explicación y practica en las escenas la obtención de las relaciones fundamentales de la trigonometría. Antes de empezar lee con atención las indicaciones pulsando el botón Pulsa el botón para ver el triángulo básico con hipotenusa=1 Completa:

tg α =

Para su demostración aplicamos ______________________

Pulsa en el botón

para calcular las razones de 30º, 45º y 60º.

Escoge un ángulo y observa pulsando el procedimiento a seguir para hallar el valor de sus razones trigonométricas. Practica completando los siguientes recuadros.

60º Triángulo equilátero de lado 1

Hipotenusa = 1 Cateto opuesto = x Cateto adyacente = 1/2 Semejanza y trigonometría

Aplica el teorema de Pitágoras para hallar el valor de x (cateto opuesto):

sen60º =

cos60º =

tg60º =

11 -

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FECHA:

30º Triángulo equilátero de lado 1

Hipotenusa = 1 Cateto opuesto = 1/2 Cateto adyacente = x

Aplica el teorema de Pitágoras para hallar el valor de x (cateto adyacente):

sen30º =

cos30º =

tg30º =

45º Cuadrado de lado 1

Aplica el teorema de Pitágoras para hallar el valor de x (hipotenusa):

Hipotenusa = x Cateto opuesto = 1 Cateto adyacente = 1

sen45º =

cos45º =

tg45º =

para repasar las relaciones fundamentales.

Pulsa en el botón

Arrastra las razones trigonométricas y los números de la escena para que resulten las dos relaciones fundamentales. Ha llegado el momento de comprobar todo lo que has aprendido. Realiza cada uno de los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS 1.

En el triángulo de la figura calcula: 5

a) sen α b) cos α c) tg α

d) sen β e) cos β f) tg β

Obtén con la calculadora: a) sen 30º b) cos 60º c) tg 45º

Semejanza y trigonometría

12 -

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FECHA:

Obtén con la calculadora los ángulos agudos α y β de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y 12 centímetros.

Decide qué razones del ángulo α corresponden a los lados a, b y c

En el siguiente triángulo calcula el sen α , cos α y tg α

α 6.

15 Comprueba en el ángulo α del triángulo de la figura que se cumplen las relaciones fundamentales. 5

3 4

Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo α tal que sen α=0,3

Comprueba que se cumple la relación: 1+ tg2 α=sec2 α Recuerda el triángulo:

sec α

tg α

Pulsa

Semejanza y trigonometría

para ir a la página siguiente.

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FECHA:

3. Resolución de triángulos rectángulos 3.a. Conocidos dos lados del triángulo Resolver un triángulo significa conocer los tres lados y los tres ángulos. Lee en pantalla la explicación para resolver un triángulo rectángulo conocidos dos lados. Completa: Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará ________________________________, el cateto opuesto ángulo se determinará como el _____________________________ es o cateto adyacente cateto opuesto bien como el _____________________________ es dependiendo de los hipotenusa datos iniciales. Para calcular el otro ángulo basta restar de _____________. En la escena de la derecha de la pantalla se muestra una situación en la que se desea resolver un triángulo rectángulo conocidos los dos catetos. Puedes modificar las dimensiones de los para ver los cálculos necesarios catetos arrastrando el vértice naranja. Pulsa el botón para hallar la hipotenusa y los ángulos.

Resuelve los siguientes ejercicios y comprueba el resultado en el ordenador. EJERCICIO 1: En un triángulo rectángulo de catetos 5 y 10 cm calcula la medida de su hipotenusa y de sus ángulos. Hipotenusa:

Ángulos:

EJERCICIO 2: Resuelve un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm. Cateto:

Ángulos:

Semejanza y trigonometría

14 -

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Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer un ejercicio.

Completa el enunciado y resuelve. Una vez resuelto, comprueba el resultado en el ordenador. Calcula las pulgadas y el formato de una pantalla cuya base mide ________ cm y su altura ______ cm

para ir a la página siguiente.

Pulsa

3.b. Conocidos un cateto y un ángulo agudo Lee en pantalla la explicación para resolver un triángulo rectángulo conocidos un cateto y un ángulo agudo. Observa pulsando sobre la imagen

cómo se resuelve un triángulo que

que tiene un ángulo de 75º y el cateto adyacente de 3 cm.

α de 27º y el cateto adyacente

c · tg α

Resuelve el siguiente triángulo sabiendo que tiene un ángulo de 12 cm.

90º

c En la escena de la derecha de la pantalla se muestra una situación en la que se desea conocer un cateto de un triángulo rectángulo pero sólo se puede medir un ángulo y el cateto no y sigue las indicaciones. buscado. Pulsa el botón

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15 -

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Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer un ejercicio.

Resuelve el ejercicio propuesto en la escena y comprueba el resultado.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

3.c. Conocidos la hipotenusa y un ángulo agudo Lee en pantalla la explicación para resolver un triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un ángulo agudo. Observa pulsando sobre la imagen cómo se resuelve un triángulo que tiene un ángulo de 75º y la hipotenusa de 3 cm.

90º

α de 55º y la hipotenusa de 21

c · sen α

Resuelve el siguiente triángulo sabiendo que tiene un ángulo cm.

c · cos α

En la escena de la derecha de la pantalla se muestra una situación en la que se desea conocer un cateto de un triángulo rectángulo pero sólo se puede medir un ángulo y la hipotenusa. y sigue las indicaciones. Pulsa el botón

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Completa el enunciado y resuelve el ejercicio propuesto en la escena. Comprueba el resultado en tu ordenador. Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, ______, y la hipotenusa, ___ cm. Halla los catetos en función de las razones trigonométricas del ángulo dado.

Pulsa

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FECHA:

Ha llegado el momento de comprobar todo lo que has aprendido. Realiza cada uno de los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS 9. En el siguiente triángulo rectángulo calcula la medida de sus lados y de sus ángulos.

10. Calcula la medida los lados y de los ángulos del siguiente triángulo:

11. Resuelve el triángulo de la figura.

12. Calcula la hipotenusa y los tres ángulos del triángulo de la figura:

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa

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17 -

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Lee con atención la información del cuadro resumen y completa. Teorema de Tales.

Triángulos semejantes.

Las rectas r y s son ________________

Criterios:

Relación de proporcionalidad:

1. __________________________________

2. __________________________________ Teorema de Pitágoras. 3. __________________________________ ____ + ____ = ____

Razones trigonométricas. sen α =

Relaciones fundamentales:

cos α =

________ + ________ = 1

tg α =

30º

45º

60º

seno coseno Resolución de triángulos rectángulos.

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18 -

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos ejercicios en tu cuaderno. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Semejanza. Razones trigonométricas. Triángulos rectángulos. En los siguientes EJERCICIOS de semejanza y teorema de Pitágoras elige opción, completa el enunciado con los datos que aparecen en tu ordenador y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Elige en el menú la opción: T. Tales. Calcula x. 1. Calcula x…

2. Calcula x…

Cuadriláteros semejantes. 3. Las medidas de tres lados homólogos de dos cuadriláteros semejantes son ____ cm, x cm, ____ cm ____ cm, ____ cm, y cm, halla x e y

Semejanza y trigonometría

19 -

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FECHA:

Extensión de la base 4. La base del monte se observa, como indica el cartel, a una distancia de _______ km. Se mueve una regleta de ____ cm justo hasta que tapa la base del monte. En este momento, la distancia de la regla al ojo del observador es de _____ m. Calcula la anchura de la base del monte.

Anchura del río 5. Calcula en metros la anchura x, basándote en los datos del dibujo.

Profundidad del pozo 6. Calcula la profundidad del pozo. La anchura del pozo es de _____ m, la altura del observador es de _____ m, la longitud de la varilla negra es de _____ m y la distancia del ojo del observador a la varilla es de ______ m. Se ha hecho coincidir en la visual, la varilla con el fondo del pozo.

¿Por dónde corto? 7. Por donde se ha de cortar la hoja para que la parte izquierda sea semejante a la hoja entera.

Semejanza y trigonometría

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

¿Triángulos semejantes? 8. Dibuja un triángulo con un ángulo de ______ y el cociente de los lados que lo forman igual a _____. ¿Son semejantes los triángulos que cumplen estas condiciones?

9. Dibuja un triángulo con un ángulo de ______ y uno de los lados que lo forman de ______ cm. ¿Son semejantes los triángulos que cumplen estas condiciones?

Pirámides 10. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su base es un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio _______ cm y su arista lateral es de ________ cm.

11. Calcula el lado de la base de la pirámide regular sabiendo que su arista lateral es de _______ cm y la altura de cada una de sus caras laterales es de ________ cm.

Semejanza y trigonometría

21 -

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FECHA:

12. Calcula la altura de la pirámide regular sabiendo que su base es un polígono regular de apotema _______ cm y la altura de cada una de sus caras laterales es de ________ cm

Distancias en coordenadas 13. Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (___, ___) y (___, ____)

Ecuación de la circunferencia 14. Los puntos (x,y) de una circunferencia distan del centro un radio. Si el centro es (____, ____) y el radio _____ ¿Sabrías expresar esta condición con una ecuación?, es decir, se pide aplicar el T. de Pitágoras en el triángulo de la figura.

Calcula el lado c 15. Aplica el teorema generalizado de Pitágoras para calcular la medida del lado c en el triángulo de la figura.

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22 -

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FECHA:

En los siguientes EJERCICIOS de razones trigonométricas elige la razón conocida y la razón a calcular, completa el enunciado con los datos que aparecen en tu ordenador y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. Razón conocida: seno 16. Si

α es un ángulo agudo (<90º) y

sen α =------- Calcula el coseno.

17. Si α es un ángulo agudo (<90º) y sen α =------- Calcula la tangente.

Razón conocida: coseno 18. Si

α es un ángulo agudo (<90º) y

cos α =------- Calcula el seno.

19. Si α es un ángulo agudo (<90º) y cos α =------- Calcula la tangente.

Razón conocida: tangente 20. Si

α es un ángulo agudo (<90º) y

tg α =------- Calcula el seno.

21. Si

α es un ángulo agudo (<90º) y

tg α =------- Calcula el coseno.

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23 -

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

En los siguientes EJERCICIOS de Triángulos rectángulos elige opción, completa el enunciado con los datos que aparecen en tu ordenador y resuélvelos en el recuadro de la derecha. Después comprueba la solución en el ordenador. El lado de un polígono 22. La longitud de la apotema de un polígono regular de _____ lados es de _______ cm. Calcula el lado.

23. La longitud del radio de un polígono regular de ______ lados es de __________ cm. Calcula el lado.

La apotema de un polígono 24. La longitud del radio de un polígono regular de ______ lados es de __________ cm. Calcula la apotema.

25. La longitud del lado de un polígono regular de ______ lados es de __________ cm. Calcula la apotema.

El radio de un polígono 26. La longitud de la apotema de un polígono regular de _____ lados es de _______ cm. Calcula el radio.

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FECHA:

27. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular de _____ lados si el lado mide ______ cm.

28. La longitud del lado de un polígono regular de _____ lados es de _______ cm. Calcula el radio.

La altura de un árbol 29. Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a ________ metros de su base se observa su copa con un ángulo de ______ grados.

La altura de una cometa 30. La longitud del hilo que sujeta una cometa es de ________ m. Si el ángulo de elevación de la cometa es de ______, ¿qué altura alcanza la cometa?

Semejanza y trigonometría

25 -

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FECHA:

La altura de un edificio 31. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos situados a una distancia de _______ m. ¿Cuál es la altura del edificio, si los ángulos son _____ y _____?

32. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos. Si la altura es de _________ m y los ángulos son _______ y ______. ¿Cuál es la distancia entre los puntos?

La altura de un avión 33. Dos personas separadas _______ m ven un avión que vuela sobre ellos con ángulos de elevación de _____ y _____. ¿A qué altura vuela el avión?

34. Dos personas ven un avión que vuela sobre ellos a una altura de _______ m, con ángulos de elevación de _____ y _____. ¿A qué distancia se encuentran las dos personas?

Semejanza y trigonometría

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FECHA:

La altura de una montaña 35. Para medir la altura de una montaña se miden los ángulos desde dos puntos situados a una distancia de ___________ m. y a una altitud de ___________ m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura de la montaña, si los ángulos son ________ y ________?

36. Los ángulos de elevación desde dos puntos situados a una altitud de _________ m sobre el nivel del mar son _____ y _____. Si la altura de la montaña es de __________ m ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos?

Compás-radio 37. Con un compás cuyos brazos miden _______ cm, trazamos una circunferencia. Si el ángulo que forman sus brazos es de ________. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

Compás-brazos 38. Con un compás trazamos una circunferencia de ______ cm de radio. Si el ángulo que forman sus brazos es de ________. ¿Cuál es la longitud de los brazos del compás?

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27 -

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FECHA:

Sabiendo que los ángulos de un cuadrilátero suman 360º, calcula el ángulo A.

Los polígonos de la figura, ¿son semejantes?

Como la ventana de la casa de enfrente es igual que la mía puedo saber su altura, y con la visual de una varilla calcular la anchura de la calle. Calcúlala. La generatriz de un cono recto mide _______ cm y el radio de la base ______ cm. Halla la altura de un cono semejante a éste realizado a escala 1:____ Calcula el valor de tg A en el triángulo ABC de la figura.

Calcula el área del triángulo de la figura.

Si sen α = ______, y α es un ángulo agudo, calcula la tg α.

La altura de Torre España es de 231 m, ¿cuánto mide su sombra cuando la inclinación de los rayos del sol es de _______?

Calcula el área del polígono de la figura.

Semejanza y trigonometría

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FECHA:

Problemas geométricos Contenidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores y segmentos 2. Cuerpos geométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides Cilindros Conos Troncos de conos Esferas

Objetivos •

Aplicar las razones trigonométricas para estudiar las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de las figuras planas.

•

Calcular el perímetro y el área de las figuras planas aplicando las fórmulas conocidas y las razones trigonométricas cuando sea necesario.

•

Aplicar las razones trigonométricas para estudiar las relaciones que existen entre las aristas y los ángulos de los cuerpos geométricos.

•

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de los cuerpos geométricos aplicando las fórmulas conocidas y las razones trigonométricas cuando sea necesario.

Autora: Conxa Sanchis Sanz

Problemas geométricos

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar Para resolver los ejercicios y problemas de esta quincena, deberás efectuar operaciones con la calculadora. En la escena de la derecha, se exponen diferentes ejemplos que ponen de manifiesto la conveniencia de guardar en la memoria los valores de números irracionales tal como los da la calculadora y utilizarlos en la realización de las operaciones que sea necesario efectuar, redondeando sólo al final del ejercicio. Pulsa el botón

para acceder a los diferentes ejemplos.

Léelos atentamente y practica con tu calculadora… O con la que aparece en la página de Cuando acabes...

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Figuras planas. 1.a. Triángulos. Lee el texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo? ¿Qué es el perímetro de un triángulo?

RESPUESTAS

¿A qué es igual el área de un triángulo?

En la escena, puedes ver las diferentes formas de calcular el área de un triángulo. Pulsa el botón

para acceder a ellas, y completa la tabla siguiente:

El área del triángulo es igual a ______________________ _______________________ _______________________

Pulsa los botones

El área del triángulo es igual a ______________________ _______________________ _______________________

FÓRMULA DE HERÓN

para ver diferentes ejemplos resueltos. En la tabla siguiente,

completa los datos y copia uno de cada tipo. Coloca también los datos en el dibujo. En cada número, se resuelve el ejemplo por diferentes procedimientos: examínalos todos pulsando en

y copia en el espacio correspondiente el método que se indica..

Problemas geométricos

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FECHA:

Calcular el área de un triángulo equilátero de _______ cm de lado. (Utiliza la 1ª fórmula)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide _______ cm y los lados iguales miden ______ cm cada uno . Calcular el perímetro, el área y los ángulos. (Utiliza la fórmula de Herón)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide ______ cm y el ángulo distinto mide _____ . Calcular los ángulos, los lados, la altura, el perímetro y el área. (Utiliza las razones trigonométricas)

Los ángulos de un triángulo escaleno miden ____, ____ y ____. El lado menor mide _____ cm. Calcular los otros lados, la altura, el perímetro y el área. (Utiliza las razones trigonométricas)

Los lados de un triángulo escaleno miden ____ , ____ y ____ cm. Calcular el perímetro y el área. ¿Se puede calcular la altura? ¿Se pueden calcular los ángulos? (Utiliza la fórmula de Herón)

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de cuatro ejercicios. Copia el enunciado y haz el dibujo. Primero resuelve el ejercicio efectuando los cálculos con la calculadora, de la forma más exacta posible y después, introduce la solución con dos decimales en el recuadro para y pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

EJERCICIOS 1.

Calcula el área de un triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado.

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 3,6 cm y el ángulo distinto mide 46º. Calcula el perímetro y el área.

Los ángulos de un triángulo escaleno miden 45º, 64º y 71º y el lado menor mide 9,7 cm. Calcula el perímetro.

Pulsa

Problemas geométricos

para ir a la página siguiente.

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FECHA:

1.b. Paralelogramos. Lee el texto “Un paralelogramo es ..... “. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué es un paralelogramo? ¿Cuánto vale la suma de los cuatro ángulos de un paralelogramo? ¿Qué es el perímetro de un paralelogramo?

En la escena, puedes ver las áreas de los distintos paralelogramos. Pulsa el botón

para acceder a ellas, y completa la tabla siguiente escribiendo el nombre

de cada uno de ellos, haciendo un dibujo y escribiendo la fórmula para calcular su área. Nombre

Dibujo

Área CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿En qué queda dividido un rombo al trazar las diagonales? ¿Qué figura se forma al trazar la altura en un romboide? Pulsa los botones

RESPUESTAS

para ver diferentes ejemplos resueltos. En la tabla siguiente,

completa los datos y copia uno de cada tipo. a) Calcular el área de un cuadrado de lado ______ cm. b) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya área es de ___________ cm2

a) Calcular el área de un rectángulo de _____ cm de base y ______ cm de altura. b) Calcular la base de un rectángulo de ______ cm2 de área y ______ cm de altura.

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FECHA:

Calcular el área de un rombo de ______ cm de lado sabiendo que el ángulo más pequeño que forman sus lados mide ____.

Calcula el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden ____ cm y ____ cm

Calcular el área del romboide de la figura sabiendo que sus lados miden ______ cm y _____ cm , y el ángulo menor mide ____.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de cuatro ejercicios. Uno de cada tipo de paralelogramo. Copia el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio y después, introduce la solución con dos decimales en el recuadro y pulsa intro. A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1:

Problemas geométricos

Ejercicio 2:

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Ejercicio 3:

FECHA:

Ejercicio 4:

EJERCICIOS 4.

a) Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado. b) Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área.

a) Calcula el área de un rectángulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura. b) Calcula la base de un rectángulo de 364,5 cm2 de área y 24,3 cm de altura.

Calcula el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12,7 y 19,6 cm.

Calcula el área del romboide de la figura sabiendo que los lados miden 60,4 y 48,9 cm y el ángulo menor que forman sus lados mide 50º.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.c. Trapecios. Lee el texto de la izquierda y observa la escena de la derecha. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué es un trapecio? ¿Cuánto vale la suma de los cuatro ángulos de un trapecio? ¿Qué es el perímetro de un trapecio? ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un trapecio? ¿Qué figura se forma al trazar la altura por cualquiera de los vértices?

Problemas geométricos

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

En la escena, si mueves alguno de los vértices del trapecio, aparecen los distintos tipos de trapecios. Hazlo y observa el nombre y la característica de cada caso particular de trapecio, y después, completa la tabla: FIGURA

Pulsa los botones

NOMBRE

TIENE...

para ver diferentes ejemplos resueltos. En la tabla siguiente,

completa los datos y copia uno de cada tipo. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden _____ y _______ cm, y los lados no paralelos _______ cm

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden ___ y ____ cm, y el ángulo que forman los lados no paralelos con la base mayor mide ____.

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden _____ y _______ cm, y el lado oblicuo, _______ cm

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden _____ y _______ cm, y el ángulo que forma el lado oblicuo con la base mayor mide ____.

Calcula el perímetro y el área de un trapecio cuyas bases miden _____ y _____ cm, y los ángulos que forman los lados no paralelos con la base mayor miden ____ y ____.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de cuatro ejercicios. Copia el enunciado, haz el dibujo y resuélvelo. Después, introduce la solución con dos decimales en el recuadro y comprueba si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1:

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Ejercicio 2:

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Ejercicio 3:

FECHA:

Ejercicio 4:

Pulsa

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1.d. Trapezoides Lee en pantalla la explicación sobre trapezoides. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué es un trapezoide? ¿Cuánto vale la suma de los cuatro ángulos de un trapezoide? ¿A qué es igual el perímetro de un trapezoide? ¿Cómo se calcula el área de un trapezoide?

En la escena de la derecha, pulsa

para acceder a los ejemplos de aplicación.

Léelos hasta entender bien el procedimiento seguido. Después, copia uno de estos ejemplos: haz también el dibujo. EJEMPLO. Calcula el perímetro y el área del cuadrilátero con los datos que se indican.

Problemas geométricos

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de dos ejercicios. Copia el enunciado, haz el dibujo y resuélvelo. Después, introduce la solución con dos decimales en el recuadro y comprueba si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

EJERCICIOS 8.

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 25,6 y 108,5 y los lados no paralelos 70,5 cm.

Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 42,2 y 113,8 y el ángulo que forma el lado oblicuo con la base mayor mide 38º.

10.

Calcula el perímetro y el área del trapezoide con los datos que se indican: AB=12,6cm., BC=14,82 cm., CD=19,8 cm., DA=19,74 cm., DB=21,24 cm.

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1.e. Polígonos regulares Lee en pantalla la explicación y observa la escena. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué es un polígono regular? ¿Qué es el perímetro de un polígono? ¿Qué es la apotema de un polígono regular? ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular? ¿En qué otro polígono se puede dividir cualquier polígono regular?

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FECHA:

Pulsa los botones a para ver diferentes ejemplos resueltos. En la tabla siguiente, completa los datos y copia uno de cada tipo. Calcular el área de un pentágono regular de ______ cm de lado.

Calcular el área de un hexágono regular de ______ cm de lado.

Calcular el área de un octógono regular de ______ cm de lado.

Calcular el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de ______ cm de radio.

Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de ______ cm de radio.

Problemas geométricos

12 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcular el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de ______ cm de radio.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de cuatro ejercicios. Copia el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

EJERCICIOS 11.

Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular de 2,5 cm de lado.

12.

Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de 4,3 cm de lado.

13.

Calcula el perímetro y el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 8,3 cm de radio. Pulsa Problemas geométricos

para ir a la página siguiente. -

13 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

1.f.

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Círculos, sectores y segmentos

Lee en la pantalla las definiciones de sector circular y de segmento circular. En la escena de la derecha, puedes ver las fórmulas para calcular longitud y área de estas figuras. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué es un sector circular?

¿Qué es un segmento circular?

FÓRMULAS PARA CALCULAR LONGITUDES Y ÁREAS CIRCUNFERENCIA SECTOR CIRCULAR

Pulsa los controles

L= a

SEGMENTO CIRCULAR

para ver ejemplos de aplicación de estas fórmulas.

para ver los diferentes pasos de la resolución. , pulsa Puedes pulsar en OTRO EJEMPLO para ver más ejemplos en cada número. Léelos hasta entender bien el procedimiento seguido, y después copia un ejemplo de cada tipo en la tabla siguiente, completando los datos que falten, tanto en el enunciado como en el dibujo: Calcular la longitud y el área de un círculo de radio ______ cm.

Calcular la longitud de arco y el área de un sector circular de ______ º comprendido en un círculo de ______ cm de radio.

Problemas geométricos

14 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcular el área de un segmento circular de un círculo de radio ______ cm, sabiendo que el ángulo que forman los radios que pasan por sus extremos mide _____.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de dos ejercicios. Completa el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1: Calcular la longitud de arco de un sector circular de _____ comprendido en un círculo de radio ______ cm.

Ejercicio 2: Calcular el área de un segmento circular de un círculo de radio _____ cm, sabiendo que el ángulo que forman los radios que pasan por sus extremos mide ____.

EJERCICIOS 14.

Calcula la longitud y el área de un círculo 10,6 cm de radio.

15.

Calcula la longitud de arco y el área de un sector circular de 144º comprendido en un círculo de 2,4 cm de radio.

16.

Calcula el área de un segmento circular de un círculo de 9,1 cm, sabiendo que el ángulo que forman los radios que pasan por sus extremos mide 112º.

Pulsa

Problemas geométricos

para ir a la página siguiente.

15 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

2. Cuerpos geométricos. 2.a. Prismas. Lee en pantalla la explicación, observa la escena y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué son las bases de un prisma? ¿Qué son las caras laterales de un prisma? ¿A qué es igual el área de un prisma? ¿A qué es igual el área lateral de un prisma? ¿A qué es igual el área total de un prisma? ¿A qué es igual el volumen de un prisma?

En la escena de la derecha, puedes pulsar los controles “Número de caras”, “Arista de la base” y “Altura” para ver el dibujo y nombre de diferentes prismas. Después, pulsa en los controles a para calcular áreas y volumen de algunos de ellos. Completa el enunciado de un ejemplo de cada tipo con los datos de cada ejemplo, haz el dibujo y copia la resolución. Un ortoedro es un prisma rectangular recto. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un ortoedro de ____ cm de alto, ____ cm de ancho y ____ cm de largo.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma, de ____ cm de alto y _____ cm de arista de la base.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma, de _____ cm de alto y ______ cm de arista de la base.

Problemas geométricos

16 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma, de _____ cm de alto y ______ cm de arista de la base.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Ejercicio 2:

Calcula el área total de un ortoedro de ____ cm de largo, ______ cm de ancho y ____ cm de alto.

Calcula el volumen de un ortoedro de ____ cm de largo, ____ cm de ancho y ____ cm de alto.

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Calcula el área total del prisma sabiendo que la arista de la base mide _____ cm y la altura _____ cm.

Calcula el volumen del prisma sabiendo que la arista de la base mide _____ cm y la altura _____ cm.

Problemas geométricos

17 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

EJERCICIOS 17.

Calcula el área total y el volumen de un ortoedro de 4,8 cm de alto, 2,5 cm de ancho y 7,6 cm de largo.

18.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma triangular de 7,9 cm de alto y 1,5 cm de arista de la base.

19.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal de 4,3 cm de alto y 5,1 cm de arista de la base. Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.b. Pirámides. Lee en pantalla la explicación, observa la escena y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué son las bases de una pirámide?

¿Qué son las caras laterales de una pirámide?

¿A qué es igual el área de una pirámide?

¿A qué es igual el área lateral de una pirámide?

¿A qué es igual el área total de una pirámide?

¿A qué es igual el volumen de una pirámide?

En la escena de la derecha, puedes pulsar los controles “Número de caras”, “Arista de la base” y “Altura” para ver el dibujo y nombre de diferentes pirámides. Utiliza los controles y para conocer algunas propiedades de las pirámides que se aplicarán en la resolución de ejercicios. Pulsa ahora los controles a para calcular áreas y volúmenes de pirámides. Completa el enunciado de un ejemplo de cada tipo con los datos de cada ejemplo, haz el dibujo y copia la resolución. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide de _____ cm de arista lateral y _____ cm de arista de la base.

Problemas geométricos

18 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide de _____ cm de arista lateral y _____ cm de arista de la base.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Ejercicio 2:

Calcula el área lateral de la pirámide sabiendo que la arista de la base mide _____ cm y la arista lateral ______ cm.

Calcula el área total de la pirámide sabiendo que la arista de la base mide _____ cm y la arista lateral ______ cm.

Problemas geométricos

19 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Calcula el volumen de la pirámide sabiendo que la arista de la base mide _____ cm y la arista lateral ______ cm.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.c. Troncos de pirámide. Lee en pantalla la explicación, observa la escena y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué son las bases de un tronco de pirámide? ¿Qué son las caras laterales de un tronco de pirámide? Si las bases son polígonos regulares, ¿qué son las caras laterales? ¿A qué es igual el área de un tronco de pirámide? ¿A qué es igual el área lateral de un tronco de pirámide? ¿A qué es igual el área total de un tronco de pirámide? ¿A qué es igual el volumen de un tronco de pirámide?

En la escena de la derecha, puedes pulsar los controles “Lado de la base menor”, “Lado de la base mayor”, “Altura” y “Número de caras” para ver el dibujo de diferentes troncos de pirámide. Puedes girar el tronco de pirámide con el ratón para observarlo mejor. Utiliza los controles y para conocer algunas propiedades de los troncos de pirámide que se aplicarán en la resolución de ejercicios. Fíjate en el modo de obtener trapecios rectángulos a partir de diferentes elementos de un tronco de pirámide. Pulsa ahora los controles a para calcular áreas y volúmenes de troncos de pirámide. Completa el enunciado de un ejemplo de cada tipo con los datos de cada ejemplo, haz el dibujo y copia la resolución en los siguientes recuadros: Problemas geométricos

20 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide triangular de _____ cm de lado de la base menor, _____ cm de lado de la base mayor y _____ cm de arista lateral.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de _____ cm de lado de la base menor, _____ cm de lado de la base mayor y _____ cm de arista lateral.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide pentagonal de _____ cm de lado de la base menor, _____ cm de lado de la base mayor y _____ cm de arista lateral.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide hexagonal de _____ cm de lado de la base menor, _____ cm de lado de la base mayor y _____ cm de arista lateral.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de dos ejercicios. Completa el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro Problemas geométricos

21 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1: Ejercicio 2: Calcula el área total de un tronco de pirámide Calcula el volumen de un tronco de pirámide de _____ cm de lado de la base menor, de _____ cm de lado de la base menor, ______ cm de lado de la base mayor y ______ cm de lado de la base mayor y ______ cm arista lateral. ______ cm arista lateral.

EJERCICIOS 20.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 9,3 cm de arista lateral y 6,5 cm de arista de la base.

21.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide hexagonal de 11,6 cm de arista lateral y 7,4 cm de arista de la base.

22.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide decagonal de 1,5 cm de lado de la base menor, 5,2 cm de lado de la base mayor y 9,2 cm de arista lateral. Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.d. Cilindros. Lee en pantalla la explicación, observa la escena y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué figuras forman el desarrollo de un cilindro? ¿A qué es igual el área lateral de cilindro? ¿A qué es igual el área total de un cilindro? ¿A qué es igual el volumen de un cilindro?

Problemas geométricos

22 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

En la escena de la derecha, pulsando en aparecen ejemplos del cálculo de áreas y volúmenes de cilindros. Completa el enunciado de un ejemplo de cada tipo con los datos de cada ejemplo y copia la resolución: Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de ______ cm de alto y ______ cm de radio de la base.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de dos ejercicios. Completa el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Ejercicio 1: Calcula el área total de un cilindro de _______ cm de radio y ______ cm de altura.

Ejercicio 2: Calcula el volumen de un cilindro de _______ cm de radio y ______ cm de altura.

EJERCICIOS 23.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 8,1 cm de alto y 2,4 cm de radio de la base.

Pulsa

Problemas geométricos

para ir a la página siguiente.

23 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

2.e. Conos Lee el texto de la izquierda, en el que aparecen definiciones relacionadas con los conos. En la escena de la derecha, aparece un cono cuyos radio de la base y altura puedes modificar con los controles mejor. Pulsa

También puedes girar el cono con el ratón para observarlo

para acceder a la obtención de la fórmula para el área lateral de un

cono. Pulsa nuevamente

para conocer la relación que existe entre la generatriz de

un cono, su altura y el radio de la base. Ahora, con toda esta información, CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué figuras forman el desarrollo de un cono?

¿A qué es igual el área total de un cono?

¿A qué es igual el área lateral de un cono?

¿A qué es igual el volumen de un cono?

En un cono, ¿qué relación existe entre la generatriz, la altura y el radio de la base? ¿Qué teorema se aplica para obtenerla?

Pulsa los controles

de la escena para ver ejemplos de cálculo de áreas y

volúmenes en conos. Lee atentamente cada ejemplo y pulsa Completa un ejemplo de cada tipo en los siguientes recuadros:

para ver la solución.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de _____ cm de altura y ______ cm de radio de la base.

Problemas geométricos

24 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de _____ cm de generatriz y ______ cm de radio de la base.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de _____ cm de generatriz y ______ cm de altura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de _____ cm de generatriz, sabiendo que el ángulo que forma la generatriz con la altura mide _____º

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de _____ cm de radio, sabiendo que el ángulo que forma la generatriz con la base mide _____º

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de cuatro ejercicios. Completa el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Problemas geométricos

25 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Calcula el área total de un cono de _______ cm de radio y ______ cm de altura.

Calcula el volumen de un cono de _______ cm de radio y ______ cm de generatriz.

Ejercicio 3: Calcula el área total de un cono de _______ cm de altura y ______ cm de generatriz.

Ejercicio 4: Calcula el área lateral de un cono de ___ cm de radio sabiendo que el ángulo que forman la altura y la generatriz mide ____.

EJERCICIOS 24.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 4,6 cm de alto y 7,2 cm de radio de la base. Calcula el ángulo que forma la generatriz con el radio.

25.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 7,5 cm de generatriz sabiendo que el ángulo que forman la altura y la generatriz mide 26º.

Pulsa

2.f.

para ir a la página siguiente.

Troncos de cono.

Lee el texto de la izquierda y la escena de la derecha para aprender los conceptos relacionados con los troncos de cono. CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: ¿Qué figuras forman el desarrollo de un tronco de cono?

¿A qué es igual el área lateral de un tronco de cono?

Problemas geométricos

26 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

¿Qué relación existe entre la generatriz, la altura y los radios de las bases? ¿Qué teorema se aplica para obtenerla?

¿Cómo se puede calcular el volumen de un tronco de cono?

Pulsa los controles a de la escena para ver ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes. Lee atentamente cada ejemplo y pulsa para ver la solución. Completa un ejemplo de cada tipo en los siguientes recuadros: Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de _____ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de altura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de _____ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de generatriz.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de _____ cm de radio de la base menor y ______ cm de radio de la base mayor, sabiendo además que la generatriz y la altura forman un ángulo de ____.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

Haz un mínimo de seis ejercicios. Completa el enunciado y haz el dibujo. Resuelve el ejercicio e introduce la solución con dos decimales en el recuadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver si la respuesta es la correcta. Problemas geométricos

27 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Ejercicio 1: Calcula el área lateral de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de generatriz.

Ejercicio 2: Calcula el área lateral de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de altura.

Ejercicio 3: Calcula el área total de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de generatriz.

Ejercicio 4: Calcula el volumen de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor y ______ cm de altura.

Ejercicio 5: Calcula el área total de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor, sabiendo que el ángulo que forman la generatriz y la altura mide _____º.

Ejercicio 6: Calcula el volumen de un tronco de cono de _______ cm de radio de la base menor, ______ cm de radio de la base mayor, sabiendo que el ángulo que forman la generatriz y la altura mide _____º.

Pulsa Problemas geométricos

para ir a la página siguiente. -

28 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

2.g. Esferas. Lee en la pantalla las fórmulas para el cálculo del área y el volumen de la esfera y completa: Área de la esfera: A =

Volumen de la esfera: V =

Pulsa los controles a de la escena para ver ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes. para ver la solución. Lee atentamente cada ejemplo y pulsa Completa un ejemplo de cada tipo en los siguientes recuadros: Calcula el área y el volumen de una esfera de _____ cm de radio.

Calcula el radio de una esfera cuya área es de ______ cm2 .

Calcula el radio de una esfera cuyo volumen es de ______ cm3.

Pulsa en el botón

para hacer ejercicios.

29 -

IES _______________________ CUADERNO Nยบ 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Calcula el รกrea de una esfera de _______ cm de radio.

Calcula el volumen de una esfera de _______ cm de radio.

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Calcula el de radio de una esfera cuya รกrea es de ______ cm2 .

Calcula el de radio de una esfera cuyo volumen es de ______ cm3 .

EJERCICIOS 26.

Calcula el รกrea lateral, el รกrea total y el volumen de un tronco de cono de 6,6 cm de altura, 2,2 cm de radio de la base menor y 4,3 cm de radio de la base mayor.

27.

Calcula el รกrea lateral, el รกrea total y el volumen de un tronco de cono de 6,4 cm de radio de la base menor y 12,6 cm de radio de la base mayor, sabiendo ademรกs que la generatriz y la altura forman un รกngulo de 42ยบ.

28.

Calcular el รกrea y el volumen de una esfera de 5,6 cm de radio.

29.

Calcular el radio de una esfera cuyo volumen es de 3261,76 cm3.

Pulsa

Problemas geomรฉtricos

para ir a la pรกgina siguiente.

30 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS Completa:

ÁREAS y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Completa:

Problemas geométricos

31 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Completa: Para calcular los lados, ángulos, alturas y aristas de figuras y cuerpos, se necesita buscar __________________________en los que se puedan aplicar el teorema de _________ y la definición de _______________________. Escribe qué elementos de cada figura o cuerpo forman triángulos rectángulos:

Pulsa

Problemas geométricos

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32 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: • Figuras planas • Cuerpos geométricos Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de Figuras planas. Señales de tráfico (Un ejercicio sobre cada una) 1. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su altura es de _____ milímetros.

¿De qué tipo es? ¿Qué indica? 2. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su altura es de _____ milímetros.

¿De qué tipo es? ¿Qué indica? 3. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su altura es de _____ milímetros.

¿De qué tipo es? ¿Qué indica? Problemas geométricos

33 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

4. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su altura es de _____ milímetros.

¿De qué tipo es? ¿Qué indica? Las abejas 5. ¿Qué polígonos regulares permiten cubrir el plano sin dejar huecos? (Haz un dibujo para cada uno de los polígonos)

Si todos tienen de perímetro de ____ cm, cuál de ellos tiene la mayor superficie? (Haz los cálculo de la superficie de cada uno de ellos en los siguientes recuadros)

La cabra 6. Una cabra está atada a una esquina de una caseta cuadrada de _______ metros de lado con una cuerda de _______ metros. Calcula el área de la región en la que puede moverse la cabra para pastar.

Vidrieras 7. Un hotel tiene _____ habitaciones. Cada una de ellas tiene dos ventanas con forma de rombo. El lado mide ______ m y el ángulo superior, _____º. Van a colocar vidrieras en cada ventana, que tendrán que cortar de placas rectangulares. ¿Qué cantidad de cristal necesita comprar?

Problemas geométricos

34 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Construcción 8. La entrada a una fortaleza tiene forma de trapecio isósceles. La base mayor mide ______m, la base menor ________ m y los lados iguales _______ miden m. ¿Qué ángulo forman los lados iguales con la base inferior?

Pulsa

para ir a la página siguiente.

Los siguientes EJERCICIOS son de Cuerpos geométricos. Tetrabrik 9. Las dimensiones de un tetrabrik son _____ cm de alto, ______ cm de largo y _____ cm de ancho. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción?

Lata de conservas 10. Una lata de conservas tiene _______ cm de altura y ______ cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?

Lápices 11. Un lápiz tiene forma de prisma hexagonal y tiene en su interior una mina con forma cilíndrica. Si el lápiz tiene ____ mm de largo y _____ mm de lado de la base y la mina tiene _____ mm de ancho, ¿cuál es el volumen de la parte del lápiz que no está ocupada por la mina?

Tetraedro 12. El tetraedro es un poliedro regular formado por cuatro triángulos equiláteros. Es también una pirámide triangular. Calcular el área total y el volumen de un tetraedro de _____ cm de arista.

Problemas geométricos

35 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Farolas 13. Las farolas de una ciudad tienen esta forma. Los cristales de la parte superior tienen ______ cm de arista superior, _____ cm de arista inferior y ______ cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen ______ cm de arista superior, _____ cm de arista inferior y ______ cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola?

Penitentes 14. Una cofradía tine que fabricar caperuzos para su desfile de Semana Santa. Los caperuzos tienen que medir ______ cm de alto y deben tener ______ cm de radio de la circunferencia. ¿Qué cantidad de cartón necesita para cada uno? ¿Qué medidas debe tener el cartón que necesita cortar para fabricarlos?

Heladería 15. En una heladería, una tarrina de helado de ______ cm de diámetro superior, ______ cm de diámetro inferior y _____ cm de altura se vende por ______ euros. ¿Cuál será el precio de otra tarrina de ______ cm de diámetro superior, ______ cm de diámetro inferior y _____ cm de altura?

La Tierra 16. Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6370 km, calcula la superficie y el volumen de nuestro planeta utilizando distintas aproximaciones del número π : a) 3

b) 3.14

c) 3.1416

Pulsa

Problemas geométricos

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36 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el área de un rombo de ______ cm de lado sabiendo que el menor de los ángulos que forman sus lados mide _____º.

Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de _______ metros de radio.

Calcula el volumen de un prisma pentagonal de ______ metros de altura y _____ metros de arista de la base. Calcula el área total de una pirámide hexagonal de _____ metros de arista lateral y ______ metros de arista de la base. Calcula el área lateral de un tronco de pirámide cuadrangular sabiendo que las aristas de las bases miden respectivamente ______ y ______ metros y la arista lateral mide _______ metros. Calcula el área total de un cilindro de _____ metros de altura y _____ metros de radio de la base.

Calcula el volumen de un cono sabiendo que la generatriz mide _____ metros y el ángulo que forma la generatriz con la altura mide _____º.

Calcula el área lateral de un tronco de cono cuya altura mide _____ metros y los radios de las bases miden respectivamente _____ y _____ metros. Una esfera de _____ metros de radio se introduce en un cubo de ______ metros de arista. Calcular el volumen del espacio que queda libre en el cubo.

Problemas geométricos

37 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Funciones y gráficas Contenidos 1. Funciones Concepto Tablas y gráficas Dominio y recorrido 2. Propiedades Continuidad Simetrías Periodicidad Tendencia 3. Monotonía Tasa de variación media Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos

Objetivos •

Conocer e interpretar las funciones y las distintas formas de presentarlas.

•

Reconocer el dominio y el recorrido de una función.

•

Determinar si una función es continua o discontinua.

•

Hallar la tasa de variación y la tasa de variación media de una función en un intervalo.

•

Determinar el crecimiento o decrecimiento de una función y hallar sus máximos y mínimos.

•

Investigar el comportamiento a largo plazo de una función.

•

Comprobar la simetría de algunas funciones respecto al origen y al eje OY.

•

Reconocer si una función es periódica.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Funciones y gráficas

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

IES _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Antes de empezar Investiga Imagina que montas en una noria cuyo radio mide 30 m y para subir hay que ascender 5 m desde el suelo. La noria comienza a girar… Dibuja aquí las gráficas correspondientes ¿Cómo es la gráfica de la función que da la altura a la que te encuentras según el ángulo de giro?

Tú vas en la cabina naranja y unos amigos en la verde, ¿cómo será su gráfica?

El lenguaje de las gráficas De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a reconocer e interpretar sus características principales. Pulsa en

para ver un vídeo al respecto

Pulsa

Funciones y gráficas

para ir a la página siguiente.

IES _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE: __________________________

FECHA:

1. Funciones 1.a. Concepto de función Lee y completa el texto: Una función es una ____________________ entre dos conjuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde ____________________________ del conjunto final. Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y. f: x → y=f(x) x es la variable ____________________________ y es la variable ____________________________ En la escena puedes ver representada una función extraída de una información gráfica.

El gráfico describe el recorrido de la 9ª Etapa de la Vuelta Ciclista 2007, indicando los km totales y la altitud en los puntos principales del trayecto.

Pulsa

para continuar y obtener una versión más simplificada de la gráfica A la izquierda aparece la gráfica anterior trazada sobre unos ejes cartesianos, para simplificarla se han unido los puntos principales mediante segmentos. Se trata de una función que da la altitud según los km recorridos.

Observa los valores que toma y completa la tabla de valores (puedes arrastrar el punto rojo en la escena para ayudarte a saber la altura en cada punto). km

alt

34 740

87 1290

113

121

1020

153 1130

Contesta:

160 1882 RESPUESTA

Para que una gráfica sea de una función, ¿cuántos valores de y le pueden corresponder a cada valor de x? Pulsa en el botón

para comprobarlo haciendo un ejercicio

Pulsa

Funciones y gráficas

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1.b.

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Tablas y gráficas

Para ver el comportamiento de una función, f: x → y, recurrimos a su representación gráfica sobre los ejes cartesianos, en el eje de abscisas (OX) la variable _______________________ y en el de ordenadas (OY) la variable _______________________; siendo las coordenadas de cada punto de la gráfica: (___, f(__)). En la escena está representada la función: f(x)= –0,5x2+3x+3,5 Sigue los pasos pulsando en las flechas

Comienza por hacer una tabla de valores x f(x) Hay unos puntos que tienen especial interés, los que la gráfica corta a los ejes coordenados. Para calcularlos: Corte con el eje OY: Los puntos del eje de ordenadas tienen abscisa 0, basta hacer x=0 en la fórmula de la función. Cortes con el eje OX: Los puntos del eje de abscisas tienen y=0. Se resuelve la ecuación f(x)=0 En nuestro ejemplo son: x=0 f(x)=0 Se representan los puntos obtenidos, x en el eje de abscisas (OX), f(x) en el de ordenadas (OY). Una vez representados los puntos si x puede tomar cualquier valor real los unimos

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Funciones y gráficas

para hacer un ejercicio

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

En cada caso haz una tabla de valores y representa los puntos en los ejes de coordenadas, siguiendo las instrucciones de la escena:

f(x) = x

f(x)

f(x) =

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FECHA:

1.c. Dominio y recorrido Dada una función f: x → y Se llama dominio de f ____________________________________________________ Se indica como Dom f. El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un f(x). El recorrido es _________________________________________________________ esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como Im f. En la escena de la derecha vemos varios ejemplos de como calcular el dominio de algunas funciones, con su ayuda completa:

Dominio de f: _____________________________________ ________________________________________________ Recorrido de f: ____________________________________ _________________________________________________

Funciones y gráficas

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FECHA:

Resume tú los distintos casos que se nos pueden presentar a la hora de calcular el dominio, atendiendo a la forma de la expresión algebraica: Expresión analítica

Dominio

Un polinomio

Un cociente

Una raíz cuadrada

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para hacer unos ejercicios.

Copia a continuación dos ejercicios de cada tipo:

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FECHA:

EJERCICIOS 1. De las siguientes gráficas indica las que corresponden a una función y las que no.

2. Haz una tabla de valores, dibuja los puntos obtenidos y representa la función. a) f(x)=2x-3 x

c) f(x) = x

f(x)

b) f(x)=-x2+4x x

f(x)

4x x +1 2

f(x)

Funciones y gráficas

•RECUERDA Para hacer una tabla de valores, a partir de la expresión de una función, sustituye en la fórmula la x por los valores que desees, opera y calcula los

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FECHA:

EJERCICIOS 3.

Calcula el dominio de las siguientes funciones. a)

c) f(x)= x3-2x2+5x

d) f(x)=

x x−2

e) f(x)= x − 5

f) f(x)= 5 − x

g) f(x)=

h) f(x)=

3 x+4

1 2−x

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FECHA:

2. Propiedades de las funciones 2.a. Continuidad La primera idea de función continua es la que puede ser representada de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. Una función y=f(x) es continua en x=a si: • ______________________________________________ ______________________________________________ • ______________________________________________ ______________________________________________ Cuando una función no es continua en un punto se dice que presenta una ________________ Con ayuda de la escena de la derecha completa la tabla y dibuja un ejemplo de cada uno de los casos: Razones por las que una función no es continua en un punto:

Ejemplo

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10 -

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FECHA:

para hacer unos ejercicios. La imagen adjunta representa el reloj de agua del Museo de los Niños en Indianápolis (Estados Unidos). Su funcionamiento es como sigue: en la columna de la derecha hay 60 vasijas que se van llenando de agua poco a poco. Cuando se llena la que hace el piso 60 se vacía de golpe toda la columna y se llena una de las bolas de la columna de la izquierda que tiene 12 bolas. Como puedes suponer la columna de la izquierda indica las horas y la columna de la derecha los minutos.

Indica si la función que relaciona la altura del agua en la columna de la derecha con el tiempo transcurrido es continua y haz un esbozo de su gráfica. (Analiza la situación sólo en el intervalo de tiempo que transcurre desde que está vacía hasta que se llena)

Indica si la función que relaciona la altura del agua en la columna de la izquierda con el tiempo transcurrido es continua y haz un esbozo de su gráfica.

Funciones y gráficas

11 -

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FECHA:

Juan tiene hoy una excursión en el colegio. Como vive lejos suele ir en bicicleta. Nada más llegar al colegio salen todos los alumnos andando hacia la estación de trenes y allí esperan un rato a que llegue el tren. Suben al tren y por fin llegan a su destino. Abajo puedes ver dos gráficas: una representa la distancia que va recorriendo Juan con respecto al tiempo transcurrido y la otra representa la velocidad a la que se desplaza, también con respecto al tiempo transcurrido. Indica de forma razonada qué gráfica corresponde a cada una de las dos situaciones e indica en cada caso si la función representada es continua o no.

Indica si las gráficas adjuntas corresponden a una función continua o discontinua.

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Funciones y gráficas

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12 -

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FECHA:

2.b. Simetrías La gráfica de algunas funciones puede presentar algún tipo de simetría que si se estudia previamente, facilita su dibujo. Una función es simétrica respecto al eje OY, si f(-x)= ____________ En este caso la función se dice ____________. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando f(-x)= ______ En este caso la función se dice ____________. Observa y manipula la escena para reconocer los gráficos correspondientes a cada tipo. Pulsa en el botón Funciones PARES:

Funciones y gráficas

para dibujar unas gráficas de funciones simétricas. Funciones IMPARES:

13 -

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FECHA:

2.c. Funciones periódicas En la naturaleza y en tu entorno habitual hay fenómenos que se repiten a intervalos regulares, como el caso de las mareas, los péndulos y resortes, el sonido... Las funciones que describen este tipo de fenómenos se dicen periódicas

Una función es periódica cuando _________________________________ _____________________________________________________________ El periodo es ___________________________ f(x+periodo)=f(___)

En la escena de la derecha tienes un ejemplo de una función periódica Una cisterna se llena y vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica. Cuando el depósito está vacío comienza el llenado, que cuesta 1 minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en 0,5 minutos. Este proceso se repite periódicamente.

CONTESTA ESTAS CUESTIONES: Para conocer el volumen de agua en el depósito en cada instante, ¿cuánto tiempo necesitamos observar el depósito?

RESPUESTAS

¿Cuál es la cantidad de agua al cabo de 14 minutos? Escribe la expresión de f(x) Regula tú el dispositivo, variando la cantidad de agua y el tiempo. Pulsa en el botón

para ver unos ejercicios resueltos sobre funciones periódicas

La función de la imagen es periódica. Calcula su período y el valor aproximado de la función para x= 146

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14 -

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FECHA:

2.d. Tendencia de una función En ocasiones la parte que nos interesa de una función es su comportamiento a largo plazo, es decir, los valores que toma la función cuando la x se hace cada vez más grande. Cuando ese comportamiento es claramente definido decimos que la función tiene una determinada tendencia. En el apartado anterior hemos visto que algunas funciones presentan un comportamiento periódico: repiten sus valores a intervalos regulares. Aquí vamos a ver otros tipos de tendencias. Observa la escena de la derecha tienes un ejemplo de una función no periódica. CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuándo decimos que una función tiene una asíntota horizontal? ¿Cuándo decimos que una función tiene tendencia lineal? ¿Cuándo decimos que una función tiene tendencia cuadrática? ¿Cómo se denomina esta curva a la que se parece?

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para hacer unos ejercicios

Indica a que valor tiende la función de la imagen cuando x tiende a infinito

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15 -

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FECHA:

3. Monotonía 3.a. Tasa de variación media La tasa de variación o incremento de una función es _______________________________ ___________________________________________________________________________ TV[x1,x2]= De más utilidad resulta calcular la llamada tasa de variación media, que nos indica ___________________________________________________________________________

TVM[x1,x2]=---------------------En la escena de la derecha vemos una gráfica que representa la distancia en km recorrida de un ciclista en función del tiempo, en minutos, empleado. CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

La tasa de variación entre dos instantes es TV[5, 12]= TV[12, 15]= TV[15, 21]= TV[22, 30]= Velocidad media [15, 21] Velocidad media [22, 30] ¿Cómo es la gráfica en los intervalos [5, 12], [19, 22] y [22, 30]? ¿Por qué? Si trasladamos a cualquier función la idea de velocidad media de esta gráfica, ¿qué obtenemos? Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio

Cuando la gráfica de la función es una recta, la TVM es constante. Escribe a continuación cuatro ejercicios y comprueba la solución en la escena TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=

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FECHA:

3.b. Crecimiento y decrecimiento Una característica de las funciones que se puede visualizar fácilmente en las gráficas es la monotonía. Cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la gráfica "asciende" y se dice que la función es __________________________. Si por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica "desciende", y se dice que la función es __________________________. Dados dos puntos cualesquiera de un intervalo: •

Si x1<x2 entonces f(x1)

f(x2), la función es ____________________

•

Si x1<x2 entonces f(x1)

f(x2) , la función es ____________________

En la escena de la derecha tenemos una función que presenta distintas situaciones. Sigue los pasos pulsando en las flechas y CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Como es la función si x<10? ¿Cómo es la función si x>15 ? ¿Cómo es la función si 10<x<15 ? Si la función es creciente, ¿cómo es la TVM? Si la función es decreciente, ¿cómo es la TVM?

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

Las gráficas representan el llenado de los distintos recipientes, ¿qué gráfica corresponde a cada uno? 1

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FECHA:

3.c. Máximos y mínimos Dada una función continua en un punto x=a, se dice que presenta un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto la función es _____________________ y a la derecha la función es_____________________.

Máximo absoluto

Se habla de máximo absoluto en x=a si _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

Si, por el contrario, la función es ___________ a la izquierda y _____________ a la izquierda hay un mínimo relativo. Se habla de mínimo absoluto en x=a si _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ Mínimo absoluto

La escena de la derecha ilustra estos conceptos. Sigue los pasos pulsando en las flechas

CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Dónde crece la función? ¿Dónde decrece la función? ¿Dónde alcanza un máximo relativo? ¿Dónde alcanza un mínimo relativo? ¿Cómo es f(x) en un entorno de x=6? ¿Por qué? ¿Cómo es f(x) en un entorno de x=20? ¿Por qué?

Pulsa en el botón

para leer un ejercicio resuelto.

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18 -

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Funciones, dominio y recorrido Una función es

El dominio de una función es

x es la variable

El recorrido de una función es

y es la variable

La gráfica de una función es Continuidad Una función es continua

Es discontinua en un punto si

Una función es periódica si En ese caso se cumple que f(x)= Simetrías Una función es simétrica par si lo es respecto a

Una función es simétrica impar si lo es respecto a

se cumple que f(-x)=

Tasa de variación La tasa de variación de una función entre dos puntos es

La tasa de variación media en un intervalo es

Monotonía Una función es creciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del mismo •

Una función es decreciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del mismo •

Extremos relativos Una función continua en un punto x=a, presenta un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto es y la derecha es

Una función continua en un punto x=a, presenta un mínimo relativo, si a la izquierda de dicho punto es y la derecha es

Tendencia Una función presenta tendencia lineal si

Una función presenta tendencia cuadrática si

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19 -

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Características y propiedades de las funciones Interpretación de gráficas Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Características y propiedades de las funciones Escribe la fórmula (Haz al menos tres ejercicios diferentes) 1. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. 2. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. 3. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. Calcular dominios 4. Calcula el dominio de las funciones de las imágenes:

Funciones y gráficas

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FECHA:

Continuidad 5. Estudia la continuidad de las funciones de las imágenes:

¿Par o impar? 6. Estudia la simetría de las funciones de las imágenes:

Funciones y gráficas

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FECHA:

Funciones periódicas (Haz tres ejercicios diferentes) 7. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica:

Período =

Tasa de variación (Haz dos ejercicios diferentes, uno con rectas y otro con curvas) 8. Calcula las TVM de las funciones de las funciones correspondientes a las gráficas en los intervalos [0,4] y [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

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FECHA:

Interpretación de gráficas Viaje por la autovía 9. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía.

a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de 240 km? En el depósito caben 40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito? b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más gasolina? Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin gasolina? c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros 200 km? ¿Cuánta en todo el viaje? ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía? Comparando el crecimiento 10. María y Jorge son dos personas más o menos típicas. En la gráfica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 20 años

a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12? ¿Cuándo superó Jorge los 45 kg? b) ¿A qué edad pesaban los dos igual? ¿Cuándo pesaba Jorge más que María?, ¿y María más que Jorge? c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años? ¿En qué periodo creció cada uno más rápidamente?

Funciones y gráficas

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

Dos coches 11. El gráfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto.

a) ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el 2º? ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido? b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche? ¿En qué km adelantó el 2º al 1º?, ¿y el 1º al 2º? c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué intervalo de tiempo la velocidad de cada coche fue mayor?

Las mareas 12. En el gráfico se representa la altura del nivel del mar en el puerto de A Coruña a lo largo del día 17 de enero de 2008.

a) ¿A qué hora se alcanzan los máximos?, ¿y los mínimos?, ¿qué altura alcanza el nivel del mar en cada caso? b) ¿En qué intervalos del día la función es creciente, esto es, sube la marea? ¿Entre qué horas el nivel del mar se mantiene por encima de los 300cm?, ¿y por debajo de los 150 cm? c) ¿Qué tiempo transcurre entre dos mareas altas consecutivas? ¿y entre dos mareas bajas consecutivas también? ¿A qué hora del día siguiente se producirá la siguiente pleamar? Funciones y gráficas

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FECHA:

Tren de cercanía 13. Villa Baja y Villa Alta distan 100 km, el tren que une las dos ciudades realiza el trayecto en 1h 15 min, incluidas las paradas en los pueblos Veinte, Sesenta y Ochenta, situados a esos km respectivos de Villa Baja.

a) De acuerdo a lo que está representado en la gráfica, haz un cadro horario b) En la temporada turística se pretende ampliar el servicio con más salidas de Villa Baja a todas las horas en punto y de forma que el último tren salga de Villa Alta a las 15:30. ¿Cuántos trenes serán necesarios para conseguirlo? Haz un gráfico de los trayectos. c) Como sólo hay una vía, al ampliar el servicio, ¿a qué distancia de Villa Baja debe la compañía de ferrocarriles prever los cruces del tren que va con el que vuelve? ¿Cuál será ahora el horario? Gráfica y fórmula 14. La gráfica siguiente corresponde a la función f(x)=x3-6x2+9x

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos. Calcula : a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

Funciones y gráficas

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

g) Los intervalos convexidad.

concavidad

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NOMBRE: __________________________

15. La gráfica siguiente corresponde a la función x2 + 1 f(x)= − x

FECHA:

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos.

Calcula :

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

Dos coches 16. La gráfica siguiente corresponde a la función 8x f(x)= 2 x +1

g) Los intervalos convexidad.

concavidad

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos.

Calcula :

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

g) Los intervalos convexidad.

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Funciones y gráficas

concavidad

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26 -

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

Calcula el dominio de la función de la imagen:

¿Cuál de los puntos siguientes: ( , ), ( , ), (

) no pertenece a la gráfica de la función

f(x)= ________________ ?

Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta y= _____________

Si y = f(x) es una función _____ y f( )= __, ¿cuánto vale f(___)?

La gráfica muestra el primer tramo de una función periódica de periodo ___ y expresión f(x)= ______ (0≤x<5). Calcula f(___).

Funciones y gráficas

27 -

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

Modificando el control a de la figura consigue que la función que aparece en ella sea continua. Cuando lo hayas conseguido escribe el valor que tiene a en ese momento

Calcula la TVM[

] de la función

f(x) =

Determina el intervalo en que la función de la gráfica es ____________.

Un ciclista sale de un punto A hacia otro B distante _____ a una velocidad constante de __________. A la vez otro ciclista sale de B en dirección a A, a ________. ¿A cuántos km del punto A se cruzan en la carretera?

(Redondea a centésimas)

Funciones y gráficas

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FECHA:

Funciones elementales Contenidos 1. Funciones polinómicas Función de proporcionalidad directa Funciones afines Funciones cuadráticas 2. Otras funciones Función de proporcionalidad inversa Función exponencial Funciones definidas a trozos Función valor absoluto

Objetivos •

Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales.

•

Utilizar algunas funciones no lineales: cuadrática, de proporcionalidad inversa y exponencial.

•

Reconocer las características más importantes de esos tipos de funciones.

•

Representar e interpretar funciones "definidas a trozos".

•

Buscar e interpretar funciones de todos estos tipos en situaciones reales.

Autor: Joan Carles Fiol Colomar

Funciones elementales

Bajo licencia Creative Commons si no se indica lo contrario.

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Antes de empezar Lee y observa atentamente la escena inicial y luego … Pulsa el botón

para realizar unas actividades preparatorias

Habrás visto tres tipos de funciones y sus respectivas gráficas. Escribe el nombre debajo de cada una de las siguientes:

Función

Función Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Funciones polinómicas 1.a. Función de proporcionalidad directa Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado: CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué otro nombre recibe la función de proporcionalidad directa? ¿Qué es la constante de proporcionalidad? La expresión de estas funciones es de la forma: ¿Y su representación gráfica? La constante de proporcionalidad, también recibe el nombre de … ¿En qué influye m sobre la gráfica de la función?

Después de leer detenidamente y practicar con la escena de Las rebajas, completa de forma análoga la siguiente tabla y representa la correspondiente función: Funciones elementales

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Rebajas 40% Precio inicial x

Precio final y

y/x

100,00 € 95,50 € 45,00 € 115,25 € 33,51 €

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Se te proponen dos tipos de ejercicios: en el primero tienes que determinar si una función es lineal o no, y en el segundo has de encontrar la ecuación de una función lineal a partir de su gráfica. Completa aquí dos de cada tipo: Tipo

Tipo

m= _____

Pulsa

Funciones elementales

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

1.b. Funciones afines Lee detenidamente el texto de pantalla y también el ejemplo de la escena y después completa: Una función afín es como una función _________ a la cual se le han aplicado ciertas ______________________, aunque _____ representa a dos magnitudes ________________ proporcionales. La ecuación de la función afín es: Su gráfica es una __________________ que corta al eje OY en el punto de coordenadas _______. El coeficiente n se denomina _____________________________. El coeficiente m se denomina ______________ y nos indica la inclinación de la recta, siendo creciente si _______ y decreciente si _______. ¿Qué ocurre cuando m=0? __________________________________________________ Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Se te proponen dos tipos de ejercicios: en el primero has de resolver un problema sobre funciones afines, y en el segundo has de encontrar la ecuación de una función afín a partir de su gráfica. Completa aquí los siguientes: EJERCICIO Una agencia de alquiler de coches cobra por un determinado modelo _____€ al contratar y ____€ por km recorrido. En otra agencia cobran ____€ al contratar y ____€ por km recorrido. Analiza en función de los km recorridos cuál agencia es más ventajosa.

EJERCICIO Determina la pendiente y la ecuación de las funciones afines:

m= _____

Pulsa Funciones elementales

para ir a la página siguiente. -4-

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

1.c. Funciones cuadráticas Lee el texto y completa: Una función cuadrática es la que viene dada por un ______________________________, su gráfica se denomina _____________ y su expresión algebraica es:

Para entender el significado de cada uno de los coeficientes de la función cuadrática, sigue los pasos de la escena de la derecha y, después de practicar con ella, completa la siguiente tabla con los datos y gráficas correspondientes: Caso y=a x2 Es una función que siempre pasa por el _________ y es una función __________ respecto al eje _____ Su forma depende del signo de a:

a<0 Su apertura también depende de a:

a=0

a>0

a>0 y |a| pequeño a>0 y |a| grande a<0 y |a| pequeño a<0 y |a| grande Decimos que el origen es el _______________ de la parábola, el cual si a<0 representa un ____________ y si a>0 representa un ____________ de la función. Caso y=a x2+c El vértice es el punto _______ Los puntos de corte con el eje X dependen del signo de a y de c:

a>0 y c>0 a>0 y c<0 a<0 y c>0 a<0 y c<0 En resumen, el significado del coeficiente a es el mismo del primer caso y el coeficiente c provoca sobre la gráfica de la función un desplazamiento vertical hacia arriba si ______ y hacia abajo si ______. Funciones elementales

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NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Caso y=a x2 + b x + c La información del coeficiente a es la misma. El coeficiente c solo nos informa del _______________________________________. El coeficiente b es una medida del desplazamiento ____________ de la parábola, y permite conocer la abscisa del vértice: x= _____

y=___x2+___x+___

eje de simetría:

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Después de practicar, resuelve estos cuatro ejercicios: (Los dos primeros son los que aparecen con los números 2 y 3). Dibuja la gráfica de la función y=_____________ Pasa por el punto: Corta al eje X en: El vértice es:

Dibuja la gráfica de la función y=_____________ Pasa por el punto: Corta al eje X en: El vértice es:

(Los dos siguientes ejercicios son similares al nº 4 de la escena.) Asocia cada gráfica con su ecuación: y=-2 x2 - 6

y= 2 x2 + 2 x - 6

y= x2 + 2

y=-0,5 x2 +x + 2

y= 0,5 x2 - 6

y=- x2 + x

Funciones elementales

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FECHA:

EJERCICIOS 1.

Averigua si las funciones definidas por los datos de las tablas adjuntas son o no son funciones lineales. En caso afirmativo, calcula su pendiente y dibuja su gráfica: a)

Determina la pendiente y la ecuación de la función cuya gráfica es: b)

Una agencia de alquiler de coches cobra por un determinado modelo 15€ al contratar y 0,50€ por km recorrido. En otra agencia cobran 30€ al contratar y 0,25€ por km recorrido. Analiza, en función de los km recorridos, cuál es la agencia más ventajosa.

Determina las ecuaciones de las funciones correspondientes a las gráficas: a)

Dibuja las gráficas de las funciones: a) y =

−1 2 x 6

b) y =

2 2 x +5 7

c) y = x2 + 8x + 15

Pulsa Funciones elementales

para ir a la página siguiente. -7-

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FECHA:

2. Otras funciones 2.a. Función de proporcionalidad inversa Lee en la pantalla la explicación y practica con la escena, luego contesta a las cuestiones: CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Qué es la constante de proporcionalidad? La expresión de estas funciones es de la forma: Su representación gráfica, es una curva llamada: La función de proporcionalidad inversa es discontinua, ¿en qué punto y por qué? ¿Cómo influye el valor de k sobre la gráfica?

¿Qué signo tiene la constante de proporcionalidad k en cada una de las gráficas?

¿Qué caracteriza a las asíntotas? Señala las asíntotas en una de las dos gráficas anteriores.

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Después de practicar, completa estos seis ejercicios: Determina la ecuación de las gráficas:

x·y =

Funciones elementales

x·y =

-8-

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FECHA:

Dibuja las gráficas de las funciones:

x·y=10

x·y= -12

x·y=5

Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.b. Función exponencial Lee en la pantalla la explicación teórica y completa la tabla con verdadero o falso y, en este caso, escribe la expresión verdadera: V-F En una función exponencial, la variable está en el exponente. La base de la función puede ser cualquier número real. Su ecuación es de la forma y=k·ax La constante k aleja o acerca la gráfica al eje Y. El eje de abscisas es una asíntota. La gráfica de la función exponencial nunca corta los ejes de coordenadas. Debajo de cada gráfica de estas funciones exponenciales, indica si la constante k es mayor o menor que cero y si la base a es mayor o menor que 1:

Pulsa

Funciones elementales

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FECHA:

2.c. Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos son funciones que vienen definidas por _____________ expresiones algebraicas según los valores de x. En la escena se pueden ver ejemplos de este tipo de funciones. Practica con algunos ejemplos hasta comprender el concepto. Ahora completa la tabla de valores de la siguiente función:

f(x)

-5 -4 1 3 5 5

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Para cada función, escribe las fórmulas, calcula las imágenes de los valores indicados en las escena y represéntalas: x

   f(x) =   

f(x)

   f(x) =   

Pulsa Funciones elementales

f(x)

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FECHA:

2.d. Función valor absoluto Lee el texto de pantalla y de la escena y luego completa: El valor absoluto de un número representa su distancia ____________ y la función valor absoluto es la que asigna a cada número dicha ___________. El valor absoluto de un número es el mismo si éste es ___________ y su ___________ si es negativo. Es un tipo de función ______________________. Viene representada por una función _____ de pendiente ____ y otra de pendiente____, las cuales se unen en el _________________.

Escribe aquí su ecuación y su representación gráfica:

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Dibuja la gráfica de cuatro funciones y la de su valor absoluto:

f(x)=

Funciones elementales

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FECHA:

EJERCICIOS 6.

Indica si la base y la altura de todos los rectángulos cuya superficie mide 1200 m2 son magnitudes inversamente proporcionales. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la función que las relaciona y dibuja su gráfica.

Determina la ecuación de la función cuya gráfica es: b)

Representa la gráfica de ecuación:

Representa la gráfica de las funciones definidas a trozos: a)

10.

0,5x + 2  f ( x ) = − x + 1 0,5x − 2 

a) x · y = 6

x ≤ −2

si − 2 ≤ x < 2 si x≥2

b) x · y = -5

− 0,5x − 1 si x < −2  f ( x ) = − 3 si − 2 ≤ x ≤ 3 x − 2 si x>3 

Dibuja la gráfica que corresponde al valor absoluto de cada una de las funciones:

f(x)=-2x+3

f(x)=x2-9

x · y=4

Pulsa Funciones elementales

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Funciones lineales Ecuación: y=

Funcións afines Ecuación: y=

La gráfica es una __________ que: - pasa por el _________ - crece si ______ - decrece si ______ - es horizontal si ______ m es la ____________ que coincide con el _________ entre la __________ y la __________ de cualquier punto de la recta. Es una función que siempre relaciona dos magnitudes ______________ ____________

La gráfica es una __________ que: - pasa por el punto ________ - crece si ______ - decrece si ______ - es horizontal si _______ m es la ____________ que coincide con el ________ entre la __________ de ________ y la __________ de ___________ entre dos puntos cualesquiera de la recta.

Funciones cuadráticas Ecuación: y=

Función de proporcionalidad inversa

La gráfica es una __________ que: - pasa por el punto _______ - es abierta hacia arriba si ____ y hacia abajo si ____ - es más cerrada cuanto ______ es a en ___________ Su eje de simetría es x=  Los puntos de ______ con el eje X, se obtienen igualando la ecuación a _____.

La gráfica se denomina _______________. Sus ramas están en los cuadrantes 1º y 3º si _______ y en los cuadrantes 2º y 4º si _______.

Funciones exponenciales Ecuación: y=

Funciones definidas a trozos

Solo está definida para valores de a mayores que _____ y distintos de ____. La constante k no puede ser ______. La función exponencial es: creciente si __________________ decreciente si ___________________ Corta al eje Y en el punto _______ y tiene una ___________.

Son funciones que están __________ por __________ ecuaciones en diferentes zonas de su ___________. Son usadas para explicar las _____________ de las funciones y para ___________ situaciones en las que cierta __________ cambia bruscamente su forma de comportarse.

Ecuación: y=  ou

Tiene dos ______________. Es _________ con respecto al punto de corte con sus asíntotas. Además, en este mismo punto la función es _______________. Ecuación:

Función valor absoluto Ecuación:

  =  

Es un ejemplo de ________________________ Pulsa

Funciones elementales

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Reconocer funciones y sus elementos (f. polinómicas) Reconocer funciones y sus elementos (otras funciones) Problemas prácticos con funciones polinómicas Problemas prácticos con otras funciones Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Reconocer funciones y sus elementos (f. polinómicas) Ecuación a partir de la gráfica 1. Determina la ecuación de la función de la gráfica, indicando si se trata de una función lineal o afín.

Dibujar rectas 2. Dibuja la gráfica de la función cuya ecuación es

Punto de corte 3. Halla las coordenadas del punto de corte de las gráficas de las funciones cuyas ecuaciones son:

f: y= g: y= Después dibújalas para comprobarlo.

Funciones elementales

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FECHA:

Rectas paralelas 4. Halla la ecuación de la función cuya gráfica es paralela a la función

y= y pasa por el punto

)

Ecuación con dos puntos 5. Halla la ecuación de la función cuya gráfica pasa por los puntos

)

Dibujar parábolas 6. Dibuja gráfica de la función:

Asociar parábolas 7. Asocia cada gráfica con su ecuación:

y= y= y=

Funciones elementales

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FECHA:

Reconocer funciones y sus elementos (otras funciones) Asociar hipérbolas 8. Asocia cada gráfica con su ecuación:

x · y= x · y= x · y= Inversamente proporcionales 9. Los números de la tabla adjunta corresponden a cantidades de dos magnitudes inversamente proporcionales. Rellena los huecos que quedan y escribe la ecuación de la función que relaciona a estas dos magnitudes.

Asociar exponenciales 10. Asocia cada gráfica con su ecuación:

y= y= y= Dibujar a trozos 11. Dibuja la gráfica de la función

  y=   

Funciones elementales

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FECHA:

Valor absoluto 12. La gráfica de la imagen corresponde a una función y=f(x). Dibuja la gráfica de la función y=|f(x)|.

Problemas prácticos con funciones polinómicas Proporcionalidad directa 13. En cierta gasolinera el precio de un litro es de _____€. Un día deciden subir su precio un ____%. Unos días después deciden incrementar el precio otro____% sobre el precio anterior. Calcula el precio final y el porcentaje de aumento sobre el precio inicial.

14. El precio de cierto artículo en un centro comercial es de _____€. En las rebajas de enero deciden aplicarle un descuento del ___%. Al llegar febrero todavía quedan existencias, por lo que deciden aplicarle un nuevo descuento del ____% sobre el precio que tenía en enero. Calcula el precio final y el porcentaje de descuento sobre el precio inicial.

Problemas telefónicos 15. Juan quiere instalar el teléfono en casa y está estudiando las ofertas de dos compañías A y B. La compañía A le ofrece un contrato con una cuota mensual fija de ___€ más una tarifa de _____€ por minuto. La compañía B le ofrece un contrato sin cuota fija y una tarifa de _____€ por minuto. Ayúdale a decidirse.

Funciones elementales

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FECHA:

16. Si una compañía de teléfonos cobra _______€ por hablar durante ___ minutos y _______€ por hablar durante ___ minutos, calcula la cuota fija mensual que cobra, así como el coste por minuto. Halla también el coste de una llamada de ____ minutos.

Punto de no retorno 17. Una avioneta tiene combustible suficiente para 4 horas, viajando a una velocidad constante de _____ km/h. Al despegar, el piloto observa que hay un viento a favor que permite volar a _____ km/h con el mismo gasto, pero debe tener en cuenta que a la vuelta solo podrá ir a _____ km/h. ¿Cuál es la distancia máxima a la que puede alejarse?

Área máxima 18. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima cuyo perímetro es igual a ______ metros.

Funciones elementales

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FECHA:

Problemas prácticos con otras funciones Velocidad-tiempo 19. Un móvil recorre un trayecto de _____ km con velocidad constante. Escribe la ecuación de la función que relaciona la velocidad del trayecto en función del tiempo empleado. Después calcula el tiempo invertido en recorrer el trayecto si la velocidad es de _____ km/h y la velocidad a la que se viaja si el tiempo invertido es de ___ horas.

Llenando un depósito 20. Un grifo con un caudal de ____ litros por minuto tarda ____ minutos en llenar un depósito. Halla la ecuación de la función que relaciona el tiempo que tarda en llenarse el depósito con el caudal del grifo. Dibuja su gráfica y calcula el tiempo que tardaría en llenarse si el caudal fuera de ____ litros por minuto.

La inflación 21. El IPC (Índice de Precios al Consumo) es una medida porcentual de la variación media de los precios de un año a otro. Si el IPC se mantiene constantemente igual a _____% durante ___ años, un producto que inicialmente valía _____ €, ¿qué precio medio tendrá al cabo de esos años?

Funciones elementales

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FECHA:

Segunda mano 22. Hemos comprado un coche por ________ €. Si el precio de venta en el mercado de segunda mano se deprecia un ___ % anual, calcula el valor del coche al cabo de ___ años. .

Calentando agua 23. Lee atentamente la situación que se describe abajo y halla la ecuación de la función que se describe. Después dibuja su gráfica y halla: 1) cuánto se tarda en alcanzar una temperatura de ___ºC 2) qué temperatura se alcanza al cabo de ____ minutos. Tenemos un bloque de hielo a ____ºC de temperatura. Lo ponemos a calentar en un recipiente y tarda ____ minutos en alcanzar los 0º C. Se mantiene ____ minutos a esa temperatura hasta que se licúa totalmente. Luego tarda ___ minutos en alcanzar la ebullición a 100º C y otros 10 minutos en evaporarse completamente, tiempo durante el cual se mantiene la temperatura a 100º C.

Paquetes por correo 24. La gráfica adjunta describe el coste de enviar un paquete por correo en función del peso de dicho paquete. Escribe la función correspondiente a esta gráfica. Averigua cuánto cuesta enviar un paquete de ____ kg.

Funciones elementales

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FECHA:

Calcula la ecuación de la recta paralela a la y=

que pasa por el punto (

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( , ) y B( , )?

Calcula las coordenadas del punto de corte de las rectas: r: y=

s: y=

Calcula el vértice de la parábola y=

Funciones elementales

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FECHA:

Calcula los puntos en que la parábola y= corta a los ejes de coordenadas.

Halla la ecuación de la función de proporcionalidad inversa cuya gráfica pasa por el punto P( , ). Dibuja también la gráfica.

Halla la ecuación de la función exponencial de la figura con ayuda del punto que está marcado.

Ponemos un capital de ____________€ a un interés compuesto del ____%. ¿A cuánto ascenderá al cabo de ___ años? (Redondea a euros)

  Si f(x)=    Calcula |f(

) |.

Funciones elementales

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FECHA:

Para practicar más 1. Determina la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente, indicando si se trata de una función lineal o afín.

9. Asocia cada gráfica con su ecuación: a) x·y=-60 b) x·y=-30 c) x·y= 5

10. Asocia cada gráfica con su ecuación: 2. Dibuja la gráfica de la función

a) y = -10x

y=-2x+5

b) y = 0,5x

3. Halla las coordenadas del punto de corte de las rectas cuyas ecuaciones son: y=x + 9 y y=3 x + 13

c) y = 5x

4. Halla la ecuación de la función cuya gráfica es paralela a la de la función y=4 x–2 y pasa por el punto P(-1,4). 5. Halla la ecuación de la función cuya gráfica pasa por los puntos P(-2,7) y Q(-1,4) 2

6. Dibuja la gráfica de la función y=x -1. 7. Asocia cada gráfica con su ecuación: a) y=-0.2x2+2x+2 b) y=-3x2-6

11. Dibuja la gráfica de la función:

− x − 5 y =  4

si x ≤ −1 si x > −1

12. La gráfica adjunta corresponde a una cierta función y=f(x). Dibuja la gráfica de la función y=|f(x)|

c) y=x2+2

8. Los números de la tabla adjunta corresponden a cantidades de dos magnitudes inversamente proporcionales. Rellena los huecos que quedan y escribe la ecuación de la función que relaciona a estas dos magnitudes.

Funciones elementales

13. En cierta gasolinera el precio de un litro de gasolina es de 1,24€. Un día deciden subir el precio un 1,66%. Unos días después deciden incrementar otra vez el precio un 3,18% sobre el último precio. Calcula el precio final y el porcentaje de aumento sobre el precio final.

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14. El precio de cierto artículo en un centro comercial es de 601€. En las rebajas de enero deciden aplicarle un descuento del 13%. Al llegar febrero todavía quedan existencias, por lo que deciden aplicarle un nuevo descuento del 11% sobre el precio que tenía en enero. Calcula el precio final y el porcentaje de descuento sobre el precio inicial. 15. Si una compañía de teléfonos cobra 12,14€ por hablar durante 2 minutos y 12,70€ por hablar durante 10 minutos, calcula la cuota fija mensual que cobra, así como el coste por minuto. Halla también el coste de una llamada de 22 minutos. 16. Una avioneta tiene combustible suficiente para 4 horas, viajando a una velocidad constante de 270 km/h. Al despegar, el piloto observa que hay un viento a favor que permite volar a 318 km/h con el mismo gasto, pero debe tener en cuenta que a la vuelta solo podrá ir a 222 km/h. ¿Cuál es la distancia máxima a la que puede alejarse? 17. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima cuyo perímetro es igual a 436 metros. 18. Un móvil recorre un trayecto de 265 km con velocidad constante. Escribe la ecuación de la función que relaciona la velocidad del trayecto en función del tiempo empleado. Después calcula el tiempo invertido en recorrer el trayecto si la velocidad es de 50 km/h y la velocidad a la que se viaja si el tiempo invertido es de 8 horas.

FECHA:

20. El IPC (Índice de Precios al Consumo) es una medida porcentual de la variación media de los precios de un año a otro. Si el IPC se mantiene constantemente igual a 1,9% durante 5 años, un producto que inicialmente valía 655€, ¿qué precio medio tendrá al cabo de esos años? 21. Hemos comprado un coche por 17739€. Si el precio de venta en el mercado de segunda mano se deprecia un 14% anual, calcula el valor del coche al cabo de 11 años. 22. Tenemos un bloque de hielo a -24º C de temperatura. Lo ponemos a calentar en un recipiente y tarda 10 minutos en alcanzar los 0º C. Se mantiene 6 minutos a esa temperatura hasta que se licúa totalmente. Luego tarda 7 minutos en alcanzar la ebullición a 100º C y otros 10 minutos en evaporarse completamente, periodo durante el cual se mantiene la temperatura a 100º C. Halla la ecuación que relaciona la temperatura del agua en el recipiente con el tiempo transcurrido y dibuja su gráfica. Después calcula cuánto se tarda en alcanzar una temperatura de 25º C y qué temperatura se alcanza al cabo de 25 minutos. 23. La gráfica adjunta describe el coste de enviar un paquete por correo en función del peso de dicho paquete. Escribe la función correspondiente a esta gráfica y averigua el precio de enviar un paquete de 17 kg.

19. Un grifo con un caudal de 7 litros por minuto tarda 15 minutos en llenar un depósito. Halla la ecuación de la función que relaciona el tiempo que tarda en llenarse el depósito con el caudal del grifo. Dibuja su gráfica y calcula el tiempo que tardaría en llenarse si el caudal fuera de 14 litros por minuto.

Funciones elementales

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Estadística Contenidos 1. Estadística descriptiva Población y muestra Variables estadísticas Gráficos variables cualitativas Gráficos variables cuantitativas discretas Gráficos variables cuantitativas continuas 2. Medidas de centralización Media, moda y mediana Evolución de la media Evolución de la mediana Media y mediana comparadas 3. Medidas de posición Cuartiles y percentiles Diagramas de caja y bigotes 4. Medidas de Dispersión Desviación típica y recorrido. Calcula las medidas de dispersión. La media y la desviación típica. 5. Representatividad de las muestras Muestreo estratificado Muestreo aleatorio.

Objetivos •

Distinguir los conceptos de población y muestra.

•

Diferenciar los tres tipos de variables estadísticas.

•

Hacer recuentos y gráficos.

•

Calcular e interpretar las medidas estadísticas de centralización y de posición.

•

Calcular las principales medidas de dispersión.

•

Entender la importancia de la elección de la muestra para que sea representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Estadística

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Un juego para empezar Ve pulsando en piezas adosadas al hueco para desplazarlas y así durante un rato para deshacer el puzzle. Reconstrúyelo ahora.

También puedes ver un vídeo pulsando en el icono Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Estadística descriptiva 1.a.

Población y muestra.

Población es ___________________________________________________ sobre el que se hace un estudio estadístico. La muestra es_______________________________________________________________, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su ________________________. El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama ___________________. En la escena adjunta tenemos 625 cuadraditos que representan a los alumnos de un instituto ficticio, si vas pulsando en los cuadraditos, vas seleccionando a parte de los alumnos. Contesta: a. ¿Cuál es la población? ____________________________________________________ b. ¿Cuál es la muestra? _____________________________________________________ c. ¿Cómo se llama el proceso en el que se pregunta a toda la población? ______________ Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.b. Variables estadísticas. La característica a estudiar en una población es la variable estadística. Completa la siguiente tabla con las características de los distintos tipos de variables: Tipos de variables estadísticas Cualitativas Discretas

Continuas

Cuantitativas

En la escena de la derecha tienes ejemplos de cada tipo de variable estadística Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

Completa la tabla con los ejemplos: Cualitativas Cuantitativas Discretas

Pulsa Estadística

Cuantitativas Continuas

para ir a la página siguiente. -

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FECHA:

1.c. Gráficos en variables cualitativas El diagrama de sectores es el mas indicado para este tipo de información. El porcentaje de datos de cada valor en una muestra se corresponde con el mismo porcentaje de sector de un círculo.

Así por ejemplo, si los datos son A, A, A, A, A, B, B, B, C y C., completa la tabla con los datos correspondientes: xi Frecuencia Porcentaje Ángulo A B C Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer un ejercicio sobre representación gráfica de variables estadísticas cualitativas. El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y cada uno de ellos elige un color. Pulsando en Genera tendremos los 30 colores elegidos aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Colori

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Rojo

Verde

Azul

Amarillo

Turquesa

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Pulsa

Estadística

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FECHA:

1.d. Gráficos en variables cuantitativas discretas Diagrama de barras Bastará que observes ejemplos hechos de la escena de la derecha para comprender como se hacen y su significado. Este es el gráfico mas indicado para las variables cuantitativas discretas.

Puedes leer un artículo del Instituto nacional de estadística, sobre el comportamiento o actuaciones de nuestro país con el medio ambiente y la energías renovables, en él se muestran diversos tipos de diagramas.

Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer unos ejercicios sobre representación gráfica de variables estadísticas cuantitativas discretas. En la tabla siguiente copia uno de ellos El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y cada uno de ellos nos dice el número de hermanos que tiene. Pulsando en Genera tendremos los 30 datos generados aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Variable

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Pulsa

Estadística

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FECHA:

1.e. Gráficos en variables cuantitativas continuas Histograma Lee la explicación de este tipo de gráfico estadístico. Contesta.

RESPUESTA

¿Qué figura se utiliza para representar los datos? Si todos los intervalos son de la misma amplitud, ¿qué nos indica la altura? Si los intervalos no son de la misma amplitud, ¿qué magnitud es proporcional a la frecuencia? Pulsa en el enlace: Ejemplo. Fíjate en el ejemplo resuelto que aparece. Polígono de frecuencias. Uniremos los centros de la parte superior de todos los rectángulos para obtenerlo. También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas: En cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores. Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer unos ejercicios sobre representación gráfica de variables estadísticas cuantitativas continuas. En la tabla siguiente copia uno de ellos: El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y medimos la altura de cada uno de ellos. Pulsando en Pulsa para empezar tendremos los 30 datos generados aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Intervalo

Frecuencia

Histograma

D. de frec. acumuladas

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)

Estadística

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FECHA:

EJERCICIOS 1. Clasifica los siguientes ejemplos de variables estadísticas: Longitud de un camión, Carga máxima, nº de ruedas, nº de ejes, tipo de camión, marcas de neumáticos, tipo de tapicería, nº de puertas, altura máxima. Cualitativas: C. discretas: C. continuas: 2. Calcula los grados que corresponden a cada valor en un gráfico de sectores hecho a partir de los datos: R, R , V , V , V , V , V , A, A y A

3. Agrupa los datos siguientes y haz un diagrama de barras adecuado. Datos = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 } Marca

Frecuencia

Diagrama

0 1 2 3 4 4. Clasifica los datos en intervalos y dibuja un histograma adecuado.

Intervalos Frecuencia [150,

]

[

]

[

]

[

]

[

, 200 ]

Histograma

Pulsa

Estadística

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

2. Medidas de centralización 2.a. Media, mediana y moda Un conjunto N de observaciones, N números, puede que por si solo no nos diga nada. En cambio, si además nos dicen que están situados alrededor de uno o varios valores centrales ya tenemos una referencia que sintetiza la información. Por eso se definen los siguientes parámetros de centralización (porque nos indican el centro de la distribución) Media. ________________________________________________________

Moda. _________________________________________________________ En el caso de variable continua, consideraremos por moda ____________________________ _______________________________________________________________. También puede ocurrir que haya dos modas o que no haya ninguna que destaque. Mediana._______________________________________________________ En la escena de la derecha vemos ejemplos de cómo calcular estos parámetros. Copia a continuación uno de ellos: Datos Media Moda Mediana

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

Diagrama de frecuencias relativas. En este diagrama se ve claramente la moda, señálala.

Diagrama de frecuencias relativas acumuladas. ¿Sabrías indicar en este diagrama la mediana y la media?

Pulsa Solución para ver estas medidas en el diagrama. Pulsa

Estadística

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2.b

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Evolución de la media.

1 Para los datos 5 y 5 la media es ___. Si añadimos un 5 ___________________. Si añadimos un 8 _______________________.

Datos 5y5

2 Si tenemos 9 datos con media 5 Necesitamos añadir un 6 para que la media pase a ser ____ Si tenemos 19 datos con media 5 Necesitamos un dato de valor 7 para que la media suba a ____

Datos 5, 5 y 5

Datos 13555 5678

Datos 5, 5 y 8

Datos 13555 56678

3 Para un conjunto de datos con media 5, si añadimos otro con media 5, por ejemplo 6 y 4, _________________________________________

En la escena de la derecha de la página puedes comprobar como se modifica la media en diversos ejemplos. Elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observa como varía en cada caso la media Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

En estos ejercicios tienes que calcular la media, puedes elegir si la variable es discreta o continua y ya te aparece hecho el recuento. Haz varios y a continuación copia un ejercicio de cada tipo en los recuadros siguientes: Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Total

Total Media

Media Pulsa

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x para ir a la página siguiente.

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2.c

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Evolución de la mediana

1 La mediana, para los datos 2, 3 y 4 es Me= ___. Si cambiamos el 4 por 5 o por 6 o por cualquier otro valor mayor ______________________

2 Si añadimos otro dato y tenemos 2,3 4 y 4, por ejemplo, la Me=_____ Y si añadimos un quinto valor, un 4 o un 5 o un 6 o cualquier otro mayor que 4, la mediana en 2,3, 4, 4 y ?? pasa a ser ___ En cambio,.. Da igual que el valor ?? sea 5, 10 o 25.

En la escena de la derecha tienes ejemplos donde la mediana cambia y donde no. Además tu mismo puedes variar el valor o valores que quieras para observar como evoluciona. También tienes la posibilidad de realizar ejercicios de calculo de esta, en la misma escena. Pulsando en los botones Número par de datos y Número impar de datos obtienes ejemplos de datos y como calcular la mediana. Si pulsas cambiar puedes ver como calcular la Mediana. Elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observar como varía en cada caso la mediana.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

En estos ejercicios tienes que calcular la mediana, puedes elegir si la variable es discreta o continua y ya te aparece hecho el recuento. Haz varios y a continuación copia un ejercicio de cada tipo. Puedes consultar la ayuda para resolverlos. Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Pulsa

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2.d

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Media y mediana comparadas

Lee el texto y completa los valores de la media y la mediana en cada caso: Datos Media Mediana 4, 6 4, 6, 8 4, 6, 11 Los valores 8 y 11 se consideran observaciones _____________. Si los datos estuvieran repartidos _______________ respecto a un valor, ese valor seria _____________________________. Si los valores a un lado de la mediana están más alejados de ella que los del otro lado, la media __________________________ ________________________________. Hay una ___________.

Juega con la escena de la derecha, Hay tres grupos de ejemplos, simétricos, asimétricos y atípicos, Puedes observar la evolución de la mediana y la media. Elige el número del ejemplo: Puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas

EJERCICIOS 5.

Calcula la media en cada caso: a) 4, 6, 8

Marca

100

200

300

400

b) 1,1,2,3

c) 1,2,3,4,2

Calcula la moda y la mediana en cada caso: a)

Determina la moda y la mediana a) 5,6,6

c) 100, 120, 180, 200

Calcula la media en cada caso: a)

b) 4, 6, 8, 6

Marca 10 20 30 40

Fr 2 4 3 2

Marca 100 200 300 400

Fr 2 3 4 1

a) b)

Se han medido las alturas en cm de un grupo de 30 personas obteniéndose los datos siguientes: Altura en cm (150,160] (160,170] (170,180] (180,190] (190,200]

fi 7 9 10 3 1

Calcula la media, la moda y la mediana.

Pulsa

Estadística

para ir a la página siguiente.

10 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

3. Medidas de posición 3.a

Mediana, cuartiles y percentiles

Dado un conjunto de datos numéricos si los ordenamos de forma creciente y consideramos: el primer valor que supera (o iguala) al 50% es la ________________________ Me • el primer valor que supera al 25% es el ________________________ Q1 • el primer valor que supera al 75% es el ________________________ Q3 • • Para otros valores como el 10%, o el 80% hablamos de ________________ P10 y P80. En la escena de la derecha tienes un ejemplo resuelto, si pulsas la flecha y pulsando en el botón genera puedes obtener muchos ejemplos resueltos, eligiendo si quieres que la variable sea discreta o continua. Pulsa en el botón

para practicar el cálculo de las medidas de posición .

Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia aquí dos ejercicios Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Mediana Marca Frecuencia Mediana xi fi xi fi Cuartil Q1

Cuartil Q1

Cuartil Q3

Percentil

Total

Total Pulsa

3.b

para ir a la página siguiente.

Diagramas de caja y bigotes

A partir del valor de la mediana y los cuartiles se pueden representar las distribuciones estadísticas mediante los llamados diagramas de caja y bigotes. Observa en la animación cómo se hace y después haz uno siguiendo los pasos en la escena de la derecha. Anota también aquí el ejercicio de la escena La tabla muestra el consumo diario de agua, en ml, de los 20 alumnos de una clase. Pulsa Paso 1 y ordena en forma ascendente los datos de la tabla

Una vez ordenados, pulsa Paso2 y sitúa la mediana moviendo el punto rojo sobre el eje horizontal. Pulsa Paso 3 y sitúa el máximo y el mínimo moviendo los puntos turquesa sobre el eje horizontal. Pulsa Paso 4 y sitúa los cuartiles moviendo los puntos magenta sobre el eje horizontal. Pulsa Paso 5 y dibuja el diagrama utilizando los puntos calculados para marcar las líneas verticales.

Estadística

11 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer un ejercicio .

En la escena tienes dos tipos de ejercicios, pasa de un tipo a otro pulsado en los botones correspondientes. Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes. Usa el punto rojo para identificar los valores que corresponden a la mediana, los cuartiles, el mínimo y el máximo. Introduce los valores en las casillas respectivas y verifica que tus respuestas sean correctas. Pulsa otros datos para hacer otro ejercicio. Copia uno a continuación

Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes, muestra los minutos que tarda en hacer efecto un medicamento en una población. Utiliza el punto rojo para guiarte sobre la gráfica, interpreta la información que presenta y responde a la pregunta planteada. Pulsa otra pregunta para cambiarla. Copia cuatro a continuación. ¿A qué porcentaje de la población le hizo efecto el medicamento en menos de ___ min? ____ % ¿Cuántos minutos transcurrieron para que el medicamento hiciera efecto en el ____% de la población? _______min ¿Cuántos minutos tardó el medicamento en comenzar a hacer efecto en la población? _____ min ¿A qué porcentaje de la población le hizo efecto el medicamento en ___ min o menos? ____ %

Q1= Me= Q3= mín.= máx.=

EJERCICIOS 10. Calcula la mediana, cuartiles primero y 3º, y el percentil 30, 60 y 90 de los datos: 4133231334000443030321004301 11. Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes y calcula, a partir de él, los valores máximo y mínimo, la mediana y los cuartiles.

12. Analiza el siguiente diagrama de caja y bigotes. Muestra los minutos que tarda en hacer efecto un medicamento en una población. Interpreta la información que presenta y responde a las preguntas. a) ¿A qué porcentaje de la población había hecho efecto al cabo de 30 minutos? b) c) d) e)

Al cabo de cuántos minutos había hecho efecto al 50 % de la población? Cuántos minutos tardó en hacer efecto al 100% de la población? A qué porcentaje había hecho efecto a los 55 minutos? ¿Cuánto tardó en hacer efecto a las tres cuartas partes de la población?

Pulsa

Estadística

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12 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

4. Medidas de dispersión 4.a

Desviación típica y recorrido

“La estadística es una ciencia según la cual, si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, nos hemos comido como promedio medio pollo cada uno”. La estadística indicará que todos comen lo mismo cuando las medidas de dispersión sean todas nulas. Rango o recorrido: El intervalo definido por ___________________________________. También se llama rango a _____________________________________. Varianza: La media aritmética de los ______________________________________________________ __________________________________________________________________________

Desviación típica: __________________________________________________________________________ Cuanto mayores son la varianza o la desviación típica, los datos se separan más de la media, es decir, hay más dispersión. En la escena de la derecha tienes varios ejemplos de las medidas de dispersión y de su significado, léelos con atención. Pulsa en el botón

para comparar distribuciones con iguales medidas de

centralización, en las que cambia la desviación típica. Copia a continuación dos de ellas

Pulsa

Estadística

para ir a la página siguiente.

13 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

4.b

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Cálculo de las medidas de dispersión.

Recorrido Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia aquí un ejercicio de cada tipo Variable estatística discreta Máximo

Variable estatística continua

Mínimo

Máximo

Percorrido

Mínimo

Percorrido

Desviación típica Si pulsas en Recuerda las fórmulas se abre un recuadro con las fórmulas de cálculo de la desviación típica y con ejemplos de aplicación. En la escena de la derecha puedes generar unos datos, calcular la desviación típica y ver el diagrama de columnas. Copia a continuación dos ejercicios

Intervalo

Marca

Frecuencia

(

fi ⋅ x − x i

xi.fi

)

Total Media

Desviación típica Mínimo

Pulsa en el botón

Máximo

Recorrido

para hacer unos ejercicios .

Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia aquí un ejercicios de cada tipo Variable discreta Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Variable continua

)

Total Media

Intervalo Marca Frecuencia

fi.xi2

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Total Desv. típica

Media Pulsa

Estadística

Desv.típica para ir a la página siguiente. -

14 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

4.c

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Media y desviación típica.

Para muestras unimodales (una sola moda) y casi simétricas, alrededor de la media podemos considerar un intervalo que contenga la mayoría de los datos. Por ejemplo, para una muestra con media 100 y desviación típica 10, la mayor parte de los datos estarán entre 90 y 110, aproximadamente el 68% ; entre 80 y 120 estará el 95% aproximadamente. Y casi todos entre 70 y 130. Hay una forma de distribución de datos llamada normal que cumple con lo anterior, y de una manera u otra, de todas las poblaciones grandes se pueden extraer datos que se ajustan a ella. En cursos superiores verás la importancia de estas distribuciones. En la escena de la derecha tienes unos ejemplos en donde aparece la media y unas franjas de color a su alrededor. Elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observa como varía en cada caso la media y las franjas de su alrededor

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios .

Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos. A continuación haz en las tablas dos de ellos, y después comprueba el resultado en la escena: Marca

Frecuencia

xi.fi

fi.( x -xi)2

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nº de datos Total

Marca

Frecuencia

xi.fi

fi.( x -xi)2

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nº de datos Total Pulsa

Estadística

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15 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

EJERCICIOS 13.

Calcula la media y la desviación típica en a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

14.- Calcula la media y la desviación típica en: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21 15.

Organiza los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200. Amplia la tabla con dos columnas, una para el producto de las marcas con las frecuencias y otra para el producto de las frecuencias con los cuadrados de las diferencias con la media. Calcula la media y la desviación típica.

Intervalo

Marca

Frecuencia

fi Media=

Desviación típica=

Total

5. Representatividad 5.a

Muestreo aleatorio

Una muestra es representativa de la población cuando ______________________________ ___________________________________________________________________________ ¿De qué depende que el estudio de una población sea o no representativo? _______________ ___________________________________________________________________________ ¿Cuándo se dice que la muestra está sesgada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en que consiste un muestreo aleatorio total: _________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ En la escena puedes animar una elección totalmente aleatoria o realizar muestreos simulando encuestas al hacer clic. Estadística

16 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

Pulsa

5.b

FECHA:

para ir a la página siguiente.

Muestreo estratificado

Un muestreo estratificado es _________________________________________________ En la escena tienes 625 cuadros que representan a los alumnos de un instituto ficticio, siguiendo las instrucciones puedes observar la diferencia entre un muestreo representativo y otro que no lo es.

Si comparamos los gráficos en ambos ejemplos de muestra, ¿en que tipo de muestra se parecen más a los de la población total? ___________________________________________ ¿Por qué? ___________________________________________________________________ Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio sobre representatividad .

Copia en este cuaderno un ejercicio y compruébalo después en la escena. De una población queremos extraer una muestra de tamaño ________. Si proceden de 5 áreas distintas, A, B, C, D y E con porcentajes del total de la población de _____%, _____%, _____%, _____% y _____%¿A cuantos de cada zona hay que entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ y E= ______

EJERCICIO 16.

Una gran empresa tiene trabajadores en cuatro áreas. Operarios, Representantes, administración y dirección. Las condiciones de trabajo son bastantes diferentes en cada área, por lo que el grado de satisfacción no es igual en cada una de ellas. Para averiguarlo, si hay 1000, 500, 300 y 200 trabajadores en las áreas de operarios, representantes, administrativos y directivos, ¿cuántos hay que seleccionar de cada área para una muestra de tamaño? a) 200 b) 100 c) 300

Estadística

17 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Muestra

Población. Variables estadísticas Tipos

Tipos de gráficos

Media, moda y desviación típica Media

Moda

Desviación típica

X =

Mo=

σ =

Cuartil, mediana, percentil Cuartiles Q1= Q3=

Mediana

Percentiles

Me=

Pi =

Media y desviación típica: Observa el ejemplo [ x +σ,

x -σ] = [

]

% de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

% de datos

Representatividad Una muestra es representativa de la población cuando _______________________________ ___________________________________________________________________________

Pulsa

Estadística

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18 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Medidas de centralización y dispersión. Representatividad Interpretación de gráficos del INE Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Medidas de centralización y dispersión. Representatividad. 1. Tipo de variable (haz dos ejercicios) Clasifica las siguientes variables: nº de hijos flor preferida peso temperatura media sabor altura Clasifica las siguientes variables estadísticas de un partido de fútbol: nº de espectadores en el campo

Velocidad Aceleración nº de valvulas nº de plazas tipo de vehículo nº de ruedas carga neta tipo de tapicería jugador preferido nº de goles tiempo transcurrido

2. Recuento de datos (haz dos ejercicios) Haz un recuento de los datos en una tabla.

Haz un recuento de los datos en una tabla

3. Diagrama de sectores Haz un diagrama de sectores para los datos del color preferido de la tabla Marca

Frecuencia

Total Estadística

19 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

4. Diagrama de barras Haz un diagrama de barras para los datos de la tabla. Marca

Frecuencia

Total

5. Histograma Con los datos de la tabla haz un histograma Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

6. Moda ¿Cuál es la moda en cada grupo? A={rojo, azul, verde, azul} B= {blanco, negro, azul} C= {rojo, verde, amarillo, rojo, azul, rojo, azul, azul} ¿Cuál es la moda en cada grupo? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4l}

B C A B C

7. Mediana ¿Cuál es la mediana en cada caso? A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3}

A B C D E

¿Cuál es la mediana en cada caso? A= {1, 2, 7, 10} B= {3, 6, 7} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1} 8. Igual media ¿Cuál es la mediana en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= {

A B C

}

9. Concepto de media Calcula la media para los datos: x1 = f1 = x2 = f2 = f3 = x3 =

Estadística

20 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

10. Cálculo de la media Calcula la media: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total Calcula la media: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

11. Caso simple de desviación típica ¿Cuál es la desviación típica en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= { ,

}

12. Concepto de desviación típica Calcula la desviación típica para los datos: f1 = x1 = x2 = f2 = x3 = f3 = 13. Cálculo de desviación típica Calcula la desviación típica: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total

Calcula la desviación típica: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

14. Representatividad Tomamos una muestra de tamaño 2000 de unaJóvenes población donde la edad influye en la característica Medios del estudio. El __ % de la población es mayor, el __ % joven y el __ % media. ¿A cuántos entrevistaré Mayores de cada grupo de edad? Pulsa Estadística

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21 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

Interpretación de gráficos del INE. (En cada apartado aparece una imagen y en el texto preguntas sobre ella. Pulsando en OTRO EJERCICIO aparecen más preguntas sobre la misma imagen) 1. ¿Qué hacemos? Observa el gráfico de sectores del INE y responde a las preguntas: ¿Cuál es la variable estudiada? ¿y la frecuencia? ¿A qué grupo de actividades dedicamos más tiempo los españoles? ¿Cuál es la moda? Calcula cuánto tiempo dedicamos al hogar y la familia: ¿Cuántos grados ocupa este sector en el diagrama?

2. ¿Cuánto paseamos? En el gráfico es fácil ver que somos lo europeos que más paseamos. ¿En qué países pasean más las mujeres que los hombres?

Calcula el tiempo medio que se dedica en cada país a pasear.

¿Qué país está en el percentil 50?

3. Cuidado personal. Observa el gráfico y responde a las preguntas: ¿Crees que el dormir se ha contado como actividad de cuidado personal? A las 15:00 hay un máximo local en la gráfica ¿a qué se debe? A la hora de la comida el 38% de las personas se dedica al cuidado personal. ¿Significa esto que un 62% de las personas no come?

4. Vida social. Observa el gráfico y responde a las preguntas: ¿Cuáles son las comunidades en las que se dedica menos tiempo a la vida social y a la diversión ¿Cuánto tiempo dedican a la diversión o a la vida social la mayor parte de las comunidades? ¿Cuál es el tiempo medio que se dedica en España a esta actividad?

Pulsa

Estadística

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22 -

IES _______________________ CUADERNO Nº 11

NOMBRE: __________________________

FECHA:

¿Cuál es la moda?

¿Cuál es el porcentaje de la muestra que corresponde a las dos primeras marcas?

¿Cuál es el percentil más pequeño que deja por debajo los valores menores a 3?

¿Cuál es la media?

Calcula la desviación típica

¿Cuál es la media?

Calcula la desviación típica

¿Qué percentil deja por debajo a los individuos de menos de 170 cm?

Estadística

23 -

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NOMBRE: __________________________

FECHA:

Probabilidad Contenidos 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral y sucesos Operaciones con sucesos Sucesos compatibles, incompatibles 2. Probabilidad de un suceso La regla de Laplace Frecuencia y probabilidad Propiedades de la probabilidad 3. Experimentos compuestos Regla de la multiplicación Extracciones con y sin devolución Probabilidad condicionada Probabilidad con diagramas de árbol

Objetivos • • • • • •

Hallar los sucesos de un experimento aleatorio y realizar operaciones con ellos. Calcular la probabilidad de un suceso mediante la regla de Laplace. Conocer las propiedades de la probabilidad. Hallar la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto. Hallar probabilidades de sucesos dependientes e independientes. Aplicar la probabilidad a situaciones de la vida cotidiana.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Probabilidad

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

IES _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE: ___________________________

FECHA:

Antes de empezar Investiga Imagina que estás en un concurso de televisión en el que te ofrecen tres puertas, a elegir una. Detrás de una de las puertas hay un coche y detrás de cada una de las otras dos, un burro. Eliges una puerta, pero antes de abrirla, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada una, abre una de las dos que no has elegido tras la que, por supuesto hay un burro, y entonces te da la oportunidad de cambiar tu elección. Naturalmente quieres llevarte el coche, ¿qué harías, cambiar de puerta o no cambiar? Antes de decidir, vamos a experimentar jugando. Puedes jugar tú o bien hacer que juegue en automático; después de varios intentos anota los resultados: Manual Intentos Coches % aciertos

Cambiando

Manteniendo

Total

Automático Intentos Coches % aciertos

Cambiando

Manteniendo

Total

RESPUESTA

CONTESTA Cuando eliges tú, ¿cuándo consigues más coches, cambiando o manteniendo? Cuando se elige automáticamente, ¿cuándo se consiguen más coches, cambiando o manteniendo? Después de lo visto, si quieres llevarte el coche, ¿qué harías, cambiar de puerta o no cambiar?

Si haces una apuesta en la bonoloto, ¿qué probabilidad tienes de acertar los 6 números?, ______________________________________ ¿Y tres?________________________________

Pulsa

Probabilidad

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-2-

IES _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE: ___________________________

FECHA:

1. Experimentos aleatorios 1.a. Espacio muestral y sucesos Lee las definiciones de la pantalla y completa: Son experimentos aleatorios, aquellos en los que ___________________________________ Se llama espacio muestral _____________________________________________________ Un suceso elemental es ______________________________________________________ Un suceso es ________________________________________________________________ Hay un suceso que se verifica siempre _______________________ y coincide con el _______ _______________________ Fíjate en la escena, en ella podemos extraer de forma aleatoria una carta de la baraja. Aparecen varios sucesos, y si mueves el ratón por encima de ellos, aparecen los sucesos elementales que los forman. Con ayuda de la escena, completa esta tabla: SUCESO SUCESOS ELEMENTALES Sacar el rey de oros Sacar oros o rey Sacar una figura Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.b. Operaciones con sucesos Lee las definiciones de la pantalla y completa Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B: • La unión de A y B, AUB, es el suceso formado por ________________________________ _______________________ Ocurre cuando _____________________________________ • La intersección, A∩B, es el suceso formado por _________________________________ y _____________________ Ocurre cuando ____________________________________ • La diferencia de A y B, A\B, es el suceso formado por ___________________________ ______________________ Ocurre cuando _____________________________________ • El suceso contrario a uno dado A, Ā, es el suceso formado por _____________________ ______________________ Ocurre cuando ____________________________________ • El suceso contrario del seguro es el suceso _______________, que no se verifica nunca, se indica con Ø. En la escena puedes ver un ejemplo de distintos sucesos y sus contrarios: En una urna hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. Se saca una bola y se mira el número, consideramos los sucesos A= ”salir par” y B= ”salir múltiplo de 3”. Escribe a continuación los sucesos elementales que forman los sucesos indicados en la tabla: A A B

AUB

A ∪B

A∩B

A ∩B

A\B

B\A

B\A Pulsa Probabilidad

para ir a la página siguiente. -3-

IES _______________________ CUADERNO Nº 12

FECHA:

NOMBRE: ___________________________

1.c. Sucesos compatibles e incompatibles Lee las definiciones de la pantalla y completa En un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no. •

Dos sucesos se dicen compatibles si ______________________________________. En este caso A∩B≠Ø, _________________ ocurrir a la vez.

•

Dos sucesos se dicen incompatibles si no _________________________________, en este caso A∩B=Ø, _________________ ocurrir a la vez

Un suceso y su contrario son siempre ____________________, incompatibles no siempre son ___________________.

pero

dos

sucesos

Dado el Espacio muestral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, y los sucesos: Rojo={1, 4, 7, 10}, Verde={1, 2, 3}, Azul={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} y Naranja={3, 5, 7}, con ayuda de la escena di si son compatibles o no los sucesos: SUCESOS

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

SUCESOS

Verde y Rojo

Rojo y azul

Verde y azul

Verde y amarillo

Azul y gris

Rojo y amarillo

Verde y gris

Amarillo y gris

Rojo y gris

Amarillo y azul

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

Representar los sucesos y las operaciones mediante un diagrama ayuda a entenderlos mejor. Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Pulsa sobre dos interrogantes de distinto color para emparejar una operación entre sucesos y el diagrama correspondiente. Completa los resultados en esta tabla:

Pulsa

Probabilidad

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-4-

IES _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE: ___________________________

FECHA:

EJERCICIOS 1. En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3. Consideramos el experimento de extraer una bola y anotar su número. Escribe todos los sucesos posibles. Indica cuáles de ellos son los elementales.

2. En una baraja, bajo el experimento de extraer una carta, considera los sucesos a) par, b) oros, c) par y oros, d) par u oros, e) par menos oros, f) oros menos par y g) no par. Escribe los sucesos elementales que los forman.

3. Al tirar un dado consideramos los sucesos: A={Par}, B={mayor de 3}, y C={impar}. De los tres pares de sucesos posibles AB, AC y BC, indica cuáles son compatibles y/o incompatibles

Pulsa

Probabilidad

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-5-

IES _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE: ___________________________

FECHA:

2. Probabilidad de un suceso 2.a. La regla de Laplace Lee las definiciones de la pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: ¿Cuándo decimos que un experimento aleatorio es regular? ¿Qué significa que los sucesos elementales son equiprobables? Dado un suceso A, ¿a qué llamamos casos favorables? ¿y casos posibles? ¿Podemos aplicar siempre la regla de Laplace? Si la respuesta es negativa, indica cuando se puede aplicar

RESPUESTAS

A continuación escribe la fórmula de la Regla de Laplace P(A) =

nº casos nº casos

Con ayuda de la escena de la derecha, calcula las siguientes probabilidades Extraemos una carta de una baraja de 40

SUCESOS

PROBABILIDAD

Que sea de un palo determinado Que sea de un nº determinado Que sea un as o un basto Que sea un as y un basto Que no sea ni as ni basto

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Considerando el experimento “tirar un dado” o “extraer una carta de la baraja española” calcula las probabilidades pedidas P(par)=

P(impar)=

P(oros o copas)=

P(3 de bastos)=

P(>4)=

P(2 ó 6)=

P(oros)=

P(bastos)=

P(3)=

P(>2 y <5)=

P(rey)=

P(bastos o copas)=

P(<5 y par)=

P(>2 ó <5)=

P(Rey de oros)=

P(figura)=

P(3 o par)=

P(>3 y <5)=

P(Un 3)=

P(figura de oros)= Pulsa

Probabilidad

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IES _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE: ___________________________

FECHA:

2.b. Frecuencia y probabilidad Lee las definiciones de la pantalla y completa: La frecuencia absoluta de un suceso es __________________________________________ La frecuencia relativa es _____________________________________________________ _________________________________________________. La ley de los grandes números dice que cuando repetimos un experimento _____________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Como consecuencia de la ley de los grandes números, tenemos una nueva definición de probabilidad de un suceso como ________________________________________________ ___________________________________________________________________________ En la escena de la derecha se simula el lanzamiento de tres monedas; a partir de los resultados de los lanzamientos, compara las probabilidades y las frecuencias de los sucesos: Nº de lanzamientos

>100

>200

>500

>1000

fr(0 caras)=

P(0 caras)=

fr(1 caras)=

P(1 caras)=

fr(2 caras)=

P(2 caras)=

fr(3 caras)=

P(3 caras)=

CONTESTA ESTAS CUESTIONES: ¿Cómo es la probabilidad de obtener cero caras, mayor o menor que su frecuencia? ¿Cómo es la probabilidad de obtener dos caras, mayor o menor que su frecuencia? ¿Cuándo se parecen más las frecuencias, con 100 lanzamientos o con más de 1000? ¿Por qué? Pulsa el botón

RESPUESTAS

para hacer unos ejercicios.

Practica con la escena y escribe a continuación un ejercicio: En una urna hay ___ bolas azules y rojas, no sabemos cuantas de cada color. Para averiguarlo extraemos una bola, miramos el color y la devolvemos a la urna antes de sacar otra. Repite el experimento muchas veces y observa la tendencia de las frecuencias relativas. Después de extraer más de 3000 bolas contesta: ¿Cuántas bolas de cada color estimas que hay en la urna?

Azules

Rojas Pulsa

Probabilidad

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IES _______________________ CUADERNO Nº 12

FECHA:

NOMBRE: ___________________________

2.c. Propiedades de la probabilidad Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que: •

La probabilidad de un suceso es un número ____________________.

•

La probabilidad del suceso seguro es ______ y la del suceso imposible es _______.

•

La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es ______________

Y de éstas se deduce además que: •

La probabilidad del suceso contrario es p(Ā)= ________________

•

La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es ____________________

En la escena de la derecha hay un ejemplo resuelto: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se saca una bola y se mira el número. Consideramos los sucesos: A= {1, 2, 3, 4} y B={4, 5, 6, 7, 8}. Con ayuda de la escena escribe la probabilidad de los sucesos de la tabla: p(A)

p(A∩B)

p( A )

p( A ∩ B )

p(B)

p(A\B)

p( B )

p( A \ B )

p(AUB)

p(B\A)

p( A ∪ B )

p( B \ A )

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

Lee el ejemplo resuelto y a continuación haz tú un ejercicio de cada tipo: En un grupo el ___% habla francés, y el ___% habla inglés, si el ___% habla los dos idiomas, ¿qué porcentaje habla alguno de los dos, francés o inglés?

En una clase el ___% aprueba Lengua y el ___% aprueba Matemáticas, si el __% ha aprobado alguna de las dos, ¿qué porcentaje ha aprobado las dos asignaturas?

En un instituto el ___% de los estudiantes de 4º de ESO ha escogido Física y el ___% Tecnología, si el ___% ha escogido las dos, ¿qué porcentaje no cursa ninguna de las dos asignaturas?

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

EJERCICIOS 4.

Tenemos un dado de 20 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectamente equilibrado a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles?

b) P(par)= c) P(mayor de 3)= d) P(par y mayor de 3)= e) P(par o mayor de 3)=

En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes. Extraemos una bola, calcula la probabilidad de que a) No sea roja

b) Sea roja o azul

En una urna hay 40 bolas rojas y azules, no sabemos cuántas de cada color,. Para averiguarlo extraemos una bola, miramos el color y la devolvemos a la urna antes de sacar otra. Repetimos el experimento 1000 veces y obtenemos 807 bolas rojas y 193 bolas azules. ¿Cuántas bolas de cada color estimas que hay en la urna?.

En un grupo, el 40% juega baloncesto y el 60% fútbol, sabiendo que el 85% practica alguno de los dos deportes, ¿qué porcentaje juega a los dos?

En una clase el 68% aprueba Lengua y el 66% Matemáticas, si el 43% ha aprobado las dos asignaturas, ¿qué porcentaje no aprueba ninguna de las dos?.

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

3. Experimentos compuestos 3.a. Regla de la multiplicación Un experimento compuesto es el que ___________________________________________ ___________________________________________________________________________ Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto es el ___________________ de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman. Observa en la escena cómo construye el diagrama de árbol del ejemplo y como se usa para calcular la probabilidad de cada suceso. para hacer un ejercicio.

Pulsa el botón

Se hace girar una ruleta una vez, según el color que salga, se sigue un camino u otro. Cada camino lleva a otra ruleta. Para calcular la probabilidad de cada color final basta multiplicar la obtenida en la primera ruleta por la de la segunda. Pulsa sobre OTRAS RULETAS para empezar; haz varios ejemplos y a continuación copia uno de ellos P(A)=

P(V)=

P(N)=

P(R)= Tenemos dos urnas, A y B, con bolas rojas, verdes y azules. Lanzamos un dado, si sale 1 ó 2 sacamos una bola de A, y si sale 3, 4, 5 ó 6 de B

p(A y R)= p(B y R)=

. .

= =

p(A y V)=

p(A y A)=

p(B y V)=

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

3.b. Extracciones con y sin devolución Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva de cartas o de bolas de una urna... en estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacar la siguiente o no. En la página hay una escena, que corresponde con la extracción de cartas de una baraja española; practica con ella antes de hacer el ejercicio. Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

En una urna hay 6 bolas blancas y 4 negras. Sacamos dos bolas, una tras otra Haz el diagrama de árbol en cada caso Con devolución

Calcula las siguientes probabilidades:

Sin devolución

Con devolución

Sin devolución

¿cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas? ¿cuál es la probabilidad de que la 1ª sea blanca y la 2ª negra? ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean negras? Pulsa

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3.c. Probabilidad condicionada Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. Se llama probabilidad condicionada, de B a A, y se expresa p(B/A) a la probabilidad de que ________________________________________________________________________

P( B / A) = Si pinchas el enlace ¿Por qué? verás la demostración de esta fórmula Dados dos sucesos, se dice que son independientes si ______________________________ ___________________________________________________________________ Dados dos sucesos, se dice que son dependientes si ______________________________ ___________________________________________________________________. •

A y B independientes: P(B/A)=_____________

•

A y B independientes: P(A∩B)=_____________

En la escena de la derecha tienes un ejemplo de sucesos dependientes; sigue sus instrucciones para ver la explicación. Probabilidad

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FECHA:

Primero haz tú los cálculos y comprueba en la escena después Fíjate bien en las bolas numeradas que contiene la urna. Vamos a extraer una bola, queremos averiguar si tendrás premio. Sigue las instrucciones de la escena para ver tu probabilidad de premio. Número

Roja

Azul

p(1)=

p(1/roja)=

p(1/azul)=

p(2)=

p(2/roja)=

p(2/azul)=

p(3)=

p(3/roja)=

p(3/ azul)=

Explica a continuación que sucesos son independientes y por qué

Explica a continuación que sucesos son dependientes y por qué

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

En una urna hay 12 bolas de colores y huecas, algunas de la cuales llevan premio en su interior. La distribución de las bolas según colores y CON PREMIO o SIN PREMIO está en la tabla. Completa la tabla: TOTAL CON PREMIO SIN PREMIO TOTAL Este tipo de tablas se llaman TABLAS DE CONTINGENCIA y se caracterizan por __________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Extraemos una bola al azar, calcula las probabilidades pedidas probabilidad de que tenga premio

p ( premio) =

probabilidad de que sea verde

p (verde) =

probabilidad de que sea verde y tenga premio

p (verde ∩ premio) =

si la bola es verde, la probabilidad de que tenga premio

p (verde / premio) =

¿Como son los sucesos salir bola verde y salir bola con premio? Pulsa

Probabilidad

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3.d. Diagramas de árbol Como has podido ver, en los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas las ramas que lo forman será el valor que buscamos. •

Si ocurre A y luego B:

•

La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a ______

•

La probabilidad de un suceso compuesto por varios caminos se calcula ____________ la de los caminos respectivos.

P(A y B)=________________

En el ejemplo de la escena de la derecha puedes comprobar este último resultado, juega y observa la suma total. Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

A la izquierda tienes una ruleta que determina que camino elegimos entre dos, y una ruleta en cada camino para elegir el color; cada vez que pulsas Nuevas ruletas, tienes un ejercicio diferente, y cada vez que pulsas Girar ruletas, se realiza el experimento y se calculan las frecuencias absoluta y relativa. Haz a continuación dos ejercicios, calculando las probabilidades que se indican en cada caso:

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

EJERCICIOS 9.

En las ruletas de la figura adjunta, calcula la probabilidad de cada uno de los caminos. P(azul) = P(verde) =

P(naranja)= P(rojo) =

10.

Lanzamos un dado de 4 caras {1,2,3,4} y otro de 10 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos 3?. ¿Y dos 4?

11.

Lanzamos un dado, si sale 1 ó 2 sacamos una bola de la urna A y si no de la B, ¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola azul?

12.

En una bolsa tenemos 5 bolas numeradas del 1 al 5. Extraemos dos bolas, a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 y un 3 si no devolvemos las bolas sacadas?. b) ¿Y cuál si las devolvemos?

13.

En una caja hay 6 bolas blancas y 4 bolas negras, ¿qué probabilidad hay de que al extraer dos bolas sean las dos blancas?. Hazlo sin devolución y con devolución.

14.

En una caja hay 12 bolas de tres colores, rojas, azules y verdes. Están huecas y en algunas hay premio y en otras no. La distribución de premios y colores es la que se indica en la tabla. Calcula las probabilidades siguientes e indica si los sucesos “premio” y “color” son dependiente o independientes en cada caso.

15.

Calcula la probabilidad de obtener rojo en las ruletas de la figura.

16.

. Lanzamos una moneda, si sale cara sacamos una bola de una urna con 2 bolas verdes y 3 bolas negras; si sale cruz de otra urna con 3 bolas verdes y 2 bolas negras. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea verde.

Probabilidad

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Experimentos aleatorios Un experimento aleatorio es aquel en el que _______________________________________ ______________________________ el resultado por más que se repita Espacio muestral ________________________________________________________ Llamaremos suceso ____________________ _________________________________. Sucesos elementales: ________________ ____________________________________ Un suceso A: ________________________ ___________________________________

Suceso seguro: ______________________ ___________________________________ Suceso imposible: ___________________ ___________________________________ Suceso contrario a un suceso A: ________ ___________________________________

Dos sucesos son compatibles si _________

Dos sucesos son incompatibles si ________

______________________________________

Operaciones con sucesos Unión A U B : se verifica cuando

Intersección A ∩ B : se verifica cuando

Diferencia A–B: se verifica cuando

Regla de Laplace Se puede aplicar solo cuando los sucesos elementales son ______________________

Nº casos Nº casos

Propiedades de la probabilidad p(S. seguro) = P(E) = ______ p(S. imposible) = P(Ø) = ______ ______ ≤ P(suceso) ≤ _____ p(Ā)= 1- p(____)

A y B son incompatibles p(A U B) =____________

A y B compatibles p(A U B) =_____________

Probabilidad condicionada En sucesos consecutivos pueden producirse dos situaciones: Independientes Dependientes

Probabilidad condicionada

p(B / A) =

Experimentos compuestos La probabilidad de un camino P(A y luego B)=_______________

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Sucesos y probabilidad sencillos Sucesos compuestos y probabilidad condicionada. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Sucesos y probabilidad sencillos 1 Sucesos (4 tipos de ejercicios) 1.1. Elegimos una ficha de dominó al azar, describe los sucesos: A=La suma de los puntos es mayor que ___ B= La suma de los puntos es un múltiplo de ___ Escribe A∩B y A∩ B

1.2. Con un diagrama de árbol construye el espacio muestral del experimento resultante de tirar 4 monedas. Considera los sucesos A= salir una _____ B= salir al menos dos _______ Escribe AUB, A∩B y el suceso contrario de B

1.3. Lanzamos un dado de 12 caras y anotamos el número de la cara superior. Describe los sucesos A=sacar un nº par B=sacar un nº mayor que __ C=sacar un nº menor que ___ D=sacar múltiplo de ____ Señala que pares de estos sucesos son incompatibles.

Probabilidad

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FECHA:

1.4. En el experimento de sacar una carta de la baraja española, considera los sucesos A= sacar una figura B= sacar ______________ Obtén los sucesos A ∩B y A∩ B

2 Regla de Laplace (6 tipos de ejercicios) 2.1. En una caja hay ___ bolas rojas, ___ bolas verdes y ___ bolas azules. En otra caja hay ___ bolas rojas, ___ bolas verdes y ___ bolas azules. ¿En qué caja es mayor la probabilidad de sacar una bola __________?

2.2. Encima de la mesa tenemos dos cartas de la baraja española que aparecen abajo, sacamos otra carta, calcula la probabilidad de que sea de _____________.

2.3. De un juego de dominó quitamos todas las fichas dobles, luego sacamos una ficha al azar, calcula la probabilidad de que la suma de los puntos sea un múltiplo de ____.

Probabilidad

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FECHA:

2.4. Formamos todos los números de tres cifras posibles con el ___, el ___ y el ___. Elegimos uno de estos al azar, calcula la probabilidad de que acabe en ____.

2.5. Se elige al azar un número entre los ____ primeros números naturales (a partir del 1). Calcula la probabilidad de los sucesos A= salir un nº mayor que ___ y menor que ___ B=salir un múltiplo de _____

2.6. Para corregir un examen de probabilidad un profesor benévolo ha decidido hacerlo de la siguiente manera: Tira dos dados y se fija en la mayor de las puntuaciones obtenidas, si esta es menor que ___ pone Insuficiente y en los otros casos Suficiente. Con este método, ¿Qué probabilidad tiene un estudiante de __________?

3 Propiedades de la probabilidad (5 tipos de ejercicios) 3.1. Un dado está trucado de manera que las caras son un nº _______ tienen __________ probabilidad de salir que las que no son. Calcula la probabilidad de cada una de las caras y la de sacar un nº _______.

Probabilidad

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FECHA:

3.2. Considera dos sucesos A y B de un experimento aleatorio. Si p(A)= _____, p(AUB)= _____ y p(A∩B)= _____; calcula la probabilidad de A/B y de B/A.

3.3. La probabilidad de un suceso A es p(A)= ____ y la de otro es p(B)= ____. Si la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es . p(A∩B)= _____; calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos.

3.4. La probabilidad de un suceso A es ______. Calcula la probabilidad del suceso contrario.

3.5. En una urna hay bolas blancas, rojas y negras, pero no sabemos cuántas ni en qué proporción. En 1000 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca ____ veces, roja ____ veces y negra ____ veces. Al hacer una nueva extracción, ¿qué probabilidad hay de sacar una bola ______? Si en la urna hay ___ bolas, ¿cuántas estimas que habrá de cada color?.

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Probabilidad

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FECHA:

Sucesos compuestos y probabilidad condicionada. 4. Bolas de la urna (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 4.1. En una caja hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se extraen sucesivamente y con reemplazamiento dos bolas. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.

4.2. En una caja hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.

5. Una de cada (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 5.1. En una caja hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. En otra hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se extrae una bola de cada caja, calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.

5.2. En una caja hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. En otra hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se extrae una bola de cada caja, calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color.

6. Primero el dado (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 6.1. En una urna, A, hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. En una urna, B, hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se tira un dado, si sale un número mayor que ___ se saca una bola de la urna A y si no de la B. Calcula la probabilidad de que la bola sea __________.

Probabilidad

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FECHA:

NOMBRE: ___________________________

6.2. En una urna, A, hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. En una urna, B, hay ___ bolas rojas, ___. Bolas blancas y ____ bolas negras. Se tira un dado, si sale un número mayor que ___ se saca una bola de la urna A y si no de la B. Calcula la probabilidad de que la bola sea __________

7. De la baraja (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 7.1. De una baraja española se extraen dos cartas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que a) las dos sean del mismo palo b) una sea de ______ y otra de _______

7.2. De una baraja española se extraen dos cartas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que a) las dos sean del mismo palo b) una sea de ______ y otra de _______

8. Con gafas o sin gafas (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) con g 8.1. En un instituto hay _____ estudiantes, de los que _____ son chicos y el resto chicas. El ___% de los chicos y el ___% de H las chicas lleva gafas. Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la M probabilidad de que no lleve gafas?

8.2. En un instituto hay _____ estudiantes, de los que _____ son chicos y el resto chicas. El ___% de los chicos y el ___% de las chicas lleva gafas. Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que lleve gafas?

Probabilidad

con g

sin g

H M

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FECHA:

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9. Fumadores y no fumadores (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) F 9.1. En una empresa trabajan ____ hombres y ____ mujeres. Hay ___ hombres y ___ mujeres que son fumadores. Elegida una H persona de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de M que: a) sea una mujer fumadora b) sea una mujer sabiendo que fuma.

9.2. En una empresa trabajan ____ hombres y ____ mujeres. Hay ___ hombres y ___ mujeres que son fumadores. Elegida una persona de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de que: a) sea una mujer fumadora b) sea una mujer sabiendo que fuma.

H M

10. Monedas del bolsillo (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 10.1. Llevo en un bolsillo _____ monedas de 10 céntimos, _____ de 20 céntimos y ______ de 1 €. Saco dos monedas al azar, qué probabilidad hay de que: a) las dos sean de ___________ b) saque ___________________.

10.2. Llevo en un bolsillo _____ monedas de 10 céntimos, _____ de 20 céntimos y ______ de 1 €. Saco dos monedas al azar, qué probabilidad hay de que: a) las dos sean de ___________ b) saque ___________________.

11. Tirando a canasta (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 11.1. Un jugador de baloncesto suele encestar el ____% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si tira tres veces, calcula la probabilidad de que: a) enceste _______ veces b) no enceste ninguna vez

11.2. Un jugador de baloncesto suele encestar el ____% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si tira tres veces, calcula la probabilidad de que: a) enceste _______ veces b) enceste las tres veces.

Pulsa Probabilidad

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FECHA:

Autoevaluación Completa aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar si la solución es correcta. Escribimos cada una de las letras de la palabra ______________ en un papel y sacamos una al azar. Escribe el suceso “salir vocal” Una moneda está trucada de manera que la probabilidad de salir _____ es ____________ la probabilidad de salir _____, ¿qué probabilidad hay de sacar ______? En una bolsa hay 100 bolas numeradas del 0 al 99, se extrae una bola calcula la probabilidad de que en sus cifras no esté el ___. Se elige una ficha de dominó, considera los sucesos A=”salir una ficha doble”, B=”la suma de los puntos es múltiplo de ___”. ¿Cuál es la probabilidad de AUB?

Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=_____; P(B)=_____ y P(A∩B)=____. Calcula la probabilidad de que no ocurra ni A ni B. Se lanza una moneda y un dado, calcula la probabilidad de que salga “______” y “número ________”

Tenemos dos urnas con bolas rojas, verdes y azules, como en la figura. Sacamos una bola de cada urna, calcula la probabilidad de las dos bolas sean __________. Los resultados de un examen realizado por dos grupos de 4º ESO se muestran en la tabla de la izquierda. Se elige un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea del grupo A si sabemos que ha _______________. Tengo en un cajón ____ calcetines de color blanco y ____ de color negro. Si cojo dos calcetines sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que sean del mismo color? Se sacan dos cartas de una baraja de 40, una tras otra. Si la extracción se hace ______ reemplazamiento, calcula la probabilidad de que ______________________________ _________________________.

Probabilidad

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FECHA:

Para practicar más 1. Lanzamos un dado de doce caras y anotamos el número de la cara superior. Describe los sucesos: A=”Sacar un nº par” B=”Sacar un número mayor que 6 C=”Sacar un número menor que 3” D=”Sacar múltiplo de 3” Señala que pares de estos sucesos son incompatibles. 2. Elegimos una ficha de dominó al azar, describe los sucesos: A=”La suma de los puntos es mayor que 7”; B=”La suma de los puntos es múltiplo de 5”. Escribe A∩B y A∩B . 3. En el experimento de sacar una carta de una baraja española, considera los sucesos: A=”Sacar una figura”, B=”Sacar copas” Obtén los sucesos: A∩B y A∩B.

6. De un juego de dominó quitamos todas las fichas dobles, luego sacamos una ficha al azar, calcula la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 5. 7. Formamos todos los números posibles de tres cifras con el 3, el 5 y el 6, repetidas o no. Elegimos uno de esos números al azar, calcula la probabilidad de que acabe en 5. 8. En una caja hay 3 bolas rojas, 3 bolas verdes y 2 azules; en otra caja hay 2 bolas rojas, 3 verdes y 2 azules. ¿En qué caja es mayor la probabilidad de extraer una bola azul?. 9. Se elige al azar un número del 1 al 30.Calcula la probabilidad de elegir: a) un nº mayor que 3 y menor que 17 b) un múltiplo de 3 10. Encima de la mesa tenemos las dos cartas que aparecen debajo, sacamos otra carta, calcula la probabilidad de que sea de oros.?

4. En la escuela municipal de un pueblo hay clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol y voleibol. Hay 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto y 40 a fútbol y baloncesto. ¿Cuántos van sólo a voleibol? 5. Con un diagrama de árbol construye el espacio muestral del experimento de lanzar 4 monedas. Considera los sucesos: A=”Salir una cara” B=”Salir al menos dos cruces” Escribe AUB, A∩B y el suceso contrario de B

Probabilidad

11. Para corregir un examen de probabilidad un profesor benévolo ha decidido hacerlo de la siguiente manera: Tira dos dados y se fija en la mayor de las puntuaciones obtenidas, si es menor que 4 pone Insuficiente y en los otros casos Suficiente. Con este método, ¿qué probabilidad hay de aprobar?

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12. La probabilidad de un suceso A es 0,15, ¿cuál es la probabilidad del suceso contrario? 13. Un dado está trucado de forma que las caras con número impar tienen triple probabilidad de salir que las caras con número par. Calcula la probabilidad de cada una de las caras y la de sacar número impar. 14. La probabilidad de un suceso A es 0,14 y la de otro B es 0,39. Si la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es 0,13. Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos. 15. Considera dos sucesos A y B de un experimento aleatorio con P(A)=0,16 y P(AUB)=0,65; P(A∩B)=0,02; calcula la probabilidad de A-B y de B-A. 16. En una urna hay bolas blancas, rojas y negras, pero no sabemos cuántas ni en qué proporción. En 1000 extracciones, devolviendo la bola cada vez, se ha obtenido bola blanca 223 veces, roja 320 veces y negra 457 veces. Al hacer una nueva extracción, ¿qué probabilidad hay de sacar una bola roja?. Si en la urna hay 23 bolas, ¿cuántas estimas que habrá de cada color?. 17. En una caja hay 3 bolas rojas, 2 bolas blancas y 2 bolas negras. Se extraen dos bolas, calcula la probabilidad de que las dos sean del mismo color si la extracción se hace: a) con devolución b) sin devolución. 18. En una caja, A, hay 3 bolas rojas, 2 bolas blancas y 2 negras, en otra caja, B, hay 2 bolas de cada color. Se extrae una bola de la caja A y se pone en la B, después se saca una bola de B. Calcula la probabilidad de que esta última bola sea negra.

Probabilidad

FECHA:

19. En una caja, A, hay 2 bolas rojas, 3 bolas blancas y 3 negras, en otra caja, B, hay 2 bolas de cada color, rojo, blanco, negro. Se tira un dado, si sale un número mayor que 4, se saca una bola de la urna A y si no de la B. Calcula la probabilidad de que la bola sea roja. 20. De una baraja española de 40 cartas, se extraen dos cartas sin devolución, calcula la probabilidad de que a) las dos sean del mismo palo b) una sea de oros y otra de copas 21. En un instituto hay 450 estudiantes, de los que 290 son chicos y el resto chicas. El 20% de los chicos y el 10% de las chicas lleva gafas. Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no lleve gafas? 22. Llevo en un bolsillo 6 monedas de 10 céntimos, 2 de 20 céntimos y 2 de 1 €. Saco dos monedas al azar, qué probabilidad hay de que: a) las dos sean de 1 euro b) saque 1,10 euros. 23. En una empresa trabajan 190 hombres y 130 mujeres. Hay 19 hombres y 26 mujeres que son fumadores. Elegida una persona de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de que: a) sea una mujer fumadora b) sea una mujer sabiendo que fuma. AYUDA: Completa la tabla FUMA

NO FUMA

HOMBRES

190

MUJERES

130

TOTAL

24. Un jugador de baloncesto suele encestar el 80% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si tira tres veces, calcula la probabilidad de que: a) enceste dos veces b) no enceste ninguna vez

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