Cuadernillo 4ºA ESO. Gallego by Red Educativa Digital Descartes

________________________________

IES____________________________

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Os números enteiros e racionais. Contidos. 1. Números enteiros. Representación e orde. Operacións. Problemas. 2. Fraccións e decimais. Fraccións equivalentes. Expresión decimal. Clasificación. 3. Números racionais. Representación e orde. Suma e resta. Multiplicación e división. Potencias de expoñente enteiro. Operacións con potencias. Problemas. 4. Notación científica. Definición. Operacións.

Obxectivos •

Representar e ordenar números enteiros.

•

Operar con números enteiros.

•

Aplicar os conceptos relativos aos números enteiros en problemas reais.

•

Recoñecer e representar números racionais.

•

Operar con números racionais.

•

Expresar números en notación científica e operar con eles.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Os números enteiros e racionais

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Antes de empezar Realiza a actividade seguinte que che axudará a entender o xogo proposto na escena... Enche os recadros en branco con números do 1 ao 9, de maneira que cada fila ou columna sumen os valores dados nos recadros en branco sen que se repitan na mesma fila ou columna.

Aconsellámosche... Empeza, primeiro, por aqueles cadrados que só teñen a posibilidade de poñer un número. Observa, cantos cadrados cumpren este requisito? Tras encher, busca aqueles que teñan a opción de inserir dúas casas. Coidado!, que non só son o 8 e o 7. Observaches que teñen en común estes dous números? Busca unha combinación que teña en común un número. Por último, só queda probar coas opcións obtidas de realizar a diferenza entre o que tes e o que che piden para conseguir que se cumpran o cadrado. Repite o proceso con cada novo caso que se propón na escena e resolve os seguintes:

Podes pulsar o botón

para repasar a operacións con fraccións.

Pulsa

Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte.

-2 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

1. Números enteiros. 1.a. Representación e orde. Le o texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que números representa o conxunto Z? Que acontece se a un número lle aplicamos o oposto e logo o valor absoluto?

RESPOSTAS

Na escena accede á opción de representación, oposto, valor absoluto e orde, e observa os exemplos propostos, para posteriormente realizar os exercicios. para facer os exercicios.

Pulsa no botón

EXERCICIO. Completa a seguinte táboa: Número

-3

-5

-2

Valor Absoluto Oposto Están ordenados os números propostos? En caso negativo, ordénaos.

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Operacións con números enteiros. Le en pantalla as normas das operacións con números enteiros que xa estudaches noutros cursos. COMPLETA ESTAS FRASES:

RESPOSTAS

Na suma ou resta de números enteiros, a ± b, o signo que resulta da operación é o de maior ____________________________. O signo do dividendo e o resto dunha división de dous números enteiros é _____________ ________________________________________________________________________. Observa os exemplos que aparecen na escena. EXERCICIO. Escolle a opción correcta das operacións propostas na seguinte táboa: Operación 3 + 4 +7 -3 + 4 - 7 -3 - 4 + 7 Pulsa no botón

a -14 -6 -8

b 7 0 0

c 14 14 8

Operación (-3) · (-2) · (-6) (+3) · (-2) · (-6) (-3) · (-4) · (+6)

a -11 -1 -72

b -30 0 -42

c -36 36 72

para facer os exercicios.

Copia 4 exercicios dos que aparecen na escena nos recadros da páxina seguinte e resólveos. Despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Os números enteiros e racionais

-3 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

Calcula:

Pulsa

DATA:

para ir á páxina seguinte.

1.c. Aplicacións dos números enteiros en problemas da vida cotiá. Na vida cotiá aparecen situacións onde é necesario traballar con números enteiros, e onde aparecen os conceptos de máximo común divisor e mínimo común múltiplo que xa estudaches en cursos anteriores. EXERCICIO 1. Completa os seguintes textos: O máximo común divisor, abreviado _________, representa o número _________ dos divisores comúns de dous ou máis números. Obtense seleccionando os factores ____________ elevados ao ___________ expoñente. O mínimo común múltiplo, abreviado _________, representa o número _________ dos múltiplos comúns de dous ou máis números. Obtense seleccionando os factores _________________________ elevados ao ___________ expoñente. EXERCICIO 2. Escribe neste recadro como se calcula o mínimo común múltiplo de 60 e 54. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 60 =

54 =

MCD (60, 54) =

Os números enteiros e racionais

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 60 =

54 =

MCM (60, 54) =

-4 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Na escena da dereita podes ver problemas de tres tipos: M.C.M.

M.C.D.

Pulsa sobre M.C.M. e continúa con

Divisibilidade

para ver como se fai.

"< volver" para volver ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MCM: 1º Comprender o enunciado Completa o enunciado: Nuria leva os papeis ao colector de reciclaxe cada ____ días e Pedro faino cada ____ días. Se coincidiron hoxe, cantos días han de pasar ata que volvan atoparse? 2º Analizar o problema

3º Calcular o M.C.M.

4º Dar a solución Pulsa < volver Pulsa sobre M.C.D. e continua con

para ver como se fai.

a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MCD: 1º Comprender o enunciado Completa o enunciado: O corredor dunha casa ten _________ de longo e ______ de ancho. Quérese poñer baldosas cadradas do maior tamaño posible. Acha as dimensións que deben ter as baldosas se non queremos cortar ningunha. 2º Analizar o problema

3º Calcular o M.C.M.

4º Dar a solución Pulsa < volver Os números enteiros e racionais

-5 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

Pulsa no botón

DATA:

para practicar o cálculo do m.c.m e do m.c.d. de dous números.

EXERCICIO 3. Existe unha propiedade interesante do máximo común múltiplo e mínimo común divisor. Completa a seguinte táboa e descóbrea completando o texto. Produto dos números

Números

m.c.d.

m.c.m

Produto m.c.m e m.c.d

162

61 236 24

216

O produto do máximo común divisor e ______________________ é ________________ que o produto de ambos os dous números. EXERCICIO 4. Le as seguintes afirmacións e determina se son verdadeiras ou falsas. VERDADEIRO

FALSO

O m.c.m ou m.c.d. só o utilizamos para facer problemas. O m.c.m. de 24 e 28 é 168. Para que o número 2 X 8 sexa divisible por 3, o valor da cifra X ten que ser 2, 5 ou 9. O m.c.d. de 6 e 7 non existe.

EXERCICIOS 1.

Calcular o valor absoluto de -3, 5, 0

Ordena de maior a menor: -78, -12, -35

Calcula o oposto de -3, 7, 0

Calcula: 4(1 − 9) − 1 + 8(1 + 2)

Calcular: −8(7 + 3) : (−8)

Acha o m.c.m. (882,168)

PROBLEMAS 7.

Todos os pasteis que fabricamos hoxe, témolos metidos en caixas de 75 e 189 pasteis e non sobrou ningún. Cantos pasteis como mínimo fabricamos hoxe?

O corredor dunha casa ten 1024 cm de longo por 192 cm de ancho. Se queren poñer baldosas cadradas do maior tamaño posible. Acha as dimensións que deben ter as baldosas se non queremos cortar ningunha.

Canto ten que valer x para que o número 9x7 sexa divisible por 3?.

10.

Escribe un número maior de 200 e menor 250 que sexa múltiplo de 30.

Pulsa

Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte.

-6 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

2. Fraccións e decimais. 2.a. Fraccións equivalentes. Le en pantalla a explicación sobre fraccións irreducibles e fraccións equivalentes, observa os exemplos de ambas as dúas despregando a opción da escena. RESPOSTAS

CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Como podemos saber que unha fracción non se pode reducir? Que debe acontecer para que dúas fraccións sexan equivalentes, se a primeira é a/b e a segunda c/d?

Completa: O conxunto dos números racionais Q, está formado por ______________________________________________ ______________________________________________

Pulsa no botón

para facer exercicios.

Completa o enunciado de 6 exercicios dos que aparecen na escena nos seguintes recadros (busca dúas de cada tipo para completar os enunciados). Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente.

Escribe a fracción irreducible de:

Razoa se fracciones

Escribe a fracción irreducible de:

son

equivalentes.

Acha x para que as fraccións

Razoa se fracciones

son

equivalentes.

sexan equivalentes.

Acha x para que as fraccións sexan equivalentes.

Pulsa Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte. -7 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

2.b. Expresión decimal. Clasificación. Le en pantalla a explicación e practica coa escena o paso de fracción a decimal, de decimal a fracción e a identificación do tipo de expresión decimal. EXERCICIO 1. Contesta as seguintes cuestións: Que tipos de decimais podemos obter?

En que se diferencian?

Se os divisores dun numerador son o 2 e o 5, que tipo de número decimal é?

EXERCICIO 2. Completa o seguinte cadro: Tipo

Características

Decimal exacto

Divisores do denominador

Regula de paso fracción

Os únicos divisores do denominador son o 2 ou o 5.

Escríbese o número sen a coma, réstaselle a parte enteira e divídese por tantos 9 como cifras ten o período. Simplifícase se é posible.

A parte decimal está formada por unha parte que non se repite seguida do período.

Os números enteiros e racionais

-8 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

Pulsa no botón

NOME: ___________________________

DATA:

para facer exercicios.

Completa o enunciado de dous exercicios de cada tipo. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Indica que tipo de número decimal sen

Indica que tipo de número decimal sen

dividir:

Escribe a fracción xeratriz de:

Escribe a expresión decimal de

EXERCICIOS 11.

Escribe a fracción irreducible de: a)

12.

128 256

14 448

25 75 e x 27

25 75 e 32 x

x 88 e 18 36

11 3

Escribe a expresión decimal das seguintes fraccións: a)

14.

Acha x para que as fraccións sexan equivalentes: a)

13.

160 800

88 9

331 99

Escribe a fracción xeratriz de: a) 3,332

b) 7,68

c) 5,80

Pulsa

Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte.

-9 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

3. Números racionais. 3.a. Representación e orde. Le en pantalla a explicación sobre fraccións irreducibles e fraccións equivalentes, observa os exemplos de ambas as dúas despregando a opción da escena. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Como se chama o conxunto de números que posúen denominadores? Que é o primeiro que hai que facer antes de representar unha fracción na recta numérica? Que hai que facer para ordenar dous números fraccionarios?

Pulsa no botón

para faceres exercicios de representación e de ordenación.

Completa o enunciado de dous exercicios de cada tipo. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Ordena de _____ a _______ as

Ordena de _____ a _______ as

fraccións:

Representa a fracción:

EXERCICIO. Representa nunha recta numérica os seguintes números racionais:

Pulsa Os números enteiros e racionais

5 17 9 , ,− 4 3 5

para ir á páxina seguinte. -10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

3.b. Suma e resta. Observa a simulación desta pantalla, logo le e mira os exemplos que aparecen na escena da dereita despregando cada unha das opcións. Completa: Para sumar ou restar dous números racionais _________________ _____________________________________________________

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de tres exercicios de cada tipo. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Sumas e restas de fraccións

Sumas e restas de números racionais (nos que aparecen fraccións e decimais)

Calcular:

EXERCICIO. Resolve a seguinte operación:

⌢ 3 1 + 4,2 - 3,5 + 5 3

Pulsa Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte. -11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

3.c. Multiplicación e división. Le a explicación dos métodos para multiplicar e dividir números racionais. Completa: •

O produto de dous números racionais é _________________________________ ___________________________________________________________________.

•

Para dividir dous números racionais ______________________________________ ___________________________________________________________________.

a c ⋅ = b d a c a : = ⋅ b d b

Na escena da dereita podes despregar as opcións para ver exemplos de multiplicacións e divisións de números racionais, no caso en que veñen dados mediante fraccións ou no caso no que aparecen números periódicos. Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de tres exercicios de cada tipo. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Produtos e divisións de fraccións

Produtos e divisións nos que aparecen números periódicos.

Calcular:

Os números enteiros e racionais

-12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

EXERCICIO. Resolve a seguinte operación:

DATA:

⌢ 3 1 ⋅ 4,2 - 3,5 : 5 3

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.d. Potencias de expoñente enteiro. Le en pantalla e completa: Se a é un número enteiro e n un número natural, ten que:

an = a−n = Ademais, para calquera valor de a distinto de 0, cúmprese:

a0 = a1 = a−1 = Para elevar unha fracción a unha potencia ________________________________________. Na escena da dereita podes despregar as opcións para ver exemplos de potencias de expoñente enteiro e base un enteiro ou unha fracción. Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de dous exercicios de cada tipo. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Expresar unha fracción en forma de potencia

Calcular potencias con expoñente positivo

Calcular potencias con expoñente negativo

Expresa como potencia a

 Calcula  

  

 Calcula  

  

 Calcula  

  

 Calcula  

  

fracción:

Expresa como potencia a fracción:

Os números enteiros e racionais

-13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIO. Completa: Potencia

Base

Expoñente

Resultado

Escribimos con expoñente... positivo

1   3

negativo

−2

(7)−3 2   5

Pulsa no botón

para facer polo menos 10 exercicios.

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

3.e. Operacións con potencias. Na pantalla aparecen catro das propiedades que debes saber para realizar operacións con potencias. Na escena da dereita podes elixir unha das propiedades e aparecerá un exemplo. EXERCICIO. Completa as fórmulas e pon un exemplo de cada unha: Exemplos (utiliza a escena) Desenvolve Propiedade Fórmula Enunciado Resultado mento ap · aq = ap+q

Produto coa mesma base.

24 · 2 3

24+3

= 27

Cociente coa mesma base. Potencia dunha potencia. Potencia negativa dun número fraccionario. Produto de potencias do mesmo expoñente. Cociente de potencias do mesmo expoñente. Potencia de números negativos.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de polo menos 10 exercicios nos recadros da páxina seguinte. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Os números enteiros e racionais

-14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

10)

para facer polo menos 10 exercicios.

Pulsa no botón

Pulsa

3.f.

DATA:

para ir á páxina seguinte.

Problemas con fraccións.

EXERCICIO. Completa: Para resolveres problemas con fraccións, debes seguir as mesmas __________ que con outros tipos de problemas. • Le _________________ o enunciado. • _________ sobre a situación que propón o problema, qué che pide, qué datos tes,... • Organiza a _______________ que tes, fai un ____________, un _________,... • Unha vez que teñas a solución _________________. Na escena da dereita podes ver problemas de tres tipos: Alimentación

Compra

Pulsa sobre Alimentación e continúa con

Herdanzas para ver como se fai.

"< volver" para volver ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MCM: 1º Comprender o enunciado Completa o enunciado: Sonia bebe diariamente ____________. Se o leite se vende en botellas de _____________. Cantas botellas debe comprar para ____ días? Os números enteiros e racionais

-15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

2º Analizar o problema O número de litros que necesitamos é de ________________ 3º Calcular o número de botellas Para calcular o nº de botellas __________________________________________________

4º Dar a solución As botellas necesarias son: _____ Pulsa < volver Pulsa sobre Compra e continua con

para ver como se fai.

a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MCM: 1º Comprender o enunciado Completa o enunciado: Se _____________ de ____________ custan ______. Canto custarán ______________? 2º Analizar o problema O prezo do quilo de _____________ obtense __________________________________ __________________________________________________________________________ Prezo dun Kg: 3º Calcular o prezo do produto O prezo de ______________ será:

4º Dar a solución O prezo de ______________ de ______________ é: _____ Pulsa < volver Pulsa sobre Compra e continúa con

para ver como se fai.

a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MCM: 1º Comprender o enunciado Completa o enunciado: Ao morrer, Xan deixa unha fortuna de ___________. Segundo o testamento, á súa muller tócalle ___________ e o resto aos seus fillos __________________. Canto lle toca cada un? 2º Analizar o problema Calculamos primeiro o que lle queda á muller:

Os números enteiros e racionais

-16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

3º Achar o que lle queda aos fillos Calculamos o que lle queda aos fillos: A cada fillo quédalle ___ de ___________ =

4º Dar a solución Á muller quédalle ______________ e aos fillos __________ a cada un. Pulsa < volver

EXERCICIOS 15.

16.

Ordena de maior a menor: 56 31 e a) 5 2

b) −

10 33 e − 3 2

Calcula dando o resultado en forma de fracción irreducible:

1 2

a) 4 − b)

10  5  ⋅ − 1 +   6   3

1 5 1 2 4 ⋅ − 7⋅  −  − :3 3 2 4 3 5

3 1 2 −3⋅ −  4 4 5 c) 3 1 4 − : 2 5 3 17.

Calcula dando o resultado en forma decimal: ⌢ ⌢ 1 a) 2,98+ 6,4 b) − 5,6 c) 0,1 - 0,24 4

18.

Calcula dando o resultado en forma decimal: a) 1/2 : 2,7

19.

b) 4,6 · 5/3

c) 6,15 : 0,5

Calcula as seguintes potencias: c) (− 3)−4

a) 2−3

5 b)   3 20.

−2



d)  − 

1  2 

−3

Calcula:

1 a) 4 ·  8

−3

−2

2

b)   3  

−4

3 :   2

3435 497

d) (x3)5·(x4)-3

Cando remates podes pasar ao seguinte apartado. Pulsa Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte. -17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

4. Notación científica. 4.a. Definición. Le en pantalla e completa: Para escribir números moi grandes ou moi pequenos utilízase a chamada _______________.

Un número escrito en notación científica é da forma

con 1≤ a <10 e k un número enteiro, que se chama _______ _________________ do número. A notación científica permite _________ doadamente números ______________________ ou con ___________________, abonda comparar __________________________. • Se k>0 o número de cifras enteiras é _____ • Se k<0 o número de cifras decimais é igual a _________________________________. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Dado o número 3 · 106 Cal é a orde de magnitude? Cantas cifras enteiras ten? É correcto escribir o diámetro da galaxia de Andrómeda como 94,608 · 1016? Razóao. Pulsa no botón

RESPOSTAS

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de dous exercicios de cada tipo nos recadros seguintes. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Escribe en notación científica __________

Escribe en notación científica __________

Escribe a expresión decimal __________

Cantas cifras decimais ten o número _____________?

Cantas cifras enteiras ten o número _____________?

Os números enteiros e racionais

-18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIO. Escribe na notación que se indica: Notación decimal

Notación científica

0,828

7,54 · 103

0,000000000932

9,3 ·10-3

98000

3,6 ·10-5

5,8 ·10-5

258,7

6,7 · 10-4

Cando remates, podes pasar ao seguinte apartado. Pulsa

Notación decimal

para ir á páxina seguinte.

4.b. Operacións Le a explicación dos métodos para facer operacións con números decimais expresados en notación científica e completa. • Suma e resta Se os sumandos son da mesma orde de magnitude _____________________________ _______________________________________________________________________. Se os sumandos non son da mesma orde de magnitude __________________________ _______________________________________________________________________.

• Multiplicación e división Para multiplicar ou dividir dous números en notación científica, _______________________ ______________________________________________________________________.

En todos os casos o resultado dáse en ____________________. Na escena da dereita podes despregar as opcións para ver exemplos de sumas, restas, multiplicacións e divisións de números dados en notación científica. Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Completa o enunciado de dous exercicios de cada operación. Resólveos e despois comproba na escena se o fixeches correctamente. Calcular e dar o resultado en notación científica Sumar:

Os números enteiros e racionais

Sumar:

-19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

Restar:

Multiplicar:

Dividir:

DATA:

EXERCICIO. Efectúa as seguintes operacións: Operación

Resultado

Operación

4,8 ·10-5 + 7,86 ·10-7

2,5 ·105 + 7,86 ·104

7,54 · 107 - 1,8 ·106

3,5 · 10-4 - 9,1 ·10-5

9,1 ·10-3 · 2,6 ·10-4

6,7 · 104 · 7,5 ·105

3,65 ·105 : 2,5 ·107

5,8 ·10-6: 2,9 ·10-7

Resultado

EXERCICIOS 21.

Escribe en notación científica: a) 0'0000038 b) 1230000000

22.

Escribe a expresión decimal de: a) 8'44 · 108 b) 2'1 · 10-4

23.

Cantas cifras decimais ten o número: a) 3'2 · 10-9 b) 7'27 · 10-19

24.

Cantas cifras enteiras ten o número: a) 3'2 · 1023 b) 1'234 · 1054

25.

Realiza as seguintes operacións: a) 3'2 · 1023 + 1'5 · 1022 b) 4'1 · 10-12 - 1'5 · 10-11 c) 4'1 · 1012 · 2 · 1032 d)

6'2 ⋅ 1023 2 ⋅ 10 − 22

e) (3'2 · 1023)2

Os números enteiros e racionais

-20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Números enteiros Números enteiros positivos: __________________ ,... Números enteiros negativos: _________________ ,... O número _____ Valor absoluto de a: Oposto de a:

| +a | = | -a | = | 0 | =

Op (+a ) = Op (-a ) =

Potencia positiva dun número enteiro: an = _______________ Potencia negativa dun número enteiro: a -n = Notación científica: N = _______ __≤ | a | < ___ Números racionais Son os que ______________________________________ Números enteiros:

Números decimais:

•

_____________

•

_____________

•

_____________

•

_____________

•

________

o ________ o __________

Potencia positiva dunha fracción: n

a   = b  Potencia negativa dunha fracción:

a   b

−n

Pulsa

Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte.

-21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos exercicios no teu caderno. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Operacións con números enteiros e racionais. Potencias, notación científica e problemas. Nos seguintes EXERCICIOS de operacións con números enteiros e racionais, escribe o enunciado que aparece no teu ordenador que cumpra a condición proposta e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Fai un mínimo de dous de cada tipo. Escolle no menú a opción: Enteiros. 1. Ordena de menor a maior... a) b)

2. Calcula o valor absoluto de... a) b)

3. Ordena de maior a menor... a) b)

4. Calcula o oposto de... a) b) Operacións con números enteiros. 5. Operación tipo:

b ±c · (d ± e)

a) b)

6. Operación tipo:

a : b ±c · (d ± e)

a) b)

Os números enteiros e racionais

-22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Fraccións 7. Ordena de menor a maior... a) b)

8. Ordena de maior a menor... a) b)

Expresión decimal 9. Escribe a fracción xeratriz de decimal exacto... a) b)

10. Escribe a fracción xeratriz de decimal periódico... a) b)

11. Escribe a fracción xeratriz de decimal periódico mixto... a) b)

12. Escribe a expresión decimal de... a) b)

Os números enteiros e racionais

-23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Operacións con fraccións 13. Operación tipo:

a ± b · (c ±d)

14. Operación tipo:

a c ± b d+e

Operacións con números periódicos. 15. Operación tipo:

a+b

a) b)

16. Operación tipo:

a-b

a) b)

17. Operación tipo:

a·b

a) b)

18. Operación tipo:

a:b

a) b)

Pulsa Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte. -24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Nos seguintes EXERCICIOS de potencias, notación científica e problemas, escribe o enunciado que aparece no teu ordenador que cumpra a condición proposta e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Notación científica 19. Cantas cifras enteiras ten o número...? a) b)

20. Escribe a expresión decimal de... a) b)

21. Cantas cifras decimais ten o número... a) b)

22. Escribe en notación científica... a) b)

Operacións en notación científica 23. Calcular, expresa en notación científica, operacións tipo: a + b a) b)

Os números enteiros e racionais

-25 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

24. Calcular, expresa en notación científica, operacións tipo: a - b a) b)

25. Calcular, expresa en notación científica, operacións tipo: a · b a) b)

26. Calcular, expresa en notación científica, operacións tipo: a : b a) b)

Potencias 27. Expresa a fracción como potencia de expoñente enteiro a) b)

28. Calcular operacións tipo: an a) b)

29. Calcular operacións tipo: a-n a) b)

Os números enteiros e racionais

-26 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

a 30. Calcular operacións tipo:   b

DATA:

a) b)

a 31. Calcular operacións tipo:   b

−n

a) b)

Operacións con potencias 32. Calcular operacións tipo: ap · bq a) b)

33. Calcular operacións tipo: ap : bq a) b)

PROBLEMAS. Un encoro... 34. Un ________________ que abastece unha poboación ten ___________de auga. Se, por termo medio, unha persoa gasta ________ litros de auga anuais, a que poboación poderá abastecer durante un ano?

35. Un ________________ que abastece unha poboación ten ___________de auga. Se, por termo medio, unha persoa gasta ________ litros de auga anuais, a que poboación poderá abastecer durante un ano? Os números enteiros e racionais

-27 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Un microorganismo... 36. Un _________________ mide ___________ microns. Sabendo que un micron é o ____________ parte de 1 metro, expresa en _______ e en notación científica a lonxitude de _____ millóns de microorganismos postos en fila.

37. Un _________________ mide ___________ microns. Sabendo que un micron é o ____________ parte de 1 metro, expresa en _______ e en notación científica a lonxitude de _____ millóns de microorganismos postos en fila.

Nun laboratorio... 38. Nun _________________ observouse que a poboación de certas _______________ se multiplica por ______ cada ______. Se o número inicial era de ____________ bacterias. Cantas bacterias haberá despois de ___ horas?

39. Nun _________________ observouse que a poboación de certas _______________ se multiplica por ______ cada ______. Se o número inicial era de ____________ bacterias. Cantas bacterias haberá despois de ___ horas?

Pulsa

Os números enteiros e racionais

para ir á páxina seguinte.

-28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 1

NOME: ___________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos; despois, introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Calcular:

Cal é o maior valor que pode ter x para que o número _________ sexa divisible por 3?

Acha

fraccións

valor

de e

_____

para

que

sexan equivalentes.

Atopa o ____________ da fracción .

Escribe en forma de fracción irreducible o número ________________

Calcular:

Cantas ______________ de _______ de litro se poden encher con _______ litros de _____________?

Calcular:

Os números enteiros e racionais

-29 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Os números reais Contidos 1. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos 2. Radicais Forma exponencial Radicais equivalentes 3. Propiedades das raíces Ordenación de números reais Valor absoluto e distancias Intervalos e semirrectas 4. Operacións con raíces Introducir e extraer factores Calcular raíces Sumas e restas Produtos Cocientes

Obxectivos •

Clasificar os números reais en racionais e irracionais.

•

Aproximar números reais por truncamento e redondeo.

•

Representar graficamente números reais.

•

Comparar números reais.

•

Realizar operacións sinxelas con radicais.

Autor: Agustí Estévez Andreu Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Os números reais

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Antes de empezar

Observa a animación que hai nesta páxina e responde as seguintes preguntas: a) Das cantidades 3'14, 3'1416, 3'141592, cal é o valor real de pi?

b) Cal é ou cal podería ser a última cifra do número pi? __________________________ c) Cantas cifras ten o número pi? _________ Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1. Os números reais 1.a. Números irracionais •

Le o texto da pantalla.

a) A que chamamos número irracional? ____________________________________________ b) Cantos decimais ten un número irracional? ____________ c) Por que un número irracional non pode escribirse en forma de fracción? _______________ _________________________________________________________________________ d) Un decimal periódico tamén ten infinitas cifras decimais. Que o diferencia, entón, dun número irracional?_____________________________________________________ e) Hai números irracionais que se poden representar de xeito exacto. Escribe catro destes números: _______________________________________

Pulsa o botón na escena e observa como se calcula a lonxitude dunha circunferencia. Segue as indicacións que aparecen. Que tipo de número é a lonxitude da circunferencia se o diámetro é un número racional? ____________________________

Pulsa no botón

para entender por que 2 non é un número racional.

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-2 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

1.b. Números reais Le o texto da pantalla. Copia o esquema sobre a clasificación dos números reais:

Pulsa o botón "Outro número" ata acadar 3 números de cada conxunto: Irracional

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.c. Aproximacións Le o texto da pantalla. a) Os seguintes valores son aproximacións do número pi. Especifica se se tratan de aproximacións por defecto, por exceso, por redondeo ou por truncamento: 3,14 3,13 3,16 3,1416 3,141592 b) Ao truncar un número, sempre temos unha aproximación por _______________. c) Ao redondear un número. obtemos unha aproximación por defecto se a cifra seguinte á que se aproxima é ____________________ e unha aproximación por exceso se a cifra seguinte á que se aproxima é ___________________________.

Os números reais

-3 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

Pulsa o botón

NOME: _________________________

DATA:

na escena da dereita, á vez que les o texto que vai aparecendo.

a) Completa a táboa coas seguintes aproximacións por defecto e por exceso da raíz cadrada de 2: Ata a cifra

1ª

2ª

4ª

6ª

Por defecto Por exceso b) Aproxima por defecto ata a 3ª cifra decimal a raíz cadrada de 2: __________. Hai algún outro número racional comprendido entre a raíz e a aproximación? c) Aproxima por exceso ata a 3ª cifra decimal a raíz cadrada de 2: __________. Hai algún outro número racional comprendido entre a raíz e a aproximación? d) As aproximacións dun número real, a que conxunto, dos que viches no apartado anterior, pertencen? _____________________________________ Pulsa no botón

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

O raio dunha circunferencia é de 3,96 metros. Utilizando o valor de pi que che dá a calculadora descobre: 1. A lonxitude da circunferencia, truncando o resultado aos centímetros.

2. A lonxitude da circunferencia, redondeando o resultado aos centímetros.

3. A área do círculo, truncando o resultado aos centímetros cadrados.

4. A área do círculo, redondeando o resultado aos centímetros cadrados.

Pulsa Os números reais

para ires á páxina seguinte. -4 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

1.d. Representación gráfica Toma regra e compás e, seguindo o exemplo da escena, realiza a: Representación gráfica de 2 .

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Representación gráfica de 3 .

Representación gráfica de 17 .

•

Segue pulsando a tecla

ata chegares á representación do número pi

a) De xeito similar ao que se mostra no proceso para acoutar o número pi, acouta 2 cun intervalo de lonxitude 0,0001: ____________________________ b) Acouta 3 cun intervalo de lonxitude 0,001: ____________________________ Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-5 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

1.e. Valor absoluto Le o texto da pantalla e visualiza a escena da dereita. a) Anota as dúas definicións de valor absoluto. Pon algún exemplo.

b) A partir da definición que liches, o valor absoluto dun número, é positivo ou negativo? __________________. c) Se x é un número negativo, cal será o valor de |x|? ____________. d) Se a operación a-b dá un resultado negativo, cal será o valor de |a-b|? __________. e) Se a operación a+b-c dá un resultado negativo, cal será o valor de |a+b-c|? _________

Pulsa no botón

para facer os exercicios que aí se propoñen.

Distancia entre dous números reais. Calcula o valor absoluto dos números a e b que aparece no exercicio proposto e calcula a súa distancia. Posteriormente, comproba o resultado. Exercicio

|a|

|b|

distancia

Exercicio

|a|

|b|

Distancia

Valor absoluto e operacións. Calcula o valor absoluto da suma, resta, produto e cociente dos números a e b. Posteriormente, comproba o resultado. Exercicio

|a|

|b|

|a+b|

|b|

|a·b|

|a/b|

1 2 3 4 Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-6 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

1.f.

NOME: _________________________

DATA:

Intervalos: segmentos e semirrectas

Le a definición de intervalo e segue as anotacións da escena. a) Un intervalo de extremos a e b, onde a é menor que b, é un conxunto de __________. comprendido entre a e b. b) Un intervalo pechado de extremos 3 e 5 represéntase por __________ ou por __________. c) Un intervalo aberto de extremos -2 e 4 represéntase por __________ ou por __________. d) Un intervalo de extremos 1 e 7 no que 1 non está incluído, pero 7 si, é un intervalo _______________ e represéntase por ___________ ou por ____________. e) Un intervalo de extremos -4 e 5 no que -4 está incluído, pero 5 non, é un intervalo _______________ e represéntase por ___________ ou por ____________. f) Os números maiores que 3 represéntanse mediante un intervalo ____________ do seguinte xeito __________ ou tamén como ___________. g) A que chamamos lonxitude dun intervalo? _____________________________________. h) Un entorno simétrico dun punto é un intervalo ________________________________. i)

Escribe un entorno simétrico do número 3 de maneira que o intervalo sexa de lonxitude 0,01: ____________. para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Pulsa no botón

Valores e intervalos Determina se os valores dos números dados pertencen ao intervalo proposto. Compróbao tras introducir na casa correspondente para cada valor, o 0 se non está no intervalo e un 1 se está no intervalo. Exercicio

Intervalo

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Pertence (si ou non) 1

1 2 3 4 Distancias e intervalos Determina se os números propostos distan do punto dado á distancia r data. Compróbao tras introducir na casa correspondente para cada valor, o 0 se non está no intervalo e un 1 se está no intervalo. Exercicio

| x-a |< r

Valor 1

Valor 2

Valor 3

1 2 3 4 Os números reais

-7 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Semirrectas e intervalos Determina se os valores dos números dados pertencen á semirrecta. Compróbao tras introducir na casa correspondente para cada valor, o 0 se non está no intervalo e un 1 se está no intervalo. Exercicio

Semirrecta

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Pertence (si ou non) 1

1 2 3 4

EXERCICIOS de reforzo A.

Decide se os seguintes números son racionais (R) ou irracionais (I): -5 π/2

7/3

2,313131… 1,01001000100001…

15 -4/5 B.

4,65

Indica a qué conxunto pertencen os números do exercicio anterior: Irracional

Representa

O raio dunha circunferencia é 5 m. Utilizando a calculadora e o valor de π que che dá, calcula: a) A lonxitude da circunferencia truncando o resultado a cm. b) A lonxitude da circunferencia redondeando o resultado a cm c) A área do círculo truncando a cm2 d) A área do círculo redondeando a cm2

Os números reais

-8 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

EXERCICIOS de reforzo E.

Calcula: |5|=

|-3|=

3− 2 =

| 1 − 2 |=

Escribe en forma de intervalo os seguintes conxuntos numéricos: - Do 3 ao 7, incluíndo os extremos: - Os números maiores que -2: - Os números menores ou iguais que 1: - Do -1 ao 5, incluíndo o -1 e excluíndo o 5: - 1 ≤ x < 3: - x > 4:

Escribe un entorno simétrico de 5 de lonxitude e 0,0001.

Escribe un entorno simétrico de -3 de lonxitude e 0,1

EXERCICIOS 1. Indicar o menor dos conxuntos numéricos aos que pertencen os números: ⌢ 2 6 a) 5,97509... b) 6,103 c) d) − e) 5 3 2

f ) 16

2. O raio dunha circunferencia é de 4 m. Calcula a súa lonxitude. 2.1. Truncando o resultado primeiro a cm e logo a m. 2.2. Redondeando o resultado primeiro a cm e logo a m. 3. Calcula o valor absoluto dos números a=-3 e b=5, e a distancia entre eles. 4. Calcula |a+b| |a-b| |a·b| e |a/b| 5. Indica qué puntos pertencen ao intervalo en cada caso: 5.1. Intervalo (-74,-52]. Puntos: a) -53

b) -74

5.2. Intervalo (-∞,75]. Puntos:

b) 75

a) 32

c) 11 c) 76

Pulsa Os números reais

para ires á páxina seguinte. -9 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

2. Radicais 2.a. Forma exponencial Le no texto a definición de raíz e de como un radical se pode escribir como unha potencia. Observa na escena diferentes exemplos destas dúas definicións. a) Escribe a definición de raíz n-ésima dun número a _____________________________ b) Escribe a equivalencia entre radical e potencia de expoñente fraccionario _____________ c) Se nun radical non aparece o índice, é que este é igual a _____ e recibe o nome de raíz ____________. d) As raíces de índice 3 chámanse raíces __________. e) A raíz cadrada de 9 é igual a 3, pero tamén igual a _____. f) A raíz cúbica de 8 é igual a 2. Explica por que non é igual a -2: __________________ _____________________________________________________________________ g) Os radicais de índice par sempre teñen dúas raíces, que entre elas son __________. h) Cantas raíces teñen os radicais de índice impar? _______. i)

Cales son as raíces de cero? ________.

j) Que tipo de número é a raíz cadrada dun número negativo? ________________. k) Con que outros radicais sucede o mesmo que no apartado anterior? _______________ _______________________________________________.

Pulsa no botón

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Escribe en forma de radical Escribe catro exercicios propostos neste apartado. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Potencia fraccionaria

Valor a

Valor b

Valor c

Expresión resultante

Os números reais

-10 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Escribe como potencia de expoñente fraccionario Escribe catro exercicios propostos neste apartado. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Radical

Valor a

Valor b

Valor c

Expresión resultante

EXERCICIOS de reforzo A.

Escribe en forma de radical e exponencial: Índice

Radicando

-8

Forma radical Forma exponencial

Escribe en forma de radical as seguintes potencias: 31/2=

52/3=

(42)1/3= Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.b. Radicais equivalentes Le o texto da páxina. a) Escribe a definición de radicais equivalentes e pon algún exemplo: __________________ ________________________________________________________________________ b) Ademais da definición anterior, dous radicais son equivalentes se as súas raíces son _______. c) Ao escribir en forma exponencial dous radicais equivalentes, os seus expoñentes poden non ser iguais, pero si __________________. Os números reais

-11 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

d) Para amplificar un radical, _________________ o índice e o expoñente do radicando por un mesmo número. e) Para simplificar un radical, __________________ o índice e o expoñente do radicando por un mesmo número. f) Se a partir dun radical obtemos outro amplificando ou simplificándoo, este será _____ ____________. g) Para converter un radical en irreducible, téñense que ____________ o índice e o expoñente do radicando polo ________________________________ de ambos os dous.

Pulsa no botón

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Escribe un radical equivalente Escribe catro exercicios propostos neste apartado. Comproba o teu resultado na escena. Radical

Exercicio

Radical equivalente irreducible

Radical equivalente

proposto

EXERCICIOS para practicares 6. Escribe en forma exponencial os seguintes radicais:

53 =

35 =

7. Escribe en forma de radical as seguintes potencias: 31/2=

52/3=

(42)1/3=

8. Amplifica os seguintes radicais para que o índice sexa igual a 12:

53 =

35 =

9. Transforma os seguintes radicais en irreducibles: a)

x28 Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte. -12 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

3. Propiedades das raíces 3.a. Raíz dun produto Le o texto da páxina e observa os exemplos que proporciona a escena. a) Escribe a propiedade que explica como calcular a raíz dun produto ________________ b) Aplica a propiedade anterior para calcular as seguintes raíces:

9 ⋅ 16 =

x3 ⋅ y6 =

c) Razoa por que é incorrecto o seguinte cálculo: da operación 5 ⋅ x simplifícase o radical de índice 2 co cadrado da x e obtense como resultado 5x ___________ ______________________________________________________________________ d) Investiga se esta propiedade tamén serve para a raíz dunha suma e comenta as túas conclusións, poñendo algún exemplo: 2

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Pulsa no botón

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que interveñan variables. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Os números reais

-13 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que interveñan números. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.b. Raíz dun cociente Le o texto da páxina e observa os exemplos que proporciona a escena. a) Escribe a propiedade que explica como calcular a raíz dun cociente

b) Aplica a propiedade anterior para calcular as seguintes raíces:

9 = 16

x3 = y6

Os números reais

-14 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

Pulsa no botón

DATA:

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que interveñan variables. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que interveñan números. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-15 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

3.c. Raíz dunha potencia Le o texto da páxina e observa os exemplos que proporciona a escena. a) Escribe a propiedade que explica como calcular a raíz dunha potencia

b) Aplica a propiedade anterior para calculares as seguintes raíces:

16 5 = 3

(x )

3 4

c) Razoa por que é incorrecto o seguinte cálculo:

(2)= 3

2 20

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Pulsa no botón

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

1 2 3 4 5

Pulsa Os números reais

para ires á páxina seguinte. -16 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

3.d. Raíz dunha raíz Le o texto da páxina e observa os exemplos que proporciona a escena. a) Escribe a propiedade que explica como calcular a raíz dunha raíz

b) Aplica a propiedade anterior para calcular as seguintes raíces:

3 5 4

2 =

c) Razoa por que é incorrecto o seguinte cálculo:

5 3

2 =8 2

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Pulsa no botón

Calcula Escribe catro exercicios propostos neste apartado nos que interveñan variables. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Os números reais

-17 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Calcula Escribe catro exercicios propostos neste apartado nos que interveñan números. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

EXERCICIOS de reforzo A.

Aplica a propiedade que corresponda en cada caso para calcular as seguintes raíces:

x2 ⋅ y2

4 = 9

(2 )

3 2

27 ⋅ 8 = x3 y6

46 =

215 =

Aplica as propiedades necesarias para demostrar as igualdades seguintes:

4 ⋅ 3 64 = 4

x ⋅ x2

( x)

EXERCICIOS 10.

Escribe cunha soa raíz:

11.

a) 5 3 Escribe cunha soa raíz: a)

12.

3·4 27

X4 x

x·5 x2

Escribe cunha soa raíz: 3

Pulsa Os números reais

para ires á páxina seguinte. -18 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

4. Operacións con raíces 4.a. Introducir e extraer factores dun radical Le o texto da páxina e observa o que acontece na animación inferior. Manipula a escena da dereita e contesta as preguntas. a) Lembra a definición de factor:

b) Como se introduce un factor nun radical de índice n?

c) E, que condición se ten que cumprir para que un factor se poida extraer dun radical de índice n?

d) Se un factor cumpre a condición para poder ser extraído do radical, explica como se extrae a través do seguinte exemplo:

218

e) Explica por que non se cumpre a condición para extraer factores no seguinte exemplo. Factoriza ao máximo o radicando e comproba que entón si que se poderán extraer factores do radical:

Explica por que no radical 5 ⋅ 3 + 2 non se poden extraer os factores de 57, aínda que o expoñente sexa maior que o índice:_________________________________________ 6

Os números reais

-19 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

Pulsa no botón

DATA:

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que introduzas variables dentro do radical. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que introduzas números dentro do radical. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Os números reais

-20 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que extraias variables dentro do radical. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado nos que extraias números dentro do radical. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-21 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

4.b. Calcular raíces Le o texto da páxina. a) Para calcular raíces dun número, primeiro tense que ______________ e logo extraer todos os ______________ que sexa posible. b) Como un número primo non se pode factorizar, a súa raíz n-ésima é sempre un número _____________. c) Calcula: 3

216000 =

Pulsa no botón

para faceres os exercicios que aí se propoñen.

Calcula Escribe cinco exercicios propostos neste apartado. Comproba o teu resultado na escena. Exercicio

Enunciado

Procedemento

Resultado

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-22 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

4.c. Sumas e restas Le o texto da páxina. a) Dous radicais que teñen o mesmo índice e radicando son _______________. b) Dous radicais só se poden sumar ou restar se son ________________. Na escena, clica sobre "Sumas e restas de radicais semellantes" e observa varios exemplos. Talvez se o necesitas, deberías repasar as sumas e restas con fraccións. a) Explica por que é incorrecto o cálculo

3 5 + 4 5 = 7 10

b) Cando se suman ou se restan radicais, en realidade súmanse ou réstanse os seus _________________, pero non os seus _________________. c) Calcula o resultado da seguinte operación, expresando o resultado cun único radical:

1 2 2 +5 2 − 2 3 7

Na escena, clica sobre "Sumas e restas complexas" e observa varios exemplos. a) Explica por que, aínda que en principio non o pareza,

2 e 8 son radicais semellantes:

b) Segundo o que viches na escena, para intentar sumar ou restar radicais que, en principio, non son semellantes terase que _____________ e extraer _____________ do radical. c) Calcula o resultado da seguinte operación, expresando o resultado cun único radical:

1 2 8 +5 2 − 18 3 7

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-23 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

4.d. Produtos Le o texto da páxina e manipula a escena da dereita. a) Dous radicais só se poden multiplicar se teñen o mesmo ________________, se non, primeiro haberá que buscar radicais ________________. b) Ao multiplicares dous radicais multiplícanse tanto os ________________ como os ______________ de ambos os dous. d) Calcula o resultado da seguinte operación, expresando o resultado cun único radical:

1 6 ⋅5 2 3

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

4.e. Cocientes Le o texto da páxina e manipula a escena da dereita. a) Dous radicais só se poden dividir se teñen o mesmo ________________, se non, primeiro haberá que buscar radicais ________________. b) Ao dividir dous radicais, divídense tanto os ________________ como os ______________ de ambos os dous. c) Calcula o resultado da seguinte operación, expresando o resultado cun único radical:

2 75 7 = 5 12 d) Simplificar unha fracción para que non aparezan radicais no denominador recibe o nome de ____________________. No caso de radicais cadráticos, isto conséguese multiplicando o _________________ e o ________________ polo radical do ___________________. Realiza este cálculo coa seguinte fracción:

3 2

5 3

Os números reais

-24 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

EXERCICIOS de reforzo A.

Extrae todo os factores que sexa posible dos seguintes radicais:

3 4

53 = 7= 343 =

Introduce todos os factores dentro dos radicais:

5⋅4 3 = 34 ⋅ 5 =

2 + 3⋅ 2 = C.

Extrae todos os factores dos radicais e calcula:

58 = 3 64 = 4 162 = D.

Cales dos seguintes radicais é semellante a 3

22 2

2 ? Xustifica a resposta.

Calcula expresando o resultado final cun único radical:

3 5−

4 5+ 5= 3

2 3 + 5 12 − F.

1 27 = 2

Calcula e simplifica:

(

)

3 ⋅ 5 ⋅ − 2· 15 =

2⋅3 2 ⋅ 2 = 6⋅ 8 2 ⋅ 32

5⋅4 3 2⋅3 5

Os números reais

-25 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

EXERCICIOS 13.

Introduce os factores dentro do radical: a) 2·4 3 7

b) x 2 x 3 14.

Extrae os factores do radical: a) b)

15.

16.

17.

128

x30

Calcular as seguintes raíces: a)

1024

x84

Indica qué radicais son semellantes: a)

3;54 3

x; 3 x

Calcular a suma: a)

40 + 90

b) 2 32 − 8 18.

Calcular o produto: 6   7  a)  14  ⋅  − 252  7 3    

(

 5  b)  − 175  ⋅ − 2 45  3 

19.

)

Calcular o cociente: 9 24 2 4 108

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-26 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Os números irracionais son os decimais _________________. Os números reais están formados polos números _______________ e os _____________. A expresión decimal dun número irracional é _____________________________. Un número irracional non pode escribirse como unha ___________. Que diferenza entre unha aproximación por defecto e unha por exceso? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________. Que é redondear? ________________________________________________________. Que é truncar? __________________________________________________________. O valor absoluto dun número dános a distancia do punto que representa ese número na recta real ao _____ e sempre ten signo ____________. Un intervalo aberto de extremos a e b denótase como ___________ e graficamente represéntase: Un intervalo pechado de extremos a e b denótase como ___________ e graficamente represéntase: Un intervalo semiaberto á esquerda de extremos a e b denótase como ___________ e graficamente represéntase: Un intervalo semiaberto á dereita de extremos a e b denótase como ___________ e graficamente represéntase: "A raíz n-ésima dun número a é igual a b" escríbese ____________. Nese caso cúmprese que "b elevado a n é igual ao número a", o que se escribe ____________. Un radical pódese escribir como unha potencia. Escribe como: Escribe como se calcula a raíz do produto, do cociente, da potencia e da raíz:

Que condición se ten que cumprir para poder extraer factores dunha raíz n-ésima?

Explica qué quere dicir que dous radicais sexan semellantes: Dous radicais pódense sumar ou restar se son ________________. Tamén o poderán ser se extraemos _____________ do radical. Dous radicais pódense multiplicar ou dividir se teñen o mesmo _____________ e o mesmo _______________. Se non é así, transfórmanse en radicais _______________.

Os números reais

-27 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de Exercicios de aproximacións Exercicios de intervalos e semirrectas Radicais Operacións con radicais Procura facer polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución. Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Exercicios de aproximacións Defecto

1. Considerando como exacto o valor de ______ escribe as aproximacións por defecto, por exceso e redondeos de orde primeira, segunda, terceira, cuarta e quinta.

1º

Exceso Redondeo Defecto

As aproximacións de ________ orde (ata as décimas) ten un erro de ±0,1.

2º

As aproximacións de segunda orde (ata as _______________) ten un erro de ±0,01.

Exceso Redondeo Defecto

As aproximacións de __________ orde (ata as ____________) ten un erro de ±0,001.

3º

As aproximacións de __________ orde (ata as ____________) ten un erro de ±0,0001.

Exceso Redondeo Defecto

As aproximacións de quinta orde (ata as ____________) ten un erro de ±0,00001.

4º

Exceso Redondeo

5º

Defecto Exceso

2. A fita métrica que aparece abaixo ten unhas divisións ata o medio cm. Utilizámola para medir unha vara e obtemos o valor que se mostra nela. Entre qué valores exactos se atopa a lonxitude real, supoñendo que ese valor é: a)por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.

Escribe a lonxitude: _______ cm

Os números reais

-28 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

3. Dinnos que a poboación dunha cidade é de __________ habitantes e que as 4 primeiras cifras desta cantidade son significativas. Entre qué valores se acha realmente a súa poboación?

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Exercicios de intervalos e semirrectas 4. Determina o conxunto A∩ ∩B sendo A e B os seguintes intervalos: A= __________ B= __________

5. Determina o conxunto AUB sendo A e B os seguintes intervalos: A= __________ B= __________

6. Determina o conxunto A-B sendo A e B os seguintes intervalos: A= __________ B= __________

7. Determina o conxunto -A sendo A o seguinte intervalo: A= __________

Os números reais

-29 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Radicais 8. Escribe en forma de expoñente fraccionario o radical ____________

9. Acha o valor do seguinte radical __________

10. Reduce a índice común os radicais ________ e _________

11. Extrae os factores do radical __________

12. Introduce os ___________

coeficientes

radical

Pulsa

Os números reais

para ires á páxina seguinte.

-30 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Operacións con radicais 13. (Sumas e restas) Calcular: ___________

14. (Sumas e restas) Calcular: ___________

15. (Produtos)Calcular: ___________

16. (Produtos) Calcular: ___________

17. (Cocientes) Calcular: ___________

18. (Cocientes) Calcular: ___________

Pulsa Os números reais

para ires á páxina seguinte. -31 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos. Despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Indica o menor conxunto numérico ao que pertence o número _________.

A milla inglesa mide 1609,34 m, redondea a km ______ millas

Coa calculadora, escribe un redondeo e un truncamento ás milésimas de ________.

Indica o intervalo que representa ao segmento da figura:

Calcula o valor da raíz __________

Escribe en forma de expoñente fraccionario __________?

Introduce o factor no radical: __________

Extrae factores do radical: ___________

Calcular ______________

Calcular e simplificar _______________

Os números reais

-32 -

IES _____________________ CADERNO Nº 2

NOME: _________________________

DATA:

Para practicar máis 1. Considerando 7,4833147735.... como o valor exacto de 56 , escribe as aproximacións por defecto, por exceso e redondeos de orde primeira e segunda (décimas e centésimas, respectivamente). 2. A fita métrica que aparece abaixo ten unhas divisións ata o medio cm. Utilizámola para medir unha vara e obtemos o valor que se mostra nela. Entre qué valores exactos se atopa a lonxitude real, supoñendo que ese valor é: a)por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.

5. Escribe como fraccionario:

potencia

b) 3 x2

c) a3

a) 5

expoñente

d) 5 a3

6. Escribe como un radical: 1

a) 32

b) 52

c) x 5

d) x 3

7. Extraer todos os factores posibles dos seguintes radicais a) 18

b) 3 16

c) 9a3

d) 98a3b5c7

8. Introducir dentro do radical todos os factores posibles que se atopen fóra del.

As aproximacións poden utilizarse tamén con números enteiros. Para xeneralizar esta idea, usaremos o concepto de cifras significativas: "Se un número N é un valor aproximado doutro número P, diremos que N ten n cifras significativas se as primeiras n cifras de N coinciden coas n primeiras cifras de P. (Non se consideran cifras significativas os ceros, cuxa finalidade é situar a coma decimal)". A definición anterior é bastante intuitiva pero non sempre é correcta de todo, por iso precisamos un pouco máis: "Diremos que N ten n cifras significativas se o número formado coas n primeiras cifras de N difire do número formado coas n primeiras cifras de P (eliminando as comas decimais se as houbese) en menos de ,5".

3. Dinnos que a poboación dunha cidade é de 1579000 habitantes e que as 4 primeiras cifras desta cantidade son significativas. Entre que valores se acha realmente a súa poboación? 4. Determina os conxuntos A∩B, AUB, A-B e -A nos casos seguintes: 1.

A = [ -11,-9] B = ( -1,6)

A = [ -5,5] B = (3,4)

A = [ -2,7] B = ( -2,6)

Os números reais

a) 3· 5

b) 2· a

c) 3a· 2a2

d) ab2 3 a2b

9. Suma os seguintes radicais indicados. a) 45 − 125 − 20

75 − 147 + 675 − 12

c) 175 + 63 − 2 28 d) 20 +

1 45 + 2 125 3

10. Realiza as operacións seguintes: a)

(

)

2− 3· 2

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3 c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2 d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 ) 11. Divide os seguintes radicais a)

6x 3x

75x2y3 5 3xy

-33 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Problemas aritméticos Contidos 1. Proporcionalidade directa e inversa Proporcionalidade directa Proporcionalidade inversa Reparticións proporcionais Proporcionalidade composta 2. Porcentaxes Porcentaxes Aumentos e diminucións Porcentaxes sucesivas 3. Xuro simple e composto Xuro simple Xuro composto Taxa anual equivalente (T.A.E.) Capitalización Amortización

Obxectivos •

Recordar e afondar sobre proporcionalidade directa e inversa, proporcionalidade composta e reparticións proporcionais.

•

Recordar e afondar sobre porcentaxes e variacións porcentuais.

•

Distinguir entre xuro simple e xuro composto.

•

Coñecer o significado da Taxa anual equivalente en produtos financeiros.

•

Calcular o capital final que se obtén se depositamos periodicamente cartos nalgúns produtos de capitalización e a cota periódica que hai que pagar para amortizar un empréstito.

•

Utilizar a folla de cálculo para resolver problemas.

Autor: Agustí Estévez Andreu Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Problemas aritméticos

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Antes de empezar Investiga

Utiliza as frechas de dirección para ver algunhas das aplicacións sobre problemas aritméticos.

Nas operacións bancarias, os bancos e caixas de aforro ofertan un xuro segundo uns índices de referencia. Cales son algúns destes índices?

Cal é o máis utilizado?

Na escena pulsa Aparecen enunciados diversos problemas que aprenderás a resolver neste tema. O primeiro é de proporcionalidade directa: Preparar distintas cantidades de disolución. EXERCICIO: A continuación aparece unha táboa con distintos problemas. Localízaos na escena e di de que tipo é cada un deles (como no exemplo primeiro) Exemplo

Tipo de problema

Preparar distintas cantidades de disolución

Proporcionalidade directa

Rematar un traballo aumentando o nº de traballadores/ás Repartir os gastos dunha viaxe Saber o tempo que pode durar a comida segundo o nº de animais e o que come cada un Repartir beneficios entre varios socios dunha empresa Expresar a relación entre o nº de aprobados e o nº de alumnos dun instituto A suba dun prezo dun ano para outro As rebaixas que se aplican nos comercios O que podes obter ao teres o teu diñeiro no banco durante un tempo determinado Os cartos que unha persoa pode ter cando se xubile se cada certo tempo aforra unha cantidade

Para repasares os contidos de 2º de ESO relacionados con este tema, pulsa

Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte.

-2 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

1. Proporcionalidade directa e inversa 1.a. Proporcionalidade directa •

Le o texto de pantalla e completa:

a) Dúas magnitudes son directamente proporcionais se ao multiplicar unha delas por un número a outra queda ________________ por ese mesmo número. b) Dúas magnitudes son directamente proporcionais se ao dividires unha delas por un número a outra queda ________________ por ese mesmo número. c) O resultado de dividir un valor da segunda magnitude entre un valor da primeira recibe o nome de ___________________________________________. •

Que métodos se poden utilizar para resolver un exercicio de proporcionalidade directa? • _____________________________________. • ___________________________________. • ___________________________________.

•

Observa a escena da dereita.

a) Completa a táboa que aparece na escena: Magnitude 1

Magnitude 2 Por que as seguintes magnitudes son directamente proporcionais? Son directamente proporcionais porque _____________________________________ ______________________________________________________________________ b) Calcula a razón de proporcionalidade directa da magnitude 2 sobre a magnitude 1: r=____ , e e observa como se aplican os diferentes c) Pulsa sucesivamente os botóns: métodos para resolver problema de proporcionalidade directa. Completa o enunciado que aparece na escena e copia o nome do método e a resolución do problema nos seguintes recadros: Problema: Comprei ___ lapis por _____ €. Canto custarán __ lapis? Procedemento:

Problemas aritméticos

-3 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Procedemento:

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.b. Proporcionalidade inversa • Le o texto de pantalla e completa: a) Dúas magnitudes son inversamente proporcionais se ao multiplicar unha delas por un número a outra queda ________________ por ese mesmo número. b) Dúas magnitudes son inversamente proporcionais se ao dividir unha delas por un número a outra queda ________________ por ese mesmo número. c) O resultado de dividir un valor da segunda magnitude entre un valor da primeira recibe o nome de ___________________________________________. •

Que métodos se poden utilizar para resolver un exercicio de proporcionalidade directa? ___________________ * __________________ * _________________

* •

Observa a escena da dereita e completa a táboa que aparece na escena: Magnitude 1

Magnitude 2 As magnitudes son inversamente proporcionais porque __________________ _____________________________________________________________________. d) Calcula a razón de proporcionalidade inversa: r=____ Problemas aritméticos

-4 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3 •

NOME: _________________________

DATA:

Pulsa sucesivamente os botóns: , e e observa como se aplican os diferentes métodos para resolver problema de proporcionalidade inversa. Completa o enunciado que aparece na escena e copia o nome do método e a resolución do problema nos seguintes recadros: Problema: Un grupo de __ alumnos gañou un premio por un traballo realizado e recibiron ___ € cada un. Canto recibirían se participasen ___ alumnos? Procedemento:

Pulsa no botón

Procedemento:

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 1.

Un automóbil consume 56 litros de gasolina ao percorrer 800quilómetros. Cantos litros de gasolina consumirá ao percorrer 500 quilómetros? Regra de tres directa

Redución á unidade

Un rectángulo ten 25cm de base e 18cm de altura. Que altura deberá ter un rectángulo de 15cm. de base para que teña a mesma superficie? Regra de tres directa

Redución á unidade

Completar as seguintes táboas segundo sexan as magnitudes: Directamente proporcionais

Inversamente proporcionais

184

Pulsa Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -5 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

1.c. Reparticións proporcionais • Le o texto e responde: a) Unha repartición é equitativa cando ___________________________________________. b) Cando se teñen en conta as cantidades iniciais dos individuos aos que se repartirá a cantidade final, a repartición é __________________, que pode ser directo se _________ ___________________________________________________ ou inverso se __________ ____________________________________________________. •

Observa a escena da dereita, na que se propoñen varios tipos de problemas de repartición proporcional a unhas cantidades iniciais, os cales se poden resolver de dúas maneiras diferentes.

No seguintes recadros, completa o enunciado e a resolución, que podes ver pulsando a frecha de avanzar que aparece na esquina inferior dereita da escena. Un pai reparte entre os seus dous fillos ___ lambetadas de forma directamente proporcional ás idades de cada un que son __ e __ anos. Cantas lambetadas lle dá a cada un?

Un pai reparte entre os seus dous fillos ___ lambetadas de forma inversamente proporcional ás idades de cada un que son __ e __ anos. Cantas lambetadas lle dá a cada un?

Un pai reparte entre os seus tres fillos ____ euros de forma directamente proporcional ao número de materias aprobadas, que foron __, __ e ___ respectivamente. Canto dá a cada un?

Un pai reparte entre os seus tres fillos ____ euros de forma inversamente proporcional ao número de materias suspensas, que foron __, __ e ___ respectivamente. Canto dá a cada un?

Pulsa no botón

Problemas aritméticos

para faceres uns exercicios.

-6 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

EXERCICIOS 4.

6. 7.

Un pai reparte entre os seus tres fillos 2166 euros de forma directamente proporcional ao número de materias aprobadas, que foron 4, 6 e 9 respectivamente. Canto dá a cada un? Un padre reparte entre os seus tres fillos 1020 euros de forma inversamente proporcional ao número de materias suspensas, que foron 4, 3 e 8 respectivamente. Canto dá a cada un? Catro socios puxeron en marcha un negocio aportando 3000€, 5000€, 9000€ e 12000€ respectivamente. O primeiro ano obteñen 5800€ de beneficio. Como deben repartilos? Catro amigos repártense 35 pasteis de forma inversamente proporcional ao seus pesos, que son respectivamente 60kg, 80kg, 90kg e 120kg. Cantos pasteis corresponden a cada un?

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.d. Proporcionalidade composta • Le o texto e contesta: a) A proporcionalidade composta utilízase para resolver problemas nos que aparecen máis de _______ magnitudes proporcionais. b) Os problemas de proporcionalidade composta pódense resolver polo método de redución á ___________ ou mediante a regra _____________________. •

Na escena dereita aparecen catro tipos de problemas de proporcionalidade composta. Completa o enunciado de cada un e resólveo seguindo cada un dos procedementos. Nunha cadea de produción, __ persoas traballando __ horas diarias, fabrican ___ pezas. Cantas pezas fabricarán __ persoas traballando __ horas diarias? Procedemento: Redución á unidade Magnitudes que interveñen: 1ª: _________________ 2ª: _________________ 3ª: _________________ Relación entre elas: A 1ª e a 3ª son: __________________ A 2ª e a 3ª son __________________

Paso 1: Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Problemas aritméticos

-7 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Procedemento: Regra de tres composta

Relación entre elas: A 1ª e a 3ª son: __________________

A 2ª e a 3ª son __________________

Para valar un terreo, ___ persoas constrúen un muro de ____ m2 en ___ días. Cantos días tardarán ___ persoas en construír un muro de ____ m2? Procedemento: Redución á unidade Magnitudes que interveñen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre elas: 1ª e 3ª son: ____________ 2ª e 3ª son ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Procedemento: Regra de tres composta Relación entre elas: A 1ª e a 3ª son: __________________ A 2ª e a 3ª son __________________

Problemas aritméticos

-8 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Para imprimir uns folletos publicitarios, ___ impresoras funcionaron ___ horas ao día e tardaron ___ días. Cantos días tardarán __ impresoras funcionando __ horas diarias? Procedemento: Redución á unidade Magnitudes que interveñen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre elas: 1ª e 3ª son: ____________ 2ª e 3ª son ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5: Procedemento: Regra de tres composta Relación entre elas: A 1ª e a 3ª son: __________________ A 2ª e a 3ª son __________________

Unha piscina de _____ m3 énchese con ___ billas en ___ horas. Cantas horas se tardará en encher unha piscina de ____ m3 con __ billas? Procedemento: Redución á unidade Magnitudes que interveñen: 1ª: __________

2ª: ____________

3ª: _____________

Relación entre elas: 1ª e 3ª son: ____________ 2ª e 3ª son ________________

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Problemas aritméticos

-9 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Procedemento: Regra de tres composta Relación entre elas:

A 1ª e a 3ª son: __________________

A 2ª e a 3ª son __________________

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 8.

Nunha cadea de produción, 3 persoas traballando 4 horas diarias fabrican 240 pezas. Cantas pezas fabricarán 9 persoas traballando 5 horas diarias? A primeira e a terceira magnitude son _______________ proporcionais. A segunda e a terceira magnitude son ________________ proporcionais. Redución á la unidade 1ª magnitude

2ª magnitude

persoas

horas

Regra de tres composta 3ª magnitude pezas

Para imprimir uns folletos publicitarios, 12 impresoras funcionaron 6 horas ao día e tardaron 7 días. Cantos días tardarán 3 impresoras funcionando 8 horas diarias? A primeira e a terceira magnitude son _______________ proporcionais. A segunda e a terceira magnitude son ________________ proporcionais. Redución á unidade 1ª magnitude

2ª magnitude

impresoras

horas

Regra de tres composta 3ª magnitude días

Pulsa Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -10 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

2. Porcentaxes 2.a. Porcentaxes • Le o texto e completa: Ao calcular a porcentaxe r% dunha cantidade C obtense como resultado o número P, mediante a fórmula: a) O cálculo de porcentaxes equivale a un problema con magnitudes ___________________ proporcionais. •

Na escena da dereita hai tres problemas de cálculo de porcentaxes, nas que hai que calcular P, C ou r. Completa o enunciado e a resolución nos seguintes recadros: Un depósito ten unha capacidade de _____ litros, pero agora ten o ___%. Cantos litros contén?

Un depósito ten unha capacidade de _____ litros, pero agora ten _____ litros. Que porcentaxe ten?

Un depósito contén _____ litros, que representa o ___%. Cal é a súa capacidade?

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 10.

a) Calcular o 27% de 450. b) Calcular o 85% de 2360.

11.

a) Que porcentaxe representa 15 dun total de 120? b) Que porcentaxe representa 3120 dun total de 8000?

12.

a) O 64% dunha cantidade é 112. Calcular a devandita cantidade. b) O 3,5% dunha cantidade é 63. Calcular a devandita cantidade.

13.

Nas vacacións de Nadal, un hotel tivo unha ocupación dun 96%. Se o hotel ten 175 habitacións, cantas se ocuparon?

14.

Na miña clase hai 30 alumnos. Deles, hai 18 que veñen ao instituto dende outra localidade utilizando o transporte. Que porcentaxe do total de alumnos utilizan transporte?

15.

O 4,2% dos habitantes do meu pobo son novos entre 14 e 18 años. Se hai 756 persoas neste intervalo de idade, cantos habitantes haberá? Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -11 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

2.b. Aumentos e diminucións porcentuais • Le o texto e completa: a) Escribe as fórmulas que se utilizan para aumentar ou diminuír unha cantidade inicial CI nunha porcentaxe r: Para aumentar nun r% Para diminuír nun r%

b) A que se lle chama índice de variación? •

Na escena da dereita atoparás diferentes exercicios de aumentos e diminucións porcentuais. Completa os enunciados e a O meu pai cobraba ao mes _____ € e este ano subíronlle un __%. Canto cobrará agora? Procedemento 1º: Calcúlase a suba do soldo: Súmase ao soldo inicial: Procedemento 2º: Calcúlase o índice de variación Aplícase a fórmula: __________

Entre os meus irmáns e eu compramos un regalo aos meus pais que valía ____ €. Ao pagalo fixéronnos un desconto do __%. Canto nos custou? Procedemento 1º: Calcúlase o desconto do prezo: Réstase ao prezo inicial o desconto: Procedemento 2º: Calcúlase o índice de variación Aplícase a fórmula: __________

Despois do aumento deste ano dun ___%, o soldo do meu pai é agora de _____ €. Canto cobrará antes? Calcúlase _______________________ Coñécese __________________ e ___________________. Hai que calcular _______________________.

Despois de facernos un desconto dun ___% na compra dun regalo, pagamos _____ €. Cal era o prezo inicial? Calcúlase _______________________ Coñécese __________________ e ___________________. Hai que calcular _______________________.

Problemas aritméticos

-12 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

O meu pai cobraba ao mes _____ € e, despois da suba deste ano, cobra agora _____ €. Que % lle subiron? Coñécese __________________ e ___________________. Hai que calcular _______________________.

Compramos un regalo que valía ____ €, pero despois de facernos un desconto pagamos _______ €. Que % nos descontaron?

Coñécese __________________ e ___________________. Hai que calcular _______________________.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.c. Porcentaxes sucesivas •

Le o texto e observa os exemplos da escena da dereita.

1. Describe os dous métodos que viches para aplicares porcentaxes sucesivas a unha cantidade inicial CI: Aplicando cada variación por separado Cos índices de variación •

Na escena da dereita atoparás diferentes exercicios de porcentaxes sucesivas. Completa os enunciados e a resolución O prezo dun obxecto nunha tenda é de ____ €. En primeiro lugar, aumenta o prezo un ___% e, posteriormente, volve aumentar un ___%. Cal é o prezo final? Procedemento 1º: Calculando cada variación por separado Primeira variación: Segunda variación: Prezo final: Procedemento 2º: Directamente cos índices de variación Primeiro índice de variación: Segundo índice de variación: Prezo final:

Problemas aritméticos

-13 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

O prezo dun obxecto nunha tenda é de ____ €. En primeiro lugar, aumenta o prezo un ___% e, posteriormente, diminúe un ___%. Cal é o prezo final? Procedemento 1º: Calculando cada variación por separado Primeira variación: Segunda variación: Prezo final: Procedemento 2º: Directamente cos índices de variación Primeiro índice de variación: Segundo índice de variación: Prezo final: O prezo dun obxecto nunha tenda é de ____ €. En primeiro lugar, reduce o prezo un ___% e, posteriormente, aumenta un ___%. Cal é o prezo final? Procedemento 1º: Calculando cada variación por separado Primeira variación: Segunda variación: Prezo final: Procedemento 2º: Directamente cos índices de variación Primeiro índice de variación: Segundo índice de variación: Prezo final: O prezo dun obxecto nunha tenda é de ____ €. En primeiro lugar, reduce o prezo un ___% e, posteriormente, volve diminuír un ___%. Cal é o prezo final? Procedemento 1º: Calculando cada variación por separado Primeira variación: Segunda variación: Prezo final: Procedemento 2º: Directamente cos índices de variación Primeiro índice de variación: Segundo índice de variación: Prezo final: Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 16.

Despois do aumento deste ano dun 14%, o soldo da miña nai é agora de 1938 euros. Canto cobraba antes?

17.

O meu pai cobraba ao mes 1600 euros e, despois da suba deste ano, cobra agora 1792 euros. Que tanto por cento lle subiron?

18.

Despois de facernos un 8% de desconto na compra dun regalo, pagamos 156,40 euros. Cal era o prezo inicial?

19.

Compramos un regalo que valía 80 euros, pero despois de facernos un desconto pagamos 71,20 euros. Que porcentaxe nos descontaron?

20.

O prezo dun obxecto nunha tenda de regalos é de 208 euros. En primeiro lugar, aumenta o prezo un 45% e, posteriormente, volve a aumentar un 66%. Cal é o prezo final?

21.

O prezo dun obxecto nunha tenda de regalos é de 180 euros. En primeiro lugar, reduce o prezo un 12% e, posteriormente, aumenta un 27%. Cal é o prezo final? Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -14 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

3. Xuro simple e composto 3.a. Xuro simple •

Le o texto da páxina e completa:

a) Se depositamos un capital C nun banco durante un ano, o banco daranos unha cantidade I, chamada ___________, que se obtén aplicando unha porcentaxe r%, chamado _________, á cantidade C. b) Se depositamos o capital durante un tempo t, que pode ser en anos, meses ou días, o xuro calcularase con algunha das fórmulas: t en anos

t en meses

t en días

c) I é ___________________ proporcional ás variables C, r e t. •

Na escena da dereita hai tres botóns: , e En cada un aparecerán 4 problemas diferentes aos que accederás pulsando OUTRO EXEMPLO. Completa o enunciado que aparece na escena e a resolución de cada problema nos seguintes recadros: Tempo "t" en anos Datos: C, r, t. Incógnita: I

1.1. Calcular o xuro que produce un capital de _______ € colocado a un xuro simple do _____ % durante ___ anos.

1.2.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, r, t. Incógnita: C Calcular o capital que hai que colocar durante ___ anos a un rédito do ____ % para que produza un xuro de _______ €.

1.3.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t Cantos anos hai que ter un capital de _______ € ao ____ % de xuro simple para que produza un xuro de _______ €.

Pulsa OUTRO EXEMPLO

Problemas aritméticos

-15 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Datos: I, C, t. Incógnita: r

1.4. Calcular o rédito ao que hai que colocar un capital de _______ € durante ___ anos para que produza un xuro de _______ €.

Tempo "t" en meses Datos: C, r, t. Incógnita: I

2.1. Calcular o xuro que produce un capital de _______ € colocado a un xuro simple do _____ % durante ___ meses.

2.2.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, r, t. Incógnita: C Calcular o capital que hai que colocar durante ___ meses a un rédito do ____ % para que produza un xuro de _______ €.

2.3.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t Cantos meses hai que ter un capital de _______ € ao ____ % de xuro simple para que produza un xuro de _______ €.

2.4.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, C, t. Incógnita: r Calcular o rédito ao que hai que colocar un capital de _______ € durante ___ meses para que produza un xuro de _______ €.

Tempo "t" en días Datos: C, r, t. Incógnita: I

3.1. Calcular o xuro que produce un capital de _______ € colocado a un xuro simple do _____ % durante ___ días.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Problemas aritméticos

-16 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Datos: I, r, t. Incógnita: C

3.2. Calcular o capital que hai que colocar durante ___ días a un rédito do ____ % para que produza un xuro de _______ €.

3.3.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, C, r. Incógnita: t Cantos meses hai que ter un capital de _______ € ao ____ % de xuro simple para que produza un xuro de _______ €.

3.4.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Datos: I, C, t. Incógnita: r Calcular o rédito ao que hai que colocar un capital de _______ € durante ___ días para que produza un xuro de _______ €.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 22.

Calcular o capital que hai que colocar durante 3 anos a un rédito do 4% para que produza un xuro de 5640 euros.

23.

Calcular o rédito ao que hai que colocar un capital de 28500 euros durante 2 anos para que produza un xuro de 5150 euros.

24.

Cantos anos hai que ter un capital de 8500 euros a un rédito do 3,75% para que produza un xuro de 2868,75 euros?

25.

Calcular o capital que hai que colocar durante 10 meses a un rédito do 5% para que produza un xuro de 2956 euros.

26.

Calcular o rédito al que hai que colocar un capital de 29500 euros durante 8 meses para que produza un xuro de 1710 euros.

27.

Calcular o xuro que produce un capital de 10400 euros colocado a un xuro simple do 1,5% durante 163 días.

28.

Cantos días hai que ter un capital de 40950 euros a un rédito do 2% para que produza un xuro de 182 euros?

Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte.

-17 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

3.b. Xuro composto. •

Le o texto desta páxina e as diferentes pantallas na escena. Completa:

a) Outro tipo de xuro é o chamado xuro composto, no que, cada certo tempo, chamado ______________________________, os xuros xerados polo capital inicial _______________________________________________. b) Escribe as fórmulas que calculan o capital final (CF) se se depositou un capital inicial (CI) a un rédito r% durante t anos, segundo o período de capitalización: Anual

•

Semestral

Trimestral

Mensual

, e Na escena da dereita hai tres botóns: En cada un aparecerán 4 problemas diferentes aos que accederás pulsando OUTRO EXEMPLO. Completa o enunciado que aparece na escena e a resolución de cada problema nos seguintes recadros: Deposítase un capital de _________ € a un xuro composto do _____ % durante ___ anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é anual.

Colócase un capital de ________ € a un xuro do ___ %. Compara o capital final obtido dende 1 a 5 anos distinguindo os tipos de xuro simple e composto. Anos

Xuro simple

Xuro composto

Diferenza

1 2 3 4 5 Distintos períodos de capitalización Deposítase un capital de _________ € a un xuro composto do _____ % durante ___

3.1. anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é semestral.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Problemas aritméticos

-18 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Deposítase un capital de _________ € a un xuro composto do _____ % durante ___

3.2. anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é trimestral.

3.3.

Pulsa OUTRO EXEMPLO Deposítase un capital de _________ € a un xuro composto do _____ % durante ___ anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é mensual.

Pulsa OUTRO EXEMPLO •

Completa as seguintes frases:

a) Para que se obteña o mesmo capital final a xuro simple e composto, canto tempo debe durar o investimento? ________________ b) Explica por que, para un investimento a varios anos, o capital final a xuro composto é maior que a xuro simple __________________________________________________ ________________________________________________________________________ c) Canto maior sexa o período de capitalización, _____ xuros recíbense no mesmo tempo, porque __________________________________________________________ •

Resolve o seguinte problema:

1. Calcula o capital final que obterías ao depositares un capital inicial de 2450 € durante 5 anos a un rédito do 6,3% se o período de capitalización é anual, semestral, trimestral e mensual: Anual

Pulsa no botón

Semestral

Trimestral

Mensual

para faceres uns exercicios. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.c. Taxa anual equivalente (T.A.E.) • Le o texto desta e a escena da dereita: a) Escribe a fórmula que se utiliza para calcular a taxa anual equivalente (que indica o % de crecemento real do capital durante un ano). Explica que significa o k:

b) A medida que o k aumenta, que acontece coa TAE? ______________________________ c) Cando a TAE coincide co rédito r%? ______________________________________ Problemas aritméticos

-19 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

d) Explica por que non é o mesmo un rédito do 12% anual que un do 1% mensual _____ ________________________________________________________________________. •

Mira o resto das escenas pulsando nos números da parte inferior do 2 ao 5. Para a mesma porcentaxe: ____ % e calcula a TAE correspondente para os diferentes tipos de capitalización: Mensual

•

Bimensual

Trimestral

Semestral

Resolve o seguinte problema:

1. Calcula con cál das seguintes opcións obterías máis xuros, cun rédito do 12% con capitalización semestral ou cun do 6% semestral:

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 29.

Deposítase un capital de 8200 euros a un xuro composto do 5,5% durante 6 anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é anual.

30.

Deposítase un capital de 29000 euros a un xuro composto do 1,75% durante 7 anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é trimestral. Se a capitalización é trimestral, nun ano haberá 4 períodos de capitalización.

31.

Deposítase un capital de 17600 euros a un xuro composto do 4,5% durante 5 anos. Calcular o capital final se o período de capitalización é semestral. Se a capitalización é semestral, nun ano haberá 2 períodos de capitalización.

32.

Colócase un capital de 1000 euros a un xuro do 1%. Calcular o capital final obtido desde 1 ata 5 anos distinguindo os tipos de xuro simple e composto. Xuro Anos Xuro simple Diferenza composto 1 2 3 4 5

33.

Calcular a taxa anual equivalente (TAE) correspondente a un 2,5% anual con capitalización mensual.

34.

Calcular a taxa anual equivalente (TAE) correspondente a un 4,75% anual con capitalización trimestral.

Pulsa Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -20 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

3.d. Capitalización •

Le o texto desta páxina:

a) Explica a diferenza entre as operacións de capitalización e as de xuro composto:

b) Escribe a fórmula que calcula o capital final CF que se obtén ao ingresar unha cantidade c, durante t períodos, a un xuro do r% en cada período • Na escena da dereita atoparás diferentes exercicios. Completa os enunciados e relaiza os seguintes exercicios. Unha persoa abre un plan de pensións cando ten ___ anos. Cada ano ingresa ______ €. O banco dálle un xuro do ____ % anual. Que cantidade terá cando teña ___ anos?

Unha persoa abre un plan de pensións cando ten ___ anos. Cada mes ingresa ______ €. O banco dálle un xuro do ____ % anual. Que cantidade terá cando teña ___ anos?

Unha persoa abre unha conta de aforro vivenda durante ____ anos, cunha cota anual de ______ € e un xuro do ____ % anual. De que cantidade disporá cando retire o diñeiro?

Unha persoa abre unha conta de aforro vivenda durante ____ anos, cunha cota mensual de ______ € e un xuro do ____ % anual. De que cantidade disporá cando retire o diñeiro?

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios. Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte.

-21 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

3.e. Amortización •

Le o texto desta páxina:

a) Explica a diferenza entre as operacións de amortización e as de capitalización:

a) Escribe a fórmula que calcula a anualidade C necesaria para devolver un préstamo CI durante t períodos a un xuro do r% en cada período •

Na escena da dereita atoparás diferentes exercicios. Completa e resolve: Unha persoa ten ou empréstito hipotecario de ________ € a un xuro do ___ % anual e a devolver en ____ anos. Que cantidade terá que pagar cada ano?

Unha persoa ten ou empréstito hipotecario de ________ € a un xuro do ___ % anual e a devolver en ____ anos. Que cantidade terá que pagar cada mes?

Unha persoa ten un empréstito hipotecario de ________ € a un xuro do ___ % anual e a devolver en ____ anos. Que cantidade terá que pagar cada trimestre?

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

EXERCICIOS 35.

Unha persoa abre un plan de pensións aos 22 anos. Cada ano ingresa 1000€. O banco dálle un xuro do 5,25% anual. Que cantidade terá aos 65 anos? Que cantidade de diñeiro corresponde ás súas cotas?

36.

Unha persoa ten unha conta de aforro vivenda durante 8 anos, cunha cota mensual de 150 euros e un xuro do 2,5% anual. De que cantidade disporá cando retire os cartos?

37.

Unha persoa deposita cada trimestre nun banco 400 euros, durante 10 anos. O banco dálle un xuro do 5%. Que cantidade de diñeiro terá aos 5 anos?

38.

Unha persoa ten un préstamo persoal de 120000 € a un xuro do 5% anual e a devolver en 20 anos. Que cantidade terá que pagar cada ano? Canto pagará en total?

39.

Unha persoa ten un préstamo hipotecario de 70000 € a un xuro do 4,5% anual e a devolver en 15 anos. Que cantidade terá que pagar cada mes? Que cantidade de diñeiro pagará en total? Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte. -22 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Proporcionalidade directa e inversa: Magnitudes directamente proporcionais. Se se multiplica ou divide unha delas por un número, a outra queda ________________ ou ________________ polo mesmo número. Magnitudes inversamente proporcionais. Se se multiplica ou divide unha delas por un número, a outra queda _________________ ou _________________ polo mesmo número. A proporcionalidade composta consiste en relacionar tres ou máis ______________. Proporcionalidade composta Ao resolver unha actividade de proporcionalidade _____________ relaciónanse as magnitudes de dúas en dúas e mantéñense constantes as demais. Tamén se pode resolver mediante unha ________________________________ Reparticións proporcionais Repartición directamente proporcional: repartir unha cantidade entre varias partes de forma que cada unha delas reciba unha cantidade __________________ a un valor inicial de cada parte. Repartición inversamente proporcional: faise a repartición de forma directamente proporcional aos _____________ dos valores iniciais de cada unha das partes. Porcentaxes Fórmula para aplicar unha porcentaxe r% a unha cantidade C: Aumentos ou diminucións porcentuais Chámase índice de variación á variación que experimenta unha unidade. Para un aumento: Para unha diminución: Xuro simple. Se depositamos un capital C nun banco, durante un tempo t a un rédito r%, obtense un xuro I dado polas seguintes fórmulas,

segundo t se exprese en anos, meses ou días. Xuro composto. Se cada certo período de tempo, os xuros xerados engádense ao capital, estes producirán máis xuros. A estes períodos de tempo (anos, meses,...) chámaselles _________________________. Se k é o número de períodos de _________________ que hai nun ano, o capital final é igual a: o Taxa anual equivalente (TAE). Expresa o _______________ dun capital durante un ano. Calcúlase con formúlaa, sendo k o número de períodos de capitalización. Fórmula:

Capitalización. O capital final que se obtén ao ingresar unha cantidade c, durante t períodos a un xuro do r% en cada período é:

Amortización. Se temos un empréstito dunha cantidade CI, a un xuro do r%, a devolver en t cotas periódicas, cada cota é igual a: con Problemas aritméticos

-23 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de Proporcionalidade directa e inversa Porcentaxes Xuro simple e composto Procura facer polo menos un de cada clase e, unha vez resolto, comproba a solución. Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e, despois, resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e, despois, comprobes no ordenador se o fixeches ben. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Proporcionalidade directa e inversa Disolucións 1. Unha disolución contén ___ gr. dun composto químico por cada ___ litros de auga. Se se utilizaron ___ litros de auga, cantos gramos do composto químico haberá que engadir?

Construción 2. Se ___ albaneis realizan un traballo en ___ días. Cantos se necesitarán para rematar o traballo en ___ días?

Viaxe de estudos 3. Un grupo de ____ alumnos realizan unha viaxe de estudos. Teñen que pagar o autobús entre todos, pagando cada un ____ €. Por outra parte os gastos totais de aloxamento son _______ €. Cal sería o prezo total e o prezo individual se fosen ___ persoas?

Problemas aritméticos

-24 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Animais de granxa 4. Pulsa sobre a imaxe de cada animal: a. Para alimentar a ___ polos durante ___ días, fan falta ___ quilos de penso. Cantos quilos de penso farán falta para alimentar a ___ polos en ___ días?

b. Con ____ quilos de penso en ___ días, comen ___ coellos. Cantos coellos poderán comer con _____ quilos de penso durante ____ días?

c. Se ___ porcos comen ____ quilos de penso durante ___ días. Cantos días tardarán ___ porcos en comer _____ quilos de penso?

Traballando axustado 5. Pulsa sobre a imaxe a. Se __ obreiros traballando ___ horas diarias tardan en facer un traballo ___ días. Cantos días tardarán en facer o mesmo traballo ___ obreiros traballando ___ horas diarias?

b. Se __ obreiros traballando ___ horas diarias poñen ____ metros cadrados de baldosas. Cantos metros cadrados de baldosas porán ___ obreiros traballando ___ horas diarias?

Problemas aritméticos

-25 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Repartición de beneficios 6. _____ socios abren un negocio achegando ______, ______ e _______ € respectivamente. Ao finalizar o ano obteñen uns beneficios de ______ €. Como deben repartilos?

Propinas 7. Tres camareiros dun bar repártense ____ € das propinas dun mes de forma inversamente proporcional ao número de días que faltaron, que foi ___, ___ e ___ días respectivamente. Canto corresponde a cada un?

Cualificacións 8. Dous irmáns traen á casa as cualificacións do primeiro trimestre. Un obtivo ___ aprobados e ___ suspensos. O outro obtivo ___ aprobados e ___ suspensos. O pai dálles ______ euros para que os repartan de forma directamente proporcional ao número de aprobados ou inversamente proporcional ao número de suspensos. Que repartición interesa máis a cada un?

Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte.

-26 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Porcentaxes Alumnas e alumnos 9. No meu instituto hai ____ estudantes. O número de alumnas representa o ___% do total. Cantas alumnas hai?

Aprobados e suspensos 10. O ___ % dos alumnos dun instituto aprobou todas as materias. Sabendo que aprobaron ___ persoas, cantos alumnos hai no instituto?

4º ESO 11. Nun instituto hai ____ estudantes. En 4º ESO hai ____. Que % do total de alumnos representan os de 4º ESO?

Orzamentos 12. Este ano o presuposto dunha localidade foi de __________ €. Para o próximo ano vaise incrementar un ____ %. Cal será o presuposto?

A factura da luz 13. A factura da luz incrementouse este ano nun ____ %. Se este paguei ______€, canto pagaría se non subise o prezo?

Problemas aritméticos

-27 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Poboación estival 14. A poboación dunha localidade costeira pasou de ________ a ________ habitantes. Que % aumentou?

Incendio forestal 15. Un bosque ten _______ árbores. Nun incendio ardeu o ____ % das árbores. Cantas árbores quedan?

Repartidor de leite 16. Despois de repartir o ___ % das botellas que levaba, un leiteiro regresa ao seu almacén con ___ botellas. Con cantas botellas saíu?

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Xuro simple e composto Xuros distintos 17. Dous irmáns colocan un mesmo capital de _______ € a un rédito do ___% durante ___ anos. Un faino a xuro simple e outro a xuro composto con capitalización anual. Que diferenza hai entre os xuros que recibe cada un?

Problemas aritméticos

-28 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Tempos distintos 18. Unha persoa coloca un capital de _______ € durante ___ anos a un xuro composto do ____% con capitalización mensual. Que tempo tería que ter o mesmo capital a un xuro simple co mesmo rédito para obter os mesmos xuros?

Períodos de capitalización 19. Unha persoa coloca un capital de _______ € durante ___ anos a un xuro composto do ____%. Que período de capitalización interesa máis: anual, semestral, bimestral ou mensual?

Comprobar a TAE 20. Unha persoa coloca un capital de _______ € durante ___ anos a un xuro composto do ____% con capitalización mensual. Calcula la TAE que corresponde e calcula o capital que se obtería cos mesmos datos a un xuro simple igual á TAE.

Plan de pensións 21. Unha persoa abre un plan de pensións á idade de ___ anos. Cada mes ingresa ____ €. O banco dálle un xuro do ____ %. Que cantidade de diñeiro ingresa durante a vixencia do plan? Canto diñeiro terá cando se xubile os ___ anos?

Problemas aritméticos

-29 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Conta de aforro vivenda 22. Unha parella abre unha conta de aforro vivenda durante ___ anos. Cada trimestre ingresa ____ €. O banco dálle un xuro do ____ %. Que cantidade de diñeiro ingresa na conta vivenda? Canto diñeiro terá cando finalice o prazo?

Empréstito hipotecario 23. Solicitamos un empréstito hipotecario de _________ € a pagar en ___ anos e a un xuro do ___ % anual. Cando teremos que pagar cada mes? Cal será o importe total do empréstito?

Empréstito persoal 24. Un comerciante solicita un empréstito persoal de _________ € a pagar en cotas semestrais, en ___ anos e a un xuro do ___ % anual. Cando terá que pagar cada semestre? Cal será o importe total do empréstito?

Pulsa

Problemas aritméticos

para ires á páxina seguinte.

-30 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Autoavaliación Copia aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo; despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta.

Problemas aritméticos

-31 -

IES _____________________ CADERNO Nº 3

NOME: _________________________

DATA:

Para practicar máis

1. Unha disolución contén 176 gr. dun composto químico por cada 0,8 litros de auga. Se se utilizaron 0,5 litros de auga, cantos gramos do composto químico haberá que engadir? 2. Se 10 albaneis realizan un traballo en 30 días, cantos se necesitarán para rematar o traballo en 25 días? 3. Un grupo de 43 alumnos realizan unha viaxe de estudos. Teñen que custear o autobús entre todos, pagando cada un 90 €. Por outra parte, os gastos totais de aloxamento son 12427 €. Cal sería o prezo total e o prezo individual se fosen 46 persoas? 4. Para alimentar 11 polos durante 16 días, fan falta 88 quilos de penso. Cantos quilos de penso farán falta para alimentar 18 polos en 8 días? 5. Se 10 obreiros traballando 9 horas diarias tardan en facer un traballo 7 días, cantos días tardarán en facer o mesmo traballo 5 obreiros traballando 6 horas diarias? 6. Tres socios abren un negocio achegando 20000, 35000 e 50000 € respectivamente. Ao finalizar o ano, obteñen uns beneficios de 4200 €. Como deben repartilos? 7. Tres camareiros dun bar repártense 238 € das propinas dun mes de forma inversamente proporcional ao número de días que faltaron, que foi 1, 4 e 6 días respectivamente. Canto corresponde a cada un? 8. No meu instituto hai 450 estudantes. O número de alumnas representa o 52% do total. Cantas alumnas hai?

10. Este ano o presuposto dunha localidade foi de 1868500 €. Para o próximo ano vaise incrementar un 1.7%. Cal será o presuposto? 11. A poboación dunha localidade costeira pasou de 44500 a 61410 habitantes. Que % aumentou? 12. Un bosque ten 30900 árbores. Nun incendio ardeu o 18% das árbores. Cantas árbores quedan? 13. Despois de repartir o 90% das botellas que levaba, un leiteiro regresa ao seu almacén con 27 botellas. Con cantas botellas saíu? 14. Dous irmáns colocan un mesmo capital de 22100 € a un rédito do 9% durante 6 anos. Un faino a xuro simple e outro a xuro composto con capitalización anual. Que diferenza hai entre os xuros que recibe cada un? 15. Unha persoa coloca un capital de 18000 € durante 1 ano a un xuro composto do 4,2% con capitalización mensual. Calcula a TAE que corresponde e calcula o capital que se obtería cos mesmos datos a un xuro simple igual á TAE. 16. Unha persoa abre un plan de pensións á idade de 28 anos. Cada mes ingresa 120 €. O banco dálle un xuro do 1,5%. Canto diñeiro terá cando se xubile aos 67 anos? Canto diñeiro ingresaría durante a vixencia do plan? 17. Solicitamos un empréstito hipotecario de 148000 € a pagar en 18 anos e a un xuro do 9,1% anual. Cando teremos que pagar cada mes? Cal será o importe total do empréstito?

9. O 28% dos alumnos dun instituto aprobou todas as materias. Sabendo que aprobaron 196 persoas. Cantos alumnos hai no instituto?

Problemas aritméticos

-32 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Polinomios Contidos 1. Expresións alxébricas De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes 2. División de polinomios División División con coeficientes Regra de Ruffini Teorema do resto 3. Descomposición factorial Factor común xn Polinomios de segundo grao Regra de Ruffini reiterada Identidades notables

Obxectivos •

Traballar con expresións literais para a obtención de valores concretos en fórmulas e ecuacións en diferentes contextos.

•

Regra de Ruffini.

•

Teorema do resto.

•

Recoñecer os polinomios con coeficientes reais irreductibles.

•

Factorizar polinomios con raíces enteiras.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Os números reais

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Antes de empezar Unha forma de dividir graficamente un polinomio entre un binomio, consiste en debuxar cadrados de lado x (área x2 u2), rectángulos de lados x e 1 (área x u2) e cadrados de lado 1 (área 1 u2) en función do polinomio. Observa na escena como se pode facer unha división de polinomios. Con que coincide a cantidade de cadrados ou rectángulos que aparecen debuxados? _________________________________. Á dereita aparece un segmento que corresponde ao divisor (neste caso 2x+2). Sobre ela trata de construír un rectángulo o máis alto posible utilizando as pezas que aparecen á esquerda, que corresponden ao polinomio (neste caso 2x2+4x+4 =2 de tamaño x2, 4 de tamaño x e outras 4 de tamaño unidade) Cando o consigas aparecerá o resultado da división e á dereita a comprobación de que efectivamente está correctamente resolta. Con que coincide a altura do rectángulo obtido? ______________________________. E os elementos que sobran? ___________________________. EXERCICIO: Repite o proceso con cada novo caso que se propón na escena e representa dous dos que resolveras: Dividir _________________ entre ________ Coloca as pezas:

Dividir _________________ entre ________ Coloca as pezas:

Base _________________________

Dividendo:

Divisor:

Cociente:

Resto:

Podes pulsar o botón

para repasar conceptos que che van ser útiles no tema. Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte. -2 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

1. Expresións alxébricas 1.a. De enunciados a expresións Le o texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que característica teñen os monomios? Que aparece se sumamos ou restamos varios monomios? Na escena propóñense dez exercicios para expresar enunciados en expresións alxébricas. Contesta aos seguintes exercicios e comproba o resultado. (Fai primeiro o debuxo)

Calcula a expresión alxébrica que nos dá o número de cadradiños do rectángulo: Expresión Grao Coeficientes

Que monomio nos dá a área do rectángulo de base x e altura y? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión nos dá o volume dun cubo de aresta x? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión nos dá o espazo percorrido a unha velocidade constante de x km/h durante t horas? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá a lonxitude do segmento marrón? Expresión Grao Coeficientes

Os números reais

-3 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Que polinomio nos dá a media aritmética de dous números? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá o triplo dun número menos cinco? Expresión Grao Coeficientes

Que polinomio nos dá a suma dos cadrados de dous números? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión define a diagonal dun cadrado? Expresión Grao Coeficientes

Que expresión define a diagonal dun rectángulo de base x e altura y? Expresión Grao Coeficientes

Pulsa

para realizar un cuestionario. Escribe no recadro a nota obtida:

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-4 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

1.b. Valor numérico Le en pantalla a definición de valor numérico e as normas que tes que ter en conta para calculalo. A continuación completa o seguinte parágrafo: O

resultado

______________

variables

por

números

nunha

expresión

______________ dá lugar a un número, que chamaremos valor ________________. Debemos aplicar a prioridade _______________ realizando primeiro as ____________, seguido de produtos e ______________, e, por último, de _______________ e restas.

Na escena propóñense cinco exercicios para achar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Resolve cada un dos exercicios arrastrando a etiqueta laranxa que contén ao número para substituíla pola variable da expresión e seguindo paso a paso o desenvolvemento para achar o valor numérico. Efectúa as operacións na táboa seguinte: Valor numérico.. Enunciado

Desenvolvemento

Resultado

1. A expresión _________________ ten como valor numérico en x = ___ 2. A expresión _________________ ten como valor numérico en x = __ /__ 3. A expresión _________________ ten como valor numérico en x = ____ 4. A expresión _________________ ten como valor numérico en x=___ e y=___ 5. A expresión _________________ ten como valor numérico en x=___ e y=___

Pulsa no botón

para facer os exercicios.

Aparecen dúas series de exercicios. A primeira é en modo guiado e contén dous exemplos que podes observar. Na segunda, en modo escribir, consiste en resolver 10 exercicios escribindo paso a paso os resultados das operacións, tal como se che indica na dereita da escena. Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-5 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

1.c. Polinomios. Expresión en coeficientes Le o texto de pantalla. EXERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: En que partes polinomio?

podemos

subdividir

RESPOSTAS un

Onde podemos atopar fraccións, números negativos ou raíces?

É moi conveniente que recordes o xeito de expresar un polinomio polos seus coeficientes, para iso axúdate da escena da dereita e explica a continuación un exemplo. EXERCICIO 2. Completa un dos exemplos da escena: Neste polinomio _______________________ hai algúns coeficientes e expoñentes ocultos. 1º Completamos o polinomio

2º Ver a expresión en coeficientes do polinomio

Pulsa no botón

para facer os exercicios.

Aparece un polinomio. Escribe o seu grao no recadro correspondente e pulsa Intro. Aparecen outro recadros nos que has de escribir os coeficientes do polinomio. Fai varios exercicios ata que teñas polo menos dous seguidos correctamente resoltos. EXERCICIO 3. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é o grao dun polinomio?

Cantos coeficientes debemos poñer se o grao dun polinomio é n?

Os números reais

-6 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIOS 1.

Determina a expresión dos seguintes enunciados: Enunciado

Expresión

Que monomio nos da a área dun rectángulo de base 3·x e altura 2·y? Que monomio nos da o volume dun cubo de aresta x? Que polinomio nos da o espazo recorrido por una estrada a unha velocidade constante de x km/h durante (t+1) horas? Que polinomio nos da o triplo da suma dun número menos cinco, e o dobre dese número? Que expresión nos define a diagonal dun rectángulo de base x e altura 2·y? 2.

Escolle a expresión alxébrica en cada caso: Enunciado

Expresión A

6⋅ x +3

3⋅ x + 6

3 ⋅ ( x + 6)

x +6 3

x + 10 5 x+7 4 x⋅ y 2 x ⋅y 2

x + 10 5 x +7 4 x+ y 2 x y ⋅ 2 2

10 x + 5

5 x + 10

14 + 7 4 x +y 2 x− y 2

7 +x 4 x− y 2 x⋅7 2

6. A raíz cadrada da suma de dous cadrados.

x+ y

x2 + y2

7. O 40 % dun número.

0,4 ⋅ x

40 ⋅ x 100

40 x 10

100 ⋅ x 40

8. O cadrado da suma de dous números.

( z + y) 2

x2 + y2

x + y2

(12 + y ) 2

9. O cadrado da semisuma de dous números.

x2 + y2 4

x + y2 2

( x + y) 2 4

( x + y) 2 2

x+ y+z 3

x+ y+z 2

1. O triple dun número máis seis. 2. A quinta parte dun número máis dez. 3. Un cuarto da suma dun número máis sete. 4. A semisuma de dous números. 5. A metade do produto de dous números.

10. A media aritmética de tres números.

Os números reais

 0,5 x + 0,5 y + 0,5 z  x + y + z/ 2   2 

x2 + y2

-7 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIOS 3.

Acha os valores numéricos indicados en cada caso:

Desenrolo

Enunciado

Resultado

2 − 7 ⋅ x 5 en (−2) 2 3 + 5 ⋅ x 3 en   3

3 x − 3 ⋅ x 3 en 9 x5 + 4 en x = −2; y = 3 y3 x5 + 1 en x = 4; y = 4 y4 4.

Valor numérico en -3 de P(x) = 2x2 +5x + 6.

Valor numérico en 0,1 de P(x) = 3x2 +7x + 2.

Dados os polinomios, contesta as preguntas. X3 + 4x - 2 Grao do polinomio?

Escribe os coeficientes nos recadros

X4 - 2x3 -x2 -2x Grao do polinomio?

Escribe os coeficientes nos recadros

Pulsa Os números reais

para ir á páxina seguinte. -8 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

2. División de polinomios 2.a. División Le en pantalla a explicación sobre a división de polinomios, observa varios exercicios propostos na escena e realiza as actividades propostas. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Cal é a fórmula que relaciona os termos dunha división? Cando se cumpre a fórmula anterior? Na escena propóñense exemplos de división de polinomios. Completa un dos exemplos paso a paso. _____________________________ : ___________ (Efectúa aquí a división paso a paso)

Dividimos os monomios de maior grao. Multiplicamos o último monomio escrito no cociente polo divisor e cambiámolo de signo. Sumamos. Repetimos o proceso ata chegar ao termo independente do cociente. Determinamos o cociente e resto.

Pulsa no botón

para facer exercicios.

Realiza dous exercicios propostos. Divide no espazo reservado P(x) entre Q(x) e introduce os coeficientes do cociente e de resto nos cadrados da escena, pulsa intro para comprobar o resultado. P(x) = Exercicio 1. Q(x) = Realiza a división: Cociente =

Resto=

Os números reais

-9 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

P(x) = Exercicio 2. Q(x) = Realiza a división: Cociente =

Resto= Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.b. División por coeficientes. Le en pantalla a explicación sobre outro método para realizar a división de polinomios, neste caso utilizando coeficientes. Na escena propóñense exemplos de división de polinomios utilizando o método de coeficientes. Desenvolve un exemplo de cada unha das tres opcións e pulsa o botón a división.

para ver paso a paso

P(x) = Q(x) = Escríbense os coeficientes do dividendo e divisor. Obtemos o primeiro valor da división dividendo as primeiras cifras. Multiplicamos polo divisor e réstase ao dividendo. Repetimos o proceso tanta veces como sexa necesaria. Determinamos o cociente e resto. P(x) = Q(x) = Escríbense os coeficientes do dividendo e divisor. Obtemos o primeiro valor da división dividendo as primeiras cifras. Multiplicamos polo divisor e réstase ao dividendo. Repetimos o proceso tanta veces como sexa necesaria. Determinamos o cociente e resto.

Os números reais

-10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

para ir á páxina seguinte.

2.c. Regra de Ruffini. División entre x - a. Le a explicación do método, determinado polo médico e matemático italiano Ruffini, para resolver divisións cando o divisor é un binomio de grao 1, x - a. Na escena observa detidamente unha animación na que se explica o proceso a seguir. Na parte de arriba verás a división resolta a partires dos coeficientes, tal e como aprendiches no apartado anterior, e debaixo podes ver a forma de facelo utilizando o método de Ruffini. Pulsa no botón

para facer exercicios.

Realiza polo menos dous exercicios propostos. Para facelo has de escribir paso a paso os coeficientes e os resultados das operacións nos recadros correspondente. Ao finalizar pulsa intro para comprobar o resultado. Resolve aquí dous exemplos: P(x) =

P(x) =

2 Q(x) =

Q(x) =

Cociente:

Resto:

Resto: Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

2.d. Teorema do Resto. Le o texto de pantalla. EXERCICIO 1. Contesta a estas cuestións: RESPOSTAS Ao dividir un polinomio P(x) por (x–a)... Cal é o grao do resto? Se chamamos C(x) ao cociente... Cal é a fórmula que relaciona os termos que interveñen na división? EXERCICIO 2. Completa: Na fórmula: P(x)=(x-a)·C(x)+resto Se substituímos agora a x por a, temos: P(a) = __________________ Así chegamos a:

Valor numérico de P en a = _____

Este resultado coñécese como _______________________ Observa a escena da dereita. Está dividida en dúas partes. Na de arriba aparece un polinomio P(x) e un valor numéricos a calcular: P(a) =... Na parte de abaixo aparece a división polo método de Ruffini dese mesmo polinomio P(x) entre (x–a). Resolve paso a paso dous exemplos calculando P(a) e resolvendo a división Ou indicar o modo automático en Podes facelo ti mesmo se pulsas Completa dous exemplos nos seguintes recadros:

EXERCICIO 3. Contesta a estas cuestións: Se o valor numérico de P(x) en a é: P(a) =0

RESPOSTAS

Canto vale o resto da división de P(x) entre (x-a) Que relación hai entre P(x) e (x-a) ? Que é "a" do polinomio P(x)? Os números reais

-12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIO 4. Completa a fórmula que aparece no recadro amarelo:

Pulsa no botón

para facer os exercicios.

Ao abrir a escena atópaste na parte superior cos seguintes botóns:

O primeiro que ves é o Exercicio 1, para ver o seguinte pulsa en (>) En total hai 10 exercicio na Serie 1 Ao ser de modo: escribir, guiado significa que has de ir escribindo na ventá, substituíndo a letra x polo número dado e realizando paso a paso as operacións, pero seguindo as indicacións que van aparecendo á dereita. Anota nestes recadros os resultados dos exercicios desta serie nos 1, 4 e 8: Exercicio 1 Calcula o resto da división do polinomio P(x) =__________________ por ______

Exercicio 4 Calcula o resto da división do polinomio P(x) =__________________ por ______

Exercicio 8 Calcula o resto da división do polinomio P(x) =__________________ por ______

Para pasar á Serie 2, pulsa en (>>): Observa que che cambiaron as instrucións do recadro azul e verde polas seguintes:

Nesta serie hai 5 exercicios que has de resolver polo mesmo método anterior. Anota nos recadros seguintes os resultados dos exercicios desta serie nos 1 e 3: Os números reais

-13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

Exercicio 1 Acha m para que o polinomio P(x) =__________________ Sexa divisible por ______

DATA:

Exercicio 3 Acha m para que o polinomio P(x) =__________________ Sexa divisible por ______

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

EXERCICIOS 7.

Acha o cociente e o resto da división de P(x) entre Q(x) en cada caso a) P(x)=3x2-11x-13

Q(x)=x2-3x-4

b) P(x)=-9x3-15x2+8x+16

Q(x)=3x+4

Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x3+5x2-2x+1 Q(x)=2x4-5 3

entre x–3 2

R(x)=x -4x+3x 9.

Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x3+3x2-2x+1 Q(x)=x4-2

entre x+1

R(x)=x3-4x2-x 10.

Se o valor numérico dun polinomio en 2 é igual a 3 e o cociente da súa división entre x-2 é x ¿Sabes de que polinomio se trata?

11.

Acha m para que mx2+2x-3 sexa divisible entre x+1

12.

Aplica o Teorema do resto e a regra de Ruffini para achar o valor numérico de P(x)=x315x2+24x-3 en x=13

13.

¿Existe algún valor de m para que o polinomio x3+mx2-2mx+5 sexa divisible por x-2?

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

3. Descomposición factorial 3.a. Sacar factor común unha potencia de x EXERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Como podemos determinar onde empeza e onde remata un sumando dunha expresión alxébrica? Cantos sumandos ten a expresión: 4 x 3 +2 x 2 -6x·2x2 -9? EXERCICIO 2: CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é o primeiro que debemos observar para descompoñer un polinomio en factores? Cando será isto posible? Observa a animación e a continuación enche a seguinte táboa con dous exemplos dos que aparecen na escena da dereita. Introduce primeiro o factor común, escribindo o coeficiente e o expoñente de x, e se está ben, ao pulsar Intro, aparecerache debaixo a mensaxe:

Pulsa para extraer o factor Exemplo 1:

Exemplo 2:

Pulsa no botón

para facer exercicios.

Realiza catro exercicios propostos anotando os resultados na táboa seguinte: Polinomio

Factorización

P(x) =

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

3.b. Polinomios de 2º grao Recordamos a resolución de ecuacións de segundo grao: EXERCICIO 1: CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

A que chamamos discriminante? Para que serve o discriminante? Para cada unha das tres seguintes ecuacións de 2º grao, observa o valor do discriminante (fíxate no seu signo) e o valor das raíces da ecuación. Escribe despois a descomposición factorial do polinomio de 2º grao do primeiro membro. EXERCICIO 2. Completa a seguinte táboa: Ecuación Discriminante Signo 2

2x -8x+6 =0

∆ = b -b2-4ac =16

Positivo

Raíces

Factorización

x=1;x=3

2x2-8x+6 = 2·(x-1) · (x-3)

3x2+6x+3 =0 2x2+6 = 0 Observa a escena da dereita e completa a seguinte táboa con tres dos exemplos que nela aparecen, procurando que haxa un de cada tipo (Discriminante positivo, negativo e nulo): Pasos

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Identificar a, b e c.

Aplicar a fórmula.

Estudar o número de solucións

Descomposición

Pulsa no botón

para coñecer as fórmulas de Cardano.

Na escena podes observar a explicación e varios exemplos destas fórmulas: Se ao ecuación de 2º grao é da forma: x2 + bx +c =0 E se X1 e X2 son as súas solucións, cúmprense as fórmulas de Cardano: Pulsa no botón

para practicar con estas fórmulas... Cando remates... Pulsa

Os números reais

X 1 + X 2 =   X1 ⋅ X 2 =

para ir á páxina seguinte. -16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

3.c. Regra de Ruffini reiterada. Le a explicación de pantalla e completa a conclusión á que se chega ao respecto da relación entre as raíces dun polinomio e o termo de menor grao no seguinte recadro:

Pulsa no botón

para copiar un exemplo. P(x) = x4 -15 x 2 +10x +24

Imos descompoñer factorialmente o polinomio Determinamos as posibles raíces enteiras (os divisores do termo independente: 24) Probamos con 1 Non é raíz (o resto é distinto de cero). Xa non haberá que volvelo probar despois.

-15

Probamos con -1 Si é raíz (o resto é cero). -1 ) Obtemos un polinomio de grao menor, neste caso de grao 3. Seguimos probando. Agora con 2

E finalmente con 3

Obtemos a factorización:

P(x) =

Na escena da dereita podes resolver cantos exemplos necesites para entender ben o procedemento. Copia dous deses exemplos nos seguintes recadros: Exemplo 1: Exemplo 2:

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte. -17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

3.d. Identidades notables. Observa a animación para ver como se obteñen as identidades notables pulsando en Efectúa as operacións alxébricas nos seguintes recadros para obter cada unha das identidades notables: Cadrado dunha suma

Cadrado dunha diferenza

Suma por diferenza

CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS:

= RESPOSTAS

Cantas identidades notables hai? A que é igual o cadrado da suma? Cantos sumandos aparecen? Que diferenza existe entre o cadrado dunha suma e o dunha diferenza? Enuncia a igualdade notable que nos falta

Na escena da dereita podes observar como podemos deducir estas fórmulas a partir dunha serie de gráficos. Obsérvao e desenvolve cada unha delas no seguinte espazo: Cadrado dunha suma

Pulsa

Cadrado dunha diferenza

Suma por diferenza

para realizar un cuestionario. Escribe no recadro a nota obtida:

Os números reais

-18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIOS 14.

Saca factor común unha potencia de x en cada un dos seguintes polinomios: P(x)=2x3+3x Q(x)= x4+2x6-3x5 R(x)=2x6+6x5+8x3

15.

Acha a descomposición factorial de x3-7x2+4x+12.

16.

Factoriza:

2x2-8x+6

-x2+3x+4

x2+2x+3

x2+6x+9

17.

Acha a descomposición factorial de x7-x6-4x4

18.

Acha a descomposición factorial de x4-4.

19.

Acha a descomposición factorial de x4+x3-x2-2x-2.

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Expresión en coeficientes Polinomio: 6 x 4 +5 x 2 -6 x + 3, Coeficientes:______________________ Regra de Ruffini. Teorema do resto.

Relación entre raíz e divisor: Raíz =-3

Factor ou divisor: ___________

Raíz = _____ Divisor ou factor: (x – 6) Igualdades notables: 1) 2) 3) Descomposición factorial. Métodos: 1) 2) 3) Descomposición factorial. Exemplo: P(x) =2 x 4 +10 x3 +2 x 2 -42 x -36.

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos exercicios no teu caderno. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Operacións con polinomios. Descomposición factorial. Nos seguintes EXERCICIOS de operacións con polinomios escribe o enunciado que aparece no teu ordenador que cumpra a condición proposta e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Fai un mínimo de dous de cada tipo. Elixe no menú a opción: Números 1. Achar a expresión alxébrica dun número de ___ cifras se a cifra das unidades é __________ da cifra das decenas.

2. Achar a expresión alxébrica dun número de ___ cifras se a cifra das unidades é ___________ da cifra das decenas.

Coeficientes 3. Cal é o grao do polinomio: _______________________? Cal é o coeficiente de grao ____? E o de grao ____? Calcula o valor numérico en x = ____

4. Cal é o grao do polinomio: ______________________? Cal é o coeficiente de grao ____? E o de grao ____? Calcula o valor numérico en x = ____ Suma e resta 5. Acha os coeficientes de __________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

6. Acha os coeficientes de __________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

Os números reais

-21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Multiplica. 7. Acha os coeficientes de _________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

8. Acha os coeficientes de _________ P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

Operacións con fraccións 9. Acha o cociente e o resto da división de P(x) entre Q(x) P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

10. Acha o cociente e o resto da división de P(x) entre Q(x) P(x) = ___________________ Q(x) = ___________________

Regra de Ruffini. 11. Fai a división de P(x) entre _______ aplicando a regra de Ruffini P(x) = _____________________

12. Fai a división de P(x) entre _______ aplicando a regra de Ruffini P(x) = _____________________

Os números reais

-22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Divisor x -a resto?. 13. Acha, aplicando o teorema do resto, o resto da división de P(x) entre _________ P(x) = _____________________ 14. Acha, aplicando o teorema do resto, o resto da división de P(x) entre _________ P(x) = ____________________ Acha m. 15. Acha m, aplicando o teorema do resto, para que P(x) sexa divisible entre _________ P(x) = _____________________ 16. Acha m, aplicando o teorema do resto, para que P(x) sexa divisible entre _________ P(x) = _____________________ Pulsa

para ir á páxina seguinte.

Nos seguintes EXERCICIOS de descomposición factorial escribe o enunciado que aparece no teu ordenador que cumpra a condición proposta e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Sacar factor común 17. Saca factor común no Polinomio P(x) [Fai un mínimo de catro exercicios] a)

Raíces enteiras 18. Descompoñer o seguinte polinomio en factores primos __________________________ Onde ___ é factor común en todos os monomios.

Os números reais

-23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

19. Descompoñer o seguinte polinomio en factores primos __________________________ Onde ____ é factor común en todos os monomios

Aplicar identidades (Hai dous tipos de exercicios. Fai un mínimo de dous de cada tipo) 20. Descompoñer, aplicando as identidades notables, o seguinte polinomio _________________________ 21. Descompoñer, aplicando as identidades notables, o seguinte polinomio _________________________ 22. Descompoñer, aplicando as identidades notables, o seguinte polinomio _________________________ 23. Descompoñer, aplicando as identidades notables, o seguinte polinomio _________________________ Coñecidas as raíces 24. Acha a descomposición dun polinomio de grao 3 que ten por raíces ____________ e o seu valor numérico en ______ é igual a __________

25. Acha a descomposición dun polinomio de grao 3 que ten por raíces ____________ e o seu valor numérico en ______ é igual a ______

Efectúa a potencia (Hai dous tipos de exercicios. Fai un mínimo de dous de cada tipo) 26. Efectúa a potencia ______________

27. Efectúa a potencia ______________

Os números reais

-24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

28. Efectúa a potencia ______________

29. Efectúa a potencia ______________

Cálculo mental 30. Calcula mentalmente _____________

31. Calcula mentalmente _____________

Simplificar fraccións (Hai tres tipos de exercicios. Fai polo menos un de cada tipo) 32. Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción:

33. Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción:

34. Aplicando as identidades notables, simplifica a fracción:

Pulsa

Os números reais

para ir á páxina seguinte.

-25 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Calcula P(x)·Q(x)+ P(x)·R(x) e escribe os coeficientes do resultado P(x) = Q(x)= R(x)=

Escribe os coeficientes do cociente e do resto na división de P(x) entre Q(x). P(x) = Q(x)=

Calcula o valor numérico __________________ en x= _______.

É certa a igualdade?

________________________________

Calcula m para que o resto da división de ______________________ entre _________ sexa _____.

Se P(x)=ax2+bx+____ e a·62+b·6=____, cal é o resto da división de P(x) entre x-6?

Os números reais

-26 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: ___________________________

DATA:

Acha unha raíz enteira do polinomio ___________________________

Acha a descomposición factorial de __________________________

O polinomio ____________________ ten por raíces ____ e ____. Cal é a outra raíz?

As raíces dun polinomio de grao 3 son __, __ e __; o seu coeficiente de grao 3 é ____. Calcula o valor numérico do polinomio en _______.

Os números reais

-27 -

IES _______________________ CADERNO Nº 4

NOME: _____________________________

DATA:

Para practicar máis

Acha a expresión alxébrica dun número de tres cifras se a cifra das unidades é 4 veces a cifra das decenas.

10.

Descompoñer, aplicando as identidades notables, os polinomio: a) x4-72x2+362 b) x4-16

Cal é o grao de 2x -x +3x ? O seu coeficiente de grao 3? e o de grao 2? Calcula o seu valor numérico en x=2

11.

Acha P(x)-3·Q(x) sendo P(x)=4x2+4x e Q(x)=6x2+2x.

Descompoñer os seguintes polinomios, se é posible, aplicando a ecuación de segundo grao. a) 3x2-10x+3 b) x2-4x+5

Multiplica os polinomios P(x)=-3x3+4x2-x-2 e Q(x)=-x2+7.

Acha o cociente e o resto da división de x3+2x2+5x-7 entre -x2+x-1.

Fai a división de x3+4x2+2x-3 entre x-2 coa regra de Ruffini.

Aplica o teorema do resto para calcular o resto da división de 2x3-2x2+x-7 entre x-5.

12.

seguintes

fraccións

x2 + 8x + 16 3x + 12 3x2 − 12 b) 2 x − 4x + 4 4x2 + 4x + 1 c) 12x2 − 3 a)

13.

Saca factor común en 12x12+24x10

14.

Acha a descomposición en factores primos dos seguintes polinomios

a) Acha m para que x3+mx2-2mx+6 sexa divisible por x+2

a) 3x8-39x7+162x6-216x5 b) 3x9+12x8+15x7+6x6

b) Acha m para que x3+mx2-8mx+4 sexa divisible por x-1.

Simplifica alxébricas

15.

Un polinomio de grao 3 ten por raíces 5, 7 e 1. Acha a súa descomposición factorial sabendo que o seu valor en 2 é 128.

16.

Como realizas mentalmente o cálculo de 232-222?

Efectúa as potencias a) (3x+2)2 b) (2x-4)2 c) (x-5)2

Polinomios

-28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 5

NOME: ___________________________

DATA:

Ecuacións e inecuacións Contidos 1. Ecuacións Elementos dunha ecuación Solución dunha ecuación 2. Ecuacións de primeiro grao Solución Aplicacións 3. Ecuacións de segundo grao Solución Incompletas Número de solucións Aplicacións 4. Outro tipo de ecuacións Bicadradas Tipo (x-a)·(x-b)·...=0 Ensaio-erro. Bisección 5. Inecuacións cunha incógnita Definición Inecuacións de grao un Inecuacións de grao dous

Obxectivos •

Resolver ecuacións de primeiro e segundo grao.

•

Resolver ecuacións bicadradas e factorizadas.

•

Identificar e resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

•

Aplicar as ecuacións e inecuacións á resolución de problemas da vida real.

Autor: José Luis Alcón Camas Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Ecuacións e inecuacións

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Antes de empezar Pensa... (Completa o enunciado do problema que aparece na escena da dereita e trata de resolvelo. Comproba a solución na escena): Atopa un número tal que o ____ do devandito número máis ___ sexa igual a _____ veces o propio número.

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Ecuacións 1.a. Elementos dunha ecuación Le o texto de pantalla no que se explican algúns conceptos relativos ás ecuacións. RESPOSTA A ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é unha incógnita nunha ecuación?

Que é un membro dunha ecuación?

Que é un termo dunha ecuación?

Cal é o grao dunha ecuación?

Distingue os elementos desta ecuación:

Incógnita: Primeiro membro:

________________ = _______________

Segundo membro: Termos: Grao:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Cando comprendas estes conceptos... Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

1.b. Solución dunha ecuación Le o texto de pantalla. RESPOSTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é unha solución dunha ecuación? Cando é compatible unha ecuación? Cando é incompatible unha ecuación? Cando se di que dúas ecuacións son equivalentes? Exemplos Observa varios exemplos dos situados na escena da dereita e completa segundo o caso.

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Ábrese unha ventá cunha escena na que aparece un exercicio proposto. Introduce a túa solución nos recadros destinados a iso e pulsa "Ver solución" para comprobar se o fixeches ben.

EXERCICIOS de Reforzo A. Escribe unha ecuación da forma ax = c que sexa equivalente a 5x+7=27 B. Escribe unha ecuación da forma x ± b = c que sexa equivalente a 3x - 21 = -42 C. Escribe unha ecuación da forma ax+b=c cuxa solución sexa x = 7 D. Comproba si x = -5 é solución da ecuación 7(9x-2) -2x = -8x + 55 Cando comprendas estes conceptos... Pulsa Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte. -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

2. Ecuacións de primeiro grao 2.a. Solución Le o texto de pantalla e RESPOSTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Cal é a forma xeral das ecuacións de primeiro grao? Escribe a fórmula xeral da solución dunha ecuación de primeiro grao:

Exemplos: Observa varios exemplos dos situado na escena da dereita e completa unha sen e outro con denominadores. Ecuación de primeiro grao sen denominadores

Ecuación de primeiro grao con denominadores

Ecuacións e inecuacións

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

Pulsa no botón

DATA:

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 4 ecuacións das que se propoñen. Copia o enunciado de cada ecuación e resólvea nos recadros seguintes. É moi importante que primeiro as resolvas no caderno e despois comprobes a solución para ver se o entendiches ben. Exercicio 1: Exercicio 2: Resolve a ecuación

Resolve a ecuación

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Resolve a ecuación

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.b. Aplicacións. Resolución de problemas Le detidamente o proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuacións. COMPLETA: Comeza por ____________________________ ata asegurarte de que comprendes ben o que se ha de calcular e os datos que che dan. ______________________________________ as condicións do enunciado e despois ___________________________________. Unha vez resolta a ecuación ____________________________.

Ecuacións e inecuacións

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Na escena da dereita podes ver exemplos de tres tipos de problemas (XEOMETRÍA, MESTURAS e NÚMEROS). Exemplos Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E "< volver" para volver ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: Resolución: O perímetro dun triángulo isóscele é ______. Cada un dos lados iguais mide _______ máis que a metade dos que mide o lado desigual. Calcula a medida dos tres lados do triángulo.

Resolución: Dúas clases de café (natural e torrefacto) mestúranse para obter un saco de _____. Se o quilo de café natural custa ____, o quilo de café torrefacto _____ e a mestura _____ o quilo, cantos quilos de cada clase de café contén a mestura?

Resolución: Acha tres números consecutivos cuxa suma sexa _______.

Ecuacións e inecuacións

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

Pulsa no botón

DATA:

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 8 problemas dos que se propoñen (en total hai 11 enunciados diferentes). En escena aparece un enunciado que tes que buscar nos recadros seguintes e completalo. Despois resólveo e finalmente comproba a solución para ver se o resolviches correctamente. Problema 1: Temos ___ pedras e queremos facer dous montóns, de forma que un teña o triplo de pedras que o outro. Cantas pedras terá cada montón?

Problema 2: Xoán ten ___ cromos máis que Pedro. Se Xoán lle dá ___ dos seus cromos a Pedro, Pedro terá catro veces máis cromos que Xoán. Cantos cromos ten cada un?

Problema 3: Un ciclista sae dunha cidade a unha velocidade de ___ km/h e ___ horas máis tarde, sae un coche da mesma cidade a __ km/h. Cánto tempo tardará o coche en alcanzar ao ciclista?

Problema 4:

Problema 5: Miguel ten ___años máis que Xoán e dentro de __ anos, entre os dous sumarán ___ anos. Cantos anos ten cada un?

Problema 6: Qué idade teño agora se fai __ anos tiña a terceira parte da idade que terei dentro de ___ anos.?

Ecuacións e inecuacións

Unha parcela de forma rectangular ten un perímetro de ___ m. Se o ancho mide ___ m máis que o longo, cales son as dimensións da parcela?

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

Problema 7: O prezo dun anel e o seu estoxo é de ___€ e o anel vale ___ € máis que o estoxo. Cal é o prezo de cada artigo?

DATA:

Problema 8: A suma de dous números é ___ se un número é a metade doutro. Que números son?

EXERCICIOS 1.

Resolve as seguintes ecuacións: −7x + 5 9x − 7 a) + = −1 7 8 b)

2x − (x + 1) 5x + 2 = 4 6

3x − 7(x + 1) 2x − 1 = −2 6 3

2x − 5 −2x + 8 − =x 3 7

6x − (x − 8) −2x − 17 = +x 6 3

A idade dun pai é o triplo que a do seu fillo, se entre os dous suman 56 anos Cal é a idade de cada un?

Cantos litros de viño de 5€ p litro deben mesturarse con viño de 3€ o litro para obter 50 litros de viño cuxo prezo sexa de 4€ o litro?

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

3. Ecuacións de segundo grao 3.a. Solución Le o texto de pantalla e RESPOSTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Cal é a forma xeral das ecuacións de segundo grao? Escribe a fórmula xeral para resolver ecuacións de 2º grao:

x =

Exemplo: Completa a continuación un dos que aparecen na escena da dereita:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 ecuacións das que se propoñen. Copia o enunciado de cada ecuación e resólvea nos recadros seguintes. Primeiro resólveas e despois comproba a solución para ver se o entendiches ben. Exercicio 1: Exercicio 2: Resolve a ecuación

Resolve a ecuación

Pulsa Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte. -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

3.b. Incompletas Le o texto de pantalla e COMPLETA: A ecuación de segundo grao do tipo ax2+bx=0, resólvese _____________________ __________________________________________________________________________

A ecuación de segundo grao do tipo ax2+c=0, resólvese _____________________ __________________________________________________________________________

Exemplos: Completa a continuación un de cada tipo dos que aparecen na escena da dereita:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 ecuacións das que se propoñen (unha de cada tipo). Copia o enunciado de cada ecuación e resólvea nos recadros seguintes. Primeiro resólveas e despois comproba a solución para ver se o entendiches ben. Exercicio 1: Exercicio 2: Resolve a ecuación

Resolve a ecuación

Pulsa Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte. -

10 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

3.c. Discriminante. Números de solucións Le o texto de pantalla e RESPOSTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Cal é o discriminante dunha ecuación de segundo grao? Completa a seguinte táboa co nº de solucións en función do signo do discriminante: Discriminante

Nº de solucións

Exemplos: Completa a continuación dous dos que aparecen na escena da dereita: Ecuación:

Pulsa no botón

Ecuación:

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 dos exercicios propostos. Copia o enunciado de cada ecuación e resólvea nos recadros seguintes. Primeiro resólveas e despois comproba a solución para ver se o fixeches ben. Exercicio 1: Exercicio 2: Indica sen resolver o número Indica sen resolver o número de raíces distintas que ten a de raíces distintas que ten a ecuación: ecuación:

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

11 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

3.d. Aplicacións. Problemas Le detidamente o proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuacións. COMPLETA: Comeza por ____________________________ ata asegurarte de que comprendes ben o que se ha de calcular e os datos que che dan. ______________________________________ as condicións do enunciado e despois ___________________________________. Unha vez resolta a ecuación ____________________________. Pode acontecer que _______________________________. Na escena da dereita podes ver exemplos de tres tipos de problemas (CAMIÑOS, XEOMETRÍA e NÚMEROS). Exemplos Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E "< volver" para volver ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: Resolución: Nun parque nacional hai casetas forestais unidas todas por sendeiros. Se o número de sendeiros é ______. Cantas casetas forestais hai?

Resolución: Para construír unha caixa cúbica empregáronse ________ de cartón. Determina a lonxitude das arestas da caixa.

Ecuacións e inecuacións

12 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Resolución: Descompón ___ na suma de dous números de maneira que o produto deses dous números sexa ____.

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve os seguintes 6 problemas que se propoñen. En escena aparece un enunciado que tes que buscar nos recadros seguintes e completalo. Despois debes resolvelo e finalmente comprobar a solución para ver se o resolviches correctamente. Problema 1: Problema 2: A ___________ do cadrado dun número con O produto dun número positivo polo _______ ___________________ ese mesmo número dese mesmo número é ____. Que número é? é _____.Qué número é?

Problema 3: ______ ten o ______ de idade que ______. Se multiplicamos as súas idades obtemos o número ____.Qué idade ten cada un?

Ecuacións e inecuacións

Problema 4: O produto das idades de ________ e o seu irmán que ten ______ anos ______ que ____ é ____. Cantos anos teñen ambos os dous?

13 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

Problema 5: Para valar unha leira rectangular de _____ m² utilízanse __________ m de cerca. Calcula as dimensións da cerca.

DATA:

Problema 6: A diagonal dun rectángulo mide ___ m. Acha as súas dimensións se un cateto mide _____ cm _____ que o outro.

EXERCICIOS 4.

Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao completas: a) x2 − 7x + 10 = 0 b) 3x2 + 17x + 20 = 0 c) 3x2 + 5x + 4 = 0

Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao incompletas: a) x2 − 6x = 0 b) x2 + 27x = 0 c) 3x2 + 5x = 0

Resolve as seguintes ecuacións de segundo grao incompletas: a) x2 − 36 = 0 b) 4x2 − 9 = 0 c) x2 + 9 = 0

Indica sen resolver cantas solucións ten a ecuación: x2 + 7x − 11 = 0

Para construír unha caixa cúbica empregáronse 96 cm2 de cartón. Determina a lonxitude das arestas da caixa.

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

14 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

4. Outro tipo de ecuacións 4.a. Bicadradas Le o texto de pantalla e COMPLETA: Unha ecuación bicadrada é unha _______________que se pode expresar da forma _____________________, con a, b e c números reais e a≠0. Le detidamente o método que se debe seguir para resolver este tipo de ecuacións e observa exemplos na escena da dereita Exemplo: Completa a continuación un dos que aparecen na escena:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 ecuacións das que se propoñen. Copia o enunciado de cada ecuación e resólvea nos recadros seguintes. Despois comproba a solución. Exercicio 1: Exercicio 2: Resolve a ecuación

Resolve a ecuación

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

15 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

4.b. Tipo (x-a)·(x-b)·....=0 Le o texto de pantalla e COMPLETA: Para calcular a solución deste tipo de ecuacións _________________________________ _________________________________________________________________________ (x-a)·(x-b)·(x-c)=0

Exemplo: Completa a continuación dous dos que aparecen na escena da dereita:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve a ecuación

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

16 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

4.c. Ensaio-erro. Bisección Le o texto e intenta comprendelo, axúdate do exemplo para completar o texto: Paso 1: __________________________________________________________________ . Paso 2: __________________________________________________________________ . Paso 3: __________________________________________________________________ . Paso 4: __________________________________________________________________ . Exemplo: Completa a continuación un dos que aparecen na escena:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

EXERCICIOS 9.

10.

Resolve as ecuacións: a) x4 - 25x2 + 144 = 0 b) x4 + 9x2 - 162 = 0 c) x4 - 8x2 + 15 = 0 d) x4 + 9x2 + 14 = 0 Resolve as seguintes ecuacións: a) (x − 2)(x + 3) = 0 b) (3x − 1)(x − 5) = 0 c) (3x − 2)(x + 6) = 0 d) (3x + 1)(7x − 5) = 0

11.

Resolve a seguinte ecuación polo método de bisección: x3 + 2x + 1 = 0 Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte. -

17 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

5. Inecuacións cunha incógnita 5.a. Definición. Propiedades Le o texto de pantalla. Para comprender mellor os conceptos de desigualdade, inecuación, solución, propiedades das desigualdades,… debes ler paso a paso o contido da escena da dereita. RESPOSTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é unha desigualdade? Cales son os símbolos que se utilizan nas desigualdades? Na escena pulsa

para seguir lendo as explicacións, e segue respondendo...

Como poden ser as desigualdades? Como son estas desigualdades: 2<3

2>3

x<5

A que chamamos membros dunha desigualdade? Pulsa

... e segue respondendo...

Que é unha inecuación? Que é unha inecuación polinómica? Pon un exemplo de inecuación polinómica de primeiro grao Pon un exemplo de inecuación polinómica de segundo grao Pulsa

... e segue respondendo...

Que é resolver unha inecuación? Cantas solucións adoita ter unha inecuación? Pulsa

Escribe as propiedades e un exemplo de cada unha...

1.-

2.-

3.-

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

18 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

5.b. Inecuacións de primeiro grao Le o texto de pantalla e COMPLETA: Para resolver unha inecuación de primeiro grado,___________________________________ ________________________________________________________________________: Inecuación

Solución

Exemplos: Completa a continuación dous dos que aparecen na escena da dereita.

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 inecuacións das que se propoñen. Copia o enunciado de cada inecuación e resólvea nos recadros seguintes. Despois comproba a solución. Exercicio 1: Exercicio 2: Resolve a inecuación

Resolve a inecuación

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

19 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

5.c. Inecuacións de segundo grao Le o texto de pantalla e COMPLETA: Unha inecuación de segundo grao cunha incógnita é ________________________ que se pode expresar na forma ________________, con a≠0, e a, b, c números reais. Para resolvela, __________________________________. A solución, se ten, será algún ou algúns dos intervalos ___________________________________________ con x1< x2 Para saber se un intervalo é da solución _______________________________________ _________________________________________________________________________

Exemplos: Completa a continuación dous dos que aparecen na escena da dereita.

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 inecuacións das que se propoñen. Copia o enunciado de cada inecuación e resólvea nos recadros seguintes. Despois comproba a solución. Exercicio 1:

Exercicio 2:

Resolve a inecuación

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

20 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Ecuacións Unha ecuación é

Cada parte ao lado do igual

Incógnita é

Chamamos termos a

E o grao é

Ecuacións de primeiro grao e segundo grao completas A solución dunha ecuación de primeiro grao O discriminante é

Hai dúas solucións cando

∆= Hai unha solución cando

As solucións dunha ecuación de segundo grao veñen dadas por:

Non hai solución cando

Ecuacións segundo grao incompletas e bicadradas As incompletas de tipo 1 resólvense

As incompletas de tipo 2 resólvense

A ecuación bicadrada soluciónase

Inecuacións As solucións nunha inecuación de primeiro grao veñen por:

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

21 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: • • •

Ecuacións de primeiro grao. Problemas Ecuacións de segundo grao. Problemas Inecuacións

Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo o teu e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Os seguintes EXERCICIOS son de Ecuacións de primeiro grao. Problemas.

Ecuaciones 1.

Resolver a ecuación

Ecuacións e inecuacións

22 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Problemas Aparece o enunciado dun problema. Cópiao no primeiro recadro e resólveo no espazo reservado para iso. Despois comproba no ordenador se os fixeches ben. Pulsando en " Outro Exercicio" aparecerán outros enunciados. Resolve un mínimo de oito problemas procurando que os enunciados sexan diferentes (en total hai 12 enunciados diferentes). 4.

Ecuacións e inecuacións

23 -

IES _________________________ CADERNO Nยบ 5

NOME: _____________________________

DATA:

10.

11.

Pulsa

Ecuaciรณns e inecuaciรณns

para ir รก pรกxina seguinte. -

24 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Os seguintes EXERCICIOS son de Ecuacións de segundo grao. Problemas.

Ecuacións 12. Resolver a ecuación

13. Resolver a ecuación

14. Resolver a ecuación

15. Resolver a ecuación

16. Resolver a ecuación

17. Resolver a ecuación

Ecuacións e inecuacións

25 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Problemas Pulsando en " Outro Exercicio" aparecerán outros enunciados. Resolve un mínimo de catro problemas procurando que os enunciados sexan diferentes. 18.

19.

20.

21.

Pulsa Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte. -

26 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Os seguintes EXERCICIOS son de Inecuacións. Primer grao 22. Resolver a inecuación

23. Resolver a inecuación

24. Resolver a inecuación

Segundo grao 25. Resolver a inecuación

26. Resolver a inecuación

27. Resolver a inecuación

Pulsa

Ecuacións e inecuacións

para ir á páxina seguinte.

27 -

IES _________________________ CADERNO Nº 5

NOME: _____________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Resolve a inecuación:

Resolve a ecuación:

Atopa un número sabendo que se ao devandito número lle sumo ___________ o consecutivo o resultado é igual a __________. Atopa dous números naturais consecutivos, de forma que o seu produto sexa _______.

Resolve a ecuación:

Resolve utilizando o método de bisección a ecuación _________________________ (Dá a solución cunha cifra decimal exacta)

Resolve sen aplicar a fórmula xeral:

Ecuacións e inecuacións

28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 5

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar máis 1. Obtén a ecuacións: a)

solución

das

seguintes

x −1 x + 3 − =1 2 3

x−3 b) − 3(x + 2) = −20 2 c)

2 − 2(x − 3) x + 4 − =3 2 4

4(x + 1) x+3 +x− = 5 + 3(x − 2) 2 3

6. Resolve as inecuacións: a) x2 -5 x +6 <0 b) -2 x 2 +18 x -36 >0 c) x2 +2 x -8 0≥ d) 3 x 2 -18 x≤ +15 0 7. Atopa dous números consecutivos que sumen 71. 8. Atopa un número tal que sumado co seu triplo sexa igual a 100.

2. Resolve as ecuacións: a) -6 x 2 -7 x +155 = -8 x b) 3 x 2 +8 x +14 = -5 x

9. Que idade teño agora se dentro de 12 anos terei o triplo da idade que tiña hai 8 anos?

c) (x-6)(x-10)=60 d) (x+10)(x-9) =-78

10. Xoán ten 12 anos menos que María, dentro de 4 anos María terá o triplo da idade de Xoán cantos anos teñen agora?

3. Resolve as ecuacións: a) x4 -24 x 2 + 144 =0 b) x4 +14 x 2 - 72 =0

11. Para valar unha parcela rectangular de 240 m2 empréganse 62 m de preto. Que dimensións ten a parcela?

c) x4 - 81 = 0 d) (x2 - 8)(x2 -1) =8 4. Resolve as ecuacións: a) (x + 3)(2x − 5) = 0 b) (5x + 3)(2x − 8) = 0

12. A diferenza dos cadrados de dous números naturais consecutivos é 25, cales son? 13. Ao sumar unha fracción de denominador 3 co seu inversa obtense 109/30, cal é a fracción?

c) (x-2)(2-3x)(4+x) =0 d) x(x+3)(2x+1) =0 5. Resolve as inecuacións: a) 3(x-1)+2x < x+1 b) 2 -2 (x-3)≥ 3 (x-3) -8 c) 2(x+3)+3(x+1) >24 d) 3 x≤ 12 - 2(x+1)

Ecuacións e inecuacións

14. O cadrado dun número máis 6 é igual a 5 veces o propio número, que número é? 15. Busca un número positivo tal que 6 veces a súa cuarta potencia máis 7 veces o seu cadrado sexa igual a 124. 16. Atopa m para que x2-mx+121=0 teña unha solución dobre.

29 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: ___________________________

DATA:

Sistemas de ecuacións Contidos 1. Sistemas de ecuacións lineais Ecuación lineal con dúas incógnitas Sistemas de ecuacións lineais Clasificación de sistemas 2. Métodos de resolución Redución Substitución Igualación 3. Aplicacións prácticas Resolución de problemas 4. Sistemas de inecuacións cunha incógnita Resolución

Obxectivos •

Resolver un sistema de ecuacións lineais con dúas incógnitas polos distintos métodos.

•

Identificar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais con dúas incógnitas.

•

Utilizar os sistemas de ecuacións para formular e resolver problemas.

•

Resolver sistemas de inecuacións cunha incógnita.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Sistemas de ecuacións

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Antes de empezar Le na escena o texto e trata de formular as ecuacións e de buscar a solución. Os sistemas de ecuacións lineais foron xa resoltos polos babilonios, os cales chamaban ás incógnitas con palabras tales como lonxitude, anchura, área, ou volume, sen que tivesen relación con problemas de medida. Un exemplo tomado dunha pequena táboa babilónica formula a resolución dun sistema de ecuacións nos seguintes termos: 1/4 anchura + lonxitude = 7 mans lonxitude + anchura = 10 mans (Escribe aquí a túa solución)

Pulsa: Solución

... e comproba se o fixeches ben. Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Sistemas de ecuacións lineais 1.a. Ecuación lineal con dúas incógnitas Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO. Resposta as seguintes cuestións: Respostas Cal é o grao das ecuacións lineais? Cal é a expresión xeral dunha ecuación lineal con dúas incógnitas? Que é unha solución dunha ecuación lineal con dúas incógnitas? Cantas solucións ten unha ecuación lineal con dúas incógnitas? Que tipo de liña forman as solucións dunha ecuación lineal con dúas incógnitas se as representamos graficamente? Copia catro dos exemplos que aparecen na escena nos seguintes recadros e fai a gráfica da recta que forman as solucións de cada unha das ecuacións: Ecuación: x

Ecuación: y

Sistemas de ecuacións

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

Ecuación: x

DATA:

Ecuación: y

Cando comprendas ben o concepto...

Pulsa en

para facer exercicios.

EXERCICIO: Completa a continuación tres dos enunciados que aparecen nesa escena de exercicios e resólveos. Despois comproba a solución na escena: Solucións Acha unha solución (x,y) da ecuación __________ sabendo que _______ Razoa se x =

,y=

Canto vale "c" se x =

é unha solución da ecuación: __________ ,y=

é unha solución da ecuación: __________

Resolve máis exercicios ata que comprendas ben o concepto de solución dunha ecuación lineal con dúas incógnitas. Cando remates... Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Sistemas de ecuacións lineais Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. EXERCICIO: Completa: Un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas ____________________________ __________________________________________________________________________ Fórmula xeral dun sistema de dúas ecuacións Unha solución dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas é _____________ __________________________________________________________________________ Copia dous exemplos dos que aparecen na escena e fai a gráfica das rectas que corresponden a cada unha das ecuacións e indica cál é a solución do sistema: Sistemas de ecuacións

IES _______________________ CADERNO Nº 6

Sistema:

NOME: _____________________________

  

DATA:

Gráfica

Ec. 1:

Ec. 2:

y= Solución do sistema x

( , )

Sistema:

  

Gráfica

Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

Solución do sistema x

( , )

Cando comprendas ben o concepto...

Pulsa en

para facer exercicios.

Completa a continuación tres dos enunciados que aparecen nesa escena de exercicios e resólveos. Despois comproba a solución na escena: Solucións Escribe un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas a solución das cales sexa: x = , y = Razoa se x =

,y=

  



é unha solución do sistema: 

 



Fai unha táboa de valores e dá a solución do sistema: 

Resolve máis exercicios ata que comprendas ben o concepto de solución dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Cando remates... Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

1.c. Clasificación de sistemas Le na pantalla a explicación teórica deste apartado. Aprende como se chaman os sistemas dependendo do número de solucións que teñen e como son en cada caso as rectas que forman as solucións correspondentes a cada unha das ecuacións que o forman. EXERCICIO: Contesta: Como se chama un sistema que ten unha única solución? Como son as rectas que o forman? Como se chama un sistema que ten infinitas solucións? Como son as rectas que o forman? Como se chama un sistema que non ten solución? Como son as rectas que o forman?

Respostas

Na escena da dereita elixe a opción: Sistema:

  

Gráfica

Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

As rectas son:

Cantas solucións ten o sistema?

Na escena da dereita elixe a opción: Sistema:

  

Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

As rectas son:

Sistemas de ecuacións

Cantas solucións ten o sistema?

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Na escena da dereita elixe a opción: Sistema:

  

Ec. 1:

Ec. 2:

y= x

As rectas son:

Cantas solucións ten o sistema?

Cando comprendas ben o concepto...

para facer exercicios.

Pulsa en

Completa a continuación tres dos enunciados que aparecen nesa escena de exercicios e resólveos. Despois comproba a solución na escena: Solucións Calcula a e b para que o sistema

Calcula a e b para que o sistema

        

sexa Compatible determinado sexa Compatible Indeterminado sexa Incompatible

a= b= a= b= a= b=

Resolve máis exercicios ata que comprenderas ben a relación entre o número de solucións dun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas e a súa clasificación.

EXERCICIOS 1.

3x + 2y = 17 Dado o sistema:  , razoa se os seguintes pares son solución. 5x − y = 11 a) x=3 , y=4

x=3 , y=1

Escribe un sistema de dúas ecuacións cuxa solución sexa: a) x=1 , y=2

b) x=5 , y=1 b) x=3 , y=1

x=2 , y=3

3x + 2y = 8 Fai unha táboa de valores e da a solución do sistema:  5x − y = 9 Escribe unha ecuación para completar coa x - y = 1, un sistema que sexa: a) Compatible determinado b) Incompatible c) Compatible indeterminado

Cando remates... Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

2. Métodos de resolución 2.a. Redución Le na pantalla en que consiste o método de redución. EXERCICIO: Completa: Resolver un sistema polo método de redución consiste en atopar outro sistema, ______ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de redución paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena.

Resolver o sistema:

Paso 1:

  

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

Paso 2:

Substituir

Paso 3:

Despexar a

ecuación

Paso 4: Dar a solución

Observa que podes cambiar a letra que se reduce e que podes utilizar calquera das dúas ecuacións á hora de substituír para achar o valor da outra incógnita. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método.

Sistemas de ecuacións

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

Despois... Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Resólveo neste recadro.

Pulsa en

Resolver o sistema por redución:

DATA:

para facer exercicios.

  

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

Despois pulsa Solución para comprobar

Substituír o valor de

na ecuación x= y=

Pulsa Resolver o sistema por redución:

OUTRO EXEMPLO E resólveo do mesmo modo: Primeiro no papel e despois comproba a solución.

  

Multiplicar a primeira ecuación por Multiplicar a segunda ecuación por Sumar as dúas ecuacións para eliminar a letra

Substituír o valor de

na ecuación x= y=

Fai varios exemplos. Cando remates...

Sistemas de ecuacións

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

2.b. Substitución Le na pantalla en que consiste o método de substitución. EXERCICIO: Completa: Para resolver un sistema polo método de substitución _______________________________ __________________________________________________________________________ Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de substitución paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena. Resolver ol sistema:

  

Paso 1:

Despexar a letra na ecuación

Paso 2:

Substituír a letra na ecuación

Paso 3:

Resolver a ecuación dunha incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular a

substituíndo na ecuación despexada Paso 5: Dar la solución

Observa que poderías empezar despexando a mesma letra na outra ecuación ou a outra letra en calquera das ecuacións e sempre obterías o mesmo resultado. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método. Despois... Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

Pulsa en

Resolver o sistema por substitución:

Despéxase a

para facer exercicios.

  

ecuación …

Resólveo neste recadro. Despois pulsa Solución para comprobar Fai varios exemplos. Cando remates... Pulsa

Sistemas de ecuacións

Solución:

x= y=

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

2.c. Igualación Le na pantalla en que consiste o método de igualación. EXERCICIO: Completa: Para resolver un sistema polo método de igualación _______________________________ __________________________________________________________________________ Na escena podes ver como se resolve un sistema polo método de igualación paso a paso. Completa neste recadro o exemplo que aparece na escena.

Resolver o sistema:

  

Paso 1:

Despexar a letra nas dúas ecuacións

Paso 2:

Igualar as dúas ecuacións despexadas

Paso 3:

Resolver a ecuación dunha incógnita que resulta:

Paso 4:

Calcular a

substituíndo na ecuación despexada Paso 5: Dar a solución

Observa que poderías empezar despexando a outra letra nas dúas ecuacións e obterías o mesmo resultado. Practica con esa escena ata que comprendas ben o método. Despois... Aparece unha escena cun sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

Pulsa en

Resolver o sistema por igualación:

Despéxase a

para facer exercicios.

  

nas dúas ecuacións…

Resólveo neste recadro. Despois pulsa Solución para comprobar

Sistemas de ecuacións

Solución:

x= y=

10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

EXERCICIOS 5.

Resolve por substitución:  x + 4y = −25 − 10x − 5y = 5

a) 

 3x + 5y = 45 − 4x − y = −43

b)  6.

Resolve por igualación: − 4x + y = 20  6x − 9y = 0

a) 

− 3x − 4y = 31  5x − 9y = 11

b)  7.

Resolve por redución: 5x − 10y = 25  8x + 2y = 4

a) 

5x + 3y = 21 7x + 8y = 37

b) 

 x y 22  − = Resolve  3 5 15 7x − 7y = 28 

EJERCICIOS de Reforzo Resolve os seguintes sistemas polo método que consideres máis axeitado en cada caso:

2x − 3y = 0 a)  3x + y = 11

3x − 2y = 1 d)  2x + 5y = −12

x − 5y = 11 b)  − 2x + 7y = −19

2x + 5y = −2 e)  4x − 3y = 9

− 2x + y = 2 c)  4x + 5y = 17

4x + 3y = 3  2x + 9y = 4

Cando remates...

Sistemas de ecuacións

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

3. Aplicacións prácticas 3.a. Resolución de problemas Le o texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante un sistema "... Exemplos. Na escena podes ver exemplos de problemas de tres tipos Pulsa sobre

e continua con

para ver como se fai.

E "< volver" para ir de novo ao menú. Para outros exemplos do mesmo tipo: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo IDADES.

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo XEOMETRÍA.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MÓBILES.

Sistemas de ecuacións

12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

Despois...

Pulsa en

DATA:

para facer exercicios.

Na escena irán aparecendo diferentes problemas. Busca seis enunciados que comecen coas frases que se indican a continuación. Complétaos e resólveos (utiliza o método que consideres máis axeitado en cada un deles). Despois comproba se o fixeches ben. Exemplo 1:

Exemplo 2:

Achar dous números sabendo que ________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Paco ten no seu peto ___________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

x=y=

Solución:

x=y=

Exemplo 3:

Exemplo 2:

Ao dividir un número entre outro _________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

A base dun rectángulo mide _____________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

x=y=

Sistemas de ecuacións

Solución:

x=y= -

13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Nunha clase _________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Salvador fixo un exame que _____________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

Solución:

x=y=

Solución:

x=y=

EXERCICIOS 10.

Xurxo ten no seu peto billetes de 10€ e 20€, en total ten 20 billetes e 440€ ¿Cantos billetes ten de cada tipo?

11.

Nun exame de 100 preguntas Ana deixou sen resposta 9 e obtivo 574 puntos. Se por cada resposta correcta se suman 10 puntos e por cada resposta incorrecta se restan 2 puntos, ¿cantas contestou ben e cantas mal?

12.

Nun curso hai 70 alumnos matriculados. No último exame de Matemáticas aprobaron 39 alumnos, o 70% das chicas e o 50% dos chicos. ¿Cantos chicos w cantas chicas hai no curso?

13.

Ao dividir un número entre outro o cociente é 2 e o resto é dous. Se a diferencia entre o dividendo e o divisor é 54, ¿de que números se trata?

Sistemas de ecuacións

14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

4. Sistemas de inecuacións cunha incógnita 4.a. Resolución Le o texto de pantalla e COMPLETA: Para resolver un sistema de inecuacións cunha incógnita ____________________________ _________________________________________________________________________. Observa o exemplo. Na escena da dereita aparecen máis exemplos de resolución de sistemas de dúas inecuacións cunha incógnita. Copia unha deses exemplos no seguinte recadro:

Pulsa no botón

para resolver uns exercicios.

Resolve polo menos 2 sistemas dos que se propoñen.

EXERCICIOS 16x − 9 < 19x  15x + 20 ≥ 5x

14.

Resolve:

15.

Resolve: 

16.

Resolve: 

− 11x < 3x − 28 14x + 42 ≥ 16x 3(2x + 5) < x 13x ≤ 16x − 18

Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte.

15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO

Ecuación de primeiro grao con dúas incógnitas: ____________

Sistemas de dúas ecuacións de primeiro grao con dúas incógnitas.

  

• Métodos de resolución:

• •

Método de substitución:

Método de igualación:

Método de redución:

Sistemas de inecuacións:

Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte

16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: • •

Sistemas de ecuacións. Problemas Sistemas de inecuacións. Problemas

  

Por IGUALACIÓN 3.

  

Sistemas de ecuacións

17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

  

Por REDUCIÓN 5.

  

RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS Aparece o enunciado dun problema. Cópiao no primeiro recadro e resólveo no espazo reservado para iso. Despois comproba no ordenador se os fixeches ben. Pulsando en " Outro Exercicio" aparecerán outros enunciados. Resolve un mínimo de cinco problemas procurando que os enunciados sexan diferentes (en total hai 11 enunciados diferentes). 7.

Resolución:

Sistemas de ecuacións

18 -

IES _______________________ CADERNO Nยบ 6

NOME: _____________________________

DATA:

Resoluciรณn:

10.

Resoluciรณn:

Sistemas de ecuaciรณns

19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

11.

Resolución:

Pulsa

para ir á páxina seguinte

Os seguintes EXERCICIOS son de Sistemas de inecuacións. Problemas. Resolver un mínimo de catro sistemas de inecuacións dos cales polo menos dous teñan algunha inecuación de 2º grao e polo menos un estea formado por tres inecuacións: 12.

  

13.

  

14.

  

Sistemas de ecuacións

20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

15.

NOME: _____________________________

DATA:

  

Resolver problemas con sistemas de inecuacións Pulsando en " Outro Exercicio" aparecerán outros enunciados. Resolve un mínimo de tres problemas procurando que os enunciados sexan diferentes. 16.

Resolución:

17.

Resolución:

18.

Resolución:

Pulsa

Sistemas de ecuacións

para ir á páxina seguinte

21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: _____________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas cuxa solución sexa x= __, y=___

Acha o valor de a para que o sistema seguinte sexa compatible indeterminado.

  

Resolve o sistema de inecuacións:

Escribe unha solución da ecuación: ___________



Resolve por redución: 

 

Resolve por substitución: 





Resolve por igualación: 



Acha dous números _________________ sexa ___ e ______________ sexa ____.

Indica de que tipo é o sistema:

  

Acha as dimensións dun rectángulo de perímetro ________ se _______________ ____________________.

Sistemas de ecuacións

22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar máis 1. Calcula o valor de c para que a solución da ecuación, x + 7y = c sexa: a) x = 1 , y = 2 b) x = 3 , y = −3 c) x = 5 , y = 0

6. Resolve graficamente sistemas:

seguintes

x + y = 6 a)  2x + 2y = 12 x + y = 8 b)  x − y = 2

d) x = −2 , y = 3 7. Resolve por redución: 2. Acha unha solución (x, y) da ecuación −4x + y = 17 sabendo que: a) x = 1 b) y = −7

3. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas coa solución: a) x = 4 , y = −3 b) x = 1 , y = −2 c) x = 0 , y = 5

2x + y = 15 a)  x − 2y = −15  −7x + 6y = −29 b)  x + 3y = 8

8. Resolve por substitución:

x − 12y = 1 a)   −4x − 9y = 15 x + 6y = 3 b)   −9x + 2y = −83

d) x = 1 , y = 1 9. Resolve por igualación: 4. Escribe un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas que: a) teña infinitas solucións b) teña unha soa solución c) non teña solución

5. Razoa se o punto (x, y) é solución do sistema:

2x + 3y = 18 a) x = 3 , y = 4 →  3x + 4y = 24 5x − 3y = −1 b) x = 1 , y = 2 →  3x + 4y = 11

Sistemas de ecuacións

x − 2y = 17 a)  7x − 6y = 47 x − 4y = 32 b)  x − 3y = −17 x − 2y = −14 c)  x + 4y = 4

10. Resolve os seguintes sistemas polo método que consideres máis axeitado: −3 x y  − = 8 8 8x + 5y = 33 

x y 3  − =− 4 5 4x − 2y = 12 

b)  4

8 x y =  + 3 3 7x + 3y = 34 

d)  9

a)  5

c)  2

4 x y =  − 2 9 5x − 7y = 20 

23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 6

NOME: ___________________________

11. Achar dous números sabendo que o maior máis seis veces o menor é igual a 62 e o menor máis cinco veces o maior é igual a 78. 12. Dous números suman 241 e a súa diferenza é 99. Que números son? 13. Pedro ten 335 € en billetes de 5€ e de 10€ se en total ten 52 billetes, cantos ten de cada clase? 14. Nun hotel hai 67 cuartos entre dobres e sinxelas. Se o número total de camas é 92, cantos cuartos hai de cada tipo?. 15. Deséxase mesturar viño de 1 €/litro con viño de 3 €/litro para obter unha mestura de 1,2 €/litro. Cantos litros deberemos poñer de cada prezo para obter 2000 litros de mestura? 16. Nun almacén hai dous tipos de lámpadas, as de tipo A que utilizan 2 bombillas e as de tipo B que utilizan 7 bombillas. Se en total no almacén hai 25 lámpadas e 160 bombillas, cantas lámpadas hai de cada tipo? 17. Nun parque de atraccións subir á nora costa 1 € e subir á montaña rusa 4 €. Ana sobe un total de 13 veces e gasta 16 €, cantas veces subiu a cada atracción? 18. Nun curral hai ovellas e galiñas en número de 77 e se contamos as patas obtemos 274 en total. Cantas ovellas e cantas galiñas hai? 19. Atopa un número de dúas cifras sabendo que a suma destas é 7 e a diferenza entre o número e o que resulta ao intercambialas é 27. 20. A suma das idades de Luisa e de Miguel é 32 anos. Dentro de 8 anos a idade de Miguel será dúas veces a idade de Luisa. Que idades teñen ambos os dous?

Sistemas de ecuacións

DATA:

21. María mercou un pantalón e un xersei. Os prezos destas prendas suman 77€ pero fixéronlle un desconto do 10% no pantalón e un 20% no xersei, pagando en total 63'60€. Cal é o prezo sen rebaixar de cada prenda? 22. Acha dous números tales que se se dividen o primeiro por 3 e o segundo por 4, a suma dos cocientes é 15, mentres que se se multiplica o primeiro por 2 e o segundo por 5 a suma dos produtos é 188. 23. Resolve os sistemas de inecuacións: − 3x < 2(−6x + 8) a)  − 16x − 31 ≤ −5x

− 9x ≥ 12x − 28 b)  6(x + 5) < 2x

x2 − 3x ≤ 0 c)  2x − 56 < 11x

16x − 39 < 5x  d) − 4x ≥ 12x − 15 6(2x + 7) ≤ 2x 

24. Rosa quere mercar globos e serpentinas para adornar a festa de fin de curso. Quere mercar dobre número de paquetes de globos que de serpentinas e non quere mercar menos de 30 paquetes de globos. Se o paquete de serpentinas vale 4€ e o de globos 3€ e ademais non quere gastar máis de 248 €. Cantos paquetes de serpentinas pode mercar?. 25. A piscina do edificio A é un cadrado e a do edificio B un rectángulo, un dos lados do cal mide o mesmo que o do cadrado e outro 6 m. Para que medidas do lado do cadrado o perímetro da piscina do edificio A é maior que o da piscina do edificio B?. 26. Pedro ten 87 € para mercar todos os discos do seu cantante preferido. Se cada disco custase 23 € non tería suficiente diñeiro, pero se custase 15 € entón sobraríalle. Cantos discos ten do cantante?

24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Semellanza e trigonometría Contidos 1. Semellanza. Teorema de Tales. Triángulos semellantes. Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias. 2. Razóns trigonométricas. Definición. Relacións fundamentais. 3. Resolución de triángulos rectángulos. Dous lados. Un cateto e un ángulo agudo. Hipotenusa e un ángulo agudo.

Obxectivos •

Recoñecer triángulos semellantes.

•

Calcular distancias inaccesibles aplicando a semellanza de triángulos.

•

Nocións básicas de trigonometría.

•

Calcular a medida de todos os lados e os ángulos dun triángulo rectángulo a partir de dous datos.

Autora: Montserrat Gelis Bosch Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Semellanza e trigonometría

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Antes de empezar Pulsa na imaxe da dereita da pantalla para ver unha serie de vídeos, duns tres minutos cada un; neles verás algunhas das aplicacións da trigonometría e a semellanza. "Os misterios da vida" con Tim e Moby Como facemos a escala algo que queremos debuxar?

Taller de xeometría do IES Jaume I de Sagunto: "Tales" Tales mediu a altura dunha pirámide coa sombra dunha estaca.

Taller de xeometría do IES Jaume I de Sagunto: "Euclides" Cun espello mídese a altura da canastra.

Congreso ICM06. TVE Na natureza hai orde e autosemellanza, un pétalo ou unha rama é igual a todas as demais. Universo Matemático. TVE. "Pitágoras" Unha corda con 12 nós era unha ferramenta para trazar perpendiculares. Universo Matemático. TVE. "Trigonometría" Con cálculos de trigonometría demostrouse que a Terra estaba achatada polos polos. Carl Sagan. "Eratóstenes" Medindo sombras e ángulos Eratóstenes calculou o Raio da Terra hai 2200 anos.

O billar A semellanza é a clave para facer carambola. Podes pulsar na imaxe para simular o xogo. Segue as instrucións e proba as túas habilidades. Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-2 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

1. Semellanza 1.a. Teorema de Tales Le con atención o texto de pantalla. Completa o enunciado do Teorema de Tales: Cando se cortan dous __________________________ con dúas rectas ________________, os segmentos que se obteñen en cada semirrecta gardan a mesma ____________________.

Na escena da dereita da pantalla, move os puntos e comproba que, cando as rectas azuis son paralelas, os segmentos que se obteñen son proporcionais.

A partir da seguinte proporción:

Comproba que tamén se cumpre:

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Realiza varios exercicios aplicando o teorema de Tales. En cada exercicio escribe os valores da proporción; realiza a división e comproba o resultado pulsando o botón solución. EXERCICIO: Acha nos casos a) e b) as proporcións

e comproba o

resultado no ordenador.

Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-3 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

1.b. Triángulos semellantes Le en pantalla as condicións que deben cumprir dúas figuras semellantes. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Como deben ser os ángulos de dous polígonos semellantes? Se dous triángulos teñen todos os ángulos iguais, podemos afirmar que son semellantes? Se dous cuadriláteros teñen todos os ángulos iguais, que outra condición deben cumprir para seren semellantes?

RESPOSTAS

Triángulos semellantes Escribe os criterios de semellanza para dous triángulos:

Na escena da dereita da pantalla propóñense diversos exercicios de semellanza. Resólveos e comproba a solución no ordenador. TEST SOBRE FIGURAS SEMELLANTES a) Son semellantes?

b) Un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 40º é forzosamente semellante a un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 110º?

Un triángulo de lados 3, 6 e 7cm é semellante a outro cuxos lados do cal miden 9, 36 e 49cm?

Semellanza e trigonometría

-4 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

d) Un cuadrilátero de lados 3, 4, 5 e 6cm é necesariamente semellante a outro de lados 6, 8, 10 e 12cm?

e) Dous triángulos que teñen un ángulo de 20º e os lados que os forman nun miden 6 e 15 cm, noutro, 4 e 10cm son semellantes?

Un triángulo cun ángulo C=50º e os lados a=3cm e b=5cm e outro cun ángulo C=100º e os lados a=6cm e b=10cm son necesariamente semellantes?

g) Dous polígonos regulares co mesmo número de lados, son semellantes?

h) Os lados de dous triángulos miden 3, 6 e 7cm, nun, e

18 ,

12 2

e 7 2 cm noutro, son

semellantes?

Os triángulos da figura son semellantes; completa o enunciado e acha a medida do lado x. b)

No mesmo lugar e na mesma hora, alturas e sombras definen triángulos semellantes. Completa o enunciado e resólveo. Acha a altura da árbore.

Semellanza e trigonometría

-5 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Acha a altura do paseante.

Calcula a sombra do paseante.

Calcula a sombra da árbore.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.c. Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras di que, nun triángulo rectángulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c, cúmprese que

Hai moitas demostracións do devandito teorema. Na pantalla podes ver unha demostración gráfica do teorema de Pitágoras. Na escena da dereita podes ver uns exemplos nos que se aplica este teorema. Podes elixir entre varias opcións. Para cada opción, observa primeiro o exemplo para veres como se resolve. Movendo os puntos, poderás cambiar as dimensións das figuras.

Semellanza e trigonometría

-6 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Hipotenusa? Observa primeiro o exemplo para veres como se resolve. Movendo os puntos laranxas, poderás modificar o triángulo. Pulsa o botón

e completa as dimensións dos catetos.

Resólveo e despois comproba na escena se o fixeches correctamente.

Cateto? Observa primeiro o exemplo para ver como se resolve. Movendo os puntos laranxas poderás modificar o triángulo. Pulsa o botón

e completa as dimensións da hipotenusa e do outro cateto.

Resólveo e despois comproba na escena se o fixeches correctamente.

Distancia entre dous puntos Observa primeiro o exemplo para veres como se resolve. Movendo os puntos laranxas, poderás cambiar a posición dos dous puntos. Pulsa o botón

e escribe as coordenadas dos dous puntos.

Resólveo e despois comproba na escena se o fixeches correctamente.

Semellanza e trigonometría

-7 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Ecuación da circunferencia Observa primeiro o exemplo para veres como se resolve. Podes modificar o centro e o raio. Pulsa o botón

e escribe o raio e as coordenadas do centro.

Resólveo e despois comproba na escena se o fixeches correctamente.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.d. Cálculo de distancias Na vida cotiá aparecen moitas situacións nas que é necesario calcular distancias inaccesibles. Na escena da dereita da pantalla propóñense catro exemplos destas situacións. Pulsa para veres en cada caso como se debuxan os triángulos. Resólveos e comproba o resultado no ordenador.

Para calculares a distancia dende a praia a un barco tomáronse as medidas da figura. Calcula a distancia ao barco.

Semellanza e trigonometría

-8 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Calcula a distancia entre as árbores A e B.

Calcula a profundidade do pozo.

Acha a lonxitude x da sedela que non está na auga.

Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-9 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

2. Razóns trigonométricas 2.a. Definición Le en pantalla a explicación sobre razóns trigonométricas. , que dous triángulos rectángulos cuxos catetos Observa, pulsando sobre a imaxe manteñen a mesma proporción son semellantes. Completa: Chamamos razóns trigonométricas ás razóns entre _______________ dun triángulo ________________.

Razóns trigonométricas

seno

coseno

tanxente

Abreviaturas

sen

cos

tan

sen α =

cos α =

tan α =

O seno é o cociente entre o ______________________ e ____________________. O coseno é o cociente entre o ______________________ e ____________________. A tanxente é o cociente entre o ______________________ e ____________________. Debuxa os dous triángulos da escena da dereita da pantalla. Elixe unha razón e observa como se obteñen por semellanza as fórmulas das razóns trigonométricas. Podes modificar as dimensións do triángulo e o valor do ángulo agudo; observa que segue cumpríndose a mesma proporción.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Semellanza e trigonometría

-10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Realiza os oito exercicios propostos aplicando os conceptos estudados no capítulo. No exercicio 8 utiliza a túa calculadora para calculares as razóns trigonométricas dun ángulo dado e tamén para achares un ángulo a partir das razóns trigonométricas. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.b. Relacións fundamentais Le en pantalla a explicación e practica nas escenas a obtención das relacións fundamentais da trigonometría. Antes de empezares, le con atención as indicacións pulsando o botón Pulsa o botón para veres o triángulo básico con hipotenusa=1 Completa:

tan α =

Para a súa demostración aplicamos ______________________

Pulsa no botón

para calculares as razóns de 30º, 45º e 60º.

Escolle un ángulo e observa pulsando o procedemento a seguir para achares o valor das súas razóns trigonométricas. Practica completando os seguintes recadros.

60º Triángulo equilátero de lado 1

Hipotenusa =1 Cateto oposto =x Cateto contiguo =1/2 Semellanza e trigonometría

Aplica o teorema de Pitágoras para achares o valor de x (cateto oposto):

sen60º =

cos60º =

tan60º =

-11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

30º Triángulo equilátero de lado 1

Hipotenusa =1 Cateto oposto =1/2 Cateto contiguo =x

Aplica o teorema de Pitágoras para achares o valor de x (cateto adxacente):

sen30º =

cos30º =

tan30º =

45º Cadrado de lado 1

Aplica o teorema de Pitágoras para achares o valor de x (hipotenusa):

Hipotenusa =x Cateto oposto =1 Cateto contiguo =1

sen45º =

Pulsa no botón

cos45º =

tan45º =

para repasares as relacións fundamentais.

Arrastra as razóns trigonométricas e os números da escena para que resulten as dúas relacións fundamentais. Chegou o momento de comprobares todo o que aprendiches. Realiza cada un dos seguintes exercicios.

EXERCICIOS 1.

No triángulo da figura calcula: 5

a) sen α b) cos α c) tan α

d) sen β e) cos β f) tan β

Obtén coa calculadora: a) sen 30º b) cos 60º c) tan 45º

Semellanza e trigonometría

-12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Obtén coa calculadora os ángulos agudos α e β dun triángulo rectángulo cuxos catetos miden 9 e 12 centímetros.

Decide qué razóns do ángulo α corresponden aos lados a, b e c

No seguinte triángulo, calcula o sen α , cos α e tan α

α 15 6.

Comproba no ángulo α do triángulo da figura que se cumpren as relacións fundamentais. 5

3 4

Calcula o coseno e a tanxente dun ángulo agudo α tal que senα=0,3

Comproba que se cumpre a relación: 1+ tan2 α=sec2 α Lembra o triángulo:

Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

3. Resolución de triángulos rectángulos 3.a. Dous lados Resolver un triángulo significa coñecer os tres lados e os tres ángulos. Le en pantalla a explicación para resolveres un triángulo rectángulo coñecidos dous lados. Completa: Para achares o outro lado do triángulo aplicarase ________________________________, o ángulo determinarase como o ________________________________ é ben como o _____________________________ é

cateto oposto ou cateto contiguo

cateto oposto dependendo dos datos hipotenusa

iniciais. Para calculares o outro ángulo, abonda restar de _____________. Na escena da dereita da pantalla móstrase unha situación na que se desexa resolver un triángulo rectángulo coñecidos os dous catetos. Podes modificar as dimensións dos catetos arrastrando o vértice laranxa. Pulsa o botón para ver os cálculos necesarios para achar a hipotenusa e os ángulos

Resolve os seguintes exercicios e comproba o resultado no ordenador. EXERCICIO 1: Nun triángulo rectángulo de catetos 5 e 10cm, calcula a medida da súa hipotenusa e dos seus ángulos. Hipotenusa:

Ángulos:

EXERCICIO 2: Resolve un triángulo rectángulo sabendo que a súa hipotenusa mide 10cm e un dos seus catetos mide 6 cm. Cateto:

Ángulos:

Semellanza e trigonometría

-14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

Pulsa no botón

DATA:

para faceres uns exercicios.

Completa o enunciado e resolve. Unha vez resolto, comproba o resultado no ordenador. Calcula as polgadas e o formato dunha pantalla, cuxa base cal mide ________ cm e a súa altura ______ cm

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.b. Un cateto e un ángulo agudo Le en pantalla a explicación para resolveres un triángulo rectángulo coñecidos un cateto e un ángulo agudo. Observa pulsando sobre a imaxe

como se resolve o triángulo da

imaxe que ten un ángulo de 75º e o cateto adxacente de 3 cm.

90º

α de 27º e o cateto adxacente de 12

c · tan α

Resolve o seguinte triángulo sabendo que ten un ángulo cm.

c Na escena da dereita da pantalla móstrase unha situación na que se desexa coñecer un cateto dun triángulo rectángulo pero só se pode medir un ángulo e o cateto non e segue as indicacións. buscado. Pulsa o botón

Semellanza e trigonometría

-15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

Pulsa no botón

DATA:

para faceres uns exercicios.

Resolve o exercicio proposto na escena e comproba o resultado.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

3.c. Hipotenusa e un ángulo agudo Le en pantalla a explicación para resolver un triángulo rectángulo coñecidos a hipotenusa e un ángulo agudo. Observa pulsando sobre a imaxe

como se resolve o triángulo da

imaxe que ten un ángulo de 75º e a hipotenusa de 3 cm.

90º

α de 55º e a hipotenusa de 21 cm.

c · sen α

Resolve o seguinte triángulo sabendo que ten un ángulo

c · cos α

Na escena da dereita da pantalla móstrase unha situación na que se desexa coñecer un cateto dun triángulo rectángulo pero só se pode medir un ángulo e a hipotenusa. Pulsa o botón e segue as indicacións.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Completa o enunciado e resolve o exercicio proposto na escena. Comproba o resultado no teu ordenador. Do triángulo rectángulo da figura coñécese un ángulo, ______, e a hipotenusa, ___ cm. Acha os catetos en función das razóns trigonométricas do ángulo dado.

Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Chegou o momento de comprobar todo o que aprendiches. Realiza cada un dos seguintes exercicios.

EXERCICIOS 9. No seguinte triángulo rectángulo, calcula a medida dos seus lados e dos seus ángulos.

10. Calcula a medida dos lados e dos ángulos do seguinte triángulo:

11. Resolve o triángulo da figura.

12. Calcula a hipotenusa e os tres ángulos do triángulo da figura:

Cando remates, podes pasar ao seguinte apartado. Pulsa

Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte.

-17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Le con atención a información do cadro resumo e completa. Teorema de Tales.

Triángulos semellantes.

As rectas r e s son ________________

Criterios:

Relación de proporcionalidade:

1. __________________________________

2. __________________________________ Teorema de Pitágoras. 3. __________________________________ ____ + ____ = ____

Razóns trigonométricas. sen α =

Relacións fundamentais:

cos α =

________ + ________ = 1

tan α =

30º

45º

60º

seno coseno Resolución de triángulos rectángulos.

Pulsa Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte. -18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos exercicios no teu caderno. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Semellanza. Razóns trigonométricas. Triángulos rectángulos. Nos seguintes EXERCICIOS de semellanza e teorema de Pitágoras elixe opción; completa o enunciado cos datos que aparecen no teu ordenador e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Elixe no menú a opción: T. Tales. Calcula x. 1. Calcula x...

2. Calcula x...

Cuadriláteros semellantes. 3. As medidas de tres lados homólogos de dous cuadriláteros semellantes son ____ cm, x cm, ____ cm ____ cm, ____ cm, y cm, acha x e y.

Semellanza e trigonometría

-19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Extensión da base 4. A base do monte obsérvase, como indica o cartel, a unha distancia de _______ km. Móvese unha regreta de ____ cm xusto ata que tapa a base do monte. Neste momento, a distancia da regra ao ollo do observador é de _____ m. Calcula a anchura da base do monte.

Anchura do río 5. Calcula en metros a anchura x, baseándote nos datos do debuxo.

Profundidade do pozo 6. Calcula a profundidade do pozo. A anchura do pozo é de _____ m, a altura do observador é de _____ m, a lonxitude da vara negra é de _____ m e a distancia do ollo do observador á vara é de ______ m. Fíxose coincidir na visual, a vara co fondo do pozo.

Por onde curto? 7. Por onde se ha de cortar a folla para que a parte esquerda sexa semellante á folla enteira?

Semellanza e trigonometría

-20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Triángulos semellantes? 8. Debuxa un triángulo cun ángulo de ______ e o cociente dos lados que o forman igual a _____. Son semellantes os triángulos que cumpren estas condicións?

9. Debuxa un triángulo cun ángulo de ______ e un dos lados que o forman de ______ cm. Son semellantes os triángulos que cumpren estas condicións?

Pirámides 10. Calcula a altura da pirámide sabendo que a súa base é un polígono regular inscrito nunha circunferencia de raio _______ cm e a súa aresta lateral é de ________ cm.

11. Calcula o lado da base da pirámide regular sabendo que a súa aresta lateral é de _______ cm e a altura de cada unha das súas caras laterais é de ________ cm.

Semellanza e trigonometría

-21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

12. Calcula a altura da pirámide regular sabendo que a súa base é un polígono regular de apotema _______ cm e a altura de cada unha das súas caras laterais é de ________ cm

Distancias en coordenadas 13. Achar a distancia entre os puntos de coordenadas (___, ___) e (___, ____)

Ecuación da circunferencia 14. Os puntos (x,y) dunha circunferencia distan do centro un raio. Se o centro é (____, ____) e o raio _____ Saberías expresar esta condición cunha ecuación?; é dicir, pídese aplicar o T. de Pitágoras no triángulo da figura.

Calcula o lado c 15. Aplica o teorema xeneralizado de Pitágoras para calculares a medida do lado c no triángulo da figura.

Pulsa Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte. -22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Nos seguintes EXERCICIOS de razóns trigonométricas, elixe a razón coñecida e a razón a calcular; completa o enunciado cos datos que aparecen no teu ordenador e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. Razón coñecida: seno 16. Se

α é un ángulo agudo (<90º) e

sen α =------- Calcula o coseno.

17. Se α é un ángulo agudo (<90º) e sen α =------- Calcula a tanxente.

Razón coñecida: coseno 18. Se

α é un ángulo agudo (<90º) e

cos α =------- Calcula o seno.

19. Se α é un ángulo agudo (<90º) e cos α =------- Calcula a tanxente.

Razón coñecida: tanxente 20. Se

α é un ángulo agudo (<90º) e

tan α =------- Calcula o seno.

21. Se

α é un ángulo agudo (<90º) e

tan α =------- Calcula o coseno.

Pulsa Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte. -23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Nos seguintes EXERCICIOS de triángulos rectángulos elixe opción; completa o enunciado cos datos que aparecen no teu ordenador e resólveos no recadro da dereita. Despois comproba a solución no ordenador. O lado dun polígono 22. A lonxitude da apotema dun polígono regular de _____ lados é de _______ cm. Calcula o lado.

23. A lonxitude do raio dun polígono regular de ______ lados é de __________ cm. Calcula o lado

A apotema dun polígono 24. A lonxitude do raio dun polígono regular de ______ lados é de __________ cm. Calcula a apotema.

25. A lonxitude do lado dun polígono regular de ______ lados é de __________ cm. Calcula a apotema.

O raio dun polígono 26. A lonxitude da apotema dun polígono regular de _____ lados é de _______ cm. Calcula o raio.

Semellanza e trigonometría

-24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

27. Calcula o raio da circunferencia inscrita nun polígono regular de _____ lados se o lado mide ______ cm.

28. A lonxitude do lado dun polígono regular de _____ lados é de _______ cm. Calcula o raio.

A altura dunha árbore 29. Determina a altura dunha árbore se dende un punto situado a ________ metros da súa base obsérvase a súa copa cun ángulo de ______ graos.

A altura dun papaventos 30. A lonxitude do fío que suxeita un papaventos é de ________ m. Se o ángulo de elevación do papaventos é de ______, que altura alcanza o papaventos?

Semellanza e trigonometría

-25 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

A altura dun edificio 31. Para medir a altura dun edificio mídense os ángulos de elevación dende dous puntos situados a unha distancia de _______ m. Cal é a altura do edificio, se os ángulos son _____ e _____?

32. Para medir a altura dun edificio mídense os ángulos de elevación dende dous puntos. Se a altura é de _________ m e os ángulos son _______ e ______, cal é a distancia entre os puntos?

A altura dun avión 33. Dúas persoas separadas _______ m ven un avión que voa sobre eles con ángulos de elevación de _____ e _____. A que altura voa o avión?

34. Dúas persoas ven un avión que voa sobre eles a unha altura de _______ m, con ángulos de elevación de _____ e _____. A que distancia se atopan as dúas persoas?

Semellanza e trigonometría

-26 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

A altura dunha montaña 35. Para medir a altura dunha montaña mídense os ángulos dende dous puntos situados a unha distancia de ___________ m. e a unha altitude de ___________ m sobre o nivel do mar. Cal é a altura da montaña, se os ángulos son ________ e ________?

36. Os ángulos de elevación dende dous puntos situados a unha altitude de _________ m sobre o nivel do mar son _____ e _____. Se a altura da montaña é de __________ m Cal é a distancia entre os dous puntos?

Compás-raio 37. Cun compás cuxos brazos miden _______ cm, trazamos unha circunferencia. Se o ángulo que forman os seus brazos é de ________. Cal é o raio da circunferencia?

Compás-brazos 38. Cun compás trazamos unha circunferencia de ______ cm de raio. Se o ángulo que forman os seus brazos é de ________. Cal é a lonxitude dos brazos do compás?

Pulsa Semellanza e trigonometría

para ires á páxina seguinte. -27 -

IES _______________________ CADERNO Nº 7

NOME: ___________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos; despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Aplica a semellanza para calculares o valor de x.

Sabendo que os ángulos dun cuadrilátero suman 360º, calcula o ángulo A.

Os polígonos da figura son semellantes?

Como a ventá da casa de en fronte é igual que a miña, podo saber a súa altura e, coa visual dunha vara, calcular a anchura da rúa. Calcúlaa. A xeratriz dun cono recto mide _______ cm e o raio da base ______ cm. Acha a altura dun cono semellante a este realizado a escala 1:____ Calcula o valor de tan A no triángulo ABC da figura.

Calcula a área do triángulo da figura.

Se sen α = ______, e α é un ángulo agudo, calcula a tan α.

A altura de Torre España é de 231m, canto mide a súa sombra cando a inclinación dos raios do sol é de _______?

Calcula a área do polígono da figura.

Semellanza e trigonometría

-28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides Cilindros Conos Troncos de conos Esferas

Obxectivos •

Aplicar as razóns trigonométricas para estudares as relacións que existen entre os ángulos e os lados das figuras planas.

•

Calcular o perímetro e a área das figuras planas aplicando as fórmulas coñecidas e as razóns trigonométricas cando sexa necesario.

•

Aplicar as razóns trigonométricas para estudares as relacións que existen entre as arestas e os ángulos dos corpos xeométricos.

•

Calcular a área lateral, a área total e o volume dos corpos xeométricos aplicando as fórmulas coñecidas e as razóns trigonométricas cando sexa necesario.

Autora: Concepción Sanchís Sanz Versión en galego: José Manuel Sánchez González

Problemas xeométricos

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

-1 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Antes de empezar Para resolveres os exercicios e problemas desta quincena, deberás efectuar operacións coa calculadora. Na escena da dereita, expóñense diferentes exemplos que poñen de manifesto a conveniencia de gardarmos na memoria os valores de números irracionais tal como os dá a calculadora e utilizalos na realización das operacións que sexa necesario efectuar, redondeando só ao final do exercicio. Pulsa o botón

para accederes aos diferentes exemplos.

Leos atentamente e practica coa túa calculadora... O coa que aparece na páxina de Cando remates...

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1. Figuras planas. 1.a. Triángulos. Le o texto de pantalla. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Canto vale a suma dos tres ángulos dun triángulo? Que é o perímetro dun triángulo?

RESPOSTAS

A que é igual a área dun triángulo?

Na escena, podes ver as diferentes formas de calcular a área dun triángulo. Pulsa o botón

para accederes a elas, e completa a táboa seguinte:

A área do triángulo é igual a ______________________ _______________________ _______________________

Pulsa os botóns

A área do triángulo é igual a ______________________ _______________________ _______________________

FÓRMULA DE HERÓN

para veres diferentes exemplos resoltos. Na táboa seguinte,

completa os datos e copia unha de cada tipo. Coloca tamén os datos no debuxo. En cada número, resólvese o exemplo por diferentes procedementos; examínaos todos pulsando en

e copia no espazo correspondente o método que se indica.

Problemas xeométricos

-2 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcular a área dun triángulo equilátero de _______ cm de lado. (Utiliza a 1ª fórmula)

O lado desigual dun triángulo isóscele mide _______ cm e os lados iguais miden ______ cm cada un. Calcular o perímetro, a área e os ángulos. (Utiliza a fórmula de Herón)

O lado desigual dun triángulo isóscele mide ______ cm e o ángulo distinto mide _____. Calcular os ángulos, os lados, a altura, o perímetro e a área. (Utiliza as razóns trigonométricas)

Os ángulos dun triángulo escaleno miden ____, ____ e ____. O lado menor mide _____ cm. Calcular os outros lados, a altura, o perímetro e a área. (Utiliza as razóns trigonométricas)

Os lados dun triángulo escaleno miden ____, ____ e ____ cm. Calcular o perímetro e a área. Pódese calcular a altura? Pódense calcular os ángulos? (Utiliza a fórmula de Herón)

Problemas xeométricos

-3 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

Pulsa no botón

NOME: __________________________

DATA:

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de catro exercicios. Copia o enunciado e fai o debuxo. Primeiro resolve o exercicio efectuando os cálculos coa calculadora da forma máis exacta posible e, despois, introduce a solución con dous decimais no recadro para e pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1:

Exercicio 2:

Exercicio 3:

Exercicio 4:

EXERCICIOS 1.

Calcula a área dun triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado.

O lado desigual dun triángulo isósceles mide 3,6cm e o ángulo distinto mide 46º. Calcula o perímetro e a área.

Os ángulos dun triángulo escaleno miden 45º, 64º e 71º e o lado menor mide 9,7cm. Calcula o perímetro.

Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte.

-4 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

1.b. Paralelogramos. Le o texto "Un paralelogramo é..... ". CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que é un paralelogramo? Canto vale a suma dos catro ángulos dun paralelogramo? Que é o perímetro dun paralelogramo?

Na escena, podes ver as áreas dos distintos paralelogramos. Pulsa o botón

para accederes a elas e completa a táboa seguinte escribindo o nome

de cada un deles, facendo un debuxo e escribindo a fórmula para calculares a súa área. Nome

Debuxo

Área CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: En que queda dividido un rombo ao trazares as diagonais? Que figura se forma ao trazares a altura nun romboide? Pulsa os botóns

RESPOSTAS

para veres diferentes exemplos resoltos. Na táboa seguinte,

completa os datos e copia unha de cada tipo. a) Calcular a área dun cadrado de lado ______ cm. b) Calcular o perímetro dun cadrado cuxa área é de ___________ cm2

a) Calcular a área dun rectángulo de _____ cm de base e ______ cm de altura. b) Calcular a base dun rectángulo de ______ cm2 de área e ______ cm de altura.

Problemas xeométricos

-5 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcular a área dun rombo de ______ cm de lado sabendo que o ángulo máis pequeno que forman os seus lados mide ____.

Calcula o lado e os ángulos dun rombo as diagonais do cal miden ____ cm e ____ cm.

Calcular a área do romboide da figura sabendo que os seus lados miden ______ cm e _____ cm, e o ángulo menor mide ____.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de catro exercicios. Un de cada tipo de paralelogramo. Copia o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e, despois, introduce a solución con dous decimais no recadro e pulsa intro. A continuación, pulsa COMPROBAR para ver se a resposta é a correcta. Exercicio 1:

Problemas xeométricos

Exercicio 2:

-6 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

Exercicio 3:

DATA:

Exercicio 4:

EXERCICIOS 4.

a) Calcula a área dun cadrado de 17,2cm de lado. b) Calcula o perímetro dun cadrado de 5975,29cm2 de área.

a) Calcula a área dun rectángulo de 45,6cm de base e 32,5cm de altura. b) Calcula a base dun rectángulo de 364,5cm2 de área e 24,3cm de altura.

Calcula o lado e os ángulos dun rombo cuxas diagonais miden 12,7 e 19,6 cm.

Calcula a área do romboide da figura sabendo que os lados miden 60,4 e 48,9cm e o ángulo menor que forman os seus lados mide 50º.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.c. Trapecios. Le o texto da esquerda e observa a escena da dereita. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que é un trapecio? Canto vale a suma dos catro ángulos dun trapecio? Que é o perímetro dun trapecio? Cal é a fórmula para calcular a área dun trapecio? Que figura se forma ao trazar a altura por calquera dos vértices?

Problemas xeométricos

-7 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Na escena, se moves algún dos vértices do trapecio, aparecen os distintos tipos de trapecios. Faino e observa o nome e a característica de cada caso particular de trapecio, e despois, completa a táboa: FIGURA

Pulsa os botóns

NOME

TEN...

para veres diferentes exemplos resoltos. Na táboa seguinte,

completa os datos e copia unha de cada tipo. Calcula o perímetro e a área dun trapecio isóscele cuxas bases miden _____ e _______ cm, e os lados non paralelos _______ cm

Calcula o perímetro e a área dun trapecio isóscele cuxas bases miden ___ e ____ cm, e o ángulo que forman os lados non paralelos coa base maior mide ____.

Problemas xeométricos

-8 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula o perímetro e a área dun trapecio rectángulo cuxas bases miden _____ e _______ cm, e o lado oblicuo, _______ cm

Calcula o perímetro e a área dun trapecio isóscele cuxas bases miden _____ e _______ cm, e o ángulo que forma o lado oblicuo coa base maior mide ____.

Calcula o perímetro e a área dun trapecio cuxas bases miden _____ e _____ cm, e os ángulos que forman os lados non paralelos coa base maior miden ____ e ____.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de catro exercicios. Copia o enunciado; fai o debuxo e resólveo. Despois, introduce a solución con dous decimais no recadro e comproba se a resposta é a correcta. Exercicio 1:

Problemas xeométricos

Exercicio 2:

-9 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

Exercicio 3:

DATA:

Exercicio 4:

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.d. Trapezoides Le en pantalla a explicación sobre trapezoides. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que é un trapezoide? Canto vale a suma dos catro ángulos dun trapezoide? A que é igual o perímetro dun trapezoide? Como se calcula a área dun trapezoide?

Na escena da dereita, pulsa

para accederes aos exemplos de aplicación.

Leos ata entenderes ben o procedemento seguido. Despois, copia un destes exemplos; fai tamén o debuxo. EXEMPLO. Calcula o perímetro e a área do cuadrilátero cos datos que se indican.

Problemas xeométricos

-10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

Pulsa no botón

DATA:

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de dous exercicios. Copia o enunciado; fai o debuxo e resólveo. Despois, introduce a solución con dous decimais no recadro e comproba se a resposta é a correcta. Exercicio 1:

Exercicio 2:

EXERCICIOS 8.

Calcula o perímetro e a área dun trapecio isóscele cuxas bases miden 25,6 e 108,5 e os lados non paralelos 70,5cm.

Calcula o perímetro e a área dun trapecio rectángulo cuxas bases miden 42,2 e 113,8 e o ángulo que forma o lado oblicuo coa base maior mide 38º.

10.

Calcula o perímetro e a área do trapezoide cos datos que se indican: AB=12,6cm, BC=14,82cm, CD=19,8cm, DA=19,74cm, DB=21,24cm. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

1.e. Polígonos regulares Le en pantalla a explicación e observa a escena. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que é un polígono regular? Que é o perímetro dun polígono? Que é a apotema dun polígono regular? Cal é a fórmula para calcular a área dun polígono regular? En que outro polígono se pode dividir calquera polígono regular? Pulsa os botóns

Problemas xeométricos

para veres diferentes exemplos resoltos. Na táboa seguinte, -11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

completa os datos e copia unha de cada tipo. Calcular a área dun pentágono regular de ______ cm de lado.

Calcular a área dun hexágono regular de ______ cm de lado.

Calcular a área dun octógono regular de ______ cm de lado.

Calcular a área dun pentágono regular inscrito nunha circunferencia de ______ cm de raio.

Calcular a área dun hexágono regular inscrito nunha circunferencia de ______ cm de raio.

Problemas xeométricos

-12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcular a área dun octógono regular inscrito nunha circunferencia de ______ cm de raio.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de catro exercicios. Copia o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver se a resposta é a correcta. Exercicio 1:

Exercicio 2:

Exercicio 3:

Exercicio 4:

EXERCICIOS 11.

Calcula o perímetro e a área dun pentágono regular de 2,5cm de lado.

12.

Calcula o perímetro e a área dun hexágono regular de 4,3cm de lado.

13.

Calcula o perímetro e a área dun octógono regular inscrito nunha circunferencia de 8,3cm de raio. Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte. -13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

1.f.

NOME: __________________________

DATA:

Círculos, sectores e segmentos

Le na pantalla as definicións de sector circular e de segmento circular. Na escena da dereita, podes ver as fórmulas para calculares a lonxitude e a área destas figuras. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que é un sector circular?

Que é un segmento circular?

FÓRMULAS PARA CALCULAR LONXITUDES E ÁREAS CIRCUNFERENCIA SECTOR CIRCULAR

Pulsa os controis

L= a

SEGMENTO CIRCULAR

para ver exemplos de aplicación destas fórmulas.

para veres os diferentes pasos da resolución. , pulsa Podes pulsar noutro EXEMPLO para veres máis exemplos en cada número. Leos ata entenderes ben o procedemento seguido e, despois, copia un exemplo de cada tipo na táboa seguinte, completando os datos que falten, tanto no enunciado coma no debuxo:

Calcular a lonxitude e a área dun círculo de raio ______ cm.

Calcular a lonxitude de arco e a área dun sector circular de ______ º comprendido nun círculo de ______ cm de raio.

Problemas xeométricos

-14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcular a área dun segmento circular dun círculo de raio ______ cm, sabendo que o ángulo que forman os raios que pasan polos seus extremos mide _____.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de dous exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Calcular a lonxitude de arco dun sector circular de _____ comprendido nun círculo de raio ______ cm.

Exercicio 2: Calcular a área dun segmento circular dun círculo de raio _____ cm, sabendo que o ángulo que forman os raios que pasan polos seus extremos mide ____.

EXERCICIOS 14.

Calcula a lonxitude e a área dun círculo 10,6cm de raio.

15.

Calcula a lonxitude de arco e a área dun sector circular de 144º comprendido nun círculo de 2,4cm de raio.

16.

Calcula a área dun segmento circular dun círculo de 9,1cm, sabendo que o ángulo que forman os raios que pasan por os seus extremos mide 112º.

Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte.

-15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

2. Corpos xeométricos. 2.a. Prismas. Le en pantalla a explicación; observa a escena e CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que son as bases dun prisma? Que son as caras laterais dun prisma? A que é igual a área dun prisma? A que é igual a área lateral dun prisma? A que é igual a área total dun prisma? A que é igual o volume dun prisma?

Na escena da dereita, podes pulsar os controis "Número de caras", "Aresta da base" e "Altura" para veres o debuxo e o nome de diferentes prismas. Despois, pulsa nos controis a para calculares as áreas e volume dalgúns deles. Completa o enunciado dun exemplo de cada tipo cos datos de cada exemplo; fai o debuxo e copia a resolución. Un ortoedro é un prisma rectangular recto. Calcula a área lateral, a área total e o volume dun ortoedro de ____ cm de alto, ____ cm de ancho e ____ cm de longo.

Calcula a área lateral, a área total e o volume deste prisma, de ____ cm de alto e _____ cm de aresta da base.

Calcula a área lateral, a área total e o volume deste prisma, de _____ cm de alto e ______ cm de aresta da base.

Problemas xeométricos

-16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área lateral, a área total e o volume deste prisma, de _____ cm de alto e ______ cm de aresta da base.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Exercicio 2:

Calcula a área total dun ortoedro de ____ cm de longo, ______ cm de ancho e ____ cm de alto.

Calcula o volume dun ortoedro de ____ cm de longo, ____ cm de ancho e ____ cm de alto.

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Calcula a área total do prisma sabendo que a aresta da base mide _____ cm e a altura _____ cm.

Calcula o volume do prisma sabendo que a aresta da base mide _____ cm e a altura _____ cm.

Problemas xeométricos

-17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

EXERCICIOS 17.

Calcula a área total e o volume dun ortoedro de 4,8cm de alto, 2,5cm de ancho e 7,6cm de longo.

18.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun prisma triangular de 7,9cm de alto e 1,5cm de aresta da base.

19.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun prisma pentagonal de 4,3cm de alto e 5,1cm de aresta da base. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.b. Pirámides. Le en pantalla a explicación; observa a escena e CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que son as bases dunha pirámide?

Que son as caras laterais dunha pirámide?

A que é igual a área dunha pirámide?

A que é igual a área lateral dunha pirámide?

A que é igual a área total dunha pirámide?

A que é igual o volume dunha pirámide?

Na escena da dereita, podes pulsar os controis "Número de caras", "Aresta da base" e "Altura" para veres o debuxo e nome de diferentes pirámides. Utiliza os controis e para coñeceres algunhas propiedades das pirámides que Se aplicarán na resolución de exercicios. Pulsa agora os controis a para calculares áreas e volumes de pirámides. Completa o enunciado dun exemplo de cada tipo cos datos de cada exemplo; fai o debuxo e copia a resolución. Calcula a área lateral, a área total e o volume desta pirámide de _____ cm de aresta lateral e _____ cm de aresta da base.

Problemas xeométricos

-18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área lateral, a área total e o volume desta pirámide de _____ cm de aresta lateral e _____ cm de aresta da base.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Exercicio 2:

Calcula a área lateral da pirámide sabendo que a aresta da base mide _____ cm e a aresta lateral ______ cm.

Calcula a área total da pirámide sabendo que a aresta da base mide _____ cm e a aresta lateral ______ cm.

Problemas xeométricos

-19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Calcula o volume da pirámide sabendo que a aresta da base mide _____ cm e a aresta lateral ______ cm.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.c. Troncos de pirámide. Le en pantalla a explicación; observa a escena e CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que son as bases dun tronco de pirámide? Que son as caras laterais dun tronco de pirámide? Se as bases son polígonos regulares, que son as caras laterais? A que é igual a área dun tronco de pirámide? A que é igual a área lateral dun tronco de pirámide? A que é igual a área total dun tronco de pirámide? A que é igual o volume dun tronco de pirámide?

Na escena da dereita, podes pulsar os controis "Lado da base menor", "Lado da base maior", "Altura" e "Número de caras" para ver o debuxo de diferentes troncos de pirámide. Podes xirar o tronco de pirámide co rato para observalo mellor. Utiliza os controis e para coñeceres algunhas propiedades dos troncos de pirámide que se aplicarán na resolución de exercicios. Fíxate no modo de obter trapecios rectángulos a partir de diferentes elementos dun tronco de pirámide. Pulsa agora os controis a para calculares áreas e volumes de troncos de pirámide. Completa o enunciado dun exemplo de cada tipo cos datos de cada exemplo; fai o debuxo e copia a resolución nos seguintes recadros:

Problemas xeométricos

-20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de pirámide triangular de _____ cm de lado da base menor, _____ cm de lado da base maior e _____ cm de aresta lateral.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de pirámide cuadrangular de _____ cm de lado da base menor, _____ cm de lado da base maior e _____ cm de aresta lateral.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de pirámide pentagonal de _____ cm de lado da base menor, _____ cm de lado da base maior e _____ cm de aresta lateral.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de pirámide hexagonal de _____ cm de lado da base menor, _____ cm de lado da base maior e _____ cm de aresta lateral.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Realiza un mínimo de dous exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Exercicio 2: Problemas xeométricos

-21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

Calcula a área total dun tronco de pirámide de _____ cm de lado da base menor, ______ cm de lado da base maior e ______ cm aresta lateral.

DATA:

Calcula o volume dun tronco de pirámide de _____ cm de lado da base menor, ______ cm de lado da base maior e ______ cm aresta lateral.

EXERCICIOS 20.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dunha pirámide cuadrangular de 9,3cm de aresta lateral e 6,5cm de aresta da base.

21.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dunha pirámide hexagonal de 11,6cm de aresta lateral e 7,4cm de aresta da base.

22.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de pirámide decagonal de 1,5cm o lado da base menor, 5,2cm o lado da base maior e 9,2cm de aresta lateral.

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.d. Cilindros. Le en pantalla a explicación; observa a escena e CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que figuras forman o desenvolvemento dun cilindro? A que é igual a área lateral de cilindro? A que é igual a área total dun cilindro? A que é igual o volume dun cilindro?

Na escena da dereita, pulsando en aparecen exemplos do cálculo de áreas e volumes de cilindros. Completa o enunciado dun exemplo de cada tipo cos datos de cada exemplo e copia a resolución: Problemas xeométricos

-22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cilindro de ______ cm de alto e ______ cm de raio da base.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Fai un mínimo de dous exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Calcula a área total dun cilindro de _______ cm de raio e ______ cm de altura.

Exercicio 2: Calcula o volume dun cilindro de _______ cm de raio e ______ cm de altura.

EXERCICIOS 23.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cilindro de 8,1cm de alto e 2,4cm de raio da base.

24.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de 4,6cm de alto e 7,2cm de raio da base. Calcula o ángulo que forma a xeratriz co raio.

25.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de 7,5cm de xeratriz sabendo que o ángulo que forman a altura e a xeratriz mide 26º. Pulsa

para ires á páxina seguinte.

2.e. Conos. Problemas xeométricos

-23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Le o texto da esquerda no que aparecen definicións relacionadas cos conos. Na escena da dereita, aparece un cono cuxos raio da base e altura podes modificar cos controis mellor. Pulsa

Tamén podes xirar o cono co rato para observalo

para accederes á obtención da fórmula para a área lateral dun

cono. Pulsa novamente

para coñeceres a relación que existe entre a xeratriz de

un cono, a súa altura e o raio da base. Agora, con toda esta información, CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que figuras forman o desenvolvemento dun cono?

A que é igual a área total dun cono?

A que é igual a área lateral dun cono?

A que é igual o volume dun cono?

Nun cono, que relación existe entre a xeratriz, a altura e o raio da base? Que teorema se aplica para obtela?

Pulsa os controis

da escena para veres exemplos de cálculo de áreas e

volumes en conos. Le atentamente cada exemplo e pulsa Completa un exemplo de cada tipo nos seguintes recadros:

para veres a solución.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de _____ cm de altura e ______ cm de raio da base.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de _____ cm de xeratriz e ______ cm de raio da base. Problemas xeométricos

-24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de _____ cm de xeratriz e ______ cm de altura.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de _____ cm de xeratriz, sabendo que o ángulo que forma a xeratriz coa altura mide _____º

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun cono de _____ cm de raio, sabendo que o ángulo que forma a xeratriz coa base mide _____º

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Realiza un mínimo de catro exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para ver se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Problemas xeométricos

Exercicio 2: -25 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área total dun cono de _______ cm de raio e ______ cm de altura.

Calcula o volume dun cono de _______ cm de raio e ______ cm de xeratriz.

Exercicio 3: Calcula a área total dun cono de _______ cm de altura e ______ cm de xeratriz.

Exercicio 4: Calcula a área lateral dun cono de _______ cm de raio sabendo que o ángulo que forman a altura e a xeratriz mide _____º.

Pulsa

2.f.

para ires á páxina seguinte.

Troncos de cono.

Le o texto da esquerda e a escena da dereita para aprenderes os conceptos relacionados cos troncos de cono. CONTESTA A ESTAS CUESTIÓNS: Que figuras forman o desenvolvemento dun tronco de cono?

A que é igual a área lateral dun tronco de cono?

Problemas xeométricos

-26 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Que relación existe entre a xeratriz, a altura e os raios das bases? Que teorema se aplica para obtela?

Como se pode calcular o volume dun tronco de cono?

a da escena para veres exemplos de cálculo de áreas e Pulsa os controis volumes. Le atentamente cada exemplo e pulsa para veres a solución. Completa un exemplo de cada tipo nos seguintes recadros: Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de cono de _____ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de altura.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de cono de _____ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de xeratriz.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de cono de _____ cm de raio da base menor e ______ cm de raio da base maior, sabendo ademais que a xeratriz e a altura forman un ángulo de ____.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Realiza un mínimo de seis exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Exercicio 2: Problemas xeométricos

-27 -

IES _______________________ CADERNO Nยบ 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a รกrea lateral dun tronco de cono de _______ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de xeratriz.

Calcula a รกrea lateral dun tronco de cono de _______ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de altura.

Exercicio 3: Calcula a รกrea total dun tronco de cono de _______ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de xeratriz.

Exercicio 4: Calcula o volume dun tronco de cono de _______ cm de raio da base menor, ______ cm de raio da base maior e ______ cm de altura.

Exercicio 5: Calcula a รกrea total dun tronco de cono de _____ cm de raio da base menor, ____ cm de raio da base maior, sabendo que o รกngulo que forman a xeratriz e a altura mide ____.

Exercicio 6: Calcula o volume dun tronco de cono de _____ cm de raio da base menor, ____ cm de raio da base maior, sabendo que o รกngulo que forman a xeratriz e a altura mide ____.

Pulsa

para ires รก pรกxina seguinte.

2.g. Esferas. Le na pantalla as fรณrmulas para o cรกlculo da รกrea e o volume da esfera e completa: Problemas xeomรฉtricos

-28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Área da esfera: A =

Volume da esfera: V =

Pulsa os controis a da escena para vers exemplos de cálculo de áreas e volumes. Le atentamente cada exemplo e pulsa para veres a solución. Completa un exemplo de cada tipo nos seguintes recadros: Calcula a área e o volume dunha esfera de _____ cm de raio.

Calcula o raio dunha esfera a área da cal é de ______ cm2.

Calcula o raio dunha esfera o volume da cal é de ______ cm3.

Pulsa no botón

para faceres uns exercicios.

Realiza un mínimo de catro exercicios. Completa o enunciado e fai o debuxo. Resolve o exercicio e introduce a solución con dous decimais no recadro A continuación, pulsa COMPROBAR para veres se a resposta é a correcta. Exercicio 1: Exercicio 2:

Problemas xeométricos

-29 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Calcula a área dunha esfera de _______ cm de raio.

Calcula o volume dunha esfera de _______ cm de raio.

Exercicio 3:

Exercicio 4:

Calcula o de raio dunha esfera a área da cal é de ______ cm2.

Calcula o de raio dunha esfera o volume da cal é de ______ cm3.

EXERCICIOS 26.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de cono de 6,6cm de altura, 2,2cm de raio da base menor e 4,3cm de raio da base maior.

27.

Calcula a área lateral, a área total e o volume dun tronco de cono de 6,4cm de raio da base menor e 12,6cm de raio da base maior, sabendo ademais que a xeratriz e a altura forman un ángulo de 42º.

28.

Calcular a área e o volume dunha esfera de 5,6 cm de raio.

29.

Calcular o raio dunha esfera cuxo volume é de 3261,76 cm3.

Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte.

-30 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS PLANAS Completa:

ÁREAS e VOLUMES DE CORPOS XEOMÉTRICOS Completa:

Problemas xeométricos

-31 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

RELACIÓNS ENTRE OS ELEMENTOS DE FIGURAS PLANAS E CORPOS XEOMÉTRICOS Completa: Para calcular os lados, ángulos, alturas e arestas de figuras e corpos, necesítase buscar __________________________nos que se poidan aplicar o teorema de _________ e a definición de _______________________. Escribe qué elementos de cada figura ou corpo forman triángulos rectángulos:

Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte.

-32 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Para practicares Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: • Figuras planas • Corpos xeométricos Completa o enunciado cos datos cos que che aparecen en cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas o teu e, despois, comprobes no ordenador se o fixeches ben. Os seguintes EXERCICIOS son de Figuras planas. Sinais de tráfico (Un exercicio sobre cada unha) 1. Calcula o perímetro e a área deste sinal de tráfico sabendo que a súa altura é de _____ milímetros.

De que tipo é? Que indica? 2. Calcula o perímetro e a área deste sinal de tráfico sabendo que a súa altura é de _____ milímetros.

De que tipo é? Que indica? 3. Calcula o perímetro e a área deste sinal de tráfico sabendo que a súa altura é de _____ milímetros.

De que tipo é? Que indica?

Problemas xeométricos

-33 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

4. Calcula o perímetro e a área deste sinal de tráfico sabendo que a súa altura é de _____ milímetros.

De que tipo é? Que indica? Las abejas 5. Que polígonos regulares permiten cubrir o plano sen deixar ocos? (Fai un debuxo para cada un dos polígonos)

Se todos teñen de perímetro de ____ cm, cál deles ten a maior superficie? (Fai os cálculos da superficie de cada un deles nos seguintes recadros)

A cabra 6. Unha cabra está atada a unha esquina dunha caseta cadrada de _______ metros de lado cunha corda de _______ metros. Calcula a área da rexión na que pode moverse a cabra para pastar.

Vidrieiras 7. Un hotel ten _____ cuartos. Cada un deles ten dúas ventás con forma de rombo. O lado mide ______ m e o ángulo superior, _____º. Van colocar vidreiras en cada ventá, que terán que cortar de placas rectangulares. Que cantidade de cristal se necesita comprar?

Problemas xeométricos

-34 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Construción 8. A entrada a unha fortaleza ten forma de trapecio isóscele. A base maior mide ______m, a base menor ________ m e os lados iguais _______ miden m. Que ángulo forman os lados iguais coa base inferior?

Pulsa

para ires á páxina seguinte.

Os seguintes EXERCICIOS son de Corpos xeométricos. Tetrabrik 9. As dimensións dun tetrabrik son _____ cm de alto, ______ cm de longo e _____ cm de ancho. Cal é a súa capacidade? Que cantidade de material se necesita para a súa construción?

Lata de conservas 10. Unha lata de conservas ten _______ cm de altura e ______ cm de raio da base. Cal é a súa capacidade? Que cantidade de material se necesita para a súa construción? Que cantidade de papel se necesita para a etiqueta?

Lapis 11. Un lapis ten forma de prisma hexagonal e ten no seu interior unha mina con forma cilíndrica. Se o lapis ten ____ mm de longo e _____ mm de lado da base e a mina ten _____ mm de ancho, cal é o volume da parte do lapis que non está ocupada pola mina?

Tetraedro 12. O tetraedro é un poliedro regular formado por catro triángulos equiláteros. É tamén unha pirámide triangular. Calcular a área total e o volume dun tetraedro de _____ cm de aresta.

Problemas xeométricos

-35 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Farois 13. Os farois dunha cidade teñen esta forma. Os cristais da parte superior teñen ______ cm de aresta superior, _____ cm de aresta inferior e ______ cm de aresta lateral. Os cristais da parte inferior teñen ______ cm de aresta superior, _____ cm de aresta inferior e ______ cm de aresta lateral. Que cantidade de cristal ten cada farol?

Penitentes 14. Unha confraría ten que fabricar carapuchas para o seu desfile de Semana Santa. As carapuchas teñen que medir ______ cm de alto e deben ter ______ cm de raio da circunferencia. Que cantidade de cartón se necesita para cada unha? Que medidas debe ter o cartón que se necesita cortar para fabricalos?

Xeadaría 15. Nunha xeadaría, unha tarrina de xeado de ______ cm de diámetro superior, ______ cm de diámetro inferior e _____ cm de altura véndese por ______ euros. Cal será o prezo doutra tarrina de ______ cm de diámetro superior, ______ cm de diámetro inferior e _____ cm de altura?

A Terra 16. Sabendo que o raio da Terra é de 6370 km, calcula a superficie e o volume do noso planeta utilizando distintas aproximacións do número π : a) 3

b) 3.14

c) 3.1416

Pulsa

Problemas xeométricos

para ires á páxina seguinte.

-36 -

IES _______________________ CADERNO Nº 8

NOME: __________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveos; despois introduce o resultado para comprobares se a solución é correcta. Calcula a área dun triángulo equilátero de ______ cm de lado.

Calcula a área dun rombo de ______ cm de lado sabendo que o menor dos ángulos que forman os seus lados mide _____º.

Calcula a área dun octógono regular inscrito nunha circunferencia de _______ metros de raio.

Calcula o volume dun prisma pentagonal de ______ metros de altura e _____ metros de aresta da base. Calcula a área total dunha pirámide hexagonal de _____ metros de aresta lateral e ______ metros de aresta da base. Calcula a área lateral dun tronco de pirámide cuadrangular sabendo que as arestas das bases miden respectivamente ______ e ______ metros e a aresta lateral mide _______ metros. Calcula a área total dun cilindro de _____ metros de altura e _____ metros de raio da base.

Calcula o volume dun cono sabendo que a xeratriz mide _____ metros e o ángulo que forma a xeratriz coa altura mide _____º.

Calcula a área lateral dun tronco de cono cuxa altura mide _____ metros e os raios das bases miden respectivamente _____ e _____ metros. Unha esfera de _____ metros de raio introdúcese nun cubo de ______ metros de aresta. Calcular o volume do espazo que queda baleiro no cubo.

Problemas xeométricos

-37 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Funcións e gráficas Contidos 1. Funcións Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 2. Propiedades Continuidade Simetrías Periodicidade Tendencia 3. Monotonía Taxa de variación media Crecemento e decrecemento Máximos e mínimos

Obxectivos •

Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas.

•

Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función.

•

Determinar se unha función é continua ou descontinua.

•

Achar a taxa de variación e a taxa de variación media dunha función nun intervalo.

•

Determinar o crecemento ou decrecemento dunha función e achar os seus máximos e mínimos.

•

Investigar o comportamento a longo prazo dunha función.

•

Comprobar a simetría dalgunhas funcións respecto á orixe e ao eixe OY.

•

Recoñecer se unha función é periódica.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Funcións e gráficas

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Antes de empezar Investiga Imaxina que montas nunha nora cuxo raio mide 30 m e para subir hai que ascender 5 m dende o chan. A nora comeza a xirar... Debuxa aquí as gráficas correspondentes Como é a gráfica da función que dá a altura á que atopas segundo o ángulo de xiro?

Ti vas na cabina laranxa e uns amigos na verde, como será a súa gráfica?

A linguaxe das gráficas Das distintas formas en que pode presentarse unha función, mediante un enunciado, unha táboa, unha expresión alxébrica ou unha gráfica, esta última é a que nos permite ver dunha soa ollada o seu comportamento global, de aí a súa importancia. Neste tema aprenderás a recoñecer e interpretar as súas características principais. Pulsa en

para ver un vídeo ao respecto

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

1. Funcións 1.a. Concepto de función Le e completa o texto: Unha función é unha ____________________ entre dous conxuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento do conxunto inicial lle corresponde ____________________________ do conxunto final. Relaciónanse así dúas variables numéricas que adoitan designarse con x e y. f: x→ → y=f(x) x é a variable ____________________________ y é a variable ____________________________ Na escena podes ver representada unha función extraída dunha información gráfica.

O gráfico describe o percorrido da 9ª Etapa da Volta Ciclista 2007, indicando os km totais e a altitude nos puntos principais do traxecto.

para continuar e obter unha versión máis simplificada da gráfica Á esquerda aparece a gráfica anterior trazada sobre uns eixes cartesianos, para simplificala uníronse os puntos principais mediante segmentos. Trátase dunha función que dá a altitude segundo os km percorridos.

Pulsa

Observa os valores que toma e completa a táboa de valores (podes arrastrar o punto vermello na escena para axudarche a saber a altura en cada punto). km

alt

34 740

87 1290

113 1020

121

153

160

1130

Contesta:

1882

RESPOSTA

Para que unha gráfica sexa dunha función, cantos valores de y lle poden corresponder a cada valor de x? Pulsa no botón

para comprobalo facendo un exercicio

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

1.b.

NOME: __________________________

DATA:

Táboas e gráficas

Para ver o comportamento dunha función, f: x→ y, recorremos á súa representación gráfica sobre os eixes cartesianos, no eixe de abscisas (OX) a variable _______________________ e no de ordenadas (OY) a variable _______________________; sendo as coordenadas de cada punto da gráfica: (___, f(__)). Na escena está representada a función: f(x)= -0,5x2+3x+3,5 Segue os pasos pulsando nas frechas

Comeza por facer unha táboa de valores x f(x) Hai uns puntos que teñen especial interese, nos que a gráfica corta aos eixes coordenados. Para calculalos: Corte co eixe OY: Os puntos do eixe de ordenadas teñen abscisa 0, abonda facer x=0 na fórmula da función. Cortes co eixe OX: Os puntos do eixe de abscisas teñen y=0. Resólvese a ecuación f(x)=0 No noso exemplo son: x=0 f(x)=0 Represéntanse os puntos obtidos, x no eixe de abscisas (OX), f(x) no de ordenadas (OY). Unha vez representados os puntos se x pode tomar calquera valor real unímolos

Pulsa no botón

para facer un exercicio

Funcións e gráficas

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

En cada caso fai unha táboa de valores e representa os puntos nos eixes de coordenadas, seguindo as instrucións da escena:

f(x) = x

f(x)

f(x) =

Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

1.c. Dominio e percorrido Dada unha función f: x→ y Chámase dominio de f ___________________________________________________ Indícase como Dom f. O dominio está formado, polo tanto, polos valores de x para os que existe a función, é dicir, para os que hai un f(x). O percorrido é _________________________________________________________ isto é o conxunto das imaxes. Represéntase como Im f. Na escena da dereita vemos varios exemplos de como calcular o dominio dalgunhas funcións, coa súa axuda completa:

Dominio de f: _____________________________________ ________________________________________________ Percorrido de f: ____________________________________ _________________________________________________

Funcións e gráficas

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Resume ti os distintos casos que se nos poden presentar á hora de calcular o dominio, atendendo á forma da expresión alxébrica: Expresión analítica

Dominio

Un polinomio

Un cociente

Unha raíz cadrada

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Copia a continuación dous exercicios de cada tipo:

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

EXERCICIOS 1. Das seguintes gráficas indica as que corresponden a unha función e as que non.

2. Fai unha táboa de valores, debuxa os puntos obtidos e representa a función. a) f(x)=2x-3 x

c) f(x) = x

f(x)

b) f(x)=-x2+4x x

f(x)

4x x +1 2

f(x)

Funcións e gráficas

LEMBRA Para facer unha táboa de valores, a partir da expresión dunha función, substitúe na fórmula a x polos valores que desexes, opera e calcula os correspondentes de y = f(x). En xeral procura alternar valores positivos e negativos. Debuxa os puntos (x,y) así obtidos, e úneos.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

EXERCICIOS 3.

Calcula o dominio das seguintes funcións. a)

c) f(x)= x3-2x2+5x

d) f(x)=

x x−2

e) f(x)= x − 5

f) f(x)= 5 − x

g) f(x)=

h) f(x)=

3 x+4

1 2−x

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

2. Propiedades das funcións 2.a. Continuidade A primeira idea de función continua é a de que pode ser representada dun só trazo, sen levantar o lapis do papel. Unha función y=f(x) é continua en x=a se: • ______________________________________________ ______________________________________________ • ______________________________________________ ______________________________________________ Cando unha función non é continua nun punto dise que presenta unha __________________. Con axuda da escena da dereita completa a táboa e debuxa un exemplo de cada un dos casos: Razóns polas que unha función non é continua nun punto:

Exemplo

Funcións e gráficas

10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

Pulsa no botón

DATA:

para facer uns exercicios. A imaxe adxunta representa o reloxo de auga do Museo dos Nenos en Indianápolis (Estados Unidos). O seu funcionamento é como segue: Na columna da dereita hai 60 vasillas que se van enchendo de auga pouco a pouco. Cando se enche a que fai o piso 60 baléirase de golpe toda a columna e énchese unha das bólas da columna da esquerda que ten 12 bólas. Como podes supoñer a columna da esquerda indica as horas e a columna da dereita os minutos.

Indica se a función que relaciona a altura da auga na columna da dereita co tempo transcorrido é continua e fai un esbozo da súa gráfica. (Analiza a situación só no intervalo de tempo que transcorre dende que está baleira ata que se enche)

Indica se a función que relaciona a altura da auga na columna da esquerda co tempo transcorrido é continua e fai un esbozo da súa gráfica.

Funcións e gráficas

11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Xoán ten hoxe unha excursión no colexio. Como vive lonxe adoita ir en bicicleta. Nada máis chegar ao colexio saen todos os alumnos andando cara á estación de trens e alí esperan un anaco a que chegue o tren. Soben ao tren e por fin chegan ao seu destino. Abaixo podes ver dúas gráficas: unha representa a distancia que vai percorrendo Xoán con respecto ao tempo transcorrido e a outra representa a velocidade á que se despraza, tamén con respecto ao tempo transcorrido. Indica de forma razoada qué gráfica corresponde a cada unha das dúas situacións e indica en cada caso se a función representada é continua ou non.

Indica se as gráficas adxuntas corresponden a unha función continua ou descontinua.

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

2.b. Simetrías A gráfica dalgunhas funcións pode presentar algún tipo de simetría que se se estuda previamente, facilita o seu debuxo. Unha función é simétrica respecto ao eixe OY, se f(-x)= ____________ Neste caso a función dise ____________. Unha función é simétrica respecto á orixe de coordenadas cando f(-x)= ______ Neste caso a función dise ____________. Observa e manipula a escena para recoñecer os gráficos correspondentes a cada tipo. Pulsa no botón Funcións PARES:

Funcións e gráficas

para debuxar unhas gráficas de funcións simétricas. Funcións IMPARES:

13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

2.c. Funcións periódicas Na natureza e no teu ámbito habitual hai fenómenos que se repiten a intervalos regulares, coma o caso das mareas, os péndulos e resortes, o son... As funcións que describen este tipo de fenómenos dinse periódicas

Unha función é periódica cando _________________________________ _____________________________________________________________ O período é ___________________________ f(x+período)=f(___)

Na escena da dereita tes un exemplo dunha función periódica Unha cisterna énchese e baléirase automaticamente expulsando 6 litros de auga cada 5 minutos, seguindo o ritmo da gráfica. Cando o depósito está baleiro comeza a enchedura, que leva 1 minuto, permanece cheo 3,5 minutos e baléirase en 0,5 minutos. Este proceso repítese periodicamente.

CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: Para coñecer o volume de auga no depósito en cada instante, canto tempo necesitamos observar o depósito?

RESPOSTAS

Cal é a cantidade de auga ao cabo de 14 minutos? Escribe a expresión de f(x) Regula ti o dispositivo, variando a cantidade de auga e o tempo. Pulsa no botón

para ver uns exercicios resoltos sobre funcións periódicas

A función da imaxe é periódica. Calcula o seu período e o valor aproximado da función para x= 146

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

2.d. Tendencia dunha función En ocasións a parte que nos interesa dunha función é o seu comportamento a longo prazo, é dicir, os valores que toma a función cando a x se fai cada vez máis grande. Cando ese comportamento é claramente definido dicimos que a función ten unha determinada tendencia. No apartado anterior vimos que algunhas funcións presentan un comportamento periódico: repiten os seus valores a intervalos regulares. Aquí imos ver outros tipos de tendencias. Observa a escena da dereita tes un exemplo dunha función non periódica. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Cando dicimos que unha función ten unha asíntota horizontal? Cando dicimos que unha función ten tendencia lineal? Cando dicimos que unha función ten tendencia cuadrática? Como se denomina esta curva á que se parece?

Pulsa no botón

para facer uns exercicios

Indica a que valor tende a función da imaxe cando x tende a infinito

Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -

15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

3. Monotonía 3.a. Taxa de variación media A taxa de variación ou incremento dunha función é _______________________________ ___________________________________________________________________________ TV[x1,x2]= De máis utilidade resulta calcular a chamada taxa de variación media, que nos indica ___________________________________________________________________________

TVM[x1,x2]=---------------------Na escena da dereita vemos unha gráfica que representa a distancia en km percorrida dun ciclista en función do tempo, en minutos, empregado. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: A taxa de variación entre dous instantes é

RESPOSTAS

TV[5, 12,] = TV[12, 15,] = TV[15, 21,] = TV[22, 30,] = Velocidade media [15, 21,] Velocidade media [22, 30,] Como é a gráfica nos intervalos [5, 12,], [19, 22,] e [22, 30,]? Por que? Se trasladamos a calquera función a idea de velocidade media desta gráfica, que obtemos? Pulsa no botón

para facer un exercicio

Cando a gráfica da función é unha recta, a TVM é constante. Escribe a continuación catro exercicios e comproba a solución na escena TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]= f(x)=

TVM [ ____, ____ ]=

f(x)=

f(x)= TVM [ ____, ____ ]=

TVM [ ____, ____ ]=

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

3.b. Crecemento e decrecemento Unha característica das funcións que se pode visualizar doadamente nas gráficas é a monotonía. Cando ao aumentar o valor de x aumenta o valor de y=f(x), a gráfica "ascende" e dise que a función é __________________________. Se pola contra ao aumentar x diminúe e, a gráfica "descende", e dise que a función é __________________________. Dados dous puntos calquera dun intervalo: •

Se x1<x2 entón f(x1)

f(x2), a función é ____________________

•

Se x1<x2 entón f(x1)

f(x2), a función é ____________________

Na escena da dereita temos unha función que presenta distintas situacións. Segue os pasos pulsando nas frechas e CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Como é a función se x<10? Como é a función se x>15 ? Como é a función se 10 < x <15 ? Se a función é crecente, como é a TVM? Se a función é decrecente, como é a TVM?

Pulsa no botón

para facer un exercicio.

As gráficas representan a enchedura dos distintos recipientes, que gráfica corresponde a cada un?

Pulsa Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte. -

17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

3.c. Máximos e mínimos Dada unha función continua nun punto x=a, dise que presenta un máximo relativo, se á esquerda do devandito punto a función é _____________________ e á dereita a función é _____________________.

Máximo absoluto

Fálase de máximo absoluto en x=a se _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

Se, pola contra, a función é ___________ á esquerda e _____________ á esquerda hai un mínimo relativo. Fálase de mínimo absoluto en x=a se _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ Mínimo absoluto

A escena da dereita ilustra estes conceptos. Segue os pasos pulsando nas frechas

CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Onde crece a función? Onde decrece a función? Onde alcanza un máximo relativo? Onde alcanza un mínimo relativo? Como é f(x) nun entorno de x=6? Por que? Como é f(x) nun entorno de x=20? Por que?

Pulsa no botón

para ler un exercicio resolto.

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Funcións, dominio e percorrido Unha función é

O dominio dunha función é

x é a variable

O percorrido dunha función é

y é a variable

A gráfica dunha función é Continuidade Unha función é continua

É descontinua nun punto se

Unha función é periódica se Nese caso cúmprese que f(x)= Simetrías Unha función é simétrica par se o é respecto a

Unha función é simétrica impar se o é respecto a

cúmprese que f(-x)=

Taxa de variación A taxa de variación dunha función entre dous puntos é

A taxa de variación media nun intervalo é

Monotonía Unha función é crecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera deste •

Unha función é decrecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera deste •

Extremos relativos Unha función continua nun punto x=a, presenta un máximo relativo, se á esquerda do devandito punto é e a dereita é

Unha función continua nun punto x=a, presenta un mínimo relativo, se á esquerda do devandito punto é e a dereita é

Tendencia Unha función presenta tendencia lineal se

Unha función cuadrática se

Pulsa

Funcións e gráficas

presenta

tendencia

para ir á páxina seguinte.

19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Características e propiedades das funcións Interpretación de gráficas Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben.

Características e propiedades das funcións Escribe a fórmula (Fai polo menos tres exercicios diferentes) 1. Considera a función que _________________ _____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes. 2. Considera a función que _________________ _____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes. 3. Considera a función que _________________ _____________________________________. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de __, __ e __. Calcula tamén os cortes cos eixes. Calcular dominios 4. Calcula o dominio das funcións das imaxes:

Funcións e gráficas

20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Continuidade 5. Estuda a continuidade das funcións das imaxes:

Par ou impar? 6. Estuda a simetría das funcións das imaxes:

Funcións e gráficas

21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Funcións periódicas (Fai tres exercicios diferentes) 7. En cada caso a gráfica representa un tramo ou período dunha función periódica, representa outros tramos, indica o período e calcula a imaxe do punto de abscisa que se indica:

Período =

Taxa de variación (Fai dous exercicios diferentes, un con rectas e outro con curvas) 8. Calcula as TVM das funcións das funcións correspondentes ás gráficas nos intervalos [0,4] e [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

Pulsa

Funcións e gráficas

para ir á páxina seguinte.

22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Interpretación de gráficas Viaxe pola autovía 9. O gráfico mostra como varía a gasolina que hai no meu coche durante unha viaxe de 520 km por unha autovía.

a) Canta gasolina había ao cabo de 240 km? Se no depósito caben 40 litros, cando estaba cheo máis de medio depósito? b) En cantas gasolineiras parei?, en que gasolineira botei máis gasolina? Se non parase, onde quedaría sen gasolina? c) Canta gasolina usei nos primeiros 200 km? Canta en toda a viaxe? Canta gasolina gasta o coche cada 100 km nesta autovía? Comparando o crecemento 10. María e Xurxo son dúas persoas máis ou menos típicas. Na gráfica podes comparar como foi aumentando o seu peso nos seus primeiros 20 anos

a) Canto pesaba Xurxo aos 8 anos?, e María aos 12? Cando superou Xurxo os 45 kg? b) A que idade pesaban os dous igual? Cando pesaba Xurxo máis que María?, e María máis que Xurxo? c) Cal foi a media en kg/ano de aumento de peso de ambos os dous entre os 11 e os 15 anos? En que período creceu cada un máis rapidamente?

Funcións e gráficas

23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Dous coches 11. O gráfico dá o espazo percorrido por dous coches que realizan un mesmo traxecto.

a) Cal é a distancia percorrida? Se o primeiro coche saíu ás 10:00, a qué hora saíu o 2º? Canto lle custou a cada un facer o percorrido? b) Canto tempo e onde estivo parado cada coche? En que km adiantou o 2º ao 1º?, e o 1º ao 2º? c) Que velocidade media levaron no traxecto total?, en que intervalo de tempo a velocidade de cada coche foi maior?

As mareas 12. No gráfico represéntase a altura do nivel do mar no porto da Coruña ao longo do día 17 de xaneiro de 2008.

a) A qué hora se alcanzan os máximos?, e os mínimos?, que altura alcanza o nivel do mar en cada caso? b) En qué intervalos do día a función é crecente, isto é, sobe a marea? Entre qué horas o nivel do mar se mantén por enriba dos 300 cm?, e por debaixo dos 150 cm? c) Que tempo transcorre entre dúas mareas altas consecutivas? e entre dúas mareas baixas consecutivas tamén? A que hora do día seguinte se producirá a seguinte preamar? Funcións e gráficas

24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Tren de proximidade 13. Vila Baixa e Vila Alta distan 100 km, o tren que une as dúas cidades realiza o traxecto en 1 h 15 min, incluídas as paradas nos pobos Vinte, Sesenta e Oitenta, situados a eses km respectivos de Vila Baixa.

a) De acordo ao que está representado na gráfica, fai un cadro horario b) Na tempada turística preténdese ampliar o servizo con máis saídas de Vila Baixa a todas as horas en punto e de forma que o último tren saia de Vila Alta ás 15:30. Cantos trens serán necesarios para conseguilo? Fai un gráfico dos traxectos. c) Como só hai unha vía, ao ampliar o servizo, a qué distancia de Vila Baixa debe a compañía de ferrocarrís prever os cruzamentos do tren que vai co que volve? Cal será agora o horario? Gráfica e fórmula 14. A gráfica seguinte corresponde á función f(x)=x3-6x2+9x

c) Os valores de x para os que a función é positiva e negativa.

d) Os intervalos decrecemento.

crecemento

e) Os máximos e mínimos. Calcula: a) O dominio.

b) Os puntos de corte cos eixes.

Funcións e gráficas

f) Cantos puntos de inflexión ten?

g) Os intervalos convexidade.

concavidade

25 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

15. A gráfica seguinte corresponde á función x2 + 1 f(x)= − x

DATA:

c) Os valores de x para os que a función é positiva e negativa.

d) Os intervalos decrecemento.

crecemento

e) Os máximos e mínimos.

Calcula:

f) Cantos puntos de inflexión ten?

a) O dominio.

b) Os puntos de corte cos eixes.

Dous coches 16. A gráfica seguinte corresponde á función 8x f(x)= 2 x +1

g) Os intervalos convexidade.

concavidade

c) Os valores de x para os que a función é positiva e negativa.

d) Os intervalos decrecemento.

crecemento

e) Os máximos e mínimos.

Calcula:

f) Cantos puntos de inflexión ten?

a) O dominio.

b) Os puntos de corte cos eixes.

g) Os intervalos convexidade.

Pulsa

Funcións e gráficas

concavidade

para ir á páxina seguinte.

26 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Calcula a imaxe de x =0 na función:

Calcula o dominio da función da imaxe:

Cal dos puntos seguintes: ( (

), (

) non pertence á gráfica da función

f(x)= ________________ ?

Calcula os puntos de corte cos eixes de coordenadas da recta y= _____________

Se y = f(x) é unha función _____ e f( )= __, canto vale f(___)?

A gráfica mostra o primeiro tramo dunha función periódica de período ___ e expresión f(x)= ______ (0 ≤x <5). Calcula f(___).

Funcións e gráficas

27 -

IES _______________________ CADERNO Nº 9

NOME: __________________________

DATA:

Modificando o control a da figura consegue que a función que aparece nela sexa continua. Cando o consigas escribe o valor que ten a nese momento

Calcula a TVM[

] da función

f(x) =

Determina o intervalo en que a función da gráfica é ____________.

Un ciclista sae dun punto A cara a outro B distante _____ a unha velocidade constante de __________. Á vez outro ciclista sae de B en dirección a A, a ________. A cantos km do punto A se cruzan na estrada?

(Redondea a centésimas)

Funcións e gráficas

28 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: _________________________

DATA:

Funcións elementais Contidos 1. Funcións polinómicas Función de proporcionalidade directa Funcións afíns Funcións cuadráticas 2. Outras funcións Función de proporcionalidade inversa Función exponencial Funcións definidas a anacos Función valor absoluto

Obxectivos •

Recoñecer e distinguir algunhas das funcións máis habituais.

•

Utilizar algunhas funcións non lineais: cuadráticas, de proporcionalidade inversa e exponencial.

•

Recoñecer as características máis importantes deses tipos de funcións.

•

Representar e interpretar funcións "definidas a anacos".

•

Buscar e interpretar funcións de todos estes tipos en situacións reais.

Autor: Joan Carles Fiol Colomar Versión en galego: Xosé Eixo Blanco

Funcións elementais

Baixo licenza Creative Commons se non se indica o contrario.

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Antes de empezar Le e observa atentamente a escena inicial e logo... Pulsa o botón

para realizar unhas actividades preparatorias

Verías tres tipos de funcións e as súas respectivas gráficas. Escribe o nome debaixo de cada unha das seguintes:

Función

Función Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Funcións polinómicas 1.a. Función de proporcionalidade directa Le na pantalla a explicación teórica deste apartado: CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que outro nome recibe a función de proporcionalidade directa? Que é a constante de proporcionalidade? A expresión destas funcións é da forma: E a súa representación gráfica? A constante de proporcionalidade, tamén recibe o nome de... En que inflúe m sobre a gráfica da función?

Despois de ler detidamente e practicar coa escena de As rebaixas, completa de forma análoga a seguinte táboa e representa a correspondente función: Funcións elementais

-2-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Rebaixas 40% Prezo inicial x

Prezo final y

y/x

100,00 € 95,50 € 45,00 € 115,25 € 33,51 €

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Propóñenseche dous tipos de exercicios: No primeiro tes que determinar se unha función é lineal ou non, e no segundo has de atopar a ecuación dunha función lineal a partir da súa gráfica. Completa aquí dous de cada tipo: Tipo

Tipo

m= _____

Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

-3-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

1.b. Funcións afíns Le detidamente o texto de pantalla e tamén o exemplo da escena e despois completa: Unha función afín é como unha función _________ á cal se lle aplicaron certas __________ ________, aínda que _____ representa a dúas magnitudes _______________ proporcionais. A ecuación da función afín é: A súa gráfica é unha __________________ que corta ao eixe OY no punto de coordenadas _______. O coeficiente n denomínase _____________________________. O coeficiente m denomínase ______________ e indícanos a inclinación da recta, sendo crecente se _______ e decrecente se _______. Que acontece cando m=0? __________________________________________________ Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Propóñenseche dous tipos de exercicios: no primeiro has de resolver un problema sobre funcións afíns, e no segundo has de atopar a ecuación dunha función afín a partir da súa gráfica. Completa aquí os seguintes: EXERCICIO Unha axencia de aluguer de coches cobra por un determinado modelo _____€ ao contratar e ____€ por km percorrido. Noutra axencia cobran ____€ ao contratar e ____€ por km percorrido. Analiza en función dos km percorridos cál é a axencia máis vantaxosa.

EXERCICIO Determina a pendente e a ecuación das funcións afíns:

m= _____

Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

-4-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

1.c. Funcións cuadráticas Le o texto e completa: Unha función cuadrática é a que vén dada por un ______________________________, a súa gráfica denomínase _____________ e a súa expresión alxébrica é:

Para entender o significado de cada un dos coeficientes da función cuadrática, segue os pasos da escena da dereita e, despois de practicar con ela, completa a seguinte táboa cos datos e gráficas correspondentes: Caso y=a x2 É unha función que sempre pasa polo _________ e é unha función __________ respecto ao eixe _____ A súa forma depende do signo da:

a<0 A súa apertura tamén depende de a:

a=0

a>0

a>0 e |a| pequeno a>0 e |a| grande a<0 e |a| pequeno a<0 e |a| grande Dicimos que a orixe é a _______________ da parábola, o cal se a<0 representa un ____________ e se a>0 representa un ____________ da función. Caso y=a x2+c O vértice é o punto _______ Os puntos de corte co eixe X dependen do signo de a e de c:

a>0 e c>0 a>0 e c<0 a<0 e c>0 a<0 e c<0 En resumo, o significado do coeficiente a é o mesmo do primeiro caso e o coeficiente c provoca sobre a gráfica da función un desprazamento vertical cara a arriba se ______ e cara a abaixo se ______. Funcións elementais

-5-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Caso y=a x2 + b x +c A información do coeficiente a é a mesma. O coeficiente c so nos informa do _______________________________________. O coeficiente b é unha medida do desprazamento ____________ da parábola, e permite coñecer a abscisa do vértice: x= _____

y=___x2+___x+___

eixe de simetría:

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Despois de practicar, resolve estes catro exercicios: (Os dous primeiros son os que aparecen cos números 2 e 3). Debuxa a gráfica da función y=_____________ Pasa polo punto: Corta ao eixe X en: O vértice é:

Debuxa a gráfica da función y=_____________ Pasa polo punto: Corta ao eixe X en: O vértice é:

(Os dous seguintes exercicios son similares ao nº 4 da escena.) Asocia cada gráfica coa súa ecuación: y=-2 x2 -6

y= 2 x2 +2 x -6

y= x2 +2

y=-0,5 x2 +x +2

y= 0,5 x2 -6

y=- x2 +x

Funcións elementais

-6-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIOS 1.

Investiga se as funcións definidas polos datos das tablas adxuntas son ou non son funcións lineais. En caso afirmativo, calcula a súa pendente e debuxa a súa gráfica: a)

Determina a pendente e a ecuación da función cuxa gráfica é: a)

Unha axencia de aluguer de coches cobra por un determinado modelo 15€ ao contratar e 0,50€ por km percorrido. Noutra axencia cobran 30€ ao contratar e 0,25€ por km percorrido. Analiza, en función dos km percorridos, cal é a axencia máis vantaxosa. Determina as ecuacións das funcións correspondentes ás gráficas: a)

Debuxa as gráficas das funcións: a) y =

−1 2 x 6

b) y =

2 2 x +5 7

c) y = x2 + 8x + 15

Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

-7-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

2. Outras funcións 2.a. Función de proporcionalidade inversa Le na pantalla a explicación e practica coa escena, logo contesta ás cuestións: CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS:

RESPOSTAS

Que é a constante de proporcionalidade? A expresión destas funcións é da forma: A súa representación gráfica, é unha curva chamada: A función de proporcionalidade inversa é descontinua, en qué punto e por que? Como inflúe o valor de k sobre a gráfica?

Que signo ten a constante de proporcionalidade k en cada unha das gráficas?

Que caracteriza ás asíntotas? Sinala as asíntotas nunha das dúas gráficas anteriores.

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Despois de practicar, completa estes seis exercicios: Determina a ecuación das gráficas:

x·y =

Funcións elementais

x·y =

-8-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Debuxa as gráficas das funcións:

x·y=10

x·y= -12

x·y=5

Pulsa

para ir á páxina seguinte.

2.b. Función exponencial Le na pantalla a explicación teórica e completa a táboa con verdadeiro ou falso e, neste caso, escribe a expresión verdadeira: V-F Nunha función exponencial, a variable está no expoñente. A base da función pode ser calquera número real. A súa ecuación é da forma y=k·ax A constante k afasta ou achega a gráfica ao eixe Y. O eixe de abscisas é unha asíntota. A gráfica da función exponencial nunca corta os eixes de coordenadas. Debaixo de cada gráfica destas funcións exponenciais, indica se a constante k é maior ou menor que cero e se a base a é maior ou menor que 1:

Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

-9-

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

2.c. Funcións definidas a anacos Funcións definidas a anacos son funcións que veñen definidas por _____________ expresións alxébricas segundo os valores de x. Na escena pódense ver exemplos deste tipo de funcións. Practica con algúns exemplos ata comprender o concepto. Agora completa a táboa de valores da seguinte función:

f(x)

-5 -4 1 3 5 5

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Para cada función, escribe as fórmulas, calcula as imaxes dos valores indicados nas escena e represéntaas: x

   f(x) =   

f(x)

   f(x) =   

Pulsa Funcións elementais

f(x)

para ir á páxina seguinte. - 10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

2.d. Función valor absoluto Le o texto de pantalla e da escena e logo completa: O valor absoluto dun número representa a súa distancia _______________ e a función valor absoluto é a que asigna a cada número dita ___________. O valor absoluto dun número é o mesmo se este é ____________ e o seu ____________ se é negativo. É un tipo de función ______________________. Vén representada por unha función _______ de pendente ___ e outra de pendente ____, as cales se unen no _________________.

Escribe aquí a súa ecuación e a súa representación gráfica:

Pulsa o botón

para facer uns exercicios.

Debuxa a gráfica de catro funcións e as do seu valor absoluto:

f(x)=

Funcións elementais

- 11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

EXERCICIOS 6.

Indica se a base e a altura de todos os rectángulos de superficie 1200 m2 son magnitudes inversamente proporcionais. En caso afirmativo, escribe a ecuación da función que as relaciona e debuxa a súa gráfica.

Determina a ecuación da función cuxa gráfica é: a)

Representa a gráfica de ecuación:

Representa a gráfica das funcións definidas a anacos: a)

10.

0,5x + 2  f ( x ) = − x + 1 0,5x − 2 

a) x · y = 6

x ≤ −2

si − 2 ≤ x < 2 si x≥2

b) x · y = -5

− 0,5x − 1 si x < −2  f ( x ) = − 3 si − 2 ≤ x ≤ 3 x − 2 si x>3 

Debuxa a gráfica que corresponde ao valor absoluto de cada unha das funcións:

f(x)=-2x+3

f(x)=x2-9

x · y=4

Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

- 12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Funcións lineais Ecuación: y=

Funcións afíns Ecuación: y=

A gráfica é unha _________ que: - pasa pola _________ - crece se ______ - decrece se ______ - é horizontal se ______ m é a __________ que coincide co _______ entre a ____________ e a ____________ de calquera punto da recta. É unha función que sempre relaciona dúas magnitudes ______________ ____________

A gráfica é unha _________ que: - pasa polo punto ________ - crece se ______ - decrece se ______ - é horizontal se _______ m é a __________ que coincide co ________ entre a __________ de _________ e a __________ de ___________ entre dous puntos calquera da recta.

Funcións cuadráticas Ecuación: y=

Función de proporcionalidade inversa

A gráfica é unha __________ que: - pasa polo punto _______ - é aberta cara a arriba se ____ e cara a abaixo se ____ - é máis pechada canto _____ é a en _______ ________ O seu eixe de simetría é x = 

A gráfica denomínase: _________________. As súas ramas están nos cuadrantes 1º e 3º se _______, e nos cuadrantes 2º e 4º se _______.

Ecuación: y=  ou

Os puntos de ______ co eixe X, obtéñense igualando a ecuación a _____.

Ten dúas ______________. É _________ con respecto ao punto de corte coas súas asíntotas. Ademais, neste mesmo punto a función é _______________.

Funcións exponenciais Ecuación: y=

Funcións definidas a anacos

Solo está definida para valores de a maiores que _____ e distintos de ____. A constante k non pode ser _____. A función exponencial é: crecente se __________________ decrecente se ___________________ Corta ao eixe Y no punto _______ Ten unha ___________.

Son funcións que están __________ por __________ ecuacións en diferentes zonas do seu ___________. Úsanse para explicar as _____________ das funcións e para ___________ situacións nas que certa __________ cambia bruscamente a súa forma de comportarse.

Ecuación:

Función valor absoluto Ecuación:

  =  

É un exemplo de ________________________ Pulsa

Funcións elementais

para ir á páxina seguinte.

- 13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Recoñecer funcións e os seus elementos (f. polinómicas) Recoñecer funcións e os seus elementos (outras funcións) Problemas prácticos con funcións polinómicas Problemas prácticos con outras funcións Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Recoñecer funcións e os seus elementos (f. polinómicas) Ecuación a partir da gráfica 1. Determina a ecuación da función da gráfica, indicando se se trata dunha función lineal ou afín.

Debuxar rectas 2. Debuxa a gráfica da función cuxa ecuación é:

Punto de corte 3. Acha as coordenadas do punto de corte das gráficas das funcións cuxas ecuacións:

f: y= g: y= Despois debúxaas para comprobalo.

Funcións elementais

- 14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Rectas paralelas 4. Acha a ecuación da función cuxa gráfica é paralela á función

y= e pasa polo punto

)

Ecuación con dous puntos 5. Acha a ecuación da función cuxa gráfica pasa polos puntos

) e Q(

)

Debuxar parábolas 6. Debuxa gráfica da función:

Asociar parábolas 7. Asocia cada gráfica coa súa ecuación:

y= y= y=

Funcións elementais

- 15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Recoñecer funcións e os seus elementos (outras funcións) Asociar hipérboles 8. Asocia cada gráfica coa súa ecuación:

x · y= x · y= x · y= Inversamente proporcionais 9. Os números da táboa adxunta corresponden a cantidades de dúas magnitudes inversamente proporcionais. Enche os ocos que quedan e escribe a ecuación da función que relaciona a estas dúas magnitudes.

Asociar exponenciais 10. Asocia cada gráfica coa súa ecuación:

y= y= y= Debuxar a anacos 11. Debuxa a gráfica da función

  y=   

Funcións elementais

- 16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Valor absoluto 12. A gráfica da imaxe corresponde a unha función y=f(x). Debuxa a gráfica da función |y=f(x)|.

Problemas prácticos con funcións polinómicas Proporcionalidade directa 13. En certa gasolineira o prezo dun litro é de _____€. Un día deciden subir o seu prezo un ____%. Uns días despois deciden incrementar o prezo outro ____% sobre o prezo anterior. Calcula o prezo final e a porcentaxe de aumento sobre o prezo inicial.

14. O prezo de certo artigo nun centro comercial é de _____€. Nas rebaixas de xaneiro deciden aplicarlle un desconto do ___%. Ao chegar febreiro aínda quedan existencias, polo que deciden aplicarlle un novo desconto do ____% sobre o prezo que tiña en xaneiro. Calcula o prezo final e a porcentaxe de desconto sobre o prezo inicial.

Problemas telefónicos 15. Xoan quere instalar o teléfono na casa e está a estudar as ofertas de dúas compañías A e B. A compañía A ofrécelle un contrato cunha cota mensual fixa de ___€ máis unha tarifa de _____€ por minuto. A compañía B ofrécelle un contrato sen cota fixa e unha tarifa de _____€ por minuto. Axúdao a decidirse.

Funcións elementais

- 17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

16. Se unha compañía de teléfonos cobra _______€ por falar durante ___ minutos e _______€ por falar durante ___ minutos, calcula a cota fixa mensual que cobra, así como o custo por minuto. Acha tamén o custo dunha chamada de ____ minutos.

Punto de non retorno 17. Unha avioneta ten combustible abondo para 4 horas, viaxando a unha velocidade constante de _____ km/h. Ao despegar, o piloto observa que hai un vento a favor que permite voar a _____ km/h co mesmo gasto, pero debe ter en conta que á volta solo poderá ir a _____ km/h. Cal é a distancia máxima á que pode afastarse?

Área máxima 18. Calcula as dimensións do rectángulo de área máxima cuxo perímetro é igual a ______ metros.

Funcións elementais

- 18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Problemas prácticos con outras funcións Velocidade-tempo 19. Un móbil percorre un traxecto de _____ km con velocidade constante. Escribe a ecuación da función que relaciona a velocidade do traxecto en función do tempo empregado. Despois calcula o tempo investido en percorrer o traxecto se a velocidade é de _____ km/h e a velocidade á que se viaxa se o tempo investido é de ___ horas.

Enchendo un depósito 20. Unha billa cun caudal de ____ litros por minuto tarda ____ minutos en encher un depósito. Acha a ecuación da función que relaciona o tempo que tarda en encherse o depósito co caudal da billa. Debuxa a súa gráfica e calcula o tempo que tardaría en encherse se o caudal fose de ____ litros por minuto.

A inflación 21. O IPC (Índice de Prezos ao Consumo) é unha medida porcentual da variación media dos prezos dun ano a outro. Se o IPC se mantén constantemente igual a _____% durante ___ anos, un produto que inicialmente valía _____ €, que prezo medio terá ao cabo deses anos?

Funcións elementais

- 19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Segunda man 22. Compramos un coche por ________ €. Se o prezo de venda no mercado de segunda man se depreza un ___ % anual, calcula o valor do coche ao cabo de ___ anos. .

Quentando auga 23. Le atentamente a situación que se describe abaixo e acha a ecuación da función que se describe. Despois debuxa a súa gráfica e acha: 1) canto se tarda en alcanzar unha temperatura de ___ºC 2) que temperatura se alcanza ao cabo de ____ minutos. Temos un bloque de xeo a ____ºC de temperatura. Poñémolo a quentar nun recipiente e tarda ____ minutos en alcanzar os 0º C. Mantense ____ minutos a esa temperatura ata que se licúa totalmente. Logo tarda ___ minutos en alcanzar a ebulición a 100º C e outros 10 minutos en evaporarse completamente, tempo durante o cal se mantén a temperatura a 100º C.

Paquetes por correo 24. A gráfica adxunta describe o custo de enviar un paquete por correo en función do peso do devandito paquete. Escribe a función correspondente a esta gráfica. Descobre canto custa enviar un paquete de ____ kg.

Funcións elementais

- 20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Cal é a pendente da recta da gráfica?

Calcula a ecuación da recta paralela á y=

que pasa polo punto (

Cal é a ecuación da recta que pasa polos puntos A( , ) e B( , )?

Calcula as coordenadas do punto de corte das rectas: r: y=

s: y=

Calcula o vértice da parábola y=

Funcións elementais

- 21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Calcula os puntos en que a parábola y= curta aos eixes de coordenadas.

Acha a ecuación da función de proporcionalidade inversa cuxa gráfica pasa polo punto P( , ). Debuxa tamén a gráfica.

Acha a ecuación da función exponencial da figura con axuda do punto que está marcado.

Poñemos un capital de ____________€ a un interese composto do ____%. A canto ascenderá ao cabo de ___ anos? (Redondea a euros)

  Se f(x)=    Calcula |f(

)|.

Funcións elementais

- 22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

DATA:

Para practicar máis 1. Determina a ecuación da función cuxa é a seguinte, indicando se se trata dunha función lineal ou afín.

9. Asocia cada gráfica coa súa ecuación: a) x·y=-60 b) x·y=-30 c) x·y= 5

10. Asocia cada gráfica coa súa ecuación: 2. Debuxa a gráfica da función y=-2x+5 3. Acha as coordenadas do punto de corte das rectas cuxas ecuacións son: y=x +9

a) y = -10

b) y = 0,5x c) y =5

y=3 x +13

4. Acha a ecuación da función cuxa gráfica é paralela á da función y=4 x-2 e pasa polo punto P(-1,4). 5. Acha a ecuación da función cuxa gráfica pasa polos puntos P(-2,7) e Q(-1,4) 6. Debuxa a gráfica da función y=x2-1. 7. Asocia cada gráfica coa súa ecuación: a) y=-0.2x2+2x+2

11. Debuxa a gráfica da función:  −x − 5 y=  4

se x ≤ −1 se x > −1

12. A gráfica adxunta corresponde a certa función y=f(x). Debuxa a gráfica da función y=|f(x)|

b) y=-3 x2 – 6 c) y=x2+2

8. Os números da táboa adxunta corresponden a cantidades de dúas magnitudes inversamente proporcionais. Enche os ocos que quedan e escribe a ecuación da función que relaciona a estas dúas magnitudes.

Funcións elementais

13. En certa gasolineira o prezo dun litro de gasolina é de 1,24 €. Un día deciden subir o prezo un 1,66%. Uns días despois deciden incrementar outra vez o prezo un 3,18% sobre o último prezo. Calcula o prezo final e a porcentaxe de aumento sobre o prezo final.

- 23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 10

NOME: ___________________________

14. O prezo de certo artigo nun centro comercial é de 601€ Nas rebaixas de xaneiro deciden aplicarlle un desconto do 13%. Ao chegar febreiro aínda quedan existencias, polo que deciden aplicarlle un novo desconto do 11% sobre o prezo que tiña en xaneiro. Calcula o prezo final e a porcentaxe de desconto sobre o prezo inicial. 15. Se unha compañía de teléfonos cobra 12,14 € por falar durante 2 minutos e 12,70 € por falar durante 10 minutos, calcula a cota fixa mensual que cobra, así como o custo por minuto. Acha tamén o custo dunha chamada de 22 minutos. 16. Unha avioneta ten combustible abondo para 4 horas, viaxando a unha velocidade constante de 270 km/h. Ao despegar, o piloto observa que hai un vento a favor que permite voar a 318 km/h co mesmo gasto, pero debe ter en conta que á volta solo poderá ir a 222 km/h. Cal é a distancia máxima á que pode afastarse? 17. Calcula as dimensións do rectángulo de área máxima cuxo perímetro é igual a 436 metros. 18. Un móbil percorre un traxecto de 265 km con velocidade constante. Escribe a ecuación da función que relaciona a velocidade do traxecto en función do tempo empregado. Despois calcula o tempo investido en percorrer o traxecto se a velocidade é de 50 km/h e a velocidade á que se viaxa se o tempo investido é de 8 horas.

DATA:

20. O IPC (Índice de Prezos ao Consumo) é unha medida porcentual da variación media dos prezos dun ano a outro. Se o IPC se mantén constantemente igual a 1,9% durante 5 anos, un produto que inicialmente valía 655€, que prezo medio terá ao cabo deses anos? 21. Compramos un coche por 17739€ Se o prezo de venda no mercado de segunda man se depreza un 14% anual, calcula o valor do coche ao cabo de 11 anos. 22. Temos un bloque de xeo a -24º C de temperatura. Poñémolo a quentar nun recipiente e tarda 10 minutos en alcanzar os 0º C. Mantense 6 minutos a esa temperatura ata que se licúa totalmente. Logo tarda 7 minutos en alcanzar a ebulición a 100º C e outros 10 minutos en evaporarse completamente, período durante o cal se mantén a temperatura a 100º C. Acha a ecuación que relaciona a temperatura da auga no recipiente co tempo transcorrido e debuxa a súa gráfica. Despois calcula canto se tarda en alcanzar unha temperatura de 25º C e a temperatura que se alcanza ao cabo de 25 minutos. 23. A gráfica adxunta describe o custo de enviar un paquete por correo en función do peso do devandito paquete. Escribe a función correspondente a esta gráfica e descobre o prezo de enviar un paquete de 17 kg.

19. Unha billa cun caudal de 7 litros por minuto tarda 15 minutos en encher un depósito. Acha a ecuación da función que relaciona o tempo que tarda en encherse o depósito co caudal da billa. Debuxa a súa gráfica e calcula o tempo que tardaría en encherse se o caudal fose de 14 litros por minuto.

Funcións elementais

- 24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Estatística Contidos 1. Estatística descritiva Poboación e mostra Variables estatísticas Gráficos variables cualitativas Gráficos variables cuantitativas discretas Gráficos variables cuantitativas continuas 2. Medidas de centralización Media, moda e mediana Evolución da media Evolución da mediana Media e mediana comparadas 3. Medidas de posición Cuartís e percentís Diagramas de caixa e bigotes 4. Medidas de Dispersión Desviación típica e percorrido. Calcula as medidas de dispersión. A media e a desviación típica. 5. Representatividade das mostras Mostraxe estratificada Mostraxe aleatoria

Obxectivos • • • • • •

Distinguir os conceptos de poboación e mostra. Diferenciar os tres tipos de variables estatísticas. Facer recontos e gráficos. Calcular e interpretar as medidas estatísticas de centralización e de posición. Calcular as principais medidas de dispersión. Entender a importancia da elección da mostra para que sexa representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Estatística

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Antes de empezar Un xogo para empezar Vai pulsando en pezas pegadas ao oco para desprazalas e así durante un anaco para desfacer o crebacabezas. Reconstrúeo agora. Tamén podes ver un vídeo pulsando na icona Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1. Estatística descritiva 1.a.

Poboación e mostra.

Poboación é ___________________________________________________ sobre o que se fai un estudio estatístico. A mostra é _______________________________________________________________, de aí que a propiedade máis importante das mostras é a súa ________________________. O proceso seguido na extracción da mostra chámase ___________________. Na escena adxunta temos 625 cadriños que representan aos alumnos dun instituto ficticio, se vas pulsando nos cadriños, vas seleccionando parte dos alumnos. Contesta: a. Cal é a poboación? ____________________________________________________ b. Cal é a mostra? _____________________________________________________ c. Como se chama o proceso no que se pregunta a toda a poboación? ______________ Pulsa

para ir á páxina seguinte.

1.b. Variables estatísticas. A característica a estudar nunha poboación é a variable estatística. Completa a seguinte táboa coas características dos distintos tipos de variables: Tipos de variables estatísticas Cualitativas Discretas

Continuas

Cuantitativas

Na escena da dereita tes exemplos de cada tipo de variable estatística Pulsa no botón

para facer un exercicio.

Completa a táboa cos exemplos: Cualitativas

Cuantitativas Discretas

Pulsa

Estatística

Cuantitativas Continuas

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

1.c. Gráficos en variables cualitativas O diagrama de sectores é o mais indicado para este tipo de información. A porcentaxe de datos de cada valor nunha mostra correspóndese coa mesma porcentaxe de sector dun círculo.

Así por exemplo, se os datos son A, A, A, A, A, B, B, B, C e C., completa a táboa cos datos correspondentes: xi Frecuencia Porcentaxe Ángulo A B C Coa axuda da escena da dereita podes facer un exercicio sobre representación gráfica de variables estatísticas cualitativas. O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e cada un deles elixe unha cor. Pulsando en Xerar teremos as 30 cores elixidas aleatoriamente, pulsa Axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto o teu reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente Cor

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Vermello

Verde

Azul

Amarelo

Turquesa

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

1.d. Gráficos en variables cuantitativas discretas Diagrama de barras Abondará que observes exemplos feitos da escena da dereita para comprender como se fan e o seu significado. Este é o gráfico mais indicado para as variables cuantitativas discretas.

Podes ler un artigo do Instituto Nacional de Estatística, sobre o comportamento ou actuacións do noso país co medio e as enerxías renovables, nel móstranse diversos tipos de diagramas.

Coa axuda da escena da dereita podes facer uns exercicios sobre representación gráfica de variables estatísticas cuantitativas discretas. Na táboa seguinte copia un deles O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e cada un deles dinos o número de irmáns que ten. Pulsando en Xerar teremos os 30 datos xerados aleatoriamente, pulsa Axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto o teu reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente Variable

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

1.e. Gráficos en variables cuantitativas continuas Histograma Le a explicación deste tipo de gráfico estatístico. Contesta:

RESPOSTAS

Que figura se utiliza para representar os datos? Se todos os intervalos son da mesma amplitude, que nos indica a altura? Se os intervalos non son da mesma amplitude, que magnitude é proporcional á frecuencia? Pulsa no enlace: Exemplo. Fíxate no exemplo resolto que aparece. Polígono de frecuencias. Uniremos os centros da parte superior de todos os rectángulos para obtelo. Tamén se adoita debuxar o histograma das frecuencias acumuladas: En cada dato acumúlase a frecuencia dos datos anteriores. Coa axuda da escena da dereita podes facer uns exercicios sobre representación gráfica de variables estatísticas cuantitativas continuas. Na táboa seguinte copia un deles: O exercicio simula que temos unha poboación de 30 alumnos e medimos a altura de cada un deles. Pulsando en Pulsa para empezar teremos os 30 datos xerados aleatoriamente, pulsa Axuda e le como a escena che facilita o reconto e completa a táboa, comprobando que é correcto o teu reconto. A continuación pulsa o botón de diagramas para ver os gráficos, e debúxaos no lugar correspondente Intervalo

Frecuencia

Histograma

D. de frec. acumuladas

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)

Estatística

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

EXERCICIOS 1. Clasifica as os seguintes exemplos de variables estatísticas: Lonxitude dun camión, Carga máxima, nº de rodas, nº de eixes, tipo de camión, marcas de pneumáticos, tipo de tapizaría, nº de portas, altura máxima. Cualitativas: C. discretas: C. continuas: 2. Calcula os graos que corresponden a cada valor nun gráfico de sectores feito a partir dos datos: R, R, V, V, V, V, V, A, A e A

3. Agrupa os datos seguintes e fai un diagrama de barras axeitado. Datos = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 } Marca

Frecuencia

Diagrama

0 1 2 3 4 4. Clasifica os datos en intervalos e debuxa un histograma axeitado.

Intervalos Frecuencia [150,

]

[

]

[

]

[

]

[

, 200 ]

Histograma

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

2. Medidas de centralización 2.a. Media, mediana e moda Un conxunto N de observacións, N números, pode que por si só non nos diga nada. En cambio, se ademais nos din que están situados ao redor dun ou varios valores centrais xa temos unha referencia que sintetiza a información. Por iso se definen os seguintes parámetros de centralización (porque nos indican o centro da distribución). Media. ________________________________________________________

Moda. _________________________________________________________ No caso de variable continua, consideraremos por moda ______________________________ _________________________________________________. Tamén pode acontecer que haxa dúas modas ou que non haxa ningunha que destaque. Mediana._______________________________________________________ Na escena da dereita vemos exemplos de como calcular estes parámetros. Copia a continuación un deles: Datos Media Moda Mediana

Pulsa no botón

para facer un exercicio.

Diagrama de frecuencias relativas. Neste diagrama vese claramente a moda, sinálaa.

Diagrama de frecuencias relativas acumuladas. Saberías indicar neste diagrama a mediana e a media?

Pulsa Solución para ver estas medidas no diagrama. Pulsa Estatística

para ir á páxina seguinte. -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

2.b

NOME: __________________________

DATA:

Evolución da media.

1 Para os datos 5 e 5 a media é ___. Se engadimos un 5 ___________________. Se engadimos un 8 _______________________.

Datos 5e5

2 Se temos 9 datos con media 5 Necesitamos engadir un 6 para que a media pase a ser ___ Se temos 19 datos con media 5 Necesitamos un dato de valor 7 para que a media suba a ____

Datos 13555 5678

Datos 5, 5 e 5

Datos 5, 5 e 8

Datos 13555 56678

3 Para un conxunto de datos con media 5, se engadimos outro con media 5, por exemplo 6 e 4, _________________________________________

Na escena da dereita da páxina podes comprobar como se modifica a media en diversos exemplos. Elixe o número do exemplo: A continuación podes modificar o número de veces que aparece un dato pulsando as teclas e observa como varía en cada caso a media

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Nestes exercicios tes que calcular a media, podes elixir se a variable é discreta ou continua e xa che aparece feito o reconto. Fai varios e a continuación copia un exercicio de cada tipo nos recadros seguintes: Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Total

Total Media x

Media x Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

2.c

NOME: __________________________

DATA:

Evolución da mediana

1 A mediana, para os datos 2, 3 e 4 é Me= ___. Se cambiamos o 4 por 5 ou por 6 ou por calquera outro valor maior ______________________

2 Se engadimos outro dato e temos 2,3 4 e 4, por exemplo,a Me=_____ E se engadimos un quinto valor, un 4 ou un 5 ou un 6 ou calquera outro maior que 4, a mediana en 2,3, 4, 4 e ?? pasa a ser ___ Pero ... da o mesmo que o valor ?? sexa 5, 10 ou 25.

Na escena da dereita tes exemplos onde a mediana cambia e onde non. Ademais ti mesmo podes variar o valor ou valores que queiras para observar como evoluciona. Tamén tes a posibilidade de realizar exercicios de calculo desta, na mesma escena. Pulsando nos botóns Número par de datos e Número impar de datos obtés exemplos de datos e como calcular a mediana. Se pulsas cambiar podes ver como calcular a mediana. Elixe o número do exemplo: A continuación podes modificar o número de veces que aparece un dato pulsando as teclas e observar como varía en cada caso a mediana.

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Nestes exercicios tes que calcular a mediana, podes elixir se a variable é discreta ou continua e xa che aparece feito o reconto. Fai varios e a continuación copia un exercicio de cada tipo. Podes consultar a axuda para resolvelos. Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

IES _______________________ CADERNO Nº 11

2.d

NOME: __________________________

DATA:

Media e mediana comparadas

Le o texto e completa os valores da media e a mediana en cada caso: Datos Media Mediana 4, 6 4, 6, 8 4, 6, 11 Os valores 8 e 11 considéranse observacións _____________. Se os datos estivesen repartidos _______________ respecto a un valor, ese valor seria _____________________________. Se os valores a un lado da mediana están máis afastados dela que os do outro lado, a media ________________________________ ______________________________. Hai unha _____________.

Xoga coa escena da dereita, Hai tres grupos de exemplos, simétricos, asimétricos e atípicos, Podes observar a evolución da mediana e a media. Elixe o número do exemplo: Podes modificar o número de veces que aparece un dato pulsando as teclas

EXERCICIOS 5. Calcula a media en cada caso: a)

4, 6, 8

4, 6, 8, 6

c) 100, 120, 180, 200

6. Calcula a media en cada caso: a)

Marca

100

200

300

400

a) b)

7. Determina a moda e a mediana a)

5,6,6

1,1,2,3

c) 1,2,3,4,2

8. Calcula a moda e a mediana en cada caso: a)

Marca 10 20 30 40

Fr 2 4 3 2

Marca 100 200 300 400

Fr 2 3 4 1

a) b)

9. Medíronse as alturas en cm dun grupo de 30 persoas obténdose os datos seguintes: Altura en cm (150,160] (160,170] (170,180] (180,190] (190,200]

fi 7 9 10 3 1

Calcula a media, a moda e a mediana.

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

3. Medidas de posición 3.a

Mediana, cuartís e percentís

Dado un conxunto de datos numéricos se os ordenamos de forma crecente e consideramos: • o primeiro valor que supera (ou iguala) ao 50% é o ________________________ Me • o primeiro valor que supera ao 25% é o ________________________ Q1 • o primeiro valor que supera ao 75% é o ________________________ Q3 • Para outros valores como o 10%, ou o 80% falamos de ________________ P10 e P80. Na escena da dereita tes un exemplo resolto, se pulsas a frecha e pulsando no botón xerar podes obter moitos exemplos resoltos, elixindo se queres a variable discreta ou continua. Pulsa no botón

para practicar o cálculo das medidas de posición.

Pulsando no botón xerar obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia aquí dous exercicios Variable cuantitativa discreta Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Mediana Marca Frecuencia Mediana xi fi xi fi Cuartil Q1

Cuartil Q1

Cuartil Q3

Percentil

Total

Total Pulsa

3.b

para ir á páxina seguinte.

Diagramas de caixa e bigotes

A partir do valor da mediana e os cuartís pódense representar as distribucións estatísticas mediante os chamados diagramas de caixa e bigotes. Observa na animación como se fai e despois fai un seguindo os pasos na escena da dereita. Anota tamén aquí o exercicio da escena A táboa mostra o consumo diario de auga, en ml, dos 20 alumnos dunha clase. Pulsa Paso 1 e ordena en forma ascendente os datos da táboa

Unha vez ordenados, pulsa Paso2 e sitúa a mediana movendo o punto vermello sobre o eixe horizontal. Pulsa Paso 3 e sitúa o máximo e o mínimo movendo os puntos turquesa sobre o eixe horizontal. Pulsa Paso 4 e sitúa os cuartís movendo os puntos carmesís sobre o eixe horizontal. Pulsa Paso 5 e debuxa o diagrama utilizando os puntos calculados para marcar as liñas verticais.

Estatística

11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

Pulsa no botón

DATA:

para facer un exercicio.

Na escena tes dous tipos de exercicios, pasa dun tipo a outro pulsado nos botóns correspondentes. Analiza o seguinte diagrama de caixa e bigotes. Usa o punto vermello para identificar os valores que corresponden á mediana, os cuartís, o mínimo e o máximo. Introduce os valores nas casas respectivas e verifica que as túas respostas sexan correctas. Pulsa outros datos para facer outro exercicio. Copia un a continuación Q1= Me= Q3= mín.= máx.=

Analiza o seguinte diagrama de caixa e bigotes, mostra os minutos que tarda en facer efecto un medicamento nunha poboación. Utiliza o punto vermello para guiarte sobre a gráfica, interpreta a información que presenta e responde á pregunta formulada. Pulsa outra pregunta para cambiala. Copia catro a continuación. A qué porcentaxe da poboación lle fixo efecto o medicamento en menos de ___ min? ____ % Cantos minutos transcorreron para que o medicamento fixese efecto no ____% da poboación? _______min Cantos minutos tardou o medicamento en comezar a facer efecto na poboación? _____ min A qué porcentaxe da poboación lle fixo efecto o medicamento en ___ min ou menos? ____ %

EXERCICIOS 10. Calcula a mediana, cuartís primeiro e 3º, e o percentil 30, 60 e 90 dos datos: 4133231334000443030321004301 11. Analiza o seguinte diagrama de caixa e bigotes e calcula, a partires del, os valores máximo e mínimo, a mediana e os cuartís.

12. Analiza o seguinte diagrama de caixa e bigotes que mostra os minutos que tarda en facer efecto un medicamento nunha poboación. Interpreta a información que presenta e resposta ás preguntas. a) A qué porcentaxe da poboación lle fixera efecto ao cabo de 30 minutos? b) c) d) e)

Ao cabo de cantos minutos lle tiña feito efecto ao 50 % da poboación? Cantos minutos tardou en facer efecto ao 100% da poboación? A que porcentaxe lle tiña feito efecto aos 55 minutos? Canto tardou en facer efecto ás tres cuartas partes da poboación?

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

4. Medidas de dispersión 4.a

Desviación típica e percorrido

"A estatística é unha ciencia segundo a cal, se eu me como un polo e ti non te comes ningún, comemos como unha media de medio polo cada un". A estatística indicará que todos comen o mesmo cando as medidas de dispersión sexan todas nulas. Rango ou percorrido: O intervalo definido por ___________________________________. Tamén se chama rango _____________________________________. Varianza: A media aritmética dos ______________________________________________________ __________________________________________________________________________

Desviación típica: __________________________________________________________________________ Canto maiores son a varianza ou a desviación típica, máis se separan os datos da media, é dicir, hai máis dispersión. Na escena da dereita tes varios exemplos das medidas de dispersión e do seu significado, leos con atención. Pulsa no botón

para comparar distribucións con iguais medidas de

centralización, nas que cambia a desviación típica. Copia a continuación dúas delas

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

4.b

NOME: __________________________

DATA:

Cálculo das medidas de dispersión.

Percorrido Pulsando no botón Xera obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia aquí un exercicio de cada tipo Variable estatística discreta Máximo

Variable estatística continua

Mínimo

Máximo

Percorrido

Mínimo

Percorrido

Desviación típica Se pulsas en Lembra as fórmulas ábrese un recadro coas fórmulas de cálculo da desviación típica e con exemplos de aplicación. Na escena da dereita podes xerar uns datos, calcular a desviación típica e ver o diagrama de columnas. Copia a continuación un exercicios Intervalo

Marca

Frecuencia

(

fi ⋅ x − x i

xi.fi

)

Total Media

Desviación típica Mínimo

Pulsa no botón

Máximo

Percorrido

para facer uns exercicios.

Pulsando no botón xera obtés novos datos, e no botón Discreta/Continua intercambias o tipo de datos. Copia aquí un exercicios de cada tipo Variable discreta Marca Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Variable continua

)

Total Media

Intervalo Marca Frecuencia

fi.xi

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Total Desv. típica

Media Pulsa

Estatística

Desv.típica para ir á páxina seguinte. -

14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

4.c

NOME: __________________________

DATA:

Media e desviación típica.

Para mostras unimodais (unha soa moda) e case simétricas, arredor da media podemos considerar un intervalo que conteña a maioría dos datos. Por exemplo, para unha mostra con media 100 e desviación típica 10, a maior parte dos datos estarán, aproximadamente o 68% entre 90 e 110; entre 80 e 120 estará o 95% aproximadamente. E case todos entre 70 e 130. Hai unha forma de distribución de datos chamada normal que cumpre co anterior, e dun xeito ou doutro, de todas as poboacións grandes se poden extraer datos que se axustan a ela. En cursos superiores verás a importancia destas distribucións. Na escena da dereita tes uns exemplos onde aparece a media e unhas franxas de cor ao seu arredor. Elixe o número do exemplo: A continuación podes modificar o número de veces que aparece un dato pulsando as teclas e observa como varía en cada caso a media e as franxas do seu arredor

Pulsa no botón

para facer uns exercicios.

Pulsando no botón xera obtés novos datos. A continuación fai nas táboas dous deles, e despois comproba o resultado na escena Marca

Frecuencia

xi.fi

fi.( x -xi)

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ, x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ, x -2σ] = [

]

Nº de datos Total Marca

Frecuencia

xi.fi

fi.( x -xi)

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ, x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ, x -2σ] = [

]

Nº de datos Total Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

EXERCICIOS 13.

Calcula a media e a desviación típica en a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

14.- Calcula a media e a desviación típica en: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21 15.

Organiza os datos seguintes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200. Amplia a táboa con dúas columnas, unha para o produto das marcas polas frecuencias e outra para o produto das frecuencias cos cadrados das diferencias coa media. Calcula a media e a desviación típica.

Intervalo

Marca

Frecuencia

fi Media=

Desviación típica=

Total

5. Representatividade 5.a

Mostraxe aleatoria

Unha mostra é representativa da poboación cando ______________________________ ___________________________________________________________________________ De que depende que o estudo dunha poboación sexa ou non representativo? ______________ ___________________________________________________________________________ Cando se di que a mostra está nesgada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en que consiste unha mostraxe aleatoria total: ________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Na escena podes animar unha elección totalmente aleatoria ou realizar mostraxes simulando enquisas ao facer clic. Estatística

16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

Pulsa

5.b

DATA:

para ir á páxina seguinte.

Mostraxe estratificada

Unha mostraxe estratificada é _________________________________________________ Na escena tes 625 cadros que representan os alumnos dun instituto ficticio, seguindo as instrucións podes observar a diferenza entre unha mostraxe representativa e outro que non o é.

Se comparamos os gráficos en ambos os dous exemplos de mostra, en que tipo de mostra parécense máis aos da poboación total? ___________________________________________ Por que? ___________________________________________________________________ Pulsa no botón

para facer un exercicio sobre representatividade.

Copia neste caderno un exercicio e compróbao despois na escena. Dunha poboación queremos extraer unha mostra de tamaño ________. Se proceden de 5 áreas distintas, A, B, C, D e E con porcentaxes do total da poboación de _____%, _____%, _____%, _____% e _____%A cantos de cada zona hai que entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ e E= ______

EXERCICIO 16.

Unha gran empresa ten traballadores en catro áreas. Operarios, Representantes, Administración e Dirección. As condicións de traballo son bastantes diferentes en cada área, polo que o grao de satisfacción non é igual en cada unha delas. Para descubrilo, se hai 1000, 500, 300 e 200 traballadores nas áreas de operarios, representantes, administrativos e directivos, cantos hai que seleccionar de cada área para unha mostra de tamaño? a) 200 b) 100 c) 300

Estatística

17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Mostra

Poboación. Variables estatísticas Tipos

Tipos de gráficos

Media, moda e desviación típica Media

Moda

Desviación típica

X =

Mo=

σ =

Mediana

Percentís

Me=

Pi =

Cuartil, mediana, centil Cuartís Q1= Q3=

Media e desviación típica: Observa o exemplo [ x +σ, x -σ] = [

]

% de datos [ x +2σ, x -2σ] = [

]

% de datos

Representatividade Unha mostra é representativa da poboación cando _______________________________ ___________________________________________________________________________

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Medidas de centralización e dispersión. Representatividade Interpretación de gráficos do INE Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro o resolvas ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben. Medidas de centralización e dispersión. Representatividade. 1. Tipo de variable (fai dous exercicios) Clasifica las siguientes variables: nº de fillos flor preferida peso temperatura media sabor altura Clasifica as seguintes variables estatísticas dun partido de fútbol: nº de espectadores no campo

Velocidade Aceleración nº de válvulas nº de prazas tipo de vehículo nº de rodas carga neta tipo de tapizaría xogador preferido nº de goles tempo transcorrido

2. Reconto de datos (fai dous exercicios) Fai un reconto dos datos nunha táboa.

Fai un reconto dos datos nunha táboa

3. Diagrama de sectores Fai un diagrama de sectores para os datos da cor preferida da táboa Marca

Frecuencia

Total Estatística

19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

4. Diagrama de barras Fai un diagrama de barras para os datos da táboa. Marca

Frecuencia

Total

5. Histograma Cos datos da táboa fai un histograma Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

6. Moda Cál é a moda en cada grupo? A={rojo, azul, verde, azul} B= {branco, negro, azul} C= {vermello, verde, amarelo, vermello, azul, azul} Cal é a moda en cada grupo? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4 l}

A B vermello,

azul,

A B C

7. Mediana Cal é a mediana en cada caso? A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3}

A B C D E

Cál é a mediana en cada caso? A= {1, 2, 7, 10} B= {3, 6, 7} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1} 8. Igual media Cál é a mediana en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= {

A B C

}

9. Concepto de media Calcula a media para os datos: x1 = f1 = x2 = f2 = f3 = x3 =

Estatística

20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

10. Cálculo da media Calcula a media: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total Calcula a media: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

11. Caso simple de desviación típica Cal é a desviación típica en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= {

}

12. Concepto de desviación típica Calcula a desviación típica para os datos: x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 = 13. Cálculo da desviación típica Calcula a desviación típica: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total

Calcula a desviación típica: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

14. Representatividade Tomamos unha mostra de tamaño 2000 dunha poboación onde a idade inflúe na característica do estudio. O __ % da poboación é maior, o __ % novo e o __ % media. A cantos entrevistarei de cada grupo de idade?

Mozos Medios Maiores Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte. -

21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Interpretación de gráficos do INE. (En cada apartado aparece unha imaxe e no texto preguntas sobre ela. Pulsando noutro EXERCICIO aparecen máis preguntas sobre a mesma imaxe) 1. Que facemos? Observa o gráfico de sectores do INE e resposta ás preguntas: Cal é a variable estudada? e a frecuencia? A que grupo de actividades dedican máis tempo os españois? Cal é a moda? Calcula cánto tempo dedicamos ao fogar e a familia: Cantos graos ocupa este sector no diagrama?

2. Canto paseamos? No gráfico é doado ver que somos os europeos que máis paseamos. En que países pasean máis as mulleres que os homes?

Calcula o tempo medio que se dedica en cada país a pasear.

Que país está no percentil 50?

3. Coidado persoal. Observa o gráfico e resposta ás preguntas: Cres que durmir se contou como actividade de coidado persoal? ÁS 15:00 hai un máximo local na gráfica a que se debe? Á hora da comida o 38% das persoas dedícase ao coidado persoal. Significa isto que un 62% das persoas non come?

4. Vida social. Observa o gráfico e responde ás preguntas: Cales son as comunidades nas que se dedica menos tempo á vida social e á diversión Canto tempo dedican á diversión ou á vida social a maior parte das comunidades? Cal é o tempo medio que se dedica en España a esta actividade?

Pulsa

Estatística

para ir á páxina seguinte.

22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 11

NOME: __________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Cantos graos corresponden no diagrama de sectores ao valor de frecuencia _____?.

A mediana é:

Cal é a moda?

Cal é a porcentaxe da mostra que corresponde ás dúas primeiras marcas?

Cal é o percentil máis pequeno que deixa por debaixo os valores menores a 3?

Cal é a media?

Calcula a desviación típica

Cal é a media?

Calcula a desviación típica

Que percentil deixa por debaixo individuos de menos de 170 cm?

Estatística

aos

23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: __________________________

DATA:

Probabilidade Contidos 1. Experimentos aleatorios Espazo mostral e sucesos Operacións con sucesos Sucesos compatibles, incompatibles 2. Probabilidade dun suceso A regra de Laplace Frecuencia e probabilidade Propiedades da probabilidade 3. Experimentos compostos Regra da multiplicación Extraccións con e sen devolución Probabilidade condicionada Probabilidade con diagramas de árbore

Obxectivos • • • • • •

Achar os sucesos dun experimento aleatorio e realizar operacións con eles. Calcular a probabilidade dun suceso mediante a regra de Laplace. Coñecer as propiedades da probabilidade. Achar a probabilidade dun suceso nun experimento composto. Achar probabilidades de sucesos dependentes e independentes. Aplicar a probabilidade a situacións da vida cotiá.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Probabilidade

Baixo licenza Creative Commons Se non se indica o contrario.

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Antes de empezar Investiga Imaxina que estás nun concurso de televisión no que che ofrecen tres portas, a elixir unha. Detrás dunha das portas hai un coche e detrás de cada unha das outras dúas, un burro. Elixes unha porta, pero antes de abrila, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada unha, abre unha das dúas que non elixiches tras a que, por suposto hai un burro, e entón dáche a oportunidade de cambiar a túa elección. Naturalmente queres levar o coche, que fas, cambiar de porta ou non cambiar? Antes de decidir, imos experimentar xogando. Podes xogar ti ou ben facer que xogue en automático; despois de varios intentos anota os resultados: Manual Intentos Coches % acertos

Cambiando

Mantendo

Total

Automático Intentos Coches % acertos

Cambiando

Mantendo

Total

RESPOSTA

CONTESTA Cando elixes ti, cando consegues máis coches, cambiando ou mantendo? Cando se elixe automaticamente, cando se conseguen máis coches, cambiando ou mantendo? Despois do visto, se te queres levar o coche, que fas, cambiar de porta ou non cambiar?

Se fas unha aposta na bonoloto, que probabilidade tes de acertar os 6 números?, ______________________________________ E tres?________________________________

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

-2-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

1. Experimentos aleatorios 1.a. Espazo mostral e sucesos Le as definicións da pantalla e completa: Son experimentos aleatorios, aqueles nos que ___________________________________ Chámase espazo mostral _____________________________________________________ Un suceso elemental é ______________________________________________________ Un suceso é ________________________________________________________________ Hai un suceso que se verifica sempre _______________________ e coincide co _______ _______________________ Fíxate na escena, nela podemos extraer de forma aleatoria unha carta da baralla. Aparecen varios sucesos, e se moves o rato por enriba deles, aparecen os sucesos elementais que os forman. Con axuda da escena, completa esta táboa: SUCESO SUCESOS ELEMENTAIS Sacar o rei de ouros Sacar ouros ou rei Sacar unha figura Preme

para ir á páxina seguinte.

1.b. Operacións con sucesos Le as definicións da pantalla e completa Cos sucesos dun experimento aleatorio pódense realizar distintas operacións. Dados dous sucesos A e B: • A unión de A e B, AUB, é o suceso formado por ________________________________ _______________________ Acontece cando ____________________________________ • A intersección, A∩B, é o suceso formado por _________________________________ e _____________________ Acontece cando ____________________________________ • A diferenza de A e B, A\B, é o suceso formado por ___________________________ ______________________ Acontece cando _____________________________________ O suceso contrario a un dado A, A , é o suceso formado por _____________________ ______________________ Acontece cando ____________________________________ O suceso contrario do seguro é o suceso _______________, que non se verifica nunca, indícase con Ø.

• •

Na escena podes ver un exemplo de distintos sucesos e os seus contrarios: Nunha urna hai 12 bólas numeradas do 1 ao 12. Sácase unha bóla e mírase o número, consideramos os sucesos A= "saír par" e B= "saír múltiplo de 3". Escribe a continuación os sucesos elementais que forman os sucesos indicados na táboa: A A B

AUB

A ∪B

A∩B

A ∩B

A\B

B\A

B\A Preme Probabilidade

para ir á páxina seguinte. -3-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

1.c. Sucesos compatibles e incompatibles Le as definicións da pantalla e completa Nun experimento aleatorio hai sucesos que poden acontecer á vez e sucesos que non. • Dous sucesos dinse compatibles se ______________________________________. Neste caso A∩B≠Ø, _________________ acontecer á vez. • Dous sucesos dinse incompatibles se non _________________________________, neste caso A∩B=Ø, _________________ acontecer á vez Un suceso e o seu contrario son sempre ____________________, pero dous sucesos incompatibles non sempre son ___________________. Dado o Espazo mostral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, e os sucesos: Vermello={1, 4, 7, 10}, Verde={1, 2, 3}, Azul={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} e Laranxa={3, 5, 7}, con axuda da escena di se son compatibles ou non os sucesos: SUCESOS

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

SUCESOS

Verde e Vermello

Vermello e azul

Verde e azul

Verde e laranxa

Azul e gris

Vermello e laranxa

Verde e gris

Laranxa e gris

Vermello e gris

Laranxa e azul

Representar os sucesos e as operacións mediante un diagrama axuda a entendelos mellor. Preme o botón

para facer uns exercicios.

Preme sobre dous interrogantes de distinta cor para emparellar unha operación entre sucesos e o diagrama correspondente. Completa os resultados nesta táboa:

Preme Probabilidade

para ir á páxina seguinte. -4-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

EXERCICIOS 1. Nunha bolsa temos tres bólas numeradas como 1, 2 e 3. Consideramos o experimento de extraer unha bóla e anotar o seu número. Escribe todos os sucesos posibles. Indica cales deles son os elementais.

2. Nunha baralla, baixo o experimento de extraer unha carta, considera os sucesos a) par, b) ouros, c) par e ouros, d) par ou ouros, e) par menos ouros, f) ouros menos par e g) non par. Escribe os sucesos elementais que os forman.

3. Ao tirar un dado consideramos os sucesos: A={Par}, B={maior de 3}, e C={impar}. Dos tres pares de sucesos posibles AB, AC e BC, indica cales son compatibles e/ou incompatibles

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

-5-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

2. Probabilidade dun suceso 2.a. A regra de Laplace Le as definicións da pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: Cando dicimos que un experimento aleatorio é regular? Que significa que os sucesos elementais son equiprobables? Dado un suceso A, a que chamamos casos favorables? e casos posibles? Podemos aplicar sempre a regra de Laplace? Se a resposta é negativa, indica cando se pode aplicar

RESPOSTAS

A continuación escribe a fórmula da Regra de Laplace

P( A) =

nº casos nº casos

Con axuda da escena da dereita, calcula as seguintes probabilidades Extraemos unha carta dunha baralla de 40

SUCESOS

PROBABILIDADE

Que sexa dun pau determinado Que sexa dun nº determinado Que sexa un as ou un basto Que sexa un as e un basto Que non sexa nin as nin basto

Preme o botón

para facer uns exercicios.

Considerando o experimento "tirar un dado" ou "extraer unha carta da baralla española" calcula as probabilidades pedidas P(par)=

P(impar)=

P(ouros ou copas)=

P(3 de bastos)=

P(>4)=

P(2 ou 6) =

P(ouros)=

P(bastos)=

P(3)=

P(>2 e <5) =

P(rei)=

P(bastos ou copas)=

P(<5 e par)=

P(>2 ou <5) =

P(rei de ouros)=

P(figura)=

P(3 ou par)=

P(>3 e <5) =

P(Un 3) =

P(figura de ouros)=

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

-6-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

2.b. Frecuencia e probabilidade Le as definicións da pantalla e completa: A frecuencia absoluta dun suceso é ____________________________________________ A frecuencia relativa é _______________________________________________________ _________________________________________________. A lei dos grandes números di que cando repetimos un experimento ___________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Como consecuencia da lei dos grandes números, temos unha nova definición de probabilidade dun suceso como ________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Na escena da dereita simúlase o lanzamento de tres moedas; a partir dos resultados dos lanzamentos, compara as probabilidades e as frecuencias dos sucesos: Nº de lanzamentos

>100

>200

>500

>1000

fr(0 caras)=

P(0 caras)=

fr(1 caras)=

P(1 caras)=

fr(2 caras)=

P(2 caras)=

fr(3 caras)=

P(3 caras)=

CONTESTA ESTAS CUESTIÓNS: É a probabilidade de obter cero caras, maior ou menor que a súa frecuencia? É a probabilidade de obter dúas caras, maior ou menor que a súa frecuencia? Cando se parecen máis as frecuencias, con 100 lanzamentos ou con máis de 1000? ¿Por que? Preme o botón

RESPOSTAS

para facer uns exercicios.

Practica coa escena e escribe a continuación un exercicio: Nunha urna hai ___ bólas azuis e vermellas, non sabemos cantas de cada cor. Para descubrilo extraemos unha bóla, miramos a cor e devolvémola á urna antes de sacar outra. Repite o experimento moitas veces e observa a tendencia das frecuencias relativas. Despois de extraer máis de 3000 bólas contesta: Cantas bólas de cada cor estimas que hai na urna?

Azuis

Vermellas Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

-7-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

2.c. Propiedades da probabilidade Vista a relación entre frecuencia relativa e probabilidade, cúmprese que: •

A probabilidade dun suceso é un número ____________________.

•

A probabilidade do suceso seguro é ______ e a do suceso imposible é _______.

•

A probabilidade da unión de dous sucesos incompatibles é ______________

E destas dedúcese ademais que: •

A probabilidade do suceso contrario é p(Ā)= ________________

•

A probabilidade da unión de dous sucesos compatibles é ____________________

Na escena da dereita hai un exemplo resolto: Nunha urna hai 10 bólas numeradas do 1 ao 10. Sácase unha bóla e mírase o número. Consideramos os sucesos: A= {1, 2, 3, 4} e B={4, 5, 6, 7, 8}. Con axuda da escena escribe a probabilidade dos sucesos da táboa: p(A)

p(A∩B)

p( A )

p( A ∩ B )

p(B)

p(A\B)

p( B )

p( A \ B )

p(AUB)

p(B\A)

p( A ∪ B )

p( B \ A )

Preme o botón

para facer un exercicio.

Le o exemplo resolto e a continuación feixe ti un exercicio de cada tipo: Nun grupo o ___% fala francés, e o ___% fala inglés, se o ___% fala os dous idiomas, que porcentaxe fala algún dos dous, francés ou inglés?

Nunha clase o ___% aproba Lingua e o ___% aproba Matemáticas, se o __% aprobou algunha das dúas, que porcentaxe aprobou as dúas materias?

Nun instituto o ___% dos estudantes de 4º de ESO escolleu Física e o ___% Tecnoloxía, se o ___% escolleu as dúas, que porcentaxe non cursa ningunha das dúas materias?

Preme Probabilidade

para ir á páxina seguinte. -8-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

EXERCICIOS 4. Temos un dado de 20 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectamente equilibrado a) Cal é a probabilidade de obter cada un dos resultados posibles?

b) P(par)= c) P(maior de 3)= d) P(par e maior de 3)= e) P(par ou maior de 3)=

5. Nunha bolsa temos 7 bólas vermellas, 9 bólas azuis e 4 verdes. Extraemos unha bóla, calcula a probabilidade de que a) Non sexa vermella

b) Sexa vermella ou azul

6. Nunha urna hai 40 bólas vermellas e azuis, non sabemos cantas de cada cor. Para descubrilo extraemos unha bóla, miramos a cor e devolvémola á urna antes de sacar outra. Repetimos o experimento 1000 veces e obtemos 807 bólas vermellas e 193 bólas azuis. Cantas bólas de cada cor estimas que hai na urna?.

7. Nun grupo, o 40% xoga baloncesto e o 60% fútbol, sabendo que o 85% practica algún dos dous deportes, que porcentaxe xoga aos dous?

8. Nunha clase o 68% aproba Lingua e o 66% Matemáticas, se o 43% aprobou as dúas materias, que porcentaxe non aproba ningunha das dúas?.

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

-9-

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

3. Experimentos compostos 3.a. Regra da multiplicación Un experimento composto é o que _____________________________________________ ___________________________________________________________________________ Para calcular o espazo mostral dun experimento composto convén, en moitas ocasións facer un diagrama de árbore que represente todas as opcións. Cada resultado vén dado por un camiño do diagrama. A probabilidade dun suceso nun experimento composto é a ___________________ das probabilidades dos sucesos simples que o forman. Observa na escena como constrúe o diagrama de árbore do exemplo e como se usa para calcular a probabilidade de cada suceso. Preme o botón

para facer un exercicio.

Faise xirar unha ruleta unha vez, segundo a cor que saia, se segue un camiño ou outro. Cada camiño leva a outra ruleta. Para calcular a probabilidade de cada cor final abonda multiplicar a obtida na primeira ruleta pola da segunda. Preme sobre OUTRAS RULETAS para empezar; fai varios exemplos e a continuación copia un deles P(A)=

P(V)=

P(L)=

P(Vrm)= Temos dúas urnas, A e B, con bólas vermellas, verdes e azuis. Lanzamos un dado, se sae 1 ou 2 sacamos unha bóla de A, e se sae 3, 4, 5 ou 6 de B

p(A e Vrm)=

p(A e V)=

p(A e A)=

p(B e Vrm)=

p(B e V)=

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

- 10 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

3.b. Extraccións con e sen devolución Un exemplo de experimento composto atopámolo na extracción sucesiva de cartas ou de bólas dunha urna..., nestes casos hai que considerar se se devolve a carta, bóla, etc. antes de sacar a seguinte ou non. Na páxina hai unha escena, que corresponde coa extracción de cartas dunha baralla española; practica con ela antes de facer o exercicio. Preme o botón

para facer un exercicio.

Nunha urna hai 6 bólas brancas e 4 negras. Sacamos dúas bólas, unha tras outra Fai o diagrama de árbore en cada caso Con devolución

Calcula as seguintes probabilidades:

Sen devolución

Con devolución

Sen devolución

cal é a probabilidade de que as dúas sexan brancas? cal é a probabilidade de que a 1ª sexa branca e a 2ª negra? cal é a probabilidade de que as dúas sexan negras? Preme

para ir á páxina seguinte.

3.c. Probabilidade condicionada Cando se realizan observacións de varios sucesos pode que un dependa do outro. Chámase probabilidade condicionada, de B a A, e exprésase p(B/A) á probabilidade de que ________________________________________________________________________

P(B / A) = Se picas o enlace Por que? verás a demostración desta fórmula Dados dous sucesos, dise que son independentes se _______________________________ ___________________________________________________________________________ Dados dous sucesos, dise que son dependentes se _________________________________ ___________________________________________________________________________ •

A e B independentes: P(B/A)=_____________

•

A e B independentes: P(A∩B)=_____________

Na escena da dereita tes un exemplo de sucesos dependentes; segue as súas instrucións para ver a explicación. Probabilidade

- 11 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Primeiro fai ti os cálculos e comproba na escena despois Fíxate ben nas bólas numeradas que contén a urna. Imos extraer unha bóla, queremos descubrir se terás premio. Segue as instrucións da escena para ver a túa probabilidade de premio Número

Vermella

Azul

p(1)=

p(1/vermella)=

p(1/azul)=

p(2)=

p(2/vermella)=

p(2/azul)=

p(3)=

p(3/vermella)=

p(3/ azul)=

Explica a continuación que sucesos son independentes e por que:

Explica a continuación que sucesos son dependentes e por que:

Preme o botón

para facer un exercicio.

Nunha urna hai 12 bólas de cores e ocas, algunhas das cales levan premio no seu interior. A distribución das bólas segundo cores e CON PREMIO ou SEN PREMIO está na táboa. Completa a táboa: TOTAL CON PREMIO SEN PREMIO TOTAL Este tipo de táboas chámanse TÁBOAS DE CONTINXENCIA e caracterízanse por _________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Extraemos unha bóla ao azar, calcula as probabilidades pedidas probabilidade de que teña premio

p ( premio) =

probabilidade de que sexa verde

p (verde) =

probabilidade de que sea verde y tenga premio

p (verde ∩ premio) =

se a bóla é verde, a probabilidade de que teña premio

p (verde / premio) =

Como son os sucesos saír bóla verde e saír bóla con premio? Preme Probabilidade

para ir á páxina seguinte. - 12 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

3.d. Diagramas de árbore Como puideches ver, nos experimentos compostos pódese facer un diagrama en árbore, e cada resultado vén dado por un camiño na devandita árbore. Para calcular unha probabilidade solo hai que debuxar o camiño correspondente, e o produto das probabilidades de todas as ramas que o forman será o valor que buscamos. •

Se acontece A e logo B:

•

A suma das probabilidades de todos os camiños é igual a ______

•

A probabilidade dun suceso composto por varios camiños calcúlase ____________ a dos camiños respectivos.

P(A e B)=________________

No exemplo da escena da dereita podes comprobar este último resultado, xoga e observa a suma total.

Preme o botón

para facer un exercicio.

Á esquerda tes unha ruleta que determina que camiño eliximos entre dous, e unha ruleta en cada camiño para elixir a cor; cada vez que Premes Novas ruletas, tes un exercicio diferente, e cada vez que Premes Xirar ruletas, realízase o experimento e calcúlanse as frecuencias absoluta e relativa. Fai a continuación dous exercicios, calculando as probabilidades que se indican en cada caso:

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

- 13 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

EXERCICIOS 9.

Nas ruletas da figura adxunta, calcula a probabilidade de cada un dos camiños. P(azul) = P(verde) =

P(laranxa)= P(vermello) =

10.

Lanzamos un dado de 4 caras {1,2,3,4} e outro de 10 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Cal é a probabilidade de obter dous 3?. E dous 4?

11.

Lanzamos un dado, se sae 1 ou 2 sacamos unha bóla da urna A e se non da B, cal é a probabilidade de sacar a bóla azul?

12.

Nunha bolsa temos 5 bólas numeradas do 1 ao 5. Extraemos dúas bólas, a) Cal é a probabilidade de obter un 2 e un 3 se non devolvemos as bólas sacadas?. b) E cal se as devolvemos?

13.

Nunha caixa hai 6 bólas brancas e 4 bólas negras, que probabilidade hai de que ao extraer dúas bólas sexan as dúas brancas?. Faino sen devolución e con devolución.

14.

Nunha caixa hai 12 bólas de tres cores, vermellas, azuis e verdes. Están ocas e nalgunhas hai premio e noutras non. A distribución de premios e cores é a que se indica na táboa. Calcula as probabilidades seguintes e indica se os sucesos "premio" e "cor" son dependentes ou independentes en cada caso. P(V) = P(V∩premio) = P(premio/ V) = P(A) = P(A∩premio) = P(premio/ A) = P(R) = P(R∩premio) = P(premio/ R) = P(premio)=

15.

Calcula a probabilidade de obter vermello nas ruletas da figura.

16.

Lanzamos unha moeda, se sae cara sacamos unha bóla dunha urna con 2 bólas verdes e 3 bólas negras; se sae cruz doutra urna con 3 bólas verdes e 2 bólas negras. Calcula a probabilidade de que a bóla extraída sexa verde.

Probabilidade

- 14 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Lembra o máis importante - RESUMO Experimentos aleatorios Un experimento aleatorio é aquel no que _________________________________________ o resultado por máis que se repita Espazo mostral ____________________ ____________________________________ Sucesos elementais: ________________ ____________________________________ Un suceso A: ________________________ ___________________________________

Suceso seguro: ______________________ ___________________________________ Suceso imposible: ___________________ ___________________________________ Suceso contrario a un suceso A: ________ ___________________________________

Dous sucesos son compatibles se _________

Dous sucesos son incompatibles se ________

______________________________________ Operacións con sucesos

______________________________________

Unión A U B: verifícase cando

Intersección A∩ B: verifícase cando

Diferenza A-B: verifícase cando

Regra de Laplace Pódese aplicar só cando os sucesos elementais son ______________________

Nº casos Nº casos

Propiedades da probabilidade p(S. seguro) = P(E) = ______ p(S. imposible) = P(Ø) = ______ ______≤ P(suceso)≤ _____ p(Ā)= 1- p(____)

A e B son incompatibles

A e B compatibles

p(A U B) =____________

p(A U B) =_____________

Probabilidade condicionada En sucesos consecutivos poden producirse dúas situacións: Independentes Dependentes

Probabilidade condicionada

p ( B / A) =

Experimentos compostos A probabilidade dun camiño P(A e logo B)=_______________

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

- 15 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Para practicar Agora vas practicar resolvendo distintos EXERCICIOS. Nas seguintes páxinas atoparás EXERCICIOS de: Sucesos e probabilidade sinxelos Sucesos compostos e probabilidade condicionada. Completa o enunciado cos datos cos que che aparece cada EXERCICIO na pantalla e despois resólveo. É importante que primeiro resólvalo ti e despois comprobes no ordenador se o fixeches ben.

Sucesos e probabilidade sinxelos 1 Sucesos (4 tipos de exercicios) 1.1. Eliximos unha ficha de dominó ao chou, describe os sucesos: A=A suma dos puntos é maior que ___ B= A suma dos puntos é un múltiplo de ___ Escribe A∩B e A∩ B

1.2. Cun diagrama de árbore constrúe o espazo mostral do experimento resultante de tirar 4 moedas. Considera os sucesos A= saír unha _____ B= saír polo menos dous _______ Escribe AUB, A∩B e o suceso contrario de B

1.3. Lanzamos un dado de 12 caras e anotamos o número da cara superior. Describe os sucesos A=sacar un nº par B=sacar un nº maior que __ C=sacar un nº menor que ___ D=sacar múltiplo de ____ Sinala que pares destes sucesos son incompatibles.

Probabilidade

- 16 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

1.4. No experimento de sacar unha carta da baralla española, considera os sucesos A= sacar unha figura B= sacar ______________ Calcula os sucesos A ∩B e A∩ B

2 Regra de Laplace (6 tipos de exercicios) 2.1. Nunha caixa hai ___ bólas vermellas, ___ bólas verdes e ___ bólas azuis. Noutra caixa hai ___ bólas vermellas, ___ bólas verdes e ___ bólas azuis. En que caixa é maior a probabilidade de sacar unha bóla __________?

2.2. Enriba da mesa temos dúas cartas da baralla española que aparecen abaixo, sacamos outra carta, calcula a probabilidade de que sexa de _____________.

2.3. Dun xogo de dominó quitamos todas as fichas dobres, logo sacamos unha ficha ao chou, calcula a probabilidade de que a suma dos puntos sexa un múltiplo de ____.

Probabilidade

- 17 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

2.4. Formamos todos os números de tres cifras posibles co ___, o ___ e o ___. Eliximos un destes ao chou, calcula a probabilidade de que remate en ____.

2.5. Elíxese ao chou un número entre os ____ primeiros números naturais (a partir do 1). Calcula a probabilidade dos sucesos A= saír un nº maior que ___ e menor que ___

B=salir un múltiplo de _____

2.6. Para corrixir un exame de probabilidade un profesor benévolo decidiu facelo do seguinte xeito: Tira dous dados e fíxase na maior das puntuacións obtidas, se esta é menor que ___ pon Insuficiente e nos outros casos Suficiente. Con este método, que probabilidade ten un estudante de __________?

3 Propiedades da probabilidade (5 tipos de exercicios) 3.1 Un dado está trucado de maneira que as caras son unha nº _______ teñen __________ probabilidade de saír que as que non son. Calcula a probabilidade de cada unha das caras e a de sacar un nº _______.

Probabilidade

- 18 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

3.2 Considera dous sucesos A e B dun experimento aleatorio. Se p(A)= _____, p(AUB)= _____ e p(∩AB)= _____; calcula a probabilidade de A/B e de B/A.

3.3 A probabilidade dun suceso A é p(A)= ____ e a doutro é p(B)= ____. Se a probabilidade de que acontezan os dous á vez é. p(∩AB)= _____; calcula a probabilidade de que non aconteza ningún dos dous.

3.4 A probabilidade dun suceso A é ______. Calcula a probabilidade do suceso contrario.

3.5 Nunha urna hai bólas brancas, vermellas e negras, pero non sabemos cantas nin en qué proporción. En 1000 extraccións (devolvendo a bóla cada vez) obtivemos bóla branca ____ veces, vermella ____ veces e negra ____ veces. Ao facer unha nova extracción, que probabilidade hai de sacar unha bóla ______? Se na urna hai ___ bólas, cántas estimas que haberá de cada cor?.

Preme

Probabilidade

para ir á páxina seguinte.

- 19 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Sucesos compostos e probabilidade condicionada. 4. Bólas da urna (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 4.1. Nunha caixa hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Extráense sucesivamente e con devolución dúas bólas. Calcula a probabilidade de que ambas as dúas sexan da mesma cor.

4.2. Nunha caixa hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Extráense sucesivamente e sen devolución dúas bólas. Calcula a probabilidade de que ambas as dúas sexan da mesma cor.

5. Unha de cada (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 5.1. Nunha caixa hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Noutra hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Extráese unha bóla de cada caixa, calcula a probabilidade de que ambas as dúas sexan da mesma cor.

5.2. Nunha caixa hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Noutra hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Extráese unha bóla de cada caixa, calcula a probabilidade de que ambas as dúas sexan da mesma cor.

6. Primeiro o dado (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 6.1. Nunha urna, A, hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Nunha urna, B, hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Tírase un dado, se sae un número maior que ___ sácase unha bóla da urna A e se non da B. Calcula a probabilidade de que a bóla sexa __________.

Probabilidade

- 20 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

DATA:

NOME: ____________________________

6.2. Nunha urna, A, hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Nunha urna, B, hai ___ bólas vermellas, ___. Bólas brancas e ____ bólas negras. Tírase un dado, se sae un número maior que ___ sácase unha bóla da urna A e se non da B. Calcula a probabilidade de que a bóla sexa __________

7. Da baralla (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 7.1. Dunha baralla española extráense dúas cartas sen devolución. Calcula a probabilidade de que a) as dúas sexan do mesmo pau b) unha sexa de ______ e outra de _______

7.2. Dunha baralla española extráense dúas cartas con devolución. Calcula a probabilidade de que a) as dúas sexan do mesmo pau b) unha sexa de ______ e outra de _______

8. Con lentes ou sen lentes (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) con l sen l 8.1. Nun instituto hai _____ estudantes, dos que _____ son rapaces e o resto rapazas. O ___% dos rapaces e o ___% das H rapazas leva lentes. Elixido un estudante ao chou, cal é a M probabilidade de que non leve lentes?

8.2. Nun instituto hai _____ estudantes, dos que _____ son rapaces e o resto rapazas. O ___% dos rapaces e o ___% das rapazas leva lentes. Elixido un estudante ao chou, cal é a probabilidade de que leve lentes?

Probabilidade

con l

sen l

H M

- 21 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

DATA:

NOME: ____________________________

9. Fumadores e non fumadores (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) F NF 9.1. Nunha empresa traballan ____ homes e ____ mulleres. Hai ___ homes e ___ mulleres que son fumadoras. Elixida unha H persoa desa empresa ao chou, calcula a probabilidade de que: M a) sexa unha muller fumadora b) sexa unha muller sabendo que fuma.

9.2. Nunha empresa traballan ____ homes e ____ mulleres. Hai ___ homes e ___ mulleres que son fumadoras. Elixida unha persoa desa empresa ao chou, calcula a probabilidade de que: a) sexa unha muller fumadora b) sexa unha muller sabendo que fuma.

H M

10. Moedas do peto (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 10.1. Levo nun peto _____ moedas de 10 céntimos, _____ de 20 céntimos e ______ de 1 €. Saco dúas moedas ao chou, qué probabilidade hai de que: a) as dúas sexan de ___________ b) saque ___________________.

10.2. Levo nun peto _____ moedas de 10 céntimos, _____ de 20 céntimos e ______ de 1 €. Saco dúas moedas ao chou, qué probabilidade hai de que: a) as dúas sexan de ___________ b) saque ___________________.

11. Tirando a canastra (Fai polo menos dous exercicios sen cambiar de opción) 11.1. Un xogador de baloncesto adoita encestar o ____% dos seus tiros dende o punto de lanzamento de persoais. Se tira tres veces, calcula a probabilidade de que: a) enceste _______ veces b) non enceste ningunha vez

11.2. Un xogador de baloncesto adoita encestar o ____% dos seus tiros dende o punto de lanzamento de persoais. Se tira tres veces, calcula a probabilidade de que: a) enceste _______ veces b) enceste as tres veces.

Preme Probabilidade

para ir á páxina seguinte. - 22 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Autoavaliación Completa aquí cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e resólveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solución é correcta. Escribimos cada unha das letras da palabra ______________ nun papel e sacamos unha ao chou. Escribe o suceso "saír vogal" Unha moeda está trucada de maneira que a probabilidade de saír _____ é ____________ a probabilidade de saír _____, que probabilidade hai de sacar ______? Nunha bolsa hai 100 bólas numeradas do 0 ao 99, extráese unha bóla. Calcula a probabilidade de que nas súas cifras non estea o ___. Elíxese unha ficha de dominó, considera os sucesos A="salir unha ficha dobre", B="a suma dos puntos é múltiplo de ___". Cal é a probabilidade de AUB?

Se A e B son dous sucesos tales que P(A)=_____; P(B)=_____ e P (A∩B)=____. Calcula a probabilidade de que non aconteza nin A nin B. Lánzase unha moeda e un dado, calcula a probabilidade de que saia "______" e "número ________"

Temos dúas urnas con bólas vermellas, verdes e azuis, como na figura. Sacamos unha bóla de cada urna, calcula a probabilidade das dúas bólas sexan __________. Os resultados dun exame realizado por dous grupos de 4º ESO móstranse na táboa da esquerda. Elíxese un estudante ao chou, calcula a probabilidade de que sexa do grupo A se sabemos que _______________. Teño nun caixón ____ calcetíns de cor branca e ____ de cor negra. Se collo dous calcetíns sen mirar, que probabilidade hai de que sexan da mesma cor? Sácanse dúas cartas dunha baralla de 40, unha tras outra. Se a extracción se fai ______ devolución, calcula a probabilidade de que ______________________________ _________________________.

Probabilidade

- 23 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

DATA:

Para practicar máis 1. Lanzamos un dado de doce caras e anotamos o número da cara superior. Describe os sucesos: A="Sacar un nº par" B="Sacar un número maior que 6 C="Sacar un número menor que 3" D="Sacar múltiplo de 3" Sinala que pares destes sucesos son incompatibles. 2. Eliximos unha ficha de dominó ao chou, describe os sucesos: A="A suma dos puntos é maior que 7"; B="A suma dos puntos é múltiplo de 5". Escribe A∩B e A∩ B . 3. No experimento de sacar unha carta dunha baralla española, considera os sucesos: A="Sacar unha figura", B="Sacar copas" Calcula os sucesos: A∩B e

A ∩B.

4. Na escola municipal dun pobo hai clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol e voleibol. Hai 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto e 40 a fútbol e baloncesto. Cantos van só a voleibol? 5. Cun diagrama de árbore constrúe o espazo mostral do experimento de lanzar 4 moedas. Considera os sucesos: A="Salir unha cara" B="Salir polo menos dous cruzamentos" Escribe AUB, A∩B e o suceso contrario de B

Probabilidade

6. Dun xogo de dominó quitamos todas as fichas dobres, logo sacamos unha ficha ao chou, calcula a probabilidade de que a suma dos puntos sexa múltiplo de 5. 7. Formamos todos os números posibles de tres cifras co 3, o 5 e o 6, repetidas ou non. Eliximos un deses números ao chou, calcula a probabilidade de que remate en 5. 8. Nunha caixa hai 3 bólas vermellas, 3 bólas verdes e 2 azuis; noutra caixa hai 2 bólas vermellas, 3 verdes e 2 azuis. En que caixa é maior a probabilidade de extraer unha bóla azul?. 9. Elíxese ao chou un número do 1 ao 30. Calcula a probabilidade de elixir: a) un nº maior que 3 e menor que 17 b) un múltiplo de 3 10. Enriba da mesa temos as dúas cartas que aparecen debaixo, sacamos outra carta, calcula a probabilidade de que sexa de ouros.?

11. Para corrixir un exame de probabilidade un profesor benévolo decidiu facelo do seguinte xeito: Tira dous dados e fíxase na maior das puntuacións obtidas, se é menor que 4 pon Insuficiente e nos outros casos Suficiente. Con este método, que probabilidade hai de aprobar?

- 24 -

IES _______________________ CADERNO Nº 12

NOME: ____________________________

12. A probabilidade dun suceso A é 0,15, cal é a probabilidade do suceso contrario? 13. Un dado está trucado de forma que as caras con número impar teñen tripla probabilidade de saír que as caras con número par. Calcula a probabilidade de cada unha das caras e a de sacar número impar. 14. A probabilidade dun suceso A é 0,14 e a doutro B é 0,39. Se a probabilidade de que acontezan os dous á vez é 0,13. Calcula a probabilidade de que non aconteza ningún dos dous. 15. Considera dous sucesos A e B dun experimento aleatorio con P(A)=0,16 e P(AUB)=0,65; P(A∩B)=0,02; calcula a probabilidade de A-B e de B-A. 16. Nunha urna hai bólas brancas, vermellas e negras, pero non sabemos cantas nin en qué proporción. En 1000 extraccións, devolvendo a bóla cada vez, obtívose bóla branca 223 veces, vermella 320 veces e negra 457 veces. Ao facer unha nova extracción, que probabilidade hai de sacar unha bóla vermella?. Se na urna hai 23 bólas, cántas estimas que haberá de cada cor?. 17. Nunha caixa hai 3 bólas vermellas, 2 bólas brancas e 2 bólas negras. Extráense dúas bólas, calcula a probabilidade de que as dúas sexan da mesma cor se a extracción se fai: a) con devolución b) sen devolución.

Probabilidade

19. Nunha caixa, A, hai 2 bólas vermellas, 3 bólas brancas e 3 negras, noutra caixa, B, hai 2 bólas de cada cor, vermella, branco, negro. Tírase un dado, se sae un número maior que 4, sácase unha bóla da urna A e se non da B. Calcula a probabilidade de que a bóla sexa vermella. 20. Dunha baralla española de 40 cartas, extráense dúas cartas sen devolución, calcula a probabilidade de que a) as dúas sexan do mesmo pau b) unha sexa de ouros e outra de copas 21. Nun instituto hai 450 estudantes, dos que 290 son rapaces e o resto rapazas. O 20% dos rapaces e o 10% das rapazas leva lentes. Elixido un estudante ao chou, cal é a probabilidade de que non leve lentes? 22. Levo nun peto 6 moedas de 10 céntimos, 2 de 20 céntimos e 2 de 1 €. Saco dúas moedas ao chou, qué probabilidade hai de que: a) as dúas sexan de 1 euro b) saque 1,10 euros. 23. Nunha empresa traballan 190 homes e 130 mulleres. Hai 19 homes e 26 mulleres que son fumadores. Elixida unha persoa desa empresa ao chou, calcula a probabilidade de que: a) sexa unha muller fumadora b) sexa unha muller sabendo que fuma. AXUDA: Completa a táboa FUMA HOMES

18. Nunha caixa, A, hai 3 bólas vermellas, 2 bólas brancas e 2 negras, noutra caixa, B, hai 2 bólas de cada cor. Extráese unha bóla da caixa A e ponse na B, despois sácase unha bóla de B. Calcula a probabilidade de que esta última bóla sexa negra.

DATA:

MULLERES

19 26

NON FUMA

190 130

TOTAL

24. Un xogador de baloncesto adoita encestar o 80% dos seus tiros dende o punto de lanzamento de persoais. Se tira tres veces, calcula a probabilidade de que: a) enceste dúas veces b) non enceste ningunha vez

- 25 -