Autores: Alex Sirbu, Lola López, Natalia Plumed, Rocío Yuste, Marta Sebastián y Daniel Rubio IES Salvador Victoria http://iesmonre.educa.aragon.es
Midiendo farolas y frontones
INDICE INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 3 OBJETIVOS ................................................................................................................... 4 1.
FAROLA (Pie accesible) ....................................................................................... 5 1.1.
MÉTODO DE LAS SOMBRAS.................................................................... 5
1.2.
MÉTODO DEL ESPEJO............................................................................... 6
1.3.
MÉTODO TRIGONOMÉTRICO ................................................................ 8
1.3.1 MEDIDOR DE ÁNGULOS .......................................................................... 9 1.4. 2.
MÉTODO POR GEOGEBRA .................................................................... 11
FRONTÓN (Pie inaccesible)................................................................................ 12
ANÁLISIS Y DISCUSION .......................................................................................... 14 CONCLUSIONES ........................................................................................................ 15 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 16
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INTRODUCCION Para poner en práctica los conocimientos tratados en clase sobre proporciones y trigonometría, se lleva a cabo una práctica de mediciones en el patio del instituto. Se realiza durante una sesión de clase. El trabajo práctico consiste en la medición de la altura de dos elementos: las farolas de la pista deportiva y el frontón municipal que se encuentra separado del instituto por una valla. La obtención de la altura de las farolas es un caso de mediciones de pie accesible, puesto que están dentro del patio y se pueden tomar medidas desde su base. Se calcula esta altura por cuatro métodos: con las sombras, utilizando espejos, por medio de ángulos medidos sobre el terreno y medidos sobre una foto. En el caso de la medida del frontón hay que tener en cuenta que no se puede acceder al pie de la pared ya que hay una valla que lo impide. En este caso se utiliza un método de doble observación. Cada alumno construye un aparato medidor de ángulos para utilizarlo en los métodos que requieran la aplicación de las razones trigonométricas para la resolución del problema. Se utiliza el programa de geometría dinámica Geogebra.
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OBJETIVOS Con este trabajo se pretenden cumplir los siguientes objetivos:
- Aprender a medir objetos de la vida cotidiana utilizando distintos métodos como la trigonometría y la proporcionalidad. - Aplicar a un caso práctico en la calle lo aprendido en clase. Usar la trigonometría explicada en clase en la vida real. - Aprender a construir un instrumento para medir ángulos. La construcción de aparatos sencillos (transportadores, espejos, etc.) sirve para poder realizar la actividad. - Apreciar la importancia de ser responsables y precisos (ya que la precisión es algo indispensable en las matemáticas) al tomar datos para resolver problemas. - Utilizar la informática como una herramienta más que ayuda a resolver situaciones de la vida real. - Trabajar en equipo para realizar las mediciones que permiten aplicar los métodos estudiados. - Realizar un trabajo bien estructurado.
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1. FAROLA (Pie accesible) Vamos a medir la altura de una de las farolas que hay en el patio del Instituto. Para ello vamos a utilizar métodos que tienen que ver con la trigonometría y la proporcionalidad. 1.1. MÉTODO DE LAS SOMBRAS A) Materiales utilizados: -
Cinta métrica Bolígrafo Cuaderno Tiza Un palo o una persona
B) Explicación del procedimiento: -
Con una cinta métrica se mide la longitud de la sombra de la farola.
-
Se mide la altura del palo o del observador
-
Se marca con la tiza el extremo de la sombra que proyecta el palo o el observador y se mide la longitud de esa sombra.
C) Se obtienen los siguientes datos:
Sombra de la farola: 13´83 m Sombra persona: 2´81 m Altura persona: 1´67 m Altura de la farola: x
D) Resultados Los dos triángulos que se forman son semejantes pues tienen un ángulo común, el que forman los rayos solares con el suelo. Los lados son proporcionales y de ahí se obtiene la siguiente relación entre los lados de los triángulos:
13.83m 2.81m = → 8.21m x 1.67m
Altura de la farola: 8,21 metros
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1.2. MÉTODO DEL ESPEJO A) Materiales utilizados: -
Cinta métrica Bolígrafo Cuaderno Tiza Espejo (14cmx14cm)
B) Explicación del procedimiento: -
-
-
Este método se atribuye a Euclides de Alejandría, matemático griego del siglo III a.C. Se coloca el espejo entre el observador y la farola a una distancia considerable. El observador se sitúa de tal manera, que en el espejo se vea reflejado el extremo superior de la farola. Seguidamente, se toman las medidas de la distancia entre la farola y el espejo y entre el espejo y el observador. Para finalizar se mide la altura del observador, pero solamente desde los pies hasta los ojos.
C) Se obtienen los siguientes datos: o Distancia entre la farola y el espejo: 4´86 m o Distancia entre la farola y el observador: 0´9 m o Altura del observador desde los pies hasta los ojos: 1´58 m o Altura de la farola: x
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D) Resultados obtenidos: Los dos triángulos son semejantes pues los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo son iguales. Así pues los lados son proporcionales:
Y se obtiene que la altura de la farola es 8´53 m
Realizando las mediciones por el método del espejo
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1.3. MÉTODO TRIGONOMÉTRICO A) Materiales utilizados: -
Bolígrafo Cuaderno Medidor de ángulos Cinta métrica
B) Explicación del procedimiento: -
-
Situados a una distancia considerable de la farola, se lanza una visual con el medidor de ángulos, hasta el punto más alto de la farola. Anotar el valor que marca el aparato de mediciones angulares. Medir la distancia que hay desde el pie de la farola hasta la posición del observador.
C) Los datos obtenidos son los siguientes: •
Distancia desde la farola hasta el observador: 14 m
•
Altura hasta los ojos del observador: 1.48 m
•
Altura del triangulo formado: X
•
Altura total de la farola: 1.48 + X
•
Ángulo desde el punto de mira: 27º
D) Cálculos y resultados:
x = 0.059525449 * 14 = 7.13 m. Altura real = x + 1.48 = 7.13 m + 1.48 m = 8.61 m
Altura de la farola: 8,61 metros
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1.3.1 MEDIDOR DE ÁNGULOS CONSTRUCCIÓN Para tomar los datos sobre ángulos, hemos fabricado un transportador de ángulos a lo grande. Para ello hemos utilizado: • • • • • • •
Un trozo de contrachapado de medidas y forma adecuadas para el nuevo transportador. Un dibujo grande en un folio de un transportador. Tijeras para recortar el dibujo del transportador Pegamento para unir el dibujo al contrachapado La parte de plástico de un boli bic. Un trozo de hilo, lana, cuerda,… Una tuerca
Una vez conseguidos todos los materiales necesarios comenzamos a fabricarlo: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Recortamos el dibujo del transportador Pegamos el dibujo al contrachapado Hacemos un agujero en el contrachapado y el dibujo de manera céntrica Pegamos el tubo de un bolígrafo bic a la parte superior del transportador. Metemos la lana o hilo por el agujero, atamos un nudo y la dejamos colgar. Atamos una tuerca a ese hilo.
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USO DEL MEDIDOR Colocando el ojo en la mirilla, se lanza una visual al extremo superior del objeto que se quiere medir. La plomada marca la perpendicular al suelo. Se anota el ángulo que se obtiene en el medidor α. El ángulo buscado, β, es el complementario del que se ha obtenido en el medidor.
α β
En el detalle se puede observar que el ángulo que señala la plomada sobre el arco graduado del medidor es α = 58º por lo que el valor del ángulo buscado es β =32º
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1.4. MÉTODO POR GEOGEBRA A) Materiales utilizados: -
Cámara digital Ordenador (Programa geogebra) Cinta métrica Cuaderno Bolígrafo
B) Explicación del procedimiento: -
-
Con la cámara digital se fotografía la farola de manera que se vea claramente y se distingan todos los puntos necesarios para realizar el trabajo (farola, sombra, base, etc). Luego a través del programa GeoGebra se señalan los puntos A, B y C El programa permite medir el ángulo B con una de sus herramientas. Se mide sobre el terreno la longitud BC (en este caso coincidía con la sombra, pero no es necesario que sea así)
C) Datos tomados: Distancia tomada para calcular el ángulo (sombra de la farola BC): 13´4 m Ángulo: 33´39º Altura de la farola: x
D) Resultados obtenidos:
Altura de la farola: 8´83 m
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2. FRONTÓN (Pie inaccesible) 2.1. MÉTODO DE DOBLE OBSERVACIÓN A) Materiales utilizados: -
Cinta métrica Bolígrafo Cuaderno Tiza Transportador de ángulos
B) Explicación del procedimiento: -
Para empezar, nos hemos colocado en un punto determinado para calcular el ángulo que va desde ese punto hasta el extremo superior del frontón.
-
Luego nos hemos colocado en otro punto para realizar la misma operación y después con la cinta métrica hemos medido la distancia que hay entre el primer punto y el segundo.
C) Datos tomados: -
o o o o o
Hemos obtenido siguientes datos:
los
Ángulo 1: 29º Ángulo 2: 35º Distancia entre el punto 1 y el punto 2: 4´2 m Altura del frontón: h La altura desde los pies a los ojos: 1´58 m
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D) Resultados obtenidos: -
A partir de los datos tomados anteriormente, hemos obtenido los siguientes resultados:
Altura del front贸n: 12,76 metros
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ANÁLISIS Y DISCUSION Una vez obtenidos todos los datos, hemos comparado unos con otros. En cuanto a los resultados de los métodos utilizados para medir las farolas son bastante razonables ya que es muy probable que midan alrededor de 8´5 metros, aproximadamente. Los resultados obtenidos son: 8´21 m, 8´53 m, 8´61 m y 8´83 m. Entre uno y otro hay una variación de 62 cm. La media de todos esos valores coincide con la estimación que hemos hecho de 8,5 m. Entonces ¿qué error hemos cometido en los datos obtenidos? La máxima diferencia obtenida respecto de la media es de 33 cm. (desde 8,5 hasta 8,83). Este valor representa un error relativo de
¿A qué puede ser debido el error? Fundamentalmente a la falta de precisión en la toma de las medidas tanto de los aparatos como de las personas que hacen la medición (un simple balanceo del aparato con el que se mide puede suponer un error medianamente grande). En el caso del cálculo utilizando una fotografía digital, creemos que para que funcione es imprescindible que la fotografía esté realizada de forma que el triángulo que se vea sea rectángulo y en nuestra foto hay una pequeña desviación que puede ser la causa de que el error sea mayor. Por otra parte el resultado obtenido sobre la altura del frontón, nos parece muy razonable aunque no disponemos de cálculos realizados por otros procedimientos para poderlos comparar. En este caso la posibilidad de error aumenta pues hay que hacer dos observaciones.
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CONCLUSIONES Sobre la utilidad del trabajo: -
Creo que este trabajo me ha servido para mucho porque he aprendido a aplicar lo visto en clase, en los objetos urbanos utilizando distintos métodos.
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Este trabajo me ha servido para entender mejor la trigonometría, porque al haberla aplicado nosotros mismos en objetos de la vida cotidiana hace que nos sea más fácil aprender las cosas.
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Me ha gustado realizar este trabajo porque hemos aplicado cosas teóricas de la clase en la práctica de la vida real. En general estoy satisfecha.
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En mi opinión este trabajo sí que nos ha servido de mucho ya que hemos aprendido a medir alturas inaccesibles para nosotros con métodos tan sencillos como usar nuestras propias sombras o espejos y métodos que necesitaban más precisión como el de los ángulos.
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El trabajo ha sido costoso pero ha merecido la pena. Con este trabajo hemos aprendido mucho sobre distintos métodos de medición de cosas que a simple vista parece imposible saber su medida sin medir directamente el objeto.
Sobre la organización de la clase y métodos de trabajo: -
En mi opinión este trabajo ha sido muy interesante y a la vez divertido ya que fue muy entretenido el salir al patio a medir.
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A mí me ha parecido interesante esta actividad ya que hemos dejado de lado por un día la rutina de estar en clase y poner en práctica todos esos métodos explicados en ella.
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Este trabajo también me ha servido para entender mejor las explicaciones dadas en clase sobre los métodos ya que es más fácil aprender y saber resolver algo si lo practicas.
Sobre otros aspectos de la formación personal: -
Este trabajo es muy importante para aprender a ser responsables de nuestros actos y a tener más seguridad en nosotros mismos así como para comenzar a acostumbrarnos a hacer las cosas por nosotros mismos y no esperar a que nos las den hechas.
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Este trabajo me ha servido para ser más precisa al hacer los cálculos y para realizar un trabajo bien estructurado.
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BIBLIOGRAFÍA COLERA, J. et al. Matemáticas 4º Opción B. Editoral Anaya, Barcelona, 2003 VVAA. MATEMÁTICAS (B) ESO Segundo ciclo 4º. Editorial Edebé Matemática viva. Editorial Alhambra
En internet: http://www.ieslagranja.com/pages/departamentos/matematicas/trigonometria/trigonom0 2.htm http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/152-155-TrigonometriaIntroduccion.pdf http://www.geocities.com/tropasvinac/medicion_alturas.htm http://suanzes.iespana.es/viete2.htm http://descartes.cnice.mecd.es/WEB_EDA/Documentos/materiales/miguel_martin/Unid ad%20Semejanza/Unidad/Medicion_de_alturas.htm
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