RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Ángela Andrés Lorente, Cristina Fuertes Latasa, Andrea Énery Gómez Sanz, Alejandro González Gálvez, Beatriz Malo Polo, Ana Mª Muñoz Lahuerta y Susana Yuste Fernández Alumnos de 1º Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud IES Salvador Victoria Monreal del Campo Teruel
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INDICE
INTRODUCCIÓN _____________________________________________________ 3 EL NÚMERO OCULTO____________________________________________________ 4 UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO _______________________________________ 6 LA CLASE _______________________________________________________________ 9 FUERA DE LA LEY ______________________________________________________ 10 EL CUENTO ____________________________________________________________ 11 EL PROBLEMA DE TARTAGLIA _________________________________________ 13 LA SUMA _______________________________________________________________ 15 LAS CARTAS ___________________________________________________________ 16 VACAS LECHERAS______________________________________________________ 17 LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES ________________________________ 18 LOS NÚMEROS OCULTOS _______________________________________________ 19 NÚMERO DE FICHAS____________________________________________________ 20 AHORRANDO PESADAS _________________________________________________ 21 LOSETAS _______________________________________________________________ 22
OPINIONES ________________________________________________________ 23 BIBLIOGRAFÍA _____________________________________________________ 24
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INTRODUCCIÓN Al comenzar el curso de 1º de Bachillerato, en la asignatura de Matemáticas, dedicamos alguna sesión de clase a resolver problemas en los que intervienen algunas estrategias: -
Hacer un esquema, dibujo o diagrama, bien para entender el enunciado, bien para intentar relacionar los datos y lo que se quiere conseguir. Estudiar todos los casos posibles y analizar si se pueden aceptar o rechazar. Elegir una notación que ayude a clarificar el problema y a su resolución Experimentar con casos particulares que ayuden a hacer conjeturas, establecer posibles relaciones, etc. Aprovechar la regularidad de un problema Utilizar el tanteo: ensayo-error, etc.
Todos los que aparecen están tomados del libro que llevamos en clase y que se cita en la bibliografía, al final de este documento. Cada uno de nosotros teníamos que resolver cuatro problemas y entregarlos en un dossier. De todos ellos, hemos seleccionado dos de cada trabajo y los hemos incluido en este documento. La selección se ha hecho atendiendo a criterios como que sean originales, que haya más de una forma de resolverlos, que tengan dibujos, tablas o gráficos elaborados por nosotros… En todos ellos hemos puesto en práctica los consejos que se dan en el libro: -
-
Antes de atacar un problema, leerlo con calma y planificar mentalmente los pasos que se van a dar Generar muchas ideas, aunque en principio parezcan descabelladas (algo así como las tormentas de ideas que usan los creativos) Actuar con orden, siguiendo un plan. Mantener el problema en la cabeza e intentar comprenderlo en su totalidad No darse por vencido. Pensar en nuevos enfoques para atacar el problema
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EL NÚMERO OCULTO Consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empiece por cero. Escrito un número en la tabla, en la columna B, se índica cuántos de sus dígitos tiene en común con el número buscado y en la misma posición. En la columna R se índica cuántos dígitos tiene ese número en común con el buscado pero en posición incorrecta. Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz de encontrar el número oculto?
3476 3965 4269 1057
B 0 0 0 2
R 2 2 1 1
CONTIENE El 1, 0, 5
SOLUCIÓN: He comenzado con el último número, 1057, ya que es del que más datos nos dan. Dicen que contiene dos cifras iguales al número buscado y una cambiada de posición, por lo tanto hay las siguientes posibilidades:
CIFRAS MOVIBLES FINAL FIJAS 10_ _ ___5 10_5 1_5_
___0
1_50
El 1,0,7
_05_00 10_ _ 1_ _ 7
_ _ _1 _ _ 7_ _ _ 0_
_051 107_ 1_07
El 1,5,7
_ 0_ 7 1_5_ 1_ _7
_ _ 1_ _7_ _ _5_ _
_017 175_ 15_7
_ _ 57
_ 1_ _
_157
_ 05_ _0_7 _ _ 57
7_ _ _ 5_ _ _ 0_ _ _
705_ 50 _7 0_57*
El 0,5,7
*El número _057 no puede ser, porque nos indican que no puede empezar por 0. Tras los resultados anteriores me he fijado en el dato del número 3476, que nos dicen que tienen que estar dos de esos números, pero en distintas posiciones. Analizamos número por número: - El 3 podría estar ya que no hay ninguna condición que nos lo prohíba, con el 4 y con el 6 sucede lo mismo. - Y el 7 está obligatoriamente, ya que si este no estuviese no se cumplirían ninguna de las condiciones anteriores, porque en el número 1057 nos dicen que tiene que haber tres cifras (sean cuales sean y en la posición que estén) y si a demás cogemos dos números del 3476 haríamos un número de cinco cifras, por lo tanto el 7 está obligatoriamente. Lo mismo sucede con el número 3965, pero esta vez con el número 5.
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Las condiciones que nos dan, es que tanto el número 7, en 3476, y el número 5, en 3965, no pueden estar en esas posiciones. Por ello las posibilidades anteriormente dadas se reducen a: 175_
/
_157
/
15_7
/
705_
/
50_7
Ahora la tabla quedaría así: 3476 3965 4269 1057
B 0 0 0 2
R 1 1 1 1
En la tabla dada al principio ponían un 2, pero se ha reducido al 1 porque el 7 y el 5 ya sabemos que están en el número buscado.
Basándonos ahora en los números 3476, 3965 y 4269 deducimos que el otro número que nos piden es el 6, ya que es el único número común a todos. La condición que nos ponen en el número 3476 es que el número 6 no pude estar al final del número que nosotros buscamos y la que nos ponen en los números 3965 y 4269 es que no puede estar el número 6 en la tercera posición. Aplicamos estas condiciones en las posibilidades que hemos ido reduciendo. Esas posibilidades eran: - 175_. Si añadimos el número 6 nos queda el número 1756, pero habíamos dicho que el 6 no podía estar en último lugar así que descartamos este número. - En el siguiente 15_7 nos quedaría 1567, pero también habíamos dicho que el 6 no podía estar en tercera posición, así que este tampoco es nuestro número buscado. - Continuamos con 705_ que nos da 7056 y también queda descartado por que el 6 esta en la última posición. - Solo nos quedan 50_7 y _157. Descartamos el primero de ellos (el 6 no pude estar en tercera posición) y nos quedamos con _157 que no hay ninguna condición que nos diga que nuestro número buscado puede ser el:
6157
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UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO Hay dos montones de piedras, uno, con siete piedras y otro con seis piedras. Dos personas juegan de manera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras como deseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra ¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo? SOLUCIÓN: He comenzado haciendo varios intentos según las normas anteriores y luego he sacado unas conclusiones. 1º INTENTO / Jugador 1 / Jugador 2 / Último que tacha / Jugador que empieza.
Tacha el verde dos números, luego el rojo tres, después el verde uno, el rojo dos, el verde dos, el rojo uno, el verde otro y finalmente el rojo la única que queda. 2º INTENTO Empieza el verde tachando una, luego el rojo tres, después el verde uno, el rojo dos, el verde dos, el rojo uno, el verde una, el rojo otra y solo le queda una al verde que gana. Hay una diferencia en el intento uno y en el dos, en el primer intento comienza tachando el verde dos piedras y en el segundo intento comienza tachando una sola piedra. Voy a comprobar a ver si esto tiene alguna repercusión en que empiece tachando una o dos piedras. 3º INTENTO Al igual que en el intento 2 ha comenzado el verde, tachando tan solo una.
Comprobamos que pasa si comienza el jugador dos tachando una sola. 4º INTENTO. También ha ganado el jugador que empieza siempre que empiece tachando una.
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Vamos a ver que ocurre si tachamos tres en el primer intento, porque ya sabemos que cuando tachamos dos pierde el jugador que empieza. 5º INTENTO Ha ganado el rojo y ha empezado el juego el verde. Por lo tanto no tiene que ver el número de piedras, ya sean pares o impares, que se empiezan tachando. Vamos a observar alguna similitud en aquellos intentos en los que gana el mismo que empieza. Son los intentos 2, 3, 4. Análisis del intento 2. - Al empezar tachando el verde ha dejado seis piedras en un montón y seis en otro, par y par. Continúa tachando tres el rojo y dejando seis y tres, par e impar. Sigue el verde de nuevo y deja seis y dos, par y par. Luego sigue el rojo y tacha dos, dejando cuatro y dos, par y par. Después sigue el verde tachando otras dos piedras, dejando así dos y dos, par y par. Continúa el rojo quitando una y dejando dos y uno, par e impar. El juego ya esta resuelto de las tres piedras que quedan el jugador verde quita una del montón que quedan dos y el rojo solo puede quitar una y finalmente gana el jugador verde quitando la última. En este desarrollo hemos visto que continuamente el jugador verde va dejando en ambos montones par y par o impar e impar. Mientras que el jugador rojo ha dejado en varias ocasiones impar y par, vamos a seguir estudiando esta posibilidad, puede ser que esto influya en el ganador. Análisis intento 3. Esta partida es muy parecida a la anterior: - Jugador verde tacha 1 y deja: 6 y 6, par y par. - Jugador rojo tacha 3 y deja: 3 y 6, impar y par. - Jugador verde tacha 3 y deja: 3 y3, impar e impar. - Jugador rojo tacha 1 y deja: 2 y 3, par e impar. - Jugador verde tacha 1 y deja: 2 y 2, par y par. - Jugador rojo tacha 2 y deja: 0 y 2, nada* y par. - Jugador verde tacha 2 y deja 0 y 0. Ha ganado.
* Nada sería lo mismo que poner par, ya que el número 0 es par, pero para dejarlo más claro he puesto NADA.
Al igual que en el intento dos si que ha influido dejar pares o impares los montones. Gana quién deja todo el rato la misma cantidad en los dos montones. Para acabar de comprobarlo voy a hacer otro intento haciéndolo como hemos observado en los análisis de los intentos 2 y 3.
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6º INTENTO Vamos a analizar esta partida y observar si se cumple la regla obtenida anteriormente.
Jugador Rojo Verde Rojo Verde Rojo Verde Rojo Verde Rojo Verde Rojo
Tacha 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1
deja 6 y 6 ; par y par 5 y 6; impar y par 5 y 3; impar e impar 4 y 3; par e impar 3 y 3; impar e impar 2 y 3; par e impar 2 y 2; par y par 1 y 2; impar y par 1 y 1; impar e impar 0 y 1; nada e impar 0 y 0; GANA
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Por lo tanto tiene ventaja el jugador que comienza, ya que tiene la posibilidad de dejar en los dos montones la misma cantidad. Es decir, la conclusión seria: SIEMPRE QUE EL JUGADOR QUE EMPIEZA VAYA RETIRANDO LAS PIEDRAS NECESARIAS PARA QUE QUEDEN IGUALADAS LOS DOS MONTONES, GANARÁ.
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LA CLASE En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15 estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿Cuántos estudian solo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?
SOLUCIÓN: •
Primer intento
Darle unas letras a cada estudio para hacer un sistema y de ahí sacar todos los resultados. X+ y +y = 30 Y+x=22
Inglés Æ y informáticaÆz Inglés + informática Æ x
Y+z=15 •
Segundo intento
Si en una clase hay 30 alumnos en total y 22 estudian inglés, pues haciendo una resta sabemos el número de estudiantes de informática. Lo mismo con los alumnos que estudian informática, si hay 30 en total y 15 que estudian informática, con una resta nos saldrán los que cursan inglés. Para saber la última pregunta, basta con sumar 22 alumnos que estudian inglés más 15 alumnos que estudian informática. *22 estudiantes de inglés *15 estudiantes de informática
30 alumnos
30 – 22 = 8 alumnos estudian informática 30 - 15 = 15 alumnos estudian inglés 22 + 15 = 37 37 – 30 = 7 estudian las dos materias.
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FUERA DE LA LEY Cuatro hombres, uno de los cuales había cometido un determinado crimen, hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la policía: Arturo: David lo hizo. David: Antonio lo hizo. Gustavo: yo no lo hice. Antonio: David mintió cuando dijo que lo hice. Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Por otro lado, solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién sería entonces el culpable?
SOLUCIÓN: Por una parte la afirmación verdadera tiene que ser la que dice Antonio, de esta manera las afirmaciones de Arturo, David, y Gustavo son falsas; con lo cual la afirmación de Arturo queda falsada y con ello la libertad de David; la de David también quedaría falsada con lo cual Antonio queda libre de cargos; la de Gustavo al igual que las otras tres también es falsa y como dice “yo no lo hice”, quiere decir que el si que lo hizo; y por otro lado la de Antonio la he puesto como que es la verdadera, y eso hace que el se exculpe. La conclusión que se saca de aquí es que Gustavo fue quién lo hizo. He llegado a la conclusión de que la verdadera tiene que ser la de Antonio porque si por ejemplo pongo como verdadera la de Arturo, el culpable sería David o Gustavo, ya que las demás tiene que ser falsas. Si por ejemplo pongo la de David como verdadera el culpable sería Antonio o Gustavo. Y si la verdadera es la de Gustavo el culpable sería o David o Antonio. Con lo cual la única que nos sale un solo culpable es poniendo como verdadera a la afirmación de Antonio.
Por otra parte la afirmación que he puesto como falsa es la de David, de esta forma las afirmaciones de Arturo, Gustavo y Antonio son verdaderas; así pues según nos dice Antonio el no fue, Gustavo también se exculpa diciendo que no lo hizo y Arturo nos dice quién fue afirmando que lo hizo David, y como esta tiene que ser verdadera pues el culpable, poniendo como falsa la afirmación de David, es el propio David. He llegado a la conclusión de que la falsa tiene que ser la de David porque si la de Antonio la he puesto como verdadera y me coincide todo pues la de David tiene que ser falsa. Conclusión: con la afirmación de Antonio como verdadera, Gustavo fue quien lo hizo. Y con la afirmación de David como falsa, David es el culpable.
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EL CUENTO María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. El martes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte del resto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decidido acabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas. Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas páginas tiene el cuento? SOLUCIÓN:
Lunes
Martes Miércoles
Jueves
Viernes Este problema comencé por resolverlo de manera gráfica porque me parecía la forma más fácil de hacerlo, ya que no nos decían una cantidad exacta de páginas que le quedaban por leer. Dibujé un rectángulo y lo dividí por la mitad (1/2). Después la parte restante en otras tres (1/3), y las otras dos partes que quedaban, las dividí en cuatro (1/4). Por último, partí el rectángulo completo en pequeños trozos iguales, de forma que conté todos los cuadrados que quedaban, que eran 15, y cogí 1/5, que eran las páginas que María había leído el jueves. Así, descubrí que las paginas q le quedaban por leer eran 12, y a partir de esto, con la solución segura de que el libro tenía 60 páginas, resolví el problema de la otra forma.
OTRA FORMA DE RESOLVERLO: Libro = x Lunes= lee 1/ 2 de x Martes= lee 1/ 3 parte de lo que le quedaba, es decir 1/ 3 parte de 1/ 2 de x = 1/ 6. Lleva leído 1/6 + 1/ 2 = 2/3 del libro; le falta leer 1/3 Miércoles= lee 1/ 4 parte de lo que le quedaba, es decir 1/ 4 de 1/ 3, o lo que es lo mismo, ha leído 1/ 12. Lleva leído 2/ 3 + 1/ 12 =3/ 4 del libro Jueves= lee 1/ 5 de 1/ 4 que le quedaba. Es decir, ha leído 1/ 20 X – 1/ 2 x – 1/ 6 x – 1/ 12 x – 1/ 20 x =1 a 14 1) X – 1/ 2 x – 1/ 6 x – 1/ 12 x – 1/ 20 x =14
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X = 70 Comprobación: Lunes lee 35 Martes 1/ 3 de 35 …… imposible (lee páginas enteras) 2) X – 1/ 2 x – 1/ 6 x – 1/ 12 x – 1/ 20 x =13 X = 65 Lunes lee 1/ 2 de 65 -> imposible (lee páginas enteras) 3) X – 1/ 2 x – 1/ 6 x – 1/ 12 x – 1/ 20 x =12 12 x = 12 · 60 X = 60 Comprobación: Lunes lee 1/ 2 = 30 páginas Martes lee 1/3 de lo que le faltaba = 10 páginas Miércoles lee 1/ 4 de lo que le faltaba = 5 páginas Jueves lee 1/ 5 de lo que faltaba (le faltaban 15 páginas) = 3 páginas Leyó 48 páginas, por tanto el viernes leyó 12.
El resultado es 60 páginas tiene el libro
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EL PROBLEMA DE TARTAGLIA SOLUCIÓN:
Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros en tres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11 y 13 litros, respectivamente.
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Paso 1: Tengo toda el agua contenida en la jarra de 24 L. Relleno completamente las jarras d 11 y de 5, y así dejo 8 L en la jarra mas grande. Paso 2: Vierto el contenido de la jarra de 11 L en la jarra de 13 L, con lo que sobran dos litros y sigo teniendo en la más pequeña 5 L. Paso 3: Vierto los 2 L que faltan para rellenar la jarra de 13 L y en la jarra de 5 me quedan 3 L. Paso 4: Los 3 L que quedaban en la jarra de 5 los paso a la jarra de 11. Paso 5: Cojo la jarra de 13 L y vacío 5 L en la jarra pequeña, hasta llenarla por completo. De esta forma, en la jarra de 13 L me quedan 8. Paso 6: Por último, paso los 5 L de la jarra de 5 a la de 11, donde ya tenia 3 L. Por lo tanto, los 24 L quedan divididos en 3 partes iguales (8 L en cada una), en las jarras de 24, 13 y 11 L.
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LA SUMA ¿Cuántos números menores que 1000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?
SOLUCIÓN:
7 ___ ___ ___ ___ ___ ___ Vamos a escribir los números: 700 070 007 106 601 160 610 016 061
205 502 250 520 025 052
304 403 340 430 034 043
115 151 511
124 142 241 214 412 421
133 313 331
223 232 322
El enunciado menciona que los números deben ser menores de mil, así que los números podrán tener una cifra, el único el 7, dos cifras que sumados sus dígitos valdrán siete, y tres cifras. Con los esquemas siguientes he podido comprobar y calcular la cantidad de números que puedan haber con la condición de que sus dígitos sumen en total siete. Los únicos dígitos que pueden hallarse son todos aquellos que no superen al dígito siete, si no, la condición no se cumpliría (0,1,2,3,4,5,6,7). En el primer esquema, se trata de reunir todos esos números para formar otros con dos dígitos de manera que sumen 7, porque por ejemplo el número 71 no podría ser ya que no cumple esa condición. Al fin he hallado siete números diferentes que sumados a uno, que es el siete, de una cifra, son ya ocho. Después con el segundo esquema he hallado los números que contienen tres dígitos. He hallado 28 números que sumados a los otros ocho son un total de 36 números. Se podría decir que son combinaciones; en el de dos cifras son combinaciones de ocho elementos agrupados de uno en uno; en el de tres cifras son combinaciones de ocho elementos agrupados de dos en dos.
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LAS CARTAS En una mesa hay cinco cartas:
R
M
3
4
8
Cada carta tiene, en un lado, un número natural y, en el otro, una letra. Enrique afirma: “Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene un numero par en el otro lado”. Pedro se convenció de que Enrique decía la verdad dando la vuelta a una sola carta ¿Cual fue?
SOLUCIÓN:
Pienso que una solución a este problema es dar la vuelta a la carta con el número tres y encontrar una consonante, porque si damos la vuelta a la R o a la M no nos soluciona el problema encontremos lo que encontremos ya que Enrique no nos dice nada sobre las consonantes. Si damos la vuelta al 4 o al 8 y sale una vocal nos confirma las palabras de Enrique pero no nos asegura que en los impares haya una consonante; así que por todo esto pienso que la opción acertada es dar la vuelta al 3 y encontrar una consonante ya que esto confirmaría las palabras de Enrique.
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VACAS LECHERAS 4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 días que 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 días. ¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra? SOLUCIÓN: 4 n + 3 b Æ 5 días 3 n + 5 b Æ 4 días
Para saber cuál de ellas es mejor vaca lechera, tenemos que averiguar cuántos litros de leche da cada una de ellas en un día para después poder compararlas.
En un día dan: 20 l : 5 días = 4 l en un día 20 l : 4 días = 5 l en un día
He supuesto que la cantidad de leche que dan unas y las otras es de 20 litros.
Z = nº de litros que da una vaca negra. X = nº de litros que da una vaca blanca.
A raíz de ahí he calculado el número de litros que dan en un día. Después, a partir de un sistema de ecuaciones de primer grado he averiguado los litros que da cada una, es decir una vaca blanca y una vaca negra.
4z + 3x = 4 3 z + 5x = 5
X = 0,727 litros 1 vaca blanca. Así he podido comparar los litros que dan y sacar la conclusión de que las vacas blancas son mejores vacas lecheras. Z = 0,452 litros 1 vaca negra
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LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES Tres exploradores y tres caníbales deben cruzar un río, pero disponen de una sola barca, y además: • • • •
En la barca solo pueden viajar una o dos personas. Al menos uno debe saber remar. Saben remar los tres exploradores y un caníbal. En ninguna orilla los caníbales pueden superar al número de exploradores, pues se los comerían. ¿Cómo conseguirán cruzar el río?
SOLUCIÓN:
1.- Un explorador cruza con un caníbal que no rema, deja al caníbal y vuelve el explorador. De esta manera en ninguna orilla hay más caníbales. 2.- Deberá cruzar un explorador para asegurarnos de que no haya demasiados caníbales en la otra orilla. Para ello, cruzará un explorador con el caníbal remador, evitando así que la inferioridad de exploradores en la primera orilla. El caníbal remador volverá. 3.- El caníbal remador vuelve a coger a un explorador y lo deja, evitando de nuevo que en la segunda orilla haya mayor número de caníbales. Dicho caníbal vuelve. 4.- El explorador restante de la primera orilla coge al caníbal que queda que no sabe remar y lo lleva a la segunda orilla. El explorador vuelve.
5.- Dicho explorador coge al caníbal remador y cruzan la orilla.
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LOS NÚMEROS OCULTOS Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de las cuatro caras. Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pueden obtenerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55. Observa la figura y averigua los números que quedan ocultos.
SOLUCIÓN: He llamado “x” a la cara que hay debajo del 25 e “y” a la cara que hay debajo del 30. De esta manera podemos afirmar que: • X + 30 = 36, 41 o 50 • Y + 25 = 36, 41 o 50 • 25 + 30 = 55 He realizado las siguientes combinaciones hasta dar con los números indicados para los que vale “x” e “y”. Hacemos las combinaciones de x + 30, y + 25 y x + y combinándolas entre sí igualadas con las diferentes sumas de números. x + 30 = 36 x + y = 55 x=6 y= 44 No son válidas
x + 30 = 41 x + y = 36 x = 11 y = 25 Válidas
x + 30 = 50 x + y = 41 x = 20 y = 21 No son válidas
x + 30 = 50 y + 25 = 41 x = 20 y = 16 Válidas
x + 30 = 36 y + 25 = 50 x = 16 y = 25 No son válidas
x + 30 = 41 y + 25 = 36 x = 11 y = 25 Válidas
y + 25 = 36 x + y = 41 y = 11 x = 30 No son válidas
y + 25 = 41 x + y = 50 y = 16 x = 34 No son válidas
y + 25 = 50 x + y = 36 y = 25 x = 11 No son válidas
Con estos datos podemos determinar dos resultados posibles: • •
El reverso de la primera moneda es 11 y de la segunda moneda 25. El reverso de la primera moneda es 20 y de la segunda moneda 16.
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NÚMERO DE FICHAS En un tablero de 16 casilla como indica la siguiente figura. Ì
Ì
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Ì
Ì
Ì
Ì
Ì
Ì Ì
Se propone colocarlas, una en cada casillas, de tal manera que en cada fila horizontal o vertical y en las dos diagonales, se ubiquen un número par de fichas.
SOLUCIÓN: Ì
Ì
Ì Ì
Ì
Ì
Ì
Ì
Ì Ì
Este problema puede tener más de una solución, pero hemos elegido esta porque en cada fila, horizontal y vertical, y en cada diagonal, hay un número par de fichas.
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AHORRANDO PESADAS A Carlos, mientras esperaba un día en la cola para comprar el pan, se le ocurrió un problema que proponer al panadero de su pueblo: Carlos: Pedro, aquí tienes un kilo de harina y una pesa de 50g ¿A qué no eres capaz de de obtener 300g de harina con esta balanza de dos brazos? Panadero: Pero eso es muy fácil… Carlos: No, no. Solo con tres pesadas. Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de harina. ¿Cómo lo hizo?
SOLUCIÓN: Intento 1: Resultó erróneo; porque intentaba hacer tres pesadas con la pesa hasta hallar 150g y luego necesitaba una cuarta para conseguir 300g. Pero este error me llevó a pensar que la harina también me podía servir como medida y así creo que resolví el problema.
Intento 2:
1ª pesada
Pongo en un plato de la balanza la pesa de 50g y en el otro plato echo harina hasta 50g
2ª pesada
Después, pongo en un plato la pesa y los 50g de harina de antes y en el otro plato echo harina hasta obtener 100g así tengo 150g de harina
3ª pesada
Y para terminar pongo en un plato de la balanza los 150g de harina que ya tengo y en el otro plato echo harina hasta obtener los otros 150g y así obtengo el resultado de los 300g que quería conseguir
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LOSETAS Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.
SOLUCIÓN:
El primer paso que hemos llevado a cabo para resolver el problema es intentar buscar una figura geométrica exacta, para poder calcular el área. En este caso me he basado en un cuadrado, en que además nos dan la medida de un lado, 10 cm. Trazando el cuadrado, se observa que en su interior cabe un número exacto de losetas. Se puede comprobar que en el área del cuadrado caben ocho losetas enteras. Finalmente para calcular el área de una sola loseta, hay que calcular el área del cuadrado, que en este caso es de 100 cm2. Calculando el área del cuadrado y sabiendo que en su interior caben ocho losetas, dividimos los 100 cm2 entre el número de losetas. La solución final es que la superficie de cada loseta son 12,5 cm2.
Operaciones: Área del cuadrado: l2= 102=100 cm2 Área de una loseta: 100 cm2/ 8 losetas = 12,5 cm2 cada loseta.
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OPINIONES Estos problemas los hicimos al principio de curso como introducción al libro de matemáticas para exponer los conocimientos que teníamos antes del inicio del curso. Me ha gustado la idea de plantear problemas para resolverlos aunque me he “roto” la cabeza en pensar en algunos de ellos. Me ha parecido un trabajo bastante interesante porque se ejercita la mente y eso es bueno para todos. Además resulta entretenido cuando estás a punto de llegar al final, al resultado correcto y cuando llega ese momento se siente una especial motivación y satisfacción de uno mismo. Los problemas forman parte de un trabajo de principio de curso que hicimos para empezar a introducirnos en las matemáticas de una manera diferente y entretenida. Me ha parecido interesante hacer estos problemas, ya que son problemas que llevan su tiempo y no estamos acostumbrados a realizarlos, aunque en algunos hace falta tener mucha paciencia.
Realizamos estos problemas al principio de curso y me pareció una actividad bastante interesante porque así pudimos repasar materia aprendida en el curso pasado.
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Resoluciรณn de Problemas
BIBLIOGRAFร A Todos los problemas pertenecen al libro: COLERA, J., GARCIA, R., OLIVEIRA, M.J. Matemรกticas I, 1ยบ Bachillerato. Editorial Anaya, Estella (Navarra), 2002
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