Va 2seg mat prof by rejania oliveira

Dulce Satiko Onaga

Licenciada em Matemática e autora de livros didáticos para a disciplina

José Carlos Fernandes Rodrigues

Licenciado em Matemática e mestre em Educação Matemática

Maria Amábile Mansutti

Licenciada em Pedagogia, autora de currículos e materiais didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental

1a edição, São Paulo, 2013

Ação Educativa Diretoria Luciana Guimarães Maria Machado Malta Campos Orlando Joia

Gerente de produção Flávio Samuel

Coordenação geral Vera Masagão Ribeiro

Coordenadora editorial Sandra Regina Fernandes

Coordenação editorial Roberto Catelli Jr.

Edição e produção editorial Todotipo Editorial

Assistentes editoriais Dylan Frontana Fernanda Bottallo

Assistente editorial Rubelita Pinheiro Revisão de texto Alexandra Fonseca Hires Héglan Tereza Cristina Duarte Silva

Estagiária em editoração Camila Cysneiros Apoio EED – Serviço de Igrejas Evangélicas na Alemanha para o Desenvolvimento

Pesquisa iconográfica Tempo Composto Ilustrações Caco Bressane Llinares Luis Moura Pingado Sociedade Ilustrativa Planeta Terra Design Cartografia Maps World Mario Yoshida Sonia Vaz Capa Eduardo Okuno Mauricio Negro Foto da capa César Diniz/Pulsar Imagens (Artesanato produzido em Bananal, SP, 2011) Projeto gráfico e editoração eletrônica Planeta Terra Design

Direitos Reservados Global Editora e Distribuidora Ltda. Rua Pirapitingui, 111 – Liberdade CEP 01508‑020 – São Paulo – SP Tel.: (11) 3277‑7999 – Fax: (11) 3277‑8141 e-mail: global@globaleditora.com.br www.globaleditora.com.br

Rua General Jardim, 660 – Vila Buarque CEP 01223‑010 – São Paulo – SP Tel.: (11) 3151‑2333 – Fax: (11) 3151‑2333 r.: 135 e‑mail: acaoeducativa@acaoeducativa.org www.acaoeducativa.org.br

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ M247 Manual do educador : matemática / Dulce Satiko Onaga ... [et al.]. - 1. ed. - São Paulo : Global, 2013. 352 p. : il. (Viver, aprender) Inclui bibliografia ISBN 978-85-260-1876-1 1. Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Onaga, Dulce Satiko. II. Título. III. Série. 13-00592

CDD: 372.72 CDU: 373.3.016:510

Colabore com a produção científica e cultural. Proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem a autorização do editor. No de Catálogo: 3492

Apresentação

s anos finais do Ensino Fundamental da Educação de Jovens e Adultos são muito procurados por aqueles que buscam enfrentar as exigências profissionais, sociais e culturais do mundo contemporâneo. Essas pessoas fazem parte de um grupo bastante heterogêneo, tanto em relação às necessidades formativas como em relação às experiências e formas de participação na sociedade. São pessoas que vivem em cidades e no campo, jovens e adultos que sentem necessidade de completar os estudos para terem oportunidades de emprego, ou que não tiveram acesso à escolarização na infância e na adolescência, ou ainda trabalhadores de diversos ramos profissionais que sentem a ameaça do desemprego. Além disso, existem também aqueles que desejam retomar os estudos para ampliar seus conhecimentos e desenvolver habilidades. Para contemplar as necessidades de um universo tão amplo, com histórias de vida e experiências escolares distintas, é preciso um projeto educativo diferenciado em relação àqueles comumente destinados ao Ensino Fundamental regular, idealizados para crianças e adolescentes. A maneira mais apropriada de garantir avanços na qualidade da EJA é elaborar um currículo diversificado e participativo. Na prática, isso significa definir o currículo com base nas necessidades e nos interesses dos sujeitos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, levando em conta a realidade sociocultural, científica e tecnológica em que as pessoas estão inseridas. Suas histórias de vida estão carregadas de sabedoria e conhecimento, e isso precisa ser considerado. Com base nessas concepções, esta coleção propõe ações educativas para que os alunos, com atitude crítica, possam desenvolver novas habilidades e adquirir conhecimentos para tomar decisões apoiadas em uma consciência solidária e que valorize a diversidade presente nos grupos sociais; aprender a investigar a realidade para interpretá-la; buscar soluções para os problemas que os afetam; ter acesso a bens culturais que apoiem e fortaleçam a conquista e a garantia de direitos de cidadania. Nas páginas que se seguem, o professor vai encontrar considerações específicas sobre a metodologia de ensino da disciplina, incluindo o tema da avaliação, comentários específicos sobre cada um dos capítulos e atividades, além de sugestões de atividades complementares, sites, livros e filmes adequados à proposta de trabalho realizada. Os autores

Sumário

1. Concepção e estrutura da obra

2. Os pressupostos metodológicos que embasam a proposta para a disciplina de Matemática

2.1. Saberes prévios

2.2. Exploração didática das unidades

2.3. Os conteúdos das unidades de Matemática

3. Pressupostos para avaliação na Educação de Jovens e Adultos

3.1. Projetos coletivos de trabalho

3.1.1. A procura de uma situação-problema

3.1.2. O estabelecimento de temas e subtemas

3.1.3. A busca de fontes

3.1.4. O planejamento sai do papel

3.1.5. Avaliação do processo

4. Comentários sobre cada um dos capítulos por volume

Livro do aluno – 6o ano Capítulo 1 – Descobrindo regularidades

337

Capítulo 2 – Mulheres, mercado informal e a Matemática

353

Capítulo 3 – Relações de trabalho e Matemática

373

Capítulo 4 – Escolaridade e trabalho

386

Bibliografia

400

4.1 Comentários sobre o 6o ano

Livro do aluno – 7o ano Capítulo 1 – Números no dia a dia

375

Capítulo 2 – O dia em duas rodas

395

Capítulo 3 – Conectando

413

Capítulo 4 – Mutirão e moradia

429

Bibliografia

447

4.2 Comentários sobre o 7o ano

Livro do aluno – 8o ano Capítulo 1 – Uma linguagem universal

359

Capítulo 2 – Novo emprego

379

Capítulo 3 – Olhar matemático

399

Capítulo 4 – O jornal

415

Bibliografia

431

4.3 Comentários sobre o 8o ano

Livro do aluno – 9o ano Capítulo 1 – Desde tempos remotos

371

Capítulo 2 – Conexões matemáticas

384

Capítulo 3 – Matemática nas finanças

400

Capítulo 4 – Uma leitura do mundo por meio de tabelas e gráficos

412

Bibliografia

431

4.4 Comentários sobre o 9o ano 5. Referências bibliográficas

61 75

1. Concepção e estrutura da obra Esta obra destina-se a jovens e adultos que frequentam cursos dos anos finais do Ensino Fundamental. A coleção contempla propostas voltadas às práticas de leitura e escrita em diferentes gêneros textuais, conhecimentos matemáticos e estudos sobre temas fundamentais da realidade contemporânea brasileira e mundial. Apresenta conhecimentos de todas as áreas do currículo, que se entrelaçam com base nos focos e temáticas escolhidos para o volume. Cada volume está organizado em unidades que se apoiam em temas e áreas de conhecimento. Essas unidades, por sua vez, Seção

dividem-se em capítulos. Cada capítulo da obra está subdividido em seções que organizam a proposta de trabalho por tipo de atividade. Além disso, as seções permitem que os professores tenham mais flexibilidade no uso da obra, uma vez que podem planejar a utilização do capítulo com base nas seções mais adequadas ao grupo-classe. As atividades estão diretamente relacionadas ao texto didático e trazem informações e conceitos essenciais para o tema estudado. A seguir, está o quadro explicativo com as seções utilizadas na coleção. Apresentamos todas as seções existentes, sendo que nem todas estão presentes em todas as disciplinas. Descrição

Aplicar conhecimentos

Atividades variadas que têm como finalidade retomar ou ampliar conceitos e temas estudados nos textos didáticos.

Atividade com áudio

Utilizada nas disciplinas de língua inglesa e espanhola para compreensão auditiva e prática oral. Para realizá-la, o aluno e o professor devem usar o CD de áudio que acompanha cada volume da coleção.

Conhecer mais

Informações adicionais sobre o tema estudado no capítulo, que podem sugerir novas abordagens ou reflexões.

Debater

Propõe um diálogo entre o grupo-classe para desenvolver ideias e argumentos com base em um tema de estudo. Exige preparação prévia apoiada nos assuntos estudados, que podem ser enriquecidos com pesquisas realizadas pelos alunos. Trata-se de um importante procedimento para torná-los parte efetiva do processo de aprendizagem por meio do diálogo e da construção coletiva.

Exercitando mais

Seção apresentada ao final de cada capítulo de Matemática com o objetivo de rever o conteúdo estudado no capítulo. Nesta seção são propostos atividades, problemas e questões que aprofundam o estudo dos temas abordados. Pode ser utilizada como instrumento de avaliação.

Experimentar

Situações em que os alunos são convidados a realizar experimentos práticos levando em conta uma determinada aprendizagem.

Ler mapa

Permite ao aluno desenvolver gradativamente capacidades de compreensão e aplicação de fundamentos da linguagem cartográfica. Envolve localizar, correlacionar e compreender diferentes fatos e fenômenos geográficos e apreender elementos estruturais dos mapas (título, legenda, escala cartográfica, orientação, projeção cartográfica, fontes, bases de dados etc.). Em mapas temáticos, implica dedicar especial atenção às modalidades de representação (qualitativas, quantitativas, ordenadas e de movimento) e aos modos de implantação das informações (ponto, linha e área).

Ler gráficos/tabelas/ esquemas

A leitura de gráficos, tabelas e esquemas está presente em diferentes momentos, uma vez que se trata de habilidade importante para compreender e analisar dados relacionados a um tema. Com base nessa leitura, podem-se construir argumentos para analisar e sintetizar um conjunto de problemas similares.

Ler imagem

Imagens são textos não verbais com potencial cognitivo que precisam ser observados, descritos e decompostos para que se aproveitem seus elementos na produção de novos textos e argumentos acerca de um tema. Toda imagem, assim como um texto escrito, tem um autor, que a produziu com uma intenção, em um contexto histórico específico, ou seja, uma imagem também precisa ser interpretada para conhecer seus possíveis significados.

6o ao 9o ano

Ler... (texto literário, texto jornalístico, texto científico, canção, poema, anúncio publicitário, tira, charge, receita, entrevista, biografia, documento)

Em muitos capítulos da obra, há gêneros selecionados para estudo e aprofundamento em sequências didáticas. As atividades de leitura, de produção escrita e de análise e reflexão propostas levam os alunos a interagir com o(s) gênero(s) focalizado(s) no capítulo. A leitura de texto científico tem caráter informativo e complementar às problematizações e atividades de exploração (experimentos, debates, conversas). Não é esperado que a leitura do texto seja suficiente para a aprendizagem científica.

Para ampliar seus estudos

Seção presente no final de vários capítulos, traz indicação de livros, sites, vídeos educacionais e filmes sobre o tema estudado no capítulo.

Para criar

Estímulo à criatividade com base em um ou mais temas, técnicas ou conceitos estudados.

Para refletir

Ampliação de um tema estudado, a fim de promover uma reflexão que leve os alunos a buscar novas respostas considerando os conhecimentos trabalhados.

Pesquisar

A realização de pesquisas, devidamente orientadas pelos professores, é um procedimento importante para possibilitar que os alunos se tornem protagonistas do trabalho em sala de aula. A pesquisa é também uma das formas de estimulá-los a trazer conhecimentos para a sala de aula com base em suas experiências nas localidades onde vivem.

Planejando a fala

Esta é a seção da fala/oralidade/exposição oral. É um momento importante da aprendizagem, uma vez que não é comum explorar a linguagem oral (fala) como objeto de ensino. No livro do aluno, propõem-se maneiras de organizar as atividades que envolvem oralidade. Trabalhar textos orais (debate, relato de observação, seminário) requer organização e planejamento para que todos possam participar. Reforce aos alunos que a fala pública exige preparação anterior, anotações e ensaio. Comente também que as anotações são um apoio a que podem recorrer durante suas falas.

Roda de conversa

Momento em que os professores convidam os alunos a refletir e conversar sobre um tema, levando em conta informações preliminares ou os conhecimentos prévios destes. É uma importante oportunidade para estimular os alunos a trazer suas experiências para a sala de aula, criando um ambiente coletivo de aprendizagem, no qual eles não ocupem apenas uma posição passiva como aprendizes.

Momento da escrita

Proposta de produção de textos de diferentes gêneros nas diferentes áreas do conhecimento. Os alunos devem ser orientados e acompanhados durante as produções, a fim de que haja compreensão da estrutura de composição do texto no gênero indicado, etapas de reescrita e troca de textos entre colegas para realização de observações. É conveniente que as propostas de produção de texto levem em conta a existência de leitores e de espaços de circulação, e a situação de produção precisa ser explícita. Os procedimentos do processo de produção textual são: planejamento, rascunho, revisão, edição final/publicação. PLANEJAMENTO – consiste em uma etapa importante para que os autores ampliem seu repertório, delimitem os temas, escolham o ponto de vista que irão adotar, elejam a finalidade com que vão escrever, prevejam quem são os possíveis leitores, considerem a situação em que os textos vão circular, façam as escolhas textuais para adequar os textos à situação de comunicação. ESCRITA – consiste em uma etapa para pôr no papel o que foi planejado e monitorar a escrita para garantir que os itens planejados sejam cumpridos. Isso se faz revendo o texto a todo momento, enquanto se escreve. REESCRITA – consiste em uma etapa para que os autores revejam o que escreveram, confirmem se os objetivos foram cumpridos, avaliem se não fugiram do tema, observem se os períodos e os parágrafos estão concatenados, avaliem a adequação do texto às condições da situação comunicativa, revejam a correção da linguagem de acordo com as normas de concordância e regência, revejam aspectos da superfície do texto: a pontuação, a ortografia e a distribuição em parágrafos. É importante que os professores recolham e avaliem as produções dos alunos, apontando o que eles podem corrigir na reelaboração de seus textos, e examinem possibilidades de publicá-los, para que tenham circulação mais ampla. (ANTUNES, Irandé. Aula de português: encontro & interação. São Paulo: Parábola Editorial, 2003. p. 54-8, adaptado. Série Aula: 1.)

Matemática

2. Os pressupostos metodológicos que embasam a proposta para a disciplina de Matemática No mundo atual, são crescentes as exigências educativas, impondo às pessoas a necessidade de dominar instrumentos da cultura letrada, acompanhar o desenvolvimento tecnológico, compreender os meios de comunicação e atualizar-se diante da complexidade do mundo do trabalho. Junto a outros campos do conhecimento, a Matemática está presente nesses variados âmbitos e em muitas situações do dia a dia. São inegáveis os vínculos da Matemática com quase tudo o que se faz cotidianamente. No entanto, a importância desse saber não se restringe a suas aplicações em problemas práticos do cotidiano ou naqueles que tomam parte das atividades predominantes no mundo jovem e adulto. Ele também é instrumento para produzir e comunicar conhecimentos de diversos outros campos. Está presente nas ciências sociais, nas ciências da natureza, nas artes plásticas, na música, na arquitetura, nos esportes e em inúmeras produções humanas. A Matemática favorece o desenvolvimento do pensamento e do raciocínio lógico. Comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que podem despertar e instigar a curiosidade dos alunos. Com isso, ela pode abrir janelas para o olhar a outras dimensões e outros espaços ao redor, colaborando eventualmente para planejar e organizar ações com o objetivo de interpretar uma realidade imediata, desenvolver metacognições – capacidade de pensar sobre o próprio pensamento – e lidar, entre outras coisas, com ideias abstratas. Dessa forma, a Matemática pode favorecer a criação de condições propícias para ampliar a capacidade de raciocinar determinística e probabilisticamente, prever, generalizar, projetar, abstrair etc. Essas considerações foram centrais na definição dos temas e conteúdos abordados na coleção. Outras potencialidades da Matemática também foram consideradas e exploradas nas propostas educativas, como as que dizem respeito à construção de conceitos e ao domínio de procedimentos que englobam métodos de investigação, formas de pensar, de representar e de comunicar. Além disso, nesta coleção, alguns aspectos matemáticos primários são desenvolvidos como um veículo para a construção de novas perspectivas e convicções, que podem favorecer investigações e conhecimentos de uma realidade próxima das pessoas e de aspectos culturais e sociais. As possíveis aprendizagens de alguns dos aspectos propostos aqui cumprem um papel importante: favorecer e fortalecer a participação das pessoas em seu meio social. Alguns princípios metodológicos compatíveis com essa visão nortearam a elaboração das unidades. São eles: • partir de situações contextualizadas para garantir algumas aprendizagens significativas por parte dos alunos e evidenciar os vínculos da Matemática com o cotidiano dos jovens e adultos; • respeitar os conhecimentos prévios e favorecer o estabelecimento de relações entre conhecimentos já construídos pelos alunos e conhecimentos novos; • dar oportunidade para que os alunos expressem seus conhecimentos, identifiquem e apresentem suas dúvidas e

formulem hipóteses e questões antes da intervenção dos professores. A adoção desses princípios implica o redimensionamento dos papéis de professores, alunos e dos conhecimentos matemáticos. Os alunos, diante dessa proposta, podem assumir o papel de protagonistas do processo, colocar em jogo aquilo que sabem e aplicar esses conhecimentos na resolução de problemas, expor e debater posições, comparar possibilidades e respostas, avaliar seu próprio processo de aprendizagem. Os professores podem atuar como mediadores, esclarecedores, incentivadores e avaliadores das aprendizagens. Assim, um conhecimento matemático pode ganhar novos contornos e se transformar em saber escolar que pode ser ensinado e aprendido. Espera-se que os textos presentes neste livro destinados ao ensino de aspectos matemáticos elementares contribuam para desenvolver nos alunos uma postura que os leve a explorar, organizar e reelaborar seus conhecimentos de acordo com suas vivências, experiências e competências cognitivas.

2.1. Saberes prévios

O primeiro passo do processo de ensino-aprendizagem consiste em descobrir quais conhecimentos os alunos já possuem. Considerar conhecimentos prévios não implica necessariamente ter ou não pré-requisitos para o engajamento nos estudos. Retomar conhecimentos e construir pré-requisitos não significa revê-los do mesmo jeito que em etapas anteriores, mas iniciar com os alunos um novo processo de aprendizagem significativa e efetiva das ideias fundamentais envolvidas nos assuntos abordados. Considerar a bagagem cultural dos alunos é um princípio educativo que se concretiza em situações de aprendizagem e no estabelecimento de diálogo e interação entre alunos e professores. Mesmo considerando que dificilmente um livro destinado a ensino-aprendizagem possa contemplar essas expectativas em um grupo tão variado, esta coleção assumiu o desafio de adotar esse princípio. Essa aspiração orientou a seleção dos conteúdos, a abordagem dos temas, a escolha dos textos e a organização dos livros. A maior parte dos alunos, nesta etapa da escolarização, domina uma série de noções matemáticas aprendidas de maneira formal, em percursos escolares, e também de maneira informal ou intuitiva. Esses conhecimentos são mobilizados por eles em cada nova aprendizagem na qual se engajam. Por isso, é importante que tais conhecimentos sejam explicitados, a fim de propiciar aos alunos o planejamento de situações em que possam ser apresentados aos colegas, para coletivamente analisar a pertinência ou não de usá-los ou aprimorá-los na escola. Para dar conta dessa tarefa, os textos presentes na coleção trazem situações-problema expressas por meio de situações concretas ou textos informativos. Alunos e professores podem dividir papéis no decorrer do processo de ensino-aprendizagem. Nas sugestões de atividades, há sempre a possibilidade de identificar o que os alunos já sabem sobre o tema ou conceito, bem como de levantar habilidades e procedimentos matemáticos necessários para resolvê-las. Essa maneira de promover um processo de ensino-aprendizagem pode e deve levar em conta os pontos de vista dos alunos. 6o ao 9o ano

2.2. Exploração didática das unidades

As unidades estão organizadas em capítulos temáticos que abordam contextos e situações práticas envolvendo conceitos e procedimentos matemáticos. São apresentados exemplos retirados de variadas ocorrências e de histórias cotidianas. É com base na observação e análise desses eventos que alguns conceitos e procedimentos vão aparecendo e seu significado e suas características são explicados. Quando desejável, são traduzidos para a linguagem matemática. Mas isso não significa que os conceitos matemáticos sejam obrigatoriamente expressos em uma linguagem formal. Utiliza-se um vocabulário mais acessível, sem abrir mão de um adequado rigor técnico. O primeiro contato dos alunos com os conteúdos abordados nos capítulos pode ser feito pela leitura dos textos. Essa aproximação permite que eles construam uma visão geral de determinado conteúdo e desenvolvam certa compreensão sobre ele, sem o monitoramento dos professores. Para ampliar a compreensão, esse passo inicial para a aprendizagem pode ser complementado por outras situações. É conveniente planejar situações coletivas em que os alunos possam expor e trocar interpretações sobre os textos lidos, fazer exercícios e comparar com os colegas as soluções encontradas e os procedimentos utilizados. Recomenda-se que os alunos tenham espaço para recorrer aos professores quando tiverem dúvidas sobre os conteúdos trabalhados. Assim, pode ser útil organizar momentos de esclarecimentos, criando oportunidades de trabalhar com cada um e de acompanhar sua aprendizagem com base na leitura dos textos. Quanto ao roteiro de atividades, é significativo propor correções coletivas, criando situações para que os alunos comparem as respostas e analisem diferentes procedimentos de resolução. Podem-se fazer diferentes usos do livro do aluno. Os textos podem ser utilizados como roteiros de aula conduzidos pelos professores ou como roteiros de estudos coletivos.

2.3. Os conteúdos das unidades de matemática

Identificar conceitos e procedimentos matemáticos fundamentais para os alunos do segundo segmento da EJA envolve um desafio: priorizar, em cada um dos blocos de temas e conteúdos, aqueles que são socialmente relevantes. Ao lançar mão dos critérios de relevância social para fazer um recorte dos conteúdos, é conveniente distingui-los de ações imediatistas: foram incluídos tópicos que, embora importantes, não têm uma relação direta com a realidade, porém são fundamentais para desenvolver formas de raciocínio. As unidades de Matemática contêm os seguintes blocos de conteúdo: • Números e operações; • Espaço e forma; • Grandezas e medidas; • Álgebra; • Noções de estatística; • Matemática comercial e financeira. Em Números e operações, são exploradas situações visando ampliar o sentido numérico por meio da construção de significados para os números (naturais, inteiros e racionais). Trabalha-se também a compreensão de suas diferentes notações, bem como o reconhecimento da existência dos números 10

Matemática

não racionais. A ênfase dada a esse estudo recai nas aplicações dos números em contextos diversos e não na análise de suas estruturas. Novos significados são construídos para a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Os conceitos de potenciação e radiciação são introduzidos por meio de situações-problema. São selecionados e utilizados procedimentos de cálculo (exatos ou aproximados, mentais ou escritos), conforme a situação-problema proposta. Quanto à radiciação, apenas o conceito de raiz quadrada é explorado. São também apresentadas atividades em que se utilizam porcentagens com significado de razão associadas aos números racionais. No bloco Espaço e forma, são apresentadas algumas noções de figuras bidimensionais e tridimensionais, posições relativas de retas no plano, orientação e localização no espaço. Nas atividades que relacionam a Matemática à Arte e à natureza, emergem os conceitos de simetria no plano, além do teorema de Pitágoras. No que tange à semelhança, exploram-se situações cujas resoluções são obtidas por procedimentos algébricos e geométricos, procedimentos de composição e decomposição, transformações, ampliações e reduções e pela identificação de elementos variantes e invariantes segundo as possíveis “transformações geométricas” de figuras planas e tridimensionais. Em Grandezas e medidas, são exploradas situações que permitem construir e ampliar noções de medida pelo estudo de vários tipos de grandeza, com base em suas utilizações em contextos sociais. As atividades com medidas são desenvolvidas por meio do estabelecimento de relações com os conceitos geométricos, numéricos, com as representações gráficas e com as grandezas de tempo, massa, capacidade, entre outros. São também apresentados problemas envolvendo as ideias de razão, proporção e escala. Na Álgebra, são exploradas situações que permitem reconhecer as representações algébricas que podem expressar generalizações e traduzir informações contidas em tabelas e gráficos. Também são propostas atividades para identificar os significados dos símbolos algébricos, interpretar diferentes escritas algébricas (expressões, igualdades e desigualdades) e estabelecer leis matemáticas (fórmulas) que expressem a relação de dependência entre variáveis. Em Noções de estatística, alguns aspectos são propostos partindo de conhecimentos prévios dos alunos, adquiridos com a leitura de jornais e revistas, bem como com a ajuda de programas de televisão e de outros meios de comunicação. A leitura e a análise de tabelas e gráficos podem estar relacionadas a assuntos que envolvem políticas públicas de saúde e educação, questões ambientais, consumo, migração, família, entre outros. Dada sua grande aplicabilidade, as noções de Matemática comercial e financeira são abordadas no 6º e no 9º ano. No tratamento desses conteúdos, não se priorizou o uso das nomenclaturas convencionais, tampouco se propôs um estudo formal das propriedades das operações. A identificação dessas propriedades acontece por meio da análise de procedimentos de cálculo. Ressalta-se a preferência dada ao uso de procedimentos pessoais, em lugar das técnicas convencionais, e o uso de calculadoras para produzir e verificar resultados e realizar análises. De forma semelhante, destacam-se o trabalho de análise e comparação de procedimentos, a observação de regularidades e

a construção de processos de generalização pela análise de vários exemplos de situações particulares.

3. Pressupostos para avaliação na Educação de Jovens e Adultos Para começar a refletir sobre a avaliação, sempre vale a pena fazer a seguinte pergunta: Para que serve avaliar? Para os alunos é mais uma oportunidade de aprender, para o professor, uma oportunidade de planejar os próximos passos de acordo com os resultados obtidos. Assim, uma avaliação não pode restringir-se a testar conhecimentos assimilados pelos alunos. Ela deve ser mais abrangente e procurar incluir também o processo de aprendizagem, ou seja, qual foi o ponto de partida de cada aluno e onde cada um conseguiu chegar. Para registrar esse processo, podemos nos valer de algumas estratégias oferecidas pela Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos para os anos finais: • Registro do contrato didático: texto no qual se registram as negociações e os acordos realizados entre professor e alunos, indicando objetivos a serem atingidos, conteúdos a serem estudados, tarefas a serem realizadas, responsabilidades a serem cumpridas. O contrato didático também pode conter acordos sobre organização, comportamentos e atitudes, tempo e outros aspectos importantes para a realização do trabalho. Na avaliação é feita a análise do cumprimento desses acordos e são tomadas decisões sobre as ações necessárias para corrigir erros e melhorar o rendimento. • Observação do professor: manutenção de registro aberto de fatos, acontecimentos, conversas e comentários e anotações estruturadas com pautas de observação de aspectos predeterminados. • Testes e provas: rotineiros, desafiadores, prova em grupo seguida de prova individual, testes-relâmpago, testes cumulativos. • Questões ou situações-problema: podem ser tradicionais, desafiadoras, abertas, elaboradas pelos alunos. • Atividades que exigem justificativas: justificativas escritas e orais, em questionários, entrevistas informais ou estruturadas. • Mapas conceituais: feitos para realizar diagnósticos, explorar e aprofundar conteúdos, orientar a sistematização de conhecimentos, verificar aprendizagens. • Atividades com linguagem escrita ou oral: memórias, diários, redação de cartas, poesias, crônicas, músicas e jogos, diálogos, histórias em quadrinhos. • Atividades de culminância de uma unidade didática: projetos, campeonatos, olimpíadas, seminários, exposições, portfólios (BRASIL, 2002, p. 135). Utilizando instrumentos variados, é possível não só realizar uma avaliação processual, como também identificar diferentes aspectos da aprendizagem, que envolvem conceitos e habilidades. Para construir uma avaliação adequada, é preciso também que se tenham objetivos claros no que se refere à aprendizagem.

Isso vale tanto para professores como para alunos. É importante que se explicitem os objetivos de aprendizagem de cada disciplina naquele período, de forma que professores e alunos tenham clareza de seus propósitos e de como serão avaliados. Esses pressupostos podem fazer parte do contrato didático, no qual os professores explicitam também seus objetivos e as formas de avaliação.

3.1. Projetos coletivos de trabalho

Outra abordagem, no que se refere à organização dos cursos e da avaliação, são os projetos coletivos de trabalho. O principal objetivo do ensino por meio de projetos é colocar os alunos no papel de sujeito de sua própria aprendizagem. Os projetos objetivam trazer para a sala de aula situações semelhantes às que se apresentam no mundo e nas relações sociais estabelecidas fora do espaço escolar. Na busca de resolução para situações-problema, os projetos coletivos de trabalho articulam diversas áreas do conhecimento, um espaço sempre aberto para inovações e recriações por parte dos professores. Essa perspectiva toma como ponto de partida a ideia de que a educação deve responder às demandas da atualidade. Assim, contribui para a formação de sujeitos capazes de atuar e intervir na sociedade da qual fazem parte. A aprendizagem envolve participação, tomada de posições, delineamento de planos e seleção de procedimentos para o alcance de objetivos. A proposta educativa deve proporcionar experiências problematizadoras, em que os alunos coloquem em jogo seus conhecimentos e avaliem até que ponto eles são suficientes para a busca de soluções. Os projetos também permitem a incorporação de diferentes dimensões da realidade dos alunos, bem como suas representações pessoais sobre essa realidade. Seus conhecimentos, indagações e opiniões são o ponto de partida para a aprendizagem. Essa forma de organizar o processo educativo não é apenas uma mudança de ordem metodológica, não representa somente uma maneira diferente de ensinar as mesmas coisas. A mudança está na própria definição de como se produz o conhecimento e de como os sujeitos se relacionam com ele. O estudo e a aprendizagem não se definem em razão dessa ou daquela disciplina, mas em razão dos temas e das indagações que geraram esse estudo. Não se trata de negar as áreas do saber, mas de tomá-las como referências possíveis à medida que se desenvolve o processo de investigação e de estudo. Para compreender, por exemplo, os modos de ocupação e utilização do solo no espaço urbano, é preciso conhecer e estudar economia, política, História, Geo grafia. É necessário ler, tomar notas, fazer cálculos, desenhar esquemas e mapas, produzir quadros e tabelas. É fundamental planejar o próprio trabalho e monitorá-lo para que funcione a contento. Se o processo pedagógico considerar a intervenção no espaço social como uma dimensão intrínseca à formação do aluno, é preciso também planejar ações, fazer registros e avaliações. Quando se trabalha com projetos, é outra a relação que se estabelece entre sujeito e conhecimento. O desenvolvimento de um projeto não precisa seguir fórmulas ou regras inflexíveis, muito menos um método passo a passo. A seguir, apresentamos algumas propostas de como um projeto pode ser. Elas são apenas referências, pontos de partida para a elaboração de um projeto de trabalho coletivo. 6o ao 9o ano

3.1.1. A procura de uma situação-problema

A escolha da situação-problema é o início do diálogo entre alunos e professor, que poderão negociar aquilo que todos têm interesse em estudar e conhecer. Ao professor cabe propor situações-problema que tenham valor educativo e promovam a mobilização de conhecimentos prévios e o levantamento de hipóteses. Assim, é adequado que o professor lance questões que indiquem a necessidade de elaborar novos conhecimentos e a aprendizagem de habilidades por meio da pesquisa e da elaboração de planos de ação. Os alunos expõem seus conhecimentos, representações, valores e crenças, tomando-os como ponto de partida para a aprendizagem. Também indicam o que querem saber e em que aspectos esses desejos podem promover aprendizagens. Juntos, professor e alunos estabelecem os objetivos e o percurso que serão desenvolvidos.

3.1.2. O estabelecimento de temas e subtemas

Com base na situação-problema, estabelece-se o tema e elaboram-se, de modo coletivo, redes, negociando significados e conexões possíveis entre professores e alunos sobre os subtemas e assuntos relativos aos projetos. Os professores selecionam os conteúdos, os conceitos, as habilidades e os procedimentos necessários para desenvolver o projeto e abordar o tema. Os alunos realizam um levantamento sobre o que já sabem e o que desejam saber.

3.1.3. A busca de fontes

O projeto é um trabalho atribuído a uma comunidade que investiga determinada questão e no qual se valoriza a cooperação. O professor não é um especialista, mas sim um orientador. O percurso não é fixo, mas deve existir um fio condutor para auxiliar o trabalho. A pesquisa deve valorizar a diversidade de fontes e as diferentes linguagens: livros, periódicos, filmes, vídeos, internet, pessoas comuns, profissionais, especialistas. Não existe apenas um único meio de se buscar informações. O professor orienta as ações e cria condições para o desenvolvimento do projeto e das aprendizagens a ele associadas. Nesse sentido, ele também é um aprendiz e tem uma função no grupo. A diferença entre o professor e os alunos não está na experiência de vida ou no conhecimento específico de determinado conteúdo, mas em sua maior experiência com os discursos e as formas de representação da cultura escrita, em seu maior nível de letramento. É essa experiência, não as informações específicas acumuladas, que justifica a ação pedagógica.

3.1.4. O planejamento sai do papel

Para evitar que o propósito do projeto se perca, delineiamse coletivamente os objetivos e produtos a serem alcançados. Os

Matemática

professores elaboram atividades e os alunos planejam o trabalho individual e o coletivo, contemplam as etapas e as atividades em sequência e os objetivos delineados. Ao executar o projeto, também devem-se rever os planos e as estratégias à medida que surgem problemas e imprevistos. Novas questões aparecem e decisões precisam ser tomadas. Os professores organizam meios de reflexão, recursos materiais, informações. Os alunos realizam as atividades e dão tratamento adequado às informações necessárias ao projeto: sistematizam, ordenam e refletem sobre o andamento das etapas.

3.1.5. Avaliação do processo

Os professores favorecem, recolhem e interpretam as hipóteses e as produções dos alunos. Analisam o processo coletivo e o individual. Os alunos, por sua vez, fazem uma autoavaliação e, juntos, comparam e reconhecem o processo de aprendizagem empreendido e os resultados alcançados. A execução de um projeto deve levar em conta alguns itens básicos para se obter sucesso. Nesse sentido, é importante observar se: • o projeto possui objetivo claro e justificativa coerente; • as fontes, os recursos e os materiais estão disponíveis para a execução do projeto; • o professor investiga o que os alunos conhecem e o que querem saber sobre o tema em questão; • o conteúdo do projeto é significativo em si, permitindo o estabelecimento de um grande número de relações e possibilitando aos alunos colocar em jogo tudo o que sabem para ampliar esses saberes; • os alunos conhecem e compartilham o objetivo do projeto; • o projeto apresenta continuidade e progressão; • as atividades preveem orientações didáticas específicas para o objeto do conhecimento em questão; • o projeto favorece a interação entre alunos e outros segmentos envolvidos; • o tema e seus desdobramentos estão incluídos em práticas sociais, a fim de transcender os muros da escola; • o projeto traz atividades desafiadoras que promovem a ação intelectual dos alunos, admitindo diferentes estratégias para as produções esperadas; • o projeto é suficientemente flexível para acomodar imprevistos e/ou incorporar novas etapas; • o produto final torna visíveis as aprendizagens realizadas.

4. Comentários sobre cada um dos capítulos por volume Nas páginas a seguir encontram-se a reprodução das páginas do livro do aluno, seguidas de comentários específicos sobre seus capítulos, do 6º ao 9º ano. Referências bibliográficas

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Descobrindo regularidades

odos nós compartilhamos espaços com animais, plantas, objetos, construções e muitos outros elementos naturais e construídos. Mas nem sempre observamos atentamente as formas, os contornos, as linhas e a maneira como cada um desses elementos é composto. Assim, raramente nos damos conta das regularidades e dos padrões que podem ser observados ao redor. Para perceber padrões e regularidades, e pensar sobre eles, é preciso ver com outros olhos aquilo que já conhecemos, prestando atenção nos detalhes.

RODA DE CONVERSA

Alex Staroseltsev/Shutterstock

Observando a casca de um abacaxi, por exemplo, pode-se perceber que há uma forma que se repete, compondo um desenho característico. Esse desenho, visto em destaque na fotografia, é formado a partir de um tipo de regularidade de reprodução de um padrão.

É possível distinguir o padrão que vemos na casca de um abacaxi?

6º ano

337

Regien Paassen/Shutterstock

Anton Prado PHOTO/Shutterstock

Observe as imagens a seguir, que são exemplos de regularidades na natureza. Junte-se a um grupo de colegas e converse com eles sobre o que vocês observaram. Vocês lembram de mais exemplos de regularidades da natureza?

Exemplos de regularidades encontradas na natureza: um solo argiloso ressecado e uma folha de samambaia.

REGULARIDADES E PADRÕES

Richard Sharrocks/Alamy/Otherimages

Iandé/Casa das Culturas Indígenas

Os índios Kaiabi, em sua maioria, habitam o Parque Indígena do Xingu, no estado do Mato Grosso. Uma das características culturais que mais identificam esse povo são os desenhos formados pelo trançado da palha em suas peneiras e cestos. Na elaboração desses trançados, os Kaiabi utilizam doze desenhos básicos que, às vezes, se combinam gerando outros, mais elaborados. Mas não são só os Kaiabi que utilizam regularidades para elaborar seus objetos, todos os grupos humanos o fazem. Há muitos exemplos disso nas artes e na arquitetura.

Padrões de trançado de peneira do povo Kaiabi, que vive no Mato Grosso.

338

Matemática

As mesquitas muçulmanas trazem muitos exemplos de como os padrões são usados na arquitetura. Detalhe da Mesquita Hassan II, no Marrocos, 2011.

Um artista fascinado por padrões Nos vários mosaicos geométricos que criou, Escher lançou mão da repetição de um mesmo desenho, um padrão, para compor uma obra. Veja o mosaico abaixo. Ele foi criado a partir de uma única forma: um cavalo com asas.

As obras do artista holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972) se caracterizam pela repetição de padrões que, muitas vezes, compõem cenas e desenhos surpreendentes. Ele utilizava a matemática como um instrumento para desenvolver e concretizar suas obras.

Maurits Cornelis Escher. Symmetry Watercolor 78, 1950. Aquarela, 44 × 44 cm.

PARA CRIAR

Agora que já foram observadas regularidades de algumas figuras, vamos construir outras imagens que tenham esse tipo de característica. 1. Vamos usar algumas regularidades para desenhar faixas e mosaicos. Use papel quadriculado para

organizar a reprodução das figuras. Siga as instruções: • Recorte uma tira de papel quadriculado e re-

produza nela a figura ao lado. Observe algum padrão dessa figura e complete-a mantendo a regularidade observada. • Em outra folha de papel quadriculado, reproduza

o mosaico ao lado. Observe o padrão deste mosaico e complete-o mantendo a regularidade.

6º ano

339

2. Vamos construir um padrão de mosaico. Usando uma folha de papel quadriculado, reproduza a figura 1. Em seguida, recorte-a como indicado e encaixe a parte recortada no lado oposto, obtendo a figura 2. Junte as duas partes com fita adesiva.



figura 1

figura 2

• Usando uma folha de papel sulfite, trace o con-

torno da forma que você criou. Em seguida, encaixe a forma ao lado do desenho e reproduza-a outra vez. • Continue traçando até preencher a folha. Se

quiser, pinte ou decore seu padrão fazendo-o parecer um objeto, um animal ou uma pessoa. Uma faixa, ou mosaico pode ter como padrão quaisquer figuras, mas elas têm que se encaixar perfeitamente. Se nessas construções, para unir dois pontos, usarmos uma régua, obteremos um segmento de reta. Segmento é uma palavra de origem latina, segmentum, que significa “corte”. Segmento de reta é uma parte de uma reta “compreendida” entre dois pontos.

REGULARIDADES GEOMÉTRICAS POLÍGONOS Para gerar as faixas e os mosaicos da atividade anterior, você utilizou alguns tipos de polígonos. Você conhece algum polígono? As figuras seguintes são representações gráficas de polígonos:

As figuras seguintes não representam polígonos:

340

Matemática

Em cada polígono, os segmentos de reta são seus lados e o ponto comum a dois de seus lados se chama vértice. vértice lado

lado

vértice

lado

O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices. Os polígonos podem ser classificados como convexos ou como não convexos ou côncavos. Polígonos convexos

Polígonos não convexos

Uma razão simplificada para que os dois polígonos da direita sejam classificados como não convexos ou côncavos é porque existe pelo menos uma reta que intercepta seus lados em mais de dois pontos. Geralmente, o nome de um polígono convexo está associado ao número de lados ou vértices que ele possui. Veja a seguir os nomes de alguns polígonos convexos: Triângulo

Número de lados: 3 Número de vértices: 3

Quadrilátero

Número de lados: 4 Número de vértices: 4

Pentágono

Número de lados: 5 Número de vértices: 5

Hexágono

Número de lados: 6 Número de vértices: 6

6º ano

341

Os arquitetos também utilizam regularidades para desenvolverem seus projetos, com o objetivo de obter determinados efeitos na funcionalidade da obra, nas estruturas e nas características próprias dessas formas. Observe a fotografia do museu, projetado pelo arquiteto mexicano Ricardo Legoretta. Veja a enorme forma triangular, logo na entrada.

(Architetural Record, set. 1990, p. 135)/Children’s Discovery Museum San Jose

TRIÂNGULOS E PROPRIEDADES

Children’s Discovery Museum (Museu da Descoberta Infantil), na Califórnia (EUA).

O uso das formas geométricas, além de servir para representar ideias, é importante para a técnica de algumas construções. Por que será que, quando se constrói uma porteira como a da foto emprega-se uma ripa formando dois triângulos? Que propriedades os triângulos têm para serem empregados na estrutura de várias construções, como em pontes, torres de comunicação e de alta tensão?

Rachelle Burnside/Shutterstock

PARA REFLETIR

EXPERIMENTAR

A seguir, propomos a realização de alguns experimentos com triângulos. O objetivo é conhecer as principais propriedades desse polígono. 1. Providencie alguns canudos de refrigerante e uma linha grossa, ou barbante, e siga as instruções. • Pegue um canudo inteiro e divida outro em duas partes de quaisquer tamanhos. • Passe a linha, ou o barbante, pelo interior dos canudos, conforme a ilustração seguinte:

Sem dobrar nenhum dos três canudos, é possível manejá-los e obter um triângulo? Tente fazer isso e anote suas conclusões. 342

Matemática

2. Desenhe alguns triângulos em uma folha. Com uma régua, obtenha as medidas de seus lados.

Perceba que a soma das medidas de dois lados sempre é maior que a medida do terceiro lado. 3. Construa um quadrilátero passando uma linha, ou um barbante, pelo interior de quatro canudos.

Responda: é possível manter fixa a forma do quadrilátero? 4. Utilizando três canudos, construa um triângulo passando uma linha, ou um barbante, pelo inte-

rior deles. É possível manter fixa a forma desse triângulo? Essa “rigidez” que foi observada vale para outros triângulos? 5. Agora, usando linha e canudos, construa outros três triângulos, seguindo as especificações abaixo: • Para o primeiro triângulo, corte um canudo em três partes com medidas iguais. • Para o segundo triângulo, corte outro canudo em três partes, sendo duas com medidas

iguais e uma com medida diferente das outras duas. • Para o terceiro triângulo, corte outro canudo em três partes, com medidas duas a duas diferentes, de forma que a soma das medidas das duas partes menores seja maior que a medida da terceira parte. Faça uma pesquisa para classificar os triângulos de acordo com as medidas dos lados e responda: a) Como se chamam os triângulos que têm os três lados com medidas iguais? b) Como se chamam os triângulos que têm apenas dois lados com medidas iguais? c) Como se chamam os triângulos que têm os três lados com medidas duas a duas diferentes?

6. Classifique os triângulos a seguir em relação às medidas de seus lados:

7. Vamos construir outros polígonos. • Desenhe numa folha avulsa vários triângulos com as mesmas

medidas do triângulo ao lado e recorte-os. • Forme com dois, três, quatro ou mais triângulos os seguintes quadriláteros:

6º ano

343

REGULARIDADES NUMÉRICAS

Dmitry Kalinovsky/Dreamstime.com

Fernando Favoretto/Criar Imagem

Os números são utilizados com muitas finalidades, entre elas, para representar quantidades e medidas. Dentre os diversos tipos de números que usamos, os números naturais: zero (0), um (1), dois (2), três (3), quatro (4), cinco (5),... são usados, entre outras funções, para contar.

Situações do cotidiano em que nos deparamos com notações numéricas.

Uma regularidade da sequência dos números naturais é que ela é crescente, pois seus termos “crescem” de um em um, a partir do 0. Além disso, a sequência não tem fim, ou seja, é infinita. • o número 1 é o sucessor do número 0 e é antecessor do número 2; • o número 2 é o sucessor do número 1 e é antecessor do número 3, e assim sucessivamente. 0

1 +1

2 +1

3 +1

4 +1

5 +1

6 +1

7 +1

8 +1

9 +1

10 +1

Uma sucessão de números como essa se chama sequência numérica e cada número que faz parte dela é denominado termo da sequência. Em alguns casos, as sequências numéricas podem variar de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4, e assim por diante. 344

Matemática

... +1

Exemplos: • A sequência: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... varia de 2 em 2, a partir de 0 e também não tem fim. 0

2 +2

4 +2

6 +2

12 +2

14 +2

16 +2

...

• A sequência: 5, 8, 11, 14, 17, 20, ... varia de 3 em 3, a partir de 5, e não

tem fim. 5

8 +3

11 +3

14 +3

23 +3

26 +3

29 +3

...

• A sequência: 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... varia de 4 em 4, a partir de 1, e não

tem fim. 1

5 +4

9 +4

13 +4

25 +4

29 +4

33 +4

...

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. De quanto em quanto variam os seis primeiros termos da sequência numérica a seguir? Escreva

os próximos três termos dessa sequência, imaginando que a variação observada se mantenha. 1, 4, 7, 10, 13, 16,

2. Observe a regularidade na sequência numérica a seguir e determine seus próximos três termos. 1

5 +4

9 +4

13 +4

17 +4

21 +4

25 +4

29 +4

33 +4

37 +4

MÚLTIPLOS E DIVISORES Os números que fazem parte da sequência: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... variam de 2 em 2, a partir do 0. A divisão de qualquer desses números por 2 tem zero como resto. Todos eles são divisíveis por 2. Dizemos, também, que esses números são múltiplos de 2. Os números múltiplos de 2 são denominados números pares.

10 0

6º ano

2 5

345

Os números que fazem parte da sequência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... variam de 2 em 2, a partir do 1. A divisão de qualquer desses números por 2 não tem zero como resto. Nenhum desses números é divisível por 2. Dizemos que esses números não são múltiplos de 2. Os números naturais que não são múltiplos de 2 são denominados números ímpares. Os números que fazem parte da sequência: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... variam de 5 em 5, a partir do 0. A divisão de qualquer desses números por 5 tem zero como resto. Todos eles são divisíveis por 5. Dizemos que esses números são múltiplos de 5. Os números que fazem parte da sequência: 2, 7, 12, 17, 22, 27, ... também variam de 5 em 5, só que a partir do 2. A divisão de qualquer desses números por 5 não tem zero como resto. Esses números não são divisíveis por 5. Dizemos que esses números não são múltiplos de 5.

11 1

2 5

25 0

5 5

27 2

5 5

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. A sequência numérica a seguir varia de 3 em 3, a partir do 1, e não tem fim.

1, 4, 7, 10, 13, 16, ... a) Qual é o resto da divisão de cada um dos números dessa sequência por 3?

b) Os números que compõem essa sequência são múltiplos de 3? Justifique sua resposta.

c) Essa regularidade ocorre com qualquer número dessa sequência? Por quê?

2. Escreva uma sequência de múltiplos de 7:

SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL DECIMAL O sistema de numeração posicional decimal é uma invenção humana que, entre outras finalidades, pode ser utilizada para representar quantidades. 346

Matemática

Seu uso tornou-se tão comum e familiar que não nos damos conta de sua composição, de suas propriedades e características.

AGRUPANDO DE DEZ EM DEZ Em sistemas numéricos decimais, como o próprio nome sugere, os agrupamentos são feitos de 10 em 10. Assim: • dez unidades constituem uma dezena; • dez dezenas constituem uma centena; • dez centenas constituem um milhar; • dez milhares constituem uma dezena de milhar; • dez dezenas de milhar constituem uma centena de milhar, e assim por diante.

VALOR POSICIONAL Em um sistema de numeração posicional, a posição de um algarismo na representação escrita do número tem um valor relativo a essa posição. Por exemplo, observe a escrita dos números dezessete e setenta e um: 17

Em relação à posição do algarismo 7 nas duas representações, podemos verificar que: • em 17, ele é o algarismo que ocupa a primeira posição da direita para a esquerda e corresponde a sete unidades; • em 71, ele ocupa a segunda posição da direita para a esquerda, correspondendo a sete dezenas e é lido “setenta”. Cada uma dessas posições é chamada de ordem. A primeira posição da direita para a esquerda, onde estão representadas as unidades, é a primeira ordem. A segunda posição da direita para a esquerda, onde estão representadas as dezenas, é a segunda ordem, e assim sucessivamente. No caso do número duzentos e cinco (205), podemos verificar outro aspecto relativo ao princípio posicional. A posição da dezena é preenchida por um zero, pois o número 205 possui exatamente 20 dezenas, que estão representadas nas duas centenas. Observe o seguinte esquema: 3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

centena

dezena

unidade

2 centenas = 20 dezenas

Uma das características mais importantes do sistema posicional consiste em possibilitar a representação dos números de forma concisa, ou seja, sucinta e precisa.

6º ano

347

Com apenas dez símbolos (os algarismos de 0 a 9) e as regras mencionadas, podemos representar qualquer quantidade. Por exemplo: • a população do município de Mesópolis, no estado de São Paulo, com 1 886 habitantes em 2010; • a população do estado da Bahia, que, em 2010, era de 14 016 906 pessoas; • a população do mundo, que, em 2010, era estimada em 7 000 000 000 de pessoas. Para fazer a leitura da população brasileira, que, no ano 2010, era de 190 755 799 habitantes, adotamos o seguinte procedimento: Primeiro, separamos os algarismos em classes com, no máximo, três algarismos, da direita para a esquerda. Classe

Classe

190

755

799

Em seguida, lemos o número em cada classe, da esquerda para a direita, seguido do nome da classe correspondente. Veja o quadro de classes a seguir: Milhão

Milhar

Unidade

centena

dezena

unidade

centena

dezena

unidade

centena

dezena

unidade

cento e noventa milhões

setecentos e cinquenta e cinco mil

setecentos e noventa e nove unidades

O SISTEMA POSICIONAL E AS QUATRO OPERAÇÕES “ELEMENTARES” Outra característica importante do sistema posicional é possibilitar a construção de algoritmos (técnicas operatórias) eficientes para as quatro operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão Observe estes exemplos: Adição

348

Matemática

dezena de milhar

unidade de milhar

centena

dezena

unidade

1 6 15 4 2 4 9 3 7 3 6 5 9 1 5

soma

Subtração UM –

6 45 14 7 4 3 7 3 2 1 7 4

–

diferença

Multiplicação UM

UM 3 2 1

C 4 4 0 9

D 2

U 6

× 3 × 432 20 × 432

4 × 1 1 2 + 8 6 9 9

3 2 9 4 3

2 3 6 0 6

produto

Divisão

2 × 12 8 × 12 5 × 12

– –

2 6 6 6

–

3 4 2 6 2 4 1 0 2 – 9 6 6 6 – 6 0 6 –

6 0 6

1 2 2 8 5 cociente

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Do total da população do Brasil em 2010, 93 406 990 eram homens e 97 348 809 eram mulheres.

Total de mulheres brasileiras (2010)

Total de homens brasileiros (2010) Milhão C

Milhar

Milhão

Unidade

Milhar

Unidade

9 Fonte: IBGE

Com o auxílio do quadro de classes, escreva como se leem esses números. 6º ano

349

2. Observe os dados a seguir sobre a população da região Sul do Brasil, em 2010: População dos estados da região Sul (2010) Estado

População

Paraná

10 444 526

Santa Catarina

6 248 436

Rio Grande do Sul

10 693 929 Fonte: IBGE.

Agora, calcule e escreva como se lê qual era a população total da região Sul em 2010 (se for conveniente, use um algoritmo para efetuar essa soma).

3. Calcule: a) 3 186 − 537

b) 108 × 56

c) 1 256 ÷ 31

EXERCITANDO MAIS

1. Em uma folha de papel quadriculado, crie um mosaico usando polígonos. Depois, pinte seu mo-

saico de modo a manter uma regularidade. 2. Determine pelo menos uma regularidade em cada uma das sequências numéricas a seguir e escreva,

para cada uma delas, o sexto e o sétimo termo, de acordo com a regularidade que você determinou. a) 3, 7, 11, 15, 19,

, ...

b) 201, 196, 191, 186, 181, c) 0, 3, 6, 9, 12, d) 15, 24, 33, 42, 51,

, ,

; ... ; ...

e) 2 002, 2 004, 2 006, 2 008, 2 010, f) 30 600, 30 700, 30 800, 30 900, 31 000,

; ... ,

...

3. Leonardo de Pisa foi um importante matemático que nasceu na cidade de Pisa, na Itália, em 1175.

Ele é mais conhecido como Fibonacci, nome que usava em seus escritos. Foi ele quem introduziu na Itália os algarismos indo-arábicos. Ele também elaborou uma sequência numérica que leva seu nome. 350

Matemática

Observe como se comporta a sequência de Fibonacci: 1

2 1+1=2

3 1+2=3

5 2+3=5

8 3+5=8

os dois primeiros termos dessa sequência de Fibonacci são 1 e 1; o terceiro termo é a soma dos dois primeiros; o quarto termo é a soma do segundo com o terceiro; o quinto termo é a soma do terceiro com o quarto, e assim sucessivamente. Complete a sequência com o sétimo e o oitavo termos.

• • • •

4. Observe a seguinte sequência de números. É possível perceber que seus termos variam de 6 em 6.

10, 16, 22, 28,

, ...

a) Complete a sequência com o quinto e o sexto termos, mantendo a regularidade observada. b) Qual é o resto da divisão do quinto termo dessa sequência por 6? E do sexto termo? É possível

determinar esse resto sem efetuar a divisão?

5. As Olimpíadas são uma competição esportiva mundial inspirada nos Jogos Olímpicos da Grécia

antiga. Essa competição ocorre de quatro em quatro anos. a) Se em 1960 houve olimpíadas, então também houve essa competição em 1980? Justifique.

b) Os últimos jogos olímpicos antes da Segunda Guerra Mundial (1939-1945) foram realizados

em Berlim, em 1936. Durante a guerra não houve Olimpíadas. Se fosse mantida a mesma sequência, em que anos da Segunda Guerra Mundial teria havido olimpíadas? 6. A respeito de múltiplos e divisores, escreva: a) Os cinco primeiros termos da sequência de números naturais que são múltiplos de 4: b) Os cinco primeiros termos da sequência de números naturais que são múltiplos de 4 e maiores

que 10: c) Todos os termos da sequência de números naturais que são múltiplos de 4 e menores que 50:

6º ano

351

7. Observe como foi calculada a quantidade de hexágonos nas figuras abaixo:

1+2+3+2+1=9 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 14

Quantos hexágonos há na figura ao lado?

8. Pesquise e escreva, por extenso, o número de habitantes da cidade e do estado onde você mora. 9. Descubra os algarismos que estão faltando nestas contas: 5 3

a) × +

352

b) 3 2

6 2

Matemática

–

4 3

3 6 9

3 5

6 9 1 6 0 7

1 2

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Mulheres, mercado informal e a Matemática

Thomaz Vita Neto/Pulsar Imagens

participação das mulheres no mercado de trabalho vem crescendo ano após ano. Para isso, quase sempre elas têm que conciliar as atividades de geração de renda com as responsabilidades domésticas que lhes são atribuídas tradicionalmente, como cuidar da casa, dos filhos e de parentes. Assim, para grande parte das mulheres é um desafio conciliar novas atividades com as antigas, seja para complementar a renda familiar, ou pessoal, seja para satisfação pessoal, ou exercício da cidadania. Muitas mulheres das camadas mais pobres acabam optando por atividades que são um prolongamento das tarefas domésticas, como costurar, cozinhar, vender produtos de beleza. São atividades informais, realizadas na própria casa ou em local próximo.

Mulher trabalhando como vendedora no comércio informal na cidade de São José de Ribamar (MA), 2010.

6º ano

353

RODA DE CONVERSA

Ao observar o cotidiano de uma mulher que, informalmente, produz e vende salgados, tem-se a dimensão dos vários problemas que ela enfrenta para ter sucesso em sua empreitada. Algumas de suas preocupações podem ser, por exemplo: • determinar a quantidade de salgados a ser produzida; • escolher o local para vender os salgados; • calcular o custo de produção; • determinar os valores de venda de cada salgado; • calcular o investimento inicial; • calcular quanto custa para manter o negócio funcionando. Você já participou de algum empreendimento desse tipo? Nessas situações é comum o uso de expressões como: “três quartos de xícara”, “meio litro”, “assar por 45 minutos”, “1,5 kg de cebola”, entre outras. Com seus colegas, tente explicar cada uma dessas expressões, de acordo com o que você já conhece.

A HISTÓRIA DO EMPREENDIMENTO DE MIRALVA Miralva, como muitas outras mulheres, percebeu que podia usar seus conhecimentos e habilidades para complementar a renda familiar. Ela resolveu montar um pequeno negócio com o qual poderia ganhar algum dinheiro para ajudar na alimentação e em outras despesas da sua casa. Pensando em algo que não exigisse ficar muito tempo fora, Miralva resolveu produzir e vender torta de frango em fatias. Perto de sua casa há uma escola que, durante a noite, reúne jovens e adultos que retomaram os estudos e Miralva percebeu que poderia vender suas tortas para essas pessoas. Dando início ao trabalho, Miralva considerou que, se usasse assadeiras redondas para assar as tortas, poderia dividi-las igualmente. Assim, após assá-las, Miralva as divide em fatias iguais, para cobrar um preço por fatia. Ela resolveu dividir cada torta em 8 partes iguais. O esquema abaixo mostra uma torta cortada.

Torta de frango cortada em 8 pedaços iguais (vista de cima).

354

Matemática

Se Miralva vender 3 fatias de torta, por exemplo, pode-se dizer que ela vendeu uma fração da torta. Se forem vendidas 3 fatias de uma torta dividida em 8 fatias iguais, pode-se dizer que foram vendidos três oitavos da torta. Essa fração da torta pode ser representada pelo símbolo numérico 83 . A expressão 83 se chama fração e tem, entre outras, a seguinte interpretação: • O número natural 3 representa o número de fatias de torta que foram

vendidas; • O número natural 8 representa o número total de fatias iguais em que a torta foi dividida. Na fração 83 : • O número 3 se chama numerador da fração; • O número 8 se chama denominador da fração; • O traço horizontal (–) que é desenhado entre o numerador e o deno-

minador se chama traço de fração. Cada fatia da torta corresponde a 18 (lê-se um oitavo) da torta.

LEITURA DE FRAÇÃO A leitura de uma fração depende do seu numerador e do seu denominador. Frações cujos denominadores são os números naturais 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 têm leituras especiais. Por exemplo: A fração 12 pode ser lida “um meio” ou “meio” ou, então, “1 sobre 2”. A fração 13 pode ser lida “um terço” ou “1 sobre 3”. A fração 34 pode ser lida “três quartos” ou “3 sobre 4”. A fração 15 pode ser lida “um quinto” ou “1 sobre 5”. Da mesma forma, 16 lê-se “um sexto”, 71 lê-se “um sétimo”, 18 lê-se “um oitavo” e 19 lê-se “um nono”. Para frações com denominadores 10, 100, 1 000, lê-se o numerador e acrescenta-se a palavra “décimo” para o denominador 10, “centésimo” para o denominador 100, “milésimo” para o denominador 1 000. Por exemplo: 3 10

lê-se “três décimos” ou “3 sobre 10”.

17 100

lê-se “dezessete centésimos” ou “17 sobre 100”.

2 1000

lê-se “dois milésimos” ou “2 sobre 1 000”.

6º ano

355

As frações que têm denominador 10, 100, 1 000 etc. são chamadas frações decimais. Para uma fração cujo denominador é um número natural maior que 10 (11, 12, 13, ...), lê-se o seu numerador e acrescenta-se a palavra “avos” ao seu denominador. Por exemplo: 1 11

lê-se “um onze avos”.

7 23

lê-se “sete vinte e três avos”.

CALCULANDO PREÇOS Considerando as vendas de Miralva, se ela vender 3 fatias da torta, então sobrarão 5 fatias para serem vendidas. As fatias que não foram vendidas podem ser expressas pela fração 85 . Portanto, 83 , que corresponde à fração vendida da torta, mais 85 , que corresponde à fração não vendida da torta, é igual a 88 = 1, que corresponde à torta inteira. Essa última situação pode ser expressa simbolicamente assim: 3 5 8 8 3 5 8 + 8 = 8 ou 8 – 8 = 8

Para obter algum lucro, Miralva precisaria receber 24 reais pela torta inteira. Então, uma fatia deveria custar 3 reais (24 ÷ 8 = 3) e três fatias, 9 reais. Esse pensamento pode ser expresso assim: Por 88 , receberia 24 reais. Por 18 , receberia 3 reais. Por 83 , receberia 9 reais. Porém, Miralva percebeu que as fatias seriam grandes e caras para um lanche. Então, ela resolveu passar a dividir cada torta em 16 fatias iguais. Neste caso, ela poderia vender cada fatia pela metade do preço cobrado por 18 da torta. Se, das 16 fatias em que a torta for dividida, ela vender 6, então também terá vendido uma fração da torta. Uma leitura para essa situação é a seguinte: foram vendidos seis dezesseis avos da torta. Essa situação pode ser representada da seguinte forma: 6 16

356

Matemática

(que se lê: “seis dezesseis avos”.)

Ilustração digital: Luciano Tasso

PARA REFLETIR I

6 Que relação há entre 83 e 16 da torta? Vamos desenhar frações. Usando a boca ou o fundo de um copo como molde, desenhe e recorte dois círculos de papel, como na ilustração ao lado.

Pegue um dos círculos. Dobre-o ao meio.

Com ele dobrado, dobre-o ao meio novamente.

Mais uma vez, dobre-o ao meio.

Abra o papel. O círculo ficou dividido em 8 partes iguais. Pinte 3 delas.

Que fração você obteve com esses procedimentos? Use os mesmos procedimentos para representar, no outro círculo, a fração “seis dezesseis avos”. Compare as representações das duas frações. Que conclusões você obteve fazendo essas duas representações fracionárias?

FRAÇÕES EQUIVALENTES 6 Na atividade anterior, foi possível perceber que as frações 83 e 16 da torta correspondem à mesma quantidade de torta. 6 Por causa disso, dizemos que as frações 83 e 16 são equivalentes. Representamos essa equivalência por meio da igualdade das frações:

3 = 6 8 16

6º ano

357

6 A fração 16 pode ser obtida da fração 83 realizando-se as seguintes ações:

3 = 3×2 = 6 8 8 × 2 16 6 Por sua vez, a fração 83 pode ser obtida da fração 16 realizando-se as seguintes ações:

6 = 6÷2 = 3 16 16 ÷ 2 8

Essas ações podem ser aplicadas em outras frações. Com base nesses resultados, podemos estabelecer as seguintes regras que permitem obter uma fração equivalente a partir de uma fração conhecida: Multiplicando-se, ou dividindo-se, tanto o numerador como o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma fração, equivalente à fração original. Na fração 83 o numerador e o denominador têm apenas o número 1 como divisor comum. Por isso, dizemos que 83 é fração equivalente na forma irredutível. Veja outros exemplos: a) Determine uma fração equivalente a 14 e com denominador 4. 28

Para obter uma fração equivalente a 14 28 e com denominador 4, divide-se o numerador e o denominador dessa fração por 7, pois 28 ÷ 7 = 4. Veja: 14 = 14 ÷ 7 = 2 28 28 ÷ 7 4

A fração 24 é uma fração equivalente a

14 28

com denominador 4.

3 b) Obtenha uma fração equivalente a 16 e com numerador 12.

3 Para obter uma fração equivalente a 16 e com denominador 12, multiplica-se o numerador e o denominador dessa fração por 4, pois 3 × 4 = 12.

3 = 3 × 4 = 12 16 16 × 4 64 3 A fração 12 é uma fração equivalente a 16 com numerador 12. 64

358

Matemática

c) Qual é a fração irredutível equivalente a 18 ? 12

Podemos dividir sucessivamente o numerador e o denominador da fração por um divisor comum a eles. Dividindo 18 e 12 pelo divisor comum 2: 18 = 18 ÷ 2 = 9 12 12 ÷ 2 6

Dividindo 9 e 6 pelo divisor comum 3: 9 = 9÷3 = 3 6 6÷3 2

A fração 23 é a fração irredutível equivalente a 18 . 12 APLICAR CONHECIMENTOS I 4 1. Qual fração, na forma irredutível, é equivalente a 16 ?

2. Qual dos seguintes pares de frações representa frações equivalentes? a) 3 e 15 16 80

b) 15 e 5 81 7

c) 4 e 2 9 3

SOMA E DIFERENÇA DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS Miralva fez uma torta de frango e dividiu-a em 16 fatias iguais. Se ela vender 5 da torta. Neste caso, 16 − 5 = 11 fatias não 5 fatias, então ela venderá a fração 16 11 foram vendidas. Ou seja, a fração da torta que não foi vendida é 16 . 5 Se somarmos a fração da torta que foi vendida, 16 , com a fração da torta que 11 não foi vendida, 16 , obteremos a fração que representa a torta inteira, ou seja, 16 . 16 Em símbolos: 5 + 11 = 16 16 16 16

Essa operação sugere o seguinte procedimento para somar frações que têm os mesmos denominadores:

Para se obter a soma de duas frações com denominadores iguais, somam-se seus numeradores, mantendo-se o denominador.

6º ano

359

Se subtrairmos da torta toda, 16 , a fração que foi vendida, 16 11 da torta que não foi vendida é 16 . Em símbolos:

5 , 16

então a fração

16 16 16 --–- 555 ==== 11 11 11 16 16 16 16 16 16 16 16 16

Essa operação sugere o seguinte procedimento para subtrair frações que têm os mesmos denominadores:

Para se obter a diferença entre duas frações com denominadores iguais, subtraem-se seus numeradores, mantendo-se o denominador.

APLICAR CONHECIMENTOS II

Calcule: a) 15 + 7 = 26 26

13 5 b) 16 – 16 =

SOMA E DIFERENÇA DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES Miralva fez duas tortas de frango. Uma delas foi cortada em 8 fatias iguais e a outra foi cortada em 16 fatias iguais. Para aumentar as opções de venda para seus clientes, Miralva colocou em 1 uma das assadeiras 4 fatias de 18 da torta e 8 fatias de 16 da torta, como mostra a figura seguinte.

1 8

Metade da assadeira contém 4 fatias correspondentes a 18 da torta.

360

Matemática

1 16

Metade da assadeira contém 8 fatias correspondentes a 1 da torta. 16

Se Miralva vender 3 fatias correspondentes a 18 da torta e 5 fatias correspon1 dentes a 16 da torta, então, qual fração da torta terá sido vendida? 5 . A fração a ser vendida pode ser obtida somando a fração 83 com a fração 16 Essa soma pode ser expressa simbolicamente da seguinte forma: 3 + 5 8 16 6 Como 83 da torta são equivalentes a 16 da torta, então podemos escrever:

3 + 5 = 6 + 5 = 11 8 16 16 16 16

Essa operação sugere o seguinte procedimento geral:

A soma de duas frações com denominadores diferentes pode ser calculada transformando-as em frações com denominadores iguais, por meio de correspondentes frações equivalentes.

Da mesma forma, para calcular a diferença: 11 –- 3 = 5 16 8 16

é possível escrever: 11 11 -–- 33 == 11 5 –- 36 == 55 16 16 88 16 16 16 8 16 16

Essa operação sugere o seguinte procedimento geral:

A diferença entre duas frações com denominadores diferentes pode ser calculada transformando-as em frações com denominadores iguais, por meio de correspondentes frações equivalentes.

6º ano

361

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Calcule a soma e a diferença a seguir: a) 4 + 5 = 13 26

b) 11 − 1 = 16 4

2. Construa três círculos iguais, cada um numa folha de papel. Divida-os, respectivamente, em duas,

quatro e oito partes iguais, da seguinte maneira:

Duas partes iguais

Quatro partes iguais

Oito partes iguais

Com uma tesoura, recorte: • o primeiro círculo em duas partes iguais e pinte-as de verde; • o segundo em quatro partes iguais e pinte-as de vermelho; • o terceiro em oito partes iguais e pinte-as de azul.

1 4 1 4

1 8

Utilizando essas “frações” de círculo, é possível fazer algumas operações com elas. A primeira servirá como exemplo. Pegue uma parte que representa a fração 14 de círculo e outra parte que representa a fração 18 . Coloque-as sobre uma mesa, uma ao lado da outra, como na figura acima à esquerda e calcule 14 + 18. Quantas “frações” do círculo que foi dividido em 8 partes iguais são necessárias para completar um círculo inteiro a partir da composição feita com 14 e 18 do círculo?

362

Matemática

Com base no último exemplo, determine as somas das frações seguintes. a) 1 + 2 = 4 4

f) 1 + 3 = 8 8

b) 1 + 3 = 2 8

1 3 g) 4 + 8 =

c) 1 + 1 = 2 4

h) 5 + 3 = 8 8

d) 1 + 1 = 2 2

i) 1 + 3 + 1 = 4 8 8

e) 2 + 1 + 1 = 8 4 2

j) 3 + 5 = 4 8

NÚMEROS RACIONAIS Miralva aproveitou o fim de semana para fazer sua receita de torta de frango e anotar todos os gastos para saber se a venda de tortas estava valendo a pena. Os seus gastos foram anotados na tabela da direita a seguir: Ingredientes da torta Massa

Recheio

1 xícara de chá de leite

1 frango pequeno, cozido e desfiado

125 gramas de margarina

1 maço de cheiro-verde

4 xícaras de chá de farinha de trigo

500 gramas de cebola

4 ovos

40 gramas de alho

Uma pitada de sal

Ingredientes

Gasto total (R$)

Frango (1,5 quilo)

4,70

Sal

0,10

Cheiro-verde

1,20

Cebola

1,40

Alho

0,95

Leite

0,55

Farinha de trigo

1,00

Ovos

0,90

Margarina

0,88

Os valores numéricos que estão na tabela de Miralva não são números naturais. Por exemplo, a quantidade de frango que ela comprou foi de 1,5 quilo (um quilo e meio). 6º ano

363

QUILOGRAMA OU QUILO? MASSA OU PESO? Para medir a quantidade de massa de um corpo, uma unidade muito usada é o quilograma, cujo símbolo é kg. Popularmente, usa-se a palavra “peso” para se referir a “massa” e “quilo” para “quilograma”. Para medir massas menores que um quilograma, podemos usar o grama, cujo símbolo é g. A palavra “quilo” é de origem grega e significa “mil”, e é usada como prefixo para várias palavras. Por exemplo: “Um quilograma” significa “mil gramas”. Em símbolos: 1 000 gramas = 1 000 g = 1 kg. Por causa dessa “equivalência”, são possíveis as relações:

100 g = 100 kg = 1 kg 1 000 10

10 g = 10 kg = 1 kg 1 000 100

1g=

1 kg 1 000

1 0 =

A expressão “0.1”, que aparece no visor da calculadora, significa “0,1”. O número 0,1 não é um número natural. Esse número é denominado número racional. 1 Por sua vez, a fração 100 , além de significar que “tomamos uma parte de algo que foi dividido em 100 partes iguais”, também significa uma representação da divisão do número natural 1 pelo número natural 100. Usando novamente uma calculadora, digite a seguinte sequência de teclas:

364

Matemática

1 0 0 =

0.1

Ilustração digital: Llinares

Digite a seguinte sequência de teclas:

0.01

Ilustração digital: Llinares

1 , além de significar que “tomamos uma parte de algo que foi diviA fração 10 dido em 10 partes iguais”, pode significar, também, uma representação da divisão do número natural 1 pelo número natural 10. Para se obter o cociente dessa divisão, vamos utilizar uma calculadora eletrônica.

Como antes, a expressão “0.01”, que aparece no visor da calculadora, significa “0,01”. O número 0,01 não é um número natural. Esse número é denominado número racional. 1 100

é representação de um número racional na forma fracionária e 0,01 é representação decimal do mesmo número racional. 1 = 0,01 100

Observe que 0,01 tem duas casas decimais após a vírgula, e a sua representa1 ção fracionária irredutível, 100 , tem denominador 100.

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA Os números 0,1 e 0,2 podem ser representados em uma reta. Veja como: 0 10

1 10

2 10

0,0

0,1

0,2

10 10

Esse tipo de representação denomina-se reta numérica ou reta numerada ou ainda eixo numérico. Use uma calculadora para confirmar os resultados das seguintes divisões: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10 10 10 10 10 10 10

Observe suas conclusões representadas na reta numerada: 0 10

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10 10

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

As representações numéricas 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9, assim como 0,1 e 0,2, também são números racionais. Eles são representações na forma decimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 das frações a que correspondem: 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 e 10 .

Sempre que dividirmos um número natural por um número natural diferente de zero iremos obter um número racional.

6º ano

365

PARA REFLETIR II

Os números naturais são números racionais?

REPRESENTAÇÕES DECIMAIS Na representação na forma decimal de números racionais não inteiros, a vírgula separa a sua “parte inteira” (um número natural), que fica à sua esquerda, da sua “parte não inteira”, que fica à direita. Por exemplo, no número 1,34:

1,34 parte inteira

parte não inteira

Unidades

Décimos

Centésimos

um inteiro

trinta e

quatro centésimos

Para escrever números racionais na forma decimal, usam-se os procedimentos do sistema de numeração posicional decimal: agrupamentos de 10 considerando que os valores relativos dos algarismos crescem da direita para a esquerda. As ordens decimais décimos e centésimos, que estão à direita da unidade são ordens menores que as unidades simples. O número 1,34 escrito na forma decimal tem duas casas decimais após a vírgula, por isso pode ser representado na forma fracionária escrevendo uma fração com denominador 100 e o numerador 134. 1,34 = 134 ou 1,34 = 1 34 100 100

Veja outros exemplos: 0,237 = 237 1 000

366

Matemática

24,02 = 24

2 100

0,075 =

75 100

APLICAR CONHECIMENTOS IV

Usando uma calculadora, determine o cociente da divisão do numerador pelo denominador de cada uma das frações (equivalentes) seguintes: 500 = 5 = 1 1 000 10 2

Qual é a sua conclusão sobre os resultados obtidos? Que representação decimal você usaria para a expressão “meio quilo”?

DISTÂNCIA E TEMPO Unidades de comprimento

No estudo das unidades de medida de massa, “um quilograma” significa “mil gramas”. Da mesma forma, o prefixo quilo (mil, em grego) é usado nas unidades de comprimento. “Quilômetro” significa “mil metros”. O metro é uma unidade de comprimento e seu símbolo é m. Quando o comprimento de um segmento for menor que um metro (1 m), então podemos usar a unidade centímetro, cujo símbolo é cm. 1 metro = 100 centímetros

1 m = 100 cm

1 cm = 1 m (representação fracionária) 100

1 cm = 0,01 m (representação decimal)

Quando o comprimento de um segmento for maior que mil metros (1 000 m), então podemos usar a unidade quilômetro, cujo símbolo é km. 1 quilômetro = 1 000 metros

1m=

1 km (representação fracionária) 1 000

1 km = 1 000 m

1 m = 0,001 km (representação decimal)

6º ano

367

Unidades de tempo

Miralva havia conseguido determinar parte do custo de produção da torta de frango. Um dos componentes que ela ainda não havia calculado era a sua “mão de obra”. Para isso, ela precisaria levar em conta o tempo necessário para fazer seu produto. Miralva foi fazendo a receita enquanto cuidava dos outros afazeres domésticos. Mas anotou o horário em que iniciou e terminou cada tarefa. Tarefa

Início

Término

Tempo gasto

10h 5min

10h 20min

15min

Desfiar o frango e fazer o recheio

14h 50min

15h 30min

40min

Fazer a massa e assar

18h 45min

20h 10min

1h 25min

Limpar e refogar o frango

Como Miralva calculou o tempo gasto? Estes cálculos podem ser feitos usando as relações que existem entre as unidades de medida de tempo. 1 hora = 60 minutos

1 minuto = 60 segundos

A hora é representada por h, o minuto por min e o segundo por s. Examinando na tabela o tempo gasto para fazer a massa e assar a torta, podese observar que: • das 18h 45min até 19h 45min, o tempo gasto foi de 1h; • das 19h 45min até 20h 00min, o tempo gasto foi de 15min; • das 20h até 20h 10min, o tempo gasto foi de 10min.

Portanto, o tempo gasto foi de 1h + 15min + 10min = 1h + 25min = 1 h 25min. Para saber o tempo gasto para a execução das tarefas, Miralva teve que somar: 15min + 40min + 1h 25min

368

Matemática

Como 15min + 40min + 25min = 80min, e como 60 minutos correspondem a 1 hora, então: 80 minutos equivalem a (60min + 20min) que, por sua vez equivalem a 1h 20min. Adicionando mais uma hora ao resultado anterior, obtém-se: 2h 20min.

APLICAR CONHECIMENTOS V

1. Cada quarteirão da uma cidade tem 120 m de comprimento. Uma pessoa andou 15 quarteirões. a) Qual a distância que essa pessoa percorreu? b) A distância que ela percorreu foi maior ou menor que um quilômetro? 2. Use a tabela a seguir para registrar as principais atividades que você realiza em um dia, os momen-

tos em que elas se iniciam e os momentos em que elas terminam. Depois, calcule o tempo gasto com cada uma delas. Na coluna “Atividade” indique: trabalho, estudo, sono, condução, lazer etc. Atividade

Início

Término

Tempo gasto

6º ano

369

3. Miralva organizou sua rotina semanal de trabalho do seguinte modo: dos sete dias da semana, ela

trabalha de segunda a sexta-feira e descansa sábado e domingo. Com base nessas informações, e considerando uma semana como um inteiro, represente sob a forma de fração o tempo correspondente a cada um dos itens abaixo. Em seguida, escreva como pode ser lida cada uma dessas frações. a) Um dia da semana: b) A semana toda: c) Os dias de descanso: d) Os dias de trabalho:

EXERCITANDO MAIS

1. Um ano tem 12 meses. Escreva a fração do ano que corresponde a cada item abaixo e, em seguida,

escreva como pode ser lida cada uma dessas frações. a) Oito meses

c) Um trimestre

b) Um bimestre

d) Um semestre

2. Comprei 34 de quilo de pó de café. Quantos gramas de café foram comprados? 3. Para aprovar um projeto de lei na Câmara dos Deputados, o governo necessitava de, no mínimo, 35

dos votos favoráveis ao projeto. Sabendo que a Câmara é composta de 513 deputados e que, desses, 378 deputados votaram a favor, verifique se o projeto de lei foi ou não aprovado.

4. Determine uma fração que satisfaz cada uma das seguintes condições: a) equivalente a 73 : b) equivalente a 25 e com denominador 15: c) irredutível e com denominador 6: 5. Escreva, na forma decimal e fracionária, os seguintes números: a) 3 décimos: b) 5 centésimos: c) 50 milésimos: d) 1 inteiro e 12 centésimos: 370

Matemática

3 8 5 6. Um salário de 800 reais está assim dividido: 10 para o aluguel, 100 para para o transporte e 10

alimentação. Determine o valor do aluguel, do transporte e da alimentação em reais. Quanto sobra para as outras despesas?

7. Uma chapa de aço foi cortada em três partes. A primeira equivale a 71 da chapa; a segunda, a 35 da

chapa. Que fração corresponde à terceira parte?

Ilustração digital: Luciano Tasso

8. Miralva descobriu uma nova receita de doce. Ela gostaria de preparar essa receita para vinte pessoas.

a) Reescreva a receita adaptando a quantidade dos ingredientes ao número de porções que Mi-

ralva quer preparar. b) Depois, justifique sua resposta.

6º ano

371

9. Segundo a programação de um canal de TV, o capítulo diário de uma novela começa às

19h 45min e termina às 20h 30min. Veja na tabela a seguir a distribuição do tempo de duração de cada capítulo e complete-a. Partes do capítulo Primeira parte

Início

Término

19h 45min

19h 54min

19h 57min

20h 6min

20h 9min

20h 18min

20h 21min

20h 30min

Intervalos comerciais Segunda parte Intervalos comerciais Terceira parte Intervalos comerciais Quarta parte

a) Quanto tempo é reservado a cada capítulo com os intervalos comerciais? b) Quanto tempo é dedicado a cada capítulo, excluídos os intervalos para anúncios comerciais? c) Qual é o tempo total dos intervalos comerciais em cada capítulo da novela?

372

Matemática

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Relações de trabalho e Matemática

Edson Sato/Pulsar Imagens

Ernesto Reghran/Pulsar Imagens

trabalho é reconhecido no mundo todo como um direito básico das pessoas. No Brasil, a Constituição Federal, promulgada em outubro de 1988, garante o direito ao trabalho para os cidadãos das cidades e do campo. Na Constituição da República Federativa do Brasil (Capítulo II: Dos direitos sociais, artigo 7) são relacionados 34 direitos dos trabalhadores. No entanto, muitos trabalhadores ainda ignoram seus direitos. Outros até os conhecem, mas não sabem como garanti-los e como proceder quando eles não são respeitados.

Trabalhadores na construção civil. Canela (RS), 2012.

Pessoas trabalhando no comércio de farinha e grãos no Mercado Municipal de Boa Vista (RR), 2010.

RODA DE CONVERSA

Você já teve algum de seus direitos como trabalhador desrespeitado? Quando isso aconteceu, você conseguiu tomar medidas para fazê-los valerem? Troque informações com seus colegas sobre essas experiências.

6o ano

373

Direitos trabalhistas: uma conquista de trabalhadores e trabalhadoras Leia a seguir dois direitos trabalhistas que serão bastante explorados neste capítulo. Você já os conhece? 1. Férias anuais remuneradas acrescidas de um terço: após 12 meses de prestação de serviço, os empregados têm direito a 30 dias de férias, com acréscimo de 1 de seu salário. 3 2. Décimo terceiro salário: os empregados têm direito ao 13o salário.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL Agora você vai conhecer a história de Cida, que será retomada em diversos momentos deste capítulo. Leia-a com atenção. Cida trabalhou como empregada doméstica desde os 17 anos. Em 2012, resolveu mudar de emprego e conseguiu uma vaga como caixa em um supermercado. Ela já havia avisado sua patroa em março que, no fim de abril, sairia do trabalho. Quando tudo se confirmou, era hora de fazer as contas. Cida sabia que, ao sair do trabalho, deveria seguir alguns procedimentos e que tinha direitos trabalhistas garantidos por lei. Ela, então, foi buscar informações no Sindicato dos Trabalhadores Domésticos para saber como calcular o valor que tinha de receber de seus patrões. Depois de obter as informações, conversou com sua patroa para, juntas, fazerem os cálculos. O salário mensal de Cida, na época, era de R$ 622,00. Sua patroa mantinha comprovantes de pagamento de salários, de pagamento de férias e de contribuição ao Instituto Nacional de Seguridade Social (INSS), recibos dos adiantamentos de salário e informes sobre benefícios. As últimas férias de Cida haviam vencido em 31 de janeiro de 2011. As duas calcularam que Cida receberia: • o salário de abril menos os descontos; • uma parte das férias correspondente aos três meses de trabalho após o término das férias; • uma parte do décimo terceiro salário (correspondente aos quatro meses trabalhados em 2012).

CÁLCULO DO SALÁRIO DE CIDA O salário de Cida em abril, menos os descontos, pode ser assim representado: R$ 622,00 menos R$ 49,76.

O valor R$ 49,76 corresponde ao que Cida recolhe ao INSS. Para determinar 622,00 menos 49,76 utilizaremos um algoritmo (uma técnica operatória) para calcular a diferença entre um número natural e um número racional, escrito na forma decimal. 374

Matemática

Esse algoritmo é uma adaptação de um algoritmo usado para calcular a diferença entre dois números naturais. No caso dos números racionais na forma decimal, acrescentamos as ordens decimais menores que a unidade: décimos, centésimos, milésimos, e assim por diante. Essas ordens estão à direita da ordem das unidades, separadas desta por meio de uma vírgula. Chamaremos esse grupo de ordens de parte não inteira. Acompanhe as ações seguintes e compare com seus conhecimentos sobre o algoritmo da subtração entre dois números naturais: C

–

Repare que, para a realização do cálculo, foram igualadas as casas decimais na parte não inteira. Neste algoritmo: C significa “centena”; D significa “dezena”; U significa “unidade”; d significa “décimo” e c significa “centésimo”. Logo, a diferença entre os dois valores é de R$ 572,24.

CÁLCULO DO RECOLHIMENTO TOTAL AO INSS Além dos R$ 49,76 recolhidos por Cida, sua patroa recolhe R$ 74,64 ao INSS. Para determinar 49,76 mais 74,64, utilizaremos um algoritmo para calcular a soma de dois números racionais, escritos na forma decimal, que é uma adaptação de um algoritmo que se usa para calcular a soma de dois números naturais. Acompanhe: 4 9,7 6 +

7 4,6 4 1 2 4,4 0

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Obtenha as seguintes somas e diferenças entre números racionais escritos na forma decimal: a) 1 5 8 , 1 9 + 3 1 , 2 1

4 3 , 2 – 1 8 , 8 7

7 2 , 4 +2 4 5 , 8 6

d) 1 9 , 7 4 +0 , 9 9 9

7 8 , 6 9 – 3 1 , 3 6

8 6 , 2 – 1 1 , 9 9

6o ano

375

2. Analise as somas e as diferenças dadas e indique as que estão corretas.

Refaça as que você considera incorretas de modo que fiquem corretas. a) 1 996,3 + 666,005 = 2 552,305

c) 499,98 + 0,02 = 500

b) 1 996,3 – 666,005 = 1 330,295

d) 499,98 – 0,02 = 498,96

3. Que número você excluiria em cada uma das seguintes somas para torná-las corretas? a) 58,6 + 65,7 + 89 = 147,6

b) 3,81 + 0,52 + 0,096 + 0,75 = 5,08

4. Em várias situações de pagamento, caixas e cobradores nos pedem para facilitar o tro-

co. No supermercado, para pagar uma conta de R$ 42,73, Cida deu R$ 50,00 e mais R$ 0,73. Quanto recebeu de troco? 5. Cida comprou um caderno que custava R$ 6,25 e pagou com R$ 10,00. A vendedora lhe pediu R$ 1,25 para ajudar no troco e Cida lhe deu esse valor em moedas. Quanto recebeu de troco? 6. Cida comprou um sapato por R$ 47,75. Ao pagar, viu que tinha na bolsa uma nota de R$ 50,00 e moedas de diversos valores. Como poderia facilitar o troco para o caixa?

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS O VALOR DAS FÉRIAS DE CIDA O valor correspondente às férias é formado por duas parcelas: • uma delas corresponde aos meses de fevereiro, março e abril de 2012, em que Cida trabalhou após o término das férias; • a outra corresponde a um terço de férias referente aos mesmos três meses de trabalho. Vamos à primeira parcela. Como Cida trabalhou fevereiro, março e abril de 2012 (três meses), então o valor de férias a que ela tem direito é a fração de seu salário que corresponde à fração de 3 meses de trabalho em 12 meses. 3 de ano. Essa fração de ano pode ser escrita assim: 12 Ou seja, ela tem direito ao valor de férias correspondente a 3 meses de tra3 de seu salário. Essa fração pode ser escrita na forma balho, que equivalem a 12 irredutível: 3 3÷3 1 = = 12 12 ÷ 3 4

Logo, o valor de férias correspondente a 3 meses de trabalho é igual a 14 de R$ 622,00. Como calcular 14 de R$ 622,00? Para responder à pergunta, vamos interpretar a expressão “ 14 de R$ 622,00” de duas maneiras. Observe: 376

Matemática

1a “ 14 de R$ 622,00” significa “a quarta parte de R$ 622,00”.

E “a quarta parte de R$ 622,00” significa que “dividimos 622 em quatro partes iguais e tomamos uma”. Portanto: 1 de 622 = 622 ÷ 4 = R$ 155,50 4

2a “ 14 de R$ 622,00” equivale ao produto 14 × 622: 1 1 1 622 622 1 × 622 de 622 = = = = R$ 155,50 × 622 = × 4 4 4 1 4 4×1

Para obter o resultado de resultado por 4 × 1. A expressão:

1 4

622 1

, podemos calcular 1 × 622 e dividir este

1 1 622 × 622 = × 4 4 1

é interpretada como sendo o resultado da multiplicação da fração pelo número 622. O produto 1 × 622 é uma fração cujo numerador é o produto dos nu4 1 meradores e cujo denominador é o produto dos denominadores. Veja outros exemplos: 2 3 2×3 6 = × = 5 7 5 × 7 35

4 1 4 4×1 = = × 9 10 9 × 10 90

1 4

13 3 39 13 × 3 = = × 100 10 100 × 10 1 000

Será que os cálculos de produtos de números racionais na forma fracionária feitos nos últimos exemplos dependem dessas frações em particular? Este é um momento para generalização: se a, b, c e d representam números naturais, então o produto da multiplicação dos números racionais ba e dc poderá ser feito por meio do seguinte procedimento: a c a×c × = b d b×d

PARA REFLETIR I

Qual é o valor “proibido” para b e d na última generalização? Veja outra maneira de calcular 14 × 622. Podemos representar 14 na forma decimal:

6o ano

377

• escrevendo uma fração decimal equivalente a 14 : 1 1 × 25 25 = = = 0,25 4 4 × 25 100 • dividindo o numerador 1 pelo denominador 4: 1,00 4 20 0,25 0

A expressão 0,25 × 622 representa o produto da multiplicação entre o número racional 0,25 e o número natural 622. O algoritmo da multiplicação de dois números naturais pode ser adaptado para a multiplicação de um número racional (escrito na forma decimal) por um número natural. Acompanhe:

1 1

0, 2 × 6 2 5 5 0 5 0 5 5, 5

5 2 0 + 0

ou seja, calcula-se o produto de 25 por 622 e divide-se o resultado por 100. Na prática: • multiplica-se 25 por 622 e obtém-se 15 550; • a partir do algarismo 0 mais à direita da representação 15 550, contam-se duas casas deci-

mais da direita para a esquerda dessa representação e coloca-se a vírgula decimal entre os dois últimos algarismos 5.

Veja outros exemplos: 2,75 × 45 = 123,75 2, 7 5 4 5 × 1 3 7 5 1 1 0 0 + 1 2 3, 7 5

378

Matemática

12,5 × 32 = 400 1 2, 5 3 2 × 2 5 0 3 7 5 + 4 0 0, 0

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Obtenha os produtos a seguir e escreva-os na forma decimal e na forma fracionária: a) 1 × 1 = b) 2,54 × 0,75 = 4 2 2. Uma comunidade da periferia de uma grande cidade tem uma população estimada em 12 560

pessoas. Dessas pessoas, a metade concluiu o Ensino Fundamental e, entre elas, apenas um quarto concluiu o Ensino Médio. a) Que fração da comunidade concluiu o Ensino Médio? b) Quantas pessoas dessa comunidade concluíram o Ensino Médio? 3. Uma polegada (1”) é uma unidade de comprimento que equivale a, aproximadamente, 2,54 cm.

Um cano d’água tem diâmetro de

3 4

de polegada.

Qual é a medida decimal do diâmetro desse cano em centímetro? 4. Em uma escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA) há 840 estudantes. • Um terço desses é empregado doméstico. • Um quarto deles trabalha na construção civil. • Dois quintos são comerciários.

Quantos desses estudantes: a) são empregados domésticos? b) trabalham na construção civil? c) são comerciários? 5. João é pedreiro. Ele recebe R$ 3,20 por hora e trabalha 44 horas por semana.

Qual é seu salário semanal?

REPRESENTAÇÕES DECIMAIS DE NÚMEROS RACIONAIS O VALOR DA SEGUNDA PARCELA DE FÉRIAS DE CIDA Voltando às férias de Cida, além do valor R$ 155,50, Cida tem direito, tam1 bém, a de R$ 155,50 (veja o boxe sobre os direitos dos trabalhadores no início 3 deste capítulo). Esse novo direito da Cida pode ser obtido com o cálculo do produto entre uma fração e um número decimal. Porém, aparece uma novidade em relação aos cálculos feitos até agora. Acompanhe: 1 1 1 × 155,5 155,5 de 155,50 = × 155,50 = = = 155,50 ÷ 3 = 51,833333... 3 3 3 3×1

Você notou as reticências na representação do resultado da divisão de 155,50 por 3? Qual é o significado das reticências na representação 51,833333...? Como se obtêm essas reticências? 6o ano

379

Para tentar responder as duas últimas questões, acompanhe, ao lado, como foi obtido o cociente da divisão de 155,50 por 3 por meio do algoritmo da divisão.

155,5000000... – 15 ,5000000... 005,5000000... – 3,5000000... 2 5000000... – 24000000... 10, 0000... – 9 0000... 10 000... – 9 000... 10, 0... – 9 00... 1 00...

3 51,8333...

As reticências em 51,833333... significam que essa representação decimal não tem fim. Em Matemática, dizemos que a representação exata do cociente da divisão de 155,50 por 3 tem infinitas casas decimais após a vírgula decimal. Uma representação como 51,833333... denomina-se dízima periódica de período 3. Uma outra forma para representar a dízima periódica 51,833333... é 51,83. Logo, a parte das férias que Cida teve direito de receber é o valor: R$ 155,50 + R$ 51,833333...

Se a representação decimal de um número racional tem um número finito de casas decimais após a vírgula decimal, então temos uma representação decimal exata. Exemplos: 1 = 0,5 2

7 = 1,75 4

15 = 1,875 8

0,5; 1,75 e 1,875 são representações decimais exatas.

CRITÉRIO DE ARREDONDAMENTO Você já deve ter percebido que valores de dinheiro costumam ser apresentados com duas casas decimais após a vírgula (embora existam casos em que os valores de dinheiro são expressos com três casas decimais como nos preços de combustíveis e de moedas estrangeiras). Logo, vamos arredondar o valor 51,833333... na representação com apenas duas casas decimais: 51,83. Esse tipo de arredondamento costuma ser nomeado “truncamento”. 380

Matemática

Assim, usando o arredondamento mencionado, o valor das férias que Cida teve direito a receber é: R$ 155,50 + R$ 51,83 = R$ 207,33

ORDENAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL Para ordenar dois números racionais escritos na forma decimal, por exemplo, em ordem crescente: • primeiro comparamos as suas partes inteiras; • o menor número será aquele que tiver a menor parte inteira; • se suas partes inteiras forem iguais, então comparamos as ordens dos décimos; • se essas forem iguais, então comparamos as ordens dos centésimos, e assim por diante, até encontrarmos a primeira ordem que em cada representação seja ocupada por algarismos distintos. O menor número será aquele que tiver o algarismo dessa ordem com o menor valor. Parte inteira U 5 5

5,25 5,231

, , , ,

Parte não inteira dcm 25 231

5,231 é menor que 5,25, o que pode ser representado por 5,231 < 5,25. Ou 5,25 é maior que 5,231, o que pode ser representado por 5,25 > 5,231. APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Uma professora de Matemática solicitou aos alunos que classificassem os números racionais na

forma de fração do quadro a seguir em representações decimais exatas ou em dízimas periódicas. 8 5

18 9

7 9

11 46 71 45 123 16 99 90 90 999

Veja como Sílvio respondeu à questão: 8 18 45

• em dízimas: 5 , 9 , 90 ;

7 11 46 71 123 , , , . 9 16 99 90 999

• em frações: ,

Você acha que Sílvio respondeu corretamente? Justifique sua resposta. 2. Utilize os símbolos > ou < de modo a tornar verdadeiras as seguintes sentenças: a) 0,7

1,3

b) 2,9

1,988

c) 3,1

3,1112 6o ano

381

3. Em dois postos de combustível, o litro da gasolina aditivada custa, respectivamente, R$ 2,899 e

R$ 2,91. Um cliente deseja abastecer seu carro com 45 litros de gasolina aditivada, usando um dos dois postos. a) Determine quanto ele gastará em cada posto. Se for conveniente, use uma calculadora. b) Em qual deles o cliente gastará menos? 4. Em 2012, Cida permaneceu no seu emprego após suas férias, de fevereiro até o final de abril. a) Calcule a fração de ano correspondente ao período de trabalho da Cida em 2012. b) Calcule a parte do 13o salário a que Cida tem direito e que é correspondente a esses períodos

de trabalho. c) Finalmente, calcule o valor total a que Cida teve direito quando saiu do emprego em abril: salário de abril + parte de férias + parte do 13o salário

DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS Cida dividiu uma pizza em duas partes. 3 Uma delas, que corresponde a 4 da pizza, vai ser divida igualmente entre seus filhos. Cada filho da Cida recebeu 14 da pizza. Quantos são os filhos da Cida? Nesse problema, a solução consiste em calcular quantas vezes

da pizza cabe

da mesma pizza, ou seja, dividir 34 por 14 . 3 1 Para calcular o cociente 4 ÷ 4 , vamos usar a seguinte propriedade da divisão de números naturais que também vale para números racionais: em

3 4

1 4

(

) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ( ) )(

)

33 ÷÷ 11 == 333××÷ 4413 ÷÷= 11133=××÷ 4431 ×==÷ 4331 ÷×× 4413 ×÷÷= 444113 ===×× 3344 ××=÷ 4443 ÷÷=×114413===×33÷ 34÷×× 4 ×14=4=÷ 4=1=33=12 12 43×4 =4= 312 ÷3××31×=4=4× =334÷34÷ 1÷× =4 =12 =413=×3=×12 ÷3 1×==343 ÷× 44 44 444 114 4444 1144 144 1144 14444 4141 1144 414 44 414 411 1 44 44 4 11 1 41 4 144 4 141 1 4 14 Ou seja, 3 ÷ 1 = 3 ×× 4 = 12 = 3 4 4 1 4 4

Logo, Cida tem três filhos. A fração 4 é denominada fração inversa da fração 1 . 1 4 Uma propriedade importante das frações é que, quando uma fração é multiplicada pela sua inversa, o resultado é sempre 1. Observe: 1 4 4 1×4 =1 = = × 4 1 4 4×1

382

Matemática

Veja outros exemplos: 2 3 2 × 7 14 ÷ = = 5 7 5 × 3 15

1 1 1 100 = 10 ÷ = × 10 100 10 1

Para calcular o cociente da divisão de uma fração por outra, um procedimento é o de calcular o produto da multiplicação da primeira fração pela fração inversa da segunda fração. Será que os cálculos dos cocientes de números racionais na forma fracionária feitos nos últimos exemplos dependem dessas frações em particular? Este é um outro momento para generalização: se a, b, c e d representam números naturais, então o cociente da divisão dos números racionais a e c poderá ser obtido por meio do seguinte b d procedimento: a c a b a×d ÷ = = × b d b c b×c PARA REFLETIR II

Qual é o valor “proibido” para b, c e d na última generalização? Há outra maneira para calcular 3 ÷ 1 . Acompanhe: 4 4 Representamos 3 e 1 na forma decimal. 4

3 1 3 1 ÷= 0,75 e÷ = 0,25 4 4 4 4

e utilizamos um algoritmo para a divisão de dois números racionais na forma decimal. • “Eliminamos as vírgulas” das representações 0,75 e 0,25 (nesses casos, “eliminar a vírgula” significa multiplicar esses números por 100); • Realizamos a divisão dos números naturais obtidos 75 e 25: –75

– 75

0 • Como o dividendo 0,75 e o divisor 0,25 foram multiplicados pelo mesmo número 100, então

o cociente da divisão de 0,75 por 0,25 é o mesmo cociente da divisão de 75 por 25, ou seja, 3.

APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Escreva a fração inversa de cada fração seguinte: a)

2 3

1 5

10 1

6o ano

383

2. Obtenha, na forma fracionária, os cocientes das seguintes divisões de frações: 3 1 ÷ = 4 5

5 1 = ÷ 8 100

7 10 = ÷ 10 1

3. Obtenha, nas formas decimal e fracionária, os seguintes cocientes de divisão de números racio-

nais escritos na forma decimal: a) 0,75 ÷ 0,2 =

b) 0,4 ÷ 0,01 =

c) 0,7 ÷ 10 =

EXERCITANDO MAIS

1. Após atender um cliente na loja de materiais de construção onde trabalha, um balconista tinha

em mãos o seguinte boleto: Atacado e varejo da sua construção – boleto Quantidade

Discriminação

Preço unitário

sacos de cimento CP-II

21,50

sacos de argamassa

12,75

metros de fio com 2,5 milímetros

4,54

metros de fio com 4,0 milímetros

5,22

metros de fio com 6,0 milímetros

8,70

metros de arame com 2,5 milímetros

1,35

Preço total

Total a pagar S. M. de Traz da Colina,

de 20

Desconto: 1 décimo do total Total c/ desconto

Complete o boleto com os seguintes dados: a) o valor “Total a pagar” da compra do cliente; 1 b) o desconto de 10 (um décimo) do “Total a pagar”;

c) o valor “Total c/ desconto”.

2. Em um restaurante, três amigos pediram uma pizza de calabresa. Ela veio dividida em oito pe-

daços e cada um dos amigos comeu dois pedaços. Sobraram dois pedaços, que foram divididos igualmente entre os três. Que fração da pizza restante coube a cada um? 3. O salário líquido de um trabalhador é de R$ 1 380,00. Entre outras coisas, ele gasta

para pagar o aluguel da casa e

1 3

do salário com a alimentação.

a) Quanto ele gasta, em real, com o aluguel e com a alimentação? b) Quanto sobra para as demais despesas?

384

Matemática

2 5

do salário

4. Represente na forma de fração de ano os períodos a seguir: a) b) c) d)

um mês dois meses três meses quatro meses

e) cinco meses

i) nove meses

f) seis meses

j) dez meses

g) sete meses

k) onze meses

h) oito meses

l) doze meses

Quais dessas frações representam uma dízima periódica? Se for conveniente, use uma calculadora para descobrir. 5. Associe as letras correspondentes aos cálculos da coluna A com os números que representam os

resultados na coluna B. A

0,3 + 5

0,93

3,52 – 1,50

165

0,85 + 0,08

0,34

1,25 × 132

2,02

12 ÷ 5

2,4

6 ÷ 18

52,92

0,9 – 0,56

0,3333...

54 × 0,98

5,3

6. Observe as fichas dispostas em cada uma das linhas a seguir. Complete as fichas em branco de tal

modo que o número seja o de menor valor em cada linha.

0,09

5,1

0,9

0,1

4,9 3,2

7. Qual é o maior número: 0,63 ou 85 ? Para fazer essa comparação, transforme o número que está na

forma fracionária em decimal ou transforme em fração o que está na forma decimal.

6o ano

385

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Escolaridade e trabalho

Mano de Carvalho/Correio da Paraíba/Futura Press

escolaridade do povo brasileiro tem aumentado nas últimas décadas, mas nem toda a população tem sido beneficiada. Ainda há mais de 14 milhões de brasileiros analfabetos. Esse contingente corresponde a aproximadamente 9% da população de acordo com o Censo 2010 do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Sala de alfabetização de adultos na comunidade do Toimbó, em João Pessoa (PB), 2008.

RODA DE CONVERSA

Você sabe o que significa o dado numérico 9%? Como ele é lido? Esse tipo de informação, que aparece com o símbolo % ou com as expressões por cento, percentual, porcentual ou porcentagem, é comum em notícias que aparecem na televisão, no rádio, no jornal. Relate aos colegas uma situação em que você tenha se deparado com o símbolo % ou com as expressões de porcentagem. 386

Matemática

PORCENTAGEM: SIGNIFICADO, REPRESENTAÇÃO E LEITURA REAJUSTE SALARIAL Os últimos anos foram marcados por várias mudanças no mercado de trabalho brasileiro. Diante das exigências de maior nível de escolaridade para viver e trabalhar, quatro jovens – Mônica, Maria, Valdelice e Ricardo – retornaram à escola para completar os estudos. Mônica, que cursa o Ensino Médio, é funcionária de uma empresa e recebe um salário bruto de R$ 800,00. Por ocasião do reajuste anual de salário, o sindicato patronal ofereceu duas propostas aos funcionários. • Proposta 1: reajuste salarial de 10% sobre o salário atual, mais um abono numa parcela única de R$ 500,00. • Proposta 2: reajuste salarial de 12% sobre o salário atual. Vamos analisar as propostas de reajuste do salário de Mônica e verificar qual é a mais vantajosa para ela. O que significa reajuste salarial de 10%? A expressão por cento, simbolizada por %, é muito comum no cotidiano: basta abrir jornais, revistas, ligar o rádio ou a televisão para ouvi-la ou vê-la em indicadores econômicos, políticos e outros.

Algumas vezes, somente os números não nos dão informações significativas. Entretanto, quando eles estão escritos na forma de porcentuais, conseguimos analisar e avaliar situações sobre as quais desejamos obter informações mais detalhadas, como nas propostas descritas anteriormente. Na primeira proposta, temos a informação de um reajuste salarial de 10% (dez por cento) sobre o salário atual. O que significa isso? Significa que, a cada R$ 100,00 de salário, Mônica receberá R$ 10,00 de reajuste. Ou seja, 10% de 100 corresponde a um décimo de 100. 10% de 100 =

1 10

de 100 = 0,1 × 100 = 10 ou 10% de 100 = 100 ÷ 10 = 10

Assim: 10% de 800 = 0,1 × 800 = 80 ou 10% de 800 = 800 ÷ 10 = 80 salário atual + reajuste salarial de 10% sobre o salário atual = 800 + 80 = 880

6o ano

387

Logo, pela proposta 1, Mônica passaria a receber um salário de R$ 880,00 e um abono de R$ 500,00 que seria dado uma única vez aos funcionários. Um dos objetivos do ensino de Matemática é propiciar às pessoas condições de efetuar generalizações a partir dos resultados obtidos. Dessa maneira, podemos generalizar o cálculo de 10% da seguinte maneira: Para obter 10% de uma quantidade qualquer, basta multiplicar essa 1 quantidade por 0,1 ou dividir essa quantidade por 10, pois 10% significa 10 . Para calcular os 10% do salário, pode-se usar uma calculadora simples, como a ilustrada a seguir. Ilustração digital: Llinares

Acompanhe duas formas para determinar 10% de 800, utilizando esse tipo de calculadora. 8 0 0 × . 1 = Digite: Ou digite: 8 0 0 ÷ 1 0 = Em ambas as situações, no visor da calculadora deverá aparecer o resultado 80. Se a calculadora tiver a tecla % , basta digitar 8 0 0 × 1 0 e pressionar a tecla % que a calculadora fará as operações automaticamente. Veja outros exemplos: • 10% de 545 = 0,1 × 545 = 54,5; • 10% de 1 258 = 0,1 × 1 258 = 125,8.

Vamos analisar agora a proposta 2: reajuste salarial de 12% sobre o salário atual. Isso será feito de duas maneiras: 1. O reajuste pode ser obtido da seguinte forma: 12% de 800 =

12 100

× 800 = 12 × 8 = 96 reais

2. Como 12% (12 por cento) significa 12 de um total 100, então podemos

pensar da seguinte forma: • 12% = 10% + 1% + 1% • 12% de 800 = 10% de 800 + 1% de 800 + 1% de 800 Podemos calcular mentalmente, recorrendo ao seguinte artifício: • 10% de 800 equivale à décima parte de 800: 800 ÷ 10 = 80 • 1% de 800 equivale à centésima parte de 800: 800 ÷ 100 = 8 Portanto, para obter 12% de 800, soma-se 10% de 800 com 1% de 800 e mais 1% de 800: 12% de 800 = 80 + 8 + 8 = 96

Assim, salário atual + reajuste salarial de 12% sobre o salário atual: 800 + 96 = 896. 388

Matemática

Pela proposta 2, Mônica passaria a receber um salário mensal de R$ 896,00, mas não teria o abono de R$ 500,00. Para calcular 12% de R$ 800,00 usando uma calculadora que possui a tecla % , podemos digitar a sequência apresentada a seguir: Digite 8 0 0 . Digite × e digite 1 2 . Em seguida, digite a tecla % . O resultado vai aparecer no visor: 96. Analisando as duas propostas Proposta 1:

Novo salário com 10% de reajuste: R$ 800,00 + R$ 80,00 = R$ 880,00. Dividindo o abono de R$ 500,00 por 12 meses, obtemos: R$ 500,00 ÷ 12 = R$ 41,666...

Esse valor, arredondado para duas casas decimais após a vírgula, torna-se R$ 41,66. Esse cálculo possibilita a comparação entre as duas propostas em termos de salário mensal, conforme observamos a seguir. Logo, Mônica receberia : R$ 880,00 + R$ 41,66 = R$ 921,66 Proposta 2:

Novo salário (com 12% de reajuste): R$ 800,00 + R$ 96,00 = R$ 896,00 A proposta 1 parece ser a mais vantajosa para Mônica, pois seu salário mensal, com abono, seria superior ao salário da proposta 2. Deve-se considerar que, em geral, abonos não são incorporados ao salário. No ano seguinte, por ocasião do novo reajuste, a porcentagem de aumento provavelmente será calculada sobre o valor do salário sem o abono. Assim, a proposta 1 oferece uma vantagem imediata, pois permite que Mônica tenha um ganho maior durante o período. Mas, ao longo dos anos, esse ganho poderá não ser incorporado ao valor real de seu salário. APLICAR CONHECIMENTOS I

1. O quadrado a seguir foi decomposto em 100 quadradinhos. 1 centésimo

6o ano

389

Cada um dos quadradinhos corresponde a um centésimo do quadrado inicial. Um centésimo é chamado também “um por cento” (1%), pois 1% = 1 = 0,01. 100

Destaque nessa mesma figura, utilizando cores diferentes, 8%, 15%, 32%. 2. Observe as figuras abaixo e indique que fração corresponde cada uma das “partes” pintadas em

azul com relação à figura destacada. Em seguida, indique esse valor na forma de porcentagem.

3. Se um número está escrito na forma de porcentagem, podemos escrevê-lo na forma fracionária e

na forma decimal. Por exemplo:

35% =

35 100

= 0,35 e 2% =

2 100

= 0,02

Escreva uma fração correspondente a cada número a seguir. a) 15% c) 0,5% b) 39%

d) 0,25%

4. Escreva cada número a seguir na forma de porcentagem: c) 1 4 d) 6 8

a) 0,35 b) 0,07

5. Escreva uma regra para representar, na forma fracionária e na forma decimal, um número escrito

na forma de porcentagem. 6. Como obter 25% de uma quantidade qualquer? Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1: 25% de 100 =

126 de 100 = 0,25 × 100 = 25 658,24

25% de 100 = 25 × 100 ÷ 100 = 25

Exemplo 2: 25% de 200 = 0,25 × 200 = 50

25% de 200 = 25 × 200 ÷ 100 = 50

25% de 20 = 25 × 20 ÷ 100 = 5

Exemplo 3: 25% de 20 = 0,25 × 20 = 5

390

Matemática

Agora, complete as lacunas dos itens a seguir com um número de modo a tornar as sentenças verdadeiras: a) Para obter 25% de uma quantidade qualquer, basta multiplicar essa quantidade por

ou, então, multiplicar essa quantidade por .

por b) Como 25% =

e dividir o resultado

25 100

25 ÷ 25 100 ÷ 25

basta dividi-lo por

1 4

(quarta parte), então, para determinar 25% de um número, .

7. O Censo Escolar da Educação Básica de uma cidade revelou que, em 2011, 2 448 estudantes

concluíram a Educação de Jovens e Adultos (EJA) presencial. Desse total, aproximadamente 25% pertenciam ao Ensino Fundamental I. Use uma calculadora para determinar um número aproximado de estudantes que concluíram o Ensino Fundamental I em 2011:

DESCONTOS E ARREDONDAMENTOS

Tempo Composto

Maria trabalha como empregada doméstica e é registrada de acordo com a lei. O seu salário mensal é de R$ 658,24. Todo mês, seus patrões recolhem ao Instituto Nacional de Seguridade Social (INSS) 20% sobre o valor do seu salário. Esse dinheiro, que vai para o INSS, pode ser utilizado para várias finalidades, entre elas: aposentadoria, afastamentos médicos, seguro-desemprego. Para esse recolhimento, os patrões usam o documento chamado Guia da Previdência Social (GPS).

Dos 20%, 12% são recolhidos pelos patrões de Maria, e os 8% restantes são descontados do seu salário. O valor descontado do salário do empregado, dependendo do valor salário, pode ser maior, chegando a 11%.

6o ano

391

Pense sobre algumas perguntas relacionadas a esses dados: • Qual é o valor total recolhido ao INSS pelos patrões de Maria? • Qual é o valor descontado do salário de Maria? Para responder à primeira pergunta, vamos calcular 20% de R$ 658,24: valor recolhido ao INSS = 20% de 658,24 = 131,648

Usando uma calculadora, um procedimento possível é:

2 × 6 5 8

2 4 =

O valor R$ 131,648 pode ser lido da seguinte maneira: cento e trinta e um reais e seiscentos e quarenta e oito milésimos de real. Mas não existem moedas com valores menores que 1 centavo (ou 1 centésimo de real). Então, ao preencher a GPS, os patrões de Maria fazem um arredondamento no valor a ser recolhido. Eles olham para a terceira casa decimal após a vírgula e: • se essa casa é ocupada por um algarismo menor que 5, eles mantêm exatamente as duas primeiras casas decimais; • se essa casa é ocupada pelo algarismo 5, ou por um algarismo maior que 5, eles somam uma unidade na segunda casa decimal. Nesse exemplo, a guia será preenchida com o valor R$ 131,65. Para calcular o valor a ser descontado do salário de Maria, temos que calcular 8% de 658,24. Acompanhe: valor descontado no salário = 8% de 658,24 = 8% × 658,24 = 0,08 × 658,24 = 52,6592 reais

Numa calculadora, um procedimento possível para se obter esse resultado é:

0 8 × 6 5 8

2 4 =

Nesse caso, também, fazemos um arredondamento para obter o valor a ser descontado do salário de Maria e obtemos R$ 52,66. Qual é o salário líquido de Maria? Para responder a essa pergunta, subtraímos do salário de Maria o valor do desconto. salário Líquido = salário bruto – desconto = 658,24 – 52,66 = 605,58 reais

ÍNDICE PORCENTUAL OU TAXA PORCENTUAL Além do seu salário, Maria recebe mensalmente R$ 126,00 para despesas com transporte. As despesas com transporte correspondem a quanto por cento do 392

Matemática

salário bruto? Essa pergunta também pode ser formulada assim: quantos por cento o número 126 é do número 658,24? Os passos para esse cálculo podem ser os seguintes: • Primeiro calculamos quantas vezes 658,24 “cabe” em 126. Para isso, dividimos 126 por 658,24: 126 ÷ 658,23 =

126 658,24

0,1914195

0,19

O símbolo significa “aproximadamente igual a” e o valor 0,19 é chamado índice (taxa) decimal. • Em seguida, podemos representar o resultado aproximado da divisão de 126 por 658,24 sob forma de porcentagem: 0,19 = 19 ×

1 = 19 × 1% = 19% 100

Então, dizemos que 126 é, aproximadamente, 19% de 658,24. O valor 19% é chamado índice porcentual ou taxa porcentual. Observe outro exemplo: Quantos por cento o número 23 é do número 184? Podemos repetir os passos do primeiro exemplo: • Quantas vezes 184 “cabe” em 23? 23 ÷ 184 =

23 1 = = 0,125 184 8

• Podemos usar uma calculadora para calcular 23 ÷ 184. Para isso, digi-

tamos:

2 3 ÷ 1 8 4 = Transformando o resultado da divisão em porcentagem, temos:

0,125 =

12,5 1 125 = = 12,5 × = 12,5 × 1% = 12,5% 100 100 1000

Dizemos, então, que 23 é 12,5% de 184. As formas 0,125 e 12,5% são os índices (as taxas) decimal e porcentual, respectivamente.

6o ano

393

Voltando para o caso de Maria, o valor que os seus patrões gastam mensalmente para mantê-la como sua empregada doméstica pode ser obtido pela soma do valor do salário de Maria com o valor recolhido para o INSS e as despesas com transporte.

valor gasto pelos patrões de Maria = salário + 12% do salário + 126,00 = = 658,24 + 12% × 658,24 + 126,00 = 658,24 + 78,99 + 126,00 = 863,23

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. As contribuições de empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos, são calculadas

mediante a aplicação da alíquota correspondente, de forma não cumulativa, sobre o salário de contribuição mensal, de acordo com a seguinte tabela: Tabela de contribuição dos segurados empregado, empregado doméstico e trabalhador avulso, para pagamento de remuneração a partir de 1o de janeiro de 2012 Salário de contribuição (R$)

Alíquota para fins de recolhimento ao INSS (%)

Até 1 174,86

8,00

De 1 174,87 até 1 958,10

9,00

De 1 958,11 até 3 916,20

11,00

Complete a tabela a seguir de acordo com cada salário. Salário de contribuição (R$)

Quantia recolhida ao INSS

Salário líquido

850,00 1 106,90 1 106,91 1 844,83 1 844,84

2. Observe o demonstrativo de pagamento de Valdelice, cujo salário mensal é de R$ 1 080,00. a) Qual é o índice porcentual do recolhimento ao INSS? b) Quanto por cento é descontado no total dos vencimentos de Valdelice?

394

Matemática

c) O salário líquido de Valdelice corresponde a quanto por cento dos vencimentos?

Demonstrativo de pagamento Nome: Valdelice dos Santos Conta

Descrição

Vencimentos

Descontos

GM1

Salários

G22

Arredondamento

G41

Média horas extras s/DSR

24,94

HTF

Horas trabalhadas feriado

124,68

DAL

Alimentação

DFZ

Participação programa Fome Zero

DPC

Poupança cooperativa

10,50

DVT

Vale-transporte desconto

34,14

G01

INSS

86,40

G18

Desconto adiantamento

G11

Depósito FGTS

Quantidade/ outros

Valor unitário

1 080,00 0,00

24,07 14,60 0,50

199,13 57,48 Vencimentos Descontos 1 229,62

345,44

Líquido 884,18

MATEMÁTICA DO COMÉRCIO Ricardo é vendedor de uma loja de eletrodomésticos. Ele se interessa muito por matemática comercial, pois sabe que ela pode ajudar no seu desempenho profissional. Pode-se entender matemática comercial como a aplicação de conceitos matemáticos em algumas situações comerciais, como reajustes de preço, desconto e cálculo de margem de lucro. Acompanhe, a seguir, algumas situações que ilustram como alguns conceitos matemáticos podem ser usados no comércio.

LUCRO Uma empresa atacadista vende um micro-ondas pelo preço de R$ 360,00 (chamado preço de custo). 6o ano

395

Ilustração digital: Llinares

Uma loja de eletrodomésticos vende cada aparelho de micro-ondas desse mesmo tipo, no varejo, por R$ 450,00 (chamado preço de venda).

O lucro da loja em cada forno de micro-ondas vendido pode ser calculado assim: lucro = 450,00 – 360,00 = 90,00

A margem de lucro sobre o preço de custo pode ser calculada da seguinte forma: margem de lucro (sobre o custo) = 450,00 – 360,00 = 90,00 = 0,25 = 25% 360,00 360,00

Existe, também, a margem de lucro sobre a venda, que pode ser calculada da seguinte forma: margem de lucro (sobre a venda) = 450,00 – 360,00 = 90,00 = 0,20 = 20% 450,00 450,00

Observe que a margem de lucro, quando calculada sobre o preço de custo, é maior que a margem de lucro sobre o preço de venda. Por quê?

REAJUSTE DE PREÇO Imaginemos que a empresa do exemplo anterior, depois de um ano, reajustou o preço do forno de micro-ondas para os seus revendedores de R$ 360,00 para R$ 495,00. A loja decidiu, então, repassar aos clientes o mesmo índice porcentual praticado pelo fabricante de forno de micro-ondas. Qual deverá ser o novo preço de venda desse tipo de forno de micro-ondas para os consumidores? O índice de reajuste do forno de micro-ondas praticado pela empresa pode ser calculado da seguinte forma: 135,00 índice de reajuste = 450,00 – 360,00 = = 0,375 = 37,5% 360,00 360,00

396

Matemática

Quando dividimos R$ 135,00, que é a diferença entre o preço de custo novo e o preço de custo antigo, por R$ 360,00, estamos calculando “quantas vezes 360,00 cabe em 135,00” ou quantos por cento 135 é de 360. Se a loja aplicar esse mesmo índice sobre o preço de venda antigo, vai obter o novo preço de venda. preço de venda novo = preço antigo + preço antigo × 37,5% preço de venda novo = 450 + 450 × 37,5% = 450 + 168,75 = 618,75

Assim, o novo preço de venda será R$ 618,75. CÁLCULO DE DESCONTO

Um cliente de uma loja de departamentos foi comprar uma impressora que custava R$ 510,00. O cliente pediu um desconto ao vendedor. Após consultar o gerente, o vendedor ofereceu um desconto de 1,5% para o pagamento à vista. Qual foi o preço proposto ao cliente? A porcentagem de desconto no preço pode ser chamada de índice porcentual de desconto. O correspondente valor decimal − 0,015 − será chamado simplesmente de índice de desconto. Para calcular o desconto de 1,5% sobre 510, podemos fazer os seguintes cálculos: desconto no preço = 1,5% de 510 = 1,5% × 510 = 0,015 × 510 = 7,65

Em seguida, subtraímos o desconto do preço da impressora para calcular o novo preço: novo preço = preço antigo – desconto = 510 – 7,65 = 502,35

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Resolva os itens a seguir. a) Em janeiro de 2012, o salário-mínimo, que era de R$ 545,00, teve um reajuste, aproximado, de

14,13%. Para quanto passou o novo salário-mínimo? Apresente sua resposta com duas casas decimais após a vírgula. b) Se o salário-mínimo tivesse passado de R$ 545,00 para R$ 650,00, como queriam algumas

associações de trabalhadores e de aposentados, qual teria sido o índice porcentual de reajuste? 6o ano

397

2. Uma casa comercial que vende produtos de cama, mesa e banho possui, em seu estoque, 150

cobertores de lã. Cada cobertor custou à loja R$ 110,00. Como esses cobertores não estão sendo vendidos (por ser verão), o gerente resolveu fazer uma promoção. O novo preço de venda foi calculado para que a margem de lucro sobre o preço de custo fosse de 5%. a) Quanto a loja arrecadaria se vendesse todos os cobertores?

b) Como na época da promoção o mercado estava em crise, a loja só conseguiu vender 10% dos

cobertores do estoque. Quanto a loja arrecadou nessa promoção?

c) Uma segunda promoção foi feita, utilizando uma margem de lucro de 1% sobre o preço de cus-

to. Mesmo assim, a loja só conseguiu vender 20% dos cobertores do estoque restante. Quanto a loja arrecadou na segunda promoção?

d) Uma terceira promoção foi feita, utilizando uma margem de lucro de 0% (ou seja, a venda de

cada cobertor pelo preço de custo). Mesmo assim, sobraram 75% dos cobertores do estoque anterior. Quanto a loja arrecadou nessa promoção?

e) Para tentar “queimar o estoque”, como se diz no jargão comercial, uma nova promoção foi

feita. Dessa vez, cada cobertor foi vendido com um prejuízo de 10% com relação ao preço de custo. Imaginando que, com essa última promoção, a loja conseguiu vender todos os cobertores restantes, quanto a loja arrecadou com a venda dos 150 cobertores?

f) A loja teve lucro ou prejuízo com a venda dos 150 cobertores? EXERCITANDO MAIS

1. Imagine que um amigo pergunte a você o que quer dizer a seguinte afirmação:

“20% das pessoas que estudam no Ensino Fundamental têm dificuldades para escrever uma redação em português”. Explique o significado do uso da porcentagem na frase. 2. Imagine que uma colega lhe peça que a ensine a obter o número correspondente a 20% de um grupo de 1 985 estudantes da escola que vocês frequentam. a) Como você explicaria o procedimento para obtenção de tal número? b) Desenhe a seguir uma sequência de teclas a serem digitadas numa calculadora para que essa

colega possa chegar ao resultado esperado.

3. Escreva uma fração correspondente a: a) 24%

c) 0,8%

b) 72%

d) 0,45%

4. Escreva os números a seguir como porcentagem: a) 0,13

c) 1

b) 0,08

d) 3

2 4

5. Uma geladeira está sendo vendida em duas parcelas de R$ 830,00 cada. Pagamentos à vista têm

um desconto de 15%. Qual o preço à vista dessa geladeira?

6. Um motorista ganhava um salário bruto de R$ 1 000,00 por mês. Por ocasião do reajuste salarial,

passou a ganhar R$ 1 270,00. Qual foi a porcentagem de reajuste que ele teve?

398

Matemática

7. Uma pequena cidade do interior do país tem 7 543 eleitores. Na última eleição concorreram ao

cargo de prefeito três candidatos. No primeiro turno, a contagem dos votos foi a seguinte: Candidato

Número de votos

André

1 178

Bernardo

1 215

Ana Paula

3 147

Em branco

1 139

Nulos

409

Não votaram

456

Total

7 544

Índice decimal

Índice porcentual

a) Determine os índices (as taxas) decimais e porcentuais de cada candidato, dos votos em bran-

co, nulos e dos eleitores que não votaram nessa eleição. Complete os dados na tabela. b) São considerados votos válidos em uma eleição apenas aqueles que são dados a um candidato. Calcule o número de votos válidos dessa eleição. c) Para que um candidato seja eleito no primeiro turno, ele deverá ter, no mínimo, 50% dos votos válidos mais 1 voto. Algum candidato conseguiu ser eleito no primeiro turno dessa eleição? Justifique sua resposta. d) Determine o índice porcentual de eleitores que votaram em branco e daqueles que anularam

o voto. e) Compare o índice obtido com o do candidato mais votado e faça uma análise dessa eleição

com seus colegas considerando os dois últimos índices. 8. Uma indústria de calçados vende para uma loja de departamentos um tipo de sandália pelo preço de

custo de R$ 36,00. A loja vende cada sandália pelo preço de venda de R$ 45,00. Nessas condições: a) Calcule o lucro da loja, em reais, por sandália vendida. b) Porcentualmente, qual é a margem de lucro da loja sobre o preço de custo da sandália? c) Qual é a margem de lucro da loja sobre o preço de venda da sandália? d) Imagine que essa indústria reajustou o preço da sandália de R$ 36,00 para R$ 49,50. A loja

decidiu repassar para o preço de venda o mesmo índice porcentual praticado pela indústria. Qual foi o índice de reajuste praticado pela indústria? e) Qual deverá ser o novo preço de venda desse tipo de sandália na loja? 9. Antônio foi comprar um automóvel usado, cujo preço era R$ 12 500,00. Ele pediu um desconto e

o vendedor que o atendia, após consultar o gerente, ofereceu um desconto de 4,5% para um pagamento à vista. Qual foi o preço proposto ao cliente?

6o ano

399

Bibliografia

MATEMÁTICA BRASIL. Ministério da Educação, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matemática e suas tecnologias: livro do estudante: Ensino fundamental. Brasília: MEC, INEP, 2002. ______. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática: 3o e 4o ciclos. Brasília: MEC, SEF, 1998. ______. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos: segundo segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC, SEF, 2002. v. 3. ______. Ministério da Educação. Instituto de Matemática e Estatística e Ciências da Computação-Unicamp. Geometria experimental. São Paulo: MEC, IMECC, PREMEN, SE, CENP, 1980. BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça (Org.). Transformando a prática das aulas de matemática. São Paulo: Proem, 2001. v. 3. CÂNDIDO, Suzana Laino. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. DANTZIG, Tobias. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar, 1970. FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Diário de classe 5: Matemática. São Paulo: FDE, 1994. IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 2005. IMENES, Luiz M. Pereira; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2000. KARLSON, Paul. A magia dos números. Porto Alegre: Globo, 1961. LINDQUIST, Mary Montgonery; SHULTE, Alberto P. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1984. LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian (Orgs.). Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ, 1997. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2006. v. 5, 6. SANTOS, Vânia Maria Pereira dos (Org.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática. Rio de Janeiro: UFRJ, 1997. SÃO PAULO. Experiências matemáticas. São Paulo: SE, CENP, 1984. ______. Prática pedagógica: Matemática 1o grau. São Paulo: SE, CENP, 1993. v. 1-4. 400

Matemática

6o ano – Capítulo 1

Indicadores para avaliação

Descobrindo regularidades A exploração de regularidades permite introduzir, utilizar, relacionar e aprofundar conhecimentos matemáticos. Na busca de regularidades, estudantes podem criar suas próprias investigações sobre os conceitos matemáticos, ensaiar possíveis organizações e tentar verificar se elas se conservam em todos os casos. A descoberta e a análise de regularidades podem propiciar a aquisição de recursos para generalizar e formular leis gerais. Há neste capítulo a preocupação de atender a todos esses aspectos por meio da leitura de textos e execução de atividades que envolvem a observação de regularidades e a criação de padrões numéricos ou geométricos. Além disso, utilizando a geometria para formar padrões, é possível soltar a imaginação e a criatividade artística. O trabalho pode começar com a observação das formas presentes na natureza e nos objetos que nos rodeiam, entre eles, as embalagens que usamos. Outra sugestão é incentivar estudantes a pesquisar formas utilizadas nas construções e nas artes, organizando um painel de discussões sobre o material coletado. Dessas discussões, poderão surgir alguns conceitos de geometria ainda não trabalhados. Para auxiliar na criação de representações mentais dos objetos de estudo e no reconhecimento de algumas propriedades, é importante colocar à disposição de estudantes diversos modelos concretos que representem uma mesma ideia geométrica. Por exemplo, confeccionar um poliedro de cartolina, de madeira, de canudos ou de varetas, ou ainda construir polígonos variados com palitos de sorvete e tachinhas. Quanto aos padrões numéricos, observar as regularidades encontradas na elaboração de sequências numéricas pode ser um caminho significativo para analisar as características do Sistema Posicional de Numeração Decimal. Com essa análise, pretende-se que estudantes compreendam os procedimentos do funcionamento desse sistema e percebam a possibilidade de estender as regras da numeração escrita dos números naturais para os números não inteiros escritos na forma decimal: décimos, centésimos, milésimos. Também é esperado que reconheçam a praticidade da criação do valor de posição, que permite escrever qualquer número com a utilização de apenas dez símbolos. Outro fato decorrente da análise das regularidades em algumas sequências numéricas é a introdução dos conceitos de múltiplo e de divisor, desenvolvidos por meio de situações desafiadoras.

Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Reconhecer um polígono como uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada e simples. • Identificar alguns elementos de um polígono. • Classificar polígonos. • Identificar características e propriedades de um triângulo. • Observar as regularidades resultantes da notação posicional numa sequência numérica. • Identificar as características do Sistema Posicional de Numeração Decimal, em particular o princípio de valor posicional. • Identificar as ordens e as classes numa escrita numérica. • Ler e escrever números usando os símbolos convencionais. • Identificar e diferenciar números pares e ímpares. • Compreender os conceitos de sucessor e antecessor de um número. • Reconhecer números consecutivos. • Compreender os conceitos de divisor e de múltiplo de um número natural. • Identificar divisores e múltiplos de um número natural.

Conteúdos • Polígono: conceito, elementos, nomenclatura. • Triângulos: propriedades e classificação. • Sequências numéricas; noção de antecessor e sucessor; números pares e ímpares. • Números naturais; múltiplos, divisores. • Sistema de Numeração Decimal. Características: agrupamentos e princípio de valor posicional. • Leitura e escrita: classes e ordens.

Para criar

Como um desdobramento da atividade que propõe a criação de faixas e mosaicos, pode-se propor outra, integrada com Arte, em que estudantes criem seus mosaicos combinando figuras geométricas para cobrir uma superfície, sem deixar espaços entre as figuras. O objetivo consiste em elaborar uma composição empregando figuras geométricas planas, cujas repetições e interações resultem em um quadro ou painel harmonioso e estético.

Experimentar

Experimentar, explorar intuitivamente, visualizar e contextualizar são ações que podem auxiliar nos processos de construção de raciocínios lógico-dedutivos e na explicitação formal desses raciocínios. Utilizando canudos e barbante, os estudantes podem construir polígonos variados: quadrados, triângulos, pentágonos. Com esse material simples, centrando-se na investigação e na utilização de ideias e de relações geométricas, no lugar da memorização de definições e fórmulas, estudantes podem trabalhar conceitos, propriedades. 6o ano

Depois de trabalhar esse conteúdo com os estudantes, pode-se solicitar que façam as atividades indicadas no Livro do Aluno. Para isso, peça que providenciem canudos de refrigerante, linha grossa ou barbante. 1. Não é possível, pois a soma das medidas das duas partes do canudo que foi cortado é igual à medida do canudo inteiro. 3. Não. 4. Sim; sim. 5. a) Equiláteros; b) isósceles; c) escalenos. 6. Escaleno, equilátero, isósceles, escaleno. 7.

Há outras respostas.

Aplicar conhecimentos I

1. Variam de 3 em 3. Os próximos três termos são: 19, 22, 25. 2. 41, 45, 49.

Aplicar conhecimentos II

Nesta atividade, destaca-se a identificação de regularidades numa sequência numérica para que os estudantes possam compreender que a sequência de números naturais é infinita e estabelecer as relações “ser múltiplo de” e “ser divisor de” entre os números naturais. 1. a) O resto é 1. b) Não, não são múltiplos de 3, pois não são divisíveis por 3 (quando divididos por 3, o resto é diferente de zero). c) Sim, porque nenhum desses números é divisível por 3, de acordo com a regularidade observada no item a). 2. Sugestão de resposta: 0, 7, 14, 21, 28, 35, ...

Aplicar conhecimentos III

1. Noventa e três milhões, quatrocentos e seis mil e novecentos e noventa homens; noventa e sete milhões, trezentos e quarenta e oito mil e oitocentas e nove mulheres. 2. 27 386 891 – vinte e sete milhões, trezentos e oitenta e seis mil e oitocentos e noventa e um. 14

Matemática

3. a) 2 649 b) 6 048 c) Cociente 40; resto 16

Exercitando mais

1. Resposta pessoal. 2. a) Crescem de 4 em 4, e os próximos termos são 23 e 27. b) Decrescem, ou diminuem, de 5 em 5, e os próximos termos são 176 e 171. c) Crescem de 3 em 3, e os próximos termos são 15 e 18. d) Crescem de 9 em 9, e os próximos termos são 60 e 69. e) Crescem de 2 em 2, e os próximos termos são 2 012 e 2 014. f) Crescem de 100 em 100, e os próximos termos são 31 100 e 31 200. 3. 13 e 21. 4. a) Os 34 e 40. b) O resto é igual a 4, pois como o resto da divisão de 10 (o 1o termo da sequência) por 6 é 4 e os termos da sequência crescem de 6 em 6, então o resto da divisão de cada termo da sequência por 6 também é 4 (portanto, não é preciso efetuar as divisões para chegar à resposta correta). 5. a) Sim, houve olimpíadas em 1980. Continuando a sequência de 4 em 4, a partir de 1960, teremos: 1964, 1968, 1972, 1976, 1980. b) Em 1940 e 1944. 6. a) 0, 4, 8, 12, 16. b) 12, 16, 20, 24, 28. c) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48. 7. 3 + 4 + 5 + 4 + 3 = 19 8. Resposta pessoal. 9. b) a) 4 3 8 1 1 2 3

5 3 4

4 3

1 1

6 0 2 3 6

9 6 2

Um trabalho com polígonos

–

3 6 9

3 5

6 9 1 6 1 5 0 7 6

Um caminho possível para trabalhar com polígonos é exibir alguns que já façam parte do cotidiano dos estudantes. Assim, pode-se iniciar com os polígonos com 3 ângulos, os triângulos. Para isso: • Pedir aos estudantes que marquem 3 pontos em uma folha de papel ou na lousa.

única exigência que deve ser feita é que esses pontos A não estejam sobre uma mesma reta.

• Em seguida, pedir que nomeiem os três pontos. Por exemplo, por meio de letras: A, B e C.

Os segmentos MN, NO, OP e PM são os lados desse quadrilátero. Pode-se, nesse momento, propor a seguinte questão aos estudantes: “Com os mesmos 4 pontos, é possível desenhar outro tipo de figura traçando segmentos de reta?”. • Depois de pensar sobre a questão proposta, é conveniente comparar as respostas possíveis com a seguinte ação: traçar, por exemplo, os seguintes segmentos de reta: MN, NP, PO e OM. P

M N

• O próximo passo consiste em traçar os seguintes segmentos de reta: AB, BC e CA. B

A figura obtida é um polígono denominado triângulo (três ângulos). Os segmentos AB, BC e CA são os lados do polígono. Por causa disso, essa figura também pode ser denominada trilátero (três lados). Em seguida, podem-se trabalhar os quadriláteros: • Solicitar que marquem sobre uma folha de papel 4 pontos. A exigência, agora, é que não haja mais que 2 desses pontos sobre uma mesma reta. • Repetir a atividade anterior, nomeando os pontos. Se esses pontos forem nomeados, por exemplo, por letras como M, N, O e P, tem-se:

ropor: “A figura formada pelos segmentos MN, NP, PO P e OM é um polígono?”. • Esse momento é propício para o processo de ensino e aprendizagem, pois possibilita fazer um “acordo” com os estudantes: 1. a última figura é um polígono; 2. ou a última figura não é um polígono. • Porém, feito o “acordo”, é conveniente convencer as pessoas envolvidas no processo de ensino e aprendizagem de que a decisão tomada deverá ser revista nos estudos futuros, quando tiverem amadurecido seus conhecimentos a respeito desse assunto. Vamos continuar trabalhando com 4 pontos. Quando foi pedido aos estudantes que marcassem 4 pontos sobre uma folha de papel, é possível que tenha surgido a seguinte situação.

• Pedir que nomeiem esses pontos (por exemplo: X, Y, W e Z).

W O

• O próximo passo consiste em traçar, por exemplo, os seguintes segmentos de reta: MN, NO, OP e PM.

• Solicitar que tracem os seguintes segmentos de reta: XY, , ZW e WX. W

P O

M N

A figura obtida é um polígono denominado quadrilátero (quatro lados).

Z Y

ropor: “A figura formada pelos segmentos XY, YZ, ZW P e WX é um polígono?” 6o ano

• Neste caso, talvez não haja necessidade de retomar o “acordo”, pois a última figura pode ser considerada um polígono, denominado quadrilátero. Propor: “Que diferenças você pode apontar entre os polígonos?”.

Sugestão de atividade complementar

Pode-se propor a seguinte atividade: Imagine-se no interior de um terreno que tenha a forma do quadrilátero da figura 1. P

W O

M N

Figura 1

Figura 2

Será que é possível ir do ponto imaginado até qualquer outro, no interior do terreno, em linha reta, sem cruzar os seus lados? Imagine-se, agora, no interior de um terreno cuja forma é o quadrilátero da figura 2. Será que é possível ir do ponto imaginado até qualquer outro no interior do terreno, em linha reta, sem cruzar seus lados? A resposta para a primeira pergunta é SIM, já para a segunda pergunta é NÃO. Observemos as figuras seguintes: Você está aqui.

P O

M N

Quer vir aqui.

Figura 1

Quer vir aqui.

Y Figura 2

Na figura 2, para ir em linha reta do ponto imaginado até o ponto destacado, é preciso “cruzar” os lados ZW e YZ. O polígono formado pelos segmentos XY, YZ, ZW e WX é denominado polígono côncavo ou não convexo, ou seja, possui uma espécie de concavidade. O polígono formado pelos segmentos MN, NO, OP e PM é denominado polígono convexo. Esse tipo de polígono não possui concavidade. Ao trabalhar essa proposta, pode-se pedir que sejam marcados 5 pontos em uma folha de papel ou na lousa, e repetir os passos já descritos. Pedir aos estudantes que acompanhem o seguinte roteiro: • os pontos devem ser marcados em um mesmo plano e em uma determinada sequência; • nessa sequência, não pode haver 3 pontos consecutivos sobre uma mesma reta. Depois, pedir que sejam traçados os segmentos de reta determinados pelos pontos da sequência, da seguinte forma: 1o e 2o pontos, 2o e 3o pontos, 16

Matemática

BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985. CÂNDIDO, Suzana Laino. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997. DANTZIG, Tobias. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar, 1970. GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.) IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 2005. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1994. KARLSON, Paul. A magia dos números. Porto Alegre: Globo, 1961.

Você está aqui.

Para ampliar Livros

3o e 4o pontos, 4o e 5o pontos, 5o e 1o pontos. Finalmente, propor uma discussão com os estudantes sobre se a figura formada pode ser chamada de polígono, por meio de algum tipo de “acordo”. Se julgar adequado, perguntar aos estudantes se o polígono formado é, ou não, côncavo.

LOPES, Maria Laura Leite; NASSER, Lilian. Geometria na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ, 1996.

Site

TV Cultura. Disponível em: <www.tvcultura.com.br/artemate matica>. Acesso em: 10 out. 2012. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Disponível em: <www.sbem.com.br>. Acesso em: 10 out. 2012.

Capítulo 2

Mulheres, mercado informal e a Matemática Os primeiros números utilizados pelos seres humanos, provavelmente, foram os números inteiros 1, 2, 3, 4, ..., chamados de números naturais. Com o tempo, as necessidades humanas levaram as pessoas a utilizar números não inteiros. Neste capítulo, os estudantes poderão ver números na forma fracionária, objeto de estudos desde tempos muito antigos.

Ao dividir sua caça, os homens primitivos tinham uma noção intuitiva de partes de um todo. A evolução dos conhecimentos construídos ao longo da história permitiu a criação dos números racionais. Um número racional, comumente pensado como fração, está associado a diferentes significados, podendo ser, em algumas situações, um número, um cociente. Em outras, uma razão entre dois números ou, ainda, em outros casos, uma relação parte-todo. Por exemplo: • 3 é um cociente se dividirmos igualmente 3 folhas de 4 cartolina entre 4 estudantes. • 3 é uma razão se considerarmos que 3 em cada 4 estu4 dantes de uma sala de aula são meninas. • 3 é uma relação parte-todo se dividirmos o todo em 4 4 partes iguais e considerarmos 3 delas. Uma fração como cociente baseia-se na divisão de um número natural por outro (a ÷ b, a , b ≠ 0). b Uma fração interpretada como razão indica uma comparação entre duas quantidades de uma grandeza (probabilidade, porcentagem). Na relação parte-todo, uma fração indica a relação que existe entre um número (natural) de partes e o total dessas partes. O conceito de número racional pressupõe uma organização didática com experiências variadas para explorar seus diferentes significados e representações. É recomendável, nas atividades destinadas à construção dos conceitos de fração, propor situações de repartição de coleções, tanto de natureza discreta, quanto de natureza contínua. Vejamos os exemplos a seguir:

Outro aspecto importante a ser enfatizado consiste em relacionar representações de números racionais na forma decimal com a forma fracionária. A frequência com que as representações decimais são utilizadas, bem como a importância de aprender um pouco mais sobre elas no contexto atual, pode ser percebida a partir de pesquisas em jornais e revistas (sobre, por exemplo, balanças digitais) ou mesmo de experiências pessoais dos envolvidos nos processos de ensino e aprendizagem. Em função disso, o uso de calculadoras em sala de aula tornou-se mais um recurso significativo para a aprendizagem. Embora o contato com representações fracionárias seja menos frequente no contexto diário, seu estudo é importante para o desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos, como proporções e equações. Ainda neste capítulo, as atividades com medidas procuram explicitar as diferenças de natureza entre medidas de comprimento, massa, capacidade ou volume, tempo e área. Também buscam propiciar aos estudantes o estabelecimento de relações entre unidades de medidas mais usuais, levando-os a utilizar múltiplos e submúltiplos dessas unidades. Após a conceituação de números racionais, iniciam-se os procedimentos de cálculo com esses números, que são introduzidos num contexto que contribua para o estabelecimento de alguns algoritmos. Os algoritmos da adição e da subtração de números racionais na forma fracionária são explorados com base na equivalência de frações, o que pode contribuir para a compreensão das técnicas exploradas. O quadro a seguir fornece alguns elementos para avaliar o desempenho dos estudantes nos aspectos matemáticos desenvolvidos nesse capítulo.

Miralva tem 24 forminhas de tortas. As forminhas pintadas de cinza correspondem a 31 (um terço) do conjunto.

Indicadores para avaliação

Miralva tem uma torta para dividir em 3 partes iguais. O pedaço pintado de cinza corresponde a 31 (um terço) da torta.

Uma das grandes dificuldades do trabalho com frações decorre do fato de que alguns estudantes não percebem o número racional, ou a fração, como um número. Frequentemente, eles consideram o numerador e o denominador de forma isolada, o que pode dificultar a apropriação do conceito. Daí a importância de trabalhar diferentes situações envolvendo frações e questioná-los sobre seu significado em cada uma delas.

Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Identificar, interpretar e utilizar diferentes representações de frações. • Identificar elementos de uma fração e realizar suas diversas leituras. • Compreender o conceito de equivalência de frações. • Reconhecer frações equivalentes. • Adicionar e subtrair frações com denominadores iguais. • Resolver problemas que envolvam adição e subtração de frações com denominadores iguais e denominadores diferentes. • Interpretar e representar números racionais nas formas decimal e fracionária. • Estabelecer relações entre a representação decimal e fracionária de números racionais. • Observar regularidades e concluir regras sobre números racionais na forma decimal. • Reconhecer medidas de massa e comprimento e identificar as unidades adequadas para medi-las, usando terminologia própria. • Estabelecer relações entre medidas de comprimento e os números racionais na forma decimal. • Relacionar as medidas de tempo: horas, minutos e segundos. • Resolver problemas que envolvam medidas, selecionando unidades de medida e instrumentos adequados à precisão requerida. 6o ano

Conteúdos • Fração: noção de parte e todo, leitura, elementos. • Frações equivalentes. • Adição e subtração de frações. • Números racionais: cociente entre dois números naturais; notação fracionária e decimal. • Leitura de números racionais na forma decimal. • Uso da calculadora. • Representação na reta numerada (eixo). • Medida de massa: unidades e relações entre kg e g. • Medida de comprimento: unidades e relações entre m, cm, mm. • Medida de tempo: unidades e relações entre as unidades.

Frações equivalentes

Um conceito importante envolvendo a forma fracionária de números é o de frações equivalentes, explorado a seguir. Acompanhe: • Todo número denominado racional pode ser representado sob a forma de fração. • Dada uma representação fracionária de um número racional, por exemplo, 3 , a forma decimal desse número 5 pode ser obtida por meio da divisão do seu numerador pelo seu denominador. Nesse caso, a divisão de 3 por 5 fornece a representação decimal 0,6. Porém, um mesmo número racional possui infinitas representações fracionárias. Por exemplo: 39 é outra forma fracioná65 ria do mesmo número racional 0,6, pois 39 ÷ 65 = 0,6. Por causa disso, é comum as pessoas afirmarem que as frações 3 e 39 são 5 65 equivalentes. Se duas frações são equivalentes, então ambas são representações de um mesmo número racional. Portanto, podemos escrever: 3 = 39 5

Há outra forma de verificar se duas frações são ou não equivalentes sem ter de aplicar a divisão duas vezes. Para isso, vamos pensar sobre a seguinte questão: se tivéssemos de decidir entre multiplicar números e dividi-los, por qual dessas duas ações optaríamos? Embora provavelmente não tenha sido feita qualquer pesquisa sobre a última questão, parece bastante razoável acreditar que as pessoas escolham a multiplicação no lugar da divisão (exceto se for usada uma calculadora). Considerando essa hipótese, para verificar se duas frações, por exemplo, 7 e 42 , são equivalentes, basta realizar as seguintes 12 72 ações: • Calcular: 7 × 72. • Calcular: 12 × 42. • Comparar os resultados. Se os resultados de 7 × 72 e 12 × 42 forem iguais, então as frações são equivalentes. 18

Matemática

Como se justifica essa regra? Sem realizar uma justificativa genérica, vejamos como pode ser possível justificar a última regra, usando como exemplo as mesmas frações: 7 e 42 12 72

Em primeiro lugar, 7 ÷ 12 = 0,58333333... e 42 ÷ 72 = = 0,58333333... Logo, as frações são equivalentes. Portanto, é possível escrever: 7 = 42 12 72

Se multiplicarmos ambos os membros da última igualdade por um mesmo número (desde que esse número não seja zero), obteremos uma nova igualdade equivalente à primeira. Vejamos alguns exemplos: 7 × 5 = 42 × 5 12 72 7 × 314 = 42 × 314 12 72 7 × 72 = 42 × 72 12 72

Das três últimas igualdades, a que nos interessa é a terceira: 7 × 72 = 42 × 72 12 72

Acontece que: 42 × 72 = 42 × 72 = 42 72

Logo: 7 × 72 = 42 12

Em seguida, podemos multiplicar ambos os membros da última igualdade por um mesmo número (desde que esse número não seja zero) e obter uma nova igualdade, que lhe será equivalente. Nesse caso, vamos multiplicar a igualdade obtida por 12. 12 × 7 × 72 = 12 × 42 12

Acontece que: 12 × 7 = 12 × 7 = 7. Levando em conta essa 12 12 conclusão na equação anterior, obtém-se: 7 × 72 = 12 × 42 Portanto, a partir do fato de as frações 7 e 42 serem equi12 72 valentes, conclui-se que 7 × 72 = 12 × 42. Consideremos agora outras frações. Por exemplo, dadas as frações 13 e 91 , verificou-se que os 21 147 produtos 13 × 147 e 21 × 91 são iguais. Então é possível concluir que as frações são equivalentes. Por quê? Em primeiro lugar, como 13 × 147 = 1 911 e 21 × 91 = 1 911, então conclui-se que 13 × 147 = 21 × 91.

Se dividirmos ambos os membros da última igualdade por um mesmo número (desde que esse número não seja zero), iremos obter uma nova igualdade, equivalente à primeira. Nesse caso, vamos dividi-la por 21. (13 × 147) ÷ 21 = (21 × 91) ÷ 21 ou 13 × 147 = 21 × 91 21

Acontece que: 21 × 91 = 21 × 91 = 91 21

Pode ser conveniente e significativo solicitar aos estudantes que verifiquem numericamente a equivalência de frações utilizando uma calculadora.

Aplicar conhecimentos I 1. 1

2. a

Logo: 13 × 147 = 91 21

Se dividirmos ambos os membros da última igualdade por um mesmo número (desde que esse número não seja zero), obteremos uma nova igualdade equivalente à primeira. Nesse caso, vamos dividir por 147. 13 × 147 ÷ 147 = 91 ÷ 147 ou 13 × 147 ÷ 147 = 91 21

147

Soma e diferença de frações com denominadores iguais

Para adicionar duas frações, é necessário que elas se refiram ao mesmo todo referencial dividido em igual número de partes (ou seja, tenham o mesmo denominador). Havendo frações desse tipo, adicionam-se os numeradores, mantendo o mesmo denominador.

Logo: 13 = 91 , ou seja, as frações 13 e 91 são equivalentes. 21

147

21 147

Assim, a regra prática afirma que, se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração, por um mesmo número (levando em conta a exceção fundamental, que é o zero), obtemos frações equivalentes à inicial. Para o exemplo citado, as frações 260 = 52 e 260 = 13 . 420 84 420 21 Mas a que tipo de equivalência nos referimos aqui? A equivalência a que estamos nos referindo é aquela em que o cociente obtido pela divisão do numerador pelo denominador de uma das frações é igual ao cociente obtido pela divisão do numerador pelo denominador da outra fração. Dessa conceituação (não muito rigorosa do ponto de vista teórico), é possível mostrar que aqueles cocientes podem ser “trocados” por convenientes produtos obtidos pela multiplicação do numerador de uma das frações equivalentes pelo denominador da outra (a conhecida “propriedade fundamental das proporções”). O conceito algébrico que está por trás da equivalência de frações é o de classe de equivalência. Assim, se “reunirmos” em um conjunto todas as frações equivalentes, por exemplo, à fração 1 , então obtemos a seguinte 2 classe de equivalência: { 1 ; 2 ; 3 ; ...}

Aplicar conhecimentos II a) 22 26

b) 8

Soma e diferença de frações com denominadores diferentes

Se as frações não tiverem denominadores iguais, isto é, se não se referirem ao mesmo todo referencial, então devemos procurar frações equivalentes às dadas, mas com os mesmos denominadores.

Aplicar conhecimentos III 1.

a) 13

b) 7

2. São necessárias 5 partes do círculo. a) 3

b) 7

c) 3

d) 2

e) 8

f) 4

g) 7

h) 8

i) 6

j) 11

8 8

2 4 6

Essa classe de equivalência define o número racional 0,5 (na forma decimal) ou 1 (na forma fracionária). 2 Vale a pena comentar que a equivalência de frações tem três propriedades: 1a) Toda fração é equivalente a si própria (propriedade reflexiva). 2a) Se a fração a é equivalente à fração c , então a segunda é b d equivalente à primeira (propriedade simétrica). 3a) Se a fração a é equivalente à fração c e se a fração c é b d d equivalente à fração e , então a primeira é equivalente à f terceira (propriedade transitiva).

Quilograma ou quilo? Massa ou peso?

Massa e peso são grandezas distintas. A massa de um objeto (corpo) é a grandeza que lhe é atribuída para representar a sua quantidade de matéria. As massas dos corpos são medidas por meio de balanças: instrumentos que comparam massas. As unidades muito usadas para medir massas são o grama (g) e o quilograma (kg). O peso de um corpo é a força gravitacional exercida pela Terra que atua sobre ele. 6o ano

Podemos dizer que peso do corpo é a intensidade da “força gravitacional” que é exercida sobre ele. Pode ser conveniente iniciar um trabalho com massas fazendo um levantamento e o respectivo registro de quanto “pesa” cada estudante. O trabalho com base na realidade pode contribuir para a construção dos conceitos.

5. c) 0,050 e 50 d) 1,12 e 1 1 000 100 12 6. 3 de 800 = 3 × 800 = 3 × 800 = 240,00 reais é o valor do 10 10 10 a) 0,3 e 3

Aplicar conhecimentos IV

Todos os cocientes calculados são iguais a “meio” (0,5, na forma decimal); 0,5 kg.

Exercitando mais a) 8 ; oito doze avos

b) 2 ; dois doze avos

12 c) 3 ; três doze avos 12

12 d) 6 ; seis doze avos 12

2. Foram comprados 3 de quilograma. Se um quilo corres4 ponde a 1 000 gramas, então 3 correspondem a: 4

1 000 × 3 = 3 × 1 000 = 3 000 = 750 g 4

3. Para que o projeto de lei seja aprovado são necessários 3 de 5 513 votos, o que corresponde a: 3 de 513 = 3 × 513 = 3 × 513 = 307,8 votos de deputados 5 5 5

omo o número de votos deve ser um número inteiro, o núC mero mínimo de votos será 308. O projeto foi aprovado, pois foram contabilizados 378 votos favoráveis.

4. a) Algumas respostas possíveis são: 6 , 9 , 12 . 14 21 28 b) 6 15 c) Algumas respostas possíveis são: 1 , 5 , 7 (e outras em que 6 6 6 o numerador não seja múltiplo de 2 nem de 3). 20

Matemática

7. A soma das frações correspondentes às duas primeiras 7

1. a) 15 × 120 = 1 800 m b) Foi maior, pois 1 km = 1 000 m, que é menor que 1 800 m. 2. Resposta pessoal. 3. a) 1 Um sétimo. 7 b) 7 Sete sétimos. 7 c) 2 Dois sétimos. 7 d) 5 Cinco sétimos. 7

aluguel. 8 de 800 = 8 × 800 = 8 × 800 = 64,00 reais é o valor 100 100 100 do transporte. 5 de 800 = 5 × 800 = 5 × 800 = 400,00 reais é o valor 10 10 10 da alimentação. Sobram 800,00 – 240,00 – 64,00 – 400,00 = 96,00 reais para os outros gastos.

partes da chapa é igual a 1 + 3 = 1 × 5 + 3 × 7 = 5 +

Aplicar conhecimentos V

b) 0,05 e 5

7×5

5×7

+ 21 = 26. Logo, a fração correspondente à terceira parte 35 7 é 35 – 26 = 9 . 35 7 7

8. a) Doce cor-de-rosa (ingredientes para 20 porções). Como 20 ÷ 8 = 2,5, então: 1 × 2,5 = 2,5 latas de leite condensado; 1 × 2,5 = 2,5 vidros de leite de coco; 2 × 2,5 = 5 xícaras de leite; 4 × 2,5 = 10 folhas de gelatina incolor; 3 × 2,5 = 7,5 folhas de gelatina vermelha. b) Se uma receita gera 8 porções, então duas receitas gerarão 16. As 4 porções que faltam para completar 20 correspondem a mais meia receita. Portanto, para 20 porções, Miralva deve fazer 2,5 receitas (20 ÷ 8 = 2,5). Assim, para calcular a receita, basta multiplicar as quantidades dos ingredientes por 2,5. 9. a) Poderão surgir várias maneiras para determinar o tempo total reservado ao capítulo diário. A exploração de procedimentos variados pode permitir aos estudantes compreender outras formas de resolução. A seguir, veja alguns exemplos: • Calcular, em minutos, o período de tempo das 19h 45min às 20h e o período das 20h 21min às 20h 30min. Das 19h 45min às 20h: 15 minutos. Das 20h às 20h 30min: 30 minutos. Portanto, o período das 19h 45min às 20h 30min corresponde a: 15 + 30 = 45 minutos. • Imaginar que o tempo total reservado a cada capítulo seja de 1 hora ou 60 minutos. Nesse caso, a novela terminaria às 20h 45min. Como o término é às 20h 30min, na hipótese formulada tem-se 15 minutos a mais. Portanto, a duração do intervalo 19h 45min às 20h 30min pode ser determinada subtraindo-se do período das 19h 45min às 20h 45min os 15 minutos a mais: 60 – 15 = = 45 minutos.

• Calcular a diferença: 20h 30min – 19h 45min. Nesse caso, pode-se utilizar um algoritmo para a subtração. Subtraem-se horas de horas, minutos de minutos:

20h 30min – 19h 45min ?

Decompõe-se 20h em (19h + 1h) = 19h 60min. Assim, pode-se escrever: 20h 30min = 19h 60min + 30 min = 19 h + (60 + 30) min = 19h 90min

19h 90min – 19h 45min 45min

Tempo total com os intervalos: 45 minutos. b) Duração de cada capítulo, excluídos os intervalos: 36 minutos. c) Duração total dos intervalos: 9 minutos.

Para ampliar

BRASIL. Ministério da Educação. Matemática e suas tecnologias: livro do estudante. Ensino Fundamental. Brasília: Inep, 2002. BRASIL. Ministério da Educação. Matemática e suas tecnologias: livro do professor. Ensino Fundamental. Brasília: Inep, 2002. BRASIL. Ministério da Educação. Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos. 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002. v. 3. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça (Coord. geral). Transformações no ensino da Matemática: a experiência positiva de professores do Polo 4. São Paulo: PUC, 1998. (Coleção Proem.) MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2006. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo: SE/Cenp, 1984. IMENES, Luiz M. Pereira; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2000. (Coleção Para que serve a Matemática.)

Capítulo 3

Relações de trabalho e Matemática O capítulo explora algumas situações-problema envolvendo números racionais nas formas fracionária e decimal. São propostas algumas abordagens metodológicas sobre números racionais nas representações fracionária e decimal com o objetivo de levar estudantes a perceberem que, no dia a dia, a forma decimal de números racionais é mais frequente que a forma fracionária. Embora a representação fracionária seja menos usual nas situações do cotidiano, seu estudo se justifica, entre outras razões, por ser significativo para o desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos, como proporções, equações, cálculo algébrico. Os algoritmos usados para operar com números racionais na forma decimal são trabalhados como extensão do Sistema de Numeração Posicional Decimal, com base nos conhecimentos sobre números naturais. Sugere-se a utilização de calculadoras durante as aulas para que estudantes tomem contato com essa tecnologia útil e possam aprimorar suas estratégias ao fazer estimativas e cálculo mental. Entre os desafios propostos no ensino de números racionais, pode-se destacar principalmente as operações com esses números quando expressos na forma fracionária. A dificuldade parece acontecer por causa das diferenças entre os modos de operar nas formas decimal e fracionária. Outro desafio é justificar matematicamente, por exemplo, a multiplicação e a divisão de números racionais na forma fracionária, mesmo para pessoas que já tenham certo conhecimento matemático. Por isso, nesse momento, é conveniente não se estender sobre essas justificativas teóricas e trabalhar de forma concreta com alguns exemplos numéricos adequados. A ideia é propiciar regras plausíveis, como as que foram mencionadas no texto. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos estudantes em aspectos matemáticos desenvolvidos no capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Compreender o número racional como razão. • Efetuar cálculos com números racionais na forma decimal e na forma fracionária, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão. • Reconhecer que a forma decimal de um número racional pode ser finita ou infinita (dízima periódica). • Fazer arredondamentos por truncamento. 6o ano

Conteúdos • Compreensão do significado de número racional como razão. • Adição, subtração e multiplicação de números racionais nas formas decimal e fracionária. • Multiplicação e divisão de números racionais nas formas fracionária e decimal. • Representações decimais de números racionais: representação exata e dízimas periódicas. • Arredondamento por truncamento. • Ordenação de números racionais na forma decimal.

Nestas atividades, propõe-se a utilização de alguns algoritmos da adição e da subtração de números racionais na forma decimal. É conveniente que os estudantes percebam que os algoritmos utilizados para operar com números racionais na forma decimal são muito semelhantes aos usados nas operações com números naturais. 1. a) 189,4

b) 24,33

c) 318,26

d) 20,739 2.

e) 47,33

f) 74,21

a) Incorreta; 2 662,305. c) Correta. 3.

b) Correta. d) Incorreta; 499,96.

b) 0,096 a) 65,7 4. R$ 8,00 5. R$ 5,00 6. Entregando, por exemplo, R$ 2,75 em moedas ao funcionário do caixa.

Aplicar conhecimentos II 1.

b) 1,905 e 1 905 100

Aplicar conhecimentos III

1. Não, a resposta de Sílvio não está correta, pois ao se dividir 11 por 16 obtém-se o número racional exato 0,6875. Matemática

b) 622 × 1 = 155,50 reais 4 c) 622 + 207,33 + 155,50 = 984,83

a) 3 2

b) 5 = 5 1

c) 1

2. a) 15 4

b) 500 = 125 8

c) 7

100

3. a) 3,75 = 375 = 75 100

b) 40 = 40

c) 0,07 = 7

100

Exercitando mais

1. a) R$ 763,50 b) R$ 76,35 c) R$ 763,50 – R$ 76,35 = R$ 687,15 2. 1 12 3.

a) R$ 1 012,00 4.

b) R$ 368,00

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

f) 6

g) 7

h) 8

i) 9

j) 10

k) 11

l) 12

2. 1 a) 8 da comunidade. b) 1 570 pessoas. 3. 1,905 cm 4. a) 280 b) 210 c) 336 5. R$ 140,80

a) 0,7 < 1,3 b) 2,9 > 1,988 c) 3,12 > 3,1112 3. a) R$ 130,455 e R$ 130,95 b) O cliente gastará menos no posto em que o litro de gasolina custa R$ 2,899. 4. a) 1

Aplicar conhecimentos IV

Aplicar conhecimentos I

a) 1 e 0,125

12 12

Oito dessas frações representam dízimas periódicas: 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 11 12 12 12 12 12 12 12 12

5. a) 8

b) 4

c) 1

d) 2

e) 5

f) 7

g) 3

h) 6

6. a) Qualquer número menor que 0,09. b) Qualquer número menor que 4,9. c) Qualquer número menor que 0,1. 7. 0,63

Dízimas, decimais e calculadora

Além da conveniência da utilização de calculadoras em salas de aula, pode ser significativo incentivar os estudantes a fazer estimativas de seus cálculos. Pretende-se dessa forma que eles compreendam os resultados obtidos no visor da calculadora, em vez de apenas aceitá-los. Embora o texto não se aprofunde na abordagem de dízimas periódicas, uma compreensão do que elas significam passa, em geral, por pelo menos dois trabalhos. Um deles cabe ao professor e toma por base o algoritmo da divisão de números naturais. Por exemplo, a divisão de 3 por 9 pode induzir estudantes a perceberem que essa divisão tem como resultado uma dízima periódica: 3,00000000...

0,3333333... –2,7 0,30 030 030 030 030 030 030 ... Porém, essa demonstração realizada pelo professor pode não ser suficiente para a construção interna desse tipo de infinidade. Isso induz ao segundo trabalho a ser realizado, dessa vez pelos estudantes, que serão solicitados a pensar sobre algumas questões. É possível avaliar se os estudantes conseguiram assimilar esse tipo de infinidade? Uma forma para verificar essa aquisição conceitual pode ser por meio do uso de uma calculadora. Por exemplo: • Pedir aos estudantes que realizem uma divisão – por exemplo, 3 dividido por 9 – usando uma calculadora. • Pedir que escrevam na lousa o cociente dessa divisão. • E, se algum deles escrever: 3 ÷ 9 = 0,33333333 pode ser um sinal da não assimilação do significado desse tipo de infinidade. • Pedir, a seguir, que os estudantes realizem a divisão de 5 por 9, usando novamente a calculadora. • Se algum deles escrever o cociente na forma: 5 ÷ 9 = 0,5555556 pode-se afirmar que é mais um sinal de não assimilação. Uma pergunta pertinente sobre esse assunto pode ser esta: “Será que é significativo levar pessoas a pensar abstratamente em infinidades?”. Embora os estudantes possam ter tido alguns contatos com infinidades no estudo dos números inteiros, ele pode não ter sido suficiente para a apreensão do conceito de infinito e de alguns de seus aspectos.

Outra pergunta pertinente sobre esse assunto pode ser a seguinte: “Comete-se algum erro ao trocar a dízima 0,3333... pela aproximação 0,3, ou 0,33, ou 0,333, ou 0,3333?” Acompanhe o seguinte exemplo: Imagine que um terço da população do Brasil esteja abaixo da linha de pobreza. Imagine também que a população do Brasil, em 2012, estivesse em torno de 193 milhões de habitantes. Quantos habitantes do Brasil estariam abaixo da linha da pobreza? Se for trabalhada a forma decimal de um terço utilizando uma calculadora, então os erros cometidos com as suas diversas aproximações são apresentados no quadro abaixo. População do Brasil: 193 000 000 Um terço da população: 64 333 333,33333333... 1 Aproxi3 da população mação (valor aproximado)

Erro absoluto

Erro porcentual (aproximado)

0,3

57 900 000

6 433 333,33333334

10,00%

0,33

6 369 000

643 333,333333343

1,00%

0,333

6 426 900

64 333,3333333432

0,10%

0,3333

6 426 900

6 433,33333333581

0,01%

Portanto, podem ser significativos, para algumas pessoas, alguns comentários sobre dízimas, infinidades e uso de calculadora (com suas limitações) como forma de pensar além dos nossos limites físicos, acreditando que essa forma abstrata de pensar sirva como um elemento diferenciador na formação dessas pessoas. Para uma reflexão sobre as limitações de calculadoras, imagine que, ao obter o cociente da divisão de dois números naturais, utilizando uma calculadora que exibe, no máximo, 8 posições após qualquer cálculo, você veja o seguinte valor em seu visor:

0.3333333 Qual é sua conclusão sobre o tipo de número exibido? Seria esse cociente um número decimal exato ou seria uma dízima periódica? Que resultado essa calculadora exibiria em seu visor ao “calcular”: • 3 333 333 ? 10 000 000

33 333 337 ? 100 000 000

33 333 335 555 555 ? 100 000 000 000 000 6o ano

1? 3 23

Para ampliar

BRASIL. Ministério da Educação. Matemática e suas tecnologias: livro do estudante: Ensino Fundamental. Brasília: Inep, 2002. BRASIL. Ministério da Educação. Proposta curricular para a Educação de Jovens e Adultos. 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002. v. 3. IMENES, Luiz M. Pereira; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2000. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2007. v. 5 e 6.

O trabalho com porcentagens permite uma aproximação de ações matemáticas com outros campos de conhecimentos, como os temas relacionados à saúde, ao meio ambiente ou à pluralidade cultural. Esses assuntos, em geral, podem ser extraídos de reportagens de jornais ou revistas e ser explorados a partir do interesse demonstrado pelos estudantes. O quadro seguinte fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos em aspectos matemáticos desenvolvidos neste capítulo.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo: Cenp, 1984.

Capítulo 4

Escolaridade e trabalho A partir do que foi trabalhado com os números racionais, tanto na representação decimal, quanto na representação fracionária, é possível introduzir o conceito de porcentagem como uma fração de denominador 100. Neste capítulo, os problemas que envolvem porcentagens são explorados por meio de estratégias variadas, por exemplo: “78% dos 11 300 jovens de uma certa cidade cursam o Ensino Fundamental”. Para determinar o número de jovens dessa cidade que cursam o Ensino Fundamental, podemos efetuar diversos cálculos: • multiplicar a fração 78 por 11 300: 100 78 × 11 300 = 78 × 11 300 = 8 814 100 100

• dividir 11 300 por 100 e multiplicar o resultado por 78: 11 300 ÷ 100 = 113 e 78 × 113 = 8 814 • multiplicar 11 300 por 0,78: 11 300 × 0,78 = 8 814 • decompor 78% Por exemplo: a) 78% = 50% + 20% + 8%, então: • 50% de 11 300 é igual a 11 300 ÷ 2 = 5 650; • 1% de 11 300 é igual a 11 300 ÷ 100 = 113; • 20% de 11 300 é igual a 2 × 10% de 11 300 = 2 × 11 300 ÷ ÷ 10 = 2 260; • 8% de 11 300 é igual a 8 × 1% de 11 300 = 8 × 11 300 ÷ ÷ 100 = 904. Logo: 78% de 11 300 = 5 650 + 2 260 + 904 = 8 814 b) Se 78% = 7 × 10% + 8 × 1%: 7 × 10% de 11 300 é igual a 7 × 11 300 ÷ 10 = 7 × 1 130 = 7 910. Logo: 78% de 11 300 = 7 910 + 904 = 8 814 24

Matemática

Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Desenvolver o conceito de porcentagens. • Resolver problemas que envolvam porcentagens. • Compreender o conceito de índice ou taxa. • Calcular taxas porcentuais. • Utilizar uma calculadora para calcular porcentagens. • Identificar e entender os conceitos de matemática comercial. • Compreender as aplicações dos conceitos de matemática comercial em situações variadas.

Conteúdos

• Porcentagem: significado, representação e leitura. • Descontos e arredondamentos. • Índice porcentual ou taxa percentual. • Noções de matemática comercial: reajuste, desconto, lucro, margem de lucro e prejuízo.

Aplicar conhecimentos I

1. Na atividade, são propostas situações que empregam material concreto (folha quadriculada) com o objetivo de estimular os estudantes a ler e interpretar os números racionais representados na forma fracionária, decimal ou porcentual. Respostas possíveis:

2. 10%, 20%, 50%, 25%. 3. a) 15

100

b) 39

100

c) 0,5 = 5 100

1 000

d) 0,25 = 100

25 10 000

4. a) 35% b) 7% c) 25% d) 75% 5. O número n%, na forma fracionária, pode ser escrito como n . 100 O número n%, na forma decimal, pode ser obtido calculando o cociente da divisão de n por 100. 6. a) 0,25; 25; 100 b) 4 7. Dividindo o número total de alunos por 4, chegamos ao número de 612 estudantes.

Aplicar conhecimentos II

e) R$ 2 475,00 + R$ 2 999,70 + R$ 3 520,00 + R$ 9 504,00 = = R$ 18 498,70 f) Teve lucro de R$ 1 998,70.

Exercitando mais

1. Sugestão: aproximadamente 20 pessoas em cada turma de 100, que estudam no Ensino Fundamental, têm dificuldade para escrever uma redação. 2. a) Para obter 20% de 1 985, multiplicamos 1 985 por 0,20, ou multiplicamos 1 985 por 20 e dividimos o resultado por 100. b)

1. Na atividade, os conceitos em evidência são desconto e salário líquido. Porém, é importante também destacar a leitura e interpretação de dados em forma de tabelas e de um demonstrativo de pagamento. Salário de contribuição (R$)

Quantia recolhida ao INSS

Salário líquido

68,00

782,00

1 106,90

88,55

1 018,34

1 106,91

99,62

1 007,28

1 844,83

166,03

1 678,79

1 844,84

202,93

1 641,90

2. a) 8% b) R$ 86,40 c) 72%, aproximadamente.

Aplicar conhecimentos III

1. Um aspecto importante da atividade é a resolução de problemas que envolvem porcentagens por meio de estratégias variadas. a) R$ 622,00 b) 19%, aproximadamente. 2. Na atividade, a noção em destaque é a de margem de lucro. No item a), para calcular quanto a loja arrecadaria se vendesse todos os cobertores com uma margem de lucro de 5% sobre o preço de custo, pode-se, primeiro, calcular o preço de venda que atenda àquela margem de lucro. Em seguida, para se calcular quanto a loja arrecadaria se vendesse todos os 150 cobertores, basta calcular o total a ser arrecadado. a) R$ 24 750,00 b) R$ 2 475,00 c) R$ 2 999,70 d) R$ 3 520,00

3. Respostas possíveis: a) 6

850,00

b) 18

c) 1

d) 9

125

2 000

4. a) 13% b) 8% c) 50% 5. 2 × 830 × 0,85 = R$ 1 411,00 6. 30% 7. a)

d) 75%

Número de votos

Índice decimal

Índice porcentual

André

1 178

0,1561712

15,61712%

Bernardo

1 215

0,1609439

16, 09439%

Ana Paula

3 147

0,417208

41,7208%

Em branco

1 139

0,1510009

15,10009%

Nulos

409

0,0542224

5,42224%

Não votaram

456

0,0604534

6,04534%

Candidato

b) Houve 1 178 + 1 215 + 3 147 = 5 540 votos válidos. c) Metade dos votos válidos + 1 = 2 771. Logo, Ana Paula foi eleita no 1o turno d) Votos em branco: aproximadamente 15% do total de votos; votos nulos: aproximadamente 5% do total de votos. Votos brancos + votos nulos: 20% do total de votos. e) Resposta pessoal. 8. a) R$ 9,00 b) 25% 9. R$ 11 937,50

c) 20%

d) 37,5% 6o ano

e) R$ 61,88 25

Sugestão de atividade complementar Dólar versus real

Na época de implantação do Plano Real (1/7/1994), o valor de US$ 1,00 (1 dólar) era, aproximadamente, R$ 1,00. Esse valor também é aproximado, pois de um dia para outro o valor (cotação) do dólar pode mudar. No início de 2012, o valor do dólar era, aproximadamente, R$ 1,70. 1. Qual foi a variação, em reais, do valor do dólar desde julho de 1994 até o início de 2012? 2. Qual foi a variação porcentual do valor do dólar de julho de 1994 até o início de 2012? 3. Se você tivesse um dólar em julho de 1994, então, qual teria sido o seu rendimento desde julho de 1994 até o início de 2012? 4. Calcule o rendimento porcentual (ou índice porcentual de rendimento, ou taxa porcentual de rendimento) do dólar de julho de 1994 até o início de 2012. Se a cotação do dólar varia de um valor para outro em um período de tempo, então: • Para determinar a variação, em reais, nesse período de tempo, calculamos a diferença entre esses valores. • Para calcular a variação porcentual, basta dividir o va-

Matemática

lor no final do período pelo valor no início do período e transformar o resultado da divisão em porcentagem. • Para calcular o rendimento porcentual, basta subtrair 100% da variação porcentual. Ou dividir a variação, em reais, pelo valor no início do período e transformar o resultado da divisão em porcentagem.

Para ampliar

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta curricular para a Educação de Jovens e Adultos. 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002. v. 3. CAMPOS, T. M. (Coord.) Transformações no ensino da Matemática: a experiência positiva de professores do Polo 4. São Paulo: PUC, 1998. (Coleção Proem.) MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2007. v. 5 e 6. SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo: SE/ CENP, 1984. STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2010.

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Números no dia a dia

espécie humana tem uma existência estimada em 1,5 milhão de anos. Será que os nossos antepassados já usavam números de forma consciente? Se já usavam números, então que tipo de números seria? Assim como alguns animais, nossos antecessores sabiam, pelo menos, “contar” os membros de suas famílias e “dividir” alimentos. Para “contar”, nossos ancestrais (assim como nós) utilizavam números inteiros:

um, dois, três, quatro, ... Para “dividir”, provavelmente utilizavam algumas frações, tais como:

meio, um terço, um quarto, ...

Gerson Gerloff/Pulsar Imagens

Depois de milhares de anos, alguns grupos humanos criaram símbolos para representar os números.

Gerson Gerloff/Pulsar Imagens

Termômetro digital marca 15 ºC em Curitiba (PR), 2011. Os números estão presentes em muitas situações do cotidiano. Pense no seu dia a dia: em que situações os números aparecem?

7º ano

375

Os indianos, vários séculos depois, ao aprimorarem um sistema de numeração posicional construído para representar números “grandes”, criaram novos símbolos para representá-los: os algarismos denominados indo-arábicos. Entre esses símbolos havia um muito especial, que era usado para representar a ausência de uma quantidade particular: o símbolo para o zero. Sem qualquer exagero, o sistema de numeração posicional, criado pelos indianos e difundido pelos árabes, foi uma criação genial da humanidade. Uma notação posicional próxima da que usamos hoje teve sua origem no século V da era cristã. Modernamente, os números representados por: 0, 1, 2, 3, ...

passaram a ser chamados números naturais (uma nomenclatura frequentemente mais utilizada nos meios escolares e acadêmicos). Com a criação de quantidades negativas, que surgiram relativamente à origem (zero), o conjunto dos números inteiros ficou completo. 0, 1, 2, 3, ... são os números naturais ou números inteiros positivos –3, –2, –1, ... são os números inteiros negativos

Reunindo os números naturais, os números inteiros negativos e o zero têm-se os números inteiros representados por: ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Sempre que dividimos um número inteiro por um número inteiro diferente de zero obtemos um número racional. Os números racionais positivos e negativos podem ser representados da mesma forma que os números inteiros positivos e negativos. –2,3; –0,777... e – 5 são números racionais negativos 8

NÚMEROS NEGATIVOS E POSITIVOS: SIGNIFICADOS Em nosso cotidiano existem algumas situações que podem ser representadas por meio de números negativos. Podemos destacar, por exemplo: • Extratos de movimentação bancária: −37,00 pode significar um débito de 37 reais. • Balanço de empresas: −35 000,00 pode significar um prejuízo de 35 000,00 reais. 376

Matemática

• Escalas de temperatura: −3 °C significa uma temperatura de 3 graus

Celsius abaixo da temperatura de fusão da água (0 °C), que ocorre quando a água passa do estado sólido (gelo) para o estado líquido. • Altitudes das regiões da Terra: −417 metros é a profundidade do mar Morto, situado no vale do rio Jordão, na fronteira entre Israel e Jordânia. Significa uma profundidade de 417 metros abaixo do nível dos oceanos, que têm altitude 0 (zero). APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Considerando o nível dos oceanos como altitude zero, represente as altitudes seguintes usando

números positivos ou negativos: a) 15,5 metros acima do nível do mar b) 21,3 metros abaixo do nível do mar 2. Expresse estes valores financeiros na forma de números positivos ou negativos: a) Depósito de R$ 135,25 b) Saque de R$ 255,75 3. Escreva na forma de números positivos, ou negativos, as temperaturas indicadas nas informações:

A cidade de Xanxarê (SC) teve temperatura mínima de 11,1 °C abaixo de zero em 20 junho de 1953. Em 24 de julho de 2009, o município gaúcho de Cambará do Sul registrou recorde de frio e a mínima foi de 5,7 °C abaixo de zero. Na capital paulista, a menor temperatura absoluta da história da cidade foi de 1,5 °C acima de zero em julho de 1975.

NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS BANCO DINHEIRO S.A. Extrato de conta-corrente especial: Período: 4/12/2013 a 15/12/2013 Data: 16/12/2013 Hora: 19h36 Cliente: Maria Lilás Agência: 1234–4 Conta: 34567-01 Data

Histórico

Documento

Valor

4/12/2013

SALDO ANTERIOR

7/12/2013

CH COMPENSADO

123889

−37,00

7/12/2013

SAQUE

000000

−14,00

10/12/2013

DEPÓSITO

000000

150,00

12/12/2013

CH COMPENSADO

123890

−200,00

14/12/2013

SAQUE

000000

−50,00

14/12/2013

DEPÓSITO

000000

35,00

15/12/2013

SAQUE

000000

−30,00

101,00

Nos extratos bancários, geralmente números negativos representam débitos e números positivos indicam créditos. Observe o extrato ao lado: o número −37,00 significa um débito de R$ 37,00 na conta corrente. Esse número é o oposto do valor R$ 37,00, que significaria um crédito de R$ 37,00 nessa conta. 7º ano

377

Os matemáticos dizem que os números −37 e 37 são números opostos ou números simétricos. Os números –37 e 37 são opostos em relação a quê? Como em algumas situações é melhor ver do que falar ou escrever, observe a figura: –37

eixo numerado

Nela, a linha reta é denominada eixo numerado ou reta numérica. A seta no eixo numérico indica o seu sentido positivo. Nesse eixo podemos representar, graficamente, os números por meio de pontos, cada número correspondendo a um ponto do eixo. O ponto que representa o número 0 costuma ser denominado origem. Os pontos que representam os números −37 e 37 são simétricos em relação à origem 0: a distância de –37 a 0 é igual à distância de 0 a 37.

É por isso que os números −37 e 37 são denominados opostos ou simétricos: –37 é o oposto de 37 e 37 é o oposto de –37, em relação à origem 0.

Por causa disso, podemos escrever as igualdades: 37 = −(−37)

e −37 = –(+37),

que podem ser lidas assim: 37 é o oposto do oposto de 37 e −37 é o oposto do oposto de –37. Veja outros exemplos: −2,6 é o oposto de +2,6

−

5 5 é o simétrico de + 8 8

APLICAR CONHECIMENTOS II

Em cada item, determine a situação oposta: a) O saldo oposto de R$ 255,43 é

b) O saldo oposto de –R$ 57,39 é

c) A temperatura oposta de 25 C é o

378

d) A temperatura oposta de –12,5 oC é

e) A altitude oposta de 8 542 metros é

f) A altitude oposta de –471 metros é

Matemática

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS Veja novamente o extrato bancário de Maria Lilás. Vamos determinar o saldo da correntista por dia, após cada movimentação bancária, no período de 4/12/2013 a 15/12/2013. O saldo em 4/12/2013 era R$ 101,00. O saldo em 7/12/2013 pode ser obtido por mais de uma maneira. A. Realizando a subtração entre os números inteiros positivos (naturais) 101 e 37 e entre 64 (resultado de 101 – 37) e 14. 101 – 37 = 64 e 64 –14 = 50 B. Determinando a soma do número positivo 101 com o número negativo −37,

–37

1 0 1 + 3 7

+/-

Ilustração digital: Llinares

ou seja, 101 mais o oposto de 37. Em seguida, calculando a soma do último resultado com −14. Para calcular 101 + (−37) vamos usar uma calculadora que possui a tecla +/- . A tecla +/- , ao ser pressionada, troca o sinal do número que está no visor da calculadora, exibindo o oposto desse número. Se você digitar 3 7 +/deve aparecer no seu visor o número −37 (em algumas calculadoras, −37 é exibido na forma 37–). Em uma calculadora desse tipo, o cálculo da soma de 101 com −37 poderá ser realizado assim:

101 + (−37) = 64

Agora, vamos usar uma representação gráfica para verificar (mostrar) que:

101 + (−37) = 101 − 37

7º ano

379

No eixo numerado a seguir estão representados os números −37; 0; 37 e 101. A seta azul está representando o avanço positivo +37 para a direita e a seta verde está representando o avanço negativo −37 para a esquerda. +37 –37

101

eixo numerado

–37

Avançando −37 para a esquerda a partir de 101 obtém-se: 101 + (−37) = 64

Avançando 37 para a direita a partir de 64 obtém-se: 64 + 37 = 101, ou seja, 101 − 37 = 64

Logo: 101 + (−37) = 101 – 37, ou seja, a soma de 101 com o oposto de 37 pode ser expressa como a diferença entre 101 e 37. Para calcular o saldo final do dia 7/12/2013, as opções são as mesmas anteriores: 64 + (−14) = 64 − 14 = 50

É possível observar que os resultados obtidos nos itens A e B são iguais, mas, essencialmente, as operações são distintas: • no item A, foram calculadas diferenças entre números positivos: 101 – 37 = 64

64 − 14 = 50

• no item B, foram trabalhadas somas de números positivos com núme-

ros negativos: 101 + (−37) = 64

64 + (−14) = 50

A conclusão importante são as igualdades: 101 − 37 = 101 + (−37)

380

Matemática

64 – 14 = 64 + (−14)

C. Trabalhando com o número positivo 101 mais a soma dos números negativos

−37 e −14. Vamos calcular a soma de −37 com −14 utilizando a seguinte representação gráfica: –14 –51

–37 –14

–37

eixo numerado

Avançando −37 para a esquerda a partir de 0 obtém-se: 0 + (−37) = −37. Depois, avançando −14 para a esquerda a partir de −37 obtém-se: (−37) + (−14) = −51

Note que: (−37) + (−14) = –51 = –(37 + 14)

ou seja, a soma de dois números negativos é o oposto da soma dos opostos daqueles números negativos. • O saldo em 10/12/2013, 50 + 150, será calculado em sala de aula, com a ajuda do professor. Em 12/12/2013, depois que o cheque de R$ 200,00 foi compensado, o saldo da conta de Maria Lilás era de R$ 0,00, isto é, a conta dela ficou “zerada”. O objetivo, agora, consiste em calcular os saldos da conta de Maria nos dias 14/12/2013 e 15/12/2013. Em 14/12/2013 foram feitas duas movimentações de dinheiro: um saque de R$ 50,00 e um depósito de R$ 35,00. Após o saque, o seu saldo ficou: 0 − 50 = −50 ou 0 + (−50) = −50. Após o depósito, o seu saldo será a soma de −50,00 com 35,00, ou seja: –50,00 + 35,00

Para realizar esse cálculo, vamos fazer uso do eixo numerado: +35 –15

–50

eixo numerado

–35 a) Avançando 35 para a direita a partir de −50 obtém-se: −50 + 35 = −15. 7º ano

381

b) Avançando −35 para a esquerda a partir de −15 obtém-se: −15 + (−35) = −50, ou seja, −50 − (−35) = −15

Há aqui uma conclusão importante e a confirmação de um fato já visto: −50 − (−35) = −50 + 35

A diferença entre –50 e o oposto de 35 pode ser expressa pela soma de −50 com 35. − (−35) = 35

Ou seja, o oposto do oposto de 35 é o próprio 35. No dia 15/12/2013 foi feito um saque no valor de R$ 30,00. Para obter o saldo da Maria Lilás nesse dia, vamos utilizar o eixo numerado: +30 –15

–45

–30 a) Avançando −30 para a esquerda a partir de −15 obtém-se: –15 + (–30) = –45. b) Avançando 30 para a direita a partir de −45 obtém-se: −45 + 30 = −15, ou seja, −15 − 30 = −45

A conclusão, aqui, é muito parecida com algumas anteriores: −15 + (−30) = −15 − 30 = −45

Ou seja, a soma de −15 com o oposto de 30 pode ser expressa pela diferença entre 15 e o oposto de 30. Veja outros exemplos da aplicação da adição e subtração com números inteiros e racionais:

382

a) −10 + (−20) = −10 – 20 = −30

f) 25 + (+2) = 25 + 2 = 27

b) −1,7 + (−2,1) = −1,7 − 2,1 = –3,8

g) –9 + (+2) = –9 + 2 = −7

c) 13 + (−5) = 13 – 5 = 8

h) 10 – (+14) = 10 − 14 = − 4

d) −7 + (−4) = −7 − 4 = –11

i) 10 − (−14) = 10 + 14 = 24

e) –10 – (–14) = −10 + 14 = 4

j) −0,6 − (−1,2) = −0,6 + 1,2 = 0,6

Matemática

eixo numerado

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Os movimentos mensais de entrada e saída de dinheiro de uma artesã estão na tabela seguinte.

Obtenha o valor do balanço anual da artesã. Se for conveniente, use uma calculadora Mês

Resultado

Usando números positivos e negativos

Janeiro

R$ 150,00 entrada

+150

Fevereiro

R$ 190,00 entrada

+190

Março

R$ 370,00 entrada

+370

Abril

R$ 120,00 entrada

+120

Maio

R$ 200,00 entrada

+200

Junho

R$ 100,00 saída

–100

Julho

R$ 250,00 saída

–250

Agosto

R$ 190,00 entrada

+190

Setembro

R$ 70,00 entrada

+70

Outubro

R$ 120,00 entrada

+120

Novembro

R$ 300,00 saída

–300

Dezembro

R$ 900,00 entrada

+900

Balanço anual

2. O extrato seguinte é do correntista Mário Lilás, marido de Maria Lilás. BANCO MONEY DE INVESTIMENTO Movimentação bancária Período: 4/12/2013 a 7/12/2013 Data: 16/12/2013 Hora: 20h47 Cliente: Mário Lilás Agência: 4321-0 Conta: 045678–10 Data

Histórico

Documento

Valor

4/12/2013

SALDO ANTERIOR

7/12/2013

REMUNERAÇÃO/SALÁRIO

000091235

723,00 C

7/12/2013

SAQUE CE

000000

50,00 D

7/12/2013

CH COMPENSADO

134747256

150,00 D

7/12/2013

DEPÓSITO

000000

60,00 C

7/12/2013

CREDIÁRIO

000259841

23,00 D

7/12/2013

TARIFA CONTA/MÊS

000000

7,00 D

120,00 D

SALDO: 07/12/2013 (sujeito a alteração até o final do período):

No banco em que Mário é correntista, os créditos são identificados pela letra C à direita dos valores financeiros e os débitos são identificados pela letra D à direita dos valores financeiros. Isto é, 723,00 C significa +723,00, e 150,00 D significa –150,00. Determine o saldo de Mário após a última movimentação do dia 7/12/2013. Se for conveniente, use uma calculadora.

3. Uma professora de um curso de Educação de Jovens e Adultos (EJA) deu a seguinte lição de casa

sobre somas e diferenças entre números positivos e/ou negativos para estudantes de suas turmas: a) 34,5 + 12,7

e) –71,5 + 62,8

i) –35,6 – 63,9

b) 86,4 + (–52,7)

f) –36,3 + (–57,8)

j) –43,8 – (–75,1)

c) 26,6 + (–74,2)

g) 48,2 – 23,9

k) –83,8 – (–25,9)

d) –19,6 + 23,9

h) 55,1 – 80,7

l) 0 + (–0) 7º ano

383

O critério de correção dos exercícios era: 1 ponto por resposta certa e –0,5 por resposta errada. Veja como foram as respostas de três estudantes. Depois, preencha a tabela com a pontuação e a nota final de cada aluno. Exercício

André

Pontuação

Júlio

Pontuação

Mônica

47,2

46,2

33,7

34,7

33,7

47,6

–47,6

4,3

–4,3

14,3

–8,7

–18,7

18,7

–93,1

–94,1

24,3

25,6

–25,6

–99,5

–100,5

–99,5

31,3

32,3

–58,9

–57,9

–0

Avaliação final

Pontuação

ORDENANDO NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS É possível que você já tenha passado pela experiência de colocar algumas coisas em “ordem”. Por exemplo, se você fosse colocar em ordem um grupo de pessoas, poderia utilizar vários critérios, tais como: idade, peso, altura, ordem alfabética dos seus nomes, entre outros. Escolhido um critério para colocar as pessoas em ordem, então talvez seja possível afirmar qual pessoa vem antes, ou depois de qual, ou se há “empate”. Com os números pode ocorrer a mesma coisa. Por exemplo, é possível colocar em ordem os números inteiros de muitas maneiras. Porém, entre todas elas, uma que se destaca pelo seu uso costumeiro é a seguinte: • Os números inteiros positivos são colocados em ordem crescente ou ordem decrescente da mesma forma que os números naturais: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < ... ou ... > 10 > 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 > 2 > 1 > 0

384

Matemática

Podemos observar essas ordens no eixo numerado: +1 0

+1 1

–1

+1 2

–1

eixo numerado

–1

É importante perceber que, nesse critério: • Não existe o maior número inteiro positivo. • Todo número inteiro positivo é maior que 0. • Acrescentando ao eixo numerado os números negativos, que são opostos aos números inteiros positivos em relação ao 0, é possível perceber como esses números podem ser ordenados: +1 +1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

eixo numerado

–1 –1

Os números inteiros negativos colocados em ordem decrescente, a partir do 0, podem ser escritos assim: 0 > –1 > –2 > –3 > –4 > –5 > –6 > –7 > –8 > –9 > –10 > ... Portanto, podemos escrever que

... < –10 < –9 < –8 < –7 < –6 < –5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < ...

É importante perceber que, nesse critério: • Não existe o menor número inteiro negativo. • Todo número inteiro negativo é menor que 0. • Todo número inteiro positivo é maior que todo número inteiro negativo. Tendo em vista esses critérios, vamos pensar em uma questão: diante de dois números negativos, como você decide qual é menor ou maior? Por exemplo, imagine que queira decidir qual é a temperatura “mais alta” entre –12 °C e –5 °C. Uma forma de compará-las é representá-las graficamente em um eixo numerado. • Elimine o sinal “–” de cada uma das temperaturas e coloque-as em ordem crescente (ou decrescente): nesse caso, 12 > 5 (ou 5 < 12). • Como 12 está mais afastado do 0 do que 5, ambos à direita do 0 (isto é, como 12 > 5), então –12 está mais afastado do 0 do que –5, ambos à esquerda do 0. –12

–5

eixo numerado

7º ano

385

• A conclusão é que: –12 < –5.

Outra forma de comparar e ordenar esses números é pelo valor absoluto de um número inteiro. O valor absoluto do número –12 é 12, e o valor absoluto do número –5 é 5. O valor absoluto do número +12 é 12, e o valor absoluto do número +5 é 5. Como: (valor absoluto de –12) > (valor absoluto de –5), então, –12 < –5

O valor absoluto do número –12 costuma ser anotado por |–12|, ou seja, |–12| = 12, e o valor absoluto de –5 pode ser registrado por |–5|, ou seja, |–5| = 5. Outro nome que se dá ao valor absoluto de um número é módulo. O módulo de –12 pode ser visto graficamente como a distância entre os pontos A e C: A –12

–5 0 5 12 (distância entre os pontos C e A) = |–12| = 12

eixo numerado

Da mesma forma, o módulo de 12 pode ser “visto” graficamente como a “distância” entre os pontos C e E, ou seja: (distância entre os pontos C e E) = |12| = 12

Assim, temos: |–12| = |12| = 12

As observações feitas para –12 valem também para –5. Portanto, como |–12| > |–5|, então –12 < –5.

Para ordenar dois números negativos, será maior aquele que tiver menor valor absoluto (módulo). Os números racionais positivos e negativos podem ser ordenados da mesma forma que os números inteiros positivos e negativos. Por exemplo: se em duas cidades da Europa as temperaturas, em um determinado dia e hora, são –7,4 °C e –9,2 °C, então a menor das duas temperaturas pode ser determinada assim: 386

Matemática

como |–9,2| = 9,2 > |–7,4| = 7,4, então, –9,2 < –7,4

Ou seja, –9,2 °C é uma temperatura menor que a temperatura –7,4 °C. APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Observe o extrato da correntista Carla Violeta, que tem conta no mesmo banco que Mário Lilás. BANCO MONEY DE INVESTIMENTO Movimentação bancária: Período: 2/12/2013 a 6/12/2013 Data: 7/12/2013 Hora: 21h20 Cliente: Carla Violeta Agência: 4321-0 Conta: 096385–10 Data

Histórico

Documento

Valor

2/12/2013

SALDO ANTERIOR

15,00 C

3/12/2013

SAQUE CE

000000

30,00 D

3/12/2013

CH COMPENSADO

000523668

89,25 D

4/12/2013

REMUNERAÇÃO/SALÁRIO

000085317

810,15 C

4/12/2013

CREDIÁRIO

000000

21,00 D

5/12/2013

DEPÓSITO

000478156

50,00 C

6/12/2013

TARIFA CONTA/MÊS

000000

8,10 D

Em que dia foi registrado o seu maior saldo? E quando foi registrado o menor saldo? Se julgar conveniente, use uma calculadora.

7º ano

387

2. Explorando matematicamente o conceito de valor absoluto (módulo), determine: a) |6,9 + 5,4| = b) |6,9| + |5,4| =

Agora, relacione |6,9 + 5,4| com |6,9| + |5,4|.

3. Observe a reta numérica seguinte: sentido positivo unidade

–2,8

−6 5

–0,6

4 5

2,4

1 1,2

Complete as sentenças com o sinal < (menor que) ou > (maior que): a) –2,8

–0,6

c) – 6 5

+1,2

e) +2,4

b) –2,8

+2,4

d) +2,4

–0,6

f) –2,8

+4 5 0

4. Compare com um amigo as respostas dadas no exercício anterior e responda às questões a seguir: a) Dados dois números racionais, um positivo e outro negativo, qual deles é o “maior”? b) Qual é a relação de ordem entre um número racional negativo e o zero? c) Dados dois números racionais negativos, o maior deles é aquele que tem o maior valor absoluto? d) Quais os números racionais que têm valor absoluto igual a 2,8? e) Escreva dois números racionais que sejam menores do que – 56 .

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COM NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO INTEIRO POSITIVO POR UM NÚMERO NEGATIVO Em um dia de inverno, a temperatura de uma cidade da região Sul era de 7,1 °C à meia-noite. A partir desse horário, com a Variação de chegada de uma frente fria, foi reHorário Temperatura (°C) temperatura (°C) gistrada uma variação constante de meia-noite 7,1 temperatura de –2,6 °C, a cada duas horas, até às 6 horas. 2 horas –2,6 4,5 As temperaturas corresponden4 horas –2,6 1,9 tes aos intervalos de duas horas foram registradas na tabela ao lado. 6 horas –2,6 –0,7 388

Matemática

Outra forma de determinar a temperatura às 6 horas é a seguinte: 7,1 + (–2,6) + (–2,6) + (–2,6) = 7,1 + (–7,8) = 7,1 – 7,8 = –0,7

variação total de temperatura

Às 6 horas, a temperatura era igual a –0,7 oC. A mesma variação total de temperatura, da meia-noite às 6 horas, pode ser expressa na forma de produto do número inteiro 3 pelo número negativo –2,6 da seguinte forma: (–2,6) + (–2,6) + (–2,6) = 3 × (–2,6) = –7,8

ou seja, a variação total de temperatura foi de 3 vezes a variação –2,6. Você também poderia interpretar essa variação total de temperatura afirmando que a variação de temperatura –2,6 ocorreu 3 vezes, ou seja: (–2,6) + (–2,6) + (–2,6) = (–2,6) × 3 = –7,8

Isso quer dizer que: 3 × (–2,6) = (–2,6) × 3

Essa propriedade da multiplicação se chama propriedade comutativa e significa que você pode trocar a ordem dos números envolvidos sem alterar o resultado.

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO INTEIRO NEGATIVO POR UM NÚMERO NEGATIVO Neste ponto, não serão apresentados casos “concretos” externos à Matemática para justificar os cálculos. O exercício matemático que iremos explorar aqui é, por exemplo, o cálculo de (–3) × (–2,6). Como foi observado anteriormente: 3 × (–2,6) = –7,8

e (–2,6) × 3 = –7,8

Como –3 é –(+3), então utilizaremos, sem justificativas, que: (–3) × (–2,6) = –(+3) × (–2,6) = –[(+3) × (–2,6)] = –[–7,8] = 7,8

7º ano

389

Portanto, a regra a ser aplicada aqui é a seguinte: (–3) × (–2,6) = 3 × 2,6 = 7,8

Se sua calculadora possui a tecla +/- , os procedimentos podem ser:

+/-

1 × 2 ∙ 6

Se sua calculadora não possui a tecla (–3) × (–26) podem ser: MC

2 ∙ 6

M–

+/-

, então os procedimentos para calcular

0 – 3 ×

Para outros casos de multiplicação com números positivos e negativos, os cálculos tornam-se mais elaborados (mais “difíceis” de ser justificados). Por exemplo, como fazer os seguintes cálculos? • 2,3 × (–3,7)

• (–3,6) × 6,8

• (–4,2) × (–5,4)

Para obter os três produtos anteriores, você pode usar as mesmas regras já mencionadas para a multiplicação de um número inteiro (positivo ou negativo) por um número qualquer. Acompanhe: • 2,3 × (–3,7) = –(2,3 × 3,7) = –(8,51) = –8,51 • (–3,6) × 6,8 = –(3,6 × 6,8) = –(24,48) = –24,48 • (–4,2) × (–5,4) = + (4,2 × 5,4) = +22,68 = 22,68   33 

 2 2 3 3 

 ×××   = • (–0,2) ×  –−−55  = +  10 10 5 5 50 • (–0,2) × (–0,6) = + (0,2 × 0,6) = +0,12 = 0,12

Tendo em vista os últimos exemplos, é possível expressar as seguintes regras de sinais: • a multiplicação de dois números com o mesmo sinal tem como resultado

um número positivo; • a multiplicação de dois números com os sinais opostos tem como resultado um número negativo. 390

Matemática

DIVISÃO Qual é o número que está escondido sob a ficha

× (–5) = 35

Para descobrir o número escondido dividimos 35 por (–5). 35 ÷ (–5) = –7

Essas regras de sinais da multiplicação valem também para a divisão, pois multiplicação e divisão são operações inversas. • a divisão de dois números com o mesmo sinal tem como resultado um

número positivo; • a divisão de dois números com os sinais opostos tem como resultado um número negativo. Acompanhe: • 18 ÷ (+6) = +(18 ÷ 6) = +3 = 3 4 • ( –4) ÷ 9 = –(4 ÷ 9) = – 9 • ( –48) ÷ (–48) = +(48 ÷ 48) = +1 = 1 • (+ 8,1) ÷ (–0,9) = –(8,1 ÷ 0,9) = –9  3

 4

 3

 7

 3 3 7 7 

21 •  − 5  ÷  − 7  =  − 5  ×  − 4  = +  5×5×4×4  = 20

APLICAR CONHECIMENTOS V

1. Junte-se a um colega para realizar esta atividade.

Uma pessoa estima o resultado de cada multiplicação e assinala o que mais se aproxima da resposta correta, e a outra pessoa confere com uma calculadora e escreve o resultado exato: a) –3 × 2,9

(

) –9

(

) –6

(

) –9,5

b) 15,8 × (–1,2)

(

) –19

(

) –15,8

(

) 16

c) –0,5 × (–58)

(

) –29

(

) 29

(

) 2,9

2. Utilizando as regras de sinais da multiplicação e da divisão de números racionais negativos por núme-

ros negativos, determine os seguintes produtos e cocientes. Se necessário, utilize uma calculadora. a) (–1) × (–10) =

c) (–121) ÷ (–1) =

b) (–0,5) × (–213,7) =

d) (–1,44) ÷ (–1,2) =

7º ano

391

3. Analise os seguintes cálculos que três estudantes efetuaram para obter cocientes. Assinale os que

estão corretos e corrija os incorretos. a) Isabela escreveu: 1 5

– ÷ (

 2  −  3

1 5

3 2

) Correto

= (

3 10

) Incorreto

b) Para efetuar 18,6 ÷ (–0,6), Paulo usou uma calculadora, digitando as teclas:

1 8 ∙ 6 ÷ 0 ∙ 6 = e escreveu 18,6 ÷ (–0,6) = 31. (

) Correto

(

) Incorreto

c) Renata resolveu assim:  1 –2,4 ÷  − 12  = + 24 ÷ 1 = + 24 × 12 = 288 = 28,8 12 10 10 10

(

) Correto

(

) Incorreto

EXERCITANDO MAIS

1. Veja a movimentação bancária seguinte: CAIXA DE DINHEIRO Movimento de conta-corrente especial Período: 01/10/2013 a 10/10/2013 Data: 16/12/2013 Hora: 19h36 Cliente: Maria Antônia da Silva Agência: 0123–4 Conta: 34567–1 Limite da conta: R$ 200,00 Data

Histórico

Documento

Valor

01/10/2013

SALDO ANTERIOR

02/10/2013

SAQUE

000000

67,00–

03/10/2013

SAQUE

000000

15,00–

03/10/2013

* CH COMPENSADO

135790

50,00–

04/10/2013

SAQUE

000000

73,00–

06/10/2013

REMUNERAÇÃO/SALÁRIO

000000

600,00+

07/10/2013

SAQUE

000000

43,00–

10/10/2013

SAQUE

000000

500,00–

10/10/2013

* CH COMPENSADO

135791

197,00–

100,00

Saldo em conta corrente:

392

Matemática

Saldo

A conta de Maria Antônia da Silva é do tipo “cheque especial” e tem o limite adicional no valor de R$ 200,00. Isso significa que ela pode ficar com saldo negativo até R$ 200,00 sem que sua conta seja fechada. No dia 10/10/2013 foi compensado (cobrado) um cheque de R$ 197,00. Qual o valor mínimo que a correntista deve depositar nesse dia para evitar que seu saldo negativo ultrapasse o limite e o cheque seja devolvido?

2. Uma pequena empresa que produz eventos e festas registrou o seguinte movimento financeiro

(saídas e entradas) em setembro para posterior balanço mensal. Dia

Histórico

Valor (em R$)

4/9

Compras

980,00

4/9

Recebimento da 1a parcela do evento de 4/9

4 730,00

5/9

Pagamentos de salários e encargos

1 200,00

5/9

Pagamentos de fornecedores (floricultura: mês 8)

5/9

Pagamentos de fornecedores (bebidas: mês 8)

5/9

Pagamentos de fornecedores (doces: mês 8)

850,00

12/9

Compras

530,00

13/9

Pagamento de terceiros (cinco garçons)

13/9

Recebimento da 2 parcela do evento de 13/9

3 190,00

14/9

Recebimento de bebida consumida: evento de 13/9

1 800,00

20/9

Recebimento da 3 parcela do evento de 20/9

1 120,00

26/9

Compras

490,00

27/9

Pagamento de terceiros (três garçons)

240,00

27/9

Recebimento da 4a parcela do evento de 27/9

2 570,00

30/9

Pagamento de aluguel

2 000,00

30/9

Pagamento de taxas e impostos

1 200,00

490,00 2 300,00

400,00

Analisando a planilha de movimentação financeira, responda: o saldo da empresa em setembro foi positivo ou negativo? De quanto?

7º ano

393

3. É comum, em campeonatos de futebol,

o uso de números positivos e negativos para registrar o saldo de gols (diferença entre os gols marcados e os gols sofridos). Os gols marcados são representados por números positivos, e os gols sofridos, por números negativos. Registre o saldo de gols das equipes na tabela ao lado.

Equipe

Gols marcados

Gols sofridos

Saldo de gols

4. Esta tabela registra temperaturas de algumas cidades num mesmo dia e hora. Cidade

Temperatura (°C)

Campos de Jordão

1° abaixo de zero

Florianópolis

10° acima de zero

Rio de Janeiro

21° acima de zero

Salvador

25° acima de zero

São Joaquim

5° abaixo de zero

São Paulo

14° acima de zero

a) Calcule as diferenças de temperatura entre as temperaturas de: • São Paulo e Salvador: • Rio de Janeiro e Florianópolis: • Florianópolis e Campos do Jordão: • São Joaquim e Campos do Jordão: • São Paulo e São Joaquim: • Salvador e Rio de Janeiro: b) Em que cidades foram registradas a maior e a menor temperaturas e quais foram essas temperaturas?

5. Em uma compra a prazo, Maria Lilás deu ao vendedor da loja cinco cheques (pré-datados) de

R$ 25,00 cada um para pagar as prestações mensais. Expresse essa operação financeira na forma de produto de um número positivo por um número negativo, indicando o débito dessa compra na conta corrente de Maria Lilás. PARA AMPLIAR SEUS ESTUDOS

Livros

A invenção dos números GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.)

Números com sinais GUELLI, Oscar. Números com sinais. São Paulo: Ática, 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.)

Números negativos IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Números negativos. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Pra que serve a Matemática.)

394

Matemática

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

O dia em duas rodas

Paulo Fridman/Pulsar Imagens

profissão de motobói é bem recente (essa palavra já está incorporada aos dicionários brasileiros, apesar de a forma mais usada ainda ser a palavra inglesa motoboy). Em 1984, na cidade de São Paulo, surgiram os primeiros entregadores profissionais que usavam motocicletas para prestar esse serviço. Estima-se que, nessa cidade, havia cerca de 800 mil motobóis em 2010, mas os números totais são incertos porque muitos não são registrados. A remuneração mensal de um motobói depende da quantidade de entregas que ele realiza diariamente, pois, quanto mais rápido efetuar a entrega de um pedido, mais tempo terá para um novo serviço. As atividades de consultar guias e mapas e traçar itinerários fazem parte do dia a dia de um motobói.

Motos se deslocam entre duas pistas da av. Vinte e Três de Maio, em São Paulo (SP), 2012. Os corredores improvisados de motos são muito comuns nas grandes cidades brasileiras. É um recurso (nem sempre seguro) usado principalmente por motobóis para escapar do congestionamento e fazer as entregas com rapidez.

7º ano

395

RODA DE CONVERSA

No trabalho de um motobói são utilizadas noções matemáticas e é comum o uso de expressões como “ruas paralelas”, “ruas perpendiculares”, “num raio de 10 quilômetros”, “sentido centro”, “segue nesta direção”, entre outras. Com seus colegas, tente explicar cada uma dessas expressões, de acordo com o que você conhece.

A HISTÓRIA DE DIONÍSIO São seis horas da manhã de uma quinta-feira quando Dionísio, em sua moto, deixa um bairro da periferia de São Paulo e se dirige ao trabalho. Ele trabalha para uma empresa que presta serviço de entregas. A empresa paga valores fixos aos seus motobóis para percursos compreendidos num raio de 50 km de sua sede. Para serviços que ultrapassem essa distância, há um acréscimo por quilômetro percorrido. A região onde não há acréscimo é determinada, portanto, por uma circunferência com centro na empresa e raio de 50 km.

CIRCUNFERÊNCIA A partir de um ponto em um plano (o centro), uma circunferência é uma linha formada por todos os pontos desse plano que estão a uma mesma distância do centro. raio Pode-se usar um compasso para desenhar uma centro circunferência. Todo segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência é um raio da circunferência. circunferência Aqui, a expressão “um raio” significa um segmento que une o centro de uma circunferência a qualquer um de seus pontos, e a expressão “o raio” significa a medida comum de todos os seus raios.

CÍRCULO Um círculo é uma figura formada por uma circunferência e por todos os pontos do mesmo plano da circunferência que distam menos que o raio do seu centro.

centro

raio círculo

396

Matemática

PARA REFLETIR

Você já reparou como os círculos e as circunferências estão presentes nas formas de muitos objetos? Que propriedade dos círculos deve ter chamado a atenção das pessoas na invenção da roda?

RETA Uma reta é uma linha que pode ser traçada com o auxílio de uma régua. Uma linha reta pode ser imaginada como uma figura (ideal) que não tem espessura e é ilimitada nos dois sentidos.

SEMIRRETA Uma semirreta (também uma figura ideal) é uma parte (região) da reta que não tem espessura, é limitada em um sentido por um ponto (origem), e ilimitada no outro sentido.

reta

origem

semirreta

SEGMENTO DE RETA Um segmento de reta também é uma figura ideal. É uma parte (região) da reta que não tem espessura e é limitada entre dois pontos da reta.

segmento de reta

EXPERIMENTAR I Ilustração digital: Luciano Tasso

Observe como usar uma régua para traçar segmentos de retas. A expressão “traçar uma reta” significa “traçar um segmento de reta” que irá representar a reta. a) Em uma folha de papel, desenhe cinco retas de margem a margem, de modo que cada duas delas tenham um ponto comum. Observe, na ilustração, como um estudante desenhou as três primeiras retas.

b) Quando você terminar de desenhar as cinco retas, é possível que vários polígonos tenham sido

formados. Escolha uma cor para pintar os triângulos (polígonos com três lados), outra para os quadriláteros (com quatro lados), e uma terceira para os outros polígonos (com mais de quatro lados). 7º ano

397

PARA CRIAR

Ilustrações digitais: Luis Moura

Observe as imagens. Elas mostram o uso de um compasso.

a) Utilizando um compasso, desenhe: • duas circunferências com raios diferentes, mas com o mesmo centro; • duas circunferências com raios iguais, mas com centros diferentes; • duas circunferências com centros diferentes, mas com pelo menos um ponto em comum. b) Trace uma circunferência com raio igual a 3 cm e, em seguida: • marque um ponto qualquer nessa circunferência; • mantendo a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca nesse ponto e marque um

“novo” ponto na circunferência; 398

Matemática

• a partir desse “novo ponto”, faça o mesmo para marcar outro ponto sobre a circunferência; • repita esse procedimento até marcar seis pontos; • trace seis circunferências tendo como centros os pontos marcados e mantendo a mesma

abertura do compasso (mesmo raio); • use cores para finalizar seu desenho.

USANDO UM GUIA DE RUAS Às oito horas da manhã, o motobói Dionísio recebe o primeiro trabalho do dia: retirar um documento num escritório, levá-lo para reconhecimento de firma no 14o Tabelionato de Notas e entregá-lo em uma empresa. Na ordem de serviço consta: Funcionário: Dionísio

Saída: 8h 20 min

Retirada: Rua Marquês de Itu, 276 – CEP 01223-000 Assinatura:

hora:

Reconhecer firma: Rua Antônio Bicudo, 64 – CEP 05418-010 Entrega: Rua Dr. Siqueira Campos, 10 – CEP 01509-020 Assinatura:

hora:

Retorno:

De posse da ordem de serviço, a primeira providência que Dionísio tomou foi consultar um guia de ruas da cidade. Usando o índice, ele localizou a rua Marquês de Itu, que estava identificada com o seguinte código: 69 T 20. Então, Dionísio soube que devia procurá-la na página 69. Nessa página havia um mapa que oferecia duas informações a ser seguidas de acordo com as informações que Dionísio havia encontrado: • uma letra (T) indicando uma linha (ou faixa horizontal) ; • um número (20) indicando uma coluna (ou faixa vertical). A região da página localizada no encontro dessas duas faixas continha a rua procurada. Nessa região do mapa ele procurou e encontrou a rua Marquês de Itu. A rua, segundo indicação do guia, é de mão única, e seu sentido é centro-bairro. 7º ano

399

Editora Abril

Fonte: Guia Quatro Rodas Ruas Sรฃo Paulo 2011, p. 69.

400

Matemรกtica

SENTIDO Quando consideramos uma reta, ela indica uma direção. Se tomarmos dois pontos, A e B, nessa reta, a direção AB pode ser percorrida em dois sentidos: • de A para B: A B • de B para A: B A Analisando o percurso, Dionísio descobriu também que a rua Marquês de Itu é paralela à rua General Jardim. Ao reconhecer que as duas ruas são paralelas, ele empregou um conceito da geometria associado às posições relativas de duas retas em um plano.

Duas retas contidas em um plano são paralelas quando elas não têm ponto comum.

As retas r e s ao lado estão no mesmo plano e são paralelas. Elas não se cruzam. Indicamos esse fato por meio da expressão:

r // s plano

Dionísio verificou também que as ruas General Jardim e Bento Freitas se cruzam. Duas retas que se cruzam são denominadas concorrentes. r

Duas retas são concorrentes quando possuem um único ponto em comum. s

As retas r e s ao lado são concorrentes. plano

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Vamos identificar retas no espaço (universo) em que vivemos.

Observe as paredes da sala de aula procurando linhas (no encontro de duas paredes, no encontro da parede com o teto). Identifique os pares de retas que são paralelas, os pares de retas que são concorrentes e um par de retas que não são nem paralelas nem concorrentes. 7º ano

401

2. No quadriculado ao lado, trace: a) duas retas paralelas r e s; b) uma terceira reta t paralela à reta s.

O que você pode concluir da posição da reta r em relação à reta t?

TRAÇANDO ITINERÁRIOS

Editora Abril

Ainda consultando o guia, Dionísio sabe que um dos caminhos para chegar à rua Marquês de Itu é pegar a rua da Consolação até a Igreja Nossa Senhora da Consolação e virar à esquerda na rua Rego Freitas. A terceira travessa à esquerda já é a Marquês de Itu. O número 276 fica no primeiro quarteirão. Dionísio, então, dirige-se ao seu primeiro destino. Lá, a recepcionista lhe entrega o envelope, marca a hora e assina a ordem de serviço. Agora, ele terá que ir até o cartório na rua Antônio Bicudo. O manuseio e o conhecimento do guia podem permitir a Dionísio traçar um itinerário.

402

Matemática

Uma das informações mais importantes em guias desse tipo é que os mapas oferecem uma orientação segundo os pontos cardeais. Na página de um guia existem três informações que mostram como se pode encontrar uma continuação desse mapa: • Para ir ao norte, basta seguir para a página mencionada na parte superior; no caso de Dionísio, página 52. • Para ir ao sul, basta seguir para a página mencionada na parte inferior; nesse caso, a página é a de número 86. • Para ir para oeste, basta voltar para a página anterior; nesse caso, é a página 68. • Para ir a leste, deve-se seguir para a página posterior; nesse caso, a página é a de número 70. Usando as informações do guia, Dionísio fez escolhas sobre o rumo a seguir (norte, sul, leste ou oeste) e verificou em que página do guia estava a continuação das ruas que ele deveria percorrer. Dessa forma, ele traçou o caminho para ir da rua Marquês de Itu, onde estava, até a rua Antônio Bicudo. Toda vez que ele passar de uma rua para uma travessa dessa rua, ele muda de direção. Essa mudança de direção determina um ângulo, formado pela nova direção em relação à direção inicial. Neste texto, ângulo também significa uma das duas regiões planas que é formada por duas semirretas com mesma origem. Veja as figuras seguintes:

Rua Marquês de Itu

irre

sem ângulo

reta semir

vértice

rre

i em

ângulo vértice

semirreta

GRAU: UMA UNIDADE DE MEDIDA DE ÂNGULO Existem algumas unidades de medidas de ângulo: a mais conhecida é o grau (representada por º). Uma das maneiras de construir um ângulo cuja medida é 1 grau (1º) é a seguinte: 7º ano

403

• desenha-se um círculo cujo raio pode ser

qualquer número positivo; • a seguir, desenham-se duas retas que se cruzam no centro do círculo e formam quatro ângulos de medidas iguais; • essas duas retas irão determinar quatro pontos sobre a circunferência desse círculo, como mostra a figura ao lado.

centro A

A circunferência ficará dividida em quatro arcos, denominados arcos da circunferência. Nesse caso, cada um desses arcos corresponde a 1 da circunferência. 4 Se dividirmos, por exemplo, o arco AB em 90 arcos iguais, então cada ângulo cujo vértice é o centro do círculo e contém um desses arcos é um ângulo com 1 grau (1º). Qualquer ângulo com 1 grau (1º) é uma unidade de medida de ângulo. Então, 1 da circunferência equivale a um ângulo reto com 90 graus (90º). 4 Quando você observou as retas nas paredes de sua sala de aula, provavelmente verificou que a maioria das retas concorrentes usadas na construção forma ângulos com 90 graus, chamados ângulos retos. Observando parte do mapa da página 402 podemos constatar que, quando Dionísio sai da rua Rego Freitas e pega a rua Marquês de Itu, ele faz um giro de 90 graus, pois a rua Rego Freitas e a Marquês de Itu são perpendiculares. Quando duas retas concorrentes formam ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. Indicamos que duas retas r e s são perpendiculares com a expressão: r s. s

plano

Em uma figura, costumamos marcar um ângulo reto com o sinal . Os motobóis não dependem da medida de ângulos, pois os caminhos a percorrer já estão determinados pela ruas. Porém, navegadores de embarcações, pilotos de aviões e de rali, serralheiros, torneiros mecânicos, ortopedistas, médicos-cirurgiões precisam conhecer medidas de ângulos para praticar suas atividades. 404

Matemática

EXPERIMENTAR II

Pegue um pedaço de papel de qualquer formato.

Faça uma dobra nesse pedaço em qualquer posição e acentue bem o vinco formado.

Dobre mais uma vez o pedaço de papel, sobrepondo o vinco da dobra anterior. A “abertura” obtida corresponde a um ângulo de 90º.

Ilustrações digitais: Estúdio Pingado

Vamos “construir” um ângulo reto. Para isso: Abra o pedaço de papel. Os vincos determinam retas perpendiculares que formam quatro ângulos retos (de 90°).

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Quando o ponteiro de um relógio dá uma volta completa, quantos graus ele gira? 2. Dionísio está percorrendo uma rua num determinado sentido e descobre que errou o caminho.

Ele faz meia-volta e passa a percorrer a mesma rua no sentido contrário. De quantos graus foi a volta que ele fez?

MEDIDAS DE ÂNGULOS E POLÍGONOS Ilustrações digitais: Estúdio Pingado

Um instrumento que pode ser usado para medir ângulos é um transferidor. Para determinar a medida de um Transferidor ângulo, coloque o transferidor sobre ele, fazendo coincidir o vértice do ângulo com o ponto do transferidor identificado na figura por O e colocando a marca de 0o sobre uma de suas semirretas. A outra semirreta deverá estar na 30 região graduada do transferidor. A marca graduada na qual essa semirreta passa é a medida do ângulo. o

A medida do ângulo da figura acima é de 30°.

7º ano

405

Ângulos com medidas menores que 90° são chamados ângulos agudos. Ângulos com medidas maiores que 90° e menores que 180° são chamados ângulos obtusos. Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Os nomes dos polígonos podem estar relacionados com os respectivos números de seus lados, mas podem estar relacionados, também, com outras características. O nome “triângulo”, por exemplo, indica um polígono com três ângulos. Triângulos retângulos são muito usados em construções de casas, grandes prédios, veículos, móveis, estruturas de engenharia.

QUADRILÁTEROS Entre os polígonos com quatro lados, chamados quadriláteros, alguns possuem lados ou ângulos com características especiais, o que nos possibilita classificá-los. Observe se há paralelismo entre os lados de cada figura e os nomes correspondentes das figuras em cada caso. Nenhum par de lados paralelos

Um único par de lados paralelos

Dois pares de lados paralelos

trapézios

paralelogramos

Observe a existência de ângulos retos: Nenhum ângulo reto

Dois ângulos retos

trapézio retângulo

406

Matemática

Quatro ângulos retos

retângulo

quadrado

Observe a existência de lados com a mesma medida: Apenas dois lados com a mesma medida

Dois pares de lados com a mesma medida

Quatro lados com a mesma medida

losango

trapézio isósceles

quadrado

Quadrados são quadriláteros que têm todos os lados com medidas iguais e todos ângulos com medidas iguais. Todo quadrado é um polígono regular. Em geral, polígonos que têm lados com as mesmas medidas e ângulos com as mesmas medidas chamam-se polígonos regulares. APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados. Triângulo equilátero: possui os três lados com a mesma medida.

Triângulo isósceles: possui pelo menos dois lados com a mesma medida.

Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas duas a duas diferentes.

a) Meça os ângulos de cada um dos triângulos e escreva quais são as suas medidas:

Triângulo equilátero: Triângulo isósceles: Triângulo escaleno: b) O que você conclui sobre as medidas dos ângulos de um triângulo equilátero? c) Para cada um dos triângulos, calcule a soma das medidas de seus ângulos internos: • Soma das medidas dos ângulos internos do triângulo equilátero: • Soma das medidas dos ângulos internos do triângulo isósceles: • Soma das medidas dos ângulos internos do triângulo escaleno: d) Qual é sua conclusão a respeito dessas três somas?

7º ano

407

2. Um triângulo equilátero é um polígono regular? Justifique sua resposta.

EXPERIMENTAR III

Leve para lá e encaixe

1 Troque as posições

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Uma importante propriedade dos triângulos é a soma das medidas de seus ângulos internos. Para verificá-la siga as seguintes etapas: • desenhe um triângulo qualquer em uma folha de papel e recorte-o; • recorte os seus três ângulos, preservando suas medidas; • desenhe uma reta em uma folha de papel e coloque sobre ela os três ângulos obtidos na figura anterior, de acordo com a ilustração abaixo; • após o encaixe sugerido, responda: qual é a soma das medidas dos ângulos identificados por 1, 2 e 3?

1 3 2

Complete a seguinte conclusão: Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS A leitura de guias de ruas de uma cidade pode ser considerada uma aplicação de um conceito matemático denominado sistema de coordenadas cartesianas, nome que foi dado em homenagem a um de seus criadores, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), cujo nome latino era Cartesius.

PLANO CARTESIANO Dois eixos perpendiculares em um plano determinam um sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido como sistema de coordenadas retangulares. Esses eixos costumam receber os seguintes nomes: eixo das abscissas e eixo das ordenadas. As posições desses eixos dependem da escolha de cada um. Veja as figuras a seguir: 408

Matemática

eixos das ordenadas

eixos das abscissas

eixos das ordenadas

eixos das abscissas

Em geral, na literatura destinada ao ensino de Matemática, a figura da esquerda parece ter preferência com relação à figura da direita. Por causa disso, manteremos essa tradição. Em um plano cartesiano, cada um de seus pontos pode ser localizado por um par ordenado de números chamados coordenadas cartesianas. O ponto P na figura seguinte tem coordenadas 3 e 4 e pode ser representado pelo par ordenado (3;4).

eixos das ordenadas

ordenada do ponto P

eixos das abscissas

eixos das ordenadas P

eixos das abscissas

abscissa do ponto P

A abscissa do ponto P é 3, e a sua ordenada é 4. Para representar que as coordenadas do ponto P são os números 3 e 4, nessa ordem, pode-se escrever P = (3;4). O ponto comum aos dois eixos coordenados chama-se origem e costuma ser ordenada abscissa representado pela letra O. O ponto O tem abscissa e ordenada iguais a zero. Pode-se escrever O = (0;0). A estrutura dos guias de ruas de uma cidade apoia-se nesse conhecimento maorigem O temático, pois usa duas informações (um número e uma letra) para que seja possível a localização de uma rua no mapa.

7º ano

409

APLICAR CONHECIMENTOS IV

No plano cartesiano a seguir, estão representados os pontos O, A, B, C e D. O ponto O é a origem do sistema. a) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C e D.

B D

b) Localize e marque no plano os seguintes pontos:

E = (–1;6); F = (0;4); G = (5;–3) e H = (2;3) c) Usando uma régua, desenhe a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto B.

Essa reta passa por algum ponto que você localizou no item b? Se sim, qual?

EXERCITANDO MAIS

1. Construa um hexágono usando um compasso e uma régua. Para isso: a) Desenhe uma circunferência qualquer. b) Marque um ponto qualquer nessa circunferência e nomeie-o A. c) Mantendo a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto A e marque um

outro ponto na circunferência. Nomeie-o B. d) A partir do ponto B, marque sobre a circunferência os pontos C, D, E e F usando os mesmos procedimentos anteriores. e) Desenhe os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA. O hexágono que você desenhou é regular. Por quê? 2. Observe as ilustrações a seguir e determine, em cada uma delas, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio. Em seguida, classifique esses ângulos utilizando os seguintes símbolos: (A) para ângulos agudos (O) para ângulos obtusos (R) para o ângulo reto a) 6h ou 18h

b) 3h ou 15h

11 10 9 8

11 10 9

2 3 4

( 410

Matemática

)

2 3 4

(

)

c) 1h ou 13h

d) 5h ou 17h

11 10 9 8

11 10 9

2 3 4

(

)

2 3 4

(

)

3. Determine a medida x dos ângulos em cada uma das imagens seguintes na unidade grau: a)

40°

60° x°

x°

4. Observe a figura seguinte: a) Determine as coordenadas de cada

eixo das ordenadas

um dos oito pontos destacados. b) Desenhe a reta passando pelos pontos A e B. Veja que ela é paralela ao eixo das abscissas. Sabendo disso, qual é a conclusão sobre as ordenadas de A e B?

F C

D G O

E eixo das abscissas

5. Usando o quadriculado abaixo, faça o que se pede: a) Localize os três pontos determinados pelos pares de coordenadas (1; 1); (7; 7) e (11; 3).

Nomeie esses pontos usando letras do alfabeto latino.

7º ano

411

b) Usando uma régua, desenhe os segmentos determinados pelos três pontos obtidos no item a.

Que figura você obteve? c) Localize os quatro pontos determinados pelas coordenadas (1;2); (8;7); (11;5); (4;0).

Nomeie esses pontos usando letras do alfabeto latino. d) Usando uma régua, desenhe os segmentos determinados pelos quatro pontos obtidos no item c, na ordem em que foram dados, para obter um paralelogramo. e) O que se pode concluir a respeito das medidas de seus lados e de seus ângulos? eixo das ordenadas

eixo das abscissas

PARA AMPLIAR SEUS ESTUDOS

Livros

Ângulos IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Ângulos. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Pra que serve a Matemática.)

Em busca das coordenadas ROSA NETO, Ernesto. Em busca das coordenadas. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A descoberta da Matemática.)

Geometria IMENES, Luiz Márcio et al. Geometria. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Pra que serve a Matemática.)

Geometria das dobraduras IMENES, Luiz Márcio. Geometria das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1992.

Matemática divertida e curiosa TAHAN, Malba. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record. 1994.

412

Matemática

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Conectando

Delfim Martins/Pulsar Imagens

história dos computadores está associada à invenção de máquinas de fazer cálculos. Ábacos, máquinas manuais de calcular e máquinas perfuradoras de cartões podem ser considerados os primeiros computadores construídos pela humanidade. Os computadores atuais, além de fazer cálculos, são usados para processar dados, textos, figuras, gráficos, movimentos, sons. O precursor dos computadores atuais foi construído em 1946, na Universidade da Pensilvânia, nos Estados Unidos. Hoje, essas máquinas já fazem parte da vida de jovens como Cláudio, que, aos 17 anos, trocou a mecânica de automóveis pela paixão por computadores. Quando o dono da mecânica em que ele trabalhava GLOSSÁRIO comprou um microcomputador para cadastrar clientes, arInformática: um setor dos conhecimentos humanos que abrange computadores, quivar fichas de serviços, informações sobre os empregados, softwares (pronuncia-se “sóftueres”), compras e contas a pagar, Cláudio passou a se interessar pelo programação, realidade virtual, videogames (videojogos) e tudo o que está trabalho de produção de textos, tabelas, gráficos, desenhos, relacionado com computadores. e começou a ler sobre informática.

Na foto, jovem e instrutor montam computador durante oficina de informática oferecida no Parque da Juventude, em São Paulo (SP), 2010.

7º ano

413

RODA DE CONVERSA

• • • •

Você se interessa por computadores? No local onde você vive as pessoas manifestam interesse pela informática? Na sua opinião, por que isso acontece? No seu município, o acesso à informática é facilitado para a população? Quais são as oportunidades oferecidas?

UM BIT, DOIS SÍMBOLOS

Tela (monitor)

Teclado

Gabinete contendo CPU, disco rígido etc.

Ilustração digital: Luis Moura

Ao avançar nos estudos sobre computadores, um aspecto chamou a atenção de Cláudio: as unidades de medida com nomes estranhos, geralmente escritas em inglês. Ao tentar compreender os significados dessas unidades de medida, ele observou que muitas palavras contêm, em sua formação, a expressão “bit” (binary digit, em inglês, que significa “dígito binário”). O bit é a menor unidade de medida utilizada para medir a quantidade de informações que um computador pode armazenar.

Mouse

Nos computadores atuais, os bits correspondem a microtransmissores que compõem a memória. Bastam um símbolo para representar um bit, por exemplo, 0 e 1. Por isso, podemos considerar que toda informação armazenada na memória de um computador e toda instrução dada para um computador é como uma palavra ou expressão formada apenas com os símbolos 0 e 1. Há apenas duas “palavras” com 1 bit: 0 e 1. Há quatro “palavras” com 2 bits: 00, 01, 10 e 11, cada uma com um único significado. Há oito “palavras” com 3 bits: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111, cada uma com um único significado. 414

Matemática

Para visualizar os arranjos possíveis com um, dois, três ou mais bits, pode-se contar com um recurso gráfico chamado árvore de possibilidades, apresentado nos esquemas a seguir. 000 00

011 100

3 bits

2 bits

1 bit

101 110

11 Para um bit, são duas possibilidades.

001 010

Para dois bits, são quatro possibilidades.

111 Para três bits, são oito possibilidades.

Observando as árvores de possibilidades, nota-se que, a cada bit acrescentado às “palavras” com 1 bit, com 2 bits, com 3 bits, o número de novas “palavras” dobra em relação ao número de “palavras” anteriores. Para “palavras” com 4 bits, há 16 arranjos; para “palavras” com 5 bits, há 32 arranjos, e assim por diante.

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Observe a árvore genealógica de Cláudio. Considere que ele é o último elemento da árvore na

qual os elementos anteriores representam alguns de seus ascendentes: pais, avós, bisavós. São as gerações passadas de sua família.

Cláudio

Clara

José

Joca

Ana

Francisco

Rosana

Josefina

João

Severino

Alírio

Cláudia

Maria

Lourdes

Cláudio

Com base na árvore genealógica de Cláudio, responda: a) Quantas gerações de pessoas aparecem nessa árvore? b) Quantas pessoas estão representadas? 7º ano

415

2. Faça um levantamento com seus familiares para obter informações sobre seus ascendentes: pais,

avós, bisavós paternos e maternos. Com essas informações, construa a árvore genealógica de seus ascendentes, se possível até a geração dos seus bisavós. Registre os nomes das pessoas e, quando houver a informação, o local e o ano em que nasceram. 3. Imagine uma árvore genealógica composta de 15 pessoas. Quantas gerações estarão representadas

nessa árvore? 4. Quantas pessoas estarão representadas numa árvore genealógica formada por seis gerações?

BYTE Quando um símbolo qualquer é digitado no teclado de um computador, um byte (lê-se “baite”) da memória da máquina é ocupado por ele. Por exemplo, a palavra “balada”, escrita com seis letras, ocupa 6 bytes de memória. O número 123 ocupa três bytes; o símbolo $ ocupa um byte; o nome Cláudio Manoel de Souza ocupa 23 bytes, ou seja, vinte letras e três espaços em branco. Cada byte é um arranjo de 8 bits. Pensando nos diferentes arranjos que podem ser feitos com 0 e 1, é possível imaginar uma razoável quantidade de expressões que são utilizadas em computadores para representar letras, símbolos, espaços em branco. Veja algumas dessas expressões: 00000000; 0000000100000010; 00000011; 00000100

Além desses, existem muitos outros arranjos. Por exemplo, quando o número 5 é digitado no teclado do computador, essa ação pode ser expressa na linguagem binária como: 00110101.

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Vamos trabalhar com dobraduras. Providencie uma folha de jornal e dobre-a ao meio, obtendo dois retângulos iguais. Dobre-a uma segunda vez, para obter quatro retângulos iguais.

416

Matemática

Número de dobraduras

Número de retângulos iguais

2×2=4

2 × 4 = 2 × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 =

2 × 8 = 2 × (2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 =

Dobre-a ainda uma terceira, quarta e quinta vezes e registre o número mínimo de retângulos obtidos após cada dobradura. a) Complete a tabela anterior. b) Represente, sob forma de produto com fatores iguais a 2, o número de retângulos iguais que

podem ser obtidos na quinta dobradura e determine o seu valor. c) Calcule o número de retângulos que seriam formados após uma sexta dobradura. d) Com base na tabela, represente, sob a forma de produto com fatores iguais a 2, o número de retângulos iguais que poderiam ser obtidos após a sétima dobradura. 2. Uma forma possível para eliminar algum impasse é jogar cara ou coroa utilizando uma moeda.

Observe o que pode acontecer quando uma moeda é lançada duas vezes seguidas. a) Complete a tabela ao lado registrando todas as sequências de caras e coroas que podem ocorrer, considerando os resultados de dois lançamentos. b) Quantas sequências de caras e

Casos 1o caso 2o caso

Primeiro lançamento

Segundo lançamento

cara coroa

3o caso

coroas podem ocorrer se uma moeda for lançada: • três vezes? • quatro vezes?

NO MUNDO DAS POTÊNCIAS A palavra “potência” possui vários significados e aplicações, tais como: • A potência daquele carro é de 150 cavalos. • A potência daquela lâmpada é de 150 velas. • A potência daquela usina hidrelétrica é de 15 milhões de quilowatts. A palavra “potência” também é usada em Matemática. Para verificar como ela ocorre em matemática, retomemos todos os arranjos possíveis para formar um byte, construindo uma árvore de possibilidades, como foi mostrado com 1 bit, 2 bits e 3 bits. Com 8 bits, a árvore de possibilidades poderá ficar muito grande. Assim, é conveniente encontrar outra forma de obter esses arranjos recorrendo ao conhecimento das potências. Com esses 256 arranjos é possível representar as letras do alfabeto, os algarismos do sistema decimal, os acentos, os pontos, os parênteses, os espaços, e outros símbolos e outras funções que podem ser digitados no teclado do computador. 7º ano

417

Como o produto 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 possui 8 fatores iguais a 2, então esse produto pode ser representado por 28. A expressão 28 pode ser lida das seguintes maneiras: “dois elevado à oitava potência”, “dois elevado à oitava” ou ainda “dois elevado a oito”. Bits

Número de combinações possíveis

21 = 2

22 = 2 × 2 = 4

23 = 2 × 2 × 2 = 8

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256

Nesse exemplo, o número 2 é chamado base da potência, e o número 8 é denominado expoente da potência. O número 256 é a potência de base 2 e expoente 8. Potência é o resultado da aplicação da potenciação. A potenciação é uma operação numérica aplicada aos números racionais, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Ao mesmo tempo, as potências são uma forma abreviada de escrever números.

Uma potência pode ser considerada um produto de fatores iguais, desde que o expoente seja um número inteiro positivo maior que 1. Acompanhe como podem ser feitas as leituras de algumas potências: • 32: “três ao quadrado” ou “três elevado à segunda potência”. • 33: “três ao cubo” ou “três elevado à terceira potência”. • 34: “três à quarta” ou “três elevado à quarta potência”. De modo semelhante, leem-se 310 como “três elevado à décima potência”, e 315 como “três elevado à décima quinta potência”. Existem potências especiais para as quais os matemáticos também criaram regras especiais. É o caso das potências com expoente zero ou um. Observe as informações que aparecem no quadro a seguir. 418

Matemática

35 ÷ 3 = 34

34 ÷ 3 = 33

33 ÷ 3 = 32

32 ÷ 3 = 31

31 ÷ 3 = 30

243

243 ÷ 3 = 81

81 ÷ 3 = 27

27 ÷ 3 = 9

9÷3=3

3÷3=1

÷3

Pela análise das informações que aparecem na tabela, podemos identificar o símbolo 31 com 3 e o símbolo 30 com 1. Tais indicações podem ser feitas para quaisquer bases, desde que não sejam iguais a 0.

Todo número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo. Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Retome a árvore genealógica de seus ascendentes. Utilizando a forma de potência, represente o

número de pessoas que aparecem em cada uma das gerações anteriores.

2. Sandra recebeu pela Internet uma corrente, da qual decidiu participar. Para isso, ela reenviou o

e-mail para as amigas: Maria, Gorete e Elisabete. Para

Maria <maria@cicrano.com.br>; Gorete <gorete@cicrano.com.br>; Elisabete <elisabete@cicrano.com.br>

Assunto

Corrente

Corrente do amor Para arrumar namorado, no primeiro dia do mês de junho, acenda uma vela para Santo Antônio e repita três vezes este pedido: “Meu querido Santo Antônio, se você não quiser passar o resto do ano de cabeça para baixo, me arrume um namorado que seja bonito, rico e jovem”. Peça com bastante fervor e envie esta mensagem para três pessoas. Se ninguém quebrar a corrente, a partir de 12 de junho, todas as garotas que entrarem na corrente encontrarão sua cara-metade. Confie! Entre na corrente do amor e comprove seus resultados.

7º ano

419

Veja no esquema a seguir a formação da corrente três dias depois que Sandra a recebeu.

a) De acordo com o esquema, quantas pessoas participaram da corrente? b) Sandra representa o primeiro nível da corrente. Maria, Gorete e Elisabete representam o se-

gundo. Complete a soma a seguir com o número de pessoas que representam o terceiro e o quarto níveis e calcule o número de pessoas que participam da corrente até esse nível: 1+3+

c) Observe que o número de possibilidades e a escrita matemática correspondente podem ser

acompanhados passo a passo na tabela abaixo. Represente a escrita matemática que indica a quantidade de pessoas na terceira etapa da corrente. Etapa

Participantes

Número de participantes da corrente

Sandra

Sandra, Maria, Gorete, Elisabete

1+3=4

Sandra, Maria, Gorete, Elisabete e mais três amigas de cada amiga de Sandra

1 + 3 + 3 × 3 = 13

As treze pessoas indicadas na etapa 2 da corrente e mais três amigas de cada uma das amigas de Maria, de Gorete e de Elisabete

1+3+3×3+

d) Imagine que houve uma quarta etapa nessa sequência e represente-a por meio de uma escrita

matemática. e) É possível escrever o número de participantes que fazem parte de cada nível da corrente por

meio de uma soma cujas parcelas são potências de base 3, exceto na etapa 0. 420

Matemática

Complete as duas últimas etapas da tabela. Etapa

Número de participantes da corrente

1+3=4

1 + 3 + 32 = 13

1 + 3 + 32 + 33 = 40

1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121

5 6

3. Observe este “triângulo” numérico. 1 1

1 1 1 1 1

2 3

1 3

4 5

1a linha

6 10

1 4

1 5

1 6

a) Complete-o com as 8a, 9a e 10a linhas. b) Complete esta tabela calculando a soma dos elementos de cada linha do triângulo numérico. Linha

10a

Soma

c) Qual é a relação entre a soma dos números de uma linha e a soma dos números da linha seguinte?

7º ano

421

d) Como você poderia indicar, em forma de potência, a soma dos elementos da oitava linha?

E da décima linha? e) Como você indicaria a soma dos elementos da décima segunda linha sem escrever a sequência

de números?

CÁLCULOS E PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS Observe nos quadros abaixo como são realizados os cálculos de potências com bases inteiras e racionais e com expoentes inteiros e positivos: Potência

(–2)2

(–3)3

Resultado

2×2=4

(–2) × (–2) = 4

3 × 3 × 3 = 27

(–3) × (–3) × (–3) = –27

Potência

0,52

Resultado

0,5 × 0,5 = 0,25

(–0,5)2

 2   3

Potência

Resultado

0,33

(–0,3)3

(–0,5) × (–0,5) = 0,25 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027

 2  −  3

4 9

 2  2 4  −  ×  −  = 9 3 3

 2   5

(–0,3) × (–0,3) × (–0,3) = –0,027

 2  −  5

8  2  2  2  −  ×  −  ×  −  = − 5 5 5 125

2 2 4 × = 5 5 25

POTÊNCIAS COM EXPOENTES NEGATIVOS Em situações de estudo e pesquisa realizadas em Física, Biologia e outros campos do conhecimento, é possível encontrar potências com expoentes negativos. Acompanhe a regra de formação da sequência numérica a seguir, que mostra o significado de uma potência com expoente negativo. 33

33 ÷ 3 = 32

32 ÷ 3 = 31

31 ÷ 3 = 30

30 ÷ 3 = 3–1

27 ÷ 3 = 9

9÷3=3

3÷3=1

1÷3=

÷3

1 3

÷3

Analisando a última sequência numérica, observa-se que é possível identificar a expressão 3–1com a expressão 1 , ou seja, 3–1= 1 . 3 3 Ao mesmo tempo, 3–1 e 1 são duas formas de escrever o número: 0,3333... = 0,3. 3

422

Matemática

O número 1 é denominado inverso multiplicativo do número 3. 3 1 A razão disso é que 3 × = 1. 3 Portanto, o inverso multiplicativo do número 3 também pode ser representado por 3–1. Observe no quadro seguinte uma ampliação da sequência numérica que mantém a mesma regra de formação já mencionada e inclui outras potências com expoentes negativos: 37

3–1

3–2

3–3

3–4

3–5

3–6

3–7

2 187

729

243

1 3

1 9

1 27

1 81

1 243

1 729

1 2187

÷3

Também é possível efetuar cálculos mais elaborados envolvendo números representados na forma de potência. Para compreender como isso acontece, é importante conhecer algumas propriedades da potenciação.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM BASES IGUAIS O produto de duas potências com bases iguais pode ser escrito como uma só potência, mantendo-se a base e somando-se os expoentes. Você pode verificar a validade dessa regra em alguns exemplos: • Para calcular o produto de 32 por 34, você pode fazer da seguinte forma:

32 × 34 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 9 × 81 = 729

Agora, aplicando a regra, temos:

32 × 34 = 32+4 = 36 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

• (–4)2 × (–4)4 = (–4)2+4 = (–4)6 = (–4) × (–4) × (–4) × (–4) × (–4) × (–4) = 4 096 • (–2)3 × (–2)4 = (–2)3+4 = (–2)7 = (–2) × (–2) × (–2) × (–2) × (–2) × (–2) ×

× (–2) = –128 2

2 2 2 •   ×   =   3 3 3 2

 1 1  1   × =   5 5 5

2 +1

32 2 2 2

2 2 +212+21+12+1

2+ 2

 2   3

322+321+312+31

3 32+31

 2   3

24 34

16 81

3 3 3 3 3 3 3 3 3 1  111 1 111 11111111111 11111111111111111111 111111 111111111111111111 1 111 1 1 × == = === =× × =  =× ×××== ××=  = =××××===== =×====== ==×× ×==×× ××  ×= ×=× === =3 ×3==3= = = 3 = •=  555=× 5 555 55555555 555 5= 55555555355= 125 555555555×555555 55×5553553535125 553= 125 5125 5125 5 5 5 125 5125 1255 125

7º ano

423

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE BASES IGUAIS O cociente de duas potências com bases iguais (diferentes de zero) pode ser escrito como uma só potência, mantendo-se a base e subtraindo-se os expoentes. Essa também é uma regra sempre verdadeira. Veja alguns exemplos: • Para calcular o cociente da divisão de 25 por 23, pode-se fazer o seguinte: 25 ÷ 23 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) ÷ (2 × 2 × 2) = 32 ÷ 8 = 4

Se aplicarmos a regra, temos: 25 ÷ 23 = 25–3 = 22 = 4 • 35 ÷ 37 = 35–7 = 3–2 =

ou • 35 ÷ 37 =

35 37

1 32

1 9

3×3×3×3×3 3×3×3×3×3×3×3

1 3×3

1 32

1 9

POTÊNCIA DE POTÊNCIA A potência de uma potência pode ser escrita como uma só potência, mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes. Veja alguns exemplos: • Para calcular (23)2, pode-se escrever: (23)2 = (2 × 2 × 2)2 = 82 = 8 × 8 = 64 ou 3 2 3 3 (2 ) = 2 × 2 = 23+3 = 26 = 64

Se você aplicar a última regra, temos: (23)2 = 23×2 = 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 • [(–5)2]2 = (–5)2×2 = (–5)4 = 625 • [(–3)3]3 = (–3)3×3 = (–3)9 = –19 683 3 33 3 3 3

•

1121212121212 1 21×321×231×231×321×231×361 6161166116616161116116 1 1 11 1 1 1 = =6=6=6== == = = == = = ==== =  = = =  === 6 =6==6== == 6 6 6= 6 6 6= 3729 3729 729 729 729  3 333333 3 3 3 3 3 3 33 3 33333 333333 3729

APLICAR CONHECIMENTOS IV

Calcule o valor de cada uma das seguintes potências de base 3:

424

a) 31 =

c) 33 =

e) 35 =

g) 37 =

i) 39 =

b) 32 =

d) 34 =

f) 36 =

h) 38 =

j) 310 =

Matemática

Agora, confira os resultados usando uma calculadora. Dica Para conferir o resultado de 310 usando uma calculadora comum, digite:

3 ×

= = = = = = =

= =

Ao digitar:

3 ×

, a calculadora exibe em seu visor o número 9, que é o resultado de 32.

Ao pressionar pela segunda vez a tecla Logo, se você pressionar a tecla visor da calculadora?

, a calculadora exibe o número 27, que é igual a 33.

9 vezes, estará calculando 310. Será que o resultado dessa potência cabe no

DE VOLTA AO COMPUTADOR No caso dos computadores, também é possível usar a forma de potência para representar as unidades de medida de capacidade de informação em suas placas de memória. Uma unidade utilizada para medir a capacidade de memória disponível num computador é o quilobyte (pronuncia-se “quilobaite”). A palavra de origem grega que costuma ser usada para significar 1 000 é “quilo”, cujo símbolo é k. Daí o nome quilobyte e o símbolo kB ou K. 1 kB = 210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 024 bytes

pois 1 024 pode ser considerado um valor numérico próximo de 1 000. Entre as unidades de armazenamento de informação que podem ser guardadas em um computador, o quilobyte é considerado uma unidade especial, pois, a partir dele, podem-se obter outras unidades de quantidade de informação, tais como: • megabyte (abrevia-se MG) corresponde a 1 024 kB = 1 0242 bytes = = (210)2 = 220 bytes; • gigabyte (abrevia-se GB) corresponde a 1 024 MB = 1 0243 bytes = (210)3 = = 230 bytes; • terabyte (abrevia-se TB) corresponde 1 024 GB = 1 0244 bytes = (210)4 = = 240 bytes. Porém, as palavras (prefixos) quilo, mega, giga e tera possuem significados tradicionais: • quilo significa um mil ou 1 000; • mega indica um milhão ou 1 000 000; 7º ano

425

• giga indica um bilhão ou 1 000 000 000; • tera indica um trilhão ou 1 000 000 000 000.

Logo, quando afirmamos que 1 kB = 103 bytes = 1 000 bytes, estamos fazendo uma aproximação adequada, pois trabalhar com potências de base 10 parece ser mais simples do que trabalhar com potências de base 2. No quadro seguinte, podem ser observadas as relações que existem entre os valores precisos das unidades quilobyte, megabyte, gigabyte e terabyte na base 2 e seus valores correspondentes e aproximados na base 10: Unidade

Valor preciso

Valor aproximado

Diferença (em valor absoluto)

quilobyte (kB)

210 = 1 0241 = 1 024

103 = 1 000

megabyte (MB)

220 = 1 0242 = 1 048 576

106 = 1 000 000

48 576

gigabyte (GB)

230 = 1 0243 = 1 073 741 824

109 = 1 000 000 000

73 741 824

terabyte (TB)

240 = 1 0244 = 1 099 511 627 776

1012 = 1 000 000 000 000

99 511 627 776

Os números indicados por essas medidas da informática são muito grandes. Eles são bons exemplos de que a aplicação de um conhecimento matemático, no caso, a potenciação, é um valioso recurso para representar quantidades “astronômicas”.

POTÊNCIAS DE BASE 10 Números representados no sistema de numeração decimal podem ser escritos em forma de potências de base 10, conforme observado no quadro a seguir: Relações no sistema de numeração decimal Trilhão 1 000 000 000 000

Bilhão

Milhão

1 000 000 000 ÷ 1 000

1 000 000 ÷ 1 000

Milhar 1 000 ÷ 1 000

1 000 = 10 × 10 × 10 = 103 1 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106 1 000 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 109 1 000 000 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1012 APLICAR CONHECIMENTOS V

1. Vamos trabalhar com potências de base 10. Observe como é possível escrever um “número grande” usando a forma de produto e a forma de potência: 900 000 é o mesmo que 9 × 100 000.

Ou, ainda: 9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 9 × 105. 426

Matemática

Com base no exemplo, pesquise os dados perdidos e escreva os números usando potências de base 10. Para isso, faça uma aproximação dos números encontrados. a) A população da cidade onde você vive: b) A população do Estado onde você nasceu: c) A população atual do Brasil: d) A população do nosso planeta: 2. Vamos trabalhar com potências e unidades de armazenamento de informação. a) Quantos caracteres podem ser armazenados num pen drive (unidade externa de armazenamen-

to de informação) que tem capacidade livre para 1,4 quilobyte?

b) Quantos quilobytes de memória tem um computador com capacidade de 1 048 576 × 8 bits de

memória? c) É possível instalar um programa com 69 megabytes no disco rígido de um computador cuja

capacidade de armazenamento é de 2,1 gigabytes, sendo que 1,8 gigabyte já está ocupado?

No caso positivo, qual será a “nova” capacidade de memória livre desse computador? Em caso negativo, quanto faltaria de memória livre nesse computador para instalar o programa? d) Em um computador que tem 1,1 gigabyte de memória livre, é possível instalar um programa

antivírus que ocupa 800 quilobytes e ainda um segundo programa que ocupa 403 megabytes?

EXERCITANDO MAIS

1. Escreva os produtos na forma de potência: a) 8 × 8 × 8 =

g) 5 × 5 × 5 =

b) (−4) × (−4) =

h) 12 × 12 =

c) 6 × 6 =

i) (−2) × (−2) × (−2) × (−2) =

d) (−1) × (−1) × (−1) =

e) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 =

k) (−8) × (−8) × (−8) =

f) (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) =

 2    2 2    22 2    2 2   2   −  ×× − − × ××− −− × ×=− −  ×  −  3 33 333 33 3

 1    1 1    11 1    1 1   1  − −− × ×= − −  ×  −   −  ×× − − × ×× 5 5 5  55 5    5 5   5 

2. Observe os registros e escreva-os na forma de produtos de fatores iguais, quando possível. g) 33 =

a) 43 =

 3   4

b) (–4) =

c) 610 =

i) 90 =

d) (–3)1 =

e) 91 =

k) (-3)2 =

f) (–3)0 =

 2   6

 3   4

= 7º ano

427

3. Calcule o valor de: a) 43 + 33 =

f) 22 – 22 =

b) 52 + 42 =

g) 32 + 33 =

c) (4 + 3)3 =

h) 34 – 32 =

d) (5 – 4)3 =

i) (3 + 3)2 =

e) 22 + 22 =

j) (3 – 2)2 =

4. Sabendo-se que 25 é igual a 32, como você faria para calcular 26 partindo do resultado de 25?

5. Que número é maior: 3 ao quadrado ou 2 ao cubo?

6. As regras seguintes são verdadeiras. Confirme-as, registrando dois exemplos para cada caso: a) Ao calcular o produto entre potências com bases iguais, mantém-se a base e somam-se os

expoentes.

b) Ao calcular o cociente entre potências com bases iguais, mantém-se a base e subtraem-se os

expoentes.

c) Para calcular a potência de uma potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

428

Matemática

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Mutirão e moradia

Rogério Reis/Pulsar Imagens Rogério Reis/Pulsar Imagens

ocê já ouviu falar em mutirão? Mutirão é uma mobilização coletiva conhecida, por exemplo, por construir casas simples e econômicas. Diversas pessoas participam como voluntárias e os familiares dos futuros moradores garantem o material de construção. Dessa maneira, baixa-se o custo da mão de obra, promovem-se o envolvimento e o compromisso das famílias, e incentivam-se as relações solidárias. Você já participou de algum mutirão para a construção de casas? Você tem alguma experiência nesse tipo de construção? Nessas situações, é comum ouvir algumas expressões como: “área do terreno”, “sala de 4 por 3”, “colocar no prumo”, “deixar no esquadro”, “proporção da massa ou masseira”, “volume de areia”.

Você já reparou como a Matemática está presente na hora de construir uma casa? Detalhe de construção civil em Cidelândia (MA), 2008.

RODA DE CONVERSA

Conte aos colegas sua experiência e tente explicar cada uma dessas expressões conforme seus conhecimentos.

7º ano

429

CÁLCULO DE ÁREA Antônio, Severino e Cazuza vivem em Lagarto (SE) em casas alugadas. Como resolveram parar de pagar aluguel, inscreveram-se em um programa de construção de casa em sistema de mutirão. Após um processo de seleção das famílias, cada um conseguiu um terreno. Antônio é mestre de obras e aprendeu muita coisa ajudando sua família na construção de algumas casas. Depois da construção da casa de Antônio e de Severino, chegou a vez de construir a moradia de Cazuza. Inicialmente, ele limpou o terreno de 8 metros de largura por 12 metros de comprimento. — É um bom terreno. Tem 96 metros quadrados de área e 40 metros de perímetro — disse Antônio. — Vamos ver o que é possível fazer. Você conhece o significado das expressões “área”, “metros quadrados”, “perímetro”? Para ter uma ideia do que é área e perímetro de um terreno, vamos representar o terreno de Cazuza pelo retângulo a seguir:

largura

comprimento

Cada na figura abaixo representa um quadrado cujos lados medem 1 metro cada um. Quantos desses quadrados cabem no retângulo sem que haja sobreposição? Se a sua resposta for 96, então ela está correta. Dizemos que a área do terreno de Cazuza é de 96 metros quadrados e a representamos por 96 m2. Um metro quadrado é a área de uma superfície quadrada na qual os lados medem 1 metro. O metro quadrado é uma unidade padrão adotada para medir superfícies e é representada pelo símbolo m2.

430

Matemática

A área do retângulo pode ser obtida multiplicando a medida do seu comprimento pela sua largura. Área do retângulo = comprimento × largura Nesse caso, a área do terreno é 12 m × 8 m = 96 m2. Perímetro é a medida do contorno do terreno. Nesse caso, como temos um retângulo, o perímetro é igual a 12 m + 12 m + 8 m + 8 m = 40 m. Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

EXPERIMENTAR

1. Você faz ideia do tamanho de um quadrado com a área de 1 m2?

Sobre dois lados consecutivos das folhas de jornal emendadas, marque dois pontos a 1 m de um vértice.

Faça um vinco unindo esses dois pontos por meio de uma dobradura.

Usando uma tesoura, corte a folha de jornal seguindo os lados do triângulo retângulo isósceles formado (veja figura).

Em seguida, abra o recorte e você terá uma representação de uma superfície com um metro quadrado.

Ilustrações digitais: Planeta Terra Design

Vamos construir um? Para isso, use duas folhas de jornal emendadas e siga os passos abaixo:

1m 1m

2. Desenhe com um giz, no chão da sala de aula ou numa quadra, um quadrado cujos lados meçam

2 metros cada um. a) Pegue o “metro quadrado” que você construiu com jornal e registre quantas vezes ele cabe

nesse quadrado. b) Qual é a área desse quadrado? 3. Sem desenhar: a) determine a área de um quadrado cujos lados medem 3 m cada um. b) determine a área de um quadrado cujos lados medem 10 m cada um. c) explique como você obteve esses resultados.

7º ano

431

4. Complete a frase abaixo com as palavras “quadrado”, “lados” e “área”.

Multiplicando a medida dos a sua Logo:

de um

por ela mesma, obtém-se

Área do quadrado = lado × lado = lado2 5. Vamos medir concentrações de pessoas. Use o seu “metro quadrado” de jornal para desenhar,

com giz, um quadrado no chão. Convide alguns colegas para ficar com os pés dentro dele. Agora, conte quantas pessoas cabem no interior da superfície quadrada e complete a frase abaixo com o número obtido. A concentração de pessoas naquela superfície é de pessoas por metro quadrado 2 (ou pessoas/m ). 6. Baseando-se na informação obtida no exercício anterior, determine quantas pessoas, em pé, po-

deriam caber: a) em sua sala de aula. b) na quadra de esportes de sua escola.

CÁLCULO DE ÁREA POR DECOMPOSIÇÃO Quando você construiu o “metro quadrado” de jornal, fez um vinco ligando dois vértices opostos de um quadrado. O segmento de reta que representa esse vinco é uma diagonal do quadrado. Um quadrado possui duas diagonais. Cada uma delas decompõe um quadrado em dois triângulos. Como os ângulos do quadrado são retos, então cada triângulo obtido é denominado triângulo retângulo. Veja que os dois triângulos retângulos são iguais (por isso, são chamados de triângulos congruentes). Duas figuras são congruentes quando podem coincidir por superposição. Observe que cada um dos triângulos obtido possui dois lados de medidas iguais (congruentes) e dois ângulos de medidas iguais (congruentes). Triângulos que possuem dois lados iguais e dois ângulos iguais são denominados triângulos isósceles. 432

Matemática

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Como calcular a área de cada triângulo retângulo isósceles obtido na decomposição de um

quadrado? a) Desenhe um quadrado cujos lados medem 4 cm e trace uma de suas diagonais.

b) Qual é a área do quadrado? c) Determine a área de cada um dos triângulos determinados pela diagonal.

2. Os lados do quadrado ABCD medem 7 cm.

Observe que as diagonais dos quadrados são iguais (congruentes) e perpendiculares. Obtenha as áreas dos triângulos: APB, BPC, CPD e DPA.

D P

OUTRAS UNIDADES DE ÁREA O metro quadrado não é uma unidade adequada para medir grandes superfícies como de um país, de um estado ou de cidades. Nessa situação, e em várias outras, utilizamos o quilômetro quadrado, que é um múltiplo do metro quadrado. 7º ano

433

Ilustração digital: Sonia Vaz

A expressão quilômetro quadrado é representada pelo símbolo km2.

A área de Lagarto é de 969 km2.

L S

Fonte: IBGE Cidades @. Disponível em : <www. ibge.gov.br/cidadesat>. Acesso em: 4 mar. 2013.

Por exemplo: 969 km2 = 969 000 000 m2 1 km2 = 1 000 000 m2

Em algumas situações, utilizamos os submúltiplos do metro quadrado. Por exemplo, ao falar de lajotas usadas para cobrir pisos, a área do piso pode ser expressa em centímetros quadrados. A expressão centímetro quadrado é representada pelo símbolo cm2. Existem lajotas quadradas cujos lados medem 30 cm cada um. A área dessas lajotas é igual a 900 cm2. Por exemplo: 900 cm2 = 0,0900 m2 = 0,09 m2

Como 1 cm =

1 100

m, então:

11  1  m2 = 0,0001 m2 1 cm =  =  100  10000 10 000 2

434

Matemática

50 km

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Veja as medidas indicadas, em centímetro, e calcule a área de cada retângulo. a) Área =

b) Área =

2,4 3

4,5 5

2. Ao observar os retângulos I e II ao lado,

qual deles você acredita que possui maior área? Use uma régua para medir os lados dos retângulos e responda: quais são as áreas dos retângulos? Sua previsão se confirmou?

3. Vamos relacionar centímetro quadrado e decímetro quadrado. Lembre-se: decímetro (dm) é uma

unidade de comprimento e equivale à décima parte de 1 metro, ou seja, 1 dm = 0,1 m ou 10 cm. Desenhe no quadriculado a seguir um quadrado com cada lado medindo 10 cm. 1 cm2 unidade

7º ano

435

a) Utilizando como unidade de medida de área um quadrado cujos lados medem 1 cm, determi-

ne a área do quadrado desenhado: b) Qual é a medida, em dm, de cada lado do quadrado desenhado? c) Determine a área do quadrado desenhado, em dm2: d) Complete com o número adequado:

1 dm2 = cm2 4. Qual unidade de medida do sistema métrico pode ser considerada mais adequada para medir a área da superfície da capa de um caderno? 5. A cozinha de Mário mede 4 m por 3 m. Ele pretende cobrir toda a superfície do piso com lajotas

quadradas com lados medindo 40 cm. a) Imagine que as lajotas são vendidas em caixas com 1 m² de lajotas:

Quantas lajotas cabem em cada caixa? b) Se as lajotas fossem vendidas em caixas com 1,5 m², quantas lajotas caberiam em cada caixa? c) Qual o número mínimo necessário de cada tipo de caixa de lajotas com 1 m2 e com 1,5 m2 para

ladrilhar a cozinha de Mário? d) Geralmente, quando um pedreiro calcula quantos metros quadrados de lajota são necessários

para revestir o chão de um cômodo, ele acrescenta um pouco mais, por conta das perdas que podem acontecer durante o assentamento das peças. Esse cálculo costuma ser de 10% de metros quadrados a mais que a medida da área do cômodo. Nesse caso, quantas caixas de lajotas do mesmo tipo, no mínimo, seu colega terá de comprar para atender ao pedido do pedreiro? 6. A partir da planificação de um cubo, Filomena fez um dado (um cubo) cujas arestas medem 8 cm.

Ilustrações digitais: Estúdio Pingado

Ela usou cartolina e fita adesiva para confeccionar o dado.

436

Matemática

a) Quantas faces tem o dado? Que tipo de polígono é cada face? b) Qual é a área de cada face? c) A área total ou área de superfície do dado (do cubo) é a soma das áreas de todas as faces.

Calcule a área total desse dado.

RAZÃO E PROPORÇÃO Delfim Martins/Pulsar Imagens

Relacionar grandezas é algo importante no cotidiano das pessoas que trabalham na construção civil. Uma das maneiras de relacionar duas grandezas é encontrar a razão entre elas, ou seja, determinar o resultado da divisão entre as medidas dessas grandezas. Por exemplo, para assentar blocos de concreto, Antônio usa o “traço” 1 ÷ 7 para cimento e areia. Isso significa que, para uma mistura de cimento Operários alisam o concreto no canal de transposição do rio São Francisco, em e areia, ele usa 1 saco de cimento para Sertânia (PE), 2012. 7 sacos de areia de mesmo tamanho. A razão entre as quantidades de cimento e de areia que ele usa é 1 para 7. Essa razão também pode ser expressa por 1 ÷ 7 ou por 1 . 7 Se Antônio quiser preparar o dobro da quantidade de mistura e manter a mesma consistência, então terá que usar 2 sacos de cimento para 14 sacos de areia de mesmo tamanho. A razão entre as quantidades de cimento e de areia que ele usa é 2 para 14. Ou seja: 2 ÷ 14 ou 2 . 14

A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números que expressam as medidas dessas grandezas.

7º ano

437

Para relacionar duas grandezas de mesma natureza sob forma de razão, é conveniente que ambas estejam na mesma unidade. A noção de razão é importante para desenvolver a ideia de proporcionalidade. Quando duas grandezas variam na mesma razão, elas são proporcionais. Variar na mesma razão significa obter razões iguais. Por exemplo, 1 1===2 2 . 7 7 1414

Para verificar que 1 1===2 2 , use uma calculadora para obter o cociente entre 1 e 7 7 1414 7 e entre 2 e 14. Observe que a calculadora exibe resultados iguais. Outro modo de verificar essa igualdade é simplificar a fração 2 . 14

2 2÷2 1 = = 14 14 ÷ 2 7

A igualdade entre razões de duas grandezas nos leva à ideia de proporção. Proporção é uma igualdade entre duas razões. 11 22

A igualdade === é uma proporção entre os números 1, 7, 2 e 14, nessa ordem. 7 7 1414 Ela indica que, para conseguir os mesmos resultados da massa para assentar blocos, tanto faz misturar 1 saco de cimento com 7 sacos de areia, como misturar 2 sacos de cimento com 14 sacos de areia. A escolha das quantidades de cimento e de areia depende das necessidades e conveniências. 11 22 A proporção === também pode ser escrita da seguinte forma: 7 7 1414

1 ÷ 7 = 2 ÷ 14

e pode ser lida: 1 está para 7 assim como 2 está para 14. Os números 1, 7, 2 e 14 são os termos dessa proporção. Os termos 1 e 14 são os extremos da proporção e 2 e 7 são os meios. Esses nomes dizem respeito às posições que esses números aparecem na forma: 1 ÷ 7 = 2 ÷ 14 meios extremos

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES Vamos verificar uma propriedade importante das proporções: 11 22 1. Na proporção === : 7 7 1414

• multiplicando-se os extremos 1 e 14, temos 1 × 14 = 14; 438

Matemática

• multiplicando-se os meios 2 e 7, temos 2 × 7 = 14.

Podemos observar que: 1 × 14 = 2 × 7 = 14, ou seja, os produtos são iguais. 5 5 2020 2. Na proporção === 3 3 1212

• o produto dos extremos é 5 × 12 = 60; • o produto dos meios é 3 × 20 = 60.

Logo, 5 × 12 = 3 × 20 = 60, ou seja, os produtos são iguais. Nos dois exemplos, foi possível observar que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esse modo de verificar que uma proporção é verdadeira é chamado propriedade fundamental das proporções. Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Verifique que a igualdade

7 7 8484 === , 8 8 9696

ou 7 ÷ 8 = 84 ÷ 96, é uma proporção.

2. Pesquisando e comparando os preços dos sacos de ci-

mento, areia e pedra, Cazuza encontrou diferenças entre duas lojas, como mostram os orçamentos ao lado. a) Em qual loja o preço do cimento é maior?

Quanto a mais?

Orçamentos Loja

Cimento (50 kg)

R$ 20,00

R$ 22,00

Areia (m3)

R$ 120,00

R$ 100,00

Brita (m3)

R$ 90,00

R$ 80,00

Qual foi a operação que você realizou para obter o resultado? b) Podemos comparar esses preços calculando a razão entre eles. É uma comparação relativa. Acompanhe: preçodo docimento cimentona naloja loja BB 22 1 preço = = 1,1 = 1 + 0,1 = 1 + = 1 + 10% 10 preçodo docimento cimentona naloja loja AA 20 preço

Podemos observar que o preço do cimento na loja B é uma vez e um décimo do preço na loja A. É correto afirmar que o preço do cimento na loja B é 10% maior que o preço na loja A? Justifique sua resposta.

7º ano

439

c) Fazendo uma comparação relativa, quanto o preço do m3 de areia na loja A é maior que na loja B?

d) Quantos por cento o preço do m3 de brita na loja A é maior que na loja B?

3. Certa marca de tinta é vendida por R$ 23,00 em latas com 0,9 L, e por R$ 180,00 em latas com

18 L. Qual das duas embalagens é mais econômica para os consumidores? Justifique sua resposta.

4. Um pintor usou uma lata com 20 L de tinta para pintar 50 m2 de parede. a) Se ele mantiver constante a razão entre o volume de tinta e a área a ser pintada, ou seja, se o

rendimento da tinta for o mesmo, quantos litros de tinta serão necessários para pintar 160 m2?

b) Quantas latas com 20 L esse pintor precisará comprar para pintar 160 m2?

440

Matemática

5. Observe as medidas dos lados dos retângulos A e B,

todas elas em centímetro.

Há uma proporcionalidade entre as dimensões dos dois retângulos. Ou seja, existe uma proporção entre as medidas dos lados do retângulo A e as medidas correspondentes dos lados do retângulo B:

1 2 = = 0,333... 3 6

6 3

a) Quais são os perímetros do retângulo A e do retângulo B?

b) Qual é a razão entre o perímetro do retângulo A e o perímetro do retângulo B?

c) As medidas dos lados dos retângulos e seus respectivos perímetros são proporcionais?

ESCALAS, PLANTAS E MAPAS Cazuza estava ansioso para começar a construir sua tão sonhada casa. Trocou ideias com a mulher e os filhos e decidiram por uma construção de alvenaria. Procurou os dois amigos que iriam ajudá-lo no mutirão e disse o que pretendia. Como os meninos estavam crescendo, a família gostaria de uma casa com cinco cômodos: sala, cozinha, dois quartos e banheiro. Cazuza pediu que Antônio fizesse um esboço de como ficariam distribuídos os cômodos pela casa. 7º ano

441

banheiro quarto

quarto

cozinha

sala

Planta feita pelo arquiteto na escala 1 : 80.

Na planta da casa de Cazuza, a informação é dada pela escala 1 : 80, ou , 80 que signiﬁca: cada unidade de comprimento indicada na planta equivale a 80 unidades de comprimento na casa real. 442

Matemática

Ilustrações digitais: Planeta Terra Design

Passados alguns dias, Antônio mostrou para Cazuza seu esboço. Muitas coisas, como uma casa, por exemplo, não podem ser desebanheiro nhadas no tamanho real. quarto quarto Antônio sabia que, para que um esboço mantivesse a forma real da casa, seria necessário fazer uma plancozinha sala ta, isto é, fazer um desenho que conservasse a proporcionalidade entre as medidas da planta e as medidas reais Esboço da casa feito por Antônio. da casa. Como teve algumas dúvidas no momento de projetar a planta, recorreu a um arquiteto, que lhe apresentou a planta a seguir. Como é possível observar, o esboço de Antônio é diferente da planta do arquiteto. A planta nos dá a ideia da forma real da casa. Para que um desenho mantenha a forma do objeto real, reduzimos ou ampliamos suas medidas, conservando a proporcionalidade entre as dimensões. Quando desenhamos a planta de uma casa, fazemos uma redução do seu tamanho real de acordo com uma informação que chamamos escala.

A escala da planta indica a razão entre as medidas do desenho e as medidas reais da casa. Como é possível calcular as dimensões reais da sala de Cazuza? Usando uma régua para medir as dimensões da sala na planta, obtém-se 7,5 cm de comprimento por 4 cm de largura. Em seguida, pode-se escrever duas proporções definidas pela escala 1 e pela: 80

• razão entre a medida do comprimento da sala na planta e a medida real: 1 medida do comprimento da sala na planta 7,5 ou = 80 medida real do comprimento da sala medida real do comprimento • razão entre a medida da largura da sala na planta e a medida real:

1 = 80

medida da largura da sala na planta medida real da largura da sala

4 medida real da largura

Aplica-se, nesse caso, a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Com isso, calculam-se o comprimento e a largura reais da sala. 1 × comprimento real da sala = 7,5 × 80 = 600, ou seja, o comprimento real = 600 cm = 6 m 1 × largura real da sala = 4 × 80 = 320, ou seja, largura real = 320 cm = 3,20 m

Ilustração digital: Sonia Vaz

Portanto, as dimensões da sala são: 6 m de comprimento e 3,20 m de largura. Nos mapas, em geral, as escalas informam as equivalências com relação a uma determinada unidade de medida. Por exemplo, a escala do mapa do município que aparece ao lado indica que cada dis0 10 20 tância de 1 cm no mapa representa 10 km da distância real. Fonte: IBGE Cidades @. Disponível em : <www. ibge.gov.br/cidadesat>. Acesso em: 4 mar. 2013. Observação: 1 000 000 cm = Centro da cidade de Lagarto (SE). = 10 000 m = 10 km. Como já foi mencionado antes, para relacionar duas grandezas de mesma natureza sob a forma de razão é conveniente que ambas estejam na mesma unidade. N

7º ano

443

Assim, podemos escrever: 1 cm 1 cm 1 = = ou 1 : 1 000 000 10 km 1 000 000 1 000 000

Nesse mapa, utilizando uma régua, chega-se à distância entre os pontos A e B, que é igual a 1,5 cm Portanto, a distância real entre A e B é calculada pela multiplicação de 1,5 cm por 1 000 000, ou seja: 1 000 000 × 1,5 cm = 1 500 000 cm = 15 km

APLICAR CONHECIMENTOS IV

quarto

sala

banheiro

quarto

Escala 1 : 100 ou 1 . 100

a) O que significa a escala 1 : 100 ou 1 ? 100

444

Matemática

Ilustração digital: Planeta Terra Design

1. Marineide vai casar. Lendo um folheto de propaganda, encontrou a planta da casa que queria.

cozinha

b) Qual é a distância real, em metros, entre dois pontos, se a distância entre eles nessa planta é igual a: • 4 cm?

• 4,5 cm?

• 8 cm?

• 6,25 cm?

c) Utilize uma régua graduada para obter as medidas da planta e determine as dimensões reais

dos cômodos dessa casa. sala: banheiro:

quarto: quarto:

corredor: cozinha:

d) Calcule a área total da casa.

precisão, é conveniente usar instrumentos apropriados. Para medir segmentos de reta podemos usar, por exemplo, os instrumentos ao lado. Quando os segmentos são pequenos, podemos usar uma régua. Procure na sua casa instrumentos de medir segmentos e escolha uma unidade para obter o comprimento e a largura de alguns cômodos. Usando a unidade que você escolheu, preencha a tabela a seguir com o comprimento, a largura e a área da cozinha e de um quarto de sua casa. Cômodo

Ilustração digital: Llinares

2. Para obter medidas com alguma “Metro” articulado Trena

“Metro” de alfaiataria

Fita métrica

(Esquema sem escala.)

Comprimento

Largura

Área

Quarto Cozinha

EXERCITANDO MAIS

1. Qual é a medida de superfície mais adequada para a área: a) do tampo de uma mesa: 4,5 dm2 ou 4,5 m2? b) do Brasil: 8 511 996 m2 ou 8 511 996 km2? c) de um estacionamento: 2 000 m2 ou 2 000 cm2? 2. Um piso com área igual a 9 m2 será revestido com ladrilhos quadrados cujos lados medem 30 cm.

Quantos ladrilhos serão necessários para revestir esse piso?

7º ano

445

3. Observe a medida de uma das arestas do cubo ao lado.

Analise cada uma das afirmações a seguir e assinale a que está correta. Se houver alguma informação incorreta, então reescreva-a, de modo a torná-la verdadeira. a) As arestas desse cubo medem 32 cm. ( ) b) A área de cada face é igual a 1 024 dm2. (

3,2 dm

)

4. A área total de um cubo é igual à soma das áreas de suas

faces. Sabendo disso, faça o que se pede:

a) Assinale a alternativa que mostra o cálculo que possibilita calcular a área total de um cubo

cujas arestas medem 5 cm. (

(

) (5 × 5) cm2

) (5 × 5 × 5) cm2

(

) 6 × (5 × 5) cm2

b) Usando a opção correta do item a, calcule a área total desse cubo. 5. As razões

6 7

12 14

formam uma proporção? Justifique sua resposta.

6. Escreva algumas proporções em que o produto dos extremos e o produto dos meios são iguais a 24. 7. Observe as medidas indicadas nos retângulos A e B a seguir.

10 cm

15 cm

10 cm

20 cm

Há, pelo menos, duas formas para calcular a razão entre as áreas desses retângulos. Uma delas consiste em usar a razão entre suas áreas. Uma outra consiste em obter, primeiramente, as razões entre as medidas correspondentes dos dois retângulos e multiplicá-las. Use as duas formas mencionadas para calcular a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B. 8. Severino foi a uma loja onde 7 sacos de cimento custam R$ 154,00. a) Qual o número máximo de sacos de cimento que ele poderá comprar com R$ 350,00? b) Sobrará troco? Se a resposta for sim, quanto sobrará? 9. Na planta de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 m, está representado por um segmento

de reta com 1,5 cm. Qual foi a escala utilizada para o desenho?

10. Em um mapa, cuja escala é 1 : 50 000 000, a distância entre duas cidades, em linha reta, é de,

aproximadamente, 2,6 cm. Qual é a distância real entre essas duas cidades? Dê sua resposta em quilômetro. PARA AMPLIAR SEUS ESTUDOS

Livro

Matemática MURRIE, Zuleika de Felice (Coord.). Matemática: matemática e suas tecnologias. Livro do estudante. Ensino fundamental. Brasília: Ministério da Educação; Inep, 2002.

Site

Só matemática Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 24 set. 2012.

446

Matemática

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7º Ano

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448

Matemática

70 ano – Capítulo 1

Números no dia a dia

Um ponto de partida para construir o conceito de números positivos e negativos consiste em apresentar situações do cotidiano que envolvam esses tipos de números, como: • jogos em que se marcam pontos ganhos e pontos perdidos; • variações de temperatura; • demonstrativos de movimentação de conta bancária (extratos); • altitudes (acima e abaixo do nível dos oceanos); • calendários (antes e depois de Cristo); • lucro e/ou prejuízo de empresas; • taxa de inflação e/ou deflação dos preços de bens de consumo; • superávit e/ou déficit orçamentário de um país; • gráficos em que ocorrem perdas e ganhos, crescimento e decrescimento. Representações de números inteiros em uma reta numerada têm por objetivo mostrar o conjunto (no caso dos números inteiros, representado por Z ) formado por números que estão ordenados infinitamente, em sentidos opostos, a partir de um ponto de referência ou origem comum. Atividades sobre representação de números positivos e negativos na reta numerada envolvem as noções de orientação (sentido), de ponto de referência (zero) e de distância entre dois pontos. Na abordagem das operações: • Adição e subtração com números inteiros: são utilizadas situações que envolvem pontos ganhos e perdidos ou créditos e débitos. • Multiplicação de um número positivo por um número negativo, por exemplo:

sse caso pode ser “simetricamente” justificado pela observaE ção das regularidades numa tabela (tabuada) como a que segue: 4 × (−4) = −16 3 × (−4) = −12 2 × (−4) = −8 1 × (–4) = −4 0 × (–4) = 0 (−1) × (−4) = +4 (−2) × (−4) = +8 (−3) × (−4) = +12 (−4) × (−4) = +16 Pode também ser aplicado o conceito de oposto de um número inteiro. Sabendo que −2 é o oposto de +2, ou seja, −2 = = −(+2), então o produto (−2) × (−4) pode ser escrito da seguinte maneira: (−2) × (−4) = [−(+2)] × (−4) = −[(+2) × (−4)] Como: (+2) × (−4) = 2 × (−4) = −8, então: (−2) × (−4) = = −(+2) × (−4) = −(−8). Mas o oposto de −8 é +8, ou seja, −(−8) = 8. Assim: (−2) × (−4) = −(+2) × (−4) = −(−8) = +8 = 8

é trabalhada, convenientemente, como soma de parcelas iguais. Assim, (+4) × (−2) pode ser entendida como 4 vezes o número −2, ou seja:

As propostas desse capítulo têm como objetivo construir e ampliar novos significados para os números com base em sua utilização no cotidiano. Outro objetivo é utilizar procedimentos para desenvolver habilidades e técnicas de cálculo do resultado das várias operações com números inteiros e não inteiros, promovendo, dessa forma, a compreensão dos processos envolvidos. O quadro a seguir fornece alguns elementos para avaliar o desempenho de estudantes nos aspectos matemáticos desenvolvidos nesse capítulo.

(+4) × (−2) = 4 × (−2) = (−2) + (−2) + (−2) + (−2) = = −2 −2 −2 −2 = −8

Indicadores para avaliação

(+4) × (−2) e (−6) × (+2)

Já a multiplicação (−6) × (+2) pode ser entendida como duas vezes o número −6: (−6) × (+2) = (−6) × 2 = (− 6) + (− 6) = –6 –6 = –12 desde que se aceite intuitivamente que a multiplicação de números inteiros tenha a propriedade comutativa. Isso já não ocorre com a multiplicação de um número negativo por um número negativo, como:

Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Identificar, interpretar e utilizar os diferentes significados e representações dos números racionais (positivos e negativos). • Representar e interpretar a localização de números racionais no eixo numerado. • Compreender o significado do ponto de referência e equidistância. • Comparar e ordenar números racionais (positivos e negativos). • Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão.

(−6) × ( −2) 7o ano

Aplicar conhecimentos III Conteúdos • Números negativos e positivos: significados. • Números opostos ou simétricos. • Eixo numerado ou reta numérica. • Adição e subtração com números positivos e negativos. • Ordenação de números racionais. • Multiplicação e divisão com números positivos e negativos.

Aplicar conhecimentos I

1. a) 15,5 m ou +15,5 m b) –21,3 m 2. a) R$135,25 ou +R$ 135,25 b) –R$ 255,75 3. Em Xanxarê: temperatura mínima –11,1 °C Em Cambará: temperatura mínima: –5,7 °C Em São Paulo: temperatura mínima: +1,5 °C

1. Calculando separadamente os valores referentes às entradas e às saídas, temos: • entrada: +150 + 190 + 370 + 120 + 200 + 190 + 70 + 120 + + 900 = + 2 310 • saída: −100 − 250 − 300 = −650 O valor do balanço anual: final = +2 310 − 650 = +1 660 2. No extrato apresentado nessa atividade, os valores seguidos da letra C, como 723,00 C, indicam créditos e representam números positivos, com sinal “+” (+723). Os valores com a letra D, como 50,00 D, indicam débitos e podem representar números negativos, com sinal “−” (−50). Na coluna saldo, os números negativos representam “saldo negativo” e significam que foi debitado um valor da conta de Mário. O fato de o saldo anterior estar indicado com a letra D significa que Mário tinha uma dívida com o banco. O saldo em um determinado período de tempo (dia, semana, mês) é a soma de todas as movimentações feitas numa conta bancária naquele período. Temos, com os dados da conta de Mário, a seguinte expressão para calcular seu saldo no período que vai de 4/12 até 7/12: −120 + (+723) + (−50) + (−150) + (+60) + (−23) + (−7) = + 433

Aplicar conhecimentos II

Trabalhar com percursos na reta numerada poderá auxiliar os alunos a superar algumas dificuldades que possam ter na compreensão dos números positivos e negativos. a) –R$ 255,43 d) +12,5 °C

b) +R$ 57,39 e) –8 542 m

c) –25 °C f) +471 m

Adição e subtração com números positivos e negativos

Para calcular 101 + (−37), no caso em que os estudantes usem uma calculadora que não possui a tecla +/– , se pode fazer o seguinte para exibir no visor da calculadora o número –37: –

Com o número –37 no visor, vamos colocá-lo na memória da calculadora. Para isso pressione: MC e M+ . A tecla MC limpa a memória da calculadora, colocando nela o número 0. A tecla M+ soma o número –37 com 0 na memória, armazenando –37. Para somar 101,41 com –37, digite: 1

+ MR

A tecla MR recupera o número que está na memória e o coloca no visor.

Matemática

ou, de forma simplificada: −120 + 723 − 50 − 150 + 60 − 23 − 7 = + 433 3. Exercício André Pontuação Júlio Pontuação Mônica Pontuação a

47,2

46,2

–0,5

33,7

34,7

–0,5

33,7

47,6

–0,5

–47,6

4,3

–4,3

–0,5

14,3

–0,5

–8,7

–18,7

–0,5

18,7

–0,5

–93,1

–0,5

–94,1

24,3

25,6

–0,5

25,6

–0,5

–25,6

–99,5

–100,5

–0,5

–99,5

31,3

32,3

–0,5

–58,9

–0,5

–57,9

–0

Avaliação final

4,5

Avaliação final

Aplicar conhecimentos IV

1. Dia de menor saldo: 3/12/2012 (–R$ 104,25). Dia de maior saldo: 5/12/2012 (R$ 734,90). 2. a) 12,3 b) 12,3 • |6,9 + 5,4| é igual a |6,9| + |5,4| 3. a) < b) < c) < d) > e) > f) < 4. a) O número positivo é maior que o negativo. b) O número racional negativo é menor que zero. c) Não, neste caso, o maior será o que tiver o menor valor absoluto. d) –2,8 e 2,8 e) Sugestões de resposta: −1,5; − 2,8; −3

Aplicar conhecimentos V

1. a) –9 e –8,7 b) −19 e –18,96 c) 29 e 29 2. a) 10 b) 106,85 c) 121 d) 1,2 3. Corretos: a e c. Em b, temos: 18,6 ÷ (−0,6) = −31. Paulo se esqueceu de aplicar a regra de sinais da divisão.

Exercitando mais

1. R$ 45,00 2. O saldo foi positivo, de R$ 2 730,00. 3. Equipe A: 36 gols; equipe B: 6 gols; equipe C: 3 gols; equipe D: 0 gols; equipe E: –3 gols. 4. a) • São Paulo e Salvador: –11 °C • São Joaquim e Campos do Jordão: –4 °C • Rio de Janeiro e Florianópolis: 11 °C • São Paulo e São Joaquim: 19 °C • Florianópolis e Campos do Jordão: 11 °C • Salvador e Rio de Janeiro: 4 °C b) Maior temperatura: Salvador, 25 °C; menor temperatura: São Joaquim, –5 °C. 5. 5 × (–25) = –125

Sugestão de atividade complementar Jogo de dados

Para esse jogo, são necessários dois dados com cores distintas (por exemplo, um vermelho e outro azul). Cada participante joga dois dados ao mesmo tempo. Os pontos do dado

vermelho são os pontos ganhos, representados por números positivos; os pontos do dado azul são os pontos perdidos, representados por números negativos. Uma partida é composta de cinco jogadas por participante e termina quando todos já executaram suas jogadas. O resultado de cada jogada (por jogador), bem como o total dos pontos de uma partida, são registrados em uma tabela. Represente, por meio da adição, os resultados das cinco jogadas e o total de pontos de cada jogador ao final da partida.

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta curricular para a Educação de Jovens e Adultos: 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC; SEF, 2002. v. 3. BRASIL. Ministério da Educação. Universidade Federal do Ceará. Centro de Ciências. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada. Noções de estatística no ensino de matemática do 1o grau. Rio de Janeiro: MEC/Seps/Premen/Fename, 1981. CAMPOS, T. M. (Coord.). Transformações no ensino da matemática: a experiência positiva de professores do polo 4. São Paulo: PUC, 1998. (Coleção Proem.) FUNDAÇÃO para o Desenvolvimento da Educação. Diário de classe 5: Matemática. São Paulo: FDE, 1994. IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 3. ed. São Paulo: Globo, 1989. MURRIE, Zuleika de Felice (Coord.). Matemática e suas tecnologias. Livro do professor. Ensino Fundamental. Brasília: Ministério de Educação/Inep, 2002.

Site

Programa de Estudos e Pesquisas no Ensino da Matemática (PUC-SP). Disponível em: <www.proem.pucsp.br>. Acesso em: 18 set. 2012.

Capítulo 2

O dia em duas rodas Um dos objetivos desse capítulo é estabelecer discussões sobre métodos de abordagem de círculos, circunferências, ângulos e posições relativas de retas no plano. As palavras circunferência e círculo não possuem significados universais: há quem use a palavra círculo como sinônimo de 7o ano

circunferência, e a palavra disco para significar o que foi definido, neste volume, como círculo. Neste material, faremos a distinção entre a figura bidimensional e a figura unidimensional pelos nomes círculo e circunferência, respectivamente.

Círculo

Circunferência

Para iniciar o estudo de circunferências e círculos, pedir aos estudantes que coloquem copos, moedas, ou outros objetos redondos, sobre uma folha de papel e tracem o contorno desses objetos. Em atividades como essas, são obtidos círculos e circunferências, mas não os seus centros. Se for solicitado aos estudantes que tracem o diâmetro de um círculo, então é possível que tenham algumas dificuldades para fazê-lo com precisão geométrica, pois talvez não tenham familiaridade com o uso de régua e compasso. Uma opção é solicitar que recortem os círculos desenhados, dobrem-nos em duas partes iguais e tracem uma linha colorida sobre a dobra. Cada uma das partes obtidas é um semicírculo, e a dobra é um de seus diâmetros.

Nesse enfoque, o que se destaca é a definição de circunferência como o conjunto de pontos de um plano que são equidistantes de um ponto dado. O ponto dado é o centro da circunferência. Um trabalho sobre circunferências e círculos pode girar em torno do reconhecimento dessas figuras para, em seguida, ir em busca de alguns de seus componentes. Da mesma forma, as noções intuitivas de reta, segmento de reta, plano e ponto podem ser identificadas em objetos e sólidos geométricos. Por exemplo, mostrar que os segmentos de reta podem ser representados por pedaços de barbante esticados ou por figuras do tipo:

As arestas de um cubo ou de uma pirâmide podem representar segmentos de reta. E os vértices dessas figuras, que são o encontro de duas ou mais arestas, representam pontos. ponto ponto

segmento de reta

Pode-se solicitar que tracem outros diâmetros, observando que todos têm um ponto de encontro comum: o centro do círculo. Aproveitar essas dobraduras para destacar raios, cordas e arcos de circunferência. Outra forma de iniciar esse tipo de abordagem é utilizar um compasso ou um pedaço de linha de costura com um alfinete e um lápis (o alfinete fixa uma das pontas da linha e o lápis é amarrado na outra). Na lousa, pode-se usar um pedaço de barbante com um pedaço de giz amarrado em uma das extremidades.

A face de um cubo ou de uma pirâmide é uma superfície plana. Se imaginarmos figuras como essas se estendendo sem limite nas mesmas direções de suas arestas, sem espessura, teremos a imagem idealizada de um plano.

Duas arestas de uma mesma face imaginadas sem começo, sem fim e sem espessura nos dão a ideia de duas retas no mesmo plano, também chamadas de retas coplanares. Quando duas retas coplanares seguem o mesmo “rumo”, dizemos que elas têm a mesma direção e, portanto, são duas retas paralelas. 30

Matemática

Quando duas retas coplanares têm direções diferentes, dizemos que elas são concorrentes.

Pode-se pedir aos estudantes que identifiquem segmentos de reta, pontos e regiões planas nos objetos da sala de aula. Para uma compreensão mais significativa da noção de ângulo, sugere-se o trabalho com material concreto e exemplos práticos, como a utilização de situações e objetos que ofereçam a ideia de giro, ou seja, de mudança de direção. Dessa maneira, é possível desenvolver o conceito de ângulo sob um ponto de vista dinâmico. Solicitar aos estudantes que utilizem o próprio corpo como exemplo, fazendo com que andem ao redor da sala, traçando trajetos variados e representando os giros com palitos ou canudos. Com alguns recursos didáticos acessíveis, é possível estimular esse olhar dinâmico dirigido à geometria. As figuras geométricas desenhadas nos livros são estáticas, e é conveniente enxergá-las em movimento. É importante, também, ressaltar algumas aplicações do conceito de ângulo, por exemplo: ao pilotar um avião, construir casas, jogar videogames, localizar uma cidade, um porto ou uma ilha. Após esse estudo informal sobre ângulos, pode-se introduzir uma noção de semirreta e uma representação gráfica de ângulos como um par de semirretas de mesma origem, com uma das duas regiões sombreadas determinada por essas semirretas. Nas figuras a seguir, o ponto O é o vértice do ângulo e cada uma das linhas é um de seus lados. semirreta

lado vértice

origem O

lado

semirreta

Como cada lado tem origem no vértice O e faz parte de uma reta, essa linha é denominada semirreta. Peça aos estudantes que identifiquem os ângulos em figuras planas, como triângulos, quadriláteros, ângulos nas faces de um prisma, nas faces de uma pirâmide, o ângulo de abertura de um livro, ou, ainda, o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio (como nas figuras a seguir).

Finalizando este capítulo, são exploradas situações que envolvem localizações e deslocamentos de pontos no espaço e no plano, bem como situações para representar e interpretar a localização de números em um sistema de coordenadas cartesianas. Para esses estudos, é possível propor algumas atividades lúdicas que lembrem o jogo batalha-naval e os guias de cidades. É conveniente que estudantes façam algumas atividades em quadriculados. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos estudantes nos conteúdos desenvolvidos nesse capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Reconhecer círculo e circunferência e alguns de seus elementos: centro, raio, diâmetro e corda. Identificar reta, semirreta e segmento de reta. • Compreender a noção de ângulo associada a giros e mudança de direção. • Identificar o ângulo como uma das duas regiões formadas por duas semirretas de mesma origem. • Identificar um ângulo de 90º como ângulo reto. • Classificar ângulos em relação às medidas. • Identificar posições relativas de retas em um plano. • Reconhecer perpendicularismo entre retas. • Representar e interpretar a localização de pontos representados por pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesianas.

Conteúdos • Círculo; circunferência: conceitos e elementos; uso de régua e compasso. • Reta; semirreta; segmento de reta. • Direção e sentido. • Ângulos: conceito; medida de ângulo e unidade de medida: grau; uso do transferidor; classificação de ângulos quanto às medidas. • Posições relativas de duas retas no plano: paralelas, concorrentes, perpendiculares. • Classificação dos quadriláteros quanto ao paralelismo dos lados, quanto aos ângulos e quanto às medidas de seus lados. • Localização e interpretação de pontos representados por pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesianas. 7o ano

Experimentar I

Existem (muitas) outras opções.

a) Na figura da esquerda (dada no texto) foram “desenhadas” duas retas (em verde) e foi obtida a figura da direita.

Aplicar conhecimentos II

T T

“Qual é a posição da terceira reta em relação à primeira reta? E a posição da terceira reta em relação à segunda reta?”. Respostas: Paralela. Perpendicular.

a) 360° b) 180°

Q T

Medidas de ângulos e polígonos

b) Com isso, ficaram determinados, na figura da direita, três triângulos (indicados por T), um quadrilátero (indicado por Q) e um pentágono (indicado por P).

Para criar

a) Respostas pessoais. b) O desenho do aluno deve ficar semelhante ao abaixo

Afinal, o que é um ângulo? A forma de caracterizar o conceito de ângulo passa por uma escolha subjetiva. Destacaremos três opções de explicação: • Em uma delas, ângulo é a abertura entre duas semirretas com a mesma origem. Acreditamos que essa não seja a explicação mais adequada pela ambiguidade que a palavra “abertura” pode provocar. • Em outra, ângulo é a reunião de duas semirretas com a mesma origem. Se as semirretas não forem coincidentes, elas determinam duas regiões no plano que as contém e que não são consideradas como parte do ângulo. Se as semirretas não forem opostas, uma dessas regiões será considerada interior ao ângulo e a outra, exterior ao ângulo. • Consideremos, agora, uma terceira opção: imagine duas semirretas com a mesma origem que não são coincidentes nem opostas. Elas determinam, no plano que as contém, duas regiões de pontos. Veja as figuras a seguir:

Aplicar conhecimentos I

1. É possível que os alunos encontrem duas “linhas” (arestas) que não têm pontos comuns e não são paralelas. Tais retas são retas reversas. 2. a) Ações pessoais. b) Ações pessoais. A reta t é paralela à reta r, ou seja, elas não se cruzam.

Em cada uma das figuras, uma região do plano é não convexa (ou seja, côncava), e a outra é convexa. Observe as figuras seguintes: região côncava

região convexa

Experimentar II

A proposta deste experimento é trabalhar de forma lúdica e experimental, por meio de dobraduras, os conceitos de ângulo reto e retas perpendiculares. Para complementar, peça aos estudantes que façam uma terceira dobra sobre o segundo vinco. Em seguida, que abram a folha e pintem a reta representada pelo último vinco. Pergunte: 32

Matemática

região côncava

região convexa região côncava

Nessas condições, a região convexa em cada uma das duas figuras é denominada ângulo e determinada pelas semirretas. Pode-se perceber que a terceira forma de caracterizar ângulo é a mais trabalhosa das três apresentadas; porém, parece ser a mais adequada.

Assim, a forma de trabalhar o conceito de ângulo com estudantes fica por conta da escolha mais adequada para cada uma das turmas. É importante estabelecer algumas nomenclaturas: • as semirretas são denominadas lados do ângulo; • o ponto comum às semirretas é denominado vértice do ângulo. Observe as figuras:

vértice

lado

Sistema de coordenadas cartesianas

vértice

Para finalizar, vejamos dois casos que não foram mencionados nos comentários anteriores: • Primeiro: as semirretas coincidem. Isso significa que, na realidade, há somente uma semirreta:

vértice

lado único

O ângulo assim formado é denominado ângulo nulo. • Segundo: as semirretas são opostas. Isso significa que, na realidade, as semirretas estão sobre uma mesma reta:

lado

vértice

Comente com os alunos que, mesmo diante de dez, cem, mil experiências favoráveis, não podemos nos assegurar de que elas são válidas sempre. A não ser que façamos o que, em Matemática, chamamos de demonstração. Mas as experiências e a observação de propriedades que se repetem em vários casos nos dão “dicas” importantes para a construção dos conceitos matemáticos.

lado

Esse ângulo formado é denominado ângulo raso.

Existem muitos tipos de sistemas de coordenadas. O sistema abordado neste volume é o sistema de coordenadas retangulares, mais conhecido por sistema de coordenadas cartesianas. O sistema de coordenadas cartesianas bidimensional é formado por um par de eixos coordenados perpendiculares, que determinam um plano denominado plano cartesiano. Um dos eixos coordenados será denominado eixo das abscissas e o outro, eixo das ordenadas. O ponto comum aos dois eixos é denominado origem do sistema. A cada ponto do plano cartesiano está associado um par de números escritos em determinada ordem. Cada um desses pares de números costuma ser denominado par de coordenadas cartesianas. Por convenção, o primeiro número de um par é a abscissa do ponto e o segundo, a ordenada. Uma representação gráfica de um sistema de coordenadas retangulares (cartesianas) pode ser vista na figura seguinte: Eixo das ordenadas

Ordenada do ponto

Aplicar conhecimentos III

1. a) Equilátero: 60°, 60° e 60°; isósceles: 70°, 70° e 40°; escaleno: 60°, 80° e 40°. b) As medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero são iguais a 60°. c) 180°. A soma das medidas dos ângulos internos é sempre igual a 180º. d) A soma das medidas dos ângulos é sempre igual a 180°. 2. Sim, pois as medidas dos lados de um triângulo equilátero são iguais (entre si) e as medidas dos seus ângulos são iguais (entre si).

Experimentar III

Outra sugestão é a verificação dessa propriedade por meio de uma simples dobradura:

Ponto

Eixo das abscissas Origem Abscissa do ponto

A configuração apresentada na última figura é convencional, ou seja, nada impede que alguém faça essa representação da seguinte forma: Eixo das abscissas

Abscissa do ponto

Ponto

Eixo das ordenadas Origem Ordenada do ponto 7o ano

Alguns textos para os ensinos fundamental e médio identificam um dos eixos coordenados como “eixo horizontal”, e o outro, como “eixo vertical”. Essas classificações podem não ser as mais adequadas, pois as palavras “horizontal“ e “vertical“ aplicam-se a situações nas quais um dos eixos é paralelo a uma superfície plana horizontal, enquanto o outro tem a direção de uma reta perpendicular àquele plano horizontal.

Exercitando mais

1. O desenho formado por alunos será similar a este: A

b) 90º; R

a) 180º; O 3.

Em particular, se os eixos coordenados de um plano cartesiano estão em uma folha de papel sobre uma mesa (horizontal), então ambos os eixos são horizontais. Para finalizar, seguem alguns comentários sobre a simbologia para representar um ponto e suas correspondentes coordenadas retangulares (cartesianas). Vamos representar o ponto pela letra P. Se representamos sua abscissa pela letra a e sua ordenada pela letra b, então, para registrar que as coordenadas do ponto P são os números a e b, nessa ordem, pode-se escrever: P = (a;b) O sinal “=” não significa uma igualdade entre o ponto P e o par ordenado de números (a;b), mas apenas a correspondência que há entre o objeto geométrico ponto P e o par ordenado de números (a;b).

Aplicar conhecimentos IV

a) A = (–2;–3); B = (4;6); C = (8;0) e D = (–2;4). b) e c)

Pela construção (uso de um compasso e de uma régua), conclui-se que os lados do hexágono têm as mesmas medidas de lados e ângulos; portanto, esse hexágono é regular. c) 30º; A

F C

D G 0

eixos das abscissas

5. a) e b)

E F H

A reta que passa pelos pontos A e B também passa pela origem O e pelo ponto H = (2; 3). 34

Matemática

eixo das ordenadas

d) 150º; O

a) 30º b) 140º 4. a) A = (2;3), B = (4;3), C = (5;5), D = (0;2), E = (1;0), F = (3;6), G = (6;1), O = (0;0). b) As ordenadas dos pontos A e B são iguais.

eixos das ordenadas

plano horizontal

eixo vetical

eixo horizontal

eixo das abcsissas

A figura obtida é um triângulo.

eixo das ordenadas

c) e d)

Portal do professor. Disponível em: <http://portaldoprofessor. mec. gov.br/linksCursosMateriais.html?categoria=23>. Acesso em: 8 out. 2012.

Capítulo 3 eixo das abcsissas

e) No paralelogramo, as medidas dos lados paralelos são iguais. As medidas dos ângulos opostos também são iguais.

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos: 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002. v. 3. CAMPOS, T. M. (Coord.). Transformações no ensino da matemática: a experiência positiva de professores do Polo 4. São Paulo: PUC, 1998. (Coleção Proem.) DAVIS, P. J.; HERSH, R. O sonho de Descartes. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1988. LOPES, M. L. L.; NASSER, L. (Coords.). Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ – Instituto de Matemática, 1997. MURRIE, Zuleika de Felice (Coord.). Matemática e suas tecnologias. Livro do professor. Ensino Fundamental. Brasília: Ministério de Educação/Inep, 2002.

Sites

Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática João Afonso Pascarelli. Disponível em: <www.ime.usp.br/caem>. Acesso em: 4 out. 2012. Educação Matemática e Tecnologia Informática. Disponível em: <www2.mat.ufrgs.br/edumatec>. Acesso em: 4 out. 2012. Olimpíada Brasileira de Matemática. Disponível em: <www. obm.org.br>. Acesso em: 4 out. 2012. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Disponível em: <www.obmep.org.br>. Acesso em: 4 out. 2012. Portal do professor. Disponível em: <http://portaldoprofessor. mec.gov.br/linksCursosMateriais.html?categoria=373>. Acesso em: 8 out. 2012.

Conectando

As tecnologias sempre estiveram envolvidas nos processos de transformação da sociedade, provocando modificações nos meios de produção e na vida das pessoas. Ler um jornal, uma revista, assistir a programas de televisão, utilizar o telefone, pagar uma conta em banco, viajar de trem, ônibus ou metrô são usos da tecnologia que fazem parte do cotidiano nos centros urbanos. No século XX, o rápido desenvolvimento da microeletrônica e das telecomunicações possibilitou o surgimento da chamada sociedade informatizada, da qual somos contemporâneos e participantes. Dessa forma, cresce cada vez mais o número de usuários de computadores, que realizam tarefas antes quase impossíveis, como construir situações virtuais, simular fenômenos que se modificam em função de diferentes variáveis, realizar cálculos complexos com rapidez e eficiência, editar textos usando recursos sofisticados de diagramação, entre outras. É comum encontrar pessoas que se destacam na escola ou no trabalho pela facilidade com que assimilam informações e pela afinidade que têm com a informática. Essas pessoas podem ser incentivadoras da aprendizagem de colegas, atuando como tutoras e instrutoras de procedimentos básicos de informática. Neste capitulo, o tema informática foi escolhido como contexto para desenvolver alguns conteúdos matemáticos por despertar significados e várias situações do cotidiano das pessoas e por ilustrar as aplicações de combinatória e de potenciação. Ao iniciar esses estudos, pode ser importante criar, na medida do possível, um “ambiente da informática”. Caso a escola não possua computadores nem haja “telecentros” de acesso público disponíveis, os estudantes podem ser apresentados a textos sobre computadores, revistas especializadas, jornais etc. Pode-se convidar profissionais de informática, pessoas da comunidade ou estudantes que dominam o assunto para uma conversa com os alunos durante o trabalho. A meta deste capítulo é levar os estudantes a compreender algumas ideias essenciais relacionadas a raciocínios combinatórios e à potenciação aplicada aos números racionais, empregando linguagem matemática convencional e analisando regularidades e propriedades concernentes a este conteúdo. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos na aprendizagem dos conteúdos desenvolvidos neste capítulo. 7o ano

Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Compreender e aplicar o princípio multiplicativo para resolver problemas de contagem. • Construir e interpretar diagramas de árvore de possibilidades. • Identificar potência com expoente inteiro positivo como produto reiterado de fatores iguais. • Identificar a base e o expoente de uma potência. • Compreender o significado da potência de expoente um, de expoen te nulo e de expoente negativo. • Utilizar o conceito de potenciação na resolução de problemas de contagem. • Efetuar cálculos mentais e escritos envolvendo a potenciação. • Usar a calculadora para verificar resultados. • Utilizar a potenciação para representar e comparar números.

Conteúdos • Princípio multiplicativo. • Potência como fator reiterado de produtos iguais. • Propriedades da potenciação. • Cálculos com potências.

Aplicar conhecimentos I

O objetivo destas atividades é levar os estudantes a analisar um problema de contagem e perceber que, para fazer a contagem direta das possibilidades, é necessário organizar os elementos em agrupamentos (construindo uma lista, uma tabela, um diagrama como a árvore de possibilidades). Os problemas de contagem tratam de situações nas quais, após encontrar uma possibilidade que satisfaça o problema, é necessário pensar em procedimentos que permitam determinar alternativas. Assim, ao buscar esses procedimentos, os estudantes passam da contagem direta das possibilidades à busca de uma operação (no caso, a multiplicação associada à ideia de combinatória) que permita obtê-las. Dessa forma, podem chegar à compreensão do princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo está associado a situações do tipo: “Se cada elemento de uma coleção A for combinado com todos os elementos de uma coleção B, quantos agrupamentos desse tipo é possível formar?”. Ao analisar a árvore genealógica, é importante que os estudantes percebam que o número de parentes indicados em cada galho é representado por potências de 2. Esta atividade permite explorar outros conteúdos matemáticos, tais como as medidas de tempo (décadas, séculos e milênio) com base na análise da data de nascimento das pessoas e da localização dessas datas numa linha do tempo. É possível também explorar situações-problema envolvendo comparações entre idades, além de favorecer a discussão de questões relacionadas às 36

Matemática

origens dos estudantes, a diferentes nacionalidades, a processos de migração e imigração etc. 1. a) 4 gerações. b) 15 pessoas. 2. Resposta pessoal. 3. 4 gerações. 4. 63 pessoas.

Aplicar conhecimentos II

1. O objetivo desta atividade é estimular os estudantes a resolver um problema de contagem por meio de uma montagem e, durante esse processo, fazer algumas observações. Assim, é importante que percebam que: • a cada dobra feita na folha de papel, o tamanho das figuras diminui e o número delas aumenta, dobrando o número de figuras em relação à situação anterior; • o número de vezes em que a folha foi dobrada e o número de figuras obtidas pode ser indicado por uma potência; • o número de retângulos que se forma a partir das dobraduras são potências de 2, tal como ocorre na árvore genealógica. O conhecimento e a compreensão das potências de base 2 permitem uma exploração significativa do sistema binário de numeração. É interessante explorar com a classe um fato associado a esse sistema: todo número natural pode ser decomposto numa soma de potências de base 2. Por exemplo: • 5 = 4 + 1 = 22 + 1 • 12 = 8 + 4 = 23 + 22 • 17 = 16 + 1 = 24 + 1 • 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 24 + 22 + 21+ 1 No decorrer da atividade, é importante promover a socialização das várias respostas dos estudantes e das explicações de como elas foram obtidas. Ao analisarem diferentes procedimentos, eles poderão identificar quais são os mais adequados para resolver problemas desse tipo. a) Número de dobraduras

Número de retângulos iguais

2×2=4

2 × 4 + (2 × 2) = 2 × 2 × 2 = 8

2 × (2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

2 × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

b) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

d) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

2. Trata-se de mais um problema de contagem, cujo objetivo é familiarizar os estudantes com algumas ideias envolvidas em probabilidade. Ao analisarem a situação proposta, é provável afirmarem que, no lançamento de uma moeda, as chances de ela apresentar cara ou coroa sejam iguais (50%), em razão da homogeneidade da moeda. Para que verifiquem essa resposta, é interessante propor um trabalho de experimentação, solicitando a cada pessoa que lance uma moeda 40 vezes e faça uma listagem dos resultados obtidos. Antes das jogadas, as pessoas podem arriscar um palpite sobre o resultado vencedor e até prever, em forma de porcentagem, o total de caras e coroas obtidas. A organização de todos os resultados obtidos evidenciará um grande número de experimentos (numa turma de 30 estudantes ultrapassará 1 000) e possibilitará algumas observações parecidas com as seguintes. Estudante

No de jogadas

No de caras

No de coroas

% de caras

% de coroas

Total

200

106

b) • 8 sequências. casos

1o lançamento

2o lançamento

3o lançamento

1o caso

cara

2 caso

cara

coroa

3 caso

cara

coroa

cara

4 caso

cara

coroa

5o caso

coroa

cara

6o caso

coroa

cara

coroa

7o caso

coroa

cara

8 caso

coroa

• 16 sequências.

Aplicar conhecimentos III 1. 20; 21; 22; 23; ...

2. a) 40 pessoas. b) 1 + 3 + 9 + 27 = 40 c) 1 + 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 = 40 d) 1 + 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 = 1 + 3 + 9 + 27 + + 81 = 121 ou 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

Etapa

Nas 200 jogadas apresentadas no quadro anterior, por exemplo, apesar de existirem significativas diferenças entre o número de caras e o de coroas obtidos individualmente, a soma dos resultados evidencia porcentagens próximas de 50%. Com base nesse experimento, pode-se pensar que, após muitas jogadas, a quantidade de caras será muito próxima da quantidade de coroas e que há uma boa chance de obter valores muito próximos de 50% para cada resultado. Porém, num experimento desse tipo, é possível que todos os resultados sejam coroa, ainda que esse fato seja muito difícil de ocorrer. a) Casos

1o lançamento

Número de participantes da corrente

1+3=4

1 + 3 + 32 = 13

1 + 3 + 32 + 33= 40

1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121

1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35= 364

1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 1 093

3. a) 1 1 1 1

2o lançamento

1o caso

cara

2o caso

cara

coroa

3o caso

coroa

cara

4o caso

coroa

1 1 1 1 1 1

8 9

1 4

10 20

35 56

28 36

5 15

35 70

126

1 1 6 21

56 126

1 7

28 84

1 8

7o ano

1 9

1 37

Aplicar conhecimentos IV

Linha

Soma

10a

a) 31 = 3

f) 36= 729

b) 32 = 9

g) 37 = 2 187

c) 33 = 27

h) 38 = 6 561

d) 34 = 81

i) 39 = 19 683

e) 35 = 243

j) 310 = 59 049

128 256 512

Potências de base 10

c) A soma dos números de uma linha do triângulo é a metade da soma dos números da linha seguinte. d) A soma dos elementos da oitava linha é igual a 27, e a soma dos elementos da décima linha é igual a 29. e) A soma dos elementos da décima segunda linha é igual a 211 ou 2 048.

Cálculos e propriedades das potências

Ao efetuar os cálculos envolvendo potências, é importante que os estudantes façam duas observações (que podem ser registradas na forma de pequenos textos): • quando a base for um número positivo, o resultado é sempre positivo; • quando a base for um número negativo, o resultado depende do expoente: se o expoente for par, o resultado será positivo; se for ímpar, o resultado será negativo. Pela observação de sequências numéricas construídas em uma tabela, os estudantes poderão identificar propriedades da potenciação e criar significados para as potências de expoente 1, de expoente 0 e de expoente negativo, construindo algumas generalizações. É importante que eles apresentem argumentos apoiados em conhecimentos matemáticos para justificar suas observações. Inicialmente, isso pode ser feito por meio de explicações orais, que evidenciem como se chega aos resultados que formam cada uma das sequências e as igualdades apresentadas. Após um consenso do grupo, as conclusões sobre os fatos observados podem ser registradas por meio de pequenos textos. Na construção das generalizações, a calculadora é um recurso bastante útil, principalmente quando é preciso fazer uma grande quantidade de cálculos. A exploração de cálculos envolvendo produtos e quocientes de potências com mesmas bases ou uma potência elevada a uma potência é oportuna para discutir constatações que indicam regras da potenciação. Para verificar se uma determinada informação se constitui numa regra, é preciso testá-la aplicando-a em outras situações semelhantes. As três regras trabalhadas no livro dos estudantes indicam propriedades da potenciação que podem ser utilizadas em outras situações de cálculo. 38

Matemática

Não é necessário aprofundar o estudo do sistema binário, basta que os estudantes compreendam que, no campo da informática, o número 1 024 é considerado um número “especial”, porque indica uma unidade da medida quilobyte (kB), que é igual a 1 024 bytes. Algumas razões que justificam o fato de 1 024 ser um número “especial” na informática são as seguintes: • 1 024 é a décima potência de 2: 1 kB = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 024 bytes 1 kB = 210 • 1 024 = 210 1 000 = 103 Considerando a facilidade do cálculo com as potências de 10 e a pequena diferença que existe entre 210 e 103, os especialistas em computação calculam as medidas da informática como se estivessem operando com milhares, milhões, bilhões e trilhões, numa relação de aproximação dessas medidas com o sistema de numeração decimal. kB (quilobyte) – 1 024 bytes

1 quilo – mil – 103

MB (megabyte) – 1 024 KB

1 mega – milhão – 103

GB (gigabyte) – 1 024 MB

1 giga – bilhão – 109

TB (terabyte) – 1 024 GB

1 tera – trilhão – 1012

Aplicar conhecimentos V

1. Respostas pessoais. Nesta atividade, espera-se que os estudantes observem que nos números escritos em sistema de numeração decimal, os algarismos multiplicam potências de 10. Com este trabalho, os estudantes também poderão estabelecer relações entre a potenciação e o sistema de numeração binário, utilizado nas medidas da informática. 2. a) Aproximadamente 1 433 bytes. b) 1 024 quilobytes. c) Sim, pois o disco tem 0,3 gigabytes 307,2 megabytes de memória livre. A nova capacidade de memória livre desse computador será de aproximadamente 238 megabytes. d) Sim, pois 800 quilobytes mais 403 megabytes é igual a 403,8 megabytes.

Exercitando mais

a) 8

b) (–4)

c) 6

d) (–1)

e) 77

f) (–1)6

g) 53

h) 122

i) (–2)4

3 j) (– 2 ) 3

k) (–8)3

l) (– 15 )3

Avião

2. a) 4 × 4 × 4 b) (–4) × (–4) × (–4) × (–4) × (–4) c) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 d) –3 e) 9 f) 1 g) 3 × 3 × 3 h) 3 × 3 i) 1 j) 2

Respostas:

São Paulo

Avião

Automóvel

Ônibus

3 ida

Rio de Janeiro

Automóvel

São Paulo

Ônibus

3 = 9 maneiras × volta

b) 6 números: algarismo3da dezena × algarismo 2da unidade = = 6 números

3 = c) 9 números: algarismo3da dezena × algarismo da unidade = 9 números d) Esse problema não tem solução, pois não foi fornecido o número total de rapazes. Se forem só os quatro mencionados, então o número de duplas é:

3 4 × = 12 duplas goleiro cobrador

2. Para ampliar o estudo da potenciação, propor aos estudantes

k) (–3) × (–3) l) 1 3. a) 91

b) 41

c) 343

d) 1

e) 8

f) 0

g) 36

h) 72

i) 36

j) 1

4. 32 × 2 = 64 5. 32 é igual a 9; portanto, é maior que 23, que é igual a 8. 6. Exemplos pessoais.

Sugestões de atividades complementares

1. Explorar a noção de combinatória, com o recurso da árvore de possibilidades, a partir de problemas de contagem, tais como: a) Uma pessoa que viaja muito entre São Paulo e Rio de Janeiro pode fazer essa viagem de automóvel, ônibus ou avião. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode fazer a viagem São Paulo-Rio de Janeiro-São Paulo usando esses meios de transporte? b) Quantos números com dois algarismos podem ser formados com os algarismos 5, 7 e 8 sem repetição de algarismos? c) Quantos números com dois algarismos podem ser formados com os algarismos 5, 7 e 8 com repetição de algarismo? d) Marcos, Carlos, Celso e Miguel organizaram um time de futebol com outros rapazes do bairro em que moram. Eles querem se aperfeiçoar em cobrar pênaltis; por isso, formaram duplas, um atuando como goleiro e o outro fazendo a cobrança. Quantos resultados diferentes podem aparecer no sorteio da primeira dupla?

que tentem escrever, em forma de potência, números grandes como os representados: a) pela velocidade da luz, que, em média, é de 300 milhões de metros por segundo. b) pela distância da Terra ao Sol, que é de cerca de 149 trilhões de metros. c) pela distância da Terra à Lua, que é de, aproximadamente, 384 milhões e 400 mil metros. Respostas: a) 300 milhões de metros por segundo = 3 × 108 m/s. b) 149 trilhões de metros = 149 × 1012 m c) 384 milhões e 400 mil metros = 3 844 × 105 m Existem outras respostas.

3. A título de curiosidade, pode-se apresentar para a classe um desafio relacionado com uma lenda sobre o jogo de xadrez e a potenciação. “Um rei entusiasmado com o jogo de xadrez quis dar uma recompensa ao seu inventor. O inventor fez um pedido aparentemente simples e fácil para o rei: ele queria 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 pela terceira casa, 8 pela quarta casa, 16 pela quinta casa, 32 pela sexta casa, e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa anterior, até a 64a casa. O rei não conseguiu cumprir sua promessa, pois o total de grãos era um número tão fantástico que seriam necessários séculos para produzir a quantidade de trigo que ele indicava.” Que número é esse? Resposta: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 263 = 18 446 744 073 709 551 615 7o ano

4. Outro contexto no qual se pode utilizar a potenciação é o das notações científicas. Essa forma de notação geralmente é utilizada em textos científicos para representar números muito elevados, ou muito pequenos, especialmente em si tuações de comparações e de cálculos. Utilizando a notação científica, por exemplo, a velocidade da luz, que é de 300 000 km/s, é representada por 3 × 105 km/s; o diâmetro médio de um fio de cabelo (que é de 0,0001 m) é representado por 10–4m; o número 0,0022 é representado por 2,2 × 10–4.

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais. Matemática: 3o e 4o ciclos. Brasília: MEC/SEF, 1998. GENNARI, Maria Cristina. Informática: minidicionário. São Paulo: Saraiva, 2001.

No estudo do conceito de razão, trabalha-se com um dos significados de número racional: um índice comparativo entre duas quantidades, ou seja, número racional como razão. A situação a seguir pode ilustrar essa observação: “Para pintar uma parede na tonalidade laranja, Antônio mistura 1 lata de tinta vermelha com 4 latas de tinta amarela. Se ele misturar 5 latas de tinta vermelha com 20 latas de tinta amarela, ele obterá a mesma tonalidade laranja?” Pode-se obter a resposta encontrando as razões entre as duas grandezas e comparando-as: • a razão “1 lata de tinta vermelha está para 4 latas de tinta amarela” pode ser representada por: 1 . 4 • a razão “5 latas de tinta vermelha está para 20 latas de tinta amarela” pode ser representada por: 5 . 20 É possível comparar essas razões das seguintes maneiras: 1. Expressando-as por meio de frações e verificando se essas duas frações são equivalentes (iguais). Como: 5 = 5 ÷ 5 = 1 ; então, 5 = 1 . 20

20 ÷ 5

GUIMARÃES, Ângelo de M.; LAGES, Newton A. C. Introdução à ciência da computação. São Paulo: LTC, 1985.

2. Obtendo a representação decimal de cada uma, ou seja, dividindo cada numerador pelo correspondente denominador e comparando os resultados.

Vídeo

Como: 1 = 1 ÷ 4 = 0,25 e 5 = 5 ÷ 20 = 0,25; então, 1 = 5 .

BRASIL. Ministério da Educação. TV Escola: Informática na Educação. Salto para o futuro. Brasília: MEC, s. d. Série de nove vídeos que mostram as possibilidades de trabalho com a informática.

3. Usando a propriedade fundamental das proporções para decidir se as razões 1 e 5 são iguais. 4

Como: 1 × 20 = 4 × 5; então, 1 = 5 . 4

Capítulo 4

Mutirão e moradia É possível que alguns estudantes já tenham participado de mutirões ou tenham vivido alguma experiência em construção de moradias. Isso significa que essas pessoas possuem conhecimentos prévios na forma de conceitos ou de procedimentos próprios, o que é relevante e precisa ser levado em conta. Com base nesses conhecimentos prévios, pode-se construir um significado matemático para as noções de área, razão, proporção, bem como suas aplicações, introduzindo-se gradualmente definições e propriedades. Há variadas maneiras de iniciar esse trabalho. Uma sugestão é fazer um levantamento dos conhecimentos que os estudantes já possuem sobre a construção de casas, promovendo relatos de experiências pessoais e, se for o caso, das experiências com construção em mutirão. Nesse processo, convém que percebam as relações entre o que já sabem e o que vai ser aprofundado. 40

Matemática

Um aspecto relevante nesse tema é o reconhecimento de que a representação porcentual (ou percentual) de um número é uma razão de denominador 100 e das aplicações que isso tem em situações práticas. Veja o exemplo a seguir. Em uma escola que mantém um curso de jovens e adultos, apenas 3% dos alunos moram perto da escola e 21% trabalham próximo à escola. Esses dados indicam que, em média: • 3 pessoas, em cada grupo de 100 pessoas, moram perto da escola. 3% = 3 , ou seja, 3% é a razão entre 3 e 100. 100 • 21 pessoas, em cada grupo de 100 pessoas, trabalham próximo à escola 21% = 21 , ou seja, 21% é a razão entre 21 e 100. 100 Além disso, nesse capítulo, destacam-se: • a ampliação da noção de área de superfícies planas a partir de sua utilização em situações que envolvem o cálculo da área de figuras que fazem parte do cotidiano de muitas profissões; • a resolução de problemas que envolvem proporções, aplicando-se a propriedade fundamental das proporções

e o estabelecimento de relações entre objetos reais e suas representações planas envolvendo escala. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos nos conteúdos desenvolvidos nesse capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Construir procedimentos para o cálculo de áreas de retângulos. • Adquirir habilidade de resolver problemas que envolvem áreas de retângulos e de quadrados. • Selecionar instrumentos e unidades de medida adequados em função da situação-problema. • Conceituar razão entre duas grandezas. • Identificar uma proporção e nomear seus termos. • Aplicar a propriedade fundamental das proporções. • Conceituar a noção de escala. • Desenvolver a habilidade de resolver problemas que envolvam escala.

Conteúdos • Cálculo de área. • Outras unidades de área. • Razão e proporção. • Escalas, plantas e mapas.

Experimentar 1 a 4.

m razão do convívio social, fazem parte do repertóE rio dos alunos ideias como as de áreas de superfícies planas e outras informações que envolvem unidades de medida convencionais, como metro quadrado e quilômetro quadrado. Porém, isso não significa que eles tenham um conhecimento formalizado a respeito do assunto. Fazer experiências focadas em aspectos concretos ou intuitivos é um ponto de partida para a construção de conceitos mais precisos. Por exemplo, a “construção” de um metro quadrado com folhas de jornal permite a concretização de um objeto que poderá servir de modelo para outras situações, e a utilização de vários “quadrados de 1 metro quadrado” para medir superfícies de ambientes possibilitará a visualização e compreensão da noção de área.

2. a) O quadrado cabe 4 vezes nessa área. b) 4 m2 3. a) 9 m2 b) 100 m2 c) Resposta pessoal.

4. Multiplicando a medida dos lados de um quadrado por ela mesma, obtém-se a sua área. 5 e 6. Respostas pessoais. Essas atividades favorecem o desenvolvimento da capacidade de estimar áreas de figuras com formas geométricas não definidas e áreas de regiões geográficas. Os estudantes também terão a chance de compreender os métodos utilizados pelos meios de comunicação, pelas forças policiais ou pelos movimentos sociais para informar o número de pessoas presentes em comícios, manifestações ou qualquer outro tipo de evento em local aberto. Ou seja, o modo como as instituições medem a concentração de pessoas.

Aplicar conhecimentos I

1. a) Resposta pessoal. b) 4 cm × 4 cm = 16 cm2 c) (4 cm × 4 cm) ÷ 2 = 8 cm2 2. Área dos triângulos mencionados = (área do quadrado ABCD) ÷ 4 = (7 cm × 7 cm) ÷ 4 = 12,25 cm2

Aplicar conhecimentos II

Alguns estudantes podem apresentar dificuldades na compreensão das mudanças de unidades de comprimento ou de superfície e na divisão de números racionais na forma decimal. Pode ser conveniente retomar esses conteúdos. Caso contrário, os objetivos pretendidos nessas atividades podem não ser alcançados. Um ponto muito importante é observar que, para comparar ou fazer operações com áreas de superfície, todas elas devem estar sob a mesma unidade. A diferença de unidades ocorre na atividade 5, em que as dimensões da cozinha são dadas em metro e as dimensões das lajotas estão em centímetro. 1. a) 3 cm × 5 cm = 15 cm2 b) 2,4 cm × 4,5 cm = 10,8 cm2 2. Resposta pessoal. 3. a) Área do quadrado = 10 cm × 10 cm = 100 cm2 b) Medida de cada lado = 1 dm c) Área do quadrado = 1 dm2 d) 1 dm2 = 100 cm2 4. Centímetro quadrado (cm2). 5. a) Dependendo de como os alunos fizerem a divisão, utilizando um algoritmo escrito ou a calculadora, as respostas podem ser: • um número inteiro: 1 ÷ 0,16 = 6 com resto = 0,04; • ou um número não inteiro, na forma decimal: 6,25. A escolha da resposta deve levar em conta que o número de lajotas em cada caixa deverá ser inteiro. Se o número escolhido for 6, então cada caixa não terá 1 m² de peças, pois: 0,16 m² × 6 = 0,96 m². 7o ano

S e o número escolhido for 7, então cada caixa terá mais que 1 m² de lajotas, pois: 0,16 m² × 7 = 1,12 m² Outro procedimento é calcular a área de uma lajota em centímetro quadrado, transformando 1 m² em cm² e dividindo o valor obtido pela área de cada lajota. Se os lados de cada lajota medem 40 cm, então podemos escrever: Área de uma lajota = 40 cm × 40 cm = 1 600 cm². Transformando metro quadrado em centímetro quadrado, temos: 1 m² = 1 m × 1 m = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm². Portanto, obtém-se o número de lajotas em cada caixa dividindo 10 000 cm² por 1 600 cm². A questão da escolha da resposta cabe igualmente nesse caso, pois as caixas contêm um número inteiro de peças. b) Se vierem 9 lajotas, então cada caixa teria 9 × 0,16 m2 = 1,44 m2. Se vierem 10 lajotas, então cada caixa teria 10 × 0,16 m2 = = 1,6 m2. c) 12 caixas com 1 m2 e 8 caixas com 1,5 m2. d) Caixas com 1 m2: 10 × 1,1 = 11 caixas. Caixas com 1,5 m2: 8 × 1,1 = 8,8 caixas, ou seja, 9 caixas. 6. a) 6 faces; cada face tem a forma quadrada. b) Área de cada face = 64 cm2 c) Área total do dado = 6 × 64 cm2 = 384 cm2

Escalas, plantas e mapas

Uma aplicação da propriedade fundamental das proporções na resolução de problemas é ilustrada, detalhadamente, por uma situação envolvendo escalas. É importante chamar a atenção dos alunos para que percebam a diferença entre o esboço de uma casa e uma planta com escala. Como esse conteúdo é habitualmente trabalhado nas aulas de Geografia, seria interessante desenvolver um projeto integrando as duas disciplinas, explorando a leitura de mapas, a elaboração de plantas e o uso de instrumentos de medida, como trena e régua. Caberia também, em projetos desse tipo, trabalhar as aplicações da noção de densidade demográfica, que é uma razão especial.

Aplicar conhecimentos IV

1. a) A escala indica que 1 cm no desenho corresponde a 100 cm (1 m) da medida real. b) 4 m; 8 m; 4,5 m e 6,25 m. c) Cozinha: 4,4 m por 4,5 m; quartos: 4,5 m por 3,8 m; 4,5 m por 4,5 m; sala: 8 m por 3,8 m; banheiro: 3,5 m por 4,5 m; corredor: 1,5 m por 12,5 m. d) Aproximadamente 122,5 m2. 2. Respostas pessoais.

Aplicar conhecimentos III

1. 7 ÷ 8 = 0,875 e 84 ÷ 96 = 0,875, ou 7 × 96 = 672 e 8 × 84 = 672 2. a) Loja B; R$ 2,00. A operação usada foi a subtração. b) Sim. 1,1 = 1 + 0,1 = 1 + 1 = 1 + 10 10 c) 120 = 1,2 = 1 + 0,2 = 1 + 2 = 1 + 20%; logo, o preço do 100 10 metro cúbico de areia na loja A é 20% maior que o da loja B. d) 90 = 1,125 = 1 + 0,125 = 1 + 12,5 = 1 + 12,5%; logo, o preço 80 100 do metro cúbico da brita na loja A é 12,5% maior que o da loja B. 3. Como uma lata com 18 L de tinta custa R$ 180,00, então, considerando-se uma proporcionalidade entre o volume de tinta e o seu preço, cada litro de tinta dessa lata custa, em média, R$ 180,00 ÷ 18 = R$ 10,00, ou seja, menos que as latas com 0,9 L, que custam R$ 23,00. 4. a) A razão entre volume de tinta e área pintada de parede é 20 = 50 = 0,4 litros por m2; logo: número de litros para pintar 160 m2 é (160 m2) × (0,4 litros por m2) = 64 litros. b) O número de latas de tinta (com 20 litros) para pintar 160 m2 é :(64 litros) ÷ (20 litros) = 8 latas. 5. a) Perímetro do retângulo A = 6 cm; perímetro do retângulo B = 18 cm. b) A razão entre o perímetro do retângulo A e o perímetro do retângulo B é 6 cm = 0,5. 18 cm c) Como as razões entre as medidas dos lados dos retângulos são iguais à razão entre os seus perímetros, então essas grandezas formam proporções. 42

Matemática

Exercitando mais

1. a) 4,5 m2 b) 8 511 996 km2 c) 2 000 m2 2. 100 ladrilhos 3. a) Correta b) Incorreta. Área de cada face = 1 024 cm2 4. a) 6 × (5 × 5) cm2 b) Área total do cubo = 6 × (25 cm2) = 150 cm2 5. Sim. 6 ÷ 7 = 0,857142857142857... e 12 ÷ 14 = = 0,857142857142857... ou 6 × 14 = 84 e 7 × 12 = 84. 6. Sugestões de respostas: 1 = 12 ; 2 = 8 ; 3 = 6 2

24 3

12 4

10 cm × 15 cm

7. Razão entre as áreas dos retângulos A e B = = 10 cm × 15 cm 1×3 3 = = 0,75 = 1×4

Outro modo: 10 × 15 = 1 × 3 = 0,75 10

8. a) Preço de cada saco de cimento = R$ 154,00 ÷ 7 = R$ 22,00 R$ 350,00 ÷ R$ 22,00 = 15,909090... Portanto, Severino pode comprar, no máximo, 15 sacos de cimento com esse valor. b) Sim. R$ 22,00 × 15 = R$ 330,00 R$ 350,00 – R$330,00 = R$ 20,00 de troco

9. 1,5 cm = 1,5 cm = 15 ÷ 15 = 1 = 1 : 400 6m

600 cm

6 000 ÷ 15

essas condições, as grandezas Tempo e número de máquiN nas são grandezas inversamente proporcionais. Os produtos 14 × 9 e 6 × n são iguais: 14 × 9 = 6 × n. Resolvendo a equação, temos:

400

10. Distância “real” = 2,6 cm × 50 000 000 = 130 000 000 cm = = 1 300 km

n = 126 ; n = 21 6

Sugestão de atividades complementares

ortanto, para produzir o lote de peças em 6 semanas, serão P necessárias 21 máquinas. Resumidamente, podemos dizer que é possível usar uma regra de três simples quando são dados três números a, b, c, referentes a duas grandezas, e se quer determinar um quarto número, x, referente a uma dessas grandezas. Para isso, podemos elaborar o seguinte esquema.

Podemos resolver problemas que envolvam proporcionalidade entre duas grandezas com uma regra prática, que chamamos regra de três simples. Seu uso pode ser exemplificado nas duas situações a seguir. 1. Um pedreiro utilizou 6 sacos de cimento para fazer uma calçada de 35 m2. Se ele mantiver constante a razão entre o número de sacos de cimento e a área a ser coberta, quantos sacos de cimento serão necessários para fazer uma calçada de 140 m2? Observe o esquema a seguir, em que o número de sacos de cimento está representado pela letra x. Área (em m2)

Número de sacos de cimento

140

Uma grandeza

Outra grandeza

rimeiro, identificamos se a proporcionalidade é direta ou P inversa. Se for direta, igualam-se as razões: a = b c x

rea e número de sacos de cimento, nessa situação, são Á grandezas diretamente proporcionais.

Se for inversa, igualam-se os produtos: a×b=c×x Com isso, é possível determinar o valor de x.

35 e 6 são razões iguais. 140 x

Portanto, 35 = 6 é uma proporção. 140 x Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: A equação 35 · x = 6 · 140 é equivalente à equação x = 6 · 140 . 35 Logo: x = 24 2 Portanto, para fazer uma calçada de 140 m , serão necessários 24 sacos de cimento. 2. Uma fábrica produz um lote de peças em 14 semanas utilizando 9 máquinas, que trabalham em determinado ritmo. Quantas máquinas, com o mesmo ritmo, serão necessárias para produzir o lote de peças em 6 semanas? Representando pela letra n o número de máquinas, pode-se construir um esquema que relaciona tempo e número de máquinas. Tempo (semanas)

Número de máquinas

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta curricular para a Educação de Jovens e Adultos: 2o segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002. v. 3. MURRIE, Zuleika de Felice (Coord.). Matemática: matemática e suas tecnologias. Livro do professor. Ensino Fundamental. Brasília: Ministério de Educação; Inep, 2002. SOCIEDADE Brasileira de Educação Matemática. A educação matemática em revista: publicações de 1993 a 2012. TINOCO, Lúcia A. A. (Coord.). Razões e proporções. Rio de Janeiro: UFRJ, 1996.

Site

Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Disponível em: <www.sbem.com.br>. Acesso em: 24 set. 2012. 7o ano

Matemรกtica

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Uma linguagem universal

xpressamos nossas ideias de diferentes maneiras. Muitas vezes, utilizamos a linguagem oral; outras vezes, utilizamos linguagens escritas, musicais, gestuais. Os diferentes povos utilizam símbolos para se comunicar por meio da escrita. Esses símbolos são muito variados: gregos: chineses: árabes:

Γ, Δ, Ε, Φ, δ, α, β 丈, 丐, 丕, 丮, 乕

Em Matemática, as pessoas empregam linguagens formadas por símbolos que comunicam ideias e significados. Essas linguagens podem ser consideradas quase universais, pois são utilizadas, em quase todos os países, sempre com os mesmos significados.

Bojan Brecelj/Corbis/Latinstock

Antigas civilizações já utilizavam símbolos como uma forma de comunicação. Os egípcios usavam mais de 6 mil sinais, chamados hieróglifos.

8º ano

359

RODA DE CONVERSA

Você conhece alguns símbolos matemáticos? Escreva-os para seus colegas e ensinem uns aos outros os significados de alguns deles. Comente também onde costuma usá-los.

USO DE SÍMBOLOS Muitos são os símbolos usados na linguagem universal da Matemática. Por exemplo: • algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • símbolos de associação: ( ), [ ], { } • símbolos de relações: =, ≠, +, –, ×, ÷ • símbolos em Geometria: , , Δ O uso de símbolos em Matemática, muitas vezes, permite mostrar que ideias ou relações que são verdadeiras para alguns casos particulares podem também ser verdadeiras para um universo mais amplo. Ou seja, os símbolos possibilitam uma representação de alguma generalização. Acompanhe a seguinte situação: Todos os dias, nos telejornais e nos noticiários radiofônicos é possível vermos ou ouvirmos boletins sobre o tempo. Um tipo de informação sobre tempo é a temperatura de alguma localidade. Por exemplo, no dia 4 de setembro de 2012, foram registradas as temperaturas mínimas e máximas nas seguintes capitais brasileiras: Temperaturas (°C)

Capitais

Mínima

Máxima

Porto Alegre

12,8

25,3

Florianópolis

14,1

21,6

Curitiba

10,6

15,0

São Paulo

14,0

20,4

Rio de Janeiro

15,2

24,1

Vitória

19,5

23,4

Belo Horizonte

16,2

25,4

Brasília

17,1

30,1

Disponível em: <www.ons.org.br/operacao/boletim_meteorologico_diario.aspx#temperaturas>. Acesso em: 11 out. 2012.

Se a temperatura em alguma dessas capitais for representada pela letra T em algum momento do dia, então podemos escrever, para a cidade de Curitiba, que: T °C ≥ 10,6 °C (graus Celsius ) e T °C ≤ 15,0 °C

A expressão T °C ≥ 10,6 °C pode ser lida assim: a temperatura T °C é maior que ou igual a 10,6 °C. 360

Matemática

Enquanto a expressão T °C ≤ 15,0 °C pode ser lida assim: a temperatura T °C é menor que ou igual a 15,0 °C. As duas últimas expressões podem ser reunidas na seguinte forma “mais concisa”: 10,6 °C ≤ T °C ≤ 15,0 °C

ou simplesmente: 10,6 ≤ T ≤ 15,0

Observando as últimas “desigualdades”, afirma-se, em Matemática, que os valores T da temperatura em Curitiba no dia 4/9/2012 estão no intervalo cujo valor mínimo é 10,6 e cujo valor máximo é 15,0. Por sua vez, o intervalo: 10,5 °C < T °C < 15,1 °C

ou simplesmente: 10,5 < T < 15,1

significa que a temperatura representada por T é simultaneamente maior que 10,5 e menor que 15,1 e T não pode ser igual a 10,5, nem igual a 15,1. APLICAR CONHECIMENTOS I

Releia a tabela sobre as temperaturas de algumas capitais brasileiras e responda às questões: 1. Verifique em quais delas cada temperatura T a seguir poderia ocorrer. a) T = 13,0 b) T = 18,6 c) T = 25,9 d) T = 10,0 e) T = 30,2 2. Qual é o intervalo em que a temperatura T é válida para todas aquelas capitais no dia 4 de setem-

bro de 2012?

8º ano

361

3. Complete a tabela a seguir com as expressões ou suas leituras. Expressão

Leitura

x<y m é maior que ou igual a n p>q

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Acompanhe a situação a seguir: Para se obter 10% de uma quantidade, basta multiplicar essa quantidade por 0,1 ou dividir essa quantidade por 10. Se representarmos a expressão “quantidade” pela letra q, então essa generalização poderá ser escrita na seguinte forma simbólica: 10% de q = 0,1 · q ou 10% de q = q ÷ 10 =

q 10

De forma análoga: Para obter 25% de uma quantidade, basta multiplicar essa quantidade por 0,25, ou multiplicá-la por 25 e dividir o resultado por 100. Se representarmos a expressão “quantidade” pela letra n, então poderemos escrever: 25% de n = 0,25 · n ou 25% de n = n · 25 ÷ 100 = n × 25 100

As expressões: 0,1 · q; q ÷ 10; 9 ; 0,25 · n; n · 25 ÷ 100 e n × 25 10 100

são denominadas expressões algébricas. As expressões 0,1 · q e 0,25 · n podem ser escritas também nas seguintes formas: 0,1 · q ou 0,1q e 0,25 · n ou 0,25n

As letras são as variáveis das expressões algébricas e representam um número qualquer. Veja agora outras situações nas quais é comum usar letras para representar números e como é possível construir expressões algébricas. 362

Matemática

1. Se y representa um número qualquer, então: • o triplo do número y pode ser representado por: 3 · y ou 3y ou y · 3; • um quarto de y pode ser representado por: y 1 · y ou y ÷ 4 ou 4 ou 0,25 · y 4 2. a + b significa a soma dos números representados por a e por b. 3. 6 · (p – q) significa o produto de 6 pela diferença entre os números repre-

sentados por p e q.

4. Para escrever um número qualquer na forma de porcentagem, basta mul-

tiplicar esse número por 100 e acrescentar o símbolo %.

Podemos representar a expressão “número qualquer” por uma letra, por exemplo, n, e escrever essa generalização da seguinte forma simbólica: (100 ∙ n)% ou, simplesmente, 100 · n%

A letra n está representando um número, que é o número que queremos escrever na forma de porcentagem. Mas, afinal, qual é a utilidade prática da generalização e do uso de símbolos? Uma pessoa que sabe generalizar consegue ampliar o exercício de sua cidadania, pois pode tirar conclusões a respeito de algumas de suas experiências ou de experiências de outras pessoas. Já o uso de símbolos (matemáticos ou outros) nos permite certa economia nos textos, isto é, permite-nos expressar determinada ideia de uma forma direta, objetiva, abreviada. Cientistas e estudiosos usam símbolos em suas generalizações para poder comunicar suas conclusões a um maior número de pessoas, mesmo que essas pessoas não falem a mesma língua. APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Complete este quadro, escrevendo uma expressão algébrica para cada frase e uma frase para cada

expressão algébrica Expressão algébrica

Frase O quádruplo de um número representado por n. A diferença entre os números representados por a e por b.

1 ·a 3 a+2·a

8º ano

363

2. Xexéu, Yara, Zezé e Mário são irmãos.

Yara tem a metade da idade de Xexéu. Zezé é 10 anos mais velha do que Xexéu. Mário tem o dobro da idade de Xexéu. Utilize a letra x para representar a idade de Xexéu. Agora, escreva as idades de Yara, Zezé e Mário com essa mesma letra.

LINGUAGEM ALGÉBRICA Fernando Favoretto/Criar Imagem

Em regiões de concentração comercial e de escritórios nos grandes centros urbanos brasiPreço kg R$ 13,00 leiros, é comum haver restaurantes de comida por quilo. Esse tipo de restaurante surgiu em meados dos anos 1980 para atender as pessoas que precisavam almoçar fora de casa e não queriam gastar muito. Em um restaurante de comida por quilo, consumidores podem escolher entre vários tipos de saladas, carnes e massas, paFachada de restaurante de comida por quilo em São Sebastião (SP), em 2011. Veja que, no alto, está gando de acordo com o peso em indicado o preço do quilo: R$ 13,00. quilograma (quilo) consumido. As refeições são apresentadas no estilo “sirva a você mesmo” (self-service). A quantidade de comida produzida diariamente nesses restaurantes é muito grande. É possível que você já tenha ouvido um cozinheiro dizer: Hoje tenho muitas coisas para fazer.

Essa frase pode significar que essa pessoa planeja fazer um grande número de atividades, tais como: lavar verduras, descascar legumes, temperar carne, cozinhar arroz e feijão, preparar massa da torta, fazer doces para a sobremesa. 364

Matemática

Algumas vezes, a mesma frase pode ser expressa assim: Hoje tenho n coisas para fazer.

Nessa última expressão, a letra n está representando um número, que é o número de atividades do cozinheiro naquele dia. Quando usamos uma letra para representar um número, dizemos que essa letra é uma variável. Além de usar letras para representar números, também podemos usar expressões e palavras como variáveis em expressões algébricas. Acompanhe a seguinte situação: Em certo restaurante por quilo, as pessoas pagam uma quantia fixa de R$ 2,00 mais R$ 13,00 por quilograma de comida consumido em cada prato, com direito a um suco e uma sobremesa. Qual será o gasto de um cliente que consumiu: a) 0,400 kg?

b) 0,500 kg?

c) 0,750 kg?

d) 1,100 kg?

e) n kg?

Vamos anotar, em uma tabela, o gasto de um cliente conforme a quantidade de comida consumida. Quantidade de comida (kg)

Gasto = quantia fixa + 13 reais × quantidade consumida de comida (kg)

0,400

2,00 + 13,00 × 0,400 = 2 + 5,20 = 7,20

0,500

2,00 + 13,00 × 0,500 = 2 + 6,50 = 8,50

0,750

2,00 + 13,00 × 0,750 = 2,00 + 9,75 = 11,75

1,100

2,00 + 13,00 × 1,100 = 2,00 + 14,30 = 16,30

2,00 + 13,00 · n

Para calcular o gasto de um cliente, é preciso considerar a quantidade de comida consumida por essa pessoa e fazer o seguinte cálculo: Gasto =

2,00 quantia fixa

+ 13,00 preço por kg

quantidade consumida de comida para cada valor da quantidade consumida, há um único valor para o Gasto

Você pode, por exemplo, usar a letra G para representar simbolicamente o Gasto de um cliente e a letra q para representar a quantidade consumida de comida. Então, a expressão do Gasto passa a ser escrita assim: G = 2,00 + 13,00 · q

8º ano

365

Nesse caso, dizemos que você está escrevendo em linguagem algébrica. Observe outros exemplos: 1. Considere os produtos por outros números inteiros. 1×0=0

1×1=1

1×2=2

1×3=3

O número 1 multiplicado por um número qualquer sempre resulta nesse número. Podemos escrever esse fato representando um número qualquer pela letra n: 1∙n=n

2. Considere que a soma de dois números inteiros, a e b, seja igual a 18.

Esse fato pode ser representado por: a + b = 18

Quais são os valores de a e b? Vamos representar na tabela alguns pares de números inteiros cujas somas são iguais a 18. a

−5

−2

−3

−6

a+b

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Utilizando o serviço de táxi de uma cidade, uma pessoa paga uma bandeirada de R$ 3,50 e mais

R$ 1,50 por quilômetro percorrido. a) Escreva o valor de uma corrida de táxi, se a viagem tiver:

366

• 8 km

• 16,5 km

• 12 km

• 20,3 km

Matemática

b) Observe que, para calcular o valor de uma corrida de táxi, é necessário saber quantos quilô-

metros o veículo irá percorrer. Esse cálculo pode ser escrito assim:

valor de uma corrida de táxi = 3,50 + 1,50 × distância percorrida pelo táxi

Represente o valor da corrida de táxi por uma variável (letra), a seu critério, e a distância da corrida por outra letra. Escreva essa situação utilizando linguagem algébrica.

2. Uma empresária deseja vender produtos congelados durante um evento que vai de terça-feira a do-

mingo. Para isso, ela foi a uma agência de promoções de eventos e encontrou as seguintes condições: • aluguel de um estande (espaço reservado a

cada participante): R$ 300,00 por dia; • taxa fixa de R$ 100,00 para despesas com manutenção. a) Complete a tabela para calcular o valor a ser

pago pela empresária pelo uso desse espaço a cada dia. b) Qual é o valor a ser pago pelo uso de um estande

por um mês? c) Represente por uma variável (letra), a seu crité-

Tempo (em dias) 1 dia

Valor a ser pago (em R$) 300 × 1 + 100 =

2 dias 3 dias 4 dias 5 dias 6 dias

rio, o valor a ser pago pelo uso de um estande e, por outra variável, o número de dias durante os quais o estande vai ser alugado. Em seguida, escreva essa situação utilizando linguagem algébrica.

3. Em outra agência de promoção de eventos, o valor a ser pago pelo uso de um estande, em reais,

foi expresso em linguagem algébrica de acordo com a sentença: V = 200 · t + 150, na qual V representa o valor a ser pago e t representa o tempo, em dias, pelo uso de um estande. a) Preencha a tabela a seguir com a quantia a ser paga pelo aluguel de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 dias de es-

tande nessa agência. Tempo (em dias)

Valor a ser pago (em R$)

Tempo (em dias)

1 dia

4 dias

2 dias

5 dias

3 dias

6 dias

Valor a ser pago (em R$)

8º ano

367

b) Qual desses dois planos é mais vantajoso para a locatária do estande? Justifique sua resposta.

FÓRMULA: SÍNTESE DE UMA GENERALIZAÇÃO Acompanhe a seguinte situação: O salário mensal de um mecânico é R$ 1 200,00. Ele reserva todo mês R$ 180,00 para as despesas com transporte. Quanto por cento de seu salário essa quantia representa? Vamos lembrar? Para determinar quanto por cento 180 é de 1 200, dividimos 180 por 1 200. 180 ÷ 1 200 = 0,15

Em seguida, representamos esse resultado sob a forma de porcentagem: 0,15 = 15 = 15 × 1 = 15 × 1% = 15% 100 100

15% é chamado índice porcentual ou taxa porcentual ou, simplesmente, porcentual. De um modo geral: Para calcular “quanto por cento” um número qualquer é de outro número qualquer, dividimos o primeiro pelo segundo e transformamos o resultado da divisão em uma porcentagem (%). Essa generalização pode ser expressa por meio de uma fórmula. Representando o primeiro número pela letra p, o segundo número pela letra s e o índice porcentual pela letra i, podemos dizer que, para calcular o índice porcentual ou taxa porcentual entre o número p e o número s, com s ≠ 0, basta dividir p por s e transformar o resultado da divisão em %. p

  i% = [(p ÷ s)∙100]% ou i =  s ∙ 100 %

Observe que s não pode ser zero porque é o divisor de p. Veja como calcular quanto por cento 180 é de 1 200 aplicando essa fórmula. Atribuímos o valor 180 à variável p (despesas com transporte) e o valor 1 200 à variável s (salário mensal). 368

Matemática

i% =  180 × 100 % = (0,15 × 100)% = 15%  1 200 

Acompanhe outro exemplo: Em uma classe de Educação de Jovens e Adultos (EJA) com 28 estudantes, 21 são mulheres. Qual é o porcentual de alunas dessa classe? Atribuímos o valor 21 à variável p (número de mulheres) e o valor 28 à variável s (número de estudantes). i% =  21 × 100 % = (0,75 × 100)% = 75%  28 

Logo, o porcentual de alunas nessa classe é 75%.

GEOMETRIA E FÓRMULAS Expressões algébricas também podem ser usadas para indicar algumas fórmulas em Geometria. Veja os exemplos. Área de um retângulo

A área de um retângulo é o produto da medida do comprimento pela medida da largura. Representando a medida do comprimento por c, a medida da largura por e a área do retângulo por A, então a área pode ser calculada pela fórmula:

A=c∙

Os lados perpendiculares de um retângulo recebem, às vezes, os nomes base e altura, que podem ser associados ao seu comprimento e à sua largura. A variável b é comumente usada para representar a medida da base e a h, para a medida da altura. Então, a área do retângulo pode ser escrita assim:

A=b∙h

8º ano

369

Qual é a área de um retângulo cuja base mede 5 cm e cuja altura mede 3 cm? A = 5 cm × 3 cm = 15 cm2

Portanto, 15 cm2 é a área do retângulo com essas medidas. Essa área é o valor numérico da expressão A = b ∙ h, para b = 5 cm e h = 3 cm. Área de um paralelogramo

A figura abaixo é a representação de um paralelogramo: D

C b D

h B I

C b

Fazendo um corte no paralelogramo na altura AH, decompomos o paralelogramo em um triângulo e um trapézio e, em seguida, formamos com essas figuras o retângulo AHID. Como o retângulo foi construído a partir do paralelogramo, sem perda nem ganho de área, então a área do paralelogramo é igual à do retângulo. Representando a área do paralelogramo por A, então a sua área pode ser calculada pela fórmula: A=b·h

Área de um triângulo

A figura ao lado é a representação de um triângulo. Os pontos identificados pelas letras A, B e C são os seus vértices. O lado BC está sendo considerado como base do triângulo e b representa sua medida. Qualquer lado do triângulo pode ser considerado como sua base. O segmento de reta AH, perpendicular à base BC, é chamado altura do triângulo relativa a essa base e h representa sua medida. 370

Matemática

H b

A área desse triângulo é igual ao produto da medida da base BC pela medida da altura AH, dividido por 2. Representando a área do triângulo por A, então essa área pode ser calculada pela fórmula: A=b∙ h 2

A seguinte ilustração justifica a fórmula que se usa para calcular a área desse triângulo. Observe: A Com dois triângulos iguais compomos um paralelogramo. Como os triângulos são iguais, então podemos concluir que a área de cada triângulo é a metade da área desse paralelogramo. h Assim, para calcular a área de um triângulo em que uma base mede 12 cm e a altura relativa H C a essa base mede 10 cm, atribuímos a b o valor b 12 cm e a h o valor 10 cm. Calcule a área de um triângulo, sabendo que uma base mede 12 cm e a altura relativa a essa base mede 10 cm. Calculamos a área desse triângulo atribuindo a b o valor 12 cm e a h o valor 10 cm. A = 12 cm × 10 cm = 120 cm2 = 60 cm2 2

Portanto, 60 cm2 é a área do triângulo com essas medidas. APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Um trabalhador que recebia um salário de R$ 1 150,00 obteve um reajuste de 2,5%. a) Qual foi o valor do reajuste do salário?

b) Qual é o novo salário?

8º ano

371

c) Escreva uma fórmula para determinar o novo salário do trabalhador, representando o novo

salário por N e o salário antigo por A.

d) Em seguida, determine o novo salário do trabalhador atribuindo à variável A o valor do salá-

rio antigo e compare com o valor que você encontrou no item b).

2. Qual é a área de um terreno retangular em que o comprimento mede 56 m e a largura mede 14,5 m?

3. No triângulo ABC, o segmento de reta AH é a altura relativa ao

lado BC. Calcule a área desse triângulo, sabendo que o lado BC mede 2,5 cm e a altura AH mede 1,4 cm.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: FORMAS REDUZIDAS OU SIMPLIFICADAS Muitas vezes, é possível transformar uma expressão algébrica, ou parte dela, em outra que lhe é equivalente e que pode ser considerada mais simples que a original. Isso é conveniente na resolução de problemas que envolvem linguagens matemáticas. Veja os exemplos a seguir: 1. A figura ao lado é a representação

de um quadrado. Como representar o perímetro e a área desse quadrado usando expressões algébricas? 372

Matemática

Veja como representaríamos o perímetro e a área de um quadrado se as medidas dos lados fossem conhecidas: 3 2 1 1

1 2 3

Medida de cada lado = 1 cm Perímetro = (1 + 1 + 1 + 1) cm Perímetro = 4 × 1 = 4 cm Perímetro = 4 cm

Medida de cada lado = 2 cm Perímetro = (2 + 2 + 2 + 2) cm Perímetro = 4 × 2 = 8 cm Perímetro = 8 cm

Medida de cada lado = 3 cm Perímetro = (3 + 3 + 3 + 3) cm Perímetro = 4 × 3 = 12 cm Perímetro = 12 cm

Área = 1 × 1 cm2 Área = 12 = 1 cm2 Área = 1 cm2

Área = 2 × 2 cm2 Área = 22 = 4 cm2 Área = 4 cm2

Área = 3 × 3 cm2 Área = 32 = 9 cm2 Área = 9 cm2

Se as medidas dos lados de um quadrado forem representadas por uma variável, por exemplo a, então: Perímetro = a + a + a + a

A expressão a + a + a + a pode ser transformada em outra equivalente mais simples: a+a+a+a=4∙a

Área = a ∙ a

A expressão a ∙ a pode ser pode ser transformada em outra equivalente mais simples: a∙a=a2

Logo, 4 ∙ a é uma expressão algébrica que representa o perímetro de um quadrado cujos lados medem a, e a2 é a expressão algébrica que representa a área desse quadrado. 8º ano

373

2. Represente o perímetro do retângulo ABCD, usan-

do uma expressão algébrica. y

Perímetro = x + x + y + y = 2 · x + 2 · y B

Logo, 2 · x + 2 · y é uma expressão algébrica que representa o perímetro desse retângulo. 3. Leila pensou em um número.

Somou esse número com o seu dobro e registrou o que fez na tabela: Número pensado

Dobro do número

Soma do número com o seu dobro

1+2=3=3·1

2+4=6=3·2

3+6=9=3·3

4 + 8 = 12 = 3 · 4

2·n

n+2·n =3·n

Leila concluiu que: A soma de um número com o seu dobro é o triplo do número. Ou seja: n+2·n=3·n

Vale lembrar que n = 1 · n. Assim: n+2·n=1·n+2·n=3·n

Outros exemplos: • A soma do dobro de um número com o seu quádruplo é o sêxtuplo do número. Ou seja, 2 · x + 4 · x = 6 · x. • A diferença entre o quíntuplo de um número e o seu dobro é o triplo do número. Ou seja, 5 · y – 2 · y = 3 · y. 374

Matemática

APLICAR CONHECIMENTOS V

1. Observe a primeira coluna deste quadro e assinale as formas reduzidas que correspondem às ex-

pressões algébricas dadas. Expressões algébricas

Forma reduzida

6·a+5·a

5·a

6·a

10 · a

11 · a

6·a+a

7·a

6·a

7·x+5·y

12 · x

12 · x · y

7·x+5·y

12 · y

19 · n – n

19 · n

16 · n

18 · n

17 · n

8 · y – 18 · y

10 · y

–10 · y

–18 · y

–26 · y

2. Escreva as expressões algébricas em forma reduzida, se possível: a) y + y + y + y + y + y = b) 6 · a + 5 · a – a = 3. Escreva, em uma forma reduzida, a expressão algébrica que representa o perímetro de um retân-

gulo cuja largura mede t e o comprimento mede o dobro da largura.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS: FORMAS FATORADAS Um número sempre pode ser escrito como um produto de dois ou mais números. Por exemplo, 18 pode ser escrito na forma dos seguintes produtos: 18 = 2 × 9 = 3 × 6 = 2 × 3 × 3 = 18 × 1

Dizemos que 2 × 9, 3 × 6, 2 × 3 × 3, 18 × 1 são formas fatoradas de 18 ou fatorações de 18. As expressões algébricas também podem ser escritas como um produto de duas ou mais expressões. Por exemplo, a expressão algébrica a seguir já está na forma fatorada: 6 × a × b × c = 6 · a · b · c = 6 · abc

A expressão 7 × (4 + 9), pode ser calculada da seguinte forma: 7 × (4 + 9) = 7 × (13) = 91

8º ano

375

Ou calculando a soma dos produtos 7 × 4 e 7 × 9: 7 × 4 + 7 × 9 = 28 + 63 = 91

Logo: 7 × (4 + 9) = 7 × 4 + 7 × 9. Veja o esquema seguinte:

7 × (4 + 9) = 7 × 4 + 7 × 9

Esse esquema ilustra a propriedade denominada propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição. A propriedade distributiva é sempre verdadeira para os números racionais. Dizemos, então, que a expressão 7 × (4 + 9) é uma forma fatorada da expressão 7 × 4 + 7 × 9. A soma 3 · a + 3 · b também pode ser fatorada, isto é, transformada em produto de expressões algébricas. O 3 é um fator das expressões 3 · a e 3 · b. Por causa disso, dizemos que o fator 3 é fator comum a essas duas expressões. Se você utilizar a propriedade distributiva no sentido inverso, então irá obter:

fator comum

fator comum em evidência

3 · a + 3 · b = 3 · (a + b)

Nessa situação, dizemos que o fator comum 3 foi colocado em evidência. Outros exemplos: • n · (4 + 11 · t) é uma forma fatorada da expressão algébrica 4 · n + 11 · n · t. • 5 · a · (b – 3 · c) é uma forma fatorada da expressão algébrica 5 · a · b – 15 · a · c. • x · (1 + y) é uma forma fatorada da expressão algébrica x + x · y. • a · (1 – 3 · b) é uma forma fatorada da expressão algébrica a – 3 · a · b.

APLICAR CONHECIMENTOS VI

1. Classifique cada sentença a seguir como correta ou incorreta. Em seguida, corrija as incorretas. a) –m · n · p é uma forma fatorada da expressão algébrica –1 ∙ m ∙ n ∙ p.

376

Matemática

b) a · (1 + y) é uma forma fatorada da expressão algébrica 1 + a · y.

c) 4 · m · (2 – 5 · c) é uma forma fatorada da expressão algébrica 8 · m – 20 · c.

2. Fatore a expressão algébrica 2 · x + 5 · x · y, colocando um fator comum, diferente de 1, em evidência.

EXERCITANDO MAIS

1. Com um traço, ligue cada expressão algébrica da primeira coluna (indicada por números) com

a sua correspondente “tradução”, representada por uma frase, na segunda coluna (indicada por letras). Depois, anote as ligações que você formou. Veja o exemplo. 1) n + 12

A) A diferença entre 12 e n.

2) 3 · n

B) O quociente entre n e 10.

3) 5 · n

C) A soma de 21 com n.

4) 12 – n

D) A metade de n.

5) n2

E) O quíntuplo de n.

6) n – 10

F) A diferença entre n e 10.

7) n ÷ 10

G) A soma de n com 12.

8) 21 + n

H) O triplo de n.

1-G

2. Escreva as seguintes frases em linguagem algébrica: a) O dobro de um número (n) mais 1. b) A soma de um número (p) com 2. c) O produto de x e o seu dobro. d) Metade de um número (m) menos 2.

8º ano

377

3. Considere a e b como representações de dois números racionais cuja diferença é igual a 10. Esse

fato pode ser representado por: a – b = 10.

Complete a tabela seguinte atribuindo valor para a ou para b, de modo que a – b = 10. a

−3,7

b a–b

9,9 −5,2

9 4

110

11,1

–37 5

4. Observe o retângulo EFGH. E

a) Represente o perímetro desse retângulo utilizando uma expressão algébrica na qual a seja sua

largura e b seja seu comprimento.

b) Represente a área desse retângulo por uma expressão algébrica, usando as variáveis a e b.

c) Imagine que o perímetro desse retângulo seja 18 cm. Escreva uma expressão para representar

esse fato. 5. Calcule a área do triângulo representado na figura. 10,4 2,5 (medidas em cm)

PARA AMPLIAR SEUS ESTUDOS

Livro

378

Matemática

Álgebra

IMENES, Luiz Marcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Pra que serve Matemática?)

Capítulo

Novo emprego

M AT E M ÁT I C A

Ilustração digital: Estúdio Pingado

láudio ficou sabendo que havia vagas para escriturário em uma grande empresa próxima à oficina onde ele trabalha. Ele decidiu se inscrever para essas vagas, com o objetivo de mudar de carreira. A prova para as vagas consistia em responder a questões sobre atualidades, digitar um texto em um computador e resolver alguns problemas de Matemática. A maior dificuldade seria digitar o texto, já que isso ele nunca tinha feito. Mesmo assim, Cláudio resolveu ir em frente. Vamos acompanhar seu percurso.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Ao fazer sua inscrição, Cláudio recebeu a ficha de número 30. Como havia apenas 5 vagas, ele concluiu, então, que até aquele momento, o número de candidatos por vaga era: 30 ÷ 5 = 6

o que era uma concorrência razoável. Para ter uma ideia de como essa concorrência poderia aumentar, ele construiu a tabela ao lado. Para calcular o número de candidatos por vaga, Cláudio dividiu cada valor do número de candidatos pelo número de vagas: 5.

Número de candidatos

Número de vagas

30 ÷ 5 =

31 ÷ 5 =

32 ÷ 5 =

33 ÷ 5 =

34 ÷ 5 =

35 ÷ 5 =

36 ÷ 5 =

37 ÷ 5 =

38 ÷ 5 =

39 ÷ 5 =

40 ÷ 5 =

Número de candidatos por vaga 30 5 31 5 32 5 33 5 34 5 35 5 36 5 37 5 38 5 39 5 40 5

8º ano

= 6,0 = 6,2 = 6,4 = 6,6 = 6,8 = 7,0 = 7,2 = 7,4 = 7,6 = 7,8 = 8,0

379

Nessas condições, o que ele fez foi relacionar duas grandezas: número de candidatos por vaga com número de candidatos. número de candidatos por vaga = número de candidatos ÷ 5 =

número de candidatos 5

Ou então: 1 número de candidatos por vaga = = 0,2 5 número de candidatos

As expressões número de candidatos por vaga e número de candidatos podem ser consideradas como variáveis numéricas. Como essas expressões são muito longas, é possível substituí-las por expressões mais simples. Por exemplo, se representarmos número de candidatos por vaga por V e o número de candidatos por N, então a relação entre as grandezas pode ser reescrita nas seguintes formas: V = N ÷ 5 = N = 1 ∙ N ou então: V = 1 = 0,2 5 5 N 5

Por causa dessa regularidade entre as duas grandezas (o cociente entre V e N é sempre o mesmo, constante), então elas são denominadas grandezas diretamente proporcionais. Veja o porquê: 6 6, 2 6, 4 6, 6 8, 0 1 = ... = = = 0,2 = = = ... = 30 31 32 33 40 5

O valor 51 = 0,2 é denominado constante de proporcionalidade ou razão de proporcionalidade. Essa relação entre as grandezas pode ser representada graficamente da seguinte forma: • Cada par de valores da tabela construída por Cláudio pode ser representado no plano cartesiano por um ponto cujas coordenadas são: (número de candidatos por vaga; número de candidatos)

380

Matemática

10,0 8,0 6,0

6,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,4

7,6

8,0

7,2

7,8

7,0

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Número de candidatos por vaga 12,0

4,0 2,0 0,0 30

Número de candidatos

Esse tipo de representação gráfica costuma ser nomeada por representação cartesiana. Acompanhe a situação a seguir. Um bom digitador consegue digitar uma lauda em cerca de 10 minutos. Uma lauda corresponde a 20 linhas com, aproximadamente, 70 caracteres por linha, ou seja, 1 400 caracteres por lauda. Partindo dessa informação, Cláudio registrou algumas conclusões sobre o desempenho de um bom digitador na seguinte tabela: Número de laudas

Tempo em minutos

Assim, ele pôde observar que aqui também existia uma relação constante entre o número de laudas e o tempo em minutos. Essa relação pode ser expressa na seguinte forma de cociente: 2 3 4 5 6 número de laudas = = = = = = ... = 0,1 20 30 40 50 60 tempo em minutos

Nessa relação, número de laudas e tempo em minutos também são duas grandezas diretamente proporcionais. É possível modificar a forma de expressar a relação entre as duas grandezas de: número de laudas = 0,1 tempo em minutos

8º ano

381

para: número de laudas = 0,1 × tempo em minutos

Podemos simplificar as duas últimas equações substituindo as variáveis numéricas número de laudas e tempo em minutos por expressões mais simples. Por exemplo, se representarmos a grandeza número de laudas pela letra N e a grandeza tempo em minutos pela letra T, então aquela relação pode ser reescrita da seguinte forma: N = 0,1 ou N = 0,1 × T T

A relação entre as grandezas número de laudas e tempo em minutos possui uma formulação inversa, que na sequência será denominada relação inversa: 10 20 30 40 T 60 tempo em minutos = = = = = = 10 = 1 2 3 4 N 6 número de laudas

Essa relação inversa pode ser escrita assim: T = 10 ou T = 10 × N N

GRANDEZAS NÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Para enfrentar a prova de seleção, Cláudio procurou melhorar seu desempenho exercitando digitação uma hora por dia. Acompanhe seu progresso analisando as informações que aparecem nesta tabela: Número de dias de treinamento

Número de laudas por dia

Neste caso, é possível perceber que o desempenho do Cláudio foi melhorando até o 5o dia, pois, à medida que a grandeza número de dias de treinamento foi aumentando, a grandeza número de laudas por dia também aumentou. A partir do 5o dia, o número de laudas digitadas ficou constante. Observando a tabela, é possível perceber que aquelas grandezas não são diretamente proporcionais, pois: 111111 222222 333333 444444 555555 666666 777777 ≠≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠≠ 222222 333333 444444 555555 666666 666666 666666 382

Matemática

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. A secretária de uma pequena empresa do ramo de informática elaborou uma tabela que rela-

ciona o custo para produzir um componente para computadores com a quantidade semanal produzida: Produção semanal (em unidade) Custo de produção (real)

100

200

300

400

500

1 500

2 500

3 500

4 500

5 500

600

700

800

900

1 000

a) Determine, para os cinco pares de valores tabelados, o cociente entre o custo de produção

daquele componente, em real, e a correspondente quantidade semanal produzida. b) Que conclusão pode ser tirada sobre esses cocientes? c) Observando a tabela, é possível perceber que, para cada aumento de 100 unidades semanais

na produção, o custo de produção daquele componente aumenta R$ 1 000,00. Imagine que a relação observada seja a mesma para os demais valores da tabela. Com base nessa afirmação, complete a tabela. d) É possível escrever uma relação entre essas grandezas por meio de duas variáveis numéri-

cas, uma representando o custo de produção e outra representando a quantidade semanal produzida. Uma forma possível consiste em perceber a seguinte lei de formação: Sempre que a quantidade semanal produzida aumenta 100 unidades (1 centena de unidades), o custo de produção aumenta R$ 1 000,00. Vamos imaginar que, para cada aumento de 1 unidade na produção semanal, o custo aumenta 10 reais. Com base nisso, complete a tabela seguinte: Produção

Aumento na produção

Aumento no custo (em real)

Custo (em real)

100

–

1 500

200

100

10 × 100 = 1 000

1 500 + 10 × 100 = 2 500

300

200

10 × 200 = 2 000

1 500 + 10 × 200 = 3 500

400

300

10 × 300 = 3 000

1 500 + 10 × 300 = 4 500

500 600 700

8º ano

383

Se a grandeza custo for representada pela variável C e a grandeza produção for representada pela variável P, então, de acordo com a última tabela: 1 500 + 10 × P = C reais ou C = 10 × P + 1 500 reais e) Represente graficamente a relação entre as grandezas custo de produção e quantidade semanal

produzida obtida no item anterior.

2. Uma fábrica produz um tipo de peça para automóveis.

A tabela seguinte mostra as quantidades de peças produzidas em função das horas de trabalho dos operários. Tempo (em horas)

Peças produzidas

100

200

300

400

500

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais? Por quê?

b) Represente graficamente as duas grandezas relacionadas na tabela.

384

Matemática

3. Mário, amigo de Cláudio, também se inscreveu no concurso.

Como Mário também estava se preparando uma hora por dia para a digitação de texto em computadores, Cláudio fez o seguinte levantamento sobre o desempenho do seu amigo: Desempenho de digitação por hora (em dia) Dicas 1o dia

2o dia

3o dia

4o dia

5o dia

6o dia

7o dia

Número de laudas

Tempo por lauda (em minutos)

Como aconteceu com o Cláudio, é possível perceber que o desempenho do Mário também foi melhorando até o 5o dia, conforme se vê na tabela. É possível afirmar, nesse caso, que as grandezas número de laudas por dia e tempo por lauda são diretamente proporcionais? Por quê?

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Para continuar seus exercícios de treinamento, Cláudio resolveu digitar um texto com 60 laudas. Antes de iniciar o trabalho ele pensou: “Quanto mais laudas eu conseguir digitar por dia, menos tempo vou levar para terminar de digitar o texto todo”. Para calcular o tempo para executar o trabalho, ele construiu a tabela seguinte dividindo o número total de laudas (60) pelo número diário de laudas digitadas: Número diário de laudas digitadas

Tempo para executar o trabalho(em dias)

8,571428

7,5

6,6

Nesse caso, à medida que o número diário de laudas digitadas aumenta, o tempo em dias para executar o trabalho diminui. Além disso: 10 10 10 10 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 ..., ..., ..., ... ... ...≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠... ≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠ ≠≠≠≠≠ ≠ ..., ≠≠≠≠... 60 60 60 30 30 20 15 12 30 20 20 15 15 15 12 12 12 10 10 10 8,571428 8,571428 8,571428 8,571428 60 30 20 10 6666

ou seja, as grandezas número diário de laudas digitadas e tempo para executar o trabalho não são diretamente proporcionais. 8º ano

385

Porém, essa relação possui uma característica que permite classificá-la, como veremos a seguir. 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10 = 7 × 8,571428 = 8 × 7,5 = 9 × 6,6 = 10 × 6 = 60

Diferentemente do que ocorre com grandezas diretamente proporcionais, para as quais os cocientes entre valores correspondentes são iguais, para essas grandezas os produtos de valores correspondentes é que são iguais. As grandezas número diário de laudas digitadas e tempo para executar o trabalho podem ser representadas por variáveis numéricas. Por exemplo, se representarmos a grandeza número diário de laudas digitadas por N e a grandeza tempo para executar o trabalho por D, então a relação entre essas grandezas pode ser reescrita nas seguintes formas: N × D = 60 ou N =

60 60 ou D = D N

sendo que esta última é a formulação inversa da segunda. Por causa dessa regularidade entre as duas grandezas (o produto entre N e D é sempre o mesmo, ou seja, é constante), então elas são denominadas grandezas inversamente proporcionais. Essa relação entre as grandezas pode ser representada graficamente da seguinte forma: Número de laudas digitadas Ilustração digital: Planeta Terra Design

70 60 60 50 40 30 30 20 20

10 8,57 7,50 6,67 6 5,45

5 4,62 4,29 4

3,75 3,53 3,33 3,16

0 0

Tempo (em dias)

APLICAR CONHECIMENTOS II

• A representação gráfica a seguir mostra o tempo necessário para se produzir um componente

para computadores em relação ao número de trabalhadores que realizam essa tarefa. 386

Matemática

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Tempo de produção (em minutos) 80

70 60 50 35

40 30

24 18

14,40

12,00

7,20

10 0 0

Número de trabalhadores

a) Verifique se as grandezas tempo de produção e número de trabalhadores são inversamente pro-

porcionais. Justifique sua resposta.

b) Determine o tempo de produção desse componente quando o número de trabalhadores é: • 11: • 12: • 13: c) Complete a tabela com os valores indicados no gráfico e com os valores que encontrou no

item b). Número diário de trabalhadores Tempo de produção (em minutos)

d) Escreva uma representação da relação entre essas duas grandezas, usando N para simbolizar o

número diário de trabalhadores e T para o tempo de produção.

EQUAÇÃO DE 1o GRAU É bem provável que você já tenha ouvido, algumas vezes, a palavra equação, ou a expressão equacionar o problema. 8º ano

387

Neste texto, alguns problemas já foram equacionados e algumas equações já apareceram: 1 N • V= ·N= 5

• N = 0,1 · T

• N= D

Vejamos agora algumas características das equações: • Pode-se dizer que uma equação é uma sentença formada por duas expressões conectadas pelo símbolo =. Lê-se: é igual a. • O símbolo = funciona, na sentença, para relacionar duas expressões que têm o mesmo valor. • As expressões conectadas por = são formadas por números, por operações com esses números e por símbolos genéricos, que representam números, denominados variáveis ou incógnitas. Chamaremos de primeiro membro da equação a expressão à esquerda de =, e a expressão à direita será chamada de segundo membro. Veja alguns exemplos: 1o exemplo Maria inscreveu-se no concurso de uma instituição que pretende preencher 25 vagas de emprego. Ela sabia que, no dia da prova, haveria 20 candidatos por vaga. Como ela poderia determinar o número de candidatos que iriam participar da prova? Uma forma rápida seria multiplicar 20 por 25. Outra forma para resolver esse problema consiste em usar a equação: N = V · 25

Nessa equação, V representa o número de candidatos por vaga e N representa o número total de candidatos. Se Maria atribuir à variável V o valor 20, então aquela equação se transformará em: N = 20 × 25

que é uma equação na qual ocorre a incógnita N. Essa equação é chamada equação de grau um ou equação de primeiro grau, porque a incógnita N tem como expoente (oculto) o número 1 (N = N 1). N = V × 25 primeiro segundo membro membro

2o exemplo Para treinar sua digitação para o concurso, Cláudio se dispôs a digitar um texto com 60 laudas, como já vimos antes. 388

Matemática

Sua ideia inicial era digitar 5 laudas por dia. Nessas condições, ele levaria 60 ÷ 5 = 12 dias para executar a tarefa. Mas, como ele tinha pressa, ele resolveu aumentar o número diário de laudas digitadas, de modo a reduzir pela metade o número previsto de dias para executar o trabalho, isto é, para 6 dias. Qual deverá ser o aumento no número de laudas por dia para alcançar sua nova meta? Se representarmos o novo número diário de laudas digitadas por n, então, o valor de n multiplicado por 6 deverá ser 60 laudas, pois as grandezas número diário de laudas digitadas e tempo para executar o trabalho são inversamente proporcionais. Uma equação que também é de grau 1 e representa esse problema é: 6 · n = 60

3o exemplo Em uma semana, Diana, uma colega de trabalho de Cláudio, digitou 226 laudas. Se ela digitou 14 laudas a mais que o dobro do número de laudas digitadas por Cláudio, quantas laudas Cláudio digitou naquela semana? Podemos representar o número de laudas digitadas por Cláudio por uma incógnita, por exemplo, L. O dobro do número de laudas digitadas por Cláudio pode ser expresso por 2 × L ou 2 · L. Como Diana digitou 14 laudas a mais que o dobro do número de laudas digitadas por Cláudio, então esse número pode ser expresso por: 2 · L + 14

Logo, uma equação de 1o grau que pode representar o problema é: 14 + 2 · L = 226

4o exemplo Diana participou de um concurso municipal que foi realizado em três etapas: • Na primeira etapa foram eliminados 32 candidatos. • Na segunda etapa foi eliminada a metade dos candidatos que sobraram na primeira etapa. • Na terceira etapa restaram 38 do total dos candidatos inscritos. Quantas pessoas participaram desse concurso? Podemos representar o número de inscritos, por exemplo, por n. 8º ano

389

O número de inscritos que passaram para a segunda etapa foi: n – 32

Na segunda etapa foi eliminada a metade dos inscritos que passaram para ela. Portanto, apenas metade deles passou para a terceira etapa. O número de inscritos eliminados na segunda etapa pode ser representado por: n − 32 2

Número de inscritos que passaram para a terceira etapa: (n – 32) –

n − 32 2

Como restaram 38 inscritos na terceira etapa, então uma equação de 1o grau que pode representar o problema é: (n – 32) –

n − 32 = 38 2

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Em cada problema seguinte, represente o termo desconhecido por um símbolo genérico (uma

incógnita) e escreva uma equação. a) O dobro de um número menos 10 é igual a 25. Que número é esse? b) Ao adicionar 52 a um número, obtenho 67. Que número é esse? c) O triplo de um número menos 5 é igual a 13. Que número é esse? 2. Redija um problema que possa ser representado por cada uma das equações a seguir. a) 2 · a + 1 = 7

390

Matemática

b 2

-6=0

Ilustração digital: Estúdio Pingado

3. Observe a figura a seguir. Nela, os pratos da balança estão em equilíbrio.

a) Se forem trocados os pesos que estão no prato da esquerda com os que estão no prato da di-

reita, os pratos continuam equilibrados ou se desequilibram? b) Se for acrescentado o mesmo peso em cada prato, eles continuam equilibrados ou se desequi-

libram? c) Se for retirado o mesmo peso de cada prato, os seus pratos continuam equilibrados ou se de-

sequilibram?

PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES Vamos agora descrever alguns procedimentos para se obter a solução de uma equação, caso exista, ou soluções, caso existam. A solução de uma equação com uma única incógnita é um valor numérico que se atribui a ela de tal forma que a sentença assim obtida se torne verdadeira. 8º ano

391

A expressão “resolver uma equação” significa buscar suas soluções, caso existam. Para determinar uma solução de uma equação aplicamos algumas propriedades. Essas propriedades serão ilustradas ao resolvermos as seguintes equações, que já foram mencionadas antes: • 20 =

1 ·N 25

• 6 · n = 60

• 14 + 2 · L = 226 • (n – 32) –

n − 32 2

= 38

PRIMEIRA PROPRIEDADE DE EQUAÇÕES Se multiplicarmos ambos os membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero ou por uma mesma variável, então obteremos uma nova equação cuja solução, se houver, será a mesma da equação original. Vejamos um exemplo. Por qual número seria conveniente multiplicar os dois membros da equação 20 = N para obter o valor da incógnita N, que é sua solução? 25 O número mais conveniente é 25, pois: 25 ×

N N = ×N=1×N=N 25 25

Logo, multiplicando ambos os membros da equação por 25, obtemos: 25 × 20 = 25 ×

N , que equivale a: 25 × 20 = N 25

Isto significa que: N = 25 × 20 = 500

Esta é a solução do problema da Maria, que desejava saber o número de candidatos que iriam concorrer com ela na prova para o concurso em que se inscreveu. Há outras formas de resolver esse problema. Porém, o objetivo aqui é o de mostrar alguns procedimentos sobre equações que poderão ser necessários em problemas mais elaborados.

SEGUNDA PROPRIEDADE DE EQUAÇÕES Se dividirmos ambos os membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero ou por uma mesma variável, então obteremos uma nova equação cuja solução, se houver, será a mesma da equação original. 392

Matemática

Por qual número é conveniente dividir os dois membros da equação 6 × n = 60 para obter o valor da incógnita n? O número mais conveniente para isso é 6, pois, dividindo o primeiro membro da equação por 6, obtemos: (n × 6) ÷ 6 = n × (6 ÷ 6) = n × 1 = n 6 ou: 6 × n = ×n=1×n=n 6 6

Logo: (6 × n) ÷ 6 = 60 ÷ 6, ou seja, n = 60 ÷ 6 = 10

A solução dessa equação revela o número diário de laudas a serem digitadas por Cláudio para reduzir à metade o número de dias para digitar as 60 laudas. Logo, o aumento de laudas a serem digitadas por dia é: 10 – 5 = 5 laudas por dia.

TERCEIRA PROPRIEDADE DE EQUAÇÕES Se somarmos ou subtrairmos ambos os membros de uma equação por um mesmo número ou por uma mesma variável, então obteremos uma nova equação cuja solução, se houver, será a mesma da equação original. Qual o número conveniente para subtrair dos dois membros da equação 14 + 2 . L = 226 para obter o valor da incógnita L? O número mais conveniente para subtrair dos dois membros dessa equação é 14, que é o mesmo que somar os dois membros dessa equação com -14. Subtração

Adição

(14 + 2 . L) – 14 = 226 – 14

(14 + 2 . L) + (–14) = 226 + (–14)

(2 . L + 14) – 14 = 212

(2 . L + 14) + (–14) = 226 – 14

2 . L + (14 – 14) = 212

2 . L + [14 + (–14)] = 212

2 . L + 0 = 212

2 . L = 212

(2 . L) ÷ 2 = 212 ÷ 2

L = 106

Então, na semana em que Diana digitou 226 laudas, Cláudio digitou 106. Em problema proposto anteriormente, dissemos que Cláudio desejava reduzir pela metade o número de dias para digitar as 60 laudas, ou seja, de 12 para 6 dias. Esse problema pode ser “equacionado” de outra forma. 8º ano

393

Acompanhe: • Cláudio deseja reduzir de 12 para 6 o número de dias que levará para digitar 60 laudas. Então, o número de laudas digitadas por dia para completar a tarefa deverá ser aumentado, pois as grandezas são inversamente proporcionais. • O novo número de laudas digitadas por dia pode ser expresso por: novo número de laudas por dia (n) = 5 + aumento no número diário de laudas digitadas • Se representarmos a grandeza aumento no número diário de laudas di-

gitadas pela variável a, então:

n=5+a

• Logo, podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma:

6 × (5 + a) = 60

Nesse caso serão aplicadas a segunda e a terceira propriedades de resolução de equações. A equação 6 × (5 + a) = 60 pode ser resolvida de, pelo menos, duas maneiras. Acompanhe: 1. Divida ambos os membros da equação 6 × (5 + a) = 60 por 6 (segunda

propriedade). A nova equação é: 6 × (5 + a ) 60 = , ou seja, 5 + a = 10 6 6

O número conveniente que se pode subtrair de ambos os membros da última equação é 5 (terceira propriedade): (5 + a) – 5 = 10 – 5 (a + 5) – 5 = 5 a + (5 – 5) = 5 a=5

394

Matemática

2. Aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

A nova equação se torna: 6 × 5 + 6 × a = 30 + 6 × a = 60

O número conveniente que se pode subtrair de ambos os membros da última equação é 30 (terceira propriedade): (30 + 6 × a) - 30 = 60 - 30 (6 × a + 30) - 30 = 30 6 × a + (30 - 30) = 30 6 × a = 30

Divida ambos os membros da última equação por 6 (segunda propriedade): a = 30 ÷ 6 = 5

APLICAR CONHECIMENTOS IV

• Equacione e resolva cada uma das situações a seguir. a) A idade de Celso é a metade da idade de Cláudio. A soma das duas idades é 30. Qual é a idade

de cada um? b) Celso e Denise resolveram comprar uma TV de 14 polegadas no valor de R$ 570,00. Ambos

possuíam a mesma quantia em dinheiro para essa compra, mas, mesmo juntando, ainda assim faltavam R$ 120,00. Qual era o valor que cada um possuía?

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO As propriedades das equações que foram mencionadas são trabalhosas quando são utilizadas na forma como foram exibidas. Mas é possível aplicá-las de uma forma um pouco mais prática. Para isso, vamos retornar à seguinte equação, que já foi utilizada, e ao problema que ela representa: (n – 32) – n – 32 = 38 2

Os termos dessa equação que possuem a incógnita n são denominados termos semelhantes. 8º ano

395

Vamos exibir duas resoluções dessa equação: Forma decimal A expressão n − 32 pode ser reescrita assim: 2

n – 32 = n – 32 = n n – 16 = 0,5n – 16 2 2 2 2

A equação pode ser expressa por: (n – 32) – n – 32 = (n – 32) – (0,5n – 16) = 38 2

Utilizando o conceito de oposto de um número, a última equação pode ser reescrita assim: n – 32 – 0,5n + 16 = 38

Reunindo os termos semelhantes e aplicando as propriedades de equações, vem: 0,5n – 16 = 38 ou 0,5n = 54

ou seja: n = 54 ÷ 0,5 = 54 ∙ 2 = 108

Forma fracionária Pode-se multiplicar os membros da equação por 2: n − 32   2 · ( n − 32) − = 2 · 38 2  

“Distribuindo” o fator 2 no primeiro membro da equação, obtém-se: 2n – 64 – 2 · n – 32 = 76 2 2n – 64 – (n – 32) = 76

396

Matemática

Utilizando o conceito de oposto de um número, a última equação pode ser reescrita assim:

2n – 64 – n + 32 = 76

Reunindo os termos semelhantes e aplicando as propriedades de equações, vem: n – 32 = 76 ou n = 76 + 32 = 108

APLICAR CONHECIMENTOS V

• Camila, amiga de Cláudio digita, em média, 20 laudas em 3 horas. Quanto tempo ela levará

para digitar 25 laudas, mantendo a mesma média? Mantendo a mesma média, a proporcionalidade entre o número de laudas digitadas e o tempo gasto para digitá-las é dada pela razão 20 para 3. Se Diana digita 20 laudas em 3 horas, então 25 laudas serão digitadas em t horas, ou seja: 20 25 = 3 t

Se você aplicar a propriedade fundamental das proporções na última equação, então obterá: 20 ∙ t = 3 ∙ 25

Resolva essa equação para obter o valor da incógnita t em horas e minutos. EXERCITANDO MAIS

1. A tabela a seguir relaciona a quilometragem percorrida por um automóvel com o seu consumo

de combustível: Quilometragem percorrida (km)

117,5

235

352,5

470

587,5

Consumo de combustível (litro)

100

a) Determine os cocientes entre a quilometragem percorrida por esse automóvel, em km, e o

correspondente consumo de combustível para os cinco pares de valores tabelados. Qual é a sua conclusão sobre esses cocientes? 8º ano

397

b) Suponha que sua conclusão continue sendo válida para os demais valores da tabela. Nessas

condições, complete-a. c) Qual é a sua conclusão sobre as grandezas quilometragem percorrida e consumo de combustível? d) Represente graficamente a relação entre as grandezas quilometragem percorrida e consumo de

combustível.

e) Escreva a relação entre as grandezas por meio de uma equação com duas variáveis numéricas,

uma representando a quilometragem percorrida e outra representando o consumo de combustível. 2. Em um concurso, as grandezas número de candidatos por vaga e número de candidatos foram re-

lacionadas nas seguintes formas: V=N÷5=

N 1 V 1 × N, ou então: = = = 0,2 5 5 N 5

a) Qual é a sua relação inversa? b) Faça uma representação gráfica dessa relação inversa. 3. A procura semanal por um equipamento de computador e seu preço de venda foram colocados

na tabela seguinte: Procura semanal (unidades)

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

Preço de venda (R$)

500

250

166,66

125

100

83,33

71,428571

62,5

55,55

a) Verifique se as grandezas procura semanal e preço de venda são inversamente proporcionais

para os valores tabelados. b) Represente graficamente a relação entre as grandezas procura semanal e preço de venda. c) Escreva essa relação por meio de uma equação com duas variáveis numéricas, uma represen-

tando a procura semanal pelo equipamento e outra representando seu preço de venda.

4. Aplique as propriedades de equações e obtenha as soluções em cada caso: a) 15 + B = 65 4

b) 2,5 × D = 14 5 c) 4 × E - = 2 2

5. Maria foi às compras. Ela comprou um sapato, uma sandália e uma bolsa e gastou R$ 90,00. Os

sapatos e as sandálias custaram o mesmo preço e a bolsa custou R$ 15,00 a mais que as sandálias. Quanto ela pagou por cada item?

398

Matemática

Capítulo

Olhar matemático Fabio Colombini

M AT E M ÁT I C A

Indígena da tribo Sateré-Mawé exibe parte do processo de confecção de uma cesta com trançado de arumã. Manaus (AM), 2010.

s pessoas criaram e continuam criando diferentes maneiras para expressar o que consideram significativo na natureza. Entre as muitas formas de manifestar essas criações, estão a arte e a matemática. Isso pode ser visto em muitas obras humanas, de diferentes épocas, estilos e culturas: nas pinturas, nas esculturas, no artesanato, nas construções, em objetos do cotidiano. Descobrir relações matemáticas nas formas dos objetos, nos animais, nas flores pode transformar o modo como vemos o mundo à nossa volta.

RODA DE CONVERSA

Você já percebeu relações matemáticas em elementos naturais, construções ou objetos? Em caso positivo, relate-as para seus colegas. 8º ano

399

FORMAS GEOMÉTRICAS

400

Matemática

Alexandre Tokitaka/Pulsar Imagens

Fabio Colombini

O estudo da vida e organização das abelhas já despertou interesse de matemáticos, arquitetos e cientistas, em diferentes períodos da história da humanidade. Um dos aspectos que chama a atenção na vida desses insetos é a construção das colmeias. Os favos das colmeias são construídos de cima para baixo com a cera proColmeia de abelhas. duzida pelas próprias obreiras. Os favos são conjuntos de alvéolos. Com seis paredes iguais (forma conhecida como prisma hexagonal), os alvéolos possuem o espaço interno adequado para abrigar os insetos e os nutrientes Prisma hexagonal que alimentam a colmeia. Das formas geométricas possíveis para construir os favos, os prismas hexagonais são os que consomem a menor quantidade de cera e possibilitam o melhor aproveitamento do espaço. Em Matemática, as formas de objetos são chamadas formas geométricas, pois a Geometria é um campo de estudos que se preocupa com alguns objetos e suas formas. Assim, se você olhar ao seu redor, encontrará, as mais variadas formas geométricas. Pessoas que trabalham em supermercados lidam diariamente com embalagens, cada uma com sua forma, tamanho, cor e outras características. Quanto às formas, as embalagens podem ser pensadas como figuras geométricas espaciais ou figuras geométricas com três dimensões, chamadas sóli- Gôndola refrigerada em supermercado de São Paulo (SP). As embalagens que manipulamos diariamente representam sólidos geométricos. dos geométricos.

Peter Hansen/Dreamstime.com

As caixas que aparecem na imagem ao lado representam sólidos denominados poliedros. O prefixo “poli”, que já apareceu na palavra polígono, tem o mesmo significado: muitos. O sufixo “edro” significa face. Assim, um poliedro é um sólido formado por muitas faces. As faces de um poliedro são polígonos. Os lados das faces são denominados arestas do poliedro. Os vértices das faces são também os vértices do poliedro.

Essas caixas são poliedros, ou seja, são sólidos geométricos com muitas faces.

PARA REFLETIR

• Fabricantes de bens de consumo sabem que embalagens servem para proteger seus produtos

e também para torná-los atrativos para os consumidores. Traga para a sala de aula algumas embalagens ou objetos que lembrem sólidos geométricos. Reúna-se então com um grupo de colegas para discutir as seguintes questões: a) O que mais chama sua atenção em uma embalagem? b) Quais são as formas das embalagens que vocês recolheram? São todas parecidas? c) Combinem algum critério para separar essas embalagens em grupos. Depois, registrem o cri-

tério usado. d) Escolham uma embalagem qualquer e observem-na atentamente. Além de imagens, nome

do produto e dos dados de fabricação, as embalagens costumam exibir algumas informações numéricas. Identifiquem quais são essas informações numéricas e interpretem seus significados.

CLASSIFICAÇÃO DE FORMAS GEOMÉTRICAS POLIEDROS Prismas e pirâmides são figuras tridimensionais (possuem três dimensões). vértice

vértice aresta aresta

face

face Prisma

Pirâmide

8º ano

401

Essas dimensões costumam ser identificadas como largura, comprimento e altura. Os seguintes poliedros são denominados prismas.

Prisma retangular

Prisma hexagonal

Prisma triangular

As duas faces que dão nomes aos prismas também são chamadas de bases. Dentre os prismas, destacam-se os prismas retangulares, também chamados blocos retangulares ou paralelepípedos. Suas faces são retangulares, e, em alguns casos, quadradas. O cubo é um paralelepípedo especial, pois suas seis faces são quadradas.

Paralelepípedo retangular

Paralelepípedo quadrangular

Cubo

Os sólidos representados a seguir são pirâmides.

Pirâmide hexagonal

Pirâmide quadrangular

Pirâmide triangular

Nas pirâmides, a face que lhes dá o nome costuma ser considerada como sua base. 402

Matemática

Dentre as pirâmides, destacam-se as pirâmides triangulares, também chamadas tetraedros.

Tetraedro

CORPOS REDONDOS Além dos poliedros, há outros tipos de sólidos geométricos, como os corpos redondos. A esfera, o cone e o cilindro são três exemplos de corpos redondos.

Esfera

Cone

Cilindro

APLICAR CONHECIMENTOS I

• Observe as representações dos sólidos a seguir. Eles estão separados em duas coleções.

Em uma delas estão os poliedros e na outra estão os corpos redondos.

Poliedros

Corpos redondos

8º ano

403

a) Descreva as propriedades comuns aos sólidos representados em cada grupo.

b) Existe alguma característica nos corpos redondos que não aparece nos poliedros?

EXPERIMENTAR

Junte-se a um colega para realizar esta atividade que propõe planificar uma embalagem. Planificar uma figura tridimensional significa transformá-la em uma figura plana (bidimensional) sem perda de informações importantes sobre a figura original. 1. Escolham uma embalagem usada e vazia, que seja de papel ou papelão.

Desmontem-na, sem separar as partes que a formam. Assim, será possível apoiar essa embalagem “desmontada” sobre uma carteira. A embalagem aberta é uma planificação. 2. Desenhem a embalagem aberta em um pedaço de cartolina. Marquem todas as dobras. 3. Recortem o desenho, vinquem as dobras e fechem-no, prendendo com uma fita adesiva. Vocês obterão uma embalagem parecida com aquela que foi aberta.

VOLUME As medidas nos dão informações importantes do mundo ao nosso redor e ainda nos orientam na ocupação de espaços. Como todo corpo ocupa um lugar no espaço, muitas vezes temos necessidade de medir o espaço ocupado por um corpo, ou seja, seu volume. Para calcular o volume de um sólido, escolhemos um conveniente sólido que é utilizado como unidade de volume: um cubo. Quantos cubinhos como este ço ocupado pelo bloco A?

unidade

404

Matemática

, cujas arestas medem 1 cm, cabem no espa-

bloco A

Acompanhe um modo de realizar essa contagem.

bloco A

Considerando o cubinho como unidade de volume, verificamos que essa unidade cabe 32 vezes no espaço ocupado pelo bloco A. . Logo, dizemos que o volume do bloco A é 32 Veja como obter o volume do bloco A sem ter que “contar cubinhos”: Se considerarmos 1 cm como unidade de comprimento, então para o bloco A teremos, por exemplo: • medida do seu comprimento = 4 cm • medida da sua largura = 4 cm • medida da sua altura = 2 cm Lembre-se de que a expressão “medida da altura” poderá ser substituída pela palavra “altura” sempre que isso não causar confusão. O mesmo vale para “comprimento” e “largura”. Feito isso, o volume desse bloco pode ser calculado pela fórmula:

volume do bloco A = comprimento × largura × altura = 4 cm × 4 cm × 2 cm = 32 cm3

A última fórmula é válida para calcular o volume de qualquer bloco retangular cujas dimensões são expressas por números racionais. Veja ilustração a seguir. altura (h)

A largura (ℓ) comprimento (c)

Para calcular o volume de um bloco retangular como o da ilustração, sem contar cubinhos, podemos utilizar a fórmula: volume de um bloco retangular = comprimento × largura × altura = c × ℓ × h

O volume de um sólido é um número que depende da unidade de volume escolhida. 8º ano

405

A escolha de uma unidade de volume-padrão tem como um dos objetivos tornar a comunicação entre as pessoas mais universal. A unidade-padrão adotada para medir volume é o metro cúbico. Essa unidade é representada pelo símbolo m3.

CAPACIDADE Pode-se usar, também, o termo capacidade para designar o volume contido num recipiente. Por causa disso, é frequente utilizarmos, também, o litro como unidade de volume. Um litro é a capacidade de um cubo, cujas arestas medem 1 dm.

Ilustrações digitais: Estúdio Pingado

1 litro é o volume igual a 1 decímetro cúbico: 1 L = 1 dm3

1 dm

Para medir pequenos volumes, como geralmente são as dosagens de um remédio, litro pode não ser a unidade mais adequada. Nesses casos, usamos o mililitro (mL), que é um submúltiplo do litro. 1 L = 1 000 mL 1 mL = 1 cm3

406

Matemática

Ilustração digital: Estúdio Pingado

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Usando uma folha de cartolina, confeccione oito

cubos a partir do molde ao lado. Junte alguns desses cubos para formar prismas. a) Quais as características desses prismas?

b) Observe que todos os prismas formados têm três

dimensões: largura, altura e comprimento. Usando uma aresta do cubo pequeno como unidade de comprimento, determine as medidas das áreas dos sólidos que você desmontou.

c) Calcule o volume de cada prisma.

d) É possível formar outro cubo com alguns dos cubos originais? Em caso positivo, explique

como isso acontece.

2. Observe o prisma representado ao lado, cujas dimensões têm

como medidas a = 3 cm, b = 4 cm e c = 9 cm.

Calcule o volume desse prisma.

8º ano

407

3. Complete esta tabela determinando o volume de prismas ou as medidas de suas dimensões. Altura (cm)

Largura (cm)

Comprimento (cm)

1,5

Volume (cm3)

2,4 4,5

4. Uma caixa-d’água tem a forma de um cubo cujas arestas medem 1 m. a) Qual é o volume dessa caixa em m3? b) Qual é a capacidade dessa caixa em litro? 5. O que você costuma usar que é medido em mililitro? 6. Qual é o volume, em litro, de uma caixa em forma de prisma retangular cujas dimensões são 2 m,

OLHANDO AS SIMETRIAS Sentados à beira de um lago calmo, em um dia ensolarado, podemos apreciar as imagens dos morros e das árvores e seu reflexo nas águas. São duas paisagens quase idênticas: uma real e outra na superfície da água, como se esta fosse um espelho. 408

Matemática

João Prudente/Pulsar Imagens

2,8 m e 5 m?

Reflexo de araucárias em lago na Serra da Bocaina, no município de São José do Barreiro (SP), 2010.

Alslutsky/Shutterstock

Simetria nas asas de uma borboleta.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens

Mauricio Simonetti/Pulsar Imagens

Quando vemos as asas de uma borboleta, percebemos que cada asa em particular pode ser considerada a imagem da outra. Há simetria entre as duas asas. Desde os tempos antigos, os arquitetos buscavam simetrias em palácios e catedrais como um recurso estético. Muitas vezes, artistas plásticos utilizam simetrias em esculturas ou pinturas para expressar um tipo de harmonia em suas obras.

Simetria em construções: Igreja Sagrado Coração de Jesus, em Petrolina (PE), e pátio interno do palacete do Parque Lage, no Rio de Janeiro (RJ).

Em Matemática, existem estudos a respeito de simetrias. Um desses estudos vai ser abordado a seguir. t B Observe as figuras ao lado, que representam dois barcos, e a reta azul nomeada pela letra s. A C Num dos barcos está marcado um ponto A. Passando por esse ponto está a reta t perpenD s dicular a s. O D A reta t cruza a reta s no ponto nomeado O. A C Sobre a reta t fica determinado o ponto A1, cuja distância ao ponto O é igual à distância do B ponto A ao ponto O. Ambos os pontos foram nomeados pela letra A, porém uma delas vem acompanhada de um número, colocado à sua direita, para diferenciá-la do ponto A. Esse número à direita é denominado índice e, em geral, tem tamanho menor que a letra que ele está indexando e fica um pouco abaixo da linha de base da letra. O ponto A1 é denominado ponto simétrico do ponto A, com relação à reta s. Na figura, sobre o mesmo barco está o ponto B, para o qual se repetem todas as ações já descritas para o ponto A. Nesse caso, fica determinado o ponto B1, que é simétrico ao ponto B em relação à reta s. 1

8º ano

409

Repetindo-se o que foi feito com os pontos A e B para os demais pontos do mesmo barco, obtém-se uma reprodução fiel do desenho original. Essa nova figura é simétrica à figura original em relação à reta s. A reta s é denominada eixo de simetria, pois ela é a referência para que se determinem os pontos simétricos na imagem. Esses procedimentos para se obter uma imagem simétrica podem ser chamados de reflexão da figura original com relação à reta s. O eixo de simetria que foi traçado na folha em que foi desenhado o barco poderia até cruzar o barco e, mesmo assim, seria possível obter uma nova figura simétrica à primeira. Observe no exemplo a seguir, outra figura que tem simetria. Se for feita uma dobradura nesse desenho a partir da reta azul, as duas regiões em que a flor foi dividida irão se sobrepor.

Os pontos que, ao se realizar a dobradura no desenho, se correspondem, são simétricos. Por exemplo, os pontos A e A1.

Ilustração digital: Wagner Vargas

A figura a seguir representa uma flor. A reta azul, nomeada e desenhada sobre a flor, dividea em regiões “iguais”.

Em casos como esse, dizemos que a figura em questão (no caso, a flor) é uma figura simétrica ou que a figura tem simetria. A reta azul é o eixo de simetria da figura. Existem figuras que possuem mais que um eixo de simetria, como nos exemplos a seguir. Qualquer retângulo possui dois eixos de simetria.

410

Matemática

Qualquer quadrado possui quatro eixos de simetria.

Porém, existem figuras que não têm eixos de simetria, como as que aparecem a seguir.

PARA CRIAR

Ilustração digital: Wagner Vargas

Veja a seguir um método prático que, por meio de dobraduras, permite construir figuras que têm eixo de simetria.

Figura 2 Figura 1 Figura 3

Figura 4

1. Comece fazendo uma dobradura numa folha de papel (figuras 1 e 2). 2. Em seguida, desenhe uma figura qualquer (como a da figura 3, por exemplo) e recorte-a. 3. Ao abrir a folha, você terá um desenho simétrico (na figura 4, a imagem encontrada é o desenho

de uma tartaruga). 8º ano

411

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Kirigami é um artesanato japonês cujo nome significa “cortar papel”. Que tal praticar um pouco de

kirigami? Para isso, você vai precisar de folha de papel, cola e tesoura. O papel a ser usado não pode ser nem muito grosso, pois é difícil dobrá-lo, nem fino demais, para não rasgar com facilidade. a) Na folha de papel, desenhe um quadrado cujos lados me-

çam 15 cm. b) Faça uma dobradura em um dos quadrados determinando

dois retângulos iguais. c) Desenhe a figura ao lado em um dos retângulos. Recorte a

figura e desdobre-a. d) Existe uma reta em relação à qual a figura fica dividida em

duas partes iguais. Destaque essa reta. Que nome se pode dar a essa reta? Por que ela tem esse nome? 2. Em uma folha de papel, desenhe dois círculos. a) Recorte um deles e obtenha um de seus eixos de simetria, utilizando dobradura. b) No outro, obtenha um de seus eixos de simetria, utilizando dobradura. c) Agora, conclua: quantos eixos de simetria tem um círculo? 3. Em um pedaço de folha de papel desenhe um retângulo e recorte-o.

Utilize dobradura para responder às seguintes perguntas: a) Quantos eixos de simetria tem qualquer retângulo? Marque esses eixos com vincos no retângulo de papel. b) A diagonal de um retângulo é um eixo de simetria? Justifique sua resposta. EXERCITANDO MAIS

1. Observe as representações de três sólidos geométricos.

Cubo

Prisma triangular

Priâmide hexagonal

Preencha a tabela a seguir com os números de vértices, faces e arestas de cada sólido. Cubo Vértices Faces Arestas

412

Matemática

Prisma triangular

Pirâmide hexagonal

2. Carlos trabalha produzindo caixas em forma de cubo. Para isso, ele usa um procedimento pareci-

do com o que você vai reproduzir a seguir. No trabalho de Carlos, ele usa diversas máquinas e materiais. Mas, para essa simulação, você vai precisar apenas de uma folha de papel sulfite, fita adesiva e uma folha de papel quadriculado. a) Divida a folha de sulfite em seis “quadrados” utilizando dobraduras. Siga as instruções abaixo:

Dobre a folha ao meio.

Dobre novamente a folha para obter três partes iguais.

Abra a folha e recorte-a nas dobras que você fez, obtendo, assim, os seis “quadrados”.

b) Com esses seis quadrados, você poderá formar muitas figuras planas.

Forme algumas de maneira que cada dois quadrados tenham, no máximo, um lado em comum. Registre no papel quadriculado as figuras formadas. Veja duas dessas figuras:

c) Tente montar um cubo com uma dessas figuras. Depois, desmonte e tente montá-lo com base

em outra figura. Cada montagem que você fizer, seguindo as instruções do item b, poderá ser uma planificação de um cubo. Quantas planificações do cubo existem? 3. Qual é o volume de cada sólido seguinte? a)

c) 3,5 dm

4 dm 10,5 dm 1 cm

Cubo

0,2 m

8º ano

413

4. Trace todos os eixos de simetria das figuras a seguir.

5. Na malha seguinte está desenhada parte de uma figura simétrica e seu eixo de simetria é a reta e. a) Complete a figura de modo a formar uma figura simétrica com relação à reta e.

b) Destaque na figura formada dois pares de pontos simétricos e trace dois segmentos de reta

unindo um ponto e sua imagem (seu simétrico). Qual é a relação entre esses dois segmentos de reta e o eixo de simetria? c) Observe um dos pontos que você destacou e o seu correspondente (simétrico) em relação ao

eixo de simetria. Qual é a distância de cada um desses pontos ao eixo de simetria? d) Esses pontos são equidistantes do eixo de simetria?

414

Matemática

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

O jornal

jornal é um meio de comunicação que traz uma visão da realidade. Ele se propõe a estimular a curiosidade, aguçar a vontade de investigar, questionar a própria realidade, conhecer opiniões diversas e defender ideias. Em alguns capítulos de Língua Portuguesa desta coleção, você tem estudado algumas características do jornal e o modo como ele é organizado. Neste capítulo, vamos investigar algumas relações que podem existir entre a Matemática e o modo como um jornal é produzido.

CONHECER MAIS

Você já observou como um jornal é organizado? Em um jornal: • manchete é o título de um dos assuntos principais tratados em cada edição. Geralmente, escolhe-se um título pelo impacto que ele provocará no leitor; • editorial é um texto por meio do qual o jornal expressa suas opiniões e posicionamentos. Não é assinado; • matérias informativas são aquelas que pretendem informar os leitores a respeito de fatos, versões e opiniões sobre determinado assunto; • matérias opinativas são aquelas que apresentam a análise de um determinado fato e que podem ser assinadas ou não; • artigos assinados são matérias que expressam opiniões de um articulista e não necessariamente do jornal.

Tiago Queiroz/Agência Estado/AE

Pesssoas trabalham na redação de um jornal impresso em São Paulo (SP), 2010. Que relações podem existir entre a elaboração de um jornal e os conhecimentos matemáticos?

8º ano

415

RODA DE CONVERSA

Reúna-se com seus colegas e discutam: Que relações vocês imaginam existir entre o conhecimento matemático e a elaboração de um jornal?

AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE IMAGEM Ao observarmos atentamente um jornal, podemos identificar alguns elementos matemáticos. Alguns indícios aparecem logo na primeira página: números que indicam datas, tiragem, preço, previsão do tempo, cifras e quantidades que aparecem nas manchetes e notícias, as medidas de cada página, a disposição das colunas e suas formas. O comprimento e a largura da reprodução da primeira página do jornal Folha de S.Paulo de 26 setembro 2012, que está a seguir, representam um quarto ( 1 ) das me4 didas reais de uma folha de jornal convencional. Usando uma régua, você poderá constatar que as medidas da página reproduzida são 14 cm de comprimento por 8 cm de largura. Note que a página esta dividida em seis colunas (indicadas por linhas pontilhadas). A partir dessas informações, podemos obter as medidas reais da página: 14 cm × 4 = 56 cm (comprimento) e 8 cm × 4 = 32 cm (largura)

14 cm

A divisão de 32 cm por 6 permite calcular a medida da largura aproximada de cada coluna: 32 cm ÷ 6 = 5,333...≅ 5,5

Um padrão utilizado por muitos jornais é 0,5 cm para a largura das margens laterais e para cada espaço entre as colunas. 416

Matemática

8 cm

Folhapress

PRIMEIRA PÁGINA DO JORNAL

Descontados os espaços entre as colunas e entre as colunas externas e as margens da página, obtemos a medida para a largura de cada coluna.

5,5 cm – 2 × 0,5 cm = 5,5 cm – 1 cm = 4,5 cm

Em resumo: • 56 cm para o comprimento da folha; • 32 cm para a largura da folha; • 4,5 cm de largura para cada uma das seis colunas. Observe a foto da presidente Dilma cumprimentando o presidente dos Estados Unidos, Barack Obama. Suponhamos que o fotógrafo que fez a matéria entregou para o diagramador, que é o responsável pela montagem da página, uma foto com 50 cm de comprimento por 40 cm de largura. O espaço utilizado para a foto foi de três colunas, mais as distâncias entre elas, ou seja: largura destinada à foto = 13,5 cm + 0,5 cm + 0,5 cm = 14,5 cm

50 cm

40 cm

Assim, a foto foi reduzida para caber exatamente no espaço a ela reservado. Ao reduzi-la, o diagramador ficou atento às novas medidas para preservar a imagem original. Mas como é possível reduzir a foto original sem deformá-la? Para isso, é preciso manter a mesma razão entre as medidas originais, tanto na largura quanto no comprimento: as medidas da foto reduzida têm de ser proporcionais às medidas originais correspondentes.

O retângulo que representa a foto, com uma de suas diagonais.

Na marca de 14,5 cm, traçar um segmento perpendicular à base, até encontrar a diagonal.

14,5 cm A medida 14,5 cm corresponde à medida da largura das três colunas da página mais os espaços entre elas.

Traçar um segmento paralelo à base, passando pelo ponto de encontro da diagonal com a perpendicular. O retângulo pontilhado indica o tamanho da foto reduzida.

8º ano

417

Ilustrações digitais: Wagner Vargas

A computação gráfica oferece aos diagramadores outros recursos para reduzir e ampliar figuras, mas, no caso de figuras mais simples, é possível realizar essas transformações manualmente, usando uma malha quadriculada. Veja a figura de uma cruz de malta, que será chamada figura inicial, representada em uma malha quadriculada, abaixo à esquerda. Observe a seguir como a figura foi ampliada e reduzida sem ser deformada.

Figura inicial.

Figura ampliada.

Figura reduzida.

Isso aconteceu porque, tanto na ampliação quanto na redução, foi mantida a razão entre os elementos da nova figura e os elementos correspondentes na figura inicial. O que estamos identificando como elementos das figuras são, entre outras coisas, as curvas e os segmentos de reta que formam a cruz A razão utilizada para a ampliação da cruz de malta foi de 1 para 2, ou seja, cada elemento da figura ampliada é o dobro da correspondente medida na figura inicial. No caso da redução da cruz de malta, a razão foi de 2 para 1. Isso significa que cada um dos elementos da figura reduzida é metade do elemento correspondente na figura inicial. O que pode acontecer com uma ampliação ou uma redução quando não são mantidas as razões entre os elementos da imagem final e da figura inicial? Figura ampliada. No caso ao lado, a figura inicial foi ampliada, mas parece “esticada”, porque não foi mantida a mesma razão entre os seus elementos. 418

Matemática

Ilustração digital: Wagner Vargas

Observe a figura da cruz representada numa malha cujas linhas não são perpendiculares. Ela parece “deformada” porque não foram mantidas as medidas dos ângulos. Quando utilizamos procedimentos para ampliar ou reduzir qualquer imagem, podemos recorrer a conhecimentos da Geometria denominados transformações planas. Ao ampliar ou reduzir uma figura, estamos realizando uma transformação dessa figura em outra. Se desejarmos manter o mesmo asFigura ampliada. pecto da figura original na figura transformada, é conveniente estar atento a duas condições: • garantir a mesma razão entre os diversos elementos da figura inicial e os elementos correspondentes na figura transformada; • garantir que os ângulos da figura transformada tenham as mesmas medidas dos ângulos correspondentes na figura inicial. Se essas duas condições forem garantidas, pode-se dizer que as figuras são semelhantes. Em Matemática, para que duas figuras sejam semelhantes, não basta que sejam parecidas. Elas devem ter ângulos correspondentes de mesma medida e também elementos correspondentes proporcionais. Além de ser um recurso usado por diagramadores, a semelhança entre figuras planas pode ser aplicada na reprodução ampliada ou reduzida de textos, documentos ou fotos feitas por copiadoras. Podemos aplicar procedimentos aritméticos ou algébricos para resolver problemas envolvendo ampliação ou redução de figuras semelhantes. Acompanhe os seguintes exemplos: 1. Observe as imagens ao lado.

VAV8_MATC4_

Original

Warrengoldswain | Dreamstime.com

F002_NOVO Warrengoldswain | Dreamstime.com

A foto original tem as medidas de 3 cm × 4 cm. A outra corresponde a uma ampliação dessa foto. Qual foi a razão utilizada nessa ampliação? As medidas da foto original e da cópia ampliada são:

Ampliação

8º ano

419

Foto original: medida da largura = 3 cm Foto ampliada: medida da largura = 6 cm

medida do comprimento = 4 cm medida do comprimento = 8 cm

Quantas vezes a largura da foto original cabe na largura da foto ampliada? 6÷3=2

Quantas vezes o comprimento da foto original cabe no comprimento da foto ampliada? 8÷4=2

Ambos os cálculos tiveram 2 como resultado. Portanto, a razão entre as medidas da largura e do comprimento entre a foto original e a foto ampliada é 2. 2. Qual deve ser a medida do comprimento de uma foto ampliada que mede 6 cm de largura, para que seja proporcional à foto original que mede 3 cm de largura por 4 cm de comprimento? Representando a medida do comprimento da foto ampliada por x, podemos escrever a seguinte proporção: 6 3 = x 4

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (em qualquer proporção o produto de extremos é igual ao produto dos meios), temos: 6·4=3·x

24 = 3 · x

x = 24 ÷ 3

x=8

Logo, a medida do comprimento da foto ampliada deve ser 8 cm.

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Os lados de uma foto têm como medidas 36 cm e 45 cm. Um estúdio de fotografia recebeu um pe-

dido para reduzir e ampliar essa foto, de modo que a redução e a ampliação mantenham o mesmo aspecto da foto original, isto é, que sejam semelhantes à foto original. 420

Matemática

a) O menor lado da foto reduzida deverá medir 12 cm. Qual será a medida do outro lado para

que as fotos sejam semelhantes? b) Quais serão as dimensões da foto ampliada se as medidas correspondentes às da foto original

forem aumentadas em 25%? 2. Construa uma malha para reproduzir proporcionalmente a ilustra-

ção, primeiro ampliando-a e depois reduzindo-a. Indique, respectivamente, as razões de ampliação e de redução em relação à figura original que você utilizou. 3. Descreva um procedimento para ampliar o polígono da ilustração ao

lado, de modo que as medidas dos lados da figura ampliada sejam o dobro das medidas do polígono dado. O novo polígono construído é semelhante à figura original? Justifique sua resposta.

O jornal Liberdade está sendo lançado por uma turma de estudantes da Educação de Jovens e Adultos. O nome do jornal foi inspirado no movimento da Inconfidência Mineira, cujo símbolo era um triângulo contido em uma bandeira com os dizeres latinos Libertas quae sera tamen (“Liberdade ainda que tardia”). Observe, nesta ilustração, o logotipo que a turma criou para o jornal. Com o objetivo de anunciar o lançamento do periódico, os estudantes resolveram fazer cartazes para afixar na escola e na comunidade. Para tanto, eles tiveram de reproduzir o triângulo do logotipo em tamanho ampliado. Ao fazer essa ampliação, eles utilizaram um procedimento prático, aplicando alguns conhecimentos geométricos. Acompanhe passo a passo o trabalho do grupo. 1. Inicialmente eles desenharam um triângulo equilátero ABC, chamado triângulo inicial.

Governo do Estado de Minas Gerais

AMPLIAÇÃO DE TRIÂNGULOS

Liberdade

2. Em seguida, marcaram um ponto qualquer, fora do triângulo, o ponto O,

chamado de centro da ampliação. A O

8º ano

421

3. Depois, traçaram semirretas, partindo de O e passando pelos pontos A,

B e C.

A O

4. No próximo passo, foi construído o segmento OA1, sobre a semirreta OA,

cujo comprimento era o dobro do segmento OA.

5. Da mesma forma, foram construídos o segmento OB1, sobre a semirreta

OB, e o segmento OC1, sobre a semirreta OC, cujos comprimentos eram o dobro do segmento OB e do segmento OC, respectivamente.

A1 A O

C C1

Utilizando esse procedimento, eles conseguiram ampliar o triângulo ABC, construindo um novo triângulo A1B1C1. Este é semelhante ao triângulo inicial, uma vez que ambos possuem medidas dos lados proporcionais e medidas dos ângulos correspondentes iguais. Nesse caso, a razão usada na ampliação foi de 1 para 2. Esses procedimentos produzem o mesmo resultado, qualquer que seja a posição do centro de ampliação O. Se duas figuras poligonais são semelhantes, então a razão entre as medidas dos segmentos de reta existentes em uma delas e as medidas dos segmentos de reta correspondentes da outra é denominada razão de semelhança das figuras. 422

Matemática

Quando a razão de semelhança entre duas figuras é igual a 1, ou seja, quando não há ampliação nem redução das medidas correspondentes, as figuras são congruentes. A transformação que leva uma figura a outra, congruente à primeira, chamase congruência. A congruência é um caso particular de semelhança. APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Retome o mesmo triângulo equilátero ABC construído pelos estudantes do jornal Liberdade. a) Aplicando os procedimentos usados por esses estudantes, amplie a figura em uma folha à par-

te, construindo o triângulo A2B2C2, na razão 1 para 3.

b) Aplicando os mesmos procedimentos, construa um triângulo semelhante ao inicial, na pro-

porção 1 para 10, que é a proporção usada para a confecção dos cartazes. 2. Observe os triângulos ao lado. a) Quantos e quais são os triângulos semelhantes?

b) Identifique os triângulos congruentes, se houver.

DECOMPOSIÇÃO DE POLÍGONOS Diagramar uma página de jornal é como montar um quebra-cabeça com figuras geométricas. Para tanto, é preciso encaixar em um retângulo (a página) os textos, os gráficos, as imagens, os desenhos, as fotos, de modo a formar quadrados e retângulos, cujos lados sejam paralelos aos lados da folha do jornal. Em geral, o material a ser publicado não se encaixa perfeitamente nas colunas das páginas. Então, é preciso fazer ajustes. Um modo prático de fazê-los é por meio de recortes.

8º ano

423

Quadrados, por exemplo, podem ser decompostos em outros quadrados, em retângulos, ou em triângulos.

Retângulos, por sua vez, podem ser decompostos em outros retângulos, em quadrados, em triângulos e até em trapézios.

Triângulos também podem ser decompostos em outras figuras.

Qualquer polígono com mais de três lados pode ser decomposto em triângulos. Veja na ilustração a seguir alguns polígonos decompostos em triângulos.

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Você conhece o tangram? Trata-se de um quebra-cabeça de origem chinesa, conhecido há mais de

quatro mil anos. Com suas peças, podem ser formados triângulos, retângulos, figuras de barcos, pássaros, velas, entre outras. Para construir as peças do tangram, providencie um quadrado de cartolina com 15 cm de lado, lápis, borracha e régua. a) Desenhe uma das diagonais do quadrado e, com uma tesoura, re-

corte-o em dois triângulos. b) Recorte um dos dois triângulos obtidos em dois triângulos iguais.

Identifique um deles por 1 e o outro por 2.

1 2

424

Matemática

c) No triângulo maior, marque o ponto médio dos seus lados menores, ou seja, divida cada um

deles em dois segmentos iguais. Depois, trace o segmento de reta paralelo ao maior lado do triângulo, de modo que suas extremidades sejam os pontos médios dos outros dois lados. Assim, devem ficar determinados um trapézio e um triângulo. triângulo trapézio

d) Recorte as figuras obtidas no item c) e identifique o triângulo por 3. 3

e) No trapézio, trace um segmento de reta para dividi-lo em dois trapézios iguais. Recorte-os.

f) Decomponha um dos trapézios para obter um quadrado e um triângulo. Recorte as figuras e

identifique o quadrado por 4 e o triângulo por 5. 5 4

g) No outro trapézio, trace um segmento de reta de modo que obtenha um paralelogramo e um

triângulo. Recorte as figuras e identifique o paralelogramo por 6 e o triângulo por 7. 7 6

2. Tente montar o quadrado inicial com as peças obtidas. 3. Verifique as possibilidades de construir figuras geométricas com o tangram.

Com base no quadrado inicial: a) desloque os dois triângulos maiores e componha um triângulo, com todas as peças; b) desloque uma só peça desse triângulo e faça surgir um retângulo; c) desloque mais uma peça para aparecer um paralelogramo; d) desloque uma peça desse paralelogramo para construir um trapézio; e) em seguida, desloque os dois triângulos maiores e componha um retângulo com todas as peças. 8º ano

425

4. Com as peças do tangram, verifique: a) É possível construir quadrados: com duas, três, quatro, cinco ou seis peças? b) Há diferentes possibilidades de compor um triângulo usando só duas peças? 5. Entre as sete peças do tangram, identifique os triângulos que são semelhantes. 6. Observe este grupo de polígonos convexos.

Paralelogramo

pentágono

hexágono

octógono

a) Traçando segmentos de reta internos aos polígonos com extremidades em seus vértices, de-

componha cada um deles em triângulos. Qual é o menor número de triângulos em que os polígonos podem ser decompostos? b) Registre suas observações em uma tabela como a que segue. E estenda suas conclusões para

um decágono (polígono com 10 lados) convexo. Polígono

Número de lados

Menor número de triângulos

c) Escreva um parágrafo explicando como é possível relacionar o número de lados de um polígo-

no e o menor número de triângulos em que esse polígono pode ser decomposto. Apresente sua conclusão para os colegas. Analise as conclusões de seus colegas. Discuta suas ideias e reformule ou complete seu texto, caso isso seja necessário.

CÁLCULO DE ÁREA DE TRIÂNGULOS ANUNCIANDO NO JORNAL Durante a elaboração do jornal Liberdade, os estudantes decidiram procurar comerciantes e empresas do bairro que estivessem interessados em um espaço para a divulgação de anúncios nas páginas do jornal. O preço dos anúncios seria simbólico: apenas R$ 0,10 pelo espaço de 1 cm2 na primeira página do jornal. Após a divulgação da ideia, eles receberam alguns anúncios para serem publicados. 426

Matemática

Panificadora Estrela

Imobiliária Realiza

Supermercados Souza e Souza

Com isso, apareceu um novo problema a ser resolvido: calcular a área de cada anúncio para determinar seu preço de publicação. Para calcular a área de retângulos e de triângulos, os estudantes recorreram a seus conhecimentos sobre fórmulas que permitem calculá-las. Um dos significados que o senso comum atribui ao termo “altura” é o de um segmento de reta vertical. Entretanto, em Matemática, o conceito de altura depende da figura considerada. Por exemplo, para retângulos e quadrados, qualquer lado pode ser considerado altura. Já no caso de triângulos, cada um possui três alturas. Cada altura de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um de seus lados e que tem origem no vértice oposto a esse lado. A Para o triângulo da figura: • AH1 é a altura relativa à base BC. H • BH2 é a altura relativa à base AC. H • CH3 é a altura relativa à base AB. b c A área do quadrado desenhado no anúncio, h cujos lados medem 16,5 cm, foi calculada pelos h h estudantes com base nesta fórmula: 2

A=b×b

H1 a

A letra A representa a área do quadrado e b representa a medida dos lados do quadrado. Logo: área do quadrado = 16,5 cm × 16,5 cm = 272,25 cm2

Como (272,25 cm2) × R$ 0,10 = R$ 27,225, é necessário fazer um arredondamento no preço do anúncio (pois não há moeda menor que R$ 0,01). Então, verificou-se que a Panificadora Estrela irá pagar R$ 27,22 para anunciar no jornal Liberdade. A área do retângulo foi obtida por meio da fórmula A = b × h, na qual A representa a área do retângulo e b e h representam as medidas dos seus lados. Logo: área do retângulo = 22 cm × 10 cm = 220 cm2

8º ano

427

Para esse tamanho de anúncio, a Imobiliária Realiza irá pagar R$ 22,00, pois (220 cm2) × R$ 0,10 = R$ 22,00. Para calcular a área do anúncio em forma de triângulo, os estudantes utilizaram esta fórmula: A=

b×h 2

A área do triângulo é representada por A, sendo b as medidas de um de seus lados (considerado como sua base) e h a medida da altura correspondente ao lado de medida b. A base do triângulo ocupa exatamente duas colunas do jornal, incluindo o espaço entre elas. Portanto, a medida da base é: 2 × 4,5 + 0,5 = 9,5 cm. Por sua vez, a altura relativa a essa base é de 8 cm. Logo: área do triângulo = (medida da base × medida da altura) ÷ 2 =

9,5 cm × 8 cm = 38 cm 2

Observando a imagem abaixo, é possível perceber, também, que a área de um triângulo é exatamente a metade da área do retângulo que o contém (a soma das áreas dos triângulos azuis é igual à área do triângulo que representa o anúncio).

Supermercados Souza e Souza

Como a área do retângulo é 9,5 cm × 8 cm = 76 cm2, então: área do triângulo = 76 cm2 ÷ 2 = 38 cm2

Apesar de a forma do anúncio do Supermercado Souza e Souza ser triangular, ele vai custar R$ 0,10 × 76 = R$ 7,60, porque o espaço que ocupará na página do jornal corresponde à área do retângulo que o contém.

428

Matemática

APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Considere o quadrado do tangram (identificado com o número 4) como uma unidade de área. a) Com base nessa unidade de área, calcule a área das outras peças do tangram, identificando as

que têm a mesma área. b) Com uma régua, verifique se as peças que têm a mesma área também têm o mesmo perímetro. 2. Com as peças do tangram, componha: a) duas figuras com áreas iguais e perímetros diferentes; b) duas figuras com o mesmo perímetro e áreas diferentes. 3. Construa um retângulo ABCD cujos lados medem 3 cm e 10 cm. Decomponha essa figura em

dois outros retângulos denominados ABEF (com lados medindo 3 cm e 4 cm) e EFCD (com lados medindo 3 cm e 6 cm). Verifique se: a) O perímetro do retângulo ABCD é a soma dos perímetros dos retângulos ABEF e EFCD.

b) A área do retângulo ABCD é a soma das áreas dos retângulos ABEF e EFCD. EXERCITANDO MAIS

1. Obtenha uma figura ampliada que seja semelhante à que aparece abaixo, de modo que sua cons-

trução caiba numa folha de papel sulfite ou do caderno. Para isso, use um centro de ampliação representado pelo ponto O. O

2. Em uma folha de papel, desenhe várias vezes as figuras ao lado. Depois, recorte-

as. Na sequência, essas figuras serão decompostas em outras figuras. a) Com um único segmento de reta (que não seja nenhuma de suas diagonais

e nenhum de seus lados), decomponha um dos quadrados em duas figuras, sendo uma delas um triângulo. Qual é a forma da outra figura? Compare sua resposta com a de seus colegas. b) É possível obter quatro triângulos iguais a partir de um dos quadrados cujas áreas são um

quarto da área do quadrado? E oito triângulos iguais, cujas áreas são Confirme suas respostas recortando os quadrados.

1 8

da área do quadrado?

c) Decomponha um dos retângulos em duas figuras iguais. Que tipos de figuras podem ser assim

obtidas? d) Que característica deve possuir um retângulo para que ele possa ser decomposto em exata-

mente dois quadrados? e) Recorte um retângulo em dois triângulos e com eles componha outro triângulo. 8º ano

429

3. Calcule a área das figuras a seguir e registre os procedimentos que você utilizou.

4. Determine as medidas do comprimento e da largura do piso da sua sala de aula e calcule a área. 5. Determine alguns procedimentos para calcular a área do terreno representado na figura a seguir. 85 m

50 m

80 m

6. A chuva danificou 30% do gramado de um campo de futebol com 100 m de comprimento por

68 m de largura e precisará ser reparado. Calcule a área do campo que foi danificada. 7. Calcule a área de um triângulo cuja base mede 6 cm e cuja altura relativa a essa base mede 4 cm.

Qual das opções a seguir corresponde à área do retângulo? a) 24 cm2

b) 10 cm2

c) 12 cm2

d) 14 cm2

e) 16 cm2

8. Este triângulo foi obtido pela decomposição de um retângulo que gerou duas figuras iguais. Cal-

cule a área do retângulo que deu origem ao triângulo.

4 cm

5 cm

9. Um quadrado cujos lados medem 3 cm foi decomposto em quatro triângulos iguais. Determine a

área de cada um deles. 430

Matemática

Bibliografia

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432

Matemática

8o ano – Capítulo 1

Uma linguagem universal É possível que você e seus alunos já tenham ouvido frases do tipo: “Todo brasileiro adora futebol”. Essa é uma generalização. Generalizações são muito comuns, tanto na vida cotidiana como nos vários campos de conhecimento humano. A seguir, listamos sete exemplos de generalização que podem ser encontrados com alguma frequência: • Na língua portuguesa, toda palavra proparoxítona é acentuada. • Sempre que venta muito, chove. • As músicas de rock são barulhentas. • A língua japonesa é difícil. • Todo político é corrupto. • Qualquer ser vivo é mortal. • Sempre que vejo televisão, eu durmo. Essas generalizações são verdadeiras ou falsas? Quem diz que todo brasileiro adora futebol pode estar se baseando apenas em uma parte da população, que é fã desse esporte. Ou pode estar difundindo a ideia de que uma grande parte dos brasileiros gosta de futebol. Seja qual for o caso, a generalização “Todo brasileiro adora futebol” é indevida. Essa análise pode ser aplicada no exemplo “A língua japonesa é difícil”. Ela pode ser muito difícil para brasileiros criados em locais onde não há contato com essa língua. Mas não o será para crianças, jovens e adultos crescidos em famílias falantes de japonês, no Japão ou em outros países com idiomas semelhantes, por exemplo. O mesmo pode ser dito da relação entre chuva e vento, sobre a altura do som do rock, sobre o efeito sonífero da televisão. Mas “Qualquer ser vivo é mortal” é uma generalização válida, pelo menos dentro do conhecimento que a humanidade até hoje acumulou sobre a vida. Acentuação das proparoxítonas é uma norma que, de fato, vale para a língua portuguesa. A língua pode mudar, mas, na norma atual de acentuação da língua portuguesa, toda palavra proparoxítona deve ser acentuada, como “lâmpada”, “exército”, “pêssego”, “xícara” etc. Nas aulas de Matemática, as generalizações ocorrem com frequência, tanto por parte dos estudantes como dos professores. Algumas são limitadas a certos casos e, portanto, indevidas (falsas). Um estudante pode concluir, por exemplo, que a soma de dois números é sempre maior do que cada uma das parcelas que originou essa soma. Ao dizer isso, o estudante, sem considerar situações que envolvem números negativos, está pensando apenas nos números positivos. Para esses números, a generalização é válida, mas não o será no universo dos números inteiros (a soma de +25 com –25 é igual a 0, que é menor do que +25 e maior do que –25). Por isso, devemos estar atentos para tais situações, principalmente para as generalizações feitas pelos estudantes.

Em relação à simplificação de expressões algébricas cabem algumas palavras sobre um tipo de expressão algébrica muito utilizada em todo o ensino de Matemática. Trata-se das expressões algébricas que representam o produto de duas expressões algébricas, como, 2 × a, ou 2 · a, ou 2a, obtido pela multiplicação das expressões 2 e a. A simplificação 2a é a única, entre as operações elementares, que não utiliza qualquer símbolo para expressar que foi feita uma operação entre duas expressões algébricas. Ela se justifica apenas do ponto de vista da economia da escrita. Em alguns casos, ela pode causar alguma dificuldade para estudantes. É o caso, por exemplo, da expressão AB, que pode provocar ambiguidade, pois pode significar: • o produto de um número representado por a pelo número representado por B; • a nomenclatura de um segmento de reta cujos extremos são os pontos A e B; • a medida do segmento de reta cujos extremos são nomea dos por A e B. Simplificações desse tipo, assim como outras tantas, não devem ser propostas antes que tais expressões adquiram significado para os estudantes. É conveniente que simplificações simbólicas sejam o final de um processo e não seu começo. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos nos conteúdos desenvolvidos nesse capítulo.

Indicadores para avaliação

Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • conhecer e desenvolver um tipo de linguagem matemática: a linguagem algébrica. • identificar expressões algébricas. • utilizar e interpretar a linguagem algébrica para expressar generalizações, identificando os significados das letras. • aplicar fórmulas para calcular áreas de polígonos. • transformar uma expressão algébrica em outra que lhe é equivalente. • compreender que, na fatoração de expressões algébricas, “colocar em evidência” é o processo inverso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. • reconhecer formas fatoradas de uma expressão algébrica.

Conteúdos

• Uso de símbolos. • Expressões algébricas. • Linguagem algébrica. • Fórmula: uma síntese de uma generalização. • Expressões algébricas: formas reduzidas, ou simplificadas. • Expressões algébricas: formas fatoradas. 8o ano

Aplicar conhecimentos I

sta etapa pode ser entendida como uma espécie de traduE ção de um texto em linguagem corrente para um texto em linguagem simbólica. O valor da corrida é igual ao valor da bandeirada (R$ 3,50) mais R$ 1,50, multiplicado pela distância percorrida, em quilômetro: valor = 3,50 + 1,50 × distância Embora seja bastante frequente no ensino das primeiras noções de álgebra uma excessiva simplificação simbólica (do tipo V = 3,50 + 1,5 . d), é conveniente que tais simplificações sejam feitas depois que todos os símbolos utilizados tenham se tornado significativos para os estudantes. A partir daí, eles podem dar respostas individualizadas à parte da atividade proposta, atribuindo valores particulares a uma das variáveis. Um jeito de fazer isso é utilizando uma tabela deste tipo:

1. a) Porto Alegre e Curitiba. b) Porto Alegre, Florianópolis, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Brasília. c) Brasília. d) Em nenhuma delas. e) Em nenhuma delas. 2. Intervalo: 10,1 ≤T ≤ 30,1 ou a < T < b, com a < 10,1 e b > 30,1. 3. Expressão

Leitura

x<y

x é menor que y

m≥n

m é maior que ou igual a n

p>q

p é maior que q

Aplicar conhecimentos II 1.

Expressão algébrica

Frase

4·n

O quádruplo de um número representado por n.

a−b

A diferença entre os números representados por a e por b.

1 3 ∙a

Um terço do número representado por a ou o produto de um terço pelo número representado por a.

a+2·a

A soma do número representado por a com o seu dobro.

2. Idade de Xexéu: x; idade de Yara: x ÷ 2; idade de Zezé: x + 10; idade de Mário: 2 · x.

Aplicar conhecimentos III

1. a) Nesta atividade, é solicitado o cálculo do valor de várias corridas de táxi com base no preço da bandeirada e no preço do quilômetro rodado. Pode-se começar, por exemplo, destacando as grandezas envolvidas na atividade: valor da corrida e distância percorrida. Para representar essas grandezas por meio de símbolos, sugerimos, por exemplo, a palavra valor para a grandeza “valor da corrida”, em vez de apenas uma letra, e a palavra distância para a grandeza “distância percorrida na corrida”. Em seguida, essas variáveis serão relacionadas de acordo com as informações conhecidas. 46

Matemática

distância (em km)

valor = 3,50 + 1,50 × distância

3,50 + 1,50 × 8 = 3,50 + 12 = 15,50

3,50 + 1,50 × 12 = 3,50 + 18 = 21,50

16,5

3,50 + 1,50 × 16,5 = 3,50 + 24,75 = 28,25

20,3

3,50 + 1,50 × 20,3 = 3,50 + 30,45 = 33,95

b) V = 3,50 + 1,5 . d 2. a) Tempo (em dia)

Valor a ser pago (em R$)

1 dia

300 × 1 + 100 = 400

2 dias

300 × 2 + 100 = 700

3 dias

300 × 3 + 100 = 1 000

4 dias

300 × 4 + 100 = 1 300

5 dias

300 × 5 + 100 = 1 600

6 dias

300 × 6 + 100 = 1 900

b) Valor pago pelo uso de um estande por um mês: R$ 300,00 × 30 dias + R$ 100,00 = R$ 9 100,00 c) Se representarmos o valor a ser pago por V e por d o número de dias de uso do estande, então: V = R$ 300,00 . d + R$ 100,00, ou V = 300 . d + 100 reais 3. a) Tempo (em dia)

Valor a ser pago (em R$)

1 dia

V = 200 × 1 + 150 = 350

2 dias

V = 200 × 2 + 150 = 550

3 dias

V = 200 × 3 + 150 = 750

4 dias

V = 200 × 4 + 150 = 950

5 dias

V = 200 × 5 + 150 = 1 150

6 dias

V = 200 × 6 + 150 = 1 350

b) O plano mais vantajoso é o da segunda agência, porque o valor a ser pago para esta é menor.

Aplicar conhecimentos IV

1. a) reajuste = R$ 1 150,00 × 2,5% = R$ 1 150,00 × 0,025 = = R$ 28,75 b) novo salário = R$ 1 150,00 + reajuste = R$ 1 150,00 + + R$ 28,75 = R$ 1 178,75 c) N = A +

2,5 · A 100

d) N = R$ 1 150,00 + 2,5% de R$ 1 150,00 = R$ 1 150,00 + +R$ 28,75 = R$ 1 178,75 2. área = 56 m × 14,5 m = 812 m2 3. área do triângulo = 2,5 × 1,4 m2 = 1,75 m2 2

Aplicar conhecimentos V

4. a) perímetro = 2 · a + 2 · b b) área = a · b c) 2 · a + 2 · b = 18 cm 5. área do triângulo = 10,4 · 2,5 cm2 = 13 cm2 2

Sugestão de atividade complementar

Um processo de generalização pode estar baseado na observação e caracterizar-se pela descoberta de regularidades que permitem a formulação de leis gerais. Podemos explorar algumas regularidades com base em regularidades numéricas ou geométricas, solicitando aos estudantes que considerem, de início, todas as características e propriedades que podem ser imaginadas, por mais irrelevantes que pareçam ser à primeira vista. Como sugestão, considere a atividade seguinte. Números geométricos Na Grécia antiga, os números eram representados por pontos, conforme padrões geométricos. Veja estes exemplos: • Os números triangulares:

1. 6 · a + 5 · a = 11 · a 6·a+a=7·a 7·x+5·y=7·x+5·y 19 · n – n = 18 · n 8 · y – 18 · y = −10 · y 2. a) 6 · y b) 10 · a 3. 2 · t + t + 2 · t + t = 3 · t + 3 · t = 6 · t

Aplicar conhecimentos VI

1. a) Afirmação correta. b) Afirmação incorreta. a · (1 + y) é uma forma fatorada da expressão a + a · y. c) Afirmação correta. 2. Sugestões de resposta: 2 · x + 5 · x · y = x · (2 + 5 · y) 2 · x + 5 · x · y = 2 · x · (1 + 2,5 · y) 2 · x + 5 · x · y = 5 · x · (0,4 + y)

6 6=1+2+3 • Os números quadrangulares:

3 3=1+2

10 10 = 1 + 2 + 3 + 4

1+3=4 22 = 4

Exercitando mais

1. 1 G; 2 H; 3 E; 4 A; 5 D; 6 F; 7 B; 8 C. 2. a) 2 · n + 1

b) p + 2

d) m – 2

c) x · 2 · x = 3 · x

a b

−3,7

−10 −13,7 −5,2

a − b 10

9,9

120

21,1

3 5

9 4

−0,1

110

11,1

−

37 5

4,8 10

9 4

1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 32 = 9 42 = 16 Apresentando esses exemplos aos estudantes, resolvam juntos as seguintes questões: 1. Qual é o 12o número triangular? 2. Calcular o 21o número da sequência dos números quadrangulares. Se você considerar adequado para os estudantes, peça a eles que escrevam uma expressão geral para o número triangular que ocupa a posição n naquela sequência (n-ésimo da sequência), com n representando um número inteiro maior que zero, 8o ano

e para o número quadrangular que ocupa a posição n naquela sequência (n-ésimo da sequência), com n representando um número inteiro maior que zero.

Para ampliar Livros

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões pitagóricos: geométricos e numéricos. São Paulo: Atual, 1993. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995.

Sites

Centro de Referência Virtual do Professor. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/linksCursosMateriais. html?categoria=373>. Acesso em: 4 out. 2012.

Capítulo 2

Novo emprego O primeiro tópico explorado neste capítulo é o desenvolvimento do raciocínio sobre proporcionalidade, que tem sido destacado nas atuais orientações curriculares como um conteúdo de grande relevância para o ensino de Matemática. Trata-se de um elemento integrador dos campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria, sendo essencial para o estudo de outros campos do conhecimento, como Geografia, Física e Química. A ideia de proporcionalidade também está presente em várias situações com que nos deparamos no dia a dia, como interpretações estatísticas, análise de plantas e mapas, ampliação de fotos, adaptação de receitas culinárias etc. Um encaminhamento para abordar esse conceito em sala de aula consiste em propor situações-problema que levem os estudantes a observar variações entre grandezas, estabelecer relações entre elas e construir estratégias pessoais para resolvê-las. Para tanto, é conveniente partir de situações do cotidiano em que a ideia de proporcionalidade esteja presente, relacionada a contextos variados. Ao desenvolver esse conteúdo, é conveniente reduzir o uso da nomenclatura habitualmente utilizada em alguns textos didáticos, uma vez que certos termos específicos não são essenciais para a compreensão das ideias principais relacionadas com proporcionalidade. Um exemplo de terminologia que pode ser dispensada diz respeito à resolução de problemas conhecidos como “regra de três”. Esse tipo de problema pode ser solucionado sem que se apresente aos alunos uma regra preestabelecida, mas sim 48

Matemática

por meio da construção de procedimentos nos quais sejam aplicados os conceitos de proporcionalidade direta e inversa. Uma prova de que os estudantes não necessitam conhecer regras para resolver problemas envolvendo proporcionalidade direta ou inversa está no fato de que, desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, é possível lidar com essas ideias, principalmente em situações que envolvem preços de bens de consumo ou velocidade de veículos, entre outras. Em tais situações, é possível que os estudantes construam procedimentos pessoais para resolver os problemas propostos. A reflexão sobre os procedimentos pessoais, acompanhada de explicação oral ou escrita das reflexões realizadas por eles, pode tornar o conceito de proporcionalidade “construído” e assimilado pelos alunos. O segundo tópico tratado neste capítulo enfoca as equações de primeiro grau. Ao introduzir o estudo sobre equações, peça aos estudantes que expliquem o significado que, comumente, é atribuído ao termo equacionar ou como é encontrado nos dicionários. As equações são conhecidas há muito tempo pela humanidade. Na Antiguidade, solucionar enigmas era um passatempo comum para matemáticos, assim como os campeonatos públicos, em que os competidores propunham desafios uns aos outros, cuja resolução, algumas vezes, envolvia o uso de equações. Em um papiro egípcio de 3 600 anos de idade, foi encontrada a seguinte frase: “Se inteiro e seu sétimo fazem dezenove”, que pode ser traduzida por: “Qual é o número que, adicionado à sua sétima parte, é igual a 19?” Em linguagem algébrica, tal frase pode ser representada por: x + x = 19 7 Ao trabalhar com alguma linguagem algébrica na resolução de equações, é conveniente estar atento para o fato de que, algumas vezes, professores e estudantes utilizam uma mesma linguagem, mas com interpretações distintas. Veja a seguir elementos para avaliar o desempenho dos alunos com relação aos conteúdos desenvolvidos neste capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • observar variações entre duas grandezas e estabelecer relações entre elas identificando as que são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais e não proporcionais. • interpretar corretamente o enunciado de problemas envolvendo proporcionalidade e ler informações apresentadas em tabelas e gráficos; • construir procedimentos de resolução para resolver situações que envolvem proporcionalidade. • interpretar, por meio de equações, algumas situações propostas. • compreender as propriedades das equações. • identificar equações de 1o grau. • resolver situações-problema por meio de equações do 1o grau.

e) Para uma representação gráfica da relação C = 1 500 + 10 · Q, podem-se utilizar os pares de informações do tipo (valor da produção P; valor do custo C), vistos na tabela inicial. É conveniente perceber que vale a pena utilizar apenas dois daqueles pares, pois, se forem utilizados todos os sete pares lá apresentados, corre-se o risco de construir uma representação gráfica com mais imprecisões do que se deseja.

Conteúdos

• Grandezas diretamente proporcionais. • Grandezas inversamente proporcionais. • Equação de 1o grau. • Propriedades das equações. • Resolução de uma equação.

Custo produção × quantidade semanal

Custo C 2500 2000

Aplicar conhecimentos I

1. a) 1 500 = 15; 2 500 = 12,5; 3 500 = 11,666...; 4 500 = 11,25; 100 5 000 = 10 500

200

300

400

importante perceber que não é possível completar a tabela É caso: • não seja feita uma coleta dos “novos” dados para o custo de produção, correspondentes aos valores da produção semanal 600, 700, 800, 900 e 1 000, no problema “real”; ou • não se proponha alguma hipótese adicional sobre uma relação entre as grandezas custo de produção e produção semanal. b) A conclusão é de que os cocientes são diferentes, apesar da aparente regularidade entre as grandezas. c) Supondo-se que a relação entre custo de produção e produção semanal seja mantida conforme especificado no enunciado, os valores da tabela seriam os seguintes:

1500 1000 500 Produção Q 0

–

1 500

200

100

10 × 100 = 1 000

1 500 + 10 × 100 = 2 500

300

200

10 × 200 = 2 000

1 500 + 10 × 200 = 3 500

400

300

10 × 300 = 3 000

1 500 + 10 × 300 = 4 500

500

400

10 × 400 = 4 000

1 500 + 10 × 400 = 5 500

600

500

10 × 500 = 5 000

1 500 + 10 × 500 = 6 500

700

600

10 × 600 = 6 000

1 500 + 10 × 600 = 7 500

100

400 350

150

–

450

Custo de produção 11 500 2 500 3 500 4 500 5 500 6 500 7 500 8 500 9 500 10 500 (real) d)

100

Número de peças produzidas 500

300

Custo (em real)

2. a) Sim, as duas grandezas são diretamente proporcionais, pois os cocientes 1 , 2 , 3 , 4 , 5 são todos iguais a 0,01 100 200 300 400 500 (coeficiente de proporcionalidade). b)

Produção semanal 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 (unidade)

Aumento na Aumento no Produção produção custo (em real)

250 200 100 50 0

1 2

3 4 5 Tempo (em hora)

bservando a tabela é possível perceber que, a partir do início O do trabalho (tempo = 0), para cada aumento de 1 hora no tempo, o número de peças produzidas aumenta em 100 unidades. Logo: N =100 × T peças produzidas A relação inversa pode ser expressa por: T = 1 × N, ou T = 0,01 × N 100

3. Não são grandezas diretamente proporcionais, pois: 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠ 4 ≠ 5 = 5 = 5 60

8o ano

Aplicar conhecimentos II

a) Para verificar se as grandezas são inversamente proporcionais, podemos calcular os seguintes produtos, correspondentes dos valores das grandezas tempo de produção e número de trabalhadores: 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 5 × 114,4 = 6 × 12 = = 7 × 10,285714 = 8 × 9 = 9 × 8 = 10 × 7,2 = ... = 72 Como todos os produtos são iguais, as grandezas são inversamente proporcionais. b) • 6,54

• 6

• 5,538461

c) Número diário de trabalhadores Tempo de produção (em minuto) 1

14,40

10,285714

7,2

6,54

5,538461

d) Como os produtos dos valores correspondentes das duas grandezas é constante, então é possível escrever essa relação, pelo menos, de três formas: 72 N × T = 72, ou N = 72 , ou T = (relação inversa) T

Aplicar conhecimentos III

1. a) Se representarmos o número que satisfaz a equação dada, por exemplo, pela letra n, aquela equação poderá ser reescrita, passo a passo, da seguinte forma: • o dobro do número: 2 · n • o dobro do número menos 10: 2 · n – 10 • o dobro do número menos 10 é igual a 25: 2 · n – 10 = 25 b) n + 52 = 67 c) 3 · n – 5 = 13 2. Respostas pessoais. 3. Nos itens a), b) e c), os pratos continuam equilibrados.

Aplicar conhecimentos IV

a) Vamos equacionar o problema nomeando a idade de um dos rapazes por algum símbolo, que irá representar a incógnita da equação. Por exemplo, representando a idade de Celso pelo símbolo m, podemos escrever:

Matemática

Idade de Celso: m anos Idade de Cláudio: 2 ∙ m anos Celso e Cláudio possuem juntos: m + 2 ∙ m anos m + 2 ∙ m = 30 3 ∙ m = 30 Logo, m = 30 ÷ 3 = 10 Celso tem 10 anos e Cláudio tem 20 anos. b) Representando a quantia que uma das personagens possuía (e que é igual à da outra) pelo símbolo v, podemos escrever: • Celso possui uma quantia em dinheiro: v • Denise possui a mesma quantia que Celso: v • Celso e Denise possuem juntos: v + v = 2 · v • Faltam 120 reais na quantia que Celso e Denise possuem juntos para comprar o aparelho: 2 · v + 120 • O aparelho de TV custa 570 reais: 2 · v + 120 = 570 2 · v + 120 = 570 2 · v + 120 – 120 = 570 – 120 2 · v + 0 = 450 2 · v = 450 v = 450 ÷ 2 = 225

Aplicar conhecimentos V

• A proposta da atividade é “resolver” a equação 20 × t = 3 × 25 utilizando algumas propriedades de equações. No caso em questão, uma iniciativa possível, entre muitas outras, é a seguinte: Primeiro, dividimos ambos os membros da equação por 20. Essa ação pode ser assim representada: 20 × t = 3 × 25 = 75 20

Como 20 ÷ 20 = 1 e 75 ÷ 20 = 3,75, obtemos: t = 3,75 horas = 3 horas + 0,75 hora Para atender ao pedido do problema, devemos obter o tempo correspondente a 0,75 hora em minuto. Para isso, levando em conta a proporcionalidade entre as unidades de tempo, podemos escrever: 0,75 hora = 0,75 × 60 = 45 minutos Finalmente: t = 3 horas e 45 minutos.

Exercitando mais 1. a) 11,75. Todos os cocientes são iguais. b) Quilometragem percorri- 117,5 235 352,5 470 587,5 705 822,5 940 1 057,5 1 175 da (km) Consumo de combustível 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (litro)

c) São grandezas diretamente proporcionais. d)

Relação: Litros/km × quilometragem

Litros/km 120

80 70 60

60 40

30 20

10 km

117,5 23,5 352,5 470 587,5 70,5 822,5 940 1 058 1 175

e) L = 11,75 · q, em que L representa a grandeza consumo e q, a grandeza quilometragem. 2. a) N = 6 ou N = 6 · V V b) Relação: Número de vagas × número de vagas por candidato

vagas por candidato (n)

70 60

60 48

50 40

Há outras situações que possibilitam a aplicação de equações, como as relacionadas com temperatura. Para fazer a leitura das medidas de temperatura indicadas em termômetros, é conveniente conhecer as duas escalas mais usadas: a escala Celsius e a escala Fahrenheit. Na escala Celsius (ºC) (sob pressão normal)

Na escala Fahrenheit (ºF) (sob pressão normal)

0 ºC é o ponto de fusão do gelo; 100 ºC é o ponto de ebulição da água.

32 ºF é o ponto de fusão do gelo; 212 ºF é o ponto de ebulição da água.

A tabela a seguir apresenta as temperaturas em algumas cidades, na escala Celsius e na escala Fahrenheit, em determinada data.

Cidade

10 0

20 6 0

vagas (v)

3. a) 100 × 500 = 200 × 250 = 300 × 166,6 = 400 × 125 = 500 × × 100 = 600 × 83,3 = 700 × 71,428571 = 800 × 62,5 = 900 × × 55,5 = 1 000 × 50 = 50 000 Logo, os valores tabelados são inversamente proporcionais. b) Relação: preço de venda × procura semana

Procura semanal

600

500

500 400 300

166,6666667

100 0

100

200

Escala Celsius

Escala Fahrenheit

Tóquio

10 ºC

50 ºF

Roma

-5 ºC

23 ºF

Lisboa

0 ºC

32 ºF

São Paulo

15 ºC

59 ºF

Rio de Janeiro

30 ºC

86 ºF

Brasília

40 ºC

104 ºF

Há uma fórmula que permite converter em grau Celsius uma temperatura expressa em grau Fahrenheit. Representando a temperatura em grau Celsius por C e a temperatura em graus Fahrenheit por F, temos: F = 9 · C + 32

250

200

c) E = 1,125

Sugestão de atividade complementar

b) D = 5,6

5. Representando por p o preço da sandália e o preço do sapato, o preço da bolsa será p + 15. Teremos, então: p + p + (p + 15) = 90 ou p + p + p + 15 = 90 O preço da sandália é R$ 25,00, assim como o preço do sapato. A bolsa custou R$ 40,00.

•

a) B = 5

100

equipamento de computador e p representa o correspondente preço de venda.

300

125

400

83,33333333 100 71,42857143 62,5 55,5555556 50

500

600

700

800

900 1000

Preço

c) PS = 5 000 p ; em que PS representa a procura semanal pelo

Atribuindo à variável C os valores que aparecem na coluna que indica a escala Celsius, podem-se encontrar os valores correspondentes na escala Fahrenheit. A fórmula a seguir é inversa à anterior e pode ser utilizada para converter em graus Fahrenheit uma temperatura expressa em graus Celsius. 8o ano

5 C = 9 · (F – 32)

Atribuindo à variável F os valores que aparecem na coluna que indica a escala Fahrenheit, podem-se encontrar os valores correspondentes na escala Celsius. A partir dessas explicações, é possível propor aos estudantes que: • determinem, na escala Celsius, leituras correspondentes a temperaturas indicadas em termômetro graduado em Fahrenheit, e vice-versa; • elaborem problemas aplicando esses conhecimentos; • escrevam textos curtos explicando a utilidade de conhecer essa relação para discutir em sala de aula.

material coletado. Dessas discussões, poderão surgir outros conceitos de Geometria, além daqueles que já foram incorporados. Para auxiliar na criação de representações mentais dos objetos de estudo e no reconhecimento de algumas propriedades, é significativo colocar à disposição da turma diversos modelos concretos que representem uma mesma ideia geométrica. Por exemplo, confeccionar um poliedro em cartolina, madeira, ou ainda construir polígonos variados com palitos de sorvete e tachinhas. Peça aos estudantes que observem algumas representações gráficas de figuras tridimensionais:

Para ampliar Livros

COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995.

KRULIK, S.; REYS, R. E. Resolução de problemas na matemática escolar. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual Editora, 1998. LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. POLYA, G. A arte de resolver problemas. São Paulo: Interciências, 1978. TINOCO, Lúcia A. Razões e proporções. Rio de Janeiro: UFRJ, 1997.

Capítulo 3

Olhar matemático Para iniciar este capítulo, convide os estudantes a “olhar matematicamente” tudo o que os cerca: as relações presentes nas obras de arte, na cultura dos diferentes povos, nas formas da natureza, nos movimentos dos astros, na economia, nas engenharias, na poesia. Desse “olhar”, podem emergir ideias, conceitos e propriedades matemáticas. Neste capítulo, a ênfase recai sobre algumas dessas relações: • a geometria na construção dos templos e dos edifícios; • as diferentes formas no mundo que nos rodeia; • a simetria em vários elementos cotidianos. Incentive seus alunos a pesquisar formas utilizadas nas construções e nas artes e organizar um painel de discussões sobre o 52

Matemática

D As figuras nomeadas A e C são representações de figuras denominadas pirâmides. Portanto, é altamente conveniente mostrar as figuras desenhadas a estudantes com modelos tridimensionais de pirâmides para que eles percebam possíveis perspectivas gráficas nas representações. As figuras nomeadas B e D são representações planas em perspectiva de figuras denominadas prismas. A observação de regularidades e algumas conclusões dela extraídas podem também revelar fatos métricos e geométricos. Um exemplo disso ocorre quando apreciamos a simetria nas asas das borboletas, nas flores, nos espelhos e nas estampas de um tecido. Por isso, introduzir o estudo de simetria explorando imagens produzidas por espelhos pode ser um bom começo para verificar se uma figura plana possui simetria. Espera-se, com um trabalho desse tipo, que os estudantes possam descobrir relações matemáticas em objetos (animais, flores etc.) que estão em seu entorno. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho de estudantes em aspectos matemáticos desenvolvidos neste capítulo.

Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Observar formas dos objetos que nos cercam e relacioná-las com figuras geométricas. • Reconhecer, diferenciar e classificar sólidos geométricos. • Identificar os elementos de um poliedro. • Relacionar os sólidos e suas representações planas. • Calcular o volume de um bloco retangular. • Calcular a capacidade de um recipiente. • Estabelecer conversões entre algumas unidades de medida em resolução de situações-problema. • Reconhecer figuras que possuem simetria e identificar seus eixos de simetria. • Compreender procedimentos para obter figuras simétricas em relação a um eixo.

Conteúdos • Formas geométricas. • Classificação de formas geométricas. • Volume. • Capacidade. • Simetrias planas.

1. a) São prismas retangulares. b) e c) Respostas pessoais. d) Sim. Um cubo com as três dimensões: largura; comprimento e altura medindo 2 u. (Há outras respostas.) 2. Volume = 3 × 4 × 9 = 108 cm3 3. Altura (cm)

Largura (cm)

Comprimento (cm)

Volume (cm3)

1,5

2,4

4,5

4. a) 1 m3 b) 1 000 L 5. Resposta pessoal. 6. 28 000 L

Aplicar conhecimentos III

Para refletir

A atividade proposta solicita que os estudantes tragam de casa embalagens de produtos para serem analisadas em grupo. Posteriormente, poderão refazer uma pesquisa em jornais, revistas, catálogos, recortar imagens de sólidos geométricos e juntar esse material com o dos demais colegas do grupo. Solicite que cada grupo confeccione um cartaz fazendo uma classificação das representações das figuras geométricas.

Aplicar conhecimentos I

a) Sugestão de resposta: Nos poliedros as superfícies são todas planas. Os corpos redondos possuem superfícies não planas. b) Sugestão de resposta: Sim, podem rolar quando colocados em algumas posições.

Experimentar

Respostas pessoais.

Aplicar conhecimentos II

Para iniciar um estudo sobre o volume de alguns tipos de sólidos, pode-se começar por cubinhos e seus possíveis empilhamentos. Os estudantes poderão obter o volume de cada figura por meio da contagem dos cubinhos e, ao observar as regularidades de cada caso, poderão inferir fórmulas para o cálculo desse volume.

Uma atividade exploratória sobre simetria pode ser basea da em dobraduras para a obtenção de figuras simétricas (que possuem simetria). Esse tipo de trabalho, além de favorecer habilidades de coordenação motora fina, permite ao estudante se apropriar da noção de simetria axial, perceber que simetrias conservam formas (comprimentos e ângulos), reconhecer eixos de simetria de diversas figuras simétricas simples e descobrir as propriedades que caracterizam as figuras simétricas. Desenhar figuras simétricas em papel quadriculado pode ser uma etapa preparatória para a formação do conceito de simetria. Uma malha quadriculada possibilita destacar algumas propriedades inerentes aos pontos que formam figuras simétricas planas. 1. a) b) e c) Respostas pessoais. d) Eixo de simetria. Trata-se de uma reta em relação à qual a figura fica dividida em duas partes iguais. 2. a) e b) Respostas pessoais. c) Infinitos eixos de simetria. 3. a) Se o retângulo não for um quadrado, então ele possui dois eixos de simetria, porém, se o retângulo for um quadrado, então ele possui quatro eixos de simetria. b) Se o retângulo não for um quadrado, então suas diagonais não são eixos de simetria, pois, em relação a qualquer diagonal, o retângulo não fica dividido em duas partes iguais. Porém, se o retângulo for um quadrado, então suas diagonais são eixos de simetria. 8o ano

Exercitando mais 1.

Cubo

Prisma triangular

Pirâmide hexagonal

Vértices

Faces

Arestas

encontrada em uma folha quadriculada. Peça aos alunos que encontrem todas as possíveis planificações para um cubo. A figura da esquerda não é uma planificação de um cubo e a figura da direita é uma planificação de um cubo. c) Existem 11 planificações:

2. a) e b) Peça aos estudantes que recortem uma folha de papel em seis partes iguais. Se possível, peça que usem um papel mais grosso que o sulfite. Se for utilizada uma folha do tipo A4, então pode ser conveniente pedir aos alunos que recortem a folha na forma retangular com 18 cm por 27 cm, para que possam obter quadrados iguais a partir de dobraduras. Veja: 1

o final, a folha estará dividida em seis quadrados. Em seA guida, os alunos devem recortar esses quadrados. Eles devem ser unidos lado a lado com pequenos pedaços de fita adesiva, formando um molde. É conveniente que cada pedaço de fita adesiva permita retirar um ou mais quadrados do lugar em que foram colocados, para serem reorganizados. Por exemplo, os quadrados podem ser reunidos da seguinte forma:

3. b) 0,008 m3

a) 18 cm3 4.

5. a) A

ão é necessário fechar a caixa formando um cubo. Basta N verificar se esse molde forma um cubo ao ser fechado. Isso pode ser feito movimentando-se os quadrados. Quando um molde forma um cubo ao ser fechado, então ele é uma planificação desse cubo. No exemplo, o molde forma um cubo ao ser fechado. Esse molde é uma das planificações do cubo. Registre cada planificação 54

Matemática

c) 147 dm3

b) Os segmentos são perpendiculares à reta e. A

c) Resposta pessoal. d) Sim.

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto de Matemática e Estatística e Ciências da Computação – Unicamp. Geometria experimental. São Paulo: MEC/Imecc/Premen/SE/CENP, 1980. FDE. Fundação para o Desenvolvimento da Educação. Diário de classe – 5: Matemática. São Paulo: FDE, 1994. LINDQUIST, Mary Montgoney; SHULTE, Alberto P. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1984. LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian (Coords.). Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ – Instituto de Matemática, 1997. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP). Experiências matemáticas. São Paulo: SE/CENP, 1984. . Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógica (CENP). Prática pedagógica: Matemática 1o grau. São Paulo: SE/CENP, 1993. v. 1-4.

Capítulo 4

O jornal

Uma prática pedagógica bastante difundida nas escolas é o uso de jornais como instrumento que possibilita acesso a informações, exercícios de pesquisa, posicionamentos críticos, investigação da realidade. Por isso, o trabalho com jornais é considerado por muitos educadores como fonte enriquecedora e revitalizadora do currículo escolar. A força do uso de jornais como recurso pedagógico está, sobretudo, na linguagem. Os diversos tipos de texto permitem que

o leitor acesse uma variedade de informações e opiniões sobre diferentes assuntos, com um grau de atualização só superada pelos veículos eletrônicos. Ler jornais supõe um tipo de leitura ágil, rápida e seletiva. Para entendê-lo como um recurso de comunicação, é fundamental fazer com que os estudantes percebam que os variados tipos de matérias apresentam uma linguagem concisa e mista, que integra símbolos alfabéticos e matemáticos, textos e ilustrações. Ao ler um jornal, é importante que os leitores identifiquem fotos, legendas, mapas, números, tabelas e manchetes como elementos complementares e facilitadores do processo de leitura. Neste capítulo, a diagramação de um jornal será utilizada como contexto para explorar conteúdos relacionados às transformações geométricas, ao conceito de semelhança e ao cálculo de áreas. O tema da proporcionalidade também será retomado e aplicado na composição, decomposição, ampliação e redução de figuras e na construção dos conceitos de semelhança e de congruência. Embora as atividades envolvendo transformações geométricas sejam fundamentais para o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e imprimam um caráter mais dinâmico ao estudo da Geometria, de modo geral, elas são pouco trabalhadas na sala de aula. Um curso dinâmico de Geometria pode utilizar programas de computadores (softwares), recursos de computação gráfica e videogames, hoje acessíveis a muitos usuários. Sugerimos aqui experimentações que permitem abordar conteúdos da Geometria de modo intuitivo, evitando o uso de demonstrações, que dependem do desenvolvimento pleno de processos dedutivos de pensamento. Entre esses recursos, está o uso de malhas retangulares para reduzir e ampliar figuras, preservando algumas de suas características e a identificação de elementos invariantes por meio de medições e comparações entre medidas. O trabalho com ampliação e redução de figuras é introduzido como um conteúdo de apoio para desenvolver o conceito de semelhança. Nem sempre é possível distinguir se dois objetos parecidos são semelhantes. Para identificar a semelhança geométrica é necessário fazer medições. Por exemplo, ao medir capacidades em garrafas de refrigerante diferentes, é possível constatar a razão entre suas alturas não é igual à razão entre os diâmetros dos gargalos. Portanto, embora sejam parecidas, essas garrafas não são semelhantes do ponto de vista geométrico. O conceito de semelhança está presente no estudo de escalas, plantas, mapas, ampliações de fotos, fotocópias, como também em situações nas quais se verifica, por exemplo, se as medidas das partes do corpo humano são proporcionais. Sabe-se que em recém-nascidos o comprimento total do corpo equivale a 4 vezes o comprimento da sua cabeça, ou seja, 300% maior que o comprimento da cabeça, enquanto em um adulto o comprimento total do corpo é 7,5 vezes o comprimento da cabeça. Os desenhistas precisam conhecer essas proporções para retratar figuras humanas. O trabalho de ampliação e redução de figuras possibilita a identificação das medidas que se alteram (lados, superfícies e perímetros) e das que não se alteram (ângulos). 8o ano

A partir do reconhecimento e da identificação de figuras semelhantes, pode-se fazer verificações experimentais do teorema de Tales. Atividades que envolvem ampliação e redução de figuras são oportunas para retomar os diferentes significados que o número racional pode assumir, dependendo do contexto em que ele é aplicado: relação parte-todo, divisão, operador. Por exemplo, a ampliação de uma figura em 25% pode ser representada pela fração 1 . Nessa situação, o número racional 1 tem o significado 4 4 de um operador, isto é, ele atua sobre uma situação e a modifica. A composição e a decomposição de figuras permitem observar relações entre perímetros e áreas e verificar a equivalência de áreas dessas figuras. Por meio de atividades como ladrilhamento, os estudantes verificam que o recobrimento de uma superfície plana pode ser feito por determinadas figuras geométricas como triângulos equiláteros, quadrados e retângulos, e descobrem que toda figura poligonal pode ser composta ou decomposta por outra e, em particular, por triângulos, o que permite realizar o cálculo de áreas por meio de áreas desses triângulos. No desenvolvimento deste capítulo é oportuno ensinar os alunos a utilizar instrumentos como régua, compasso e transferidor para fazer construções geométricas. O quadro a seguir indica elementos para avaliar o desempenho dos estudantes na aprendizagem dos conteúdos desenvolvidos neste capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Aplicar ampliações e reduções em figuras geométricas planas segundo uma razão, identificando seus elementos variantes e invariantes. • Construir o conceito de semelhança a partir de ampliações e reduções de figuras planas, identificando as medidas variantes (lados, superfície e perímetro) e as medidas invariantes (ângulos). • Reconhecer triângulos semelhantes. • Resolver problemas envolvendo a semelhança de triângulos. • Identificar a congruência como um caso particular de semelhança. • Estabelecer relações entre quadrados, retângulos e triângulos por meio da composição e decomposição de figuras planas. • Perceber que figuras geométricas planas e poligonais podem ser decompostas em um número mínimo de triângulos. • Calcular a área de superfícies planas poligonais por decomposição ou composição em figuras cujas áreas podem ser calculadas por meio de fórmulas conhecidas. • Identificar relações entre perímetros e áreas.

Conteúdos • Ampliação e redução de figuras geométricas. • Semelhança de figuras planas. • Congruência de figuras planas. • Triângulos semelhantes. • Procedimentos para calcular áreas e perímetros. • Propriedades de triângulos e quadriláteros. 56

Matemática

Aplicar conhecimentos I

Esta atividade é precedida pela leitura do tópico “Primeira página do jornal” e pela análise de uma situação-problema na qual um diagramador de jornal precisa reduzir uma foto. Embora atualmente diagramadores de jornais utilizem programas de computador para fazer ampliações e reduções de figuras, a estratégia apresentada no livro do estudante é construída a partir de conhecimentos geométricos. Ao discuti-la com o grupo, é importante retomar as noções de diagonal de um polígono, de segmentos paralelos e de segmentos perpendiculares, certificando-se de que todos compreen deram a estratégia apresentada. Outro procedimento a ser utilizado para ampliar e reduzir figuras é o uso de malhas quadriculadas, que pode ser amplamente explorado, resultando inclusive em trabalhos artísticos. 1. a) 15 cm b) Na foto ampliada, o lado menor medirá 45 cm, e o lado maior, 56,25 cm. 2. Na construção das figuras, ampliada e reduzida, os alunos deverão evidenciar que é preciso manter a mesma razão entre as medidas dos segmentos da figura inicial e as medidas dos segmentos correspondentes nas figuras transformadas e que os ângulos da figura inicial precisam ter as mesmas medidas dos ângulos correspondentes nas figuras transformadas. 3. Na descrição do procedimento e na justificativa, os alunos deverão evidenciar que, para serem semelhantes, não basta que a figura original e a figura ampliada sejam parecidas e, sim, que elas tenham ângulos correspondentes de mesma medida e dimensões correspondentes proporcionais.

Aplicar conhecimentos II

Embora seja comum a afirmação de que duas figuras são semelhantes porque têm a mesma forma, no contexto matemático isso não procede. A ideia matemática de semelhança está associada a algumas condições necessárias que indicam quais elementos das figuras podem ser modificados (lados, superfícies), os chamados elementos variantes, e quais elementos não podem ser modificados (ângulos), os chamados elementos invariantes. Nesta atividade, por meio de experimentações e mensurações, os estudantes terão oportunidade de estabelecer relações para verificar se duas figuras são ou não semelhantes. Por exemplo, dois triângulos quaisquer nem sempre são semelhantes. Embora tenham, aparentemente, a mesma forma, eles podem ter ângulos diferentes, como um triângulo escaleno e um triângulo isósceles. Já dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. Observações e experimentações levarão os estudantes a se aproximarem de uma definição mais precisa de semelhança, constatando que: • para dois triângulos, se dois ângulos de um deles forem congruentes (com as mesmas medidas) a dois ângulos do outro, então eles são semelhantes; • para dois polígonos, se os ângulos de um deles forem correspondentemente congruentes (iguais) aos do outro e se os la-

dos de um deles forem correspondentemente proporcionais aos lados do outro, então os polígonos serão semelhantes. Uma maneira informal para expressar uma ideia de semelhança entre duas figuras consiste em afirmar que essas figuras são semelhantes se uma delas é, em escala, um modelo exato da outra. Após a realização da atividade, pode-se solicitar aos estudantes que tragam vasilhames de um mesmo tipo de refrigerante e, em pequenos grupos, os observem, identificando se eles são ou não semelhantes. A partir dessa observação, pode-se solicitar que elaborem um texto para explicar e justificar suas observações e conclusões. Analisar reproduções de figuras com o objetivo de identificar semelhanças entre elas também irá auxiliar nesse aprendizado. 1. a) e b) Observar se as medidas dos triângulos construídos seguem as razões indicadas. 2. a) Todos os triângulos apresentados são semelhantes. Para uma verificação, pode ser conveniente usar uma régua para medir os lados dos triângulos e um transferidor para medir seus ângulos. b) Os triângulos B e D são congruentes.

Aplicar conhecimentos III

1, 2, 3, 4, 5. As atividades propostas nestes itens permitem que se retomem conhecimentos sobre polígonos já estudados, exploram a composição e a decomposição de figuras, por meio de experimentações oportunas para que os alunos observem que toda figura poligonal pode ser composta/decomposta por outra, em particular por triângulos, o que pode ser aplicado no cálculo de áreas e na determinação da soma das medidas de ângulos internos. 6. Antes de realizar esta atividade, propõe-se fazer a sugestão de atividade complementar 1. Ao analisar as composições que aparecem em modelos de mosaicos e painéis decorativos formados por polígonos e nas experimentações propostas, estudantes poderão verificar que o recobrimento de uma superfície pode ser feito por meio de outras figuras como triângulos equiláteros, quadrados e retângulos. a) As figuras podem ser decompostas, respectivamente, em 2, 3, 4 e 6 triângulos. b) Com esse exercício os alunos poderão verificar mais uma vez a propriedade de que todo polígono pode ser composto ou decomposto por outros, em particular por triângulos. Polígono Paralelogramo

Número de lados

Menor número de triângulos

Pentágono

Hexágono

Octógono

Decágono

c) Ao fazerem a decomposição de polígonos em triângulos, os alunos poderão perceber que existe uma relação entre o número de lados de um polígono e o menor número de triângulos em que ele pode ser decomposto, de modo que se considerarmos n o número de lados de um determinado polígono, o menor número de triângulos em que esse polígono pode ser decomposto corresponde a (n – 2) triângulos.

Aplicar conhecimentos IV

Nesta atividade retoma-se o estudo do cálculo da área de polígonos, com o objetivo de fazer os estudantes observarem a equivalência entre áreas e algumas propriedades relativas à área de triângulos. No decorrer do trabalho, é oportuno retomar os significado dos termos superfície e área, destacando o fato de que, na linguagem coloquial, muitas vezes, eles são usados como sinônimos. Entretanto, em Matemática, eles têm significados diferentes: fala-se em área de uma superfície plana como sendo sua medida, segundo alguma unidade de área. Ao trabalhar com a área de superfícies planas, os estudantes terão oportunidade de entrar em contato com uma interpretação da multiplicação, na qual seus fatores expressam medidas de segmentos de reta. Assim, se as dimensões de um retângulo têm como medida 6 cm e 4 cm, então sua área é obtida por: 6 cm × 4 cm = 24 cm2 É importante observar se estão sendo elaboradas conclusões não válidas sobre áreas e perímetros de polígonos. Por exemplo, ao se comparar dois polígonos em relação às suas áreas e aos seus perímetros, os estudantes podem ser levados a concluir, erroneamente, que um polígono que tem maior área que outro polígono tem, necessariamente, maior perímetro que o outro polígono, ou vice-versa. Conclusões equivocadas como essa podem ser discutidas, analisadas e corrigidas com os próprios estudantes ao serem feitas “comparações” entre polígonos que tenham perímetros iguais e áreas diferentes, ou que tenham áreas iguais e perímetros diferentes. Nos polígonos seguintes, uc representa uma unidade de comprimento (1 cm, 1 m, 1 mm...) e ua representa uma unidade de área (1 cm2, 1 m2, 1 mm2...). 2 uc 2 uc

3 uc

1 uc 2 uc

1 uc 1 uc

1 uc 2 uc perímetro = 8 uc área = 4 ua

1 uc 2 uc

1 uc 3 uc

perímetro = 10 uc área = 4 ua

1 uc 1 uc

2 uc perímetro = 10 uc área = 5 ua

Essas situações permitem aos estudantes perceber que o perímetro de um polígono é uma medida unidimensional (comprimento), enquanto a área de um polígono é uma medida bidimensional (comprimento × largura). 8o ano

Outro aspecto a ser considerado diz respeito à obtenção de fórmulas. Os estudantes que aprendem a usar fórmulas “mecanicamente” podem se acostumar a empregá-las também desse jeito, sem pensar criticamente sobre sua utilização. As atividades sugeridas têm como objetivo a exploração de procedimentos para calcular a área de figuras, de modo a favorecer a compreensão dos processos neles envolvidos. Assim, para obter a área de uma figura podemos: • compô-la com figuras, ou decompô-la em figuras cuja área sabemos calcular, fazendo recortes e sobreposições; • realizar contagens convenientes de áreas de figuras que compõem outra figura; • utilizar malhas quadriculadas e ladrilhamento; • realizar estimativas e aproximações. Ao analisar esses procedimentos os estudantes poderão observar regularidades no cálculo de áreas de triângulos como: qualquer triângulo retângulo pode ser obtido pela decomposição de um retângulo, por meio de uma de suas diagonais, cuja base e altura têm as mesmas medidas de uma base do triângulo e de sua correspondente altura. Assim, a área de um triângulo retângulo é a metade da área de um retângulo que possui mesma base e mesma altura. 1. a) Área do triângulo maior é igual a área de dois quadrados. Área do triângulo médio é igual a área de um quadrado. Área do triângulo menor é igual a área de meio quadrado. Área do paralelogramo é igual a área de um quadrado. As figuras que possuem a mesma área são o quadrado, o paralelogramo e o triângulo médio. b) Perímetro do quadrado é igual a 21 cm. Perímetro do triângulo médio é igual a 25 cm. Perímetro do paralelogramo é igual a 25 cm. 2. Sugestões de resposta: a) Com dois triângulos maiores compor um triângulo com área igual à área de dois quadrados e perímetro igual a 51 cm; e um quadrado com área igual à área de dois quadrados e perímetro igual a 42 cm. b) Com dois triângulos pequenos compor um triângulo médio com área igual à área de um quadrado e perímetro igual a 25 cm; e um paralelogramo com área igual à área de um quadrado e perímetro igual a 25 cm. 3. A

a) Perímetro do retângulo ABCD é igual a 26 cm. Perímetro do retângulo ABEF é igual a 14 cm. Perímetro do retângulo EFCD é igual a 18 cm. A soma dos perímetros do retângulo ABEF e do retângulo EFCD é igual a 32 cm, mas o perímetro do retângulo ABCD é igual a 26 cm. 58

Matemática

ortanto, o perímetro do retângulo ABCD não é igual à P soma do perímetro dos retângulos ABEF e EFCD. b) Área do retângulo ABCD é igual a 30 cm2. Área do retângulo ABEF é igual a 12 cm2. Área do retângulo EFCD é igual a 18 cm2. A soma da área dos retângulos ABEF e EFCD é 30 cm2. Portanto, a área do retângulo ABCD é igual à soma da área dos retângulos ABEF e EFCD.

Exercitando mais

1. Desenho de uma figura ampliada e semelhante à indicada: pentágono regular. 2. a) Polígono de cinco lados: pentágono irregular. b) Sim. Basta traçar suas duas diagonais ou traçar dois segmentos perpendiculares aos seus lados que cruzam as diagonais em seu ponto comum (há mais de uma solução).

No último caso, os triângulos não são semelhantes. c) Podem ser obtidos dois triângulos, dois retângulos ou dois trapézios. d) A medida do lado maior deve ser o dobro da do lado menor. e)

3. Área do quadrado = 16 cm2 Área do triângulo retângulo = 6 cm2 Área do retângulo = 10 cm2 Área do hexágono regular = 8 cm2 Área do hexágono irregular = 10 cm2 4. Resposta pessoal. 5. Sugestão de resposta: A área de um retângulo ABCD com medidas 80 m × 50 m = = 400 m2. Decompor o retângulo em quatro triângulos iguais. A área de um dos triângulos = 100 m2. Descontando a área de um triângulo da área do retângulo (400 m2 − 100 m2), obtém-se a área do terreno = 300 m2. 6. 2 040 m2 7. Alternativa c. 8. 20 cm2 9. A área do quadrado é igual a 9 cm2. Logo, a área de cada triângulo é igual a 9 cm2 ÷ 4 = 2,25 cm2.

Sugestões de atividades complementares Atividade 1

Leve para a sala de aula modelos de mosaicos e painéis decorativos formados por polígonos, encontrados na arquitetura e decoração. Utilizando papel quadriculado, proponha a confecção de vários tipos de poliminós e, com eles, a construção de mosaicos retangulares ou quadrados. Poliminós são polígonos compostos por quadrados do mesmo tamanho, nos quais dois dos quadrados têm, no máximo, um lado em comum. O nome dos poliminós depende do número de quadrados que os formam:

Monominó

Triminó

Pentaminó

Ao comentar as observações, destacar o fato de que em todas as construções aparece um ângulo raso cuja medida é 180o. Experimentando a construção de mosaicos e pavimentos, os estudantes poderão perceber que as medidas dos ângulos internos de um polígono determinam um critério para verificar se ele é ou não adequado para cobrir determinada superfície. Solicite que, por exemplo, justifiquem por que um quadrado, um hexágono regular e um triângulo equilátero são figuras adequadas para construir mosaicos e pavimentos. Também poderão concluir que a medida do ângulo interno de um polígono regular (polígono que tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos com medidas iguais) deve ser um divisor de 360º para que seja possível compor um ângulo de 360º com os vértices dos ladrilhos a serem utilizados. Nessas atividades, uma régua e um transferidor poderão ser utilizados.

Atividade 2

Dominó

Tetraminó

Hexaminó

Uma variação dessa atividade consiste em propor aos estudantes que, em grupos, construam um mostruário com diferentes tipos de ladrilhos, em forma de retângulos, quadrados e triângulos, para recobrir uma superfície plana. No desenvolvimento desta atividade, pode-se verificar que os ladrilhos criados se ajustam perfeitamente, preenchendo a superfície sem deixar espaços entre eles. A partir disso, será possível explorar uma importante propriedade geométrica dos triângulos: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o. Pode-se propor uma verificação experimental dessa propriedade solicitando aos estudantes que: • desenhem um triângulo qualquer; • marquem no triângulo os vértices A, B e C; • recortem o triângulo em três partes, separando seus vértices, como se fossem peças de um quebra-cabeça; • juntem os três vértices do triângulo (sem sobrepor as partes); • comparem sua construção com as dos colegas e registrem suas observações.

Talvez seja conveniente retomar o conceito de escala (razão em que uma figura é ampliada ou reduzida), destacando seu uso na construção civil e na elaboração de mapas. Entre outras ações, pode-se: • consultar um atlas para observar como as escalas são utilizadas; • analisar cópias do mapa do Brasil, com a localização dos estados e capitais e a indicação da escala. Para isso, solicitar aos estudantes que escolham duas cidades, meçam a distância entre elas e calculem, aproximadamente, as distâncias reais, realizando as conversões necessárias. É importante que eles saibam interpretar escalas, compreendendo, por exemplo, que a escala 1 para 10 000 indica que cada 1 cm no mapa corresponde a 10 000 cm, isto é, 100 m na região representada. Além das aplicações mencionadas, um trabalho com escalas favorece a compreensão do conceito de semelhança.

Atividade 3

Proponha a realização de projetos que envolvam o planejamento e a construção de uma maquete, de um campo de futebol, de uma quadra de esportes ou de outra edificação qualquer, a partir de uma escala.

Atividade 4

Peça aos estudantes que desenhem em papel quadriculado um paralelogramo que não seja retângulo, calculem sua área utilizando três procedimentos diferentes e expliquem o “funcionamento” de cada um deles.

Atividade 5

Ao final do estudo deste capítulo, como forma de avaliar se os objetivos pretendidos foram alcançados, sugira aos estudantes que anotem, para posterior discussão em sala de aula, os pontos 8o ano

que eles consideram mais importantes, as aprendizagens que podem ser aplicadas em situações práticas e as ideias e conceitos sobre os quais ainda possa haver dúvidas para que sejam retomados. Nessas discussões, poderá ocorrer momentos oportunos para alguns esclarecimentos, baseando-se nessas anotações.

Franchi, Albert et al. Geometria no 1o grau: da composição e decomposição de figuras às formulas de área. São Paulo: CLR Balieiro, 1992. (Coleção Ensinando aprendendo, aprendendo ensinando.) LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER Lílian (Coords.). Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ/

Para ampliar

Instituto de Matemática, 1997.

Livros

SANTOS, Vânia Maria Pereira dos (Org.). Avaliação de apren-

CAMPOS, Tânia Maria Mendonça (Coord.). Transformando a prática das aulas de matemática. São Paulo: Proem, 2001. v. 3.

Matemática

dizagem e raciocínio em Matemática. Rio de Janeiro: UFRJ/ Instituto de Matemática, 1997.

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Desde tempos remotos

m tempos remotos, as pessoas não sabiam plantar. Elas se alimentavam de frutos que colhiam nas matas, da caça e da pesca. As práticas dessas atividades levou-as a observar transformações nas árvores, nas folhas, nos frutos, nas flores, nas sementes, no nascimento e no desenvolvimento de animais, nos movimentos do Sol, da Lua, das estrelas, na passagem do tempo, nas estações do ano e em outras ocorrências na natureza. Essas observações fizeram com que algumas pessoas aprendessem a plantar, a dividir terras férteis às margens de rios, a construir casas, a prever os movimentos dos astros. Essas e muitas outras práticas humanas dependiam do que hoje chamamos de conhecimentos matemáticos.

Ricardo Azoury/Pulsar imagens

Plantação de alface e chicória em Teresópolis (RJ), em 2012.

RODA DE CONVERSA

Você sabe quais conhecimentos matemáticos estão por trás das atividad es de plantio, de caça e de pesca? E no seu dia a dia, você usa a Matemática para perceber as regularidades na natureza? Converse com os colegas a respeito da presença desses conceitos no cotidiano. 9o ano

371

UMA RELAÇÃO IMPORTANTE: O TEOREMA DE PITÁGORAS

Ilustração digital: Estúdio Pingado

Você já observou o início da construção de uma casa? Uma das primeiras etapas consiste em marcar no terreno a localização da casa, usando linhas e estacas para indicar no solo a posição e as medidas de cada cômodo. Em seguida, constrói-se o alicerce, parte da alvenaria que fica enterrada no solo e vai sustentar as paredes que, por sua vez, sustentarão o telhado. Em geral, as paredes formam ângulos retos, ou “ficam no esquadro”, como se costuma dizer. No Antigo Egito já se usavam ângulos retos para medir, entre outras coisas, mudanças de direção. Os ângulos retos eram construídos com pedaços de corda que continham 13 nós, dispostos em intervalos iguais.

A corda era bem esticada e fixada no chão por três estacas: a primeira prendia tanto o primeiro nó como o décimo terceiro, a segunda estaca prendia o quinto nó, e a terceira estaca prendia o oitavo nó. Assim eram traçados triângulos retângulos cujos lados mediam 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Para nos aprofundarmos nessa questão, vamos imaginar que Pedro e Geraldo, dois pedreiros, precisam construir uma casa cujo alicerce tem forma retangular. Para que as paredes da casa fiquem no esquadro, eles precisam aplicar um procedimento comum entre pedreiros que se baseia no Teorema de Pitágoras. Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo e matemático grego Pitágoras e seus discípulos descobriram que, em qualquer triângulo que tem um canto reto, a soma dos quadrados das medidas dos lados que formam esse canto reto é igual ao quadrado da medida do terceiro lado desse triângulo. Ou seja, sempre que um triângulo tem um ângulo reto, o quadrado da medida 372

Matemática

do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Um triângulo que possui um ângulo reto é denominado triângulo retângulo. Nesse tipo de triângulo o lado maior é denominado hipotenusa e os outros dois lados, catetos. Essa importante propriedade do triângulo retângulo pode ser formulada da seguinte maneira:

hipotenusa

cateto

O ângulo ABC é reto, e o indicamos pelo símbolo . O triângulo ABC é um triângulo retângulo.

Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Esse é o famoso Teorema de Pitágoras. Esse teorema vale para todos os triângulos retângulos. Acompanhe, agora, os procedimentos utilizados pelos dois pedreiros do nosso exemplo para aplicar esse teorema, deixando as paredes “no esquadro”. Pedro finca uma estaca de madeira na posição que chamaremos de canto 1. Geraldo amarra nela uma linha. A partir do canto 1, eles esticam a linha e medem nela, com uma trena, a distância de 10 metros, marcando um ponto. Nesse ponto eles colocam uma segunda estaca, identificada por canto 2, na qual amarraram a linha. Pedro estica a linha numa direção aproximadamente perpendicular ao segmento de reta nomeado por “canto 1; canto 2” e marca um ponto a 6 metros do canto 2. Nesse ponto, ele finca uma terceira estaca, que 10 m canto 1 canto 2 é identificada provisoriamente como canto 3. canto 3

10 m canto 2

canto 1

A posição da terceira estaca é provisória porque os pedreiros precisam verificar se o canto 2 ficou reto ou no esquadro. Como se pode observar na figura acima, ele não ficou.

9o ano

373

canto 3 Acompanhe os procedimentos que Geraldo usa para deixar o canto B 2 no esquadro: 1. A partir do canto 2, ele mede 80 cm sobre o fio que liga o can60 cm to 2 ao canto 1 e marca um ponto que será nomeado por A. canto 2 A 2. A partir do canto 2, ele mede 60 cm 80 cm sobre o fio que liga o canto 2 ao canto 3 canto 3, marcando o ponto B. 3. Em seguida, ele pega um pedaço B de madeira “retilíneo” com 1 metro de comprimento, coloca uma das suas extremidades no ponto A 1m 60 cm e desloca o fio esticado que liga o canto 2 ao canto 3, tentando fazer canto 2 A coincidir a outra extremidade do 80 cm pedaço de madeira com o ponto B. 4. No momento em que a distância de A a B for igual a 1 metro, então Geo ent canto 3 vim raldo afirma que o canto 2 está no mo esquadro. B Em seguida, ele marca a posição definitiva do canto 3, que fica a 6 metros do canto 2. 1m 60 cm Deslocando o fio que forma o canto 3, Geraldo consegue fazer com que a A distância de A a B seja igual a 1 metro. canto 2 80 cm Nesse momento, ele tem certeza que o canto 2 está no esquadro. O que o Geraldo quer dizer quando ele afirma que o canto 2 está no esquadro? B Observe que as medidas dos lados do triângulo destacado na figura anterior são 80 cm, 60 cm e 1 metro, ou 1m 100 cm. 60 cm Esses lados são os catetos e a hipotenusa do triângulo, respectivamente. Por isso, pode ser aplicada a relação entre eles: canto 2 80 m

802 + 602 = 1002, ou 6 400 + 3 600 = 10 000

Veja outros exemplos. Os triângulos a seguir são retângulos. Para eles, vale o Teorema de Pitágoras. 374

Matemática

canto 1

2,6 5

2,4

132 = 52 + 122 169 = 25 + 144

2,62 = 12 + 2,42 6,76 = 1 + 5,76

A nova tarefa de Pedro e Geraldo é localizar o canto 4 que vai formar a base retangular na qual a casa vai ser construída. Para colocar o canto 4 no esquadro, Pedro amarra uma linha no canto 3, com 10 metros de comprimento, e a estica até onde vai ser o canto 4 em uma direção aproximadamente perpendicular ao segmento de reta nomeado por “canto 2; canto 3”. Geraldo amarra outra linha, com 6 metros de comprimento, no canto 1, e a estica até onde vai ser canto 3 o canto 4 em uma direção aproximadamente perpendicular ao segmento de reta nomeado por “can6m to 1; canto 2”. O ponto onde essas duas linhas se encontrarem determinará o canto 4. canto 2 Dessa forma, os dois pedreiros marcam a base para 10 m construir o alicerce da casa com suas medidas reais.

canto 4

canto 1

APLICAR CONHECIMENTOS I

• No triângulo retângulo ao lado, os catetos medem 3 unida-

des e 4 unidades. Junto de cada cateto, foi desenhado um quadrado, cujos lados têm a mesma medida do cateto. Observe a figura e complete as frases. a) A área do quadrado pintado de amarelo é .

unidade

3 4

b) A área do quadrado pintado de verde é

. c) A área do quadrado construído “junto” da hipotenusa é

d) Relacione a área do quadrado maior com a soma das áreas dos quadrados menores. e) Você acabou de fazer uma verificação particular do Teorema de Pitágoras.

Agora complete a frase a seguir: “Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da das medidas dos .“

é igual à soma dos

9o ano

375

TEOREMA DE PITÁGORAS: APLICAÇÕES RAIZ QUADRADA Conhecendo-se as medidas de dois lados de um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras, é possível determinar a medida do terceiro lado. Por exemplo, conhecendo as medidas dos catetos, podemos calcular a medida da hipotenusa. O triângulo PQR a seguir é retângulo. Q Se o cateto PQ mede 12 cm e o cateto QR mede 9 cm, então a medida da hipotenusa pode ser obtida assim: 9

(hipotenusa)2 = 92 + 122 (hipotenusa)2 = 81 + 144 (hipotenusa)2 = 225

R P

Portanto, para se obter a medida da hipotenusa, é preciso encontrar um número que elevado ao quadrado seja igual a 225. Um desses números é 15, pois 152 = 15 × 15 = 225. Dizemos que 15 é uma raiz quadrada de 225 e representamos este fato assim: 225 = 15

Por causa do frequente uso do conceito de raiz quadrada de um número, o símbolo 2 costuma ser substituído pelo símbolo . Se os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm, então a sua hipotenusa medirá: 225 cm =

52 cm =

(

)

15 cm = 15 cm

Como vimos, a raiz quadrada de um número envolve uma potência com expoente 2. Por exemplo, como 132 é igual a 169, então, 13 é a raiz quadrada de 169, ou seja: 2

169 =

169 = 132=

(

)

13 = 13

Dando nomes aos seus componentes: 2

376

Matemática

169 ou 2 169 chama-se radical. 169 chama-se radicando. 2 é o índice do radical. 13 é a raiz quadrada.

Para calcular a raiz quadrada de um número em uma calculadora simples, basta digitar . o número e em seguida pressionar a tecla Por exemplo, para calcular 169 digitamos: 1 6

e no visor aparecerá o número 13. O número inteiro 169 é um número quadrado perfeito, pois é o quadrado do número inteiro 13. Dizemos que 13 é a raiz quadrada exata de 169. Um número racional, inteiro ou não inteiro, é quadrado perfeito se existir número racional que, elevado ao quadrado, é igual àquele número. Os números quadrados perfeitos têm raízes quadradas exatas. Todo número racional quadrado perfeito tem raiz quadrada exata. Todo número racional positivo possui uma única raiz quadrada. A raiz quadrada de um número racional positivo é o número positivo que, elevado ao quadrado, resulta nele. Em particular: 0 = 0, pois 02 = 0. Por exemplo, na igualdade c2 = 81, a letra c representa um número inteiro que elevado ao quadrado é igual a 81. Há dois números que elevados ao quadrado são iguais a 81. Um deles é 9, pois 2 9 = 81. O outro é –9, pois (–9)2 também é 81. Mas, de acordo com o que foi mencionado, só 9 é a raiz quadrada de 81, pois trata-se de um número racional positivo. Logo: 81 = 9

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Desenhe o triângulo retângulo MNP ao lado em uma fo-

lha de papel sulfite.

O lado MN mede 6 cm e o lado NP, 8 cm. a) Qual é a medida do lado MP? b) Qual é o quadrado da medida de MP? N

c) Calcule 62 + 82 e compare esse resultado com o que você obteve no item anterior. 2. Complete as sentenças seguintes com números que as tornem verdadeiras: a)

100 = 8 porque

3. Na igualdade

= 16, o

= 64.

100 =

”esconde” pelo menos um número inteiro. Qual é esse número?

9o ano

377

OUTROS EXEMPLOS 1o exemplo: Ilustração digital: Luciano Tasso

Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede. Sua base superior está a 4 metros do chão. Qual é a distância da sua base inferior até a parede? É possível considerar como catetos o “segmento” que vai da sua base superior perpendicularmente à base inferior da parede e o “segmento” que vai da base inferior da escada perpendicularmente à base inferior da parede. Um dos catetos mede 4 metros e a hipotenusa mede 5 metros. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: (distância)2 + 42 = 52 (distância)2 + 16 = 25 (distância)2 = 9

Logo: (distância)2 = 9, ou seja, distância =

9 =

32 = 3 metros

Logo, a distância da base inferior da escada à base inferior da parede é igual a 3 metros. 2o exemplo:

C 11

Fixando uma estaca no ponto A e marcando os 10 pontos B e C de modo que o ângulo C seja reto, Antônio verificou que a medida de B a C é igual a 10 metros e de A a C é igual a 11 metros. B Qual é a distância de A a B? O triângulo ABC é retângulo. Se o cateto BC mede 10 cm e o cateto CA mede 11 cm, então a medida da hipotenusa pode ser assim obtida: (hipotenusa)2 = 102 + 112 (hipotenusa)2 = 100 + 121 (hipotenusa)2 = 221 hipotenusa = 221

378

Matemática

Para obter um valor aproximado de 221 em uma calculadora, podemos digitar as teclas: 2 2

e no visor deverá aparecer um valor próximo de 14,86606875 (como é um valor aproximado, ele pode variar, dependendo da precisão da calculadora). Fazendo uma aproximação com duas casas decimais temos: 14,87. Portanto, a distância de A a B é de, aproximadamente, 14,87 cm. APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Em um pedaço de cartolina, Angélica desenhou o tabuleiro retangular representado ao lado. a) Quantos quadradinhos com 1 cm2 compõem esse tabuleiro? b) Qual é a área desse tabuleiro, na unidade cm2? c) Qual é a medida de cada lado desse tabuleiro na unidade cm? 1 cm

d) Lembrando que: Área de um quadrado = lado × lado = lado2

escreva uma relação numérica entre a medida de cada lado desse quadrado e sua área usando símbolo de raiz quadrada. e) Representando a medida de cada lado de um quadrado pela letra L e a sua área pela letra A,

escreva uma relação algébrica entre e a medida de cada lado desse quadrado e sua área usando símbolo de raiz quadrada. 2. No retângulo ABCD, seus lados distintos medem 12 cm e 20 cm.

Calcule a medida aproximada da diagonal AC com duas casas decimais após a vírgula. A

9o ano

379

3. Na figura a seguir, os pontos A, B e C representam as casas de Alice (em A), Berenice (em B) e

Carolina (em C).

A distância AB é igual a 32 km e a distância AC é igual a 40 km. Calcule a distância da casa de Berenice, em linha reta (medida do segmento AC), à casa de Carolina com duas casas decimais após a vírgula.

Reinhard Dirscher/Imageplus

Mayskyphoto/Shutterstock

NÚMEROS IRRACIONAIS 1

1 1 1

1 8

3 1

Exemplos de espirais: náutilus (acima, à esquerda), chifre de carneiro e triângulos retângulos em espiral.

Linhas parecidas com as linhas espirais que aparecem nos náutilus ou nos chifres de um carneiro montanhes podem ser observadas numa sequência de triângulos retângulos, cujas hipotenusas medem 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ..., e que “giram” ao redor de um ponto. Desses números, sabemos que 4 é o número inteiro 2, porque 22 = 4. Porém, as representações decimais dos números 2 , 3 , 5 , 6 não são decimais exatos e nem são dízimas periódicas. Esses números não são números inteiros, nem números racionais. 380

Matemática

Supõe-se que Pitágoras e seus discípulos tenham sido as primeiras pessoas a descobrirem a existência de um outro tipo de número, além dos racionais. O famoso Teorema de Pitágoras foi a primeira constatação da existência desse 1 tipo de número, que foi denominado número irracional. Acompanhe uma justificativa da representação geométrica do número 2 que corresponde à hipotenusa do triângulo re1 tângulo ao lado, que é primeiro triângulo retângulo da figura do espiral. Lembrando do Teorema de Pitágoras, temos:

(hipotenusa)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 hipotenusa = 2

EC Santos

Pode-se utilizar uma calculadora simples para determinar um valor aproximado da raiz quadrada de 2, pressionando as teclas 2 e , nessa ordem. Se uma calculadora utilizada exibe, no máximo, 8 dígitos, então, um valor aproximado de 2 mostrado por essa calculadora é 1,4142136 ou 1,4142135. Em uma máquina cujo visor exibe mais dígitos, podemos observar que 2 possui mais que sete casas decimais após a vírgula. Na tabela a seguir, pode-se ver valores aproximados para 2 com 7, 8, 9, 10 e 31 casas decimais: Número de casas decimais após a vírgula

Valor aproximado para

1,4142136

1,41421356

1,414213562

1,4142135624

1,4142135623730950488016887242097

Por que os valores obtidos para 2 são aproximados? Pode-se tentar responder à última questão usando uma calculadora. Pressionando as teclas 2 e , calcularemos um valor aproximado da raiz quadrada de 2. Com o valor obtido (1,4142136 ou 1,4142135) no visor da calculadora (imaginando que ela mostre 8 dígitos), se pressionarmos as teclas × e = , estaremos calculando 1,41421362 (ou 1,41421352). No visor da calculadora, pode aparecer o valor 2,0000001 ou 1,9999998.

9o ano

381

Usando uma calculadora que exibe 12 dĂgitos, entĂŁo 2 ĂŠ aproximadamente igual a 1,41421356237, que pode ser representado por 2 1,41421356237. Nesse caso, pode-se encontrar: 1,414213562372 1,99999999999. A difĂcil conclusĂŁo a que muitos bons matemĂĄticos chegaram ao longo da histĂłria (hĂĄ mais de 2 000 anos) ĂŠ que, por melhor que seja a aproximaĂ§ĂŁo de 2 , nunca iremos obter: (aproximaĂ§ĂŁo de

2 )2 = 2

Se, ao calcular (aproximaĂ§ĂŁo de 2 )2, o resultado obtido for 2, isso significa que o processador numĂŠrico da mĂĄquina fez um arredondamento. Da mesma forma, pode-se verificar que valores obtidos para 3 , 5 e 6 tambĂŠm sĂŁo aproximados. Eles tambĂŠm sĂŁo nĂşmeros irracionais. Outros exemplos de nĂşmeros irracionais sĂŁo: â&#x20AC;˘ Ď&#x20AC; 3,1415926535897932384626433832795...; â&#x20AC;˘ 0,123456789101112131415161718192021... (os dois algarismos se-

guintes sĂŁo os algarismos do nĂşmero 22, os dois seguintes sĂŁo os algarismos do nĂşmero 23, e assim sucessivamente); 2 zeros

4 zeros

6 zeros

â&#x20AC;˘ 1,1010010001000010000010000001 , e assim por diante. 1 zero

3 zeros

5 zeros

Mas nem todo nĂşmero escrito na forma de radical ĂŠ um nĂşmero irracional. Por exemplo, 9 , 25 e 1, 44 nĂŁo sĂŁo nĂşmeros irracionais, porque 9 = 3, 25 = 5 e 1, 44 = 1,2.

APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Qual ĂŠ a medida da hipotenusa de um triĂ˘ngulo retĂ˘ngulo cujos catetos medem 5 cm e 3 cm? Esse

nĂşmero ĂŠ irracional?

2. A medida de cada lado de um quadrado ĂŠ igual a 10 cm. a) Qual ĂŠ a ĂĄrea desse quadrado? b) Essa ĂĄrea representa um nĂşmero racional ou irracional? Justifique.

10 cm

382

MatemĂĄtica

15 cm

3. Qual é a medida da diagonal do quadrado ao lado?

Escreva na forma decimal, um valor aproximado para essa medida com 3 casas decimais após a vírgula decimal.

15 cm

EXERCITANDO MAIS

1. Calcule a medida do cateto do triângulo retângulo abaixo. P

N 20 cm 16 cm

2. Observe os triângulos retângulos ao lado.

Use uma calculadora para determinar a medida aproximada de cada hipotenusa, com duas casas decimais.

unidade

3. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm.

O perímetro desse triângulo retângulo é

4. Observe os números a seguir: 136

576

5 184

6 144

Quais deles são números quadrados perfeitos? 5. O tampo de uma mesa é quadrado e tem área de 6,25 m2. Quanto mede cada lado dessa mesa? 6. Desenhe em seu caderno um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm. a) Qual é o número irracional expresso na forma de radical que é representado pela hipotenusa

desse triângulo retângulo? b) Obtenha um valor aproximado desse número irracional. Utilize uma calculadora para obter

um valor aproximado com 8 casas decimais após a vírgula.

9o ano

383

Capítulo

M AT E M ÁT I C A

Conexões matemáticas

Ilustração digital: Luciano Tasso

s origens dos conhecimentos matemáticos remontam a tempos pré-históricos e derivam de ideias centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Alguns textos sobre a história das ciências afirmam que noções de Aritmética, parte da Matemática que estuda os números e as operações, antecedem a escrita. Registros de povos antigos mostram desenhos com formas geométricas, o que faz supor que a Geometria é um dos campos mais antigos da Matemática. Para essas civilizações, o conhecimento geométrico tinha um caráter essencialmente prático: sua importância estava diretamente relacionada à sua utilidade para resolver problemas da vida cotidiana.

Fonte: BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Blucher, Edusp, 1974.

Foram os gregos que, a partir do século VI antes de Cristo, passaram a apresentar a Geometria como conhecimento formalizado, o que contribuiu para o progresso das ciências. As medidas também estavam presentes nas civilizações antigas, como as dos egípcios, babilônios e chineses. Os avanços nesse campo ocorreram principalmente por causa da necessidade de resolver problemas relacionados à demarcação e distribuição de terras e à cobrança de impostos de quem as cultivava. Essas civilizações desenvolveram fórmulas, exatas ou aproximadas, para calcular a área de quadrados, retângulos e, talvez, triângulos. A Álgebra, que hoje conhecemos como uma linguagem simbólica, usada para representar fatos e relações gerais por meio de expressões, também teve suas origens no mundo antigo. Consta que tanto os gregos como os babilônios já conheciam métodos algébricos para resolver equações. Entretanto, o grande avanço ocorrido na Álgebra se deve aos estudos produzidos pela civilização árabe. 384

Matemática

A própria palavra álgebra deriva de Al-jabr we mukabala (o equilíbrio), que é o título de um tratado sobre equações, escrito pelo matemático árabe Al-Khowarizmi. Esses conhecimentos são uma valiosa herança cultural deixada por nossos antepassados para o desenvolvimento das ciências e das tecnologias. Grupos como os indígenas brasileiros e povos nativos da América, África e Ásia ainda hoje utilizam distintos modos de se orientar no tempo e no espaço, de contar, de calcular, de reconhecer e medir as formas do universo. Você sabe algo sobre esse assunto?

RODA DE CONVERSA

Você conhece algum fato relacionado à história do conhecimento matemático? Em sua opinião, hoje em dia, os conhecimentos da Aritmética, da Geometria, da Álgebra e das medidas aprendidos na escola também são úteis para resolver problemas da vida prática? Dê exemplos e discuta com seus colegas.

GEOMETRIA E PROPORCIONALIDADE Um profissional que desenha plantas de casas, edifícios e outras construções muitas vezes precisa recorrer a conhecimentos matemáticos para resolver problemas que surgem no decorrer de seu trabalho, como dividir um segmento de reta com 8 cm em três partes iguais. O quociente da divisão de 8 por 3 é um número racional com infinitas casas decimais (uma dízima periódica): 8 ÷ 3 = 2,66666...

Para resolver esse problema sem usar o cálculo 8 ÷ 3 ou uma régua, pode-se aplicar um conhecimento matemático desenvolvido por Tales de Mileto, comerciante, filósofo e estudioso de Geometria que viveu na Grécia antiga, por volta do ano 600 a.C. Essa importante descoberta ficou conhecida como Teorema de Tales. Veja o que diz o Teorema de Tales. Quando três ou mais retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, as medidas dos segmentos determinados sobre uma das transversais são respectivamente proporcionais às medidas dos segmentos determinados sobre a outra transversal.

GLOSSÁRIO

Transversal: que passa de través; que segue direção transversa ou oblíqua; não reto; colateral.

9o ano

385

Veja uma figura ilustrativa para o Teorema de Tales. r

segmentos determinados pelas transversais segmentos determinados pelas transversais

feixe de retas paralelas

segmentos determinados pelas transversais

reta transversal

Acompanhe a explicação sobre o Teorema de Tales. Na figura a seguir, aparecem três retas paralelas cortadas por duas retas transversais, r e t. Os segmentos de reta AB e BC, determinados sobre a transversal r, medem respectivamente 2 cm e 3 cm e os segmentos de reta DE e EF, determinados sobre a transversal t, medem respectivamente 3 cm e 4,5 cm. r A B

r D

A 2 cm B

t D 3 cm E

3 cm

4,5 cm

Considere as razões 2 e obtidas por meio das medidas dos segmentos de 4, 5 3 reta determinados sobre as duas transversais r e t. Use uma calculadora para obter os quocientes da divisão de 2 por 3 e de 3 por 4,5, ou multiplique 2 por 4,5 e 3 por 3. 2 Com base nos resultados obtidos, é possível concluir que as razões 2 e 4 ,5 3 são iguais. Como as razões são iguais, ou seja, como as medidas dos segmentos de reta AB e BC, determinados sobre a transversal r, formam uma proporção com as medidas dos segmentos de reta DE e EF, determinados sobre a transversal t, então diz-se que os segmentos AB e BC são proporcionais aos segmentos DE e EF. 386

Matemática

Essa relação de proporcionalidade pode ser observada em outros exemplos, nos quais retas paralelas são cortadas por retas transversais. F Q

N 1,5 cm

2,5 cm y

3 cm

x 4 cm

5 cm H

5 cm 2 cm L

2,5 cm G

1,5 2,5 = 3 5

4 5 = 2 2,5

O próximo exemplo é um caso particular do Teorema de Tales. L

2,5 cm

2,0 cm n

2,0 cm

l o

Se três ou mais retas paralelas cortadas por duas transversais determinarem sobre uma das transversais segmentos de reta com medidas iguais, então elas determinam também, sobre a outra transversal, segmentos de reta com medidas iguais. Aplicando esses conhecimentos, podemos dividir um segmento de reta com 8 cm em três segmentos com medidas iguais, realizando os seguintes procedimentos: • trace um segmento de reta AB, com 8 cm; • partindo da extremidade A, desenhe um segmento de reta auxiliar AC, cuja medida seja um número divisível por 3, por exemplo, 9 cm; • divida o segmento AC em três partes iguais; • nomeie os pontos obtidos em AC por M e N, como se pode ver na figura abaixo; A

9o ano

387

• trace o segmento de reta BC e, em

seguida, trace as retas paralelas ao segmento de reta BC que passam M pelos pontos M e N e que cortam o segmento de reta AB nos pontos que serão nomeados por P e Q; N • as medidas dos segmentos de reta AP e PQ são 1 da medida do segC mento AB. 3 Como vimos, aplicando o Teorema de Tales, é possível determinar os pontos que dividem um segmento de reta com 8 cm em três partes iguais, sem trabalhar com a medida 2,666... cm, resultado da divisão de 8 cm por 3. Veja no próximo exemplo como dividir um segmento de reta AB em três partes não iguais, mas diretamente proporcionais a 2, 3, 5, aplicando o Teorema de Tales: • trace um segmento de reta com 5 cm; A

• trace uma semirreta com origem no ponto A e que não passe pelo ponto B; A

• escolha uma unidade de medida qualquer (1 u) e, com uma régua ou compasso, marque

sobre a semirreta os dez segmentos de reta AM, MN, NO, OP, PQ, QR, RS, ST, TU e UV, todos com medidas iguais a 1 u, pois 2 + 3 + 5 = 10. Esses segmentos são consecutivos. B

A M N O P Q R S T

1u U V C

Dois segmentos de reta são consecutivos quando têm uma extremidade em comum. Os segmentos de reta AB e BC são consecutivos. Os segmentos de reta MN e NP são consecutivos.

388

Matemática

• trace o segmento de reta BV;

A M N O P Q R S T

1u U V

• finalmente, a partir do ponto A, sobre a semirreta, conte dois pontos

até N e trace a reta paralela ao segmento BV, passando pelo ponto N.

A partir do ponto N, sobre a semirreta, conte três pontos até Q e trace a reta paralela ao segmento BV, passando A K L pelo ponto Q. Com isso, ficam determinados no M N segmento AB os pontos K e L, respecO tivamente. P Q Como as medidas dos segmentos R NA, NQ, QV, são 2 u, 3 u e 5 u, respectiS vamente, então as medidas dos segmenT tos AK, KL e LB, são respectivamente proporcionais a 2, 3 e 5. Logo, os segmentos de reta AN e AK, NQ e KL, e QV e LB são proporcionais. O Teorema de Tales pode ser utilizado em situações em que é necessário dividir um segmento de reta em partes proporcionais. Situações como essas são vivenciadas por pedreiros, engenheiros, desenhistas. Para esses profissionais, é inegável a utilidade da descoberta feita por Tales, no século VI antes de Cristo.

1u U V

CONHECER MAIS

A pirâmide de Quéops e o Teorema de Tales V

A grandiosidade da pirâmide de Quéops, construção que data de 2600 a.C., inspirou Tales a construir um procedimento preciso para determinar sua altura. Acompanhe o pensamento de Tales: em um dia de sol, após fincar verticalmente no chão um bastão de madeira de comprimento conhecido e medir sua sombra, ele concluiu que a altura do bastão e a sombra projetada eram proporcionais à altura da pirâmide e sua sombra, naquele mesmo instante. Dessa forma, no momento em que a sombra do bastão fosse igual a sua altura, a sombra da pirâmide seria igual à altura da pirâmide.

9o ano

389

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Aos domingos, Antônio gostava de ler jornal no jardim de sua casa e admirar o belo pinheiro que

ficava ao lado do portão. O hábito de observar a árvore levou-o a reparar em sua sombra, que, bem cedo, era sempre muito comprida e ia diminuindo à medida que as horas se aproximavam do meio-dia. Intrigado, ele pensou que haveria um momento em que o comprimento da sombra seria exatamente o mesmo do pinheiro. Você acha que é possível comprovar a hipótese de Antônio? Como? Discuta com um colega. 2. Tente resolver as seguintes situações aplicando as relações do Teorema de Tales. Se for convenien-

te, use régua e esquadro. a) Trace um segmento com 18 cm e divida-o em três partes iguais. Utilizando esse resultado,

divida um segmento com 20 cm em três partes iguais. b) Divida um segmento com 9 cm em duas partes proporcionais a 3 e 5. c) Divida um segmento de reta com 20 cm em três partes, cujas medidas serão chamadas a, b e

c, de tal modo que b seja o dobro de a e c seja o triplo de a.

ARITMÉTICA E ÁLGEBRA Aritmética e Álgebra são campos da Matemática que nos ajudam a compreender relações quantitativas. Os procedimentos aritméticos permitem atribuir significados aos números e às operações na resolução de um problema. Os procedimentos algébricos permitem representar situações-problema (por meio de expressões), envolvendo variáveis ou incógnitas, números e operações aritméticas. Acompanhe a seguir a aplicação de um procedimento algébrico. Para indicar o perímetro da figura abaixo, pode-se recorrer às seguintes formas escritas. a

a representa a medida de cada lado da estrela, numa mesma unidade. a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+ + a + a + a + a + a + a = 16 × a

O perímetro da estrela pode ser representado pela expressão algébrica 16 × a, ou 16 · a. Expressões algébricas desse tipo são chamadas monômios. 390

Matemática

Veja outros exemplos de monômios: 2·a·b

–5 · x2

3 ·m·n 7

0,73 · p · q2 · r3 · s4

Tomando como base os exemplos dados, podemos caracterizar monômio, simplificadamente, da seguinte forma: • O seu fator numérico é chamado coeficiente. • O produto das variáveis na forma de potências com expoentes inteiros e positivos é chamado parte literal. Por exemplo: No monômio 2 · a · b, 2 é o coeficiente e a · b é a parte literal. No monômio –5 · x2, –5 é o coeficiente e x2 é a parte literal. No monômio 3 · m · n, 3 é o coeficiente e m · n é a parte literal. 7 7 No monômio 0,73 · p · q2 · r3 · s 4, 0,73 é o coeficiente e p · q2 · r 3 · s 4 é a parte literal. • Todo monômio com o coeficiente igual a zero é o monômio nulo. Por exemplo: 0 · x2 = 0. • Quando o coeficiente de um monômio é 1, então esse coeficiente não precisa ser escrito. Por exemplo: 1 · x = x. • Monômios com as mesmas partes literais são chamados monômios semelhantes. Por exemplo: 3 · x2 e 5 · x2 são monômios semelhantes; 5 · x e 3 · x2 não são monômios semelhantes. Podemos operar com monômios utilizando as propriedades já estudadas para os números.

ADIÇÃO DE MONÔMIOS As medidas dos lados do triân2·a 4·a gulo representado estão indicadas em centímetros. Calcule seu perímetro. 5·a Para obter o perímetro desse triângulo, calculamos a soma das medidas de seus lados, representadas pelos monômios semelhantes 2 · a, 4 · a e 5 · a. Perímetro = 2 · a + 4 · a + 5 · a = (a + a) + (a + a + a + a) + (a + a + a + a + a) = 11 · a Esse perímetro pode ser calculado colocando o fator comum a em evidência: Perímetro = 2 · a + 4 · a + 5 · a = (2 + 4 + 5) · a = 11 · a fator comum

fator comum em evidência

Perímetro = 2 · a + 4 · a + 5 · a = (2 + 4 + 5) · a = 11 · a Veja outros exemplos nos quais calculamos a soma de monômios semelhantes. • 3 · x2 + 2 · x2 = (3 + 2) · x2 = 5 · x2 • 8 · m2 + m2 = (8 + 1) · m2 = 9 · m2 Observe que, em cada caso, adicionamos os coeficientes dos monômios e conservamos suas partes literais. 9o ano

391

Na adição de monômios, quando estes não são semelhantes o resultado (a soma) é uma expressão algébrica que denominamos polinômio. Exemplos: a2 – b e x2 – 62 · a · x + 10 + 3 · b3 são polinômios. Uma expressão algébrica que é soma de dois monômios não semelhantes é chamado binômio. Por exemplo: Os monômios 2 · b e b2 são os termos do binômio 2 · b + b2. Uma expressão algébrica que é soma de três monômios, dois a dois não semelhantes, é chamado trinômio. Por exemplo: Os monômios 2 · x, – 0,62 · a · x e y3 são os termos do trinômio: 2 · x – 0,62 · a · x + y3

SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS A área do retângulo menor da figura ao lado é 6 · b e a área do retângulo maior é 10 · b. Vamos determinar a área da região pintada de azul. Uma forma para determinar essa área con6 siste em calcular a diferença entre as áreas dos retângulos, que são dadas pelos monômios seb melhantes 10 · b e 6 · b. Logo, a área da região pintada de azul é igual a 10 · b – 6 · b. Para calcular a diferença 10 · b – 6 · b, podemos colocar em evidência o fator comum b: 10 · b – 6 · b = (10 – 6) · b = 4 · b

Observe que subtraímos os coeficientes dos monômios e conservamos suas partes literais. Veja outros exemplos, nos quais calculamos a diferença entre monômios semelhantes: • 3 · a2 – 2 · a2 = (3 – 2) · a2 = 1 · a2 = a2 1 • 3 · y − (− · y) 2 1 A diferença entre 3 · y e − 2 · y pode ser expressa como a soma de 3 · y com o 1 oposto de − 2 · y : 1 1 1 7  6 + 1 3 · y – (– · y) = 3 · y + · y = (3 + ) · y =  ·y= ·y   2  2 2 2 2

A soma ou a diferença entre dois monômios semelhantes é o monômio com: • coeficiente igual à soma ou à diferença entre os seus coeficientes; • a mesma parte literal desses monômios.

392

Matemática

MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS No retângulo representado ao lado, a largura é a metade do comprimento. Qual é a área desse retângulo? Se x é seu comprimento, então sua largura é x . 2 Portanto, a área desse retângulo é o produto do seu comprimento pela sua largura, representados pelos monômios semelhantes x e x .

1 ·x 2

área do retângulo = x ·

x 2

Aplicando algumas vezes as propriedades associativa e comutativa da multiplicação, tem-se: x·

x 1 1 1 1 =1·x· · x =  1 ⋅ 1  · x · x = · x1 · x1 = · x1+1 = · x2   2 2 2 2 2 2 Produto de potências de bases iguais: mantém-se a base e adicionam-se os expoentes.

Observe que foram multiplicados os coeficientes 1 e 2 desses monômios e foram multiplicadas as partes literais x e x. Veja outros exemplos, nos quais calculamos os produtos de monômios. • 3 · t2 · 5 · t2 = (3 · 5) · t2 · t2 = 15 · t2+2 = 15 · t4 Produto de potências de bases iguais: mantém-se base e adicionam-se os expoentes

• 4 · r 2 · 2 · r 2 · 3 · r 3 = (4 · 2 · 3) · r 2 · r 2 · r 3 = 24 · r 2+2+3 = 24 · r 7

O produto de dois ou mais monômios é o monômio com: • coeficiente igual ao produto dos coeficientes desses monômios; • parte literal igual ao produto das partes literais desses monômios.

DIVISÃO DE MONÔMIOS O depósito de uma empresa é utilizado para estocar caixas cúbicas de embalagem de um produto para informática, formando pilhas de caixas. As caixas são colocadas em camadas. Cada camada tem o mesmo número de caixas na largura e no comprimento. Se você denominar o número de caixas da largura e do comprimento por n, então cada camada de caixas terá n · n = n2 caixas por camada. 9o ano

393

Em determinado dia, o número de caixas estocadas no depósito era de 5 · n3 caixas. Qual era a altura da pilha nesse dia? Podemos identificar a quantidade de caixas na pilha como o volume da pilha, considerando cada caixa como unidade de volume. Logo:

altura da pilha de caixas

n de caixas de largura n de caixas de comprimento

volume da pilha = número de caixas na pilha = 5 · n3

Mas o volume dessa pilha pode ser calculado pela fórmula: volume da pilha = comprimento · largura · altura = n · n · altura = n2 · altura = 5 · n3

Portanto: 5 ⋅ n3 5 ⋅ n ⋅ n ⋅ n = 5 ⋅ n caixas = altura = n2 n⋅n

O valor da altura da pilha foi obtido pela divisão entre dois monômios 5 · n3 e n2. O coeficiente do monômio 5 · n, obtido como resultado da divisão dos dois monômios, é o quociente da divisão dos coeficientes daqueles monômios, e sua parte literal é o quociente da divisão das partes literais daqueles monômios. Mas nem sempre a divisão entre dois monômios dá um monômio. Acompanhe o seguinte exemplo. A densidade de um líquido pode ser obtida por meio da seguinte fórmula: densidade de um líquido =

massa do liquido quilogramas por litro (kg/L). volume ocupado pelo liquido

Um líquido está acondicionado em uma caixa em forma de bloco retangular cujas dimensões são: comprimento = largura = a decímetros altura = 2 · largura

394

Matemática

Logo: volume da caixa = a · a · 2 · a = 2 · a3 decímetros cúbicos = 2 · a3 litros.

Considerando que a massa desse líquido seja de a quilogramas, vamos determinar a sua densidade. Introduzindo as informações dadas na fórmula da densidade de um líquido, obtemos: densidade do líquido =

a a 1 1 1 1 = = = ⋅ 2 = 0,5 ⋅ 2 kg/L 3 2 2 2⋅a 2⋅a⋅a 2⋅a 2 a a

Como: 2 = a–2, então é possível concluir que a–2 não é um monômio, pois o a expoente da variável a é negativo. O cociente entre dois monômios, com divisor diferente de zero, tem: • coeficiente igual ao cociente entre os coeficientes desses monômios; • parte literal igual ao cociente entre as partes literais desses monômios. Nos cálculos que acabamos de realizar, observamos que as operações aritméticas e suas propriedades podem ser estendidas para efetuar operações com expressões algébricas. Constatamos, também, que expressões algébricas permitem expressar generalizações sobre algumas propriedades das operações aritméticas. APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Escreva frases ou textos para explicar o significado de cada um dos termos a seguir. Procure dar

exemplos nas suas explicações. a) variável b) monômio c) coeficiente de um monômio

d) parte literal de um monômio e) monômios semelhantes f) polinômio

Apresente suas explicações para um colega e peça a ele que faça a mesma coisa. Analise as explicações dele e identifique os pontos comuns e divergentes. 2. O que é monômio nulo? 3. Identifique os termos dos seguintes polinômios: a) –n2 – 5 · m

b) x · 2

c) 5 – 4 · n2 · m + 2

4. Assinale as expressões algébricas que são binômios e trinômios:

a) 3 · a · x2

b) 2 · b · y – 3 · x2

c) 4 · x + 2 · a · y – 2 · a · x2 d) n3 + 2 · m · n2 + m2 · n + m3

5. No exercício anterior há uma expressão algébrica que não é monômio, binômio ou trinômio.

Identifique essa expressão e pesquise o nome que se dá a ela.

9o ano

395

CÁLCULOS ARITMÉTICOS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Observe, nas situações a seguir, a utilização de cálculos aritméticos e de expressões algébricas para determinar perímetros, áreas e volumes. 2

4 perímetro = (2 + 4) · 2 = 2 · 2 + 4 · 2

b perímetro = 2 · (a + b) = 2 · a + 2 · b

m área = m · n

6 área = 6 · 3

3·a

5 volume = 5 · 5 · 5 = 53

3·a volume = (3 · a) · (3 · a) · (3 · a) = (3 · 3 · 3) · (a · a · a) = 27 · a3

Analisando as situações estudadas neste capítulo, pode-se notar que as expressões algébricas não têm o objetivo de encontrar apenas uma resposta numérica para os problemas. Elas expressam o que é genérico, ou seja, aquilo que vale para diferentes valores numéricos, independentemente de quais sejam esses valores, e de acordo com as restrições de cada caso. APLICAR CONHECIMENTOS III

1. Utilize uma expressão algébrica para representar a área da figura abaixo.

2. Desenhe uma figura: a) cujo perímetro seja representado pela expressão: 2 · a + 5 · b + 7 · c; b) cuja área seja representada pela expressão: (x + 3) · (x + 3); c) cujo volume seja representado pela expressão: 2 · a · 3 · a · 5 · a. 3.Uma praça de forma retangular terá seu comprimento ampliado em 5 m. Indique por meio de ex-

pressões algébricas qual será o perímetro e a área da praça após a ampliação.

396

Matemática

EXERCITANDO MAIS

1. Nesta figura há um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais. Calcule o valor de x. r s a x

b 12

2. Observe, na figura, um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais. Calcule o valor de y.

6 2 8 12

3. Observe a figura e descreva uma relação de proporcionalidade entre os segmentos determinados

sobre as retas paralelas. r

A B C

D m

E n

F o

4. Traduza para uma linguagem algébrica as expressões a seguir. a) O dobro da soma de a e b: b) O quadrado da soma de a e b: c) A soma de a com o quadrado de b: d) O quadrado de a adicionado ao dobro de b: 5. Escreva, para cada caso, um exemplo de monômio que tenha: a) parte literal igual a a2: b) coeficiente igual a 2,5:

9o ano

397

6. Usando monômios, represente o que é pedido para cada figura. As letras representam a metade

das medidas de cada lado nas figuras. Figura 1: determine o perímetro do triângulo equilátero. a

Figura 2: determine a área do hexágono.

c b

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 3: determine a medida do lado do quadrado. 7. Calcule o perímetro das figuras, sabendo

que AB = BC = CD = DE = EF = FG =

x 2

B C

D E

3·x

5·x

2·x H

8. Se A = 2 · x , B = x , C = 3 · x e D = 6 · x , então determine: a) A + B e) (A + B) – C 2

b) A – B

f) D – (A – B) + C

c) (A – B) + (C – B)

g) C – B

d) A + C

h) D – (C + B)

9. Escreva as expressões algébricas que traduzem a área de cada figura a seguir. 3

x x

3∙x

3 x

6 x

398

Matemática

6·x

10. Considere uma caixa em forma de bloco retangular com as medidas indicadas abaixo e escreva a

expressão algébrica que traduz o volume desta caixa:

2·x

x 3·x

11. Complete as igualdades a seguir, atribuindo ao símbolo

um monômio, de modo que as

sentenças sejam verdadeiras: a)

· 3 · x2 = 9 · x4

÷ 2 · x = x2

1 2

·x·

d) 36 · x2 ÷

= 4 · x2 =6·x

9o ano

399

Capítulo

Matemática nas finanças Richard Drew/Associated Press/AE

M AT E M ÁT I C A

Operadores trabalham no pregão da Bolsa de Valores de Nova York, nos Estados Unidos, 2011.

Trabalhamos com matemática financeira quando aplicamos alguns conceitos matemáticos para resolver problemas relacionados com empréstimos, aplicações em cadernetas de poupança, financiamentos de automóveis, casas, apartamentos, pagamentos de dívidas, taxa de juros, regimes de capitalização, entre outros. Com as noções abordadas neste capítulo não se pretende que você seja um especialista em finanças, mas espera-se que você possa analisar e comparar algumas situações envolvendo aplicações financeiras e entender o funcionamento simplificado de uma caderneta de poupança.

NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA No dia 1o de julho de 2013, em um momento de dificuldade, Carlos pediu um empréstimo no valor de R$ 1 000,00 a seu amigo José. Ele combinou que pagaria essa dívida no dia 1o de agosto do mesmo ano, da seguinte forma: • os R$ 1 000,00 do empréstimo; • mais R$ 15,00, para compensar o dinheiro que José poderia conseguir se tivesse aplicado essa quantia no mercado financeiro. 400

Matemática

Essa situação contém algumas noções de matemática financeira importantes. Veja: • o valor R$ 1 000,00 pode ser denominado capital; • o total a ser pago no dia 1o de agosto, R$ 1 015,00 pode ser denominado montante; • o tempo decorrido desde o empréstimo até o pagamento (um mês, neste caso) pode ser denominado tempo de aplicação; • o valor R$ 15,00 é o juro pago pelo empréstimo (uma espécie de prêmio, preço pelo custo do dinheiro no mercado financeiro). De uma forma simplificada, capital pode ser entendido como uma determinada quantidade de unidades monetárias (dinheiro) ou de algo que pode ser convertido em dinheiro. Os juros do capital podem ser entendidos como a quantidade de unidades monetárias que deve ser paga pelo seu uso temporário. Os juros são um prêmio em dinheiro que o emprestador recebe, além da parte integral do capital cedido. O montante do capital é a quantidade de unidades monetárias obtidas pela adição do capital aos juros, num certo intervalo de tempo, que é o tempo de aplicação. Se calcularmos a razão (cociente) entre o juro pago e o capital emprestado, teremos a taxa de juros referente ao período de tempo desse empréstimo. No caso citado: taxa de juros do empréstimo =

15 = 0,015 = 1,5% ao mês 1000

O esquema a seguir ilustra o negócio financeiro realizado entre Carlos e José. tempo de aplicação 1 /7/2013

1o/8/2013

1 000 capital

1 015 montante

tempo (mês)

Ilustração digital: Estúdio Pingado

Veja outro exemplo. Em 23 de dezembro uma família aproveitou a promoção a seguir, oferecida por uma loja de departamentos, e realizou uma compra no valor de R$ 400,00. A dívida da família foi paga dois meses depois no valor de R$ 428,00. Qual foi a taxa de juro que a loja praticou nesse período? Para uma resolução do problema proposto, podemos calcular quantas vezes R$ 428,00 cabe em R$ 400,00: 9o ano

401

razão entre o valor pago e a dívida =

R$ 428, 00 = 1,07 R$ 400, 00

ou seja, o valor pago no final de 2 meses é 1,07 – 1,00 = 0,07 = 7% maior que a dívida da compra feita. Portanto, a taxa de juro do financiamento da família foi de 7% por dois meses.

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. Pedi a uma instituição financeira um empréstimo no valor de R$ 5 000,00 no dia 1o de agosto de

2013. Combinei pagar essa dívida no dia 1o de setembro do mesmo ano, da seguinte forma: • os R$ 5 000,00; • mais R$ 750,00 como pagamento pelo empréstimo temporário do dinheiro.

Identifique os valores relacionados nesse empréstimo aos seguintes termos financeiros: a) capital: c) montante b) juro do capital:

d) tempo de aplicação:

Calcule a taxa de juros praticada no período de um mês para esse empréstimo: 2. Um tratamento dentário custou R$ 1 200,00. O dentista que realizou esse tratamento concordou em receber seus honorários um mês após o seu término no valor de R$ 1 300,00. a) Qual foi o valor dos juros desse financiamento? b) Calcule a taxa de juros desse período de tempo.

3. Roberto comprou uma calça que custou R$ 120,00 para ser paga em 2 meses. O juro cobrado pela

loja nesse período de 2 meses foi de R$ 60,00. Calcule a taxa de juros que foi praticada pela loja nesse período de tempo.

JUROS SIMPLES José recorre a Carlos quando tem dúvidas sobre como aplicar o seu dinheiro. Em uma conversa sobre esse tema, Carlos pediu que José imaginasse que ele queria fazer uma aplicação financeira colocando R$ 100 000,00 em uma conta bancária que rende 0,5% de juro ao mês. 402

Matemática

Imagine que esse rendimento obedeça às regras a seguir: • Um mês depois que José fizer o depósito inicial de R$ 100 000,00, o banco irá depositar na conta dele 0,5% de R$ 100 000,00. • Com esse depósito, o saldo de José passará a ser: fator comum

fator comum em evidência

saldo (após 1 mês) = 100 000 + 0,5% × 100 000 = 100 000 × (1 + 0,5%) = = 100 000 × (1 + 0,005) = 100 000 × 1,005 = 100 500 reais • Passado o segundo mês do depósito inicial do José, o banco deposita-

rá na conta dele, novamente, 0,5% de R$ 100 000,00. Com esse novo depósito, o saldo do José passará a ser:

saldo (após 2 meses) = saldo (após 1 mês) + 0,5% × 100 000 = fator comum

= 100 000 × (1 + 0,5%) + 0,5% × 100 000 = fator comum em evidência

= 100 000 × (1 + 0,5% + 0,5%) = 100 000 × (1 + 2 × 0,5%) = = 100 000 × (1 + 2 × 0,005) = 100 000 × (1 + 0,010) = = 100 000 × 1,010 = 101 000 reais • Passado o terceiro mês do depósito inicial do José, o banco depositará na conta dele, novamente, 0,5% de R$ 100 000,00. Com esse novo depósito, o saldo do José passará a ser: Saldo (após 3 meses) = saldo (após 2 meses) + 0,5% × 100 000 = = 100 000 × (1 + 2 × 0,5%) + 0,5% × 100 000 = = 100 000 × (1 + 2 × 0,5% + 0,5%) = 100 000 × (1 + 3 × 0,5%) = = 100 000 × (1 + 3 × 0,005) = 100 000 × (1 + 0,015) = = 100 000 × 1,015 = 101 500 reais e assim por diante. Depois de explicar esses cálculos, Carlos pergunta a José: — Como você faria para calcular o seu saldo um ano após o depósito inicial de R$ 100 000,00? — Se eu continuar a calcular os saldos da minha conta mês a mês, então, depois de uma boa dose de trabalho, eu chegarei ao valor pedido. É, são mais nove cálculos parecidos com os três primeiros! Veja como é possível chegar a um resultado, economizando tempo, cálculos e energia. Com base nos três cálculos anteriores, é possível concluir que: • no final do primeiro mês, o banco depositará na conta de José R$ 500,00, que representam 0,5% de R$ 100 000,00; • no final do segundo mês, o banco depositará mais R$ 500,00, ou seja, após dois meses o banco terá depositado 2 × 500 reais na conta dele; • no final do terceiro mês, o banco depositará mais R$ 500,00, ou seja, após três meses o banco terá depositado 3 × 500 reais na conta dele, e assim por diante. 9o ano

403

Isso quer dizer que, no final de um ano (12 meses), o banco irá depositar na conta dele 12 × 500 reais, ou seja 12 × 0,5% × 100 000. Logo: saldo (após 1 ano) = saldo (após 12 meses) = 100 000 + 12 × 0,5% × 100 000 = = 100 000 × (1 + 12 × 0,5%) = 100 000 × (1 + 12 × 0,005) = 100 000 × (1 + 0,06) = = 100 000 × 1,06 = 106 000 reais Como é possível perceber, essa forma de pensar resolve o desafio de maneira eficiente. Como calcular, então, o saldo de José dois anos após o depósito inicial de R$100 000,00? saldo (após 2 anos) = saldo (após 24 meses) = 100 000 + 24 × 0,5% × 100 000 = = 100 000 × (1 + 24 × 0,5%) = 100 000 × (1 + 0,12) = 112 000 reais As regras que acabaram de ser usadas têm o nome regime de capitalização sob juros simples, ou simplesmente juros simples. APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Uma instituição financeira paga as aplicações de seus investidores a uma taxa de juros simples de

0,6% ao mês. Qual será o valor final de uma aplicação de R$ 20 000,00 por um semestre? 2. Antônio comprou um fogão que custou R$ 530,00 e que foi financiado em 2 meses. O valor

do juro cobrado pela financeira nesses 2 meses foi de R$ 106,00. Supondo que o financiamento foi feito sob o regime de juros simples, calcule a taxa mensal de juro que foi aplicada pela financeira. 3. Ricardo resolveu fazer uma aplicação financeira colocando R$ 150 000,00 em uma conta bancária

que rende 0,5% de juros simples ao mês, a partir do dia 2 de janeiro de 2013. Ele pretende deixar esse dinheiro rendendo durante dois anos até o dia 2 de janeiro de 2015, quando pretende sacar seu investimento para comprar, com pagamento à vista, um apartamento que custa R$ 170 000,00. Imaginando que o preço desse apartamento permaneça o mesmo durante o tempo de aplicação, essa aplicação permitirá que Roberto compre aquele apartamento sem ter que investir nenhuma quantia a mais?

UMA GENERALIZAÇÃO DO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SOB JUROS SIMPLES Com base no que foi observado nos exemplos anteriores, pode-se construir uma generalização do regime de capitalização sob juros simples e aplicá-la em outras situações que envolverem o cálculo de juros simples, considerando as informações específicas de cada situação. Primeira generalização: cálculo do montante alguns meses após o dia 2/1/2013. Se representarmos por uma variável (uma letra) o número de meses de aplicação e repetirmos os procedimentos vistos, então estaremos fazendo uma primeira generalização deste tipo de aplicação. 404

Matemática

Por exemplo, vamos representar o número de meses de aplicação pela letra n. Assim: saldo (após n meses) = 100 000 × (1 + n × 0,5%) = 100 000 × (1 + n × 0,005)

Após a primeira generalização, José quis saber o que aconteceria se o valor da aplicação mudasse. Segunda generalização: cálculo do montante a partir de uma outra aplicação, após o dia 2/1/2013. Carlos explicou: — Nesse caso, basta utilizar outra variável para representar qualquer valor inicial de aplicação. Por exemplo, vamos representar a aplicação inicial pela letra C. Assim: saldo (após n meses) = C × (1 + n × 0,5%) = C × (1 + n × 0,005)

Terceira generalização: cálculo do montante com outra taxa de juro, após o dia 2/1/2013. Carlos explicou a José que também é possível generalizar a representação da taxa de juros. Se representarmos a taxa de juros pela letra i na sua forma decimal (unitária), iremos obter a generalização final. saldo (após n meses) = C × [1 + n × (i × 100)%] = C × (1 + n × i)

Porém, Carlos explicou para José que essa regra não é comumente usada por instituições bancárias ou financeiras. Em geral, se você pedir um empréstimo, ou fizer uma aplicação no sistema financeiro brasileiro, o regime utilizado não é o de juros simples. Para empréstimos ou aplicações de dinheiro em cadernetas de poupança, o regime de capitalização costuma ser o regime de juros compostos, como veremos adiante. Vejamos antes outro exemplo de aplicação do regime de juros simples. Janete pediu um empréstimo de R$ 26 000,00 em uma instituição financeira para comprar um carro. Esse empréstimo será pago no final de 10 meses em uma única parcela, a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês. Vamos calcular o valor final do carro de Janete usando a última generalização feita: • o valor do capital C a ser financiado é de R$ 26 000,00; • o período de tempo n do financiamento é de 10 meses; • a taxa de juro simples i é de 1,5% ao mês. Logo, utilizando a fórmula obtida na terceira generalização, temos:

9o ano

405

preço final (após 10 meses) = 26 000 × [1 + 10 × 1,5%] = 26 000 × 1,15 = 29 900 reais

O preço final do carro de Janete será R$ 29 900,00. APLICAR CONHECIMENTOS III

• Pedro emprestou a uma pessoa R$ 3 000,00 para serem pagos no final de 9 meses a uma taxa

de juro simples de 1% ao mês. Quanto Pedro recebeu de juro simples no final desse período?

UMA POUPANÇA SOB JUROS SIMPLES João resolveu fazer uma aplicação financeira, sob a forma de poupança, numa instituição que paga a sua aplicação a uma taxa de juros simples de 0,5% ao mês. A aplicação inicial foi de R$ 200,00 em 1o de junho. Acompanhe o que ocorreu. Data

Tempo (em meses)

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

1o/6

–

200

No dia 1o de julho, João depositou mais R$ 200,00. Veja como ficaram essas novas informações na tabela seguinte. Data

Tempo (em meses)

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

1o/6

–

200

1 /7

1,00

200 + 1

200

(200 + 1) + 200

401

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

No dia 1o de agosto, João depositou mais R$ 200,00. Data

Tempo (em meses)

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

1o/6

–

200

1 /7

1,00

200 + 1

200

(200 + 1) + 200

401

1o/8

1,00

401 + 1 + 1

200

(401 + 1 + 1) + 200

603

200

No dia 1o de setembro, João depositou mais R$ 200,00. Data

Tempo (em meses)

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

1o/6

–

200

1 /7

1,00

200 + 1

200

(200 + 1) + 200

401

1 /8

1,00

401 + 1 + 1

200

(401 + 1 + 1) + 200

603

1 /9

1,00

603 + 1 + 1 + 1

200

(603 + 1 + 1 + 1) + 200

806

o o

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

Nos três meses subsequentes, João continuou depositando mais R$ 200,00 a cada mês, naquela mesma poupança.

406

Matemática

APLICAR CONHECIMENTOS IV

1. Complete a tabela a seguinte com os valores dos diversos saldos mensais da aplicação do João nos

meses que se seguiram (sugere-se usar uma calculadora): Data

Tempo (em meses)

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

1o/6

–

200

1o/7

1,00

200 + 1

200

(200 + 1) + 200

401

1o/8

1,00

401 + 1 + 1

200

(401 + 1 + 1) + 200

603

1o/9

1,00

603 + 1 + 1 + 1

200

(603 + 1 + 1 + 1) + 200

806

1o/10

1o/11

1o/12

2. Veja a seguir outra formatação de poupança, em que o valor depositado mensalmente é de R$ 250,00,

a taxa mensal de juro simples é de 0,6% e o tempo de formação da poupança é de 8 meses. Complete essa tabela com os valores referentes aos meses de junho a setembro (sugere-se usar uma calculadora). Data

Tempo (em meses)

0,6% sobre 250,00

Saldo anterior + juros

Depósito mensal

(Saldo anterior + juros) + depósito

Saldo da aplicação

1o/2

–

250

1o/3

1,50

250 + 1,50

250

(250 + 1,50) + 250

501,50

1o/4

1,50

501,50 + 1,50 + 1,50

250

(501,50 + 1,50 + 1,50) + 250

754,50

1o/5

1,50

754,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50

250

(754,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50) + 250

1 009,00

1o/6

1o/7

1o/8

1o/9

9o ano

407

JUROS COMPOSTOS Se você já conhece o funcionamento das cadernetas de poupança, então faça uma avaliação de seus conhecimentos, acompanhando as propostas seguintes. Se não conhece, então tente acompanhá-las. Em primeiro lugar, veja os valores das taxas porcentuais diárias nos dez primeiros dias de rendimento das cadernetas de poupança referentes ao ano de 2011, de julho a dezembro. Rendimento de caderneta de poupança (em %) Dia

Julho

Agosto

Setembro

Outubro

Novembro

Dezembro

0,612

0,6235

0,7086

0,6008

0,5623

0,5648

0,6229

0,6373

0,6862

0,5931

0,5941

0,5629

0,6027

0,672

0,7132

0,5663

0,5959

0,6032

0,5739

0,7128

0,634

0,6004

0,614

0,5532

0,6084

0,6715

0,6504

0,6323

0,5919

0,5315

0,639

0,6881

0,6505

0,6258

0,5849

0,5626

0,6208

0,6716

0,676

0,609

0,5421

0,5938

0,5966

0,6301

0,6762

0,6244

0,537

0,5924

0,6084

0,6388

0,6664

0,6155

0,569

0,595

0,6074

0,6736

0,6768

0,587

0,6065

0,588

Fonte: Banco Central do Brasil. Disponível em: <www.bcb.gov.br>. Acesso em 15 out. 2012.

Imagine que uma pessoa tenha aberto uma caderneta de poupança no dia 2 de julho de 2011 com um depósito de R$ 2 500,00. No dia 2 de agosto de 2011, a taxa de rendimento das cadernetas de poupança foi de 0,6373%. (Veja esse índice na coluna “agosto” e linha “2”.) O saldo dessa pessoa, naquele dia, seria: saldo (em 2/8/2011) = saldo (em 2/7/2011) + 0,6373% do saldo (em 2/7/2011) = = 2 500 + 0,6373% de 2 500 = 2 500 + 0,6373% × 2 500 = = 2 500 × (1 + 0,6373%) = 2 500 × (1 + 0,006373) = = 2 500 × 1,006373 = 2 515,933 reais. No dia 2 de setembro de 2011, a taxa de rendimento das cadernetas de poupança foi de 0,6862%. (Veja esse índice na coluna “setembro” e linha “2”.) 408

Matemática

O saldo, naquele dia, seria: saldo (em 2/9/2011) = saldo (em 2/8/2011) + 0,6862% do saldo (em 2/8/2011) = = 2 515,933 + 0,6862% de 2 515,933 = 2 515,933 + 0,6862% × 2 515,933 = = 2 515,933 × (1 + 0,6862%) = 2 515,933 × (1 + 0,006862) = = 2 515,933 × 1,006862 2 533,197 reais. Como você pode perceber, o regime de capitalização utilizado nas cadernetas de poupança não é o regime de capitalização simples. A diferença entre o regime de capitalização simples e o regime de capitalização utilizado nas cadernetas de poupança é que o rendimento da aplicação nas cadernetas de poupança é calculado sobre o saldo do dia e não sobre o capital inicial (exceto no final do primeiro mês, quando os dois regimes coincidem). Esse regime é chamado regime de capitalização composta, ou simplesmente juros compostos.

APLICAR CONHECIMENTOS V

1. Complete a tabela seguinte utilizando o regime de capitalização composta (use uma calculadora

e faça um arredondamento com duas casas decimais): Dia

Saldo do mês anterior

Rendimento (%) do dia sobre o saldo do dia

Saldo (montante)

2/7/2011

0,6229

2 500,00

2/8/2011

2 500,00

0,6373

2 515,93

2/9/2011

2 515,93

0,6862

2 533,19

2/10/2011

2 533,19

0,5931

2/11/2011

0,5941

2/12/2011

0,5629

2/1/2012

0,5604

9o ano

409

2. Complete a tabela seguinte utilizando o regime de capitalização simples (use uma calculadora e

faça um arredondamento com duas casas decimais):

Dia

Saldo do mês anterior

Rendimento (%) do dia sobre o capital inicial

Saldo (montante)

2/7/2011

0,6229

2 500,00

2/8/2011

2 500,00

0,6373

2 515,93

2/9/2011

2 515,93

0,6862

2 533,09

2/10/2011

2 533,09

0,5931

2/11/2011

0,5941

2/12/2011

0,5629

2/1/2012

0,5604

3. Compare os valores dos saldos de cada dia sob os dois regimes de capitalização dos exercícios

anteriores. Se você quiser fazer uma aplicação em caderneta de poupança, então qual regime de capitalização escolheria? Justifique sua resposta.

EXERCITANDO MAIS

1. Rosa tem uma dívida de R$ 1 000,00 que deve ser paga em 3 meses, com taxa de juro de 8% ao

mês, em regime de juros simples. Quanto ela pagará de juros? 2. Pedro aplicou um capital de R$ 5 000,00 à taxa de juro simples de 20% ao ano durante 4 anos. Que

quantia de juro simples ele recebeu referente a esse período? 3. As demissões de trabalhadores podem ser feitas por justa causa (quando o empregado desrespei-

ta alguma lei trabalhista), e sem justa causa (quando ele não desrespeita essas leis). No caso de demissão sem justa causa, o empregador costuma fazer um tipo de acordo, pagando ao empregado certa quantia como compensação pela demissão. Imagine que uma trabalhadora tenha sido demitida de uma empresa sem justa causa e, por isso, tenha recebido a quantia de R$ 2 500,00, firmada no acordo de sua demissão. Para que o seu dinheiro não perdesse o valor muito rapidamente, ela resolveu aplicá-lo em uma instituição 410

Matemática

financeira que paga a aplicação feita pela trabalhadora a uma taxa de juro de 0,5% ao mês, usando o regime de capitalização simples (juros simples). Complete a tabela a seguir com os valores do saldo dessa trabalhadora (sugere-se usar uma calculadora). Tempo

0,5% sobre 2 500 Saldo (montante)

–

2 500,00

1 mês

12,50

2 512,50

2 meses

12,50

3 meses

12,50

6 meses

12,50

9 meses

12,50

1 ano

12,50

1,5 ano

12,50

1,75 ano

12,50

1,9 ano

12,50

9o ano

411

Capítulo

Uma leitura do mundo por meio de tabelas e gráficos Smilla/Dreamstime.com

M AT E M ÁT I C A

Podemos nos deparar com gráficos e tabelas em diversas situações do nosso cotidiano, como em uma reunião de trabalho.

Ler e interpretar informações apresentadas em gráficos e tabelas são habilidades importantes, que possibilitam às pessoas analisar temas e problemas que afetam a vida de todos. Por isso, a leitura e a interpretação de números, organizados em gráficos e tabelas, bem como a construção desses recursos, usados na estatística, serão abordados neste capítulo. Nos meios de comunicação e, em especial, nos jornais e revistas impressos e telejornais, uma variedade de informações numéricas é expressa por meio de tabelas, gráficos e porcentagens. É comum utilizar gráficos ou tabelas para expressar resultados de pesquisas que envolvem a totalidade ou parte da população de um país ou de um determinado grupo social. 412

Matemática

Para ler e interpretar essas informações, é preciso saber como elas são organizadas e apresentadas, o que significam e a que se relacionam. É importante, por exemplo, identificar o tema ou assunto a que essas informações se referem e saber como podem ser dispostas num gráfico ou numa tabela. RODA DE CONVERSA

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Qual é o tema ou assunto a que se referem os dois gráficos a seguir? Você saberia dizer de que tipo são esses gráficos? Reúna-se com seus colegas e contem uns aos outros sobre suas experiências com gráficos e tabelas: se já precisaram criar um gráfico ou pesquisar informações em um.

80 353 724

Região Norte

População em 2000

Região Nordeste

Região Sudeste

14 050 340

11 636 728

27 384 815

População em 2010

25 107 616

72 412 411

53 078 137

15 865 678

12 900 704

47 741 711

População brasileira por região

Região Sul

Região Centro-Oeste

Fonte: IBGE, Censo Demográfico 2010.

Brasil: esperança de vida ao nascer – ambos os sexos – 1980/2009 Anos de referência

Esperança de vida ao nascer – ambos os sexos

Anos

Meses

Dias

1980

62,57

1991

66,93

2000

70,46

2001

70,75

2002

71,04

2003

71,35

2004

71,66

2005

71,95

2006

72,28

2007

72,57

2008

72,86

2009

73,17

Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 16 out. 2012.

9o ano

413

LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE INFORMAÇÕES ESTATÍSTICAS

Alexandre Tokitaka/Pulsar Imagens

Como já foi mencionado, gráficos ou tabelas são geralmente usados para expressar resultados de pesquisas que envolvem a população de um país, de um determinado grupo social ou, ainda, de partes dessa população ou desse grupo. Pode-se afirmar que a coleta de dados e a criação de gráficos e tabelas são atividades que fazem parte de um campo de estudo científico chamado estatística. Um exemplo é um censo demográfico, utilizado para traçar um perfil de grupos ou populações, ou para mostrar indicadores como as taxas de mortalidade infantil e de desemprego da população economicamente ativa, entre outros.

Travessia de pedestres na Avenida Paulista, em São Paulo (SP), 2010. A diversidade da população brasileira pode ser percebida facilmente em diversas cenas cotidianas. O censo demográfico, porém, nos traz dados mais precisos que nos permitem pensar sobre as características dessa população.

Observe a tabela a seguir para analisar como foi o aumento da população brasileira nas décadas de 1980, 1990, 2000 e 2010. População total do Brasil: 1980/2010 (número de habitantes) Ano

1980

1991

1996

2000

2010

População total

119 002 706

146 825 475

157 070 163

169 799 170

190 732 694

Fonte: IBGE, Censo Demográfico 1980, 1991, 2000 e 2010 e Contagem da População 1996.

De 1980 a 2010, a população total brasileira cresceu sempre no mesmo ritmo? Para responder a essa pergunta, pode ser conveniente visualizar melhor esse crescimento por meio de um gráfico. Podemos construir um gráfico de barras ou de colunas utilizando os dados da tabela. Esse tipo de gráfico permite realizar uma comparação entre os dados fornecidos. 414

Matemática

Ilustração digital: Planeta Terra Design

População total do Brasil: 1980/2010 População (milhão de habitantes)

200,00 180,00 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00

1980

1991

1996

2000

2010

Fonte: IBGE, Censo Demográfico 1980, 1991 e 2000 e Contagem da População 1996.

Observe que os anos em que foram feitos os censos e a contagem da população aparecem em um dos eixos. No outro eixo estão representados os números de habitantes obtidos em cada censo. A altura de cada coluna indica o tamanho da população apurada em cada década. Repare no título do gráfico. Trata-se de uma informação importante que resume seu conteúdo: “População total do Brasil: 1980/2010”. Além disso, é importante saber, também, qual é a origem dos dados do gráfico, ou seja, a fonte das informações. Em geral, ela aparece na parte inferior do gráfico. Os dados de uma tabela também podem ser representados por outros tipos de gráfico. A figura a seguir é um gráfico de setores que apresenta as porcentagens correspondentes à área de cada região do território brasileiro. Porcentagem de território por região

Ilustração digital: Planeta Terra Design

6,77% 10,85% 45,25%

18,86% 18,27%

Sul Sudeste Norte Nordeste Centro-Oeste

Fonte: IBGE. Censos Demográficos

Fonte: IBGE: Censo Demográficos, 2012.

9o ano

415

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Esse tipo de gráfico possibilita visualizar partes de um todo sob a forma de porcentagem, informando a participação de cada uma delas no total. O círculo inteiro representa a porcentagem total da área do território brasileiro. As diversas regiões em que o círculo foi dividido representam as porcentagens das áreas das cinco regiões desse território. A legenda indica a correspondência entre cada setor do gráfico e cada região do Brasil. Com base no último gráfico de setores, qual região brasileira possui a maior área de seu território? E qual possui a menor área? A figura ao lado é um gráfico Crescimento populacional (1872 a 2010) (milhão de habitantes) de linha que informa como foi o 200,00 aumento da população brasileira 180,00 entre o Censo de 1872 e o de 2010. 160,00 140,00 Utilizamos esse tipo de grá120,00 fico para analisar as variações de 100,00 uma situação ou fenômeno du80,00 rante um período de tempo. 60,00 40,00 Que informações você pode 20,00 obter nesse gráfico de linha?

0,00 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2001 2010 Fonte: IBGE, Censos Demográficos, de 1872 a 2010.

APLICAR CONHECIMENTOS I

1. A tabela a seguir apresenta alguns indicadores demográficos brasileiros de 1950 a 2010. Indicadores demográficos Ano

Esperança de vida ao nascer (anos)

Taxa de natalidade (por mil hab.)

Taxa de mortalidade (por mil hab.)

1950

15,4

1960

55,9

42,1

12,5

1970

59,8

33,7

9,9

1980

63,6

30,8

8,3

1990

67,5

22,6

6,8

2000

71,0

20,7

6,4

2010

73,5

17,5

6,5

Fonte: Anuario estadístico de América Latina y el Caribe – 2010. Disponível em: <http://websie.eclac.cl/anuario_estadistico/anuario_2010/docs/Anuario%20Estadistico_2010.pdf>. Acesso em: 17 set. 2012.

Observações: Esperança de vida ao nascer ou expectativa de vida: duração provável da vida de uma pessoa tomando-se por base os índices de mortalidade da época de seu nascimento. Taxa de natalidade: número de nascimentos em um ano para cada 1 000 habitantes de um lugar. Taxa de mortalidade: número de mortes em um ano para cada 1 000 habitantes de um lugar. 416

Matemática

a) Qual é a fonte desses dados? b) Ao observar os valores indicados na coluna “Esperança de vida ao nascer”, qual é a sua con-

clusão em relação à variação desses valores de 1950 a 2010? c) Analise os dados das outras colunas e escreva o que se pode concluir a respeito das taxas de na-

talidade e de mortalidade no período indicado.

sileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a expectativa de vida das pessoas no Brasil aumentou de 62,8 anos para 73,5 anos, de 1980 a 2010. Analise o gráfico de linhas ao lado e responda às perguntas: a) Quais eram as expectativas de vida dos brasileiros em 1980, em 1990, em 2000 e em 2010?

Expectativa de vida no Brasil – 1980 a 2010 anos de vida

80 77,3 74,3 70,4

70,5

66,0

66,6

66,7

62,8

73,7

Ilustração digital: Planeta Terra Design

2. Segundo dados do Instituto Bra-

69,7

59,6

Mulher Homem Ambos os sexos

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

50 Fonte: IBGE

b) Quais foram as mudanças nas expectativas de vida das mulheres e dos homens no período

que vai de 1980 a 2010?

c) Por que a curva da expectativa de vida de ambos os sexos está entre as curvas da expectativa

de vida das mulhares e dos homens?

d) No período de 1980 a 2010, qual variação de expectativa de vida foi maior: a das mulheres ou

a dos homens? De quanto? Quanto por cento?

9o ano

417

ORGANIZAÇÃO DE DADOS AMOSTRAGEM, COLETA DE DADOS E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Ao coletar dados sobre as características de pessoas ou de objetos, muitas vezes pode ser difícil e caro observar todo o conjunto, especialmente se o grupo for muito grande. Nesses casos, em vez de examinar todo o grupo, chamado de população ou universo, examina-se uma pequena parte dele, chamada de amostra. Por exemplo, para planejar a produção de vestuário para jovens, os diretores de uma confecção se basearam em uma amostra com 2 000 entrevistas representativa de jovens entre 15 e 24 anos. Essa amostra foi definida por especialistas da fábrica com base num amplo conjunto de informações sobre a população-alvo, alcançando todas as regiões do país. Ela cobre diferentes realidades em termos de localização geográfica, urbanização, níveis socioculturais, econômicos, de escolaridade e do perfil de distribuição étnica e de gênero da população brasileira. No exemplo, a população é o conjunto de jovens com idades entre 15 e 24 anos e a amostra corresponde ao grupo de 2 000 pessoas entrevistadas. Resumindo: para fazer uma pesquisa sobre um determinado tema, define-se qual é a população considerando certas características que se quer pesquisar e, desse conjunto, escolhe-se um conjunto menor (a amostra) com as mesmas características da população para ser investigado. As conclusões e os resultados que forem obtidos na pesquisa dependem significativamente da escolha da amostra. Existem técnicas especiais para selecionar amostras adequadas e que estejam de acordo com os objetivos de uma pesquisa. Elas são denominadas técnicas de amostragem. Em estatística costuma-se organizar os dados agrupando-os em classes ou intervalos e construir tabelas com base neles. Os dados são organizados, em geral, em alguma ordem (crescente ou decrescente) e procede-se à contagem dos entrevistados. Esse procedimento é chamado de tabulação. Essa forma de organizar os dados chama-se distribuição de frequências. Acompanhe a situação seguinte: Numa pesquisa feita por estudantes do Segundo Segmento da Educação de Jovens e Adultos (EJA), foram tabulados os dados sobre as idades dos entrevistados. Observe como esses dados foram registrados: Idade

418

Matemática

No de entrevistados

Idade

No de entrevistados

||||| ||

||||| ||||| ||||| ||

||||

||||| |||||

||||

||||| ||||| ||

||||| |

||||| ||||| ||

||||| |||

Idade

No de entrevistados

Idade

No de entrevistados

||||| |

|||||

|||

AlĂŠm da forma apresentada pelos estudantes na tabela, existem outras maneiras de tabular os dados, por exemplo, como a que segue: Idade

No de entrevistados

FrequĂŞncia

Idade

No de entrevistados

FrequĂŞncia

9o ano

419

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Uma vez coletados os dados, eles podem ser organizados numa tabela, num gráfico, ou em ambos. Veja a seguir duas distribuições de frequências com base na tabulação feita pelos estudantes, ambas elaboradas em uma planilha eletrônica: 1. Distribuição por idade dos estudantes 17

Número de estudantes

16 14 10

10 8

4 4

2 0

1 0 1 0 0

0 0 0 1

2 0 0 0

0 0

0 0 1

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Idade

Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2011.

2. Distribuição por classes (faixas) de idade dos estudantes Veja os dados agrupados organizados numa tabela, segundo um critério definido. Faixa ou classe de idade

No de entrevistados por classe

Com idade até 20 anos (idade ≤ 20 anos)

Com mais de 20 até 30 anos (20 anos < idade ≤ 30 anos)

Com mais de 30 até 40 anos (30 anos < idade ≤ 40 anos)

Com mais de 40 anos (idade > 40 anos)

Agora, veja o gráfico correspondente de distribuição de frequências por classe (faixa) de idade.

80 Número de estudantes

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Distribuição absoluta de idades de estudantes por faixa de idade 90 70 60 50 40 30 20 10

16 7

0 idade ≤ 20 anos

20 < idade ≤ 30 anos

30 < idade ≤ 40 anos

Faixa de idade

420

Matemática

idade > 40 anos

Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2011.

Os resultados por classes foram apresentados por meio de suas frequências absolutas. A frequência absoluta de uma classe de idade consiste no número de entrevistados que têm idades “dentro” daquela faixa. É possível, também, representar as informações daquela tabela sob a forma porcentual, ou sob a forma de frequência relativa. Acompanhe: Faixa ou classe de idade

Frequência absoluta

Frequência relativa

7 111

= 6,306306306...%

Com mais de 20 até 30 anos

81 111

= 72,972972972...%

Com mais de 30 até 40 anos

16 111

= 14,414414414...%

7 111

= 6,306306306...%

111

111 111

= 1 = 100%

Com idade até 20 anos

Com mais de 40 anos

Total Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2011.

Nesse caso, um gráfico da distribuição de frequências pode ser: Distribuição porcentual de idades de estudantes por faixa de idade

Número de estudantes

Ilustração digital: Planeta Terra Design

90 72,97

70 60 50 40 30 20 10

14,41 6,31

6,31

0 idade ≤ 20 anos

20 < idade ≤ 30 anos

30 < idade ≤ 40 anos

Faixa de idade

idade > 40 anos

Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2011.

ARREDONDAMENTO Ao trabalhar com frequências, muitas vezes é conveniente trabalhar com dados aproximados obtidos por arredondamento. Acompanhe uma regra para arredondamento para duas casas decimais após a vírgula. Essa regra será usada para a organização das frequências relativas da tabela anterior. 9o ano

421

Para um valor ser arredondado (por exemplo, 6,306306306...%), observe a terceira casa decimal após a vírgula. • Se essa casa é ocupada por um algarismo menor que 5, então se mantêm exatamente as duas primeiras casas decimais. • Se a terceira casa decimal é ocupada pelo algarismo 5 ou por um algarismo maior que 5, então somamos uma unidade ao algarismo da segunda casa decimal (casa dos centésimos). Faixa ou classe de idade Com idade até 20 anos

Frequência absoluta

Frequência relativa

6,31%

Com mais de 20 até 30 anos

72,97%

Com mais de 30 até 40 anos

14,41%

6,31%

Com mais de 40 anos Total

111

100%

PARA REFLETIR

Como você faria o arredondamento se a segunda casa decimal após a vírgula fosse ocupada pelo algarismo 9 e a terceira casa fosse ocupada por um algarismo maior que ou igual a 5?

APLICAR CONHECIMENTOS II

1. Em um exame biométrico realizado por um professor de educação física foram anotadas as altu-

Ilustraçã

o digital:

ng Estúdio Pi

ado

ras dos estudantes de uma turma. Essas alturas, em metro, constam da seguinte listagem:

a) Organize esses dados em uma tabela de distribuição de frequências. 422

Matemática

b) Quais medidas de alturas apareceram o maior número de vezes? c) Qual é a frequência absoluta das medidas das alturas que você identificou no item b? d) Qual é a frequência relativa da altura 1,69? 2. Faça uma pesquisa das alturas dos colegas de sua classe. a) Qual é a menor altura? b) Quantos estudantes têm a menor altura? c) Qual é a maior altura? d) Construa uma tabela de distribuição de frequências dessas alturas.

ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS GRÁFICO DE BARRAS Vejamos a elaboração de uma representação gráfica de barras tomando como base a pesquisa sobre a idade dos entrevistados feita por estudantes do Segundo Segmento de Educação de Jovens e Adultos, exibida anteriormente. Para isso, vamos utilizar um plano formado por dois eixos perpendiculares. No eixo vertical são dispostas as diversas classes (ou faixas) de idades: • a primeira classe corresponde ao intervalo: idade ≤ 20 anos; • a segunda classe corresponde ao intervalo: 20 anos < idade ≤ 30 anos; • a terceira classe corresponde ao intervalo: 30 anos <idade ≤ 40 anos; • a quarta classe corresponde ao intervalo: idade > 40 anos. No eixo horizontal são representados os números de entrevistados por classe de idade. As barras que dão nome à representação gráfica são representadas por retângulos cujas bases estão “apoiadas” no eixo das classes e cujas alturas representam os números de entrevistados por classe. É necessário que as alturas dos retângulos sejam proporcionais aos correspondentes valores das classes. É importante, também, colocar um título que explique o assunto do gráfico, nomear os eixos e indicar a fonte na qual se basearam as informações. Veja a seguir a representação gráfica de barras das frequências relativas (elaboradas em uma planilha eletrônica):

9o ano

423

Faixa de idade

idade > 40 anos

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Distribuição por faixa de idade de turma de EJA 7%

30 anos < idade ≤ 40 anos

16%

20 anos < idade ≤ 30 anos

81%

idade ≤ 20 anos

7% 10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Porcentagem do número de estudantes Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2012.

GRÁFICO DE SETORES Para construir um gráfico de setores com informações na forma de valores absolutos, ou de porcentagens, usamos um círculo que representa a totalidade do grupo pesquisado, ou seja, 100%. Dividimos 360º, que correspondem ao círculo, proporcionalmente aos valores dados em porcentagem, obtendo as correspondentes medidas dos ângulos centrais. Ângulo central Ângulo central é um ângulo com vértice no centro do círculo e cujos lados passam por dois pontos da sua circunferência.

Veja alguns exemplos:

1 2

100%

1 3

× 100% = 50%

Ângulo central: 180º

60o

1 6

120o

180o

360o

× 100% = 16,66...% Ângulo central: 60º

90o

× 100% = 33,33%

Ângulo central: 120º

45o

1 8

× 100% = 12,5%

Ângulo central: 45º

1 4

72o

1 5

× 100% = 25%

Ângulo central: 90º

Ângulo central: 72º

36o

1 10

× 100% = 10%

Ângulo central: 36º

× 100% = 20%

22,5o

1 16

× 100% = 6,25%

Ângulo central: 22,5º

Acompanhe os cálculos que podem ser feitos para representar os dados da tabela seguinte em um gráfico de setores. 424

Matemática

População total e proporção da população por grandes grupos de idade em 2010

População total

190 732 694

Por grandes grupos de idade

(%)

Valores arredondados (%)

0 a 14 anos

24,20

15 a 29 anos

26,02

30 a 64 anos

41,91

65 anos ou mais

7,87

Fonte: IBGE, Censos Demográficos, 2012.

Para representar a porcentagem do grupo cujas idades estão entre 0 e 14 anos, por exemplo, desenhamos um ângulo central cujo setor circular corresponde a 24% do círculo: 24% de 360º = 0,24 × 360º = 86,4°

86°

Esse resultado pode ser obtido em uma calculadora digitando, por exemplo, as seguintes sequências de teclas:

2 4 × 3 6 0 =

2 4 × 3 6 0 %

Calculamos as medidas dos ângulos centrais correspondentes às porcentagens relativas aos outros grupos de idade para completar o círculo. Grupo de 15 a 29 anos: 26% de 360º = 0,26 × 360º = 93,6°

94º

Grupo de 30 a 64 anos: 42% de 360º = 0,42 × 360º = 151,2°

151º

9o ano

425

Grupo de 65 anos ou mais:

Proporções da população brasileira por grandes grupos de idade em 2009 8,00 % Ilustração digital: Planeta Terra design

Finalmente, utilizando um transferidor e uma régua, traçamos ângulos centrais marcando aproximadamente os graus desejados. Construímos o gráfico de setores, colocamos um título que explique do que se trata o gráfico, escrevemos uma legenda e indicamos a fonte na qual se basearam as informações.

29º

0 a 14 anos 24,00 %

15 a 29 anos 30 a 64 anos 65 anos ou mais

42,00 % 26,00 %

Fonte: Elaborado pelos autores. Dados fictícios, 2012.

GRÁFICO DE LINHA Acompanhe a seguir a construção de um gráfico de linha. Na tabela seguinte, pode-se observar como tem sido o crescimento da população brasileira desde o Censo de 1970 até o Censo de 2010. População do Brasil: 1970 a 2010 (em milhões de habitantes) Indicador

Unidade

1970

1980

1991

2000

2010

População urbana

habitante

111

138

191

Fonte: IBGE, Censos Demográficos, 2012.

Para apresentar esses dados em um gráfico de linha, utilizamos um plano (cartesiano) de coordenadas no qual representamos: • em um dos eixos, os anos em que foram realizados os censos; no exemplo, escolhemos a escala 2 cm para cada 10 anos; • no outro eixo, os correspondentes números de habitantes para cada censo. Para estabelecermos uma escala proporcional às informações sobre as populações no eixo correspondente, podemos proceder de duas formas: Primeira forma: • Marcamos nesse eixo o valor máximo da população, 191 milhões de habitantes (correspondente ao Censo de 2010), que irá representar o seu ponto máximo. • O segmento de reta com extremidades na origem do sistema (ponto comum aos dois eixos coordenados) e no seu ponto máximo é dividido proporcionalmente aos demais valores.

426

Matemática

Ilustração digital: Planeta Terra Design

8% de 360º = 0,08 × 360º = 28,8°

População urbana do Brasil: 1970 a 2010 (em milhões de habitantes) População urbana

Ilustração digital: Planeta Terra Design

Segunda forma: • Escolhemos uma escala conveniente que permita, a partir da origem e sobre esse eixo, determinar pontos sucessivos que servirão de base para os demais valores. Em nosso caso, 1 cm representa 10 milhões e 10 cm representam 100 milhões. Assim: • a população 52 milhões foi marcada a 5,2 cm da origem desse eixo; • a população 80 milhões foi marcada a 8,0 cm da origem desse eixo; • a população 111 milhões foi marcada a 11,1 cm da origem desse eixo; • a população 138 milhões foi marcada a 13,8 cm da origem desse eixo; • e a população 191 milhões foi marcada a 19,1 cm da origem desse eixo. Em seguida, marcamos os pontos no plano de coordenadas. Esses pontos são determinados por pares ordenados de valores da seguinte forma: • a partir de um valor de um ano em que foi realizado um censo no eixo correspondente, traçamos uma reta paralela ao outro eixo; • a partir do correspondente número de habitantes daquele ano, traçamos uma reta paralela ao eixo correspondente aos anos dos censos; • o ponto comum dessas duas retas perpendiculares é o ponto do plano que corresponde ao par de informações com o qual se está trabalhando; • procedemos da mesma forma para os demais valores da tabela. Uma vez determinados todos os pontos, basta ligá-los, ordenadamente, com segmentos de reta e teremos um gráfico de linha que representa, aproximadamente, os dados da tabela. Também é conveniente colocar um título que explique do que se trata o gráfico, nomear os eixos e indicar a fonte na qual se basearam as informações.

200 191

150 138

111

100

52 50

1970

1980

1990 Censo

2000

2010

Fonte: IBGE. Censos demográficos, 2012.

9o ano

427

APLICAR CONHECIMENTOS III

1. a) Faça uma pesquisa sobre o mês

Aniversários

de aniversário dos colegas de sua classe e registre em uma tabela como a apresentado ao lado:

Mês

Frequência absoluta

Frequência relativa

Janeiro

Fevereiro ...

...

b) Faça outra tabela colocando so-

mente os meses em que há aniversariantes, o número de estudantes correspondente a cada mês, a porcentagem de estudantes que aniversariam em cada mês e a medida aproximada do ângulo de cada setor correspondente a cada mês.

...

Aniversários

Mês

No de alunos

Porcentagem (%)

Medida dos ângulos (graus)

c) Construa um gráfico de setores coloridos, consultando as informações da tabela para mostrar

essa distribuição de frequências. Se você usar uma cor para cada setor, então não há necessidade de colocar números no gráfico, basta fazer uma legenda. • Qual é o mês em que ocorrem aniversários com maior frequência? • Qual é a taxa porcentual de aniversários desse mês?

428

Matemática

2. A família Silva, no período de

Consumo de água de março/2012 a fevereiro/2013

março de 2012 a fevereiro de 2013, teve o seguinte consumo de água, em m3.

Faça um gráfico de linha que represente esses dados. O que você pode concluir em relação ao consumo de água da família Silva nesse período?

Mês/ano

março/2012

setembro/2012

abril/2012

outubro/2012

maio/2012

novembro/2012

junho/2012

dezembro/2012

julho/2012

janeiro/2013

agosto/2012

fevereiro/2013

EXERCITANDO MAIS

1. Elabore um texto sobre seu entendimento a respeito de população e amostra. Depois, comente

por que, em algumas pesquisas, uma amostra é utilizada para representar uma população. 2. O gráfico seguinte mostra o número de matrículas da EJA no Ensino Fundamental no período de

Ilustração digital: Planeta Terra Design

1999 a 2010. Matrículas da EJA no Ensino Fundamental 3 516 225

3 315 887

2 846 104 2 112 214

1999

2003

2006

2010

Fonte: Edudata e Censo Escolar 2010.

a) Faça uma análise do número de matrículas no Ensino Fundamental de estudantes do sistema

EJA no período de 1999 a 2010.

b) De acordo com o gráfico, em qual período de tempo houve o maior crescimento do número

de matrículas no Ensino Fundamental do sistema EJA? Quais foram as variações absoluta e relativa (porcentual) nesse período?

c) De acordo com o gráfico, houve algum período de tempo no qual o número de matrículas no

Ensino Fundamental do sistema EJA diminuiu? Se houve, destaque-o e calcule as variações absoluta e relativa (porcentual) nesse período. 9o ano

429

no gráfico (1999 a 2010) houve crescimento ou redução no número de matrículas no Ensino Fundamental do sistema EJA? Calcule as variações absoluta e relativa (porcentual) nesse período.

e) Compare as variações absoluta

Taxa de analfabetismo das pessoas com 10 anos ou mais, em % 2000

24,6 17,6

15,6

12,8 9

Brasil

2000

10,6

Norte

7,5

Nordeste

Ilustração digital: Planeta Terra Design

d) No período total representado

9,7 5,1

Sudeste

6,6

4,7 Sul

Cento-Oeste

e relativa (porcentual) obtidas no item b) com as variações absoluta e relativa obtidas no item d). Quais são suas conclusões sobre esses resultados? Fonte: Censo Escolar 2010.

3. O analfabetismo é, ainda, um dos grandes problemas brasileiros no âmbito da Educação.

O gráfico a seguir destaca os índices de analfabetismo das cinco grandes regiões em que o Brasil foi dividido, nos anos 2000 e 2010. a) Realize uma análise dos índices observados no gráfico. b) Em quais regiões houve maior e menor redução dos índices de analfabetismo? Calcule essas

reduções. c) Houve, em alguma das regiões, um aumento do analfabetismo entre 2000 e 2010? Em caso

afirmativo, qual foi ela, ou quais foram elas?

PARA AMPLIAR SEUS ESTUDOS

Livro

Estatística IMENES, L. M.; JAKUBO, J.; LELLIS, M. Estatística. São Paulo: Atual, 2001. (Coleção Pra que serve matemática?)

430

Matemática

Bibliografia

MATEMÁTICA BRASIL. Ministério da Educação. INEP. Matemática e suas tecnologias: livro do estudante – ensino fundamental. Brasília: MEC/INEP, 2002. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática – 3o e 4o ciclos. Brasília: MEC/SEF, 1998. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos. 2o Segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002, v. 3. BRASIL. Ministério da Educação. Instituto de Matemática e Estatística e Ciências da Computação – Unicamp. Geometria experimental. São Paulo: MEC/IMECC/ PREMEN/SE/CENP, 1980. BRASIL. Ministério da Educação. Universidade Federal do Ceará. Centro de Ciências. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada. Noções de estatística no ensino de matemática do 1o grau. Rio de Janeiro: MEC/SEPS/PREMEN/ FENAME, 1981. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Diário de classe – 5: Matemática. São Paulo: FDE, 1994. IMENES, Luiz Marcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Para que serve a Matemática). LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. MONTENEGRO, Fábio; RIBEIRO, Vera Masagão. Nossa escola pesquisa sua opinião. 2. ed. São Paulo: Global, 2002. MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Editora Saraiva, 2006. v. 5, 6. SANTOS, Vânia Maria Pereira dos (Org.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática. Rio de Janeiro: UFRJ – Instituto de Matemática, 1997. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP. Experiências matemáticas. São Paulo: SE/CENP, 1984.

7º Ano

431

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógica – CENP. Prática pedagógica: Matemática 1o grau. São Paulo: SE/ CENP, 1993. v. 1-4. STRUIK, D. J. História concisa das Matemáticas. Trad. João Cosme Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1992. TINOCO, L. A. A. (Coord.). Razões e proporções. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ. Centro de Ciências. Departamento de Estatísticas e Matemática Aplicada. Noções de estatística no ensino de matemática do 1o grau. Rio de Janeiro: MEC/SEPS/PREMEN/FENAME, 1981.

432

Matemática

9o ano – Capítulo 1

Desde tempos remotos Um procedimento comumente adotado por pedreiros no início da construção de um prédio mostra um conhecimento prático que essas pessoas possuem sobre como construir ângulos retos. Em geral, eles marcam o terreno, indicando a posição de cada cômodo, por meio de fios de náilon amarrados em estacas de madeira. Como geralmente pretende-se que as paredes formem ângulos retos, os pedreiros têm de fazer os fios de náilon ficarem no esquadro. A expressão “ficar no esquadro” significa “formar ângulo reto”. Caso haja em suas turmas estudantes que conheçam o método mencionado no texto ou algum similar, seria conveniente pedir a eles que expliquem como se faz essa operação. Após a explanação, os estudantes podem apresentar conjecturas que justifiquem que o canto formado é reto. Nesse momento, alguns aspectos históricos e o enunciado do Teorema de Pitágoras podem fundamentar esses conhecimentos práticos. Utilizar relatos de experiências dos estudantes pode ser um estímulo para que se descubram relações entre suas vivências e o saber matemático escolar sistematizado, saber este que pode se ampliar à medida que novos problemas vão se apresentando. Um exemplo é o conceito de raiz quadrada, que surgiu ao se determinar a medida de um dos lados de um triângulo retângulo usando o Teorema de Pitágoras. O conteúdo do capítulo é particularmente propício para que se possa, por meio de propostas adequadas, relacionar experiências de educandos jovens e adultos com o saber matemático escolar. Assim, outros saberes vinculados à construção de casas poderiam ser trazidos para a sala de aula. Por exemplo, a construção de telhados. Neste capítulo, com os comentários feitos e as sugestões de atividades, pretendemos refletir sobre formas de ensino-aprendizagem que poderiam desencadear ações visando a construção de conteúdos matemáticos com significado e compreensão. Assim, das linhas semelhantes aos chifres de carneiro foi feita uma analogia com as linhas poligonais formadas pelos lados de triângulos retângulos. Na construção desses triângulos, os estudantes podem ter os primeiros contatos com alguns números irracionais, começando com a representação geométrica do número 2 . Qualquer processo de ensino-aprendizagem do conceito de número irracional tem uma razoável dose de dificuldade. Por isso, as atividades com números irracionais foram propostas como situações nas quais os estudantes possam compreender que existem outros números, além dos racionais, que fornecem respostas para alguns problemas, como o cálculo da medida da diagonal de um quadrado. Para fazer cálculos com números irracionais, é aconselhável recorrer a uma calculadora, de modo a trabalhar com aproximações decimais. Por falar em calculadoras, o uso tão comum delas

no dia a dia nos faz repensar a necessidade que os jovens e adultos que voltam aos estudos têm de aprender algoritmos de cálculo. Cálculos longos poderiam dar lugar a atividades que enfatizam a interpretação de dados, os processos e as abordagens de execução e resolução. Contudo, não se está abrindo mão da aquisição de habilidades básicas com números, do cálculo mental e do conhecimento da noção da ordem habitual (de grandeza) dos números. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos nos conteúdos desenvolvidos no capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • identificar os elementos de um triângulo retângulo. • verificar experimentalmente o teorema de Pitágoras. • identificar, interpretar e utilizar símbolos para representar raiz quadrada. • conceituar raiz quadrada. • ampliar o conceito de número, com a introdução de alguns números irracionais. • identificar um número irracional como um número cuja representação decimal é infinita e não periódica. • determinar um valor aproximado da raiz quadrada de um número com uma calculadora.

Conteúdos • uma relação importante: o teorema de Pitágoras. • teorema de Pitágoras: aplicações. • números irracionais.

Aplicar conhecimentos I

A verificação do Teorema de Pitágoras proposta é experimental, por meio do cálculo das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos e a hipotenusa. Na atividade, a ideia é que os estudantes tentem fazer uma tradução algébrica desse fato geométrico. Ou seja, espera-se que, ao representar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa por a2, por exemplo, e as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos por b2 e c2, eles concluam e expressem a relação entre essas áreas por: a2 = b2 + c2. a) 9 u2 b) 16 u2 c) 25 u2 d) 52 = 32 + 42 ou 25 = 9 + 16 e) Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Aplicar conhecimentos II 1.

a) 10 cm b) 100 c) 36 + 64 = 100. São iguais. 2. a) 64 = 8 porque 82 = 64. b) 100 = 10 3. 4 9o ano

Aplicar conhecimentos III

1. a) 16 quadradinhos b) 16 cm2 c) 4 cm d) 4 = 16 e) L = A 2. Representando a medida da diagonal AC por d, temos: d2 = 122 + 202. Então, d2 = 144 + 400 = 544 e d = 544 ≈ 23,32 cm. 3. O triangulo ABC é retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras: 402 = 322 + distância2. Logo, distância2 = 1 600 − 1 024 = 576 e x = 576 km = 24 km.

Aplicar conhecimentos IV

1. 34 cm. Sim. 2. a) 10 cm2 b) Um número racional, pois 10 é número inteiro e pode ser expresso por 10 = 20 = ..., que são cocientes entre dois 1 2 números inteiros. 3. 21,213 cm.

Exercitanto mais

1. 12 cm 2. 1,41 unidades e 2,24 unidades 3. 30 cm 4. 576 e 5 184 5. 2,5 m2 6. a) 5 b) 2,23606798

Sugestão de atividade complementar Cálculo de expressões aritméticas e a memória de uma calculadora

Expressões aritméticas são expressões que envolvem números e operações entre eles. A memória é um importante recurso da calculadora. É um lugar de armazenamento de números que podem ser utilizados mais de uma vez em algum cálculo. Em geral, as teclas das funções de memória são: MC : são as iniciais da expressão inglesa Memory Clear (“limpar memória”). Pressionando esta tecla, a calculadora limpa a memória de possíveis valores lá guardados. Pressione-a antes de iniciar novos cálculos. MR : são as iniciais da expressão inglesa Memory Recall (“chamar memórias”). Pressionando essa tecla, a calculadora exibe, no visor, o resultado armazenado na memória. 62

Matemática

: A calculadora soma o número que está no visor com um valor já armazenado na memória. M– : A calculadora subtrai o número que está no visor do valor já armazenado na memória. Em algumas calculadoras simples, as teclas de função de memória são: M+

M+

M–

MRC

MR/MC

Para assimilar passo a passo a utilização da memória de uma calculadora, vamos acompanhar os cálculos de algumas expressões aritméticas. Nessas expressões, fazemos primeiro a multiplicação e a divisão. Em seguida, a adição e a subtração, na ordem em que aparecem. a) 38 × 35 + 12 Para calcular o valor dessa expressão, pode-se digitar: 3

No visor da calculadora, deverá aparecer o resultado 1 342. b) 12 + 38 × 35 Se, para calcular o valor dessa expressão, alguém digitar: 1

Qual resultado deverá aparecer no visor da calculadora? No caso de uma calculadora simples, o resultado que se irá obter é 1 750; porém, esse não é o resultado esperado. Veja uma explicação: como 38 × 35 + 12 = 12 + 38 × 35 (esta é a propriedade comutativa da adição), então espera-se que 12 + + 38 × 35 = 1 342. Mas não foi isso que aconteceu. Por quê? Nas calculadoras mais simples, quando se pressiona uma tecla de operação ( + , – , × , ÷ ), o processador numérico da máquina está preparado para realizar a operação das duas últimas entradas. No nosso exercício, quando alguém realiza as etapas: 1

a calculadora realiza a soma de 12 com 38 e exibe no seu visor o numero 50. Se, na sequência, for digitado: 3

então a calculadora irá computar 50 × 35, cujo resultado é 1 750. Em casos como esse, em vez de calcular 12 + 38 × 35, basta calcular 38 × 35 + 12. c) 38 × 35 + 12 ÷ 5 Com a experiência obtida no item b), para calcular o valor dessa expressão, se digitarmos: 3

nesta ordem, em uma calculadora simples, então iremos obter a seguinte sequência de resultados:

1 330 1 342

Porém, não é isso que se espera como resultado da expressão: 38 × 35 + 12 ÷ 5. Para que se possa obter o resultado de 38 × 35 + 12 ÷ 5 sem ter de escrever os resultados preliminares, então pode-se fazer uso da memória. Veja como: Pressione: MC para limpar a memória de algum resultado que esteja armazenado. Em seguida, digite: 8

268,4

d) 38 × 35 + 12 ÷ 5 – 257 Para essa expressão, há pelo menos duas maneiras de proceder. Pode-se digitar:

2,4

1 330

Outra forma para calcular o resultado da expressão 38 × 35 + + 12 ÷ 5 é a seguinte: 3

M+

M+ MR

No visor da calculadora deve aparecer o resultado 1 332,4. Observe, passo a passo, as operações que foram realizadas, quando você pressionou a sequência indicada de teclas.

Calcula 38 × 35, que é 1 330. Soma 1 330 ao valor atual da memória, que é zero. Calcula 12 ÷ 5, que é 2,4.

M+

M– MR

Subtrai 257 do valor atual da memória, que é 1 332,4.

Soma 2,4 no valor atual da memória, que é 1 330.

Exibe no visor o valor atual da memória, que é 1075,4.

Calcula 12 ÷ 5, que é 2,4.

ou:

M+

1 332,4

M+

Soma 1 330 ao valor atual da memória, que é zero.

Calcula 38 × 35, que é 1 330.

(Em algumas calculadoras, há necessidade de se pressionar a tecla = antes da tecla M+ .) Se os passos forem seguidos corretamente, o resultado 38 × × 35 = 1 330 deverá estar armazenado na memória da calculadora. Em seguida, digite: 1

M+ MR

Soma 2,4 no valor atual da memória, que é 1 330. Exibe no visor o valor atual da memória, que é 1 332,4.

M+

1 330

M+ MR

–

2,4 1 332,4 1 075,4

Em qualquer caso, o resultado da expressão 38 × 35 + 12 ÷ ÷ 5 – 257 é 1 075,4. e) 57,60 ÷ (12,4 – 11,5) Nessa expressão, para usarmos os recursos da calculadora com o objetivo de minimizar as nossas ações, primeiro efetuamos os cálculos nos parênteses. Em seguida, armazenamos esse resultado na “memória”. Finalmente, dividimos 57,60 pelo resultado armazenado. Veja: MC

–

M+

Após essa sequência, o valor que aparece no visor é 64.

Para ampliar Livros Coleção Matemática sem problemas. São Paulo: José Olympio/ Melhoramentos, 1972. MORi, iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2007. v. 5-8. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP). Experiências matemáticas. São Paulo: SE/CENP, 1984. STRUiK, D. J. História concisa das matemáticas. Tradução de João Cosme Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1992. 9o ano

Capítulo 2

Conexões matemáticas Aritmética, álgebra, geometria e medidas constituem a base do ensino de matemática praticado nas escolas de ensino fundamental. Na aritmética, são trabalhados os diversos tipos de números e as operações elementares. Na álgebra, são estudadas algumas expressões algébricas e algumas operações que podem ser realizadas com elas e, ainda, alguns tipos de equações e inequações. Na geometria, são trabalhados o espaço, figuras unidimensionais (segmentos de reta, circunferências), bidimensionais (alguns polígonos planos) e tridimensionais (cubos, blocos retangulares, pirâmides). São trabalhadas também medidas de comprimento, área e volume, massa e tempo. Recomenda-se criar situações de aprendizagem que possibilitem o estabelecimento de articulações entre os diversos conteúdos que compõem cada um desses campos, para que seja possível desenvolver uma compreensão mais abrangente de um conhecimento matemático. Um modo para trabalhar essas articulações é por meio de propostas de situações-problema e suas resoluções, e da integração entre aritmética, álgebra, geometria e os diversos tipos de medidas. Para isso, é importante estimular os estudantes a trabalhar matematicamente fazendo uso integrado dos conhecimentos adquiridos sobre esses campos matemáticos. É conveniente que os docentes se habituem a descrever e representar suas experimentações, a apresentar seus resultados com precisão, a argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e de diferentes representações simbólicas. Também é importante observar como as ideias matemáticas se relacionam. O estabelecimento de conexões entre diferentes conteúdos matemáticos pode propiciar o reconhecimento de princípios relevantes e destacar algumas características importantes da matemática, contribuindo dessa forma para que essa disciplina seja vista como um todo integrado e reconhecida pela sua relevância, suas potencialidades, seu caráter formativo e pelas imensas aplicações em campos externos a ela, tanto dentro como fora da escola. O propósito deste capítulo é explorar algumas situações que possibilitem utilizar conceitos e procedimentos de um campo específico da matemática para a compreensão de conceitos e procedimentos de outros campos, relacionando aritmética, álgebra, geometria e medidas. Por exemplo, no capítulo, as ideias de razão e proporcionalidade, abordadas anteriormente, serão aplicadas na geometria. Ao estudar o Teorema de Tales, os estudantes poderão retomar o conceito de semelhança, verificar a propriedade das retas paralelas cortadas por retas transversais e observar algumas situações nas quais essa propriedade pode ser aplicada para resolver problemas. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos estudantes na aprendizagem dos conteúdos desenvolvidos neste capítulo. 64

Matemática

Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • dividir segmentos de reta em partes congruentes entre si ou segundo uma razão qualquer. • compreender o teorema de Tales por meio de verificações experimentais. • aplicar o teorema de Tales na resolução de situações-problema referentes a retas transversais a um feixe de retas paralelas. • produzir e interpretar diferentes escritas algébricas reconhecendo-as como um tipo de linguagem que permite expressar generalizações. • efetuar as operações de adição e subtração com monômios com compreensão dos procedimentos envolvidos. • identificar polinômios. • aplicar o cálculo algébrico na resolução de problemas.

Conteúdos • Divisão de segmentos em partes proporcionais. • Teorema de Tales. • Expressões algébricas. • Monômios e polinômios.

Geometria e proporcionalidade

Nesta parte do capítulo é estudado o Teorema de Tales. Após a explicação, é conveniente verificar se os conceitos de retas paralelas, retas perpendiculares, razão, proporção e semelhança de triângulos, abordados anteriormente, foram assimilados pelos estudantes. Caso seja necessário, retome cada um deles. Pode ser interessante comentar com suas turmas algumas das descobertas e criações feitas por Tales de Mileto, considerado por muitos historiadores um dos matemáticos responsáveis pela compreensão da geometria como ciência (ver, por exemplo: <www. brasilescola.com/biografia/tales-de-mileto.htm>). Ele foi um dos primeiros a considerar o aspecto abstrato das figuras geométricas. Para ele, uma pirâmide, por exemplo, é um objeto matemático, fruto do pensamento, e as pirâmides concretas que podemos construir devem se aproximar, tanto quanto possível, de sua idealização. Para Tales, uma propriedade, regra ou lei matemática, ao ser demonstrada, sempre tem caráter universal. De acordo com seu pensamento, os teoremas são leis matemáticas que podem ser provadas por meio de raciocínio lógico. Um grande feito de Tales de Mileto foi calcular a altura da pirâmide de Quéops, no Egito, sem medi-la diretamente, mas baseando-se em conhecimentos da geometria. Observando a sombra produzida por uma vareta fincada verticalmente no solo, em diferentes momentos do dia, ele concluiu que, se em determinado momento o comprimento da vareta fosse exatamente o mesmo que o comprimento de sua sombra, então a altura da pirâmide também seria igual ao comprimento de sua sombra. A explicação de Tales apoia-se no conceito de semelhança de triângulos e na ideia de que os raios de luz que saem do Sol e chegam à Terra são praticamente paralelos. Para mostrar que o triângulo formado pela sombra da pirâmide no solo, pela sua altura e pelo raio de luz que passa pelo seu vértice é semelhante ao triângulo formado pela sombra da va-

reta no solo, pela sua altura e pelo raio de luz que passa pela sua extremidade superior, ele utilizou uma propriedade dos feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais.

Aplicar conhecimentos I

Nas atividades, são apresentadas situações-problema que podem ser resolvidas aplicando as ideias de Tales. Ao resolver os problemas, é importante que os estudantes comprovem a validade de suas ideias por meio de argumentos lógicos. 1. Resposta pessoal 2. a) Se o segmento AB a seguir, que mede 18 cm, está dividido em três partes iguais, então, pelo Teorema de Tales, o segmento AC também terá sido dividido em três partes iguais, com aproximadamente 6,6666... cm cada uma. A

guagem algébrica podem favorecer a compreensão dessas relações e possibilitar aos docentes a avaliação de quanto sua turma se apropriou das ideias trabalhadas, e se há necessidade de retomar algumas delas. No capítulo, enfatiza-se o estudo do cálculo algébrico de um ponto de vista abstrato. Essa abordagem é importante para mostrar outro aspecto da matemática, que vai além do utilitário, e apresentá-la como linguagem e sistema lógico. Entretanto, nesse momento, pode ser desnecessário estender um estudo de cálculos algébricos. A proposta consiste em trabalhar com expressões consideradas simples, envolvendo polinômios com uma ou duas variáveis, com expoentes 1 e 2. Um estudo com monômios pode ser orientado para operações de adicionar e subtrair monômios. É conveniente evitar monômios com muitas variáveis. É importante observar como os estudantes fazem esses cálculos, suas dificuldades e, se necessário, acrescentar outros exemplos. Ao trabalharem com a multiplicação e a divisão de monômios, os estudantes terão oportunidade de aplicar suas propriedades e identificar algumas relações entre elas.

Aplicar conhecimentos II C b) Um exemplo de como o problema pode ser resolvido: 3 cm

5 cm

c) Para resolver o problema, podemos, por exemplo, partir de um segmento de reta com 24 cm e dividi-lo em três partes, com as seguintes medidas: a = 4 cm, b = 8 cm = 2 ∙ a e c = 12 cm = 3 ∙ a. A partir dele, e usando o Teorema de Tales, pode-se dividir o segmento de 20 cm em partes proporcionais a essas.

1. Modelos de resposta: a) variável: é toda letra que ocorre em uma expressão algébrica e pode representar qualquer número, levando-se em conta as possíveis restrições operacionais e convencionais. b) monômio: expressão algébrica que representa um produto de números por variáveis na forma de potências com expoentes inteiros positivos ou, eventualmente, o expoente 0. c) coeficiente de um monômio: fator numérico do monômio. d) parte literal de um monômio: produto das variáveis na forma de potências com expoentes inteiros positivos, ou, eventualmente, o expoente 0. e) monômios semelhantes: monômios cujas partes literais são iguais. f) polinômio: expressão algébrica que é soma de monômios não semelhantes. 2. Monômio nulo é aquele cujo coeficiente é igual a zero. 3. a) –n2; 5m

Aritmética e álgebra

O objetivo dessa parte do capítulo é propiciar a construção de procedimentos algébricos para expressar generalizações numéricas, com base na compreensão de algumas convenções, próprias da linguagem da álgebra. Nesse caso, é altamente significativo fazer que os estudantes percebam que a linguagem algébrica auxilia a construir generalizações e que estas são úteis para resolver determinados tipos de problemas. Para conferir maior significado aos procedimentos algébricos, é importante estimular os estudantes a relacionar as generalizações algébricas aos conhecimentos construídos sobre as operações numéricas e suas propriedades. O texto “Aritmética e álgebra” e as atividades que solicitam explicações sobre o significado de termos usados em lin-

2 b) – xy2

m c) – 2 ; 4 · n2 · m ; 2

4. a) monômio; b) binômio; c) trinômio 3 2 2 3 5. n + 2 · m · n + m · n + m é um polinômio.

Aplicar conhecimentos III

Neste grupo de atividades, áreas de quadrados e retângulos e volumes de cubos são usados como recursos gráficos para visualizar situações de operações com polinômios. Esses recursos podem possibilitar que se explore aritmética e geometricamente cada situação, estabelecendo relações entre medidas, até se chegar a alguma lei geral, dada numa expressão algébrica. Para favorecer a compreensão do aspecto abstrato que caracteriza as 9o ano

expressões algébricas, é oportuno que a análise das situações seja acompanhada por explicações e justificativas lógicas. 1. 21 · x + 14 2. a) 2a b)

7c 5b x+3

x+3

x+3 x+3

3·a 2·a 5·a 3. perímetro = 2 ∙ a + 2 ∙ b + 10 metros; área = a ∙ (b + 5)

Exercitando mais

1. x = 8 2. y = 9 3. AB = DE . Existem outras respostas. BC EF 4. a) 2 · (a + b) (a + b)2 c) a + b2 b) 5. Algumas respostas possíveis:

d) a2 + 2 · b

a) 32 · a2; 5,3 · a2; 1 · a2. 2 b) 2,5 · x; 2,5 · b2. 6. Figura 1: perímetro = 6 . a; Figura 2: área = 3 . b2; Figura 3: medida do lado = 2 . c. 7. A figura da esquerda é um octógono (um polígono com 8 lados). Perímetro do octógono = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + + AH = x + x + x + x + x + x + 3 ∙ x + 3 ∙ x = 12 ∙ x = 6 ∙ x 2

Perímetro do pentágono = 2 . x + 3 . x + 5 . x + 6 . x = 16 . x

a) 3 · x2 b) x2 9. a) x · (3 + x) 10. 6 · x3 11. a) 3 · x2

c) 3 · x2

e) 0

g) 2 · x2

d) 5 · x2

f) 8 · x2

h) 2 · x2

b) x · (3x + x2 + 3)

b) 2 · x3

c) (x + 6) · (x + 5)

c) 8 · x

Sugestões de atividades complementares

d) 6 · x

1. Solicite aos estudantes que leiam o texto a seguir e destaquem as ideias principais. 66

Matemática

A linguagem da matemática Há vários séculos, diferentes civilizações vêm criando símbolos, notações e códigos para melhor comunicar as ideias matemáticas. Hoje, conhecemos vários símbolos, como os numéricos (0, 1, 2, 3); os que indicam operações aritméticas (+ , – , × , ÷); os que indicam relações (= e ≠), e letras de algum alfabeto, como x e y, que são usadas para representar incógnitas e variáveis. Segundo historiadores, a ideia de usar símbolos para otimizar a escrita e os cálculos matemáticos surgiu por volta de 400 d.C. com Diofante de Alexandria (325-409 d.C.). Os símbolos criados por ele possibilitaram que as expressões, que até então eram escritas com palavras, pudessem ser representadas com abreviações. Diofante viveu num período bastante tumultuado, marcado por guerras que ocasionaram a queda do Império Romano. Nesse período, os estudos matemáticos foram praticamente interrompidos e só retornaram no século VI d.C., com a ascensão do império árabe. Transcorreram mais de mil anos até que o uso da notação algébrica fosse introduzido nos estudos da geometria, a partir dos trabalhos de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.

F orneça aos estudantes livros didáticos de matemática (8o e 9o anos) para que, em grupos, pesquisem sobre linguagem algébrica, complementem as informações apresentadas no texto e construam uma linha do tempo para mostrar a evolução da escrita algébrica, destacando datas e acontecimentos mais importantes. 2. Ao provar seu teorema, Tales considerou que os raios de sol, ao incidirem sobre os objetos, podem ser vistos como feixes de retas paralelas, devido à grande distância que separa o Sol da Terra. Será que os raios de luz produzidos por uma lâmpada acesa também formam feixes de retas paralelas? Para fazer a verificação, construa com os estudantes o seguinte experimento: posicione paralelamente dois objetos, como dois lápis colocados “em pé” sobre uma superfície, iluminados por raios de luz que venham de uma lâmpada ou de outra fonte de luz artificial, e observe a sombra desses objetos. Nesse caso, os raios de luz são paralelos? 3. Um feixe de retas paralelas que determina segmentos de retas congruentes sobre uma reta transversal também determina segmentos de reta congruentes em qualquer outra reta transversal a esse feixe. Proponha o estudo dessa propriedade sugerindo aos estudantes que façam observações nas construções que seguem. m

r s

O que se pode afirmar sobre: • a reta m e as retas p, q, r, s?

• os segmentos de reta AB, BC e CD? Constatado que a reta m é transversal às retas e que os segmentos de reta AB, BC e CD são congruentes, peça aos estudantes que observem na ilustração a seguir, a reta n e os segmentos de reta que estão sobre ela e verifiquem se eles também são congruentes. m

E F

B G

C D

Filme

Arte e Matemática. São Paulo: TV Cultura. Brasil, 2000. Série de treze programas.

p q r s

F eita a nova constatação de que os segmentos de reta que estão sobre a reta n também são congruentes, proponha a seguinte pergunta: “Se traçarmos uma reta transversal ao feixe de retas paralelas p, q, r, s, o que se pode afirmar sobre os segmentos de reta que estão sobre ela?”. Para obter a resposta, os estudantes poderão traçar a reta na figura anterior e determinar os segmentos de reta sobre ela. Pode-se ampliar essa experimentação fazendo com que os estudantes tracem feixes com três retas paralelas p, q, r, cortadas por duas retas transversais m e n, de modo que os segmentos de reta determinados em cada uma das retas transversais não sejam congruentes, e concluam que nesse caso os segmentos de reta que estão sobre a reta m são proporcionais aos segmentos de reta que estão sobre a reta n. Talvez seja oportuno ensinar os estudantes a construir feixes de retas paralelas e transversais com régua, esquadro e compasso, tendo em vista que construções geométricas precisas auxiliam na descoberta, comprovação e consolidação de aprendizagens sobre as propriedades das figuras geométricas. Proponha várias experimentações para que os estudantes comprovem o Teorema de Tales, tentando descobrir a altura de uma árvore, de um poste, de um edifício, a partir da medida de sua sombra e da medida da sombra de um objeto cuja altura é conhecida.

Para ampliar Livros

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, 3o e 4o ciclos. Brasília: MEC/SEF, 1998. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça (Coord.). Transformando a prática das aulas de Matemática. São Paulo: Proem, 2001. v. 5. COXFORD, A., SHULTE, A. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. LINS, Rômulo C., GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. TINOCO, Lúcia A. A. (Coord.). Razões e proporções: semelhança e Teorema de Tales. Rio de Janeiro: UFRJ, 1997.

Capítulo 3

Matemática nas finanças Este capítulo introduz os seguintes conceitos da matemática financeira que são interessantes para um curso de ensino fundamental para jovens e adultos. Capital: não é um conceito matemático; um entendimento geral sobre ele é bastante difícil e vai muito além dos objetivos deste texto. Uma forma bastante simplificada desse conceito consiste em pensar que um capital equivale a certa quantia em dinheiro ou algo que possa ser trocado por dinheiro (uma casa, um terreno, um automóvel, uma obra de arte, equipamentos, ações, títulos financeiros). Juro do capital: podemos entendê-lo como o “aluguel” pago a alguém (dono do capital) pelo seu uso, por parte de quem o usou. Assim, se uma pessoa pedir emprestada determinada quantia em dinheiro a alguém, ou a alguma instituição, essa pessoa se propõe a devolvê-la acrescida de um valor pelo seu uso. Montante: é a soma do capital com o juro. Período de tempo: começa no momento em que o capital foi emprestado, ou aplicado, até o momento em que ele é pago, ou retirado da aplicação. Uma situação que envolve esses quatro conceitos é esquematizada na figura seguinte. Período de tempo

Montante

Capital

Taxa (ou índice) de juro: é um conceito intimamente ligado ao juro do capital: taxa de juro (por período de tempo) = juro de capital ÷ capital = = juro de capital capital

Pode-se pensar a taxa de juro como uma espécie de “velocidade média” de variação do valor do dinheiro por unidade de tempo. Além desses conceitos, neste capítulo aborda-se o conceito de regime de capitalização sob juros simples, que foi chamado simplesmente de “juros simples”. Imagine que uma pessoa vá aplicar um capital em uma instituição financeira que remunera essa aplicação sob o regime de juro simples. 9o ano

Esse capital costuma ser chamado capital inicial. Para simplificar a escrita, vamos representar o capital inicial por C0. O símbolo0 recebe o nome de índice; é colocado à direita da letra C e numa posição abaixo dela, com o objetivo de mostrar que esse capital está sendo aplicado no instante inicial, no momento zero (0). A taxa de juro simples será representada pela letra i. Para os propósitos deste texto, o período de tempo referente à taxa de juro será o mês. No final de cada período de tempo (mês), essa pessoa terá, em sua aplicação, um novo capital. Esses novos capitais também serão representados na forma indexada, assim como fizemos para o capital inicial, da seguinte maneira: • C1 representa o capital um mês após o momento 0; • C2 representa o capital dois meses após o momento 0; • C3 representa o capital três meses após o momento 0, e assim por diante. O funcionamento do regime de juro simples pode ser representado esquematicamente pela figura seguinte: 1 C0

C1 = C0 + i ∙ C0 C2 = C1 + i ∙ C0

4 meses

C2 = C0 ∙ (1 + i + i)

C3 = C0 ∙ (1 + 2 ∙ i + i)

C2 = C0 ∙ (1 + 2 ∙ i)

C3 = C0 ∙ (1 + 3 ∙ i)

É possível generalizar os últimos resultados para qualquer número de períodos de aplicação (embora tal generalização não seja necessária para os estudantes aos quais este texto se destina). Assim, o capital, após n períodos de aplicação, poderá ser calculado usando-se a fórmula: Cn = C0 · (1 + n · i) na qual o símbolo Cn representa o seu capital (montante) após n períodos de tempo de aplicação. Outro regime de capitalização é o regime de capitalização sob juros compostos, que é o mais utilizado nas aplicações financeiras e nos empréstimos em bancos e financeiras. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos nos conteúdos desenvolvidos nesse capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • Compreender os termos de matemática comercial. • Calcular taxas mensal e anual de juros. • Calcular o tempo de aplicação de um capital sob juro simples. • Resolver situações-problema que envolvem cálculo de taxas e tempo de aplicação de um capital segundo as regras do regime de capitalização sob juro simples. • Compreender uma situação de aplicação em caderneta de poupança sob o regime de juros compostos.

Conteúdos • Noções de matemática financeira. • Juro simples. • Uma generalização do regime de capitalização sob juros simples. • Uma poupança sob juros simples. • Juro compostos. 68

Matemática

1. a) capital: R$ 5 000,00 b) juro do capital: R$ 750,00 c) montante: R$ 5 750,00 d) tempo de aplicação: um mês; taxa de juro (período de 1 mês do empréstimo) = 750 reais = 5 000 reais = 0,15 = 15% 2. a) valor dos juros = R$ 100,00 100 = b) taxa de juro (no período de 1 mês após o término) = 1 200 = 0,083333... = 8,333...% 3. taxa de juro (no período de 2 meses) = 60 reais = 0,5 por 2 120 reais meses = 50% por 2 meses.

Aplicar conhecimentos II 1.

C3 = C2 + i ∙ C0

Capital C1 = C0 ∙ (1 + i) C2 = C0 ∙ (1 + i) + i ∙ C0 C3 = C0 ∙ (1 + 2 ∙ i) + i ∙ C0 Inicial

Aplicar conhecimentos I

Saldo do mês anterior

rendimento de 0,6% ao mês

Depósito

Saldo (na data)

inicial

0,6%

20 000,00

1 mês

20 000,00

0,6%

20 120,00

2 meses

20 120,00

0,6%

20 240,00

3 meses

20 240,00

0,6%

20 360,00

4 meses

20 360,00

0,6%

20 480,00

5 meses

20 480,00

0,6%

20 600,00

Data

2. taxa de juro do financiamento (no período de 2 meses) = = 106 reais = 0,2 por 2 meses = 20% por 2 meses. Logo, a taxa 530 reais mensal do financiamanto (sob juro simples) = 20% ÷ 2 = = 10% ao mês. 3. Já que a taxa da aplicação do investimento é de 0,5% ao mês, sob a modalidade de juros simples, então a taxa de juro anual dessa aplicação é de 6%. Portanto: montante (após 2 anos) = 150 000 × (1 + 2 × 0,06) = 150 000 × × 1,12 = R$ 168 000,00 Isso significa que, após 2 anos de investimento, ainda faltarão R$ 2 000,00 para Ricardo comprar o apartamento.

Aplicar conhecimentos III

montante pago (após 9 meses) = 3 000 × (1 + 9 × 0,01) = = 3 000 × 1,09 = 3 270,00 reais. Se Pedro recebeu R$ 3 270,00, o juro foi de R$ 3 270,00 – R$ 3 000,00 = R$ 270,00.

Aplicar conhecimentos IV 1.

Data

Tempo (em meses)

1o/6

0,5% sobre 200,00

Saldo anterior + juro

Depósito mensal

Saldo da aplicação

(Saldo anterior + juro) + depósito

200

1 /7

1,00

200 + 1

200

(200 + 1) + 200

401

1o/8

1,00

401 + 1 + 1

200

(401 + 1 + 1) + 200

603

1o/9

1,00

603 + 1 + 1 + 1

200

(603 + 1 + 1 + 1) + 200

806

1 /10

1,00

806 + 1 + 1 + 1 + 1

200

(806 + 1 + 1 + 1 + 1) + 200

1 010

1o/11

1,00

1 010 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

200

(1 010 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + 200

1 215

1 /12

1,00

1 215 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

200

(1 215 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + 200

1 421

Tempo (em meses)

0,6% sobre 250,00

Depósito mensal

(Saldo anterior + juro) + depósito

Saldo da aplicação

200

2. Data

Saldo anterior + juro

1o/2

250

1o/3

1,50

250 + 1,50

250

(250 +1,50) + 250

501,50

1o/4

1,50

501,50 + 1,50 + 1,50

250

(501,50 + 1,50 + 1,50) + 250

754,50

1 /5

1,50

754,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50

250

(754,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50) + 250

1 009,00

250

(1 009,00 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50) + 250

1 265,00

250

1o/6

1,50

1 009,00 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50

1o/7

1,50

1 265,00 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50 + 1,50

250

(1 265,00 + 1,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50) + 250

1 522,50

1o/8

1,50

1 522,50 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50

250

(1 522,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50 + 1,50) + 250

1 781,50

1o/9

1,50

1 781,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50

250

(1 781,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50 + + 1,50 + 1,50 + 1,50 + 1,50) + 250

2 042,00

Aplicar conhecimentos V 1.

2. Dia

Saldo do mês anterior

rendimento (%) do dia sobre o saldo do dia

Saldo (Montante)

Dia

Saldo do mês anterior

rendimento (%) do dia sobre o capital inicial

Saldo (Montante)

2/7/2011

0,6229

2 500,00

2/7/2011

0,6229

2 500,00

2/8/2011

2 500,00

0,6373

2 515,93

2/8/2011

2 500,00

0,6373

2 515,93

2/9/2011

2 515,93

0,6862

2 533,19

2/9/2011

2 515,93

0,6862

2 533,09

2/10/2011

2 533,19

0,5931

2 548,22

2/10/2011

2 533,09

0,5931

2 547,92

2/11/2011

2 548,22

0,5941

2 563,36

2/11/2011

2 547,92

0,5941

2 562,77

2/12/2011

2 563,36

0,5629

2 577,78

2/12/2011

2 562,77

0,5629

2 576,84

2/1/2012

2 577,78

0,5604

2 592,23

2/1/2012

2 576,84

0,5604

2 590,85

9o ano

3. Ao comparar os valores dos saldos de cada dia sob os dois regimes de capitalização, é possível perceber que o regime de juros compostos é mais rentável.

Exercitando mais

1. R$ 240,00 2. R$ 4 000,00 3. Tempo

0,5% sobre 2 500

Saldo (montante)

–

2 500

1 mês

12,50

2 512,50

2 meses

12,50

2 525

3 meses

12,50

2 537,50

6 meses

12,50

2 575

9 meses

12,50

2 612,50

1 ano

12,50

2 650

1,5 ano

12,50

2 725

1,75 ano

12,50

2 762,50

1,9 ano

12,50

2 785

Sugestão de atividades complementares

Se possível, inicie este tema propondo que estudantes levantem, em jornais locais, revistas e anúncios, situações em que aparecem termos como juros, capital, montante, aplicações. Promova uma ampla discussão sobre os dados levantados pelos estudantes, explorando os conhecimentos prévios que eles têm sobre porcentagem, juro e outros conceitos correlatos. Após esse diagnóstico, a pesquisa pode ser encaminhada para a elaboração e desenvolvimento de um projeto coletivo de trabalho, partindo de uma situação-problema, negociado com os estudantes. Não se pretende que estudantes sejam especialistas em finanças, mas espera-se que eles possam analisar e comparar algumas situações envolvendo aplicações financeiras e entender o funcionamento simplificado de uma caderneta de poupança.

Para ampliar Livros

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2007. v. 6. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de matemática: 2o grau. São Paulo: SE/CENP, 1992.

Site

Klick Educação. Disponível em: <www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 14 dez. 2012. 70

Matemática

Capítulo 4

Uma leitura do mundo por meio de tabelas e gráficos Em reportagens veiculadas em jornais, revistas e na televisão sobre assuntos econômicos, pesquisas eleitorais, desempenhos da indústria e do comércio, esportes, assim como em seminários, palestras ou programas educativos, as pessoas podem recorrer a alguns elementos de estatística para relatar e comentar fatos, traduzindo-os numericamente em dados organizados em tabelas e gráficos. A importância da estatística é reconhecida, hoje, não só no campo das pesquisas científicas e sociais e no mundo dos negócios, como também nos meios de comunicação. Pode-se dizer que estamos fazendo estatística ao observarmos algum fato ou fenômeno, ao coletar dados e transformá-los em informações inerentes àquelas observações, ao organizar e analisar essas informações e, principalmente, ao produzir algumas conclusões sobre essa organização e análise, com o objetivo de extrair resultados novos e correntes, com base no que já foi observado. Assim, se o mundo que nos rodeia é também apresentado por meio de dados estatísticos, pode ser conveniente saber interpretá-los para desenvolver capacidades de análise, crítica, intervenção e, principalmente, de tomada de decisões. Com esses objetivos, pretende-se que os estudantes dominem, no futuro, noções relacionadas a estatística, não só para analisar criticamente as pesquisas de opinião, mas também para compreender os índices que são frequentemente utilizados no tratamento de temas e assuntos diversos, como economia, política ou meio ambiente. Esse é um tema que permite trazer para as salas de aula o cotidiano presente nos jornais, nas revistas e na própria vida, ao se propor a elaboração de projetos baseados em dados reais, os mais atualizados possíveis. O desenvolvimento de projetos de pesquisa que impliquem coleta, tabulação, análise e comunicação de dados quantitativos sobre temas relevantes pode favorecer a aquisição de conhecimentos matemáticos significativos. Esse trabalho, além de possibilitar o estudo de temas essenciais para a formação de cidadãos e cidadãs, pode auxiliar na compreensão de outras disciplinas do currículo, favorecendo a interdisciplinaridade. A seguir, tem-se um roteiro que pode ser tomado como referência para fazer uma pesquisa de opinião na escola. É conveniente não considerá-lo uma norma, mas um ponto de partida para a elaboração de um projeto de trabalho coletivo. Em primeiro lugar, é conveniente uma decisão conjunta para a escolha do tema e a atribuição de responsabilidades entre os estudantes, docentes e outros participantes da comunidade escolar envolvidos no projeto.

Em seguida, pode-se propor: • definição do objetivo da pesquisa: estabelecer as metas a serem alcançadas; • definição da população e das amostras: decidir se o grupo vai utilizar toda a população ou apenas algumas amostras; • elaboração dos questionários: selecionar alguns aspectos significativos, levando em conta que um questionário tem limitações em sua extensão e finalidade; • coleta de dados (campo): organizar as equipes, dividir responsabilidades e combinar prazos; • processamento de dados (tabulação): preparar previamente as folhas em que serão registrados os resultados, levando em conta a organização dos dados e a utilização de símbolos convenientes, para que possam ser identificados pelas pessoas que tomarão contato com o trabalho; • análise e interpretação dos resultados: destacar no conjunto de dados os mais comuns (típicos) e os que são distintos (discrepantes), fazendo uma análise descritiva das informações; • apresentação e divulgação dos resultados: organizar uma exposição sobre o tema, apresentando as conclusões em gráficos, tabelas ou pequenos textos explicativos, acompanhados de fotos ou ilustrações; • e, finalmente, tomada de decisões com base nas análises feitas e nas conclusões obtidas, caso isso seja possível. É conveniente observar que, no trabalho com estatística, uma calculadora é um instrumento muito útil, porque são muitos os cálculos, e estes geralmente são trabalhosos, em virtude da quantidade dos números envolvidos. Espera-se, com esse estudo inicial, dar aos estudantes um significativo conjunto de conhecimentos para que possam, ao realizar a leitura de alguma pesquisa, ter postura crítica a respeito dos textos produzidos. Algumas vezes, os textos apresentam dados estatísticos para manipular a opinião pública, o que pode induzir os leitores a algumas conclusões que interessam apenas aos seus autores. O quadro a seguir fornece elementos para avaliar o desempenho dos alunos nos conteúdos desenvolvidos nesse capítulo. Indicadores para avaliação Espera-se que os estudantes sejam capazes de: • ler e interpretar informações apresentadas em gráficos de barra, colunas, setores e linhas, fazendo prognósticos a partir deles. • coletar, organizar, analisar informações. • construir tabelas de distribuição de frequência. • conceituar e determinar tipos de frequência. • construir vários tipos de gráfico para representar os dados de uma pesquisa. • tomar decisões com base nos resultados obtidos em uma pesquisa.

Conteúdos • Leitura e interpretação de informações estatísticas. • Amostragem e coleta de dados. • Distribuição de frequências. • Elaboração de gráficos de barras, de setores e de linha.

Aplicar conhecimentos I

1. Pretende-se, nesta atividade, propiciar aos estudantes a construção de conhecimentos referentes à leitura e interpretação de dados expressos em tabelas. Ao se observar a coluna “Esperança de vida ao nascer (anos)”, é possível perceber que, de 1950 a 2010, essa grandeza apresentou um crescimento que pode ser considerado significativo. a) Anuário estadístico de América Latina y el Caribe – 2010. b) A grandeza “Esperança de vida ao nascer”, possui valores crescentes de 1950 a 2010. c) De 1950 a 2010, As taxas de natalidade e de mortalidade são decrescentes no referido período. 2. Essa atividade se propõe a fazer os estudantes perceberem os gráficos como uma opção de representação e de leitura e comunicação. Um requisito básico para esse tipo de leitura é a compreensão do sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Outro requisito básico para a leitura de representações gráficas em coordenadas retangulares é o de correspondência entre duas grandezas. a) Expectativa de vida em: 1980 – 62,8 anos; 1990 – 66,6 anos; 2 000 – 70,5 anos; 2010 – 73,2 anos. b) As expectativas de vida no período 1980 a 2010 tiveram crescimento de 66 para 77 anos (para mulheres) e de 59,6 para 69,4 anos (para homens). c) A curva da expectativa de vida de ambos os sexos está entre as duas outras porque as abscissas de seus pontos correspondem aos valores médios das abscissas dos pontos das curvas da expectativa de vida de cada sexo. d) Variação de expectativa de vida das mulheres: 77,0 – 66,0 = = 11,0 anos. Variação de expectativa de vida dos homens: 69,4 – 59,6 = = 9,8 anos A maior variação da expectativa de vida no período de 1980 a 2010 foi a das mulheres, com uma taxa aproximada de 12,23%.

Aplicar conhecimentos II

1. a) Há muitas opções para organizar dados em uma tabela de frequências. 9o ano

raturas, redução do consumo em temperaturas baixas nos meses de inverno, algum vazamento ou outro tipo de imprevisto que propiciou aumento ou redução no consumo etc. Pode ser conveniente propor uma atividade do tipo: “Calcule o consumo médio de água da família Silva e compare essa média com cada consumo mensal para verificar quanto cada um deles se ‘desvia’ do valor médio.” Ao propor essa atividade, pode-se relatar como se calcula o consumo médio de água da família:

A tabela abaixo foi construída utilizando os seguintes tipos de classes: 1,50 m altura < 1,60 m 1,60 m altura < 1,70 m 1,70 m altura < 1,80 m altura 1,80 m

1,50 m 1,60 m 1,70 m altura Total

classe

frequência

altura < 1,60 m altura < 1,70 m altura < 1,80 m 1,80 m

3 8 11 4 26

10 + 16 + 8 + 9 + 9 + 7 + 6 + 9 + 12 + 22 + 9 + 17 m3 = 12 = 134 m3 = 11,1666... m3 12

Por exemplo, o desvio do consumo de setembro de 2011 com relação ao consumo médio é igual a 6 m3 – 11,1666... m3 = = –5,1666... m3. O desvio do consumo de dezembro de 2011 com relação ao consumo médio é igual a 22 m3 – 11,1666... m3 = 10,8333... m3.

b) Medidas de alturas que apareceram maior número de vezes: 1,64 m; 1,65 m; 1,68 m; 1,72 m; 1,73 m. c) As alturas obtidas no item b) têm duas ocorrências cada, portanto suas frequências absolutas são iguais a 2. d) Frequência relativa da altura 1,69 = 1 ÷ 26 = 1 ≈ 3,8%. 26 2. a), b) e c) Respostas de acordo com os resultados obtidos na pesquisa. d) Exemplo de tabela de distribuição de frequências dessas alturas: classe

Exercitando mais

frequência

1,50 m altura < 1,60 m 1,60 m altura < 1,70 m 1,70 m altura < 1,80 m altura 1,80 m Total

Aplicar conhecimentos III

1. Respostas de acordo com os resultados obtidos na pesquisa. 2. Gráfico de linha do consumo de água da família Silva: 25

12 10

5 0

r/2

ai/

1 01

jun

/ jul

11 20 o/ ag

t/2

t/2 ou

v/2 no

z/2

2 01

jan

2 01 /2 fev

A representação gráfica do consumo de água da família Silva exibe uma variação para mais e para menos com o passar dos meses. Tais variações podem ter diversas origens, tais como: aumento do consumo nos meses de verão devido às altas tempe72

Matemática

1. Em algumas pesquisas, uma amostra pode ser utilizada para representar uma população, pois, muitas vezes, pode ser difícil e caro observar todo o conjunto, especialmente se o grupo for muito grande. 2. a) Uma rápida análise do número de matrículas no ensino fundamental de estudantes de EJA no período de 1999 a 2010 permite perceber que de 1999 a 2006 houve aumento do número de matrículas e de 2006 a 2010, redução. b) O maior crescimento do número de matrículas no ensino fundamental do sistema EJA ocorreu de 1999 a 2003. A variação absoluta nesse período foi: 3 315 887 – 2 112 214 = = 1 203 673 A variação relativa (porcentual) nesse período foi de, aproximadamente, 57%. c) No período de 2006 a 2010 o número de matrículas no ensino fundamental do sistema EJA diminuiu. A variação absoluta nesse período foi: 3 516 225 – 2 846 104 = = 670 121. A variação relativa (porcentual) nesse período foi de, aproximadamente, –19%. d) No período total (1999 a 2010) houve crescimento do número de matrículas, com a seguinte variação absoluta: 2 846 104 – 2 112 214 = 733 890. A variação relativa foi de aproximadamente 0,3475, ou 34,75%. e) A variação absoluta de 1999 a 2003 foi de 1 203 673, que corresponde a um crescimento aproximado de 57%, enquanto que, no período de 1999 a 2010, a variação absoluta foi de 733 890, que corresponde a um crescimento aproximado de 34,75%. 3. a) As taxas de analfabetismo no Brasil e em cada uma das suas regiões se reduziram de 2000 a 2010.

b) Região na qual houve maior redução dos índices de analfabetismo: região nordeste (5 pontos percentuais). Região na qual houve menor redução dos índices de analfabetismo: região sul (2,3 pontos percentuais). c) Não houve aumento do analfabetismo nas regiões do Brasil entre 2000 e 2010.

Para ampliar Livros

BRASIL. Universidade Federal do Ceará. Centro de Ciências. Departamento de Estatísticas e Matemática Aplicada. Noções de estatística no ensino de matemática do 1o grau. Rio de Janeiro: MEC/SEPS/PREMEN/FENAME, 1981. MONTENEGRO, Fábio; RIBEIRO, Vera Masagão. Nossa escola pesquisa sua opinião. 2. ed. São Paulo: Global, 2002.

9o ano

Matemรกtica

5. Referências bibliográficas BRASIL. Ministério da Educação. INEP. Matemática e suas tecnologias: livro para estudantes: Ensino Fundamental. Brasília: MEC/INEP, 2002. _______. INEP. Matemática e suas tecnologias: livro para professor: Ensino Fundamental. Brasília: MEC/INEP, 2002. _______. Secretaria do Ensino fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática: 3º. e 4º. ciclos. Brasília: MEC-SEF, 1998. _______. Secretaria do Ensino fundamental. Proposta curricular para a Educação de Jovens e Adultos. Segundo segmento do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 2002, v. 3. _______. Universidade Federal do Ceará. Centro de Ciências. Departamento de Estatística e Matemática Aplicada. Noções de estatística no ensino de Matemática do 1º grau. Rio de Janeiro: MEC/SEPS/PREMEN: FENAME, 1981. CAMPOS, T. M. (Coord. geral). Transformações no ensino da Matemática: a experiência positiva de professores do Pólo 4. São Paulo: PUC, 1998 (Coleção PROEM). CONCEITOS DE MATEMÁTICA: análise combinatória. TV Ontário, Canadá, 2000. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.) As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. DANTZIG, Tobias. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar, 1970. DAVIS, P.J.; HERSH, R. O sonho de Descartes. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1988. FINI, Maria Inês Fini (Coord.). Proposta curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo: SEE, 2008. FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO. Diário de classe 5: Matemática. São Paulo: FDE, 1994.

GEOMETRIA NO 1º GRAU: da composição e decomposição de figuras às formulas de área. Editora Balieiro, 1992. (Coleção Ensinando Aprendendo.) IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 3. ed. São Paulo: Globo, 1989. IMENES, Luiz Marcio; Jakubovic, José; LELLIS, Marcelo. Álgebra. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Para que Serve a Matemática.) KARLSON, P. A magia dos números. Porto Alegre: Globo, 1961. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual Editora, 1984. LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o Século XXI. Campinas: Papirus, 1997. LOPES, M. L. L.; NASSER, L. Geometria na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996. MONTENEGRO, Fabio; RIBEIRO, Vera Masagão. Nossa escola pesquisa sua opinião: manual do professor. 2. ed. São Paulo: Global, 2002. MORI, I.; ONAGA, D.S. Matemática: ideias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2009, v. 6-9. SANTOS, Vânia Maria Pereira dos (Org.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática (UFRJ), 1997. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP). Experiências matemáticas. São Paulo: SE/CENP, 1984. _______. Prática pedagógica: Matemática – 1º. Grau. São Paulo: SE/CENP, 1993. v. 1-4. TINOCO, L. A. A. (Coord.). Razões e proporções. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996.

6o ao 9o ano