A PROPOS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES +
Toute fonction exponentielle est du type f(x) = ax avec a ∈IR 0\{ 1 } Il y a deux familles : celle où 0 < a < 1 et celle où a > 1
a > 1 (dans cet exemple : a = 2)
0 < a < 1 (dans cet exemple : a = 0.5)
Domaine : IR + Image : IR 0 f(0) = 1 Jamais de racines Fonction injective (càd 2 points différents ont des images différentes) fonction strictement croissante -∞
fonction strictement décroissante
AH ≡ y = 0
AH
+∞
≡y=0
ax < ay ↔ x > y
ax < ay ↔ x < y
Une exponentielle particulière : celle où la base vaut le nombre e (2,71828…). Pourquoi est-elle particulière ? C’est la seule exponentielle à être égale à sa dérivée ! ax.ay = a x + y ax = a x–y ay y
(a x) = a x.y
(ex)’ = ex (a0) = 1 a-x =
1 ax
(ax)’ = ax. ln a (ef(x))’ = ef(x) f’(x) (af(x))’ = af(x). f’(x) ln a
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A PROPOS DES FONCTIONS LOGARITHMES +
Toute fonction exponentielle est du type f(x) = logax avec a ∈IR 0\{ 1 } Il y a deux familles : celle où 0 < a < 1 et celle où a > 1
a > 1 (dans cet exemple : a = 2)
0 < a < 1 (dans cet exemple : a = 0.5)
+ Domaine : IR 0 Image : IR f(1) = 0 1 est toujours une racine Fonction injective (càd 2 points différents ont des images différentes) fonction strictement croissante
fonction strictement décroissante
loga x < logay ↔ x < y
loga x < logay ↔ x > y
Une fonction logarithme particulière : celle où la base vaut le nombre e (2,71828…). Elle est tellement particulière qu’au lieu de noter log e x on note ln x
logax + logay = loga (x.y) x logax - logay = loga y r logax = r. logax logbx loga x = logba
(ln x)’ =
(logax)’ =
1 x
1 1 . x ln a
(ln f(x))’ =
(loga f(x))’ =
1 f’(x) f(x)
1 1 . f’(x) f(x) ln a
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LIEN ENTRE LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LES FONCTIONS LOGARITHMES
Les fonctions exponentielles et logarithmes sont appelées des fonctions réciproques. Ca veut dire quoi ? Que l’une est « la marche arrière de l’autre ».
logax = y ↔ ay = x Exemple : 27 = 128 alors log2128 = 7
Comme toutes les fonctions réciproques, il existe un axe de symétrie entre celles-ci. Cet axe est la droite y = x (première bissectrice du repère cartésien)
En bleu : la fonction 2x En rouge, la fonction log2x En rose : la droite y = x (première bissectrice)
En bleu : la fonction (1/2)x En rouge, la fonction log 1/2 x En rose : la droite y = x (première bissectrice)
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