FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE Tout d’abord, voici un rappel des nombres trigonométriques à connaître. Le cercle trigonométrique permet à certains de retenir plus facilement le tableau ci-dessous. dessous.
0°
30°
sin x
0
1 2
cos x
1
tan x
0
cot x IMP
3 2
3 3
3
45°
60°
2
3
2
2 2
1 1
2
1 2
3 3 3
90° 1 0
IMP 0
Ensuite, il est souvent important de connaître les différents liens entre angles opposés, angles complémentaires, angles supplémentaires et angles anti-supplémentaires. supplémentaires. (Il existe aussi des angles anti-complémentaires, complémentaires, mais tous les profs ne le voient pas forcément) Tous ces liens sont résumés dans le tableau ci-dessous. ci
sin … - sin x
Opposés -x π omplémentaires - x complémentaires cos x 2 upplémentaires π - x supplémentaires sin x supplémentaires π + x anti-supplémentaires - sin x π complémentaires + x anti-complémentaires cos x 2
cos … cos x
tan … - tan x
cot … - cot x
sin x
cot x
tan x
- cos x - cos x
- tan x tan x
- cot x cot x
- sin x
- cot x
- tan x
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1. FORMULES FONDAMENTALES (3) cos²(x) + sin²(x) = 1 tan²(x) + 1 =
1 cos²(x)
cot²(x) + 1 =
1 sin²(x)
2. FORMULES D’ADDITION (6) cos (a + b) = cos a . cos b – sin a . sin b cos (a – b) = cos a . cos b + sin a . sin b sin (a + b) = sin a . cos b + sin b . cos a sin (a – b) = sin a . cos b – sin b . cos a tan a + tan b 1 – tan a . tan b tan a - tan b tan (a - b) = 1 + tan a . tan b
tan (a + b) =
3. FORMULES DE DUPLICATION (3) cos 2a = cos²a – sin²a sin 2a = 2 . sin a . cos a tan 2a =
2 tan a 1 – tan²a
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4. FORMULES DE CARNOT (2) cos 2a = 2 cos²a – 1 cos 2a = 1 – 2 sin²a
5. FORMULES DE LINEARISATION (3) cos²a =
1 (1 + cos 2a) 2
sin²a =
1 (1 - cos 2a) 2
tan²a =
1 – cos 2a 1 + cos 2a
6. FORMULES DE SIMPSON – TRANSFORMER UNE SOMME EN PRODUITS (4) p + q 2
p - q 2
cos p + cos q = 2 cos
cos
cos p – cos q = - 2 sin
p + q p - q 2 sin 2
sin p + sin q = 2 sin
p + q p - q 2 cos 2
sin p – sin q = 2 cos
p + q p - q 2 sin 2
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7. FORMULES DE SIMPSON – TRANSFORMER UN PRODUIT EN UNE SOMME (3)
cos a . cos b =
1 [ cos (a + b) + cos (a - b) ] 2
cos a . sin b =
1 [ sin (a + b) - sin (a - b) ] 2
sin a . sin b =
1 [ cos (a - b) - cos (a + b) ] 2
8. EXPRESSION EN FONCTION DE TAN A/2 (3) a Pour retenir les formules, il est plus facile de poser t = tan 2
cos a =
1 – t² 1 + t²
sin a =
2t 1 + t²
tan a =
2t 1 – t²
9. TRANSFORMER LA SOMME D’UN SINUS ET D’UN COSINUS EN UN COSINUS
A cos ( C x ) + B sin ( C x ) = Avec A > 0 et α ∈ ] -
A² + B² cos (C x - α)
B π π ; [ tel que tan α = 2 2 A
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ANNEXE 1 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION SIN (X)
Domaine : IR Image : [-1 , 1] Fonction impaire
π + k 2π (k ∈ Z Z) 2 π Minima : - + k 2π (k ∈ Z Z) 2 Maxima :
Période : 2π
Racine : 0 + kπ (k ∈ Z Z)
ANNEXE 2 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION COS (X)
Domaine : IR
Maxima : 0 + k 2π (k ∈ ZZ)
Image : [-1 , 1]
Minima : π + k 2π (k ∈ ZZ)
Fonction paire
Racine : -
Période : 2π
π + kπ (k ∈ Z Z) 2
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ANNEXE 3 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION TAN (X)
π Domaine : IR \ 2 + k π
Maxima : aucun
Image : IR
Minima : aucun
Fonction impaire
Racine : 0 + k π (k ∈ Z Z)
Période : π
Remarque : k ∈ Z signifie que k est un nombre entier, càd k = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …. }
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ANNEXE 4 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION COT (X)
Domaine : IR \ { π + k π }
Maxima : aucun
Image : IR
Minima : aucun
Fonction impaire
Racine :
Période : π
π + k π (k ∈ Z Z) 2
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