Macroeconomia (Universidad de Chile) by Renán Alexi Briones Zambrano

Universidad de Chile Departamento de Econom´ıa Macroeconom´ıa I Material de Estudio1 Semestre Primavera 2008

Sebasti´an Bustos David Coble ´ Oscar Landerretche Julio de 2008

Este material de estudio corresponde a una recopilaci´ on del curso Macroeconom´ıa I de la Facultad de Econom´ıa y Negocios de la Universidad de Chile dictado en distintos semestres por los profesores Sebastián Bustos, David ´ Coble, Oscar Landerretche, Jorge Lorca y Christopher Neilson. Muchos de los ejercicios han sido elaborados por los ayudantes del curso: Rudy Canales, Juan Ignacio Elorrieta, Nicol´ as Franz, Federico Huneeus, Crist´ obal Gamboni, Mario Giarda, Pablo Gutiérrez, Eduardo Jiménez, Nicol´ as Lillo, Maria Luisa Maino, Francisco Marcet, Claudia Mart´ınez, Alexis Montecinos, Eugenio Rojas y Dami´ an Romero. Se agradece cualquier comentario, error o typo al mail sebastian.bustos@gmail.com.

Contenidos Listado de contenidos

1. Dos Fuerzas fundamentales: Consumo e Inversi´ on 1.1. Comentes de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Mercado financiero y volatilidad . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Friedman y Modigliani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Riqueza, sustituci´ on e ingreso . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. ¿Impuestos o deuda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Consumo seg´ un los Keynesianos 1 . . . . . . . . . . . 1.1.6. Consumo seg´ un los Keynesianos 2 . . . . . . . . . . . 1.1.7. Equivalencia Ricardiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8. Ingreso permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9. ¿Deuda excesiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10. Cambios en la tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.11. Euler de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12. Shocks permanentes o transitorios . . . . . . . . . . . 1.1.13. Keynesian update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.14. Variaci´ on del consumo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15. Variaci´ on del consumo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comentes de Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Efectos de la concavidad/convexidad . . . . . . . . . . 1.2.2. Volatilidad seg´ un Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Costos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Un cambio anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Inversi´ on y shocks no anticipados . . . . . . . . . . . . 1.3. Matem´ aticos de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Consumo Intertemporal y subsidios . . . . . . . . . . . 1.3.3. Consumo Intertemporal y amigos . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Consumo y restricciones de liquidez . . . . . . . . . . 1.3.5. Ahorro y Crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Consumo en tres actos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Detalles de la optimización del consumo . . . . . . . . 1.3.8. Consumo en dos per´ıodos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9. Restricciones de liquidez, seguridad social y bienestar 1.3.10. Seguridad social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.11. Consumo y restricciones de liquidez . . . . . . . . . . 1.3.12. Franco, Milton y mucha diversi´ on . . . . . . . . . . . . 1.4. Matem´ aticos de Inversi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Q de Tobin: Versi´ on “Plain vanilla” . . . . . . . . . . 1.4.2. Tobin y Bernanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Transantiago y Q de Tobin . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Depreciaci´ on, impuestos e inversi´ on . . . . . . . . . . . 1.4.5. Nivel de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

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Contenidos

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

1.4.6. Costos de Ajuste e Inversi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La econom´ıa abierta 2.1. Comentes de tipo de cambio y cuenta corriente . . . . 2.1.1. Interés de autarquia . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Cuenta corriente y estados futuros . . . . . . . 2.1.3. Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Fluctuaciones cambiarias . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Decisiones separadas . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Transables - No Transables . . . . . . . . . . . 2.1.7. Tipo de cambio y PPC . . . . . . . . . . . . . 2.1.8. Tipo de cambio y productividad . . . . . . . . 2.1.9. Consecuencias del exito exportador . . . . . . . 2.1.10. Deficit de CC de EE.UU. . . . . . . . . . . . . 2.1.11. Est´ atica Comparativa . . . . . . . . . . . . . . 2.1.12. Evidencia de decisiones separadas . . . . . . . 2.1.13. CC y cambios impositivos . . . . . . . . . . . . 2.1.14. Productividad cambiaria . . . . . . . . . . . . . 2.1.15. Terremoto cambiario . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.16. Versiones de PPC . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.17. CC y Q de Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Matem´ aticos de tipo de cambio y cuenta corriente . . 2.2.1. CC y el ahorro-inversi´ on . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Costos de ajuste y cuentas internacionales . . 2.2.3. Consumo o´ptimo y cuenta corriente . . . . . . 2.2.4. Trabajo, capital y el tipo de cambio real . . . . 2.2.5. Desalineamientos del tipo de cambio real . . . 2.2.6. El Regreso de G, BC, Cuenta Corriente y Q de 2.2.7. Econom´ıa Abierta y CC . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Inversi´ on o´ptima y la Cuenta Corriente . . . . 2.2.9. La tasa de interés y la cuenta corriente . . . . . 2.2.10. Equilibrio con dos pa´ıses . . . . . . . . . . . . . 2.2.11. Desalineamiento del tipo de cambio real . . . . 2.2.12. Inversion o´ptima y la cuenta corriente . . . . . 2.2.13. Enfermedad Holandesa (Chilena?) . . . . . . .

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63 . 63 . 63 . 63 . 63 . 63 . 64 . 64 . 64 . 65 . 65 . 66 . 66 . 67 . 68 . 68 . 68 . 69 . 70 . 71 . 71 . 73 . 77 . 79 . 81 . 84 . 87 . 90 . 93 . 95 . 97 . 100 . 105

3. Crecimiento y desarrollo 3.1. Comentes de crecimiento . . . . . . . 3.1.1. An´ alisis de la post-guerra . . 3.1.2. El Chile de los noventas . . . 3.1.3. Comentes Varios . . . . . . . 3.1.4. Convergencia entre econom´ıas 3.1.5. Convergencia entre econom´ıas 3.1.6. Solow y la acumulaci´ on 1 . . 3.1.7. Solow y la acumulaci´ on 2 . . 3.1.8. Solow y la acumulaci´ on 3 . . 3.1.9. Las diferencias . . . . . . . . 3.1.10. Crecimiento en tres actos . . 3.1.11. Ramsey y la oferta de trabajo 3.1.12. Evidencia de crecimiento . . 3.1.13. Impuestos y decisiones . . . . 3.1.14. Las tres diferencias . . . . . . 3.1.15. Aguante Chait´en! . . . . . . . 3.1.16. Control de natalidad . . . . . 3.1.17. ¿Las mismas conclusiones? . 3.1.18. Financiamiento del gasto . . 3.1.19. Recomendaciones de Solow .

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. . . . . . . . 1. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Contenidos

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

3.1.20. Trabajo, impuestos y Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.21. Ramsey, ¿Centralizado o descetralizado? . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.22. Extensiones de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.23. Shocks y la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.24. M´ as de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Matem´ aticos de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Crecimiento e impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Crecimiento end´ ogeno y exógeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Crecimiento con tasa de ahorro variable . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Servicios p´ ublicos y derechos de propiedad en el modelo de Ramsey 3.2.5. Ramsey y Highbridge School of Economics . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Reminiscencias de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Crecimiento y la evidencia emp´ırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Solow versus Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Cambios en la productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.10. Estados Hundidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.11. Crecimiento con Postinor 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.12. Ramsey Tributario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.13. Ramsey, IVA y elecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Dinero y estabilizaci´ on 4.1. Comentes de dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Dinero y tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Demanda por Dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Dinero y el rol del Estado 1 . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Dinero y el rol del Estado 2 . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Dinero y el rol del Estado 3 . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Kiyotaky y Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7. Ingreso de capitales y precios . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8. Multiplicador monetario . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.9. Otros tipos de Dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.10. Cantidad de dinero e inflaci´ on . . . . . . . . . . . . . . 4.1.11. Ecuaci´ on cuantitativa del dinero y tipo de cambio . . 4.1.12. Dicotom´ıa clásica y neutralidad . . . . . . . . . . . . . 4.1.13. Dinero como un activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.14. La vigencia de Baumol-Tobin/Allais . . . . . . . . . . 4.1.15. El efecto del Encaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.16. Elasticidad de la demanda por dinero . . . . . . . . . 4.1.17. Pol´ıtica monetaria seg´ un Poole . . . . . . . . . . . . . 4.1.18. EL control del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.19. Expectativas y el precio de los activos . . . . . . . . . 4.1.20. Expectativas y la curva de retorno . . . . . . . . . . . 4.2. Matem´ aticos de dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Teor´ıa Cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Multiplicador Monetario . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Demanda por dinero e Inflaci´ on . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. El Condorbank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Se˜ noreaje e Hiperinflaci´ on a la Cagan . . . . . . . . . 4.2.6. Teor´ıa Cuantitativa y Se˜ noreaje . . . . . . . . . . . . . 4.2.7. Dinero y Shopping Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8. Poole y Pol´ıtica Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.9. El regreso de House e instrumento de pol´ıtica o´ptima 4.2.10. La demanda por dinero de Condorito . . . . . . . . . . 4.2.11. Friedman vs Baumol Tobin . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.12. Baumol-Tobin y descuentos electr´ onicos . . . . . . . . 4.2.13. Cuando el dinero es neutral . . . . . . . . . . . . . . .

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Contenidos

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. La nueva oferta y demanda agregada (Modelos Neo-Keynesianos) 5.1. Comentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Phillips ’58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Expansi´ on de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Islas de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Calvo y Rotemberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Nueva Curva de Phillips 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Nueva Curva de Phillips 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7. Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.8. Ecuaciones NKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.9. La hip´ otesis de Milton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.10. Relaciones de Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.11. Relaciones de Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.12. Efectos de shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.13. Diferencias en las Reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.14. Una des-inflaci´ on, ¿M´ agica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.15. La observaci´ on de Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.16. El principio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.17. Forward-Looking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.18. Evidencia de la Nueva Curva de Phillips para Chile . . . . . . 5.1.19. Se˜ nales para los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.20. Implicancias de la Nueva Curva de Phillips . . . . . . . . . . . 5.1.21. La importancia de ser cre´ıble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.22. La Cr´ıtica de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.23. Islas de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.24. Leyendo a Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.25. Efectividad seg´ un Mishkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.26. La critica de Valdés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.27. Solo y u ńicamente inflaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.28. Meta y salarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Matem´ aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Una econom´ıa Neo-Keynesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. En busca del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. El objetivo de la autoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. El comportamiento seg´ un distintas reglas . . . . . . . . . . . . 5.2.5. Macroeconom´ıa en el Mundo de Papel (Maché) . . . . . . . . . 5.2.6. Macroeconom´ıa Callejera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. T´ opicos de pol´ıtica econ´ omica 6.1. Comentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Soluciones a la incoNsistencia . . . . . . . . . 6.1.2. Lo que implica el horizonte . . . . . . . . . . 6.1.3. Déficit fiscal de los conservadores . . . . . . . 6.2. Matem´ aticos de Inconsitencia din´ amica . . . . . . . 6.2.1. La tentaci´ on del Banco Central . . . . . . . . 6.2.2. Reputaci´ on y inconsistencia din´ amica . . . . 6.2.3. La trampa de la inflaci´ on . . . . . . . . . . . 6.2.4. Contratos para Bancos Centrales . . . . . . . 6.2.5. Inconsistencia temporal y pol´ıtica monetaria

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Cap´ıtulo 1

Dos Fuerzas fundamentales: Consumo e Inversi´ on 1.1.

Comentes de Consumo

1.1.1.

Mercado financiero y volatilidad

Mientras m´ as acceso tienen los consumidores al mercado de capitales, m´ as se endeudan, por ende, generan una mayor volatilidad de la econom´ıa. ¿Es correcto? Respuesta: Falso. Al tener m´ as acceso al mercado de capitales, los individuos podr´ an suavizar su consumo intertemporalmente. Si asumimos agentes racionales, las variaciones del consumo ser´ an producidas s´ olo por shocks aleatorios, lo que hace que la econom´ıa se vuelva menos vol´ atil, ya que el consumo y el ahorro (la inversi´ on) s´ olo cambiar´ an cuando existan sorpresas en la econom´ıa. Es posible argumentar, sin embargo, que en una econom´ıa en que los agentes se sobreendeudan, es decir, copan completamente su capacidad de endeudarse, se tienden a limitar las posibilidades de endeudamiento lo que, finalmente, tiende a limitar las posibilidades de que el consumo sea un mecanismo suavizador del ingreso. La raz´ on es que si un consumidor usa completamente sus l´ıneas de crédito ya no podr´ a suavizar shocks negativos adicionales al ingreso. Sin embargo, esto no resulta del acceso al mercado de capitales sino de su uso excesivo, lo que, finalmente refleja una incorrecta evaluaci´ on de riesgos de crédito por parte de los intermediarios financieros.

1.1.2.

Friedman y Modigliani

¿Qué elemento com´ un comparten la teor´ıa de las teor´ıas del consumo de Friedman y de Modigiliani? ¿Qué diferencia? ¿Cuando son matemáticamente muy diferentes? Respuesta: El elemento en com´ un que comparten estas teor´ıas es que ambas se fundamentan en suponer que estamos en un mundo de consumidores con utilidad marginal decreciente que intentan, por ende, suavizar sus patrones de consumo. La diferencia central es el concepto de agente que se est´ a analizando. En el caso de teor´ıa del Ciclo de Vida,modelamos agentes finitos, individuos. En el caso de la teor´ıa del Ingreso Permanente, dinast´ıas de individuos u hogares. Una forma de conectar las dos teor´ıas es a través del concepto de on que le da una generaci´ on al consumo de la siguiente. Si a los agentes .altruismo”, es decir, la valoraci´ les importa el bienestar de su descendencia entonces existir´ a altruismo y ser´ a un buen supuesto modelar agentes que se comportan como si tuvieran horizontes infinitos. Si el altruismo es un mal supuesto de comportamiento, entonces, las dos teor´ıas ser´ an matem´ aticamente diferentes.

1.1. COMENTES DE CONSUMO

1.1.3.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Riqueza, sustituci´ on e ingreso

¿Cuál es la diferencias entre el efecto riqueza, sustituci´ on e ingreso en la teor´ıa de la elasticidad del consumo a la tasa de interés? Explique matemáticamente. Respuesta: Usando la siguiente expresi´ on (que resulta de una optimizaci´ on utilizando una forma funcional CRRA), podemos observar tres v´ıas por la cuales la tasa de interés afecta el consumo: 1 Y2 Y1 + C1 = (1.1) 1 1 · 1+r 1 + β σ (1 + r)1− σ Efecto Sustituci´ on: Un aumento en la tasa de interés hace m´ as atractivo ahorrar hoy y as´ı se reduce el consumo presente. Efecto Ingreso: Una tasa m´ as alta le entrega mayores recursos a los que ten´ıan ahorro y le reduce el ingreso a los que eran deudores. Por ello este efecto es ambiguo. Al buscar suavizar su consumo intertemporal aumenta el consumo presente. La tensi´ on entre el efecto sustituci´ on y efecto ingreso se 1 a un efecto u otro. ve en el término (1 + r)1− σ . Dependiendo del valor que tome σ, predominar´ Y2 Efecto Riqueza: Este efecto es a través del término Y1 + 1+r donde una tasa m´ as alta disminuye el valor presente de la riqueza. Este efecto refuerza el efecto sustituci´ on.

1.1.4.

¿Impuestos o deuda?

Si el fisco se endeuda para aumentar el gasto genera efectos macroecon´ omicos diferentes de cuando aumenta los tributos. ¿Es correcto? ¿Siempre? ¿C´ omo se llama la teor´ıa que discute esto y cuales son sus l´ımites? Respuesta: El aporte de David Ricardo (rescatado por Roberto Barro) es reconocer que el fisco debe cumplir una restricci´ on presupuestaria intertemporal, al igual que lo hacen los agentes privados. La teor´ıa de la Equivalencia Ricardiana propone que cualquier cambio en el “timing” de los impuestos no tiene efectos sobre la econom´ıa. Es decir, que lo relevante desde el punto de vista del presupuesto de los individuos privados es que ellos internalizan el comportamiento del gasto p´ ublico y su financiamiento en sus decisiones. Es decir, si el fisco aumenta el gato financiado con deuda, los privados internalizan que en alg´ un momento del tiempo tendr´ an que pagar los impuestos necesarios. Sin embargo, es importante reconocer que detr´ as de la Equivalencia Ricardiana hay un conjunto de supuestos cr´ıticos. Por estos motivos esta teor´ıa no se cumple cuando: Existen restricciones de liquidez que impiden que los individuos puedan endeudarse para deshacer el efecto del cambio tributario. La gente no tiene horizonte infinito (son mortales) o no les entrega utilidad lo que ocurra con sus descendencia. Existe incertidumbre (sobre quién va a pagar) y distorsiones (impuestos proporcionales a actividades econ´ omicas). Estructuras tributarias progresivas o con excenciones que generan que no todos los agentes de una econom´ıa paguen los impuestos que financian la deuda. Algunos individuos son miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).

1.1. COMENTES DE CONSUMO

1.1.5.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Consumo seg´ un los Keynesianos 1

¿Qué justificaci´ on teor´ıca podr´ıa dar ud. en contra del uso de la teor´ıa de consumo keynesiana para explicar el movimiento del consumo de una econom´ıa? Respuesta: La principal justifiaci´ on te´ orica para no usar esta teor´ıa es que no incluye variables relevantes. La funci´ on de consumo keynesiana es de la forma: Ct (Yt ) = C + c · Yt

(1.2)

De la ecuaci´ on (1.3) podemos observar que esta no depende de cambios en la tasa de interés, aumentos permanentes o transitorios del nivel de ingreso futuro, cambios en las expectativas, presencia de activos financieros, etc; que son variables relevantes que influyen sobre el comportamiento del consumo. Es por esto que es necesario contar con teor´ıas que incluyan estas variables.

1.1.6.

Consumo seg´ un los Keynesianos 2

Utilizando la siguiente funci´ on keynesiana de consumo derive las tres conjeturas de Keynes con respecto al comportamiento del consumo. ¿Cu´al(es) de las tres conjeturas cree ud. que no se ajusta(n) a la realidad? Ct = C + c · Yt

(1.3)

Tip: Describa de qué depende el consumo, obtenga la propensi´ on marginal a consumir, la propensi´ on media y analize su evolución en el tiempo. Respuesta: De (1.3) podemos notar 3 cosas: 1. El consumo depende s´ olo del ingreso y no incluye cosas como ingreso futuro o tasa de interés. 2. La propensi´ on marginal al consumo es: ∂Ct ∂Yt

c<1

a menos que proporLo que nos dice que ante un aumento en el ingreso (Yt ), el consumo aumentar´ cionalemente con respecto al ingreso. 3. La propensi´ on media al consumo es:

Ct Yt

= =

C + c · Yt Yt C +c Yt

Y analizamos como cambia la PMeC con respecto a Yt ,

∂PMeC ∂Yt

−

C Yt2

(1.4)

De (1.4) podemos ver que la funci´ on keynesiana predice que a medida que aumente el nivel de ingreso, el consumo ir´ a disminuyendo. Esta conclusi´ on se llam´ o “Estancamiento Secular” y fue una preocupaci´ on para los economistas de la ´epoca, hasta que Simon Kuztnets demostr´ o que esto no se cumpl´ıa.

1.1. COMENTES DE CONSUMO

1.1.7.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Equivalencia Ricardiana

El gobierno de Gambonilandia ha decidido emitir bonos por un monto de $ 1.200 millones de d´ olares. Por este concepto, el gobierno recaudar´ a mucho dinero y podr´ a realizar todos los proyectos que antes no pod´ıan ser realizados. Entonces ¿Es el gobierno Gamboniles más rico debido a esta emisi´ on? Sea claro en su razonomiento y explicite sus supuestos. Respuesta: Depende. Si se cumplen ciertos supuestos, la teor´ıa de la Equivalencia Ricardiana del Prof. Robert Barro nos dice que el gobierno enfrenta una restricci´ on intertemporal, por lo tanto, emitir bonos hoy (tener m´ as recursos hoy), significa disponer de menos recursos ma˜ nana. Es por esto que no se puede decir que el gobierno Gamboniles es m´ as rico hoy; est´ a simplemente trayendo ingresos futuros al presente, v´ıa endeudamiento. Esta teor´ıa no se cumple, cuando Existen restricciones de liquidez que impiden que los individuos puedan endeudarse para deshacer el efecto del cambio tributario. La gente no tiene horizonte infinito (son mortales). Existe incertidumbre (sobre quién va a pagar) y distorsiones (impuestos proporcionales a actividades econ´ omicas). Estructuras tributarias progresivas o con excenciones que generan que no todos los agentes de una econom´ıa paguen los impuestos que financian la deuda. Algunos individuos son miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).

1.1.8.

Ingreso permanente

En un modelo de consumo intertemporal, un aumento en la tasa de interés genera una ca´ıda del consumo debido a que el ingreso permanente disminuye. Comente. Respuesta: En un modelo de consumo intertemporal existen tres efectos: sustituci´ on, ingreso y riqueza. Es cierto que un aumento de la tasa de interés, por efecto sustituci´ on, disminuye el ingreso permanente. Sin embargo, para saber el efecto final necesitamos saber que pasa con los otros dos efectos. Esto hace que el comente sea falso o incierto.

1.1.9.

¿Deuda excesiva?

Todos los habitantes de Gambonilandia están endeudados. Es m´ as, durante el u ´ltimo a˜ no los Gambonileses han mostrado consistentemente niveles de consumo mayores a sus niveles de ingresos actuales. Ante esta situación, Crist´ obal Gamboni le pregunta a ud. si esta situaci´ on es preocupante y que riesgos existen. Explique bajo que esquema teórico esta situación no ser´ıa preocupante y comente como se llega a esta conclusión. Respuesta: Esta situaci´ on no ser´ıa preocupante bajo un esquema de Hip´ otesis del Ingreso Permanente o Ciclo de Vida. Estas dos teor´ıas complementarias nos dicen que los agentes son racionales y que desean suavizar sus niveles de consumo a través del tiempo. Estas teor´ıas complementarias establecen que los individuos maximizan su utilidad del consumo a lo largo de su vida. Como resultado de este problema de maximizaci´ on, podemos ver que los individuos preferir´ an un nivel de consumo constante a través de sus vidas. Si los agentes prevén un nivel de ingreso permanente mayor en el futuro, esta teor´ıa nos indicar´ıa que es natural que los individuos deseen endeudarse para as´ı poder tener un nivel de consumo constante en el tiempo.

1.1. COMENTES DE CONSUMO

1.1.10.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Cambios en la tasa de inter´ es

Si un individuo es acreedor neto, una disminuci´ on de la tasa de interés aumentará indudablemente su consumo presente. Comente. Respuesta: Ante una disminuci´ on de la tasa de interés, no sabemos como cambiar´ a el nivel de consumo de un individuo que es acreedor neto. Por una parte el efecto sustituci´ on har´ a m´ as barato el consumo presente respecto del futuro por lo que consumir´ a m´ as y disminuir´ a su ahorro. Pero por otra sus activos disminuir´ an su retorno disminuyendo los frutos de su ahorro inicial. Por efecto ingreso entonces el individuo querr´ a aumentar su ahorro y disminuir´ a su consumo. El efecto final depender´ a de la magnitud de los efectos sustituci´ on e ingreso. El efecto final ser´ a ambiguo.

1.1.11.

Euler de Consumo

El nivel de consumo o´ptimo intertemporal no solo considera el cumplimiento de la restricci´ on presupuestaria intertemporal sino que adem´ as depende de cuanto sea la distribuci´on de ingresos totales en cada per´ıodo del tiempo. Comente Respuesta: El problema que enfrenta un consumidor de dos per´ıodos requiere optimizar el consumo debiendo cumplir la restricci´ on presupuestaria intertemporal que b´ asicamente nos dice que la suma de ingresos debe ser exactamente igual a la suma de consumo, ambos en valor presente. Las decisiones de consumo se hacen independientes de la trayectoria de ingresos en el tiempo. En un caso extremo, el consumidor podr´ıa querer consumir todo hoy y tener todos sus ingresos en el futuro. Obviamente, el supuesto impl´ıcito es que los consumidores tienen acceso al mercado de capitales pudiendo traer riqueza futura al presente y al rev´es, pudiendo de esta manera suavizar su consumo, independiente de la distribuci´ on de los ingresos en el tiempo.

1.1.12.

Shocks permanentes o transitorios

Suponga que una persona recibe un incremento de sueldo que estima será permanente en el tiempo. Seg´ un lo aprendido con las Teor´ıas de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, ¿qué ocurrir´ a con su nivel de consumo? ¿C´ omo cambia su respuesta si el aumento es transitorio? Respuesta: Las Teor´ıas de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, enunciadas por Modigliani y Friedman respectivamente, nos dicen que si los individuos quieren mantener una consumo constante a lo largo de su vida (y tiene una vida suficientemente larga), consumir´ an la anualidad de su riqueza, la que corresponde a la tasa de interés que rinde la totalidad de su riqueza. La primera supone individuos con vidas finitas y la segunda con vidas infinitas, por lo cual en lo indicado por Modigliani supone que adem´ as el individuo consumo parte del la riqueza con lo cual llega al final de su vida sin riqueza. Si el individuo experimenta un aumento de su salario, y este es permanente en el tiempo, aumentar´ a la suma presente de todos sus ingresos futuros (su riqueza total). De esta forma el consumo de cada periodo aumentar´ a proporcionalmente al incremento de su salario. En cambio, si el aumento de salario es considerado como transitorio, el consumo se incrementar´ a menos que 1 a 1. ¿La raz´ on? El mayor ingreso que durar´ a solo algunos per´ıodos debe ser distribuido durante toda la vida, por lo que en cada per´ıodo se consumir´ a s´ olo una fracci´ on de este ingreso.

1.1.13.

Keynesian update

Del comente anterior, ud. sabe que la funci´ on keynesiana no logra predecir de manera satisfactoria el comportamiento del consumo de una econom´ıa. ¿Qu´e cree ud. que la funci´ on keynesiana est´a omitiendo y que podr´ıa ser relevante para las decisiones de consumo? Describa las teor´ıas de consumo que tratan de

1.1. COMENTES DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

resolver estos problemas. Respuesta: La funci´ on keynesiana omite factores relevantes como ingreso futuro esperado, shocks, tasa de interés y preferencias de los individuos. Esto hace que sus predicciones de corto plazo no sean muy buenas. Buscando solucionar este inconveniente, distintos autores dise˜ naron distintas teor´ıas para describir el consumo que hac´ıan énfasis en cada uno de los factores relevantes descritos anteriormente. Estas teor´ıas son: 1. Consumo Intertemporal (Fisher): Irving Fisher desarroll´ o un modelo de agentes racionales y previsores que toman decisiones de consumo intertemporal. Este modelo hace énfasis en las preferencias y en las restricciones a la cual est´ an sometidos estos agentes. 2. Ciclo de Vida (Modigliani): Modigliani us´ o como base para su teor´ıa el modelo de Fisher, pero hizo incapié en el hecho de que el ingreso de un agente var´ıa a través de su vida y que el ahorro permite suavizar el consumo en todos los per´ıodos. 3. Ingreso Permanente (Friedman): Esta hip´ otesis es complementaria a la de Modigliani. Friedman hizo énfasis en el car´ acter transitorio y no-transitorio del ingreso y concluy´ o que la reacci´ on del individuo ante cambios en el ingreso depender´ a si este es de car´ acter transitorio o no.

1.1.14.

Variaci´ on del consumo 1

Explique porqué las variaciones del consumo son impredecibles si los consumidores obebedecen a la hip´ otesis de ingreso permanente y tienen expectativas racionales. Respuesta: De acuerdo a la hip´ otesis de ingreso permanente, los agentes se enfrentan a una renta fluctuante y hacen todo lo posible por para suavizar el consumo a través del tiempo. En cualquier momento del tiempo, la decisi´ on de consumo es ´ optima seg´ un las expectativas de ingreso del agente.A medida que pasa el tiempo, los agentes van cambiando sus decisiones de consumo de acuerdo porque agregan informaci´ on nueva que hace cambiar sus expectativas. Si estamos bajo el supuesto de expectativas racionales, los individuos utilizar´ an toda la informaci´ on disponible para formar sus expectativas, por lo que cambios en el consumo, i.e., una revisi´ on de las expectativas de ingreso futuro, solo puede ocurrir si el individuo es “sorprendido”. Por eso, los cambios en el consumo obedecer´ıan a un “paseo aleatorio”.

1.1.15.

Variaci´ on del consumo 2

¿Qué componentes de la demanda agregada (y de tipos de consumo) son más o menos volátiles en términos relativos? Explique conceptual y emp´ıricamente. Respuesta: La demanda agregada, en econom´ıa cerrada, est´ a compuesta por consumo, inversi´ on y gasto del estado. Adicionalmente, para efectos de esta pregunta es conveniente desagregar el consumo en dos componentes: durable y no durable. Emp´ıricamente si es que calculamos la varianza de cada componente en torno a sus respectivas tendencias, descubrimos que la inversi´ on es m´ as vol´ atil que el consumo y que el consumo durable, a su vez, es m´ as vol´ atil que el consumo no durable. La raz´ on te´ orica es doble: primero, la existencia de utilidad marginal decreciente (que expresamos matem´ aticamente con la concavidad de la funci´ on de utilidad) y la existencia de costos convexos de ajuste de la inversi´ on. El resultado de esto es que los agentes intentar´ an suavizar la trayectoria de consumo y, en cambio, tratar´ an de concentrar la inversi´ on en ciertos per´ıodos para hacer uso de las econom´ıas de escala en la inversi´ on. Esta misma racionalidad explica que el consumo durable sea mas vol´ atil que el consumo no durable, o dicho de otro modo, la mayor volatilidad relativa del consumo durable es un demostraci´ on de que los consumidores enfrentan costos de ajuste convexo. Finalmente, es interesante notar que el gasto fiscal es, por lo general, m´ as estable que el resto de los componentes del gasto debido a las rigideces propias del proceso presupuestario y, en el caso de chile, a la mec´ anica de las reglas del Balance Estructural.

´ 1.2. COMENTES DE INVERSION

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

1.2.

Comentes de Inversi´ on

1.2.1.

Efectos de la concavidad/convexidad

Tanto la concavidad de la funci´ on de utilidad de los consumidores y la convexidad de la funci´ on de costos generan efectos amortiguadores sobre la econom´ıa. ¿Es correcto? Respuesta: La concavidad de la funci´ on de utilidad es la expresi´ on matem´ atica de la utilidad marginal decreciente de los consumidores que genera el comportamiento de suavizaci´ on de los patrones de consumo y, por lo tanto, contribuye a la estabilizaci´ on de los ciclos de la econom´ıa. La convexidad de la funci´ on de costos de inversi´ on es una expresi´ on matem´ atica de la existencia de costos ﬁjos a la inversi´ on que hace que los agentes intenten concentrar en ciertos per´ıodos la inversi´ on, generando una trayectoria m´ as vol´ atil de este componente de demanda. Por ende, el comento es correcto en lo que respecta a la funci´ on de utilidad y falso en lo que respecta la funci´ on de costos.

1.2.2.

Volatilidad seg´ un Tobin

Una econom´ıa donde las firmas enfrentan un funci´ on de costos convexa (crecientes a tasa creciente) es menos volátil que una en donde las firmas enfrentan costos cóncavos (decrecientes a tasa creciente). En el contexto de la teor´ıa de Q de Tobin, comente. Respuesta: Verdadero. Si las firmas enfrentan costos convexos, los ajustes del nivel de capital,i.e. los niveles de inversi´ on, se har´ an de forma paulatina. En cambio, si las firmas enfrentan costos c´ oncavos, estos ajustes se har´ an de golpe. En el primer escenario la inversi´ on es menos vol´ atil que en el segundo, luego, ceteris paribus, la primera econom´ıa ser´ a menos vol´ atil.

1.2.3.

Costos de ajuste

Explique en detalle la importancia de la concavidad/convexidad de la funci´ on de costos de ajuste del capital en un modelo de inversi´ on. Dependiendo de su respuesta, ¿qué decisiones cree que tomarán las empresas en uno u otro caso? Respuesta: En primer lugar, recordemos que la intenci´ on de las firmas es maximizar sus beneficios a la lo largo del tiempo (maximizaci´ on intertemporal). Dado esto, no ser´ a irrelevante la estructura de los costos de la inversi´ on. Como bien sabemos, si esta funci´ on es c´ oncava, entonces dichos costos ser´ an crecientes a tasa decreciente por cuanto la mejor opci´ on ser´ a realizar grandes inversiones en capital en poco tiempo. Por el contrario, si la funci´ on es convexa, tendremos que los costos ser´ an crecientes a tasa creciente por cuanto no ser´ a ´ optimo realizar grandes cambios en un periodo de corto plazo puesto que los costos explotar´ an al invertir marginalmente en capital. A partir de esta situaci´ on, las inversiones en capital se realizar´ an paulatinamente en el tiempo.

1.2.4.

Un cambio anticipado

Suponga una econom´ıa con costos de ajuste de inversión concavos.1 Ante un anuncio de una futura disminución de la tasa de interés, ¿qué har´ an con su inversi´ on las empresas? Respuesta: La teor´ıa de la Q de Tobin vista durante el semestre nos ayuda a entender como las empresas distribuyen en el tiempo su inversi´ on. Una disminuci´ on anunciada (y cre´ıble) de la tasa de interés hace que las empresas comiencen a realizar en forma anticipada. En el caso mas com´ un, en el que las empresas tienen costos de ajustes convexos, mientras mayor es la inversi´ on m´ as costoso es para la empresa realizar el ajuste por lo que desear´ a distribuir en el tiempo el 1 Primera

derivada positiva y segunda negativa.

´ 1.2. COMENTES DE INVERSION

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.1: Din´ amica del modelo con cambio Anticipado de la tasa de inter´es q

∆K = 0

∆q2 = 0

∆q1 = 0 K

r I K

ajuste. Sin embargo, si los costos son concavos, como indica este comente, lo o ´ptimo ser´ a realizar toda la inversi´ on en un solo momento, lo que se conoce como inversi´ on abultada o “lumpy”.

1.2.5.

Inversi´ on y shocks no anticipados

El d´ıa Martes 10 de Junio, el Banco Central emiti´ o el siguiente comunicado “En su reuni´ on mensual de pol´ıtica monetaria, el Consejo del Banco Central de Chile acord´ o aumentar la tasa de interés de pol´ıtica monetaria (TPM) en 50 puntos base, hasta 6,75 % anual.” En el contexto de la teor´ıa de la Q de Tobin, ¿cómo afectará esto las decisiones de inversión de las firmas? Suponga que este cambio en la TPM era totalmente inesperado y que la funci´ on de costos de las firmas es convexa. Explique la din´ amica y grafique el movimiento de las variables de relevantes en el tiempo. Respuesta: Dado que la disminuci´ on de la tasa de interés era totalmente inesperada por las firmas, el precio sombra del capital instalado, q, caer´ a de golpe por debajo de 1. En un esquema de firmas enfrentando costos convexos, las firmas tienen dificultades para cambiar su capacidad instalada. Por lo tanto, las firmas gradualmente ir´ an des-invirtiendo hasta llegar a un nivel de capital instalado inferior al que exisit´ıa antes del cambio en la tasa de interés. (ver figura (1.1))

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.2: Restricci´ on Intertemporal Y2 , C2

150

Y1 , C1

100

1.3.

Matem´ aticos de Consumo

1.3.1.

Consumo intertemporal

Considere una persona que vive dos per´ıodos, t y t + 1, y sus ingresos son de 100 y 150 respectivamente. Si la tasa de inter´es es del 15 %: 1. Determine la restricci´ on presupuestaria de este individuo y graf´ıquela. Respuesta: La restricci´ on presupuestaria es: C2 Y2 = Y1 + 1+r 1+r Reemplazando los valores entregados, tenemos que: C1 +

C1 +

150 C2 = 100 + 1,15 1,15

(1.5)

(1.6)

Gr´ aficamente se puede ver en la figura 1.2. 2. Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos per´ıodos. Encuentre el valor de éste. Respuesta: Tomando (1.5) y reemplazando C1 = C2 = C, tenemos que C1 (1 + r) + C2

= (1 + r)Y1 + Y2

(1.7)

C(2 + r) 1,15 × 100 + 150 2,15 C

= (1 + r)Y1 + Y2

(1.8)

= C

(1.9)

123

(1.10)

c) Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer per´ıodo t en el per´ıodo t + 1, identiﬁque el consumo en t y t + 1.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Respuesta: Utilizando (1.5) y sabiendo que 2C1 = C2 , C2 (1 + r) 2C1 C1 + (1 + r) C1 (1 + r) + 2C1 (1 + r) C1

C1∗

Y2 (1 + r) Y2 Y1 + (1 + r) Y2 Y1 + (1 + r) 1+r Y2 Y1 + 3+r (1 + r) 1,15 150 100 + 3,15 (1,15) 84

C2∗

168

C1 +

= = =

Y1 +

(1.11)

d ) Explique conceptual y matem´ aticamente qué ocurre con el consumo de cada per´ıodo si la tasa de interés aumenta a 20 %. Las preferencias de consumo del individuo se mantienen como en la parte c). Respuesta: Mirando la ecuaci´ on (1.11) ver que el cambio en la tasa de interés afectar´ a por medio del podemos el cual aumenta con r y tambi´ e n mediante el efecto de bajar el valor primer termino en llaves 1+r 3+r presente de los ingresos futuros en el termino Y2 /(1 + r) el cual es obviamente negativo. C1

1+r 3+r

Y2 Y1 + (1 + r)

Al reemplazar los datos tenemos que el consumo permanece casi constante con una peque˜ na alza de 84.13 a 84,38. El consumo el el segundo periodo es simplemente el doble (168,8). Por lo tanto un aumento de la tasa de interés genera un aumento en el consumo en el primer periodo Esto se puede explicar porque Y1 > C1 , es decir, el individuo es un acreedor neto. Dado que no hay efecto de cambio en la distribuci´ on de consumo (i.e. no puede ahorrar m´ as dado el mayor incentivo) debido a que est´ a dado por el enunciado, s´ olo existe el efecto ingreso positivo y el efecto negativo sobre el valor presente de los ingresos en el segundo periodo. e) Identifique en un mismo gr´ afico los resultados obtenidos en las partes b) y c), y explique los cambios ocurridos en el consumo debido a las variaciones de la tasa de interés. Respuesta: Gr´ aficamente tenemos lo que aparece en 1.3 Ver explicaci´ on en comente anterior. f ) Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de 50 en cada per´ıodo. Encuentre la nueva restricci´ on presupuestaria considerando una tasa del 15 % y grafique. Respuesta: El rol del gobierno en este caso seria de cambiar la dotaci´ on de ingreso. C2 (1 + r) C2 C1 + (1,15)

C1 +

Y2 − T (1 + r) 100 = 50 + (1,15) = Y1 − T +

(1.12)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.3: Variaci´ on Tasa de Inter´es Y2 , C2

Dotaci´ on

(1, 2) (1, 15)

Y1 , C1

Figura 1.4: Restricci´ on Intertemporal con Impuestos Y2 , C2

150

100

Y1 , C1

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

El gr´ aﬁco correspondiente se ve en la ﬁgura 1.4 g) Si la estructura de impuesto se mantiene de igual forma y el individuo desea consumir 40 en el primer per´ıodo: i. ¿Cu´ al es el consumo en t + 1? Respuesta: Utilizando (1.7) y sabiendo que C1 = 40, (1,15)50 + 100 = C2 =

40(1,15) + C2 111,5

(1.13)

ii. ¿C´ omo cambia la recta presupuestaria si los impuestos cambian de estructura y se cobra 60 en t y 40 en t + 1? Respuesta: Considerando la soluci´ on empleada en la parte d) y reemplazando por la nueva estructura tributaria tenemos: C2 (1 + r) C2 C1 + (1,15)

C1 +

Y2 − T (1 + r) 110 = 40 + (1,15) = Y1 − T +

(1.14)

iii. ¿C´ omo cambia el consumo en ambos per´ıodos? Respuesta: Dado que, por enunciado, el consumo en el primer periodo es 40, debemos obtener el consumo del segundo periodo. Considerando que C1 = 40 y la ecuaci´ on (1.14) tenemos: (1,15)40 + 110 = C2 =

40(1,15) + C2 110

(1.15)

El cambio en la estructura de impuestos hace que el individuo pase de una situaci´ on ahorradora a una situaci´ on neutral, donde Y1 = C1 e Y2 = C2 .

1.3.2.

Consumo Intertemporal y subsidios

Suponga un individuo que vive dos per´ıodos y maximiza la siguiente funci´on de utilidad: 1 U (C1 , C2 ) = logC1 + logC2 1+ρ

(1.16)

Donde C1 y C2 corresponden al consumo del per´ıodo 1 y 2 respectivamente. Adem´as, el individuo recibe ingresos de Y1 e Y2 respectivamente. La tasa de inter´es de mercado es r y la tasa de descuento intertemporal es ρ (con r = ρ). a) Construya la restricci´ on intertemporal para este individuo. Determine el consumo o´ptimo del per´ıodo 1 y 2 adem´ as del ahorro o´ptimo. Den´ otelos C1∗ , C2∗ y S ∗ respectivamente. Respuesta: La restricci´ on presupuestaria para este individuo vendr´ a determinada por lo siguiente: En el primer per´ıodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese per´ıodo m´ as el ahorro(deuda):

Y1 = C1 + S 16

(1.17)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Para el segundo y u ´ltimo per´ıodo tenemos que el individuo consumir´ a todo su ingreso disponible, por lo que tendremos que: C2 = Y2 + (1 + r)S

(1.18)

Despejando el ahorro (deuda) de la ecuaci´ on (1.21) y reemplaz´ andola en la ecuaci´ on (1.22) obtenemos la restricci´ on presupuestaria intertemporal: C1 +

C2 Y2 = Y1 + 1+r 1+r

(1.19)

Ahora encontramos el consumo o ´ptimo del per´ıodo 1 y 2 adem´ as del ahorro ´ optimo. Para esto armamos el lagrangiano correspondiente: 1 Y2 C2 − C1 − L = logC1 + logC2 + λ Y1 + 1+ρ 1+r 1+r De las CPO del problema o bien por la ecuaci´ on de Euler tenemos lo siguiente: C2 1+r = C1 1+ρ

(1.20)

Despejando C2 de la ecuaci´ on (1.27) y reemplaz´ andolo en la ecuaci´ on (1.23) tendremos que el consumo ´ptimo del per´ıodo 1 vendr´ o a dado por:

C1∗

1+ρ Y2 · Y1 + = 2+ρ 1+r

El ahorro o ´ptimo vendr´ a dado por S ∗ = Y1 − C1∗ , reemplazando C1∗ tenemos: 1 1+ρ S = · Y1 − · Y2 2+ρ 1+r ∗

Por u ´ltimo, calculamos C2∗ reemplazando C1∗ en la ecuaci´ on (1.27):

C2∗ =

1+r Y2 · Y1 + 2+ρ 1+r

Con lo que determinamos lo que se ped´ıa. b) Determine la Elasticidad Intertemporal de Sustituci´ on.2 Respuesta: De la ecuaci´ on de Euler tenemos: C2 1+r = C1 1+ρ Manipulando un poco: 2 Recuerde

1 /C2 ) que EIS = − ∂log(C . ∂log(1+r)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

C1 = C2 C1 ln = C2

1+ρ /ln 1+r ln(1 + ρ) − ln(1 + r)

Derivando: ∂ log(C1 /C2 ) = −1 ∂ log(1 + r) En otras palabras:

EIS = 1

c) Suponga que la autoridad otorga un subsidio θ (con θ > 0) en dinero al individuo en el per´ıodo 1. Determine en cu´anto variar´ a el ahorro e interprete su resultado. Respuesta: Es f´ acil ver que con esto lo u ´nico que cambia es la restricci´ on presupuestaria intertemporal. Haciendo lo mismo que en la parte a) llegaremos a que el consumo o ´ptimo del per´ıodo 1 ser´ a:

C1∗

1+ρ Y2 · Y1 + θ + = 2+ρ 1+r

Calculando el ahorro o ´ptimo: 1 1+ρ · Y1 − (1 + ρ) · θ − · Y2 S = 2+ρ 1+r ∗

Vemos que el ahorro cae en

1+ρ 2+ρ

· θ. Esto debido a que el individuo presenta mayores ingresos en

el primer per´ıodo (ahorrar´ a menos) y, para suavizar su consumo, decide consumir solo parte de este nuevo ingreso y guardar la otra parte para el futuro.

1.3.3.

Consumo Intertemporal y amigos

Suponga un individuo que vive s´ olo dos per´ıodos. La funci´ on de utilidad del individuo es una CRRA (Constant Relative Risk Aversion) de la forma

U (C1 , C2 ) =

1 C 1−σ C11−σ + · 2 1−σ 1+ρ 1−σ

as, no tiene restricciones El individuo tiene un ingreso Y1 en el per´ıodo 1 e Y2 en el per´ıodo dos. Adem´ de liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejar´ a ning´ un tipo de herencia después de morir. a) ¿Por qué el individuo desea suavizar consumo?, ¿Cómo se comporta la utilidad marginal del consumo de esta función?3 Respuesta: El individuo, al tener una funci´ on de utilidad c´ oncava y por ende curvas de indiferencia convexas, 3 Suponga

σ > 0.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

preferir´ a “combinaciones intermedias”de bienes. Esto implica que no se preﬁeren soluciones esquina: consumir toda la riqueza en uno de los per´ıodos. En el caso de este modelo el individuo preﬁere tener una trayectoria estable de consumo, por ende, suavizar´ a el consumo a lo largo del tiempo consumiendo cantidades relativamente parejas. Si analizamos el comportamiento de la funci´ on con respecto al consumo tendremos que:

∂U (C1 , C2 ) ∂C1 ∂ 2 U (C1 , C2 ) ∂C12

= C1−σ > 0 = −σC1−σ−1 < 0

Vemos que la funci´ on de utilidad es c´ oncava por lo que se entiende que el individuo al tener utilidades marginales decrecientes preferir´ a tener trayectorias de consumo estables, de modo de hacer que sus “utilidades marginales”se parezcan en los per´ıodos de su vida. b) Determine y grafique la restricción presupuestaria del individuo. ¿Qué representa el parámetro ρ? Respuesta: La restricci´ on presupuestaria para este individuo vendr´ a determinada por lo siguiente: En el primer per´ıodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese per´ıodo m´ as el ahorro(deuda):

Y1 = C1 + S

(1.21)

Para el segundo y u ´ltimo per´ıodo tenemos que el individuo consumir´ a todo su ingreso disponible, por lo que tendremos que: C2 = Y2 + (1 + r)S

(1.22)

Despejando el ahorro (deuda) de la ecuaci´ on (1.21) y reemplaz´ andola en la ecuaci´ on (1.22) obtenemos la restricci´ on presupuestaria intertemporal: C1 +

C2 Y2 = Y1 + 1+r 1+r

(1.23)

Gr´ aficamente: El par´ ametro ρ representa la importancia relativa que el individuo le otorga al consumo futuro, o bien, el nivel de impaciencia de éste. c) ¿Qué ocurrir´ıa con el ahorro si es que cambia la tasa de interés?4 Respuesta: Es necesario distinguir si es que el individuo es un deudor neto o acreedor neto. • Deudor Neto: Ante alzas en la tasa de interés vemos que el deudor neto siempre aumentar´ a su ahorro, puesto que tanto el efecto sustituci´ on como el efecto ingreso van en la misma direcci´ on. Si es que la tasa de interés baja, veremos que el ahorro disminuye. • Acreedor Neto: Ante alzas o bajas en la tasa de interés veremos que el efecto final es ambiguo debido a que el efecto sustituci´ on y efecto ingreso van en direcci´ on contraria. Depender´ a de la magnitud de los efectos el efecto final. 4 Considere

el efecto ingreso y sustituci´ on adem´ as de si el individuo es acreedor o deudor.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

(1 + r)Y1 + Y2

−(1 + r)

Y1 +

Y2 1+r

Figura 1.5: Restricci´ on Presupuestaria d) Plantee el problema de optimizaci´ on al que se enfrenta el individuo, encuentre las condiciones de primer orden y resuelva cual es el consumo o´ptimo para cada per´ıodo. Respuesta: Planteamos el lagrangiano: 1 C21−σ C11−σ Y2 C2 + · + λ Y1 + − C1 − L= 1−σ 1+ρ 1−σ 1+r 1+r Obtenemos las Condiciones de Primer Orden: ∂L ∂C1 ∂L ∂C2 ∂L ∂λ

C1−σ − λ = 0

(1.24)

1 λ · C2−σ − =0 1+ρ 1+r Y2 C2 Y1 + − C1 − =0 1+r 1+r

= =

(1.25) (1.26)

Despu´es de un poco de ´ algebra llegamos a la Ecuaci´ on de Euler o bien:

C1 C2

−σ =

1+r 1+ρ

σ1

(1.27)

Despejando C1 :

1+ρ 1+r

Reemplazando la ecuaci´ on (1.28) en la ecuaci´ on (1.26) tenemos:

(1.28)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

C2 C2 1+r

1+ρ 1+r

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

σ1 +

(1 + ρ) σ + (1 + r) (1 + r)

C2 1+r

1−σ

Y1 +

Y2 1+r

Y1 +

Y2 1+r

1−σ σ

C2∗

(1 + r) σ 1

(1 + ρ) σ + (1 + r)

Y1 +

1−σ σ

Y2 1+r

Reemplazando el consumo o ´ptimo del per´ıodo 2 en la ecuaci´ on (1.27) podemos obtener el consumo optimo del per´ıodo 1: ´ C1∗

(1 + ρ) σ 1

(1 + ρ) σ + (1 + r)

Y1 +

1−σ σ

Y2 1+r

e) Exprese, no calcule, el ahorro ´optimo del individuo. Exprese adem´ as el ingreso disponible para el segundo per´ıodo. Respuesta: Para hacer lo pedido en el enunciado basta reemplazar lo obtenido en la parte anterior:

S∗ S

∗

= =

Y1 − C1 Y1 −

(1 + ρ) σ 1

(1 + ρ) σ + (1 + r)

1−σ σ

Y1 +

Y2 1+r

Vemos adem´ as que el ingreso disponible para el siguiente per´ıodo viene dado por:

Y2d Y2d

= =

Y2 + (1 + r)S ∗ Y2 + (1 + r) Y1 −

(1 + ρ) σ 1

(1 + ρ) σ + (1 + r)

1−σ σ

Y2 Y1 + 1+r

f) Obtenga la elasticidad intertemporal de sustituci´ on y analice su resultado. ¿Qu´e representa esto? Respuesta: Sabemos que la Elasticidad Intertemporal de Sustituci´ on (EIS) viene determinada por: EIS = −

∂log

C1 C2

∂log(1 + r)

De la ecuaci´ on de Euler sabemos que:

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

C1 C2

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

−σ =

C1 = C2 C1 log = C2 1 ∂log C C2 = ∂log(1 + r) EIS

1+r 1+ρ 1 1+ρ σ 1+r 1 1 log(1 + ρ) − log(1 + r) σ σ −

1 σ

La EIS representa la disposici´ on a sustituir consumo presente por futuro ante cambios en la tasa de interés. Otra forma de verlo es c´ omo cambia porcentualmente la raz´ on entre consumo presente y futuro antes cambios porcentuales en la tasa de interés. g) ¿Qué ocurre si es que ahora existen restricciones de liquidez?. A su juicio, ¿Qué pasar´ıa con el bienestar del individuo? Respuesta: Al existir restricciones de liquidez se le est´ a impidiendo al individuo endeudarse o ahorrar. Esto sin duda le quita posibilidades de poder suavizar su consumo, lo que implica a su vez pérdidas de bienestar. Salvo el caso en que el consumo o ´ptimo coincida con el ingreso de cada per´ıodo veremos que las restricciones de liquidez siempre empeoran el bienestar del individuo.

1.3.4.

Consumo y restricciones de liquidez

Considere un consumidor que vive dos per´ıodos y cuyas preferencias son representadas por una funci´ on de utilidad U (C1 , C2 ), donde C1 y C2 denotan consumo en el primer y segundo per´ıodo, respectivamente, y la utilidad no es necesariamente separable. Los ingresos del consumidor en los per´ıodos 1 y 2 son Y1 y Y2 , respectivamente, y no hay incertidumbre. El consumidor puede endeudarse a una tasa rD y puede ahorrar a una tasa rA , con rA < rD . 1. Dibuje la restricci´ on presupuestaria del consumidor en el plano (C1 , C2 ). Concluya que ésta se compone de dos rectas e identifique la pendiente de cada una de ellas. Respuesta: Las pendientes son −(1 + rD ) para la secci´ on que implica deuda, donde C1 > Y1 y −(1 + rA ) para la secci´ on de la restricci´ on presupuestaria que implica ahorro en el primer periodo con C1 < Y1 . Entonces, dependiendo de las preferencias del consumidor, y por ende de las formas de sus curvas de indiferencia, éste tendr´ a un consumo en la parte ahorradora o deudora. El correspondiente gr´ afico se puede ver en 1.6. 2. Determine condiciones necesarias y suficientes para que la trayectoria de consumo o´ptima sea (Y1 , Y2 ). Estas condiciones debieran ser dos desigualdades en términos de la funci´ on u(C1 , C2 ) y sus derivadas parciales evaluadas en (Y1 , Y2 ) y ambas tasas de interés. Respuesta: De las condiciones de primer orden se tiene que UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 )

1+r

(1.29) (1.30)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.6: Restricci´ on Intertemporal con Diferentes Tasas de Inter´es Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2

−(1 + rD )

Y1 , C1

Y1 = C1

Sabemos que rA < rD , entonces UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 ) UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 )

≤

|1 + rD |

(1.31)

≥

|1 + rA |

(1.32)

UC1 (Y1 , Y2 ) UC2 (Y1 , Y2 ) UC1 (Y1 , Y2 ) UC2 (Y1 , Y2 )

≤

|1 + rD |

(1.33)

≥

|1 + rA |

(1.34)

Evaluando en C1 = Y1 y C2 = Y2

3. ¿En qu´e se traducen las condiciones de la parte anterior cuando u(C1 , C2 ) es aditivamente separable? Respuesta: an Si la funci´ on es separable, las expresiones de la utilidad marginal con respecto a C1 y C2 depender´ solamente de el consumo en un per´ıodo. Esto es, UC1 (Y2 ) UC2 (Y1 ) UC1 (Y2 ) UC2 (Y1 )

≤ |1 + rD |

(1.35)

≥ |1 + rA |

(1.36)

4. Considere las condiciones de desigualdad derivadas en la parte b) y suponga ahora que estas desigualna, dades se cumplen estrictamente. Muestre gráficamente que si Y1 aumenta en una cantidad peque˜ ∆Y1 , entonces ∆C1 /∆Y1 = 1 y ∆C2 /∆Y1 = 0, lo que resulta mucho más cercano a lo que predice la funci´ on de consumo keynesiana que lo que se infiere de las teor´ıas racionales del consumo. Respuesta: En este caso se debe cumplir estr´ıctamente la desigualdad y, adem´ as, debe haber un cambio marginal en uan cumpliendo Y1 . Esto significa que si nos movemos marginalmente en el consumo C1 o C2 , se contin´ ambas condiciones, y por lo tanto a´ un se consume la dotaci´ on. 23

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.7: Efecto de ∆ Y Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2 −(1 + rD )

Y1 , C1

∆Y

UC1 (Y2 ) < |1 + rD | UC2 (Y1 )

(1.37)

UC1 (Y2 ) > |1 + rD | UC2 (Y1 )

(1.38)

El gr´ afico de la situaci´ on se muestra en la figura 1.7. Por construcci´ on hemos definido que el individuo a en la consumir´ a donde ambas pendientes se cruzan, entonces, al aumentar s´ olo Y1 , C1 aumentar´ misma proporci´ on. Dado que no hemos movido Y2 , el aumento de Y1 no tendr´ a efectos sobre C2 . 5. Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en pa´ıses en desarrollo, discuta utilizando sus resultados de las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son más relevantes en pa´ıses en desarrollo o en pa´ıses industrializados. Respuesta: Si la brecha entre rD y rA es muy grande y se cumple que rD > rA , sucede que es muy caro endeudarse y el retorno del ahorro es muy bajo (relativamente). Al ser la brecha grande entre tasas, existe un conjunto mas grande de agentes que optan por consumir su dotaci´ on y se utiliza menos el mercado financiero para suavizar su consumo lo cual genera bajos niveles de ahorro y deuda. En los paises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que los pa´ıses industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un pa´ıs en desarrollo, ya existe una correlaci´ on positiva entre ahorro y crecimiento. 6. Notando que el caso de restricci´ on total de liquidez (no hay acceso a crédito) corresponde a rD = +∞, vuelva a responder las partes anteriores para este caso. Respuesta: En este caso, los individuos pueden s´ olo ahorrar, y gr´ aficamente se puede describir en la siguiente figura. Vemos que el mercado financiero ser´ a m´ as restrictivo y que se limitan a´ un m´ as las decisiones de consumo intertemporal por cuanto los agentes suavizar´ an dicho consumo en menor medida, dadas sus preferencias.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.8: Restricci´ on Intertemporal con rD = +∞ Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2

−(1 + rD ) = +∞

Y1 , C1

Y1 = C1

1.3.5.

Ahorro y Crecimiento

Considere a un individuo que vive por tres per´ıodos: en el per´ıodo 1 su ingreso es Y1 = Y , y en el per´ıodo 2 el ingreso crece a una tasa γ, es decir Y2 = Y (1 + γ). Finalmente, en el per´ıodo 3 se jubila y no tiene ingresos, o sea Y3 = 0. La tasa de inter´es en la econom´ıa es 0. Por otra parte su utilidad es tal que siempre querr´ a un consumo parejo durante toda su vida (es decir, C1 = C2 = C3 ). 1. Calcule el consumo y ahorro (S1 , S2 y S3 ) en cada per´ıodo. Respuesta: Primero, encontramos la restricci´ on presupuestaria, 3 i=1 3

Y + (1 + γ)Y + 0

(1.39)

(2 + γ)Y

(1.40)

i=1

a Como sabemos que C1 = C2 = C3 , Ci ser´ Ci

Y (2 + γ) 3

(1.41) (1.42)

Dado que ahorro es Si = Yi − Ci ,

Y (2 + γ) 3 Y (2 + γ) Y (1 + γ) − 3 Y (2 + γ) − 3 Y −

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. Suponga que en esta econom´ıa no hay crecimiento de la poblaci´ on. Tampoco crecen los ingresos entre generaciones. ¿Qu´e pasa con el ahorro agregado en cada momento? Interprete su resultado. Respuesta: Ya que no hay crecimiento de la poblaci´ on ni del ingreso, el ahorro para cualquier per´ıodo ser´ a la suma de los ahorros para cada per´ıodo de la vida del individuo. Y (2 + γ) Y (2 + γ) Y (2 + γ) + Y (1 + γ) − − =0 3 3 3 Vemos que el ahorro agregado sera cero en cada momento. S1 + S2 + S3 = Y −

(1.43)

3. Suponga que se introduce un sistema de pensiones donde se obliga a cada individuo joven y en edad media a ahorrar una magnitud A, y le devuelven 2A cuando viejo. ¿Qué pasa con el ahorro de los individuos? ¿Tiene alguna implicancia sobre el ahorro o la conducta de los individuos la introducci´ on de un sistema de seguridad social? Respuesta: Lo relevante en este caso es ver que no ha cambiado el valor total de los recursos de las personas. Partamos comparando el ahorro obligatorio con el ahorro o ´ptimo que ya escoge el individuo en cada Y (2+γ) , entonces se ahorra la diferencia y no cambia el etapa de su vida. Si se cumple que 2A < 3 consumo ni ahorro. En el caso que 2A > Y (2+γ) , tenemos que el consumo en el ultimo periodo es 3 mayor al deseado y hay los agentes suavizan igual pero ahora los viejos le traspasan recursos a los j´ ovenes. Dado que no hay restricciones al mercado de capitales, y el valor del ingreso permanente no ha cambiado, el ahorro forzado no tiene ning´ un efecto sobre el consumo ni el ahorro agregado, s´ olo sobre quienes son los ahorradores. 4. Suponga que la poblaci´ on crece a una tasa n. Calcule el ahorro agregado de la econom´ıa (cuide de ponderar adecuadamente el ahorro de cada generación). Respuesta: Hasta el momento, la poblaci´ on no crec´ıa (apenas nac´ıa un ni˜ no, mor´ıa un viejo) por lo que la restricci´ on presupuestaria del individuo aplicaba a la econom´ıa entera. Ahora, el crecimiento es positivo por lo que mientras los individuos cumplan su restricci´ on presupestaria, el agregado va a depender de qué sector (ahorrantes o deudores) son los que est´ an creciendo. Si en el periodo t = 0 el ingreso era Y , entonces: St = (1 + n)t S1 + (1 + n)t−1 S2 + S3 (1 + n)t−3 Y (2 + γ) Y (2 + γ) Y (2 + γ) (1 + n)2 Y − St = + (1 + n) Y (1 + γ) − − 3 3 3 El signo del ahorro depende de γ y n. Y (2 + γ) Y (2 + γ) Y (2 + γ) (1 + n)2 Y − + (1 + n) Y (1 + γ) − − 3 3 3

> 0

(1 + n)2 [1 − γ] + (1 + n) [1 + 2γ] > 2 + γ (1 + n) [(1 + n)(1 − γ) + (1 + 2γ)] > 2 + γ 3 + n(1 − γ) > 0 Vemos que mientras ambas sean tasas lo m´ as probable es que aumente el ahorro agregado cuando aumenta el numero de personas que generan recursos (a´ un as´ı, depender´ a de los valores que adopten n y γ). Suponemos que se cumple para el resto del ejercicio. 5. ¿Cu´ al es la tasa de crecimiento del ingreso agregado en esta econom´ıa? Muestre c´omo var´ıa (sube o baja) el ahorro agregado con un aumento en la tasa de crecimiento de esta econom´ıa. Interprete su resultado, y comp´ arelo con el obtenido en b. 26

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Respuesta: El ingreso total de esta econom´ıa, en el per´ıodo t, ser´ a: Yt

= Y (1 + n)t + Y (1 + γ)(1 + n)t−1 = Y (2 + n + γ)(1 + n)t−1

(1.44)

= Y (1 + n)t+1 + Y (1 + γ)(1 + n)t = Y (2 + n + γ)(1 + n)t

(1.45)

En el periodo

Yt+1

La tasa de crecimiento en esta econom´ıa seria de: ∆Y =

Y (2 + n + γ)(1 + n)t − Y (2 + n + γ)(1 + n)t−1 =n Y (2 + n + γ)(1 + n)t−1

El ahorro tambi´en crece a la misma tasa.

1.3.6.

Consumo en tres actos

Suponga que un individuo que vive tres per´ıodos (ni˜ nez, adultez y vejez, denotados por 1, 2, y 3, respectivamente) tiene la siguiente funci´ on de utilidad intertemporal: U(c1 , c2 , c3 ) =

c1−σ c1−σ c1−σ 1 +β 2 + β2 3 1−σ 1−σ 1−σ

(1.46)

donde β = 1/(1 + ρ), con 0 < ρ, σ < 1. La restricci´ on intertemporal del individuo es: c1 +

c3 c2 y2 (1 − t2 ) y3 (1 − t3 ) + + = y1 (1 − t1 ) + 1+r (1 + r)2 1+r (1 + r)2

(1.47)

donde ti ∈ (0, 1) es un impuesto a los ingresos del per´ıodo i, ∀i = {1, 2, 3} 1. Suponga que ti = t ∀i. Encuentre las Condiciones de Primer Orden del problema planteado. Respuesta: Seg´ un lo visto en clases el problema general: m´ax

β i u(ci+1 )

i=0

s.a N i=0

yi+1 (1 − ti+1 ) (1 + r)i

tiene una CPO conocida (llamada Ecuaci´ on de Euler), como sigue: u (ct ) = β(1 + r)u (ct+1 ) con u > 0; u < 0. Por tanto para el caso particular de este problema tenemos que las CPO son: σ σ c3 c2 = = β(1 + r) (1.48) c1 c2

Â´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

2. suma que r = Ď . Encuentre una expresiÂ´on para ci â&#x2C6;&#x20AC;i = {1, 2, 3}. En otras palabras determine las

N 1 i demandas marshallianas por consumo en cada perÂ´Äąodo. Le serÂ´ a u Â´ til recordar que = i=0 1+r N +1 1+r r

(1+r) â&#x2C6;&#x2019;1 (1+r)N +1

Respuesta: Si r = Ď , entonces Î˛(1 + r) = 1. Luego, la condiciÂ´ on de primer orden (1.48), queda c1 = c2 = c3 = c AdemÂ´ as sabemos que la sucesiÂ´ on i N 1 1 + r (1 + r)N +1 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 1+r r (1 + r)N +1 i=0 Por tanto, reemplazando la condiciÂ´ on de primer orden en la restricciÂ´ on presupuestaria (1.47), y con un poco de Â´ algebra llegamos a que: c1 = c2 = c3 = c =

r(1 + r)2 (1 + r)3 â&#x2C6;&#x2019; 1

y1 (1 â&#x2C6;&#x2019; t) +

y2 (1 â&#x2C6;&#x2019; t) y3 (1 â&#x2C6;&#x2019; t) + 1+r (1 + r)2

3. El gobierno ha decidido que bajarÂ´ a los impuestos durante el perÂ´Äąodo 1, en la misma magnitud que los subirÂ´ a en el perÂ´Äąodo 3. Suponga que esa magnitud es de tamaË&#x153; no Î´ â&#x2C6;&#x2C6; (0, 1), tal que t Âą Î´ â&#x2C6;&#x2C6; (0, 1). Por tanto, t1 = tâ&#x2C6;&#x2019;Î´, t2 = t, y t3 = t+Î´. Muestre las demandas marshallianas de consumo en cada perÂ´Äąodo. Compute la diferencia entre este resultado y el resultado de la pregunta anterior. ÂżCuÂ´ al cantidad es mayor? Respuesta: Computando la diferencia tenemos que:

r(1 + r)2 y3 cc â&#x2C6;&#x2019; cb = Î´ y1 â&#x2C6;&#x2019; (1 + r)3 â&#x2C6;&#x2019; 1 (1 + r)2 D

La cantidad mayor dependerÂ´ a del valor de D. 4. Los ingresos en el ciclo de vida de este individuo son tal que: y3 = 0 < y1 < y2 ÂżCÂ´omo cambia su respuesta en la pregunta anterior? ÂżPor quÂ´e? Respuesta: Si y3 = 0, entonces

r(1 + r)2 cc â&#x2C6;&#x2019; cb = Î´y1 > 0 (1 + r)3 â&#x2C6;&#x2019; 1 Es decir el consumo de todos los perÂ´Äąodos aumenta en esa magnitud. Esto debido a que la disminuciÂ´ on de impuestos al principio de su vida (perÂ´Äąodo 1), es reconocida por el individuo como un aumento en su ingreso disponible. El tema es que al no tener ingresos durante su vejez, nunca tuvo que pagar nada a cambio del aumento de ingreso disponible que recibiÂ´ o en su niË&#x153; nez (impuesto ad-valorem t Ă&#x2014; 0 = 0), por tanto el ingreso permanente aumentÂ´ o. Esto trae consigo que el consumo en TODOS los perÂ´Äąodos y3 aumentara. Esto se revertirÂ´Äąa en el caso que (1+r) 2 > y1 , pues el aumento del impuesto en su vejez harÂ´ a que en total el impuesto que deberÂ´ a pagar (en valor presente) serÂ´ a mayor que la disminuciÂ´ on de impuestos que recibiÂ´ o en la niË&#x153; nez. Esto debido a que el impuesto se gravarÂ´ a sobre un ingreso base mayor.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

1.3.7.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Detalles de la optimizaci´ on del consumo

Suponga que la funci´ on de utilidad de un agente puede representarse de la forma U=

β i · u(ci+1 )

(1.49)

i=0 1 . Asuma que U (·) > 0 y que U (·) < 0. Suponga que la restricci´ on presupuestaria que este Donde β = 1+ρ individuo enfrenta es de la forma N i=0

1 yi+1 (1 + r)i+1

N i=0

1 ci+1 (1 + r)i+1

1. Plantee el problema de Maximizaci´on que enfrenta el individuo y trad´ uscalo a un lagrangeano Respuesta:

m´ax ci

β u(ci+1 )

s.a.

i=0

1 yi+1 (1 + r)i+1

N i=0

1 ci+1 (1 + r)i+1

Luego, el lagrangeano puede ser expresado como N N N 1 1 i L= β u(ci+1 ) + λ yi+1 − ci+1 (1 + r)i+1 (1 + r)i+1 i=0 i=0 i=0

2. Resuelva el problema planteado en (3.2.6) y obtenga la ecuaci´ on de Euler. Respuesta: Obtenemos las CPOs 1 L = β i u (ci ) − λ =0 ci (1 + r)i β i u (ci ) = λ L ci+1

= β i+1 u (ci+1 ) − λ

1 (1 + r)i

(1.50)

1 (1 + r)i+1

(1.51)

1 =0 (1 + r)i+1

β i+1 u (ci+1 ) = λ Dividiendo (1.50) por (1.51) 1 β λ (1 + r)i+1 u (ci ) = i+1 β u (ci+1 ) λ (1 + r)i 1 u (ci ) = (1 + r) β u (ci+1 ) i

u (ci ) = β(1 + r) u (ci+1 ) 3. Asumiendo que r = ρ, encuentre una expresi´on para ci en funci´ on de yi y otros par´ ametros.

Â´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Respuesta: Si r = Ď y recordando que Î˛ =

1 1+Ď ,

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

entonces 1 u (ci ) = (1 + r) u (ci+1 ) 1+Ď :1 u (ci ) 1 = (1 + r) u (ci+1 ) 1+r u (ci ) = u (ci+1 )

(1.52)

Como sabemos que la funciÂ´ on de utilidad cumple que U (ci ) > 0; â&#x2C6;&#x20AC;ci > 0, sabemos que para que se cumpla (1.52) ci = ci+1 â&#x2C6;&#x20AC;i â&#x2C6;&#x2C6; [0, n â&#x2C6;&#x2019; 1] (1.53) Como sabemos que ci = ci+1 = cÂŻ, podemos reemplazar en N

1 ci+1 (1 + r)i+1 i=0 i=0 N N 1 1 yi+1 = cÂŻ (1 + r)i+1 (1 + r)i+1 i=0 i=0 N N 1 1 yi+1 = cÂŻ (1 + r)i+1 (1 + r)i+1 i=0 i=0

N i=0

1 yi+1 (1 + r)i+1

N i=0

1 (1 + r)i+1

â&#x2C6;&#x2019;1 = cÂŻ = ci

(1.54)

4. Suponga que el valor presente de los ingresos es igual a Î¸. Encuentre una expresiÂ´on para ci en funciÂ´ on de Î¸. Asuma que N â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; Respuesta: En este caso, la respuesta es N i=0

â&#x2C6;&#x2019;1 N 1 1 yi+1 = cÂŻ = ci (1 + r)i+1 (1 + r)i+1 i=0 r

Î¸

rÎ¸ = cÂŻ = ci

(1.55)

5. Este modelo nos muestra, entre otras cosas, que los individuos estÂán mejor cuando se pueden endeudar. Asumiendo que los supuestos de este modelo se cumplen (enuncie cuales se cumplen) ÂżCuÂál es la consecuencia de este resultado sobre la estabilidad de la economÂ´Äąa? En particular, ÂżEs una economÂ´Äąa con capacidad de contraer deudas una economÂ´Äąa mÂás o menos volÂátil? Respuesta: Suponiendo que los individuos son agentes racionales y, ademÂ´ as, que existe la profundidad suďŹ ciente como para tener un mercado de capitales perfecto, la teorÂ´Äąa nos indica que: Los individuos teÂ´ oricamente deberÂ´Äąan poder suavizar de mejor manera su consumo, absorbiendo shocks ahorrando o des-ahorrando segÂ´ un sea la direcciÂ´ on del shock. Esto hace que, a pesar de que la economÂ´Äąa presente vaivenes, el nivel de consumo se mantendrÂ´ a relativamente estable, haciendo que la economÂ´Äąa se vuelva menos volÂ´ atil

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.9: Restricci´ on Presupuestaria Intertemporal C2

V (1 + r)

Pendiente = −(1 + r)

1.3.8.

Consumo en dos per´ıodos

Un individuo vive s´ olo dos per´ıodos y luego muere. Ante esta situaci´ on, él le pide a ud. que le diga como optimizar su consumo. El individuo tiene una funci´ on de utilidad de la forma: 1 C21−σ C11−σ + (1.56) 1−σ 1+ρ1−σ El individuo tiene un ingreso Y1 en el per´ıodo 1 e Y2 en el per´ıodo dos.Además, no tiene restricciones de liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejar´ a ning´ un tipo de herencia después de morir. U (C1 , C2 ) =

1. Obtenga la restricci´ on presupuestaria. Graﬁque y explique que pasa con el ahorro ante un cambio en la tasa de inter´es. Considere el efecto sustituci´ on y el efecto ingreso. Respuesta: Y1 C2

= =

C1 + S S(1 + r) + Y2

(1 + r)(Y1 − C1 ) + Y2 Y2 Y1 + 1+r

(1.57) (1.58)

Despejando S de (2) y reemplazando en (3)

C2 C2 C1 + 1+r

La reacci´ on ante un aumento en r provoca dos efectos: Efecto Sustituci´ on: Si la tasa de inter´es sube, el consumo presente se hace relativamente m´ as caro que el consumo futuro. Esto provoca una disminuci´ on de C1 , es decir, un aumento en S, sin inportar si el individuo es deudor o ahorrador. Efecto Ingreso: El efecto ingreso depende si el individuo es deudor o ahorrador. Si es deudor, un aumento en la tasa de inter´es lo lleva a aumentar el ahorro, pues el aumento de r hace m´ as caro endeudarse. Si es ahorrador, el efecto ingreso ir´ a en sentido opuesto; El individuo puede ahorrar menos ahora, pues el retorno del ahorro ha aumentado. 31

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. Plantee el problema de optimizaci´ on al que se enfrenta el individuo, encuentre las condiciones de primer orden y resuelva cual es el consumo o´ptimo para cada per´ıodo. Respuesta: Planteamos la optimizaci´ on, L:

C11−σ 1 C21−σ Y2 Y2 + + λ Y1 + − C1 − 1−σ 1+ρ1−σ 1+r 1+r

(1.59)

Obtenemos las CPOs, ∂L ∂C1 ∂L ∂C2

= =

1 (1 + σ)C1−σ − λ = 0 1+σ 1 1 1 (1 + σ)C2−σ − λ=0 1+ρ1+σ 1+r

(1.60) (1.61)

de (1.60) y (1.61), C1−σ

= λ 1+ρ λ = 1+r

C2−σ

(1.62) (1.63)

de (1.62) y (1.63),

C1 C2

1+ρ 1+r 1 1+ρ σ = C2 1+r =

(1.64) (1.65)

Reemplazando (1.65) en la restricci´ on,

C2∗

C1∗

1 Y2 1 1+ρ σ Y1 + − 1+r 1+r 1+r 1−σ 1 1 Y2 Y1 + (1 + ρ) σ (1 + r) σ + (1 + ρ) σ 1+r

3. Obtenga la elasticidad intertemporal de sustituci´ on (EIS). EIS = −

∂ ln(C1 /C2 ) ∂ ln(1 + r)

Tip: Utilize las CPOs... Respuesta: De las CPOs obtuvimos que,

Aplicamos logaritmo,

C1 C2 C1 C2

σ =

σ = ln

1+ρ 1+r

(1.66) (1.67)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.10: Restricci´ on de Liquidez 1 C2

V (1 + r)

U Pendiente = −(1 + r)

C2∗

U C1∗

C1 = ln(1 + ρ) − ln (1 + r) C2 C1 ln(1 + ρ) ln 1 + r − = ln C2 σ σ

σ ln

Derivamos con respecto a ln(1 + r), ∂ ln (C1 /C2 ) 1 =− ∂ ln(1 + r) σ

4. ¿Qu´e sucede si el individuo tiene restricciones de liquidez? Ilustre gr´ aﬁcamente y explique. Respuesta: El efecto de esta restricci´ on depende si el individuo es ahorrador o deudor neto. Si es ahorrador, la trampa de liquidez no tendr´ a efectos sobre el comportamiento del individuo (restricci´ on inactiva). En cambio, si el individuo es deudor neto, la restricci´ on es activa y esto cambia la elecci´ on de consumo del individuo. Si el individuo desea endeudarse, las restricciones de liquidez no se lo permitir´ an. Esto lo obligar´ an a consumir solo su Y1 , disminuyendo as´ı su nivel de utilidad.

1.3.9.

Restricciones de liquidez, seguridad social y bienestar

En este problema estudiaremos c´ omo las restricciones de liquidez y la existencia de sistemas de seguridad social afectan el bienestar de los individuos. Para ello, supondremos una econom´ıa compuesta por tres clases de individuos: j´ ovenes, desde el nacimiento hasta los 20 a˜ nos; adultos, desde los 21 hasta los 60, y viejos, desde los 61 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada a˜ no nace un nuevo joven y muere un viejo. De esta forma, en la econom´ıa hay 70 individuos: 20 j´ ovenes, 40 adultos y 10 viejos. Los individuos reciben anualmente ingresos iguales a YA cuando son adultos, mientras que cuando son no, y en la vejez su ingreso es igual a YV = 15 YA anuales. j´ ovenes reciben YJ = 14 YA al a˜ La funci´ on de utilidad de los habitantes de esta econom´ıa viene dada por:

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.11: Restricci´ on de Liquidez 2 C2

V (1 + r) Pendiente = −(1 + r)

C2∗ Y2 U

C1∗

logCt

t=1

Donde Ct representa el consumo en cada per´ıodo. Considere para todo el problema que r = ρ = 0 (ρ es la tasa de descuento). a. Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimizaci´ on que afronta el individuo, incorporando la restricci´on presupuestaria (´esta u ´ ltima no es necesario deducirla) y obtenga el consumo o´ptimo C t para cada per´ıodo. Derive expresiones para el ahorro st a lo largo de la vida del individuo y para el ahorro agregado St . Respuesta: El individuo enfrenta distintos ingresos a lo largo de su vida: durante los primeros veinte a˜ nos enfrenta 1/4Y (con Y = YA ). Los siguientes cuarenta a˜ nos enfrenta Y , y en los u ´ltimos diez a˜ nos de su vida obtiene 1/5Y . Por principio de no saciedad, el individuo gasta todo su ingreso en consumo, por lo que tenemos que la restricci´ on puede plantearse como:

10 20 Y + 40Y + Y 4 5

5Y + 40Y + 2Y

47Y

70 t=1 70 t=1 70

Ct Ct Ct

t=1

Planteamos el lagrangeano para resolver el problema de maximizaci´ on: L:

log Ct + λ 47Y −

t=1

70 t=1

Resolviendo las CPO tenemos: 34

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

∂L ∂Ci ∂L ∂Cj Cj ⇒ Ci

1 −λ=0 Ci 1 −λ=0 Cj

= =

= 1

⇒ Cj

= Ci

Esto, para cualquier periodo. Reemplazando en la restricci´ on tenemos:

47Y

⇒ Ct

70Ct 47Y 70

Entonces, el ahorro para cada periodo de juventud queda deﬁnido como: sJ = YJ − Ct =

47Y −59Y Y − = 4 70 140

Para cada periodo de adultez: sA = YA − Ct = Y − Y para la “viejetud”: sV = YV − Ct =

23Y 47Y = 70 70

47Y −33Y Y − = 5 70 70

En el agregado, tenemos: St =

23Y 33Y −59Y · 20 + · 40 − · 10 = 0 140 70 70

b. Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de forma tal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimizaci´ on que enfrenta el individuo en este caso y calcule la trayectoria ´optima del consumo C t , el ahorro st y el ahorro agregado de la econom´ıa St . ¿C´omo se compara con el calculado en la parte a)? Respuesta: Dado que los individuos no pueden endeudarse en su juventud, el consumo durante ese periodo de la vida ser´ a igual al ingreso que reciban en cada momento t. Por lo tanto, en cada a˜ no de juventud su consumo ser´ a igual a: Ct = YJ = Y /4 con t = 1 . . . 20. En el resto de su vida, el individuo intentar´ a suavizar su consumo, de la forma:

40Y +

10 Y 5

42Y

70 t=21 70

Ct Ct

t=21

Ci 42Y ⇒ Ct 35

= Cj = 50Ct 21Y = 25

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Por lo que el ahorro durante la adultez ser´ a: sA = YA − Ct = Y −

4Y 21Y = 25 25

Y en la vejez: sV = YV − Ct =

21Y −16Y Y − = 5 25 25

El ahorro agregado es entonces: St = 0 · 20 +

16Y 4Y · 40 − · 10 = 0 25 25

El ahorro agregado se mantiene en cero, pero ahora el ahorro en la adultez es menor que en el caso en que no ten´ıa restricciones crediticias durante la juventud. Esto ocurre, ya que no puede suavizar consumo durante sus a˜ nos juveniles. c. Calcule la utilidad de los individuos en los casos a) y b). ¿En qu´e caso es mayor la utilidad? Explique su resultado5 . Respuesta: Para el primer caso, la utilidad queda deﬁnida de la forma:

log Ct = 70 · log

t=1

47Y 70

En el segundo caso, tenemos:

20 t=1

log CJ +

log Ct = 20 · log

t=21

Y 4

+ 40 · log

21Y 25

Desde ya vemos que para cualquier valor de Y , el primer caso entrega una mayor utilidad (hagan la prueba si es que no nos creen). Esto ocurre porque en el segundo caso, el individuo se enfrenta a una restricci´ on intertemporal m´ as acotada, al no tener posibilidades de endeudamiento en su juventud. Esto lo limita en cuanto al nivel de consumo que el quisiera conseguir para ese periodo de su vida, ya que es mayor a lo que puede acceder con el ingreso que recibe en ese momento. d. Discuta qué sucede con el ahorro agregado en caso que la población crezca a una tasa de n % anual6 cuando no hay restricción de liquidez y cuando s´ı la hay. ¿Est´ an mejor los individuos cuando la econom´ıa tiene mayor capacidad de ahorro? Respuesta: Hasta el momento, la poblaci´ on no crec´ıa (apenas nac´ıa un ni˜ no, mor´ıa un viejo). Ahora, el crecimiento es distinto de cero y positivo. Eso quiere decir que de un a˜ no a otro, el endeudamiento va a crecer en un n %, por lo que el ahorro agregado va a ser negativo. Esto no ocurre con restricciones crediticias, ya que los jovenes no se podr´ıan endeudar. De todas maneras, individualmente ocurre que las personas est´ an mejor sin las restricciones crediticias, ya que pueden alcanzar un mayor nivel de utilidad. 5 Ayuda: Puede serle u ´til recordar que en el caso de funciones c´ oncavas se cumple la relaci´ on f (αx + (1 − α)y) > αf (x) + (1 − α)f (y). 6 Es decir, si en el a˜ no t nacen Pt personas, entonces en t + 1 nacen Pt+1 = (1 + n)Pt .

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

e. Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a pagar un impuesto de suma alzada τ = 16 YA durante su juventud y adultez que se les devuelve ´ıntegramente en forma de transferencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias de ahorro y consumo. ¿Tiene alg´ un efecto sobre la conducta del individuo este mecanismo de seguridad social? ¿En qu´e casos se podr´ıa justiﬁcar la existencia de mecanismos de seguridad social? Respuesta: Reconstruyendo la restricci´ on presupuestaria para este caso, tenemos que, para el periodo de juventud, el ingreso ser´ a: Y /4 − Y /6 = Y /12. Para la adultez, tenemos: Y − Y /6 = 5Y /6. Por u ´ltimo, para el periodo de los achaques tenemos que cada periodo recibir´ a Y /5, pero adem´ as, les ser´ a devuelto todo ese impuesto pagado durante su vida, que ser´ıa igual a 60 · Y /6 = 10Y . Por lo tanto, la restricci´ on intertemporal del individuo queda descrita como:

5 10 20 Y + 40Y · + Y + 10Y 12 6 5 100 5 Y + Y + 2Y + 10Y 3 3 35Y + 12Y ⇒ Ct

t=1

= 70Ct = 70Ct 47Y = 70

El consumo o ´ptimo no cambia. El ahorro durante cada periodo de la vida es como sigue: sJ = YJ − Ct =

Y 47Y −247Y − = 12 70 420

sA = YA − Ct =

47Y 17Y 5Y − = 6 70 105

Y el agregado sigue sumando cero. Como vemos, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones o ´ptimas de consumo de el individuo. Este mecanismo de seguridad social puede servir para una sociedad con muchos individuos poco previsores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por el consumo actual.

1.3.10.

Seguridad social

Considere una econom´ıa donde todos los agentes se comportan de acuerdo a la teor´ıa del ciclo de vida o del ingreso permanente. Suponga que el gobierno obliga a todos a ahorrar una fracci´ on de su ingreso (que se llama cotización previsional). Cuál cree usted que ser´ a el efecto sobre el ahorro de la econom´ıa (comparando con el caso donde a nadie se le exige ahorrar) en las siguientes situaciones: a. Todos los agentes tienen pleno acceso al mercado financiero y puede pedir prestado o ahorrar todo lo que quieran a una tasa de interés dada (igual a la del retorno del fondo de pensiones). Respuesta: Si los individuos se comportan de acuerdo con la teor´ıa del ciclo de vida, no hay restricciones de liquidez y la tasa de retorno es la misma, entonces la implementaci´ on de un sistema de seguridad social no tiene ning´ un efecto sobre el ahorro. Los individuos ya estar´ıan ahorrando lo necesario como para mantener el nivel de ingreso constante durante su vida. b. Hay una fracción importante de agentes (j´ ovenes), que no pueden pedir prestado todo lo que quisieran. Respuesta: Si existen restricciones de liquidez, los individuos que desean “desahorrar” no pueden hacerlo, por lo tanto, el ahorro aumenta. Si a esto le sumamos la obligaci´ on de ahorrar una fracci´ on del ingreso, aquellos que ahorran estar´ an indiferentes (en la medida que el ahorro forzoso no sea excesivo) y los que no ahorran se ver´ an forzados a ahorrar. El efecto final es un aumento a´ un mayor del ahorro.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

c. En el caso anterior, c´ omo podr´ıa variar su respuesta si los padres se preocupan por el bienestar de sus hijos y les pueden transferir recursos mientras están vivos (o sea, pueden transferir no s´ olo a través de la posible herencia). Respuesta: Si los padres hacen transferencias a sus hijos, la restricci´ on de liquidez desaparece. Ahora los j´ ovenes pueden suavizar su consumo, por lo que la obligaci´ on a ahorrar no tendr´ıa efecto sobre el ahorro. d. Considere ahora el siguiente supuesto sobre el comportamiento de las personas: cuando llegan a la edad de jubilar y dejan de trabajar, ellos saben que el gobierno no los dejar´ a morirse de hambre y les proveer´ a transferencias en caso de no tener ingresos. Suponga en este contexto que el gobierno obliga a la gente a ahorrar y les entrega la plata s´ olo cuando jubilan. ¿Qué cree usted que pasa con el ahorro?. ¿Le parece esta una racionalización u ´ til para justificar la existencia de un sistema de pensiones? Respuesta: En este escenario, los agentes no tienen incentivos para ahorrar; la conducta o ´ptima en este caso es no ahorrar. Luego, la implementaci´ on de un sistema de seguridad social provocar´ıa un aumento en el ahorro. Este argumento es bastante razonable, pues un sistema de seguridad social evita que la sociedad se haga cargo de conductas indeseables.

1.3.11.

Consumo y restricciones de liquidez

Considere un consumidor que vive dos per´ıodos y cuyas preferencias son representadas por una funci´ on de utilidad U (C1 , C2 ), donde C1 y C2 denotan consumo en el primer y segundo per´ıodo, respectivamente, y la utilidad no es necesariamente separable. Los ingresos del consumidor en los per´ıodos 1 y 2 son Y1 y Y2 , respectivamente, y no hay incertidumbre. El consumidor puede endeudarse a una tasa rD y puede ahorrar a una tasa rA , con rA < rD . a) Dibuje la restricci´ on presupuestaria del consumidor en el plano (C1 , C2 ). Concluya que ésta se compone de dos rectas e identifique la pendiente de cada una de ellas. Respuesta: Las pendientes son −(1 + rD ) para la secci´ on que implica deuda, donde C1 > Y1 y −(1 + rA ) para la secci´ on de la restricci´ on presupuestaria que implica ahorro en el primer periodo con C1 < Y1 . Entonces, dependiendo de las preferencias del consumidor, y por ende de las formas de sus curvas de indiferencia, éste tendr´ a un consumo en la parte ahorradora o deudora. Gr´ aficamente tenemos la figura 1.12. b) Determine condiciones necesarias y suficientes para que la trayectoria de consumo o´ptima sea (Y1 , Y2 ). Estas condiciones debieran ser dos desigualdades en términos de la funci´ on u(C1 , C2 ) y sus derivadas parciales evaluadas en (Y1 , Y2 ) y ambas tasas de interés. Respuesta: De las condiciones de primer orden se tiene que UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 )

1+r

(1.68) (1.69)

Sabemos que rA < rD , entonces UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 ) UC1 (C1 , C2 ) UC2 (C1 , C2 ) 38

≤

|1 + rD |

(1.70)

≥

|1 + rA |

(1.71)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.12: Restricci´ on Intertemporal con Diferentes Tasas de Inter´es Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2

−(1 + rD )

Y1 , C1

Y1 = C1

Evaluando en C1 = Y1 y C2 = Y2 UC1 (Y1 , Y2 ) UC2 (Y1 , Y2 ) UC1 (Y1 , Y2 ) UC2 (Y1 , Y2 )

≤

|1 + rD |

(1.72)

≥

|1 + rA |

(1.73)

c) ¿En qu´e se traducen las condiciones de la parte anterior cuando u(C1 , C2 ) es aditivamente separable? Respuesta: an Si la funci´ on es separable, las expresiones de la utilidad marginal con respecto a C1 y C2 depender´ solamente de el consumo en un per´ıodo. Esto es, UC1 (Y2 ) UC2 (Y1 ) UC1 (Y2 ) UC2 (Y1 )

≤ |1 + rD |

(1.74)

≥ |1 + rA |

(1.75)

d) Considere las condiciones de desigualdad derivadas en la parte 1.3.11 y suponga ahora que estas desigualdades se cumplen estrictamente. Muestre gráficamente que si Y1 aumenta en una cantidad peque˜ na, ∆Y1 , entonces ∆C1 /∆Y1 = 1 y ∆C2 /∆Y1 = 0, lo que resulta mucho más cercano a lo que predice la funci´ on de consumo keynesiana que lo que se infiere de las teor´ıas racionales del consumo. Respuesta: En este caso se debe cumplir estr´ıctamente la desigualdad y, adem´ as, debe haber un cambio marginal en Y1 . Esto significa que si nos movemos marginalmente en el consumo C1 o C2 , se contin´ uan cumpliendo ambas condiciones, y por lo tanto a´ un se consume la dotaci´ on. UC1 (Y2 ) < |1 + rD | UC2 (Y1 )

(1.76)

UC1 (Y2 ) > |1 + rD | UC2 (Y1 )

(1.77)

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.13: Efecto de ∆ Y Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2 −(1 + rD )

Y1 , C1

∆Y

La figura 1.13 muestra el problema en cuesti´ on. Por construcci´ on hemos definido que el individuo consumir´ a donde ambas pendientes se cruzan, entonces, al aumentar s´ olo Y1 , C1 aumentar´ a en la misma proporci´ on. Dado que no hemos movido Y2 , el aumento de Y1 no tendr´ a efectos sobre C2 . e) Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en pa´ıses en desarrollo, discuta utilizando sus resultados de las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son más relevantes en pa´ıses en desarrollo o en pa´ıses industrializados. Respuesta: Si la brecha entre rD y rA es muy grande y se cumple que rD > rA , sucede que es muy caro endeudarse y el retorno del ahorro es muy bajo (relativamente). Al ser la brecha grande entre tasas, existe un conjunto mas grande de agentes que optan por consumir su dotaci´ on y se utiliza menos el mercado financiero para suavizar su consumo lo cual genera bajos niveles de ahorro y deuda. En los paises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que los pa´ıses industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un pa´ıs en desarrollo, ya existe una correlaci´ on positiva entre ahorro y crecimiento. f) Notando que el caso de restricción total de liquidez (no hay acceso a crédito) corresponde a rD = +∞, vuelva a responder las partes anteriores para este caso. Respuesta: En este caso, los individuos pueden s´ olo ahorrar, y gr´ aficamente se puede describir en la figura 1.14. Vemos que el mercado financiero ser´ a m´ as restrictivo y que se limitan a´ un m´ as las decisiones de consumo intertemporal por cuanto los agentes suavizar´ an dicho consumo en menor medida, dadas sus preferencias.

1.3.12.

Franco, Milton y mucha diversi´ on

Suponga un agente representativo que recibe en cada per´ıodo ingresos laborales Yt , e ingresos ﬁnancieros que vienen de las tasas de retorno r de los activos At que posee al principio del per´ıodo t (la tasa de inter´es es constante). Suponga que el agente tiene una funci´ on de utilidad del tipo

β · U (Ct+i )

i=0

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 1.14: Restricci´ on Intertemporal con rD = +∞ Y2 , C2

−(1 + rA )

Y2 = C2

−(1 + rD ) = +∞

Y1 , C1

Y1 = C1

a) Escriba la restricci´ on del individuo en el per´ıodo t y consol´ıdela con la del per´ıodo t + 1. Respuesta: Luego dado que el ingreso total debe ser igual al consumo m´ as el pago de impuestos m´ as la acumulaci´ on de activos, tenemos que la restricci´ on presupuestaria para cada momento t ser´ a:

yl,t + rAt

Ct + At+1 − At

(1)

yl,t + At (1 + r) − Ct

(2)

Reescribiendo la ecuaci´ on tenemos:

At+1

Adelantando en un periodo la expresi´ on (2), tenemos la restricci´ on del segundo per´ıodo, pues (2) se cumple para todo t:

At+2

= yl,t+1 − Ct+1 + (1 + r)At+1

Luego reemplazando en At+1 (2), queda:

At+2

= yl,t+1 − Ct+1 + (1 + r) yl,t − Ct + (1 + r)At

At+2

= yl,t+1 − Ct+1 + (1 + r)yl,t − (1 + r)Ct + (1 + r)2 At

(1 + r)At = Ct − Yl,t +

At+2 Ct+1 − yl,t+1 + 1+r 1+r

Con lo que tenemos la relaci´ on entre los dos per´ıodos

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

b) Generalice para mostrar la restricci´on presupuestaria para N per´ıodos y luego generalice para mostrar la restricci´ on presupuestaria para ∞ per´ıodos. Respuesta: Luego para N periodos, reemplazando recursivamente tenemos:

(1 + r)At

N Ct+i − yl,t+i

(1 + r)i

i=0

At+N +1 (1 + r)N

Luego si imponemos que el agente s´ olo piensa en ´el y no deja nada para despu´es de su muerte (principio de la no saciaci´ on), At+N +1 (1 + r)N

Nota: Otra posibilidad es asumir que N es suﬁcientemente grande como para que este valor converja a 0, es decir

limN →∞

At+N +1 (1 + r)N

= 0

A este tipo de modelos se le llama de horizonte inﬁnito Por lo que la restricci´ on presupuestar´ıa intertemporal del agente representativo queda de la siguiente forma: (1 + r)At

N Ct+i − yl,t+i i=0

(1 + r)i

lo que es igual a: N Ct+i (1 + r)i i=0

N yl,t+i + (1 + r)At (1 + r)i i=0

c) Suponga que el individuo desea planificar una trayectoria de consumo plana o constante. ¿Que supuesto se requiere para poder asumir esto?7 Respuesta: Se requiere que el factor de descuento intertemporal sea igual a la tasa de interés (ρ = r) d) Calcule el nivel de consumo por per´ıodo para un individuo que vive N per´ıodos y la tasa de interés es igual al factor de descuento intertemporal. Respuesta: Si suponemos un mismo nivel de consumo C para todo periodo t (supuesto de suavizaci´ on del consumo), tenemos que: N yl,t+i (1 + r)At + (1 + r)i i=0

N yl,t+i (1 + r)i i=0

(1 + r)At +

7 Puede

N Ct+i (1 + r)i i=0 1 − (1+r)1 N +1 C 1 1 − 1+r

N r (1 + r)N +1 yl,t+i (1 + r)At + (1 + r)i 1+r (1 + r)N +1 − 1 i=0

suponer, para esta pregunta, una funci´ on de utilidad logar´ıtmica.

´ 1.3. MATEMATICOS DE CONSUMO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

e) Interprete el resultado del punto anterior, distinguiendo entre el nivel de consumo de agentes de horizonte infinito y finito. Respuesta: En este modelo de tiempo finito, la persona se consume un poco m´ as que la anualidad de su riqueza, ya que tiene que depreciar el capital con el objeto de llegar al final de su vida sin recursos que no us´ o. Lo que nos dice el modelo de horizonte infinito es que un individuo que distribuye su consumo a lo largo de su vida (y tiene una vida suficientemente larga), termina consumiendo la anualidad de su riqueza, la que corresponde a la tasas de interés que rinde la totalidad de su riqueza. f) Relacione sus resultados con las dos teor´ıas canónicas de consumo de Franco Modigliani y Milton Friedman. ¿Cuales son las diferencias entre las dos teor´ıas? Respuesta: Los resultados se relacionan en que el individuo planifica el consumo de su vida de acuerdo a todos los ingresos proyectados que tendr´ a en ella (suaviza consumo). La diferencia entre estas dos teor´ıas es que una se enfoca en el ciclo del agente y la otra en la diferencia entre los ingresos que eset recibe (permanentes o transitorios).

´ ´ 1.4. MATEMATICOS DE INVERSION

1.4. 1.4.1.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Matem´ aticos de Inversi´ on Q de Tobin: Versi´ on “Plain vanilla”

Suponga firmas que tienen la siguiente estructura de ajuste de costos: (It − δKt )2 2 Se sabe además que la funci´ on de producci´ on es a siguiente: f (K, L) = K α + Lβ a) Determine entre qué valores deben fluctuar α y β. Muestre además, que el invertir m´ as har´ a que los costos crezcan a tasas crecientes (Suponga It /δ > Kt ). A que corresponde δ?. Respuesta: Como sabemos, la funci´ on de producci´ on debe tener retornos decrecientes a escala para que exista soluci´ on. Es por esto que 0 < α, β < 1 (no puede existir un α o β negativo ya que implicar´ıa producto marginal negativo para cualquier nivel de K o L). Adem´ as debe cumplirse que α + β < 1, lo que implican retornos decrecientes a escala. Con respecto a la segunda parte del ejercicio, basta con demostrar que los costos de ajuste son convexos. Para esto derivamos la ecuaci´ on de los costos con respecto a la u ńica variable que puede modificarse a determinada por lo tanto cuenta como un componente fijo) la cual es la de (La variable Kt est´ inversi´ on. M´ as detalladamente: ∂C ∂It

It − δ · Kt

Como hab´ıa sido deﬁnido en el enunciado, It /δ > Kt , por lo que se cumple que

∂C ∂It

> 0.

Ahora debemos ver el comportamiento de la segunda derivada: ∂2C ∂It2

= 1

Es f´ acil ver que la segunda derivada tiene signo positivo. Entonces, queda demostrado que los costos de ajuste son convexos o como lo dec´ıa el enunciado, el invertir m´ as har´ a que los costos crezcan a tasas crecientes. Por otro lado, el par´ ametro δ corresponde a la tasa de depreciaci´ on, la cual debe estar en el rango 0 ≤ δ ≤ 1. b) Encuentre las ecuaciones de movimiento del valor q y del capital, interprete y grafique detalladamente el diagrama de fases. Para simplificar, normalice el precio a 1. Respuesta: Primero debemos plantear la ecuaci´ on de maximizaci´ on de beneficios de la firma:

Max s.a.

s ∞ (Is − δKs )2 1 α β Ks + Ls − ws · Ls − Is − 1+r 2 s=0 Ks+1 − Ks = Is − δKs

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Armando el Lagrangiano: s ∞ 1 (Is − δKs )2 α β L= + qs (Is − δKs − Ks+1 + Ks ) Ks + Ls − ws · Ls − Is − 1+r 2 s=0 Ahora derivamos con respecto a las variables de decisi´ on:

∂L ∂Is

qs − 1 = K˙

[−1 − (Is − δ · Ks ) + qs ] ·

1 1+r

s =0

Is − δ · Ks = Ks+1 − Ks qs − 1

Esta ecuaci´ on corresponde a la del movimiento del capital. ∂L ∂Ks+1 qs + qs · r

= (−qs ) · =

1 1+r

s +

1 1+r

s+1

α−1 · α · Ks+1 − (Is+1 − δ · Ks+1 ) · −δ − qs+1 · δ + qs+1 = 0

α−1 α · Ks+1 + δ(Is+1 − δ · Ks+1 ) − qs+1 · δ + qs+1

De la ecuaci´ on del movimiento de capital sabemos que qs − 1 = Is − δ · Ks as´ı que podemos adelantarlo un periodo y obtener que qs+1 − 1 = Is+1 − δ · Ks+1 . Reemplazando este t´ermino en la u ´ltima ecuaci´ on:

qs + qs · r

qs+1 − qs

α−1 δ + qs · r − α · Ks+1

q˙

α−1 δ + qs · r − α · Ks+1

α−1 α · Ks+1 + δ(qs+1 − 1) − qs+1 · δ + qs+1 α−1 α · Ks+1 − δ + qs+1

Esta es la ecuaci´ on de movimiento del valor q. El diagrama de fases es el de la figura 1.15. c) Imagine que se anuncia que el par´ ametro α crecerá a α (con α > α) el pr´ oximo periodo. Suponga que a pesar del crecimiento del par´ ametro α se siguen manteniendo las condiciones necesarias para desarrollar el problema. Interprete este incremento y grafique detalladamente la dinámica en el diagrama de fases. Respuesta: En la figura 1.16 vemos que el incremento en el valor del par´ ametro α es equivalente a un aumento de la productividad del capital. Por lo tanto, al ser anunciado, veremos que existe un salto inicial en el valor de la q debido a un aumento en el valor de las empresas. Posteriormente las firmas ir´ an ajustando su nivel de capital (a´ un cuando la medida no se haya concretado) con el objeto de ir gradualmente hacia el nuevo equilibrio y no de una vez (es importante mencionar que el ajuste gradual de capital que comienza antes de que la medida se concrete no implica que se haya llegado al brazo estable del nuevo equilibrio, se est´ a “en camino”hacie el). Esto debido a los costos de ajuste convexos, vale decir, los costos de ajuste crecen a tasas crecientes con respecto a la inversi´ on por lo que las firmas preferir´ an hacer ajustes graduales de capital.

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Figura 1.15: Diagrama de Fase

Q Q˙ = 0

K˙ = 0

Figura 1.16: Diagrama de Fase

q q˙ = 0

q˙ = 0

K˙ = 0

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Figura 1.17: Diagrama de Fase

q q˙ = 0

q˙ = 0

K˙ = 0

d) Imagine ahora que cuando se deb´ıa concretar el aumento de α, éste se mantiene en su nivel inicial. Grafique la din´ amica de esta situación mediante un diagrama de fases. Respuesta:

e) Suponga que ahora la autoridad necesita dinero para financiar cursos de LATEXpara sus trabajadores pero quiere adem´ as de eso mantener un presupuesto equilibrado. Para esto decide cobrar sorpresivamente un impuesto µ > 0 a los dividendos de las firmas, de manera de costear los cursos. Muestre el cambio que ocurrir´ıa en las ecuaciones de movimiento al cobrar el impuesto. Adem´ as, grafique en el diagrama de fases la dinámica de esta situación (Considere esta situación independiente de las anteriores, c) y d)). Respuesta: Vemos que un impuesto a los dividendos hace que lo que se destinaba a re-invertir ahora deber´ a tributar y por lo tanto es equivalente a un impuesto a la inversi´ on. Por lo tanto, ahora el precio de invertir ser´ a de (1 + µ). Debemos plantear la ecuaci´ on de maximizaci´ on de beneficios nuevamente, incluyendo el impuesto a la inversi´ on. s ∞ 1 (Is − δKs )2 α β + qs (Is − δKs − Ks+1 + Ks ) L= Ks + Ls − ws · Ls − (1 + µ) · Is − 1+r 2 s=0 Ahora derivamos el Lagrangeano con respecto a las variables de decisi´ on que nos generan las ecuaciones de movimiento.

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Figura 1.18: Diagrama de Fase

q˙ = 0 q˙ = 0

(1 + µ)

K˙ = 0

∂L ∂Is

qs − (1 − t) =

1 1+r

s · [−(1 + µ) − (Is − δ · Ks ) + qs ] = 0

K˙

Vemos que la ecuaci´ on de movimiento de capital si cambia debido al impuesto.

∂L ∂Ks+1

1 1+r

s · (−qs ) +

1 1+r

s+1

α−1 · α · Ks+1 + δ(Is+1 − δ · Ks+1 ) − qs+1 · δ + qs+1 = 0

qs + qs · r

α−1 = α · Ks+1 + δ(qs+1 − (1 + t)) − qs+1 · δ + qs+1

qs + qs · r

α−1 = α · Ks+1 − δ(1 + t) + qs+1

q˙

α−1 = qs · r + δ(1 + t) − α · Ks+1

Vemos en la ﬁgura 1.18 que tambi´en la ecuaci´ on de movimiento de la q ha cambiado por el impuesto.

1.4.2.

Tobin y Bernanke

Una vez realizada la maximizaci´ on, el modelo de la q de Tobin con una funci´ on de costos de ajuste cuadr´ atica (Is − δKs )2 se reduce a dos ecuaciones:

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Figura 1.19: Diagrama Fase q-Tobin: q

K˙ s = 0

Ks+1 − Ks

qs+1 − qs

qs − 1 2 qs r − As+1 FK + δ

(1.78) (1.79)

a) Explique verbalmente de donde salen las dos ecuaciones, el or´ıgen del n´ umero 2 en el denominador de la ecuacion (2.34), el significado que juega el par´ ametro q y su rol en la maximizaci´ on de la cual provienen las ecuaciones. Respuesta: Las ecuaciones surgen de la maximizaci´ on de utilidades de una empresa con coste de ajuste cuadr´ atico, sujeto a una ley de movimiento de capital com´ un. El n´ umero 2 surge por los costes de ajuste, que hacen que q se desvie temporalmente. El par´ ametro q representa el beneficio marginal de la inversi´ on y mientras mayor es, mayor la inversi´ on neta. b) Use la ecuación (2.34) para representar en en el plano {K,q} (donde q es la vertical y K es la horizontal), el conjunto de puntos para los cuales K se encuentra estacionario y describa las leyes de movimiento de K para los demás puntos del plano. Respuesta: on K se va a encontrar en estado estacionario cuando K˙ s = Ks+1 − Ks = 0. Forzando esta restricci´ en la ecuaci´ on (2.34), obtenemos que el valor de q de equilibrio que hace que el capital no var´ıe en el tiempo sea 1. Sobre esta recta, q > 1, lo que significa que el valor presente del proyecto es mayor que el coste de capital. Esto significa que invertir es rentable y por lo tanto K˙ s > 0. Bajo la recta q = 1, el valor presente del proyecto es menor que el coste de capital, por lo que conviene desinvertir, y por afico presentado en la figura 1.19. lo tanto K˙ s < 0. De esta forma obtenemos el gr´ c) Use la ecuación (2.35) para representar en en el plano {K,q} (donde q es la vertical y K es la horizontal), el conjunto de puntos para los cuales q se encuentra estacionario y describa las leyes de movimiento de q para los demás puntos del plano. Respuesta: q se encontrar´ a estacionario cuando no var´ıe en el tiempo, es decir, qs+1 − qs = q˙s = 0. Forzando esta restricci´ on en la ecuaci´ on (2.35) derivamos la siguiente funci´ on: As+1 FK − δ r cuya pendiente es negativa dado que por supuestos b´ asicos FKK < 0. qs =

As+1 FKK ∂qs = <0 ∂K r

(1.80)

(1.81)

Sobre esta curva, el valor presente de la firma es mayor al coste de capital, por lo que el par´ ametro q est´ a en aumento. Bajo esta curva, el coste de capital es mayor que el valor presente de la firma y por ende la q disminuye. Gr´ aficamente tenemos la figura 1.20

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Figura 1.20: Diagrama Fase q-Tobin:

q˙s = 0

q˙s = 0 K

Figura 1.21: Diagrama Fase q-Tobin q

K˙ s = 0 q˙s = 0 K

d) Grafique el equilibrio de estado estacionario en K y q de esta econom´ıa. Muestre como se combinan las leyes de movimiento para generar trayectorias estables e inestables. Respuesta: La intersecci´ on de ambas curvas anteriores nos da el equilibrio. S´ olo existe UNA trayectoria posible que nos lleva al equilibrio. Esta se llama el brazo estable, y se presenta en la figura 1.21. e) Explique el efecto de la instauración de un presidente del Banco Central menos conservador que el anterior (con m´ as disposición a tolerar inflaci´ on alta). Muestre el efecto sobre el equilibrio representado en el punto (d )). Muestre la trayectoria de la q y de I en un par de gr´ aficos que tengan el tiempo s en la horizontal. Respuesta: Un presidente del Banco Central menos conservador que el anterior genera una esperanza de la estructura de tasas m´ as baja. Si baja r vemos que afecta a la curva mediante una reducci´ on en el denominador de (1.80) lo que genera una alza en la pendiente de la curva de estacionariedad de q. Gr´ aficamente tenemos la figura 1.22. f ) Explique el efecto del descubrimiento de una tecnolog´ıa nueva que mejora los procesos productivos de la empresas (internet). Muestre el efecto sobre el equilibrio representado en el punto (d.) Muestre la

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q Q˙ s = 0

1 k˙ s = 0

Q˙ s = 0 K (a) Diagrama Fase

t (b) Gr´ aﬁco Temporal

Figura 1.22: Presidente del BC menos conservador

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trayectoria de la q y de I en un par de gr´ aficos que tengan el tiempo s en la horizontal. Respuesta: Una nueva teconolog´ıa genera un aumento de la productividad marginal del capital, lo que se traduce en un desplazamiento de la curva de estacionariedad de q (q˙s = 0) hacia la derecha. Esto genera un inmediato aumento del valor de “q”, el cual ir´ a disminuyendo a medida que el aumento del capital a través del brazo estable genere que se vuelva a llegar a un equilibrio, en K1∗ . El movimiento de la q y la inversi´ on es similar al caso anterior. Gr´ aficamente tenemos la figura 1.23. g) Explique el efecto de la destrucci´ on de parte del stock de capital a causa de una guerra. Muestre el efecto sobre el equilibrio representado en el punto (d.). Muestre la trayectoria de la q y de I en un par de gr´ aficos que tengan el tiempo s en la horizontal. Respuesta: La destrucci´ on de parte del stock de capital de un pa´ıs a causa de una guerra no produce un cambio en las curvas del diagrama de fases, pero si corresponde a reducir ex´ ogenamente la cantidad de capital instalado. Por lo tanto, si se est´ a en una situaci´ on de equilibrio y una parte del capital instalado es destru´ıdo, entonces la econom´ıa se sit´ ua en la fase superior izquierda del diagrama, la que converge aumentando la cantidad de capital y reduciendo la q. Gr´ aficamente tenemos la figura 1.24.

1.4.3.

Transantiago y Q de Tobin

Suponga una econom´ıa donde las ﬁrmas maximizan el valor presente de sus utilidades futuras eligiendo el nivel de capital sujeto a la siguiente ley de movimiento: Kt+1 = It + Kt (1 − δ)

(1.82)

La formaci´on neta de capital de esta econom´ıa se caracteriza por costos de ajuste cuadr´ aticos: (It − δKt )2

(1.83) α

La producci´ on se genera a través de una funci´ on de producci´ on F (K) = AK con 0 < α < 1. Asuma que el precio del bien producido es igual a 1, y que el costo de arrendar capital para la inversi´ on también es igual a 1.8 a.) Resuelva el problema de maximización de las firmas, determine las ecuaciones de movimiento para el capital y el precio sombra de este. Desarrolle detalladamente el diagrama de fases.(5 pts) Respuesta: Primero se debe plantear la ecuaci´ on que la firma debe maximizar. Esta viene dada por: t ∞ 1 · At Ktα − It − (It − δKt )2 1+r t=0 Sin embargo, ésta se encuentra sujeta a una restricci´ on (ley de movimiento del capital). Por lo tanto, el problema expresado en términos de un Lagrangiano queda como:

t ∞ 1 · At Ktα − It − (It − δKt )2 + qt (It − δKt − Kt+1 + Kt ) 1+r t=0

8 Estos son los mismos supuestos utilizados en los apuntes de clase por lo que debiera llegar a las mismas expresiones, salvo que por simplicidad no estamos incorporando el factor trabajo. A pesar de esto el an´ alisis del problema se ve inalterado.

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q Q˙ s = 0

1 k˙ s = 0

Q˙ s = 0 K (a) Diagrama Fase

t (b) Gr´ aﬁco Temporal

Figura 1.23: Mejora de procesos gracias a nueva tecnolog´ıa

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k˙ s = 0 Q˙ s = 0 k1

(a) Diagrama Fase

t (b) Gr´ aﬁco Temporal

Figura 1.24: Destrucci´ on del stock de capital

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Derivando con respecto a las variables de decisi´ on tenemos lo siguiente:

∂L ∂It qt − 1 2 qt − 1 2

1 1+r

t · (−1 − 2(It − δKt ) + qt ) = 0

= It − δKt = Kt+1 − Kt

De esta condici´ on de primer orden obtenemos la ecuaci´ on de movimiento del capital. A continuaci´ on derivamos con respecto a la otra variable de decisi´ on, el capital del pr´ oximo per´ıodo, para obtener la ecuaci´ on de movimiento de la q:

∂L ∂Kt+1 ∂L ∂Kt+1 qt+1 − qt

= = =

t+1

α−1 αAt+1 Kt+1 + 2δ(It+1 − δKt+1 ) − δqt+1 + qt+1 = 0 qt+1 − 1 α−1 −(1 + r)qt + αAt+1 Kt+1 + 2δ − δqt+1 + qt+1 = 0 2 1 1+r

(−qt ) +

1 1+r

α−1 qt · r − αAt+1 Kt+1 +δ

La u ´ltima ecuaci´ on corresponde al movimiento del precio sombra del capital ante cambios de la tasa de inter´es, la productividad marginal y la depreciaci´ on. Usando las dos ecuaciones de movimiento, desarrollaremos el diagrama de fases para estudiar la din´ amica del precio sombra y del capital. Al igualar Kt+1 − Kt a 0, obtenemos la forma de la ∆K = 0. Al repetir este procedimiento para qt+1 − qt encontramos la forma de ∆q = 0. Nos quedan las ecuaciones:

0 = 0 =

qt − 1 2 α−1 +δ qt · r − αAt+1 Kt+1

Lo que se puede despejar como

1 α−1 −δ αAt+1 Kt+1 r

Es importante que notemos que ∆K = 0 indica que si q se encuentra por sobre el nivel de estado estacionario del capital, el mercado desea aumentar el nivel de capital, impulsando mayor inversi´ on; y si se encuentra por debajo, hace que las empresas quieran disminuir el capital dejando que este se deprecie. Finalmente notamos que ∆q = 0 indica que si el capital est´ a por sobre el o ´ptimo, la productividad FK es muy baja por lo que q tiene que estar aumentando y vice versa. Junt´ ando ambos ecuaciones y sus respectivas leyes de movimiento en un gr´ afico, tenemos la figura 1.25. b.) Suponga que el Gobierno anuncia la implementaci´ on del Transantiago, un cambio en el sistema de transporte p´ ublico que promete mejor calidad y menor tiempo de viajes cuando se complete la operación del plan. Las empresas interpretan esto como un incremento en la productividad de la econom´ıa (aumento anticipado del par´ ametro A).9 Muestre los cambios que (supuestamente) ocurrirán en el diagrama de fases y en la dinámica temporal de q, K e I. 9 Si bien el modelo no incluye explicitamente trabajadores, asuma que de todas maneras los problemas del transporte los afecta y esto empeora la productividad de la empresa.

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Figura 1.25: Diagrama de Fase q

q˙ = 0

K˙ = 0

Respuesta: Ver figuras 1.4.3 y 1.4.3. c.) Asuma el mismo enunciado que en la parte B. Sin embargo, al poco tiempo de comenzar a operar el plan de transportes los empresarios se dan cuenta de su equivocación. En la pr´ actica el plan empeor´ o la calidad y los tiempos de viaje, con lo cual los trabajadores est´ an m´ as estresados y menos productivos que en la situación inicial. En consencuencia el plan, en vez de aumentar la productividad la ha disminuido. Muestre los cambio que ocurrir´ an en el diagrama de fases y en la dinámica temporal de q, K e I. Respuesta: Ver figuras ?? y 1.29.

1.4.4.

Depreciaci´ on, impuestos e inversi´ on

Considere un inversionista que puede comprar un bien de capital por un valor Q. Este bien le permite obtener un ingreso de Z el per´ıodo de compra, y Z(1 + r) = 2 el siguiente per´ıodo. En consecuencia el capital se deprecia la mitad del total cada per´ıodo. A finales del per´ıodo 2 el capital no vale nada, pues se ha depreciado completamente. Suponga que no hay inflaci´ on y la tasa de interés real es r. El inversionista paga impuestos a una tasa τ sobre las utilidades. a.) Asuma que r = 0. Suponga que se le permite depreciar la mitad del valor del capital en cada per´ıodo. Calcule el valor presente del proyecto y demuestre que la tasa de impuesto es irrelevante en cuanto a la decisión de realizar o no la inversi´ on. Respuesta: Del enunciado sabemos que el activo, de precio Q, genera ingresos en dos per´ıodos: C0 = Z y C1 = Z(1+r) . Adem´ as, se le aplica un impuesto τ a las utilidades y que se permite depreciar en dos periodos, 2 D0 y D1 . Luego, el valor presente neto (VPN) del proyecto es:

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∆K = 0

∆q1 = 0

∆q2 = 0

K Figura 1.26: Din´ amica del modelo

A I

k q t2

Figura 1.27: Din´ amica temporal ante cambios

∆K = 0

∆q3 = 0 ∆q1 = 0 ∆q2 = 0 K Figura 1.28: Din´ amica del modelo

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A I

k q t1

Figura 1.29: Din´ amica temporal ante cambios

V P NA

= (1 − τ ) (U0 ) + (1 − τ ) (U1 ) = (1 − τ ) (C0 − Q − D0 ) + (1 − τ ) (C1 − D1 ) Q Z(1 + r) Q(1 + r) = (1 − τ ) Z − Q − − + (1 − τ ) 2 2 2 3Q Z(1 + r) Q(1 + r) + − ; como r = 0 = (1 − τ ) Z − 2 2 2 3Z − 2Q = (1 − τ ) 2

Respuesta: El impuesto no afecta la decisi´ on de hacer o no el proyecto, ya que el hecho de aplicar un impuesto no cambia el signo del VPN.10 b.) Siga asumiendo que r = 0. Suponga ahora que se le permite depreciar aceleradamente el capital, imputando el total de su valor como costo el primer per´ıodo. Muestre que el valor presente es el mismo que el del caso anterior y por lo tanto la decisi´on de inversi´ on es independiente de la forma en que se permite depreciar el capital. Respuesta: Ahora solo se deprecia en un per´ıodo, luego D0 = Q. Entonces, VPN queda como:

V P NB

(1 − τ ) (U0 ) + (1 − τ ) (U1 )

(1 − τ ) (C0 − Q − D0 ) + (1 − τ ) (C1 ) Z(1 + r) (1 − τ ) (Z − Q − Q) + (1 − τ ) 2 Z(1 + r) (1 − τ ) Z − 2Q + ; como r = 0 2 3Z − 2Q (1 − τ ) 2

= = =

Respuesta: V N PA = V P NB , luego, si la tasa es r = 0, el cuando depreciar no afecta la decisi´ on de inversi´ on 10 suponiendo

τ <1

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c.) Asuma ahora que r > 0. Calcule el valor presente del proyecto bajo las dos formas de depreciaci´ on: lineal (un medio-un medio) y acelerada (todo el primer per´ıodo). ¿En que caso es más probable que se realize el proyecto? ¿Qué puede decir respecto de la forma en que se tributa la depreciación y la inversi´ on?

V P NA

V P NB

3Q Z(1 + r) Q(1 + r) + − = (1 − τ ) Z − ; como r > 0 2 2 2 Z(1 + r) Q(1 + r) − = (1 − τ ) Z − 2Q + 2 2 Z(1 + r) = (1 − τ ) Z − 2Q + 2

Respuesta: El caso m´ as probable que se realize es el de depreciaci´ on acelerada, pues su VNP es mayor que el caso de depreciaci´ on lineal. Se puede decir que el modo de depreciar afecta a la inversi´ on. Si permitimos depreciaci´ on acelerada, el VPN de los proyectos aumenta (comparados con el caso de depreciaci´ on lineal). Esto genera un aumento de la inversi´ on. d.) ¿Por qu´e si r > 0 ´ o r = 0 hace la diferencia? Para responder calcule el valor presente de los descuentos hechos por la depreciaci´ on.

V PDA

V PDB

Q Q(1 + r) + 2 2 Qr = Q+ 2 = Q

Respuesta: Como podemos ver, el VP de los descuentos por depreciaci´ on es mayor en el caso lineal s´ olo cuando r > 0. Esto ocurre porque, al tener una tasa de descuento positiva, el valor del dinero no es el mismo a trav´es del tiempo.

1.4.5.

Nivel de capital

Suponga que la demanda por inversi´ on de una econom´ıa está dada por: ˜ − Kt−1 ) It = φ(K ˜ es el nivel deseado de capital, Kt−1 es el capital del per´ıodo anterior It la inversi´ Donde K on del periodo. La ecuación que determina el nivel deseado de capital es la siguiente: ˜ = 0, 2 Y K r Donde Y es el producto del per´ıodo y r la tasa de interés. Suponga que no existe depreciación. a) Interpréte económicamente el parámetro φ. Respuesta: Este par´ ametro representa la importancia que la econom´ıa le da a no estar en el nivel de capital optimo, entre m´ ´ as alto sea mayor ser´ a la inversi´ on puesto que el costo de no estar en el ´ optimo es muy alto. Si el par´ ametro es bajo, entonces es posible esperar que la inversi´ on sea baja, puesto que el costo de no estar en el nivel de capital o ´ptimo es muy bajo (o importa relativamente poco).

´ ´ 1.4. MATEMATICOS DE INVERSION

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b) Suponga que φ = 0, 3, el producto es ochocientos, la tasa de inter´es es 10 % y el capital del periodo anterior es 300. Determine el nivel de inversi´ on. Respuesta: Primero es necesario calcular el nivel de capital deseado: ˜ = 0, 2 · 800 = 1600 K 0, 1 Ahora reemplazamos en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on:

It = 0, 3 · (1600 − 300) = 390 Lo que corresponde a la inversi´ on que se har´ a en el periodo. c) Imagine que producto de que la confianza de la gente ha ca´ıdo, el par´ ametro φ cae dos tercios de su valor inicial y el banco central decide bajar la tasa de interés a 5 % para tratar de contrarrestar esta baja en la confianza. Determine el nivel de inversi´ on. Respuesta: Primero determinamos el nivel de capital deseado, con la nueva tasa de interés:

˜ K

0, 2 ·

800 = 3200 0, 05

Ahora reemplazamos el nuevo nivel de capital deseado en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on:

= 0, 1 · (3200 − 300) = 290

Con este resultado vemos que la baja en la tasa de interés no fue suficiente para mantener el nivel de inversi´ on. d) Determine la tasa de interés necesaria para que la inversi´ on sea la misma a pesar de existir la ca´ıda en confianza. Respuesta: Para resolver esto es necesario encontrar la tasa de interés en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on: 800 − 300 390 = 0, 1 0, 2 · r 3900 = 0, 2 · 4200 · r r

800 − 300 r

= 160 ≈ 0, 0381

Con esto es posible ver que el banco central debe bajar la tasa de inter´es aproximadamente a 3,81 % para mantener el mismo nivel de inversi´ on.

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1.4.6.

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Costos de Ajuste e Inversi´ on

Suponga que la demanda por inversi´ on de una econom´ıa está dada por: ˜ − Kt−1 ) It = φ(K ˜ es el nivel deseado de capital, Kt−1 es el capital del per´ıodo anterior It la inversi´ on del per´ıodo. Donde K La ecuación que determina el nivel deseado de capital es la siguiente: ˜ = 0, 2 Y K r Donde Y es el producto del per´ıodo y r la tasa de interés. Suponga que no existe depreciación. a) Interpréte económicamente el parámetro φ. Respuesta: Este par´ ametro representa la importancia que la econom´ıa le da a no estar en el nivel de capital optimo, entre m´ ´ as alto sea mayor ser´ a la inversi´ on puesto que el costo de no estar en el ´ optimo es muy alto. Si el par´ ametro es bajo, entonces es posible esperar que la inversi´ on sea baja, puesto que el costo de no estar en el nivel de capital o ´ptimo es muy bajo (o importa relativamente poco). b) Suponga que φ = 0, 3, el producto es ochocientos, la tasa de interés es 10 % y el capital del periodo anterior es 300. Determine el nivel de inversi´ on. Respuesta: Primero es necesario calcular el nivel de capital deseado: ˜ = 0, 2 · 800 = 1600 K 0, 1 Ahora reemplazamos en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on:

˜ K

0, 2 ·

800 = 3200 0, 05

Ahora reemplazamos el nuevo nivel de capital deseado en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on:

= 0, 1 · (3200 − 300) = 290

Con este resultado vemos que la baja en la tasa de inter´es no fue suﬁciente para mantener el nivel de inversi´ on.

´ ´ 1.4. MATEMATICOS DE INVERSION

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

d) Determine la tasa de interés necesaria para que la inversi´ on sea la misma a pesar de existir la ca´ıda en confianza. Respuesta: Para resolver esto es necesario encontrar la tasa de interés en la ecuaci´ on de demanda de inversi´ on: 800 − 300 390 = 0, 1 0, 2 · r 3900 = 0, 2 · 4200 · r r

800 − 300 r

= 160 ≈ 0, 0381

Con esto es posible ver que el banco central debe bajar la tasa de inter´es aproximadamente a 3,81 % para mantener el mismo nivel de inversi´ on.

Cap´ıtulo 2

La econom´ıa abierta 2.1. 2.1.1.

Comentes de tipo de cambio y cuenta corriente Inter´ es de autarquia

Explique c´ omo cambia la tasa de inter´es de autarqu´ıa al caer la pendiente de la trayectoria de los ingresos futuros esperados. Respuesta: Si la pendiente de la trayectoria de ingresos esperados disminuye, se nos indica que disminuye lo que esperamos de ingreso a futuro. Esto hace que se requiera una tasa menor para que los agentes quieran ahorrar. Es decir, en comparaci´ on con la situaci´ on inicial, cae la tasa de inter´es.

2.1.2.

Cuenta corriente y estados futuros

Si la cuenta corriente es muy deficitaria, esto simplemente refleja que se espera una trayectoria decreciente en los ingresos futuros y es el resultado del comportamiento óptimo de suavizaci´ on intertemporal. Comente. Respuesta: La cuenta corriente refleja la condici´ on de ahorrante/deudor de los pa´ıses ya que para traer riqueza futura se endeudan pidiendo bienes y servicios a otros pa´ıses y se devolver´ an a futuro. Si la cuenta corriente de un pa´ıs es deficitaria se requiere necesariamente que este pueda pagar a futuro, por lo que la trayectoria de ingresos debe ser creciente y no decreciente como indica el enunciado.

2.1.3.

Metzler

Suponga un mundo con dos econom´ıas grandes y abiertas A, B. Usando un diagrama de Metzler, explique el efecto sobre la tasa de interés de equilibrio mundial de una guerra donde el pa´ıs A destruye la mayor´ıa de la capacidad instalada del pa´ıs B. Respuesta: Si una guerra destruye la mayor´ıa del capital del pa´ıs B, aumentar´ a la productividad del poco capital que quede. En términos del diagrama de Metzler, la curva de inversi´ on se desplaza de forma que a cada tasa de interés de invierte m´ as. Esto hace que aumente el déficit en cuenta corriente y aumente la tasa de interés mundial.

2.1.4.

Fluctuaciones cambiarias

El evoluci´ on del tipo de cambio real de ha sido creciente (depreciado), sin embargo, la productividad del sector transable ha crecido m´as que el sector no transable, por lo que se contradice la teor´ıa de HarrodBalassa-Samuelson. Respuesta: Para determinar la evoluci´ on del tipo de cambio real no es importante la productividad del sector transable

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

y no transable al interior de un pa´ıs, sino como evoluciona esta en comparaci´ on con el resto del mundo. El comente NO contradice la teor´ıa de Harrod-Balassa-Samuelson ya que la aﬁrmaci´ on esta equivocada.

2.1.5.

Decisiones separadas

Los evidencia emp´ırica presentada en el curso indica que gracias al comercio internacional pa´ıses pobres separan sus decisiones de ahorro de las de inversión, lo cual queda registrado contablemente en la cuenta corriente. Comente. Respuesta: En términos te´ oricos la apertura al comercio internacional permite separar las trayectorias o ´ptimas de consumo, y por ende ahorro, de las de inversi´ on. En la clase 2.1 se present´ o un simple modelo de dos per´ıodos en la que el nivel de producci´ on depende de la inversi´ on realizada en el per´ıodo anterior. En su resoluci´ on se hizo incapié en que la condici´ on de primer orden para el consumo es independiente de la respectiva condici´ on para la inversi´ on. De esta forma, un pa´ıs podr´ıa en el o ´ptimo podr´ıa consumir m´ as de lo que produce sin dejar ahorros, y adem´ as continuar invirtiendo. Para esto se pedir´ a financiamiento al resto del mundo, lo que como indica el comente, queda registrado en la cuenta corriente. Lo anterior debiera traducirse en que al observar el comportamiento de los pa´ıses en el tiempo, no se pudiera encontrar correlaci´ on entre el ahorro y la inversi´ on. Feldstein y Horioka mostraron que incluso para los pa´ıses OCDE, todos pa´ıses desarrollados y abiertos al comercio internacional, hay una alta correlaci´ on entre ahorro doméstico e inversi´ on.

2.1.6.

Transables - No Transables

Seg´ un el modelo visto en el curso de Transables - No Transables, un aumento de la productividad de los bienes transables, generará un aumento del salario real en terminos de bienes No Transables, por lo cual algunos de los trabajadores del sector No transables se trasladar´ an, lo que genera un aumento del precio de los bienes No transables. Comente Respuesta: La primera parte del comente es Verdadero. Ante aumentos en la productividad del sector transable, lo que on de producci´ on, se sen puede ver como un incremento ex´ ogeno en el término aT que re-escala las funci´ gener´ a un aumento en el precio de los bienes NO transables. Esto se debe a a que el precio de los bienes transables no puede variar respecto a los precios internacionales ya que uno de los supuestos es que se la ley de u ńico precio o la Paridad del Poder de Compra en su versi´ on absoluta. De esta forma los salarios de los trabajadores (transables) debe subir, al ocurrir esto hace que aumente el precio de los NO transables. La segunda parte del comente es falso debido principalmente a ley de u ńico precio, ya que no puede aumentar el salario (NO transables), debido a que esto generar´ıa presiones al alza en el precio de los transables, por ende lo u ńico que puede ocurrir es la disminuci´ on relativa de los precios de los NO transables. Lo que sucede en el modelo ante un incremento de la productividad de los Transables es equivalente a la devaluaci´ on real presentada en la clase 2.4 (p´ aginas 10 y 11)

2.1.7.

Tipo de cambio y PPC

Si la inflaci´ on mundial ha sido 4 % y la inflaci´ on doméstica ha sido 8 % en el u ´ ltimo trimestre, y supononiendo que se cumple la Paridad del Poder de Compra, ¿Qué debiesemos esperar que suceda con el tipo de cambio? Comente. Respuesta: Por la Paridad Relativa del Poder de Compra, sabemos que la inflaci´ on de las canastas del consumidor (idénticas) valoradas en la misma moneda, debe ser igual entre pa´ıses. Seg´ un lo estudiado en la Clase 2.3, lo anterior se puede presentar en términos formales:

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

P1,t P2,t â&#x2C6;&#x2014; ln(Et ) + ln(P1,t ) â&#x2C6;&#x2019; ln(P2,t ) et + pâ&#x2C6;&#x2014;1,t â&#x2C6;&#x2019; p2,t

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

â&#x2C6;&#x2014; EP1,t =x P2,t = 0

= 0

donde hemos usado el supuesto de que x esta en torno a uno, y las letras minusculas denotan logaritmo de la variable en cuestiÂ´ on.1 Restando la misma ecuaciÂ´ on del perÂ´Äąodo anterior (t â&#x2C6;&#x2019; 1) tenemos que, et â&#x2C6;&#x2019; etâ&#x2C6;&#x2019;1 + pâ&#x2C6;&#x2014;1,t â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2014;1,tâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;p2,t + p2,tâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x20AC;1â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2020;et

= 0

Ď&#x20AC;2

Con la informaciÂ´ on entregada en el enunaciado y utilizando la anterior expresiÂ´ on obtenemos el siguiente cÂ´ alculo. â&#x2C6;&#x2020;e

Ď&#x20AC;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;1â&#x2C6;&#x2014;

= =

8,0 % â&#x2C6;&#x2019; 4,0 % 4,0 %

De esta forma, por la paridad del poder de compra relativa, se debiese esperar una depreciaciÂ´ on de 4,0 % del tipo de cambio nominal.

2.1.8.

Tipo de cambio y productividad

Ante un shock de productividad, un paÂ´Äąs abierto al comercio internacional con costos de ajuste al capital apreciarÂ´a su moneda mÂ´as que uno sin estos costos. Respuesta: Ante un shock productivo un paÂ´Äąs desearÂ´ a aumentar su nivel de capital por lo que debe realizar inversiones. En el caso de que esta economÂ´Äąa enfrente costos de ajuste convexos, distribuirÂ´ a el aumento del capital en el tiempo. En comparaciÂ´ on con un paÂ´Äąs sin estos costos, la economÂ´Äąa en cuestiÂ´ on enfrentarÂ´ a un menor deďŹ cit en cuenta corriente. Por lo anterior, durante el primer perÂ´Äąodo el tipo de cambio se apreciarÂ´ a menos que un paÂ´Äąs sin estos costos. Intuitivamente, estan entrando mÂ´ as recursos en moneda externa lo cual al interior del paÂ´Äąs la vuelve menos escaza (ie. para comprar un dÂ´ olar se deben entregar menos pesos). De esta forma, la segunda frase del comente es falsa.

2.1.9.

Consecuencias del exito exportador

Durante los u Â´ltimos 20 aË&#x153; nos gran parte del Âéxito exportador de Chile se ha basado en el constante incremento de productividad de este sector. Por este motivo algunos economistas indican que no debiera extraË&#x153; nar la apreciaciÂón cambiara experimentada por el paÂ´Äąs en los u Â´ ltimos aË&#x153; nos. ÂżEs correcta esta aďŹ rmaciÂón? ÂżQuÂé sucede con el TC real si se incrementa la productividad del paÂ´Äąs? Respuesta: La aďŹ rmaciÂ´ on es correcta si se entiende que la productividad del sector transable (exportador) ha aumentado por sobre la productividad del sector transable.2 El tipo de cambio real reďŹ&#x201A;eja el poder adquisitivo relativo de las economÂ´Äąas. En la clase 2.4 derivamos una expresiÂ´ on para el TCR en tÂérminos de la productividad. 1 Cuando x es exactamente 1 es un casi particular, ya que se esta cumpliendo la paridad del poder de compra en su versiÂ´ on absoluta. 2 Un analisis mÂ´ as completo que el estudiado en el curso requerirÂ´Äąa ademÂ´ as como condiciÂ´ on para la apreciaciÂ´ on que la productividad agregada se hubiese incrementado mÂ´ as que la productividad mundial.

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

T CR =

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

FLN T FLT

Esta ecuaci´ on nos indica que el TCR est´ a determinado por las productividades relativas del trabajo en el sector No transable y Transable. Como indica el comente, si aumenta la productividad de las exportaciones, es decir la una mayor incremento en la productividad del sector transable versus el no transable, en el tiempo debieramos observar una apreciaci´ on real. De la anterior ecuaci´ on podemos concluir que un incremento generalizado de la productividad, por ejemplo igual en ambos sectores no afecta el tipo de cambio real. Se requiere analizar el cambio de productividad relativo entre sectores para saber como se altera el tipo de cambio.

2.1.10.

Deficit de CC de EE.UU.

En los u ´ ltimos cinco a˜ nos Estados Unidos a registrado un importante deficit de cuenta corriente lo que se explica en buena medida por un alto deficit presupuestario del gobierno. Comente ¿Qué se debe cumplir para que ésta situaci´ on sea sostenible en el tiempo? Respuesta: Como vimos en clases la cuenta corriente permite a los pa´ıses suavizar sus trayectorias de consumo. Podemos representar la cuenta corriente de la siguiente forma, t ) − (It − I t ) CCt = (Yt − Y t ) − (Gt − G la cual refleja que el pedir recursos del exterior permite enfrentar cualquier aumento del desviaciones respecto a la tendencia del producto, variaciones del gasto del gobierno o incrementos transitorios de la inversion Es de esperar que los pa´ıses en desarollo, bajo el supuesto de que a futuro tendr´ an un nivel de producto mayor, puedan traer riqueza al presente pidiendo recursos al resto del mundo. Esto se ve en la pr´ actica con estos paises registrando déficits en cuenta corriente. Sin embargo, un pa´ıs como Estados Unidos al registrar un déficit en cuenta corriente est´ a suponiendo que a futuro A) tendr´ a un nivel de producto mayor que le permita devolver al resto del mundo los recursos utilizados o B) disminuir´ a durante un largo per´ıodo de tiempo (o incluso en forma permanente) su consumo. Por otra parte, el hecho de que gran parte del déficit en cuenta corriente se deba al creciente déficit presupuestario del gobierno requiere que A) se reduzca el gasto y que EE.UU. tenga un mayor producto o base impositiva que le permita recaudar m´ as recursos, o B) subir permanentemente los impuestos para tener super´ avit y as´ı reponer los recursos pedidos al resto del mundo.

2.1.11.

Est´ atica Comparativa

Explique los siguientes enunciados, a trav´es de los cambios en el Ahorro, Inversi´ on y Cuenta Corriente. En la Actualidad el tipo de cambio al apreciarse hace que las exportaciones de bienes transables caigan. Por ende los individuos independiente de si el efecto es el permanente o transitorio, disminuyen el consumo. Respuesta: Es importante destacar la diferencia entre un shocks permamente y uno transitorio en la ca´ıda de los terminos de intercambio, si bien es cierto que ambos shocks reducen en el producto, los efectos sobre el consumo y el ahorro e inversi´ on son muy distintos. Si en la actulidad el shocks en el tipo de cambio es permanente, los individuos nuevamente maximizar´ an su bienestar intertemporalmete y disminuir´ an su consumo, pero manteniendo el ahorro y la inversi´ on constante. En cambio si el shocks es transitorio , los agentes mantendr´ an su consumo constante y disminuir´ an el ahorro mientres dure el shocks para mantener el mismo nivel de bienestar. Ahora, la cuenta corriente en el primer caso, no se ver´ a afectada ya que el ahorro y la inversi´ on no cambiar´ an. En cambio en el segundo caso la cuenta corriente se ve afectada debido a una disminuci´ on del ahorro nacional cuando el shock es transitorio.

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Se encuentran reservas de Petr´ oleo en tierra del fuego. Respuesta: La reservas de petr´ oleo como recurso natural renovable son muy apetecidas por los inversionistas debido a su alta rentabilidad, por lo cual al encontrarse dichas reservas, muchos inversionistas trasladan sus recursos a tierra del fuego para invertir en la extraccion, debido a que esta supera el costo de oportunidad de las inversiones en otros activos fuera de Chile, por lo cual entran capital por la via de un aumento en la inversi´ on, y esto repercute en el deficit de la cuenta corriente (aumenta). Un aumento del riesgo pa´ıs. Respuesta: Un aumento del riesgo pa´ıs genera, cierta desconfianzas por parte de los inversionistas en paises que antes eran se encontraban atractivos, al aumentar el riesgo, el inversionista exige un mayor retornos a las inversiones en dicho pa´ıs por ende muchos proyectos quedan fuera del atractivo para los socios capitalistas, debido a esto el pais ve disminuido el flujo de divisas del mundo para dicha naci´ on. Esto produce una reduccion de la inversi´ on, con lo que la cuenta corriente se ve favorecida. La Econom´ıa de EE.UU se esta desacelerando, no es una recesión 3 , pero los individuos siguen manteniendo el mismo consumo autonomo. Respuesta: Si los individuos siguen teniendo el mismo consumo autonomo, esto es debido a que este shocks es transitorio y tienen la confianza en que el producto americano se va a mantener cercano al de tendencia, por en ende su consumo autono se mantiene constante. Caso contrario seria el cual lo individuos diminuyeran su consumo automo debido a que el crecimiento del producto ser´ a menor en el largo plazo. Si esto ocurre los individuos buscar´ an disminuir su consumo de susbsitencia, pero manteniendo el ahorro constante.

2.1.12.

Evidencia de decisiones separadas

La teor´ıa nos dice que sin restricciones al comercio y a la movilidad de capitales, las decisiones de inversión debieran estar separadas de las de consumo, y por ende a las de ahorro. ¿Qué puede decir sobre la evidencia emp´ırica al respecto? Respuesta: Feldstein y Horioka muestran que para un per´ıodo importante de tiempo (1960-1974) y un n´ umero significativo de pa´ıses desarrollados, existe una elevada correlaci´ on entre las tasas e inversi´ on y ahorro. El resultado se verifica para ampliaciones de la muestra de pa´ıses y otros periodos temporales. Esta alta correlaci´ on parece, a primera vista, como evidencia de que los pa´ıses no tienen acceso (o no usan) a los mercados de capitales internacionales para suavizar sus patrones de consumo. Los pa´ıses estar´ıan, en promedio, autofinanciando sus proyectos de inversi´ on lo que, evidentemente, es ineficiente desde una perspectiva global. Sin embargo, hay varias explicaciones posibles para la paradoja de Feldstein Horioka: una es que al cruzar las fronteras se profundizan los problemas de informaci´ on asimétrica que se producen en todas las inversiones debido a la dificultad de interpretar universalmente patrones sociales, culturales o pol´ıticos locales. Otra explicaci´ on es que los gobiernos de los pa´ıses limitan a prop´ osito los deficit de cuenta corriente debido al temor que tienen a la reacci´ on de los mercados frente a un pa´ıs que se endeuda demasiado r´ apido. La otra posibilidad es que el tipo de shocks predominantes en los per´ıodos analizados hayan sido shocks que mueven las tasas de ahorro e inversi´ on en la misma direcci´ on como es el caso de los shocks de productividad. 3 En

EE.UU la recesi´ on se considera como tal, cuando hay dos trimestres de crecimiento negativo.

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

2.1.13.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

CC y cambios impositivos

Suponga una econom´ıa abierta con acceso al mercado de capitales que enfrenta costos de ajuste a la inversi´ on convexos. Sin aviso previo se introduce una importante reducci´ on tributaria. Explique y grafique los cambios en la cuenta corriente. ¿C´ omo se altera su respuesta si la empresa tuviera costos cóncavos en el ajuste de su capacidad instalada? Respuesta: Sabemos que una econom´ıa abierta con acceso a los mercados de capitales podr´ a, mediante el comercio internacional, prestar o pedir prestados recursos al resto del mundo seg´ un las decisiones o ´ptimas intertemporalmente. En el caso que se reduzcan los impuestos, sabemos que el modelo de Q de Tobin nos indica que esto se puede ver como un aumento de la productividad marginal del capital lo cual motiva una mayor inversi´ on. Como las decisiones de consumo e inversi´ on estan separadas el aumento de la inversi´ on no va acompa˜ nado de una reducci´ on del consumo, por lo que habr´ a un déficit en cuenta corriente. En el caso que los costos de ajuste sean convexos, para las empresas ser´ a´ optimo distribuir el ajuste de la capacidad instalada en el tiempo. Graficamente, en el caso de costos convexos se ve un deficit en cuenta corriente, el cual se va reduciendo en el tiempo al completar el ajuste de la inversi´ on. En cambio, en el caso de costos c´ oncavos el ajuste, lo o ´ptimo es realizar grandes inversiones. En este caso se observar´ıa un gran deficit en cuenta corriente, pero solo por un per´ıodo en el cual se realiza toda la inversi´ on.

2.1.14.

Productividad cambiaria

Explique porque el tipo de cambio real est´ a determinado por la productividad. ¿Qué sucede con el TC real si se incrementa la productividad del pa´ıs? Respuesta: El tipo de cambio real refleja el poder adquisitivo relativo de las econom´ıas. En la clase 2.4 derivamos una expresi´ on para el TCR en términos de la productividad.

T CR =

FLN T FLT

Esta ecuaci´ on nos indica que el TCR est´ a determinado por las productividades relativas del trabajo en el sector No transable y Transable. Por ejemplo, si aumenta la productividad de las exportaciones, en el tiempo debieramos observar una apreciaci´ on real. De la anterior ecuaci´ on podemos concluir que un incremento generalizado de la productividad, por ejemplo igual en ambos sectores no afecta el tipo de cambio real. Se requiere analizar el cambio de productividad relativo entre sectores para saber como se altera el tipo de cambio.

2.1.15.

Terremoto cambiario

Suponga el caso de una econom´ıa que registra un importante deficit en cuenta corriente. Producto de un terremoto, la productividad de esta econom´ıa se reduce considerablemente y se requiere nueva inversión para reponer lo perdido. Explique, ¿Qué sucede con el tipo de cambio? Respuesta: El enunciado de la pregunta nos indica una econom´ıa abierta que inicialmente registra un deficit en cuenta corriente. Producto del terremoto se pierde productividad lo que contre el sector exportador lo cual depreciara el tipo de cambio en terminos reales. Si aumenta la inversi´ on para reponer lo perdido se incrementar´ a el deficit en cuenta corriente. En la siguiente figura se presentan lo descrito. La reducci´ on de la productividad del sector exportador contrae la cuenta corriente de C1 a C2 , con lo cual se deprecia el tipo de cambio desde 1 a 2 . Con el incremento de la inversi´ on se incrementa el uso de ahorro externo pasando de SE1 a SE2 , con un consiguiente incremento en el déficit en cuenta corriente (d1 < d2 ). Esto nos hace pasar a un tipo de cambio levemente m´ as apreciado ( 3 ). En el largo plazo cuando

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

SE2

SE1

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

C2 C1 2 3 1

cc d1 d2

Figura 2.1: Cambio en la cuenta corriente y efectos en el Tipo de cambio real las inversiones permitan recuperar la productividad perdida, se continuar´ a apreciando el tipo de cambio real hasta llegar a la situaci´ on inicial ( 1 ). En la ﬁgura 2.1.15 se presenta una descripci´ on de lo que sucede en el tiempo con el tipo de cambio.

2.1.16.

Versiones de PPC

Explique el concepto de Paridad del Poder de Compra en sus versiones Absoluta y Relativa. ¿Como comprobar´ıa en la pr´ actica que se cumplen ambas versiones? Respuesta: La Paridad del Poder de Compra (PPC) se refiere a la capacidad de comprar una canasta de bienes en dos pa´ıses. Si existiera un PPC absoluta se debe cumplir que, EP ∗ P1 = =1 P2 P2 La ecuaci´ on nos dice que el costo de adquirir una canasta de bienes en el pa´ıs 1 en moneda del pa´ıs 2 (precios de 1 por el tipo de cambio nominal) debe ser el mismo. Esta es una predicci´ on bastante fuerte que no se cumple simpre. Una segunda versi´ on es la PPC relativa, que nos dice que, aunque el costo de adquirir las canasta no sea exactamente equivalente, la inflaci´ on del costo debe ser el mismo en el tiempo. EP1∗ = π2 − π1 = x /ln() ⇒ E P2 Para ver si se cumple PCC Absoluta tendriamos que tener una Canasta de Bienes exactamente igual y ver cual es el costo de adquirirla en distintos pa´ıses. En tal caso, debemos tener cuidado con las diferencias en calidad. Uno de los problemas seria la composici´ on de una canasta representativa, ya que pa´ıses en desarrollo tienen un alto gasto en Alimentaci´ on, lo que se va reduciendo mientras m´ as ricas son las econom´ıas. Para el caso de PPC Relativa debiramos encontrar que el tipo de cambio sigue los cambios de la inflaci´ on relativa entre pa´ıses en el tiempo. Esto es lo que se hizo en la tarea 2.

2.1. COMENTES DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.2: Cambio del Tipo de cambio real en el tiempo

2.1.17.

CC y Q de Tobin

A comienzos de los noventas Chile era una econom´ıa peque˜ na, abierta al comercio y con un buen acceso al mercado de capitales internacional. Como es de suponer, en el agregado las empresas que enfrentaban costos de ajuste a la inversión convexos. Como un shock sin posibilidades de ser anticipados hubo una disminución de las tasas de interes para los proyectos de inversi´ on. Con lo aprendido, explique y grafique los cambios en la cuenta corriente. ¿C´ omo se altera su respuesta si las empresas hubieran tenido costos cóncavos en el ajuste de su capacidad instalada? Respuesta: Sabemos que una econom´ıa abierta con acceso a los mercados de capitales podr´ a, mediante el comercio internacional, prestar o pedir prestados recursos al resto del mundo seg´ un las decisiones o ´ptimas intertemporalmente. En el caso que se reduzcan las tasas de interés, sabemos que el modelo de Q de Tobin nos indica que esto se puede ver como un aumento de la productividad marginal del capital lo cual motiva una mayor inversi´ on. Como las decisiones de consumo e inversi´ on est´ an separadas el aumento de la inversi´ on no va acompa˜ nado de una reducci´ on del consumo, por lo que habr´ a un déficit en cuenta corriente. En el caso que los costos de ajuste sean convexos, para las empresas ser´ a´ optimo distribuir el ajuste de la capacidad instalada en el tiempo. Graficamente, en el caso de costos convexos se ve un deficit en cuenta corriente, el cual se va reduciendo en el tiempo al completar el ajuste de la inversi´ on. En cambio, en el caso de costos c´ oncavos el ajuste, lo o ´ptimo es realizar grandes inversiones. En este caso se observar´ıa un gran deficit en cuenta corriente, pero solo por un per´ıodo en el cual se realiza toda la inversi´ on.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2.2.

Matem´ aticos de tipo de cambio y cuenta corriente

2.2.1.

CC y el ahorro-inversi´ on

A partir de las decisiones de ahorro-inversión, las que se ven reflejadas en la cuenta corriente, y una descripción del comportamiento de la balanza comercial es posible determinar el tipo de cambio real end´ ogeno. Suponga una econom´ıa que dura s´ olo dos per´ıodos y que es descrita por la siguiente funci´ on de utilidad: U (C1 , C2 ) = u(C1 ) +

1 · u(C2 ) 1+ρ

(2.1)

sujeta a la restricci´on intertemporal: C1 +

C2 Y2 = Y1 + 1+r 1+r

(2.2)

Por facilidad asumiremos un nivel de producto ex´ ogeno para cada per´ıodo. Asuma adem´as que la balanza comercial (exportaciones - importaciones) puede ser descrita por la siguiente funci´ on. XN (y ∗ , y, )t = α + θ ∗ t Los valores para los anteriores par´ ametros son los siguientes: r

β y1

= =

0,952 100

y2 = α = θ

110 −20 20

1. Resuelva en forma anal´ıtica la cuenta corriente de cada per´ıodo (cct = yt − c∗t ).4 Respuesta: El problema del consumidor consiste en maximizar (2.1) sujeto a la restricci´ on dada por (2.2). Por el m´etodo que se utilice para su resoluci´ on, encontramos que la condici´ on de optimalidad esta dado por, U (c1 ) = β(1 + r) U (c2 ) Despejando para el consumo de cada per´ıodo y reemplazando en la restricci´ on presupuestaria encontramos las demandas por consumo. c∗1 c∗2

1 ((1 + r)Y1 + Y2 ) (1 + β)(1 + r) = (1 + r)(Y1 − C1∗ ) + Y2 ) =

De esta forma la cuenta corriente para cada per´ıodo ser´ a,

4 En

cc∗1

cc∗2

Y1 Y2 + (1 + β) (1 + r)(1 + β) Y2 − (1 + r)(Y1 − C1∗ ) + Y2 ) Y1 −

este caso el asterisco reﬂeja que c∗ es ´ optimo.

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

2. Calcule utilizando la informaciÂ´ on entregada el deďŹ cit o superÂ´ avit de cuenta corriente (cct ) para cada perÂ´Äąodo. ÂżCuanto ahorro externo se usa en cada perÂ´Äąodo? Respuesta: Utilizando las ecuaciones para la cuenta corriente de cada perÂ´Äąodo (ccâ&#x2C6;&#x2014;t ) tenemos que, ccâ&#x2C6;&#x2014;1

100 â&#x2C6;&#x2019; 104,78 = â&#x2C6;&#x2019;4,88

ccâ&#x2C6;&#x2014;2

110 â&#x2C6;&#x2019; 104,78 = 5,12

lo que indica en el perÂ´Äąodo se estÂ´ a solicitando ahorro al resto del mundo por 4,88 y en el segundo perÂ´Äąodo de tiempo se devuelve 5,12. Como usted sabe, en valor presente la suma de las cuentas corrientes debe ser cero. ccâ&#x2C6;&#x2014;1 +

ccâ&#x2C6;&#x2014;2 1+r

= =

5,12 1+r â&#x2C6;&#x2019;4,88 + 4,88 = 0

â&#x2C6;&#x2019;2,38 +

3. Asuma que en esta economÂ´Äąa no hay pago de factores externos (F = 0). Utilizando el valor de la cuenta corriente que encontrÂ´o para cada perÂ´Äąodo y la balanza comercial, determine el tipo de cambio endÂ´ogeno.5 Respuesta: La cuenta corriente tiene varias formas de ser expresadas. Utilizando su equivalencia con la balanza comercial tenemos que,

CCt = Yt â&#x2C6;&#x2019; ct

XNt + Ft

Yt â&#x2C6;&#x2019; ct

Îą + Î¸ t

Despejando para t tenemos el siguiente tipo de cambio endÂ´ ogeno para cada perÂ´Äąodo: t

Yt â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; Îą Î¸

4. ÂżCÂ´omo cambia en el tiempo el tipo de cambio real? Calcule y explique intuitivamente las razones de porquÂ´e, respecto al resultado del primer perÂ´Äąodo, el tipo de cambio real del segundo perÂ´Äąodo se aprecia o deprecia. Respuesta: SegÂ´ un la informaciÂ´ on del comente tenemos que, t

Yt â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; Îą Î¸ â&#x2C6;&#x2019;4,88 + 20 = 0,76 20 5,12 + 20 = 1,26 20

En el primer perÂ´Äąodo se esta pidiendo ahorro al resto del mundo para asÂ´Äą poder consumir mÂ´ as. Es decir, estÂ´ an entrando recursos en moneda extranjera por lo que Â´esta se vuelve menos escaza lo que implica un mayor valor relativo de la moneda local lo que explica su apreciaciÂ´ on real. En el segundo perÂ´Äąodo se deben pagar, incluido los interÂ´eses, los recursos que se solicitaron al resto del mundo. De esta forma aumenta la demanda por moneda extranjera que tiene por consecuencia una depreciaciÂ´ on del peso debiendo pagar mÂ´ as pesos locales por cada divisa. 5 Hint:

despeje t .

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2.2.2.

Costos de ajuste y cuentas internacionales

Suponga una econom´ıa donde las ﬁrmas maximizan el valor presente de sus utilidades futuras eligiendo el nivel de trabajo y capital sujeto a la siguiente ley de movimiento del capital: Kt+1 − Kt = It − δKt

(2.3)

La formaci´on neta de capital se caracteriza por costos de ajuste cuadr´aticos: (It − δKt )2

(2.4)

La producci´ on se genera a través de una funci´ on de producci´ on Y = F (K) con FK > 0 y FKK < 0. Además de esto usted debe saber que las firmas venden su producto a un precio γ, el costo unitario de la inversi´ on es igual a D, donde D = e · d (e es el tipo de cambio nominal vigente y d el costo unitario en d´ olares) el Gobierno cobra un impuesto τ a la inversi´ on y la tasa de interés viene denotada por r. En base a la informaci´ on entregada en el enunciado se pide: 1. Resuelva el problema de maximización de las firmas y determine las ecuaciones de movimiento para el capital y la q. Respuesta: Las firmas desean maximizar el valor presente de sus flujos. Sin embargo est´ an sujetas a la ecuaci´ on de movimiento del capital. Entonces, la ecuaci´ on de maximizaci´ on de la firma viene dada por: s ∞ 1 γF (Kt ) − (1 + τ )DIt − (It − δKt )2 + qt (It − δKt − Kt+1 + Kt ) L= 1 + r t=0

(2.5)

Derivando con respecto a las variables de decisi´ on tenemos: ∂L = −(1 + τ )D − 2(It − δKt ) + qt = 0 ∂It qt − (1 + τ )D = It − δKt 2

(2.6) (2.7)

Donde (2.31) representa la ecuaci´ on de movimiento del capital.

L = ∂Kt+1

1 1+r

s [−qt ] +

1 1+r

s+1

γFKt+1 + 2δ(It+1 − δKt+1 ) − δqt+1 + qt+1 = 0

(2.8)

Reemplazando (2.31) en (2.32) tenemos:

1 1+r

s [−qt ] +

1 1+r

s+1 qt+1 − (1 + τ )D γFKt+1 + 2δ − δqt+1 + qt+1 = 0 2

Con un poco de ´ algebra llegamos a que:

qt+1 − qt = qt r − γFKt+1 + δ(1 + τ )D Donde (2.33) representa la ecuaci´ on de movimiento de la q.

(2.9)

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.3: Diagrama de Fases

K˙ = 0

(1 + τ )D

K˙ = 0

q˙ = 0

2. Suponga que dada la precaria situaci´ on actual de la econom´ıa el gobierno decide actuar: Anuncia que las firmas no deberán pagar impuestos. Grafique detalladamente la din´ amica de esta situación en un diagrama de fases y además grafique la trayectoria de la q, de la Cuenta Corriente y del nivel de capital en el tiempo. Respuesta: La din´ amica vendr´ a dada por el siguiente gr´ afico: La trayectoria de las variables pedidas en el enunciado ser´ a la siguiente: 3. Imagine que el gobierno recalcula sus proyecciones y ve que el panorama económico no ser´ a tan malo como inicialmente lo hab´ıa previsto. Es por esto que ha decidido posponer sorpresivamente el set de medidas de las que se hablaban en la parte b) hasta un nuevo aviso. Grafique detalladamente la din´ amica de esta situación en un diagrama de fases y además grafique la trayectoria de la q, de la Cuenta Corriente y del nivel de capital en el tiempo. Respuesta: La din´ amica de esta situaci´ on viene dada por: Mientras que el movimiento en el tiempo de las variables es: 4. D´ıas después de lo acontecido en la parte c), el Banco Central decide que ha llegado el momento de intervenir el precio del d´ olar (que estaba por debajo de su valor de largo plazo). Es por esto que ha decidido salir a comprar d´ olares de forma no anticipada por los individuos de esta econom´ıa haciendo amica de esta situación en que el tipo de cambio suba de e a e . Grafique detalladamente la din´ un diagrama de fases y además grafique la trayectoria de la q, de la Cuenta Corriente y del nivel de capital en el tiempo. Respuesta: La din´ amica es la siguiente: La din´ amica de las variables es:

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.4: Movimiento en el tiempo

K t

Figura 2.5: Diagrama de Fases

K˙ = 0

(1 + τ )D

K˙ = 0

q˙ = 0

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.6: Movimiento en el tiempo

K t

Figura 2.7: Diagrama de Fases

(1 + τ )D

K˙ = 0

(1 + τ )D

K˙ = 0

q˙ = 0

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.8: Movimiento en el tiempo

2.2.3.

Consumo o ´ptimo y cuenta corriente

Suponga que las preferencias de un agente representativo de una econom´ıa pueden ser descritas por la siguiente funci´ on de utilidad intertemporal ∞

1− 1

s−t

s=t

cs σ 1 − σ1

Donde β es una tasa de descuento subjetivo. No existe ni inversion ni gobierno y los activos en t son cero, Bt = 0. Se conoce además con certeza la trayectoria de futuros ingresos y que la tasa de interés sera 1 1 constante en el tiempo y se cumple que β = 1+ρ = 1+r . 1. Muestre que con esta información, se puede derivar una expresión para el consumo o´ptimo en funci´ on de la riqueza de esta econom´ıa de la forma r + Φ Wt Ct = 1+r Respuesta: Maximizando la utilidad intertemporal sujeto a la restricci´ on presupuestar´ıa nos entrega la ecuaci´ on de euler familiar u (ct ) = u (ct+1 )β(1 + r) Esta ecuaci´ on nos dice como debe evolucionar el consumo en el tiempo. Reemplazando la forma funcional de u (c): u (ct ) = −1 ct σ

ct+1

= =

u (ct+1 )β(1 + r) 1 −σ ct+1 β(1

+ r) ct [(1 + r)β]σ

(2.10) (2.11) (2.12)

Ahora reemplazamos este comportamiento ´ optimo en la restricci´ on presupuestar´ıa para atar una trayectoria particular. Adem´ as, podemos desarrollar la sumatoria del consumo usando la regla encontrada arriba para encontrar una expresi´ on para el consumo en t en funci´ on de la riqueza: 77

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 Cs 1+r s=t

sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 [Ys â&#x2C6;&#x2019; Is â&#x2C6;&#x2019; Gs ] + (1 + r)Bt 1+r s=t Wt

Desarrollando la sumatoria: Ct + Ct

2 1 1 [(1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; ] + Ct [(1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; ] + . . . = Wt 1+r 1+r

Si 1 â&#x2C6;&#x2019; ((1 + r)Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 Î˛ Ď&#x192; ) < 1, podemos escribir el consumo de la siguiente manera: Ct =

r+Ď&#x2018; Wt 1+r

(2.13)

Donde Ď&#x2018; = 1 â&#x2C6;&#x2019; (1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; siguiendo la notaciÂ´ on de OR. 2. Desarrolle la ecuaciÂ´ on fundamental de la cuenta corriente usando el resultado anterior. Respuesta: Para encontrar la ecuaciÂ´ on fundamental, usamos esta expresiÂ´ on en la ecuaciÂ´ on para la cuenta corriente:

CAt

= Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019; Ct r+Ď&#x2018; Wt = Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019; 1+r r Wt = Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019; 1 + r

â&#x2C6;&#x2019;

Ď&#x2018; Wt 1+r

YË&#x153;t â&#x2C6;&#x2019;IË&#x153;t â&#x2C6;&#x2019;GË&#x153;t â&#x2C6;&#x2019;rBt

= (Yt â&#x2C6;&#x2019; YË&#x153;t ) â&#x2C6;&#x2019; (It â&#x2C6;&#x2019; IË&#x153;t ) â&#x2C6;&#x2019; (Gt â&#x2C6;&#x2019; GË&#x153;t ) â&#x2C6;&#x2019;

Ď&#x2018; Wt 1+r

Vemos que hay dos efectos que mueven la cuenta corriente en este caso. Por un lado esta el efecto tÂ´Äąpico de suavizaremos del consumo segÂ´ un teorÂ´Äąas tipo Friedman de ingreso permanente. Por otro lado esta el efecto de las preferencias y la discrepancia entre Î´ y r. 3. Explique como cambia su respuesta si r = Ď ? Respuesta:

4. Suponga que Yt = Yt+1 = Y = 10. AdemÂ´as se sabe que r = 0,5. Calcule cual sera el consumo y saldo en cuenta corriente para los perÂ´Äąodos t, t + 1 y t + 2. Respuesta: Con esta informaciÂ´ on podemos encontrar exactamente cuanto sera el consumo, cuenta corriente y deuda en cada periodo. Primero calculamos la riqueza. Podemos calcular el valor presente del ingreso perpetuo: sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 Ys 1+r s=t

1+r Y r

Como la deuda inicial es nula y no hay inversion ni gobierno, la riqueza en t es 30. El consumo sera 78

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Ct =

2r 1+2r Wt

= 12 Wt = 15 en el periodo t.

Ahora calculamos el deficit en cuenta corriente. Como el ingreso es constante e igual a 10, sabemos que Y˜ = 10. Dado que el ingreso es 10 y el consumo es 15, el saldo de cuenta corriente es de -5. Se puede calcular también con la ecuaci´ on fundamental reemplazando valores. Para el el periodo t + 1 debemos calcular como cambia la riqueza ahora que se debe 5. Wt+1 = 30 + (1 + r)Bt+1 = 30 − 7,5 = 22,5 El consumo entonces sera de la mitad de esto: Ct+1 = 11,25 De manera similar la cuenta corriente tendr´ a un deficit de 1.25. Para el periodo t + 2, la deuda es de 7,5 + 1,25 8,8 por lo que la riqueza total del individuo es de Wt+2 = 30 + (1 + r)Bt+2 = 30 − 13,2 = 16,8 El consumo sera entonces 8,4, y la cuenta corriente tendr´ıa un super´ avit de 1,4.

t t+1 t+2

C 15 11.25 10

-B 5 7.5 13.2

CA -5 -1.25 1.4

5. ¿Cómo se ve afectada la cuenta corriente por un aumento transitorio del ingreso en t+1 de ∆Yt+1 = 10. Respuesta: La diferencia entre un shock transitorio previsto y no previsto es que si se espera, se suaviza a los periodos anteriores adem´ as de los futuros. Si el shock es inesperado, se consume 15 y se genera un deficit de 5 en cuenta corriente. El siguiente periodo la riqueza en valor presente es de 40−7,5 = 32,25 y el consumo aproximadamente 16 con un super´ avit de 4. 10 Si se espera, cambia el valor presente del ingreso a 30 + 1,5 36,5. Esto llevar´ıa a consumir mas en el primer periodo donde Ct = 18,25 y el deficit en cuenta corriente seria de 8.25 en vez de 5. Esto lleva a que en el siguiente periodo se tenga una mayor deuda y se consuma menos que en el caso de que fuera imprevisto. La riqueza en este caso es aproximadamente 40 − 12 = 28. Le consumo es de 14 y el super´ avit de cuenta corriente es de 16.

Caso Shock No Previsto C -B CA t 15 5 -5 t+1 16 1 4

Caso Shock Previsto C -B CA t 18.25 8.25 -8.25 t+1 14 2.25 6

6. Comenta como cambia su respuesta si este aumento es previsto en t. Respuesta: Vemos que en el caso de que es shock sea previsto, el super´ avit de la cuenta corriente es mayor.Esto se debe a que se suaviz´ o el shock para periodos anteriores como tambi´en posteriores por lo que se debi´ o ahorrar m´ as del shock que en el caso imprevisto.

2.2.4.

Trabajo, capital y el tipo de cambio real

Considere una econom´ıa en la que se producen dos tipos de bienes: transables y no transables. Suponga que las empresas de esta econom´ıa usan capital y trabajo para producir esos bienes. Asuma que la funci´on de producci´on de cada sector es: i Yi = Ai Kiαi L1−α i

(2.14)

donde i es el sector. Suponga que esta econom´ıa se encuentra abierta al mercado de capitales internacional, pero que es insular en cuanto al mercado del trabajo y que el stock total de trabajadores de la ¯ econom´ıa es L 79

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

1. Calcule las proporciones de trabajadores de esta econom´ıa que se emplearán en cada uno de los sectores y represente este equilibrio gráficamente. Respuesta: La empresa representativa de cada sector contratar´ a trabajadores hata que: i Ai Kiαi (1 − αi )L−α = wi i

(2.15)

de modo que el equilibrio en el mercado laboral implica: αN T −αN T T AT KTαT (1 − αT )L−α = AN T KN T T (1 − αN T )LN T

(2.16)

a lo que hay que imponer equilibrio de mercado: LT + LN T = L

(2.17)

Supuesto: si αT = αN T = α, AT KTαT (1 − αT ) αN T AN T KN T (1 − αN T ) α KT AT AN T KN T α AT KT AN T KN T LT

= = = =

T Lα T αN T L N T α LT LN T LT LN T ΦLN T

(2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

Luego, ΦLN T + LN T = LN T (1 + Φ) = L LN T

L L 1+Φ ΦL 1+Φ

(2.22) (2.23) (2.24) (2.25)

Si no se asume αT = αN T = α, la soluci´ on est´ a impl´ıcita en (2.17) y (2.18) 2. Suponga que se produce un alza importante (una triplicaci´ on) de los precios de los bienes transables relevantes para esta econom´ıa. ¿Que efecto tiene sobre la distribuci´ on de trabajadores entre sectores? ¿Sobre el tipo de cambio real de equilibrio? ¿Sobre el tipo de cambio nominal de equilibrio? Respuesta: Si el tipo de cambio nominal es ﬂexible, este se aprecia para compensar el alza en los precios transables. Mantiene el tipo de cambio real y la distribuci´ on de trabajadores entre factores. 3. ¿Como cambia su respuesta si es que el tipo de cambio hubiese estado ﬁjo o contenido en una banda cambiaria? Respuesta: Presumiblemente el tipo de cambio nominal no se harbr´ıa podido apreciar para ajustar el cambio en el precio de los no transables completamente. Entonces el TCR se deval´ ua. Se produce un alza en los salarios reales medidos en unidades de no transables y un traslado de trabajadores del sector no transable al transable.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

w PN T

P M gN T

P M gT

4. Suponga que este pa´ıs ten´ıa originalmente una tasa de crecimiento de la productividad del trabajo equivalente entre los sectores transables y no transables. Suponga que repentinamente en este pa´ıs se produce una aceleraci´ on del crecimiento de la productividad del sector transable. ¿Como cambia el tipo de cambio real de equilibrio? ¿El tipo de cambio nominal? Respuesta: Si el aumento en el crecimiento relativo de la productividad del sector transable es exclusivo de este pa´ıs, por el efecto HBS debiera generar tipos de cambio sobrevaluados y sectores transables relativamente m´ as grandes. El ajuste del tipo de cambio real se puede producir v´ıa tipo de cambio nominal o precios de no transables. 5. ¿Que ocurre si en un pa´ıs como el descrito anteriormente se fija el tipo de cambio? Respuesta: El ajuste se produce con inflaci´ on de no transables. 6. ¿Que efecto tiene sobre el tipo de cambio real de equilibrio la entrada masiva de capitales a un pa´ıs? ¿Que diferencia hace si es que el tipo de cambio nominal esta fijo o flexible? Muestre graficamente. Respuesta: La entrada masiva de capitales genera excesos de demanda de transables y no transables. El pa´ıs puede sostener el exceso de demanda de transables con los flujos de capitales, pero los precios de los no transables tienen que subir para ajustar el mercado de no transables. El tipo de cambio real se tiene que apreciar. Es irrelevante si ello se produce a través de una apreciaci´ on real o nominal.

2.2.5.

Desalineamientos del tipo de cambio real

El siguiente problema tiene por objetivo analizar las consecuencias intertemporales que puede producir, en un pa´ıs peque˜ no, intentar mantener un tipo de cambio ﬁjo en una econom´ıa en pleno empleo con un patr´ on r´ıgido de ahorro e inversi´ on. El pa´ıs en cuesti´on puede ser modelado por los siguientes par´ ametros y ecuaciones: Y S

= =

Y¯ sY

I0 − br∗

X M

= =

dq − X0 M0 − f q

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008 donde Y¯ , s, I0 , b, d, X0 , M0 y f son constantes y r∗ es la tasa de inter´es internacional, que para efectos del problema tambi´en la consideraremos constante. 1. Calcule el ahorro externo, cuenta corriente, balanza comercial y tipo de cambio para el primer per´ıodo en esta econom´ıa. (Suponga que el pa´ıs comienza a existir en este per´ıodo y por lo tanto su deuda inicial es 0). Respuesta: Partimos calculando la balanza comercial del primero per´ıodo que corresponde a las exportaciones ´ netas. Estas ser´ıan: XN1

= X −M

XN1

= dq1 − X0 − M0 + f q1

XN1

= −(X0 + M0 ) + (f + d)q1

Y como no hay pago de factores al exterior, la balanza comercial (o exportaciones netas) corresponden a la cuenta corriente. CC1 = XN1 = −(X0 + M0 ) + (f + d)q1 El ahorro externo, por su lado, corresponde al déficit en la cuenta corriente: SE1 = −CC1 = (X0 + M0 ) − (f + d)q1 Otra forma de definir esto es diciendo que el ahorro externo es la diferencia entre la inversi´ on y el ahorro interno. Es decir, son todos los fondos necesarios para financiar la inversi´ on y que no alcanza con los fondos del ahorro interno. SE1 = I − SN = I0 − br∗ − sY¯ Por u ´ltimo, el tipo de cambio lo podemos extraer de la definici´ on de déficit: Dt (1 + r∗ ) = Dt+1 + XNt

(2.26)

Como el pa´ıs parte sin deuda, D1 = 0 y reemplazando la funci´ on de XN1 que reci´en encontramos nos quedar´ıa para el primer per´ıodo con: 2. Calcule los mismos par´ametros de la parte a.) para el segundo per´ıodo de la econom´ıa. Respuesta: Para el caso de la cuenta corriente en el per´ıodo 2, y considerando que la balanza comercial en el mismo per´ıodo es igual, vemos de la parte a. que hay solo constantes y una variable: el tipo de cambio. Por esto, quedar´ıa como:

CC2 = XN2 = −(X0 + M0 ) + (f + d)q2 El ahorro externo por su parte ser´ıa: SE2 = I2 − SN 2 = I0 − br∗ − sY¯ Y por el lado de la cuenta corriente quedar´ıa: SE2 = (X0 + M0 ) − (d + f )q2 El tipo de cambio ser´ıa algo distinto. De la ecuaci´ on () y sabiendo que D3 = 0 porque el Gobierno es solvente en el futuro, obtenemos: 82

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

D2 (1 + r∗ ) = D2 (1 + r∗ ) =

D3 + XN2 XN2

D2 (1 + r∗ ) =

(d + f )q2 − (X0 + M0 ) (1 + r∗ )D2 + (X0 + M0 ) d+f

3. ¿Cómo cambia la cuenta corriente y la balanza comercial? ¿C´ omo cambia el tipo de cambio? Explique intuitivamente a que se debe la evoluci´ on del tipo de cambio. ¿Puede ser sostenible esta econom´ıa en el largo plazo? Explique. Respuesta: En la medida que se cumplan las condiciones de Marshall-Lerner, vemos que el ponderador del tipo de cambio (f + d) debiera ser mayor que cero, as´ı a mayor tipo de cambio, mayor es el saldo en la balanza comercial y también mayor el de la cuenta corriente. El tipo de cambio, por su lado, en el primer per´ıodo dice que a mayor déficit el primer per´ıodo, menor va a ser. Dicho de otra forma, si el tipo de cambio es alto el primer per´ıodo, van a generarse recursos que har´ an tener un déficit bajo. La evoluci´ on del tipo de cambio depender´ a del nivel de pasivos a un tipo de cambio real depreciado externos que hayan. Si hay un elevado nivel de éstos (Dt ) tendr´ para generar los recursos que le permitan pagar dichos compromisos. Por el otro lado, un elevado déficit en la cuenta corriente (D( t + 1) − Dt ) resultar´ a en un tipo de cambio real apreciado. Entonces si un pa´ıs quiere evitar tener un per´ıodo con alto déficit y quiere controlar eso, deber´ a tener un tipo de cambio depreciado. Pero esta medida solo se puede mantener en el corto plazo. Ya que en el pr´ oximo per´ıodo, al haber mejor situaci´ on comercial, el tipo de cambio se apreciar´ a (como lo que ocurri´ o con Jap´ on) debilitando la econom´ıa y haciendola menos competitiva. Incluso con la posibilidad de llegar a un punto como el inicial. Lo que impide que la econom´ıa sea sostenible en el largo plazo. Suponga ahora que el gobierno decide implementar una pol´ıtica de tipo de cambio fijo, para lo cual fija qn = . . . = qk = . . . = q3 = q2 = q1 , es decir estanca el tipo de cambio en su valor del primer per´ıodo, para poder realizar esta pol´ıtica suponga que ahora el gobierno puede mediante alg´ un mecanismo alterar el valor del nivel de ahorro s. 4. Discuta por qué el gobierno no podr´ıa implementar esta medida si la tasa de ahorro se mantuviera constante y calcule la nueva tasa de ahorro para el segundo per´ıodo. Respuesta: Al ser la tasa de interés internacional la relevante si congelamos el tipo de cambio al valor del primer per´ıodo, el Gobierno pierde la u ńica variable de control que tiene en esta econom´ıa por lo tanto todo pasa a ser un dato. Si no es capaz de alterar alg´ un par´ ametro pierde su condici´ on de hacer pol´ıtica para poder cumplir con sus compromisos financieros y ser finalmente solvente. Como hab´ıamos visto en la parte a. el ahorro externo se pod´ıa ver como la diferencia entre la inversi´ on y el ahorro interno, o como el déficit de la cuenta corriente. De esto, podemos obtener una condici´ on de equilibrio para el ahorro:

SE1 = −CC1 (X0 + M0 ) − (f + d)q1 sY¯ s∗2

= I − SN = I0 − br∗ − sY¯ = (f + d)q1 − (X0 + M0 − I0 ) − br∗ (f + d)q1 − (X0 + M0 − I0 ) − br∗ = Y¯

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. Calcule el valor de la balanza comercial para un per´ıodo n, con n ≥ 2. Discuta si es sostenible este valor de la balanza comercial en el largo plazo. Respuesta: A partir de la restricci´ on intertemporal en econom´ıa abierta tenemos que la deuda y sus respectivos intereses que un pa´ıs tiene el per´ıodo n deben ser igual al valor presente de las futuras exportaciones netas: Dn (1 + r∗ ) =

∞ XNn+s (1 + r∗ )s s=0

Por lo tanto de esto, debemos despejar el valor n de la balanza comercial (exportaci´ o neta) y reemplazar la funci´ on de exportaciones netas que ten´ıamos al principio: ∞ XNn+s (1 + r∗ )s s=1

= XNn

∞ [(f + d)qn+s − (X0 + M0 )] (1 + r∗ )s s=1

= XNn

Dn (1 + r∗ ) − Dn (1 + r∗ ) −

∀n

≥ 2

Manteniendo constante la tasa de interés y todos los otros par´ ametros mencionados, este valor solo es sostenible en el tiempo si se producen suficientes superavits para pagar los posibles déficits que pudieron on de ellos (los superavits). haber habido (los que est´ an expresados en la deuda Dn ) pero sin la explosi´ Ya que esto conducir´ıa a una apreciaci´ on del tipo de cambio lo que ahogar´ıa el sector transable y terminar´ıa produciendo un efecto riqueza que podr´ıa hacer volver a la econom´ıa a la condici´ on de déficit.

2.2.6.

El Regreso de G, BC, Cuenta Corriente y Q de Tobin

(2.27)

La formaci´on neta de capital se caracteriza por la siguiente funci´ on de costos: (It − δKt )θ θ

(2.28)

La producci´ on se genera a través de una funci´ on de producci´ on Y = F (K) con FK > 0 y FKK < 0. Además de esto usted debe saber que las firmas venden su producto a un precio φ, el costo unitario de la inversi´ on en d´ olares es igual a d, la tasa de interés viene denotada por r y el tipo de cambio nominal vigente es e. En base a la informaci´ on entregada en el enunciado se pide: 1. Verifique bajo qué condiciones se cumple estr´ıctamente la caracter´ıstica m´ as importante de una funci´ on de costos de ajuste en el contexto de la q de Tobin. ¿Cu´ al es la importancia de este resultado? Respuesta: Es f´ acil ver que la principal propiedad que una funci´ on de costos de ajuste debe cumplir es que esta debe ser estr´ıctamente convexa. Matem´ aticamente: ∂C = (It − δKt )θ−1 > 0 ∂It 84

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

∂2C = (θ − 1)(It − δKt )θ−2 > 0 ∂It2 La u ´ltima condici´ on implica que θ > 1 para que la funci´ on sea estr´ıctamente convexa . Este resultado es importante porque determina la estructura que la funci´ on de costos de ajuste tendr´ a. Bajo los supuestos anteriores vemos que esta estructura har´ a que la funci´ on sea convexa, lo que implica que las firmas preferir´ an hacer ajustes graduales de capital y no de golpe. 2. Resuelva el problema de maximización de las firmas y determine las ecuaciones de movimiento para el capital y la q. Para esto puede suponer que θ = 2 para lo que sigue del ejercicio. Respuesta: Las firmas desean maximizar el valor presente de sus flujos. Sin embargo est´ an sujetas a la ecuaci´ on de movimiento del capital. Entonces, la ecuaci´ on de maximizaci´ on de la firma viene dada por: s ∞ 1 (It − δKt )2 + qt (It − δKt − Kt+1 + Kt ) L= φF (Kt ) − ed · It − 1+r 2 t=0

(2.29)

Derivando con respecto a las variables de decisi´ on tenemos: ∂L = −ed − (It − δKt ) + qt = 0 ∂It qt − ed = It − δKt = Kt+1 − Kt

(2.30) (2.31)

Donde (2.31) representa la ecuaci´ on de movimiento del capital. L = ∂Kt+1

1 1+r

s [−qt ] +

1 1+r

s+1

φFKt+1 + δ(It+1 − δKt+1 ) − δqt+1 + qt+1 = 0

(2.32)

Reemplazando (2.31) en (2.32) tenemos:

1 1+r

s [−qt ] +

1 1+r

s+1

φFKt+1 + δ (qt+1 − ed) − δqt+1 + qt+1 = 0

Con un poco de ´ algebra llegamos a que: qt+1 − qt = qt r − φFKt+1 + ed · δ

(2.33)

Donde (2.33) representa la ecuaci´ on de movimiento de la q. 3. Suponga que el Ministro de Hacienda ha decidido tomar medidas sorpresivas con el objeto de lograr un fuerte golpe an´ımico en la alica´ıda situaci´ on económica que se vive. Para esto decide otorgar un subsidio a las Pymes, el cual consta de s d´ olares por unidad de maquinaria invertida. En base a la información otorgada determine detalladamente los movimientos en el diagrama de fases y analice la din´ amica de la q, el capital y la cuenta corriente en el tiempo. Respuesta: El Presidente del Banco Central no ha podido dormir bien desde hace algunas semanas. Esto debido a los fuertes episodios de inflaci´ on que ha sufrido el pa´ıs en los u ´ ltimos tiempos. Un asesor insiste en que suba la tasa de interés en una cuant´ıa no menor. El Presidente seguramente accederá a su consejo. 85

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.9: Diagrama de Fases

K˙ = 0

ed(1 − s) q˙ = 0

q˙ = 0 K

Figura 2.10: Din´ amica

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.11: Diagrama de Fases

K˙ = 0

q˙ = 0

q˙ = 0 K

4. En base a lo anterior determine los efectos que tendr´ıa un anuncio del Presidente del Banco Central acerca de una potencial alza en la tasa de interés en diagrama de fases y en la dinámica de la q, el capital y la cuenta corriente en el tiempo. Respuesta: Los efectos del anuncio del Presidente del Banco Central se presentan en las figuras 2.11 y 2.12.

2.2.7.

Econom´ıa Abierta y CC

Suponga una econom´ıa peque˜ na y abierta que divide su existencia en dos periodos. Los agentes tienen utilidad logar´ıtmica. Los ingresos de esta econom´ıa son constantes (Y1 = Y2 = Y ) y los agentes descuentan la utilidad del segundo periodo por un factor β = 1/(1 + r), donde r es la tasa de interés relevante para la econom´ıa. 1. Encuentre el consumo o´ptimo y el saldo en CA que se genera. Muestra gr´ aficamente el equilibrio y identifique la CA. Respuesta: Buscamos maximizar la utilidad intertemporal de esta econom´ıa sujeto a su restricci´ on presupuestar´ıa. Esto se puede escribir de la siguiente manera:

m´ax U (c1 , c2 )

∂U ∂c1

Y c2 = c1 + 1+r 1+r = ln(c1 ) + β ln ((2 + r)Y − c1 (1 + r))

= ln(c1 ) + β ln(c2 )

= =

s.a.

1 1 − β(1 + r) = 0 c1 c2 c2 = β(1 + r) = 1 c1

Y +

⇒ c1 = c2 = C

Este resultado es obvio dado el descuento que se impuso en esta econom´ıa. Reemplazando este resultado en la restricci´ on presupuestar´ıa encontramos el nivel o ´ptimo de consumo: 87

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.12: Din´ amica

Y +

C Y =C+ →C=Y 1+r 1+r

Esto lleva a que el saldo de la CA es 0. 2. Ahora suponga que existe un gobierno quien gasta (G1 , G2 ) el cual no es valorado por los agentes. Este gasto debe ser finaciado en cada momento a través de impuestos (T1 , T2 ). En este caso el gobierno se omo cambia el equilibrio encontrado en compromete a un gasto parejo en el tiempo. (T1 = T2 ). ? C´ a)? Grafique ambos equilibrios para comparar. Respuesta: Se repite el mismo proceso de maximizaci´ on pero tomando en cuenta el efecto del gasto del gobierno en la restricci´ on presupuestar´ıa. Dado que el gasto no es valorado, solo entra al problema a través de los impuestos que se deben recaudar para financiar este y por lo tanto afectan el ingreso disponible y por lo tanto la riqueza total del individuo. Como G1 = G2 = G, entonces T1 = T2 = T dado la restricci´ on presupuestar´ıa del gobierno.

m´ax U (c1 , c2 ) = = ∂U ∂c1

= =

Y −T c2 = c1 + 1+r 1+r ln(c1 ) + β ln((2 + r)(Y − T ) − c1 (1 + r)) ln(c1 ) + β ln(c2 )

s.a.

1 1 − β(1 + r) = 0 c1 c2 c2 = β(1 + r) = 1 c1

Y −T +

⇒ c1 = c2 = C

Vemos que este resultado nos muestra que no cambia la elecci´ on de consumo en el tiempo. La elecci´ on de el consumo relativo no es afectado por la trayectoria de ingreso disponible sino a trav´es de las

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

preferencias (β ) y la tasa de inter´es que esta dada en este caso. Esto se puede ver en nuestra condici´ on de primer orden para el consumo: c2 = β(1 + r) c1 Reemplazando c1 = c2 = C en la restricci´ on presupuestar´ıa encontramos el nivel o ´ptimo de consumo: Y −T +

Y −T C =C+ →C =Y −T =Y −G=Yd 1+r 1+r

Vemos adem´ as que CA=0. Vemos que no fue afectado por los impuestos. 3. Suponga que el gasto del gobierno ira creciendo en el tiempo de forma que G2 = 3G1 . Sin embargo el valor presente del gasto total sera el mismo que en la parte b). Esto signiﬁca que G= G+

3G1 G = G1 + 1+r 1+r

Encuentre el nuevo equilibrio y graﬁque. Muestre como cambia la CA en este caso y discuta porque es distinto que los casos anteriores. Respuesta: Vemos que nuestro problema es el mismo pero que nuestra restricci´ on presupuestar´ıa cambia. m´ax U (c1 , c2 )

= ln(c1 ) + β ln(c2 )

s.a.

Y − T1 +

Y − 3T1 c2 = c1 + 1+r 1+r

ln(c1 ) + β ln((Y − T1 )(1 + r) + (Y − 3T1 ) − c1 (1 + r)) ∂U ∂c1

= =

1 1 − β(1 + r) = 0 c1 c2 c2 = β(1 + r) = 1 → c1 = c2 = C c1

Reemplazando este resultado en la restricci´ on presupuestar´ıa encontramos el nivel o ´ptimo de consumo: 2+r C 1+r

= = = =

Y − 3T1 Y − T1 + 1+r 1+r Y − 3G1 Y − G1 + 2+r 1+r 1 + r (2 + r)Y − (4 + r)G1 2+r 1+r 1 + r (2 + r)Y − (2 + r)G 2+r 1+r Y −G= Yd

Vemos que el consumo es el mismo que en la pregunta a). Esto se debe a que el valor presente del gasto del gobierno es el mismo en ambos caso y que los agentes suavizan completamente su consumo. Sin embargo este caso es distinto a los anteriores ya que el efecto del gasto del gobierno creciente genera un incentivo a ahorrar en el tiempo debido a que los ingresos del segundo periodo ser´ an disminuidos debido a los impuestos mas altos con respecto al primer periodo.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

El ahorro es Y − G1 − C CA

= Y − G1 − (Y − G) En t´erminos del gasto del gobierno total y constante: 1+r 1+r G− G = 2+r 4+r 2(1 + r) G>0 = (4 + r)(2 + r)

Con Y d1 = Y − G1 y Y d2 = Y − 3G1 por lo que Y d1 > Y d2

2.2.8.

Inversi´ on o ´ptima y la Cuenta Corriente

Suponga una econom´ıa de agentes ricardianos que optimizan sobre un horizonte inﬁnito su funci´ on de utilidad que tiene la caracter´ıstica que ser CRRA 1 1− σ

Ut =

Ct 1−

1 σ

y donde el proceso de formaci´on de capital se caracteriza por una funci´ on Costos de Ajuste = φ

(Is )2 donde φ ∈ [0, 1] 2

. La producci´ on se genera a través de una funci´ on de producci´ on Y = AF (K, L) con las usuales propiedades de retornos marginales decrecientes en cada factor y donde A es un factor ex´ ogeno que mide la productividad. El capital se acumula atraves de la siguiente regla Kt+1 − Kt = It − δKt . 1. Desarrolle el problema de maximización de las firmas en esta econom´ıa y derive el diagrama fase que describe el equilibrio en cual se invierte solo lo que se deprecia el capital. Respuesta: Por teorema de separaci´ on de Fischer, sabemos que los agentes maximizan beneficios independiente de sus preferencias. Por lo tanto, el problema de optimizaci´ on del agente es: ∞ s (Is )2 1 máx ∆ = As F (Ks , Ls ) − Is − ws Ls − φ Ls ,Ks+1 ,Is 1+r 2 s=0 L =

s.a. Ks+1 − Ks = Is − δKs s ∞ 1 (Is )2 As F (Ks , Ls ) − Is − ws Ls − φ + qs [Is − δKs − Ks+1 + Ks ] 1+r 2 s=0

CPOs: L Ls

= FL − ws = 0

Este es el cl´ asico resultado de un mercado laboral competitivo, en el cual el valor de la productividad marginal del trabajo es el salario. Para las otras variables de decisi´ on: s 1 L = [−1 − φIs + qs ] = 0 Is 1+r ⇒ qs = φIs + 1 s s+1 1 L 1 As+1 FK + qs+1 (1 − δ) = 0 = −qs + Ks+1 1+r 1+r 0 = −qs − qs r + As+1 FK + qs+1 (1 − δ) 0 = −qs − qs r + As+1 FK + qs+1 (1 − δ) + δqs − δqs 0 =

(qs+1 − qs )(1 − δ) − qs (r + δ) + As+1 FK 90

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Por lo tanto, resumiendo: = Ď&#x2020;Is + 1 qs (r + Î´) â&#x2C6;&#x2019; As+1 FK = 1â&#x2C6;&#x2019;Î´

qs qs+1 â&#x2C6;&#x2019; qs

(2.34) (2.35)

Ahora, para encontrar el equilibrio vemos donde las variables no cambian:

qË&#x2122;s = 0 KË&#x2122; s = 0

â&#x2021;&#x2019; qs =

As+1 FK (r + Î´)

â&#x2021;&#x2019; qs = Ď&#x2020;Î´Ks+1 + 1

2. En este contexto derive la ecuaciÂ´on fundamental de la cuenta corriente. NO se puede suponer que Î˛(1 + r) = 1. Respuesta: Para encontrar la trayectoria del consumo, simplemente usamos la ecuaciÂ´ on de Euler, lo que nos on presupuestaria. permitirÂ´ a reemplazar el consumo en el perÂ´Äąodo s, Cs , en la restricciÂ´

u (Ct ) = 1 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;

Ct Ct+1 En la restricciÂ´ on presupuestaria: sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 Cs 1+r s=t

= =

u (Ct+1 )Î˛(1 + r) â&#x2C6;&#x2019;1 Ct+1Ď&#x192; Î˛(1

+ r) Ď&#x192; Ct [(1 + r)Î˛]

(2.36) (2.37) (2.38)

sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 [Ys â&#x2C6;&#x2019; Is â&#x2C6;&#x2019; Gs ] + (1 + r)Bt 1+r s=t Wt

Desarrollando la sumatoria ahora que sabemos como es su movimiento en el tiempo: 2 1 1 [(1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; ] + Ct [(1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; ] + . . . = Wt Ct + Ct 1+r 1+r Si tomamos (1 + r)Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 Î˛ Ď&#x192; < 1 esta progresiÂ´ on geomÂ´etrica se reduce a: 1 1 â&#x2C6;&#x2019; ((1 + r)Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 Î˛ Ď&#x192; ) Si hacemos que Î˝ = 1 â&#x2C6;&#x2019; ((1 + r)Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 Î˛ Ď&#x192; ), podemos escribir el consumo de la siguiente manera: Ct = Î˝Wt =

r+Ď&#x2018; Wt 1+r

(2.39)

on en la ecuaciÂ´ on para la cuenta corriente: Donde Ď&#x2018; = 1 â&#x2C6;&#x2019; (1 + r)Ď&#x192; Î˛ Ď&#x192; . Usando Â´esta expresiÂ´

CAt

= =

Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019; Ct r+Ď&#x2018; Wt Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019; 1+r

Para seguir hacemos un pequeË&#x153; no desvÂ´Äąo para explicar una idea que nos va ser u Â´til mas adelante. 91

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008 pero que tiene el mismo valor presente de otra Suponga una variable que es constante en el tiempo X variable X que es variable. En otras palabras se cumple: sâ&#x2C6;&#x2019;t sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 1 1 = X Xt 1+r 1+r s=t s=t lo que se puede escribir como: = X

sâ&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x17E; 1 r Xt 1 + r s=t 1 + r

como el valor permanente de los Xt . Se puede interpretar a X Entonces, continuando con el desarrollo de la cuenta corriente, nos damos cuenta que: r t â&#x2C6;&#x2019; rBt Wt = Y t â&#x2C6;&#x2019; I t â&#x2C6;&#x2019; G 1+r Por lo tanto, el desarrollo de la cuenta corriente nos da: =

Yt â&#x2C6;&#x2019; It â&#x2C6;&#x2019; Gt + rBt â&#x2C6;&#x2019;

r Wt 1 + r

â&#x2C6;&#x2019;

Ď&#x2018; Wt 1+r

t â&#x2C6;&#x2019;I t â&#x2C6;&#x2019;G t â&#x2C6;&#x2019;rBt Y

t ) â&#x2C6;&#x2019; (Yt â&#x2C6;&#x2019; Y t ) â&#x2C6;&#x2019; (It â&#x2C6;&#x2019; I t ) â&#x2C6;&#x2019; (Gt â&#x2C6;&#x2019; G

Ď&#x2018; Wt 1+r

Vemos que hay dos efectos que mueven la cuenta corriente en este caso. Por un lado esta el efecto tÂ´Äąpico de suavizaciÂ´ on del consumo segÂ´ un teorÂ´Äąas tipo Friedman de ingreso permanente. Por otro lado estÂ´ a el efecto de las preferencias y la discrepancia entre Î´ y r. t ) â&#x2C6;&#x2019; CAt = (Bt+1 â&#x2C6;&#x2019; Bt ) = (Yt â&#x2C6;&#x2019; Y t ) â&#x2C6;&#x2019; (It â&#x2C6;&#x2019; I t ) â&#x2C6;&#x2019; (Gt â&#x2C6;&#x2019; G

Ď&#x2018; 1+r

Donde el u Â´ltimo tÂérmino reďŹ&#x201A;eja un segundo motivo (ademÂ´ as de la suavizaciÂ´ on intertemporal) que 1 persiguen los consumidores: InclinaciÂ´ on del patrÂ´ on de consumo con Î˛ = 1+r . 3. Explique usando la ecuaciÂón derivada en b) como se verÂ´ a afectada la CC si se da a conocer el el aďŹ camente el diagrama de periodo t + 1 una caÂ´Äąda transitoria de FK en t + 3 hasta t + 6. Muestre grÂ´ fase y la evoluciÂón detallada de CC, I, K, q, y C. Respuesta: La reducciÂ´ on temporal de la productividad marginal del capital genera un perÂ´Äąodo de desinversiÂ´ on, dados los costos de mantener capital improductivo. Al conocer la noticia y no poder modiďŹ car la cantidad de capital, baja el valor de q. De t + 2 hasta t + 3 las ďŹ rmas reducen capital y se reduce la q. Una vez que la baja en productividad se hace efectiva, las ďŹ rmas siguen desinvirtiendo, pero el capital que va quedando va subiendo de valor, por lo que la q sube. Finalmente, las ďŹ rmas, previendo el ďŹ nal del perÂ´Äąodo de baja productividad empiezan a invertir, por lo que el stock de capital aumenta y tambiÂén la q. Una vez reestablecida la productividad del capital, las ďŹ rmas han alcanzado el brazo estable y lentamente continuan inviritiendo, aumentando el stock de capital y a la vez reduciendose la q. Durante este perÂ´Äąodo, la Cuenta Corriente se tiene un perÂ´Äąodo de superÂ´ avit y despuÂés de dÂéďŹ cit. Primero, la desinversiÂ´ on genera una disminuciÂ´ on de la absorciÂ´ on, lo que genera una desvÂ´ÄąaciÂ´ on temporal de Is con respecto a I s . En este primer perÂ´Äąodo, Is â&#x2C6;&#x2019; I s < 0 92

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

, esto significa un super´ avit fuerte e inst´ antaneo de la CC. Para verificar esto simplemente tenemos que observar la ecuaci´ on 2. El término −(Is − I s ) es positivo, por lo que (todo lo dem´ as constante), la CC > 0. Después, cuando las firmas empiezan a invertir, Is > I s , por lo que la CC < 0. 4. Explique usando la ecuación derivada en b) como se vera afectada la CC si se da a conocer en el en t + 3 hasta t + 6 y que después de la baja de la periodo t + 1 una ca´ıda transitoria de FK > FK > FK de manera permanente. Muestre gráficaproductividad se sabe que viene un aumento en FK mente el equilibrio para la inversion en un diagrama de fase y la evoluci´ on detallada de CC, I, K, q, y C. Respuesta: Las firmas, al anunciarse la menor productividad del capital transitoria, se comportan similarmente al item anterior. Sin embargo, una vez que el cambio en productividad se realiza, se conoce la noticia (sorpresiva), que la productividad va a aumentar por sobre el nivel original en t + 6, una vez que se acabe la baja productividad transitoria. Entonces, cuando conocen esta noticia (en t + 3), el valor del capital aumenta dr´ asticamente, por lo tanto aumenta la q. Esto hace que las firmas inviertan en los per´ıodos siguientes hasta que se materializa el aumento permanente en productividad, es ah´ı cuando las firmas ya se ubican en el brazo estable final. La cuenta corriente se ver´ a afectada por una inicial disminuci´ on de capital, por lo que en un principio Is − I s < 0, sin embargo, una vez conocida la noticia del aumento permanente en productividad, ese signo va a cambiar, por lo que Is − I s > 0. Finalmente la inversi´ on va a caer lentamente hasta alcanzar el punto de equilibrio.

2.2.9.

La tasa de inter´ es y la cuenta corriente

En una econom´ıa cerrada existe un agente y su vida se divide en dos per´ıodos. Su funci´ on de utilidad es logar´ıtmica y est´ a dada por la ecuaci´ on U = ln C1 + β ln C2 , donde C1 es el consumo en el primer per´ıodo y C2 el consumo del segundo per´ıodo. En cada per´ıodo, el agente recibe un ingreso de Y1 = 100 e Y2 = 200. Este ingreso es ex´ogeno y es el u ´ nico bien que existe. Suponga que su factor de descuento subjetivo δ es de 15 %. 1. ¿Cu´ al es la tasa de inter´es de equilibrio prevaleciente en esta econom´ıa dado que el agente vive en autarqu´ıa? Calcule su utilidad. Respuesta: L ∂L ∂C1 ∂L ∂C2

Y2 C2 − C1 − = ln C1 + β ln C2 + λ Y1 + 1+r 1+r = C1−1 − λ = 0 ⇔ C1−1 = λ = βC2−1 − λ

1 1+δ = 0 ⇔ C2−1 = λ 1+r 1+r

(2.40) (2.41) (2.42)

Dividiendo (2.41) por (2.42), C2 C1

1+r (2.43) 1+δ 1+r C1 C2 = (2.44) 1+δ Sabemos que el individuo vive en autarqu´ıa y su tasa de descuento subjetivo es de 15 %, luego 1+r 200 = (2.45) 100 1,15 2 × 1,15 = 1 + r (2.46) =

r 93

= 1,3

(2.47)

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Su utilidad ser´ a, U0 = ln(100) +

ln(200) = 9,21 1,15

(2.48)

2. Suponga ahora que el agente puede ahorrar a una tasa de inter´es de 20 %. Calcule su consumo en ambos per´ıodos y su utilidad. Respuesta: Reemplazamos (2.44) en la restricci´ on presupuestaria,

Y1 +

1+r C1 Y2 − C1 − 1+δ 1+r 1+r Y2 Y1 + 1+r Y2 Y1 + 1+r 1 1 + 1+δ

C1 1 +

(2.51)

(2.52)

C1 C2

(2.53) (2.54)

100 + 166,6 = 1,87 142,6 = 148,8 = U0

(2.49) 1 1+δ

ln(142,6) +

ln(148,8) = 9,31 1,15

(2.50)

(2.55)

3. Sin hacer c´ alculos, diga si esta econom´ıa tendr´ a un super´ avit o un déficit en la cuenta corriente en el primer per´ıodo. Respuesta: Como la tasa de interés de autarqu´ıa es mayor que la tasa de interés, el individuo prefiere tener m´ as consumo en el per´ıodo, por lo cual la econom´ıa experimentar´ a un déficit en el primer per´ıodo. 4. Calcule el déficit(superávit) de la cuenta corriente. Respuesta: B1

= Y1 − C1

(2.56)

= 100 − 142,6 = −42,6

(2.57)

5. Con los resultados anteriores responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas, falsas o inciertas: a) Los déficit comerciales son siempre negativos para los pa´ıses. Respuesta: Falso. Para que exista un pa´ıs con déficit comercial,es decir, est´ a consumiendo m´ as de lo que produce, tiene que existir una contraparte que tenga un super´ avit comercial. Adem´ as, un pa´ıs no puede estar endeudado para siempre, en alg´ un momento tendr´ a que pagar a sus acreedores.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

b) Pa´ıses con tasa de interés de autarqu´ıa mayores que la tasa de interés mundial tendr´ an un déficit en la cuenta corriente, porque para ellos es más barato consumir en el futuro que en el presente; por tanto, importar´ an en el per´ıodo 1 y exportarán en el per´ıodo 2. Respuesta: Falso. La tasa de autarqu´ıa es aquella que hace que el individuo elija no ahorrar ni endeudarse. Como vimos en el cap´ıtulo de consumo, si un individuo es neutro, ante un cambio en la tasa de interés s´ olo opera el efecto sustituci´ on. El precio de consumir en el per´ıodo 2 viene dado por as 1/(1 + r) y sabemos que 1/(1 + rA ) < 1/(1 + r∗ ), es decir, el presente se hace relativamente m´ barato.

2.2.10.

Equilibrio con dos pa´ıses

Suponga que en el mundo existen dos pa´ıses, A y B. En cada pa´ıs las funciones de ahorro e inversi´ on est´an dadas por: A:

SA I

B : SB IB

= 350 + r + 0, 2Y A = 1000 − 2r, = 10 + r + 0, 2Y B = 150 − r

Donde, I es inversión, S ahorro nacional, r tasa de interés real, Y A es el ingreso del pa´ıs A que se supone exógeno e igual a 3000 e Y B es el ingreso corriente del pa´ıs B también exógeno e igual a 300. 1. Calcule la tasa de interés y los niveles de ahorro-inversi´ on de cada econom´ıa en el equilibrio de autarqu´ıa financiera, es decir cuando no se pueden endeudar ni prestar. Respuesta: Resolviendo S = I en cada pa´ıs se llega a rA = 16, 6 y rB = 40. En este caso S A = I A = 966, 7 y S B = I B = 110. 2. Suponga ahora que ambos pa´ıses firman un acuerdo, al cual denominan TLC, el cual permite el comercio libre de activos financieros, con lo cual los pa´ıses podrán endeudarse o prestar al otro sin restricciones. Determine el equilibrio de la econom´ıa mundial (tasa de interés, ahorro e inversi´ on) y los montos de ahorro, inversi´ on y cuenta corriente de cada pa´ıs. ¿Cómo es la tasa de interés de equilibrio mundial comparado con el equilibrio de autarqu´ıa de cada pa´ıs? Respuesta: Ahora hay que calcular el ahorro y la inversi´ on mundial, para llegar a r∗ = 26, con lo que S A = 976, A avit de cuenta corriente (CC) igual a 28. Similarmente en B: S B = 96 I = 948, lo que da un super´ B e I = 124, con lo cual tendr´ a un déficit en cuenta corriente de 28. 3. Ahora, la econom´ıa del pa´ıs A se ve afectada por un gran shock fiscal expansivo que reduce el ahorro en una cantidad igual a 60. Calcule el efecto de dicha pol´ıtica sobre el equilibrio de ambos pa´ıses (tasa de interés real mundial, ahorro, inversi´ on y saldo de la cuenta corriente). Respuesta: En este caso S A cae en 60, lo que lleva un alza de la tasa de interés mundial a r∗ = 38. En A el ahorro cae a 928, la inversi´ on a 924, con lo que el super´ avit en la cuenta corriente llega a s´ olo 4. En B el déficit es de 4 con ahorro de 108 e inversi´ on de 112.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

−(1 + r1∗ )

−(1 + r2∗ )

E −(1 + rA ) Y1

Figura 2.13: Equilibrio econom´ıa abierta sin producci´ on. 4. Use un diagrama de una econom´ıa en dos per´ıodos para mostrar que cuando una econom´ıa se abre financieramente al exterior, mientras m´ as diferente es la tasa de autarqu´ıa de la tasa de interés internacional, mayores son los beneficios de la apertura, independiente de si el pa´ıs termina siendo deudor o acreedor. Explique intuitivamente su resultado. Respuesta: Al abrirse al comercio exterior el pais puede realizar proyectos que antes no pod´ıa, y desarrollar las actividades que realmente le retornan m´ as en los distintos periodos de tiempo. Supongamos dos casos: Caso 1: r1∗ > rA Caso 2: r2∗ < rA Observamos en el gr´ afico que en cualquiera de los casos, la econom´ıa alcanza una curva de indiferencia mayor al abrirse a los mercados, por lo que independiente de si la tasa de interés internacional es mayor o menos a la de autarqu´ıa de un pa´ıs, ese pa´ıs se va a beneficiar de la apertura. Ahora suponga que ambos pa´ıses exportan e importan de acuerdo a las siguientes funciones: M A = 250 − 2q + 0, 4Y A A

(2.58)

X = 1200 + 3q = 260 − 2q + 0, 4Y B

(2.59) (2.60)

X B = 1200 + 2q

(2.61)

1. Suponga que las econom´ıas no tienen ni activos ni pasivos externos. En autarqu´ıa financiera ambas econom´ıas pueden exportar e importar. Calcule el tipo de cambio real de equilibrio en cada pa´ıs cuando las econom´ıas son financieramente cerradas (considere los parámetros sin shock fiscal). Respuesta: Ya que son econom´ıas financieramente cerradas, no pueden endeudarse ni ahorrar, por lo que no hay déficit ni superavit de cuenta corriente, entonces se igualan exportaciones con importaciones en cada pa´ıs, con lo que se llega a q A = 50 y q B = 70.

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. ¿Cu´ al es el tipo de cambio real de equilibrio después de TLC?¿Qué se puede decir respecto al impacto que tiene sobre el tipo de cambio real la apertura financiera en una econom´ıa que al final terminar´ a endeud´ andose? Respuesta: El tipo de cambio debe variar de modo que A tenga un super´ avit de 28 y B un déficit de 28. En A habr´ a una depreciaci´ on real para inducir el super´ avit y en B una apreciaci´ on real. SE llega a q A = 55, 6 B y q = 63. La apertura financiera aprecia el tipo de cambio en las econom´ıas deudoras. 3. Suponga ahora que los aranceles en B caerán con TLC y esto resultar´ a en un aumento de las importaciones de 16 unidades. ¿Qué pasará con el tipo de cambio real de equilibrio en B? ¿Qué puede concluir respecto al impacto sobre el tipo de cambio real de una apertura al comercio internacional? Respuesta: Sumando 16 a las importaciones en B y con un déficit de 28 se llega a q B = 67, con lo cual la apertura comercial deprecia el tipo de cambio para inducir exportaciones que compensen el aumento de las importaciones. El efecto neto de apertura comercial y financiera es ambiguo, aunque en este ejercicio domina el financiero.

2.2.11.

Desalineamiento del tipo de cambio real

= =

Y¯ sY

(2.62) (2.63)

I0 − br∗

(2.64)

X M

= =

dq − X0 M0 − f q

(2.65) (2.66)

donde Y¯ , s, I0 , b, d, X0 , M0 y f son constantes y r∗ es la tasa de inter´es internacional, que para efectos del problema tambi´en la consideraremos constante. 1. Calcule el ahorro externo, cuenta corriente, balanza comercial y tipo de cambio para el primer per´ıodo en esta econom´ıa. (Suponga que el pa´ıs comienza a existir en este per´ıodo y por lo tanto su deuda inicial es 0). Respuesta: Partimos calculando la balanza comercial del primero per´ıodo que corresponde a las exportaciones ´ netas. Estas se´ıan:

XN1 XN1

= X −M = dq1 − X0 − M0 + f q1

XN1

= −(X0 + M0 ) + (f + d)q1

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

SE1 = −CC1 = (X0 + M0 ) − (f + d)q1 Otra forma de definir esto es diciendo que el ahorro externo es la diferencia entre la inversi´ on y el ahorro interno. Es decir, son todos los fondos necesarios para financiar la inversi´ on y que no alcanza con los fondos del ahorro interno. SE1 = I − SN = I0 − br∗ − sY¯ Por u ´ltimo, el tipo de cambio lo podemos extraer de la definici´ on de déficit:

Dt (1 + r∗ ) = Dt+1 + XNt

(2.67)

Como el pa´ıs parte sin deuda, D1 = 0 y reemplazando la funci´ on de XN1 que reci´en encontramos nos quedar´ıa para el primer per´ıodo con:

−D2

= XN1

−D2 −D2

= dq1 − X0 − M0 + f q1 = (d + f )q1 − (X0 + M0 )

= f rac(X0 + M0 ) − D2 d + f

2. Calcule los mismos par´ametros de la parte a.) para el segundo per´ıodo de la econom´ıa. Respuesta: Para el caso de la cuenta corriente en el per´ıodo 2, y considerando que la balanza comercial en el mismo per´ıodo es igual, vemos de la parte a. que hay solo constantes y una variable: el tipo de cambio. Por esto, quedar´ıa como:

CC2 = XN2 = −(X0 + M0 ) + (f + d)q2 El ahorro externo por su parte ser´ıa: SE2 = I2 − SN 2 = I0 − br∗ − sY¯ Y por el lado de la cuenta corriente quedar´ıa: SE2 = (X0 + M0 ) − (d + f )q2 El tipo de cambio ser´ıa algo distinto. De las ecuaciones anteriores y sabiendo que D3 = 0 porque el Gobierno es solvente en el futuro, obtenemos:

D2 (1 + r∗ ) = D2 (1 + r∗ ) =

D3 + XN2 XN2

D2 (1 + r∗ ) =

(d + f )q2 − (X0 + M0 ) (1 + r∗ )D2 + (X0 + M0 ) d+f

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3. ¿Cómo cambia la cuenta corriente y la balanza comercial? ¿C´ omo cambia el tipo de cambio? Explique intuitivamente a que se debe la evoluci´ on del tipo de cambio. ¿Puede ser sostenible esta econom´ıa en el largo plazo? Explique. Respuesta: En la medida que se cumplan las condiciones de Marshall-Lerner, vemos que el ponderador del tipo de cambio (f + d) debiera ser mayor que cero, as´ı a mayor tipo de cambio, mayor es el saldo en la balanza comercial y también mayor el de la cuenta corriente. El tipo de cambio, por su lado, en el primer per´ıodo dice que a mayor déficit el primer per´ıodo, menor va a ser. Dicho de otra forma, si el tipo de cambio es alto el primer per´ıodo, van a generarse recursos que har´ an tener un déficit bajo. La evoluci´ on del tipo de cambio depender´ a del nivel de pasivos a un tipo de cambio real depreciado externos que hayan. Si hay un elevado nivel de éstos (Dt ) tendr´ para generar los recursos que le permitan pagar dichos compromisos. Por el otro lado, un elevado a en un tipo de cambio real apreciado. Entonces si déficit en la cuenta corriente (D(t+1) − Dt ) resultar´ un pa´ıs quiere evitar tener un per´ıodo con alto déficit y quiere controlar eso, deber´ a tener un tipo de cambio depreciado. Pero esta medida solo se puede mantener en el corto plazo. Ya que en el pr´ oximo per´ıodo, al haber mejor situaci´ on comercial, el tipo de cambio se apreciar´ a (como lo que ocurri´ o con Jap´ on) debilitando la econom´ıa y haciendola menos competitiva. Incluso con la posibilidad de llegar a un punto como el inicial. Lo que impide que la econom´ıa sea sostenible en el largo plazo. Suponga ahora que el gobierno decide implementar una pol´ıtica de tipo de cambio fijo, para lo cual fija qn = . . . = qk = . . . = q3 = q2 = q1 , es decir estanca el tipo de cambio en su valor del primer per´ıodo, para poder realizar esta pol´ıtica suponga que ahora el gobierno puede mediante alg´ un mecanismo alterar el valor del nivel de ahorro s. 4. Discuta por qué el gobierno no podr´ıa implementar esta medida si la tasa de ahorro se mantuviera constante y calcule la nueva tasa de ahorro para el segundo per´ıodo. Respuesta: Al ser la tasa de interés internacional la relevante si congelamos el tipo de cambio al valor del primer per´ıodo, el Gobierno pierde la u ńica variable de control que tiene en esta econom´ıa por lo tanto todo pasa a ser un dato. Si no es capaz de alterar alg´ un par´ ametro pierde su condici´ on de hacer pol´ıtica para poder cumplir con sus compromisos financieros y ser finalmente solvente. Como hab´ıamos visto en la parte a. el ahorro externo se pod´ıa ver como la diferencia entre la inversi´ on y el ahorro interno, o como el déficit de la cuenta corriente. De esto, podemos obtener una condici´ on de equilibrio para el ahorro:

SE1 = −CC1 (X0 + M0 ) − (f + d)q1 sY¯ s∗2

= I − SN = I0 − br∗ − sY¯ = (f + d)q1 − (X0 + M0 − I0 ) − br∗ (f + d)q1 − (X0 + M0 − I0 ) − br∗ = Y¯

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Por lo tanto de esto, debemos despejar el valor n de la balanza comercial (exportaci´ on neta) y reemplazar la funci´ on de exportaciones netas que ten´ıamos al principio: ∞ XNn+s (1 + r∗ )s s=1

= XNn

∞ [(f + d)qn+s − (X0 + M0 )] (1 + r∗ )s s=1

= XNn

Dn (1 + r∗ ) − Dn (1 + r∗ ) −

∀n

≥ 2

Manteniendo constante la tasa de interés y todos los otros par´ ametros mencionados, este valor solo es sostenible en el tiempo si se producen suficientes superavits para pagar los posibles déficits que pudieron haber habido (los que est´ an expresados en la deuda Dn ) pero sin la explosi´ on de ellos (los superavits). Ya que esto conducir´ıa a una apreciaci´ on del tipo de cambio lo que ahogar´ıa el sector transable y terminar´ıa produciendo un efecto riqueza que podr´ıa hacer volver a la econom´ıa a la condici´ on de déficit.

2.2.12.

Inversion o ´ptima y la cuenta corriente

Suponga una econom´ıa donde el proceso de formación de capital se caracteriza por una funci´ on creciente a tasa creciente dada por φ 2 (Is − δKs ) 2 La producci´ on se genera a través de una funci´ on de producci´ on Y = AF (K, L) con las usuales propiedades de retornos marginales decrecientes en cada factor y donde A es un factor ex´ ogeno que mide la productividad. El capital se acumula a través de la siguiente regla Ks+1 − Ks = Is − δKs . 1. Desarrolle el problema de maximizacion de las firmas en esta econom´ıa y derive el diagrama fase que describe el equilibrio en cual se invierte solo lo que se deprecia el capital. Respuesta: Es necesario maximizar los flujos descontados a valor presente recordando que existe una restricci´ on...

Max s.a.

s ∞ 1 φ(Is − δKs )2 P · F (Ks , Ls ) − ws − Is − 1+r 2 s=0 Ks+1 − Ks = Is − δKs

Lo cual se traduce en:

L :=

s ∞ 1 φ(Is − δKs )2 + λs (Is − δKs − Ks+1 + Ks ) P · F (Ks , Ls ) − ws − Is − 1+r 2 s=0

Ahora derivamos esta expresi´ on con respecto a las variables de decisi´ on:

∂L ∂Ls

1 1+r

∂F − ws = 0 P· ∂Ls

De la u ´ltima ecuaci´ on podemos concluir que el producto marginal de la mano de obra es igual a su salario real. 100

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

∂F ∂Ls

ws P

Ahora derivamos con respecto a la inversi´ on (Is ): ∂L ∂Is λs − 1 φ

1 1+r

s [−1 − φ(Is − δKs ) + λs ] = 0

= Is − δKs = Ks+1 − Ks

Recordemos que Tobin demostr´ o que el multiplicador de Lagrange es igual a la q... qs − 1 φ Ks+1 − Ks

= Is − δKs qs − 1 φ

Esta ecuaci´ on corresponde a la ecuaci´ on de movimiento del capital. Luego, ∂L ∂Ks+1

1 1+r 1 1+r

s · (−qs ) + s+1 P·

∂F + δφ(Is+1 − δKs+1 ) + qs+1 (1 − δ) = 0 ∂Ks+1

De la ecuaci´ on de movimiento del capital sabemos que Is − δKs = tambi´en que Is+1 − δKs+1 =

qs+1 −1 . φ

qs −1 φ ,

por lo que podemos decir

Reemplazando esto en la u ´ltima ecuaci´ on obtenemos:

qs+1 − 1 φ

qs (1 + r)

∂F P· + δφ ∂Ks+1

qs + qs r

P·

∂F + δqs+1 − δ + qs+1 − δqs+1 ∂Ks+1

qs + qs r

P·

∂F + −δ + qs+1 ∂Ks+1

qs+1 − qs

qs r + δ − P ·

+ qs+1 (1 − δ)

∂F ∂Ks+1

Este resultado corresponde a la ecuaci´ on de movimiento de la q. En el equilibrio se cumple que K˙ y q˙ son iguales a cero, por lo tanto: K˙ = 0

→

q˙ = 0

→

qs = 1 ∂F P δ · − qs = r ∂Ks+1 r

101

(2.68) (2.69)

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.14: Cuenta Corriente en el tiempo

2. En este contexto derive la ecuación fundamental de la cuenta corriente y explique como se ver´ a afectada la CC si existe un shock transitorio en el ingreso de la econom´ıa. Suponga que β(1+r) = 1 y la utilidad es cuadr´ atica de la forma vista en la ayudant´ıa pasada. Respuesta: La derivaci´ on de la ecuaci´ on de la cuenta corriente para β(1 + r) = 1 se encuentra en la clase 6, diapositivas 4-10. Suponiendo que el shock de ingreso es positivo, entonces veremos que la CC se la siguiente forma: Vemos que este shock positivo de ingresos transitorios provocar´ a un super´ avit en la cuenta corriente. Este super´ avit ir´ a decayendo gradualmente puesto que los individuos ir´ an consumiendo este ingreso adicional, lo que implica un descenso en el super´ avit como ya fue mencionado. 3. ¿Como cambia su respuesta si existe un aumento de productividad permanente y sorpresivo? Respuesta: Si existe un aumento sorpresivo y permanente en la productividad veremos qué se incurrir´ a en un déficit de la CC de manera de poder financiar la inversi´ on que se har´ a. El diagrama de fases es el siguiente: Ahora veremos c´ omo se mueve la inversi´ on, el valor de la q y el saldo de la CC en el tiempo: 4. ¿Que pasar´ıa con la cuenta corriente en el caso anterior si no hubieran costos convexos a la inversi´ on en capital? Respuesta: En el caso de costos no convexos veremos que el total del capital requerido ser´ıa instalado inmediatamente. Esto llevar´ıa a que la CC fuera mucho m´ as negativa en el primer per´ıodo pero cero del segundo en adelante. 5. ¿Como cambia su respuesta si el shock de productividad del capital que era percibido como permanente desaparece un par de periodos después? Describa el movimiento de la inversión, q, el stock de capital y la cuenta corriente en este caso. Respuesta: El diagrama de fases es el siguiente: El movimiento de las variables en el tiempo es el que sigue:

102

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.15: Diagrama de Fases

K˙ = 0

q˙ = 0

q˙ = 0 K

Figura 2.16: Movimiento en el tiempo

103

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.17: Diagrama de Fases q

K˙ = 0

q˙ = 0

q˙ = 0 K

Figura 2.18: Movimiento en el tiempo

104

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

K˙ = 0

q˙ = 0

q˙ = 0 K

Figura 2.19: Diagrama de Fases

6. ¿Como cambia su respuesta si se anticipa que no durara el aumento en productividad pero igual son sorprendidos por la magnitud de la ca´ıa a niveles más bajos que los originales? Describa la evolución de las variables claves en un diagrama de fase y muestre la evoluci´ on de la cuenta corriente en el tiempo indicando claramente los momentos que se llevan acabo los cambios y se entrega la información efectiva. Respuesta: El diagrama de fases es el que sigue. El movimiento de las variables en el tiempo es:

2.2.13.

Enfermedad Holandesa (Chilena?)

Suponga un pa´ıs que produce dos bienes; uno transable internacionalmente y otro no. Los precios de un las siguientes funciones de estos bienes son PT y PN respectivamente. Ambos bienes se producen seg´ producci´ on: YT = aT LT

(2.70)

YN = aN LN

(2.71)

Existe una dotación de trabajadores fija. Suponga adem´ as que las preferencias de los consumidores están dadas por: U = m´ın{γCT , φCN }

(2.72)

Con esta informaci´ on responda lo siguiente: 1. Derive la frontera de posibilidades de producci´ on de esta econom´ıa. Respuesta: Dado que la econom´ıa tiene una dotaci´ on ﬁja de trabajadores, la mano de obra repartida en ambos sectores tienen que sumar una constante: L = LT + LN

105

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 2.20: Movimiento en el tiempo Despejando de el trabajo requerido en las funciones de producci´ on obtenemos: LT

YT aT YN aN

Reemplazando en la restricci´ on laboral y desarrollando: L = YN aN

YT YN + aT aN YT L− aT aN LaN − YT aT

2. ¿Qué implicancia tiene la forma de la función de utilidad sobre la estructura del consumo? Grafique la FPP y la estructura del consumo y encuentre el equilibrio para una situaci´ on con balanza comercial positiva, 0, y negativa. Encuentre la pendiente de la FPP y de la estructura de consumo. Respuesta: La funci´ on de utilidad de la econom´ıa (agente representativo) es de forma Leontieff, o de proporciones fijas. Esto implica que la relaci´ on de consumo transable y no transable va a ser constante. En este caso: U ⇒ γCT CN CT

= = =

m´ın{γCT , φCN } φCN γ φ

Para encontrar el equilibrio, hay que recordar que siempre el consumo de bienes no transables tiene on vemos los que se igual a la producci´ on de bienes no transables, es decir, CN = YN . A continuaci´ tres casos posibles:

106

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Îł Ď&#x2020;

CN = YN

â&#x2C6;&#x2019; aaNT

BC > 0 Figura 2.21: Caso A: BC > 0

Îł Ď&#x2020;

CN = YN

â&#x2C6;&#x2019; aaNT

BC<0 Figura 2.22: Caso B: BC < 0

107

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Îł Ď&#x2020;

CN = YN

â&#x2C6;&#x2019; aaNT

YT = CT BC = 0

Figura 2.23: Caso A: BC = 0 3. Si la economÂ´Äąa produce una fracciÂ´on Ď&#x192; del producto total en transables, encuentre el nivel de precios general, el tipo de cambio real y el salario de equilibrio. Respuesta: Primero tenemos que encontrar el precio en ambos sectores. Si W es el salario, de la maximizaciÂ´ on de beneďŹ cios de la ďŹ rma obtenemos que los precios en ambos sectores serÂ´ an los siguientes: PT

W aT W aN

Pero como PT estÂ´ a dado por la ley de un solo precio (PT = ePTâ&#x2C6;&#x2014; ), los salarios quedan enteramente determinados por el precio de los bienes transables. Es decir: W = ePTâ&#x2C6;&#x2014; aT Donde e es el tipo de cambio nominal. Dado que el trabajo es el u Â´nico factor de producciÂ´ on, y es perfectamente mÂ´ ovil entre sectores, el precio de los bienes no transables estarÂ´ a enteramente determinado por este nivel de salario: PN = ePTâ&#x2C6;&#x2014;

aT aN

Para encontrar el nivel de precios general, asumimos que en ambas economÂ´Äąas (nacional y externa), la fracciÂ´ on Ď&#x192; es la misma. Por lo tanto:

P = PTĎ&#x192; PN1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;

P â&#x2C6;&#x2014; = PTâ&#x2C6;&#x2014;Ď&#x192; PNâ&#x2C6;&#x2014;1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192; El tipo de cambio real lo encontramos aplicando la ley de un solo precio seË&#x153; nalada anteriormente:

108

´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

ePT∗σ PN∗1−σ eP ∗ = P PTσ PN1−σ ∗ 1−σ ∗ 1−σ ePT PT PN = PT PN PT∗ 1−σ ∗ 1−σ PT PN = PN PT∗ 1−σ p = p∗

Donde: p

≡

p∗

≡

aN PT = PN aT PT∗ a∗N = ∗ PN∗ aT

4. Suponga un descubrimiento de alg´ un recurso natural nuevo en esta econom´ıa (cobre). ¿Qué ocurre con el salario, nivel de precios, producto total y tipo de cambio real de esta econom´ıa? Respuesta: Si un pa´ıs encuentra una dotaci´ on de cobre, expande la frontera de posibilidades de producci´ on. La mayor disponibilidad de un recurso natural no significa una mayor dotaci´ on de trabajadores, por lo que hay que trasladar trabajadores del sector transable al no transable. Supongamos que el pa´ıs produce bienes transables no cobre. A estos los llamaremos bienes transables tradicionales. El descubrimiento del nuevo recurso natural cobre desplaza la FPP hacia la derecha, aumentando la cantidad de bienes transables que puede producir en Y0 unidades. La producci´ on y consumo de no transables se incrementa como resultado del boom de gasto, del punto a b = YNa al punto CN = YNb . CN La producci´ on de transables también aumenta, pero de un modo m´ as complicado. El aumento de producci´ on de cobre genera una apreciaci´ on del tipo de cambio, por lo que los bienes transables tradicionales se ven perjudicados, mientras que la producci´ on de cobre aumenta la producci´ on total de transables. El nivel de producci´ on de bienes transables tradicionales se reduce a YTb , mientras que la producci´ on total de transables es YTb + Y0 . Gr´ aficamente: La entrada de divisas al pa´ıs aprecia el tipo de cambio nominal. Esto significa una apreciaci´ on del tipo de cambio real. Es por esto que el sector transable tradicional percibe menos ingresos y debe disminuir la producci´ on. Por otro lado, el aumento del precio promedio de los bienes transables (dada la incorporaci´ on de un nuevo bien transable como el cobre) incrementa el nivel de precios general de la econom´ıa. El producto total de la econom´ıa aumenta también, dada la expansi´ on de la FPP. El nuevo producto es: Y = YNb + YTb + Y0 . La variaci´ on del salario depende. En el caso de los bienes transables tradicionales, la ca´ıda en el tipo de cambio fuerza a la baja el precio de los transables, lo que significa una disminuci´ on en el salario. En el sector cobre, el precio alto significa un mayor salario. Sin embargo, como la movilidad entre sectores es perfecta, el salario tender´ıa a igualarse. Si este salario es mayor o menor que antes del descubrimiento de cobre depender´ a en la magnitud del descubrimiento y por ende en la magnitud del aumento del precio del cobre.

109

Â´ 2.2. MATEMATICOS DE TIPO DE CAMBIO Y CUENTA CORRIENTE MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

P Îł Ď&#x2020;

b b CN = YN

a a = YN CN

â&#x2C6;&#x2019; aN T

F 0

YTa

a b CYT T

= YTb BC = 0

+ Y0

Figura 2.24: Enfermedad Holandesa en modelo TNT

110

Cap´ıtulo 3

Crecimiento y desarrollo 3.1. 3.1.1.

Comentes de crecimiento An´ alisis de la post-guerra

Describir los efectos que predice el modelo de Solow-Swan en el per´ıodo de la post-guerra si: 1. Durante esta se produjo una destrucci´ on del capital Respuesta: Si es que la econom´ıa se encontraba creciendo, hacia su estado estacionario, o se encontraba en este y debido a la guerra su stock de capital se reduce, lo que ac´ a ocurre es que el capital inicial se desplaza a la izquierda,sea cual sea su nivel inicial. Esta reducci´ on del capital aumenta su productividad marginal, lo que hara que a la misma tasa de inversi´ on se generar´ a un mayor crecimiento y as´ı aumentar´ an las tasas de crecimiento del capital y el PIB. Aunque ac´ a se produsca un crecimiento claramente el bienestar es menor, ya que la econom´ıa solo crece m´ as r´ apido para recuperar lo que perdi´ o, gracias al aumento de la productividad del capital que se tiene ahora. 2. Las bajas durante la guerra redundaron en una disminuci´ on de la mano de obra. Respuesta: Al diminuir la mano de obra, debido a las bajas durante la guerra para poder seguir produciendo como se hacia antes va a ser necesario sustituir esta mano de obra por capital, por lo cual el capital debera aumentar y una forma de hacer esto es aumentar el ahorro, ya qu paises que ahorran mas tienen un mayor estado estacionario. Otra de las consecuancias que puede haber traido las bajas durante la guerra es una disminuci´ on de la poblacion, que puede derivar en un mayor ingreso percapita, pero no debido a que el pa´ıs esta mejor, si no que a la disminucion de la poblaci´ on.

3.1.2.

El Chile de los noventas

Habitualmente se comparan las altas tasas anuales de crecimiento registradas por Chile a comienzos de los noventas con el reciente crecimiento de Chile. Seg´ un esta comparación, lo anterior es evidencia de un mal desempe˜ no de la econom´ıa. Seg´ un la literatura te´ orica de crecimiento, ¿Qué puede usted comentar al respecto?? Respuesta: La literatura te´ orica de crecimiento, al igual que la emp´ırica, destaca la idea de Convergencia Condicional. Esto es, a igual condiciones, pa´ıses m´ as pobres crecen m´ as r´ apido que pa´ıses m´ as ricos. Esto nos permite comparar entre pa´ıses pero también un mismo pa´ıs en dos per´ıodos del tiempo. Chile crec´ıa m´ as r´ apido durante los a˜ nos noventa porque era un pa´ıs pobre (o al menos m´ as pobre que el Chile los u ´ltimos a˜ nos). Por convergencia era de esperar que las tasas de crecimiento se desaceleren

111

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

c c˙ = 0

c˙ = 0

k˙ = y − c − (n + δ) − g c˙ 1 c = σ f (k) − δ − ρ

c∗

SS k˙ = y − c − (n + δ) − g c˙ 1 c = σ (1 − τ )f (k) − δ − ρ

c∗

c∗ τ1

c∗ τ2 c∗ τ1

k˙ = 0

(a) Impuesto Suma Alzada (τ1 )

(b) Impuesto Ad-Valorem (τ2 )

Figura 3.1: Efectos de los impuestos de Suma Alzada y Ad-Valorem mientras m´ as rico se vuelve el pa´ıs. Alguien podr´ıa haber complementado su respuesta con una nueva referencia a los condicionantes del crecimiento. Es decir, la pregunta es ¿cual hubiera sido el crecimiento si se hubieran tenido condiciones similares a pa´ıses m´ as desarrollados? En este caso habr´ıamos alcanzo un nivel de capital de estado estacionario mayor. Las condiciones, por lo general, se reﬁeren a caracter´ısticas de las instituciones, las cuales se pueden resumir en el par´ ametro tecnol´ ogico de la funci´ on de producci´ on. Sin embargo, aunque falta mucho por avanzar es dif´ıcil saber si Chile podr´ıa haber mejorado m´ as sus condiciones, ya que en t´erminos comparativos lo hizo mucho m´ as que la mayor´ıa de los pa´ıses.

3.1.3.

Comentes Varios

1. En el modelo de Ramsey las familias deciden óptimamente cuánto consumir y cu´ anto ahorrar por lo que con ello logramos superar dos problemas del modelo de Solow: la tasa de crecimiento per cápita de largo plazo es positiva sin necesidad de incluir el progreso técnico y se elimina la posibilidad de sobre ahorro en el estado estacionario de largo plazo. Respuesta: El segundo es verdadero pero el primero no. El hecho que los agentes optimizan intertemporalmente elimina la posibilidad de sobre ahorro. En el modelo de crecimiento de Ramsey simple también tenemos un nivel fijo de capital per capita en steady state. 2. Suponga una econom´ıa habitada por agentes Ramsey y donde existe un gobierno que recauda fondos para gastar en proyectos no productivos. La decisi´ on de financiar el gasto por medio de impuestos de suma alzada o por impuestos ad-valorem a la renta es irrelevante dado que ambos llevan necesariamente a un nivel de consumo per capita mas bajo en el corto y largo plazo. Respuesta: No es irrelevante debido a que impuestos ad-valorem no solo quitan recursos a la econom´ıa para ser usados en proyectos no productivos sino adem´ as distorsionan la decision de inversion por lo que se ahorra menos. La clave esta en el hecho que los impuestos recaudados no se devuelven a los hogares como transferencias por lo que en el caso de ambos impuestos cae la acumulaci´ on de capital a cada nivel de k. En el caso del impuesto ad-valorm, cae adem´ as el nivel de k consistente con el consumo de steady state por lo que este caso es mas importante en términos de la ca´ıda del ingreso en el largo plazo. Sin embargo en el corto plazo puede caer menos en el caso ad-valorem. Gr´ aficamente tenemos los efectos de los impuestos en la figura 3.1.

112

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.2: A posee mayor crecimiento poblacional f (k)

(na + d + g)k (nb + d + g)k

3.1.4.

Convergencia entre econom´ıas 1

Existen dos econom´ıas A y B, donde la primera posee una mayor tasa de crecimiento de la poblaci´ on que B. Sin embargo la segunda econom´ıa posee niveles de capital per cápita mayores. Considerando esto y a la luz del modelo de Solow-Swan, ¿Son consistentes ambas observaciones? ¿Qué implican éstas diferencias? ¿Qué tipo de convergencia se verifica? Respuesta: Primero debemos considerar que la econom´ıa A al tener una tasa de crecimiento poblacional mayor va a converger a un nivel de estado estacionario menor que la econom´ıa B. (puede justificarse con el desarrollo matem´ atico o un gr´ afico comparativo). A la vez debemos notar que los pa´ıses tienen distinto estado estacionario. La econom´ıa B tiene mayores niveles de producto y capital per c´ apita en la actualidad, como en su estado estacionario. Dicho esto no podemos verificar la convergencia absoluta; dado que ésta supone la existencia de u ńico estado estacionario para los pa´ıses. A pesar de esto no podemos descartar la convergencia condicional, dado que sabemos que el pa´ıs m´ as alejado de su estado estacionario crecer´ a m´ as r´ apido.

3.1.5.

Convergencia entre econom´ıas 2

La evidencia emp´ırica se˜ nala que los pa´ıses africanos han crecido a menor ritmo que los europeos en los u ´ ltimos 30 a˜ nos, esto considerando que su ingreso per cápita era menor que el de Europa en esa época. ¿Contradice esto lo planteado en el modelo de Solow? Respuesta: Si consideramos el supuesto de convergencia absoluta (donde todos los pa´ıses convergen hacia un mismo estado estacionario), se verifica el hecho de que los pa´ıses m´ as pobres respecto de su estado estacionario crecen m´ as r´ apido que aquellos que tienen un ingreso m´ as cerca de su estado estacionario. Sin embargo, sabemos que la hip´ otesis de convergencia absoluta no es efectiva en la realidad, por lo tanto podemos argumentar que las razones por la cual los pa´ıses africanos han crecido menos son: Una mayor tasa de crecimiento de la poblaci´ on, escaso progreso tecnol´ ogico, bajo capital humano.

3.1.6.

Solow y la acumulaci´ on 1

El modelo de Solow nos muestra que el crecimiento es básicamente un proceso de acumulación. Por esto, mientras más se ahorra, mejor para la poblaci´ on ya que as´ı aumenta el nivel de capital de estado estacionario y con ello el bienestar.

113

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Respuesta: Falso. Si bien el modelo de Solow funciona en base a la acumulaci´ on de capital no es siempre una buena recomendaci´ on aumentar el ahorro. Por sobre el nivel de ahorro consistente con el nivel de capital de estado estacionario, un aumento del ahorro aumenta el capital pero reduce el nivel de consumo de la poblaci´ on. Si asumimos que se obtiene utilidad solo del consumo, este aumento de la tasa de ahorro disminuir´ıa la utilidad. Lo que est´ a detr´ as de esto es lo que se conoce como Ineﬁciencia din´ amica: en el modelo de Solow no hay nada que nos haga ahorra exactamente lo ´ optimo, por lo cual podr´ıamos estar manteniendo en el tiempo (din´ amicamente) tasas de ahorro ineﬁcientes.

3.1.7.

Solow y la acumulaci´ on 2

Los modelos de crecimiento económico neo clásicos nos ense˜ nan que el crecimiento se genera solamente v´ıa la acumulaci´ on de capital. Respuesta: Para el crecimiento es muy importante la acumulaci´ on de capital. Pero en términos per capita la u ńica forma de crecer es aumentar la productividad de los recursos, por ejemplo a través de mejoras tecnol´ ogicas.

3.1.8.

Solow y la acumulaci´ on 3

Una de las recomendaciones de pol´ıtica econ´ omica que se hace a partir del modelo de Solow es que para el crecimiento se deben incrementar las tasas de ahorro. Esta recomendación se debe a que siempre ser´ a bueno para una econom´ıa y para el bienestar de su poblaci´ on incrementar el capital instalado, lo que se logra ahorrando e invirtiendo la mayor cantidad de recursos posibles. Comente. Respuesta: Falso. Si bien el modelo de Solow funciona en base a la acumulaci´ on de capital no es siempre una buena recomendaci´ on aumentar el ahorro. Por sobre el nivel de ahorro consistente con el nivel de capital de estado estacionario, un aumento del ahorro aumenta el capital pero reduce el nivel de consumo de la poblaci´ on. Si asumimos que se obtiene utilidad solo del consumo, este aumento de la tasa de ahorro disminuir´ıa la utilidad. Lo que est´ a detr´ as de esto es lo que se conoce como Ineficiencia din´ amica: en el modelo de Solow no hay nada que nos haga ahorra exactamente lo ´ optimo, por lo cual podr´ıamos estar manteniendo en el tiempo (din´ amicamente) tasas de ahorro ineficientes.

3.1.9.

Las diferencias

Explique la diferencia fundamental entre el modelo de crecimiento de Solow b´ asico y el modelo de Ramsey visto en clases. Respuesta: La diferencia fundamental entre los modelos de Solow y Ramsey es que en el primero la tasa de ahorro es ex´ ogena. En cambio en el modelo de Ramsey la decisi´ on de ahorro es end´ ogena. Esto elimina la posibilidad de ineﬁciencia din´ amica, lo que si es un problema para el modelo de Solow.

3.1.10.

Crecimiento en tres actos

Primer acto: un pa´ıs largo y angosto en sudamérica que esta por debajo de su capital de estado estacionario (EE) y crece a altas tasas. Segundo acto: Veinte a˜ nos después el mismo pa´ıs, a´ un le falta por alcanzar su nivel de capital de EE, y crece a un ritmo menor. Tercer acto: Hay desconcierto, y algunos indican que debiese haber ocurrido todo lo contrario. Pregunta: ¿C´ omo se llama la pel´ıcula y que debiese ocurrir a futuro? Respuesta: La literatura te´ orica de crecimiento, al igual que la emp´ırica, destaca la idea de Convergencia Condicional. Esto es, a igual condiciones, pa´ıses m´ as pobres crecen m´ as r´ apido que pa´ıses m´ as ricos. Esto nos permite comparar entre pa´ıses pero también un mismo pa´ıs en dos per´ıodos del tiempo.

114

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Chile crec´ıa m´ as r´ apido durante los a˜ nos noventa porque era un pa´ıs pobre (o al menos m´ as pobre que el Chile los u ´ltimos a˜ nos). Al estar lejos de el capital de estado estacionario crec´ıa r´ apidamente. Por convergencia era de esperar que las tasas de crecimiento se desaceleren mientras m´ as rico se vuelve el pa´ıs. Alguien podr´ıa haber complementado su respuesta con una nueva referencia a los condicionantes del crecimiento. Es decir, la pregunta es ¿cual hubiera sido el crecimiento si se hubieran tenido condiciones similares a pa´ıses m´ as desarrollados? En este caso habr´ıamos alcanzo un nivel de capital de estado estacionario mayor. Las condiciones, por lo general, se reﬁeren a caracter´ısticas de las instituciones, las cuales se pueden resumir en el par´ ametro tecnol´ ogico de la funci´ on de producci´ on. Sin embargo, aunque falta mucho por avanzar es dif´ıcil saber si Chile podr´ıa haber mejorado m´ as sus condiciones, ya que en t´erminos comparativos lo hizo mucho m´ as que la mayor´ıa de los pa´ıses.

3.1.11.

Ramsey y la oferta de trabajo

En el modelo de Ramsey con oferta de trabajo fija, el rol del gasto p´ ublico depende solamente de c´ omo se relaciona con la funci´ on de producci´ on. Comente. Respuesta: Falso. Depender´ a de c´ omo se financia el gasto p´ ublico también. Si los impuestos se recaudan en base a impuestos sobre el trabajo, no habr´ an problemas ya que en el modelo la oferta de trabajo es inel´ astica al precio. En cambio, si la recaudaci´ on de los fondos para el gasto p´ ublico se realiza con un impuesto al capital, cambia el precio de este y por tanto cambian las decisiones de inversi´ on. En este caso si cambia el resultado del modelo.

3.1.12.

Evidencia de crecimiento

Seg´ un la evidencia emp´ırica presentado en clases y en el libro De Gregorio, enumere al menos cuatro variables que est´an relacionado con el crecimiento y explique el signo de dicha relaci´on. Respuesta: Ver la evidencia presentada en el cap´ıtulo 13 del libro De Gregorio.

3.1.13.

Impuestos y decisiones

En el caso del modelo de Ramsey, donde se óptimiza el comportamiento de los agentes, un impuesto ad-valorem altera las decisiones. En ambos casos, un impuesto al capital o uno al trabajo reducen el nivel ofrecido. Comente. Respuesta: Un impuesto al capital, al reducir el beneficio que obtienen sus propietarios desincentiva la acumulaci´ on lo cual nos lleva a un nivel menor de capital de estado estacionario. En el caso del trabajo, la decisi´ on de optimizaci´ ´ on no incluye la oferta de trabajo lo cual hace que la oferta de trabajo sea infinitamente elastica. Dicho de otro modo, se ofrecer´ a trabajo al salario vigente, y si este es menor ya que parte va a pagar los impuestos, la oferta no se ver´ a alterada.

3.1.14.

Las tres diferencias

Explique tres diferencias importantes entre el modelo de Solow neocl´asico y el modelo ampliado. Respuesta: La tasa de crecimiento del producto per c´ apita puede crecer continuamente sin tener que suponer que incide alg´ un factor ex´ ogeno, esto debido a que consideramos que el trabajo L tiene impl´ıcita cierta calidad reﬂejada en el capital humano. En el modelo ampliado no existe una relaci´ on entre el nivel inicial de ingreso por trabajador y el crecimiento. La tasa de crecimiento es independiente del nivel inicial de capital.

115

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.3: Modelo de Solow sf (k) k

(n + δ)

k˙ k

>0 k˙ k

n+δ <0 sf (k) k

k1 k0 k ∗

3.1.15.

Aguante Chait´ en!

La pr´ ospera ciudad de Chaitén, como ud. sabe, se ha visto profundamente afectada por la erupci´ on del volc´ an del mismo nombre. Producto de este evento inesperado, parte del stock de capital de Chaitén ha sido destruido. En el contexto del Modelo de Solow, explique y grafique que ocurre con el nivel de capital de estado estacionario. ¿Este shock tiene efectos transitorios o permanentes? Respuesta: Si hay una disminuci´ on en el stock de capital, esto se traducir´ a en una disminuci´ on del capital de estado estacionario (se desplaza hacia la izquierda, su nivel inicial). La reducci´ on de capital hace que la productividad marginal de éste aumente y se crezca m´ as r´ apido para recuperar lo perdido. Como tenemos que reponer ˙ el capital perdido, existir´ a un aumento temporal de kk hasta volver al nivel inicial. En términos de la figura 3.3, podemos suponer un estado inicial descrito por k0 . Como gran parte del capital es destruido por la erupci´ on del Volc´ an, el nivel de capital se reduce a k1 . A este nivel de capital podemos ver en el eje vertical que esta econom´ıa tendr´ a una tasa de crecimiento mayor a la registrada cuando el capital es mayor. El nivel de capital se seguir´ a acumulando y la velocidad de crecimiento se ir´ a reduciendo hasta llegar a k ∗ .

3.1.16.

Control de natalidad

Seg´ un se pudo leer en un destacado medio escrito “...las pol´ıticas de control de natalidad en China tendr´ an graves concecuencias para el nivel de crecimiento de la econom´ıa. Al disminuir el total de trabajadores, la econom´ıa crecer´ a a un ritmo m´ as lento...”. Comente. Respuesta: La frase est´ a equivocada. Ver por ejemplo el modelo de Solow en el cual un incremento en la tasa a la cual crece la poblaci´ on diminuye el nivel de capital de estado estacionario n1 > n2 .

3.1.17.

¿Las mismas conclusiones?

El modelo de Ramsey llega a la misma conclusión que el modelo de Solow, es decir, que los agentes ser´ an ineficientes a lo largo del tiempo, pues escoger´ an un capital de estado estacionario distinto al que maximiza el nivel de consumo a lo largo del tiempo (capital de regla dorada). Respuesta: La principal diferencia entre los modelos de Solow y Ramsey es que en el u ´ltimo la tasa de ahorro, y por lo tanto la proporci´ on del producto que se consume, es end´ ogeno siendo elegido de forma tal de maximizar la utilidad derivada del consumo. Por esta raz´ on es que el modelo de Solow sufre de la llamada “ ineficiencia din´ amica” ya que en el tiempo una econom´ıa descrita por este modelo podr´ıa estar en cada per´ıodo ahorrando m´ as o menos que lo o ´ptimo.

116

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

γk

δ + n1

δ + n2

K2∗

K1∗

Figura 3.4: Crecimiento con distintas tasas de incremento de la poblaci´ on En el caso de que en el modelo de Solow se determinara el nivel de capital que maximiza el consumo habr´ an diferencias: en el modelo de Ramsey tiene por resultado un menor nivel de capital de estado estacionario que maximiza el consumo. La raz´ on es que en Ramsey se considera la preferencia inter-temporal por consumo presente lo que hace que se acumule menos capital.

3.1.18.

Financiamiento del gasto

Para la sociedad, que el gobierno financie el consumo de los individuos de bajos ingresos mediente impuestos ad-valorem es equivalente a que sea financiado con impuestos de suma alzada si suponemos que el monto recaudado es el mismo. Respuesta: La decisi´ on de recaudaci´ on de impuestos no es un tema trivial, pues cada una afecta al equilibrio de estado estacionario diferentemente. Un impuesto ad-valorem afectar´ a el capital de estado estacionario pues el agente optimizador ve que el retorno de la producci´ on es menor y, por lo tanto, ser´ a´ optimo reducir el stock de capital, por lo que disminuye el capital de estado estacionario y el consumo de estado estacionario (para los que no son beneficiados por el subsidio). Un impuesto de suma alzada, en cambio, no modifica el stock de capital de estado estacionario pues no hay una distorsi´ on en las rentas de los factores, pero si hay una reducci´ on en el consumo de estado estacionario (nuevamente para aquellos que no est´ an beneficiados por el subsidio) pues tendr´ an un menor ingreso para destinar a consumo. Por lo tanto la decisi´ on del tipo de impuesto no es tan simple pues ambas tienen efectos distintos en la econom´ıa.

3.1.19.

Recomendaciones de Solow

Considere el modelo de Solow neoclásico con una funci´ on de producci´ on de la forma: Y = F (K, L) De este modelo se deduce que, para que Chile “alcance” a los pa´ıses desarrollados, en términos de ingreso per cápita, es necesario aumentar la tasa de ahorro. Respuesta: Incierto. En el contexto de un modelo de Solow necol´ asico , el crecimiento del producto per c´ apita depende 117

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.5: Solow y la Regla de Oro f (k) y

f (k) k

(δ + n)k

∗ koro

no s´ olo de la tasa de ahorro, sino que tambi´en de el crecimiento de la poblaci´ on. Si el objetivo fuese alcanzar a los pa´ıses desarrollados, la tasa de ahorro no es la u ´nica herramienta disponible, seg´ un el modelo. Uno podr´ıa suponer una pol´ıtica orientada a una de reducci´ on de la natalidad. k∗ =

s δ+n

α1 (3.1)

Adem´ as, una pol´ıtica orientada a aumentar las tasas de ahorro podr´ıa llevar a una situaci´ on inconsistente con el criterio de maximizaci´ on del consumo. Los pa´ıses no buscan maximizar crecimiento, sino que maximizar consumo, por lo que una tasa de ahorro mayor a la de regla de oro es ineﬁciente din´ amicamente.

3.1.20.

Trabajo, impuestos y Ramsey

Considere el modelo de Ramsey como el estudiado en clases. Un impuesto a las rentas del trabajo genera desincentivos a trabajar, por lo que el efecto final es una disminuc´ on de la oferta labora y, adem´ as, una disminución del stock de capital. ¿Refleja esto el modelo de Ramsey? ¿Qué modificiones sugerir´ıa usted? Respuesta: Falso. Dados los supuestos del modelo de Ramsey, al oferta laboral es infinitamente el´ astica, lo que significa que si cambian los impuestos al trabajo, no se altera la cantidad de trabajo. De este resultado se desprende que lo m´ as eficiente es que los impuestos sean pagados por los bienes o factores m´ as inelasticos. Los impuestos que cumplen estas condiciones se conocen como Impuestos Ramsey. A modo de objeci´ on, debemos notar que en este modelo no consideramos, como una de las optimizaciones a resolver, la decisi´ on entre cuando consumir y cuando dejar para ocio. Si incluyeramos esta decisi´ on, nuestra respuesta ser´ıa distinta.

3.1.21.

Ramsey, ¿Centralizado o descetralizado?

De los resultados del modelo de Ramsey podemos concluir que da lo mismo tener un gobierno centralizado o una econom´ıa descentralizada ya que ambos conducen a resultados ide´enticos. Comente. Respuesta: Falso. Esta conclusi´ on es v´ alida bajo ciertos supuestos, dentro de los cuales est´ an: Fallas de Estado:El planiﬁcador central es benevolente, es decir, busca maximizar el bienestar de la sociedad en su conjunto. Esto es un supuesto cuestionable bajo la teor´ıa del agente-principal.

118

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Fallas de Estado:El planificador central posee informaci´ o perfecta, es decir, el planificador est´ a al tanto de todo lo que sucede en cada momento y para cada individuo y es por eso que puede tomar decisiones o ´ptimas. Fallas de Mercado:No existen externalidades. Un complemento a esta respuesta son los distintos teoremas del bienestar, y otras extensiones, que ser´ an vistos en cursos posteriores (Asignaci´ on de Recursos, Finanzas P´ ublicas, etc.) Los argumentos anteriores son consistentes con los teoremas del bienestar que nos dicen que: (TEO1) Todo equilibrio de Walras (eq. de mercado competitivo) es un o ´ptimo de Pareto y (TEO2) si se permiten transferencias y existe convexidad de preferencias, a todo o ´ptimo de Pareto se puede asociar un sistema de precios tal que exista, a tales precios, un equilibrio competitivo. Al existir fallas de mercado, los teoremas del bienestar no se cumplen, por lo que la asignaci´ on de recursos v´ıa mercado competitivo ya no es necesariamente una asignaci´ on Pareto-´ optima. Esto es consistente, también, con el teorema de Greenwald-Stiglitz que nos dice que: “El gobierno podr´ıa potencialmente mejorar consistentemente la asignaciónde recursos que resulta de la soluci´ on de mercado” Este teorema se cumple si existen fallas de mercado, lo que hace que este teorema tenga limitaciones y no sea aplicable de manera universal.

3.1.22.

Extensiones de Solow

El modelo de Solow neocl´ asico concluye que, en el largo plazo, las econom´ıas no crecen ya que se encuentran en su estado estacionario. Sin embargo, la evidencia emp´ırica nos indica algo distinto. ¿Qué modelos basados en el modelo de Solow han tratado de conciliar la teor´ıa con la realidad? Enumere y describa brevemente el(los) modelo(s) y los hechos que buscan explicar. Respuesta: El modelo de Solow ha sido modificado para poder “conciliarse” b´ asicamente con dos hechos: (1) hay grupos de pa´ıses que crecen siempre m´ as all´ a del crecimiento de su poblaci´ on y (2) hay pa´ıses que consistentemente no crecen. Para explicar el primer fen´ omeno se han desarrollado modelos de Solow enchulados que incluyen cambios en las funciones de producci´ on, como por ejemplo: progreso técnico, capital humano, educaci´ on y externalidades. Para explicar el segundo fen´ omeno se desarroll´ o el modelo de Solow con trampas de pobreza que nos explica porque hay pa´ıses que aparentemente no convergen a su estado estacionario.

3.1.23.

Shocks y la convergencia

Un gran shock positivo sobre el ingreso (como podr´ıa ser un aumento transitorio en el precio del cobre) no genera ning´ un cambio fundamental de largo plazo ya que volveremos al ingreso per c´ apita de estado estacionario, solo que llegaremos mas r´apido. Por esta raz´ on no tiene sentido hablar del aumento en los precios de los commodities (entre ellos el cobre) como una oportunidad de desarrollo para los pa´ıses emergentes. Respuesta: Si hay trampas de pobreza y el aumento transitorio es suﬁcientemente grande como para trasladar al pa´ıs de un equilibrio a otro si podir´ a se relevante el “big push” que lleva al pa´ıs a un “salto al desarrollo”. Si el pa´ıs no est´ a en una trampa de pobreza,shocks como el del precio de los commodities no tiene impacto sobre el nivel de producto de estado estacionario, seg´ un la teor´ıa.

119

3.1. COMENTES DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.6: Solow y McNamara f (k) y

(δ + nB )k

(δ + nA )k

f (k)A f (k)B sy

∗ ∗ kA kB

3.1.24.

M´ as de Solow

“El crecimiento de la poblaci´ on es el problema m´ as grave que afecta al mundo hoy. Si no hacemos algo al respecto, el problema se solucionar´ a con hambruna, protestas, revueltas y guerras.” 1 En el contexto del modelo de Solow, comente. Respuesta: Bajo los supuestos del modelo de Solow, la tasa de crecimiento de la poblaci´ on es uno de los determinantes del ingreso per c´ apita de una econom´ıa. Si comparamos dos econom´ıas id´enticas, pero con tasas de crecimiento de la poblaci´ on distintas, es f´ acil ver que la que la con mayor n converge a un nivel de producto menor que la con menor n. Dado que el nivel de ingreso per c´ apita es un indicador de bienestar, ceteris paribus, una econom´ıa con mayor ritmo de crecimiento demogr´ aﬁco estar´ a peor que una con un ritmo menos acelerado.

1 Robert

McNamara, Ex-Presidente del Banco Mundial, Ex-Secretario de Defensa de E.E.U.U.

120

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

3.2. 3.2.1.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Matem´ aticos de crecimiento Crecimiento e impuestos

Considere una econom´ıa, con crecimiento de la poblaci´on (entonces podemos normalizar la poblaci´ on a 1) con la siguiente funci´ on de producci´ on: y = f (k) = Ak 1−α

(3.2)

El capital se deprecia a una tasa δ. El gobierno gasta un flujo g, el cual es financiado con una tasa de impuesto τ proporcional al ingreso (se recauda τ y). El gobierno sigue una pol´ıtica de presupuesto equilibrado, o sea que en todo momento los ingresos de gobierno son iguales a sus gastos. Las personas ahorran una fracci´ on s de su ingreso disponible (neto de impuestos). 1. Escriba la restricci´ on presupuestaria de recursos de esta econom´ıa (demanda agregada igual producci´ on o ahorro igual inversi´ on). Respuesta: Tenemos que y d = (1 − τ )Aκ1−α . 2. Determine el stock de capital de estado estacionario (k ∗ ). Determine también el consumo (c∗ ) y la producci´ on (y ∗ ) de estado estacionario. Respuesta: κ˙ = s(1 − τ )y d − δκ κ˙ = s(1 − τ )Aκ1−α − δκ

igualamos a κ˙ = 0 y encontramos el κ∗ de estado estacionario:

s(1 − τ )Aκ1−α = δκ 1 s(1 − τ )A α κ∗ = δ

El consumo es c∗

c∗ = sy d c∗ = s(1 − τ )Aκ∗ 1−α 1

c∗ = (s(1 − τ )A) α

1 δ

1−α α

Y la producci´ on y ∗ : y ∗ = Aκ∗ 1−α 1−α s(1 − τ )A α ∗ y =A δ

121

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

∗

y =A

1 α

s(1 − τ ) δ

1−α α

3. Discuta intuitivamente el efecto que tienen los impuestos sobre el capital de largo plazo y discuta qué pasa con el crecimiento en la transición. Para eso u ´ ltimo compare dos econom´ıas que tienen distintos τ , uno alto y uno bajo, y suponga que ambas parten de un nivel de capital menor que el capital de largo plazo. ¿Cu´ al de las dos econom´ıas crece más rápido? Respuesta: A mayores impuestos, menor ser´ a el κ de largo plazo, o sea, la econom´ıa que tiene menos impuestos crece mas r´ apido, esto se ve claramente pues acumula capital mas r´ apido que la otra econom´ıa, τ reduce el ingreso disponible de las personas, con ello el ahorro y la inversi´ on de la econom´ıa son menores, lo que reduce el crecimiento para la econom´ıa con m´ as impuestos. 4. Considere una econom´ıa sin impuestos ni gasto de gobierno. ¿Cu´ al es el nivel de capital de la regla dorada (k RD )? Compare el nivel de capital de estado estacionario de la regla dorada con k ∗ de la parte b). Determine cuál deber´ıa ser la tasa de impuesto (que si es negativa ser´ıa un subsidio) para que se llegue a la regla dorada. Discuta su resultado considerando la tasa de ahorro s y como se compara con la tasa de ahorro requerida para llegar a la regla dorada. Respuesta: Sabemos que para una econom´ıa sin impuestos ni gasto del gobierno el κRD se da cuando: M´ ax c∗ = f (κ∗ ) − δκ M´ ax c∗ = Aκ1−α − δκ ∂c∗ = (1 − α)Aκ−α − δ = 0 ∂κ κ

(1 − α)A δ

α1

Ahora tenemos que encontrar τ , tal que κ encontrado en b), sea igual al κRD .

κ∗ = κRD

s(1 − τ )A δ

α1 =

1−τ = τ=

(1 − α)A δ

α1

1−α s

s+α−1 s

Si s + α es menor que 1, para poder encontrar lo pedido el monto deber´ıa ser un subsidio.

122

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. Ahora cambiaremos un poco el problema para suponer que el gasto de gobierno es productivo, pero sujeto a congesti´ on (piense en un camino). En consecuencia, la productividad total de los factores A as a´ un asumiremos que es una funci´ on creciente de g/y = τ , es decir A = A(τ ) con A > 0 y A < 0. M´ A(τ ) = Bτ . Calcule la tasa de impuesto que maximiza el consumo de estado estacionario. Comente intuitivamente por qu´e el impuesto ´optimo no es 0. Respuesta: Es imposible que τ sea 0, puesto que el gobierno no recaudar´ıa nada y no podr´ıa suministrar bien publico alguno. Y como g en este caso es un bien productivo (se encuentra dentro de la funci´ on de producci´ on), este pasa a ser un bien necesario.

3.2.2.

Crecimiento end´ ogeno y ex´ ogeno.

Considere una econom´ıa con funci´ on de producci´ on: Y = AK + BK α L1−α Donde K denota el stock de capital, L el n´ umero de trabajadores y A, B y α constantes positivas con 0 ≤ α ≤ 1. Esta econom´ıa cumple con todos los supuestos del modelo de Solow, salvo que la funci´ on de producci´ on no satisface una de las condiciones de Inada. Denotamos la tasa de ahorro mediante s, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo mediante n, la tasa de depreciación mediante δ y el capital por ogico y suponemos que sA ≥ n + δ. A continuación se trabajador mediante k = K L . No hay progreso tecnol´ le pide que responda varias preguntas. Recuerde que k˙ está dado por la ecuaci´ on: k˙ = sf (k) − k(n + δ) ˙

1. Determine la tasa de crecimiento de k: γk = kk . ¿A qu´e valores converge γk a medida que k crece? Respuesta: Partiendo de la ley de movimiento de capital gen´erica: k˙ = sf (k) − (δ + n)k

(3.3)

Hacemos los reemplazos correspondientes: k˙ = s(Ak + Bk α ) − (δ + n)k s(Ak + Bk α ) k˙ = − (δ + n) k k γk = sA + sBk α−1 − (δ + n)

(3.4) (3.5) (3.6)

Aplicamos l´ımites a ambos lados, y dado que el exponente de k, α − 1 es menor que 1, el t´ermino sBk α−1 tiende a 0 a medida que k tiende a inﬁnito. Por lo tanto: l´ım γk = sA − (δ + n)

k→∞

(3.7)

Dado que sA ≥ (n + δ), existir´ a crecimiento de largo plazo. 2. Diga en cu´ anto aumenta γk si: a) s aumenta en ∆s. b) n disminuye en ∆n. Determine en cada caso si se trata de un efecto transitorio o permanente. Respuesta: Si el cambio es transitorio, entonces usamos el caso en que: γk = sA + sBk α−1 − (δ + n) Diferenciamos con respecto a s. ∆γk = (A + Bk α−1 )∆s 123

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Esto signiﬁca, que la mayor tasa de ahorro desplaza la curva de ahorro hacia la derecha, lo que implica que para cada nivel de capital la tasa de crecimiento del capital va a ser mayor. Sin embargo, en el largo plazo este cambio transitorio no va a afectar la tasa de crecimiento del capital2 : l´ım ∆γk

l´ım ∆γk

k→∞ k→∞

) α−1 (A + l´ım Bk ∆s k→∞ 0

Si el cambio, por el contrario, es permanente, entonces: l´ım ∆γk

l´ım ∆γk

k→∞ k→∞

)∆s α−1 (A + l´ım Bk k→∞ A · ∆s

Para ver un cambio negativo en la tasa de crecimiento de la poblaci´ on sobre la tasa de crecimiento del capital, diferenciamos con respecto a n:

γk

sA + sBk α−1 − (δ + n)

∆γk

−∆n

Por lo tanto, una disminuci´ on transitoria de n desplaza la curva de depreciaci´ on hacia abajo transitoriamente, aumentando γk durante todo el per´ıodo que dure el cambio. Por otro lado, si el cambio es permanente, este persistir´ a en el tiempo y el cambio sobre γk continur´ a siendo −∆n. 3. Compare sus respuestas en la parte final de b.), si el efecto es transitorio o permanente, con los resultados correspondientes del modelo de Solow. Respuesta: El modelo de solow se˜ nala que una disminuci´ on transitoria en la tasa de crecimiento de la poblaci´ on aumentar´ a la tasa de crecimiento del capital per c´ apita para todo nivel de capital durante el per´ıodo. En este modelo, el efecto es similar. Sin embargo, en el largo plazo, es decir, si el cambio es permanente, en el modelo de solow vemos que aumenta la tasa de crecimiento del capital per c´ apita para todo nivel de capital pero este sigue convergiendo a 0. En este modelo también converge la tasa, pero a sA − (n + δ). Si disminuye n, la tasa de crecimiento del capital per c´ apita de largo plazo va a disminuir en la misma cuant´ıa. 4. Sin ning´ un c´ alculo adicional, determine si en el modelo anterior se tiene: a) Crecimiento endógeno. Respuesta: S´ı existe crecimiento end´ ogeno. Este modelo se llama Sobelow, que es un cruce entre el modelo de Solow-Swan y de Rebelo. Existe crecimiento end´ ogeno porque no es necesario un shock externo de productividad total para que en el largo plazo haya crecimiento. Sin embargo, hay que notar que la condici´ on para que haya crecimiento de largo plazo es que sA ≥ n + δ, es decir, que la tecnolog´ıa sea lo suficientemente grande. b) Que los pa´ıses más pobres crecen más rápido que los pa´ıses más ricos. Respuesta: Un pa´ıs pobre tendr´ a stock de capital menor. Esto significar´ a que el pa´ıs pobre crecer´ a a una tasa de crecimiento mayor que la del pa´ıs rico. Sin embargo, en el largo plazo, ambos pa´ıses, ricos y pobres crecer´ an a la tasa γk encontrarada en la primera parte. La diferencia es que el pa´ıs rico probablemente tendr´ a un desarrollo tecnol´ ogico mayor, por lo que Arico > Apobre . Por lo que el pa´ıs rico a´ un as´ı seguir´ a creciendo a tasas mayores. 2 En

el largo plazo, dado que el cambio en la tasa de ahorro es transitorio, ∆s = 0

124

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

3.2.3.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Crecimiento con tasa de ahorro variable

Considere un modelo tradicional de crecimiento donde y = f (k) y la tasa de depreciaci´on es igual a δ . La u ´ nica diferencia es que ahora la tasa de ahorro no es constante si no que depende de k, es decir s = s(k) ˙ 1. Escriba la restricci´ on presupuestaria de la econom´ıa, y despeje k. Respuesta: Sabemos que el ingreso es igual al consumo mas la inversi´ on y que la variaci´ on del capital debe ser igual a la variaci´ on de la inversi´ on (que corresponde al ahorro) menos la depreciaci´ on del capital, por lo tanto tenemos que: y k˙ k˙

c+i

= =

sy − δk s(k)f (k) − δk

En lo que sigue discutiremos la posibilidad de que existan m´ ultiples equilibrios, y las implicancias de esta situaci´ on en las pol´ıticas de ayuda a pa´ıses subdesarrollados. Se ha determinado que en un pa´ıs pobre la tasa de ahorro depende dle stock de capital de la siguiente forma: 10 k (3.8) s(k) = k + 20 f (k) =

5k 0,5

(3.9)

Adem´as, la depreciaci´on es δ = 0, 14. ˙

˙ k) o ( k , k) el equilibrio y determine el n´ 2. Graﬁque en el espacio (k, umero de ellos. En particular, discuta k si y = k = 0 es un equilibrio. Indicaci´ on: graﬁque los puntos k = (0, 100, 200, 500, 1000) Respuesta: Como ahora s = s(k), o sea el ahorro depende de k, lo que vamos a obtener al despejar k˙ es que este ya no depende del par´ ametro s, si no que queda expresada en k, como se puede ver en el caso de Etiopia: k˙

k˙

s(k)f (k) − δk k )10 5k 0,5 − 0, 14k ( k + 20

remplazando tenemos que cuando y = k = 0, k˙ = 0 pero aunque en este punto la variaci´ on del capital es 0 no quiere decir que sea un punto de equilibrio,ya que no tiene sentido que que una econom´ıa se encuentre equilibrada en un punto en que su producci´ on es 0 y claramente si su producci´ on es 0 su capital tambi´en lo ser´ a. Luego en el caso en que k = (0, 100, 200, 500, 1000) tenemos que la situaci´ on descrita por las siguientes igualdades y por la ﬁgura 2. k = 100 → k˙ = −5, 9 k = 200 → k˙ = −0, 24 k = 500 → k˙ = 5, 53 k = 1000 → k˙ = −10, 30

125

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

f (k)

s(k) · y

(δ + n)k

100 200

5001000

3. Analice la estabilidad de cada equilibrio. Respuesta: Los equilibrios encontrados anteriormente no son estables, ya que en esos puntos la variaci´ on del capital no es 0 como deber´ıa ser en steady state El Banco Mundial ha visto que este pa´ıs se encuentra en una situación cr´ıtica puesto que k = 0, y propone hacerle un préstamo. Conteste lo siguiente: 4. ¿Qué sucederá con este pa´ıs en el largo plazo si el préstamo asciende a 100? Respuesta: En el largo plazo si es que el préstamo asciende a 100 lo que vamos a tener, es que este préstamo en vez de ayudar a Etiop´ıa la va a perjudicar, haciendo que su capital disminuya en el largo plazo, ya que al ser tan pobre, al recibir un préstamo,este no alcanza a ser ahorrado para as´ı aumentar su capital 5. ¿Cómo cambia su respuesta si el préstamo asciende a 300? Respuesta: En el caso en que el préstamo sea de 300 el resultado cambiar´ a, ya que ac´ a a diferencia del caso anterior, este si producir´ a un aumento del capital de 3,4

126

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

3.2.4.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Servicios p´ ublicos y derechos de propiedad en el modelo de Ramsey

Actividades como infraestructura, generaci´ on de energ´ıa eléctrica, etcétera, pueden ser vistas por sus efectos sobre la funci´ on de producci´ on. Por otro lado, actividades que resguardan los derechos de propiedad como polic´ıa, defensa nacional, justicia, etcétera. pueden ser vistas como afectando la probabilidad de que los agentes económicos retengan la propiedad sobre sus bienes. Suponga que la probabilidad, p, de mantener la propiedad de la producci´ on que un agente produce es as que el gasto se financia una funci´ on creciente del gasto en seguridad p(G) (p > 0, p < 0). Suponga adem´ con un impuesto de suma alzada τ sobre la base de un presupuesto equilibrado. La funci´ on de utilidad del individuo consumidor-productor representativo (no hay ni progreso técnico ni crecimiento de la población) es: U= 0

∞

c1−σ − 1 −ρt t e dt 1−σ

(3.10)

Su restricci´ on presupuestar´ıa es: p(G)f (kt ) = k˙t + ct + δkt + τ

(3.11)

1. Explique la restricci´on presupuestar´ıa. Respuesta: Las componentes de la restricci´ on presupuestaria son el ingreso esperado, p(G)f (kt ), la acumulaci´ on ˙ el consumo en el periodo t, ct , la depreciaci´ del capital, k, on del capital δkt y un impuesto de suma alzada τ . La ecuaci´ on puede ser vista de dos maneras: on. ⇒ p(G)f (kt ) − τ = ct + k˙ + δkt , esto es, ingreso disponible esperado = consumo + inversi´ ˙ ⇒ k+δk on bruta en per´ıodo t = ahorro esperado en periodo t = (p(G)f (kt ) − τ − ct ), esto es, inversi´ t 2. Plantee el problema de optimizaci´ on y explique la idea detr´as del problema a resolver. Respuesta: El problema ´ optimo del consumidor-productor es: M´ axU = 0

∞

c1−σ − 1 −ρt t e dt s.a k˙t = p(G)f (kt ) − ct − δkt − τ 1−σ

Trivialmente se puede ver que si G esta ﬁjo, entonces p(G) es una constante que multiplica la funci´ on de producci´ on y el problema se reduce a la derivaci´ on desarrollado en clases. 3. Resuelva el problema y descr´ıbalo en un diagrama de fase en c y k. Muestre explicitamente las ecuaciones que esta traﬁcando. Respuesta: Al derivar las condiciones de primer orden del Hamiltoniano, se obtiene la ecuaci´ on de la din´ amica del consumo: 1 c˙ = [p(G)f (kt ) − δ − ρ] c σ

(3.12)

La ecuaci´ on de din´ amica del capital esta dada por la restricci´ on presupuestaria (ec. (2)). k˙t = p(G)f (kt ) − ct − δkt − τ 127

(3.13)

Â´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

â&#x2C6;&#x2019;1 Î´+Ď cË&#x2122; = 0 â&#x2021;&#x2019; k â&#x2C6;&#x2014; = f p(G) kË&#x2122; = 0 â&#x2021;&#x2019; c = p(G)f (k) â&#x2C6;&#x2019; Î´k â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E;

cË&#x2122; = 0 SS

câ&#x2C6;&#x2014;

kË&#x2122; = 0 SS k

kâ&#x2C6;&#x2014; Figura 3.7: En el largo plazo

En estado estacionario cË&#x2122; = 0 y kË&#x2122; = 0. Para un nivel de G dado, el capital k â&#x2C6;&#x2014; y consumo câ&#x2C6;&#x2014; de estado estacionario (EE) se obtienen de: cË&#x2122; = 0 â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2014;

p(G)f (kt ) = Î´ + Ď â&#x2021;&#x2019; k = f

â&#x2C6;&#x2019;1

Î´+Ď p(G)

(3.14)

â&#x2C6;&#x201A;c â&#x2C6;&#x201A;k = 0 y â&#x2C6;&#x201A;G > 0. Vemos que el nivel de capital de estado estacionario depende del gasto del Donde â&#x2C6;&#x201A;k â&#x2C6;&#x2019;1 gobierno positivamente dado f > 0 â&#x2020;&#x2019; f < 0.

kË&#x2122; = 0 â&#x2021;&#x2019;

p(G)f (kt ) = ct + Î´kt + Ď&#x201E; â&#x2021;&#x2019; c = p(G)f (kt ) â&#x2C6;&#x2019; Î´kt â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E;

Podemos ver que la ďŹ gura 3.

â&#x2C6;&#x201A;c â&#x2C6;&#x201A;k

= p(G)f (k)â&#x2C6;&#x2019;Î´ â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x201E; 0 pero que

â&#x2C6;&#x201A;2 c â&#x2C6;&#x201A;2k

(3.15)

= p(G)f (k) < 0 podemos graďŹ car mediante

4. Analice un aumento permanente y no anticipado de G. ÂżCual es el rol del presupuesto equilibrado? ÂżCual es la importancia de las propiedades de p(G)? Respuesta: Un aumento del gasto de gobierno G implica directamente dos cosas, primero un incremento de la probabilidad de mantener la propiedad de la producciÂ´ on p(G), y segundo, el gasto pÂ´ ublico en base a un presupuesto equilibrado, implica que tambiÂ´en habrÂ´ a un aumento del impuesto de suma alzada Ď&#x201E; que es constante en el tiempo y igual a G. De la ecuaciÂ´ on 3.14 vemos que el nivel de capital tiene la siguiente relaciÂ´ on con el gasto de gobierno (G): â&#x2C6;&#x201A;k â&#x2C6;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ p (G) > 0 â&#x2C6;&#x201A;G â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;1

Î´+Ď on Donde ÎŚ = f p(G) Vemos entonces que inambiguamente se desplaza la a la derecha la condiciÂ´ de equilibrio entregada por cË&#x2122; = 0.

De la ecuaciÂ´ on 3.15 vemos que tiene la siguiente relaciÂ´ on con G: 128

Â´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

cË&#x2122; = 0

câ&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

SS E0

kË&#x2122; = 0 kË&#x2122; = 0 k

Figura 3.8: Caso 1:

â&#x2C6;&#x201A;c â&#x2C6;&#x201A;G

p(G) p(G) Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;c = f (kt ) â&#x2C6;&#x2019; = f (kt ) â&#x2C6;&#x2019; 1 0 â&#x2C6;&#x201A;G G G G

(3.16)

5. Describa la trayectoria de equilibrio, y explique quÂé pasa con el nivel de consumo y capital en el nuevo estado estacionario. ÂżSube o baja el consumo de estado estacionario? ÂżY el capital? ÂżDe quÂé depende? Respuesta: Vemos que dependiendo de las propiedades de la funciÂ´ on p y el nivel de f (kt ), la relaciÂ´ on entre al condiciÂ´ on de equilibrio para kË&#x2122; = 0 sera positiva o negativa. Resumido tenemos que mas derechos de propiedad siempre aumentan el nivel de capital de equilibrio. Esto es claro debido a que aumenta la productividad marginal del capital. (esperado) Lo que no se sabe bien es que ocurre con el consumo de steady state. Tenemos tres casos: â&#x2C6;&#x201A;c Caso 1: â&#x2C6;&#x201A;G > 0. (Figura 5) Esto implica un consumo de steady state mayor. Lo que no se sabe es si predomina el efecto de incentivo al ahorro o al mayor consumo en t = 0. Esto depende de la pendiente que tiene SS. Si los agentes son pacientes, entonces el saddle path tiene mayor pendiente, se ahorra mas y se llega al estado estacionario mas rÂ´ apidamente. El opuesto esta tambiÂén graďŹ cado. â&#x2C6;&#x201A;c < 0. (Figura 5) El capital de steady state aumenta pero el consumo baja. Debido a que Caso 2: â&#x2C6;&#x201A;G la productividad maginal del capital aumenta se dedican mas recursos a la inversion, pero el ingreso disponible baja debdio al aumento en los impuestos. El consumo cae y el steady state sigue mas bajo en E2 que antes en E1 . â&#x2C6;&#x201A;c = 0 (Figura 5) El consumo y capital de steady state aumentan pero el ingreso disponible Caso 3: â&#x2C6;&#x201A;G no cambia por lo que debe caer el consumo de manera de poder ahorrar mas y aumentar el stock de capital hasta llegar a E2 .

3.2.5.

Ramsey y Highbridge School of Economics

La comunidad de Highbridge tiene un sistema econÂ´ omico de libre mercado sin gasto de gobierno, ademÂ´ as, el individuo representativo tiene la siguiente funciÂ´ on de utilidad a lo largo de su vida

129

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

c˙ = 0 SS

cstar1

cstar0

k˙ = 0

Figura 3.9: Caso 2:

∂c ∂G

< 0.

c˙ = 0 SS SS

cstar1 cstar0

k˙ = 0

Figura 3.10: Caso 3:

130

∂c ∂G

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

U= 0

∞

c1−σ− − 1 −pt t e Nt dt 1−σ

con Nt = n0 e Se sabe, además, que la tasa de interés de mercado es r y la depreciación es δ 1. Desarrolle el problema de optimización del hogar representativo y encuentre la trayectoria del consumo en funci´ on de la tasa de interés. Respuesta: Sabemos que la ecuaci´ on de acumulaci´ on de activos de la econom´ıa es At rt + wt Lt = CT + A˙ t Pero necesitamos que esta ecuaci´ on esté expresada en términos per c´ apita es decir: A˙ L ˙ − LA ˙ AL

at rt + wt lt = ct + ˙ A = L

L2 A˙ L˙ a˙ = − a L L A˙ a˙ + na = L at rt + wt − nat − ct = a˙t Ahora para obtener la trayectoria del consumo debemos resolver el problema de optimizaci´ on intertemporal, para esto planteamos el siguiente Hamiltoneano:

H=e

−(p−n)t

c1−σ −1 t N0 + λt (at rt + wt − nat − ct ) 1−σ

Ahora planteamos las condiciones de primer orden ∂H = e−(p−n)t [c−σ t N0 − λt ] = 0 ∂ct ⇒ c−σ t N0 = λt ∂H d(λt e−(p−n)t =− ∂kt dt −(p−n)t −(p−n)t ˙ e λt (r − n) = − e λ − (p − n)e−(p−n)t λt e−(p−n)t λt (r − n) = −e−(p−n)t [λ˙ − (p − n)λt ] λt (r − n) = (p − n)λt − λ˙ Y sabemos que c−σ t N0 = λt luego: d dt −σct−σ−1 cN ˙ o = λ˙ c−σ t N0 = λt /

131

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

reemplazando tenemos: −σ −σ−1 cN ˙ 0] c−σ t N0 (r − n) = [(p − n)ct N0 + σct c˙ −σ ] c−σ t N0 (r − n) = ct N0 [(p − n) + σ ct c˙ (r − n) = (p − n) + σ ct c˙ (r − p) = σ ct

2. Asuma que la funci´ on de producción de la firma representativa es K α L1−α . Con esto, desarrolle el problema de optimizaci´ on de las firmas y encuentre el equilibrio en la econom´ıa. Respuesta: Sabemos que: Π = K α L1−α − wt Lt − (rt + δ)Kt En términos pér c´ apita ∂π = ak α−1 − (rt + δ) ∂kt r = (ak α−1 − δ) Reemplazamos esta ecuaci´ on en la ecuaci´ on del movimiento del consumo y tendremos α−1 ak c˙ − (δ + p) = ct σ Adem´ as sabemos que:

Y =C +I Y = C + K˙ + δK / ÷ L K˙ + δk y =c+ L k α = ct + k˙ + (δ + n)k

Puesy = k α y

˙ K L

= k˙ + nk Ahora estamos en condiciones de determinar el equilibrio de la econom´ıa k˙ = k α − ct − (δ + n)k = 0 ⇒ ct = k α − (δ + n)k α−1 ak c˙ − (δ + p) = =0 ct σ (p + δ) ⇒ k α−1 = α 1 1−α α ss k = (p + δ)

132

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

c k˙ = 0

kt∗

Figura 3.11: c˙ = 0 3. Grafique el diagrama de fases y explique las leyes del movimiento de las ecuaciones diferenciales. Respuesta: De c˙ = 0 vemos que el capital no depende del consumo. Gr´ aficamente tenemos la figura 3.11. Las flechas a la izquierda de la curva nos indican niveles de capital menores al o´ptimo. Dado esto, se est´ an liberando recursos que no se est´ an ahorrando por cuanto crece el nivel de consumo de los agentes. An´ alogamente para las flechas del lado derecho. A partir de k˙ sabemos que el consumo depende del capital. El gr´ afico del problema queda como se muestra en la figura 3. Las flechas bajo la curva (curva que por lo dem´ as est´ a definida por la forma de la productividad marginal del capital) nos indican que para cualquier combinaci´ on de capital y consumo en dicha zona, estarémos en un punto no ´ optimo por cuanto los recursos no empleados en consumo se hallan libres para ser utilizados en acumulaci´ on de capital. Esto lleva a que aumente dicha variable. An´ alogamente para los puntos sobre la curva. Veamos ahora el diagrama de fases en 3.13. 4. ¿Qué ocurre en la econom´ıa si aumenta p? Grafique el diagrama de fases y la trayectoria del consumo y del capital con respecto al tiempo. Respuesta: Si aumenta p entonces la gente prefiere a´ un m´ as consumir en el presente que en el futuro, se vuelevn individuos ”Carpe diem”, lo que ocurre en la econom´ıa es que al principio consumir´ an m´ as, sin embargo a medida que transcurre el tiempo, dado que consumieron demasiado en el instante del cambio, disminuye el capital y por consiguiente el consumo de estado estacionario. Gr´ aficamente tenemos lo que ocurre en 3.14. La trayectoria de C y K ser´ an como se muestra en las figuras 3.15 y 3.16. 5. Demuestre que el consumo en cualquier instante del tiempo se puede determinar como: ct = e t Indicaci´ on: Se sabe que 1t 0 rdt = r¯.

133

(¯ r −p)t σ

c0 .

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

k˙ = 0

k Figura 3.12: k˙ = 0

c˙ = 0

k˙ = 0

k Figura 3.13: Diagrama de fase: Modelo de Ramsey

134

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

cc`c˙ = 0

k˙ = 0

k Figura 3.14: Efecto de un cambio en p

T Figura 3.15: Trayectoria del consumo

135

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

T Figura 3.16: Trayectoria del capital Respuesta: Sabemos que: t c˙ (r − p) / = dt ct σ 0 t t cc ˙ t (r − p) t= dt d σ 0 0 rt t t 1 ln(ct ) − lnc0 = rdt − pdt / dt = t¯ r σ 0 0 0 (¯ r − p)t + ln(c0 )/e(•) ln(ct ) = σ ct = e (

(¯ r −p)σ )

6. Interprete, intuitivamente y matem´ aticamente, qué ocurre en la econom´ıa cuándo aumenta σ. Grafique. Respuesta: Sabemos que σ es la elasticidad de sustituci´ on, si esta es alta entonces vamos a suavizar mucho nuestra trayectoria del consumo, y si es baja estamos dispuestos a tener grandes saltos de consumo a lo largo del tiempo. Entonces si esta aumenta, vamos a suavizar a´ un m´ as nuestro consumo. Matem´ aticamente: (¯ r−p) sabemos que el consumo a lo largo del tiempo es ct = e σ c0 por lo que si aumenta σ disminuye el consumo, o dicho de otra forma, si cambia (¯ r − p) entonces el consumo no cambiar´ a tanto. Gr´ aficamente se puede ver en 3.17.

3.2.6.

Reminiscencias de Ramsey

Los agentes de esta econom´ıa se comportan seg´ un la siguiente funci´ on de utilidad. En esta econom´ıa no existe crecimiento de la poblaci´on, por lo que la funci´ on se puede expresar como: ∞ 1−σ ct − 1 −ρt e U= dt (3.17) 1−σ 0 136

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

c˙ = 0

k˙ = 0

k Figura 3.17: Efecto de un aumento de σ Suponga que las firmas de esta econom´ıa pueden ser representadas por la siguiente función de producci´ on (en términos per cápita) yi = kiα con 0 < α < 1

(3.18)

Suponga, adem´ as, que el capital se deprecia a tasa δ. 1. Desarrolle el problema de optimizaci´on del hogar representativo y encuentre la trayectoria o´ptima para el consumo. Obtenga esto a trav´es de la soluci´ on original de Ramsey (centralizada). Respuesta: Planteamos el Hamiltoneano

H = e−ρt [u(ct ) + λ(t) (k α − ct − δk)]

(3.19)

Obtenemos las CPOs H u (c ) − λ(t) = 0 = e−ρt e−ρt t ct u (ct ) = λ(t)

(3.20) (3.21)

Tomando la CPO para la variable de coestado

˙ −ρt − ρλ(t)e−ρt = −λ(t)e−ρt (αk α−1 − δ) λ(t)e ˙ − ρλ(t) = −λ(t)(αk α−1 − δ) λ(t) ˙ + λ(t)(αk α−1 − δ − ρ) = 0 λ(t)

(3.22) (3.23) (3.24) (3.25)

Derivando 3.21 con respecto a t

137

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.18: k˙ = 0 c

k˙ = 0 k

˙ λ(t) = −σc−σ−1 c˙t λ(t) t

(3.26)

α−1 −σc−σ−1 c˙t + c−σ − δ − ρ) = 0 t (αk

(3.27)

Reemplazando lo anterior en 3.24

(3.28) Jugando con un poco de algebra llegamos a que: c˙t 1 α−1 αk = −δ−ρ ct σ

(3.29)

2. A partir de los resultados encontrados en 3.2.6, plantee las ecuaciones necesarias para construir el diagrama de fases. Sea cuidadoso en el desarrollo y explicaci´on de sus pasos. Respuesta: Primero usamos la ecuaci´ on del movimiento del capital: f (kt ) = ct + k˙ + δk k α − ct − δk = k˙ = 0 t

ktα−1 − δk = ct Esto nos permite graficar nuestra recta k˙ = 0. Dadas las caracter´ısticas indicadas por enunciado, esta funci´ on es c´ oncava y la depreciaci´ on es mayor que cero. Asi llegamos a la figura 3.18. Para graficar y encontrar nuestra recta c˙ = 0 usamos 3.29 1 α−1 αk −δ−ρ =0 σ αk α−1 − δ − ρ = 0 ρ+δ k α−1 = α 1 1−α α k∗ = ρ+δ 138

(3.30) (3.31) (3.32) (3.33)

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.19: c˙ = 0 c

c˙ = 0

k∗

Figura 3.20: El diagrama de fases c

c˙ = 0

k˙ = 0 k∗

Lo que es solo una constante, por lo que la recta c˙ = 0 queda de la forma presentada en 3.19. Juntando ambas condiciones y rectas de movimiento construimos la ﬁgura 3.20. 3. Encuentre el nivel de capital de regla de oro usando lo obtenido en 1. Sea cuidadoso con su desarrollo algebraico. Graﬁque el diagrama de fases encontrado en 1 agregando sus resultados encontrados. Explique sus resultados. Respuesta: Para encontrar el capital de regla de oro (kRD ) imponemos la siguiente condici´ on:

f (kRD ) = δ + n > α−1 αkRD α−1 kRD

kRD

=δ δ = α 1 α 1−α = δ

Como podemos ver kRD > k ∗ 1 α 1−α

139

α ρ+δ

1 1−α

(3.34) (3.35) (3.36) (3.37)

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.21: Regla de oro y la impaciencia c

c˙ = 0

k˙ = 0 k∗kRD

Gr´ aﬁcamente llegamos a la ﬁgura 3.21. Esto ocurre porque, al ser este modelo din´ amico, los agentes son “ impacientes”, lo que los lleva a consumir menos y de capital de estado estacionario menor.

3.2.7.

Crecimiento y la evidencia emp´ırica

Dos grupos de investigadores, A y B, toman los mismos datos del PIB de 30 pa´ıses y obtienen los gr´ aficos que se muestran en la figura 3.22. El primer grupo compar´ o el crecimiento del PIB de los 30 pa´ıses para 1960 hasta el 2000 (γ1960−2000 ) con respecto a su nivel de PIB en 1960 (log(P IB1960 )), mientras que el segundo grupo hizo lo mismo, pero separ´ o a los pa´ıses en 2 grupos: los 15 con mayor PIB inicial y los 15 con menor PIB inicial. Se le pide a ud. que analice los resultados presentados 1. ¿Qué es lo que nos dice el gráfico 3.23(a)? ¿Hay alguna teor´ıa que sustente/refute este resultado? Respuesta: Este gr´ afico nos muestra que la convergencia absoluta no se cumple. Al tener pendiente positiva, esta recta nos indica que las tasas de crecimiento est´ an relacionadas positivamente con el nivel inicial de producto, contradiciendo as´ı a las predicciones del modelo de Solow y sus extensiones. La hip´ otesis de convergencia absoluta nos dice que los pa´ıses tienen el mismo estado estacionario, por lo que convergen al mismo nivel de ingreso per c´ apita. Adem´ as, si esto se cumple, es de esperarse que los pa´ıses m´ as pobres crezcan m´ as r´ apido que los pa´ıses m´ as ricos, cosa que este gr´ afico refuta. 2. ¿Qué es lo que nos dice el gráfico 3.23(b)? ¿Hay alguna teor´ıa que sustente/refute este resultado? Respuesta: Este gr´ afico nos muestra que se cumple la teor´ıa de la convergencia condicional. Esta teor´ıa asume que los pa´ıses pueden tener niveles de capital de estado estacionario distintos. Esta hip´ otesis servir´ıa para explicar porqué hay pa´ıses pobres aparentemente no convergen. El estudio compara pa´ıses de mayores ingresos y pa´ıses de menores ingresos, y la convergencia se cumple, es decir, el gr´ afico nos muestra una relaci´ on negativa entre crecimiento y PIB inicial entre pa´ıses “similares” En vista de la respuesta que ud. le dio a los respectivos grupos, los del grupo A deciden investigar que explica realmente el crecimiento económico. Después de mucho trabajo, le presentan a ud. la figura 3.23. Responda: 3. ¿Cómo podr´ıa explicar ud. este fenómeno? ¿Hay alguna teor´ıa que lo respalde o refute?.

140

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.22: Crecimiento 16 Paises 0.47393 14

γ1960−2000

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

log(P IB1960 )

(a) Grupo A 16 Paises −0.29549 −0.32859 14

γ1960−2000

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

log(P IB1960 )

(b) Grupo B

Figura 3.23: ¿Porqu´e crecen los pa´ıses? 120 Paises 3.3483

PIB per c´ apita, 2000

100

−20

tasa de ahorro promedio, 1960-2000 ( %)

141

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.24: Efectos de ∆s f (k) y (δ + n)k sy2 sy1 sy0

k∗

Figura 3.25: Efectos de la pol´ıtica de Grupo B 4200

4000

Consumo en d´ olares

3800

3600

3400

3200

3000

2800

2600

2400 2001

2002

2003

2004

2005

A˜ nos

Respuesta: Este resultado es consistente con las predicciones del Modelo de Solow: “ A mayores tasas de ahorro, mayor es el nivel de producto per cápita de estado estacionario”. Los investigadores del grupo A est´ an “respaldados” por la teor´ıa, llegando a la figura 3.24. El grupo B, al tanto de los resultados del grupo A, recomienda al pa´ıs 31 que aumente sus tasas de ahorro a niveles estratosféricos. El pa´ıs 31 obedece y decide aumentar su tasa de ahorro cada a˜ no. 5 a˜ nos después, los resultados se presentan en la figura 3.25. Responda: 4. ¿Qué es lo que sucedió en el pa´ıs 31? ¿Cómo explica ud. que aumentos en la tasa de ahorro disminuyan el consumo? Respalde sus argumentos con materia estudiada para este control.3 Respuesta: Lo que puede haber ocurrido es que este pa´ıs se econtraba ahorrando a su tasa de regla de oro, por lo que este resultado es totalmente consistente con las conclusiones extra´ıdas del modelo de Solow. Ceteris paribus, mayores tasas de ahorro conducen a mayores niveles de producto per ca´ pita, pero no a mayores niveles de consumo. Ver figura 3.26.

3.2.8.

Solow versus Ramsey

Usted es contactado por Joseph Kabila, presidente de Rep´ ublica Democr´ atica del Congo para zanjar un debate sobre sus perspectivas de crecimiento. Como usted sabe el Congo, antes llamado Zaire, ha sufrido 3 Asuma,

para efectos del an´ alisis, que el pa´ıs 31 converge inmediatamente a su estado estacionario

142

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.26: Ineﬁciencia Din´ amica f (k) y

f (k) k

(δ + n)k sy2 sy1 syRD

∗ koro

de continuas cr´ısis pol´ıticas que han mermado el desarrollo econ´ omico. Su poblaci´ on, que crece a una tasa de 2 % a visto disminuida sus condiciones de vida tras 40 a˜ nos de conflictos sociales. Tras los acuerdos pol´ıticos de 2005, se ha logrado una cierta estabilidad que ha permitido planear una estrategia de desarrollo. Sin embargo dentro del gabinete del presidente hay dos corrientes que no se han logrado poner de acuerdo. Por una lado, hay un grupo que sostiene que la situaci´ on de crecimiento de largo plazo esta correctamente descrito por el modelo de Solow. Sin embargo, otro grupo indica que lo correcto es lo que indica el modelo de Ramsey. Al menos hay acuerdo en que la funci´ on de producción per capita on δ = 6 %. Otro dato de interés es que en los está descrita por f (k) = k α con α = 0,2, que la depreciaci´ u ´ ltimos 5 a˜ nos se ha logrado invertir el 30 % de lo producido y que el descuento por impaciencia es ρ = 1 %. En base a los antecedetes entregados, el Presidente Kabila le solicita ayuda con las siguientes interrogantes:4 1. Se le pide determinar el nivel de capital de estado estacionario seg´ un el modelo de Solow con la actual tasa de ahorro. Con este nivel de capital ¿cu´ al es el nivel de consumo? Respuesta: Sabemos que en el modelo de solo est´ a descrito por una simple ecuaci´ on k˙ = s · k α − (δ + n) · k Al imponer el estado estacionario y reemplazar los valores indicados en el enunciado tenemos que, k

∗

= = =

s δ+n

1 ( 1−α )

0,3 0,03 + 0,02 9,391

(3.38) 1 ( 1−0,2 )

(3.39) (3.40)

Ahora, para obtener el nivel de consumo debemos reemplazar este capital en la ecuaci´ on del modelo de Solow. Primero despejamos la expresi´ on recordando que estamos en estado estacionario por lo cual k˙ = 0, de forma tal que, c

= k α − (δ + n) · k

(3.41)

= k · (1 − s)

(3.42)

Reemplazando los valores tenemos que c∗ = 1,096 4 Por facilidad suponga que los valores que obtenga est´ an expresados en miles de d´ olares mensuales. Por lo anterior, reporte sus resultados con los tres primeros decimales.

143

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. Determine el nivel de capital de estado estacionario seg´ un el modelo de Ramsey ¿Cu´anto es el nivel de consumo? Respuesta: En el caso del modelo de Ramsey, para resolver el nivel de capital de estado estacionario debemos utilizar la expresi´ on para c˙ = 0. Esto es, 0=

c˙ c

1 (α−1) αk − (δ + n + ρ) σ

Despejando y reemplazando tenemos que, αk (α−1)

k∗

= =

δ+n+ρ 1 ( 1−α ) α δ+n+ρ 1 ( 1−0,02 ) 0,2 0,03 + 0,02 + 0,01

Con lo cual k ∗ = 4,504. Despejando de forma similar a lo hecho en (3.41) encontramos que c∗ = 1,126 3. Compare y comente los resultados que obtuvo seg´ un los modelos de Ramsey y Solow. ¿Es posible incrementar el nivel de consumo en alguno de estos casos? ¿A cuanto? Respuesta: Se puede ver que, aunque en el caso del modelo de Solow se alcanza un nivel de capital de estado estacionario m´ as alto, el nivel de consumo es m´ as alto el resultado entregado por el modelo de Ramsey. Detr´ as de esto esta el concepto de Infeciencia Din´ amica: si el congo continuar´ a para simpre ahorrando un 30 % de lo que produce, estar´ıa ahorrando mas que lo o ´ptimo. El modelo de Ramsey obtuvo un resultado o ´ptimo, por lo cual no se puede mejorar. En el caso del modelo de Solow se puede encontrar un resultado en el que se incrementa el consumo. Recordemos que el nivel de capital de Regla Dorada se obtiene al igualar la productividad marginal del capital a la tasa de depreciaci´ on m´ as el incremento de la poblaci´ on. El nivel de ahorro que tenga por resultado este nivel de capital es el o ´ptimo. En t´erminos matem´ aticos esto es, αk (α−1) k∗

= δ+n 1 ( 1−α ) α = δ + n+ 1 ( 1−0,02 ) 0,2 = 0,03 + 0,02

Es decir k ∗ = 5,657. Luego, el nivel de ahorro consistente con este nivel de capital de regla dorada es sk (α−1)

(δ + n)k (δ + n) y reemplazando con k ∗ = 5,657 k α−1 0,2

4. Suponga ahora que el nivel de ahorro pasa a ser de 20 %. Las diferencias con este cambio, entre lo predicho por los modelos de Solow y Ramsey son una de las principales discusiones que se tiene en el Congo ¿Cu´ ales son las diferencias y por qu´e se producen?

144

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Respuesta: Los resultados para en el caso del modelo de Ramsey se ven inalterados, por lo que se mantiene que ∗ = 4,504 y c∗R = 1,126. kR En el caso del modelo de Solow los resultados cambian. Utilizando la misma resoluci´ on que en la primer pregunta, tenemos que kS∗ = 5,657 y c∗S = 1,131. Vemos que ahora el nivel de capital y nivel de consumo per capita es en ambos casos superior seg´ un la resoluci´ on del modelo de Solow respecto al caso de Ramsey. La raz´ on de las diferencias se puede ver a continuaci´ on

∗ kR

kS∗

= =

0,2 δ+n+ρ 0,2 δ+n+ρ

1 ( 1−0,2 )

La diferencia est´ a en que el modelo de Ramsey considera la impaciencia que tienen los agentes, preﬁriendo consumo presente por sobre el consumo futuro. Esto hace que el modelo tenga como resultado un nivel de capital en estado estacionario menor al que se alcanza en el caso de Solow. Esta diferencia, y su efecto en el nivel de capital de estado estacionario, es lo que hace que el nivel de consumo de Ramsey sea levemente menor.

3.2.9.

Cambios en la productividad

Suponga una econom´ıa sin crecimiento de la poblaci´on con una tasa de depreciaci´ on del capital igual a δ, una tasa de ahorro de s y una funci´ on de producci´ on per c´ apita igual a: y

ak α

(3.43)

Donde a es un par´ ametro asociado a la productividad que cumple con las siguientes condiciones: a = a1 a = a2

si si

k < k˜ k ≥ k˜

(3.44) (3.45)

< a2

(3.46)

Adem´as, se cumple con la siguiente condici´on: a1 <

k˜1−α δ s

Es decir que, cuando el nivel de producci´ on es elevado, también lo es la productividad. Lo anterior refleja ,por ejemplo, la existencia de econom´ıas de escala o el aumento de los conocimientos para difundir. a) Muestre que existen dos estados estacionarios posibles y encuentre el valor del producto de equilibrio. ¿De qué sirve la condici´ on (3.46)?. ¿Qué sucede si se cambia por (3.47)? k˜ 1−α δ < a1 < a2 s Respuesta:

145

(3.47)

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

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Utilizando (3.46) para despejar k˜ k˜1−α δ s 1−α ˜ k

a1 < sa1 < δ

1 sa 1−α

sa2 δ 1 sa 1−α 2 < δ

k˜

< a2

Por otro lado sabemos que en estado estacionario k˙ = 0 k˙

sy − δk

sak α − δk

0 = k∗

1 sa 1−α

Luego, k1∗ < k˜ < k2∗ , con lo que garantizamos 2 estados estacionarios. Para obtener los productos de estado estacionario desarrollamos el caso general:

y∗

ak α α sa 1−α a δ

∴ 1

y1∗

a11−α

y2∗

1 1−α

α s 1−α

δ α s 1−α δ

Para ver que sucede si cambiamos (3.46) por (3.47), utilizamos los resultados obtenidos anteriormente. Con ello obtenemos que: k˜ (1−α) δ s k˜

< a1 < a2 < k1∗ < k2∗

Lo anterior implica que s´ olo existe un estado estacionario al que puede converger esta econom´ıa: k2∗ .

b) Muestre que si la tasa de ahorro aumenta, una econom´ıa estancada en el equilibrio de bajo ingreso podr´ıa salir de él. Justifique además que incluso un aumento “transitorio” de la tasa de ahorro podr´ıa sacar a esta econom´ıa de la trampa de pobreza. Respuesta: Asumiendo que se est´ a en el estado estacionario de bajo ingreso: 1 sa 1−α

δ 146

k1∗ < k˜

k˜

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Se puede observar que un aumento en la tasa de ahorro (s) har´ a que el capital de estado estacionario de bajo ingreso aumente, por lo tanto, si dicho aumento logra revertir el sentido de la desigualdad, estaremos en camino al estado estacionario de alto ingreso (dado que ahora la productividad es mayor). A´ un si el cambio en el ahorro es transitorio, notando que existe una dependencia con las magnitudes de a1 y a2 , podr´ıamos continuar en la senda hacia el equilibrio de alto ingreso.

3.2.10.

Estados Hundidos

Considere la econom´ıa de los Estados Hundidos, la cual est´ a descrita por las siguientes ecuaciones: Y K˙ L˙ L A˙ A

(1 − τ )K α (AL)1−α

(3.49)

(3.50)

(3.51)

,0 < α < 1

(3.48)

En esta econom´ıa, τ es la tasa impositiva a la producci´ on la cual es utilizada por el presidente Jorge Arbustos para financiar una guerra contra Vietlang la cual no contribuye en ninguna medida con el producto ni el stock de capital. K a) Defina la unidad de capital por trabajador efectivo como k = y derive una expresión para su AL ∂k . evolución en el tiempo ∂t Respuesta: Primero que todo lo que el enunciado pide es la evoluci´ on en el tiempo de k, la cual denotaremos ˙ Para encontrar dicha expresi´ como k. on debemos derivar con respecto a t: ˙ ˙ + LA) ˙ K(AL) − K(AL 2 (AL)

˙ A˙ L˙ K −k + AL A L

∂k = k˙ ∂t

k˙

k˙ k˙

= sy − gk = (1 − τ )sk α − gk.

b) Derive el nivel de capital por unidad efectiva de trabajo de largo plazo, k ∗ , y el nivel de producto Y . Suponga que el VietKung (enemigo de EEHH) (también por unidad efectiva) y ∗ , donde y ∗ = AL destruye la séptima división de blindados de don Jorge, por lo que se ve obligado a aumentar la tasa impositiva y as´ı recuperar su posición bélica.¿Cuál es el efecto sobre y ∗ ?. Respuesta: Sabemos que en el largo plazo k˙ = 0 , por lo tanto:

147

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

k˙ = 0 =

0 (1 − τ )sk α − gk

(1 − τ )sk α−1

∴

∗

y∗

1 (1 − τ )s ( 1−α ) g

(1 − τ )(k ∗ )α α (1 − τ )s ( 1−α ) (1 − τ ) g

= =

∂y ∗ < 0 por lo que un aumento en la tasa impositiva hace disminuir el nivel de Luego analizando ∂τ producto por unidad efectiva de trabajo de estado estacionario. c) Ahora suponga que el impuesto a la producci´ on disminuye los incentivos para crear nuevas tecnolog´ıas. Espec´ıﬁcamente, suponga que el ratio de crecimiento de la tecnolog´ıa tiene la siguiente forma funcional:

b(1 − τ ) α

,b > 0

(3.52)

¿Cuál es el nuevo nivel de estado estacionario?. ¿Cuáles son los efectos, bajo esta nueva situación, de un aumento en los impuestos?. Respuesta: 1

Para resolver no es necesario desarrollar todo el sistema nuevamente, basta con reeplazar g = b(1−τ ) α

y∗ y∗

= (1 − τ ) s

(1 − τ )s

α ( 1−α )

b(1 − τ ) α

α 1−α

Como es posible observar, en esta nueva situaci´ on, el efecto del impuesto sobre el nivel de producto de estado estacionario es nulo. La raz´ on por la que sucede esto es que el impuesto tiene dos efectos que son de igual magnitud pero en sentido contrario, es decir, reduce la inversi´ on actual (1 − τ )sk α , con la consecuente ca´ıda en el producto de estado estacionario y por otro lado disminuye la tasa de crecimiento de la tecnolog´ıa. Con un crecimiento m´ as lento de la tecnolog´ıa, menor es el requerimiento de nuevo capital en cada per´ıodo para mantener un mismo nivel de capital por unidad efectiva de a mayor en el nuevo estado estacionario (Como tambi´en lo ser´ a y ∗ ). trabajo y por lo tanto k ∗ ser´ 1

d) Contin´ ue asumiendo que g = b(1 − τ ) α , adem´as recordemos que el consumo corresponde a C = (1 − s)Y . Con esta informaci´ on, ¿Cu´ al es la tasa de crecimiento del consumo en estado estacionario? y ¿C´omo se ve afectado por las variaciones en la tasa del impuesto? Respuesta: En estado estacionario y =

Y es una constante, lo que implica que: AL 148

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Y˙ Y Y˙ Y Y˙ Y

A˙ L˙ + A L

= g+0 1

= b(1 − τ ) α

Luego utilizando C = (1 − s)Y tenemos que: C˙ C C˙ C

Y˙ Y

b(1 − τ ) α

Con el resultado anterior es posible observar que un aumento en la tasa impositiva reduce la tasa de crecimiento del consumo mediante su efecto negativo en la tasa de crecimiento de la tecnolog´ıa. e) Suponga ahora que en EEHH habr´ a elecciones presidenciales. Los candidatos, Hilary Lewinsky y Derek Osahama, tienen los siguientes discursos respectivaente: • H. Lewinsky: “... terminaré con esta guerra que nada de bueno ha tra´ıdo a los buenos ciudadanos de Estados Hundidos. Si gano las elecciones, además, aboliré inmediatamente los impuestos..” • D. Osahama: “... yo también terminaré con la guerra, pero a diferencia de mis contrincantes propongo que el impuesto que subsidiaba la guerra lo usemos para mejorar la educación de nuestros hijos...” (aplausos!!) Lo anterior se resume en que si sale electa la se˜ nora H. Lewinsky la guerra termina y la tasa impositiva τ cae a cero, por lo que g = b. Por otro lado, si sale electo D. Osahama, la guerra termina, la tasa impositiva se mantiene pero la tasa de crecimiento de la tecnolog´ıa aumenta (debido a las mejoras en 1 la educación). En este escenario g = B(1 − τ ) α , donde b < B . ¿Cuál ser´ a la nueva tasa de crecimiento del consumo de largo plazo para cada uno de los escenarios posibles? y, ¿Bajo que condiciones ser´ a óptimo para los ciudadanos de EEHH votar por Derek Osahama? (Para responder esto u ´ltimo asuma que a los votantes les importa s´ olo el crecimiento de consumo promedio). Explique en no mas de 5 l´ıneas. Respuesta: De la parte d) sabemos que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento de la tecnolog´ıa; por lo tanto bajo el esquema de la se˜ nora H.L. la tasa de crecimiento del consumo es igual 1 a´ optimo votar por D.O. si y a b, y bajo el esquema de D.O. la tasa es igual a B(1 − τ ) α . Luego, ser´ 1 s´ olo si B(1 − τ ) α > b.

3.2.11.

Crecimiento con Postinor 2

Suponga una econom´ıa donde el “postinor 2” es gratuito y que por lo tanto el crecimiento de la poblaci´ on es nulo. Dado lo anterior la funci´ on de utilidad que gu´ıa el comportamiento de los agentes se puede expresar como: Z

= 0

∞

c1−σ − 1 −ρt t e dt 1−σ

149

(3.53)

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Además las firmas pueden ser representadas por la funci´ on de producción en términos per cápita (3.54) y el capital se deprecia a una tasa δ. = kiα

0<α<1

(3.54)

a) Plantee y desarrolle el problema de optimizaci´ on del hogar representativo y encuentre la trayectoria optima para el consumo mediante la soluci´ ´ on centralizada. Respuesta: El problema que enfrenta el hogar representativo es el siguiente:

∞

m´ax

U (ct )e−ρt dt

s.a.

k˙t = ktα − ct − δkt k0 = k0 kt ≥ 0 ct ≥ 0

, ∀t , ∀t

Tomando en cuenta el problema anterior planteamos el Hamiltoneano:

= e−ρt U (ct ) + λt (ktα − ct − δkt )

Luego obtenemos las condiciones de primer orden5 : ∂H ∂λt ∂H ∂kt ∂H ∂ct

= k˙t

→

k˙t = ktα − ct − δkt

= −λ˙t

→

λ˙t = −λt (αktα−1 − δ)

= 0

→

e−ρt c−σ = λt t

Luego tomamos la u ´ltima condici´ on, aplicamos logaritmo natural y diferenciamos con respecto al tiempo:

−ρt − σ ln ct

ln λt

c˙t ct

λ˙t λt

−ρ − σ

∂ ∂t

Reemplazando en la segunda CPO obtenemos:

−ρ − σ

5 Las

c˙t ct c˙t ct

= −(αktα−1 − δ) =

1 (αktα−1 − δ − ρ) σ

condiciones de primer orden son suficientes para resolver el problema dado que existe tanto para kt como para ct .

150

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

b) A partir de los resultados obtenidos en a) plantee las ecuaciones necesarias para construir el diagrama de fases. Explique detalladamente y reﬁerase a las condiciones de transversalidad y su importancia en el modelo. Respuesta: El diagrama de fases que nos interesa en este ejercicio es el que relaciona consumo con capital, por lo que las escuaciones de movimiento que utilizaremos son:

k˙t c˙t ct

= =

ktα − ct − δkt 1 (αktα−1 − δ − ρ) σ

Ahora analizamos que sucede en estado estacionario. Sabemos que en ese horizonte las variables no tienen incentivos a moverse por lo tanto k˙t y c˙t son iguales a cero. Resolviendo obtenemos: k˙t

= 0

→

c˙t

= 0

→

c∗ = ktα − δkt 1 1−α α ∗ k = ρ+δ

Luego analizmos independientemente en ambas ecuaciones de movimiento que sucede si nos movemos del equilibrio estacionario: • k˙t = 0 ◦ ¿Qué sucede con el capital ante una variaci´ on positiva en el consumo (i.e. por sobre el consumo de equilibrio)? aci ver que si se cumple lo anEn esta pregunta planteamos lo siguiente: ct > ktα − δkt . Es f´ terior la funci´ on que define a k˙t es menor que cero y por lo tanto el capital est´ a disminuyendo. ◦ ¿Qué sucede con el capital ante una variaci´ on negativa en el consumo (i.e. por debajo del consumo de equilibrio)? An´ alogamente al caso anterior observamos que cuando ct < ktα − δkt la funci´ on que define a k˙t es mayor que cero y por lo tanto el capital est´ a creciendo. • c˙t = 0 ◦ ¿Qué sucede con el consumo ante una variaci´ on positiva en el capital (i.e. por sobre el capital de equilibrio)?

1 1−α α El an´ alis es similar: se plantea kt > . Luego como la productividad marginal ρ+δ del capital es negativa y el consumo es siempre positivo se concluye que c˙t es menor que cero y por lo tanto el consumo est´ a disminuyendo.

◦ ¿Qu´e sucede con el consumo ante una variaci´ on negativa en el capital (i.e. por debajo del capital de equilibrio)? An´ alogamente, el consumo aumenta.

151

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.27: Vientos

k˙ = 0

c˙ = 0

De las observaciones anteriores podemos graficar como aparece en la figura 3.27 los vientos que mueven consumo y capital. Las condiciones de transversalidad plantean que en el infinito el valor del capital es igual a cero o ´ que el costo de oportunidad de acomularlo es cero:

l´ım λt kt

t →0

Lo anterior es de importancia ya que elimina la posibilidad de trayectorias explosivas y por lo tanto define al brazo estable como tal. El gr´ afico queda como se muesra en la figura 3.28

c) Encuentre el nivel de capital de regla de oro usando los resultados encontrados en a) y graﬁquelos en el diagrama de fases. Explique sus resultados. Respuesta: El nivel de capital de Regla de Oro viene dado por la maximizaci´ on del consumo en estado estacionario. De b) sabemos que corresponde a ct = ktα − δkt , por lo tanto: ∂ct =0 ∂kt

1 α 1−α

→

k GR =

→

k GR > k ∗

∴ 1 α 1−α

α ρ+δ

1 1−α

Esto ocurre debido a la “impaciencia” de los agentes de esta econom´ıa que descuentan el futuro a una tasa ρ , si esto no ocurriese el consumo de estado estacionario ser´ıa el mismo que el de Regla de Oro. Ver ﬁgura 3.29.

152

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.28: Diagrama de Fases

c c˙ = 0

k˙ = 0

Brazo estable Trayectorias explosivas

Figura 3.29: Diagrama de Fases

c c˙ = 0

k˙ = 0

k∗ kgr

153

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

3.2.12.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Ramsey Tributario

Considere una econom´ıa competitiva con consumidores-productores idénticos que viven eternamente y maximizan la siguiente funci´ on de utilidad : ∞ c1−σ − 1 −ρt e + gt dt U= Nt t 1−σ 0 on de producci´ on de cada firma i es la siguiente: Donde Nt = N0 ent y N0 = 1. La funci´ Yi = Kiα L1−α i Donde 0 < α < 1, Yi es la producci´ on, Ki el stock de capital en la firma i y K es el stock de capital total de la econom´ıa. El capital se acumula de la manera usual con K˙ = I − δK. El gasto del gobierno es financiado por un impuesto al ingreso de los hogares (wL + Ar) de τ . a) Encuentre la ley de movimiento del los activos per capita de un hogar representativo. Respuesta: En este esquema el hogar tiene ingresos por su trabajo wL y ingresos por los intereses sobre sus activos Ar. Estos los puede consumir o ahorrar. La restricci´ on agregada es:

A˙ = (wL + Ar)(1 − τ ) − C y per capita es simplemente: ˙ A a˙ = L ˙ − LA ˙ AL = 2 L L˙ A A˙ = − L LL (wL + Ar)(1 − τ ) − C = − na L = w(1 − τ ) + a(r(1 − τ ) − n) − c

b) Desarrolle el problema de optimizaci´ on del hogar representativo y encuentra la trayectoria o´ptima para el consumo en funci´ on de la tasa de inter´es. Respuesta: Planteamos el Hamiltoneano. H = u(ct ) · e−(ρ−n)t + gt + λt [w(1 − τ ) − c + (r(1 − τ ) − n)at ] Note que el gasto del gobierno al entrar sumando a la utilidad no afecta las decisiones sino solo el nivel de utilidad alcanzada, ya que el g, lo agentes lo consideran como dado.

154

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Obtenemos las CPOs: ∂H =0 ∂ct ∂H = −λ˙t ∂at ∂H = a˙t ∂λt

→ →

λt = u e−(ρ−n)t λ˙t = n − r(1 − τ ) λt

Luego log diferenciando la primera y reemplazando por la segunda y tomando en cuenta que u = c−σ t −(ρ−n)t λt = c−σ t e

ln λt = −σ ln ct − (ρ − n)t

∂ ∂t

c˙t λ˙t − (ρ − n) = ct λt c˙t −σ − (ρ − n) = n − r(1 − τ ) ct −σ

∴ c˙t 1 = [r(1 − τ ) − ρ] ct σ

c) Tiene τ y g alg´ un efecto sobre el consumo de estado estacionario? Explique para cada uno. Respuesta: Vemos que g no tiene efectos sobre las decisiones de los agentes porque es tomado como dado y no genera ninguna distorsi´ on. Esto es debido a la equivalencia Ricardiana. Sin embargo aunque no afecta la trayectoria del consumo, si afecta el nivel de capital y consumo de “steady state”. En el caso de los impuestos a los ingresos si genera ademas una distorsi´ on al bajar el retorno percibido de invertir y por lo tanto llevan a un estado estacionario m´ as bajo para el consumo, debido a que los individuos van a tener que eliminar para que aumente la productividad del capital (INADA), generando una mayor rentabilidad para poder pagar los impuestos.

d) Desarrolle el problema de optimizaci´ on de cada firma individual y encuentre el equilibrio descentralizado para esta econom´ıa. Respuesta: Las firmas enfrentan cada una el siguiente problema: máx πi {Ki }

= Yi − w · Li − (r + δ) · Ki = Kiα L1−α − wLi − (r + δ)Ki i

Sacando la CPO:

155

Â´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

FKi

ÎąKiÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 L1â&#x2C6;&#x2019;Îą i

Fki

ÎąkiÎąâ&#x2C6;&#x2019;1

Como todas las empresas hacen lo mismo, ki = k, y por enunciado, K = kL. Por lo tanto:

Îąk Îąâ&#x2C6;&#x2019;1

Entonces, de la optimizaciÂ´ on:

Îąk Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Î´

e) Derive un diagrama de fase en el espacio (k, c) para encontrar el estado estacionario en esta economÂ´Äąa. Respuesta: Tenemos en equilibrio que: cË&#x2122; c

1 Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 Îąk â&#x2C6;&#x2019; Î´ (1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; Ď Ď&#x192;

Dado que el capital k y a debe ser iguales en esta economÂ´Äąa cerrada, y usando que w = y â&#x2C6;&#x2019; rf (k) y r = f (k) â&#x2C6;&#x2019; Î´este se acumula de la siguiente forma:

aË&#x2122; kË&#x2122; kË&#x2122; kË&#x2122;

= =

w(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) + a(r(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; n) â&#x2C6;&#x2019; c (y â&#x2C6;&#x2019; kf (k))(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) + k((f (k) â&#x2C6;&#x2019; Î´)(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; n) â&#x2C6;&#x2019; c

= =

(y(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; k(Î´(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) + n) â&#x2C6;&#x2019; c y â&#x2C6;&#x2019; k(Î´ + n) â&#x2C6;&#x2019; c â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; (y â&#x2C6;&#x2019; Î´k) g

Donde la u Â´ltima linea es debido a que suponemos que el gobierno cumple con su restricciÂ´ on presupuestaria.

kË&#x2122; t

= yt â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; (n + Î´)kt â&#x2C6;&#x2019; gt

Si tomamos la ecuaciÂ´ on para el capital, y hacemos que este no cambie, tenemos

kË&#x2122; t

k Îą â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; (n + Î´)kt â&#x2C6;&#x2019; gt

k Îą â&#x2C6;&#x2019; (n + Î´)kt â&#x2C6;&#x2019; gt

Tomando la derivada con respecto al capital vemos la forma de la funciÂ´ on: ct kt

Îąk Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; (n + Î´) 156

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.30: Eliminaci´ on de Impuesto c˙ = 0

c˙ = 0

k˙ = 0 k˙ = 0

k gr

Inicialmente la funci´ on es creciente debido a que α(0)α−1 → ∞ Pero el primer elemento tiende a cero a medida que crece k y se torna negativo la pendiente. Existe un k gr =

1 n+δ α−1

que es consistente con el maximizo nivel de consumo.

Por el lado del consumo, tenemos que al hacer c˙ = 0, tenemos c˙ c ρ

1 α−1 αk − δ (1 − τ ) − ρ σ = αk α−1 − δ (1 − τ ) =

k∗

δ ρ + α(1 − τ ) α

1 α−1

f) Suponga que se se esta en el estado estacionario y se anuncia sorpresivamente que se eliminara para siempre el impuesto a la renta. Muestre gráficamente la trayectoria del consumo y capital hacia el nuevo equilibrio6 . Respuesta: El resultado se presenta en la figura 3.30. Al eliminar el impuesto, los individuos ver´ an modificadas sus trayectorias de consumo y capital. La ecuaci´ on de movimiento de capitalahora se “agrandar´ a”; es 6 Asuma

que el nuevo brazo pasa debajo del equilibrio inicial.

157

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.31: Cambio Impuesto Renta por Laboral

c˙ = 0

k˙ = 0

k gr

decir, para cada nivel de capital ahora el consumo es mayor. La trayectoria de consumo se desplaza hacia la derecha, ya que ahora no hay una distorsi´ on (impuesto), que exija una mayor rentabilidad al capital para poder pagar el impuesto. g) Suponga ahora que a diferencia de la parte f), se elimina el impuesto a la renta total pero se cambia por un impuesto al ingreso laboral que recauda el mismo monto original. Explique como cambia su resultado en comparación con las partes e) y f). Respuesta: En este caso al seguir existiendo un gasto fiscal financiado con recaudaci´ on de impuesto (aunque ahora sea s´ olo al trabajo), sigue existiendo un crowding out, con lo cual el gasto se financia con menor consumo privado. El cambio sucede en la trayectoria de consumo (ver figura 3.31), ya que ahora no hay un impuesto al capital, en consecuencia, la curva de moviento del consumo se traslada a la derecha, debido a que ahora al capital no se le exige un mayor retorno.

h) Suponga ahora que para ﬁnanciar el gasto de gobierno, lo hace con un impuesto de suma alazado. ¿Cambian las conclusiones descritas anteriormente? Respuesta: Ahora al ser un impuesto de suma alzada, la restricci´ on presupuestaria queda escrita de la siguiente forma:

a˙

w + a · (r − n) − c − τ

Como el gobierno ﬁnancia su gasto con impuestos se cumple que g = τ , con lo cual las ecuaciones de movimiento queda: 158

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Figura 3.32: Impuesto Suma Alzada

k˙ = 0 k˙ = 0

k gr

k˙

f (k) − c − (n + δ) · k − g

Escrito en funci´ on de la tasa de ahorro:

k˙ c˙ c

= s · f (k) − (n + δ) · k − g 1 = · (f (k) − δ − ρ) σ

Como se muestra en la ﬁgura 3.32, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones de ahorro e inversi´ on, hay un “crowding out” exacto e inmediato. El gasto es pagado con una disminuci´ on del consumo privado en igual magnitud.

3.2.13.

Ramsey, IVA y elecciones

Considere una econom´ıa competititva compuesta por individuos que viven eternamente y que maximizan la siguiente funci´ on de utilidad: U= 0

∞

c1−σ − 1 −(ρ−n) t e + gt dt 1−σ

Como Ud bien se ha dado cuenta, en esta econom´ıa consideramos que la poblaci´ on crece a una tasa n y que el gasto de gobierno entra aditivamente en la funci´ on de utilidad del agente representativo. El gobierno se financia a través del impuesto al valor agregado (IVA)7 y de un impuesto sobre el ingreso de las personas. Además, existe tasa de depreciación en la econom´ıa y la notaci´ on es la usual. Adem´ as, las firmas poseen 7 El

cual llamaremos ι.

159

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

una tecnolog´ıa tipo Cobb-Douglas, es decir, F (K, L) = K α L1−α . A partir de lo anterior se pide: 1. Modele la restricción presupuestaria per c´ apita del agente representativo. A partir de esto y de sus conocimientos, desarrolle el problema de optimización de la firma y del agente representativo. ¿Cu´ al es el efecto de gt en la optimización del agente? Respuesta: En primer lugar escribimos la restricci´ on presupuestaria de un agente representativo, incorporando los impuestos:

Ct (1 − ι) + A˙ = (wLt + rAt )(1 − τ ) donde ι corresponde al IVA y τ corresponde al impuesto al ingreso. Reescribimos la restricci´ on en t´erminos per c´apita y consideramos el hecho de que hay crecimiento de la poblaci´ on. Esto nos lleva a:

ct (1 − ι) + a˙ + nat = (w + rat )(1 − τ ) a˙ = w(1 − τ ) + at [r(1 − τ ) − n] − ct (1 − ι) Escribimos entonces el hamiltoneano: H=

c1−σ − 1 −(ρ−n) t e + gt + e−(ρ−n) λ(t){w(1 − τ ) + at [r(1 − τ ) − n] − ct (1 − ι)} 1−σ

Desarrollando las cpo para el problema anterior: H −σ = [ct − λ(t)(1 − ι)] = 0 e−(ρ−n) ct c−σ = λ(t)(1 − ι) t −(σ+1)

−σct

˙ − ι) c˙ = λ(1

H [e−(ρ−n) λ(t)] =− at t ˙ e−(ρ−n) λ(t)[r(1 − τ ) − n] = (ρ − n) λ(t) − λ e−(ρ−n) e−(ρ−n) λ˙ = λ(t)[ρ − r(1 − τ )] Reemplazando la primera cpo en la segunda, obtenemos la optimizaci´ on del agente representativo: −(σ+1)

−σct c˙ c−σ t = [ρ − r(1 − τ )] (1 − ι) (1 − ι) 1 c˙ = [r(1 − τ ) − ρ] c σ El problema de la ﬁrma ser´ a la maximizaci´ on de beneﬁcios, es decir: 160

Â´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

mÂ´ax Î = ktÎą â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; (r + Î´)kt kt

Î = ÎąktÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; (r + Î´) = 0 kt ÎąktÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Î´ = r Como se puede notar, gt no tiene ningÂ´ un efecto sobre las decisiones del agente porque es tomado como dado y no genera ninguna distorsiÂ´ on.

2. Determine el equilibrio competitivo. Luego desarrolle el diagrama de fases y explique el por quÂ´ e de los vientos.8 Respuesta: Reemplazando esta u Â´ltima condiciÂ´ on en la optimizaciÂ´ on del agente obtenemos el equilibrio competitivo: cË&#x2122; 1 = [(ÎąktÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Î´)(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; Ď ] c Ď&#x192; Dado esto, tendremos que la cË&#x2122; = 0 serÂ´ a: cË&#x2122; 1 = [(ÎąktÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Î´)(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; Ď ] = 0 c Ď&#x192; Ď = (ÎąktÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Î´)(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) 1 1â&#x2C6;&#x2019;Îą Îą(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) k= Ď + Î´(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) Por otro lado, a partir de la ecuaciÂ´ on de acumulaciÂ´ on de activos del agente representativo y los tips dados en el enunciado desarrollamos la kË&#x2122; = 0:

aË&#x2122; = w(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) + at [r(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; n] â&#x2C6;&#x2019; ct (1 â&#x2C6;&#x2019; Îš) kË&#x2122; = [y â&#x2C6;&#x2019; kt f (kt )](1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) + kt [(f (kt ) â&#x2C6;&#x2019; Î´)(1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; n] â&#x2C6;&#x2019; ct (1 â&#x2C6;&#x2019; Îš) kË&#x2122; = y â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; [Ď&#x201E; (y â&#x2C6;&#x2019; Î´kt ) â&#x2C6;&#x2019; Îšct ] â&#x2C6;&#x2019;kt (Î´ + n) gt

kË&#x2122; = ktÎą â&#x2C6;&#x2019; ct â&#x2C6;&#x2019; gt â&#x2C6;&#x2019; kt (Î´ + n) = 0 ct = ktÎą â&#x2C6;&#x2019; gt â&#x2C6;&#x2019; kt (Î´ + n) Gracias a los supuestos realizados sobre la funciÂ´ on de producciÂ´ on (recuerde que es neoclÂ´ asica) y en particular sobre sus rendimientos marginales, podemos asegurar la forma curvada deseada. El diagrama de fases queda como se presenta en la ďŹ gura 2. El movimiento bajo la funciÂ´ on de producciÂ´ on serÂ´ a hacia la derecha pues nos indica que no se estÂ´ a consumiendo todo lo que se podrÂ´Äąa. Dado lo anterior, es lÂ´ ogico que los recursos que no se estÂ´ an empleando en consumir, si se estÂ´ an gastando en aumentar el capital (anÂ´ alogamente para los puntos por sobre la funciÂ´ on). A la izquierda de la cË&#x2122; = 0 estaremos en una situaciÂ´ on de capital sub o Â´ptima, es decir, 8 Considere que en economÂ´ Äąa cerrada, los activos de las familias so iguales al capital. AdemÂ´ as, considere que la ecuaciÂ´ on relevante de equilibrio ďŹ scal es gt = Ď&#x201E; (y â&#x2C6;&#x2019; Î´kt ) â&#x2C6;&#x2019; Îšct . Recuerde ademÂ´ as que la parte del producto que no se â&#x20AC;&#x153;llevaâ&#x20AC;? el retorno al capital, se lo lleva el salario.

161

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

cd 2 3

4 k Figura 3.33: Diagrama de Fases Ramsey con un nivel de capital menor al de estado estacionario. Esto indica que hay recursos que se est´ an empleando en consumir y no en inversi´ on en capital.

3. Suponga que nos acercamos vertiginosamente a las elecciones presidenciales. En esta época es com´ un que las coaliciones pol´ıticas realicen sus mejores esfuerzos de campa˜ na para captar votos. Considere que los que gobiernan actualmente desean fuertemente seguir en el poder por cuanto deciden aumentar el gasto de gobierno para mostrar al p´ ublico el interés en ellos. ¿Cómo var´ıa el equilibrio anteriormente encontrado? Grafique la nueva situaci´ on, en comparación con la anterior, y explique el por qué de su respuesta. Respuesta: Como podemos notar en la figura 3, el mayor gasto de gobierno solamente afecta a la curva k˙ = 0 dado que es s´ olo ah´ı donde est´ a presente. El argumento para la contracci´ on de dicha curva es que a medida que aumenta el gasto del gobierno, entonces se tendr´ an menos recursos disponibles para poder consumir, para todo nivel de capital.

4. No contentos con la actitud de sus rivales pol´ıticos, los opositores al actual gobierno prometen que, de salir elegidos, disminuir´ an el IVA. Asumiendo que salen elegidos y que cumplen, ¿C´ omo afecta esta promesa al equilibrio? Compare con la situaci´ on anterior. ¿Cu´ al tiene un mayor efecto? Respuesta: Como se puede notar, esta pol´ıtica no tiene efecto alguno sobre el equilibrio por cuanto nos encontraremos en la situaci´ on inicial. Dado lo anterior, es f´ acil ver que s´ olo la pol´ıtica de aumentar el gasto de gobierno tiene un real efecto.

162

´ 3.2. MATEMATICOS DE CRECIMIENTO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

cd 2 3

4 k Figura 3.34: Mayor gasto de gobierno

163

Cap´ıtulo 4

Dinero y estabilizaci´ on 4.1.

Comentes de dinero

4.1.1.

Dinero y tipo de cambio

Explique como un aumento de la oferta monetaria se traspasa a una depreciaci´ on del tipo de cambio nominal. ¿Es posible que un fuerte aumento de la oferta de dinero no implique un cambio en el tipo de cambio? Respuesta: Esto se ve directamente al hacer uso de la ecuaci´ on de paridad del poder de compra y la teor´ıa cuantitativa del dinero: p p∗ = p·y

M ·v

(4.1) (4.2)

despejando (4.2) para el precio local y reemplazando en (4.1) tenemos que, e

Mv yp∗

(4.3)

De esta ecuaci´ on concluimos que, ceteris paribus, un aumento de la oferta incrementa el tipo de cambio (se deprecia el valor de la moneda). Si un aumento de la oferta de M va acompa˜ nado de un incremento proporcional igual de los precios internacional o de el nivel de transacciones (producto), no hay un alza del nivel de precios.

4.1.2.

Demanda por Dinero

En la pr´ actica el dinero es un bien m´ as, pero como es aceptado por la gran mayor´ıa de las personas, facilita las transacciones. En este sentido comente dos razones vistas en el curso para demandar dinero. Respuesta: El dinero es un bien que como permite realizar transacciones con mayor facilidad que si realizaramos constantemente un trueque para comprar bienes. Vimos varias razones para demandar Dinero. Una primera raz´ on para demandar dinero es que existen costos de realizar las compras o Shopping Costs, seg´ un la idea original de MacCallum. La idea es que al tener dinero disponible es m´ as f´ acil realizar compras. Una segunda raz´ on es que requerimos dinero ya que solo podemos comprar un valor de bienes menor o igual al monto de dinero en efectivo disponible. Finalmente vimos el modelo de Baumol-Tobin en el cual el dinero es un bien m´ as que se demanda y se administra con un inventario. La idea de los tres modelos comentados es que existen razones para demandar m´ as o menos dinero.

164

4.1. COMENTES DE DINERO

4.1.3.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Dinero y el rol del Estado 1

Durante el siglo XIX en Chile hubo banca libre, lo que significa que distintos bancos emitieron sus propios billetes y monedas. Comente, ¿cuales son las razones para no permitir este tipo de práctica en nuestros d´ıas?. Respuesta: La industria bancaria es una actividad intr´ınsecamente riesgosa. Los bancos son intermediarios financiero que prestan el dinero depositado para lo cual deben administrar ciertos riesgos. Por lo general esto se hace manteniendo una proporci´ on de los depositado en forma de reservas, lo que esta disponible si un depositante desea sacar en forma imprevista su dinero. Para los bancos su negocio es prestar la mayor cantidad de dinero que se pueda por lo que tienen incentivos a mantener las menores reservas posibles. Una soluci´ on es que los mismos clientes verifiquen que los bancos manejan adecuadamente los riesgos que asumen manteniendo en todo momento un nivel adecuado de reservas. Sin embargo, para cada cliente es muy costoso hacer monitoreo de los bancos por lo que nadie termina verificando el riesgo. ¿La soluci´ on? Como el sistema financiero tiene caracter´ısticas de bien p´ ublico del cual nos beneficiamos todos, hay un caso para que el Estado sea quien realice un control sobre los bancos y verifique que el sistema funciona adecuadamente. Esto es lo que explica que, a diferencias de los comienzos de la actividad bancaria, esta industria este regulada y de su correcto funcionamiento nos beneficiemos todos.

4.1.4.

Dinero y el rol del Estado 2

El uso del dinero en la sociedad presenta un desaf´ıo para la pol´ıtica p´ ublica. Indique y comente al menos dos roles para el Estado. Respuesta: El sistema bancario tiene algunas caracteristicas de bien p´ ublico. Entre los roles que tiene el estado en el mercado del dinero se pueden comentar los siguientes; Regulaci´ on: Para un individuo que esta interesado en usar el sistema de pagos es privadamente muy costoso de monitoriar el funcionamiento del sistema bancario. Existen externalidades de que alguien haga ese monitoreo. La soluci´ on es que el Estado regule la actividad que realizan los Bancos. Monopolio del Dinero: Antiguamente los distintos bancos emit´ıan sus propias notas de deposito o dinero. Como estas cada una de estas notas tenia distinta probabilidad de que fuera honrada, cada persona deb´ıa analizar privadamente el valor esperado los billetes de cada banco, lo cual era costos. La soluci´ on que se encontr´ o es entregar el monopolio de la emisi´ on del circulante a una entidad (i.e. Banco Central) de forma tal que el valor de cada billete esta respaldado por la solidez financiera del Estado. Liquidez: En ciertas ocasiones los bancos comerciales necesitan liquidez, no porque hayan tomado malas decisiones y estén con problemas de solvencia. Es en estos casos donde se requiere que alguien provea de liquidez a la econom´ıa. Para esto los Bancos Centrales se convierten en prestamistas, y as´ı los atribulados banqueros pueden acudir para obtener dinero y cumplir sus obligaciones. Por ejemplo, el Banco Central de Chile (BCCh) tiene l´ıneas de crédito para para los bancos, y una ventanilla de descuento a través de las cuales el BCCh compra con un descuento activos poco l´ıquidos (bonos) y entrega a cambio dinero.

4.1.5.

Dinero y el rol del Estado 3

¿Cuales son las razones para justificar la existencia de una entidad estatal con el monopolio sobre la emisión de dinero y que supervise la intermediaci´ on financiera? Comente. Respuesta: La raz´ on principal que justifica la existencia del Banco Central, es que si no fuese as´ı, el dinero perder´ıa una de sus funciones, que es la de medio de pago.

165

4.1. COMENTES DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Los bancos privados tienen, o es de esperarse que tengan, pol´ıticas distintas con respecto a su manejo de los fondos e inversiones. Esto hace que el riesgo a depositar sea distinto para cada banco. Es por esto que los billetes, a pesar de representar la misma cantidad de activos, tendr´ıan valores distintos. Esto diﬁcultar´ıa el uso del dinero como medio de pago.

4.1.6.

Kiyotaky y Wright

Explique en forma breve cual es la explicaci´on que dan Kiyotaky y Wright para el origen del dinero. Respuesta: Kiyotaky y Wright nos abstraen de la realidad para explicar como endogenamente surje el dinero. En una econom´ıa de intercambio se requiere hacer un match perfecto entre los bienes que un oferente tiene, la volaraci´ on este tiene por los bienes que se le ofrecen a cambio. En estas circuntancias es muy probable que existan varias transacciones que no se realizan. Una soluci´ on es hacer transacciones por bienes que no se necesitan directamente para ser consumidos pero si es altamente probable que a furturo sean demandandos. De esta forma nacen por un acuerdo t´ acito las primeras formas de dinero, siendo bienes no perecibles y por todos aceptados o demandados. Lo anterior es importante porque permiten acumular riqueza y sirven de medios de pago. Esta es una explicaci´ on breve al origen del dinero seg´ un Kiyotaky y Wright.

4.1.7.

Ingreso de capitales y precios

Suponga una econom´ıa con tipo de cambio fijo. Por un alza en las tasas de interés doméstica ingresan capitales extranjeros a la econom´ıa. ¿C´ omo puede controlar la autoridad monetaria la cantidad de dinero y en definitiva los precios? Respuesta: Una econom´ıa que tiene un tipo de cambio fijo compra en un determinado monto de moneda local (pesos) cada divisa que recibe (D´ olares, Euros, Yenes, etc.). De esta forma, si aumenta la tasa de interés sabemos que se incentiva el flujo de capitales hacia el pa´ıs con lo cual se estar´ a poniendo una mayor cantidad de dinero en circulaci´ on en la econom´ıa. Por la ecuaci´ on cuantitativa del dinero sabemos que esta mayor oferta de dinero aumentar´ a el nivel de precios. ¿C´ omo puede entonces la autoridad controlar los precios? La autoridad tiene distintas posibilidades dentro de las cuales la m´ as com´ un es hacer una oferta de mercado abierto (OMA). Es decir, el Banco Central vende un bono u otro instrumentos financieros y a cambio recibe dinero sacando parte de este de la econom´ıa. De esta forma la autoridad puede “esterilizar” (dejar sin efecto sobre el cambio en precios) el aumento de dinero producto de un alza en la tasa de interés.

4.1.8.

Multiplicador monetario

En las econom´ıas donde el sistema bancario juega un papel importante, con una alta cobertura o bancarización, el multiplicador monetario es menor porque hay una alta proporción del dinero en forma de reservas. Comente. Respuesta: El multiplicador monetario no depende en ning´ un caso de la proporci´ on de la econom´ıa que esté bancarizada. Seg´ un la determinaci´ on del multiplicador vista en las notas de clase o en la guia del bloque se puede ver el multiplicador depender´ a de la proporci´ on del dinero que se deposita en el banco, y de la proporci´ on del dep´ osito que se mantendr´ a en forma de reservas.

4.1.9.

Otros tipos de Dinero

En los campos de concentraci´ on en la Segunda Guerra Mundial, los cigarrillos eran usados como dinero, y estos hac´ıan variar los precios de otros bienes en t´erminos de cigarrillos, explique el ciclo en el nivel de precios en el campo de concentraci´on, desde el momento en que la cruz roja llegaba con las provisiones, en los cuales se inclu´ıan cigarrillos, y hasta la llegada del otro cargamento de v´ıveres. Respuesta: Al llegar el cargamentos con v´ıveres , la peque˜ na econom´ıa existente dentro del campo de concentraci´ on se ve´ıa enfrentada una inyecci´ on fuerte dinero, con lo cual exist´ıa un gran volumen de cigarrillos persiguiendo

166

4.1. COMENTES DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

a los bienes en los primeros d´ıas de llegado el cargamento, pero el dinero tambi´en se fumaba, y con el pasar de los d´ıas las personas adictas al cigarrillo hac´ıan que bajara el stock de este ”dinero”, por ende ahora hab´ıa menos dinero en la econom´ıa haciendo que el nivel de precios comenzara a decaer hasta llegar a casos tan extremos de deﬂaci´ on como cuando la cruz roja se demoraba en llegar con los v´ıveres. En el momento en que el nuevo cargamento llegaba al campo de concentraci´ on se volv´ıa a inyectar dinero a la econom´ıa y se comenzaba con un nuevo ciclo.

4.1.10.

Cantidad de dinero e inflaci´ on

Un analista, al observar las tasas de crecimiento de M1 (dinero en efectivo + depósitos a la vista) cercanas al 18 por ciento en los u ´ ltimos meses, se˜ nala que la inflaci´ on aumentar´ a y que el crecimiento del dinero es inconsistente con la meta de inflación de 3 por ciento. ¿Bajo qué supuestos logra el analista concluir lo anterior? ¿En la pr´ actica ocurre esto? Respuesta: El analista sustenta sus conclusiones en base a la Teor´ıa Cuantitativa del Dinero (Friedman); donde M V = P Y , considerando la velocidad de transacci´ on y el Pib como fijos, vemos que aumentos en la masa monetaria se traducen en aumento en precios. Esto sucede porque hay mayor disponibilidad de compra, por ende m´ as dinero persiguiendo la misma cantidad de bienes lo que empuja los precios al alza. El analista puede estar errado, dado que en la pr´ actica si existen cambios en el crecimiento del producto y la velocidad de las transacciones. Por lo dem´ as la evidencia emp´ırica nos muestra que pueden existir altas tasas de crecimiento del dinero y tasas de inflaci´ on bajas simult´ aneamente (DeGregorio).

4.1.11.

Ecuaci´ on cuantitativa del dinero y tipo de cambio

Desarrolle y explique en detalle la determinaci´ on de la inflaci´ on, la tasa nominal de interés y el tipo de cambio nominal usando la ecuaci´ on cuantitativa. Respuesta: Usando la ecuaci´ on de la teor´ıa cuantitativa del dinero M · V = P · y , adem´ as asumiendo pleno empleo ∆y , y log diferenciando nos queda π = ∆M y velocidad de circulaci´ on constante, obtenemos: P = M·V y M − y , si hay un aumento del dinero sin un crecimiento del producto como contrapartida ∆y an y , los precios crecer´ en forma proporcional a dicho aumento (los precios se ajustan instantaneamente). Relacionando todo lo anterior con la ecuaci´ on de Fisher i = r + π, donde la tasa de interés real permanece constante. Los efectos de la inflaci´ on se ver´ an reflejados en un aumento de la tasa de interés nominal en una proporci´ on 1:1 , aumentos en la cantidad (Efecto Fisher). El tipo de cambio nominal lo podemos expresar como e = M·V yP ∗ de dinero afectan proporcionalmente al tipo de cambio nominal.

4.1.12.

Dicotom´ıa cl´ asica y neutralidad

Explique y relacione los conceptos de Dicotom´ıa cl´asica y Neutralidad del dinero. Respuesta: Dicotom´ıa cl´ asica: Este concepto nos indica que existe una separaci´ on entre la parte real de la econom´ıa y su parte nominal. Ambas cosas son independientes, es decir, las variables reales se determinan en la parte real de la econom´ıa y las variables nominales en la parte nominal. Neutralidad del dinero: Esto nos dice que el dinero no tiene efecto sobre ninguna variable real. La relaci´ on entre ambos conceptos se da en el largo plazo. Al asumir que en el largo plazo se cumple la neutralidad del dinero, se hace v´ alida la dicotom´ıa cl´ asica.

167

4.1. COMENTES DE DINERO

4.1.13.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Dinero como un activo

El dinero es un bien como cualquier otro que es producido y es demandado por lo que tiene un mercado propio donde se determina la cantidad y su precio. Explique en detalle los factores fundamentales en la determinación de la oferta por un lado y la demanda de dinero por otro, seg´ un los modelos vistos en clases. Respuesta: Las expectativas de los agentes se ven reflejados en la oferta y demanda de dinero de la siguiente forma: Demanda de dinero: De acuerdo a las expectativas de los agentes con respecto al futuro, estos decidir´ an cuanta liquidez demandar, afectando as´ı el mercado del dinero. Es as´ı como las esperanzas y temores afectan la demanda de dinero Oferta de dinero: El efecto de las esperanzas y temores de los agentes sobre la ofera de dinero se puede ver a través del multiplicador monetario: Multiplicador = mm(rd , π, rbc , σb , e) Donde rd es la tasa de interés real de los dep´ ositos, rbc es la tasa de interés real de la l´ınea de crédito del BC, π es la inflaci´ on, σb es el riesgo de la banca y e es las epxectativas del BC. Por lo tanto, cualquier cambio de expectativas de los agentes tendr´ a un efecto a través de las variables anteriores.

4.1.14.

La vigencia de Baumol-Tobin/Allais

El modelo de Baumol-Tobin y Allais es anticuado en que no toma en cuenta que hoy todos tienen cuentas corrientes y usan descuentos electr´ onicos. Respuesta: Falso. El modelo de Baumol-Tobin puede incorporar esa aplicacci´ on de los descuentos electronicos y cuentas corrientes, debido a que sigue existiendo, el costo de oportunidad del dinero, existe un costo por tener un servicio ﬁnanciero como el de las tarjetas de credito, y por ultimo no todos los mercado (ej. negocios de barrio), se puede pagar con tarjetas de debito o credito, con lo cual el dinero sigue siendo necesario.

4.1.15.

El efecto del Encaje

Discuta la efectividad de una pol´ıtica monetaria expansiva (aumenta M s ) cuando el encaje es alto vs cuando el encaje es bajo. Respuesta: Sabemos que el encaje cuando es alto, el efecto multiplicador del dinero es menor, y cuando el encaje es bajo, los bancos al tener menores reservas provocan que el el efecto multiplicador aumente. Es decir, si H = C + R con H como la base monetaria, C es el dinero circulante, y R las reservas de que tienen los bancos. Supongamos θ corresponde a la porci´ on de los depositos que se mantienen como encaje, es decir R = θR, entonces, el multiplicador monetario tendr´ a una relaci´ on negativa con este parametro θ, Multiplicador = mm(rd , π, rbc , σb , e, θ− ). Por lo tanto, tener una pol´ıtica monetaria expansiva, cuando el encaje es bajo, a un peque˜ no aumento de m, la oferta de dinero total del mercado aumenta mucho m´ as, siendo m´ as efectiva. Ver la ﬁgura 4.1.15.

4.1.16.

Elasticidad de la demanda por dinero

Explique por qué la demanda por que i) si la demanda por dinero no depende de la tasa de interés, la curva LM es vertical. ii) si la demanda por dinero no depende del ingreso, la curva LM es horizontal. iii) si la demanda por dinero es extremadamente sensible a la tasa de interés, la curva LM es horizontal. Respuesta: Primero que todo, recordemos que la demanda por dinero depender´ a principalmente de la tasa de interés de la econom´ıa (negativamente pues representa el costo de oportunidad de tener dinero) y de la cantidad de ingreso de la misma (positivamente, pues a mayor nivel de ingresos se incrementar´ a en un cierto porcentaje el consumo y la inversi´ on lo cual llevar´ a a demandar dinero para fines de transacci´ on. A partir de lo anterior tendrémos que: 168

4.1. COMENTES DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Y Figura 4.1: Demanda de dinero inel´ astica. i.- Si la demanda por dinero no depende de la tasa de interés, es decir, no habr´ıa un costo de oportunidad del uso del dinero, entonces se demandar´ a la cantidad de dinero necesaria para finaes de transacci´ on de los agentes, tal que esto estar´ a definido por la capacidad adquisitiva de dicho dinero o, en otras palabras, el dinero real. Gracias a lo anterior, tendrémos una demanda por dinero (M d ) vertical o completamente inel´ astica. Gr´ aficamente la figura 4.1.16. ii.- Si la curva de demanda de dinero no depende del ingreso, significa que los u ńicos motivos por los cuales demandarémos dicho bien ser´ a por los retornos que pueda dejar de entregar en su costo alternativo (dado por la tasa de interés). En el caso en que la tasa de interés ofrecida sea distinta a la de equilibrio, tal que los agentes cambien su combinaci´ on de activos financieros, entonces se demandar´ a todo el dinero (si la tasa de interés baja) o nada de éste (si la tasa de interés sube). En este sentido, la demanda por dinero ser´ a completamente el´ astica frente a la tasa de interés. gr´ aficamente tenemos la figura 4.1.16. iii.- El plantear que la curva de demanda es extremadamente sensible a la tasa de interés, es an´ alogo al planteamiento anterior en el sentido de que se variar´ a fuertemente la cantidad demandada de dinero ante variaciones en su costo de oportunidad (r). Esto a su vez implica que los agentes (o el agente representativo estudiado) tiene gran capacidad de sustituci´ on entre sus activos financieros (al menos ser´ a f´ acil sustituir el dinero al aumentar su costo). El gr´ afico, es similar al anterior.

169

4.1. COMENTES DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Y Figura 4.2: Demanda de dinero el´ astica.

4.1.17.

Pol´ıtica monetaria seg´ un Poole

Discuta brevemente el instrumento óptimo de pol´ıtica monetaria y el fundamento te´ orico que respalda su elecci´ on. Respuesta: Suponiendo que el objetivo de la pol´ıtica monetaria es la minimizaci´ on de la volatilidad de la demanda agregada, la respuesta a qué instrumento de pol´ıtica es m´ as eficiente viene dada por el planteamiento desarrollado por Poole (1970), en donde se concluye que la tasa de interés ser´ a el instrumento o ´ptimo cuando la demanda por dinero sea relativamente vol´ atil. Lo anterior se refleja en el siguiente modelo: yt mt

= −αit + µt = yt − cit + νt

(4.4) (4.5)

2 ) respectivamente, y E(yt )2 corresponde a la volatilidad del En donde los errores se distribuyen N (0, σµ,ν producto. Luego, si mt es el instrumento utilizado por la autoridad la volatilidad ser´ a:

Em (yt )=

cσm u2 + ασn u2 (α + c)2

Por otro lado, si el instrumento es la tasa de inter´es la volatilidad ser´ a1 Ei (yt ) = σµ2 . Comparando ambos 2 2 resultados obtenemos que para que Ei (yt ) < Em (yt ) , se debe cumplir: σν2 2c > 1+ σµ2 α

4.1.18.

EL control del dinero

Explique los distintos mecanismos que tiene la autoridad para variar la cantidad de dinero de alto poder. Refiérase en detalle a las operaciones de crédito interno. Respuesta: El Banco Central puede manejar la cantidad de dinero de alto poder de dos maneras: operaciones de cambio y operaciones de crédito interno. 1 Recordar que cuando el instrumento es la tasa de inter´ es no hay transmisi´ on de los shocks de la demanda de dinero al producto ya que se absorven completamente por la oferta de dinero

170

4.1. COMENTES DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Retorno

Figura 4.3: Curva de retorno invertida

Madurez

Operaciones de cambio: Es cuando el Banco Central decide cambiar su estructura de pasivos y activos con el fin de variar la cantidad de dinero circulante de alto poder. Operaciones de cr´ edito interno: Es cuando el Banco Central otorga créditos a los bancos privados, permitiendo as´ı que estos le presten dinero, a su vez, a los dem´ as agentes. Esto provoca que aumente la cantidad de dinero a través del multiplicador monetario.

4.1.19.

Expectativas y el precio de los activos

Explique c´ omo se transmite las expectativas sobre la pol´ıtica monetaria a los precios de activos en la econom´ıa. Respuesta: La pol´ıtica monetaria podr´ıa depender de su credibilidad, sin embargo su rol es siempre fundamental en las expectativas de los agentes. La TPM afecta el precio de los activos financieros y a través de estos cambiar´ an las decisiones de endeudamiento e inversi´ on. Debemos notar que esta estructura refleja impl´ıcitamente las expectativas que el mercado tiene sobre la evoluci´ on futura de la econom´ıa.

4.1.20.

Expectativas y la curva de retorno

Suponga que los agentes esperan una recesión para lo a˜ nos que vienen. ¿Qué forma esperar´ıa ud. que tendr´ıa la curva de retorno (yield curve) y curva (forward ) en este escenario? Respuesta: Concepto Clave: yield curve invertida. La curva de retorno se puede interpretar como las expectativas que tiene el mercado con respecto a las tasas de interés. Si los agentes esperan una recesi´ on, uno pordr´ıa esperar que la curva de retorno se invirtiera, es decir, que las tasas de los papeles cortos sean mayores que la de los papeles largos. Esto se ve en la figura 4.3. Esto ocurre porque, en un escenario de recesi´ on, es esperable que la pol´ıtica monetaria sea m´ as expansiva para contrarrestar la debilidad econ´ omica.

171

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

4.2. 4.2.1.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Matem´ aticos de dinero Teor´ıa Cuantitativa

Supongamos la siguiente demanda por dinero: M yφ = β P i

(4.6)

donde y es el producto e i es la tasa de inter´es nominal. 1. Calcule la elasticidad de dinero necesaria si se desea reducir la tasa de inter´es en una magnitud ∆i y se espera que el producto real crezca en ∆y Respuesta: Aplicando logaritmo a la (4.6):

M P ln M − ln P ∆P ∆M − m P γM − γ P γM ln

yφ ıβ φ ln y − β ln i derivando c/r al tiempo ∆y ∆i φ −β y i φγy − βγi suponiendo γP = 0

φγy − βγi

= = =

(4.7)

2. ¿Qué sucede si el gobierno está dispuesto a aceptar inflación? Respuesta: Simplemente incorporamos el crecimiento del nivel de precios2 a la (4.7)

4.2.2.

γM − γP

φγy − βγi

γM

γP + φγy − βγi

(4.8)

Multiplicador Monetario

Suponga ahora que la raz´ on dep´ ositos-circulante es H y el nivel de producto es y.

1 cˆ

y dep´ ositos-reservas es

1 θ.

La base monetaria es

1. Determine la oferta de dinero. Respuesta: Sabemos que la oferta de dinero corresponde al circulante y a los dep´ ositos, es decir, M = C + D. Por otro lado, sabemos que la base monetaria corresponde a H = C + R. Por enunciado, sabemos que se cumple R = θD y C = cˆD. Combinando estas igualdades: 2 Tambi´ en

conocido como inflaci´ on.

172

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

= =

C +D cˆD + D

(1 + cˆ)D M (1 + cˆ)

C +R

= =

cˆD + θD (ˆ c + θ)D H (ˆ c + θ)

(4.9)

(4.10)

Combinando (4.9) y (4.10) M (1 + cˆ) (1 + cˆ) M= H (ˆ c + θ)

H (ˆ c + θ) (4.11)

2. Obtenga la tasa de inter´es a partir de (4.6) Respuesta: Combinando (4.6) con (4.11)

Md yφ iβ iβ i∗

= Ms (1 + cˆ) H = (ˆ c + θ) c + θ) y φ (ˆ (1 + cˆ)H φ 1 y (ˆ c + θ) β = (1 + cˆ)H =

(4.12)

3. Considere que el producto depende de la tasa de inter´es. A partir de esto, demuestre que en equilibrio se cumple3 : y,i =

β φ

Respuesta: Tendremos entonces: 3 Hint:

Asuma que lo u ´nico que cambia en el tiempo es el producto y la tasa de inter´es.

173

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Crecimiento promedio (1980-2008)

7 6 5 4 3 2 1

Países Latinoamericanos Linear (Países Latinoamericanos)

0 0

2 3 4 PIB inicial 1980 (USD bln)

Figura 4.4: Oferta Monetaria e inﬂaci´ on

iβ

c + θ) y(i)φ (ˆ (1 + cˆ)H

Aplicando logaritmo y juntando todos los par´ ametros que no cambian en el tiempo tenemos:

β ln i di β i β β φ

4.2.3.

= φ ln y(i) + ln A 1 ∂y = φ di y(i) ∂i i y(i) = φ y(i) i = y,i

derivando c/r al tiempo

quedando trivialmente demostrado

(4.13)

(4.14)

Demanda por dinero e Inflaci´ on

Considere la siguiente demanda por dinero: L(i, y) = ξ − βi + ζy

(4.15)

Suponga adem´ as que la oferta monetaria no depende de la tasa de interés y que no hay intermediaci´ on bancaria 1. Grafique el equilibrio en el emrcado del dinero (M/P,r) ¿C´ omo var´ıa con las expectativas inflacionarias? Respuesta: Si se piensa que habr´ a una tendencia inflacionaria, entonces la autoridad monetaria aplicar´ a una pol´ıtica contractiva que disminuya estas presiones por cuanto disminuir´ a la cantidad de dinero (la oferta monetaria) de la econom´ıa. Esto llevar´ a a una menor cantidad de dinero en la econom´ıa y a un alza en la tasa de interés. En conjunto con lo anterior, dado que hay un aumento en los precios, el dinero pierde su poder adquisitivo por cuanto la gente preferir´ a otros activos que preserven o aumenten el valor como por ejemplo, los bonos. La situaci´ on antes descrita se ilustra en la figura 1. 2. Si inicialmente no hay crecimiento del dinero y ahora éste crece a la tasa θ, ¿qué ocurre con la tasa de interés nominal ante esta medida? Respuesta: Gracias al efecto Fisher sabemos que i = r + π e , por cuanto el incremento del dinero afecta el nivel e inflacionario gracias a la ecuaci´ on cuantitativa tal que ∆M M = ∆π = ∆i = θ. Luego, con una tasa de 174

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

inter´es m´ as alta, aumenta la velocidad del dinero gracias a la disminuci´ on en la demanda por dinero, esto es: ↑V =

y ↓ L(↑ i, y)

3. A partir de sus respuestas en las secciones anteriores y la demanda dada en 4.26, qué deber´ıa ocurrir con la cantidad de dinero real de equilibrio en el largo plazo. Explique el por qué y la intuici´ on de sus resultados y la relaci´ on entre m1 y m2 . Respuesta: Gracias a la teor´ıa cuantitativa del dinero y al efecto Fisher, sabemos que en el largo plazo la inflaci´ on es un fen´ omeno monetario. Ello implica que no deber´ıa existir un crecimiento en la amsa monetaria por no tener efectos reales de largo plazo (s´ olo habr´ a inflaci´ on y una mayor tasa de interés nominal). Dado lo anterior, el crecimiento del dinero es nulo y el dinero real de largo plazo es igual al inicial.

4.2.4.

El Condorbank

Condorito, en su desconocida faceta de emprendedor, decide formar el primer banco de Pelotillehue el “Condorbank”. Para esto, Condorito necesita saber que cantidad de los dep´ ositos dejar en reservas y qu´e cantidad prestar para ganar dinero. En Pelotillehue hay dos agentes m´ as: Garganta de Lata, que deposita su dinero, y el respetable Don Chuma4 , el presidente del Banco Central de Pelotillehue. Suponga que los costos del “Condorbank” se pueden expresar como: CT =

πR2 rbc (Dp − R)2 + 2Dp 2Dp2

Donde R representa la cantidad de dinero mantenido como reserva, Dp la cantidad de dinero que deposita Garganta de Lata y rbc es la tasa de inter´es que cobra el Banco Central al “Condorbank”. a) Encuentre el valor de R que minimiza los costos de “Condorbank” Respuesta: Para obtener R ´ optimo, tenemos que minimizar m´ın CT = {R}

πR2 rbc (Dp − R)2 + 2Dp 2Dp2

Es decir, ∂CT ∂R

πR Dp

−

1 Dp [πR

rbc (Dp −R) Dp2

−

rbc (Dp −R) ] Dp

πDp R = rbc (Dp − R) R(πDp + rbc ) = rbc Dp R∗ =

rbc Dp πDp + rbc

4 Como ud. sabe, Don Chuma es un hombre de vida muy ordenada, inteligente y prudente. Esto lo llev´ o a obtener un PhD en Econom´ıa en el Mapocho Institute of Technology(MIT) y, posteriormente, a ser nombrado presidente del Banco Central de Pelotillehue, labor que ha realizado impecablemente.

175

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

b) Analice las propiedades de R∗ encontrado en la parte a). ¿De que variables depende R∗ ? Comente qu´e ocurre con R∗ ante cambios en estas variables. Si lo desea puede apoyarse en expresiones matem´aticas. Respuesta: Como podemos ver de 4.16, R∗ depende de R∗ = R(rbc , Dp , π) Derivando 4.16 con respecto a las variables de las que depende podemos encontrar el tipo de dependencia que existe entre ellas: • Dp : 2 ∂R rbc = >0 ∂Dp (πDp + rbc )2

Vemos que depende positivamente de la cantidad de dep´ ositos. • π: −rbc Dp2 ∂R = <0 ∂pi (πDp + rbc )2 Depende negativamente de la inflaci´ on. • rbc : πDp2 ∂R = >0 ∂rbc (πDp + rbc )2 Y depende positivamente de la tasa de interés. c) Los habitantes de Pelotillehue se han vuelto locos: el per´ıodo de Don Chuma como presidente del Central ha terminado y, debido a presiones pol´ıticas, ha sido nombrado Pepe Cortisona como el nuevo presidente del Central. Pepe Cortisona planea cobrar una mayor tasa de interés a Condorito ¿Que efectos tendr´ a esta subida de rbc sobre las decisiones del “Condorbank”? Ap´ oyese en expresiones matemáticas y explique la intuici´ on detr´ as de sus resultados. Respuesta: Para analizar como afectar´ a este cambio en rbc al “Condorbank”, debemos ver como afecta esto a la variable de decisi´ on de Condorito, que es R πDp2 ∂R = >0 ∂rbc (πDp + rbc )2 Es decir, Condorito estar´ a menos dispuesto a correr riesgos en sus préstamos, por lo que decidir´ a aumentar las reservas. Esto se puede explicar debido a que ahora quedarse sin reservas es m´ as caro.

176

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

4.2.5.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Se˜ noreaje e Hiperinflaci´ on a la Cagan

Suponga la siguiente demanda por dinero: m = Aye−ai

(4.16)

donde la notación es la habitual y A > 0. 1. Demuestre que 4.16 puede ser escrito como m = Byeaφ Donde φ es la tasa de inflación y B > 0 Respuesta: Aplicando Fisher y asumiendo que la tasa de interés real es constante:

= =

Aye−ai Aye−a(r+φ)

= =

Aye−ar e−aφ Bye−aφ

agrupando convenientemente (4.17)

2. Con el resultado anterior, determine la tasa de inﬂaci´ on que maximiza el se˜ noreaje. Respuesta: Recordando la deﬁnic´ on de se˜ noreaje:

∆M P

Luego

= =

∆M P ∆M M

M M M P (4.18)

Asumiendo que el producto no crece, tendr´emos que inﬂaci´ on ser´ a:

∆M M

= φ, por cuanto el se˜ noreaje o impuesto

S = φm

(4.19)

Reemplazando 4.17 en 4.19:

S S φ

optimizando c/r a φ φBye−aφ − aφ = 0 −aφ −aφ = Bye Bye

φ∗

1 a

(4.20)

177

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

3. ¿Cu´ al ser´ a la cantidad real de dinero de la econom´ıa? Respuesta: Reemplazando 4.20 en 4.17: = Bye−1

(4.21)

4. Suponga ahora que el aumento gradual de la demanda real puede ser escrito de la siguiente forma: m ˙ = α(ln md − ln m) m

(4.22)

Reemplace la demanda encontrada en la primera parte y demuestre que 4.22 puede escribirse como: α m ˙ = m 1 − aα

aS − ln m ln C − m

(4.23)

donde S es la cantidad de se˜ noreaje. Respuesta: Aplicando ln a la demanda encontrada anteriormente tenemos: ln md = ln B − aφ − ln y Asumiendo un producto constante By = C tendr´emos ln md = ln C − aφ. Luego denotamos por σ el m ˙ . Tendr´emos crecimiento porcentual de la cantidad de dinero nominal por cuanto se cumple φ = σ − m entonces: m ˙ m

m ˙ α ln C − α σ − − ln m m

m ˙ (1 − aα) = m m ˙ = m Adem´ as S =

∆M P

yσ=

∆M M ,

α(ln C − aσ − ln m) α (ln C − aσ − ln m) 1 − aα

(4.24)

por cuanto S = σm. Reemplazando σ en 4.24 α m ˙ = m 1 − aα

aS − ln m ln C − m

(4.25)

por cuanto queda demostrado.

4.2.6.

Teor´ıa Cuantitativa y Se˜ noreaje

Considere una econom´ıa con las siguientes caracter´ısticas: mt · v

i =

pt · y t 0, 05 + π

(4.26) e

(4.27)

Donde (4.26) corresponde a la Ecuaci´ on Cuantitativa del Dinero y (4.27) es la Ecuaci´ on de Fisher. 178

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

1. Asuma que la econom´ıa en t = 0 se encuentra en un estado estacionario donde γy = 0 y γm = 0. Además vt se mantiene constante. ¿Cuál ser´ a la inflaci´ on efectiva y esperada en el primer periodo? Respuesta: Planteando la ecuaci´ on cuantitativa del dinero en tasas de crecimiento tenemos:

ln mt + ln v

= ln pt + ln yt

dm dv + m v γm + γv

∂() ∂t

dp dy + p y = γp + γy

Considerando que la velocidad de circulaci´ on del dinero se mantiene constante y que la tasa de crecimiento de los precios es igual a la inﬂaci´ on, tenemos que:

γm = π + γy

(4.28)

Dado el enunciado, sabemos que no habr´ a crecimiento ni del producto ni de la cantidad de dinero, por cuanto se cumple π = 0. dado lo anterior, ser´ıa normal que los agentes consider´ asen que esta situaci´ on se mantenga, por lo tanto, π e = 0 2. El Banco Central sorpresivamente aumenta la oferta monetaria en un 15 % en el segundo periodo, para luego mantener la oferta constante. Cu´ al ser´ a la inflaci´ on efectiva y esperada en este periodo? Respuesta: Dada la relaci´ on encontrada en la parte a) y la nueva informaci´ on, se cumplir´ a entonces que γm = π. Luego, tendrémos π = 15 % gracias al crecimiento de la masa monetaria. Consideremos adem´ as, el hecho de que este crecimiento se considera sorpresivo por cuanto, no habr´ an motivos para que los agentes cambien sus expectativas. Esto nos lleva a π e = 0 3. Suponga ahora que la econom´ıa crece al 10 % ¿Qué decisión esperar´ıa de parte del BC para que la econom´ıa no caiga en un proceso deflacionario? Respuesta: Nuevamente a partir de (4.28) tendremos que π = γm −γy . Para q ue no haya deflaci´ on, debe cumplirse que π ≥ 0. para que esto ocurra tendremos lo siguiente: ≥ γm − γy

≥ γy ≥ 10 %

γm γm

(4.29)

Entonces, a partir de (4.29), tenemos que la autoridad monetaria debe incrementar la masa de dinero en un 10 % o m´ as. Ahora el Gobierno busca ﬁnanciar su gasto v´ıa se˜ noreaje. Los ingresos generados por este proceso son:

∆m p

y la demanda por dinero en t´erminos reales queda deﬁnida de la forma:

m p

d = L(i, y)

179

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

4. Demuestre que, existiendo crecimiento del producto, el se˜ noreaje vendr´ a dado por: S = [π + y γy ]m y donde m es la cantidad real de dinero, y y = ∂L ∂y L . Para esto suponga que el mercado del dinero se encuentra siempre en equilibrio y recuerde que la velocidad de circulaci´ on del dinero es igual al inverso de la demanda por dinero. ¿Qu´e pasa si π = 0?

Respuesta: Empleamos la deﬁnici´ on de dinero real dada por: m=

m p

En t´erminos de tasas de crecimiento: = γm − π = γm + π

γm γm ∆m

/·m

= γm m + πm

Reemplazando en la deﬁnici´ on del se˜ noreaje tenemos:

∆m γm m + πm = p p

(4.30) (4.31)

Consideremos :

γm =

∆mpm m

Reemplazando lo anterior en (4.30): S = ∆m + π

m p

(4.32)

Ahora buscamos una expresi´ on para ∆m en el equlibrio del mercado del dinero. Esta ser´ a: m ∆m

= L(i, y) /d() = Li ∆i + Ly ∆y

∆m

= Ly ∆y

sin embargo

∆i = ∆r + ∆π e = 0 (4.33)

Reemplazando (4.33) en (4.32): S

Ly ∆y + πm Ly + πm Ly ∆y Ly y γy m + πm

[π + y γy ]m

considerando el equilibrio del mercado monetario (m = L)

(4.34)

A partir de (4.34) notamos que si π = 0 entonces tendr´emos S = y γy m lo cual nos dice que de todos modos se tendr´ a una recaudaci´ on por se˜ noreaje gracias al aumento en la demanda por dinero.

180

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. Si el Gobierno busca recaudar por se˜ noreaje una cantidad de S = 20, ¿cu´ al debe ser el crecimiento del producto para que se cumpla la meta? Asuma que y = 0, 5, m = 1000 y γm = 0 Respuesta: A partir de (4.34) y de la ecuaci´ on cuantitativa del dinero ent´erminos de variaci´ on porcentual, tendr´emos que:

20 = [π + 0,5γy ]1000 0 = π + γy Luego: π = 0,04 y γy = −0,04 Sea la demanda por dinero de la siguiente forma: L(i, y) = ay(b − i) 6. Suponiendo que la inflaci´ on esperada es igual a la efectiva, que la autoridad fija π y que la econom´ıa se encuentra en pleno empleo (es decir, γy = 0), ¿cu´ al es la tasa de inflación que maximiza los ingresos por se˜ noreaje? Respuesta: En ausencia de crecimiento del producto, el se˜ noreaje ser´ a: S = πL(0,05 + π, y) Reemplazando se tendr´ a: S = π[ay(b − 0,05 − π)]

(4.35)

Optimizando para (4.35) ∂S = [ ay(b ayπ − 0,05 − π)] − =0 ∂π b − 0,05 π∗ = 2

4.2.7.

Dinero y Shopping Costs

Suponga que un agente representativo usa una proporci´ on ω de su tiempo en trabajar y una proporci´ on χt de su tiempo en comprar. El tiempo de trabajo es fijo mientras que el tiempo de compra es variable dependiendo del periodo de an´ alisis. Dado lo anterior, 1 − χ − ω es el tiempo que destina al ocio y también es variable. A partir de lo anterior: 1. Escriba la funci´ on de utilidad del agente representativo considerando que los argumentos de la misma son el consumo y el ocio de cada periodo. Expresela para dos periodos. Respuesta: La funci´ on de utilidad ser´ a del siguiente tipo: máx U = U (C1 , 1 − ω − χ1 ) +

181

1 1+ρ

U (C2 , 1 − ω − χ2 )

(4.36)

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. Asuma que la tecnolog´ıa de compra se puede expresar a través de la siguiente igualdad: 1 − ω − χt = ψ(mt−1 , Ct ), donde mt es la cantidad real de dinero. ¿Qué propiedades deber´ıa cumplir la funci´ on ψ(·)? Respuesta: a) Dado un cierto nivel de consumo, un aumento marginal en el nivel real de dinero se traduce en una disminuci´ on en el tiempo de compra lo cual aumenta el tiempo disponible para el ocio. Matem´ aticamente, ψm > 0. b) La tecnolog´ıa presenta rendimientos marginales decrecientes con respecto a la cantidad real de dinero, es decir ψmm < 0. c) Incrementos en el consumo requieren mayores costos de compra (ψC < 0). Sin embargo, estos costos aumentan a tasa decreciente (ψCC > 0). d) Finalmente, los costos se hallan acotados: 0 < ψ(∞) < ψ(0) < 1 − ω 3. Considere que los argumentos que se optimizan, es decir, que son elegidos por el agente son su consumo en ambos periodos, la proporci´ on del tiempo que emplea en compras y la cantidad de dinero real del segundo periodo5 . Para lo que viene asuma el sigiuente problema: máx L = +

U (C1 , 1 − ω − χ1 ) + λ A − C1 −

1 1+ρ

C2 R1 m1 − 1 + r1 1 + R1

U (C2 , 1 − ω − χ2 ) −

λt [1 − ω − χt − ψ(mt−1 , Ct )]

(4.37)

t=1

donde Ri es la tasa de interés nominal y ri es la tasa de interés real. Interprete el lagrangeano descrito en 4.37. Respuesta: El anterior lagrangeano consta de la funci´ on de utilidad descrita en la (4.36) la cual es nuestra funci´ on objetivo a maximizar. La primera restricci´ on corresponde a la restricci´ on presupuestaria del individuo donde A representa sus ingresos y el resto representa sus gastos en consumo y en pérdida de intereses por mantener dinero. La segunda restricci´ on, que en verdad corresponde a dos restricciones, una para cada periodo, nos indica que en cada momento del tiempo se debe cumplir la igualdad impuesta en la tecnolog´ıa de compra. 4. Determine las CPO del problema anterior. Respuesta: Tendremos entonces cinco condiciones de primer orden. Estas ser´ an: ∂L ∂C1 ∂L ∂C2 ∂L ∂χ1 ∂L ∂χ2 ∂L ∂m1

= UC (C1 , 1 − ω − χ1 ) − λ + λ1 ψC (m0 , C1 ) = 0, 1 λ = + λ2 ψC (m1 , C2 ), UC (C2 , 1 − ω − χ2 ) − 1+ρ ∂1 + r1

(4.38)

= −UO (C1 , 1 − ω − χ1 ) + λ1 = 0, 1 = − UO (C2 , 1 − ω − χ2 ) + λ2 = 0, 1+ρ −R1 ∂L + λ2 ψm (m1 , C2 ) ≤ 0, m1 ≥ 0, m1 = λ = 0, 1 + R1 ∂m1

(4.40)

donde UO es la utilidad marginal del ocio. 5 Asumimos

que en el primer periodo esta viene determinada.

182

(4.39)

(4.41) (4.42)

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. ¿En qué caso se dará m1 = 0? ¿Qué debe ocurrir? Respuesta: Si la utilidad marginal del ocio y/o la productividad marginal del dinero son bajas, entonces la primera parte de la req28 ser´ a estrictamente negativa por cuanto con la segunda parte de la misma ecuaci´ on optimo. Intuitivamente, no se mantendr´ an saldos monetarios en este caso se asegura que m1 = 0 es ´ debido a que el agente no considera el hecho de comprar (bajo UO ) y/o debido a que el dinero no reduce en gran medida los shopping costs (bajo ψm ).

4.2.8.

Poole y Pol´ıtica Monetaria

William Poole comenz´ o a finales de los a˜ nos sesenta una linea de investigación preguntando como implementar la pol´ıtica monetaria. Su pregunta era como mantener el mayor tiempo posible a la econom´ıa en equilibrio. Entre las distintas preguntas se cuestion´ o fue cual era el instrumento indicado: el control de la cantidad de dinero o la tasa de interés (i.e. el precio del dinero). Para contestar esta pregunta utiliz´ o un simple modelo IS-LM linealizados. Utiliz´ o el siguiente modelo log-linealizada de la forma, yt

−ρ · it + ηt

(4.43)

yt − φ · it + ξt

(4.44)

Además se tiene que ηt ∼ N (0, ση2 ), ξt ∼ N (0, σξ2 ) y Cov(ηt , ξt ) = 0. a) Interprete las ecuaciones, relación de variables y sus correspondientes parámetros. b) ¿Bajo qué condiciones ser´ıa o´ptimo usar como instrumento de pol´ıtica la tasa de interés? Apoye su pregunta con un an´ alisis matemático. c) Suponga que ηt ∼ N (0, 4) y que ξt ∼ N (0, 16). Adem´ as se sabe que la sensibilidad de la IS a la tasa de interés es de 0.6 y que la sensibilidad de la demanda de dinero a la tasa de interés es 0.75. Determine el instrumento de pol´ıtica a usar. d) Suponga que hay un shock negativo de demanda por dinero. Grafique y explique lo que usted (en términos de pol´ıtica monetaria) har´ıa con el objeto de neutralizar el shock. B´ asese en el instrumento de pol´ıtica elegido en la parte c).

4.2.9.

El regreso de House e instrumento de pol´ıtica o ´ptima

Supongamos que Greg House se aburri´ o de ser m´edico. House ha sido contratado como “diagnosticador econ´omico” en el banco central, c´ omo es nuevo necesita un nuevo equipo de trabajo, el que ha estimado las siguientes IS y LM log linealizadas: yt mt

= −α · it + µt

(4.45)

= yt − c · it + ηt

(4.46)

Con µt ∼ N (0, σµ2 ), ηt ∼ N (0, ση2 ) y Cov(µt , ηt ) = 0. 1. Explique por qué se ha llegado a estas ecuaciones y qué significa cada una α y c? Respuesta: La ecuaci´ on (5.37) es una demanda agregada, la cual depende inversamente de la tasa de interés y proporcionalmente del shock de demanda agregada. La ecuaci´ on (5.36) corresponde a una demanda de dinero, la cual depende proporcionalmente de el nivel de producto (ingreso) y del shock de demanda de dinero e inversamente de la tasa de interés. El par´ ametro α corresponde a cuan sensible es la demanda agregada con respecto a la tasa de interés y el par´ amentro c representa cuan sensible es la demanda de dinero a la tasa de interés.

183

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. Suponga que Cameron cree que lo que ocurre en la econom´ıa es lo siguiente: α < 2c

2 σµ 2 ση2 −σµ

. Deter-

mine el examen que debemos aplicar a la econom´ıa y qué es lo que este dice(determine el instrumento de pol´ıtica que minimiza las fluctuaciones del producto ante shocks y muestre la condici´ on que debe cumplirse para la elecci´ on del instrumento.) Respuesta: Primero es necesario encontrar el producto de equilibrio cuando se tiene en cuenta el mercado de dinero. Despejamos la tasa de interés de la ecuaci´ on (5.37) y la reemplazamos en la ecuaci´ on (5.36):

it =

−yt + µt α

En (5.36)

α · mt

−yt + µt yt − c · + ηt α α · yt + c · yt − c · µt + αηt α (α + c) · yt − c · µt + αηt α · mt + c · µt − αηt α+c

Ahora, si tomamos en cuenta el hecho de que para este caso se estar´ıa ﬁjando la oferta de dinero (mt = m), determinamos la varianza del producto cuando se est´ a ﬁjando la oferta de dinero:

V arm (yt ) =

c2 · σµ2 + α2 · ση2 (α + c)2

Vemos que este u ´ltimo término representa la varianza del producto si es que se fija la oferta de dinero. Ahora es necesario obtener la variaci´ on del producto si es que se fija la tasa de interés. Si hacemos lo u ´ltimo entonces ya no ser´ a necesario tomar en cuenta la demanda de dinero puesto que es irrelevante al momento de fijar la tasa de interés (it = i). Entonces, determinamos la varianza del producto sin tomar en cuenta el mercado del dinero (Ergo, la varianza de la ecuaci´ on (5.37)):

V ari (yt ) = σµ2 Luego, si es que se usar´ a la oferta de dinero como instrumento de pol´ıtica, la varianza del producto al fijar la oferta de dinero debe ser menor a la varianza del producto cuando de fija la tasa de interés

V ari (yt ) >

V arm (yt ) c2 · σµ2 + α2 · ση2 (α + c)2

σµ2

(α + c)2 · σµ2

c2 · σµ2 + α2 · ση2

(α2 + 2 · α · c) · σµ2

α2 · ση2

(α + 2c) · σµ2

ση2

α · ση2 2c σµ2 · 1 + α

Ahora, si manipulamos un poco la condici´ on que nos dieron en el enunciado: 184

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

α 2c

σµ2 ση2 − σµ2

2c α

ση2 − σµ2 σµ2

2c α

ση2 −1 σµ2

ση2 2c +1 > α σµ2 2c +1 > ση2 σµ2 · α ση2

σµ2

2c +1 α

Que es lo mismo que obtuvimos en la parte anterior. Por lo tanto, y de acuerdo al supuesto que nos dan en el enunciado, vemos que lo o ´ptimo es fijar la oferta de dinero, puesto que se minimiza la variaci´ on del producto. 3. Explique qué ocurrir´ a al fijar la tasa de interés cuando tenemos los siguientes s´ıntomas: shocks de demanda de dinero y de demanda agregada. En este u ´ ltimo caso, ¿Qué cree que House propondrá? Respuesta: Vemos que usando como instrumento la tasa de interés los shocks de demanda de dinero quedan neutralizados. Sin embargo, los shocks de demanda agregada no. Es necesario entonces neutralizarlos, si es que el shock es expansivo (la IS se desplaza hacia la derecha) entonces hay que subir la tasa de interés (pol´ıtica monetaria contractiva) para neutralizar este shock. De lo contrario, si el shock representa una contracci´ on de la IS es necesario bajar la tasa de interés (pol´ıtica monetaria expansiva) para poder estabilizar el producto. 4. Gracias al uso de Ecodins podemos ahora determinar ecuaciones que muestran la periocidad de los shocks. Nuestras ecuaciones quedan de la siguiente manera:

yt mt

= −α · it + β · µt

(4.47)

= yt − c · it + γ · ηt

(4.48)

Donde β y γ indican el n´ umero de veces en promedio que el shock ocurre en ese per´ıodo. Determine nuevamente las condiciones para las cuales fijar la tasa de interés sea el instrumento óptimo. Respuesta: Despejamos la tasa de interés de la ecuaci´ on (5.38) para reemplazarla en la ecuaci´ on (4.48):

β · µt − yt yt − c · + γ · ηt α α · yt − β · c · µt + yt · c + α · γ · ηt α α · mt + β · c · µt − α · γ · ηt α+c

Ahora determinamos la varianza del producto como si ﬁj´ aramos la oferta de dinero:

185

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

V arm (yt ) =

β 2 · c2 · σµ2 + α2 · γ 2 · ση2 (α + c)2

Luego determinamos la varianza del producto como si ﬁj´ aramos la tasa de inter´es (Recordar que para este caso la demanda de dinero no es relevante). Obtenemos la varianza de la ecuaci´ on (5.38) solamente:

V ari (yt ) = β 2 · σµ2 Como en el enunciado nos piden la condici´ on para la cual ﬁjar la tasa de inter´es es el instrumento optimo entonces tenemos que debe cumplirse lo siguiente: ´

V arm (yt ) > + α2 · γ 2 · ση2 β ·c · > (α + c)2 2

σµ2

V ari (yt ) β 2 · σµ2

β 2 · c2 · σµ2 + α2 · γ 2 · ση2

β 2 · σµ2 · (α + c)2

α2 · γ 2 · ση2

β 2 · σµ2 · (α2 + 2 · α · c)

α · γ 2 · ση2

ση2

β 2 · σµ2 · (α + 2 · c) β 2 · σµ2 2c · 1 + γ2 α

De cumplirse esta desigualdad, fijar la tasa de interés ser´ a el instrumento de pol´ıtica o ´ptimo. 5. La doctora(en econom´ıa) Cuddy (la banquera central) pregunta ¿Qué ocurre con el instrumento elegido si es que los shocks de demanda agregada son mucho más frecuentes que los shocks de demanda por dinero? ¿Se cumple esto en la realidad? ¿Es consistente la autoridad con respecto a este resultado? Respuesta: Para responder esto basta ver c´ omo se comporta la condici´ on encontrada en el punto d. Vemos que si los shocks de demanda agregada son muy frecuentes (β alto) tendremos que la desigualdad ya no se cumple. Si es que β → ∞ tendremos que el lado derecho de la ecuaci´ on tiende a infinito caso en que la desigualdad cl´ aramente es hac´ıa el otro lado. En la realidad, en el caso chileno por lo menos, los shocks de demanda de dinero son mucho m´ as comunes que los de demanda agregada por lo que es a´ un mejor medida el fijar la tasa de interés. Como todos deber´ıan tener claro a estas alturas, el Banco Central fija la tasa de interés por lo que en la realidad no se cumple lo que se deduce del enunciado. 6. ¿Qué cree que recomendará House y su equipo si se sabe que este per´ıodo habr´ an θ6 shocks de demanda por dinero y un solo shock de demanda agregada, el cual ser´ a contractivo. Respuesta: El hecho de que nos digan que habr´ an varios shocks de demanda de dinero implica que el fijar la tasa de interés ser´ıa una buena medida. Sin embargo, si es que fijamos la tasa de interés y hay un shock de demanda agregada tendremos que se contrae la is por lo que cae el producto Es por esto que es necesario bajar la tasa de interés (pol´ıtica monetaria expansiva) de manera de neutralizar el shock y mantenerse en el mismo nivel de producto. 6k

∼ N (6, 6).

186

Â´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

4.2.10.

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

La demanda por dinero de Condorito

Suponga que Condorito se enfrenta con el problema de maximizar su utilidad, dada por el consumo de bienes, durante dos perÂ´Äąodos. Al ďŹ nal de estos se casarÂ´ a ďŹ nalmente con Yayita por lo que no debe llegar con deudas ni activos. El tiene ingresos asegurados por una pensiÂón que recibe en cada perÂ´Äąodo, mas un bono que le heredÂ´ o su abuelo y un monto de dinero que mantiene en su billetera. De esta forma su restricciÂón presupuestaria intra-temporal esta dada por, P1 Y1 + M0 + (1 + R0 )B0 = P1 C1 + M1 + B1 1. Exprese toda la expresiÂ´ on en tÂérminos reales.7 Escriba la restricciÂón presupuestarÂ´Äąa inter-temporal 8 que enfrenta Condorito. Respuesta: Las dos restricciones presupuestarias inter-temporales son, P1 Y1 + M0 + (1 + R0 )B0 = P1 C1 + M1 + B1

(4.49)

P2 Y2 + M1 + (1 + R1 )B1 = P2 C2 + M2 + B2 .

(4.50)

Sabemos por el enunciado que al ďŹ nal Condorito no llegarÂ´ a ni con dinero en efectivo ni deudas al ďŹ nal de los dos perÂ´Äąodos. Por lo anterior M2 y B2 serÂ´ an iguales a cero. Consolidando ambas restricciones obtenemos la siguiente restricciÂ´ on inter-temporal. P0 R1 M1 Y2 C2 + + m0 + (1 + r0 )b0 = C1 + Y1 + 1 + r P1 1 + r 1 + R1

(4.51)

2. Exprese en tÂérminos genÂéricos el problema de optimizaciÂón que enfrenta Condorito.9 Respuesta: El enunciado indica una expresiÂ´ on genÂérica, lo que se reďŹ ere principalmente a la funciÂ´ on de utilidad la cual no ha sido ni necesita ser especiďŹ cada. El problema de optimizaciÂ´ on que enfrenta Condorito se puede expresar como,

R1 M1 C2 â&#x2C6;&#x2019; L = U (C1 ) + Î˛U (C2 ) + Îť A â&#x2C6;&#x2019; C1 â&#x2C6;&#x2019; 1+r 1 + R1

Es decir, el problema de Condorito debe maximizar la utilidad que le da el consumo de bienes en ambos perÂ´Äąodos sujeto a que debe cumplir con una restricciÂ´ on presupuestaria intertemporal. Hemos supuesto que parte de su riqueza pueden estar en forma de activos (A) o en forma de dinero. 3. Determine las condiciones de primer orden para el consumo de ambos perÂ´Äąodos (c1 , c2 ) y su demanda por dinero (M 1). Respuesta: El problema de maximizaciÂ´ on se resuelve al determinar los valores o Â´ptimos de las variables sobre las cuales Condorito puede tomar decisiones. Estas son el consumo en ambos perÂ´Äąodos, activos y dinero. Implicitamente, como todo debe cuadrar, es lo mismo solo tomar las decisiones sobre ambos consumos y cantidad de dinero y dejar implÂ´Äącito los activos. De esta forma las condiciones de primer orden serÂ´ an, t) Divida todo por Pt . La expresiÂ´ on para la tasa de interÂés bruta real quedarÂ´ a como (1 + rt ) = Pt (1+R . Pt+1 que como el problema es de solo dos perÂ´Äąodos 9 Este problema no requiere una funciÂ´ on de utilidad especiďŹ ca, solo que esta sea concava y obtenga beneďŹ cios solo del consumo. Deje su problema expresado en tÂérminos genÂéricos.

7 Hint:

8 Recuerde

187

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

∂L ∂C1 ∂L ∂C1 ∂L ∂m1

= U (C1 ) − λ = 0 λ = βU (C2 ) − =0 1 + r1 −Rt = λ =0 1 + Rt

4. Seg´ un las CPO ¿Cu´ al es la demanda por Dinero? Comente porque su resultado se puede intuir antes de resolver el problema. Respuesta: Las ecuaciones (4.52) y (4.52) son exactamente las mismas CPO del problema intertemporal de enfrenta un consumidor en un mundo sin dinero. La combinaci´ on de estas ecuaciones nos da la relaci´ on optima de consumo en el tiempo y podemos ver que la existencia de dinero NO afecta la trayectoria ´ optima. ´ La ecuaci´ on (4.52) es nueva y requiere de nuestra atenci´ on. Si la tasa de interés de esta econom´ıa es positiva, la expresi´ on en paréntesis es estrictamente negativa indicando que lo ideal es tener dinero negativo. Como esto no se puede, e imponemos que la cantidad de dinero es mayor o igual a cero tenemos que, si Rt > 0 ⇒ m1 = 0 La intuici´ on detr´ as de este resultado es que al existir un costo de oportunidad de tener dinero (Rt > 0) lo ideal es no tener dinero. En este caso el dinero no esta “haciendo” nada u ´til en el modelo, y si Condorito es racional lo mejor que puede hacer es no mantener parte de su riqueza en forma de dinero porque al hacerlo esta dejando de ganar intereses. Este resultado se pod´ıa intuir ya que el dinero no estaba haciendo nada u ´til y sin resolver el modelo se podia ver que lo o ´ptimo era no mantener riqueza en forma de dinero . Una extensi´ on del an´ alisis, que no se ped´ıa en este caso pero que alguien podr´ıa haber dado en forma de respuesta, es analizar lo que ocurre cuando la tasa de interés es negativa. Suponga que Condorito enfrenta una escenario burs´ atil y financiero en cr´ısis por lo que los activos tienen rentabilidad negativa. En este caso el termino de la ecuaci´ on (4.52) es positivo indicando que lo mejor que se puede hacer es mantener toda la riqueza en forma del activo m´ as seguro que en este caso es el dinero. si Rt < 0 ⇒ m1 → ∞ Es decir, como en este caso el dinero es el activo con la mejor rentabilidad posible, Condorito querr´ a mantener toda su riqueza de esta forma. Obviamente, este caso esta lejos de ser realista.

4.2.11.

Friedman vs Baumol Tobin

Se le pide a usted ayuda para dirimir una vieja discusi´ on sobre la elasticidad en la demanda por dinero entre economistas . Por una parte se encuentran los seguidores de Milton Friedman, quienes argumentan que la teor´ıa cuantitativa del dinero es la forma correcta de entender la demanda por dinero. Otro grupo esta compuesto por los seguidores de Baumol y Tobin quienes sostienen que su modelo indica correctamente como se debe analizar la demanda por dinero. Recuerde que seg´ un Baumol y Tobin el individuo minimiza el costo de mantener dinero en efectivo: 188

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

M + Zn P donde i es la tasa de inter´es, M/P son los saldos real por dinero, n el n´ umero de transacciones que quiere hacer un individuo en un per´ıodo determinado y Z el costo de transacci´on involucrado en cada interacci´ on con el banco al transformar su riqueza en dinero.10 CT = i

En concreto, se le pide a usted que responda algunas preguntas para dirimir quienes tienen la raz´ on. 1. Presente y comente la ecuaci´on b´ asica que sustenta la demanda por dinero para los seguidores de Friedman. Respuesta: Los seguidores de Friedman basan su an´ alisis de demanda por dinero en base a la teor´ıa cuantitativa del dinero , la cual nos indica que, M ·V = P ·Y Donde M es la cantidad por dinero, V es la velocidad de circulaci´ on del dinero, P es el nivel de precios de la econom´ıa e Y es el nivel o cantidad de producto. 2. Desarrolle y comente el modelo de Baumol Tobin de demanda por dinero. Respuesta: El problema del individuo consiste en optimizar la demanda que debe realizar por dinero. En la pr´ actica esto consiste en minimizar: Y m´ın i + Zn 2n {n} La cpo es −

iY +Z =0 2n2

Reordenando la expresi´ on podemos despejar para n y as´ı encontrar el n´ umero o ´ptimo de veces que se debe acudir al banco. n∗ =

iY 2Z

Con la deﬁnici´ on de saldos reales promedio, M P

= =

Y 2n Y ! iY 2 2Z ZY 2i

10 Si en cada per´ ıodo el individuo retira la totalidad del dinero que tiene para consumir (por ejemplo para un mes) entonces debe ser cierto que la magnitud de retiros es Yn . Si los recursos los gasta en forma homog´enea en el tiempo, durante el per´ıodo Y mantendr´ a en promedio saldos reales por un monto total 2n .

189

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

3. Obtenga las elasticidades por demanda real de dinero (M/P ) respecto al ingreso. (Tip: aplique logaritmo natural) ¿Cuales son las diferencias? Respuesta: Para los seguidores de Friedman tenemos que,

MV = M = P M ln = P

PY Y /ln() V ln(Y ) − ln(V )

La elasticidad es entonces, ∂ln(M/P )F ∂ln(Y )

En cambio, para los seguidores de Baumol-Tobin tenemos que M = P M ln = P

ZY 2i

/ln()

1 1 (ln(Z) + ln(Y )) − (ln(2) + ln(i)) 2 2

La elasticidad es entonces, ∂ln(M/P )B−T ∂ln(Y )

1/2

Como vemos, la elasticidad saldos reales de dinero-renta es en ambos casos positiva. Seg´ un la teor´ıa cuantitativa del dinero la elasticidad es igual a 1, es decir un incremento de 1 % del ingreso requiere un aumento de 1 % en la cantidad real de dinero. Esto es el doble de la elasticidad que obtenemos seg´ un la predicci´ on te´ orica del modelo de Baumol Tobin la cual indica que un incremento de 1 % en el ingreso hace aumentar solo en 0.5 % la demanda por dinero. 4. Seg´ un la predicción te´ orica que acaba de encontrar, ¿Qué grupo de economistas parece tener la razón? ¿Por qué? Respuesta: No hay una respuesta correcta ya que ambos grupos tienen raz´ on. Todo depende de los supuestos que se utilicen. Recuerde que la ecuaci´ on cuantitativa del dinero es un identidad que siempre se cumple en el largo plazo, aunque en el corto plazo se presenten ciertas desviaciones. Por su parte, es en el corto plazo que es interesante el modelo de Baumol-Tobin, que nos ayuda a entender la demanda en su uso para transacciones. As´ı, pareciera que en el corto plazo la elasticidad-ingreso por demanda de dinero es 1/2 mientras que en el largo plazo la elasticidad es igual a 1. La evidencia emp´ırica confirma en el largo plazo la predicci´ on de los seguidores de Friedman, mientras que en el corto plazo sugiere que en el corto plazo se cumple la predicci´ on de Baumol y Tobin (Alvarez & Lippi 2007).

4.2.12.

Baumol-Tobin y descuentos electr´ onicos

Suponga el modelo simple de Baumol Tobin donde un individuo gasta linealmente su ingreso y realiza i Y 2/3 n retiros de igual magnitud (R), de manera de minimizar el costo de oportunidad n + 2n de mantener efectivo y el costo de hacer retiros (Z), en el contexto donde es necesario el dinero para hacer sus compras. 190

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

a. Plantee el problema de minimizaci´ on de costos y encuentre el o´ptimo para la cantidad de retiros de este individuo. Respuesta: El proceso de maximizaci´ on lleva a que el agente mide el costo de oportunidad del dinero contra el costo de cada viaje.

m´ın (n) C

∂C (n) n z

Y 2/3 i + + Zn n 2n i Y 2/3 = − 2− +Z =0 n 2n2 2i + Y 2/3 = 2n2 =

Despejando la u ´ltima ecuaci´on respecto de n encontramos el numero ´optimo de retiros. n∗ =

2i + Y 2/3 2z

(4.52)

b. Cu´ al es la conclusi´ on m´ as importante de este modelo y cuáles son los supuestos m´ as fundamentales? ¿cuál es la intuici´ on del costo fijo de hacer retiros? Respuesta: La idea del modelo es que el dinero se requiere para hacer transacciones pero que tiene un costo de oportunidad. Supone entonces que el dinero cumple una funci´ on de “medio de cambio” y por lo tanto justifica una demanda por dinero. Se le podr´ıa criticar que no es exclusivo en poder ser utilizado como medio de intercambio. El modelo no escoge el dinero end´ ogenamente como medio de cambio. Adem´ as evidentemente se observa que existen otras formas de hacer transacciones en la realidad. c. ¿C´ omo ser´ıa afectada la demanda por saldos reales si aumenta la cantidad de bancos donde se puede acceder a dinero en este modelo? Respuesta: El aumento de bancos se puede modelar como una disminuci´ on en el costo de ir a buscar dinero Z. Lo que aumente el numero ´ optimo de viajes, ya que se vuelve menos costoso hacer los retiros, y reduce los saldos reales promedios que tiene el agente. Matematicamente lo podemos ver de la siguiente forma: ! 2i+Y 2/3 ∂ 2z ∂n = ∂Z ∂Z ∂n 1 2i + Y 2/3 = − Z −3/2 ∂Z 2 2 Es decir, al aumentar Z, disminuye la cantidad de retiros optimos, por otro lado, si disminuye el costo de los retiros Z los viajes aumentaran. d. Un amigo economista de la Universidad de Chile le dice que existe una mejor función para representar a en lo correcto?¿Porqué? el costo de oportunidad,siendo iY 2n . ¿Estar´ Respuesta: Si nos fijamos bien, el costo de oportunidad representa, en este caso, las ganancias financieras que podr´ıa tener manteniendo el dinero en el banco versus mantener este dinero en el bolsillo. Si el dinero esta en el banco, este debe obtener ganancias financieras, es decir, ganar intereses por el dinero que 191

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

mantengo en el banco, lo cual se ve representado por iY . A pesar que las dos funciones cumplen que el costo de oportunidad aumenta al aumentar i e Y y disminuir al aumentar n. Solo en la funci´ on presentada por su amigo economista se cumple con que con el hecho de las ganancias financieras de mantener el dinero en el banco. Por lo tanto la ecuaci´ on que mejor describe el costo de oportunidad . es iY 2n e. Suponga ahora que existe otra forma de llevar a cabo transacciones a través de descuentos electr´ onicos (T ) con ≤ T ≤ Y .Donde T es el total de recursos descontados en el periodo. Este sistema es recibido en todos los negocios y no se descuentan hasta el momento de llevarse a cabo la transacción por lo que no presentan un costo de oportunidad i. ¿Qué pasa con la demanda por dinero en este caso si el uso de T tiene un costo fijo de τ para cada peso descontado? ¿bajo que condiciones existe demanda por dinero en esta econom´ıa? Respuesta: Esto se podr´ıa incluir en el modelo y en la maximizaci´ on de la siguiente manera:

i (Y − T ) + Zn + τ T 2n i(Y − T ) = − +Z 2n2

minn,T C (n, T ) = ∂C (n, t)) ∂n i(Y − T ) +Z − 2n2 2zn2

= 0 = i (Y − T )

Despejando la u ´ltima ecuaci´on respecto de n encontramos el numero ´optimo de retiros. n∗ =

i(Y − T ) 2z

(4.53)

Dado que es menor a Z y no presenta costo de oportunidad, domina el no llevar dinero en el bolsillo. Esto equivale a no usar dinero y siempre pagar con tarjeta ⇒ Y = T . f. Suponga ahora que los descuentos electr´ onicos y el dinero no son perfectos sustitutos en todos los escenarios y que el ingreso del individuo se gasta una proporci´ on. Y en actividades informales (kioscos) y (1 − λ) Y en actividades formales (malls). Si los kioscos no aceptan pagos electr´onicos pero s´ı efectivo, encuentre la demanda por dinero en funci´ on de (λ, τ ) dado un costo τ por cada peso descontado. ¿c´ omo evoluciona la demanda por dinero si λ se acerca a 0? Respuesta: Como vimos en el caso anterior, cuando son sustitutos el dinero y las tarjetas, no se demanda dinero, por lo que tenemos que (1 − λ) Y = T . La demanda por dinero entonces es funci´ on positiva de λ y es igual a el caso inicial.

n∗ =

iλY 2Z

A medida que λ tiende a 0 el dinero se vuelve obsoleto para ser utilizado como medio de intercambio.

4.2.13.

Cuando el dinero es neutral

Considere una econom´ıa en la que el dinero es neutral. En particular suponga que π = ∆m y que r es constante e igual a cero. Suponga adem´ as que la oferta de dinero viene dada por ∆mt = k∆mt−1 + t , donde es una perturbaci´ on tipo ruido blanco. Suponga que It = (it + Et it+1 )/2. Adem´as sabemos que por la identidad de Fisher se cumple que it = rt + Et (pt+1 ) − pt . La variable p es el logaritmo natural del nivel de precios. 192

´ 4.2. MATEMATICOS DE DINERO

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

1. Exprese it en funci´ on de ∆m y k. Asuma que ∆m es conocido en el momento t. on de ∆m y k. 2. Exprese Et it+1 en funci´ 3. ¿Cu´ al es la relación entre It e it ? on que hay detr´ as de 4. ¿Cómo afectar´ıa un cambio en k a la relaci´ on entre It e it ?. Explique la intuici´ este hallazgo. 5. Un anuncio del Banco Central en su comunicado mensual dice lo siguiente: De seguir d´ andose este escenario de persistente inflaci´ on, es probable que en los pr´ oximos meses se reduzca el impulso monetario... ¿Qué espera usted que suceda con It ? Explique en breves palabras qué variable es afectada tras este anuncio, y por qué.

193

Cap´ıtulo 5

La nueva oferta y demanda agregada (Modelos Neo-Keynesianos) 5.1.

Comentes

5.1.1.

Phillips ’58

¿Cuál fue la relaci´ on original que estableci´ o Phillips en su art´ıculo de 1958? ¿Cu´ ales eran las recomendaciones de pol´ıtica econ´ omica que a partir de esta se hicieron? ¿Tuvieron efectos permanentes estas recomendaciones? Respuesta: La relaci´ on original que describi´ o Phillips para Inglaterra fue entre inflaci´ on de salarios y desempleo. La relaci´ on se populariz´ o en los a˜ nos siguientes como una relaci´ on negativa entre inflaci´ on general de precios y desempleo o producto. A partir del trade-off que establec´ıa esta relaci´ on se hicieron recomendaciones de una pol´ıtica monetaria activa, ejemplo al buscar una expansi´ on monetaria induciendo un mayor nivel de precios pero con un menor nivel de desempleo. Sin embargo, la curva de Phillips es una relaci´ on de corto plazo. En el largo plazo la pol´ıtica monetaria NO puede reducir el desempleo por debajo de la tasa de pleno empleo. En el largo plazo los aumentos monetarios solo tienen como consecuencia un mayor nivel de precios. Es decir, la pol´ıtica no tiene efectos permanentes sobre el empleo/producto pero si sobre los precios.

5.1.2.

Expansi´ on de M

Un pol´ıtico conocido por sus cr´ıticas a la pol´ıtica econ´ omica afirma que “...siempre que hay una pol´ıtica monetaria expansiva que busca un mayor nivel de empleo esta tendr´ a como u ńica consecuencia un mayor nivel de precios, el que ser´ a su u ńico efecto permanente...”. Comente. Respuesta: La afirmaci´ on depende de las condiciones en que se encuentre la econom´ıa. Si el nivel de desempleo es mayor al nivel calculado como de pleno empleo, una monetaria expansiva si ayudar´ a a acercar a la econom´ıa al pleno empleo con una presi´ on, aunque leve, sobre la oferta para que aumente los precios. En el caso de que la econom´ıa se encuentre en la tasa de desempleo natural y la pol´ıtica econ´ omica intente disminuir a´ un m´ as esta tasa, durante algunos per´ıodos se podr´ a disminuir. Pero poco tiempo transcurrir´ a antes de que el nivel de precio comience a aumentar. El resultado final ser´ a el mismo nivel de desempleo natural con un mayor nivel de precios.

194

5.1. COMENTES

5.1.3.

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Islas de Lucas

En el modelo de las Islas de Lucas, ÂżExplique cuÂ´al es la razÂ´on que genera una Curva de Phillips de corto plazo? ÂżEn que caso la polÂ´Äątica monetaria es Neutral? Respuesta: En el modelo de las Islas de Lucas el supuesto clave es que la informaciÂ´ on no ďŹ&#x201A;uye perfectamente. Esta es la imperfecciÂ´ on que hace que los empresarios comentan ciertos errores nominales (precios) que tienen consecuencias reales (producciÂ´ on). En este modelo hay dos posibilidades en que la polÂ´Äątica monetaria puede ser neutral. La primera es suponer que la informaciÂ´ on comienza a ser perfecta. Esta observaciÂ´ on no es menor ya que fue una de las principales criticas al modelo ya que se requiere un muy buen argumento para decir que si los errores son costosos para los empresarios, estos no van a buscar formas de mejorar el ďŹ&#x201A;ujo de informaciÂ´ on o aďŹ nar sus proyecciones. La segunda posibilidad en que la polÂ´Äątica monetaria es Neutral es cuando la volatilidad de precios en la economÂ´Äąa es tan alta que la curva de Phillips alcanza una gran inclinaciÂ´ on. En este caso cualquier intento de empujar la economÂ´Äąa sobre el producto de pleno empleo se traduce solamente en inďŹ&#x201A;aciÂ´ on de precios.

5.1.4.

Calvo y Rotemberg

La Nueva Curva de Phillips es una relaciÂ´ on que se origina a partir del comportamiento optimizador de agentes econÂ´omicos. ÂżCuÂ´ales son los supuestos utilizados por los modelos de Rotemberg y de Calvo para explicar las rigideces nominales? Respuesta: Los modelos Neo-Keynesianos han buscando fundamentar las relaciones en base al comporamiento microeconomico optimizador de los agentes econÂ´ omicos. En el caso de la curva de Phillips se ha buscado distintas formas de explicar el porque los cambios no cambian con perfecta ďŹ&#x201A;exibilidad de forma de no tener efectos sobre variables reales. En el caso del modelo de Rotemberg este asume que los empresarios enfrentan costos de cambiar los precios en cada perÂ´Äąodo. MÂ´ as aÂ´ un, en este modelo se asume que el costo del cambio de precios es concavo. De esta forma, el comportamiento o Â´ptimo de los empresarios es cambiar los precios gradualmente en el tiempo. El modelo de Guillermo Calvo se basa en el supuesto de que los empresarios perciben del mercado ciertas seË&#x153; nales que les indica que pueden o no cambiar los precios. Por simplicidad esto se ha modelado como una probabilidad para cada empresarios de si poder cambiar los precios, o no. De esta forma en cada perÂ´Äąodo convivirÂ´ an ďŹ rmas que pudieron ajustar sus precios al nivel o Â´ptimo, y otras que solo pueden ajustar su nivel de producciÂ´ on.

5.1.5.

Nueva Curva de Phillips 1

Describa la ecuaciÂ´on de la Nueva Curva de Phillips detallando cada variable. A partir de esta explique por quÂ´e es importante para el Banco Central inďŹ&#x201A;uir en las expectativas del pÂ´ ublico. Respuesta: La Nueva Curva de Phillips puede ser descrita por la siguiente expresiÂ´ on: Ď&#x20AC;t = Î˛Et Ď&#x20AC;t+1 + Î¸ (yt â&#x2C6;&#x2019; y) + t . xt

Esta ecuaciÂ´ on nos indica que la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on de hoy es Forward-Looking. ya que depende las expectativas de inďŹ&#x201A;aciÂ´ on futuras (Et Ď&#x20AC;t+1 ). Los precios cambiarÂ´ an segÂ´ un las presiones de demanda que surjan de la brecha

195

5.1. COMENTES

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

de producto (xt ). Adem´ as habr´ a un shock de costos que se supone con media cero ( ). La relaci´ on expuesta es forward-looking nos ayuda a entender porque es tan importante para el banco central alinear las expectativas de inﬂaci´ on futura. Por ejemplo, si la inﬂaci´ on esperada a futuro (t + 1) es mayor a la meta, los precios comenzar´ an a aumentar hoy (t).

5.1.6.

Nueva Curva de Phillips 2

A pesar de la fundamentaci´ on te´ orica del la Nueva Curva de Phillips no hay evidencia emp´ırica que sustente esta relación. Comente. Respuesta: Como vimos en el curso la curva de Phillips es uno de los componentes que describen el funcionamiento de la econom´ıa seg´ un la visi´ on de la mayor´ıa de los bancos centrales. Para Chile presentamos evidencia de Céspedes y Soto (2006). Sus estimaciones indican que la NKPC describe satisfactoriamente la evoluci´ on de los precios, es decir, confirman que la inflaci´ on de hoy depende en buena medida de la inflaci´ on futura. Debido a que en Chile existe una gran proporci´ on de precios que se reajustan siguiendo la inflaci´ on pasada (UF), también depende de la inercia inflacionar´ıa.

5.1.7.

Taylor

Escriba una Regla de Taylor seg´ un su formulaci´ on original y explique cada uno de sus componentes. Suponga que la inflaci´ on esta por sobre la meta en la misma proporci´ on que el producto esta por debajo del potencial, ¿Cu´ al ser´ a la recomendación de pol´ıtica que nos indica esta regla: aumenta o disminuye? Respuesta: Una regla de Taylor puede ser, it = i + β(πt − π M ) + α(yt − y) donde it es la tasa de pol´ıtica monetaria del Banco Central, i es la tasa de interés natural. El coeficiente β es la reacci´ on de la tasa de interés respecto a las desviaciones de la inflaci´ on respecto a la meta, y α es la reacci´ on a la brecha de producto. En el caso supuesto se nos dice que la inflaci´ on es mayor a la meta, por lo que β estar´ a multiplicado por una proporci´ on positiva (v > 0). Por otra parte, la segunda brecha es negativa en la misma proporci´ on (v < 0). Es decir, it = i + v(β − α) Como discutimos en clase, para que el sistema de ecuaciones que describe a la econom´ıa sea estable se debe cumplir el Principio de Taylor. Este nos dice que la reacci´ on de la autoridad monetaria debe ser m´ as que proporcional a alzas de la inflaci´ on. M´ as a´ un, debe ser mayor que α. Luego, sabemos que β es mayor que α, lo que nos indica que en esta situaci´ on la recomendaci´ on de pol´ıtica es que la tasa de interés debiera aumentar.

5.1.8.

Ecuaciones NKE

Escriba las ecuaciones que describen lo que se conoce como los Nuevos Modelos Keynesianos. ¿Cuales son las caracter´ısticas principales de estos modelos? Respuesta: Las ecuaciones que componen estos modelos son

196

5.1. COMENTES

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Ď&#x20AC;t

Î˛Et Ď&#x20AC;t+1 + Î¸ (yt â&#x2C6;&#x2019; y) + t

(5.1)

yt â&#x2C6;&#x2019; y

1 Et yt+1 â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; (it â&#x2C6;&#x2019; Et Ď&#x20AC;t+1 â&#x2C6;&#x2019; Ď ) Ď&#x192; i + Î˛(Ď&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; M ) + Îą(yt â&#x2C6;&#x2019; y)

(5.2) (5.3)

La ecuaciÂ´ on (5.37) es una Curva de Phillips que representa la oferta de la economÂ´Äąa. Esta establece una relaciÂ´ on entre la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on en t que depende positivamente de la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on esperada a futuro y la presiÂ´ on que se origina en la brecha de producto. La ecuaciÂ´ on (5.36) es la demanda agregada o IS. En este caso la IS esta escrita como brechas de producto. En este caso la demanda de hoy depende de lo que se espera que sea la demanda en los siguientes perÂ´Äąodos, y negativamente de la tasa de interÂ´es. La ecuaciÂ´ on (5.38) es una regla de Taylor que indica la conducta de la polÂ´Äątica monetaria: se aumenta la tasa respecto a su nivel natural on (que puede ser la esperada, dependiendo del modelo) es o de estado estacionario (i) cuando la inďŹ&#x201A;aciÂ´ mayor a la meta, y/o cuando la brecha de producto es positiva. Las caracterÂ´Äąsticas principales de los modelos Neo-Keynesianos son: Las ecuaciones han sido derivadas a partir del comportamiento optimizador intertemporales que enfrentan los agentes econÂ´ omicos. Son modelos consistentes con las expectativas racionales. Una de las caracterÂ´Äąsticas claves es que sus componentes son Forward-Looking. Es decir, las expectativas de las variables a futuro determinan las variables hoy.

5.1.9.

La hipÂ´ otesis de Milton

Explique en que consiste la HipÂ´ otesis Aceleracionista de Milton Friedman. ÂżQuÂé sucede con esta hipÂótesis si las expectativas son Forward Looking? Respuesta: Milton Friedman argumentaba el desempleo no era un fenÂ´ omeno monetario. SegÂ´ un su visiÂ´ on, Los trabajadores a la hora de negociar sus contratos y salarios estÂ´ an interesados en el Salario real (poder adquisitivo) La u Âńica forma de mantener el desempleo por debajo del nivel natural es aumentando permanentemente la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on ya que una vez que ha sido internalizada se necesita mÂ´ as inďŹ&#x201A;aciÂ´ on para lograr efectos sobre la economÂ´Äąa. En el largo plazo el uso del trade-oďŹ&#x20AC; entre empleo e inďŹ&#x201A;aciÂ´ on por parte del Banco Central solo es posible si la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on acelera cada vez mÂ´ as.... explotando. El anÂ´ alisis de Friedman asumÂ´Äąa que los trabajadores utilizaban expectativas adaptativas (se ďŹ jan en Ď&#x20AC; e = Ď&#x20AC;tâ&#x2C6;&#x2019;1 ). De esta forma la autoridad monetaria en la prÂ´ actica, segÂ´ un el argumento de Friedman, explota el error que se produce cuando las expectativas son bayesianas, es decir, se ajustan segÂ´ un el error pasado. Para mantener la efectividad de la polÂ´Äątica se requiere seguir engaË&#x153; nando al pÂ´ ublico constantemente. Sin embargo, la hipÂ´ otesis de Friedman deja de ser correcta si pensamos en agentes forward looking ublico. (Ď&#x20AC; e = Ď&#x20AC;t+i ). En este caso no hay forma de explotar la persistencia de los errores que comente el pÂ´ Ya que los agentes no responden ajustando sus expectativas segÂ´ un lo ocurrido en los perÂ´Äąodos anteriores, sino que usan todo el set de informaciÂ´ on, los bancos no pueden explotar la persistencia de los errores. Luego, si la autoridad quisiera empujar la economÂ´Äąa, podrÂ´Äąa hacerlo en el corto plazo. Pero muy poco tiempo pasarÂ´Äąa antes de que los agentes dejarÂ´ an de reaccionar a los shocks monetarios

197

5.1. COMENTES

5.1.10.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Relaciones de Euler 1

Explique en que se relaciona la Nueva demanda agregada, la teor´ıa del ingreso permanente y el consumo optimo en el modelo de Ramsey. ´ Respuesta: Existe una fuerte relaci´ on entre estos tres conceptos. Lo principal es que la nueva demanda agregada, el ingreso permanente y el consumo ´ optimo reﬂejan las decisiones de agentes que optimizan intertemporalmente. Esto hace que las tres respondan a expectativas racionales. En todos los casos se nos indica que las decisiones de consumo de hoy depende del ingreso que se espera se tenga a futuro. Incluso, si lo analizan con detenci´ on, las ecuaciones nos muestra que todas responden a la misma ecuaci´ on de Euler!!!.

5.1.11.

Relaciones de Euler 2

El comportamiento del consumo fue estudiado en tres ocasiones: primero vimos la optimizaci´ on intertemporal, de la cual concluimos la existencia de la Teor´ıa del Ingreso Permanente. Luego vimos el consumo en el modelo de ahorro ´optimo de Ramsey. Finalmente estudiamos la nueva demanda agregada. Explique y comente como se relacionan los anteriores conceptos. Respuesta: Existe una fuerte relaci´ on entre estos tres conceptos: si lo analizan con detenci´ on, las ecuaciones nos muestra que todas responden a la misma ecuaci´ on de Euler!!! Lo principal es que la nueva demanda agregada, el ingreso permanente y el consumo ´ optimo reﬂejan las decisiones de agentes que optimizan inter-temporalmente: esto ser´ a consistente con suavizar el consumo en el tiempo (Teor´ıa de Ingreso Permanente), como optimizar la trayectoria en el tiempo (Modelo de Ramsey) o con que el consumo de hoy depende de las expectativas (racionales) de lo que pasara con el consumo en el siguiente per´ıodo (Nueva Demanda Agregada) En todos los casos se nos indica que las decisiones de consumo de hoy depende del ingreso que se espera se tenga a futuro.

5.1.12.

Efectos de shocks

En teor´ıa, el caso es claro, los shocks de oferta y demanda ambos generan aumentos en la inflación, y ca´ıdas en el empleo. Comente. Respuesta: Falso. Si revisan las clases de pol´ıtica monetaria del Bloque 5 podr´ an ver que ante shocks de oferta el empleo cae y la inflaci´ on aumenta. Sin embargo, en el caso de shocks de oferta el empleo aumenta y la inflaci´ on aumenta.

5.1.13.

Diferencias en las Reglas

´ La Regla de Taylor y la Regla Optima no son iguales, aunque ambas cumplen con el principio de Taylor. Escriba ambas reglas y comente la frase anterior. Respuesta: La Regla de Taylor nos indica como reacciona la autoridad monetaria ante desviaciones de la inflaci´ on respecto a su nivel meta, y el producto respecto a su nivel de pleno empleo o potencial. Por ejemplo, esto hace que ante aumentos de la inflaci´ on, la regla indica que la tasa debe aumentar. Si el producto es menor al de pleno empleo, la tasa debe disminuir. Lo importante es que se cumpla el principio de Taylor, que indica que la reacci´ on del banco ante aumentos de la inflaci´ on debe ser m´ as que proporcional, y mayor para desviaciones de inflaci´ on que de producto. Hay distintas versiones de Reglas Monetarias Optimas. En el curso vimos un caso extremos en el cual lo mejor que puede hacer la autoridad para maximizar el bienestar de la poblaci´ on es solo observar las desviaciones de inflaci´ on y no preocuparse de los cambios del producto.

198

5.1. COMENTES

5.1.14.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Una des-inflaci´ on, ¿M´ agica?

La mayor´ıa de los episodios desinflacionarios llevan a una ca´ıda en el producto importante. Sin embargo, algunas veces, como en Bolivia en 1985, se logra bajar la inflaci´ on sin ning´ un costo sobre el producto, lo que contradice el modelo neokeynesiano. Usando un gráfico OA-RPM, comente la afirmaci´ on anterior. Respuesta: La afirmaci´ on del comente se basa en una regularidad emp´ırica que se debe al trade-off entre empleo/producto e inflaci´ on: si queremos una menor inflaci´ on se requiere sacrificar producto. Sin embargo, en el contexto de los nuevos modelos keynesianos existe una alternativa: Anclar las expectativas. El caso de Bolivia es un ejemplo de c´ omo al alinear las expectativas de inflaci´ on, el Banco Central logro que las decisiones de cambios en los precios se preocuparan de la inflaci´ on futura esperada y no de la hiper-inflaci´ on que ven´ıan arrastrando.

5.1.15.

La observaci´ on de Phillips

La curva de Phillips comenz´ o como una observaci´ on emp´ırica por lo que para ser validada requer´ıa un sustento te´ orico. Explique cuales son los supuestos utilizado en el modelo de Islas de Lucas para generar una Curva de Phillips. Respuesta: B´ asicamente informaci´ on imperfecta lo cual induce errores en las decisiones de producci´ on. Ver libro.

5.1.16.

El principio de Taylor

La regla de Taylor describe el comportamiento de la pol´ıtica monetaria. Esta regla debe cumplir, entre otras cosas, con el principio de Taylor que dice que la reacción a desviaciones de inflación respecto a la meta es mayor a la reacción de desviaciones del producto respecto al potencial. Comente. Respuesta: La regla de Taylor describe como debe ser la reacci´ on de la tasa interés del banco central frente a desviaciones de la inflaci´ on y del producto. Su formulaci´ on original es del tipo, it = (r + π) + α(πt − π) + β(yt − y) El principio de Taylor, a diferencia de lo que indica el enunciado, es que el par´ ametro α debe ser mayor que uno lo que indica que la reacci´ on de la pol´ıtica monetaria debe ser m´ as que proporcional ante desviaciones de la inflaci´ on respecto a la meta. La relaci´ on indicada en el enunciado respecto a las reacciones de inflaci´ on y producto se conoce como aversi´ on inflacionaria. Mientras m´ as averso sea un Banco Central mayor ser´ a el ratio α/β. Aunque no fue visto en clases, algunos modelos buscan responder cuales son los par´ ametros optimos. Dependiendo de los supuestos hay incluso modelos que indican que lo mejor para el bienestar ´ social de la econom´ıa es que β sea cero, con lo cual se dice que la autoridad monetaria no debe tomar en cuenta lo que suceda con el producto en sus decisiones.

5.1.17.

Forward-Looking

¿Qu´e signiﬁca que la Nueva Curva de Phillips y la Nueva Demanda Agregada forward-Looking, es decir, dependan de la expectativa de valores futuros? Respuesta: Completar

5.1.18.

Evidencia de la Nueva Curva de Phillips para Chile

A pesar de la fundamentaci´ on te´ orica de la Nueva Curva de Phillips para el caso de Chile no hay evidencia emp´ırica que sustente esta relaci´on. Comente. Respuesta: Como vimos en el curso la curva de Phillips es uno de los componentes que describen el funcionamiento de la econom´ıa seg´ un la visi´ on de la mayor´ıa de los bancos centrales. Para Chile presentamos evidencia de 199

5.1. COMENTES

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

CÂ´espedes y Soto (2006). Sus estimaciones indican que la NKPC describe satisfactoriamente la evoluciÂ´ on de los precios, es decir, conďŹ rman que la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on de hoy depende en buena medida de la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on futura. Debido a que en Chile existe una gran proporciÂ´ on de precios que se reajustan siguiendo la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on pasada (UF), tambiÂ´en depende de la inercia inďŹ&#x201A;acionaria.

5.1.19.

SeË&#x153; nales para los productores

Suponga dos economÂ´Äąas; en una la autoridad monetaria a logrado una gran estabilidad de precios, mientras que en la otra los precios han sido altamente inestable. Productores representativos de ambas economÂ´Äąas observan un cambio en su propio precio (pi ). ÂżQuÂ´e sucederÂ´a con la producciÂ´ on agregada? Respuesta: Para contestar la pregunta recordemos que en el modelo de Islas de Lucas llegamos a una oferta agregada del tipo, Vr y=Îł (p â&#x2C6;&#x2019; pe ) Vr + Vp Îą

Como nos muestra esta ecuaciÂ´ on la volatilidad de esta economÂ´Äąa determina la pendiente de la Curva de Phillips, tambiÂ´en llamada Oferta a la Lucas. En una economÂ´Äąa con nivel general de precios muy volÂ´ atil, la curva de Phillips tendrÂ´ a una gran inclinaciÂ´ on (Îą 0). Por otra parte, si la autoridad monetaria genera estabilidad de precios, los cambios de pi serÂ´ an percibidos principalmente como cambios de precios relativos y por lo tanto la curva de Phillips serÂ´ a mÂ´ as horizontal (Îą 1). Esto nos lleva a que la reacciÂ´ on de la economÂ´Äąa a cambios en los precios dependa de cuÂ´ an estable mantenga la autoridad monetaria el nivel de precios. De esta forma, en la economÂ´Äąa volÂ´ atil en el agregado los productores asumirÂ´ an que el cambio de precios no amerita una mayor producciÂ´ on mientras que en la estable es muy probable que el shock sea particular al bien producido y, por lo tanto, en el agregado se incremente la producciÂ´ on.

5.1.20.

Implicancias de la Nueva Curva de Phillips

Suponga una curva de Phillips Nuevo-Keynesiana del tipo

Ď&#x20AC;t

Ď&#x2020;Ď&#x2C6;(1 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2C6;)Î˛) Î˝t (yt â&#x2C6;&#x2019; y) + Î˛Et Ď&#x20AC;t+1 + . 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2C6; 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2C6;

Î¸

donde Ď&#x2C6; es el parÂ´ ametro de ajuste a Â´ la Calvo y Î˛ es el factor de descuento intertemporal del consumidor. En palabras breves describa la ecuaciÂón anterior, en especial el rol de los parÂ´ ametros, y explique el aporte generado por la escuela Nuevo-Keynesiana a la formulaciÂón de esta relaciÂón. Respuesta: El parÂ´ ametro Ď&#x2020; da cuenta de la rigidez en que los mercados reciben la informaciÂ´ on necesaria para la toma de decisiones de ajuste de precios o Â´ptimos. En otras palabras, si los agentes son racionales y conocen perfectamente la forma en que funciona la economÂ´Äąa, y la informaciÂ´ on es disponible en todo momento, el valor de Ď&#x2020; debiera acercarse a cero. En el extremo, si Ď&#x2020; = 0, llegamos a una curva de Phillips NeoclÂ´ asica, con pendiente inďŹ nito, en donde siempre se da que y = 0. Sin embargo, como existen rigideses nominales, contratos y otros, las no todas las empresas no pueden cambiar sus precios todos los periodos. Esto causa cierta rigides y es la forma en que el modelo alcanza una Curva de Phillips con cierta pendiente. El aporte fundamental de los Nuevos Keynesianos es responder ante la CrÂ´Äątica de Lucas, y demostrar con fundamentos microeconÂ´ omicos que el pensamiento intuitivo de Keynes en realidad sÂ´Äą tiene asidero teÂ´ orico. Se demuestra que las relaciones macroeconÂ´ omicas fundamentales del modelo Keynesiano, responde a un comportamiento o Â´ptimo dependiente de parÂ´ ametros profundos â&#x20AC;&#x153;invariantesâ&#x20AC;?, como es el caso de el factor de descuento y la elasticidad de sustituciÂ´ on intertemporal (en el caso de la curva IS).

200

5.1. COMENTES

5.1.21.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

La importancia de ser cre´ıble

En el contexto de la Nueva Curva de Phillips explique porque es importante la credibilidad que tienen los agentes en el accionar del Banco Central. Respuesta: Los bancos centrales en los u ´ltimos 20 a˜ nos han cambiado su forma de hacer pol´ıtica monetaria y la forma de entender la econom´ıa mediante la Nueva Curva de Phillips, Nueva Demanda Agregada y Regla Taylor es gran parte de la explicaci´ on. Un manejo consecuente con un objetivo definido (inflation targeting) les ha dado credibilidad lo que les ha permitido anclar las expectativas de inflaci´ on. Pensando en una forward-looking Phillips curve, los responsables de la pol´ıtica monetaria han anclado las expectativas de la inflaci´ on en t+1. πt

θ(yt − y) + βEt πt+1 + t .

Los Bancos Centrales mediante un accionar cre´ıble buscan influir y en lo posible determinar las expectativas (un referente en las decisiones de las firmas cuando est´ an deben cambiar sus precios, renegociar on de hoy depende de contratos, etc.) que tiene el p´ ublico de la inflaci´ on futura (Et πt+1 ) y, como la inflaci´ lo que se espera a futuro, se consigue controlar la inflaci´ on hoy (πt ). un referente en las decisiones de las firmas cuando est´ an deben cambiar sus precios, renegociar contratos, etc.

5.1.22.

La Cr´ıtica de Lucas

Robert Lucas reflexion´ o sobre la dependencia entre decisiones de pol´ıtica y los intentos por describir emp´ıricamente las relaciones económicas. Explique en que consiste lo que a partir de su reflexi´ on se conoce como la Cr´ıtica de Lucas. Apoye su respuesta con un ejemplo. Respuesta: La Cr´ıtica de Lucas indica que las relaciones emp´ıricas que los economistas que intentan describir relaciones econ´ omicas deben tener mucho cuidado. Esto porque los par´ ametros econ´ omicos no son invariantes a las pol´ıticas econ´ omicas. Dicho de otra forma, las decisiones de pol´ıtica determinan los resultados que se observan. Uno de los ejemplos que utiliz´ o Lucas cuando escribi´ o sobre este problema fue la Curva de Phillips. Como vimos en el modelo de las Islas de Lucas el par´ ametro que determina la inclinaci´ on de la Curva de Phillips en este modelo depende de la volatilidad de los precios, y esta depende a su vez de las decisiones que adopte la autoridad monetaria.

5.1.23.

Islas de Lucas

En el contexto del modelo de las Islas de Lucas ¿Explique cu´ al es la razón que genera una Curva de Phillips de corto plazo? ¿De qué depende la pendiente de la Curva de Phillips en este contexto? ¿Qué implicancias sobre la neutralidad de la pol´ıtica monetaria tiene como resultado esta caracter´ıstica? Respuesta: En el modelo de las Islas de Lucas el supuesto clave es que la informaci´ on no fluye perfectamente. Esta es la imperfecci´ on que hace que los empresarios comentan ciertos errores nominales (precios) que tienen consecuencias reales (producci´ on). En este modelo, la pendiente de la Curva de Phillips es de la forma y = y¯ + α(γ, Vr , Vp ) (p − E[p]) Donde la pendiente depende de γ y del varianza de los precios relativos y del nivel de precios. La Pol´ıtica Monetaria ser´ a neutral en la medida que α ≈ 0. Para que esto ocurra se deber´ıa cumplir al menos una de las siguientes condiciones: 201

5.1. COMENTES

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

E[p] = p En este caso, y = y¯. Para que esto ocurra, le informaci´ on deber´ıa ser perfecta. Vp → ∞ En este caso y = y¯.

5.1.24.

Leyendo a Taylor

Suponga una ecuaci´ on de la Regla de Taylor de la forma it = r¯ + π ¯ + α(πt − π ¯ ) + β(yt − y¯) ¯ y¯). Explique, además, porqué el Principio de Taylor establece que α > 1. Explique qué representa α, β y (pi, Respuesta: Estos par´ ametros representa, respectivamente: α representa el grado de sensibilidad que tiene la autoridad monetaria ante desviaciones en el nivel de inflaci´ on β representa el grado de sensibilidad que tiene la autoridad monetaria ante desviaciones en el nivel de producto. ¯ y¯) representan las respectivas metas escogidas por la autoridad monetaria. (pi, El Principio de Taylor establece que α > 1 por dos razones: Si la autoridad desea afectar la inflaci´ on, debe mover la tasa de interés m´ as all´ a de su nivel nominal para afectar as´ı las variables reales. Matem´ aticamente, uno puede expresar la regla de Taylor de la forma 1 + βφ ut ¯ πt − pi = − (yt − y¯) + (α − 1)φ (α − 1)φ En este caso, si α < 1 el sistema no es estable

5.1.25.

Efectividad seg´ un Mishkin

Hace algunos meses en una entrevista Frederic Mishkin, Gobernador de la Fed de EE.UU. advierte sobre los desafios de una Cruva de Phillips m´ as plana “... la que impl´ıca un mayor ratio de sacrificio, es decir mas tiempo en el que el producto debe estar por debajo de su nivel potencial para disminuir en 1 % la inflaci´ on”. Explique con fundamentos en lo visto en clases por qué ha sucedido este cambio. ¿Cuales son las impliancias para la pol´ıtica monetaria?. Respuesta: La pendiente de la curva de phillips depende del comportamiento de las empresas al establecer relaciones entre producto-empleo y precios. Por ejemplo, una de las lecciones del modelo de las Islas de Lucas es que la pendiente de la curva de Phillips depende de la volatilidad del nivel general de precios. En la mayor´ıa de los pa´ıses en que se ha logrado bajar y hacer estable la inflaci´ on, la Curva de Phillips se ha vuelto m´ as plana. Esto es un desaf´ıo para la pol´ıtica monetaria ya que una menor pendiente de la curva de Phillips implica que cuando el Banco Central requiera reducir la inflaci´ on deber´ a desincentivar con m´ as severidad o por un tiempo m´ as prolongado la demanda agregada para tener efecto sobre los precios. Esto hace que la pol´ıtica monetaria se haga menos efectiva.

202

5.1. COMENTES

5.1.26.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

La critica de Vald´ es

En el Mercurio del s´ abado 14 de Junio de 2008, Rodrigo Valdés, ex-Gerente de Estudios del Banco Central comenta: “...creo que la intervenci´ on cambiaria enred´ o mucho el tema de tasas. El tipo de cambio fue una piedra en el zapato para ver qué hacer con el problema de la alta inflaci´ on. Hoy es importante volver a la meta de inflaci´ on (de 3 %), pero la prioridad n´ umero uno es intensificar su credibilidad”. Comente, ¿Cual es la relación tipo de cambio y la credibilidad? ¿Cu´ al es la critica de fondo de Valdes hacia el accionar del Banco? Respuesta: La intervenci´ on cambiaria realizada por el Banco Central durante este a˜ no ha tenido por objeto depreciar el peso. Esto implica que todos los bienes importados y en general todos los bienes transables se hacen m´ as caros para el consumidor, presionando un alza del IPC. Esto es inconsistente con el objetivo de reducir la alta inflaci´ on de los u ´ltimos meses. Es decir, el intervenir el tipo de cambio buscando su apreciaci´ on hace que no sea tan cre´ıble la intenci´ on de la autoridad monetaria respecto al control de la inflaci´ on. Una forma alternativa de entender la critica de Valdés es que en términos de la regla de Taylor que describe el comportamiento de la pol´ıtica monetaria seguida por el Banco Central, el ponderador de la desviaci´ on de la inflaci´ on respecto a su meta ha perdido importancia relativa frente al ponderador de las desviaciones del producto. La cr´ıtica de fondo que se hace es que, en opini´ on de Valdés, el Banco no debiera haber intervenido tipo de cambio ya que su meta perdi´ o credibilidad.

5.1.27.

Solo y u ´nicamente inflaci´ on

Hay economistas que abogan que los Bancos Centrales se deben preocupar exclusivamente del control de la inflaci´ on ya que, seg´ un argumentan, impl´ıcitamente, eso es preocuparse por el nivel de crecimiento del producto en el futuro. Comente. Respuesta: Una de las caracter´ısticas de la Nueva curva de Phillips es que ésta es forward looking. Esto hace que la inflaci´ on de hoy sea reflejo de las desviaciones del producto respecto a su nivel potencial. Bajo esta l´ ogica el control de la inflaci´ on de hoy es preocuparse de las desviaciones del producto. Partiendo de la nueva curva de Phillips πt = θ(yt − y¯) + βEt (πt+1 ) + et Adeltantando la expresi´ on tenemos que E(πt+1 ) = θ(yt+1 − y¯) + βEt (πt+2 ) Reemplazando em la inflaci´ on de hoy tenemos que, πt = θ(yt − y¯) + βEt (θ(yt+1 − y¯) + βEt (πt+2 )) + et Si continuamos reemplazando las expresiones para la futura inflaci´ on llegamos a, πt = E

∞

β i [θ(yt − y¯)]

i=0

Esta expresi´ on nos permite ver con mayor claridad la afirmaci´ on anterior. Si la inflaci´ on de hoy se explica por las futuras desviaciones del producto respecto al nivel potencial, el control de la inflaci´ on de hoy es preocuparse del producto a futuro.

203

5.1. COMENTES

5.1.28.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Meta y salarios

Céspedes y Soto (2006) investigan la forma en que los trabajadores Chilenos han negociado sus reajustes salariales en los u ´ ltimos a˜ nos. Para ello proponen que los reajustes siguen una formula como Γt = (1 + M 1−α πt−1 )α (1 + πt+1 ) , donde Γt es el reajuste de cada per´ıodo y π M corresponde a la inflaci´ on meta del Banco Central para cada per´ıodo de tiempo.1 Se estima el parámetro α en forma recursiva, lo que se hace partiendo en 1993, estimando el par´ ametro y luego incrementando en un trimestre la muestra hasta llegar a mediados de 2006. Al observar el valor de α en el tiempo se encuentra que su valor ha ca´ıdo con el transcurso de los a˜ nos. ¿C´ omo se pueden interpretar los resultados? Comente. Respuesta: En el trabajo de Céspedes y Soto el par´ ametro α da cuenta para la negociaci´ on de sus reajustes salariales M ) anunciada del peso que los agentes le atribuyen a la inflaci´ on pasada (πt−1 )y a la meta inflacionaria (πt+1 por el Banco Central. Al disminuir la estimaci´ on del par´ ametro α en el tiempo, se puede interpretar que esto es evidencia de una mayor credibilidad en la meta inflacionaria anunciada por el banco Central. Esto porque en la formaci´ on de expectativas ha ganado mayor peso la meta que la inflaci´ on del per´ıodo recien pasado. )

1 La formulaci´ on para la determinaci´ on de los salarios utilizada en C´espedes y Soto (2006) no es ex´ actamente esta sino una muy similar. Para efectos de la pregunta, no hay diferencias importantes.

204

´ 5.2. MATEMATICOS

5.2. 5.2.1.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Matem´ aticos Una econom´ıa Neo-Keynesiana

Suponga una econom´ıa descrita por una curva de Phillips dada por la ecuaci´ on (5.31) y una IS descrita por (5.32).

πt y−y

= =

πte + θ(yt − y t ) + t A − φ(i − π e ) + µ

(5.4) (5.5)

El Banco Central fija su pol´ıtica monetaria de acuerdo con la regla de Taylor descrita por (5.33), pero para simplificar supondremos que el objetivo inflacionario es 0 y el par´ ametro b también es 0. i =

r + π + a(π − π) + b(y − y)

(5.6)

1. Explique cada una de las ecuaciones y se˜ nale qué dice el principio de Taylor respecto del valor del par´ ametro a. Respuesta: Ecuaci´ on (5.31): Curva de Phillips. Esta ecuaci´ on en particular corresponde a la Curva de Phillips aumentada por expectectativas, donde t corresponde a un shock inflacionario, π π e corresponden a la infaci´ on y su valor esperado, respectivamente, e y − y corresponde a la brecha de producto2 . Esta ecuaci´ on se deriva de un modelo con rigideces en el ajuste de salarios y precios y describe la relaci´ on entre producto e inflaci´ on. Ecuaci´ on (5.32):IS escrita como desviaciones del producto respecto del pleno empleo. A es una constante que considera el gasto aut´ onomo, entre otros el gasto fiscal. El segundo térmion, donde φ es un par´ ametro positivo correspondiente a no (φ(i − π e )) corresponde a la inversi´ la sensibilidad del consumo y la inversi´ on a la tasa de interés real. Por u ´ltimo, µ es un shock de demanda. Ecuaci´ on (5.33):Regla de Taylor, esta ecuaci´ on describe el comportamiento (aproximado) de la autoridad cuando su instrumento es la tasa de interés. La raz´ on a/b representa la aversi´ on de la autoridad a la inflaci´ on y r + π corresponde a la tasa neutral de interés. Respecto del par´ ametro a, se puede decir que para que la reacci´ on de la autoridad (aumento o disminuci´ on de la tasa de interés nominal) tenga efectos reales, tiene que ser mayor que uno. Lo anterior es conocido como el Principio de Taylor. 2. Muestre los valores de equilibrio de la inflación el producto y la tasa de interés nominal (ı) como funci´ on de los par´ ametros. Respuesta: En el equilibrio la econom´ıa no recibe los azotes de los componentes aleatorios de (5.31) y (5.32), y el valor esperado de la inflaci´ on (proveniente de las expectativas de los agentes) es igual a la inflaci´ on on entregada por el enunciado: efectiva y a la meta (π e = π = π). Dado lo anterior, mas la informaci´ y π

= =

i = 2 Como

y π=0 ı = r = A/φ

y e y estan medidos en logaritmo la brecha corresponde a una desviaci´ on porcentual.

205

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

3. Encuentre la expresi´ on para π como funci´ on de los par´ ametros, π e , µ y . ¿Cu´ anto impacta un aumento de la inflaci´ on esperada a la inflación efectiva (∂π/∂π e )?.¿C´ omo es el valor de esta derivada cuando a es mayor o menor que 1 ?. Discuta su resultado, y a la luz de esto la racionalidad del principio de Taylor. Respuesta:

πt πt

= =

πte + θ(A − φ(ı + aπt − πte ) + µt ) + t πte + θA − θφı − θφaπt + θφπte + θµ + t

πt (1 + θφa)

πt

πte (1 + θφ) + θµt + t t 1 + θφ e θµt π + + 1 + θφa t 1 + θφa 1 + θφa ∂πt 1 + θφ >0 = ∂πte 1 + θφa

Cuando a < 1 un aumento en la inflaci´ on esperada genera un aumento mayor en la inflaci´ on, lo que en un esquema con din´ amica generar´ıa trayectorias explosivas. La raz´ on es que un aumento en la inflaci´ on esperada genera un aumento en la inflaci´ on, el que conduce a un aumento en la tasa de interés, pero la tasa real cae, con lo cual el producto sube, y la inflaci´ on sube m´ as de lo que lo hace la inflaci´ on esperada. 4. Ahora, suponga que la inflaci´ on esperada es igual a la inflación del periodo anterior (π e = πt−1 ). Esto le permitir´ a escribir la expresi´ on para la inflaci´ on como un proceso autorregresivo. Explique las caracter´ısticas (¿Es estable o no?) de este proceso dependiendo del valor de a. En consecuencia, ¿qué ocurre con la trayectoria de la inflaci´ on cuando hay un shock de demanda o de precios ?. Respuesta: Partiendo de (5.31) y reemplazando con (5.32) y (5.33):

πt

= πt−1 + θ(yt − y t ) + t

πt

= πt−1 + θ(A − φ(i − πt−1 ) + µ) + t

πt

= πt−1 + θ(A − φ((ı + aπt ) − πt−1 ) + µ) + t θµt + t (1 + θφ)πt−1 θA − θφı + + = 1 + θφa 1 + θφa 1 + θφa

πt ∴ πt

θµt + t (1 + θφ)πt−1 + 1 + θφa 1 + θφa

De lo anterior es posible ver que, partiendo de una inﬂaci´ on igual a cero, si a es menor que uno, la a mayor que uno. Si ocurriese lo anterior cualquier shock tanto expresi´ on que acompa˜ na a πt−1 ser´ de oferta como de demanda har´ıa que la inﬂaci´ on fuese creciendo m´ as en cada periodo convirtiendolo en un proceso explosivo. En caso de que a fuese igual a 1, el proceso quedar´ıa determinado por los errores aleatorios, lo cual es conocido como random walk. Por u ´ltimo, si a > 1 entonces el shock se ir´ a disipando en el tiempo.

206

´ 5.2. MATEMATICOS

5.2.2.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

En busca del equilibrio

Suponga que la demanda agregada est´ a determinada por y = y¯ + b (π − π e ) , b > 0

(5.7)

donde y es el logaritmo de la producción e y¯ es el logaritmo que está bajo el supuesto de precios flexibles, la funci´ on de pérdida del Banco Central. L=

1 1 2 2 (y − y ∗ ) + a (π − π ∗ ) , y ∗ > y¯, a > 0 2 2

(5.8)

1. ¿Qué significa el par´ ametro a?. Respuesta: Este refleja el peso relativo de la producci´ on y de la inflaci´ on con el bienestar social, que est´ a representado por la funci´ on de pérdida L.

2. Suponga que el Banco Central fija la tasa de inflaci´ on antes de que las expectativas de los agentes. Encuentre el valor de π ´ optimo para en Banco Central. Respuesta: Puesto que el compromiso del estado es vinculante π = π e y para hacer la m´ınima pérdida, entonces π = π∗

(5.9)

y con este valor la funci´ on de p´erdida queda: L=

1 1 (y − y ∗ )2 + a (π − π ∗ )2 2 2 1 L = (y − y ∗ )2 2

(5.10) (5.11)

3. Ahora suponga que el Banco Central toma las expectativas de inﬂaci´ on como dadas, determine el valor de π ´ optimo en este caso. Respuesta: Debemos reemplazar la demanda agregada en L: 1 1 2 2 (¯ y + b (π − π e ) − y ∗ ) + a (π − π ∗ ) 2 2

(5.12)

L = (¯ y + b (π − π e ) − y ∗ ) b + a (π − π ∗ ) = 0

(5.13)

∗

π=

∗

aπ + b π + b (y − y ) a + b2 2 e

(5.14)

4. ¿Cu´ al es la condici´ on de equilibrio para la inflaci´ on en esta econom´ıa?¿Cómo queda la ecuación encontrada en (c) de acuerdo a esto? Respuesta: Para el equilibrio sabemos que π = π e , entonces, reemplazando el resultado anterior: πe =

aπ ∗ + b2 π e + b (y − y ∗ ) a + b2

πe = π∗ +

b (y − y¯) = π a

207

(5.15) (5.16)

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. ¿Qué implica econ´ omicamente el resultado anterior? Respuesta: Explica que el u ńico equilibrio posible es donde, π = π e y por lo tanto y = y¯, lo que implica que la inflaci´ on esperada se eleva hasta el punto, en el cual, el banco central, al tomar π e como dado, decide ńico que consigue el gobierno con su discrecionalidad es incrementar igualar π = π e , por lo tanto lo u la tasa de inflaci´ on, sin poder de esta forma incidir en cambios reales sobre el producto. 6. ¿A qué se debe que la inflación siga en aumento? Respuesta: Esto se debe a la discrecionalidad de las autoridades y debido a esto su pol´ıtica de mantener la inflaci´ on baja no es cre´ıble, ya que los agentes piensan, que aumentar´ a m´ as la masa monetaria provocando inflaci´ on. 7. Suponga ahora que las mismas autoridades est´ an por dos periodos y que la nueva funci´ on de pérdida es la siguiente: 1 (5.17) Lt = yt − y¯ − aπ 2 2 Y la demanda agregada viene dada por: yt = y¯ + b − (πt − πte )

(5.18)

Además se sabe que la pol´ıtica econ´ omica puede estar en mano de dos tipos de banco central, el tipo 1 que se da con probabilidad p y que comparte las preferencias del p´ ublico en relaci´ on con yt y π, por lo que maximiza L = L1 + βL2 , con β < 0 ≤ 1 y un tipo 2 que se da con probabilidad 1-p, el cual s´ olo se preocupa por la inflaci´ on de modo que para el π1 = π2 = 0. Determine la inflación o´ptima para el individuo 1. Respuesta:

1 Lt = yt − y¯ − aπ 2 2 1 Lt = b (πt − πte ) − aπ 2 2 b b − baπt = 0 ⇒ πt = a

(5.19) (5.20) (5.21)

8. Determine Lt para el individuo 1 de acuerdo al resultado anterior. como en el periodo dos los agentes formulan sus espectativas de modo que π2 = π2e y sabemos que en el periodo uno fue π1 = ab , entonces: Respuesta: 2 2 b b b 1 1 e e e − π1 − a L= b + β b (π2 − π2 ) − a a 2 a 2 a 2 2 b b a b 1 e − π1 − a L= b +β a 2 a 2 a

208

(5.22)

(5.23)

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

9. Suponga ahora que el individuo 1 puede π1 = 0 con probabilidad q y π1 = determine la funci´ on objetivo o L.

b a

a con probabilidad 1-q.

Respuesta: Sabemos que al ser π1 = 0, los agentes pueden pensar que es un individuo del tipo 1 o 2, por lo tanto, la probabilidad de que el individuo sea del tipo 1 dado que la inflaci´ on en el periodo 1 fue de cero es: 1 1 P (1)P (π1 = 0)/1 pq ⇒P (5.24) = = P π1 = 0 P (1)P (π1 = 0)/1 + P (2)P (π1 = 0)/2 π1 = 0 pq + (1 − p) Notar que es 1 en el tipo 2, pues él siempre elige inflaci´ on 0, después de obtener la probabilidad y recordando que esto es para π2 . 2 b b pq b 1 1 2 e L = b (0 − π1 ) − a (0) + β b − (5.25) − a 2 a pq + (1 − p) a 2 a L=

5.2.3.

[b (−π1e )]

2 b b pq b 1 − +β b − a a pq + (1 − p) a 2 a

(5.26)

El objetivo de la autoridad

Suponga una autoridad que posee las siguientes preferencias: No le gustan las fluctuaciones del producto ni la inflaci´ on. El producto o´ptimo no es el de pleno empleo sino que yp +k; además la econom´ıa está descrita por: y = yp + θ (π − π e ) + Donde es un shock de productividad. Para el resto de las partes suponga que el shock es nulo. 1. Plantee el problema que resuelve la autoridad, suponiendo que las pérdidas por motivos inflacionarios como el producto son cuadr´ aticas. Adem´ as explique cada una de las ecuaciones. Respuesta: La autoridad resuelve:

" # minπ π 2 + λ(y − y¯ − k)2

(5.27)

y = y¯ + θ (π − π e )

(5.28)

sujeto a: La ecuaci´ on de pérdida expresa el disgusto que le provoca a la autoridad la existencia de inflaci´ on, as´ı como también las fluctuaciones entorno al producto potencial m´ as una constante. λ representa el peso relativo que le otorga la autoridad a los cambios en el nivel de producto respecto de la existencia de inflaciones o deflaciones. La restricci´ on representa la curva de oferta agregada (curva de Phillips), la que indica que niveles de producto sobre el potencial estar´ an acompa˜ nados por niveles de inflaci´ on mayores de los esperados. 2. Encuentre una expresi´ on para π en funci´ on de los par´ ametros. ¿Qué efectos tiene θ en dicha inflación?.¿A qué hace referencia dicho parámetro? Respuesta: Después de imponer las CPO se obtiene: π=

λθ λθ2 πe + k 1 + λθ2 1 + λθ2

(5.29)

θ hace referencia a la velocidad con la cual afectan los movimientos inﬂacionarios al producto y a la elasticidad de la curva de oferta.

209

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

3. Suponiendo expectativas racionales. ¿Cu´ al es el valor esperado de la inflaci´ on? Respuesta: on anterior se Suponiendo expectativas racionales π e = E(π), luego tomando la esperanza a la ecuaci´ tiene que: (5.30) π e = λθk En este modelo la inflaci´ on impl´ıcita es cero y con expectativas racionales y¯ = y 4. Suponga el Banco Central se compromete a obtener una inflaci´ on nula. ¿Deben creerle los agentes? Respuesta: La respuesta depender´ a de la credibilidad que posea el BC, ya que si éste no posee una reputaci´ on de cumplir con sus promesas, no existe ning´ un incentivo para que los agentes le crean. Luego si ocurre este escenario, la inflaci´ on resultante no ser´ a nula, ya que los agentes no actuar´ an como si creyesen en el compromiso del Central, por lo que la inflaci´ on ´ optima para la autoridad dejar´ a de ser nula, ie existe inconsistencia din´ amica. Si existen los mecanismos en que los agentes pueden asegurarse que el BC cumplir´ a con sus promesas, entonces inflaci´ on nula puede ser un equilibrio.

5.2.4.

El comportamiento seg´ un distintas reglas

Considere una econom´ıa descrita por la siguiente curva de Phillips, la demanda agregada, la regla de Taylor y la funci´ on de preferencia dada por: πt = πte + θ (yt − y¯t ) + t yt − y¯t = A − φ (i − πte ) + µt i = r¯ + π ¯ + a(π − π ¯ ) + b(y − y¯) Ω = λ(y − y¯)2 + (π − π ¯ )2

(5.31) (5.32) (5.33) (5.34)

¿Cuánto sube la tasa de interés, dada la tasa de inflaci´ on, en los siguientes casos? 1. La autoridad sigue una regla de Taylor. Respuesta: Si la autoridad sigue una regla de Taylor, la reacci´ on ante una diferencia entre la inflaci´ on efectiva y la meta viene dado por el par´ ametro a. Matem´ aticamente: ∂i ∂(π − π)

∂[r + π + a(π − π) + b(y − y)] ∂(π − π)

∂i ∂(π − π)

2. La autoridad sigue una regla o´ptima. Respuesta: Para poder responder esta pregunta debemos encontrar la regla que minimiza la pérdida de la autoridad (6.7), sabiendo que lo anterior se encuentra sujeto a la Curva de Phillips (5.31), adem´ as de considerar que el instrumento que va a utilizar la autoridad es la tasa de interés, por lo que debemos considerar la IS. Sabiendo lo anterior despejaremos y y π en funci´ on de la tasa de interés y el resto 210

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

de los par´ ametros. Entonces con (5.31) y (5.32) obtenemos:

y + A − φ(i − π e ) + µ

π e + θ(A − φ(i − π e ) + µ) +

Con lo anterior, reemplazamos en la funci´ on de p´erdida y minimizamos utilizando la tasa de inter´es:

z z

= λ(y − y)2 + (π − π)2 = λ(y + A − φ(i − π e ) + µ − y)2 + (π e + θ(A − φ(i − π e ) + µ) + − π)2

Luego m´ın z i

∂z ∂i

∂z =0 ∂i

=⇒

−2λφ[A − φ(i − π e ) + µ] − 2φθ[π e + θ(A − φ(i − π e ) + µ) + − π]

De lo anterior, y reconociendo que A/φ = r y que ı = r + π, obtenemos:

i i

θ µ (π 2 − π + ) + φ(θ2 + λ) φ µ θ θ + = ı+ 1+ (π e − π) + 2 2 φ(θ + λ) φ(θ + λ) φ

= r + πe +

(5.35)

Correspondiendo (5.35) a la funci´ on de reacci´ on ´ optima de la autoridad. Luego haciendo un an´ alisis similar al de la parte a):

∂i e ∂(π − π)

θ 2 φ(θ + λ)

3. Compare y explique sus resultados. Respuesta: Primero que nada, cabe destacar que el resultado obtenido en b) es resultado de un proceso de optimizaci´ on que incorpora, entre otros, las expectativas inflacionarias de los agentes de esta econom´ıa, por lo tanto, no es de extra˜ nar la aparici´ on de éstas en la funci´ on de reacci´ on de la autoridad. Por otro lado, tampoco es de extra˜ nar que el término que acompa˜ na la brecha de inflaci´ on sea mayor que uno, dado que para que la reacci´ on de la autoridad tenga efectos reales, el cambio en la tasa de interés tiene que ser mayor al cambio en la brecha de inflaci´ on, reforzando la intuici´ on detr´ as del principio de Taylor.

5.2.5.

Macroeconom´ıa en el Mundo de Papel (Mach´ e)

El mundo de papel maché de Pinky y Cerebro est´ a con un grave problema inflacionario. Con el fin de atraer a la gente a su mundo de papel, han desarrollado la estrategia de regalar poleras a quienes decidan irse a vivir a este nuevo planeta. Este esfuerzo se financi´ o emitiendo dinero, por lo que Pinky y Cerebro

211

Â´ 5.2. MATEMATICOS

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

estÂ´an muy complicados por el nivel de inďŹ&#x201A;aciÂ´ on actual. Cerebro detuvo la emisiÂ´ on de dinero y la gente ya decidiÂ´ o vivir en este nuevo mundo. Suponga, ademÂ´ as, que se cumple la Ley de Okun, es decir, ut â&#x2C6;&#x2019; utâ&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;(yt â&#x2C6;&#x2019; ytâ&#x2C6;&#x2019;1 )

(5.36)

Cerebro decide crear la ComisiÂón para la InďŹ&#x201A;aciÂ´ on, la cual estÂ´ a compuesta por ellos mismos, para resolver el problema. Dado que Cerebro estÂá muy ocupado tratando de conquistar el mundo (el otro mundo), lo contrata a ud. para hacer las estimaciones correspondientes. 1. Cerebro le indica a ud. que debe considerar la siguiente ecuaciÂ´ on y estimar cuales serÂ´ an las consecuencias de la reducciÂ´ on de la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on. Cerebro estÂá particularmente interesado en el efecto que tendrÂ´ a sobre el nivel de desempleo, denotado por u. yt = yÂŻ + Îą(pt â&#x2C6;&#x2019; pe )

(5.37)

AdemÂás, Cerebro estÂá convencido que Ď&#x20AC; e = Ď&#x20AC;tâ&#x2C6;&#x2019;1 . Encuentre la relaciÂ´ on entre una reducciÂón de la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on y el nivel de desempleo. Respuesta: Usando (5.37) tenemos que yt = yÂŻ + Îą(pt â&#x2C6;&#x2019; pe ) yt â&#x2C6;&#x2019; yÂŻ = Îą(pt â&#x2C6;&#x2019; pe ) yt â&#x2C6;&#x2019; yÂŻ + pe = pt Îą Restando ptâ&#x2C6;&#x2019;1 yt â&#x2C6;&#x2019; yÂŻ + pe â&#x2C6;&#x2019; ptâ&#x2C6;&#x2019;1 = pt â&#x2C6;&#x2019; ptâ&#x2C6;&#x2019;1 Îą yt â&#x2C6;&#x2019; yÂŻ + Ď&#x20AC; e = Ď&#x20AC;t Îą

(5.38)

Usando ahora (5.36) â&#x2C6;&#x2019;

ut â&#x2C6;&#x2019; utâ&#x2C6;&#x2019;1 = yt â&#x2C6;&#x2019; ytâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;

(5.39)

Reemplazando en (5.38) yt â&#x2C6;&#x2019; yÂŻ + pe â&#x2C6;&#x2019; ptâ&#x2C6;&#x2019;1 = pt â&#x2C6;&#x2019; ptâ&#x2C6;&#x2019;1 Îą 1 â&#x2C6;&#x2019; (ut â&#x2C6;&#x2019; utâ&#x2C6;&#x2019;1 ) + Ď&#x20AC; e = Ď&#x20AC;t ÎąĎ&#x2020; 1 â&#x2C6;&#x2019; (ut â&#x2C6;&#x2019; utâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = Ď&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; e ÎąĎ&#x2020; Suponiendo que Cerebro tiene razÂ´ on â&#x2C6;&#x2019;

1 (ut â&#x2C6;&#x2019; utâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = Ď&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;tâ&#x2C6;&#x2019;1 ÎąĎ&#x2020;

Avanzando la ecuaciÂ´ on hasta t + 1 y sabiendo que la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on hoy, Ď&#x20AC;t , es alta, podemos ver que una reducciÂ´ on de la inďŹ&#x201A;aciÂ´ on tendrÂ´ a efectos sobre la tasa de desempleo u â&#x2C6;&#x2019;

1 (ut+1 â&#x2C6;&#x2019; ut ) = Ď&#x20AC;t+1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;t ÎąĎ&#x2020; >0

Por lo tanto, ut+1 > ut para que se cumpla la identidad.

212

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

2. A pesar de ser amigos y trabajar juntos para conquistar el mundo, Pinky no comparte la visión del proceso de formaci´ on de expectativas de los individuos. En m´ as, la teor´ıa de Pinky es que los agentes utilizan toda la informaci´ on disponible para formar sus expectativas. ¿Qué implicancias tiene el aceptar este supuesto? Respuesta: Si Pinky tiene raz´ on, entonces los agentes anticipar´ an el cambio en el objetivo de pol´ıtica monetaria. En particular, sabr´ an que Pinky y Cerebro desean bajar la inflaci´ on a un nivel πt+1 . Por lo tanto, 1 (ut − ut−1 ) = πt − π e αφ 1 − (ut − ut−1 ) = πt − πt = 0 αφ −

Como vemos, dado que los agentes son racionales, el nivel de desempleo no cambia, ya que todos se ajustan anticipadamente.

5.2.6.

Macroeconom´ıa Callejera

Suponga una econom´ıa compuesta de muchos individuos con comportamiento competitivo. En particular, la oferta de cada individuo viene dada por Qi = L i

(5.40)

Donde Qi es la cantidad producida por el individuo i y Li es la cantidad de trabajo que invierte el individuo i. Adem´as, la funci´ on de utilidad de cada individuo es de la forma Ui = Ci −

1 γ L γ i

0<γ<1

(5.41)

1. Pruebe que la oferta individual de trabajo puede escribirse como 1 (pi − p) γ−1

i =

(5.42)

Donde pi es el logaritmo natural de los precios del bien i,pi = ln Pi , y p es el logaritmo del nivel general de precios, pi = ln Pi . Suponga que tanto pi como p son conocidos. Respuesta: La cantidad consumida Ci depender´ a del ingreso del individuo, del nivel de precios P y del precio individual del bien Pi . Entonces, Ci =

Qi Pi P

(5.43)

Reemplazando (5.40) y (5.43) en 5.41 Ui =

Li Pi 1 − Lγi P γ

Luego, el problema puede ser visto como que el individuo elige Li con el ﬁn de maximizar utilidad. Por lo tanto, obtenemos las condiciones de primer orden ∂Ui Pi − Lγ−1 = =0 i ∂Li P Pi Lγ−1 = i P 1 γ−1 Pi Li = P 213

Â´ 5.2. MATEMATICOS

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

Aplicando logaritmo natural Pi 1 ln Îłâ&#x2C6;&#x2019;1 P 1 ln Li = (ln Pi â&#x2C6;&#x2019; ln P ) Îłâ&#x2C6;&#x2019;1 1 i = (pi â&#x2C6;&#x2019; p) Îłâ&#x2C6;&#x2019;1

ln Li =

2. ÂżQuÂ´e sucede si los individuos no pueden observar p? Demuestre que, en este caso, la oferta puede escribirse como y = b(p â&#x2C6;&#x2019; E[p])

(5.44)

Asuma que p â&#x2C6;ź N (E[p], Vp ) y que ri â&#x2C6;ź N (E[ri ], Vr ). Notar que E[ i ] = ÂŻ = y y E[pi ] = pÂŻi = p. Respuesta: Sea ri el precio relativo del producto i con respecto al nivel general de precios. Entonces, asumiremos que el individuo estima ri dado pi y, asumiremos tambiÂ´en, que produce como si lo estimado fuese cierto. i =

1 E[ri |pi ] Îłâ&#x2C6;&#x2019;1

Ahora, dado que asumimos que p â&#x2C6;ź N (E[p], Vp ) y que ri â&#x2C6;ź N (E[ri ], Vr ), podemos expresar E[ri |pi ] =

Vr (pi â&#x2C6;&#x2019; E[p]) Vr + Vp

Reemplazando, i =

Vr 1 (pi â&#x2C6;&#x2019; E[p]) Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 Vr + Vp b

i = b (pi â&#x2C6;&#x2019; E[p]) Aplicando valor esperado y = b (p â&#x2C6;&#x2019; E[p])

(5.45)

3. Encuentre el equilibrio en una situaciÂ´ on de informaciÂ´ on imperfecta. Recuerde que, por la teorÂ´Äąa cuantitativa del dinero, y = m â&#x2C6;&#x2019; p y que m â&#x2C6;ź N (E[m], Vm ). Respuesta: Reemplazando y = m â&#x2C6;&#x2019; p en (5.45) m â&#x2C6;&#x2019; p = b (p â&#x2C6;&#x2019; E[p]) m â&#x2C6;&#x2019; p = bp â&#x2C6;&#x2019; bE[p] â&#x2C6;&#x2019;p â&#x2C6;&#x2019; bp = â&#x2C6;&#x2019;m â&#x2C6;&#x2019; bE[p] p + bp = m + bE[p] p(1 + b) = m + bE[p] b b m+ E[p] p= 1+b 1+b 214

´ 5.2. MATEMATICOS

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Aplicando valor esperado b b E[m] + E[p] 1+b 1+b b b E[p] − E[p] = E[m] 1+b 1+b b b E[p] 1 − E[m] = 1+b 1+b 1+b−b b E[p] E[m] = 1+b 1+b 1 b E[p] = E[m] 1+b 1+b E[p] = E[m] E[p] =

215

Cap´ıtulo 6

T´ opicos de pol´ıtica econ´ omica 6.1. 6.1.1.

Comentes Soluciones a la incoNsistencia

Explique en el contexto del modelo de Barro-Gordon, las consecuencias de la ausencia de un mecanismo de compromiso con respecto a su meta de inflación. ¿Existe forma de evitar este resultado? Respuesta: En el modelo de Barro-Gordon el Banco Central debe balancear sus objetivos de reducir la inflaci´ on e intentar empujar la econom´ıa por sobre el producto de pleno empleo. Como existe un trade-off entre inflaci´ on y producto (Curva de Phillips), cuando el p´ ublico espera un nivel de inflaci´ on bajo, el Banco Central est´ a tentado no cumplir lo esperado por el p´ ublico y empujar la econom´ıa por sobre el producto potencial. Ante esto existen diversas formas de solucionar el problema. Una es nombrar banqueros centrales que sean m´ as aversos a la inflaci´ on que el votante medio. De esta manera el p´ ublico sabe ex ante que no existir´ a tentaci´ on de desviarse. Una segunda, implementada en Nueva Zelanda, es que la remuneraci´ on del los Banqueros Centrales est´ a ligada a su objetivo: si ha finales de a˜ no no cumplieron, no reciben su sueldo. El punto es que son arreglos institucionales cre´ıbles de cumplir con la meta de inflaci´ on.

6.1.2.

Lo que implica el horizonte

En el contexto de una pol´ıtica monetaria regida por un esquema de metas de inflación, comente las implicancias del horizonte de pol´ıtica. ¿Qué nos indica que el banco central aumente el horizonte de uno a dos a˜ nos? Respuesta: El horizonte de pol´ıtica se refiere al plazo a futuro que es el relevante para guiar las decisiones del Banco Central de forma de situar la inflaci´ on dentro de un rango y en particular una meta. En el contexto de una forward-looking Phillips curve, se refiere a cuantos periodos en adelante miran los modelos de la autoridad. Mientras m´ as cercano es el plazo, el Banco debe reaccionar m´ as para alinear a la econom´ıa. Al ser m´ as lejano, significa que entre hoy y ese per´ıodo futuro el banco permitir´ a fluctuaciones fuera del rango. Esto implica que en estos casos no cambiar´ a la tasa y no afectar´ a el producto.

6.1.3.

D´ eficit fiscal de los conservadores

En las u ´ltimas semanas el debate pol´ıtico en EE.UU. entre los candidatos Obama y McCain est´ a llegado al terreno económico. Los partidarios de Obama han destacado lo contradictorio que resulta para un partido como el Republicano, de corte conservador y con preferencias por un sector p´ ublico peque˜ no, haber mantenido déficit fiscales en todos los gobiernos que ha sostenido en las u ´ ltimas décadas. Al respecto, art´ıculos académicos han contestado diciendo que es absolutamente esperable que gobiernos conservadores terminen en déficit. ¿Puede explicar la lógica de ambos argumentos? Respuesta: La acumulaci´ on de deuda puede tener un fin estratégico desde el punto de vista pol´ıtico.

216

6.1. COMENTES

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Uno de estos fines puede ser restringir el gasto de los futuros gobiernos: si elevados niveles de deuda reducen el gasto del gobierno, esto entrega razones a los pol´ıticos que prefieren menor gasto a acumular estratégicamente deuda. Por ejemplo, la administraci´ on Bush recort´ o impuestos y mantuvo el nivel de gasto, acumulando varios déficit fiscales. De esta forma los conservadores amarran las manos del siguiente Gobierno. Detr´ as de esta estrategia pol´ıtica est´ a el concepto de inconsistencia intertemporal. Esta es una forma de comprometer al siguiente gobierno a no poder incrementar el gasto, y ha tener dificultades si quiere incrementar los impuestos.

217

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

6.2. 6.2.1.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Matem´ aticos de Inconsitencia din´ amica La tentaci´ on del Banco Central

Suponga una econom´ıa donde el Banco Central busca minimizar los costos que tiene para la sociedad la inflaci´ on y las desviaciones del producto, de acuerdo a lo que establece una expresión como la siguiente: Ω{π} = π 2 + λ(y − y)2 donde v es el nivel por sobre el cual la autoridad monetaria quisiera incrementar el producto. Adem´ as, la oferta esta econom´ıa se describe por la siguiente ecuación, y = y + θ(π − π e ) + con ∼ (0, σ 2 ) Suponga finalmente que el Banco Central tiene perfecta informaci´ on sobre los shocks dados por , los que son no-observables para el p´ ublico. Como la autoridad monetaria tiene perfecto control de la inflaci´ on observa el shock y toma sus decisiones. 1. Resuelva el problema y encuente la condición de primer orden (CPO) del problema. Comente la relación que se establece. Respuesta: Una forma simple es hacer la derivada impl´ıcita reemplazando la Oferta a la Lucas o Curva de Phillips en la funci´ on de perdida del Banco Central. Ω{π} = π 2 + λ(θ(π − π e ) + )2 Como esta es una ecuaci´ on globalmente c´ oncava, para encontrar el m´ınimo (donde se maximiza el bienestar) s´ olo debemos derivar respecto a la variable de decisi´ on que se controla e igualar a cero. ∂Ω ∂π

= 2π + 2λ(θ(π − π e ) + )θ = 0 π + λθ2 π − λθ2 π e + λθ = 0 λθ λθ2 π e − π= (1 + λθ2 ) 1 + λθ2 π=

λθ λθ2 π e − (1 + λθ2 ) 1 + λθ2

Esta u ´ltima ecuaci´ on es la condici´ on de primer orden, y nos indica cual es la inflaci´ on ´ optima que debe elegir la autoridad seg´ un las expectativas que tiene el p´ ublico respecto a la inflaci´ on y la realizaci´ on del shock de oferta. 2. Suponga que la autoridad anuncia en forma cre´ıble que la inflaci´ on ser´ a igual a cero, y que efectivamente cumple con su anuncio. Eval´ ue la utilidad social y ll´ amela ΩC . Respuesta: En el caso de que la autoridad anuncie en forma cre´ıble y cumpla con la inflaci´ on igual a cero, tenemos el siguiente resultado. En este caso tendremos que π = π e = 0. Ω{π} = π 2 + λ(θ(π − π e ) + )2 Resolviendo usando los resultados obtenidos anteriormente 0 :0 2 2 e π + λ( ) + ) Ω{π} = π θ(π − Ω{π} = λ( )2

218

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Notando que 2 = σ 2 tenemos que: Ω{π} = λσ 2

3. Ahora suponga que la poblaci´ on estima seg´ un expectativas racionales el nivel de inﬂaci´ on de equilibrio. Con este nivel eval´ ue la utilidad social y llamela ΩEq . Respuesta: En el caso de expectativas racionales es equivalente con decir que el p´ ublico no se equivocar´ a al formar su expectativas por lo que π = π e . C´ omo el p´ ublico conoce el comportamiento del Banco Central puede utilizar la CPO antes derivada para econtrar cual ser´ a la inﬂaci´ on en la econom´ıa. π

λθ2 π e λθ − con π e = π (1 + λθ2 ) 1 + λθ2 λθ λθ2 π − despejando para π (1 + λθ2 ) 1 + λθ2 −λθ

Ahora evaluando en la funci´ on de utilidad, Ω{π}

π 2 + λ(θ(π − π e ) + )2

(−λθ )2 + λ( )2

ΩEq = 1 + λθ2 λσ 2 4. Asuma finalmente que una vez que se ha anunciado que habr´ a inflaci´ on cero, la autoridad elige la inflaci´ on o´ptima seg´ un la CPO antes encontrada. Evalue este escenario discrecional en la utilidad social y llamela ΩD . Respuesta: Suponiendo que se anuncia π = 0 y el p´ ublico cree, π

λθ2 π e λθ con π e = 0 − 2 (1 + λθ ) 1 + λθ2 λθ = − 1 + λθ2

Reemplazando en la funci´ on de utilidad del Banco, Ω{π}

= = =

π 2 + λ(θ(π − π e ) + )2 2 2 λθ λθ2 − +λ − + 1 + λθ2 1 + λθ2 2 2 λθ − + λ 1 + λθ2 1 + λθ2

ΩD =

λσ 2 (1 + λθ2 )

219

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

5. Compare las expresiones dadas por ΩD , ΩEq y ΩC . ¿Cual es el problema que estas relaciones plantean? Respuesta: Resumiendo los resultados que hemos encontrado, tenemos que ΩC ΩEq

= =

λσ 2 1 + λθ2 λσ 2

ΩD

λσ 2 (1 + λθ2 )

De donde es claro que, ΩD ≥ ΩC ≥ ΩEq El problema de esta desigualdad es la siguiente: Si inicialmente se anuncia inflaci´ on cero y los agentes de la econom´ıa creen el anuncio la utilidad social ser´ a ΩC . En este caso existe la tentaci´ on de no cumplir con el anuncio actuando discrecionalmente y as´ı alcanzar un costo social menor ΩD . Como se sabe la existencia de esta tentaci´ on el p´ ublico ex-ante se comporta con expectativas racionales eligiendo un nivel de inflaci´ on distinto de cero llegando a la utilidad dada por ΩEq , lo cual es claramente un resultado sub-´ optimo. 6. Explique al menos dos formas para solucionar el problema de pol´ıtica p´ ublica que se plantea en la anterior relaci´ on. Respuesta: A partir del modelo de Barro-Gordon se desprenden las siguientes soluciones posibles: a) Reputaci´ on. b) Independencia del banco central. c) Nombrar a un banquero sin tentaciones para desviarse (m´ as averso a la inflaci´ on que la poblaci´ on promedio (propuesta de Obstel y Rogoff )).

6.2.2.

Reputaci´ on y inconsistencia din´ amica

Imagine una autoridad que desempe˜ na su cargo durante dos per´ıodos y cuya funci´ on objetivo es 2 a E b(πt − πte ) + cπt − πt2 2 t=1 La autoridad es elegida al azar entre un conjunto, en el que cada miembro tiene distintas preferencias. En concreto, c ∼ N (¯ c, σc2 ) Los par´ ametros a y b son idénticos para todos los posibles candidatos. La autoridad monetaria no puede controlar perfectamente la inflación, sino que πt = πˆt + t , donde πˆt es el valor que se ha elegido para la inflaci´ on (dada πte ) y t ∼ N (0, σ 2 ). Considere 1 y 2 son independientes. El on sobre el valor del par´ ametro c. p´ ublico no puede observar πˆt y t por separado, ni dispone de informaci´ Finalmente, asumiremos que π2e en una funci´ on lineal de π1 : π2e = α + βπ1 . 1. ¿Qué valor de πˆ2 elige la autoridad monetaria? ¿Cu´ al es el valor esperado de la consiguiente funci´ on on de π2e objetivo de la autoridad en el segundo per´ıodo, b(π2 − π2e ) + cπ2 − aπ22 /2, como funci´ Respuesta: Dado que el problema es de horizonte finito, es posible resolverlo usando inducci´ on, es decir, lo relevante del problema es la decisi´ on de la autoridad monetaria en el u ´ltimo per´ıodo (t = 2) y, en base a eso, podremos resolver el resto de los per´ıodos. De acuerdo al enunciado, la autoridad elige la inflaci´ on dada la inflaci´ on esperada, luego, π2e = π¯2e . Entonces, para t = 2

220

Â´ Â´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

MacroeconomÂ´Äąa I - Primavera 2008

a V = E b(Ď&#x20AC;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;ÂŻ2e ) + cĎ&#x20AC;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;22 2

Sabemos que Ď&#x20AC;2 = Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 , luego a V = E b(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;ÂŻ2e ) + c(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 )2 2 a V = E b(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;ÂŻ2e ) + c(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 + 2 ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC;Ë&#x2020;22 + 2Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 2 + 22 ) 2 a a e V = E bĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 + b 2 â&#x2C6;&#x2019; bĎ&#x20AC;ÂŻ2 + cĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 + c 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;Ë&#x2020;22 + aĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 2 + 22 2 2

Como Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 y Ď&#x20AC;ÂŻ2e son variables no-aleatorias, entonces a a V = bĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 + bE[ 2 ] â&#x2C6;&#x2019; bĎ&#x20AC;ÂŻ2e + cÂŻĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 + cÂŻE[ 2 ] â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;Ë&#x2020;22 + aĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 E[ 2 ] + E[ 22 ] 2 2

Por enunciado, sabemos qu E[ 2 ] = 0 y E[ 22 ] = Ď&#x192; 2 , luego a V = b(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;ÂŻ2e ) + cÂŻĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC;Ë&#x2020;22 + Ď&#x192; 2 ) 2

(6.1)

Buscamos el valor de Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 que minimiza el valor de V , luego V = b + cÂŻ â&#x2C6;&#x2019; aĎ&#x20AC;Ë&#x2020;2 = 0 Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 b + cÂŻ Ď&#x20AC;Ë&#x2020;2 = a Reemplazando 6.2 en 6.1

2 b + c ÂŻ b + c ÂŻ b + cÂŻ a 2 e â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;ÂŻ2 + cÂŻ + Ď&#x192;

V =b â&#x2C6;&#x2019; a a 2 a 2 b + cÂŻ b + cÂŻ a a b + cÂŻ + Ď&#x192; 2 V = â&#x2C6;&#x2019;bĎ&#x20AC;ÂŻ2e + b + cÂŻ â&#x2C6;&#x2019; a a 2 a 2

A(a,b,ÂŻ c,Ď&#x192; 2 )

V =

â&#x2C6;&#x2019;bĎ&#x20AC;ÂŻ2e

A(a, b, cÂŻ, Ď&#x192; 2 )

(6.2)

2. ÂżCuÂ´ al es la decisiÂ´ on de la autoridad monetaria sobre Ď&#x20AC;Ë&#x2020;1 , tomando Îą y Î˛ como dadas y teniendo en cuenta los efectos de Ď&#x20AC;1 sobre Ď&#x20AC;2e ? Respuesta: Del enunciado sabemos que

Ď&#x20AC;2e = Îą + Î˛Ď&#x20AC;1 Ď&#x20AC;2e = Îą + Î˛(Ď&#x20AC;Ë&#x2020;1 + 1 ) 221

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Adem´ as, la funci´ on objetivo en t = 1 es a V = b(πˆ1 − π¯1e ) + c¯πˆ1 − (πˆ12 + σ 2 ) − bπ¯2e + A(a, b, c¯, σ 2 ) 2

(6.3)

Reemplazando a V = b(πˆ1 − π¯1e ) + c¯πˆ1 − (πˆ12 + σ 2 ) − b(α + β(πˆ1 + 1 )) + A(a, b, c¯, σ 2 ) 2 Derivando, V = b + c¯ − aπˆ1 − bβ = 0 πˆ1 b + c¯ − bβ πˆ1 = a

(6.4)

3. Suponiendo que las expectativas son racionales, ¿Cu´ al es el valor de β? Respuesta: Dado que π1 y π2 son funciones lineales de c y que, a su vez, son variables aleatorias con distribuci´ on normal, podemos usar la siguiente expresi´ on de expectativas condicionales

E[π2 |pi1 ] = E[π2 ] +

cov(π2 , π1 ) [π1 − E[π1 ]] var(π1 )

(6.5)

Por otro lado, sabemos que b + c¯ − bβ a b + c¯ E[π2 ] = E[πˆ2 + 2 ] = a b + c¯ − bβ σ2 + 1 = 2c + σ 2 var(π1 ) = var(πˆ1 + 1 ) = var a a b + c¯ − bβ b + c¯ σ2 + 1 , + 2 = cov(c/a, c/a) = 2c cov(π1 , π2 ) = cov a a a E[π1 ] = E[πˆ1 + 1 ] =

Reemplazando en 6.5 y despejando β, tenemos que

β=

σc2 a2

+ σ 2

4. Explique intuitivamente por qué la autoridad monetaria elegir´ a un valor m´ as bajo de π ˆ en el primer per´ıodo que en el segundo. Respuesta: Como podemos ver, πˆ1 < πˆ2 . Esto se explica por la naturaleza finita del horizonte temporal. En el per´ıodo 2 la autoridad monetaria no tiene incentivos para ser consistente, debido a que ya no hay reputaci´ on que perder. En cambio, en el per´ıodo 1, la autoridad debe ganarse la credibilidad de los agentes, lo que hace que la inflaci´ on objetivo sea m´ as baja en el primer per´ıodo.

222

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

6.2.3.

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

La trampa de la inflaci´ on

Considere una econom´ıa descrita por: y = L =

y + θ(π − π e ) π 2 + λ(y − y − κ)2

κ>0

(6.6) (6.7)

Donde (6.6) corresponde a la curva de Phillips y (6.7) a la funci´ on de pérdida de la autoridad. 1. Encuentre la inflaci´ on y producto de equilibrio y ll´ amelos π q e y q respectivamente. ¿Es la autoridad consistente din´ amicamente?. Justifique. Respuesta: Sabemos que la autoridad minimiza su funci´ on de pérdida sujeto a la curva de Philips m´ın L := π 2 + λ(y − y − κ)2 s.a. y = y + θ(π − π e ) De lo cual obtenemos la siguiente condici´ on de primer orden:

λθ(θ(π − π e ) − κ) + π π

= 0 =

λθκ λθ2 πe + 1 + λθ2 1 + λθ2

Luego, como no existen elementos que a˜ nadan incertidumbre y asumiendo expectativas racionales, π = π e con lo que obtenemos:

π q = λθκ Por otro lado, sabemos que yq = y La autoridad es inconsistente din´ amicamente debido a que a pesar de que obtiene una pérdida menor por obtener una inflaci´ on igual a cero y un producto igual al potencial, una vez estando ah´ı, tiene todos los incentivos para minimizar su pérdida aumentando un poco la inflaci´ on y el producto. Lo anterior no ser´ıa cierto si κ = 0. En adelante suponga que la autoridad estar´ a en el cargo hasta el infinito y que su tasa de descuento es igual a ρ. Asuma , por otro lado, que los agentes fijan expectativas de la siguiente manera: % $ 0 si π = 0 t−1 (6.8) πte = si πt−1 > 0 πq Donde π q corresponde a la inflaci´ on encontrada en la parte (a.). 2. Si esta econom´ıa se encuentra en el equilibrio con inflaci´ on, es decir π = π q , y sin olvidar que para disminuirla es necesario un per´ıodo de recesión, ¿qué condici´ on debe cumplir ρ para que la autoridad tenga incentivos para implementar un programa desinflacionario1?. Llame a esta tasa ρb . Respuesta: Primero que todo, debemos considerar las consecuencias en la pérdida de la autoridad en ambos escenarios, es decir debemos comparar los valores presentes netos de ambas situaciones. 1 Es

decir pasar de π = π q a π = 0

223

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

i) Si no se realiza el programa desinﬂacionario implica la siguiente p´erdida:

∞ (λκ2 + θ2 λ2 κ2 )

(1 + ρ)t

t=0

λκ2 (1 + λθ2 )(1 + ρ) ρ

ii) Si se realiza el programa implica que se tendr´ a una inﬂaci´ on efectiva igual a cero, pero las espectativas de los agentes no cambian si no hasta el proximo periodo, por lo que en el primer periodo π e = π q . De lo anterior se concluye que el producto en el primer periodo es igua a y = y − θ(λθκ) Por lo que el valor presente neto de la p´erdida de la autoridad queda

λ(−θ(λθκ) − κ)2 +

∞ t=1

λκ2 (1 + ρ)t

= λκ2 (1 + λθ2 ) +

λκ2 ρ

Comparando ambos escenarios, y tomando en cuenta que se pide encontrar las condiciones de ρ para que existan incentivos para ejecutar un programa desinﬂacionario, tenemos: λκ2 (1 + λθ2 )(1 + ρ) ρ ρb

=⇒

> λκ2 (1 + λθ2 ) + <

λκ2 ρ

1 1 + λθ2

3. Por otro lado, si se encuentra en el equilibrio sin inﬂaci´ on (π = 0), ¿qu´e condici´ on debe cumplir ρ para que la autoridad no tenga incentivos a desviarse?. Llame a esta tasa ρa . Respuesta: An´ alogamente al caso anterior, tenemos dos escenarios: desviarse y no desviarse. i) Si la autoridad se desv´ıa, en el primer periodo se obtendr´ a

π y

λθκ 1 + λθ2 λθ2 κ = y+ 1 + λθ2 =

Luego, desde el segundo periodo en adelante se obtiene el equilibrio inﬂacionario, por lo que la p´erdida descontada neta queda: 2 ∞ λκ2 (1 + λθ2 ) λθ2 κ +λ y+ − y − κ 1 + λθ2 (1 + ρ)t t=1 2 λθ2 λθ2 λκ2 (1 + λθ2 ) 2 λκ2 + λκ − 1 + 2 2 1 + λθ ρ (1 + λθ2 )

λθκ 1 + λθ2

ii) Si la autoridad no se desv´ıa obtenemos que la p´erdida descontada ser´ a: ∞ t=0

λκ2 (1 + ρ)λκ2 = (1 + ρ)t ρ

224

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Comparando los resultados anteriores e imponiendo la desigualdad que incentiva a la autoridad a no desviarse obtenemos: 2 λθ2 (1 + ρ)λκ2 λθ2 λκ2 (1 + λθ2 ) 2 < λκ2 + λκ − 1 + 2 2 2 ρ 1 + λθ ρ (1 + λθ ) ρa

< (1 + λθ2 )

4. ¿Qué sucederá si la tasa de descuento cumple con ρ < ρa y con ρ > ρb ? Respuesta: Es claro ver que si el escenario inicial es el inflacionario, esta econom´ıa se encuentra en una trampa de inflaci´ on, dado que no existen incentivos a salir de ella. Por otro lado, si la econom´ıa se encuentra en el equilibrio sin inflaci´ on, basta con un peque˜ no desanclaje de las expectativas para llegar al equilibrio inflacionario y por consecuencia una caida en la trampa.

6.2.4.

Contratos para Bancos Centrales

Suponga una econom´ıa descrita por la curva de Phillips en la ecuaci´on (6.9) y un banco central con las preferencias dadas por la ecuaci´ on (6.10): y

y + α (π − π e ) + ∗ 2

(6.9)

(y − y ) π (6.10) +µ 2 2 Donde y ∗ > y. Suponga que la autoridad puede escoger el nivel de la inﬂaci´ on y el producto, pero la inﬂaci´ on esperada es determinada por agentes racionales. Ω

≡

1. Encuentre la inflaci´ on de equilibrio en el caso que el banco central fija una meta de inflación de e πM = 0. ¿Por qué no se logra la meta? Respuesta: (y − y ∗ ) µ + π 2 + λ [y − y − α(π − π e ) − ] 2 2 2

m´ın L =

(π,y)

∂L ∂y ∂L ∂π

φ(y − y ∗ ) + λ = 0

µπ − αλ = 0

⇒

−

αφ (y − y ∗ ) = π µ

(6.11)

Los agentes de la econom´ıa son racionales y conocen las preferencias del BC por lo que usaran esta informaci´ on sobre las CPO del BC al derivar sus propias expectativas de π e .

y µ π y∗ − αφ 2 α φ+µ π αφ π

y + α(π − π e ) +

(6.12)

y + απ − απ e +

(6.13)

y ∗ − y + απ e −

(6.14)

αφ (y ∗ − y − ) + α2 φπ e α2 φ + µ

(6.15)

225

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Tomando esperanzas de expresi´ on podemos encontrar las expectativas de inﬂaci´ on de los agentes. πe =

αφ ∗ (y − y) µ

(6.16)

Reemplazando en la ecuaci´ on (6.15), nos da la inﬂaci´ on de equilibrio: π=

αφ ∗ αφ (y − y) − 2 µ α φ+µ

(6.17)

Vemos que existir´ a un sesgo inficionarlo producto a que el banco central busque aumentar el producto mas aya de y. Dado que el banco no puede cre´ıblemente comprometerse a su meta de cero inflaci´ on, los agentes anticipan su comportamiento discrecional generando un sesgo inflacionario. 2. Explique en qué caso podr´ıa el banco central lograr el cumplimiento de la meta. Respuesta: Si no busca empujar el producto por sobre y. 3. Suponga ahora que el estado presenta a los funcionarios del banco central un contrato que estipula su remuneración en una funci´ on lineal de la inflaci´ on (¡su objetivo!) de la siguiente manera: V = t0 + t1 π

(6.18)

Donde el monto fijo t0 representa el costo de oportunidad de los distinguidos funcionarios del banco central. (trabajos en Wall Street, de profesores etc.) Suponiendo que ahora la utilidad de los banqueros centrales se puede representar por su ingreso menos su funci´ on de pérdida: U =V −Ω (6.19) Encuentre el valor de t1 que lleve a la econom´ıa a π = 0. Respuesta: En efecto es el mismo problema pero se puede ahora alterar los incentivos del BC a través del contrato contingente.

m´ın L =

(π,y)

∂L ∂y ∂L ∂π

−t0 − t1 π + φ

(y − y ∗ ) 2 µ 2 + π + λ [y − y − α(π − π e ) − ] 2 2

φ(y − y ∗ ) + λ = 0

−t1 + µπ − αλ = 0

⇒

y = y∗ −

−

1 µ π+ t1 αφ αφ 2 α φ+µ π αφ π

αφ t1 (y − y ∗ ) + =π µ µ

= =

y + απ − απ e + t1 y ∗ − y + απ e − + αφ t1 ∗ αφ y − y − + αφ + α2 φπ e

226

α2 φ + µ

(6.20)

(6.21) (6.22)

(6.23)

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

πe =

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

αφ ∗ t1 (y − y + ) µ αφ

(6.24)

Reemplazando en la ecuaci´ on (6.23), nos da la inﬂaci´ on de equilibrio: π=

αφ ∗ αφ t1 (y − y) + − 2 µ µ α φ+µ

(6.25)

Con lo que para lograr π = 0 en valor esperado, se requiere que t∗1 = −αφ(y ∗ − y) 4. Explique c´ omo cambia la respuesta óptima frente a un shock e al existir el contrato o´ptimo t∗0 , t∗1 . Respuesta: Dado que la autoridad no observa el shock porque, bueno, es un shock, vemos que el contrato ´ optimo no cambia. De hecho, la situaci´ on con respecto al caso sin contrato no cambia! El sesgo inflacionario producto del problema de inconsistencia din´ amica no depende el shock por lo que la estructura de incentivos solo tienen elevar el costo marginal de la inflaci´ on en un monto fijo e igual al sesgo inflacionario para logra π = 0

6.2.5.

Inconsistencia temporal y pol´ıtica monetaria

Suponga una econom´ıa que puede ser caracterizada por las siguientes tres ecuaciones: π

= π e + ay + ε

(6.26)

y ∆m − π

= −br + u = −di + y + v

(6.27) (6.28)

La tasa de inter´es real est´a denotada por r y la tasa nominal por i, donde i = r +π e . La autoridad monetaria implementa su pol´ıtica eligiendo el nivel de i para minimizar el valor esperado de la funci´ on de perdida dada por, P =

1 λ(y − y ∗ )2 + π 2 2

(6.29)

donde y ∗ denota el producto potencial de la econom´ıa. Suponga que la autoridad monetaria tiene proyecciones de los shocks (tiene mejor información que el p´ ublico) y que los agentes deben formar sus expectativas antes de que se anuncie la pol´ıtica sobre i y sin informaci´ on de los shocks. 1. Interprete cada una de las ecuaciones de este modelo. Respuesta: La ecuación (6.26) es una Oferta agregada que ha sido escrita en forma de una curva de Phillips (expectations augmented). La ecuación (6.27) ecuaci´ on es una sencilla forma para la curva IS o demanda agregada. Finalmente, (6.28) es la ecuación de demanda por dinero, en la cual ∆m representa la oferta por saldos monetarios, y donde se ha supuesto, como es habitual, que la demanda por dinero guarda una relación negativa con la tasa de interés, y un dependencia positiva respecto al nivel de producto. La ecuación (6.29) es corresponde a una funci´ on de perdida del Banco Central en la cual se busca minimizar los desvios respecto al producto potencial y la inflación meta que en esta caso es cero. La preferencia entre los desvios esta determinado por λ. 2. Suponga que la autoridad se compromete a una pol´ıtica anunciada del tipo, Respuesta:

227

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

En la ecuación de la IS vemos como se afecta la demanda respecto a la tasa de interés real. Reemplazando en ésta su composición (r = i − π e ) e igualando con la oferta agregada para obtener el equilibrio tenemos que, y

−b(i − π e ) + u

DDA = OF ⇒ π

(1 + ab)π e − abi + au + e

Tomando esperanza a ambos lados de esta expresi´on, condicional a la informaci´ on que maneja el publico tenemos que,

πe

= (1 + ab)π e − abie

y simpliﬁcando llegamos a que, πe

= ie

de esta forma obtenemos una expresi´on para la inﬂaci´ on del periodo que ser´ a: π

(1 + ab)ie − abi + au + e.

La funci´ on objetivo de pol´ıtica que tiene el Banco Central, expresada en t´erminos de su instrumento se vuelve,

P =

1 2 E λ(−b(i − ie ) + u − y ∗ )2 + ((1 + ab)ie − abi + au + e) 2

(6.30)

Bajo la pol´ıtica de compromiso, la autoridad monetaria sigue una pol´ıtica de la forma i = c0 + c1 εf + c2 uf + c3 v f , donde la f denota en cada caso el forecast que tiene para cada shock la autoridad monetaria. Bajo esta regla, ie = c0 , lo que al ser substituido en 6.30 nos da que,

P =

2 1 (6.31) E λ(−b(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + u − y ∗ )2 + c0 − ab(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + au + e 2

Debemos recordar que el objetivo del Banco Central es minimizar esta funci´ on de perdida, lo que se hace eligiendo los valores de los par´ ametros ci previo a que se observen los shocks o que se tenga una idea (forecast ) de la magnitud de estos. Entonces, para minimizar el impacto de los shocks debemos obtener la condici´ on de primer orden respecto a cada par´ ametro:

CP O(c0 ) ⇒ CP O(c1 ) ⇒ CP O(c2 ) ⇒ CP O(c3 ) ⇒

= =

E[c0 − ab(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + au − ε] = c0 = 0 E[−b(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + u − y ∗ ](−bεf )

+E[−ab(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + au − ε](−abef ) = 0 E[−b(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + u − y ∗ ](−buf )

+E[−ab(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + au − ε](−abuf ) = 0 E[−b(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + u − y ∗ ](−bv f ) +E[−ab(c1 εf + c2 uf + c3 v f ) + au − ε](−abv f ) = 0

donde hemos usando para las tres u ´ltimas ecuaciones el hecho de que c0 = 0, lo cual sale de la primera condici´ on. Si suponemos que los shocks no est´ an correlacionados, las ecuaciones anteriores pueden ser expresadas como, CP O(c1 ) ⇒ CP O(c2 ) ⇒

= =

c1 (λ + a2 )b2 σεf − abσεf = 0 c2 (λ + a2 )b2 σuf − (λ + a2 )bσuf = 0. 228

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

Por facilidad asumiremos que los shocks en ambos casos distribuyen N (0, 1). Haciendo uso de este u ´ ltimo supuesto, y despejando las ecuaciones anteriores en funci´on de los par´ ametros de la regla anunciada, tenemos que

c0 = 0, c1 =

a 1 , c2 = , c3 = 0 2 (λ + a )b b

Bajo los supuestos utilizados, note que dado que c0 = 0, la tasa no tiene un valor constante independiente de los shocks, y que al ser c3 = 0 se nos esta diciendo que la pol´ıtica o´ptima no debiera reaccionar a los shocks de demanda de dinero. Al introducir estos valores en la funci´ on de perdida, vemos que el compromiso o regla de pol´ıtica ´ptima es o i∗c =

1 f a u + εf b (λ + a2 )b

(6.32)

regla que tiene distintas ponderaciones para los shocks de oferta y de demanda agregada, y en la que se debe destacar la inexistencia de reacción ante los shocks de demanda monetaria2 . 3. Derive en el caso de discreción en la pol´ıtica de la autoridad monetaria, el equilibrio consistente temporalmente. ¿Cómo se compara la tasa de interés al caso con compromiso? ¿Qué puede decir de la tasa de inflaci´ on promedio? Respuesta: Para resolver el caso en que la autoridad monetaria opera discrecionalmente debemos suponer que éste trata las expectativas del p´ ublico como dadas al momento en que este elige el nivel de i necesario para minimizar el valor esperado de la funci´ on de perdida, en la cual se deben considerar las expectativas de los shocks. Esto se hace tomando esperanza condicional a la función 6.30. La condici´ on de primer orden para la elecci´ on de i bajo una pol´ıtica discrecional es,

(−b)λ(−b(i − ie ) + uf − y ∗ ) − ab[(1 + ab)ie − abi + auf + εf ] = 0 Resolviendo la expresi´on anterior para i,

(λb + a(1 + ab))ie + λy ∗ + (λ + a2 )uf + aεf b(λ + a2 )

(6.33)

y tomando expectativas en base a la informaci´ on que posee el p´ ublico, ie =

λy ∗ . a

De ´esta manera (6.33) se vuelve, i∗d =

1 λy ∗ a + uf + εf a b (λ + a2 )b

(6.34)

Si comparamos la expresi´ on que hemos obtenido para la pol´ıtica discrecional del Banco Central (ecuación 6.34) con la regla o´ptima bajo una regla o compromiso (ecuaci´ on 6.32) podemos ver que la parte derecha de la u ´ ltima expresión es igual al comportamiento bajo compromiso. Esto nos indica que en ambos casos se reacciona de igual manera a los shocks de oferta y demanda. La diferencia radica en que la tasa de interés bajo discreción es sistemáticamente mayor a la que se obtendr´ıa bajo 2 El

sub´ındice c indica que esta es la regla correspondiente a compromiso.

229

´ ´ 6.2. MATEMATICOS DE INCONSITENCIA DINAMICA

Macroeconom´ıa I - Primavera 2008

un compromiso. Esto nos indica que la tasa de inﬂaci´ on, que en este caso es igual a la tasa de inter´es esperada, es igual a

πe =

λy ∗ >0 a

230