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1a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 3110

BMAC - IMEUSP - 1o. sem. 2010 - Turma 54 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins 1. (Para que fun¸c˜ ao de v´ arias senten¸cas?) O c´alculo do imposto de renda de pessoa f´ısica do ajuste anual do ano/base de 2009 e ano calend´ario de 2010 ´e feito da seguinte forma: depois de algumas dedu¸c˜oes sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de c´ alculo. Sobre a base de c´alculo aplica-se uma al´ıquota e, do resultado obtido, deduz-se uma parcela. A al´ıquota e a parcela dependem da base de c´alculo conforme a tabela abaixo:

base de c´ alculo at´e R$ 17.215,08 acima de R$ 17. 215,08 e at´e R$ 25. 800,00 acima de R$ 25. 800,00 e at´e R$ 34. 400,40 acima de R$ 34. 400,40 e at´e R$ 42. 984,00 acima de R$ 42. 984,00

al´ıquotas parcela a deduzir isento 0 7, 5% R$ 1. 291,00 15 % R$ 3. 226,13 22, 5% R$ 5. 806,00 27, 5% R$ 7. 955,00

Seja f (x) o valor do imposto devido quando a base de c´alculo for x reais. Dˆe uma express˜ao para f (x) e esboce seu gr´afico. Qual o papel da parcela a deduzir?

2. Um loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade. A loja revende 100 camisetas por mˆes, cobrando R$ 18,00 por unidade. Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o pre¸co de venda. Estima-se que para cada redu¸ca˜o de R$ 1,00 no pre¸co, a loja vender´a 25 camisetas a mais por mˆes. Expresse o lucro mensal L em fun¸c˜ao do pre¸co a que as camisetas s˜ao vendidas; desenhe o gr´afico e estime o pre¸co de venda ´otimo.

3. Seja n > 1 um n´ umero inteiro e a, b, x n´ umeros reais. Mostre que a. an −bn = (a − b) (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + a2 bn−3 + a bn−2 + bn−1 ) = (a − b) b. x − b = c.

√ 3

√ 5

x+1 −

x−

P

n j=1

√ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 5 5 5 5 5 5 b x 4 + x 3 5 b + x 2 b2 + 5 x b3 + b4 .

q √ √ √ √ 3 3 3 x (x + 1)2 + 3 x + 1 3 x + x2 = 1.

n−2 d. Quando n ´e ´ımpar, an + bn = (a + b) (an−1 b + an−3 b2 − · · · + a2 bn−3 − a bn−2 + bn−1 ) = P− a n j−1 n−j j−1 =(a + b) a b j=1 (−1)

1

an−j bj−1 .


4. Usando o ex. 3, determine a express˜ao a ser colocada em (· · ·) para que a igualdade seja verdadeira. √ a. x − 27 = ( 3 x − 3) (· · ·). c. x4 =

√ 4

b. x2 + x =

x4 + 1 − 1 (· · ·)

2x2 + 1 −

d. x + 2 =

√ 3

x+

x2 − x + 1 (· · ·)

√ 3 2 (· · ·)

5. Para cada uma das fun¸co˜es abaixo, determine o dom´ınio e esboce seu gr´afico. a. f (x) =

√ x+1

d. f (x) =

√ −x

b. f (x) = e. f (x) =

g. f (x) = |x2 − 1| j. f (x) = x3 − 3

√ 3

1+x x

c. f (x) =

i. f (x) = | 2x + 2 | − 2

x3 − 2x − 4 k. f (x) = x−2

x2 − 1 , se x 6= 1 m. f (x) =  x − 1  5, se x = 1

n. f (x) =

x2

f. f (x) = x − | x |

x

h. f (x) = | cos x |

  

(

l. f (x) =

x−3 +2 x2 − 9

x2 + 1, se x < 1 x + 1, se x ≥ 1

o. f (x) = (x + 3)4 − 3

p. f (x) = tg x

6. Tente esbo¸car o gr´aficos das fun¸co˜es: ( 3

a. y = x − x

3

b. y = x − x

2

c. f (x) =

2

1, se x ´e racional 0, se x ´e irracional

d. f (x) = sen

1 x


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