Matemática A Fevereiro de 2010
Matemática A Itens – 10.º Ano de Escolaridade
No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 5 de Maio de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam.
Matemática A – 10.º Ano de Escolaridade – Página 1
1.
Considere que um ponto T se desloca num segmento de recta ÒEFÓ, de comprimento "!, nunca coincidindo com o ponto E nem com o ponto F. Cada posição do ponto T determina em ÒEFÓ dois segmentos de recta, ÒET Ó e ÒFT Ó, sendo cada um deles lado de um quadrado, conforme se apresenta na figura 1. Para cada posição do ponto T , seja B a distância de T a E e seja +�BÑ a soma das åreas dos dois quadrados, em função de B
1.1. Calcule +Ă?#Ă‘ 1.2. Indique o domĂnio da função + 1.3. Mostre que +Ă?BĂ‘ Ĺ“ #B# #!B "!! 1.4. Resolva a equação +Ă?BĂ‘ Ĺ“ +Ă?#Ă‘ e interprete as soluçþes no
Figura 1
contexto do problema.
2.
O Rui saiu de casa às 9 horas da manhã e, caminhando sempre à mesma velocidade, dirigiu-se ao cafÊ, situado no fim da rua onde mora; a rua não tem curvas e o cafÊ fica a 600 metros da sua casa. O Rui chegou ao cafÊ quando passavam 6 minutos das 9 horas. Esteve 10 minutos no cafÊ, a tomar o pequeno-almoço, tendo, em seguida, regressado a casa, caminhando sempre à mesma velocidade, embora mais lentamente do que à ida. Chegou a casa às 9 horas e 28 minutos. Seja > o tempo, em minutos, contado desde o instante em que o Rui saiu de casa atÊ ao momento em que ele, vindo do cafÊ, chegou a casa.
2.1. Seja 0 a função que, a cada valor de >, faz corresponder a distância, em metros, do Rui à sua casa, no instante >
2.1.1. Desenhe o grĂĄfico de 0 , numa folha de papel quadriculado, utilizando, para o efeito, as escalas a seguir indicadas. • No eixo das abcissas: 1 quadrĂcula Ă„ 2 minutos • No eixo das ordenadas: 1 quadrĂcula Ă„ 50 metros
2.1.2. Indique o domĂnio e o contradomĂnio da função 0 2.1.3. Indique o valor de 0 Ă?#Ă‘ e interprete este valor, no contexto da situação. 2.1.4. Interprete, no contexto da situação, a equação 0 Ă?>Ă‘ Ĺ“ '!! e indique o seu conjunto solução.
2.1.5. Indique o conjunto solução da equação 0 �>Ñ œ %!! 2.2. Seja 1 a função que, a cada valor de >, faz corresponder a distância, em metros, do Rui ao cafÊ, no instante >
2.2.1.
Desenhe o grĂĄfico de 1, no mesmo referencial em que desenhou o grĂĄfico de 0
2.2.2.
Interprete, no contexto do problema, a equação 0 �>Ñ œ 1�>Ñ e indique o seu conjunto solução.
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3.
A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia, saíram de casa à mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila para Vilalta, utilizando a única estrada que liga as duas localidadesÞ Ambas fizeram o percurso a pé. Seja 0 a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, > minutos depois de ter saído de Vilalta. Seja 1 a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, > minutos depois de ter saído de Altavila.
3.1. Em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções 0 e 1 ? Numa pequena composição, explique por que é que as outras três opções são incorrectas, apresentando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita. (A)
(B)
(C)
(D)
3.2. Admita agora que: • a estrada que liga Altavila a Vilalta tem ") 57 • a Rita se deslocou a uma velocidade constante de & 57Î2 • a Inês demorou mais &% minutos do que a Rita a chegar ao seu destino. A que distância estava a Rita de Altavila, quando se cruzou com a Inês?
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4.
A figura 2 representa um depósito com a forma de prisma quadrangular regular. Num determinado instante, uma torneira, com um caudal constante, começa a deitar água no depósito, que inicialmente se encontra vazio, terminando o processo quando o depósito fica completamente cheio de água. Seja @ a função que, ao tempo > decorrido desde que se iniciou o enchimento, faz corresponder o volume de água no depósito. Seja 2 a função que, ao tempo > decorrido desde que se iniciou o enchimento, faz corresponder a altura que a água atinge no depósito. Admita que o tempo é expresso em minutos, que o volume de água é expresso em decímetros cúbicos e que a altura da água no depósito é expressa em decímetros. Figura 2
4.1. Admita que: • o caudal da torneira é de #! .7$ por minuto; • a aresta da base do depósito mede !,& 7 • o depósito tem ",# 7 de altura.
4.1.1. O que representa @Ð"Ñ? E o que representa @Ð>Ñ? 4.1.2. Qual é o contradomínio da função @ ? 4.1.3. Qual é o domínio da função @ ? 4.1.4. O que representa a solução da equação @Ð>Ñ œ $!! ? 4.1.5. Defina a função @ por uma expressão analítica. 4.1.6. Represente graficamente a função @ 4.1.7. Indique o domínio e o contradomínio da função 2 4.1.8. Defina a função 2 por uma expressão analítica.
4.2. Admita agora que, em relação a um outro depósito, também com a forma de um prisma, se tem @Ð>Ñ œ - ‚ > e 2Ð>Ñ œ 5 ‚ >
(- e 5 são constantes)
4.2.1. O que representa a constante - ß no contexto da situação? 4.2.2. O que representa o quociente 5- , no contexto da situação?
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5.
A RacAnim Ê uma empresa que comercializa um certo tipo de ração para animais domÊsticos. A ração não Ê vendida sempre ao mesmo preço. Na realidade, o preço varia entre 2 e 5 euros por quilograma. Em consequência disso, a quantidade total de ração que a empresa vende num mês tambÊm varia. De um modo geral, quanto mais baixo for o preço, maior quantidade de ração Ê vendida. O departamento de marketing da empresa fez um estudo de mercado cujo resultado Ê apresentado na tabela seguinte. Preço de venda da ração (por 51) 2,00 euros 2,50 euros 3,00 euros 3,50 euros 4,00 euros 4,50 euros 5,00 euros
Quantidade mÊdia de ração vendida num mês 8,9 toneladas 8,3 toneladas 7,4 toneladas 6,9 toneladas 5,9 toneladas 5,3 toneladas 4,6 toneladas
Utilizando uma tÊcnica designada por regressão linear, os analistas da empresa estabeleceram o modelo seguinte para a relação entre o preço B de venda da ração (por quilograma) e a quantidade mÊdia de ração C vendida num mês (medida em toneladas):
C Ĺ“ "",)' ",%' B
�# Ÿ B Ÿ &)
5.1. Os analistas da RacAnim consideram que a equação C œ "",)' ",%' B Ê um bom modelo para a relação entre o preço B de venda da ração e a quantidade C de ração vendida, pois, segundo eles, os valores de C, calculados de acordo com o modelo, estão bastante próximos dos valores reais. Eles garantem que o desvio entre o valor real e o valor obtido a partir do modelo Ê sempre inferior a 0,2 Confirme que os analistas têm razão. Sugestão: • Calcule, para cada valor de B da primeira coluna, o correspondente valor de C, com base no modelo C œ "",)' ",%' B • Calcule os desvios entre os valores reais, que estão na segunda coluna, e os valores calculados com base no modelo (em cada caso, considere que o desvio Ê o valor absoluto da diferença entre os dois valores).
5.2. Qual Ê a variåvel dependente e qual Ê a variåvel independente na relação C œ "",)' ",%' B ? 5.3. Utilize a relação C œ "",)' ",%' B
para resolver os itens seguintes:
5.3.1. Estime a quantidade de ração que serå vendida num mês, se o preço de venda for de #,$! ₏ Î 51 Apresente o resultado em toneladas, arredondado às dÊcimas.
5.3.2. A empresa pretende vender oito toneladas de ração no próximo mês. A que preço deverå vender cada 51 ?
5.3.3. Seja D a receita da empresa, num mês, proveniente da venda desta ração. Exprima D em função de B
5.3.4. Qual deverĂĄ ser o preço de venda da ração (por 51), para que a receita seja a maior possĂvel? Para resolver este problema utilize as capacidades grĂĄficas da sua calculadora.
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6.
Na figura 3, estĂĄ representado um triângulo ď‚?EFG ‘, isĂłsceles Ă?EF Ĺ“ FGĂ‘. Sabe-se que: • ď‚?FH‘ ĂŠ a altura do triângulo ď‚?EFG ‘, relativa ao lado ď‚?EG ‘ • FH Ĺ“ ' e EG Ĺ“ ) Considere que um ponto U se desloca sobre o segmento ď‚?FH‘, nunca coincidindo com HĂ&#x; e que um ponto T se desloca sobre o segmento ď‚?EG ‘, de tal forma que se tem sempre T E Ĺ“ UF Para cada posição do ponto U, seja B a distância de U a F Ă?B Ĺ“ UF Ă‘
Figura 3
Seja + a função que, a cada valor de B, faz corresponder a ĂĄrea do triângulo ď‚?T UG ‘
6.1. Determine +Ă?&Ă‘ SugestĂŁo: Comece por desenhar o triângulo ď‚?T UG ‘ que se obtĂŠm para B Ĺ“ &
6.2. Qual ĂŠ o domĂnio e qual ĂŠ o contradomĂnio da função +? 6.3. Mostre que +Ă?BĂ‘ Ĺ“
7.
B# "%B %) #
Considere as funçþes 0 e 1, representadas graficamente no referencial o.n. da figura 4. A unidade, em qualquer dos eixos, ĂŠ o lado da quadrĂcula.
Figura 4
7.1. Indique o domĂnio da função 0 e o domĂnio da função 1 7.2. Indique o contradomĂnio da função 0 e o contradomĂnio da função 1 7.3. Indique o conjunto solução de cada uma das condiçþes seguintes: 7.3.1. 0 Ă?BĂ‘ Ĺ“ #
7.3.2. 0 Ă?BĂ‘ Ĺ“ $
7.3.3. 1Ă?BĂ‘ Ĺ“ "
7.3.4. 0 Ă?BĂ‘ Ĺ“ "
7.3.5. 0 Ă?BĂ‘ ) !
7.3.6. 1�BÑ € !
7.3.7. 1Ă?BĂ‘ + "
7.3.8. 0 Ă?BĂ‘ Ĺ“ 1Ă?BĂ‘
7.3.9. 0 Ă?BĂ‘ ) 1Ă?BĂ‘
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Itens de Matemåtica A - 10º Ano de Escolaridade Soluçþes 1.1.
+Ă?#Ă‘ Ĺ“ ')
1.2.
H+ Ĺ“ Ă“!,"!Ă’
1.3.
+Ă?BĂ‘ Ĺ“ B# +Ă?"! BĂ‘# Ĺ“ #B# #!B "!!
1.4.
+�BÑ œ +�#Ñ � B œ # � B œ ) Se B œ # , tem-se ET œ # e FT œ ) e, se B œ ) , tem-se ET œ ) e FT œ # ; então, cada quadrado que se obtÊm para B œ # Ê geometricamente igual a um dos quadrados que se obtÊm para Bœ)
2.1.1.
2.1.2. H0 Ĺ“ Ă’!, #)Ă“ 2.1.3. 0 Ă?#Ă‘ Ĺ“ #!!
w
H0 œ Ò!, '!!Ó Às 9 horas e 2 minutos, o Rui estava a 200 metros de casaÞ
2.1.4. A equação 0 �>Ñ œ '!! traduz o seguinte problema: Qual foi o intervalo de tempo (contado em minutos após as 9 horas) durante o qual o Rui permaneceu no cafÊ? GÞWÞ œ Ò', "'Ó
2.1.5. GĂžWĂž Ĺ“ Ă–%, #0Ă—
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2.2.1.
2.2.2. A equação 0 Ð>Ñ œ 1Ð>Ñ traduz o seguinte problema: «Quais foram os instantes (contados em minutos após as 9 horas) em que o Rui esteve a igual distância de casa e do café?» GÞWÞ œ Ö$, ##×
3.1.
As funções 0 e 1 podem estar representadas na opção C. A opção A não é a opção correcta porque, no instante inicial, a distância percorrida pela Rita é igual a 0 e, nesta opção, tem-se 0 Ð!Ñ
!
A opção B não é a opção correcta porque as duas amigas percorreram distâncias iguais e, portanto, o contradomínio da função 0
tem que ser igual ao contradomínio da função 1 . Nesta opção, o
contradomínio de 0 está estritamente contido no contradomínio de 1 A opção D não é a opção correcta porque a representação gráfica de 0 devia conter a origem do referencial, o que não acontece.
3.2.
8 57
4.1.1. @Ð"Ñ representa o volume de água no depósito, em .7$ , " minuto depois de começar o enchimento. @Ð>Ñ representa o volume de água no depósito, em .7$ , > minutos depois de começar o enchimento.
4.1.2. H'@ œ Ò!, $!!Ó 4.1.3. H@ œ Ò!, "&Ó 4.1.4. Representa, em minutos, o tempo necessário para encher completamente o depósito. 4.1.5. @Ð>Ñ œ #!>
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4.1.6.
4.1.7. H2 Ĺ“ Ă’!, "&Ă“
w
4.1.8. 2Ă?>Ă‘ Ĺ“ !,) >
H2 Ĺ“ Ă’!, "#Ă“
4.2.1. Representa o caudal da torneira, em .7$ por minuto. 4.2.2. Representa a ĂĄrea da base do depĂłsito, em .7#
5.1.
5.2.
B #,!! #,&! $,!! $,&! %,!! % ,& ! &,!!
C (valor real) ) ,* ) ,$ ( ,% ' ,* & ,* & ,$ % ,'
C Ĺ“ "",)' ",%'B ),*% ),#" (,%) ',(& ',!# &,#* %,&'
¸C C�valor realѸ !,!% !,!* !,!) !,"& !,"# !,!" !,!%
C ĂŠ a variĂĄvel dependente e B ĂŠ a variĂĄvel independente.
5.3.1. ),& toneladas. 5.3.2. #,'% euros. 5.3.3. D œ 1000B�"",)' ",%'BÑ 5.3.4. O preço deve ser %,!' euros por 51. 6.1.
+Ă?&Ă‘ Ĺ“ ",&
6.3.
+Ă?BĂ‘ Ĺ“
7.1.
H0 Ĺ“ H1 Ĺ“ Ă’ ', 'Ă“
6.2.
H+ Ĺ“ Ă’!,'Ă’
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7.2.
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7.3.9. Ă’ 'Ă&#x; !Ă’ âˆŞ Ă“$Ă&#x; 'Ă“
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