Pre-Calculo

´ alculo ´ Pre-C ˜ de Conceitos Matematicos ´ Uma Revisao ´ para as Cadeiras de Calculo

´ Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

Setembro de 2005

´ alculo ´ Pre-C 2005

´ alculo ´ Objectivos do Pre-C

Este texto pretende dar aos alunos das disciplinas de C´alculo (I e II) uma vis˜ao gen´erica de algumas mat´erias, j´a estudadas anteriormente, e que consideramos serem pr´e-requisitos de Matem´atica para as disciplinas de C´alculo.

N˜ao pretendemos mais do que fornecer ao aluno a possibilidade de recordar, de uma forma r´apida e f´acil, alguns resultados que foram (ou n˜ao) sendo estudados em anos anteriores e que consideramos indispens´aveis a` percepc¸a˜ o das mat´erias a leccionar. N˜ao usamos grande detalhe na exposic¸a˜ o dos resultados, mas preocupamo-nos mais com a resoluc¸a˜ o de alguns exerc´ıcios que ajudem a recordar os conceitos estudados no ensino pr´e-universit´ario.

Ao longo do ano haver´a provavelmente necessidade de outras revis˜oes que aqui n˜ao puderam ser contempladas.

Conscientes das dificuldades em Matem´atica, sentidas por grande n´umero de alunos, procuraremos, deste modo, facilitar a sua integrac¸a˜ o no ensino superior. Para isso, e´ indispens´avel que da parte dos alunos haja vontade de aprender e alguma vontade de trabalhar. . .

Para um melhor aprofundamento das mat´erias aqui afloradas, os alunos dever˜ao consultar outros textos. Para al´em dos manuais do ensino secund´ario, sugerem-se, a t´ıtulo de exemplo: 1. Iaci Malta, Sin´esio Pesco e H´elio Lopes. C´alculo a Uma Vari´avel, volumes I e II. Edic¸o˜ es Loyola, 2002.

2. Jaime Carvalho e Silva. Princ´ıpios de An´alise Matem´atica Aplicada. McGraw-Hill, 1994.

Pode tamb´em consultar outra bibliografia conforme indicado nas Referˆencias.

Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

i

´ alculo ´ Pre-C 2005 1

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Conteudo ´

´ Numeros e C´alculo 1.1 Conjuntos de N´umeros . . . . .

1.2 Condic¸o˜ es . . . . . . . . . . . .

1.3 M´odulo de um N´umero . . . . .

1.4 Operac¸o˜ es com Fracc¸o˜ es . . . .

1.5 Potˆencias . . . . . . . . . . . .

1.6 Casos Not´aveis da Multiplicac¸a˜ o

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1 1 1 2 2 3 4

Polin´omios 2.1 Divis˜ao Inteira de Polin´omios . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Algoritmo da Divis˜ao Inteira de Polin´omios 2.1.2 Regra de Ruffini . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Zeros de um Polin´omio e Factorizac¸a˜ o . . . . . . .

2.3 Simplificac¸a˜ o de Express˜oes . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 6 6 8

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11 11 12 12 13 14

Equac¸o˜ es 3.1 Equac¸a˜ o do 1o Grau . . . . . .

3.2 Equac¸o˜ es do 2o grau . . . . .

3.3 Equac¸o˜ es com Radicais . . . .

3.4 Equac¸o˜ es com M´odulos . . . .

3.5 Resoluc¸a˜ o de outras Equac¸o˜ es

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Inequac¸o˜ es 4.1 Inequac¸o˜ es do 2o grau . . . . . .

4.2 Inequac¸o˜ es com m´odulos . . . .

4.3 Inequac¸o˜ es com Radicais . . . .

4.4 Resoluc¸a˜ o de outras Inequac¸o˜ es

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17 17 18 19 20

Generalidades sobre Func¸o˜ es 5.1 Noc¸a˜ o de Func¸a˜ o. Dom´ınio e Contradom´ınio .

5.2 Func¸o˜ es Reais de Vari´avel Real . . . . . . . . .

5.3 Restric¸a˜ o de uma func¸a˜ o . . . . . . . . . . . .

5.4 Func¸o˜ es definidas por ramos . . . . . . . . . .

5.4.1 A func¸a˜ o m´odulo . . . . . . . . . . . .

5.5 Injectividade e sobrejectividade . . . . . . . . .

5.6 Paridade de Func¸o˜ es . . . . . . . . . . . . . .

5.7 Func¸o˜ es Mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . .

5.8 Func¸a˜ o Limitada . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9 Func¸o˜ es com parˆametros ou fam´ılias de func¸o˜ es 5.10 Func¸o˜ es polinomiais . . . . . . . . . . . . . .

5.11 Func¸o˜ es racionais . . . . . . . . . . . . . . . .

5.12 Func¸a˜ o Composta . . . . . . . . . . . . . . . .

5.13 Inversa de uma Func¸a˜ o . . . . . . . . . . . . .

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23 23 23 26 26 26 28 29 30 31 32 32 33 33 34

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36 36 36 36 36 37 37 39 39 40

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Func¸a˜ o logar´ıtmica e func¸a˜ o exponencial 6.1 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Func¸a˜ o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Propriedades da exponencial . . . . . . . . . .

6.2.2 Func¸a˜ o Exponencial de Base a com a > 1 . . .

6.2.3 Func¸a˜ o Exponencial de Base a com 0 < a < 1 6.3 Func¸a˜ o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Func¸a˜ o Logar´ıtmica de Base a, com a > 1 . .

6.3.2 Func¸a˜ o Logar´ıtmica de Base a, com 0 < a < 1

Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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´ alculo ´ Pre-C 2005 7

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Func¸o˜ es trigonom´etricas 7.1 Func¸o˜ es Trigonom´etricas . . . . . .

7.2 Identidades Trigonom´etricas . . . .

7.3 Gr´aficos das func¸o˜ es trigonom´etricas 7.3.1 Func¸o˜ es seno e cosseno . .

7.3.2 Func¸a˜ o tangente . . . . . .

7.4 Equac¸o˜ es trigonom´etricas . . . . . .

Conteudo ´ . . . . . .

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43 43 43 44 44 45 45

Sucess˜oes reais 8.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . .

8.1.1 Sucess˜oes definidas por recorrˆencia 8.2 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Sucess˜oes limitadas . . . . . . . . . . . . .

8.4 Progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas . . .

8.4.1 Progress˜oes aritm´eticas . . . . . . .

8.4.2 Progress˜oes geom´etricas . . . . . .

8.5 Convergˆencia de uma sucess˜ao . . . . . . .

8.6 Limites not´aveis . . . . . . . . . . . . . . .

8.7 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . .

8.8 Teoremas sobre limites . . . . . . . . . . .

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48 48 50 51 52 53 53 54 55 56 56 57

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61 61 62 62 63 65 66 70

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72 72 72 73 74 75 76 77 77 77

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Limites e Continuidade 9.1 Definic¸a˜ o de Limite . . . . . . . . . .

9.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . .

9.3 Propriedades dos Limites . . . . . . .

9.4 Propriedades das Func¸o˜ es Cont´ınuas .

9.5 Limites Infinitos e Limites no Infinito 9.6 Propriedades dos Limites Infinitos . .

9.7 Ass´ımptotas . . . . . . . . . . . . . .

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10 Derivadas 10.1 Derivada de uma Func¸a˜ o num Ponto. Func¸a˜ o Derivada .

10.2 Interpretac¸a˜ o Geom´etrica da Derivada . . . . . . . . . .

10.3 Regras de Derivac¸a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4 Derivada da Func¸a˜ o Composta . . . . . . . . . . . . . .

10.5 Derivada da func¸a˜ o inversa . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6 Derivadas de ordem superior a` primeira . . . . . . . . .

10.7 Aplicac¸a˜ o das derivadas ao estudo de func¸o˜ es . . . . . .

10.7.1 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.7.2 Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflex˜ao Referˆencias

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iii

´ alculo ´ Pre-C 2005

1 1.1

´ Numeros e C´alculo ´ Conjuntos de Numeros Notac¸a˜ o N N0 Z

Definic¸a˜ o N´umeros Naturais N´umeros Naturais e o Zero N0 = N ∪ {0} N´umeros Inteiros Z = N0 ∪ {−n : n ∈ N}

Q

N´umeros Racionais na o Q= : a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 b

R

N´umeros Reais R = Q ∪ {x : x e´ n´umero irracional}

C

N´umeros Complexos C = {a + bi : a, b ∈ R, i2 = −1} Nota:

1.2

´ 1 Numeros ´ e Calculo

R+ = {x ∈ R : x > 0} =]0, +∞[ R− = {x ∈ R : x < 0} =] − ∞, 0[

Exemplos 1; 2; 3; . . .

0; 1; 2; 3; . . . . . . ; −2; −1; 0; 1; 2; . . . d´ızimas finitas: 1 −0, 6; = 0, 25; 34, 8; 3; . . .

4 d´ızimas infinitas peri´odicas: 1 8 0, 1(6) = ; 0, (8) = ; . . .

6 9 irracionais (ou d´ızimas infinitas √ n˜ao peri´odicas): π = 3.14159 . . . ; 7 = 2.645751 . . .

4 − i; 3i; 5; . . . e e

+ R+ 0 = R ∪ {0} = [0, +∞[ − R0 = R− ∪ {0} =] − ∞, 0]

Condic¸o˜ es

Uma condic¸a˜ o (num´erica) e´ uma express˜ao que cont´em vari´aveis e que, para toda a concretizac¸a˜ o (substituic¸a˜ o das vari´aveis por n´umeros), s´o admite um valor l´ogico, verdadeiro (V) ou falso (F). Chama-se condic¸a˜ o universal (c.univ.) a uma condic¸a˜ o que e´ verdadeira para toda a concretizac¸a˜ o (p.e., x2 + 1 > 0); chama-se condic¸a˜ o imposs´ıvel (c.imp.) a uma condic¸a˜ o que e´ falsa para toda a concretizac¸a˜ o.

A partir de condic¸o˜ es elementares (por exemplo, relac¸o˜ es de igualdade, =, ou de ordem, <), constroem-se condic¸o˜ es mais complicadas por conjunc¸a˜ o (com o operador ∧, “e”) ou disjunc¸a˜ o (com o operador ∨, “ou”). ` conjunc¸a˜ o de condic¸o˜ es (∧) corresponde a intersecc¸a˜ o de conjuntos soluc¸a˜ o (∩).

A ` disjunc¸a˜ o de condic¸o˜ es (∨) corresponde a reuni˜ao de conjuntos soluc¸a˜ o (∪).

A Consequˆencia disto s˜ao as seguintes leis.

Seja C uma condic¸a˜ o qualquer. Ent˜ao, • C ∧ c.imp. e C ∧ F s˜ao c.imp.

Exemplos: – x + 1 = 0 ∧ x2 + 1 = 0 – x+1=0∧1=0 s˜ao c.imp..

• C ∨ c.univ. e C ∨ V s˜ao c.univ. exemplo: – x + 1 = 0 ∨ x2 + 1 > 0 e – x+1=0∨1>0 s˜ao c.univ..

• C ∨ c.imp., C ∨ F, C ∧ c.univ. e C ∧ V s˜ao todas equivalentes a C. Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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´ alculo ´ Pre-C 2005

1.3

´ 1 Numeros ´ e Calculo

´ M´odulo de um Numero

O m´odulo ou valor absoluto de um n´umero real x e´ definido por

x se x ≥ 0 |x| = −x se x < 0 ou seja, e´ o valor n˜ao negativo que representa a distˆancia desse n´umero a` origem da recta real.

Exemplo: Por definic¸a˜ o

|x − 1| =

x−1 −(x − 1)

se x − 1 ≥ 0 = se x − 1 < 0

x−1 −x + 1

se x ≥ 1 se x < 1

Exerc´ıcios Propostos 1. Escreva, sem usar o s´ımbolo | |, os seguintes m´odulos: (a)

|2x − 3|

(b)

2|x + 4|

|x| − x3

(c)

2. Mostre que: (a)

1.4

| − x| = 6 x

(b)

|x2 | = x2 = | − x2 |, para todo x ∈ R

Operac¸o˜ es com Fracc¸o˜ es Propriedades a b c d

=

ab + ac a

Exemplos x−1 3x2 x3 −2 8

ad ∧ d 6= 0 bc

=

8(x − 1) 3x2 (x3 − 2)

2

2 3x sen x − 5xex = 3 sen x − 5ex ∧ x 6= 0 x

= b + c ∧ a 6= 0

ab + c 6= b + c a

(x2 + 1) cos x2 + ln(x4 − 5x) 6= cos x2 + ln(x4 − 5x) x2 + 1

b+c b c = + a a a

2x−3 + cos x 2x−3 cos x = + 2 2 2 3x + 5 3x +5 3x + 5

a a a 6= + b+c b c

x2 x2 x = 6 + x x e tan x e + x tan x

a+c a c 6= + b+d b d

5−x + ln(x + 3) ln(x + 3) 6= 1 + −x x 5 +x

Exerc´ıcios Propostos Utilizando os s´ımbolos = ou 6=, e impondo as condic¸o˜ es necess´arias, preencha os espac¸os de forma a que a afirmac¸a˜ o resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta. (a)

ab + ac . . . b + ac a

(b)

a−b ... − 1 ∧ ... b−a

(c)

− (a + b) . . . − a + b

(d)

(a − b) − c . . . a − (b − c)

(e)

−

a −a ... ∧ ... b b

(f)

a b

c

...

Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

a b c

∧ ...

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´ alculo ´ Pre-C 2005

1.5

´ 1 Numeros ´ e Calculo

Potˆencias au e´ uma potˆencia de base a e expoente u

A potˆencia au n˜ao est´a definida para todo a, u ∈ R. Se a > 0, au est´a sempre bem definida e au ∈ R+ .

Se a = 0, a potˆencia au s´o e´ v´alida se u ∈ R+ e au = 0u = 0. Por exemplo, 0−2 =

1 02

=

1 0

n˜ao tem

significado. p √ 5 Se a < 0, a potˆencia au nem sempre tem significado. Por exemplo, (−2) 2 = (−2)5 = −32.

Sejam a, b ∈ R+ e sejam u, v ∈ R. Propriedades 1 a−u = u a √ 1 u au = a √ v a u = u av av au = av+u av au 6= avu

Exemplos 1 3−4 = 4 3 √ 1 5 75 = 7 √ 3 4 2 4 = 23 32 · 35 = 32+5 = 37 41 · 42 = 4 · 16 = 43 6= 41·2 = 42 (23 )2 = 82 = 64 = 26 = 23·2 (22 )3 = 43 = 64

(au )v = auv = (av )u au bu = (ab)u

52 · 62 = 302

av = av−u au a u au = u b b

73 = 73−4 = 7−1 74 !3 33 3 = 3 5 5

˜ ATENC ¸ AO √ √ √ a + b 6= a + b √ √ n √ n

Exemplos √ √ 9 + 16 = 25 = 5 √ √ 3+4=7 √ 9 + 16 =√ 2 2 5 + 12 = 169 = 13 5 + 12 = 17 p 4 (−5)4 = | − 5| = 5 p 3 (−5)3 = −5

a2 + b2 6= a + b

an = |a|, se n e´ par

an = a, se n e´ ´ımpar

NOTA: Se a < 0, as propriedades anteriormente descritas s˜ao apenas v´alidas se u = rs , com s um n´umero ´ımpar. Por exemplo, se aplicarmos a 5a propriedade a 1

((−1)2 ) 2 = (−1)1 = −1; por outro lado, 1

1

((−1)2 ) 2 = 1 2 = 1.

Exerc´ıcios Propostos 1. Prove, usando as propriedades anteriores, que a0 = 1, para todo a ∈ R \ {0} .

Justifique porque e´ que 00 n˜ao est´a definido.

Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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´ alculo ´ Pre-C 2005

´ 1 Numeros ´ e Calculo

2. Utilizando os s´ımbolos = ou 6=, e impondo as condic¸o˜ es necess´arias, preencha os espac¸os de forma a que a afirmac¸a˜ o resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta. p 2 (a) a2 + 1 . . . a + 1 (b) (ar )2 . . . ar r x y

xy

(c) a b . . . (ab) q

(e)

m

√ n

1

a . . . a mn

(d) (f)

n

√ n

1 1 . . . c− n c

am . . . amn

3. Simplifique as as seguintes express˜oes, aplicando as propriedades vistas anteriormente. √ 0 53 3 + 4−2 − 2 ; (a) 5 2

4 2 (b) 23 · 2−1 + −1 ; 4 q p p √ √ 3 3 2 3 (c) (−3) + (−4) − 64 + 3 −108

1.6

Casos Not´aveis da Multiplicac¸a˜ o Quadrado da Soma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrado da Diferenc¸a (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Diferenc¸a de Quadrados a2 − b2 = (a − b)(a + b) Exemplo: Repare que (3 + t)2 = 9 + 6t + t2 (3 − t)2 = 9 − 6t + t2 (3 + t)(3 − t) = 9 − t2

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´ alculo ´ Pre-C 2005

2

´ 2 Polinomios

Polin´omios

Seja n ∈ N0 e sejam a0 , a1 , . . . , an ∈ R. Notac¸a˜ o mon´omio grau do mon´omio

Definic¸a˜ o an xn n e´ uma soma de mon´omios p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 a0 an ; . . . ; a1 ; a0 e´ o maior grau dos mon´omios que formam o polin´omio

polin´omio termo independente coeficientes do polin´omio grau do polin´omio

Exemplo x5 ; −4x2 ; 3 5; 2; 0 x5 − 4x2 + 3 3 1; 0; 0; −4; 0; 3 5

Nota: O grau do mon´omio nulo e´ indeterminado.

2.1

Divis˜ao Inteira de Polin´omios Dados dois polin´omios p e d, dividir p por d e´ encontrar dois polin´omios q e r tais que p = d · q + r, onde r tem grau inferior a d ou r = 0.

Se r = 0 dizemos que p e´ divis´ıvel por d. p: dividendo d: divisor r: resto q: quociente Se o dividendo tem grau n e o divisor tem grau m ent˜ao o quociente ter´a grau n − m.

Note-se que se o grau do divisor for maior que o grau do dividendo ent˜ao o quociente da divis˜ao inteira e´ 0 e o resto coincide com o dividendo.

2.1.1

Algoritmo da Divis˜ao Inteira de Polin´omios

Este algoritmo ser´a ilustrado com um exemplo.

Pretende-se efectuar a divis˜ao de p(x) = 4x4 + 2x2 − 3 por d(x) = x2 − 1.

4x4

+

2x2

x2

−3

4x4 + 2x2 − 3

−

−

−

4x4 (4x4

+ −

4x4 4x4 4x4 4x4

+ + + + −

x2 − 1 4x2

2x2 4x2 ) 6x2 2x2 4x2 6x2 2x2 4x2 6x2 (6x2

−1

−

3

−

3

−

3

−

3

− − −

3

x2 − 1 4x2

x2 − 1 4x2 + 6 x2 − 1 4x2 + 6

3 6) 3

Comec¸a-se por escrever, ordenadamente, o dividendo e o divisor colocando os expoentes das potˆencias de x por ordem decrescentes, de acordo com o esquema.

Dividem-se os termos de maior grau do divi4x4 dendo e do divisor 2 = 4x2 . O resultado e´ x o termo de maior grau do quociente.

Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente, escreve-se o sim´etrico desse produto e adiciona-se ao dividendo, obtendo o resto parcial.

Divide-se o termo de maior grau do resto parcial 6x2 pelo termo de maior grau do divisor 2 = 6. O x resultado e´ o segundo termo do quociente.

Repete-se, em seguida, todo o processo.

A divis˜ao acaba quando o grau do resto parcial e´ inferior ao grau do divisor.

Assim, o resto desta divis˜ao inteira e´ r(x) = 3 e o quociente e´ q(x) = 4x2 + 6.

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´ alculo ´ Pre-C 2005 2.1.2

´ 2 Polinomios

Regra de Ruffini

A regra de Ruffini e´ um processo pr´atico para a determinac¸a˜ o dos coeficientes do quociente e do resto da divis˜ao inteira de polin´omios quando o divisor e´ da forma x − α, com α ∈ R. Veja-se a partir de um exemplo em que consiste a Regra de Ruffini.

Considere a divis˜ao de p(x) = 2x3 − 5x2 + 5 por d(x) = x + 1.

2

−5

0

5

2 ↓ 2

−5

0

5

−1

−1

2 −1 ×

−5 −2

0

5

−5 −2 −7

0 7 7

5 −7 −2

2 2

−1 2

Na primeira linha colocam-se os coeficientes do dividendo. Escreve-se zero nos coeficientes nulos. Na segunda linha coloca-se o valor de α = −1 Transporta-se para a terceira linha o primeiro coeficiente do dividendo. E´ nesta linha que se obt´em os coeficientes do polin´omio quociente e do resto.

Obt´em-se o segundo coeficiente do quociente −7 multiplicando por α = −1 o primeiro coeficiente do quociente 2 e adicionando o resultado −2 ao segundo coeficiente do dividendo −5.

Repete-se o processo sucessivamente.

O u´ ltimo n´umero obtido e´ o resto da divis˜ao, sendo os anteriores os coeficientes do quociente.

Neste caso o resto e´ r(x) = −2 e o quociente e´ q(x) = 2x2 − 7x + 7.

Exerc´ıcios Propostos Determine quociente e o resto da divis˜ao inteira de (a) p(x) = x5 + 4x2 − 2 por d(x) = x2 + 2 (b) p(x) = x6 − 4x2 − 1 por d(x) = x3 − 1 (c) p(x) = x2 − 3x − 5 por d(x) = x − 2 (d) p(x) = x4 − 2x2 − 16 por d(x) = x + 2

2.2

Zeros de um Polin´omio e Factorizac¸a˜ o

Dado um polin´omio p diz-se que β e´ um zero ou uma raiz de p se, ao substituir x por β, o polin´omio anula-se, ou seja, p(β) = 0. Mostra-se que β e´ uma raiz de p se o resto da divis˜ao de p por x − β e´ zero.

A decomposic¸a˜ o de um polin´omio em factores consiste em escrever um polin´omio como produto de factores.

Se β e´ raiz do polin´omio p ent˜ao p pode decompor-se em factores da forma p(x) = (x − β)q(x), onde q(x) e´ o quociente da divis˜ao inteira de p(x) por x − β.

Existem v´arios processos para determinar zeros de um polin´omio e a sua consequente decomposic¸a˜ o.

• Seja p(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Os zeros deste polin´omio existem (em R) se e s´o se b2 − 4ac ≥ 0 e s˜ao dados pela f´ormula resolvente √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac α= β= 2a 2a Nota: E´ usual denotar ∆ = b2 − 4ac.

Caso existam os zeros, pode-se factorizar p do seguinte modo p(x) = a(x − α)(x − β).

Exemplo: Seja p(x) = 3x2 − 3x − 18. Aplicando a f´ormula resolvente, verifica-se que tem como zeros p p 3 + 32 − 4 · 3 · (−18) 3 − 32 − 4 · 3 · (−18) x= =3 e x= = −2.

2·3 2·3 Assim, p(x) = 3(x − 3)(x + 2).

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´ alculo ´ Pre-C 2005

´ 2 Polinomios

• Existem certos polin´omios de grau 2 que s˜ao mais f´aceis de factorizar aplicando os casos not´aveis da multiplicac¸a˜ o.

Exemplo: Aplicando os casos not´aveis pode-se decompor os seguintes polin´omios √ 2 √ p(x) = 2x2 − 25 = 2x − 52 e´ a diferenc¸a entre os quadrados de 2x e 5 √ √

= 2x − 5 2x + 5 t(x) = 9x2 − 24x + 16 = (3x)2 − 2 · 3x · 4 + 42

e´ o quadrado da diferenc¸a entre 3x e 4

= (3x − 4)2 √ 2 √ √ a(x) = 4x2 + 4 5x + 5 = (2x)2 + 2 · 2x · 5 + 5 √ 2 = (2x + 5)

e´ o quadrado da soma de 2x com

√

5

• Seja p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , n ∈ N. A regra de Ruffini pode ser usada para determinar o valor de α tal que o resto da divis˜ao inteira de p por x − α seja nulo.

Regra pr´atica Suponha-se que p tem todos os coeficientes inteiros, ou seja, ai ∈ Z β Ent˜ao, se tiver um zero da forma α = , tal que β ∈ Z e γ ∈ N γ β e´ divisor de a0 e γ e´ divisor de an .

Donde p(x) = (x − α)q(x), onde q(x) e´ o quociente da divis˜ao.

Exemplo: Considere-se p(x) = x3 − 3x2 + x + 1. De acordo com a regra pr´atica, como a3 = 1 ⇒ β = 1 ∨ β = −1 a0 = 1 ⇒ γ = 1 os poss´ıveis candidatos a ra´ızes s˜ao 1 e −1. Comec¸a-se por experimentar. −3 −3 −6

1 −1 1

1 6 7

1 −7 −6

Como o resto e´ n˜ao nulo, −1 n˜ao e´ zero de p. Resta experimentar α = 1 1 1 1

−3 1 −2

1 −2 −1

1 −1 0

Donde 1 e´ zero de p e p(x) = (x − 1)(x2 − 2x − 1).

Al´em disso, pela f´ormula resolvente, sabe-se que √ √ x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 + 2 ∨ x = 1 − 2, √ √ o que quer dizer que x2 − 2x − 1 = x − 1 − 2 x − 1 + 2 . Logo

√ √ p(x) = (x − 1) x − 1 − 2 x − 1 + 2 .

• Outro processo baseia-se na existˆencia de factores comuns em todos os mon´omios que comp˜oem o polin´omio. Se tais factores existirem, podem-se colocar em evidˆencia.

Exemplo 1: Seja p(x) = −8x3 + 16x2 . Repare-se que 8x2 e´ um factor comum a todos os mon´omios que constituem o polin´omio, ou seja, e´ um factor comum a −8x3 e a 16x2 . Donde p(x) = 8x2 (−x + 2) Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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´ alculo ´ Pre-C 2005

´ 2 Polinomios

Exemplo 2: Seja t(x) = 2x2 − 2 + x3 − x. Poderia-se tentar aplicar a regra de Ruffini. Mas repare-se 2x2 − 2 + x3 − x = 2(x2 − 1) + x(x2 − 1) Donde existe um factor x2 − 1 comum a` s duas parcelas. Logo t(x) = (x2 − 1)(2 + x) E como x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), tem-se que t(x) = (x − 1)(x + 1)(2 + x).

Exerc´ıcios Propostos Factorize os seguintes polin´omios (a) x2 − 3x + 2 (b) 52x2 − 10x3 − 48x x2 (c) x3 − 7x2 + 3x + 3 (d) −9 36

2.3

Simplificac¸a˜ o de Express˜oes O dom´ınio das express˜oes e´ o maior subconjunto de R onde a express˜ao tem significado.

O dom´ınio da express˜ao inicial deve ser igual ao dom´ınio da express˜ao obtida ap´os simplificac¸a˜ o.

Para tal e´ , por vezes necess´ario, acrescentar condic¸o˜ es a` s vari´aveis envolvidas na express˜ao.

Considerem-se alguns exemplos de simplificac¸a˜ o de express˜oes e racionalizac¸a˜ o de denominadores.

Exemplo 1: Pelas propriedades das potˆencias tem-se que 4 −2 3 2 3y 32 (y 3 )2 9y 6 x = = = ∧ y 6= 0 3y 3 x4 (x4 )2 x8 9y 6 Acrescentou-se a condic¸a˜ o y 6= 0 porque o dom´ınio da express˜ao 8 e´ x 6= 0 e o dom´ınio da express˜ao inicial x e´ y 6= 0 (encontra-se no denominador de uma fracc¸a˜ o) e x 6= 0 (uma potˆencia com expoente negativo n˜ao pode ter base nula). A igualdade das express˜oes apenas e´ v´alida se y 6= 0 e x 6= 0.

Exemplo 2: Novamente pelas propriedades das potˆencias, r √ √ 3 3 3 6 3 6 2 a 2a2 3 2 a √ = = 3 3 b3 b b Repare-se que o dom´ınio das express˜oes, inicial e final, e´ b 6= 0, da´ı que n˜ao seja necess´ario acrescentar nenhuma condic¸a˜ o a` s vari´aveis para que a igualdade entre as express˜oes seja v´alida.

Exemplo 3: Para simplificar a express˜ao x2

x 2x + 3 1 + − − 1 2x + 2 2x − 2

reduzem-se todas as fracc¸o˜ es ao mesmo denominador. Para isso e´ necess´ario factorizar os denominadores.

Sabe-se que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), 2x − 2 = 2(x − 1) e 2x + 2 = 2(x + 1). Pode-se reduzir todas as fracc¸o˜ es a fracc¸o˜ es equivalentes com denominador 2(x2 − 1). Assim x2

x 2x + 3 1 2x (2x + 3)(x − 1) (x + 1) + − = + − 2 2 − 1 2x + 2 2x − 2 2(x − 1) 2(x − 1) 2(x2 − 1) 2x + (2x + 3)(x − 1) − (x + 1) = 2(x2 − 1)

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´ alculo ´ Pre-C 2005

´ 2 Polinomios

Aplicando a propriedade distributiva e simplificando os termos semelhantes obt´em-se 2x + 2x2 − 2x + 3x − 3 − x − 1 2(x2 − 1) 2 2(x2 + x − 2) 2x + 2x − 4 = = 2(x2 − 1) 2(x2 − 1) x2 + x − 2 = x2 − 1 =

Ainda e´ poss´ıvel simplificar mais, factorizando o numerador. Aplicando a f´ormula resolvente, sabe-se que os zeros de x2 + x − 2 s˜ao x = 1 e x = −2. Donde x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2) e x2 − 1 = (x + 1)(x − 1). Logo (x − 1)(x + 2) (x + 1)(x − 1) x+2 = ∧ x 6= 1 x+1 =

Repare-se que 2x + 3 1 x+2 x + − 6= − 1 2x + 2 2x − 2 x+1 uma vez que os dom´ınios das duas express˜oes n˜ao s˜ao iguais. O dom´ınio da primeira e´ x 6= 1 e x 6= −1 e o dom´ınio da segunda e´ x 6= −1. A igualdade s´o e´ v´alida em R \ {−1, 1}. x2

Exemplo 4: Considere-se a express˜ao

y −1 + x−1 . Comec¸a-se por reduzir tudo ao mesmo denominador. As(xy)−1

sim, y −1 + x−1 = (xy)−1

1 y

+ 1 xy

1 x

=

x+y xy 1 xy

=

(x + y)(xy) xy

= x + y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0 Repare-se que o dom´ınio de x + y e´ R e o dom´ınio da express˜ao dada e´ x 6= 0 e y 6= 0 (porque s˜ao bases de potˆencias com expoente negativo).

Exemplo 5: Considere-se a express˜ao 1 p

x3 y

.

Para simplificar este tipo dep express˜oes com radicais multiplica-se o numerador e o denominador pelo radical que surge no denominador, x3 y.

Nota: Ao multiplicar (ou dividir) por uma express˜ao tem que se garantir que essa express˜ao e´ n˜ao nula.

Neste caso,

p

x3 y 6= 0 atendendo ao dom´ınio da express˜ao dada. Obt´em-se p 1 x3 y p

p = p x3 y x3 y x3 y p x3 y = 3 x y

Ainda e´ poss´ıvel simplificar um√pouco mais a express˜ao uma vez que existe uma potˆencia de grau superior ao p √ √ 3 ´ındice da raiz. Como x y = x2 xy = |x| xy, vem que √ |x| xy p = . x3 y x3 y 1

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´ alculo ´ ´ Pre-C 2005 2 Polinomios √ √ √ x+2 Exemplo 6: Seja √ . Neste caso tem que se multiplicar e dividir por x + 2 (note-se que x + 2 6= 0 x−2 para todo x ∈ R). Aplicando os casos not´aveis, obt´em-se √ √ √ x+2 ( x + 2)( x + 2) √ √ = √ x−2 ( x − 2)( x + 2) √ √ √ x+4 x+4 ( x)2 + 4 x + 4 √ = = x−4 ( x)2 − 22 √ Note-se que o dom´ınio da express˜ao inicial e´ x ≥ 0 e x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 4, que coincide com o dom´ınio da express˜ao obtida ap´os simplificac¸a˜ o.

Exerc´ıcios Propostos Simplifique as express˜oes, racionalizando o denominador sempre que necess´ario.

2 2

1 −1 3 4a b 5a b (a) 2x2 y −5 6x−3 y (b) x y 3 a3 b3 2b4 (c)

(e)

(g)

√ 3

8a6 b−3

9 2 + 3s + 1 (3s + 1)2 b a 1 a

− −

a b 1 b

√ 2t + 8 (d) √ t−3 (f)

2x 8 3 − 2 + x + 2 x + 2x x

(h)

x + t2 √ 5 − xt

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´ alculo ´ Pre-C 2005

3

Ë&#x153; 3 Equac¸oes

Equac¸oË&#x153; es Notac¸aË&#x153; o Equac¸aË&#x153; o Equac¸aË&#x153; o Polinomial

Soluc¸aË&#x153; o ou Raiz da Equac¸aË&#x153; o

Conjunto Soluc¸aË&#x153; o Equac¸oË&#x153; es Equivalentes Equac¸aË&#x153; o Imposs´Ĺvel Equac¸aË&#x153; o Poss´Ĺvel Resolver uma Equac¸aË&#x153; o

Definic¸aË&#x153; o e´ uma igualdade onde figura pelo menos uma vari´avel e´ uma igualdade entre polin´omios e´ um valor que, quando concretizado na vari´avel, transforma a equac¸aË&#x153; o numa proposic¸aË&#x153; o verdadeira e´ o conjunto de todas as soluc¸oË&#x153; es sË&#x153;ao equac¸oË&#x153; es com o mesmo conjunto soluc¸aË&#x153; o nË&#x153;ao tem nenhuma soluc¸aË&#x153; o admite pelo menos uma soluc¸aË&#x153; o e´ encontrar todas as soluc¸oË&#x153; es

Exemplos 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4 2x = â&#x2C6;&#x2019;8 2 ln y + 2x2 = 2x 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4 x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4x â&#x2C6;&#x2019;1 e´ soluc¸aË&#x153; o de x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4x pois (â&#x2C6;&#x2019;1)2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4 ¡ (â&#x2C6;&#x2019;1) {â&#x2C6;&#x2019;1, 5} e´ o conjunto soluc¸aË&#x153; o de x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4x 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4 e 3x = 9 sË&#x153;ao equivalentes 2x = â&#x2C6;&#x2019;8 e´ uma equac¸aË&#x153; o imposs´Ĺvel x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4x e´ uma equac¸aË&#x153; o poss´Ĺvel aplicar a f´ormula resolvente resolve x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4x

SerË&#x153;ao recordados apenas m´etodos simples de resolver equac¸oË&#x153; es polinomiais do 1o e do 2o grau ou equac¸oË&#x153; es que podem ser simplificadas para equac¸oË&#x153; es desse tipo.

Chama-se grau de uma equac¸aË&#x153; o polinomial ao maior expoente das potË&#x2020;encias de x que surge na equac¸aË&#x153; o, ap´os simplificac¸aË&#x153; o.

3.1

Equac¸aË&#x153; o do 1o Grau Equac¸aË&#x153; o do 1o grau Toda a equac¸aË&#x153; o que, depois de simplificada, tem a forma ax = b, com a, b â&#x2C6;&#x2C6; R e a 6= 0. b .

O seu conjunto soluc¸aË&#x153; o e´ a

NOTA: Se ap´os simplificac¸aË&#x153; o, a equac¸aË&#x153; o for do tipo 0x = b entË&#x153;ao o conjunto soluc¸aË&#x153; o, em R, e´ â&#x2C6;&#x2026; se b 6= 0; se b = 0, entË&#x153;ao o conjunto soluc¸aË&#x153; o e´ R Exemplo: Considere-se a equac¸aË&#x153; o 2(x + 1) x + 2 â&#x2C6;&#x2019; = 2x 3 4 Simplificando, e atendendo ao quadro anterior, conclui-se que 2(x + 1) x + 2 8(x + 1) 3(x + 2) 12(2x) â&#x2C6;&#x2019; = 2x â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; = 3 4 12 12 12 â&#x2021;&#x201D; 8(x + 1) â&#x2C6;&#x2019; 3(x + 2) = 12(2x) â&#x2021;&#x201D; 8x + 8 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 6 = 24x â&#x2021;&#x201D; 8x â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 24x = â&#x2C6;&#x2019;8 + 6 â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;19x = â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2 2 â&#x2021;&#x201D;x= = . â&#x2C6;&#x2019;19 19 Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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´ alculo ´ Pre-C 2005

Ë&#x153; 3 Equac¸oes

Exerc´Ĺcios Propostos Resolva, em R, as seguintes equac¸oË&#x153; es. x + 10 (a) =5â&#x2C6;&#x2019;x 4 16x + 3 10x + 1 = 4x â&#x2C6;&#x2019; (c) 4 â&#x2C6;&#x2019; 6 4

3.2

x

(b) 3 + 1 = x â&#x2C6;&#x2019; 2(1 â&#x2C6;&#x2019; x) 2

1 4 x (d) x + â&#x2C6;&#x2019; x=2 1â&#x2C6;&#x2019; 3 5 6

Equac¸oË&#x153; es do 2o grau Equac¸aË&#x153; o do 2o grau Toda a equac¸aË&#x153; o que, depois de simplificada, tem a forma ax2 + bx + c = 0, com a, b, c â&#x2C6;&#x2C6; R e a 6= 0

Recorde-se que â&#x2C6;&#x2020; = b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac.

Casos Poss´Ĺveis â&#x2C6;&#x2020;<0 â&#x2C6;&#x2020;=0 â&#x2C6;&#x2020;>0

Conjunto Soluc¸aË&#x153; o em R â&#x2C6;&#x2026; b â&#x2C6;&#x2019; 2a ) ( â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;b + b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac â&#x2C6;&#x2019;b â&#x2C6;&#x2019; b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac , 2a 2a

Exemplo: Pretende-se determinar o conjunto soluc¸aË&#x153; o, em R, da equac¸aË&#x153; o x(x + 1) + 7 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3x Para a resolver a equac¸aË&#x153; o deve-se, em primeiro lugar, simplific´a-la. x(x + 1) + 7 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2021;&#x201D; x2 + x + 7 = 3 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2021;&#x201D; x2 + x + 7 â&#x2C6;&#x2019; 3 + 3x = 0 â&#x2021;&#x201D; x2 + 4x + 4 = 0 Trata-se de uma equac¸aË&#x153; o do 2o grau. Como â&#x2C6;&#x2020; = 42 â&#x2C6;&#x2019; 4 ¡ 1 ¡ 4 = 0, sabe-se que a equac¸aË&#x153; o admite uma u´ nica 4 soluc¸aË&#x153; o que e´ x = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;2.

2 Exerc´Ĺcios Propostos Determine o conjunto soluc¸aË&#x153; o, em R, das seguintes equac¸oË&#x153; es. (a) 4x2 â&#x2C6;&#x2019; 3x = 0 (b) 1 + (x + 2)(x â&#x2C6;&#x2019; 4) = x x2 â&#x2C6;&#x2019; 4 x2 + 4 + =1 (d) (x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + (x + 3)2 = 0 (c) 12 8

3.3

Equac¸oË&#x153; es com Radicais Resoluc¸aË&#x153; o de equac¸oË&#x153; es com radicais do tipo

p f (x)

â&#x20AC;˘ Primeiro deve-se isolar os radicais. â&#x20AC;˘ De seguida elevam-se ambos os membros ao quadrado.

Ao fazer esta operac¸aË&#x153; o pode-se nË&#x153;ao obter uma equac¸aË&#x153; o equivalente a` inicial pois podem ser introduzidas novas soluc¸oË&#x153; es. â&#x20AC;˘ Por fim, e depois de obter as soluc¸oË&#x153; es da nova equac¸aË&#x153; o, verifica-se se estas satisfazem a equac¸aË&#x153; o inicial. â&#x20AC;˘ NË&#x153;ao esquecer que o dom´Ĺnio da expressË&#x153;ao e´ f (x) â&#x2030;Ľ 0.

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˜ 3 Equac¸oes √

Exemplo: Pretende-se resolver a equac¸a˜ o 5x − 9 = x − 3. Elevando ambos os membros ao quadrado obt´em-se √ √ 2 5x − 9 = x − 3 ⇒ 5x − 9 = (x − 3)2 ⇔ 5x − 9 = x2 − 6x + 9 ⇔ x2 − 6x − 5x + 9 + 9 = 0 ⇔ x2 − 11x + 18 = 0 ⇔ x=9∨x=2 Resta verificar √ se as soluc¸o˜ es obtidas satisfazem a equac¸a˜ o dada.

Para x = 2, √5 · 2 − 9 = 2 − 3 ⇔ 1 = −1. Donde 2 n˜ao e´ soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o inicial.

Para x = 9, 5 · 9 − 9 = 9 − 3 ⇔ 6 = 6. Logo a u´ nica soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o dada e´ x = 9.

Nota: Repare-se que coloca-se o sinal de implicac¸a˜ o ⇒ quando se eleva ao quadrado ambos os membros porque, tal como foi dito anteriormente, pode-se estar a acrescentar soluc¸o˜ es, e portando n˜ao se obtˆem equac¸o˜ es equivalentes. Tamb´em por isso n˜ao e´ necess´ario escrever dom´ınios iguais.

Exerc´ıcios Propostos Resolva, ¸ o˜ es. √ √ em R, as seguintes equac √ (b) px3 = x (a) 7 − x = x − 5 √ √ √ (c) x + 4x + 1 = 5 (d) x + x + 8 = 2 x

3.4

Equac¸o˜ es com M´odulos Resoluc¸a˜ o de equac¸o˜ es tipo |f (x)| = g(x)

|f (x)| = g(x) ⇔ f (x) = g(x) ∨ f (x) = −g(x) ∧ g(x) ≥ 0 NOTA: se g(x) < 0, a equac¸a˜ o |f (x)| = g(x) e´ imposs´ıvel .

Exemplo 1: Pretende-se determinar o conjunto soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o |x − 3| = 8. |x − 3| = 8 ⇔ (x − 3 = 8 ∨ x − 3 = −8) ∧ 8 ≥ 0 | {z } V ⇔ x = 11 ∨ x = −5 Recorde-se que V ∧ C ⇔ C, qualquer que seja a condic¸a˜ o C. Logo o conjunto soluc¸a˜ o e´ {−5, 11}.

Exemplo 2: Considere-se a equac¸a˜ o |5x + 4| = −2. E´ f´acil verificar que se trata de uma equac¸a˜ o imposs´ıvel pois uma distˆancia nunca pode ser negativa. De facto, |5x + 4| = −2 ⇔ (5x + 4 = −2 ∨ 5x + 4 = 2) ∧ −2 ≥ 0 | {z } F pois F ∧ C ⇔ F, qualquer que seja a condic¸a˜ o C. Donde a equac¸a˜ o e´ imposs´ıvel e, portanto, o conjunto soluc¸a˜ o e´ ∅.

Exemplo 3: Pretende-se determinar o conjunto soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o |2x − 1| = 3x + 4.

Sabe-se que

|2x − 1| = 3x + 4 ⇔ 2x − 1 = 3x + 4 ∨ 2x − 1 = −(3x + 4) ∧ 3x + 4 ≥ 0 ⇔ (2x − 3x = 4 + 1 ∨ 2x + 3x = −4 + 1) ∧ 3x + 4 ≥ 0

3 4 ∧x≥− ⇔ x = −5 ∨ x = − 5 3 3 ⇔ x=− 5 Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

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Ë&#x153; 3 Equac¸oes

4 3 Note-se que â&#x2C6;&#x2019;5 < â&#x2C6;&#x2019; . Portanto, o conjunto soluc¸aË&#x153; o da equac¸aË&#x153; o dada e´ â&#x2C6;&#x2019; .

3 5 Outro caso em que tamb´em se pode usar a t´ecnica do â&#x20AC;&#x153;elevar ao quadrado ambos os membrosâ&#x20AC;?, e´ nas equac¸oË&#x153; es que envolvem dois m´odulos. Nestas situac¸oË&#x153; es nË&#x153;ao se inserem novas soluc¸oË&#x153; es, ou seja, as soluc¸oË&#x153; es obtidas depois de se elevar ao quadrado ambos os membros sË&#x153;ao as mesmas da equac¸aË&#x153; o inicial.

Resoluc¸aË&#x153; o de equac¸oË&#x153; es do tipo |f (x)| = |g(x)| |f (x)| = |g(x)| â&#x2021;&#x201D; [f (x)]2 = [g(x)]2 1 Exemplo: Considere-se a equac¸aË&#x153; o |x â&#x2C6;&#x2019; 4| = |2x â&#x2C6;&#x2019; 1|. Elevando ambos os membros ao quadrado obt´em-se 2

2 1 1 2 |x â&#x2C6;&#x2019; 4| = |2x â&#x2C6;&#x2019; 1| â&#x2021;&#x201D; (x â&#x2C6;&#x2019; 4) = (2x â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 2 1 â&#x2021;&#x201D; x2 â&#x2C6;&#x2019; 8x + 16 = (4x2 â&#x2C6;&#x2019; 4x + 1) 4 1 2 â&#x2021;&#x201D; x â&#x2C6;&#x2019; 8x + 16 = x2 â&#x2C6;&#x2019; x + 4 1 â&#x2021;&#x201D; x2 â&#x2C6;&#x2019; 8x + 16 â&#x2C6;&#x2019; x2 + x â&#x2C6;&#x2019; = 0 4 63 63 â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;7x + = 0 â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;7x = â&#x2C6;&#x2019; 4 4 63 â&#x2021;&#x201D;x= .

28 Exerc´Ĺcios Propostos Determine, em R, o conjunto soluc¸aË&#x153; o das seguintes equac¸oË&#x153; es. (a) 3|x + 1| â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;11 (b) |3x â&#x2C6;&#x2019; 2| + 3 = 7 (c) |5x â&#x2C6;&#x2019; 1| = 6x (d) |x + 1| â&#x2C6;&#x2019; 2x = 8x + 3 (e) |x â&#x2C6;&#x2019; 2| = |x + 5| (d)|x + 1| â&#x2C6;&#x2019; 2|x â&#x2C6;&#x2019; 3| = 0

3.5

Resoluc¸aË&#x153; o de outras Equac¸oË&#x153; es

Um processo muito usado na resoluc¸aË&#x153; o de equac¸oË&#x153; es e´ usar a decomposic¸aË&#x153; o em factores seguida da lei do anulamento do produto.

Lei do anulamento do produto O produto de dois ou mais factores e´ nulo se e s´o se pelo menos um dos factores e´ nulo, ou seja, ab ¡ ¡ ¡ z = 0 â&#x2021;&#x201D; a = 0 â&#x2C6;¨ b = 0 â&#x2C6;¨ ¡ ¡ ¡ â&#x2C6;¨ z = 0 Exemplo: A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto soluc¸aË&#x153; o da equac¸aË&#x153; o 1 (7 â&#x2C6;&#x2019; 3x)(5 â&#x2C6;&#x2019; x)(x + 1) = 0.

2 Aplicando a lei do anulamento do produto vem que 1 1 (7 â&#x2C6;&#x2019; 3x)(5 â&#x2C6;&#x2019; x)(x + 1) = 0 â&#x2021;&#x201D; = 0 â&#x2C6;¨ 7 â&#x2C6;&#x2019; 3x = 0 â&#x2C6;¨ 5 â&#x2C6;&#x2019; x = 0 â&#x2C6;¨ x + 1 = 0 2 2 | {z } F 7 â&#x2021;&#x201D; x = â&#x2C6;¨ x = 5 â&#x2C6;¨ x = â&#x2C6;&#x2019;1 3

7 Recorde-se que F â&#x2C6;¨ C â&#x2021;&#x201D; C, qualquer que seja a condic¸aË&#x153; o C. Assim o conjunto soluc¸aË&#x153; o e´ â&#x2C6;&#x2019;1, , 5 .

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˜ 3 Equac¸oes

Outros processos de resoluc¸a˜ o de outro tipo de equac¸o˜ es ser˜ao exemplificados.

Exemplo 1: Considere-se a equac¸a˜ o x4 + x2 − 12 = 0. Apesar de se tratar de uma equac¸a˜ o do 4o grau, onde n˜ao se encontra nenhum factor comum para colocar em evidˆencia, pode-se resolvˆe-la como sendo uma equac¸a˜ o do 2o grau. Repare-se que 2 x4 + x2 − 12 = 0 ⇔ x2 + x2 − 12 = 0 Se se fizer uma mudanc¸a de vari´avel y = x2 e se aplicar a f´ormula resolvente obt´em-se p −1 ± 12 − 4 · 1 · (−12) 2 y + y − 12 = 0 ⇔ y = √ 2·1 −1 ± 49 ⇔y= 2 −1 + 7 −1 − 7 ⇔y= ∨y = 2 2 ⇔ y = 3 ∨ y = −4.

Como y = x2 tem-se que x2 = 3 ∨ x2 = −4. A equac¸a˜ o x2 = −4 e´ imposs´ıvel. Donde as soluc¸o˜ es da equac¸a˜ o dada s˜ao as mesmas da equac¸a˜ o x2 = 3. √ √ x2 = 3 ⇔ x2 − 3 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0, e´ a diferenc¸a de quadrados √ √ ⇔ x − 3 = 0 ∨ x + 3 = 0, pela lei do anulamento do produto √ √ ⇔x= 3∨x=− 3 Exemplo 2: Pretende-se determinar o conjunto soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o 1 x 4 + = 2 . x − 2 3x + 6 x −4 Para simplificar a equac¸a˜ o tem que se determinar o menor denominador comum a` s trˆes fracc¸o˜ es, pelo que, comec¸a-se por decompor os denominadores em factores. Como 3x + 6 = 3(x + 2) e x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), tem-se que 1 x 4 1 x 4 + = 2 ⇔ + − =0 x − 2 3x + 6 x −4 x − 2 3(x + 2) (x − 2)(x + 2) 3(x + 2) x(x − 2) 12 ⇔ + − =0 3(x + 2)(x − 2) 3(x + 2)(x − 2) 3(x − 2)(x + 2) 3x + 6 + x2 − 2x − 12 ⇔ =0 3(x + 2)(x − 2) x2 + x − 6 ⇔ =0 3(x + 2)(x − 2) Sabe-se que No dom´ınio da express˜ao, uma fracc¸a˜ o e´ nula se e s´o se o seu numerador e´ nulo.

Assim ⇔ x2 + x − 6 = 0 ∧ 3(x + 2)(x − 2) 6= 0 √ −1 ± 1 + 24 ⇔x= ∧ (3 6= 0 ∧ x + 2 6= 0 ∧ x − 2 6= 0) 2 ⇔ (x = 2 ∨ x = −3) ∧ (x 6= 2 ∧ x 6= −2) ⇔ x = −3 Note-se que 2 n˜ao pertence ao dom´ınio da express˜ao donde n˜ao pode ser soluc¸a˜ o. O conjunto soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o dada e´ {−3}.

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˜ 3 Equac¸oes

Exerc´ıcios Propostos Determina, em R, o conjunto soluc¸a˜ o das seguintes equac¸o˜ es. (a)

2x + 7 2(x2 − 4) 4x4 − 6 7x2 + 6 − − = 3 5x 15x 3x2

(b)

(c)

6x2 2 3 − 2 = 2 9x − 1 3x − 1

(d)

(e)

√

4 x+ √ =5 x

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(f)

4x + 3 3x + 8 − =1 2x − 5 3x − 7 x−2 2x − (x −

√

3 2 2

−1=x

√

1 2)2 x − 10 (x + 17) =0 x4 + 2x2 + 1

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4

˜ 4 Inequac¸oes

Inequac¸o˜ es Notac¸a˜ o Inequac¸a˜ o

Soluc¸a˜ o ou Raiz da Inequac¸a˜ o Conjunto Soluc¸a˜ o Inequac¸o˜ es equivalentes

Definic¸a˜ o indica uma relac¸a˜ o de maior que (menor que) entre duas express˜oes e´ um valor que, quando concretizado na vari´avel, transforma a inequac¸a˜ o numa proposic¸a˜ o verdadeira e´ o conjunto de todas as soluc¸o˜ es tˆem o mesmo conjunto soluc¸a˜ o

Regras Pr´aticas Quando se adiciona a ambos os membros ´ de uma inequac¸a˜ o qualquer numero . o sentido da desigualdade mant´em-se Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequac¸a˜ o por um n´umero positivo o sentido da desigualdade mant´em-se.

Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequac¸a˜ o por um n´umero negativo inverte-se o sentido da desigualdade.

4.1

Exemplos 3x − 5 ≤ 4 x2 + 2 > 2x cos x 2 ex + 2 ≥ x 1 e´ soluc¸a˜ o de 3x − 5 ≤ 4 pois 3 · 1 − 5 ≤ 4 o conjunto soluc¸a˜ o de 3x − 5 ≤ 4 e´ ] − ∞, 3] 3x − 5 ≤ 4 e 3x ≤ 9 s˜ao equivalentes

Exemplos x+3≥7 x+3−3≥7−3 ⇔x≥4 3x ≥ 9

1 1 3x ≥ 9 ⇔ 3 3 ⇔x≥3 −2x ≥ 10

1 1 ⇔ − (−2x) ≤ − 10 2 2 ⇔ x ≤ −5

Inequac¸o˜ es do 2o grau

O gr´afico da func¸a˜ o f (x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, e´ uma par´abola. Se a < 0 ent˜ao a concavidade da par´abola e´ voltada para baixo. Se a > 0 ent˜ao a concavidade e´ voltada para cima.

Resolver a inequac¸a˜ o ax2 + bx + c > 0 e´ determinar os valores de x para os quais a func¸a˜ o f e´ positiva, isto e´ , o gr´afico da func¸a˜ o fica acima do eixo dos xx.

Analogamente, resolver a inequac¸a˜ o ax2 + bx + c < 0 e´ determinar os valores de x para os quais a func¸a˜ o e´ negativa, ou seja, o gr´afico da func¸a˜ o fica abaixo do eixo dos xx.

As soluc¸o˜ es deste tipo de inequac¸o˜ es dependem do valor de a e da posic¸a˜ o do v´ertice da par´abola correspondente a` inequac¸a˜ o tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do v´ertice e´ dada por ∆ b yv = − e a abcissa e´ xv = − .

4a 2a

Caso a > 0 (concavidade para cima)

Zeros

Exemplos

Conjunto Soluc¸a˜ o

<0

2

2x2 − 2x − 12 ≥ 0

] − ∞, −2] ∪ [3, +∞[

=0

=0

1

x2 − 10x + 25 ≤ 0

{5}

<0

>0

0

4x2 + x + 7 > 0

R

∆

yv

>0

Gr´afico

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Caso a < 0 (concavidade para baixo)

˜ 4 Inequac¸oes

Zeros

Exemplos

Conjunto Soluc¸a˜ o

>0

2

−2x2 + 4x + 6 > 0

] − 1, 3[

=0

=0

1

−x2 + 16x − 64 < 0

R \ {8}

<0

<0

0

−5x2 + 5x − 15 ≥ 0

∅

∆

yv

>0

Gr´afico

Exerc´ıcios Propostos 1. Determine o menor n´umero natural que verifica a condic¸a˜ o x − 3 x2 + 5 2x2 − < + 10.

4 4 3 2. Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜ o das seguintes inequac¸o˜ es

1 (3 − x) < 0 (b) x2 − 12x + 27 ≤ 0 (a) x − 2 (c) x2 ≥ x (d) (x − 1)2 − 7 (x − 2)2 ≤ 0

4.2

Inequac¸o˜ es com m´odulos Resoluc¸a˜ o de inequac¸o˜ es do tipo |f (x)| < g(x)

|f (x)| < g(x) ⇔ f (x) < g(x) ∧ f (x) > −g(x) ∧ g(x) > 0 Nota: Se g(x) ≤ 0 ent˜ao a inequac¸a˜ o e´ imposs´ıvel.

Exemplo 1 Considere-se a inequac¸a˜ o |5x + 2| ≤ 0. Ent˜ao |5x + 2| ≤ 0 ⇔ 5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ∧ 0 ≥ 0 | {z } V Recorde-se que C ∧ V ⇔ C, qualquer que seja a condic¸a˜ o C e, al´em disso, 5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 5x + 2 ≤ 0 ⇔ 5x + 2 = 0.

2 Logo a soluc¸a˜ o e´ 5x + 2 = 0 ⇔ x = − .

5 Exemplo 2 Seja |x2 − x| ≤ 2x − 3.

|x2 − x| ≤ 2x − 3 ⇔ x2 − x ≤ 2x − 3 ∧ x2 − x ≥ −(2x − 3) ∧ 2x − 3 ≥ 0

⇔ x2 − x − 2x + 3 ≤ 0 ∧ x2 − x + 2x − 3 ≥ 0 ∧ 2x ≥ 3

3 ⇔ x2 − 3x + 3 ≤ 0 ∧ x2 + x − 3 ≥ 0 ∧ x ≥ 2 As duas primeiras inequac¸o˜ es s˜ao do 2o grau. Pode-se usar o racioc´ınio visto anteriormente.

Repare-se que f (x) = x2 − 3x + 3 n˜ao admite zeros (∆ = −3 < 0) e tem a concavidade voltada para cima (a = 1 > 0), o que permite concluir que o seu gr´afico est´a sempre acima do eixo dos xx, ou seja, x2 −3x+3 ≤ 0 e´ uma condic¸a˜ o imposs´ıvel. Como F ∧ C ⇔ F, qualquer que seja a condic¸a˜ o C, temos que a inequac¸a˜ o dada e´ imposs´ıvel, ou seja, o seu conjunto soluc¸a˜ o e´ ∅.

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˜ 4 Inequac¸oes Resoluc¸a˜ o de inequac¸o˜ es do tipo |f (x)| > g(x)

|f (x)| > g(x) ⇔ f (x) > g(x) ∨ f (x) < −g(x) ∨ g(x) ≤ 0 Nota: Se g(x) ≤ 0 inequac¸a˜ o e´ sempre poss´ıvel.

Exemplo Considere-se a inequac¸a˜ o |3x − 4| ≥ 2. Usando as propriedades anteriores, pode-se escrever |3x − 4| ≥ 2 ⇔ 3x − 4 ≥ 2 ∨ 3x − 4 ≤ −2 ∨ 2| {z < 0} F Recorde-se que C ∨ F ⇔ C, qualquer que seja a condic¸a˜ o C. Donde ⇔ 3x ≥ 6 ∨ 3x ≤ 2 2 ⇔x≥2∨x≤ 3

2 ∪ [2, +∞[.

Logo o conjunto soluc¸a˜ o e´ −∞, 3 Exerc´ıcios Propostos Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜ o das seguintes inequac¸o˜ es (a) |4x2 − 5x| < 1; (b) |3x − 9| ≤ 2x − 6; (c) |x + 4| ≥ x + 1

4.3

Inequac¸o˜ es com Radicais Propriedade

Exemplos

se x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ent˜ao

1 ≥ −2 ; 1 ≥ 4

x ≥ y ⇔ x2 ≥ y 2

(−2)2 ≥ 12 ; −2 ≥ 1

se x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ent˜ao

−2≤1;4≤1

2

x≤y⇔x ≤y

2

(−3)2 ≤ (−4)2 ; −3 ≤ −4

p Resoluc¸a˜ o de inequac¸o˜ es do tipo f (x) ≥ g(x)

p

2 f (x) ≥ g(x) ⇔ g(x) ≤ 0 ∨ f (x) ≥ g(x) ∧ g(x) > 0 ∧ f (x) ≥ 0 Nota: Se g(x) ≤ 0 ent˜ao a inequac¸a˜ o e´ sempre poss´ıvel; se g(x) > 0, elevam-se ambos os membros ao quadrado e obt´em-se uma inequac¸a˜ o equivalente.

Recorde-se que f (x) ≥ 0 e´ o dom´ınio da express˜ao. √ Exemplo Seja x − 2 ≥ 2x. √

x − 2 ≥ 2x ⇔ 2x < 0 ∨ x − 2 ≥ (2x)2 ∧ 2x ≥ 0 ∧ x − 2 ≥ 0              ⇔ x < 0 ∨ −4x2 + x − 2 ≥ 0 ∧x ≥ 0 ∧ x ≥ 2 | {z }     c. imp.  | {z } c. imp.

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˜ 4 Inequac¸oes

Recorde-se que F ∧ C ⇔ F e F ∨ C ⇔ C, qualquer que seja a condic¸a˜ o C. Donde ⇔x<0∧x≥2 Logo a inequac¸a˜ o dada e´ imposs´ıvel, ou seja, o seu conjunto soluc¸a˜ o e´ ∅.

p

f (x) ≤ g(x)

f (x) ≤ g(x) ⇔ f (x) ≤ g(x)2 ∧ g(x) ≥ 0 ∧ f (x) ≥ 0 Resoluc¸a˜ o de inequac¸o˜ es do tipo

p

Nota: Se g(x) < 0 ent˜ao a inequac¸a˜ o e´ imposs´ıvel; se g(x) ≥ 0, eleva-se ambos os membros ao quadrado e obt´em-se uma inequac¸a˜ o equivalente.

Recorde-se que f (x) ≥ 0 e´ o dom´ınio da express˜ao.

Exemplo Seja

√

3x − 4 ≤ x. √

3x − 4 ≤ x ⇔ 3x − 4 ≤ x2 ∧ x ≥ 0 ∧ 3x − 4 ≥ 0 4 ⇔ −x2 + 3x − 4 ≤ 0 ∧x ≥ 0 ∧ x ≥ {z } | 3 V 4 ⇔x≥0∧x≥ 3

Recorde-se que V ∧ C ⇔ C, qualquer que seja a condic¸a˜ o C. Logo o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o dada e´ 4 3 , +∞ .

Exerc´ıcios Propostos Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜ o das seguintes inequac¸o˜ es √ √ (b) x2 − 3x + 2 ≥ x + 1 (a) √x − 2 ≤ 3; (c) −x + 2 < x + 1

4.4

Resoluc¸a˜ o de outras Inequac¸o˜ es

O primeiro passo a realizar na resoluc¸a˜ o de uma inequac¸a˜ o e´ transform´a-la numa inequac¸a˜ o equivalente cujo segundo membro da inequac¸a˜ o seja nulo. De seguida, e sempre que poss´ıvel, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de express˜oes .

Exemplo 1 Considere-se a seguinte inequac¸a˜ o (x − 4)(x + 1) > 0. Resolver esta inequac¸a˜ o e´ determinar os valores de x para os quais o produto de x − 4 por x + 1 e´ positivo. Atendendo a que o produto de dois factores s´o e´ positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de x s˜ao os que verificam as condic¸o˜ es

x−4>0 x−4<0 (x − 4)(x + 1) > 0 ⇔ ∨ x+1>0 x+1<0

x>4 x<4 ⇔ ∨ x > −1 x < −1 ⇔ x > 4 ∨ x < −1 Uma forma mais simples para a resoluc¸a˜ o deste tipo de inequac¸o˜ es e´ a construc¸a˜ o de uma tabela. O primeiro membro da inequac¸a˜ o (x − 4)(x + 1) > 0 tem dois factores. O que se pretende e´ colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores e´ positivo ou negativo.

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20

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˜ 4 Inequac¸oes

Os valores que se tˆem de colocar nas colunas s˜ao os valores para os quais cada factor se anula, por ordem crescente. Os factores anulam-se para 4 e −1, respectivamente. Assinala-se o sinal que cada factor toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma x−4 x+1 (x − 4)(x + 1)

− − +

−1 −5 0 0

− + −

4 0 5 0

+ + +

A u´ ltima linha e´ preenchida atendendo a` regra dos sinais.

Regra dos Sinais Um produto e´ positivo se o n´umero de factores negativos e´ par Um produto e´ negativo se o n´umero de factores negativos e´ ´ımpar Assim (x − 4)(x + 1) > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 4, ou seja, o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o e´ ] − ∞, −1[∪]4, +∞[.

Se se pretende resolver a inequac¸a˜ o (x − 4)(x + 1) ≤ 0, basta observar de novo o quadro e concluir que (x − 4)(x + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 Exemplo 2 Considere-se a seguinte inequac¸a˜ o x−3 ≤1 4−x Tem que se colocar o segundo membro da inequac¸a˜ o a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de express˜oes. x−3 x−3 ≤1⇔ −1≤0 4−x 4−x x−3 4−x ⇔ − ≤0 4−x 4−x x−3−4+x ⇔ ≤0 4−x 2x − 7 ⇔ ≤0 4−x 7 Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para e 4, respectivamente. Assim a 2 tabela tem a forma 7 4 2 2x − 7 − 0 + 1 + 4−x

+

1 2

+

0

−

2x−7 4−x

−

0

+

S/S

−

Note-se que, quando x = 4, o denominador anula-se e a inequac¸a˜ o n˜ao faz sentido e, por isso, e´ usual escreverse S/S, que significa Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracc¸a˜ o. Assim o Sem Significado.

7 conjunto soluc¸a˜ o e´ −∞, ∪]4, +∞[.

2

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˜ 4 Inequac¸oes

Exerc´ıcios Propostos 1. Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜ o das seguintes inequac¸o˜ es (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

1 3 − ≥0 x−2 x+1 x(x − 1) ≤ −3 x(x + 2) x+2 x−2 > x+8 x+3 x+3 4 x − < 3 x+2 3 1 1 1 ≥ 2 − 2 2 x +x x −x x −1 5 20 2 + 2 < 3x − 1 9x − 1 3x − 1 x−5 x−1 ≤ x+4 x−1

2. Exerc´ıcio 3 das p´aginas 58 e 59 do livro adoptado: C´alculo I (vol. I).

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22

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5 5.1

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Generalidades sobre Func¸o˜ es Noc¸a˜ o de Func¸a˜ o. Dom´ınio e Contradom´ınio

Definic¸a˜ o: Sejam A e B conjuntos n˜ao vazios. Uma func¸a˜ o f : A → B e´ uma correspondˆencia que associa a cada elemento x ∈ A um u´ nico elemento y = f (x) ∈ B. Formalmente podemos escrever: ∀x ∈ A, ∃1 y ∈ B : y = f (x) Nota: ∃1 lˆe-se “existe um e um s´o” ou “existe um u´ nico”.

O conjunto A diz-se o dom´ınio de f e o conjunto B o conjunto de chegada de f .

O subconjunto de B dado por f (A) = {y ∈ B : y = f (x) com x ∈ A} ⊆ B diz-se o contradom´ınio (ou conjunto das imagens) de f .

Os elementos do dom´ınio designam-se por objectos e os do contradom´ınio por imagens.

A

P

•

a) •

Q•

A

P

•

B

•

P0

•

R0

A

P0

•

•

•

•

Q•

B

A

b) R

P

•

d)

•

•

Q•

P0

B

c) R

Q0

•

P

Q0

•

Q•

Q0

•

P0

•

R0

B

Q0

Apenas c) e d) s˜ao func¸o˜ es. Em a) o ponto P tem “duas imagens”, portanto contraria o facto de para cada x existir um e um s´o y tal que y = f (x). Em b) o ponto R (ponto do dom´ınio) “n˜ao tem imagem”.

Usar-se-˜ao as notac¸o˜ es Df para dom´ınio da func¸a˜ o f e CDf para contradom´ınio de f .

5.2

Func¸o˜ es Reais de Vari´avel Real

Se A ⊆ R e B = R A func¸a˜ o f diz-se func¸a˜ o real de vari´avel real, se o dom´ınio, Df , e´ um subconjunto de R e o conjunto de chegada e´ R (f : Df ⊆ R −→ R). O contradom´ınio de f e´ , neste caso, CDf = f (Df ) = {f (x) : x ∈ Df } = {y ∈ R : y = f (x) ∧ x ∈ Df } Chama-se gr´afico de uma func¸a˜ o f , real de vari´avel real, ao subconjunto de R2 definido por Grf = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Df e y = f (x)}. y Grf

Gr´afico de f com dom´ınio Df e contradom´ınio CDf

CDf

Df

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x

23

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Ë&#x153; 5 Generalidades sobre Func¸oes y â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

NË&#x153;ao e´ o gr´afico de uma func¸aË&#x153; o, porque a recta x = a intersecta a curva em mais do que um ponto.

â&#x20AC;˘

x

a

Para que uma curva represente o gr´afico de uma func¸aË&#x153; o, qualquer recta vertical intersecta a curva no m´aximo num ponto.

Quando a func¸aË&#x153; o e´ dada pela sua expressË&#x153;ao anal´Ĺtica, o dom´Ĺnio e´ o maior subconjunto de R onde a expressË&#x153;ao tem significado. Por exemplo g(x) = x3 â&#x2C6;&#x2019; 3x, Dg = R;

h(x) =

1 , Dh = R \ {1} xâ&#x2C6;&#x2019;1

Exerc´Ĺcios Resolvidos Considere as func¸oË&#x153; es definidas por:

r f (x) =

2x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x

e

g(x) = 3 â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x161;

x + 1.

(a) Determine os dom´Ĺnios das func¸oË&#x153; es f e g. (b) Calcule os zeros de f e g e determine, caso existam, f (0) e g(0). (c) Indique o contradom´Ĺnio de g. (d) Indique os dom´Ĺnios de: (d.1) f + g; f (d.2) g Resoluc¸aË&#x153; o: (a) Como a expressË&#x153;ao que define a func¸aË&#x153; o f e´ uma raiz quadrada, o radicando tem que ser nË&#x153;ao negativo, e, sendo o radicando uma fracc¸aË&#x153; o, o denominador nË&#x153;ao pode ser nulo.

2x â&#x2C6;&#x2019; 4 2 Df = x â&#x2C6;&#x2C6; R : â&#x2030;Ľ 0 â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2019;x + 3x 6= 0 â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x

2x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ľ 0 â&#x2021;&#x201D; 2x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ľ 0 â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x > 0 â&#x2C6;¨ 2x â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;¤ 0 â&#x2C6;§ â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x < 0 2 â&#x2C6;&#x2019;x + 3x Vamos determinar os zeros de 2x â&#x2C6;&#x2019; 4 e de â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x: 2x â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 â&#x2021;&#x201D; x = 2 â&#x2C6;&#x2019;x2 + 3x = 0 â&#x2021;&#x201D; x(â&#x2C6;&#x2019;x + 3) = 0 â&#x2021;&#x201D; x = 0 â&#x2C6;¨ â&#x2C6;&#x2019;x + 3 = 0 â&#x2021;&#x201D; x = 0 â&#x2C6;¨ x = 3 (lei do anulamento do produto)

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˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

−x2

+ 3x 2x − 4

2x − 4 −x2 + 3x

− −

0 0 −

2 + + + − 0 +

3 0 +

− +

Df

= {x ∈ R : x < 0 ∨ 2 ≤ x < 3} = ] − ∞, 0[∪[2, 3[

+ ND −

+ ND −

0

A func¸a˜ o g apenas envolve um radicando portanto, Dg = {x ∈ R : x + 1 ≥ 0} = [−1, +∞[ (b) Os zeros de f s˜ao os pontos do dom´ınio de f que anulam a func¸a˜ o: {x ∈ Df : f (x) = 0} = {2}.

Como a func¸a˜ o n˜ao est´a definida em 0, n˜ao existe f (0).

Os zeros de g s˜ao os pontos do dom´ınio de g que anulam a func¸a˜ o, i.e., {x ∈ Dg : g(x) = 0}. √ √ g(x) = 0 ⇔ 3 − x + 1 = 0 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8. | {z } (h´a equivalˆencia porque x≥−1)

Assim, g(x) = 0 se e s´o se x = 8. √ O valor g(0) = 3 − 0 + 1 = 2. (c) CDg = {y ∈ R : y = g(x) ∧ x ∈ Dg }. √ √ √ x+1≥0⇔− x+1≤0⇔3− x+1≤3 √ Assim, como x + 1 assume qualquer valor maior ou igual a zero, CDg =] − ∞, 3]. (d.1) A func¸a˜ o soma e´ a func¸a˜ o definida por: f + g : Df +g −→ R x 7−→ f (x) + g(x) Df +g = Df ∩ Dg = (] − ∞, 0[∪[2, 3[) ∩ [−1, +∞[= [−1, 0[∪[2, 3[. (d.2) A func¸a˜ o quociente e´ a func¸a˜ o definida por: f : Df g g x

−→ R 7−→

f (x) g(x)

em que D f = Df ∩ Dg ∩ {x ∈ R : g(x) 6= 0} = ([−1, 0[∪[2, 3[) ∩ R \ {8} = [−1, 0[∪[2, 3[. g

Exerc´ıcios proposto √

√ x+1 −x Determine os dom´ınios de f e g, Df e Dg , sendo f dada por f (x) = 2 e g dada por g(x) = 2 . x −4 x +1

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25

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5.3

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Restric¸a˜ o de uma func¸a˜ o

Dada uma func¸a˜ o f : Df ⊆ R → R e A um subconjunto de Df , podemos definir uma nova func¸a˜ o r : A ⊆ Df → R dada por r(x) = f (x), ∀x ∈ A. As func¸o˜ es f e r tˆem a mesma express˜ao anal´ıtica mas A = Dr ⊆ Df . Esta func¸a˜ o designa-se por restric¸a˜ o de f a A e indica-se r = f |A .

Exemplo: A restric¸a˜ o da func¸a˜ o h : R \ {1} −→ R x

1 x−1

7−→

ao conjunto A =] − ∞, 1[ e´ h |A : ] − ∞, 1[ →

R 1 x 7→ x−1 O contradom´ınio de h e´ R \ {0} e o contradom´ınio de h |A e´ ] − ∞, 0[.

5.4

Func¸o˜ es definidas por ramos

Considere-se a func¸a˜ o y y = f (x)  2 x − 1 f (x) = 2 2 − x

◦ •

1.5

se x < 2 se x ≥ 2

•

−1

Por exemplo f (3) = 2 − 3 = −1 e f (1) = 22 − 1 .

2 5.4.1

1

2

x

1 2 (1 − 1) = 0. Observe-se que f (2) = 2 − 2 = 0 e f (2) 6= 2

3 2

=

A func¸a˜ o m´odulo

A func¸a˜ o m´odulo pode ser encarada como uma func¸a˜ o definida por ramos: y

( y = |x|

1

−1

1

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|x| =

x se x ≥ 0 −x se x < 0

x 26

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˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Exerc´ıcios Resolvidos Seja f a func¸a˜ o definida por f (x) = |x2 − 3x + 2|. (a) Reescreva a express˜ao anal´ıtica de f sem usar o s´ımbolo | |. (b) Determine o conjunto A ⊆ R por forma a que a proposic¸a˜ o “f (x) < 1, se e s´o se x ∈ A” seja verdadeira.

Resoluc¸a˜ o: (a) Comecemos por analisar o sinal de x2 − 3x + 2. √ 3± 9−8 2 x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = ⇔ x = 2 ∨ x = 1. Assim, x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1).

2 O produto ser´a positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contr´arios. Ent˜ao: 1 2 x−1 − 0 + + + x−2 − − − 0 + (x − 1)(x − 2) + 0 − 0 + x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) > 0 se x ∈] − ∞, 1[∪]2, +∞[ e x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) < 0 se x ∈]1, 2[ Podemos agora definir a func¸a˜ o f por ramos da seguinte forma:  2 se x ≤ 1 ∨ x > 2  x − 3x + 2 f (x) =  −x2 + 3x − 2 se 1 < x ≤ 2 Repare que f (1) = f (2) = 0 sendo portanto indiferente calcular o valor da func¸a˜ o nestes pontos num ou noutro ramo. (b) Pretende-se determinar o conjunto A = {x ∈ R : |x2 − 3x + 2| < 1} = {x ∈ R : −1 < x2 − 3x + 2 < 1} Resolvendo as duas inequac¸o˜ es temos: −1 < x2 − 3x + 2 ⇔ x2 − 3x + 3 > 0

x2 − 3x + 2 < 1 ⇔ x2 − 3x + 1 < 0

A equac¸a˜ o x2 − 3x + 3 = 0 n˜ao tem ra´ızes

A equac¸a˜ √ o x2 − 3x + 1 = √ 0 admite as ra´ızes 3− 5 3+ 5 x= ex= .

2 2 # √ √ " 3 − 5 3 + 5 Portanto x2 − 3x + 1 < 0, ∀x ∈ , 2 2

reais.

Portanto x2 − 3x + 3 > 0, ∀x ∈ R

O conjunto A e´ a intersecc¸a˜ o dos conjuntos soluc¸a˜ o das duas inequac¸o˜ es, # √ √ " # √ √ " 3− 5 3+ 5 3− 5 3+ 5 , , A=R∩ = 2 2 2 2 Exerc´ıcios Propostos Reescreva a express˜ao anal´ıtica das seguintes func¸o˜ es, sem usar o s´ımbolo m´odulo: (a) f (x) = |x − 1|; (b) g(x) = |x| − 3.

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5.5

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Injectividade e sobrejectividade

Definic¸a˜ o: Uma f : A → B diz-se injectiva se a objectos distintos correspondem imagens distintas, i.e., ∀x, x0 ∈ A, x 6= x0 ⇒ f (x) 6= f (x0 ) ou equivalentemente, se a cada elemento do contradom´ınio corresponde um u´ nico elemento do dom´ınio (a imagens iguais correspondem objectos iguais), i.e., ∀x, x0 ∈ A, f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 .

Definic¸a˜ o: f diz-se sobrejectiva se todos os elementos do conjunto de chegada s˜ao imagem de algum elemento do dom´ınio, i.e., ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f (x) = y ou equivalentemente, se o contradom´ınio coincide com o conjunto de chegada, i.e., CDf = B Definic¸a˜ o: Uma func¸a˜ o diz-se bijectiva se e´ injectiva e sobrejectiva, i.e., ∀y ∈ B, ∃1 x ∈ A : y = f (x).

Obs.: Sendo f uma func¸a˜ o real de vari´avel real, f e´ sobrejectiva se o seu contradom´ınio e´ R, i.e., CDf = R e e´ bijectiva se ∀y ∈ R, ∃1 x ∈ Df : y = f (x).

y

y

1

1

x

π 2

y = ex

x

y = cos x

Injectiva e n˜ao sobrejectiva

N˜ao injectiva e n˜ao sobrejectiva y

y

π 2

− π2

x

x

y = x3

y = tan x Sobrejectiva e n˜ao injectiva

Injectiva e sobrejectiva - bijectiva

Exerc´ıcios Resolvidos Considere as func¸o˜ es definidas por: f (x) =

√

x;

g(x) = x2 ;

j(x) =

1 x

(a) Determine os seus dom´ınios.

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˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

(b) Determine os seus contradom´ınios. (c) Indique, justificando, se as func¸o˜ es s˜ao injectivas e/ou sobrejectivas.

Resoluc¸a˜ o: Vamos resolver o exerc´ıcio apenas para a func¸a˜ o j.

y

(a) Dj = R \ {0}.

j(x) =

(b) CDj = R \ {0}.

1 x

(c) A func¸a˜ o j e´ injectiva: 1 1 1 j(x) = j(x0 )( com x, x0 ∈ Dj ) ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ x = x0 . x x

•

1

x

A func¸a˜ o j n˜ao e´ sobrejectiva, j´a que 0 n˜ao e´ imagem de nenhum ponto do dom´ınio de j. Por outras palavras, o contradom´ınio (CDj = R \ {0}) n˜ao coincide com o conjunto de chegada (R).

5.6

Paridade de Func¸o˜ es

Definic¸a˜ o: Um conjunto D ⊆ R diz-se sim´etrico em relac¸a˜ o a` origem se cada elemento do conjunto D tem o seu sim´etrico em D, i.e., ∀x ∈ Df , −x ∈ D Definic¸a˜ o: Seja Df ⊆ R sim´etrico em relac¸a˜ o a` origem . A func¸a˜ o real f : Df → R diz-se par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ Df As func¸o˜ es pares tˆem gr´aficos sim´etricos em relac¸a˜ o ao eixo das ordenadas.

y •

•

−a

a

x

Definic¸a˜ o: Seja Df ⊆ R sim´etrico em relac¸a˜ o a` origem. A func¸a˜ o real f , definida em Df diz-se ´ımpar se f (−x) = −f (x), para todo o x ∈ Df .

As func¸o˜ es ´ımpares tˆem gr´aficos sim´etricos em relac¸a˜ o a` origem do referencial.

y •

b −a

a •

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x

−b

29

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˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Exerc´ıcios Resolvidos Estude, quanto a` paridade, as func¸o˜ es definidas por:

(a) f (x) = x|x|; (b) h(x) =

√

x; (c) j(x) =

 2  x + 1 se x < 0 

2x

se x > 0

Resoluc¸a˜ o: (a) Podemos definir a func¸a˜ o f por ramos e trac¸ar o seu gr´afico: y

y = f (x) O dom´ınio de f e´ R que e´ um conjunto sim´etrico. Como,

( x2 f (x) = −x2

se x ≥ 0 se x < 0

f (−x) = −x| − x| = −x|x| = −f (x), ∀x ∈ R,

•

−1

1

x a func¸a˜ o f e´ ´ımpar.

ao e´ um conjunto sim´etrico, portanto a func¸a˜ o h n˜ao e´ par nem ´ımpar. (b) O dom´ınio de h, Dh = R+ 0 , n˜ (c) O dom´ınio da func¸a˜ o j, Dj = R \ {0}, e´ um conjunto sim´etrico. Graficamente pode observar-se que a func¸a˜ o n˜ao e´ par nem ´ımpar. Como provar analiticamente esta afirmac¸a˜ o?

Repare que j(−1) = (−1)2 + 1 = 2 e j(1) = 2 · 1 = 2, logo j(1) = j(−1). Esta igualdade permite concluir que a func¸a˜ o n˜ao e´ ´ımpar, mas n˜ao permite concluir que a func¸a˜ o e´ par. Contudo, por exemplo j(−2) = (−2)2 + 1 = 5 e j(2) = 4, e portanto, j(−2) 6= j(2), logo j n˜ao e´ par. Podemos ent˜ao afirmar que a func¸a˜ o j n˜ao e´ par nem ´ımpar.

Exerc´ıcios do livro adoptado C´alculo I (vol. I): Ex. 6, 7, ..., 10 p.194; Ex.11 p.195; Ex. 15, 16 p.196

5.7

Func¸o˜ es Mon´otonas

Definic¸a˜ o: Uma func¸a˜ o f : Df ⊆ R → R diz-se mon´otona (em sentido lato) se   f (x) ≤ f (y) (f mon´otona crescente) ∀x, y ∈ Df , x < y ⇒  f (x) ≥ f (y) (f mon´otona decrescente) Uma func¸a˜ o f : Df ⊆ R → R diz-se estritamente mon´otona se   f (x) < f (y) (f estritamente mon´otona crescente) ∀x, y ∈ Df , x < y ⇒  f (x) > f (y) (f estritamente mon´otona decrescente) Exerc´ıcios Resolvidos Estude quanto a` monotonia as seguintes func¸o˜ es: (a) f (x) = −x3 + 1; (b) h(x) =

1 . |x| + 2

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30

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Resoluc¸a˜ o: (a) Sejam x1 , x2 ∈ R, tais que x1 < x2 . Ent˜ao, como x31 < x32 , resulta que −x31 > −x32 . Portanto f (x1 ) = −x31 + 1 > −x32 + 1 = f (x2 ), ou seja, f e´ mon´otona decrescente (em sentido estrito). (b) Observe que a func¸a˜ o e´ sempre positiva e e´ par, ou seja sim´etrica relativamente ao eixo das ordenadas.

Considerando os pontos x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 1, tem-se x1 < x2 < x3 . Calculando os valores de h nestes pontos vem: h(x1 ) =

1 1 = = h(x3 )( porque f e´ par ); | − 1| + 2 3

1 e h(x2 ) = .

2

Assim, h(x1 ) < h(x2 ) e h(x2 ) > h(x3 ), logo h n˜ao e´ mon´otona.

5.8

Func¸a˜ o Limitada

Uma func¸a˜ o f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se o seu contradom´ınio e´ um conjunto limitado, isto e´ , se existem A, B ∈ R, tais que A ≤ f (x) ≤ B, ∀x ∈ Df . Equivalentemente, f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se existe M ∈ R+ tal que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df .

Exerc´ıcios Resolvidos Considere as func¸o˜ es f : [1, +∞[→ R, dada por f (x) = 1 − y

1 1 e g : R \ {0} → R, dada por g(x) = 1 − . x x y

y = f (x)

y = g(x) 1

1 •

1

x

1

x

1. Mostre que a func¸a˜ o f e´ limitada.

2. Mostre que a func¸a˜ o g n˜ao e´ limitada.

Resoluc¸a˜ o: 1 ≤ 1. Ent˜ao: x 1 1 −1 ≤ − < 0 =⇒ 0 ≤ 1 − < 1 x x e portanto f e´ limitada (sendo A = 0 e B = 1).

1. Como o dom´ınio de f e´ [1, +∞[, x ≥ 1 e portanto 0 <

Se usarmos a segunda definic¸a˜ o de func¸a˜ o limitada, basta tomar M = 1.

2. No caso da func¸a˜ o g, se x estiver pr´oximo de 0 o valor de |g(x)| torna-se muito elevado. Seja M > 0 um 1 n´umero positivo arbitr´ario. Ent˜ao, existe xM 6= 0 tal que |g(xM )| > M , por exemplo, xM = : 2M + 1

1

|g(xM )| = 1 − 1 = |1 − 2M − 1| = | − 2M | = 2M > M

2M +1 Podemos interpretar este facto graficamente. Qualquer que seja a recta horizontal y = M , encontramos sempre um valor de x para o qual |g(x)| est´a acima da recta considerada, i.e., |g(x)| > M . Portanto, g n˜ao e´ limitada.

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31

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Func¸o˜ es com parˆametros ou fam´ılias de func¸o˜ es

5.9

Dada uma func¸a˜ o f : D ⊆ R → R podemos obter uma nova func¸a˜ o fazendo uma translac¸a˜ o do gr´afico de f ao longo do eixo das abcissas ou ao longo do eixo das ordenadas, g(x) = f (x − c) ou g(x) = f (x) − c, em que c e´ um parˆametro real.

No caso g(x) = f (x − c), o dom´ınio de g e´ Dg = {x ∈ R : x − c ∈ Df }.

Se g(x) = f (x) − c, o dom´ınio de g coincide com o dom´ınio de f . y

y

y = f (x − c)

y = f (x) − c c=−1

c=−1 c=0

c=1

c=2

c=0 c=1

x

x

Nota: g(x) = f (x − c) representa uma translac¸a˜ o de f sobre o eixo dos xx segundo (c, 0) (para a direita se c > 0 e para a esquerda se c < 0).

5.10

Func¸o˜ es polinomiais

Uma func¸a˜ o polinomial1 e´ uma func¸a˜ o de dom´ınio R da forma P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 em que os coeficientes ai s˜ao n´umeros reais.

Se an 6= 0 a func¸a˜ o polinomial diz-se ter grau n.

Se P tem grau ´ımpar o seu contradom´ınio e´ R e se P tem grau par o seu contradom´ınio e´ um intervalo da forma ] − ∞, α] se an < 0, ou [β, +∞[ se an > 0.

Exemplos: 1. Se P (x) = −3x + 1 o seu contradom´ınio e´ R. 2. Se Q(x) = −2x2 + 3, o seu contradom´ınio e´ ] − ∞, 3] A determinac¸a˜ o de ra´ızes 2 (zeros) de polin´omios reveste-se de grande importˆancia da´ı que surja o seguinte Teorema: Um polin´omio de grau n > 0 tem n ra´ızes em C (n˜ao necessariamente reais nem distintas), contando que uma raiz de ordem m e´ considerada como correspondente a m ra´ızes.

Por exemplo o polin´omio de grau 6, P (x) = (x2 + 3)(x + 2)4 tem duas ra´ızes complexas conjugadas (portanto distintas), √ √ r1 = − 3i, r2 = 3i e uma raiz real de multiplicidade 4, r3 = −2.

1

Ver secc¸a˜ o sobre polin´omios.

2

z e´ uma raiz de P , se e s´o se P (z) = 0, ou seja, se e s´o se (x − z) e´ um factor de P . z e´ uma raiz de ordem m de P se e s´o se (x − z)m e´ um factor de P mas (x − z)m+1 j´a n˜ao e´ factor de P .

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32

´ alculo ´ Pre-C 2005

5.11

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Func¸o˜ es racionais

Func¸o˜ es racionais s˜ao func¸o˜ es do tipo f (x) =

P (x) Q(x)

em que P e Q s˜ao polin´omios. J´a sabemos que o seu dom´ınio e´ o conjunto Df = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

Exerc´ıcios Propostos 1. Indique o dom´ınio de: x−1 − 2x + 5 x2 − 1 (b) g(x) = 3 . x − 3x − 2x (a) f (x) =

5.12

x2

Func¸a˜ o Composta

Definic¸a˜ o: Sejam f e g duas func¸o˜ es reais de vari´avel real. A func¸a˜ o composta g ap´os f , g ◦ f , e´ definida por: g ◦ f : D ⊆ R −→ R x 7−→ (g ◦ f )(x) = g (f (x)) , com D = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg }.

Se o contradom´ınio de f e´ um subconjunto do dom´ınio de g, CDf ⊆ Dg , ent˜ao o dom´ınio da func¸a˜ o g ◦ f e´ Df .

Exerc´ıcios Resolvidos Considere as func¸o˜ es f , g e h definidas por: f (x) =

√

x,

g(x) = x2 e h(x) =

1 x−1

Determine os dom´ınios e as express˜oes anal´ıticas de g ◦ f,

f ◦ g,

h ◦ f,

f ◦ h.

Resoluc¸a˜ o: Df = R+ 0; Ent˜ao,

Dg = R;

Dh = R \ {1}.

√ + Dg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg } = x ∈ R : x ∈ R+ 0 ∧ x ∈ R = R0 .     Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df } = x ∈ R : x ∈ R ∧ x2 ∈ R+ = R.  | {z 0} cond. universal

√ √ 2 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g x = x = |x| = x (porque x ≥ 0) e

√ (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f x2 = x2 = |x|.

Considerem-se agora as func¸o˜ es f e h:

√ + Dh◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dh } = x ∈ R : x ∈ R+ 0 ∧ x 6= 1 = R0 \ {1} = [0, 1[∪]1, +∞[.

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33

´ alculo ´ Pre-C 2005

Ë&#x153; 5 Generalidades sobre Func¸oes

1 = {x â&#x2C6;&#x2C6; R : x â&#x2C6;&#x2C6; Dh â&#x2C6;§ h(x) â&#x2C6;&#x2C6; Df } = x â&#x2C6;&#x2C6; R : x 6= 1 â&#x2C6;§ â&#x2030;Ľ0 xâ&#x2C6;&#x2019;1 = {x â&#x2C6;&#x2C6; R : x 6= 1 â&#x2C6;§ x â&#x2C6;&#x2019; 1 > 0} =]1, +â&#x2C6;&#x17E;[.

Df â&#x2014;Śh

Os dom´Ĺnios, como no caso anterior, sË&#x153;ao distintos. Vejamos agora as expressË&#x153;oes anal´Ĺticas das duas func¸oË&#x153; es. â&#x2C6;&#x161; 1 x =â&#x2C6;&#x161; xâ&#x2C6;&#x2019;1

r 1 1 (f â&#x2014;Ś h)(x) = f (h(x)) = f = . xâ&#x2C6;&#x2019;1 xâ&#x2C6;&#x2019;1 (h â&#x2014;Ś f )(x) = h(f (x)) = h

5.13

Inversa de uma Func¸aË&#x153; o

DefinicË&#x153;ao: Seja f : Df â&#x160;&#x201A; R â&#x2020;&#x2019; R uma func¸aË&#x153; o injectiva. Sendo assim, para todo o y â&#x2C6;&#x2C6; CDf existe um u´ nico x â&#x2C6;&#x2C6; Df , tal que y = f (x), ou seja, existe uma func¸aË&#x153; o f â&#x2C6;&#x2019;1 : CDf â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; R, com contradom´Ĺnio Df , definida por: f â&#x2C6;&#x2019;1 (y) = x se e s´o se f (x) = y, y â&#x2C6;&#x2C6; CDf Tal func¸aË&#x153; o designa-se por func¸aË&#x153; o inversa de f . ´ Se f admite func¸aË&#x153; o inversa, f diz-se invert´Ĺvel. Neste caso a func¸aË&#x153; o inversa e´ unica! y

f â&#x2C6;&#x2019;1 (x) y=x

a

â&#x20AC;˘

f (x) f (a)

â&#x20AC;˘

f (a)

a

x

Observac¸aË&#x153; o: O gr´afico de f â&#x2C6;&#x2019;1 e´ obtido do gr´afico de f por simetria em relac¸aË&#x153; o a` recta y = x.

Teorema: Se f e´ uma func¸aË&#x153; o invert´Ĺvel e f â&#x2C6;&#x2019;1 e´ a sua inversa, entË&#x153;ao (f â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś f )(x) = x, â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; Df ; (f â&#x2014;Ś f â&#x2C6;&#x2019;1 )(y) = y, â&#x2C6;&#x20AC;y â&#x2C6;&#x2C6; Df â&#x2C6;&#x2019;1 = f (Df ) = CDf .

A composta f â&#x2014;Ś f â&#x2C6;&#x2019;1 e´ a func¸aË&#x153; o identidade i1 : CDf â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; CDf e a composta f â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś f e´ a func¸aË&#x153; o identidade i2 : Df â&#x2020;&#x2019; Df (i1 (y) = y e i2 (x) = x).

Exerc´Ĺcios Resolvidos 1. Determine a inversa da func¸aË&#x153; o h(x) =

1 . xâ&#x2C6;&#x2019;1

Resoluc¸aË&#x153; o: A func¸aË&#x153; o h e´ injectiva, o seu dom´Ĺnio e´ R \ {1} e o seu contradom´Ĺnio e´ R \ {0}. Para determinar 1 a expressË&#x153;ao da inversa vamos resolver a equac¸aË&#x153; o y = em ordem a x (nË&#x153;ao esquecendo o dom´Ĺnio e o xâ&#x2C6;&#x2019;1 contradom´Ĺnio de h): 1 1+y 1 y= â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; 1)y = 1 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; x = =1+ . xâ&#x2C6;&#x2019;1 y y

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34

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 5 Generalidades sobre Func¸oes

Assim, a func¸a˜ o inversa, h−1 , de h e´ : h−1 : R \ {0} −→ R x

7−→ 1 +

1 x

Observe que, efectivamente,

1 1 1 1 −1 −1 = = 1 + 1 = b. h ◦ h−1 (a) = h 1 + = a e h ◦ h (b) = h 1 a b − 1 1+ a −1 b−1 Exerc´ıcios do livro adoptado C´alculo I (vol. I): Ex. 2, 3, ..., 6 p.221; Ex. 7, 9, 10, 11, 13 p.222

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´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

Func¸a˜ o logar´ıtmica e func¸a˜ o exponencial

6 6.1

Logaritmos

Definic¸a˜ o: Chama-se logaritmo de b (b > 0) na base a (a positivo e a 6= 1) ao expoente a que e´ preciso elevar a base a para obter b, isto e´ , loga b = y ⇐⇒ ay = b.

Em qualquer base, loga 1 = 0 porque a0 = 1 e loga a = 1 porque a1 = a.

Observe-se que: aloga b = b e loga ay = y.

Logaritmo neperiano: se a base e´ e (n´umero de Neper) escrevemos ln em vez de log, ou seja, ln c = loge c.

6.1.1

Propriedades

Se u, v > 0, a > 0 e a 6= 1, ent˜ao: 1. loga (uv) = loga u + loga v, 2. loga ( uv ) = loga u − loga v, 3. loga (uv ) = v loga u, 4. loga c =

logb c logb a

(mudanc¸a de base).

Exemplo: Usando algumas das propriedades acima referidas temos que: √ !

54 log5 = log5 52 − log5 53 = 2 − 3 = −1.

53

6.2

Func¸a˜ o Exponencial

Definic¸a˜ o: Chama-se func¸a˜ o exponencial de base a, a > 0 e a 6= 1, a` correspondˆencia f : R −→ R x 7−→ ax , Quando e´ referida “func¸a˜ o exponencial”sem especificar a base, subentende-se que a base e´ e (n´umero de Neper) e a func¸a˜ o e´ dada por f (x) = ex .

6.2.1

Propriedades da exponencial

Sejam a > 0 e x, y ∈ R, ent˜ao: 1. a−x =

1 . ax

2. (ax )y = axy .

3. ax ay = ax+y .

4. (ab)x = ax bx , ∀b > 0 5. a0 = 1.

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36

´ alculo ´ Pre-C 2005 6.2.2

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

Func¸a˜ o Exponencial de Base a com a > 1 y

• Dom´ınio R. Contradom´ınio R+ .

y = ax

• Cont´ınua em todo o dom´ınio.

• A func¸a˜ o e´ estritamente crescente em R e portanto injectiva.

(a>1)

• N˜ao tem zeros. O gr´afico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1).

a

• Admite a ass´ımptota horizontal y = 0 quando x → −∞.

N˜ao tem ass´ımptotas verticais nem obl´ıquas.

1

x

1

lim ax = +∞ e

x→+∞

6.2.3

lim ax = 0.

x→−∞

Func¸a˜ o Exponencial de Base a com 0 < a < 1 y

• Dom´ınio R. Contradom´ınio R+ . y = ax

• Cont´ınua em todo o dom´ınio.

• A func¸a˜ o e´ estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

(0<a<1)

• N˜ao tem zeros. O gr´afico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1).

• Admite a ass´ımptota horizontal y = 0 quando x → +∞.

N˜ao tem ass´ımptotas verticais nem obl´ıquas.

1 a 1

x

lim ax = +∞ e

x→−∞

lim ax 0.

x→+∞

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Resolva a equac¸a˜ o ex = e−x .

Resoluc¸a˜ o: Observe-se que a func¸a˜ o exponencial e´ injectiva e nunca se anula. Assim, ex = e−x ⇐⇒ ex − e−x = 0 ⇐⇒

e2x − 1 = 0 ⇐⇒ e2x = 1(∧ex 6= 0) ⇐⇒ x = 0 ex

ou ex = e−x ⇐⇒ x = −x ⇐⇒ x = 0

(pela injectividade)

1 2. Determine os valores de x tais que 2x ≤ .

2 Resoluc¸a˜ o: 2x ≤

1 ⇐⇒ 2x ≤ 2−1 ⇐⇒ x ≤ −1 2

(por ser estritamente crescente)

3. Determine o conjunto soluc¸a˜ o de cada uma das condic¸o˜ es : (a) 4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0

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37

´ alculo ´ Pre-C 2005 (b)

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

23x−1

1− ≥0 3x2 −2 − 9

(c) x2 ex+1 − xex+2 < 0 Resoluc¸a˜ o: (a) Como 4x = (22 )x , temos, 4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 22x − 3 · 2x + 2 ≤ 0.

(1)

Substituindo y = 2x em (1), vem: y 2 − 3y + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 1 ≤ y ≤ 2, porque a func¸a˜ o dada pela equac¸a˜ o y 2 − 3y + 2 e´ representada graficamente por uma par´abola de zeros 1 e 2 e concavidade voltada para cima. Ent˜ao, como a func¸a˜ o exponencial f (x) = 2x e´ crescente, 20 ≤ 2x ≤ 21 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1.

Assim, o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o e´ [0, 1]. (b) Comecemos por determinar os zeros do numerador e do denominador: 1−23x−1 = 0 ⇐⇒ 23x−1 = 1 ⇐⇒ 23x−1 = 20 ⇐⇒ 3x−1 = 0 ⇐⇒ x = 3x

2 −2

− 9 = 0 ⇐⇒ 3x

2 −2

1 3

(pela injectividade)

= 32 ⇐⇒ x2 − 2 = 2 ⇐⇒ x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = 2 ∨ x = −2

Como a func¸a˜ o exponencial de base maior do que 1 e´ crescente, podemos construir a seguinte tabela de variac¸a˜ o de sinal: 1 −2 2 3 3x−1 1−2 + + + 0 − − − 2 3x −2 − 9 + 0 − − − 0 + 1 − 23x−1 3x2 −2 − 9

+ ND −

0

+ ND −

Assim, o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o dada e´ :

1 C.S. = ]−∞, −2[ ∪ , 2 3 (c) Podemos pˆor em evidˆencia o factor xex+1 para podermos aplicar a lei do anulamento do produto: x2 ex+1 − xex+2 = xex+1 (x − e) Assim, xex+1 (x − e) = 0 ⇐⇒ xex+1 = 0 ∨ (x − e) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = e Como ex+1 > 0, ∀x ∈ R, o sinal de xex+1 apenas depende do sinal de x. Ent˜ao, xex+1 x−e x2 ex+1 − xex+2

0 e − 0 + + + − − − 0 + + 0 − 0 +

O conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o e´ : C.S. =]0, e[ Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

38

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

4. Determine a e b para que a express˜ao y = a + bx+1 defina uma func¸a˜ o cujo gr´afico intersecte o eixo das ordenadas (yy) no ponto de ordenada 7 e tenha por ass´ımptota a recta de equac¸a˜ o y = 2.

Resoluc¸a˜ o: O gr´afico da func¸a˜ o de equac¸a˜ o y = a + bx+1 resulta da translac¸a˜ o associada a (−1, a) do gr´afico da func¸a˜ o dada por y = bx . Como a recta y = 0 e´ a u´ nica ass´ımptota do gr´afico de y = bx , a recta y = a e´ a u´ nica ass´ımptota do gr´afico de y = a + bx+1 . Podemos ent˜ao afirmar que a = 2.

Como o gr´afico da func¸a˜ o passa pelo ponto (0, 7), substituindo x = 0 e y = 7 na equac¸a˜ o que traduz a express˜ao da func¸a˜ o, temos 7 = 2 + b0+1 ⇐⇒ b = 5.

A func¸a˜ o que satisfaz as condic¸o˜ es do problema e´ y = 2 + 5x+1 .

6.3

Func¸a˜ o Logar´ıtmica

Definic¸a˜ o: Chama-se func¸a˜ o logar´ıtmica de base a, com a > 0 e a 6= 1, a` correspondˆencia g : R+ −→ R x 7−→ loga x, A func¸a˜ o logar´ıtmica e´ a inversa da func¸a˜ o exponencial, isto e´ , f −1 = g : R+ −→ R x 7−→ y = loga x

f : R −→ R+ y 7−→ x = ay

Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos temos

f −1 ◦ f (x) = loga ax = x e

f ◦ f −1 (y) = aloga y = y.

6.3.1

Func¸a˜ o Logar´ıtmica de Base a, com a > 1

y

• Dom´ınio R+ . Contradom´ınio R.

y = loga x

• Cont´ınua em todo o dom´ınio.

• A func¸a˜ o e´ estritamente crescente em R e portanto injectiva.

1 (a>1) 1

a

x

• A func¸a˜ o tem um u´ nico zero em x = 1. O gr´afico de g n˜ao intersecta o eixo das ordenadas.

• x = 0 e´ a u´ nica ass´ımptota ao gr´afico de g. lim loga x = +∞ e lim loga x = −∞.

x→+∞

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x→0+

39

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

Func¸a˜ o Logar´ıtmica de Base a, com 0 < a < 1

6.3.2 y

• Dom´ınio R+ . Contradom´ınio R. y = loga x

• Cont´ınua em todo o dom´ınio.

• A func¸a˜ o e´ estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

(0<a<1)

1

a

• O gr´afico de g intersecta o eixo das abcissas no ponto (1, 0) e n˜ao intersecta o eixo das ordenadas.

x

1

• x = 0 e´ a u´ nica ass´ımptota ao gr´afico de g. lim loga x = −∞ e lim loga x = +∞.

x→+∞

x→0+

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Simplifique a express˜ao e3 ln 2−ln x .

Resoluc¸a˜ o: Aplicando as propriedades 6.1.1 e 6.2.1, 3 −ln x

e3 ln 2−ln x = eln 2

8

= eln x =

8 . x

Observe que esta simplificac¸a˜ o s´o e´ v´alida em D = {x ∈ R : x > 0} =]0, +∞[.

2. Determine o conjunto soluc¸a˜ o das condic¸o˜ es: (a) 2 ln x − ln(x − 1) = 2 ln 2 (b) log3 x ≤ 0 (c) x log2 (x + 1) > x Resoluc¸a˜ o: (a) Comecemos por observar que o dom´ınio da express˜ao 2 ln x − ln(x − 1) e´ x > 0 ∧ x > 1 ⇐⇒ x > 1.

Aplicando as propriedades 6.1.1 temos, para x > 1, 2 ln x − ln(x − 1) = 2 ln 2 ⇐⇒ ln x2 = ln(x − 1) + ln 22 ⇐⇒ ln x2 = ln((x − 1)22 ) ⇐⇒ x2 = ((x − 1)22 ) ⇐⇒ x = 2 Como x = 2 est´a no dom´ınio da express˜ao, resulta que o conjunto soluc¸a˜ o e´ C.S. = {2}. (b) O dom´ınio da func¸a˜ o dada por f (x) = log3 x e´ ]0, +∞[.

Como a func¸a˜ o f (x) = log3 x e´ mon´otona crescente, log3 x ≤ 0 ⇐⇒ log3 x ≤ log3 1 ⇐⇒ x ≤ 1 Atendendo ao dom´ınio da express˜ao, resulta que o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o dada e´ C.S. =]0, 1].

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40

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

(c) O dom´ınio da func¸a˜ o dada por f (x) = log2 (x + 1) e´ D = {x ∈ R : x + 1 > 0} =] − 1, +∞[.

Ent˜ao, para x ∈] − 1, +∞[, x log2 (x + 1) > x ⇐⇒ x(log2 (x + 1) − 1) > 0 O produto e´ positivo se:   log2 (x + 1) − 1 > 0 

x>0

ou

(2)

  log2 (x + 1) − 1 < 0 

(3)

x<0

Como log2 (x + 1) − 1 = 0 ⇐⇒ log2 (x + 1) = 1 ⇐⇒ x + 1 = 21 ⇐⇒ x = 1

(pela injectividade)

e a func¸a˜ o dada por f (x) = log2 (x + 1) − 1 e´ crescente, (3) vem:    x>1  x<1 ou   x>0 x<0 Sistematizada esta informac¸a˜ o num quadro de sinal, temos: −1 0 1 log2 (x + 1) − 1 ND − − − 0 + x − − 0 + + + x(log2 (x + 1) − 1) N D + 0 − 0 + Atendendo ao dom´ınio D, o conjunto soluc¸a˜ o da inequac¸a˜ o (2) e´ : C.S. =] − 1, 0[∪]1, +∞[.

3. Caracterize a inversa das func¸o˜ es definidas por: (a) f (x) = 2 + ex−1 (b) g(x) = log10 (2 − x) Resoluc¸a˜ o: (a) O dom´ınio de f e´ Df = R.O contradom´ınio de f e´ CDf =]2, +∞[: Como a func¸a˜ o exponencial e´ sempre positiva, ex−1 > 0, ∀x ∈ R =⇒ 2 + ex−1 > 2, ∀x ∈ R (Note-se que o gr´afico de f obt´em-se a partir de uma translac¸a˜ o do gr´afico da func¸a˜ o exponencial segundo o vector (1, 2).)

Para determinar a express˜ao da inversa vamos resolver a equac¸a˜ o y = 2 + ex−1 em ordem a x: y = 2 + ex−1 ⇐⇒ ln (y − 2) = ln ex−1 ⇐⇒ x = 1 + ln (y − 2) Assim, a inversa de f e´ f −1 definida por: f −1 : ]2, +∞[ −→ R x 7−→ 1 + ln(x − 2).

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41

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ logar´ıtmica e func¸ao ˜ exponencial 6 Func¸ao

(b) O dom´ınio de g e´ : Dg = {x ∈ R : 2 − x > 0} =] − ∞, 2[, e o seu contradom´ınio e´ CDg = R. Para determinar a express˜ao da inversa vamos resolver a equac¸a˜ o y = log10 (2 − x) em ordem a x: y = log10 (2 − x) ⇐⇒ 10y = 2 − x ⇐⇒ x = 2 − 10y Ent˜ao, a inversa de g e´ dada por: g −1 : R −→ R x 7−→ 2 − 10x . e o seu contradom´ınio e´ ] − ∞, 2[.

Exerc´ıcios Propostos 1. Seja f a func¸a˜ o definida em R+ por f (x) = log2 (8x2 ) − log2 x. (a) Mostre que f (x) = 3 + log3 x, para qualquer x ∈ R+ (b) Determine a abcissa do ponto de intersecc¸a˜ o do gr´afico f com a recta de equac¸a˜ o y = 8.

2. Considere a func¸a˜ o g : [0, +∞[ → R x 7→ ln (1 + x) − x, (a) Recorrendo a` func¸a˜ o derivada de g, mostre que g e´ decrescente. (b) Tendo em conta a al´ınea anterior e o valor de g(0),indique, justificando, se e´ verdadeira ou falsa a afirmac¸a˜ o: g(x) < 0, ∀x ∈ R+ .

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42

´ alculo ´ Pre-C 2005

7

˜ ´ 7 Func¸oes trigonometricas

Func¸o˜ es trigonom´etricas

Considerem-se dois eixos ortogonais Ox e Oy. Relativamente a este sistema de eixos coordenados, os aˆ ngulos orientados tˆem uma posic¸a˜ o em que o v´ertice est´a na origem das coordenadas e o lado origem coincide com o semi-eixo positivo Ox. Nestas condic¸o˜ es, diz-se que o aˆ ngulo e´ do 1o , 2o , 3o ou 4o quadrante conforme o lado extremidade se situe num daqueles quadrantes, respectivamente.

7.1

Func¸o˜ es Trigonom´etricas

No que se segue, definiremos as func¸o˜ es trigonom´etricas (seno, cosseno e tangente) utilizando um c´ırculo de raio r.

y

•

√

P (x,y)

r=

x2 +y 2

θ x

Seja P (x, y) um ponto qualquer da circunferˆencia, e designe-se por r a distˆancia da origem O ao ponto P e por −−→ θ o aˆ ngulo que o vector OP faz com o semieixo positivo das abcissas. Entre os trˆes n´umeros x, y e r podem estabelecer-se as seguintes raz˜oes: sen θ =

y , r

r 6= 0

cos θ =

x , r

r 6= 0

tan θ =

sen θ y = , cos θ x

x 6= 0

A cada valor do aˆ ngulo θ corresponde um e um s´o valor de cada uma das trˆes raz˜oes consideradas, as quais por este facto s˜ao func¸o˜ es do aˆ ngulo θ. Tais func¸o˜ es s˜ao chamadas func¸o˜ es circulares ou Func¸o˜ es Trigonom´etricas.

Se tomarmos r = 1 conclui-se que sen θ = y e cos θ = x. Ao c´ırculo orientado de centro na origem e raio unit´ario chama-se c´ırculo trigonom´etrico.

Em seguida apresenta-se uma tabela de valores das func¸o˜ es trigonom´etricas, anteriormente definidas, para alguns aˆ ngulos do 1o Quadrante. θ (Graus) θ (Radianos)

0o 0

sen θ cos θ tan θ

0 1 0

30o

45o

60o

90o

π 6 1 √2 3 √2 3 3

π √4 2 √2 2 2

π √3 3 2 1 √2

π 2

1

3

1 0 n˜ao definida

As func¸o˜ es trigonom´etricas s˜ao func¸o˜ es peri´odicas, i.e., ∃p > 0 : f (x + p) = f (x), ∀x ∈ Df Ao menor valor positivo p que satisfac¸a a igualdade acima d´a-se a designac¸a˜ o de per´ıodo da func¸a˜ o f .

As func¸o˜ es trigonom´etricas n˜ao s˜ao injectivas pois s˜ao peri´odicas.

7.2

Identidades Trigonom´etricas

F´ormula Fundamental da Trigonometria sen2 x + cos2 x = 1 Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

(4) 43

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ ´ 7 Func¸oes trigonometricas

Dividindo ambos os membros da identidade por cos2 x, vem: tan 2 x + 1 =

1 . cos2 x

(5)

F´ormulas da soma e da diferenc¸a de dois aˆ ngulos sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y (6) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y As identidades trigonom´etricas seguintes s˜ao consequˆencia das f´ormulas anteriores. tan x + tan y tan (x + y) = sen(2x) = 2 sen x cos x 1 − tan x tan y tan(x − y) =

tan x − tan y 1 + tan x tan y

cos(2x) = cos2 x − sen 2 x

F´ormulas da duplicac¸a˜ o dos aˆ ngulos cos(2x) = 2 cos2 x − 1

1 cos2 x = (1 + cos (2x)) 2

cos(2x) = 1 − 2 sen2 x

1 sen 2 x = (1 − cos (2x)) 2

F´ormulas de transformac¸a˜ o logar´ıtmica

sen x + sen y = sen x − sen y = cos x + cos y = cos x − cos y =

7.3 7.3.1

x+y x−y cos 2 sen 2 2

x−y x+y 2 sen cos 2 2

x+y x−y 2 cos cos 2 2

x−y x+y −2 sen sen 2 2

Gr´aficos das func¸o˜ es trigonom´etricas Func¸o˜ es seno e cosseno • Dom´ınio: R. Contradom´ınio: [−1, 1]. y

y = sen x

• sen(−x) = − sen x, ∀x ∈ R (a func¸a˜ o e´ ´ımpar)

1 3π 2 π 2

−π

π

• A func¸a˜ o e´ peri´odica de per´ıodo 2π: 2π

x

sen(x + 2kπ) = sen x

,

−1

∀k ∈ Z.

• Zeros: sen x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

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44

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ ´ 7 Func¸oes trigonometricas • Dom´ınio: R. Contradom´ınio: [−1, 1].

y

y = cos x

• cos(−x) = cos x, ∀x ∈ R (a func¸a˜ o e´ par)

1 π − π2

• A func¸a˜ o e´ peri´odica de per´ıodo 2π:

π 2

x

2π

3π 2

cos(x + 2kπ) = cos x, ∀k ∈ Z.

−1

• Zeros: cos x = 0 ⇔ x = kπ + π2 , k ∈ Z Verificam-se as seguintes identidades, qualquer que seja x ∈ R: sen

π 2

− x = cos x

cos

cos (π − x) = − cos x 7.3.2

π 2

− x = sen x

sen (π − x) = sen x

sen (π + x) = − sen x

cos (π + x) = − cos x

Func¸a˜ o tangente y

y = tan x

• Dom´ınio: x ∈ R : x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z .

Contradom´ınio: R. • tan (−x) = − tan x, ∀x ∈ R (a func¸a˜ o e´ ´ımpar)

π 2

− π2

π

−π

• A func¸a˜ o e´ peri´odica de per´ıodo π:

x

tan (x + kπ) = tan x, ∀k ∈ Z. • Zeros: tan x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

7.4

Equac¸o˜ es trigonom´etricas

1. Consideremos a equac¸a˜ o sen x = c, c ∈ [−1, 1].

Pretende-se determinar as amplitudes x cujo seno e´ igual a c.

Seja α ∈ [0, 2π] tal que sen α = c. Usando a identidade sen (π − α) = sen α temos x = α ∨ x = π − α =⇒ sen x = sen α.

Atendendo a` periodicidade da func¸a˜ o seno, vem: sen x = sen α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, Exemplo: sin(x) =

1 2

⇔x=

π 6

+ 2kπ ∨ x = π −

π 6

+ 2kπ,

k∈Z

k ∈ Z.

2. A soluc¸a˜ o geral da equac¸a˜ o cos x = cos α e´ : x = ±α + 2kπ,

k∈Z

3. A soluc¸a˜ o geral da equac¸a˜ o tan x = tan α e´ : x = α + kπ, Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

k∈Z 45

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ ´ 7 Func¸oes trigonometricas

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Simplifique a seguinte express˜ao:

π sen α − + cos (3π − α).

2 Resoluc¸a˜ o: Usando as propriedades das func¸o˜ es seno e cosseno em 7.3.1, temos

sen α − π2 + cos (3π − α) = sen − π2 − α + cos (2π + π − α) = = − sen

π 2

−α

+ cos (π − α) = − cos α − cos α = −2 cos α

x sabendo que sen x = 35 e π2 ≤ x ≤ π.

2 Resoluc¸a˜ o: Usando as f´ormulas (5) e (6), temos que x 1 tan 2 = 2 cos2

2. Calcule tan

e usando 7.2 cos2 Assim, dado que sen x =

x 2

=

x 2

− 1.

(7)

1 + cos x .

2

3 5,

cos2 x = 1 − sen2 x = 1 −

9 16 = 25 25

Como x ∈ 2o Q, cos x = − 54 . Logo, cos2

x 2

Ent˜ao, tan 2 Como x ∈ 2o Q, tan

=

x 2

=

1− 2 1 1 10

4 5

=

1 .

10

− 1 = 9.

x = −3.

2

3. Considere a func¸a˜ o g : [0, π] −→ R definida por g(x) = sen x + sen (2x). (a) Determine os zeros da func¸a˜ o g; (b) Estude, quanto a` existˆencia de ass´ımptotas, a func¸a˜ o h definida em [0, π] \

nπ o 2

por h(x) =

g(x) . cos x

Resoluc¸a˜ o: (a) Pretendemos resolver a equac¸a˜ o g(x) = 0, com x ∈ [0, π]. Como, sen x + sen (2x) = 0 ⇔ sen x = − sen (2x) ⇔ sen x = sen (−2x) ⇔ ⇔ x = −2x + 2kπ ∨ x = π − (−2x) + 2kπ, k ∈ Z ⇔ x =

2kπ 3

∨ x = −π − 2kπ, k ∈ Z.

Queremos os valores de k ∈ Z, tais que: x=

2kπ ∈ [0, π] ou x = −π − 2kπ ∈ [0, π], 3

ou seja, 0≤

2kπ 3

≤π⇔0≤k≤

3 2

ou

0 ≤ −π − 2kπ ≤ π ⇔ −1 ≤ k ≤ − 21

a que correspondem os valores de k = 0 e k = 1 no primeiro caso, e k = −1 no segundo. Os zeros da func¸a˜ o g s˜ao, portanto, 2π 0, , π.

3 Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

46

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ ´ 7 Func¸oes trigonometricas

(b) Pelo facto do dom´ınio de h ser um conjunto limitado, n˜ao tem sentido procurar ass´ımptotas n˜ao verticais. Sendo h cont´ınua em todo o seu dom´ınio ( [0, π]\{π}), s´o poder´a haver ass´ımptota π vertical em x = . Como, 2 lim h(x) = +∞

x→( π2 )−

a recta de equac¸a˜ o x =

lim h(x) = −∞,

e

x→ π2 +

π e´ ass´ımptota vertical do gr´afico de h.

2

Exerc´ıcios Propostos 1. Considere a func¸a˜ o f , de dom´ınio R \ {1}, definida por f (x) =

ex x−1

(a) Estude a func¸a˜ o f quanto a` monotonia e quanto a` existˆencia de extremos relativos. (b) Resolva a equac¸a˜ o ln[f (x)] = x (c) Estude a func¸a˜ o f quanto a` existˆencia de ass´ımptotas verticais e horizontais do seu gr´afico.

2. Sabendo que sen

5 4 + a = , tan(7π − b) = 2 13 3

π

e que a ∈ 4o Q, b ∈ 2o Q, calcule a) sen(a + b); b) cos(a − b); c) cos

π 4

+b .

3. Resolva as seguintes equac¸o˜ es trigonom´etricas: √ (b) cos 4x − sen 4x = 0; (a) cos x + 3 sen x = 1; (c) cos 2x = 2 − 3 sen x; (d) sen (x + π/6) = sen x; (e) cos (2x + π/4) = cos x; (f ) cos x = 1 − 5 sen x tan x .

4. Usando as f´ormulas da soma de dois aˆ ngulos (6), mostre que:

(a) sen x + π2 = cos x; (b) cos x + π2 = − sen x; (c) sen 2 x = 21 (1 − cos 2x); (d) cos2 x = 12 (1 + cos 2x) .

5. Considere a func¸a˜ o f , de dom´ınio [0, 2π] definida por

f (x) =

  1 + ln (π − x) 

cos (2x)

se

0≤x<π

se

π ≤ x ≤ 2π

(a) Estude f quanto a` continuidade. (b) Determine os zeros de f . (c) Seja α ∈ [π, 2π] tal que cos α = 32 . Determine f (α).

6. Considere as func¸o˜ es f e g de dom´ınio R, definidas por f (x) =

1 3

+ 2e1−x e g(x) = 2 sen x − cos x.

(a) Estude a func¸a˜ o f quanto a` existˆencia de ass´ımptotas paralelas aos eixos coordenados. (b) Resolva a equac¸a˜ o f (x) = g(π), apresentando a soluc¸a˜ o na forma ln(ke), onde k representa um n´umero real positivo.

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47

´ alculo ´ Pre-C 2005

8 8.1

˜ 8 Sucessoes reais

Sucess˜oes reais Conceitos fundamentais

Definic¸a˜ o: Uma sucess˜ao e´ uma func¸a˜ o de dom´ınio N. Se o conjunto de chegada e´ R, ent˜ao designa-se por sucess˜ao real.

Portanto, uma sucess˜ao real e´ uma func¸a˜ o u: N → R n 7→ u(n) = un que se denota usualmente por (un )n∈N .

• un e´ o termo geral (define a express˜ao analitica da sucess˜ao, por exemplo un = 2n − 1), • n e´ a ordem do termo un , • {un : n ∈ N} e´ o conjunto dos seus termos (ou seja, e´ o contradom´ınio da sucess˜ao).

Por exemplo, a sucess˜ao de termo geral an = 2n e´ a func¸a˜ o em que a imagem de cada n´umero natural e´ o dobro desse n´umero: a imagem de 1 e´ 2, a imagem de 2 e´ 4, e assim sucessivamente. Obt´em-se a sequˆencia 2, 4, 6, 8, . . .

O gr´afico desta sucess˜ao e´ o seguinte: y 10 8 6 4 2 1

2

3

4

5 n

Exerc´ıcios Resolvidos Considere a sucess˜ao de termo geral un = (−1)n . (a) Calcule os primeiros termos da sucess˜ao. (b) Mostre que todos os termos de ordem par s˜ao positivos. (c) Esboce o gr´afico da sucess˜ao.

Resoluc¸a˜ o: (a) Substituindo no termo geral n por 1, obtemos u1 = (−1)1 = −1.

Logo o primeiro termo e´ −1. Para determinar o segundo termo, substitu´ımos n por 2. Assim sendo, u2 = (−1)2 = 1.

Repetindo o processo, os primeiros termos da sucess˜ao dada s˜ao −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .

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48

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 8 Sucessoes reais

(b) Se n e´ um n´umero par, ent˜ao pode ser escrito na forma n = 2k, para algum k ∈ N. Portanto un = u2k = (−1)2k = ((−1)2 )k = 1k = 1 que e´ positivo. (c) O gr´afico da sucess˜ao e´ y 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

n

−1 −2

Exerc´ıcios Resolvidos Dada a sucess˜ao real (an )n∈N definida por an =

2n − 9 , n+3

(a) Determine o termo de ordem 8. (b) Averig´ue se 5/2 e´ termo da sucess˜ao. (c) Mostre que, se n > 10, ent˜ao an > 0.

Resoluc¸a˜ o: (a) Basta substituir n por 8 no termo geral: a8 = Logo o 8◦ termo e´

2·8−9 7 = .

8+3 11

7 11 .

(b) Pretende-se saber se existe n ∈ N tal que an = 5/2. Para tal, devemos resolver a equac¸a˜ o 5 2n − 9 = , com n ∈ N. n+3 2 Ent˜ao 2n − 9 5 4n − 18 − 5n − 15 −n − 33 = ⇔ =0⇔ = 0 ⇔ n = −33 ∧ n 6= −3. n+3 2 n+3 n+3 Como −33 ∈ / N, a equac¸a˜ o anterior e´ imposs´ıvel em N e conclu´ımos que 5/2 n˜ao e´ termo da sucess˜ao. (c) Se n > 10, ent˜ao 2n − 9 > 2 · 10 − 9 = 11 e n + 3 > 10 + 3 = 13. Logo, para n > 10, as express˜oes 2n − 9 e n + 3 s˜ao positivas e atendendo a que o quociente de dois n´umeros positivos e´ ainda um n´umero positivo, prov´amos o pretendido.

Uma sub-sucess˜ao de (un )n∈N e´ uma sucess˜ao que se obt´em de (un )n∈N suprimindo alguns dos seus termos e denota-se por (unk )k∈N .

Por exemplo, se un = (−1)n , ent˜ao u2n = 1 e´ uma sub-sucess˜ao de (un )n∈N .

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49

´ alculo ´ Pre-C 2005 8.1.1

˜ 8 Sucessoes reais

Sucess˜oes definidas por recorrˆencia

Uma sucess˜ao pode ser definida por recorrˆencia, i.e., s˜ao dados o(s) primeiro(s) termo(s) da sucess˜ao e alguma lei que nos permite determinar os restantes. Por exemplo, a sucess˜ao (an )n∈N dada por   a1 = 4 a2 = 1  an+2 = an + an+1 , n ∈ N est´a definida por recorrˆencia. Quais s˜ao os termos desta sucess˜ao? O primeiro e segundo s˜ao, respectivamente, 4 e 1, conforme e´ indicado. Para determinarmos os restantes olhemos para a terceira express˜ao: an+2 = an + an+1 .

Esta express˜ao indica que cada termo e´ soma dos dois termos que o antecedem. Por exemplo, o terceiro termo e´ (substituindo na express˜ao anterior n por 1) a3 = a1 + a2 = 4 + 1 = 5.

O quarto termo e´ (substituindo agora n = 2) a4 = a2 + a3 = 1 + 5 = 6 e assim sucessivamente a5 = a3 + a4 = 5 + 6 = 11, a6 = a4 + a5 = 6 + 11 = 17, ...

Exerc´ıcios Resolvidos Considere a sucess˜ao definida por

a1 = −4 an+1 = an + 2, n ∈ N

(8)

(a) Determine os quatro primeiros termos da sucess˜ao dada. (b) Qual ser´a o termo geral da sucess˜ao?

Resoluc¸a˜ o: (a) Conforme e´ indicado no sistema, a1 = −4. Para determinarmos a2 , basta substituir n por 1 na equac¸a˜ o an+1 = an + 2; logo a2 = a1 + 2 = −4 + 2 = −2. Substituindo agora n por 2 e 3, obtemos a3 = a2 + 2 = 0 e a4 = a3 + 2 = 2. (b) O primeiro termo da sucess˜ao e´ −4 e an+1 − an = 2, i.e., a diferenc¸a entre dois termos consecutivos e´ 2.

O termo geral ser´a an = −6 + 2n.

Notemos que an+1 − an = [−6 + 2(n + 1)] − [−6 + 2n] = 2 e a1 = −6 + 2 = −4. Logo esta sucess˜ao satisfaz a condic¸a˜ o (8).

Ser´a esta sucess˜ao u´ nica? Neste momento n˜ao temos meios de dar resposta a esta quest˜ao; posteriormente, aquando do estudo das progress˜oes, veremos como poder´ıamos justificar a unicidade da sucess˜ao.

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50

´ alculo ´ Pre-C 2005

8.2

˜ 8 Sucessoes reais

Monotonia

Teorema: Seja (an )n∈N uma sucess˜ao real. A sucess˜ao e´ mon´otona • crescente se an+1 − an ≥ 0, para todo n ∈ N; • decrescente se an+1 − an ≤ 0, para todo n ∈ N; • estritamente crescente se an+1 − an > 0, para todo n ∈ N; • estritamente decrescente se an+1 − an < 0, para todo n ∈ N. Por exemplo, a sucess˜ao an = 1/n e´ estritamente decrescente, uma vez que an+1 − an =

1 −1 1 − = < 0, n+1 n n(n + 1)

para todo n ∈ N. Observemos que toda a sucess˜ao estritamente crescente (respectivamente “estritamente decrescente”) e´ crescente (respectivamente “decrescente”). Uma sucess˜ao constante, por exemplo, un = 4 e´ simultaneamente crescente e decrescente, sendo portanto mon´otona.

Exerc´ıcios Resolvidos Estude a monotonia das sucess˜oes de termo geral: √ (a) an = 3 + n. (b) bn =

n+2 . n+1

(c) cn = n2 − 11n + 10. (d) dn = (−2)n .

e1 = 4 (e) en+1 = en + 2n + 1, n ∈ N Resoluc¸a˜ o: √ √ (a) Devemos estudar o sinal de a − a .

Como n + 1 > n, ent˜ a o n + 1 > n. Logo, an+1 − an = n+1 n √ √ √ √ [3 + n + 1] − [3 + n] = n + 1 − n > 0, e portanto a sucess˜ao e´ mon´otona crescente. (b) Devemos estudar novamente o sinal de bn+1 − bn : bn+1 − bn =

(n + 1) + 2 n + 2 (n + 3)(n + 1) − (n + 2)(n + 2) − = = (n + 1) + 1 n + 1 (n + 2)(n + 1) −1 < 0, (n + 2)(n + 1)

uma vez que, como n ∈ N, ent˜ao n + 2 > 0 e n + 1 > 0. Logo (bn )n∈N e´ mon´otona decrescente. (c) Como cn+1 − cn = 2n − 10 e esta express˜ao toma valores positivos ou negativos3 , dependendo do valor de n, conclu´ımos que a sucess˜ao dada n˜ao e´ mon´otona. (d) Atendendo a que d1 = −2, d2 = 4 e d3 = −8, ent˜ao d1 < d2 e d2 > d3 . Portanto a sucess˜ao e´ n˜ao mon´otona. (e) Uma vez que en+1 = en + 2n + 1 ⇔ en+1 − en = 2n + 1 e 2n + 1 e´ sempre positivo, conclu´ımos que a sucess˜ao dada e´ mon´otona crescente.

3

Por exemplo, se n = 3, 2n − 10 < 0, e c4 < c3 ; mas se n = 6, ent˜ao 2n − 10 > 0 e portanto c7 > c6 .

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51

´ alculo ´ Pre-C 2005

8.3

˜ 8 Sucessoes reais

Sucess˜oes limitadas

Definic¸a˜ o: Uma sucess˜ao (an )n∈N e´ • limitada superiormente se existe M ∈ R tal que an ≤ M , para todo n ∈ N; • limitada inferiormente se existe m ∈ R tal que an ≥ m, para todo n ∈ N; • limitada se existem m, M ∈ R tais que que m ≤ an ≤ M , para todo n ∈ N. M e´ um majorante e m um minorante do conjunto dos termos da sucess˜ao.

Ainda existe uma outra maneira de definirmos sucess˜ao limitada: uma sucess˜ao e´ limitada se existe M ∈ R+ tal que |an | ≤ M , para todo n ∈ N. Exerc´ıcios Resolvidos Prove que s˜ao limitadas as sucess˜oes (a) an = 2/n. (b) bn = (−1)n

2n . n+3

Resoluc¸a˜ o: (a) Como n ≥ 1, ent˜ao 0 < 1/n ≤ 1. Logo 0 < 2/n ≤ 2 e portanto 0 e´ um minorante do conjunto dos termos da sucess˜ao e 2 um majorante. (b) Podemos escrever a sucess˜ao dada como  2n   se n e´ par n + 3, bn =  2n  − , se n e´ ´ımpar n+3 Al´em disso, efectuando a divis˜ao de 2n por n + 3, obtemos 2n 6 =2− . n+3 n+3 Logo, para n par: 6 6 6 6 n≥2→n+3≥5→0< ≤ →− ≤− <0→ n+3 5 5 n+3 4 6 ≤2− < 2.

5 n+3 Para n ´ımpar, obtemos 6 6 3 6 1 n≥1→n+3≥4→0< ≤ = → −2 < −2 + ≤− . n+3 4 2 n+3 2 Portanto −2 < bn < 2, ou seja, e´ limitada.

Exerc´ıcios Resolvidos n+8 . n+1 (a) Mostre que a sucess˜ao e´ decrescente.

Considere a sucess˜ao definida por an =

(b) Mostre que a sucess˜ao e´ limitada.

Resoluc¸a˜ o: (a) Uma vez que an+1 − an =

−7 < 0, prov´amos o pretendido. (n + 2)(n + 1)

(b) Uma vez que a sucess˜ao e´ mon´otona decrescente, o seu primeiro termo, a1 = 9/2, e´ um majorante do conjunto dos termos da sucess˜ao. Facilmente se vˆe que, para todo n ∈ N, an > 0. Logo 0 e´ um minorante e conclu´ımos assim que 0 < an ≤ 9/2.

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52

´ alculo ´ Pre-C 2005

8.4 8.4.1

˜ 8 Sucessoes reais

Progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas Progress˜oes aritm´eticas

Definic¸a˜ o: Seja (an )n∈N uma sucess˜ao. Dizemos que a sucess˜ao e´ uma progress˜ao aritm´etica de raz˜ao r ∈ R se a diferenc¸a entre quaisquer dois termos consecutivos da sucess˜ao e´ constante, i.e., an+1 − an = r, ∀n ∈ N. Por exemplo, a sucess˜ao un = 2n − 3 e´ uma progress˜ao aritm´etica de raz˜ao 2 pois un+1 − un = 2.

A sucess˜ao de termo geral vn = 1/n n˜ao representa uma progress˜ao aritm´etica porque vn+1 −vn n˜ao e´ constante (a diferenc¸a depende de n).

Da definic¸a˜ o decorre que uma progress˜ao aritm´etica e´ sempre mon´otona, sendo crescente ou decrescente consoante r e´ n˜ao negativo ou n˜ao positivo, respectivamente.

Teorema: O termo geral de uma progress˜ao aritm´etica (an )n∈N de raz˜ao r e´ an = a1 + (n − 1)r.

Logo, se conhecermos o primeiro termo da progress˜ao e a raz˜ao, podemos determinar o seu termo geral.

Dada uma sucess˜ao (an )n∈N , definimos S1 , S2 , S3 , . . . , Sn como sendo S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 .. .

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn representa a soma dos n primeiros termos da sucess˜ao (an )n∈N . a1 + an n.

Teorema: Se (an )n∈N e´ uma progress˜ao aritm´etica, ent˜ao Sn = 2 Podemos generalizar esta f´ormula para o caso seguinte: supor que pretend´ıamos calcular a soma dos termos consecutivos da sucess˜ao: ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an , k ≤ n.

Neste caso viria ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an =

ak + an (n − k + 1) . | {z } 2 n´umero de termos

Notac¸a˜ o:

n X

ai = ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an .

i=k

Exerc´ıcios Resolvidos Sabendo que (un )n∈N e´ uma progress˜ao aritm´etica e que u5 = −7 e u12 = −28, (a) determine a raz˜ao da progress˜ao; (b) escreva a express˜ao do termo geral da sucess˜ao; (c) determine a soma dos 20 primeiros termos da sucess˜ao; (d) calcule

50 X

ui .

i=3

Resoluc¸a˜ o: (a) Uma vez que u5 = u1 + (5 − 1)r e u12 = u1 + (12 − 1)r, ent˜ao substituindo pelos valores dados, vem

−7 = u1 + 4r r = −3 ⇔ −28 = u1 + 11r u1 = 5 Logo a raz˜ao e´ igual a −3.

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53

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 8 Sucessoes reais

(b) O termo geral e´ dado por un = u1 + (n − 1)r = 5 + (n − 1)(−3) = −3n + 8. (c) A soma consecutiva dos 20 primeiros termos e´ igual a S20 =

u1 + u20 20 = −470.

2

(d) 50 X

u3 + u50 (50 − 3 + 1) = −3432.

2

ui =

i=3

Notemos que o n´umero de termos da soma e´ igual a 50 − 3 + 1.

8.4.2

Progress˜oes geom´etricas

Definic¸a˜ o: Seja (an )n∈N uma sucess˜ao. Dizemos que a sucess˜ao e´ uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao r 6= 0 se o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos e´ constante, i.e., an+1 = r, ∀n ∈ N. an Teorema: O termo geral de uma progress˜ao geom´etrica (an )n∈N de raz˜ao r e´ dado por an = a1 rn−1 .

Teorema: Se (an )n∈N e´ uma progress˜ao geom´etrica, ent˜ao Sn = a1 De um modo geral,

n X

ai = ak

i=k

1 − rn , para r 6= 1.

1−r

1 − rn−k+1 .

1−r

Exerc´ıcios Resolvidos Dada a sucess˜ao definida por un =

5 · 2n , 3n+1

(a) Mostre que (un )n∈N representa uma progress˜ao geom´etrica. (b) Calcule S18 .

Resoluc¸a˜ o: (a) Devemos comec¸ar por determinar o quociente

un+1 : un

un+1 (5 · 2n+1 )(3n+1 ) 2 = = . n+2 n un (3 )(5 · 2 ) 3 Como

un+1 e´ constante, provamos que a sucess˜ao dada e´ uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao 23 . un

(b) A soma e´ igual a S18

1 − r18 10 1 − (2/3)18 10 = u1 = · = 1−r 9 1 − (2/3) 3

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18 !

2 1− .

3

54

´ alculo ´ Pre-C 2005

Ë&#x153; 8 Sucessoes reais

Exerc´Ĺcios Resolvidos Sabendo que (an )nâ&#x2C6;&#x2C6;N e´ uma progressË&#x153;ao geom´etrica com a1 = 3 e a6 = 96, (a) Determine a razË&#x153;ao da progressË&#x153;ao geom´etrica. (b) Escreva o termo geral da sucessË&#x153;ao. (c) Calcule

30 X

ai .

i=10

Resoluc¸aË&#x153; o: (a) a6 = 96 â&#x2021;&#x201D; 3 ¡ r5 = 96 â&#x2021;&#x201D; r5 = 32 â&#x2021;&#x201D; r = 2 Logo a razË&#x153;ao e´ igual a 2. (b) O termo geral e´ an = a1 ¡ rnâ&#x2C6;&#x2019;1 = 3 ¡ 2nâ&#x2C6;&#x2019;1 . (c) 30 X

ai = a10

i=10

1 â&#x2C6;&#x2019; 221 = 3 ¡ 29 (221 â&#x2C6;&#x2019; 1).

1â&#x2C6;&#x2019;2

Notemos que o n´umero de termos da soma e´ igual a 30 â&#x2C6;&#x2019; 10 + 1 = 21.

8.5

ConvergË&#x2020;encia de uma sucessË&#x153;ao

Consideremos a sucessË&#x153;ao real an = 1 +

1 . O seu gr´afico e´ o seguinte: n

y 2 1 1

2

3

4

5

6

7 n

O que se verifica e´ que, a` medida que n aumenta, o valor de an aproxima-se de 1. Escrevemos lim an = 1 nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

ou simplesmente lim an = 1.

Definic¸aË&#x153; o: Seja (an )nâ&#x2C6;&#x2C6;N uma sucessË&#x153;ao real. Dizemos que a sucessË&#x153;ao e´ convergente se existe um n´umero real L tal que, a` medida que n cresce, os termos da sucessË&#x153;ao aproximam-se de L. Escrevemos lim an = L. Formalmente, dizemos que a sucessË&#x153;ao converge para L se â&#x2C6;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192;N â&#x2C6;&#x2C6; N : n â&#x2030;Ľ N â&#x2020;&#x2019; |an â&#x2C6;&#x2019; L| < Se tal real L nË&#x153;ao existe, dizemos que a sucessË&#x153;ao e´ divergente.

Teorema: O limite de uma sucessË&#x153;ao, se existir, e´ u´ nico.

Por exemplo, tomemos as duas seguintes sucessË&#x153;oes: un = 2n â&#x2C6;&#x2019; 6

e

vn = (â&#x2C6;&#x2019;1)n .

Os gr´aficos das duas sucessË&#x153;oes sË&#x153;ao, respectivamente

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55

´ alculo ´ Pre-C 2005 y 6

Ë&#x153; 8 Sucessoes reais y

(un )n

4

(vn )n

2 â&#x2C6;&#x2019;2

1

1

2

3

4

5

6

n

1

2

3

4

5

6

7

8

n

â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;4 Os termos da sucessË&#x153;ao (un )n aumentam indefinidamente; dizemos que lim un = +â&#x2C6;&#x17E;.

Os termos da sucessË&#x153;ao (vn )n vË&#x153;ao oscilando entre â&#x2C6;&#x2019;1 e 1 consoante n e´ ´Ĺmpar ou par, respectivamente. Uma vez que o limite de uma sucessË&#x153;ao quando existe e´ u´ nico, conclu´Ĺmos que esta sucessË&#x153;ao nË&#x153;ao tem limite.

Ambas as sucessË&#x153;oes sË&#x153;ao divergentes.

Definic¸aË&#x153; o: Se lim an = +â&#x2C6;&#x17E; dizemos que a sucessË&#x153;ao (an )n e´ um infinitamente grande positivo. Formalmente dizemos, lim an = +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x20AC;M â&#x2C6;&#x2C6; R, â&#x2C6;&#x192;N â&#x2C6;&#x2C6; N : n â&#x2030;Ľ N â&#x2020;&#x2019; an > M ; Se lim an = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; a sucessË&#x153;ao diz-se um infinitamente grande negativo. Formalmente temos: lim an = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x20AC;M â&#x2C6;&#x2C6; R, â&#x2C6;&#x192;N â&#x2C6;&#x2C6; N : n â&#x2030;Ľ N â&#x2020;&#x2019; an < M ; Se lim an = 0 a sucessË&#x153;ao e´ um infinit´esimo. Formalmente, lim an = 0 â&#x2021;&#x201D; â&#x2C6;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192;N â&#x2C6;&#x2C6; N : n â&#x2030;Ľ N â&#x2020;&#x2019; |an | < .

8.6

Limites not´aveis

Segue a lista de alguns limites â&#x20AC;&#x153;not´aveisâ&#x20AC;?, i.e., alguns dos limites frequentemente usados e cuja determinac¸aË&#x153; o nË&#x153;ao e´ simples.

1 â&#x20AC;˘ lim = 0, n â&#x2C6;&#x161; â&#x20AC;˘ lim n a = 1, onde a > 0; â&#x2C6;&#x161; â&#x20AC;˘ lim n n = 1;  =0 se â&#x2C6;&#x2019;1 < a < 1    = 1 se a = 1 â&#x20AC;˘ lim an = +â&#x2C6;&#x17E; se a > 1    nË&#x153;ao existe se a â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;1

a n â&#x20AC;˘ lim 1 + = ea . n

8.7

Propriedades aritm´eticas dos limites

Sejam (an )n e (bn )n duas sucessË&#x153;oes convergentes, tais que lim an = a e lim bn = b, com a, b â&#x2C6;&#x2C6; R. EntË&#x153;ao 1. lim(an Âą bn ) = a Âą b; 2. lim(an ¡ bn ) = a ¡ b; an a 3. lim = se b 6= 0; bn b Observac¸aË&#x153; o: Se a = Âąâ&#x2C6;&#x17E; e b â&#x2C6;&#x2C6; R, entË&#x153;ao: â&#x20AC;˘ lim(an Âą bn ) = Âąâ&#x2C6;&#x17E;; â&#x20AC;˘ Se b 6= 0 entË&#x153;ao lim(an ¡ bn ) = Âąâ&#x2C6;&#x17E;, dependendo do sinal de b. an â&#x20AC;˘ Se b 6= 0 entË&#x153;ao lim = Âąâ&#x2C6;&#x17E;, dependendo do sinal de b. bn Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

56

´ alculo ´ Pre-C 2005

8.8

˜ 8 Sucessoes reais

Teoremas sobre limites

Teorema: Toda a sucess˜ao limitada e mon´otona e´ convergente.

Este resultado n˜ao nos permite determinar o limite mas garante a sua existˆencia. Frequentemente e´ usado em sucess˜oes definidas por recorrˆencia.

Teorema: Sejam (an )n e (bn )n duas sucess˜oes convergentes para a e b respectivamente. Se a partir de certa ordem, se verifica an ≤ bn , ent˜ao a ≤ b.

Teorema das sucess˜oes enquadradas Dadas trˆes sucess˜oes (an )n∈N , (bn )n∈N e (cn )n∈N tais que 1. an ≤ bn ≤ cn , a partir de certa ordem; 2. lim an = lim cn , ent˜ao existe lim bn e lim an = lim bn = lim cn .

Exerc´ıcios Resolvidos Calcule o limite das seguintes sucess˜oes: (a) an =

3n − 5 . n+1

(b) bn =

4n5 + 3n2 − n − 5 .

3n2 − 2n + 10

(c) cn = −n2 + n + 7. (d) dn =

2n − 3n+2 .

2n−1 + 3n+1

(e) en = sin(nπ). nπ (f) fn = sin .

2 (−1)n+3 n + 1 . n3 + 1 p p (h) hn = n2 + 2n + 3 − n2 + 2n. (g) gn =

(i) in =

(2n + 1)!n! .

(2n − 1)!(n + 1)!

sin n . n

n+1 n . (m) mn = n+4 (j) jn =

Resoluc¸a˜ o:

5 5 n 3− 3− 3n − 5 n n = 3 − 0 = 3. = lim (a) lim = lim 1 1 n+1 1+0 1+ n 1+ n n

1 5 1 5 2 3 n 4n + 3 − − 2 4n3 + 3 − − 2 4n5 + 3n2 − n − 5 n n n n = +∞.

(b) lim = lim = lim 2 10 2 10 3n2 − 2n + 10 3− + 2 n2 3 − + 2 n n n n Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro

57

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 8 Sucessoes reais

1 7 (c) lim (−n2 + n + 7) = lim n2 −1 + + 2 = −∞. n n | {z } ↓ −1 n n

2 2 n 2 3 −3 − 32 n n+2 2 −3 0−9 3 3 = lim n (d) lim n−1 = lim n = = −3. n+1 2 +3 0+3 2 2 n −1 −1 3 ·2 +3 ·2 +3 3 3 (e) Como sin(nπ) = 0, para todo n ∈ N, ent˜ao lim en = 0. (f) Observe-se que: π =1 2 = sin π = 0 3π = sin = −1 2 = sin 2π = 0

• Se n e´ da forma 1 + 4k, vem, f1+4k = sin • Se n e´ da forma 2 + 4k, vem, f2+4k • Se n e´ da forma 3 + 4k, vem, f3+4k • Se n e´ da forma 4 + 4k, vem, f4+4k com k = 0, 1, 2, . . ..

Ent˜ao fn toma somente os valores 1, 0, −1. Logo n˜ao existe limite da sucess˜ao dada porque podemos escolher subsucess˜oes de (fn )n com limites distintos. (g) Para n par, gn = que lim gn = 0.

−n + 1 n+1 −n + 1 n+1 e para n ´ımpar, gn = 3 . Como lim 3 = lim 3 = 0, resulta 3 n +1 n +1 n +1 n +1

√ √ √ √ p p 2 + 2n + 3 − n2 + 2n)( n2 + 2n + 3 + n2 + 2n) ( n √ √ (h) lim( n2 + 2n + 3 − n2 + 2n) = lim = n2 + 2n + 3 + n2 + 2n (n2 + 2n + 3) − (n2 + 2n) 3 √ √ = lim √ = lim √ = 0.

2 2 2 n + 2n + 3 + n + 2n n + 2n + 3 + n2 + 2n (i) lim

(2n + 1)!n!

(2n + 1)(2n)(2n − 1)!n!

(2n + 1)(2n) = lim = lim = +∞ (2n − 1)!(n + 1)!

(2n − 1)!(n + 1)n! n+1

−1 sin n 1 (j) Como −1 ≤ sin n ≤ 1, ent˜ao ≤ ≤ . Pelo teorema das sucess˜oes enquadradas, como n n n −1 1 sin n lim = lim = 0, conclu´ımos que lim = 0. n n n n+1 −3 =1+ . Logo n+4 n+4 "

# −3 n+4 −3 −4 n+1 n lim = lim 1 + · 1+ = e−3 · 1−4 = e−3 . n+4 n+4 n+4

(m) Procedendo a` divis˜ao de n + 1 por n + 4, obtemos

Exerc´ıcios Resolvidos Seja (an )n∈N a sucess˜ao definida por recorrˆencia (

a1 = 3 1 an+1 = an + 4, 2

para n ≥ 1

Sabendo que a sucess˜ao converge, determine o seu limite.

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58

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 8 Sucessoes reais

Resoluc¸a˜ o: Designemos por L o valor do limite. Como a sucess˜ao converge, lim an = lim an+1 e portanto

1 1 lim an+1 = lim an + 4 ⇔ L = L + 4 ⇔ L = 8.

2 2 Logo a sucess˜ao converge para 8.

Exerc´ıcios Resolvidos Sejam a ∈] − 1, 1[ e b ∈ R. Considere a sucess˜ao (sn )n∈N de termo geral sn = b(1 + a + a2 + . . . + an−1 ).

Mostre que lim sn =

b .

1−a

Resoluc¸a˜ o: Se a = 0, e´ o´ bvio.

Suponhamos agora que a 6= 0. Uma vez que 1 + a + a2 + . . . + an−1 e´ a soma consecutiva de termos de uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao a, ent˜ao 1 + a + a2 + . . . + an−1 = Como |a| < 1, esta sucess˜ao converge para

1 − an .

1−a

1 . Logo 1−a lim sn =

b .

1−a

Exerc´ıcios Resolvidos Calcule o limite da sucess˜ao cujos primeiros termos s˜ao r q q √ √ √ 2, 2 2, 2 2 2, . . .

Resoluc¸a˜ o: Designemos por an o termo geral desta sucess˜ao. Ent˜ao 1

a1 = 2 2

1 1 1 1 2 a2 = 2 · 2 2 = 22+4

1 1 1 1 1 1 2 a3 = 2 · 2 2 + 4 = 22+4+8 .. .

De um modo geral 1

1

1

1

an = 2 2 + 22 + 23 +...+ 2n .

Como

1 1 1 1 + + + ... + n 2 22 23 2 e´ a soma consecutivas dos termos de uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao 1/2, temos que n !

1 1 1 1 1 1 − 12 lim + + + . . . + n = lim · = 1, 2 22 23 2 2 1 − 12 lim

ent˜ao lim an = 2

1 + 12 + 13 +...+ 21n 2 2 2

= 21 = 2.

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59

´ alculo ´ Pre-C 2005

˜ 8 Sucessoes reais

Exerc´ıcios Propostos 1. Escreva os 5 primeiros termos das seguintes sucess˜oes: 3 · (−1)n ; n!

nπ ; (b) an = cos 4 (a) an =

(c) a1 = 4 e an+1 = (d) an =

n X

1 , n ∈ N; 1 + an

(−1)i ;

i=1

1 (e) an = + 2

n 2 1 1 + ... + .

2 2

2. Estude a monotonia de cada uma das seguintes sucess˜oes e verifique se s˜ao limitadas: 1 ; 5n 2n − 3 = ; 3n + 4 nπ = cos ; 2 n 3 =1− ; 2 (−1)n =3+ ; n n 3 2 = ; n! n2 + 1 . = n

(a) an = (b) an (c) an (d) an (e) an

(f) an (g) an

3. Averigu´ue se cada uma das seguintes sucess˜oes e´ convergente ou divergente, e no caso de convergˆencia, indique o respectivo limite. (a) an = n(n − 1); 3 + 5n2 ; n + n2 √ n = ; n+1 2n = n+1 ; 3 (−1)n (n + 2) = ; n3 + 4

2n+1 3 = 1+ ; n+2

(b) an = (c) an (d) an (e) an (f) an

(g) an = ln(n + 1) − ln(n); (h) an =

cos2 (n) .

2n

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60

´ alculo ´ Pre-C 2005

9

9 Limites e Continuidade

Limites e Continuidade Definic¸a˜ o de Limite

9.1

No que se segue considere-se uma func¸a˜ o f : D ⊆ R → R e a ∈ R tal que D cont´em um intervalo aberto de centro em a com poss´ıvel excepc¸a˜ o do ponto a.

Definic¸a˜ o: Diz-se que f tem limite l ∈ R quando x tende para a em D, lim f (x) = l,

x→a

se para toda a sucess˜ao (xn )n∈N , de elementos de D, distintos de a, que tende para a ( lim xn = a), a n→+∞

correspondente sucess˜ao das imagens (f (xn ))n∈N tende para l ( lim f (xn ) = l). n→+∞

Exemplo: Seja f (x) =

1 com Df = R\{−1}. Considerando a sucess˜ao x+1 xn = 1+

(−1)n →1 n

lim f (xn ) =

tem-se que

xn

n→+∞

1 .

2

f (xn )

1

0.5

n

xn

1

n

Contudo, este exemplo n˜ao demonstra que lim f (x) = 12 , porque foi considerada uma sucess˜ao particular xn = 1+ (−1) n . x→1

Para mostrarmos que lim f (x) = x→1

1 2

vamos considerar uma sucess˜ao (xn )n qualquer, que convirja para 1 e tal que

xn ∈ D \ {1}, ∀n ∈ N, assim temos lim f (xn ) = lim

n→+∞

n→+∞

1 = xn + 1

1 1 1 = = . lim xn + 1 1+1 2

n→+∞

Como lim f (xn ) e´ independente da sucess˜ao (xn )n escolhida, pode garantir-se que lim f (x) = 21 . n→+∞

x→1

Observac¸o˜ es: y

1. Pode existir lim g(x) e a ∈ / Dg . Vejamos por exemplo a func¸a˜ o g x→a

definida por g(x) =

x−1 x2 −1 ,

x−1 x−1 1 1 = lim = lim = .

2 x→1 x − 1 x→1 (x − 1)(x + 1) x→1 x + 1 2

lim g(x) = lim

x→1

g(x)= x−1 x2 −1

com dom´ınio Dg = R \ {1, −1} e

x−1 1 = ∧ x 6= 1. Como se trata do (x − 1)(x + 1) x+1 limite quando x tende para 1, x e´ efectivamente diferente de 1.

Repare-se que

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1 2

• ◦

1

x

61

´ alculo ´ Pre-C 2005

9 Limites e Continuidade

2. O limite da func¸a˜ o num ponto n˜ao e´ necessariamente a imagem da func¸a˜ o no ponto. Considere-se por exemplo a func¸a˜ o,  1    x + 1 se x 6= 1 h(x) =    2 se x = 1,

y

2

h(x)

1 2

1 1 = e h(1) = 2. x→1 x + 1 2

lim h(x) = lim

x→1

•

◦• 1

9.2

x

Continuidade

Seja I um intervalo aberto de n´umeros reais.

Definic¸a˜ o: Seja f : I → R. A func¸a˜ o f e´ cont´ınua em a ∈ I se e s´o se existe lim f (x) e x→a

lim f (x) = f (a).

x→a

f e´ cont´ınua a` direita de a quando lim+ f (x) = f (a). x→a

f e´ cont´ınua a` esquerda de a quando lim f (x) = f (a). x→a−

Se f n˜ao for cont´ınua em a, f diz-se descont´ınua em a.

Observac¸a˜ o: Uma func¸a˜ o diz-se descont´ınua no ponto a se n˜ao existe lim f (x) ou existe lim f (x) mas e´ diferente de x→a

x→a

f (a).

Continuidade num intervalo 1. f diz-se cont´ınua num intervalo I se f e´ cont´ınua em todos os pontos desse intervalo.

2. Uma func¸a˜ o e´ cont´ınua em [a, b] se for: (a) cont´ınua em ]a, b[; (b) cont´ınua a` direita do ponto a; (c) cont´ınua a` esquerda do ponto b.

Obs.: Considerando f : [a, b] → R, os pontos do dom´ınio de f , est˜ao a` direita de a e a` esquerda de b, i.e., a ≤ x ≤ b.

Da´ı que no c´alculo dos limites nos extremos do intervalo se pense apenas em lim+ f (x) e lim− f (x). x→a

x→b

• As func¸o˜ es elementares conhecidas (polinomiais, racionais, trigonom´etricas, potˆencias, exponencial e logar´ıtmica) s˜ao func¸o˜ es cont´ınuas no seu dom´ınio.

• Uma func¸a˜ o cont´ınua em I e´ cont´ınua em qualquer subintervalo de I.

9.3

Propriedades dos Limites

1. Unicidade do Limite: Se existe, em R, lim f (x) ent˜ao esse limite e´ u´ nico. x→a

2. Seja c uma constante real. Se f (x) = c, ∀x ∈ R ent˜ao lim f (x) = c, ∀a ∈ R x→a

3. Sejam lim f (x) = l e lim g(x) = m com l, m ∈ R. x→a

x→a

• Se c ∈ R, lim cf (x) = cl; x→a

• lim (f (x) ± g(x)) = l ± m; x→a

• lim (f (x) g(x)) = l m; x→a

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´ alculo ´ Pre-C 2005 • lim

x→a

9 Limites e Continuidade

f (x) l = se m 6= 0; g(x) m

Se n for um n´umero natural qualquer, tem-se: • lim [f (x)]n = ln x→a

Se P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ent˜ao lim P (x) = an ln + an−1 ln−1 + · · · + a0 x→a

• lim

p n

x→a

9.4

f (x) =

√ n

l supondo que l ≥ 0 quando n e´ par.

Propriedades das Func¸o˜ es Cont´ınuas

Propriedades Aritm´eticas: Se f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R s˜ao func¸o˜ es cont´ınuas em a ∈ Df ∩ Dg ent˜ao as seguintes func¸o˜ es tamb´em s˜ao cont´ınuas em a: (a) f ± g;

(b) f g;

(c)

f g,

se g(a) 6= 0.

Composic¸a˜ o de Func¸o˜ es: Se f : D ⊆ R → R tem limite l ∈ R quando x tende para a e g : Dg ⊆ R → R e´ cont´ınua em l(∈ Dg ) ent˜ao a func¸a˜ o composta g ◦ f tem limite g(l) quando x tende para a: lim g(f (x)) = g( lim f (x)) = g(l)

x→a

x→a

Como consequˆencia, a composic¸a˜ o de func¸o˜ es cont´ınuas e´ cont´ınua.

Exemplos: h(x) = sin(x2 ) e g(x) = ln(1 + cos2 x) s˜ao func¸o˜ es cont´ınuas em R. Como a func¸a˜ o s(x) = sin x e a func¸a˜ o p(x) = x2 s˜ao cont´ınuas em R, a func¸a˜ o h = s◦p e´ cont´ınua em R. Analogamente, como a func¸a˜ o l(x) = ln x e´ cont´ınua em R+ e a func¸a˜ o c(x) = cos x e´ cont´ınua em R, a func¸a˜ o r(x) = 1 + cos2 x e´ cont´ınua em R. Por consequˆencia, atendendo a que r(x) > 0, ∀x ∈ R, a func¸a˜ o g = l ◦ r e´ cont´ınua em R.

Exerc´ıcios Resolvidos

1. Considere a func¸a˜ o real de vari´avel real dada por f (x) =

 −x2 + 7x − 12   ,  2    2x − 5x − 3 −2,       2x − k,

x>3 x=3 x<3

(a) Determine k ∈ R por forma a que exista lim f (x). x→3

(b) Para que valores de k encontrados f e´ cont´ınua em x = 3?

Resoluc¸a˜ o: (a) Como a func¸a˜ o e´ definida por ramos, ao fazermos x tender para 3, temos que considerar o que se passa se x < 3 ( lim− f (x)) e o que se passa com x > 3 ( lim+ f (x)). x→3

x→3

−x2 + 7x − 12 .

Comecemos por calcular lim+ f (x) = lim+ 2x2 − 5x − 3 x→3 x→3 Vamos simplificar a func¸a˜ o racional: √ −7 ± 49 − 48 2 −x + 7x − 12 = 0 ⇔ x = ⇔x=3∨x=4 −2 √ 5 ± 25 + 24 1 2 2x − 5x − 3 = 0 ⇔ x = ⇔x=3∨x=− 4 2 Assim, como x 6= 3 porque se trata do limite quando x tende para 3, podemos afirmar que as seguintes express˜oes s˜ao iguais: −x2 + 7x − 12 −(x − 3)(x − 4) 4−x = 1 = 2x + 1 2x2 − 5x − 3 2(x − 3)(x + 2 )

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9 Limites e Continuidade

e portanto, lim

x→3+

−x2 + 7x − 12 1 4−x = lim = 2 + 2x − 5x − 3 7 x→3 2x − 1

Para que exista lim f (x) e´ necess´ario que os limites laterais sejam iguais, e e´ dessa igualdade que obtemos x→3

o valor de k: lim+ f (x) = lim− f (x) ⇔ lim+

x→3

x→3

x→3

1 41 −x2 + 7x − 12 = lim− (2x − k) ⇔ = 6 − k ⇔ k = 2x2 − 5x − 3 7 7 x→3

(b) Como lim f (x) 6= f (3) a func¸a˜ o n˜ao e´ cont´ınua em 3, logo, n˜ao existe um valor de k para o qual f seja x→3

cont´ınua.

No entanto, se k = 8 a func¸a˜ o e´ cont´ınua a` esquerda de 3.

2. Calcule, caso existam, os limites de cada uma das func¸o˜ es nos pontos indicados: (a) lim f (x) para a = 12 , 0 e 1, com f definida por x→a

[0, 1] → x 7−→

f:

R

x+1 x−2 ;

(b) lim f (x) para a = 0, 1 e 2, com f (x) = x→a

(c) lim

x→a

 

1 x+1 ,

x>1



2x,

x≤1

;

x−a , com a ∈ R. |x − a|

Resoluc¸a˜ o: (a) Para a =

1 2

o limite coincide com a imagem da func¸a˜ o no ponto: lim1

x→ 2

x+1 = x−2

1 2 1 2

+1 = −1; −2

Como a func¸a˜ o s´o est´a definida a` direita de 0, para a = 0 calcula-se o limite lateral a` direita: lim

x→0

x+1 x+1 1 = lim =− ; x − 2 x→0+ x − 2 2

Como a func¸a˜ o s´o est´a definida a` esquerda de 1, o limite quando x tende para a = 1 e´ igual ao limite lateral esquerdo: x+1 x+1 = lim− = −2; lim x→1 x − 2 x→1 x − 2 (b) lim f (x) = lim 2x = 0 (calcula-se no 2o ramo) x→0 x→0 1 1 lim f (x) = lim = (calcula-se no 1o ramo) x→2 x→2 x + 1 3 Para a = 1, calculam-se os limites laterais: lim− f (x) = lim− 2x = 2

x→1

x→1

lim+ f (x) = lim+

x→1

x→1

1 1 = x+1 2

Como lim f (x) 6= lim f (x), n˜ao existe lim f (x); x→1−

x→1+

x→1

(c) Como |x − a| = x − a, para valores a` direita de a, e |x − a| = −(x − a), para valores a` esquerda de a, tem-se: x−a x−a lim = lim =1 x→a x − a x→a+ |x − a| e x−a x−a lim = lim = −1 − x→a −(x − a) x→a |x − a| Como os limites laterais s˜ao diferentes, o limite n˜ao existe.

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9 Limites e Continuidade

Exerc´ıcios Propostos Estude a continuidade das seguintes func¸o˜ es, nos respectivos dom´ınios:  2  2   x , x≥0  x , x>0  |x|, x 6= 0 1. f (x) = 2. g(x) = 3. h(x) =    1, x<0 1, x<0 −1, x = 0

4. i(x) =

 3  x + x, x ≥ −1 

1 − x,

5. j(x) =

x < −1

  2x + 1, 

x>3

−x2 + 3x, x ≤ 3

 |x + 1|, x ∈ [−2, 0]      1 x ∈]0, 2[ 6. l(x) = x,      2 x − 4x, x ∈ [2, 4]

9.5

Limites Infinitos e Limites no Infinito

Definic¸a˜ o: Diz-se que f tem limite +∞ quando x tende para a em D, lim f (x) = +∞,

x→a

se para toda a sucess˜ao (xn )n∈N , de elementos de D, distintos de a, que tende para a ( lim xn = a), a correspondente n→+∞

sucess˜ao das imagens (f (xn ))n∈N tende para +∞ ( lim f (xn ) = +∞). n→+∞

Definic¸a˜ o: Diz-se que f tem limite l quando x tende para +∞ em D, lim f (x) = l,

x→+∞

se para toda a sucess˜ao (xn )n∈N , de elementos de D, que tende para +∞ ( lim xn = +∞), a correspondente sucess˜ao n→+∞

das imagens (f (xn ))n∈N tende para l ( lim f (xn ) = l). n→+∞

Definic¸a˜ o: Diz-se que f tem limite +∞ quando x tende para +∞ em D, lim f (x) = +∞,

x→+∞

se para toda a sucess˜ao (xn )n∈N , de elementos de D, que tende para +∞ ( lim xn = +∞), a correspondente sucess˜ao n→+∞

das imagens (f (xn ))n∈N tende para +∞ ( lim f (xn ) = +∞). n→+∞

Definem-se de modo an´alogo lim f (x) = −∞, lim f (x) = l, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ e lim f (x) = x→a x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→−∞ −∞.

Conv´em sublinhar que +∞ e −∞ n˜ao s˜ao n´umeros reais e quando lim f (x) = +∞ ou lim f (x) = −∞, diz-se que n˜ao x→a

x→a

existe em R o limite de f (x) quando x tende para a.

Exerc´ıcio resolvido Vejamos que n˜ao existe lim sin x. x→+∞

Se considerarmos as sucess˜oes xn = 2nπ e yn = 2nπ + π2 , ambas s˜ao infinitamente grandes, ou seja, tendem para +∞, no entanto, tem-se: sin(xn ) = sin(2nπ) = 0 → 0

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9 Limites e Continuidade

e

π sin(yn ) = sin 2nπ + = 1 → 1.

2 Se o limite existisse, seria u´ nico e portanto qualquer sucess˜ao (f (xn ))n deveria convergir para esse limite, independentemente da escolha da sucess˜ao (xn )n .

De forma an´aloga se prova que n˜ao existem os seguintes limites: lim sin x,

x→−∞

9.6

lim cos x,

x→+∞

lim cos x,

lim tan x,

x→−∞

x→+∞

lim tan x.

x→−∞

Propriedades dos Limites Infinitos

O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.

As propriedades aritm´eticas dos limites finitos poder˜ao tamb´em ser generalizadas a limites infinitos depois de estabelecida uma aritm´etica dos limites infinitos.

Aritm´etica dos Limites No caso em que a aplicac¸a˜ o das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se −(+∞) = (−∞)

(+∞) + (+∞) = (+∞)

(−∞) + (−∞) = (−∞)

(±∞) + a = (±∞)

∞·∞=∞

∞ · a = ∞, se a 6= 0

1 = +∞ 0+ 0+∞ = 0

1 = −∞ 0− 0−∞ = +∞

1 =0 ∞

No produto de limites infinitos e´ v´alida a regra de sinais usada no produto de n´umeros reais.

No caso de sermos conduzidos a um destes tipos 0 ∞ , , ∞ · 0, +∞ − ∞, +∞0 , 00 , 1∞ .

0 ∞ diz-se que temos uma indeterminac¸a˜ o.

Se no c´alculo de um limite, surgir uma indeterminac¸a˜ o, tal n˜ao significa que o limite n˜ao exista. Dever-se-´a proceder a` manipulac¸a˜ o da express˜ao anal´ıtica da func¸a˜ o em estudo por forma a averiguar a existˆencia, ou n˜ao, desse limite.

Alguns limites que conduzem a indeterminac¸o˜ es s˜ao designados limites not´aveis e s˜ao fundamentais no c´alculo de limites.

Limites Not´aveis

Indeterminac¸a˜ o 0 0

sin x =1 x→0 x lim

1∞

∞ ∞

0·∞

cos x − 1 =0 x→0 x lim

lim

x→+∞

1+

ex = +∞, p ∈ R x→+∞ xp lim

ln (x + 1) =1 x→0 x lim

ex − 1 =1 x→0 x lim

a x = ea , a ∈ R x

lim

x→+∞

ln x = 0, p ∈ R+ xp

lim xp ln x = 0, p ∈ R+

x→0+

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9 Limites e Continuidade

Exerc´ıcios Resolvidos Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: 1 1 1 1. lim 2. lim 3. lim− x→+∞ x − 3 x→3 x − 3 x→2 2 − x 4.

lim

x→−1+

1 x2 − 1

5. lim ln(x − 2) x→2

1

6. lim e x x→0

Resoluc¸a˜ o: 1 = 0 (porque lim (x − 3) = +∞ e o inverso de um infinitamente grande e´ um infinit´esimo). x→+∞ x−3 1 2. lim =? x→3 x − 3 1.

lim

x→+∞

Vamos calcular os limites laterais: 1 lim = −∞ (como x → 3− tem-se (x − 3) → 0− e “ 01− = −∞”) x→3− x − 3 1 1 lim = + = +∞ (tem-se (x − 3) → 0+ e “ 01+ = +∞”) 0 x→3+ x − 3 Como os limites laterais s˜ao diferentes, n˜ao existe lim

x→3

1 . x−3

(Para determinarmos se um limite tende para 0 por valores a` direita (0+ ) ou por valores a` esquerda (0− ), basta termos em conta o sinal da func¸a˜ o a` direita e a` esquerda de 0. Neste caso a func¸a˜ o y = x − 3 e´ positiva para valores superiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.)

1 = +∞ (´e “ 01+ ” porque a func¸a˜ o y = 2 − x e´ positiva a` esquerda de 2). x→2 2 − x 1 = −∞ (´e “ 01− ” porque a func¸a˜ o y = x2 − 1 e´ negativa para valores a` direita de −1 que est˜ao 4. lim + 2 x→−1 x − 1 pr´oximos de −1. O gr´afico da func¸a˜ o y = x2 − 1 e´ uma par´abola com a concavidade voltada para cima).

3. lim−

5. lim ln(x − 2) = lim+ ln(x − 2) = −∞ x→2

x→2

(Note-se que func¸a˜ o s´o est´a definida a` direita de 2 e “ln(0+ ) = −∞”).

1

6. lim e x =? x→0 Vamos determinar os limites laterais quando x tende para 0: 1 1 lim+ e x = +∞ ( lim+ = +∞ e “e+∞ = +∞”) x x→0 x→0 1 1 lim− e x = 0 ( lim− = −∞ e “e−∞ = 0”) x→0 x→0 x 1 Como os limites laterais s˜ao diferentes, n˜ao existe lim e x . x→0

Exerc´ıcios Resolvidos Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: 3x − 2x 3x2 − x − 10 1. lim x+1 2. lim x→+∞ 3 x→+∞ x2 − x − 2 + 2x−3 e2t−4 − 1 t→2 t−2

5. lim

9. lim

x→+∞

ln(3x2 + 2) − ln(x2 )

6. lim x2 sin t→+∞

10. lim π+ x→ 2

1 x

√ 3. lim

x→2

√ x− 2 x−2

7. lim xex x→−∞

1 − cos(t) t→0 sin(t)

4. lim

8. lim

√

x→+∞

x−

√

x+1

cos(x) 1 − sin(x)

Resoluc¸a˜ o: x

1 − 23x 3x − 2x 1 1. lim x+1 = lim . x−3 = x−3 2 x→+∞ 3 x→+∞ +2 3 3 + 3x (Dividimos o numerador e o denominador pela exponencial de maior base, neste caso 3x .)

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9 Limites e Continuidade 1 x 1 x

2

2.

10 x2 2 x2

3− − 3x − x − 10 = lim = 3.

2 x→+∞ x −x−2 1− − (Dividimos o numerador e o denominador pela maior potˆencia de x.) lim

x→+∞

3.

√ lim

x→2

√ x− 2 x−2

= = = =

4. lim

t→0

√ √ √ √ ( x − 2)( x + 2) √ lim ( multiplicando pelo conjugado) √ x→2 (x − 2)( x + 2) x−2 √ lim √ x→2 (x − 2)( x + 2) 1 √ lim √ (como x 6= 2 podemos simplificar a express˜ao) x→2 x√ + 2 2 1 √ = 4 2 2

1 − cos(t) 1 − cos(t) t = lim · = 0 · 1 = 0. t→0 sin(t) t sin(t) ey − 1 = 1 e 2t − 4 → 0 quando t → 2, y→0 y

5. Como lim

e2t−4 − 1 e2t−4 − 1 e2t−4 − 1 = lim 2 = 2 lim = 2 · 1 = 2. t→2 t→2 t→2 2t − 4 t−2 2(t − 2) lim

6. Como lim

y→0

sin (y) 1 = 1 e lim = 0, tem-se: x→+∞ y x lim x2 sin

x→+∞

7.

lim xex = lim

x

x→−∞ e−x

x→−∞

sin 1 1 = lim x 1 x = “ + ∞ · 100 = +∞. x x→+∞ x

−y =0 y→+∞ ey

= lim

(Recorremos a uma mudanc¸a de vari´avel y = −x.)

8. lim

√

x→+∞

x−

√

x+1

√ √ √ √ ( x − x + 1)( x + x + 1) √ √ x→+∞ ( x + x + 1) x − (x + 1) √ = lim √ x→+∞ ( x + x + 1) −1 √ =0 = lim √ x→+∞ ( x + x + 1) =

lim

(multiplicando pelo conjugado.)

3x2 + 2 3x2 + 2 9. lim ln(3x + 2) − ln(x ) = lim ln = ln lim = ln 3 t→+∞ t→+∞ t→+∞ x2 x2 (Usamos as propriedades aritm´eticas dos logaritmos e a continuidade da func¸a˜ o logar´ıtmica, que nos permite “trocar” o limite com o logaritmo) 2

2

10. lim π+

x→ 2

cos(x) 1 − sin(x)

cos(x)(1 + sin(x)) (repare-se que x 6= π2 e portanto sin x 6= 1) x→ 2 (1 − sin(x))(1 + sin(x)) cos(x)(1 + sin(x)) = lim π+ x→ 2 1 − sin2 (x) cos(x)(1 + sin(x)) = lim (usando a f´ormula fundamental da trigonometria) + cos2 (x) x→ π 2

1 + sin(x) π+ − = lim = −∞ quando x → , tem-se que sin x → 1 e cos x → 0 + cos(x) 2 x→ π 2

=

lim π+

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9 Limites e Continuidade

Exerc´ıcios Resolvidos (Levantamento de indeterminac¸o˜ es do tipo ∞0 , 00 , 1∞ ) Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: 1

1

1. lim+ (1 + 2x) x

3. lim+ xx

2. lim x x x→+∞

x→0

x→0

Resoluc¸a˜ o:

1 x

1. lim+ (1 + 2x) = lim+ 1 + x→0

2.

x→0

2

x1

1 x

= e2 (porque

1− −−− → x x→0+

+ ∞)

1

lim x x =?

x→+∞

Recorde-se que ab = eb ln a . Assim, 1

1

x x = e x ln x = e Como lim

x→+∞

ln x x

ln x = 0, x

resulta que, 1

lim x x = e0 = 1.

x→+∞ x

3. lim x =? x→0+

Analogamente ao exerc´ıcio anterior xx = ex ln x Como lim x ln x = 0,

x→+∞

resulta que, lim xx = e0 = 1.

x→+∞

Exerc´ıcios Propostos Calcule, caso existam, os seguintes limites:

x 2 5x2 2. lim 1+ 1. lim 2 x→+∞ x→+∞ x + 10 x

4.

ln(5 + x) x→+∞ 4+x

p 5. lim 2x − 4x2 − x

(a − h)4 − a4 h→0 h

8. lim p

lim

7. lim

1 − cos(t) t→0 t

10. lim

1

13. lim [cos(2x)] x2 x→0

x−1

1 3−x

9.

(x − 1)2

1

lim x e x − 1

x→+∞

sin x2 x→0 x

ex − 1 x→0 e2x − 1

x→0

6. lim

x→3−

11. lim

14. lim+

cos x − 1 3x2

x→0

x→2

x→1

3. lim

12. lim

x 1 x

1

15. lim+ x ln x x→0

Estude a continuidade da func¸a˜ o f (x) =

 

1 1+ln x ,

x ∈]0, 1]



0,

x=0

no seu dom´ınio.

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9.7

9 Limites e Continuidade

Ass´ımptotas

Ass´ımptotas n˜ao verticais Seja f : D ⊆ R → R uma func¸a˜ o tal que D cont´em um intervalo da forma ]a, +∞[, para algum a ∈ R. A recta de equac¸a˜ o y = mx + b e´ uma ass´ımptota ao gr´afico de f a` direita se lim [f (x) − (mx + b)] = 0,

x→+∞

Seja f : D ⊆ R → R uma func¸a˜ o tal que D cont´em um intervalo da forma ] − ∞, a[, para algum a ∈ R. A recta de equac¸a˜ o y = mx + b e´ ass´ımptota ao gr´afico de f a` esquerda se lim [f (x) − (mx + b)] = 0.

x→−∞

f (x) e b = lim [f (x) − mx] ent˜ao y = mx + b e´ a equac¸a˜ o de uma x→+∞ x x→+∞

• Se existirem, em R, os limites m = lim ass´ımptota ao gr´afico de f a` direita.

• Se existirem, em R, os limites m = lim

x→−∞

f (x) e b = lim [f (x) − mx] ent˜ao y = mx + b e´ a equac¸a˜ o de uma x→−∞ x

ass´ımptota ao gr´afico de f a` esquerda.

Exemplos: 1. A func¸a˜ o f (x) = ex n˜ao tem ass´ımptota n˜ao vertical a` direita porque ass´ımptota n˜ao vertical (horizontal) a` esquerda porque lim ex = 0 ;

ex = +∞, mas y = 0 e´ uma x→+∞ x lim

x→−∞

2. A func¸a˜ o g(x) = ln x n˜ao tem ass´ımptota n˜ao vertical a` esquerda porque o dom´ınio de g e´ R+ . Por outro lado ln x lim = 0, ou seja, g podia ter uma ass´ımptota com declive m = 0. Mas, como n˜ao existe finito o limite que x→+∞ x determina o coeficiente b, lim g(x) − mx = lim ln x = +∞, conclui-se que g nem sequer admite ass´ımptota x→+∞

x→+∞

n˜ao vertical a` direita.

Ass´ımptotas verticais Seja f : D ⊆ R → R, l ∈ R e a ∈ R tal que D cont´em um intervalo aberto de centro em a com poss´ıvel excepc¸a˜ o do ponto a. A recta de equac¸a˜ o x = a diz-se uma ass´ımptota vertical ao gr´afico de f se se verifica uma das condic¸o˜ es: lim f (x) = ±∞

x→a+

ou

lim f (x) = ±∞

x→a−

Observac¸o˜ es: • Uma func¸a˜ o cont´ınua n˜ao tem ass´ımptotas verticais nos pontos do seu dom´ınio.

• A recta de equac¸a˜ o x = a pode ser ass´ımptota e a ∈ D. Por exemplo, seja f definida por  1  x , x 6= 0 f (x) =  0 x=0 f tem dom´ınio R e x = 0 e´ ass´ımptota vertical ao gr´afico de f porque lim f (x) = +∞ e lim f (x) = −∞. x→0+

x→0−

Exemplos: 1. A func¸a˜ o f (x) = ln x tem um ass´ımptota vertical x = 0, porque lim+ ln x = −∞ (n˜ao faz sentido calcular o x→0

limite a` esquerda de 0 porque o dom´ınio da func¸a˜ o e´ R+ ); 2. A func¸a˜ o f (x) =

sin x x

n˜ao tem ass´ımptotas verticais, recorde que lim

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x→0

sin x = 1. x

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9 Limites e Continuidade

Exerc´ıcios Resolvidos Determine as equac¸o˜ es das ass´ımptotas ao gr´afico de cada uma das func¸o˜ es: 1. f (x) =

x+1 x−1 1

2. g(x) = (x + 1)e x

Resoluc¸a˜ o: 1. lim f (x) = −∞ e lim f (x) = +∞, x→1−

x→1+

logo a recta x = 1 e´ ass´ımptota vertical ao gr´afico de f . x+1 f (x) = lim = 0eb = x→±∞ x2 − x x bilateral ao gr´afico de f .

m =

lim

x→±∞

lim f (x) = 1, logo a recta y = 1 e´ ass´ımptota horizontal

x→±∞

2. lim g(x) = +∞ e lim g(x) = 0, logo x = 0 e´ ass´ımptota vertical. x→0−

x→0+

1

(x + 1)e x g(x) = lim = lim x→±∞ x→±∞ x→+∞ x x

m = lim

1 1 (x + 1)e x − x = lim (x + 1)e x − (x + 1) + 1 x→±∞ x→±∞ # " 1 h i 1 x + 1 ex − 1 +1=1·1+1=2 = lim (x + 1)(e x − 1) + 1 = lim · 1 x→±∞ x→±∞ x x

b = lim (g(x) − x) = lim x→+∞

1 1 1+ ex = 1 x

A recta y = x + 2 e´ ass´ımptota obl´ıqua bilateral ao gr´afico de g.

Exerc´ıcios Propostos Determine, caso existam, as ass´ımptotas dos gr´aficos de cada uma das seguintes func¸o˜ es: 1. f (x) =

x2 − 7x + 10 ; x−6

2. g(x) = ln(x2 − 2x + 2); √ 3. h(x) = 4x2 − 2x + 3; 1

4. i(x) = e− x ; 5. i(x) =

ln x . x

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71

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10 10.1

10 Derivadas

Derivadas Derivada de uma Func¸a˜ o num Ponto. Func¸a˜ o Derivada

Definic¸a˜ o: Seja a um ponto de um intervalo aberto I contido no dom´ınio Df da func¸a˜ o f , ou seja, a ∈ I ⊆ Df . A derivada da func¸a˜ o f no ponto a e´ definida pelo limite f 0 (a) = lim

x→a

f (x) − f (a) , x−a

ou equivalentemente, f (a + h) − f (a) , h caso o limite exista e seja finito. A func¸a˜ o f e´ deriv´avel em I ⊆ Df se admite derivada em todos os pontos de I. f 0 (a) = lim

h→0

A func¸a˜ o que a cada elemento a ∈ Df em que f admite derivada faz corresponder f 0 (a) designa-se por func¸a˜ o derivada de f . Note que Df 0 ⊆ Df mas os dois dom´ınios podem ser diferentes.

Exerc´ıcios Resolvidos Mostre que a func¸a˜ o f dada por f (x) = |x| n˜ao e´ deriv´avel em 0. Determine a func¸a˜ o derivada, f 0 , de f .

Resoluc¸a˜ o: Observe-se que

f (x) = Como os limites laterais

x se x > 0 −x se x ≤ 0

lim

f (x) − f (0) =1 x−0

lim−

f (x) − f (0) = −1 x−0

x→0+

x→0

f (x) − f (0) , ou seja, n˜ao existe a derivada de f no ponto 0. Contudo, a s˜ao diferentes concluimos que n˜ao existe lim x→0 x−0 func¸a˜ o derivada de f est´a definida em Df 0 = R \ {0} e e´ dada por:

1 se x > 0 f 0 (x) = . −1 se x < 0

10.2

Interpretac¸a˜ o Geom´etrica da Derivada

Seja f uma func¸a˜ o real de vari´avel real. Uma recta que passa por dois pontos distintos do gr´afico de f diz-se recta secante ao gr´afico de f . y

f (x) s

f (b) f (a)

•

•

a

b

x

A equac¸a˜ o da recta secante, s, ao gr´afico de f em (a, f (a)) e (b, f (b)), e´ dada por y=

f (b) − f (a) (x − a) + f (a). b−a

Ao declive da recta secante, f (b) − f (a) b−a

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´ alculo ´ Pre-C 2005

10 Derivadas

chama-se taxa de variac¸a˜ o da func¸a˜ o f no intervalo [a, b].

A recta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)) tem declive f 0 (a) e sua equac¸a˜ o e´ y = f 0 (a)(x − a) + f (a). y

f (x)

f (a)

•

a

x

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Determine a recta tangente ao gr´afico da func¸a˜ o dada por f (x) = x2 no ponto de abcissa x0 = −1.

Resoluc¸a˜ o: Por definic¸a˜ o de derivada de uma func¸a˜ o num ponto, x0 , temos, f 0 (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x2 − x20 (x − x0 )(x + x0 ) = lim = lim = lim (x + x0 ) = 2x0 ∈ R x→x0 x − x0 x→x0 x→x0 x − x0 x − x0

Como x0 e´ um n´umero real arbitr´ario, f e´ deriv´avel em R. A recta tangente ao gr´afico de f no ponto x0 = −1 tem declive f 0 (−1) (derivada de f no ponto x0 = −1) e e´ dada por: y = f 0 (−1)(x + 1) + f (−1) = −2x − 1.

2. Seja f : R −→ R cujo gr´afico e´ uma recta, r. Mostre que a tangente ao gr´afico da func¸a˜ o em qualquer ponto e´ a pr´opria recta r.

Resoluc¸a˜ o: Consideremos a func¸a˜ o f (x) = ax + b, com a, b ∈ R (cujo gr´afico e´ uma recta com declive a e ordenada na origem b), deriv´avel em R. A derivada de f e´ dada por: lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) a(x − x0 ) = lim = a, x→x x − x0 x − x0 0

i.e, f 0 (x0 ) = a para qualquer n´umero real x0 .

Se fizermos x0 = 1, a equac¸a˜ o da recta tangente ao gr´afico de f neste ponto e´ dada por y = f 0 (1)(x − 1) + f (1) = ax + b.

Efectivamente, qualquer que seja o ponto x0 ∈ R a recta tangente coincide com o gr´afico da pr´opria func¸a˜ o: y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) = a(x − x0 ) + ax0 + b = ax + b.

10.3

Regras de Derivac¸a˜ o

Sejam f e g func¸o˜ es deriv´aveis no conjunto D ⊆ R e α, β ∈ R. Ent˜ao: • αf + βg e´ deriv´avel em D e (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 (“linearidade”); • f g e´ deriv´avel em D e (f g)0 = f 0 g + f g 0 ; f f • e´ deriv´avel em D desde que esteja definida em D e g g

0 f f 0 g − f g0 = ; g g2

• (f α )0 e´ deriv´avel em D e (f α )0 = αf α−1 f 0 , desde que f α e f α−1 estejam definidas.

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´ alculo ´ Pre-C 2005

10 Derivadas

As func¸oË&#x153; es racionais, polinomiais, trigonom´etricas, exponencial e logar´Ĺtmica sË&#x153;ao func¸oË&#x153; es deriv´aveis no seu dom´Ĺnio.

Derivadas de func¸oË&#x153; es elementares: Func¸aË&#x153; o k (constante) a0 + a1 x + ... + an xn un sin u cos u tan u eu au ln u loga u

Derivada 0 a1 + ... + an xnâ&#x2C6;&#x2019;1 nunâ&#x2C6;&#x2019;1 u0 u0 cos u â&#x2C6;&#x2019;u0 sin u u0 2 0 cos2 u = (1 + tan u )u 0 u ue u0 au ln a u0 u u0 u ln a

Exerc´Ĺcios Resolvidos 1. Determine a func¸aË&#x153; o derivada de cada uma das func¸oË&#x153; es: (a) f (x) = x3 â&#x2C6;&#x2019; 5x2 + 1; x+3 (b) g(x) = ; 2x â&#x2C6;&#x2019; 1 p (c) h(x) = 3 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 .

Resoluc¸aË&#x153; o: (a) f 0 (x) = (x3 â&#x2C6;&#x2019; 5x2 + 1)0 = (x3 )0 â&#x2C6;&#x2019; (5x2 )0 + (1)0 = 3x2 â&#x2C6;&#x2019; 10x Df 0 = Df = R;

0 x+3 (x + 3)0 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; (x + 3)(2x â&#x2C6;&#x2019; 1)0 â&#x2C6;&#x2019;7 0 = (b) g (x) = = 2x â&#x2C6;&#x2019; 1 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 1 Dg0 = Dg = R \ ; 2 p 0 2 2 4 (c) h0 (x) = 3 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 = (2x â&#x2C6;&#x2019; 1) 3 â&#x2C6;&#x2019;1 (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)0 = â&#x2C6;&#x161; 3 3 3 2x â&#x2C6;&#x2019; 1

1 Dh = R e Dh0 = R \ .

2

Exerc´Ĺcios Propostos 1. Determine a func¸aË&#x153; o derivada de cada uma das func¸oË&#x153; es: (a) f (x) = (x â&#x2C6;&#x2019; 1)(x2 + 3x); x (b) g(x) = ; (x â&#x2C6;&#x2019; 4)2 (c) h(x) =

(x â&#x2C6;&#x2019; 1)3 ; (x + 1)2 2

(d) r(x) = ex ; 2

(e) q(x) = 5x

â&#x2C6;&#x2019;x

;

(f) p(x) = (1 â&#x2C6;&#x2019; x2 ) ln x; ln x (g) j(x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; . x

10.4

Derivada da Func¸aË&#x153; o Composta

Sejam f : J â&#x2020;&#x2019; R deriv´avel em J e g : I â&#x2020;&#x2019; R deriv´avel em I, com g(I) â&#x160;&#x2020; J. A func¸aË&#x153; o composta h = f â&#x2014;Ś g : I â&#x2020;&#x2019; R e´ deriv´avel em I e h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x), â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; I.

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10 Derivadas

Observac¸a˜ o: A regra de derivac¸a˜ o da func¸a˜ o composta e´ frequentemente chamada regra da cadeia.

A derivada da func¸a˜ o f ◦ g ◦ h : I → R, com f : L → R deriv´avel em L, g : J → R deriv´avel em J e h : I → R deriv´avel em I, com h(I) ⊆ J e g(h(I)) ⊆ L, e´ dada por: 0

0

[f (g(h(x)))] = f 0 ( g(h(x)) ) [g(h(x))] = f 0 (g(h(x))) g 0 (h(x)) h0 (x), ∀x ∈ I

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Determine a derivada de cada uma das func¸o˜ es: (a) h(x) = sin(3x2 + 5); (b) r(x) = ln(x2 − 5x); √ (c) s(x) = 3tan ( x) .

Resoluc¸a˜ o: (a) A func¸a˜ o h e´ a composta de f ap´os g, h = f ◦ g, com f e g dadas por f (x) = sin x e g(x) = 3x2 + 5. A derivada de f e´ f 0 (x) = cos(x) e a derivada de g e´ g 0 (x) = 6x, logo h0 (x) = (f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x) = cos(3x2 + 5) (6x) = 6x cos(3x2 + 5). (b) A func¸a˜ o r e´ a composta r = f ◦ g, em que f e g s˜ao dadas por f (x) = ln x e g(x) = x2 − 5x, com 1 derivadas, respectivamente, f 0 (x) = e g 0 (x) = 2x − 5. Ent˜ao, x r0 (x) = (f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x) = f 0 (x2 − 5x)(2x − 5) = (c) Vamos decompˆor a func¸a˜ o s. Sejam f, g e h dadas por f (x) = destas func¸o˜ es s˜ao: 1 f 0 (x) = √ , ∀x > 0; 2 x

g 0 (x) = sec2 x, ∀x 6=

√

2x − 5 . x2 − 5x

x, g(x) = tan x e h(x) = 3x . As derivadas

π + kπ, k ∈ Z; 2

h0 (x) = 3x ln 3, ∀x ∈ R.

Como s(x) = h(g(f (x))), a derivada de s e´ dada por: s0 (x) = h0 (g(f (x)))g 0 (f (x))f 0 (x) n o √ √ 1 π x √ ln 3, ∀x ∈ x ∈ R : x > 0 ∧ x 6= + kπ, k ∈ Z = 3tan ( x) sec2 2 2 x

Exerc´ıcios Propostos 1. Determine a derivada de cada uma das func¸o˜ es: x

(a) f (x) = e x−1 ; (b) g(x) = ln(2 − ex ); (c) h(x) = cos(x2 − 1).

10.5

Derivada da func¸a˜ o inversa

Seja f : Df → R uma func¸a˜ o invert´ıvel com inversa f −1 : CDf → R. Se f e´ deriv´avel em D e f 0 nunca se anula, ent˜ao f −1 e´ deriv´avel em f (D) e tem-se 1 ∀y ∈ f (D), (f −1 )0 (y) = 0 −1 . f (f (y)) Observac¸a˜ o: Note-se que se y = f (x) ent˜ao x = f −1 (y) e portanto (f −1 )0 (y) =

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1 . f 0 (x)

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10 Derivadas

Exerc´ıcios Resolvidos √ 1. Determine a derivada da inversa da func¸a˜ o definida por f (x) = x.

Resoluc¸a˜ o: √ 1 A func¸a˜ o f (x) = x e´ invert´ıvel e tem derivada f 0 (x) = 2√ n˜ao nula no intervalo I =]0, +∞[. Portanto, a sua x inversa e´ deriv´avel em f (]0, +∞[) =]0, +∞[ e ∀y ∈]0, +∞[, (f −1 )0 (y) =

1 = 2y.

1 2y

2. Considere a func¸a˜ o f : R → R, definida por f (x) = 5x7 + 6x3 + x + 9. Sabendo que f e´ invert´ıvel e f (−1) = −3, determine (f −1 )0 (−3).

Resoluc¸a˜ o: A func¸a˜ o f e´ uma func¸a˜ o invert´ıvel e tem derivada f 0 (x) = 35x6 + 18x2 + 1 n˜ao nula em R. Assim, a inversa de f e´ deriv´avel em R e 1 (f −1 )0 (−3) = 0 −1 f (f (−3)) De f (−1) = −3 resulta que f −1 (−3) = −1, logo (f −1 )0 (−3) =

1 1 = . f 0 (−1) 54

Exerc´ıcios Propostos 1. Considere a func¸a˜ o f : R → R, definida por f (x) = 4x3 +x+2. Sabendo que f e´ invert´ıvel, determine (f −1 )0 (2).

10.6

Derivadas de ordem superior a` primeira

Seja f deriv´avel em D e f 0 tamb´em deriv´avel em D. Podemos obter uma nova func¸a˜ o f 00 : D → R, tal que f 00 (x) = (f 0 )0 (x), ∀x ∈ D a que se chama func¸a˜ o derivada de segunda ordem ou segunda derivada. Este processo pode ser repetido para obter a func¸a˜ o derivada de ordem n que se denota por f (n) (desde que as sucessivas derivadas existam).

De modo an´alogo, a func¸a˜ o f 0 designa-se tamb´em por derivada de primeira ordem.

• A notac¸a˜ o de Leibniz e´ tamb´em muito usada para designar derivadas: d dn f (x) dn df (x) = f (x) e f (n) (x) = = f (x). f 0 (x) = dx dx dxn dxn

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Seja f (x) = cos x, ∀x ∈ R. Determine a derivada de ordem n da func¸a˜ o f .

Resoluc¸a˜ o: f 0 (x) = − sin x; f 00 (x) = − cos x; f 000 (x) = sin x; f (4) (x) = cos x = f (x).

Podemos, neste caso, obter uma regra para a derivada de qualquer ordem da func¸a˜ o f : f (2k) (x) = (−1)k cos x e f (2k−1) (x) = (−1)k sin x, ∀k ∈ N. Obs.: Se n par, n = 2k para algum k ∈ N, se n ´ımpar, n = 2k − 1 para algum k ∈ N.

Exerc´ıcios Propostos 1. Encontre as derivadas de 2a ordem das func¸o˜ es y(x) = sin x e y = x.

2. Encontre a derivada de 3a ordem da func¸a˜ o g(x) = ln |x|.

3. Encontre todas as derivadas at´e a` 7a ordem da func¸a˜ o f (x) = ex .

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10.7 10.7.1

10 Derivadas

Aplicac¸a˜ o das derivadas ao estudo de func¸o˜ es Monotonia

Teorema: Seja f uma func¸a˜ o deriv´avel num intervalo I ⊆ Df . Se • f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ mon´otona crescente em I; • f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ mon´otona decrescente em I; • f 0 (x) > 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ estritamente mon´otona crescente em I; • f 0 (x) < 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ estritamente mon´otona decrescente em I; • f 0 (x) = 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ constante em I. Definic¸a˜ o: Seja f : Df ⊆ R → R com contradom´ınio CDf . O ponto c ∈ Df e´ • ponto de m´aximo (resp. m´ınimo) global de f se f (c) e´ o m´aximo (resp. m´ınimo) de CDf , i.e., f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ Df

f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ Df

(m´aximo global)

(m´ınimo global)

• ponto de m´aximo (resp. m´ınimo) local se existe um intervalo aberto I que cont´em c tal que c e´ ponto de m´aximo (resp. m´ınimo) global de f no conjunto Df ∩ I, i.e., f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ Df ∩ I

f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ Df ∩ I

(m´aximo local)

(m´ınimo local)

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Dada a func¸a˜ o f (x) = (x − 1)3 (a) caracterize f 0 ; (b) estude o sinal de f 0 ; (c) estude a monotonia de f .

Resoluc¸a˜ o: (a) f 0 fica caracterizada com a determinac¸a˜ o da sua express˜ao anal´ıtica e respectivo dom´ınio. A express˜ao anal´ıtica da primeira derivada de f e´ dada por f 0 (x) = 3(x−1)2 e Df 0 = R, pois f e´ uma func¸a˜ o polinomial. (b) Se x = 1 tem-se f 0 (x) = 0 e se x 6= 1 tem-se f 0 (x) > 0. (c) Como f 0 (x) ≥ 0, f e´ mon´otona crescente em R. 2

2. Seja f definida por f (x) = e−x . Estude f quanto a` monotonia em R. 2

Resoluc¸a˜ o: Como f 0 (x) = −2xe−x temos, f 0 (x) f (x)

+ %

0 0 1

− &

A func¸a˜ o f e´ crescente em ] − ∞, 0[, decrescente em ]0, +∞[ e tem em 0 o m´aximo (absoluto) f (0) = 1.

10.7.2

Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflex˜ao

Seja f uma func¸a˜ o definida em Df ⊆ R e D ⊆ Df .

Definic¸a˜ o: Diz-se que f e´ convexa (cˆoncava) em D se para qualquer intervalo [a, b] ⊆ D, o gr´afico da func¸a˜ o n˜ao est´a acima (resp. abaixo) da recta secante nos pontos a e b.

Se f e´ convexa (cˆoncava), diz-se que tem a concavidade voltada para cima (resp. para baixo).

Definic¸a˜ o: O ponto c ∈ Df e´ ponto de inflex˜ao da func¸a˜ o f se em x = c o seu gr´afico muda o sentido da concavidade.

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10 Derivadas

y

y

y • • •

cˆoncava •

•

•

convexa •

a

c

b

x

a

c

b

x

x

c

Func¸a˜ o cˆoncava

Func¸a˜ o convexa

Ponto de inflex˜ao Se f for deriv´avel, pode estudar-se a concavidade de f a partir do sinal da segunda derivada, f .

Seja I ⊆ Df 0 um intervalo onde f 0 e´ deriv´avel. Se 0

00

• f 00 (x) > 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ convexa em I; • f 00 (x) < 0, ∀x ∈ I, ent˜ao f e´ cˆoncava em I. Observe-se que se f e´ convexa (cˆoncava) em I a recta tangente ao gr´afico de f em qualquer ponto c ∈ I fica abaixo (acima) do gr´afico de f , numa vizinhanc¸a de c.

Na figura seguinte est˜ao representados os gr´aficos de algumas func¸o˜ es e respectivas derivadas: y

y

y

f (x)

f (x) f (x)

• •

(a)

x

(b)

x y

y

(c)

x y

•

a

f 0 (x)

◦•

f 0 (x)

x

◦• b

x

◦• ◦•

f 0 (x) c

x

Em (a) o sentido da concavidade muda no ponto a, i.e, a e´ ponto de inflex˜ao de f . Repare-se que no intervalo onde f e´ convexa (resp. cˆoncava), f 0 e´ crescente (resp. decrescente) .

Em (b) a func¸a˜ o f e´ convexa (tem concavidade voltada para cima) e a func¸a˜ o f 0 e´ crescente em ] − ∞, b[ e em ]b, +∞[.

Note-se que a func¸a˜ o f n˜ao e´ deriv´avel no ponto x = b.

Em (c) a func¸a˜ o f e´ cˆoncava em ] − ∞, c[ e convexa em ]c, +∞[. Apesar de n˜ao existir derivada de f em x = c, c e´ ponto de inflex˜ao.

Exerc´ıcios Resolvidos 1. Estude os intervalos de concavidade da func¸a˜ o f (x) = x ln |x|.

Resoluc¸a˜ o: Comecemos por determinar o dom´ınio de f .

Df = {x ∈ R : |x| > 0} = R \ {0}.

Assim, podemos definir a func¸a˜ o f por ramos da seguinte forma:

x ln x se x > 0 f (x) = x ln(−x) se x < 0 A derivada da func¸a˜ o f e´ definida por 0

f (x) =

ln x + 1 se x > 0 ln (−x) − 1 se x < 0

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10 Derivadas

e a segunda derivada de f por f 00 (x) =

1 , ∀x ∈ R \ {0} x

Estudemos o sinal de f 00 f 00 (x) f (x)

− _

0 ND ND

+ ^

Podemos concluir que f e´ • convexa em R+ • cˆoncava em R− • n˜ao tem pontos de inflex˜ao porque 0 ∈ / Df .

Exerc´ıcios Propostos 1. Estude a monotonia, os extremos e o sentido das concavidades das seguintes func¸o˜ es: 3

(a) f (x) = ex

−3x

;

3

(b) g(x) = x − 6x2 ; (c) h(x) = 1 + sin(2x); √ (d) r(x) = ln( 1 + x2 ).

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´ alculo ´ Pre-C 2005

ˆ Referencias

Iaci Malta, Sin´esio Pesco e H´elio Lopes. C´alculo a Uma Vari´avel — Uma Introduc¸a˜ o Ao C´alculo, volume I. Edic¸o˜ es Loyola, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

Iaci Malta, Sin´esio Pesco e H´elio Lopes. C´alculo a Uma Vari´avel — Derivada e Integral, volume II. Edic¸o˜ es Loyola, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

Virg´ınia Santos. Apontamentos manuscritos de apoio a` disciplina de calculo. (curr´ıculo antigo).

Jaime Carvalho e Silva. Princ´ıpios de An´alise Matem´atica Aplicada. McGraw-Hill, Portugal, 1994.

Paula Rocha. C´alculo. Edic¸a˜ o da Universidade de Aveiro, Portugal, 1994.

Serge Lang. A First Course in Calculus. Springer, New York, EUA, 1993.

Elon Lages Lima. Curso de An´alise. Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brasil, 1982.

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