Resonancia by Daniel Fino

´ APLICACIONES MEDICAS DE RESONANCIA MAGNETICA NUCLEAR Daniel Fino Villamil

´ n Escuela de Medicina Nuclear; Mendoza, Fundacio Argentina

´Indice general 1. Introducci´ on

1.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1. Presente de la RM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Aspectos matem´ aticos y estad´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. Vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2. Algebra abstracta y distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3. Transformadas de Fourier y de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5. Medici´ on y tratamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Aspectos f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Estructura de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2. Propiedades de las part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Frecuencia, polarizaci´ on, energ´ıa y RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4. Comportamiento del esp´ın en un campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5. Permeabilidad, suceptibilidad magn´etica y magnetizaci´on . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6. Ley de Faraday y principio de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.7. Dispositivos magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Aspectos de adquisici´ on de im´ agenes e imagenolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1. PSF y resoluci´ on espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Muestreo de una se˜ nal an´ aloga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3. Relaci´ on se˜ nal/ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Marco Te´ orico

2.1. Cinem´ atica de la magnetizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Balance energ´etico macrosc´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2. Radiofrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3. Sistema de referencia rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.4. Desfase de intrav´ oxel y esp´ın isocrom´atico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5. Relajaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Otras inter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Corrimiento Qu´ımico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2.

T2∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Se˜ nal de RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Detecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Promediado de la se˜ nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

´INDICE GENERAL

2.3.3. Traslado al dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Im´ agenes por RMN

86 91

3.1. Excitaci´ on selectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Localizaci´ on espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Gradientes de campo magn´etico externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2. Gradiente l´ ogico de selecci´on de slice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3. Codificaci´ on por fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.2.4. Lectura o codificaci´ on por frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3. Secuencias de adquisici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3.1. Banda lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3.2. T´ecnica Spin Echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4. Artefactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4.1. Susceptibilidad magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4.2. Doblo la imagen !!!! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.3. Artefacto de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5. respiraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ´ Indice alfab´ etico

122

Abreviaciones

125

´Indice de figuras 1.1. Historia de la RMN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Tomograf´ıa en medicina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Rotaci´ on de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Polinomios en algebra abstracta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Distribuciones de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Distribuci´ on de probabilidad de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Operador de convoluci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8. Funci´ on compuesta de ondas coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9. FT de funci´ on compuesta de ondas coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10. Multiplicaci´ on de funciones compuestas de ondas coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.11. Convoluci´ on de dos FT’s con forma de delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.12. FT de la multiplicaci´ on de dos funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.13. Exactitud y precisi´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.14. Electronegatividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.15. Dipolo electrico y dipolo magn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.16. Polarizaci´ on de ondas electromagn´eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.17. Diagrama de espectro electromagn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.18. Efecto zeeman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.19. Orientaci´ on de los espines de acuerdo a la existencia de campo magn´etico. . . . . . . . . .

1.20. Precesi´ on del esp´ın nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.21. Proyecci´ on del momento angular nuclear en Z.

33 34

1.22. Ley de Faraday en una bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.23. P´ıxel y V´ oxel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.24. P SF en funci´ on del n´ umero de puntos de muestreo Nd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Precesi´ on del momento magn´etico de esp´ın. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Aspectos del experimento de Raymond Damadian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Deducci´ on de la frecuencia de Larmor a partir de las ecuaciones de Bloch. . . . . . . . . .

2.4. Evoluci´ on de la magnetizaci´ on de esp´ın nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Marco de referencia rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Desfase de la magnetizaci´ on transversal a causa de

T20 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7. Definici´ on del sistema de referencia para pulsos de RF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8. Curvas de relajaci´ on de la magnetizaci´on longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9. Curvas de relajaci´ on de la magnetizaci´on transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10. Desfase T2∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´INDICE DE FIGURAS

2.11. Detecci´ on de la magnetizaci´ on transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12. Detecci´ on en cuadratura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13. FID en los dominios temporal y frecuencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.14. Manipulaci´ on de esp´ın a trav´es de TR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Corte transversal de un resonador m´edico y ubicaci´on de bobinas de gradiente. . . . . . .

3.2. Corte transversal de un resonador m´edico y ubicaci´on de bobinas de gradiente. . . . . . .

3.4. Efecto de un GSS aplicado en el eje FH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Gradiente l´ ogico de selecci´ on de slice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Gradiente l´ ogico de codificaci´ on por fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.6. Efecto de la aplicaci´ on de un GPE aplicado en el eje RL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7. Gradiente l´ ogico de lectura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8. Efecto de la aplicaci´ on de un GRO aplicado en el eje AP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.9. algo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.10. Reorientaci´ on de los esp´ın en el sistema de coordenadas rotante. . . . . . . . . . . . . . . 107 3.11. Mapa de secuencias de pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.12. GAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.13. Diferencias entre secuencias de pulsos en una imagen de columna-lumbar. . . . . . . . . . 117 3.14. Programaci´ on secuencia axial SE de columna-lumbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.15. Configuraci´ on de 2 slabs para evitar el doblamiento de una imagen. . . . . . . . . . . . . . 118 3.16. Configuraci´ on de 2 slabs para evitar el doblamiento de una imagen. . . . . . . . . . . . . . 118

´Indice de cuadros 1.1. Fabricantes de m´ odulos para RM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Propiedades de polin´ omios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Transformadas de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Propiedades de la FT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Naturaleza del valor del esp´ın seg´ un las caracter´ısticas de los n´ ucleos.

. . . . . . . . . . .

1.6. Clasificaci´ on de materiales seg´ un sus propiedades magn´eticas. . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Tomogramas seg´ un su fen´ omeno f´ısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Constantes de RMN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Valores de variables f´ısicas utilizados en IRM y ERM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Densidad molar hidrogenoide y valores de T1 y T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Ejemplo del valor de las variables magneticas involucradas en RM. . . . . . . . . . . . . .

2.5. Heterogeneidades.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Direcci´ on de aplicaciones de los gradientes l´ogicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. tT1 y tT2 para un campo magn´etico de 1.5 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

vii

viii

´INDICE DE CUADROS

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on A nivel cl´ınico, la resonancia magnética (RM) es una técnica relativamente nuevaI utilizada en los centros médicos para generar im´ agenes de alta calidad del interior del cuerpo humano sin utilizar radiaci´ on ionizante. Esta técnica se basa en los principios de la resonancia magnética nuclear, una técnica espectrosc´ opica utilizada por los cient´ıficos para obtener información f´ısica, qu´ımica y microscópica no solo de moléculas, también de ambientes qu´ımicos asociados a tales moléculas. Las primeras aplicaciones de la RM fueron encaminadas a la obtenci´ on de imágenes tomográficas de cortes finos a través del cuerpo humano; actualmente, la RM ha avanzado no solo en tal dirección, además, se ha abierto camino a través de m´ as procedimientos cient´ıficos para lograr información detallada y eficiente de las caracter´ısticas del cuerpo humano aprovechando su gran eficiencia al distigir tejidos suaves. La técnica se denomina resonancia magnética en lugar de resonancia magnética nuclear debido a las connotaciones negativas asociadas con la palabra nuclear a finales de 1970, sin embargo, hay que manejar con cuidado la diferencia entre RM y la EPR (resonancia paramagnética electrónica) una técnica basada en la manipulación de electrones de la materia. Este informe ofrece un panorama de los principios de la RM y describe las aplicaciones que con ellos se realizan en el Servicio de Resonancia Magnética de la Fundación Escuela de Medicina Nuclear (FUESMEN)II .

1.1.

Historia

Antes de comenzar el estudio de la ciencia de la RM, es u ´til tener en cuenta los hechos históricos que han marcado la evoluci´ on de la técnica[1, 2, 3]. El concepto de la RMN tuvo su sustento con el descubrimiento de la caracter´ıstica del esp´ın del protón hecha a inicios de la década de los 20’s por Stern y Gerlach. Durante la siguiente década, el F´ısico holandés Corneliuos J. Porter fue uno de los primeros cient´ıficos en buscar un fen´ omeno de resonancia, hab´ıa intentado encontrar la resonancia del 7 Li en el fluoruro de litio y del protio (1 H), is´ otopo más abundante del átomo de hidrógeno) en al´ umina utilizando un método calorimétricoIII . Obstaculizado por inconvenientes experimentales y recursos limitados, public´ o resultados negativos pero la importancia de su estudio fue que se estableció una primera descripci´ on te´ orica de la resonancia magnética nuclear. Siguiendo los consejos de Porter y el background teórico de la época (ya se conoc´ıan conceptos como el de momento angular de esp´ın y momento magnético), en 1937 un equipo cient´ıfico de la Universidad de Columbia encabezados por el f´ısico estadounidense de origen IA

comparaci´ on de otras t´ ecnicas de adquisici´ on de im´ agenes como el ultrasonido (50’s), SPECT (60’s) y PET (1961) cl´ınico ubicado en la ciudad de Mendoza (Argentina), Garibaldi 405 III Los concepto f´ ısicos relevantes de esta rese˜ na hist´ orica ser´ an tratados en la sub-sec. 1.3.4 II Centro

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

austriaco Isidor Isaac Raby (fig. 1.1a) logran ajustar la potencia de un campo magnético externo hasta hacer que los momentos magnéticos de los n´ ucleos de una muestra se invirtieran; esto sucede cuando la frecuencia de la se˜ nal de radio coincide con la frecuencia precesional caracter´ıstica de los n´ ucleos. Cuando se produce esta coincidencia (la frecuencia de resonancia), un n´ ucleo absorbe energ´ıa de la se˜ nal de radio igual a la diferencia entre sus dos estados de energ´ıa -por tanto- salta al estado superior; as´ı mismo, también se produce una inversi´ on cuando un n´ ucleo emite dicha energ´ıa al pasar de nuevo del estado superior al inferior. Rabi y su equipo pod´ıan detectar la transición tanto si el n´ ucleo saltaba al estado de energ´ıa superior como si descend´ıa al inferior. Esta técnica precisamente es la que se denomina resonancia magnética nuclear o, de forma m´ as precisa, resonancia magnética nuclear de haces moleculares y su teor´ıa f´ısico/matem´ atica -a través de propiedades mecanico/cu´ anticas de los n´ ucleos at´ omicos- explica las frecuencias a las cuales tales n´ ucleos entran en resonancia cuando hay un campo magnético externo presente. El equipo de Rabi emple´ o esta nueva técnica para deducir detalles hasta ahora desconocidos acerca de las interacciones internas de las moléculas. Descubrieron una serie de resonancias dentro de una molécula simple que les permiti´ o “ver” c´ omo los ´ atomos individuales est´ an unidos entre

(a) Principales cient´ıficos respon- (b) Se˜ nal de RMN obtenida por el sables del desarrollo de la RMN. grupo de la U. de Stanford encabezado por el f´ısico Felix Bloch.

Figura 1.1: Historia de la RMN.

s´ı y c´ omo sus n´ ucleos se ven afectados por los ´ atomos vecinos. Estos extraordinarios experimentos y el desarrollo de la resonancia magnética nuclear de haces moleculares como técnica de estudio de las propiedades magnéticas y de la estructura interna de moléculas, ´ atomos y n´ ucleos le valieron a Rabi el premio Nobel de f´ısica en 1944. Varios meses después de realizar estos experimentos, el equipo de Rabi intentó una variación: manipular la frecuencia de radio en lugar de la potencia del campo magnético. Este método, que ampl´ıa el espectro de las se˜ nales resultantesIV , es la base de la espectroscopia de radiofrecuencias que revolucionar´ıa el análisis qu´ımico y resultar´ıa ser un componente esencial en el desarrollo de la RM. Pese a que en las décadas de los 20 y los 30 el estudio del n´ ucleo atómico hab´ıa perdido interés, el desarrollo de la Segunda Guerra Mundial y con ella la llegada de la era nuclear permitió despejar el camino y despertar el interés de las potencias mundiales para el estudio de los fenómenos nucleares. Aunque el comienzo de la Segunda Guerra Mundial interrumpió las investigaciones sobre resonancia magnética nuclear, en los a˜ nos finales y posteriores a la guerra se produjo un gran n´ umero de avances. En Estados Unidos, dos grupos de f´ısicos se propusieron -por separado- desarrollar un método más simple para observar la resonancia magnética en los n´ ucleos de moléculas de l´ıquidos y sólidos en lugar considerar moléculas aisladas como en los experimentos de Rabi. El f´ısico Edward Purcell fue el encargado de dirigir la investigaci´ on en la Universidad de Harvard junto a su equipo integrado también por Henry Torrey y Robert Pound (MIT y Cambridge); en tanto, el f´ısico Felix Bloch (cuyo equipo estaba integrado por William Hansen y Martin Packard) fue el encargado de dirigir la investigación en la Universidad de Stanford[4]. IV De

forma an´ aloga por la cual se ampl´ıa el espectro de la luz visible al pasar por un prisma

1.1. HISTORIA

Tanto Purcell como Bloch decidieron estudiar el n´ ucleo del átomo de protio; al estar compuesto por un u ńico prot´ on, el n´ ucleo de este hidr´ ogeno posee un momento magnético considerable. El hidrógeno se convertir´ıa en el elemento m´ as importante para la resonancia magnética debido a sus propiedades nucleares favorables, su presencia casi universal y su abundancia en el cuerpo humano como parte del agua. El equipo de Purcell utiliz´ o un bloque de 90 g de parafina como fuente de hidrógeno, mientras que el equipo de Bloch emple´ o unas gotas de agua contenidas en una esfera de cristal. Los dos equipos de investigaci´ on colocaron las muestras en un campo magnético y esperaron a que los n´ ucleos alcanzaran un equilibrio magnético y térmico, un estado magnetizado en el que los n´ ucleos se alinean ligeramente m´ as en paralelo al campo externo que en sentido antiparalelo. A continuación, al igual que hizo el equipo de Rabi, los equipos de investigaci´ on aplicaron ondas de radio para provocar que los momentos magnéticos de los n´ ucleos de las muestras se invirtieran. Purcell y Bloch esperaban detectar resonancia magnética al observar la energ´ıa que los n´ ucleos en precesión absorb´ıan o ced´ıan al campo de radiofrecuencia cuando se propiciaban las condiciones de resonancia. En 1945, ambos grupos lograron crear -con tres semanas de diferencia- las condiciones necesarias para observar el fen´ omeno (fig. 1.1b)[5]. Sus experimentos demostraron lo que técnicamente se conoce como resonancia magnética nuclear en materia condensada (actualmente abreviado como RMN) para distinguirlo del descubrimiento de Rabi (resonancia magnética de haces moleculares). En 1952, Bloch y Purcell compartieron el premio Nobel de f´ısica por estos experimentos pese a que el f´ısico soviético Yevgeny K. Zavoisky -también basado en los experimentos de Rabi- hab´ıa observado el fenómeno de RMN antes que ellos en 1940/41. El inconveniente de Zavoisky fue la inestabilidad y la pobre reproducibilidad de la se˜ nal obtenida lo cual lo condujo a descartar el método y ser uno de los pioneros de la Resonancia Paramagnética Electr´ onica (EPR) la cual demanda mucho menos homogeneidad de campo pero sistemas de medici´ on m´ as sensibles. Las investigaciones en resonancia magnética nuclear siguieron avanzando. Los investigadores que formaban parte de los laboratorios de Purcell y Bloch pronto comenzaron a utilizar la espectroscopia de RMN para investigar la composici´ on qu´ımica y la estructura f´ısica de la materia en n´ ucleos de átomos como el 31

P. Uno de los primeros avances en este sentido fue la medición de las cantidades denominadas tiempos de relajaci´ on, T1 y T2 . T1 es el tiempo que tardan los n´ ucleos de las muestras experimentales en volver a su alineaci´ on original; T2 es la duraci´ on de la se˜ nal magnética obtenida de la muestra. Uno de los primeros alumnos de Purcell en graduarse, Nicolaas Bloembergen, que hab´ıa llegado a Harvard desde Holanda en 1946, jug´ o un papel decisivo junto a Pound y Purcell en esta investigación. Bloembergen fue el primer investigador en medir los tiempos de relajación de forma precisa y -junto a Purcell y Poundtambién midi´ o el modo en que estos tiempos cambiaban en gran variedad de l´ıquidos y sólidos. En tanto, el equipo de Bloch que hab´ıa usado una bobina de inducción para recoger y agudizar la resonancia de la se˜ nal es reconocido por perfeccionar este y otros apartados experimentales abriendo espacio a desarrollos cient´ıficos posteriores de la técnica. Finalmente, Bloch fue elegido como el primer director general del CERN durante el periodo 1954/55 mientras que Rabi y Purcell se trasladaron al Instituto de Tecnolog´ıa de Massachussets (MIT) para aplicar sus conocimientos en el mejoramiento de radares militares. A finales de la década de 1940, Henry Torrey de la Universidad de Rutgers y -de forma independienteErwin Hahn (fig. 1.1a) de la Universidad de Illinois llevaron a cabo un nuevo avance en el campo de la RMN al aplicar a la muestra impulsos de ondas de radio potentes en lugar de una u ńica onda continua. Primero observaron se˜ nales de RMN transitorias durante la aplicación de impulsos largos, pero -gracias a las observaciones posteriores de Hahn al trabajar con pulsos cortos- se determinó que las se˜ nales de RMN transitorias pod´ıan medirse en un cosiderable intervalo de tiempo posterior a tales impulsos cortos; as´ı, la técnica de impulsos se convirti´ o en la opción ideal para f´ısicos y qu´ımicos que investigaban átomos

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

y moléculas. Tras un estudio m´ as profundo (en un principio, Hahn atribuyó estas se˜ nales aparentemente falsas a un fallo en su equipo electr´ onico) Hahn determinó que tales se˜ nales estaban causadas por la aceleraci´ on y desaceleraci´ on de los n´ ucleos giratorios debido a las variaciones en los campos magnéticos locales; as´ı, al aplicar dos o tres impulsos de radio cortos y a continuación escuchar el eco, Hahn descubri´ o que pod´ıa obtener informaci´ on a´ un más detallada sobre la relajación del esp´ın nuclear de lo que era posible con un u ńico impulso. A Hahn se le atribuye la descripción de este fenómeno conocido como “eco de esp´ın” (en inglés spin echo), que resultó ser de gran importancia para la medición de los tiempos de relajaci´ on. Durante la gran parte de las décadas de los cincuenta y sesenta, los espectros de RMN se registraron en un modo de onda continua en la que se barr´ıa la intensidad de campo magnético o se barr´ıa la radiofrecuencia a través de la zona espectral de interés, mientras se manten´ıa el otro fijo. Pese a que a finales de la década de los cincuenta, Russell VarianV propuso un nuevo método de análisis de la se˜ nal de RMN denominado Resonancia magnética nuclear con transformada de Fourier y que -prácticamente al mismo tiempo- Irving Lowe y Richard E. Norberg (Universidad de Washington) demostraron experimental y te´ oricamente c´ omo era posible obtener todos los resultados disponibles de los experimentos con onda continua mediante la manipulaci´ on matemática de las se˜ nales producidas en un experimento con impulsos, en aquel momento este proceso matemático -necesario para analizar los datos de los impulsos (una técnica matem´ atica denominada transformada de Fourier, sub-sec. 1.2.3)- no resultaba práctico debido a las limitaciones de los equipos inform´ aticos de la época. A finales de la década de los sesenta, Richard Ernst y Weston Anderson -que por entonces también trabajaban para Varian Associates- estaban estudiando el complejo espectro de RMN, de gran interés para los qu´ımicos. El hecho de buscar las frecuencias que producen la gran cantidad de l´ıneas del espectro mediante el método de aproximaciones sucesivas hac´ıa que el proceso fuera extremadamente lento. Estos investigadores se dieron cuenta de que si emit´ıan de forma simultánea un intervalo de frecuencias de radio a los ´ atomos de la muestra y a continuaci´ on realizaban el análisis de Fourier (para entonces, los avances realizados en el campo de la inform´ atica hac´ıan que la transformada de Fourier resultara práctica) a la se˜ nal de impulso resultante, pod´ıan obtener todos los resultados del método de onda continua. Esta técnica resultaba mucho m´ as r´ apida que la anterior y permit´ıa a los investigadores observar se˜ nales hasta diez veces m´ as débiles. En 1991, Ernst obtuvo el premio Nobel de qu´ımica por sus contribuciones al desarrollo de la espectroscopia de la RMN de alta resolución; en tanto, hoy es posible emplear la RMN para analizar muestras muy peque˜ nas de un material o identificar ´ atomos poco comunes en muestras más grandes. Los desarrollos de la RMN hasta la década de los cuarenta abrieron espacio para hacer estudios in vivo; en 1950, Shaw y Elsken utilizan la RMN de hidr´ ogeno para investigar el contenido de agua del material vegetal mientras que Odebald y Lindstrom (1955) la utilizan para analizar las preparaciones de mam´ıferos[4]. Los resultados de estos y otros estudios in vivo y la aparici´ on de los equipos inform´ aticos de alta velocidad fueron fundamenFigura 1.2: La Tomograf´ ıa reconstruye im´ agenes en 2D y 3D a trav´ es de varias im´ agenes tomadas por V Co-fundador de Varian Associates, compa˜ secciones. nia que posteriormente dar´ıa origen a varias empresas entre las cuales est´ a Var-

tales para el desarrollo de la t´ecnica de obtenci´on ian Medical Systems

1.1. HISTORIA

de im´ agenes por RMN ya que permit´ıan gestionar los numerosos y complejos c´ alculos que eran necesarios para obtener posibles im´ agenes de un tejido humano. Adem´ as de estos avances en el campo de la informática y la biolog´ıa, otros tres avances contribuyeron al nacimiento de la técnica de obtención de imágenes en la RM. Uno de estos avances fue el que realiz´ o el ingeniero electr´ onico brit´ anico Godfrey Hounsfield, que en 1971 fabricó un instrumento que combinaba una m´ aquina de rayos X con un ordenador y empleó algunos principios de reconstrucci´ on algebraica para explorar el organismo en distintas direcciones manipulando las imágenes para obtener una vista transversal del interior; esta técnica de adquisición de imágenes médicas dio origen a la tomograf´ıa y m´ as espec´ıficamente a la tomograf´ıa axial computarizada o TAC (fig. 1.2). Hounsfield desconoc´ıa que el f´ısico nuclear sudafricano Allan Cormack hab´ıa publicado básicamente la misma idea en 1957 utilizando una técnica de reconstrucci´ on denominada transformada de radón. Aunque el trabajo de Cormack no tuvo una gran difusi´ on, él y Hounsfield compartieron en 1979 el premio Nóbel de fisiolog´ıa (o medicina) por el desarrollo de la tomograf´ıa computarizada. Los principios fundamentales de la tomograf´ıa computarizada constituyen la base de muchos de los sofisticados métodos de obtención de imágenes que existen en la actualidad. Los otros dos avances que contribuyeron a la obtención de imágenes por resonancia magnética estaban relacionados con la RMN. Uno fue la conceptualización de la RMN como herramienta de diagnóstico cl´ınico y el otro la invenci´ on de un método práctico para producir imágenes u ´tiles a partir de los datos de la RMN. Ya en 1959, J. R. Singer, de la Universidad de California (Berkeley), propuso que la RMN nuclear pod´ıa utilizarse como herramienta de diagnóstico en medicina. Unos a˜ nos más tarde, Carlton Hazlewood (Baylor College of Medicine) publicó los resultados de una serie de trabajos en los que se utiliz´ o la RMN para diagnosticar enfermedades musculares en pacientes humanos. En 1969, el médico Raymond Damadian (Downstate Medical Center de Brooklyn, Nueva York) comenzó a idear la forma de estudiar las propiedades del agua en los tejidos biológicos a través de esta técnica con el fin de detectar los primeros signos del c´ ancer en el organismo. En un experimento realizado en 1970, Damadian extirpó una serie de tumores de r´ apido crecimiento que se hab´ıan implantado en ratas de laboratorio y comprobó que la RMN de los tumores era diferente de la de los tejidos normales. A inicios de 1971, Damadian publicó los resultados de sus experimentos en la revista Science y meses después mostró que los tiempos de relajaci´ on magnética nuclear de los tejidos y tumores difieren; estos hechos motivaron a los cient´ıficos a considerar la resonancia magnética para la detecci´ on de la enfermedades pese a que a´ un no se hab´ıa demostrado la fiabilidad cl´ınica en la detecci´ on o diagn´ ostico del cáncer. En 1970, los primeros experimentos con espectroscopia por RMN en tejido vivo fueron llevados a cabo con globulos rojos; Moor y Richards utilizaron el

P para mostrar como el pH intracelular puede deter-

minarse a través del corrimiento qu´ımico. El gran avance técnico que hizo posible producir una imagen u ´til a partir de las se˜ nales de RMN de tejidos vivos lo realizó el qu´ımico Paul Lauterbur (Universidad de Illinois), que a principios de la década de los 70’s dirig´ıa la compa˜ n´ıa NMR Specialties ubicada en Pittsburgh. En 1971, Lauterbur observ´ o al qu´ımico Leon Saryan repetir los experimentos de Damadian con tumores y tejidos sanos de ratas llegando a la conclusión de que la técnica no ofrec´ıa la informaci´ on suficiente para diagnosticar tumores y se propuso idear un método práctico para obtener imágenes a partir de la RMN. La clave estaba en ser capaz de localizar la ubicación exacta de una determinada se˜ nal de RMN en una muestra: si se determinaba la ubicación de todas las se˜ nales, ser´ıa posible elaborar un mapa de toda la muestra. La innovadora idea de Lauterbur consist´ıa en superponer al campo magnético est´ atico espacialmente uniforme un segundo campo magnético más débil que variara de posición de forma controlada, creando lo que se conoce como gradiente de campo magnético. En un extremo de la muestra,

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

la potencia del campo magnético graduado ser´ıa mayor, potencia que se ir´ıa debilitando con una calibraci´ on precisa a medida que se fuera acercando al otro extremo. Dado que la frecuencia de resonancia de los n´ ucleos en un campo magnético externo es proporcional a la fuerza del campo, las distintas partes de la muestra tendr´ıan distintas frecuencias de resonancia haciendo que una determinada frecuencia de resonancia pudiera asociarse a una posici´ on concreta. Además, la fuerza de la se˜ nal de resonancia en cada frecuencia indicar´ıa el tama˜ no relativo de los vol´ umenes que contienen los n´ ucleos en distintas frecuencias y -por tanto- en la posici´ on correspondiente. Las sutiles variaciones de las se˜ nales se podr´ıan utilizar entonces para representar las posiciones de las moléculas y crear una imagen. Al otro lado del Atl´ antico, Sir Peter Mansfield (Universidad de Nottingham, Inglaterra) tuvo una idea similar. En 1972, Mansfield utiliz´ o un esquema de gradiente de campo en sus estudios encaminados a obtener informaci´ on detallada acerca de la estructura de materiales cristalinos; su trabajo -publicado en 1973- acentu´ o el método de gradientes de campo magnético que también hab´ıa utilizado Lauterbur durante esa misma década. Bas´ andose en este hecho, se ha establecido que la técnica de imágenes por resonancia magnética nuclear (IRM) inici´ o en el a˜ no 1973 con la publicación de los estudios de Mansfield y Lauterbur; en este mismo a˜ no, Lauterbur prosiguió su investigación utilizando una técnica denominada back projection en la RM la cual es similar a la utilizada en TAC. Este a˜ no no solo fue importante por el desarrollo cient´ıfico de la técnica, también fue un a˜ no especialmente importante en el plano econ´ omico ya que la consolidación del desarrollo de la TAC por parte de Hounsfield y los avances cient´ıficos ya mencionados en RM demostraron a los hospitales la eficiencia y calidad que se podr´ıan lograr con hardwares dedicados a la adquisición de imágenes lo cual hizo que tales centros dedicaran grandes sumas de dinero a la compra y desarrollo de dichos equipos médicos. En 1975, Richard Ernst propuso generar im´ agenes con RM a través de la codificación de fase y frecuencia aplicando la transformada de Fourier; esta técnica es la base de las actuales técnicas de RM. En 1976, Mansfield desarroll´ o una técnica ultrarrápida para obtener imágenes con resonancia magnética conocida como eco-planar (EPI, echo-planar imaging), que -hoy en d´ıa- permite explorar todo el cerebro en cuesti´ on de milésimas de segundo. A˜ nos posteriores, la técnica EPI ser´ıa la clave para crear imágenes con RMN de forma r´ apida para el diagn´ ostico de infartos cerebrales e imágenes con resonancia magnética funcional en las investigaciones sobre el cerebroVI . Volviendo a la década de los setente, a los resultados de Lauterbur -publicados en 1972- se incorporaba una imagen de una muestra experimental: un par de tubos de ensayo sumergidos en un vial de agua. Mediante el peque˜ no escáner de RMN que él mismo hab´ıa creado (y una técnica denominada proyección de fondo procedente de la tomograf´ıa computarizada) continu´ o explorando peque˜ nos objetos incluido un diminuto cangrejo que su hija capturó en la playa de Long Island situada junto a su casa. En 1974, valiéndose de un mayor dispositivo de RMN, obtuvo una imagen de la caja tor´ acica de un rat´ on vivo y en 1975 Mansfield ya hab´ıa obtenido imágenes de una serie de tallos de plantas y de un muslo de un pavo muerto. Al a˜ no siguiente, obtuvo la primera imagen de un dedo humano por RMN en la que se pod´ıa diferenciar el hueso, la médula, los nervios y las arterias. Damadian, por su parte, también trabaj´ o en la obtención de imágenes de forma tal que -en 1977 y utilizando una técnica denominada campo de enfoque de RMN- obtuvo la que se considera la primera imagen médica por RMN de la historia al generar la imagen de la caja torácica de un hombre vivoVII . A principios de la década de los ochenta, la gran oleada de investigaciones relacionadas con la obtenci´ on de im´ agenes por RMN dieron lugar a un floreciente sector comercial, por tal motivo, fue en esta década cuando, a nivel cl´ınico, el término “nuclear”se fue poco a poco eliminando del nombre de la técnica debido a sus connotaciones negativas. Durante su beca de investigación post-doctoral en la Universidad VI Desarrollos VII Por

en esta t´ ecnica hicieron posible producir videos a frecuencias de im´ agenes de 30 ms/imagen la importancia de esta idea, este hecho se ir´ a complementando en secciones posteriores del documento.

1.1. HISTORIA

de Aberdee (Aberdee, Escocia), en 1980, el f´ısico americano William A. Edelstein desarrolló junto a su equipo una técnica denominada spin-wrap imaging la cual se basa en la técnica que Ernst utilizó en 1980. Con el spin-wrap imaging, una sola imagen pod´ıa ser adquirida en aproximadamente cinco minutos, m´ as r´ apido que el método de Damadian. Hacia 1986, el tiempo de generación de la imagen se hab´ıa reducido a unos cinco segundos sin sacrificar notablemente la calidad de la misma, sin embargo, este mismo a˜ no -aplicando técnicas de microscop´ıa de RMN (técnica también en desarrollo)- se logro reducir la resoluci´ on de una imagen de un centimetro a 10 µm. En 1987, la técnica EPI se utilizó para llevar a cabo -en tiempo real- una pel´ıcula de un solo ciclo cardiaco. En este mismo a˜ no, Charles Dumoulin perfeccionó la técnica de angiograf´ıa por RM y esto permiti´ o imágenes del flujo sang´ıneo sin el uso de agentes de contraste. Durante la segunda parte de esta década, los avances en el campo de la informática de alta velocidad y los imanes superconductores permitieron a los investigadores dise˜ nar máquinas de resonancia magnética de mayores dimensiones con una sensibilidad y una resolución notáblemente mejores. La RM, una nueva y extraordinaria herramienta para obtener imágenes de la anatom´ıa y la estructura del tejido vivo, se mejor´ o enormemente durante las décadas de 1980 y 1990 con el desarrollo de su capacidad para captar un organismo en acci´ on (estudiar las funciones). El gran avance que condujo a la resonancia magnética funcional se produjo a principios de la década de 1980 cuando George Radda y sus colegas de la Universidad de Oxford (Inglaterra) descubrieron que la resonancia magnética se pod´ıa utilizar para registrar los cambios en el nivel de ox´ıgeno de la sangre, lo que a su vez pod´ıa servir para realizar un seguimiento de la actividad fisiol´ ogica. El principio en el que se basa la obtención de imágenes con contraste BOLD (del inglés blood oxygen level dependent, dependiente del nivel de ox´ıgeno de la sangre) fue descrito 40 a˜ nos antes por Linus Pauling. En 1936, Pauling y Charles D. Coryell (California Institute of Technology) publicaron un estudio en el que describ´ıan el magnetismo de la hemoglobina (Hb), el pigmento que transporta el ox´ıgeno y que le da a los glóbulos rojos su color. Mucho antes, en 1845, el f´ısico y qu´ımico inglés Michael Faraday (descubridor de la inducción electromagnética) investigó las propiedades magnéticas de la sangre seca y anot´ o el siguiente comentario: “Intentarlo con sangre reciente...”, casualmente, Faraday nunca lleg´ o a hacerlo siendo Pauling y Coryell los que lo intentaron más de noventa a˜ nos después. Ambos qu´ımicos descubrieron que la susceptibilidad magnética de la sangre arterial completamente oxigenada difer´ıa hasta en un 20 % de la sangre venosa totalmente desoxigenada. En 1990, Seiji Ogawa de los laboratorios Bell de AT&T informó que, en estudios realizados con animales, la Hb desoxigenada colocada en un campo magnético aumentaba la potencia de dicho campo mientras que la Hb oxigenada no. Ogawa demostr´ o en estudios con animales que una zona que contiene gran cantidad de Hb desoxigenada deforma ligeramente el campo magnético que rodea al vaso sangu´ıneo, deformación que se ve reflejada en una imagen por RM. Pese a que Ogawa formul´ o la idea, la primera imagen por RM basada en la oxigenación de la Hb fue reportada en un estudio realizado con siete pacientes llevado a cabo por John W. Belliveau (Massachusetts General Hospital) y sus colegas quienes -en 1991 y utilizando un agente de contraste paramagnético (gadolinio) administrado v´ıa intravenosa- detectaron la corteza visual primaria del cerebro basados en el aumento localizado del volumen de sangre en tal región (32±10 %). Este mecanismo de obtención de im´ agenes funcionales de seres humanos despertaron el interés de la comunidad cient´ıfica; en 1992 -de forma independiente- Ogawa, Kenneth Kwong y Peter Bandettini (Medical College of Wisconsin) publicaron los resultados de una serie de estudiosVIII acerca de la respuesta cerebral a estimulación sensorial realizados VIII Bandettini: Art´ ıculo presentado el 5 de febrero, revisado y aceptado el 31 de marzo y publicado en junio de 1992 en la revista Resonancia Magn´ etica en Medicina. Kwong et al.: Art´ıculo presentado el 26 de marzo y publicado en la edici´ on de junio de 1992 (PNAS, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America). Ogawa: Obtenci´ on de resultados el 31 de marzo, art´ıculo publicado en la edici´ on de julio de 1992 (PNAS)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

con estas nuevas técnicas de obtenci´ on de imágenes por RM que reciben el nombre espec´ıfico de imágenes por RM funcional (IRMf). Cinco a˜ nos antes, la comunidad médica asociaba el uso de la tecnica EPI a la adquisici´ on en tiempo real de im´ agenes card´ıacas; el desarrollo de la IRMf abrió una nueva aplicaci´ on de la EPI de forma tal que se pod´ıa realizar una cartograf´ıa de las regiones del cerebro responsables del pensamiento y el control motor. En 1994, investigadores de la Universidad Estatal de Nueva York (Stony Brook) y de la Universidad de Princeton mostraron la imagen del gas 129 Xe hiperpolarizado el cual pod´ıa utilizarce en estudios que involucraban la respiración. Actualmente, las imágenes obtenidas por IRMf se utilizan, entre otras cosas, para guiar a los cirujanos de forma que no se da˜ nen zonas esenciales del cerebro, para detectar s´ıntomas de infartos cerebrales y para esclarecer el funcionamiento del cerebro.

1.1.1.

Presente de la RM

Como ya se mencion´ o, la IRMf ha sido uno de los procedimientos más modernos ya que su desarrollo requiri´ o de avances tecnol´ ogicos de u ´ltima tecnolog´ıa. Aparte de la téctica BOLD, hay otras tecnicas que se crearon con el fin de estudiar la actividad cerebral y con el tiempo también se han ido aplicando en estudios de otras partes del cuerpo. La RM de contraste radica en administrar al paciente un agente que produzca una alteraci´ on local del campo magnético y as´ı poder detectar su localización. Las se˜ nales asociadas a este tipo de “agentes de contraste” son proporcionales al volumen de sangre cerebral, as´ı, no solo se puede ubicar la sustancias sino esclarecer su intensidad la cual puede asociarse a alg´ un tipo de metabolismo. Si bien este método presenta una desventaja considerable al estudiar sujetos normales, es mucho m´ as sensible a la se˜ nal de detecci´ on que la técnica BOLD. Otra técnica modera implementada con RM (propuesta por primera vez en 1992) es el “etiquetado” del esp´ın arterial (ASL, arterial spin labeling) donde la sangre arterial est´ a etiquetada antes de entrar en el tejido de interés con el fin de ser medida y comparada con un registro de control obtenido a partir de las sangre sin etiquetear después de la interacci´ on con dicho tejido. Con el ASL se puede establecer cuantitativamente el flujo sangu´ıneo cerebral (CBF, cerebral blood flow ) in vivo as´ı como sus cambios de flujo; este hecho es una notable ventaja sobre la técnica BOLD. Por otro lado, su menor sensibilidad y su pobre resolución temporal hace que esta técnica sea menos popular que la BOLD. Tanto la RM de contraste como la ASL permiten describir el proceso de entrega de nutrientes de la sangre arterial al lecho capilar de un tejido biológico; este proceso en fisiolog´ıa se denomina perfusi´ on. La palabra se deriva del verbo francés “perfuser”que significa “derramar sobre” o “derramar a través de” y su descripción le valió al fisiologo Danés August Krogh el Premio Nobel de Fisiolog´ıa (1920) por el descubrimiento del mecanismo de regulación de los capilares en el m´ usculo esquelético. Otra técnica de RM desarrollada en las u ´ltimas décadas es la RM por Difusi´ on. Esta técnica utiliza un método para generar una imagen in vivo de los tejidos biológicos que son representados a través de sus caracter´ısticas microestructurales locales asociadas a la difusión del agua a través de ellos. Desde los inicios de la técnica se ha enfocado este estudio en el análisis del cerebro y actualmente existen dos clases de RM por difusi´ on: por difusi´ on ponderada y por tensor de difusión. Además del proceso de difusi´ on, otra herramienta -muy utilizada en f´ısica y que hemos mencionado varias veces en el documento- ha sido implementada para obtener informaci´ on del paciente o muestra de estudio; el an´ alisis espectral. El análisis espectral o espectroscop´ıa se basa en la detección de la absorción o emisión de radiación electromagnética (EMR por su acr´ onimo en inglés) de la muestra y -por ende- relacionar esta perdida o ganancia de energ´ıa con transiciones en los niveles de energ´ıa nucleares que son particulares de cada n´ ucleo. Con esta huella espec´ıfica de cada nucleo, se pueden identificar sustancias en la muestra y hacer análisis cuanti y/o cualitativos con base a caracter´ısiticas especiales de la se˜ nal recibida. A diferencia de la anteriores

1.1. HISTORIA

técnicas, esta tecnica no genera im´ agenes, en vez de ello, genera datos sobre aspectos espec´ıficos de las sustancias contenidas en la muestra y su relación con el ambiente. En el a˜ no 2003, tras un largo conflicto por patentes con el sector gubernamental, Lauterbur y Mansfield fueron galardonados con el Premio Nobel de Medicina por sus aportes a la RM durante las tres u ´ltimas décadas; Lauterbur muri´ o en el a˜ no 2007 y Mansfield se volvió un hombre adinerado tras recibir parte de las regal´ıas de las patentes hechas sobre sus desarrollos. Junto a estos hechos, la historia reciente del desarrollo de aplicaciones médicas de la RMN demuestra que la RM claramente es una técnica joven con mucho futuro; en la actualidad, la técnica que Corneliuos Porter empezó a desarrollar en la década de los 30 se ha convertido en una industria multimillonaria debido a las m´ ultiples aplicaciones en medicina y nada de esto hubiera sido posible sin las casi siete décadas de investigación básica que siguieron al descubrimiento de Rabi de la RMN. Durante estas décadas, f´ısicos, qu´ımicos y matemáticos interesados por el estudio de las propiedades magnéticas, la interacción, la estructura básica y el modelamiento matem´ atico de ´ atomos y moléculas hicieron descubrimientos cruciales que permitieron llegar a obtener la tecnolog´ıa que hoy en d´ıa se tiene. Actualmente, la mayor´ıa de centros especialistas en RM (EEUU, Canadá y Europa) cuentan con tres grupos especialistas en el manejo de la técnica de RM: el personal médico, el cient´ıfico y el técnico. Un técnico de RM es una persona que opera el escáner de resonancia magnética para obtener las imágenes que un radi´ ologo (médico especializado en el campo de la radiolog´ıa) prescribe. Con base en el n´ umero de los actuales sistemas de resonancia magnética, se estima que habrá una necesidad constante de m´ as de 1000 técnicos nuevos de RM al a˜ no. Dos puestos de especialistas en RM han surgido recientemente: el técnico post-procesamiento y el especialista en seguridad de la salud. El técnico de post-procesamiento aplica diferentes algoritmos matem´ aticos de instrumentación nuclear y procesamiento de imágenes a los registros obtenidos con RM, as´ı, se logra extraer información adicional de alg´ un aspecto del paciente y/o mejorar la visualizaci´ on de la informaci´ on. Un especialista en seguridad de la salud en RM ayuda a los hospitales y cl´ınicas a establecer y mantener la calidad y la seguridad de un sistema de RM. Los técnicos de servicio de RM por lo general deben tener una licenciatura o una tecnolog´ıa asociados en la radiolog´ıa y al campo eléctrico y un buen conocimiento de la RM. Un buen recurso para los tecnólogos de la RM es la Sociedad de Técnicos de Resonancia Magnética (SMRT[6]). Como ya se referenci´ o, debido a la juventud de la técnica, existe la necesidad de contar con cient´ıficos (f´ısicos, qu´ımicos y biologos) para llevar a cabo investigación básica y ampliar las fronteras de la ciencia. Algunas necesidades espec´ıficas que se requieren de estos cient´ıficos son: Desarrollo de agentes de contraste. Desarrollo de la imagen molecular. Desarrollo de secuencias de pulsos que generen nuevas aplicaciones o que aumente la eficiencia del sistema de RM. Desarrollo de protocolos para integrar la técncia de RM con otras técnicas de adquisición de im´ agenes y tratamientos oncol´ ogicos. Estos cient´ıficos suelen tener un grado avanzado en sus respectivos campos y han tenido una formaci´ on importante en la RM. Los ingenieros biomédicos y f´ısicos de materiales son necesarios para el desarrollo del subsistemas de RM; los subsistemas de más demanda son los concernientes al desarrollo de bobinas y al de dispositivos compatibles con la RMIX . Muchos de estos dispositivos requieren descubrimientos a IX Como

marcapasos, desfibriladores, grapas quir´ urgicas, alfileres y cat´ eteres.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Sistema

Fabricantes

Esc´ aner cl´ınico

Esaote, Fonar, GE Healthcare, Hitachi Medical Systems, Millennium Technology, Odin Medical technologies, Philips Healthcare, Siemens Healthcare, Toshiba Medical Systems

Esc´ aner experimental de alto campo

Agilent Technologies, Bruker Biospin MRI

Medios de contraste

Bracco Group, Bayer HealthCare Pharmaceuticals, GE Imaging Agents, Lantheus Medical Imaging, Sigma-Aldrich

Dispositivos compatibles

Biophan Technologies, InVivo, Magmedix, Medrad, MR Resources, Schiller, SA Instruments

Imanes

Bruker Biospin MRI, Magnex Scientific, Resonance Research / Stern Magnetics

Bobinas de RF

Advanced Imaging Research, Doty Scientific, GE Healthcare, IGC Medical Advances, InVivo, Lammers Medical Technology, Machnet B.V., MR Instruments, Nova Medical, RAPID, Biomedical, Scanmed, XL Resonance

Suministros para los gradientes

Copley Controls, Tesla Engineering

Amplificadores de RF

Communication Power Corporation, Advanced Energy, Herley Medical Products

Cuadro 1.1: Fabricantes de m´ odulos para RM.

nivel molecular tales como recubrimientos antirreflectantes biocompatibles para cables de un marcapasos. Los ingenieros de sistemas y f´ısicos computacionales son necesarios para el desarrollo de algoritmos dise˜ nados para el procesamiento posterior de imágenes por RM y de código inteligente para identificar y diagnosticar la patolog´ıa; tales profesionales también son necesarios para el dise˜ no de interfaces gráficas eficientes para el usuario (GUI, graphical user interfaces) y el desarrollo de nuevos software’s. Un buen recurso para los cient´ıficos es la Sociedad Internacional de Resonancia Magnética en Medicina (ISMRM[7]). Es la comunidad médica quien finalmente eval´ ua el exito de una técnica de diagnóstico por imágenes; por ello, es deber de tales profesionales estar actualizados con el avance de la técnica y estar estableciendo continuamente nuevos retos a la comunidad cient´ıfica para ampliar el rango de aplicaciones de la RM. Por la cantidad de bibliograf´ıa especializada en temas cl´ınicos de RM no se hará hincapié en tales ámbitos en el presente documento, sin embargo, el conocimiento de muchos de estos temas por parte de personal médico calificado y de temas cl´ınicos por parte del grupo de técnicos y cient´ıficos mejora la comunicaci´ on entre los profesionales involucrados aumentando el nivel en un servicio de RM. Para finalizar esta secci´ on, en la tabla 1.1 se exponen los principales fabricantes de dispositivos originales que actualmente existen para los diferentes aspectos mecánicos que involucra la técnica de RM. Anteponiendonos a los pr´ oximos cap´ıtulos, hemos visto a lo largo de este cap´ıtulo como esta técnica involucra conocimientos profundos en matemáticas, ciencias naturales y ciencias médicas; por tal motivo daremos una introducci´ on a los aspectos de estas áreas necesarios para entender el desarrollo de los temas en RM de interés en el documento.

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

1.2.

Aspectos matem´ aticos y estad´ısticos

En esta secci´ on tocaremos los aspectos matemáticos más relevantes utilizados en los temas de RM de nuestro interés. Profundizaremos cada tema lo suficiente para que el lector pueda entender el desarrollo matem´ atico empleado en secciones posteriores; en caso de no comprender cualquier aspecto aqu´ı referenciado, esta secci´ on le servir´ a de guia para que le sea posible nivelarse fácilmente con bibliograf´ıa adicional. Se asumir´ a que el lector tiene un background matemático que incluye algebra lineal, cálculo diferencial e integral; sin embargo, aunque muchos de los desarrollos matemáticos del documento están enfocados a un entendimiento cuantitativo de t´ opicos espec´ıficos, este tratamiento podrá pasarse por alto si su interés es un entendimiento cualitativo, aspecto que no requiere una base matemática bien desarrollada.

1.2.1.

Vectores y matrices

Empezaremos con el concepto de vector en algebra lineal; nos interesa entender tal ente como una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud f´ısica vectorial, es decir, una magnitud con valor y direcci´ on. En un espacio tridimensional (3D) un vector puede expresarse en coordenadas cartesianas (x, y, z) o en forma matricial. A continuación la notación respectiva de un vector ~a:

Cartesiana: ~a = axˆı + ay ˆ + az kˆ

  ax    Matricial: ~a = ay  ,   az

~a = [ax

az ]

donde (ax , ay , az ) son las componentes en cada dimensión e ˆı, ˆ y kˆ son vectores unitarios cartesianos. Cada notaci´ on trae ventajas y desventajas que no son de interés en este documento, solo haremos menci´ on de una ventaja que tienen la notaci´ on matricial ya que su estructura y sus operaciones asociadas permiten -en ciertas situaciones- un mejor entendimiento y solución de problemas matemáticos asociados a vectores. Una de las operaciones vectoriales m´ as utilizada e implementada por la f´ısica es el producto vectorial o producto cruz , ella es una operaci´ on que tiene en cuenta no solo la magnitud, también la dirección de un vector al aplicarlo sobre otro vector con una magnitud y dirección definido. Consideremos dos vectores ~a y ~b, el producto vectorial ~a × ~b viene definido por:   ax    ~a = ay  ,   az

  bx   ~b =  by    bz



 a b − a b z y   y z   ~a × ~b = − (ax bz − az bx ) = |~a||~b| sin(θ)ˆ n  

(1.1)

ax by − ay bx

donde θ es el ´ angulo entre los vectores y n ˆ es un vector unitario perpendicular a los dos vectores que componen la operaci´ on. No es complejo demostrar estas definiciones una a partir de la otra ni que esta operaci´ on no es conmutativa, de hecho, existen otras propiedades asociadas al producto cruz pero no son de interés en este documento; por ejemplo, dejamos al lector analizar el porque esta operación es nula para vectores paralelos.X Otra ventaja de manejar esta notaci´ on consite en aprovechar el producto de matrices, esta operación nos permite calcular r´ apidamente rotaciones de vectores en el espacio. Sin entrar en detalles, una matriz es una tabla bidimensional (filas y columnas) de n´ umeros la cual puede operarse matemáticamente siguiendo unas reglas determinadas. Como se mencionó, una de las operaciones de interés es la multiplicacion que X En

caso de no comprender este apartado, recomendamos al lector consultar un libro de matem´ atica universitaria.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

viene definida como se muestra a continuaci´on:      b11 b12  a11 b11 +a12 b21 +a13 b31 a a12 a13    A =  11 , B = b21 b22  , AB =    a21 b11 +a22 b21 +a23 b31 a21 a22 a23 b31 b32

 a11 b12 +a12 b22 +a13 b32

,

a21 b12 +a22 b22 +a23 b32

donde A es una matriz de 2x3 (2 filas y 3 columnas), B una de 3x2 y el resultado es una matriz de 2x2.

Rotación en X Rotación en Y Rotación en Z

Figura 1.3: Rotaci´ on de vectores producto de la multiplicaci´ on por matrices rotacionales.

En general, para multiplicar dos matrices es necesario que el n´ umero de columnas de la primera sea igual al n´ umero de filas de la segunda, as´ı, la multiplicación de una matriz de mxn y una de nxp dará una de mxp. Particularmente, un vector es una matriz de 1x3 o de 3x1 y también es susceptible de ser multiplicado, en efecto, se multiplica por una matriz de rotaci´ on para rotarlo en el espacio euclidiano.

Matrices de rotaci´ on Una matriz de rotaci´ on (Ri ) es una matriz que al aplicarla sobre un vector hace que él rote un ángulo determinado. Existen matrices que generan una rotación en los ejes coordenados cartesianos, as´ı, hacen que la “sombra” de un vector rote un ´ angulo θ sobre el plano perpendicular al eje de rotación asociado manteniendo constante la magnitud del vector. En la gráfica 1.3 se muestra el concepto de rotación, aqu´ı, se muestran tres vectores (en azul oscuro, violeta y rojo) y en sus mismos colores se muestra el recorrido ~ Y ~ circular que har´ıa el extremo del vector al realizar una rotación desde 0 hasta 360 grados en el eje X, ~ respectivamente; n´ yZ otese como la coordenada sobre el eje de rotación no cambia, es decir, e.g. que en ~ la primera componente del vector se mantiene constante. Matemáticamente, una rotaci´ on sobre el eje X

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

las matrices de rotaci´ on se definen de la siguiente forma:  1  Rx (θ) = 0  0



 0

 cos θ    , Ry (θ) =  0 − sin θ   − sin θ cos θ 0

cos θ sin θ

 0 sin θ  cos θ   , Rz (θ) =  sin θ 1 0    0 0 cos θ 

− sin θ cos θ 0

 0  ; 0  1

(1.2)

~ (Rx (90o )) de un vector A viene dada por: (haciendo as´ı, por ejemplo, una rotaci´ on de 90o en el eje X θ = 90o en la primera matriz de la relaci´ on (1.2))    0 ax  1  0  ay  = 0    0 a0z

0 0 1

  0  ax      −1  ay  az 0

    0 a a  x  x    0  ay  = −az  ,     ay a0z

por consiguiente lo que ocurre es un intercambio de componentes ˆ y kˆ invirtiendo aditivamente la primera de ellas. Otra rotaci´ on muy utilizada en RM es la Ry (180o ), matem´aticamente viene definida por:    0 ax  −1  0  ay  =  0    a0z 0

  0 0  ax      1 0  ay  1 −1 az

    0 ax  −ax   0   ay  =  ay  ,     a0z −az

ˆ En la gráfica 1.3 se muestra la “estela” ac´ a se invierten aditivamente los valores de las componentes ˆı y k. que dejar´ıan estas dos rotaciones descritas y una tercer rotación correspondiente a Rz (360o ) en celeste, verde y amarillo respectivamente; no confundir los trazos oscuros que indican el cero de cada coordenada con los ejes coordenados. Se forma una matriz de rotación inversa al sustitu´ır el ángulo de rotación θ por −θ, as´ı, los valores de estos ´ angulos de rotación generan rotaciones en una dirección contraria el sentido “del reloj”; las matrices de rotaci´ on inversas son:  1  R−1 (θ) = 0 x  0

 0  cos θ   −1 R (θ) =  0 sin θ    y sin θ cos θ



0 cos θ − sin θ

0 1 0





− sin θ  cos θ   −1 R (θ) = − sin θ 0   z  cos θ 0

sin θ cos θ 0

0  0  1

(1.3)

de modo que se produce la matriz identidad cuando se multiplica cualquier matriz de rotaci´on por su inversoXI . Dejamos al lector la demostraci´on de este hecho, tenga en cuenta la paridad de las funciones seno y coseno. Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´ on en la que intervienen derivadas de una o m´ as funciones desconocidas. Dependiendo

Grado

del n´ umero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en ordinarias (contienen derivadas respecto a una sola variable independiente) o parciales (contienen derivadas respecto a dos o m´as variables). XI En

´ algebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Si una matriz tiene una matriz inversa, la multiplicaci´ on de tales matrices da como resultado la matriz identidad.

Cuadro 1.2: Propiedades gr´ aficas de

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

14 El orden de la derivada m´ as alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuaci´ on; de igual forma, una ecuación es lineal cuando la ni funci´ on ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero, en cada coeficiente que aparece multiplic´ andolas s´ olo interviene la variable independiente y una combinaci´ on lineal de sus soluciones es también soluci´ on de la ecuaci´ on. A continuaci´ on una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden dos: −3

d2 y dy + + 4y = 0, dx2 dx

−3¨ y + y˙ + 4y = 0,

(1.4)

siendo y una funci´ on f (x) que depende de la variable independiente x y aclarando que cuando la variable independiente es el tiempo, se acostumbra a utilizar la nomenclaci´on con puntos como se indica en la ecuaci´ on de la derecha de la expresi´ on anterior. En f´ısica es com´ un encontrar sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como el que se muestra a continuaci´on:   x˙ = 3x + 2y − 4z   Sistema de ecuaciones diferenciales y˙ = −x + 3y − 4z    z˙ = 5x + y

(1.5)

donde x(t), y(t) y z(t) dependen del tiempo (variable independiente). Estos sistemas de ecuaciones con estos requerimientos espec´ıficos (ordinarias, lineales y de primer orden) generalmente tienen solución general y anal´ıtica a través de procedimientos aplicados sobre representaciones matriciales de tales sistemas. No es objetivo de este documento tratar estos procedimientos, sin embargo, recomendamos la referencia bibliogr´ afica [8] para aprender y comprender estos procedimientos y la referencia [9] para ver ejemplos de soluciones de este tipo de sistemas. Un libro de matemática universitaria para carreras de ciencias exactas (o ingenier´ıas) también abarca este tema con mayor profundidad y probablemente de una forma menos compleja.

1.2.2. Algebra abstracta y distribuciones de probabilidad Otro campo matem´ atico de interés es el algebra abstracta el cual estudia las estructuras algebraicas. Una estructura de interés es el monomio el cual compone o son denominados términos de otra estructura m´ as compleja llamada polinomio; as´ı y sin entrar en detalles técnicos, ejemplos de monomios y polinomio son: Monomios: 3x4 , −3x2 , 4, 8x

Polinomio: 5x4 − 8x3 + 4x + 3,

donde -en el segundo monomio- su signo es negativo, su coeficiente es 3 y su grado es 2, en particular, los n´ umeros constantes (como el tercer monomio) son monomios de grado cero. En cuanto al polinomio expuesto, es de grado 4 (el m´aximo grado entre todos sus monomios) pese a que no tenga un t´ermi-

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

no de grado 2. Una caracter´ıstica de la representación gráfica de los polinomios es la cantidad de curvas que pueden llegar a tener, as´ı, el n´ umero de curvas máximo que pueden tener en tal representaci´ on es igual al grado del polinomio menos uno. En la gráfica 1.4 se muestran polinomios de grado 0, 1, 2, 3 y 4 y en la tabla 1.2 la cantidad de curvas e in~ XII ; nótese como -a mayor grado- las curvas tienden a tersecciones con el eje de las abscisas (eje X) marcar cambios y gradientes m´ as bruscos en la representaci´ on gr´ afica del polinomio. Siguiendo con la descripci´ on de algunas herramientas del algebra abstracta aparecen las denominadas series de Taylor . Esta sumaci´ on polin´ omica como la suma infini-

toria es la representaci´ on de una fun0

ta de monomios calculados a partir de los valores de sus derivadas en un

Polinomio Polinomio Polinomio Polinomio Polinomio

punto determinado. La serie de Taylor de una funci´ on real o compleja

grado grado grado grado grado

0 1 2 3 4

f (x) debe ser infinitamente diferen-3

ciable en un rango o en un punto de-

-2

-1

terminado a, as´ı, la representaci´ on en serie de potencias toma la forma:

f (x) =

∞ X f (n) (a) n (x − a) n! n=0

Figura 1.4: Representaci´ on gr´ afica de polinomios de diferentes grados. N´ otese como un polinomio de grado cero es una funci´ on constante.

(1.6)

D. d δ(x − a) D. de Poisson D. de Gauss

0.3

Particularmente, si a = 0, la sumaProbabilidad

toria resultante se denomina serie de Maclaurin; de igual forma, no es muy complejo -a partir de la anterior expresi´ on- demostrar la siguiente relaci´ on: f (x + δ) =

yσ2

yσ1 yσ0

∞ X f (n) (x) n δ . n! n=0

µ0 a0 µ1

0 λ0 λ1 a1 λ2

donde δ es un valor δ x. Herramientas m´ as elaboradas que las se-

λ4

µ2

λ5

Figura 1.5: Distribuciones de probabilidad de Dir´ ac, Poisson y

ries mencionadas exigen relaciones Gauss. m´ as complejas; es aqu´ı donde aparecen relaciones como la f´ ormula de Euler y la distribuci´ on delta de Dirac. La primer relaci´ on es una f´ ormula matemática utilizada en variable compleja y análisis funcional que establece la relaci´ on entre funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. Esta fórmula establece que para cualquier n´ umero real x se cumple que: eix = cos x + i sin x XII C

∧

e−ix = cos x − i sin x

~ M´ aximo n´ umero de curvas, In : M´ aximo n´ umero de intersecciones con el eje X.

(1.7)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

donde i es la unidad complejaXIII , e es el n´ umero de Euler o constante de Napierl (tabla ??). Por la facilidad de los c´ alculos, dejamos al lector mostrar la validez de la segunda expresión (derecha) a partir de la primera y demostrar que cualquiera de estas dos relaciones se pueden obtener a través de series de Taylor (ecu. (1.6)) y/o utilizando c´ alculo diferencial. Cuando utilizamos la unidad compleja automáticamente estamos utilizando un espacio de dos dimensiones para definir la funci´ on (un eje denominado real o < y el otro complejo o =), as´ı, las ecuaciones (1.7) definen una rotaci´ on en el plano determinado por estos dos ejes ya que en una rotación mientras un eje var´ıa -e.g. con el coseno- el otro eje variar´ a con un desfase de ±90o respecto al primero; en nuestro ejemplo con una funci´ on seno. Resta anotar que el sentido de rotación lo dan los signos que acompa˜ nan las funciones trigonométricas, de esta forma, la primera expresión de (1.7) es una rotación en sentido anti-horario y la sengunda en sentido horario. Recomendamos el link correspondiente a la referencia [10] para visualizar y comprender mejor estos fen´ omenos. La distribuci´ on delta de Dirac d δ(x − a) es una distribución donde toda la información está concentrada en un punto a, as´ı, puede ser utilizada como distribución de probabilidadXIV junto a las distribuciones de Poisson y Gauss. A continuaci´ on exponemos la forma matemática de cada una de ellas: dis. de Poisson d

δ(x) =

 ∞,

x=a

0,

x 6= a }

delta de Dirac

}| { e−λ λx f (x) = x!

1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ ) σ 2π | {z }

(1.8)

dis. de Gauss

En la gr´ afica 1.5 se muestran varios ejemplos de estas tres distribuciones; tanto a, como λ, como µ dan idea de la localizaci´ on del centro o del eje de simetr´ıa de la distribuci´ on respectiva, pero σ -en la gaussiana- indica el valor de la mitad de la apertura de la distribuci´on a una altura correspondiente al 60.7 % de la altura m´axima de la distribuci´ on. En la misma gr´ afica, los sub´ındices de los par´ ametros indican una funci´ on, as´ı -por ejemplo- el µ2 y el yσ2 indican el centroide y la altura donde se mide el σ de una misma distribuci´ on de Gauss (la n´ umero dos). La distribuci´ on de gauss (gaussiana, campana de Gauss o dis- Figura tribuci´ on normal) es una de las distribuciones de probabili-

1.6: Distribuci´ on de probabilidad alrededor de la media en una distribuci´ on gaussiana.

dad de variable continua que con m´ as frecuencia aparece en fen´ omenos reales (naturales, sociales y psicológicos). Una de sus caracter´ısticas más u ´tiles es la superficie cubierta en funci´ on del desplazamiento a partir de su centroide o media (fig. 1.6); al movernos un σ hacia la derecha o a la izquierda barreremos un porcentaje aproximado al 34.13 % de su superficie total, as´ı, considerando un desplazamiento de un σ en ambas direcciones habremos barrido un porcentaje cercano al 68.26 %. Al considerar ya no un rango de un σ en ambas direcciones sino de dos σ (es decir un rango total de 4σ) tendremos un 95.44 % lo cual hace que se pueda afirmar que la mayor´ıa de la informaci´ on de la distribuci´ on esté alrededor de 2σ de la media de la distribución. Otra herramienta que ha sido desarrollada a partir del cálculo integral y utilizada -en particular- en XIII Tambi´ en llamada unidad imaginaria siendo poco apropiado este nombre ya que genera confusiones al tratar problemas f´ısicos donde valores complejos no dejan de representar hechos reales. XIV Funci´ on que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribuci´ on de probabilidad est´ a definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

an´ alisis funcional es la convoluci´ on, su expresi´on algebraica es: Z

∞

f (η)g(x − η)dη ,

f (x) ∗ g(x) =

(1.9)

∞

donde x es la variable independiente y η se denomina corrimiento. Esta herramienta es un operador matem´ atico que transforma dos funciones f (x) y g(x) en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f (x) y una versión trasladada e invertida de g(x); as´ı, la convoluci´ on es un tipo muy general de “promedio móvil”, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la funci´ on caracter´ıstica de un intervalo. Matemáticamente, este operador no solo depende de las funciones y de su variable independiente; su valor también depende fuertemente del corrimiento entre las funciones. En la gr´ afica 1.7 se muestra una animación de un caso simple donde se convoluciona una se˜ nal cuadrada con diferentes corrimientos (denominada se˜ nal cuadrada 2) sobre una se˜ nal estacionaria (se˜ nal cuadrada 1), el valor de la convolución se muestra en negro. A medida que la se˜ nal 2 va coincidiendo con la 1, el valor de la convolución aumenta hasta llegar a valor uno correspondiente al instante donde ambas se˜ nales coinciden; posteriormente, el valor desciende a cero lo cual indica que ning´ un punto se superponen los pulsos. La u ´ltima herramienta matem´ atica de interés tiene una gran relevancia ya que interviene directamente en el proceso de postprocesamiento de la se˜ nal de RM, por este motivo, dedicaremos una sub-secci´ on especial para mencionar sus caracter´ısticas y sus aplicaciones de nuestro interés.

1.2.3.

Transformadas de Fourier y de Hilbert

Como se mencion´ o en la rese˜ na hist´ orica del inicio de este cap´ıtulo, uno de los grandes aportes

S. cuadrada 1 S. cuadrada 2 Convolucion

matem´ aticos que permiti´ o el desarrollo de la RM fue realizado por Jean-

creador de la transformada que lleva su nombre. La Transformada de

Baptiste Joseph Fourier (fig. 1.1a)

0.5

Fourier (FT por su acr´ onimo en ingl´es) es una operaci´ on matem´ atica que descompone una funci´ on en sus frecuencias constituyentes. En f´ısica, com´ unmente la funci´ on original es

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0 X

0.5

1.5

una se˜ nal f (x) que depende de la posici´ on o del tiempo, as´ı, el entorno o espacio en el que se describe tal fun-

Figura 1.7: Convoluci´ on entre un pulso cuadrado variable espacialmente y un pulso cuadrado estacionario.

ci´ on es denominado dominio espacial o dominio temporal . En tanto, la FT de f (x) depende de la frecuencia y esta es la razón por la que se afirma que tal transformada es la representación en el dominio frecuencial de f (x). Pese a que el tratamiento matem´ atico de la FT es algo complejo, su concepto no lo es; es más, en muchas situaciones comunes, el cerebro humano es capaz de realizar FT sin nisiquiera proponernolo. Ejemplo de ello es el sonido; sin entrar en detalles, consideremos una nota musical la cual es un sonido a una frecuencia determinada (e.g. do central, 261.63 Hz), un m´ usico con o´ıdo entrenado nos dirá que un sonido

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

espec´ıfico corresponde a una escala occidental de m´ usica, as´ı, la FT es como escuchar a un m´ usico (se˜ nal en el dominio temporal) y determinar que nota (dominio frecuencial) est´a tocando. Matem´aticamente, una formulaci´ on de la transformada para tener en cuenta unidades f´ısicas que involucra el manejo de se˜ nales es: r F[f (x)](ω) =

β 2π

∞

f (x)e

−iβωx

∞

−∞

∞

f (x) cos(βωx)dx − i

dx =

f (x) sin(βωx)dx

(1.10)

−∞

donde la constante beta cancela las dimensiones asociadas a las variables de forma tal que el exponente es adimensional y se han aplicado las propiedades expuestas en las expresiones (1.7). Analizando en detalle esta expresi´ on matem´ atica, vemos que la FT radica en multiplicar la función f (x) por una expresi´ on compuesta por dos funciones periodicas desfasadas ±90o que -como ya vimos- representan una rotaci´ on a una frecuencia βω (pag. 16). Como la integral de ambas funciones trigonométricas durante muchos ciclos (es decir entre −∞ e ∞) es cero, la multiplicaci´ on de una funci´ on f (x) con estas funciones segirá el mismo destino siempre y cuando no coincidan en su comportamiento periodico (es decir que tenga una estructura c´ıclica de frecuencia βω) ya que esta situaci´ on equivaldr´ıa a multiplicar dos funciones con la misma frecuencia que generar´ıa una funci´ on semejante a cos2 (βωx) o i sin2 (βωx). ; as´ı, la integral de la anterior funci´ on será mucho mayor al resultado de tener un función f (x) con una periodicidad diferente de βω. lo cual ser´ıa semejante a tener equivalente a tener trigonométrica Una vez hemos explicado la FT con una analog´ıa musical, ahora supongamos que a través de nuestros o´ıdos intentamos escuchar infrasonidos. El infrasonido es una onda ac´ ustica cuya frecuencia

Funci´ on

est´ a por debajo del espectro audible del o´ıdo humano (aproximadamente 20 Hz) haciendose imposible de escuchar directamente a trav´es de tal organo; sin embargo, utilizando mi´ cr´ ofonos de infrasonido, se puede determinar la frecuencia de estas ondas y as´ı se han logrado establecer y describir numerosos fen´ omenos biol´ ogicos como la comunicaci´ on en varias especies de animales (elefantes, tigres y ballenas) o la vibraci´ on generada por el coraz´ on y la de los m´ usculos al resbalar unos sobre otros (para permitir movimientos) e incluso el estudio del infrasonido generado por las orejas (emisi´ on otoac´ ustica).

1 d

δ(x)

sin(ω0 x) cos(ω0 x) e−ax h u(x)e−cx  1 , si |x| < c f (x) = 0 , si |x| > c

4T (x)XV x tri 2c

δ(ω) 1

πi δ(ω + ω0 ) − d δ(ω − ω0 ) π d δ(ω + ω0 ) + d δ(ω − ω0 ) 2a a2 +ω 2 1 c+iω

sinc

cω π

Dirac-comb[ T1 ](ω) sinc2 cω π

Cuadro 1.3: FT de funciones b´ asicas en el manejo de se~ nales, aclaramos que c es una constante. Dejamos al lector la comprensi´ on del comportamiento de las funciones h u(x) (funci´ on unitaria de Heaviside ), sinc y tri (triangular ).

Como estas ondas sonoras no son dir´ectamente detectables por nuestros o´ıdos y por ende sus frecuencias no nos son “familiares” y ser´ıa complejo reproducirlas a partir de o en un acorde musical, podemos decir que estas frecuencias son “complejas” ya que -aunque no las percibimos- sabemos que son reales y existen, tienen una frecuencia asociada y est´ an en la naturaleza. As´ı mismo ocurre con la FT, hay se˜ nales que

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

Propiedad

Ecuaci´ on

Aplicaci´ on lineal

F[c1 f (x) + c2 g(x)](ω) = c1 F[f (x)](ω) + c2 F[f (x)](ω)

Corrimiento en el dominio temporal

F[f (x − a)](ω) = e−2πaω F[f (x)](ω)

Corrimiento en el dominio frecuencial

F[e2πiat f (x)](ω) = F[f (x − a))](ω)

Producto

F[f (x)g(x)](ω) = F[f (x)](ω) ∗ F[g(x)](ω) Cuadro 1.4: Algunas propiedades de la FT.

no tienen una representaci´ on frecuencial en la recta real (en nuestra analog´ıa ser´ıan las frecuencias que escuchamos) pero si la tienen en la recta compleja (en nuestro caso ser´ıa el infrasonido) la cual contiene a todos los numeros cuya potencia cuadrada es negativa. En la tabla 1.3 se muestran numerosas FT para varias funciones empleadas en el manejo de se˜ nales. N´ otese como la mayor´ıa de las funciones tienen componentes frecuenciales en el eje real pero algunas de ellas tienen representaci´ on en el eje complejo (sin(ω0 x), h u(x)e−cx ) lo cual no significa que no sean u ´tiles en las principales aplicaciones de esta herramienta matemática. Una de las principales ventajas que tiene esta transformada son sus propiedades; ellas nos permiten determinar la FT de una función con base a su estructura algebraica de forma tal que dicha transformada depende de la transformada de cada componente que defina tal estructura. Algunas propiedades de interés se exponen en la tabla 1.4 y son detalladas a continuaci´ on: Aplicaci´ on lineal: Tiene que ver con la linealidad de la estructura, fácilmente se puede entender a través de la expresi´ on en la tabla mencionada donde c1 y c2 son constantes. Esto indica no solo que la FT de la suma de dos funciones es igual a la suma de las FT’s de cada función, también resalta la capacidad de esta herramienta de determinar la amplitud de las funciones que componen la se˜ nal, as´ı, es an´ alogo a la capacidad que el o´ıdo tiene de distinguir que sonido en espec´ıfico resalta en una se˜ nal compuesta de muchos tonos. Corrimiento en el dominio temporal: Tiene que ver con un corrimiento constante a en el dominio de la funci´ on; as´ı, al tener en cuenta la relación (1.7), vemos que entre mayor sea a (el corrimiento) la FT se ver´ a afectada por un comportamiento ondulatorio de mayor frecuencia (menor periodo). Corrimiento en el dominio frecuencial: Tiene que ver con un corrimiento constante a en el dominio frecuencial inducido desde el dominio temporal; as´ı, a través de la función e2πiat en el espacio temporal, inducimos el corrimiento ya mencionado. Producto: Tiene que ver con la FT de la multiplicación de dos funciones siendo la notación implementada la convoluci´ on entre F[f (x)](ω) y F[g(x)](ω) que se define siguiendo las reglas expuestas por la ecuaci´ on (1.9). Ya sea por fen´ omenos f´ısicos o electr´ onicos, es muy dificil tener una se˜ nal pura en el dominio temporal, generalmente -al igual que ocurre en la naturaleza donde continuamente tenemos ondas sonoras audible y no audibles- la forma matem´ atica de las se˜ nal que se percibe viene descrita por la suma de varias funciones y es muy com´ un que tal suma involucre funciones con FT’s tanto en el eje real como en el complejo. No solo la representaci´ on en el dominio frecuencial de estas se˜ nales, la identificación de las amplitudes de cada una de sus componentes son fen´ omenos de vital importancia y han sido muy estudiados en la f´ısica y electr´ onica detr´ as de la RM.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

La FT se puede expander a funciones f (x, y) de dos dimensiones; la forma de determinarla es: r F[f (x, y)](ωx , ωy ) =

β 2π

∞

f (x, y)e−iβ(ωx x+ωy y) dxdy .

−∞

Organizando un poco la doble integral tendremos: r F[f (x, y)](ωx , ωy ) =

β 2π

∞

f (x, y)e −∞

−iβωx x

dx e−iβωy y dy,

−∞

por consiguiente, si la funci´ on es linealmente independiente en y y x, esta operación radica en evaluar la FT en una dimensi´ on y posteriormente realizarla en la otra. Cuando la se˜ nal de entrada es una se˜ nal temporal, se est´ a subdividiendo el dominio de tal se˜ nal en dos “dimensiones” temporales ((t0 , t00 ) → (x, y)); por tanto, la FT es inicialmente realizada en una de ellas (t0 ) con el fin de generar una función con dominio de dimensi´ on (ωx , t00 ) y posteriormente se hace la operación sobre t00 para finalmente obtener la FT en el dominio (ωx , omegay ). Siguiendo con nuestra analog´ıa; también existe la anti-transformada o transformada inversa de Fourier (IFT). La IFT es como ver las notas musicales en una partitura (dominio frecuencial) y convertir esta informaci´ on en tonos musicales (dominio temporal). Cuando la función que se conoce es la representaci´ on en el dominio frecuencial, f (x) puede obtenerse aplicando la IFT, esta es: r f (x) =

β 2π

∞

S(ω)eiβωx dω,

donde S(ω) = F[f (x)](ω).

(1.12)

−∞

Con esta relaci´ on y con la expresi´ on (1.10) nos es posible movernos entre el dominio temporal y el dominio frecuencial seg´ un sea los requerimientos del problema en tratamiento.

Transformada de Hilbert En procesamiento de se˜ nales, la transformada de Hilbert ha tomado mucha relevancia en procesos modernos por su complemento con muchos procesos que involucran la FT. Esta transformada involucra la convoluci´ on de uns se˜ nal en el tiempo s(t) con una funci´on h(t) = 1/(πt). As´ı, su definici´on es: Z

∞

H[s](t) = h(t) ∗ s(t) = −∞

s(τ ) dτ. t−τ

La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la FT, de esta forma tenemos:

H(ω) = F[h](ω) =

 i

, si −i , si

ω<0

=⇒

F [H[s](t)] (ω) = H(ω)F[s](ω),

(1.13)

ω>0

as´ı, la transformada de Hilbert produce el efecto de desplazar la componente de frecuencias negativas de s(t) en 90o y la parte de frecuencias positivas en -90o .

1.2.4.

Casos especiales

´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTAD´ISTICOS

Caso 1 Retomando las propiedades de la FT (tabla 1.4), queremos analizar cual ser´ıa la FT de la funci´ on f (x) = cos(2x) + cos(5x) + cos(7x) (fig. 1.8). Basados en la propiedad de la aplicaci´on lineal y en la tabla 1.3, tendremos que la F[f (x)](ω) ser´ a: (fig. 1.9) F[f (x)](ω) = π

δ(ω + 2) + d δ(ω − 2) + d δ(ω + 5) + d δ(ω − 5) + d δ(ω + 7) + d δ(ω − 7)

(1.14)

f (x)

cos(2x) cos(5x) cos(6x) f (x)

F[f (x)](ω)

Figura 1.8: Funciones coseno que componen la funci´ on f (x), n´ otese como -pese a que las componentes tienen la misma amplitud- f (x) no conserva la misma amplitud que sus constituyentes.

0 -8

-6

-4

-2

Figura 1.9: FT de f (x), n´ otese como est´ an distribuidas las delta’s de dirac a lo largo del dominio frecuencial.

Ahora supongamos que multiplicamos f (x) por una funci´on g(x) = cos(ax) donde a es una constante que

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

f (x) cos(1x) cos(5x) f (x) cos(1x) f (x) cos(5x)

Figura 1.10: Multiplicaci´ on de la se~ nal f (x) con cos(ax) para a = 1 y a = 5.

F[g(x)](ω), a = 1 F[g(x)](ω), a = 5 F[f (x)](ω)

0 -8

-6

-4

-2

Figura 1.11: Convoluci´ on en x = 0 de las FT’s de f (x) y cos(ax) para a = 1 y a = 5.

iremos variando. Veamos que pasa con la FT de la multiplicación de las funciones (fig. 1.10); cuando a = 1, F[g(x)](ω) = π d δ(ω + 1) + d δ(ω − 1) y -siguiendo la propiedad del producto de la FT- la convolución de esta funci´ on (ecu. (1.9)) con la expresi´ on (1.14) en x = 0 tendrá un valor cero ya que ning´ un punto de los codominios de las funciones (diferente de cero) coincide (fig. 1.11). Un análisis semejante podemos hacer para todos los valores de a 6= 2,5 y 7 ya que para estos tres valores cambiará notáblemente la situaci´ on. Analicemos la FT para a = 5 que también se muestra en la figura 1.11, vemos como la convolución en x = 0 con la funci´ on (1.14) toma un valor diferente de cero, esto se debe a que la función g(x) tiene una de las componentes frecuenciales de la función f (x). Hecho este an´ alisis podemos concluir que si tenemos una se~ nal desconocida f (t) compuesta por muchas se~ nales con frecuencias propias, sobre ella podemos aplicar una serie de se~ nales g(t, a) con frecuencias propias conocidas de forma tal que -cuando determinemos la FT de la

Â´ 1.2. ASPECTOS MATEMATICOS Y ESTADÂ´ISTICOS

F(Ď&#x2030;)

F[cos(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;)eâ&#x2C6;&#x2019;ax )](Ď&#x2030;) F[cos(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) F[eâ&#x2C6;&#x2019;ax )](Ď&#x2030;) 2/a

0 F[â&#x2C6;&#x2019; sin(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;)eâ&#x2C6;&#x2019;ax )](Ď&#x2030;) F[â&#x2C6;&#x2019; sin(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) F[eâ&#x2C6;&#x2019;ax )](Ď&#x2030;)

F(Ď&#x2030;)

2/a

â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;x 0

Ď&#x2030;x Ď&#x2030;

Figura 1.12: FT de la parte real (arriba) y la parte compleja (abajo) de f (t). DescripciÂ´ on de f (t) en el texto.

onda resultante- podremos determinar las frecuencias propias de f (t) viendo para que se~ nal particular g(t) obtenemos una FT mÂ´ axima. Caso 2 Como hemos visto a lo largo de esta sub-secciÂ´on, algunas funciones tienen un FT real, otras compleja e incluso puede tener una transformada con componente real y otra compleja. Consideremos la siguiente funciÂ´ on: f (x) = eâ&#x2C6;&#x2019;ax eâ&#x2C6;&#x2019;iĎ&#x2030;x x = eâ&#x2C6;&#x2019;ax cos(Ď&#x2030;x x) â&#x2C6;&#x2019; i eâ&#x2C6;&#x2019;ax sin(Ď&#x2030;x x) ,

(1.15)

donde hemos aplicado la relaciÂ´ on (1.7). Nuevamente utilizando las propiedades de linealidad y producto de la FT, podemos establecer que: F[f (x)](Ď&#x2030;) = F[eâ&#x2C6;&#x2019;ax cos(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) â&#x2C6;&#x2019; iF[eâ&#x2C6;&#x2019;ax sin(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) = F[eâ&#x2C6;&#x2019;ax ](Ď&#x2030;) â&#x2C6;&#x2014; F[cos(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) + i F[eâ&#x2C6;&#x2019;ax ](Ď&#x2030;) â&#x2C6;&#x2014; F[â&#x2C6;&#x2019; sin(Ď&#x2030;x x)](Ď&#x2030;) 2aĎ&#x20AC; d 2aĎ&#x20AC; d d d Î´(Ď&#x2030; + Ď&#x2030;0 ) + Î´(Ď&#x2030; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030;0 ) + i Î´(Ď&#x2030; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030;0 ) â&#x2C6;&#x2019; Î´(Ď&#x2030; + Ď&#x2030;0 ) = 2 a + Ď&#x2030;2 a2 + Ď&#x2030; 2 Al representar independientemente la parte real y la parte compleja de la anterior funciÂón (fig. 1.12), vemos la diferencia en el comportamiento de la FT resultante sobre todo al analizar el nÂ´ umero de cortes que tiene con el eje de las abscisas. Ahora, si por algÂ´ un motivo la exponencial compleja de la ecuaciÂ´ on (1.15) tiene un corrimiento angular Ď&#x2020;, el efecto causado en su FT es la multiplicaciÂón por un tÂérmino exponencial (tabla 1.4, corrimiento en el dominio temporal) lo cual hace engorroso cualquier anÂálisis que

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

se desee hacer en tal funci´ on. Para evitar este problema y volver a tener las FT’s mostradas en la gr´afica 1.12, se puede corregir este corrimiento multiplicando la funci´on por una matriz de la forma:   0 <[f (x) ]



cos(φ) = =[f (x) ] − sin(φ) 0

  sin(φ)  <[f (x)]

cos(φ)

(1.16)

=[f (x)]

la cual representa una transformaci´ on de coordenadas semejante a las realizadas con las matrices de la expresi´ on (1.2). Con los conceptos de FT e IFT cerramos esta sección de conceptos matemáticos y damos lugar a los aspectos f´ısicos. De igual forma, profundizaremos cada tema lo suficiente para que el lector pueda entender los conceptos f´ısicos empleados en secciones posteriores y volvemos a aclarar que, en caso de no comprender cualquier aspecto aqu´ı tratado, la próxima sección le servirá de guia para que le sea posible nivelarse f´ acilmente con bibliograf´ıa adicional.

1.2.5.

Medici´ on y tratamiento de datos

En los campos como la ciencia, la ingenier´ıa, la industria y las estad´ısticas Clasificaci´ on binaria Verdaderos positivos: (τ + ) Es cuando una condici´ on ha sido definida como verdadera o aceptada y cient´ıficamente no se prueba lo contrario. Verdaderos negativos: (τ − ) Es cuando una condici´ on ha sido definida como no acepta-

Figura 1.13: Descripci´ on gr´ afica de las variables

da o falsa y cient´ıficamente se corrobora tal de exactitud y precisi´on. A la derecha, figura relativa a una alta exactitud y baja precisi´ on calificaci´ on. Falso positivo: (ς + )Comunmente denomina-

(arriba) y figura relativa a una alta precisi´ on y baja exactitud (abajo).

da “falsa alarma”; es cuando una condición ha sido definida como verdadera o aceptada a través de un procedimiento pero cient´ıficamente se puede demostrar que no puede ser aceptada o es falsa. Falso negativo: (ς − ) Es cuando una condici´ on no ha sido aceptada o es declarada falsa pero cient´ıficamente se puede demostrar que es aceptada o verdadera. Una analog´ıa puede establecerse cuando un preso es condenado a una sentencia teniendo en cuenta que los hechos han indicado que es inocente. Exactitud: Es el grado de cercan´ıa de las mediciones de una cantidad al valor efectivo o verdadero. Su definici´ on algebraica a partir de la clasificación binaria viene dada por: ΥA =

τ+

τ+ + τ− + τ − + ς+ + ς−

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

Precisi´ on: Es el grado en que las mediciones repetidas -en condiciones iguales- muestran los mismos resultados. Teniendo en cuenta la clasificaci´on binaria, esta variable se define por: ΥP =

τ+

τ+ + ς+

Dos variables son determinantes para definir la precisi´on: la reproducibilidad y la repetibilidad. La primera de ellas es el grado coincidencia entre varias mediciones y/u observaciones realizadas en muestras repetidas en diferentes lugares por diferentes personas. Por otro lado, la reproducibilidad (o fiabilidad) es la variaci´ on en las mediciones realizadas por una sola persona o instrumento en el mismo experimento y en las mismas condiciones. Sensibilidad: Es el grado de habilidad de una prueba para identificar resultados positivos. La sensibilidad viene definida por: ΥS =

τ+ τ + + ς−

Especificidad: Esta relacionada con la habilidad de una prueba para identificar resultados negativos; as´ı, algebraicamente est´ a definida por: ΥF =

τ− τ − + ς+

NPV: Es un coeficiente utilizado en pruebas diagnósticas el cual pretende describir la proporción de sujetos con resultados negativos que se diagnostican correctamente, as´ı, un alto NPV significa que -en las pruebas que haya resultado negativo- existe una alta probabilidad que la evaluaci´ on esté correcta. Basado en esto, su definición matemática es: ΥN =

1.3.

τ− τ − + ς−

Aspectos f´ısicos

La f´ısica es una ciencia que -aparte de estudiar el espacio, el tiempo, la materia y la energ´ıa- estudia sus interacciones y la relaci´ on que hay entre ellos. La materia es uno de los conceptos más complejos y relevantes que tiene esta ciencia natural porque no solo es una entidad que debe ser parte del universo observable, también debe tener una energ´ıa asociada y ser capaz de interactuar lo cual involucra que tanto la energ´ıa como sus interacciones deben ser “medibles” con aparatos de medida; as´ı mismo, debe tener una localizaci´ on espacio-temporal y su propagación en estas dimensiones debe ser a una velocidad igual o inferior a la de la luz. Aunque todas las formas de materia tienen asociadas una cierta energ´ıa, s´ olo algunas formas de materia tienen masa; esta materia con masa (o másica) está jerárquicamente organizada en varios niveles y subniveles que están asociados a diferentes escalas de longitud. El concepto de part´ıcula se asigna a los constituyentes de la materia y -aunque el término se tiende a asociar a un ente que ocupa un lugar en el espacio y tiene masa- existen part´ıculas asociadas a la materia m´ asica y a la no m´ asica; as´ı, no solo existen part´ıculas sin masa, se considera un hecho la dualidad onda-part´ıcula el cual es un concepto de la mec´ anica cu´ antica seg´ un el cual no hay diferencias fundamentales entre part´ıculas y ondas: las part´ıculas pueden comportarse como ondas y viceversa.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Con base a lo ya mencionado, la materia másica puede ser estudiada desde dos puntos de vista ambiguamente denominados “macrosc´ opico” y “microscópico”. Seg´ un el nivel de descripción y la escala de longitud adoptada, debemos recurrir a descripciones clásicas (macroscópicas) o descripciones modernas y cu´ anticas (microsc´ opicas). A nivel microscópico, la materia másica puede entenderse como un agregado de moléculas que a su vez son agrupaciones de átomos que estan compuestos por part´ıculas subatómicas; a nivel macrosc´ opico, la materia m´ asica se describe basados en los estados imperantes que ella puede tomar en el universo. La materia no-m´ asica está conformada por entes como la EMR y se postula la existencia de otras part´ıculas como el gravitón, el fotino y el gravitino, que ser´ıan -todas ellas- part´ıculas sin masa que contribuyen a la energ´ıa total del universo.

1.3.1.

Estructura de la materia

Bajo cualquier paradigma cient´ıfico, macroscópicamente la materia másica que conforma el universo puede estar presente en cuatro estados o “fases” denominados estados de agregaci´ on de la materia m´ asica. Tres de estos cuatro estados de agregaci´ on son los más presentes en la tierra siendo fácilmente perseptibles por nuestros sentidos, estos estados corresponden a la fase sólida, la l´ıquida y la gaseosa; el cuarto estado recibe el nombre de plasma y est´ a presente en el medio enrarecido interestelar y las estrellas densas. Hist´ oricamente, la distinci´ on entre cada estado se hace con base a las diferencias cualitativas en las propiedades del material; s´ olido es el estado en el que la materia másica mantiene un volumen y una forma fija, en fase l´ıquida la materia m´ asica mantiene un volumen fijo pero se adapta a la forma de su envase y en estado gaseoso la materia m´ asica se expande para ocupar el volumen que está disponible pero a diferencia del plasma se considera una materia m´ asica no cargada y con poca interacción electromagnética entre ella. El estado de un conjunto dado de materia másica puede cambiar dependiendo de factores como la presi´ on y la temperatura siendo tal cambio reconocible a través de fuertes alteraciones en las propiedades f´ısicas y qu´ımicas de dicho conjunto, e.g. la transición de sólido a l´ıquido con un aumento de la temperatura trae un cambio notable en la densidad de la materia másica. Estas transiciones son denominadas transiciones de fase y se definen con base al cambio de la estructura interna que haya en el conjunto de materia m´ asica; por ello, m´ as recientemente, las distinciones entre los estados se han basado en las diferencias en las interrelaciones moleculares. En fase s´ olida, las interacciones intermoleculares mantienen las moléculas a relaciones espaciales fijasXVI ; en el estado l´ıquido las interacciones intermoleculares mantienen las moléculas en las proximidades pero no mantienen las moléculas en relaciones espaciales fijas y en las fase gaseosa las moléculas est´ an tan separadas que sus interacciones tienen relativamente poco efecto en sus movimientos respectivos. En el plasma -un gas altamente ionizado que se produce a altas temperaturaslas fuerzas intermoleculares creadas por atracciones y repulsiones iónicos dan a estas composiciones propiedades muy distintas a las de la materia másica en estado gaseoso por lo que el plasma se describe como un cuarto estado. Aunque existen formas de materia m´ asica que no están compuestos de moléculas (e.g superfluidos, plasma de quarks y gluones) la gran mayor´ıa de materia másica orgánica está compuesta por moléculas. Una molécula es un grupo eléctricamente neutro de al menos dos átomos unidos por enlaces qu´ımicos covalentes. Un enlace covalente es una forma de unión qu´ımica que se caracteriza por el intercambio de electrones entre ´ atomos con el fin de lograr mayor estabilidad electrónica. A diferencia de lo que pasa en un enlace i´ onico (en donde se produce la transferencia de electrones de un átomo a otro) en el enlace XVI Aunque incrementen su vibraci´ on con el aumento de temperatura, el valor medio de la distancia entre las mol´ eculas y su localizaci´ on relativa se mantiene constante.

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

covalente uno, dos o hasta tres electrones son compartidos por ambos átomos dando lugar a la formaci´ on de un enlace simple, doble o triple. Consideremos dos ´ atomos de hidrogeno formando una molecula de H2 a través de un enlace covalente simple; lo que ha sucedido es que los orbitales de ambos electrones se han translapado de modo que ahora es imposible distinguir a qué ´ atomo pertenece cada uno de los electrones y ambos ´ atomos electrónicamente son m´ as estables ya que tienen su u ´ltima capa (o capa de valencia) llena[11]. Sin embargo -cuando los ´ atomos son distintos- los electrones compartidos no ser´ an atra´ıdos por igual de modo que estos tender´ an a aproximarse hacia el atomo que tenga una mayor “apetencia” de elec´ trones. Esta “necesidad” de electrones viene determinada por la configuraci´ on electr´ onica de la capa de valencia at´ omica, as´ı, algunos ´ atomos como el fluor o el ox´ıgeno tienen alta “necesidad” de electrones ya que solo necesitan uno y dos electrones respectivamente para llenar la capa de valencia mientras que átomos como el potasio y el sodio solo tienen un electr´ on en tal capa por lo que f´ acilmente lo ceden para quedar en una configuración más estable (fig. 1.14). Esta tendencia de un ´ atomo (o un grupo funcional) para atraer a los electrones (o densidad de electrones) hacia s´ı mismo y por lo tanto la tendencia a formar iones negativos es una propiedad qu´ımica conocida como electronegatividad (e χ) y -sin entrar en detalles- se ve afectada tanto por el n´ umero at´ omico como por la distancia que los electrones de valencia tienen respecto al n´ ucleo cargado. Es la diferencia de electronegatividades entre dos átomos la que definen que tipo de enlace tienen; en enlaces i´ onicos (como sucede entre el ox´ıgeno y el fluor) tal diferencia es mayor a 3 KJ/mol mientras que en enlaces covalentes (e.g carb´ on e hidr´ ogeno) dicha diferencia es menor a 3 KJ/mol. Como ya se mencion´ o, las moléculas se distinguen de los iones por su carga eléctrica y pueden ser constituidas por ´ atomos de un elemento qu´ımico simple -como la molécula de ox´ıgeno (O2 )- o de diferentes elementos como ocurre con el agua (H2 O); los átomos y los complejos unidos por enlaces no covalentes como enlaces de hidr´ ogeno o enlaces i´ onicos no se consideran moléculas individuales. Al igual que las moléculas, el ´ atomo es electricamente neutro -ya que tienen el mismo n´ umero de protones que electronesy es la unidad m´ as peque˜ na de un elemento qu´ımico, as´ı, el átomo es el ente más peque˜ no que mantiene la identidad y las propiedades de un elemento. El átomo está compuesto de un n´ ucleo denso de carga positiva rodeado por una nube de electrones cargados negativamente; el n´ ucleo atómico contiene una mezcla de neutrones (eléctricamente neutros) y protonesXVII , por lo cual estas part´ıculas reciben el nombre de nucleones. Los electrones de un ´ atomo están ligados al n´ ucleo por la fuerza electromagnética mientras que los nucleones est´ an juntos en el n´ ucleo producto de la interacción nuclear fuerte la cual supera a la fuerza de repulsi´ on electromagnética entre los protones. Cuando un ´ atomo no contiene el mismo n´ umero de protones y electrones no es eléctricamente neutro; tiene una carga positiva (deficiencia de electrones) o carga negativa (exceso de electrones) y es denominado ion XVIII , en tanto, los ´ atomos con el mismo n´ umero de protones y diferente n´ umero de neutrones XVII Excepto

el caso del protio que es el u ´nico n´ ucleo estable sin neutrones denotar un ion, se coloca en forma de sub´ındice el exceso o deficiencia de carga electrica, e.g. el Ca2+ es un ´ atomo de calcio que ha perdido dos electrones mietras que el S2- (anion sulfuro) es un azufre con 2 electrones extra.

XVIII Para

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

(24 Mg, 25 Mg, 26 Mg) son denominados is´ otopos. Se denomina abundancia natural de un is´otopo a la cantidad presente (expresada en %) en la naturaleza de cada uno de los is´otopo de un elemento qu´ımico, as´ı, por ejemplo, existen tres is´ otopos de hidr´ ogeno (1 H, 2 H y el 3 H) de forma tal que la la abundancia natural de 1

H es 99.985 %.

Como ya se mencion´ o, el ´ atomo esta formado por part´ıculas subatómicas que -precisamente- se definen como una part´ıcula m´ as peque˜ na que el ´ atomo. Estas part´ıculas subatómicas puede ser elementales XIX o compuestas que a su vez est´ an formadas por otras part´ıculas subatómicas (como son los quark’s que componen los protones y neutrones). Sus dimensiones son del orden de décimas de femtómetros y decenas o unidades de attometros (sec. ??) y -junto a la materia no másica- son los principales focos de estudio de la f´ısica moderna y la f´ısica cu´ antica. En cuanto a la materia no m´ asica -para la f´ısica moderna- el fotón es la part´ıcula elemental responsable de las manifestaciones del fen´ omeno electromagnético que gobierna la interacción entre part´ıculas cargadas a través de las ondas electromagnéticas (dualidad onda-part´ıcula). Tales ondas son producidas precisamente por part´ıculas con carga y es la forma de propagación de la EMR a través del espacio. Las ondas electromagnéticas pueden verse como la combinación de un campo eléctrico y uno magnético; sus aspectos te´ oricos est´ an relacionados con la soluciones que admiten las ecuaciones de Maxwell que involucran -a diferencia de las ondas mec´ anicas- que las ondas electromagnéticas pueden propagarse por el vac´ıo.

1.3.2.

Propiedades de las part´ıculas

Pese a las m´ ultiples propiedades que tiene la materia ordinariaXX , son solo cuatro las propiedades que caracterizan a las part´ıculas; estas son: la masa invariante, carga eléctrica, esp´ın y carga de color. Las part´ıculas elementales tienen valores definidos e invariantes de estas propiedades mientras que -para las part´ıculas compuestas- tales valores se obtienen sumando los valores individuales de cada part´ıcula constituyente. No es de interés para este documento dar una definici´ on exhaustiva de la masa invariante (concepto de la f´ısica moderna) y de la carga, el concepto que ordinariamente se adopta para estas propiedades es suficiente; de igual forma, tampoco es de interés tratar la carga de color ya que solo importa este concepto en f´ısica moderna y cu´ antica de alta complejidad. Es sabido que la masa invariante (o -para fines de este documento- simplemente masa) es la causante ~ del campo gravitatorio responsable de la atracción gravitacional; de forma análoga, el campo electrico E es un campo f´ısico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica que involucran valores de carga diferentes a cero. Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en part´ıculas con cargas diferente de cero (no importa su din´ amica) como en campos magnéticos variables (Ley de Faraday, sub-sec. 1.3.6), en otras palabras, la XIX Son los constituyentes elementales de la materia, m´ as precisamente son part´ıculas que no est´ an constituidas por part´ıculas m´ as peque˜ nas ni se conoce que tengan estructura interna. XX De ahora en adelante, se denominara materia a la materia m´ asica y la materia no m´ asica ser´ a tomada como radiaci´ on.

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

sola existencia de una part´ıcula con carga diferente de cero o el cambio temporal de un campo magnético producen un campo eléctrico. Un dipolo eléctrico (fig. 1.15a) es un sistema de dos part´ıculas con cargas de diferente signo de forma tal que forman lineas de campo eléctrico cerradas en si mismas, es decir que tienen un inicio (carga positiva) y un final (carga negativa). Es de aclarar que la masa y la carga de una part´ıcula es independiente de su condici´ on de elemental o no, por ejemplo, -aunque el electrón (e− ) es una part´ıcula elemental de carga negativael prot´ on es una part´ıcula compuesta de igual magnitud de carga pero de signo opuesto. El momento angular es una magnitud f´ısica de notable importancia ya que est´ a relacionada con las simetr´ıas rotacionales de los sistemas f´ısicos; depende fuertemente de la frecuencia angular a tal modo que -macrosc´ opicamenteson dos cantidades linealmente dependientes regidas por el comportamiento del momento de inercia del cuerpo en tratamiento. Antes de involucrarnos en las propiedades de las part´ıculas que se relacionan con el momento angular, profundizaremos -con analog´ıas macroscópicas- este concepto rotacional. Cuando hacemos palanca para rotar alg´ un objeto alrededor de un eje de giro, es claro que la rotaci´ on que logremos no solo se va a ver marcada por la fuerza que hagamos en el extremo de tal palanca, la longitud de la misma influir´ a en el movimiento deseado. Denominamos torque a la tendencia de esta fuerza a girar un objeto alrededor de un eje y su magnitud es proporcional a la fuerza que se haga y al radio de giro. Si hacemos esta fuerza durante un intervalo de tiempo, vamos a tener un torque en este mismo intervalo de tiempo, es esta magnitud (cantidad de torque en un intervalo de tiempo) la que ~ As´ı, entonces, el -a nivel macrosc´ opico- denominamos momento angular y denotamos con la variable L. torque mec´ anico viene definido por: ~τ =

~ dL . dt

(1.17)

Con lo visto en el p´ arrafo anterior, podemos establecer que el Esp´ın I~ se refiere a una propiedad f´ısica de las part´ıculas subat´ omicas por la cual toda part´ıcula elemental tiene un momento angular intr´ınseco de valor fijo. Dicho esp´ın proporciona una medida del momento angular intr´ınseco de toda part´ıcula, ~ se asocia a la rotación de pero -en contraste con la mec´ anica cl´ asica, donde el momento angular (L) un objeto extenso- el esp´ın es un fen´ omeno exclusivamente cuántico que no se puede relacionar de forma directa con una rotaci´ on en el espacio pero siendo tal representación muy u ´til para entablar una analog´ıa con fen´ omenos perceptibles a nuestra escala. Es dif´ıcil hacerse una imagen de esta propiedad y la

Par

Cero

Par

Impar

Par

Impar

Ejemplos

noci´ on de una rotaci´ on real puede ser u ´til, sin embargo, es aconsejable sep-

Mg,

Semi-entero ( 12 , 32 ,...)

Impar

Semi-entero ( 12 , 32 ,...)

Par

Entero (1,2,3...)

arar la noci´ on de una part´ıcula giratoria de la propiedad esp´ın ya que es incorrecto quedarse con la imagen en

Mg,

Cuadro 1.5: Naturaleza del valor del valor del esp´ ın nuclear seg´ un las caracter´ ısticas de los n´ ucleos. A = Z +N : N´ umero

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

30 la cual una part´ıcula elemental gira, las part´ıculas con esp´ın simplemente tienen esp´ın. Al estudiar el esp´ın de un n´ ucleo, es de especial inter´es sus principales constituyentes -los nucleones- que pertenecen a la familia de part´ıculas

subat´ omicas denominada barionesXXI . Al ser fermiones (part´ıculas con esp´ın I = 21 ), los bariones est´ an sometidos al Principio de exclusi´ on de Pauli de forma tal que no pueden tener n´ umeros cuánticos idénticos; este hecho conlleva -en parte- a que el esp´ın del n´ ucleo esté determinado por la cantidad y la naturaleza de las part´ıculas que lo componen. Sin entrar en un razonamiento f´ısico más profundoXXII , la naturaleza del valor del esp´ın nuclear depende del n´ umero de protones (Z) y de neutrones (N ) del n´ ucleos, as´ı, por ejemplo, solo si estas variables son pares el n´ ucleo tendrá un esp´ın cero. En la tabla 1.5 se detalla la naturaleza del valor del esp´ın nuclear con base a otras configuraciones de paridad relativas a los nucleones que conforman los n´ ucleos at´ omicos. ~ XXIII es una magnitud f´ısica de alta importancia utilizada en mecánica El momento angular de esp´ın (J) cu´ antica ya que -bajo ciertas condiciones de simetr´ıa rotacionales una magnitud que se mantiene constante en el tiempo a medida que el sistema evoluciona; este hecho da lugar a una ley de conservaci´ on conocida como ley de conservaci´ on del momento angular. El momento angular de esp´ın para un fermi´ on toma un valor de: 1

J~ = [I (I + 1)] 2 },

h , 2π

(1.18)

donde h es la constante de Planck (tabla ??) que refleja el tama˜ no de los cuantos en la mecánica cuántica. Tanto la direcci´ on como la magnitud de J~ están cuantizados, esto significa que estas caracter´ısticas vectoriales poseen valores discretos. Este vector tiene una dirección preferencial a la cual generalmente se ~ de un sistema cartesiano coordenado Ξ el cual es un sistema de referencia inercial estático. le asocia el eje Z Esta cuantizaci´ on tiene una gran importancia ya que tiene notables efectos en la energ´ıa que pueden tener los n´ ucleos, as´ı, el balance de energ´ıa realizado bajo la ley de la conservaci´ on de la energ´ıa XXIV permite describir el comportamiento microsc´ opico y macroscópico de los componentes de la muestra. Debido a la relevancia del tema, abordaremos en una sub-sección especial el tema de la energ´ıa de la materia.

1.3.3.

Frecuencia, polarizaci´ on, energ´ıa y RMN

Como ya se introdujo en el u ´ltimo p´ arrafo de la sub-sección 1.3.1, la EMR exhibe tanto propiedades corp´ uculares como propiedades ondulatorias; este fenómeno se denomina dualidad onda-part´ıcula. Este postulado permite establecer que la radiación es una forma de transporte ondulatorio de energ´ıa a través del espacio, siendo precisamente tal energ´ıa asociada al “cuanto” de la interacción electromagnética, es decir, al fot´ on. Desde el punto de vista ondulatorio, una de las principales caracter´ısticas de la EMR es que tiene una componente de campo eléctrico y una componente de campo magnético las cuales no solo oscilan perpendicularmente una con otra a la misma frecuencia (será entonces la frecuencia de la onda electromagnética), también lo hacen perpendicularmente a su dirección de propagación. XXI Part´ ıculas

subat´ omicas compuestas por tres quarks un tratamiento cu´ antico del problema recomendamos la referencia bibliogr´ afica [12] XXIII Que a diferencia de L ~ es producto del esp´ın y no de una rotaci´ on estricta. Esta cantidad tambi´ en puede ser denotada ~ como P XXIV Constituye el primer principio de la termodin´ amica y afirma que la cantidad total de energ´ıa en cualquier sistema aislado (sin interacci´ on con ning´ un otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energ´ıa puede transformarse en otra forma de energ´ıa. XXII Para

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

La orientaci´ on y la relaci´ on de oscilaci´ on de los campos el´ectricos y magn´eticos definen una propiedad

(a) Pol. lineal.

(b) Pol. circular.

Figura 1.16: Polarizaci´ on de EMR; n´ otese la diferencia en la relaci´ on de los campos el´ ectricos y magn´ eticos.

denominada polarizaci´ on; esta se describe mediante la especificación de la orientación del campo eléctrico de la onda en un punto en el espacio durante un periodo de oscilación. Cuando la EMR viaja en el espacio libre el campo eléctrico pueden estar orientado en una sola dirección (polarización lineal, fig. 1.16a) o puede girar mientras la onda se desplaza (polarización circular o el´ıptica, fig. ??). En estos u ´ltimos casos, aunque los campos tienen la misma frecuencia, pueden oscilar con un desfasaje lo cual determina la clase de polarizaci´ on que tiene. En general la polarización de una electromagnética de onda es un tema complejo; por ejemplo, en una gu´ıa de ondas -como la fibra óptica- la descripción de la polarización de la onda es m´ as complicado por la presencia de componentes longitudinales y transversales. Desde un punto de vista corpuscular, la radiación puede ser analizada a partir de la dinámica de un fot´ on, as´ı, su energ´ıa depende de la frecuencia de la onda y de una constante que representa tanto el cuanto elemental de acci´ on como la discretizaci´ on de la energ´ıa; tal constante es la constante de Planck. ν esto es:

c E = hν = h , λ

(1.19)

donde h es la constante de Planck, c la velocidad de la luz (tabla ??) y λ su longitud de onda. El comportamiento ondulatorio de este proceso permite asociar a las ondas electromagn´eticas una variable de taza de rotaci´ on asociada a la frecuencia, esta variable es denominada frecuencia o velocidad angular ω y se relaciona con la frecuencia a trav´es de la relaci´ on ω = 2πν. La frecuencia angular es una medida de la Figura

1.17: Espectro electromagn´ etico con escalas num´ ericas de ν y λ.

velocidad de rotaci´ on, por ende sus unidades corresponden a las magnitudes de ´angulo por unidad de tiempo. El hecho que ω = 2πν responde al hecho que un “ciclo” o un giro abarca 360o o 2π radianes, as´ı,

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

esta relaci´ on est´ a especificando que la frecuencia angular se está trabajando en radianes por segundo. En matem´ aticas -por convenci´ on- el barrido de un ángulo se genera en sentido anti-horario haciendo que la frecuencia angular también responda a esta convención. Com´ unmente, debido a su relación, la variable ω es denominada s´ımplemente “frecuencia” con base a la notoria facilidad con la cual se puede hallar su ν asociada, de esta forma, las unidades juegan un rol importante en el momento de especificar a que variable se hace alusi´ on: a la frecuencia o a la velocidad angular. En la figura 1.17 se muestra una representación gráfica del espectro electromagnético; en el presente contexto nos interesa las ondas de radio o radiofrecuencia (RF) las cuales abarcan frecuencias desde 3 Hz (extra baja frecuencia) hasta 300 GHz (extra alta frecuencia). Espec´ıficamente la RF de alta frecuencia est´ a en el rango de 3-30 MHz con una longitud de onda entre 100 y 10 m. A diferencia del an´ alisis cl´ asico en entes macroscópicos, las part´ıculas subatómicas no pueden tener cualquier energ´ıa; seg´ un la configuración del átomo en el que estén, solo podrán tener determinados valores de energ´ıa los cuales pueden encontrarse aplicando la teor´ıa cuántica. Estos valores “permitidos” son los denominados niveles de energ´ıa y -al igual que sucede con los electrónes y los orbitales electr´ onicos- los protones y los neutrones ocupan estos niveles no en los orbitales electr´ onicos sino en el n´ ucleo atómico, por ende estos niveles son llamados niveles de energ´ıa nucleares. El operador f´ısico/matem´ atico que permite determinar el valor de estos niveles y cuantas part´ıculas los pueden ocupar se denomina hamiltoniano, en este operador se describen las interacciones del sistema y al resolverlo obtenemos los valores requeridos en funci´ on de las propiedades (subsecci´ on anterior) de las part´ıculas involucradas en las interacciones consideradas. Como se mencion´ o, las interacciones más relevantes a considerar en el hamiltoniano nuclear (aplicado al n´ ucleo atómico) son la electromagnética (prot´ on-prot´ on) y la interacción nuclear fuerte (protones y neutrones) lo cual hace que cada n´ ucleo tenga determinados niveles de energ´ıa; sin embargo, cuando agregamos más inter- Figura acciones al hamiltoniano (por ejemplo con los electrónes del mismo atomo o ´ ´ atomos vecinos, con otros n´ ucleos o con un campo magnético externo o creado por las part´ıculas subat´ omicas del mismo átomo) el

1.18: Efecto Zeeman. N´ otese es incremento de niveles de energ´ ıa y del n´ umero de transiciones posibles.

efecto neto es generar m´ as niveles de energ´ıa alrededor de niveles preexistentes. En la figura 1.18 se aprecia un ejemplo gráfico en el cual se han incrementado los niveles de energ´ıa al aplicar un campo magnético sobre un n´ ucleo que inicialmente ten´ıa solo dos niveles; este proceso se denomina desdoblamiento de niveles de energ´ıa y se puede entender considerando que los nuevos niveles de energ´ıa (es decir los niveles existentes con campo magnético haciendo referencia a la figura mencionada) antes de tener en cuenta la nueva interacci´ on ten´ıan la misma energ´ıa. Sin entrar en detalles te´ oricos profundos, es el ya mencionado Principio de exclusi´ on de Pauli el principio cu´ antico responsable del l´ımite de particulas en un nivel determinado, as´ı, si existe un nivel de energ´ıa al cual le “cabe” una cantidad determinada de

(a) Orientaci´ on ~ ausencia de B.

aleatoria

en (b) Orientaci´ on anti y paralela en ~ presencia de B.

Figura 1.19: Orientaci´ on de espines en ausencia o presencia de campo magn´ etico. Gr´ aficas tomadas de la referencia [13]

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

part´ıculas, al desdoblarse en varios niveles de energ´ıa producto de una interacci´ on, la suma de todas las cantidades l´ımite de todos estos nuevos niveles debe ser igual a la cantidad original. Estos nuevos estados o niveles de energ´ıa se denominan estados degenerados cuando se encuentran en un mismo nivel de energ´ıa antes de desdoblarse (se hablan de que eran varios estados en un mismo nivel de energ´ıa) y se denominan estados no degenerados después de sufrir el desdoblamiento de niveles y por consiguiente no tendr´ an la misma energ´ıa. Cuando un neutr´ on o un prot´ on gana o libera la energ´ıa necesaria para trasladarse entre dos estados no degenerados inducidos por un campo magnético externo, se altera significativamente el balance energético del n´ ucleo correspondiente; si gana energ´ıa, macroscópicamente este fenómeno permite explicar el porque -en un campo magnético externo- un n´ ucleo absorbe una energ´ıa particular (la energ´ıa exacta para que alguno de sus bariones cambie de nivel) tras someterlo a EMR de distintas energ´ıas. Por otro lado, cuando el n´ ucleo libera energ´ıa, se aprecia que solo libera ciertos valores de energ´ıa que dependen fuertemente del campo magnético externo. Estos fen´ omenos se denominan bajo el mismo nombre de resonancia magnética nuclear y -como veremos- es el pilar fundamental de la técnica de RM.

1.3.4.

Comportamiento del esp´ın en un campo magn´ etico

~ es una cantidad vectorial que puede ser producida por cargas elécticas en Un campo magnético (B) movimiento o cambios temporales de campos eléctricos; de igual forma solo afecta a cargas eléctricas en ~ En ausencia de un campo magnético externo, el comportamiento de movimiento e interactua con el J. los espines de una muestra hacen que se produzcan los siguientes hechos: ~ se asocia de forma arbitraria ya que los espines están aleatoriamente orientados (fig. 1.19a). El eje Z ~ el nivel de energ´ıa del n´ Independientemente del valor de la magnitud y orientación de J, ucleo será el mismo, por consiguiente todos los estados correspondientes a cada cuantización serán degenerados (misma energ´ıa). Como consecuencia del ´ıtem anterior, las poblaciones de estos estados serán aproximadamente iguales en condiciones de equilibrio térmico. En contraparte, en presencia de un campo magnético constante espacial y temporalmente (B~0 ), el vector de esp´ın adquiere un movimiento de rotación (semejante a la rotación de la tierra) y a su vez, el eje de tal rotaci´ on adquiere un cambio de direcci´ on generando una circunferencia alrededor del campo magnético, este movimiento se denomina precesi´ on. En cuanto al sentido del vector esp´ın, los espines se alinearan paralela o anti-paralelamente a la dirección del campo seg´ un la energ´ıa que tenga el n´ ucleo. En la figura 1.19b se muestra el movimiento de precesión del eje de rotaci´ on del esp´ın (en rojo) y -junto a la figura 1.20- muestran como se puede alinear paralela o antiparalelamente a la dirección de B~0 . Una buena analog´ıa del movimiento de precesión es la dinámica del eje de rotaci´ on de una peonza (o trompo) en rotación; cuando su eje de rotaci´ on no es vertical, la peonza posee un movimiento de “cabeceo” similar al de precesi´ on, sin embargo, a diferencia

Figura 1.20: Precesi´ on del esp´ ın nuclear para n´ ucleos con I~ = 12 e I~ = − 12 . Gr´ afica tomada de [14].

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

del esp´ın, la peonza solo se puede alinear de forma antiparalela al campo de gravitaci´ on terrestre. Por la naturaleza de este movimiento y por facilidad en el tratamiento te´orico, es com´ un hacer coin~ (de Ξ) a la del campo magn´etico. Utilizando este sistema de refercidir la direcci´ on del eje Z ~ viene dada por: encia, teoricamente se puede obtener que la componente de J~ proyectada en Z

Jz = }mI , donde mI es el n´ umero cu´ antico de proyecci´ on de esp´ın y como su nombre lo indica da ~ Como raz´ on de la componente de I~ en Z. se mencion´ o antes de esta secci´ on, el momento angular de esp´ın est´ a cuantizado por ~ tambi´en consiguiente su componente en Z lo estar´ a. Sin entrar en detalles, mI puede tomar los siguientes valores: Figura 1.21: Proyecci´ on del momento angular nuclear en ~ Recordemos que J~ es una notaci´ Z. on alternativa para ~ Gr´ J. afica tomada de [14].

m = −I, −I + 1, ..., I − 1, I | I {z } Multiplicidad=2I+1

siendo la multiplicidad el total de proyecciones posibles. En la figura 1.21 se aprecian las diferentes configuraciones que puede tener J~ seg´ un la multiplicidad y el esp´ın del n´ ucleo; con base a la gráfica y a un sencillo procedimiento matem´ atico podremos deducir que un n´ ucleo con esp´ın semientero tendrá una multiplicidad par y con un esp´ın entero tendra una multiplicidad impar. El Momento magnético de esp´ın (~ µ) es el momento asociado a la naturaleza magnética que se genera ~ ~ al interactuar J con B0 en la misma part´ıcula. Un esp´ın distinto a cero está asociado a un momento magnético que viene dado por: proyecci´ on en z

µ ~ = γ J~

=⇒

}| { z µz = γhmI ,

(1.20)

~ γ es una constante que caracteriza el compordonde hemos determinado también su componente en Z. tamiento magnético de cada n´ ucleo, se denomina constante de proporci´ on giromagnética, es propia de −1 −1 XXV cada is´ otopo (tabla 2.1) y sus unidades son T ·s . Podemos hacernos la idea que µ es un “momento angular de naturaleza magnética” muy semejante -retomando la analog´ıa mecanica hecha para llegar ~ as´ı, el torque magnético asociado a a la ecuaci´ on (1.17)- al momento angular de naturaleza mecánica L; este momento angular viene dado por: τ~m =

d~ µ . dt

A diferencia del sistema mecanico donde, aunque el torque depende de la fuerza y el radio de giro, estas dos cantidades no dependen entre s´ı; en este sistema magnético el torque depende de la interacción del campo magnético con el momento magnético de esp´ın, por consiguiente: τ~m =

d~ µ = γ B~0 × µ ~, dt

(1.21)

autores prefieren manejar la constante γ en unidades de rad·T−1 ·s−1 , para concordar con ellos, las constantes ac´ a expuestas deben ser multiplicadas por 2π rad

XXV Algunos

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

siendo esta relaci´ on la que marca la din´ amica de µ ~ . A continuación analizaremos la interacción entre dos o m´ as momentos magnéticos de esp´ın con el fin de llevar estos conceptos microscópicos a conceptos macrosc´ opicos perceptibles a nuestra escala.

1.3.5.

Permeabilidad, suceptibilidad magn´ etica y magnetizaci´ on

Cuando analizamos la interacci´ on entre dos momentos magnéticos estamos hablando de la interacci´ on magnética dipolar; ella permite definir el dipolo magnético que puede entenderse haciendo la analog´ıa con el dipolo eléctrico, as´ı, tal dipolo es una aproximación al campo magnético generado por un sistema de part´ıculas cuando la distancia de an´ alisis es mucho mayor a las dimensiones del sistema (fig. 1.15b). Cuando un campo magnético externo interact´ ua con una muestra, microscópicamente son los momentos angulares de esp´ın los que interactuan con dicho campo produciendo los fenómenos ya mencionados a lo largo del cap´ıtulo. Tales momentos también son libres de interactuar con campos magnéticos creados por part´ıculas cargadas de la misma muestra, de ah´ı la existencia de materiales con propiedades magnéticas sobresalientes como los imanes. Sin importar el origen del campo magnético (interno y/o externo), tal campo tiene notable influencia en la organización de los momentos magnéticos de la muestra lo cual puede producir fen´ omenos como la migración y reorietación de sus dipolos magnéticos, tal “influencia” se denomina comun y erroneamente campo magnético intrinseco o campo magnético auxiliar y es repre~ M´ ~ representa la “modificación” que causar´ıa el material sentada por la variable H. as que un campo, H de la muestra a la din´ amica y caracter´ısticas que impondr´ıa un campo magnético externo al volumen que ocupa la muestra sin considerar la influencia de este campo magnético en la muestra, en otras palabras, ~ se aplica al volumen que contendr´ıa la muestra pero “sin muestra” sobre los efectos que causa un H campo magnético externo nuevamente al volumen “sin muestra”. Con las definiciones emp´ıricas hechas en el párrafo anterior, podemos entender el concepto de imanaci´ on ~ o magnetizaci´ on M la cual se define como la densidad de momentos dipolares magnéticos por unidad XXVI ~ yH ~ describen el comportamiento de la “estad´ıstica” de los mode volumen . Como hemos visto, M mentos dipolares los cuales reflejan el comportamiento de las l´ıneas de campo magnético de la muestra ~ y H ~ son proporcionales ya que -bajo un mismo (fig. 1.15b), por tanto, es intuitivo establecer que M campo magnético- a mayor densidad de momentos dipolares magnéticos en la muestra, la influencia de ~ aumenta; en tanto, si mantenemos la misma muestra y la sometemos a diferentes campos magnéticos, H ~ Estas dos proporcionalidades las podemos resumir con el aumento de B~0 obtendremos un aumento de H. en: ~ = χm H ~ M

~ = µm B~0 M

∧

(1.22)

donde χm y µm son constantes de proporcionalidad. Estas tres variables se pueden relacionar entre s´ı partiendo de la naturaleza de sus definiciones; as´ı, la magnetización que existe en la muestra es producto ~ H), ~ del campo magnético externo menos la modificación que genera la muestra en ese mismo volumen (B− por consiguiente, a mayor campo magnético más magnetización tendremos pero si el campo magnético auxiliar aumenta reduciremos tal magnetización. Con base a lo anterior, matemáticamente esta relaci´ on viende definida como: ~ = M XXVI Matem´ aticamente,

1 µm0

~ B~0 − H,

(1.23)

esto es: ~ = 1 M V

No deX n´ ucleos

µi .

En mec´ anica cu´ antica la magnetizaci´ on se define como el valor esperado del momento magn´ etico de un sistema cu´ antico.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

donde µm0 es una constante que modula las unidades y modela el comportamiento del espacio con auscencia de muestra. Por su aparici´ on e implementación, esta constante junto a la ya mencionada µm tienen la misma naturaleza de modelar la influencia del campo magnético en los materiales (µm ) y en el vacio (µm0 ), por ello se denominan permeabilidad magnética y permeabilidad magnética del vac´ıo (tabla ??) respectivamente. La permeabilidad magnética (de ahora en adelante llamada simplemente permeabilidad) es entonces la “habilidad” de un material para generar un campo magnético en s´ı mismo, por tanto, esta cantidad también puede analizarse como la relaci´ on entre el flujo magnético existente (l´ıneas de campo) y la intensidad de campo magnético que aparece en el interior de dicho material. Esta variable depende fuertemente del medioXXVII , habitualmente es un escalar pero en situaciones muy especificas puede ser un tensor de segundo grado (medios anis´ otropos); as´ı mismo, en general la permeabilidad no es una constante ya que puede variar con la posici´ on en el medio, la frecuencia del campo aplicadoXXVIII , humedad, temperatura y otros par´ ametros. A partir de la permeabilidad, se definen una variable que también se utilizan para describir el comportamiento magnético de un material: el coeficiente de permeabilidad magnética relativa (µr =

µm µm0

Esta variable se utiliza a menudo porque -en algunas circunstancias- procedimientos y notaciones que involucran la permeabilidad son menos complejos de llevar a cabo utilizando estos conceptos o para comparar y clasificar los materiales con base al valor de sus propiedades magnéticas respecto a los del vac´ıo. Espec´ıficamente, una clasificaci´ on de los materiales basada en la µr es: Ferromagn´ eticos: Cuyo valor de µr 1. Estos materiales “atraen” el campo magnético hacia su interior de forma tal que se atraen fácilmente por los imanes. Estos materiales se pueden subclasificar en magnéticamente blandos los cuales son fácilmente magnetizables pero no tienden a mantener tal condici´ on y los magnéticamente fuertes los cuales si la mantienen. En estos materiales ~ yH ~ exhibe tanto la no linealidad y la histéresis: B ~ no es una función de un solo la relaci´ on entre B ~ pero depende también de la historia del material. valor de H, Paramagn´ eticos: Cuyo valor de µr ≈ 1. Esto hace que se comporte como el vac´ıo lo cual hace que su reacci´ on frente a los campos magnéticos sea muy poco apreciable. Son paramagnéticos la mayor´ıa de los materiales y compuestos que encontramos en la naturaleza como el aire. Diamagn´ eticos: Cuyo valor de µr < 1. Esto hace que el material “repela” el campo magnético aunque generalmente lo hace de forma muy débil. Ejemplos de tal material son el H, He, Bi, Cu, Au, Si, Ge y el S. Utilizando apropiadamente las ecuaciones (1.22), (1.23) y las definiciones hechas en los párrafos anteriores, no es complejo demostrar que la constante expuesta en la primera relación de las ecuaciones (1.22) tienen un valor de χm = µr − 1. Esta constate es denominada susceptibilidad magnética y -teniendo en cuenta la ecuaciones (1.22)- podemos definirla como: χm = µ0

~| |M . ~ |B0 |

(1.24)

Posteriormente (ecu. (2.13)) veremos la aplicación de esta relación. En la tabla 1.6 hay ejemplos de cada tipo de materiales seg´ un χ. Como ya se mencionó, la clasificación de estos materiales no determinan una XXVII Espec´ ıficamente

de la linealidad de un medio. Tal caracter´ıstica evalua las condiciones de homogeneidad, isotrop´ıa, pasividad y continuidad del ambiente. XXVIII En medios no lineales. Ac´ Propiedad Materialdel campo. χ [*10−5 ] a puede tomar valores reales o complejos dependiendo de la frecuencia

Ferromagnetismo

770 o C*

354 o C*

19 o C*

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

propiedad u ńicamente inherente a la composición qu´ımica del material; su organización cristalina y la organizaci´ on microsc´ opica -caracter´ısticas que dependen de factores como la temperatura y la presiónhacen que un material pueda cambiar su permeabilidad ocasionando cambios en la clasificación anteriormente hecha. Un ejemplo de esta situación se expone en la tabla 1.6 en la cual -para los materiales ferromagnéticos- existe una temperatura denominada temperatura de Curie por encima de la cual los materiales dejan de exhibir la magnetizaci´ on espontánea; as´ı -por debajo de esta temperatura- materiales con porcentaje de hierro por encima del 96 % pueden tener µr entre 180 (acero laminado en frio a 2 mT) y 180000 (m´ axima permeabilidad del hierro purificado). De igual forma, vemos como el carbón tiene dos susceptibilidades dependiendo su estructura cristalina (grafito o diamante) o como aleaciones semejantes tienen permeabilidades tan diferentes (como el caso de la ferrita que con manganeso puede llegar a tener un valor 50 veces m´ as grande que cuando tiene niquel).

Magnetizaci´ on Como ya se mencion´ o, la magnetizaci´ on es una variable macrosc´ opica y no solo por este hecho se torna una variable ´ optima para determinar las propiedades magnéticas de una muestra; su dependencia directa con las variables relevantes tanto ~ como macrosc´ ~ y microsc´ opicas (~ µ y J) opicas (H ~ as´ı como su facilidad de medici´ B) on hacen de ella una cantidad ideal para tratar un experimento donde el magnetismo esté presente. En la mayor´ıa de los materiales, la magnetizaci´ on aparece cuando se aplica un campo magnético externo -sin embargo y como demuestra el u ´ltimo sumando de la ecuaci´ on (1.23)- puede tener valores altos y existir aun en ausencia de un campo externo. Otra raz´ on importante para manejar la magnetizaci´ on es la relaci´ on que guarda con la densidad de corriente eléctrica (i~J) o mejor entendida como la corriente por unidad de ´ area que atraviesa una superficie. Es de nuestro interés analizar la densidad de corriente en materiales con distribuciones no uniforme de carga; en los materiales dieléctricos, existe una densidad de corriente correspondiente al movimiento neto de momentos dipolares eléctricos por unidad de volumen (es decir la polarización), de manera similar, en materiales magnéticos, la circulaci´ on (o el cambio posicional) de momentos dipolares magnéticos por unidad de volumen (es decir la imanaci´ on) generan un aporte a la densidad de corriente que viene dado por la siguiente expresión: i~J

~ =∇×M

(1.25)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

donde ∇ es el operador divergencia XXIX . Esta componente de la densidad de corriente debe a˜ nadirse a ~ i la densidad de corriente producida por cambios temporales de la polarización ( J m ) y a la densidad de corriente producto de cargas libres i~J f y as´ı tener la i~J total. Más información sobre este tema se puede encontrar en cualquier libro sobre electromagnetismo de nivel universitario. En un marco de referencia inercial y utilizando un sistema cartesiano, las ecuaciones de movimiento de la magnetizaci´ on nuclear (bajo la influencia de un campo magnético) vienen definidas por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (lineales de primer orden) que se expone a continuación:[5] h i dMx (t) Mx (t) ~ (t) × B(t) ~ =γ M − , dt T2 x h i dMy (t) My (t) ~ (t) × B(t) ~ =γ M − , dt T2 y h i dMz (t) Mz (t) − Mz (0) ~ (t) × B(t) ~ =γ M , − dt T1 z

(1.26)

donde × significa producto cruz (ecu. (1.1)), M0 es la norma de la magnetización inicial y T1 y T2 son constantes propias del medio que contiene los n´ ucleos que serán detalladas en la sección 2.1.5. Cada una de estas tres expresiones claramente est´ an compuestas por dos términos, el primero modela la interacci´ on entre la magnetizaci´ on y el campo magnético y por su estructura determina la dirección de la evoluci´ on temporal de la magnetizaci´ on; tiene una estrecha relación con la expresión (1.21) a tal punto que es esta expresi´ on la que da origen al término en analisis. Por otro lado, el segundo término corresponde a un modelo semejante al del decaimiento radioactivo de un n´ ucleo no estable, as´ı, entre más espines estén en niveles altos de energ´ıa m´ as pérdida de magnetización habrá en la muestra. Este u ´ltimo término es conocido como término de relajaci´ on o disipación y será tratado con profundidad en la sección 2.1.5. Hasta inicios de la década de los 40, se ignoraba los términos de disipación en estas ecuaciones; fue Felix Bloch (fig. 1.1a)[5] en 1946 quien introdujo estos nuevos términos para explicar algunas anomal´ıas que presentaban las ecuaciones sin tales términos y por lo que finalmente recibieron el nombre de las ecuaciones de Bloch. Estas expresiones pueden obtenerse mediante la suma de todos los momentos magnéticos nucleares de la muestra teniendo en cuenta algunas propiedades del entorno macroscópico donde ella se encuentre modelando la evoluci´ on temporal de la magnetización en función de su interacción con un campo magnético externo, la emisi´ on y absorción de energ´ıa de los n´ ucleos, la influencia de la estructura cristalina y la interacci´ on entre los propios n´ ucleos. Resta recalcar que estas ecuaciones no son microscópicas; no describen la ecuaci´ on de movimiento de cada uno de los momentos magnéticos nucleares (los cuales se rigen y se describen por leyes de la mecánica cuántica), sin embargo, al ser una variable que refleja el comportamiento estad´ıstico de fen´ omenos asociados al esp´ın, es com´ un denominar la magnetización neta de una muestra la polarizaci´ on de esp´ın. ........ Un elemento de especial interés no solo por sus caracter´ısticas magnéticas sino por su rol en el desarrollo de la vida es el hierro (Fe). Este elemento es un metal de transición y es el cuarto elemento más abundante en la corteza terrestre (5 %; entre los metales, sólo el aluminio es más abundante); el n´ ucleo de la Tierra est´ a formado principalmente por hierro y n´ıquel, elementos que -al moverse- generan el campo magnético terrestre. El hierro ha sido hist´ oricamente muy importante, tanto as´ı que un per´ıodo de la historia recibe el nombre de Edad de Hierro debido al descubrimiento y popularización de tal metal como material para fabricar armas y herramientas. En cosmolog´ıa, es un elemento muy especial ya que es el metal más pesado XXIX Este

operador se aplica sobre un campo vectorial y viene definido -en coordenadas cartesianas- por: ~ = ∇×F

∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z

1.3. ASPECTOS F´ISICOS

que puede producir fusi´ on en el n´ ucleo de estrellas masivas, as´ı, los elementos más pesados que el hierro solo pueden ser creados en supernovas. En la naturaleza, es un elemento que -en soluciones acuosaspuede encontrarse en dos estados de oxidación (iones, pag. 27) estables: Fe+2 (ferroso) y Fe+3 (férrico); as´ı mismo, este elemento es esencial para la vida -en parte- por su baja electronegatividad (1.8 KJ/mol) que le permite donar f´ acilmente electrones a los elementos que componen mayormente a los seres vivos (tabla ??).

1.3.6. Ley de Faraday y principio de reciprocidad Una de las principales leyes en el electromagnetismo es la Ley de Faraday (o Ley de inducci´ on de Faraday); a grandes razgos, ella establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado de contorno C es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo de campo magn´etico ~ que atraviesa una superficie S cualquiera siendo B el circuito su borde. Matem´ aticamente se expresa de la siguiente forma: T. de Stokes I

~ =−∂ ~ · d` E ∂t C

~ ~ · dA B

=⇒

~ =− ∇×E

~ ∂B ∂t

~ es el campo el´ectrico, d` un elemento donde E ~ es un elemento infinitesimal del contorno y dA de ´ areaXXX encerrado por el contorno C (su forma diferencial -ecuaci´ on de la derecha- es precisamente una de las ecuaciones de Maxwell). Si ΦB es el flujo de campo magn´etico en una bobina que tiene Nc vueltas de alambre y la longitud de tal inductor es mucho mayor a su di´ ametro, a partir de la anterior ecuaci´ on no es complejo demostrar que XXXI el voltaje inducido (ε) o FEM

viene dado por:

dΦB

. |ε| = Nc

(1.27) dt

En la figura 1.22 se muestra una representaci´on gr´ afica de la consecuencia de la Ley de Faraday cuando cambiamos el flujo de campo magn´etico XXX Cada

elemento de ´ area es asociado a un vector de magnitud igual a la superficie del elemento y direcci´ on normal a tal superficie. XXXI El t´ ermino FEM (Fuerza Electromotriz) lentamente se est´ a volviendo obsoleto y quedando en desuso debido a la elecci´ on desafortunada de la palabra fuerza; esta magnitud f´ısica maneja otras caracter´ısticas inapropiadas al asociarlas al voltaje inducido.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

40 (moviendo un im´ an) dentro de una bobina; en tal representaci´ on generamos una corriente eléctrica. En el electromagnetismo cl´ asico, el principio de reciprocidad se refiere a una variedad de teoremas relacionados con las consecuencias de las diferentes simetr´ıas que se generan por la aparición de EMR debido a fuentes de corriente eléctrica; esto en medios lineales y bajo otras ciertas restricciones que no nos interesan profundizar. Tal vez el teorema m´ as representativo de este principio es el de la reciprocidad de Lorentz (y sus diversos casos especiales) que afirma que “la relaci´ on entre una corriente oscilante y el campo eléctrico resultante es invariante si se intercambia los puntos donde se encuentra la corriente y donde el campo es medido”. Para el caso espec´ıfico de una red eléctrica, a veces se re-formula afirmando que las tensiones y las corrientes en diferentes puntos de la red se pueden intercambiar. Los diferentes teoremas derivados del principo de reciprocidad se utilizan en muchas aplicaciones electromagnéticas como el an´ alisis de redes eléctricas

y sistemas de antenas; por ejemplo, la reciprocidad de Lorentz permite demostrar que una misma antena tiene la misma eficiencia ya bien sea como transmisora o como receptoraXXXII y también permite -en conjunto con algunas consecuencias de la ley de Faraday (ecu. (1.27))- determinar el voltaje inducido en una bobina por causa de una RF. ~c proPor el momento, es esta u ´ltima aplicaci´ on la que nos interesa; supongamos un campo magnético B 3 ~ (~r, t), el principio de ducido por una corriente I~c en un volumen V ∼ |~r| produce una magnetización M reciprocidad junto a la ecuaci´ on (1.25) nos permite determinar que el flujo de lineas de campo en una ~ (~r, t) es:[15] bobina receptora por causa de una fuente de magnetización M Z ΦB = fuente (~ r3 )

~c (~r) B ~ (~r, t)d3 r, ·M |I~c |

as´ı, la ecuaci´ on (1.27) nos permite obtener que el voltaje inducido en una bobina receptora viene dado por: ε=−

d dt

Z V

~c B ~ (~r, t)d3 r ≈ ·M |I~c |

−

µ0 Nc Lc

~| |∂ M dV. ∂t

(1.28)

La aproximaci´ on realizada se debe a que se ha modelado la bobina receptora como un solenoide de longitud ~c y hemos mantenido el significado de Nc . El Lc , eje longitudinal paralelo al plano de aplicación de B ~c como parámetro para evaluar la eficiencia de principio de reciprocidad también nos permite utilizar B la bobina, ya que es tal campo -producto del cambio en la dinámica de la magnetización de la muestra (es decir, la informaci´ on original)- el que va a inducir la corriente I~c (en la bobina) que finalmente se utilizar´ a para analizar la informacion original. XXXII Espec´ ıficamente

esta aplicaci´ on demuestra que la EMR de la antena y los patrones de recepci´ on son id´ enticos.

´ DE IMAGENES ´ 1.4. ASPECTOS DE ADQUISICION E IMAGENOLOG´IA

Otra aplicaci´ on de inter´es en el documento ensanchamiento de linea

1.3.7.

Dispositivos magn´ eticos

Un material u objeto que produce campo magnético es denominado im´ an. Un im´ an permanente es un objeto hecho de un material que se magnetiza y crea su propio campo magnético persistente. Como vimos en la sub-secci´ on 1.3.6, los materiales que pueden ser magnetizados y son fuertemente atra´ıdos por un im´ an se denominan ferromagnéticos; as´ı, los imanes permanentes son materiales ferromagnéticos fuertes. Un electroim´ an es un tipo de im´ an en el que el campo magnético se produce mediante el flujo de una corriente eléctrica; el ejemplo m´ as simple es un solenoide. La principal ventaja sobre el im´ an permanente radica en la manipulación del campo magnético producido ya que variando la corriente se puede obtener tal control. La superconductividad es la capacidad intr´ınseca que poseen ciertos materiales para conducir corriente eléctrica sin resistencia y pérdida de energ´ıa cuando se encuentran a una temperatura inferior a determinada temperatura cr´ıticaXXXIII ; por ello, la aparición de la superconductividad está asociado con una transici´ on de fase (pag. 26). Un superconductor no es simplemente un conductor normal perfecto, no se trata de un conductor cuya resistencia es cercana a cero, sino que la resistencia es exactamente igual a cero. Algunos superconductoresXXXIV son perfectamente diamagnéticos lo cual quiere decir que su µr u 1.0 (tabla 1.6); este superdiamagnetismo es debido a la capacidad del material de crear supercorrientes o corrientes de electrones que no disipan energ´ıa de manera que pueden mantenerse eternamente sin obedecer el efecto Joule de pérdida de energ´ıa por generación de calor. Debido a que la cantidad de electrones superconductores es finita, la cantidad de corriente que puede soportar el material es limitada; por consiguiente, existe una corriente cr´ıtica a partir de la cual el material deja de ser superconductor y comienza a disipar energ´ıa.

1.4.

Aspectos de adquisici´ on de

im´ agenes e imagenolog´ıa grosor de slice(porci´ on en ingl´es)XXXV Ancho de banda Bw(ω0 )GSS determina tanto el grosor del slice (computacionalmente denominado slice thickness o en la jerga m´edica denominado espesor de corte) XXXIII Esta

temperatura cr´ıtica es propia de cada material. de tipo I, es decir con un cambio brusco de una fase a otra. Son elementos puros y suelen denominarse superconductores convencionales. XXXV En el argot t´ ecnico se ha preferido mantener la denominaci´ on slice en vez de su correspondiente traducci´ on al castellano.

XXXIV Superconductores

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

42 Una imagen digital es una representaci´ on bidimensional de una imagen real utilizando bits (ceros o unos). Dependiendo de su tipo de resolución, puede tratarse de un gr´ afico rasterizado (resoluci´ on est´ atica) o un gr´ afico vectorial (res. dinámica). Una imagen rasterizada o mapa de bits (bitmap) es una estructura (denominada raster) o fichero de datos que representa una rejilla rectangular de p´ıxeles (p) o puntos de color que se pueden visualizar en un sistema de computo. Com´ unmente, la imagen es una representación visual que manifiesta la apariencia de una muestra

real; as´ı, la fuente de informaci´ on para adquirir tal apariencia son las ondas electromagnéticas (luz) que provienen de la muestra con las cuales se puede obtener la se˜ nal digital que finalmente permite generar la imagen digital. Cuando nos referimos al proceso de obtención de una se˜ nal digital generada por alg´ un fen´ omeno electromagnético, generalmente los dispositivos detectan la se˜ nal análoga S(ω) involucrada en el proceso e -idealmente- se intenta reconstruir (mediante procesos digitales) una representación idéntica f (x)XXXVI manipulable computacionalmente. Se acostumbra denominar esta u ´ltima función como objeto, as´ı, para digitalizar la se˜ nal y generar un objeto hay que tomar muestras de la amplitud de la se˜ nal a una taza de muestreo determinada mediante dispositivos que asignan diferentes valores de voltaje con base a tal amplitud.

Fen´ omeno f´ısico

Tipo de tomograma

Rayos X

TAC

Rayos γ

SPECT

Aniquilaci´ on e− -e+

PET

e−

Tomograf´ıa electronica o 3D TEM

iones

Microscopia at´omica

fuerza

Cuadro 1.7: Clasificaci´ on de los tomogramas seg´ un su fen´ omeno f´ ısico (fig. 1.2).

Tal como se rese˜ n´ o en la cronolog´ıa hist´ orica de la RM que se hizo al inicio del documento, esta técnica comenz´ o como una forma de adquirir imágenes tomogr´ aficas basada en el proceso establecido por Hounsfield. Como se muestra en la figura 1.2, la tomograf´ıa -en el ´ ambito médico- es la producción de im´ agenes digitales de una “tajada” del cuerpo XXXVI Que

-en un marco general- finalmente es la informaci´ on que se desea.

Figura 1.23: Relaci´ on gr´ afica entre un v´ oxel tridimencional y un p´ ıxel bidimensional.

´ DE IMAGENES ´ 1.4. ASPECTOS DE ADQUISICION E IMAGENOLOG´IA

humano la cual puede ser una secci´ on transversal como se muestra en la figura; el aparato con el que se realiza la tomograf´ıa se denomina tomografo y la imagen digital que se forma a partir del proceso se denomina tomograma. Variaciones m´ as modernas de la tomograf´ıa involucran recolecci´ on de datos de proyección en varias direcciones y su análisis con algoritmos de software especilizados en reconstrucción tomográfica. Diferentes tipos de adquisición de la se˜ nal pueden ser procesados de forma similar con tales algoritmos y as´ı crear un tomograma. En este milenio, la tecnolog´ıa permite obtener un tomograma a partir de varios fenómenos f´ısicos diferentes tal y como se expone en la tabla 1.7. Cada “rebanada” que se genera en tomograf´ıa (fig. 1.2) se denomina slice y representa un volumen que tiene una superficie y un grosor 4zs m´ as peque˜ no que tal superficie. Cada slice a su vez está dividido en una cuadricula por peque˜ nos cubos que tienen su mismo grosor, tales cubos se denominan vóxel (del inglés volumetric pixel ) y son la unidad c´ ubica más peque˜ na que compone el slice tridimensional. Un slice se representa mediante un gr´ afico rasterizado 2D en el cual cada p´ıxel representa la informaci´ on de un v´ oxel mediante alguna escala de color; por ende, al ser el vóxel la unidad más peque˜ na de divisi´ on del volumen en estudio, la información de un p´ıxel representa el promedio de todo el contenido del v´ oxel, es decir que, no podemos diferenciar dos circunstancias diferentes que ocurran en un mismo vóxel. En la figura 1.23 se aprecia la relaci´ on entre el p´ıxel y el v´ oxel. As´ı como el grosor del v´ oxel y el slice es el mismo, el ´ area del p´ıxel es igual a la superficie del v´ oxel; sus dimensiones las denominaremos (4xp , 4yp ) y la cantidad de v´ oxeles que conformen el slice marcaran las dimensiones del mismo. Si el slice tiene ex vóxeles en una dimensión y ey v´ oxeles en la otra, sus dimensiones ser´ an: Largo: xs = ex 4xp Ancho:

ys = ey 4yp

(1.29)

Grosor: 4zs lo cual quiere decir que xs y ys son m´ ultiplos de xp y yp respectivamente ya que ex y ey son n´ umeros enteros. En RM, el volumen del v´ oxel ronda entre décimas y decenas de mil´ımetro c´ ubico y la intensidad del p´ıxel asociado es proporcional a la intensidad de la se˜ nal de RMN que llegue del vóxel en estudio. Si se conoce la estructura frecuencial de la se˜ nal, es posible determinar f (x) aplicando el an´ alisis de Fourier (sub-sec. 1.2.3); sin embargo, no se puede utilizar estrictamente la expresi´ on (1.12) ya que no se puede tener el muestreo infinito y continuo de puntos (refiriendonos al rango de integración) que exige la ecuación. En lugar de esto, la se˜ nal es muestreada con un n´ umero finito de puntos Nd lo cual causa que no se reconstruya una se˜ nal digital idéntica a S(ω) sino una se˜ nal I(p) con ligeros cambios producto de los baches de falta de informaci´ on inducidos por un muestreo no continuo ni infinito en el rango de frecuencias. Si denominamos LF on de la muestra real de la cual se desea generar la imagen x a la longitud de la regi´ digital; se puede establecer una relaci´ on de semejanza entre la representación análoga y la digital, as´ı, la

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

44 coordenada de un p´ıxel p asociado a una coordenada xp en LF a: x ser´ p = xp

Nd . LF x

(1.30)

LF onimo en ingl´es Field of View y posee valores -para aplicaciones x es conocido como FOV por su acr´ en RM- entre 5 cm (para articulaciones) y 45 cm (para estudios de columna). Ahora -en cuanto a la frecuencia espacial- podemos establecer que: κs = donde − N2d ≤ n <

Nd 2

2πn , LF x

(1.31)

con Nd parXXXVII . Teniendo en cuenta la relaci´on anterior y la ecuaci´on (1.12),

la integraci´ on num´erica para determinar el valor aproximado de la intensidad de la imagen del objeto en un p´ıxel p ser´ a: 1 I(p) = Nd donde se ha sustituido la fracci´ on

1.4.1.

xp LF x

por

p Nd

n= N 2 −1

S(n)e2πin N ,

(1.32)

n= N 2

basados en la expresi´on (1.30).

PSF y resoluci´ on espacial

Una propiedad importante de un sistema de imagen es la P SF (acr´ onimo de Point Spread Function) la cual es una medida de calidad del sistema de adquisici´ on y generaci´ on de la imagen. Esta funci´ on describe la respuesta de un sistema de imagen a una fuente puntualXXXVIII en el espacio objeto; en lenguaje coloquial, la P SF puede considerarse una forma matem´ aticaXXXIX de describir la “mancha” en una imagen que representa un fuente puntual sin resolver. Aunque se tome la se˜ nal de una fuente puntual, la imagen resultante no va a ser puntual básicamente por dos razones: Aberraciones del sistema ´ optico que extenderá la representaci´ on de la fuente puntual en un ´ area finita. Efecto de difracci´ on ocasionado por la naturaleza del comportamiento ondulatorio de la EMR; tal efecto difunde la imagen incluso si el sistema no tiene aberraciones. En sistemas de im´ agenes que reciben radiación incoherente, la formaci´ on de una imagen de varios objetos sigue el principio de superposici´ on siendo muy u ´til tal principio si se cuenta con las imágenes XXXVII Se

toma este rango y no el rango [0,N ] por cuestiones de simetr´ıa en el an´ alisis de Fourier. Esta delta tiene la propiedad de ∀x 6= 0 → δ(x) = 0 y que

XXXVIII Representada matem´ aticamente como una delta de Dirac. R∞ −∞ δ(x)dx = 1. XXXIX Funcionalmente, es la versi´ on en el dominio espacial de la

an´ aloga de entrada.

funci´ on de transferencia de modulaci´ on asociada a la se˜ nal

´ DE IMAGENES ´ 1.4. ASPECTOS DE ADQUISICION E IMAGENOLOG´IA

de cada objeto por separado. Como los sistemas de adquisici´ on de imagen no reciben la misma distribución de intensidad a lo largo de su FOV, tal distribuci´ on puede ser representada como una función de peso O(x, y) donde x e y son las coordenadas en la imagen. Con base a lo mencionado, la representación hecha por la imagen generada por el sistema de adquisici´ on ser´ a el producto de la intensidad que él registró por la “borrosidad” que a˜ nade la P SF ; as´ı la imagen vendr´ a descrita por: ZZ O(x, y)P SF (xj − ζx, yj − ζy)dxdy,

I(xj , yj ) =

donde ζ simboliza alguna posible magnificación que haya aplicado el sistema de adquisición o generaci´ on de la imagen. Si la se˜ nal f (x) representa la se˜ nal digital ideal para generar la imagen, la intensidad de la imagen (considerando el efecto modelado con la P SF ) en el p´ıxel p vendrá dada por: Z

∞

f (x)P SF (x − xp )dx,

I(p) =

(1.33)

−∞

donde hemos trasladado nuestro c´ alculo a una dimensi´on. Operando adecuada y laboriosamente la anterior relaci´ on y las ecuaciones (1.10), (1.12), (1.31) y (1.32) podemos obtener que: e

− πix F

sin

Nd sin

P SF (x) =

πNd x LF x

πx LF x

(1.34)

Este resultado puede interpretarse como un P SF (x − xp ) para xp = 0, as´ı, es equivalente a tener la fuente puntual en el origen y este resultado nos dar´ıa el factor multiplicativo para obtener el efecto de la aberraci´ on ´ optica y la difracci´ on en la se˜ nal propuesta.

Figura 1.24: Parte real y parte compleja de la funci´ on P SF (x) para varios valores de Nd .

En la figura 1.24 se muestra la parte real y la parte compleja (separadas considerando la ecuación (1.7)) de la funci´ on P SF (x − xp ) con xp = 0 para varios valores de Nd . En la gr´ afica vemos como a mayores valores de Nd disminuye notablemente la influencia de la P SF ya que el FWHM del pico de la posición de xp se hace más peque˜ no y los picos adyacentes pierden amplitud frente a dicho m´ aximo. Para describir la reconstrucci´ on por Fourier de muestras discretas en dos o tres dimensionesXL se puede demostrar que la funci´ on P SF viene dada por el producto de las funciones P SF en cada coordenada; esta propiedad marca una gran ventaja ya que no genera inconvenientes de posibles convoluciones entre el comportamiento de la funci´ on P SF en cada eje coordenado. Otra propiedad importante en el an´ alisis de imágenes es la resoluci´ on espacial . Frecuentemente, esta XL Por ejemplo, cuando el mapa de intensidades de una imagen 2D es dada por la convoluci´ on de un objeto f (x, y) y una P SF (x, y)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

variable es definida como la distancia m´ınima entre dos puntos de la imagen los cuales pueden ser distinguidos uno del otro. A partir de la relaci´on (1.34), puede demostrarse que tal resoluci´on viene dada por: ∂x =

LF x . Nd

En la gr´ afica 1.24 vemos como el comportamiento de la función P SF es periódico; ahora, si tenemos en cuenta que tal comportamiento no es u ńicamente debido a propiedades del sistema óptico, es de esperarse que la se˜ nal an´ aloga a digitalizar ya haya seguido el mismo comportamiento periódico.

1.4.2. ga

Muestreo de una se˜ nal an´ alo-

En muestreo digital (o simplemente muestreo) es un proceso que hace parte del procesamiento digital de se˜ nales en el cual una se˜ nal an´ aloga (por ende continua) es reducida a una se˜ nal discreta a través de una toma de muestras y a la cuantificaci´ on de las amplitudes de tales muestras. Siguiendo con la analog´ıa establecida en la subsección 1.2.3 con el sonido, un ejemplo com´ un de muestreo es la conversión de una onda de sonido (una se˜ nal continua) a una secuencia de muestras (una se˜ nal de tiempo discreto) para manipularla a través de un sistema de audio; habr´ıa que aclarar que -en nuestro contexto- nuestra se˜ nal continua es una onda electromagnética que requiere ser analizada digitalmente a través de un sistema de computo. El muestreo est´ a basado en el teorema del muestreo también conocido como el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist. Este teorema fue formulado (en forma de conjetura) por primera vez por Harry Nyquist en 1928 y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949; el teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una se˜ nal periódica continua en banda baseXLI a partir de sus muestras es matemáticamente posible si la se˜ nal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda. Dicho de otro modo, la información completa de la se˜ nal anal´ ogica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. Rigurosamente, el criterio de Nyquist involucra el hecho que para muestrear correctamente una se˜ nal periódica es necesario utilizar una frecuencia de reconstrucci´ on con valor m´ınimo correspondiente al doble de la máxima componente sinusoidal de la se˜ nal a muestrear. Con base en esto, si se impone un rango temporal Td de muestreo, la frecuencia m´ınima de muestreo o frecuencia de Nyquist ser´ a: ωNQ =

Nd . 2Td

(1.35)

Sea una se˜ nal f (t) compuesta por la suma de varias ondas electromagnéticas (dominio del tiempo) la cual debe ser muestreada para su posterior an´ alisis. Esta se˜ nal es limitada en frecuencia ya que su rango en el dominio frecuencial est´ a limitado por las frecuencias de las ondas que la componen, por ende, el criterio de Nyquist se hace aplicativo para la situación. La función ideal para muestrear tal se˜ nal es la 4T (t) (peine de Dirac) de forma tal que al aplicarla sobre la se˜ nal tendremos el producto f (t)4T (t). Gráficas El producto es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras de : El Aliasing o XLI Este t´ ermino abarca al conjunto de se˜ nales que no sufren ning´ un proceso de modulaci´ on a la salida de la fuente que las origina, es decir son se˜ nales que son transmitidas en su frecuencia original. Generalmente, estas se˜ nales tienen un rango de frecuencias desde cerca a los 0 Hz a una frecuencia de corte.

´ DE IMAGENES ´ 1.4. ASPECTOS DE ADQUISICION E IMAGENOLOG´IA

efecto Nyquist es un efecto que causa que se˜ nales continuas se tornen indistinguibles cuando se les muestrea digitalmente

1.4.3.

Relaci´ on se˜ nal/ruido

La relaci´ on se˜ nal/ruido (SNR, acr´ onimo de Signal to Noise Ratio) para sistemas electr´ onicos de generaci´ on de im´ agenes es definida como la razón entre el valor medio de la se˜ nal de información µs y la desviaci´ on est´ andar σr de la se˜ nal del ruido de fondo. Sin entrar en detalles, es sabido que la desviación estándar depende del valor medio, por consiguiente es de vital importancia tener claro como calcular el valor medio de ambas se˜ nales. Una vez se ha definido una regi´ on de la imagen compuesta por n datos de l´ınea (p´ıxeles), se ajusta el comportamiento de todas sus intensidades x a un polinomio de grado m, este ajuste se sustrae de los datos de la l´ınea original con el fin de eliminar cualquier tendencia de la región de estudio. As´ı, el valor medio de cualquiera de la se˜ nales es: Pn µ=

i=1

(xi − fi ) n

donde

fi =

m X n X

aj xji ;

j=0 i=1

siendo fi el resultado del ajuste donde todos los aj son los coeficientes producto del ajuste del polinomio. El valor cuadr´ atico medio o ra´ız media cuadrática (RMS del inglés Root mean square) es la ra´ız cuadrada del valor absoluto de la suma de las varianzas de la se˜ nal de la región, esto es:

RMS =

v u uP u n u i=1 t

Pn xi − n

j=1

n .

Como la desviaci´ on est´ andar es el RMS de los valores de su media aritm´etica, entonces la SNR queda expresada mediante:

Pn i=1 (xsi − fsi ) v SNR = !2 . u Pn u Pn x i j=1 tn i=1 xri − n

donde el sub´ındice s corresponde a la se˜ nal de informaci´on y el r al ruido y se ha asumido que ambas regiones tienen la misma cantidad de datos de l´ınea. Si medimos la se˜ nal de la misma muestra N veces y determinamos la SNR de la resultante aditiva tendremos: Pn √ N i=1 (xsi − fsi ) SNR(N ) = v = N SNR(1),   u !2 Pn u P u j=1 xi n   tn i=1 N xri − n de ac´ a que entre mayor sea N mejor SNR se tendr´a. *25283

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Bibliograf´ıa [1] National Academies. http://www.nationalacademies.org/. [2] CIS-RIT. http://www.cis.rit.edu/htbooks/nmr/. [3] Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/main page. [4] Robin A. de Graaf. In vivo NMR spectroscopy. John Wiley & Sons, 2 edition, 2007. [5] F. Bloch. Nuclear induction. Phy. Rev, 70:460–473, 1946. [6] ISMRT. http://www.ismrm.org/smrt/. [7] ISMRM. http://www.ismrm.org/. [8] M. Muendler U. of California. http://www.econ.ucsd.edu/muendler/teach/gen/diffeqn.pdf.

[9] Mathematics U. of Cadiz. http://www2.uca.es/matematicas/docencia/2005-2006/fc/0206024/apuntes/tema11 [10] http://www.youtube.com/watch?v=xu4sh-ywhrk. [11] Linus Pauling. General Chemistry. Dover Publications Inc., 3 edition, 1988. [12] P. Callaghan. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy. Clarendon Press, Oxford, 1991. [13] P. Belin. Basic introduction to fmri. REPRIC, 2006. Univerist´e de Montr´eal. [14] http://chemwiki.ucdavis.edu/. [15] M. Thompson E. Haacke, R. Brown. Magnetic Resonance Imaging, Physical Principles and Sequence Design. John Wiley & Sons, 1999.

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 2

Marco Te´ orico A grandes rasgos, la mayor´ıa de los procedimientos encaminados a obtener información de una muestra utilizando RMN utiliza un método que radica en generar un est´ımulo sobre dicha muestra y detectar la se˜ nal que ella emite en respuesta al est´ımulo generado. No es fácil encontrar un procedimiento de este tipo que adem´ as de inducir la generaci´ on de una se˜ nal “respuesta” detectable, permita que en tal se˜ nal haya informaci´ on de la estructura, din´ amica y estado de algunos átomos y moléculas que componen la muestra. En el argot que nos compete, el término muestra da cuenta del conjunto de átomos y/o moléculas del cual queremos extraer la informaci´ on; en aplicaciones médicas, este conjunto puede estar determinado por un corte transversal de un tejido a partir del cual queremos generar una imagen o una peque˜ na porci´ on c´ ubica de cierto ´ organo que nos permita hacer una análisis espectral de los elementos que lo componen. Particularmente, la técnica de RMN se emplea para manipular las propiedades magnéticas de ciertos n´ ucleos at´ omicos de la muestra y as´ı determinar las propiedades f´ısicas y qu´ımicas de los átomos y/o moléculas que forman el “ambiente” en el cual tales n´ ucleos están contenidos. Toma as´ı gran importancia la magnetizaci´ on (pag. 37) un concepto ligado a las propiedades magnéticas de la materia que juega como puente entre lo micro y la macrosc´ opico del análisis f´ısico de la materia, por ello, empezaremos este marco te´ orico describiendo las leyes que riguen la dinámica de su movimiento.

2.1.

Cinem´ atica de la magnetizaci´ on

Hemos mencionados que los estados producto de la naturaleza magnética de los n´ ucleos son degenerados (sub-sec 1.3.3), pero al colocar un n´ ucleo bajo un campo magnético externo constante, la interacción entre el momento angular de esp´ın y B~0 generar´ a un momento magnético nuclear de esp´ın con una multiplicidad determinada (sub-sec 1.3.4, fig 1.21). Estas diferentes orientaciones hacen que cada uno de estos estados tengan energ´ıa diferente, as´ı, estados correspondientes a espines paralelos al campo magnético externo tienen menor energ´ıa que en ausencia del campo mientras que estados correspondientes a espines con orientaci´ on antiparalela a B~0 tienen mayor energ´ıa; orientaciones intermedias tendrán energ´ıas entre estos dos l´ımites. El problema de la interacci´ on de un n´ ucleo con un campo magnético es aboradado por la mecánica cu´ antica la cual describe tal interacci´ on a través del hamiltoniano: H = −~ µ · B~0 . 51

(2.1)

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

La soluci´ on a este hamiltonianoI es descrita a partir del efecto Zeeman nuclear (fig 1.18). La energ´ıa del i-´esimo estado no degenerado de esp´ın viene dada por: Ej = −γhB0 mIj ,

(2.2)

Consideremos un n´ ucleo que posee un esp´ın de 19

1 2

como 1 H,

P. Tal y como lo muestra la figura de la izquierda de la figura

1.21, este n´ ucleo tiene dos estado posibles de esp´ın: m = ± 21 . Con base a ello, la diferencia de energ´ıa entre los estados que antes de la aplicaci´ on del campo magn´etico eran degenerados ser´a: 4E = EmI =− 21 − EmI = 12 = γhB0 .

(2.3)

La frecuencia asociada a este cambio energ´etico ser´a: (ecu. (1.19)) ν=

4E = γB0 . h

Figura 2.1: Precesi´ on de µ alrededor de B~0 .

(2.4)

El torque magn´etico (fig. 2.1 y ecu. (1.21)) τ~m asociado a la interacci´on entre el µ ~ y B~0 es: τ~m = µ ~ × B~0 = γ J~ × B~0

(2.5)

donde hemos aplicado la relaci´ on (1.20). La velocidad angular de precesión Ω se define como la velocidad ~ análogo a la velocidad angular que adquiere el angular con la que gira el eje de rotaci´ on en torno al eje Z eje de rotaci´ on de un trompo alrededor del campo gravitatorio terrestre. Ω se puede determinar analizando alguna de las componentes de J~ transversales a este eje, es decir, estudiando Jx o Jy . Centrando nuestro ~ tanto desde el punto de vista dinámico como trigonométrico an´ alisis en la componente sobre el eje X, tendremos: ~ cos Ω sin θ Jx = |J|

=⇒

1 ~˙ ~ |Ω|J| cos Ω sin θ, J˙x = 2π

~ B~0 | cos Ω sin θ, τm,x = J˙x = γ|J||

(2.6a) (2.6b)

siendo la ecuaci´ on (2.6a) la din´ amica de un cuerpo en precesi´on (fig. 2.1) donde no hay cambios temporales ~ ni en sin θ y la relaci´ en |J| on (2.6b) es producto de aplicar trigonometr´ıa a la expresi´on (2.5)II . Igualando estas dos u ´ltimas expresiones tendremos que: 1 ~˙ |Ω| = γB0 . 2π

(2.7)

Esta frecuencia de precesi´ on -que también juega un rol escencial en el balance energético (ecu. (2.4))- es de notable importancia en la teor´ıa de RMN y es denominada Frecuencia de Larmor (ω0 ); erroneamente se la ha asociado la letra griega ω que por convención se utiliza para denotar la frecuencia angular, sin embargo se ha mantenido tal nomenclatura por lo ya mencionado en los párrafos posteriores a la ecuaci´ on (1.19). Cabe aclarar que no hay que olvidar que se está trabajando con n´ ucleos de esp´ın de

1 2

en los cuales solo hay una transici´ on causada por el desdoblamiento de niveles de energ´ıa por el campo magnético externo; n´ ucleos con esp´ınes mayores a este valor tendrán más desdoblamientos y por ende la posibilidad de m´ as transiciones. Una ejemplificación de esta u ´ltima situación se aprecia en la figura 1.18. I Un

tratamiento te´ orico m´ as riguroso es expuesto en la referencia [1] que una variable con un punto en su parte superior corresponde a una notaci´ on en la cual se indica su derivada temporal, (1.4). II Recordemos

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

Elemento 1

H C 14 N 19 F 23 Na 31 P 13

Esp´ın

2πγ [rad MHz/T]

1/2 1/2 1/2 1/2 3/2 1/2

267.51 67.264 19.325 251.67 70.761 108.29

Abundancia Natural

ν* [MHz]

4E* [neV]

42.576 10.705 3.0757 40.055

176.08 44.274 12.720 46.576

17.234

71.278

99.985 1.108 99.63 100.0 100.0 100.0

Cuadro 2.1: Constantes de RMN para algunos n´ ucleos de inter´ es utilizados en aplicaciones m´ edicas y biol´ ogicas[2]. Vemos como gran parte de las frecuencias se sit´ uan en el espectro de alta frecuencia del rango de RF (sec. 1.3).*: Variables correspondientes a un campo externo de 1.0 T.

En la tabla 2.1 se exponen algunas constantes de RMN para algunos n´ ucleos de interés en este documento, m´ as constantes se pueden encontrar en la tabla 2.1 de la referencia bibliográfica [2] y en la tabla 1.1 de la referencia [3] se encuentran algunas propiedades magnéticas adicionales de n´ ucleos con espines diferentes de cero. Debido a su abundancia en el agua y en los l´ıpidos (sub-sec ??), actualmente en RM es de mucho interés y es bastante utilizado el n´ ucleo 1 H también referidos como protones o mal llamados espines; de hecho, a menos que se haga referencia a otro n´ ucleo, a partir de este momento se hará referencia a la RM con 1 H. En la tabla 2.2 se exponen algunos valores técnicos que se han manejado en RM, as´ı, la frecuencia de Larmor ha variado desde unos centenares de kHz (en los inicios de la técnica) hasta decenas de MHz (en los resonadores actuales) mientras que la frecuencia ha estado contenida en el rango de los MHz. En la figura 2.2a se muestra el

Aspecto

Valores iniciales

Valores actuales

|B~0 | |B~1 |

0.05 T

0.25 - 3.0 T

unidades de µT

centenas de µT

~ |G|

30 - 2000 mT/m

Bw(ω0 )

menos de 100 kHz

Cuadro

2.2:

Valores utilizados en la t´ ecnica de IRM y

primer equipo de resonancia experimental ERM, tanto en sus inicios como en la actualidad. “indomitable” dise˜ nado para adquirir im´ agenes anatómicas humanas. En este proyecto -llevado a cabo por Raymond Damadian (sec. 1.1)- se utilizó un B~0 de 50 mTIII con el fin de detectar depósitos de potasio en el cuerpo humano. Ya sea para excitar o considerando el caso en que el n´ ucleo se desexcite, la aplicación o emisión de EMR de estos n´ ucleos involucra manejar fotones con energ´ıas inferiores a los 100 µeV (ecu. (1.19)); este hecho hace que la radiaci´ on involucrada en esta técnica no sea ionizante (EMR ionizante está por encima de los 3 eV) lo cual supone que el riesgo para un ente biológico sea considerablemente bajo. Este aspecto se profundizar´ a en la secci´ on ??.

2.1.1. III Siendo

Balance energ´ etico macrosc´ opico aproximadamente mil veces el valor del campo magn´ etico terrestre.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

54 Pese a su complejidad, la rama de la f´ısica que mejor describe el comportamiento de una muestra bajo alteraciones externas es la mec´ anica estad´ıstica cu´ antica. Un concepto fundamental en mec´ anica estad´ıstica es el de ensamble el cual es una idealizaci´ on del conjunto de todos los posibles estados en que la muestra pueda estar. Un ensamble can´ onico es un

(a) Primer equipo de RM dise˜ nado para adquirir im´ agenes del cuerpo humano.

conjunto de sistemas que intercambia energ´ıa t´ermica con los alrededores pero no materia, as´ı, su temperatura var´ıa pero su n´ umero de part´ıculas es constante.

(b) Primera imagen m´ edica de RM.

Figura 2.2: Aspectos de la primera im´ agen humana de un corte transversal de torax obtenida con ‘‘Indomitable’’Figura tomada de la referencia [4].

Al contrario de un microestado, un macroestado es la caracterizaci´ on del sistema termodin´ amico de la muestra mediante valores de un n´ umero finito de variables de estado de las cuales al menos una de ellas es una magnitud extensivaIV . Un ensamble can´ onico de N n´ ucleos con esp´ın

1 2

sometido a un campo magn´etico

externo permite definir un macroestado mediante los valores del n´ umero de espines (N ), la energ´ıa interna y el campo magnético externoV . As´ı mismo, la energ´ıa interna depende fuertemente de la temperatura Θ de forma tal que -sin entrar en detalles teóricos- la probabilidad de encontrar un n´ ucleo en un estado con una energ´ıa particular Em a una temperatura determinada está dada por:[5] Em

Υm

mγhB0

e kΘ e− kΘ = = Λ Λ

con: Λ =

e−

Em kΘ

(2.8)

donde k es la constante de Boltzmann (tabla ??), Λ es conocida -en mecánica estad´ıstica- como la funci´ on de partici´ on y se ha utilizado la expresión (2.2) para determinar el tercer término de la igualdad. Si hallamos la relaci´ on entre las probabilidades de obtener un n´ ucleo en un estado de alta energ´ıa y de baja energ´ıa obtendremos que: aprox: kΘ 4E

Υ(mI =−1/2) 4E = e− kΘ Υ(mI =+1/2)

=⇒

z }| { Υ(mI =−1/2) 4E ≈1− . Υ(mI =+1/2) kΘ

(2.9)

La aproximaci´ on realizada puede llevarse a cabo porque kΘ =25.25 meV (a una temperatura de 20o C) mientras que 4E tiene un valor del orden de 10−6 meV teniendo en cuenta el rango de frecuencias anteriormente mencionado. Basados en este resultado, es claro que -aunque siempre ser´a mayor la poblaci´ on de n´ ucleos en estado de baja energ´ıa (mI = + 12 ) que en alta (mI = − 12 )- la diferencia entre la cantidad de n´ ucleos en cada estado ser´ a muy peque˜ na de forma tal que en determinadas situaciones puede aproximarse que est´ an en cantidades iguales. Es sabido que para que un n´ ucleo pase del estado de baja energ´ıa al estado de alta energ´ıa es necesario que IV Aquellas propiedades que dependen de la cantidad de sustancia o del tama˜ no de una muestra. Ejemplos de tales propiedades pueden ser la masa, volumen, energ´ıa y entrop´ıa. V Un tratamiento te´ orico m´ as riguroso es expuesto en la referencia [1]

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

absorba EMR, por ende, para que en una muestra tal absorción tenga una alta probabilidad deben haber m´ as n´ ucleos en mI = + 12 que en mI = − 12 , hecho que vimos que ocurre en equilibrio térmico. Einstein predijo te´ oricamente que la transici´ on desde el estado de alta al de baja energ´ıa (proceso llamado emisi´ on estimulada) est´ a relacionada con el proceso de absorción, llegado al caso a que no exista probabilidad de tener una absorci´ on neta en la muestra se llega a una condición denominada saturaci´ on. La ecuaci´ on (2.9) da cuenta de la relaci´ on entre las probabilidades de tener un n´ ucleo en alguno de los dos estados; ahora, si queremos determinar que relación H hace falta para tener la misma población de n´ ucleos en ambos estados, tendremos que hallar la mitad de la diferencia que hace falta para volver a tener una relaci´ on en cantidad de nucleos de 1:1. Para entender esta situación haremos una analog´ıa en la cual suponemos una vivienda con 8 bombillos encendidos y 4 apagados, as´ı, para llegar a un estado de igual n´ umero de luces encendidas y apagadas no hay que apagar la diferencia entre el n´ umero de focos encendidos y apagados (4); en vez de ello, hay que apagar la mitad de este n´ umero (2) y as´ı habrán 6 bombillos apagados y 6 con luz. Con este razonamiento, H vendrá dado por: 1 H= 2

Υ(mI =−1/2) 1− Υ(mI =+1/2)

1 4E 1 γhB0 = . 2 kΘ 2 kΘ

(2.10)

Con esta relaci´ on de probabilidades, podemos hallar un “momento magnético medio por nucleo” h~ µi el cual equivale a establecer un valor medio de µ ~ para todos los n´ ucleos de la muestra y hacer de cuenta que todos tienen las mismas caracter´ısticas. Para ello asumimos que todos los n´ ucleos en estado m = + 21 tienen un momento magnético 12 ~γ y los que están en m = − 21 tienen uno de − 12 ~γ; as´ı -como habrá m´ as n´ ucleos con momento magnético 12 ~γ- mantenemos esta cantidad y hacemos la ponderación mediante la relaci´ on de probabilidades que exista, as´ı: h~ µi =

2 1 1 γhB0 γh B0 hγ ∗ . = 2 2 kΘ 2 kΘ

(2.11)

Finalmente, el valor de la magnetizaci´ on de una muestra se puede obtener de la multiplicaci´on de la densidad de espines en la muestra y el momento magn´etico medio por n´ ucleo, es decir M ≈ ρI h~ µi donde ρI =

nI V

siendo tal fracci´ on la cantidad de espines por volumen de muestra V . En la referencia

bibliogr´ afica [6] se expone una aproximación para la magnetización volumetrica de una muestra con n´ ucleos de magnitud de esp´ın I, dividiendo tal ecuación por el volumen para obtener u ńicamente la magnetizaci´ on tendremos: M≈ N´ otese como -para I =

1 2-

ρI γ 2 h2 I (I + 1) B0 . 3kΘ

(2.12)

obtendremos el caso especial de la ecuaci´on (2.11) multiplicado por ρI .

Retomando la ecuaci´ on (1.24), podemos calcular la susceptibilidad magn´etica del ambiente de la muestra utilizando el anterior resultado: χm = µm0

ρI γ 2 h2 I (I + 1) 3kΘ

=⇒

χm ∝

1 , Θ

(2.13)

siendo esta u ´ltima implicaci´ on una proporcionalidad denominada comportamiento de Curie. Generalmente, en RMN siempre se estimula la muestra de forma tal que solo un tipo de n´ ucleo sea energizado y genere una magnetizaci´ on neta, de ah´ı que -por ejemplo en RM de 1 H- solo sea este n´ ucleo el estimulado pese a que la muestra tenga una variedad considerable de moléculas orgánicas. Es por esto que vale la pena profundizar sobre el término ρI que -l´ıneas anteriores- fue definido como densidad volumétrica de espines ( nVI ); hay que anotar que si la muestra tiene moléculas con ς n´ ucleos de interés y hay nm

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

56 mol´eculas, tal t´ermino ser´ a igual a:

nI ςnm = mm V ρm

ρI =

donde hemos utilizado la densidad (masa espec´ıfica) de moléculas (ρm ) y la masa (mm ) que ocupa el volumen de moléculas (V ). La masa del volumen que ocupa las moléculas es igual a la masa molecular (wr ) por el n´ umero de moles; as´ı mismo, tal n´ umero es igual al cociente del n´ umero de moléculas con nm el n´ umero de Avogadro NA , llegando a la igualdad mm = wr N . De esta forma y al reemplazar esta A

igualdad en la anterior ecuaci´ on tendremos: ρ I = ρ H NA

donde:

ρH = ς

ρm , wr

(2.14)

donde -a conveniencia- se ha definido la densidad molar hidrogenoide (ρH ) que posee los valores que se exponen en la tabla ??. Con esta relaci´ on, la ecuaci´on (2.12) puede reescribirse de la siguiente forma: M ≈ι ρH

con

ι=

NA γ 2 h2 I (I + 1) B0 , 3kΘ

(2.15)

siendo ι una constante para un estudio de RM de 1 H.

Sangre WAT H´ıgado M´ usculos WM GM LCR Hueso C-A (sup)** C-A (med)** C-A (prof)** Agua[7]

ρ∗H

Ci [ %]

Entorno

T1 [ms] 3

H2 O

Prot

Lip

[mol/cm ]

0.5 T

78 13 – 75 – – – 25 – – – 100

5 0 – 25 – – – 30 – – – 0

0 87 – 0 – – – 0 – – – 0

0 0 – 0 – – – 45 – – – 0

15 0 – 0 – – – 0 – – – 0

0.108 0.106 – 0.105 – – – 0.057 – – – 0.1099

210 350 550 500 650 1800 – 1800 1800 1800

1.5 T

1200 255(5) 500 900 690(90) 930(30) 2400 – 2400 2400 2400 2813

T2 [ms] 100-200* 70(10) 40 47(3) 85(5) 100 160 – 20 - 40 50 - 120 10 - 20 704

Cuadro 2.3: Densidad molar hidrogenoide equivalente y valores de T1 y T2 para tejidos y componentes del cuerpo humano. Tiempos de relajaci´ on tomados de las referencias [8, 9]. *: Mayor valor corresponde a sangre arterial y menor valor a sangre venosa. **: Cartilago articular, referencia [10]; Prot: Prote´ ınas; Lip: L´ ıpidos.

La variable definida como densidad molar hidrogenoide es una magnitud que tomará bastante interés a lo largo del documento, sin embargo, ser´ a necesario determinar un ρH equivalente a cada tipo de tejido. Para llevar a cabo esta tarea, tendremos en cuenta las proporciones mencionadas en la sub-sección ?? de forma tal que la densidad molar hidrogenoide media de cada tejido será: ρ∗H =

i=n X

Ci ρHi

i=1

donde n es la cantidad de componentes y Ci es el porcentaje en volumen del componente i. En la tabla

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

2.3 se muestra las proporciones tenidas en cuenta para el cálculo de ρ∗H , nótese como el WAT, la sangre y el m´ usculo tienen un valor semejante mientras que el valor del hueso es cercano a la mitad de este valor medio. Finalmente, basados en la tabla ?? se calculó la densidad molar hidrogenoide de los tejidos m´ as estudiados en RM. Con los anteriores an´ alisis te´ oricos, vamos a calcular la magnetización generada en los hidrógenos contenidos en medio litro de agua en un campo magnético externo de 1.5 T. Si asumimos una densidad para el agua de 0.99 g/cm3 (teniendo en cuenta influencias de presión y temperatura), medio litro de agua pesar´ an 500 g. Por otro lado, podemos calcular su masa molecular a partir de la masa atómica del hidrógeno (1.008 u) y del ox´ıgeno (16 u), de esta forma, podemos establecer que una mol de agua tendrá una masa de 18.02 g y -por ende- 500 g (0.5 litros) de agua contendrán 27.8 moles. Este n´ umero de moles y el n´ umero de avogadro (tabla ??) nos permite establecer que en medio litro de agua hay 3.34*1025 n´ ucleos de hidrógeno, as´ı, junto a la constante γ del hidr´ ogeno (tabla 2.1) podemos obtener los resultados de la tabla 2.4. Una vez calculada la magnetizaci´ on inicial de la muestra bajo un campo magnético externo con-

Variable

Valor

Obtenci´ on

stante espacial y temporalmente, podemos deter-

~ |J|

0.866~

ecu. (1.18)

|~ µ|

11.50 neV/T

ecu. (1.20)

264.1 neV

ecu. (2.3)

minar su evoluci´ on temporal a partir de las ecuaciones de Bloch (ecu. (1.26)). Como B~0 no tiene ~ ni en Y ~ , tales ecuaciones se componentes ni en X

5.227*10

reducen a: Mx,y (t) M˙x,y (t) = ±γMy,x (t)|B~0 | − , T2

(2.16)

−6

ecu. (2.10)

h~ µi

460.2 feV

ecu. (2.11)

4.929 nA·m−1

ecu. (2.12)

χm

4.130*10−7

ecu. (1.24)

donde hemos desarrollado el producto cruz (ecu. (1.1)). Como veremos en la secci´ on 2.1.5, los valores que puede tomar la fracci´ on −7

rango [10

1 T2

est´ an en el

,0.1] MHz (ya que los valores de T2

Cuadro 2.4: Resultados del c´ alculo de las variables magn´ eticas relativas al 1 H. Muestra correspondiente a medio litro de agua en un campo de 1.5 T.

rondan entre las decenas de µs y las decenas de segundo); en tanto, el término γB0 generalmente ronda las decenas de MHz haciendo posible establecer que γB0 T12 . Para las condiciones planteadas, sabemos ~ de la magnetización es dominante y al ser el sistema simétrico en el plano XY que la componente en Z podemos aproximar la diferencia entre Mx y My como despreciable frente a la desigualdad planteada, as´ı, podemos establecer la siguiente aproximación:

Mx,y (t)

γMy,x (t)|B~0 | T2

=⇒

M˙x,y (t) ≈ ±γMy,x (t)|B~0 |,

(2.17)

lo cual -al reconstruir el producto cruz sin importar las componentes nulas de B~0 - implica obtener que:[11] ~˙ ≈ γ M ~ × B~0 M

=⇒

~ | = γ|M ~ |B0 sin θdt, |dM

(2.18)

(2.19)

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

donde ω0 es la frecuencia de Larmor. El ± surge al tener en cuenta que el argumento geométrico utilizado siempre se bas´ o en magnitudes vectoriales sin tener en cuenta que el sentido de barrido de un ángulo marca su signo (pag. 31). Demostrado este movimiento de precesión, es sencillo determinar que las soluciones al sistema de ecuaciones diferenciales (2.17) son: π Mx (t) = |M~⊥ (0)| sin ω0 t + k 2 π ~ My (t) = |M⊥ (0)| cos ω0 t + k 2 donde M~⊥ (t) = Mxˆı + My ˆ

(2.20)

siendo k =0,1,2,3,... (un n´ umero entero). Analizando el sentido de giro de la magnetizaci´on, independientemente del valor de k, el giro siempre ser´ a en sentido horario, por tanto, la soluci´on exacta de la ecuaci´ on (2.19) es: 1 ˙ φ = −γB0 = −ω0 . 2π

(2.21)

~ es el vector referente al campo magnético externo y por ende la dirección preferDebido a que el eje Z encial en RM, la componente en esta dirección se denomina magnetizaci´ on longitudinal y -como se ha mostrado en esta sub-secci´ ones producida por diferencias de población observable entre los dos estados propios de energ´ıa Zeeman. Como resultado de las coherencias cu´ anticas entre los dos estados propios de energ´ıa Zeeman, se produce polarizaci´ on de esp´ın perpendicular a la dirección del campo externo; tal componente está en el denom~ es decir en el plano XY ) y se denomina precisamente magnetizaci´ inado plano transversal (al eje Z, on transversal . Como hab´ıamos mencionado en la subsección 1.3.5, las ecuaciones de Bloch son macroscópicas, as´ı, esta deducci´ on se une a la expresión (2.7) para establecer una comunicación entre el punto de vista microsc´ opico (cu´ antico) y macrosc´ opico (semiclásico) del significado de la frecuencia de Larmor. Basados en estudios de materia condensada, se ha podido explicar un efecto denominado Corrimiento qu´ımico o CSEVI que genera un desplazamiento de la frecuencia de precesión de Larmor con base al ambiente qu´ımico en el que se encuentre la muestra. Los n´ ucleos de una muestra están rodeados de átomos que generan nubes de electrones las cuales interact´ uan con el momento angular de esp´ın nuclear; es esta interacci´ on la que genera el desplazamiento mencionado. Aunque este efecto será aboradado con mayor profundidad en la sub-secci´ on 2.2.1, nos anticipamos a mencionar que el efecto neto del ambiente qu´ımico sobre un n´ ucleo espec´ıfico es modificar lévemente el campo magnético externo que sobre él act´ ua, de esta forma también var´ıa la frecuencia de Larmor. El CSE y otros fen´ omenos que causan inhomogeneidades (espaciales y/o temporales) en el campo magnético externo hacen que no todos los n´ ucleos precesen a la misma frecuencia de Larmor haciendo que la magnetizaci´ on presente anomal´ıas frente al comportamiento expuesto en las ecuaciones (2.20); sin embargo -en condiciones de equilibrio y considerando los medios qu´ımicos presentes en el ser humanoestas anomal´ıas no representan cambios considerables frente a la cinemática ya expuesta cuando tratamos cambios de ambientes qu´ımicos como los que hay en el ser humano.

2.1.2.

Radiofrecuencia

tencendido mucho menor a t1 y t1 Para lograr extraer información de una muestra es necesario inducir en ella la emisión de una se˜ nal detectable por un dispositivo que permita caracterizarla. A lo largo de esta sección se ha esVI acr´ onimo

de Chemical Shift effect.

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

tablecido que bajo un campo magnetico constante temporal y espacialmente ~ los espines precesar´ en el eje Z, an a la frecuencia de Larmor y justamente es esta misma frecuencia la asociada al cambio de energ´ıa tras el desdoblamiento de niveles producto de la aplicaci´ on del campo magnético. El siguiente paso consiste en exitar los n´ ucleos de la muestra, para ello es necesario utiliizar ondas electromagnéticas con la frecuencia de Larmor y as´ı permitir que sean absorbidas por los n´ ucleos. Bajo campos externos del orden de unidades de Teslas, la frecuencia de las ondas de excitaci´ on debe corresponder al rango de las RF (tabla 2.1); además -sin entrar en detalles- una condici´ on te´ orica para que estas ondas electromagnéticas no alteren el comportamiento f´ısico del problema es que la amplitud B1 de la onda magnética de este campo de radiación debe ser mucho m´ as peque˜ na que la amplitud del campo magnético externo, esto se conoce en f´ısica cuantica como una perturbaci´ on VII y permite estudiar el problema con teor´ıa de perturbaciones VIII . La aplicación de este nuevo campo magnético B~1 altera el alineamiento de la magnetización al suministrar energ´ıa al sistema y as´ı se logra que los n´ ucleos produzcan una emisión rotacional cuando busquen llegar nuevamente al estado de equilibrio térmico cuando ya no exista el pulso de RF. Al aplicar la RF, gradualmente los n´ ucleos de la muestra en un estado de baja energ´ıa pasarán a uno de alta energ´ıa y sus espines entrar´ an en fase coherenteIX (o espines en coherencia) con la fase de la RF. En la práctica, para lograr el efecto deseado, este nuevo campo cumple las siguientes condiciones: Perpendicular a B~0 , ser´ a entonces en el plano XY . Con una frecuencia igual a la frecuencia de Larmor con el fin de inducir transiciones de n´ ucleos a niveles de energ´ıas altos. |B1 | |B0 |, aproximadamente 10−4 B0 . Valores de B1 se exponen en la tabla 2.2. Basados en la ecuaci´ on (2.21), el campo debe ser circularmente polarizado (fig. 1.16c) con sentido de rotaci´ on horario; por facilidad en el tratamiento teórico, en este documento utilizaremos la siguiente funci´ on para modelar tal campo: B~1 = B1 cos (ω0 t) ˆı − B1 sin (ω0 t) ˆ

(2.22)

~ sea máxima. Se define de esta forma para hacer que en t = 0 su componente en el eje X Su ancho de banda X esta inversamente relacionado a la duración del pulso tu . Aunque estrictamente B~1 altera el campo magnético local que sienten los n´ ucleos de la muestra, las ecuaciones de Bloch siguen siendo v´ alidas para este nuevo campo local ya que tales expresiones no tienen limitaci´ ones en la forma matem´ atica del campo magnético externo. En esta situación, nuestro ~ ~ ~ campo magnético externo B = B0 + B1 sigue teniendo una componente dominante en la dirección ~k, sin embargo, el desconocimiento a priori del comportamiento de la magnetización hace más complejo evaluar la validez de la aproximaci´ on hecha en la expresión (2.17). Aunque varios art´ıculos[12, 13] han mostrado VII Se

est´ a perturbando el hamiltoniano expuesto en la ecuaci´ on (2.1). soluci´ on al problema cambiar´ıa radicalmente si no se cumple la condici´ on en la cual |B~0 | |B~1 | ya que tal teor´ıa no se podr´ıa aplicar IX Dos puntos de una onda son coherentes cuando guardan una relaci´ on de fase constante, es decir cuando conocido el valor instant´ aneo del campo en uno de los puntos, es posible predecir el del otro. X Longitud del rango de frecuencias (a 3 dB) en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la se˜ nal. VIII La

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

lo compleja que llega a ser la soluci´ on de las ecuaciones de Bloch sin considerar esta aproximación, por tal motivo y por la cocordancia que tiene con la práctica, este proceso también se tiende a modelar con la ecuaci´ on (2.18). Desarrollando el producto cruz (ecu. (1.1)), teniendo en cuenta el campo establecido en la ecuaci´ on (2.22) y analizando el problema nuevamente en coordenadas cartesianas tendremos: M˙ x (t) = γ [My (t)B0 + Mz (t)B1 sin (ω0 t)] M˙ y (t) = −γ [Mx (t)B0 − Mz (t)B1 cos (ω0 t)]

(2.23)

M˙ z (t) = −γB1 [Mx (t) sin (ω0 t) + My (t) cos (ω0 t)] Para analizar la soluci´ on de esta ecuaci´ on, tendremos en cuenta las diferentes relaciones que pueden tener las componentes de la magnetizaci´ on. As´ı, tenemos tres casos: ~ con el fin En la primera situaci´ on se supone que la magnetización está prácticamente sobre el eje Z de de ignorar la influencia de Mx y My . As´ı obtenemos que:   ˙ Mx (t) ≈ γMz (t)B1 sin (ω0 t)      ˙ My (t) ≈ γMz (t)B1 cos (ω0 t)      ˙ Mz (t) ≈ 0

=⇒

~ × B~1 . M˙ (t) ≈ γ M

B0 Para realizar esta aproximaci´ on, Mx,y B0 Mz B1 lo cual equivale a decir que Mx,y B Mz . 1 ~ Tomando en cuenta los valores expuestos para B1 (tabla 2.2) tendremos que esta desigualdad se

convertir´ a en Mx,y 0,01 %Mz XI lo cual ocurrir´ıa durante muy poco tiempo. En este intervalo temporal, vemos que Mz no sufre grandes cambios de forma tal que puede considerarse constante; as´ı, la soluci´ on al sistema se reduce a realizar tres simples integrales, el resultado es: 2πγMz (0)B1 cos (ω0 t) ω0 2πγMz (0)B1 My (t) =My (0) + sin (ω0 t) ω0

Mx (t) =Mx (0) −

(2.24)

Mz (t) =Mz (0), esta soluci´ on equivale a decir que la magnetización en el plano transversal adquiere un movimiento circular de frecuencia igual a la de la RF (−ω0 ) y amplitud 10000 veces menor a la de Mz (0). Si suponemos la desigualdad Mx,y B0 Mz B1 la cual ocurrirá aproximadamente cuando Mx,y > Mz , las ecuaciones (2.23) se convertirán en: M˙ x (t) ≈ γMy (t)B0 M˙ y (t) ≈ −γMx (t)B0 M˙ z (t) = −γB1 [Mx (t) sin (ω0 t) + My (t) cos (ω0 t)] , siendo la soluci´ on del plano transversal el sistema de ecuaciones expuesto en (2.20) ya que se obtuvieron las mismas ecuaciones diferenciales que dieron origen a tal solución. La componente en XI Si consideramos que el t´ ermino es aplicable a partir de una diferencia de un 1 % tendremos que se cumple para Mx,y <10−4 Mz

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

~ la vamos a determinar aprovechando las soluciones ya encontradas, as´ı tendremos: el eje Z h π i π + cos2 ω0 t + k = −γB1 |M~x,y (0)| M˙ z (t) = −γB1 |M~x,y (0)| sin2 ω0 t + k 2 2 Mz (t) = Mz (0) − γB1 |M~x,y (0)|t,

(2.25)

lo cual indica que en este rango de tiempo la componente longitudinal de la magnetizaci´on es siempre decreciente. Cuando ninguna de las dos anteriores condiciones se cumplen, estamos trabajando en un intervalo de tiempo donde las magnitudes de las magnetizaciones se relacionan por 10−4 <

Mx,y Mz

< 1. La soluci´ on

general del sistema (2.23) se vuelve compleja y engorrosa, por tanto, presentamos una soluci´on a un ˆ esta es:[11] caso part´ıcular de mucho inter´es en el documento que ocurre cuando M (t = 0) = M0 k, Mx =M0 sin (ω1 t) sin (ω0 t) (2.26)

My =M0 sin (ω1 t) cos (ω0 t) Mz =M0 cos (ω1 t)

donde ω1 = γB1 y es conocida como la frecuencia de Rabi pese a que -técnicamente- su s´ımbolo deber´ıa ser ν1 . Estas soluciones muestran como la magnetización adquiere un movimiento de precesi´ on tanto alrededor de B~0 (a ω0 ) como de B~1 (a ω1 ) ambos en sentido horario; dicho fenómeno se muestra en la figura 2.4. Centr´ andonos en la precesión alrededor de B~1 , si queremos obtener un ´ angulo θB1 a partir de un ´ angulo θB1 ,0 , tendremos que generar una RF durante un tiempo aproximado de: 4t = t(θB1 ) − t(θB1 ,0 ) =

θB1 − θB1 ,0 , ω1

(2.27)

as´ı, si θB1 ,0 = 0 como en la condici´ on inicial supuestas para obtener las ecuaciones (2.26), el tiempo ser´ a de

θ B1 ω1

Como se mencion´ o en el u ´ltimo ´ıtem del listado de condiciones hecho al inicio de la secci´on, para un ´ angulo de giro significativo alrededor de B~1 se requiere que tu ≈ ω −1 . 1

~ en el tiempo. A la izquierda precesi´ Figura 2.4: Evoluci´ on de M on a lo largo de B~0 , a la derecha, precesi´ on a lo largo de B~1 . Imagen modificada a partir de figura expuesta en la referencia [11].

Para caracterizar la soluci´ on de (2.18) (notaci´on vectorial de las expresiones (2.23)) considerando una RF, haremos un an´ alisis de la estructura del sistema y as´ı determinar alg´ un comportamiento

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

del movimiento de la magnetizaci´ on. Analizando la ecuacion, podemos definir el producto vectorial ~ ~ ~ ~ ~ entre M y B como V = |M ||B| sin(θ)ˆ n siendo θ el ángulo que hay entre ellos y n ˆ un vector unitario ~ ~ perpendicular a ambos vectores (ecu. 1.1). Al ser B1 una perturbación de B0 , podemos asumir que ~ pr´ ~ tendra una de sus principales componentes la direcci´ on de B acticamente es kˆ de forma tal que V en el plano XY . Si B~1 va en contrafase a la componente M⊥ el ángulo θ tomará un valor m´ as ~ grande a que si estos dos vectores fueran en fase, as´ı la magnitud de V siempre será menor cuando los vectores vayan en fase. El m´ınimo valor de θ es 90o y corresponde al caso en el cual los vectores van en fase, as´ı, se ha demostrado que es más sencillo abordar este problema en un nuevo sistema de referencia donde la din´ amica de la magnetización se describe respecto al movimiento que ella tendr´ıa si hubiera coherencia (θ =90o ) y determinar las consecuencias de ver una magnetización por fuera de la fase mencionada. A continuación abordaremos con mayor profundidad este apartado.

2.1.3.

Sistema de referencia rotante

Como hemos visto a lo largo del cap´ıtulo, el movimiento de precesi´ on y su relaci´ on con la frecuencia de Larmor y la frecuencia de Rabi es de vital importancia en la cinemática y dinámica del comportamiento de la magnetizaci´ on; por este motivo, para facilitar el trato te´ orico y mejorar el entendimiento de ciertos procesos, ha sido conveniente definir un nuevo sistema de referencia rotante Ξ 0 no inercial que gira alrededor del eje Z de Ξ ~ 0 , Y~ 0 y Z~ 0 (que coincide con frecuencia ωz XII (fig. 2.5) y ejes X ~ con Z). Enfocaremos nuestro an´ alisis a la soluci´ on de las ecuaciones de Bloch (ecu. (1.26)) con un campo externo B~0 y una RF B~1 como la definida en la ecuaci´ on (2.22). Al igual que se hace con el CSE, la forma m´ as sencilla de realizar este cambio de coordenadas es encontrando un campo magnético efectivo que siente el sistema en rotaci´ on; este campo se origina por la misma naturaleza de un campo magnético ya que el movimiento del ente

Figura 2.5: Marco de referencia rotante de frecuencia angular ω. Gr´ afica modificada a partir de la referencia [14].

que interactua con el campo afecta not´ ablemente la fuerza que él siente. La influencia de este movimiento nace desde el mismo torque magnético que el n´ ucleo siente en el sistema rotante, por tanto, la ecuación (1.21) en un sistema que rota con frecuencia ωz es:

˙ µ~0 = γ B~0 + ω~z ×µ~0 {z } |

(2.28)

~0 γB 0

donde µ~0 es el vector µ ~ visto desde Ξ 0 . Es acá donde podemos definir nuestro campo magnético efectivo ω 0 como B~ = B~0 + z de forma tal que si ωz = −ω0 (ecu. (2.21)) no habrá campo magnético efectivoXIII . 0

~ 0 - el campo Si agregamos la RF -que en el nuevo sistema de referencia solo tiene componente en el eje X

XII Volvemos XIII Una

[9].

a aclarar que, pese a la notaci´ on, nos referimos a frecuencia de giros por segundo. demostraci´ on rigurosa de la definici´ on del campo magn´ etico efectivo se podr´ a encontrar en la referencia bibliogr´ afica

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

magn´etico efectivo total ser´ a:[9] ~ 0 = B1 ıˆ0 + 0ˆ0 + B00 kˆ0 B

=⇒

˙ µ~0 = ω1 µ~0 × ˆı0 , | {z }

(2.29)

ωz =ω0

siendo esta u ´ltima ecuaci´ on conocida como cornerstone equation of motion. Reemplazando este campo magn´etico efectivo en las ecuaciones de Bloch tendremos:[14] M 0 (t) M˙ x0 (t) = γMy0 B00 − x , T2 M˙ y0 (t) = γ (Mz B1 − Mx0 B00 ) −

My0 (t) , T2

Mz (0) − Mz (t) M˙ z0 (t) = − γMy0 B1 . T1 Haciendo algunos cambios de variable adecuados, podemos obtener: 0

M (t) M˙ x0 (t) = 4˜ ω My0 (t) − x , T2 My0 (t) ω Mx0 (t) + ω˜1 Mz (t) + M˙ y0 (t) = − 4˜ , T2 Mz (0) − Mz (t) M˙ z0 (t) = ω˜1 My0 (t) + , T1 donde: ω˜0 = −ω0

ω˜1 = −ω1

4˜ ω = ωz − ω˜0

(2.30a)

(2.30b)

La soluci´ on de este sistema de ecuaciones se torna algebraicamente compleja, por este motivo y con el fin de modelar el problema de la subsecci´ on anterior, hacemos despreciables los efectos de T1 y T2 . El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden resultante al cabo de estas aproximaciones puede ser desarrollado como se referencia en los párrafos posteriores a la ecuación (1.5), as´ı, los eige-valores de este sistema son λ1 = 0 y λ2,3 = ±ikω (ver siguiente ecuación) y los eige-vectores son:   0     0 ,     0

  ω 4˜      ikω  ,     ω˜1





ω  4˜     −ikω  ,     ω˜1

donde: kω =

4˜ ω 2 + ω˜1 2

y as´ı se llega a la siguiente soluci´ on: π 0 Mx0 (t) = Myz (0)4˜ ω cos kω t + kθ 2 π 0 0 My (t) = −Myz (0)kω sin kω t + kθ 2 π 0 0 Mz (t) = Myz (0)ω˜1 cos kω t + kθ 2

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

donde kθ =0,1,2,3,... (un n´ umero entero). Nos intereza tratar la situaci´on en que ωz = ω0 (4˜ ω = 0), as´ı, la soluci´ on del sistema (2.30a) se facilita a´ un m´as: M˙ x0 (t) ≈ 0   0 ˙ My (t) ≈ −ω˜1 Mz (t)  M˙ z (t) ≈ ω˜1 My (t) 

=⇒

Mx0 (t) = Mx0 (0)

π 0 My0 (t) = ∓Myz (0) sin(ω˜1 t + kθ ), 2 π 0 Mz (t) = ±Myz (0) cos(ω˜1 t + kθ ), 2

(2.31)

Este resultado establece un movimiento circular en el plano Y 0 Z 0 en sentido anti-horario, además, es consistente con la soluci´ on establecida en el sistema de ecuaciones (2.20) ya que -si hacemos ω˜1 = 0obtendremos que Mx0 (t) = Mx0 (0), My0 (t) = 0 y Mz0 (t) = Mz0 (0) lo que indica una rotación constante ~ a una frecuencia igual a la frecuencia de rotación del sistema de referencia Ξ 0 que alrededor del eje Z para este caso ser´ a −ω0 . Tanto en la anterior soluci´ on como en las soluciones expuestas en (2.24), (2.25) y (2.26) se puede demostrar que magnetizaci´ on ser´ a coherente con la RFXIV y su magnitud es invariane en el tiempoXV . El primer fen´ omeno es el resultado de la interacci´ on entre la magnetización y el campo magnético neto, el segundo no es muy complejo de entender ya que la magnetización depende fuertemente del n´ umero de n´ ucleos (ecu. (2.12)) y de que todos ellos precesen a la misma frecuencia de forma tal que siempre tendrán una fase constante respecto a la RF. Al depositar energ´ıa al sistema (RF) no estamos alterando el n´ umero de ~ , en lugar de ello, estamos alterando su componente Mz la cual es definida por la n´ ucleos que definen M cantidad de n´ ucleos en estado de alta y baja energ´ıa pero en ning´ un momento estamos alterando la fase de precesi´ on de los espines lo que si causa un cambio en la magnitud del esp´ın. Era de esperarse que las soluciones expuestas en las ecuaciones (2.31) también mostraran la precesi´ on de la magnetizaci´ on tanto alrededor de B~0 como de B~1 tal y como sucedió en el sistema de referencia Ξ (fig. 2.4); sin embargo este nuevo sistema de referencia (con 4˜ ω = 0) tiene la ventaja de permitir analizar f´ acilmente si alg´ un momento magnético de esp´ın o si la misma magnetización en alg´ un periodo de tiempo no precesa a la frecuencia de Larmor, as´ı, un atrazo (movimiento en sentido anti-horario en Ξ 0 ) o adelanto (sentido horario) de la componente transversal de alguno de estos vectores (respecto a su posici´ on inicial) representar´ a una precesi´ on a una frecuencia inferior o superior a la de Larmor. Esta ventaja frente al sistema Ξ ha ocacionado que en el sistema rotante se defina una notación[11] para caracterizar un pulso de RF. Hemos visto que la magnitud de B~0 es aproximadamente diez mil veces mayor que la magnitud de B~1 (tabla 2.2), por consiguiente, las frecuencias angulares de Larmor y Rabi seguir´ an la misma proporci´ on. Este hecho nos lleva a concluir que mientras la magnetización da un cuarto de ~ giro alrededor de B1 , alrededor de B~0 hace aproximadamente 2500 giros haciendo que -para un balance energético a través de la magnetizaci´ on- sea mucho más importante conocer el ángulo barrido por la frecuencia de Rabi que por la de Larmor. Basados en lo anterior, la notación mencionada está encaminada a mostrar que rotaci´ on alrededor de B~1 ha causado la RF durante un periodo determinado de tiempo ignorando “parcialmente” su localizaci´ on en el plano transversalXVI , as´ı, dicha notación es determinada ~ 0 o Y~ 0 ). por dos variables: un ´ angulo y un eje del plano transversal del sistema de referencia Ξ 0 (X Explicaremos la forma estructural de la notación con dos ejemplos sencillos; si el ángulo de giro es 35o alrededor del eje Y~ 0 (es decir en el plano X 0 Z) la notación será 35y (aclaramos que en la notación se ha eliminado la comilla que indica el sistema de referencia Ξ 0 pese a que se trabaje en él) mientras XIV Un

movimiento circular de frecuencia −ω0 + My (t)2 + Mz (t)2 es constante. XVI parcialmente porque -pese a que la notaci´ on no de valores directos relativos a esta localizaci´ on- a trav´ es de los datos que ella muestra es posible calcular tal posici´ on XV M

2 x (t)

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

~ 0 (en el plano Y 0 Z) se notará 78x . No es complejo lograr una que un giro de 78o alrededor del eje X ~ basta con establecer las condiciones para llegar al sistema (2.31) que trae rotaci´ on alrededor del eje X, intr´ınseco una rotaci´ on en este eje. La condición primordial que permitió obtener estas ecuaciones fue la forma del campo B~1 (ecu. (2.29)), esta estructura hizo anular todos los términos asociados a la evoluci´ on temporal de la componente Mx0 generados a partir del producto vectorial entre la magnetización y el campo magnético haciendo que tal evoluci´ on fuera determinada u ńicamente por el término de relajaci´ on (pag. 38). Para lograr una rotaci´ on en el eje Y~ 0 se cambia la estructura de la RF manteniendo su polarización y su sentido de giro, pero alteramos los valores de sus componentes en t = 0, as´ı tendremos que: B~1 = B1 sin(ω0 t)ˆı + B1 cos(ω0 t)ˆ 

=⇒

~ 0 = 0ıˆ0 + B1 ˆ0 + B00 kˆ0 B

(2.32)

as´ı, las ecuaciones de Bloch en el sistema Ξ 0 sin terminos de disipación serán:   0 0 0 ˙ M˙ x0 (t) = ω˜1 Mz0 (t)  Mx (t) = γ My (t)B0 − Mz (t)B1     M˙ y0 (t) = 0 M˙ y0 (t) = −γMx0 (t)B00       M˙ 0 (t) = −ω˜1 M 0 (t) M˙ z0 (t) = γMx0 (t)B1 x z donde hemos hecho los cambios de variable mencionados en la expresión (2.30b) y consideramos 4˜ ω = 0. An´ alogamente al procedimiento realizado en las ecuaciones (2.31), las soluciones de este sistema son: π 0 Mx0 (t) =Mxz (0) sin(ω˜1 t + kθ ) 2 0 0 My (t) =My (0) π 0 Mz (t) =Mxz (0) cos(ω˜1 t + kθ ), 2 lo cual indica que el movimiento circular se ha trasladado al plano X 0 Z 0 pero ahora en sentido horario. Comparando el pulso de RF que dio origen a este u ´ltimo trio de soluciones (ecu. (2.32)) con el pulso que dio origen a las expresiones (2.31) (ecu. (2.22)) vemos que el pulso que causó la rotación alrededor del ~ ; as´ı, utilizando la eje Y~ 0 tiene un desfase de π (90o ) frente al pulso que causó la rotación en el eje Y 2

misma amplitud, frecuencia y polarizaci´ on pero diferente fase podemos elegir entre un pulso que cause una rotaci´ on en el eje que se desee. Resta aclarar que -si por alg´ un motivo se desea volver al sistema no rotante Ξ- en la expresión (1.3) se ~ asi, para lograr este proposito, aplicamos este tipo defini´ o una matriz de rotaci´ on inversa en el eje Z, de matriz en un ´ angulo ωt y tendremos la magnetización en el sistema Ξ. Ejemplificando esta situaci´ on, la magnetizaci´ on de un sistema con un campo magnético efectivo total modelado por al ecuación (2.29) ser´ a: (haciendo ωz = ω0 , kθ = 0 y despreciando los efectos de T1 y T2 )  ~ (t) M ≈ 0 ~ (0)| |M

 cos (ω0 t)  ± sin (ω1 t) ± cos (ω1 t)  − sin (ω0 t) 0

≈ ± sin (ω1 t) sin (ω0 t) ± sin (ω1 t) cos (ω0 t)

 0  0  1 ,

sin (ω0 t) cos (ω0 t) 0 cos (ω1 t)

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

donde hemos tenido en cuenta la paridad de la función coseno. Esta solución es igual a la mencionada en la expresi´ on (2.26), este hecho verifica la validez tanto de la transformación al sistema rotante como del procedimiento para encontrar cualquier otra solución de las ecuaciones de Bloch bajo condiciones incluidas en el problema. Pulsos de RF: Cortos y largos En la ecuaci´ on (2.27) vimos como -con la frecuencia de Rabi y el tiempo de duración del pulso de RFpodemos lograr una inclinaci´ on determinada de la RF con el fin de lograr una magnetización transversal diferente de cero. Supongamos una magnetización con un θB1 ,0 = 0 sobre la cual aplicamos -durante un tiempo t- una se˜ nal de RF; a partir de la ecuación referenciada debe ser claro que la magnetizaci´ on tendr´ a un θB1 ,0 = 2π (180o ) en un tiempo 2π/ω1 , esto quiere decir que todos los esp´ınes están en estado de alta energ´ıa (en coherencia con la RF) y por más energ´ıa (fotones con frecuencia ω1 ) adicional que se entregue al sistema, ning´ un nucleo la absorberá ya que se necesita otra frecuencia de radiación para que sigan incrementando su energ´ıa. Este l´ımite temporal establece la diferencia entre un pulso de RF largo y un pulso de RF corto, por ende, un pulso corto es aquel pulso de RF donde la muestra todav´ıa está en capacidad de absorber energ´ıa por parte del pulso y un pulso largo es aquel donde tal absorción es prohibida por el sistema. Las soluciones expuestas a lo largo de esta sub-secci´ on corresponden -entonces- a pulsos de RF cortos debido a que en ning´ un lugar se estableci´ on un l´ımite para la absorción de energ´ıa, sin embargo, es necesario determinar las soluciones para pulsos largos donde el sistema no absorbe energ´ıa neta de la RF. El estudio de este tipo de equilibrios se puede llevar a cabo determinando el estado estacionario XVII del sistema; en nuestro caso, tal equilibrio se logra cuando no hay un cambio temporal en las variables en el sistema rotante (M˙ x0 = 0, M˙ y0 = 0 y M˙ z = 0)XVIII . Resolviendo -bajo estas condiciones- el sistema de ecuaciones determinado en la expresi´ on (2.30a) obtenemos el valor de la magnetización en estado estacionario: 0 Mx−ss = −M0 4˜ ω T22 ω1 (K1m + K2m )

−1

0 My−ss = −M0 T2 ω1 (K1m + K2m )

Mz−ss = M0

=⇒

K1m = 1 + (4˜ ω T2 )

∧

K2m = ω12 T1 T2 ,

K1m K1m + K2m

donde se ha hecho Mz (0) = M0 . Con todas las variables constantes y distintas de cero, esta solución es semejante a la ecuaci´ on (2.7) donde se demostró que en auscencia de RF el sistema llega a un equilibrio “precesional”. Debido a las simetr´ıas del problema y al tipo de interacción involucrada, es natural que la soluci´ on en estado estacionario siga los mismos pasos que en condiciones con B1 = 0, sin embargo, cuando la diferencia entre Mz−ss y M0 son considerables, se tiene una muestra que rápidamente inhibe su absorci´ on de energ´ıa de la RF haciendo que tal equilibrio “precesional” se logre a un θB1 mas bajo. Para lograr aumentar el θB1 , es necesario que el término K2m (que en la u ´ltima ecuación define Mz−ss ) se haga lo m´ as peque˜ no posible con el fin de aumentar el ángulo de precesión en un pulso largo; es decir 2 on se denomina condici´ on de no saturaci´ on y se logra no solo en vol´ umenes ω1 T1 T2 1. Esta condici´ XVII En

f´ısica, el concepto de estado estacionario implica que posiblemente el comportamiento observado del sistema se reproduzca en el futuro. Este estado est´ a asociado a una situaci´ on m´ as general que el equilibrio din´ amico; mientras que un equilibrio din´ amico ocurre cuando dos o m´ as procesos reversibles ocurren a la misma velocidad, un sistema que est´ a en estado estacionario puede no ser necesariamente un estado de equilibrio din´ amico debido a que algunos de los procesos no son reversibles. XVIII Estas condiciones involucran un movimiento de precesi´ on uniforme.

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

con bajo T1 y T2 , tambi´en se llega a ella bajando la potencia de la RF ya que su potencia es proporcional a B12 (y por ende a ω12 ). En condici´ on de no saturaci´on las anteriores ecuaciones se transformen en: 0 Mx−ss ≈ − M0 0 My−ss ≈ − M0

4˜ ω T22 ω1 2

Dispersi´on

Absorci´on

1 + (4˜ ω T2 ) T2 ω1 1 + (4˜ ω T2 )

Mz−ss ≈M0 . ~ 0 de M~⊥ se denomina dispersi´ Como se menciona, la componente en el eje X on transversal y la componente 0 ~ en el eje Y se denomina absorci´ on transversal .

2.1.4.

Desfase de intrav´ oxel y esp´ın isocrom´ atico

Hasta el momento, todas las ideas y relaciones expuestas a lo largo de este cap´ıtulo llevan impl´ıcito varias consideraciones que indirectamente fueron consideradas desde el momento que se realiz´o el balance energ´etico de un ensamble can´ onico de n´ ucleos con esp´ın

1 2

(sub-sec. ). Estas son:

Todos los n´ ucleos que abarca el ensamble canonico son sometidos al mismo campo magnético B~0 y a la misma RF B~1 , en otras palabras, el campo magnético externo es homogeneo en todo el espacio que ocupa la muestra y la RF no se ve alterada por la presencia de masa ni carga alrededor de un n´ ucleo espec´ıfico del ensamble. Todos los n´ ucleos se encuentran en un medio tal que sus caracter´ısticas permite despreciar cualquier interacci´ on electromagnética entre los n´ ucleos o con part´ıculas presentes en el volumen de interés. En RM, al extraer informaci´ on de un volumen con el fin de manipularla, analizarla y representarla computacionalmente se busca discretizar el volumen a estudiar (el paciente) en vóxeles y presentar los resultados con base a la informaci´ on de cada vóxel (ya sea en una imagen o en un espectro). La medici´ on de la magnetizaci´ on en un v´ oxel trae implicito un fenómeno denominado desfase de intrav´ oxel el cual considera la posibilidad de que en tal volumen existan n´ ucleos del mismo elemento qu´ımico (elemento que se esté analizando, e.g. 1 H) con diferentes frecuencias de Larmor. Este fenómeno tiene en cuenta los siguientes hechos: 1. Que dentro de un voxel (que puede ser un peque˜ no cubo de tejido) puede haber muchos tipos de tejidos los cuales pueden alterar de diferente forma el ambiente magnético de los n´ ucleos. 2. Que dentro de un v´ oxel compuesto por un u ńico tipo de tejido haya una peque˜ na gama de intensidades de campo magnético debido a las heterogeneidades de campo que se generan en la técnica (tabla 2.5). 3. Una mezcla de los dos fen´ omenos anteriores. Con base al desfase de intrav´ oxel se recurrió al término esp´ın isocrom´ atico XIX el cual es una construcci´ on f´ısica que consiste en un volumen muy peque˜ no que contiene un conjunto de muchos esp´ınes que est´ an sometidos al mismo campo magnético externo y por ende tienen exactamente la misma frecuencia de Larmor. Si consideramos un v´ oxel de 1 mm3 (un tama˜ no reducido respecto a los valores que actualmente se XIX Del

ingl´ es “spin isochromat”

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

manejan), un esp´ın isocrom´ atico es lo suficientemente grande para tratarse como un concepto macroscópico (contiente m´ as de 1015 n´ ucleos) pero es mucho más peque˜ no que un vóxel; as´ı, su contrucción es u ´til porque permite definir varios subconjuntos de n´ ucleos en un vóxel de forma tal que cada subcojunto tiene una frecuencia de Larmor ligeramente diferente a las de los otros espines isocromaticos. Para analizar las consecuencias del desfase de intravóxel, supongamos que generamos en la muestra un pulso 90x sobre dos n´ ucleos de un mismo tipo de ´ atomo ubicados en un mismo v´ oxel. Si nos trasladamos al sistema de referencia Ξ 0 y si el campo fuese homogéneo tendr´ıamos la situación expuesta en la gr´ afica 2.6a donde ambos precesan a la misma frecuencia; en cambio, si nos mantenemos en Ξ 0 pero suponemos desfase de intravóxel, tendriamos la situaci´ on expuesta en la figura 2.6b. En esta u ´ltima figura se han denotado los dos momentos magnéticos de esp´ın que -por ubicación espacial y las heterogeneidades de B0 - pertenecen a diferentes espines isocr´ om´ aticos, as´ı, con este planteamiento, los n´ ucleos interact´ uan con dos campos magnéticos diferentes (uno con un campo levemente menor,

(a) Campo externo homogeneo.

ω01 < γB0 , y otro con uno levemente mayor, ω02 > γB0 ) y en la figura se expone la situaci´ on del sistema para t > 0; el atraso y adelanto respec0 ~ to a Y se debe a que precesan con diferentes frecuencias respecto a la frecuencia de la magnetizaci´ on que hubiera si el campo fuese homogéneo, ~ 0 y µ2 a adelantarse. as´ı, µ1 siempre tender´ a a retrasarse de Y Al generar una imagen rasterizada (sec. 1.4) o un espectro, lo idóneo ser´ıa que cada p´ıxel mostrara la informaci´ on de un vóxel constitu´ıdo por el mismo tejido sometido a un campo magnético homogeneo espacial y temporalmente de forma tal que la imagen sea 100 % fidedigna; f´ısicamente, esto equivale a que todo el v´ oxel sea un solo esp´ın isocromático. En la

(b) Desfase de intrav´ oxel.

Figura

2.6:

Situaci´ on

pr´ actica, sin embargo, el desfase de intrav´ oxel generado por las peque˜ nas sin y con desfase de la diferencias de la frecuencia de Larmor de cada esp´ın isocrom´atico (ya que magnetizaci´on transversal a causa del desfase de

las M⊥ de cada esp´ın isocrom´ atico empezarán a precesar de forma difer- intravóxel visto del ente) modifica fuertemente el comportamiento de la magnetización lo cual sistema de coordenadas repercute en el proceso de manipulaci´ on de la información adquirida en rotante. Imágenes tomadas y la técnica de RM.

2.1.5.

modificadas de [5].

Relajaci´ on

Relajaci´ on se denomina a la din´ amica de los nucleos durante el intervalo de tiempo en el cual tales n´ ucleos liberan la energ´ıa que absorbieron del pulso de RF con el fin de regresar al equilibrio térmico. Este proceso es fundamental en RMN ya que es el principal mecanismo para la generación del contraste de imágenes y la principal fuente de informaci´ on para procesos de espectroscopia. Durante la relajación, movimientos de los n´ ucleos en la muestra dan lugar a campos magnéticos variables en el tiempo pese a la no existencia de una estimulaci´ on externa por RF. Cabe aclarar que estas variaciones son mucho más peque˜ nas que el ~ valor medio del campo magnético externo B0 sin embargo lo suficientemente grandes para causar efectos micro y macrosc´ opicos. ~ , sin F´ısicamente, sigue siendo el modelo de Bloch el que da razón del proceso de relajamiento de M

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

Figura 2.7: Definici´ on del sistema de referencia para pulsos de RF Ξ 0 .

embargo, aunque no hay presencia de RF, no se pueden manejar todas las aproximaciones hechas para la obtenci´ on de la ecuaci´ on (2.17) porque -producto de la influencia de la RF- no se garantiza que la diferencia entre Mx y My sea despreciable y tampoco mucho menores a la componente de la magnetizaci´on en el eje ~ Basados en esto, las ecuaciones de Bloch en el marco de referencia Ξ quedan definidas de la siguiente Z. forma:

Mx,y (t) M˙x,y (t) = ±γMy,x (t)|B~0 | − , T2

(2.33a)

(Mz (0) − Mz (t)) , M˙ z (t) = T1

(2.33b)

siendo las componentes transversales modeladas con la ya mencionada ecuación (2.16). Como vemos en estas expresiones se tienen en cuenta el término de relajación ya que su influencia para valores altos de Mx,y se vuelve importante. Con el tiempo, la comunidad cient´ıfica[5] ha establecido que la solución a este sistema es regida por dos fen´ omenos: perturbaciones térmicas e internucleares. Perturbaciones térmicas: Es el equilibrio inducido por la diferencia de energ´ıa del conjunto de moléculas que ha sido sometida a la RF al medio que no lo ha estado, en otras palabras, es el proceso que relaciona la transferencia de energ´ıa del sub-sistema de esp´ınes nucleares que ha absorbido la RF a su entorno (llamado históricamente “red”, ya que este proceso fue observado por primera vez en los cristales). Una vez a este sub-sistema de la red se le ha terminado de aplicar RF y est´ a energizado, es natural que vuelva al equilibrio energético (en el cual estaba inicialmente) a través de la emisi´ on de EMR. Como vimos en la sub-sección 1.3.4 (fig. 1.19) y al inicio de este ~ as´ı, ducap´ıtulo, la emisi´ on de EMR afecta diréctamente la alineación de los espines con el eje Z, rante la relajaci´ on, los espines nucleares van pasando del estado energético mI = − 21 (alineaci´ on anti-paralela) al estado menos energético mI =

1 2

(paralela). Esta transferencia de energ´ıa a la red

-que ha sido causada por el mismo proceso que forma el vector magnetización- provoca un aumento muy leve de la temperatura el cual se ve reflejado en una de las consecuencias f´ısicas de la RM. El cambio de sentido de los espines nucleares afectará u ńicamente el valor de la componente Mz de la magnetizaci´ on; en consecuencia, las perturbaciones térmicas afectarán la magnetización longitudinal (sub-sec. 2.1.4). La transferencia de energ´ıa a la red no es espontánea, de hecho, la taza

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

de transferencia depende de la cantidad de n´ ucleos que estén en el nivel de mayor energ´ıa y de la ~ magnitud de la misma (depende de B0 ). Todos las ideas mencionadas, han permitido modelar el equilibrio inducido por las perturbaciones térmicas a través de la ecuación (2.33b). T1 es una constante conocida como Tiempo de relajamiento longitudinal o Tiempo de relajaci´ on esp´ın-estructura que establece el ritmo de relajación de la muestra. La estructura del modelo es semejante al del decaimiento radioactivo de un n´ ucleo no estable, as´ı, como ya se hab´ıa mencionado, entre m´ as espines estén en niveles altos de energ´ıa más diferencia de energ´ıa habra entre la muestra y su entorno, sin embargo, esta diferencia también puede cambiar con base a la temperatura y la viscosidad tanto de la muestra como de la red, de ah´ı que T1 -además de la composición atómica de la muestra- cambie en funci´ on de la temperatura (∀Θb > Θa : T1 (Θa ) < T1 (Θb )) y de la viscosidad. La temperatura del cuerpo humano no var´ıa lo suficiente como para causar una influencia significativa en el valor de T1 , en tanto, la viscosidad var´ıa considerablemente de un tejido a otro marcando notables diferencias para los valores de esta constante en el cuerpo humano pese a que él esté compuesto aproximadamente de los mismos elementos qu´ımicos. A temperatura ambiente, este tiempo est´ a en el rango de 0.1 a 10 segundos para protones en materiales dieléctricosXX , algunos valores de interés en el entorno médico son expuestos en la tabla 2.3. Como ya se mencion´ o en p´ arrafos posteriores a las ecuaciones de Bloch (ecu. (1.26)), esta ecuaci´ on es propia de un sistema en decaimiento que se modela con una exponencial negativa; acá la amplitud del decaimiento viene determinada por el término Mz (0) y su velocidad viene marcada por el valor de T1 . Como vimos en la sub-sección 2.1.2, la forma de alterar la componente longitudinal de la magnetizaci´ on es mediante una RF; ahora, si suponemos que la relajación empieza con una aplicaci´ on previa de una RF que ha girado un ángulo θB1 alrededor de B~1 XXI , la componente longitudinal de la magnetizaci´ on inicial será Mz (0) = M0 cos θB1 donde M0 es la magnitud antes de aplicar la RF. La soluci´ on a la ecuación (2.33b) es: t

Mz = M0 + (Mz (0) − M0 ) e− T1

=⇒

t Mz = 1 + (cos θB1 − 1) e− T1 . M0

(2.34)

A partir de la primera ecuaci´ on de la anterior expresión, no es complejo demostrar que T1 es el tiempo requerido por la componente longitudinal de la magnetización en retomar aproximadamente el 63 % de su valor inicial. De igual forma, nos interesa detallar otras consecuencias de las expresiones (2.34): ´ Angulos peque˜ nos: A partir de la segunda ecuación podemos establecer que la recuperación es m´ as r´ apida a peque˜ nos ´ angulos ya que la fracción

Mz M0

∝ cos θB1 XXII .

Pendiente: Tomando la derivada temporal de esta funci´on tendremos: d dt

Mz M0

(1 − cos θB1 ) − Tt e 1, T1

por ende, como el coseno no toma un valor mayor que uno y el t´ermino exponencial nunca es menor ni igual a cero, podemos establecer que la magnetizaci´on longitudinal en el periodo de relajaci´ on siempre es creciente. XX Materiales

con reducida conductividad el´ ectrica. ´ angulo puede ser calculado a partir del periodo de tiempo en que se aplic´ o la RF, ecu. (2.27) XXII Esto porque el coseno de un ´ angulo es inversamente proporcional al a ´ngulo en el rango [0, 180o ]. Aunque gr´ aficamente es f´ acilmente observable, la expansi´ on en serie de potencias de esta funci´ on permite aproximarla a cos θ = 1 − θ2 /4 , lo cual corrobora lo ya mencionado. XXI Este

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

Tiempos peque˜ nos: Haciendo la expansión en serie de potencias de la función exponencial y tomando solo el término lineal (aproximación para tiempos peque˜ nos), a partir de la segunda ecuaci´ on de la expresi´ on (2.34) es sencillo obtener la siguiente relación: Mz 1 − cos θB1 =1+t . M0 T1 Casos particulares: Nos interesa detallar la solución (ecu. (2.34)) para dos circunstancias particulares; cuando θB1 =90o , 180o : t Mz para 90 grados = 1 − e − T1 M0 t Mz = 1 − 2e− T1 para 180 grados. M0 ~ se ubicará en el Seg´ un podemos analizar -cuando la RF genera un pulso de 90 grados- M ~ mantendrá su plano transversal; de forma contraria, con un pulso de excitación 180 grados, M direcci´ on pero alterar´ a inversamente su sentido.

Mz M0

0.5

-0.5 Agua L´ıpidos M´ usculo

-1 0

100

200

300

400

500

600

700

t [ms] Figura 2.8: Curvas de relajaci´ on de Mz para varios elementos con condiciones iniciales diferentes (linea con circulos: θB1 =35o , linea con cuadrados: θB1 =90o , linea sola: θB1 =180o ). T1 tomados de la tabla 2.3 para 1.5 T.Tiempos peque~ nos !! asintotas

En la gr´ afica 2.9 se muestra la evolución temporal de Mz para pulsos de 35, 90 y 180 grados correspondientes a n´ ucleos de 1 H en agua, l´ıpidos y m´ usculo; nótese como para todas las condiciones iniciales, los l´ıpidos tienen una recuperación mayor al m´ usculo y al agua. En la página 64 se mostr´ o como la magnitud de la magetización es invariante en el tiempo, por tanto, 1 ~ |2 − Mz (t)2 2 M⊥ (t) = |M

=⇒

− 21 dM⊥ (t) dMz (t) ~ 2 = − Mz (t) (|M | − Mz (t)2 dt dt

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

operando algebraicamente y considerando la ecuaci´on (2.33b) tendremos: dM⊥ (t) Mz (t) − Mz (0) = s dt ~ |2 |M −1 Mz (t)2

=⇒

dM⊥ (t) ∝ Mz (t), dt

~ |2 son constantes. Este análisis no permite concluir que entre mayor sea la recuporque Mz (0) y |M peraci´ on de la componente longitudinal (e.g. en los l´ıpidos) mayor es el cambio de la magnetizaci´ on transversal; este resultado va a hacer de notáble utilidad a la hora de la formación de la imágen.

Interacciones internucleares: Equilibrio inducido por el proceso por el cual los espines nucleares de la muestra vuelven al equilibrio térmico por interacciones entre ellos mismos. Los mismos espines nucleares perturban el comportamiento magnético de los n´ ucleos vecinos causando peque˜ nos corrimientos en los niveles de energ´ıa; estos cambios en el ambiente magnético y energético generan leves cambios en la frecuencia de Larmor haciendo que unos espines empiezen a precesar más rápido que otros rompiendo el movimiento en fase que se hab´ıa generado con la RF. Este fenómeno aparentemente puede ser muy parecido al fen´ omeno de perturbaciones térmicas, sin embargo, es ligeramente diferente ya que la iteracci´ on esp´ın-esp´ın exclusivamente se refiere a la pérdida de coherencia de fase de los esp´ınes porque interact´ uan unos con otros a través de sus propios campos magnéticos oscilantes. Esta relajaci´ on puede ocurrir sin pérdida de energ´ıa del sub-sistema de esp´ınes nucleares (los esp´ınes pueden solo perder la coherencia) y -al mismo tiempo- puede existir con pérdida de energ´ıa del sub-sistema de espines (relajación modelada con T1 ). La consecuencia de estos leves cambios en la frecuencia de Larmor genera un desfase de intravóxel (sub.sec. 2.1.4) lo cual -como vimos- hace que el efecto macroscópico de esta relajación se reflejé en la disminuci´ on de la magnetizaci´ on (ya que los momentos magnéticos de esp´ın no se superponen por el desfase generado); as´ı, esta disminución es causada básicamente por la relajación de tal magnetizaci´ on en el plano transversal. La ecuación (2.33b) refleja el comportamiento de esta componente, su soluci´ on f´ acilmente se puede plantear teniendo en cuenta las expresiones (2.20), as´ı tendremos: t π Mx (t) =M⊥ (0) sin ω0 t + k + φm e− T2 , 2 t π My (t) =M⊥ (0) cos ω0 t + k + φm e− T2 , 2

(2.35)

donde φm es un ´ angulo denominado fase angular y T2 es un tiempo conocido como Tiempo de relajamiento transversal o Tiempo de relajaci´ on esp´ın-esp´ın el cual -usualmente- es más corto que T1 debido a la naturaleza de las relajaciones (usualmente su rango está entre 10 µs y 10 s, tabla 2.3). A este nivel del documento, debe ser claro para el lector que durante el proceso de relajación el campo magnético externo siempre estar´ a en dirección positiva kˆ y que la RF ha rotado la magnetizaci´ on -en sentido horarioXXIII - un ´ angulo θB1 alrededor de B~1 . Teniendo en cuenta lo mencionado en el ´ıtem anterior (perturbaciones térmicas) donde se estableció que Mz (0) = M0 cos θB1 , no es dificil establecer que M⊥ (0) = M0 sin θB1 . Utilizando este hecho, acudiendo a la exponencial compleja

XXIII Para

recordar, p´ arrafo posterior a la ecuaci´ on (2.26)

´ ´ 2.1. CINEMATICA DE LA MAGNETIZACION

(ecu. (1.7)) y tomando el caso espec´ıfico donde k = 0 tenemos: t

Mx (t) =M0 sin θB1 sin (ω0 t) e− T2 , t

My (t) =M0 sin θB1 cos (ω0 t) e− T2 , t

M~⊥ =M0 sin θB1 [cos(ω0 t)ˆı + sin(ω0 t)ˆ ] e− T2 , =M0 sin θB1 e

−iω0 t− Tt

(2.36)

t M⊥ (t) = sin θB1 e− T2 , M0

por consiguiente la m´ axima magnetización transversal se obtendrá para θB1 =90o y la m´ınima magnetizaci´ on se obtendr´ a para 0 y 180o cuando la variable tiene una magnitud nula. No es dificil probar que en t = T2 la magnetizaci´ on transversal ha perdido aproximadamente el 63 % de su valor original (inmediatamente después del pulso de RF).

Agua L´ıpidos M´ usculo

0.8

Mxy M0

0.6

0.4

0.2

0 0

100

200

300

400

500

t [ms] Figura 2.9: Curvas de relajaci´ on de M⊥ para varios elementos con condiciones iniciales diferentes (linea sola: θB1 =90o , linea con c´ırculos: θB1 =30o , linea con cuadrados: θB1 =160o ). T2 tomados de la tabla 2.3.

En la figura 2.9 se muestra la evolución temporal de M⊥ para tres pulso con diferentes condiciones iniciales en tres ambientes qu´ımicos diferentes. En la práctica los fabricantes de imanes o electroimanes utilizados para producir B~0 aplican grandes avances tecnológicos para generar un campo homogéneo, sin embargo, no solo por motivos tecnológicos, es inevitable que variaciones de B0 ocurran a lo largo de la muestra. Estas heterogeneidades del campo magnético son desarrolladas en el marco de la tabla 2.5 de la secci´ on 2.2 y sus consecuencias son estudiadas en algunos apartados de la secci´ on 2.3. M´ as informaci´ on sobre los tiempos de relajación en la referencia [2] y bibliograf´ıa mas especializada en el tema de esta secci´ on puede encontrarse en la referencia [5].

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

2.2.

Otras inter

B´ asicamente son tres razones las que causan este fenómeno: Las imperfecciones y l´ımites intr´ınsecos (f´ısicos y geométricos) en la construcción del imán: Composici´ on de las paredes del im´ an, las imperfecciones de las fuentes de metal y la necesidad de establecer un espacio para la muestra son algunos ejemplos que entran en esta categor´ıa. In-homogeneidades inducidas por la muestra: Diferencias en la susceptibilidad magnética o el grado de polarizaci´ on magnética de los tejidos adyacentes distorsionan el campo magnético local del tejido en an´ alisis. Este fen´ omeno se profundizará en la sub-sección 3.4.1. Gradientes de im´ agenes: Como se mencionará en el cap´ıtulo 3, para imágenes por RMN, es necesario establecer un gradiente de campo magnético en B~0 ; este gradiente genera in-homogeneidades en el campo que inducen desfases en los µ ~ de los protones.

Nombre

Causa

CSE

Corrimiento

Cuadro 2.5: Heterogeneidades.

Las diferencias son menores a 100 ppm (ojo decirloooo !!!)

2.2.1.

Corrimiento Qu´ımico

(pag. 58) Basados en estudios de materia condensada, se ha podido explicar un efecto denominado Corrimiento qu´ımico o CSEXXIV que genera un desplazamiento de la frecuencia de precesión de Larmor con base al ambiente qu´ımico en el que se encuentre la muestra. Los n´ ucleos de una muestra están rodeados de atomos que generan nubes de electrones las cuales interact´ ´ uan con el momento angular de esp´ın nuclear, de tal interacci´ on se genera el desplazamiento mencionado. El CSE fue directamente relacionado con el ambiente qu´ımico de los n´ ucleos por primera vez en 1950 por Proctor y Yu e independientemente por Dickinson[1], desde entonces, la solución teórica para este efecto abarca un término adicional en el hamiltoniano el cual alberga la interacción del esp´ın electrónico, el esp´ın nuclear y el campo magnético externo. No es sencilla la solución a tal perturbación, sin embargo, macrosc´ opicamente tal soluci´ on equivale a la inducción de peque˜ nas corrientes que generan campos magnéticos en contra del campo magnético externo. Como resultado, se establece un nuevo campo magnético efectivo y es este campo el que se emplea en el estudio de los n´ ucleos a través del Efecto Zeeman. Este campo efectivo puede ser expresado como: ~ = B~0 (1 − σc ), B siendo σc denominada constante de apantallamiento o blindaje. De esta forma, el CSE puede entenderse como las diferencias en las frecuencias de Larmor de n´ ucleos idénticos tienen en diferentes ambientes qu´ımicos causadas por el apantallamiento que este ambiente hace. Usualmente es acostumbrado expresar XXIV acr´ onimo

de Chemical Shift effect.

2.2. OTRAS INTER

el CSE en unidades adimensionales de partes por mill´on (ppm), as´ı, el CSE es definido por: δ=

ωj − ωr ∗ 106 ≈ (σcr − σci ) ∗ 106 ωr

(2.37)

donde el sub´ındice j es la frecuencia de un n´ ucleo en un entorno qu´ımico j, el r es la frecuencia del mismo n´ ucleo en un ambiente r conocido (de referencia) y la aproximación hecha se logra bajo el supuesto que σc 1. La ventaja de esta notaci´ on es que independiza la magnitud de CSE del valor del campo externo. Un ejemplo muy u ´til en el entorno médico, son la gran cantidad de se˜ nales provenientes del cuerpo humano generadas b´ asicamente de dos entornos, agua y tejido graso[3]. El agua tiene dos átomos de hidrógeno unidos a un ´ atomo de oxigeno mientras que la grasa tiene muchos átomos de hidrógeno unidos a sistemas largos de cadenas de carbono (normalmente 1018 átomos); as´ı, debido al fuerte apantallamiento del 1 H en tejido graso, tiene ligeramente una frecuencia de Larmor más peque˜ na que en agua. El CSE grasa/agua es 3.5 ppm siendo 150 Hz la diferencia entre las frecuencias de Larmor a 1.0 T y de 200 Hz a 1.5 T. El CSE depende fuertemente del n´ umero atómico; n´ ucleos de 1 H en diferentes medios marcan diferencias de pocos ppm, mientras que n´ ucleos de 13 C y 31 P marcan diferencias de centenares de ppm. El CSE marca entonces una huella particular para cada ambiente qu´ımico de forma tal que cada ambiente generará una frecuencia de resonancia diferente apreciable por espectroscopia. Debido a la baja sensibilidad de la se˜ nal de RMN, es importante cuantificar que tanto esta se˜ nal ha sido afectado por el ruido. Se puede entender como ruido cualquier se˜ nal no deseada, en este caso peque˜ nas se˜ nales eléctricas generadas por la electr´ onica y el método de recepción y manipulación empleados en la detecci´ on de la emisi´ on de EMR por parte de la muestra en estudio. Por tal motivo, veremos como se maneja este fen´ omeno y las diferentes variables que se generan alrededor de él. Los ambientes qu´ımicos no tienen una diferencia mayor a 16 ppm (philips), en un resonador de 1.5 T suponiendo que el n´ ucleo de referencia es el hidrógeno aislado, la diferencia de los campos efectivos asociados a estos n´ ucleos no es mayor a los 3.82 µT. Rango de CSE 4ωCSE

2.2.2.

T2∗

Como vimos en el ´ıtem de interacciones internucleares de la sub-sección 2.1.5, peque˜ nas diferencias en la frecuencia de Larmor de nucleos iguales generan desfases de intravóxel lo cual causa que la se˜ nal de un v´ oxel se aten´ ue m´ as r´ apido. En este mismo ´ıtem se mencionó que el proceso de relajación determinado por T2 es consecuencia de las leves diferencias en la frecuencia de Larmor debido al cambio en los niveles de energ´ıa inducidos por el ambiente qu´ımico a los n´ ucleos referentes, sin embargo, estas diferencias también se pueden generar si en el volumen de interés existen inhomogeneidades de campo magnético que “sienten” tales n´ ucleos debido ya sea al campo magnético externo o a las diferencias de susceptibilidad magnética probocadas por ´ atomos presentes en el ambiente qu´ımico. A diferencia de las heterogeneidades producto de los cambios en los niveles de energ´ıa, estos cambios en la frecuencia de Larmor son producto de una inhomogeneidad del campo magnético que interact´ ua con los n´ ucleos, este hecho hace que los efectos de desfase derivados de este fenómenos puedan ser reversibles en algunas circunstancias manipulando adecuadamente el campo magnético externo. Son las razones expuestas en el anterior p´ arrafo lo que origina que se considere este u ´ltimo fenómeno con una nueva terminolog´ıa y no se abarque en el T2 ya descrito (de origen puramente termodinámico), el término elegido es nomenclado T2∗ y denominado T2 estrella o T2 asterisco. Para tener en cuenta esta atenuaci´ on, frecuentemente se hace una corrección sobre el tiempo T2 mediante una expresión obtenida

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

76 fenomenol´ ogicamente, esta es: 1 1 1 = + 0 T2∗ T2 T2

donde

1 1 1 = 0 + 0 , T20 T2−M T2−M S

(2.38)

0 siendo T2−M una constante que modela el desfase temporal de la magnetizaci´on como consecuencia de 0 las in-homogeneidades y T2−M S una constante que modela el desfase debido a las diferencias en la sus0 ceptibilidad magn´etica. Para la mayor´ıa de l´ıquidos y tejidos, T2−M es predominante en la determinaci´ on

de T20 mientras que en los tejidos con considerables dep´ositos de hierro y cavidades de aire, el factor 0 predominante es T2−M omenos generan una heterogeneidad media de campo S . Si en la muestra estos fen´

magn´etico de valor 4B, es posible estimar el valor de T20 con una aproximaci´ on muy superficial que obedece la siguiente expresi´ on:[5] 1 ≈ γ4B. T20

(2.39)

De igual forma, a nivel t´ecnico y cient´ıfico se ha definido la siguiente variable: δB =

4B ∗ 106 , B0

donde δB representa la heterogeneidad media del campo en partes por mill´ on (ppm). Se habla de una heterogenei- Figura 2.10: Dinámica del desfase producto ∗ dad media porque es muy improbable que sobre todos los de T2 . Nótese el comportamiento oscilante n´ ucleos de referencia halla la misma variación de campo

y la rapidez del decaimiento de la envolvente de la magnetizaci´ on.

magnético externo, es por esto que la magnitud de la magnetizaci´ on transversal oscile fuertemente durante la relajaci´ on en el plano XY pero que su envolvente siga un comportamiento semejante al descrito para T2 (fig. 2.10). Con el fin de establecer las magnitudes de las variables involucradas, un campo de 1.5 T con heterogeneidades de 2 ppm tendr´ a un T20 aproximado de 1.24 ms (utilizando los valores de la tabla 2.1) mientras que heterogeneidades de 0.01 ppm generarán un T20 de 249 ms, as´ı, por ejemplo, el WAT (T2 = 70ms) tendr´ a en la primera situaci´ on un T2∗ = 1,22 ms mientras que para 0.01 ppm será T2∗ = 54,6 ms; de hecho, para lograr una diferencia porcentual entre T2 y T2∗ menor al 5 % hay que lograr heterogeneidades por debajo de 1.8*10−3 ppm. Como T20 no toma valores negativos, matemáticamente no es complejo demostrar que T2∗ < T2 , por consiguiente la envolvente mencionada tendr´ a un decaimiento más pronunciado que el T2 ; resta recalcar que campos altamente homogéneos har´ an que la diferencia entre los valores de T2∗ y T2 disminuyan, lo cual -como veremos posteriormente- afectaran tanto la se˜ nal recibida de la muestra como el contraste de la im´ agen (en el caso de MRI). Con la definición del T2∗ , se replantea las expresiones para el valor de la magnetizaci´ on teniendo en cuenta los desfases de intravóxel. A partir de las ecuaciones (2.35) tendremos: − t π ∗ Mx (t) =M⊥ (0) sin ω0 t + k + φm e T2 , 2 − t π ∗ My (t) =M⊥ (0) cos ω0 t + k + φm e T2 . 2

(2.40)

La influencia de T20 es utilizada para evaluar la homogeneidad de un campo magn´etico externo; en la

˜ 2.3. SENAL DE RMN

pr´ actica, se utiliza un volumen de prueba con una sustancia homogenea y se analiza la velocidad del decaimiento de la se˜ nal, as´ı, entre m´ as lento sea tal decaimiento, mas homogeneidad se logra en B~0 .

2.3.

Se˜ nal de RMN

Como vimos a lo largo de la secci´ on anterior, es la magnetización la variable que nos refleja la dinámica del comportamiento magnético de los diferentes puntos de la muestra; por ello, es la variable que nos interesa estudiar para poder generar un mapa de intensidades de tal comportamiento el cual se verá reflejado finalmente en una imagen o en un espectro. La ecuación (1.28) refleja el valor del voltaje inducido en una bobina receptora de longitud Lc y n´ umero de vueltas Nc por la cual se produce un cambio temporal de magnetizaci´ on

~| |∂ M ∂t ;

en adici´ on a esto, a trav´es de la ley de Bloch sabemos que este u ´ltimo t´ermino

es proporcional al producto vectorial entre la magnetización y el campo magnético externo, por tanto, el voltaje inducido también ser´ a proporcional a este producto cruz. El voltaje inducido en una antena f´ acilmente se puede integrar a un circuito electrónico y as´ı -mediante la ley de Ohm- podemos establecer una corriente electrica proporcional a él que pueda ser manipulada computacionalmente. Es entonces la medición del cambio temporal de la magnetización con una antena receptora el método id´ oneo para lograr generar el mapa del comportamiento magnético de la muestra (es finalmente lo que deseamos); sin embargo, es importante definir algunos procedimientos importantes para llevar a cabo un proceso eficiente de detección de la se˜ nal. Como hemos visto, son los tiempos de relajación T1 y T2 las caracteristicas propias de cada tejido cuando se encuentra en un campo magnético; estos tiempos modelan el comportamiento de la cantidad de n´ ucleos que se encuentran en estados de baja y alta energ´ıa lo cual influye en la dinámica de la magnetizaci´ on. Teniendo en cuenta el CSE, las diferencias entre un tejido y otro se van a representar en el FID como una superposici´ on de se˜ nales con diferentes amplitudes (generadas por la cantidad de n´ ucleos en cada estado) y diferentes frecuencias (CSE); adem´ as, como la magnetización se mide en auscencia de RF (sub-sec. ~ 2.1.5) y son cambios en B0 (y por ende en ω0 ) lo que nos permitirá una localización espacial (este tema se profundizar´ a en el siguiente capitulo), identificar las frecuencias que componen la FID se vuelve un proceso crucial para extraer la informaci´ on de la muestra a partir de la se˜ nal que proviene de nuestra regi´ on de interés (el paciente). Bajo la auscencia de RF, debe ser claro para el lector que el producto vectorial involucrado en las ecuaciones de Bloch solo va a tener influencia de B~0 en el plano transversal. Aunque con un circuito integradorXXV se puede obtener la se˜ nal de la magnetización en el tiempo, estos hechos hacen que sea la magnetizaci´ on transversal la variable a detectar en la RM. En las figuras 2.11 se muestran ejemplos de posicionamiento de pacienes en equipos de RM con el fin de detectar la magnetizaci´ on transversal. Nótese como las bobinas han sido dise˜ nadas con base a las caracter´ısticas geométricas de los equipos de forma tal que -tras una recomendación del fabricante respecto a la ubicaci´ on del paciente- en estos dise˜ nos han optimizado la recepción de la se˜ nal minimizando la atenuaci´ on con organos que se encuentren fuera del FOV de interés. Aunque en el razonamiento realizado a lo largo de la secci´ on no se ha tenido en cuenta el término de relajación de las ecuaciones de Bloch (que tentativamente permitir´ıa medir la relajación longitudinal), el hecho de medir cambios de una magnetizaci´ on tan peque˜ na (tabla 2.3) en el mismo eje en que se encuentra el fuerte campo magnético externo, hace que leer esta variable sea un proceso complejo; sin embargo, en otras aplicaciones de RMN diferentes a la RM, es posible medir la magnetización longitudinal en equilibrio térmico con un dispositivo XXV Este

circuito RC y la mencionada ley de Ohm no son cruciales en la descripci´ on del proceso en desarrollo y por eso dejamos al libre inter´ es del lector la comprensi´ on de estos temas con bibliograf´ıa adicional.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

(a) Equipo cerrado de 1.5 T (Achieva).

(b) Equipo abierto de 0.23 T (Panorama).

Figura 2.11: Ejemplo de posicionamiento de las antenas detectoras (cuadro azul) para la detecci´ on de la M⊥ (plano circular verde). En las figuras se ha dibujado la direcci´ on de B~0 en linea punteada para dos tipos de equipos de RM Philips pertencientes a FUESMEN.

superconductor de interferencia cu´ antica (SQUID). Siguiendo el procedimiento mencionado al inicio de la sección, para encontrar un modelo de la se˜ nal detectada por las antenas receptoras retomamos la primera igualdad de la expresión (1.28), as´ı, el voltaje inducido por una bobina receptora en función de la magnetización ya modelada en la sección anterior es:

ε=−

d dt

Z V

"

~  Bc |I~c |

# x

~c B Mx (x, t) + |I~c |

~c B My (y, t) + |I~c |



Mz (z, t) d3 r, z

lo cual representa la suma de todos los aportes de la magnetización en los diferenciales de volumen que componen nuestra regi´ on de interés. Para el desarrollo de la ecuación, es necesario tener en cuenta que el ~ campo Bc (~r) es -como se mencion´ o posteriormente a la (1.28)- un parámetro de eficiencia de la bobina en la recepci´ on de la se˜ nal de RMN ya que es el puente entre la dinámica de la magnetización a lo largo del volumen y la corriente inducida en la bobina receptora. Hasta antes de esta secci´ on se hab´ıa supuesto que las bobinas de transmición y recepción de RF producian ~ ~c | respectivamente) sobre el volumen de interés. En la práctica este hecho es campos uniformes (|B1 | y |B complejo de lograr y por ello la intensidad de la imagen var´ıa como una función de la posición, incluso ~c |, regiones con |B ~c | reducido van a apreciarse para una muestra uniforme. Dado que |B~1 | repercute en |B ~c | serán vistas ligeramente hiperintensas. ligeramente hipointensas y regiones con mayor |B ~c |, algunas herramientas matemáticas (como la Teniendo en cuenta estas dependencias, el significado de |B f´ ormula de Euler e identidades trigonométricas), realizando aproximaciones basadas en comparaciones de las dimensi´ on de las variables involucradas y teniendo en cuenta los desfases de intravóxel, no es sencillo demostrar que la se˜ nal en la bobina reseptora viene dada por:[9] S(t) ∝

ε ∝ ω0 Ωc

Z h i t ~c (~r) e−iω0 t+iφm (~r) e− T2∗ d3 r. M~⊥ (~r, t) · B

(2.41)

donde Ωc es la impedancia de la bobina. En el argot t´ecnico, la se˜ nal S(t) recibe el nombre de Free Induction Decay o FID y es detectada por la bobina receptora que -en algunas situaciones- es la misma bobina que previamente envi´ o el pulso de RF. Sobre la FID hay algunos aspectos que hay que tener

˜ 2.3. SENAL DE RMN

presente: La proporcionalidad expuesta en la ecuación (2.41) nos permite establecer que a un aumento en M⊥ nos incrementa el valor de S(t) aumentando la SNR. El valor de M⊥ viende determinado por el valor inicial de la magnetizaci´ on que est´ a dado por la expresión (2.12) donde las variables que podemos manipular son la Θ y B0 . Bajar mucho la temperatura genera molestias para el paciente y -seg´ un la localizaci´ on geogr´ afica- puede incrementar los costos de operación de la técnica, sin embargo, el incremento de B0 es constantemente estudiado por los fabricantes ya que no solo incrementa el valor de la magnetizaci´ on, también el de ω0 . Esta misma ecuaci´ on también permite establecer un incremento en la SNR con base al valor del diferencial de volumen que se emplee. Sin considerar los desfases de intravóxel generados en la muestra con el fin de igualar el tama˜ no de un esp´ın isocromático al de un vóxel, podemos considerar tal v´ oxel como el diferencial de volumen utilizado en la expresión referenciada. Por este motivo, un aumento en el tama˜ no del v´ oxel también incrementará la SNR aunque traerá pérdidas en la resoluci´ on de la imagen (ecu. (??)). Dado que el voltaje inducido es bastante débil, esta se˜ nal analógica (FID) deberá ser preamplificada y digitalizada lo antes posible para evitar perdidas de se˜ nal e introducción de ruido, sin embargo, su composici´ on espectral (producto de la integral mostrada en la ecuación (2.41)), el ambiente electromagnético en el que se encuentra la se˜ nal y las dimensiones de las frecuencias que la componen hacen que existan varios problemas prácticos para conseguir digitalizar directamente la FID. Referente a este u ´ltimo ´ıtem y como se mencionó al inicio de la sección, es de vital importancia detectar las diferencias en las frecuencias de las se˜ nales que componen la FID (décimas de kHz, sub-sec. 2.2.1) que toman un valor muy peque˜ no respecto al valor de tales frecuencias (frecuencia de Larmor, decenas de MHz); he aqu´ı el principal problema de la digitalización, es complejo contar con un conversor analógodigital (ADC o A/D)XXIII Analog-to-Digital Converter (Conversor análogo-digital) que funcione en el rango de las decenas de MHz pero que tenga una taza de muestreo (sub-sec. 1.4.2) tal que permita detectar se˜ nales componentes con diferencias frecuenciales cien mil veces menor que su rango de funcionamiento. En segunda instancia y teniendo en cuenta que M~⊥ es la variable a detectar, producto de la geometr´ıa de los componentes utilizados en la detección de la se˜ nal y de las aproximaciones f´ısicas utilizadas para deducir la ecuaci´ on (2.41), se puede establecer que la dinámica de la FID está restringida al plano transversal. Estos hechos mencionados ser´ an de mucha relevancia en el proceso de detección de la se˜ nal para su posterior manipulaci´ on electr´ onica.

2.3.1.

Detecci´ on

Como se mencion´ o en p´ arrafos anteriores, no es buena idea intentar digitalizar la se˜ nal de la “magnetizaci´ on transversal” envuelta en la FID por inconvenientes electr´onicos (ADC) y por otras situaciones que se ver´ an a lo largo de esta subsecci´ on. Para lograr una detecci´ on m´ as eficiente de tal se˜ nal, se realiza un proceso denominado detecci´ on sensible a la fase (PSD) que consiste en tres pasos: XXIII No

profundizaremos en la descripci´ on de este ni de ning´ un otro componente electr´ onico a menos que sea relevante en el desarrollo del tema.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

80 Por la geometr´ıa del problema, la bobina receptora mide el cambio temporal de la magnetizaci´ on (FID) en un solo eje y se realiza una preamplificaci´ on. (Paso 1, fig. 2.12) Se genera una se˜ nal conocida llamada se˜ nal portadora creada por un elemento electr´ onico llamado oscilador de referencia o master oscillator (MO). (Paso 2, fig. 2.12) Se “mezclan” estas dos se˜ nales.

Este proceso de “mezcla” matem´ aticamente es una multiplicación de se˜ nales que origina una nueva se˜ nal que posteriormente es filtrada por un filtro pasabajosXXIII ; esta multiplicación junto al filtrado mencionado -en el ´ area de telecomunicaciones- es denominado modulaci´ on y es una técnica que en general se utiliza para transportar informaci´ on sobre una se˜ nal portadoraXXVI (t´ıpicamente una onda sinusoidal). La se˜ nal portadora tiene una frecuencia conocida ωPFD muy semejante a la frecuencia de Larmor de los n´ ucleos en tratamiento, de esta forma, la se˜ nal producto de la modulación es una nueva se˜ nal en la que cada componente traslada su frecuencia a un valor proporcional a la diferencia de frecuencias δPSD = |ω0n − ωPSD | (n es producto de la discretización de la expresión (2.41)). De esta forma, matemáticamente la estructura de la modulaci´ on de la FID parte de la multiplicación de la se˜ nal portadora -cuya estructura est´ a dada por cos((ω0 + δPSD )t)- por el término que genera el comportamiento sinusoidal de la FID que es e−iω0 t+iφm (~r) (ecu. (2.41)); posterior a ello, como la bobina receptora solo mide el cambio temporal de la magnetizaci´ on en un eje, hace falta elegir la parte real o imaginaria de la se˜ nal resultante (por simplicidad tomaremos la real) y finalmente aplicamos un filtro pasabajos. Iniciemos exponiendo la modulación sin filtro pasabajos: h i Re e−iω0 t+iφm (~r) cos ((ω0 + δPSD )t) = cos (ω0 t + φm (~r)) cos ((ω0 + δPSD )t) ,

(2.42)

donde δPSD es el offset de la frecuencia de la se˜ nal portadora. Operando con identidades trigonom´etricas con el f´ın de dejar una suma de funciones, podemos -posteriormente- eliminar las altas frecuencias, esto es: Con filtro pasabajos

1 [cos (2ω0 t + δPSD t + φm (~r)) + cos (δPSD t − φm (~r))] 2

⇒

z }| { 1 cos (δPSD t − φm (~r)) 2

(2.43)

El ADC que ahora se requiere debe cubrir un rango de frecuencia de solo kHz’s con una frecuencia de Nyquist (sub-sec. 1.4.2) de algunas décimas de kHz, una situación técnica mucho más sencilla de llevar a cabo que el problema anteriormente planteado[16]. La PSD genera un inconveniente en el proceso de detecci´ on de la se˜ nal; una u ńica bobina de recepción sólo detecta una componente de la magnetizaci´ on en el plano XY (sea Mx o My ) y adem´ as solo nos proporciona el valor absoluto de la diferencia δPSD , esto hace que sea indistinguible si la frecuencia detectada es mayor o menor que la frecuencia de la XXVI Esta

t´ ecnica permite un mejor aprovechamiento del canal de comunicaci´ on lo que posibilita transmitir m´ as informaci´ on en forma simult´ anea adem´ as de mejorar la resistencia contra posibles ruidos e interferencias.

˜ 2.3. SENAL DE RMN

se˜ nal portadora. Soluciones como excitar en un extremo del intervalo espectral o utilizar dos bobinas de RF conllevan un empobrecimiento de la SNR (al duplicar la anchura espectral a˜ nadimos ruido) y/o notables dificultades técnicas. La soluci´ on adoptada es el método denominado detecci´ on en cuadratura; aqu´ı se utilizan dos PSD cuyas entradas se conectan a la se˜ nal amplificada de la bobina receptora, la se˜ nal portadora se mezcla directamente con la se˜ nal en uno de ellos (SI , In phase), mientras que en el otro, la se˜ nal portadora se desfasa 90o antes de mezclarse (SQ , Quadrature). Después de esto, las dos se˜ nales son nuevamente amplificadas (pasos 3 y 4 de la figura 2.12). Matem´ aticamente, la modulaci´ on de esta se˜ nal será entonces generada a partir de la multiplicación de la parte real de la se˜ nal resultante (se elige esta componente porque se utilizo en la ecu. (2.42)) pero la estructura de la se˜ nal portadora vendr´ a dada ahora por − sin((ω0 + δPSD )t) debido al desfase de 90o . De una forma an´ aloga al proceso realizado para obtener la expresión (2.43), tendremos ahora: Con filtro pasabajos

1 [sin (2ω0 t + δPSD t + φm (~r)) − sin (δPSD t − φm (~r))] 2

}| { 1 − sin (δPSD t − φm (~r)) . 2 z

⇒

En la figura 2.12 se muestra el diagrama de la detección en cuadratura y como cada PSD -con se˜ nales desfasadas 90o - conduce la se˜ nal a ADC’s independientes (no sin antes amplificarlas y pasarlas por un filtro pasa-bajo, pasos 5 y 6 de la figura 2.12) y as´ı la información digital se almacena separadamente en el ordenador, cabe aclarar que un aspecto perjudicial de esta doble digitalización es que tanto la se˜ nal SI como la SQ tienen -cada una- su propia contribución de ruido de detección. Ahora, ¿por qué motivo se necesitan dos se˜ nales con un desfase de 90o entre ellas?. Hemos visto que la FID tiene la información de todas las frecuencias que componen los diferenciales de volumen (ecu. (2.41)) y por ende es necesario tener un método que identifique los componentes frecuenciales de tal se˜ nal, en otras palabras, es el espectro de frecuencias el ente matem´ atico relevante en el análisis de la FID. Vimos que las M~⊥ (ecu. (2.40)) inmersas en la FID están compuestas por funciones trigonométricas que tienen componentes (en el espectro de frecuencias) tanto positivos como negativos (tabla 1.3)XXVII , por ende, los componentes de la se˜ nal portadora estarán en o simetricamente ubicadas respecto al centro de tal espectro. Al analizar dos se˜ nales desfasadas 90o asociadas a un mismo diferencial de volumen, estamos aplicando las propiedades de la FT a una función seno y a una función coseno que tienen el mismo argumento (estas dos funciones est´ an desfasadas 90o ) sin importar que pertenezcan a SI o a SQ . “Sumar” las FT’s de una se˜ nal modulada en coseno (que genera dos picos simétricos a las frecuencias +ω y −ω con signo positivo) y una se˜ nal modulada en senoXXVIII (también genera tales picos simétricos pero con signo opuesto) simplificar´ a el segundo término de la FT y fortalecerá el primero (tabla 1.3), este artilugio matem´ atico permite esclarecer el signo de ω0n . Este proceso de “sumar” dos (o mas) canales de informaci´ on en un solo medio se denomina multiplexaci´ on y se realiza con un dispositivo denominado multiplexor. Retomando las ecuaciones (2.43) y (2.3.1) podernos darnos cuenta del siguiente aspecto matemático: SI

⇒

h i 1 cos (δPSD t − φm (~r)) = Re e−iδPSD t+iφm (~r) 2 h i, 1 − sin (δPSD t − φm (~r)) = Im e−iδPSD t+iφm (~r) 2

(2.44)

siendo la exponencial una funci´ on que representa una rotaci´on con una frecuencia correspondiente al XXVII Como

se puede intuir, la forma de an´ alisis del espectro de frecuencias es atrav´ es de las propiedades de la FT (sub.sec 1.2.3). XXVIII Ac´ a se desprecia que tal representaci´ on sea en el eje imaginario ya que esto no es contemplado por la electr´ onica.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

offset de la frecuencia de la se˜ nal portadora. Es por esta relación que la información que transporta la se˜ nal SI se denomina parte real o de referencia de la FID y la información desfasada que contiene la se˜ nal SQ se denomina parte imaginaria. La detecci´ on de la FID en algunos espectrómetros actuales (posteriores a 2005) se realizan con conversores ADC ultra-r´ apidos para frecuencias intermedias de varios MHz (ADC de 20 MHz o 40 MHz seg´ un el vendedor). Con este sistema no hay ambiguedad en el signo de las se˜ nales porque la se˜ nal portadora no se coloca en el centro del espectro sino en un extremo alejado de cualquier se˜ nal del espectro, es decir, a una frecuencia muy por debajo o muy por encima de cualquier se˜ nal espectral. El resultado es que lo que digitaliza son las frecuencias absolutas de las se˜ nales respecto a la se˜ nal portadora, as´ı, no hay ambiguedad en la distinci´ on del signo de la frecuencia respecto a dicha se˜ nal. En estas condiciones, solo se detecta la parte real de la FID y la parte imaginaria se puede generar matemáticamente a partir de una transformada de Hilbert (ecu. (1.13)) eliminando artefactos de cuadratura (sub-sec. 3.4.3). Es importante hacer notar que con este sistema -aunque la portadora para digitalización esté en un extremo del espectro- los pulsos se pueden aplicar a la frecuencia que se desee (normalmente en el centro del espectro para evitar efectos de offset). Elementos es la distribuci´ on geométrica de las antenas en la bobina, el fabricante se las arregla para sacar esta informaci´ on en los canales. Los canales me permiten analizar se˜ nales por separado. en estas condiciones solo va a tener compo Factores que influyen en la se˜ nal de resonancia magnética La cantidad de n´ ucleos en los estados de baja y alta energ´ıa; en auscencia de RF, la proporci´ on entre estas dos cantiadades depende de la temperatura (ecu. (2.9)) de forma tal que a medida que aumenta la temperatura, la proporción se acerca a uno. La se˜ nal es proporcional a la diferencia de poblaci´ on entre los estados. La RMN es una espectroscopia muy sensible, ya que es capaz de detectar las diferencias de poblaci´ on muy peque˜ na. Se trata de la resonancia, o el intercambio de energ´ıa en una frecuencia espec´ıfica entre la gira y el espectrómetro, que da la sensibilidad de RMN. Abundancia natural (sub-sec. 1.3.1, tabla 2.1). Abundancia biol´ ogica (sub-sec ??). Para la detecci´ on de la se˜ nal de RMN, cuando la muestra está en proceso de relajación, una bobina (denominada receptora, sub-sec. ??) es colocada alrededor de ella de forma tal que su eje de simetr´ıa queda transversal a B~0 . Cualquier magnetización transversal con una variante temporal generará un voltaje inducido (ecu. 1.27); esta tensi´ on es precisamente la se˜ nal de interés. De tal se˜ nal nos interesan tres aspectos: Frecuencia: Con base a las ecuaciones (2.36) y a la ya mencionada ley de Faraday; tal se˜ nal tendrá una frecuencia ω0 siempre y cuando todos los n´ ucleos estén sometidos al mismo campo magnético externo e ignoremos fen´ omenos cu´ anticos que generan corrimientos a la frecuencia de Larmor. Magnitud o Amplitud: Ser´ a proporcional al valor de la magnitud de la magnetización transversal y depende fuertemente de las propiedades de la bobina receptora. Si tenemos una muestra que ha sido excitada con un pulso 90 grados con una duración tu T2 , T1 y ω0 después del pulso tendremos: t

ε = µ0 N L−1 V ω0 M0 e− T2 cos (ω0 t + φ)

1 T2 ,

inmediatamente

˜ 2.3. SENAL DE RMN

donde µ0 es la permeabilidad magnética del vac´ıo, φ es la fase absoluta recibida (un parámetro arbitrario pero ajustable por el aparato de medición) y L, N y V son la longitud, el n´ umero de vueltas y en volumen encerrado por la bobina cil´ındricaXXIX . Generalmente esta se˜ nal es del orden de µV y -aunque esta se˜ nal cambia en el tiempo- cuando se da un valor S0 estándar a la magnitud com´ unmente se refiere al valor de la amplitud inmediatamente después de la finalización del pulso de RF. Fase: Es la diferencia de fase relativa a la se˜ nal de transmisión de RF. La se˜ nal de RMN pude detectarse utilizando una se˜ nal de una sola fase, pero actualmente la mayor´ıa de los sistemas de detección de RMN utilizan detecci´ on de fase dual. Este proceso es conocido en ingenier´ıa de telecomunicaciones como heterodino[11], el cual -en este ámbito- radica en generar una nueva frecuencias mediante la manipulaci´ on de la se˜ nal producto de la magnetización, con una se˜ nal de “referencia” de frecuencia ωr conocida por el usuario. As´ı, el propósito es lograr que la se˜ nal oscile a una frecuencia con desplazamiento 4ω = ω0 − ωr . Trabajando con notaci´ on compleja donde la parte real representa la dirección x ˆ y la parte compleja la direcci´ on yˆ, podemos retomar la u ´ltima expresión de las ecuaciones (2.36), de forma tal -y sin profundizar en el tema- que la se˜ nal heterodino con un offset 4ω será: t

S(t) = S0 eiφ ei4ωt e− T2 .

(2.45)

La se˜ nal primaria de RMN es medida en el dominio temporal como una oscilación la cual decae producto del comportamiento de la precesi´ on de la magnetización. Esta se˜ nal en el argot técnico es conocida como Free Induction Decay o FID y puede ser representada en el dominio frecuencial aplicando transformaciones de Fourier. Trabajar en el dominio frecuencial trae grandes ventajas a la hora de diferenciar dos se˜ nales con frecuencias de Larmor diferentes, pero pierde la ventaja que se logra en el dominio temporal de relacionar directamente la intensidad de la se˜ nal con el n´ umero de n´ ucleos de la muestra as´ı como la detecci´ on simple de la diferencias de fase. La comparaci´ on entre los dos dominios es mostrado en la figura 2.13 para φ = 0; en el dominio frecuencial, el SRe se denomina espectro de absorci´ on mientras que el complejo SIm es conocido como espectro de dispersi´ on. La forma del espectro de absorción es conocida como L´ınea de ajuste Lorentziana o distribuci´ on de Cauchy.

Figura 2.13: Comportamiento de la parte real y compleja del FID. Segunda y tercera gr´ afica corresponden al dominio temporal, u ´ltimas dos al dominio frecuencial. Imagen tomada de [11].

Se puede demostrar que la parte real y la parte compleja de la transformada de Fourier de la se˜ nal heterodino ser´ a: ∗ Sre = Re {= (S(t))} = cos φ

∗ Sim = Im {= (S(t))} = sin φ

T2 2

+ sin φ

− cos φ

1 + (ω − 4ω) T22

(ω − 4ω) T22 2

1 + (ω − 4ω) T22 2

T2 1 + (ω − 4ω) T22

(ω − 4ω) T22 2

1 + (ω − 4ω) T22

n´ otese que el espectro de dispersi´ on solo existe para φ = 0 porque la se˜ nal es adquirida solo para tiempos XXIX Por

simplicidad se ha considerado esta forma para la bobina de detecci´ on.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

positivos. No es f´ acil calibrar el sistema de detecci´on con φ = 0 por consiguiente se pueden realizar una serie de correcciones y as´ı obtener una se˜ nal f´acilmente analizable. Cuando se logra φ = 0, la se˜ nales vienen dadas por: ∗ Sre (ω) =

T2 1+

T22

(ω − 4ω)

∗ ∗ Sim (ω) = Sre (ω) ∗ T2 (ω − 4ω) .

El Ancho de l´ınea del espectro de absorci´on es definido como el ancho a mitad de altura (FWHM) y f´ acilmente se puede demostrar que es

2 T2 .

Considerando que la se˜ nal es an´ aloga o de naturaleza continua, técnicas de post-procesamiento -como la transformada de Fourier- requieren una representación digital de la se˜ nal. Para producir una versión digital de la se˜ nal, la FID es medida usando un conversor análogo/digital (ADC). Como vimos en el capitulo anterior, el proceso de relajaci´ on de la magnetización viene regido por ω0 y ω1 siendo este segundo mas peque˜ no que el primeroXXX . Basados en esto, la digitalización de la se˜ nal tiene que tener una frecuencia de Nyquist (ecu. (1.35)) relacionada a ω1 ; as´ı, esta frecuencia tiende a estar entre centenares de kHz y unidades de MHz. Aunque el efecto Zeeman nos brinda soluciones al hamiltoniano expuesto en la ecuación (2.1), hay que aclarar que estas soluciones son producto de la teor´ıa de perturbaciones, por ende es aproximada; adem´ as, es la soluci´ on para los niveles de energ´ıa generados a partir de la influencia de un campo magnético externo en un solo ´ atomo, no se ha tenido en cuenta su entorno ni la estructura cristalina en la cual él se encuentra. Con base en lo anterior, otras interacciones nucleares generan alteraciones en los espectros obtenidos, efectos como la coherencia cu´ antica m´ ultiple, las interacciones dipolares y cuadripolares, el acoplamiento escalar, efectos de visibilidad y el corrimiento qu´ımico causan tales alteraciones. A continuación trataremos este u ´ltimo pese a que es el efecto Zeeman el más predominante y el que marca en gran parte la estructura de los espectros.

2.3.2.

Promediado de la se˜ nal

En la sub-secci´ on 1.4.3 vimos como la SNR mejora con el incremento de la cantidad de veces N que medimos la se˜ nal y es aproximadamente lineal con el incremento en el campo B~0 . Entonces, para un v´ oxel que tiene cierta información de determinada muestra, duplicar el campo magnético externo se ve reflejado en mejorar al doble la SNR; as´ı, para lograr este mismo efecto con el campo magnético inicial, es necesario cuadruplicar N lo cual conduce a cuadruplicar también el tiempo que dura la aplicaci´ on de las se˜ nales. En consecuencia, aumentar n veces el campo magnético externo genera un ahorro en el tiempo de aplicaci´ on de la se˜ nal de n2 veces. Hay, sin embargo, una limitaci´ on a la velocidad a la que las sucesivas adiciones de tal se˜ nal se pueden realizar. Para mantener la intensidad de la se˜ nal completa, la muestra debe recuperar su magnetizaci´ on longitudinal; para ello, analizamos la evolución del proceso descrito. Si se utiliza una RF para precesar la se˜ nal alrededor de B~1 un ´ angulo θB , se obtendrá al cabo de un tiempo de repetici´ on (o relajación) TR , 1

una componente longitudinal que viene dada por: ecu (2.34) TR TR TR Mz (TR ) = 1 + (cos θB1 − 1) e− T1 = 1 − e− T1 + e− T1 cos θB1 . M0 Si se aplica nuevamente el mismo pulso de excitaci´on de RF de forma tal que su duraci´on es mucho menor a T1 y a T2 (de forma tal que se puede ignorar este tiempo), la nueva componente en ~z de la XXX Ya

que B1 B0 .

˜ 2.3. SENAL DE RMN

magnetizaci´ on para un instante inmediatamente posterior a la finalizaci´on de la aplicaci´on de la segunda RF es: Mz−0 (TR ) = Mz (TR ) cos θB1

=⇒

Mz (t > TR ) = M0 + (Mz−0 (TR ) − M0 ) e− T1 ,

siendo la expresi´ on de la derecha la magnitud de Mz después de la aplicación del segundo pulso de RF. Si a un nuevo periodo de relajaci´ on TR (por consiguiente, globalmente estamos en un tiempo aproximado de t = 2TR XXXI ) aplicamos por tercera vez la misma RF y volvemos a mantener en relajación este nuevo pulso durante un periodo TR , tendremos el valor de Mz para t = 2TR y t = 3TR . TR TR 2TR Mz (2TR ) = 1 − e − T1 1 + e− T1 cos θB1 + e− T1 cos2 θB1 , M0 TR TR 2TR 3TR Mz (3TR ) = 1 − e − T1 1 + e− T1 cos θB1 + e− T1 cos2 θB1 + e− T1 cos3 θB1 , M0 siendo estos valores la magnitud de Mz inmediatamente antes de aplicar un nuevo pulso. Utilizando el método de inducci´ on matem´ atica acompa˜ nado de algunas herramientas de progresiones geométricas, podemos establecer la siguiente relaci´ on: N TR

− T TR 1 − e N TR 1 cosN θB1 Mz (N TR ) = 1 − e − T1 + e− T1 cosN θB1 TR M0 1 − e− T1 cos θB1 TR

Mz (N → ∞) 1 − e − T1 . = TR M0 1 − e− T1 cos θB1 En la figura 2.14 se muestra la relaci´ on

Mz M0

para una evoluci´on temporal de 16TR a diferentes ´angulos

para una configuraci´ on determinada. Vemos como el proceso descrito anteriormente tiene en cuenta que la magnetizaci´ on pueda que no se relaje completamente en su sentido longitudinal, en tal caso, los espines establecen un comportamiento oscilante alrededor de un valor de “equilibrio” en la componente longitudinal de la magnetizaci´ on que ser´ a menor al valor de equilibrio t´ermico; este fen´omeno es conocido como condici´ on de saturaci´ on parcial .

Figura 2.14: Evoluci´ on temporal (para varios a ´ngulos) de la relajaci´ on longitudinal tras una serie de pulsos a un TR de 80 mS y un T1 de 200 mS.

Basados en lo mencionado anteriormente y en la figura 2.14, podemos establecer que la saturación parcial posee las siguientes propiedades: Es m´ as probable para valores altos de θB1 ya que bajo esta condición es más dif´ıcil que -transcurrido el tiempo TR - halla una relajaci´ on longitudinal completa. Con el incremento de θB1 el sistema tarda más tiempo (mayor cantidad de TR ’s) en llegar al comportamiento oscilante descrito. En la figura se aprecia a través de los gradientes de color en las lineas de contorno generadas en el mapa de colores, tales gradientes son más fuertes a medida que incrementamos el ´ angulo θB1 . Con el incremento de θB1 el valor de equilibrio descenderá. XXXI Se

est´ a despreciando el tiempo que dura la aplicaci´ on de la RF

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

Teniendo en cuenta la primera propiedad mencionada, para obtener una saturación parcial es necesario establecer un l´ımite para TR ya que para valores altos de tal variable la relajación longitudinal retome su valor. Por razones pr´ acticas, el tiempo l´ımite se establece en T1 , de forma tal que TR < T1 . Para profundizar f´ısica y matem´ aticamente la mayor parte de la información sobre los temas abordados en este capitulo, se recomienda la referencia bibliográfica [11], más información sobre TR en la secci´ on 3.3.

2.3.3.

Traslado al dominio frecuencial

Hornak Debido a la geometr´ıa de la configuraci´ on del montaje empleado para captar la se˜ nal (detallado en la sec ??), solo es posible detectar la se˜ nal producto del cambio de la magnetización transversal. Hemos definido tal magnetizaci´ on como la suma vectorial de dos componentes con magnitudes Mx (t) y My (t) (ecu. (2.36)), as´ı, por convenci´ on se ha establecido que la entrada de Mx (t) se denomina entrada real y la de My entrada compleja. Como ya se analiz´ o a partir de las ecuaciones (2.36), en el plano XY , la relajaci´ on de la magnetizacion transversal presenta un movimiento circular de frecuencia ω0 acompa˜ nada de un “decaimiento” exponencial el cual involucra la constante T2 . Matemáticamente, este comportamiento es semejante a la expresi´ on (1.15)... Se intenta leer la se˜ nal de la magnetización de forma tal que la fase de la entrada real coincida con una se˜ nal coseno como el que se muestra en la figura 1.12, as´ı, si la FID se registra de forma tal que hay un cambio de fase de φ en la componente real y compleja, se puede corregir tal se˜ nal aplicando la matriz de transformación de coordenadas expuesta en la ecuación (1.16) pero con un ´ agulo -φ. En general, el cambio de fase var´ıa con la frecuencia por lo que la adquisición requiere correcciones constantes y lineales a la fase de la se˜ nal, esto es: φ = mφ ω0 + bφ .

(2.46)

Correcciones de fase constantes surgen de la incapacidad del espectrómetro para detectar el valor exacto de Mx (t) y My (t) cuando est´ an en las condiciones que se requieren; correcciones de fase lineal (mφ ) surgen de la incapacidad del espectr´ ometro para detectar magnetización transversal inmediatamente después de la finalizaci´ on del pulso de RF. Desde el punto de vista práctico, la corrección de fase se aplica en el dominio de la frecuencia en lugar de en el dominio del tiempo porque sabemos que un espectro de frecuencia de dominio real debe estar compuesto de todos los picos positivos, por lo tanto, se puede ajustar puede ajustar mφ y bφ hasta que todos los picos positivos se vean en la producción de la componente real de la FT de la se˜ nal. En la resonancia magnética, el MX o Mis se˜ nales rara vez se muestran. En cambio una se˜ nal de magnitud se utiliza. La se˜ nal de magnitud es igual a la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de Mx y My. El FT real har´ a uso de una entrada que consiste en una real y una parte compleja. Usted puede pensar en Mx como la entrada real, y como la entrada de mi complejo. La salida resultante de la FT por lo tanto, tendr´ a una real y un componente complejo, también. Considere la siguiente funci´ on: f (t) = e-en e-i2pnt En FT espectroscop´ıa de RMN, la producción real de la FT se toma como el espectro de dominio de la frecuencia. Para ver un espectro de frecuencia de dominio estéticamente agradable (absorci´ on), queremos introducir una función coseno en la parte real y una funci´ on de seno en las partes complejas de la FT. Esto es lo que sucede si el coseno es parte de entrada en el complejo y el seno de lo real.

˜ 2.3. SENAL DE RMN

En un experimento de RMN ideal de todos los componentes de frecuencia que figura registrado en el FID no tiene cambio de fase. En la pr´ actica, durante un experimento de RMN real de una fase de correcci´ on se debe aplicar a ni el tiempo ni los espectros de dominio de la frecuencia para obtener un espectro de absorci´ on de la producci´ on real de la FT. Este proceso es equivalente a la transformación de coordenadas descritas en el cap´ıtulo 2 interpretar Phase Correction The actual FT will make use of an input consisting of a REAL and an IMAGINARY part. You can think of Mx as the REAL input, and My as the IMAGINARY input. The resultant output of the FT will therefore have a REAL and an IMAGINARY component, too. Consider the following function: Para comenzar nuestra descripci´ on detallada de la FT en cuenta lo siguiente. Un vector de magnetizaci´ on, a partir de + x, gira alrededor del eje Z en el sentido de las agujas del reloj. La trama de Mx en funci´ on del tiempo es una onda coseno. Fourier transformar esto da picos, tanto en n + y n-debido a que el FT no puede distinguir entre un n + y n-rotación del vector a partir de los datos suministrados. Una parcela de mi como una funci´ on del tiempo es una condición sine-función. Fourier transformar esto le da picos a + n y n-debido a que el FT no puede distinguir entre un vector positivo girando a + n y un vector negativo de rotaci´ on en-n de los datos aportados. La soluci´ on es utilizar tanto el Mx y My en el FT. El FT está dise˜ nado para manejar dos funciones de entrada ortogonal llaman los componentes reales e complejos. Detectar s´ olo el Mx o My componente para la entrada en el FT se llama detección lineal. Este fue el esquema de detecci´ on en muchos espectr´ ometros de RMN mayores y algunos reproductores de imágenes por resonancia magnética. Se requiere el equipo para descartar la mitad de los datos de frecuencia de dominio. La detecci´ on de ambas Mx y My se llama detección de cuadratura y es el método de detección en los espectr´ ometros y c´ amaras modernas. Es el método de elección, ya que ahora el FT puede distinguir entre + n y n-, y todos los datos de frecuencia de dominio utilizado. El método de detecci´ on en cuadratura radica en utilizar dos detectores de RF separados por canales o de 90 ; de esta forma, tal configuraci´ on permite distiguir el sentido de rotación (derecha o izquierda) en el marco de referencia rotante del espectrómetro (Ξ 0 ). Para entender como se genera la componente real e compleja del espectro de la se˜ nal de cuadraturaXXXII primero se definirán las caracter´ısticas de tal se˜ nal en la situaci´ on en que se detecten dos ambientes qu´ımicos diferentes. La tabla ?? muestra estas caracter´ısticas. Este documento muestra c´ omo la se˜ nal de cuadratura se transforma para producir lo real y lo complejo espectros. Las se˜ nales generadas: Esta sección define las se˜ nales que se observan. Puede cambiar el amplitud, frecuencia, fase, y la relajaci´ on constantes para cada n´ ucleo. El sistema acepta dos n´ ucleos diferentes, sabe que puede muestra el efecto de diferentes configuraciones. *********************** fold over

XXXII Se˜ nal

que llega a los detectores. El pronombre “cuadratura” se a˜ nade para hacer referencia al m´ etodo de an´ alisis.

´ CAP´ITULO 2. MARCO TEORICO

Bibliograf´ıa [1] Robin A. de Graaf. In vivo NMR spectroscopy. John Wiley & Sons, 2 edition, 2007. [2] R. Macomber. A Complete Introduction to Modern NMR Spectroscopy. John Wiley & Sons, 1998 edition, 1961. [3] R. Semelka M. Brown. MRI: Basic Principles and Applications. John Wiley & Sons, 1999. [4] L. Minkoff R. Damadian, M. Goldsmith. Nmr in cancer: Xvi. fonar image of the live human body. Physiol. Chem. Phys., 9:97–108, 1977. [5] V. Kuperman. MAGNETIC RESONANCE IMAGING, Physical Principles and Applications. Academic Press, 2000. [6] A. Abragam. Principles of Nuclear Magnetism. Oxford University, 1983. [7] T. Asahi M G´ alvez, M. Far´ıas. C´ alculo de tiempos t1 y t2 in vitro. Rev. Chilena de Radiol., 11:109– 115, 2005. [8] http://medicalphysicist.co.uk/chapter3.pdf. [9] M. Thompson E. Haacke, R. Brown. Magnetic Resonance Imaging, Physical Principles and Sequence Design. John Wiley & Sons, 1999. [10] M. Smith T. Mosher, B. Dardzinski. Human articular cartilage: inuence of aging and early symptomatic degeneration on the spatial variation of t2 preliminary ndings at 3 t. Radiology, 214:259–266, 2000. [11] P. Callaghan. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy. Clarendon Press, Oxford, 1991. [12] M. Williams R. Mulkern. The general solution to the bloch equation with constant rf and relaxation terms: Application to saturation and slice selection. Med. Phys, 20:5–13, Jan/Feb 1993. [13] L. Chupin S. Balac. Fast approximate solution of bloch equation for simulation of rf artifacts in magnetic resonance imagingthe general solution to the bloch equation with constant rf and relaxation terms: Application to saturation and slice selection. Institut Camille Jordan. [14] Stuttgart

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BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 3

Im´ agenes por RMN Como se vi´ o en el anterior cap´ıtulo, la RM se basa en la absorción y emisión de energ´ıa en el rango de RF, pero: por qué tom´ o tanto tiempo desarrollar la imagen con ondas de radio, especialmente con los problemas de salud asociados a la radiación ionizante como los rayos X ?. Muchos cient´ıficos fueron educados bajo el paradigma que no se puede obtener imágenes de objetos más peque˜ na que la longitud de onda de la energ´ıa que se utiliza para la imagen, sin embargo, en la IRM esta limitación queda obsoleta ya que las im´ agenes se generan a partir de variaciones espaciales en la fase y la frecuencia de la energ´ıa de RF que absorbe y emitida el objeto estudiado. Complementando la rese˜ na hist´ orica hecha en la sección 1.1, tras siete a˜ nos de trabajo, en 1977 Raymond V. Damadian et al. utilizo por primera vez la técnica de RMN para generar la primera imagen de un cuerpo humano[1]. Uno de sus estudiantes de postdoctorado (Lawrence Minkoff) estuvo durante cuatro horas en el resonador de aquel entonces (fig. 2.2.a) para generar una imagen de un corte transversal de torso. Originalmente hab´ıan tratado de generar una imagen con el mismo Damadian pero no era lo suficientemente delgado para caber en la angosta bobina, además, no solo la estructura delgada y larga de Minkoff favorec´ıan la técnica, su estado de salud también permitió la realización de la primera imagen (fig. 2.2.b). Desde los inicios de la técnica, la RM se ha basado en los corrimientos del n´ ucleo de hidrógeno ... ref. tabla y sec. de corrimiento. Como vimos a nivel introductorio en la sección 2.3, el fundamento de la obtenci´ on de informaci´ on en RMN es el concepto de frecuencia de Larmor. En un experimento de RMN, la medida de la frecuencia de precesi´ on de la magnetización nos brinda información sobre el campo magnético B~0 experimentado por un grupo de espines; por consiguiente, es necesario establecer los parámetros que debe tener B~1 y as´ı alterar adecuadamente el alineamiento de la magnetización y hacer que los n´ ucleos produzcan una emisi´ on rotacional ideal para ser detectable por un dispositivo. Es este procedimiento denominado excitaci´ on selectiva. a resonancia magnética se basa en la puede ser pensado como un peque˜ no campo magnético, y hará que el n´ ucleo para producir una se˜ nal de RMN. No todos los n´ ucleos poseen la propiedad llamada esp´ın. Una lista de estos n´ ucleos se presentará en el cap´ıtulo 3 sobre la f´ısica de giro. El centro del magneto donde (x, y, z) = (0, 0, 0) es denominado isocentro del magneto.

3.1.

Excitaci´ on selectiva

La excitaci´ on selectiva involucra aplicar un pulso de RF el cual solo afecta a una regi´on espec´ıfica del espectro de frecuencia de la RMN. Un pulso de RF selectiva tiene dos caracter´ısticas asociadas a ´el, una 91

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

frecuencia central y un rango o ancho de banda de frecuencias. Como se mencionó en la sección 2.1.5, el ancho de banda del pulso de RF es aproximadamente el inverso de la duración del mismo; as´ı, el ancho de banda de un pulso de 90o de una duración aproximada de 1 ms será 1 kHz, por tanto, solo los espines con una frecuencia de resonancia contenidos en este rango serán estimulados de forma apreciable. Se pueden distinguir dos tipos de pulso con base a su duración: Pulsos suaves: Denominados también selectivos o de “banda corta” (narrowband). Tienen una duraci´ on prolongada y una magnitud peque˜ na (B1 ) lo que causa un reducido ancho de banda (t´ıpicamente 12 kHz[2]). Cuando este tipo de pulsos tienen la magnitud y tiempo suficiente para girar la magnetizaci´ on un ´ angulo θ1 ≈ 90o , espines con frecuencias de Larmor por fuera del reducido ancho de banda precesar´ an alrededor del eje longitudinal sin seguir el comportamiento de los dem´ as espines. Existen varios tipos de pulsos suaves, el rectangularI , el cual produce produce peque˜ nos lóbulos en la periferia del ancho de banda generando un efecto de ampliación de tal ancho. Sistemas de generaci´ on de im´ agenes emplean herramientas de supresión de lóbulos y as´ı suavizar el efecto mencionado. Otra soluci´ on para mejorar este efecto es emplear un pulso Gaussiano ya que su representaci´ on en el espacio de frecuencias va a seguir el mismo comportamiento. Este pulso es ideal para espectrometros que no tienen modulaci´ on de RF. Cuando el gradiente G es suficiente para extender el espectro de Larmor a mayor ancho de banda que la excitación, entonces no todos los espines de diferentes regiones de la muestra serán detectados de igual forma ya que -idealmente- se busca estimular mediante una representación frecuencial rectangular; de esta forma el pulso Gaussiano pierde eficiencia. Surge as´ı el pulso Sinc truncado el cual produce una meseta en el dominio frecuencial. Esta meseta es ´ optima para solucionar el problema relacionado al pulso Gaussiano. Los aspectos relacionados al los pulsos suaves pueden apreciarse gráficamente en la figura 3.3 de la referencia [3]. Pulsos fuertes: Denominados también no selectivos o de “banda ancha” (broadband). Tienen una duraci´ on corta y una magnitud mayor que los pulsos suaves. Estas caracter´ısticas hace que estos pulsos tengan un gran ancho de banda. Sin importar el tipo de pulso, estas se˜ nales son producidas por un oscilador de RF de operación o de barrido continuo; as´ı, las modalidades de operación del oscilador reciben el nombre de técnicas de onda continua (cw del acr´ onimo en inglés continuous-wave techniques). En la actualidad, se emplean dos tipos de cw que son: Modo de barrido en frecuencia: Ac´ a se mantiene constante B~0 y se hace un barrido con el campo de RF que produce B~1 y as´ı podemos detectar varias se˜ nales de relajación. Para obtener estas se˜ nales tenemos que tener noci´ on de las frecuencias que ellas tienen para poder dise˜ nar el respectivo pulso de excitaci´ on y tener idea del ancho de banda de la se˜ nal que se espera recibir. Modo de barrido de campo: Si no se desea manipular B~1 , una segunda opción es dejar fija la estimulaci´ on por RF y variar temporalmente la magnitud de B~0 . Este procedimiento exige notablemente a la instrumentaci´ on requerida para generar el campo externo (como podrá esclarecerse en la sub-secci´ on ??) sin considerar el cuidado y las precauciones que genera la influencia de campos magnéticos muy altos en el cuerpo humanoII . I Compuesto II Este

de una oscilaci´ on durante el tiempo que dura el pulso tema se abordar´ a en la secci´ on ??

´ SELECTIVA 3.1. EXCITACION

Retomando la descripci´ on de la funci´ on que tiene la RF en la técnica de RMN (sec. 2.1.2), es de interés analizar los requerimientos que exige observar varios n´ ucleos para diferenciar ambientes qu´ımicamente diferentes en una muestra asociada al ser humano (aplicaciones médicas) el cual está compuesto principalmente por ox´ıgeno (65 %), carbono (18.5 %), hidrógeno (9.5 %), nitrógeno (3.2 %), calcio (1.5 %) y f´ osforo (1.0 %). Tendr´ıamos las siguientes opciones: Basados en la cw de barrido en frecuencia, en la tabla 2.1 se exponen valores de las frecuencias de Larmor para algunos is´ otopos de los elementos antes mencionados; vemos como toman diferencias de hasta decenas de MHz. Con estas diferencias, esta metodolog´ıa implica utilizar pulsos fuertes debido al gran ancho de banda que exigir´ıa la excitación de varios n´ ucleos, pero -como vimos en el inicio de la secci´ on-, estos pulsos est´ an limitados en su duración causando una pobre alteración de la magnetizaci´ on que se ver´ıa reflejada en una deficiente SNR. La exigencia en el ancho de banda también aplica para la bobina receptora, as´ı, estar´ıamos imponiendo requerimientos análogos al de los detectores de radiaci´ on al sistema de detección empleado en esta técnica.

En la cw de barrido de campo, hay que analizar cuanto habr´ıa que variar tal campo para lograr mantener B~1 constante, as´ı -retomando los valores de la tabla 2.1 y la ecuaci´on 2.4-, si tomamos la frecuencia del 1 H y buscamos que valor de campo tendr´ıamos que tener para lograr esta misma frecuencia pero para el

N obtenemos que hay que aumentar el campo en un 1387 %.

Con este tipo de valores, son pocas las opciones tecnológicas viablesIII para realizar este procedimiento utilizando la técnica en tratamiento; además, por el alto espectro de frecuencias, ser´ıa mejor manejar altas frecuencias generando el inconveniente ya mencionado con la biolog´ıa del ser humano. Si -para evitar este u ´ltimo inconveniente- se emplean se˜ nales con intensidades bajas, tales se˜ nales no magnetizar´ıan notablemente la muestra. Esta problemática hace que sea muy complejo utilizar esta metodolog´ıa para caracterizar ambientes qu´ımicos diferentes en una sola muestra. Los inconvenientes mencionados y producto de la discusión planteada a lo largo de la secciónIV , es claro que el pulso de RF debe ser selectivo (limitando el ancho de banda en la estimulación de la muestra) y el campo externo debe ser constante o tener cambios no muy fuertes. Basados en estos hechos, se utiliza el CSE (sub-sec. 2.2.1) para identificar diferentes ambientes qu´ımicos en una muestra generando as´ı un espectro homonuclear (del mismo n´ ucleo). Este método produce se˜ nales en un ancho de banda mucho m´ as reducido que el descrito anteriormente; para entablar una comparación, matemáticamente este hecho puede analizarse mediante la ecuaci´ on (2.37) retomando el ejemplo de la sub-sección 2.2.1; acá, si se desea utilizar el primer método recién mencionado para registrar una diferencia entre agua y tejido graso, el pulso tendr´ıa que tener un ancho de banda no mayor a 3 Hz (y ya no decenas de MHz) o -si se desea emplear el segundo método- el campo no se tendr´ıa que variar en un porcentaje mayor a un 10−7 %. Las implicaciones de este t´ opico ser´ an abordadas con mayor profundidad en la sub-sección ??. Cambiando de tema y retomando nuevamente el comportamiento de la magnetización, si analizamos tal variable en el sistema de referencia Ξ 0V y a su vez consideramos que la precesión alrededor de B~1 es muy poca (es decir que se mantiene muy cerca a B0 , fig. 2.4) podemos aproximar ω1 t ≈ 0, por tanto y

III Viabilidad

econ´ omica sobre todo. estudios de RMN in vitro continuamente se consideran alguna de las metodolog´ıas mencionadas ya que la muestra y el procedimiento permite solventar algunos de los inconvenientes mencionados. V Las ecuaciones (2.40) de la referencia [3] detallan matem´ aticamente este proceso. IV Para

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

considerando un gradiente de campo magnético en zˆ, tendremos: dMx = γMy Gz z dt dMy = γ (Mz B1 − Mx Gz z) dt dMx = −γMy B1 dt Mediante estas ecuaciones y aplicando un artilugio matemático (ecu. (3.10) de [3]) podemos determinar que para excitar una porci´ on rectangular (o slice) necesitamos un espectro que siga una misma forma rectangular. ........!!!!!!!!!!!!!! ................. En la ecuaci´ on (2.45) se expuso la evoluci´ on temporal de la se˜ nal heterodino, sin embargo, es necesario detallar el comportamiento de la se˜ nal con base a todas aquellas dependencias con otro tipo de variables diferente a la temporal. Cuando analizamos el cambio de tal se˜ nal con base a un elemento de volumen definido es necesario tener en cuenta la densidad de espines ρ(~r) que genera la se˜ nal y el término de pret

cesi´ on de la se˜ nal ei4ωt ; cabe aclarar que el t´ermino e− T2 de la ecuaci´on referenciada ya es contemplado en la densidad de espines. As´ı, tenemos que: S0 ,e

− t T2

~ t) z }| { dS(G, = ρI (~r, t) eiω(~r)t , dV donde hemos hecho φ = 0 y ωr = 0. Teniendo en cuenta la ecuación (3.3) obtenemos: ~ t) dS(G, ~ = ρI (~r, t)eiγ (B0 +G·~r)t . dV Con la finalidad de trabajar la soluci´ on de la anterior ecuación mediante el análisis de Fourier, Mansfield[3] introdujo el concepto de un vector ~k dado por: ~k = (2π)−1 γ Gt ~ el cual es un vector espacial rec´ıproco. Sin profundizar en el tema -utilizando el formalismo de la transformada de Fourier y su inversa- se pueden establecer las siguientes relaciones: S(~k, t) =

ZZZ

ρ(~k, t) =

ZZZ

ρ(~r, t)e2πik·~r d~r,

(3.1)

~ S(~k, t)e2πik·~r d~k.

Estas dos ecuaciones representan la ra´ız de la metodolog´ıa de la formación de imágenes; siendo tal imagen un mapa de frecuencias y fases obtenidas de la transformada de Fourier de la versión digital de la colecci´ on de se˜ nales FID. Este desarrollo se ha hecho en un marco ideal; en una toma de registros real, S(~k, t) no es una representaci´ on perfecta de la transformada de Fourier de ρ(~r, t).

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

Figura 3.1: Relaci´ on de Fourier entre el dominio temporal de la se˜ nal y la densidad de espines (1 dimensi´ on) cuando la FID es adquirida en presencia de un gradiente de campo magn´etico. El espectro del domino frecuencial ~ Figura tomada y es un perfil correspondiente a ρ(~r, t) proyectado normalmente a la direcci´ on del gradiente G. modificada de la referencia [3].

La figura 3.1 muestra una visualizaci´ on unidimensional de la relaci´on expresada en las ecuaciones (3.1), aqu´ı dos muestras iguales (de agua) generan dos se˜ nales diferentes debido a la existencia de un gradiente tal y como lo muestra la parte superior de la figura.

3.2. 3.2.1.

Localizaci´ on espacial Gradientes de campo magn´ etico externo

~ que perturba al campo B~0 Consideremos la adici´ on de un gradiente f´ısico de campo magnético G que hemos venido manejando. Tomemos inicialmente una variación en el eje x ˆ, as´ı, el campo magnético externo (sin incluir la RF) vendr´ a dado por: B~0∗ = (B0 + Gz z) kˆ

=⇒

ω0∗ (z) = γ (B0 + Gz z) ,

(3.2)

donde hemos determinado la frecuencia de Larmor para este nuevo campo basados en el formalismo empleado para obtener la ecuaci´ on (2.4). A trav´es de los tres gradientes se establecen cambios en las tres coordenadas cartesianas, de forma tal que la u ´ltima expresi´on toma la forma espacial de: ~ · ~r ; ω0∗ (~r) = γ B0 + G

(3.3)

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

as´ı, esta relaci´ on establece que bajo la presencia de un gradiente, cada n´ ucleo resonará a una u ńica frecuencia que depende de su posici´ on exacta dentro del gradiente de campo. Usualmente las dimensiones −1 ~ de G est´ an expresadas en mT·m o G·cm−1 . Se define como frecuencia de referencia cuando el gradiente vale cero.. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ....................... Bas´ andose en este hecho, la IRM ... utiliza un campo B~0 variante espacialmente para localizar los n´ ucleos con base a la frecuencia de la energ´ıa emitida. Para generar este campo se aplican una serie de gradientes f´ısicos de campo magnéticoVI los cuales son peque˜ nas perturbaciones direccionales a B~0 que generalmente producen una distorsi´ on cercana pero siempre menor a un 1 %. r Basados en este hecho, el primer paso y as´ı crear ************* de forma tal que -si manipulamos la variaci´ on espacial del campo de una forma conocida- podremos obtener información de los espines en funci´ on de su distribuci´ on espacial. La estructura de una imagen de RM no difiere a la de las imágenes que se obtienen con otros métodos de adquisici´ on de im´ agenes con radiaci´ on como el PET y la TC. La caracterización imagenológica de una muestra se realiza a través de una colecci´ on de imágenes digitales que contienen varios slice’s los cuales est´ an compuestos por v´ oxeles (sec. 1.4). Asociar la información recibida a un vóxel espec´ıfico de un slice espec´ıfico es lo que denominamos localizaci´ on espacial y en esta sección trataremos el proceso mediante el cual se logra manipular la muestra con el fin de obtener la mencionada localización espacial de la se˜ nal.

Figura 3.2: A la izquierda corte transversal de un resonador de uso m´edico donde se aprecia la ubicaci´ on de los instrumentos de generaci´ on de campo magn´etico y RF. A la derecha, montaje de bobinas de gradiente. Figuras tomadas de la referencia [4].

Para lograr la localizaci´ on espacial, los equipos de RM modernos utilizan tres pares de bobinas de gradiente (fig. 3.2) con el fin de poder aplicar sobre la muestra tres gradientes f´ısicos de en los tres ejes ˆ Como veremos, estos gradientes se aplican de forma alternada por cortos periodos coordenados (ˆı, ˆ y k). de tiempo, por tal motivo son conocidos como pulsos de gradiente. Cada uno de estos pulsos es asignado a una de tres operaciones o gradientes l´ ogicos necesarios para obtener una imagen; estas son: Selecci´ on de slice. VI En el argot de IRM, se hace incapi´ e en la naturaleza “f´ısica” de los gradientes para diferenciar del uso de los gradientes asociados a una funci´ on dentro del proceso de registro de datos.

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

Lectura o codificaci´ on de la secuencia. Codificaci´ on de Fase. La correlaci´ on particular de gradientes f´ısicos y lógicosVII es algo arbitrario y depende tanto de los par´ ametros de adquisici´ on y el posicionamiento del paciente como de la elección del fabricante en la asignaci´ on y configuraci´ on de las direcciones de los gradientes f´ısicos. Es intuitivo deducir que el primer paso para generar la serie de im´ agenes es definir un slice, as´ı, la mecánica que se expondrá se repetirá para la cantidad de slice’s necesarios para caracterizar la totalidad de la muestra. Basados en esto, es que el primier gradiente l´ ogico se denomina gradiente l´ ogico de selecci´ on de slice el cual será expuesto a continuaci´ on.

3.2.2.

Gradiente l´ ogico de selecci´ on de slice

Como ya se mencion´ o, el objetivo de este gradiente lógico es seleccionar un slice con el fin de separarlo del resto de la muestra. Para lograr este objetivo, el dise˜ no de este gradiente está encaminado a lograr aislar el comportamiento magnético de los esp´ınes contenidos en el volumen que abarca el slice, as´ı, el prop´ osito que se busca es que s´ olo esta región se vea afectada por la RF mientras que el resto de los n´ ucleos pasen por inadvertidos ante su presencia. Consideremos el caso en el cual queremos hacer cortes axiales generando slice’s en el plano transversal ~ (fig. 3.3a) y retomemos la ecuación (3.2) para (XY ); para ello, generemos un gradiente f´ısico en el eje Z analizar las consecuencias de lo realizado. Con este gradiente hemos producido una dependencia de la frecuencia de resonancia de los n´ ucleos respecto a su coordenada z, por ende, si aplicamos una RF con una frecuencia determinada, solo los n´ ucleos que tengan una frecuencia de Larmor igual a tal frecuencia la absorber´ an, as´ı, los dem´ as n´ ucleos de la muestra la ignorarán y no sufrirán los cambios energéticos correspondientes. A nivel microsc´ opico, esta situación se ve reflejada en que una u ńica región estrecha de tejido alcanza la condici´ on de resonancia porque solo existe un valor de campo magnético -a lo largo de la direcci´ on de aplicaci´ on del gradiente- que produce un desdoblamiento de niveles de energ´ıa tal que la diferencia entre estos niveles sea igual a la energ´ıa que “deposita” la RF; en las demás posiciones la energ´ıa de la RF no ser´ a absorbida como consecuencia de las leyes f´ısicas que gobiernan este sistema (sub-sec 1.3.3). Para ejemplificar esta situaci´ on exponemos la figura 3.3a, en ella hemos supuesto un gradiente f´ısico de 40 mT/m a lo largo del eje longitudinal de un paciente con el fin de generar un campo magnético externo con valores desde 1.471 T (cabeza) hasta 1.536 T (pies). Por otro lado, tenemos una RF de 63.86 MHz constante la cual corresponde a la frecuencia de Larmor de n´ ucleos de hidrógeno sometidos a un campo externo de 1.500 T, por ende, solo los n´ ucleos que estén sometidos a un campo B0 =1.500 T podrán elevar su energ´ıa. Como este campo externo var´ıa con la coordenada z (por efectos del gradiente), este mecanismo logra estimular solo los n´ ucleos que estén en el plano correspondiente a la coordenada donde el valor del campo magnético es VII Es

decir la asignaci´ on de un gradiente f´ısico a un gradiente l´ ogico particular.

Figura

3.4:

Slice axial generado a partir de un

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

(a) Configuraci´ on geom´ etrica del GSS.

(b) Cronograma de ejecuci´ on de los gradientes l´ ogicos (GSS).

Figura 3.3: Gradiente l´ ogico de selecci´ on de slice.

1.500 T (en la figura, en la parte del abdomen), as´ı, hemos logrado aislar el comportamiento magnético de los n´ ucleos de este plano respecto a los n´ ucleos de todo el paciente (fig. 3.4). Hasta ahora hemos descrito como se estimulan los n´ ucleos de un plano del paciente, sin embargo, la importancia de esta etapa es definir el grosor de slice. Para generar tal grosor y pasar de un plano a un volumen, supondremos que el pulso de RF tiene un ancho de banda Bw(ω0 ), de esta forma, todos 0 ) VIII serán los estimulados. Para los n´ ucleos que tengan frecuencias de Larmor en el rango ω0 ± Bw(ω 2 analizar el rango de coordenadas que tienen estos n´ ucleos utilizamos de forma inversa la ecuación (3.2), as´ı tendremos: 4B0 =

Bw(ω0 ) γ

=⇒

4Ws = 4z =

4B0 Bw(ω0 ) = , Gz γGz

recordando que Ws es la notaci´ on del grosor de slice. Generalizando esta ecuaci´on para una coordenada xi tendremos: Bw(ω) = γGxi Ws

=⇒

Ws =

Bw(ω) . γGxi

(3.4)

El cambio de notaci´ on de Gz a Gxi corresponde a que en nuestro ejemplo el gradiente se aplicó en el eje ~ para generar slice’s en el plano sagital, sin embargo, no siempre este gradiente irá en esta dirección ya Z que depende del plano de corte que se desee, por ende la generalización de esta dirección es Gxi . Hecha esta aclaraci´ on sobre la notaci´ on, cabe anotar y resaltar otros aspectos sobre las variables involucradas: Gradiente f´ısico Respecto al gradiente f´ısico y su relaci´ on con el

Plano del slice

GSS

GPE

GRO

Axial

AP-RL

RL-AP

Coronal

FH-RL

RL-FH

Sagital

FH-AP

AP-FH

gradiente l´ ogico se tiene que: Sus caracter´ısticas fisico-matem´ aticas junto a su VIII Es

decir mayor a ω0 −

Bw(ω0 ) 2

y menor a ω0 +

Bw(ω0 ) . 2

Cuadro 3.1: Direcci´ on de aplicaciones de los gradientes l´ ogicos.

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION orientaci´ on (que depende del plano de corte que se desee) definen lo que se denomina el gradiente l´ ogico de selecci´ on de slice, GSS por su traducción en inglés (Gradient of Slice Selection) o simplemente Gs . Su direcci´ on es transversal al plano del slice que se desee obtener. En la tabla 3.1 se detallan estas direcciones. Excitaci´ on por RF Respecto a la excitaci´ on selectiva de frecuencias hay que aclarar que: Se utiliza un pulso suave (sec. 3.1) por su reducido ancho de banda. Su duraci´ on y amplitud determina la rotación de la magnetizaci´ on (cap´ıtulo anterior). Su frecuencia central se calcula utilizando la ecuación (3.3) y as´ı obtener la ubicaci´ on deseada. La frecuencia central de su pulso determina la posici´ on de la excitaci´ on cuando el gradiente está presente. En consecuencia, para lograr diferentes posiciones de corte se cambia la frecuencia central de excitaci´ on con el fin de elevar la energ´ıa de los n´ ucleos que tengan esta nueva diferencia energética en su estructura de niveles que se encontrarán en otra coordenada dentro del rango de longitud de aplicaci´ on del gradiente f´ısico. Grosor de slice El grosor de slice, principal objetivo a determinar con el gradiente en tratamiento, se tiene que: Es directamente proporcional al ancho de banda de la RF. Inversamente proporcional a la magnitud del gradiente f´ısico. Disminuir el grosor de slice con el f´ın de aumentar la resoluci´ on de la im´ agen tiene un l´ımite; si el rango de frecuencias asociadas al CSE (4ωCSE ) empieza a ser comparable con el ancho de banda de

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

100 la RF, llegar´ a un punto en que n´ ucleos en un mismo slice pueden no ser energizados porque est´an en un ambiente lo suficientemente diferente para hacer que 4ωCSE > 4ω, por consiguiente, es necesario que siempre se cumpla que 4ω > 24ωCSE . Cabe aclarar que, tal y como se puede ver en la tabla 2.2 y con base a los valores mencionados en

la sub-secci´ on 2.2.1, un fuerte cambio en los ambientes qu´ımicos en la muestra no generará un error mayor a la décima de mil´ımetroIX . Como se puede deducir a partir de lo ya mencionado, es de vital importancia que el GSS deba ser aplicado en presencia de la RF; este hecho se muestra en el diagrama 3.3b donde se muestra la cronolog´ıa de aplicaciones de los gradientes lógicos que se tratar´ an en esta secci´ on.

3.2.3.

Codificaci´ on por fase

Una vez se ha seleccionado un slice (fig. 3.4), la funci´ on de este nuevo gradiente l´ ogico es diferenciar ya bien sea las filas o las columnas del slice determinado. Este proceso se denomina codificaci´ on en fase y es realizado con otro gradiente f´ısico que puede estar dirigido en cualquiera de los dos ejes perpendiculares al eje de aplicaci´ on del GSS (tabla 3.1); la combinaci´ on del gradiente f´ısico y su direcci´ on en marco de la funci´ on ya mencionada se conoce como gradiente l´ ogico de codificaci´ on por fase, GPE por sus siglas en inglés (Gradient of Phase Encoding) o simplemente Gφ y se aplica cuando la muestra ya está en proceso de relajación. El objetivo que se persigue con este nuevo gradiente es generar un mismo ´ angulo de fase espec´ıfica en el vector magnetizaci´ on transversal (M~xy ) para todos los n´ ucleos que se encuentren en una fila o columna determinada pero que tal ángulo sea diferente al ´ angulo de otra fila o columna. La aplicaci´ on del GSS causa que todos los n´ ucleos de un mismo plano tengan aproximadamente la misma frecuencia de Larmor, por consiguiente, precesar´ an en fase; la aplicaci´ on del GPE posterior a la aplicaci´ on de GSS (fig. 3.5a) altera el campo magnético externo de los n´ ucleos en funci´ on de la coordenada en el eje que se aplicó el nuevo gradiente IX Por ejemplo, para un resonador de 1.5 T donde el CSE genera un rango de 3.819 µT, un gradiente com´ un de 400 mT/m generar´ a un error de 9.56 µm.

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

101

(a) Cronograma de ejecuci´ on de los gradientes l´ ogicos (GPE).

(b) Configuraci´ on geom´ etrica del GPE.

Figura 3.5: Gradiente l´ ogico de codificaci´ on por fase.

l´ ogico produciendo diferencias en las frecuencias de Larmor con el fin de romper esta fase y hacer que precesen con fase diferente; finalmente se deja de aplicar el gradiente para volver a igualar las frecuencias de Larmor pero conservar las diferencias de fase.

(a) Antes del GPE.

(b) Durante el GPE.

Figura 3.6: Animaciones del efecto generado por la aplicaci´ on de un GPE a una regi´ on de 3x3 v´ oxeles. Animaciones tomadas de la referencia bibliogr´ afica [5].

Para clarificar un poco esta metodolog´ıa, segiremos con la situaci´ on ya planteada en la subsecci´ on anterior y ahora sobre nuestro paciente ~ (fig. aplicaremos un gradiente f´ısico en el eje Y 3.5b); para facilitar nuestro an´ alisis, nos centraremos en la cuadr´ıcula de 3x3 expuesta en la figura que representan 9 v´ oxeles distribuidos en tres filas y tres columnas del slice. Como ya se mencion´o, una vez finalizada la aplicaci´ on del GSS los n´ ucleos

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

102 precesar´ an en fase (fig. 3.6a); posterior a ello, se aplica el gradiente y de una forma an´ aloga a la u ´ltima ecuaci´ on de la expresi´ on (3.2) tendremos que:

ω0 (y) = γ (B0 + Gy y) ,

(3.5)

siendo Gy el gradiente f´ısico que define el GPE. Mientras este gradiente esté activado, todos los vectores de magnetizaci´ on transversal con una coordendada y espec´ıfica tienen su propia y u ńica frecuencia de Larmor, as´ı, la magnetizaci´ on transversal causada por los n´ ucleos en una coordenada y1 tendrán un desfasaje frente a la magnetizaci´ on de los n´ ucleos con una coordenada y2 6= y1 (fig. 3.6b). Si el GPE se desactiva, todos los n´ ucleos volver´ an a interactuar con el mismo campo magnético externo y su movimiento de precesi´ on tendr´ a la misma velocidad angular pero con una diferencia de fase causada por la diferencia de movimiento que adquirieron cuando el gradiente estuvo encendido, este fenómeno se conoce como memoria de fase (fig. 3.6c). En nuestro ejemplo, en la din´ amica final del sistema (una vez finalizado el GPE) todos los n´ ucleos tienen la misma frecuencia de Larmor y todas las magnetizaciones transversales de los vóxeles de una misma columna tienen la misma fase, sin embargo, ning´ un par de vóxeles de columnas diferentes tendrán la misma fase. Si queremos determinar el ´ angulo de desfase, basados en la ecuación (3.5) podemos determinar el cambio de frecuencia respecto a la frecuencia de referencia (sub-sec 3.2.1) el cual será 4ω = γGxj xj donde hemos vuelto a generalizar la situaci´ on teniendo en cuenta que es una coordenada de un eje ortogonal a xi de la ecuaci´ on (3.4). 0 Durante el desarrollo de esta sub-secci´ on ha estado impl´ıcito que el GPE es de forma lineal (Gxj = dB dxj es constante), sin embargo -si no cumple esta condición- la magnetización transversal adquiere una fase:

t0 +Tφ

φ = γxj

Gxj dt = xj κs,j (Tφ ),

(3.6)

donde Tφ es el tiempo de aplicaci´ on del GPE y se ha definido la funci´on κs,j (Tφ ) como κs,j (Tφ ) =

φ xj .

Como φ es un ´ angulo, no es dificil establecer que κs,j (Tφ ) es la frecuencia espaciál que determina tal fase; es de relevancia anotar que se relaciona con el FOV por la expresión (1.31). Cambiando moment´ aneamente de tema, hemos visto que una oscilación con una frecuencia ω y una fase φ la podemos modelar matem´ aticamente con una exponencial compleja (ecu. (1.7)): ei(ωt−φ) = eiωt e−iφ donde hemos aplicado propiedades de exponente y hemos supuesto una oscilación en sentido horario. Esta relaci´ on nos permite analizar -matemáticamente- como podemos separar la influencia de la fase en una oscilaci´ on. Con base a esto, si queremos establecer como afecta esta fase a un ente como la magnitud de la magnetizaci´ on transversal (que también oscila en el plano transversal, ecu (2.36)) tendremos una expresi´ on como Mxy e−iφ . Volviendo nuevamente al tema en tratamiento, hemos establecido un gradiente f´ısico a lo largo de una de las direcciones j del slice el cual afecta la fase seg´ un la coordenada xj en la que se encuentre el v´ oxel, por ende, la se˜ nal que emite la muestra depende de esta coordenada que a su vez influye en la fase. En conclusi´ on, el cambio de la se˜ nal con base a la posición dentro del gradiente f´ısico en el que se encuentre viene determinado por la fase que exponga la magnetización transversal,

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

103

matem´ aticamente esto es: Z

dS(t) ∝ Mxy e−iφ dxj

=⇒

S(t) = ξ

Mxy e−iφ dxj

donde hemos desarrollado la diferencial e incluimos una constante de proporcionalidad ξ. Teniendo en cuenta la resoluci´ on espacial, podemos plantear la siguiente relaci´on: Z S(t) = ξ

Mxy e−iκs,j (Tφ )xj dxj .

(3.7)

Esta ecuaci´ on tienen una estructura semejante a la expresión (1.10) que trata sobre la FT, sin embargo, para que la aplicaci´ on de un gradiente f´ısico se pueda asociar a un método práctico para realizar una transformada de Fourier a la distribuci´ on de magnetizaciónes generadas en la grilla de vóxeles hay un detalles que falta por analizar. Basados en los l´ımites de integración de la FT, es necesario que se haga una suma diferencial sobre todas las posiciones posibles (integrar sobre todo el rango de xj ) lo cual equivale a sumar sobre todos los desfases que puede lograr la magnetización (ya que la frecuencia espacial es independiente de la posici´ on) que se encontrarán en un rango de [0, 2π]. Logrando este detalle, se logra indirectamente cumplir nuestro objetivo de diferenciar una de las dimensiones del slice ya que hemos logrado establecer sus componentes frecuenciales a través de la aplicaci´ on de un gradiente; resta ahora diferenciar la coordenada faltante (en nuestro ejemplo las filas) con otro gradiente y as´ı lograr plasmar y diferenciar el comportamiento de la magnetización transversal de cada v´ oxel del slice en una FT en 2D.

3.2.4. Lectura o codificaci´ on por frecuencia Con los dos gradientes l´ ogicos anteriores hemos logrado diferenciar dos de las tres coordenadas espaciales que marcan la localizaci´ on de un v´ oxel, nos resta diferenciar la u ´ltima componente y as´ı logramos tener todos los v´ oxeles de un slice en condiciones magnéticas y din´ amicas diferentes. El u ´ltimo gradiente l´ ogico se denomina gradiente l´ ogico de lectura, GRO por su sigla en inglés (Gradient of Readout)X o simplemente Gf . Este gradiente lógico se aplica una vez finalizado el GPE y consiste -al igual que los anteriores- en la aplicaci´ on de otro gradiente f´ısico en una direcci´ on espec´ıfica con un objetivo espec´ıfico. En la figura 3.6c ejemplificamos como con el GPE se obtuvo una diferenciación en fase (en una coordenada del slice) de la magnetizaci´ on transversal de los vóxeles que componen el slice; basado en ello, el GRO tiene como proposito diferenciar el comportamiento magnético y dinámico de los vóxeles que forman el slice con base en su componente espacial ortogonal a los ejes que marcaron la aplicación de los gradientes l´ ogicos GSS y GFE. Esto lo logra alterando su frecuencia de Larmor con una metodolog´ıa semejante al utilizado en la primera parte de la aplicación del anterior gradiente lógico. Para esclarecer este procedimiento seguiremos con nuestro ejemplo de las figuras 3.6; para ello aplicamos X Algunas

veces abreviado tambi´ en como GFE (Gradient of Frequency Encoding).

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

104

(a) Configuraci´ on geom´ etrica del GRO.

(b) Cronograma de ejecuci´ on de los gradientes l´ ogicos (GRO).

Figura 3.7: Gradiente l´ ogico de lectura.

(a) Antes del GRO (misma figura 3.6c).

(b) Durante el GRO.

Figura 3.8: Animaciones del efecto generado por la aplicaci´ on de un GRO a una regi´ on de 3x3 v´ oxeles. Animaciones tomadas de la referencia bibliogr´ afica [5].

~ (fig. 3.7a) el cual hará que la frecuencia de Larmor el GRO a través de un gradiente f´ısico en el eje X venga determinada por: ω0 (x) = γ (B0 + Gx x) , siendo Gx el gradiente f´ısico referenciado. A la dinámica resultante de la aplicación del GPE (fig. 3.8a) este gradiente a˜ nade un nuevo desfase producto de la alteración de las frecuencias de Larmor en las filas, por ende, el resultado es un desfase tanto en la frecuencia (coordenada x) como en la fase (coordenada y) en la cuadr´ıcula de v´ oxeles tal y como se muestra en la figura 3.8b. Finalmente, el resultado final de la aplicaci´ on de los tres gradientes l´ ogicos es que ning´ un par de v´ oxeles tienen la misma frecuencia y fase a la vez, lo cual hace que logremos nuestro objetivo de diferenciar la dinámica y el magnetismo de todos los v´ oxeles de un slice. Retomando el proceso f´ısico-matem´ atico establecido para obtener la ecuación (3.7), en este instante no solo tenemos la influencia del cambio de fase establecido con el GPE sino que agregamos una nueva establecida con el GRO. Generalizando la situación y denominando Gxz al gradiente f´ısico asociado al

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

105

GRO (ya que Gxi ⊥ Gxj ⊥ Gxk ), tendremos: ZZ S(t) = ξ

Mxy e−iκs,j (Tφ )xj e−iκs,z (Ts )xz dxj dxz ,

donde Ts es el tiempo en que GRO se aplica y se denomina tiempo de lectura. Analizando la expresi´ on (3.6) podemos establecer que: Z

t0 +Tφ

Z Gxj dt

κs,j = γ

∧

t0 +Ts

Gxz dt.

κs,k = γ t0

Retomando el objetivo propuesto al final de la subsecci´on anterior, Si sobre un v´ oxel aplicamos un GRO de valor −Gxz durante un periodo de tiempo

Ts 2 ,

ten-

dremos un desfase -respecto a la din´ amica en que qued´ o despu´es de aplicar el GPE- de: φ Ts (xz ) = 4ω 2

1 Ts = − γGxz xz Ts . 2 2

N 2

012 0.6

N GPE

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 0

1 2 Ts

Ts t Figura 3.9: Algo.

Si quisieramos eliminar esta fase, no es complejo establecer que la opci´ on m´ as sencilla es colocar un gradiente Gxz durante el mismo periodo de tiempo

Ts 2

y recuperariamos la se˜ nal; por consigu-

iente, a un tiempo Ts ya eliminariamos el haber aplicado el gradiente f´ısico −Gxz (fig. 3.9). Basa-

3 2 Ts

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

106 dos en este hecho, podemos establecer que la fase a un tiempo t >

Ts 2

manteniendo este gradiente in-

verso hasta t = Ts y posteriormente uno positivo puede determinarse por: φ(xz , t) = γGxz xz (t − Ts ) .

(3.8)

Con el fin de discretizar esta se˜ nal para involucrar teor´ıa de an´alisis de se˜ nales y as´ı vincular estos conceptos f´ısicos al proceso de detecci´ on, supongamos que recolectamos N puntos de esta se˜ nal durante el intervalo de tiempo [ 12 Ts , 32 Ts ], por ende, el intervalo de muestreo debe ser τω = se deben tomar en los tiempos

Ts 2

Ts N

y las muestras

+ pτω donde p = 0, 1, 2, ..., N − 1. Con estas definiciones, podemos

establecer las siguientes relaciones con Ts y t: Ts 2

= τω N2 .

t = 21 Ts + τω p = τω n=

N 2

+ p = τω (N − n) donde

− p.

as´ı la ecuaci´ on (3.8) se transforma en: φ(x, t(n)) = γGxz xj τω n

(3.9)

donde se ha definido t(n) = Ts − τω n basado en los cambios de variables mencionados. El paso de tiempo τω es conocido como tiempo de permanencia mientras que esta definici´ on sugiere que la discretizaci´ on de la frecuencia espacial viene dada por: κs(n),z (Ts ) = γGxz τω n. Es importante mantener encendido este u ´ltimo gradiente ya que de codificaci´ on de frecuencia en IRM y espectroscopia por RMN (ERM o MRS por sus siglas en ingl´es, magnetic resonance spectroscopy) son diferentes. En una secuencia de pulsos para la obtenci´ on de una imagen, la se˜ nal siempre se detecta en la presencia de un gradiente conocido como , el cual produce una de las dos dimensiones de la imagen final. Como ya mencionamos en los p´ arrafos previos a la sub-secci´ on 2.1.5, usualmente los primeros pulsos utilizados en las secuencias para excitar una regi´ on particular de un tejido es de 90o , m´ as espec´ıficamente 90x . T20 induce un desfase en la magnetizaci´on transversal (fig. 3.11) que puede ser parcialmente revertido para formar un eco en la se˜ nal al aplicar un pulso de 180o , un pulso de gradiente o un proceso con la combinaci´ on de ambos. Para ejemplificar la formaci´ on de este eco tomando el caso del uso de un pulso de 180o , retomare-

´ ESPACIAL 3.2. LOCALIZACION

107

Figura 3.10: Reorientaci´ on de los esp´ın en el sistema de coordenadas rotante. Imagen tomada y modificada de [6].

mos la situaci´ on expuesta en la figura 3.11. Si la muestra se ha relajado un tiempo τ -lo suficientemente corto para evitar que alguno de los momentos magnéticos tenga un desfase mayor a ±90o - y se aplica un pulso 180y , el efecto ser´ a el de invertir la componente yˆ0 de ambos vectoresXI , as´ı, se obtendr´ a la situaci´ on expuesta en la figura 3.10.c. Como los comportamientos de retraso y adelanto respecto al eje yˆ0 se mantienen, si la relajación de los pulsos nuevamente dura un tiempo τ (es decir que ya ha transcurrido un tiempo 2τ desde el primer pulso) tendremos una alineaci´ on de los momentos exactamente en dirección −ˆ  (fig. 3.10.d) produciendo el eco mencionado. Cuando el eco se forma, el GRO se aplica perpendicular a la dirección de slice de forma tal que -bajo la influencia de este nuevo gradiente- los n´ ucleos comienzan a precesar a diferentes frecuencias dependiendo de su posici´ on dentro del slice. Cada una de estas frecuencias se superponen al eco y -finalmente- la se˜ nal es medida por la bobina receptora. La magnitud y la frecuencia detectada permite establecer la localizaci´ on del n´ ucleo en el slice. La magnitud de GRO (GRO) y la frecuencia con que se detecta permitir a la posici´ on correspondiente del prot´ on a determinar (Figura 4.2). Dos par´ ametros seleccionables por el usuario determinar la resoluci´ on espacial en la dirección de la lectura: el campo de visi´ on (FOV) en la direcci´ on de la lectura y el n´ umero de puntos de lectura de datos en la matriz. El n´ umero de puntos de lectura de datos as´ı como el tiempo total de muestreo determina la frecuencia de Nyquist para la medici´ on (ecuaci´ on [2-2]). GRO se define de forma que los protones situados en el borde de la precesión de campo de visión en la frecuencia de Nyquist (Figura 3.4). M´ as peque˜ nos Campo de visi´ on se logran mediante el aumento de GRO, manteniendo la frecuencia XI debido

a la direcci´ on de la RF que se ha colocado

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

108

de Nyquist y por lo tanto el ancho de banda total del receptor constante: Es posible reducir la frecuencia de Nyquist para la medici´ on de la reducci´ on del tiempo total de muestreo utilizado para medir la se˜ nal. Esto reduce el contenido de la frecuencia por p´ıxel en la imagen final y el ruido de fondo contribuyendo a la medida. Con el fin de mantener la correcta resolución espacial dentro de la imagen, la lectura pendiente se reduce, de acuerdo con la ecuaci´ on [3.4]. Independientemente de la resolución de la frecuencia, la final espaciales la resoluci´ on se mide en / p´ıxel mm: En otras palabras, mientras que la Hz / el contenido de frecuencia de p´ıxel de la imagen est´ a determinada directamente por la frecuencia de Nyquist, el mm / p´ıxel de resoluci´ on espacial se ve afectado u ńicamente por el campo de visión. As´ı como en los ejemplos del gradiente de codificaci´ on de frecuencia, si hab´ıa alguna manera de medir la frecuencia (en esta fase de casos) de los vectores de giro que podr´ıa asignar una posición a lo largo del eje X. Ahora estamos listos para explicar la simple transformaci´ on de Fourier secuencia de im´ agenes tomogr´ aficas. Un gradiente de codificaci´ on de fase se aplica ortogonal a los otros dos pendientes después de la selecci´ on de corte y la excitaci´ on, pero antes de la codificaci´ on de frecuencia. El gradiente de codificaci´ on de la fase no cambia la frecuencia de la se˜ nal recibida, ya que no se activa durante la adquisición de se˜ nales. Sirve como un recuerdo de fase, recordando la fase relativa a lo largo de la división. Para construir una imagen de 256 x 256 p´ıxeles se repite una secuencia de pulsos 256 veces con sólo el gradiente de codificación de cambio de fase. El cambio se produce de forma escalonada, con la fuerza del campo disminuyendo hasta llegar a cero, entonces cada vez mayor en la dirección opuesta hasta llegar a su amplitud original. Al final de la exploraci´ on, 256 l´ıneas (una para cada paso de la codificación de fase), que comprende 256 muestras de frecuencia se producen. Una transformación de Fourier permite la fase de información que se extrae de manera que un pixel (x, y) en el corte se le puede asignar la intensidad de la se˜ nal que tiene la fase correcta y la frecuencia correspondiente al elemento de volumen adecuado. La intensidad de la se˜ nal se convierte entonces en una escala de grises para formar una imagen.

3.3.

Secuencias de adquisici´ on

ARTEFACTOSS

3.3.1.

Banda lateral

Artefacto de sideband Con el fin de obtener diferentes comportamientos de la magnetizaci´ on que nos permiten detectar se˜ nales o establecer el estado de ambientes qu´ımicos de inter´es es que -a trav´es de numerosos pulsos de RF envueltos en diferentes configuraciones de gradientes- se aplican diferentes procedimientos y as´ı lograr el objetivo planteado. Esta sutil combinaci´ on de pulsos y gradientes es lo que se denomina

´ 3.3. SECUENCIAS DE ADQUISICION

109

una secuencia de adquisici´ on o una secuencia de pulsos las cuales son dise˜ nadas para estimular la se˜ nal de un tejido particular (contraste), tan pronto como sea posible (velocidad), disminuyendo al máximo la aparición de artefactosXII y sin alterar la SNR (calidad). Hay m´ as de un centenar de diferentes secuencias y -para complicar más la situación- los fabricantes tienden a elegir sus propias siglas complicando a´ un más el estudio práctico de este tópico en frente de un equipo de resonancia magnética cl´ınico. Debido a la gran diversidad de secuencias, existen dos tipos de parámetros utilizados para describir sus caracter´ısticas: los par´ ametros de arquitectura y los parámetros temporales. A continuación trataremos los de arquitectura: Par´ ametros de arquitectura: La arquitectura de una secuencia se puede caracterizar en dos grupo de componentes, por un lado, los componentes primarios o esenciales y por el otro las diversas opciones que se pueden modificar a ella sin deteriorar su estructura principal (componentes secundarios). Los componentes esenciales de cualquier secuencia de im´ agenes son los siguientes:XIII Pulsos: Pulsos de excitaci´ on de RF, necesario para el fenómeno de la RMN. Gradientes: Gradientes de codificación espacial (2D o 3D) cuya disposición determinará cómo es llenado el espacio k. Lectura: Lectura de la se˜ nal, la combinación de uno o varios tipos de eco (spin eco, eco de gradiente, eco de Hahn, eco estimulado, etc) para determinar el tipo de contraste (la influencia de las variables T1 , T2 y T2∗ ). Los componentes secundarios consisten en otros pulsos de RF, gradientes o métodos de reconstrucci´ on encaminados a: Contraste: Modificar sutilmente el contraste (la preparación de la magnetización a través de un pulso de inversi´ on, saturaci´ on de la grasa, transferencia de la magnetización, etc) Velocidad: Acelerar la secuencia (llenado parcial del espacio K, adquisición en paralelo, restauraci´ on r´ apida de la magnetización, etc) Artefactos: Reducir los artefactos (compensación del caudal, sincronización, bandas de presaturation, etc) Par´ ametros temporales: Para abordar este tópico retomaremos algunos conceptos e ideas tratados en el cap´ıtulo anterior. En la subsecci´ on 2.1.4 (párrafo previo a la ecu. (2.12)) vimos como la magnitud de la magnetizaci´ on depende fuertemente de la densidad volumétrica de espines ρI ; en tanto, en la XII Informaci´ on XIII Los

presente en una imagen que no est´ a presente en el ente caracterizado por tal imagen. conceptos desconocidos mencionados en los siguientes item’s ser´ an tratados posteriormente.

110

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

sub-secci´ on 2.1.5 -referente a la relajaci´ on de la magnetizaci´ on tras un pulso de RF- vimos como la magnetizaci´ on puede ser descopuesta en una magnetizaci´ on longitudinal (Mz ) -donde interviene el tiempo de relajamiento longitudinal (T1 )- y en la magnetizaci´ on transversal donde interviene el tiempo de relajamiento transversal T2 . Basados en estos hechos, una buena manipulaci´ on de la magnitud de la se˜ nal puede brindar excelente información de ρI , as´ı como una acertada manipulaci´ on de Mz puede brindar un excelente método para tener noción del T1 de una muestra y -de igual forma- una buena manipulación de Mxy puede brindar un excelente método para tener noci´ on del T2 de la misma muestra. As´ı como en la TAC, el SPECT o en el PET (tabla 1.7) se caracteriza la muestra con base en la densidad electr´ onica de sus ´ atomos, es importante tener presente que tanto ρI como T1 y como T2 son caracter´ısticas intr´ınsecas de la muestra que reflejan diferentes caracter´ısticas de los átomos que la conforman; por la naturaleza temporal de estas dos u ´ltimas cantidades, ambas hacen parte del grupo denominado tiempos intr´ınsecos. Hacer un mapa del valor de alguno de los tiempos intr´ınsecos a lo largo de una superficie (o volumen) se hace un método id´ oneo para generar una imagen que nos permita diferenciar los diferentes tejidos del espacio estudiado, as´ı, una imagen que refleja el comportamiento espacial del valor de T1 a lo largo del volumen en tratamiento se denomina imagen pesada en T1 , una imagen que describe el comportamiento de T2 ser´ a una imagen pesada en T2 mientras que una imagen que refleja informaci´ on de ρI se denomina imagen de densidad prot´ onica (PDI) o de densidad de espines. En contramano a los tiempos intr´ınsecos, los tiempos extr´ınsecos son aquellas variables temporales que son manipulables por el usuario que influyen en el resultado de una secuencia. A lo largo de la subsecci´ on 2.3.2 se utiliz´ o un tiempo denominado tiempo de repetición TR que -aunque no fue expl´ıcitamente definido- consiste en el tiempo que existe entre las secuencias de pulsos sucesivos aplicados al mismo slice. Técnicamente TR se define como el tiempo transcurrido entre el primer pulso de RF de una secuencia y el primer pulso de RF de esta misma secuencia que se ha repitido en serie posterior a la anterior secuencia. Las variaciones de TR tienen un efecto importante en el control de las caracter´ısticas de contraste en la imagen como por ejemplo las implicaciones en el estado de saturación que vimos en la subsección 2.3.2. Otro tiempo extr´ıseco es el tiempo de eco o TE el cual representa el tiempo en milisegundos entre la aplicaci´ on de un pulso de 90o y el pico del eco de la se˜ nal; se aplica en las técnicas SE e IR y por ende se profundizar´ a en tales subsecciones. Finalmente, el tercer tiempo extr´ınseco es denominado tiempo de inversi´ on TI y ser´ a tratado durante el desarrollo de la técnica IR. RELACION CON EL CONTRASTEEEEE !!!!!! Hay dos grandes familias de secuencias que se diferencian en funci´ on del tipo de ecos registrados: las secuencias basadas en la técnica Spin Echo (SE) (caracterizadas por la presencia de pulsos de RF de 180o ) y las secuencias basadas en la técnica Gradient echo o eco-gradiente (GE). Algunos autores consideran una tercera familia basada en la técnica Inversion Recovery (IR) la cual -en ciertas referencias bibliogr´ aficas- es considerada parte de la SE; en tanto, otra familia de secuencias ha sido desarrollada en los u ´ltimos a˜ nos basada en la com-

´ 3.3. SECUENCIAS DE ADQUISICION

111

Figura 3.11: Mapa de organizaci´ on de las diferentes secuencias de pulsos seg´ un su naturaleza y contraste. Imagen tomada y modificada de [7].

binaci´ on de las técnicas anteriores (SE, GE e IR), estas secuencias se reunen bajo una técnica denominada Mixed sequences (MIX) y solo han sido implementadas en equipos de u ´ltima tecnolog´ıa. Numerosas variantes se han desarrollado en cada una de estas técnicas principalmente para aumentar la velocidad de adquisici´ on; generalmente estas secuencias buscan producir una saturación parcial mediante la manipulaci´ on del tiempo TR , sin embargo, es ventajoso tener un mismo estado de equilibrio (referente a la magnetizaci´ on) previo a cada secuencia. Para producir este estado de equilibrio, antes de cada toma de datos se generan pulsos adicionales de RF que se aplican al tejido inmediatamente antes del principal pulso de la secuencia; estos pulsos adicionales son conocidos como pulsos de preparaci´ on o pulsos ficticios ya que estas se˜ nales son generalmente ignoradas en el registro de la se˜ nal. El fin de estos pulsos de preparación es garantizar que la magnetizaci´ on tenga la misma magnitud al iniciar cada secuencia de RF. Tras esta introducción y con la mención de algunos conceptos utilizados en la descripción de las secuencias de pulsos, abordaremos la primer técnica: Spin Echo.

3.3.2.

T´ ecnica Spin Echo

Como se mencion´ o en la secci´ on de Historia en el cap´ıtulo introductorio, se debe al f´ısico Erwin L. Hahn la descripci´ on del fen´ omeno conocido como “eco de esp´ın”. Este fen´ omeno es un efecto descrito por la mec´ anica cu´ antica donde la magnetización de una muestra se recupera parcialmente después de haberse perdido; el término “eco” se estableci´ o por analog´ıa con el eco ac´ ustico en el que una onda sonora vuelve a su emisor (tras reflejarse y atenuarse) después de un tiempo de espera, el ter-

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

112 mino “esp´ın” se debe a la propiedad de los ´atomos que genera el fen´ omeno.

En la sub-secci´ on 2.2.2 se trat´ o el origen y la influencia del término T20 y su relación con el desfase de intrav´ oxel (sub-sec. 2.1.4) causado por todas las fuentes de heterogeneidades de campo magnético que ocurren en una muestra y por las propias inhomogeneidades de su estructura molecular; es este fenómeno el que causa la pérdida de magnetizaci´ on que ocurre en el “eco de esp´ın” ya que al perderse la fase de los espines la magnitud de la componente Mxy es directamente afectada causando el fenómeno ya mencionado. Lograr evitar la influencia de T20 y contar con una técnica con un dise˜ no tal que nos permita obtener una imagen pesada en cualquiera de los dos tiempos intr´ınsecos o que nos brinde la posibilidad de lograr una PDI, son precisamente los objetivo que persigue la técnica Spin Echo (SE). Esta técnica fue la primera y m´ as importante de las técnicas hasta ahora desarrollada tanto en RM como en todos los procedimientos donde este involucrada la RMN y sirvió como punto de partida para lograr desarrollos m´ as eficientes a través del dise˜ no de otro tipo de técnicas. Sabemos que tras aplicar una RF a una muestra que está en equilibrio en un campo magnético constante con el fin de modificar la din´ amica de la magnetización, esta tenderá a volver a su estado de equilibrio después de dejar de aplicar tal RF. Este hecho garantiza que -en principio- cualquier RF nos permitir´ a obtener informaci´ on sobre el T1 y la ρI del volumen en estudio ya que inevitablemente cualquier RF no solo har´ a que Mz se altere, su magntitud nos dará información sobre la densidad protónica. Queda abierta la problem´ atica de: ¿C´ omo lograr alterar significativamente la magnetización transveral con el fin de tener herramientas suficientes para estudiarla y obtener información sobre T2 ?. En la figura 2.9 se muestra que es un pulso de 90x XIV el pulso de RF que mayor componente transversal genera en la magnetizaci´ on, por ende, la técnica SE parte de un estado de equilibrio para posteriormente generar

pulso

90x .

Al inicio de la secci´ on 2.3 vimos el porque es la magnetizaci´ on transversal la variable a detectar en RM, por ende, si deseamos leer el pico del eco de la se˜ nal en un tiempo TE lo ideal ser´ıa tener todos los esp´ınes nucleares

induction.avi

en coherencia en tal instante de tiempo. La idea de Hahn para llegar a esta condici´ on y solucionar el problema del desfase de intrav´ oxel fue dividir la t´ecnica SE en tres pasos:

Play/Pause

1. Como se mencion´ o, la técnica inicia aplicando un pulso de 90x , esto hace que el vector de magnetización se ubique en el plano transversal en el eje Y~ 0 del sistema rotante. A través de la tabla 2.2, podemos establecer que los valores actuales para ω1 son del orden de los kHz, as´ı, utilizando la ecuación (2.27), podemos establecer que el tiempo involucrado en rotar la magnetización es del orden de µs (decenas o centenas) lo cual es despresiable frente a los tiempos T1 y T2 (tabla 2.3) que son las variables que determinar´ an la magntitud de los tiempos involucrados en la técnica de SE. Este hecho permite realizar la suposici´ on que el primer pulso de RF es prácticamente instantáneo. 2. En segunda instancia, se dejar XIV Notaci´ on

tratada en la parte final de la sub-secci´ on 2.1.3

´ 3.3. SECUENCIAS DE ADQUISICION relajar la muestra un tiempo

113

TE 2

logrando un desfase de intrav´ oxel determinado.

3. Posterior al paso anterior, con un pulso de 180y (ecu. (2.32)) con el doble de amplitud que el primer pulso, se induce en la muestra un desfase de intrav´ oxel en sentido contrario pero de la misma magnitud y durante el mismo tiempo

TE 2

con el fin de

obtener -finalmente- todos los esp´ınes en fase coherente en TE (nuevamente en el eje Y~ 0 ) eliminando -solo en este instante- el desfase de intrav´ oxel y logrando el m´ aximo eco. Con este paso, la t´ecnica de SE logra su objetivo.

Se puede establecer una analog´ıa entre esta idea y una competencia de atletismo, aqu´ı, la velocidad de cada competidor es la velocidad de precesión de cada esp´ın y se desea -en un instante TE - a todos los competidores igualados. Al dar la partida, habrá competidores más rápidos que otros y rápidamente tomar´ an ventaja, sin embargo, si dejamos avanzar la prueba un tiempo

TE 2

y luego obligamos a todos los

competidores volver a la misma velocidad que llevaban, los más rápidos estarán más lejos del punto de partida y los m´ as lentos estar´ an m´ as cerca, as´ı, después de otro intervalo de tiempo

TE 2

y asumiendo que

corren a velocidad constante, todos los competidores llegarán al punto de partida al mismo tiempo. En este punto y con base a lo visto en el cap´ıtulo anterior, debe ser claro para el lector que pese a la recuperaci´ on de la pérdida de magnetizaci´ on causada por T20 , la magnitud de la magnetización transersal determinada por la libre evoluci´ on termodinámica determinada por T2 no es alterada. Siguiendo esta ∗

idea, hasta antes del instante en que t = TE /2 la magnitud de la magnetizaci´on transversal es M0 e−t/(T2 ) TE 2 ;

siendo m´ aximo el desfase de intrav´ oxel en

despu´es de este instante, como el sistema gana coherencia

a través de la energ´ıa impartida por el pulso de 180y , es de esperarse que la situación pueda modelarse a través de la inversi´ on del signo de T20 (ecu. (2.38)), es decir, que el tiempo neto de relajación por interacciones internucleares es: ( T2E < t < TE ) t T2−neto

=−

t − T2E t +2 , ∗ T2 T20

donde se ha partido del tiempo T2∗ que modela las heterogeneidades y durante el rango de tiempo t−TE /2 posterior al pulso de 180y en que la muestra ha ganado coherencia, se ha invertido el signo de T20 . Se a˜ nade dos veces esta cantidad porque hay que tener en cuenta que en el T2∗ se ha considerado la sustracci´ on de un T20 , por tanto antes de considerar la inversi´on del signo, hay que recuperar la influencia de esta

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

114

sustracci´ on. Teniendo en cuenta la ecuaci´ on (2.38), tal tiempo neto ser´a: t t t − TE , =− + T2−neto T2 T20 de esta forma en t = TE se recuperar´ a la coherencia en ya que ac´ a los efectos provocados por el desfase de intrav´oxel es nulo;  − t ∗  e T2    t T −t − E M⊥ = M⊥ (0) e− T2 e T20   t−T   − Tt2 − T20E e e

0<t< TE 2

TE 2

< t < TE

TE < t

Como se mencion´ o al inicio de esta secci´on, son los tiempos extr´ınsecos las variables temporales que son manipulables por el usuario las cuales permiten influir en el contraste de una imagen. En SE, es el TE y el TR los causantes de lograr una imagen pesada en T1 , en T2 o una PDI. Es importante establecer bajo que condiciones se logra el m´aximo contraste .... relacionados con la se˜ nal. Con el fin de establecer estas condiciones

Imagen pesada en T1 : Para esta situación, partimos de la expresión (2.34) la cual modela el comportamiento de la magnetizaci´ on longitudinal; consideremos que queremos lograr el máximo contraste en una imagen tomada en un slice que abarca dos medios (a y b), as´ı, empezamos determinando la diferencia de las magnetizaciones longitudinales: − Tt

4Mzab = Mza − Mzb = M0a − M0b + M0a (cos θB1 − 1) e

− Tt

− M0b (cos θB1 − 1) e

Para maximizar esta diferencia en el dominio temporal, derivamos e igualamos a cero: M0a M0b d4Mzab − t − t = (1 − cos θB1 ) e T1a − (1 − cos θB1 ) e T1b = 0. dt T1a T1b Para obtener la anterior ecuaci´ on tuvimos en cuenta que ni M0a ni M0b dependen del tiempo ya que -como vimos en la ecuaci´ on (2.15)- la magnetizaci´on inicial puede escribirse como M0 = ρH ι donde ρH depende u ´nicamente del medio e ι es constante para un estudio de RM de 1 H. De igual forma, θB1 tampoco depende del tiempo por motivos que se describieron al determinar la expresi´ on (2.27). Esta u ´ltima expresi´ on nos permite obtener: e

−t T 1 − T1 1a

M0b T1a = M0a T1b

=⇒

tT1 (a, b) = ln

M0b T1a M0a T1b

1 1 − T1b T1a

−1 ,

(3.10)

siendo tT1 (a, b) el tiempo correspondiente para lograr el máximo contraste en un SE pesado en T1 . Como recien se mencion´ o, de la ecuación (2.15) podemos concluir que la magnetización inicial de estos dos medios solo se diferenciarán por su densidad molar hidrogenoide y por las ligeras diferencias en el campo magnético local (desfase de intravóxel). En la sección 2.2 se mostró que las diferencias en el campo magnético son menores a 100 ppm (es decir, diferencias porcentuales menores al 0.01 %), por tanto, es viable solo considerar la diferencia de los medios debido a su ρH .

´ 3.3. SECUENCIAS DE ADQUISICION

115

As´ı, la anterior expresi´ on se transforman en: tTx = ln

ρHb Txa ρHa Txb

1 1 − Txb Txa

−1 ,

x = T1 , T2 ;

se mostrar´ a -en el siguiente ´ıtem- el porqué esta expresión también es válida para T2 . Imagen pesada en T2 : Siguiendo el mismo proceso anterior pero para una secuencia SE pesada en T2 , partimos de la expresi´ on (2.36) y de lo mencioando en los párrafos anterior y posterior a la ecuaci´ on (2.27); as´ı, la diferencia entre la magnitud de las magnetizaciones transversales de dos medios (a y b) es: 4Mxy

− Tt − Tt 2 2 b a − M = sin θB1 M0a e . 0b e

Maximizando la expresi´ on tendremos: e

−t T 1 − T1 2a

M0b T2a M0a T2b

=⇒

tT2 (a, b) = ln

M0b T2a M0a T2b

1 1 − T2b T2a

−1 .

con esta expresi´ on podemos, entonces, calcular el tiempo ´optimo para generar mayor contraste tanto en una imagen pesada en T1 como en una pesada en T2 .

Tejido Sangre WAT M´ usculo Hueso

Contraste tT1 [ms]

Contraste tT2 [ms]

WAT

M´ usculo

WAT

M´ usculo

78 13 75 25

5 0 25 30

194.72 – 58.377 –

131.00 58.377 – –

etico de 1.5 T. Cuadro 3.2: tT1 y tT2 para un campo magn´

Teniendo en cuenta la tabla 2.3 se puede estimar el tiempo óptimo para generar mayor contraste entre dos tipos de tejido diferente, estos resultados se exponen en la tabla . de densidad secuencia La respuesta en espera de la se˜ nal de la decadencia-se refiere a los cambios en el tiempo de eco (TE). El TE aumenta o reduce al m´ınimo la diferencia en la se˜ nal debido a las diferencias en la T2 de los tejidos. Hay que recordar que no podemos medir una se˜ nal de RMN a menos que el vector de magnetizaci´ on neto se apart´ o de la alineación con el campo magnético externo. Entonces un movimiento de precesi´ on, generando una se˜ nal perpendicular al campo magnético externo. Por lo tanto, si hacemos girar el vector de magnetizaci´ on neto de 90o , la magnetización todo se inclina en el plano xy. La amplitud de la se˜ nal luego decae exponencialmente con una distancia constante de tiempo T2. T2 columna vertebral de la imagen. Tenga en cuenta el l´ıquido cefalorraqu´ıdeo es brillante. Si esperamos a s´ olo un corto per´ıodo de tiempo antes de medir la se˜ nal (a corto TE), la diferencia de entonces, no tanto entre las amplitudes de las se˜ nales de los tejidos se han desarrollado. Sin embargo, si pasa un tiempo m´ as largo (a m´ as largo TE), una diferencia más grande entre las amplitudes de las se˜ nales de los tejidos se han desarrollado. Por lo tanto, una mayor TE aumenta las diferencias en la se˜ nal que surgen de las diferencias en la T2 de los tejidos (a pesar de una menor TE ser´ıa una se˜ nal de alto de ambos tejidos). El uso de un TE ya alcanza T2. El TE es un parámetro del operador puede seleccionar en el

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

116

esc´ aner de resonancia magnética. Las diferencias de contraste debido a la T2 en una imagen de resonancia magnética puede ser manipulado. Densidad de spin, también llamado densidad de protones, los análisis ponderado de tratar de que no sea contrario a partir de la descomposici´ on T2 o T1, el cambio de la se˜ nal sólo vienen de diferencias en la cantidad de vueltas disponibles (n´ ucleos de hidrógeno en el agua). Se utiliza un eco de esp´ın o, a veces una secuencia de eco de gradiente, a corto y largo TE TR. que viene modelada el concepto de desfase de la magnetización transversal visto en la parte final del , es inevitable que durante la evoluci´ on temporal de la magnetización tras un pulso de RF, la Mxy no sufra pérdidas de fase como consecuencia de las heterogeneidades del campo externo, el CSE y otros fenómenos ya descritos. depese a todos los intentos de los fabricantes en lograr un campo externo homogéneo en una muestra de n´ ucleos del mismo compuesto qu´ımico. El pulso 180y afecta directamente el sentido de los esp´ın haciendo que las perturbaciones térmicas (ecu. (??)) se vean afectadas ya que el campo externo actuará de forma diferente, sin embargo, las interacciones internucleares (ecu. (??)) no lo harán ya que -pese a que cambiaron de sentido los espinesla simetr´ıa de la interacci´ on se mantiene. Como consecuencia, el tiempo de relajamiento transversal se mantiene invariante y la magnetizaci´ on neta en el eje yˆ del sistema coordenado Ξ será: φ=0

My (2τ ) = M0 e

2τ −T

z}|{ =⇒

2τ

S(2τ ) = S(0)e− T2 ,

donde hemos tenido en cuenta la expresi´ on (??). TI el per´ıodo de tiempo entre el impulso de la inversión de 180o y la 90o impulso de excitación en ´ una secuencia de Inversi´ on de pulso de recuperación. ISOTOPOS - Los n´ ucleos atómicos que contienen el mismo n´ umero de protones, pero difieren en el n´ umero de neutrones en el n´ ucleo del átomo del elemento en cuesti´ on. K-espacio - una matriz de adquisición de datos que contiene datos de imagen raw antes de su procesamiento de im´ agenes. En 2DFT, una l´ınea de datos corresponde a la se˜ nal de RMN digitalizados en una determinada fase de codificaci´ on de nivel. Rápidamente secuencias de eco de spin, FSE solo tiro y Prisa Secuencias de eco de gradiente con echar a perder la magnetización transversal residual (eco de gradiente mal estado y bastante r´ apido eco de gradiente), un grupo de secuencias de eco de gradiente con el estado de equilibrio residual magnetización transversal (eco de gradiente constante estado) y sus derivados (mejor contraste de eco de gradiente constante estado) y con gradientes equilibrada (Balanced eco de gradiente constante estado), echoplanar (EPI). Algunas secuencias son h´ıbridos, mezcla de spin eco y eco de gradiente (GRASE, SE-EPI). La angiograf´ıa por resonancia magnética secuencias (FBI, con realce de contraste MRA, TOF, PC) las imágenes de perfusión, la difusión de imágenes (DW) y la espectroscopia de RM se tratar´ an en cap´ıtulos separados en la segunda parte. La secuencia de eco de gradiente difiere de la secuencia spin eco en lo que respecta a: el ´ angulo de inclinaci´ on por lo general por debajo de 90o la ausencia de un · RF 180 reprogramaci´ on de pulso Con la excepci´ on de la inversi´ on-recuperación, las técnicas opcionales para modificar el contraste de una secuencia se examinar´ an en un cap´ıtulo dedicado. Del mismo modo, el tratamiento de los artefactos y los métodos de imagen en paralelo se tratará en cap´ıtulos separados. secuencias espec´ıficas y as´ı lograr el objetivo planteado. La primera secuencia a tratar será la Spin Echo.

3.4. ARTEFACTOS

117

Turbo Spin Echo (TSE) TSE-T2 DWI DynaVIEWS: Pesada en T1 (TR / TE / FA) Mirar mama en 4espec.tex OJOOOO, EN MAMA: “Secuencia de MVS: Axial, FOV 8x8 cm2 subdividido en 144 codificaciones en fase, localizada por DWI y TSE-T2. Incluyó un 2D-CSI con PRESS y doble SE con GPE entre el pulso selectivo de 90o y el primer pulso optimizado de selección de slice de 180o . Esta secuencia se realiz´ o dos veces, primero sin supresi´ on del agua ni se˜ nales de grasa (TR /TE 1500/30 ms) para utilizarla como referencia de medici´ on.” *********************************************** *Historia, Los 106 voxels fueron adquiridos de uno en uno tomando dos minutos para adquirir cada uno[1]. *FOV (sec. (1.4)) define el tama˜ no de la región de la imagen. *Survey ???

Figura 3.12: GAP.

WiF = N S W S + GAP

(3.11)

Figura 3.13: Diferencias gr´ aficas producidas por tres secuencias de pulsos en un corte sagital de columna-lumbar. A la izquierda una secuencia Stir, en el centro una SE pesada en T1 y a la derecha una SE pesada en T2 .

hola mundo 3.15

Figura 3.14: Programaci´ on de una secuencia axial SE pesada en T2 de columna lumbar con base a las im´ agenes producidas por una secuencia sagital del mismo tipo (imagen izquierda) y una imagen sagital y axial del survey (centro y derecha).

?? ver parte final de la secci´ on 2.2.4.1 y de la 2.2.4.2 de la ref [8]

3.4. 3.4.1.

Artefactos Susceptibilidad magn´ etica

*Como vimos en la subsecci´ on 1.3.6, un elemento diamagnético apantalla o repele un campo magnético externo. Si la muestra a analizar no tiene una susceptibilidad magnética homogénea, tales diferencias

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

118

generar´ an o aumentar´ an las heterogeneidades del campo en ella misma. En general, la falta de homogeneidad significativa en B~0 debida a diferencias de susceptibilidades magnéticas se deriva de transiciones s´ ubitas en al composici´ on de tejidos o huecos en el tejido ya que compuestos altamente diamagnéticos, paramagnéticos (como es el caso del aire) o ferromagnéticos (algunas protesis) contrastan con el comportamiento diamagnético débil del agua (tabla 1.6). Ejemplo de estos fenómenos son los diferentes tejidos que se encuentran en el cerebro y las cavidades de aire presentes en los senos paranasales, frecuentemente las im´ agenes de estas zonas anat´ omicas presentan artefacto y deben configurarse secuencias especiales para atenuar la aparici´ on de tal problema. Las imagen de referencia son sobre las cuales se programan *******************************

Volumen: .. tiene unos ejes de referencia Stack: Slab:

3.4.2.

Doblo la imagen !!!!

Fold over

Figura 3.15: Programaci´ on de un estudio de pr´ ostata con dos slabs libres con el fin de evitar el envolvimiento de la imagen.

La figura 3.16 son im´ agenes correspondientes al mismo paciente expuesto en la figura 3.15; aqu´ı se muestra como hubo necesidad de ampliar el ´area cubierta por los slabs de forma tal que inicialmente se utilizaron dos de 80 mm y finalmente se usaron cuatro slabs tambi´en de 80 mm.

3.4.3. NPI !!!!

Artefacto de cuadratura

´ 3.5. RESPIRACION

119

Figura 3.16: Re-programaci´ on de un estudio de pr´ ostata con cuatro slabs libres con el fin de evitar el envolvimiento de la imagen. N´ otese como la primer imagen de referencia fue producto de utilizar una configuraci´ on de dos slabs (fig. 3.15) la cual no consigui´ o el efecto deseado.

3.5.

respiraci´ on

La técnica de navegaci´ on es un método que utiliza un pulso de RF que es utilizado como posicionamiento, e.g. para determinar la localización del diafragma antes de la recolección de datos en estudios de abdomen y estudios cardiacos. Como este pulso no pertenece a ninguna secuencia de adquisici´ on y se genera previo a las mismas, se denomina un prepulso r´ apido de posicionamiento ya que su duraci´ on tiende a ser menor a los pulsos tradicionales que se utilizan en RM. El objetivo de la técnica de navegaci´ on es identificar condiciones de respiración similares durante el desarrollo de un estudio en el cual se esté utilizando una secuencia, as´ı, al determinar estas condiciones se puede sincronizar la adquicisi´ on de datos para generar la imagen de forma tal que se reduce los artefactos de movimiento producidos por la respiraci´ on (en el caso del diafragma). La ejecuci´ on de la navegaci´ on empieza al determinar una peque˜ na superficie perpendicular a la estructura en movimiento, tal ´ area debe ser elegida de forma tal que permita una fácil detección automática del movimiento a detectar. Posterior a ello, el equipo de RM es (secuencias axiales) im´ agenes din´ amicas con contraste (DCE)

120

´ CAP´ITULO 3. IMAGENES POR RMN

Bibliograf´ıa [1] L. Minkoff R. Damadian, M. Goldsmith. Nmr in cancer: Xvi. fonar image of the live human body. Physiol. Chem. Phys., 9:97–108, 1977. [2] R. Semelka M. Brown. MRI: Basic Principles and Applications. John Wiley & Sons, 1999. [3] P. Callaghan. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy. Clarendon Press, Oxford, 1991. [4] Magnet

Lab.

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/magnetacademy/mri/

fullarticle.html. [5] CIS-RIT. http://www.cis.rit.edu/htbooks/nmr/. [6] V. Kuperman. MAGNETIC RESONANCE IMAGING, Physical Principles and Applications. Academic Press, 2000. [7] IMAIOS. http://www.imaios.com/. [8] Intramural Research Program. http://www.grc.nia.nih.gov/branches/lci/nmr/mri-hardware2005.pdf.

121

´Indice alfab´ etico P SF , 44

Esp´ın, 29

T2∗ , 0

Espacio K, 94

Ξ , 62

Especificidad, 25 Espectro de absorci´on, 83

Absorci´ on transversal, 67 Abundancia natural, 28 ADC, 79 Aliasing, 46 Ancho de banda, 59 Ancho de linea, 84 Coherencia, v´ease Fase Coherente Condici´ on de no saturaci´ on, 66 de saturaci´ on parcial, 85 Constante de apantallamiento, 74 Convoluci´ on, 17 Corrimiento qu´ımico, CSE, 58, 74 Criterio de Nyquist, 46

Espectro de dispersión, 83 Espectroscop´ıa, 8 Espesor de corte, 41 Estado de agregación, 26 Exactitud, 25 Excitación selectiva, 91 Fórmula de Euler, 15 Fase angular, 72 Fase Coherente, 59 FEM, 39 Ferromagnetismo, 36 FID, 78, 83 Fold over, 87 FOV, 44 Frecuencia

DCE, 119

de Larmor, 52

Densidad molar hidrogenoide, 56

de Rabi, 61

Desfase

de referencia, 96 espacial, 44

de intrav´ oxel, 67 Detecci´ on en cuadratura, 81

Funci´on peine de Dirac, 18

Diamagnetismo, 36 Dispersi´ on transversal, 67

Gradiente l´ogico, 96 de codificaci´on por fase, 100

Distribuci´ on de Gauss, 16

de lectura, 103 de selecci´on de slice, 97

Delta de Dirac, 16 Dominio

Grosor de slice, 41

espacial, 17 frecuencial, 17

Im´an, 41 electroim´an, 41

Dualidad onda-part´ıcula, 25

permanente, 41 Electronegatividad, 27

Imagen

Enlace covalente, 26

de densidad prot´onica, 110

ensamble, 54

pesada en T1 , 110 122

´INDICE ALFABETICO ´

123

pesada en T2 , 110

Resoluci´on espacial, 45

de referencia, 118

Resonancia magn´etica, 1

Imagen digital, 42

nuclear, 33

Imagen rasterizada, 42 Ion, 27

Saturaci´on, 55

Is´ otopos, 28

Secuencia de pulsos, 109

Isocentro, 91

Spin Echo, 111 Sensibilidad, 25

Ley de Faraday, 39 Magnetizaci´ on, 35 longitudinal, 58 transversal, 58 Materia, 25 Modulaci´ on de se˜ nales, 80 Momento angular de esp´ın, 30

Serie de Maclaurin, 15 Serie de Taylor, 15 Slab, 118 Slice, 43, 94 Stack, 118 Susceptibilidad magn´etica, 36 T´ecnica

Momento magn´etico de esp´ın, 34

(s) de onda continua, 92

Muestra, 51

de navegaci´on, 119

Muestreo, 46

Teorema del muestreo, v´ease Criterio de Nyquist

Multiplexaci´ on, 81

Tiempo

Nucleones, 27

(s) extr´ınsecos, 110 (s) intr´ınsecos, 110

Paramagnetismo, 36

de eco, 110

Perfusi´ on, 8

de inversi´on, 110

Permeabilidad magn´etica, 36

de lectura, 105

relativa, 36

de permanencia, 106

vacio, 36

de relajamiento longitudinal, 70

Polarizaci´ on, 31 de esp´ın, 38 Precesi´ on de esp´ın, 33 Presici´ on, 25 Principio de reciprocidad, 40 producto cruz, v´ease producto vectorial producto vectorial Vector, 11 Protio, 1 Pulso de RF corto y largo, 66 Pulsos de gradiente, 96

de relajamiento transversal, 72 de repetición o relajación, 84 Torque, 29 magnético, 34 Transformada de Fourier, 17 Vóxel, 43 Valor cuadrático medio, RMS, 47 Valor p. negativo, 25 Vector, 11 Voltaje inducido, 39 VolumenXV , 118

Pulsos de preparaci´ on o ficticios, 111 Pulsos fuertes o no selectivos, 92 Pulsos suaves o selectivos, 92 Relaci´ on Se˜ nal-Ruido, SNR, 47 Relajaci´ on, 68 Reproducibilidad, 25

XV De

programaci´ on de secuencia.

124

´INDICE ALFABETICO ´

Abreviaciones ˆ Vectores unitarios cartesianos (ˆı, ˆ, k) (4xp , 4yp , 4zs ) Dimensiones del v´ oxel ~ Y ~ , Z) ~ Ejes coordenados cartesianos (X, (x, y, z) Coordenadas espaciales cartesianas. χm

Susceptibilidad magn´etica

Constante de proporci´ on giromagn´etica

κs

Frecuencia espacial

F[f (x)] Transformada de Fourier de f (x) Ri

Rotaci´ on sobre un eje cartesiano i.

S(t)

FID

µm

Permeabilidad magn´etica

µr

Permeabilidad magn´etica relativa

µm0

Permeabilidad magn´etica del vac´ıo

Frecuencia de una onda electromagn´etica.

Frecuencia angular

ω0

Frecuencia de Larmor

ω1

Frecuencia de Rabi

φm

Fase angular

ρH

Densidad molar hidrogenoide

ρI (~r)

Densidad volum´etrica de esp´ınes (1 H) en la muestra

Constante de apantallamiento

Temperatura

θ B1

´ Angulo de precesi´ on alrededor de B~1 125

´INDICE ALFABETICO ´

126 4ωCSE ..... Υ

Probabilidad

Voltaje inducido o FEM

ΥA , ΥP Exactitud y presici´ on ΥS , ΥF , ΥN Sensibilidad, Especificidad y NPV Ξ

Sistema de referencia cartesiano inercial

Ξ0

Sistema de referencia cartesiano rotante (no inercial)

µ ~

Momento magn´etico de esp´ın

B~0

Campo magn´etico externo invariante temporalmente.

B~1

Campo magn´etico generado por RF

~ B

Campo magn´etico neto en un punto del espacio.

~ E

Campo el´ectrico

~ G

Gradiente f´ısico de campo magn´etico que act´ ua sobre B~0

Esp´ın

Momento angular de esp´ın

Vector que define el espacio K

~ M

Magnetizaci´ on

Magnificaci´ on

Electronegatividad

Energ´ıa de un n´ ucleo en un determinado estado

Unidad compleja

I(p)

Funci´ on de intensidad de la imagen.

LF j

Longitud del FOV en el sentido j

N´ umero cu´ antico de proyecci´ on de esp´ın

Magnetizaci´ on longitudinal

M⊥

Magnetizaci´ on transversal

N´ umero de puntos de muestreo para la reconstrucci´on digital de una se˜ nal an´aloga.

Variable de p´ıxel

P SF

Point Spread Function

S(ω)

Se˜ nal an´ aloga

´INDICE ALFABETICO ´ T1

Tiempo de relajamiento longitudinal

Tiempo de relajamiento transversal

T2∗

~ T2 con correcci´ on por in-homogeneidad de B

Tφ

Tiempo de aplicaci´ on del GPE

Rango temporal de muestreo de una se˜ nal an´aloga.

Tiempo de eco

Tiempo de inversi´ on

Tiempo de repetici´ on o relajaci´ on

Tiempo de lectura

Duraci´ on de un pulso de RF

Volumen

Profundidad o espesor del FOV

Grosor de slice

ASL

Arterial Spin Labeling

BOLD Blood Oxygen Level Dependent Bw(ω) Ancho de banda de una se˜ nal con frecuencia central ω. CSE

Chemical Shift effect

CSE

Chemical Shift effect

Continuous-wave techniques

DCE

Dynamic Contrast-Enhanced (Im´ agenes din´amicas con contraste)

DWI

Diffusion-weighted imaging

EMR

Electromagnetic Radiation

EPI

Echo-planar imaging

ERM

Espectroscopia por Resonancia Magn´etica Nuclear

FID

Free Induction Decay

FID

Free Induction Decay

FOV

Field Of View.

Fourier Transform

GPE

Gradient of Phase Encoding

GRO

Gradient of Readout

127

´INDICE ALFABETICO ´

128 GSS

Gradient of Slice Selection

GUI

Graphical User Interfaces

Hemoglobina

IFT

Inverse Fourier Transform

IRM

Magnetic Resonance Imaging (im´ agenes por Resonancia Magn´etica)

IRMf

Im´ agenes por RM funcional

NPV

Negative Predictive Value (Valor predictivo negativo)

PDI

Imagen de densidad prot´ onica

PSD

Phase-Sensitive Detection (Detecci´on sensible a la fase)

Ondas electromagn´eticas en el espectro de radiofrecuencia

T´ecnica de generaci´ on de im´ agenes m´edicas basada en la RMN

RMN T´ecnica cient´ıfica denominada Resonancia Magn´etica Nuclear en materia condensada RMS

Root Mean Square

Secuencia de pulsos Spin Echo

SNR

Signal Noise Ratio

TAC

Tomograf´ıa Axial Computarizada

TSE

Secuencia Turbo Spin Echo