Pasatiempos y soluciones

Sección a cargo del V.·.H.·. Aquilino R Leal

La foto en el costado muestra un dispositivo con tres engranajes, el engranaje central, color verde, es doble. Cada uno de los engranajes más grandes tiene 38 dientes y el más pequeño tiene 20 dientes; Tenga en cuenta que el engranaje pequeño "se comunica" con el engranaje más grande (color rojo) y que la flecha roja del engranaje sin pintar apunta al área amarilla

Si al engranaje rojo le da usted una cantidad completa de giros expresados por el mayor número de 3 dígitos impares distintos, la flecha de la tercera marcha apuntará a ¿qué color?

RETALES DE MASONERÍA

Aquilino R. Leal

(Material especialmente creado por el Autor para la última fase (práctica) de la segunda Olimpiada de Matemáticas en Lima Duarte, Brasil - 2018)

En una noche árabe, cinco bailarinas actuaron con la sensual danza del vientre en un espectáculo aquí en Lima Duarte, Minas Gerais, Brasil. Dos bailarinas tienen ojos negros y las tres bailarinas restantes tienen ojos azules. Las bailarinas de ojos negros, cuando son interrogadas, siempre dicen la verdad; Por el contrario, las bailarinas de ojos azules son mentirosas, nunca dicen la verdad. Nuestra tarea era descubrir e indicar, sin la menor posibilidad de error, el color de los ojos de las cinco bailarinas, con la cabeza cubierta, sin posibilidad de ver el color de sus ojos.

¡Ah! Solo podemos interrogar a tres de las cinco bailarinas, no pudiendo hacer más de una pregunta a la misma bailarina.

Tres posibles preguntas a realizar fueron seleccionadas por nosotros, obtuvimos las tres respuestas resultantes como se indica a continuación; luego díganos el color de los ojos de estas tres bailarinas seleccionados al azar para responder, así como el color de los ojos de las otras dos bailarinas.

P1: ¿DE QUÉ COLOR SON TUS OJOS? R1: له ملكتت ؟ةيلاغتربلا P2: ¿CUÁL FUE LA RESPUESTA QUE ACABA DE DAR TU COMPAÑERA? R2: MIS OJOS SON AZULES P3: ¿DE QUÉ COLOR SON LOS OJOS DE ESTAS DOS BAILARINAS QUE ACABO DE INTERROGAR? R3: LA PRIMERA TIENE OJOS NEGROS Y LA SEGUNDA, OJOS AZULES.

Al lado vea una caja en forma de paralelepípedo rectangular. Una hormiga tiene la intención de comenzar desde el vértice A hacia el vértice B de esta caja. Cuál será la distancia más corta que tendrá que recorrer esta hormiga perezosa por las caras de la caja para lograr su objetivo.

Para hacerlo más fácil, le daremos cuatro opciones de respuesta.

A. Exactamente 18 cm B. Aproximadamente 15 cm C. Exactamente 14 cm D. Aproximadamente 13 cm

Todas las respuestas/soluciones de los pasatiempos, serán publicadas en la próxima edición. Mientras tanto, si quiere enviarnos su respuesta estaremos contentos de recibirlas y publicar las más originales retalesdemasonería@gmail.com o coordinador@retalesdemasonería.com

Un hobby para dos jugadores - ideal para que valga una cerveza muy fría o una “copa” de un buen vino con unos altramuces

Se coloca una cierta cantidad de palillos de dientes sobre una mesa. Cada oponente puede recoger 1, 2, 3, 4 o 5 palillos de dientes en cada turno cuando le llega su hora de jugar. El jugador que recoge el último palillo pierde el juego.

Supongamos que son 100 palillos de dientes la cantidad de palillos de dientes en la mesa y usted es el primero en hacer la retirada. ¿Cuántos palillos de dientes debes quitar para asegurar tu victoria y de qué manera?

6 cm A

8 cm B 4 cm

Solución

Para asegurar la victoria, es decir, para que tu oponente se vea obligado a quitar el último palillo de dientes y así perder el juego basta que en el primer movimiento retires tres (3) palillos de dientes de esta colección de 100 palillos de dientes, quedando en la mesa 97 (100-3) palillos de dientes, ¡número de palillos que te garantizarán la victoria!

¡Sí! A partir de este momento, 97 palillos de dientes, basta con que la suma del número de palillos de dientes retirados por tu oponente y tú siempre sea igual a seis (6); con esto llegará a la última ronda con un solo palillo sobre la mesa y así perderá el juego.

Hagamos una suposición de jugadas para verificar (ya has quitado tres palillos de dientes).

EL 1 2 3 4 3 1 5 4 5 1 2 3 2 3 1 2 1 USTED 5 4 3 2 3 5 1 2 1 5 6 3 4 3 5 4 TOTAL 91 85 79 72 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 0

Puedes simular otros movimientos para tu oponente y verificar que siempre tendrás la victoria utilizando el procedimiento descrito: la cantidad de palillos a retirar en cada ronda necesariamente tendrá que ser igual a seis (6) para este caso.

Use la siguiente tabla para hacer su prueba.

EL

USTED

TOTAL

¿Cómo explicar la retirada de seis palillos de dientes en el pasatiempo anterior para convertirse en un ganador? ¿Si en lugar de 100 palillos de dientes hubiera sido un número diferente? ¿Cuántos palillos tendríamos que quitar como el primer jugadorpara, así, entrar en la línea ganadora?

Solución

Simplemente haga que la cantidad de palillos de dientes sea un número múltiple de seis más uno inmediatamente inferior a la cantidad de palillos existentes.

Por ejemplo: supongamos que 87 es el número inicial de palillos de dientes. Fácil de verificar que 87 = 14x6 + 3, o 87 = 84 + 3; el primer múltiplo de 6 inmediatamente por debajo de 87 es 84, por lo que debemos dejar en la tabla 85 (84 + 1) palillos de dientes, en consecuencia, debemos eliminar 2 palillos de dientes – la primera tabla del desafío 1 anterior muestra que 85 es una cantidad ganadora.

En el caso del reto 1 anterior tenemos: 100=16x6+4, por lo que tenemos que quitar 3 (4-1) palillos de dientes dejando al oponente 91 palillos de dientes, múltiplo de 6 inmediatamente inferiores más una unidad.

Por supuesto, si la cantidad inicial de palillos es un múltiplo de 6 más 1, digamos 103 (103=17x6+1), no podemos hacer nada ya que estamos en la secuencia perdedora; en este caso la opción es quitar cualquier cantidad, entre las permitidas, y 'rezar' para que el oponente no conozca el procedimiento ganador; no lo sabe, en el siguiente movimiento aplicamos el procedimiento descrito para ganar.

En los dos pasatiempos anteriores vimos cómo aumentar las posibilidades de ganar en esta modalidad de juego donde el último en quitar el palillo es el perdedor; los dos casos discutidos anteriormente se refieren a la eliminación de una serie de palillos de dientes del 1 al 5. ¿Qué pasa si el número máximo no es 5, siendo, por ejemplo, 3? ¿Cómo debemos proceder?

Solución

Ya sean palillos, fósforos, botones o cualquier otro objeto la línea ganadora es la misma: dejar un palillo en la última ronda para el oponente que se verá obligado a quitarlo, con esto perderá el juego. Hagamos un análisis asumiendo que cerramos cada ronda, es decir, siendo el último jugador de cada ronda.

En la penúltima ronda debemos dejar al rival en una situación que nos lleve a dejar un palillo independientemente del número de palillos que retire, recordando que cada jugador, al menos, tiene que retirar un palillo y, como máximo, tres palillos según el supuesto inicial.

Hay tres situaciones posibles en la penúltima ronda que necesariamente nos hacen perdedores, siendo, por supuesto, el turno del rival para jugar. Todo lo que tiene que hacer el oponente es quitar, en este orden, 1, 2 o 3 palillos: siempre habría el último palillo para nosotros.

En la penúltima ronda no podemos dejar que el juego del rival se cruce en una de las tres situaciones anteriores, que, como hemos visto, nos hacen perdedores. La salida es que en esta penúltima ronda el rival se encuentre con cinco palillos: en este caso sobrarán, como mínimo, dos palillos y, como máximo, cuatro palillos, situaciones que podemos reducir a un palillo con nuestro juego, por debajo de los cinco palillos que dejamos en la penúltima ronda.

Por otro lado, a partir de esta situación anterior, siempre podemos poner al oponente en la línea perdedora. De hecho, si retira un palillo de dientes, podemos quitarle tres dejándole este último; en caso de que retire tres palillos de dientes, quitamos un solo palillo y finalmente, si quita dos palillos, también quitamos dos y nuevamente ganamos el juego.

Del mismo modo, para llegar a la estructura inmediatamente superior debemos colocar al oponente en la siguiente secuencia:

Tenga en cuenta que se han agregado 4 palillos a la estructura anterior: ahora el total de palillos de dientes es de 9 (1 + 4 + 4)

Podemos proceder indefinidamente con el mismo razonamiento: siempre agregando cuatro palillos .

La cantidad de palillos en la secuencia ganadora es, de izquierda a derecha: 1-5-9-13-17-21-25-29... para esta situación donde podemos quitar de 1 a 3 palillos de dientes. Tenga en cuenta que la cantidad de palillos de dientes es siempre un múltiplo de 4 más una unidad; para el caso de la figura anterior el número de palillos de dientes es 4x6+1.

Con esto concluimos que siempre debemos tratar de hacer que el oponente se encuentre con una serie de palillos en la mesa que obedezcan la expresión 4n + 1, especialmente al hacer el primer movimiento.

De hecho, nuestro primer movimiento da un poco más de trabajo: dividimos la cantidad de palillos entre 4, el resto menos 1 será la cantidad de palillos que debemos quitar en la primera jugada.

Supongamos que hay 31 palillos; al dividir 31 por 4 obtenemos el resto 3, así tendremos que quitar 2 (3-1) palillos– procediendo así le dejamos al oponente 29 (31-2) palillos cayendo el oponente en una línea perdedora (ver secuencia arriba). 31 4 3 7

Cuando el resto es nulo (0), como en el caso de 32 palillos, consideramos que este resto es 4, por lo que tenemos que quitar 3 palillos (4-1), pasando la jugada al rival que estará con 29 (32-3) palillos que, como ya hemos visto, es una línea perdedora.

El último caso a considerar es cuando el resto es 1: esto indica que nos encontramos en una línea perdedora; es el caso de 29 palillos. En este caso quitamos cualquier número de palillos y la próxima vez que juguemos aplicamos el concepto expuesto – por supuesto ¡si el oponente conoce la teoría no podemos hacer nada! ¡Inevitablemente se convertirá en el ganador! 32 4 0 8

29 4 1 7

Una vez situados en una línea ganadora nuestros otros movimientos son inmediatos: basta con restar de 4 los palillos retirados por el oponente, este número será la cantidad de palillos que retiraremos; de esa manera siempre nos mantendremos en la secuencia ganadora.

Vayamos a un ejemplo completo: supongamos que hay 128 palillos sobre la mesa y nos toca jugar. Sabemos que 128=32x4+0→ tomamos 3 (4-1) palillos, consiguiendo 125 (128-3) en la mesa y entrando en la línea ganadora.

Debajo de una posible secuencia.

EL 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 2 3 1 2 1 USTED 3 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 1 3 2 3 TOTAL 121 117 113 109 105 101 97 93 89 85 81 77 73 69 65 61 57

1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 2 3 1 3 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 1 53 49 45 41 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 0