Números, uma jornada visual

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N Ú M E R O S, U M A J O R N A D A V I S U A L

NÚMEROS UMA JORNADA VISUAL TRABALHO FINAL DE GRADUAÇÃO

Ricardo Nucci Vieira

O R I E N TA D O R

Giorgio Giorgi Junior

S Ã O PA U L O FA C U L D A D E D E A R Q U I T E T U R A E U R B A N I S M O 2012

“músicas, sonhos, viagens, paisagens, são as influências do meu mundo de imagens” Wolfgang Weingart

Sumário

Prefácio 11

Introdução 12

Os números 18

Tipo como Composição 20

Pioneiros da Experimentação Tipográfica 22

A Influência do Design Gráfico Pós Moderno 30

Wolfgang Weingart: Ruptura e Oposição 36

O Projeto, Primeiras Montagens 44

Capítulo um: Paisagens Platônicas 88

Capítulo dois: Vizualizando Operações 118

Capítulo três: Subtrações e Substratos 142

Cápitulo quatro: Divisões e Seus Descontentos 172 Capítulo cinco: Distorções 194

Conclusão 204

Bibliografia 205

P R E FÁ C I O

O trabalho de graduação que venho aqui apresentar é essencialmente uma pesquisa visual.É o resultado de um ano de reflexões acerca de diversos assuntos que permeiam a prática do design gráfico, reflexões que na realidade começaram muito mais cedo, ainda pelo segundo ano de fau nas primeiras aulas de comunicação visual. Ao longo de todos esses anos, fui cada vez mais me aprofundando na área, tentando cobrir cada assunto que minha formação em arquitetura essencialmente não poderia fornecer. Fe­ lizmente com uma biblioteca tão rica e com os excelentes professores com os quais tive aula não encontrei dificuldade no acesso as informações que queria. Mesmo assim, sentia que o tfg era uma oportunidade de realizar algum exercício que ajudasse a cobrir lacunas de um assunto tão vasto. O que se revelou ao final foi na verdade mais que um exercí­ cio, mas uma caminhada cheia de reflexões, aprendizados e conclusões. É o registro dessa jornada que apresento agora.

Agradeço a minha família, pai mãe e irmã, pelos apoios, conselhos e incentivos de sempre. A Luiza que me ajudou muito principalmente nas horas mais difíceis. Aos amigos fauanos e aos momentos incríveis pelos quais passamos juntos durante esses seis anos.Ao meu orientador prof.

Giorgio, aos professores da banca e todos os outros grandes professores da minha vida. Obrigado !

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INTRODUÇÃO

Números, uma jornada visual é uma coleção de experiên­ cias gráficas que utiliza os números e sua forma tipográfica como matéria prima. Muitas influências pessoais, de de­ signers gráficos os quais admiro foram fundamentais para a concepção desse produto. Dentre todos eles a grande refe­ rência, a obra que me inspirou a fazer este trabalho foi o livro genial de Alan Fletcher, The Art of Looking Sideways.

(Phaidon Press/2001). O tfg se chama uma jornada visual justamente em referência a descrição de Fletcher sobre sua publicação, “uma jornada visual sem destino” A intenção inicial era fazer algo parecido com esse livro, um pouco ambicioso visto que a obra tem mais de mil páginas e cobre todos os assuntos que fazem parte do mundo do design gráfico. Isso porque é o trabalho de uma vida, é o livro de um célebre designer que após décadas dedicadas à profissão faz uma obra conclusiva sobre o assunto. De certa forma, em fim de curso e dadas as devidas proporções eu me via nessa posição. Me agradava a idéia do tfg ser um livro de conclusões sobre o que fiz e pratiquei. Mas não foi esse caráter documental de Art of Looking Sideways que me chamou mais atenção, o que acontece na realidade é que este livro de Fletcher não é um livro convencional, e sim experimental. É um livro basicamente de imagens. São pá­ ginas de figuras, ilustrações, colagens, fotografias, coisas de todo gênero, criadas ou não pelo autor, que constroem uma narrativa essencialmente visual e metalinguística, visto que

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o assunto é o design gráfico em si e todas as suas esferas: cor, forma, textura, tipografia, grid, layout, identidade, embala­ gens, livros, criatividade, linguagem, humor... são mais de cinquenta capítulos. Existem textos também, nunca muito extensos, pois o que predomina são as imagens.

Esses textos aparecem de tempos em tempos para sinalizar o tema e iniciar a reflexão. Ao longo dos capitulos todo o raciocínio sobre o assunto deve ser feito pelo leitor atraves da sua interpretação das imagens. Todos aqueles a quem eu mostrei o livro tiveram dificuldade em entender do que se tratava visto que a princípio parece um apanhado geral de imagens do tamanho de uma enciclopédia, é necessário revisitar a obra algumas vezes para entender do que se trata realmente, para aqueles que virão a trabalhar com design gráfico considero um livro muito especial, já que basicamente é um apanhado geral da profissão.

O caráter experimental, esta narrativa feita através de ima­ gens ao invés de textos foi o que me encantou, pois fica a sensação que é um livro que pode ser lido e compreendido sem o suporte do texto. Ou seja, a comunicação e o discurso é feito praticamente através de imagens de forma efetiva, de certo modo carrega uma essência de design gráfico

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O livro contempla as diferenças entre palavras e imagens, ao colocar uma infinidade de exemplos das possibilidades comunicativas e particulares de cada uma

Imagens internas de Art of Looking Sideways. Tom Geismar, um dos maiores designers americanos escreve sobre o projeto: “Uma coleção maravilhosa de pensamentos e observações, infinitamente interessante”

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Imagens internas de Art of Looking Sideways.

Bob Gill, grande nome do design gráfico inglês escreveu sobre este livro: “Acredito que seja o livro de design mais interessante ja escrito”

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OS NÚMEROS

De onde exatamente vieram os números. Teria a humanidade os inventado? Ou os descoberto ? 1 Influenciado por esse livro, fiquei decidido a utilizar o mesmo tipo de linguagem no meu trabalho, meu projeto seria então um livro experimental, uma narrativa essencial­ mente visual sobre determinado assunto. Me faltava apenas o a­ssunto, e este surgiu quando lembrei de uma série do jornal The New York Times, uma coleção de artigos entitu­ lada Os elementos da Matemática, do autor Steven Strogatz.

Um­­­texto leve e próximo, que tinha como objetivo um novo olhar sobre a matemática para adultos que nunca se deram bem com a matéria na escola. O autor distribuiu a série em quinze capítulos, cada um com um tema diferente, desde os fundamentos, soma, subtração, até temas mais complexos como cálculo diferencial. O interessante é que tanto os capí­ tulos de temas complexos como os de tema simples tinham o mesmo tratamento, a linguagem era sempre próxima, com exemplos práticos e descomplicados, longe de grandes elucubrações sobre o tema. Fácil de ler, sugerindo uma nova chance para aqueles que tem tem total aversão ao assunto.

1. STROGATZ, Steven. “Os elementos da matemática” The New York Times 2011

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Quando se trata de matemática muitos se sentem perdidos, alienados de certa forma sobre o que fazem os matemáticos, o que significa uma prova por exemplo e outros assuntos. O que Steve vai tentar fazer no seu texto é justamente tentar explicar sobre tudo, começando do um mais um igual a dois até o mais longe possível. Escrevendo sobre temas que vão desde a pré escola até a faculdade.

O fato é que os números são na verdade grandes atalhos, eles são um conceito poderoso que nos proporciona uma forma de comunicar quantidades de um jeito prático.

Porém tem um grande custo na abstração, visto que uma quantidade pode ser aplicada a qualquer coisa. Desta forma os números possuem uma característica material, caracterizando uma quantia, e imaterial na raiz do seu conceito, onde ele esta mais próximo na camada semântica de outras palavras como verdade, justiça. Steven diz que os números alem disso possuem vida própria, e a partir do momento em que lhes é dada determinadas leis e parâmetros, não há nada que possamos fazer além de assistir o modo como eles se comportam As operações matemáticas são um desses parâmetros, a soma é tambem um atalho, assim como a subtração. E as abstrações criativas desses conceitos levam que levam matemática a crescer.

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O TIPO COMO COMPOSIÇÃO

A tomada de decisão aqui do porquê a escolha deste texto deve levar em conta outra predileção particular. Não foi apenas a qualidade jornalística dos artigos e o assunto que considerei relevante, mas a possibilidade imediata que me veio de trabalhar com números e sua forma tipográfica.

Pode-se chamar de segunda idéia, e que ao final acabou sendo a mais presente no trabalho, a manipulação artística da forma tipográfica dos números.Que foi algo que sempre esteve presente nos meus projetos de faculdade, uma curi­ osidade com a forma das letras e números. Sempre que possível nos exercícios das disciplinas tentava explorar tipos e criar composições com eles, distorcendo, acumulando, sobrepondo, usando varias espécies de transformação para conseguir composições visualmente interessantes. Neste trabalho, isso ficou muito mais evidente ao final de tudo do que a influência da obra de Fletcher. Pode-se dizer que o trabalho seguiu um rumo muito mais ilustrativo experi­ mental do que uma narrativa visual sobre os elementos da matemática, porém acredito que ambas as faces ainda estão presentes, mais do que isso, o embate permanente entre as duas coisas seja talvez o que mais me chamou a atenção du­ rante o processo. Foi algo sobre o qual muito refleti e essas reflexões são o que irei compartilhar nesse tfg.

O projeto parte então de duas idéias, a primeira de construir uma narrativa visual semelhante ao livro de Fletcher, e a segunda mais presente e por fim mais estudada, do ex­

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ercício experimental com números, baseados nos conceitos apresentados em alguns capítulos específicos do texto de Steven Strogatz.

Acima, trabalhos de David Carson, um dos designers mais conhecidos e polêmicos do que se convencionou chamar de Pós-modernismo.

Seus trabalhos provocam uma reflexão sobre o que é legibilidade e o que é comunicação, questões presentes ja na década de 60

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P I O N E I R O S D A E X P E R I M E N TA Ç Ã O T I P O G R Á F I C A

A manipulação experimental da tipografia no design gráfico moderno tem seu pioneirismo creditado as van­ guardas artísticas, em especial aos dadaístas, construtivis­ tas e futuristas. Os exemplos aqui mostrados são do poeta italiano Filippo Marinetti[1], autor do manifesto futurista de 1909.

Os futuristas eram entusiastas da modernidade, das máquinas e da velocidade, produziam uma poesia emocional que desafiava sintaxe e a gramática correta. No campo do design tipográfico essa quebra de paradigmas também foi explorada, já que os poetas deixaram de lado as re­ strições convencionais dos projetos gráficos, baseados em uma ri­gorosa estrutura vertical e horizontal. De acordo com Philip Meggs

Os poetas futuristas acreditavam que o uso de diferentes tamanhos pesos e estilos de tipos lhes permitia fundir pintura e poesia, porque a beleza instrínseca das letras, manipuladas criativamente transformava a página impressa 2 em um trabalho de arte visual 2. MEGGS, Philip. “História do Design Gráfico” Cosac Naify 2009

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Este conceito, de que a escrita ou tipografia podia tornarse uma forma visual concreta não era novo, remetia pelo menos a obra do poeta grego Símias de Rodes (c. Século III aC) com versos que frequentemente assumiam a forma de objetos ou símbolos religiosos.

O livro de Meggs, cita outros nomes importantes nessa linha como o poeta alemão Arno Holz (1863-1929) que reforçava efeitos auditivos intencionais por meio de dis­ positivos como a omissão da caixa alta, e pontuação, varian­ do o espaçamento de palavras para indicar pausas e usando múltiplos sinais de pontuação para ênfase. O livro Alice no País das Maravilhas de Lewis Carroll[2] (1866) usava tipos de tamanho decrescente e forma figurativa para construir a cauda de uma rato como parte do conto. O poema Um lance de dados[3] (1897) do simbolista francês Stephane Mallarme (1842-1898) tambem antecipou as preocupações tipográficas formais e expressivas que surgiram no século XX, utilizando uma gama variada de tipos, e ao invés de dispor as palavras em linha, as colocou em posições ines­ peradas da página para expressar e evocar idéias.

Por fim outro poeta francês, Guillaume Apollinaire (1880-1918) criou o poema Calligrame[4] (1918) onde as letras eram organizadas para formar um desenho, figura, ou pictograma, de acordo com Meggs “nesses poemas ele explorava a fusão potencial de poesia e pintura, introduzindo o conceito de simultaniedade na tipografia vinculada ao tempo e a sequência da página impressa”.

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[1] Os versos dos poemas rejeitam o agrupamento modular e s達o tratados como forma visual pura

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A INFLUÊNCIA DO DESIGN GRÁFICO PÓS MODERNO

Talvez o estilo internacional tenha sido tão meticulosamente refinado, explorado, e aceito que o contragolpe era inevitável. 3 O pioneirismo no design tipográfico das vanguardas artís­ ticas foi retomado por designers a partir dos anos sessenta.

Enquanto os futuristas, dadaístas e outros artistas busca­ vam uma ruptura com a arte tradicional, os designers do período chamado de pós moderno desafiavam e rompiam com o Estilo Internacional dominante desde a Bauhaus, questionando a ordem e a clareza do design moderno.

Essa tendência começou justamente com pessoas que tra­ balhavam seguindo os princípios racionalistas de design, cuja principal diretriz era a tipografia neutra e objetiva, e raramente se permitia que elementos lúdicos, inesperados e desordenados invadissem o que Meggs chama de “fria clareza e objetividade científica” Dentre os precursores desse novo estilo, estavam dois suíços: Rosmaire Tissie e Siegfried Odermatt. Em seus trabalhos despontavam os primeiros in­ dícios de que uma geração mais jovem estava começando a ampliar a gama de possibilidades. No anúncio de 1964 para a gráfica E. Lutz & Company[5] realizado por Tissi, o autor 3. MEGGS, Philip. “História do Design Gráfico” Cosac Naify 2009

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representa diferentes elementos impressos do negócio do cliente (texto, títulos, retículas, sólidos) com formas bási­ cas, porém a composição não seguia grid algum, ao invés disso sua disposição parecia intuitiva e aleatória. A marca de Odermatt projetada a empresa Uninon Safe Company[6] pode ser considerada uma antítese do projeto suiço, pois sacrifica a legibilidade em favor do significado. A letras UNION são grudadas, sugerindo a robustez do produto (cofre), porém a leitura é prejudicada. No anúncio para a mesma empresa[7], o designer trata o logo como forma pura, enfatizando seu impacto e vitalidade. Essa valori­ zação do sentido, em detrimento da legibilidade é algo que as composições de meu projeto compartilham. Por muitas vezes sera difícil identificar os números, as vezes impos­ sível, a questão central nesses casos é a transmissão de um conceito e não a legibilidade do tipo, que pelo contrário, sera distorcido de diversas formas.

Nesse ponto é interessante posicionar o trabalho de Steff Geissbuhler, outro designer com forte interesse pela complexidade da forma, que antes de se tornar sócio da Chermayeff & Geismar e criar programas de identidade visual de grandes companias, trabalhou em uma empresa farmacêutica. La criou um anúncio em 1965 que antecipava tambem a maneira de tratar o design que estaria por vir.

Através de uma espiral tipográfica em forma de cilindro que recua para dentro do espaço, Steff cria uma organização visual original e dinâmica[8]. Geissbuhler defendia que a

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complexidade formal jamais deveria ter fim e si mesma, a solução com componentes múltiplos parte do conteúdo de um problema em pauta. No caso do meu projeto, utilizarei como pauta as operações e conceitos matemáticos que o ar­ tigo sugere para alcançar com os próprios números uma ex­ pressão visual do assunto. Na opinião de Meggs, Odermatt, Tissi, Geissbuhler e outros não se rebelaram contra o Estilo Tipográfico Internacional, ao invés disso tensio­naram seus parâmetros. Nos anos 1970, esse desdobramento foi segui­ do por uma ruptura.

Nesta página um poster de Max Bill, na seguinte outro de Dietmar Winkler: A estrutura matemática do grid que forma a página simboliza a filosofia do design funcional

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W O L F G A N G W E I N G AT: R U P T U R A E O P O S I Ç Ã O

Seu interesse principal não é a tipografia de sempre, esta mais para pintura e colagem, isto é, pintura com tipos ao invés de óleo, pincel e tela Em 1964 o jovem alemão Wolfgang Weingart, chega a es­ cola da Basiléia para estudar e mais tarde la também le­ cionar. Como jovem professor suas aulas sobre tipos eram diferentes daquelas as quais a tradição racionalista da escola estava acostumada.Em suas próprias palavras “Meu único pensamento consistente vinha na forma de uma questão incômoda: como a tipografia suíça iria ou poderia mudar.

Sua influência na cena do design de estilo internacional ainda era forte, mas parecia pra mim um beco sem saída” Weingart questionava a tipografia da ordem e nitidez abso­ lutas. Regras consagradas de tipografia e sistemas de lin­ guagem visual era repensados. Para enfatizar uma palavra importante em um título, ele com frequência a colocava em branco sobre um retângulo preto. Retomou o espaçamento largo, que havia sido abandonado visto a admiração pelos tipos apertados durante a revolução dos sistemas tipográ­ ficos de metal para os sistema fotográficos nos anos 1960.

Quando pedido para identificar a classificação dos seus ti­

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pos ele dizia “tipo luz do sol, tipo coelhinho, tipo formiga, tipo cinco minutos, tipo máquina de escrever”. Esse humor e as metáforas que usava fazem parte da sua imaginação tipográfica. Em seu livro My Way to Typography Weingart descreve paisagens, arquiteturas e lugares que influencia­ vam suas composições, fazendo comparações entre as for­ mas tipográficas e as formações geológicas e os elementos da arquitetura dos lugares os quais ele visitou. Em seu pro­ jeto independente de 1965 entitulado a letra M [9], e We­ ingart explora as possibilidades da forma tipográfica desse caractere. Começando apenas como uma curiosidade, ele inventou novos signos que poderiam ser combinados com a letra M e cravou a composição em blocos de madeira.

Como não tinha um laboratório a disposição aprendeu a criar os próprios materiais. Ao fazer suas próprias letras, ele acaba se tornando sensível as suas formas e expressões. Em suas próprias palavras “B é uma flor frágil, Z é um raio, L são três da tarde, W é um pássaro voando para longe, e M é uma seta apontando para si mesma” Em um de seus experimen­ tos Weingart colou um M maiúsculo em cada face de um cubo, com sua maquina fotográfica capturou esse cubo em várias posições para obter visões em perspectiva diferentes, dessa forma capturou aspectos dinâmicos da letra que não poderiam ser obtidos apenas com a impressão em ferro ou madeira.

Em 1972 Weingart viajou para os Estados Unidos e real­

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izou apresentações em oito proeminentes escolas de design.

De acordo com Meggs “Sua nova sensibilidade caiu em solo fértil” Alguns jovens designers que haviam passado um tempo na Basiléia voltavam aos Estados Unidos para lecio­ nar e praticar e um novo vocabulário tipográfico começou a penetrar no campo do design norte americano, que já es­ tava inquieto com a onipresença de sistemas de identidade corporativa baseadas em grid.

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Utilizando um cubo com a letra cravada em todas as Faces, as experiĂŞncias trazem uma nova perspectiva sobre a letra M

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Os conceitos tradicionais de tipografia eram desafiados, nesse projeto a Weingart ultrapassa os limites de legibilidade da letra M, utilizando-a como forma pura

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O P R O J E T O , P R I M E I R A S M O N TA G E N S

AS PRIMEIRAS MONTAGENS que fiz são ilustrações baseadas no primeiro capítulo dos artigos de Strogatz: De peixes ao infinito. Elas contam a história do capítulo de maneira il­ ustrativa, fazendo referências algumas vezes diretas e out­ ras indiretas.A disposição livre e intuitiva, com um forte constraste entre cada composição, de diversos estilos é exa­gerada para levar o leitor a situações visuais completa­ mente diferentes. O objetivo dessas composições era contar a história do capítulo de uma maneira “Fletchiana” ou seja, utilizando pontos específicos como âncora, através do texto explícito, e o caminho até o o próximo ponto de contato feito através apenas de imagens diferentes entre si. Dessa forma o leitor era convidado durante as caminhadas a fazer suas próprias interpretações e associações, e ao tomar con­ tato com o texto original, voltar para a interpretação precisa da linguagem escrita. Assim como no livro, Art of looking Sideways, referências externas eram colocadas, sugerindo também um escape total do assunto, uma sugestão imagé­ tica de reflexão baseada em filmes, ou imagens clássicas. É o que acontece quando surge uma cena de 2001, Uma odi­ sséia no Espaço de Stanley Kubrick. Nesse momento, a idéia seria o leitor fazer uma associação entre a natureza miste­ riosa dos números, que como ja se disse, não sabemos se foi descoberta ou inventada, mas que foi uma ferramenta fundamental para a evolução do homem, em comparação com a clássica cena onde o monolito do filme desce na co­ munidade de macacos, entregando de maneira misteriosa a

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eles, uma espécie de chave a inteligência humana, um passo histórico para a evolução da raça. A segunda referência, a xilogravura clássica A onda, do mestre japonês Hokusai procura fazer uma comparação visual entre o mar revolto icônico dessa imagem, com o comportamento caótico e a­ssustador que os números podem apresentar, tentando ele­ var essa característica incontrolável dos numerais a mesma intensidade visual que a famosa xilogravura nos passa.

O capítulo é aberto com uma contagem regressiva vinda do número dez, onde cada um dos números é feito de formas e composições completamente diferentes umas das outras. Às vezes utilizando apenas um algarismo, às vezes mais de um, às vezes sugerindo movimento, às vezes suge­ rindo ilusões de ótica, como é no caso do número oito onde textura sobre textura causam uma vibração visual típica desses efeitos. O conceito dessa apresentação é introduzir o espectador de uma forma geral a todo o projeto. A con­ tagem regressiva é eleita por ser um modo audiovisual clá­ ssico de iniciar algo, no caso achei pertinente um trabalho sobre números brincar com esse artíficio. A aleatoriedade de estilos para cada número simboliza exatamente a diver­ sidade com que eu pretendia trabalhar, influenciado pela diversidade total do livro de Fletcher, sem o menor com­ prometimento com determinado tipo de solução pronta, focando ao invés disso sempre na transmissão de um con­ ceito.

Em outros momentos a relação entre forma e con­

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teúdo fica mais clara e inteligível, como é no caso da ba­ gunça visual gradual no trecho que se refere novamente ao caos nos números. Obviamente nesses momentos onde o casamento de forma e conteúdo era mais explícito, foi onde notou-se a maior eficiência de comunicação da idéia através do design. É sempre nesse ponto ótimo que a comunicação parece sofrer menos ruído. Apesar de parecer um caminho interessante para pesquisa, também buscava de certa forma uma expressão autoral artística, que não necessariamente se comprometia com a transmissão de um conceito, mas mais como um exercício de percepção e composição tipográfica.

Dessa forma tomei a liberdade de apontar minhas com­ posições não necessariamente atrás desse ponto ótimo, e tentar uma interpretação mais pessoal dos conceitos, e bus­ cando dessa maneira o oposto também, uma composição visual interessante, onde a idéia estivesse escondida em­ baixo de mais algumas camadas. Do meu modo de ver, in­ tercalar esses objetivos também fazia parte do processo de acabamento enigmático que por vezes o livro de Fletcher tem. Nem sempre é possivel decifrar com precisão a relacão entre o tema tratado e a imagem apresentada, porém as interpretações particulares, que derivam da sensibilidade próprias de cada um podem ser igualmente estimulan­ tes, se colocadas no momento certo. Desse ponto de vis­ ta Fletcher foi um mestre em entregar e esconder o jogo, deixando o livro intrigante por um bom tempo, causando uma relação de unidade visual e conceitual por mais de mil

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páginas aparentemente desconexas. As ilustrações de teor experimental, essas em que a idéia se esconde, como ja disse procuravam uma composição visual e ocupação do espaço estimulante. Para isso elegi dois conceitos principais, a re­ alidade platônica em que os números vivem e o ja dito caos aparente derivado das operações matemáticas. Irei explicar com mais clareza no próximo capítulo dedicado à brochura.

Após essa primeira apresentação, alguns ajustes con­ ceituais aconteceram devido a resposta geral das pe­ssoas.

Como futuro designer gráfico tambem sempre procurei en­ carar este projeto como algo feito com um público e não fechado em si mesmo, por isso avaliava todas as opiniões de leigos, amigos, professores, e todos que tivessem contato com a imagem, pois o design gráfico focado em si mesmo não tem sentido. A idéia estava crua ainda, e necessitava uma roupagem clara, por sugestão do professor Arthur, era interessante definir o meio em que aquilo seria exposto, ja que todas as ilustrações foram pensadas para o meio digi­ tal. Acatei a sugestão de transformar em artigos físicos, que simulassem um anexo de jornal, se aproximando da na­ tureza original dos artigos pertencentes ao periódico New York Times. A partir dai, ficou definido que o produto fi­ nal seriam brochuras. A definição de um meio gráfico es­ pecífico gerava um série de problemas de projeto que não se podia ignorar, porém como estava interessado mais nos conceitos e nas experiências visuais, mantive as brochuras o mais simples possível.

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A apresentação final que mostro aqui acabou por sofrer dos mesmo problemas do livro que a inspirou, dessa forma era difícil compreender se eu estava evoluindo no objetivo de se assemelhar ao livro (não no sentido pejorativo de cópia, sempre considerando também o meu estilo pessoal). Isso porque a transmissão do conteúdo do texto não ficava clara em determinados pontos, principalmente nas ilustrações experimentais, o que ja era esperado, o que não foi preme­ ditado era que os números em si pareciam sugerir diversas relações, sua disposição tipográfica no plano de forma artís­ tica causava no espectador um desejo de decifrar a natureza da composição através das quantidades ali colocadas. Ou seja, um tipo de relação muito interessante que eu não havia percebido, os próprios números ali colocados poderiam ser geradores da composição. Essa possibilidade teve uma in­ fluência forte no resto do trabalho, pois fiquei instigado de alguma forma a atingir o espectador por esse lado também.

Fiquei estimulado nesse sentido por considerar uma des­ coberta própria, uma surpresa que consegui fisgar através da experiência puramente visual. Porém, mais adiante aca­ bei me decepcionando, pois não consegui explorar essa face do trabalho, parecia um potencial desperdiçado. Essa busca e suas conclusões serão melhor detalhadas no capítulo dis­ torções.

A seguir disponho o texto original do capítulo, e as primeiras composições, pensadas para tela.

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“De Peixes ao Infinito

Tenho um amigo que se diverte muito com a ciência, apesar de ser artista. Sempre que nos encontramos, tudo que ele quer fazer é conversar sobre a última descoberta da evolução ou mecânica quântica. Mas quando se trata de matemática, ele se sente perdido, e isso o entristece. Os símbolos estranhos o fazem se sentir de fora. Ele diz que não sabem nem como pronunciá-los.

Na verdade, sua alienação é muito mais profunda.

Ele não tem certeza sobre o que é que os matemáticos fazem o dia todo, ou a que eles se referem quando falam sobre uma prova. Às vezes nós brincamos que eu deveria somente sentar com ele e ensiná-lo sobre tudo, começando com 1+1=2 e indo o mais longe que pudermos.

Por mais loucura que pareça, pelas próximas semanas eu vou tentar fazer algo próximo disso. Vou escrever sobre os elementos da matemática, desde a pré-escola até a graduação, pra todos que gostariam de ter uma segunda chance no tema – mas desta vez de uma perspectiva adulta.

A intenção não é que seja remedial. O objetivo é dar a vocês uma melhor noção sobre o que é a matemática e porque é tão cativante para aqueles que a compreendem.

ORIGINALMENTE PUBLICADO EM “THE NEW YORK TIMES” The opinion pages Steven Strogatz on the Elements of Math

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Então, vamos começar com a pré-escola.

A melhor introdução aos números que eu já vi – a mais clara e engraçada explicação sobre o que são e porque precisamos deles – aparece num vídeo da “Vila Sésamo”, chamado “123 Conte Comigo”. Humphrey, um rapaz amável, mas não muito inteligente, com pelo cor-de-rosa e um nariz verde, está trabalhando no turno do almoço no hotel Braços Peludos, quando ele atende um telefonema vindo de um quarto cheio de pinguins. Humphrey ouve atentamente e repassa o pedido para a cozinha: “Peixe, peixe, peixe, peixe, peixe, peixe.” Isso leva Ernie a esclarecê-lo sobre as virtudes do número seis.

As crianças aprendem desde o princípio que os números são ótimos atalhos. Ao invés de dizer a palavra “peixe” exatamente o mesmo número de vezes que o número de pinguins, Humphrey poderia usar o conceito mais poderoso do “seis”.

Como adultos, no entanto, nós talvez possamos notar uma desvantagem em potencial nos números. Claro, eles são ótimos em nos poupar tempo, mas com um grande custo na abstração. Seis é mais etéreo do que seis peixes, precisamente porque é mais geral. Isso se aplica para seis de qualquer coisa: seis pratos, seis pinguins, seis expressões da palavra “peixe”. É algo inefável que todos eles têm em comum.

Nesse ponto de vista, os números começam a parecer um tanto misteriosos. Eles aparentemente existem em algum

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tipo de reino Platônico, um nível acima da realidade. Dessa forma eles são mais como outros conceitos sublimes (e.g., verdade e justiça), e menos como outros objetos ordinários da vida cotidiana. Após essa reflexão, seu status filosófico se torna ainda mais obscuro. De onde exatamente vêm os números? A humanidade os inventou? Ou os descobriu?

Outra sutileza é que os números (assim como todas as idéias matemáticas) têm vida própria. Nós não podemos controla-los. Ainda que eles existam em nossas mentes, uma vez que decidamos o que nós queremos dizer com eles, nós não podemos influenciar no modo como eles se comportam. Eles obedecem a certas leis e têm certas propriedades, personalidades e formas de se combinar uns com os outros, e não há nada que possamos fazer quanto a isso, exceto assistir e tentar entender. Nesse sentido, eles são assustadoramente reminiscentes de átomos e estrelas, as coisas desse mundo, que são também sujeitas a leis fora do nosso controle... Exceto que essas coisas existem fora de nossas mentes.

Esse aspecto dúbio dos números – como metade céu e metade terra – é talvez a sua característica mais paradoxal, e a que os faz tão úteis. É o que o físico Eugene Wigner tinha em mente quando escreveu sobre “a eficácia irracional da matemática nas ciências naturais”.

Caso não esteja claro o que eu quero dizer sobre as vidas dos números e seu comportamento incontrolável, vamos voltar ao Braços Peludos. Suponhamos que Humphrey recebe uma ligação na outra linha, de um quarto ocupado

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por tantos pinguins quanto havia antes, tambĂŠm pedindo por peixes.

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Vista sob essa luz, os números começam Eles aparentemente existem

platônico, um nível ac

Nesse aspecto, eles são mais parecido

(por exemplo, verdade e justiça

comuns da vida diária. Após a reflexão, o seu st

Onde exatamente números vêm? Será que a hu

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omeçam a parecer um pouco misteriosos. istem em uma espécie de reino

nível acima da realidade.

arecidos com outros conceitos elevados justiça), e menos como os objetos

o seu status filosófico se torna ainda mais sombria.

ue a humanidade inventou-os? Ou descobriu-os?

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C A P Í T U L O U M : PA I S A G E N S P L AT Ó N I C A S

A APARENTE ALEATORIEDADE das imagens apresentadas na primeira exposição causaram reflexões pertinentes como ja foi dito. Nesse momento, me preocupei com a aparência geral do projeto, pois considerei que havia um certo exage­ ro visual no conjunto final de composições. O que antes era um objetivo conceitual passou a incomodar visualmente, a falta de harmonia entre uma ilustração e outra comprome­ tia demais a unidade total. Por mais que fosse um objetivo justapor imagens dessemelhantes, os contrastes de cor e de forma e layout pareciam caóticos demais, o conjunto se mostrava confuso, e o perigo era do leitor perder o interesse totalmente, pois mesmo contendo peças mais inteligíveis, imersas em um ambiente extremamente dissonante elas não eram capazes de manter um interesse, se fazia necessária uma ordem.

Para acalmar os desenhos, criar unidade e or­ dem entre as composições, decidi fazer um grid. Também porque o Grid tem uma forte componente matemática, algo que parecia pertinente ao tema geral do trabalho. Como ja tinha definido, as próximas composições seriam pensadas para uma brochura simples, feitas a partir de um formato A4. Dobrado no meio formaria duplas de A5, e este seria o campo. Para encontrar divisões harmônicas desse espaço e então estabelecer o Grid, fui estudar as divisões em função da proporção √2.

De acordo com o livro de Kimberly Elam, “Geometria do Design”. Para se obter um grid através das de­

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composições harmônicas de um retângulo √2, é apenas necessário encontras suas diagonais e subir retas paralelas atraves de encontros entre elas, ou com os limites do retân­ gulo. Dessa forma construi diversos grids, e tentei limitar minhas composições as linhas de força que eles criavam, explorando tanto as horizontais e verticais como diagonais.

Também me fundamentei na mancha de texto harmônica que o tipógrafo Jan Tschihold em seu ensaio “A forma do livro” chama de a mancha perfeita, a qual ele havia descoberto estudando os manuscritos medievais. De acordo com Tschihold “esse cânone gótico, quase desconhecido até aqui e verdadeiramente emocionante, redunda em divisões harmoniosas e pode ser traçado dentro de qualquer retângulo. Sem uma escala uma linha pode ser dividida em qualquer número de partes iguais”

Para arrematar as regras, escolhi a fonte Avenir, de­ senhada por Adrian Frutiger como uma releitura da Futura em 1988, cuja proporção dos números era praticamente 1:√2 também.

Mesmo assim, esse conjunto de regras não era su­ ficiente para garantir a unidade da brochura. Nesse mo­ mento resolvi abandonar o interesse específico em remeter ao livro de Fletcher, e me concentrar nas composições e na unidade visual da brochura. Ainda sim, usei cores dife­ rentes e altamente saturadas e algum outros elementos que lembravam os primeiros estudos, afinal estava consideran­ do esta etapa um refinamento, e não uma reconstrução.

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A idéia principal era transmitir dois conceitos, caos e mundo platônico dos números. O caos ficou representado pela disposição frenética dos tipo, sem ordem aparente, so­ brepostos as vezes e apontando para diversas direções. A utilização das espirais reforçam o conceito de movimento e afastamento hipnótico, remetendo a idéia de sonho e im­ aginação, o lugar onde na realidade vivem os números. As nuvens feitas com números sobrepostos em transparência fazem alusão a esse reino superior platônico ao qual o autor se refere.

Neste capítulo, e particulamente nessa brochura foi a minha única experiência com grid. Como mostrarei mais adiante não fui até os limites dessas estruturas pré estabele­ cidas, apenas as utilizei como linhas de força. O interessante foi notar, que a utilização deles, gera um forte embasamento conceitual para a ocupação do espaço. É uma ferramente de projeto interessante, na medida em que as formas geradas sobrepostas as suas linhas tem uma justificativa matemática para a sua disposição. Porém no modo em que eu estava trabalhando, procurando ilustrações mais experimentais e intuitivas o grid parecia ao final um pouco inadequado, tanto que como ja disse não o segui fielmente, sempre estive mais inclinado a explorar livremente os limites da forma tipográfica.

O resultado final foi uma brochura derivada da primeira apresentação, mais comportada e mais experi­ mental pois dessa vez as experiências não eram mais tão

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fiéis ao texto, do qual apenas retirei dois conceitos como mote para testar as novas ilustrações sobre o grid pensado.

Ao abandonar a fidelidade total ao texto, o caráter experimental do projeto se acentuou, e dessa vez a preo­ cupação se deu com a falta de uma mensagem clara a ser transmitida. Os conceitos trabalhados eram quase como palavras únicas que suscitavam ações, caos, descontrole, imaterialidade, se mostraram palavras isoladas com um alto potencial gráfico porém voltadas para si próprias e pouco tinham a ver com a mensagem total do texto.

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9 9 9 1 9 9 9 1 5 9 1 9 9 9 9 9 7 8 7 5 9 9 1 5 1 8 8 1 5 1 1 4 8 9 5 584 9 9 9 9 7 7 9 7 7 5 7 8 19887888 95

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Nesse ponto de vista, os números começam a parecer um tanto misteriosos. Eles aparentemente existem em algum tipo de reino Platônico, um nível acima da realidade. Dessa forma eles são mais como outros conceitos sublimes (e.g., verdade e justiça), e menos como outros objetos ordinários da vida cotidiana. Após essa reflexão, seu status filosófico se torna ainda mais obscuro. De onde exatamente vêm os números? A humanidade os inventou? Ou os descobriu?

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Nesse ponto de vista, os números começam a parecer um tanto misteriosos. Eles aparentemente existem em algum tipo de reino Platônico, um nível acima da realidade. Dessa forma eles são mais como outros conceitos sublimes (e.g., verdade e justiça), e menos como outros objetos ordinários da vida cotidiana. Após essa reflexão, seu status filosófico se torna ainda mais obscuro. De onde exatamente vêm os números? A humanidade os inventou? Ou os descobriu?

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O diagrama de Tschihold e as divisões harmônicas de √2 aplicadas as composições

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53 53 532 532 532 53 53 532 53

O diagrama de Tschihold para a obtenção da mancha perfeitamente harmônica

Jan Tschihold - A página perfeita

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CAPÍTULO DOIS: VIZUALIZANDO OPERAÇÕES

a relaçÃO das experiências com o texto no capítulo ante­ rior pareciam distantes. Para o capítulo dois, quis recuperar e testar uma relação mais instrínseca entre texto e desenho.

O tema do capítulo veio a calhar pois ele trata justamente de maneiras de visualizar os números e resolver ope­rações matemáticas através de outros artifícios mais lúdicos, sem envolver algarismos ou operações convencionais. Dessa forma, eu poderia trabalhar a visualização direta de um conceito puramente matemático através das imagens, uma relação direta entre conteúdo e ilustração. Algo que se aproximava do desejo anterior de colocar o conceito de quantidade apresentado como definidor das relações visu­ ais. Ao invés de usar os algarismos neste capítulo, optei por utilizar apenas quadrados. Isto porque em uma das históri­ as contadas, o personagem resolve um problema utilizando apenas pedras, sendo que a quantidade de pedras dispos­ tas simbolizava o número em si. Utilizei o mesmo conceito porém ao invés de pedras são quadrados. Inspirados pela história deste capítulo parti para uma investigação geo­ métrica e matemática tentando chegar a algum princípio apenas através de figuras, como é contado no texto sobre o sábio que resolve a soma de todos os números de um a nove apenas com a disposição das pedras em uma mesa.

Por fim, cheguei a apenas confirmações matemáticas ele­ mentares ou sem muita utilidade, uma delas na verdade me surpreendeu apesar de aparentemente inútil. Consta através de um dos desenhos que todo quadrado de números ím­

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pares subtraidos resultarão em um múltiplo de oito (isso porque os contornos dos quadrados são o resultado dessa operação, e esses por algum motivo são sempre múltiplos de oito). Dessa forma todas as composições vislumbrariam a princípio explicar um conceito matemático apenas pela sua forma e disposição, porém na tentativa de criar um elo forte entre discurso e imagem, esse pode ser considerando um extremo, apenas uma visualização de um dados, como em um gráfico por exemplo. Para amenizar esta relação que poderia se tornar um pouco fria demais, padronizei a uni­ dade visual com um grid de quadrados, e os separei pela cor preta e vermelha apenas. Dessa forma algumas das com­ posições a seguir apresentam um conceito matemático por trás, outras apenas exploram o próprio grid disposto e se misturam as outras pra criar um ritmo visual intere­ssante de página em página. A seguir segue o texto e as composições subsequentes.

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“Grupos de Pedras Como qualquer outra coisa, a aritmética tem seu lado sério e seu lado divertido.

O lado sério é o que todos nós aprendemos na escola: como trabalhar com colunas de números, adicionando-os, subtraindo-os, manipulando-os através de cálculos de planilha necessários para declarações fiscais e relatórios de fim de ano. Este lado da aritmética é importante, prático e – para muita gente – doloroso.

O lado divertido da aritmética é muito menos familiar, a não ser que você tenha sido treinado pela matemática avançada. No entanto, não há nada de intrinsecamente avançado nisso. É tão natural como a curiosidade de uma criança.

Em seu livro “O Lamento de um Matemático”, Paul Lockhart defende uma abordagem educacional na qual os números são tratados de forma mais concreta do que de costume: ele nos pede para imaginá-los como grupos de pedras. Por exemplo, seis corresponde a um grupo de pedras como este:

Você provavelmente não vê nada de impressionante aqui, e está certo – a não ser que nós façamos mais exigências aos ORIGINALMENTE PUBLICADO EM “THE NEW YORK TIMES” The opinion pages Steven Strogatz on the Elements of Math

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números, todos eles parecem praticamente os mesmos. Nossa chance de sermos criativos vem em que pedimos deles.

Por exemplo, vamos focar em grupos de entre 1 e 10 pedras, e perguntar quais deles podem ser rearranjados em padrões quadrados. Somente dois deles podem: 4 e 9. E isso é porque 4=2x2 e 9=3x3; nós conseguimos esses números organizando outros números em quadrado (fazendo realmente a forma do quadrado).

Um desafio menos rigoroso é identificar os grupos de pedras que podem ser organizados perfeitamente em retângulos com duas fileiras iguais. Isso é possível contanto que existam 2, 4, 6, 8 ou 10 pedras; o número precisa ser “par”. Todos os outros números de 1 a 10 – os números “ímpares” – sempre ficam com uma pedra a mais em uma das fileiras.

Ainda assim, não está tudo perdido para esses números desajeitados. Se nós adicionarmos dois deles, suas protuberâncias vão se combinar e sua soma será par; ímpar + ímpar = par.

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Ainda quando se trata de retângulos, alguns números, como 2, 3, 5 e 7, realmente não tem solução. Eles não formam nenhum tipo de retângulo, além de uma fileira apenas de pedras. Esses números estranhamento inflexíveis são os famosos números “primos”.

Então nós percebemos que os números tem peculiaridades em suas estruturas que lhe conferem personalidades. Mas para ver a gama completa do seu comportamento, nós precisamos ir além de cada um dos números e observar o que acontece quando eles interagem.

Por exemplo, ao invés de adicionar apenas dois números ímpares, suponhamos que nós adicionemos todos os números ímpares consecutivos, começando pelo 1: 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 As somas acima, notavelmente, sempre são quadrados perfeitos. (Nós vimos 4 e 9 nos quadrados discutidos anteriormente, e 16=4x4 e 25=5x5). Uma rápida checagem mostra que essa regra continua a valer com números ímpares cada vez maiores; isso aparentemente se carrega até o infinito.

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Mas qual conexão pode existir entre números ímpares, com seus apêndices, e os números classicamente simétricos que formam quadrados? Ao organizar nossas pedras corretamente, nós podemos fazer essa ligação surpreendente parecer óbvia – a marca de uma prova.

A chave é reconhecer que os números ímpares podem se organizar na forma da letra “L”, com as suas protuberâncias deslocadas para o canto. E quando você empilha sucessivos “Ls”, você obtém um quadrado!

Esse estilo de pensar aparece em outro livro recente, apesar de ser por razões literárias completamente diferentes. No charmoso romance “A Governanta e o Professor” de Yoko Ogawa, uma jovem astuta, mas pouco educada, com um filho de 10 anos de idade, é contratada para tomar conta de um professor, um matemático idoso, que havia sofrido um derrame que o deixa com apenas 80 minutos de memória de curto prazo. À deriva no presente e sozinho na sua casa de campo com nada além de números, o professor tenta conectar-se com a governanta do único modo que sabe: perguntando a ela quanto ela calça ou data do seu aniversário, e fazendo breves comentários matemáticos sobre suas estatísticas. O professor também tem um carinho especial pelo

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filho da governanta, a quem ele chama de Raiz, porque o topo chato da cabeça do garoto o lembra do símbolo da raiz quadrada .

Um dia o professor deu ao Raiz um enigma: Poderia ele achar a soma de todos os números desde o 1 ao 10? Depois de Raiz cuidadosamente adicionar os números e retornar com a resposta (55), o professor o pediu para encontrar uma maneira melhor. Poderia achar a resposta sem adicionar os números? Raiz chuta a cadeira de grita “Não é justo!”

Mas pouco a pouco a governanta é atraída pelo mundo dos números, e secretamente começa a explorar ela mesma o enigma. “Não tenho certeza porque eu fiquei tão envolvida num problema matemático infantil, sem valor prático”, disse ela. “A princípio eu estava consciente do meu desejo de agradar o professor, mas gradualmente esse sentimento desapareceu e se iniciou uma batalha entre o problema e eu. Quando eu acordei pela manhã a equação estava esperando: 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55 E ela me seguiu durante o dia todo, como se tivesse se colado na minha retina, e não podia ser ignorada.”

Existem muitas formas de resolver o problema do professor (veja quantas você pode descobrir). O próprio professor dá um argumento ao longo do texto acima. Ele interpreta a soma de 1 a 10 como um triângulo de pedras, com 1 pedra na primeira fileira, 2 na segunda e assim por diante, até 10 pedras na 10ª fileira.

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Apenas pela aparência, essa figura dá uma noção do espaço negativo. Parece que apenas metade dela está completa.

E isso sugere um salto criativo. Se você copiar o triângulo, virá-lo de ponta-cabeça e adicioná-lo como a parte que falta àquela que já está lá, você consegue algo muito mais simples: um retângulo com 10 fileiras de 11 pedras cada, num total de 110.

Como o triângulo original é metade desse retângulo, a soma desejada precisa ser metade de 110, ou 55.

Observar os números como grupos de pedras pode parecer incomum, mas na verdade é tão antigo quanto a própria matemática. A palavra “calcular” reflete seu legado – vem do Latim “calculus”, um seixo usado para contar. Para se divertir enquanto trabalha com números, você não precisa ser Einstein (Alemão para “uma pedra”), mas talvez ajude se você tiver pedras na cabeça.”

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C A P Í T U L O T R Ê S : S U B T R A Ç Õ E S E S U B S T R AT O S

PARA O CAPÍTULO TRÊS , optei por uma abordagem seme­ lhante a da brochura do primeiro capítulo. Desta vez o as­ sunto era subtração e números negativos. Para expressar o conceito de subtração, comecei retirando pedaços dos números até que eles sumissem, simulando o processo de retirada de unidades até a chegada no vazio, ou seja, zero.

Estes resíduos formados pela subtração me chamaram a atenção. Desta vez optei por abandonar o conceito que o próprio capítulo tratava e partir para o lado experimental total, visto que os resíduos sozinhos do tipo não eram re­ presentativos da idéia de subtração, ela apenas surtia efeito quando o leitor tinha a percepção do número sendo sub­ traido. Porém não quis que isso fosse um fator limitante, estava em busca de um capítulo de forte impacto visual, que se distinguisse dos anteriores, ja pensando no conjunto ge­ ral de brochuras. Por isso também a escolha de fundo preto e tipo branco. O alto contraste, e a não utilização de cores seriam uma novidade no conjunto de brochuras, o que re­ ssaltaria o seu caráter de investigações visuais particulares, além da analogia com o espaço negativo que não foi explo­ rada mas na realidade foi ela que gerou a idéia. Nesse caso, comecei a utilizar os pedaços de números para criar novos desenhos. Estas novas formações eram interessantes pois as vezes era possível identificar os números às vezes não. Para deixar a pista de que eram pedaços de números, por vezes deixava algarismos inteiros dispostos ocasionalmente. Estes provavelmente seriam entendidos pela visão do leitor e a

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partir dai ele poderia tentar identificar o restante com mais razão. Neste caso tambem trabalhei com o conceito de sub­ tração em forma de palavra aplicando o mesmo artifício de redução de partes. Na página incial se assemelha a um poema concreto, em seguida as ocultações de trechos são mais plásticas. A composição que mistura a palavra com os números foi criada posteriormente numa tentativa de fazer um resumo visual deste capítulo.

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“O Inimigo do Meu Inimigo É tradição ensinar subtração às crianças logo depois da adição. Faz sentido - os mesmos conceitos sobre números são usados nos dois, mas ao contrário. E a arte de “emprestar”, tão crucial para a subtração bem-sucedida, é apenas um pouco mais barroca do que a arte de “pegar” funciona do mesmo modo na adição. Se você pode dar conta de calcular 23 + 9, você logo estará pronto para 23 - 9.

A subtração nos força a expandir o nosso conceito do que são os números. Números negativos são muito mais abstratos do que números positivos - você não pode ver menos 4 biscoitos e certamente não pode comê-los - mas você pode pensar sobre eles, e você deve, em todos os aspectos da vida cotidiana, desde débitos e créditos bancários, até temperaturas congelantes. Num nível mais profundo, no entanto, a subtração nos leva a uma questão muito mais perturbadora, uma que nunca surge na adição. A subtração pode gerar números negativos. Se eu tentar tirar 6 biscoitos de você, mas se você só tiver 2, eu não posso fazê-lo – a não ser na minha cabeça, onde você tem agora 4 biscoitos negativos, o que quer que isso signifique.

Ainda assim, muitos de nós não se dão bem com os números negativos. Como o meu colega Andy Ruina pontuou, as pessoas inventam todo tipo de pequenas estratégias mentais para evitar o temido sinal negativo. Em extratos bancários, débitos (números negativos) são impressos em vermelho ORIGINALMENTE PUBLICADO EM “THE NEW YORK TIMES” The opinion pages Steven Strogatz on the Elements of Math

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ou abrigados entre parênteses, sem um sinal negativo a ser visto. Os livros de história nos contam que Júlio César nasceu em 100 a.C., não -100. Os subsolos em garagens de estacionamento frequentemente têm nomes como B1 e B2. A temperatura é uma das poucas exceções: dizem que, especialmente aqui em Ithaca, que são -5 graus lá fora, apesar de que mesmo assim alguns preferem dizer 5 abaixo de zero.

Há algo no sinal negativo que parece ser tão desagradável, tão... negativo.

Talvez o fato mais inquietante seja que um negativo vezes outro negative é um positivo. Então deixe-me explicar o pensamento por trás disso.

Como devemos definir algo como -1 x 3, onde estamos multiplicando um número negativo por um número positivo?

Ora, assim como 1 x 3 significa 1 + 1 + 1, a definição natural para -1 x 3 é (-1) + (-1) +(-1), que resulta em -3. Isso deveria ser óbvio em termos de dinheiro: se você me deve $1 por semana, depois de três semanas você me deve $3 no total.

A partir daí estamos a um passo de entender porque um negativo vezes um negativo deve ser positivo. Dê uma olhada no conjunto de equações a seguir: –1 × 3 = –3 –1 × 2 = –2 –1 × 1 = –1 –1 × 0 = 0 –1 × –1 = ?

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Agora olhe os números na direita e note sua progressão: –3, –2, –1, 0, ?

A cada passo, nós estamos adicionando 1 ao número anterior. Então você não concorda que o próximo número deveria ser logicamente 1?

Este é um argumento para porque (-1) x (-1) = 1. A razão dessa definição é que ela preserva as regras da aritmética comum; o que funciona para números positivos também funciona para números negativos.

Mas se você é muito pragmático, você pode estar se perguntando se essas abstrações têm algum paralelo no mundo real. De fato, a vida às vezes parece seguir diferentes regras.

Na moral convencional, dois errados não fazem um certo.

Da mesma forma, dois números negativos nem sempre se tornam um número positivo; eles podem fazer negativos mais intensos, como em “I can’t get no satisfaction”. (Na verdade, os idiomas podem ser complicados nesse aspecto.

O filósofo linguístico J. L. Austin de Oxford deu uma palestra na qual ele afirmava que existem muitos idiomas nos quais dois negativos dão um positivo – na qual o filósofo de Columbia Sidney Morgenbesser, sentado na plateia, sarcasticamente respondia “Sim, sim”).

Ainda assim, existem muitos casos no mundo real que espelham as regras dos números negativos. Quando uma célula nervosa inibe o ataque de outra que em troca inibe uma terceira, o ato indireto da primeira célula na terceira é equivalente à excitação; uma cadeia de dois negativos fazem um

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positivo. Efeitos similares ocorrem na regulação dos genes: uma proteína pode acender um gene, bloqueando outra molécula que estava reprimindo aquela porção de DNA. Talvez o paralelo mais familiar ocorra nas esferas social e política, como resumido pela frase “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”. Essa afirmação, e outras relacionadas sobre o amigo do meu inimigo, e assim por diante, pode ser representado em triângulos de relacionamentos.

Os vertices representam as pessoas, companhias ou países, e os lados conectando-os representam suas relações, que podem ser positivas (amigáveis, mostradas aqui como linhas contínuas) ou negativas (hostis, mostradas como linhas tracejadas).

Cientistas sociais se referem aos triângulos como o da esquerda, com todos os lados positivos, como “equilibrados” – não há motivo para ninguém mudar seus sentimentos, já que é razoável gostar dos amigos dos seus amigos. Similarmente, o triângulo à direita, com dois negativos e um positivo, é considerado balanceado porque não causa dissonância; mesmo que possibilite a hostilidade, nada cimenta uma amizade como odiar a mesma pessoa.

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Claro que os triângulos também podem ser desequilibrados.

Quando três inimigos mútuos dimensionam a situação, dois deles – frequentemente os dois com a menor inimizade – podem se sentir tentados a unir forças contra o terceiro.

Ainda mais desequilibrado é o triângulo com uma única relação negativa. Por exemplo, suponha que a Carol é amiga de Alice e Bob, mas Bob e Alice ambos se desprezam. Talvez eles tenham sido um casal mas eles agora passaram por um término de relacionamento ruim, e cada um está falando mal do outro para a leal Carol. Isso causa stress psicológico por todo lado. Para restaurar o equilíbrio, Alice e Bob devem se reconciliar, ou Carol deve escolher um lado.

Deixando de lado a verossimilhança do modelo, existem aqui questões interessantes de um sabor puramente matemático. Por exemplo, numa rede onde todos se conhecem, qual é o estado mais estável? Uma possibilidade é um nirvana de boa vontade, onde todas as relações são positivas e todos os triângulos são equilibrados. Mas surpreendentemente, existem outros estados que são igualmente estáveis. São estados de conflito intratável, com a rede separada em duas facções hostis. Todos os membros de uma facção são amigáveis uns com os outros, mas antagônicos

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com todos da outra facção. (Soa familiar?) Talvez até mais surpreendentemente, esses estados polarizados são os únicos estados tão estáveis quanto o nirvana. Em particular, nenhuma divisão de três partes pode ter todos os seus triângulos equilibrados.

Acadêmicos usaram estas ideias, por exemplo, para analisar as causas da Primeira Guerra Mundial. O diagrama abaixo mostra as alianças variáveis da Grã-Bretanha, França, Rússia, Itália, Alemanha e do império Austro-húngaro entre 1872 e 1907.

As primeiras cinco configurações eram todas desequilibradas, no sentido de que todas elas continham pelo menos um triângulo desequilibrado. A dissonância resultante tendia a pressionar essas nações para que elas se realinhassem, desencadeando reverberações no resto da rede. No estágio final, a Europa tinha se dividido em dois implacáveis blocos opositores – tecnicamente “equilibrados”, mas à beira da guerra.

A questão não é que essa teoria é poderosamente preditiva.

Não é. É muito simples de responder por todas as sutilezas das dinâmicas geopolíticas. A questão é que parte do que nós observamos se deve a nada mais que a lógica primitiva do “inimigo do meu inimigo”, e essa parte em particular é capturada perfeitamente pela multiplicação dos números negativos. Ao separar o genérico do significativo, a aritmética dos números negativos pode nos ajudar a ver onde estão todos os reais problemas.

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A subtração nos força a expandir nossos conceitos sobre o que são os numeros.Ela é capaz de gerar números negativos, e esses são muito mais abstratos que números positivos, você não pode vê-los apenas pensar neles. E na verdade você deve pensar, pois eles estão em todos os aspectos da vida real, nas dívidas, nas temperaturas congelantes, nas garagens....

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subtrações subtraçõe subtraçõ subtraç subtra subtr subt sub su s

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C A P Í T U L O Q U AT R O : D I V I S Õ E S E S E U S D E S C O N T E N T O S

O CONCEITO DE DIVISÃO , tem duas faces que Steven nos mostra. Além da parte comum, a separação de um núme­ ro em partes iguais, é interessante observar algumas con­ sequências curiosas desse processo e suas subsequentes filosofias. Para tratar deste assunto, foi feita uma escolha por cores primárias. A primeira vista a divisão apontava caminhos visuais muito parecidos com o da subtração, visto que naquele caso resolvi por explicitar o conceito repartin­ do também o número de certa forma. Para tentar uma nova abordagem mais focada no conceito de divisão usei as cores básicas azul, vermelho, e amarelo. Também apliquei uma linha exterior branca a todos os tipos. O objetivo aqui era tornar o aspecto geral da brochura mais lúdico, no senti­ do infantil da palavra mesmo, entendo os algarismo como blocos de montar. Para facilitar essa associação, começo o capítulo apresentando o conceito de divisão em formas geo­ métricas, criando um vocabulário mais didático para as ex­ pressões visuais que viriam a seguir. Dessa forma esperava que o conceito de divisão ficasse mais explícito do que o de subtração recém visto pelo observador, para isso na primei­ ra divisão apenas traço uma linha interna no número dez e o divido em cores, assim ficar evidente que aquele número como pode ser dividido tanto em quantidade quanto em forma. Na montagem seguinte, a composição muda e as metades se movimentam, porém de forma mais equilibrada e ordenada que na subtração, para passar uma sensação de partes que pertencem a um todo, e não substratos e restos

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como no caso anterior. Adiante o foco muda para a segunda constante do capítulo, os conceitos estranhos que a divisão pode gerar. Por exemplo o princípio de que o número 1 equivale matematicamente a 0,999... infinitos noves. Para isso esta colocada uma paisagem saturada de noves. Não importa quantos noves couberem, este número sempre sera igual a 1. No outro caso, entre o numero um e dois esta inserido uma porção de números irracionais, sugerindo o fato de que se você pensar com calma, vera que os números irracionais são na verdade, a grande maioria.

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“A Divisão e Seus Descontentos Há uma linha narrativa que percorre a aritmética, mas muitos de nós a perdemos na névoa das longas divisões e denominadores comuns. É a história da busca por números cada vez mais versáteis.

Os “números naturais” 1, 2, 3 e assim por diante são bons o bastante se tudo que quisermos fazer for contar, adicionar e multiplicar. Mas uma vez que perguntarmos quanto resta quando tudo foi retirado, nós somos forçados a criar um novo tipo de número - zero - e como dívidas podem ser devidas, precisamos de números negativos também. Esse universo aumentado de números chamados “inteiros” é tão autossuficiente como os números naturais, mas muito mais poderoso porque ele abrange a subtração também.

Se você cortar um bolo de chocolate bem no meio em dois pedaços iguais, você pode certamente dizer que cada pedaço é uma “metade” do bolo. Ou você pode expressar a mesma ideia com a fração 1/2, que significa 1 de 2 pedaços iguais.

(Quando você escreve desta forma, a barra entre 1 e 2 é uma lembrança visual de que algo está sendo fatiado). Uma terceira forma é dizer que cada pedaço é 50 por cento do todo, que significa literalmente 50 partes de 100. Como se não bastasse, você pode também invocar a notação decimal e descrever cada pedaço como 0,5 do bolo inteiro.

Uma nova crise surge quando nós tentamos resolver os problemas de divisão. Dividir um número inteiro em partes ORIGINALMENTE PUBLICADO EM “THE NEW YORK TIMES” The opinion pages Steven Strogatz on the Elements of Math

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iguais nem sempre é possível... A não ser que expandamos o universo mais uma vez, agora inventando frações. Estas são as proporções dos números inteiros - daí seu nome técnico “números racionais”. Infelizmente, é este o local onde muitos estudantes batem na parede matemática.

Existem muitas coisas confusas sobre divisão e suas consequências, mas talvez a mais enlouquecedora seja que existem muitos modos diferentes de descrever uma parte de um todo.

Essa profusão de escolhas pode ser parcialmente culpada pela desorientação que muitos de nós sentimos quando somos confrontados por frações, porcentagens e decimais.

Um exemplo vívido aparece no filme “Meu Pé Esquerdo”, a história real do escritor irlandês, pintor e poeta Christy Brown. Nascido numa grande família operária, ele sofria de uma paralisia cerebral que fazia com que fosse quase impossível que ele falasse ou controlasse qualquer um de seus membros, com exceção do pé esquerdo. Quando criança ele era frequentemente tido como deficiente mental, especialmente por seu pai, que se ressentia dele e o tratava com crueldade.

Uma cena crucial do filme se passa em volta da mesa da cozinha. Uma das irmãs mais velhas de Christy está silenciosamente fazendo sua lição de matemática, sentada próxima a seu pai, enquanto Christy, como de costume, está desviado no canto, retorcido na cadeira. Sua irmã quebra o silêncio: “quanto é 25 por cento de um quarto?” ela per-

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gunta. Seu pai pondera sobre isso. “Vinte e cinco por cento de um quarto? Annn... Essa é uma pergunta estúpida, né?

Quero dizer, 25 por cento é um quarto. Você não pode ter um quarto de um quarto.” A irmã responde, “Você pode.

Não pode, Christy?” O pai: “Ha! O que ele poderia saber?”

Contorcendo-se, Christy luta para pegar um pedaço de giz com seu pé esquerdo. Posicionando-o sobre uma ardósia no chão, ele consegue rabiscar um 1, depois uma barra, depois algo irreconhecível. É o número 16, mas o 6 sai ao contrário. Frustrado, ele apaga o 6 com seu calcanhar e tenta de novo, mas dessa vez o giz vai muito longe, riscando o 6 e tornando-o indecifrável. “Isso é só um rabisco nervoso”, bufa seu pai, virando-se. Christy fecha os olhos e cai de costas, exausto.

Fora o poder dramático da cena, o que impressiona é a rigidez conceitual do pai. O que o faz insistir que não se pode ter um quarto de um quarto? Talvez ele pense que você pode apenas ter um quarto de um inteiro ou de algo feito de quatro partes iguais. Mas ele falha ao não perceber que tudo é feito de quatro partes iguais. No caso de algo já ser um quarto, suas quatro partes iguais ficam assim:

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Já que 16 dessas finas fatias formam o inteiro original, cada fatia é 1/16 do inteiro – a resposta que Christy estava tentando escrever.

Uma versão do mesmo tipo de rigidez mental, atualizada para a era digital, rodou a internet alguns anos atrás quando um cliente frustrado chamado George Vaccaro gravou e postou sua conversação no telefone com dois representantes do serviço da Verizon Wireless. A reclamação de Vaccaro era que seu plano de dados era de 0,002 centavos por kilobyte, mas sua conta mostrava que ele havia sido cobrado 0,002 dólares por kilobyte, uma taxa cem vezes maior. A conversa chegou ao top 50 na seção de comédia do Youtube.

Na metade da gravação, o ponto alto acontece na conversa entre Vaccaro e Andrea, a gerente da filial da Verizon: V: “Você reconhece que existe uma diferença entre um dólar e um centavo?”

A: “Definitivamente.”

V: “Então, você, portanto, reconhece que existe uma diferença entre 0,002 dólares e 0,002 centavos?”

A: “Não.”

V: “Não?”

A: “Quero dizer... Não existe 0,002 dólares.”

Alguns momentos depois, Andrea diz “Obviamente um dólar é 1,00, certo? Então como 0,002 dólares se parecem?

Eu nunca ouvi falar de 0,002 dólares... Não é um centavo inteiro.”

O desafio de conversão entre dólares e centavos é somente

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parte do problema para Andrea. A real barreira é a sua inabilidade de visualizar uma porção de qualquer um deles.

Numa experiência de primeira mão, posso dizer como é ser mistificado por decimais. Na oitava série, a Sra. Stanton começou a nos ensinar como converter uma fração num número decimal. Usando a divisão nós descobrimos que algumas frações dão em decimais que terminam em zero. Por exemplo, ¼ = 0,02500000, que pode ser reescrito como 0,25, já que todos aqueles zeros não somam nada. Outras frações dão em decimais que eventualmente se repetem, como 5/6 = 0,8333...

Meu favorito é o 1/7, cujo decimal se repete a cada seis dígitos: 1/7 = 0,142857142857...

O desconcerto começou quando a Sra. Stanton apontou que se você triplicar ambos os lados da equação simples 1/3 = 0,3333..., Você é forçado a concluir que 1 é igual a 0,9999...

Na época eu protestei que eles não poderiam ser iguais. Não importa quantos 9 ela escrevesse, eu poderia escrever tantos 0 quanto em 1,00000... e se subtraíssemos o número dela do meu, haveria um pedacinho faltando, algo como 0,0000...01.

Como o pai de Christy e os representantes de serviço da Verizon, eu não poderia aceitar algo que tinha sido provado a mim. Eu via, mas me recusava a acreditar. (Isso pode lembrar algumas pessoas que você conhece.)

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Mas fica pior – ou melhor, se você gosta de sentir seus neurônios chiando. Na aula da Sra. Stanton, o que nos impediu de olhar os decimais que não terminavam nem se repetiam periodicamente? É fácil inventar esses números de embrulhar o estômago. Aqui está um exemplo: 0.12122122212222…

Pelo projeto, os blocos de 2 ficam progressivamente mais longos à medida que nós nos movemos para a direita. Não há forma de expressar esse decimal pela fração. Frações sempre geram decimais que terminam ou eventualmente se repetem periodicamente – que possa ser provado – e já que esse decimal não faz nenhum dos dois, não pode ser igual à razão entre nenhum número inteiro. É “irracional”.

Dado o quão maquinado esse decimal é, você poderia supor que a irracionalidade é rara. Pelo contrário, é típica. Num certo sentido que pode ser preciso, quase todos os decimais são irracionais. E seus dígitos parecem estatisticamente aleatórios.

Uma vez que você aceitar esses fatos surpreendentes, tudo vira de cabeça pra baixo. Números inteiros e frações, tão queridos e familiares, agora parecem escassos e exóticos. E aquele número inócuo pendurado no quadro na sua classe do ensino fundamental? Ninguém nunca te contou, mas é um caos lá em cima.

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CAPÍTULO CINCO: DISTORÇÕES

AS DISTORÇÕES na realidade são um capítulo extra. Após a criação da primeira brochura fiquei empenhado em en­ contrar uma linha mestra diferente para o meu trabalho, procurava algo que ligasse a quantidade que o número apresentava, e o acontecimento gráfico da composição, Porém não obtive muito sucesso nessa busca desta regra.

Durante a busca porém alguns conceitos interessantes sur­ giram. As composições que mostro a seguir se baseiam na seguinte regra: o número de dobras feitas em um papel, e a respectiva posição em que o número se apresenta. Quando o papel estiver fechado, o número que ira aparecer na face exposta representa o número de movimentos que a mão ira fazer. Essa idéia a princípio gerou resultados interes­ santes, mas logo começou a ficar repetitiva demais pois as composições tornavam-se monótonas rapidamente, o pa­ pel aberto era apenas um papel dividio em metades, seria mais fácil para um leitor identificar aqueles números como respectivos marcadores do seu lugar do que uma quanti­ dade de movimentos feitos com a mão. A partir dai outra idéia curiosa surgiu. Mexendo com o papel, e lembrando um pouco das teorias de matemática não euclidiana pe­ las quais havia econtrado em minha pesquisa, imaginei o tipo projetado em um plano curvo. Para isso usei o soft­ ware SketchUp para projetar tipos em um cilindro, e depois planifica-lo, seguindo um pouco a idéia de distorção da le­ tra M de Weingart. O processo se mostrou muito trabal­ hoso, e os resultados abaixo do esperado no quesito de po­

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ssibilidades visuais, porém convém deixar registrado aqui.

Outra experiência que gerou um resultado visualmente mais interessante foi o desenho 360. Repetindo o número 360 por trezentos e sessenta vezes, e cada vez torcendo ele 1º até uma volta completa, deixei os resultados justapostos o que gerou uma composição vibrante e curiosa. É inte­ ressante olhar para a textura que essa mudança causa, uma visualidade derretida que o desenho todo vai adquirindo.

Os pedaços desse experimento também foram usados para fazer outros desenhos, se valendo desse aspecto distorcido para criar manchas tipográficas.

Também criei um experimento de agressão do número quarenta, utilizando uma ferramenta do Illustrator levei o número a uma espécie de extrusão em quarenta atos.

O resultado sugeria um movimento, por isso criei uma ani­ mação em Gif e Html com a ajuda de meu amigo Georges para observar o comportamento em grupo daquele movi­ mento.

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CONCLUSÃO

POR FIM o conjunto de cinco brochuras e cinco respectivos pôsteres dos desenhos mais representativos, formaram um apanhado de formas, cores e idéias bem variadas e distintas.

Dessa forma acredito ter me aproximado um pouco mais conceitualmente do livro de Fletcher. O mais importante foi a reflexão em torno dos assuntos, e o caminho todo, exa­ tamente como no livro. Utilizei e senti as possibilidades do grid, explorei as camadas mais inteligíveis e mais experi­ mentiais da expressão de idéias através de tipos. Criei um universo de expressões completamente diferentes e exer­ citei a percepção visual em situações das mais variadas.

Acredito que cresci muito conceitualmente e praticamente com este trabalho final de graduação, as distorções me auxi­ liaram compreender melhor a forma e a peculiaridade dos números.

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