[SEFAZRS]Raciocínio Lógico

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09/06 (FINAL DE SEMANA)

Assistente Administrativo Fazendário »»» RACIOCÍNIO LÓGICO Material elaborado pelo professor Sérgio Altenfelder.

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SUMÁRIO RACIOCÍNIO LÓGICO Estruturas Lógicas ................................................................................................................................................ 5 Conectivos Lógicos ............................................................................................................................................. 23 Equivalências Lógicas ......................................................................................................................................... 27 Lógica de Argumentação .................................................................................................................................... 38 Probabilidade .................................................................................................................................................... 44 Análise Combinatória ......................................................................................................................................... 52

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Iremos abordar uma diferente forma de argumentação que se associa diretamente com a língua portuguesa.

Apesar de analisarmos frases muitas vezes de forma subjetiva a matéria que transmitirei a vocês abordará de forma simples, concisa e precisa conclusões das frases ligadas com a nossa língua. Porém, com a lógica não teremos como discutir a validade da frase, pois ela irá detalhar precisamente o certo do errado. Vamos ao que interessa.

PROPOSIÇÕES Chama-se proposição toda sentença declarativa que pode ser classificada ou só como verdadeira ou só como falsa. Temos dois tipos de proposições: simples e composta.

PROPOSIÇÕES SIMPLES Chama-se proposição simples toda oração declarativa que pode ser classificada ou só como verdadeira ou só como falsa. Representaremos uma proposição simples como uma letra minúscula qualquer de nosso alfabeto.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Das sentenças abaixo, assinale quais são proposições a.) O Chile e o Brasil. b.) Emerson é professor. c.) Ela é professora. d.) O Brasil foi campeão de futebol em 1982 e.) Que legal! f.) 5 x 4 = 20 g.) 4 x 2 + 1 > 4 h.) O Brasil perdeu o título i.) X + Y é maior do que 7. j.) Que horas são? k.) Aquela mulher é linda. l.) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta

GABARITO 1. a) Não é proposição.

b) É proposição.

c) Não é proposição.

d) É proposição.

e) Não é proposição.

f) É proposição.

g) É proposição.

h) É proposição

i) Não é proposição

j) Não é proposição k) Não é proposição

m) É proposição.

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ESTRUTURAS LÓGICAS

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PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Ao utilizarmos a linguagem combinamos idéias simples, ligando as proposições simples através de símbolos lógicos, formando assim as chamadas proposições compostas.

CONECTIVOS LÓGICOS Vejamos os conectivos (e seus símbolos ) que ligam as proposições simples, formando as proposições compostas.

Conjunções

XXX e YYY

XXX  YYY

Disjunções não excludentes

XXX ou YYY

XXX  YYY

Ou XXX ou YYY

XXX  YYY

Condicionais

XXX então YYY

XXX  YYY

Bicondicionais

XXX se e somente se YYY

XXX YYY

Conectivos Disjunções excludentes

Para analisar os valores lógicos das proposições compostas, iremos utilizar uma tabela que prevê todos os possíveis valores lógicos que uma sentença pode possuir a partir dos valores lógicos das proposições simples. O nome desta tabela é: TABELA VERDADE. NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE Quando trabalhamos com tabela verdade, é sempre importante verificar quantas linhas deveremos analisar.

E para isso é preciso conhecermos a seguinte fórmula: 2n onde n é o número de proposições simples.

Por exemplo, caso formos analisar uma proposição composta com duas proposições simples (p e q), poderemos analisá-las das seguintes maneiras: p V V F F

q V F V F

Repare que fórmula já previa quatro linhas para serem analisadas. 22 = 4 linhas

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Vamos analisar agora uma proposição composta com três proposições simples (p,q e r). p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

Repare que fórmula já previa oito linhas para serem analisadas. 23 = 8 linhas

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 8 proposições simples pode possuir em uma tabela verdade. a.) 16 linhas b.) 32 linhas c.) 64 linhas d.) 128 linhas e.) 256 linhas

3. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 6 proposições simples pode possuir em uma tabela verdade. a.) 64 linhas b.) 128 linhas c.) 256 linhas d.) 512 linhas e.) 1024 linhas GABARITO 2. E

3. A

NEGAÇÃO (¬p) Uma proposição quando negada, recebe valores lógicos opostos dos valores lógicos da proposição original.

O símbolo que iremos utilizar é ¬p. p V F

¬p F V

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VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

TABELA VERDADE DO CONECTIVO E, CONJUNÇÃO ( ^ ) Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso a conjunção “e”. Simbolicamente temos p ^ q (lê-se p e q). Este conectivo traduz a idéia de simultaneidade.

Assim, uma proposição composta do tipo: p ^ q é verdadeira apenas quando as proposições simples p e q forem simultaneamente verdadeiras, em qualquer outro caso p^q é falsa.

Resumindo na tabela verdade: p V V F F

q V F V F

p^q V F F F

A conjunção p ^ q é verdadeira se p e q são verdadeiras ao mesmo tempo. E caso uma delas for falsa, então p ^ q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.

Paris não se situa na África e a África tem uma população predominante negra.

Repare que as duas proposições simples são verdadeiras, gerando uma idéia verdadeira à frase como um todo.

Paris não se situa na África e a África não tem uma população predominante negra.

Repare que a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa, gerando uma idéia falsa à frase como um todo.

Paris situa-se na África e a África tem uma população predominante negra.

Repare que a primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira, gerando uma idéia falsa à frase como um todo

Paris situa-se na África e a África não tem uma população predominante negra.

Repare que as duas proposições simples são falsas, gerando uma idéia falsa à frase como um todo.

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Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção não exclusiva “ou”.

Simbolicamente temos p  q (lê-se p ou q). Este conectivo traduz a idéia de que pelo menos uma das hipóteses ocorre.

Assim, uma proposição composta do tipo p  q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições simples forem verdadeiras, sendo falsa apenas quando ambas forem falsas.

Resumindo na tabela verdade: p V V F F

q V F V F

pq V V V F

A disjunção p  q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira. Caso p e q são falsas ao mesmo tempo então p  q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.

Paris não se situa na África ou a África tem uma população predominante negra.

Repare que as duas proposições simples são verdadeiras, gerando uma idéia verdadeira à frase como um todo.

Paris não se situa na África ou a África não uma população predominante negra.

Repare que a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa, gerando uma idéia verdadeira à frase como um todo Paris situa-se na África ou a África tem uma população predominante negra.

Repare que a primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira, gerando uma idéia verdadeira à frase como um todo Paris situa-se na África ou a África não tem uma população predominante negra.

Repare que as duas proposições simples são falsas, gerando uma idéia falsa à frase como um todo.

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TABELA VERDADE DO CONECTIVO OU, DISJUNÇÃO NÃO EXCLUSIVA ()

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TABELA VERDADE DO CONECTIVO OU, DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( ) Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção exclusiva “ou”.

Simbolicamente temos p  q (lê-se p ou q). Este conectivo traduz a idéia hipóteses mutuamente exclusivas.

Antes de continuar qualquer tipo de explicação é importante salientar a diferença entre os dois tipos de “ou”.

Esse “ou“ que iremos abordar, dá a idéia de exclusão plena: “ou Irei ao shopping ou ao estádio”. Repare que o personagem ou vai ao shopping ou vai ao estádio, ele não poderá ir aos dois locais ao mesmo tempo.

Temos aqui, a idéia da disjunção que estamos apresentando.

Uma proposição composta do tipo p  q é verdadeira quando apenas uma das proposições simples forem verdadeiras, sendo falsa quando ambas forem falsas ou ambas verdadeiras.

Resumindo na tabela verdade: p V V F F

q V F V F

pq F V V F

A disjunção p  q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira, caso p e q são falsas ao mesmo tempo então p  q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.

Ou Sérgio mora em Curitiba ou mora em Fortaleza.

Repare que se as duas proposições simples forem verdadeiras, Sérgio morará nas duas cidades. Sabemos que uso deste conectivo lógico significa que ele poderá morar em apenas uma das cidades, ou Curitiba ou Fortaleza.

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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas. a.) 40 = 1  22 = 4 b.) 2! = 2  0! =1 c.) 40 = 1  23 = 6 d.) 2! = 2  0! =0 e.) 1! = 0  0! = 0 f.) 42 = 8  30 = 1 g.) 5! = 120  0! = 0 h.) 4! = 24 

= 30

i.) C6,4 = 15  C8,1 = 8 j.) C10,3 = 120  C8,3 = 56 k.) C10,4 = 210  C5,4 = 5 l.) C9,1 = 9  C9,8 = 9 m.) C6,5 = 6  C6,1 = 6 n.) C5,2 = 10  C5,3 = 10 o.) C6,6 = 1  C6,0 = 1 p.) C8,0 = 1  C8,8 = 1 5. Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca.

Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo: a.) ¬p b.) ¬q c.) p  q d.) p  q e.) ¬p  q f.) p  ¬q g.) ¬(p  q h.) ¬(p  q) i.) ¬p  ¬q

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6. Sejam as proposições simples. p: João é alto

q: João é jogador de Basquete.

Escreva na forma simbólica a.) João não é alto. b.) Não é verdade que João não é alto. c.) João é alto e é jogador de basquete. d.) João não é alto e é jogador de basquete. e.) João não é alto ou não é jogador de basquete. f.) João não é jogador de basquete. g.) Não é verdade que João não é jogador de basquete. h.) João é alto ou é jogador de basquete. i.) João é alto e não é jogador de basquete. j.) Não é verdade que João é alto e é jogador de basquete. k.) Não é verdade que João é alto ou é jogador de basquete. l.) Não é verdade que João não é alto ou é jogador de basquete. m.) João não é alto nem é jogador de basquete.

GABARITO 4. a) verdadeira

b) verdadeira

c) verdadeira

d) falsa

e) falsa

f.) verdadeira

g.) verdadeira

h.) verdadeira

i.) verdadeira

j.) verdadeira

k.) verdadeira

l.) verdadeira

m.) verdadeira

n.) verdadeira

o.) verdadeira

p.) verdadeira

5. a) A vaca não foi para o brejo. b) O boi não seguiu a vaca. c) A vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. d) A vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. e) A vaca não foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. f) A vaca foi para o brejo ou o boi não seguiu a vaca. g) Não é verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. h) Não é verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. i) A vaca não foi para o brejo ou o boi não seguiu a vaca.

6. a) ¬p

b) ¬(¬p)

c) p  q

d) ¬p  q

e) ¬p  ¬q

f) ¬q

h) p  q

i) p  ¬q

j) ¬( p  q)

k) ¬( p  q)

l) ¬( ¬p  q)

m) ¬p  ¬q

g) ¬( ¬q)

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Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da condicional “Se xxx então yyy”.

Simbolicamente temos p → q (lê-se se p então q). Este conectivo traduz a idéia de condição, em outras palavras, causa e efeito. É importante apresentar um outro conceito que costuma cair de uma frase condicional.

Temos p → q. p é condição suficiente para q. Ou ainda p é chamado de causa. q é condição necessária para p Ou ainda q é chamado de conseqüência ou efeito Este conectivo traduz a idéia de condição. Assim, uma proposição composta do tipo p → q só é falsa se tivermos p é verdadeira e q falsa; em qualquer outro caso, ela é verdadeira.

Resumindo na tabela-verdade: p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p→q será verdadeiro

Como este conectivo é muito difícil de entender, vamos imaginar a seguinte situação: Imaginemos que você seja uma pessoa que normalmente carrega seu guarda chuva na sua bolsa ou mala ou de qualquer outra forma. Suponha, também, que está chovendo é uma frase verdadeira e que levar o guarda chuva também será verdadeira.

Se não está chovendo então eu levo o guarda chuva.

Esta frase pode ser falada por uma pessoa com esse perfil, pois chovendo ou não ela carrega o guarda chuva. Logo, concluímos que causa falsa e efeito verdadeiro, gera uma frase verdadeira como um todo.

Se não está chovendo então eu não levo o guarda chuva.

Esta frase pode ser falada por uma pessoa com esse perfil, pois chovendo ou não ela carrega o guarda chuva. Logo, concluímos que causa falsa e efeito falso, gera uma frase verdadeira como um todo.

Vamos interpretar as duas situações acima. Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que não chove, elas podem ou não carregar seu guarda chuva. Por isso que as frases acima são verdadeiras.

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TABELA VERDADE DO CONECTIVO SE XXX ENTÃO YYY , CONDICIONAL ( → )

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Se está chovendo então eu levo o guarda chuva.

Esta frase pode ser falada por uma pessoa com esse perfil, pois está realmente chovendo e com certeza ela irá carregar o guarda chuva. Logo, concluímos que causa verdadeira e efeito verdadeiro, gera uma frase verdadeira como um todo.

Se está chovendo então eu não levo o guarda chuva.

Esta frase NÃO pode ser falada por uma pessoa com esse perfil, pois se chove, pessoas com esse perfil com certeza levarão seu guarda chuva. Logo, concluímos que causa verdadeira e efeito falso, gera uma frase falsa como um todo.

Vamos interpretar as duas situações acima. Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que chove, elas sempre carregarão seu guarda chuva. Por isso que das duas frases acima uma é verdadeira e a outra é falsa.

ATENÇÃO ESPECIAL Devemos tomar muito cuidado em provas, pois está virando um costume das bancas examinadoras utilizarem o conectivo ―Se... então...‖ usando outras construções gramaticais que dão o mesmo sentido.

Irei apresentar uma frase utilização o conectivo ―Se... então...‖ e logo abaixo outras construções gramaticais que dão o mesmo sentido que a frase apresentada:

Se Ana é feliz então Carla é médica.

Se Ana é feliz, Carla é médica.

Ana é feliz então Carla é médica.

Carla é médica se Ana é feliz.

Quando Ana é feliz, Carla é médica.

Carla é médica quando Ana é feliz.

Sempre que Ana é feliz, Carla é médica.

Carla é médica sempre que Ana é feliz.

Enquanto Ana é feliz, Carla é médica.

Carla é médica enquanto Ana é feliz.

Caso Ana é feliz, Carla é médica.

Carla é médica caso Ana é feliz.

Outros conectivos também estão sendo abordados com construções gramaticais que dão o mesmo sentido. Porém, fica difícil abordá-los da mesma forma como abordamos o conectivo ―Se... então...‖.

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Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da bicondicional “ xxx se somente se yyy”. Simbolicamente temos p  q (lê-se p se e somente se q). Este conectivo traduz a idéia de bicondição.

Este conectivo não é muito usado em nossa língua portuguesa,usamos mais em frases matemáticas,para provar certas teorias.

Temos p  q. p é condição suficiente e necessária para q. Ou ainda p é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo. q é condição necessária e suficiente para p Ou ainda q é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo.

Este conectivo traduz a idéia de bicondição. Assim, uma proposição composta do tipo pq só será falsa se tivermos p e q apresentando valores lógicos diferentes; e se p e q possuírem os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.

Resumindo na tabela-verdade: p V V F F

q V F V F

pq V F F V

A bicondicional p  q só será falsa se tivermos p e q apresentarem valores lógicos diferentes; e se p e q são proposições com os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.

2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6.

V

V

2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 ≠ 6.

V

Conclusão F

V

2 x 3 ≠ 6 se e somente se 2 + 2 + 2 ≠ 6.

F

Conclusão F

F

2 x 3 ≠ 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6.

F

Conclusão V

Conclusão V

F

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TABELA VERDADE DO CONECTIVO XX SE E SOMENTE SE YY, BICONDICIONAL ()

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 7. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a.) 2! = 2  0! = 1 b.) 22 = 4  32 = 6 c.) 20 = 0  0! = 0 d.) 22 = 4  32 = 9 e.) 2 é ímpar  3 é ímpar f.) 2 - 1 = 1  5 + 7 = 3 x 4 g.) 52 = 25  3 - 4 = -1 h.) 2 é par  3 é impar i.) 52 = 125  3 - 4 = 7 j.) 2 é ímpar  3 é par

8. Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca.

Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo: a.) p  q b.) ¬p  ¬q c.) ¬(p  q) d.) (p  q)  ¬q e.) p  ¬(p  q) f.) ¬p  q g.) p  q h.) ¬p  ¬q i.) p  ¬(p  q) j.) ¬p  ¬(p  q)

9. Sejam as proposições: p: João é alto

q: João é jogador de Basquete

Escreva na forma simbólica a.) Se João não é alto então ele é jogador de basquete. b.) Se João não é alto então ele não é jogador de basquete. c.) É mentira que se João não é alto então ele é jogador de basquete. d.) João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. e.) João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. f.) João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.

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g.) É mentira que João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. h.) É mentira que João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. i.) Se João é alto então ele é jogador de basquete. j.) Se João é alto então ele não é jogador de basquete. k.) Não é verdade que se João é alto então ele é jogador de basquete. l.) Não é verdade que se João é alto então ele não é jogador de basquete.

GABARITO 7. a) verdadeira g) verdadeira

b) falso

c) verdadeira

h) verdadeira

d) verdadeira

e) falso

f) verdadeiro

i) verdadeira j) verdadeira

8. a) Se a vaca foi para o brejo então o boi seguiu a vaca. b) Se a vaca não foi para o brejo então o boi não seguiu a vaca. c) Não é verdade que a vaca foi para o brejo se e somente se o boi seguiu a vaca. d) Se a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca então o boi não seguiu a vaca. e) Se a vaca foi para o brejo então não é verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca. f) Se a vaca não foi para o brejo então o boi seguiu a vaca. g) A vaca foi para o brejo se e somente se o boi seguiu a vaca. h) A vaca não foi para o brejo se e somente se o boi não seguiu a vaca. i) Se a vaca foi para o brejo então não é verdade que a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca. j) Se a vaca não foi para o brejo então não é verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi seguiu a vaca.

9. a) ¬p  q

b) ¬p  ¬q

g) ¬(¬p  q)

h) ¬(¬p  ¬q)

c) ¬(¬p  q) i) p  q

d) p  ¬q

e) ¬p  q

f) ¬p  ¬q

j) p  ¬q

k) ¬(p  q)

l) ¬(p  ¬q)

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MONTAGEM DE TABELAS VERDADES Pelo uso repetido dos conectivos estudados e da negação, podemos construir proposições compostas progressivamente mais complexas, cujos valores lógicos não temos condições de determinar imediatamente. No entanto, o valor de uma proposição sempre pode ser determinado a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes e dos conectivos utilizados. Um modo organizado, sistemático, de fazer isso é a utilização de uma tabela com todas as possíveis combinações entre os valores lógicos das proposições componentes e com o correspondente valor lógico da proposição composta. A partir do uso desta técnica, podemos descobrir os valores lógicos das proposições compostas e verificar se elas são equivalentes, ou negações, ou tautológicas, contraditórias ou ainda contingentes.

DUPLA NEGAÇÃO ¬(p) A dupla negação nada mais é do que a própria proposição. Isto é, p = ¬(¬p)

p V F

¬p F V

¬(¬p) V F

¬(¬p) = p Exemplos Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição p ^ ¬q, construindo a seguinte tabelaverdade:

p V V F F

q V F V F

¬q F V F V

p ^ ¬q F V F F

Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição ¬p  ¬q construindo a seguinte tabelaverdade:

p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

¬q F V F V

¬p  ¬q F V V V

CONTINGÊNCIA Sempre que uma proposição composta recebe valores lógicos falsos e verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma CONTINGÊNCIA.

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Vamos determinar os possíveis valores lógicos da proposição p. ¬p, construindo a seguinte tabela verdade:

p V F

¬p F V

p ^ ¬p F F

Exemplo: “Hoje é sábado e hoje não é sábado”

Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos falsos, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizem que a proposição em questão é uma CONTRADIÇÃO

TAUTOLOGIA Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição p  ¬p, construindo a seguinte tabela verdade

p V F

¬p F V

p  ¬p V V

Exemplo: “O céu está claro ou não está.”

Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma Tautologia

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: Dizemos que duas proposições compostas são equivalentes quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são equivalentes. Vejamos se essas duas frases são equivalentes: p → q e ¬p  q p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

p→q V F V V

¬p  q V F V V

Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são equivalentes. Desse modo podemos dizer que elas são equivalentes.

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CONTRADIÇÃO

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Analisando outras frases.

A proposição “Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco” é equivalente a “Nossos produtos não são caros ou não duram pouco”.

Vamos verificar: p: Nossos produtos são caros ¬p: Nossos produtos não são caros q: Nossos produtos duram pouco ¬q: Nosso produtos não duram pouco ¬(p ^ q): Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco. ¬p  ¬q:

Nossos produtos não são caros ou não duram pouco. p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

¬q F V F V

p^q V F F F

¬(p ^ q) F V V V

¬p  ¬q F V V V

Como podemos notar ¬(p ^ q) ≡ ¬p  ¬q Analogamente, podemos verificar que a proposição “Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou.” Garante o mesmo que “Bráulio não passou no concurso e não se matou.”

Vamos verificar: p: Bráulio passou no concurso. ¬p: Bráulio não passou no concurso. q: Bráulio se matou. ¬q: Bráulio não se matou. ¬(p  q):

Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou.

¬p ^ ¬q:

Bráulio não passou no concurso e não se matou. p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

¬q F V F V

pq V V V F

¬(p  q) F F F V

¬p ^ ¬q F F F V

Como podemos notar ¬(p  q) ≡ ¬p ^ ¬q

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Dizemos que uma proposição composta é a negação da outra quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são opostas. Vejamos se uma frase é a negação da outra e vice-versa: p → q e p ^ ¬q p V V F F

q V F V F

¬q F V F V

p→q V F V V

p ^ ¬q F V F F

Como podemos notar ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q. Em outras palavras, a negação da proposição p→q é p ^ ¬q Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são opostas. Desse modo podemos dizer que uma é a negação da outra e vice versa.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10. Se A, B e C são enunciados verdadeiros e X, Y e Z são enunciados falsos. Classifique os enunciados abaixo em verdadeiros ou falsos: a.) (C  Z) ^ (Y  B) b.) (A ^ B)  (X ^ Y) c.) ¬(B  X) ^ ¬(Y  Z) d.) ¬(C  B)  ¬(¬X ^ Y) e.) ¬B  X f.) ¬X  A g.) ¬X  Y h.) X → (Y → Z) i.) (X → Y) → Z j.) (A → B) → Z 11. Mostre que a proposição (p  q)  ¬p é uma contradição.

12. Mostre que a proposição (p  q)  ¬p é uma tautologia.

13. Mostre que a proposição (p  q)  ¬p é uma contingência.

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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

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Julgue os itens abaixo 14. A frase ―Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.‖ é uma tautologia.

15. A frase ―Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.‖ é uma tautologia..

16. A frase ―Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.‖ é uma tautologia.

17. A frase ―Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.‖ é uma tautologia.

18. A frase ―Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. ‖ é uma tautologia.

19. (ICMS) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, a.) seu esforço é condição suficiente para vencer. b.) seu esforço é condição necessária para vencer. c.) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d.) você vencerá só se esforçar. e.) mesmo que você se esforce, você não vencerá.

GABARITO 10. a) V

b) V

c) F

d) V

e) F

f) V

g) V

h) V

i) F

j) F

11. é contradição 12. é tautologia 13. é contingência 14. E 15. E 16. C 17. E 18. E 19. A

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RESUMÃO

CONECTIVOS LÓGICOS :e

 : ou

 : ou ..... ou

 : então

↔ : se e somente se

TABELAS VERDADES P V V F F

Q V F V F

PQ V F F F

PQ V V V F

PQ F V V F

PQ V F V V

P↔Q V F F V

REGRA DOS CONECTIVOS Regra do ―e‖: Um FALSO deixa tudo FALSO. Regra do ―ou‖: Um VERDADEIRO deixa tudo VERDADEIRO. Regra do ―ou... ou ...‖: SÓ UMA frase pode ser VERDADEIRA. Regra do ―então‖: Vera Fischer é FALSA. Regra do ―se e somente se‖: Os DOIS lados tem que ser IGUAIS. Número de linhas de uma tabela verdade = 2n.

POR QUE DEVEMOS MONTAR TABELAS VERDADE? 1º MOTIVO: Encontrar frases tautológicas.

O que é tautologia? É uma tabela verdade que apresenta APENAS VALORAÇÕES VERDADEIRAS. 2º MOTIVO : Encontrar frases contraditórias.

O que é contradição? É uma tabela verdade que apresenta APENAS VALORAÇÕES FALSAS. 3º MOTIVO: Encontrar frases contingentes.

O que é contigência? É uma tabela verdade que apresenta VALORAÇÕES FALSAS e VERDADEIRAS. 4º MOTIVO: Descobrir quais são as valorações que uma frase possui.

5º MOTIVO: Descobrir quantas valorações verdadeiras e falsas uma frase possui.

6º MOTIVO: Descobrir frases equivalentes.

Duas frases são equivalentes, quando suas tabelas verdades são exatamente iguais.

7º MOTIVO: Descobrir frases que negam.

Duas frases se negam, quando suas tabelas verdades são exatamente opostas.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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COMO ESTE TEMA CAI NAS PROVAS CESPE Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi a praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes: 1.

A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comercio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P→ (¬R  ¬Q).

2.

A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P  ¬Q.

3.

Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P→ Q é falsa.

4.

O número de valorações possíveis para (Q  ¬R) → P é inferior a 9.

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos: , , e  sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

5.

Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬P) (¬Q) também é verdadeira.

6.

Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (¬T) é falsa.

7.

Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (PR)(¬Q) é verdadeira.

Julgue o Item abaixo 8.

Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 

“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”



A expressão X + Y é positiva.



O valor de



Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.



O que é isto?

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ou falsas (F). Com relação às operações lógicas de negação (~), conjunção (), disjunção () e implicação (), julgue os itens subsecutivos.

9.

A proposição (P  Q)  (Q  P) é uma tautologia.

10.

O número de linhas da tabela-verdade da proposição (P  Q  R) é inferior a 6.

11.

Se a proposição P for falsa, então a proposição P  (Q  R) será uma proposição verdadeira.

Julgue os itens abaixo: 12.

Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição ¬(A v B)  ¬A ^ ¬B é uma tautologia.

13.

A

B

V F V F

V V F F

AB

¬A ¬B

¬(A  B)

¬ A ^ ¬B

¬(AB)  ¬A^¬B

Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição composta A  (B  A).

A V F V F

B V V F F

BA

A  (B  A) V V V F

Julgue os itens abaixo: 14.

Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras.

15.

A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (PQ)R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas.

16.

A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples.

17.

A proposição P: “Estudar é condição necessária para passar em concursos” é corretamente simbolizada na forma A  B, em que A representa “passar em concursos” e B representa “estudar”.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Considere que P, Q e R sejam proposições simples que possam ser julgadas como verdadeiras (V)

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Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

18.

Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.

19.

Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P  Q.

GABARITO 1. C

2. C

3. E

4. C

5. E

6. E

7. C

8. E

9. E

10. E 11. C 12. C 13. E 14. E 15. C

16. C 17. C 18. C 19. C

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EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS PROPRIEDADE DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 1. ―Então virando então‖ (inverte e nega) p → q ≡ ¬q → ¬p

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Sejam p e q duas proposições. A proposição p → ¬q equivale a: a.) ¬p → q b.) ¬p → ¬q c.) q → ¬p d.) ¬q → p e.) p → q 2. ―Se x = 3, então y = 7.‖. Pode-se concluir que: a.) se x  3, então y  7 b.) se y = 7, então x = 3 c.) se y  7, então x  3 d.) se x = 3, então y  7 e.) se x = 7, então y = 3 3. ―Se x > 3, então y < 7.‖. Pode-se concluir que: a.) se x < 3, então y > 7 b.) se y > 7, então x < 3 c.) se y  7, então x  3 d.) se x  3, então y  7 e.) se y = 7, então x = 3 4. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: ―Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa‖. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a.) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b.) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c.) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d.) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e.) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.

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5. (MPU) Uma sentença logicamente equivalente a: ―Se Pedro é economista, então Luíza é solteira‖ é: a.) Pedro é economista ou Luíza é solteira. b.) Pedro é economista ou Luíza não é solteira. c.) Se Luíza é solteira, Pedro é economista. d.) Se Pedro não é economista então Luíza não é solteira. e.) Se Luíza não é solteira então Pedro não é economista.

6. (ICMS) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, a.) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. b.) Rodrigo é culpado. c.) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. d.) Rodrigo mentiu. e.) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

7. (TST) A Seguradora Sossego veiculou uma propaganda cujo slogan era: ―Sempre que o cliente precisar, terá Sossego ao seu lado.‖ Considerando que o slogan seja verdadeiro, conclui-se que, necessariamente, se o cliente a.) não precisar, então não terá Sossego ao seu lado. b.) não precisar, então terá Sossego ao seu lado. c.) não tiver Sossego ao seu lado, então não precisou. d.) tiver Sossego ao seu lado, então não precisou. e.) tiver Sossego ao seu lado, então precisou.

8. (PREFEITURA/SP) De acordo com o novo projeto implantado pelo setor de informática de um banco, sempre que o sistema integrado principal cair, o sistema auxiliar estará pronto para entrar em funcionamento. Considerando que essa informação esteja correta, pode-se concluir que, necessariamente, a.) o sistema auxiliar só estará pronto para entrar em funcionamento quando o sistema integrado principal cair. b.) o sistema integrado principal cairá sempre que o sistema auxiliar estiver pronto para entrar em funcionamento. c.) se o sistema integrado principal não cair, então o sistema auxiliar não estará pronto para entrar em funcionamento. d.) se o sistema auxiliar não estiver pronto para entrar em funcionamento, então o sistema integrado principal não terá caído. e.) se o sistema auxiliar estiver pronto para entrar em funcionamento, então o sistema integrado principal terá caído.

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GABARITO 1. C

2. C

3. C

4. A

5. E

6. A

7. C

8. D

2. ―Ou virando então‖ (nega a primeira, mantém a segunda) ou ―Então virando ou‖ p  q ≡ ¬p → q

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Sejam p e q duas proposições. A proposição p  ¬q equivale a: a.) ¬p → ¬q b.) p → ¬q c.) ¬p  q d.) ¬p → q e.) p ^ ¬q 2. Sejam p e q duas proposições. A proposição ¬p → q equivale a: a.) ¬p  ¬q b.) ¬p ^ ¬q c.) p  q d.) ¬p ^ q e.) p  ¬q 3. (FT) Dizer que ―Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista‖ é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b.) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 4. Dizer que ―Ana não é alegre ou Beatriz é feliz‖ é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a.) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b.) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c.) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d.) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e.) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

GABARITO 1. A 2. C

3. A

4. C

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3. Distributiva com inversão do conectivo ¬(p ^ q) ≡ ¬p  ¬q

ou

¬(p  q) ≡ ¬p ^ ¬q

Obs: essa propriedade só pode ser aplicadas para os conectivos “e” ou “ou”.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Considere a proposição: ―Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda.‖ Qual das a firmações abaixo equivale a proposição mencionada: a.) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte. b.) Sansão não é forte ou Dalila não é linda. c.) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda. d.) Sansão não é forte ou Dalila é linda. e.) Sansão não é forte e Dalila é linda.

2. A frase ―Não é verdade que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista‖ equivale a: a.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b.) Paulo é paulista e Pedro é pedreiro c.) Pedro não é pedreiro e Paulo é paulista d.) Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista e.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista GABARITO 1. B 2. D NEGAÇÕES LÓGICAS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Sejam p e q duas proposições. A negação p ^ q equivale a: a.) ¬p  ¬q b.) ¬p ^ ¬q c.) ¬p  q d.) ¬p ^ q e.) p ^ ¬q 2. Sejam p e q duas proposições. A negação p  ¬q equivale a: a.) ¬p  ¬q b.) ¬p ^ ¬q c.) ¬p  q d.) ¬p ^ q e.) p ^ ¬q GABARITO 1. A 2. D

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QUESTÕES QUE USAM MAIS DE UMA PROPRIEDADE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Sejam p e q duas proposições. A negação p ^ q equivale a: a.) ¬p → ¬q b.) ¬q → ¬p c.) ¬p → q d.) q → ¬p e.) q → p 2. Sejam p e q duas proposições. A negação p → q equivale a: a.) ¬p  ¬q b.) ¬p ^ ¬q c.) ¬p  q d.) ¬p ^ q e.) p ^ ¬q 3. Sejam p e q duas proposições. A proposição ¬p  q equivale a: a.) ¬p ^ ¬q b.) ¬p → ¬q c.) ¬p → q d.) ¬p  ¬q e.) ¬q → ¬p 4. A negação da afirmação condicional ―Ana é feliz e Beatriz é triste‖ é: a.) Se Ana é feliz então Beatriz é triste. b.) Se Beatriz não é triste então Ana é feliz. c.) Se Ana não é feliz então Beatriz é triste. d.) Se Ana não é feliz então Beatriz não triste. e.) Se Beatriz é triste então Ana não é feliz.

5. (FT) A negação da afirmação condicional ―se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva‖ é: a.) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b.) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c.) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d.) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e.) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

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6. (FCC) Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito.

Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é a.) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. b.) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. c.) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. d.) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. e.) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência.

7. (TRF4ª) ―Se vou ao shopping, então faço compras‖.

Supondo verdadeira a afirmação anterior, e a partir dela, pode-se concluir que a.) sempre que vou ao shopping compro alguma coisa. b.) para fazer compras, preciso ir ao shopping. c.) posso ir ao shopping e não fazer compras. d.) somente vou ao shopping. e.) só posso fazer compras em um lugar específico.

8. (FUNDATEC) A sentença: ―Nego que Paula é funcionária pública e concursada‖ é equivalente pela Lei de De Morgan à sentença: a.) Paula não é funcionária pública e não é concursada. b.) Paula não é funcionária pública ou não é concursada. c.) Paula não é funcionária pública, mas é concursada. d.) Paula é funcionária pública, mas não é concursada. e.) Paula é funcionária pública ou é concursada.

9. (FUNDATEC) Dada a proposição:―Quando chove, não há aula ao ar livre.", sua contrapositiva é: a.) “Quando não chove, não há aula ao ar livre." b.) “Se há aula ao ar livre, então não chove." c.) “Não chove e nem há aula ao ar livre." d.) “Se chove, há aula ao ar livre." e.) “Quando chove, há aula em outro local."

10. (FUNDATEC) ―Se o jogador chutou a bola, então ele fez o gol.‖ Logo: a.) O jogador não chutou a bola b.) O jogador não fez o gol. c.) Se o jogador não chutou a bola, então ele não fez o gol. d.) Se o jogador não fez o gol, então ele não chutou a bola. e.) Se o jogador chutou a bola, então ele fez o gol.

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1. D

2. E

3. E

4. E

5. E

6. D

7. A

8. B

9. B

10. D

COMO ESTE TEMA CAI NAS PROVAS CESPE Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS. ―Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.‖ Julgue se cada uma dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.

1.

Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da importação do petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro no mesmo ano.

2.

Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da importação de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano a produção de 100 mil barris/dia.

Para julgar os itens de 3 a 6, considere as seguintes informações a respeito de estruturas lógicas.

3.

Considere que a proposição “O Ministério da Saúde cuida das políticas públicas de saúde do Brasil e a educação fica a cargo do Ministério da Educação” seja escrita simbolicamente na forma P ^ Q. Nesse caso, a negação da referida proposição é simbolizada corretamente na forma ¬P ^ ¬Q, ou seja: “O Ministério da Saúde não cuida das políticas públicas de saúde do Brasil nem a educação fica a cargo do Ministério da Educação”.

4.

A negação da proposição “estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” é equivalente a “estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos”.

5.

A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” é equivalente a “se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos, então é um rascunho”.

6.

As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.

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GABARITO

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Um entrevistador obteve de um suspeito a seguinte declaração: ―Ora, se eu fosse um espião, então eu não amaria o meu país, pois eu amo o meu país, ou sou um traidor da pátria, já que não é possível acontecer as duas coisas ao mesmo tempo. Agora, se eu não fosse um traidor da pátria, então eu amaria o meu país. Logo, eu não sou um espião e amo o meu país.‖ Considerando a lógica sentencial apresentada, julgue os itens subsequentes.

7.

A negação da conclusão do argumento utilizado pelo suspeito é equivalente à seguinte proposição: “eu sou um espião ou não amo o meu país”.

Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

8.

A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.

— Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!

— Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário.

9.

A negação da declaração de Mário pode ser corretamente expressa pela seguinte proposição: “Aquele que não trabalha com o que não gosta não está sempre de férias”.

10.

A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.

11.

A proposição “Enquanto trabalhar com o que gosta, o indivíduo estará de férias” é uma forma equivalente à declaração de Mário.

12.

“Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.

13.

Se as proposições “João trabalha com o que gosta” e “João não está sempre de férias” forem verdadeiras, então a declaração de Mário, quando aplicada a João, será falsa.

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passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) — Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir.

14.

A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.

15.

Se a proposição “Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio” for falsa, então, independentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa P2 será verdadeira.

16.

A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”.

Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, ―É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração‖. Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira, julgue os itens seguintes.

17.

A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração”.

18.

A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

19.

A proposição P é equivalente a “Se não apareceram interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável a realização de nova licitação”.

20.

Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”.

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Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a

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Acerca da proposição R: ―A população aprende a votar ou haverá novos atos de corrupção‖, julgue os itens seguintes.

21.

A proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos de corrupção” tem o mesmo valor lógico da proposição R.

22.

Se P e Q forem, respectivamente, as proposições “A população aprende a votar” e “Haverá novos atos de corrupção”, então a proposição R estará corretamente assim simbolizada: P  Q.

O HOMEM E O AQUECIMENTO GLOBAL P1: O planeta já sofreu, ao longo de sua existência de aproximadamente 4,5 bilhões de anos, processos de resfriamentos e aquecimentos extremos (ou seja, houve alternância de climas quentes e frios) e a presença humana no planeta é recente, cerca de 2 milhões de anos.

P2: Se houve alternância de climas quentes e frios, este é um fenômeno corrente na história do planeta.

P3: Se a alternância de climas é um fenômeno corrente na história do planeta, o atual aquecimento global é apenas mais um ciclo do fenômeno.

P4: Se o atual aquecimento global é apenas mais um ciclo do fenômeno, como a presença humana no planeta é recente, então a presença humana no planeta não é causadora do atual aquecimento global.

C: Logo, a presença humana no planeta não é causadora do atual aquecimento global.

Considerando o argumento acima, em que as proposições de P1 a P4 são as premissas e C é a conclusão, julgue os itens seguintes.

23.

A negação da proposição “Houve alternância de climas quentes e frios e a presença humana no planeta é recente” pode ser expressa por “Não houve alternância de climas quentes e frios ou a presença humana no planeta não é recente”.

24.

A proposição P4 é logicamente equivalente a “Como o atual aquecimento global é apenas mais um ciclo do fenômeno e a presença humana no planeta é recente, a presença humana no planeta não é causadora do atual aquecimento global”.

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vagas no cargo de escrivão de polícia federal, cada candidato será submetido, durante todo o período de realização do concurso, a uma investigação social que visa avaliar o procedimento irrepreensível e a idoneidade moral inatacável dos candidatos. O item 19.1 do edital prevê que a nomeação do candidato ao cargo fica condicionada à não eliminação na investigação social e ao atendimento a outros requisitos.

Com base nessas informações, e considerando que Pedro Henrique seja um dos candidatos, julgue os itens seguintes.

25.

A negação da proposição “Se Pedro Henrique não foi eliminado na investigação social, então ele será nomeado para o cargo” estará corretamente enunciada da seguinte forma: “Se Pedro Henrique foi eliminado na investigação social, então ele não será nomeado para o cargo”.

26.

A negação da proposição “Pedro Henrique não será eliminado na investigação social e ele atende aos outros requisitos” estará corretamente redigida da seguinte forma: “Pedro Henrique será eliminado na investigação social e ele não atende a algum dos outros requisitos”.

27.

As proposições “A nomeação de Pedro Henrique para o cargo fica condicionada à não eliminação na investigação social” e “Ou Pedro Henrique é eliminado na investigação social ou é nomeado para o cargo” são logicamente equivalentes.

28.

Considere que sejam verdadeiras as proposições “Pedro Henrique não foi eliminado na investigação social” e “Pedro Henrique será nomeado para o cargo”. Nesse caso, será também verdadeira a proposição “Se Pedro Henrique foi eliminado na investigação social, então ele não será nomeado para o cargo”.

GABARITO 1. E

2. E

3. E

4. C

5. C

6. E

7. C

8. E

9. E

10. C 11. C 12. E 13. C 14. C 15. C

16. C 17. E 18. C 19. C 20. E 21. C 22. E 23. C 24. C 25. E 26. E 27. E 28. C

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Nos termos do Edital n.º 9/2012 – DGP/DPF, de 10/6/2012, do concurso público para provimento de

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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO (CESPE) Objetivo principal deste tópico é analisar se um argumento é válido ou inválido. Para isso temos que conhecer: O que é um argumento?

Argumento é um conjunto de premissas (frases que são sempre verdadeiras) que geram uma conclusão que poderá ser verdadeira ou falsa.

Quando esta conclusão FOR VERDADEIRA, chamamos o argumento de argumento válido.

Quando esta conclusão NÃO FOR VERDADEIRA, chamamos o argumento de argumento inválido.

Temos dois casos para analisar: 1º Caso: Argumento Válido.

Neste caso temos um conjunto de premissas que geram uma conclusão verdadeira.

Contudo, para resolver as questões CESPE, iremos utilizar uma técnica diferente da teoria apresentada.

Um argumento será considerado válido sempre que UMA CONCLUSÃO FALSA NÃO GERAR PREMISSAS.

Vejamos dois exemplos: EXEMPLO 1:

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

EXEMPLO 2:

É correto afirmar que, simbolizada adequadamente, a argumentação abaixo é válida.  Se Pedro é economista, então Márcio é professor.  Se Márcio é professor, então Carlos é médico.  Ana é arquiteta se Pedro não é economista.  Ana é arquiteta se Carlos não é médico.

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Neste caso temos um conjunto de premissas que geram uma conclusão que pode ser ou falsa ou ambígua (conclusão que ao mesmo tempo pode ser verdadeira ou falsa)

Contudo, para resolver as questões CESPE, iremos utilizar uma técnica diferente da teoria apresentada.

Um argumento será considerado inválido sempre que UMA CONCLUSÃO FALSA GERAR PREMISSAS.

Vejamos dois exemplos: EXEMPLO 1:

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.

EXEMPLO 2:

É correto afirmar que, simbolizada adequadamente, a argumentação abaixo é válida.  Se Pedro é economista, então Márcio é professor.  Se Márcio é professor, então Carlos é médico.  Se Pedro não é economista então Ana é arquiteta.  Se Carlos é médico então Ana é arquiteta.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

2º Caso: Argumento Inválido.

RACIOCÍNIO LÓGICO

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - PROVAS CESPE O HOMEM E O AQUECIMENTO GLOBAL P1:

O planeta já sofreu, ao longo de sua existência de aproximadamente 4,5 bilhões de anos, processos de resfriamentos e aquecimentos extremos (ou seja, houve alternância de climas quentes e frios) e a presença humana no planeta é recente, cerca de 2 milhões de anos.

P2:

Se houve alternância de climas quentes e frios, este é um fenômeno corrente na história do planeta.

P3:

Se a alternância de climas é um fenômeno corrente na história do planeta, o atual aquecimento global é apenas mais um ciclo do fenômeno.

P4:

Se o atual aquecimento global é apenas mais um ciclo do fenômeno, como a presença humana no planeta é recente, então a presença humana no planeta não é causadora do atual aquecimento global.

C:

Logo, a presença humana no planeta não é causadora do atual aquecimento global.

Considerando o argumento acima, em que as proposições de P1 a P4 são as premissas e C é a conclusão, julgue os itens seguintes.

1.

Se o argumento apresentado é um argumento válido, a sua conclusão é uma proposição verdadeira.

2.

Se o argumento apresentado não é um argumento válido, suas premissas são proposições falsas.

Considere que um argumento seja formado pelas seguintes proposições: P1:

A sociedade é um coletivo de pessoas cujo discernimento entre o bem e o mal depende de suas crenças, convicções e tradições.

P2:

As pessoas têm o direito ao livre pensar e à liberdade de expressão.

P3:

A sociedade tem paz quando a tolerância é a regra precípua do convívio entre os diversos grupos que a compõem.

P4:

Novas leis, com penas mais rígidas, devem ser incluídas no Código Penal, e deve ser estimulada uma atuação repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de intolerância.

Com base nessas proposições, julgue os itens subsecutivos.

3.

O argumento em que as proposições de P1 a P3 são as premissas e P4 é a conclusão é um argumento lógico válido.

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4.

A seqüência de proposições Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto dos números irracionais é infinito.

O conjunto dos números irracionais é infinito.

Existem tantos números racionais quanto números irracionais É uma argumentação da forma PQ Q P

5.

A Argumentação Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

Lógica não é fácil.

Sócrates não foi mico de circo É valida e tem a forma PQ ¬P ¬Q

6.

A sequência de proposições abaixo não é uma argumentação válida.

Se Flávio é músico ou Sandro é professor, então Sérgio é economista.

Sandro não é professor.

Se Sérgio é economista, então Sandro é professor.

Flávio não é músico.

7.

Considere que em uma argumentação uma premissa seja “Se Ana é alegre então Kátia é feliz”. Se a conclusão da argumentação for “Se Kátia é feliz, então Pedro é professor”, é correto afirmar que a proposição “Se Ana é alegre, então Pedro é professor” tem de ser outra premissa dessa argumentação.

8.

A sequência de proposições abaixo não é uma argumentação válida.

Se Filomena levou a escultura ou Silva mentiu, então um crime foi cometido.

Silva não estava em casa.

Se um crime foi cometido, então Silva estava em casa.

Filomena não levou a escultura.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Julgue os itens a seguir.

RACIOCÍNIO LÓGICO 9.

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Considere as proposições A, B e C a seguir.

A:

Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso

público.

B:

Jane foi aprovada em concurso público.

C:

Jane é policial federal ou procuradora de justiça.

Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

10.

A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.

Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.

11.

Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras.

Se Fred é policial, então ele tem porte de arma.

Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro.

Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais.

Fred não tem porte de arma.

Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.

Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência.

Pedro, um jovem empregado de uma empresa, ao receber a proposta de novo emprego, fez diversas reflexões que estão traduzidas nas proposições abaixo.

P1:

Se eu aceitar o novo emprego, ganharei menos, mas ficarei menos tempo no trânsito.

P2:

Se eu ganhar menos, consumirei menos.

P3:

Se eu consumir menos, não serei feliz.

P4:

Se eu ficar menos tempo no trânsito, ficarei menos estressado.

P5:

Se eu ficar menos estressado, serei feliz.

A partir dessas proposições, julgue os itens a seguir.

12.

Considerando que as proposições P1, P2, P3, P4 e P5 sejam todas verdadeiras, é correto concluir que Pedro não aceitará o novo emprego.

13.

É válido o argumento em que as proposições P1, P2, P3, P4 e P5 são as premissas e a proposição “Se aceitar o novo emprego, serei feliz e não serei feliz” é a conclusão.

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seguintes afirmações: P1:

Se for bom e rápido, não será barato.

P2:

Se for bom e barato, não será rápido.

P3:

Se for rápido e barato, não será bom.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

14.

Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento válido.

Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.

I.

Se o dólar subir, as exportações aumentarão ou as importações diminuirão.

II.

Se as exportações aumentarem e as importações diminuírem, a inflação aumentará.

III.

Se o BACEN aumentar a taxa de juros, a inflação diminuirá.

Com base apenas nessas proposições, julgue os itens a seguir.

15.

Se o BACEN aumentar a taxa de juros, então as exportações não aumentarão ou as importações não diminuirão.

Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

16.

Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida.

GABARITO 1. C

2. E

3. E

4. C

5. E

6. E

7. E

8. E

9. E

10. C 11. C 12. C 13. C 14. C 15. C

16. E

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as

RACIOCÍNIO LÓGICO

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PROBABILIDADE PARTE BÁSICA

Probabilidade =

o que o enunciado deseja (quantidade) tudo que pode acontecer no sorteio (quantidade)

Eventos excludentes: só somar Regra do ou (soma) Eventos não excludentes: além de somar, temos que subtrair o(s) elemento(s) comum(ns)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: REGRA DO ―OU‖ E PARTE BÁSICA

1. Há 50 bolas numa urna, distribuídas da seguinte maneira: 20 azuis, 15 vermelhas, 10 laranjas e 5 verdes. Misturam-se as bolas e escolhe-se uma.

Determine a probabilidade de a bola escolhida ser: a.) verde b.) azul c.) azul ou verde d.) não vermelha e.) amarela f.) não amarela

2. Joga-se uma vez: um dado equilibrado, determine a probabilidade de obter: a.) um seis b.) um número par c.) um número menor que quatro d.) um número primo e.) um número primo ou um número par. f.) um número primo ou um número maior ou igual a 3

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múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é: a.) 15% b.) 5% c.) 10% d.) 30% e.) 2% 4. Em determinada pesquisa, realizada em todo o território nacional, foram entrevistadas 8000 pessoas com idade entre 25 e 30 anos. Apurou-se que 3270 delas possuem 3º grau completo, 4200 possuem carro, 3850 são noivos e 2500 são solteiras. Sabe-se que o número de pessoas que possuem 3º grau completo e carro é de 3130, que o número de pessoas que possuem carro e são noivos é de 3050 e que 2100 pessoas possuem 3º grau completo e são noivos. Com base nessas informações, assinale a alternativa que representa, respectivamente, as probabilidades de uma pessoa aleatória: ―ser noivo OU possuir carro" e ―ter 3º grau completo OU carro". a.) 38,15% e 40,52%. b.) 43,23% e 35,12%. c.) 50,75% e 40,24%. d.) 56,12% e 38,78%. e.) 62,50% e 54,25%.

GABARITO 1. a.) 1/10;

b.) 2/5;

c.) 1/2;

d.) 7/10;

e.) 0 ;

f.) 1

2. a.) 1/6;

b.) 1/2;

c.) 1/2;

d.) 1/2;

e.) 5/6;

f.) 5/6

3. C 4. E

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RACIOCÍNIO LÓGICO

3. Num sorteio, concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é

RACIOCÍNIO LÓGICO

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nesta ordem (não tem que permutar) com reposição sem ordem (tem que permutar) Regra do e (multiplicação) nesta ordem (não tem que permutar) sem reposição sem ordem (tem que permutar)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: REGRA DO ―E‖

1. Uma urna possui 10 bolas: 5 pretas, 3 brancas e 2 verdes. Calcule a probabilidade de sortear: a.) duas bolas pretas. b.) uma bola preta e uma branca. c.) uma bola preta, uma branca e uma verde. d.) duas bolas pretas e duas brancas. e.) três bolas pretas e uma verde.

2. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Tirando-se 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de sair as bolas 1,2,3, nesta ordem? a.) 15% b.) 5% c.) 10% d.) 30% e.) 1,67%

3. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Tirando-se 3 bolas ao acaso, qual a probabilidade de sair as bolas 1,2 e 3? a.) 15% b.) 5% c.) 10% d.) 30% e.) 1,67%

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casal deseja? a.) 31,25% b.) 25% c.) 40% d.) 37,50% e.) 50% 5. Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é: a.) 3/8 b.) 1/2 c.) 6/8 d.) 8/6 e.) 8/3 6. (BRDE) Observa-se que 10% dos projetos que chegam a uma agência de financiamento apresentam informações incorretas. Qual é a probabilidade de que, de três projetos escolhidos aleatoriamente, NENHUM deles apresente informação INCORRETA? a.) zero. b.) 0,001 c.) 0,270 d.) 0,300 e.) 0,729 7. (TCE) Segundo o controle de qualidade de uma empresa, a probabilidade do seu produto apresentar falha é de 0,10. Três pessoas compram o produto. A probabilidade de somente duas dessas pessoas terem comprado o produto com falha é: a.) 0,001. b.) 0,009. c.) 0,027. d.) 0,243. e.) 0,810.

8. Entre doze candidatos que participaram de um teste, quatro foram reprovados. Se três dos candidatos fossem selecionados, aleatoriamente, um após o outro, qual a probabilidade de que todos esses alunos tivessem sido aprovados? a.) 14/55 b.) 8/55 c.) 8/27 d.) 27/55 e.) 16/27

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RACIOCÍNIO LÓGICO

4. Um casal deseja ter 4 filhos: 3 homens e uma mulher. Qual a probabilidade de ocorrer o que o

RACIOCÍNIO LÓGICO

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9. Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, assinale a alternativa do valor mais próximo da probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários. a.) 1,25% b.) 0,45% c.) 25% d.) 7,5% e.) 12,5%

10. Em uma urna existem 10 bolas: 5 pretas, 3 brancas e 2 verdes. Sorteadas 3 bolas, qual a probabilidade de pelo menos uma bola sorteada ser preta. a.) 11/12 b.) 1/12 c.) 5/12 d.) 7/12 e.) 3/12 11. Em uma urna existem 10 bolas: 5 pretas, 3 brancas e 2 verdes. Sorteadas 3 bolas, qual a probabilidade de pelo menos uma bola sorteada ser branca. a.) 7/24 b.) 11/24 c.) 17/24 d.) 19/24 e.) 23/24

12. Em uma urna existem 10 bolas: 5 pretas, 3 brancas e 2 verdes. Sorteadas 4 bolas, qual a probabilidade de pelo menos duas bolas sorteadas serem pretas. a.) 31/42 b.) 27/211 c.) 33/256 d.) 41/252 e.) 54/121

GABARITO 1. a.) 2/9;

b.) 1/3;

2. E

4. B

3. C

5. A

c.) 1/4; 6. E

d.) 1/7; 7. C

8. A

e.) 2/21 9. B

10. A 11. C 12. A

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Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus e ouros

, espadas

, copas

. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da

dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

1.

A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13

2.

Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52.

3.

A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26.

Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

4.

A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005.

5.

As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor é superior a 80%.

Com relação a probabilidade, julgue os seguintes itens.

6.

Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos distintos: 3 referentes à compra de materiais hospitalares e 4 referentes à construção de postos de saúde, então, retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos dessa gaveta, a probabilidade de que pelo menos dois desses processos sejam referentes a compra de materiais hospitalares será superior a 0,4.

7.

Considere que a prova objetiva de um concurso tenha 5 questões de múltipla escolha, com 4 opções cada uma. Considere também que as questões sejam independentes e que um candidato responda a todas elas aleatoriamente. Nessa situação, a probabilidade de ele acertar todas as questões é inferior a 0,05%.

8.

Em um lote de 20 processos, há 3 processos cujos pareceres estão errados. Aleatoriamente, um após o outro, 3 processos foram retirados desse lote. Nesse caso, a probabilidade de que os 3 processos retirados não estejam com os pareceres errados é superior a 0,6.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

COMO ESTE TEMA CAI NAS PROVAS CESPE

RACIOCÍNIO LÓGICO 9.

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Se, em um concurso público com o total de 145 vagas, 4.140 inscritos concorrerem a 46 vagas para o cargo de técnico e 7.920 inscritos concorrerem para o cargo de analista, com provas para esses cargos em horários distintos, de forma que um indivíduo possa se inscrever para os dois cargos, então a probabilidade de que um candidato inscrito para os dois cargos obtenha uma vaga de técnico ou de analista será inferior a 0,025.

10.

Considere que a corregedoria-geral da justiça do trabalho de determinado estado tenha constatado, em 2007, que, no resíduo de processos em fase de execução nas varas do trabalho desse estado, apenas 23% tiveram solução, e que esse índice não tem diminuído. Nessa situação, caso um cidadão tivesse, em 2007, um processo em fase de execução, então a probabilidade de seu processo não ser resolvido era superior a 4/5.

Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010.

Considerando essas informações, julgue os próximos itens.

11.

A probabilidade de serem obtidas seqüências nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4.

Considere que em um escritório trabalham 11 pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm o nível médio e 2 são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.

12.

Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha todos os empregados de nível superior será inferior a 0,03.

13.

Se a equipe for formada escolhendo-se as pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de que essa equipe contenha pelo menos uma pessoa de nível fundamental será inferior a 0,55.

A diretoria da associação dos servidores de uma pequena empresa deve ser formada por 5 empregados escolhidos entre os 10 de nível médio e os 15 de nível superior. A respeito dessa restrição, julgue os itens seguintes.

14.

Se a diretoria fosse escolhida ao acaso, a probabilidade de serem escolhidos 3 empregados de nível superior seria maior que a probabilidade de serem escolhidos 2 empregados de nível médio.

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respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue os itens que se seguem.

15.

Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3.

A tabela acima mostra as quantidades de prontuários de consultas em determinado hospital, conforme a especialidade médica. Esses 1.190 prontuários, que são de pacientes diferentes, serão escolhidos aleatoriamente para arquivamento. Com base nessas informações, é correto afirmar que a probabilidade de que o primeiro prontuário selecionado para arquivamento 16.

não seja de mulher atendida na pneumologia nem de homem atendido na gastrenterologia é superior a 0,8.

17.

seja de um paciente atendido na ortopedia é superior a 0,22.

18.

seja de uma mulher é superior a 0,53.

19.

seja de um homem que não foi atendido na cardiologia é inferior a 0,32.

GABARITO 1. C

2. E

3. C

4. C

5. C

6. E

7. E

8. E

9. C

10. E 11. C 12. C 13. E 14. E 15. C

16. C 17. E 18. E 19. C

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no trabalho, 7 a

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. Arranjo: ordem importa Simples

An , p 

Com repetição

n! n  p !

An, p  n p

2. Permutação: caso particular de arranjo Simples

Com repetição

Pn, , ,... 

Pn,  n!

n! ! .  ! .  ! . ... . !

Circular Pn = (n – 1)!

3. Combinação: a ordem não importa.

C n, p 

Simples

Com repetição

n! p! . n  p !

Cr = Cn+p-1,p

PASSOS PARA IDENTIFICAR SE O EXERCÍCIO É DE ARRANJO OU COMBINAÇÃO 1º Passo:Montar um exemplo com elementos diferentes. Ë importante que nesse exemplo só tenha elementos diferentes.

2º Passo:Montar um contraexemplo com os mesmos elementos do exemplo, trocando a ordem de apenas dois de lugar. Ë importante que não use elementos diferentes daqueles que usou no exemplo.

3º Passo:Se o exemplo e o contraexemplo forem diferentes, teremos um exercício de arranjo. Se forem iguais, teremos combinação.

4º Passo:Identificando que o exercício é de arranjo, É NECESSÁRIO verificar se o exercício é de arranjo mesmo ou se é de permutação.

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1. De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito? a.) 56 b.) 20.160 c.) 336 d.) 252 e.) 250 2. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza? a.) 10 b.) 120 c.) 20 d.) 25 e.) 50 3. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos de pizza? a.) 10 b.) 15 c.) 20 d.) 25 e.) 50 4. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens? a.) 15.440 b.) 87.000 c.) 11.760 d.) 1.450 e.) 720 5. (AFC) Em uma empresa existem dez supervisores e seis gerentes. Quantas comissões de seis pessoas podem ser formadas, de maneira que participam pelo menos três gerentes em cada uma delas? a.) 60 b.) 675 c.) 2.400 d.) 3.136 e.) 3.631

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RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCÍCIOS DE COMBINAÇÃO

RACIOCÍNIO LÓGICO

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GABARITO 1. A

2. A

3. B

4. C

5. D

EXERCÍCIOS DE ARRANJO/PERMUTAÇÃO 1. Um cofre possui um disco com 10 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras, numa certa ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre? a.) 17.576 b.) 2.600 c.) 26! d.) 15.600 e.) 1.000 2. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa certa ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o cofre? a.) 17.576 b.) 2.600 c.) 26! d.) 15.600 e.) 10.000 3. (TFC) Em um campeonato de pedal participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter classificação para os três primeiros lugares? a.) 240 b.) 270 c.) 420 d.) 720 e.) 740 4. Quantos são os anagramas da palavra ORDEM ? a.) 120 b.) 72 c.) 720 d.) 24 e.) 48

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RACIOCÍNIO LÓGICO

5. Quantos são os anagramas da palavra BANANA? a.) 720 b.) 72 c.) 60 d.) 24 e.) 48 6. Quantos números distintos podemos formar permutando os algarismos do número 777.443 a.) 720 b.) 120 c.) 72 d.) 60 e.) 24 7. Quantos sócios tem um clube de ciclistas, sabendo-se que para numerá-los, foram utilizados todos os números de três algarismos que não contém 0 nem 8? a.) 56 b.) 336 c.) 40.320 d.) 512 e.) 5.125 8. 5 pessoas vão ao cinema, encontrando 5 lugares. De quantas maneiras poderão sentar-se ficando duas determinadas pessoas sempre juntas a.) 120 b.) 12 c.) 24 d.) 48 e.) 60 9. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na estante, ficando três determinados livros sempre juntos a.) 120 b.) 144 c.) 720 d.) 5.040 e.) 2.400

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RACIOCÍNIO LÓGICO

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10. Em uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião será igual a.) 120 b.) 100 c.) 720 d.) 550 e.) 1 11. Sérgio comprou 4 garrafas de vinho diferentes para colocar em sua adega. Sabe-se que em sua adega existem 7 lugares para guardar garrafas de vinho, assim sendo de quantas maneiras ele poderá guarda as 4 garrafas que comprou? a.) 100 b.) 256 c.) 840 d.) 5.040 e.) 24 12.

A figura acima representa, de forma esquemática, a divisão territorial de uma cidade. As linhas representam as pistas e os quadrados, os terrenos. No ponto O há um pronto socorro com uma ambulância para transporte de pacientes. Considere que tenha ocorrido um acidente no ponto P e que a ambulância deva se deslocar de O para P percorrendo as pistas apenas nos sentidos norte e leste. De quantas maneiras distintas a ambulância poderá chegar ao local do acidente? a.) 887 b.) 512 c.) 1.024 d.) 256 e.) 1.001

1. E

2. D

3. D

4. A

5. C

6. D

GABARITO 7. D 8. D 9. C

10. A 11. C 12. E

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Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

1.

Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

2.

Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos.

3.

O número total de códigos diferentes formandos por três letras distintas é superior a 15.000.

Para uma investigação a ser feita pela Polícia Federal, será necessária uma equipe com 5 agentes.

Para formar essa equipe, a coordenação da operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos agentes não será relevante.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

4.

Poderão ser formadas, no máximo, 19×14×13×7×5×3 equipes distintas.

5.

Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá formar é inferior a 19×17×11×7.

6.

Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de São Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no máximo, 12×11×9×8×4 equipes distintas.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

COMO ESTE TEMA CAI NAS PROVAS CESPE

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Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto.

Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.

7.

O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12×10!.

8.

O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240×990×56×30.

9.

O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72×42×20×6.

10.

O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6!×8!.

Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

11.

Número de possíveis grupos contendo 1 processo de professor, 1 de bancário e 1 de médico é inferior a 55.

Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.

12.

O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.

13.

O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.

14.

O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras e de algarismos é superior a 470.000.

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estão mostrados na tabela abaixo.

Fundo BB Curto Prazo mil BB Referenciado DI mil BB Referenciado DI LP mil BB Referenciado DI 10 mil BB Referenciado DI LP 50mil BB Renda Fixa mil BB Renda Fixa LP Índice de Preço 20 mil BB Renda Fixa Bônus Longo Prazo BB Renda Fixa 25 mil BB Renda Fixa mil LP Premium 50 mil BB Multimercado Moderado LP 10 mil

Classificação de risco muito baixo muito baixo baixo muito baixo baixo baixo alto baixo baixo médio muito alto

Taxa de administração 3,00% 3,00% 3,00% 2,50% 1,00% 3,00% 1,50% 2,00% 2,00% 1,00% 1,50%

Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue os itens seguintes.

15.

Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro seja de 3%, a taxa do segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então ele tem mais de 15 formas diferentes de compor suas opções de investimento.

16.

O número máximo de escolhas que um investidor possui para fazer um investimento de risco baixo ou de risco muito baixo é igual a 15.

O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

17.

Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.

18.

Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

19.

Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.

20.

Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de investimento. Alguns deles

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Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010.

Considerando essas informações, julgue os próximos itens.

21.

O número de sequências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512.

A diretoria da associação dos servidores de uma pequena empresa deve ser formada por 5 empregados escolhidos entre os 10 de nível médio e os 15 de nível superior. A respeito dessa restrição, julgue os itens seguintes.

22.

Há mais de 20 mil maneiras para se formar uma diretoria que tenha 2 empregados de nível médio e 3 empregados de nível superior.

Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

23.

Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um.

Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

24.

Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião.

Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.

25.

Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro, que poderá ser em uma das 6 modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem aplicações iniciais de pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número de opções de investimento desse correntista é inferior a 12.

26.

É igual a 5! o número de seqüências de caracteres distintos com 5 letras que podem ser formadas com as letras da palavra Internet.

27.

Se os números das matrículas dos empregados de uma fábrica têm 4 dígitos e o primeiro dígito não é zero e se todos os números de matrícula são números ímpares, então há, no máximo, 450 números de matrícula diferentes.

28.

Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificação dos veículos têm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9. Então, seguindo-se essa mesma lei de formação, mas utilizandose apenas as letras da palavra BRASIL, é possível construir mais de 600.000 placas diferentes que não possuam letras nem algarismos repetidos.

29.

Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para cinema, outro com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele terá mais de 100 maneiras diferentes para fazê-lo.

30.

Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando cada um deles com um ingresso para teatro, ele terá mais de 24 maneiras diferentes para fazê-lo.

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cadastrar uma senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9.

31.

Se o correntista decidir que todos os algarismos de sua senha serão diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para essa senha é igual a 8!.

32.

Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 modalidades diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.

33.

Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105.

Sabe-se que em uma empresa existem 3 empregados que possuem nível superior, 6 que têm o nível médio e 2 que são de nível fundamental. Será formada, com esses empregados, uma equipe de 4 elementos para realizar um trabalho de pesquisa.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes, acerca dessa equipe.

34.

Se essa equipe for formada somente com empregados de nível médio e fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 60 maneiras distintas.

35.

Se essa equipe incluir todos os empregados de nível fundamental, então essa equipe poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas.

36.

Formando-se a equipe com dois empregados de nível médio e dois de nível superior, então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 40 maneiras distintas.

GABARITO 1. E

2. E

3. C

4. E

5. E

6. C

7. C

8. C

9. E

10. C 11. E 12. C 13. E 14. E 15. C

16. E 17. E 18. C 19. C 20. E 21. E 22. C 23. E 24. C 25. C 26. C 27. E 28. E 29. C 30. E 31. E 32. E 33. C 34. C 35. E 36. E

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve