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Instituto Mixto Tecnológico Central “Ciudad de los escudos”. Grado: 4º. Bachillerato en electrónica | Sección [E] Curso: Matemática. | Segundo Bimestre. | Clase Virtual #2
Expresiones Algebraicas: A veces usamos la notación y terminología de conjuntos para describir relaciones matemáticas. Un conjunto es una colección de objetos de algún tipo y los objetos se denominan elementos del conjunto. Es frecuente que se usen las letras mayúsculas R, S, T, . . . para denotar conjuntos y las letras minúsculas a, b, x, y, . . . representan elementos de conjuntos. En todo este libro, R denota el conjunto de números reales y Z denota el conjunto de enteros. Dos conjuntos S y T son iguales, denotados por S = T, si S y T contienen exactamente los mismos elementos. Escribimos S ≠ T si S y T no son iguales. En la tabla siguiente se indican notación y terminología adicionales.
Por lo general usamos letras cercanas al final del alfabeto, como x, y, y z, para variables y letras cercanas al principio del alfabeto, como a, b, y c para constantes. En todo este texto, a menos que se especifique otra cosa, las variables representan números reales. Si empezamos con cualquier colección de variables y números reales, entonces una expresión algebraica es el resultado obtenido al aplicar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencia o tomar raíces de esta colección. Si números específicos se sustituyen por las variables en una expresión algebraica, el número resultante se denomina valor de la expresión para estos números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos los números reales que pueden representar las variables. Entonces, a menos que se especifique otra cosa, suponemos que el dominio está formado por los números reales que, cuando se sustituyan por las variables, no hacen que la expresión carezca de sentido cuando los denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces siempre existen. En la siguiente tabla se dan dos expresiones.
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Si x es variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, donde a es un número real y n es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. Un polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x. Otra forma de expresar esto es como sigue.
Cada expresión akxk de la suma es un término del polinomio. Si un coeficiente ak es cero, por lo general borramos el término akxk. El coeficiente ak de la máxima potencia de x se denomina coeficiente principal del polinomio. La tabla siguiente contiene ilustraciones específicas de polinomios.
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Por definición, dos polinomios son iguales si y sólo si tienen el mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes de x son iguales. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero, recibe el nombre de polinomio cero y se denota por 0 pero, por convención, el grado del polinomio cero no es cero, sino que es indefinido. Si c es un número real diferente de cero, entonces c es un polinomio de grado 0. Tales polinomios (junto con el polinomio cero) son polinomios constantes.
Si un coeficiente de un polinomio es negativo, por lo general usamos un signo menos entre términos apropiados. Para ilustrar,
Como los polinomios representan números reales, podemos usar las propiedades descritas anteriormente. En particular, si se realizan adiciones, sustracciones y multiplicaciones con polinomios, podemos simplificar los resultados usando propiedades de números reales, como se demuestra en los siguientes:
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