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Instituto Mixto Tecnológico Central “Ciudad de los escudos”. Grado: 5º. Perito Contador | Curso: Calculo Mercantil Segundo Bimestre. | Clase Virtual #8 Medidas de ángulos: Para medir longitudes se usa una unidad de medida que es el metro, para medir masas se usa el gramo; así también para medir los ángulos se usa una unidad de medida. Hay diferentes sistemas para medir los ángulos llamados medidas angulares. Dentro de las medidas angulares las más importantes son los Grados Sexagesimales y los Radianes. a) Sistema Sexagesimal de medida de ángulos: En este sistema se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Un ángulo de un grado es aquel que tienen el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas (2 de las 360 en que se ha dividido la circunferencia). Para medir los ángulos se utiliza un instrumento llamado transportador. Consiste en un semicírculo (media circunferencia) dividido en 180 grados. A la primera división le corresponde cero grados y a la ultima 180 grados. Los grados se miden en sentido contrario a las agujas del reloj. A continuación, se da la figura de un transportador.
Como exponente, de manera que 25° se lee “25 grados”. Para minutos se una línea, de manera que 18’ se lee “28 minutos”. Para segundos se usan dos líneas, de manera que 30” se lee “30 segundos”. 15° 17’ 8” = “15 grados, 17 minutos y 8 segundos”.
b) Sistema Angular de medida de ángulos: En el sistema sexagesimal establecimiento que la unidad de medida es el grado sexagesimal. Por lo tanto, un giro completo es igual a 360°, un ángulo llano vale 180° y el ángulo recto 90°.
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Instituto Mixto TecnolĂłgico Central “Ciudad de los escudosâ€?. Grado: 5Âş. Perito Contador | Curso: Calculo Mercantil Segundo Bimestre. | Clase Virtual #8 En el sistema angular la unidad de medida de ĂĄngulos es el RadiĂĄn. Antes de definir el radiĂĄn consideremos los siguientes componentes: • • •
â€œÎąâ€? es el ĂĄngulo, “sâ€? es el arco y “râ€? es el radio.
Una forma de medir el ĂĄngulo â€œÎąâ€? es comprar (por medio de una divisiĂłn) la longitud del arco “sâ€? con la longitud del radio “râ€?. đ?œś=
đ?‘ đ?‘&#x;
Por ejemplo, si el arco “sâ€? dime 6 cm y el radio mide 2 cm, el ĂĄngulo es igual a: đ?œś=
6 đ?‘?đ?‘š =3 2 đ?‘?đ?‘š
Al dividir cm entre cm, se reducen a la unidad y queda Ăşnicamente 3 sin dimensiĂłn. A esta relaciĂłn entre la longitud del arco y la longitud de radio se le llama radiĂĄn, en el caso anterior el ĂĄngulo mide: đ?œś = 3 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘
RadiĂĄn: Es el ĂĄngulo formado por un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la longitud del radio de la misma. Por geometrĂa elemental sabemos que la longitud de la circunferencia es igual a 2 Ď€ r, por lo tanto, en una circunferencia el arco vale 2Ď€r (toda la circunferencia es el arco).
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Instituto Mixto TecnolĂłgico Central “Ciudad de los escudosâ€?. Grado: 5Âş. Perito Contador | Curso: Calculo Mercantil Segundo Bimestre. | Clase Virtual #8 En el sistema sexagesimal una circunferencia equivale a 360°, por lo tanto: 2Ď€ radianes = 360 grados sexagesimales. Si una circunferencia mide 2Ď€, media circunferencia mide Ď€ y un cuarto de circunferencia mide Ď€ / 2.
Ahora bien, el ĂĄngulo subtendido por una circunferencia es igual a: đ?’” = 2đ?œ‹đ?‘&#x; đ?œś=
đ?‘ 2đ?œ‹đ?‘&#x; = = 2đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘&#x; đ?‘&#x;
De acuerdo a lo anterior el ĂĄngulo subtendido por una circunferencia, medido en radianes en igual a 2Ď€ radianes.
Ă ngulo 1 circunferencia 1/2 circunferencia 1/4 circunferencia 3/4 circunferencia
Sistema Sexagesimal 360° 180° 90° 270°
Sistema Angular 2π radianes π radianes π/2 radianes 3π/2 radianes
c) Reglas de conversiĂłn entre los dos sistemas: De acuerdo a lo anterior: đ?&#x;? đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’…đ?’? đ?’”đ?’†đ?’™đ?’‚đ?’ˆđ?’†đ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚đ?’? =
đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ 180°
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Instituto Mixto TecnolĂłgico Central “Ciudad de los escudosâ€?. Grado: 5Âş. Perito Contador | Curso: Calculo Mercantil Segundo Bimestre. | Clase Virtual #8
đ?&#x;? đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’ŠĂĄđ?’? =
180° đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘”đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?œ‹
Por lo tango dado un ångulo en grados sexagesimales, para obtenerlos expresado en radianes se multiplica su medida por π /180°
Ejemplos: ¿A cuåntos radianes equivalen 76 grados sexagesimales? Solución: aplicando la regla, multiplicamos 76° por π /180°
đ?&#x;•đ?&#x;”° =
đ?œ‹ 3.1416 ∗ 76 = ∗ 76 = 0.01745 ∗ 76 180° 180°
đ?&#x;•đ?&#x;”° = 1.326 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘
ÂżExpresar en grados sexagesimales un ĂĄngulo de 2.5 radianes? đ?&#x;?. đ?&#x;“ đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’?đ?’†đ?’” =
180° ∗ 2.5 = 57.29578 ∗ 2.5 = 143.24° đ?œ‹
La respuesta es 143.24 grados, pero el 0.24 son 24 fracciones de grado, que al multiplicarlas por 60 obtenemos los minutos: đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;’ ∗ đ?&#x;”đ?&#x;Ž = 14.4 đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ El 0.4 son fracciones de minuto que al multiplicarlos por 60 obtenemos los segundos. đ?&#x;Ž. đ?&#x;’ ∗ đ?&#x;”đ?&#x;Ž = 24 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ Por lo tanto 2.5 radianes = 143° 14’ 24â€?
Tarea: realice los siguientes ejercicios de acuerdo a lo visto en clase. 1. ÂżCuĂĄntos radianes son 123 grados sexagesimal? 2. ÂżA cuĂĄntos grados sexagesimales equivalen 3.2 radianes?
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