PROBLEMAS DE CINEMATICA PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO RECTILÍNEO PARTE 1 Resolver: 1) Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? Ver respuesta 2) Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? Ver respuesta 3) ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²? Ver respuesta 4) Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s² constante. Calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s? Ver respuesta 5) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular: a) ¿Cuánto vale la aceleración? b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s? c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s? Ver respuesta 6) Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h? Ver respuesta
7) Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 51840 km/h², calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá los 10 s? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida? c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo. Ver respuesta 8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30 m/s², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos? b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida? Ver respuesta
Desarrollo: 1) Datos: v0 = 0 m/s vf = 588 m/s t = 30 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t ⇒ vf = a.t ⇒ a = vf/t a = (588 m/s)/ (30 s) ⇒ a = 19,6 m/s² b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t²/2 ⇒ x = a.t²/2 ⇒ x = (19, 6 m/s²). (30 s)²/2 x = 8820 m 2) Datos: t = 25 s x = 400 m vf = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1):
vf = v0 + a.t ⇒ 0 = v0 + a.t ⇒ a = -v0/t (3) Reemplazando (3) en (2): x = v0.t + a.t²/2 ⇒ x = v0.t + (-v0/t).t²/2 x = v0.t - v0.t/2 ⇒ x = v0.t/2 ⇒ v0 = 2.x/t v0 = (2.400 m)/(25 s) ⇒ v0 = 32 m/s b) De la ecuación (3): a = (-32 m/s)/ (25 s) ⇒ a = -1, 28 m/s² 3) Datos: v0 = 0 km/h vf = 60 km/h a = 20 km/h² Aplicando: vf = v0 + a.t ⇒ vf = a.t ⇒ t =vf/a t = (60 km/h)/ (20 km/h²) ⇒ t = 3 h 4) Datos: v0 = 0 m/s a = 20 m/s² t = 15 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = (20 m/s²). (15 s) ⇒ vf = 300 m/s b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t²/2 ⇒ x = a.t²/2 ⇒ x = (20 m/s²). (15 s)²/2 ⇒ x = 2250 m 5) Datos: v0 = 0 km/h = 0 m/s vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s t=5s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2
a) De la ecuación (1): vf = a.t ⇒ t =vf/a a = (25 m/s)/ (5 s) ⇒ a = 5 m/s² b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t²/2 ⇒ x = a.t²/2 ⇒ x = (5 m/s²). (5 s)²/2 ⇒ x = 62,5 m c) para t = 11 s aplicamos la ecuación (1): vf = (5 m/s²). (11 s) ⇒ vf = 55 m/s 6) Datos: v0 = 0 m/s t = 10 s x = 20 m vf2 = 40 km/h = (40 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 11, 11 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 De la ecuación (1): vf = a.t ⇒ t =vf/a (3) Reemplazando (3) en (2): x = (vf/t).t²/2 ⇒ x = vf. t/2 ⇒ vf = 2.x/t vf = 2. (20 m)/ (10 s) ⇒ vf = 4 m/s Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1): a = (4 m/s)/ (10 s) ⇒ a = 0,4 m/s² Finalmente con la aceleración y la velocidad final dada: vf2 = v0 + a.t ⇒ vf2 = a.t ⇒ t = vf2/a t = (11, 11 m/s)/ (0, 4 m/s²) ⇒ t = 27, 77 s 7) Datos: v0 = 0 km/h = 0 m/s a = 51840 km/h² = (51840 km/h²). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s). (1 h/3600 s) = 4 m/s² t1 = 10 s t2 = 32 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 De la ecuación (1): vf = (4 m/s²). (10 s) ⇒ vf = 40 m/s
De la ecuación (2): x = (4 m/s²). (32 s)²/2 ⇒ x = 2048 m c)
8) Datos: v0 = 0 m/s a = 30 m/s² t1 = 2 min = 120 s t2 = 2 h = 7200 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (2): x = (30 m/s²). (120 s)²/2 ⇒ x = 216000 m⇒ x = 216 km b) De la ecuación (1) hallamos la velocidad a los 2 min: vf = (30 m/s²). (120 s) ⇒ vf = 3600 m/s pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de: t = t2 - t1 ⇒ t = 7200 s - 120 s ⇒ t = 7080 s x = v.t ⇒ x = (3600 m/s). (7080 s) ⇒ x = 25488000 m ⇒ x = 25488 km Resolvió: Ricardo Santiago Netto
MOVIMIENTO RECTILÍNEO PARTE 2 Resolver:
1) Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse. Calcular: a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse? b) ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos? Ver respuesta 2) Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular: a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? b) ¿Qué espacio necesito para frenar? Ver respuesta 3) Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20 m/s², necesita 100 metros para detenerse. Calcular: a) ¿Con qué velocidad toca pista? b) ¿Qué tiempo demoró en detener el avión? Ver respuesta 4) Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular: a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? b) ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado? Ver respuesta 5) La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular: a) ¿Qué aceleración experimenta la bala? b) ¿Cuánto tarda en salir del rifle? Ver respuesta 6) Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? Ver respuesta 7) Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante. Ver respuesta 8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar: a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento? b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso? Ver respuesta
Desarrollo: 1) Datos: v0 = 120 km/h = (120 km/h). (1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 33,33 m/s vf = 0 km/h = 0 m/s t = 10 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t ⇒ 0 = v0 + a.t ⇒ a = -v0/t a = (-33, 33 m/s)/ (10 s) ⇒ a = -3, 33 m/s² Con éste dato aplicamos la ecuación (2): x = (33, 33 m/s). (10 s) + (-3, 33 m/s²). (10 s)²/2 ⇒ x = 166, 83 m b) Para x2 = 30 m y con la aceleración anterior, conviene aplicar la ecuación opcional: vf² - v0² = 2.a.x ⇒ vf² = v0² + 2.a.x ⇒ vf² = (33, 33 m/s)² + 2. (-3, 33 m/s²). (30 m) vf = 30, 18 m/s ⇒ vf = 106, 66 km/h 2) Datos: v0 = 30 km/h = (30 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 8,33 m/s vf = 0 km/h = 0 m/s t=4s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2
a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t ⇒0 = v0 + a.t ⇒ a = -v0/t a = (-8,33 m/s)/(4 s) ⇒ a = -2,08 m/s² b) Con el dato anterior aplicamos la ecuación (2): x = (8, 33 m/s).(4 s) + (-2, 08 m/s²). (4 s)²/2 ⇒ x = 16, 67 m 3) Datos: a = - 20 m/s² x = 100 m vf = 0 m/s a) Aplicando: vf² - v0² = 2.a.x ⇒ 0 - v0² = 2.a.x ⇒ v0² = - 2. (-20 m/s²).(100 m) vf = 63, 25 m/s b) Aplicando: vf = v0 + a.t ⇒ 0 = v0 + a.t ⇒ t = -v0/a t = - (63,25 m/s)/ (- 20 m/s²) ⇒ t = 3, 16 s 4) Datos: v0 = 100 km/h = (100 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 27, 78 m/s vf = 50 km/h = (50 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 13, 89 m/s x = 1.500 m a) Aplicando:
a = -0,193 m/s² b) Aplicando: vf = v0 + a.t ⇒ t = (vf - v0)/a t = (27, 78 m/s - 13, 89 m/s)/ (- 0, 193 m/s²) ⇒ t = 72 s 5) Datos: v0 = 0 m/s vf = 1400 m/s x = 1, 4 m a) Aplicando:
a = 700000 m/s² b) Aplicando: vf = v0 + a.t ⇒ t = vf /a t = (1400 m/s)/ (700000 m/s²) ⇒ t = 0,002 s 6) Datos: t = 25 s x = 400 m vf = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t ⇒ 0 = v0 + a.t ⇒ a = -v0/t (3) Reemplazando (3) en (2): x = v0.t + a.t²/2 x = v0.t + (-v0/t).t²/2 x = v0.t - v0.t/2 ⇒ x = v0.t/2 ⇒ v0 = 2.x/t vf = 2. (400 m)/ (25 s) ⇒ vf = 32 m/s b) Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1): a = (-32 m/s)/ (25 s) ⇒ a = -1, 28 m/s² 7) Datos: v0 = 90 km/h = (90 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 25 m/s vf = 0, 2. 25 m/s = 5 m/s t=4s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t ⇒ a = (vf - v0)/t a = (25 m/s - 5 m/s)/ (4 s) ⇒ a = 5 m/s²
Con la aceleración y la ecuación (2): x = (25 m/s). (4 s) + (5 m/s²).(4 s)²/2 ⇒ x = 60 m 8) Datos: a = 3 m/s² t=8s v0 = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2 a) De la ecuación (1): vf = (3 m/s²). (8 s) ⇒ vf = 24 m/s b) De la ecuación (2): x = (3 m/s²). (8 s)²/2 ⇒ x = 96 m Resolvió: Ricardo Santiago Netto MOVIMIENTO RECTILÍNEO PARTE 3 Resolver: 1) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A. Hallar: a) El punto de encuentro. b) El instante del encuentro. Ver respuesta 2) Resolver el problema anterior, suponiendo que el primer móvil partió 0,1 s antes que el otro. Ver respuesta 3) Se tira una bolita A con una velocidad de 10 m/s y en el mismo momento pero, 5 m más adelante, se tira una bolita B con una velocidad de 8 m/s. a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B? b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B? Ver respuesta
4) En el semáforo de una avenida de doble mano se cruzan un colectivo con una velocidad constante de 40 km/h y un camión con una velocidad constante de 45 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que se encuentren a 30 cuadras de distancia uno del otro? Ver respuesta 5) Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30 km/h y 15 km/h. ¿Qué distancia los separará luego de 2 minutos? Ver respuesta 6) Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos A y B están separados 1000 km, calcular: a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? b) ¿A qué distancia de A lo lograrán? Ver respuesta 7) Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de 500 km, calcular: a) ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán? b) ¿A qué distancia de B? Ver respuesta 8) Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?. Ver respuesta Desarrollo: 1) Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1, 5 s Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2) El gráfico:
a) Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3) Siendo el punto "O" el punto de encuentro. Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles. t AO = t BO = t E Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan: v AB = d AO/t E ⇒ d AB/t AB = d AO/t E v BA = d BO/t E ⇒ d AB/t BA = d BO/t E Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4) t E = t BA.d BO/d AB (5) t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB ⇒ t AB.d AO = t BA.d BO De la ecuación (3): d AO = d AB - d BO t AB. (d AB - d BO) = t BA.d BO t AB.d AB - t AB.d BO = t BA.d BO t AB.d AB = t AB.d BO + t BA.d BO t AB.d AB = (t AB + t BA).d BO d BO = t AB.d AB/ (t AB + t BA) d BO = (2 s) (100 m)/ (2 s + 1,5 s) ⇒ d BO = 57, 14 m (desde el punto B) ó d AO = 42, 86 m (desde el punto A) b) Empleando la ecuación (4) ó (5): t E = (2 s). (42, 86 m)/ (100 m) ⇒ t E = 0, 86 s 2) Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1, 5 s Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2)
El tiempo empleado por el móvil "A" para recorrer los 100 m es el mismo, solamente comenzó 0,1 s antes, por lo tanto cuando el móvil "B" comienza su recorrido, el móvil "A" ya recorrió cierto espacio. De la ecuación (1): v AB = (100 m)/ (2 s) ⇒ v AB = 50 m/s La distancia inicial es: ∆d = v AB. (0, 1 s) ⇒ ∆d = (50 m/s). (0, 1 s) ⇒ ∆d = 5 m a) Para el punto de encuentro: d AB = d AO + 5 m + d BO (3) Siendo el punto "O" el punto de encuentro. Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles. t AO - 0, 1 s = t BO = t E Luego continuamos como en el ejercicio (1): Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan: v AB = d AO/t E ⇒ d AB/t AB = d AO/t E v BA = d BO/t E ⇒ d AB/t BA = d BO/t E Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4) t E = t BA.d BO/d AB (5) t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB ⇒ t AB.d AO = t BA.d BO De la ecuación (3): d AO = d AB - d BO - 5 m t AB. (d AB - d BO - 5 m) = t BA.d BO t AB.d AB - t AB.d BO - t AB. (5 m) = t BA.d BO t AB.d AB - t AB. (5 m) = t AB.d BO + t BA.d BO t AB. (d AB - 5 m) = (t AB + t BA). d BO d BO = t AB.d AB (d AB - 5 m)/ (t AB + t BA) d BO = (2 s) (100 m - 5 m)/ (2 s + 1,5 s) ⇒ d BO = 54, 29 m (desde el punto B) ó d AO = 45, 71 m (desde el punto A) b) Empleando la ecuación (4) ó (5): t E = (1,5 s). (54, 29 m)/ (100 m) ⇒ t E = 0, 81 s
3) Datos: v A = 10 m/s v B = 8 m/s d=5m Ecuaciones:
v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) v Para la distancia: d A - 5 m = d B (3) Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro: v A = d A/t E (4) v B = (d A - 5 m)/t E (5) a) Despejando d A e igualando: v A.t E = d A v B.t E + 5 m = d A v A.t E = v B.t E + 5 m v A.t E - v B.t E = 5 m (v A - v B).t E = 5 m t E = (5 m)/ (v A - v B) t E = (5 m)/ (10 m/s - 8 m/s) ⇒ t E = 2, 5 s b) De la ecuación (4): d A = (10 m/s). (2,5 s) ⇒ d A = 25 m De la ecuación (3): d B = 25 m - 5 m ⇒ d B = 20 m 4) Datos: v A = 40 km/h v B = 45 km/h d = 30 cuadras = 3 km Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) d = d A + d B ⇒ d A = d - d B (3) El tiempo empleado para alejarse es el mismo. t A = t B = t (4) Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro: v A = (d - d B)/t v B = d B/t Despejando de ambas d B e igualando: v A = (d - d B)/t ⇒ v A.t - d = d B v B = d B/t ⇒ v B.t = d B v A.t - d = v B.t
v A.t - v B.t = d (v A - v B).t = d t = d/ (v A - v B) Teniendo en cuenta que las velocidades son opuestas: t = (3 km)/ [40 km/h - (-45 km/h)] ⇒ t = 0,035294 h t = 2 min 7 s 5) Datos: v A = 30 km/h = (30 km/h). (1000 m/km)/ (3600 s/h) = 8, 33 m/s v B = 15 km/h (15 km/h). (1000 m/km)/ (3600 s/h) = 4, 17 m/s t = 2 min = 120 s Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) Despejando la distancia de (1) y (2): v A.t A = d A ⇒ d A = (8, 33 m/s). (120 s) ⇒ d A = 1000 m v B.t B = d B ⇒ d B = (4, 17 m/s).(120 s) ⇒ d B = 500 m La diferencia entre ambos es: d = d A - d B ⇒ d = 1000 m - 500 m ⇒ d = 500 m 6) Datos: v A = 500 km/h v B = 300 km/h d = 1000 km Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) Como parten en el mismo instante el tiempo de encuentro es igual para ambos: t EA = t EB = t E (3) No así con la distancia: d EA + d EB = d (4) Pero: dA = dB = d Las ecuaciones (1) y (2) quedan: v A = d EA/t E (5) v B = d EB/t E (6) De (4): d EA = d - d EB (7)
Reemplazando (7) en (5): v A = (d - d EB)/t E (5) v B = d EB/t E (6) Despejando de ambas t E: t E = (d - d EB)/v A (8) t E = d EB/v B (9) Igualando (8) y (9): (d - d EB)/v A = d EB/v B d.v B - d EB.v B = d EB.v A d.v B = d EB.v B + d EB.v A d.v B = d EB. (v B + v A) d EB = d.v B/ (v B + v A) d EB = (1000 km). (300 km/h)/ (300 km/h + 500 km/h) ⇒ d EB = 375 km (de B) Empleando la ecuación (7): d EA = 1000 km - 375 km ⇒ d EA = 625 km (respuesta b) Empleando la ecuación (9): t E = (375 km)/ (300 km/h) ⇒ t E = 1, 25 h ⇒ t E = 1 h 15 min (respuesta a) 7) Datos: v A = 80 km/h v B = 50 km/h ∆t = 3 h d AB = 500 km Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) t EA = t EB + 3 h = t E (3) d EA = d EB + 500 km = d E (4) Reemplazando: v A = d EA/t EA ⇒ v A = (d EB + 500 km)/(t EB + 3 h) a) Despejando d EB: v A.(t EB + 3 h) = d EB + 500 km ⇒ v A.t EB + v A.3 h - 500 km = d EB v B.t EB = d EB (5) Igualando: v A.t EB + v A.3 h - 500 km = v B.t EB v A.t EB - v B.t EB = -v A.3 h + 500 km (v A - v B).t EB = -v A.3 h + 500 km t EB = (-v A.3 h + 500 km)/ (v A - v B) ⇒ t EB = [-(80 km/h).3 h + 500 km]/ (80 km/h - 50 km/h)
t EB = 8, 67 h ⇒ t EB = 8 h 40 min b) De la ecuación (5): d EB = (50 km/h). (8, 67 h) ⇒ d EB = 433, 33 km 8) Datos: v A = 50 km/h v B = 80 km/h d = 300 m = 0,3 km Ecuaciones: v A = d A/t A (1) v B = d B/t B (2) El tiempo es el mismo para ambos: tA = tB = t y d = dB - dA ⇒ dB = d + dA Las ecuaciones (1) y (2) quedan: v A = d A/t v B = (d + d A)/t Despejando d A e igualando: v A.t = d A v B.t - d = d A v A.t = v B.t - d ⇒ - v A.t + v B.t = d ⇒ (v B - v A).t = d ⇒ t = d/(v B - v A) t = (0,3 km)/(80 km/h - 50 km/h) ⇒ t = 0,1 h ⇒ t = 36 s Resolvió: Ricardo Santiago Netto PARTE 4 MOVIMIENTO VERTICAL Resolver En todos los casos usar g = 10 m/s². 1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 s? b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s? c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m? d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?
e) ¿Con qué velocidad lo hará? Ver respuesta 2) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s. a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia? c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo? d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m? Ver respuesta 3) Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil? b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada? Ver respuesta 4) Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima? Ver respuesta 5) Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para producir el mismo efecto? Ver respuesta 6) Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcular: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó? Ver respuesta 7) Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo? Ver respuesta
Desarrollo: 1) Datos: v0 = 7 m/s t=3s
y = 200 m h = 14 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = (7 m/s) + (10 m/s²). (3 s) ⇒ vf = 37 m/s b) De la ecuación (2): ∆h = (7 m/s). (3 s) + (10 m/s²). (3 s)²/2 ⇒ ∆ h = 66 m c) De la ecuación (3): vf = 18,14 m/s d) De la ecuación (2): 0 = v0.t + g.t²/2 - y Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:
t1 = 5,66 s t2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION) e) De la ecuación (3): vf = 63, 63 m/s 2) Datos: v0 = 100 m/s vf = 60 m/s t=4s y1 = 300 m y2 = 600 m Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0² = 2.g.h ⇒ h máx = -vf²/ (2.g) ⇒ h máx = -(100 m/s)²/ [2.(-10 m/s²)] ⇒ h máx = 500 m b) De la ecuación (1) y para vf = 0: t = v0/g t = (-100 m/s)/ (-10 m/s²) t = 10 s c) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0). Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la altura máxima. t = 20 s e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuación (2): 0 = v0.t + g.t²/2 - y Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:
t1 = 3, 68 s t2 = 16, 32 s (NO ES SOLUCION) 3) Datos: t = 10 s y = 40 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) Los 10 s se componen de 5 s hasta alcanzar la altura máxima (vf = 0) y 5 s para regresar, de la ecuación (1): 0 = v0 + g.t ⇒ v0 = -g.t ⇒ v0 = - (-10 m/s²). (5 s) ⇒ v0 = 50 m/s
b) De la ecuación (2): y = (50 m/s). (5 s) + (1/2). (-10 m/s²).(5 s)² ⇒ y = 125 m 4) Datos: v0 = 90 km/h ⇒ v0 = 25 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h Para vf = 0 empleamos la ecuación (1): 0 = v0 + g.t ⇒ t = -v0/g ⇒ t = - (25 m/s). (-10 m/s²) ⇒ t = 2, 5 s 5) Datos: vf = 60 km/h ⇒ vf = 16, 67 m/s v0 = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h De la ecuación (3): vf²/ 2.g = h ⇒ h = (16, 67 m/s)²/ [2. (-10 m/s²)] ⇒ h = 13, 9 m 6) Datos: t=2s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) Los 2 s se componen de 1 s hasta alcanzar la altura máxima (vf = 0) y 1 s para regresar, de la ecuación (1): 0 = v0 + g.t ⇒ v0 = -g.t ⇒ v0 = - (-10 m/s²). (1 s) ⇒ v0 = 10 m/s b) De la ecuación (2): y = (10 m/s). (1 s) + (1/2). (-10 m/s²). (1 s)² ⇒ y = 5 m 7) Datos: v0 = 5 m/s t=7s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t
(2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = 5 m/s + (10 m/s²). (7 s) ⇒ vf = 75 m/s b) De la ecuación (2): y = (75 m/s). (7 s) + (1/2). (10 m/s²). (7 s)² ⇒ y = 770 m Resolvió: Ricardo Santiago Netto
PARTE 5 MOVIMIENTO VERTICAL Resolver: En todos los casos usar g = 10 m/s². 1) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s, ¿qué altura alcanzará? Ver respuesta 2) Un niño dispara una piedra con una honda, verticalmente hacia arriba, desde la planta baja de un edificio. Un amigo ubicado en el piso 7 (21 m), ve pasar la piedra con una velocidad de 3 m/s. Calcular: a) ¿A qué altura llega la piedra respecto del suelo? b) ¿Qué velocidad tendrá la piedra al segundo de haber sido lanzada? c) ¿Cuánto tardará en llegar desde el 7° piso a la altura máxima? Ver respuesta 3) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzando una velocidad de 8 m/s al llegar a un tercio de su altura máxima. a) ¿Qué altura máxima alcanzará? b) ¿Cuál es su velocidad inicial? c) ¿Cuál es la velocidad media durante el primer segundo del movimiento? Ver respuesta 4) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba de forma tal que al cabo de 4 s regresa al punto de partida. Calcular la velocidad con que fue lanzado. Ver respuesta 5) Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s, se suelta un objeto. Calcular:
a) La altura máxima alcanzada por éste. b) La posición del objeto al cabo de 5 s. c) La velocidad del objeto al cabo de 5 s. d) El tiempo que tarda en llegar al suelo. Ver respuesta 6) Un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba y pasa por un punto a 36 m, por debajo del de partida, 6 s después de haber sido arrojado. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo? b) ¿Qué altura alcanzó por encima del punto de lanzamiento? c) ¿Cuál será la velocidad al pasar por un punto situado a 25 m por debajo del de lanzamiento? Ver respuesta 7) Un cuerpo es soltado desde un globo que desciende a una velocidad constante de 12 m/s. Calcular: a) La velocidad adquirida al cabo de 10s. b) La distancia recorrida al cabo de 10 s. Ver respuesta
Desarrollo: 1) Datos: v0 = 25 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0² = 2.g.h ⇒ h máx = -vf²/ (2.g) ⇒ h máx = -(25 m/s)²/ [2.(-10 m/s²)] ⇒ h máx = 31, 25 m 2) Datos: v0 = 3 m/s h = 21 m t=1s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h
a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0² = 2.g.h ⇒ h máx = -v0²/( 2.g) ⇒ h máx = -(3 m/s)²/ [2.(-10 m/s²)] ⇒ h máx = 0, 45 m Luego la altura total es: hT = 21 m + 0,45 m ⇒ h = 21, 45 m b) Para esto calculamos primero la velocidad inicial mediante la ecuación (3): v0² = -2.g.h ⇒ v0² = -2. (-10 m/s²). (21, 45 m) ⇒ v0 = 20, 71 m/s Con éste dato y la ecuación (1): vf = 20, 71 m/s + (-10 m/s²). (1 s) ⇒ vf = 10, 71 m/s c) De la ecuación (1) y para vf = 0: t = -v0/g ⇒ t = - (3 m/s)/ (-10 m/s²) ⇒ t = 0, 3 s 3) Datos: v0 = 8 m/s h = 1/3.h máx m t=1s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0² = 2.g.h ⇒ h máx = -v0²/ (2.g) ⇒ h máx = -(8 m/s)²/ [2. (-10 m/s²)] ⇒ h máx = 3, 2 m (corresponde a 2/3 de la altura total). Luego la altura total es: hT = 3, 2 m + 3, 2 m/2 ⇒ h = 4, 8 m b) Mediante la ecuación (3): v0² = -2.g.h ⇒ v0² = -2. (-10 m/s²). (4, 8 m) ⇒ v0 = 9, 8 m/s c) Primero calculamos el tiempo total con la ecuación (1) y para vf = 0: t = -v0/g ⇒ t = -(9,8 m/s)/ (-10 m/s²) ⇒ t = 0, 98 s Con éste resultado observamos que el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima desde el suelo es inferior a 1 s, por lo tanto no podemos responder al punto (c). 4) Datos: t=4s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h
Si en 4 s regresa al punto de partida significa que demoró 2 s en alcanzar la altura máxima (vf = 0), mediante la ecuación (1): 0 = v0 + g.t ⇒ v0 = -g.t ⇒ v0 = - (-10 m/s²). (2 s) ⇒ v0 = 20 m/s 5) Datos: v0 = 8 m/s h = 175 m t=5s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3): -v0² = 2.g.h ⇒ h máx = -v0²/ (2.g) ⇒ h máx = -(8 m/s)²/ [2. (-10 m/s²)] ⇒ h máx = 3, 2 m Luego la altura total es: hT = 3, 2 m + 175 m ⇒ h = 178, 2 m b) Primero calculamos el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima con la ecuación (1) y para vf = 0: t = -v0/g ⇒ t = -(8 m/s)/ (-10 m/s²) ⇒ t = 0, 8 s Luego calculamos lo ocurrido en los 4,2 s restantes y tomamos v0 = 0 m/s, es decir comenzamos en el punto de la altura máxima, aplicamos la ecuación (2): y = g.t²/2 ⇒ y = (-10 m/s²). (4,2 s)²/2 ⇒ y = -88, 2 m (cae 88, 2 m desde la altura máxima). La posición será: y = 178, 2 m - 88, 2 m ⇒ y = 90 m c) Empleando la ecuación (1) y continuando con la modalidad del punto anterior: vf = g.t ⇒ vf = (-10 m/s²). (4,2 s) ⇒ vf = - 42 m/s d) Empleando la ecuación (2) y continuando con la modalidad del punto (b): y = g.t²/2 ⇒ t² = 2.y/g ⇒ t² = 2. (178, 2 m)/ (10 m/s²) ⇒ t = 5, 97 s El tiempo total es: tT = 5, 97 s + 0, 8 s ⇒ tT = 6, 77 s 6) Datos: h = 36 m t=6s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h
a) Teniendo en cuenta que la velocidad al pasar por el punto de partida es igual que la velocidad inicial con sentido contrario. Adaptando la ecuación (1) para lo ocurrido entre el lanzamiento y el retorno al punto de partida. El tiempo de 6 s se compone del tiempo que demoro en alcanzar la altura máxima, mas el tiempo que demoro en regresar al punto de partida, mas el tiempo que empleo en caer 36 m bajo el punto de partida, planteando las ecuaciones (1) y (2) para cada etapa: Subida: (1) 0 = v01 + g.t1 (2) y1 = v01.t1 + g.t1²/2 Regreso: (1) vf2 = g.t2 (2) y2 = g.t2²/2 Bajando 36 m: (1) vf3 = v03 + g.t3 (2) y3 = v03.t3 + g.t3²/2 Luego: t1 + t2 + t3 = 6s y que: t1 = t2 por lo que: 2. t1 + t3 = 6s También sabemos que: v03 = vf2 = -v01 Reemplazando en la ecuación (2) de "bajando 36 m": y3 = -v01.t3 + g.t3²/2 Continuando:
t3 = 1,2 s t1 = (6 s - 1,2 s)/2 ⇒ t1 = 2,4 s t2 = 2,4 s Con la ecuación (1) de "Subida": v01 = -g.t1 ⇒ v01 = -(-10 m/s²). (2, 4 s) ⇒ v01 = 24 m/s b) Con la ecuación (2) de "Subida": y1 = (24 m/s). (2,4 s) + (-10 m/s²). (2, 4 s)²/2 ⇒ y1 = 28 ,8 m
c) Con la ecuación (3): vf² = (24 m/s)² + 2.(10 m/s²). (25 m) ⇒ vf = 32,8 m/s (hacia abajo) 7) Datos: v0 = 12 m/s t = 10 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = 12 m/s + (10 m/s²). (10 s) ⇒ vf = 112 m/s b) De la ecuación (2): y = (12 m/s). (10 s) + (10 m/s²). (10 s)²/2 ⇒ y = 620 m Resolvió: Ricardo Santiago Netto
PARTE 6 MOVIMIENTO VERTICAL Resolver: En todos los casos usar g = 10 m/s². 1) Se lanza una pelota desde lo alto de un faro de 80 m de altura, con una velocidad inicial de 4 m/s hacia abajo. a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega? c) ¿A qué altura está luego de 2 s de haberla arrojado? Ver respuesta 2) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250 m/s, determinar: a) ¿Cuál es la velocidad a los 4 s? b) ¿Qué altura alcanzó en esos 4 s? c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la altura máxima? Ver respuesta 3) Determinar la velocidad inicial de un cuerpo lanzado hacia arriba y que alcanza una altura máxima de 48 m.
Ver respuesta 4) Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 m/s, si la piedra tarda 2,5 s en llegar al agua, determinar: a) ¿Con qué velocidad llega al agua? b) ¿Cuál es la altura del puente? Ver respuesta Desarrollo: 1) Datos: v0 = 4 m/s h = 80 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (2): 0 = v0.t + g.t²/2 - y Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:
t1 = 3,62 s t2 = --4,42 s (NO ES SOLUCION) b) De la ecuación (1): vf = 4 m/s + (10 m/s²). (3, 62 s) ⇒ vf = 40, 20 m/s c) Empleando la ecuación (2): y = (4 m/s). (2 s) + (10 m/s²). (2 s)²/2 ⇒ y = 28 m (descendió) La altura es: h = 80 m - 28 m ⇒ h = 52 m 2) Datos: v0 = 250 m/s t=4s Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = 250 m/s + (-10 m/s²).(4 s) ⇒ vf = 210 m/s b) Empleando la ecuación (2): y = (250 m/s). (4 s) + (-10 m/s²). (4 s)²/2 ⇒ y = 920 m c) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (1): t = -v0/g ⇒ t = - (250 m/s)/ (-10 m/s²) ⇒ t = 25 s 3) Datos: h máx = 48 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h De la ecuación (3) y para vf = 0: -v0² = 2.g.h ⇒ v0² = -2.g.h ⇒ v0² = -2. (-10 m/s²). (48 m) ⇒ v0 = 30,9 8 m/s 4) Datos: v0 = 8 m/s t = 2.5 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t²/2 (3) vf² - v0² = 2.g.h a) De la ecuación (1): vf = 8 m/s + (10 m/s²). (2, 5 s) ⇒ vf = 33 m/s b) Empleando la ecuación (2): y = (8 m/s). (2, 5 s) + (10 m/s²).(2, 5 s)²/2 ⇒ y = 51, 25 m 5) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo? Solución Para caída libre usamos las siguientes ecuaciones: (1) vf = g.t (2) ∆h = g.t²/2 El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer más el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra:
t = tp + ts = 10 s ⇒ ts = 10 s - tp (3) La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra: ∆hT = ∆hs = ∆hp (4) Para el sonido: vs = ∆hs/ts ∆hs = vs.ts (5) Para la piedra ∆hp = g.tp²/2 (6) Igualando (5) y (6): vs.ts = g.tp²/2 (7) Reemplazando (3) en (7):
Reemplazando por los datos:
Resolvemos la ecuación cuadrática:
tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos:
Respuesta: 383,3 m
PROBLEMAS PROPUESTOS
MOVIMIENTO RECTILÍNEO: PARTE 1: Resolver: 1) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver gráfica y analíticamente: a) ¿A qué distancia de la esquina, la policía alcanzará al muchacho? b) ¿En qué instante se produce el encuentro? Respuesta: a) 600 m b) 20 s 2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A, otro cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará?, resolver gráfica y analíticamente. Respuesta: a) 200 m b) 10 s 3) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular: a) ¿A qué distancia de A se encontraran? b) ¿En qué instante se encontraran? Respuesta: a) 342,8 m b) 4,285 h 4) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos después sale desde el mismo lugar y en su persecución otro móvil a 27,78 m/s. Calcular: a) ¿A qué distancia de A lo alcanzará? b) ¿En qué instante lo alcanzará?
Respuesta: a) 600 km b) 7,5 h 5) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre sí 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analíticamente y gráficamente: a) La posición del encuentro. b) El instante del encuentro. Respuesta: a) 9 km b) 10 min 6) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre sí 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar analíticamente y gráficamente: a) La posición del encuentro. b) El instante del encuentro. Respuesta: a) 2 km b) 200 s 7) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analíticamente y gráficamente: a) ¿A qué distancia de A se encontraran? b) El instante del encuentro. Respuesta: a) 6 s b) 60 m
PARTE 2 Resolver: 1) Un aeroplano realiza un recorrido de 500 m para despegar de un campo de aterrizaje. Si parte del reposo, se mueve con aceleración constante y realiza el recorrido en 30 s, ¿cuál será en m/s su velocidad de despegue? Respuesta: 33,33 m/s 2) Un automóvil parte del reposo y adquiere una velocidad de 40 m/s e 15 s, calcular: a) La aceleración en km/s. b) Si éste sigue aumentando la velocidad al mismo ritmo, ¿cuántos segundos más necesitara para alcanzar una velocidad de 60 km/h? c) Las distancias recorridas en los puntos anteriores. Respuesta: a) 2,67 km/s b) 22,5 s c) 83,33 m y 104,17 m
3) Un cuerpo que se mueve con aceleración constante cubre una distancia de 60 m que hay entre dos puntos en 6 s. Su velocidad cuando pasa por el segundo punto es de 15 m/s. Determinar: a) ¿Cuál es la aceleración? b) ¿Cuál es su velocidad en el primer punto? Respuesta: a) 1,67 m/s² b) 5 m/s 4) Un cuerpo que parte del reposo se mueve en línea recta con aceleración constante y cubre una distancia de 64 m en 4 s. Determinar: a) ¿Cuál fue su velocidad final? b) ¿Qué tiempo tardó en recorrer la mitad de la distancia total? c) ¿Cuál fue la distancia recorrida en la mitad del tiempo total? d) ¿Cuál era su velocidad cuando había recorrido la mitad de la distancia total? e) ¿Cuál era la velocidad al cabo de un tiempo igual a la mitad del total? Respuesta: a) 32 m/s b) 2, 83 s c) 16 m d) 22, 63 m/s e) 16 m/s 5) La velocidad de un automóvil que va hacia el Norte se reduce de 30 m/s a 20 m/s en una distancia de 125 m. Determinar: a) La magnitud y la dirección de la aceleración supuesta constante. b) El tiempo transcurrido. c) ¿Cuál fue la distancia recorrida con ésta aceleración desde el momento en que liberó los frenos? Respuesta: a) -2 m/s b) 5 s c) 100 m 6) Determinar el espacio recorrido al cabo de 10 s por un móvil que parte del reposo y alcanza en ese lapso la velocidad de 144 km/h. Respuesta: 200 m
MOVIMIENTO VERTICAL PARTE 3 Resolver: En todos los casos usar g = 10 m/s². 1) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s. a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m? b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja? Respuesta:
a) 43 b) 50 m/s 2) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular: a) A qué altura estaría esa terraza. b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso. Respuesta: a) 180 m, b) 60 m/s 3) ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo? Respuesta: 80 m 4) Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, ¿cuánto demora en llegar al suelo? Respuesta: 19,8 s 5) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar: a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B? b) ¿Cuál es la distancia entre A y B? c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B? Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s 6) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar: a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B? b) ¿Cuál es la distancia entre A y B? Respuesta: a) 2 s b) 78,44 m/s² 7) ¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una turbina con velocidad de 30 m/s? Respuesta: 45 m
MOVIMIENTO DE PROYECTILES PARTE 4 Resolver: 1) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala? b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima? c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil? Respuesta: a) 39,36 m b) 1732,05 m c) 3464,1 m 2) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar: a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil? b) Con la misma velocidad inicial ¿desde qué otra posición se podría haber disparado? Respuesta: a) 49,46 m/s b) 17 m 3) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar: a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco? b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué? c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez? Respuesta: a) 1,41 s b) No c) 17,18 m 4) Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en qué punto del plano inclinado pegará. Respuesta: 165,99 m 5) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar: a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil? b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil? c) ¿Qué alcance tendrá? d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro? Respuesta: a) 9,75 m b) 10,2 m c) 40,82 m d) 1,41 s
6) Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este? Respuesta: 26° 16' 16"
MOVIMIENTO CIRCULAR PARTE 5 Resolver: 1) a) ¿Cuál es la velocidad angular de un punto dotado de M.C.U. si su período es de 1,4 s? b) ¿Cuál es la velocidad tangencial si el radio es de 80 cm? Respuesta: a) 4,48 /s b) 358,4 cm/s 2) Si un motor cumple 8000 R.P.M., determinar: a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Cuál es su período? Respuesta: a) 837,76 /s b) 0,007 s 3) 3) Un móvil dotado de M.C.U. da 280 vueltas en 20 minutos, si la circunferencia que describe es de 80 cm de radio, hallar: a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Cuál es su velocidad tangencial? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta? Respuesta: a) 1, 47 /s b) 117, 29 cm/s c) 171, 95 cm/s² 4) 4) Un qué cuerpo pesa 0,5 N y está atado al extremo de una cuerda de 1,5 m, da 40 vueltas por minuto. Calcular la fuerza ejercida sobre la cuerda. Respuesta: 1,34 N 5) Calcular la velocidad tangencial de un volante que cumple 3000 R.P.M. si su radio es de 0,8 m. Respuesta: 251,3 m/s 6) 6) Un volante de 20 cm de radio posee una velocidad tangencial de 22,3 m/s. Hallar: a) ¿Cuál es su frecuencia? b) ¿Cuál es su número de R.P.M.?
Respuesta: a) 17,75 v/s b) 1065 R.P.M. 7) La velocidad tangencial de un punto material situado a 0,6 m del centro de giro es de 15 m/s. Hallar: a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Cuál es su período? Respuesta: a) 25 /s b) 0,25 s 8) Una polea cumple 2000 R.P.M., calcular la velocidad angular en grados sobre segundo. Respuesta: 12000 grados/s 9) Calcular la velocidad angular de un volante que da 2000 R.P.M. Respuesta: 209,4 /s 10) Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 s una velocidad tangencial de 15 m/s, si su radio es de 30 cm, ¿cuál será la aceleración tangencial? 11) Respuesta: 12,5 cm/s² 12) Una polea posee una velocidad angular de 20 /s, si está animada por un M.C.U.V. y se detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular? Respuesta: -5 /s² 13) Si la aceleración angular de un volante es de 0,3 /s², ¿cuál es la velocidad angular alcanzada a los 3 s? Respuesta: 0,9 /s 14) Un punto móvil gira con un período de 2 s y a 1,2 m del centro, calcular: a) La velocidad tangencial. b) La velocidad angular. Respuesta: a) 3,77 m/s b) 3,14 /s 15) La velocidad angular de un punto móvil es de 55 /s, ¿cuál es la velocidad tangencial si el radio de giro es de 0,15 m? Respuesta: 8,25 m/s 16) Calcular la aceleración angular de una rueda de 0,25 m de radio, al lograr a los 20 s, una velocidad de 40 km/h. Respuesta: 2,22 /s²
17) El radio de una rueda de bicicleta es de 32 cm. Si la velocidad tangencial es de 40 km/h, ¿cuál es la velocidad angular? Respuesta: 34,7 /s 18) Si una hélice da 18000 R.P.M., decir: a) ¿Cuál es su frecuencia? b) ¿Cuál es su período? Respuesta: a) 300 v/s b) 0,003 s
PROBLEMAS GENERALES
PARTE 6 Resolver: 1) En una obra en construcción se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un montacargas con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, ¿cuánto tiempo después y a qué altura chocará con el montacargas? Respuesta: a) 7,93 s b) 23,86 m 2) Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleración de 1000 km/h², calcular: a) ¿Cuándo el primer ciclista será alcanzado por el segundo? b) ¿A qué distancia de la salida? c) ¿Qué velocidad tendrá el segundo ciclista en el momento del encuentro? Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h 3) Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un policía sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m, calcular: a) ¿Cuánto dura la persecución? b) ¿Qué aceleración llevaba el policía? c) ¿Qué velocidad tenía el policía en el momento del encuentro? Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h
4) Un motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleración de 0,003 m/s². En el mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h, calcular: a) ¿Cuánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvil? b) ¿A qué distancia de la esquina ocurre esto? Respuesta: a) 3 h 36 min b) 251,94 km 5) Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue al suelo. Respuesta: 7,52 m/s 6) En el instante en que un semáforo da luz verde, un automóvil, que había estado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleración constante de 2 m/s. Al mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar: a) ¿A qué distancia de su punto de partida el automóvil alcanzará a la camioneta? b) ¿A qué velocidad lo hará? Respuesta: a) 100 m b) 20 m/s