Tema 05.-
Métodos de Análisis de Circuitos
- ÍNDICE -
4.- Regla de Cramer………………………………………………………………………4 5.- Métodos de resolución de circuitos………………………………………………….5 6.- Primera Ley de Kirchhoff…………………………………………………………….5 7.- Método de los nudos o de las Corrientes……………………………………………6
8.- Segunda Ley de Kirchhoff: “Ley de las mallas o de las tensiones”………..7 9.- Resolución de circuitos método de las mallas……………………………….……..7 10.- Obtención directa de las matrices por el método de las Mallas…………….…....8 11.- Teorema de Thévenin……………………………………………………….….….10 12.- Teorema de Norton………………………………………………………….….…11 13.- Teorema de Superposición………………………………………………….…….11 14.- Teorema de Kennelly (Transformación Estrella-Triangulo)…………………..12
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3.- Cálculo de determinantes…………………………………………………………….3
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2.- Matrices……………………………………………………………………………….2
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1.- Conceptos básicos…………………………………………………………………….2
TEMA 05.- Métodos de Análisis de Circuitos. 1.- Conceptos básicos.
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij) *Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. *El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento. *El segundo, “j”, indica la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es: m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo:
En este caso la matriz es cuadrada y de orden 3. (Matriz 3 x 3)
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2.- Matrices.
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Para analizar los circuitos analógicos tenemos que conocer los siguientes conceptos: -Nudo: punto del circuito donde se conectan más de dos conductores o ramas. -Rama: parte del circuito comprendida entre dos nudos consecutivos. -Malla: rama o conjunto de ramas de un circuito que constituye un camino cerrado.
Para calcular el determinante de la matriz se tendrá en cuenta el orden de la matriz, tendremos: A.- Determinante de orden uno:
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Ejemplo:
B.- Determinante de orden dos:
C.- Determinante de orden tres o más: Se aplica la REGLA DE SARRUS:
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3.- Cálculo de determinantes.
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EJERCICIO: En las siguientes matrices indica: a.- El número de Filas y de Columnas. b.- El tamaño de la matriz.
EJERCICIO. Calcula los siguientes determinantes de orden 2:
Sea un sistema de ecuaciones de n ecuaciones y m incógnitas:
Siendo: ann la matriz de coeficientes. Xn la matriz de incógnitas. bn la matriz de términos independientes. Para resolver el sistema de ecuaciones por Cramer se calcularán los siguientes determinantes: 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 =
Determinante del coeficientes de las incognitas (Cambiar la columna de las incognitas)
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Determinante del coeficiente de las incognitas
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4.- Regla de Cramer.
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EJERCICIO. Calcula los siguientes determinantes de orden 3:
EJERCICIO. Resuelve el siguiente sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: - 2X1 + X2 = 2 5 X1 - 2X2 = -1
6.- Primera Ley de Kirchhoff. La 1ª Ley de Kirchhoff dice que “la suma de todas las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de todas las intensidades que salen de dicho nudo”.
Pasando todas las intensidades al primer miembro, nos queda la expresión: De aquí se deduce que la 1ª ley de Kirchhoff se pueda enunciar también de la siguiente forma:
“La suma algebraica de todas las intensidades que concurren en un nudo es igual a cero”
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Un circuito eléctrico está formado por elementos activos (generadores) y pasivos (resistencias, condensadores, y bobinas). En muchas ocasiones estos elementos forman circuitos complejos y es necesario conocer la intensidad que circula por cada elemento, así como la tensión en sus bornes. Para determinar estos valores, la ley de Ohm resulta insuficiente. En estos casos tenemos que recurrir a herramientas más potentes como métodos de resolución de circuitos, como son: 1.- Método de los Nudos o de las corrientes. (Primera Ley de Kirchhoff) 2.- El método de las corrientes de malla o de las tensiones (Segunda Ley de Kirchhoff) 3.- Teorema de Thévenin. 4.- Teorema de Norton. 5.- Teorema de Superposición. 5.- Teorema de Kennelly (Transformación Estrella-Triangulo)
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5.- Métodos de resolución de circuitos.
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EJERCICIO. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por Cramer:
EJERCICIO. Aplicando la 1º Ley de Kirchhoff coloca el sentido de las intensidades de los siguientes nudos.
c.-
7.- Método de los nudos o de las Corrientes. El Método de los Nudos o de las Corrientes se basa en aplicar la 1ª Ley de Kirchhoff a cada uno de los nudos del circuito excepto a uno, que se considera conectado a masa (solo a efectos de cálculo). PASO A.- Obtención de las ecuaciones: 1.- Se deletrean todos los nudos del circuito y se define el nudo que supuestamente se conecta a masa. 2.- Aplicando la Primera Ley de Kirchhoff obtenemos una ecuación por nudo. - El nudo puesto a masa se considera potencial 0. - Calculamos las tensiones de los restantes nudos aplicando el convenio de signos en las fuentes: Cuando el sentido de la intensidad sale por positivo del generador la tensión es positiva. Cuando el sentido de la intensidad sale por negativo del generador la tensión es negativa. La flecha Roja indica el sentido con el que se recorre la malla.
PASO B.- Resolución de las ecuaciones: Obtener el potencial de cada nudo resolviendo el sistema de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas, esto permite resolverlo por: A.- Método tradicional: 1.- Sustitución. 2.- Reducción. 3.- Igualación. B.- Regla de Cramer con Matrices.
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EJERCICIO. Aplicando la 1º Ley de Kirchhoff, calcula todas las corrientes que pasan por cada una de las ramas del circuito.
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b.-
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a.-
Expresión que nos permite enunciar la 2ª ley de Kirchhoff de la siguiente manera: “En toda malla o
circuito cerrado, la suma algebraica de todas las d.d.p. o tensiones es igual a cero” 9.- RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MÉTODO DE LAS MALLAS.
OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES. PASO 1.- Representamos todas las intensidades de la malla, asignándoles un sentido cualquiera al azar. Es recomendable que por la misma rama pasen intensidades en el mismo sentido así evitamos signos negativos.
Paso 2. - Aplicamos la 2ª Ley de Kirchhoff, Ley de las Mallas o las Tensiones y la regla de signos:
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Si pasamos todo al primer miembro, nos queda:
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8.- Segunda Ley de Kirchhoff: “Ley de las mallas o de las tensiones”. La 2ª Ley de Kirchhoff dice que: “en toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de todas las f.e.m. de los generadores debe ser igual a la suma algebraica de las caídas de tensión de cada uno de los elementos que componen dicha malla o circuito cerrado”
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EJERCICIO. Usando el Método de los Nudos calcula: 1.- La diferencia de potencial existente entre los extremos de cada una de las ramas del circuito de la figura. 2.- La intensidad de cada rama.
Paso 3.- Resolución de las ecuaciones. Las ecuaciones obtenidas constituyen un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, esto permite resolverlo por el método tradicional: A.- Método tradicional: 1.- Sustitución. 2.- Reducción. 3.- Igualación. B.- Regla de Cramer con Matrices. 10.- Obtención directa de las matrices por el método de las Mallas. Un circuito con n mallas (R) y con n incógnitas (I), en electrónica puede escribirse matricialmente de la forma:
Donde: - R es la matriz de las resistencias. *El orden de la matriz es = nº de mallas Es cuadrada. *Es simétrica porque R12 = R21 *Los términos de la diagonal son la suma de las resistencias de cada malla. R11 R recorridas por I1 R22 R recorridas por I2 ……………………….. Rnn R recorridas por In *El resto de términos serán las resistencias comunes a la malla 1 y la malla 2: -Si las 2 intensidades van en el mismo sentido ponemos el consigo “+” -Si las 2 intensidades de las mallas van en sentido contrario ponemos el signo “-” Prof: Roberto Lajas
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-Si pasan 2 intensidades: Si las intensidades de las 2 mallas van en el mismo sentido ponemos signo “+” Si las intensidades de las 2 mallas van en sentido contrario ponemos signo “-”
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En resistencias: -Si pasa 1 intensidad ponemos signo “-” (Caída de tensión)
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CONVENIO DE SIGNOS. En fuentes de alimentación o generadores: -Cuando el sentido de la intensidad de malla sale por positivo del generador la tensión es positiva. -Cuando el sentido de la intensidad de malla sale por negativo del generador la tensión es negativa. La flecha Roja indica el sentido con el que se recorre la malla.
- I es la matriz de las intensidades o de las incógnitas. Los términos son las intensidades de cada malla: I1 = intensidad de la Malla 1. I2 = intensidad de la Malla 2. …………………………… In = intensidad de la Malla n.
- La Resolución del sistema por Cramer será:
EJERCICIO. En los siguientes esquemas electrónico escribe las ecuaciones que resultan después de aplicar la Segunda Ley de Kirchhoff, Ley de las Mallas o de las Tensiones.
EJERCICIO: En el siguiente circuito obtén las ecuaciones de las intensidades de malla usando el Método de las Mallas.
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Sale por positivo del generador la tensión es positiva. Sale por negativo del generador la tensión es negativa.
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- V es la matriz de las tensiones de fuente. Los términos son la suma de las fuentes de tensión de cada malla. V1 = fuentes de tensión de la Malla 1. V2 = fuentes de tensión de la Malla 2. ……………………………………. Vn = fuentes de tensión de la Malla n.
EJERCICIO: En el siguiente circuito obtén: 1.- Las matrices directas del circuito usando el Método de las Intensidades de Mallas. 2.- Calcula las intensidades de las intensidades de malla.
Todo circuito con 2 terminales accesibles A y B, puede ser sustituido por otro equivalente, formado por una resistencia equivalente RTH en serie con una fuente de tensión VTH cuyos valores se obtienen como sigue: RTH: Es la resistencia que representa el circuito equivalente entre los terminales A y B cuando se cortocircuita las fuentes de tensión que existen en él y se dejan en circuito abierto las fuentes de intensidad. VTH: Es la tensión que a circuito abierto (es decir sin conectar) existe entre los terminales A y B del circuito primitivo.
EJERCICIO. Dado el siguiente circuito calcula: A.- El circuito equivalente de Thévenin entre los puntos A y B. B.- La corriente y la tensión para la resistencia de carga RL = 10 Ω.
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11.- Teorema de Thévenin.
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EJERCICIO: En el siguiente circuito obtén: 1.- Calcula las intensidades de las intensidades de malla usando el Método de las Intensidades de Mallas. 2.- Calcula ig. 3.- Calcula io.
Todo circuito con 2 terminales accesibles A y B, puede ser sustituido por otro equivalente, formado por una resistencia equivalente RN en paralelo con una fuente de Intensidad IN cuyos valores se obtienen como sigue: RN: Es la resistencia que representa el circuito equivalente entre los terminales A y B cuando se cortocircuita las fuentes de tensión que existen en él y se dejan en circuito abierto las fuentes de intensidad. IN: Es la intensidad que en cortocircuito entre los terminales A y B del circuito primitivo.
EJERCICIO. Dado el siguiente circuito, calcula el circuito equivalente de Norton entre los puntos A y B.
13.- Teorema de Superposición. El teorema de Superposición dice que: “en un circuito lineal con varias fuentes, la corriente y el
voltaje de cualquier elemento en el circuito es la suma de las corrientes y voltajes producidos por cada fuente que actúa de manera independiente”.
PASOS: 1.- Hacemos tantos circuitos independientes como fuentes de alimentación tenemos. 2.- Cortocircuitando las fuentes de tensión y ponemos en circuito abierto las fuentes de intensidad. 3.- Analizamos los circuitos independientemente aplicando la ley de ohm y sumamos los resultados de todos los circuitos independientes. Prof: Roberto Lajas
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El teorema de Norton es un teorema similar al de Thévenin.
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12.- Teorema de Norton.
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EJERCICIO. Calcula el circuito equivalente de Thévenin entre los puntos A y B usando matrices.
Resistencia en estrella
Resistencia en triangulo
Para pasar de la configuración TRIANGULO A ESTRELLA. Ver que para este caso el denominador es el mismo para todas las ecuaciones.
Ra
( R 2 * R3) R1 R 2 R3
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Rb
( R1 * R3) R1 R 2 R3
Rc
( R1 * R 2) R1 R 2 R3
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Las resistencias además de poder estar asociadas en serie o en paralelo o en un circuito mixto, las resistencias pueden formar un triángulo o una estrella.
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14.- Teorema de Kennelly (Transformación Estrella-Triangulo)
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EJERCICIO. Calcula la tensión en el punto A aplicando el teorema de Superposición.
Para pasar de la configuración ESTRELLA A TRIANGULO.
R3
R2
( Ra * Rb ) ( Ra * Rc ) ( Rb * Rc ) Rb
( Ra * Rb ) ( Ra * Rc ) ( Rb * Rc ) Rc
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EJERCICIO. Calcular la resistencia equivalente del circuito entre A y B.
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( Ra * Rb ) ( Ra * Rc ) ( Rb * Rc ) Ra
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R1