Article - Electrostatic response of asymmetric three phase configurations

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ESTUDIO ELECTROSTÁTICO DE CONFIGURACIONES TRIFÁSICAS ASIMÉTRICAS Roberto Palau García & Roberto Palau Lage Abstract- The electrostatic response of a configuration with rotational symmetry, which consists of three three-phase conductors with different radius, distances between them and work systems, has been studied, and the results were presented in an article which is under consideration for publication by the scientific journal Dyna. In this paper it is presented the electrostatic response of a three three-phase configuration without the rotational symmetry of the previous one.

It has been understood that considering this asymmetric configuration as an arrangement error of one with rotational symmetry, the increase of the maximum field strength will be always less than the reduction of the distance between conductor surfaces.

It has been also understood that it is possible to predict the maximum field strength on those arrangements with very small error, with only studying the equivalent symmetric arrangement.

Keywords: Electrostatic field, Basis set of solutions method, Asymmetric three-phase configurations, Electrostatic response manual

resulta especialmente engorrosa con distribuciones de potencial dependientes del tiempo como son las trifásicas. En estos casos resulta de especial interés la utilización del método de las soluciones elementales [1] que es el utilizado en el presente estudio.

En este artículo se presentan los resultados del estudio de la respuesta electrostática de configuraciones tridimensionales de tres conductores trifásicos de ejes paralelos, pero dispuestos de formas que no presentan simetría rotacional con relación a recta alguna. Se trata de la segunda parte del estudio anterior: tres conductores dispuestos con simetría rotacional con relación a una recta central. La finalidad es continuar con la elaboración de un completo Manual de la respuesta electrostática de configuraciones trifásicas habituales.

Resumen—Anteriormente se ha estudiado la respuesta electrostática de una configuración con simetría rotacional formada por tres conductores trifásicos, con diferentes radios, diferentes distancias entre ellos y diferentes regímenes de funcionamiento, y se han presentado los resultados del estudio en un artículo que actualmente se encuentra pendiente de evaluación para su publicación en la revista DYNA [6]. Ahora en este artículo se presenta la respuesta electrostática de una configuración de tres conductores trifásicos dispuestos sin la simetría rotacional de la configuración anterior.

Se ha encontrado que, considerando esta configuración asimétrica como un error de montaje de una configuración prevista para tener simetría rotacional, el incremento de la intensidad máxima de campo que se puede producir debido a ese error será siempre menor que el acortamiento de la distancia entre las superficies de los conductores que se va a producir.

Se ha encontrado también que es posible predecir, con un muy pequeño margen de error, la intensidad máxima de campo en este tipo de montajes sin más que analizar un montaje simétrico equivalente.

ELEMENTALES

Palabras clave— Campo electrostático, Método de las Soluciones Elementales, Configuraciones trifásicas asimétricas, Manual de respuesta electrostática

I. INTRODUCCIÓN En ingeniería de alta tensión, el diseño de dispositivos y su localización espacial está basado en el conocimiento del campo eléctrico al que están sometidos. Y en este sentido, la intensidad máxima de campo es la condición fundamental para evaluar el tipo y la calidad del aislamiento necesario.

La determinación de la intensidad máxima de campo

II. EL MÉTODO DE LAS SOLUCIONES Dada una cierta geometría, los problemas de campo pueden ser descritos con n ecuaciones lineales con n incógnitas que expresadas matricialmente serían: [A]∙[q]=[Φ]

Ecuación 1

donde [A] es la matriz de coeficientes de potencial y campo, [q] es el vector de cargas y/o densidades de carga a determinar, y [Φ] es el vector de potenciales (y ceros). Una vez determinado el vector de cargas [q], será inmediato conocer la distribución de potenciales y valores de la intensidad de campo en cualquier punto del espacio circundante.

Cabe definir un vector [Φ]i en el que todos sus elementos son nulos excepto los correspondientes al electrodo i, que contienen el valor de su potencial.

De acuerdo con esto, y siendo N el número de electrodos, la ecuación inicial puede expresarse así: [A]∙[q]=[Φ]1 + [Φ]2 + … + [Φ]N O mejor aún: [A]∙[q]= Φ1 ∙ [1]1 + Φ2 ∙ [1]2 + … + ΦΝ ∙ [1]N Ecuación 2 siendo el vector [1]i el que resulta de substituir los valores Φι del vector [Φ]i por valores unitarios.

De acuerdo con esto, el problema inicial se puede substituir por N problemas del tipo: [A]∙[q]i = [1]i

Ecuación 3

Palau & Palau: Estudio electrostático de configuraciones trifásicas tridimensionales asimétricas

donde se denomina solución elemental número i del sistema, al vector [q]i . De esta forma, dada la linealidad de las ecuaciones, la solución buscada [q] correspondiente a determinada distribución de potenciales, vendrá dada por: N

[q]=∑ Φi⋅[q ]i

Ecuación 4

i=1

De acuerdo con esto, se resuelven N problemas del tipo [A]∙[q]i = [1]i, donde el trabajo más engorroso que es el tratamiento de la matriz [A], se realiza una sola vez. Una vez determinado así el conjunto de soluciones elementales [q]i, la solución [q] correspondiente a una distribución de potenciales determinada, exigirá una simple combinación lineal dada por la ecuación 4, por lo que se pueden considerar un número muy elevado de distriuciones de potencial en muy poco tiempo.

Este Método de las Soluciones Elementales se puede aplicar con métodos numéricos que calculan el campo electrostático por la determinación de una distribución de cargas reales (Surface Charge Method [3] [4] o Boundary Elements Method [5]) o ficticias (Discrete Charge Method [2]). El Método de las Soluciones Elementales se implementó en el programa Wefcub que permite calcular el campo electrostático a través de cualquiera de los métodos anteriormente citados. Este programa fue desarrollado en la Universidad Técnica de Hamburgo-Harburg, y ampliado en la Universidad de A Coruña. Este programa (versión 2.0, Release 0.6) es el que se ha empleado en el presente estudio.

III.

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presentan en un artículo que está pendiente de evaluación por parte de la revista DYNA [6].

Las configuraciones que se han estudiado a continuación y cuyos resultados se presentan en este artículo, resultan de desplazar uno de los tres conductores de la posición descrita como, por ejemplo en la figura 3. Se trata de configuraciones que a menudo aparecen en las líneas trifásicas y también formando Fig. 3. Sección transversal de un montaje asimétrico parte de configuraciones trifásicas más complejas, por lo que llegar a tener un conocimiento exhaustivo de su respuesta electrostática resulta de interés. También pueden aparecer como resultado de errores de montaje en configuraciones simétricas como las de las figuras 1 y 2.

Los montajes estudiados se pueden considerar derivados de un montaje simétrico en el que uno de los conductores se desplaza de su posición. Se han considerado desplazamientos en tres direcciones diferentes (ver figura 4), de formas que, en todos los casos, se produce un aumento de la intensidad máxima de campo con relación a la del montaje simétrico de procedencia:

CONFIGURACIÓN DE CONDUCTORES TRIFÁSICOS ASIMÉTRICOS

La figura 1 muestra muestra una visión tridimensional de una configuración en la que tres conductores presentan simetría rotacional con relación a un eje central imaginario. En la figura 2 se Fig. 1. Configuración con simetría rotacional presenta una sección transversal de la misma y, como se puede observar, los conductores están dispuestos de tal forma que sus centros en la sección son los vértices de un triángulo equilátero imaginario, presentando la configuración simetría rotacional con relación a una recta que pasa por el punto O Fig. 2. Sección transversal del y es paralela a los ejes de los montaje simétrico conductores.

Esta configuración ha sido estudiada con anterioridad de forma exhaustiva, tanto en funcionamiento equilibrado como con varios funcionamientos desequilibrados, y sus resultados se

Fig. 4. Diferentes tipos de asimetrías consideradas

1.

en dirección de uno de los otros dos conductores (asimetría tipo d), 2. en dirección del punto medio de la línea de unión de los otros dos conductores (asimetría tipo v), 3. y en dirección paralela a dicha línea de unión (asimetría tipo h).

Se han considerado diferentes grados de cada una de estas asimetrías, expresados en el % t en que se ha acortado la distancia d que sus centros tendrían en el montaje simétrico de procedencia:

t (%)=(1−

d' )⋅100 d

Ecuación 5

siendo d' la menor distancia entre centros de los conductores en la asimetría considerada.

Se han considerado cuatro grados t de asimetría: 2%, 5%, 10% y 15%, excepto en la asimetría tipo h pues se ha considerado sólo hasta el caso más desfavorable, que se produce cuando la distancia d' entre los conductores 1 y 3 es

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mínima. De acuerdo con esto, el caso más desfavorable corresponde a un grado t del 13.4%, por lo que en la asimetría tipo h se han tomado acortamientos en la distancia entre conductores del 2%, 5%, 10% y 13.4%.

En estudios posteriores se analizará la respuesta de montajes donde el desplazamiento del conductor 1, reproduzca cualquier otra distribución de los conductores trifásicos.

Para cada montaje asimétrico estudiado, se han considerado dos montajes simétricos asociados: • un montaje “simétrico de procedencia” que es aquel del que podría proceder el montaje asimétrico por desplazamiento de uno de los conductores, •

y un montaje “simétrico equivalente” que es aquel montaje simétrico en el que la distancia entre todos los conductores es igual a la distancia d' mínima del montaje asimétrico.

En la figura 5 se muestran, para un montaje asimétrico tipo d, los dos montajes simétricos considerados: simétrico de procedencia y simétrico equivalente.

Fig. 5. Montajes simétricos considerados en cada asimetría

Resulta de interés comparar la respuesta electrostática de cada montaje asimétrico con la respuesta de su montaje simétrico de procedencia por un lado, y con su montaje simétrico equivalente por otro, pues proporciona resultados destacables. En el primer caso, esta comparación permite prever la gravedad que puede presentar un error de montaje en una distribución de conductores prevista para ser simétrica, y en el segundo caso permite predecir la respuesta de los montajes asimétricos a partir del conocimiento de la respuesta de montajes simétricos, lo que desde estudios anteriores [6], se conoce exhaustivamente.

En lo que respecta a la comparación entre las intensidades máximas de campo en el montaje asimétrico y en el simétrico de procedencia, hay que tener en cuenta que se han considerado asimetrías en las que se produce una aproximación entre los conductores a partir del montaje simétrico de procedencia, por lo que se encuentra que la intensidad máxima de campo en el montaje asimétrico es siempre mayor que la se produce en el original. Se encuentra también que la relación entre estas dos intensidades máximas de campo es siempre más pequeña que la relación entre las distancias entre superficies. Es decir, definiendo las relaciones r1 y r2 de la forma siguiente:

r 1=

E max ( asimétrico) E max ( simétrico de procedencia)

Ecuación 6

distancia entre superficies ( simétrico de proced.) distancia mínima entre superficies( asimétrico) Ecuación 7 r2 =

Se cumple que siempre: r1 < r2. De acuerdo con esto, considerar que la intensidad máxima de campo debido a un desplazamiento de un conductor va a aumentar en la misma relación que el acercamiento máximo entre superficies que ese movimiento produce, será siempre una consideración conservadora.

Una vez dicho esto, y con objeto de no generar confusión, cabe destacar que la distancia entre centros d, utilizada para calcular el grado de asimetría t no es la misma que la distancia entre superficies ds Fig. 6. Distancia d entre centros y distancia ds entre suèrficies empleada en la expresión anterior, como se muestra en la figura 6.

Por otra parte, cuando se consideran los montajes asimétricos en comparación con los montajes simétricos equivalentes, se encuentra que, salvo en los montajes con mayor proximidad entre conductores, la intensidad máxima de campo es mayor en los montajes asimétricos tipo d y tipo h, correspondiendo con la mayor proximidad que presentan algunos de los conductores en estas asimetrías, mientras que es mayor en el simétrico equivalente en el caso de los desplazamientos tipo v, por la misma razón. De todas formas lo que resulta de interés señalar es que la diferencia entre las intensidades máximas de campo entre los dos montajes no supera nunca el 3.5% en las distancias entre conductores estudiadas y los grados de asimetría considerados.

Se verán a continuación los resultados encontrados para cada tipo de asimetría. En todos los casos, con cada grado t de asimetría, se ha estudiado la respuesta de montajes con valores del parámetro d/R comprendidos entre 2.5 y 100, aunque en las gráficas siguientes sólo se presentan los resultados hasta un máximo de 40 por razones de claridad en los mismos. De todas formas se puede señalar que, para valores mayores del parámetro, se mantiene la tendencia que se puede observar en las gráficas presentadas. Se considera como valor de d al valor de la distancia entre conductores en el montaje simétrico de procedencia; es decir, d es la distancia que debería haber entre los centros de los conductores si la asimetría se debiera a un error de montaje por desplazamiento del conductor 1.

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IV. CARACTERÍSTICAS Y MODELIZACIÓN DE LA CONFIGURACIÓN

Inicialmente se han considerado conductores de 1000 mm2 de sección y 20 m de longitud y con distancias d entre ellos (ver figura 3) de entre 2.5R y 100R. En todos los casos se ha considerado funcionamiento eléctricamente equilibrado con una secuencia positiva de tensiones de 1 kV de amplitud en la tensión de fase: 2π 4π ); V 3=sen (ω⋅t + ) 3 3 Ecuación 8

V 1= sen(ω⋅t); V 2= sen( ω⋅t +

Cada conductor se modeliza con un conjunto de 36 localizaciones de carga superficial en dirección circunferencial y 25 en dirección axial, localizadas en sendos puntos de contorno de cada conductor. Se calculan tres conjuntos de cargas elementales [1], tantas como conductores. El problema de máximos espacio-temporales se resuelve con las cargas elementales, determinando las distribuciones concretas de carga superficial [3][4] en 180 valores de fase diferentes a lo largo del primer semiperíodo con la ecuación 4, y determinando la intensidad de campo que cada una de estas distribuciones de carga provoca en los puntos de contorno del plano medio de la configuración. Una vez localizada así la intensidad máxima de campo en un cierto valor de fase, se hace un estudio más fino en 25 instantes del entorno del instante antes encontrado, estudiando puntos de grado en grado a lo largo de la circunferencia de los conductores en la sección central de los mismos.

Con la longitud tomada, se encuentra que la intensidad de campo en las secciones de los conductores situadas en sus ¾ partes centrales, ver figura 7, no se aparta más de un 0.5% del valor calculado en la sección central en el caso de mayor Fig. 7. Sección central y demás secciones desviación que es, en la parte central de un conductor obviamente, el que se produce en la mayor separación d considerada entre conductores, 100R.

Fig. 8. Evolución de Emáx con el aumento del valor del parámetro d/R

En la figura 9 se presenta un detalle de la figura anterior, correspondiente a los montajes con conductores más alejados

Fig. 9. Evolución de Emáx con el parámetro d/R (valores de 5 a 40)

En la figura 10 se presenta la relación entre la intensidad máxima de campo en cada asimetría y la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia. En montajes con valores del parámetro d/R comprendidos entre 2.5 y 10.

V. ASIMETRÍA TIPO D Se comienza presentando la evolución de la intensidad máxima de campo con el aumento del valor del parámetro d/R en cada grado de asimetría (figura 8). El valor del parámetro d/R corresponde al montaje simétrico de procedencia. En la figura también se presenta la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 10. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo d y el Emax en montaje simétrico de procedencia (para d/R entre 2.5 y 5)

En la figura 11 se presenta la misma relación en montajes con valores del parámetro d/R comprendidos entre 5 y 40.

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una consideración muy conservadora.

Fig. 11. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo d y el Emax en montaje simétrico de procedencia (para d/R>5)

Como se puede observar, tomando como referencia la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia, en montajes con pequeña distancia entre conductores, el aumento de la intensidad máxima de campo con este tipo de asimetría es muy superior al propio grado de asimetría. Por ello se puede observar que: • para grados de asimetría del 15%, el % de aumento de la intensidad máxima de campo es superior al grado de asimetría para montajes con d/R<6, • para grados de asimetría del 10% ocurre lo mismo para montajes con d/R<5, • para grados de asimetría del 5% ocurre lo mismo para montajes con d/R<4.75, • y para asimetrías de grado 2% ocurre lo mismo para montajes con d/R<4.5.

Esta relación entre intensidades máximas de campo corresponde a la relación r1 de la ecuación 6.

Fig. 12. Relación entre el acortamiento de la distancia entre conductores y el aumento de Emáx en montajes asimétricos tipo d

Sin embargo, si se compara la intensidad máxima de campo en montajes con este tipo de asimetría con la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente, la diferencia es muy pequeña. En la figura 13 se presenta la desviación, en %, entre la intensidad máxima de campo del montaje simétrico equivalente y el montaje asimétrico.

En la figura 12 se presenta la relación entre los coeficientes r2 (de la ecuación 7) que indica el grado de acortamiento de la distancia entre las superficies de los conductores que la asimetría produce con relación al montaje simétrico de procedencia, y r1 (ecuación 6) que indica el aumento del valor

Fig. 13. Relación entre la Emáx en el montaje simétrico equivalente y la

de la intensidad máxima de campo que se produce en estas asimetrías con relación al montaje simétrico de procedencia.

Como se puede ver en la figura 12, en montajes con pequeñas distancias entre conductores el acortamiento de la distancia entre superficies no está muy por encima del aumento de la intensidad máxima de campo (entre un 1 y un 6% por encima), pero conforme se considera mayores valores del parámetro, el acortamiento entre superficies se hace cada vez más grande que el aumento de la intensidad máxima de campo, hasta estabilizarse en montajes con d/R>5, en valores que no están muy por debajo del propio grado de asimetría.

Por ello se puede concluir que, prever aumentos de la intensidad máxima de campo del orden del acortamiento de la distancia entre superficies de conductores que esta simetría produce con relación al montaje simétrico de procedencia, es

Como se ve en la figura 13, salvo en montajes con valores de d/R muy pequeños, la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente es superior a la intensidad máxima de campo real. Pero que la diferencia, que llega a ser máxima en montajes con valores de d/R comprendidos entre 4.5 y 7, no alcanza el 3% en ningún caso, lo que permite prever con bastante precisión, el comportamiento de montajes con este tipo de asimetrías en los grados estudiados, sin más que analizar el montaje simétrico equivalente.

Por lo que respecta a la localización de la intensidad máxima de campo en este tipo de montajes, en la figura 14 se presenta como se identifican los puntos en la superficie de los conductores en este estudio. Como se observa, la localización se indica con los grados de separación de la misma al punto A.

Emax en el montaje asimérico tipo d correspondiente

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De acuerdo con esta forma de identificación, en la figura 15 se indica la localización de la intensidad máxima de campo en los montajes asimétricos y en el montaje simétrico de procedencia.

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parámetro d/R=4.6, pero como también se ve en la figura 16, en este tipo de asimetrías esta igualdad no se llega a producir en estos valores de d/R, aunque para distancias de 40R y superiores, la diferencia entre las dos es muy pequeña.

Fig. 14. Identificación de puntos en la superficie de los conductores

Fig. 16. Diferencias de potencial entre el conductor afectado por el Emax y cada uno de los otros dos

Fig. 15. Localización de la intensidad máxima de campo

Como ya se conoce [6] y se observa en la figura 15, en los montajes simétricos con funcionamiento equilibrado, la intensidad máxima de campo se produce en el punto A en montajes con distancia entre conductores superior a 4.6R. Sin embargo, como se observa aquí, la asimetría geométrica produce que la localización de la intensidad máxima de campo se localice en el punto A a partir de valores del parámetro superiores al anterior, y de mayor valor cuanto mayor sea el grado de asimetría considerado. De hecho, con un grado de asimetría del 15%, la intensidad máxima de campo no llega a producirse en el punto A hasta que los conductores se disponen a una distancia de 100R. Este resultado corresponde con la esperable mayor influencia que debe tener la diferencia de potencial entre los dos conductores más próximos, influencia mayor cuanto mayor sea la proximidad entre estos, que es justamente lo que provoca este tipo de asimetría en relación al montaje simétrico de procedencia.

Esta apreciación, lógicamente se refuerza con el estudio de las diferencias de potencial que, en el momento de producirse la intensidad máxima de campo sobre el conductor 1, se están dando entre este y los otros dos. Estas dos diferencias de potencial se presentan en la figura 16, referenciadas al potencial de línea.

Como ya se sabe [6] y se observa en la figura 16, en los montajes simétricos con funcionamiento equilibrado, las dos diferencias de potencial se igualan a partir de un valor del

Para mayor detalle de la respuesta electrostática de montajes con esta asimetría, se presentan los valores de fase en los que se produce la intensidad máxima de campo en la figura 17.

Correspondiendo con el hecho de que, en montajes simétricos con funcionamiento equilibrado y con distancia entre conductores superior a 4.6R, la intensidad máxima de campo se produce en el momento en que el conductor afectado se encuentra en su pico de tensión y los otros dos igualan la suya, lo que en un montaje simétrico se produce en ωt=90º en el conductor 1, esto, lógicamente, se refleja en la figura 17.

Fig. 17. Valores de fase wt en los que se produce la intensidad máxima de campo en el conductor 1 durante el primer seminperíodo

También se refleja en la figura 17 el hecho ya comentado de que en los montajes asimétricos, la intensidad máxima de campo no llega a coincidir con esa distribución de potenciales hasta valores de d/R muy superiores a 40, aunque presenta una

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gran aproximación a dicha situación, observándose que la fase ωt tiende siempre hacia los 90º, pero con más lentitud cuanto mayor sea el grado de asimetría.

d/R > 4.

VI. ASIMETRÍA TIPO V En la figura 18 se presenta la evolución de la intensidad máxima de campo con el aumento del valor del parámetro d/R en cada grado de asimetría. Como ya se ha comentado, el valor del parámetro d/R corresponde al montaje simétrico de procedencia. En la figura también se presenta la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 20. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo v y el Emax en montaje simétrico de procedencia

Fig. 18. Evolución de Emáx con el aumento del valor del parámetro d/R

En la figura 19 se presenta un detalle de la figura anterior, en el que se muestra el resultado en montajes con valores del parámetro d/R superiores a 5.

Fig. 19. Evolución de Emáx con el parámetro d/R (valores de 5 a 40)

En las figuras siguientes, 20 y 21, se presenta la relación entre la intensidad máxima de campo en cada asimetría y la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia. En la figura 20 se presenta el resultado en el conjunto de los montajes estudiados, y en la figura 21 se presenta el detalle de los montajes con valores del parámetro

Fig. 21. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo v y el Emax en montaje simétrico de procedencia

Como se puede observar, tomando como referencia la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia, en montajes con pequeña distancia entre conductores, el aumento de la intensidad máxima de campo con este tipo de asimetría es muy superior al propio grado de asimetría. Por ello se puede observar que: • para grados de asimetría del 15%, el % de aumento de la intensidad máxima de campo es superior al grado de asimetría para montajes con d/R<7, • para grados de asimetría del 10% ocurre lo mismo para montajes con d/R<6.5, • para grados de asimetría del 5% ocurre lo mismo para montajes con d/R<5.5, • y para asimetrías de grado 2% ocurre lo mismo para montajes con d/R<5.

Esta relación entre intensidades máximas de campo corresponde a la relación r1 de la ecuación 6.

A continuación se presenta la relación entre los coeficientes r2 (de la ecuación 7) que indica el acortamiento de la distancia entre superficies que se da en la asimetría con relación al

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montaje simétrico de

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procedencia, y r1 (ecuación 6) que

indica el aumento del valor de la intensidad máxima de campo que se produce en estas asimetrías con relación al mismo montaje simétrico.

Fig. 23. Relación entre la Emáx en el montaje simétrico equivalente y la Emax en el montaje asimérico tipo v correspondiente

Fig. 22. Relación entre el acortamiento de la distancia entre conductores y el aumento de Emáx en montajes asimétricos tipo v

Como se puede ver, en montajes con pequeñas distancias entre conductores el acortamiento de la distancia entre superficies no está muy por encima del aumento de la intensidad máxima de campo (entre un 1 y un 6% por encima), pero conforme se consideran montajes con mayores valores del parámetro d/R, el acortamiento de la distancia entre superficies va siendo cada vez mayor que el aumento de la intensidad de campo. Por ello se puede concluir que, prever aumentos de la intensidad máxima de campo del orden del acortamiento de la distancia entre superficies de conductores que esta asimetría produce con relación al montaje simétrico de procedencia, es una consideración muy conservadora.

Sin embargo, si se compara la intensidad máxima de campo en montajes con este tipo de asimetría con la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente, la diferencia es muy pequeña. En la figura 23 se presenta la desviación, en %, entre la intensidad máxima de campo del montaje simétrico equivalente y el montaje asimétrico.

Como se ve en la figura 23, salvo en montajes con valores de d/R entre 4 y 7, la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente es inferior a la intensidad máxima de campo real. Pero, en todo caso, la diferencia no alcanza el 1% en ningún caso, lo que permite prever con mucha precisión, el comportamiento de montajes con este tipo de asimetrías sin más que analizar el montaje simétrico equivalente.

Por lo que respecta a la localización de la intensidad máxima de campo en este tipo de montajes, se presenta en la figura 24, en la que se precisa el lugar de la superficie del conductor 1 en la que se presenta, de acuerdo con el convenio de la figura 14.

Sólo se indican montajes hasta d/R=8 pues a partir de este valor, la situación permanece igual. En la figura también se indica la localización de la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 24. Localización de la intensidad máxima de campo

Como se observa y ya se ha comentado en trabajos anteriores [6], en los montajes con simetría rotacional con funcionamiento equilibrado, la intensidad máxima de campo se produce en el punto A (figura 14) en montajes con distancia entre conductores superior a 4.6R. La situación es similar con los diferentes grados de este tipo de asimetría, lo que coincide con que, aunque se rompe la simetría rotacional, se mantiene una simetría, en este caso de traslación con relación a un plano vertical que pasa por el centro del conductor 1. Y esta simetría se comprueba que es la fundamental para determinar que, a partir de determinado valor del parámetro d/R, la intensidad máxima de campo se produzca en el punto A del conductor.

Esto obviamente viene condicionado, como se ha visto en el estudio de los montajes con simetría rotacional, por la influencia determinante que tiene en esos casos el conjunto de las dos diferencias de potencial que presenta en ese momento el conductor 1 con cada uno de los otros dos. En todo caso,

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como se apunta en la figura 24, se ve que esa influencia se hace determinante en montajes con valores del parámetro tanto mayores cuanto mayor sea el grado de asimetría.

Las dos diferencias de potencial que tiene el conductor 1 con cada uno de los otros dos se presentan en la figura 25, y confirman las consideraciones anteriores. Sólo se dan valores en montajes de d/R<8 pues para valores superiores se mantienen los mismos resultados .

Fig. 26. Valores de fase wt en los que se produce la intensidad máxima de campo en el conductor 1 durante el primer seminperíodo

VII. ASIMETRÍA TIPO H

Fig. 25. Diferencias de potencial entre el conductor afectado por el Emax y cada uno de los otros dos

Como ya se sabe y se observa en la figura 25, en estos montajes simétricos con relación a un plano que pasa por el conductor 1, las dos diferencias de potencial se igualan a partir de un determinado valor del parámetro, pero como ya se podía intuir en la figura 24, en este tipo de asimetrías esta igualdad se produce, en valores del parámetro d/R, tanto mayores cuanto mayor sea el grado de asimetría. Se ve que la simetría con relación a un plano vertical que tiene esta configuración es suficiente para presentar un valor crítico del parámetro, utilizando el término “valor crítico” en el sentido en que se ha utilizado en estudios anteriores, como aquel valor del parámetro a partir del cual la intensidad máxima de campo se produce en un conductor cuando éste alcanza su pico de tensión y los otros dos igualan la suya, aunque en esta asimetría tipo v sólo se produce esto en el conductor 1 que es por el que pasa el único plano de simetría.

Para mayor detalle de la respuesta electrostática de montajes con esta asimetría, en la figura 27 se presentan los valores de fase ωt en los que se produce la intensidad máxima de campo.

Correspondiendo con el hecho de que, tal como ya se ha visto, existe un valor crítico del parámetro, a partir de este valor la intensidad máxima de campo se tiene que producir en el conductor 1 cuando su fase sea ωt=90º, que es en la que se produce la distribución de potenciales correspondiente, y esto lógicamente se refleja en la figura 27. Lógicamente también, en la figura se refleja el hecho de que esta situación se produce para valores del parámetro tanto mayores cuanto mayor sea el grado de asimetría presentado.

Hay que comenzar señalando que en esta asimetría, la intensidad máxima de campo se produce sobre el conductor 3, mientras que en los otros dos se produce en el conductor 1.

A continuación se presenta la evolución de la intensidad máxima de campo con el aumento del valor del parámetro d/R en cada grado de asimetría (figura 27). Como ya se ha comentado, el valor del parámetro d/R corresponde al montaje simétrico de procedencia. En la figura también se presenta la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 27. Evolución de Emáx con el aumento de la distancia entre conductores

En la figura 28 se presenta un detalle de la figura anterior, para montajes con valores del parámetro d/R superiores a 5.

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Fig. 28. Evolución de Emáx en montajes con valores de d/R por encima de 5

En la figura 29 se presenta la relación entre la intensidad máxima de campo en cada asimetría y la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 29. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo v y el Emax en montaje simétrico de procedencia

En la figura 30 se presenta la misma relación pero en los montajes con valores del parámetro d/R > 4.

Fig. 30. Relación entre Emáx en montajes asimétricos tipo v y Emax en montaje simétrico de procedencia para montajes con d/R>4

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Como se puede observar el aumento de la intensidad máxima de campo en este tipo de asimetría, con relación al montaje simétrico de procedencia, es muy superior al propio grado de asimetría en montajes con pequeña distancia entre conductores Así se observa que: • para grados de asimetría del 13.4%, el aumento de la intensidad máxima de campo es superior a este valor para montajes con d/R<6, • para grados de asimetría del 10% ocurre lo mismo para montajes con d/R<5, • para grados de asimetría del 5% ocurre lo mismo para montajes con d/R<4.25, • y para asimetrías de grado 2% ocurre lo mismo para montajes con d/R<4.

Estos valores corresponden al valor r1 de la ecuación 6.

A continuación se presenta la relación entre los coeficientes r2 (de la ecuación 7) que indica el acortamiento de distancia entre las superficies de los conductores que produce esta asimetría con relación al montaje simétrico de referencia, y r1 (ecuación 6) que indica el aumento del valor de la intensidad máxima de campo que se produce.

Fig. 31. Relación entre el acortamiento de la distancia entre conductores y el aumento de Emáx en montajes asimétricos tipo h

Como se puede ver, en montajes con muy pequeñas distancias entre conductores, el acortamiento de la distancia entre sus superficies con relación al montaje simétrico de procedencia (r2), no está muy por encima del aumento de la intensidad máxima de campo (r1), pero conforme crece el valor del parámetro d/R, la relación entre ambos valores aumenta, estabilizándose en un % no demasiado por debajo del propio % que indica el grado de asimetría. Por ello se puede concluir que, prever aumentos de la intensidad máxima de campo del orden del acortamiento de la distancia entre superficies de conductores que esta asimetría presenta con relación al montaje simétrico de procedencia, es una consideración bastante conservadora.

Sin embargo si se compara la intensidad máxima de campo en montajes con este tipo de asimetría con la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente, la diferencia entre ellas es muy pequeña. En la figura 32

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siguiente se presenta la desviación, en %, entre la intensidad máxima de campo del montaje simétrico equivalente y el montaje asimétrico.

equilibrado, la intensidad máxima de campo se produce en el punto A en montajes con distancia entre conductores superior a 4.6R. Sin embargo, en la asimetría tipo h, la localización de la intensidad máxima de campo tiende a estabilizarse en posiciones con valores del parámetro superiores al anterior, posiciones más separadas del punto A cuanto mayor sea el grado de asimetría considerado. Esto corresponde con la esperable mayor influencia que debe tener la diferencia de potencial entre los dos conductores más próximos con relación a la que tiene en los montajes con simetría rotacional, e influencia que es mayor cuanto mayor sea la proximidad entre ellos.

Esta consideración lógicamente se confirma con el estudio de las diferencias de potencial que, en el momento de producirse la intensidad máxima de campo sobre el conductor 3, se están dando entre este y los otros dos. Estas dos diferencias de potencial se presentan en la figura 34.

Fig. 32. Relación entre la Emáx en el montaje simétrico equivalente y la Emax en el montaje asimérico tipo d correspondiente

Como se ve en la figura, salvo en montajes con valores de d/R muy pequeños, la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico equivalente es superior a la intensidad máxima de campo calculado en el montaje asimétrico. Pero la diferencia, que llega a ser máxima en montajes con valores de d/R comprendidos entre 5 y 8, no alcanza el 3.5% en ningún caso, lo que permite prever con bastante precisión el comportamiento de montajes con este tipo de asimetrías sin más que analizar el montaje simétrico equivalente.

Por lo que respecta a la localización de la intensidad máxima de campo en este tipo de montajes, se presenta en la figura 33 en la que se precisa el lugar de la superficie del conductor 3 en la que se presenta. Como siempre, la localización se indica con los grados de separación de la misma al punto A de acuerdo con la figura 14. En la figura 33 también se indica la localización de la intensidad máxima de campo en el montaje simétrico de procedencia.

Fig. 33. Localización de la intensidad máxima de campo

Como ya se sabe y se observa en la figura 33, en los montajes con simetría rotacional y funcionamiento

Fig. 34. Diferencias de potencial entre el conductor afectado por el Emax y cada uno de los otros dos

Como ya se sabe y se observa en la figura 34, en los montajes simétricos con funcionamiento equilibrado, las dos diferencias de potencial se igualan a partir de un valor del parámetro d/R=4.6, pero como también se ve en la figura, en este tipo de asimetrías esta igualdad no se llega a producir en estos valores de d/R, aunque para distancias de 100R, la diferencia entre las dos es muy pequeña.

Para mayor detalle de la respuesta electrostática de montajes con esta asimetría, se presentan en la figura 35 los valores de fase en los que se produce la intensidad máxima de campo. Hay que recordar que la intensidad máxima de campo se produce en el conductor 3 en este tipo de asimetría.

En montajes simétricos con funcionamiento equilibrado y con distancia entre conductores superior a 4.6R, la intensidad máxima de campo se produce en el momento en que el conductor afectado se encuentra en su pico de tensión y los otros dos igualan la suya. Por tanto el montaje simétrico de procedencia, el conductor 3 se encuentra en esa situación en ωt=30º, y esto, lógicamente, se refleja en la figura 35.

También se refleja en la figura 35 el hecho ya comentado de

Palau & Palau: Estudio electrostático de configuraciones trifásicas tridimensionales asimétricas

que en los montajes asimétricos tipo h, la intensidad máxima de campo no llega a coincidir con esa distribución de potenciales hasta valores de d/R que pueden llegar a ser muy superiores a 40, aunque presenta una gran aproximación a dicha situación desde valores inferiores.

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Para el futuro queda pendiente estudiar mayores grados de las asimetrías estudiadas así como otras asimetrías no contempladas hasta ahora, para conocer exhaustivamente la respuesta electrostática de todos los montajes posibles de tres conductores trifásicos.

[1]

REFERENCES J. J.Gomollón and R. Palau “Steady State 3D-Field Calculations in 3Phase Systems with Surface Charge Method”, IEEE Trans. Power Delivery, Vol. 20, pp 919-924, 2005 .

(DOI:

http://dx.doi.org/10.1109/TPWRD.2005.844275) [2]

H. Singer, H. Steinbigler, P. Weiss “A Charge Simulation Method for the Calculation of High Voltage Fields”, IEEE Trans. PAS, vol. 93, pp.

1960-1968, Mes 1974.

(DOI:

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H. Singer, "Feldstärkeberechnung mit Hilfe von Flächenladungen und Flächenströmen”, Archiv für Elektrotechnik, 67, pp. 309-316, 1984.

(DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF01579787) [4] [5]

Fig. 35. Valores de fase en los que se produce la Emax

VIII. CONCLUSIONES Cuando estas asimetrías se producen por un error de montaje de una configuración prevista para ser simétrica, es de interés analizar el aumento en la intensidad máxima de campo que este desplazamiento produce con relación a la configuración prevista. En este sentido se ha encontrado que la intensidad máxima de campo en los montajes asimétricos estudiados es siempre mayor que en el montaje simétrico previsto, lo que resulta evidente pues las asimetrías consideradas han sido aquellas que iban a mostrar un comportamiento más desfavorable. Se encuentra también que el aumento de la intensidad máxima de campo es siempre menor que el acortamiento de la distancia entre superficies de los conductores que este error de montaje produce. De acuerdo con esto, prever un aumento de la intensidad máxima de campo del orden del acortamiento de la distancia entre superficies de los conductores, será siempre una consideración bastante o muy conservadora.

Cuando la asimetría es prevista en el propio diseño, puede tener mayor interés estudiar los montajes asimétricos en comparación con los montajes simétricos equivalentes, definidos como aquellos montajes con simetría rotacional en los que la distancia entre conductores es igual a la menor distancia del montaje asimétrico. En ese caso se encuentra que, salvo en los montajes con mayor proximidad entre conductores, la intensidad máxima de campo suele ser mayor en los montajes asimétricos tipo d y tipo h que en el montaje equivalente, mientras que suele ser mayor en el simétrico equivalente en el caso de los desplazamientos tipo v. De todas formas, el mayor interés es que la diferencia entre las intensidades máximas de campo entre los dos montajes no supera nunca el 3.5% con los grados de asimetría estudiados.

[6]

H. Singer, “Flächenladungen zur Feldberechnung von Hochspannungssystemen” Bull. SEV/VSE 65, pp. 739-746, May 1974.

F. Gutfleisch, Berechnung elektrischer Felder durch Nachbildung der Grenzschichten mit ausgewählten Flächenelementen, VDI-Verlag, Fortschritt-Berichte Reihe 21, Nr. 46, Düsseldorf 1989 PalauG R, PalauL R, “Respuesta electrostática de configuraciones tridimensionales trifásicas”. Pendiente de evaluación para su publicación por DYNA, Revistas de Ingeniería. Órgano oficial de Ciencia y Tecnología de la Federación de Asociaciones de Ingenieros Industriales. Bilbao. España.

Roberto Palau García ha nacido en A Coruña, España en Junio de 1953. Es Ingeniero por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales del ICAI de Madrid. Es Dr. Ingeniero Industrial por la Universidad de A Coruña, España, desde 2006.

Actualmente es Catedrático de Enseñanza Secundaria y jefe del Departamento de Física del Instituto de E.S. Monte das Moas de A Coruña, España.

Roberto Palau Lage ha nacido en A coruña, España, en febrero de 1985. Es Ingeniero Industrial por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Vigo, España.

Actualmente está trabajando en diseño mecánico e investigando en la respuesta electrostática de configuraciones trifásicas tridimensionales.