Tomografia by Rocio

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

ESTUDIANTE: SAPO SOLANO ROCIO DEL PILAR - 12010486 PROFESORA: MG. CECILIA MUÑOZ 14 DE SETIEMBRE DEL 2014 LIMA-PERU

FACULTAD de MEDICINA

RECONSTRUCCION DE IMAGEN

E, A.P. TECNOLOGIA MÉDICA- RADIOLOGIA

LIMA - PERU

INDICE Índice ..................................................................................................1 Misión ..................................................................................................2 Visión ..................................................................................................2 Introducción.........................................................................................3 Generaciones.......................................................................................4 Técnicas de reconstrucción................................................................4 a. Proyección directa.......................................................................4 b. Técnicas basadas en el análisis de Fourier................................5 Obtención de las proyecciones...........................................................5 Reconstrucción por métodos analíticos..............................................7 Transformación bidimensional de radon.............................................9 Análisis de fourier..............................................................................12 A) Integral de fourier..........................................................................17 B) Forma compleja de la transformada de fourier.............................18 Bibliografía ........................................................................................19

MISIÓN Y VISIÓN Escuela Académico Profesional de Tecnología Médica

MISIÓN Ser una escuela líder en la formación de profesionales de Tecnología Médica acreditadas nacional e internacionalmente formando personas proactivas, fomentando la creatividad y el alto rendimiento académico e intelectual de nuestros alumnos, quienes desarrollan sus conocimientos en un ambiente agradable, con personal docente capacitado y actualizado generando alternativas de solución a los problemas de salud del país. Somos reconocidos por nuestra alta calidad ética y sólida formación académica, orientada a la revaloración de la persona humana, como fin máximo de la sociedad.

VISIÓN Ser una Escuela Académica Profesional líder en la formación de Tecnólogos Médicos acreditados profesionalmente a nivel Nacional e internacional. Nos basamos en la promoción de los conocimientos para lograr una capacitación profesional permanente para que nuestros egresados en base a una racionalidad moderna vayan de la mano con los nuevos adelantos y tecnologías que el mundo competitivo de hoy nos lo exige. Contribuimos al liderazgo de nuestra universidad fomentando la investigación, docencia, consultoría, desarrollo social, cultural, económico, y tecnológico, convirtiéndonos en herramienta fundamental en el campo del desarrollo de la salud del país.

INTRODUCCION

Iniciemos recordando que el término “reconstrucción” se refiere a la “reproducción o recuerdo de todas las acciones y circunstancias de un hecho pasado mediante datos, declaraciones, etc., para completar su conocimiento.” Recordemos también que las bases matemáticas para las imágenes tomográficas fueron formuladas por Johann Radon. A si mismo sabemos que el tomógrafo es un equipo que se utiliza para obtener imágenes del paciente para su diagnostico y como ha ido evolucionando con el pasar del tiempo mejorando la calidad de la imagen, por ello nos centraremos en uno de los procesos con el cual se obtienen dichas imágenes. Este informe pretende presentar la reconstrucción de la imagen y sus aplicaciones en las generaciones de la tomografía.

GENERACIONES La principal diferencia que se encuentra entre las generaciones está relacionada con la geometría del tubo de rayos x y los sensores de radiación. Sin embargo esta diferencia da origen a un software y hardware adaptado a cada necesidad. GENERACION 1 Y 2 Debido a lo complicado de los movimientos con los que se realizaban los exámenes, el paciente realizaba movimientos, causando distorsiones n las imágenes. Recién con los últimos modelos de la segunda generación, el paciente podía contener la respiración durante una toma de imágenes. 3RA GENERACION Con esta, se logro por fin el escaneó de todo el cuerpo. El numero de detectores se incrementa. Con el fin de poder aumentar la resolución del scanér, la fuente de rayos x se acercaba más al paciente. 4TA GENERACIÓN El concepto básico se relaciona con una fuente rotatoria de rayos x, en la cual los detectores s encuentran alrededor de los pacientes, siendo esta la primera generación de donde todos los sensores son fijos, siendo el tubo generadores de rayos X. TÉCNICAS DE RECONSTRUCCIÓN DE IMAGEN a. Proyección directa: Este método fue usado por los pioneros de la tomografía, pero no tuvo mucha difusión, debido a lo borrosas que se muestran las imágenes. Consiste en tomar las muestras de los datos usando un delgado rayo, y luego, al momento de reconstruir cada proyección hace una contribución n la dirección opuesta a la que se tomo la proyección. Sin embargo, vemos que en la imagen reconstruida del ejemplo ha perdido su definición. Esto se puede interpretar, como si al momento de reconstruir la imagen, esta hubiese perdido sus componentes de más alta frecuencia espacial. Este problema se minimiza usando el método siguiente:

b. Técnicas basadas en el análisis de Fourier Imaginemos los datos obtenidos por un scaner. Son una serie de números distanciados un espacio A. estos datos son proporcionales a las densidades de los tejidos atravesados. A esta seria de números, se les podría aplicar una transformada discreta de Fourier, en donde en lugar de usar la variable tiempo, usaríamos la variable espacio. De esta forma obtendríamos las componentes en frecuencia espacial. El problema en las técnicas anteriores, estriba en la perdida de las altas frecuencias al momento de construir la imagen. Con este método procesamos en primer lugar la señal digital. Sabemos que las muestras se encuentran separadas una distancia A. esto nos podría llevar a pensar que la frecuencia de muestro es 1/A. Si este muestreo ha sido adecuado, esta frecuencia debe ser el doble que la frecuencia máxima de la señal. (teorema d muestreo). Por lo tanto, la frecuencia máxima de los datos muestreados debería sr 1/(2*A). Ahora debemos tratar de amplificar las altas frecuencias, y para ello usaremos un filtro tipo rampa. Debido a la frecuencia de corte igual a 1/(2*A). Las características de este filtro se pueden variar de acuerdo al tipo de tejido en el que se vayan a emplear. Para reducir los tiempos, se emplean las técnicas de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) Dentro del tomógrafo, existen procesadores encargados específicamente de realizar estas funciones, en donde estas se encuentran en forma de lógica cableada, con el fin de poder aumentar la velocidad. OBTENCIÓN DE LAS PROYECCIONES Para empezar debemos considerar una rebanada axial que ha de dividirse en vóxels con resolución espacial ∆x, ∆y, ∆z, donde a cada vóxel puede asignarse una atenuación efectiva µ Considérese también un rayo de intensidad I o, que penetra un objeto a lo largo de una trayectoria L, en línea recta, pasando por cada vóxel (o región discretizada del objeto) con una distribución no homogénea de atenuaciones µ(x). La intensidad del rayo que alcanza el detector I (x) depende no sólo de la distancia atravesada x sino también de la atenuación µ(x) de cada punto en su trayectoria, obedeciendo la ley de Beer-Lambert:

Dado que es posible medir tanto I o como la intensidad I (x) en el detector del tomógrafo, resulta conveniente reescribir, así:

El resultado anterior provee la proyección p(x), y tiene implicaciones importantes. La primera, que el detector registra la integral de línea y esta depende de las atenuaciones en cada región del objeto en la trayectoria del rayo (regiones que fueron divididas en vóxels).

Proceso de adquisición de la imagen. Una rebanada tridimensional, artificialmente discretizada en voxels, es proyectada a través de integrales de línea (una dimensión). Un proceso de reconstrucción proyecta los resultados en una imagen bidimensional, representada por píxeles que contienen la atenuación efectiva de cada vóxel evaluado. La segunda, que aunque se usa información volumétrica (vóxels), el detector registra la proyección p(x), que es una señal unidimensional para cada ángulo θ. Dichas proyecciones usualmente se guardan en una matriz p(x, θ), que constituye el sinograma. Tras la reconstrucción, se obtiene una imagen bidimensional, donde cada píxel tiene por intensidad el valor estimado de su atenuación µ. Finalmente, nótese que se asume que cada vóxel contiene una atenuación uniforme (que corresponde a un tejido específico), lo cual no es necesariamente cierto, ya que es muy probable que algunos vóxels contengan dos, o incluso más, materiales simultáneamente, especialmente en los bordes o interfaces entre tejidos. Este fenómeno es llamado el efecto del volumen parcial, que en algunas aplicaciones específicas (que no se discutirán aquí), debe ser corregido. El problema de la reconstrucción de la imagen, consiste en asignar la atenuación μ adecuada para cada vóxel que se utilizó para discretizar el objeto, dadas las proyecciones p(x,θ). Para realizar dicha asignación, pueden utilizarse métodos 8

analíticos o iterativos. Los métodos analíticos comprenden la solución directa del sistema de ecuaciones lineales, la retroproyección y la retroproyección filtrada FBP (del inglés Filtered Back Projection). Los métodos iterativos incluyen el método iterativo algebraico ART (del inglés Algebraic Reconstruction Tecnhnique) y el método iterativo estadístico. Como es evidente, la solución de un sistema de M ecuaciones con N variables, aunque en principio es posible resolver si se cuenta con suficientes ecuaciones linealmente independientes, resulta computacionalmente muy costoso a medida que M y N aumentan, y, además, es susceptible al ruido, que generaría inexactitudes en el sistema de ecuaciones. Una solución para aumentar la robustez al ruido, consiste en utilizar métodos iterativos estadísticos de máxima verosimilitud, si bien estos no solucionan el problema del alto costo computacional. RECONSTRUCCION POR METODOS ANALITICOS El principio básico de la TAC, es: “la estructura interna de un objeto puede reconstruirse, a partir de múltiples proyecciones de ese objeto”. Supóngase para explicar este principio, que tenemos un cuerpo convexo K, el cual tiene una masa de densidad variable, dada por una función f(x,y,z). Si K es atravesado por una radiación cualquiera (rayos X, láser), cuya trayectoria sea una recta S, y de la cual se pueda medir su intensidad de entrada y de salida. La diferencia entre estas intensidades será la absorción del rayo por la materia en el interior de K y dependerá de la recta S, por donde el rayo transita. Es posible medir experimentalmente esta función de S que llamaremos F(S). El matemático alemán J. Radon encontró una manera de calcular f(x,y,z) a partir de F(G), conocida como "transformada de Radon". Cormack y Hounsfield tuvieron que resolver algunos problemas a partir de los resultados teóricos de Radon. Por ejemplo: Radon afirma que se puede conocer f(x,y,z) si se conoce F(S) para "todas" las rectas S. En la práctica solamente podemos tener en cuenta un número finito de rectas (que puede ser grande). Esto lleva a analizar lo que ocurre cuando solamente se conoce F(S) para ese número finito de rectas y la mejor manera de escoger las mismas. Teóricamente se demuestra, que con un número finito de rectas. No se podrá reconstruir "exactamente" el interior del cuerpo, pero tomando un conjunto adecuado y suficiente de rectas se logra reconstruir una aproximación de la imagen que es bastante confiable.

El procedimiento práctico consiste en dividir K en secciones planas y resolver el problema sección por sección, para después integrarlas a todo el cuerpo K. Corte bidimensional de un objeto que es atravesado por un haz de radiación de intensidad Io, generando detrás un perfil proyectado

El perfil está relacionado con la distribución local de atenuación dentro del objeto f(x,y), esta de acuerdo a la ecuación: g (ş,θ) = ln[ î/í] = R(ƒ(x,y)) …………(1) Donde R se denomina la transformada de Radon, y representa la integral de f(x,y), a lo largo de un rayo S, que atraviesa al objeto en la dirección θ.

Para resolver el problema de hallar f(x,y) a partir de g(s,θ), existen diferentes métodos que permiten encontrar la imagen original resolviendo la ecuación (1), estos se pueden clasificar en: ● Métodos iterativos, en los que se estima un valor y por iteraciones sucesivas se va aproximando. ● Métodos analíticos, por ejemplo el backprojection, en este caso la imagen se obtiene como la suma de todas las contribuciones para cada ángulo de corte. Para eliminar los ruidos introducidos por el aparato, se filtra la imagen en forma digital.

La tomografía axial computarizada (TAC) es un sistema de imagen que reconstruye la estructura interna de una sección de un sistema heterogéneo y se utiliza ampliamente en la diagnosis médica. En esta página se describen sus fundamentos y las aplicaciones de esta técnica. Dentro del modelo de óptica geométrica, cuando un rayo atraviesa un material absorbente, su intensidad decrece. Si se denomina h al coeficiente de absorción, se tiene dI = -h I dl

( 1)

Con lo que:

(l) = I(l0) exp(-f(l)) (2)

Donde

(3)

La medida del logaritmo del cociente entre la intensidad inicial y la final proporciona el valor de la integral f. Cuando el medio atravesado por un rayo no es homogéneo, la atenuación puede proporcionar información sobre la distribución del coeficiente h en el medio. Esta información se utiliza ampliamente para conocer la estructura interna de medios poco absorbentes (de alta transparencia) . Por ejemplo, dado que la mayor parte de los tejidos humanos absorben débilmente los rayos X, puede utilizarse la técnica que se describe a continuación para explorar determinadas zonas del mismo (TAC) TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL DE RADON

Sea h(P) la distribución del coeficiente de absorción para la radiación de una cierta longitud de onda l en una sección plana (plano xy) de un medio material m. 10

Cualquier rayo que atraviese dicho material viene descrito por una dirección, representada por un vector unitario u o su vector normal en el plano n y por el producto escalar e = r·n que se mantiene constante en todos los puntos del rayo y representa su distancia lateral al origen de coordenadas. La integral (3) para cada rayo puede escribirse, teniendo en cuenta que la delta de:

(4) de la forma

(5) que representa

(6) Conocida como transformada bidimensional de Radon, cuya relación con la de Fourier se explora a continuación.

Si se permuta el orden de integración en (5), se tiene

(7) Donde se puede identificar la transformada de Fourier H(r) a la transformada bidimensional de Fourier de la función de absorción h(r)

(8) con lo que (7) se reescribe (9)

Es decir, llamando 11

(10) (11) A la transformada de Fourier respecto a su segundo argumento de a , se tiene que permite conocer, a partir de a(n,e) , la transformada de Fourier de la función de absorción y por tanto esta misma función.

Desde sus orígenes los tomógrafos entonces se ha ido perfeccionando y aplicando a cada vez más dominios, desde la exploración geológica a los ensayos no destructivos, pasando por el área más típica que es la biología. Además de las exploraciones médicas, se ha utilizado en la determinación de la estructura de virus, con una resolución de 30 Angstrom. En 1982 se concedió el premio Nobel de química a A. Klug por sus trabajos con esta técnica. Típicamente, en unidades de exploración médica, se dispone una cámara cilíndrica en la que se acomoda el paciente. Existe una fuente de rayos X, de intensidad inferior a la utilizada en radiografía y una serie de células sensibles en el lado opuesto de la cámara, como muestra la figura.

El paciente permanece quieto y el conjunto fuente-sensores gira en torno al mismo hasta describir una circunferencia (o un sector de ésta), obteniéndose los datos correspondientes a distintas posiciones angulares. Los datos se almacenan y procesan en un ordenador (o varios), generando la función a(n,e) y a partir de 12

ésta, mediante la ecuación (10), la función H(r) y su inversa de Fourier h(r) , la cual se representa gráficamente, obteniendo las imágenes bidimensionales buscadas. Este sistema se utiliza ampliamente en el sistema sanitario nacional. Entre las imágenes obtenidas mediante esta técnica se cuentan las siguientes que representan secciones del cerebro, el pecho, una lumbar y del hígado. La exploración helicoidal (en vez de circular) produce información tridimensional que se utiliza hoy para reconstruir la estructura espacial de sistemas que se incorporan a entornos de realidad virtual, constituyendo este método el estado del arte de esta técnica.

ANÁLISIS DE FOURIER El análisis de Fourier se considera difícil por el nivel de las matemáticas necesarias para explicarlo. En este programa, se usan medios gráficos para ilustrar sus aspectos fundamentales, es decir, la aproximación sucesiva mediante la suma de armónicos, senos y cosenos, a una función dada, por ejemplo, un pulso cuadrado, o en forma de diente de sierra, etc. La suposición de ondas armónicas continuas que hemos usado en este capítulo, no es realista, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Es posible, usando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales. El análisis de Fourier surgió a partir del intento de su autor por hallar la solución a un problema práctico de conducción del calor en un anillo de hierro. Desde el punto de vista matemático, se obtiene una función discontinua a partir de la combinación de funciones continuas. Esta fue la atrevida tesis defendida por Fourier ante la Academia Francesa, que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. Descripción A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P=2p/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Para aplicar el teorema de Fourier a una función periódica dada es necesario determinar los coeficientes ai y bi.

Se ha transformado la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t, 14

tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

donde Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos. · Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos · Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos Actividades El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos.  Rectangular  Doble escalón  Diente de sierra simétrico  Diente de sierra antisimétrico Una vez elegido la función introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función. En la parte derecha de la ventana del applet se representa la función. Pulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa: 1. En la parte superior, las sucesivas aproximaciones de la función elegida. 2. En la parte central, el armónico actual, en color azul aicos(ix) y en color rojo bi sen(ix).

3. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai, y a la derecha en color rojo los coeficientes bi. Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución. La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier. Pulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación anterior y compararla con la siguiente. Teniendo una base se podrá entender los siguientes puntos: a) Integral de Fourier b) Forma compleja de la transformada de Fourier

Gracias al teorema de Fourier, desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completado por el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse en una única serie trigonométrica uniformemente convergente a dicha función, llamada serie de Fourier.

Ejemplo de vibración periódica (F1)

En concreto, suponiendo que la función x(t) de la Fig. 1 tuviera un período T, es decir, que se repitiera transcurrido el tiempo T tal que x(t) = x(t+T), para todo t, dicha función puede desarrollarse en una serie de la forma

Las funciones

representan funciones

Armónicas simples de frecuencia

(2),(3) Por lo tanto, la serie anterior puede interpretarse como la suma de infinitas ondas armónicas simples de amplitudes dadas por ak para las coseno y bk para las seno, y con frecuencias. Las amplitudes ak y bk reciben el nombre de coeficientes de Fourier y pueden obtenerse evaluando las integrales

El coeficiente a0 corresponde al valor medio de la función en el período T, es decir,

(4) y puede hacerse cero si se escoge adecuadamente el cero del eje x, de modo que coincida con la media de x, a lo largo de su período T. Entonces, a0 = <xT> = 0.

En F2 se muestra la representación gráfica de cada uno de los coeficientes de Fourier para una hipotética vibración x(t). Representamos en dos cuadros distintos los conjuntos {ak} y {bk} que definen el eje de ordenadas de cada cuadro. El eje de abscisas es el mismo en los dos y queda definido por

(5) la frecuencia wk de cada una de las ondas armónicas simples. Hay que prestar atención al hecho de que el eje de frecuencias es discreto, y que su unidad de escala viene dada por y por lo tanto, cuanto mayor sea el período T, menor será el espacio entre las frecuencias y por consiguiente será mayor la resolución frecuencial que podamos obtener.

Representación gráfica de los coeficientes de Fourier. (F2)

A) INTEGRAL DE FOURIER El análisis anterior sirve para funciones periódicas infinitas y en la práctica, estas nunca existen. Para avanzar en el desarrollo de la teoría del análisis de Fourier, debemos plantearnos el caso de una vibración cuyo período T sea , lo cual equivale a decir que la vibración no tenga período.

En el caso límite de que T (7),.

, los coeficientes se solaparán, puesto que según

Entonces, los coeficientes de Fourier discretos {ak} y {bk}

(6) Se transforman en las funciones continuas A(w) y B(w). Dichas funciones pasan a denominarse las componentes de la transformada de Fourier de x(t) y quedan definidas por las integrales Por otra parte, la serie de Fourier (1) se convertirá en la integral de Fourier o también llamada transformada inversa de Fourier, dada por

Puesto que x(t) ya no es periódica, la condición para que se cumplan (9) y (10) es que lo que viene a expresar el hecho de que aunque x(t) esté definida en el rango (,+

), tiene que tener una 'vida' limitada, es decir, que x(t) = 0 cuando t = ±

(7)

(8) En resumen, una integral de Fourier puede ser considerada como el limite formal de una serie de Fourier cuando el período tiende a infinito, lo cual permite el tratamiento de funciones no-periódicas o aleatorias.

B) FORMA COMPLEJA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Por razones de utilidad es conveniente agrupar las dos funciones reales de (9), mediante una función compleja. Teniendo en cuenta que (9) podemos definir la función compleja donde A imaginaria de X

es la parte real y E

es la parte

,obteniéndose la expresión equivalente a (9)

a cual es la forma compleja de la transformada de Fourier de x(t).

(10)

(11) Del mismo modo, la expresión de x(t) dada en (10), puede ser evaluada en términos de la función compleja , X Fourier

lo que nos da la forma compleja de la transformada inversa de

La información contenida en x(t) es la misma que en X , solo que expuesta desde una perspectiva diferente. En x(t) representamos la información en su dimensión temporal, mientras que en X se representa la misma información en su dimensión frecuencial. Es como si, de un mismo objeto, pudiéramos obtener dos puntos de vista distintos de tal modo que se pusieran de relieve propiedades distintas del mismo desde cada una de las perspectivas.

BIBLIOGRAFIA

1. Manual practico de tomografía J. Gonzáles Vásquez 2011 2. http://www.tsid.net/tac/fundamentos.htm Fundamentos del TC 3. http://dxiparatecnicos.blogspot.com/2010/08/tomografia.html Tomografia 4. http://departamento.pucp.edu.pe/ingenieria/images/documentos/seccion _electronica/rev_electro/08_tomo_axial.pdf Tomografía axial computad 5. http://radiologiavirtualhjcu.blogspot.com/p/tomografia-espiral-multicorte.html Tomografía espiral multicorte (CT Scan)