Revista Conocimiento 57 by Rodrigo Soto Moreno

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Ricardo Cantoral, uno de los matemáticos más distinguidos de México

Apreciación de las Matemáticas Juan Lauro Aguirre Página 3 Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas Leticia Rodríguez Arizpe Página 5

CONOCIMIENTO número 57, del 6 al 19 de julio de 2007

El futuro de la enseñanza de las Matemáticas Héctor Antonio González Flores Página 7 Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanza de las Matemáticas Lilia Guadalupe García Página 9 Matemáticas y realidad educativa Juan Antonio Alanís Rodríguez Página 18 El problema de la variación y sus implicaciones culturales Salvador Borrego Página 27

El Método Montante reduce determinantes de orden con enteros René Mario Montante Página 24 Director Luis Eugenio Todd

Pitágoras de Samos “La escuela de Atenas” (Raffaello)

LA ENSEÑANZA DE LAS

Matemáticas

que transforman el universo, que son MAESTROS DEL CECyTE-NL aquéllas derivadas de la ciencia, el y el arte. DESTACAN EN EL PAISconocimiento La enseñanza de las matemáticas,

a pesar de su importancia, no ha tenido el nivel jerárquico adecuado, y los resultados de nuestro país en el Con motivo de la reforma curricular que se está llevando a caboámbito en el internacional sub sistemason muy pobres en relación con otros países más tecnológico nacional, cuatro maestros del Colegio de Estudios Cientíﬁcos y Tecnológicos Directorde General desarrollados económicamente. Esto Nuevo León han participado en forma destacada en la elaboración de las Guías de Doctor Luis Eugenio Todd limita nuestro potencial de creatividad, del Componente de Formación Profesional, y tres se han desempeñado DirectorAprendizaje Editorial propicia las dependencias, arriesga Félix Ramos comoGamiño Formadores en el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la soberanía Reforma,y lo nuestra nos impide entrar Secretario Editorial cual es digno de resaltar y de reconocer. en la competitividad global. Maestro Rodrigo Soto Educación Profesor Ismael Vidales Delgado Ciencia en Familia Licenciado Juan Roberto Zavala Ciencias Económicas y Sociales Doctor Jorge N. Valero Gil Ciencias Básicas y del Ambiente Doctor Juan Lauro Aguirre Desarrollo Urbano y Social Ingeniero Gabriel Todd Ciencias Médicas Doctor David Gómez Almaguer Ciencias Políticas y/o de Administración Pública Maestro Contador Público José Cárdenas Cavazos Ciencias de la Comunicación Doctora Patricia Liliana Cerda Pérez Adriana Martínez Silva La Ciencia es Cultura Licenciado Jorge Pedraza e ingeniera Ordaz JoséClaudia Gerardo Menchaca Reyna Educación Física y Deporte Doctor Óscar Salas Fraire Las Universidades y la Silva Ciencia Mario Dena Doctor Mario César Salinas Redacción Licenciada Alma Trejo Francisco García Ledesma Licenciado Carlos Joloy Diseñador Licenciado Víctor Eduardo Armendáriz Ruiz Arte Gráfico Arquitecto Rafael Adame Doria Circulación y Administración Profesor Oliverio Anaya Rodríguez

Maestros de Guías

Creo, igual que muchos investigadores en pedagogía, que la falta de formación adecuada de los profesores en esta que colaboran en la elaboración temática y el desconocimiento de los valores sobre la realidad de lo que la de Aprendizaje. enseñanza de los números significa, ha propiciado estas debilidades que debemos corregir, recordando siempre que en el nuevo mundo de Euclides la educación deben existir los cuatro Plantel Colaboración en idiomas la carrera básicos:

l pensamiento matemático y el El primero, saber contar y pensar; el Cadereyta Instrumentación método científico son hermanos segundo, saber leer e interpretar; el inseparables; a través de ellos tercero, internacionalizar la comuse buscaHidalgo la verdad reproducible Sabinas Electromecánica nicación a través de un nuevo idioma; y se genera el conocimiento que, y el cuarto y último, aprovechar la transferido, aplicado e innovado, Marín Análisis y Tecnología de Alimentos informática y el teleproceso como produce en buena tesis ética un instrumentos estratégicos para hacer mejor nivel de vida de los habitantes más eficiente el proceso educativo. Linares Electrónica del planeta.

Enseñar matemáticas es entonces parte del proceso de darle al estudiante un instrumento permanente para tener toda su vida un método lógico Maestros que colaboran como Formadores en el Curso que le permita investigar, analizar, deCONOCIMIENTO Multiplicadores de Ejesparticipar de la Reforma: en los procesos dialécticos LA REVISTA ES EDITADA de la síntesis y de la antítesis, y así ir POR LA COORDINACIÓN DE CIENCIA Y buscando gradualmente las verdades TECNOLOGÍA DE NUEVO LEÓN, Y ABRE SUS

Sobre estos temas y muchos otros, escriben autores reconocidos, y esperamos que esta edición sacuda conciencias y permita una reflexión Nacional integral sobre la necesidad imperiosa que tenemos en México de incrementar nuestro interés por la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.

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Pienso, luego existo

DESCARTES 1596 a 1650

El que sabe contar sabe pensar, y el que sabe pensar puede aprender y así llegar a ser...

María del Carmen Garza Salazar, Plantel Cadereyta

Olga Elena Dávila Rodríguez, Plantel Marín

Matemáticas

Centro de Estudios Cientificos y Tecnológicos del Estado Nuevo León sabe pensar El quedesabe contar

Presidente Ingeniero Juan Antonio González Aréchiga Director de Comunicación Social del Gobierno del Estado Licenciado Omar Cervantes Rodríguez Ingeniero Xavier Lozano Martínez M. C. Silvia Patricia Mora Castro Doctor Mario César Salinas Carmona Doctora Diana Reséndez Pérez Doctor Alan Castillo Rodríguez Ingeniero Jorge Mercado Salas Director del Programa Ciudad Internacional Del Conocimiento Ingeniero Antonio Zárate Negrón

Matemáticas

La enseñanza de las Matemáticas Pitágoras de Samos. “La escuela de Atenas”. Raffaello.

(Aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C.) Fue un ﬁlósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Quien demostró dicho teorema fue uno de sus discípulos: Hipaso de Metaponto. www.conocimientoenlinea.com

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CONOCIMIENTO número 57, del 6 al 19 de julio de 2007

Matemáticas 3

Apreciación de las Matemáticas

Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas

El futuro de la enseñanza de las Matemáticas

Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería

Visualización matemática como habilidad docente

Matemática y realidad educativa

¿Es factible desarrollar la intuición matemática en los estudiantes?

Método Montante reduce determinantes de orden con números enteros

El problema de la variación y sus implicaciones culturales

Matemáticas, disciplina fundamental para el desarrollo

Métodos alternos para las Matemáticas

Las Matemáticas en el CECyTENL

Maestría para profesores de educación básica en el CINVESTAV

Las Matemáticas: belleza simplista y lenguaje de genios

Celebrará la Sociedad Matemática Mexicana su congreso anual en la UANL Permanencia de los objetos

Consolidan reforma curricular en el Bachillerato Tecnológico

Cultura y Ciencia

Uso de las tecnologías de comunicación e información en la enseñanza de las Matemáticas

Educación

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Deja Enrique Canales importante legado artístico Se reúnen en Monterrey ex alumnos de la U de Texas Participaron 5,200 niños de primaria en el Programa Ciencia en Familia

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MATEMÁTICAS En el trascurso del programa participaron alrededor de cinco mil familias de 62 escuelas con 62 directores y 397 maestros.

“Hoy concluye la tercera etapa de “En el laboratorio creamos mariposas participación de cinco mil familias de 62 escuelas con Lauro 62 directores y 397 a Servicios de Agua y Drenaje de que son usadas en ornamentación de Doctor Juan Aguirre Villafaña Monterrey, a la UANL, a las empresas eventos sociales”, explicó un alumno. maestros intervinieron; además, Directorque de Prospectiva Científica y Tecnológica se juanlauroaguirre@aol.com incorporaron mil niños de dos Gamesa, Lala y Productos Alen, por “eso lo hacemos con el objetivo de escuelas particulares durante el año su participación de tres años en venderlas y tener fondos para la diversos programas educativos y de conservación y mantenimiento de escolar”, insistió Zavala. nuestros laboratorios”. información. n un número anterior, dedicado CONOCIMIENTO: ANTÍDOTO a las ciencias naturales, propuse Los trabajos de dicho programa CIENCIA EN FAMILIA CONTRA LA VIOLENCIA que antes de hablar de la La doctora Adriana Elizondo Herrara, cerraron con exhibiciones de los Durante el año escolar, los niños enseñanza y del aprendizaje de esas coordinadora del programa, recordó programas educativos implementados trabajaron con folletos que les disciplinas, deberíamos hablar de que éste se inició en el periodo escolar por las empresas paraestatales y indicaban el trabajo de investigación cómo lograr su apreciación, sobre todo científica a realizar. ¡Con ritmo!, 2004-2005, con la participaron de dos privadas mencionadas. por los alumnos de educación básica. Que no te den gato por liebre, mil niños de escuelas primarias de Ecopintura, Extrayendo el ADN, Tras Apodaca y Monterrey; un año después NACIMIENTO DE CIENTÍFICOS Mencioné también que la apreciación la cifra se incrementó a casi cuatro mil El doctor Juan Lauro Aguirre, director la huella, ¡Quien sube, sube!, son los de algo se demuestra a través de las niños, con escuelas de Santa Catarina de Prospectiva Científica y Tecnológica folletos explicativos para realizar actitudes relacionadas con ese algo; si y Montemorelos, y este año escolar de la Coordinación de Ciencia y los experimentos tanto en el aula le prestamos atención, si le dedicamos se superó por mucho la integración Tecnología, auguró el nacimiento como en su casa. Durante el trabajo tiempo, si vemos o buscamos ese de escuelas del sistema público y el de cuando menos cien científicos, científico, los chicos tenían que leer las algo en las personas u objetos que producto de su participación en este instrucciones, esclarecer los objetivos, Colegio San Patricio. conocemos; en fin, si nos hace generar investigar en bibliografía y apuntar los programa. y enfocar una cierta energía interna… resultados de su experimentación. “Ciencia en Familia fomenta el si nos motiva. trabajo colaborativo; la participación “Actualmente en México hay 20 mil de cinco mil familias es prueba de científicos; eso significa que tenemos En una libreta debían registrar las El problema es saber cómo se desaello. Agradecemos la participación de un científico por una población de fechas de experimentación, ampliar rrollan las actitudes. Mi propuesta todos los padres de familia, y es una cinco mil habitantes; si tomamos la información de los dípticos por entonces y ahora es que las razón para continuar este programa en consideración que se registra medio de investigación bibliográfica actitudes se desarrollan a través de que implica formación y fomento de una población de 100 millones de en otras fuentes como archivos, libros reforzamientos sistémicos positivos no sirven para gran cosa, es mejor El Diccionario de la Real Academia de valores, como amor a la naturaleza. habitantes, aproximadamente. En de texto y enciclopedias; realizaron de ciertos comportamientos, parti- esto o aquello, etcétera, y entonces no la Lengua Española nos da la definición Eso ayuda a las familias a luchar contra los próximos 20 años, de estos 5 mil la experimentación y anotaron las cularmente durante la niñez, lo cual se da aquella apreciación que facilita de la matemática como sigue: la violencia”, insistió Elizondo Herrera, niños, cuando menos cien de ellos conclusiones sobre el trabajo. significa que debemos detectar (para el aprendizaje de todo lo relacionado quien agradeció a los padres de familia participaran en la ciencia, cuando interiorizar y luego practicar) ciertos con él. 1. f. Ciencia deductiva que estudia las su colaboración en el programa y su menos cien de ellos llegarán a ser Elizondo Herrera puntualizó que con comportamientos recurrentes tanto en propiedades de los entes abstractos, como científicos, principalmente y gracias estos ejercicios, los niños manifiestan asistencia a la ceremonia de clausura. nuestros maestros, como en nuestros En el caso particular de las mate- números, figuras geométricas o símbolos, al apoyo que hayan obtenido de sus sus aspiraciones de conocimiento y padres y otros familiares y amigos máticas, además del anterior refor- y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo Dijo que “con este programa se familias por haber visto sus aptitudes se relacionan positivamente con la cercanos, como en personas de los zamiento sistémico, indispensable significado que en sing. naturaleza. pretende apoyar la responsabilidad a través de este programa”, auguró. medios de comunicación y también para lograr su apreciación temprana, 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada del Estado de dar conocimientos y en nosotros mismos, en relación con existe otro tipo de reforzamientos en relación con ciertos fenómenos físicos. Al finalizar el evento otorgaron varios valores. Nuestra misión es integrar PROGRAMAS EDUCATIVOS cosas concretas como son las ciencias sistémicos positivos relacionados con 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada todas las capacidades. Ese respeto que En el cierre oficial de las actividades premios consistentes en estancias naturales y las matemáticas. su didáctica, que además permiten en abstracto. nos ha permitido tener estos logros, de este año escolar, hubo exhibiciones familiares en el Hotel Bahía Escondida, exhibir una actitud muy especial al que nos permitan crear una verdadera de los trabajos que realizaron los Motel Cola de Caballo y Bioparque TODO ES SISTÉMICO maestro que utiliza este sistema de Con el debido respeto a la Real sociedad del conocimiento”. Agradeció alumnos del Programa Ciencia en Estrella; además, se entregaron El adjetivo sistémico es muy enseñanza. Academia Española, ninguna de las el apoyo de la Agencia de Protección al Familia. En el stand de la Facultad de juguetes didácticos a los niños que importante; es, realmente, la clave, definiciones anteriores es capaz de Medio Ambiente y Recursos Naturales, Biología de la Universidad Autónoma hicieron las mejores presentaciones porque en relación con temas como las Aunque parezca un poco filosófico, generar en el espíritu del alumno para promover la cultura ambiental; de Nuevo León, los niños tuvieron la de sus investigaciones. ciencias naturales y las matemáticas, este sistema de enseñanza parte de educación básica algún elemento más que los reforzamientos positivos, de la pregunta: ¿Qué cosa son las de apropiación… sino todo lo 55 abundan los reforzamientos negativos: matemáticas? contrario. son muy difíciles, nadie las entiende,

Matemáticas

Apreciación de las

El funcionario señaló que, además de los logros académico-científicos, existen otros beneficios, cuya trascendencia es “profunda y perdurable”, como lo es el clima de respeto de las comunidades al ver a padres, maestros y alumnos trabajando juntospor el bienestar común.

oportunidad de observar a través del microscopio larvas de lepidópteros, con el objetivo de estudiar sus diversas características. La doctora Patricia Tamez Guerra, encargada de investigación científica de dicha facultad, coordinó el trabajo de promoción realizado por alumnos de esa facultad que con sencillez y calidez explicaron a niños y padres de familia la forma de investigar a través del microscopio.

Cultura y Ciencia

familias nos presentan una muestra de los experimentos y las experiencias vividas”, puntualizó.

Matemáticas

El maestro de matemáticas deseoso de generar ese otro sistema de reforzamientos positivos debe empezar por utilizar una definición más adecuada a sus propósitos. Mi propuesta, desde hace más de 30 años, es la de empezar con la frase: Las matemáticas son una creación de la mente humana. Cualquier cosa que venga después, lo que la frase anterior implica es que las matemáticas son una parte importante del quehacer humano, como lo son los automóviles, los aviones, los edificios, etcétera, y si los automóviles y aviones fueron muy simples al principio y ahora son cada vez más avanzados y complejos, es gracias a los diseñadores y a los ingenieros (con sus conocimientos matemáticos) que dedican todo su talento y su esfuerzo. DE LO SIMPLE A LO COMPLEJO Asimismo, también las matemáticas al principio fueron muy simples. Ahora son cada vez más avanzadas y complejas, gracias a los matemáticos, hombres y mujeres, que actualmente dedican todo su talento y su esfuerzo en crearlas, aplicarlas y comunicarlas. Es natural que si se habla de matemáticas, se mencione que han existido y existen en la actualidad hombres y mujeres que dedican lo mejor de su vida a crear y a aplicar las matemáticas. Es necesario que los alumnos de educación básica entiendan que las ciencias naturales y las matemáticas son, primero que nada, una actividad humana tremendamente relevante y tremen-damente actual. Asegurado lo anterior, es muy conveniente hacer dos tipos de intervenciones didácticas: las históricas y las biográficas. Naturalmente que para que un maestro realice intervenciones históricas y biográficas se requiere que además de preparar su clase de acuerdo con el programa oficial, analice algunas de las magníficas obras de consulta sobre historia (¿origen?) de

las matemáticas y biografías de los grandes matemáticos, prepare las fichas y planee las intervenciones. LAS MATEMÁTICAS ENCIERRAN GRANDES ASPIRACIONES HUMANAS Sigamos con la definición de matemáticas. Para mí, la definición de la Real Academia Española solamente encierra una de las tres aspiraciones que se integran en las matemáticas: la aspiración por la cuantificación (¿certeza?); las otras dos son la aspiración por la inclusión, o sea por incluirlo todo (¿universalidad?), y la aspiración por la perfección (¿belleza?). Usualmente, la enseñanza de las matemáticas se relaciona obsesivamente con la cuantificación, o sea con la enseñanza de los conceptos y las reglas para hacer operaciones matemáticas, y esto es lo que las hace parecer abstractas (por definición, según la RAE), cuando en realidad son tan concretas que se encuentran en todas partes, y por ello tienen miles de aplicaciones. Sobre esto también hay muchas obras de referencia de cuya consulta un buen maestro puede extraer elementos valiosos para realizar este tipo de intervenciones. LA ASPIRACIÓN POR LA BELLEZA EXISTE EN LAS MATEMÁTICAS Y EN LA FÍSICA Nos queda referirnos un poco al aspecto de las matemáticas relacionado con la perfección y la belleza. Éste podría ser el aspecto más elusivo, pero es también el más cautivador y desde el cual han surgido temas tan modernos como los fractales y el caos, que, por increíble que parezca, pueden y deben introducirse en la educación básica mediante intervenciones apropiadas con ejemplos muy simples.

Dado que la física también es una creación de la mente humana, comparte con las matemáticas todas sus aspiraciones pero agrega una nueva; la aspiración por la explicación de lo que sucede fuera y dentro de nosotros, (¿inteligibilidad?... ¿realidad?). Pareciera que esa inteligibilidad proviene de que siempre se utiliza una serie de explicaciones y deducciones lógicas y manipulaciones matemáticas para derivar conclusiones irrebatibles. Ahora si, como dice la RAE de la matemática, la física es una ciencia deductiva. Sin embargo, en lo más profundo, la física descansa en conjeturas o hipótesis (cada vez más extrañas y sorprendentes) que se denominan axiomas o postulados; en forma elegante: axiomas, postulados o ecuaciones fundamentales de cierto tipo de fenómenos, o en forma reverencial: axiomas, postulados o ecuaciones de quien las propuso (¿descubrió?). El físico inglés Paul Adrien Maurice (P.A.M.) Dirac propuso la que actualmente conocemos como Ecuación de Dirac, diciendo que no le era posible concebir una ecuación con una estructura matemática más bella (y que si era así de bella debería ser así de correcta). C0NCLUSIÓN Imaginemos por un momento a un maestro de educación básica que les dice a sus alumnos que van a aprender la forma más bella de expresar las cantidades y de sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas…y se los cumple… esa sí que es la actitud y la didáctica suprema de un maestro de matemáticas.

Juan Lauro Aguirre Vil afaña Originario del Estado de Tamaulipas, es licenciado en Ciencias Físico-Matemáticas y doctor en Físico Química por la Universidad de Maryland. Actualmente es director de Prospectiva Cientíﬁca y Tecnológica en la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León.

Matemáticas

Maestra Leticia Rodríguez Arizpe Directora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza” ens_leticia.rodz@yahoo.com.mx

través del tiempo, la enseñanza de las matemáticas en el currículo escolar se ha caracterizado por la inclusión de contenidos que demandan la resolución de problemas; sin embargo, en el proceso de enseñanza–aprendizaje, el empleo de los problemas no ha sido siempre el mismo.

El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos matemáticos aparecerán como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el alumno puede descubrir Guy Brousseau De izquierda a derecha, Antonio Garza, Bill Powers, Natividad González Parás y trabajo; él interviene para reorientar enseñado. Ronald Charnay identifica a Reyes Tamez Guerra.

Se reúnen en Monterrey ex alumnos de la U de Texas

este tipo de docencia como el modelo el rumbo de las discusiones con Es posible distinguir algunas normativo, por estar centrado en el nuevas preguntas o proporcionando diferencias en el modo de utilizar contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994). elementos convencionales del conlos problemas, por las respuestas Si el profesor propone la resolución tenido requerido. que da un profesor de matemáticas a de problemas desde el inicio de preguntas acerca de su clase, como las su clase, tratando de responder a DIFERENTES CONCEPCIONES armónico; es el caso de quelas atienden al llamado y compromiso Porsiguientes: Carlos Joloy DE LAmás DIDÁCTICA necesidades e intereses de sussarrollo la Universidad de Texas, con quienes que exige el liderazgo. Los egresados x alumnos de la Universidad de de didáctica de las ¿Qué considera más importante: alumnos, los va acompañando a lo La concepción vinculados en untras gran Universidad de Texasinterrogando en Austin se yestamos Texas problemas en Austin osehacer reunieron matemáticas que subyace cada resolver muchosde la largo de la sesión, progreso regional”. convertido verdaderos líderes en Monterrey para conmemorar hanvalidando uno depara los el modelos docentes antes ejercicios? losen pasos dados para buscarproyecto México la también principal es fuente de fuera de los Estados Unidos, y Siendo su ¿En pasoqué por la institución, mencionados diferente. momento de además la clasedesusdentro las y soluciones, proporcionándoles estudiantes internacionales de la esta noche estamos reconociendo a un rendir un homenaje a un destacado estudiantes resuelven problemas? fuentes de información y fichas de En el primero de ellos, la Didáctica su de presidente, que hadirigido sobresalido sólo ex ¿Qué alumno: Sada laTreviño, es el arte de deTexas, enseñar, mostrar el tiene Adrián más valor: respuestalíder trabajo para no que se como llegue aUniversidad Powers, explicó que desde hace en cada uno de los Billsaber presidente del siguieron? Consejo empresario, previamente construido. En el correcta ohonorario el proceso que lo que él sino espera, se trata entonces años existen programas ámbitos de su vida y en el compromiso Vitro. un apoyo conjunto de un docente que pone en práctica segundo, la Didáctica es de colaboración con el sustentadas país; sin quelos tiene con su país”. de la técnicas para enseñar, C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICA llamados “métodos activos”. Espara se reforzará técnicos el compromiso En La el evento quedocente tuvo lugar el pasado en conocimientos de otras acción del en su aula y las el modelo “incitativo” de Charnay,embargo, en el caso de Nuevo 28 respuestas de junio en el Museo de Historia disciplinas, especialmente de la a las preguntas anterioresCOLABORACIÓN centrado en la BINACIONAL actividad del alumno,y específicamente trabajarán más de cerca con el su parte, el gobernador, Mexicana, Antonio Garza, psicología. están influidas por laembajador concepciónPorpero también orientadoNatividad hacia unLeón Parás, destacó lade influencia de Estados Unidos en México, epistemológica que tienecomentó acerca deGonzález saber ya construido, conceptosgobierno estatal y las instituciones educación superior, así modelos, como en la que existe que en materia quelalos ex alumnos mexicanos dede la sue intercambio el último de los asignatura y los propósitos y procedimientos deberánde En del programa la Ciudad se entre Universidad Didáctica de las de matemáticas enseñanza. de Un Texas, docenteen queAustin, presentaeducativa encontrar bajo México la guía ydelEstados profesor.apoyo dellaConocimiento. el cual dijo,llamado seguirá“aproximasiendo Internacional se los hanproblemas convertido en verdaderos asume como ciencia que estudia los a resolver sólo haciaUnidos, Un tercer modelo, reforzado mediante más programas líderes en México, y como muestra el final de su clase, después de que tivo” por Charnay, corresponde al procesos didácticos, los procesos de colaboración mencionó el ha trabajo de Adrián Sada de maestro estudio deAL lasEVENTO cuestiones matemáticas. él mismo introducido las nociones quebinacional. propone “También, situacionesINVITADOS el evento 1998). estuvieron presentes relaciones de colaboración Treviño, quién concluyó la carrera En nuestro país, la y conceptos que forman partededellas problemáticas a sus estudiantes,y alEn (Chevallard, invitados como Reyes Tamez de intercambio, no solamente en ingeniería en 1941 en la UT. Educación saber a estudiar, es un docente que inicio de su clase pero con la intención reforma más reciente a la Guerra, de Educación; Antonio Záratesus formación sino individual en el Secretario Secundaria contempla, entre concibe la tarea de enseñar comola de provocareducativa la reflexión director curriculares, general del Instituto científico, ALTO DE simple PROFESORES fundamentos teorías que un NIVEL proceso de transmisióndesarrollo y de grupo acerca detecnológico, los posiblesNegrón, Innovación y del Transferencia de un entre lasy universidades Y ALUMNOS el papel profesor como de conocimientos donde el saber escultural procedimientos soluciones. Esde perfilan Tecnología, y el embajador Francisco norteamericanas y las universidades “Ladado, universidad nunca ha sido un lugar ya construido. Aquí el alumno aquél que promueve la indagación, mediador entre los alumnos y el saber. coordinador Ejecutivo del México, las de Javier para tejanos; más ebien ha sido una de la LasAlejo, recomendaciones didácticas debe escuchar imitar, entrenarse, puestaya particularmente prueba, la confrontación de integración con Texas, León,y han aportado grandes Universidad especial con el más Nuevo contenidas en los programas de la ejercitarsemuy y reproducir la respuesta de ideas la argumentación de losprograma para aello progreso, y sesión un de- deINVITE. altoesperada nivel con con profesores y alumnos cuotas asignatura de matemáticas enfatizan el procedimiento alumnos largo de la

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Matemáticas Cultura y Ciencia

Las situaciones didácticas para aprender

Matemáticas

sus propias estrategias de solución y representación. Se requiere que el profesor plantee nuevos problemas, para propiciar la consolidación de un aprendizaje significativo.

la necesidad de que el profesor diseñe o seleccione situaciones de interés para los alumnos, que promuevan la reflexión, la argumentación y la validación de resultados, para aprender matemáticas al resolver problemas. En este caso, se identifica una total correspondencia entre el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica y el modelo aproximativo de Charney, congruente también con la tercera concepción de la didáctica de las matemáticas, arriba anotada. ESTUDIO, LA CLAVE DEL APRENDIZAJE Chevallard señala que el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es el estudio. La clave para aprender matemáticas es el estudio. El estudio de las cuestiones matemáticas en el aula debe hacerse a partir de situaciones didácticas. Brousseau (citado por Parra, 1994) define las situaciones didácticas como “El conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende herramientas y objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con objeto de que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución”. La situación didáctica puede ser un problema o bien algún otro tipo de planteamiento que el profesor proponga a sus alumnos como reto a resolver. Debe asegurarse de que la situación no sea tan difícil que los estudiantes no la puedan resolver, ni tan sencilla de modo que la solución sea inmediata. Los alumnos deben poseer conocimientos para intentar la solución desde varias alternativas. MANEJO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Brousseau enuncia cuatro fases para el manejo de las situaciones didácticas, a partir del planteamiento del problema: Fase de acción: Los estudiantes se mueven para realizar acciones cuyo propósito es resolver el problema. Fase de formulación: Los estudiantes formulan representaciones de

La clave para aprender matemáticas es el estudio.

sus hallazgos, descubrimientos o construcciones. Fase de validación: Los estudiantes argumentan y negocian la validez de sus formulaciones. Fase de institucionalización: El profesor formaliza el conocimiento construido en el aula para aproximarlo al saber construido científicamente. Uniforma las distintas representaciones individuales con respecto a las representaciones convencionales admitidas. Al trabajar las situaciones didácticas de este modo, se concibe al aula como un microlaboratorio donde se van generando procesos de construcción de conocimientos, donde se estudian y se aprenden cuestiones matemáticas. El reto para el docente es precisamente el diseño y la selección de las situaciones didácticas. Al planear su trabajo, debe tener claro el objeto del aprendizaje y las motivaciones de los estudiantes. PROBLEMAS SIGNIFICATIVOS Es recomendable seleccionar problemas que sean significativos para los alumnos y dejar que sean explorados en pequeños grupos de discusión, permitiendo el ensayo y error, la elaboración y puesta a prueba de conjeturas, la discusión y la argumentación. No es el profesor quien valida el conocimiento construido, sino los argumentos y razonamientos apropiados de los propios alumnos. Se tiene que dejar a los alumnos utilizar

Es posible que un docente que ha intentado aplicar el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas aún no logre los resultados esperados. Podría, tal vez, contestar algunas interrogantes, antes de desistir: ¿Qué actitud percibe en sus estudiantes cuando les propone resolver problemas? ¿Los estimula para que comuniquen sus ideas y estrategias, confrontándolas con las propuestas de otros? ¿Una misma situación es problema para cualquier estudiante? También podría revisar el informe de la investigación sobre la enseñanza a través de la resolución de problemas, de Alicia Ávila, realizada de 1994 a 1997 en aulas de escuelas públicas. Entre sus recomendaciones están las de: plantear problemas que en realidad sean un problema para los alumnos, dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas, seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones, hacer explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situaciónproblema, mantener el sentido de las estrategias “espontáneas” en el proceso de aprendizaje y aceptar “devolver” a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje. Los resultados obtenidos hasta ahora utilizando situaciones didácticas como la resolución de problemas pueden mejorarse. Las dificultades para lograr que nuestros alumnos estudien matemáticas de esta manera son un área de oportunidad para seguir aprendiendo.

Leticia Rodríguez Arizpe Es licenciada en Pedagogía, egresada de la UANL; tiene una Maestría en Educación Media en Matemáticas por la Escuela de Graduados de la Normal Superior de Nuevo León. Es autora de libros de matemáticas para secundaria, desde 1982 a la fecha.

Matemáticas

El futuro de la enseñanza de las

Matemáticas Maestro Héctor Antonio González Flores Departamento de Física y Matemáticas / UDEM hgonzalez@udem.edu.mx

as Matemáticas son definitivamente una de las ciencias más importantes del fruto del razonamiento humano, tan antiguas como las culturas china, egipcia, o griega. Concentración del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico -precisamente dos de los insumos fundamentales para el pensamiento creativo- constituyen el lenguaje en el que se encuentra descrito y mediante el cual se puede operar gran parte del conocimiento humano. Una de sus ramas: el cálculo, es la base fundamental del pensamiento físico y, en nuestro tiempo, del pensamiento ingenieríl o tecnológico.

que emplean las matemáticas en su quehacer cotidiano y los que no.

Se trata de un conocimiento fundamental que diferencia la potencia de los profesionistas actuales, y precisamente en este punto es donde adquiere su relevancia en los ámbitos económico, político y social. Podríamos diferenciar a los humanos como los

Esto es un grave error, ya que, siendo las matemáticas el constructor teórico que nos permite plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico, no emplearlas podría ser reconocer que la lógica de nuestras conclusiones no es importante.

CAPACIDAD DE EMPLEAR EL PENSAMIENTO ABSTRACTO En la actualidad, las entendemos como la capacidad de emplear el pensamiento abstracto y poder plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico. Es por esto que preguntamos: ¿de qué manera ponemos en contacto a nuestros niños y jóvenes con las matemáticas? Esto adquiere una tremenda relevancia. De hecho, existen profesionistas que eligieron su carrera porque ésta no tenía matemáticas.

Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más o menos 2. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es empleada en el campo de la inteligencia artificial, y las llamadas redes neuronales. ¿Qué los psicólogos y los neurólogos no deberían saber de esto? Por otra parte, en la didáctica de las matemáticas, al parecer se ha venido resaltando lo que se refiere al pensamiento abstracto, pero de manera exagerada, y esto ha redundado en una didáctica que promueve la mecanización de las operaciones que tienen que ver con las matemáticas. EMPLEO DEL RAZONAMIENTO LÓGICO Porque en las matemáticas existen una infinidad de álgebras, con sus correspondientes operadores. Y, claro, hay que ser hábil en el manejo de esto,

Matemáticas

pero, ¿y el empleo del razonamiento lógico aplicado a la vida cotidiana? Y es aquí en donde la didáctica de esta ciencia flaquea. Pero, ¿que se puede hacer al respecto? ¿Existen en la actualidad herramientas que podamos utilizar? Habrá que responder que, actualmente, David H. Jonassen desarrolla los conceptos; mind tools, que son básicamente herramientas cognitivas basadas en la computadora y learning environments, que son ambientes de aprendizaje adaptados para facilitar el pensamiento critico y el aprendizaje de nivel elevado. De acuerdo con Jonassen, ejemplos de herramientas cognitivas son: •Bases de datos. •Redes semánticas. •Sistemas expertos, calculadoras avanzadas. •Multimedia e hipermedia basada en simulaciones, etcétera. Jonassen establece que la función de las herramientas cognitivas es extender las funciones cognitivas del aprendiz durante el proceso de aprendizaje, y comprometerlo en la construcción de su propio conocimiento. Además, proveen el andamiaje necesario para diferentes formas de razonamiento acerca de algún contenido. Razonamiento: precisamente la habilidad que ejercemos al resolver problemas. Pero hay de problemas a problemas. Definitivamente, una suma, o la solución de una derivada o una integral son un ejemplo de la solución de un problema, pero ¿que tan retador puede ser esto? Si es un hecho que en la actualidad existen calculadoras y programas computacionales que pueden hacer esto, y si reconocemos que una calculadora no puede razonar, entonces nos daremos cuenta del problema acerca de una didáctica de las matemáticas que promueva únicamente la solución de este tipo de problemas. ESTRATEGIA DIDÁCTICA En la actualidad, los problemas ricos en contexto son empleados como estrategia didáctica para promover el razonamiento complejo, y es que

en la vida profesional es donde nos enfrentamos a este tipo de problemas, cuya principal característica es que no tienen una solución única, ya que en su planteamiento no están completamente determinados. Es decir, se necesita realizar consideraciones al tratar de obtener una de las posibles soluciones, y es aquí donde se promueve el razonamiento. Es también un hecho que la tecnología seguirá su avance, y que cada vez tendremos herramientas cognitivas más capaces, que podrán emitir una respuesta cuando se trate de encontrar la solución de situaciones en que se requiera realizar operaciones, ya sean aritméticas, algebraicas, matriciales, vectoriales, o que involucren el derivar e integrar funciones o la solución de ecuaciones diferenciales. RAZONAMIENTO LÓGICO Entonces, los humanos que usamos o que usaremos las matemáticas, no debemos seguir ejercitando únicamente estas habilidades, ya que las calculadoras y las computadoras lo

hacen y lo harán mejor. Por lo tanto, queda claro adónde se debe enfocar la didáctica de las matemáticas: nosotros debemos ejercitar el razonamiento lógico y producir las funciones a las cuales someteremos diferentes operaciones para lograr nuestros propósitos. En otras palabras, debemos ejercitarnos en el empleo de la herramienta matemática como una manera de representar las situaciones que cotidianamente vivimos, con el objeto de modelarlas y encontrar alternativas particulares en la solución o incluso soluciones a problemas no planteados aún. Este panorama podría promover que cada vez más estudiantes optarán por carreras en donde la promesa fuera el conocer y dominar un lenguaje y un conjunto de operadores con los que se puede abstraer al mundo que nos rodea y mediante el cual es posible plasmar nuestro razonamiento y encontrar soluciones optimas, innovadoras y emocionantes.

Héctor Antonio González Flores Es licenciado en Física, egresado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL; tiene Maestría por la misma institución en Enseñanza de las Ciencias, y cuenta también con otra Maestría en Ciencias de la Educación, con Especialidad en la Aplicación de la Computadora, por la UDEM.

Referencias David H. Jonassen,-Chad Carr,-Hsiu-Ping Yueh. (1998). Computers as Mindtools for Engaging Learners in Critical Thinking. TechTrends, v43 n2 p24-32. Rupali Akerkar & Rajendra Akerkar. Strategies for Future Educations in Methematics. Technomathematics Research Foundation, Kolhapur. Kathleen Nolan. (2204). The Future Is Now: The Importance of Modelling Effective Technology Integration in Mathematics Education Classes. Teacher Education. University of Minnesota. Physics Education Research and Development. http://groups.physics.umn.edu/physed/index.html

Matemáticas Maestra Lilia Guadalupe García

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas / UANL liliaggf@yahoo.com.mx

Matemáticas

Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanza de las

Matemáticas

•una actividad abierta de resolución de problemas aislados; •un conjunto de procedimientos algoritmizados que se aplican en situaciones estereotipadas; •un conjunto de procedimientos más complejos articulados alrededor de clases de problemas; •un proceso de modelización de sistemas matemáticos o extramatemáticos”. LO QUE SON LAS MATEMÁTICAS Como la misma autora continúa, “no se trata de determinar si es mejor entender las matemáticas como una teoría, como una actividad intelectual o creativa, como un conjunto de procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón: las matemáticas son una teoría y un lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos y, a la vez una actividad creativa que incluye siempre un proceso de modelización”. Más allá de decidir cuál es la verdadera naturaleza de la Matemática, la autora considera que el interés está centrado en adoptar un modelo adecuado de la actividad matemática; es decir, una manera de entender lo que es hacer matemática y, también enseñar y aprender matemática.

interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes: •Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje. •Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados. •Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas. •Da un soporte basado en la retroalimentación.

Uno de los primeros beneficios que se vislumbran con el uso de la tecnología en los procesos de enseñanzaaprendizaje es la posibilidad de manejar dinámicamente los objetos matemáticos en múltiples registros de representación dentro de esquemas interactivos, difíciles de lograr con los medios tradicionales, como el lápiz y el papel, en los que se pueden manipular directamente estos objetos y explorarlos. USO DE NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA Estudios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas tecnologías abre perspectivas

•Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se aventura más a explorar sus ideas y formula conjeturas, y busca argumentos adecuados para validarlas. •Ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y técnicas mediante el ejercicio de la reflexión. •Y, por último, una de las ventajas centrales de las nuevas tecnologías en la educación matemática, es la capacidad expresiva que otorgan a los estudiantes. Así, la Matemática pasa a ser más que una simple mecanización de procedimientos. La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencialmente diferentes.

con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta

Referencias

Lilia Guadalupe García Figueroa

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Matemáticas Matemáticas

No existe una visión única universalmente aceptada, sobre

cualquier segundalasKeith Raniere llama “matemática absoluta” y más cómoda, que también estaba cuál es potencia la mejorsuperior forma adela utilizar calculadoras y las combinación -tecnología y hojassino de trabajoel profesor encomputadoras dos poderes similares. He descubierto a la hipótesis de que la matemática existe negando la naturaleza de la lucha similar en el aula. Es más, las preguntas adecuadas tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus una prueba verdaderamente maravillosa de temas más allá del pensamiento humano.deHace de cadadistintas persona. mediante Cuando consideramos sobre tecnología no deberían ser sobre amplios tales alumnos tres formas las hojas de esto, paraqué la cual este margen es demasiado notar no cómo sabemos trabajo y quizás jamás que la matemática humana no se conocía que les proporciona. como hardware o software utilizar, sinoque desde estrecho.”. modesta nota, por determinado la mano lograremos conocer cada unoLafunciona en un currículo hasta la relación entre la bien a sí misma hasta hace unos pocos delos Pierre de Fermat (1601en– la1665), matemática absoluta y•Apoyando la matemática cientos a de los años, estudiantes es impresionante cuántola efectos que tienen formanode plantear problemas y guiando durante pudo comprobarse niestudiantes. invalidarse por más humana (ya sea actualizada o potencial), hemos ciencia cuanto resolución de ya las hojas de avanzado trabajo ena ellasalón de yclase. particulares a los de 350 años, sin embargo aún existía en que los límites de nuestras posibilidades de del ésta nos completo. ha hecho Elavanzar. Viendo •En discusiones grupo profesor no debe nuestras matemáticas. Una percepción garantizan laconvertirse inigualdad alenser más de profundo, considere que debe el centro la discusión; debeloprocurar que USO DEposibilidades COMPUTADORAS Y CALCULADORAS comprobación correcta del último teorema layuxtapuestas al concepto de estudiantes la matemáticase apropien haberse requerido de ella. para que los seres Enseñar matemáticas mediante utilización de los decomputadoras Fermat (como seolecalculadoras ha llegado a conocer) absoluta:cambios asumimos la alumnos matemática humanos incluso •Los deben presentar susempezaran opinionesaedesarrollar ideas a los conlleva muchos en que fue publicada por el matemático detrás de nuestro universo es dey un nivel matemática: es simplemente asombroso. demás el profesor sólo debe coordinar esta actividad. lafinalmente organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente angloamericano Andrew Wiles enel 1994. más finocontexto, que la matemática humana. Mi mentor ofrece una bella hipótesis de en el papel que desempeña docente en este en como este monumental avance puede la organización del trabajo de sus alumnos y en la manera Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la saber” investigación. Da libertad a sus estudiantes de en que deloevaluar su rendimiento. Por tanto, dentro de los campos de la Tan pronto algo “se puede en el haberse desarrollado progresivamente exploren maneras de resolver un problema, matemática humana actual y potencial sentido matemático humano se distintas vuelve nuestra historia. representaciones, como también la Las nuevas requieren de acercamiento existen variastecnologías posibilidades: lo que otro se tipo predecible, calculable. viendo Dado sus esto,distintas la utilización de es distintas herramientas. a la calcular; enseñanza, que el puede papel del maestro cambia libre puede lo quepor no selosabe si se cuestión “¿Tenemos albedrío?” Al nivel más rudimentario, dice, es posible radicalmente cuando la clase de matemáticas desarrolla calcular; lo que es imposible de calcular. posible se que sea determinable mediante que nos hayamos preocupado primero Por ejemplo, la ecuación diofántica nuestra matemática; sin embargo, la por entender como humanos cualidad y anterior es algo que podemos demostrar naturaleza misma del libre albedrío puede cantidad, al igual que las relaciones básicas es calculable. En contraste, la idea de algo trascender a la matemática humana, así que entre las cosas. Por ejemplo, veo algo: imposible de calcular puede ser ilustrada puede ser que no tengamos libre albedrío dos rocas (cantidad). Luego las comparo por el concepto de cortar en tres partes en términos de matemática absoluta. Por lo una con la otra: una es más grande y más un ángulo con herramientas euclidianas. tanto, puede ser que estemos consignados obscura (cualidades) que la otra. Conforme Un ejemplo de algo que no se sabe si se a percibir libre albedrío; pero desde una fuimos desarrollando permanencia de puede calcular fue el último teorema de perspectiva justo afuera de la matemática objetos, nota mi mentor, puede ser que Fermat mientras duró sin resolver. Los humana, una percepción tan profunda en la hayamos empezado a identificar las números que encajaban en la ecuación ya estimación de los humanos puede resultar “propiedades” de las cosas en un sentido sea existían o no; sin embargo, no éramos ser poco más que una ilusión. abstracto: esta roca parece familiar... es capaces de demostrar ninguna de las dos como la piedra grande y obscura (ahora posibilidades. una abstracción) que encontré ayer. En vista de esto, la permanencia de objetos Estas posibilidades de la matemática, (la existencia de una cosa en espacio y definidas en términos del pensamiento tiempo independientemente de nuestra humano, empezaron a despertar algunas percepción) bien puede ser considerada la de las cuestiones más significativas para esencia de la matemática. la humanidad. Por ejemplo, si saber es de hecho poder predecir o calcular, ¿es posible Mi mentor propone que quizás un salto de saber todo en el universo? Si así es, ¿el proporciones colosales ocurrió en algún universo es determinista (p. ej. ¿podemos punto entre lograr nuestras habilidades Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización calcular a dónde irá toda molécula?)? de abstracción básicas y el punto en el del trabajo. ¿Hay libre albedrío en el universo? ¿Hay que la matemática (como la entendemos y matemática más allá del pensamiento experimentamos hoy) llegó a ser: casi en un humano? ¿Hay Dios? Y sobre todo, acto de conciencia, nuestra especie dirigió la ¿podemos los humanos alguna vez llegar a ciencia de abstraer hacia entender nuestra saber si alguna de estas cosas existe? propia abstracción. En ese momento, la técnica misma de la matemática humana nació y su recién descubierta naturaleza 1 Bosch, Marianna, El estudio de campos de problemas en secundaria, conferencia (versión autorreflectiva empezó a ser expresada y preliminar) en el Departamento de Matemática y Computación de la Universidad de La Rioja, España, 1997. aplicada abiertamente. Conforme nuestra 2 Orígenes de ladevisión SEIEM-Seminario la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática: búsqueda por entender la esencia de la Investigación en Tecnologías de la Información y Comunicación en Educación Matemática. matemática se profundizó, esto no sólo Ponencias: 1. Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación, decir a cargo que de la Doctora Olimpia Figueras Mourut de Montpellier. Réplica del Me avergüenza al enfrentar esta fórmula porque no existiría!” ¡Puntos trajo consigo frutos en que toda generación Es licenciada Matemáticas, y maestra en doctor Ángel Recio disponible en: http://www.ugr.es/local/seiem de las Ciencias, conque Especialidad mi miedo a lasMartínez matemáticas durante enlalíneapara los demonios de la matemática! futuraEnseñanza podría disfrutar, sino inspiró en SEP Geometría Dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, disponible Matemáticas, por la UANL. Es también maestra preparatoria y la universidad, solía quejarme a la humanidad a explorarse a sí misma en línea http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/recdidacticos/ de tiempo completo en la Facultad de Ciencias de que la “dificultad” del problema frente No sólo estaba negando el hecho de que a nivel Las imparte cuestiones que I, geometriadinamica.pdf Físicofilosófico. Matemáticas, donde Matemáticas Benítez Mojica, David, ¿Por qué usar tecnología computacional en el aula de matemáticas. Matemáticas Matemáticas Discretas, Ecuaciones a mi era culpa de la humanidad. Debatía, el conocimiento y valor heredados de surgieron de II,nuestra siempre creciente Diferenciales. Forma parte del académico “¡Si tan sólo hubiéramos existido hace 100 todo ser humano que me ha precedido matemática naturalmente noscuerpo llevaron a Matemática Educativa, de la misma facultad. o 200 años, no tendría que memorizarme simplemente han hecho mi vida más fácil cuestiones de Dios, el alma y el libre

Matemáticas

Desarrollada en el Tec de Monterrey

Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería Doctor Ricardo Pulido Ríos Departamento de Matemáticas / ITESM ricardo.pulido@itesm.mx

l currículo de las carreras de ingeniería está organizado con el supuesto de que los cursos de Cálculo proveen a los estudiantes de las herramientas matemáticas que les permitan interpretar, modelar y resolver problemas en áreas específicas propias de esas carreras. La bondad de los cursos de Cálculo debería entonces ser juzgada de acuerdo al cumplimiento del estándar de calidad señalado. Voces en todo el mundo (si sirve de consuelo para México) señalan dificultades graves en el aprendizaje del Cálculo.

En el Tec de Monterrey diseñaron una propuesta educativa para la enseñanza del cálculo.

Los índices de reprobados son altos y, lo que es más grave aún, existe evidencia de que los estudiantes que aprueban esta materia curricular no reconocen la utilidad e importancia de las ideas fundamentales del Cálculo.

Superiores de Monterrey se formara un comité de seis profesores con la idea de crear una nueva propuesta educativa para los cursos de Cálculo de Ingeniería.

matematización de las materias de las carreras de ingeniería.

UNA NUEVA PROPUESTA DESARROLLADA EN EL ITESM El reconocimiento de la problemática local, al tenor de la del reclamo mundial, hizo que en enero de 1998, en el Departamento de Matemáticas del Instituto Tecnológico y de Estudios

Este comité se propuso el siguiente objetivo: Construir una propuesta innovadora para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en el Sistema Tecnológico, con las características siguientes: •Servir de soporte a los estilos de

•Desarrollar una actitud Matemáticas.

•Permitir a los estudiantes iniciación científica exitosa. en el positiva

una

estudiante hacia las

INNOVACIÓN MATEMÁTICA A la fecha, el comité ha innovado casi todos los cursos de matemáticas del

Esta nuevamatemáticos propuesta Hay muchos que resulta no son ser una para alternativa diferente a la buenos la aritmética: cometen enseñanza tradicional del Cálculo, errores, olvidan signos de menos, entendiendo a estaunaúltima como la olvidan determinar ecuación y así dictada por libros de texto de autores sucesivamente. Su falta de dominio de la norteamericanos Leithold, aritmética, de hecho, (Stewart, no tiene nada que ver Zill, Larson and Hosteller, Thomas con su habilidad matemática. Considere al and Finney,francés etcétera). La Galois enseñanza matemático Évariste (1811 tradicional presente – 1832). Dos ha vecesestado Galois intentó pasaren el nuestras universidades y las del examen de admisión al École Polytechnique continente americano por más de 60 y fracasó: la primera vez presumiblemente años. Por su parte, basada fuertemente por una “falta de la preparación en la investigación en Matemática matemática usual”; la segunda vez por Educativa, nuestra propuesta prerazones inciertas, aunque es innegable senta una visión innovadora y útil que Galois estaba calificado. Galois se de las ideas fundamentales del inscribió en vez en una institución muy Cálculo, ideas que se encuentran inferior para estudios matemáticos, donde presentes en las formas matemáticas publicó un documento sobre fracciones de accionar en ingeniería y que continuas que obtuvo poco reconocimiento fueron literalmente recuperadas por y envió dos documentos sobre ecuaciones nuestras investigaciones de corte polinomiales a la Academia de Ciencias, los histórico sobre el origen y desarrollo cuales fueron rechazados para publicación. de los contribuciones conceptos del Cálculo. Sus matemáticas no habrían de ser publicadas hasta 11 años

Hoy, un estudiante que aprende Teoría de Galois está aprendiendo los efectos de sus matemáticas, no necesariamente la naturaleza de la matemática de Galois en sí. Por ejemplo, después de reprobar mi curso de cálculo en la universidad lo volví a tomar y pasé. Se podría decir que conocí y entendí los efectos del cálculo; sin embargo, jamás aprendí la esencia de cómo el cálculo llegó a ser derivado, y esa es la verdadera matemática. Como denota mi mentor, “Newton experimentó la matemática. El estudiante universitario aprende y ejecuta la aritmética; este aprende acerca de los efectos de la experiencia que tuvo Newton de la matemática.”.

después de su temprana muerte, y sus métodos condujeron a una investigación más profunda en lo que es ahora llamado Teoría de Galois. Si su habilidad como matemático hubiera sido limitada a su “falta de la preparación matemática usual” de acuerdo con el École Polytechnique, la matemática humana habrían sufrido una grave pérdida. Por lo tanto, confinar la ciencia de la matemática a sus efectos es destruir la ciencia misma.

Comparar los resultados que se obtienen con una propuesta innovadora con respecto a los de una presentación es también La esenciatradicional de la ciencia un problema de investigación, cual La matemática es el mundo en el principios; resulta indispensable de misma. considerar es la esencia de la ciencia cuando uno aspira legítimamente a–Keith que sea tomada en cuenta en el Raniere (física, biológica, o social) plan curricular de otras escuelas o magnitud estos ejemplos son los que le dan potencia está cambiando con un cierto universidades. Sabíamos que nuestra que a la matemática. Incluso nuestra visión propuesta no podía ser evaluada a ritmo. interna de “teléfono dividido en partes” través de exámenes estandarizados, Si la matemática, en el verdadero sentido, no es la matemática. La matemática es los cuales, válgase así decirlo, Una evaluación justa y además no es los efectos con los que hemos llegado la esencia de la existencia de “objeto” tradicionalmente miden lo que es indispensable de las propuestas de a identificar a la ciencia, ¿qué es? Para (en este caso, un teléfono), teniendo una cálculo debe considerar necesariamenenseñado tradicionalmente. atender a esta cuestión, primero considere “propiedad” (divisibilidad) y la esencia de te el objetivo que persiguen y por el el aspecto teórico de la existencia: algo la manifestación de esta propiedad (“el que fueron incluidas en la enseñanza Sipuede por una parte estamos ciertos de existir en teoría pero puede teléfono dividido en partes”). que los estudiantes que han aprobado de la ingeniería: dotar al estudiante trascender a y por lo tanto ser inexpresable los cursos de nuestra propuesta muy de las destrezas, habilidades y en el universo físico. Por ejemplo, junto a Aunque la matemática no existe en el probablemente no podrían responder competencias matemáticas, necesarias mi está un teléfono (un objeto). Mi idea del mundo en sí, es su base misma. La al reactivo tradicional de determinar para comprender a profundidad los teléfono (una abstracción) no es el teléfono ciencia matemática nos permite abstraer sienuna discontinuidad es removible o distintos fenómenos estudiados en las sí. Lo que es más, podemos hablar de más allá de lo que es humanamente esencial; sin embargo, por otra parte materias propias de la ingeniería. Con dividir el teléfono en dos o más partes y observable en el universo físico. Aún la también es cierto que un estudiante esa mentalidad, nos propusimos a su luego volverlo a armar (otra abstracción). percepción humana podría ser vista como formado con la enseñanza tradicional tiempo llevar a cabo una evaluación Podemos encontrar ejemplos sin fin la matemática de nuestro complejo mentedifícilmente podría construir el que resultó necesariamente ser una (efectos) de esta idea en el mundo; sin cuerpo. Por supuesto, esto sólo puede modelo matemático adecuado con el evaluación no típica. embargo, la abstracción misma no existe observarse mediante nuestra percepción que se pueda predecir el valor de una en el universo físico, sólo sus ejemplos, y (es nuestra percepción percibiendo nuestra

En una nota más humorística, mi mentor añade, “Cuidando las puertas de la matemática están los demonios de la distracción: aritmética, álgebra, cálculo (estas cosas que llamamos ‘matemática’) a hurtadillas, esperando para distraer tu atención de la esencia de la matemática a su aplicación práctica.”. Desafortunadamente, cuando las personas fracasan en o son confundidas por las aplicaciones prácticas, se creen ineptas para la causa de estas aplicaciones: la matemática.

percepción) lo que nos atrapa en enigmas estilo “cerebro en un frasco” (p. ej. ¿Es esto la percepción de la percepción, o sólo la UNA EVALUACIÓN NO TÍPICA, percepción?) o Gödel (p. ej. ¿Es perfecta PERO NECESARIA esta forma de percibir?).

Para constatar que nuestros cursos ya rediseñados logran que el En contraste con la física, la cual, aún estudiante esté mejor preparado como un tipo de abstracción permanece para comprender los procesos madentro de los límites del universo físico y temáticos que conducen a obtener sus relaciones, la matemática nos permite resultados importantes de sus cursos abstraer relaciones estructurales que jamás avanzados de ingeniería, llevamos a pueden ser observadas y están más allá del cabo la investigación que enseguida alcance de la física. Juntas, la matemática describimos. y la física se sostienen mutuamente. La física, un subconjunto de la matemática,

Escogimos un tópico de ingeniería está casada con la percepción humana y es que requiriera un alto grado de reforzada por nuestra experiencia física. matematización para su desarrollo, La matemática provee una abstracción y ylosque estuviera presente en por lo procesos / relaciones de abstracción, menos alguna materia de una buena mientras que la física provee la abstracción cantidad de carreras de ingeniería; específica de la construcción a través de la el tópico elegido fue la Ecuación cual puede aplicarse. de Continuidad. Este tópico es

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Matemáticas Matemáticas

nivel básico de Remediales, más entender el ingeniería: cubo Rubik que de hecho Matemáticas II ydeIII, conocidos resolverlo. “La I,ciencia la matemática” como Cálculo Diferencial agrega, Precálculo; “es la codificación de lo que eentendemos; Integral ymientras el Cálculo Varias que losde efectos de Variables. De hecho, se cuenta con dicha ciencia son la habilidad de calcular, los libros de texto editados para los la habilidad de resolver problemas resolver primeros dos cursos. problemas, etc.” (¡como el cubo Rubik!).

Matemáticas

estudiado en por lo menos ocho carreras de ingeniería (entre ellas Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil e Ingeniería en Ciencias Químicas) en diferentes materias como: Mecánica de Fluidos, Hidrología, Balance de Materia, etcétera. Diseñamos un cuestionario cuyo contenido gira alrededor de la forma en que se construye la ecuación de continuidad en el libro de Mecánica de Fluidos del autor White, F. (1994, McGraw Hill) que es usado como libro de texto en la materia del mismo nombre. Los reactivos se relacionan entonces con las consideraciones matemáticas, algunas de corte infinitesimal, que conducen al establecimiento de la ecuación de continuidad. El cuestionario consta de ocho problemas, seis de ellos con dos incisos y los otros dos con uno solo, de modo que podemos decir que en total se tienen 14 reactivos; todos de opción múltiple, a excepción de cuatro de ellos en los que la respuesta es numérica. COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO ESTUDIANTIL Con la idea de comparar el desempeño de los estudiantes que hubieran recibido una enseñanza de las matemáticas basada en nuestra innovación de cursos, Matemáticas I, II y III de Ingeniería, con respecto a los que no, se decidió aplicar el cuestionario en grupos completos correspondientes a materias de semestres avanzados de las carreras de ingeniería antes señaladas. En otras palabras, escogimos cursos cuyos estudiantes ya habían acreditado el nivel básico de matemáticas, esto es, de quinto semestre en adelante. Sabíamos que en tales grupos encontraríamos desde estudiantes que habían acreditado todos nuestros cursos, hasta aquéllos que no habían llevado ninguno de ellos; es decir, estudiantes que habían acreditado solamente cursos tradicionales. Cabe mencionar que nuestra propuesta fue introducida paulatinamente en el Campus Monterrey, conforme iba ganando adeptos entre los profesores, quienes estaban siendo capacitados para impartir esta nueva visión del

Cálculo; resulta natural entonces encontrarse en un momento con estudiantes que habían sido instruidos de manera tradicional y con aquéllos que habían acreditado uno o varios cursos con nuestra propuesta. El cuestionario se aplicó en 16 grupos en el mes de abril de 2004; 10 de ellos en el Campus Monterrey, donde se obtuvieron 247 cuestionarios contestados. Del Campus Ciudad de México se visitaron seis grupos, de donde se obtuvieron 102 cuestionarios. En todos los grupos se les explicó a los estudiantes la intención del cuestionario y se les pidió que ayudaran en la investigación atendiendo con esmero los requerimientos del mismo; se tomó estricto control del tiempo: 20 minutos. En todos los grupos estuvo presente un miembro de nuestro comité. RESULTADOS IMPORTANTES El cuestionario completo y los análisis estadísticos de los resultados de la aplicación pueden ser consultados en el libro: Investigaciones Sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas: Un Reporte Iberoamericano (año: 2006; editado por CLAME, Comité Latinoamericano de Matemática Educativa). Sin embargo, para el propósito de este escrito, vale la pena comentar algunos de los resultados que nos han parecido importantes: a)El desempeño de los estudiantes que fueron instruidos con la nueva propuesta resultó en general mejor que el de aquéllos que recibieron la instrucción tradicional. De hecho, hay algunos reactivos en los que las diferencias, en cuanto a porcentajes de acierto fueron estadísticamente significativas a favor de nuestra propuesta y en los que además los estudiantes instruidos con el sistema tradicional reflejan patrones de comportamiento matemático que

obstaculizan el buen entendimiento del razonamiento propio de la ingeniería. b)Los estudiantes del Campus Ciudad de México (en este Campus no se utiliza la nueva propuesta) se comportaron igual que los del Campus Monterrey que recibieron una enseñanza tradicional. Esto hace suponer que una diferencia a favor de las bondades de la propuesta innovadora puede reflejarse al hacer comparaciones con cualquier institución educativa que practique la enseñanza tradicional (lo que ocurre en la mayoría de las universidades del país). COMENTARIOS FINALES Me gustaría terminar puntualizando dos hechos que considero relevantes: uno de ellos es la creación, por parte de un grupo de trabajo local (profesores del ITESM, pero egresados de la UANL) de una propuesta innovadora para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería. Dicha propuesta (que en parte puede ser visualizada en el libro: Elementos del Cálculo de la editorial TRILLAS) podría dar lugar a un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo en todo el Continente Americano. En otras palabras, se ha generado un conocimiento nuevo sobre educación que podría impactar benéficamente la enseñanza de las matemáticas en nuestro continente. El otro punto que me gustaría subrayar es la forma de evaluar ese conocimiento nuevo: en el terreno donde se dice que va a incidir; en este caso, en las áreas específicas de las carreras de ingeniería, donde supuestamente debe estarse utilizando lo aprendido en los cursos de cálculo. Creemos que esta visión de la evaluación, aunque simple, no ha sido puesta en práctica en la escala que se debiera; nuestra manera de hacerlo pudiera dar pautas para llevar a cabo esa necesaria tarea.

Ricardo Pulido Ríos Es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas del ITESM;, y tiene doctorado en Matemática Educativa por el CINVESTAV; es coautor del libro Elementos del Cálculo: reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. Es miembro del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Visualización Matemática como habilidad docente

No hace mucho tiempo, tuve la oportunidad de hacerle a Keith Raniere una pregunta relacionada con teoría de sistemas durante un foro abierto. La cuestión, gestada en mí durante varias semanas , llevaba consigo la deliciosa anticipación de estar próxima a su resolución. Momentos después de presentar mi cuestión exclamó, “¡Eso es simple!” y rápidamente se hizo llegar a una pizarra, deseoso de ilustrar su respuesta. Con cada símbolo que escribió, a pesar de que su cuerpo me impedía ver la pizarra, me iba emocionando más. La respuesta estaba cerca...¡podía sentirlo! Y sí, el largamente esperado momento llegó cuando finalmente se hizo a un lado y pude ver la pizarra. Ahí, grabada en la pizarra, estaba una larga y desconocida ecuación matemática. Estoy segura de que si mi conciencia me lo hubiera permitido, hubiera registrado una amplia sonrisa en su rostro. En vez de ello, hice lo que cualquier marsupial inteligente haría cuando se le amenaza o se le hace daño: bajó mi presión arterial, mis músculos se paralizaron, mi visión se hizo más estrecha, mis ojos se nublaron, mis labios se contrajeron, enseñé los dientes, hice espuma por la boca...bueno, no exactamente, pero parecía que mi proceso de pensamiento (y en consecuencia mi cuerpo) instintivamente se hacía el muerto. En algún momento entre el sonido de su risa y dos palabras que mi cerebro reconstruyó segundos después (“¡Era broma!”) recuperé un poco más de mi conciencia usual. Este, por supuesto, es el sentido del humor de mi mentor. Para nosotros, los “matematifóbicos”, puede haber sido sólo una oportunidad más de despertar nuestro tlacuache interior. Durante mis años escolares y entre mis conocidos en general, he notado que las personas a fin de cuentas responden a la matemática ya sea con entusiasmo o con miedo. Presentar un problema de

Escrito por Ivy Nevares / Conceptos de Keith Raniere

Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática.

Doctora Lilia López Vera Coordinadora y Maestra de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Especialidad en Matemáticas / UANL lilia_lopez@hotmail.com matemáticas a una persona con mente por fuerza resultará en una de las dos matemática, como lo es mi mentor, es respuestas ya mencionadas. nte lasa demandas nacionales similar a liberar un niño hiperactivo en e internacionales de innovación educativa la generación y aplicación en un cuarto que lleno conduzcan de juguetes, ajuegos y un Si Ud., como yo, del ha conocimiento tenido un miedo un desarrollo social sustentable, se propone la transformación de sinfín de medios de entretenimiento. Por vitalicio a la matemática: hay esperanza, procesos de un enseñanza-aprendizaje, que propicien la en construcción el contrario, presentar problema de siga leyendo. Si está Ud. el extremo de competencias profesionales en laopuesto, consolidación de sólo la puedo Sociedad del matemáticas a una persona que no tiene siga leyendo: imaginar Conocimiento. “mente matemática”, por así decirlo, que su amor por la matemática se volverá podría incitar una respuesta tan severa más profundo. Si Ud. clama no sentir nada Las Tecnologías Información Comunicación se han convertido en como si la personade estuviera cara a ycara respecto a (TICs) la matemática, pruebe esto un elemento constitutivo de la generación y aplicación del conocimiento en con Satanás mismo. Por supuesto, es (proveniente de la prueba “Hoeflin Power el desarrollo del una continuo Ciencia-Tecnología-Sociedad, y han rebasado la posible argumentar excepción a esta Test” de cociente intelectual): capacidad de actualización docente e implementación de las mismas en las dicotomía: la persona que (habiendo instituciones educativas. dominado un cierto nivel de matemáticas) Si un cubo y un tetraedro se traslapan, ¿cuál no siente pasión alguna. Sin embargo, al es el número máximo posible de piezas En particular, comunidad Matemática Educativa momento que lala complejidad delnacional problema e internacional sólidas (p. ej. de volúmenes completamente investiga la disponibilidad creciente de computadoras y calculadoras gráficas supere el conocimiento matemático de encapsulados y carentes de subdivisiones)? con persona, capacidades de manipulación esta su aparente falta de pasión simbólica y dinámica, para rediseñar

la enseñanza de la Matemática en situaciones didácticas e implementar la enseñanza mediada por las TICs en diferentes niveles educativos.

Ojos que no ven, corazón que no siente FORMACIÓN INTEGRAL

DE PROFESIONISTAS DE LA MATEMÁTICA Hace años, mi mentor se imaginó una caricatura muy ingeniosa, que puede o no ya haber Es parte delpor desafío e intelectual de lapresenta Facultad depersonaje Cienciascaminando Físicas y sido ilustrada algún social caricaturista. La caricatura a un Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León (FCFM UANL), apoyar por una calle mirando hacia adelante. De los ojos del personaje surge una especie de el desarrollo sociedad neoleonesa del país, mediante la formación integral cono, similar a de las la luces de un vehículo en la y noche, iluminando lo que parece ser el campo de profesionistas la Matemática, con visual competencias para layaportación directa visual de la persona.de Dentro de este campo está lo ordinario lo mundano; cosas de su que saber científico y tecnológico a lacamino. solución problemas los sectores típicas uno se encontraría a lo largo del Sinde embargo, justode afuera del cono educativo,alproductivo y la de“oscuridad”) servicio. hay todo tipo de monstruos, seres extraños, (rodeando personaje en duendes y demás. Para el personaje, lo que existe dentro del cono constituye su idea

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Matemáticas Matemáticas

Permanencia de los objetos

Matemáticas

El Corte Vertical y Horizontal se basó en el análisis de programas de estudio y entrevistas con docentes, para investigar sus concepciones, respecto al estado de desarrollo de las habilidades del pensamiento geométrico y la pertinencia de los cursos de Geometría Analítica del Espacio y Cálculo Vectorial, en la UANL y en otras universidades. Del análisis de objetivos institucionales e investigaciones educativas sobre el desarrollo de competencias (saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales) en los estudiantes, se evidenció la necesidad de formar habilidades lógicas, algorítmicas y sociales como habilidades docentes a nivel productivo, considerando la importancia de que el docente facilite la construcción de los conocimientos y diseñe las actividades prácticas e investigativas que propicien aprendizajes significativos, por lo que en la presente investigación se identifican las habilidades matemáticas como habilidades componentes de las habilidades docentes de estudiantes y egresados. Se toma de Leóntiev (1981) que “para definir habilidad, se debe partir del término actividad (sujeta a un motivo) que se realiza por acciones (orientadas a un objetivo), estructuradas por operaciones (subordinadas a condiciones), en donde, sólo varía el aspecto operacional, pero el objetivo permanece”. Además, se asume la clasificación de habilidades en Específicas, Lógicas, de Estudio y Profesionales dada por Fuentes, H. (2000), quien a la vez define los siguientes niveles de desarrollo de las mismas: Nivel Elemental (relativo a un objeto concreto). Nivel Automatizado (casos resueltos en la carrera, repetitivo). Nivel Perfeccionado (otros casos de la carrera). Nivel Generalizado (otros campos de la vida, productivo). En particular, las habilidades profesionales se definen como habilidades que constituyen el contenido de aquellas acciones del sujeto orientadas a la transformación del objeto de la profesión, las cuales se sistematizan a lo largo del proceso de formación del profesional, hasta adquirir un grado de generalidad tal, que le permita aplicar los conocimientos, actuar y transformar su objeto de trabajo, y por lo tanto resolver los problemas más generales y frecuentes que se presenten en las diferentes esferas de actuación profesional. DIAGNÓSTICO DE LA REALIDAD El objeto de estudio y el campo de acción se abstrajeron del diagnóstico de la realidad objetiva y subjetiva, sobre la demanda de la implementación de las TICs en el aula y sobre el estado de desarrollo de habilidades matemáticas y profesionales en estudiantes de FCFM: se implementó el uso de graficadores como el MicroCalc, Derive, Matlab, Mathematica y CABRI, constatando las deficiencias que tienen los alumnos para ubicar espacialmente en el Plano (R2) y en el Espacio (R3) los gráficos de curvas y superficies obtenidos en pantalla. Se incursionó en la modelación y solución de situaciones problémicas contextualizadas en problemas propios de la comunidad neoleonesa. Se aplicaron aspectos del método Investigación-Acción, como proceso dinámico grupal, científico-técnico, en el cual, a través de componentes de la técnica de observación participativa, se constató el deficiente desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática para Representar y Transferir (gráfica y simbólicamente) los Campos Vectoriales (magnéticos, eléctricos o de calor) que afectan a un flujo contenido en un sólido (ducto o contenedor) y a las superficies que acotan a dicho sólido, o fuerzas que actúan sobre una partícula que se mueve en una trayectoria (función vectorial). Los resultados de la experiencia didáctica argumentaron la existencia de deficiencias, en la relación conocimientos-habilidades-actitudes. En particular, es urgente que los docentes de nivel superior propicien el desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática en sus alumnos, en la consecución

Celebrará la Sociedad Matemática Mexicana su congreso anual en la UANL graficación de conceptos y teoremas sobre las funciones reales y funciones vectoriales en el plano y en el espacio, requeridas en la disciplina y en la solución de problemas de diversos sectores sociales. Desarrollar la habilidad de transferencia de las percepciones tridimensionales a representaciones bidimensionales y viceversa es una demanda de los programas de Licenciaturas o Ingenierías, pero en determinado momento histórico René Descartes (1595-1650), afirmó que la graficación en el espacio no es una extrapolación de la graficación en el plano, tanto de funciones reales de dos variables (superficies), como de funciones vectoriales (curvas); no se realizan fácilmente haciendo ligeras modificaciones a la graficación en el plano.

del todo en cualquier contexto. Pero, hablar de ubicación espacial de objetos tridimensionales graficados en R3, representado convencionalmente en un “objeto bidimensional” (la hoja o la pantalla en la PC), con puntos de referencia fijos y móviles, es hablar de una habilidad factible de desarrollar en el Nivel Superior, la cual debe ser definida explícitamente con carácter secuencial y de ascenso como sigue:

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Bidimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado bidimensional: izquierda-derecha de X=0 o X=K, arribaabajo de Y=0 o Y=K. (objetos de una o dos dimensiones sobre R2 )

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Tridimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado tridimensional: arriba-abajo de Z=0 o Z=K, izquierdaderecha de Y=0 o Y=K, al frente-atrás de X=0 o X=K. (objetos de una, dos o tres dimensiones sobre R3, antes y después de transformaciones geométricas y/o transformaciones de coordenadas).

Destaca el presidente del organismo la importancia ENFOQUE HISTÓRICO CULTURAL La autora coincide con tan importante Desde un punto de vista psicológico, se de la disciplina, y afirmación y la considera vigente. Es propone una metodología basada en el posible que se piense que tal dificultad enfoque histórico cultural, en la que, dice que aprender se ha rebasado y que actualmente la a través de instrumentos semióticos, graficación en el espacio “se realiza se desarrolle la Visualización matemáticas es aprender fácilmente”, apoyada en la usabilidad y Matemática Tridimensional, con un amigabilidad de poderosos asistentes nivel de asimilación productivo y formas de pensamiento matemáticos que incluso propician la creativo, para poder modelar tanto manipulación virtual. objetos geométricos manipulables, y estrategias como objetos geométricos virtuales, HABILIDADES REQUERIDAS en la que el diseño e implementación para la solución de EN LA VISUALIZACIÓN de las TICs tome como un referente MATEMÁTICA relevante los postulados de Vigotsky problemas De la literatura científica investigada, sobre el carácter mediatizado de la

habilidades, ya que no se trata de la formación de la imagen de la acción, sino de la acción mental del propio sujeto. En el contexto de la Computación Gráfica en el Plano y en el Espacio, se registran relevantes investigaciones sobre Visualización. La autora concluye que la habilidad de Visualización Matemática debe constituirse en una Habilidad Docente, dado que a partir del análisis de los procesos visuales y el razonamiento matemático requeridos en la Transferencia entre diferentes representaciones semióticas, identifica la habilidad de Visualización Matemática Bidimensional y Tridimensional como una habilidad profesional, la cual debe desarrollarse a un nivel generalizado.

se concluyó que: Representar y psiquis humana, el carácter social del Transferir son habilidades requeridas aprendizaje y el carácter histórico del en la Visualización Matemática, pero desarrollo cognoscitivo del estudiante; Por Joloyinvestigación se eviden- y se fundamente además en la Teoría enCarlos la presente al 19 de octubre, la Universidad ció que ella14Visualización Matemática de laAutónoma Actividad, considerando al de Nuevo León, vía Facultad Ciencias Físico de superficies limitantes delasólidos y deestudiante como sujeto de su propio Matemáticas, será la sede del Congreso Anual curvas limitantes de las proyecciones aprendizaje, por ser él quien debe de la Sociedad Matemática Mexicana, que espera en los planos coordenados, depende apropiarse de los conocimientos y recibir más de mil participantes directamente de 500 la habilidad de entre profesores, investigadores y estudiantes de matemáticas provenientes Ubicación Espacial Matemática. de universidades de toda la república y el extranjero. La autora suma esta última habilidad Alejandro Díaz Barriga, de la sociedad, explicó ATENCIÓN A LOS ESTUDIANTES a las habilidades de presidente Representación que la semanapara de trabajo del congreso se Es realizarán Para los estudiantes, seCiencias tratará de Matemáticas ofrecer información paraen y durante Transferencia, conformar licenciada en Matemáticas por la Facultad de Físico de la UANL; maestra enacuerdo Matemática Educativa el CINVESTAV, y doctora en Ciencias con Especialidadyen diversos eventos enfocados a grupos específicos poner por a su alcance las distintas áreasPedagógicas de las matemáticas, un subsistema de habilidades de Cienciasde Matemáticas, por el Centro de Estudios de Ciencias de la Educación de la Universidad de Camagüey, Cuba. a la los Visualización propios participantes, ya que Matemática Bidi-existirán eventos y así facilitar la decisión de hacía dónde quieren encaminar su conferencias a la investigación mensional dirigidos y Tridimensional, y la en matemáticas; profesión, dijo Díaz Barriga, quien comentó que además de habrá también un espacio en el cual conceptualiza. Conceptualización de se den a conocer los eventos para la comunidad especializada, se realizarán La base conceptualactividades que sustenta aldirigidas aporte teórico de la autora se objetivo tomó de autoridades: como reportes de investigación y se pueda generar el intercambio a ylapráctico sociedad con el de dar un la habilidad de Ubicación Espacial Leontiev A N, Vigotsky L S, Galperin PYa, Rubinstein S L, Talízina N F, Álvarez C, Fuentes H, Comenio J A, deMatemática: conocimiento participantes. a la comunidad general. Esentre un los hecho que una Brousseau G, Van Hiele,servicio Guzmán M., Duval R., Godino J, en Douady R, Álvarez J, Hitt F, Cantoral, R, Farfan R, Díaz Barriga F, De Pablos, Lavorde C, Kaput J, Barrera S V, Rivaira C, entre otros. habilidad del pensamiento lógico es

Lilia López Vera

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Matemáticas Matemáticas

Eldelpróximo mes de octubre aprendizaje significativo de la Ubicar (o localizar) el lugar relativo que ocupa una parte determinada dentro

Matemáticas

Matemáticas y realidad educativa Doctor Juan Antonio Alanís Rodríguez Tecnológico de Monterrey juan.antonio.alanis@itesm.mx

na inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que las Matemáticas son aburridas, difíciles de aprender y de poca o de nula utilidad; muchos llegan hasta a odiarlas, y eligen sus carreras universitarias entre aquéllas en las que suponen no necesitarán mucho o nada de ellas. Como se verá a continuación, lo que se afirma en el párrafo anterior no es del todo preciso. Es importante advertir tal imprecisión sobre todo para aquéllos que se dedican a la enseñanza de las Matemáticas y que han intentado sin éxito mejorar su práctica docente. La imprecisión está a la vista al reconocer que las Matemáticas (las matemáticas producidas por los matemáticos) no están presentes en la escuela tal y como históricamente surgen y se desarrollan. Lo que aparece en la escuela son versiones de las Matemáticas y no las Matemáticas mismas; a esas versiones se les llama Matemáticas Escolares. Así pues, lo que la inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que son aburridas, difíciles de aprender y de poca o nula utilidad no son las Matemáticas, sino las Matemáticas Escolares.

causantes de que los estudiantes piensen así de lo que aprenden o intentan aprender? Y, si lo son, ¿cómo construir versiones mejores de las Matemáticas para presentarlas en la escuela?

PREGUNTAS PERTINENTES De lo anterior surgen, entre otras, las siguientes preguntas: ¿qué son las Matemáticas? ¿Qué rasgos de ellas están presentes en las Matemáticas Escolares? ¿Son esos rasgos los

En lo que resta de este ensayo y como objetivo del mismo, se dará, de forma resumida y breve, respuesta a cada una de estas preguntas; aunque se aclara de antemano que esto se hará implícitamente.

Las Matemáticas son una actividad humana de resolución de problemas de la realidad física, biológica y social. Como respuesta a esos problemas surgen y evolucionan los objetos matemáticos: procedimientos, conceptos y teorías. Las Matemáticas son un lenguaje que se construye para comunicar esos problemas y sus soluciones. Y las Matemáticas son, también, un sistema conceptual lógicamente estructurado y socialmente compartido, emergente de

Foto por Brian Gavriloff.

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Matemáticas Matemáticas

Las Matemáticas: belleza simplista y lenguaje de genios

la actividad de matematización. La enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado a esta ciencia ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o como un lenguaje formal. Se ha supuesto que los estudiantes entienden un concepto con sólo darles su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden un resultado al presentarles su demostración Maestro Rodrigo (su Sotodeducción lógica a partir de otros resultados previamente Mercadotecnia de las Ideas demostrados), y que tal entendimiento rodrigo.soto@cocytenl.org y tal comprensión les permitirán aplicar las Matemáticas. lgunas veces he pensado en LO QUE PIENSAN ESTUDIANTES perderme enLOSmi universo Todos los datoscreativo, empíricos ydisponibles neuronal poder contradicen datos entender una este sola supuesto. cosa: la Esos belleza más bien con loEsaque simplista de concuerdan las Matemáticas. piensan las Matemáticas la mayoría misma que de influyó en grandes mentes, los estudiantes; perdón, lo que de de genios como Pitágoras, Euclides, piensan de las Matemáticas Escolares. Gödel, Einstein, Nash, Beethoven, Mozart, Russell, entre muchos otros; Por mucho tiempo compartiendo se pensó, (hay personajes a quienes, aúnEd lo Harris piensan) causas lo quienes dicho por enque su las último de de losLudwig resultados nada halagadores papel en la película Copying de la enseñanza Beethoven, Dios no tradicional solamente de leslas Matemáticas carácter susurró al oído, son sino sólo que ade ellos les psico-pedagógico; es decir: gritaba. -Los estudiantes no quieren o no pueden integrarse enenelsufuncionamiento de la Es por ello que, locuacidad genial, clase, más por “desidia”, de interés”, fueron allá del “falta pensamiento “falta dey supieron motivación”, “preparación tradicional comprender la inadecuada”, de complejos capacidad”, dinámica de los “falta sistemas etcétera. O bien: para que cada uno de ellos, en su -Los de enseñanza área del métodos conocimiento, sobresalieradel profesor impiden, no facilitan, y nos heredara una opieza más delque los alumnos se integren en elen funcionarompecabezas del universo que OMNIPRESENCIA Pero si dudamos de esta belleza, mientoyde vivimos, enla elclase. que el orden es regido DE LAS MATEMÁTICAS veamos la perfección de la proporción por “Dios” o por el Blind Watchmaker Desde el código que usamos para divina (1.618033988) presente, de decir, seevolucionista pensó que el Richard problemasacar dinero del cajero, pasando por acuerdo con Wikipedia, en la relación delEs biólogo son los alumnos o el profesor, no loslas ecuaciones de lógica matemática de distancia entre las espirales del Dawkins. contenidos de la enseñanza. de Gödel con su famoso Teorema de interior de cualquier caracol, en Entrando en este ordenado modelo la Incompletitud, hasta la geometría la relación anatómica de nuestra Sin embargo, por más que se ha dotadofractal que gobierna el movimiento especie (como la relación entre el dinámico en el que vivimos, podemos tanLáctea, próximo? no rebase De un tiempo a la fecha, a los profesores de técnicas decir que Dios, entre muchasdidácticas otras de ¿Qué de la boca y el dematemáticos la nariz), la Vía estaQue ciencia, que eldiámetro tiempo que evaluarán en clasey sula educativos piensan que los problemas no se que devoto, ellos tengan cosas, es ha un logrado matemático pues elestudia concentración y ubicación de los lasencantidades, las formas quepresente. no se evalúe conpétalos de la de enseñanza de lalasrelación Matemáticas éxito deseado. sólo con mirar detalladamente el diseño sus“comprensión” una rosa, de interacciones yestá problemas diferentes de aquéllos queabejas no son o noysólo son los estudiantes del macrocosmos y microcosmos, nos macho hembra en un panal, los profesores, ante todo, PRÁCTICA MECANICISTA daremos cuenta rápidamente de que el Es han en algunassino, ocasiones, en ellos así memorizado. que no nos queda otra cosa asíocomo, contenidos; es decir, las versiones En su desesperación, los inmerso profesoresmás que estar de acuerdo con lo diseño código de ambos se encuentra de un brócoli romanesco, sin bien coneruditos esto sehan logra abatir de las Matemáticas que aparecen en lo que llamado unaqueSi muchos en caen el lenguaje de se las ha matemáticas. la misma composición de las dicho: la elolvidar tan preocupante alto porcentaje en laque escuela, versiones que han práctica mecanicista, que teórico consistey encapacidad Igual a lo dicho por el físico flotan en el universo. de admiración estética galaxias de reprobados, logra que lograr queprofesor los estudiantes matemático, John D.memoricen Barrow, varía de persona no en se persona, y alos enfatizado de manera predominante estudiantes aprendan con compresiónDeelloque las Matemáticas son uncon sistema procedimientos lasdefiniciones matemáticasy le dan sustanciadeal talveces anterior, y de acuerdo el es muy subjetiva; sin embargo, y innegable puedan es aplicar realmente conceptual lógicamente estructurado, manera que losalrededor. puedan repetir cuandoalgo mundo a nuestro del profesor Barrow, tenemos la belleza que se loanálisis aprendido. un naturaleza lenguaje, ydeomiten casi por se les demande en el futuro próximo.concentra los sistemas en torno a las Matemáticas. queo “la

Matemáticas

“El curso fue aplicado de la mejor manera en que lo pueda imaginar, porque nos hacía pensar antes de que alguien nos diera la respuesta”.

completo el que las Matemáticas son ante todo una actividad humana de resolución de problemas, que finalmente conlleva a los otros dos rasgos característicos de esta ciencia. Para estos matemáticos educativos lo importante no es enseñar los resultados de una actividad, sino la actividad misma. Para ellos, los estudiantes deben aprender las Matemáticas matematizando organizando la realidad, que no se restringe a lo físico, biológico o social, sino que se amplía a todo aquello imaginable o razonable para los estudiantes. Una fuente importante para la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente es la historia de las Matemáticas. Por ejemplo, en la historia se encuentra que el problema de matematizar el cómo cambian las magnitudes continuas, condujo al surgimiento y desarrollo de los procedimientos y conceptos sobre los cuales finalmente se estructuró el Cálculo, esa rama de las Matemáticas que en los últimos tres siglos ha sido el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia occidental. CURSO INTRODUCTORIO A propósito, un grupo de profesores del Departamento de Matemáticas del Tec de Monterrey, Campus Monterrey, ha llevado a la escuela el problema de matematizar cómo cambian las magnitudes continuas. Ello les ha permitido elaborar una propuesta de qué enseñar en un curso introductorio al estudio del Cálculo, propuesta en la que se favorece el que los estudiantes

construyan, consoliden y apliquen los saberes propios de esa rama de las Matemáticas. Esa propuesta se ha implementado con éxito, en particular en una de las preparatorias de dicho Campus. Los siguientes comentarios de estudiantes atestiguan éste hecho: “En mi opinión, los contenidos de este curso son estupendos, porque todo el conocimiento que aprendimos lo podemos usar en nuestras vidas, y porque ahora sabemos de dónde vienen las fórmulas y las ecuaciones, y cómo obtenerlas”. “En este semestre vimos muchas y muy variadas cosas. Todas ellas fueron aplicadas a la realidad. Cada nueva cosa que vimos estaba relacionada con la vida, y eso las hacia muy interesantes. Creo que el contenido del curso fue muy bueno; me hizo ver muchas cosas que no había advertido, que lo que antes había aprendido podrá ayudarme en la vida algún día”. “Este curso lo disfruté mucho. Aprendí la aplicación de muchas cosas vistas en el pasado, pero que nunca antes las había aplicado. El contenido del curso es muy completo e interesante”.

“Este curso realmente me ha ayudado a comprender la manera en que las matemáticas son usadas en la vida real. En contraste con los cursos que había tomado en el pasado, éste me dio una real comprensión de qué hago y por qué. Esto ha sido por la manera inusual de trabajar en clase, enfrentar problemas reales e intentar encontrar por uno mismo sus soluciones; realmente ayuda a que comprendamos los procedimientos y a que nos guste la clase. Personalmente creo que este semestre he disfrutado mucho más las mates, porque ha sido fácil comprender los problemas y, como consecuencia, ser capaz de resolver otros que podamos enfrentar en la vida. Esta clase, en mi opinión personal, ha sido un éxito, porque ha cubierto todos los objetivos que tuve desde el principio del semestre, de una manera que nunca imaginé. Y esto me ha ayudado a tener una opinión mucho más crítica acerca de las Matemáticas”. Hasta aquí se ha dado ya respuesta a cada una de las preguntas que se plantearon acerca de las Matemáticas y de las Matemáticas Escolares. Para finalizar, se invita al lector dedicado a la enseñanza de las Matemáticas a hacer una reflexión sobre todo lo dicho en este ensayo; pues, así como se le ha sugerido que el aprendizaje de las Matemáticas debe originarse en el intento de los estudiantes por organizar su realidad, con la reflexión caerá en la cuenta de que lo que ha de aprender para mejorar su práctica docente debe originarse en su intento de organizar su realidad educativa.

Juan Antonio Alanís Rodríguez Es licenciado en matemáticas por la Universidad Autónoma de Nuevo León. Obtuvo los grados de maestro y doctor en Ciencias, con Especialidad en Matemática Educativa, en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional; es profesor de tiempo completo del Departamento de Matemáticas del Tecnológico de Monterrey, y coautor de varios libros.

empíricos para la reflexión sobre los procesos educativos escolares se tomarán principalmente del aula del alumno-docente, la que se transformará en espacio de observación de procesos de aprendizaje, de reflexión sobre las formas de enseñar y de recolección de datos y también tendrá la función de laboratorio de experimentación del grupo de trabajo adscrito a cada proyecto de desarrollo; por ello se ha denominado Aula experimental en el Esquema 1, en el cual se muestran las relaciones entre las unidades de aprendizaje y el salón de clase del alumno-docente.

•Diseñar un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula cuyo propósito sea la resolución de un problema concreto.

Como el trabajo de los proyectos de desarrollo es una actividad colectiva, las diferentes propuestas para intentar resolver los problemas elegidos por los alumno-docentes serán puestas a consideración de los miembros del equipo con la intención tanto de enriquecer las estrategias planeadas por los individuos, como de llevar a cabo procesos de evaluación del trabajo realizado.

EL PROYECTO DE DESARROLLO Esta unidad de aprendizaje versa sobre un tópico de la educación matemática relacionado conPérez una Maestro Astolfo Maldonado problemática general deNacional la educación Universidad Pedagógica maldonado.astolfo@gmail.com básica, o con una didáctica específica, o bien con un problema particular del La fase II concluye con un informe nivel educativo en el que laboran los CELEBRACIÓN DE NUEVE l problema de los bajos resulViven en nosotros innumerables otros discusión grupal, nos dimos cuenta del diseño de una estrategia de SEMINARIOS alumno-docentes. que el fundamento del algoritmo se tados en la prueba PISA es que o un proceso de valoración Para alcanzar las metas propuestas para Fernando Pessoa enseñanza relacionaba con la suma de tres o nuestros estudiantes no aplican Al inicio de sus estudios, cada alumno- el proyecto de desarrollo, el trabajo se de algún componente del trabajo en más fracciones igualadas a la unidad. a la vida cotidiana lo aprendido en la docente podrá elegir de entre una lista ha organizado con la intención de que el aula, según el objetivo general del Ella extrapoló este procedimiento a la escuela. Creo que una solución a este de proyectos de desarrollo que los sea posible realizarse en tres años, a proyecto de desarrollo en el cual se solución de problemas que implican la problema es el empleo, en la curricula miembros del DME diseñen para una de través de nueve seminarios, como se haya inscrito el alumno-docente. La igualdad de dos razones. escolar, de la teoría cognitiva del las generaciones del Programa, aquél muestra en la Tabla 1. Esos seminarios puesta a prueba de la estrategia o la desarrollo sociocultural de Vigotsky y que más se vincule con sus intereses están estructurados en tres fases: ejecución del proceso, serán la tarea Terminamos el periodo escolar de seguidores. de reflexión sobre la enseñanza de Diagnóstico, Planeación e Intervención. principal de la fase siguiente. invierno. No sé qué hará un maestro las matemáticas y su relación con Los objetivos de cada una de estas que se encuentra al frente de un grupo Algunos investigadores sostienen que Intervención: En esta fase el alumnolos procesos de aprendizaje que se fases se delinean a continuación. multigrado en una escuela rural, la gente se apoya en sus creencias para docente pone a prueba la estrategia de generan en el aula, en particular en su ¿Reprueba a sus alumnos en la creencia resolver problemas fuera del ambiente Diagnóstico: En esta fase el alumno- enseñanza diseñada para resolver el propio salón de clase. de que esto los hará ser mejores? escolar; por mi parte, afirmo que es la docente realizará los análisis problema concreto seleccionado en la ¿Registra su desarrollo cognitivo en intuición la que se emplea en tal caso Los equipos de trabajo que se necesarios de lo que ocurre en su fase I, o bien lleva a cabo el proceso de un portafolios y recomienda qué hacer e identificamos esta función con la del formen en torno a un proyecto de salón de clase, con el desempeño valoración del componente del trabajo al próximo maestro? No sé, pero en mi lenguaje interno. desarrollo no deben exceder seis de sus alumnos, con su forma de en el aula elegido en dicha fase; este caso, comuniqué a los directivos de la alumno-docentes por cada pareja planificar las actividades de los niños trabajo le permitirá: institución lo que estaba pasando. Lo importante de lo anterior es de investigadores (responsable y o jóvenes y con las maneras de evaluar •Realizar una intervención puntual en que Vygotsky y seguidores nos co-responsable); empero se podrán el desempeño de los estudiantes. Por su aula experimental, y Tiempo después, Dubet1 hizo que yo comunican cómo podemos usar el unir al proyecto estudiantes de los medio de este trabajo analítico el •Evaluar los resultados de la lenguaje y las herramientas como dudara. ¿No estaré añorando la escuela intervención en función del desempeño programas de Maestría y Doctorado en alumno-docente podrá: mediadores para el aprendizaje y pasada y quiera verla como el templo Delimitar una problemática de los niños o adolescentes y de la Ciencias, Especialidad en Matemática • así contribuir al desarrollo de los donde se enseña la ciencia y la razón? Educativa que ofrece el DME y los co- específica en su aula experimental problemática planteada. alumnos. Esta idea ha estado presente lo más accesible posible, por lo que En la escuela actual, el problema no es legas de este departamento o de otras que le interese estudiar de manera en mi pensamiento en el transcurso llevamos un texto que considera la de certificados; es de responsabilidad En la última etapa de esta fase se instituciones educativas interesados sistemática. de los pasados días. Intentaré dar construcción del conocimiento mate- entre estudiantes, maestros, padres someterán a discusión de los miembros en una problemática particular de cuenta del origen de la misma: y sociedad para decidir hacia donde mático. la enseñanza de las matemáticas. La fase I concluye con un informe durante el último seminario del va la formación de los futuros La idea central de un trabajo de este del diagnóstico realizado y de la proyecto de desarrollo los informes 5 DE DICIEMBRE En una de las actividades pedí al ciudadanos. tipo es favorecer la interacción de los fundamentación de la elección de un de cada uno de los integrantes del En un lugar del sistema educativo grupo que revisara el tema de razones alumno-docentes con la comunidad de problema concreto, el cual será objeto equipo, trabajo que debe constituir nuevoleonés, de cuyo nombre no quiero y proporciones. Carmen respondió Como maestro, invité a las autoridades un proceso de evaluación colegiada matemáticos educativos y facilitar la de estudio de la siguiente fase. acordarme... me correspondió estar al correctamente a un problema del y al grupo al diálogo. Hubo respuesta tanto de los alcances logrados por formación de grupos de investigadores frente de una clase de Matemáticas. Al segundo examen parcial. Al revisar de los estudiantes, pero no de los y colaboradores con intereses Planeación: En esta fase el alum- cada uno de los alumno-docentes, inicio apliqué un examen diagnóstico, su procedimiento, observé que tenía directivos. Los estudiantes contise centrará en la como de los del equipo en su comunes con respecto al estudio de la no-docente y encontré que la mayoría de los errores conceptuales con relación a nuaron haciendo esfuerzos honestos caracterización del objeto de estudio globalidad. La fase III concluye con problemática de la educación básica. alumnos, 15 de 20, no dominaban la solución de ecuaciones. Cuando le por superarse. Aunque no logramos determinado en la fase anterior de un informe de las características de las matemáticas básicas. Me sentí pedí que me explicara su manera de concretar una autoevaluación de la la intervención puntual, las formas de En esta unidad de aprendizaje del manera que le permita: como un maestro rural con un grupo proceder, lo hizo mencionando un institución, todos felices nos fuimos programa de maestría, el trabajo se •Diseñar una estrategia de enseñanza analizar los efectos de la intervención multigrado. Intenté hacer el curso algoritmo que había mecanizado. En de vacaciones. estructura principalmente en torno a cuyo propósito principal sea la ya sea considerando al grupo entero, la formación metodológica–práctica resolución de un problema concreto; o bien llevando a cabo análisis de 21 los desempeños individuales de los del alumno-docente. Los referentes o bien,

Matemáticas Matemáticas

ES FACTIBLE DESARROLLAR LA INTUICIÓN MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES?

cuando se visualiza la actividad docente como un trabajo proyectado hacia el futuro; es decir, como soporte de construcciones de conocimiento posteriores, o bien como una labor en la que se refleja lo pasado, en cuyo caso tendrá como objetivo el fortalecimiento de adquisiciones cognitivas previas.

Matemáticas

A medida que el niño se desarrolla, abreviará poco a poco su habla egocéntrica; primero pronunciará parte de las palabras, luego sonidos que no se identificarán por quien los escuche. Posteriormente esta habla egocéntrica, desaparecerá a la percepción de quienes estén presentes; ya no se escuchará; se convertirá en habla interna.

12 DE DICIEMBRE Continué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de problemas matemáticos. Al decir una falla en la intuición matemática, a muchos puede “sonarles” como que mi concepción de la intuición es algo que reside en un órgano, y su falla se debe a una disfunción fisiológica. No pienso de esta manera; sin embargo, hay matemáticos contemporáneos partidarios de algo que se llama intuicionismo clásico. Sostienen que la matemática intuitiva está disociada de la matemática formal. Que la intuición es una representación mental de hechos que parecen por sí mismos evidentes. Esta característica del proceder de cada sujeto se da sin tutoría, es innata. La evidencia que muestran los partidarios de esta corriente es que algunos investigadores reportan en niños pequeños, sin escolaridad alguna, ciertas competencias: dominio de los principios del conteo y ejecución de operaciones simples con números enteros. Creo que esta clase de intuición no permite al sujeto acceder a las simbolizaciones de segundo grado como el álgebra o el lenguaje escrito. Personalmente me inscribo en la corriente del intuicionismo inferencial2 donde la intuición no es un mecanismo especial que trae el sujeto, sino una forma de razonamiento construido en la interacción con las personas dentro de su ambiente sociocultural. Es más, pienso a la matemática como un lenguaje en el que identifico la intuición con el lenguaje interno. Vygotsky3, nos explica que el lenguaje primero es social, externo; luego es egocéntrico, enseguida interno, y finalmente surgiría la capacidad de representar este lenguaje interno en un comunicado escrito. 19 DE DICIEMBRE Me hablan del hospital. Ha nacido Andrés, mi nieto. Levito de gusto y a todo el mundo le comunico la buena nueva.

DESARROLLO DEL HABLA INTERNA Para que el habla interna se desarrolle, el niño deberá ser acompañado por un experto que le tenga afecto y que le ayude a vivir diferentes experiencias donde resuelvan problemas juntos y se usen procesos metacognitivos. En esta parte deberán cubrirse las etapas para el desarrollo intelectual6: a partir de motivaciones internas, su padre le mostrará la solución del problema de manera detallada usando el lenguaje y los objetos.

El habla externa para Andrés es el habla de quiénes están cerca de él, le quieren y ayudan a resolver problemas. Si el bebé se ahoga al tomar demasiada leche del pecho, Myriam, la madre de Andrés, lo tranquiliza hablándole. El bebé, en sintonía con ella, le responde gimiendo o balbuceando, calmándose y volviendo a comer. Cuando el bebé crezca empezará a pronunciar sus primeras expresiones como “ta” frente a su biberón. Éstas expresarán pensamientos completos4 que se apoyan en un contexto psicológico compartido intersubjetivamente5 con su madre, quien interpretará que su hijo le quiere decir algo como: “mamá”, “te quiero”; “tengo hambre”; “dame leche”. Desde que el niño nace, acompaña a sus padres en sus actividades, los escucha y ve cómo resuelven problemas del medio, usando las herramientas de su tiempo. A medida que el niño crece, los imita y resuelve problemas en el juego, actividad que le permitirá integrarse a su ambiente sociocultural. Cuando el niño juega a resolver problemas, habla para sí, aparece el lenguaje egocéntrico.

Poco a poco, el niño se apropiará de la actividad hasta ser él quien la ejecute de manera detallada, hablando y utilizando los objetos. A medida que pasa el tiempo, el lenguaje se abrevia hasta internalizarse, y la acción sobre los objetos se representa en esquemas hasta automatizarse. En este momento la solución se convierte en un acto mental. Después aparece el lenguaje simbólico o el lenguaje escrito; la forma encontrada de resolver el problema en el habla interna, puede volver a desplegarse usando signos con el propósito de comunicarla a los otros. 24 DE DICIEMBRE Por la noche respiré aire frío, sentí irritada la garganta, y una infección viral encontró su lugar ideal; permitió la entrada de bacterias que rápidamente se multiplicaron. Los antibióticos, las cortisonas y otras medicinas constituyeron los refuerzos de un ejército que se batía en mi interior. Reposo absoluto. Andrés me invitaba al recalentado, pero no pude ir. Mi esposa se contagió. Soledad dual. Me encontré sentado en una silla, frente a un rompecabezas tridimensional de siete piezas, que había comprado en la Feria del Libro. Me planteaba el reto de armar un volumen, la cama.

Matemáticas Matemáticas

2001-2002 del Programa para el Fortalecimiento del Posgrado Nacional. programas maestría (Fig. 1) Los Movía las piezasde rápidamente, 7 conmiraba orientación profesional y carácter la figura. Una voz interna científico práctico características me decía: “el tenían rectángulo de la base generales por ejemplo, las Conacyt, es 3 x (ver 7. Reacomodaba piezas”; 2004) que apuntaba: permitirían diseñar la otra voz “estas tres piezas formación docente los deben estar en la solicitada cabecera”; por accionaba SEIEM. y preguntaba “¿Cuál es la cuarta pieza que debe estar en la cabecera?” El Me DMEcontestaban: presentó en “prueba versión final entre ellas Plan y programas estudio la restantes y eliminadehasta que tede quedes Maestría en Educación, Especialidad con la más probable”. Hacía múltiples Matemáticas, al Consejo Académico intentos hasta que finalmente di con Consultivo en diciembre la solución. La registré.de 2004.

Figura 1 Esquema 1. Estructura académica del programayde desecha maestría yotras, sus conexiones, lo que hace Al ensayar con estas posibilidades en particular con el aula de los alumno-docentes.

es En Otra la voz junta intentar elegir las que tengan la mecorrespondiente, dijo: “si Carmen teeste viera eliminamos las dos primeras y; cuerpo colegiado del Cinvestav, mayor probabilidad de solucionar solucionar este problema pensaría que EN EDUCACIÓN, después de intuición tomar en cuenta para la MAESTRÍA que Porle lo proporciona el problema. que podemos d) El armado de la cama se resuelveconceptual posees una matemática evaluación de la comisión que nombrada el deuso de decir que en para el intento solucionar eligiendo (3,6)MATEMÁTICAS y (4,5) como respaldosherramientas resolver rompecabezas; tienes unESPECIALIDAD: Planlade estudios del programa metodologías para el innato”. análisis del diseño curricular, El para aplicables al trabajo un problema uno establece juicios cama. don recomendó a la Dirección General de maestría se ha dividido en tres de probabilísticos. indagación empírica en el aula, Preescolar, aparentemente Primaria, y vinculado con la educación matemáqueMilovoz pusiera a consideración Este pensamiento, le contestaría: “estodenola esmodalidades: corresponden Junta para su aprobación. y unapremisas formacióna,práctica •Las b, y c,centrada que nos rápido ylas cuales automatizado ha al sidotica, así; Directiva para demostrártelo, veamosSecundaria, de laspor problemáticas asociadas En detenidamente marzo de 2005,cómo dichoha programa se estudio el análisis de a los quehaceresdel llegar la conclusión mediado el lenguaje internoen permiten transcurrido cada unopor de los convirtió en uno más de los programas conformado orientada diseño y 8 inciso d, son lo hacia que elFreudenthal mi niveles voz eneducativos interaccióneducativos mi pensamiento”: integran lo que en México se de estudios de posgrado del Cinvestav, quecon elaboración de productos didácticos y voces de expertos. llama un campo de organización y en el primero en lapara institución en el medio escolar. El primer intento, armar lacon camadenomina, desde 1992, educación su validación local, un pequeño grupo de premisas básica (SEP, 1992), y está dirigido a orientación CONCLUSIONES: parte de profesional. relacionadas deductivamente con 9 profesores frente grupo asesores el Esquema 1 se lógico. ha bosquejado •Los incisos a,ab, c, y yd ano son másEn errores de carácter técnico pedagógicos que trabajan en ORGANIZACIÓN DE LA MAESTRÍA tanto la estructura del programa y a) La base ha de ser un rectángulo de que rápidas inferencias en la acción, ciclos escolares y cuentaninterno, con sus•La Específicamente, en su diseño estos diversos componentes, como las producto de mi lenguaje 3 x 7. intuición, el lenguaje interno, 1 tiempoformada participaron 14 investigadores del al menos relaciones se establecen para llevar de mimedio intuición, en a ladiferentes se forma en lo que social. Esto abre DME, un de estudiante del programa ellos. Comopara puede en ese las actividades académicas. convivencia con mi padre y maestrosentre A partir algunos intentos decidí quecabo posibilidades queverse los “andreses” Doctorado en Ciencias con Especialidad los componentes de los dos en la cabecera de la cama estarán las de matemáticas. Luego el insightesquema, en el futuro, tengan mejores maestros en piezas Matemática dos El en se desarrollen consolidaránena ellos través dos objetivo general del programa la solución de problemas al queejesque 3, 4, y 5, Educativa, pues no son yplanas. sude lenguaje miembros del de los ¿Qué SEIEM. Hubo de unidades de aprendizaje: estudios es “Formar psicólogos hacen docentes referencia,tipos (Delimito el DPI problema) otra piezade los interno matemático, su intuición reuniones colectivas el restoCon de los asignaturas, cuyosque contenidos capaces proponer •lasmatemática, encuentra una posiblede explicación. deberá estar en lacon cabecera? baseespecializados y lograr superen el miembros del con departamento para lalasalternativas de solución a problemas se problema asocian principalmente con el de ejelos en la acción las piezas deseché de la transferencia presentación avances, como de •Al y educación queexisten se teórico, resolver matemática un problema piezas 7, 2dey los 1, luego en así la cabecera conocimientos escolares a la vida para la aprobación de la estructura proyecto de desarrollo, que se en los distintos componentes muchas posibilidades; cuando uno•el cotidiana. deberá estar también la pieza 6. y la originan organización de contenidos, de modos delestablece sistema educativo nacional”. una hipótesis determinadarelaciona de forma más directa con el de b) estructurar la enseñanza y de cómo eje metodológico-práctico. En la cabecera de la cama deberán evaluar obtener El proceso Para lograr este objetivo general, las estar ylas piezas el 3, grado. 4, 5, y 6. de construcción del programa hasta actividades se han estructurado en Esquema 1. Estructura académica del su c)aprobación parte de programa de maestría A partir depor la acción conlalasJunta piezastorno a dos ejes: Directiva dellas Cinvestav, consumió un y sus conexiones, en particular con el encontré siguientes posibilidades período de 15 meses. para ambos respaldos de la cama: (3,4)•uno de corte teórico, a través del aula de los alumno-docentes Es maestro en Ciencias, por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional cual el alumno-docente podrá y (5,6); (3,5) y (4,6); (3,6) y (4,5). y asesor de adquirir Medio Tiempo en la Unidad 19B de la Universidad Pedagógica Nacional. En el apartado siguiente se describe una formación teórica en matemática PROYECTO DE DESARROLLO a grandes rasgos el mencionado educativa, en la cual las matemáticas Las asignaturas son nueve en programa (para mayor información tienen un lugar central, pero confluyen total, y de carácter obligatorio. El 1 puede consultarse Figueras y LaRigo también aspectos dedeotras disciplinas Dubet, François: Mutaciones cruzadas: ciudadanía y la escuela, Universidad Burdeos/EHESS, París. proyecto de desarrollo, cuyo trabajo http://www.injuve.mtas.es/injuve/contenidos.item.action?id=1007213558&menuId=390550120 (Coordinadoras), 2004 o la página de vinculadas con los procesos de la se ha organizado a través de nueve 2 Talia Ben Zeev,: Intutive Mathematics: Theoretical and Educactional Implications. Brown University, 2002. la Maestría en Educación, especialidad enseñanza y del aprendizaje que se seminarios, es también de carácter 3 Vygotsky L. S.: Obras Escogidas, Vol. II. Madrid, Visor, 1993. 4 Matemática aparece en la página obligatorio, seporpodrá optar por llevan apsicológica, cabo en que el aula; Ésta es una que característica del lenguaje, llamada predicatividad consiste en omitir la información que puede ser pero aportada el contexto y emitir únicamentedel información a la que se llama predicado psicológico. principal DMEnueva, cuya dirección uno de entre las distintas alternativas 5 La intersubjetividad es la zona de comunicación que se da entre el experto y el novato para resolver un problema en absoluta cooperación, compartiendo emociones electrónica es: www.matedu.cinvestav. •el otro eje es de corte metodológico- que la planta académica del programa cuando se avanza hacia la solución. 6 mx). maestría pondrá a consideración práctico, mediante el alumnoGalperin p. Ya.: Sobre la Formación de los Conceptos y las Acciones Mentales, el en: cual QUINTANAR, Rojas Luis de : Las Funciones Psicológicas durante el Desarrollode del Niño. Universidad Autónoma de Tlaxcala, 1995. docente logrará una formación los alumno-docentes al inicio de sus

Astolfo Maldonado Pérez

Wertsch.Voces de la Mente. Un enfoque sociocultural para el estudio de la acción mediada, Visor, Madrid, 1991. Freudenthal H. Las matemáticas en la vida cotidiana. Mac Graw Hill Book Company, Madrid, 1967. 9 El desarrollo de campos de organización local, son sugeridos en el Libro para el Maestro de Secundaria editado por la SEP, pp. 274-276. 7 8

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Matemáticas

Método Montante Reduce determinantes de orden con números enteros Ingeniero René Mario Montante Pardo Catedrático jubilado de la FIME / UANL

Nos ubicaremos en el siglo pasado, en el año de 1973: en esa época, en el campo de las Matemáticas, los métodos que existían para reducir los determinantes de orden trabajaban solamente con fracciones. Entonces me dije: “Debe existir un método capaz de reducir los determinados de orden, pero trabajando únicamente con números enteros”. En ese momento me puse a buscar ese método. Noté que al reducir de orden un determinante con números fraccionarios o quebrados, el denominador de todos los quebrados era siempre igual; entonces me puse a buscar un método que pudiera trabajar únicamente con números enteros, y luego, al final, todos se dividieran entre el mismo denominador; y encontré ese método que trabaja sólo con números enteros. Ese nuevo método fue el Método Montante. Al principio no le llamé “Método Montante”. Le llamé “Algoritmo Montante”, porque desde el punto de vista matemático es un algoritmo, pero desde el punto de vista numérico es un método. LOS MAESTROS BAUTIZARON EL MÉTODO En el año 1973, yo trabajaba como profesor de matemáticas en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) de la UANL. Llevé el “Algoritmo Montante” para explicarlo a los maestros; pero todos ellos decidieron que debía llamarse “Método Montante”, y con el tiempo se le quedó el nombre así. En matemáticas, el Método Montante

Maestro de FIME, de la UANL, crea en 1973 el algoritmo con que se corrige el error natural de las computadoras de todo el mundo al trabajar sólo con enteros. es un algoritmo del álgebra lineal1, que permite determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices adjuntas y determinantes. La característica principal del Método Montante es que trabaja con enteros, lo cual hace que el resultado sea exacto aunque se resuelva con computadora, ya que evita que se redondeen los números. El método Montante consiste en ir “pivoteando” en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo; el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema, y la columna donde está el pivote va a ser la columna base; con respecto a ese renglón y esa columna donde está el pivote se forman determinantes de dos por dos. Es necesario notar que se trabaja sólo con enteros; si apareciera alguna fracción, hay un error, y el Método Montante resolvió con números enteros el sistema de ecuaciones lineales. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Enseguida calculé la inversa de una matriz y el método Montante calculó

con puros números enteros la inversa de la matriz2. También resuelve los problemas de “investigación de operaciones”3 y muchos problemas más. Cuando se trabaja con quebrados, las computadoras ponen 1/3 igual a 0.3333…y se van hasta el infinito los números tres; 2/3 es igual a 0.6666… hasta el infinito los números seis. De la misma forma en que estos números quebrados existen, muchos otros números quebrados se van hasta el infinito cuando son expresados en forma decimal. Esto hace que las computadoras tengan un error natural; cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales muy grande, el error natural de las computadoras queda eliminado. EJEMPLO El renglón columna que se cruzan en el pivote se llaman renglón base y columna base. Con respecto al renglón base y a la columna base, se forman determinantes de 2 x 2 y con ellos se calculan todos los elementos utilizando el siguiente mecanismo. Se multiplica el elemento por el pivote y se le resta el producto de los elementos que están en el renglón base y la columna base; este resultado se divide entre el pivote anterior, (En el primer paso no existe pivote anterior, entonces no se divide entre nada).

•Observación

No. 1 = En la diagonal principal va quedando repetido el último pivote. •Observación No. 2 = Arriba del

el cual partiríamos; dos conversaciones SEMBLANZA estructuradas con las maestras nos Las matemáticas son actualmente sus facultades; el CAEIP se limitaba a permitieron apreciar objetivamente la base de algunos todas las ciencias registrar los aciertos y errores y otros que desconocían temas del que manejala elmetodología hombre, debido que datos su necesarios para la investigación, programa, para a su campo de acción cubre la totalidad enseñanza, y que sus exámenes eran sin interferir en la vida institucional de tradicional los conocimientos de cada escuela. del corte memorístico.científicos. Para resolver problemas que se originan en este ámbito, el ingeniero REALIZACIÓN CONFORME A En estas circunstancias, ofrecimos regiomontano René Mario Montante LO PLANEADO financiar la asesoría especializada Pardo enfrentó desde Los asesores cumplieron escrupupara las dosseasignaturas, por pequeño lo que con valentía adestinar las matemáticas, mas nolosamente a con sus funciones; de fue necesario una mañana las letras, según de trabajo antes del dice. inicio de cada igual forma, la elaboración de los

Cada bimestre se llevó el registro y análisis riguroso de: reactivo, alumno, grupo, escuela y zona escolar. Algo muy importante de señalar es que los exámenes y los resultados analíticos se devolvieron bimestralmente a la inspectora, quien convocó cada vez a sesiones informativas, de reflexión y toma de decisiones con las directoras y maestras. Sin duda, ésta es una investigación gratificadora para todos los que en ella participamos, aprendimos, construimos, aceptamos deficiencias, nos comprometimos a trabajar más intensamente por los fines y metas de la educación nuevoleonesa. Formulamos nuestros mejores votos porque las instancias que toman decisiones a nivel de aula o de entidad aprovechen esta información y estos conocimientos, para el mismo propósito que nosotros. EL MAGISTERIO DE NUEVO LEÓN, CONFIABLE Sin pormenorizar sobre los resultados de esta investigación, solamente apuntaremos que: Todos los maestros mejoraron sus prácticas de enseñanza, los grupos avanzaron significativamente en sus logros académicos y ¡se puede confiar en el magisterio de Nuevo León!

En el capítulo de cierre de la obra se bimestre en el mismo horario y turno exámenes y la recogida de infor- encuentran los argumentos, por lo que Dede niño una predilección especial mación transcurrieron tal y como le rogamos visitar la página electrónica laboral lastuvo maestras, contando en la clase el había planeado, en tanto que las apuntada al inicio del escrito. todo por momento condelamatemáticas. autorizaciónEn se Colegio México, donde estudió la llevaron puntualmeny beneplácito de las directoras y la investigadoras primaria, siempre destacaba en esa te los registros y análisis de la inspectora. materia. Después en la secundariainformación. y Ejemplo la preparatoria en la Álvaro Obregón, De igual forma, fue necesario advertir las matemáticas eran su fuerte, y recoger información, a las maestras que era conveniente Para no dejaron de cuandode cursó sistemáticamente, las investigadoras que elaborásemos losserlo exámenes la carrera de Técnico Mecánico en cinco veces durante el bimestre colaborativamente, con la visitaron los mexicanos otorgan TODO ESTÁ RÉGIDO esa misma y más tarde en Asegura escolar que a cada maestra no para participación de escuela los asesores, los ciclo egresado la Escuela Normal Superior, con EL de CÁLCULO MATRICIAL importancia a las matemáticas, a pesar EsPOR la Facultad Mecánica entrevistarla, aplicarle un cuesresponsables de de la Ingeniería investigación, Especialidad en Actividades Tecnológicas, Psicología “Las leyes físicas tienenen sus de que todo está regido por ellas. y Eléctrica de la UANL, al igual que y Orientación Vocacional. Hizo su Maestría ellas mismas y sus directoras, lo cual tionario y recoger evidencias empírepresentaciones matemáticas, muchas “Aquí en México se ríen de eso… no en la Facultad de Ciencias Físico Pedagogía en la Escuela de Graduados. Actualmente fue aceptado de muy buena gana. ricas; sistemáticamente también, es el director Centro de Altos e muy del elevadas; son Estudios matemáticas les dan importancia a las matemáticas, veces estudió lade carrera los expertos desarrollaron asesorías DesdeMatemáticas, luego que donde la asignación Investigación Pedagógica, de la Coordinación de de números, por ejemplo, las matrices. tampoco a lo que hacemos los de Matemáticas, siendo ya profesor Ciencia y Tecnología de Nuevo León. calificaciones seguía siendo una de presenciales y por escrito, elaboranTodo el mundo está regido por el mexicanos en este tema”, dijo. universitario.

Ismael Vidales Delgado

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de información se hizo de acuerdo Solución de un sistema de ecuaciones con un cronograma cuidadosamente lineales con el Métodoentrevistas Montante. construido, utilizando 3x + y + 2Z = 1 semi-estructuradas, cuestionarios, X – y +observaciones Z=2 exámenes, directas y 2x + yempíricas. + 2z = 3 evidencias Se comienza con la matriz agrandada del sistema inició de ecuaciones La investigación con la aplica= Equivalencia ción de un examen de diagnóstico a los Se “pivotea” la diagonal principal. estudiantes, que en arrojó información sobre = elO estado de conocimientos desde

do el informe correspondiente para el CAEIP; cada bimestre se elaboraron colaborativamente los exámenes de Español y Matemáticas, y ambos fueron revisados por las maestras y directoras.

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del CAEIP, pero fue el entusiasmo especial de la inspectora el que nos hizo abrigar cifradas esperanzas de los determinantes poderrenglón realizarbase, durante el ciclo escolarde 2 x 2 quedan resueltos alpuntual revés; abajo 2005-2006 un seguimiento de del renglón base los determinantes las tareas cotidianas realizadas porde 2 x 2 quedan resueltos en forma normal. quince maestras de nueve escuelas •Observación No. 3 = SiNo. empezamos que integran la Zona Escolar 18. esquema con números enteros, se Junto el con estas escuelas, ubicadas en deben mantener los números enteros un sector de clase media en el sur de todo invitamos el procedimiento; solamente Monterrey, a otra escuela hasta cuando ubicada en elelsurfinal, también, pero leemos en un los es urbana. cuando aparecen sectorresultados, de marginación números quebrados. •Observación No. 4 = El renglón base, METODOLOGÍA donde del está proyecto el pivote, pasa al siguiente El diseño contempló paso idéntico; y la columna base, únicamente las asignaturas de Españoldonde está el pivote, al siguiente y Matemáticas delpasa sexto grado, paso, haciéndose “ceros” con del excepción utilizando una metodología tipo del pivote. descriptivo. La recogida exploratorio

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cálculo matricial, pero todo lo vemos desde el punto de vista matemático del álgebra”. Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo de esta materia; sin embargo, el ingeniero Montante es creador del método que lleva su nombre. Pese a la importancia que tiene este método en el mundo científico, su creador nunca vislumbró los alcances del mismo; sólo se dio cuenta de ello cuando resolvió sistemas de ecuaciones lineales. Actualmente el Método Montante es el más exacto en el mundo de la computación y es usado y reconocido en países como Japón, Francia, Canadá, Rusia y Estados Unidos. Los demás métodos, como el GaussJordan, dan como resultado una fracción decimal, pero pierden exactitud después de 20 ó 30 cifras. Este método es usado en las computadoras de todo el mundo, y va haciendo ceros y ceros cuando el sistema de ecuación lineal es cero, su determinante vale cero: Por lo tanto es limitado, mientras que el Método Montante al llegar a cero, saca el resultado exacto. DIFUSIÓN EN TODO EL MUNDO En 1976, Montante resolvió lo sistemas de ecuaciones lineales, también con enteros, por lo que empezó a considerar la importancia de su descubrimiento. Respecto a la difusión de su método en otros países, dijo que en alguna ocasión fue a presentarlo al Tecnológico de Monterrey, donde le han hecho mucha difusión en todo el mundo. Aun cuando el Método Montante tiene importantes aplicaciones en el ámbito de la computación, su creador se resiste a su uso y para realizar sus cálculos y sus investigaciones utiliza papel, lápiz y una calculadora de bolsillo previamente programada por él.

2x-y-z-2y=1 x+2y+z+w=2 x-2y+z-w=3 2x+y+2z+2w=4

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“En mi época no había computadora, había cerebros electrónicos. El Tec lo usó en las computadoras; más tarde fue a Estados Unidos, y dicen que el ejército norteamericano lo usa en sus computadoras, pero yo no sé de eso”, dijo. MATRICES ESPEJO A partir de su jubilación y hasta la fecha, el ingeniero Montante anda en la búsqueda de matrices espejo. “Las matrices son números ordenados en líneas y columnas; imagínese una matriz de tres columnas. Deben ser los mismos números en cada fila, pero tienen que ser duales; eso es lo que nadie ha podido encontrar, duales quiere decir que son dos cosas que son una en la misma matriz

x= -45/-18 Y= 40/-18 Z= 30/-18 W= -41/-18

matemáticamente. Según he oído, una de ellas va a estar en el campo de la antimateria y la otra en el campo de la materia. También estas matrices van a resolver los problemas de la simetría de física atómica, según creo. Como están en el campo de los números complejos, está duro, pero en unos meses más las voy a encontrar”. A punto de ello, el ingeniero Montante ve con optimismo el desarrollo de las matemáticas, a las que él ha contribuido: las matrices se van a ocupar de todas las disciplinas científicas, todos los sistemas de ecuaciones lineales ya se pueden hacer matricialmente.

René Mario Montante Pardo Es ingeniero mecánico y licenciado en Matemáticas, ambos grados académicos por la Universidad Autónoma de Nuevo León. De 1965 a 2001 fue profesor en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME), y de 1965 a 1973, en la Facultad de Ingeniería Civil, de la UANL. Es autor de Un Método Número para Cálculo Matricial, (Método Montante), aparecido en 1977.

El ingeniero René Montante ha dedicado su vida a la investigación de métodos que permitan resolver ecuaciones del campo del álgebra abstracta. Durante su vida ha estudiado exhaustivamente los conceptos de vector, generalizado a espacio vectorial, dentro del ilimitado campo del álgebra lineal, principalmente en su rama estructural. El algebra lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistema de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central de las matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. 2 En matemáticas, una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números, o una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. 3 El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica; tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales. 1

Dice también la investigación que los niños pasan por tres estadios de desarrollo: el concreto o de manipulación, el representativo o de transición, y el abstracto. Muchos estudiantes tienen gran dificultad para hacer esta transición, posiblemente porque su sentido numérico es débil. Piaget encontró que la mayoría de los niños no alcanzan el nivel abstracto, sino a la edad de 12 ó 14 años. Para respaldar el avance de la etapa de transición a la abstracta, es necesario ofrecer a los estudiantes materiales y actividades apropiadas para lograrlo, y, en el caso de las matemáticas, este papel lo asumen los manipulables. Además, se encontró que los estudiantes que aprenden matemáticas con este tipo de modelos, entienden mejor, desarrollan mejores habilidades para la solución de problemas y tienen un mejor desempeño en las pruebas estandarizadas de competencia”.

VARIACIÓN

He aquí dos métodos alternos de enseñanza: los manipulables físicos y los manipulables virtuales, que hacen que las Matemáticas parezcan más amigables en el aula.

Métodos Físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los estudiantes sean capaces de palpar, para ver y experimentar conceptos matemáticos.

y sus implicaciones culturales

Los instrumentos de este tipo se utilizan primordialmente con estudiantes de primaria y en temas muy concretos, como las formas geométricas, para reconocer las distintas figuras; bloques de patrones, para estimar, Métodos físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los medir, registrar, comparar; bloques y En conclusión, los métodos físicos y estudiantes sean capaces de palpar, para ver y cubos, para sumar, restar o resolver Heráclito virtuales ayudan a los estudiantes vivió hacia comienzos del siglo V a. C experimentar conceptos matemáticos. (544 a. C - 484 a. C) era natural de Éfeso, ciudad problemas que incluyan peso. a construir, fortalecer y a conectar de a la Jonia, en la costa occidentalmatemáticos, del Asia Menor. varias representaciones de ideas entender conceptos los demásla ﬁlósofos anteriores Platón, no utilizando capacidad delacomputaMétodos Virtuales: son repre- Como matemáticas, al tiempo que aumentan quedan más que fragmentos de sus obras. sentaciones digitales de la realidad, dor para posibilitar simulaciones, la variedad de problemas sobre posibilitadas por las computadoras y enlaces dinámicos e interactividad. los que pueden pensar y resolver; que el estudiante puede manipular con además de ofrecer a los estudiantes el mismo objetivo que los primeros. VISUALIZACIÓN DE CONCEPTOS objetos para reflexionar y hablar y Éstos se utilizan en grados superiores, MATEMÁTICOS suministrarles un lenguaje adicional adelantadas en para comunicar ideas matemáticas en el nivel bachillerato o universidad, Investigaciones Inglaterra, Japón, China y Estados sobre principalmente. percepciones Doctorsus Salvador Borrego visuales, Unidos apoyan esta idea. En éstas táctiles y espaciales. Saba Consultores saba@sabaconsultores.com La experta Judy Spicer ha dicho: los se enfatiza especialmente la ayuda manipulables virtuales tienen además que ofrecen a los estudiantes para la capacidad de hacer visible lo que es pasar del nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir difícil de ver e imposible de imaginar. habilidades y conceptos al ofrecer una Obtuvo su Maestría en Educación, con Especialidad or más desde de la Monterrey; perspectiva en Literatura, porque, el Tecnológico es Algunos ejemplos pueden ser: representación física, tangible, móvil, catedrática y escritora.Heráclito Forma parte de de laÉfeso Sociedad filosófica, nos simulaciones, robótica y re- armable y desarmable, que permite de Escritores de Nuevo León, y es autora del libro advirtiera que el mundo está presentaciones tridimensionales. visualizar conceptos matemáticos de Caracolas. Actualmente escribe Paloma Querida. en constante cambio, “que no nos Ejemplo de métodos virtuales son manera concreta. bañamos nunca en un mismo río”; los empleados en expresiones que, desde la perspectiva científica, matemáticas que se formulan con Sir Francis Galton (1822-1911) nos lápiz y papel -tales como símbolos advirtiera, con su “Ecuación Personal”, algebraicos- los que se plantean en los for tiempos reacción Spicer, Judy. October 2000. Virtual Manipulatives: A que New Tool Hands-onde Math. ENC Focusy otras la pantalla –también empleada para Improving Mathematics Teaching by Using Manipulatives; características personales difieren graficar, tabular y dibujar figuras James w. Heddens, Kent State University. The Three Stages of Learning; Moving with Math. de persona a persona, y que, desde geométricas. Álgebra de Funciones Mediante Procesos de Visualización; la poesía, el CINVESTAV, inmenso México. Pablo Neruda Vicente Carrión Miranda, Departamento de Matemática Educativa del “Cognición y Computación: el caso de la Geometría y(1904-1973) la Visualización”, nos precisara que: El uso de la tecnología puede mejorar Luis Moreno Armella, Cinvestav – IPN, México. Artículo publicado como parte de las memorias “nosotros, los de entonces, ya no de manera significativa el aprendizaje, del Seminario Nacional de Formación de Docentes: “Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de somos los pues se enfoca en manipulables Matemáticas”, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2002.mismos”, lo cierto es que el hombre vive en la ilusión de que virtuales que ayudan a los estudiantes las cosas no cambian tanto.

Claudia Ordaz

Referencias

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Matemáticas Matemáticas

El problema de la

realidades palpables o verdades demasiado obvias que nos deben obligar a buscar métodos alternos de enseñanza, ayuda física y virtual, para que las Matemáticas dejen de ser ciencias mágicas y abstractas.

Matemáticas

Las comunes generalizaciones que tanto daño nos producen en las relaciones interpersonales, son una prueba contundente y cotidiana de que los seres humanos avanzamos poco en el reconocimiento del problema de la variación. Pero el efecto pernicioso de esta deficiencia cultural se extiende de manera natural a campos tan diversos como los siguientes: 1. A nuestra vida democrática, por las dificultades para respetar las opiniones diferentes a las nuestras. 2. A nuestra vida económica, porque el problema de la variación en la vida empresarial redunda en problemas de calidad, productividad y posición competitiva. 3. Como corolario de lo anterior, a nuestra vida laboral, porque en el deseo de obtener mejores resultados sin el tratamiento adecuado del problema de la variación (sin entender a cabalidad el concepto de Capacidad de Procesos), es común que se exija a la clase trabajadora más de lo que razonablemente se puede esperar en atención a las condiciones de trabajo en las que está inmersa, con el consecuente deterioro del clima laboral. 4. A nuestra convivencia social, en especial la familiar, por los problemas que genera la incomprensión de cambios en la forma de ser o de sentir de quienes nos rodean con el transcurso del tiempo.

LA VARIACIÓN, CONDICIÓN DE VIDA La diversidad, los problemas de género, de preferencias sexuales, etcétera, serían afrontados de mejor manera si tuviéramos la garantía de que, como una especie de categoría kantiana, tuviéramos en mente que la “variación” es condición de vida; como elemento cultural que permita la comprensión de lo distinto y la mayor posibilidad para optar por el respeto como la forma más duradera y sensata de establecer relaciones con los demás. Para enfrentar el problema de la variación, los seres humanos contamos con la Ciencia Estadística, “La ciencia que trata el problema de la variación”, de acuerdo con Donald B. Owen (1922-1991), que podría considerarse como rama o prima hermana de la Matemática, pero lamentablemente en el ámbito educativo hemos privilegiado de ella solamente los aspectos instrumentales, dejando de lado sus consideraciones filosóficas, en especial lo relativo al problema de la variación, que podrían no solamente enriquecer nuestra vida cotidiana, sino al propio tiempo aprovechar de mejor y más extensa manera sus aportes en todo el contexto social y económico. PLANTEAMIENTOS METODOLÓGICOS Para enfrentar el problema de la variación, la Ciencia Estadística ha estado desarrollando, durante años, diferentes planteamientos metodológicos, pero destaca entre ellos uno por su sencillez y amplísima aplicabilidad, desarrollado por Walter A. Shewhart (1891-1967), conocido como Diagramas de Control. A través de ellos, podemos darles seguimiento a fenómenos de interés de diferentes naturalezas, que nos permiten un mayor conocimiento de su esencia y la consecuente mayor posibilidad de tener dominio sobre ellos.

Un niño de primaria podría ser instruido en el uso de los Diagramas de Control y en la forma de construirlos, pues para ello se requiere solamente de las operaciones aritméticas fundamentales. Luego, entonces, los Diagramas de Control resultan una forma especialmente deseable de aplicación y demostración para los alumnos de que lo que aprenden de matemáticas o aritmética tiene un claro sentido y utilidad para comprender el mundo en que viven. Los beneficios de este pequeño cambio en los programas de enseñanza de las matemáticas de primaria y secundaria se verían en todos los órdenes de nuestra vida social. ¿Podríamos intentarlo ya?, ¿o esperamos a que lo hagan primero en los países desarrollados?

disciplina fundamental para el desarrollo Doctora Patricia Liliana Cerda Pérez Coordinadora del Centro de Investigaciones FCC / UANL cerda35@hotmail.com

concreta, conceptos, hechos fenómenos de forma cuantitativa.

n la enseñanza-aprendizaje, el motor de ese proceso son los estudiantes. La formación humanística de millones de infantes y jóvenes es una tarea que se auxilia de las ciencias exactas y sociales, para ampliar los conocimientos de forma pertinente y, para que, a través del uso de la Matemática y la Lógica, los alumnos desarrollen métodos de razonamiento que no sólo los hagan productivos en un sistema de mercado feroz, sino fundamentalmente les permitan afrontar la vida con la ética y valores emanados de la propia filosofía de la ciencia. Educar es, ante todo, un proceso complejo que en México enfrenta grandes y nuevos retos. La transformación del trabajo científico y tecnológico, y el arribo de las llamadas sociedades del conocimiento, trastocan hasta las políticas de modernización del Estado y, con ello, el sistema educativo completo está sujeto a reformas generales, donde la enseñanza de las Matemáticas en particular adquiere gran relevancia. COMPETENCIAS ACADÉMICAS BÁSICAS Física, Química, Biología, Matemáticas pueden activar el desarrollo de las denominadas Competencias Académicas Básicas (CAB) y, propiciar que los estudiantes tengan habilidades creativas, con amplia capacidad para el análisis. En las naciones altamente desarrolladas en materia educativa, las matemáticas son uno de los temas fundamentales para activar en las

Con el uso de las Matemáticas y la Lógica, los alumnos desarrollan métodos de razonamiento indispensables para su formación.

jóvenes generaciones el deseo de analizar, investigar y hacer ciencia pura o aplicada, que a la postre deriva en el enriquecimiento intelectual y económico de sus propias sociedades. Desafortunadamente, en México, durante generaciones completas, las Matemáticas han tenido un clima adverso. En torno a esta ciencia se creó una especie de rechazo, al difundirse la idea equivocada de que el estudio y aprobación de tal disciplina requiere de personas con dotes especiales o inteligencias superiores, por lo cual se cree aún que son pocas las personas con tales capacidades. La realidad es que las Matemáticas son, sobre todo, un lenguaje que nos permite razonar, estudiar, leer, comunicar y representar de forma

MATEMÁTICAS, PARTE DE LA CULTURA COTIDIANA Es ésta una ciencia que debe formar parte de nuestra cultura cotidiana, porque sólo así podremos entender todos los pormenores de una sociedad tecnológica y, con ello, tener ciudadanos bien informados, con capacidad para comunicarse con el lenguaje de los números que no siempre es frío o distante porque, como las matemáticas implican la capacidad de razonamiento, la profundización en la resolución de problemas permite también soluciones enfocadas en planteamientos netamente humanistas. Por ello, la enseñanza de la Ciencia Matemática tiene un papel fundamental en cada uno de los niveles que conforman el sistema educativo mexicano. Formar un capital humano con personas que tengan acceso no a una formación rígida, sino por jóvenes hombres y mujeres que tengan habilidades analíticas y creativas sustentadas en un razonamiento ético que nos permita crecer como nación, es el reto al que estamos llamados todos.

Patricia Liliana Cerda Pérez Cursó el Doctorado en Ciencias de la Comunicación, con Especialidad en Periodismo, en la Universidad Complutense de Madrid, España. Obtuvo el Premio Nacional de Periodismo, carrera en la que se ha desempeñado durante más de dos décadas.

Matemáticas

Matemáticas,

Matemáticas

Métodos alternos para las

Matemáticas Mediante el método mecánico logré entender ciertos resultados, aunque posteriormente tuviesen que ser demostrados geométricamente, ya que la investigación mediante el método mecánico no proveía las demostraciones. Pero es mucho más fácil poder dar una demostración de una situación, después de haberla comprendido mediante el mencionado método, que intentar demostrarla sin ningún conocimiento previo Arquímedes: inventor, físico y matemático griego (287-212 a.C.)

Ingeniera Claudia Ordaz Catedrática del Departamento de Comunicación / ITESM cordaz@itesm.mx

as matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias y místicas de la historia. También se reconoce como precursoras en el ramo de las matemáticas a las civilizaciones mesopotámica, china e india. Si antes era una rama de las ciencias vinculada con lo mágico, lo espiritual y lo místico -donde sólo los grandes sabios como los matemáticos mismos, los astrónomos y los religiosos pertenecían a clases privilegiadas- pasó a ser una ciencia cuantitativa que ayudó a profundizar los conceptos de número, espacio, expresión analítica, y ayudó al hombre a solucionar problemas de índole social, económica, política, e incluso religiosa. Son de mucha aplicación en nuestra vida; sin embargo, mucha gente les tiene pánico a las matemáticas, y las visualiza como una ciencia muy especial y exclusiva de genios, lo cual es falso, puesto que estamos en contacto con ellas en nuestro diario

devenir. Conozco infinidad de casos de personas que no se inscribieron en una determinada carrera universitaria, porque su plan de estudios incluía matemáticas, o personas que no se interesan en un puesto porque es un trabajo que involucra muchos números. El problema no termina ahí, ya que entre los países de la OCDE, México ocupa el lugar 32 en resultados relacionados con las matemáticas. Esto es una llamada de atención, para preguntarnos si estamos haciendo bien las cosas; es decir, enseñando adecuadamente esta ciencia; si los maestros que imparten esta clase están lo suficientemente capacitados; si los alumnos están adecuadamente motivados; si se tiene una percepción correcta de las matemáticas. REALIDADES PALPABLES Son demasiadas preguntas para tan corto espacio, pero lo peor sería sospechar que son meras especulaciones, cuando se trata de

Las matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias y místicas de la historia.

VARIACIÓN

He aquí dos métodos alternos de enseñanza: los manipulables físicos y los manipulables virtuales, que hacen que las Matemáticas parezcan más amigables en el aula.

Métodos Físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los estudiantes sean capaces de palpar, para ver y experimentar conceptos matemáticos.

y sus implicaciones culturales

Los instrumentos de este tipo se utilizan primordialmente con estudiantes de primaria y en temas muy concretos, como las formas geométricas, para reconocer las distintas figuras; bloques de patrones, para estimar, Métodos físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los medir, registrar, comparar; bloques y En conclusión, los métodos físicos y estudiantes sean capaces de palpar, para ver y cubos, para sumar, restar o resolverHeráclito virtuales ayudan a los estudiantes vivió haciaconceptos comienzos del siglo V a. C experimentar matemáticos. problemas que incluyan peso. a construir, fortalecer y a conectar (544 a. C - 484 a. C) era natural de Éfeso, ciudad de laaJonia, en la costa occidental del Asia Menor. entender conceptos matemáticos, varias representaciones de ideas los demás ﬁlósofos anteriores a Platón, no utilizando la capacidad del computaMétodos Virtuales: son repre-Como matemáticas, al tiempo que aumentan que fragmentos de sus obras. dormáspara posibilitar simulaciones, sentaciones digitales de la realidad,quedan la variedad de problemas sobre posibilitadas por las computadoras y enlaces dinámicos e interactividad. los que pueden pensar y resolver; que el estudiante puede manipular con además de ofrecer a los estudiantes el mismo objetivo que los primeros. VISUALIZACIÓN DE CONCEPTOS objetos para reflexionar y hablar y Éstos se utilizan en grados superiores, MATEMÁTICOS suministrarles un lenguaje adicional adelantadas en para comunicar ideas matemáticas en el nivel bachillerato o universidad, Investigaciones Inglaterra, Japón, China y Estados sobre principalmente. percepciones visuales, Doctor sus Salvador Borrego Unidos apoyan esta idea. En éstas táctiles y espaciales. Saba Consultores La experta Judy Spicer ha dicho: los se enfatiza especialmente la ayuda saba@sabaconsultores.com manipulables virtuales tienen además que ofrecen a los estudiantes para la capacidad de hacer visible lo que es pasar del nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir difícil de ver e imposible de imaginar. habilidades y conceptos al ofrecer una Obtuvo su Maestría en Educación, con Especialidad or máspor que, desde ladeperspectiva en Literatura, el Tecnológico Monterrey; es Algunos ejemplos pueden ser: representación física, tangible, móvil, catedrática y escritora. Forma parte deÉfeso la Sociedad filosófica, Heráclito de nos simulaciones, robótica y re- armable y desarmable, que permite de Escritores de Nuevo León, y es autora del libro advirtiera que el mundo está presentaciones tridimensionales. visualizar conceptos matemáticos de Caracolas. Actualmente escribe Paloma Querida. en constante cambio, “que no nos Ejemplo de métodos virtuales son manera concreta. bañamos nunca en un mismo río”; los empleados en expresiones que, desde la perspectiva científica, matemáticas que se formulan con Sir Francis Galton (1822-1911) nos lápiz y papel -tales como símbolos advirtiera, con su “Ecuación Personal”, algebraicos- los que se plantean en que deMath. reacción y otras Spicer, Judy. October 2000. Virtual Manipulatives: A Newlos Tooltiempos for Hands-on ENC Focus la pantalla –también empleada para Improving Mathematics Teaching by Using Manipulatives; características personales difieren graficar, tabular y dibujar figuras James w. Heddens, Kent State University. The Three Stages of Learning; Moving with Math. de persona a persona, y que, desde geométricas. Álgebra de Funciones Mediante Procesos de Visualización; la poesía, Vicente Carrión Miranda, Departamento de Matemática Educativaeldelinmenso CINVESTAV,Pablo México.Neruda “Cognición y Computación: el caso de la Geometría y la Visualización”, (1904-1973) nos precisara que: El uso de la tecnología puede mejorar Luis Moreno Armella, Cinvestav – IPN, México. Artículo publicado como parte de las memorias “nosotros, los de entonces, ya no de manera significativa el aprendizaje, del Seminario Nacional de Formación de Docentes: “Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de los mismos”, lo cierto es que pues se enfoca en manipulables Matemáticas”, Ministerio de Educación Nacional de somos Colombia, 2002. el hombre vive en la ilusión de que virtuales que ayudan a los estudiantes las cosas no cambian tanto.

Claudia Ordaz

Referencias

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Matemáticas Matemáticas

El problema de la

Matemáticas

Investigación

Método Montante Las Matemáticas en el CECyTENL Reduce determinantes de orden con números enteros Ingeniero René Mario Montante Pardo Catedrático jubilado de la FIME / UANL

Maestro de FIME, de la UANL, crea en 1973 el algoritmo con que se corrige el error natural de las computadoras de todo el mundo al trabajar sólo con enteros.

Noté que al reducir de orden un determinante con números fraccio- es un algoritmo del álgebra lineal1, narios o quebrados, el denominador de que permite determinar soluciones todos los quebrados era siempre igual; de un sistema de ecuaciones lineales, entonces me puse a buscar un método encontrar matrices inversas, matrices que pudiera trabajar únicamente con adjuntas y determinantes. La números enteros, y luego, al final, característica principal del Método todos se dividieran entre el mismo Montante es que trabaja con enteros, CECyTENL, Escobedo. denominador; y Plantel encontré ese método lo cual hace que el resultado sea exacto que trabaja sólo con números enteros. aunque se resuelva con computadora, Profesor Ismael Vidales Delgado Ese nuevo método fue el Método ya que evita que se redondeen los Director del Centro de Altos Estudios e Investigación Pedagógica Montante. números. ividales@att.net.mx

EJEMPLO El renglón columna que se cruzan apostólica querenglón los llevabase a cubrir los resultados obtenidosen por el el casi Estudios Científicos Al principiol Colegio no le de llamé “Método pivote se llaman El método Montante consiste ir en en tiempo y forma el programa; estado en recientes evaluaciones de Nuevo Montante”. yLe Tecnológicos llamé “Algoritmo y columna base. Con respecto al las “pivoteando” en las la diagonal principal. internacionales, nacionales y actividades León es desde la única institución Montante”, porque el punto base y a laadministrativas columna base, sey las Se comienza en el extremo superior renglón extracurriculares; estatales. de Educación Media Superior de vista matemático es un algoritmo, determinantes desu 2 x participación 2 y con izquierdo; el renglón donde está el forman entusiasta otros programas de de la el localidad que realiza funciones pero desde punto de vista numérico calculan en todos los elementos pivote va a ser el renglón base de todo ellos se beneficio para lamecanismo. comunidad; y su Nadiey laestá satisfecho y eltodos investigación educativa y que el hasistema, es un de método. utilizando el siguiente columna donde está revertir las cifras encon el corto determinación de no escatimar esdocumentado más de 30 productospivote a desean va a ser la columna base; fuerzo alguno para atender plazo. nivel nacional. LOS MAESTROS BAUTIZARON el elemento por las el conrespecto a esePreguntando renglón y esa informalmente columna Se multiplica deportivas, magisterio sobre secuáles son los EL MÉTODO pivotevocatorias y se le restaacadémicas, el producto de los dondeal está el pivote forman de capacitación y el sindicales puedecomo accederdeterminantes a problemasdeque En el De añohecho, 1973,elyolector trabajaba que están en renglón que dos les porhan dos.impedido Es elementos las este escuelas primarias. obtener superiores, ellos en profesor de www.caeip.org. matemáticas en la necesario base ymenudean la columnaenbase; resultado notarresultados que se trabaja sólo con dicen desconocerlos. Facultad de Ingeniería Mecánica y enteros; si apareciera alguna fracción, se divide entre el pivote anterior, (En el Sin embargo, aceptan no tienen Una(FIME) de sus de investigaciones, disponible Eléctrica la UANL. Llevé el hay un error, y el Método Montante primer paso no existe pivote que anterior, evidencias de que AUTOESTIMA MAGISTERIAL en formato de libro en la página “Algoritmo Montante” para yexplicarlo no se divide entrehayan nada).mejorado resolvió con números enteros el entonces Losdeentrevistados tienen una elevada sus prácticas de enseñanza ni proyecto, referida a loselectrónica maestros;delpero todosestá ellos sistema ecuaciones lineales. los aprendizajes alumnos. a lasque matemáticas en “Método la educación autoestima sobre su trabajo. Maestros decidieron debía llamarse •Observación No. 1 = Endela sus diagonal Entonces, ¿qué es repetido lo que sucede? y maestras relatan con entusiasmo primaria deelNuevo documento Montante”, y con tiempoLeón, se le quedó SOLUCIÓN DE PROBLEMAS principal va quedando el Muchas la abundancia de actividades del así. cual nos ocupamos en esta el nombre Enseguida calculé la inversa de una que último pivote. inquietudes sobre el tema surgieron No. en 2 los investigadores realizan con sus alumnos; la entrega colaboración. nadie son novedad En matemáticas, el Para Método Montante matriz y el método Montante calculó •Observación = Arriba del

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Ismael Vidales Delgado

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Matemáticas

do el informe correspondiente para del CAEIP, pero fue el entusiasmo renglón los determinantes el CAEIP; cada bimestre se elaboraespecial de labase, inspectora el que nosde 2 x quedancifradas resueltos al revés; abajo ron colaborativamente los exámenes hizo 2abrigar esperanzas de del los determinantes de Español y Matemáticas, y ambos poderrenglón realizarbase durante el ciclo escolarde 2 x 2 quedan resueltos enpuntual forma normal. fueron revisados por las maestras y 2005-2006 un seguimiento de •Observación No.realizadas 3 = Si empezamos directoras. las tareas cotidianas por el maestras esquema con números enteros, se quince de nueve escuelas deben mantener números enteros Cada bimestre se llevó el registro y que integran la Zona los Escolar No. 18. el procedimiento; solamente análisis riguroso de: reactivo, alumno, Juntotodo con estas escuelas, ubicadas en hastadeelclase final, cuando grupo, escuela y zona escolar. Algo un sector media en el leemos sur de los resultados, es acuando aparecen muy importante de señalar es que los Monterrey, invitamos otra escuela números quebrados. exámenes y los resultados analíticos ubicada en el sur también, pero en un Observación No.urbana. 4 = El renglón base, se devolvieron bimestralmente a la sector•de marginación donde está el pivote, pasa al siguiente inspectora, quien convocó cada vez a paso idéntico; y la columna base, donde sesiones informativas, de reflexión y METODOLOGÍA está el del pivote, pasa al contempló siguiente paso, toma de decisiones con las directoras El diseño proyecto haciéndose “ceros” con y maestras. únicamente las asignaturas deexcepción Español del pivote. y Matemáticas del sexto grado, Sin duda, ésta es una investigación utilizando una metodología del tipo Solucióndescriptivo. de un sistema ecuaciones gratificadora para todos los que exploratorio La de recogida lineales con se el Método en ella participamos, aprendimos, de información hizo deMontante. acuerdo 3x +cronograma y + 2Z = 1 cuidadosamente construimos, aceptamos deficiencias, con un X – y + Z utilizando =2 nos comprometimos a trabajar más construido, entrevistas 2x + y + 2z = 3 intensamente por los fines y metas semi-estructuradas, cuestionarios, Se comienza con la matriz agrandada de la educación nuevoleonesa. exámenes, observaciones directas y del sistema de ecuaciones Formulamos nuestros mejores votos evidencias empíricas. = Equivalencia porque las instancias que toman Se “pivotea” inició en la diagonal principal. decisiones a nivel de aula o de entidad La investigación con la aplica=O aprovechen esta información y ción de un examen de diagnóstico a los estos conocimientos, para el mismo estudiantes, que arrojó información propósito que nosotros. sobreSEMBLANZA el estado de conocimientos desde matemáticas son actualmente el cualLas partiríamos; dos conversaciones la base de las ciencias EL MAGISTERIO DE NUEVO LEÓN, estructuradas contodas las maestras nos que maneja el hombre,objetivamente debido a que sus su facultades; el CAEIP se limitaba a CONFIABLE permitieron apreciar campo de acción cubre la totalidad que desconocían algunos temas del registrar los aciertos y errores y otros Sin pormenorizar sobre los resultados de losla conocimientos científicos. programa, metodología para su datos necesarios para la investigación, de esta investigación, solamente Para resolver que sin se interferir en la vida institucional apuntaremos que: Todos los enseñanza, y que sus problemas exámenes eran originan en estememorístico. ámbito, el ingeniero maestros mejoraron sus prácticas de cada escuela. del corte tradicional regiomontano René Mario Montante de enseñanza, los grupos avanzaron Pardo circunstancias, se enfrentó desde pequeño con significativamente en sus logros REALIZACIÓN CONFORME A En estas ofrecimos valentía las matemáticas, mas noLO a PLANEADO académicos y ¡se puede confiar en el financiar la aasesoría especializada según dice. por lo que Los asesores cumplieron escrupu- magisterio de Nuevo León! para las las letras, dos asignaturas, fue necesario destinar una mañana losamente con sus funciones; de De niñoantes tuvo una especial igual forma, la elaboración de los En el capítulo de cierre de la obra se de trabajo del predilección inicio de cada por en la el clase de horario matemáticas. el y la recogida de infor- encuentran los argumentos, por lo que bimestre mismo y turnoEn exámenes Colegio estudió la transcurrieron tal y como le rogamos visitar la página electrónica laboral de las México, maestras,donde contando en mación en esa se había planeado, en tanto que las apuntada al inicio del escrito. todo primaria, momentosiempre con la destacaba autorización materia. Después en la secundaria y llevaron puntualmeny beneplácito de las directoras y la investigadoras Ejemplo la preparatoria en la Álvaro Obregón, te los registros y análisis de la inspectora. las matemáticas eran su fuerte, información. y no forma, dejaronfuedenecesario serlo cuando De igual advertircursó carrera que de Técnico Mecánico Para en recoger información, a laslamaestras era conveniente no otorgan TODO ESTÁ RÉGIDO esa misma escuela y más tarde en Asegura que los lasmexicanos investigadoras que elaborásemos los exámenes de sistemáticamente, importancia las matemáticas, a pesar POR EL CÁLCULO MATRICIAL la Facultad de Ingeniería cinco aveces durante el bimestre colaborativamente, conMecánica la visitaron leyes físicas tienen sus que todo estámaestra regido por y Eléctricadedelos la UANL, al igual ciclo de escolar a cada para ellas. Es“Las participación asesores, los que egresado de la Escuela Normal Superior, con representaciones matemáticas, muchas “Aquí en México se ríen eso… no en la Facultad Ciencias Físico entrevistarla, aplicarle un decuesresponsables de la de investigación, Especialidad en Actividades Tecnológicas, Psicología y Orientación Hizo su Maestría en veces muyVocacional. elevadas; son matemáticas les dan importancia a las matemáticas, estudió carrera tionario y recoger evidencias empíellas Matemáticas, mismas y susdonde directoras, lo la cual Pedagogía en la Escuelapor de Graduados. Actualmente de números, ejemplo, las matrices. a lo que también, hacemos los de Matemáticas, profesor ricas;tampoco sistemáticamente fue aceptado de muysiendo buenayagana. es el director del Centro de Altos Estudios e Todo elPedagógica, mundo deestá regido de por el mexicanos en este tema”, dijo. desarrollaron asesorías Desdeuniversitario. luego que la asignación de los expertos Investigación la Coordinación Ciencia y Tecnología de Nuevo León. calificaciones seguía siendo una de presenciales y por escrito, elaboran-

Matemáticas

Una maestría para profesores de educación básica en el Cinvestav Doctora Olimpia Figueras Departamento de Matemática Educativa Cinvestav / México figuerao@cinvestav.mx

adquirido en el programa de posgrado pudiera considerarse un factor directo de la mejora en la educación matemática de sus alumnos.

iembros del Departamento de Posgrado e Investigación (DPI) de los Servicios Educativos Integrados al Estado de México (SEIEM) entraron en contacto con diversas instituciones de educación superior para dotar a los docentes de una formación de posgrado que tuviera impacto en la educación que proporcionan a niños y jóvenes mexiquenses de preescolar, primaria y secundaria. En 2003, en los SEIEM se llevó a cabo una evaluación de ese programa de formación docente; los resultados estaban lejos de lo esperado (De la Rosa, 2003). De la evaluación se podía inferir que una de las causas del poco éxito en los programas de estudio podría ser la poca experiencia de los docentes de instituciones de educación superior en la problemática de la educación básica. Por ello se decidió recurrir a instituciones que contaran con grupos de profesores con experiencia específica en investigación y desarrollo sobre los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de esos niveles educativos. IDONEIDAD DEL CINVESTAV El Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN (Cinvestav) es una de las instituciones que cumple con esas características. Dos de sus Departamentos: el de Investigaciones Educativas y el de Matemática Educativa (DME), surgen a partir de la búsqueda de soluciones a los problemas de educación básica y a la construcción de alternativas educativas que permitan avanzar paralelamente en el conocimiento profundo de los modos de aprender, y en la aplicación de lo que se va aprendiendo, en formas de enseñar.

Surgió entonces un primer cuestionamiento: ¿era el programa de maestría del DME lo apropiado para satisfacer esas necesidades? La respuesta en base a la experiencia de 27 años, en ese entonces del DME, era negativa; el programa está orientado hacia la investigación sobre la educación matemática. Por ello su estudio conduce a una formación diferente a la del desarrollo profesional del docente, y si bien podría impactar en el trabajo del maestro, esto sería de manera tangencial. Sí la intención es formar buenos maestros de matemáticas, ¿por qué recurrir a un programa que orienta a los profesores a ser investigadores?

A mediados de 2003, miembros de los SEIEM sondearon la posibilidad de que el DME recibiera una generación de docentes de educación básica del Estado de México en el programa de estudios Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa. Las condiciones de su aceptación serían especiales, debido a que los maestros mexiquenses seguirían laborando en su aula y en consecuencia, no podrían ser estudiantes de tiempo completo en Cinvestav. La idea central expuesta por los miembros de los SEIEM era no sólo que maestros de preescolar, primaria y secundaria obtuvieran un grado de maestría, sino que sus estudios se reflejaran en el trabajo que de manera diaria llevan a cabo en el aula, y más específicamente que el conocimiento

RETO PARA INVESTIGADORES DEL DME Crear un programa de estudios con la intención de que el alumnodocente acreciente y profundice sus conocimientos teórico-prácticos sobre su quehacer profesional, y se convierta en un experto en la enseñanza de las matemáticas de los niveles elementales de educación se convirtió, a principios de 2004, en un reto para un grupo de investigadores del DME. Un primer paso para el logro de ese objetivo fue encontrar una figura que posibilitara la inserción de un programa de estudios para profesores de educación básica en la estructura académica del Cinvestav. La búsqueda condujo a la clasificación que el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) hace de los programas en los lineamientos publicados en la convocatoria

Astolfo Maldonado Pérez

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Matemáticas

del rápidamente, Programa para (Fig. 2001-2002 1) Movía las piezas 7 el laFortalecimiento Posgrado miraba figura. Una vozdel interna Nacional. Los programas debase maestría me decía: “el rectángulo de la profesional y carácter es 3 con x 7.orientación Reacomodaba las piezas”; científico práctico tenían características otra voz apuntaba: “estas tres piezas generales (ver por ejemplo, Conacyt, deben estar en la cabecera”; accionaba 2004) que“¿Cuál permitirían diseñar la y preguntaba es la cuarta docente solicitada por los piezaformación que debe estar en la cabecera?” SEIEM. Me contestaban: “prueba entre las restantes y elimina hasta que te quedes Elmás DMEprobable”. presentó Hacía en versión final el con la múltiples Figura 1 Planhasta y programas de estudio intentos que finalmente di conde la Maestría Educación, Especialidad la solución. La en registré. Matemáticas, al Consejo Académico Al ensayar con estas posibilidades y desecha otras, lo que hace es en“si diciembre intentar elegir las que tengan la Otra Consultivo voz me dijo: Carmen de te 2004. viera eliminamos las dos primeras y; Esquema 1. Estructura académica del programa maestría y sus mayor de probabilidad deconexiones, solucionar solucionar este problema pensaría que en particular con el aula de los alumno-docentes. Enuna la intuición junta correspondiente, d) El armado de la cama se resuelve el problema. Por lo que podemos posees matemática para este cuerpo colegiado que del Cinvestav, resolver rompecabezas; tienes un eligiendo (3,6) y (4,5) como respaldos decir que en el intento de solucionar EN EDUCACIÓN, después de tomar en cuenta para la MAESTRÍA un problema establece juicios conceptualunoque le proporciona la cama. don innato”. evaluación de la comisión nombrada ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS probabilísticos. herramientas para el uso de Plan de estudios del programa metodologías aplicables al trabajo paraleel contestaría: análisis del diseño curricular, aparentemente Mi voz “esto no es Este El pensamiento, de maestría se ha dividido en tres a la Dirección General •Lasdepremisas a, b,empírica y c, que indagación en nos el aula, rápido y automatizado ha sido así; recomendó para demostrártelo, veamos Primaria, permiten y vinculado que lo pusiera consideración la modalidades: llegarcon a la del la conclusión educación matemápor el Preescolar, lenguaje interno detenidamente cómoa ha transcurridode mediado 8 Secundaria, cuales correspondeninciso al tica, Junta Directiva para su aprobación. d,y una son formación lo que Freudenthal práctica centrada formado por milas voz en interacción mi pensamiento”: estudio las problemáticas asociadas En marzo de 2005, dicho programa con se voces el campo análisis dede organización los quehaceres dede expertos. llamaen un con cada uno de los niveles educativos convirtió en uno más de los orientada hacia el diseño y El primer intento, para armar la programas cama local,educativos un pequeño grupo de premisas que integran lo que en México relacionadas se elaboracióndeductivamente de productos didácticos y CONCLUSIONES: partede deestudios de posgrado del Cinvestav, con 9 y en el primero en la institución con su validación el medio escolar. •Los denomina, incisos a, b,desde c, y d 1992, no soneducación más errores de carácteren lógico. básica (SEP, 1992), en y está dirigido a inferencias la acción, a) La orientación base ha de profesional. ser un rectángulo de que rápidas profesores frente a grupointerno, y a asesores el Esquema 1 se hainterno, bosquejado producto de mi lenguaje 3 x 7. •La En intuición, el lenguaje técnico pedagógicos que trabajan ORGANIZACIÓN DE LA MAESTRÍAde mi tanto la programa y intuición, formada en la en se forma en estructura lo social. del Esto abre estos ciclos escolares cuentan con Específicamente, en decidí su que diseño sus diversos como las convivencia con mi padre y ymaestros A partir de algunos intentos posibilidades paracomponentes, que los “andreses” al menos medio tiempo 14cama investigadores relaciones quemaestros se establecen de matemáticas. Luego el1 para insight llevaren a eldiferentes en laparticiparon cabecera de la estarán las del futuro, tengan mejores DME, estudiante programa ellos. Como puede verse en ese en lacabo solución de problemas al que que entre las actividades académicas. piezas 3, 4, un y 5, pues no son del planas. desarrollen en ellos su lenguaje Doctorado en Ciencias Especialidad esquema, los componentes de los dos (Delimito el problema) ¿Quécon otra pieza los psicólogos hacen referencia, interno matemático, su intuición en estar Matemática Educativa, y dos ejes se consolidarán través de encuentra una posible explicación. El objetivo general del programa deberá en la cabecera? Con base matemática, y lograr que asuperen el dos de deseché los SEIEM. tipos de de aprendizaje: en la miembros acción condel las DPI piezas lasHubo de estudios es “Formar docentes problema de unidades la transferencia de los reuniones el resto de los •las asignaturas, cuyos •Al especializados resolver un problema existen capaces de proponer piezas 7, 2 y 1,colectivas luego encon la cabecera conocimientos escolares a lacontenidos vida miembros del departamento para muchas la alternativas se asocian principalmente con el eje posibilidades; cuando uno cotidiana. de solución a problemas deberá estar también la pieza 6. presentación de los avances, así como establece una hipótesis determinada de educación matemática que se teórico, y la aprobación la estructura b) Enpara la cabecera de la de cama deberán y la originan en los distintos componentes •el proyecto de desarrollo, que se contenidos, de modos del sistema educativo nacional”. relaciona de forma más directa con el estarorganización las piezas 3, de 4, 5, y 6. de estructurar la enseñanza y de cómo eje metodológico-práctico. evaluar obtener grado. El proceso Para lograr este objetivo general, las c) A partir dey la acción el con las piezas de construcción delposibilidades programa hasta actividades se han estructurado en Esquema 1. Estructura académica del encontré las siguientes aprobación por de(3,4) la Junta torno a dos ejes: programa de maestría para su ambos respaldos de parte la cama: Es maestro en Ciencias, por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional Directiva del Cinvestav, consumió un y 19B susdeconexiones, en particular con el y (5,6); (3,5) y (4,6); (3,6) y (4,5). y asesor de Medio Tiempo en la Unidad la Universidad Pedagógica Nacional. período de 15 meses. •uno de corte teórico, a través del aula de los alumno-docentes cual el alumno-docente podrá adquirir En el apartado siguiente se describe una formación teórica en matemática PROYECTO DE DESARROLLO 1 a François: grandes rasgos el Lamencionado Las asignaturas son nueve en educativa, endelaBurdeos/EHESS, cual las matemáticas Dubet, Mutaciones cruzadas: ciudadanía y la escuela, Universidad París. http://www.injuve.mtas.es/injuve/contenidos.item.action?id=1007213558&menuId=390550120 programa (para mayor información total, y de carácter obligatorio. El tienen un lugar central, pero confluyen 2 Talia Ben Zeev,: Intutive Mathematics: Theoretical and Educactional Implications. Brown University, 2002. puede consultarse Figueras y Rigo proyecto de desarrollo, cuyo trabajo también aspectos de otras disciplinas 3 Vygotsky L. S.: Obras Escogidas, Vol. II. Madrid, Visor, 1993. 4 (Coordinadoras), 2004 ollamada la página de psicológica, se ser haaportada organizado a través vinculadas con los procesos de que lapuede Ésta es una característica del lenguaje, predicatividad que consiste en omitir la información por el contexto y emitir de nueve únicamente informaciónen nueva, a la que se especialidad llama predicado psicológico. la Maestría Educación, seminarios, es también de carácter enseñanza y del aprendizaje que se 5 La intersubjetividad es la zona de comunicación que se da entre el experto y el novato para resolver un problema en absoluta cooperación, compartiendo emociones Matemática que aparece en la página obligatorio, pero se podrá optar por llevan a cabo en el aula; cuando se avanza hacia la solución. 6 principal del DME de cuya dirección uno Psicológicas de entre las distintas alternativas Galperin p. Ya.: Sobre la Formación los Conceptos y las Acciones Mentales, en: QUINTANAR, Rojas Luis : Las Funciones durante el Desarrollo del Niño. Universidad Autónoma de Tlaxcala, 1995. electrónica es: www.matedu.cinvestav. •el otro eje es de corte metodológico- que la planta académica del programa 7 Wertsch.Voces de la Mente. Un enfoque sociocultural para el estudio de la acción mediada, Visor, Madrid, 1991. mx). práctico, mediante el cual el alumno- de maestría pondrá a consideración de 8 Freudenthal H. Las matemáticas en la vida cotidiana. Mac Graw Hill Book Company, Madrid, 1967. 9 lospp. alumno-docentes al inicio de sus docente logrará una formación El desarrollo de campos de organización local, son sugeridos en el Libro para el Maestro de Secundaria editado por la SEP, 274-276.

Matemáticas Matemáticas

“El curso fue aplicado de la mejor manera en que lo pueda imaginar, porque nos hacía pensar antes de que alguien nos diera la respuesta”.

Hasta aquí se ha dado ya respuesta a cada una de las1.preguntas que se Tabla Ciclos, fases, Una fuente importante para la unidades de las Matemáticas búsqueda de contextos y situaciones “En este semestre vimos muchas plantearon acerca de aprendizaje Escolares. que generen la necesidad de ser y muy variadas cosas. Todas ellas y de las Matemáticas y su organización organizados matemáticamente es fueron aplicadas a la realidad. Cada dentro de la estructura se invita al lector la historia de las Matemáticas. Por nueva cosa que vimos estaba Para finalizar, académica la programa enseñanza de las ejemplo, en la historia se encuentra que relacionada con la vida, y eso las dedicado a del a maestría. hacer una reflexión el problema de matematizar el cómo hacia muy interesantes. Creo que el Matemáticas de cambian las magnitudes continuas, contenido del curso fue muy bueno; sobre todo lo dicho en este ensayo; condujo al surgimiento y desarrollo de me hizo ver muchas cosas que no pues, así como se le ha sugerido que aprendizaje de las había lo quey antes los procedimientos y conceptos sobresobre estudios. Los dos tipos de unidades los advertido, eventos de que enseñanza de de elmaestría exceden, en Matemáticas amplitud debe originarse en el de los había aprendido podrá ayudarme en los cuales finalmente se estructuró el de aprendizaje se impartirán por aprendizaje que suceden en la clase y profundidad, a los intento presentes estudiantes por organizar su realidad, la vida algún día”. Cálculo, esa rama de las Matemáticas parejas, en forma concomitante, a lo de matemáticas; pero en cada una en el curriculum de la educación con la reflexión la cuenta quede en nueve los últimos tres siglos hade sidode las modalidades se analizarán los matemática largo ciclos escolares básica.caerá No en obstante, de que lo que ha de aprender para “Este curso lo disfruté mucho. Aprendí el principal lenguaje cuantitativo de tres y medio meses de duración, de temas de estudio a partir de enfoques hay acuerdo entre investigadores, mejorar su práctica docente debe la aplicación de muchas cosas vistas la ciencia occidental. tal forma que el programa completo diferenciados que responden a los pedagogos y especialistas en originarse en la sunecesidad intento de en el pasado, pero que nunca pueda cubrirse en tres años2. En la problemas y especificidades deantes cada laseducación, sobre deorganizar que el su realidad educativa. había aplicado. En El contenido del curso CURSO educativo. el Esquema 1, docente no restrinja su conocimiento Tabla 1 seINTRODUCTORIO encuentra resumida esta nivel es muy completo e interesante”. A propósito, un grupo de profesores información, así como los nombres y esta parte del programa de estudios a los contenidos que aparecen en el del Departamento de asignaturas. Matemáticas delse bosqueja por medio de la clase curriculum del nivel educativo que él la secuenciación de las Tec de Monterrey, Campus Monterrey,magistral y el trabajo de grupo; puede imparte. ha llevado a la escuela el problema Como se mencionó, el programa de verse también que estas actividades de matematizar cómo cambian maestría tiene tres modalidades: lasse complementan con sesiones de En los programas de cada asignatura magnitudes continuas. Ello les haestudio dirigido, de trabajo en grupos se establecerá un balance entre preescolar, primaria y secundaria. permitido elaborar una propuesta comunicación en línea. los contenidos y las necesidades En las tres se estudiarán los mismos dey con una Es licenciado en matemáticas por la Universidad Autónoma de Nuevo León. Obtuvo los grados de maestro qué enseñar en un ycurso introductorioLos temas matemáticos integran específicas se plantean en cada tópicos matemáticos se reflexionará y doctor en Ciencias, con que Especialidad en Matemática Educativa,que en el Centro de Investigación y Estudios del Cálculo, propuesta en lael plan de Avanzados del Instituto Politécnico Nacional; es profesor de tiempoycompleto del Departamento estudios del programa nivel educativo las que surgen de conal estudio una visión interdisciplinaria que se favorece el que los estudiantes Matemáticas del Tecnológico de Monterrey, y coautor de varios libros.

Juan Antonio Alanís Rodríguez

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EL PROYECTO DE DESARROLLO Esta unidad de aprendizaje versa sobre un tópico de la educación matemática relacionado con una problemática general de la educación básica, o con una didáctica específica, o bien con un problema particular del nivel educativo en el que laboran los alumno-docentes. Al inicio de sus estudios, cada alumnodocente podrá elegir de entre una lista de proyectos de desarrollo que los miembros del DME diseñen para una de las generaciones del Programa, aquél que más se vincule con sus intereses de reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas y su relación con los procesos de aprendizaje que se generan en el aula, en particular en su propio salón de clase. Los equipos de trabajo que se formen en torno a un proyecto de desarrollo no deben exceder seis alumno-docentes por cada pareja de investigadores (responsable y co-responsable); empero se podrán unir al proyecto estudiantes de los programas de Maestría y Doctorado en Ciencias, Especialidad en Matemática Educativa que ofrece el DME y los colegas de este departamento o de otras instituciones educativas interesados en una problemática particular de la enseñanza de las matemáticas. La idea central de un trabajo de este tipo es favorecer la interacción de los alumno-docentes con la comunidad de matemáticos educativos y facilitar la formación de grupos de investigadores y colaboradores con intereses comunes con respecto al estudio de la problemática de la educación básica. En esta unidad de aprendizaje del programa de maestría, el trabajo se estructura principalmente en torno a la formación metodológica–práctica del alumno-docente. Los referentes

•Diseñar un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula cuyo propósito sea la resolución de un problema concreto.

CELEBRACIÓN DE NUEVE SEMINARIOS Para alcanzar las metas propuestas para el proyecto de desarrollo, el trabajo se ha organizado con la intención de que sea posible realizarse en tres años, a través de nueve seminarios, como se muestra en la Tabla 1. Esos seminarios están estructurados en tres fases: Diagnóstico, Planeación e Intervención. Los objetivos de cada una de estas fases se delinean a continuación.

La fase II concluye con un informe del diseño de una estrategia de enseñanza o un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula, según el objetivo general del proyecto de desarrollo en el cual se haya inscrito el alumno-docente. La puesta a prueba de la estrategia o la ejecución del proceso, serán la tarea principal de la fase siguiente.

Diagnóstico: En esta fase el alumnodocente realizará los análisis necesarios de lo que ocurre en su salón de clase, con el desempeño de sus alumnos, con su forma de planificar las actividades de los niños o jóvenes y con las maneras de evaluar el desempeño de los estudiantes. Por medio de este trabajo analítico el alumno-docente podrá: • Delimitar una problemática específica en su aula experimental que le interese estudiar de manera sistemática. La fase I concluye con un informe del diagnóstico realizado y de la fundamentación de la elección de un problema concreto, el cual será objeto de estudio de la siguiente fase. Planeación: En esta fase el alumno-docente se centrará en la caracterización del objeto de estudio determinado en la fase anterior de manera que le permita: •Diseñar una estrategia de enseñanza cuyo propósito principal sea la resolución de un problema concreto; o bien,

Intervención: En esta fase el alumnodocente pone a prueba la estrategia de enseñanza diseñada para resolver el problema concreto seleccionado en la fase I, o bien lleva a cabo el proceso de valoración del componente del trabajo en el aula elegido en dicha fase; este trabajo le permitirá: •Realizar una intervención puntual en su aula experimental, y •Evaluar los resultados de la intervención en función del desempeño de los niños o adolescentes y de la problemática planteada. En la última etapa de esta fase se someterán a discusión de los miembros durante el último seminario del proyecto de desarrollo los informes de cada uno de los integrantes del equipo, trabajo que debe constituir un proceso de evaluación colegiada tanto de los alcances logrados por cada uno de los alumno-docentes, como de los del equipo en su globalidad. La fase III concluye con un informe de las características de la intervención puntual, las formas de analizar los efectos de la intervención ya sea considerando al grupo entero, o bien llevando a cabo análisis de los desempeños individuales de los

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niños o jóvenes y las conclusiones del trabajo realizado en el proyecto de desarrollo. La integración de los informes de cada una de las fases debe elaborarse de manera que el alumno-docente obtenga un informe global del trabajo realizado durante tres años para alcanzar las metas generales de la parte del proyecto de desarrollo que él ha llevado a cabo; ese informe cumplirá con las características de un trabajo terminal de carácter docente el cual le servirá para obtener su grado. PRIMERA GENERACIÓN 2006-2008 En agosto de 2005 se publicó la convocatoria para aspirar al curso de admisión para la primera generación del programa de estudios de la Maestría en Educación Especialidad en Matemáticas; respondieron a la convocatoria 98 aspirantes, quienes trabajaron durante tres meses y medio. Además de la evaluación de conocimientos específicos sobre las matemáticas y su enseñanza, un curso de ese tipo tiene dos objetivos centrales. Uno de ellos se relaciona con los proyectos de desarrollo; la intención es que los alumno-docentes conozcan las ideas centrales del trabajo que se realizará en el interior de cada uno de los proyectos ofertado por los colegas del DME – para la generación 20062008 se abrieron 10 proyectos de desarrollo. El otro objetivo central es valuar el compromiso de los alumnodocentes, su asistencia, la elaboración y entrega de diversas tareas y su disposición a asistir a la sede Zacatenco del Cinvestav. La evaluación al final del curso aseguró la inscripción de 60 candidatos al programa; los cursos iniciaron en enero de 2006. Sobran estudios realizados por diferentes investigadores en el mundo que aportan evidencias sobre el poco éxito que tienen los programas de estudio para docentes en servicio. Demasiado énfasis en el aspecto pedagógico debilita la construcción de conocimientos matemáticos por parte del profesor de educación

básica y demasiado énfasis en la componente matemática empobrece el acercamiento a la escuela. Otras veces el discurso aprendido no promueve cambios esperados en la educación. De manera que en base a esta historia y tomando en cuenta el papel crucial que juegan el Aula experimental y los proyectos de desarrollo en la formación del alumno-docente se diseñó un programa de evaluación del propio programa de estudios (Figueras, Pluvinage y Sánchez, 2006). Dos tipos de estudio se están llevando a cabo en el contexto del proyecto de evaluación: los de impacto y los de seguimiento. Entre las actividades que se desarrollan para hacer indagaciones de impacto se encuentra la observación en el aula. Una primera toma de datos de dos días seguidos de clase se llevó a cabo a principios de septiembre de 2006 con 50 alumno-docentes; esa sirve para caracterizar las condiciones iniciales. El análisis de estos datos se está llevando a cabo y se estructura en torno a la actividad matemática que se desarrolla en el aula. Entre las acciones que conducen a la evaluación a través de estudios de seguimiento se encuentran la realización de Jornadas para la evaluación de proyectos de desarrollo.

Las primeras se realizaron en diciembre de 2006, los alumnodocentes entregaron su informe de la primera fase, la de Diagnóstico, e hicieron una exposición frente al resto de sus compañeros. Dos asesores leyeron su informe y después de la exposición de forma oral, expresaron sus dudas, comentarios y sugerencias en la reunión colectiva (el programa de las Primeras Jornadas puede consultarse en línea en la página de la maestría del DME). Al término de este cuatrimestre, 58 de los 60 candidatos siguen intentado mantener su permanencia en el Cinvestav. Todavía no hay manifestaciones de que las expectativas de este esfuerzo lleguen al aula. Se espera que el trabajo de este año sea un buen indicador en esta dirección. Pese a que ésta es una alternativa de solución, y se está apostando a que sea todo un éxito, su relevancia en términos de número de docentes es muy baja. En los SEIEM del Estado de México hay adscritos alrededor de 24 mil docentes. Es por ello que el grupo de investigadores del DME sigue considerando un reto la formación del maestro en servicio; se cuenta también con el apoyo del desarrollo mismo de las TIC`s.

Olimpia Figueras Es maestra y doctora en Ciencias; realizó estudios en Matemática Educativa en el CINVESTAV, y su posdoctorado en la Universidad de Londres. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores Nivel I.

Referencias Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Anexo: Manual para la evaluación de los programas de postgrado. Ver página de internet de Conacyt. (2004). De la Rosa, Adrián: Estudio de los programas de posgrado a nivel de maestría en instituciones de la Ciudad de México. Manuscrito interno de los SEIEM. (2003). Figueras, Olimpia y Rigo, Mirela (Coordinadoras): Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, Programa de posgrado con orientación profesional. Plan y programas de estudios. México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav.(2004). Figueras, Olimpia, Pluvinage, François y Sánchez, Ernesto: Evaluación de una formación del docente en educación matemática a través de observación en el aula. (2006). Secretaría de Educación Pública. Acuerdo Nacional para la Modernización Educativa. México: SEP. (1992).

El Conacyt (2004, pág. 5) incluye el medio tiempo dentro de los límites normativos recomendables sobre los tiempos de dedicación a una maestría. Una de las condiciones para que un programa de maestría sea considerado de Alto Nivel (Ibid, pág. 21) consiste en que sus tiempos promedios para la obtención del grado no deben exceder los tres años. 1 2

Matemáticas Matemáticas

Las Matemáticas: belleza simplista y lenguaje de genios

Foto por Brian Gavriloff.

OMNIPRESENCIA DE LAS MATEMÁTICAS Desde el código que usamos para sacar dinero del cajero, pasando por las ecuaciones de lógica matemática de Gödel con su famoso Teorema de la Incompletitud, hasta la geometría fractal que gobierna el movimiento ¿Qué tanVía próximo? rebase que el de la Láctea, Que esta no ciencia, tiempo enlas que evaluarán las en clase su y estudia cantidades, formas “comprensión” y queestá no se evalúe con sus interacciones presente. problemas diferentes de aquéllos que han Es memorizado. así que no nos queda otra cosa más que estar de acuerdo con lo Sique bienmuchos con esto se logra eruditos hanabatir dicho:ella tan preocupante alto porcentaje capacidad de admiración estética devaría reprobados, no se que los de persona enlogra persona, y a estudiantes aprendan con compresión veces es muy subjetiva; sin embargo, y algo puedan aplicar innegable es la realmente belleza quelose aprendido. concentra en torno a las Matemáticas.

Pero si dudamos de esta belleza, veamos la perfección de la proporción divina (1.618033988) presente, de acuerdo con Wikipedia, en la relación de distancia entre las espirales del interior de cualquier caracol, en la relación anatómica de nuestra especie (como la relación entre el De un tiempo fecha, matemáticos diámetro de alalaboca y el de la nariz), educativos piensan que los problemas la concentración y ubicación de los depétalos la enseñanza las la Matemáticas de una de rosa, relación de no son omacho no sóloy son los estudiantes abejas hembra en un panal, o así los como, profesores, sino, ocasiones, ante todo, en losel en algunas contenidos; es brócoli decir, romanesco, las versiones diseño de un sin deolvidar las Matemáticas que aparecen la misma composición de las engalaxias la escuela, versiones que han que flotan en el universo. enfatizado de manera predominante elDe quelolasanterior, Matemáticas un sistema y de son acuerdo con el conceptual lógicamente estructurado, análisis del profesor Barrow, tenemos o que un “la lenguaje, y omiten por naturaleza de loscasi sistemas

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complejos y el delicado balance que muchas veces se requiere para mantenerlos, sin importar que sean flamas, ecosistemas, sistemas de tráfico o economías, requiere del entendimiento matemático de su estabilidad dinámica”. EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS Es claro que las matemáticas se encuentran en la Madre Naturaleza, y que nosotros, como seres humanos, hemos llevado este lenguaje a diversas actividades que realizamos y a diversos sistemas que hemos construido en beneficio de nuestro desarrollo como especie y como civilización. Me refiero, por ejemplo, al patrón que sigue la Bolsa de Valores, que no es más que un retrato matemático del comportamiento del hombre ante su incertidumbre del medio que lo rodea, y que se asemeja a lo que conocemos como el “caos”, hablando en términos matemáticos. Lo mismo sucede con la biología computacional que se encierra en los ceros y uno de los lenguajes de programación, y en la misma Internet que todos nosotros usamos. En este contexto, las matemáticas no son aquella ciencia oscura exclusiva de grandes mentes brillantes, sino que, a pesar de que no lo veamos, trabajamos con ellas sin darnos cuenta. Cada señal que enviamos y recibimos, en su interpretación lógica, lleva implícita esta ciencia. El simple hecho de manejar, hace trabajar a nuestro cerebro, para calcular las dimensiones del coche en el que vamos, y medir la distancia que guardamos respecto de otros vehículos y objetos que nos rodean. La omnipresencia de las Matemáticas es, en palabras del profesor John Barrow, “ubicua en la ciencia y en las interacciones humanas, derivando del hecho de que las Matemáticas es el estudio de la colección de todos los posibles patrones. Algunos de estos patrones ocurren en formas, algunos en números, otros son una secuencia de eventos, otros se observan en la forma de galaxias o también en la interacción de las partículas más elementales”.

CLAVE DE ORDEN LÓGICO De entre las interacciones humanas y la naturaleza, y nuestra clara necesidad de comprender mejor el mundo macro y micro en el que vivimos, las Matemáticas son la clave de orden lógico que necesitamos para seguir armando este complicado rompecabezas; pero también esta ciencia es ahora de las más buscada sen el currículo de los egresados. Empresas como la popular y exitosa compañía Google, nombre derivado del número gogol (uno seguido de cien ceros) están buscando reclutar en sus filas individuos que posean alta capacidad lógica matemática. Tal es el último caso de su filtro de reclutamiento de personal que hicieron cuando en la autopista 101 en Silicon Valley colocaron un espectacular que decía: “www.{primer primo de diez dígitos encontrado en el consecutivo de dígitos de e}.com”. El resolver ese acertijo llevaba a los aspirantes a un sitio web con otro problema de mayor complejidad, y al terminar éste, se invitaba a los ganadores a que subieran su currículo, para ser tomados en cuenta para trabajar dentro de Google. ¿Y quién no quisiera trabajar en una empresa como ésta? Me refiero a que no es sólo casa de genios, sino que la estrategia de Google es que sus ingenieros deben usar el 70 por ciento de su tiempo en productos clave de la empresa (como el algoritmo de búsqueda), 20 por ciento del tiempo en productos

complementarios o tangentes al clave de la organización y 10 por ciento en diversión que puede o no llevar al desarrollo de algún producto. COMPRENSIÓN DEL UNIVERSO En la actualidad, entrar en el mundo de la Matemática nos hace estar un paso más cerca de la comprensión del universo y de nuestro medio ambiente. Además, nos permite, tener mejores oportunidades en el mundo laboral debido a la reciente recuperación de esta ciencia en la economía moderna; pero a la vez, estamos también cerca de perdernos en el limbo de nuestra mente, similar al caso de Nash, cuando afirmaba en su esquizofrenia que había una conspiración del gobierno en su contra o que hablaba con extraterrestres; o el caso de Gödel, muerto por inanición, porque creía firmemente que lo querían envenenar en sus alimentos. Sin embargo el legado de ambos, así como el de muchos otros matemáticos, persiste en nuestros días y nos hace la vida más fácil en diversas áreas del conocimiento. Al final, las preguntas que siempre nos hacemos en relación a este espacio relativo en el que vivimos permanecerán y una de las herramientas que nos ayudará a intentar responder será la Matemática. En palabras de Barrow: “el desarrollo de la intuición acerca del espacio, de las formas, de las cantidades y probabilidades, provee fundamento para construir un mejor entendimiento y apreciación de nuestro mundo”.

Rodrigo Soto Estudió su Maestría en Mercadotecnia en el Tecnológico de Monterrey, institución en la que participó con investigaciones, mediante el convenio de Investigación y Extensión.

Referencias Barrow, John, Math is everywhere, BBC News, enero 1999. Farley David, Jonathan, A Beautiful Mind: American Pi, Time Magazine, enero 2002. Fuzzy Maths, The Economist, mayo 2006.

Celebrará la Sociedad Matemática Mexicana su congreso anual en la UANL

Desarrollar la habilidad de transferencia de las percepciones tridimensionales a representaciones bidimensionales y viceversa es una demanda de los programas de Licenciaturas o Ingenierías, pero en determinado momento histórico René Descartes (1595-1650), afirmó que la graficación en el espacio no es una extrapolación de la graficación en el plano, tanto de funciones reales de dos variables (superficies), como de funciones vectoriales (curvas); no se realizan fácilmente haciendo ligeras modificaciones a la graficación en el plano.

tridimensionales graficados en R3, representado convencionalmente en un “objeto bidimensional” (la hoja o la pantalla en la PC), con puntos de referencia fijos y móviles, es hablar de una habilidad factible de desarrollar en el Nivel Superior, la cual debe ser definida explícitamente con carácter secuencial y de ascenso como sigue:

Destaca el presidente del organismo la importancia ENFOQUE HISTÓRICO CULTURAL La autora coincide con tan importante Desde un punto de vista psicológico, se afirmación y la considera vigente. Es propone una metodología basada en el de la disciplina, y posible que se piense que tal dificultad enfoque histórico cultural, en la que, se ha rebasado y que actualmente la a través de instrumentos semióticos, dice que aprender graficación en el espacio “se realiza se desarrolle la Visualización fácilmente”, apoyada en la usabilidad y Matemática Tridimensional, con un matemáticas es aprender amigabilidad de poderosos asistentes nivel de asimilación productivo y matemáticos que incluso propician la creativo, para poder modelar tanto formas de pensamiento manipulación virtual. objetos geométricos manipulables, objetos geométricos virtuales, y estrategias como HABILIDADES REQUERIDAS en la que el diseño e implementación EN LA VISUALIZACIÓN de lasde TICs tome como un referente para la solución MATEMÁTICA relevante los postulados de Vigotsky De la literatura científica investigada, sobre el carácter mediatizado de la problemas se concluyó que: Representar y psiquis humana, el carácter social del

Transferir son habilidades requeridas aprendizaje y el carácter histórico del en la Visualización Matemática, pero desarrollo cognoscitivo del estudiante; en la presente investigación se eviden- y se fundamente además en la Teoría ció que la PorVisualización Carlos Joloy Matemática de la Actividad, considerando al de superficies limitantes y estudiante comoAutónoma sujeto de su propio el 14 alde 19sólidos de octubre, la Universidad curvas limitantes de proyecciones por serFísico él quien debe de las Nuevo León, vía la aprendizaje, Facultad de Ciencias en los planos coordenados, depende de los conocimientos y Matemáticas, será la apropiarse sede del Congreso Anual directamente de dela la habilidad de Sociedad Matemática Mexicana, que espera Ubicaciónrecibir Espacial Matemática. más de mil 500 participantes entre profesores, investigadores y estudiantes de matemáticas provenientes La autorade suma esta última universidades dehabilidad toda la república y el extranjero. a las habilidades de Representación y Transferencia, para Barriga, conformar Alejandro Díaz presidente deEslalicenciada sociedad, explicó porATENCIÓN A LOSFísico ESTUDIANTES en Matemáticas la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UANL; maestra en en Matemática Educativa por el Para CINVESTAV, y doctora en Ciencias Pedagógicas con Especialidad en un subsistema de la habilidades de Ciencias que durante semana de trabajo del congreso se realizarán los estudiantes, se tratará de ofrecer información para Matemáticas, por el Centro de Estudios de Ciencias de la Educación de la Universidad de Camagüey, Cuba. la Visualización Matemática Bididiversos eventos enfocados a grupos específicos de acuerdo poner a su alcance las distintas áreas de las matemáticas, y mensional y Tridimensional, y la ya que existirán eventos y así facilitar la decisión de hacía dónde quieren encaminar su a los propios participantes, conceptualiza. Conceptualización conferencias dirigidos a ladeinvestigación en matemáticas; profesión, dijo Díaz Barriga, quien comentó que además de La base que sustenta al aporte teórico ypara práctico la autora se tomó de autoridades: como la habilidad Ubicación Espacialen el cual habrádetambién un espacio se conceptual den a conocer los eventos la de comunidad especializada, se realizarán Leontiev A N, Vigotsky L S, Galperin PYa, Rubinstein S L, Talízina N F, Álvarez C, Fuentes H, Comenio J A, Matemática: Es un hecho que una reportes de investigación y se pueda generar el intercambio actividades dirigidas a la sociedad con el objetivo Brousseau G, Van Hiele, Guzmán M., Duval R., Godino J, Douady R, Álvarez J, Hitt F, Cantoral, R, Farfan R,de dar un Díaz Barriga servicio F, De Pablos, Lavorde C, Kaput J,en Barrera S V, Rivaira C, entre otros. habilidaddedel pensamiento lógico es conocimiento entre los participantes. a la comunidad general.

Lilia López Vera

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Ubicar (o localizar) el lugar relativo que ocupa una parte determinada dentro El próximo mes del detodooctubre en cualquier contexto. Pero, hablar de ubicación espacial de objetos

del aprendizaje significativo de la graficación de conceptos y teoremas sobre las funciones reales y funciones vectoriales en el plano y en el espacio, requeridas en la disciplina y en la solución de problemas de diversos sectores sociales.

Matemáticas

dejan muchos beneficios académicos a la comunidad y al país”.

“Abrimos talleres, abrimos una sección de sólo para jóvenes y vamos a visitar algunos bachilleratos de la ciudad para darles pláticas de matemáticas. Abrimos una sección de difusión de las matemáticas en algún lugar de la ciudad, para dar pláticas a todo público; vamos a abrir una sección de sólo para niños de primaria para enseñarles matemáticas jugando, una manera lúdica de trabajar la matemática”. Díaz Barriga agregó que, gracias a la experiencia de haber realizado este tipo de eventos en años anteriores, han logrado una muy buena participación por parte de la sociedad, por lo que se continuará con el esfuerzo, a fin de borrar la “mala imagen” que existe sobre las matemáticas. MALA IMAGEN DE LAS MATEMÁTICAS “Las matemáticas tienen como una mala imagen frente al público en general, y lo que queremos es cambiar esa imagen. No hablamos de que la matemática sea fácil, porque no se puede hacer fácil lo que no es; las formas de pensamiento no son fáciles, pero podemos hablar de que se puede hacer divertido, de que se puede hacer lúdico y atractivo el reto de ponerse a pensar”. Para la realización del congreso se contará con la participación de otras dependencias de la UANL que prestarán espacios para llevar a cabo los eventos, como es el caso de auditorios y aulas de las facultades de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Ingeniería Civil y Arquitectura, entre otras. En entrevista con CONOCIMIENTO, Alejandro Díaz Barriga confirmó que además del congreso de la Sociedad Matemática Mexicana, Nuevo León será sede también de la onceava edición del International Congress on Mathematics Education (ICME por sus siglas en inglés) evento que se llevará a cabo el mes de julio del año 2008 con el apoyo de la UANL. MÁS DE CUATRO MIL ASISTENTES Para este evento se espera contar con la participación de más de cuatro mil

Por último, el presidente de la Sociedad Matemática Mexicana destacó la importancia de las matemáticas y explicó cómo están trabajando para acercar esta disciplina a la población, más allá del pensamiento de que sólo sirven para hacer cuentas.

Alejandro Díaz Barriga, presidente de la Sociedad Matemática Mexicana.

asistentes que tendrán acceso a las investigaciones más recientes sobre matemáticas educativas. “La idea de la Sociedad Matemática Mexicana de traer este congreso es poner a disposición de los profesores e investigadores en matemática educativa de México todo lo que hay en matemática educativa en el mundo y también lanzar al país como líder en América Latina. Será ésta la primera ocasión en que el ICME salga de lo que se llama el primer mundo, a un país de los llamados emergentes, y lo que buscamos es que haya mucha presencia de los latinoamericanos y mexicanos en este congreso”, comentó.

APRENDER FORMAS DE PENSAMIENTO “Aprender matemáticas es más que hacer cuentas; aprender matemáticas es aprender formas de pensamiento, es aprender estrategias para resolver problemas, no nada más de matemáticas; es aprender maneras para tener conjeturas de soluciones de problemas. Esas formas de pensamiento son formas que todo ser humano debe tener, porque nosotros presuponemos que eso le da al ser humano una mejor calidad de vida y la posición humanista eso es lo que deja. Entonces hay que hacer más amena y más lúdica la enseñanza, es un problema que existe en nuestro país; por ello, lo que tenemos que hacer es cambiar la forma en la que se enseñan las matemáticas en México”, concluyó.

En esta edición del ICME, que se realiza por primera vez en América Latina, además del alto número de participantes, se estima que llegarán a la ciudad más de 450 invitados especiales provenientes de 60 países, lo que se traducirá en una elevada riqueza de educación matemática en todos los niveles, desde preescolar hasta educación superior, apuntó Díaz Barriga. “Siento que tenemos que ser sensibles a que este tipo de reuniones tienen una enorme ventaja, porque la comunidad se comunica y se pone en contacto entre sí; las relaciones académicas que se sacan alrededor de un congreso son muy importantes, tanto para los colegas mexicanos como para los estudiantes, por lo que hemos corroborado que estos congresos

Aprender matemáticas es más que hacer cuentas; aprender matemáticas es aprender formas de pensamiento.

Visualización Matemática como habilidad docente

Escrito por Ivy Nevares / Conceptos de Keith Raniere

Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática.

Doctora Liliaa López Vera con mente matemáticas una persona

por fuerza resultará en una de las dos Coordinadora y Maestra de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias matemática, como lo es mi mentor, es respuestas ya mencionadas. Especialidad en Matemáticas / UANL similar a liberar a un niño hiperactivo en lilia_lopez@hotmail.com un cuarto lleno de juguetes, juegos y un Si Ud., como yo, ha tenido un miedo sinfín de medios de entretenimiento. Por vitalicio a la matemática: hay esperanza, nte las demandas nacionales e internacionales de innovación educativa el contrario, presentar un problema de siga leyendo. Si está Ud. en el extremo que conduzcan a la generación y aplicación del conocimiento en matemáticas a una persona que no tiene opuesto, siga leyendo: sólo puedo imaginar un desarrollo social sustentable, se propone la transformación de “mente matemática”, por así decirlo, que su amor por la matemática se volverá procesos de enseñanza-aprendizaje, que propicien la construcción podría incitar una respuesta tan severa más profundo. Si Ud. clama no sentir nada de competencias profesionales en la consolidación de la Sociedad del como si la persona estuviera cara a cara respecto a la matemática, pruebe esto Conocimiento. con Satanás mismo. Por supuesto, es (proveniente de la prueba “Hoeflin Power posible argumentar una excepción a esta Test” de cociente intelectual): Las Tecnologías de Información y Comunicación (TICs) se han convertido en dicotomía: la persona que (habiendo un elemento constitutivo de la generación y aplicación del conocimiento en dominado un cierto nivel de matemáticas) Si un cubo y un tetraedro se traslapan, ¿cuál el desarrollo del continuo Ciencia-Tecnología-Sociedad, y han rebasado la no siente pasión alguna. Sin embargo, al es el número máximo posible de piezas capacidad de actualización docente e implementación de las mismas en las momento que la complejidad del problema sólidas (p. ej. volúmenes completamente instituciones educativas. supere el conocimiento matemático de encapsulados y carentes de subdivisiones)? esta persona, su aparente falta de pasión

En particular, la comunidad nacional e internacional de Matemática Educativa investiga la disponibilidad creciente de computadoras y calculadoras gráficas con capacidades de manipulación simbólica y dinámica, para rediseñar Ojos que no ven, corazón que no siente la enseñanza de la Matemática en situaciones didácticas e implementar la enseñanza mediada por las TICs en diferentes niveles educativos.

Hace años, mi mentor se imaginó una caricatura muy ingeniosa, que puede o no ya haber sido ilustrada por algún caricaturista. La caricatura presenta a un personaje caminando FORMACIÓN INTEGRAL por una calle mirando hacia adelante. De los ojos del personaje surge una especie de DE PROFESIONISTAS DE LA MATEMÁTICA cono, similar a las luces de un vehículo en la noche, iluminando lo que parece ser el campo Es parte del desafío social e intelectual de la Facultad de Ciencias Físicas y visual de la persona. Dentro de este campo visual está lo ordinario y lo mundano; cosas Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León (FCFM UANL), apoyar típicas que uno se encontraría a lo largo del camino. Sin embargo, justo afuera del cono el desarrollo de la sociedad neoleonesa y del país, mediante la formación integral (rodeando al personaje en la “oscuridad”) hay todo tipo de monstruos, seres extraños, de profesionistas de la Matemática, con competencias para la aportación directa duendes y demás. Para el personaje, lo que existe dentro del cono constituye su idea

de su saber científico y tecnológico a la solución de problemas de los sectores educativo, productivo y de servicio.

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Permanencia de los objetos

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práctica de la “realidad”, aunque todo tipo de seres metafísicos existen justo más allá de esa frontera. En este sentido, los demás seres no “existen” para el personaje porque no puede verlos. Este tipo de conciencia o percepción, comúnmente conocida como “ojos que no ven, corazón que no siente”, es una parte natural del desarrollo humano. Por ejemplo, si Ud. muestra a un bebé de seis meses su juguete favorito, el bebé responde a este directamente. Mientras el bebé está experimentando directamente el juguete, este existe en la conciencia del tiempo y espacio real del bebé. Sin embargo, si oculta el mismo juguete detrás de una cobija u otro objeto mientras el bebé lo observa, pareciera que el juguete simplemente desaparece o deja de existir para el bebé. Conforme la conciencia del bebé se desarrolle, será capaz de llevar la percepción de la existencia del juguete en el tiempo y espacio reales a un espacio virtual: sin tener que verificar con el mundo exterior, usando una construcción cognitiva, el bebé puede saber que el juguete sigue existiendo aunque ya no lo puede ver. Este tipo de conciencia es denominado “permanencia de objetos”. Para el personaje que camina por la calle rodeada de monstruos, lo ordinario y mundano es parte de su permanencia de objetos, mientras que todo lo demás permanece fuera de ella (sin embargo “cerca”). El concepto de permanencia de objetos, hace notar Keith Raniere, es un componente importante de la percepción humana. Por ejemplo, si está Ud. leyendo esto en papel, puede tocar el papel; y si lo está leyendo del Internet, puede tocar su pantalla. Cuando toca Ud. el papel o la pantalla, Ud. no conoce la naturaleza del papel o la pantalla per se, simplemente conoce al papel o a la pantalla por sus efectos (en este caso, las señales que su sentido del tacto registró a través de su sistema nervioso y los procesos cognitivos consecuentes que le permitieron identificar la sensación como “papel” o “pantalla): Ud. conoce al papel o la pantalla por los efectos que cada uno produce en su percepción. Esto es igual con cualquier cosa que percibamos que existe en el mundo exterior; sólo percibimos que existe debido a sus efectos, aunque puede ser que jamás conozcamos completamente la naturaleza de la cosa misma. Si esto es cierto, hay, por supuesto, distintos niveles

de qué tanto podemos percibir los efectos del mundo exterior. Por ejemplo, en la película del 2004 ¿¡Y tú qué sabes!? (What the Bleep do We Know!?), se presenta la hipótesis de que los indígenas en América no fueron inicialmente capaces de percibir los primeros navíos europeos durante el descubrimiento del Nuevo Mundo. Los navíos, muy similarmente al juguete del bebé escondido detrás de una cobija, simplemente no existían en el universo de los nativos. Se cree que en cierto momento, ya sea a través del hábito y / o por una “colisión con la realidad” directa, los indígenas fueron capaces de percibir los navíos automáticamente. No

Los demonios de la matemática Uno de los más aterrorizantes momentos en mi vida académica ocurrió al final de mi segundo semestre en la universidad: descubrí que había reprobado cálculo. Fue la primera clase que reprobé en mi vida. Recuerdo llorar ese día como si alguien (digamos mi inteligencia) se hubiera muerto. Cuando le relaté esta experiencia a mi mentor, él respondió de una manera que era la que yo menos esperaba (de nuevo aquí mi inteligencia me falló). La mayoría de la gente, dijo, cree que no son buenos para la matemática porque han experimentado dificultades con al materia en la escuela. Por ejemplo, muchos piensan que la matemática es “aritmética”: contar cosas, relacionar unas cosas con otras, el arte de calcular. Si una persona se siente incompetente en esta área y dice, “Reprobé matemáticas en la primaria, soy ‘malo’ para la matemática,” un matemático clarificaría: “Puede que no sea Ud. ‘malo’ para la matemática; quizás sólo le falte habilidad aritmética.”. Similarmente, muchas personas tienden a pensar que la matemática es “álgebra”, “cálculo”, etc. Sin embargo, para el matemático, aritmética, álgebra, cálculo y materias similares no es “la matemática” en sí: son sólo efectos de la matemática. La “verdadera matemática”, según Keith Raniere, “es la esencia del estudio relacional”. Si Ud. considera al cubo Rubik, un rompecabezas que muchos de nosotros hemos tenido la oportunidad de experimentar, la verdadera matemática es

podemos percibir cosa alguna que esté fuera de nuestras posibilidades perceptivas / cognitivas. Esto trae a colación dos cuestiones urgentes: “¿Qué conforma la frontera de nuestros límites de percepción?” y “¿Hasta qué grado es la cognición un factor en la formación de estos límites?” Lo que es más, si asumimos que la frontera final entre los humanos y el mundo exterior es nuestra propia percepción, ¿podemos llegar a conocer nuestra percepción o sólo conocemos sus efectos? Similarmente, si la única manera de conocer nuestra percepción es percibiéndola con nuestra percepción, ¿puede llegar a estar completo este proceso?

He ahí la matemática. La demostración del Teorema de la Incompletez de Gödel es tan simple, y tan huidiza, que es casi vergonzoso relatarla. Su procedimiento básico es como sigue: 1. Alguien le presenta a Gödel una MVU, una máquina que se supone es la Máquina de la Verdad Universal, capaz de contestar correctamente cualquier pregunta. 2. Gödel pide el programa y diseño de los circuitos de la MVU. El programa puede ser complejo, pero tiene que ser finito. Llamemos al programa P(MVU), Programa de la Máquina de la Verdad Universal. 3. Con una leve sonrisa, Gödel escribe el siguiente enunciado: “La máquina construida en base al programa P(MVU) jamás dirá que este enunciado es verdad.” Llamemos a este enunciado G por Gödel. Note que G equivale a: “MVU jamás dirá que G es verdad.”. 4. Ahora Gödel ríe su risa aguda y le pregunta a la MVU si G es verdad o no. 5. Si la MVU dice que G es verdad, entonces “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso. Si “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso, entonces G es falso (dado que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”). Así que si MVU dice que G es verdad, entonces G es de hecho falso y la MVU ha hecho una declaración falsa. Así que la MVU jamás dirá que G es verdad, ya que la MVU sólo hace declaraciones verdaderas. 6. Hemos establecido que la MVU jamás dirá que G es verdad. Así que “MVU jamás dirá que G es verdad” es de hecho un enunciado verdadero. Así que G es verdadero (ya que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”). 7. “Sé de una verdad que la MVU jamás podrá decir,” dice Gödel. “Sé que G es verdad. La MVU no es verdaderamente universal.” Piénselo – poco a poco le tomará cariño... Con su gran genio matemático y lógico, Gödel fue capaz de encontrar una manera (para cualquier P(MVU)) de escribir una compleja ecuación polinomial que tiene solución sí y sólo sí G es verdad. Así que G no es de hecho un enunciado vago o carente de matemática. ¡G es un problema matemático específico del cual sabemos la respuesta, aunque la MVU no la sabe! Así que la MVU no representa, y no puede representar, la mejor y definitiva teoría de la matemática.... Aunque este teorema puede ser declarado y comprobado de manera rigurosamente matemática, lo que parece decir es que el pensamiento racional jamás puede penetrar la verdad final y última... Pero paradójicamente, entender la demostración de Gödel es encontrar una especie de liberación. Para muchos estudiantes de la lógica, el finalmente romper la barrera y entender plenamente el Teorema de la Incompletez es prácticamente una experiencia de conversión. Esto es parte un subproducto del potente misterio que trae consigo el nombre de Gödel, pero más profundamente, entender la naturaleza esencialmente laberíntica de el castillo es, de cierto modo, liberarse de él.

– Randy Rucker, El Infinito y la Mente

Hay muchos matemáticos que no son buenos para la aritmética: cometen errores, olvidan signos de menos, olvidan determinar una ecuación y así sucesivamente. Su falta de dominio de la aritmética, de hecho, no tiene nada que ver con su habilidad matemática. Considere al matemático francés Évariste Galois (1811 – 1832). Dos veces Galois intentó pasar el examen de admisión al École Polytechnique y fracasó: la primera vez presumiblemente por una “falta de la preparación matemática usual”; la segunda vez por razones inciertas, aunque es innegable que Galois estaba calificado. Galois se inscribió en vez en una institución muy inferior para estudios matemáticos, donde publicó un documento sobre fracciones continuas que obtuvo poco reconocimiento y envió dos documentos sobre ecuaciones polinomiales a la Academia de Ciencias, los cuales fueron rechazados para publicación. Sus contribuciones matemáticas no habrían de ser publicadas hasta 11 años

La esencia de la ciencia La matemática es el mundo en principios; es la esencia de la ciencia misma. –Keith Raniere

Si la matemática, en el verdadero sentido, no es los efectos con los que hemos llegado a identificar a la ciencia, ¿qué es? Para atender a esta cuestión, primero considere el aspecto teórico de la existencia: algo puede existir en teoría pero puede trascender a y por lo tanto ser inexpresable en el universo físico. Por ejemplo, junto a mi está un teléfono (un objeto). Mi idea del teléfono (una abstracción) no es el teléfono en sí. Lo que es más, podemos hablar de dividir el teléfono en dos o más partes y luego volverlo a armar (otra abstracción). Podemos encontrar ejemplos sin fin (efectos) de esta idea en el mundo; sin embargo, la abstracción misma no existe en el universo físico, sólo sus ejemplos, y

estos ejemplos son los que le dan potencia a la matemática. Incluso nuestra visión interna de “teléfono dividido en partes” no es la matemática. La matemática es la esencia de la existencia de “objeto” (en este caso, un teléfono), teniendo una “propiedad” (divisibilidad) y la esencia de la manifestación de esta propiedad (“el teléfono dividido en partes”). Aunque la matemática no existe en el mundo en sí, es su base misma. La ciencia matemática nos permite abstraer más allá de lo que es humanamente observable en el universo físico. Aún la percepción humana podría ser vista como la matemática de nuestro complejo mentecuerpo. Por supuesto, esto sólo puede observarse mediante nuestra percepción (es nuestra percepción percibiendo nuestra

percepción) lo que nos atrapa en enigmas estilo “cerebro en un frasco” (p. ej. ¿Es esto la percepción de la percepción, o sólo la percepción?) o Gödel (p. ej. ¿Es perfecta esta forma de percibir?). En contraste con la física, la cual, aún como un tipo de abstracción permanece dentro de los límites del universo físico y sus relaciones, la matemática nos permite abstraer relaciones estructurales que jamás pueden ser observadas y están más allá del alcance de la física. Juntas, la matemática y la física se sostienen mutuamente. La física, un subconjunto de la matemática, está casada con la percepción humana y es reforzada por nuestra experiencia física. La matemática provee una abstracción y los procesos / relaciones de abstracción, mientras que la física provee la abstracción específica de la construcción a través de la cual puede aplicarse.

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más entender el cubo Rubik que de hecho resolverlo. “La ciencia de la matemática” agrega, “es la codificación de lo que entendemos; mientras que los efectos de dicha ciencia son la habilidad de calcular, la habilidad de resolver problemas resolver problemas, etc.” (¡como el cubo Rubik!).

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Según Keith Raniere, “Saber es poder predecir.”. Poder predecir, añade, implica que algo es cuantificable y calculable. Sin embargo, si algo es calculable, ¿significa necesariamente que somos capaces de calcularlo? Esta cuestión requeriría que nuestras ciencias fueran capaces de calcular cualquier cosa calculable y, por supuesto, este no es el caso. Por ejemplo, mi mentor con frecuencia cita el ejemplo de un vaso con agua. El agua en el vaso, sin importar la posición del vaso sobre una superficie dada, siempre encuentra su nivel. De cierta forma, el agua “calcula” su posición a nivel y los caminos de todas sus moléculas. Para el observador casual, esto puede parecer sentido común; pero para el matemático, es casi un milagro. Actualmente, nuestras ciencias no son capaces de entender, calcular, y predecir exactamente cómo se comportarán las moléculas en el vaso de agua dado el gran número de variantes. Observamos al agua encontrar su nivel consistentemente; sin embargo, no entendemos plenamente porqué lo hace en un sentido matemático. Es, por supuesto, posible que algún día nuestra matemática logre entender esto. Esta distinción ya empieza a definir dos aspectos de la matemática humana: la matemática actual (que es de hecho cuantificable y calculable al día de hoy), y aquellas cosas que todavía no están dentro de nuestro sistema humano de comprensión matemática, sin embargo no están del todo fuera. (Decir que nuestra matemática actual incluye a toda la matemática humana no sólo es presuntuoso, sino bastante pesimista: equivale a decir que ya sabemos todo lo que hay que saber; no hay nada más por aprender.) Considere la ecuación diofántica: a2 + b2 = c2. Se ha demostrado que la ecuación puede ser resuelta de esta forma dados ciertos números enteros. Por ejemplo, la solución con números enteros de 3, 4, y 5: si a = 3 (3 × 3, que es 9), b = 4 (4 × 4, que es 16), entonces c = 5 (5 × 5, que es 25; también 9 + 16 = 25). A principios del siglo XVII, un matemático francés clamó que podía probar que la ecuación no se podía resolver si el 2 (la potencia) era reemplazado con cualquier número entero positivo mayor a 2. Sin embargo, la declaración del matemático estaba limitada a la siguiente nota escrita al margen de un libro: “Es imposible separar una tercera potencia en dos terceras potencias, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general,

Keith Raniere llama “matemática absoluta” a la hipótesis de que la matemática existe más allá del pensamiento humano. Hace notar que no sabemos y quizás jamás lograremos conocer la relación entre la matemática absoluta y la matemática humana (ya sea actualizada o potencial), ya que los límites de nuestras posibilidades de percepción garantizan la inigualdad al ser yuxtapuestas al concepto de la matemática absoluta: asumimos que la matemática detrás de nuestro universo es de un nivel más fino que la matemática humana.

Por lo tanto, dentro de los campos de la matemática humana actual y potencial existen varias posibilidades: lo que se puede calcular; lo que no se sabe si se puede calcular; lo que es imposible de calcular. Por ejemplo, la ecuación diofántica anterior es algo que podemos demostrar es calculable. En contraste, la idea de algo imposible de calcular puede ser ilustrada por el concepto de cortar en tres partes un ángulo con herramientas euclidianas. Un ejemplo de algo que no se sabe si se puede calcular fue el último teorema de Fermat mientras duró sin resolver. Los números que encajaban en la ecuación ya sea existían o no; sin embargo, no éramos capaces de demostrar ninguna de las dos posibilidades.

Tan pronto algo “se puede saber” en el sentido matemático humano se vuelve predecible, calculable. Dado esto, la cuestión “¿Tenemos libre albedrío?” es posible que sea determinable mediante nuestra matemática; sin embargo, la naturaleza misma del libre albedrío puede trascender a la matemática humana, así que puede ser que no tengamos libre albedrío en términos de matemática absoluta. Por lo tanto, puede ser que estemos consignados a percibir libre albedrío; pero desde una perspectiva justo afuera de la matemática humana, una percepción tan profunda en la estimación de los humanos puede resultar ser poco más que una ilusión.

Estas posibilidades de la matemática, definidas en términos del pensamiento humano, empezaron a despertar algunas de las cuestiones más significativas para la humanidad. Por ejemplo, si saber es de hecho poder predecir o calcular, ¿es posible saber todo en el universo? Si así es, ¿el universo es determinista (p. ej. ¿podemos calcular a dónde irá toda molécula?)? ¿Hay libre albedrío en el universo? ¿Hay matemática más allá del pensamiento humano? ¿Hay Dios? Y sobre todo, ¿podemos los humanos alguna vez llegar a saber si alguna de estas cosas existe?

Orígenes de la visión Me avergüenza decir que al enfrentar mi miedo a las matemáticas durante la preparatoria y la universidad, solía quejarme de que la “dificultad” del problema frente a mi era culpa de la humanidad. Debatía, “¡Si tan sólo hubiéramos existido hace 100 o 200 años, no tendría que memorizarme

esta fórmula porque no existiría!” ¡Puntos para los demonios de la matemática! No sólo estaba negando el hecho de que el conocimiento y valor heredados de todo ser humano que me ha precedido simplemente han hecho mi vida más fácil

y más cómoda, sino que también estaba negando la naturaleza de la lucha similar de cada persona. Cuando consideramos que la matemática humana no se conocía bien a sí misma hasta hace unos pocos cientos de años, es impresionante cuánto hemos avanzado a la ciencia y cuanto ésta nos ha hecho avanzar. Viendo más profundo, considere lo que debe haberse requerido para que los seres humanos incluso empezaran a desarrollar matemática: es simplemente asombroso. Mi mentor ofrece una bella hipótesis de como este monumental avance puede haberse desarrollado progresivamente en nuestra historia. Al nivel más rudimentario, dice, es posible que nos hayamos preocupado primero por entender como humanos cualidad y cantidad, al igual que las relaciones básicas entre las cosas. Por ejemplo, veo algo: dos rocas (cantidad). Luego las comparo una con la otra: una es más grande y más obscura (cualidades) que la otra. Conforme fuimos desarrollando permanencia de objetos, nota mi mentor, puede ser que hayamos empezado a identificar las “propiedades” de las cosas en un sentido abstracto: esta roca parece familiar... es como la piedra grande y obscura (ahora una abstracción) que encontré ayer. En vista de esto, la permanencia de objetos (la existencia de una cosa en espacio y tiempo independientemente de nuestra percepción) bien puede ser considerada la esencia de la matemática. Mi mentor propone que quizás un salto de proporciones colosales ocurrió en algún punto entre lograr nuestras habilidades de abstracción básicas y el punto en el que la matemática (como la entendemos y experimentamos hoy) llegó a ser: casi en un acto de conciencia, nuestra especie dirigió la ciencia de abstraer hacia entender nuestra propia abstracción. En ese momento, la técnica misma de la matemática humana nació y su recién descubierta naturaleza autorreflectiva empezó a ser expresada y aplicada abiertamente. Conforme nuestra búsqueda por entender la esencia de la matemática se profundizó, esto no sólo trajo consigo frutos que toda generación futura podría disfrutar, sino que inspiró a la humanidad a explorarse a sí misma a nivel filosófico. Las cuestiones que surgieron de nuestra siempre creciente matemática naturalmente nos llevaron a cuestiones de Dios, el alma y el libre

Matemáticas

cualquier potencia superior a la segunda en dos poderes similares. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, para la cual este margen es demasiado estrecho.”. La modesta nota, por la mano de Pierre de Fermat (1601 – 1665), no pudo comprobarse ni invalidarse por más de 350 años, sin embargo aún existía en nuestras posibilidades matemáticas. Una comprobación correcta del último teorema de Fermat (como se le ha llegado a conocer) fue finalmente publicada por el matemático angloamericano Andrew Wiles en 1994.

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albedrío: ¿es posible entender lo que es entender? ¿Podemos lograr entender de manera absoluta (la abstracción pura, la esencia de la abstracción) si ello existe afuera de la percepción humana? ¿Es entender de manera absoluta el universo

Dios? ¿Es llegar a entender algo así noble para los humanos? Si nuestra abstracción es imperfecta, ¿podemos refinarla abstrayendo de nuestra abstracción? Sin embargo, esa misma abstracción contiene imperfecciones, las cuales son importadas

a este refinamiento. ¿Es posible, a través de una serie de refinamientos, dar el salto final de la abstracción imperfecta a la abstracción absoluta y tocar la mano de Dios?

Bello Siendo la esencia de toda ciencia, la matemática contiene un elemento de naturaleza casi misteriosa. Sin importar lo que haga un científico (ya sea un niño o un catedrático), la esencia de lo que hace es la chispa que llamamos ‘matemática’: es la naturaleza de la abstracción, la naturaleza del descubrimiento, la naturaleza misma de saber. – Keith Raniere

Mi más temprana y más conciente memoria de haber aprendido algo en la escuela fue en primer año de primaria. Al final de mi primera clase sobre acentuación, pude escribir mi primera palabra acentuada: avión. Ese día acompañé a mi madre a un banco después de clases, y en un acto de confianza en mí misma y sociabilidad sin precedentes para mi personalidad de seis años, me acerqué a una de las cajeras y orgullosamente anuncié que sabía cómo escribir avión. Recuerdo que, mientras demostraba mi recién adquirida habilidad a la mujer (quien amablemente compartió conmigo mi hasta entonces más significativa eureka infantil) me sentía como si nunca fuera a ver el mundo igual... por lo menos el mundo de los aviones sin acento. He leído y escuchado reseñas de matemáticos que tuvieron experiencias trascendentales y liberadoras al resolver un problema o romper algún tipo de barrera

del conocimiento matemático. No digo que puedo resolver el problema #25 de Hoeflin con la misma facilidad con la que acentúo palabras. Similarmente, tampoco digo que puedo sacar diez en el mismo examen final de cálculo que tomé hace 12 años si lo intentara hoy. Pero me atrevo a decir esto: hoy los demonios de la distracción que guardan las puertas de la matemática han perdido algo de su poder sobre mí y, posiblemente, ¡yo los he distraído a ellos! No importa que haya yo confundido a la matemática con sus efectos; no importa que haya reprobado cálculo; y no importa si al escribir este texto cometí tres de los más humorísticos errores lógicos (mis disculpas; ya los corregí). Habiendo participado (aunque superficialmente) en la experiencia de la matemática gracias a mi mentor y a todos aquellos participando en el sistema de la matemática humana, no puedo evitar experimentar un

profundo sentido de gratitud, humildad, asombro y honor por ser miembro de un sistema así. La matemática, vista correctamente, posee no sólo verdad sino belleza suprema: una belleza fría y austera, como la de una escultura, sin apelar a nuestras debilidades, sin los atractivos detalles de la pintura o la música, sin embargo sublimemente pura y capaz de una perfección seca como la que sólo el arte más grandioso es capaz de tener. – Bertrand Russell, El Estudio de la Matemática

Traducido del inglés por Farouk Rojas

Acerca de Executive Success Programs, Inc. Executive Success Programs, Inc.MR (ESP) ofrece programas de entrenamiento enfocados en crear consistencia en todas las áreas y ayudar a desarrollar las habilidades prácticas, emocionales e intelectuales que la gente necesita para alcanzar su máximo potencial. Todos los programas de ESP utilizan una tecnología punta con patente en trámite llamada Cuestionamiento Racional MR, una ciencia basada en la creencia que entre más consistentes sean las creencias y patrones de conducta de un individuo, más exitoso será en todo lo que haga. El Cuestionamiento RacionalMR permite a las personas volver a examinar e incorporar percepciones que pueden ser la base de limitaciones autoimpuestas. Mayores informes: info@nxivm.com

Matemáticas Maestra Lilia Guadalupe García

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas / UANL liliaggf@yahoo.com.mx

n el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquéllos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes. En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos De izquierda a derecha: Manuel Ornelas, Orel Dario García e Ismael Vidales Delgado. que actualmente introducen en los currícula de la educación matemática el uso de tecnologías de información y comunicación de frontera? (Olimpia Figueras [2] en su artículo metas marcados al inicio estas académicos y maestros de los“Atrapados Por Carlos Joloy en la explosión deldeuso tecnologías de la información y y actividades se completaron con éxito tendiendo la reforma curri- Colegios de Estudios Científicos yde las cabalmente, gracias a la participación cular que se lleva a cabo en Tecnológicos (CECyTE); de los Centroscomunicación)”. el subsistema nacional de de Bachillerato de Educación Técnico de maestros dedicados al avance no este artículo tomando en en sólo en el curriculum, sino también enseñanza, se realizó en Nuevo León Agropecuaria (CEBETAS), y plantelesComenzaré las palabras de Marianna Bosch de el aspecto de formación humana el Curso Nacional de Multiplicadores de la Dirección General de Educacióncuenta [1]: los “Enalumnos el centroque de laactualmente problemática de estudian de Ejes de la Reforma, en la semana Tecnológica Industrial (DGETI). la enseñanza este nivel. de la matemática están del 25 al 29 del pasado mes de junio. Durante la ceremonia de clausuralas cuestiones: ¿Qué es la matemática?, quéNuevo consiste hacer “En León, losmatemáticas? subsistemas de Durante las actividades participaron de los trabajos del curso, Ismaelo ¿En que: LaDGETI matemática puede CEBETA, y CECyTE lo ser hacen más de 80 personas provenientes Vidales Delgado, en representaciónY dice de una como: manera puntual y con una de todo el Estado de Nuevo León, de los planteles CECyTE de la entidad,considerada entre ellos directores, coordinadores aseguró que los compromisos y gran solidaridad y un gran afecto;

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Educación

en el Bachillerato Tecnológico

Matemáticas

Uso de las tecnologías de información Consolidan reforma curricular y comunicación en la enseñanza de las

Educación Matemáticas

sus propias estrategias de solución la necesidad de que el profesor disenos toca atender a un segmento y representación. Se requiere que el ñe o seleccione situaciones de interés de la población de lo más humilde, profesor plantee nuevos problemas, para los alumnos, que promuevan de lo más necesitado, y por eso yo para propiciar la consolidación de un la reflexión, la argumentación y alabo el trabajo que hicieron las aprendizaje significativo. la validación de resultados, para formadoras, así como las compañeras aprender matemáticas al resolver y compañeros de Tamaulipas con un Es posible que un docente que problemas. En este caso, se identifica trabajo impecable”, manifestó. ha intentado aplicar el enfoque una total correspondencia entre Vidales Delgado destacó también recomendado para la enseñanza de el enfoque recomendado para la la estrecha participación que hubo las matemáticas aún no logre los enseñanza de las matemáticas en entre los formadores y maestros resultados esperados. Podría, tal vez, la educación básica y el modelo en general de los estados de Nuevo contestar algunas interrogantes, antes aproximativo de Charney, congruente León y Tamaulipas y señaló que las de desistir: ¿Qué actitud percibe en también con la tercera concepción de autoridades federales pueden estar sus estudiantes cuando les propone la didáctica de las matemáticas, arriba confiadas de que en ambos estados resolver problemas? ¿Los estimula anotada. existe una hermanad muy sana que para que comuniquen sus ideas y ayudará a que se cumplan objetivos estrategias, confrontándolas con las ESTUDIO, LA CLAVE DEL futuros en este tema. propuestas de otros? ¿Una misma APRENDIZAJE situación es problema para cualquier Chevallard señala que el eslabón DIVULGACIÓN DE LA REFORMA estudiante? También podría revisar el perdido entre la enseñanza y el La clave para aprender matemáticas es Por su parte, Manuel Ornelas, coorinforme de la investigación sobre la aprendizaje de las matemáticas es el estudio. dinador del curso, explicó de manera enseñanza a través de la resolución de el estudio. La clave para aprender breve el marco histórico en el que se matemáticas es el estudio. El estudio sus hallazgos, descubrimientos o problemas, de Alicia Ávila, realizada ha desarrollado la reforma curricular de 1994 a 1997 en aulas de escuelas de las cuestiones matemáticas en construcciones. a partir de su gestación en el periodo el aula debe hacerse a partir de Fase de validación: Los estudiantes públicas. Entre sus recomendaciones de 2001 a 2004. Destacó también Formadores del curso en Nuevo León. situaciones didácticas. Brousseau argumentan y negocian la validez de están las de: plantear problemas que el gran trabajo que se realizó en los en realidad sean un problema para (citado por Parra, 1994) define las sus formulaciones. años de 2004 a 2006, periodo en el situaciones didácticas como “El Fase de institucionalización: El los alumnos, dar a los alumnos los cual se dio el proceso de inducción y de los subsistemas, fenómeno que, los lazos de unión entre los alumnos y conjunto de relaciones establecidas profesor formaliza el conocimiento recursos necesarios para resolver los maestros. divulgación de los ejes de la reforma dijo, se presentó anteriormente. explícita y/o implícitamente entre construido en el aula para aproximar- problemas, seleccionar las situaciones del bachillerato tecnológico. un alumno o un grupo de alumnos, lo al saber construido científicamente. en que convenga confrontar y discutir Agregó que a pesar del notable avance “Independientemente de la reforma un cierto medio (que comprende Uniforma las distintas representacio- puntos de vista y soluciones, hacer Agregó que este año empezó otra que se ha registrado, aún faltan debemos poner mucha atención; herramientas y objetos) y un sistema nes individuales con respecto a las explícito el aprendizaje logrado a importante etapa para la reforma, muchos vacios que cubrir, y subrayó estamos descuidando el aspecto educativo (representado por el representaciones convencionales ad- través de la interacción con la situaciónque se buscará consolidarla mediante que uno de los mayores problemas y formativo de los alumnos; debemos profesor) con objeto de que los mitidas. Al trabajar las situaciones problema, mantener el sentido de las trabajos y actividades como los que en principal reto que existe es aterrizar enfocar muy bien nuestra actividad alumnos se apropien de un saber didácticas de este modo, se concibe estrategias “espontáneas” en el proceso hacia lo que es la tutoría de grupos y a esta ocasión se llevaron a cabo en el la reforma en el aula. constituido o en vías de constitución”. al aula como un microlaboratorio de aprendizaje y aceptar “devolver” a fortalecer ese nexo entre los alumnos Estado de Nuevo León. “Empezamos La situación didáctica puede ser donde se van generando procesos los alumnos la responsabilidad de su estado trabajando por y el maestro; todo eso, junto con la un periodo enmarcado del 2007 al “Hemos un problema o bien algún otro tipo de construcción de conocimientos, aprendizaje. Los resultados obtenidos 2012, en donde a través de la propia tres años con un grupo bastante reforma, nos dará a largo plazo el de planteamiento que el profesor donde se estudian y se aprenden hasta ahora utilizando situaciones voz del señor subsecretario, nos numeroso pero no lo suficiente; se ha beneficio que todos esperamos”. proponga a sus alumnos como reto cuestiones matemáticas. El reto para didácticas como la resolución de dice: que la reforma no se cambia; al comprometido con la reforma como a resolver. Debe asegurarse de que el docente es precisamente el diseño problemas pueden mejorarse. Las contrario, la reforma se consolida, y lo han hecho ustedes, pero lo gran Durante la clausura del curso se entrela situación no sea tan difícil que los y la selección de las situaciones dificultades para lograr que nuestros éste es el periodo dedicado a dicha mayoría de los maestros todavía no gó a los participantes la constancia estudiantes no la puedan resolver, ni didácticas. Al planear su trabajo, debe alumnos estudien matemáticas de esaterrizan la reforma dentro de las oficial de su presencia en las actividades consolidación”. tan sencilla de modo que la solución tener claro el objeto del aprendizaje y ta manera son un área de oportunidad aulas, y es ahí donde está nuestro y también se reconoció el trabajo de para seguir aprendiendo. sea inmediata. Los alumnos deben las motivaciones de los estudiantes. compromiso. La reforma podemos las maestros que colaboraron como TRABAJO DE CONJUNTO poseer conocimientos para intentar la Por último, tomó la palabra Orel Dario hacerla y elevarla hasta el punto donde formadores durante el curso. PROBLEMAS SIGNIFICATIVOS solución desde varias alternativas. García, quien, a nombre de María de la ustedes quieran; pero si esa reforma Es recomendable seleccionar Luz Paniagua, representante en Nuevo no se aterriza en el aula, nunca será Por parte de Nuevo León y de los problemas que sean significativos MANEJO DE LAS SITUACIONES León de la Subsecretaría de Educación una reforma, sino sólo un buen y sano CECyTES en dicha entidad participaron para los alumnos y dejar que sean DIDÁCTICAS Adriana Luisa Romero Castillón, del Media Superior, mencionó que luego intento de cambiar las cosas”. Brousseau enuncia cuatro fases explorados en pequeños grupos de plantel Estancuela; María del Carmen de atravesar tiempos difíciles que se para el manejo de las situaciones discusión, permitiendo el ensayo presentaron durante la gestación de Por último, Orel Dario García advirtió Garza Salazar, del plante Cadereyta, didácticas, a partir del planteamiento y error, la elaboración y puesta a Dávila Rodríguez, delde la la reforma, ahora ya existe un cambio que además de los retos que supone y Olga Elena Es licenciada en Pedagogía, egresada prueba de conjeturas, la discusión y la del problema: tiene una Maestría en Educación Media en quienes seguirán en el cual los subsistemas están la aplicación de la reforma, también plantelUANL;Marín; Fase de acción: Los estudiantes se argumentación. No es el profesor quien Matemáticas por la Escuela de Graduados de la como formadoras en otras trabajando unidos, con el compromiso existen otros problemas que se deben trabajando Normal Superior de Nuevo León. Es autora de libros mueven para realizar acciones cuyo valida el conocimiento construido, la república y con maestros de hacer llegar la reforma curricular atender al mismo tiempo, y consideró partesdede matemáticas para secundaria, desde 1982 a la sino los argumentos y razonamientos propósito es resolver el problema. fecha. a toda la educación media superior que uno de los más importantes es de otros estados. Fase de formulación: Los estudian- apropiados de los propios alumnos. Se con lineamientos generales y no con poner especial atención al aspecto tes formulan representaciones de tiene que dejar a los alumnos utilizar lineamientos exclusivos para cada uno formativo de la educación y a estrechar

Leticia Rodríguez Arizpe

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Cultura y Ciencia Matemáticas

Cultura

Finalizan cursos de danza

Ciencia E Por Alma Trejo

Deja Enrique Canales importante legado artístico Enrique Canales Santos (1936-2007)

Doctorado en Organización de Centro de Investigación y en Procesos de Innovación Tecnológica, en la Universidad de Houston, un tema en pañales hace 20 años.

n la Gran Sala del Teatro de la Ciudad se realizaron durante todo el fin de semana las presentaciones de fin de cursos de los alumnos de diversas expresiones del arte de la danza que ofrecieron los alumnos de la Escuela Superior de Música y Danza de Monterrey. En este evento también conmemoraron el 30 aniversario de la institución. En el programa del viernes participaron los alumnos de danza contemporánea, quienes en punto de las 20:00 horas, interpretaron “Almas en movimiento”, un repertorio de cinco obras originales de maestros de la institución local y del coreógrafo sonorense, Aldo Siles, de Sonora.

El futuro de la enseñanza de las

Matemáticas T al como lo dijera el gobernador José Natividad González Parás, en uno de los muchos homenajes que en los últimos meses recibió, Enrique Canales Santos fue un innovador que abordó el tema Maestro Héctor Antonio González Flores del Conocimiento mucho antes de que Departamento de Física y Matemáticas / UDEM se pusiera de moda. hgonzalez@udem.edu.mx

Fue responsable del Centro de Investigación del Grupo Vitro, empresa donde logró innovar procesos de fabricación de vidrio, diseño de máquinas, obteniendo más de 40 patentes internacionales, entre ellas la US 4.705,550: Process for providing a thermically homogemeous flor of molten glass.

INVITACIÓN A LA COMUNIDAD Claudio Tarris, director de la ESMDM, hizo la invitación a la comunidad para que asistieran a estas funciones que dejan de ser escolares para convertirse en profesionales debido a la naturaleza y el rigor de las clases.

El regiomontano que nació en 1936 y as Matemáticas son definiti- que emplean las matemáticas en su Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, que destinó su inteligencia, creatividad 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más vamente una de las ciencias quehacer cotidiano y los que no. y acción innovadora al servicio del o menos 2. En la actualidad, esta rama más importantes del fruto del arte, la política, el periodismo y la de las matemáticas es empleada en el razonamiento humano, tan antiguas CAPACIDAD DE EMPLEAR investigación científica, murió el campo de la inteligencia artificial, y como las culturas china, egipcia, o EL PENSAMIENTO ABSTRACTO pasado 19 de junio, -utilizando una la Pinacoteca de Nuevo León, situada griega. Concentración del pensamiento En la actualidad, las entendemos como las llamadas redes neuronales. ¿Qué de sus frases más comunes- “bien en el Colegio Civil Centro Cultural abstracto y el razonamiento lógico la capacidad de emplear el pensamien- los psicólogos y los neurólogos no usado”. Universitario. -precisamente dos de los insumos to abstracto y poder plasmar el fruto deberían saber de esto? fundamentales para el pensamiento de nuestro razonamiento lógico. De la creación artística de Canales La directora de la Pinacoteca, Elvira Por otra parte, en la didáctica de creativo- constituyen el lenguaje Santos destaca su obra escultórica Lozano de Todd, señaló que con el en el que se encuentra descrito y Es por esto que preguntamos: ¿de las matemáticas, al parecer se ha en cerámica y vidrio, además de sus afan de promover las actividades mediante el cual se puede operar qué manera ponemos en contacto venido resaltando lo que se refiere lienzos, que se distinguieron por la culturales, esta institución presenta gran parte del conocimiento humano. a nuestros niños y jóvenes con las al pensamiento abstracto, pero de explosión de color y cuya temática a este grupo integrado por Marienn Una de sus ramas: el cálculo, es la base matemáticas? Esto adquiere una manera exagerada, y esto ha redundaabarcaba desde ángeles guardianes, Sánchez, Ingrid Puente, Noreen fundamental del pensamiento físico y, tremenda relevancia. De hecho, existen do en una didáctica que promueve la hasta sus “chamuchos” internos. Su Broechhove, Sofía Sánchez, Ángela en nuestro tiempo, del pensamiento profesionistas que eligieron su carrera mecanización de las operaciones que obra fue expuesta en Bellas Artes, ntusiasmo, talento y dedica- Hernández, Evelin Magaña, Saray tienen que ver con las matemáticas. porque ésta no tenía matemáticas. ingenieríl o tecnológico. Marco, Museo Tamayo, en el Museo ción son las cualidades que Sánchez y Salma Guzmán, quienes Monterrey, y en galerías de Colombia, distinguen a cada una de las ejecutan melodías con violón y Se trata de un conocimiento funda- Esto es un grave error, ya que, siendo EMPLEO DEL RAZONAMIENTO Estados Unidos y Francia. integrantes del Ensamble violoncello. mental que diferencia la potencia de las matemáticas el constructor teó- LÓGICO IMUSI. Son ocho niñas que, como parte los profesionistas actuales, y preci- rico que nos permite plasmar el fruto Porque en las matemáticas existen Aprendió a cultivar la “fregonería”, de sus clases de iniciación musical, se El concierto se llevó a cabo a partir samente en este punto es donde de nuestro razonamiento lógico, no una infinidad de álgebras, con sus una actitud propia hacia la vida integraron al Ensamble de Cuerdas de las 16 horas, con un repertorio de adquiere su relevancia en los ámbitos emplearlas podría ser reconocer que correspondientes operadores. Y, claro, que lo llevó a explorar el proceso IMUSI y se presentaron el domingo 1 música de clásicos italianos, rusos y económico, político y social. Podríamos la lógica de nuestras conclusiones no hay que ser hábil en el manejo de esto, de innovación hasta obtener el de julio en el Patio de las Esculturas de música mexicana. diferenciar a los humanos como los es importante.

Ensamble en la Pinacoteca

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las matemáticas y biografías de los grandes matemáticos, prepare las fichas y planee las intervenciones.

Ciudad Universitaria de la UNAM, Realizan diálogo Patrimonio de la Humanidad Mi propuesta, desde hace más de 30 años, es la de empezar con la frase: Las matemáticas son una creación de la mente humana. Cualquier cosa que venga después, lo que la frase anterior implica es que las matemáticas son una parte importante del quehacer humano, como lo son los automóviles, los aviones, los edificios, etcétera, y si los automóviles y aviones fueron muy simples al principio y ahora son cada vez más avanzados y complejos, es gracias a los diseñadores y a los ingenieros (con sus conocimientos matemáticos) que dedican todo su talento y su esfuerzo. DE LO SIMPLE A LO COMPLEJO Asimismo, también las matemáticas al principio fueron muy simples. l campus de lavez ciudad Ahora son cada másuniversitaria avanzadas y de la Universidad Nacional complejas, gracias a los matemáticos, Autónoma de México (UNAM), hombres y mujeres, que actualmente inscrito la Lista Patrimonio dedicanen todo su de talento y su Mundial porenla crearlas, UNESCO, aplicarlas es a partiry esfuerzo del 29 de junio, un “monumento comunicarlas. ejemplar”. Mural de José Chavéz Morado, en la UNAM.

Es natural que si se habla de Enmatemáticas, un comunicado difundidoque desde se mencione han Nueva Zelanda, la Organización de las existido y existen en la actualidad Naciones para que la Educación, hombres Unidas y mujeres dedican lo lamejor Ciencia la aCultura de suyvida crear y a(UNESCO) aplicar las consideró a la UNAM como “un matemáticas. conjunto monumental ejemplar del modernismo del siglo XX”, Es necesario que los alumnosque de integra el urbanismo, la arquitectura, educación básica entiendan que las laciencias ingeniería, el paisajismo y las bellas naturales y las matemáticas artes, asociando todos estos elementos son, primero que nada, una actividad con referencias a las tradiciones locales,y humana tremendamente relevante y tremen-damente en particular al pasado actual.prehispánico de México. LaAsegurado UNESCO destacó que el conjunto lo anterior, es muy encarna valores sociales y culturales conveniente hacer dos tipos de interdevenciones trascendencia universal; es unoy didácticas: las históricas delaslos más importantes iconos de la biográficas. arquitectura y el urbanismo modernos deNaturalmente América Latina. que para que un maestro realice intervenciones históricas y “Es uno de selos pocos que proyectos biográficas requiere además del mundo en el que los principios de preparar su clase de acuerdo defendidos por los oficial, movimientos con el programa analice arquitectónicos y urbanísticos algunas de las magníficas obras de modernos se aplicaron perfectamente consulta sobre historia (¿origen?) de con el objetivo, en última instancia, de

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LAS MATEMÁTICAS ENCIERRAN GRANDES ASPIRACIONES HUMANAS Sigamos con la definición de matemáticas. Para mí, la definición de la Real Academia Española solamente encierra una de las tres aspiraciones que se integran en las matemáticas: la aspiración por la cuantificación (¿certeza?); las otras dos son la aspiración por la inclusión, o sea por incluirlo todo (¿universalidad?), y la aspiración por la perfección (¿belleza?).

Usualmente, la enseñanza de las matemáticas se relaciona obsesivamente con la cuantificación, o sea con la enseñanza de los conceptos y las reglas para hacer operaciones matemáticas, y esto es lo que las hace parecer abstractas (por definición, según la RAE), cuando en realidad son ofrecer al hombre calidad tan concretas queuna se mejor encuentran en de vida”, agregó. todas partes, y por ello tienen miles de aplicaciones. El campus de la UNAM fue edificado entre y 1952 yhay está integrado Sobre1949 esto también muchas obras por un conjunto de edificios, de referencia de cuya consulta un buen instalaciones deportivas espacios maestro puede extraery elementos abiertos en la zona valiosos situados para realizar este sur tipo de de laintervenciones. capital mexicana. El proyecto de su construcción fue ejecutado por más de 60 arquitectos, LA ASPIRACIÓN POR LA ingenieros BELLEZA yEXISTE artistas y los edificios fueron EN LAS MATEMÁTICAS decorados con murales de David Y EN LA FÍSICA Alfaro Siqueiros y Diego Rivera, entre Nos queda referirnos un poco al aspecto otros. de las matemáticas relacionado con la

académico

Jacques Tardiff

Cultura y Ciencia Matemáticas

El maestro de matemáticas deseoso de generar ese otro sistema de reforzamientos positivos debe empezar por utilizar una definición más adecuada a sus propósitos.

Pareciera que esa inteligibilidad n el de marco la “era proviene que desiempre se de una la serie informática”, en utiliza de explicaciones materia tecnológica, de la y deducciones lógicas yy manipu“sociedad del conocimiento”, en laciones matemáticas para derivar elconclusiones ámbito sociocultural, ocurren irrebatibles. Ahora si, transformaciones políticas, ecocomo dice la RAE de la matemática, nómicas y una sociales, la física es cienciaprácticamente deductiva. en todas las esferas: desde lo local hasta lo global. en Dada magnitud y Sin embargo, lo la más profundo, trascendencia de estos cambios, la física descansa en conjeturas yo por las dificultades, hipótesis (cada vezoportunidades más extrañas yy desafíos que representan, educación sorprendentes) que sela denominan juega un papel estratégico, en e incluso axiomas o postulados; forma crítico. De ahí que en el mundo surjao elegante: axiomas, postulados un fuerte movimiento de reformas ecuaciones fundamentales de cierto para mejorar la calidad de tipo de fenómenos, ola educación en forma en distintos aspectos. reverencial: axiomas, postulados

o ecuaciones de quien las propuso El(¿descubrió?). desarrollo del modelo de competencias, es un aspecto que se está tomando mucho cuenta para El físico inglés Paul en Adrien Maurice determinar la educación del futuro (P.A.M.) Dirac propuso la que inmediato, Domingo Castillo actualmentedijo conocemos como Moncada, director de la Escuela Ecuación de Dirac, diciendo que no Ciencias de la Educación organizador le era posible concebiryuna ecuación del Seminario “La formación centrada con una estructura matemática más en el desarrollo bella (y que si de eracompetencias”. así de bella debería

ser así de correcta). JACQUES TARDIFF, EL EXPOSITOR En este evento se tuvo la destacada C0NCLUSIÓN participación Jacques a TarImaginemos del pordoctor un momento un diff, profesor titular del Departamento maestro de educación básica que les de que la van Facultad de dicePedagogía a sus alumnos a aprender perfección y la belleza. Éste podría de De esta forma, la UNAM pasa a Educación de la Universidad de ser el aspecto más elusivo, pero es la forma más bella de expresar las formar parte del cautivador selecto grupo de lasel Sherbrook, Canadá.restarlas, cantidadesdeyQuébec, de sumarlas, también el más y desde universidades Patrimonio Cultural de cual han surgido temas tan modernos multiplicarlas y dividirlas…y se los lacomo Humanidad, juntoyaellacaos, de Alcalá seminario formación centrada esa“La sí que es la actitud y la los fractales que, de por Elcumple… Henares, en España, y la Central de en el desarrollo de competencias”, increíble que parezca, pueden y deben didáctica suprema de un maestro de Venezuela, en Caracas (Venezuela). ofrecido a maestros normalistas matemáticas. introducirse en la educación básica fue y universitarios por la Escuela de mediante intervenciones apropiadas Elcon anuncio de la inclusión del sitio en Graduados de Ciencias de la Educación ejemplos muy simples. la Lista de Patrimonio Mundial fue de la SE. realizado por la UNESCO al término de la reunión de su Comité de Patrimonio, El enfoque de competencias se celebrada en Christchurch, Nueva centra en el aprendizaje; en realidad, Zelanda. Otros sitios fueron añadidos representa un sistema en el que por el comité a la Lista de Patrimonio intervienen diversos y complejos Mundial, 16 sitios culturales, cinco procesos, entre los que destacan: Originario del Estado de Tamaulipas,la es licenciado en Ciencias Físico-Matemáticas y doctor enclaves naturales y uno de carácter normalización, la formación, en Físico Química por la Universidad de Maryland. Actualmente es director de Prospectiva mixto. la evaluación, la acreditación, la Cientíﬁca y Tecnológica en la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León. certificación y la socialización.

Juan Lauro Aguirre Vil afaña

Matemáticas

Maestra Leticia Rodríguez Arizpe Directora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza” ens_leticia.rodz@yahoo.com.mx

Se reúnen en Monterrey ex alumnos de la U de Texas

Es posible distinguir algunas diferencias en el modo de utilizar los problemas, por las respuestas que da un profesor de matemáticas a preguntas acerca Por Carlos Joloyde su clase, como las siguientes: x alumnos de la Universidad de ¿Qué Texas considera más se importante: en Austin reunieron resolver problemas o hacer muchos en Monterrey para conmemorar ejercicios? su paso por la institución, además de ¿En quéun momento sus rendir homenajedea la un clase destacado estudiantes resuelven problemas? ex alumno: Adrián Sada Treviño, ¿Qué tiene más valor: ladelrespuesta presidente honorario Consejo correcta o el proceso que siguieron? Vitro.

C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICA En el evento que tuvo lugar el pasado La28acción del docente en su de aula y las de junio en el Museo Historia respuestas a las preguntas anteriores Mexicana, Antonio Garza, embajador están influidas por la concepción de Estados Unidos en México, comentó epistemológica que tiene acercade dela que los ex alumnos mexicanos laUniversidad asignatura yde los Texas, propósitos de su en Austin, enseñanza. Un docente que presenta se han convertido en verdaderos los problemas a resolver sólomuestra hacia líderes en México, y como elmencionó final de su clase, después de que el trabajo de Adrián Sada élTreviño, mismo ha introducido nociones quién concluyólas la carrera de y ingeniería conceptosen que 1941forman en la UT.parte del saber a estudiar, es un docente que concibe la tarea de enseñar como ALTO NIVEL DE PROFESORES un proceso simple de transmisión Y ALUMNOS de conocimientos donde el saber es “La universidad nunca ha sido un lugar dado, ya construido. Aquí el alumno para tejanos; más bien ha sido una debe escucharmuy e imitar, Universidad especialentrenarse, con el más ejercitarse y reproducir la respuesta alto nivel con profesores y alumnos esperada con el procedimiento

enseñado. Ronald Charnay identifica a este tipo de docencia como el modelo normativo, por estar centrado en el contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994). Si el profesor propone la resolución de problemas desde el inicio de suque clase, tratando de y responder a atienden al llamado compromiso las necesidades e intereses de sus que exige el liderazgo. Los egresados alumnos, los va acompañando a lose de la Universidad de Texas en Austin largo de la sesión, interrogando y han convertido en verdaderos líderes validando los pasos dados para buscar dentro y fuera de los Estados Unidos, y las proporcionándoles esta soluciones, noche estamos reconociendo a un fuentes de información y fichas de líder que ha sobresalido no sólo como trabajo dirigido para que se llegue a empresario, sino en cada uno de los loámbitos que él de espera, se trata entonces su vida y en el compromiso de untiene docente que pone en práctica que con su país”. los llamados “métodos activos”. Es elCOLABORACIÓN modelo “incitativo” de Charnay, BINACIONAL centrado en la actividad del Natividad alumno, Por su parte, el gobernador, pero también orientado hacia un González Parás, destacó la influencia saber ya construido, de conceptos e intercambio que existe en materia y educativa procedimientos que y deberán entre México Estados encontrar bajo la guía del profesor. Unidos, el cual dijo, seguirá siendo Un tercer modelo, llamado reforzado mediante más“aproximaprogramas tivo” por Charnay, corresponde al de colaboración binacional. “También, maestro que propone situaciones las relaciones de colaboración y problemáticas a sus de intercambio, no estudiantes, solamente al en inicio de su clase pero con intención la formación educativa lasino en el de provocar la reflexión tecnológico, individual desarrollo científico, y cultural de grupoentre acercalasde universidades los posibles procedimientos soluciones. Es norteamericanas yy las universidades aquél que promueve la indagación, de México, y particularmente las de laNuevo puestaLeón, a prueba, la confrontación han aportado grandes de ideas y la argumentación cuotas para el progreso, y de un los dealumnos a lo largo de la sesión de

el rumbo de las discusiones con nuevas preguntas o proporcionando elementos convencionales del contenido requerido. DIFERENTES sarrollo másCONCEPCIONES armónico; es el caso de DE DIDÁCTICA la LA Universidad de Texas, con quienes La concepción de didáctica de gran las estamos vinculados en un matemáticas que subyace tras cada proyecto para el progreso regional”. uno de los modelos docentes antes Siendo México la principal fuente de mencionados también es diferente. estudiantes internacionales de la En el primerodedeTexas, ellos, su la presidente, Didáctica Universidad esBill el Powers, arte de enseñar, de mostrar el explicó que desde hace saber previamente construido. En el años existen programas de apoyo segundo, la Didáctica es unelconjunto para la colaboración con país; sin de técnicas se para enseñar, embargo, reforzará el sustentadas compromiso en conocimientos en técnicos y específicamente el casode de otras Nuevo disciplinas, especialmente León trabajarán más de cercadeconlael psicología. gobierno estatal y las instituciones de educación superior, así como en En el último de los de modelos, la apoyo del programa la Ciudad Didáctica de las matemáticas se Internacional del Conocimiento. asume como la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de INVITADOS AL EVENTO estudio de las cuestiones matemáticas. En el evento estuvieron presentes (Chevallard, 1998). En nuestro la invitados como Reyes Tamezpaís, Guerra, reforma más reciente a la Educación Secretario de Educación; Antonio Zárate Secundaria contempla, entre sus Negrón, director general del Instituto fundamentos curriculares, teorías que de Innovación y Transferencia de perfilan el papel profesor como un Tecnología, y eldel embajador Francisco mediador entre los alumnos y el saber. Javier Alejo, coordinador Ejecutivo del Las recomendaciones programa de integración didácticas con Texas, contenidas en los programas de la INVITE. asignatura de matemáticas enfatizan

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Cultura y Ciencia Matemáticas

Las situaciones didácticas para aprender

Matemáticas Fútbol Cultura y Ciencia

La enseñanza de las Matemáticas Pitágoras de Samos. “La escuela de Atenas”. Raffaello.

info@conocimientoenlinea.com

CONOCIMIENTO número 57, del 6 al 19 de julio de 2007

Matemáticas

Educación

Apreciación de las Matemáticas Consolidan reforma curricular El programa “Ciencia en Familia” busca crear un sistema de participación entre padres y maestros para la formación científica de en el Bachillerato Tecnológico los alumnos, generando en ellos las aspiraciones del saber. Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas

Cultura y 9 Ciencia Participaron 5,200 niños de primaria Brillante clausura en el Parque La Pastora de las Matemáticas 7 El futuro de la enseñanza Uso de las tecnologías de comunicación e información en la enseñanza de las Matemáticas

en el Programa Ciencia en Familia 15 53 12

Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería

Deja Enrique Canales importante legado artístico

Visualización matemática como habilidad docente

Se reúnen en Monterrey

Por Alma Trejoy realidad educativa ex alumnos de la U de Texas Matemática on la participación de cinco mil familias, que integran MEJOR FUTURO PARA NUESTROS HIJOS a cinco mil 200 alumnos de tercero a sexto grado, de Debemos “crear conciencia de que sólo a través de ellas Participaron 5,200 niños ¿Es factible desarrollar la intuición matemática en los estudiantes? 62 escuelas primarias, y la incorporación de mil niños lograremos una vida mejor y un mejor futuro para nuestros de primaria en el Programa de dos colegios particulares, concluyó el Programa Ciencia hijos”, dijo. “Parte de la premisa de que siendo el niño un Ciencia Familia Método del Montante reduce determinantes de orden con números investigador por naturaleza, se podía integrar unensistema en Familia año escolar 2006-2007, implementado por enteros la Secretaría de Educación, con apoyo de la Coordinación para la participación de los padres y los maestros en la El problema de la variación y sus implicaciones culturales formación científica de los alumnos, generando en ellos las de Ciencia y Tecnología de Nuevo León y la Universidad aspiraciones de saber”. Autónoma de Nuevo León.

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Matemáticas, disciplina fundamental para el desarrollo

Página 56

Con el deseo y esperanza de colaborar en la formación Zavala insistió en que se busca que el alumno cree sus científica estudiantes de primaria, Ciencia en propios conocimientos a través de indagar y manipular, Métodosde alternos para las Matemáticas Familia cerró sus actividades “exitosamente”, gracias para desarrollar habilidades como la capacidad de a la participación de cientos de familias, maestros y aprender de manera permanente y autónoma, aplicar el Las Matemáticas en el CECyTENL alumnos, congregadas en el sábado 23 de junio en el conocimiento y fomentar la creatividad, la curiosidad, el Parque La Pastora, consideró la doctora Adriana Elizondo, respeto y la sensibilidad. Maestría para profesores de educación básica en el CINVESTAV coordinadora general del programa de la SE. “El día de hoy nos sentimos muy contentos porque vemos Las Matemáticas: simplista genios El licenciado Juan belleza Roberto Zavala,y lenguaje directordede Cultura los frutos de esta tercera etapa del programa Ciencia en Científica, en representación del doctor Luis Eugenio Todd, Familia. Es de mencionar que durante el año escolar en Celebrará Sociedad Matemática Mexicana congreso anual la UANL los salones de tercero a sexto de primaria, los padres y director de lala Coordinación de Ciencia y su Tecnología de en Nuevo León, explicó que el programa nació con la idea de alumnos, con el apoyo de los maestros, presentaron los fomentar, a través experimentación, el conocimiento trabajos realizados e invitaron al resto de la comunidad Permanencia de de los la objetos e interés de las familias nuevoleonesas por la ciencia y la educativa a que los conociera. El día de hoy, algunas tecnología.

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familias nos presentan una muestra de los experimentos y las experiencias vividas”, puntualizó.

MATEMÁTICAS El funcionario señaló que, además de los logros académico-científicos, existen otros beneficios, cuya trascendencia es “profunda y perdurable”, como lo es el clima de respeto de las comunidades al ver a padres, maestros y alumnos trabajando juntos porAguirre el bienestar común. Doctor Juan Lauro Villafaña

En el trascurso del programa participaron alrededor de cinco mil familias de Director de Prospectiva Científica y Tecnológica 62 escuelas con 62 directores y 397 juanlauroaguirre@aol.com “Hoy concluye la tercera etapa de maestros.

participación de cinco mil familias de 62 escuelas con 62 directores y 397 maestros intervinieron; además, n un que número anterior, dedicado se incorporaron mil niños de dos a las ciencias naturales, propuse escuelas que particulares antes de durante hablar el de año la escolar”, insistió Zavala. enseñanza y del aprendizaje de esas

disciplinas, deberíamos hablar de CONOCIMIENTO: ANTÍDOTO cómo lograr su apreciación, sobre todo CONTRA LA VIOLENCIA por los alumnos de educación básica. La doctora Adriana Elizondo Herrara, coordinadora del programa, recordó Mencioné también que la apreciación que éste se inició en el periodo de algo se demuestra a través escolar de las 2004-2005, con la participaron de dos actitudes relacionadas con ese algo; si mil niños deatención, escuelassi primarias de le prestamos le dedicamos Apodaca si y Monterrey; año después tiempo, vemos o un buscamos ese la cifra se incrementó a casi cuatroque mil algo en las personas u objetos niños, con escuelas Santa conocemos; en fin, side nos haceCatarina generar y enfocar Montemorelos, y energía este añointerna… escolar y una cierta se superó por mucho la integración si nos motiva. de escuelas del sistema público y el Colegio San Patricio. El problema es saber cómo se desarrollan las actitudes. Mi propuesta “Ciencia en Familia esfomenta el entonces y ahora que las trabajo colaborativo; la participación actitudes se desarrollan a través de de cinco mil familias es prueba de reforzamientos sistémicos positivos ello. Agradecemos la participación de de ciertos comportamientos, partitodos los padres de familia, y es una cularmente durante la niñez, lo cual razón para programa significa quecontinuar debemos este detectar (para que implica yformación y fomento de interiorizar luego practicar) ciertos valores, como amor a la naturaleza. comportamientos recurrentes tanto en Eso ayudamaestros, a las familias a luchar contra nuestros como en nuestros la violencia”, insistió Elizondo Herrera, padres y otros familiares y amigos quien agradeció los personas padres de familia cercanos, como aen de los su colaboración en el programa y su medios de comunicación y también asistencia a la ceremonia de clausura. en nosotros mismos, en relación con cosas concretas como son las ciencias Dijo quey las “con este programa se naturales matemáticas. pretende apoyar la responsabilidad del Estado de dar conocimientos y TODO ES SISTÉMICO valores. Nuestra misión esesintegrar El adjetivo sistémico muy todas las capacidades. Ese respeto que importante; es, realmente, la clave, nos ha permitido tener estos logros, porque en relación con temas como las que nos permitan verdadera ciencias naturales crear y lasuna matemáticas, sociedad del conocimiento”. Agradeció más que los reforzamientos positivos, el apoyo de Agencia de Protección al abundan losla reforzamientos negativos: Medio Ambiente y Recursos Naturales, son muy difíciles, nadie las entiende, para promover la cultura ambiental;

a Servicios de Agua y Drenaje de Monterrey, a la UANL, a las empresas Gamesa, Lala y Productos Alen, por su participación de tres años en diversos programas educativos y de información. Los trabajos de dicho programa cerraron con exhibiciones de los programas educativos implementados por las empresas paraestatales y privadas mencionadas. NACIMIENTO DE CIENTÍFICOS El doctor Juan Lauro Aguirre, director de Prospectiva Científica y Tecnológica de la Coordinación de Ciencia y Tecnología, auguró el nacimiento de cuando menos cien científicos, producto de su participación en este programa. “Actualmente en México hay 20 mil científicos; eso significa que tenemos no sirven para gran cosa, es mejor un científico por una población de esto o aquello, etcétera, y entonces no cinco mil habitantes; si tomamos se da aquella apreciación que facilita en consideración que se registra el aprendizaje de todo lo relacionado una población de 100 millones de con él. habitantes, aproximadamente. En los próximos 20 años, de estos 5 mil En el caso particular de las mateniños, cuando menos cien de ellos máticas, además del anterior reforparticiparan en la ciencia, cuando zamiento sistémico, indispensable menos cien de ellos llegarán a ser para lograr su apreciación temprana, científicos, principalmente y gracias existe otro tipo de reforzamientos al apoyo que hayan obtenido de sus sistémicos positivos relacionados con familias por haber visto sus aptitudes su didáctica, que además permiten a través de este programa”, auguró. exhibir una actitud muy especial al maestro que utiliza este sistema de PROGRAMAS EDUCATIVOS enseñanza. En el cierre oficial de las actividades de este año escolar, hubo exhibiciones Aunque parezca un poco filosófico, de los trabajos que realizaron los este sistema de enseñanza parte alumnos del Programa Ciencia en de la pregunta: ¿Qué cosa son las Familia. En el stand de la Facultad de matemáticas? Biología de la Universidad Autónoma de Nuevo León, los niños tuvieron la

“En el laboratorio creamos mariposas que son usadas en ornamentación de eventos sociales”, explicó un alumno. “eso lo hacemos con el objetivo de venderlas y tener fondos para la conservación y mantenimiento de nuestros laboratorios”. CIENCIA EN FAMILIA Durante el año escolar, los niños trabajaron con folletos que les indicaban el trabajo de investigación científica a realizar. ¡Con ritmo!, Que no te den gato por liebre, Ecopintura, Extrayendo el ADN, Tras la huella, ¡Quien sube, sube!, son los folletos explicativos para realizar los experimentos tanto en el aula como en su casa. Durante el trabajo científico, los chicos tenían que leer las instrucciones, esclarecer los objetivos, investigar en bibliografía y apuntar los resultados de su experimentación. En una libreta debían registrar las El Diccionario de la Real Academia de fechas de experimentación, ampliar la Lengua Española nos da la definición la información de los dípticos por de la matemática como sigue: medio de investigación bibliográfica en otras fuentes como archivos, libros 1. f. Ciencia deductiva que estudia las de texto y enciclopedias; realizaron propiedades de los entes abstractos, como la experimentación y anotaron las números, figuras geométricas o símbolos, conclusiones sobre el trabajo. y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing. Elizondo Herrera puntualizó que con 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada estos ejercicios, los niños manifiestan en relación con ciertos fenómenos físicos. sus aspiraciones de conocimiento y 1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada se relacionan positivamente con la en abstracto.

naturaleza.

Con el debido respeto a la Real Al finalizar el evento otorgaron varios Academia Española, ninguna de las premios consistentes en estancias definiciones anteriores es capaz de familiares en el Hotel Bahía Escondida, generar en el espíritu del alumno Motel Cola de Caballo y Bioparque de educación básica algún elemento Estrella; además, se entregaron de apropiación… sino todo lo juguetes didácticos a los niños que contrario. hicieron las mejores presentaciones de sus investigaciones.

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Cultura y Ciencia Matemáticas

Apreciación de las

Matemáticas

Re Conocimiento A personajes nuestros en la A personajes nuestros, estudiosos de las emociones humanas enseñanza de la Ciencia Matemática Maestra María Guadalupe Almaguer Garza

Destacada maestra de matemáticas en los diferentes niveles educativos: primaria, secundaria, y la licenciatura en la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, María Guadalupe Almaguer Garza ha sido, de 1985 a 1991 y de 1996 a la fecha, asesora técnica pedagógica, adscrita a la Coordinación Técnica de Primaria de la Secretaría de Educación de Nuevo León. Con una clara visión innovadora de la enseñanza de esta disciplina, es coautora de varios libros de texto de matemáticas y de diversos cuadernos de prácticas y tareas de la materia, todo publicado por Editorial Limusa. Hizo sus estudios de profesora de primaria en la Escuela Normal Miguel F. Martínez, y una Maestría, con Especialidad en Matemáticas, en la Escuela de Graduados de la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza.

Licenciado y profesor Juan Manuel Bazaldúa Pérez

Dedicado a la enseñanza de las matemáticas desde 1969; habiendo impartido esta materia 21 años en el nivel de secundaria, 23 en la Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, cinco en las preparatorias de la Universidad Regiomontana y 15 en la Preparatoria Eugenio Garza Lagüera del ITESM, Juan Manuel Bazaldúa Pérez es coautor de 12 libros de texto para secundaria, Matemáticas I, Matemáticas II y Matemáticas III, así como de tres Cuadernos de Trabajo y tres Cuadernos de Prácticas y Tareas de Matemáticas para esos mismos grados, todos autorizados por la SEP y editados por Publicaciones Cultural y Editorial Limusa Noriega. Es profesor egresado de la Escuela Normal Profesor Serafín Peña, y tiene una Licenciatura en Educación Media, con especialidad en Matemáticas, de la Escuela Normal Superior del Estado. En esa misma institución hizo estudios de Maestría, con especialidad en Matemáticas.

Doctor Salvador Borrego Alvarado

Creador de las “Cartas de Navegación Política”, que vienen a ser las encuestas de última generación, Salvador Armando Borrego Alvarado es uno de los más destacados matemáticos de la entidad, experto en estadística, rama de la ciencia que apoya en los procesos de toma de decisiones, estimando los riesgos de equivocación en términos probabilísticos. Es director general de Saba Consultores, una de las empresas de consultoría estadística más destacadas del país. Ha sido profesor y subdirector de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL. Licenciado en matemáticas por la UANL, tiene Maestría en Matemáticas, por la Universidad de Texas, en Edimburgo, y Maestría y Doctorado en Estadística, por la Southern Methodist University, en Dallas. Es maestro de enseñanza media, con especialidad en Orientación Vocacional, por la Escuela Normal Superior del Estado. Articulista de periódicos y revistas, es autor también, entre otros libros, de Crónica de una sucesión presidencial.

Juan Roberto Zavala zavat_2004@yahoo.com.mx

Doctor José Luis González Velarde

Con una destacada trayectoria en la enseñanza de las matemáticas y en la investigación en los campos de optimización combinatoria y diseño de heurísticas, José Luis González Velarde ha sido profesor visitante en universidades de Estados Unidos y Colombia, y es coautor de tres libros: Variable Compleja, Optimización Heurística y Redes Neuronales y Computing Tools for Modeling, Optimization and Simulation. Desde 1990 es profesor del Centro de Sistemas Integrados de Manufactura en el ITESM, donde es también coordinador del Doctorado en Ingeniería Industrial y titular de la Cátedra de Investigación en Ingeniería Industrial. Es licenciado en Matemáticas por el ITESM y tiene maestrías en Ciencias, con especialidad en Matemáticas, del CINVESTAV, y en Ingeniería Industrial e Investigación de Operaciones, de la Universidad de California, en Berkeley, Estados Unidos. Su doctorado en Ingeniería Industrial e Investigación de Operaciones es de la Universidad de Texas, en Austin. En la séptima edición del libro Who s Who in Science and Engineering aparece su biografía.

Maestro Martín Martínez Gutiérrez

Maestro de matemática desde 1968, en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León, Martín Martínez Gutiérrez ha impartido cursos de esta disciplina en las Facultades de Ingeniería Civil e Ingeniería Química de esa institución. De 1971 a 1973 y de 1992 a 1994 fue también catedrático de matemáticas en la División de Ingeniería y Ciencias de la Universidad Regiomontana, y actualmente imparte cursos de esta materia en la Escuela de Graduados de la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza. Es licenciado en Ciencias Físico Matemáticas por la UANL y tiene una Maestría en Enseñanza de las Ciencias, con especialidad en Matemáticas. Estudió también la Maestría en Física en el CINVESTAV. Desde 1970 pertenece a la Sociedad Matemática Mexicana.

Profesora María del Socorro Salas Luna

Coautora de los libros para secundaria Matemáticas I, Matemáticas II y Matemáticas III, María del Socorro Salas Luna fue, durante 11 años, maestra de matemáticas en el nivel de secundaria; 19 años en la Normal Superior del Estado y ocho en preparatoria. Asimismo, y durante otros ocho años fue, en la Secretaría de Educación, asesora técnica de matemáticas para maestros de secundaria. Ha sido miembro y tesorera de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas. Es profesora de Primaria egresada de la Escuela Normal Miguel F. Martínez, y maestra de Educación Media, con especialidad en Matemáticas, por la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, institución que la reconoció como maestra distinguida.

El que sabe contar sabe pensar

MAESTROS DEL CECyTE-NL que transforman el universo, que son aquéllas derivadas de la ciencia, el DESTACAN EN EL PAIS conocimiento y el arte.

La enseñanza de las matemáticas, a pesar de su importancia, no ha tenido el nivel jerárquico adecuado, Con motivo de la reforma curricular que se está llevando a ycabo en el subdesistema los resultados nuestro país en el tecnológico nacional, cuatro maestros del Colegio de Estudios Cientíﬁcos y Tecnológicos ámbito internacional son muy pobres en relación conGuías otros de países más de Nuevo León han participado en forma destacada en la elaboración de las Director General desarrollados económicamente. Esto Aprendizaje del Componente de Formación Profesional, y tres se han desempeñado Doctor Luis Eugenio Todd limita nuestro potencial de creatividad, como Formadores en el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la Reforma, lo Director Editorial propicia las dependencias, arriesga Félix Ramos Gamiño cual es digno de resaltar y de reconocer. nuestra soberanía y nos impide entrar Secretario Editorial en la competitividad global. Maestro Rodrigo Soto Educación Profesor Ismael Vidales Delgado Creo, igual que muchos investigadores Ciencia en Familia en pedagogía, que la falta de formación Licenciado Juan Roberto Zavala adecuada de los profesores en esta Ciencias Económicas y Sociales Doctor Jorge N. Valero Gil temática y el desconocimiento de los Ciencias Básicas y del Ambiente valores sobre la realidad de lo que la Doctor Juan Lauro Aguirre enseñanza de los números significa, Desarrollo Urbano y Social ha propiciado estas debilidades Ingeniero Gabriel Todd Ciencias Médicas que debemos corregir, recordando Doctor David Gómez Almaguer siempre que en el nuevo mundo de Euclides Ciencias Políticas y/o Maestro Plantel Colaboración en la carrera la educación deben existir los cuatro de Administración Pública idiomas básicos: Contador Público José Cárdenas Cavazos Ciencias de la Comunicación Adriana Martínez Silva Cadereyta Instrumentación l pensamiento matemático y el Doctora Patricia Liliana Cerda Pérez El primero, saber contar y pensar; el método científico son hermanos La Ciencia es Cultura segundo, saber leer e interpretar; el José Gerardo Menchaca Reyna Sabinas Hidalgo Electromecánica Licenciado Jorge Pedraza inseparables; a través de ellos tercero, internacionalizar la comue ingeniera Claudia Ordaz se busca la verdad reproducible nicación a través de un nuevo idioma; Educación Física y Deporte y se genera que, Mario Dena Silva Marín el conocimiento Análisis y Tecnología de Alimentos Doctor Óscar Salas Fraire y el cuarto y último, aprovechar la transferido, aplicado e innovado, Las Universidades y la Ciencia informática y el teleproceso como produce en buena tesis ética un Doctor Mario César Salinas Francisco García Ledesma Linares Electrónica instrumentos estratégicos para hacer Redacción mejor nivel de vida de los habitantes más eficiente el proceso educativo. Licenciada Alma Trejo del planeta. Licenciado Carlos Joloy Diseñador Sobre estos temas y muchos otros, Enseñar matemáticas es entonces Licenciado Víctor Eduardo Armendáriz Ruiz escriben autores reconocidos, y esArte Gráfico parte del proceso de darle al estudianperamos que esta edición sacuda Arquitecto Rafael Adame Doria te un instrumento permanente para conciencias y permita una reflexión Circulación y Administración tener toda su vida un método lógico Profesor Oliverio Anaya Rodríguez integral sobre la necesidad imperiosa

Maestros que colaboran en la elaboración de Guías de Aprendizaje.

Maestros que colaboran como Formadores en el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes la Reforma: que lede permita investigar, analizar,

CONOCIMIENTO ES EDITADA POR LA COORDINACIÓN DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE NUEVO LEÓN, Y ABRE SUS REVISTA

participar en los procesos dialécticos de la síntesis y de la antítesis, y así ir buscando gradualmente las verdades

que tenemos en México de incrementar nuestro interés por la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.

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Pienso, luego existo

DESCARTES 1596 a 1650

El que sabe contar sabe pensar, y el Olga que sabe María del Carmen Elenapensar puede Garza aprender Salazar, y así llegar a ser... Dávila Rodríguez, Plantel Cadereyta Plantel Marín

Matemáticas

Centro de Estudios Cientificos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León