Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič
Skrivnosti števil in oblik
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 1
9 7/18/13 12:56 PM
Joæe Berk, Jana Draksler in Marjana RobiË
Skrivnosti števil in oblik 9 Delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne πole / 1. del Urednika: Vasja Kožuh (1. izdaja), Miloš KoviË (2. izdaja) Recenzenti (1. izdaja): Magda Albreht, Nataπa Centa, Ema Maver, Cvetka Tanjπek, Magdalena Tanko in Stane Arh Jezikovni pregled: Tea Mejak Ilustracije: Iztok Sitar
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Zaloæba Rokus Klett, d. o. o. (2006). Vse pravice pridræane. Brez pisnega dovoljenja zaloænika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobËitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakrπnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. Ëlena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, krπitev avtorske pravice.
knjigarna.com swis721
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 telefaks: 01 513 46 99 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 2
CMYK 10/100/90/0
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 9. [Delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole] / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana RobiË ; [ilustracije Iztok Sitar]. - 2. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2013 ISBN 978-961-271-296-9 1. Draksler, Jana 2. RobiË, Marjana 267956992
7/23/13 12:00 PM
Vsebina 1 Izrazi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4 1 Ponovitev raËunanja z algebrskimi izrazi ����������������������������������������������������������������������������������������� 4 2 Kvadrat dvoËlenika ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6 3 Produkt vsote in razlike dveh enakih Ëlenov ����������������������������������������������������������������������������������� 8 4 Algebrski ulomki ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 9 5 RaËunanje z algebrskimi ulomki ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 10 Rok se prviË preveri ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 12 2 EnaËbe ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1 Reπevanje linearnih enaËb s sklepanjem ��������������������������������������������������������������������������������������� 2 Reπevanje linearnih enaËb s poskuπanjem ����������������������������������������������������������������������������������� 3 Reπevanje linearnih enaËb s preoblikovanjem ������������������������������������������������������������������������������� 4 Linearne enaËbe z oklepaji ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Linearne enaËbe z ulomki ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6 Naloge o πtevilih ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Naloge o starosti ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8 Naloge iz geometrije ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 9 Naloge iz vsakdanjika �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Rok se drugiË preveri ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
18 18 22 24 26 29 32 34 35 36 37
3 Sorazmerje in podobnost ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1 Razmerje koliËin ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 2 Sorazmerje ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3 Premo sorazmerje ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4 Obratno sorazmerje ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Reπevanje enaËb z uvedbo nove neznanke ��������������������������������������������������������������������������������� 6 Razmerje dolæin daljic ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Podobnost ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8 Podobni trikotniki ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 9 Delitev daljice na enake dele ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 10 Obsegi in ploπËine podobnih likov ������������������������������������������������������������������������������������������������� Rok se tretjiË preveri ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
54 54 56 58 61 64 66 67 70 72 73 75
Rešitve ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 84
Kako uporabljati delovni zvezek?
knjigarna.com swis721
Vrste dejavnosti
NaËini reševanja
odkrivanje pravil
utrjevanje znanja
preverjanje nauËenega
z raËunom ali zapisom
CMYK 10/100/90/0
z risanjem ali konstruiranjem z lepljenjem ali pregibanjem z izrezovanjem ali oblikovanjem z žepnim raËunalom
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 3
7/18/13 12:56 PM
1.1 Ponovitev ra»unanja z algebrskimi izrazi Zapiši koeficiente danih enoËlenikov. mn
5x
–u2v
–4a3b4
y 3
4,5cd 2
3·a
Zmnoži oziroma deli enoËlenike. a) 3x · (–2)y b) a 2 · (–2a 3) · 4a c) 1,2mn 3 · (–5m 3n 4) Ë) 3 25 x 2 ·
15 x 34
d) 12x 8 : 3x 2 e) 6b 4 : 10b 6 f) 1 45 d 12 :
9 3 d 10
g) 5m 4 · 7 : m h) 27y 5 : 9y 3 i)
21a 2b 5c 5 14ab 8c 2
j)
(2a)2 (4a)3
Izpostavi najveËji skupni faktor: a) 12a + 36a 2 b) 30x 3 – 6x 2 c)
ab 3
–
bc 6
knjigarna.com swis721
Ë) 4x 2y + 8xy 2 – 10x 2y 3
CMYK 10/100/90/0
4
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 4
7/18/13 12:56 PM
Seštej ali odštej. a) 7x – 3x + 9x – 10x b) 7a – 5b + 2a – 4b + a c) 2m – 3n – 6m + 7n + m Ë) (3x – 5y) + (4x – 2y) d) 3a – (5b + a) e) (m + n) – (m – n) f) 1,4a + 0,7b – a – 1,6b g)
3 x 4
–
2 y 3
+
1 x 2
+ − 56 y
h) (12a – 13b) + (16a + 15b) i) (5x 2 + 7x – 4) – (–3x – 8x 2 + 10) j) (b 3 + b 2 – b) – (b 2 – b) + (b 3 – b 2 – b)
IzraËunaj produkte enoËlenika in veËËlenika. a) (2a + 3b) · 6 b) (4a – 5b + 2c) · 3a c) (3x – 2y) · (– 4x) Ë)
1 2
· (6a – 4b + 12c)
IzraËunaj produkte veËËlenikov. a) (a + 3)(a + 5)
knjigarna.com swis721
b) (3x + 5y)(3x – 4y) c) (x 2 + y)(2x – y 3)
Ë) (2a + 3)(a 2 + 3a – 5)
d) (x + y)(x 4 – x 2y 2 + y 3)
CMYK 10/100/90/0
5
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 5
7/18/13 12:56 PM
1.2 kvadrat dvo»lenika
1 1 1 1 1
5
x+5
x+5
Narisan je kvadrat, ki ima stranico dolgo x + 5 enot. a) IzraËunaj ploπËino tega kvadrata tako, da ga razdeliπ na veË manjπih delov, kot kaæe slika.
x x
x x
1 1 1 1 1
x+5
5
x+5
b) Zapiπi ploπËine posameznih obarvanih delov in nato πe ploπËino velikega kvadrata.
p1 =
p2 =
c) P loπËino velikega kvadrata izraËunaj po pravilu za mnoæenje dvoËlenika z dvoËlenikom (ki si se ga uËil v 8. razredu). p = (x + 5)2 p = (x + 5) (x + 5)
p3 =
p4 =
psk =
Ponovimo: (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd
knjigarna.com swis721
Ë) Primerjaj skupno ploπËino pri nalogah b in c. Kaj ugotoviπ?
CMYK 10/100/90/0 ________________________________________________________________________________
6
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 6
7/18/13 12:56 PM
a) Dopolni sliko kvadrata, ki ima stranico dolgo 2x + 1 in ga razdeli po zgledu 1. naloge ter doloËi njegovo ploπËino.
x
x
1
b) IzraËunaj ploπËino kvadrata po pravilu za mnoæenje dvoËlenikov.
c) Primerjaj ploπËino kvadrata pri nalogah a in b. Kaj ugotoviπ?
IzraËunaj tako, da zapiπeπ produkt dveh enakih dvoËlenikov. (x — 8)2 =
(3x + 2)2 =
(5x — 3)2 =
(x + y)2 =
knjigarna.com swis721
Kakπna sta v vseh primerih srednja Ëlena? Ali ju lahko seπtejeπ?
Koliko Ëlenov ima kvadrat dvoËlenika?
CMYK Zapiπi pravilo za kvadrat dvoËlenika. 10/100/90/0 ugotovitev
Preveri svoje ugotovitve. U»B − pog. 1.1
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 7
7
7/18/13 12:56 PM
1.3 produkt vsote in razlike dveh enakih »lenov Narisan je pravokotnik, ki ima dolæino x — 2 enoti in πirino x + 2 enoti. 1 1
x+2
PRILOGA 1
x
x—2 x
Izreæi pravokotnik, ga ustrezno razreæi in nalepi tako, da poskuπaπ prekriti kvadrat s stranico x.
x
1
1
x
a) Ali ti je kakπen del pri prekrivanju ostal?
»e DA, zapiπi ploπËino tega lika:
Ali ti je kakπen del pri prekrivanju zmanjkal?
»e DA, zapiπi ploπËino tega lika:
b) Opazuj sliko prekritega kvadrata in zapiπi ploπËino prvotnega pravokotnika.
c) IzraËun ploπËine preveri tako, da med seboj mnoæiπ dolæino in πirino pravokotnika.
Ë) Primerjaj ploπËino pravokotnika pri nalogah b in c. Kaj ugotoviπ?
d) Zapiπi dvoËlenika, ki sta stranici pravokotnika: dolæina
πirina
V Ëem se razlikujeta zapisana dvoËlenika?
IzraËunaj tako, kot si se nauËil mnoæiti dvoËlenike. (x + 8) (x — 8) =
(3x + 2)(3x — 2) =
(5x — 3)(5x + 3) =
(x + y)(x — y) =
knjigarna.com swis721
Kaj se v vseh primerih zgodi s srednjima Ëlenoma?
Za kakπna dvoËlenika velja ugotovitev?
CMYK ugotovitev 10/100/90/0 Zapiπi pravilo za produkt vsote in razlike dveh enakih Ëlenov.
8
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 8
Preveri svoje ugotovitve. U»B − pog. 1.2
7/18/13 12:56 PM
1.4 algebrski ulomki Kdaj ulomek nima pomena? _______________________________________________________ Za katere vrednosti spremenljivke x spodnji ulomki nimajo pomena? 9 x
12 x+3
y x−7
x+3 5 −x
x = _________
x = _________
x = _________
x = _________
Razširi na skupni imenovalec ulomka
3 5
in
2 3
pojasni postopek.
Pojasnilo ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Po opisanem postopku razširi spodnje ulomke na najmanjši skupni imenovalec. a)
3 , 4 2v 6v
b)
4 6 , x y
c)
2 , 7 a 2b ab 2
Ë)
3m 9n 2 , 2a 5b
d)
3 a 5 , , 4x 2 2x
e)
8 , 6 (a − b) b
f)
1 , 1 x+1 x−1
g)
a , 1 (a + 1)2 (a + 1)3
Kdaj je ulomek okrajšan? _ ________________________________________________________ Po opisanem postopku okrajšaj spodnje ulomke. a)
3a 5a
b)
5x 2 20x
c)
a 3a 4 a5
Ë)
5(x − y) 3(x − y)
d)
3xy − xy x
e)
2x 2x + 6x 2
f)
a2 − a ab − b
g)
x2 − y2 x+y
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
9
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 9
7/18/13 12:56 PM
1.5 RA»UNANJE Z ALGEBRSKIMI ULOMKI IzraËunaj produkt ulomkov
25 16
·
24 15
in pojasni postopek. _ _______________________________
________________________________________________________________________________ Po opisanem postopku izraËunaj produkte spodnjih ulomkov. a)
6xy 5
10a 9xy 2
·
3ay 4xb 2
b) 8x 2b · c)
2 x2 − 9
Ë)
(3a 2b)2 4t
·
d)
−8x 2 m
m2 (−4x)
e)
2a + 6b c
f)
· (x + 3)
·
4a − 8b 6a 2
2t 2 6a 4b 2
2c a + 3b
· ·
3a 3a − 6b
IzraËunaj koliËnik ulomkov
32 27
:
56 45
in pojasni postopek. ________________________________
________________________________________________________________________________ Po opisanem postopku izraËunaj koliËnik spodnjih ulomkov. a)
3a 2 b
6ax 2 b2
:
b) 3x 2y : c) a 2 :
a b 4a 5 a 2x
Ë) 4a 3 :
knjigarna.com swis721
d)
9x 3 10y
e)
5a − 15 x2
f)
a2 − 9 5
6xy 5
3x 4 20y 4
:
:
: (a − 3) a+3 15
g) (4a + 8b) : h) (x 2 − 16) :
CMYK 10/100/90/0
a 2 − 16 3 (x + 4) 2x
10
SSIO 9 DZ 2013 notranjost 1 del.indd 10
7/18/13 12:56 PM