ar na .c om
KOCKA 5I\MUI\QSI bI ZIbZML W[VW^VM ɈWTM
kn
jig
Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
KOCKA 6 Matematika za 6. razred osnovne šole Avtorice Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
Urednica Simona Knez
ar na .c om
Recenzentki Sonja Koželj, dr. Marina Rugelj
Lektorici Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut Ilustracije Kostja Gatnik Tehnične ilustracije Darko Simeršek
Fotografije Arhiv založbe Modrijan, Bigstock, Mojmir Fortuna, Igor Modic, Jurij Senegačnik, Maja Turk, Majda Vehovec Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik Prelom Goran Čurčič
jig
Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o. Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 2000 izvodov Ljubljana 2015 Peta, prenovljena izdaja
kn
Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje je na seji dne 21. 5. 2015 s sklepom št. 613-2/2015 potrdil učbenik KOCKA 6, matematika za 6. razred osnovne šole, ki so ga napisale Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk in Majda Vehovec.
© Modrijan založba, d. o. o. CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)
KOCKA 6 : matematika za 6. razred osnovne šole / Marjana Dornik ... [et al.] ; [ilustracije Kostja Gatnik, tehnične ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan ... et al.]. – 5., prenovljena izd. – Ljubljana : Modrijan, 2015 ISBN 978-961-241-712-3 1. Dornik, Marjana 265587712
www.modrijan.si
3
Vsebina NARAVNA ŠTEVILA
4
Števila, s katerimi štejemo 4 Velika števila 9 Zaokroževanje števil 12 Rimske številke 14 Računanje z naravnimi števili 16 Številski izrazi 21
LJUBLJANSKI MARATON – projektno delo 26
28
43
Vrste kotov 47 Primerjanje kotov 49 Seštevanje in odštevanje kotov – izbirna vsebina 52 Merjenje kotov 55 Pretvarjanje enot in računanje s koti 59
62
Še o urejanju podatkov 66
NEGATIVNA ŠTEVILA – izbirna vsebina
149
MERIMO
152
DENAR – projektno delo
168
OBSEG IN PLOŠČINA
170
Obseg 170 Obseg pravokotnika in kvadrata 173 Ploščina pravokotnika in kvadrata 176
70
DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL
ENAČBE IN NEENAČBE
79
180
Enačbe 180 Neenačbe 186
Večkratniki in delitelji naravnega števila 79 Pravila za deljivost 84
ULOMKI
135
Merimo dolžino 152 Merimo maso 156 Merimo ploščino 160 Merimo v litrih 163 Merimo čas 165
OBDELAVA PODATKOV
Zaporedja 75
MNOŽENJE IN DELJENJE DECIMALNIH ŠTEVIL Množenje in deljenje z 10, 100, 1000 … 135 Množenje decimalnih števil 139 Deljenje decimalnih števil 144
Ravnina, premica, daljica, točka 28 Dve premici v ravnini 34 Razdalja 37
VZORCI
129
ar na .c om
OSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTI
KOT
SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE DECIMALNIH ŠTEVIL
POVRŠINA IN PROSTORNINA
190
Površina 190 Površina kvadra in kocke 192 Prostornina 196 Enote za merjenje prostornine 198 Prostornino merimo tudi z litri, decilitri … 201 Prostornina kvadra in kocke 203
88
Deli celote 93 Ponazoritev ulomka 96 Računamo z modeli – izbirna vsebina 98
ULOMKOVI TRAKOVI – projektno delo
101
ARHITEKTURA – projektno delo
207
KROŽNICA IN KROG
103
OBDELAVA PODATKOV
209
Krožnica in premica 106 Krožni izsek in krožni lok 109 Medsebojna lega dveh krožnic – izbirna vsebina 111
Žepno računalo 215 Računalniške preglednice 216
114
jig
DECIMALNA ŠTEVILA
Dodatek
kn
Desetiški ulomki 114 Decimalno število 116 Decimalna števila na številskem poltraku 122 Urejanje decimalnih števil po velikosti 124 Zaokroževanje decimalnih števil 127
Naslov poglavja Podnaslov
Uvodna naloga
POVRŠˇ INA IN PROSTORNINA POVRS
190
191
Površina Tine je med svojimi igračami našel leseno geometrijsko telo, ki je bilo po obliki podobno njegovi hiši. Sklenil je, da si bo s tem telesom pomagal pri izdelavi makete svoje hiše.
1.
Katere od spodnjih embalaž so razgrnjene?
RAZMISLIMO
Kaj je moral narediti Tine, če je hotel izdelati maketo svoje hiše iz risalnega papirja?
zahtevajo nekoliko poglobljeno znanje
Tine je vsako ploskev telesa položil na risalni list in jo občrtal. Vse nastale like je izrezal in jih premišljeno zlepil. Tako je nastala mreža geometrijskega telesa. Iz mreže je sestavil maketo hiše. Mrežo sestavljajo vse mejne ploskve telesa. Ploščina mreže je površina telesa.
Matko
2.
Površina telesa je enaka vsoti plošč in vseh mejnih ploskev telesa.
Narisani sta mreži dveh geometrijskih teles. Ugotovi, katero telo ima večjo površino, in razloži svojo ugotovitev.
1. ZGLED
Ugotovimo, katerim telesom pripadajo narisane mreže.
Zgled piramidi
Izzivi
Naloge so dveh težavnostnih stopenj: zahtevajo temeljno znanje
valju
3.
Ugotovi, koliko kvadratov omejuje vsako telo na sliki. Razvrsti površine teles od najmanjše do največje. A B C
4.
Iz katerih mrež lahko sestaviš geometrijsko telo? Nariši povečane like na karo papir in jih izreži.
kocki
IZZIVA 1.
Poišči model piramide. Izdelaj dve različni mreži tega telesa.
2.
Nariši tri različne trikotnike. Vsako stranico trikotnika razpolovi. Poveži razpolovišča in prepogni lik po dobljenih daljicah. Ugotovi, ali lahko sestaviš telo.
A
B
C
Č D
Rešitve vseh nalog lahko najdete na www.modrijan.si pri predstavitvi knjige.
NARAVNA Š SˇTEVILA Števila, s katerimi šte jemo Triletna Mojca vsak dan prešteje rožice na vrtu. RAZMISLIMO
ar na .c om
– Kako si pri štetju sledijo števila? – Kako imenujemo števila, s katerimi štejemo? – Ali lahko preštejemo do zadnjega števila?
Mojca še ne zna dobro šteti, zato je njeno štetje napačno. Šteti začnemo vedno s številom 1, vsako naslednje število pa je za ena večje od prejšnjega števila. Števila, s katerimi štejemo, imenujemo naravna števila.
Osnov štetja se lahko učimo z izštevankami. En kovač konja kuje, kol'ko žebljev potrebuje? En, dva, tri – pa povej število ti! Izštevanka za pet prstov Ta prvi je lumpek, ta drugi copat, ta tretji balon je, ki vozi ga škrat. Četrti je gumbek in peti petak.
1, 2, 3, 4, 5, …, 1213, 1214, …, 1 000 000, 1 000 001 …
Naravnih števil nikoli ne preštejemo do zadnjega števila, saj zadnjega oziroma največjega naravnega števila ni. Množica naravnih števil je neskončna, označimo jo z . = {1, 2, 3, 4 …}
Število 0 ni naravno število. Če ga dodamo k množici naravnih števil, dobimo novo množico, ki jo poimenujemo množica naravnih števil z 0 in jo označimo z 0. 0 = {0, 1, 2, 3 …}
jig
Naravna števila lahko grafično predstavimo, tako da jih ponazorimo na številskem poltraku.
Številski poltrak ima začetek (število 0), nima pa konca.
kn
4
Na številskem poltraku najprej označimo točke, ki so enako oddaljene druga od druge. Izhodišče poltraka predstavlja sliko števila 0, prva točka desno od izhodišča predstavlja sliko naravnega števila 1, druga točka sliko števila 2 … Števila na številskem poltraku so urejena po velikosti. Slika večjega števila stoji desno od točke, ki predstavlja manjše število.
Razdalja med slikama števil 0 in 1 je enota.
Števila, s katerimi štejemo, so naravna števila. Naravnih števil je neskonč no mnogo. Ponazorimo jih na številskem poltraku.
5
1. ZGLED
Število pet tisoč dvesto sedemdeset zapišemo s številko 5270, ki jo sestavljajo števke 5, 2, 7 in 0. 2. ZGLED
325 2781 230 001 15 200 000 3. ZGLED
ar na .c om
Zapišimo števila z besedo. Za zapis števil veljajo pravila: • glavne števnike od 1 do 99 pišemo skupaj • stotice pišemo skupaj • tisočice, milijonice, milijardice … pišemo posebej tristo petindvajset dva tisoč sedemsto enainosemdeset dvesto trideset tisoč ena petnajst milijonov dvesto tisoč
a) Začnimo pri 400 in štejmo po sto do 1100. Dobljena števila grafično prikažimo.
b) Na delu številskega poltraka označimo naravna števila od 2112 do 2116.
c) Zapišimo, katero število je predstavljeno s točko na delu številskega poltraka.
jig
Predstavljeno je število 923. 4. ZGLED
V matematiki poljubno naravno število zapišemo s črko n, zato je predhodnik n – 1, naslednik pa n + 1.
kn
Predhodnik števila: n – 1 66 / 9999 3 400 398
Število: n 67 1 10 000 3 400 399
Naslednik števila: n + 1 68 2 10 001 3 400 400
Število 0 ni naravno število, zato število 1 nima predhodnika med naravnimi števili. Vsako naravno število pa ima svojega naslednika, zato je naravnih števil neskončno mnogo. Razen števila 1 ima vsako naravno število svojega predhodnika in svojega naslednika.
6
5. ZGLED
Desetiške enote lahko zapišemo na različne načine. Stotisočice St 100 000 105
Desettisočice Dt 10 000 104
Tisočice T 1000 103
Stotice Desetice Enice S D E 100 10 1 102 10 1
ar na .c om
Milijonice Oznaka M Vrednost 1 000 000 Zapis s potenco 106
Zapišimo število petsto triindvajset tisoč sedemsto dve:
a) s številko 523 702 b) z desetiškimi enotami 5 St 2 Dt 3 T 7 S 0 D 2 E c) z vrednostmi desetiških enot 5 · 100 000 + 2 · 10 000 + 3 · 1000 + 7 · 100 + 0 · 10 + 2 č) s potencami števila 10 5 · 105 + 2 · 104 + 3 · 103 + 7 · 102 + 0 · 10 + 2 · 1
6. ZGLED
kn
jig
Na taborniškem mnogoboju je sodelovalo sedem ekip. Vodnica Taja je število doseženih točk posamezne ekipe vpisala v preglednico. Zmagala je ekipa, ki je dosegla največ točk. Razmislimo, kako je Taja določila vrstni red ekip in kako razvrščamo števila po velikosti.
Vrstni red ekip je Taja določila tako, da je primerjala število doseženih točk. Primerjanje dveh števil začnemo pri prvi najvišji vrednosti desetiških enot, ki se pri številih razlikujeta, npr.: 4750 > 4705, kajti 5 > 0. 4750 > 4705 > 4559 > 4557 > 4250 > 4205 Ko urejamo števila po velikosti, jih razcepimo na desetiške enote in primerjamo med seboj vrednosti desetiških enot. Pri zapisu urejenih števil pa uporabljamo matematične znake >, < in =. IZZIV
Kaj si predstavljaš, ko slišiš besedo neskončno?
7
1.
Štej. a) Po 2 od 57 do 91.
b) Po 10 od 340 do 400.
c) Po 100 od 6700 do 8000.
Preberi in z besedo zapiši števila: 111, 57, 63, 815, 1020, 30 903, 440 000, 15 000 000.
3.
Zapiši števila s številko. a) Sedem tisoč sto. b) Dvanajst tisoč sedem. c) Petintrideset.
4.
ar na .c om
2.
č) Šest milijonov tristo tisoč. d) Dvaindevetdeset tisoč tristo sedemindvajset. e) Pet tisoč tristo ena.
Odčitaj števila, ki so na številskem poltraku predstavljena s točkami A, B, C, D, E in F. a) b)
5.
Na številskem poltraku ponazori naravna števila. a) 4000, 5000, 6000, 7000 in 8000 c) od 316 do 324 b) od 15 do 37 č) od 39 995 do 40 011
6.
Ugotovi pravilo in dopolni zaporedje. , , a) 23, 25, 27, , , , 456, 460, 464, , b) c) , , 19 333, 19 343, 19 353, , , , 62, 71, 81, 92, , č)
,
,
,
,
Predhodnik nekega števila je 54 321. Določi naslednik tega števila.
8.
Tine trdi, da je število 789 lahko naslednik ali predhodnik. Ali ima prav? Utemelji.
9.
Vsota treh zaporednih naravnih števil je 21. Določi ta števila.
jig
7.
Zapiši števili sedem tisoč osemsto dvaindevetdeset in osemdeset tisoč devetsto štiri s: a) številko c) vrednostmi desetiških enot b) desetiškimi enotami č) potencami števila 10
11.
Zapiši števila s številko in jih uredi po velikosti. 3 Dt 5 T 3 D 1 E 3 Dt 5 T 3 S 1 E 1 St 5 Dt 4 D 6 St 5 Dt 4 D 9 E 1 St 5 T 4 D 6 St 4 Dt 9 D 4 E
kn
10.
8
12.
a) Zapiši števila z desetiškimi enotami. 6705
549 15 005
421 991
1 000 396
13.
ar na .c om
b) Katera od naštetih števil so večja od 105? c) Katera od naštetih števil so manjša od deset tisoč? Uredi števila po velikosti. Začni z največjim. 8709
9 · 105
2 · 105 + 4 · 104 + 7 · 102 + 9 · 1
11 101
4 Dt 5 T 4 S 1 E 45 401
7 St 5 T 6 S
14.
a) Iz števk 1, 2, 3, 4 in 5 sestavi največje in najmanjše petmestno število. V zapisu števila se nobena števka ne sme ponoviti. b) Iz števk 2 in 7 sestavi največje petmestno sodo in največje petmestno liho število. Števke se lahko ponavljajo.
15.
Točke A, B, C in D so slike naravnih števil na številskem poltraku.
jig
a) Katera števila predstavljajo izbrane točke? b) Primerjaj po velikosti števili, ki ju ponazarjata točka A in C, B in A ter D in C.
a) Izračunaj zmnožek največjega in najmanjšega dvomestnega števila. b) Kolikšen je zmnožek največjega dvomestnega sodega števila in najmanjšega trimestnega lihega števila? Kolikšna je razlika med tema dvema številoma?
kn
16.
9
Velika števila Maja je v astronomskem leksikonu prebrala, da je Zemlja od Sonca oddaljena 150 000 000 kilometrov, njen obseg je 40 000 kilometrov, masa pa je 6 · 1024 kilogramov. RAZMISLIMO
ar na .c om
– Kako preberemo števila, ki jih je Maja našla zapisana v astronomskem leksikonu? – Zakaj je število, ki označuje maso Zemlje, zapisano z večkratnikom potence števila 10?
Števila do milijon že poznamo, obstajajo pa tudi večja števila: deset milijonov, sto milijonov, tisoč milijonov … Tisoč milijonov je nova desetiška enota milijarda, tisoč milijard je bilijon. Milijon Milijarda Bilijon
1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000
106 109 1012
Zemlja je od Sonca oddaljena sto petdeset milijonov kilometrov, njen obseg pa je štirideset tisoč kilometrov. Masa Zemlje je zapisana z večkratnikom potence števila 10. Ker ima število kar 24 ničel, je zapis z ničlami zelo nepregleden. Dogovorjeno je, da velika števila zapisujemo z desetiškimi potencami. Največkrat so to števila, ki so večja od milijarde.
jig
6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg = 6 · 1024 kg • V naši Galaksiji je 400 milijard zvezd. • V človeškem telesu je 100 bilijonov celic. • Na Zemlji živi približno trilijon žuželk.
Pri zapisu števila z večkratnikom potence števila 10 je stopnja potence enaka številu ničel, s katerimi se konča število.
Število 1024 imenujemo kvadrilijon, 1030 pa kvintilijon.
kn
1. ZGLED
Da števila laže preberemo, števke od desne proti levi združujemo v trojice.
8 691 272 843
osem milijard šeststo enaindevetdeset milijonov dvesto dvainsedemdeset tisoč osemsto triinštirideset
10
2. ZGLED
Zapišimo število z večkratnikom potence števila 10.
IZZIV
Zapis s potenco 107 108 109 1010 1011 1012 23 · 106 278 · 1010
ar na .c om
Število 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 100 000 000 000 1 000 000 000 000 23 000 000 2 780 000 000 000
jig
Bakterija Potenca se zelo hitro razmnožuje. Po prvi sekundi se že začne delitev in Potenca se razdeli na dve enako veliki Potenci, kot je bila prvotna. V naslednji sekundi se obe Potenci znova razdelita, in tako imamo po dveh sekundah že 4 enako velike Potence. Vsaka naslednja generacija je dvakrat večja od prejšnje. Po eni uri je kozarec poln. a) Kdaj je bil kozarec poln do polovice? b) Kdaj je bil kozarec poln do četrtine?
17.
Števila preberi in jih zapiši z besedami. 107 966
6 385 000 000
Zapiši števila 5 000 000, 9 300 000 000, 245 400 000 in 312 000 000 000 z večkratnikom potence števila 10.
kn
18.
2 817 454
19.
20.
21.
Zapiši s številko: a) tri milijarde sto sedem b) dva milijona štiristo pet tisoč dvanajst c) dvainpetdeset milijonov petsto šest tisoč dvesto petnajst Iz kartončkov sestavi dve števili, največje in najmanjše možno. Obakrat uporabi vse kartončke. Kolikšna je razlika med tema dvema številoma?
9
8
5
2
2
Mojca ima 10 škatel, v vsaki škatli je 100 vrečk, v vsaki vrečki pa 100 gumbov. Koliko gumbov ima Mojca?
11
Popravi napačne zapise. a) 21 · 105 = 210 000 b) 304 · 107 = 3 400 000 000 c) tri milijarde sto sedem tisoč ena: 3 107 001
23.
V leksikonu ali na spletnih straneh poišči oddaljenost planetov od Sonca. Podatke zapiši na dva načina, z ničlami in z večkratnikom potence števila 10.
24.
Katero število je za 104 večje od števila 123 456? (A) 223 456 (B) 133 456 (C) 124 456
25.
Katero število ima 4 milijonice? (B) 341 · 106 (A) 341 · 105
(C) 3 410 000
(Č) 123 556
(Č) 341 000
Zelo, zelo veliko število (večje od kvadrilijona) ima vse števke 9. Koliko števk 9 ima število, če ga povečamo za milijardo? (A) osem (B) devet (C) deset (Č) ne da se določiti
kn
jig
26.
ar na .c om
22.
12
Zaokroževanje števil
RAZMISLIMO
ar na .c om
Manja želi na eni strani vrta zasaditi živo mejo. Tomaž je izmeril dolžino stranice, po kateri bosta zasadila živo mejo. Nameril je 1273 centimetrov.
Ali je treba za sajenje žive meje tako natančno izmeriti dolžino?
V vsakdanjem življenju števila pogosto zaokrožujemo, predvsem kadar želimo rezultat le oceniti, saj je z zaokroženimi števili laže računati.
Za sajenje žive meje ni potrebna natančna izmera. Tomaž bi dolžino lahko izrazil v metrih, zato število zaokrožimo na stotice. Število 1273 je med 1200 in 1300, vendar bliže 1300. 1200
1250
1273
1300
Zapišemo 1273 1300 in preberemo: 1273 je približno enako 1300.
kn
jig
Stranica, po kateri bosta Manja in Tomaž zasadila živo mejo, je dolga približno 13 metrov.
Pri zaokroževanju števil vedno najprej določimo desetiško enoto, na katero bomo zaokrožili število. Če zaokrožujemo na desetice, nas zanima število enic, če zaokrožujemo na stotice, nas zanima število desetic, pri zaokroževanju na tisočice pa pogledamo število stotic.
1273 cm 1300 cm = 13 m
približno enako 360 361 362 363 364
365 366 367 368 369
enako
} } 360
370
Desetiška enota, na katero zaokrožujemo, se ne spremeni, če ji sledi števka 0, 1, 2, 3 ali 4. Desetiška enota, na katero zaokrožujemo, se poveč a za 1, če ji sledi števka 5, 6, 7, 8 ali 9.
13
1. ZGLED
Peter je na spletnih straneh poiskal podatke o obisku gledališč, muzejev in kinematografov. Podatke je zapisal v preglednico. Ker si številk ni mogel zapomniti, jih je zaokrožil na tisočice.
2. ZGLED
Zaokroženo na tisočice 52 000 121 000 2 790 000
ar na .c om
Gledališča Muzeji Kinematografi
Št. obiskovalcev 51 703 121 486 2 789 513
Število 86 473 zaokrožimo na desetice, stotice, tisočice in desettisočice. Točno število 86 473
desetice 86 470
Število zaokroženo na: stotice tisočice 86 500 86 000
desettisočice 90 000
Zaokroži števila 432, 12 760, 65 116, 399 in 701 na: a) desetice, b) stotice.
28.
V turističnem vodniku je Marko prebral, da je lani muzej obiskalo 25 000 obiskovalcev. Kolikšno je največje in kolikšno najmanjše možno število obiskovalcev, če veš, da je število zaokroženo na tisočice?
jig
27.
Zaokroži število: a) 45 345 na tisočice, b) 124 235 987 na milijonice, c) 599 999 na desettisočice.
30.
Zaokroži cene na sto evrov. 25 721 EUR 459 EUR
kn
29.
711 EUR
123 500 EUR
7909 EUR
31.
Zaokroži števila na tisočice. 67 909, 702 550, 4 236 579, 11 499, 132 098, 39 940
32.
Prepiši v zvezek in dopolni. od danega števila. Če število zaokrožimo navzgor, je približek , je približek manjši od danega števila. Če število zaokrožimo
33.
Kateri zapis je najboljši približek za oceno zmnožka 4283 · 1799? (A) 4000 · 2000 (C) 4300 · 1700 (B) 4200 · 1800 (Č) 4300 · 1800
14
Rimske številke
RAZMISLIMO
ar na .c om
Matej je za darilo dobil tarok karte. Ker še ne pozna igre, ga najprej zanimajo karte in oznake na njih.
Kako so oštevilčene karte za tarok?
Na kartah za tarok so števila zapisana v rimskih številkah. Rimske številke izhajajo iz antičnega Rima. Temeljijo na določenih črkah, ki so jim prirejene številske vrednosti. Rimske številke nimajo znaka za število 0.
Številke, ki jih uporabljamo v vsakdanjem življenju, imenujemo arabske številke.
Črka Vrednost
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
Mateju je oče razložil, kako se berejo rimske številke.
1. Števke se seštevajo, kadar števki z večjo vrednostjo sledi števka z manjšo ali enako vrednostjo. XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17
jig
Če stoji števka z manjšo vrednostjo pred števko z večjo, odštevamo.
kn
Odštevamo le I od V in X, X od L in C ter C od D in M.
Včasih je na številčnicah nekaterih ur število 4 izjemoma zapisano IIII. Tako je tudi pri tarok karti.
2. Števka z manjšo vrednostjo, ki stoji levo od števke z večjo vrednostjo, se od večje odšteje. IX = 10 – 1 = 9 CM = 1000 – 100 = 900 XIX = 10 + 10 – 1 = 19 3. Skupaj lahko stojijo največ tri števke z enako vrednostjo. XX = 20 XL = 40 (in ne XXXX) IX = 9 (in ne VIIII) 4. Znake V, L in D lahko zapišemo z rimskimi številkami samo enkrat. DII = 502
M 1000