a. co m
KOCKA ar n
Matematika za 7. razred osnovne šole
kn
jig
Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
KOCKA 7 Matematika za 7. razred osnovne šole Avtorice Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk, Majda Vehovec
Recenzentki Sonja Koželj, dr. Marina Rugelj Urednica Simona Knez Lektorici Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut Ilustracije Kostja Gatnik Tehnične ilustracije Darko Simeršek
a. co m
Soavtorica prve izdaje Katja Kmetec
ar n
Fotografije Arhiv založbe Modrijan, Bigstock, Mojmir Fortuna, Igor Modic, Jurij Senegačnik, Maja Turk, Majda Vehovec Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik Prelom Goran Čurčič
jig
Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o. Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 2000 izvodov Ljubljana 2016 Četrta, prenovljena izdaja
kn
Strokovni svet RS za splošno izobraževanje je na seji dne 11. 4. 2016 s sklepom št. 0120-1/2016/27 potrdil učbenik Kocka 7, matematika za 7. razred osnovne šole, ki so ga napisale Marjana Dornik, Tihana Smolej, Maja Turk in Majda Vehovec.
© Modrijan založba, d. o. o. CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)
KOCKA 7 : matematika za 7. razred osnovne šole / Marjana Dornik ... [et al.] ; [ilustracije Kostja Gatnik, tehnične ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan, Igor Modic]. – 4., prenovljena izd. – Ljubljana : Modrijan, 2016 ISBN 978-961-241-959-2 1. Dornik, Marjana 284404480
www.modrijan.si
3
Vsebina 4
ŠTIRIKOTNIKI
4 8 11 14
Načrtovanje štirikotnika Trapez Deltoid Paralelogram Mejne ploskve geometrijskih teles
134
PRESLIKAVE
17
Orientacija O preslikavah Zrcaljenje čez premico Zrcaljenje čez točko Simetrala daljice Simetrala kota Osno somerni in središčno somerni liki Dvojice kotov
ODSTOTKI
17 21 26 31 36 41 45 50
ULOMKI
163
Računamo z odstotki
169
ARITMETIČNA SREDINA
180
PLOŠČINA
185
Ploščina in obseg paralelograma Ploščina trikotnika Ploščine drugih štirikotnikov
56 61 67 72
FUNKCIJA
200
OBDELAVA PODATKOV
Drevesni prikaz Empirična preiskava
76 81
89 94 99 105
109
jig
MNOŽENJE IN DELJENJE ULOMKOV
kn
Množenje ulomka z naravnim številom Množenje ulomka z ulomkom Obratni ulomek Količnik naravnih števil in ulomek Deljenje ulomkov
109 115 120 122 127
ULOMKI
56
43
Ponovimo o delih celote in ulomkih 4. ZGLED Trije prijatelji so si naročili pico.
Načrtajmo kote 60°, 30° in 120°
Razdelili so si jo na enake dele.
Krožnico razdelimo na šest skladnih lokov. Polni kot, ki meri 360°, tako razdelimo na šest enakih delov: 360° : 6 = 60°.
RAZMISLIMO
– Na koliko delov so razdelili pico? – Kolikšen del bo pojedel vsak prijatelj?
Za konstrukcijo kota 60° vzamemo po navadi le del delitve polnega kota.
Simetrale kotov so uporabno orodje pri načrtovanju različnih kotov, saj jih moramo pogosto narisati samo z geometrijskim orodjem (brez kotomera). Pri tem nam je velikokrat v pomoč kot 60°.
Uvodna naloga
Števec pove, koliko enakih delov smo pobarvali.
2 3
Z ulomki izražamo del celote.
Trije prijatelji so pico razdelili na tri enake dele. Vsak bo pojedel en kos, torej eno tretjino pice. Če celoto razdelimo na tri enake dele, je namreč en del tretjina celote. Celota
Tretjina celote
Dve tretjini celote
Tri tretjine celote
1 pica
1 pice 3
2 pice 3
3 pice 3
Od načrtanega kota 60° je do kota 30° ali 120° samo še en korak: kot 60° razpolovimo (60° : 2 = 30°) ali pa ga podvojimo (60° · 2 = 120°).
Dele celote izražamo z ulomki. Imenovalec nam pove, na koliko enakih delov razdelimo celoto oziroma kako se imenuje posamezni del. Števec šteje, koliko teh delov vzamemo (pojemo, pobarvamo …).
IZZIVI 1.
Ali bi lahko s šestilom in z ravnilom narisal kot, ki je večji od 15° in manjši od 30°?
2.
Nariši kot 90° in ga s šestilom in z ravnilom razdeli na tri enake dele. Ali bi lahko razdelil na tri enake dele tudi kot 135°?
3.
Opazuj medsebojno lego simetral dveh poljubnih sovršnih kotov in dveh poljubnih sokotov. Kaj opaziš? Pomagaj si s kakšnim od programov dinamične geometrije (npr. GeoGebra).
1. ZGLED 7 Miha se je odpravil v 10 km oddaljeno trgovino, da bi kupil 12 hlebca kruha in 34 kg sira. Prikažimo prehojeno pot na številskem poltraku, kupljeno količino kruha in sira pa z delom kroga in delom pravokotnika. hlebca km 1 km
3 4
kg sira
Naloge so treh težavnostnih stopenj: zahtevajo temeljno znanje zahtevajo nekoliko poglobljeno znanje težje naloge
Imenovalec pove, na koliko enakih delov je razdeljena celota.
Zgled Izzivi
219 221
86
Koti v trikotniku Načrtovanje trikotnikov Znamenite točke trikotnika Osno somerni trikotniki
Matko
200 204
210
ar n
SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ULOMKOV 76
Podnaslov
185 190 194
Koordinatna mreža Medsebojna odvisnost dveh količin
Ulomki z enakimi imenovalci Ulomki z različnimi imenovalci
Naslov poglavja
176
Čas, masa, prostornina
56
Ponovimo o delih celote in ulomkih Ulomek in naravno število Razširjanje in krajšanje ulomkov Urejamo ulomke po velikosti
TRIKOTNIK
139 142 147 150 160
a. co m
DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL Večkratniki, delitelji, deljivost števil Praštevila in sestavljena števila Skupni delitelji, največji skupni delitelj Skupni večkratniki, najmanjši skupni večkratnik
52.
V zvezek nariši ostri kot a, topi kot b, pravi kot g in iztegnjeni kot d. Vsakemu načrtaj simetralo.
53.
Razpolovi kota e in j.
Rešitve vseh nalog lahko najdete na www.modrijan.si pri predstavitvi knjige.
DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL Večkratniki, delitelji, deljivost števil
a. co m
Matej je pri reševanju matematičnih orehov naletel na zanimivo nalogo. Smiselno je moral vpisati ustrezni števili v narisana diagrama.
RAZMISLIMO
ar n
– Katero število je moral Matej vpisati v prvi in katero v drugi diagram? – Kako z eno besedo poimenujemo števila iz prvega in kako števila iz drugega diagrama?
V prvi diagram je moral vpisati število 7, saj so števila 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 in 56 večkratniki števila 7. V drugem diagramu manjka število 24, kajti števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 in 24 so delitelji števila 24.
jig
Množico večkratnikov zapišemo V7 = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 …}. Večkratnikov danega števila je neskončno mnogo. Množico deliteljev zapišemo: D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Število 24 ima osem deliteljev.
1. ZGLED
Poiščimo vse delitelje števila 15 in prvih pet njegovih večkratnikov.
kn
4
D15 = {1, 3, 5, 15} V15 = {15, 30, 45, 60, 75 …} 2. ZGLED
Določimo delitelje števila 90. Ker nekaj pravil za deljivost že poznamo, začnimo z njimi. Število 90 je deljivo z 2, saj je sodo število. Število je deljivo s 5 in 10, saj je na mestu enic števka 0. Deljivo je tudi s 3, ker je vsota števk 9 + 0 = 9 deljiva s 3. Ker je vsota števk deljiva tudi z 9, je število 90 deljivo z 9.
Pravila za deljivost S številom 2 so deljiva vsa soda števila. Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Število je deljivo s 5, če je na mestu enic števka 5 ali 0. Število je deljivo z 9, če je vsota števk deljiva z 9. Število je deljivo z 10, če je na mestu enic števka 0.
5
Vse delitelje števila določimo z zapisom vseh možnih produktov dveh faktorjev tega števila.
a. co m
90 = 1 ∙ 90 2 ∙ 45 3 ∙ 30 5 ∙ 18 6 ∙ 15 9 ∙ 10
D90 = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
Pravila za deljivost s 4 in 25 in 10
n
Zapišimo nekaj večkratnikov števil 4 in 25 in opazujmo števke na mestu enic in desetic.
V4 = {4, 8, 12, 16, …, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140 …} V25 = {25, 50, 75, 100, 125, 150, …, 325, 350, 375, 400 …}
ar n
Z opazovanjem lahko izluščimo pravili za deljivost s 4 in 25. Število je deljivo s 4, če je njegov dvoštevilčni konec deljiv s 4. Število je deljivo s 25, če je njegov dvoštevilčni konec deljiv s 25. Raziščimo še, kakšno pravilo velja za deljivost števil z 10, 100, 1000 …
jig
Zapišimo nekaj večkratnikov števil 100, 1000 in 10 000. V100 = {100, 200, …, 1500, 1600, …, 3900, 4000 … } V1000 = {1000, 2000, …, 25 000, 26 000, …, 58 000, 59 000 …} V10 000 = {10 000, 20 000, …, 36 000, 37 000, 38 000, 39 000, 40 000 …}
kn
Število je deljivo z 10, če se končuje z ničlo. Število je deljivo z 100, če se končuje z dvema ničlama. Število je deljivo z 1000, če se končuje s tremi ničlami.
Pravilo za deljivost s številom 10n lahko zapišemo splošno. Število je deljivo z 10n, če se končuje z n ničlami. Število je deljivo s 4, če je njegov dvoštevilčni konec deljiv s 4. Število je deljivo s 25, če je njegov dvoštevilčni konec deljiv s 25. n Število je deljivo z 10 , če se končuje z n ničlami.
Pravili za deljivost s 4 in 25 preveri z deljenjem. Pomagaj si z žepnim računalom.
Števila 10, 100, 1000 … lahko zapišemo kot potenco števila 10. 10 = 101 100 = 102 1000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105 … V splošnem potenco števila 10 zapišemo kot 10n, n ∈ ⺞.
6
IZZIVI IZZIV
Poišči vsaj pet števil, ki imajo natanko dva delitelja, in vsaj 5 števil, ki imajo več kot dva in manj kot štiri delitelje.
2.
Ali lahko iz števk 1, 2 in 6 sestaviš petmestno število, ki je deljivo z 9? Kaj pa šestmestno? Odgovora utemelji.
3.
Poišči pravilo za deljivost s številom 6.
a. co m
1.
Zapiši vse delitelje števila 12 in pet njegovih večkratnikov.
2.
Katere izjave so pravilne? (A) Število 60 je večkratnik števila 10. (B) Število 10 je večkratnik števila 60. (C) Število 60 je delitelj števila 10. (Č) Število 60 ima več deliteljev kot večkratnikov. (D) D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 60} (E) V60 = {60, 120, 180, 240 …}
3.
a) Katera od števil 25, 135, 702, 820, 1071, 2015 in 3060 so deljiva s številom 3? b) Katera od števil 205, 460, 778, 2000 in 4565 so deljiva s 5? c) Katera od števil 52, 124, 438, 1104, 2564, 3006, 7716 so deljiva s 4? č) Katera od števil 135, 250, 480, 775, 1110, 2025, 5775 so deljiva s 25?
4.
Izpiši števila, ki so deljiva z 2 in 3 hkrati: 27, 36, 106, 108, 3456, 100 010 010.
jig
ar n
1.
5.
Uporabi pravila za deljivost in izpolni preglednico. ( je delitelj, ni delitelj) 1
2
3
9
10
25
kn
Število 245 475 789 005 5 495 700 9 458 764
Delitelji 4 5
6.
Zapiši vsa števila x, za katera velja 127 < x < 1312 in število x je deljivo s 100.
7.
Zapiši vsa petmestna števila, večja od 6000 in manjša od 8000, ki so deljiva s 4.
8.
Določi delitelje števil 72 in 108. Izpiši tiste, ki hkrati delijo obe števili.
7
Neža, Tadeja in Matjaž trenirajo plavanje v 25-metrskem bazenu. a) Neža je odplavala 16 dolžin bazena. Koliko metrov je odplavala? b) Tadeja je odplavala 725 m. Koliko dolžin bazena je to? c) Matjaž je odplaval 3 dolžine več kot Tadeja. Koliko obratov je pri tem naredil?
a. co m
9.
Na kokošji farmi pakirajo po 6 jajc v škatlo. Koliko škatel potrebujejo, če želijo zapakirati 1050 jajc?
11.
Mojca ima v denarnici kovance za 20 in 50 centov ter kovanec za 2 evra. Koliko kovancev ima v denarnici, če ima skupaj 3,90 €? Zapiši vse možnosti.
12.
Marjana ima 108 cm dolg trak blaga. Želi ga razrezati na enako dolge kose, ne da bi ji ga kaj ostalo. Vsak kos mora biti dolg vsaj 10 cm. Na kako dolge kose naj ga razreže? Odgovor utemelji.
13.
Zapiši vsaj pet deliteljev produkta 75 ∙ 32 ne da bi množil.
14.
Dane so števke 0, 3, 5, 6 in 8. Z njimi sestavi vsaj pet trimestnih števil, ki so deljiva s 3, če se števke lahko ponavljajo.
15.
Izračunaj vsoto vseh deliteljev števila 144, ki so deljivi s številom 3.
kn
jig
ar n
10.
8
Pra šte vi la in se stav lje na Števi la
a. co m
Mitja je ugotovil, da imajo števila različno mnogo deliteljev. Število 1 ima samo enega delitelja: 1. Število 7 ima dva delitelja: 1 in 7. Število 9 ima tri delitelje: 1, 3 in 9. Število 20 ima šest deliteljev: 1, 2, 4, 5, 10 in 20. RAZMISLIMO
– S katerim številom je deljivo vsako naravno število? – Najmanj koliko deliteljev ima vsako naravno število, večje od 1? – Poiščimo še nekaj števil, ki imajo natanko dva delitelja. Število 7 ima dva delitelja: 1, 7. Število 13 ima dva delitelja: 1, 13. Število 33 ima štiri delitelje: 1, 3, 11, 33. Število 41 ima dva delitelja: 1, 41. Število 20 ima šest deliteljev: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Vsa naravna števila so deljiva z 1, zato je število 1 delitelj vsakega naravnega števila. Vsako naravno število je deljivo tudi samo s seboj. Vsako naravno število, večje od 1, ima vsaj dva delitelja – število 1 in samega sebe.
ar n
Največje znano praštevilo, ki so ga našli do leta 2016, ima v zapisu brez potenc 22,3 milijona mest. Koliko strani bi moral imeti karirast zvezek A4 formata, če bi v vsak kvadratek zapisali eno števko?
Števila, ki imajo natanko dva delitelja, so 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 … Taka števila imenujemo praštevila.
Ena izmed metod določevanja praštevil je uporaba Eratostenovega rešeta. • Napišemo vsa naravna števila do 100. • Prečrtamo število 1, ker ni praštevilo. • Obkrožimo prvo praštevilo, to je število 2, nato pa prečrtamo vse njegove večkratnike. • Obkrožimo prvo število med tistimi, ki so ostala neprečrtana, nato pa prečrtamo vse njegove večkratnike. • Nato najdemo spet prvo neprečrtano število. Obkrožimo ga in prečrtamo vse njegove večkratnike … • Obkrožena števila so praštevila.
kn
jig
Eratosten (276–192 pr. n. š.) je bil grški geograf, pesnik, astronom in matematik. Študiral je v Atenah, pozneje pa je bil v Aleksandriji vodja knjižnice, ki je bila takrat največja na svetu. Odkril je postopek za hitro določanje praštevil, ki mu pravimo Eratostenovo rešeto.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Števila, ki imajo natanko dva delitelja, imenujemo praštevila.
9
Števila, ki imajo več kot dva delitelja, so sestavljena števila. Število 1 ima enega samega delitelja, zato ni ne praštevilo in ne sestavljeno število. Najmanjše praštevilo je 2, najmanjše sestavljeno število pa 4.
naravna števila praštevila 2, 3, 5, 7 …
sestavljena števila 4, 6, 8, 9, 10 …
ZGLED
Ali je število 29 praštevilo?
a. co m
število 1
Število 29 ima natanko 2 delitelja. Deljivo je s številom 1 in s samim seboj. Število 29 je praštevilo.
Razcep na prafaktorje
60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 =2·2·3·5 60 = 22 · 3 · 5
ar n
Število 60 je sestavljeno število. Vsako sestavljeno število lahko zapišemo kot produkt samih praštevil.
Če število zapišemo kot produkt samih praštevil, pravimo, da smo število razcepili na prafaktorje.
jig
Prafaktorje lahko določamo na več načinov.
60 2
Število 60 delimo z najmanjšim praštevilskim deliteljem (2), ki ga zapišemo desno ob črti, dobljeni količnik pa pod številom 60.
60 2 30
Postopek ponavljamo toliko časa, dokler ne pridemo do števila 1, ki ga zapišemo levo od črte. Na desni strani črte smo tako dobili same prafaktorje števila 60.
60 30 15 5 1
kn
a) Narišimo navpično črto in levo od nje zapišimo število 60.
b) Prafaktorje lahko določimo tudi z diagramom.
2 2 3 5
60 6 2
10 3 2
Vsa ko se stav lje no števi lo lahko zapiše mo kot pro dukt praštevil – prafaktorjev.
5
10
IZZIVA
Nekatera praštevila ostanejo praštevila tudi, če obrnemo vrstni red števk (13, 31; 337, 733; 71, 17). Poišči kakšno tako dvojico.
2.
Razišči, katera števila imajo natanko tri delitelje. Poišči čim več takih števil.
a. co m
1.
Katera od števil 35, 41, 18, 13, 31 in 7 imajo natanko dva delitelja? Izpiši jih. Kako jih imenujemo?
17.
Peter meče igralni kocki. Sestavi pare metov, pri katerih je vsota pik na obeh kockah praštevilo.
18.
Uporabi Eratostenovo rešeto in ugotovi, koliko praštevil je med številoma 40 in 70.
19.
Pravilne trditve označi s P, nepravilne z N. a) Vsa praštevila imajo natanko dva delitelja. b) Sestavljenih števil je nešteto mnogo. c) Število 51 je praštevilo. č) Najmanjše praštevilo je 1. d) Vsota dveh praštevil je spet praštevilo. e) Vsa praštevila so liha števila
20.
a) Peter je razcepil števila 9, 24, 65, 49 in 32 na prafaktorje. Preveri, ali je pravilno razcepil. Če ni, popravi. 9=3·3 65 = 5 · 13 24 = 2 · 2 · 3 · 5 49 = 72 32 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 3 · 3 · 4 b) Tanja je na tablo napisala razcepe števil 60, 28, 48, 105 in 260 na prafaktorje. Nagajivi Miha je zbrisal nekaj prafaktorjev. Popravi zapise. ·5 260 = · 13 · · 60 = 2 · 2 · 105 = 5 · · 28 = 2 · 7 ·
kn
jig
ar n
16.
21.
Katere izjave so napačne? Popravi jih. a) Praštevila nimajo deliteljev. b) Če ima število vsaj tri delitelje, je sestavljeno število. c) Vsa praštevila so liha. č) Dve zaporedni naravni števili sta lahko praštevili. d) Vsa praštevila in sestavljena števila imajo skupnega delitelja.
22.
Vsota največjega in najmanjšega praštevila med prvimi sto naravnimi števili je: (A) 100 (B) 101 (C) 99 (Č) 98 (D) 97
23.
V katerem primeru je število 72 zapisano kot produkt prafaktorjev: (A) 72 = 2 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 (B) 72 = 2 ∙ 4 ∙ 9 (C) 72 = 2 ∙ 2 ∙ 6 ∙ 3 (Č) 72 = 23 ∙ 32
11
Skup ni de li te lji, naj večji skup ni de li telj Cvetličarka bi rada 12 vrtnic in 20 marjetic povezala v več enakih šopkov, v katerih bosta obe vrsti cvetja.
a. co m
RAZMISLIMO
ar n
– Koliko enakih šopkov lahko naredi? – Koliko vrtnic in koliko marjetic bo v vsakem šopku?
Cvetličarka želi oblikovati enake šopke, v katerih bodo tako vrtnice kot marjetice. Če želimo ugotoviti, koliko enakih šopkov lahko naredi cvetličarka, moramo poiskati skupne delitelje števila 12 in števila 20.
jig
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
kn
Če cvetličarka oblikuje enake šopke iz obeh vrst cvetja, lahko naredi 1, 2 ali 4 šopke, saj so le ta tri števila delitelji števila 12 in 20 hkrati. Imenujemo jih skupni delitelji števil 12 in 20. Največje število med njimi je število 4. Največje število med skupnimi delitelji imenujemo največji skupni delitelj. Krajše zapišemo D(12, 20) = 4 Če cvetličarka naredi en šopek, bo v njem 12 vrtnic in 20 marjetic. V dveh šopkih bo 6 vrtnic in 10 marjetic, v štirih pa 3 vrtnice in 5 marjetic. Če je naj večji skup ni de li telj dveh števil 1, pravi mo, da sta si ti števi li tuji.
12
1. ZGLED
Določimo skupne delitelje števil 15 in 22. Kateri je največji?
a. co m
Delitelji števila 15 so: 1, 3, 5, 15. Delitelji števila 22 so: 1, 2, 11, 22. Edini in zato največji skupni delitelj je število 1: D(15, 22) = 1. Števili 15 in 22 sta tuji si števili. 2. ZGLED
D(12, 16) = ?
Iščemo največje število, s katerim sta deljivi števili 12 in 16. Pri manjših številih lahko največji skupni delitelj poiščemo na pamet. D(12, 16) = 4 3. ZGLED
ar n
D(32, 56) = ?
D(12, 16) = 4
3∙ 4
Določimo vse delitelje števil 32 in 56. Med njimi izberemo največjega skupnega. 56 = 1 · 56 = 2 · 28 = 4 · 14 =7·8
D(32, 56) = 8 4∙ 8
7∙ 8
D(32, 56) = 8
jig
32 = 1 · 32 = 2 · 16 =4·8
4∙ 4
4. ZGLED
Tim ima 36 cm dolgo bakreno in 48 cm dolgo jekleno žico. Razrezati ju želi na enake, čim daljše dele. Kako dolge kose in koliko kosov dobi po razrezu?
kn
Iščemo največji skupni delitelj števil 36 in 48. 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 =4·9 =6·6
48 = 1 · 48 = 2 · 24 = 3 · 16 = 4 · 12 =6·8
D(36, 48) = 12
Po razrezu ima Tim 12 cm dolge koščke žic. Ima tri bakrene žičke in 4 jeklene.