EJERCICIOS DE VARIABLES SEPARABLES Hallar la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. Si se da una condición inicial, hallar también la solución particular.
1) xy ' = 1 dy − y −2 x − y =e +e dx 9) 1 + x 2 y ' = x
2 2) y ' = xe x
8)e x y
3) y ' = Sen −1 x
(
)
4) xy 4dx + y 2 + 2 e −3 x dy = 0 dz 2 2 =t z ( 1,1/ 3) dt dy 3x + 2 y 6) =e dx 7) 4 y + yx 2 dy = 2 x + xy 2 dx
5)
(
) (
)
(
)
10) y ' = xe x (1, 7) 11) y ' = 2 SenxCosx 12) y ' = ln x
(0,1)
(e, 0)
13)( x 2 − 1) y ' = 1
(2, 0)
14) x( x 2 − 4) y ' = 1 (1, 0) 15)( x + 1)( x 2 + 1) y ' = 2 x 2 + x
(0,1)
Recuerde que es importante tener a mano una tabla de integrales.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
donde las derivadas parciales de las funciones M y N: Pasos para resolverlas: 1) Identificar M y N.
∂M ∂y
y
∂N ∂x
son iguales.
2)
3) 4)
Comprobar que es exacta, hallando iguales.
∂M ∂y
y
∂N ∂x
, verificar que son
F ( x, y ) = ∫ Mdx + g ( y )
Hallar una función F(x,y) tal que: Para hallar g(y) se deriva la función F con respecto a y , luego se iguala ∂F =N ∂y
a N, es decir, 5) Se halla g(y) integrando a ambos lados de la igualdad con respecto a y. En caso de que g’(y)=0 , g(y)= C. 6) Por último se escribe la función, añadiendo g(y) e igualando a C. Para comprender la manera de resolverlas, nada mejor que un ejemplo donde se apliquen los pasos indicados. Resolver : (2x + 3y)dx + (3x+2y)dy=0 1) M= 2x+3y N=3x+2y ∂M =3 ∂y 2)
∂N =3 ∂x
, son iguales, por lo tanto la ecuación es exacta.
F ( x, y ) = ∫ (2 x + 3 y )dx + g ( y ) = 2 ∫ xdx + 3 y ∫ dx + g ( y ) F ( x, y ) = x 2 + 3 yx + g ( y ) 3)
4)
∂F ∂y = 3x + g '( y ) 3x + g '( y ) = 3 x + 2 y g '( y ) = 2 y
∫ g '( y )dy = ∫ 2 ydy g ( y) = 2 5)
y2 +C = y2 + C 2
6)
2
2
F ( x , y)=x +3xy + y =C
Ejercicios Verifique que las ecuaciones diferenciales dadas sean exactas y resuelva las que lo sean. 1) (3x2 + 2y2)dx + (4xy +6y2)dy= 0 2)
(4x-y)dx + (6y-x)dy = 0
3)
(x3 + y/x)dx + (y2 + ln x)dy= 0
4)
(2xy2 +3x2)dx + (2x2y +4y3)dy =0
5)
(1+yexy)dx + (2y + xexy)dy = 0
6)
(x + 2/y)dy + ydx = 0
7)
(y-x3)dx + (x + y3)dy = 0
8)
(6x2y + 5x)dx + (2x3 + 3y)dy =0
9)
(2y2 – 4x +5)dx + (4- 2y + 4xy)dy = 0
EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.
Comprobar si las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas y resolver las que lo sean.
1)(2 x +3 y ) dx +( y +x) dy =0 2) y ' =
x 2 −y 2 x 2 +y 2
3)( x 2 −2 y 2 ) dx +xydy =0 4) x 2 y '−3 xy −2 y 2 =0 y 5) y ' =Sen ÷ x 4 4 6)( x +y ) dx −2 x 3dy =0
(
7) y + x 2 +y 2
) dx −xdy =0
8)( xy +y 2 +x 2 )dx −x 2 dy =0 9)( x +y ) y ' =x −y 10)2 xyy ' =x 2 +2 y 2 11) xy ' = y +2
xy
12)( x −y ) y ' = x + y 13)( x +2 y ) y ' = y 14) xy 2 y ' =x 3 + y 3 15) x( x +y ) y ' = y ( x −y )