Notação decimal

Notação decimal.

Ao estudarmos os logaritmos decimais vimos que eles escrever números reais positivos como potências de 10. Por

são

uma

forma

de

se

exemplo, , pois . O logaritmo decimal é o expoente da base 10.

A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.

Mantissa e Ordem de Grandeza Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato: Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um numero inteiro.

Exemplos de Números Escritos em Notação Científica Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.

Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.

Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica: 2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.

Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, multiplicar 2,048 por 103 como compensação.

Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:

devemos

Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3.

Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.

Veja o número 1 escrito em notação científica: Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem de grandeza é igual a0.

Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e menor que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro.

Observe que 12,5 . 10-1 e 4,7 . 102,5 são exemplos de números que não estão escritos corretamente em notação científica.

No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10.

No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro.

Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte: Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.

Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.

Como visto acima, 12,5 . 10-1 não está na forma padronizada, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao expoente, o que resulta em 1,25 . 100.

No caso do número 0,0078 . 105 precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8 . 102.

Operações Envolvendo Notação Científica Adição Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles possuam a mesma ordem de grandeza.

Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das potências de 10.

Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2.

A primeira parcela permanece inalterada: No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula na mantissa será deslocada uma posição para direita: Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também por 10.

A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda: Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 103 e multiplicar a potência pelo mesmo valor.

Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza: Somamos as mantissas: Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente: Portanto: Subtração Para a realização da subtração também é necessário que subtraendo possuam a mesma ordem de grandeza.

Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição:

o minuendo

e

o

Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração: Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente: Logo:

Multiplicação A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de grandeza.

Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos: Então: Divisão Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza.

Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos: Portanto: Potenciação Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n.

Realizando os procedimentos indicados temos: Logo:

Radiciação Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice, para assim podermos realizar a retirada do radical.

Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda e realizar a radiciação: Então:

Comparação de Números em Notação Científica Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior: 1,5 . 104 é maior que 3,2 . 102, mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2.

8,7 . 10-3 é menor que 5,3 . 10-2, ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2.

Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa: Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 2,45 . 105 é o menor deles, pois é o que possui a menor mantissa.

Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 4,5456 . 103 é o maior dos dois, pois é o que tem a maior mantissa.

Nem é preciso dizer que quando tanto a mantissa, quanto a ordem de grandeza forem iguais, os números também serão iguais: Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais.

Conversão da Notação Científica para a Notação Decimal Realizamos tal conversão simplesmente deslocando a vírgula da mantissa para a direita ou para esquerda, em função da ordem de grandeza ser respectivamente positiva ou negativa.

Como neste exemplo a ordem de grandeza é positiva, devemos deslocar a vírgula 3 posições para a direita e eliminar a potência: Neste outro exemplo a ordem de grandeza é negativa, devemos então deslocar a vírgula 2 posições para a esquerda eliminando a potência: