Breviar mecanica

Breviar Mecanică I. MECANICA CONTINUTURI

LISTA DE TERMENI

I.1. PRINCIPII SI LEGI IN MECANICA CLASICA I.1.1. Miscare si repaus

• • • • • •

I.1.2. Principiul I I.1.3. Principiul al II-lea I.1.4. Principiul al III-lea

• •

I.1.5. Legea lui Hooke. Tensiunea in fir I.1.6. Legile frecarii la alunecare

• • • • • • •

I.2. TEOREME DE VARIATIE SI LEGI DE CONSERVARE IN MECANICA I.2.1. Lucrul mecanic. Puterea mecanica

vector de poziţie, vector deplasare viteză, vectorul viteză, unitate de măsură acceleratie, vectorul acceleratie, unitate de măsură modelul punctului material mişcarea rectilinie uniformă mişcarea rectilinie uniform variată (aplicaţii la mişcarea pe plan inclinat, căderea liberă, aruncarea pe verticală) principiul inertiei (Principiul I) principiul fundamental al mecanicii clasice (Principiul al II-lea) unitatea de măsură a fortei principiul actiunilor reciproce (Principiul al III-lea) greutatea corpurilor forte de contact intre corpuri legile frecării la alunecare legea lui Hooke, forta elastică forta de tensiune mecanică

I.2. TEOREME DE VARIAŢIE SI LEGI DE CONSERVARE IN MECANICĂ • • • • I.2.2. Teorema variatiei energiei cinetice a punctului material

•

I.2.3. Energia potentiala gravitationala

•

I.2.4. Legea conservarii energiei mecanice

• • • • • • •

lucrul mecanic, mărime de proces unitatea de măsură a lucrului mecanic interpretarea geometrică a lucrului mecanic expresia matematică a lucrului mecanic efectuat de forta de greutate in câmp gravitational uniform lucrul mecanic efectuat de forta de frecare la alunecare puterea mecanică, unitatea de măsură a puterii in S I randamentul planului inclinat energia cinetică a punctului material teorema de variatie a energiei cinetice a punctului material energia potentială variatia energiei potentiale gravitationale a sistemului corp- Pămant energia mecanică, mărime de stare legea conservării energiei mecanice

Cu această culoare veţi găsi textul definiţiilor, teoremelor sau al altor concluzii importante.

Cu această culoare veţi găsi unităţile de măsură ale mărimilor fizice respective.

Cu această culoare veţi găsi expresii matematice importante.

1

Mecanica clasică, newtoniană, este o parte a fizicii care studiază starea de echilibru sau de mişcare a punctelor materiale, a sistemelor de puncte materiale, a solidului rigid (la viteze mici faţă de viteza luminii).

Această stare de repaus sau de mişcare se raportează la alte corpuri, adică la sisteme de referinţă, deci este relativă. Un sistem de referinţă este un sistem de trei axe ortogonale, împreună cu un instrument pentru măsurarea distanţelor şi un ceasornic pentru măsurarea timpului, notat în continuare SR. Distanţele în cadrul ansamblului de puncte care formează sistemul de coordonate sunt invariante în timp.

Distanţa de la originea sistemului de coordonate până la locul unde se află corpul la un moment dat este vectorul de poziţie.

Un corp se află în stare de repaus dacă în timp, nu îşi schimbă poziţia, vectorul său de poziţie este constant în timp.

Un corp se află în stare de mişcare dacă vectorul său de poziţie variază în timp.

Mecanica se împarte în trei capitole mari: cinematica - se ocupă cu descrierea spaţio-temporală a mişcării, dinamica - se ocupă cu studiul cauzelor şi efectelor mişcării (forţă, impuls, lucru mecanic, energie) statica - se ocupă cu studiul corpurilor aflate în repaus.

Mărimile fizice sunt: scalare – sunt descrise doar de mărimea lor (ex: masa, timpul, lucrul mecanic, energia, puterea) vectoriale – sunt complet descrise prin specificarea mărimii lor, a punctului de aplicaţie, a direcţiei şi sensului (ex: vectorul de poziţie, vectorul deplasare, viteza, acceleraţia, impulsul, toate tipurile de forţe) I.1. PRINCIPII ŞI LEGI ÎN MECANICA CLASICĂ I.1.1. Mişcare şi repaus Traiectoria este locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul în mişcarea sa – poate fi o dreaptă (rectilinie) sau o curbă (curbilinie). Ea depinde de sistemul de referinţă folosit. În mişcarea rectilinie, traiectoria este o dreaptă.

Un sistem fizic se poate afla într-o stare, sau poate efectua un proces, trecând succesiv prin mai multe stări. Procesele au loc datorită interacţiunii cu alte corpuri sau alte sisteme.

Simplificări: Neglijăm deformarea corpului (este rigid) Neglijăm dimensiunile corpului → vorbim despre punct material Neglijăm masa corpului → vorbim despre mobil Mişcarea de translaţie este acea mişcare în care toate punctele corpului se mişcă identic.

Pentru a caracteriza mişcarea unui corp în timp, deplasarea acestuia se raportează la un SR. Poziţia mobilului la un moment dat în acest sistem este dată de: coordonatele x(t ), y (t ), z (t ) sau de r vectorul de poziţie r (t ) . Acesta este un vector cu punctul de aplicaţie in originea sistemului de coordonate, direcţia dată de dreapta ce uneşte originea cu punctul material şi sensul spre punctul material care execută mişcarea. Atât vectorul de poziţie cât şi coordonatele sunt funcţii de timp, adică r r valoarea lor se modifică în timp ce punctul material se mişcă: putem scrie r = r (t ) . Vectorul de poziţie îşi schimbă atât modulul cât şi orientarea (Fig. 1). Aceasta este legea de mişcare a punctului material, iar vârful vectorului de poziţie descrie chiar traiectoria punctului material. Variaţia r r r r r vectorului de poziţie este vectorul deplasare Δr (t ) = r2 (t ) − r1 (t ) unde r2 (t ) şi r1 (t ) sunt vectorii de poziţie la două momente diferite, când punctul material se află în două poziţii diferite P şi P'. Vectorul deplasare este secant la curba care defineşte traiectoria punctului material.

2

Z z P

v r

r1 P' r2

O

y

Y

x

X Fig. 1 Punctul material la două momente de timp diferite se află în două puncte diferite P şi P' Dacă mişcarea se execută pe o axă, spunem că este rectilinie (unidimensională). Atunci, pentru a caracteriza starea punctului material la un moment dat, este nevoie de o singură coordonată x(t ) , iar vectorul deplasare are direcţia dreptei pe care se mişcă mobilul şi sensul dat de sensul mişcării.

Pentru a putea compara mişcările între ele, trebuie să comparăm deplasările punctelor materiale în acelaşi interval de timp. Dacă un punct material se deplasează pe o dreaptă, pe distanţa Δx , în intervalul de timp Δt , atunci pentru a afla cât se deplasează în unitatea de timp, trebuie să aflăm raportul Δx / Δt . Astfel se obţine o nouă mărime fizică numită viteza medie a punctului material în timpul considerat, care are direcţia şi sensul dat de vectorul deplasare: r r Δr (t ) Δx(t ) Formula unidimensională: v m (t) = şi formula tridimensională: v m (t) = (1.1.) Δt Δt Atunci când punctul P' se apropie din ce în ce mai mult de P, vectorul deplasare devine din ce în ce mai mic, timpul necesar punctului material pentru a ajunge din P în P' este din ce în ce mai mic, iar raportul dintre ele se numeşte viteza instantanee în punctul P sau simplu viteza. Direcţia vectorului viteză instantanee este tangenta la traiectorie în punctul respectiv şi sensul este dat de sensul v mişcării. Considerând o variaţie mică a vectorului deplasare dr efectuată în intervalul infinitezimal r r dr (t ) dt , viteza instantanee este: v(t) = dt r Unitatea de măsură a vitezei este [v]SI = m/s .

Dacă mişcarea se execută astfel încât vectorul viteză este constant, atunci spunem că ea este uniformă. Dacă în plus traiectoria este o dreaptă, atunci mişcarea este rectilinie uniformă. Viteza instantanee v este egală cu viteza medie şi valoarea sa nu se schimbă în timpul mişcării. Legea de variaţie a spaţiului în timp este x(t ) = x 0 + v(t − t 0 ) , unde x 0 este coordonata iniţială la momentul iniţial t 0 . În cazul în care vectorul viteză nu este constant în timp, îşi schimbă valoarea în timpul r r deplasării punctului material, de la v1 la v 2 în intervalul de timp Δt , atunci se introduce o nouă r r r r Δv v 2 − v1 = mărime fizică, vectorul acceleraţie medie egal cu a m (t ) = , (1.2.) Δt t 2 − t1 r Unitatea de măsură a acceleraţiei este [a]SI = m/s 2 . Vectorul acceleraţie este îndreptat spre partea concavă a traiectoriei. În mişcarea rectilinie, el este de-a lungul dreptei pe care se execută mişcarea.

3

Vectorul acceleraţie instantanee este variaţia vectorului viteză calculată pe un interval de timp foarte scurt în jurul momentului care ne interesează şi împărţită la acest interval r r r r Δv dv scrisă a(t) = (1.3) a(t) = , când Δt → 0 , Δt dt Valoarea vectorului poate fi constantă în timp sau nu şi atunci avem mişcare uniform variată sau nu.

Acceleraţia poate fi pozitivă sau negativă şi atunci avem mişcare accelerată sau încetinită (vectorul acceleraţie este în sensul mişcării sau de sens opus).

Dacă vectorul acceleraţie medie coincide cu vectorul acceleraţie instantanee, iar traiectoria este o dreaptă, atunci spunem că mişcarea punctului material este rectilinie uniform variată. Legea vitezei în acest caz este: (1.4) v(t ) = v 0 + a(t − t 0 ) unde v 0 este viteza iniţială la momentul t 0 , iar a este valoarea constantă a acceleraţiei.

Legea mişcării care ne dă valoarea coordonatei la orice moment de timp, corespunzătoare mişcării a (t − t 0 ) 2 2 Dacă eliminăm variabila timp între aceste două ecuaţii, se obţine formula Galilei rectilinii uniform variate este x(t ) = x0 + v 0 (t − t 0 ) +

(1.5)

v 2 = v 02 + 2a(x − x 0 )

(1.6)

I.1.2 Principiul I principiul inerţiei Pincipiul I al mecanicii sau Prima lege a lui Newton: un corp îşi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atâta timp cât nu acţionează nimic din exterior care să-i schimbe această stare. Sistemele de referinţă în care se respectă această lege se numesc sisteme de referinţă inerţiale.

Enunţul principiului I defineşte aceste sisteme de referinţă.

Proprietatea unui corp de a-şi păstra starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă se numeşte inerţie. Mărimea fizică care este o măsură a inerţiei, se numeşte masa corpului, mărime scalară, notată m, iar unitatea de măsură a masei în sistemul internaţional [m] SI = kg .

I.1.3 Principiul al II-lea principiul fundamental al mecanicii clasice unitatea de măsură a forţei Principiul al II-lea al mecanicii sau A doua lege a lui Newton: rezultanta forţelor aplicate unui punct material este direct proporţională cu acceleraţia imprimată acestuia r r r r Δv Δ p ; (1.7) F = ma = m = Δt Δ t expresie valabilă în limita vitezelor mici faţă de viteza luminii când masa corpului e considerată r r constantă. Mărimea fizică p = mv se numeşte impulsul punctului material. Unitatea de măsură a r forţei în sistemul internaţional este 1Newton: [F]SI = N = kg ⋅ m/s 2 , iar a impulsului este r [ p ] SI = kg ⋅ m/s .

4

O altă formulare echivalentă a principiului fundamental al mecanicii clasice este: "Dacă asupra r unui corp de masă m acţionează o forţă F , atunci corpul va căpăta o acceleraţie direct proporţională r r F cu forţa aplicată şi invers proporţională cu masa acestuia a = " m I.1.4 Principiul al III-lea principiul acţiunilor reciproce Principiul al III-lea al mecanicii sau A treia lege a lui Newton: oricărei acţiuni i se opune o reacţiune, sau altfel spus, forţa cu care un corp acţionează asupra altuia, este egală şi de sens contrar cu r r forţa exercitată de al doilea corp asupra primului F12 = − F21 .

Cele două forţe sunt aplicate unor corpuri diferite şi acţionează pe direcţia ce uneşte cele două corpuri.

Greutatea unui corp este forţa datorată atracţiei gravitaţionale dintre corp şi Pământ, exercitată asupra acestuia de către câmpul gravitaţional terestru. Aceasta este forţa cu care corpul apasă pe un plan orizontal pe care stă în echilibru, forţa cu care întinde firul de care este atârnat, sau forţa cu care întinde resortul de care este suspendat. r r (1.8) G = mg r unde m este masa corpului, iar g = 9.80665m/s 2 este o constantă la o anumită longitudine şi latitudine pe suprafaţa planetei ( aceasta s eaproximează g ≈ 9,81 m/s2) şi se numeşte acceleraţie gravitaţională.

Forţa de greutate este un vector cu: - punctul de aplicaţie: în centrul corpului - direcţia: de-a lungul razei Pământului din acel loc, cu aproximaţie considerându-se verticală - sensul: spre centrul Pământului Sub acţiunea unei astfel de forţe, corpurile lăsate liber la o anumită înălţime y 0 (considerată coordonată iniţială), au o mişcare rectilinie uniform variată până la suprafaţa Pământului, numită cădere liberă. Alegând axa Oy vertical în sus legile de variaţie ale vitezei şi spaţiului (1.4) şi (1.5) se scriu: g (t − t 0 ) 2 .

2 În acest caz mişcarea este uniform accelerată, viteza corpului crescând în modul, semnul minus apărând datorită faptului că este de sens opus sensului axei. În cazul în care un corp este aruncat vertical în sus de la o anumită înălţime, care corespunde coordonatei sale iniţiale, mişcarea sa va fi tot rectilinie, dar cu două etape: - la urcare este uniform încetinită, viteza scade în modul, corpul atingând o înălţime maximă, unde viteza este zero, după care - la coborâre mişcarea sa este rectilinie uniform accelerată îndreptată spre suprafaţa Pământului. Viteza creşte în modul. v(t ) = − g (t − t 0 ) , y (t ) = y 0 −

I.1.5 Legea lui Hooke. Tensiunea în fir Efectuând experienţe cu corpuri suspendate de fire deformabile, se observă că: - alungirea firului Δl este cu atât mai mare cu cât forţa deformatoare F este mai mare (matematic spus alungirea şi forţa sunt direct proporţionale) - alungirea firului Δl este direct proporţională cu lungimea iniţială a firului l 0

5

- alungirea firului Δl este invers proporţională cu aria secţiunii transversale a firului S0 - alungirea firului Δl depinde de felul materialului din care este confecţionat firul, intoducându-se o constantă de material E – numită modulul lui Young (unitatea sa de măsură N/m2).

Toate aceste concluzii experimentale, strânse într-o formulă, ne dau legea lui Hooke: 1 F ⋅ l0 F Δl Δl = sau =E (1.9) E S0 S0 l0 Scoţând forţa din aceste relaţii şi notând expresia în care intră toate constantele de material cu k , ES obţinem: F = 0 Δl = k ⋅ Δl .

(1.10) l0 Un corp atârnat de un resort, de exemplu, tinde sa-l alungească, dar resortul nu permite aceasta decât în anumite limite, în funcţie de construcţia sa. Forţa elastică care apare în resort este proporţională cu valoarea deformaţiei şi orientată în sens opus creşterii deformaţiei, măsurată faţă de centrul de echilibru. Fe = − kx .

(1.11) Minusul apare deoarece forţa se opune deplasării, iar constanta k se numeşte constanta elastică şi are unitatea de măsură: [k ]SI = N/m .

Considerăm cazul în care de un fir inextensibil şi de masă neglijabilă este suspendat un punct material. Atunci firul "simte" acest lucru, faţă de cazul în care ar fi fost liber, în fiecare punct al său existând acum o forţă numită forţă de tensiune în fir. Cu cât atârnăm corpuri mai grele, cu atât tensiunea în fir este mai mare, până când firul se rupe. În orice secţiune a firului întins de o forţă sau a unei bare întinse sau comprimate, acţionează două forţe egale în modul şi de sensuri opuse, acţiunea şi reacţiunea, cu care o parte a firului acţionează asupra celeilelte. Ambele aceste forţe se numesc tensiunea în fir sau bară.

Un punct material atîrnat de un fir este în echilibru în prezenţa a două forţe: tensiunea în fir şi greutatea, deci ele sunt egale şi de sens contrar I.1.6 Legile frecării la alunecare Dacă un corp de masă m este aşezat pe un alt corp, atunci, la suprafaţa de contact, apar două tipuri de forţe: - perpendiculare pe această suprafaţă numite forţe normale - forţe tangenţiale, numite forţe de frecare statice, conţinute în planul de contact.

Atunci când corpul se mişcă pe suprafaţa celuilalt corp pe care este pus, apare forţa de frecare la alunecare, care respectă următoarele legi: - nu depinde de aria suprafeţei de contact dintre cele două corpuri - este proporţională cu apăsarea normală exercitată pe suprafaţa de contact F f = μN (1.12) unde μ se numeşte coeficient de frecare la alunecare Dacă se neglijează frecarea, atunci asupra unui corp care stă pe un plan orizontal sau înclinat, acţionează doar două forţe: Greutatea corpului vertical în jos şi reacţiunea normală, perpendiculară pe suprafaţa planului orizontal sau respectiv a planului înclinat (orientate în sus). Acestea există şi când corpul se mişcă, pe lângă forţe de tracţiune dacă e cazul.

Un plan înclinat este o suprafaţă rigidă de lungime L care face cu orizontala un unghi α ≠ 0 .

Mişcarea unui corp pe un plan înclinat este determinată în principal de trei forţe: - normala (perpendiculară pe suprafaţă şi orientată în sus), - greutatea corpului (vertical în jos) şi

6

- forţa de frecare (de-a lungul suprafeţei planului înclinat şi orientată în sens opus mişcării) y

y

N O

Gt

F

N O Gt

F x

G

G

G

urcare

x

G

coborâre

Fig. 2 Forţele care acţionează asupra punctului material în mişcare pe planul înclinat Vom scrie în continuare principiul al doilea al mecanicii pentru cazul în care acţionează doar cele trei forţe principale. Pentru acest lucru vom alege un sistem de axe, conform Fig. 2: - axa Ox de-a lungul planului înclinat, orientată în jos - axa Oy perpendiculară pe planul înclinat, orientată în sus Pe aceste axe vom descompune forţa de greutate - într-o componentă de-a lungul planului înclinat orientată în jos numită greutate tangenţială Gt = mg sin(α ) - într-o componentă perpendiculară pe planul înclinat orientată în jos, numită greutate normală G n = −mg cos(α ) . Minusul apare datorită faptului că este de sens contrar axei Oy. Atunci forţa rezultantă separat pe cele două axe este egală cu masa corpului înmulţită cu acceleraţia corespunzătoare (de-a lungul axei Oy corpul nu se mişcă, deci acceleraţia este zero). maurcare = Gt + F f La urcare - pe axa Ox : (1.13) - pe axa Oy:

0 = −G n + N

(1.14)

macoborare = Gt − F f (1.15) 0 = −G n + N (1.16) - pe axa Oy: Utilizând formula forţei de frecare (ec. 1.12), cu expresia normalei din ecuaţiile pe axa Oy (ec 1.14. şi ec. 1.15.), rezultă pentru acceleraţii în cele două cazuri: - a urcare = g (sin α + μ cos α ) orientată în jos, deci corpul urcă încetinit - a coborare = g (sin α − μ cos α ) orientată în jos, deci corpul coboară accelerat In acest ultim caz de coborâre, dacă membrul drept este mai mare decât membrul stâng, practic frecarea este mai mare şi corpul stă pe planul înclinat (nici nu urcă nici nu coboară).

La coborâre

-pe axa Ox:

I.2. TEOREME DE VARIAŢIE ŞI LEGI DE CONSERVARE ÎN MECANICĂ I.2.1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică r Lucrul mecanic al unei forţe constante F , al cărei punct de aplicaţie se deplasează pe distanţa d în direcţia şi sensul forţei, se defineşte ca fiind produsul dintre mărimea forţei şi mărimea deplasării: L = Fd (1.17)

7

[L]SI = Joule = N ⋅ m Un Joule reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1Newton al cărei punct de aplicaţie se deplasează cu un metru în direcţia şi sensul forţei.

Lucrul mecanic este o mărime scalară, adică valoarea sa îl caracterizează complet. De asemeni, lucrul mecanic este o mărime de proces, adică el nu are sens decât dacă corpul se deplasează. Dacă corpul stă, adică se află într-o anumită stare, lucrul mecanic al forţelor ce acţionează asupra sa este zero. Lucrul mecanic nu are sens într-o stare, ci doar de-a lungul unui proces, când corpul trece printro succesiune de stări.

Forţa care produce mişcarea se numeşte motoare şi are lucrul mecanic pozitiv. Forţa care se opune mişcării este forţă rezistentă şi prin convenţie lucrul ei mecanic se ia cu semnul minus.

F (N)

O

x (m) A(x 1,0)

B(x 2 ,0)

Fig. 3

Lucrul mecanic definit prin relaţia 1.17 se poate calcula şi printr-o metodă simplă, grafică r (Fig. 3). Se reprezintă grafic variaţia intensitatii forţei F în funcţie de distanţă, adică F = f (x) . În cazul discutat de noi, ea are o valoare constantă de-a lungul întregii distanţe pe care o parcurge corpul.

Deci, graficul ei va fi o dreaptă paralelă cu abscisa. Se observă că aria suprafeţei delimitate de forţă, deplasare şi de cele două segmente perpendiculare pe axa Ox în punctele A(x1,0) şi B(x2,0) este chiar egală cu lucrul mecanic efectuat de forţă atunci când a deplasat corpul din x1 în x2. Această metodă este valabilă şi atunci când forţa nu este constantă.

Dacă forţa este constantă în mărime, dar direcţia ei face un unghi β cu direcţia deplasării, atunci lucrul mecanic este dat de expresia: (1.18) L = Fd ⋅ cos β π Dacă 0 < β < atunci cosinusul este pozitiv şi forţa efectuează lucru mecanic motor.

2 π Dacă < β < π atunci cosinusul este negativ şi forţa efectuează lucru mecanic rezistent.

2 π Dacă β = atunci ea este perpendiculară pe deplasare şi nu efectuează lucru mecanic.

2 v Generalizând, vom defini lucrul mecanic al unei forţe constante F care face un unghi β cu direcţia de mişcare (presupusă a fi axa Ox) şi care deplasează corpul dintr-o stare caracterizată de r r vectorul de poziţie r1 într-o altă stare caracterizată de vectorul de poziţie r2 , ca fiind produsul scalar r r r dintre forţă şi vectorul deplasare: L = F ⋅ (r2 − r1 ) = F ( x 2 − x1 ) cos β , unde Δx = ( x2 − x1 ) este deplasarea corpului.

Lucrul mecanic al forţei de greutate, atunci când un corp nu se deplasează pe o suprafaţă orizontală, este egal cu L = mgh , unde m este masa corpului, iar h este diferenţa dintre înălţimile celor două puncte unde s-a aflat corpul la începutul şi sfârşitul mişcării. Experienţe simple, intuitive sau demonstraţii matematice ne conduc la ideea că: Lucrul mecanic al greutăţii este independent de drumul parcurs de punctul material şi de legea mişcării acestuia şi este egal cu produsul dintre

8

greutatea corpului şi diferenţa de nivel dintre poziţia iniţială şi finală a punctului material. Forţele cu această proprietate se numesc conservative, iar câmpurile generate de ele se numesc câmpuri de forţe conservative. Forţele de greutate şi forţele elastice sunt forţe conservative.

Utilizând expresia generală de definiţie a lucrului mecanic, putem spune că lucrul mecanic al forţei de frecare la alunecare, atunci când corpul se deplasează pe distanţa d , este L = F f d . Pentru că forţa de frecare se opune mişcării, rezultă că lucrul ei mecanic este rezistent şi prin convenţie se ia cu semnul minus. Atunci când punctul material se deplasează pe orizontală, expresia lucrului mecanic al forţei de frecare la alunecare este Loriz = μ ⋅ mgd . Atunci când punctul material parcurge o distanţă d pe un plan înclinat de unghi α , lucrul mecanic al forţei de frecare la alunecare este Lincl = μ ⋅ mgd ⋅ cos α Puterea medie în intervalul Δt este definită ca raportul dintre lucrul mecanic efectuat în acest interval şi valoarea intervalului de timp: L (1.19) P= . Δt Unitatea de măsură pentru putere este [P]SI = Watt .

Vom considera un corp în urcare pe acest plan uniform. Existând frecare, lucrul meacnic consumat este mai mare decât cel util, iar raportul dintre ele, reprezintă randamentul planului înclinat: L mgL sin α sin α 1 η= u = = = <1 (1.20) Lc mg (sin α + μ cos α ) L sin α + μ cos α 1 + μ ⋅ ctgα Cu cât unghiul α este mai mare, cu atât randamentul este mai mare, dar şi forţa necesară urcării sale este mai mare. La unghiuri α mici, randamentul este mai mic, dar în schimb şi forţa necesară urcării sale este mai mică I.2.2. Teorema de variaţie a energiei cinetice a punctului material Energia cinetică este o mărime scalară care caracterizează corpurile aflate în mişcare de translaţie cu viteza v şi se defineşte ca fiind E c = mv 2 / 2 , (1.21) Unitatea de măsură a energiei cinetice este: [E c ]SI = Joule .

Ea caracterizează un punct material aflat într-o anumită stare, unde el are viteza instantanee v. Dar o variaţie a vitezei nu se poate obţine decât dacă asupra punctului material acţionează o forţă care are o componentă nenulă de-a lungul direcţiei de mişcare şi produce un lucru mecanic. Se demonstrează teorema de variaţie a energiei cinetice: Lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă aplicată punctului material care se deplasează în raport cu un sistem de referinţă inerţial, este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material. ΔE c = E c final − E cinitial = L (1.22) Dacă asupra punctului material nu acţionează nicio forţă, atunci energia cinetică a punctului material se conservă.

După cum se observă, energia cinetică este o mărime de stare, iar de-a lungul unui proces (o deplasare) ea variază.

I.2.3. Energia potenţială gravitaţională În interiorul câmpurilor de forţe conservative lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului nu depinde de traiectoria punctului material ci doar de poziţia sa iniţială şi finală. În interiorul acestor câmpuri, lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului pe o traiectorie închisă este nul.

9

Am văzut mai sus că forţele de greutate au această proprietate. Un corp lăsat să cadă liber efectuează lucru mecanic apropiindu-se de Pământ. De aceea spunem că sistemul alcătuit din punct material şi Pământ posedă energie. Această energie care depinde de poziţia punctului material în câmp se numeşte energie potenţială gravitaţională. Fiecărei stări a sistemului îi corespunde o anumită energie potenţială, iar modificarea configuraţiei sistemului determină variaţia energiei potenţiale ΔE p = E p0 − E p .

(1.23) Energia potenţială a sistemului nu se poate determina în mod absolut, se pot măsura variaţii ale acestei energii, prin lucrul mecanic efectuat de către forţele de greutate.

Prin convenţie, variaţia energiei potenţiale gravitaţionale între două stări este egală şi de semn contrar cu lucrul mecanic al forţelor de greutate, exercitate asupra punctului material, între aceste stări ΔE p = E p0 − E p = −mg (h − h0 ) (1.24) S-a convenit ca suprafaţa Pământului, sau în probleme, nivelul cel mai scăzut, să se considere ca având energie potenţială nulă.

Unitatea de măsură pentru energia potenţială este [ E p ]SI = Joule .

Generalizare pentru orice sistem de forţe conservativ: Lucrul mecanic efectuat de către forţele conservative care acţionează asupra unui corp aflat în sistem, este egal şi de semn contrar cu variaţia energiei potenţiale a acestuia: L = −( E p finala − E pinitiala ) (1.25) I.2.4. Legea conservării energiei mecanice Energia mecanică a punctului material aflat într-o stare în câmp de forţe conservativ se defineşte ca fiind suma dintre energia potenţială şi cea cinetică a punctului material: E = Ec + E p (1.26) Fiind sumă de două mărimi fizice de stare şi energia mecanică este o mărime de stare.

Energia mecanică caracterizează punctul material într-o stare; când punctul material efectuează un proces datorită interacţiunii cu alte corpuri, acesta trece dintr-o stare în alta, parcurgând mai multe stări intermediare, iar energia mecanică variază în general.

Dacă asupra punctului material nu acţionează decât forţe conservative, atunci energia mecanică se conservă: ΔEc + ΔE p = Δ( E c + E p ) = 0, E c + E p = E = const (1.27) Aceasta este expresia matematică a teoremei conservării energiei mecanice, adică: într-un câmp conservativ de forţe are loc în timpul mişcării o transformare reciprocă a energiei din cinetică în potenţială, suma lor rămânând constantă.

Unitatea de măsură pentru energia mecanică este [E]SI = Joule .

Condiţia necesară ca energia mecanică să se conserve, este ca asupra punctului material să nu acţioneze nicio forţă neconservativă. Un exemplu de forţă neconservativă este forţa de frecare la alunecare, altul este forţa de rezistenţă întâmpinată din partea aerului.

10