Cap05

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.1

Capítulo 5 Corriente continua y resistencia eléctrica.

Introducción.

Corriente continua.

Intensidad y densidad de corriente.

Velocidad de arrastre y movilidad.

Expresión microscópica de la ley de Ohm. Resistencia: definición.

Variación de la resistencia de los conductores metálicos con la temperatura.

Potencia eléctrica. Ley de Joule.

5.2

Capítulo 5

FORMULARIO Intensidad de corriente. dq I= dt

Densidad de corriente. r dI r J= un dSn

Relación entre la densidad y la in- Intensidad de corriente en función de tensidad de corriente. la velocidad de arrastre. r r I = J ⋅ dS I = S n e va

∫ S

Expresión microscópica de la ley de Resistividad.

Ohm. r r J =σE Movilidad.

µ=

R=

ne

n

∑R i =1

1

σ

Resistencia.

σ

Asociación de resistencias en serie.

Req =

ρ=

i

V1 − V2 I

Asociación de resistencias en paralelo. n 1 1 = Req Ri i =1

∑

Resistencia de un conductor de sec- Resistencia de un conductor cilíndrición variable o resistividad variable. co homogéneo. ρ dx ρL R= R= S S

∫

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.3

Variación de la resistencia de los Ley de Joule: potencia disipada en conductores metálicos con la tempeuna resistencia. ratura. ρT = ρ20 1 + α 20 (T − (273 + 20)) V2 PR = V I = RI 2 = R R = R 20 1 + α 20 (T − (273 + 20))

[ [

] ]

COEFICIENTE TÉRMICO DE LA RESISTIVIDAD A 20ºc, Y RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES A 20ºC.

α 20 (K-1)

ρ20 (Ω m)

Plata Cobre

38 ⋅ 10-3 39 ⋅ 10-3

159 ⋅ 10-8 167 ⋅ 10-8

Oro

34 ⋅ 10-3

235 ⋅ 10-8

Aluminio

39 ⋅ 10-3

265 ⋅ 10-8

Tungsteno

45 ⋅ 10-3

565 ⋅ 10-8

Níquel

60 ⋅ 10-3

684 ⋅ 10-8

Hierro

50 ⋅ 10-3

971 ⋅ 10-8

Platino

39 ⋅ 10-3

106 ⋅ 10-8

Plomo

43 ⋅ 10-3

2065 ⋅ 10-8

-75 ⋅ 10-2 -48 ⋅ 10-2

43 ⋅ 103 046

MATERIAL Metales

Semiconductores Silicio Germanio Aislantes

Azufre

1010-1014 75 ⋅ 1017 1015

Teflón

1013

Vidrio Cuarzo

Caucho

1013 - 1016

Madera

108 - 1011

Diamante

1011

5.4

Capítulo 5

Cuestiones.

1. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El campo eléctrico en el interior de un conductor por el que circula carga es siempre nulo. b) La intensidad de corriente se puede definir como el flujo de la densidad de corriente a través de cualquier sección del conductor. c) La resistencia eléctrica de un conductor óhmico es mayor a medida que aumenta la intensidad en el mismo, debido a un aumento considerable en la interacción entre electrones y átomos. d) La intensidad de corriente que atraviesa una resistencia lo hace siempre de mayor potencial a menor potencial. e) La Intensidad de corriente es una magnitud vectorial que tiene por dirección y sentido los del movimiento de las cargas positivas. f) En un conductor en el que la geometría varía suave y progresivamente, el campo eléctrico es perpendicular a la sección recta y adopta un mismo valor en todos los puntos de la misma. a) Falso. El campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo cuando se dan las condiciones de equilibrio señaladas en electrostática. Cuando circula carga estas condiciones no se dan, siendo la presencia de un campo eléctrico lo que posibilita dicho movimiento de cargas. b) Verdadero. c) Falso. En un conductor óhmico la resistencia es independiente del campo eléctrico aplicado y de la intensidad que circula por el mismo. Únicamente variaría su valor si dicho incremento de intensidad llevase aparejado un incremento de temperatura. d) Verdadero e) Falso. La intensidad es una magnitud escalar. f) Verdadero.

2. La velocidad de arrastre típica de los electrones en un conductor de cobre es del orden de 10-5 m/s (ver problema 1). a) ¿Cuánto tiempo tardarían en recorrer 1 m los electrones que se mueven a esta velocidad? b) En vista del resultado del apartado anterior, ¿por qué la luces se encienden instantáneamente al hacer funcionar el interruptor? a) El tiempo que tardan los electrones es la distancia a recorrer, 1 m, dividido por la velocidad de los electrones (la velocidad de arrastre),

Corriente continua y resistencia eléctrica.

t=

5.5

d 1m = −5 = 105 s ≅ 28 horas v a 10 m/s

b) Esta discrepancia aparente se resuelve si se observa el flujo del agua a través de un tubo. Si una gota de agua es forzada en el extremo de un tubo lleno de agua, otra gota debe salir por el otro extremo del tubo.

Aunque gotas individuales pueden tardar mucho tiempo en recorrer todo el tubo, un flujo iniciado en un extremo produce un flujo similar en otro extremo y muy rápidamente. En un conductor, al campo eléctrico que mueve a los electrones libres, viaja por el conductor con una rapidez próxima a la luz. Así cuando se acciona el interruptor de la luz, el mensaje para que los electrones empiecen a moverse por el alambre (el campo eléctrico) les llega con una rapidez aproximada de 108 m/s.

3. Por un conductor filiforme circula una corriente continua de 1 A. a) ¿Cuánta carga fluye por una sección del conductor en 1 minuto? b) Si la corriente es producida por el flujo de electrones, ¿cuántos electrones atravesarán esta sección en ese tiempo? a) La intensidad de corriente se define como la cantidad de carga que atraviesa sección transversal del conductor por unidad de tiempo, I=

dQ dt

de donde la carga que fluye por una sección del conductor es:

∫

Q = I dt = I t = 1 A 60 s = 60 C

b) El número de electrones es igual a la carga que atraviesa la sección del conductor, dividido por la carga de un electrón. nº e − =

60 C = 3,75 ⋅ 1020 e − − 19 − 1,6 ⋅ 10 C / e

4. Determina la potencia disipada por una bombilla, sabiendo que ha consumido 2400 J de energía durante 1 minuto, siendo la tensión aplicada de 220 V. La potencia consumida por dicha bombilla es igual a la energía consumida dividido por el tiempo: P=

2400 J 2400 J = = 40 W 1 minuto 60 s

5.6

Capítulo 5

5. ¿Qué diferencia existe entre resistencia y resistividad? ¿Qué es lo correcto, hablar de resistencia del cobre o de resistividad del cobre; de resistencia de una moneda o de resistividad de una moneda?

La resistividad es una propiedad de un determinado material que depende únicamente del material de que se trate (además de la temperatura). Es independiente de la cantidad, forma, tamaño y otras propiedades geométricas del material.

La resistencia es una propiedad de una determinada pieza de un material, que depende de su geometría así como del tipo de material de que se trate (y la temperatura a la que se halle).

Por ello, conocida la geometría de una pieza y la resistividad del material que la constituye, podemos calcular su resistencia.

Por tanto, se habla de resistividad del material cobre, y de resistencia de una moneda.

6. Sea un conductor en forma de tronco de cono, con los dos radios de las bases r1, y r2 = 2r1, de resistividad uniforme y recorrido por una intensidad I. Calcula la relación entre los módulos del campo eléctrico en los puntos 1 y 2 situados, en los centros de las bases del conductor.

La intensidad que recorre todo el conductor es la misma. Suponiendo que el conductor es homogéneo, la densidad de corriente viene dada por, I J= S y suponiendo que se trata de un material óhmico,

J=σE de donde obtenemos, E=

J

σ

=

I /S

σ

=

I σS

Puesto que la intensidad y la conductividad no varían del punto 1 al punto 2, el campo eléctrico en los puntos 1 y 2 serán, I I E1 = E2 = σ S1 σ S2 por lo que la relación entre ellos será, E1 I / σ S1 S2 π r22 r22 ( 2 r1 ) 4 r12 = = = = = = =4 E 2 I / σ S2 S1 π r12 r12 r12 r12 2

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.7

7. Sean dos conductores cilíndricos de la misma longitud L, del mismo material, y de radios r1 = r y r2 = 2r. Se aplica la misma diferencia de potencial V entre los extremos de los dos conductores. Indica: a) La relación entre los campos eléctricos en el interior de los dos materiales E1/E2. b) La relación entre la resistencia de los dos conductores R1/R2. c) La relación entre las intensidades en los dos conductores I1/I2. d) La relación entre las densidades de corriente J1/J2. a) El campo eléctrico en el interior de un conductor cilíndrico es V E= L con lo cual el cociente de los campos eléctricos viene dado por E1 V / L = =1 E2 V / L

b) La resistencia de un conductor cilíndrico homogéneo vale R=ρ

L S

con lo cual el cociente de resistencias es igual a R1 ρ L / S1 S2 π 4r 2 = = = =4 R 2 ρ L / S 2 S1 πr 2

c) La intensidad que circula por un conductor es, I=

V R

con lo cual, I1 V / R 1 R 2 1 = = = I 2 V / R 2 R1 4

d) Suponiendo que se trata de un material óhmico, la densidad de corriente está relacionada con el campo eléctrico mediante,

J =σ E y por tanto,

J1 σ E1 E1 = = =1 J2 σ E 2 E 2

5.8

Capítulo 5

Problemas.

1. Sea un conductor de cobre de sección circular de radio 1 mm. Si se admite que cada átomo tiene un electrón libre, calcula la velocidad de arrastre de los electrones cuando circula una intensidad de 1 A por dicho conductor. Datos: ρCu = 8,93 g/cm3; MCu = 63,5 g/mol; NA = 6,02 ⋅ 1023 átomos/mol.

Para resolver este problema, debemos utilizar la expresión que relaciona la intensidad de corriente con la velocidad de arrastre, I = S n e va

⇒

va =

I Sne

donde, en estas expresiones, S es la superficie transversal del conductor, n es la densidad de portadores de carga (que en este caso son electrones), e es la carga de los portadores de carga (e = 1,6 ⋅ 10-19 C), y va es la velocidad de arrastre.

En la expresión anterior, la única dificultad radica en calcular n, la densidad de electrones de conducción en el material, que no es más que el número de electrones que hay en un determinado volumen divido por el volumen.

Para realizar el cálculo tomamos un mol de cobre, calculamos el número de electrones (e-) que hay en un mol, y dividimos por el volumen de un mol, nº de e - que hay en un mol n= Volumen de un mol El número de electrones que hay en un mol es igual al número de átomos que hay en un mol, que es el número de Avogadro, multiplicado por el número de electrones libres que tiene cada átomo, que en este caso es 1e/átm.: nº de e - que hay en un mol = N A ⋅ 1 e − / átm El volumen de un mol es la masa de un mol, dividido por la densidad, Volumen de un mol =

masa de un mol 63,5 g/mol = = 7,11 cm3 /mol densidad 8,93 g/cm3

De este modo, n viene dado por, n=

N A ⋅ 1 e − / átm 6,02 ⋅ 10 23 e − / mol = = 8,467 ⋅ 1022 e − / cm3 3 3 7,11 cm /mol 7,11 cm /mol

con lo cual, la velocidad de arrastre es,

Corriente continua y resistencia eléctrica.

va =

5.9

I 1 C/s = = 2 22 − Sne π mm 8,467 ⋅ 10 e / cm3 1,6 ⋅ 10 −19 C / e −

= 2,35 ⋅ 10 − 5

−6 3 cm3 − 5 10 m = ⋅ = 2,35 ⋅ 10 − 5 m/s 2 , 35 10 −6 2 2 10 m s mm s

2. Por un conductor de aluminio de 3 mm2 de sección circula una corriente de 5 A. Se supone que hay 3 electrones libres por cada átomo de aluminio. a) ¿Cuál es la densidad de corriente? b) ¿Cuál es el número de electrones de conducción por m3? c) ¿Cuál es la velocidad de arrastre?

Datos: ρAl = 2,7 ⋅ 103 kg/m3, MAl = 27,0 g/mol. a) Suponiendo que el conductor es cilíndrico y homogéneo, la densidad de corriente viene dada por, J=

I 5A = = 1,67 A/mm2 = 1,67 ⋅ 10 6 A/m2 S 3 mm2

b) Puesto que en el aluminio hay tres electrones de conducción por cada átomo, hay que calcular el número de átomos que hay en un metro cúbico de cobre, y después multiplicar por tres para obtener el número de electrones de conducción por m3.

Veamos primero cuanto pesa 1 m3 de aluminio,

ρ Al =

M V

⇒

M = ρ Al V = 2,7 ⋅ 103 kg/m3 ⋅ 1 m3 = 2,7 ⋅ 103 kg

Ahora calculamos cuanto pesa un átomo, que es la masa atómica del aluminio, dividido por el número de Avogadro, mat. de Al =

M Al 27,0 g/mol = = 4,49 ⋅ 10 − 26 kg/átomo NA 6,02 ⋅ 10 23 atomos/mol

Dividiendo ahora la masa de 1 m3 de aluminio entre lo que pesa cada átomo, se obtiene el número de átomos por m3 de aluminio, y multiplicando por tres, el número de electrones de conducción: n=3

M mat. de Al

=

3 ⋅ 2,7 ⋅ 103 = 1,81⋅ 1029 m − 3 4,49 ⋅ 10 − 26

c) Conocida la concentración de portadores de carga, la velocidad de arrastre viene dada por,

5.10

Capítulo 5

va =

I 5A = = 5,77 ⋅ 10 − 5 m/s 2 29 −3 − 19 S n e 3 mm 1,81⋅ 10 m 1,6 ⋅ 10 C

3. La corriente que circula por un hilo metálico varía con el tiempo según la expresión I = 9 cos (90 t ), donde I se expresa en Amperios, t en segundos y la constante 90 en grados. a) ¿Qué carga se transporta por el hilo entre t = 0 y t = 1 s? b) ¿Y entre t = 0 y t = 2 s? c) ¿Qué corriente constante transportaría la misma carga que en el apartado a) en igual intervalo de tiempo? a) La intensidad de corriente se define como, I=

dq dt

de donde obtenemos que la carga transportada entre t = 0 y t = 1 s es igual a, 1

∫

1

∫

∫

0

0

q = dq = I dt = 9 cos(90 t ) =

9 [sen(90 t )]10 = 0,1 C 90

b) En este caso, la carga transportada será,

∫

2

2

∫

∫

0

0

q = dq = I dt = 9 cos(90 t ) =

9 [sen(90 t )]02 = 0 90

c) En el caso de tener una corriente constante, la intensidad de corriente viene dada por, ∆q 0,1 C I= = = 0,1 A ∆t 1s 4. Por un conductor de 1 m de longitud, 2 mm2 de sección, y una resistencia de 2 Ω circula una corriente de 2 A. a) ¿Cuál es la ddp entre los extremos del conductor? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en este conductor? c) ¿Qué valor tienen la densidad de corriente? d) ¿Cuánto vale la conductividad del material? a) La resistencia de un conductor se define como el cociente entre la diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad que circula por él,

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.11

V1 − V2 I de donde despejando la diferencia de potencial se obtiene, R=

V1 − V2 = RI = 4 V b) El módulo del campo eléctrico en un conductor cilíndrico homogéneo es igual al cociente entre la diferencia de potencial entre sus extremos, V1 - V2, y la longitud del mismo, L: E=

V1 − V2 4 V = = 4 V/m L 1m

c) La relación entre la intensidad y la densidad de corriente para el caso de un conductor cilíndrico homogéneo se reduce a,

I = JS de donde podemos despejar la densidad de corriente, J = I /S =

2A = 10 6 A/m2 −6 2 2 × 10 m

d) Suponiendo que el conductor es un material óhmico, la conductividad es la constante de proporcionalidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico, r r J =σE

tomando módulos en esta expresión,

J =σE y utilizando los resultados obtenidos anteriormente obtenemos,

σ=

J 10 6 A/m2 = = 0,25 ⋅ 10 6 Ω −1m −1 E 4 V/m

Del mismo modo, utilizando la expresión que relaciona la resistencia de un conductor cilíndrico homogéneo con la resistividad, R=ρ

L S

podemos despejar la conductividad (la conductividad es la inversa de la resistividad)

5.12

Capítulo 5

σ=

1

ρ

=

L 1m = = 0,25 ⋅ 10 6 Ω −1m −1 −6 2 RS 2 Ω 2 ⋅ 10 m

resultado que obviamente coincide con el obteniendo anteriormente.

5. Por la sección de un tubo fluorescente de 4,0 cm de diámetro pasan 2,0⋅1018 electrones y 1,0⋅1017 iones positivos (con carga +e) en un segundo. ¿Cuánto vale la intensidad de corriente que circula por el tubo?

Para realizar este cálculo debemos r entender primero el proceso físico E que ocurre dentro del tubo. En el interior del tubo, al someter los extremos del mismo a una diferencia de potencial, se establece un campo eléctrico. Dicho campo eléctrico acelera los electrones en una dirección, y los iones positivos en la dirección contraria.

La intensidad de corriente es la cantidad de carga positiva que atraviesa una sección transversal del tubo por unidad de tiempo. El movimiento de un electrón en un sentido es equivalente al movimiento de una carga positiva en dirección contraria, de modo que el número total de cargas positivas que atraviesan una sección es igual al número de cargas positivas que la atraviesan, más el número de cargas negativas,

ncargas positivas = nelectrones + niones positivos = 2,0⋅1018 + 1,0⋅1017 = 2,1⋅1018 y, por tanto, la carga positiva que atraviesa la sección del tubo es el número de cargas multiplicado por la carga de cada una de ellas,

q = ncargas positivas ⋅ e = 2,1⋅1018 ⋅ 1,6⋅10-19 C = 0,336 C y dividiendo por 1 segundo, que es el tiempo que tardan en atravesar la sección del tubo obtenemos la intensidad de corriente, I=

q 0,336 = = 0,336 C/s = 0,36 A t 1

6. Entre los extremos A y B del circuito de la figura se aplica una diferencia de potencial VAB de A 30 V. Indica en qué resistencia se disipa mayor potencia, y en cual menor potencia.

R1

R2

5Ω

10 Ω R3 15 Ω

La potencia total disipada en la rama superior es igual a,

B

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.13

2 2 PR1 + R2 = VAB /Req = VAB /(R1 + R2 ) = 30 2 / (10 + 5 ) = 60 W

que se reparte entre la potencia en la resistencia 1 y en la resistencia 2: PR1 + R2 = PR1 + PR2 = 60 W

La potencia consumida por la resistencia 1 y 2 son, respectivamente, PR 2 = I 2 R2

PR1 = I 2 R1

donde la intensidad que circula por ambas resistencia es la misma.

Dividiendo entre sí las dos ecuaciones anteriores obtenemos, PR1 PR2

=

I 2 R1 2

I R2

=

R1 5Ω 1 = = R 2 10Ω 2

Con ello, hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: PR1 + PR2 = 60 W PR1 PR2

=

1 2

cuya solución es, PR1 = 20 W ,

PR2 = 40 W

Por otro lado, la potencia disipada por la resistencia 3 es igual a, 2 PR3 = VAB /R = 302 / (10 + 5 ) = 60 W

De este modo, la resistencia que más potencia consume es la número 3, y la que menos la número 2.

7. Dado el circuito de la figura, calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B; B y C; y C y D.

A

R2 = 10 Ω

R1 = 5 Ω

C

B 1,5 V

R3 = 15 Ω

D

Primero debemos encontrar la intensidad de corriente que circula por el circuito. Para ello utilizamos la ley de Ohm, V = I Req

5.14

Capítulo 5

donde Req es la resistencia equivalente del circuito, 3

Req =

∑R

i

= 5 + 10 + 15 = 30 Ω

i =1

con lo cual, I=

V 1,5 = = 0,05 A = 50 mA Req 30

Si aplicamos ahora la ley de Ohm a cada resistencia, VAB = IR1 = 0,05 ⋅ 5 = 0,25 V VBC = IR2 = 0,05 ⋅ 10 = 0,50 V VCD = IR3 = 0,05 ⋅ 15 = 0,75 V y ahora, podemos comprobar que la diferencia de potencial total V, es igual a la suma de las diferencias de potencial en cada resistencia.

V = VAB + VBC + VCD = 0,25 + 0,50 + 0,75 = 1,5 V 8. Dado el circuito de la figura, a) Calcula la intensidad en cada rama. b) Calcula la intensidad total.

I1

I2

R1 = 5 Ω

R2 = 15 Ω

I 1,5 V

a) Aplicando la ley de Ohm a cada una de las resistencias (teniendo en cuenta que ambas resistencias están sometidas a la misma diferencia de potencial, que es la diferencia de potencial proporcionada por la fuente), V 1,5 V = I1R1 ⇒ I1 = = = 0,3 A R1 5 V = I2 R2

⇒

I2 =

V 1,5 = = 0,1 A R2 15

b) La intensidad total es igual a la suma de las intensidades en cada rama, I = I1 + I2 = 0,3 + 0,1 = 0,4 A

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.15

Este apartado se puede resolver también calculando la resistencia equivalente del circuito, 1 1 1 1 1 4 = + = + = Ω −1 Req R1 R 2 5 15 15

⇒

Req =

15 = 3,75 Ω 4

y aplicando ahora la ley de Ohm al circuito con la resistencia equivalente, V 1,5 V = IReq ⇒ I = = = 0,4 A Req 3,75 9. Calcula la resistencia equiA valente del esquema de la figura: a) Entre los puntos A y B. b) Entre los puntos A y C.

B

R1

R2

C

R3 R4

D

a) Para calcular la resistencia equivalente entre los puntos A y B, conviene dibujar el circuito tal y como indica la figura inferior, eliminando los terminales C y D. Observa que efectivamente el circuito es idéntico al inicial, pero con una ordenación más sencilla.

R2 R3 R4 R 1 A B

Observa también que por las resistencias 2 y 3 no circula corriente, puesto que toda la corriente irá por la rama inferior que no tiene resistencia. Por tanto, podemos eliminar R1 R4 ambas resistencias, y el circuito equi- A B valente que nos queda es el indicado en la figura anexa, cuya resistencia equivalente será, RAB = R1 + R4 (Ω) al estar conectadas en serie. b) Igual que antes, conviene volver a dibujar el circuito, eliminando aho- A ra las terminales B y D, tal y como indica la figura.

Observa que la resistencia R4 no

R1

R2 C R3

5.16

Capítulo 5

es necesario tenerla en cuenta puesto que no está situada entre los puntos A y C. La resistencia equivalente de la pareja R2 y R3 situadas en paralelo es, R + R3 1 1 1 = + = 2 R 23 R 2 R 3 R2 R3

⇒

R 23 =

R 2 R3 R 2 + R3

con lo cual nos queda el circuito equivalente indicado en la figura, que al estar las dos resistencias en serie, R23 R1 C tiene una resistencia equivalente da- A da por R 2 R3 R AC = R1 + R 23 = R1 + (Ω) R 2 + R3 10. Sea un conductor cilíndrico homogéneo de radio r = 0,01 m y longitud L = 1 m. Su resistencia es de 5 Ω y su resistividad constante. Calcula la densidad de corriente J y el campo eléctrico E en un punto del interior del conductor al aplicar una diferencia de potencial entre sus extremos de VA - VB = 5 V.

Para un conductor cilíndrico homogéneo, la densidad de corriente viene dada por, I I J= = S π r2 y la intensidad la podemos calcular de la definición de resistencia, R=

VA − VB I

⇒

I=

VA − VB R

y sustituyendo en la expresión anterior, J=

5 I V −V = 3185 A/m2 = A 2 B = 2 3,14 ⋅ 0,012 ⋅ 5 πr πr R

El campo eléctrico lo podemos calcular utilizando la definición de diferencia de potencial, B r r VA − VB = E ⋅ dl

∫

A

y como en un conductor cilíndrico homogéneo el campo es constante y en la dirección del conductor tenemos,

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.17

B

B r r B VA − VB = E ⋅ dl = E dl = E dl = E L

∫

∫

∫

A

A

A

de este modo, el campo eléctrico es, E=

VA − VB 5 V = = 5 V/m L 1m

11. Sea un conductor rectilíneo de sección transversal S, longitud L, y resistividad ρ = ρ 0 + a x + b x 2 , siendo x la distancia al punto inicial del conductor. a) Determina la resistencia del conductor. b) ¿Qué longitud de conductor de la misma sección y resistividad ρ = ρ 0 consume la misma potencia cuando se somete a la misma diferencia de potencial? a) La resistencia de un conductor viene dada por, R=

∫

ρ dx S

donde ρ representa la resistividad del material, S la sección transversal del conductor, y la integral en x se extiende a lo largo de la longitud del conductor, en este caso desde x = 0 hasta x = L. Como la sección del conductor es constante puede salir fuera de la integral obteniendo, L

1 ρ dx R= S0

∫

y sustituyendo ahora la resistividad del material tenemos, 1 R= S

∫ [ρ L

0

]

+ ax + bx 2 dx =

0

L2 L3  1 +b  ρ0 L + a S 2 3

(Ω)

b) La potencia consumida por efecto Joule por un conductor sometido a una diferencia de potencial VA − VB es igual a, P=

(VA − VB )2 R

de modo que para que el conductor buscado consuma la misma potencia que el anterior, debe tener la misma resistencia.

5.18

Capítulo 5

La resistencia de un conductor de longitud Lx, sección constante S, y resistividad constante ρ0 es L R = ρ0 x S y como la resistencia de este conductor debe ser la misma que la obtenida anteriormente tenemos, 1 L2 L3  Lx L a b ρ + +  = ρ0  0 S 2 3 S

de donde podemos despejar la longitud del conductor Lx, Lx =

L2 L3  1  L + a + b ρ   2 3 ρ0  0

(m)

12. Calcula la resistencia de una pieza de cobre de resistividad ρ como la que se indica en la figura.

r2 r1

L La resistencia de un conductor es R=

∫

ρ dx S

en este caso, la resistividad del material es constante y puede salir fuera de la integral, de modo que tenemos, L L

R=ρ

dx

∫S 0

r1

r

r2

S La superficie transversal del conductor S varía al cambiar x, por tanto, para resolver esa integral tenx dx dremos que encontrar la relación entre S y x. Llamando r al radio en la posición x del conductor, tenemos que S = π r 2. Observa que el radio r varía linealmente con x, tomando el valor r = r1 en x = 0, y r = r2 en x = L. Por tanto, la relación entre el radio r y la variable x será: (r − r )x + r1 L r = 2 1 L de este modo, la resistencia de la pieza de cobre es,

Corriente continua y resistencia eléctrica.

L

dx ρ L2 R=ρ = π πr2 0

∫

5.19

L

∫ [x(r 0

2

dx

− r1) + r1 L ]

R

2

=

ρ L2  − 1/(r2 − r1)  − ρ L2  1 1  =  = = −   π  x(r2 − r1) + r1 L  0 π (r2 − r1)  Lr2 Lr1  =

ρL π r2 r1

(Ω)

5.20

Capítulo 5

Cuestiones y problemas propuestos 1. Por un conductor circula una corriente uniforme de 1 A. ¿Cuántos electrones atraviesan la sección del conductor en 1 segundo?

2. Por un conductor de aluminio de 1,3 mm de radio circula una corriente de 20 A. Sabiendo que el aluminio tiene 3 electrones libres por cada átomo, determina la velocidad de arrastre de los electrones.

3. Por un conductor cobre de 2 mm2 de sección circula una corriente de 4 A. a) ¿Cuál es la densidad de corriente? b) ¿Cuál es el número de electrones de conducción por m3? c) ¿Cuál es la velocidad de arrastre?

4. Por un conductor de 10 m de longitud, 1 mm2 de sección y una resistencia de 0,2 Ω circula una corriente de 5 A. a) ¿Cuál es la ddp entre los extremos del conductor? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en este conductor? c) ¿Qué valor tiene la densidad de corriente? d) ¿Qué valor tiene la conductividad?

5. En el circuito de la figura,

R1=R

¿qué resistencia disipa mayor potencia y cuál disipa menor potencia?

R3=R I

R2=2R R1 = 10 Ω

6. En el circuito de la figura, ¿qué resistencia disipa mayor potencia y cuál disipa menor potencia?

R3 = 10 Ω I

R2 = 5 Ω

Corriente continua y resistencia eléctrica.

5.21

7. Calcula la resistencia equivalente entre los puntos A y B y entre los puntos C y D en los circuitos de las figuras.

a)

b) 3Ω

C 1Ω

D

A

C R

20 Ω

20 Ω 12 Ω

B

D

R

R 12 Ω

A

B

c)

d) C

A

A

3Ω

4Ω

R1

R1

2Ω

2Ω

R3

2Ω D

R2

R2

4Ω B B

8. Sea el conductor tronco-piramidal de la figura, de resistividad ρ uniforme, bases cuadradas a

b de lados a y b, y longitud L. L a) Calcula la resistencia entre las bases. b) Determina la longitud que debería tener un conductor de la misma resistividad que el anterior, de sección cuadrada constante de lado a, para que tuviera la misma resistencia que el del apartado a).

5.22

Capítulo 5

Soluciones a las cuestiones y los problemas propuestos 1. 6,24⋅1018 e-.

2. 1,3⋅10-4 m/s.

3. a) 2⋅106 A/m2.

4. a) 1 V.

b) 8,47⋅1028 m-3.

b) 0,1 V/m.

c) 5⋅106 Am-2.

c) 1,48⋅10-4 m/s. d) 5⋅107 Ω -1m-1.

5. PR3 > PR1 > PR2 .

6. PR3 > PR2 > PR1 .

7. a) RAB = 5 Ω. RCD = 19/20 Ω. c) RAB = 3/2 Ω. RCD = 3/2 Ω.

8. a) ρL/ab (Ω).

b) RAB = 0 Ω. RCD = R (Ω). d) RAB = (R1 + R2)/2 (Ω).

b) La/b (m).