10 a merzlyak profilnij by Руслан

rFl~OCPIJllbHii1Ð&#x2122; ~~~E~s

А. Г. Мерзляк Д. А. Номіровський

В . Б. Полонський М. С . Якір

АЛГЕБРА

І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Підручник для

1О

класу

загальноосвітніх навчальних закладів Профільний рівень

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

Харків « Гімназія »

2010

УДК

[373.5: 372.851]:[512.1

+ 517.1]

ББК 22.141я721.6 М52 Видано за рахунок державних коштів Продаж забо}Jовено Реко.мендовапо

l пауки України 08.06.2010 М 544)

Міпістерством. освітІt (nаказ від

НауУ<ову експертизу проводив Jн.cmumym .маmЄАtатики Національноі' академії наук Укра'іки.

Пскхолоrо-педаrогічву експертизу прово~ IнcmІtmym педагогіки

Н ацtона.л.ьkо'і акаде.-ії педагогіч.них kаук України Експерти. які здійсн.юва.л.и експертизу: О. В. Горді~н."о· Фі3ИRо-техвічний ліцей при Херсонському націои!\JІЬвом.у технічному університеті, .вчитель, старшиі!: В'іИТеJlЬ Т. І. Калепко, СШ

N! 19

м. НUсополь Дніпропетровської обл., вчитель,

вчитель-методист

r . в.

С'Крипка. КіровоrрадСЬЩ!Й обласнпй iRCTJ{тyT післядипломвої педагогічної освіти імені ВасиJtя Сухомлинського, методист

Г. П. Досеюсо, Районmtй методичний кабінет відділу освіти Білозерської райдержадміністрації Херсонської обл., методкет

МерзJІЯК А. Г.

М52

Алгебра і nочатки аналізу ~ nідруч . ДJІЯ

кл. загально-

освіт. навч. закладів ~ проф. рівень І А. Г. Мерзляк, Д. А. Номі ровський, В. Б. Полонський, М . С. Якір.

Х..

: Тh.щазія, 2010. -

416 с. :іл . ISBN 978~966-474-093-4. УДК

(878.5: 372.851):[512.1

+ '5 17.1)

ББК 22.141я721.6

~ А.

r. М~рЗЛJІк, Д. А. НоміровсьКІ1іі,

В. Б. Лолонський, М. С. Яхір,

2010

~ Кулинич С. Е.. художнє офорМJІекІU,

ISBN 978-966-474-093-4

20 І О 2010

ВІдавторІв nІО&І ДЕСSП'ИІ<nАСНИКИІ Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет

алгебру

і початки аналізу. Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи,

географи та економісти, навіть мовознавці та історики викори стовують •математичний інструмент•.

Алгебра і початки аналізу

корисний і дуже цікавий nред

мет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі навички, математичну культуру, кмітливість.

Ви зробили серйозний життєвий крок: вирішили продовжити освіту в профільному класі, де математика вивчається на підви

щеному рівні. Ми вітаємо вас з цим вибором і сподіваємося, що ви не розчаруєтеся у своєму рішенні . Навчатися в профільному класі не просто. Потрібно бути напо легливим і завзятим, уважним і акуратним, при цьому найголов

ніше

не бути байдужим до математики, а любити цю красиву

науку. Сподіваємося, що ви з інтересом будете засвоювати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте . Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Підручник розділено на п'ять параграфів, кожний з яких скла дається з nунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал .

Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирвим шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом.

Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується при кладами розв' язування задач . Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв'язання. До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв'я зування, приступати до яких радимо лише після засвоєння

теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи , так і складні задачі (особливо ті, які позна чено зірочкою

(*)).

Крім того , у підручнику ви зможете прочитати оповідання з історії математики, зокрема про діяльність видатних українських математиків . Назви цих оповідань надруковано синім кольором .

Дерзайте! Бажаємо успіху!

Відавторів

ШАНОВНІ КОЛЕГИ! Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з nідвищенm.t рів

нем викладання математики

робота нелегка. Організація такого

навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор мує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох

nосібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається .

У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний ма теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв'язати не можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зруч ніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати nринцщm рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Черноним кольором позначено номери задач, що рекоменду

ються для домашньої роботи , смвім кольором

номери задач,

які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв'язувати усно.

Бажаємо творчоrо натхнення й терп.іmш ~

УмовнІnо3начення

,.;

завдання., що відповідають nочатковому і середньому рівням навчальних досягнень; завдання, що відповідають достатньому рівню на вчальних досягнень;

завдання, що відnовідають високому рівню навчаль них досягнень;

задачі для математичних гуртків і факультативів;

задачі, у яких отримано результат, що може буТи використаний при розв'язуванні інших задач; закінчення доведення теореми;

рубрика «Коли зроблено уроки• .

множини ••

ОПЕРАЦІІ

НАД МНОЖИНАМИ

§ 1. Множини . Операції над множинами

Множина та Ті еnементи Ми часто говоримо: косяк риб; зграя птахів; рій бджіл; колек ція марок; зібрання картин; набір ручок; букет квітів; компанія друзів; парк машин; отара овець.

Якщо в цих парах перетасувати перші слова, то може вийти смішно. Наприклад, букет овець, косяк картин, колекція друзів

тощо. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція картин, колекція ручок, колекція машин тощо, достатньо прий

нятні. Справа в тому, що слово •колекція• досить універсальне.

Однак у математиці є більш всеоснжне слово, яким можна заміни ти будь-яке з перших слів у наведених парах. Це слово множина. Наведемо ще кілька прикладів множин:

• • • •

множина учнів вашого класу;

множина планет Сонячної системи; множина двоцифрових чисел;

множина пар чисел (х; у), які є розв'язками рівняння

х2

+ у2 = 1.

Окремі найважливіші множини мають загальноприйняті на зви та позначення:

• •

множина точок площини

геометрична фігура;

множина точок, яким притаманна певна властивість,

геометричне місце точок (ГМТ);

•

множина значень аргументу функції ня функції

•

яку позначають

множина значень функції

область визначев

D(f);

область значень функції

яку позначають Е (f);

• • • •

множина натуральних чисел, яку позначають буквою

множина цілих чисел, яку позначають буквою

множина раціональних чисел, яку позначають буквою множина дійсних чисел, яку позначають буквою

Множини

N, Z, Q, IR-

IR.

приклади числових множин. Також

прикладами числових множин є числові проміжки . Наприклад, проміжки

[-3; 2], (5;

+оо), (-оо;

-4]

є числовими множинами,

Як правило, множини позначають великими латинськими літерами: А, В, С,

тощо.

Об'єкти, які складають множину, називають елементами цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: а, Ь, с,

тощо.

Якщо а належить множині А, то пишуть а е А (читають: •а належить множині А• ). Якщо Ь не належить множині А, то пишуть Ь ~ А (читають: •Ь не належить множині А• ).

Наприклад, 12 е N, -3

Множина та її елементи

~eQ, ~EZ.

t N,

Якщо множина А складається з трьох елементів а, Ь, с, то

пишуть А = {а, Ь, с}. Наприклад, якщо М

ла

то пишуть М =

множина натуральних дільників чис

{1, 2, 3, 6}.

Множина дільників числа

які є складеними числами, має такий вигляд:

{6}.

Це приклад

одвоелемеитиої множини. Позначення множини за допомогою фігурних дужок, у яких указано список її елементів, є зручним у тих випадках, коли

множина складається з невеликої кількості елементів.

ОаваІІеннн. Дві мвоживи А і В вазивають рІаакмк, якщо вови складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожвий

елемент мвоживи А належить мвоживі В і, навпаки, кожвий елемент мвоживи В належить мвоживі А. Якщо множини А і В рівні, то пишуть А = В.

З означення випливає, що мкожика одкоакачко виакачаєть ся своїми ел.емен.тами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не

має значення. Так, множина, яка складається з трьох елементів а, Ь, с, припускає шість варіантів запису:

{а, Ь, с}, {а, с, Ь}, {Ь, а, с}, {Ь, с, а}, {с, а, Ь}, {с, Ь, а}. Оскільки з означення рівних множин випливає, що, напри

клад, {а, Ь, с}

= {а, а, Ь, с}, то надалі будемо розглядати множини,

які складаються з різних елементів . Так, множина букв слова •шаровари• має вигляд {ш, а, р, о, в, и}.

Зауважимо, що {а} :~: {{а}}. Справді, множина {а} складаєть ся з одного елемента а; множина {{а}} складається з одного еле мента- множини {а}. Найчастіше множину задають одним із двох таких способів. Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указан ням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких

зазначали список її елементів. Зрозуміло, що не всяку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати не можна .

Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична властивість елементів множини, тобто властивість, яка прита манна всім елементам даної множини і тільки їм. Наприклад,

властивість •натуральне число при діленні на задає множину непарних чисел.

дає в остачі

1•

§ 1. Множини . Операції над множинами Якщо х·

довільний елемент множини А, яку задано за до

помогою характеристичної властивості ії елементів, то пишуть

А= {хІ

... }.

Тут після вертикальної риски вказують характерис

тиЧну властивість, якій має задовольняти елемент х, щоб нале жати множині А.

Розглянемо кілька прикладів.

• •

{х І х = Зп, n е N} - множина натуральних чисел, кратних З. {хІх (х2 - 1) = О} -множина коренів рівняннях (х 2 - 1) = О. Ця множина дорівнює множині

{-1,

О,

1},

яку, у свою чергу, мож

на задати за допомогою іншої характеристичної властивості:

•

{х І х е Z, І х І < 2}. 2 Тому можна записати, що {х І х (х - 1) = О} = ={хІх е Z, Іх І< 2}. Нехай (х; у) - координати точки. Тоді множина точок {(х; у) І у = = 2х - 1, х- будь-яке число} - пряма, яка є графіком функції у= 2х-

Узагалі, для точок координатної площини множина {(х; у) І у=

= f (х), х е D (f)} -

це графік функції

У геометрії, задаючи множину точок за допомогою характе ристичної властивості, тим самим задають ГМТ.

•

Якщо А, В

дані точки площини, Х

площини, то множина {Х І ХА = ХВ}

довільна точка цієї

серединний перпен

дикуляр відрізка АВ.

Якщо задавати множину характеристичною властивістю їі еле

ментів, то може статися, іцо жодний об'єкт такої властивості не має. Розглянемо приклади.

•

Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам

1, 2, 5.

З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента.

•

Позначимо через А множину учнів вашого класу, які є май страми спорту з шахів . Може виявитися, що множина А також не містить жодного елемента .

•

Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, с_лід передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має. Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності

множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить

жодного елемента. Її називають порожньою мвоживою і позна чають символом

Наприклад, {х І Ох =

2} = {х І х е N, х < 1} = 0. {0} не є порожньою.

Зазначимо, що множина один елемент

порожню множину.

Вона містить

Множина та її елементи

ПРИКЛАд І Доведіть, що множина А всіх парних натуральних чисел дорівнює. множині В чисел, які можна подати у вигляді суми двох непарних натуральних чисел.

Розв'язання. Нехай х е А. Тоді можна записати, що х де

натуральне число. Маємо: х

m -

= 2m = (2m -

1) + 1.

=2m, Оrже,

х е В. Тепер припустимо, що х е В. Тоді х = де

n і k - натуральні = 2 (n + k- 1). Оrже, х е

(2n- 1) 2n - 1

числа. Маємо: х =

+ (2k- 1), + 2k - 1 =

А.

Маємо: якщо х е А, то х е В, і навпаки, якщо х е В, то х е А. Звідси А= В.

Вnрави

1: Як

називають множину точок кута, рівновіддалених від його

сторін?

2. •

Як називають множину вовків, які підкорюЮться одному ватажку?

8.'

4. ·

Назвіть яку-небудь множину запорізьких козаків. Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі?

а.· Поставте замість зірочки знак е або Е так, щоб отримати правильне твердження:

1) 5

* N;

~)О*

З)

* Q; _!*z·

-5

З , 14

* Q;

7) 8)

.J2 *IR; J3 *0.

6: Данофункцію f (х) = х + 1. Поставте замість зірочки знак е 2

або Е так, щоб отримати правильне твердження:

7.'

* D (f);

О*

З) О

D (f);

* Е (f);

5) 1,01

* Е (f).

~*E(f);

Які з наступних тверджень є правильними :

1) 1 2) 1

е Е

{1, 2, {1};

З};

З) {1} 4) {1}

е е

{1, 2}; { {1} };

5) Q! 6) Q!

в: Запишіть множину коренів рівняння:

1) х (х - Н = О; 2) (х - 2) (х2 - 4) = О;

З) х = 2; 4) х 2 + З = О .

{1, 2};

{Q!}?

§ 1. Множини . Операції над множинами

9."

Задайте переліком елементів множину:

1) 2)

правильних дробів ' зі знаменником

правильних дробів, знаменник яких не перевищує

3) букв у слові •математика•;

4) цифр числа 5555. 10: Задайте переліком елементів множину: 1) А= (х І х е N, х 2 - 1 = О}; 2) В = {х І х Е Z, І х І < 3}; 3) С = {х І х Е N, х ..;; 15, х = 7k, k Е Z}. 11." Задайте переліком елементів множину: 1) А = {х І х Е Z, х (2 І х І - 1) = О};

2) В = {х І х Е N, -3 ..;; х < 2}.

12. • Чи

рівні множини А і В, якщо:

1) А= {1, 2}, В = {2, 1}; 2) А = {(1; 0)}, В = {(О; 1)};

3) А= {1},

В=

{ {1} }?

13." Чи рівні множини А і В, якщо: 1) А= [-1; 2), В= (-1; 2]; 2) А- множина коренів рівняння Іх І= х, В= [О; +оо); 3) А - множина чотирикутників, у яких протилежні сторо ни попарно рівні; В множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?

14." Які з наступних множин дорівнюють порожній множині : 1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°; 2) множина гірських вершин заввишки понад 8800 м; 3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої вона проведена;

11."

множина функцій, графіком яких є коло?

Нехай О -

задана точка площини . Що являє собою множина

точок М цієї площини:

1) {МІ ОМ= 3 см}; 2) {М І ОМ > 5 см};

16.·

3) {МІ ОМ..;; 5 см}?

Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:

1) A={xlxeZ,

~х-2=0};

4) D =

2) В= {хІх* х}; 3) С ={хІх Е Z, ІхІ < 1};

{х І3х 4 + 5х2 + 7 =О};

5) Е ={хІх ' > Іх!}?

Підмножина . Операції над множинами

ПІдмножина. ОперацІТ над множинами Розглянемо множину цифр десяткової системи числення

А=

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Виокремимо з множини А ті

її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину

В=

{0, 2, 4, 6, 8},

усі елементи якої є елементами множини А.

Означевни. Мвоживу В вазивають аідмао888ОІО мвоживи А, якщо кожвий елемент мвоживи В є елементом мвоживи А .

Це записують так: В сА або А=> В (читають: «множина В є під множиною множини А• або «множина А містить множину В• ). Розглянемо приклади:

IZ., IZ.

•

{хІ2х-1=0}с{хІх =~};

• •

Q, Q => N, Q 2

•

IR;

с Рис.

{а} с {а, Ь}; множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи;

• •

множина ссавців є підмножиною множини хребетних;

множина точок променя СВ є підмножиною множини точок прямої АВ (рис.

1).

Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами Ейлера. На рисунку

зображено множину А (більший круг) і мно

жину В (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема

означає, що В с А (або А На рисунку

В).

за допомогою діаграм Ейлера показано співвід

ношення між множинами

N, IZ., Q

IR.

Nc/Z.cQc!R Рис.

Рис.

§ 1. Множини. Операції над множинами Якщо В с А, то за допомогою рисунка

можна зробити такі

висновки:

1) для того щоб елемент х належав множині А, достатньо, щоб він належав множині В;

2) для

того щоб елемент х належав множині В, необхідно, щоб

він належав множині А. Наприклад, якщо А а В

множина натуральних чисел, кратних

10,

Вс А. Тому для того, щоб натуральне число

Е А), достатньо, щоб воно було кратним

щоб натуральне число воно було кратним

5 (n

було кратним

10 (n

то очевидно, що

було кратним

10 (n

Е В). Для того

Е В), необхідно, щоб

Е А).

Із означень підмножини і рівності множин випливає, що коли А с в і в с А, ТО А = в. Якщо в множині В немає такого елемента, який не належить множині А. то множина В є підмножиною множини А. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будь якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині А. Тому для будь-якої множини А справедливе твер

дження:

с А.

Будь-яка множина А є підмножиною самої себе, тобто А с А.

Озвачевва. Якщо Вс А і В*" А, то множину В називають

••ае•~• •І••••••••• мвоживи А. Наприклад, множина ни

IZ.

є власною підмножиною множи

.....иІАД І Випишіть усі підмножини множини А = {а, Ь, с}. Розв'язання. Маємо: {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {Ь, с}, {а, с}, {а, Ь, с},

Усього отримали

підмножин. В

класі буде доведено, що

кількість підмножин п-елементної множини дорівнює НехайА-множина розв'язків рівняннях+ у= жина розв'язків рівняннях- у=

2n .

а В- мно

Тоді множи:на С розв'язків

системи рівнянь

{

х+у=5. х-у=3

складається з усіх елементів, які належать і множині А, і мно

жині В. У такому випадку кажуть, що множина С є перетином множинА іВ.

Підмножина . Операції над множинами

Озвачеввя. Пере'І'ВВОМ мвожив А і В називають множи ну, яка сКJІадається з усіх елементів, що належать і мвожи ві А, і мвоживі В. Перетин множин А і В позначають так: АnВ.

означення випливає, що

nВ=

{х І х е А і х е В}.

Легко переконатися, що розв'язком системи, яка розглядала ся, є пара

(4; 1).

Цей факт можна записати так :

{(х; у) Іх+ у= 5}

{(х; у) Іх- у= 3} = {(4; 1)}.

Якщо множини А і В не мають спільних елементів, то їх пере

тином є порожня множина, тобтоАnВ =

щоАn

3 то А

Також зазначимо,

0= 0 .

означення перетину двох множин випливає, що коли А с В,

= А,

зокрема, якщо В

= А,

то А

= А.

Наприклад,

Q n N = N,

z n ІR = z.

Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ей лера. На рисунку

4 заштрихована фігура зображує

а) Рис.

множину А

В.

Для того щоб розв'язати рівняння (х - х) (х - 1) =О, треба розв'язати кожне з рівнянь х 2 - х =О і х 2 - 1 =О. 2

Маємо: А= В=

{-1, 1}-

множина С =

{0, 1} -

множина коренів першого рівняння,

множина коренів другого рівняння . Зрозуміло, що

{-1,

О,

1},

кожний елемент якої належить або мно

жині А, або множині В, є множиною коренів заданого рівняння. Множину С називають об'єднавням множин А і В .

Озвачеввя. Об'єдваввям мвожив А і В вазивають множину, яка сКJІадається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих

множив: або мвоживі А, або мвоживі В. Об'єднання множин А і В позначають так: А випливає, що

В = {х І х е А або х е В}.

U В. 3

означення

§ 1. Множини. Оnерації над множинами Наприклад,

(-3; 1) U

(О;

2] = (-3; 2],

(-оо;

1) U (-1;

+оо)=

;, (-оо; +оо). Об'єднання множин ірраціональних і раціональних чисел до рівнює множині дійсних чисел .

Якщо треба знайти об'єднання множин розв'язків рівнянь (нерівностей), то кажуть, що треба розв'язати сукупність рівнянь (нерівностей). Сукупність записують за допомогою квадратної

дужки. Так, щоб розв'язати рівняння (х 2 - х) (х 2 - 1) =О, треба розв ' язати сукупність рівнянь

-х=О, [ х: -1=0. х

Зауважимо , що А

= А.

означення об'єднання двох множин випливає, що коли

А с В, то А

В = В, зокрема, якщо В

А, то А

uА

=А.

Об'єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку

ну А

заштрихована фігура зображує множи

В.

••• а)

Рис.

в)

Часто доводиться розг01ядати перетин і об'єднання трьох і більше множин . Перетин множин А, В і С

це множина всіх елементів, які

належать і множині А, і множині В, і множині С (рис.

6).

Наприклад, щоб розв'язати систему рівнянь

х+у=5, х-у=3,

. х 2 +у 2 =17, треба знайти перетин трьох множин: {(х, у) Іх+ у= 5}, {(х, у) Іх - у = 3} і {(х, у) І х 2 + у 2 = 17}. Об'єднання множин А, В і С- це множина всіх елементів,

які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В, або множині С (рис.

7).

Наприклад, об'єднання множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників

це множина всіх трикутників.

Підмножина . Операції над множинами

AUBUC Рис.

Рис.

П,..ІСІІАД І Знайдіть перетин множин А і В, якщо:

1) А= {х І х = 5k, k Е N}, В = {х І х = Зп, n Е N}; множина ромбів, В - множина прямокутників; З) А = {х І х > З}, В = {х І х ..;; 4};

2) А -

4) А

= {х І х Е

N, х

= 2m, т

N}, В - множина простих чисел.

Розв'язання

1) А В

множина натуральних чисел, кратних

множина натуральних чисел, кратних З.

Тоді множина А кратних

В складається з усіх натуральних чисел,

і З одночасно, тобто з усіх натуральних чисел, крат

15. Отже, А n в = {х І х = 15k, k Е N}. 2) Множина А n В складається з усіх

них

чотирикутників, які

одночасно є і ромбами, і прямокутниками. Отже, шукана мно жина

це множина квадратів.

З) АnВ= {х ІЗ< х..;; 4}.

4) А -

множина парних натуральних чисел. Оскільки у мно

жині простих чисел є тільки одне парне число (число

Аnв=

2),

то

{2}.

П'ИІСІІАД І Знайдіть об'єднання множин А і В, якщо: 1) А= {хІх= 2k- 1, k Е N}, В= {хІх= 2n, n Е N}; 2) А= {хІх= 2k- 1, k Е N}, В= {хІх= 4n + 1, n Е N}; З) А = {Х І ОХ < З}, В = {Х І ОХ = З}, де О і Х - точки пло щини, О- дана точка. Розв'язання

1) А -

мноЖина непарних натуральних чисел, В

парних натуральних чисел. Тоді А

них чисел, тобто А

UВ -

множина

це множина натураль

U В= N.

множина непарних натуральних чисел. Елементами

множини В є тільки непарні числа. Отже, В с А. Тоді А

UВ =

=А= {хІх= 2k- 1, k Е N}. З) Очевидно, що А U В = {Х І ОХ ..;; З}. Отже, А U В круг з центром О і радіусом З.

це

§ 1. Множини. Операції над множинами В п рави

17.'

Назвіть кілька підмножив учнів вашого класу.

18:

Назвіть які-небудь геометричні фігури, які в підмножинами множини точок nрямої.

1.9.~ Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами ~ожини точок :круга.

20:

Нехай А ·- множина букв у слові •координата•. Множина букв якого слова є nідмножиною множини А:

1) кора; 2) дірка; 3) картина; 21.' НехайА -

4) крокодил; 5) нитки; б) нирки; множина цифр

1) тин; 10) дорога; 8) криниця; 11) дар; 9) сокирка; 12) кардинал? числа 1958. Чи є множина цифр

числа х підмножиною множини А, якщо:

1) х = 98; 3) х = 519; 5) х =195888; 2) х = 9510; 4) х = 5858; б) х = 91258? 22: Нехай А~ eJ. Які дві різні підмножини завжди має множина А? 23.' Знайдіть , перетин множин цифр, які використовуються в заnису чисел:

1) 555288 і 82223; 24. • Нехай А - множина

2) 470713 і 400007. двоцифрових чисел, В

простих чисел. Чи належить множині А

31, 57, 9б? 25: Знайдіть множину

множина

В число:

спільних дільників чисел

5, 7, 11,

45.

2б." Знайдіть об'єднання множив цифр, які виJ<ористовуються в запису чисел:

1) 27288 і 5б383; 2) 55555 і 777777. 27." Які з настуnних тверджень є правильними: 1) {а) є {а, Ь} ; 3) а с {а, Ь}; 2) {а} с {а, Ь}; 4) {а, Ь} є {а, Ь}? 28." Доведіть , що коли Ас В і Вс С, то АсС. 29.• Розl\'Іістіть дані WJожини у такій nослідовності,

щоб кожна

наступна множина була підмножиною nоnередньої :

1) А -

множина прямокутнИRів;

множина чотирикутників;

множина Rвадратів;

_[)-множина nаралелограміві

2) А -

множина ссавців;

В- множина собачих;

1\'ІНожина хребетних;

2. Підмножина. Оnерації над множинами D -

• ''·

множина вовків; множина хижих ссавців .

Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення між

множинами:

1) А

- множина невід'ємних раціональних чисел;

В= {О};

N - множина натуральних чисел; 2) Z - множина цілих чисел; А - множина натуральних чисел, кратних б; В - множина натуральних чисел, кратних 3. 31." Запишіть за допомогою символу с співвідношення

між мно

жинами:

А = {х І х = 2n,

32 • Яка

Е N};

= {х І х = lOn, n е N}; = {х І х = 5n, n Е N}.

з множин А або В є підмножиною другої, якщо:

А= {х І х

33."

= {х І х = 50n, n

= 4n + 2, n

Дано множини

Е N};

= {х І х = Bn + 2,

n Е N} ? {7}, {11}, {19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, 0,

які є всіма власними підмножинами деякої множини А. За пишіть множину А.

3 .

Запишіть усі підмножини множини

{1, 2).

~.'Опишіть мовою •необхідно й достатньо• належність елемен та х множинам А, В і С (рис.

а)

36 • Замість

8).

в)

краnок nоставте слово •необхідно• або •достатньо•,

щоб утворилося nравильне твердження:

для того щоб трикутник був рівностороннім,

... ,

щоб два

його кути були рівні;

для того щоб чотирикутник був паралелограмом,

... ,щоб

дві його сторони були паралельні;

для того щоб число ділилося націло на ділилося націло на

4) для

3, ... ,

щоб воно

того щоб остання цифра десяткового запису числа була

нулем,

... ,

щоб число було кратне

§ 1. Множини. Операції над множинами

37:

Відомо, що для будь-якої множини В множина А є їі під

множиною . Знайдіть множину А. зв: Які з наступних тверджень є правильними:

1) {а, Ь} 2) {а, Ь}

n {а} = а; n

3) {а, Ь} 4) {а, Ь}

{а} = {а, Ь};

n {а} = {а}; n

{а} = {Ь}?

39: Знайдіть перетин множин А і В, якщо: 1) А - множина рівнобедрених трикутників,

множина

множина прямокутних трикутників, В

множина

рівносторонніх трикутників;

3) А -

множина двоцифрових чисел, В

них чисел, кратних

4) А -

множина натураль

19;

множина одноцифрових чисел, В

множина простих

чисел.

40:

Знайдіть перетин множин А і В, якщо:

1) А = {х І х < 19}, В= {х І х е N, х > 11}; 2) А = {х І х = 4n, n е N}, В = {х І х = 6n, n е N}; 3) А = {(х; у) І 2х - у = 1}, В = {(х; у) І х + у = 5}. 41: Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3) трикутник; 4) п'ятикутник; 5) шестикутник. 42. • Які фігури

можуть бути перетином двох променів, що лежать

на одній прямій?

43:

Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність

44. •

А. Знайдіть множину А.

Які з наступних тверджень є правильними:

1) {а, Ь} 2) {а, Ь}

u u

{Ь}

= {а,

{Ь}

= {Ь};

3) {а, Ь} u {а} 4) {а, Ь} U {Ь}

Ь};

= {а};

= {{Ь}}?

45: Знайдіть об'єднання множин А і В, якщо: 1) А - множина рівнобедрених трикутників,

множина

рівносторонніх трикутників;

множина простих чисел, В

множина складених

чисел;

3) А - множина простих чисел, В - множина непарних 46.· Знайдіть об'єднання множин А і В, якщо: 1) А = {х І х 2 - 1 = 0}, В = {х І (х - 1) (х - 2) = О}; 2) А = {х І 2х + 3 = 0}, В = {х І х 2 + 3 = 2}; 3) А = {х І х е N, х < 5}, В = {х І х е N, х < 7}. 18

чисел .

3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

47." Накресліть два трикутники так, щоб їх об'єднанням був: 1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може об'єднання трикутників бути відрізком?

48:

Які фігури можуть бути об'єднанням двох променів, що ле

жать на одній прямій?

49."

Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність

А U В

50."

В. Знайдіть множину А.

Наведіть . приклад такої одноелементної множини, що її еле

мент є одночасно підмножиною даної множини .

Скінченні множини. Взаємно однозначна

· відповідність Якщо множина містить скінченну кількість елементів, то її на зивають сківчеввою, а якщо в ній нескінченно багато елементів

то весківчеввою . Порожню множину вважають скінченною. Наприклад, множина учнів вашого класу жина,

а множина натуральних

чисел

скінченна мно

нескінченна множина.

Якщо А

скінченна множина, то

кількість її елементів позначатимемо так:

(А).

Наприклад, якщо А тижня , тоn (А)=

це множина днів

7; якщо В-

це множи

на двоцифрових чисел, тоn (В)= зуміло, що

n (0) =

90.

Рис .

Зро

О.

Нехай А і В- такі скінченні множини, що АnВ= очевидно ,

n Якщо А і В то до суми

Тоді

що

(А)

(А

В)

= n (А) + n (В) .

скінченні множини, причому А

(1)

n В "* 0

(рис.

9),

(В) двічі входить кількість елементів їх пе

ретину, тобто двічі враховується число

(АnВ) . Оrже, у цьому

випадку

І n (А u В) = n (А) + n (В) КолиАnв

= 0,

ненням формули

(А n В) І

ТОn (АnВ)= о . Тому формула

(1). 19

(2)

(2) є узагаль

§ 1. Множини. Операції над множинами ПРИКЛАД

У фізико-математичному .класі

люблять математику. Відомо, що

25 учнів, і всі вони 23 учні люблять алгебру, а 21-

геометрію. Скільки учнів цього класу люблять і алгебру, і гео метрію? Розв' язан.н.я. НехайА - множина учнів, які люблять алге бру, В - множина учнів, які люблsrгь геометрію. Тоді

(В) =

21, n

(А

В)=

ВодночасА n В

25.

які люблять і алгебру, і геометрію.

(А

В) =

(А)

(В)

(А

В) =

n (А) = 23,

множина учнів ,

3 формули (2) отримуємо 23 + 21 - 25 = 19.

З 'ясуємо, як знайти кількість елементів множини А де А, В і С

Рис.

Якщо А

U В U С,

скінченні множини .

(А

Рис.

(рис.

ЯкщоА n

то зрозуміло, що

10),

u В u С) = n (А) + n

- n (А n В n С ~ 12)

В)

- n

(рис.

(В

11),

С)

(В) +

- n

(С

(С)

(3)

n А).

то права частина формули

(3)

не враховує кількості спільних елементів множин А, В і С. Отже, у цьому випадку формула набуває вигляду:

n - n

(А

В)

- n

С) =

(В

С)

(А)

- n

+ n (С) + n (А n В n

(В)

(С n А)

(4)

С).

Аналогічну формулу можна отримати для будь-якої кількості

множин. rї називають •формулою включення-виключення•. ПРИКЛАД

У спортивній школі є три секції: акробатики, бас

кетболу, волейболу. Відомо, що школу відвідують рів, а кожну із секцій

200

школя

школярів. Доведіть, що знайдеться

школярів, які відвідують одні й ті самі дві секції. Р озв' язан.н.я. Позначимо множини школярів, які відвідують

секції акробатики , баскетболу й волейболу, буквами А, Б і В

відповідно. Тоді

(А

В) =

200, n (4):

(А)

= n (Б) = n (В) = 80.

Підставимо ці значення у формулу

200

= 80 + 80 + 80 - n (А n Б) - n (Б n В) - n (В n А) + n (А n Б n В). 20

3. Скінченні

множини. Взаємно однозначна відповідніаь

Звідси

(А

Б)

+ n (Б n

В)

(В nА)

= 40 + n (А n

Якщо приnустити, що кожне з чисел

n (В nA) не перевищує 13,

(А

Б),

то їх сума не перевищує

В) ~

40.

39.

(Б

В),

Оrри:мали

суперечність . Нам доволі часто доводиться порівнювати скінченні :множини за кількістю їх елементів. Як дізнатися, чи вистачить у шкільній бібліотеці підручни ків з алгебри і початків аналізу для десятикласників? Звичайно, :можна порахувати окремо учнів і підручники . а можна видати

підручники учням. Якщо , наприклад, усім підручників виста

чить, а в бібліотеці не залишиться жодного підручника, то це означатиме, що десятикласників і підручників однакова кількіс1'Ь . Так само, щоб дізнатися, чи вистачить стільців у класі , зовсім не обов'язково їх перераховувати. Достатньо запросити учнів сісти

на стільці. Якщо, наприІ<лад, місць вистачить не всім, то це озна чаТІіМе, що кількість учнів більша, ніж кількість стільців. У цих nрикладах, nорівнюючи кількість елементів двох мно

жин, ми кожному елементу однієї .множини поставили у відпо· вtдність едипий eJІ.e.r,t.eнm другої .м~-tожини. Скористаємося цією ідеєю в ваступиому прикладі.

ПРИКЛАД

Порівняйте кількість елементів множини А двоциф

рових чисел і мвоживи В тр•щифрових чисел, десятковий запис яких закінчується цифрою

Ро s в ' я з а н. ня. Поставимо у відповідність кожному двоциф ровому числу те трицифрове число, яке отримаємо з нього, при

писавши справа одиницю. Дістанемо:

10,

11,

12,

101 ,

ll j,

12 і ,

...• ...•

98,

98 1,

991

Зазначимо, що за такої відповідності всі елементи :множини В виявляться •задіяними• . Справді, якщо в числі виду

abl_ закрес

лити останню цифру , то отримаємо двоцифрове число аЬ. На основі відповідності між елементами множин А і В :можна

зробити висновок, що Означення.

(А)

= n (В).

Якщо кожвому елементу мвоживи А поставле·

во у відповідвість єдиний елемент мвоживи В і при цьому будь

ЯІСJІЙ елемент мвоживи В є відповідвим деякому єдиному елемен ту мвоживи А, то кажуть, що між мвоживамн А і В вставоuево взаємно однозначку відповідність.

.§ 1•.множини. Оnерації над множинами У nрикладі

кожному двоцифрово114у ч~слу було постав

лено у відповідність єдине трицифрове число зазвачекоrо ви глиду і, навпаки, кожне таке трицифрове число є відповідким єдиво:му двоцифровому числу . Отже, між множинами, що розгля даються, було встановлено взаємно однозначну відnовідність. Зазначимо, що коли в класі всі учні сидять і при цьому є вільні стільці, то між мвоживою учнів і множиною стільців взаємно однозначної відповідвості не встановлено. Цікаво, що з дитинства кожвому з нас неодноразово доводило

ся встановлювати взаємно однозначні відповідності. Дитина, про мовляючи •один•, •два•, •три• і при цьому послідовно показуючи

ва машинку, м'ячик і коника, тим самим встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною своїх іграшок і множи

ною

{1, 2, 3}.

Рахуючи іграшки, дитина ніби прив'язує до кож

ного з предметів ирлики з написами

•1•, •2•, •3•.

Зауважимо,

що, показуючи іграшки в іншому порядку, наnриклад, •м'ячик•, •коник•, •машинка• , одержуємо іншу взаємно однозначну JJід по:в'ідність між цими множинами.

Якщо .між скінченни.м.и .м.ножина.м.и А і В встановлено вза· ємно одн.означну відповідність, то

n {А) = n (В),

(А)

= n (В). І навпаки, якщо

то .між скінченни.м.и .множинами А і В .можна вета·

новити взаємно однозrjачну відповідність. Отже, між скінченними множинами з різною кількістю еле ментів неможливо встановити взаємно однозначну відповідність. Це дозволяє сформулювати таке правило . Якщо .між скінченни.ми .м.ножина.м.и А і С встановлено взає.м.но

однозначну відповідність і С с В, С

* В, то n (А) < n (В).

Вправи

51: Кожний

32 учнів класу вивчає щонайменше одну іноземну 20 вивчають англійську мову і 18 - французьку.

мову. ·З вих

Скільки учнів вивчають і англійську, і французьку мови?

5~. " Відомо. що

мешканців будинку тримають котів і собак,

з них мають котів, а

-собак. Скільки меmк8.вців ма

ють і собаку, і кота?

53: З анкети, nроведеної в класі, з' ясувалося, що з 30 учнів класу 18 мають брата, 14 - сестру, а у 10 учнів є сестра і брат. Чи є в цьому класі учні , у яких немає ні сестри, ні брата?

3. Скінченні

54:

У грудні було

тер і

множини . Взаємно однозначна відповідність

ясних і затишних днів,

днів був ві

днів ішов сніг . Скільки днів у грудні була хуртовина

(сніг і вітер)?

м: Чи встановлено взаємно однозначну відповідність між мно жинами А і В (рис.

12)?

Точками на рисунку зображено еле

менти множин.

а)

в)

Рис.

56: Одинадцять

г)

гравців футбольної команди отримали футбол

ки з номерами від

1 до 11.

Між якими множинами встановлено

взаємно однозначну відповідність?

57.'

У результаті жеребкування кожна з

пар фігуристів отри

мала порядковий номер її виступу . Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?

58: Кожний глядач, який прийшов до кінотеатру , купив квиток із зазначеними рядом і місцем. Між якими множинами вста

новлено взаємно однозначну відповідність?

59;

Між першими

n натуральними числами і правильними дро

бами зі знаменником

повідність . Знайдіть

7 n.

установлено взаємно однозначну від

во: Кожному елементу множини

{n, n + 1, n + 2},

де

по

ставили у відповідність остачу від ділення цього елемента на

Чи встановлено таким чином взаємно однозначну відповідність

між множинами

{n, n + 1, n + 2}

і {О ,

1, 2}?

61: В олімпіаді взяли участь 46 учнів. Їм було запропоновано розв'язати 3 задачі. Після підведення підсумків з'ясувалося , що кожен з учасників розв'язав хоча б одну задачу. Пер шу і другу задачі розв'язали

учасників, першу і третю

розв'язали тільки

11 учасників, другу 5 учасників, а всі

і третю

три задачі

учасники. Доведіть, що одну із задач

розв'язали не менше ніж половина учасників.

§ 1. Множини. Оnерації над множинами

Нескінченні множини.

Зліченні множин У попередньому пункТі ми розглядали скінченні множини, між якими встановлено взаємно однозначну відnовідність, і з'ясували, що такі множини мають однакову кількість елементів.

Керуючись nринципом •частина менша від цілого• , доходимо висновку , що колиВ - власна nідмножина скінченної множи ни А, то

(В)

< n

(А). Оrже, між скінченною множиною та Уі

власною підмножиною неможливо встановити взаємно однозначну

відповідність. Оскільки

N с Z,

то, здавалося б, природно вважати , що цілих

чисел більше, ніж натуральних . Проте це не так . Нескінченні множини в цьому сенсі поводяться незвично. Розглянемо множину

і nідмножину М nарних чисел . Мно

жина М є власною nідмножиною множини

Кожвому елементу

поставимо у відповідність єдиний елемент

• •• t

. .. ,

2n,

е М:

При цьому кожне парне число відnовідатиме єдиному вату ральному числу. Тим: самим: між множинами

і М встановлено

взаємно однозначну відnовідність, а тому не можна вважати , що в множині підмножині

міститься більше елементів, ніж в її власвій

мвоживі парних чисел.

Цей приклад показує,

що звичні для нас уявлення про

скінченні множини не можна переносити на нескінченні мно жини.

Узагалі, математиками було доведено, що в будь - я:кій не скінченній 14Вожині А можна виокремити вл.асну nідмножину А

таким чином:, що між множинами А і А

можна встановити вза

ємно однозначну відповідність. Це nринципова відмінність не скінченних множин від скінченних.

Якщо множини А і В є скінчеиним:в і між ним:и встановлено взаємно однозначну відповідність, то

(А)

= n (В). Якщо ж вза

єм:цо однозначну відnовідвість установлево між вескінчевнвми множинами А і В, то в математиці не прийнято говорити, що ці мsоживи мають однакову кількість елементів, а кажуть, що множини А і В мають однакову потужність.

Нескінченні множини . Зліченні множини

Означення. Дві мвожиин вазивають ріввопоту•••••, якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність. Для нескінченних множин слово •потужність• означає те саме, що для скінченних множин •кількість елементів• . Доведемо ще один дивовижний факт: множина точок прямої

рівнопотужна множині точок відкритоrо відрізка (відрізка, у яко го •виколото• кінці), тобто пряма містить стільки ж точок, скіль ки містить їх відкритий відрізок.

На рисунку

зображено пряму

MN,

яка дотикається до

півкола з центром у точці О і діаметром АВ , паралельним пря мій

MN.

Вилучимо з півкола точки А і В. Таке півколо називають

відкритим. Кожній точці Х відкритого півкола поставимо у відповідність

точку Х прямої

MN,

яка лежить на промені ОХ. Зрозуміло, що

точці Х відповідає єдина точка прямої М N і, навпаки, кожна точка прямої

є відповідною єдиній точці відкритого півкола.

Отже, установлено взаємно однозначну відповідність між множи ною точок прямої і множиною точок відкритого півкола .

N Рис.

На рисунку

Рис.

показано , як встановити взаємно однозначну

відповідність між множиною точок відкритого відрізка і множи

ною точок відкритого півкола . Отже, множина точок відкритого відрізка АВ рівнопотужна множині точок прямої У розповіді на с.

MN.

ви дізнаєтесь ще про один несподіваний

факт, у який важко повірити, керуючись лише інтуїцією : множи

на точок сторони квадрата рівнопотужна множині точок квадрата. Означення. Множину, рівнопотужну мвоживі ватуральвих

чисел, вазивають аJІі•еввою мво•ввою. Вище ми показали, що множина парних чисел є зліченною.

Зрозуміло, що жодна скінченна множина не є зліченною. Натуральне число

яке відповідає елементу а зліченної мно

жини А, називають номером цього елемента. Якщо елемент а

має номер

то пишуть: а". Коли встановлюють взаємно одно

значну відповідність між множинами А і

кожний елемент

§ 1. Множини. Операції над множинами множини А отримує свій номер, і ці елементи можна розмістити nослідовно: а , а , а , •• • , а",

•..•

Так, якщо елементи множини Р простих чисел розмісти ти у порядку зростання

З,

5, 7, 11, ... ,

то всі елементи цієї

мвоживи можна пронумерувати:

З,

11,

з.

Тим самим установлено взаємно однозначну відповідність між множинами Р і

У такий спосіб можна поJ<азати, що будь-яка нескінченна під миожина множини

Nє

зліченною (зробіть це самостійно).

На перший погляд здається, що елементи множини

прону

мерувати неможливо: адже множина N є власною підмножиною

множини

Отже, чисел для нумерації не вистачить: усі вони

бу;цуть •витрачені• ва множину

Проте якщо елементи мвоживи довності О,

1, - 1, 2, -2,

З, -З,

....

розмістити у вигляді послі

то тим самим можна кожному

цілому числу вадати свій номер : О,

-2,

з.

-з,

Можна показати, що множина

є також зліченною.

Зазначимо , що не будь-яка вескіичениа множина є зліченною . Можна довести, що, наприклад, множина

не є зліченною.

Впраам

62:

Установіть взаємно однозначну відповідність між мвоживою

натуральних чисел і мвоживою ватуральних чисел, крат них з .

63. • Установіть взаємно однозначну відповідвість між множиною ватуральних чисел і множиною чисел виду 4n + 1 (n е N).

64: Доведіть. що множини парних і иепарвих натуральних чисел рівнопотужні .

65." Доведіть, ·що

мвожива чисел виду

2" (n

зліченна .

Коли зроблено уроки

66. Доведіть, що мвожива чисел виду

67:

.!..n

(n е N) зліченна.

Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною чисел виду

2" (п 0,01; 0,001 ; ... .

68: Покажіть,

і множиною десяткових дробів виду

0,1;

що множини точок сторони і діаrоналі квадрата

рівнопотужні.

f;iH.· Покажіть,

що множини точок будь-яких двох концентричних

кіл рівнопотужні.

70.•• Покажіть,

що множина точок прямої і множина точок кола

з •викодотою• точкою рівнопотужні.

71."" На координатній

nрямій позначили точки О

(0), А (1),

(5).

Доведіть, що:

множина точок відрізка ОА рівнопотужна множині точок відрізка ОВ;

множина точок відрізка ОА з •виколотою• точкою О рівнопотужна множині точок nроменя АВ.

12:· Покажіть ,

що мвоживи точок будь-яких двох відрізків рів

нопотужні .

сеЯ бачу це,

ane

нІяк не можу цьому повІритиІ))

Ці слова належать видатному математику, засновнику теорії множин Георгу Кантору. Вони свідчать про те, що навіть генію часом буває складно примирити свою інтуїцію з формальним результатом.

Мабуть, і ви зазнавали nодібного диском форту , коли логіка міркувань ви.мушувал.а

вас погодитися з тим, що 11а будь-якому, навіть дуже маленькому, відрізку стільки ж

точок , скільки їх на всій прямій.

А чи можна повірити в те, що множина точок квадрата рівноnотужна мвоживі точок

його сторони? Мабуть, ні. Цьому не вірив і са14 великий Кантор.

11 1874

р. в одному зі своїх листів до

видатиого математика Р. Дедекінда

1916}

Кантор писав:

• Чи

(1831-

можна зіставити

nоверхню (наnриклад, квадратну площадку,

Георг Ка!гrор

(1845- 1918)

§ 1. Множини. Операції над множинами включаючи їі межі) з відрізком прямої таким чином, щоб кожній точці поверхні відповідала одна точка на цьому відрізку, і на

впаки?• Кантор думав, що відповідь має бути негативною, і намагався

1877 р .

це довести протягом трьох років. Проте в

він отримує не

сподіваний результат: будує взаємно однозначну відповідність між множиною точок квадрата і множиною точок його сторони .

Ознайомимося з ідеєю доведення Кантора . Розглянемо на координатній площині квадрат з вершинами А (О;

В (О;

0),

1),

(1; 1), D (1;

О) (рис.

15).

Нехай точкаМ (х; у) належить квадра у

ту. Координати х і у задовольняють не

в.,_-----.с

рівності О

..;;

у ----•М

і О

..;;

..;; 1.

= O,o. 1o::.ta3

у .~. О . ІІ,ІІ", fІ :

•••,

... .

Зауважимо , що коли х = Рис.

Тому числа

десяткових дробів:

А О

..;; 1

хі у можна подати у вигляді нескінченних

або у=

то координату можна записати у вигляді

дробу

0,999 ... .

За допомогою цих записів сконструюємо новий десятковий дріб, (<перемішуючи• цифри десяткового запису чисел хі у через одну:

= О,ц 1 ІІ,о)І.а) І , ....

Точці М (х; у) поставимо у відповідність точку К видно, що ця точка належить стороні

(z;

О). Оче

квадрата .

Зрозуміло, що різні точки квадрата мають різні координати. Тому при зазначеній відповідності різним точкам квадрата від

повідають різні точки його сторони

AD 1 •

Після викладеного ви, мабуть, уже не дивуватиметесь тому,

що, наприклад, множина точок куба рівнопотужна множині то чок його ребра. Множини, рівнопотужні множині точок відрізка, називають множинами потужності ковтивууму (від латинського

continuum -

неперервний).

1 Деякі числа мають два десяткових записи . Наприклад, дробам О, 7000 ... і

0,6999 ...

відповідає одне й те саме число. Оскільки ідея доведення Кантора

пов'язана з десятковим записом числа, то в строгому доведевві має бути показа но, як вирішується проблема веодвозвачвості запису числа при встановленні взаємно однозначної відповідності.

ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ,

РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівнОСТJ

Повторення та розширення відомостей

профункцію У повсякденному житті вам часто доводиться спостеріrати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) nри

зводить до зміни іншої величини (залежвої змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Од нією з таІ<ИХ найважливіших моделей є фушщія.. З цим nоняттям: ви ознайомилися в

класі. Нагадаємо й уточ

нимо основні відомості. Нехай Х

множина значень незалежної змінної, У

на значень залежної змінної. Функція

множи

це правило, за допомо

гою якоrо за кожним звачеввям незалежної зміввої з мвоживи Х

можна знайти єдине звачеввя залежної змівної з мвоживи У. Зазвичай незалежну змінну nозначають буквою х, залежну буквою у, функцію (правило) - буквою/. Кажуть, що змінна у функціонально залежить від змінної х. Цей факт nозначають так: у =

(х).

Незалежну змінну ще називають аргументом фующії. Множину значень , яких набуває аргумент, тобто множину Х,

називають областю визначення фуmщії і позначають D

(f) або D

(у).

Так, областю визначення оберневої пропорційності у=.! х

є множина (-оо;

U (О; +оо). Також можна записати

(у)=

= {х Е JR І х "І= О }. У функціональній залежності кожному значенню аргументу х відnовідає певне значення залежної змінної у . Значення за лежної змінної ще називають звачеввям функції і для функції позначають

(х). Множину значень, яких набуває залежна змін

на у, тобто множину У, називають областю значень функції і по-

значають Е (f) або Е (у). Так, областю значень функції у= Гх є множина [О;

+оо) .

Елементами множин

D (f)

і Е

(f)

можуть бути об'єкти най

різноманітнішої nрироди.

Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення

якої

множина многокутників, а область значень

множина

додатних чисел.

Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область

зо

5. Повторення та розширення відомостей про функцію - -- -- - -- - - - -

визначення якої

множина людей, а область значень

мно

жина днів тижня.

Коли

D (f)

і Е

(f)

IR,

функцію

Якщо областю визначення функції значень

множина У, то функцію

f f

називають числовою.

є множина Х, а областю також називають відо·

бражеввям мвоживи Х ва мвоживу У . Слова •відображення• і •функція• є синонімами. Проте термін •відображення• частіше використовують тоді, коли при заданні функції хочуть наголо

сити, які множини є областю визначення і областю значень. На рисунку

проілюстровано відображення множиниХна

множину У (точками позначено елементи множин) .

а)

б)

Рис .

Відображення (рис.

16):

в)

принципово відрізняється від відображень

у відображенні

і ЧJ

кожний елемент множини У є відповід

ним деякому єдиному елементу множини Х. Таке відображення називають взаємно однозвачвим відображеввям мвоживи Х ва мвоживу У. множини М

Наприклад, нумерація елементів деякої зліченної

це взаємно однозначне відображення множини

на множину М. Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначен ня і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної

з області значень. Функцію можна задати одним з таких способів:

• • • •

описово;

за допомогою формули;

за допомогою таблиці;

графічно. Розглянемо кілька прикладів функцій, заданих описово .

Кожному раціональному числу поставимо у відповідність число

а кожному ірраціональному- число О. Функцію, за

дану таким чином, називають функцією Діріхле і позначають

у =

(х). Пишуть: !>(х)=

{

якщо

xeQ,

О, якщохЕQ.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Тут

(у)=

IR,

Е (у)

= {0, 1}.

~ Кожному дійсному числу х поставимо у відповідність найбіль ше ціле число, яке не перевищує число х. Таку функцію на

зивають цілою частивою числах і позначають у

= [х].

Напри-

клад, (.J2] = 1, [2] = 2, (-.J2] =-2. Тут D (у) = IR, Е (у) = Z. ~ Кожному дійсному числу х поставимо у відповідність різницю х- [х]. Таку функцію називають дробовою частивою числах

і позначають у= {х}. Наприклад, {.J2}=.J2-[.J2]=.J2-1, {2} = 2- [2] = 2-2 =о, {-.J2}=-.J2-[-.J2]=-.J2-(-2)=2-.J2. Тут

(у)

= IR,

Е (у)

[О;

1).

~ Кожному від'ємному числу поставимо у відповідність число

-1,

кожному додатному числу- число

нулю- число О.

Функцію, задану таким чином, називають сиrвум (від латин ського

signum-

знак) і позначають у=

sgn

х.

Пишуть:

-1, ЯКЩО Х < 0, sgnx=

{

О,

якщо х=О,

якщох>О .

Значення цієї функції характеризує знак відповідвого аргументу.

Зауважимо, що х · sgn х = І х ~ Розглянемо функцію

f (n) = 1,

у якої

D (f) = N.

Вважатимемо, що

якщо десятковий запис числа 1t містить

що йдуть поспіль, і

f (n)

n цифр 4,

=О, якщо цей запис такої власти

вості не має. Звернемо увагу на те, що значення функції

обчислювати важко. Наприклад, ми не знаємо, чому дорів нює

f (10

ООО ООО ООО) . Проте й у такому випадку функцію

вважають заданою.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що об ластю визначення функції є область визначення виразу, який

входить до формули. Наприклад, якщо функція

задана форму-

лою f(x)= ~. тоП областю визначення є область визначення vx-1

виразу ~. тобто проміжок (1; +оо). vx-1

Значення однієї функції можуть слугувати значеннями аргу менту іншої функції.

Наприклад, розглянемо функції f (х) = 2х - 1 і g (х) = х2 + х + 1. Тоді f(g(x)) = 2g(x)- 1 = 2 (х2 + х + 1)- 1 = 2х 2 + 2х + 1. Отже,

Повторення та розширення відомостей про функцію

можна говорити, що формула у = 2х У= f (g (х)).

+ 2х + 1

Якщо значеннями аргументу функцjї

задає фуВl(цію

є значения функції g ,

то говорять, що задано складеву функцію у=-

(g (~)).

Існують функції, які на різних підмножинах області визва чення задаються різними формулами. Наприклад, у-

{ 2х-1,

якщо х <1, якщо .r > 1.

Такі функції називають кусково заданими.

Спосіб заданнн функції однією чи кількома форму лами на зивають аналітичним. У тих випадках, коли область визначення функції є скінчен ною мвоживою і кількість її елемеfітів не дуже велика, зруч_но

використовувати табличний спосіб задання функції. Цей спосіб досить часто використовують на практиці . Так, результатом запису спостережень за якою-вебудь характеристикою процесу (температурою, швидкістю, тиском і т. п.) є таблиця, яка задає відповідну функцію залежності цієї величини від часу.

Нагадаємо означення графіка фувкції.

Означення. Графіком числової функції

вазивають

reo·

метричиу фігуру, яка сІUІадається з усіх тих і тільки тих точок

коордиватвої .площиви, абсциси ЯКИ1( дорівиюють звачеииsм арrумевту, а ордивати- віцповідвим значенням функції

Сказаве означає, що коли якась фігура є графіком функції

то виконуються дві умови:

якщо х - деяке значення аргументу, а

(х )- відnовідне

значенвя функції, то точка ·з координатами (х ; І (х )) нале жить графіку;

якщо і у0 -

(xQ;

у0) -

координати довільної точки графіка, то х0

відповідні значення незалежної і залежної змінких

функції

тобто у0 =

(х0 ) .

Фігура на координатній nлощині може бути графіком деякої числової функції, якщо будь-яка пряма, перnендикулярна до

осі абсцис, має з цією фігурою не більше однієї спільно} точк:и . Наприклад, коло не може слугувати графіком жодної функції. Графічнвй спосіб задавви функції широко застосовується лри дослідженні реальних ~роцесів. Іс.нують прилади, які видають оброблену інформацію у вигляді графіків. Так, у медицині ви користовують електрокардіограф. Цей прилад рисує криві , які характеризують роботу серця.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Осцилограф

ПРИКЛАД

Електрокардіограф

Знайдіть область визначення функції

у::::~х2 (х - 1). Розв'язання. Область визначення даної функції- множина розв' язків нерівності

х2 (х- 1) >О.

Ця неріввість рівносильва сукупності [ =~~; 0 . Звідси

(у) = {О} U

[1;

+оо).

... знаид1ть обпасть значень функц11

ПРИКЛАД

•

У:::::

2х

+ х2 •

Розв'язання. Нехай аЕ Е (у). Тоді задача зводиться до знаходження всіх значень а,

при яких рівняння

2х --=а

l+x 2

має

розв'язки . Це рівняння рівносильне такому:

2х = а

+ ах

Якщо а

, звідки ах 2

2х

+а=

О.

О, то отримане рівняння має корінь х

= О.

* О, то це рівняння є квадратним, і наяввість коренів

визначається умовою

> О.

Маємо: D = 4 - 4а 2 • Залишається розв'язати нерівність 4- 4а 2 > 0: 4а 2 ~ 4, а2 ~ 1, І а І ~ 1. Оrже, Е (у) = ПРИКЛАД

[-1; 1].

Побудуйте графік функції у= [х].

Розв'язання. Нехай х Е

[k; k + 1),

ченням цілої частини числа [х] =

де

Тоді за озна

Тепер зрозуміло, що для побудови шукавого графіка потрібно область визначення функції розбити ва проміжки виду [ k;

+ 1),

5. Повторення та розширення відомостей де

про функцію

На кожному з цих проміжків

значення функції у = [х] є сталим і дорів

нює

Шуканий графік зображено на рисун ку

17.

ПР

КЛдД

Побудуйте графік функції

у = {х}. Розв'язання. Сnочатку доведемо важ

Рис.

ливі властивості цілої і дробової частив числа.

~ Якщо

k Е Z, то [х

Нехай [х]

< х < с + 1.

+ k = [х] +

=с

= с.

+ k] = [х] + k.

Тоді за означенням ціло'і частини числа

Звідси с

+k <х +k <

(с

+ k) + 1. Отже,

[х

+ k] =

~ Якщо k Е Z , то {х + k} = {х}. Маємо: {х + k} = х + k - [х + k] = х

+k -

([х]

+ k) =х - [х] =

{х}.

Доведена властивість дробової частини числа дозволяє ствер джувати, що на кожному з проміжків виду

[ТУ ~ Т

Г Т

[k; k

+ 1),

де

графік функції у = {х} має однаковий ви-

1 1 1 1

гляд. Тому досить побудувати його, напри клад, на nроміжку [О;

1),

а потім отрима

ну фігуру • розмножити•.

н-о

ІІІ r

Lt1 11 · ·

Якщо х е [О; 1), то (х] ~ О і {х} =

;: ;_[х] ~ х, rобто при хе [О;

маємо

Шуканий графік зображено ва рисув Рис .

ку

18.

Вправи

73."

Кожному натуральному числу , більшому за

му від числа

20, поставили на 5.

1) Яким

10,

але меншо

у відповідність остачу від ділення цього

способом задано цю функцію?

2) Яка область значень цієї функції?

3) Задайте цю функцію таблично. 74." Даво функції: f (х) = [х], g (х) = {х}, q> (х) = 1) (х). Знайдіть: 1) f (3,2), g (3,2), q> (3,2); 2) f (-3,2), g (-3,2), q> (- 3,2); 3) f (Гз),

g( JЗ). q>(,J3); 4) t(-Гз). g(-Гз). q>(-Гз). 35

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

75: На рисунку 19 зображено графік функції у = f на проміжку [-4; 5]. Користуючись графіком, 1) f (-З,5); .f (-2,5); f (-1); f (2); 2) значення х, при яких f (х) = -2,5; f

(х)

(х), визначеної знайдіть:

= -2;

(х)

О;

= 2;

З) область значень функції.

f- І

- -- г--__

І [\

-41 f \ - г= 1'-- ~

г---

...;_:

r--

ez l

____о

r- r--

""' \ г--

г-

-- - - r-- г--- f--

--- r---- --

--г---

w -~ -

1'.

-· І- -

- - ---

\ -~

-_._

---

...... ...... --

......

f- n

Рис.

76.

-1~ - -~

г---

-- І - -

Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями

координат графіка функції:

f(x)= 1 x-1;

2 ) f(x)=20+4x; Зх-5

77_·- Знайдіть,

f(x)=x2+1. х

4) q> (х) = х 2

+ 2х -

З;

не виконуючи побудови, точки перетину з осями

координат графіка функції:

1) h (х) = 9 - 10х;

2) р (х) = 4х 2 + х - З;

З)

2 х -2 s(x)=-2. х +2

зх -1, якщо х ~ -1,

78. Дано функцію f (х) = х 2 - 5, якщо -1 < х < 4, 11, якщо х ~ 4. 0

Знайдіть:

1) f

(-З);

2) f (-1);

З)

f (2); 4) f (6,4). 9, ЯКЩО х ~-З,

79. Побудуйте графік функції f(x)= х2 , якщо -З<х<1, 0

1 х,

Зб

якщо х~1.

80.

Повторення та розширення відомостей про функцію

{

-!,ЯКЩО Х<-2,

о Побудуйте графік функції f (х) = -:, якщо -2 ~ х ~О,

81: 82. 0

Побудуйте графік функції у=

х.

Знайдіть область визначення функції:

1) f(x)= .Jx-2+ х+ 2 ;

З). f(x).= .Jx+3 +-f--;

х-5

2) '(

83. ·

sgn

JX, якщо х>О.

х х) = -

- - : 1 х 1- 7

4) f(x)=

-9

.Jx-4

4х-З

vx+2

х -7х+6

г--;:+

Знайдіть область визначення функції:

1) f(x)=.Jx+4+-- ; x+l

2) f(x)=.J8-x+-2- - .

1) f(x)=/X-1; 2 2)f(x)=5-x ;

4) f

З) f (х) = -7;

6) f(x)=.Jx-2+.J2-x.

х -Вх

84: Знайдіть область значень функції : (х) =Іх+

5) f(x)="/-x

21 + 2; ;

Знайдіть область значень функції:

85.

1) f (х)

= х + 3; 2

3) f(x)=(JX)

2) f(x)=6-/X;

86. Данофункції f(x) = 1 - Зх і g(x) = х2 0

•

1. Задайте формулою

функцію:

1) у = f (х + 1); 2)

У= g(.;):

З) у =

f (g

(х));

у = g (f (х));

5) у = f (f (х)); 6)

у = g (g (х)).

R7.'' Данофункції f(x)=.Jx+1 ig(x) = х 2 - 2х. Задайтеформулою функцію:

1) у =

(Зх);

у=

(-х);

88.

3) у 4) у

= f (g (х)); = g (f (х));

f (f (х)); = g (g (х)).

у =

Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення

якої є:

1) 2) 3) 4) 89.

множина дійсних чисел, крім чисел множина всіх чисел, не менших від

множина всіх чисел, не більших за множина, яка складається з одного

1 і 2; 5; 10, крім числа -1; числа -4.

Знайдіть область визначення та побудуйте графік функції:

1) f(x)=x2-16; х+4

2) f(x)=12x-72; х 2 -6х

3) f(x)=x2-9. х 2 -9

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§2.

90." Знайдіть 1) f(x)=

область визначення та побудуйте графік функції:

х2 +4х+4;

2) f(x)=

х+2

91:

Функцію

хз. х

задано описом: кожному натуральному числу по

ставлено у ' відповідність остачу від ділення цього числа ва

f (2), f (0), f (16), f (21).

Знайдіть

f 92."

(х) =

(х

Функцію

+ 3) для g

Знайдіть Е

будь-якого х е

задаво описом: кожному натуральному числу по

ставлено у відповідність остачу від ділення цього числа на

Знайдіть що

93:

(х)

<n. Доведіть, що

g (3), g (0), g (14), g (32). Знайдіть = g (х + 4) для будь-якого х е N.

(g).

Доведіть,

Знайдіть область визначення функції:

1) у=~4-ІхІ+-1-; х +2

у=~+

4) у= ll~x-+-1..,.-j(-x--3-); "'

у=

/-:-: vx+1

~х 2 (х+2)

;

6) y=~sgnx.

94."

Знайдіть область визначення функції:

4) у= ~,.-(х_+_4--,)2,-(х---3-);

1) У= ~ + _!_ ; vз-ІхІ х- 2 2)

у= ~+..fx+4;

y=Jїx+5j(x+2);

vl х 1-1

1 6) у=~· vвgnx

95:•

Знайдіть область значень функції:

у = 3х 2

2) у = -2х 2

96:·

2х +

+ 3х

у = :; : ~;

- 4;

у=-2-;

у=х+-. х

-1

Знайдіть область значень функції:

1) у = 5х2

2) у = -3х

х + 1·,

х - 2;

3) у = 2х - 1 ·

5х+4'

у=4х+! . х

у=~; х

-4

97."

Побудуйте графік функції у=(~(х+2) 2 х ) -х 3 -4х 2 •

98:·

Побудуйте графік функції у= х 3 - ( ~х 2 (х -1) )

2 •

6. Зростання і спадання функції.

99.""

Найбільше і найменше значення функції

Знайдіть область визначення функції:

у= 1) ~х);

у=~;

у=_!_;

у= J-'D (х);

[х]

5) y=J'D

(х)-1.

Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції Часто про властивості об'єкта можна робити висновки за його зображенням: фотографією, рентгенівським знімком, рисунком тощо.

•Зображенням• функції може слугувати їі графік. Покажемо,

як графік функції дозволяє визначити певні їі властивості. На рисунку

зображено графік деякої функції у=

Її областю визначення є проміжок [-4; проміжок

При х

7],

(х).

а областю значень

[-4; 4].

= -3, х = 1, х = 5 значення функції дорівнює нулю.

О:~начення. Звачеввя арrумевту, при якому звачевия фуикції доріввює вулю, вазивають нулем функції.

Так, числа

-3, 1, 5

є нулями даної функції.

Зауважимо, що на проміжках

ції

[-4; -3)

(1; 5)

графік функ

розташований над віссю абсцис, а на проміжках

(-3; 1) (5; 7]- під віссю абсцис. Це означає, що на проміжках [-4; -3) і (1; 5) функція набуває додатних значень, а на проміжках (-3; 1) і (5; 7] - від'ємних. і

7 х

-4 -----------------------------Рис.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

О значення. Проміжок. на якому функція набуває звачевь однакового звака, вазивають проміжком

знакостапості

функції. Наприклад, проміжки (-оо; О) і (О; +оо) є проміжками знако

сталості функції у = х 2 • Зауваження. Під час пошуку проміжків знакостапості функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини

(точніше. ті, які не є власними підмножинами інших проміжків знакосталості) . Наприклад, проміжок

косталості функції

(-3; 1).

(рис .

(-2; -1)

є проміжком зна

але до відповіді увійде проміжок

20),

який містить проміжок

(-2; -1).

Якщо переміщатися по осі абсцис від

-4

до

-1,

то можна

помітити. що графік функції йде вниз. тобто значення функції

зменшуються . Кажуть, що на проміжку Із збільшенням х від

до

-1

[-4; -1]

функція спадає.

графік функції йде вгору, тобто зна

чення функції збільшуються . Кажуть, що на проміжку

[-1; 3]

функція зростає .

Означення. Функцію ві М с

D (f),

вазивають зростаючою ва мвожи

якщо для будь-яких двох звачевь аргументу х

і х2 , які належать мвоживі М, таких, що х 1

неріввість

(х 1 )

(х2 ).

Означення. Функцію иі

М с

D (f),

(х 1 )

> f

вазивають спадною

(х2 ).

х 2 , виконується

ва

мвожн

якщо для будь-яких двох звачевь аргументу х

і х , які належать мвоживі М, таких, що х

неріввість

1 < х2,

виконується

Часто використовують коротше формулювання.

Означення. Функцію

вазивають зростаючою (спадною)

ва множині М, якщо для будь-яких значень аргументу з цієї мвоживи більшому значению аргументу відповідає більше (мен ше) звачеввя функції. Якщо функція зростає на всій області визначення, то її на зивають зростаючою . Якщо функція спадає на всій області ви значення, то її називають спадвою .

Наприклад, на рисунку 21 зображено графік функції у= Гх. 22 зображено графік спад

Ця функція є зростаючою. На рисунку ної функції у= -х.

~ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція у = xn, де n туральне число, спадає на проміжку (-оо;

Розв'язання.

з проміжку (-оо;

Нехай х

0],

і х

парне на

0].

- довільні значення аргументу

до того ж х 1

< х 2 • Покажемо, що х; > х;,

6. Зростання і сnадання функції .

Найбільше і найменше значення функції у

Рис.

тобто більшому :ntаченню аргументу відповідає менше значення функції.

Маємо: х 1

< х2,

-х 1

-х 2 • Обидві частини останньої нерівності

є невід'ємними числами . Тоді за властивістю числових нерівно·

стей можна записати, що (-х 1 )"

( -х 2)". ОскільJ<и

х; >х;.

ларне, то

Зазначимо, що в таких випадках кажуть, що проміжшс (-оо; О] є проміжком спадавви заданої функції. АваJіогічво можна довес

ти, що проміжок [О; +оо) є проміжком зроставоя функції у= х", де

парне натуральне число.

Зауваження. У задачах на пошук проміжків зростання і спа дання функції вказують ті проміжки, які не є власними підмно

жинами жодних інших проміжків зростання (спадання), аналогіч но тому , як це робиться nід час пошуку проміжків знакостал ості. Зазначимо, що існують функції, визначеві на

IR,

ЯJ<і не є зрос

таючими (спадними) на жодному проміжку області визначення.

Наnрихлад, такою функцією є константа. Ще одним прикладом такої функції є функція Діріхле.

ПРИКЛАД

Доведіть, що функція

спадає на кожному

f(x)=..!._ х

з про~жків (-....;О) і {О ; +оо). Ро$в'я.U! Іиtя. Нехай Х з проміжку вих

(0;.

. ~ 1 1 Orже, нер1вностеn ->-. х1

(О; +оо).

2 1 < х2•

і х - довільні значення аргументу

і--), причому х

Тоді за властивістю число-

функЦІЯ . дана

Аналогічно доводять, що функція ку (-со;

спадає на пром1жку

х~

сnадає на nроміж

0).

Зауважимо, що не можна стверджувати, що дана функція

спадає на всій області визначення

({)=(-оо;

O)U(O;

+оо), тобто

§ 2.

Функції. многочлени. рівняння і нерівності

є спадною. Дійсно, якщо, наприклад, х

ст1 х

1 <

не випливає, що

Теорема

6.1.

1 >- .

ХІ

Х2

= -2, х 2 = З, то з нерівно-

Якщо функція у= І (х) є зростаючою (спад·

ною) на мн.ожин.і М. то фун.кція у= -І (х) є спадною (зроста ючою) на мн.ожин.і М. Доведен.н.я. Нехай, наприклад, функція у =

f(x) є зростаючою

на множині М. Тоді для будь-яких х і х , $lJ<Ї належать множи

1 2 1 < х2 , виконується нерівність f (х 1 ) < f (х2 ). Звідси - f (х ) > - f (х ). Оrже, функція у = - f (х) є спадиою. 1 2 Аналогічно доводять, що коли функція у f (х) спадає на ні М і таких , що х

множині М, то функція у= -І (х) зростає на МJtожині М. А Теорема

6.2.

Якщо фун.кції у = І (х) і у =

(х) є зростаю

чими (спадн.ими) на ;мн.ожин.і М, то функція у = І (х)

(х)

є гростаючаю (сnадн.ою) н.а ;мн.ожині М .

Доведіть теорему Теорема

6.3.

6.2

самостійно .

Якщо фун.кція у =

(х)

є зростаючою (спад

кою) на. множині D (/), то ріsнян.ня 1 (х) = а, де а.- деяке "исм, має не більше одного кореня . Доведення. Нехай функція

Проте

(х 1 )

=а , f

(х2)

= а,

речність. Оrже, рівняння

є зростаючою та рівняння

(х) = а має два корені х і х , причому Х

тобто

(х 1 )

1 < х2 • Тоді f (х 1 ) < f (х2). (х2). Оrримали суnе

(х) =а ·має не більше одного кореня .

Аналогічно розглядається випадок, коли функція

є спад

ною. А

цього випливає таке твердження :

якщо функція

1 аростає (спадає)

на

D (f)

і І (х1 )

= 1 (х2), то

х1 = х2 , тобто зростаюча (сnадна) функція кожного свого ана чення набугає л.ише nри одному аначенні аргументу. Наслідок. Якщо одна а функцій І або множині

D (f)

ріан.янн.я І (х)

D (g),

а інша

є зростаючою на

спадною на цій множині, то

= g (х) має ке більше одн.ого корен.я.

Доведіть це твердження самостійно.

ПР,'КЛ

РО3З'вжіть рі.Jtnя!Шя х" +J2x-1=2.

Ро зв'язанн.я. Ле rко довести (зробіть це самостійно), що

функції

f (х) = х 5 і g(x)=J2x-1 є зростаючими. Оrже, згідно з теоремою 6.2 функція у= f (х) + g (х) є зростаючою ва миожи42

6. Зростання

і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції

ні [~:+оо). Тоді теорема

дозволяє стверджувати, що дане

6.3

рівняння має не більше одного кореня. Нескладно помітити, що х =

є коренем даного рівняння.

Ураховуючи вищесказане, цей корінь є єдиним.

Відповідь:

Нехай у множині М с

D (f)

х Е М виконується нерівність

говорять, що число

(х ) -

мвоживі М, і записують

існує таке число х0 , що для всіх

(х 0 ) ~

(х) . У такому випадку

найбільше звачеввя фув:кції

(х ) ~

(х 0 ) називають ваймевmим звачеввям фуи:кції

живіМ і записують

ва

Якщо для всіх х Е М виконується нерівність число

maxf(x)=f(x0 ).

(х), то

ва мво

minf(x)=f(x0 ). м

Розглянемо кілька прикладів.

Для f(x)=fx і мвоживиМ =[О; 4] маємо: minf(x)=minfx = 10:•1

(O;•J

(О)= О,

max f (O;•J

(х) = f

(4) = 2

(рис .

23).

Для f(x)=l хІ імвоживиМ = [-1; 2]маємо: minf(x)=f(O)=O, (-1; 2)

max f (-1;2]

(х) = f

(2) = 2

(рис.

...... ...... ~

, ''

Рис.

"\ V о

Рис .

деяке число і

(х)

Якщо с

-- --

...

24). ,,

V ~

с для будь-якого х Е М, то

число с є і найбільшим, і найменшим значенням функції

на

множині М . Не будь-яка функція на заданій множині М с D (f) має вай менше або найбільше значення. Так, для функцій f (х) = х 2

(х)

множині

{х} маємо, що

minf(x)=O. R

Найбільшого значення на

ці функції не мають.

Функція f (х) =! на множині М = (О; +оо) не l'ttaє ні найбіль х

шого, ні найменшого значень .

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівнОС'lі

Часто для знаходження найбільшого і найменшого значень функції зручно користуватися таким очевидним фактом:

якщо функція

зростає на проміжку (а; Ь], то

min f

(х)

=f (а),

min f

(х)

=f (Ь),

(а:Ь)

maxf(x)='f(b) (рис . 25); (о:Ь)

~ якщо функція

спадає на проміжку [а; Ь], то

(о;Ь}

maxf(x)=f(a) (рис. 26). (о;Ь)

(Ь)

(а)

-----------

---, І

Рис.

nP•

(а)

--1\.

(Ь) ---J--~ ... .... О

а Рис.

Знайдіть найбільше і вайменше значення функції

(х) .::. х 1 + Зх + 2 на відрізку [- 2; 1]. Розв'яза~ня. Функції у= х3 і у= Зх + 2 є зростаючими. За теоремою 6.2 зростаючою є і функція і. Оrже, min f (х) f (-2) - 12,

(- 2: 11

max f (х)= f (1)= 6. (-2; 1)

100.

На рисунку

зображено графік функції у =

ченої на множині

1) функція

2) f

(х)

IR.

спадає на проміжку (-оо;

О при

-5

(х), визна

Які з даних тверджень є правильними :

- 9];

< х < 1;

З) функція зростає на проміжку [ -2; +оо);

4) f

(х) = О при х

чення при х

101.'

= - 5 і при х = 1;

функція Ііабуває найм:е.ншого зна

= - 2?

На рисунку

функції у =

зображено графік

(х), визначеної на множи

JR. Користуючись графіком:, знайдіть: 1) нулі функції ; 2) значеннях, при ЯRИХ у < О; ні

З) проміжок спадання функції;

область значень функції . Рис.

6. Зростання

Рис.

і спадання функції . Найбільше і найменше значення функції

Рис.

102: На рисунку 29 зображено графік функції у = f (х), на множині IR. Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції; 2) проміжки знакосталасті функції;

визначеної

З) проміжки зростання і проміжки спадання функції;

4) min f (х), max f (х); R

5) min f (х), max f (х); [-2;1)

б)

min f [-1;4)

(-2; 1)

(х),

max f (-1;4)

(х);

7) minf(x), maxf(x). (-2;0)

( - 2;0)

10:3. • На рисуику ЗО зображено графік функ ції у = f (х), визначеної на множині IR. Користуючись графіком, знайдіть:

1) 2)

ну лі функції;

проміжки знакосталасті функції;

З) проміжки зростання і проміжки спа дання функції;

4) min f(x), maxf(x); (0;2)

[0;2)

5) minf(x), maxf(x); R

6) minf(x), ma.xf(x). (-1;0)

Рис.

[-1; 0)

{

2х+8, 2

104: Побудуйте графік функції f(x)= х ,

якщо х...:-2,

якщо -2<х<2,

-2х+8, якщо х;;;.2.

Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції, Гі проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

-,якщо х<-1, х

105:

Побудуйте графік функції

(х)

= '4' якщо х

-1 о;;; х о;;; 1,

-,ЯКЩО Х>1. х

Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції, її проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання.

100: Доведіть, що лінійна функція f (х) = kx + Ь є зростаю-

чою при

101:

1) у = 2) у =

108:

>О і спадною при

<О.

Зростаючою чи спадною є функція: 9х

у= -х?

- 4;

+ 10;

-4х

= 12 -

Зх;

Знайдіть нулі функції:

4)у=х2 +

2 1) y=.Jx -1; 2

7> у= Іх І-х.

2) у= х +х-б;

5) y=.Jx-1-.Jx+1;

3) у= х8 - 4х;

6) y=x.Jx-1;

х+З

109.'

Знайдіть нулі функції:

х 2 -9 5) у=~ ·

у=х2-255;

1) y=.Jx2-4;

2) у = -5;

4) у = І х І

vx-2

х+

110:

Знайдіть проміжки знакостапості функції:

1) у= х2 - 2х

3) y=.Jx-1;

2)у=з~х; 111. •

4)у=Іх+11.

Знайдіть проміжки знакостапості функції:

1) у= -х2 2) у= х

3) у= JX + 2;

+ 4х + 4;

112: Доведіть,

4) у= І х І

5) у= І х 2

що є зростаючою функція:

1) y=..Jx-1;

113:

+ х;

2) y=.J2x+1.

Доведіть, що є зростаючою функція:

1) y=.Jx-3+2; Функція у = f

114."

2) у=..JЗх-1-1. (х) є спадною . Зростаючою чи спадною є

функція (відповідь обІ'рунтуйте):

у= Зf (х);

y=~f(x);

у= -f (х);

у= f (х)

+ 5?

6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції

115."

Функція у=

(х) є зростаючою. Зростаючою чи спадною є

функція (відповідь обІ'рунтуйте):

1) ~

y=~f(x): 116."

у=

-3{

Доведіть, що функція у= х", де

(х)? n

N, n -

непарне,

є зростаючою.

117." Доведіть, що функція у=-- зростає на проміжку (3; +оо). 3-х

118." Доведіть, що функція у= - 7 - спадає на проміжку (-5; +оо). х+5

119." Доведіть, що функція у=.!!.. спадає на кожному з проміжків х

(-оо; О) і (О; +оо) при ків при

>О і зростає на кожному з цих проміж

<О.

120." Доведіть, що є зростаючою функція: 1)у=х5 +х: 2) y=x 4 +JX; 3) у=../х-1+/Х. 121." Доведіть, що є спадвою функція: 1) у= -х 3 - х; 2) y=h-x. 122. • При якому найменшому цілому значенні т функція у = 7mx + 6 - 20х є зростаючою? 123." При яких значеннях k функція у = kx - 2k + 3 + 6х є спадною? 124.• При яких значеннях Ь функція у = 3х 2 - Ьх + 1 зростає на множині [3; +оо)? 125." При яких значеннях Ь функція у = Ьх - 4х 2 спадає на мно жині [-1; +оо)? 126." Функція у= f(x) визначена на множині дійсних чисел, є зростаючою і набуває лише додатних значень. Доведіть, що:

1) функція у= f 2 (x) зростає на множині IR; 2) функція у=-- спадає на множині IR; f(x) 3) функція у=~~ (х) зростає на множині IR. 127." Функція у= f(x) визначена на множині 1

дійсних чисел,

є зростаючою і набуває лише від'ємних значень. Доведіть, що:

1) функція у= f 2 (x) спадає на множині IR; 2) функція у= - 1 спадає на множині JR.

1 (х)

128.• Чи

можна стверджувати. що коли функції у =

зростають на множині М, то функція у= тає на множині М?

f (х) і у

f(x) - g

= g (х)

(х) теж зрос

§ 2.

Функції, мноrочлени, рівняння і нерівності

129. • Фуmщії

(х) і у =

(х) спадають на деякій множині М

і набувають на цій множині від'ємних значень. Доведіть, що

функція у=

f (х) g (х) зростає на множині М.

ІЗО: Наведіть приклад двох зростаючих ва множині М функцій, добуток яких не є зростаючою на цій мвоживі функцією.

131." Знайдіть min f м

(х) і

max f м

(х), якщо:

1) f (х) = х2 - бх + 10, М = JR; 2)f(x)=.JI6-x2 , М 132: Знайдіть min f (х) і max f (х), якщо: м

1) f (х) = -х - 8х- 3, М = JR;

2)f(x)=x+.!., М =(О; +оо).

133.•

При яких значеннях с найбільше значення функції

у = -0,6х 2

134. •

=D (f).

18х

+ с дорівнює 2?

При яких значеннях с найменше значення функції

= 2х

135: Сума

12х

с дорівнює -3?

двох чисел дорівнює

Знайдіть:

1) икоrо най.більшоrо значення може набувати добуток цих чисел; 2) якого наймеашого заачення може набувати г.~а квадратів щІх чисел.

136.

Ділянжу землі прямонутвої форми обгородили nар:каном за

вдовжки

200 м.

137:· Розв'яжіть 1) х

Яну найбільшу nлощу може мати ця д1ляНJ<а?

рівняння•

2) Jx+l+ Jx+б +Jx +13 = 9

+ х + х = -3;

138:· Розв'яжіть рівняння: 1) 2х7 + х 5 + х = 4;

2) 2Гx+Jx-5+J2x+1=13 .

139:· Розв'яжіть рівняння Гх + Jх- 5 = 23- 2х.

140." Розв'яжіть рівняння х 2 +Гх =12 +15. х

ПарнІ і неnс:sонІ функці і

Означення. ФуВІЩію

назввають парвою. якщо для будь

якого х з обJІасті визначеввв І (-х) О значення. Функцію

(х).

вазивають в е о ар в ою, якщо для будь

якого х з області визначеввв

(-х) = -І (х).

Очевидно, що фуинція у = х є nарною, а фушщія у = х3 2

парною.

ве

7. Виконання рівності будь-якого х е

= f (х) або рівності f

(-х)

D (f) означає,

Парні і неnарні функцtї

(-х) =

-f

(х) для

що область визначення функції

таку властивість: якщо х 0 е

D (f),

то -х 0 е

D (f).

має

Таку множину

вазІJ.Ваю'І'ь симетркчвою відносво початку коордива't . З вищенаведевих означень випливає, що коли область визна чення функції не є симетричною відносво початку координат, то ця функція не може бути парвою (непарною) .

Наприклад, область визначення функції у = - 1 - не є симе х -1

тричною відносно початку координат . Тому цн функція не є н і парною, ні непарною.

воДночас у функції І (х) -= х 3 + х 2 її область визначення

D (f) = JR

є симетричною відносно початку координат . Проте ця

функція не є ві парвоІ(), ні непарною . Дійсно,

(-х)

=( -х)

(-х) 2 =- -х3

х2;

-f

= -х

(х)

- х2 •

Існують деякі значеннях , наприкл.ад О, nри нких І (-х) = І (х) або І (-х)

-І (х), проте ці рівності виконуються не для всіх х е

Наприклад, при х =

маємо І (х) =

IR.

(-х) = О .

Підкреслимо, що для парності або непарвості функції

необ

хідно, але не достатньо, щоб Гі область визначення була симе

тричною відносно початку координат.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція І (х)

D (f)

Розв'язання . Оскіл ьки

= IR.,

=х

х є иепарною.

то область визначення

функції І симетрична відносно початку координат.

Для будь-якого х Е D (f) маємо

(-х)

=(-х)

- (-х) = -х 3

+х=

= -І (х). Отже, функція

ПРИКЛАД

є непарвою .

Дослідіть ва парність фующію

/ (х) =. І х - 21 +І х+2 1 . l+x

1 -х

Ро з в·язання. ОскількиD (f) = {хе

IR \ х '# - 1 іх :1: 1}, то область

визначення функції І симетрична відносно початку координат .

Для будь-якого х е

f(- x) =

1-х - 21 + 1-х+ 2 1 І х + 2 1 + І x- 2l·= f(x). 1- х

Отже, функція Т t• о р ем а

D ({) маємо:

1- ( -х)

1-х

1+х

є парною.

7. І . Вісь

ордикат є t~іссю симетрі'і zрафіха паркої

фJІкrсці'і.

Дов е ден н.я. Якщо точ каМ (а; Ь) належить графіку функції/, то

(а)= Ь . Оскільки функція

є парвою , то

(-а) = f (а) = Ь. Це

§ 2.

Функції, мноГО'UlЕ!Ни, рівняння і нерівності

означає, що точка М 1 (-а; Ь) також належить графіку функції (рис. З1) .

.6.

Т ·· • ! t •· ,, '

;

Пoчamorc координат є чентром симетрії

z.paфirca непарноі фJІн.rсції.

Доведіть цю теорему самостійно (рис.

32).

Рис.

Очевидно, що функція у

= О, у якої D (у) = R, одночасно е і пар

вою, і вепарвою. Можна показати, що івmих функціЙ з областю визначення

JR,

які є одночасно і парвими, і вепарВІD(И, не існує.

npa 141.· Фувкція f

є парвою. Чи може виконуватися рівність:

1) f (2)- f (-2)

142. · Функція f f (1) =1? /(-1) t4a... Функція f

= 1;

2) f (5) f (-.5) =-2;

є вепарвою. Чи може виконуватися рівність:

f (2) f (-2) =З;

Доведіть, що є парвою функція:

1) І

(х)

= 171;

2) І (х) = Jt',

де

Nіn -

З) І (х) = -Зх2 + І х І 4) І (х) = +

парве;

Jk ..J4+%:

2 +-Зх-+-5; 5) f (x)=Jx2 -Зх+5 +.Jr-x-

1 /( ) =0?

f(-1)

є парвою. Чи обов'язково виконується ріввість

1) f (1) + f (- 1) =1;

144:

З)

х'

(х)- г:-

г-:;

"111-" - "" + 1

З)

f(- ) =0? /(2)

7. Парні і непарні функції

7) f(x)=

І5х-:~+~:х+21; 1

(3х-1) 7 (3х+1) 7 ; 9) f (х) = (х + 2) І х - 4 І- (х -

S) f(x)=

1~fi.

4) g(x)= г::-- г::--; v3-x -v3+x

вепарне;

5 ) g(x)= І4х-1І-І4х+11; 4

g(x)=~;

х -1

б) g(x)= 3х+2 + ~х-2 х2 - х +1 х + х +1

3) g(x)=.J2-x-.J2+x; 146."

Дослідіть на парвість функцію:

1) у==-;

%2-1 у=--; %2-1

y=.Jx 2 -1;

+ 41.

Доведіть, що є непарною функція :

1) g (х) = х\ де

2) І х

х-1

у=-; х-1

5) у= .Jx-l·.Jx+1.

147: На рисунку 33 зображено частину графіка функції у= f (х), визначевої ва проміжку [-5; 5]. Добудуйте графік цієї функції, якщо вона є: 1) парвою; 2) вепарвою. у

-5

-1

а)

в)

·1 х

: Х

z) Рис.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

148.'

Ламана АВСD, де А (О;

0),

частиною графіка функції у

[-6; 6]. Побудуйте ною; 2) непарною . 149: Про функцію f,

(х) = х 2

вона є:

511.'

парною;

Про функцію

f (х)

4), D

(б ;

1),

(х), визначеної на проміжку

графік цієї функції, якщо вона є:

яка визначена на множині

пар

відомо, що

IR,

непарною .

= -0, 5х при О 2

яка визначена на множині

..;;;

151: Область визначення функції f h

(х) =

(х)-

парною;

непарною .

симетрична відносно початку

координат . Доведіть, що функція а функція

відомо, що

IR,

х . ;;; 2 і f (х) =_.! при х > 2. Побудуйте

графік цієї функції, якщо вона є :

152:

С (З;

(2; -2),

4х при х ~ О. Побудуйте графік цієї функції, якщо

(х) =

f (х) + f (-х) є парною,

(-х) є непарною.

Областю визначення парних функцій

є множинаМ.

Дослідіть на парність функцію:

1) у

153:

(х)

(х);

2) у

(х)

- g (х);

Областю визначення парної функції

З) у

(х)

(х).

і непарної функції

є множина М . Дослідіть на парність функцію:

1) у

(х)

154.' Областю

(х);

2) у

(х)

- g (х);

З) у

визначеннянепарних функцій

fіg

(х)

(х).

є множинаМ.

Дослідіть на парність функцію :

+ g (х); 2) у = f (х) - g (х); З) у = f (х) g (х). 155: Непарні функції f і g такі, що функція h (х) = f (х) визна 1) у

(х)

g(х)

чена. Дослідіть на парність функцію

І ~н . · Одна з функцій,

що 157.-

h (х) = f

або

є парною, інша- непарною. Відомо,

(х) визначена. Дослідіть на парність функцію

g(x)

Доведіть, що область значень непарної функції симетрична

відносно початку координат.

158.159." 100:•

Непарна функція Непарна функція Непарна функція

f f f

така, що О Е має має

4 7

D (f).

Знайдіть

нулі. Доведіть, що О Е нулів. Знайдіть

f (0). D (f).

f (0).

f має 7 нулів . Знайдіть f (0). 162:· Дослідіть на парність функцію f (п) =(2 + JЗ)n + (2- JЗ)n , ІШ.'' Парна функція

D (f) = Z.

16:~." Дослідіть на парність функцію f (n) = ( J2 + 1)n - (J2 -1)n, D (f) = Z.

8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень Парна функція

164.""

визначена на

JR,

зростає на проміжку

[О; +оо). Визначте, зростаючою чи спадною є функція проміжку (-оо;

Непарна функц1я

•·

визначена на

166...

Функція

min f

(- 3; - 1)

167.'"

(х),

min f

( -5; -2)

(х),

на про

0].

є парною і

max f

(- 3; - 1)

Функція

на

зростає на проміжку

JR,

[О; +оо). Визначте , зростаючою чи спадною є функЦlя міжку (-оо;

0].

max f

(1;3)

Знайдіть

(х).

є непарною і

( - &; - 21

minf(x)=2, maxf(x)=5.

min f ~~~

(х)= 1,

max f (~6)

(х)=3. Знайдіть

(х).

Побудова графіків функцій 3а допомогою геометричних перетворень

класі ви навчилися за допомогою графіка функції у =

будувати графіки функцій у

= f(x)

+ Ь,

у =

+ а),

(х

= kf

(х) (х).

Нагадаємо правила, які дозволяють виконати такі побудови. Графік фующії у

=f (х) + Ь можка отримати в резул.ьтатt

nt~.раяєл.ького пєрен.есеккя графіка фующії у = угору, якщо Ь

На рисунках

34, 35 показано, як працює це будови графіків функцій у = х2 - 4 і у= Гх + 3.

Рис.

(х) ка Ь одикиць

О, і ка -Ь один.иць ун.из, якщо Ь < О.

правило для по

Рис.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Графік функції у

= f (х

+ а) можна отримати в реаул.ьтаті

парал.ел.ьного перенесення графіка функцїі у

ул.іво, якщо а

= f (х) на а одиниць

О, і на -а одиниць управо, якщо а

О.

На рисунках 36, 37 показано, як працює це правило будови графіків функцій у= (х- 2)2 і y=.Jx+3.

для по

Рис.

Графік функції у

Рис.

= lef(x) можна отримати, аамінивши

кожну точку графіка функцfі у =

(х) на точку а тією самою

абсцисою і ординатою, помножєною на Іе. На рисунках

38, 39, 40

показано, як працює це правило для

побудови графіківфункцій у= 2х2 , y=~.JX. y=-~.JX і y=-2.JX.

Рис .

Рис.

Кажуть, що графік функції у =

kf (х) отримано з графіка функ

f (х) у результаті розтяrу в k разів від осі абсцис, якщо k > 1, або в результаті стиску в ! разів до осі абсцис, якщо О< k < 1. ції у=

8. Побудова графіків функцій за доnомогою геометричних перетворень Покажемо , як можна побудувати графік функції у= якщо відомо графік функції у РозгJІЯВемо випадок, коли

k >

f (kx),

(х) .

О. Якщо точка (х ; у ) належить

графіку функції у = f (х), то точка ( ~ ; у0 ) належить графіку функції у = f (kx). Справді, при х = х; маємо: f(kx) = f ( k•; ) = f(x 0 ) = Yo · р

Рис .

Рис . 41

Оrже. кожвій точці (х ; у ) графіка функції у

= f(x)

відповідає

єдинаІЮчка ( ; ;у0 ) графіка функції у = І (kx). Аналогічно мож на показати (зробіть це· самостійно), що кожна точка (х ; у ) гра фіка фуmщії у =

ка функції у і у

(kx)

f (kx) є

відповідною єдиній точці

(kx 1 ;

у ) графі

= f (.ж). Тобто між точками графіків функцій у = І (х)

можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Тому 'Рафік функції у

=f (k.x), де k

О, можна отримати,

.юміни.,ши кожну то""У графіка функціі

(х) на то""fІ

~ тією самою ордихатою і абсцисою, подіяєною на На рисунку

показано, як працює це правило для побудови

графіків функцій y=.,f2; і у = И· Говорять. що графік фувхції у функції у =

=І

(kx) отримано з графіка k разів до осі ор.цвват,

(х) у результаті стиску в

яхщо k > 1, або в результаті розтвrу в і разіи від осі ордвват, якщо о <

k < 1.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

Покажемо, як побудувати графік функції у= відомо графік функції у=

(-х), якщо

(х).

Зазначимо, що коли точка (х ; у ) належить графіку функції

у=

(х), то точка (-х0 ; у0 ) належить графіку функції у=

Дійсно,

(-(-х0 )) =

Зрозуміло,

і у=

(х 0 ) = Уо·

що між точками графіків функцій у=

(-х).

(х)

(-х) можна встановити взаємно однозначну відповід

ність. Тоді всі точки графіка функції у=

(-х) можна отримати,

замінивши кожну точку графіка функції у=

(х) на точку, си

метричну їй відносно осі ординат, тобто відобразивши графік

функції у=

(х) симетрично відносно осі ординат.

Таке перетворення графіка функції у=

(х) називають симе

трією відносво осі ордиват.

42 показано, як за допомогою побудовано графік функції y=k.

На рисунку

y=JX

Рис.

графіка функції

Рис.43

З огляду на сказане стає зрозумілим, що правило побудови

f (kx), де k <О, аналогічне випадку, коли k > О. Наприклад, на рисунку 43 показано, як можна за допо могою графіка функції у= JX побудувати графіки функціЙ графіка функції у=

у=.J-зх і y=J1. 56

8. Побудова графіків функці й за допомогою геометричних nеретворень

ПРИКЛАД 1 Побудуйте графік функції у=../3х-2. Розв'язання. Схема побудови має такий вигляд (рис. стиск у

управо

на

2 од.

44):

рази

до осі ординат

Якщо задану функцію подати у вигляді у = ~3 (х - ~). то по будову графіка можна вести 1 за такою схемою (рис.

45):

управо

стиск у

рази

на З од.

до осі ординат

Рис.

Рис

ПРИКЛАД l Побудуйте графік функції у = ../1 - 3х . Розв'язання. Побудову графіка можна вести за такою схе мою (рі!С .

46):

уліво

симетрія

на

відносно осі

од.

сти ск

рази до

осі ординат

ординат

=~-x+ l

у=Гх --+ , =.Jx+l

J-Зх+1

Рис.

§2.

Функції. многочлени, рівн~НІіЯ і нерівності Зауважихо, що моЖJ.ІИВі й івші схеми розв'язува.ввя цієї за

дачі, вапрвклад, та.к (рис.

47, 48):

уJІіво

стиск

симетрія

на

у З рази до

відносво осі

осі ордиват

ордиват

од.

y=J; ___.у = ~

y = JЗ;+l

l__

у=~-Зх+ 1

І Рис.

Рис.

-- --- - J ..

188. Графік якої функції отримаємо, якщо rрафlк функції у паралеJІЬво перенесемо:

1) ва 5 одиввць угору; З) ва 10 одивиць увиз; 2) ва 8 одИJІИць управо; 4) на 6 одивиць уліво; 5) ва З одиниці вправо і ва 2 одввиці вввз; 6) ва 1 одивицю в.ліво і ва 1 одиввцю вrору? 58

= х2

8. Побудова

169. о

графіків функцій за допомогою геометричних перетворень

Графік sпtої з наведених функцій отримаємо, sпtщо паралель

но перенесемо графік функції у = х2 на 4 одиниці вправо: 1) у = х2 + 4; З) у = (х + 4) 2 ; 2 2) у = х - 4; 4) у = (х - 4) 2?

170. о

Графік якої з наведених функцій отримаємо, sпtщо паралель

но перенесемо графік функції у = х 2 ва 5 одиниць угору: 1) у = х 2 + 5; З) у = (х + 5)2 ; 2 2) у = х - 5; 4) у = (х - 5)2 ?

171. Як треба паралельно перенести графік функції у= ~, щоб х

отримати графік функції у= - 5 -: х-8

1) 2)

на на

8 8

одиниць угору;

З) на

одиниць униз;

на

одиниць управо;

8 8

одиниць уліво?

· 172. • Як треба паралельно перенести графік функції у= .[;, щоб отримати графік функції у= .Jх +З : 1) на З одиниці вгору; З) на З одиниці вправо; 2) на З одиниці вниз; 4) на З одиниці вліво? 17З: На рисуику 49 зображено графік функції у= f (х). Побудуйте графік функції:

1) 2)

у у

= =

f f

(х

(х)

- 2;

З) у

(х)

+ 4;

4) у =

, .

17 4. '

На рисунку

б) у

. \~-~ І а)

5) у= -f (х); = З - f (х).

- З); + 1);

,.. І

Рис.49

50 зображено гра f(x). Побудуйте

фік функції у= графік функції:

=f =f

З) у =

(х)

+ 5;

(х)

- З;

= -f (х);

(х

+ 1);

б) у=

(х

- 2);

-f (х)- 1. 59

Рис.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

175.· Побудуйте графік функції у = х2 • Використовуючи цей гра фік. побудуйте графік функції: 2

1) у

=х

З;

4) у

= (х + 2)2 ;

2) у

= х + 4;

5) у

= (х -

З) у = (х - 5)2 ;

6) у = (х

+ З)

+ 2;

176: Побудуйте графік функції у= -х2 • Використовуючи цей графік. побудуйте графік функції :

1) у = -х2

+ 1;

2) у = -х 2

З) у

= -(х

= -(х + 4)2; 5) у = -(х + 1)2 - 1; 6) у = -(х - З) + 4. 4) у

- 2)2 ;

177: Побудуйте графік функції у=-~. Використовуючи цей х

графік. побудуйте графік функції:

б у=--+5;

у=--;

З) у=---2.

х-2

х+4

178: Побудуйте графік функції у= JX. Використовуючи цей графік. побудуйте графік функції:

1) у=/Х-4;

179:

З) у= Jx-1 +З.

2) y=Jx-4;

Побудуйте графік функції у=!. Використовуючи цей гра х

фік. побудуйте графік функції:

y=~l;

З) у=-+6. х-3

х+

+ n і по будуйте її графік. використовуючи графік функції у= ах 2 :

180: Задайте дану функцію формулою виду у = а (х - m)2 1) у = х 2

2) у = -х2

4х

З) у = 2х

+ 6;

+ 6х -

б;

4х

4) у = О.2х 2

+ 5;

2х - 4.

181: Задайте дану функцію формулою виду у=-k-+Ь і побу х+а

дуйте їі графік. використовуючи графік функції у = !!.. : х

-2х

З) у=-1. х-

бО

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень

182: Задайте дану функцію формулою виду у = _k_ + Ь і по х+а

будуйте ії графік, використовуючи графік функції у=!: х

4х+14 у=----;:;т-;

183: На рисунку 51

7-:r.

у= х-2·

зображено графік функції у

= f (х). Побудуйте

графік функції:

y=~f(x);

2)y=-3f(x).

184." На рисунку 52 зображено графік функції у= g(x).

Побудуйте

графік функції:

у=

Рис.

185:

1 2) у=- к (х).

2g(x);

Рис.

Побудуйте графік функції:

2) у=-2../х-2 . 1) у=0,5Гх; 186." Побудуйте графік функції: 1) у=Зfх;

187.• На рисунку 51 зображено графік функції у = f

(х). Побудуйте

графік функції :

у=

(2х);

y=t(~).

188: На рисунку 52 зображено графік функції у = g графік функції :

у=к(і};

2)y=g(4x).

(х). Побудуйте

§ 2.

ФунКЦІ-і, мноrочлени, рівняння і нерівності

189: Побу;цуйте

у=.Я;

190."

графік функції:

у=../-2х.

fi =R ·

Побудуйте графік функції:

у=.,Гз;;

у=Л;

191: Розв'яжіть

графічно рівняння :

3) -2-=х-3 .

1) х+1 =../х+7 ;

.х-2

2) 2#=3-х; 1Н2." Розв'яжіть графічно рівняиия:

1) ../З-х=0,5х;

193: Побудуйте 1)

2) Гх+2=_Е_, .х-1

графік функції:

у=../2х-1;

З) у=~}х+2.

2) у=../З-4х ; І ~м: Побудуйте графік функції:

1) у=../Зх+l;

2) у =../5-2х.

Як по удувати графіки функцій у = /{ІхІ) Іу

=І f {х) І· 1кщо відом

функції у =

графік

f {х)

Скориставшись означенням модуля, запишемо:

у=І(ІхІ)={І(х}, якщо х > О,

1(-х), якщох<О.

Ввідси можна зробити висновок, що графік функції 11 =І <Іх!) при х

> О збігається з графіком функції у = І (х), а при х < О =І (-х).

з графіком функції у

9. Як побудува_ти ~ріки Фlн~ці~_У': f_~Jl_i_~t_::J f (х) І Тоді побудову графіка функції у =

(Іх І) можна проводити за

такою схемою:

побудувати ту частину графіка функції у

(х), усі точки якої

мають невід'ємні абсциси;

побудувати ту частину графіка функції у=

(-х), усі точки

якої мають від'ємні абсциси. Об'єднання цих двох частин і складатиме графік функції

у= t <Іх І>·

Фактично це означає, що слід побудувати графік функції

у=

(х) для х ~О, а потім відобразити його симетрично відносво

осі ордиват.

На рисуику

показано, як за допомогою графіка функції

у= (х- 2)2 побудоваво графік функції у= <ІхІ- 2) 2 • Для функції у= І у=

l ~f

(х) І можна записати:

(х)

/={' (х), якщо f (х);.. О, -f (Х), ЯКЩО f (Х) < 0.

Звідси випливає, що графік функції у= І

f (х) І при всіх х, 0, збігається з графіком функції у= f (х), а при яких f (х) < О, - з графіком функції у = -f (х).

для яких

(х) ~

всіх х, для

Тоді будувати графік функції у= І

(х) І можна за такою схе

мою:

1) усі

точки графіка функції у=

(х) з невід'ємними ордина

тами залишити незмінними;

точки з від'ємними ординатами замінити на точки з тими

самими абсцисами, але протилежними ординатами, тобто частиву

графіка у=

(х), розміщену нижче від осі абсцис, відобразити

симетрично відносво осі абсцис.

На рисуику

= (х -

1)2

--,

54 показано, як за допомогою графіка функції 2 побудоваво графік функції у = І (х - 1)2 - 2 1.

\У

·~

І·

,\ : .

,у

' tf

І І

-t

' -т . 1 '

Рис.

І t

-т

·-t· І

·І ~V І'

'*' j '

1 І

~ -1 ;

jx: -

_ і І

- ~ - 1 ---~- _j

- _l j __l

-1 -- :

Рис.

і І -і

_j _j

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

nРикnАдІ Побудуйте графік функції у=ІГх1+1-21. Роав•ІJааннІJ. Алгоритм побудови шукавого rрафіка можна подати у вигляді такої схеми (рис.

55):

симетрія

униз

відносво

ва

симетрія

відносво

осі ордиват

2 од.

осі абсцис

у=Гх+і __. у=~--+у=~-2-+ и=І~-21 ІУ у

--- -

= J;'A + 1 І"'"'

...... ......

17 о

а)

ІV

-- -

у=

.....

ІІІJ 11"~ ~

f-"

~ .",.. ~--""

....

' о

.х

.11 1-~

r--

r- tr-

ІІІ:

- - -

'\} х

1--

........ ~

...... f.- -11 І= VІ .ж 11-+ 1 о -~-- ~

..... ...... L.,..ooo ~--""

"1 в) у

- =іі·.І хі

+ -2

- 1

1'-1--

:-.....

·.Q

, ,,

г) Рис.

~ і"'"'"

9. Я к nобудувати графіки функцій у = f (Іх І) і у = І f (х) І

ПР\-1КЛ І.Д

Побудуйте графік функції у = І ~

-11.

Розв'язаппя. Побудову шуканого графіка можна подати за такою схемою (рис.

56):

уліво

униз

на

од.

у= .JГх І -+

~x+l

од.

•

симетрія

відносно

а)

-·2,

~ ~б 1 - 1

в)

г) Рис.

осі абсцис

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

~~ Вправи 195:

Використовуючи графік функції

57,

рисуику

=І (х), зображений ва

побудуйте графік функції:

1) у= І <Іх/>;

2) у= І І <х>

' -\ -

а)

,.І--

-- - -

-- ·-

-- 1--

...,.. ~ __

__і

f--

--~-

---

---- --1- г--- ---

-- г---

1 \

\. ..1

lfl '\І в)

196:

І--

'--'--

побудуйте графік функції:

58,

1) у= І <Іх/>;

----,--

--,

-- р ,_

t_ --

-- -- -- - "-- ·t - -- -т1 ---- -о

·-

.х

2) 11 =І І <х> у

а)

_)!_

·- -

/_,_['\. ...

\І

t-21/

/. \

-- -

ЗІ\.

І ...

..1 f-1

\ б)

Рис.

197:

е)

Рис.

1-- f-г-

Використовуючи графік функції у= І (х), зображений ва

рисуику

!'.:

в)

Використовуючи графік функції у= І (х), зображений ва

рисуику 59, побудуйте графік функції 11 =/І (/х/) /.

_ _ _ _ _9_. Як_побудувати графіки функцій у= І (І хІ) і у= І І (х) І у

V _l

/ _L

а)

Рис.

198.'

Побудуйте графік функції:

6 2) у=-г;-ї ·

1 1) у=г;-ї;

199." 1)

Побудуйте графік функції:

2 g=r.;!; .

2) у=-г.;ї·

200: Побудуйте графік функції: 1> у = І х 2

1 І;

2) у=І Гх-21; 201:

5) у=

.r+l . l.r-41

Побудуйте графік функції:

1) у = І х2

З)у=І;-11; 4) у=І-2 І; .r-1

4 І;

у=І .JX-11;

202:• Про функцію у=

З) у=І ;-21; 4)

y=l.r+21· .r-3

y=l.r~21;

І (х) відомо, що

D (/)=[-З; 7] і Е (/) = [-6; 5].

Знайдіть:

1) область визначення функції у= І <ІхІ); 2) область визначення та область значень функції у = І І (х) 1. 2оз:· Про функцію у = І (.r) відомо, що D (/) = IR., функція має два нулі -З і 2, І (х) > О при х е (-оо; -З) U (2; +оо) і І (х) < О при е (-З; 2). Знайдіть нулі та проміжки знакостапості функції:

1) у= І <І хІ>; 2) у= І І <х>

204. •· Про функцію у = І (х) відомо, що D (/) = IR., функція має два нулі -1 і З, І (х) <О при х е (-оо; -1) U (З; +оо) і І (х) >О при х е (-1; З). Знайдіть нулі та проміжки знакостапості функції: 1) у= І <І хІ>; 2) u =І І <х>І.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

205. ••

Використовуючи графік функції у

на рисунку

2) у

(х). зображений

60. побудуйте графік функції: 1) у= f <Іх!- 1);

- 11).

<Іх у

І _

1_ ,

-1

' . _, '

-J ' Рис.

Рис.

:юfі:· Використовуючи графік функції у=

(х). зображений

ва рисунку 61 . побудуйте графік функції: 1) у=

2) у 207."

= t <Іх + 21 >·

f <Іх!+ 2);

Побудуйте графік функції:

1)у=(ІхІ-1)2;

у=~; З) у=Іхі-з;

у=~.

у=~2-І хІ·

20Н. ·• Побудуйте графік функції:

1) у= <Іх!+ 2)

209... 1)

;

у=.JГхТ=З; З) у=-х-1-4 -:

Побудуйте графік функції:

у=~;

З) у=~ х-11+2; 4) у=І

2 І о:· 1)

х+1 -З

Побудуйте графік функції:

у=~;

2) у = <Іх

З) у=~Іх-21-З:

+ 11 + 2)2;

4) у= І

1 х-1

І -4 .

211.•• Побудуйте графік функції: 1) у=~21 х І-1; 2) у=~,-1--З-=-1х---:-1; 212:· Побудуйте графік функції: 1)

у=~ЗІхІ+1 ;

у=~Зх+11 .

21з:· Побудуйте графік функції:

у=І, ~ ,- 2 1;

у=І, х і-21; 68

З) у = 11

-11 - І х 11 '·

10. Обернена функція

214.••

Побу,цуйте графік функції:

1) у= 11 х І2> у = І 2 І х І

215.-

41; - 4 І;

З) у=

11 Іх- 1 І- 11 - '1 І.

Побудуйте графік функції:

у=ІГхі=ї-11; З) у=І-1--11; І .жІ-2

у=І~Іх-11-11;

2 16. ··

r 1-t 1+21.

5> у= І r

у=І-~--11; І r-21

Побудуйте графік функції:

у =І ~21 х І-1 - 11;

у = І ~ Зх + 11- 21;

На рисунках

62,

З) у=І\: \:~І·

6З зображено графіки функцій І і

Будь~иха rоризовтальна првма перетииає графік функції

ие

більше ніж в одній точці. Це означає, що кожвому числу у е Е (f) відповідає єдине число r 0 Е D (f) т8JСе, що у0 такої властивості не має. Справді, з рисунка

=І (xJ. Функція g 63

видно, що зна

чению у0 відповідають два значення аргументу х 1 і х2 такі , що

Уо = 6 (хІ) і Уо = 6 <ха>· у

y =f (x)

Уо

Рис.

Рве.

{)ан а ч е н •• л . ФувкцЬо 11 будь-якоrо у 0 еЕ

= f (х) II8З1D8JO'I'Ia о б ор от ною , JІJСІЦо дNІ·

(f) існує єдиве ж0 е D (f) таке, що у0

=f (жJ.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Функція

(рис.

62)

є оборотною. Функція

(рис.

63)

не є обо-

ротною.

... Фун кцn у=

х,

у=-, х

(рис.

у= JX є прикладами оборотних функцій

64). у

а)

\(_

y=JX

б)

Рис.

в)

Функція у = ~ не є оборотною. Наприклад, значенню функції, 4, відповідають два значення аргументу х 1 = -2 і х 2 = 2. яке дорівнює

Теорема

10.1.

Якщо функція єapocmD.I01f.OIO (спадною), то

еона є оборотною. Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція не є оборотною. Тоді знайдеться у е Е

і х 2 (х 1

х 2 ) такі, що

(х 1 )

зростаюча, і з нерівності Отримали суперечність.

яка

для якого існують х 1

0 f (х 2 ) = у0 • Разом х 1 < х 2 випливає,

(f),

з тим функція

що

(х 1 )

< f

f -

(х 2 ).

Аналогічно розглядається випадок,

коли функція

є спадною . А

Зазначимо, що обернена теорема не є правильною, тобто не будь-яка обо ротна функція є зростаючою (спадною).

На рисуику

зображено графік

оборотної функції, яка не є ні зроста-

ючою , ні спадною . Рис.

Розглянемо функцію у х

(х), задану таблично:

Функція

є оборотною.

10. Обернена

функція

Поміняємо рядки таблиці місцями і розглянемо функцію у=

(х), задану отриманою таблицею: х

Функції

1) D (f)

fіg

зв'язані такими властивостями :

= Е (g) і Е (f) = D (g);

2) f(5)=.J5. g(.J5)=5; f(6)=J6. g(Jб)=б; f(7)=J7. g(J7)=7. Ці рівності означають, що коли

(х0 )

= у0 ,

У таких випадках говорять, що функція

функції

fіg

а функція

то

(у 0 )

= Х0 •

є обервевою до

обервевою до функції

Такі функції

називають взаємно обервеввми.

03на чення . Функції

f іg

вазивають взаємно оберненими,

JІКЩО:

1) D (f) = Е (g) і Е (f) = D (g); 2) ДJIR будь-JІКОrо %0 Е D (f) З рівності g (yJ = z 0 , тобто g (f ( zJ) = z 0 •

f (zJ

= l/o

BRDJIRBaЄ, ЩО

Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити

на таке: для будь-якого х е

що

(у 0 )

= х0 , тобто

Коли функція

f (g

(х 0 ))

D (g)

з рівності

= х0 •

(х ) = у

випливає,

не є оборотною, то не існує функції, оберненої

до неї. Вудь-яка оборотна функція має обернену.

ПРИКЛАД

Доведіть, що функція

(х)

= 2х -

1 є оборотною.

Зна

йдіть обернену функцію. Розв'язання. Функція

f(x)

= 2х-

є зростаючою. Отже,

вона є оборотною. Щоб задати обернену функцію, потрібно вказати правило, яке дає змогу за кожним значенням змінної у знайти відповідне значення змінної х таке, що у= 2х-

Маємо: 2х =у+

y+l 1; х=--. 2

Отримана рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.

Традиційно незалежну змінну позначають буквою х, а залеж ну

буквою у . Дотримуючись таких позначень, можна сказати,

що ми отримали функцію, яка задається формулою у= х; 1 . 71

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Покажемо. що функції g(x)= х; 1 і f(x) = 2х- 1 є взаємно оберненими.

Маємо: Нехай

Маємо:

D (f) = (х0 )

= у0 •

Уо

(g)

= IR. Е (f) = D (g) =

тобто у0

= 2х0

+1 g(y0 ) = --=

2х0 -

1+ 1

IR.

Доведемо. що

(у 0 )

= х0 •

~Х0 •

Функція f (х) = ХА не є оборотною. Разом з тим ця функція зро стає на проміжку [О; +оо). Оrже. функція f (х) = х 2 • D (f) = [О; +оо). є оборотною. Також прийнято говорити. що функція f (х) = х 2 є оборотною ва мвоживі [О; +оо). Знайдемо обернену функцію.

JY = ..{;2 =Іх І=х.

Маємо: у= х 2 • де х е [О; +оо). Звідси

Скориставшись традиційними позиачеииями. отримаємо функ

цію y=JX. Покажемо. що функції f (х) = х 2 • D (f) =[О; +оо). і g(x)= JX є взаємно оберненими. Маємо:

D (f) =

(g) =

[О; +оо). Е

(f) = D (g) =

[О; +оо).

Нехай f (х0) = у0 • тобто у0 = х0 • де х0 ~О. Запишемо g(y0 )=

=.JYo =Гхf =І Хо І=хо. Т ,. о р ,. ""'

І 11. ~. ГрафіІСи вааємно обернених фун~ецій симе

тричні відносно прямої у

= z.

Доведення. Нехай точкаМ (а; Ь) належить графіку функції

у=

(х). Тоді Ь

(а). Якщо функція

(Ь)

обернена до функції

а. тобто точка

графіку функції у

ними відносно прямої у

Якщо а

Рис.

= х.

= Ь. то точки М і N =

то

(х).

Покажемо. що точки М і

і належать прямій у

(Ь; а) належить

є симетрич збігаються

х.

При а ~ Ь маємо (рис. 66): ON =.Jа 2 + Ь 2 • ом= .Jа 2 + Ь 2 • тобто точка о рівиовідцалена від кінців відрізка

MN. а отже. нале MN. Середина К

жить серединиому перпеидикуляру відрізка

відрізка MN має координати (а; Ь; а; Ь ). тобто належить прямій у= х. Оrже. пряма у= хі є серединним перпендикуляром від

різка

MN.

10. Обернена функція

-- - - - - - - --

--- ---

Доведену теорему ілюструють графіки взаємно оберневих функцій, що розглядалися вище {рис .

67). у

а)

Рис.

Теорема

10.3.

Якщо функція

то о6~рн~на функція

є аростаю."ою (спадною),

є також аростаю."ою

Доведення. Припустимо, що функція цьому обернена до неї функція

( спадною). зростаюча і при

не є зростаючою. Тоді знайдуться

D (g) і у 2 е D (g), що з нерівності у 1 < у 2 випливатиме g (у 1 ) ;;> g (у2 ). Нехай g (у 1 ) = х 1 , g (у 2 ) = х2 • Оrримуємо,

такі у 1 е

неріввість що х

~ х • Оскільки функція

тобто у

f -

зростаюча, то

~ у • Оrримали суперечність .

(х 1 ) ~

(х 2 ),

Для спадвої функції міркуємо аналогічно. А

І Вnрави 217.·

Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку

є оборотними?

а)

б)

в)

Рис .

г)

68,

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

218.

Які з функцій, графіки яких зображено ва рисунку

69,

є оборотними? у

"у о

а)

в)

6) Рис.69

219: Доведіть, 1)

що дана функція не є оборотною:

І х І;

2) у=..!..;

220. • Доведіть, 1)

З) у = 5;

х4

що функції

fіg

f(x)=i+~, g (х) = Зх-

у = [х].

є взаємно оберненими:

2) f(x)=-1-, g(x)= 2х+1; х-2

З) f(x)=Jx+2, g (х) = х 2 - 2, D (g) =[О; +оо). 221." Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими: 1) (х) = 4х + 2, g(x)= х - 1 ;

4 2

(х)

= -

х+ 1

, g(x)=-; 1-х

З) f (х) = (х- З)2 , D (f) =[З; +оо), g(х)=./Х+З. 222." Знайдіть функцію, обернену до даної: 1)

223. · 1)

у= Зх-

у=-;

З) у=--;

2х+1

у=- х+4.

у= 4х-

Знайдіть функцію, обернену до даної: у

= 0,2х

224. • Знайдіть

+ З;

у=-;

З) у=-;

х-1

х+2

функцію, обернену до даної:

1) у=2...._;

4) у= х2 , D(y) =(-оо; О];

2) y=J2x-1;

5) у=-;

З) у= 2 .JX -1;

х-1

1-х

1+х

у=

Jx-2, якщо х~з. { 2х-5, ЯКЩО х<З.

10. Обернена функція Знайдіть функцію, обернену до даної:

225: 1)

у=х+ 2 ;

у=../х 2 -4, D(y)=[2; +оо);

у={2-х , якщо х~1.

2-Х,

ЯКЩО Х<

226." Знайдіть функцію у= g (х), обернену до функції у=~. Зх-1

Чи буде функція до у=

оборотною? Яка функція буде оберненою

(х)?

Побудуйте в одній системі координат графік даної функції

227."

і графік функції, оберненої до неї:

у= -0,5х

+ 2;

у=

{

Х,

ЯКЩО Х;;;. 0,

2х, якщо х <О.

Побудуйте в одній системі координат графік даної функції

228.•

і графік функції, оберненої до неї:

.JX. якщо х;;;. о, 1)

у= 3х-

2) у = х 2

4, якщо х ~ О;

у=

j21 х, якщо х <О.

229.• Користуючись графіком функції у = f (х). зображеним на ри сунку 70, побудуйте графік функції, оберненої до функції f.

-v- 1

11 1.1 _,...... '--

~~ -to

-j

-j х

'--

~_j_j

а)

Рис .

Користуючись графіком функції у

230:

рисуику

231. • у

Рис.

71.

(х). зображеним на

щ~будуйте графік функції. оберненої до функції

Доведіть. що функція. обернена до лінійної функції

= kx + Ь при k :# О,

теж є лінійною.

§ Z.

Функції, многочлени, рівняння і нерівноаі

282... Нехай g - фувкціJІ, обериева до фувкції f (х) = х" + 6%". 1) Зпйдіть g (7). 2)

Розв'яжіть рівияивя

(х)

= -1.

3) Скільки кореків має рівнякия g (х)

=с

залежно від зна

чения с?

233."

Нехай

фуикціJІ, абервека до фуикці.ї

/(х)=х 8 +.Jx-2. 1) Звайдіть g (28).

Розв'яжіть ріввяВВІІ

(х)

= 1.

З) Чи ісвуе таке звачеввя с, що рівиІІИВя

(х)

=с має даа

кореві?

... Доведіть, що фувкфя , обериева до вепариої функції,

о-- ~

теж є иепарвою.

286.* При яких авачеввях 1r і

Ь фуикціJІ 11

= lrx + Ь, де 1r ~О, буде

збігатися з оберипою до неі функцією?

288.* При яких nачеввях а і Ь функція g = -1- , де а~ О, буде аz+Ь

збіrатиСІІ а обериnою до веї функцією?

ЛьвІвська математична школа Ви тримаєте в руках підручник

•Алгебра і початки аваліау•. У аааві з'явилося вове словоополучеиия

•початки авалізу•. Що ж приховаво за цією иаз11010? Відповідь .цуже про ста

математичвий аваліз вивчає

функції. З цього року ви почиааєте

знайомство з елементами аиа.лізу; вам доведе'l'ЬСІІ розгJІЯДати все кові А кові класи функцій, вивчати їх властивості, опавовувати методи до сліджеввя функцій.

У першій поповвві ХХ ст. при вивчевві певвих класів функцій

з'явилася аова математична дис Підруqвик Ваваха •Курс фувкціове.львоrо

аналізу•

ципліна, вершина сучасної матема

тики- •Фувкціовапьвий аваліз•. Важливу, фuтичво головну роль

Коли зроблено уроки у створенні цієї дисципліни відіграли науковці Львівської мате матичної школи. У 20-30-х рр. ХХ ст. місто Львів було справжньою світовою математичною столицею. У той час у його закладах працювали такі легеидариі математики, як Казимир ІСуратовський, Стаиіслав Мазур, Владислав Орліч, Вацлав Серпінський, Станіслав Улам, Юліуш Шаудер, Гуrо Штейнгауз та ін. Кваліфікація науковців Львова була настільки високою, що всесвітньо відомий матема тик, автор видатних теорем у математичиій логіці та теорії мво жив Альфред Тарський не пройшов за конкурсом на вакантну посаду професора Львівського університету . Математики Львова створили міцний науковий колектив, відо

мий як •львівська математична школа~. Жї керівником вважають геніального математика Стефана Банаха.

Стефан Банах

Вручення гусака

(1892- 1946)

Сьогодні С . Банаха в усьому св1т1 з цілковитою підставою вважають засновником функціонального аналізу . Один з перших у світі підручників з цієї дисципліни написано самим С. Бана хом . Баrато результатів С. Банаха та введених ним понять стали класичними. Наприклад, досліджені ним множини одержали назву •простори Банаха• і зараз входять до необхідного міні муму знань кожного студента-математика, фізика, кібернетика тощо .

§ 2.

Функцїі, многочлени, ріеняння і нерівності

Розповідають, що багато теорем львівські математІЦ<и дово дили •.. у кав'ярні . С. Банах з учнями облюбували •Шкотську (шотландську) кав'ярню• , де маленькі столики мали мармурове покриття

дуже зручне для запису математичних формул і тео

рем. Господар кав'ярні був незадоволений таким свавіллям на уковців, але ситуацію врятувала дружина С. Банаха, яка придбала

великий зошит для записів. Так з' явилася знаменита •Шкотська книга•

збірка математичних проблем, над якими працювала

група С. Банаха. Як винагороду за розв' язання складних задач автори з гумором пропокували коли кухлі пива, коли вечерю

в ресторані. Так, одна з проблем, за яку автор пообіцяв живого гусака

(1936

р . ), була розв'язана лише в

1972

р. , тоді ж і було

вручено вивагороду.

Проблеми, поставлені в

• Шкотській

книзі•, вважають ва

стільки важливtsми і складними, що кожний, кому вдасться розв'д3~тu хоча б одuу 3

trttx,

од,рІ\ау дістає світового визнання .

Сама ж • ШкО'І'СЬка кн:итn• є однією з найвідоміших і найцінні ших релі квій світової науюt.

РівносильнІ рівнянн

івняння-наслідок.

Р1вносильнL нерівності Нехай задано дві функції у =

(х) і у =

(х) і поставлено зг.

дачу знайти множину значень аргументу х , nри яких значення

функцій

f і g рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв'язати

рівняння

(х)

=g (х).

О а ІІ <ttІ еІІн н . Облаt' т ю в и значе а ня рі в няаня

(х)

=. g

(ж)

вазивають мвоживу значень зміввої х, при яких мають зміст обидві частиви ріввЯJІJІя. означення випливає , що областю визначення рівняння

(х)

=g (х) є :множина D (f) n D

(g).

Розглянемо кілька прикладів:

•

областю визначення лінійного рівняння, тобто рівняння виду ах

•

Ь, є множина дійсних чисел;

областю

визначення

р івняння

{хІ х ~ - 2};

•

областю

визначеаня

рівняння

{хІх < О} .

%2 - 4

--=0

:множ и на

.r+З = 0

множина

.r+2

l.rl - x

11. Рівносильні

рівняння. Рівняння-наслідок . Рівносильні нерівності

Незважаючи на те що рівняння х 2

= -2 не має

коренів, його

областю визначення є множина дійсних чисел. Зрозуміло, що кожний корінь

рівняння обов' язково належить його області визначення. Цей факт ілюструє діаграма Ейлера (рис.

72).

Наприклад, не розв'язуючи рівнян-

ня 4х 2 + 12х+ 12 + ~ = 47, можна х

сміливо стверджувати, що число О не є його коренем. 2

Розглянемо два рівняння: х = 4 і Іх І= 2. Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені:

-2

Рис.

У таких випадках кажуть, що

рівняння х 2

= 4 і І х І = 2 ріввоснт.ві.

Оана•tеннн. Рівняввв { 1 (х) =g1 (х) і { 2 (х) = g 2 (х) вазиваюn. рі в носи ль и им и, вкщо мвоживи їх коревів рівві. З означення випливає, що коли потрібно довести рівносиль ність двох рівнянь, то треба довести, що кожний корінь першого рівняння є коренем другого рівняння і, навпаки, кожний корінь другого рівняння є коренем першого рівняння. Наведемо приклади пар рівносильних рівнянь:

!х=О і2х=0; х2 х

= 1 і (х -

- 1

= О і (х

(х - 1)

100

1) (х + 1)

+ 1) (х

= О;

- 1) = О;

= О і (х - 1)

= О. х = -5

1000

Множина коревів кожного з рівнянь

і І х І

= -3 є

по

рожньою, тобто множини коренів цих рівнянь рівні. Отже, за означенням ці рівняння є рівносильними.

Якщо будь-який корінь рівняння множині М, є коренем рівняння

(х)

= g 1 (х), що належить

=g2

(х), а будь-який ко

{2 (х) = g 2 (х), що належить мвоживі М, є коренем {1 (х) = g 1 (х), то такі два рівняння називають рівво

рінь рівняння

рівняння

сиm.ІІІІМІІ ва мвожвві М.

Наприклад, рівняння х2 на множині (-оо;

1 = О і х + 1 = О є рівносильними

0). 79

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності - --

- --

- -- - - - - -- -- - - - ----- - -- -

Розв ' язуючи рівняння, важливо знати, за допомогою яких перетворень можна замінити дане рівняння на рівносильне.

Теорема

11.1.

Якщо до обох WUJ.стик дакоzо рівкАККА до

дати (або від обох WUJ.стик відкJ&ти) одке й те саме числ.о, то отримаємо рівкJ&ККJ&, рівкосил.ьке дакому. Доведення. Доведемо, що рівняння

f f

(х)

+с

(х)

= g (х)

+с

(с -

(1)

(2)

деяке число)

рівносильні .

Нехай деяке число а є коренем рівняння ється числова рівність числова рівність:

(1). Тоді справджу g (а). Оrже , правильною буде й така

(а)=

(а)+ с = g (а)+ с . Це означає, що число а є (2). Таким чином, кожний корінь рівняння (1) рівняння (2).

коренем рівняння є коренем

За допомогою аналогічних :міркувань можна показати , що кожний корінь рівняння

є коренем рівняння

(2)

(1).

Отже, рівняння (1) і (2) рівносильні . .А Те ор(' ма

11 .2. Якщо який-кебудь додакок nерен.ести а одкіd

частики рівкJ&ккя в ікшу, амікивши при чьому йоzо акак ка

протил.ежкий, то отримаємо рівкJ&ккя, рівн.осил.ьке дакомJІ. ТЕ' орЕ' ма

11.3.

Якщо обидві частики рівкяккя помкожити

(поділ.ити) ка одке й те саме відмікке від кул.J& числ.о, то отримаємо рівкяккя, рівкосил.ьне дан.ому. Доведення теорем ми

11.1.

11.2

11.3

аналогічні доведенню теоре

Проведіть доведення самостійно.

Зауваження . З теорем

11.1

11.3

не випливає, що коли до

обох частин рівняння додати один і той самий вираз зі змінною

або обидві частини помножити на один і той самий вираз зі змін ною, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Так, якщо до обох частин рівняння х 2 - -1-

5-х

1=25-5-х

додати

дріб - 1-, то отримаємо рівняння х 2 = 25, яке не рівносильне 5-х

даному.

О а 11 ач е н ня.

Якщо мвожива коревів ріввJІВвs

містить мвоживу коревів ріввяввя (

(х)

(х) =

= g 2 (х) вазивають васлідком ріввJІВВs

(х)

=g 2

(х)

(х), то ріввJІВвя

f 1 (х) = g 1 (х).

11. Рівносильні

рівняння. Рівняння-наслідок . Рівносильні нерівноаі

Наприклад, рівняння х2 = 25 є наслідком рівняння х 2 -

1 -

5-х

=25--. 5-х

Також говорять, що з рівняння х 2 - -1-=25--1- випливає 5-х

5-х

рівняння х = 25. На рисунку

означення рів

няння-наслідку проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера.

Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то, наприклад, наслідком рівняння

х2 =

-5 є будь-яке рівняння з однією

змінною х.

Зауважимо, що коли два рівняння

Рис.

рівносильні, то кожне з них можна

вважати наслідком іншого. Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями даного рівнян ня, називають сторовиімв кореиями даного рівняння.

Наприклад, рівняння (х-~}(х+2)=0 є наслідком рівняння 2х -

О. Рівняння-наслідок має два корені: х1 = ~· х2 = -2,

а рівняння 2х - 1 = О має один корінь ~. У цьому випадку корінь -2

є стороннім коренем рівняння 2х-

1 =О.

Розв'язуючи рівняння, треба намагатися побудувати ланцю жок рівносильних рівнянь, щоб урешті-решт отримати рівняння, яке рівносильне даному і корені якого легко знайти.

Проте якщо під час розв'язування рівняння рівносильність не було дотримано і відбувся перехід до рівняння-наслідку, то отри мані при цьому сторонні корені, як правило, можна відкинути за допомогою перевірки. 2

Розв'яжемо рівняння х - 4 =0. Прирівнявши чисельник дрох+2

бу до нуля, отримаємо рівняння х - 4 =О, коренями якого є 2

числа

-2

Проте число

даного рівняння, а число

-2

не належить області визначення

задовольняє задане рівняння і є його

єдиним коренем.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Розв'язуючи рІвняння

х -4

•

ми переишли до рlвняння

--=0, х+2

наслідку х 2 - 4 =О, корені якого було перевірено. При розв'язуванні рівняння важливо розуміти, на якому етапі

було порушено рівносильність і що спричинило це порушення.

. . . х 2 -4 . 2 Так, при переходІ ВІД рІвняння --=О до рІвняння х х+2

4=О

було розширено область визначення даного рівняння . Інакше

кажучи, зняття обмеження х стороннього кореня

якраз і призвело до появи

*- -2

-2.

Зазначимо, що розширення області визначення рівняння не завжди призводить до появи сторонніх коренів. Наприклад, пере

хід від рівняння х - 4 =0 до рівняння х2 - 4 =О є рівносильним, x+l

хоча при цьому розширюється область визначення даного рів няння.

Ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому

розв'язування рівняння f(x) =0 зводиться до розв'язування рів g(х)

няння І (х) =О і перевірки умови

g (х) *- О. Іншими словами,

f(x) - - =0

множина коренІв рІвняння

дорІвнює перетину множин

g(x)

{х І І (х) = О} і {х І g (х) :1: О}. У таких випадках кажуть, що рівняння

f(х) -- = О g(x)

{І(х)=О,

рІвносильне системІ

Наприклад, рівняння

xz -4

--=

х+2

{

g(x)*-0.

РІВНОСИЛЬНе СИСтеМІ

х 2 -4=0, х+2*-О.

О ан ач е н н я. Нерівності вазивають рі в в осильним и, якщо мвоживи їх розв'язків рівні. Наведемо кілька прикладів.

Нерівності х2 ~О і Іх І~ О є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний розв'язок х =О.

Нерівності х > -1 і І х І > -2 є рівносильними, оскільки мно 2

жиною розв'язків кожної з иих є множина дійсних чисел.

Оскільки кожна з нерівностей І хІ< не має, то вони також є рівносильними.

-1 і Ох< -3 розв'язків

11. Рівносильні

рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності

Розв'язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, більш про стим рівнянням, але рівносильним даному. За аналогічною схе мою розв'язують і нерівності, використовуючи такі правила.

•

Якщо до обох частин нерівності додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

•

Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в іншу, замінивши при цьому його знак на проти лежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

•

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну

даній.

•

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерів ності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

О :J на ч е н н я. Якщо мвожива розв' язків першої нерівності є підмвож-ою мво•-• розв'язків другої веріввості, то другу веріввісn. вазивають в ас л ід ком першої нерівності. Наприклад, нерівність х нерівності х

> 5

(рис.

> 2є

наслідком

74).

Оскільки порожня множина є підмно жиною будь-якої множини, то будь-яка

~ 2

Рис.

нерівність з однією змінною є наслідком не-

рівності, яка не має розв'язків, наприклад нерівності Іх І< О .

І Вправи 237.

Чи рівносильні рівняння:

+ 2 = 10

3х =

24;

2)-2х=-6 і !х=1; з

3) 4) 5)

=О

(3х-

12)

(х

х-

~=О і х

х (х-

1= 1

=О;

(0,4 - O,lx)

= -4;

6) х

+ 2) =О

+х

х 2 +1 -2-=1; х +1

7) х3 = 1 і І х І = 1; 8) х 100 = 1 і х 1000 = 1;

(7х

+ 14) =О;

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

.Jx-2=1 і х2 -6х+9=0;

10) ~ = 1 і х = х; х

11) х 2 + 2х + 1 = О і х + 1 = О; 12) (х + 1) (х 2 + 1) = О і х + 1 = О;

1З) х

1 =О

х+1

і х-

х - 9 =0 і х 2 2

14)

х+2

О;

=О;

15) .Jх 2 -Зх+1=З і Іх2ан.

41 = -2?

Чи рівносильні рівняння:

2) х

+ 6 = 10 2

=х

і х

2х

- 1 = 7;

= 1;

З) (х-~)(2х+1)=0 і 4х2 - 1 =О; 4) .Jx-1=2 і

х 2 - 10х + 25 =О;

5)х 2 +1=0 і -3-=О; х-1

6)х+1=1 х+1

7) х-2 =0

2х2 +З= О;

х-2

8) х 2

+ 4х + 4 =О і

9) х _g =0 і

х+1

х-1

х +З= О;

х-3

10) х+ 1 =0 і

х+ 2 =0;

х 2 -1

- 2-=0; х

11) .Jx-4=-4 і

-1 х2 + х + 1 =О?

2З9. Складіть рівняння, яке рівносильне даному: 0

2х- З=

2) Іх І= 1:

З) х

х-1

х-

4) - = 0 ; х-1

5) х-1 =1. х-1

11. Рівносильні

240. • ОбІ'рунтуйте

4х

2) х

- 8

рівносильність рівнянь:

=х + 3 =3

рівняння . Рівняння-наслідок . Рівносильні нерівності

і х

4х

= 8 + 3;

+ 5 = 9;

3) З.х-s_=.=1 і 9х- 15- х = 6; 2

4) (2х 241."

1) (х 2

1) = 3 (х 2

+ 1)

і 2х

1 = 3.

Чи буде рівняння, отримане в результаті вказаного пере

творення, рівносильним даному:

+ 2) =

1) у рівнянні 3 (2х - 1) - 5 (4х

1 розкрити

дужки і звес

ти подібні доданки;

· · х У р1внянн1

+ х-1

7 - х- 7 =

· рІзницю .х-

заміни-

поділити

7 - х- 7

ти на нуль;

2 3) у рівнянні х - 1 + 3х- 5 =О скоротити дріб;

х-1

4) обидві частини рівняння х3 = х поділити нах;

5) обидві частини рівняння (х на х2 + 4;

+ 1) (х + 4) =

х2

6) обидві частини рівняння ~ =2 помножити на х; х

242."

обидві частини рівняння 2х

+ 1=5

помножити на х

+ 1?

Яке з двох рівнянь є наслідком другого: 2 х 36 5) - - = - -

1)х 2 =Х іХ= 1;

2) =-=1 х

х-6

і Х 2 =36;

6)х2=4 і х 2 --1 -=4--1-;

і Ох= О;

х+2

х -1

= О;

3) х3 = 1 і х2 = 1;

7) - - =О і х 2

4) І х І = 1 і х3 = 1;

8) х2 - 1 = о і х 2 + Гх -1 = Гх 1

х+1

:на." Яке з двох рівнянь є наслідком другого:

1) -=1 х

244:

і х2 = х;

х+8

х2 + 1 = 1 і х (х- 1) =О;

х+8

х 2 +-1-=9+-1- і х2=9? х+З

х+З

Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких:

1) має один корінь;

3) - - = - - і х 2 = 64;

3) 4)

має два корені;

має безліч коренів; не має коренів.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності 0

245.

Чи рівносильні нерівності: х +З>

-4х

< -12;

2)(х + 2f (х + 1) < О і х + 1 <О; З) (х + 2f (х + 1) ~ О і х + 1 ~ О;

!< 1 і х

> 1;

5) х ~ х і х ~ 1; 6) (х + 4) 2 < О і І х - 2 І < О; 7) (х - 1)2 > О і І х - 1 І > О: 8) І х І ~ О і х 2 ~ О; 9) (х - 2)2 ~ О і (х - 1)2 ~ О? :! Іі' . Чи рівносильні нерівності: 1) (х - З)2 (х + 4) ~ О і х + 4 ~ О; 2) (х - З)2 (х + 4) < О і х + 4 < О;

З) х- 2 >О

х-4

247:

JX ~О

х - 2 > О; х4 ~ О?

Як може змінитися (розширитися чи звузитися) множина

коренів заданого рівняння, якщо:

1) рівняння <ІхІ +З) f (х) = 2 І х І+ 6 замінити на рівняння f (х) = 2; f< )

2) рівняння +=О замінити на рівняння f (х) = О; х

З) рівняння (х

+l + 1) f(x) =

+ 1

замінити на рівняння

(х) =

4) рівняння f (х) = g (х) замінити на рівняння f (х) ~ g (х); x+l

рівняння

= (х

248:

x+l

f(x) = g(x)

+ 1) g

замінити на рівняння (х

(х)?

Яка з двох нерівностей є наслідком другої:

< 1; > 5; З) х 2 < О і х < О; 4) Гх >-1 і Іх І~ О;

1) 2)

< -4

х ~

5) І х І ~ х і х 2 + х + 2 > О? ~49." Яка з двох нерівностей є наслідком другої:

2) х2

> -2 -

> 1;

4 > О і х - 2 > О;

З) х2 ~ О і х > О?

+ 1) f

(х)

12. Метод \нтервапіе

На рисунку

D (f) =JR

зображено графік деякої функції

у якої

і нулями є числа х , х і ха . Ці числа розбивають область

визначення функції ва проміжки знакостмості (-оо; х ), (х ; х ),

(х ; х }, (х ; +оо).

А чи завжди нулі функції розбивають ії область визначення на

nроміжки знакосталості? Відповідь на це запитання негативна. Для функції

76,

графік якої зображено на рисунку

проміжок

(х2 ; ха> не є проміжком знакосталості. Сnравді , якщо х Е (х2 ; х0 ), то

(х)

О, а якщо х Е (х ; х ), то

(х)

О.

r-гу

у = f(x)

V V V / / V1

Рис.

Рис .

Принципова відмінність між функціями що графіком функції

fіg

полягає в тому,

є неперервна крива, а графік функції

такої влас'І'ивості не має . Говорять, що функція

неперервна

в кожвій точці області визиаче-и, або, як ще прийнято гово· рити, веверервва ва

D (/),

а функція

у точці .х

розрив.

D (g)

має

Так, функція у= {х} має розрив у кожній точці х такій, що

хЕ

При цьому, наприклад, у кожній точці проміжку

функція є неперервною (рис.

(0; 1) ця

77).

Таке уивления про неперервну функцію інтуїтивно зрозуміле. Детальніше з цим поняттям ви ознайомитеся в

класі . Там же

буде доведено таку наочно очевидну теорему:

Т t> nр<' ма

12. 1. Н"що фун"ція f кеn.ерервна і не має нулів

на де11"ому n.роміж"у, то вона на цьому n.роміж"у аберігає постійний ана".

Ілюстрацією до цієї теореми слугує графік функції, зображе ний

IJa

рИСУ8КУ

75.

Ця теорема дозволяє, не будуючи графіка функції

(х)

Звернемося знову до рисунку

75.

в'язувати нерівності

(х)

О і

О.

роз

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

Уявімо собі, що з цього рисунка

•зникли• всі точки графіка функ А

х3

Рис.

ції

за винятком точок А (х 1 ;

2 0),

В (х ;

С (ха;

0) (рис. 78).

0),

Очевидно,

що кожний з проміжків (-оо; х ),

(х 1 ; х ), (х ; ха) , (ха; +оо) не містить

нулів функції

Тоді, пам'ятаючи, що функція

неперервна на

D (f) = IR,

мож-

на стверджувати: указані проміжки є проміжками знакостапості

функції

Залишається лише з'ясувати, якого знака набувають значення

функції

на цих проміжках. Це можна зробити за допомогою

• пробних

точок •.

Нехай, наприклад, аЕ (-оо; х ) і

х Е (-оо; х ) виконується нерівність

(а)> О. Тоді для будь-якого

(х) >О. Аналогічно можна

•взяти пробу• з кожного проміжку знакосталості. Описаний метод розв'язування нерівностей називають методом інтервалів. Справедливою є така теорема, яку буде доведено в

Теорема

12.2.

f(x) Фуккція у= g(x)' де

ч,яеки, кеперервка ка

(х) 1

класі.

(х)- мкого-

(у).

Наприклад, функція у=.!. неперервна в кожній точці множи х

ни (-оо; О) U (О; +оо), тобто на

(у).

Ця теорема дозволяє для нерівностей виду f (х) >О або f (х) <О, g(x)

де

(х) і

ПРИКЛАД

(х)- многочлени, застосовувати метод інтервалів.

Розв'яжіть нерівність (х

Розв'язання. Числа х (х-

g(x)

-3, 1 і 2 є

+ 3) (х- 1) (х- 2)

нулями функції

(х)

>О.

= (х + 3)х

1) (х- 2),

яка неперервна на D (f) = IR. Тому ці числа розби IR на проміжки знакостапості функції f: (-оо; -3), (-3; 1), (1; 2), (2; +оо) (рис. 79). За допомогою • пробних точок • установимо знаки функції f вають множину

на зазначених проміжках.

Маємо:

3 Е (2;

+оо);

f (3) >

О, тому

(х)

О при будь-якомух Е

~е(1;2); t(~)<o, тому f (х) <О при будь-якому х Е О Е

(-3; 1); f (0) >

О, тОму

(х)

О при будь-якомух Е

(2;

+оо);

(1; 2); (-3; 1);

12. Метод інтервалів е

-4

Х Е (-оо;

(-оо; -З);

f (-4) <

О, тому

(х)

Результати дослідження знака функції ку

О при будь-якому

показано на рисун

-3).

80.

-з

1 Рис .

2 Рис .

Тепер можна записати відповідь .

Відповідь: (-З;

1) U (2;

+оо) .

Зауваження. При оформленні розв'язування нерівностей процес дослідження знака функції можна проводити усно, фік

суючи результати у вигляді схеми, показаної на рисунку

ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть нерівність (х

+ 1) (З-

2) >О. 1) (З- х)х х(х- 2)2 на координатній прямій (рис. 81). Вони розбивають мно жину D (f) = IR на проміжки знакостмості функції f. Розв'язання. Позначимо нулі функції

-1

Рис.

Дослідимо знак функції

ПРИКЛАД

(х

(-1; 2) U (2; .

на цих проміжках . Результат до

слідження показано на рисунку Відповідь:

f(x) =

2 Рис.

х) (х-

80.

82.

З) .

(х-1) (х+2) (х-5) 3

Розв ' яжІть нер1вюсть

(2х + 1)(х- 4)

<О.

Розв 'язання. Областю визначення функції 3

f(x)= (х-1) (х+2) (х-5) (2х + 1)(х- 4) 2

-l) -l; 4) 4; +оо). Функція f є неперервною на кожному з проміжків (-оо; -l).(-l: 4),(4; +оо). Тому нулі є множина (-оо; -2, 1,

б функції

(-оо; -2),

U (

розбивають

D (f)

на проміжки знакостмості

(-2;-l)• (-l;l), (1; 4), (4; б), (б; +оо), 89

Функцїі, мноrочлени, рівняння і нерівност1

§ 2.

Результат досJrідж.ення знака функції казано на рисунку

Рис.

Відповідь:

на цих проміжках по

83.

(-; - 2)

-~} U

(-2;

83 (1; 4) U (4; 5).

Розв'яжіть нерівність - 1 - + - 5- < 1.

nРИКЛАД

2-.х

Розв'язання. Маємо:

2+х

2 +.x+l0-5r-4+r 2 <0; (2-r)(2+.x)

Х -4х+8 <0.

(2-.х)(2 + х)

Областю визначення функції f(x)=- (;-:)4(~:~) є множина (-оо;

-2) U (-2; 2) U (2;

~ Рис.

+оо), Функція

функція

нулів не має . Оскільки

неперервна на кожному з про

міжків (-оо;

+оо), то ці

-2), (-2; 2), (2;

проміжки є для: неї проміжками знако-

сталості. На рисунку

показаво результат до·

сJrіджеввя: знака функції

Розв'язання: цієї нерівності можна оформити інакше. Оскіль

ки дискримінант квадратного тричлена х2 - 4х

від'ємиий,

а старший коефіцієнт додатний, то для: будь-якого х Е

х2

кій:

4х

О. Тому нер1вmсть

+8 >

(2 - .r) (2

х -4r+8 (2-х)(2+х)

маємо

<О рІвносильна та-

+ .r) < О. Далі слід звернутися: до рисунка 84.

Відnовідь: (-оо;

-2) U (2;

+оо).

За допомогою методу інтервалів можна розв' язувати і нестрогі

нерівності

f (.r) .,

О або

(х) ~ О. Множина розв'язків такої не

рівності -це об'єднання: множини розв'язків нерівності (або відповідно

n nІ.t ... n.a n

t·tnn.•І~

f (.r) < 0)

рОЗВ , Я:Ж1ТЬ ·

і множuни коренів рівняння:

нерІВВlСТЬ

f (.r) >

(.х) ::::: О.

4r +4r+l ?' О • .r2 +2.х-З 2

Розв'язання. Радимо, я:хщо це можливо, многочлени, запи сані в чисельнику і знаменнику дробу, розкладати на множники.

Тоді набагато зручніше досліджувати знак функції на проміжках зиакосталості.

12. Метод інтервалів

Маємо:

( 2х + l)

:> О

(х+З)(х - 1)

Установлюємо (рис. жина (-оо; -З)

u (1;

(х+З)(х-1)

Рис.

>0.

(х + З)(х- 1)

(2х + 1)2

що мно

(2х+1)2

розв •язків нерівності

Р1вняння

85),

+оо) є множиною

•

має єдинии кор1нь х = - - .

Об'єднавши множини розв'язків рівняння і нерівності, отри маємо відповідь.

Відповідь: (-оо; -З) U (1; +оо) U {-И· ПРИКЛАД

Розв'яж1ть перjвніать (х 2 -6x+8)Jx2 - 4х+З ~0.

Ро.зв•яо~ахпя. Маємо: (х ~ 2)(х-4)v'(х-1)(х - З) ;ІJ О.

Розглянемо функцію f(x)=(x-2)(x-4)J(x-1)(x-З). Легко 86), що D (f) =(-со; 1] U [З; +оо).

встановити (рис.

1 Рис.

Рис.

Множина коренів рівняння Розв 'яжемо нерівність

(х)

4 87

= О має вигляд {1; З; 4}.

(х) > О. Нулі функції

розбивають

її область визначення на такі проміжки знакосталості: (-со; (З;

4), (4;

1),

+оо) .

Установлюємо (рис.

87),

що множина (-оо;

живою розв'язків нерівності розв'язків рівняння

1) U (4; +оо) є МВО·

(х) > О . Об'єднавши множини

(х) = О і нерівності

(х) > О, отримаємо

відповідь . Відповідь: (-со;

1] u (4;

+оо)

{З} .

Вnра ви

250:

Розв 'яжіть нерівність:

+ 1) (х- 2)(х + 5) >

О;

2} х (х - З) (х + 2) < О; 3) (2х + З) (Зх - 1) (х + 4) >

4) (2х - 1) (З - х) (х + 1) < О; 5) (х - 3) (2х + 1)(1 - 5х)(х + 4) >О;

О;

6)(х

1) (х

+ 6) (х - 9)(4 -

х)(Зх+

2) < 0.

§ 2.

Функції, многочлени, рІвняння і нерівності

251." Розв'яжіть нерівність: 1) (х + З) (х - 1) (х + 4) < О; 2) (Зх + 2) (х- 5) (4х- 1) >О;

252.

З)

(1 -

Зх) (х

(З

+ 2)

х)

О;

4)х(5х+З)(2-х)(4х-З)(х+5)>0.

Розв'яжіть нерівність:

1) (х - 1) (х + З) 2 (х - 2) < О; 2) Іх(х + 1) (х- З)> О ; З) (2х + З) (1 - 4х)4 (х - 2)3 (х + 6) < О; 4) (1 - Зх)3 (х + 2)2 (х + 4)5 (х - З) > О .

25:~ . Розв'яжіть нерівність:

1) х 2 (х

+ 1) (х - 4) > О; 2) (З - х)3 І х + 2 І (х - 1) (2х - 5) < О; З) (1 - 2х) (х- З)9 (2х + 7)6 (х + 4) (х- 2)2 > О. 254. Розв 'яжіть нерівність: 1) (2х + 1) (х - З) (х 2 + 4) < О; 5) Зх 3 + 2х2 - х < О; 2) (2 - х) (Зх + 5) (х2 - х + 1) > О; 6) х3 - 6х + 5 > О; 1)хВ-2х2-х+2>0; З) (2х + 1)2 (х 2 - 4х + З) > О; 4) (;зх2 - 5х - 2) (2-і + х + 1) < О; 8) (2-і + 5х - 3) (2-і - 5х + 2) > о. 255. · Розв'яжіть нерівність: 1) (4 - х) (Зх + 1) (х 4 + х 2 + 1) < О; 2) І х - З І (Зх + 2)3 (Зх 2 - 5х + 6) > О; З) 4х 3 - 25х < О; 4) (х2 - 4) (Зх2 + 7х + 2) > О. 256. Розв'яжіть нерівність: 0

1 ) х+З >О;

257."

х-4

(2-х)(х-5)

Розв'яжіть нерівність:

1) ~<0;

х+2

) (3х-2)(4-х) >О. (х + 3) (х -1)

Розв'яжіть нерівність:

258:

(х 3

(3х- 2х

8)(х 2

<0; бх -7) 2

4)(3х -10х + 3)

+ >0· х 2 -4х-5 '

259:

х+7

х+В

З) х +х

(х-2)(х -1)(4х-5-3х )

) х (х-1) (х+5) >О; (х- 8)(1- 4х) з 2 1 2) х -х +х- <О; 1

З) (2х+1)(х-3) <О.

2 ) (х-2)(х+1) <О;

х-1

х +5х-6 <О.

)

(х+2)(1-Зх)

Розв'яжіть нерівність:

) (х-2)(2х+1)

>О;

(3-х) 4 (1-5х)5

х -5х+7 >О. 2 -2х +3х+2

<О;

12. Метод інтервалів

260:

Розв'яжіть нерівність:

9 +--<-1;

1) !<1;

2 4 4) - - + --<1;

2 ) -=-->.!.; х+3 2

5 ) х-1_х+1< 2 ;

2 1 1 8)--<---.

З) _1_<_3_;

б)

х+1

х+2

1-х

х-3

3х+7

х-1

2х-5

х -5х+6 2

х-3

х+3

х+1

<-1-;

х -бх-7

х-3

:ШІ .' Розв'яжіть нерівність:

-=-х-4

4 ) 2 (х-3) < _1_;

< .!.. 3'

х(х-6)

х-1

2х+3

<.!.; 2

7) ~<-1-; х 2 -9 х+2

2 ) 5х+8 < 2;

З) _2_ > _1_;

б) х + 7 + 3х + 1 >О; х-5 2

4-х

х+3

х-1

х +х-12

8) _1_+_1_>!. х-2

х-1

2б2: Розв'яжіть нерівність:

1) (2х

+ 1)2 (х - 1) (х - 2)

~ О;

) (х-3)(5х+2)(х+3) ~О; (х -1) (х + 4)2 5

2) (х - 5) (х

+ 4) (х2 + бх + 9) ~ О;

З) 4х -4х+1 ;)О;

) х І3х-1І(х+3) ~О; х-2

б) 5х+4 _ х+2 ~О.

х +х-12

х+З

1-х

2t»a.' Розв'яжіть нерівність: 3

1) (х - З) (х 2) (х 2

+ 2)2

4) (х 2

+х

(х - 5) ~ О;

- 2) ~ О;

х -7х+12

+__!Q__+1>0. х-4

Розв'яжіть нерівність:

1) (х2

+ 2х -

15) (х2 - 4х

+ З) (х- 1) ~ О;

2 ) х -3х+2 ~О; 3

6-х

265:·

) (х+6) (х+4)(6-х) ~О; І x+sl

З) (2-х)(4х+3) ~О; (х-3)3 (х+1)2

264:·

Розв'яжіть нерівність:

1) (~- 4х)(х2 + 2х- 8)(х2 + 7х + 10) ~О; ) (х 2 - 1Ох+21)(х 2 -6х-7) ~О; 2 (х 2 +5х+6)(х 2 -4)

З)

Іх І<х+1) 3

І х-41 (х+З)

~о

•

§2.

Функції, мноrочлени, рівняння і нерівності

266:· Розв'яжіть неріввість І х: 2 1(х 2 -4х-5)<0. 267.'"

Розв'яжіть нерівність І х:SІ<~ -.х-12)<0.

268."

Розв'яжіть нерівність:

1) (х+4)

7) (x2 -1)Jx2 -4<0;

-2x-HS>O;

2) (x+4).Jx 2 -2x-15:>0;

(x 2 -1)Jx 2 -4~0;

-2х-15 < 0;

9) {х 2 - 5х + 4)

4) (x+4)Jx 2 -2х-15 <О;

10) (х 2 -5х+4)

3) (х+4) 2

.J,-x---7-x_+_l_O < О; 2

-7х+10 >0;

(х - 5х + 4).Jx -7х+ 10 <;.О; 2

5) (x -l}Jx -4<0;

11}

6) (x 2 -l)Jx2 -4>0;

~2) (х 2 -5x+4)..Jx2 -7х+ 10 ;;.о.

~Ml."" Розв'яжіть нерівність:

1) (х-3) Jt4+5x-x2 >0;

7) (х 2 - 25)..Jt6-x2

2) (х-3) Jt4+5x-x 2 ~О;

8) (x2 -25)J16-x2 ~О;

3) (х-3)...!14+5х-х 2 <0;

9) (х2 -4x-5).Jx2 -5х+б >0;

4) (x-3).J14+5x-x 2 <О;

10) (x 2 -4x-S)..Jx2 -5x+6<0;

(х 2 - 25) .J1в- х 2 <О;

6) (х - 25) 2

11) (х 2 - 4х-5)

.J16- х2 >О;

12}

(х 2

< О;

-5х+6 <О;

-4x-s)..Jx -5х+6 ;;. о. 2

,......~. Рівнянни І мерівності ·з параметрами Розв'яжемо такі лінійні рівняння:

1) 3х

= 1. Відповідь: х=~.

2) (-6)·х = 1. Відповідь: х=-і· 3) Ох= 1.

Відповідь: розв'язків немає.

Якщо коефіцієнт при змінвій х позначити через а, то всі роз глянуті ріввяввя можна зап.исати у вигляді одuого загального рівняння ах х

= 1, де буква а відіграє роль відомого числа, а буква

роль зміввої рівияввя. Кажуть, що а є параметром, а рівнІПJ

вя ах=

1 (фактично цілий

набір однотиnвих рівнянь) вазивають

ріввяввв:м з параметром.

13. Рівняння і .нерівності з параметрами Розв'JІ38ти рівІІJІІПІя з параметром означає розв'язати всі такі однотипні ріваяивя. Розглянемо рівняння з параметром ах=

Якщо а= О, то дане ріввяннн коренів не має . Якщо а~ О, то

рівняння має єдиний корінь х =!. а

Підкреслимо подвійну природу параметра: з одного боку, ми вважаємо параметр фіксованим числом, з іншого

це число не

відоме. Саме це не дозволяє , розв'язуючи рівннння ах =

1, просто

заnисати у відповідь .х=!. Ми змушені розглядати дві можлиа

вості: а= О і а~ О. Хоча термін •параметр• для вас новий, проте ви вже зустріча лися з цим поняттям . Наприклад, лінійним рівнянням назИВ8ЮТь рівнянии виду ах= Ь. Тут а і Ь- параметри. Квадратичну функ

цію задають формулою у = ах2

+ Ьх + с, де а ,

Ь і с- параметри,

а~ О.

Процес розв' язуванни рівнянь і нерівностей з параметрамн полягає в побудові алгоритму, ІІКИЙ дозволяє для будь-ІІКОГО зна

чення параметра знаходити відповідну множину розв'язків.

П 0 ИІ(nдц

НЯВНЯ

2 %

Для кожвого зваченни параметра а розв'яжіть рів.-

+ах- 2 х+2

х-а.

Розв'язання. Маємо: 2

х 2 +ах-2-(х+2)(х-а)

О;

х+2

х +ах-2-х +ах-2х+2а

О; 2ах-2х+2а-2 О.

х+2

Оrримане рівняння рівносильне системі:

{

·2ах - 2х+2а-2=0, {х(а-1)=1-а,

Якщо а=

х*-2;

х~ -2.

то маємо: Ох= О, тобто коренем рівняння

= 1 - а є будь-ике число. Оскільки х ~ - 2, то при а множиною коренів заданого рівняння є {хІх~ -2}. х (а

- 1)

Якщо а* 1, то обидві частини рівняннях (аподілити на вираз (а

- 1),

1-а

Х=--, а-1

Звідси х

1) = 1- а можна

що не дорівнює нулю:

{ .х~ -2;

= -1. 95

{ Х= ~1,

х~-2.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Відповідь : якщо а= крім

-2;

якщо а*

ПРИКЛАД вяввя

1, то коренем = -1.

рівняння є будь-яке число,

то х

Для кожвого значення параметра Ь розв'яжіть рів

Ь(х+1) х

Ь+1 Ь +--= . х-1

Розв'язання. Маємо: Ь(х+ 1 )(х- 1 >+х(Ь+ 1 )-Ьх(х-1) =0; х (х

Ьх -Ь+Ьх+х-Ьх +Ьх =О;

-1)

х(2Ь+1)-Ь

х(х-1)

О.

х(х-1)

Це рівняння рівносильне системі

{ Якщо Ь=-

х(2Ь+1)=Ь, х(х-1)#0.

то рівняння системи, а отже, і дане рівняння

коревів не мають.

Якщо Ь*-~· то

{ х= 2Ьь+1'

х(х-1)*0.

Знайдемо ті значення параметра Ь, при яких значення виразу

_ь- дорівнює О або 1. 2Ь+1

Ріввість _ь_ =О виконується тільки при Ь = О, а ріввість 2Ь+1

2ЬЬ+ 1 = 1 виконується тільки при Ь = -1. Отже, при Ь

=О

або Ь

= -1

число

ь 2Ь+1

не є коренем давого

рівняння.

Відnовідь: якщо Ь=-

або Ь =О, або Ь

= -1,

то рівняння

коренів не має·, якщо Ь*-! Ь *О і Ь * -1, то х=-ь-. 2Ь+1

Цю відповідь можна записати ще й так: якщо ье{-~,О,-1}. то коренів немає; якщо Ь Е {-~.О, -1 }. то х = · 2 ЬЬ+ 1 . 96

13. Рівняння

ПРИКЛАд

і нерівності з параметрами

При яких значеннях параметра Ь має один корінь

рівняння:

1) 2х 2

Ьх

+ 18 =

О;

2) (Ь

+ б)

х2

(Ь - 2) х

1 = О?

Розв'язання

Дане рівняння є квадратним. Тому воно має один корінь

тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю. Маємо:

- 4 · 2 ·18 = О; = -12 або Ь = 12. = -12 або Ь = 12.

=Ь

Відповідь: Ь

Зверне.мо увагу на поширену помилку: вважати рівняння

(Ь +б) х 2 - (Ь-

2) х + 1 =О квадратним. Насправді це рівняння

степеня не вище другого.

При Ь

-б отримуємо лінійне рівняння 8х

+1=

О, яке має

один корінь. При Ь

:F-

-б дане рівняння є квадратним, тому воно має один

корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю:

4 (Ь +б)= Ь 2 - 4Ь + 4- 4Ь- 24 = Ь 2 - 8Ь- 20. Маємо: Ь 2 - 8Ь- 20 =О, звідси Ь = -2 або Ь = 10. Відповідь: Ь = -2, або Ь = 10, або Ь =-б.

D = (Ь- 2)2

ПРИКЛАД

При

яких

значеннях

параметра а

рівняння

(х-а)(х+2) u -'----:....:....-~=0 має єдинии розв'язок? х-1

Розв'язання. Треба знайти всі значення параметра а, при яких множина коренів даного рівняння є одноелементною. Переходимо до рівносильної системи:

{ x-1-:F-0.

(х-а)(х+2)=0,

х =а або х = -2,

Звідси

{ x:F-1 .

При будь-якому значенні параметра а дане рівняння має корінь х =

-2.

Для того щоб цей корінь залишався єдиним, потрібно,

щоб корінь х =а:

•

або дорівнював тому самому кореню, який уже знайдено, тобто числу

•

-2;

або не задовольняв умову х

Звідси а=

-2

або а=

Відповідь: а=

-2

:F- 1.

або а=

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

ПРИКЛАД І При яких значеннях параметра т т (х- 1) =О і х + m 2 + т = 1 є рівносильними?

рівняння

Розв'язання. При будь-якому значенні параметрат число

є коренем першого рівняння . Для рівносильності рівнянь необ

хідно, щоб число

було коренем і другого рівняння. Підставимо

це значення змінної х до другого рівняння:

1 + т + m 2 = 1; т

+ 1) =О;

т = О або т =

-1.

Тепер можна зробити висновок : якщо шукані значення парамет

рат існують, то їх слід шукати серед елементів множини

= О і х

{-1, 0}. 1) =

= -1, то дані рівняння набувають вигляду (-1) (х-

Якщо т

+ 1 - 1 = 1.

Ці рівняння є рівносильними.

При т =О маємо : О (х-

=О і х

= 1.

Очевидно, що ці рів

няння не рівносильні .

Відповідь: т =

-1 .

ПРИКЛАД І Для кожного значення параметра а розв'яжіть не рівність (х

- а) 2 (х - 2) ;;. О.

Розв'язання

< 2 (рис. 88, а), то х е {а} U [2; +оо) . > 2 (рис. 88, б), то х е [2; +оо). Якщо а = 2, то задана нерівність набуває вигляду (х - 2)3 Звідси (рис . 88, в) х е [2; +оо) . Якщо а Якщо а

;;;.

О.

~ а)

б)

Рис .

в)

ПРИКЛАД ;'При яких значеннях параметра а 2 (а- 1)х + 4ах- 2а- 4;;. О має єдиний розв'язок? Розв'язання. Якщо а=

1, то дана

нерівність набуває вигляду

1 не підходить. 1, розглянемо квадратичну функцію у = (а - 1) х 2 + 4ах - 2а - 4. Якщо а- 1 >О, то цій умові відповідають клітинки~ таблиці, розміщеної на форзаці 2. У цьому разі множина значень 4х-

6 ;;.

нерівність

О і має безліч розв'язків. Отже, а=

Для випадку, коли а*"

аргументу, при яких квадратична функція набуває невід'ємних значень, є нес:кінченною.

Залишилося розглянути випадок, коли а-

задачі відповідає клітинка

<О. Тоді вимозі

® таблиці. Отже, шуканими зна98

13. Рівняння

і нерівності з параметрами

чення ми параметра а є розв' язки системи

ми

{

а-1<0, D=О,

тобто систе-

а-1<0, (4а)2 -4 (а -1)(-2а-4)=0 .

Розв'язавши ЦЮ систему' отримаємо а =

-1

або а= з ·

Відповідь: а = -1 або а=~· На завершення цього пункту дамо таку пораду. Якщо ви не знаєте, з чого почати розв ' язування задачі з параметром, то ро біть те саме, що ви робили б у цій задачі при відомому значенні параметра .

Вправи

270:

Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння:

1) а(х-1) =О;

З) х-2а =О;

2 ) а(х-а)

4 ) а(х-4)

х-1

х+а

О;

х-З

О.

х-а

271 : Для кожного значення параметра Ь розв'яжіть рівняння :

1) х+Ь =О; х-5

272:

2 ) х+4 =О;

З)

х-2Ь

х-ЗЬ

О;

4 ) (Ь-1)х =О.

х+Ь+2

х+Ь

Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння: 2

1) :

_-:

=0;

2) х(х-а) =О; х+2

З) (х-:>~;-б) =0:

(х-~)~=+3) О;

4 ) (х-4)(х+2) =О;

б) (х -а)(х -2)

х-а

О.

х-2а

27З : Для кожного значення параметра Ь розв ' яжіть рівняння :

1 ) (х-2)(х-З)

О;

З)

х+Ь

(х

х+2Ь

О;

(х-Ь+1)х

х+Ь =О; + l)(x-4)

4 ) (х+2Ь)(х-З) =О . х -Ь

274: Для кожного значення параметра 1) ах > О ; З) ах ~ а; 2) ах < 1; 4) (а - 2) х > а 2 - 4;

а розв'яжіть нерівність:

5) (а

+ З)

х ,.;; а - 9; 6) 2 (х - а) < ах - 4.

275." Для кожного значення параметра а розв'яжіть нерівність: 1) а 2х ,.;; О; 2) (а + 4) х > 1; З) а + х < 2 - ах .

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

276:·

При яких значеннях параметра а множина розв'язків сис•

теми

{х~7.

нер1вностеи

мІстить

рІвно

чотири

ЦІЛИХ

роз-

х<а

в'язки?

277:·

При яких значеннях параметра Ь множина розв'язків сис-

теми нер1вносте

278:·

{

х~Ь

мІстить рІвно три цІлих розв язки

При я:ких значеннях параметра а розв'язком системи

а .;;;; х .;;;; а+ 8,

Є ВІДрІЗОК, ДОВЖИНа ЯКОГО ДОрІВНЮЄ

х~4

279:·

й {х<5,

При яких значеннях параметра а розв'язком системи

а -7 <. х "-а,

Є ВlДрlЗОК, ДОВЖИНа ЯКОГО ДОрІВНЮЄ

х<.З

280:· Для кожного значення: параметра а розв'яжіть рівняння: 1)

х-2

5 ) _а_+_З_=

-=а-1;

х+З

х-а

ах-2

х-1

2а

3 ) ах2 -3 = а+-2-; 4) 281:·

х х+а

2(х-2)

а-2 х-а

4а-2а 2 х 2 -а 2

---=---:--~ •

х+а

х-1

Для кожного значення параметра Ь розв'яжіть рівняння:

х+2

282:·

х-2

+-1-=_3_;

(х-1)(х+а)

1) Ьх+З =Ь--1-; 2)

х-1

3х+1

;

(х+2)(х+3)

6 ) ...=_+_2_ = Зх-2а;

--=а+-;

х -1

х+2

а +2а

х-1

Ьх2-2=Ь+1+1-х; х 2 -4

х+2

3 ) _1_+ х+1

2Ь-Ь

(х+1)(х-2Ь)

=-Ь_. 2Ь-х'

~-~=~. х-Ь

х+Ь

х 2 -Ь2

При яких значеннях параметра а має єдиний розв'язок

рівняння:

5) (х-1)(х+3) =О;

х-1

1) - = 0 ;

(х-а)(х+За)

х-а

(х+1)(х-5)

О;

6 ) х -ах+5 -О· х-1

х-а

3) 4)

(х-а)(х+За)

О;

х-3 (х-2)(х-а)

х-2а

7 ) х -(За+ ~)х+2а +За-2 =О; х

-6х+5

О;

В) х -(а+4)х+3а+3 =О?

.Jx-2 100

13. Рівняння

283:·

і нерівності з nараметрами

При яких значеннях параметра Ь має єдиний розв'язок

рівняння:

1 ) (х+З)(х-8)

О;

х+Ь

2 ) (х+2Ь)(х-4Ь) =О;

з)

х-2

284. ••

(x-2)(x+l) (х+Ь)(х-2Ь)

х -Ьх+l 2

О;

х+З

=0;

х 2 +(3-2Ь)х+4Ь-10

О;

х 2 -4х+3 х 2 -Ьх+Ь-1

=0?

Jx+1

При яких значеннях параметра а дані рівняння є рівно

сильними:

1) х- 1 =0 і х- 1 =О;

4)(а 2 -1)х=а-1 і х- 1 =1;

х-а

х(х-а) =О х-2

5) а (х - 1)

і х =О;

=О

і х

+ а = 2а? 2

З) (х+а)(х- 4 а) =0 і х- 4а =О; х-1

285. ••

При яких значеннях параметра Ь дані рівняння є рівно

сильними:

х-4

і х-4=0;

1) - = 0 х+Ь

2) (х- 1 )(х+Ь)

О і х- 1 =О;

х-3

З) (х+Ь)(х-2Ь) =О х-ЗЬ

4) (Ь 2

286:·

4) (х

х+Ь =О; х-ЗЬ

+ 2) =

О і Ьх

+ 2Ь =

4 - Ь2?

При яких значеннях параметра а друга з нерівностей пари

є наслідком першої нерівності:

1) х + 2а - З > О і 2х - а > О; З) ах > 1 і х > О? 2) х > 1 і ах < 1; 287." При яких значеннях параметра а нерівності є рівносильними: 1) 2х- а> О і х + 2а- З> О; З) ах> 1 і 2ах >З? 2) Зх - а > О і ах - З > О;

288:· При яких значеннях параметра а дана нерівність викону ється при всіх значеннях х:

1) х 2 2) х2

4х

+ (а -

+ а > О; 1) х + 1 -

З) (а- З) х2

а - а2

- 2ах + За- 6 > О?

> О;

~89.'• При яких значеннях параметра а не має розв'язків не рівність:

1) -х 2 + 6х - а > О; 2) х 2 - (а + 1) х + За - 5 < О;

101

З) ах2

+ (а -

1) х

+ (а -

1) < О?

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

Залежно від значення параметра а знайдіть множину

290:•

розв' язків нерівності:

1) І х - а І (5х 2 - 2х - З) < О; 2) І х - а І (5х 2 - 2х - З) .;;;; О. 291.'" Залежно від значення параметра а знайдіть множину розв'язків нерівності:

1) Іх- а І (7х 2 - 4х- З) < О;

2) Іх- а І (7х 2 - 4х- З).;;;; О.

Рівняння І нерІвностІ, якІ містять знак модуля Нагадаємо основні відомості про модуль числа.

Означення. МодуJІем чисJІа а вазивають відстань від точки,

Jll(a

зображує число а ва координатвій прямій, до початку від

ліку.

Модуль числа а позначають так: І а 1.

З означення модуля випливає, що І аІ=

{

а,

ЯКЩО а~ 0,

-а, якщо а< О.

Отже, щоб знайти модуль числа (або, як ще кажуть, розкрити модуль), треба знати знак числа.

Наприклад, І JїО- З І= JїО- З, оскільки JїО >З. І JїО- 41 = 4- JїО, оскільки JїО < 4. Іх

+ 11 = х + 1, оскільки ~ + 1 >

ПРИКЛАД

Розкрийте модуль І 2х -

О при будь-якому значенні х.

1 1.

Розв'язання. З означення модуля числа випливає, що

І2х-11=

2х-1, якщох~!. 2

1-2х, якщох<~.

Вяастивості ІtЮдІJЯЯ, які випяивають а оан.ач.ен.н.я

1) І а І~ О; 2) І а І = І -а 1: З) якщо І а І = І Ь І, то а = Ь або а = -Ь;

4) якщо І а І= Ь, то Ь ~О і виконується одна з двох рівностей: а

= Ь або а = -Ь;

відстань між точками А (а) і В (Ь) координатної прямої до

рівнює І а - Ь І (рис.

89). 102

14. Рівняння

І а..:::Ь І

А.-:

---_в ь

і нерівності. які містять знак модуля

в.---

І а..:::ь І

---_А

а<Ь

а > Ь

Рис . 89

Розглянемо основні nрийоми розв'язування рівнянь, які міс тять знак модуля .

ПРИКЛАд .lf Розв'яжіть рівняння Іх- 11 = 2. Розв 'язання. Використовуючи властивість

перейдемо до

сукупності рівнянь

[ Звідси

[

х-1=2, х-1=-2.

-1

Х=-1.

Відповідь:

-1;

х=З,

Рис.

З.

Це рівняння можна розв ' язати інакше, якщо умову задачі перекласти геометричною мовою: знайдіть координати всіх точок координатної прямої, які віддалені від точки А

(1)

на

одинич

них відрізки. Очевидно, що існують дві такі точки : В (-1) і С (З) (рис .

90).

ПРИКЛАд І Розв'яжіть рівняння І2х- 11 = Зх

+ 1.

Розв'язання. Якщо замінити дане рівняння на сукупність рівнянь

[

2х-1=Зх+ 1, 2х -1

=-Зх -1,

то отримаємо два значення змінної х : ло

-2

і О. Очевидно, що чис

не є коренем даного рівняння.

Певна річ, виникає запитання :

• Чому

заміна рівняння на

сукупність nризвела до появи стороннього кореня, тобто чому

такий перехід не є рівносильним? • Справа в тому, що ліва частина даного рівняння набуває тіль-

ки невід'ємних значень. Тому Зх + 1 ~ О, тобто х~-* · Отже,

шукані корені мають належати проміжку [-*;+оо). У записаній сукупності такої вимоги немає.

103

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Насправді дане рівняння рівносильне системі

{[

Зх+1;;;.о,

2х-1 =Зх+ 1, 2х -1

= -Зх -1,

.яка має єдиний розв'язок х =О.

Узагалі, рівняння виду І

f (х) І = g (х) рівносильне систе.мі g(x);;;.o,

{[

f (х) = g (х), f(x)=-g(x).

Рівняння зазначеного виду можна розв'язати й іншим спосо бом: розглянути два випадки

модуль І

(х)

;;;.

О і

(х)

О, тобто розкрити

При такому підході рівняння виду І

(х) І= g (х)

можна замінити на сукупність двох систем:

[

{~ ~=~: ;·(х), f(x)<O, { -f (х) = g (х).

Наприклад, розв'язання рівняння І 2х записати так:

[{ {

2х-1;;;.О, 2х-1=3х+1,

-2х + 1 Зх + 1; 2х-1<0,

-1

(риє . іх-

91) 2 на

+Іх-

=З .

т + ~

І Рис .

Розв'язання.

х=-2,

х=О.

ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння Іх+

Звідсих =О.

х-2

х;;;.!

Х<-

х+1-

- 1 І = Зх + 1 можна

Розіб'ємо область визначення рівняння

-1) (значення виразів х + 1 [-1; 2] (вираз х + 1 набуває значень, а вираз х- 2 - недо-

ва такі проміжки: (-оо;

цьому проміжку від'ємні),

на цьому проміжку невід'ємних

104

14. Рівняння і датних) і

(2;

нерівності, які містять знак модуля

+оо) (значення в.:иразів х

+ 1 і х- 2

на цьому nро

міжку додатні). Зазначимо, що точки, у яких значеивя виразів дорівнюють нулю, можна віднести до будь-якого з ороміжків. Оrже, дане рівняння рівносильне cyкyoJiocrri трьох систем .

{ х<-1'

-(х+1)-(х-2)=3.

{х<-1 '

Звідси

х= -1 .

Ця система розв'язків

не має.

{

-1~х<2, (х+ 1)-(х- 2)=З.

теми є проміжок

З)

{

Звідси

-1-<х < 2, Ох = О.

Розв'язком цієї сис

[-1; 2].

х>2,

{х>2,

(х+1)+(х - 2)=З;

Відповідь:

{

х=2.

Ця система розв'язків не має.

[-1; 2].

Розв'язання даного рівняння можна оформити в інший сnосіб, одразу записавши сукупність:

{

х<-1, -х-1-х+2=·З,

-l< x <2, {х+l-х+2=З,

-1

2 Рис .

х>2,

{

х+l+х-2=З.

Також це рівняння можна розв'язати за допомогою геометрич ної інтерnретацЦ: шукані кореві

це координати точок коор

динатної прямої, сума відстаней від яких до точок А

(-1) і В (2)

дорівнює З. ЗрозУf«Ііло, що координати всіх точок відрізка АВ, і лише вони, утворюють шукану множину коренів (рис.

92).

Розглянемо основні методи розв' язування нерівностей, яRі містять знак модуля.

Теорема 14.1 . .Нері8кі.стrt виду Іх І< а рівкосил.ька. системі

{

х <а, х >-а.

Доведення. Якщо а < О, то як дана нерівність, так і записана система не мають розв'язків. Оrже, вони є рівносильними . Якщо а

О, то, розкривши модуль, можна записати, що дана

нерівність рівносильна сукупності двох систем:

105

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

x:;;tO, [{ х<а,

{ Звідси

[

О~х<а, -а<х<

-а

х<О, -х<а.

а.

Очевидно, що отримана подвійна нерівність рівносильна сис темі

{

х<а, х>-а . .А

Зауважимо, що для випадку, коли а> О, доведення теореми можна провести, використовуючи геометричну інтерпретацію:

. . І 1. нер1вн1сть

І<

а,

1. систему {х<а,

задовольняють координа-

х>-а

ти тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від

початку відліку на відстань меншу, ніж а.

Узагальненням теореми

Теорема

14.1

є така теорема.

14.2. Нерівність виду! f (х) І< g (х) рівносильна

системі

f {f

(х) < g (х), (х) > -g (х).

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми

ПРИКЛАД І. Розв'яжіть нерівність ІЗх-

11 <

14.1.

Розв'язання. Дана неріввість рівносильна системі

{ Звідси

{

Зх-1< 2, Зх-1>-2.

х<1, 1

х>-з·

Відповідь: (-~; Теорема

1).

14.3. Нерівність виду! хІ> а рівкосияька cyJtyn-

кості нерівкостей

[

х>а, х<-а.

106

14. Рівняння

і нерівності, які містять знак модуля

Доведення. Якщо а= О, то мноЖиною розв'язків як даної нерівності, так і сукупності є множина (-оо; О) U (О; +со). Якщо

а< О, то множиною розв'язків нерівності й сукупності є мно жина (-со; +со). Тому, якщо а.;;;; О, то дана нерівність і записана сукупність нерівностей є рівносильними.

Якщо а

О, то, розкривши модуль, можна записати, що дана

нерівність рівносильна сукупності двох систем:

{: :~:

[{ Звідси

[

х<О, -х>а.

х>а, х<-а .

і нерівність І х І > а, і сукупність [х >а, задовольняють коорди х<-а

нати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, більшу за а.

Узагальненням теореми

14.3

є така теорема.

Теорема 14.4~ Нерівкість виду І

f (х) І> g (х) ріен.осильна

cyrtynн.ocmi н.еріен.осmей

(х) > g (х),

f [f

(х) < -g (х).

Доведення цієї теореми подібне доведенню теореми

14.3.

ПРИКЛАД. Розв'яжіть нерівність І4х- ЗІ> 5. Ро 3 в' я 3 ан ня. Дана нерівність рівносильна сукупності не рівностей

[ .

ЗВІДСИ

4х-3>5, 4х-3<-5.

[4х > 8, [х > 2,1 4х<-2;

х<-

Відповідь: (-оо; -~)

2. U

(2;

+оо). 107

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

ПРИКЛАД

.'J; Розв'яжіть

нерівність Іх-

11 +Іх- 21 > х + 3.

Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності трьох систем.

{ х<1, 1..::х..::2, 2) { х>2, 3) { 1)

{х<1,

1-х-х+2>х+3;

Оrже, х <О.

х<О.

{1..::х..::2,

х-1-х+2>х+3;

х<-2.

{х>2,

х-1+х-2>х+3;

(6;

> 6.

Оrже, х

х>6.

Відповідь: (-оо; О) U

Ця система розв'язків не має.

+оо),

ПРИКЛАД І Розв'яжіть нерівність

l х-

1 ~2.

х -5х+б

Ро з в'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем.

х<3, 3-х

Перетворивши другу нерівність системи,

~2.

х -5х+б

отримуємо:

х<3, 2х 2 -9х+9 2

..;

х -5х+б

. о,

{х<3, 2(х-3)(х--32 )

-----'-...::..~о (х-2)(х-3) "' ·

Схема розв'язання отриманої системи зображева на рисун-

ку 93. Оrже, маємо: І..:: х < 2.

Рис.

x;;;t3, 2)

х-3 2

х -5х+б

:;;t 2;

{

x:;;t3,

х~3. 2

2х -llx+15 ..::о; х 2 -бх+б

2(х-3)(х-~)

{ ----'----="-..;о. (х-2)(х-3)

Ця система розв'язків не має (переконайтеся в цьому самостійно).

Відповідь: [І;

2}. 108

14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля

І " Вправи 292:

Розкрийте модуль:

І J2-1І;

l1t- з,14

293:

З)

4) І х

І;

б)Іх-:-11;

I2-J2I; 2

11;

6) І х 2 + 2х

1) І ~-0,71;

З) l1t- З,15І;

2) І ~-0,81;

e>.r 294.· Доведіть,

4> І а -

296."

=І ь -

а І;

<О, а> О , Ь <О . Порівняйте з нулем зна

Відомо, що а+ Ь >О, а< О, Ь >О . Порівняйте з нулем зна

<2 І а І -

з І ь І)

І Ь

1. З) І m 1-1 п І

+ (2 І а І + з І ь І )2 ;

2) 11 -

2х І

= s;

З) І 6х

І = 1.

Розв'яжіть рівняння:

1) І х - 1 І = 4; e>.r зоо: Доведіть,

2) 11 -

Зх І = 7;

З) І -4х

- 1І

що :

1) нерівність І f (х) І ~ g (х) рівносильна системі f (х) ~ g (х), · { f(x)~-g(x);

2) нерівність І f (х) І ~ g (х) рівносильна сукупності f (х) ~ g (х),

[f 301:

І m І+ І п І

lml+lnl lml-lnl "

Розв'яжіть рівняння:

1) І х + з І = 2;

299:

ь І

1-1 Ь 1.

чення виразу І а І

298:

+ 4х + 5 1.

297." Спростіть вираз: 1) <З Іх І-І у І> <з Іх І+ І у І>; 2)

6) І х 2

Б> -І а І ~ а ~ І а

З) <ІаІ) =І а 1 = а ; 295: Відомо, що а+ Ь чення виразу І а

І х2 +х+~ І;

що:

аІ ІаІ ь = Гьl' Ь * О; 2

І х4 + 21;

1) І аь І= І а 1·1ь І; 2)

+ 2 1.

Розкрийте модуль:

(х) ~

-g (х).

Розв'яжіть нерівність :

1) Іх+ sІ < 4; 2) І 2х - 1 І > З;

+ 2 І ~ 1; sx - 1 І ~ 4.

З) І Зх

4) І

109

= 8.

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

302.· Розв'яжіть нерівність: 1) Іх- з І< б;

·2)

о--

І Зх

- 2І

З)

11 - 4х І < 2; 4) І sx + 2 І > б.

~ З;

303." Доведіть, що:

1) І 2) І

+ь

І ~ ІаІ

+І

ь І;

а - ь І ~ І а І - І ь І; 3) І а + Ь І = І а І + І Ь І тоді і тільки тоді, коли аЬ ~ О; 4) І а І + І Ь І = а + Ь тоді і тільки тоді, коли а ~ О і Ь ~ О; 5) І а- Ь І= І а І+ І Ь І тоді і тільки тоді, коли аЬ <О.

304." Розв'яжіть рівняння: 1) 11 х І - 2 І = 2;

2> 11 х І + 2 І = 1.

305: Розв'яжіть рівняння: 1) 11 х І - з І = 1;

2) 11 хІ

306."

+ 1 І = 1.

Розв'яжіть рівняння:

1) І

2х

- 1 І = І Зх + 2 І;

І з

4х І

=І

2х

+ 1 1.

307." Розв'яжіть рівняння: 1) І х + 2 І = 4х - 1; 2) І Зх + 2 І = 2х - 1; З) І х - 1 І = 4х + З;

4) І х 2 - х - 8 І = -х; 5) І Зх - 4 І = 4~ + Зх

,/ 1) Іх+ 21 = 2 (З- х); ' 2) І Зх - 1 І = х + 1;

З) І х 2 - 2х І = З - 2х; -() І х + з І = х2 + х - б.

(~Розв'яжіть рівняння: 309."

- 2.

Розв'яжіть нерівність:

1)Іх+51<2х+З; ."._~ 11- 2х І< х + 1;

З)І4х+5І>Зх-1;

4) 12х- 11 ~ х- 2;

5).іl+б~ІЗх+2І-7х; б)І.іl- 41 + 2х + 1 >о.

3t6: Розв'яжіть нерівність: / 1) І х + 21 < 2х - 1; З) І Зх - 21 ~ 2х + 1; 5) І .il - 41 < Зх; 2) 5х +З~ Іх+ 11; 4) І Зх- 51> 9х + 1; іі) І .il + Зх І~ 2- .il. 311."

Розв'яжіть нерівність:

1) 12х-1І~2; х-1

2) І~ 1<1; х 2 -4

ЗJ~:· Розв'яжіть нерівність: _./

І х-3~~1; х-5

t х+41<1; Іх+2

31З.- Розв'яжіть нерівність:

І х+21-х <2;

2) х2 -Іх І-12 ~ 2х. х-3

110

15. Рівняння з двома змінними та

його графік

З14:• Розв'яжіть нерівність:

Іх+3І+х> 1 ;

-з) 2) х -7ІхІ+1О<О; 2

х+2

х -бх+9

хі х-11

~- 1 .

З15.- Розв'яжіть рівняння:

1) І х - 2 І + І х - 4 І = З; 2) І х - 2 І - з І з - х І + х = О; З) І 4 - х І + І 2х - 2 І = 5 - 2х; 4) І х І - 2 І х + 1 І = 5:

5) І х І + І х - 6 І = 6; 6) І х + 2 І - І х - з І = 5: 7 ) І х-21 = 1 . І х-11-1

Зt6:· Розв'яжіть рівняння:

5) І х І - І х - 2 І = 2; 6) І 1х - 121-1 1х - 111 =

1) І х + 1 І + І х - 5 І = 2о:

2- Зх; З) І х - з І + 2 І х + 1 І = 4; 4) І х + 5 І + І х - в І = 1з: 2)Іх + ЗІ-15- 2х І=

7> І х-6 І = 1 . 3-І х-31

З17.- Доведіть, що:

1) І х І + І х -

з І ~ з:

2) І х - 1 І + І х - з І ~ 2.

З18. •• Знайдіть найменше значення виразу:

1) І х І + І х + 4 319.-

2) І х + 2 І + І х -

І:

Розв'яжіть нерівність:

1) І х + 1 І + І х + 2 І > 2х + З; 2 І х - З І + І х + 1 І ~ Зх + 1; 320:· Розв'яжіть нерівність: 1) 2 І х + 1 І -І х - 1 І > З; 2) І х - 1 І - 2 І х + з І > х + 7:

З) І х

+ 1І + І

З) І х

1 І ~ 2.

1 І + І х + з І < 4.

· Рівняння з двома змінними та

його графік

Вирази х 2 + у 2 , х+ У, (х- 1) (у+ 2), ~х-Зу є прикладами х-у

виразів з двома змінними х і у. Вираз зі змінними х і у позначають так:

(х; у) (читають:

•еф від ікс ,' ігрек• ). Тоді рівність

(х; у)= О є рівнянням з двома змінними х

і у.

Наприклад, якщо

F (х;

у) = ах

Ьу

с, то

F (х;

у) = О є ліній

ним рівнянням з двома змінними. Нагадаємо, що коли

(х; у)- многочлен стандартного ви

гляду, то його степенем називають найбільший із степенів одно-

111

§ 2. Функції , многочлени, рівняння - - - - -- -- -- -

і нерівності

членів, які в нього входять . У цьому разі степенем відповідного

рІвняння

F (х; у)= О називають степінь многочлена F (х; у).

Наприклад, степінь рівняння х 2

х 2у3

+у

= О дорівнює 5.

+ Ьу + с = О параметри а і (а + Ь2 ":F 0), то це рівняння

Якщо в лінійному рівнянні ах

одночасно не дорівнюють нулю

рівнянням першого степеви зі змівними х і у. Рівняння другого степеня зі змінними х і у має вигляд:

ах + Ьу + сху + dx + еу причому а 2 + Ь 2 + с 2 ":F о .

= О, де а, Ь, с, d, е,

f - параметри,

Нагадаємо , що пару чисел (х ; у ) називають розв'язком рівняння

(х; у)= О, коли

(х ; у ) =О- правильна числова

рівність.

Якщо на координатній площині ху позначити всі точки, ко ординати яких є розв'язком рівняння

(х; у)= О, то отриману

фігуру називають графіком цього рівняння. Наприклад, графіком рівняння першого степеня є пряма, гра

фіком рівняння (х- а) 2 +(у - Ь) 2 = lf, де R -:F О, є коло, графіком рівняння у = ах 2 + Ьх + с, де а ":F О, є парабола. Навчившись перетворювати графіки функцій, ви тим самим іс тотно розширили клас функцій, графіки яких ви вмієте будувати. Аналогічні перетворення можна виконувати з графіками рів нянь .

Графік рівняввв

(х +а; у)= О можна отримати в резуль

таті паралельвого перевесення графіка рівняввв

(х; у)= О

вздовж осі абсцис ва а одиниць уліво, якщо а> О, і ва -а одиниць управо, якщо а

О. 2

Наприклад, графік рівняння (х + 2) + у = 4 можна отримати, 2 2 якщо перенести коло х + у = 4 вздовж осі абсцис на дві одиниці 2

вліво (рис.

-,.

94).

Графік ріввивив

(х; у+ Ь) =О можна отримати в резуль

таті парапельвого перевесення графіка рівняввв

у)= О

вздовж осі ордиват ва Ь одиниць униз, якщо Ь

F (х; > О, і

ва -Ь

одиниць угору, якщо ь <о.

Наприклад, графік рівняння х 2 + (у + 2) 2 = 4 можна отрима ти, якщо перенести коло х 2 + у2 = 4 вздовж осі ордиват на дві одиниці вниз (рис .

95 ).

Графік рівняввв

(-х; у)= О можна отримати в результаті

симетричного відображення графіка рівняння відносво осі ордиват.

112

(х; у)= О

15. Рівняння

з двома змінними та його графік

(х

+ 2)2 + у 2

4 х2 + у2

2 х

х ·' • (ІJ t Рис.

Рис.

2) ·

Наприклад. графік рівняння (-х + 2) + у = 4 можна отрима 2 2 ти. симетрично відобразивши коло (х + 2) + у = 4 відносно осі 2

ордиват (рис.

96).

(х

+ 2) 2 + у2 = 4

(- х + 2) 2 + у 2 = 4

Рис .

J;.

Рис.

Графік рівняння

(х; -у)= О можна отримати в результаті

симетричного відображення графіка рівняння

(х; у)= О

відносво осі абсцис.

Наприклад. графік рівняння х 2 +(-у+ 2)2 = 4 можна отри мати. симетрично відобразивши коло х 2 + (у + 2) 2 = 4 відносно осі абсцис (рис.

97).

~ Графік ріввяввя фіка ріввJПІІІя

F (kx;

ордиват. якщо 'k

у)= о. де

>о. можна отримати з гра

(х; у)= О в результаті стиску в

> 1.

осі ордиват. якщо О

разів до осі

або в результаті розтяrу в і разів від

< k < 1. 113

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Наприклад. графік рівняння (2х)2 + у 2 = 4 можна отримати. 2 2 якщо стиснути у 2 рази коло х + у = 4 до осі ординат (рис. 98). Отриману фігуру називають еліпсом . ~

Графік рівняння фіка рівняння

(х;

ky) =

О. де

k >

О. можна отримати з гра

(х; у)= О в результаті стиску в

разів до осі

абсцис. якщо k > 1. або в результаті розтяrу в і разів від осі абсцис. якщо О<

k < 1.

Наприклад. графік рівняння х 2 +(іу) якщо розтягнути у 2 рази коло х 2

можна отримати.

+ у = 4 від осі абсцис (рис . 99).

Отримана фігура також є еліпсом . у

х х

Рис.

,. Графік рівняння F <Іх І; у)= О можна отримати з графіка рівняння F (х; у)= О таким чином: побудувати фігуру М • яка 1 є графіком рівняння

(х; у)= О при х ~о. і побудувати фі

rуру М 2 • симетричну фігурі М 1 відносво осі ордиват. Фіrу

ра М 1 U М 2 є шукавим графіком. На рисунку 100 зеленим кольором зображено графік рівняння

<Іх І

+ у = 4.

;. Графік рівняння F (х; І у І)

= О мож-

на отримати з графіка рівняння

(х; у)

= О таким чивом: побудувати

фігуру М 1 • яка є графіком рівняння

фігуру М 2 • симетричну фіrурі М 1 відносво осі абсцис. Фігура М 1 u М 2

є шукавим графіком. На рисунку

-3

(х; у)= О при у ~о. і побудувати

+ <І

у І

+ 1)

101

Рис .

100

синім кольором зображено графік рівняння

= 4.

114

15.

Рівняння з двома змінними та його графік

ПРИКЛАД І Побудуйте графік рівняння х

=у

•

Розв'язання. Якщо в даному рівнянні замінити х на у,

а у нах, то отримаємо рівняння у= х , графіком якого є пара

бола.

Виконана заміна означає, що шуканий графік

це графік

рівняння у= х , побудований на координатній площині ух, тоб

то в системі координат, у якій осі абсцис і ордиват поміняли місцями.

Зі сказаного випливає, що графіком рівняння х = і є парабола, зображена на рисунку

102.

1 х

Рис.

101

102

Рис .

103

ПРИКЛАД І Побудуйте графік рівняння І х І+ І у І= 1. Розв'язання. Нехай рівняння F (х; у) = О позначає рівняння х +у-

=О. Тоді шуканий графік можна побудувати за такою

схемою (рис.

103): F (х; у) = О-+ F (І х І; g) = О --+ F (І х

І у І)

=О.

ПРИКЛАД І Побудуйте графік рівняння х =J1- у 2 • Ро з в'язання. Дане рівняння рівносильне системі

{

х2 = 1- у2' х)?;О.

Звtдси

{х2 + у2 = 1, х)?;О.

Отже, шуканим графіком є півколо, яке лежить у правій півплощині відносно осі

ордиват (рис.

104).

ПРИКЛАД І При яких значеннях пара

-1

метра а моду ль різниці коренів рівняння

х - бх 2

+ 12 + а

- 4а =О набуває найбіль

шого значення?

Рис .

104

Розв'язаhня . Перепишемо дане рівняння так : (х- 3) 2 +(а- 2) 2 = 1.

115

Функції, многочлени , рівняння і нерівності

§ 2.

Його графіком у системі коорди нат ха є коло (рис . Якщо пряма а

105).

= а0

перетинає

коло в точках А і В, то модуль різ

2 - - ----

ниці коренів рівняння дорівнює до вжині відрізка АВ (рис .

105).

Оrже,

слід знайти таке положення прямої

= а0 , при якому хорда АВ має най

біл.ьшу довжину. Очевидно, що ця Рис .

умова виконується тоді, коли хорда

105

АВ є діаметром кола. Звідси а

= 2.

Вnрави

321: Розв'яжіть рівняння: 1) х2 - Вх + у 2 + 4у + 20 = О; 2) 5х2 - 2ху + у2 - 4х + 1 = О . :322.' Розв'яжіть рівняння: 1) х2 - бх + І + 4у + 1З = О; 2) х2 + 2ху + 101 - 12у + 4 = О. 323." Побудуйте графm рівняння: 1) х 2 =у2 ; З) (х + 2) (у - З) =О; 2) х 2 = 4; 4) у2 + бху = О. :J24.' Побудуйте графік рівняння: 1) х 2 = 4у2 ; З) ху - 4х + 2у = 8; 2) 1/ = 1; 4) х 2 - бху + 5у2 = О. З25: Побудуйте графік рівняння:

t) Іх

2) І х

+ 2у І +

= 1; з І = І у - 2 І:

з> ху =-Іх І:

4) І х І у = 1.

;$~(і. ' Побудуйте графік рівняння:

1) І х - Зу І = 2; З27." На рисунку

2) (х - 4)2

= (у + 1)2 ;

106 зображено гра-

З) ху = І у'·

, .

фік рівняння F (х; у) = о. За до- r l І помогою цього графіка побудуйте І ; ~ графік рівняння : l._; ..L І

1) F (-х; у)= О; 2) F (х; у - 1) = О; 3) F (2х; у) = О ; 4) F (х; І у І > = О; 5) F <і х + ll; у) = О .

Рис .

116

106

15. Рівняння з двома змінними та його графік

328:

На рисунку

фік рівняння

107 зображено гра

F(x;

у)= О. 3а допо

могою цього графіка побудуйте графік рівняння:

1) F (х; -у) = О; 2) F (х + 1; у) = О; З) F (х; 2у) = О; 4) F (І х І; І у І) = О; 5) F (х; І у- 11) =О. 329: Побудуйте графік

Рис.

рівняння:

1) (х- 2)2 +(у- 1)2 = 9; 2> <Іх І- 2)2 +<У- 1)2 = 9; 330:

З) <Іх

х=~у-1;

З) х=~у-1+2; 4)

332. ••

з> <Іх І- .1> +<І у І- 2) = 16. 2

Побудуйте графік рівняння:

1) x=.JY; 2)

1- 2)2 +<І у 1- 1)2 = 9.

Побудуйте графік рівняння:

1> <х- 1)2 +<У- 2)2 = 16; 2> <І х І - 1)2 + <У - 2)2 = 16; 331:·

107

х=.г-У;

5) x-2=h;

Іх I=JYi;

6) x=J'Yi;

10) І x-1I=JY+il;

7) x=JY+il;

11)

х=.JГУТ+і;

lxi-1=JY+il;

12> Іх 1-t=.JГУТ+і.

Побудуйте графік рівняння:

1) IYI=v'X; 2) ly+ll=v'X; З) І у 1='-'х+1;

І у 1+1='-'х+1; 5) Іу+11=~; 6) ІУІ=~Іх+1І; 4)

7> І У 1+1=~.

ЗЗЗ." Побудуйте графік рівняння:

1) Іх І+ І у І= 2; 2) І х - 1 І + І у І = 2; 334.··

З) Іх-

1 І+ І у+ 21 = 2.

Побудуйте графік рівняння:

1) І х І - І у І = 2; 2) І х + 1 І - І у І = 2;

з> І х + 1 І - І у - 1 І = 2.

3З5. •• Побудуйте графік рівняння:

х=~4-у 2 ;

2> ІУІ=.J4-х 2 ;

З) х=~2у-у 2 ; 4> у=~2ІхІ-х 2 • 117

Функції, многочлени. рtвняння і нерівності

§ 2.

336... Побудуйте 1) y=.Jl-x

графік рівняння::

2> Іх 1=~1-у 2 : 337... ПобудУЙте

х=~4у-у 2 ;

;

4> x=J41 у 1-У 2 •

графік рі»ня:ивя::

1} у-х2 =0;

2) х2+у2- • -о·

у-х

Іх

338... Побудуйте

1-t - '

графі1< рівня:вня:

1) у - х=О;

З> ІхІ-І;І=о.

2) х +у -l=O;

IYI-l

х+у

у-х

НерІвностІ з двома змІнними Нерівності 2х- у> 1, 11 ~ х2 , х2

+ 112 < 4

є прикладами нерів·

ностей з двома змінними. Означення:. Пару значень змівввх, яка перетворює неріввість з двома змівними ва правильну чиСJІову нерівність, вазивають

роаа'вамом верІавоетІ а двома амІввими. Так, для: нерівності 2х

(0; - 2). (1: 0)

> 1

кожна з пар чисел

є їі розв'язком, а, наприклад, пара (О;

(3; -1), 0) не є їі

розв'язком.

Означення .

Графімом

сті а двома

аміввими вазивають

верІвво·

геометричву фіrуру, я:ка скпадається

І І І І

є розв'язками даної нерівності.

ПРИКЛАд ~ Зобразіть графік нерівно сті 2х - у>

----·в

Розв'язання. Графіком рівняння:

----і- · м

з усіх тих і тільки тих точок коор· диватвої ПJІощивн, координати и.ких

2х

- 11 = 1

є nряма. Ця: прима розбиває

координатну площину ва дві області,

кожну з яких вазивають відкритою пів·

площивою 1 (рис. 108). Покажемо, що Рис. 1

108

жо'Вта область є шукавим графіком.

Відкрита півплощина відрізивєтьсв від півплощини тим, що вона

не містить приму, ЯJ(8 її обмежує.

118

16.

Перепишемо дану нерівність так: у

Нерівності з двома змінними

2х

- 1.

Розглянемо довільну точку М (хі; уі), яка належить зазначеній відкритій півплощині. Нехай пряма, яка проходить через точку М і перпендикуляр

1 у точці К (х 1 ; у 2 ). 1 > у 1 • Отже, пара (х 1 ; у 1 )

на до осі абсцис, перетинає пряму у= 2х-

Зрозуміло, що у >уі. Маємо: у = 2хі-

є розв'язком даної нерівності.

Ми показали, що координати будь-якої точки жовтої області є розв'язком даної нерівності . Залишилося показати, що будь

який розв'язок нерівності є координатами точки, яка належить зазначеній області. Розглянемо пару (х ; у ), яка є розв'язком нерівності у< 2х-

тобто у

2х

Нехай 2х

А (х ; у') належить прямій у= 2х-

0 - 1 =у' . Тоді точка 1 (рис. 108). Оскільки у 0 <у',

то точка В (х ; у ) лежить нижче від точки А, тобто належить

жовтій області.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що синя область

є графіком нерівності 2х

< 1.

Також говорять, що нерівності 2х

> 1і

2х

< 1 задають

відповідно жовту і синю області. Домовимося, що в зображенні графіка пунктирна лінія позначає точки, які не належать шуканому графіку . Тому на

рисунку

108

пряма у= 2х-

зображена пунктиром.

ПРИКJ1АД І Зобразіть графік нерівності х > 2. Розв'язання. На координатній площині ху графіком рівняння х

= 2є

вертикальна пряма, яка розбиває площину на дві відкриті

півплощини (рис.

Покажемо, що відкрита півплощина,

109).

розміщена праворуч від прямоїх пишемо дану нерівність так: х

= 2, Оу

є шуканим графіком. Пере

> 2.

Нехай точка М (хі; уі) належить зазначеній області. Тоді

хі

> 2,

а отже, пара (х 1 ; уі) є розв'язком даної нерівності .

Нехай пара (х 2 ; у 2 ) є розв'язком

нерівності х х

2 > 2.

+ Оу > 2, тобто х2 + О • у2 > 2;

Отже, точка К (х2 ; у 2 ) розміщена

праворуч від прямої х

= 2.

Ми показали, що координати будь якої точки

відкритої

У, ········-~

півплощини

є розв'язком даної нерівності, і на впаки, будь-який розв'язок нерівності є координатами точки,

у,········--~~ о

яка належить

відкритій півплощині.

Рис .

119

109

§ 2.

Функції, мноrочле11и, ріsняння і нерівності Нерівності, розглянуті в прикладах

ками нерівності ах + Ьу Означення.

ЛІвІйвою

є окремими випад

с. верІввістю

RаЗQ&ЮТЬ неріввість виду ах

+ Ьу >

двома

с або ах

амІвввмв

+ Ьу <

с, де х і у

- ·

змівві, а, Ь і с- параметри. Міркуючи аналогічно наведеному в прикладах

показати, що при а 2

+Ь

можна

~ О графіком лінійної нерівності є одна

з відкритих півnлощии, ва які пряма ах

+ Ьу =

с розбиває коор

динатн.у площину ху .

Якщо а 2

Ь 2 = О , то графіком ліиійної нерівності є або вся

координатна площина, або порожня множина (доведіть це самостійно).

Нерівності виду ах

+ Ьу > с і ах + Ьу ~ с теж вважають ліиійии

ми. Зрозуміло, що графіком нерівності ах+ Ьу :> сабо ах + Ьу ~ с,

де а2

+ Ь2 ~ о. є півплощина.

Розглянемо приклади побудови графіків нелінійвих нерівностей.

ПРИКЛАд І Побудуйте графік нерівності у > х2 • Розв'язання. Парабола у= х2 розбиває координатну площину на дві області (рис.

110). Шукавим графіком є множина точок,

які

лежать вище від параболи у = х2 • Це можна показати, міркуючи так, як у прикладі

ПРИКЛАд С ПобудУЙте графік нерівності х2 + у2 ~ 4. Розв'язання. Графіком рівняння х2 + у2 = 4 є коло радіуса 2 з центром у початку координат . Очевидно, що розв'язками даної нерівності є координати тих і тільки тих точок, які віддалені від

2. Тому шукавим гра 111). Зрозуміло, що графіком нерівності х 2 + у 2 > 4 є множина точок координатної площини, які не належать кругу радіуса 2 з центром у початку координат (рис. 112). початку координат на відстань, не більшу за

фіком є круг радіуса

. ·.

з центром у початку координат (рис .

.' .

Рис.110

Рис.

111

120

Рис.

112

16. Нерівності з двома змінними Зазначимо, що графіки нерівностей прикладів

1-4

можна

зкайти за одиією загальвою схемою: побудувати графік рівияии.s

(х; у) = О, який розбиває координатну nлощину на дві області.

Тоді одна з цих областей (можливо, разом з графіком рівнявн.s) є шуканим графіком нерівності. Ця схема застосовна і в тих випадках, коли графік рівняння визначении виразу

(х; у)= О розбиває область

(х; у) на три і більше областей. Які з цих

областей належать шукавому графіку, з'ясовують за допомогою

•пробних точок•. Пояснимо суть цього прийому на прикладах •

ПРИКЛАД

5 Зобразіть > б.

на координатвій площиlІі ху графік не

рівності ху

Розв'язання. Графік рівняння ху= площину на три області (рис.

(-3; -3),

О (О;

0),

(3; 3).

113). Як

розбиває координатну

•пробні• розглянемо точки

Вони належать відповідно жовтій,

синій і зеленій областям. Пари

(3; 3)

(-3; -3)

є розв'язками

даної нерівності, а пара (0; 0) розв'язком не є.

Тоді можна зробити такий висновок: жовта і зелена області належать графіку нерівності, а синя область не належить.

Звідси шуканим графіком є об'єднання жовтої та зеленої об ластей.

ПРИКЛАд І Зобразіть графік нерівності х2 - у2 <О. Розв'язання. Графіком рівняння х 2 - у 2 =О є об 'єднання прямих х +у= О і х-у= О. Тому гРаФік рівняння х 2 - у 2 =О розбиває координатну площину на чотири області (рис.

114).

За допомогою •nробних точок• встановлюємо, що шуканим графіком є об'єднання блакитної та жовтої областей (рис.

!.!

Рис . 1

114) .

•.•

Рис.

113

114

Повне обtрувтува.ивя описавого методу для нерівностей, наведених

у підручнику, винагає звань, .які виходять за межі ІПJ(ільвої програми.

121

§ 2.

ФунІЩЇі, мноrочлени. рівняння І нерівності

~:і9: Укажіть нерівності, для яких пара

(-1; 2)

3) х2 + у 2 < 5; 4) у ' 3х 2 + х.

1) -2х + у > 3; 2) х2 + і ~ 7;

є розв'язком:

> 2 пара чисел: ( JЗ: Jз} 5) (о; J2)?

340: Чи є розв'язком нерівності х2 - ху+ у2

І) (1; І);

2) (-1: 1);

(І; -1):

341: Чи належить графіку нерівності Гх >у точка: 1)А(0; - 1); 2)В(- 1;0); 3)C(l;O); 4)D(4;З)? 342.·

Задайте нерівністю з двома змівними півплощину з межею

2х

+ 3у = -1, яка містить точку А (-1; 1).

343. • Задайте

нерівністю з двома змінними відкриту півnлощІJву

з межею 3х - у=

яка не містить точку В (О;

- 1).

344: Зобразіть графік нерівності: 4)

345. • Зобразіть графік нерівності: 1) х - 2у < З; 2) х + 4у > 5;

З) у >

- 2;

х ~

2х

< 3.

-1;

+у

З) у<;

346:

Зх

> 1;

Чи є відкрита півплощина графіком нерівності:

l)Зx > y+l;

4)x+y ~ l;

7)(х+у)~О; х+у

х > О;

у -х- 1 2 2 х

3) у ~ О;

347:

+у

х+у

-2--2 х

<0; 9) Іх І> х?

>0;

+у

Чи є nівплощина графіком нерівності: 2

1) х -

бу

< - 3;

< 1;

З) у

5) (х-у) "> О; х -у

х ~

х+у

4) - z- z ~ О; х

+у

у -х+ 1~О· х

+у

в> Іх І~ х?

348: Побудуйте графік нерівності: 1) у < 2х - х2 ; 2) у < х2 ·- 4х + З; З) (х - 1)2 + (у + 2) 2 < 1; 4) х 2 + 2х + у2 ~ З;

5) ху < 2; б) ху ~ 12; 7) (х -у) (х + у - 1) < О.

122

-2.

17. Системи

349. • Побудуйте графік 1) у > х 2 - х - 2; 2) у ~ -х 2 - 3х; 3) (х + 2) 2 + у 2 ~ 4; 4) х 2 + і 4у > О;

нерівності:

5) ху ~ 6; 6) ху > - 12; 7) (х + у) (х - у - 1) > О .

350: Побудуйте

графік нерівності:

1) х > 4: 2) І у І < 1; 3al: Побудуйте 1) у2 ~ 4;

352:'

нерівностей з двома змінними

3> у > І х І; 4) у ~ 2 І х І

5) у ~ І 2 І х І- 1 І .

графік нерівності:

2) І х І < 3;

3) у < І х + 1 І

Побудуйте графік нерівності:

1) у < І х 2 - 4х І; 2) у ~ х2.- 4 І х І; 2 3> у ~ І х - 4 Іх 11: 2 4) І у І < І х - 4х І;

5) х 2 - 2 І х І + у 2 ~ О; 6) Х2 - 2 І х І + У2 - 2 І у І + 1 > О; 7) Іх І + І у І ~ 1; в> Іх І - І у І > 1.

J53:' Побудуйте графік нерівності : 2 2 1> у ~ х - 4 І х І + 3; 3) І у І > х - 4 І х І + 3; 2 2 2) І у І < х - 4х + 3; 4) х - 2 І х І + у2 ~ 3. Системи нерІвностей з двома 1мінними Пара (1; 2) є розв 'язком кожної з нерівностей у - х 2 ~ О і у- х ~

У такому разі говорять, що пара

системи нерівностей

{

(1; 2)

є розв'язком

у-х 2 ~О. у-х~1.

Щоб знайти множину розв'язків систеr.Jи, nотрібно знайти пе рет ин множин розв 'язків нерівностей, які входять до системи. Розв'язки системи можна зображати на координатв:ій площині. Для цього слід побудувати графіки нерівностей, які складають систему, і анайти їх nеретин . Отримапу фігуру називають графі· ком системи нерівностей.

Побудуємо графік записаної вище системи. Графіком першої нерівності є фігура, показана на рисунку

115

синьою горизонтальпою штриховкою. Графіком другої нерівності є nівnлощина, nоказана на рисунку

115

червоною вертикальною

штриховкою . Фігура, яка зображує розв'язки системи, позначена nодвійною штриховкою .

123

§ 2.

Функції, мноrочлени, рівняння і нерівності

·- ~

- -

·~ І ~ / 1~

~~~

І.;

"<=:7.

~~~ Рис .

Рис.

115

Також кажуть, що система веріввостеі будовану фігуру.

Наnриклад, система нерівностей АВО (рис.

116).

истема вер1виосте

ва рисуику

117.

й {х2 + у2 .; ; 9, х -у > О

{

116

у -х 2 > О, y - x >1

задає

no-

у > О, х .;;; О,

задає трикутник

-х+у .о; 1

задає ПlВКруr, з

об

ражевии

ПРИКЛАД ~· Зобразіть графік в ерівності ~1 - х2 - у2 (х + у) > О. Розв'язання . Дана нерівність рівносильна системі

{1 - х - у > 0 . Х+ у>О, 2

Графіком nершої нерівності системи є відкрита nівплощина, графіком другої

внутрішня область круга радіуса

з центром

у початку координат .

Оrже, графіком даної нерівності е відкритий півкруг (рис .

Рис .

117

Рис .

124

118

118).

17. Сисrеми н("рівностеИ з двома змІнними

354: Зобразіть

на координатній площив:і ху множину розв'яз.ків

системи нерівностей:

- 3у ., 1, {2х х+2у<~

{

4х +у ~ О, у>О;

355. • Побудуйте х-у>1;

2х-у~2;

356:

2х-у >-~

{

3х+2у>5 , у <-L.5x + 1

{2х- у > 1, 2х-у < 2;

графік системи нерівностей:

{-х+2у<-2, у>-1, 2) { 1)

{х < 2,

3) 4)

{х+3у>1,

х>О;

{3х-у>2, 6х-2у<1 .

{у+3~2х, 2х-у ~-2;

Зобразіть на координатній площині ху множину С =АПВ,

де:

1) А = {(х; у) І х2 + у2

< 1}, В = {(х; у) І у > 2х}; + 1}, В = {(х; у) І у > -4};

2) А = {(х; у) І у < -х 3) А = {(х; у) І у > х 2 - 4х + 3}, В = {(х; у) І у < -х2 4) А = {(х; у) І х2 + у 2 ~ 4}, В = {(х; у) І у < х2 }. 2

357: 1)

xz +yz (; 4 {х +(у+ 3)' <9; 2

{xz + yz ~ 5' ху

>2;

5) {y<-xz+l, У ~ Іх І - 1.

xz +yz >4 { (х - 3) 2 +у'2 <9;

358." Зобразіть

на координатній площиаі ху множину розв'язків

системи нерівностей:

х 2 +у 2 <9

{ х + у ~ 1. 2) {у<-1 х 1: 1)

5};

Побудуйте графік системи нерівностей:

2) {xz+yz < 9, xz +у2 >4: З)

+ 4х -

Іх І ~ 2; 2

{х 2 +у 2 < 10 ху~-З;

{ху~б. І У 1~2: 125

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

359." Задайт.

системою нерівностей фігуру, зображеву на рисунку 119.

г)

· -~

.3!

І х/

д)

є)

ж) Рис.

119

126

11. Системи нерівностей з двома змінними 360... Задайте системою нерівностей фігуру, зображену на рисунку 120.

а)

в)

е)

Рис.

361... Зобразіть графік 1) Іх - у І~ 2; 2) І у - Зх І~ 4; 3) Іх+ у І~ х - у; 4) І х - у І ~ 2х + у;

120

нерівності:

5)Jx - y <. 2; 6) Jx+y < ~,.... 2х ---у-+-1; 7) .j2x +y ~.Jx-y - 1 .

127

ФунІЩїі, многочлени , рівняння і нерівності

§ 2.

- - -- - -·- -· 362."" Зобразіть графік

нерівності :

1) І х+ у І ~ 3;

4) Іх+ у І ~ х -у;

2> 1 2х - у І<

5> JЩ <;. 1;

3) І2х - у І<;. х +у;

363.•• 1)

6) Jx - 2y - 1 <;. .jx- y .

Зобразіть графік нерівності:

(х+ у - 1)~х2 +у2 - 1 < 0;

2) (х + у - 1)~х 2 + у 2 - 1 ~ 0.

364:·

Зобразіть графік нерівності:

1) ~1 - І х І (у - х2 ) >О; 2)

~(у - х 2 ) < 0.

Вв вмієте додавати. ~іднімати і множити мнoro•wt>нts. У цьому пункті мn запровадимо дію ділення мноrочлені.в. Ви знаєте, ЩQ ціле число а ділиться націло на ціле чиrдо Ь (Ь ~

0),

якщо існує таке ціле число с , що а= Ьс . Засновуючись на

цих міркуваннях . приймемо таке означення.

О :~ начення . Кажуть, що мвоrочпев А (х) дІлиться нацІпо ва тотожно не ріввий ауто мвоrочлев В (х), якщо існує такий мвогочпев

(х), що для будь-якоrо х е

виконується ріввість

А (х) = В (х) • Q (х). Многочлен А (х) називають діленим , многочлен В (х) - діль ником, многочлен

(х) - часткою.

Якщо многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х), то

це nозначають так: А (х)

:В

(х) .

Розглянемо кілька прикладів .

Многочлен х3

х +1 х2 - х 3

+ 1 ділиться націло на мноrочлеи х + 1. Справді, = (х + 1) (х - х + 1). Тут роль частки виконує многочлен 2

+ 1.

Многочлен вх• 5х3 + 4х2 - х ділиться націло на мноrочлен 2 2х. - х + 1, оскільки 6х4 - 5х3 + 4х 2 - х = (2х 2 - х + 1) (3х 2 - х) . У цьому можна переконатися. розкривши дужки.

128

18. Ділення

многочленів. Корені многочлена . Теорема Безу

Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійсню вати за алгоритмом ділення •куточком•, аналогічно тому, як це роблять при діленні чисел:

х3 + 1

х3 +х 2 -х 2

Іх+

х 2 -х+1

5х3 + 4х2 - х 2х 2 3 2 - Зх + Зх Зх 2 8 2 -2х + х - х

6х4 бх4

--2х 3

+ х2

х х

- х о

х+1 х+1

Якщо А (х)

: В (х), тобто А (х) = В (х) • Q (х), і многочлен А (х)

ненульовий, то очевидно, що степінь многочлена А (х) дорівнює сумі степенів многочленів В (х) і

(х). Тому для ділення націло

ненульових многочленів необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова не є достатньою.

Так, многочлен х3

не ділиться націло на многочлен х-

Справді, якби існував многочлен

Q (х)

х е JR виконувалася рівність х3 + 1 3 отримали б неправильну рівність 1 Теорема

такий, що для будь-якого

= (х+1=

1) Q (х), то при х О.

18.1. Дяя будь-якого мн.огочяена А(х) і н.ен.уяьово

го мн.огочяен.а В (х) існ.ує єдин.а пара мн.огочяен.ів

(х) і

(х)

таких, що

А (х) =В

де степін.ь мн.оаочяен.а В (х) або

(х) -

(х)

(х),

н.уяьовий мн.огочяен..

У цій рівності многочлен а многочлен

(x)•Q

(х) мекший від степен.я мн.огочяен.а

(х)

(х) називають неповною часткою,

остачею.

Ви зможете довести цю теорему на заняттях математичного гуртка.

Розглянемо многочлени А (х)

Зх

+ 2.

= 2х

- х3

х2 -

1 і В (х) = х2 -

Знайдемо для цих многочленів неповну частку й остачу.

Це можна зробити за допомогою ділення •куточком•:

2х4

х3

2х - 6х 4

+ +

х2 4х

х2

2х 2

Зх

5х3 - Зх 2 - 1 5х3 - 15х 2 + 10х 12х2 - 10х- 1 12х 2 - Збх + 24 26х- 25 (остача)

129

+2 + 12

5х

(неповна частка)

§ 2.

Фуккцїі, многочлени, рівняння і нерівності

Тепер можна записати:

2х4 - ~+і'--

1 =(і'-- Зх + 2)(2і'- + 5х + 12) + 26х- 25. (1)

Розглянемо раціональний дріб рівності

(1)

2х 4 -ха +х 2 -1 2

х -Зх+2

За допомогою

•

можна записати: 4

2х -ха +х -1 х 2 -Зх+2

2 х2 +бх+ 12 +

26х-25 х 2 -Зх+2

Права частина цієї рівності є сумою многочлена і дробу. У чи сельнику дробу записано многочлен, степінь якого менший від степеня многочлена, який записано в знаменнику. Такий дріб називають правильним. Подання раціонального дробу у вигляді

суми многочлена і правильного дробу називають виділеввим цілої частини з раціональноrо дробу.

О:1наченнн. Число а називаютькоренем многочлена А (х), якщо А (а) = О. Зрозуміло, що корінь многочлена А (х)

це корінь рівняння

А (х) =О. Легко знайти множину коренів рівняння

(3х

- 7)

+ 1) (2х - 9)

(5х

(х

+ 1) = О.

Проте, якщо рівняння переписати так: 30х4 - 169ха + 75х2 + 337 х + 63 = О, то задача пошуку його коренів стає непро

стою.

Тому при розв' язуванні рівнянь виду А (х)

= 0,

де А (х)

мно

гочлен, важливо навчитися виділяти в многочлені лінійний множ ник, тобто подавати його у вигляді добутку: де В (х)

А (х)

деякий многочлен, степінь якого на

(х

а) В (х),

менший від

степеня многочлена А (х). Цьому значною мірою сприятимуть такі теореми .

Теорема ІН.2 (тео ре ма Ве : •у ). Остача від ділення мноzо члена А (х) на двочлен х

а дорівнює А (а).

Доведення. Оскільки степінь дільника (двочленах- а) до рівнює

то степінь остачі має дорівнювати нулю або остача має

бути нульовим многочленом, тобто шукана остача число

IR маємо: = (х - а) Q (х) + r.

Для будь-якого х е А (х)

Поклавши в цій рівності х А (а)= (а

Звідси А (а)=

= -

а, отримаємо: а)

r . .&

130

(а)

+ r.

це деяке

18. Ділення многочлен ів .

Корені многочлена . Теорема Безу

Етьєн Безу (17Зо-1783) Французький математик, основві роботи

якого стосуються вищої алгебри. Викла дав математику в училищі гардемаринів,

Королівському артилерійському корпусі.

Автор шеститомної праці •Курс матема тики•

~ ·.

Дяя тоzо щоб чис.по а буяо коренем мкоzо-

ч.пекq. А (х), кеобхі.дко й достаткьо, щоб мкоzоч.пек А (х) ді .пився наці.по на двоч.пек х

Доведе н.н.я . Нехай А (а)

а.

О, тобто число а є коренем много

члена А (х) . Доведемо, що А (х)

: (х -

а) .

За теоремою Безу А (а) є остачею від ділення мвогочлена А (х) на двочлен х- а. Проте А (а)= О, отже, А (х) Нехай тепер А (х) Оскільки А (х)

: (х -

(х

а). Доведемо, що А (а)

- а).

О.

а), то остача від ділення многочлена А (х)

на двочленх-а дорівнює О, тобто А (а)= О .

, і . . • , , •. ... , Нхщо {а1 , а2, ••• , а,.} - мн.ожин.а хорен.ів мн.о· - а.> (х - а2) • • •• • (х - а,.) Q (х), де (х) - деякий мн.оzочяен.

zоч.пен.а А (х), то А (х) = (х

Доведен.н.я. Якщо а

1 - корінь многочлена А (х), то за 18.3 маємо А (х) = (х - а 1 ) Q1 (х) . Покладемо в цій рівності х = а • Отримаємо (а - а ) Q (а ) =О. Оскільки а :t:. 2 2 1 1 2 1 :t:. а 2 , то <Xz - корінь многочлена Q1 (х). Тоді за теоремою 18.3 маємо Q (х) = (х - а ) Q (х). Отримуємо А (х) = (х - а ) Q (х) = 1 1 1 2 2 = (х - а ) (х - а ) Q (х). 1 2 2 теоремою

Застосовуючи аналогічні перетворення для коренів а , а ,

~· отримаємо, що А (х) = (х - а 1 ) (х- а2 ) · •• • ·(х- <Х11 ) , . .• · : • t ,, 1

:~ . Мн.ожин.а коренів мноzоч.пен(І. степ.ен.я

тить не бі.пьше ніж

•••,

(х). А.

міс

е.пементів.

Доведен.ня. Припустимо, ЩО а\, а2, многочлена А(х) , степівь якого дорівнює як у доведенні наслідку

А (х)

...•

n..

l!(Ожва записати:

а,.. an + l -

= (х- al) (х - <Xz) · ... ·(Х - an + .> Q (х). 131

корені

Міркуючи так само,

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

Проте ця ріввість неможлива, оскільки в лівій частині за писано многочлен степеня

а в правій

вираз, який тотожно

дорівнює многочлену, степінь якого більший за

З наслідку

Наслідок

випливає таке твердження.

Якщо мкожика кореків мко:гочл.ека а,.х"

а,. _ 1 х" - 1 + ... + а1 х + а0 містить більше кіж n ел.емектів, то а,. =4 _ = _.. = а = а = О, тобто цей мко:гочл.ек тотожко 1 1 0

дорівкює кул.ю.

ПРt1КЛдД

Доведіть, що вираз А (.х) = (.х - 2) 100

+ (.х - 1)50 - 1

ділиться націло ва мвогочлев В (.х) = х - З.х + 2. Розв 'язання . Маємо: В (х) = .х 2 - Зх + 2 = (.х - 1) (х - 2). 2

Оскільки А тобто А (.х) гочлен

(1)

= О, то мвогочлев А (х) ділиться націло нах -

= (х - 1) Q (х). Оскільки А (2) = (2 - 1) Q (2) = О, то мво

Q (х) ділиться

націловах

- 2, тобто Q (х) = (х - 2) Q 1 (.х). 1) (х - 2) Q 1 (х), тобто многочлен А (.х) ділиться націло на многочлен х2 - Зх + 2. Таким чином, А (х) = (х -

ПРИКЛАд і .х

О<"І'зчJ від ділення WІогочлена Р (х) на двочлени х

З відповідно дорівнюють

многочлена Р (х) в.а мвогочлеu

r' -

- 2

Зваі{діть остачу від ділеввя

5х

+ 6. - 5х + 6 дорів 1 або остача є ну

Розв'язан ия. ОскіJІьки стеnівь многочленаХ: нює

то степіиь шуканоj' остачі ое більwнП за

льовим многочленом . Тому остача - це многочлен виду ах+ Ь.

Маємо: Р (х) = (х2

5.х

=(х -

Р (х)

+ 6) Q (.х) + ах + Ь; 2) (х - З) Q (.х) + ах

Підставимо по черзі в цю рівність х = Р

(2) =

2а

+ Ь,

(3) =

Застосовуючи теорему Безу, маємо: Р отримуємо систему Звідси а =

2, Ь

і .х = З . Оrримуємо:

+ Ь.

(2) = 5

і Р (З)

= 7.

Тоді

•

За+Ь = 7 .

= 1. Тоді шуканою остачею є многочлен 2х + 1.

Відn о відь: 2х

nРИКЛдД

{

2а + Ь = 5

За

+ Ь.

+ 1.

Пр.и яких натуральних

ділиться націло на двочлен .х

+ а,

многочлен

(х)

= .х" + а"

де а ~ О?

Ро з в'я з ання. Маємо: .х + а = .х - (-а). З'ясуємо, при яких на

туральних n виконується рівність

(-а)= О, тобто (-а)" + а"= О.

Очевидно , ця рівність виконується тільки при всіх непар них

n. 132

18. ДІлення многочленІв

--------------~-

ПРИКЛАД

КоренІ многочлена Теорема Безу

Доведіть тотожність:

(d - b)(d - c) + (d-c)(d-a) + (d-a)(d-b) (а-Ь)(а-с)

(Ь - с)(Ь - а)

(с-а)(с-Ь)

1 =О.

Розв'язання. Розглянемо ліву частину рівняння як много член зі змінною

f (d) має

іпозначимо його

степінь не більший за

Легко nеревірити, що

(а)=

f (d). Зазначимо, що многочлен або є нульовим многочленом . (Ь)

(с) = О

наслідку

ви

nливає, що цей многочлен тотожно дорівнює нулю.

Вправи

365:

Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на много

член В (х):

1) А (х)

=х

- 7х

+ 6,

В (х)

=х -

б;

2) А (х) = х4 - 1, В (х) = х3 + х2 + х + 1; 3) А (х) = 3х4 - 7х3 + 2х 2 + 3х - 1, В (х)

=х

- 2х 2

Доведіть, що миоt~член А (х) ділиться націло на многочлен В (х):

1) А (х) = х3 - 1, В (х) = х2 + х + 1; 2) А (х) = 4х 3 - 8х2 + 5х - 1, В (х) = 2х 2 - 3х + 1; 3) А (х) 2х 4 - х 3 + 2х2 + 1, В (х) = х 2 - х + 1.

367.

Поділивши •куточком• многочленА (х) на многочлен В (х}

знайдіть неnовну частку й остачу:

1} А (х) 2) А (х) 3) А (х)

= 2х + 5х + 6х - 7, В (х} = х + х; = х + х + 1, В (х) = х + х + 1; = х + х + 1, В (х) = х + 5. 5

Поділивши •куточком• многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу:

1) А (х) = х 5 2) А (х) = х 7 3) А (х) = х3

369:

6х 3 + 2х 2 - 4, В (х) = х 2 - х 3 - 1, В (х) = х + х + 1; 2 + 5х - 6х - 6, В (х) = х - 2.

+ 1;

Доведіть, що многочлен А (х} не ділиться націло на много

член В (х) :

1) А (х) = х 2 2) А (х) = х8 3) А (х) =

370:

+ 1, В (х) = х - 1; + х - 1, В (х) = х + 1; 2х - 3х - х + 1, В (х) = 4

х - 3х 2

+ 2.

Знайдіт.ь остачу від ділення многочлена А (х) на дво

член В (х) :

1) А (х) х3 + 2х2 + 3х + 1, В (х) = х- 1; 2) А (х) = 2х4 - 4х3 - х - 1, В (х) = х + 2.

133

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

371:

Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на дво

член В (х):

1) А (х) 2) А (х)

= 2х = бх

- 7х 2 + х +З, В (х) = х- 4; - 5х3 - 5Зх2 + 45х- 9, В (х)

=х +

З72: Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на дво член В (х):

1) А (х) = 2х3 + 7х 2 + 7х + 2, В (х) = х + 2; 2) А (х) = Зх 4 - 8х3 + 2х 2 + 5х - 2, В (х) = х - 2; З) А (х)

= 5х

4) А (х) = х

373.• Виділіть

6х 4

Зх

+ х + 1, В (х) = х - 1; х + 2х 3 + Зх 2 + х - З, В (х) х2 4

=х -

З.

цілу частину з раціонального дробу:

х 8 -х+2 1) х2 +1 , 4

374.' /

2х -3х + 4х + 1 х2 -1

-'--~--

Виділіть цілу частину з раціонального дробу:

4 з 2 -х+1; 1 ) 2х +х -5х 2

З) х

х -х

633

- \

221

+х + х-

•

х +х-1

2 ) 5х -3х +~х-1; 4

х+1-х

375: Доведіть, що вираз (х + 1)2n - x 2n - 2х- 1 ділиться націло на вираз х (х + 1) (2х + 1), де n е N. 376." Доведіть, що вираз (х 2 + х - 1)2n + (х 2 - х + 1)2n - 2 ділиться націло на многочлен х2 - х, де n е N. 377. ~·При яких значеннях параметра а остача від ділення много члена:

1) х4 + ах 8 - 2х 2 + х- 1 на двочлен х- 1 дорівнює 5; 2) 2х 4 - Зх 3 - ах 2 - х - 2 на двочлен х + 1 дорівнює З? 378. · При яких значеннях параметра Ь многочлен х3 + Зх 2 - Ьх + 6 ділиться націло на двочлен х + 2? 379: При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) ді литься націло на многочлен В (х):

1) А (х) = 2х 3 - х 2 + ах + Ь, В (х) = х2 - 1; 2) А (х) = 6х 4 - х 3 + ах 2 + Ьх + 4, В (х) = х 2 - 4? 380. • При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) = ',-- = Зх 4 + 5х 3 + ах 2 + Ьх + 10 ділиться націло на многочлен В (х) = х 2 + х - 2? 38t:• Доведіть, що коли n : k, n е N, k е N, то (xn - an) : (xk - ak). 134

19. АлгебраІЧНі

рІВНЯННЯ

382:· При я:ких значеннях параметрів а, Ь і с многочлен х3 + + ах2 + Ьх + с ділиться націло на двочлени х - 1 і х + 2, а при діленні на двочлен х + 1 дає в остачі 1О? 383. • При я:ких значеннях параметрів а і Ь многочлен х8 + ах 2 + + Ьх + аЬ при діленнінах- 2 дає в остачі 15, а при діленні на х + 1 дає в остачі О? 384."" Остачі від ділення многочлена А (х) ва двочлени х - 3 і х - 1 відповідво дорівнюють 6 і 4. Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на многочлен х 2 - 4х + 3. 385.* Доведіть тотожність а

·о~

ч ~ ••

(d-Ь)(d-c) (а-Ь)(а-с)

Ь(d-c)(d-a) (Ь-с)(Ь-а)

+с

(d-a)(d-Ь) (с-а)(с-Ь)

an.x" + а" _ 1 х" - t +

Ріввяипя виду

де а , а , ..., а"

=d .

... + а 1х + а0 = О,

параметри, називають алrебраїчвим рів·

НЯ ВІІЯМ,

Числа а , а 1 , ••• , а,. називають :коефіцієнтами алгебраїчного

рівняння.

Число а називають вільним членом цього рівняння.

Якщо аяzебраїч.ке рівкяккя з ціяими коефі· цієктами має ціяий корікь, то вік є діяькиком віяькоzо чяека.

Доведення. Нехай х0 - цілий :корінь рівняння

+ а,. _ 1 х" - + ... + а 1 х + а 0 = О,

а,.х"

де а , а 1 , ... , а"

зВІДСИ

цілі числа. Тоді ви:конується рівність n

n- 1

а,.х0 +а,. _ 1 х0

а0 = -а,.х а

п- 1

-а,. _ 1 х0

0 ( -а,.х0

Отже, ціле число а

- ... -~х0 ;

n-1

=х

+ ... +~х0 +а0 = О . -а,._ х

n- 2

1 0

) - ... -~ •

0 дорівнює добут:ку

двох цілих чисел, одне

з я:ких х0 • Тому а0 : х0 •

Зауваження. З доведеної теореми не випливає, що дільни:к вільного члена алrебраїчного рівняння з цілими :коефіцієнтами обов'яз:ково є :коренем рівняння . У теоремі йдеться тіль:ки про те,

що цілі :корені алгебраїчного рівняння з цілими :коефіцієнтами слід шу:кати лише серед дільни:ків вільного члена.

135

§ 2.

Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Іншими словами: для того щоб число було цілим коренем алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб воно було дільником вільного члена (рис.

121).

Однак ця умова не є достатньою. Наприклад, числа

-1, 1, -2 і 2 є дільника

ми вільного члена рівняння Зх 2 - 5х- 2 =О. Проте тільки одне з них, число

є коренем

Рис .

рівняння.

Теорема

19.1

121

допомагає розв'язувати ті алгебраїчні рівняння

з цілими коефіцієнтами, які мають цілі кореві. Переконаємося в цьому на такому прикладі.

Розв'яжіть рівняння 2х4 - 5х 3 - 2х2 - х- б= О.

ПРИКЛАД

Розв'язання. Щоб перевірити наявність цілих коренів у цьо

го рівняння, випишемо всі дільники його вільного члена:

2; -2;

1; -1;

З; -З; б; -б.

Перевіркою встановлюємо, що х ня. Отже, многочлен

ділиться націло на двочлен х Многочлен

многочлена

є коренем даного рівнян

+ 1,

тобто

(х)

= (х

+ 1) g

(х).

(х) знайдемо, виконавши ділення •куточком•

(х) на двочлен х

2х 4

2х

= -1

(х), який стоїть у лівій частині рівняння,

5х

+ 2х -7х

2х 2

+ 1:

х - б

2х3 - 7~

- -7х3

+ 5х- б

~х·'- х- б

7х '' 5х~- х- б

5х 2

5х

· · бх- б -бх- б Те саме можна записати в •одноповерховому• вигляді.

2х 4 -5х 3 -2х 2 -х-б= 2х 4 + '-----"---' 2х -7х ···. .7х~ + 5х" + 5х -бх-б= . · ·-·, · · ··- -

-5х3

= 2х (х

2х•

-х

7х (х + 1) + 5х (х + 1)- б (х = (х + 1) (2х3 - 7х 2 + 5х- б). Отже, g (х) = 2х 3 - 7х 2 + 5х- б.

+ 1) =

З'ясуємо, чи має цілі корені рівняння 2х3 - 7х 2

+ 5х- б= О.

+ 1)-

Випишемо дільники вільного члена:

136

1; -1; 2; -2;

З; -З; б; -б.

- - - - - -Перевіркою встановлюємо, що х = Тоді

(х)

= (х- 3)

подамо многочлен

19. Алгебраїчні рівняння

3 є коренем

цього рівняння.

h (х). Знайдемо многочлен h (х) . Для цього

(х) у вигляді суми двочленів , кожний з яких

ділиться націло на х

- 3:

2х -7х +5х-6 = 2х8 -6х 2 -х 2 +3х+2х-6=. 3

-7х2

5х

= 2х 2 (х - 3) - х(х-3)+ 2(х-3)= (х 3)(2х -х+2).

= 2х

Оrже, h (х)

+ 2.

Очевидно, що рівняння

(х) : Окореювне має. Таким чином,

дане рівняння має два корені Відповідь:

-1

- 1; 3.

І Вправи 386."

Розв'яжіть рівняння: 3

1) х + 9х 2 + 23х + 15 =О; 2) 2х3 - х 2 - 5х - 2 = О; 3) 3х + 5х8 - х 2 - 5х - 2 = О; 4) 5х' + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 = О; 5) 2х' - 3х3 - 7х2 + 6х + 8 =О; 6) х 6 + 8х4 + 24х3 + 35х 2 + 28х

+ 12 =О.

Розв'яжіть рівняння:

1) х + х - 4х + 2 = О; 2) х 3 - х2 - 8х + 12 = О; 3) х 3 + 4х 2 + 5х + 2 =О; 4) х 4 + 4х 3 - 2х 2 - 4х + 1 = О; 5) х 4 + 2х 3 - llx2 + 4х + 4 = О; 6) 3х' + 5х8 - 9х 2 - 9х + 10 =о.

388...

Доведіть, що коли алгебраїчне рівняння з цілими коефі-

цієнтами

х"

+ а,. _ ,х"

+ ... + а 1 х + а 0 = О

має раціональний корінь, то він є цілим числом.

«}·· Доведіть, що коли алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

+ ... + а 1 х + а0 = О має раціональний корінь х0 =Е., де Е. - нескоротний дріб, n

а,.х

а,. _ 1 х

n - 1

0 q- дільник коефіцієнта а,..

тор -дільник вільного члена а ,

137

§ 2.

Функції, многочлени. рівняння і нерівності

атематичн

.,. 1· .дукцІ~

Вивчаючи навколишній світ, нам часто доводиться на nідставі результатів сnостережень і дослідів робити висновки. Загальні висновки, отримані на підставі окремих випадків, називають івдук1'ИВІІИ.1Іr, а самметод таких міркувань - івдук

тиввим методом або івдукцією (від лат.

inductio -

наведення) .

Наприклад, задовго до відкриттн законів руху Землі люди зробили висновок , що Сонце вранці встає на сході, а ввечері зникає за обрієм на заході. Цей висновок є індуктивним : адже він базувався лише на спостереженнях .

Звісно, за допомогою індукuії не завжди можна отримати правильні висновки. Так, лкщо у вашій і сусідній школах серед учителів початкових класів немає чоловіків, то це ве означає, що всі вчителі початкових класів - жінки . Незважаючи на необхідність ставитися до індуІСтивних висно вків з певним стуnенем недовіри, івдуJ(тивний метод знаходить широке застосувания в математиці.

Розглянемо два приклади . Будемо сnостерігати, як •поводяться~ суми

перших непар

них натуральних чисел. Маємо:

S 1 = 1 = 1; 8 2 = 1 + 3 = 4; sз = 1 + 3 + 5 = 9; s. =1 + 3 + 5 + 7 =16; sr. = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Числа 1, 4, 9, 16, 25 є квадратами

послідовних натуральних

чисел .

Тепер можна зробити таке nрипущення: для будь-якого на турального

= 1 + 3 + 5 + ... +

(2n - 1) = n 2 •

Розглянемо значення многочлена f (n)

n, які дорівнюють 1, 2, 3, 4 , 5. (1) = 41 - просте число; (2) = 43 - просте число: (3) = 47 - просте число; (4) = 53 - просте число; (5) = 61 - просте число.

ченнях

f f

f f f

(п) є простим числом.

138

n + 41 nри зна

Маємо :

Припущення: для будЬ-якого ватуральарго

(1)

значення виразу

20.

Метод математичної індукції

Два наведених припущення є лише гіпотезами, які належить або довести, або спростувати.

Спростувати гіпотезу можна контрприкладом. Для друго го припущення такий контрприклад легко з~айти. Маємо:

f (41) = 41 2

+ 41 = 41 2

складеве число.

Спроба знайти контрприклад для першого індуктивного висновку може привести до таких рівностей:

86 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6 2 ; 8 7 = 1 + 3 + 5 + 1 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72 ; 88 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

= 8 2•

Отримані рівності лише підкріплюють упевненість у тому, що висунута гіпотеза є правильною.

Зрозуміло, що приєднання до суми чергового непариого до данка не призведе до доведення гіпотези: скільки б сум ми не обчислили, неможливо гарантувати того, що серед нескінченної

кількості сум, що залишаються, не трапиться така, для якої рівність

(1)

не виконується .

Щоб довести справедливість висловленої гіпотези, потрібно провести деякі загальні міркування . Нехай рівність

(1)

8" = 1

є справедливою для

доданків, тобто

+ 3 + 5 + ... + (2k- 1) = k2 •

Розглянемо суму, яка містить

k +1

доданок :

8"+ 1 = 1+3+5+ ... +(2k-1)+(2k+ 1) = 8" +(2k+1). s. 2 з урахуванням припущення маємо: 8" + 1 = k + (2k 2 = (k + 1) •

+ 1) =

Наведені міркування гарантують, що коли рівність є правильною для п

= k,

(1)

то вона залишається правильною і для

= k + 1. Тепер можна стверджувати, що рівність

(1) доведено для будь

якого натурального значення п. Пояснимо це .

(1) є правильною для п = 1. Отже, + 1 = 2, а тоді вона є правильною = 3 + 1 = 4, при п = 4 + 1 = 5 і взагалі,

Ми показали, що рівність вона є правильною для п

при п

= 2

+ 1 = 3,

при п

= 1

цей •ланцюжок• можна протягнути до будь-якого натурального значення п. Отже, ріввість

(1)

є правильною при всіх натураль

них значеннях п .

Описавий метод доведення називають методом математичної індукції. У загальному вигляді його можна описати так .

Нехай потріtJно довести, що деяке твердження є правильним. для tJудь-якоzо натурального значення п.

139

Функції. многочлени, рівняння і нерівності

§ 2.

Доведення цього факту методом математичної індукції скла дається з двох частин

( теорем ):

доводять (перевіряють) справедливість твердження для

= 1;

2) роблять припущення, що твердження є правильним для = k, і на підставі цього доводять, що воно є правильним для

п =

k + 1. Теорему, яку доводять у першій частині, називають базою

індукції.

(1)

Наприклад, при доведенні рівності твердження, що рівність

базою індукції було

виконується при п

(1)

= 1.

Теорему, яку доводять у другій частині методу, називають

ів:дуІСТИввим переходом.

ПРИКЛАД

1 Виведіть формулу для обчислення значення суми 1 1·3

7 3·5

17 5·7

S =-+-+-+ ... + n

2n 2 -1 , де п е N. (2n-1)(2n+1)

Розв'язання. Для п = 1: S 1 =-1-=!. 1·3

Для п = 2: Sz = 1·3 + 3·5 =5.

Для п =З: 83 = 1· 3 + 3·5 + 5 · 7 =7· Для п

4 : 84 = 1·3 + 3·5 + 5·7 + 7·9 =g·

Бачимо, що тепер можна зробити таке припущення:

(2)

=--. 2n+1

Доведемо цю гіпотезу методом математичної індукції.

Вище ми перевірили справедливість формули

(2)

для п =

тим самим ми довели теорему •база індукції•.

Тепер доведемо теорему •індуктивний перехід•. Нехай формула

Маємо: Slt+І

(2)

є правильною при п

= k,

тобто S~

2k 2 -1

=-. 2k+ 1

2(k+1) -1 =1.3+3-5+5-7+ ... + (2k-1)(2k+1) + (2k+1)(2k+3)

s. 2

=S + 2(k+1) -1 =_!L_+ ~

=2k

(2k+1)(2k+3) 2

2k+1

+2k +3k +3k+k+1 (2k+1)(2k+3)

2k +4k+1

2k 3 +5k 2 +4k+1

(2k+1)(2k+3)

2k (k+1)+3k(k+1)+k+1 =(k+1)(2k +3k+1) (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) 2

140

20. Метод математичної індукцtІ

(k+l)(k+1)(2k+1) (k+1) 2 (2k+1)(2k+3) = 2k+3.

Отже, припустивши, що формула

(2) є

ми довели, що вона є правильною і при

правильною при

= k,

= k + 1. А з урахуван

ням теореми •база індукції• можна зробити висновок, що гіпотеза є правильною.

Довед1ть, що

ЗАДАЧ

n(n+l)

1+2+3+ ... +n=

,де

Користуючись методом математичної індукції, доведіть цю

рівність самостійно.

ПРИКЛАД Виведіть формулу для обчислення суми 1 + 33 + ... + n 3, де n Е N.

Розв'язаппя. Для n = 1: S 1 = 13 = 1. Для n = 2: S = 13 + 23 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2 • Для n 3: 18 + 2 3 + 3 3 36 = 6 2 = (1 + 2 + 3)2 • Для n 4: S 4 13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 100 = 10· = (1 + 2

s: ==

= =

+ 23 +

+ 3 + 4).

Тепер можна зробити таке припущення:

= (J + 2 + 3 + ... + n)2 •

Ураховуючи ключову задачу

1, гіпотезу

можна записати в та-

кій формі:

S,.

=( n(~+l) )2.

Справедливість цієї формули при

(3) було встановлено

n = 1

вище.

Нехайформула(З)єправильноюприn = k, тобто s. =(k(k2+ l)J 2

k(k 1) + ) +(k+1) 3 = 2

Маємо: 8,.+ 1 = 13 +23 +33 + ... k 3 +(k+ l)3 = ( =(k+1)2(

k: +k+ l )=

(k+1)

(k~ +4k+4)

(k+l) 4(k+2)

Методом математичної індукції формулу

(3)

ПРИКЛАД З Доведіть, що для будь-якого n Е

5" - 3" + 2n

кратне

доведено .

N значення

виразу

3 1 + 2·1 = 4:4, тобто

теорему «база індукції>) доведено.

(k+l)ik+2)

Розв'язаппя. При n = 1 отримуємо 5 1 Нехай при

(

є правильним твердження

(5"- з• + 2k) : 4. 141

§ 2.

Функції. мноrОЧ11ени. ріВІ'іЯННЯ j нерівності Доведемо, що тоді це твердження є правильним при

тобто

(5.... 1

зн 1

+ 2 (k + 1)) :

+ 2k + 2)- (5

+ l,

Для доведення достатньо показати, що різниця 11

(5* + 1

311 + 1

+ 2k) кратва 4.

Перепишемо цю різJІИЦІО так:

5* (5- t)- з• (З- 1) + 2 = 4·5· - 2 (з•- 1). 1) : 2, то значення отриманого виразу кратне 4.

ОскіJІьки (З* -

Оrже, твердження, що доводиться, є правильним, у чому ми переконалися за допомогою методУ математичної індуtщії.

Методом математичної індукцjї можна скористатися і в тих випадках, коли потрібно довести твердження, правильне для всіх

натуральних n таких, що n # п0 , де п0 Е

".о>

У цьому разі

теорему •база індукції• доводять (перевіряють) для П РИКЛАД

Доведіть, що для будь-яt<ого

n = n0 •

n>4

викону-

ється ttерілніс'fІь 2n > п 2 •

Розв'язання . При n-= 5 маємо правильну нерівність 2 6 >52 • Нехай 2 11 > k 2 , k Е N, k > 4. Маємо:

2 · 2* > 2k2 ; 2*+ 1 > 2k2 • Легко показати (переконайтеся в цьому самостійно), що при

k>l+.J2, а тим більше ори k > 4, виконується нерівність 2k2 > (k + 1)2, Звідси 2/rt 1 > (k 1)2 • Мй показали, що при

n =5

ВИ1(овується теорема •база іsдУК

ції•, і довели теорему •індуктивний :перехід• . Оrже, нерівність , що розглядаєть~я. є правильною при будь-Яt<ИХ в.атуральних

таких, що

n > 4.

Завершуючи розгляд методу математичної індукції, наголо · симона такому.

Кожнйй з обох етапів доведення методом математичної індук цП- і база індукції, і індуктивний перехід - є важливим.

Вище

ми nереконалися, що твердження може бути правильним у цілій

низці оиремих виnадків, але неправильним узаrалі . Це переиоиує нас в тому, наскільии важливим є довести теорему •індуктивний

перехід•. Але було б помилково вважати, що доведення теореми •база івдукції• є менш суттєвим.

Поиажемо, як, користуючись лише теоремою +індуктивний перехід•. можна, наорИІСлад, •довести•, що при будь-якому на туральному

число 2п

є nарним.

142

20. Метод математичt-tої

n = k,

Нехай це твердження є правильним при

тобто

індукції

.2k

є париим числом. Доведемо, що тоді воно буде правильним для

+ 1, ·тобто число 2 (k + 1) + 1 також буде париим. 2 (k + 1) + 1 = (2k + 1) + 2. За припущенням число 2k + 1 є парвим. Сума двох парних чи сел - число парве. Оrже, число (2k + 1) + 2 також є парвим.

n = k

Маємо:

Ми коректно довели теорему •індуктивний перехід•. Але при цьому ве виявили, що теорема «база індукції• є неправильною (при

1 число 2n + 1 є непарним).

У цьому й полягає причина

того, що вам удалося •довести• настільки безглузде твердження.

Вправи

390: Числа 24, 44, 64, 84

кратні

Чи можна звідси зробити ВИ·

свовоІ<, що число, яке закінчується цифрою

кратне

:191: Розгляньте значення многочлена f (n) = n + n + 17 при n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5. Зробіть припущення. Устано 2

віть, чи є висловлена гіпотеза правильною.

392.• Доведіть,

що при будь-яІ<ому натуральному

виконується

рівність:

) 12 22 32 2 + + + ... +n

=n(n+1)(2n+l) 6 ; 2

2) 12 +32 +52 + ... +(2n-1)2

n.(4n - 1).

3) 1·3+2·5+3·7 + ... + n(2n+l)=

4 ) .!..:!+2 · 5+3·6+ ... + 2·3

5) 393:

3 ·4

4 ·5

•

n (n + 1)(4n+5)

n(n.+3) =n(n+l); (n+l)(n+2) n+2

(1-!)(1-!)(1-..!.) .... ·(1- (2n-1) 4 )= 1-2n 1+2n . 1 9 25 2

Доведіть, що при будь-ИІ<ому натуральному

рівність:

1) 1·2+2·3+3·4+ ... +n(n+1)= 2) 1 · 4

+ 2· 7 +

3) 13 + 3 8 + 53

3 3 · 10 + ... + n (Зп + 1)

5·9

9 · 13

1);

(4n - 3)(4n.+1)

4n+1

143

;

= n (n + 1)2 ;

+ ... + (2n- 1)3 = n 2 (2n2

4) _!_+_1_ +_1_ + ... + 1·5

n(n+1)(n+2)

§ 2.

Функції , многочлени, рівняння і нерівності

394:•

Доведіть, що при будь-якому ватуральному

n;;;. 2

викону

ється рівність

. · (1-..!.) = n + 1. (1-..!)(1-!)(1-..!.) 4 9 16 •·• n2 2n

395:•

Доведіть, що при будь-якому натуральному

виконується

рівність

-1

396."

+З-

5 + 7- 9 + ... + (-1)"·(2n- 1) = (-1)"·n.

Виведіть формулу для обчислення суми

-1+ -1+ -1+ ... + 1· 3

:J97:·

3·5

5·7

1 , (2n-1)(2n+1)

де

Виведіть формулу для обчислення суми

1 1· 2

1 2·3

1 3·4

1 , де n Е N. n(n+1) 398." Доведіть нерівність 2" > 2n + 1, де n Е N, n;;;. З.

- + - + - + ... +

399:·

Доведіть нерівність З"> 4n

+ 1,

де n Е

N, n;;;. 3.

400."" Знайдіть усі натуральні значення n такі, що 4" > 3n 2

401."" Доведіть веріяність І а 1

+І азІ+

···

+І а,.

+ а2

+аз+

... +а,. І~

І а 1 І+ І а 2 1

402." Доведіть, що для будь-якого натурального n: 1) (З 2 " + 1 + 2" ~ 2 ) : 7; З) (4" + 15n - 1) : 9; 2) (6 2" + 19" - 2" + 1) : 17; 4) (5" - З" + 2n) : 4. 403:· Доведіть, що для будь-якого 1) (7" ~ 1 + 8 2" - 1) : 19; 2) (7. 24" - 5 · 1З" - 2" + 1 ) : 11; З) (З2п + 2 - 8n - 9) : 64.

144

натурального

+ 1. +

СТЕПЕНЕ А

ФУНКЦІЯ

§ 3. Степенева функцІя

Стеnенева функцІя з натуральн•1м nоказником

Властивості і графіки функцій у = х і у

=х

добре знайомі вам

з попередніх кдасів. Ці функції є окремими випадками фуикції

у= х",

1П<У називають степевевою функцією з ватур8JІЬВИМ

показвиком.

Оскільки вираз х",

має зміст при будь-якому х, то об·

ластю визначення степеневої функції з натуральнUАІ. показни·

ком є множина Очевидно,

IR.

що

розглядувана

функція

має

єдиний

х =о. Подальше дослідження властивостей функції у = х", ведемо для двох виnадків:

n Е N, n-

нуль

про

парне натуральне число і

не

парне натуральне числІ).

Перший виnадок: n

•

І , Ії

rl.

Зазн~чимо, що nри k = 1 отр~rмувмо функцію 11 = х 2, власти вості і графік якої були розтлянуті у 8 класі. Оскільки nри будь·якому х ви раз х2- набуває тільки невід•єм них значень, то область значень розглядуваної функції не міс'l'И'І'Ь жодного від' ємного числа. Можна nоказати, що для будь·якоrо а ~О існує таке значення аргументу х, що х

=а.

Сказане означає, що областю значень функції у= х", де

n -

парне натуральне число, є множина [О; +оо), 2

Якщо х ~О, то х " > О . ~

Отже, проміжки (-оо; О) і (О; +оо) є проміжками знакасталості

функції у = х", де

n - пар не натуральне число. n - парне натуральне число,

~ Функція у= х", де

е парною.

Справді, для будь-якого х з області визначення виконується

рівність (-x)u

= х •. 2

Розглянемо довільні числа х х Е (-оо; О] і х

х • Тоді -х

і х

такі, що х

вістю числових нерівностей, отримуємо (-х/•

х:- >х;". ~ Отже, функція у= х", де дає на проміжку (-оо;

0].

(-оо;

0],

-х #О. Скориставшись власти

> (-х 2 ) 2•. Звідси

парне натуральне число,

cna·

Авалоrічио можна показати, що ця

функція зростає на проміжку [О; +оо),

146

21. Степенева функція з

натуральним показником у

у==х" .

-lr·

парне

натуральне

число

-- 1--

Рис .

Рис.

122

х -- -

123

Оrримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у= х", де

парненатуральне число (рис.

122). 123.

ма, графік функції у= х зображено на рисунку Друrий випадок:

•

Зазначимо, що при

непарне натуральне чиспо.

1 отримуємо функцію у

і графік якої були розглянуті в

Тепер нехай

n = 2k

Зокре

+ 1,

= х, властивості

7 класі. N.

Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення

аргументу х, що х211 + 1

=а.

:~ Сказане означає, що областю значень функції у= х", де n непарне натуральне число, є JІІножина

IR.

Якщо х < О, то х2" + 1 < О; якщо х > О, то х 2 " + 1 > О. -'~,

Отже, nроJІІіжки (-оо; О) і (О; +оо) є

проJІІіжкаJІІи

функції у = х", де

зна-косталості

непарне на·

n -

туральне число.

1:·

Функція у== х", де n натуральне

число,

непарне

непарною. х

Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-х)2ІІ+І = -х2ІІ+t.

Розглянемо довільні числа х

такі, що х 1

і Х

у== х•,

-1 n -

непарне

натуральне

число,

х 2 • Скориставшись влас

n> 1

тивістю числових нерівностей , отри

муємо х: 11 + 1

...

Рис .

< х;"+ 1 •

Отже, функція у= х", де

n -

непарне

124

натуральне

число ,

є зростаючою .

Оrримаиі властивості дозволяють схематично зобразити графік

функції у = х", де

непарне натуральне число,

147

n > 1 (рис. 124).

§ 3. Степенева функція Зокрема, графіки функцій у= х8 і у= х5 зображено на рисун ку

125. у

LІ/І

= ~r·

1 !.J

!і =с

·l

І)

l.r

1 1

Рис .

125

Дослідимо взаємне розміщення графіків функцій у = хт і у= х", дет Е

N, n

> n,

на проміжку [О ; +оо). Очевидно,

що ці графіки мають дві спільні точки: (О; О) і Розглянемо різницю хт- х" то

(m- n)

(1; 1).

= х" (хт _"- 1). Оскільки т > n,

< 1, то х" >о і хm-ІІ < 1. Звідси х" (хm-ІІ- 1) <о. > 1, то Х >о і хт-ІІ > 1. Звідси Х (хm-ІІ- 1) >о. Отже, на проміжку (О; 1) графік функції у = ~знаходиться нижче від графіка функції у= х", а на проміжку (1; +оо) - вище (рис. 126). Якщо о< х Якщо х

Якщо т і

парні натуральні числа , то, відобразивши

графік, зображений на рисунку

126, симетрично відносно осі 127. Для непарних ті n застосуємо координат (рис . 128).

ординат, отримаємо рисунок симетрію відносво початку

т> п.

m і n-

x;;;tO

натуральні числа,

Рис.

126

Рис.

nарні

127 148

m> n

mіn-

неnарні нату

ральні числа,

Рис.

m> n

128

21. Степенева функція з натуральним показником

У таблиці наведено властивості функції у= х",

уста

новлені в цьо~ nункті.

парне

непарне

натуральне число

[О; +оо)

х = О

Область визначення

Область значень Нулі функції

у > О

у<О

Проміжки

на кожному

на nроміжку

знакасталості

з проміжків

у>О

(__,; Парність

на проміжку

О) і (О; +оо)

Парна

(__,; 0), (0;

+оо)

Непарна

Спадає на проміжку

Зростання І

(-оо; О], зростає

спадання

Зростаюча

проміжку [О; +оо)

404. При яких значеннях а графік функції у= ах• проходить через точку: 1) А (2; - 12): 2) В (-3; -3)? 4U5.• При яких значеннях а графік функції у = ах8 проходить через точку:

(3; - 18); 2) D (-2; 64)?

406: Функцію задано формулою f (х) = х

1) f (1,4) і f (1,8); 2) f (- 7,6) і f (- 8,5);

• Порівняйте:

3) f (- 6,9) і f (6,9); 4) f (0,2) і f (-12) .

.ю1: Функцію задано формулою f (х) = х 1) f (20) і f (17); 2) f (-44) і f (1,5); 408: Функцію задано формуJІою f (х) = х

• Порівняйте:

3) f (-52)

1) f (3,6) і f (4,2); 2) f (-6,7) і f (-5,8);

f (-45).

• Порівняйте:

3) f (-2,4) і f (2,4); 4) f (-15) і f (2).

Ю9.' Функцію задано формулою

1) f (9,2) і f (8,5); 2) f (-1,1) і f (-1,2);

(х)

=х

3) f (19) 4) f (-7)

149

і і

• Порівняйте:

f (-19); f (9).

§ 3. Стеnенева функція

410. Скільки коренів має рівняннях"= 1600, 1) n- парненатуральне число; 2) n - непарне натуральне число? 411: Чи має дане рівняння від'ємний корінь: 1) х6 = 2; 2) х6 = -З; З) х7 = 9; 412. Розв'яжіть рівняння: 0

якщо:

4) х6 = -10?

х 6 = З2;

х3 =- : ;

З) х = 81;

4) х4 = -16.

41а : Розв'яжіть рівняння:

1) ха= -27; 2) х6 = О ,ОООЗ2 ; З) х6 = 64; 4) х8 = -1. 414: Знайдіть точки перетину графіків функцій: 2) у= х4 і у = -27х.

1) у= х8 і у = 2х4 ;

41 Б. · Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х6 і у

416:

2) х

З) х4 = О,Бх - 2; 4) ха = х 2 - З.

+ 1;

=З -

2х;

Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь:

{~;~:·-З=О;

1 )

)

{~:;~0,5х2 •

Чи випливає з рівності х; =х;, що х 1 = х 2 , коли:

418:

не;

2) n -

419. Чи 1) n0

1) n-

пар

непарне?

випливає парне;

нерівності

непарне?

х;

> х;,

42(). Чи випливає з нерівності х 1 > х 2 , 1) n- парне; 2) n- непарне?

421:

Установіть графічно кількість коренів рівняння :

1) х8 = х

4 І 1:

=х •

що х 1 що

х;

х2 ,

коли:

> х;,

коли:

Скільки коренів залежно від значення параметра а має

рівняння:

1) х 12 =а- 6;

·122.

Скільки коренів залежно від значення параметра а має рів

няння

423."

2) х24 = а 2 + 7а - 8?

:!! = 9а -

а?

Побудуйте графік функції:

1) у = ха - 1; 2) у = (х З) у = х4

+ 2) -

4) у = (х - 1)4 ; 3

;

5) у = (х + 1) 6) у = -х3 ;

150

7) 1;

1 2

у=--х 8

;

8) У= І Х І; 4 9) у= <Іх І+ 1) •

21. Степенева функція з

424." Побудуйте 1) у = х3 + 3; 2) у

= (х -

графік функції:

4) у = (х + 1)4 ; 5) у

;

3)у=х4 +2; 425."

натуральним rюказником

= (х -

7) у= -х4 ; 8> у = <І х І

+ 2;

6) у=!х3 ;

9> у = І х

;

+ 1 Іа.

Побудуйте графік функції:

1) f(x)=

х 4 • якщо х <О.

{ JX. якщо х~О;

2 ) f(x)={x

якщо х<-1.

5 •

-х-2, якщо х~-1.

Користуючись побудованим графіком , укажіть проміжки зрос тання і проміжки спадання даної функції .

ct26 .•

Побудуйте графік функції

(х) =

х3 •

{ -vx. г

якщо х<О. якщо х~О.

Користуючись побудованим графіком. укажіть проміжки зрос тання і проміжки спадання даної функції.

427.·

Побудуйте графік функції:

1) у= Іх І х•;

428."

2) у= Іх І х

+х

•

Побудуйте графік функції:

1> у = І х І х3 ;

2> у = І х І х• - х5 •

429." Знайдіть вайбільше і найменше значення функції f (х) = хв ва проміжку :

[О;

2];

2) [-2; -1];

3) [-1; 1];

(-оо ;

-2];

5) (-2; 1).

4::Ю: Знайдіть найбільше і найменше значення функції

(х) =хв

на проміжку :

1) [-13; -1]; 431."

2) [-2; 1];

+оо) ;

4) {1;

+оо) .

Парвим чи вепарним натуральним числом є показвик сте

n функції f (х) = xn, f (-4) > f (-2); 2) f (-4) < f (2); 3) f (-4) < f (-2); пени

432:·

3) (1; якщо :

f (4) > f (2); 5) f (-4) > f (2);

4) 6)

Розв 'яжіть рівняння:

1) х 11

+х

= 2;

і :і:е· Розв'яжіть рівняння:

1) 4х3

+х

= -5;

151

f (4) > f (-2)?

§ 3. Степе!1е8<1 функція

Функцію, яку можна задати формулою у= х", де

на

зивають степевевою фувкцією з цілим показввком.

Властивості цієї функції для натурального показника було розглянуто в поnередньому nуВJ(ті. Тут ми розглянемо випадки, коли показвик

є цілим від'ємним числом або нулем .

Областю визначення функції у областю значень

=х

є множіm8. (-оо; О) U (О; +со),

одноелементна множина

129. х·", де n

(1} .

Графік цієї

фfВJ(ції зображено ва рисунку

Розглянемо фfВJ(цію у=

окремим випадком цієї фfВJ(ції, коли

• щєю

1 у =-,

n = 1,

тобто з фfВJ(-

v•

ви знаноМІ з курсу ал

геб

ри

класу.

Запишемо функцію у= х·" у вигля-

ді у = :,. . Зрозуміло, що ооластю ви· о

значення фунн:цїі у

жина (-оо; О)

Рис .

= х-", n Е N, є мно

(О; +оо),

Очевидно, що ця функція нулів не

129

має .

Подальші дослідження властивостей функції у проведемо для двох випадків: і

•

= х·", де n Е N,

парне натуральне число

непарне натуральне число.

Перший випадоt<:

n = 2#1, ll

+. набуває тільки додатних

Маємо: х- • =-{.. Оскільки вираз 2

значень, то до області значень розглядуваної фуннцU не входить від'ємні числа, а також число О. Можна показати, що для будь-~ого а

О існує таке значення

аргументу х, що x-2k =а. "~ Сказане де

n -

означає,

що

областю

значень

функції

х .,.•

парненатуральне чисJtо, є множина (О; +оо).

t1~ Очевидно, що проміжки (-оо; О) і (О; +оо) є проміжхами зна

костаJtості функціt у= х-", де n - парне натуральне число. ~· Функція у= х..... де n - парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується

р1ВИ1СТЬ

(

-Х

)-2·

= - -2-" =""2і'=Х (-х)

152

- 2}1

•

22. Степенева Розглянемо довільні числа х х е (-оо; О) і х

•

в1стю

1 < х2 •

Тоді -х •

числових

1 >

нер1вностеи,

<(-_!_)2.t; -k-< -k-; (-_!_)2.t xl х2

хІ

-х

і х

функція з цілим показником

такі, що х

0),

(-оо;

О. Скориставшись власти-

отримуємо

1 < --. 1 0 <-ХІ

х;2~< <х;2~< .

з·

в1дси

Х2

х2

:J;, Отже, функція у= х-п, де п тає на проміжку (-оо;

парне натуральне число, зрос

0).

~ Аналогічно можна показати, що функція у= х-п, де п

парне

натуральне число, спадає на проміжку (О; +оо).

зауважимо,

що з1 з

б'lЛЬшенням

модулях значення виразу~· х

стає все меншим і меншим . Тому відстань від точки гра-

фіка функції у=

-k-, k е

N, до осі абсцис зменшується і може

стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Аналогічно можна встановити, що зі збільшенням модуля орди нати відстань від точки графіка до осі ордиват зменшується і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Отримані властивості дозволяють схематично зобразити гра

фік фун.кції у= х-п, де п- парненатуральне число (рис.

130).

Зокрема, графік функції у=~ зображено на рисунку 131. х

у= х-· п, п- парне

Рис.

•

Рис.

130

Другий випадок:

= 2k-

1, k

131

Можна показати , що для будь-якого а -:1: О існує таке значення

аргументу х, що ~ Сказане де

n -

x-i2k- 1'

означає,

= а.

що

областю

значень

функції

непарне натуральне число, є .множина (-оо;

Якщо х <О, то 2Н<0; якщо х >О, то 2Н>О. х

153

у= х-п,

0) U (0;

+оо).

§ 3. Сте~нева функція

•!_"· .

-------- - - - - - - - ----- ---- - - - -

~ Отже, проміжки (-оо; О) і функції у

= х-", де n -

~ Функція у= х-", де п -

(0;

+оо) є проміжками знакосталасті

непарне натуральне число.

непарне натуральне число, є непарною.

Справді, для будь-якого х з області визначення виконується

рівність (-х)-(2k-ІІ =

(-.r)2k-t - -.rz.t-t -

Розглянемо довільні числа х х

е (-оо; О) і х

стивостями

1 <

х • Тоді -х

числових

1 >

і х -х

-х

нерівностей,

-(z.t-ІІ

такі, що х

е (-оо;

отримуємо

1 1 -< --; .rl

1 ( -;-

)Zk -І < (----;-1 )Zk -l;

1 1 -2Н<-2Н; ХІ

0),

О. Скориставшись вла-

1 ..,z.t-1 ...1

глядувана функція спадає на проміжку (-оо;

1 > ..,z.t-t" Отже, роз... 2

0). Аналогічно мож

на показати, що ця функція спадає і на проміжку (О; +оо).

~ Отже , функція у= х-", де п -

непарне натуральне число,

спадає на кожному з проміжків (-оо;

і (О; +оо) .

Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік

функції у

= х-", де п -

непарне натуральне число (рис .

132).

Зо-

крема, графік функції у=~ зображено на рисунку 133 . .r

y=x ·n,

непарне

натуральне число

Рис .

132

133

У попередньому пункті було проведено дослідження взаємного

розміщення графіків функцій у

= xm

154

і у

= х",

де т Е

п Е

22. Степенева

m > n.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що схематичве

розміщення графіків функцій у=

m > n,

функція з цілим показником

x-m

m 134, 135.

і у= х-п, де

є таким, як показаво ва рисунках

N, n

у -= х"'

у --= х

n Рис.

m і n-

вепарві,

т>

парві,

т>

Рис.

134

135

У таблиці наведено властивості функції у= х-",

n е N,

вивчені

в цьому пункті .

парве

натуральне число

Область визначення

(-оо; О)

U (О; +оо)

(О; +оо)

Область значень

Нуліфункції

ва кожвому

косталості

з проміжків (-оо;

Парвість

спадання

u (0;

+оо)

0),

у>О ва проміжку (О; +оо)

Парна

Неnарна

0),

спадає

ва проміжку (О; +оо)

155

(-оо; О)

у<О

і (О; +оо)

ва проміжку (-оо;

U (О; +оо)

ва проміжку (-оо;

Зростає Зростання І

(-оо; О)

у>О

Проміжки зна-

вепарве

натуральне число

Спадає ва кожвому з проміжків (-оо; О) і (О; +оо)

§ 3. Степенева функція

І{ Вnрааи 434: Чи проходить графік функції у= х- через точку: 1) А(2: ~): 1 2) в(-2: *): 3) с(*: 81); 4) D(J2; -~)? 4

435: Чи проходить графік функції у= х- 5 через точку: 1) А (0; 0);

436:

В (-1; -1);

С (~:

32):

(-з;- 2 ~ 3 )?

4) D

При яких значеннях а графік функції у= ах-з проходить

через точку: 1)А (-5;

20); 2)

в(2;

1 24

4:J7.~ При яких значеннях а графік функції у= ах- 4 проходить

через точку: 1) А (З; -3); 2) в(-2; ~)? 438: Данофункцію f (х) = х- • Порівняйте: 19

1) f (1,6) і f (2); 2) f (-5,6) і f (-6,5);

3) f (-9,6) і f (9,6); 4) f (0,1) і f (-10).

439: Дано функцію f (х) = х- 25 • Порівняйте: 1) f (18) і f (16); 2) f (-42) і f (2,5); 3) f (-32)

f (-28).

440.' Функцію задано формулою f (х) = х- • Порівняйте: 1) f (1,6) і f (2,2); 3) f (-3,4) і f (3,4); 2) f (-4,5) і f (-3,6); 4) f (-18) і f (3). 441." Функцію задано формулою f (х) = х- 40 • Порівняйте: 1) f (6,2) і f (5,5); 3) f (24) і f (-24); 2) f (-1,6) і f (-1, 7); 4) f (-8) і f (б).

442: Скільки коренів має рівняння x-n = 2500, 1) n - парненатуральне число; 2) n - непарне натуральне число? 443:

якщо:

Чи має дане рівняння від'ємний корінь:

1) х- 6

= 2;

2) х- 5

= 0,3;

3) х- 7

= -3;

4) х- 8

= -2?

444: Знайдіть область визначення функції: 1) у= (х- 1 )- 1 ;

445. • Побудуйте

2) у = ((х - 2)- 2)- 2 • графік функції:

446." Побудуйте графік 1) (у+ 2)0 = х- 2;

у=(-1 )-1 .

рівняння:

2) (у- 2)0

156

= (х + 1)0 •

х+1

22. Стеnенева функція з цілим nоказником

447: 1)

Знайдіть точки перетину графіків функцій: у= х

у= х

-3

у= х

-2 •

у=

1 х.

•t48: Знайдіть точки перетину графіків функцій у= х- 1 і у= х- 4 • 449: Побудуйте графік функції: 1) у = х- 2 + 2; 4) у = х-3 - 1; 7) У= І х-аІ: 3 2) у = (х - 3)- 2 ; 5) у= (х - 1)-3 ; В> у = І х - 1 І- : 1 9) у= хіх І"

t50."

Побудуйте графік функції:

1) у

= х-:; -

2) у

= 4х-

3; ;

3) у

= (х + 1)-4 ;

4) у

= -х-

5) у= І х-:; 1: 1 6) У= х 2 І х .

;

451: Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х- 6 на проміжку:

1) [~:1]:

2) [-1:-~J:

3) (1;

+оо);

4) [-1; 0).

462." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х- 3 на проміжку:

453: 1)

,t,54."

[і:2]:

455.

(-оо;

-3);

(О;

2].

Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь:

{ У= х-е,

у=4-х;

{У= х-з, у=х

+3.

Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь:

у=х

2)[-2; -1];

-З

•

у=х

у=~х2 -4;

Побудуйте графік функції

{

(х)

-2

•

у=х2 -2. =

{х- 2 , якщо х..;;; -1, Х 2 , ЯКЩО Х > -1.

Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.

х-3 , якщо х ..;-1,

!56." Побудуйте графік функції f(x)= -х 2 , якщо -l<x..;l, х-3 , якщо х

>1.

Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.

157

§ 3. Стеnенева функція

457:

Парним чи непарним є натуральне число n у nоказниІ<у

степева фуmщії

(х)

= х-",

ЯІ<що:

f (-2) < f (-1); 4) f (2) < f (1)?

1) f (-2) > f (-1); 2) f (- 2) < f (1);

З)

Означення кореня

n-ro степеня

Ви знаєте, що квадратвим коренем (коренем другого степеня) з числа а вазивають таке число, квадрат якого дорівнює а. Анало

rічнодаютьозиачевнякоревя п-гостепевяз числа а, депе 0ІІІ<t'І{'ІІІІJ1 . Коренем

n·ro

N, n > 1.

степевя зчкслаа,деnеN,n>l,

вазиваJОТЬ таке чимо, n-й степіJо. якоrо доріввює а. Наприклад, коренем п'ятого степева з числа З2 є число

2, 2 6 = З2; І<оренем третього степева з числа -64 є число - 4, оскільки (- 4)8 = -64; коренями четвертого стеnени з числа 81 оскільІ<и

є числа З і -3, оскільки з• = 81 і (-3)4

= 81.

З означення випливає, що будь-який корінь рівв8ННs х" =а, де

N, n > 1,

є коренем п-го стеnеви з числа а і, навпаІ<и, ко

рінь п-го степева в числа а єноревем розглядуваного рівняння.

Якщо

вепарне натуральне число, то фуR](ція у

зростаючою і, оскільІ<и її областю значень є мвожива

няння х" му

6.3).

= х"

то рів

має едивий корінь при будь-ЯІ<ому а (див. теоре

Тоді можна зробити такий висновок :

якщо

n-zo

=а

IR,

n -

штарн.е катrрал•ке

"ucJIO, біА•ше аа 1, то rсорін•

стєпєн.я а бJІд•-якоzо "исАа існ.rє, npu"OJt&JІ miA•rcи один.. Рисунок 1З6 ілюструє останній

y - a. u

х"

висвовоІ<: при будь-якому значенні а

графіки функцій у

= х" і у = а мають

одву спільну точну.

n, n > 1, з числа а позначають так: ~ (чита Корінь непариого степева

ють: скорівь п-го степеви з а• ). Знак

---+--+у_=_а_.а_."._-_о_

~ називають знаком кореви n-ro стеnевя або радика.пом. Вираз . який

стоїть під радикалом, вазивають підп

веоарне

натуральне число Рис . 136

коревевим виразом..

НаприІ<лад, ~ 2,

'!./0 =0. 158

~-64

=-4,

23. Означення кореня n-r6 стеnеня Корінь третього стеnеня також nрийнято називати кубічиим

коренем. НаnрЮ<лад, запне ~ читають: •корінь кубічний з чис ла 2•. Haroлocиl\fo, що вираз u.;ra, k Е N, існує при будж.-якому а . 3 означення кореня п-го степеня випливає, що при будь-якому а викон.уєmься рівн.іс~

(2• '!fii.)2t•l =а І Наnриклад, (if2) = 2, (:j-0,1) =-0,1 . 7

Розглянемо рівняння х" = а, де n - парне натуральне число. Оскільки областю значень функції у = х". де n - парне натуральне число, є множина [О; +оо), то nри а

О дане рівняння

не має розв'язків.

Очевидно, що при а ~ О рівняння має єдиний корінь х =О.

Функція у х", де n - nарне натуральне число, зростає на [О; +оо) і набуває всіх додатних значень . Отже, nри а О рівнян нях"= а, де

nарненатуральне число, на проміжку [О; +оо)

має єдиний корінь. Оскільки розглядувана функція є. парною, то nри а

О дане

рівняння має два корені, які є протилежними числами . Тепер можна зробити такий висновок :

якщо

n -

nарн.е н.аmура11.ьн.е ~ucJІ.o, mo при а

О корін.ь

n-zo

степен.я 3 чис11.а а н.е існує; при а= О корін.ь JІ.•ZO степен.я 3 чис

ла а дорівн.ює О; при а є корекям,и

n-zo

О існують iJІJa протилежн.і чисJІ.а, які

степен.я

числа а .

Отримані висновки мають про сту

(рис.

геометричну інтерпретацію

137).

функцій у

Якщо а

= х"

О, то графіки

і у = а не мають

с пільних точок; якщо а

О, то

розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а

О, то спіль

них точок дві, причому їх абсци си

протилежні числа.

-хо

Хо

.1/ = а. а ··· О

Вище було встановлено, що рів -

Ая нн.я х" = а при а ~ О обов'язково

має один невід'ємний корінь. Його називають арифметичним коренем 11 -

л- парне натуральне чиело

Рис .

степевя: з числа а.

159

137

§ 3. Степенева функція ():значення.

коренем n-ro стеnеви N, n > 1, вазивають таке невід'ємне

Арифметичним

з вевід'ємвоrо ЧИСJІа а, де

число, n-й стеnівь JІКоrо доріввює а. Арифметичний корінь п-го степени з невід'ємноrо числа а по

значають так:

ifO.

Наприклад, rsї =3, оскільки 3 ;;.. О і 3 4 = 81; ~ =2, оскільки 2;;.. О і 2 6 = 64; 1

~ =О, оскільки О ;;.. О і 0 10 = О.

Узагалі, .якщо Ь;;.. О і ьп =а, де n е N, n > 1, то

ifO =Ь.

Звернемо увагу на те, що дли позначенни арифметичного ко

рени п-го степени з невід'ємного числа а і корени непариого

степени n з числа а використовують один і той самий запис: ifa. Запис 2{{с;, k е N, використовують тільки дли позначенни ариф метичного корени. Зазначимо, що корінь парного степени з чис ла а не має позначенни.

За допомогою знака корени п-го степени можна записувати

розв'изки рівнинни

=а, де

N, n > 1.

Якщо

ченні а розглидуване рівниння має єдиний корінь х =ifO. Якщо n - парне натуральне число і а > О, то рівниння має

n -

непарне натуральне число, то при будь-икому зна

два корені: х1 ~ Якщо а

= О,

=ifa, х2 =-ifa. = О.

то х

Наприклад, коренем рівняння х 3 = 7 є число ~; коренями рівняння х 4 = 5 є два числа: -~ і ~. З означення арифметичного корени п-го степени випливає, що дли будь-икого невід'ємного числа а має місце таке:

~;;..О і виконується рівність (~)" =а.

Наприклад, (~)

= 7.

Покажемо, що при будь-икому а і

[5t=a дЛЯ що y2t+

ТОГО Щ

об

=-2t+ra

ДОВеСТИ plBHlCTЬ

2/нІГ)2k+І- (2t+ІГ)2k+І...;а -- ...;а --а.

160

2/нІГ V Х =у,

= х.

Маємо: ( -

потрібно показати,

23. Означення

кореня п-го аепеня

Доведена властивість дозволяє корінь непариого степеня з від'ємного числа виразити через арифметичний корінь .

Наприклад, ~=-~. ~-12=-V12.

І Вправи 458.'

Чи має зміст запис:

1) ~;

459: 1) 2) 460.''

2) ~;

З) ~;

5) ~;

4) ~;

6) іf::ї?

Чи є правильною рівність (відповідь обr'рунтуйте):

Wi =З;

З) ~-27 =-З;

if1" = 1;

4) {fi6 = 2;

5) {/-16 =-2; 6) ~-З2 = 2?

Доведіть, що:

1) число 2 є арифметичним кубічним коренем з числа 8; 2) число З є арифметичним коренем четвертогостепеня з числа 81 ; З) число -З не є арифметичним коренем четвертого степеня з числа

81;

4) число 10 не ла

461:

Знайдіть значення виразу:

~0.25; З>

~216;

462. ·

є арифметичним коренем п'ятогостепеня з чис

ООО.

t/0,0016;

4з ~~;

4) t/-0.00001;

н;

if82.

Чому дорівнює значення виразу:

1) ~З4З; 2) 47

З) 0,5~-64;

~~;

4) -8

463: Обчисліть: 2

(Jil)

(~)з;

464. ·

8) ~ t'-24З; 10)

;

з> (-ifi) 4)

4 ;

(-{/2J;

~-10124;

-*;

6) (5

~)з;

~27 2 ;

•Oif}4960 ? 4

(-з ~) ;

(і if.i8}

8 ;

Знайдіть значення виразу : 8

(~) ;

З) (-ift"i/;

~~45 3 ;

(-~)9;

(і ~}з;

(-2~) •

161

і ~488 •

§ 3. Степенева функція

465. о

Обчисліть: 10

O,Зt/1000-5t/256+6·(- 1~) ;

~14 5 +(-2Jl0) -V-128; 2

З) ~2113 ·~-719 +l._·~14з -(!~)з . 256 32 16 2 466. о 1)

Обчисліть:

200~0,001-~-О.ОООЗ2-(-4J2)\

2) t/8ooo • ~7

467: 1)

5 58 - (-~) + V1 77 • 81

При яких значеннях змінної має зміст вираз:

tfx+б;

2) tfa-10; 468. • 1)

469:

у=~х-2;

= 27; = 9;

4) ~;

2 +-2-х---8? 6) ~~г-:t-:-

2) y=V4-x;

З) у= 1~2х-х 2 ;

4) х 4 = 16; 5) х8 = 5; 6) х 4 = -81;

у= s/

1 2

~х -4х+4

7) 27х3 - 1 =О; 8) (х - 2)3 = 125; 9) (х + 5)4 = 10 ООО.

Розв'яжіть рівняння:

1) х9 = 1;

4) х 18 = О;

7) 64х5 + 2 = О; 8) (2х + 1)3 = 8; 9) (х - З)8 = 729.

2) х = 12; З) х 10 = 1;

5) х = -З2; 6) х8 = -64;

471: Розв'яжіть 1) Гх =9;

~=!; 5

рівняння:

4) ~ =-6;

7) ~+7=0;

5) ~=-2;

8) tf2x+7 =0;

З) ~=З; 6) ~=0; 472: Розв'яжіть рівняння: 1) ~ =-2; З) ~ =-2; 2) ~=-2; 4) ~-2=0; 473: Побудуйте графік функції:

у=(~) ; 8

~-х 2 ;

Розв'яжіть рівняння:

З) х 1 = -2;

Знайдіть область визначення функції:

1) х3 2) х5 470:

З) ~у(у-1);

5) ~Зх-2 =0;

б) ~Зх-2=2.

у=(~(

474." Розв'яжіть рівняння: 1) х8 - 82х4 + 81 = О; 2) х8 + х3 - 56 = О; 162

9) t/2x+7 =7.

З) х

+ ~ - 12 = О.

24:..Властивості кореня п-го стеnеня

5 Розв'яжіть рівняння: 1) х6 - 25х3 - 54 = О; 2) х8 + 13х4 476: Знайдіть область визначення виразу:

1)~1хх2 І-9' -1.

= О.

2)~-ІхІ+ -1Vз - х

Знайдіть область визначення виразу:

7 1>

478:

вІх2 І- 4;

Vx+4

Розв'яжіть рівняння:

2) (х - 1) 1~х 2 - 2х - 3 = 0

1) (x 2 - 4)Vx+l = O; 79 Розв'яжіть рівняння:

2) (х+2)~х 2 +2х-3 = 0.

1) ( І х І- 3)~2 - х = О;

180: ПобудУйте

графік функції: 4

у={~) +{~1 - х) •

у={~2+х) +{~2 - х) •

1) y={Vx-1) +{{/l - x) +1;

181

·~x l- 3 -t -.

х - 36

Побудуйте графік функції:

у = х(tГх) ; 4

182.••

Залежно від значення параметра а визначте кількість ко

ренів рівняння:

1) (x-a)Vx+1=0; ~о

•

2) (х - а){Гх+l) = О; 3) (х-а){tГх - 1) = 0

Залежно від значення параметра а визначте кількість ко-

ревів рівняння:

1) (x+l)~x - a = 0;

2) (x - l){tf;-a)=O.

Розглянемо теореми, .які виражають властивості кореня п-го степен.я .

Тео~ема і

~.1 ~!{Срl~ь

• .J

стес

•• а ) .

Для будь-якого а е

виконуються рівності: 2• + 1{2hї

-va--·-

=а

~ =1 а І І

д о в е д е н ня. для того щоб довести

р1вюсть

2• + 1Г х =у,

достат-

ньо показати, що у21< + 1 = х. Тоді перша з рівностей, що доводять ся, є очевидною.

163

§ 3. Степенева функція

Для того щоб довести рівність у~ О і у

211

= х. Маємо: І а І ~О і <І а

Теорема

t; =у, достатньо показати, що

N, n > 1,

(корінь

24.2

1)211 = а ". 2

•

з добутку). Якщо а ~ О і Ь

;;;t О,

то

І~=~ · ~ І

Доведення. Для того щоб довести рівність достатньо показати, що у~ О і yn = х .

Маємо: ~>О і

ih >О.

де х >О,

Тоді ~ • ih ~О. Крім того,

(~ . ~)n =(~)n Зауважимо,

ifX =у,

що коли а

с;;;

.(ih)n =аЬ• О і Ь Е;;

О,

•

N, n > 1,

то

'Гаh=~·~. Теорема

n > 1,

24.3

(корінь з дробу) . Якщо а ;;їІо О і Ь >О,

то

~=~ Доведіть цю теорему самостійно.

Зауважимо, що коли а с;;; О і Ь Теорема

n > 1,

24.4

О,

n е N, n > 1,

(степ і нь кореня). Якщо а>

_Га

то \JЬ

=~ ·

0, n

N, lt

то

Доведення. Якщо

k = 1,

то рівність, що доводиться, є оче

видною.

Нехай k

> 1.

Теорема

n > 1, lt > 1,

Маємо:(~)"=~-~· ... ·~= ~а·а· .. . ·а =*і.

24.5

·--

(корінь з кореня). Якщо а;;. О,

то

Доведення. Маємо:

І~=~ І

ffa ;..о.

Крім того, (ffa)nll =((ffa)п}" =(~)"=а.• 164

N, 1t

• е

24. Властивості кореня n-ro аепеня Теорема

24.6.

Н~ещо а

О,

N, k

N, n > 1,

то

І п~=~ І Доведення. Якщо

k = 1,

то рівність, що доводиться, є оче

видною.

Нехай k >

Маємо: п.ftj =~ifJ" =ifa.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:

~ ·V'2.; 2) ".~· t-375

Розв'язання

1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо:

~·V'2=~16·2=~=2. 2)

Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), ма-

тимемо:

~ -З/24 -~

V375 -vт-

Л·\ ,.,

8 -~ 125 - 5·

Сnростіть вираз: 1) 1(;1;

~; 3) ~; 4) ~х6 у 8 •

.якщо х ~ о і у .;; о. Розвязання. Застосуємо теореми

24.5

24.1.

З умови виnливає, що а > О. Тоді (;1 =Vif;l =~

~ =~(аа)• =І аз І.

3) 4)

~=~Й =~. Ураховуючи, що х > О і у < О, можна заnисати:

~х 6 у8 = ~(ху)6 =І ху І =Іх 11 у І= х(-у) =-ху. П

КЛ

Побудуйте графік функції

y=if7 +х. Розв'язання. Оскільки~ =І х 1. то У = Іх І+ х. Якщо х ~О, то у = х Якщо х

Отже, у =

О, то у

{

+х=

2х.

= -х + х = О.

2х, якщо х ~ О,

О,

якщо х<О.

Графік функції зображено на рисун ку

138.

Рис.

165

138

§ 3. Степенева функція

І Вправи 484.'

Знайдіть:

1) ~б4 · 125;

З)~;

2) ~О,Об25 · 81;

4) ~з18 ·1024;

485. о 1) 486.' 1)

Обчисліть :

~О,Об4·З4З;

~0,0081·11 4 ;

З) ~;

Знайдіть:

б) ~230 • 712 •

1./2. t/8;

t[i.8:14 •

2) ~0,054. ~;

~11- .J4o . ~11 + .J4o;

З) ~135.

~бJ3+10·~бJ3-1О;

9) ~ .

*'' if.i ;

t/128

5) 487. о

~З4 • 52 · ~З8 · 54 ;

10)

Vi.S ·V20

Чому дорівнює значення виразу:

1) ~ . іfб;

if3 .1J27. f./=9;

~9-Jї7 ·~9+Jї7;

б) ~2Jї7+10·~2Jї7-1О;

t/80.

Тs'

З) z/2tr> ·53 • z/26 ·54 ; 4)

~310 ·102 . t/10 8 • 3 4

488.''

1) ~(-1З) 4 ; 489.'

Чому дорівнює значення виразу :

2) ~(-9)5 ;

З) ~(-8)8 ?

Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо а;;.. О і Ь;;.. О:

І) J25a 2 ;

З) tlб25a 12 b4 ;

2) ~27Ь9 ; 166

24. Властивості ОО

Подайте вираз у вигляді одночлена. якщо

1) .J49m

кореня ~-го степе~

>О і

80 42

3) ~О.ОООО64т п ;

;

2) ~125n 15 ; 91:

Спростіть вираз:

ffa:

w;;

4) 1~;

5) ~~авь2• ;

7) ~~;

6) ~;

8) -

І~

~m7n9 9 ) --

~m5n3.

t(;i'

Сnростіть вираз:

lfx: 2> !J;: 1)

:(;7;

4> W:

5) 2~а~•ь7;

7) ~;

6) ~;

АГ?і

_vc_-.

і93: Подайте вираз Га у вигляді кореня: 1) четвертого стеnеня; 3) десятого степеня; 2) шостого степеня; 4) вісімнадцятого степеня. Подайте вираз ~. Ь > О, у вигляді кореня: 1) шостого степеня; 3) n'ятнадцятого степеня; 2) дев'ятого степеня; 4) тридцятого степеня. 495:

При яких значеннях а виконується рівність:

W =а; 2) W =-а; 1)

V<a-5)

= (~а-5) ;

7) ~(а-2) 4 =(Va-2)

4 ;

(;1 =а;

8) ~а(а-1) =~ · ~(1-а);

(;1 =-а;

~(а-5)3 =(Va-5)

96 1)

497:

10)

~а-2 = 1~2 -а ?

~~3-а

а -3

При яких значеннях а виконується рівність:

~ =а 5 ;

~ =-а5 ;

W ={~)

;

W ={~)

При яких значеннях а і Ь виконується рівність:

1) ~=~·~;

;

~а-4 · 1~(а-4)9 =а-4;

3) V-ab=~ · tГ-f>;

~ =~·v-::ь; 4) ~=~ · ~; 167

5) ~=~·~?

§ 3. Степенева функція

498: 1)

При яких значеннях х виконується рівність:

~=~·~х+2;

2) ~(х-З)(7-х)=~х-З·~7-х;

З) ~(х-6)(х-10)=~х-6·~х-10; 4) ~(х+1)(х+2)(х+З) =~х+1·~х+2 • ~х+З?

499."

Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить

знака кореня:

1> #:

З) if;F;

2) -0,4~;

500."

5)~;

6) 1~(х- 5)12 •

Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить

знака кореня:

1) 1,2 1~; 501."

2) (І12;

з)•~;

Спростіть вираз:

1) ~. якщо т ;;;.. О;

6) Jo,2sь••, якщо ь ~ о;

2) ~, якщо n Е>; О;

7) ~81х 8 у 4 , якщо у ;;;, О;

З) ~16р 4 , якщо р ;;;, О;

8) Jo,01a 8 b10 , якщо а~ О, Ь;;;.. О;

4) ~256k8 , якщо k Е>; О;

9) -1,2х ff64x 30 , якщо х Е>; О;

5)~;

10)

502. · Спростіть 1)

~ •zьzecaz

а4

8 10

а Ь с

якщо а > О, Ь < О.

вираз:

5) 1~, якщо р ;;;, О;

~625а 24 ;

2) ~0,0001Ь 20 , якщо Ь ;;;.. О;

6) •{/m38 n 80 , якщо т Е>; О, n

З) -5 J4x 2 , якщо х Е>; О;

k60 р•о

-O,l~1000000z 42 , яюцоz;;;, О; 8)-kZ 4 256m•z' якщот<О,k>О.

503. • При 1)

О;

аЬ 2 ~а 48 Ь36 с 44 , якщо Ь ;;;, О, с Е>; О; Smз р•

t;;;

яких значеннях а виконується нерівність:

~ ;;;..(;!;

504. · Спростіть

~ E>;if;1?

вираз :

W +а,

9[;1 +~, якщо а< О;

якщо а> О;

З) if;1 +W; 4) 168

J;l- "lj;l_

25. Тотожні перетворення виразів ,

505."

~(х+4) 4 = х+4;

~(1 - 3х)8 =(1 - 3х)2 ;

1) П'7

508."

Спростіть вираз:

~(Jб-2)8 ; 2) ~,..-(1 --./2)\

~(-./2-../3)8 ; 4) ~(...Гз-2(

~~(Jli -3) 3 ;

Сnростіть вираз:

~(-J5-2)4 ;

~~г(../3--../5~ )2 ;

8; 4) у=~,-(х-2)-:-

у = 2х+~; 3) у = if;. іf;З; 2)

510." 1)

~~(J7- з)8 •

Побудуйте графік функції:

1) у = ~ - х,

n -ro степеня

Розв'яжіть рівняння :

506."

які містять корен І

хз

6) у=-+2· 7)

~· у = ~ ·~.

у =-.

Побудуйте графік функції:

у = ~ -2х;

у = ~ ·~-х3 ;

~ х

Розв'яжіть рівняння:

~ = х - 4;

2) 1(;ї0 =6 - х;

3) 2~ =х + 3.

Розв'яжіть рівняння:

(;12 = 6х - 10 512."" Розв'яжіть рівняння ~(х - 3) 4 +~(5 - х)8 =2. 1)

~ = х + В;

~ ·, • Побудуйте графік функції у = ~( х + 1)8 + J ,... <х---3 -)

7 2

корені

n-ro ст:

пеня

Користуючись теоремою про корінь з добутку, nеретворимо

вираз t/48:

t/48 =~16·3 = ~·~ = 2~. Отже, вираз t/48 ми nодали у вигляді добутку раціонального числа 2 та ірраціонального числа ~. Таке nеретворення назива ють вииесення.м множника з-під знака кореня. У даному ви nадку було винесено з-під кореня множник

169

§ 3. Стеnенева функція Розглянемо виконане перетворення у зворотноr.JУ порядку:

2~=~·~=~16·З=~Таке перетворення на.зивають вн.есен.кям мн.ожн.ика під зн.ак корен.я.

Винесіть множник з-під знака кореня: 1) ~250;

2) ~162а 8 : З) ~; 4) ~-Ь 48 ; 5) ~а 8 Ь1 , якщо а < О. Розв'язання

Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді до

бутку двох чисел, одне з яких є кубом раціонального числа:

~250 :;:~125· 2 ==5~.

~162а8

= t},-8-1a-=8~·-2

=За 2 ~-

З) З умови випливає, що Ь :;<: О . Тоді

~ =~ь.оьа =І Ь 5 1W =Ь 6 W. 4)

З умови виnливає, що Ь

< О.

Тоді

'./-ь•г =~ь.о <-ь>а =І ь61~ =-Ь6 ~5) З

умови випливає, що Ь

Va b

8 7

;;;t О. Тоді

=~а Ь Ь=І аІІ Ь 1~ =-аЬ~. 8 8

Внесіть множник Під знак кореня: 1) -2 f/3; 2) а ifi;

З) с 1~;

зьН.

Розв'яJання

1) -2 ~ =464. ~ =-~192.

2) Якщо а;;> О, то aifi=~·ifi=~7a 4 ; якщо а < О, то

а ifi = -W- ifi =-~7а 4 • З) З умови випливає, що с ~ О. Тоді с 1~ =1~ • •(7 =1~. 4)

З умови випливає, що Ь <О. Тоді ,.---..,....-""'

зьН =-~8tь• ·Н =-• 81ь• ·(-і)=-~-27Ь5 • Спростіть вираз: 1) tl54a +t'16a -~2000а; 2) ~4 ~; З) ~4-J7 -~2З+8J7.

Розв'язання

Маємо:

~54а + ~16а- ~2000а = ~27 • 2а + ~8 • 2а- ~1000 • 2а = =З~+2~- 10~ =-5~. 170

25. ТотожнІ пере~ворення виразІв, які містять корені n -ro степеня

Внесемо множни к

nід знак кубічного Rореня, а потім

скористаємося теоремою про Rорінь з кореня:

~4 ~ = ~~4 3 ·4 =1f,i4. Далі остаточно отримуємо:

~4~ =І(,іі" = ~. 2

3) J4 - J7 - ~23+8J7 =~(4 - J7)

-~23+8J7 =

= ~16-8J7 +7 • ~23+8J7 = ~(23 - 8 J7){23+ 8 fi) =

= ~23 2 - (8J7) = ~529- t48 =m = 3. 2

. дрІб: . 1) вг.=-~ - 1 : 2) 2- ~ 3f2 3 ПРИКЛАД сКОротІТЬ ; ) ~Ь + 1

.,Га ,-г;.JЬ

Г. •

...;а - 2~аЬ + vЬ

Розв'язання

Розклавши чисельник даного дробу на множниRи, отри муємо:

~ - 1_ (*) - 1 _ (* - 1)(*+1) ~ - 1 2

іfЬ+1- іfЬ+1 -

2-з~ (~)·-з~

ifi

іfЬ+1

ii(W - з) $.

~ - 3.

Розклавши чисельнИR і знаменник даного дробу на множ ники, маємо:

..Га - JЬ

- (~ - ~)(if;+ ~) ~ + ~ ..Га - 2~+./Ь (~ - іfЬ)2 *' - ~· П РИКЛАД

Звільніться від ірраціональності в знаменнИJ<у

дробу:

15 5 аС; 2) ~· 2 ~3 2 - ~3

Звільнитися: від ірраціональності в зваме.RJІИКу дробу озна чає nеретворити дріб так, щоб його знаменник не містив знака кореня п-го стеnеня.

Розв'язання

1) Помпоживши чисельник і знаменник даного дробу на отримуємо:

15W

15~

15~ 5~

2~= 2~-w = 2(~) 8 =2-"3=-2171

§ 3. Степенева функція

Помноживши чисельник і знаменник давого дробу на не

повний квадрат суми чисел 2 і ~. отримуємо:

5 5(4+2tГз +~) 2- tГз = (2- tГз)(4 +2 tГз + ~)

5(4+2tГз +~) 23 -(tГз)3 =

= 5(4+2tГз+~) =4+2~+~. 8-3

ПРИКЛАД

Доведіть тотожність

~ + ~ 2~ )·(~- ~+1Гь)=~+W,. ( ~+~ ~-~ 1Гь-~ ~+~ Розв'язання

2~ ) (~ ~+1Гь) 1Гь-~ . ва-~+~ =

( ~+~+ ~-~

= ~(~-~)+~(~+~)+2~ ·(~- ~(~+~))= (~+~Н~-~) ~+~ =

~-~+~+1Гь+2~ .(~-*')= ~+2~+1Гь =(~+w,y (~+~Н~-~)

~+~

=~+W,. ПРИКЛАД

Скоротіть дріб

1~+~ г; 10~аь

Розв'язання. З умови випливає, що числа а і Ь однакового знака. Розглянемо два випадки.

Перший випадок: а> О і Ь >О. Маємо:

1~ + ~ - 1!Га • 1~ + 1~. 1(Ь 1~

1~ (1!Га + 1~) = 1!Га +І~

1!Га • І~

!!Га

Другий випадок: а< О, Ь <О. Маємо:

~+~ _ ~~~r-h-NГ-h) І(;Ь

І~ .1r-ь

_Іr-h(І~-~r-h) _~~-~r-ь - І~ .Іr-ь - І~

Випадок, коли а< О і Ь <О, можна розглянути інакше. Нехай а

= -х, Ь = -у, І(;Ь+~ І~

> О. Маємо: lrxY+V-Y- І~ .1~-1~ .І~- 1~(1~_1~)

де х

О, у

1Гх;

1~-~~

І~

1~-1~

= 172

ІСа

•

1~ І~

25. Тотожні перетворення

виразів, які м істять корені

n -ro степеня

ПР КЛДД Доведіть, що ~J3-.J2 -~5 - 2J6 • 1~49 - 20J6 =J3 ../2. Розв'язання. Маємо: ~J3-.J2 -~5 - 2J6 · 1~49 - 20J6 = 2

=~(JЗ-.J2) -~5-2./б - 1~49-20J6 =~5-2./б -~5-2./б · 449 - 20J6 = 2 =~(5 - 2J6) • 1~49- 20J6 =~49- 20J6 · 1~49-20J6 = 2 =1~(49- 20J6) • 1~49-20J6 = 4(49-20J6) =~49-20J6 = 2 =~(5 - 2J6) =~5 - 2 J6 = J(JЗ -../2) = J3 -../2. 1

ПР 11СЛДД Доведіть, що ~9+J8o +~9-J8o = 3. Роз в'язання. Нехай ~9+J8o +~9-J8o =х Скористаємося тим, що (а+ Ь) 3 = а + Ь3 + 3аЬ(а + Ь). 3

Маємо:

=9+J8o +9-J8o+3~9+J8o -~9 - J8o .(~9+J8o +~9 - J8o) = 18 + 3х; х3 - 3х - 18 = О. Розглянувши дільники числа 18, нескладно установити . що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен х3 - 3х - 18 на двочлен х- 3, отримуємо х2 + 3х + 6. 2 Маємо: (х - З) (х + 3х + 6) = О. Це рівняння має єдиний корінь х = 3. Звідси х3

514.

Винесіть множник з-під знака кореня:

1) Vїб;

3) ~250;

5) ~40а 6 ;

7) V-54a 5b9 ;

2) ~162;

4) ~7290;

V-a

8) V-108a7 b10

~ ~686;

515:

;

Спростіть вираз:

-~t/54;

~11640;

4) - 1,2V96".

Винесіть множник з-nід знака кореня:

·, 1

WIO;

2) ~486;

~432:

4) Jj30 ООО ООО; 173

~54у 8 :

§ 3. Степенева функція

517.· Внесіть 1) 2J3; 2) 518: 1)

множник під знак кореня:

4~;

3) -10{10,271; 4)

~~;

5) 5~0,04х;

7)Ь~;

б) 2~;

cg..

Внесіть множник під знак кореня:

~ ~320;

2) 2 ifi;

51/4а;

4) 0,3

~100с2 ;

2х8 f:.

519.· Замініть вираз на тотожно рівний йому: 1) ~б25 - tІ320-~135+~; 2) ~5бm +~-189m -~-81n -1,5~24n +~448m. 520.· Спростіть вираз: 1) tГs4 -3 tli6 +5 ~128 + ~2000; 2) V625a +3 V1ба -2 ~81а +4 V129ба . 521: Спростіть вираз~ 1)

~2J3;

2) ~З~; 522. · Спростіть

~а~;

~Ь~;

б) ~2~2J2.

вираз :

~а..Га;

З) ~ь{Гь;

~зJЗ:

523: 1)

524.·

t> 2> 525:

~х 2 f[ТЗ;

б) ~а~а~.

~с 2 VC;

Спростіть вираз :

(t+~+~Ht-~):

2) (l+Jй.)(l+~)(1-~).

Спростіть вираз:

(Гт+ГпНГт+~Н~+~Н~-~): (~-~+VЬН~+~). Подайте у виг.J:tяді кореня вираз:

~-..Га:

•.rr; _va_-.

2) ..Га-~;

J2.~.

~х 3 if7:

~·

б) ~а~·~; 174

7) 8)

~ ·~

;

tla 2 Ь·~ • 1~а 8 Ь;

25. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня

;)26. • Подайте

у вигляді кореня вираз:

J2.~. ~.JЗ'

4) 527:

о ій

_va_-.

~·

іfТь •1М •І~аЬ 8 •

Обчисліть значення виразу:

2) ~0,25(~+З~-2~108);

З) (2~-2~+~1oo)(W>+~): 528. ·

Обчисліть значення виразу:

1) ( 2)

529:

4~-Зt/9+5~)~:

5~-fi54+~ ~

;

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1) - ·

~· 1

2) - ·

~·

З)

-·

~·

5) !Q..

n• 7)-·

6) _!!.

~·

4) __.!!_.

з ~·

~·

.!!. ~·

х2

9) ~;

10)

а+Ь

~(а+Ь) 2 •

5Зо. · Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1) ~;

З)- ·

5) _!Q_;

15 4) ~; 27

{{,;;3 "

531:

20 ;

~·

lfW

Скоротіть дріб:

З) f.Гх-9; І(;+З

Гт+Гт; т-~ 175

ifi6

§ 3. Стеnенева функція

аW-ь~ . "~.

vа-ь-

(;2 +4~+16 S)

532: 1)

533."

х-64

;

Скоротіть дріб:

~+1.

~-1'

Гт-&.

~-Гп'

а-Ь

З) аГ

гГ.;

va-vЬ

4 ) аJЬ-ь..Га.

ГаЬ'

~+~ • ~а2Ь2 +~·

б) 3+~

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1 1) - -·

5) _5_.

2+~

~+1' 2) аГ- 2 аС'. vs-vз

534:

535. ••

Звільніться від ірраціональності в знамениику дробу:

При яких значеннях а і Ь є правильною рівність:

536.""

~=а~;

З) ~а 4 Ь=-а~?

Винесіть множник з-під знака кореня:

1) tf-m 9 ;

5) tf162a 4 b8 c12 , якщо а > О, с < О;

2) ~а 8 Ь 13 , якщо а> О;

6)~;

З)~. якщох:F-0;

7) ~-а 2 ~Ьrю.

4) t/32m 18 n 17 ;

537:·

Винесіть множник з-під знака кореня:

1) tfз2a 6 , якщо а .;;;; О;

З) ~а 7 Ь 7 , якщо а < О, Ь < О; 4) ~а 20 Ь 19 , якщо а> О. 176

25. Тотожні

nеретворення виразІв, які містять корені п-го степеня

53s:· Внесіть множник під знак J<ореня: 1) а#2, якщо а> О;

4) Ь~;

аЬ ~ аЬ ; 2 , ЯJ<ЩО а > О, Ь < О;

а~.

1 ; mn~ mзпз

аЬ~, якщо Ь ~О.

539

Внесіть множник під знак J<ореня:

с ~. якщо с < О;

аЬ ~ а 3Ь якщо а < О;

а ifa;

а ~-а3 •

4 6 ,

3) -аЬ~, якщо а ~ О, Ь ~ О; 540.'' Знайдіть значення виразу:

~.JIO -3 -~19+6 .JIO:

~24 -8J5 ·J2J5+2;

3) 5- 1 1) 542.••

~J15+4 · 1~3І-8.Jї5; Знайдіть значення виразу:

~7-4J3·~2+J3:

tГа - 1

2) (

~+1 ~-1

4 ) • if; + if;-1 ~-1

(if:1-w Fa-JЬ ~-~

"Fa-2~+1'

4) Fa+27 ·(

~ - ~)·(·~ +1): vь ~-3

~-3~+9

б) ( ~ +Wc

~- 9)·

Fa+27 •

Ь-с

W+2~+~ W-~

J2J6-1-~25+4J6.

Сnростіть вираз:

1}(-l__ tra+l)· Fa 3)

2 *)=(~+~);

if:1-ffь=~-w-=(}a+ Jь} 177

§ 3. Стеnенева функція

545.*

Доведіть, що ~20+14J2 +~20-14J2 =4. ФункцІя 11

У пункті

•

було встаиоВJІено, що корінь непариого степеня

з будь-якого числа існує і набуває тільки одного значення.

Тому кожвому числу х е

можна поставити у відповідвість

· k е г~ ІМ v х. Тим: самим: для вс1х 2 задано функцію f (х) = " .. з областю визначення IR. Покажемо, що функція f є обервеною до функції g (х) = х 2" +t, єдине число у таке, що

Оскільки рівняння

=а

у=

2/нІГ

:rx

:rx =а

" ..

при будь-якому а має корінь f є мвожива R.

то областю значень функції Маємо: D (f) = Е (g) = R, Е (f) = D (g) = R. 211

+ ,

Для всіх х е R виконується ріввість словами, f (g (х)) = х для всіх х е D (g). f і g - взаємно обернені функції. 178

211

~х 211 .. 1 =х. Іншими

Сказаве означає, що

26. Функція у = еГх Використовуючи графік функції у = х211 +1 і теорему 10.2. мож

на nобудувати графік функції у= 211..$

(рис. 139). Зокрема. на

рисунку 140 зображено графіки функцій у= if; і у=~. Оскільки функція g (х) = х 211 + 1 є зростаючою. то за теоре 211 мою 10.3 функція f(x) = +$ також є зростаючою . Функція f (х) =

211

має єдиний нуль х

Рис.

ІІІІІІІІ

= О.

139

~~ ~

/) ~

и~

~ ~V

Якщо х

О, то

(х)

-1

Рис.

'ifx

140

О; якщо х

О, то

(х)

О. Отже, nро

міжки (-оо; О) і (О; +оо) є nроміжками знакосталості функції

179

§ 3. Степенева функція Для будь-якого х з області визначення функції

рівність f(-x)=

"+r-'X = - 2"+lfX =-f(x).

виконується

Оrже, функція f є непар

ною.

У пункті

•

було встановлено, що арифметичний корінь пар

ногостепеня з будь-якого невід'ємного числа існує і набуває тільки одного значення. Тому кожному числу х з проміжку

[О; +оо) можна поставити у відповідність єдине число у таке,

що у = 2{/Х. Тим самим задано функцію f (х) = 2{/Х, k е N, з об ластю визначення [О; +оо).

Покажемо, що функція

є оберненою до функції g (х) = х ", 2

N, з областю визначення [О; +оо). Оскільки рівняння 2{/Х =а при будь-якому а ;;;. О має корінь х = а 2" і при будь-якому а < О не має коренів, то областю значень k

функції

Маємо:

є проміжок [О; +оо).

D (f) = Е

(g)

=[О; +оо),

(f) = D (g) =

[О; +оо).

Для будь-якого х е [О; +оо) виконується рівність 2.(? = х. Іншими словами, f (g (х)) = х для всіх х е D (g). Сказане означає, що f і g - взаємно обернені функції. 141 показано, як побудувати графік функції у= {/Х, k е N. На рисунку 142 зображено графік функції На рисунку 2

у=~.

---- 7 ---r-- --- v---- ~x:ffF -7+ --, ------ v·v- --.

г--

-- -

--! ::

-т-

~- - -

·--

-· -

г-

1 ~

/7) ~/

_·1f 1--,-

ifz - -

-- г-- ·

---

141

·-- - · ·

L-~- -~ Рис .

Оскільки функція g (х) = х2 ", k е

ь..-

-· --

'-- Vo Рис.

·· -. --

142

N, D (g) =[О; +оо), є зроста ючою, то функція f (х) =2{/Х також є зростаючою. Функція

має єдиний корінь х

180

= О.

26. Функція у=~ Якщо х

О, то

(х)

знакосталасті функції

О. Отже, nроміжок

(0;

+оо) є nроміжком

Оскільки область визначення функції вІДносно nочатку координат, то функція

не є симетричною

не є ні nарною, ні не

nарною .

У таблиц1 наведено властивості функції у = ~. вивчені в цьо му nункті. п - nарне

п - непарне

натуральне

число, п

число

Область визначення

Область значень Нулі функції

[О; +оо)

(О; +оо)

> 1

х = О

у < О Проміжки

у > О

знакасталості

на проміжку

на nроміжку (-оо ;

(0;

+оо)

0),

у > О на проміжку (О; +оо)

Не є ні парвою ,

Парність

ні непарною

Зростання І

Зростаюча

сnадання

ПРИ "ЛАА

Розв'яжіть нерівність: 1) ~ < 2; 3)

Непарна Зростаюча

2) ~х - 2 < 1;

Vx - 4 > ~.

Р оз в'я з ання

1) Дана нерівність рівносильна такій: ~ < ~. Оскільки функ

ція у=~ є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8. Відповідь: (-оо;

8).

2) Маємо: ~х - 2 < ії. Оскільки функція у = 1./і є зростаючою з областю визначення [О; +оо), то дана нерівність рівносильва системі:

{ Звідси

х - 2<1, х - 2 > 0.

< 3. [2; 3).

~ х

Відповідь:

181

§ 3. Степенева функція

з) д

. .

- . {х 2 -4 >Зх,

ана нер1вН1сть рlВносильна систем1

Зх~О.

Тоді {х 2 -Зх- 4 > 0• {[:: ~~· Звідси отримуємо, що х > 4. х~О;

Відповідь:

х~О.

(4:

+оЬ).

ПРИКЛАД 2 Порівняйте ~ і

$..

Розв'язання. Маємо: ~= 1(2! = 1~; 1./2= 1~ = 1~. Оскільки функція у= 1( ' ; є зростаючою, то 1~ > 1~. Відповідь: ~ > $..

1.· Вnрави 1

546.• Через які з даних точок проходить графік функції у= ifX:

А (2; 16); В (16; 2); С (-1; 1); G (10

ООО;

D (; ; 1

з): Е (81; З); F (0,001; 0,1);

10)?

54 7: Через які з даних точок проходить графік функції у =ifX:

!)· С (З·' 27)·' D (О ' 64·' О' 4)·' Е (-216·' 6)·'

1 (-8· - 2)· В (-- · ' ' 125' 5 ' F (-1000; -10)?

у=~;

6) у=~х 2 (х-З).

549. • Знайдіть 1)

область визначення функції:

у=~х+2;

2) у=~х-2;

550:

у=~;

4) у=~х 2 -4х+З;

у= 1~ІхІ<х-6).

у=І~+21.

Знайдіть область значень функції:

1) y=ifX+1; 2>

1; З) у=~х+ х-3

у=~-2:

З) у=~-З; 4>

у=І ~-11: 182

26. Функція у= ifX

551 .' 1)

Знайдіть область значень функції:

З) y=t/X-2;

y=if%+2:

у=І~+11.

2> у=tБ -4: 4> у=І tГх -21: 552: Знайдіть область значень функції: 1)

f(x)=f.Гx,

З)

D (f) = [-27; 8];

f(x)=ifi, D(f)=[- 1 : 32]. 32

D(f)=[ 1~; 10000

2) f(x)=if%,

553: Оцівіть значення виразу f.Гх, якщо: 1) 1 " х " 216; 2) -729 < х < 8. 554. о Оцініть значення виразу ifX, якщо: 1) о " х " 256; 2) 16 < х < 10 ооо. 555; Порівняйте: 1) що і~;

2> V-2з і V-26:

5) 1~ і

W.S:

7) 4

t/4;

41! і 5 vs· 4~• v:t

6~ і 4~.

6) 2~ і зf/2:

З) 2 і~; 556. о Порівняйте: 1) J5 і~; 2)

~ і

З) з~ і 4~;

~і~;

4) 5 ~ і 10 ~0.012.

557.· Між якими двома послідовними цілими числами знаходиться на координатвій прямій число:

1) JЗ: 558. · Між

2) ~;

З) ~;

4) ~100;

5) -VЗО;

6) -~?

якими двома послідовними цілими числами знахо

диться на координатній прямій число:

1) ~; 559; Укажіть

2) t/1З9;

З) -~212?

усі цілі числа, які розташовані на координатній

прямій між числами :

1> 4 і tf14o: 2> V-з5 і t/640. 560. Укажіть усі цілі числа, які розташовані на прямій між числами -t/1ЗОО і if.W. 561: Порівняйте: 0

~ і JЗ:

З)

'і./12. і ~;

t/3 і ~2../7; ~J27 і 1/4; 183

координатній

J3 і ~.J28;

if2

~Гз2 і ~;

t/I і ~·

і ~;

§ 3. Степенева функція

562."

Порівняйте:

.J5

~і ~JЗЗ;

З) 1~ і ~2../2; 4) .д!2 і wз.

і~;

56З. • Розташуйте в порядку зростання числа:

1) ../2, ~ і if.i;

З) JЗ, ~ і ~;

2> ~. ~ і ~; 504." Розташуйте в порядку 1) ~.

565."

if.i

4> 1~125,

V4 if4.

спадання числа :

і JЗ;

2) ~. ~ і

1./10.

Побудуйте графік функції:

1) y=-if;;

4) у=~2-х;

2) у = if;- 2;

5) у= ~х- 2 - 2;

З) у=~х-2;

566."

у=~ х І-1; 8) у=~х-11; 7)

у=~;

9) у=І ~х+1-2І.

Побудуйте графік функції:

1) y=-v;;

4) у=1./х+З;

у=~ х 1+1;

2) у=~;

5) у=1./х+З+1;

у= ~І х + 11;

З) у=v;+З;

у= tfГxi;

9) y=l1.fx+2

-21.

567." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = t/Гхі на проміжку:

1) [1; 2]; -1];

2)[-З;

З) [-1; 1]; 4) [-1; 2];

5) 6)

[-З; +оо); (-оо;

-1).

5()8. • Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = ~ на проміжку:

1) [2; З); 2)[-1; О];

569."

5)[-1;

З) [-2; 2]; 4) [-2; 1];

+оо);

2).

Розв'яжіть нерівність:

1) ~х-1>2;

З) tf4x+1~1;

2) ~Зх+1<4;

4) Vx 2 -8>~;

570."

(-оо;

5) ~х 2 +2х~~х 2 -х-6.

Розв'яжіть нерівність:

1) 1~х+2 >1;

З) ~<З;

2) ~Зх+2 <2;

4) 184

Vx 2 -lxl+1>~5-lxl .

27. Означення та властивості

стеnеня з раціональним nоказником

Скільки коренів має рівняння залежно від значення пара

571.-

метра а :

if; =а-х;

2) 1/Х =а-х?

572. ·· Скільки коренів має рівняння І ~

-11 =а залежно від зна

чення nараметра а?

573... Розв'яжіть рівняння

Vх- 26 + if; =4.

574."' Розв'яжіть рівняння ~x-9+Vx+6=3.

НА

Нагадаємо означення стеnеня з натуральним показником:

а" = а·а · ... ·а ,

N, n > 1:

ntUІ~ мftl»

а = а.

знаєте, що степівь з ватуральним показником має такі

властнво<.:ті:

1. 2.

а"' ·о."-= а 111 + ~ :

ат

а"

з . (а"')"

= Dm . " , а ~ 0, m

= а"Ь ;

(аЬ)"

(~)" =а" , Ь * О. Ь

> n;

= am"; 11

Ь"

Пізніше ви ознайомилися з означеннями стеnеня з нульовим nоказником і стеnеня з від'ємним цілим nоказником: 0

а = 1, а* О;

а-" =.l, а* О, n е N. а"

Ці означення дуже вдалі: при такому nідході всі n'ять влас тивостей стеnеня з натуральним nоказником залишилися сnра ведливими і для степеня з цілим показником. Введемо nоняття степеня з дробовим nоказником, тобто стеr

nеня а

те

Z, n

•

показник якого є рац10нальним числом виду

N, n > 1.

m r =-, n

де

Бажано зробити це так, щоб степекю з дро-

185

§ 3. Степенева функція бовим показвиком залиmилися притамаввими всі мастивості

степевя з цілим показником. Підказкою для такого озвачеввя може слугувати такий приклад .

Якщо через х позначити шукане значеввя степевя ураховуючи властивість х

8 = 2~)а =2 . (

(a"')n =

Отже, х

a"'n,

23, то,

можна отримати рівності 2

це кубічний корінь з числа

тобто

х=~ або 28 =~. Ці міркування підказують таке означення. Означення. Степевем додатноrо числа а з раціоваль

вим показвиком

n > 1,

подавим у внrляді

вазивають число

v;;;;,

7 с-;

n' т

де

Z, n

тобто

-1

,.r=;

Наприклад, 57 = \158 • З -і =З 5 = ~з-•

0,4°"8 =0,4ю

Зауважимо, що значения степевя а', де

nr;:-:;

=1v0,48 •

раціовальне чис

ло, не 38JІежить від дробу, у вигляді якого подаво число

можна показати, використовуючи рівності а

"' 11

.г;;

=~а"'

Це

....

і au

=n~а.м=~. Степівь з основою, яка дорівнює нулю , означають тільки для додатного раціональвого показника.

"' Означення . о•

=0,

де

N, n

N. 1

Зазначимо, що, наприклад, запис О-і не має змісту. !!!. Зауважимо, що в означенні не йдеться про степіиь а n

для

а <О, наприклад, вираз (-2)3 залишився невизначеним. Разом

з тим вираз ~ має зміст. Виникає природне запитання: чому б 1

не вважати, що ~ =(-2)3? Покажемо, що така домовленість привела б до суперечності:

~ = (-2)~ =(-2)~ = ~(-2)2 =f/4. Оrримали, що Щц'ємне число ~ дорівнює додатвому числу f./4. Функцію, яку можна задати формулою у = х', r е Q, вазивають степевевою фувкцією з раціовалr.-м поkазВJІJСом.

186

27.

Означення та властивості степеня з раціональним показником

~що нес.коротний' .дріб m, m е Z,

е N, n > 1, є чиедом до-

датним, то областю визначення функції у= х її є проміжок [О; +оо); а якщо цей дріб

від'ємне число, то

проміжок (О; +оо).

Властивості функції у в п.

22.

розглянуто в

Випадок,

= х' для цілого показника було вивчено коли показник r не є цілим числом, буде

класі. Зараз зазначимо таке. 1

Функція у= xn, k е N, нічим не відрізняється від функції 1

у= 2~. Функції у= х 2 •+ 1 і у=

. 2

•+if;,

k е N, мають різні <>()ласті

визначення. Так, на проміжку [О; +ех>) обидві ці функції не від різняються, але на проміжку (-ех>; О) визначена лише функція у=

211+1Г

...;х.

На рисунку 143 зображено графіки функцій у=х2,

у=хв,

у=х4. у

. n

....

k' ~

_. ~

,.....

1--

і"""

ll~

хА

f-'"

и= [Х4

~ ".

". о

Рис.

143

Покажемо, що властивості степеня з цілим показником зали шаються справедливими і для степеня з довільним раціональним показником.

Теорема

27.1

(добуток стеnенів). Дяя будь-якого а> О

і будь-яких рачіон.аяьн.их чисея р і

гикокується рівкість

І аР. aq = аР + q До веде н. н. я. Заnишемо раціональні числа р і

qу

вигляді дро

бів з однаковими знаменниками: р = .!!!:., q = !!, де т Е Z, k Е Z, n n n. Е N, n > 1. Маємо: ap.aq

=а~ .а~=~·~ =~ат·а" =~ат+• =а т;• =а~+~ =ap•q . 187

§ 3. Степенева функція

На(' л і,-. о к. Д л.я будь-якого а

О і будь-якого раціокал.ького

числ.а р викокується рівг~~

Доведення. Застосовуючи теорему

= а-р+р = а0 = 1. Звідси Теорем<t

<:теІН' tІіІІ). Дл.я будь-якого а> О

викокується рівкість

аР- q І

Доведення. Застосовуючи теорему +Р

-9

= аР.

Звідси аР

Теорt•ми

-9

= аР : а

27.а (<: теІІінь

9•

[

a9 ·ap-q =

викокується рівкість

(аР)9 = ам І m n

N, k > 1.

запишемо :

етепеня). Дл.я будь-якого а> О

Доведення. Нехай р=-. те е

27.1,

і будь-яких раціональких чисел. р і

аР

~7.2 (ч;нниt

GP :

запишемо: а-Р.аР

а·Р =..!... . .6.

і будь-яких раціональких чисел. р і

=а

27.1,

z. n е

в N, n > 1, та q=-. sе

Маємо :

(аР)9 =(а~} =~(а~)'=~(~)'=~~ = 11~ =а:': =а~·і =apq . A Тt--ОІН'МІ'

будь-яких а

27.4

(('Тt'ПіІІЬ 11,обутку і

О і Ь

етепі11ь дробу). Дл.я

О та будь-якого раціокал.ького числ.а р

викокуються рівкості у

1 о

Доведіть цю теорему самостійно.

1 Рис.

144

ПРИКЛАД

Побудуйте графік функції

f(х)=(х-~)-з Розв'язання. Областю визначення функції

є множина (О; +оо). Дану

функцію можна задати такими умовами : Графік функції зображено на рисунку

188

(х)

144.

х,

D (f)

=(О; +оо).

27. Означення та властивості степеня з

575:

Подайте стеnівь з дробовим показвиком у вигляді норен.w: І

1) 53; з

7) (m + n)2 ' 5 ;

5} (аЬ)7 ;

4) 10-6;

."') 7R. · Замініть

•

аЬ1;

І!

(х - 3у) 8 •

степінь з дробовим показником коренем:

3) СО.2;

1) 132 ;

577:

•

ь --т; 5

2} а5;

раціональним показником

б) Зmt.zбno,7б;

3-е;

6) (а- 2Ь)іі.

4) х1;

Подайте корінь у вигляді степеня з дробовим nоказником :

./Х;

ifi:2;

~(а-Ь)7 ;

if;1;

fi9;

~а 7 -Ь 1 •

.:)78.' 1)

Замівіть корінь степевем з дробовим показником:

J2;

2) ~;

579:

3) 1~m-й;

~х+ у;

4) ~;

6) ~0,38 •

Знайдіть значеJШя виразу: 1

3) 3·64-3 ; 1

7) 278 ;

5) 0,216- 8 ; 2

2) 25- 2 ;

•

1) 4 2 ;

4) - 5 · 0,01- 2.;

(з~)-з;

8) 32- 0 ' 2 ,

!)fЩ ... Чому дорівнює значення виразу :

З)

0 ,0081-o.zs; и

581:

Знайдіть область визначення функції:

2) у = х- 1' 4 ;

582:

(~Г;

4) у=(х 2 - 6х - 7)8 .

Знайдіть область визначення фувRції: 2

1) у= х-8 ;

З) у=(х + 1)-ї2;

2) у= хз.z;

4) y=(x2 - x - 30)1s.

•

189

§ 3. Степенева функція

583:

Спростіть вираз: 1

а2а 3 ;

(а 2)-6 ;

13)

{al )а;

)7 . 3

7 14 ( а 8 ь 21 І

;

Іі

14) а 3 а - 8 а 3 а8, : 5

а - 2 ьї2

15) 1"7"""""1; а-4ьs 1

1 а-4

584. о

(а; )' (а-! )м 18

8 8 12) ~.

16)

Спростіть вираз:

1) Ь 3 '~Ь- 4 ' 2 ;

(ь~ ) ; 8

111

9) а 6 ьї2а -·ь-г; 13) ьаьгь•;

ь•ь -з

(а -~ь~ )-

12)

8) -4-;

;

ь-з

585. о

Знайдіть значення виразу:

4) ( 49

)-1,5 .

7) -1;

8) 36°'4 • 6 1 "2 ;

586. •

Чому дорівнює значення виразу:

1 4) ( 16 5)

)-0,25 . '

(2~)2,5 ·1,42,6; 1

6) 8113; зз

190

27. Означення та

587: Відомо, що а1) квадрата; 2) куба; 588: Відомо, що m -

властивості стеnеня з раціональним nоказником

додатне число. Подайте а у вигляді:

3) 4)

шостого степеня; восьмого степеня.

додатне число. Подайте у вигляді квадрата

вираз: І

3) m 8 ;

8) m 7 •

6) m8 ;

4) m2;

•89.·

7) m-1,2;

5) m 8 ;

Відомо, що Ь- додатне число. Подайте у вигляді куба ви

раз: І

Б) ьв;

6) 590.• При 1)

Ь~;

8) ьїї.

яких значеннях а виконується рівність:

((a-2)l )' =а-2;

591.• Побудуйте 1)

•

{(а-2)-~ ( =а-2?

графік функції:

у=(.х~)':

592. • Обчисліть

у=(<х-2>Ч":

3) у=.х2.хі.хё.

значення виразу: І

sz .gїі

7) --~- • gi

. gi -5--1 ;

sz .gi

10000°'4 •10о,с;

-1

11) [128~ ·2~-9] ·[162 ·~~і ·16 •4 3

ь-1.8;

100°'8 •10008

191

]

§ 3. Степенева функція

593. ·

Знайдіть значення виразу: 4

1 1) ( 343~ ·(49)!)\ 1

2) 104 ·404 ·52;

З)

594:

+0,216-з;

0,0016-4-0,04-2

Розв'яжіть рівняння: 1

Іі

3) (х 2 -2х)-4 =-1.

2) (х-2) 2 =32;

595."

Розв'яжіть рівняння: з

3) (х-5) 7 =0.

2) (х-1)- 5 =100;

1) х- 1 ' 6 = 27;

Перетворення виразів, які містять степені з рацІональним показником Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетво рення виразів, що містять степеві з раціональним показником .

ПРИКЛАД

(Зао.з

Спростіть вираз:

+ Ьо.2)

(ао.з

_ 4 Ьо.2) _

(ао.з

2 Ьо,2)

(аЙ -ьЙ Hal +аЙьЙ +Ьl )+(al +Ьl )

(ао.з

_ 2 Ьо.2);

•

Розв'язан.н.я

Розкриємо дужки, використовуючи правило множення

многочленів, формулу різниці квадратів, а потім зведемо подіб ні доданки: (Зао.з

+ Ьо.2)

=Зао.&_

(ао,з

12 ао.зЬо,2 1

4Ьо,2)

(ао.з

+ 2 Ьо.2)

+ ао.зЬо.2

_ 4 Ьо.4

1 -) 1(

1---;---

1 - )(

_ 2Ьо.2) = 4 Ьо,4 = 2ао.& _ 11 ао.аЬо.2.

(ао.з

_ао.&+

1------;-)2

2) Маємо: ( аї2 -Ьїї аі +аї2Ьї2 +Ьі + аі +Ьі 1 )2

+ ( аі

І 1 +2аsьв

(

+ ьs

=( аї21 )3 - ( ьn1 )3 +

1 1 І І 1 1 1 1 І =а4 -Ь4 +а4 +2авьв +Ь4 =2а4 +2а 8 Ьі.

192

28. Перетворення виразів,

які містять стеnен1 з раціональним nоказником 1

Розкладіть на множв.ики вираз а 2 -Ь 4 , викори~то-

вуючи формулу:

різниці квадратів;

різниці кубів.

Розв'язання 2

а~ -Ь!=(а~) -(ь:)а =(а~-ь:)(а~+ь:). аl- ь 3 =(а~)з -(ь~)з =(аl-ь~На~+а~Ь~+ь~). І

ПРИКЛ

Скоротіть дріб:

3) 32 - 168

І 1 4з - 2з

Розв'язання

Розкладемо знаменник дробу на множники, винісши за

дужки спільний множник, і скоротимо дріб: І

4а 8

4а 3

Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники,

отримуємо:

Маємо:

Спростіть вираз

х8+2

х 3 -2

- - -- - - 1 2 хз-2 х3+2 х 3 1

-4

Розв'язання. Зробимо заміну х 8 =у. Тоді даний вираз набуває виглядУ: у+2

у-2

у - 2- у+2- і -4. Цей вираз легко спростити. Завершіть розв'язування само

стійно. Відповідь:

193

§ 3. Степенева функція

596.~ Розкрийте

дужки:

9) (Ь0' 4

+ З)

6Ьм;

10)

(с~ -1Нс~ + с~ +1);

11)

(а~ +аі На~ - а~ +а);

(т~ - nl Hm~ +n~ );

12)

а~ (а~ + 10) - (а~+ 5)

(зьі - с~ Нзь~ + с~ );

1З) (ь~- 2ь~) +4Ь~ (ь~ -ь!);

(а~ +Ь~ )

14)

(а~ +Ьl )(аl-ь~ )(al-ьl );

(4п-~ +Зп~) ;

15)

(х~ -t}(xi +х~ +t)(x~ +1),

(а-~ - ~а-і

2 ;

2 ; 2

597. • Розкрийте дужки:

+ ьо:; (ЗаО.. _ 4ЬО,2); 2) (m + n°·5 ) (mo,r; - пм);

1) (5аМ 05 '

З) (а~ -5Ь ~ На~ +5Ь-~ );

(т~ -п~ ( 5) (ь~-ь-~ ) ;

(a! -l)(a~+l)(a! +l); 10) (а~ +Ь~)(аl- а~Ьl+ьl)(а~-ь~ ).

598:

Подайте даний вираз у вигляді різниці квадратів і розкладіть

його на множники (змінні набувають тільки невід'ємних значень):

З) m 3

а - Ь;

2) а 3 - Ь3 ;

- n5 ;

4) х 2 - З;

5) х З -у 1 ; 6) 4хм - 9у0 ' 1 •

599.• Розкладіть ва множника, використовуючи формулу різниці квадратів (змінні набувають тільки невід'ємних значень):

1) а5 - Ь6 ; І

2) m i - пі ;

З) хе - ув ; І

4) х • - 2; 194

с; 2

6) 16х0' 8 - 25уі.

28.

Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником

600: Подайте даний вираз у вигляді суми кубів і розкладіть його на множники (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 1

5) а1.2 + 2;

З) а 6 +Ь 6 ;

а+ Ь;

601:

6) аЗ +Ьз .

4) а 2 +27;

Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці

кубів (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 6

602."

4) х 1 -6.

а- Ь;

Винесіть за дужки спільний множник: 1

2) ь2 -4ь•;

603. •

ms -т5;

7) 2-27 ; ~

б) в• -з 4 ;

4) с• -сї;

4) ЗЬ-Ь 0·~с 0'~;

2) а2 +баі ;

8) 10+108 •

6) m 2n 2 +mn+m2n2 ;

Скоротіть дріб: 1

2 1) а-Ба 1

---·'

1 1

12)

1 '

а 4 +7а 2

1 '

1 •

зо 5 -6 5

105 -2 5

а-Ь ---· ' 2

З)

аі +2

1 а-а 2 Ь

т 4 п4 -т 4 п 4 2) 5 5 т4п4

х-бх 6

дріб:

а+2а ---· ' 1

а-49а2

аі +Ьі

1 3

8) ---· 1 1 '

а 0'6 + 2Ьо.:; '

11)

а+Ь

605. • Скоротіть 1)

2с 3 -3d 3

а-4Ь

хіі -бхі

4сі -12cidi + 9di

ь 4 +с 4

10)

а2 +Ьї

Ь 4 +Ь 2 с 4

m2 -пї m2 -пї

а+2а2ьї +Ь

аіі +аі 8

аь 2 +аїь

аі

а-Ь 1 1

а 2 -5 2

З)

7) 812 -412;

5) аЬ 5 -авьw;

З) р9- рі;

8) х 6 +х 8 •

Винесіть за дужки спільний множник:

1) х-5хі;

604."

З) аьз -азь;

1) а+За2;

а-Ь 1 1

а-Ь хз.5

2 '

аі +аіьа +Ьі

195

ао.5 -Ьо.5

2.5 -

х2.5

з.5

х + 2хо.5 Уо.5 +У

•

§ 3. Степенева функція 7

а 125 7) _-_. 2

! ! т 2 -бт 8

aj-25

606."

Знайдіть значення виразу:

1) (

4-~ +(2-~.~~ т~ }(4-0.25 -(2 ~)-~):

2> [s~·З:+5:·зl] s6 +36 607."

8) тїі -Збтіі

+[з!·2:-з:·2!]

24 -з 4

Спростіть вираз: І

а-а 3 ь 3

аііьіі -аііьіі

а 4 Ь 4 +Ь 2

4) =---=7~5:.....=..-=-Іі...:.,7;а

З) ь:

2 •

І '

а- 3 (а-Ь) 3

а2 +Ь2

(а 2 І

а 2 +2а 4 ьі +Ь2

аЬ) 3

а2

- ьї

+(1-ьtо )(1+Ь~ +ЬІі );

ьw -1

608. • Спростіть 1)

m-n !

вираз:

m+n !

тз-пз

ті+пі

(1-а~ )(1+а~ +а~)+

4 -а:;

2-а"

609. ••

m+n ) •-=n2-т2· m ! ! !

196

ma-m2

Доведіть тотожність:

m2+n2

m2-m2

m 2 +m 3.

m2+m2

29. Ірраціональні рівняння

61 О. ·· 1)

Спростіть вираз:

хі -уі (

Спростіть вираз:

612:·

Спростіть вираз: 1

х-у

1) --=-а-...::1---:-1 х 4 +х 2 у 4

(

.r-9 12

.r+З.r

2х+2у : ---;

хуі +хі у хуі -хі у

611.-

З)

)

хі +уі

..{;g

хіу"і +х"іуі

,хі +уі

,хі - 2хіуі +уі

. хо.о +3 ). о.&_ о.& • .r1' 5 - 27 х ·

Розглянемо фую<ц.іJР у= х3 • Вона є зростаючою, а отже, обо ротною. Тому функція у = х~ кожного свого значення набуває тільки одив раз. lншІ!!\1и словами: з рівності х~ х: випливає, що х

2 А оскlЛьки з

х •

ршносn х

1 =

виnливає, що х1

х2 , то

можна стверджувати, що коли обидві частини рівняння піднести до кyfJa. то отримаємо рівнян.ня, рівносильне даному.

197

§З. Стеnенева функція

Розв'яжіть рівняння V2x+ 1 =-З.

Розв'язання. Підносячи обидві частини рівняння: до куба , отримаємо рівняння, рівносильне давому. Маємо: 3

(V2x+1)

={-3)1 ;

+ 1 := -27;

=- 14.

- 14.

Відповідь :

Оскільки функція у = x21t ..

k Е N, є оборотною, то міркуваивя,

використані при розв'язуванні прикладу

можна узагальнити

у вигляді такої теореми .

Теорема

29.1 .

HKUfO обидеі "астики ріекяккя піднести

до неn.аркоtо стеn.ен.я, то отримаємо рі.ек•ккя, ріекосиJІьке даному. Доведення. Покажемо, що рівняння

(х)

(1)

(2) є рівносильними .

Нехай числоа-корінь рівняння числову рівність

(а)=

(1).

Тоді .маємо правильну

(а). Звідси можна записати: (а))2- - 1 = (g (a))zA -1.

Це означає, що число а є коренем рівняння

(2).

f3 -

Нехай число корінь рівняння (2). Тоді отримуємо, що 1 1 2 1 - = (g (/3))2/t - • Оскільки функція у = х " - , k Е N, є обо·

(f (/3)) 2"

ротною, то

f (/3) = g (/3).

Оrже, число

f3-

корінь рівняння

Ми показали, що кожний корінь рівняння

рівняння

(2)

і, навпаки, кожний корін ь рівняння

ренем рівнявня

(1).

Це означає, що рівняння

(1)

(1).

є коренем

(1) і

(2) є ко (2) рівно·

сильні. А

ПР tJ1

Розв'яжіть рівняння J../x 2 -2=!J;.

Розв'язання. Піднесемо обидві частини давого рівняння до сьомого степени. Оrримаємо рівносильне рівняння:

(J../x 2 -2) ={!.[;У; х - 2 = х; 7

х - х- 2 = О;

Відповід'ь:

- 1; 2.

х1 =

- 1, х2 = 2. 198

29.Іррацюнальнt рівняння

Рівняння, юсі. мп розглянули в прикладах

1 і 2,

містять змінну

під знаком кореня. Такі рівняння називають ірраціональними. Ось ще приклади ірраціональних рівнянь:

.Jх- 3 =2; Гх- 2 ~ + 1 =о; .J3- х =~2 + х. При розв •язуванні прикладів

нам довелося спрощувати

вирази виду (~f (х) )n, де n - неnарне натуральне число. Роз глянемо випадок

П ИКЛАД

колиn-парненатуральне число.

Розв'яжіть рівняння (.J3x+4) =(.Jx-2) 2

(1)

•

Розв'язання. Природно замінити це рівняння ва таке:

3х Звідси х

= -3.

+ 4 = х - 2.

Але перевірка показує, що число рівнюmя. Отже, рівняння

(2)

не є коренем початкового

-3

не має коренів. Причина появи

(1)

стороннього кореня полягає в тому, що застосування формули 2

(Га) =а призводить до розширення області визначення рівнян ня

Тому рівняння

(2)

є наслідком ріввяння

(1).

Ще однією причиною nояви сторонніх коренів при розв' язуванні

ірраціональних рівнянь є необоротність фув.кції у= х 211 , k Е

Це означає, що з рівності х:" =х:" не обов'язково випливає, що х 1 = х2 Наприклад, (-2) х

•

= 2\

•

але -2

2/t

2/r

1 = х2

випливає р!Вшсть х

* 2.

Водночас із рівності

•

Наведені міркування підказують, що справедливою є така теорема.

Т "'

1 t

2~ •

При підпесепні

ot'iox

ttacmuп рівпяппя до

парпого степепя отрижапе рівпяппя є паслідкож дапого. Доведення. Пока>J<емо , що рівняння

(f (х))

211

= (g (х)) •, k 2

Е N,

(3)

є наслідком рівняння

(х) =

(х).

Нехай число а- корінь рівняння

(4),

(4) тобто

(а)=

(а). Тоді

(f (а)) 2" = (g (а))2•. Отже, число а є коренем рівняння (3). Ми показали, що кожний корінь рівняння

ня

(3).

Це означає, що рівнянвя

Зауважимо, що І<ОЛИ число Р

(4) є коренем рівнян (4). корінь рівняння (3), то з рівно

(3)

є наслідком рівняння

сті (f {Р)) 2• = (g {Р)) 2Іr не обов'язково випливає, що f (f3) = g (j3). Тому в результаті переходу від рівняння f (х) = g (х) до його наслідку (f (х))211 = (g (х))2Іr можуть з'явитися сторонні корені, які можна виявити за доnомогою nеревірки.

199

§ 3. Стеnенева функція

Розв'яжіть рівняння .J4+3x =х. Розв'язання. Підносячи обидві частини ріввяивя до :квадра та, отримаємо рівн.явня, я:ке є наслід:ком даного:

х2

4 + Зх = .х2; = О; х1 = - 1 ., х2 = 4. що число - 1 є стороннім коренем,

Зх - 4

Перевірха по:казує,

а число

задовольняє дане рівняння.

4. Розв'ящіть рівняввя .J2x - З+.J4x+l = 4.

Відповідь:

Розв 'язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до :квадрата :

2х - З+2../2х - З .J4x+l +4х+1 = 16.

Звідси .J2x - З .J4x +1 =9-Зх. Переходячи до рівняння-наслід:ку, отримуємо:

8х2 - 10х - З = 81 - 54х х

44х

+ 84 = О;

Перевір:ка nо:квзує, що число

+ 9х 2 ; х 1 = 42, х 2 = 2.

42 є стороннім :коренем , а число 2

задовольняє дане рівняння.

Відповідь:

613. Поясніть, чому не має :коренів рівняння :

1) .Jx-2+1=0;

З) .Jx- 4+.J1 - x = 5;

~26+.Jx+1 = 5.

2) ~+~х - 1= -2; 4) ~х-6+../6-х = 1; 614: Розв'яжіть рівняння: 1) ~2х - 2 = 2; 2) ~х -4 = 2; 6J5.· Розв'яжіть

З) ~х - 6=-З; рівняння:

1) .Jх- з =4; 2) .Jrзx-2---x---15 = З; З) ~25 + .Jх 2 +З = з. 616: Розв'яжіть рівняння: 1) '{/2х- 1 = ?JЗ-х; З) .J2x-l =.Jх-З; 2) .J2x- 1 = .J1-2x;

617:

4) .J2x - 1 = .Jrx-2 +-4-х---1-6.

Розв'яжіть рівняння:

1) ~х+3 = ~2х-З;

3) tfx 2 - 25=V2x+10;

2) .J4x-5 = .Jl - x;

4) .Jx 2 - З6 = .J2x - 1.

200

618:

- --

29. Ірраціональні рівняння

Розв'яжіть рівняння:

1) ../2-х =х;

5) 2.JX+s =х+2;

2) .Jx+1 =х-1;

6) ../15-Зх-1=х;

З) ~=х;

7) x-.J2x 2 +х-21 =З;

4) .J2x 2 -Зх-10 =х;

619:

х+2+.JВ-Зх-х 2 =0.

Розв'яжіть рівняння:

1) ../10-Зх =-х;

4) З .JX+iO -11 =2х;

2) x=.JX+5+1;

5) х-.JЗх 2 -11х-20 =5.

З) .J2x2 +5x+4=2x+2; 620.· Розв'яжіть рівняння: 1) ,/(2х+З)(х-4) =х-4; 2) ,/(х-2)(2х-5)+2=х; 621 :

З) (x+2).Jx 2 -x-20=6x+12; 4) (х+1) .Jx2 -5х+5 =х+1.

Розв'яжіть рівняння:

1) ,j(Зх-1)(4х+З) =Зх-1; 622: Розв'яжіть рівняння: 1)

~1+x.Jx2 +24 =х+1;

623:

Розв'яжіть рівняння:

1) ../22-х -../10-х = 2; 2) ..fx+2 -../2х-З =1; 624." Розв'яжіть рівняння: 1) ../2х+5 -../Зх-5 =2; 625: Розв'яжіть рівняння: 1) ../х-5+../10-х =З;

2) ../х-7 +.Jx-1 =4; 626." Розв'яжіть рівняння : 1) ../4-х+..fх+5=З;

2) (x-1).Jx 2 -Зх-З =5х-5.

З) ../2х+З -.Jx+1 =1; 4) 2 ../2- х- ../7- х = 1. 2) ../зх + 1 - ../х + 1 = 2.

З) Jї=і +../1+х =1; 4) ../1З - 4х+..fх+З=5. З) ../2х+З+../х+5 =З.

2) ../5х + 1 + ../1- х =6; 627:· Розв'яжіть рівняння : 1) ../2х+1+../х-З=2Гх;

З) 2../Зх-1-../х-1 =.Jx-9.

2) ../5х-1-../Зх-2 = .Jx-1; 628:· Розв'яжіть рівняння: 1) .Jx+ 2 + ../Зх+ 7 = ../8-х;

2) ../6х-11-../х-2 = ../х+З. 201

§ 3. Стеnенева функція

629.•

Розв'ажі..-ь рівняця :

1) ~:r-1- 2 .j;:2 + ~г-:r-+7---6-~-=%=-=2

=6;

Jх+З-4 ..fХ::ї +~х+8-6.;х::і. =1; З) ~x+2+2.Jx+l-Jx+5-4.Jx+l =4. 2)

6ЗН. * Розв'яжіть рівняння:

Jх+2~+~:х:-2Гх=1. =6;

2) Jx+6+2.Jx+5 - Jx+6-2 .Jx+5 = 2. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь Ви знаєте, що еторовні корені рівняння можна виявити в ре зультаті nеревірки. Коли йдеться про перевірку як про етаn розв'язуваввя рівнян ня, неможливо уникнути проблеми їі техвічвої реалізації . На-

приклад, число - 2 + 6 Jїї є коренем рівняння .J2x- 5 + ,Jх + 2 =.J2x + 1. 7

Щоб у цьому перековатйся, потрібно провести значну обчислю вальну роботу.

Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв'язувания

метод рівносильвих перетворень. , . , • •• ·

·'

: 11

Ріен.ян.н.я еиду ~f(x) = ~g(x) ріен.осияьн.е

системі

f (х.) =g (х). { І (х) ~ О. Доведення. Нехай число а є коренем даного рівsяввя. Тоді

~f (а) =~g (а). Звідси f {а) ~ О. Обидві частини числової рівності піднесемо до квадрата. Оrримаємо правильау числову ріввість

(а) =

(<Х). Таким чином, число <Х є розв'язком системи.

Нехай число f} є розв'язком системи, тобто

{f(P) > O.

/(f})=gф),

Звідси отримуємо, що

f (f}) і g

g (f})

~ О. З того, що невід'ємні числа

(f}) рівні, ВJЩЛИІІає, що ~f <Р>

коренем даного рівняння .

202

=~g (р).

Оrже, чксло f} є

ЗО. Метод рівносильних перетворень при розв·~зуванн і ірраціональних рівнянь

Таким чином, кожний розв'язок давого рівняввя є розв'язком системи, і навпаки, кожвий розв'язок системи є розв'язком да ного рівняння. Оrже, множини розв'язків рівняввя і системи

рівні. А

Зауваження. Зрозуміло, що рівняння .Jt<x>=.Jg(x) також · рівносильне системі

f (х) =g (х), { g(x) ;;a o. Вибір відповідної системи, JІІ< правило, пов'язаний з тим, яку

з нерівностей,

(х) >О чи

(х) >О, розв'язати легше.

Розв'яжіть рівняння .Jxz -Зх =.Jx-1. Розв'язання. Деве рівняння рівносильне системі

{[х=2+JЗ,

х -Зх=х-1. {

х>1.

Звідси

х=2-JЗ

х>1;

Відповідь: 2+J3. Теорема 30.2. Ріенян.ня виду .Jf<x)=g(x) рігносиn.•нг систгмі

f (х) =(g (х))1 , { g(x) > O. Скоtщс'f-Uwись .І.дС ю доведення теореми

30.1,

доведіть цю

теорему са~остійцо.

Розв'яжіть рівняння ../х + 7 =х- З. Розв'язання. Деве рівняаня рівносильне системі

{ з.

ВІДСИ

{х -7х+2= О, х>З;

[

х+7 =(х-3)2 , х-3 > 0.

х= 7+[іі, х=

7 -.Jії ' 2

х=

7+.J4Ї 2

•

х>З;

Відповідь: Теореми

7 +[іі.

30.1 і 30.2 можна узагальнити, керуючись таким оче > 0, ТО З рівності а 2~ = Ь 2\

!!.ИДВИМ твердЖеННЯМ: ЯКЩО а> 0 і Ь

випливає, що а= Ь.

203

§ 3. Степенева функція Теор е ма

30.3.

Нкщо дл.я будь-якоzо х е М виІWкуються не

рів-кості f (х) ~ О і g (х) ~ О, то рівкяння f (х) = (g (х))», k е N, рівносил.ьні на множикі М. Скориставшись ідеєю дС>ведевня теорем

30.1

(х) і (f (х))»

30.2,

доведіть

цю теорему самостійно .

Розв'яжіть рівняння ../2х - З+../4х+1 = 4. Ро-зв'язання. Областю визначення цього рівняння є мвожи-

ва М =[~;+оо). На цій множині обидві -частини даного рівняння набувають невід'ємних значень . Тому дане рівняння на множи· ні. М рівносильне рівнянню 2

(../2х - З+ ../4х+1) = 4 2 • Звідси 2х - З + 2J2х- З J4x+l+4x+l =16; J2х - З J4x+ 1 =9 - Зх.

Ліва частина останнього рівняння ва множині М = [~;+оо) набуває невід'ємних значень. Тому nрава частина, тобто

має також бути невід 'ємною. Звідси

Зх,

Зх > О; х ~ З. Тоді на

множині М1 =[~;з] обидвічастивирівВЯВШІ ../2х -З J4x+l = 9~Зх набувають невід ' ємних значень . Отже, за теоремою ЗО.З це рів· няння рівносильне системі

{

;2х-З) (4х+ 1) = (9 - Зх)2 , -< х < З·

:2 -44х+84=0, {[::~~. х

-2 ~ х ~ ~

! ~ х ~• 2 ' Рівняння J2x - З+J4x+l = 4 можна розв'язувати й інакше. Розглянемо функції f(x)=J2x-З і g(x) = J4x +1. Легко пере конатися (зробіть це самостійно), що ці функції є зростаючими .

Тоді за теоремою 6.2 фуmщія y = J2x - З+../4x+ l є зростаючо10

на множині М=[~;+оо). За теоремою 6.3 дане рівняння має не біл.ьше ніж один хорівь. Нескладно помітити, що х = 2 є коренем розглядуваного рівняння. Відповідь :

204

30. Метод рівносильних nеретворень nри розв'язуванні ірраціональних рівняt-tь

Розв'яжіть рівняння ../2х-5 + ../х+2 =../2х + 1. Ро зв's за н ня. Обла~ю визначення давого рівняння є множп-

на М=[~;+оо). Обидві частини даного рівняння ва цій множині набувають невід'ємних значень. Тому дане рівняння ва множи 2

ні М рівносильне рівнянню (.J2x-5+~x+2) =(.J2x+1)

2 •

Звідси

2../2х-5 .Jx+2 =4-х.

30.3, отр~ємо: :(2х-5)(х+2)=(4-х) 2 ,

Скориставшись теоремою

12~х < 4. %=

Звідси

в ·;:~

7х 2 +4х-56= О, [

5 ~х < 4;

х=

-2-~../її' -2+6Jїї 7

·аь: -2+ І•.Jїї •

1vГІ081

Розв' яжітJ> рівняння

.J4х2 + 9х + 5 - .Jr-2x2_+_x___l =.Jr

- 1.

Розв'язанн я. Вигідно розклас·ги .квадратні тричлени, які стоять під радикалами, на множники:

J<x+ 1)(4х+5) -J(x+1)(2x-l) =J<x-1)(x+ 1). Тепер важливо не зробити поширену nомилку, а саме: засто

сувати теорему про корінь з добутку в такому вигляді: Jt;Ь = =Га .JЬ. Насправді записана формула справедлива лише для а~ О і Ь ~О, а якщо а~ О і Ь ~ О, то

M=Fa·H.

Оскільки областю визначення даного рівняння є множина

( _,.,;- ~] U [ l: +оо) U {-1}

(рис. 145), то дане рівняння рівносиль

не сукупнооті двох систем і одиого рівняння .

.. 1

Рис.

145

205

§ 3. Стеnенева фун~ція

x>L 1 { ) .Jx+1.J4x+5 -.Jx+1.J2x-1 =.Jx-1.Jx+1;

{.J2x-1+.Jx-1=.J4x+5;

х :> 1,

{х 1,

2.J2x-1.Jx-1=x+1; x:>l,

x>l, {x>l, [х=б, {4(2x-1)(x-l)=x2 +14x+49; 7х 2 -26х-45=0; х=-~; {

{х~-~

х =б.

.J-x-l.J-4x-5 -.J-x-1.J-2x+l = .J-x+1 ~-х-1;

х<-!4'

{х<-!4'

{ .J,-__

2_x_+_1 + .J-x+1 =~-4х-5;

2.J-2x+1.J-x+1 =-х-1;

х<-7,

{х<-7,

{4(2х-1)(х-1)=х +14х+49;

7х 2 -26х-45=0;

{[::-~:;.

Зрозуміло, що ця система розв'язків не має . З) х

+ 1 = О; х = -1.

Відnовідь:

631:

-1; 5.

Розв'яжіть рівняння: х-2

~ vx-4;

1) .Jx-t.Jx+4 =6;

2) .J2x + З .Jх- 2 =З;

6) .Jx-9+J;=

З) .Jx+1~x+2 =4;

7) .J7-x+ ~=2.J5х+З7 .

.J2x-1

~7-%

4) Гх .J1-x =х;

206

~%-9

30. Метод рівносильних nеретворень nри розв'язуванні ірраціональних рівнянь

632."

Розв'яжіть рівняння:

1) Jx+2 Jx+B =4;

З) ~=JЗх+1;

2) x-1=J2x-5 Jx+1;

633."

vx-1 12

Jx+10

J2x+З=Jx+10.

Розв'яжіть рівняння:

1) J4+2x-x 2

=х-2;

З) Jx 2 +8=2x+1;

5) Гх =х-1;

2) J6-4x-x 2

=х+4;

4) J2x 2 -1x+5=1-x;

634:

Розв'яжіть рівняння:

1) Jx

-4х+1З =іх+2;

2) J2x 2 +8х+1

635."

Jх 2 -1=З-2х.

З) Jx+2=1-x.

-2=х;

Розв'яжіть рівняння:

J2x+6-Jx+1=2;

5) Jx+5 + J5-x = 4;

Jх + 5 - Гх =1;

6) Jзх-1+Jх+З=2;

З) Jx-5 -J9-x =1; 4) J2x+5 =B-Jx-1; 6З6." Розв'яжіть рівняння:

З) Jзх+1 +J16-Зх =5.

1) J2x-4-Jx+5=1;

2) Jx+11-J2x+1=2;

637.""

Розв'яжіть рівняння:

1) Jзх+4+Jх-4=2Гх;

638:·

Розв'яжіть рівняння:

1) Jх+З -J2x-1-JЗx-2 =0;

639.*

Розв'яжіть рівняння:

1) Jx 2 -4 +Jx2 +2х-8 = Jx 2 2

2) J2x +5x+2-Jx

640.*

-6х+8;

+х-2 =JЗх+6.

Розв'яжіть рівняння:

1) Jx 2

-Зх+2 +Jx2 -бх+В =Jx2 -11х+18;

2) Jx 2

-Зх-1О+Jх 2 +Зх+2 =Jx2 +8х+12. 207

§ 3. Стеnенева функція

Різні nрийом

розв'язу ання

ІррацJонаІ1ьни)( рівнянь та ї

систем

У попередніх пуНІ<тах ви ознайомилися з методами розв'я зування ірраціональних рівнянь, заснованими на піднесенні обох частин рівнянвя до одного й того самого степевя. Розширимо арсенал прийомів розв'язування ірраціональних рівнянь.

Насамnеред звернемося до методу заміни змінної.

Розв'яжіть рівняння х 2 +Зх-18+4.Jх 2 +Зх-6=0.

ПРИКЛАД

Розв'язання. Нехай .Jx 2 +Зх - 6 =t . Тоді~+ Зх - 18 = і дане рівняння набуває вигляду t

t -

12,

12 + 4t =О. Звідси

t =-6, [ t=2. ОскіJІЬІси

> О, то nідходить лише t = 2. Оrже, дане рівняння

рівносильне такому:

.Jx2 +Зх - 6 =2. Звідси х2 + Зх - 6 = 4; х = - 5 або х = 2. Відповідь: -5; 2.

nР~КЛДД

Розв'яжіть рівняння .Jx+4 +.Jx - 4 =2x+2.Jx2 - 16 - 12.

P oJo заиня. Нехай .Jx+4+../x- 4=t. Тоді, nідносячи до к ва,дРfJ't 3 о6нд >tl частини останньої рівності, отримаємо

2x+2..fx~- l6 =t2• Дане рівняння набуває вигляду t = t 2

12. Звідси t = 4 або

t=-3.

Очевидно, що рівняння .Jх + 4 + .Jх- 4 =-3 не має розв' язків. Оrже, nочаткове рівняння рівносильне такому: ../х+4 + .Jx - 4 = 4. Далі,

Відповідь:

5. 208

31. Різні nриИом11 розв'язування

ГІР ~Р.Д

ірраціональних рівнянь та їх сисrем

Розв'яжіть рівняння 2(.r+l)-.rJ.r+l-.r2 =0.

Розв'язання. Оскільки число О не є коренек даного рів

няння, то рівнявин

Нехай

[

Гх+ї

J5;

l+ 2

1::

рівносильне даному .

О. Звідси t = 1 або t:: - ! . 2

[{%>о, .r+l=.r.2,

--::1, .r J.r+l =-1; .r 2

Відповідь:

J.r+l _ l=O .r

тоді 2t2 -

J.r+l ::t, .r

Маємо:

2 (.r;l)

{.r<O, 4.r + 4 = %2;

2-2J2.

Метод заміни зміввих є ефективним і для розв'язування сис тем ірраціональних рівнянь. ПР

КП

Розв 'яжіть систему р1ввянь

{.J.r+y +~.ry+22 =5, · ~х+у +~.ry+22 =3.

Розв'язання.Нехай ~.r+y::a, ~ху+22=Ь, а>О,Ь~О.Тоді дана система набуває вигляду

{

а 2 +Ь 2 =5, а+Ь=З .

{а+Ь)2 -2аЬ = 5,

{ Звідси

a=l. {Ь=2

а+Ь=~

або

Далі ~аємо:

{аЬ=2, а+Ь=&

{а= 2• Ь=l .

Отже, дана система рівносильна сукупності двох систем

t/X+Y =1, {~.ry+22 = 2,

ЗВІДСИ

[{

х+ у= 1, ху= -6,

.r+ y=l6, { .ry=-21.

tJ;+Y =2, {~ху+ 22 =1,

Розв'язавши останні дві системи, отримуємо відповідь.

Відповідь: (З; - 2), (-2; 3),

(8+J85; 8- J85), (8·-J85; 8+../85). 209

§ 3. Стеnенева функція Вnрави Розв'яжіть рівнянпя, використовуючи метод заміни змін

641.

ної:

1} 'if%+2~ - 3 = 0;

6} x 2 -x+9+Jx2 -x+9=12;

2} Гх +іХ -6=0;

7} Р./х 2 -4х+4-2 ~х-2 -3=0;

3) 2х - 7 Гх - 15= 0;

4) ~+3~=4;

5) 2.Jx+1 - 5 =

•

,,2

{іх-1

+ .~

{/x+l

=2;

Jх+б + 7 Jx-1 :: 8 ; х -1

х+5

10) xif; - 1 _ ~ - 1 4.

~ 1

ух+1

f.Гx+l

Розв ' яжіть рівняння, в~ористовуючи метод заміни змів

кої:

2 5) -1-+--=1;

1) х-Б- 1 2=0~

W+8=9~:

Гх-}; = 1;

~+1 f.Гх+З 6) ~9-6х+х 2 +2tf3-x-8=0;

4) .Jx+5-3~x+5+2=0; 643."

8 ) J3x+2 +J2x-3 2х-3

3х + 2

=2•5 .

Розв'яжіть рівняння. використовуючи метод заміни змін

ної:

х2 -5х+lб - ЗJх 2 -5х+ 20 = 0; 4) J3x 2 -9х-26:: 12 +3х -х 2 ;

2) х'2 + 4- 5 Jх 2 -2 =О;

5) 2х2 + 6х - 3 Jх2 + 3х - З =5;

3) Jx 2 -3x+5+x2 =3x+7;

644:

~х~+~хГх=12.

Розв'яжіть рівняння. використовуючи метод заміни змів

ної:

1) х2 - 4х-ЗJх 2 - 4х+20+10 = 0; 3) J2x2 -6x+40=x2 -3x+8; 2} 2vfx - 3x+ll = 4 + 3х-х ; 2

4) 5х2 + 10x+Jx2 + 2х-15 =123.

210

31. Різні

прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем

Розв'яжіть систему рівнянь:

645." 1)

{Гх +JY =5,

{~-~=1,

х+у+4./ХУ =37;

Гх-JУ=7;

{{/х+у+{/х-у=4, .Jx+ у- ../х-у =8;

{~Зх2~2у +~Зх2~2у =2, х 2 -8у 2 ==18-18у;

б) {../4-х+ у +.J9-2x+ у =7,

{~+~=3,

)

2у-3х=12.

ху=8; Розв'яжіть систему рівнянь:

646: 1)

· 2)

{~-~=2, ху=27;

~~+И=2,5, х+у=5.

647."" Розв'яжіть рівняння .Jx-1 +.Jx+3 +2 .j(x-1)(x+3) =4-2х. 648."" Розв'яжіть рівняння х + .j(x + б)(х- 2) = 2 + .Jx +б+ .Jх- 2. 649."" Розв'яжіть рівняння .J2x+3 + .Jx+1 =3х+2 .J2x2 +5х+З -16. 2

650.- Розв'яжіть рівняння ~+.J2x+5=2x. 2х+5

651.- Розв'яжіть рівняння 4х 2 +12х .J1+x =27(1+х). 652."" Розв'яжіть рівняння бх 2 -5х.Jх+3+х+3=0. 653.* Розв'яжіть рівняння ~(х+3) 2 +~(6-х) 2 -~(х+3)(6-х) =3.

654.* Розв'яжіть рівняння ~(х+4) 2 +~(х-5) 2 +~(х+4)(х-5) ==3.

211

§ 3. Стеnенева функція

-- - ---- -

-- ------- -

рраціонаnьнІ нерІвнос1rі Розглл:uеІ'dо теореми:, за доnомогою mtиx розв'язують основві типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем анало гічні доведенню теореми

30. 1.

Т 1 • о р е м tt ;{2.1. Нерівність виду ~f (ж) > ~g(x) рівн,осияьна системі

f (%) > g (ж), { g(ж) ~ О. ПР

nдд

Розв'яжіть нерівність .Jх 2 - Зх + 1 > .Jзх - 4.

Розв'язання . Дана нерівність рівносильна системі

{

jx2 -46х+5 > 0,

х2 - Зх + 1 > 3х - 4, Зх-4 ~ 0;

х >-·

з'

і[

х > б, х < 1,

х ~

х > !·

Відповідь:

[5;

з'

+оо).

Tt- n p c мa :і2.2. Нерівність виду ~f(ж)<g(ж) рівносильна системі

{ nРШ lAJ:

,(ж) < (g (ж))2, g(ж)>О,

f(ж) > О.

Розв'яжіть нерівність .J2x2 - Зх - 5 < х - 1 .

Ро з в 'я з ання. Дана нерівність рівносильна системі

{

2х 2 - 3х - 5 < (х - 1)2 , х-1 > 0,

{-2<х<З, Звідси

2х - 3х - 5 > 0.

х>1,

х '- 1абох ~ 2,5. Розв'язування цієї системи проілюстровано на рисунку

2,5 < х < [2,5; 3).

Оrримуємо Рис.

146

Відповідь:

212

146. З.

32. Ірраціональні нері вності

...,("о ре

3? ~ Нерівкість виду ~f (х) > g (х) рівпосильШJ.

ot 1

суІСуnпості двох систем

g(x)<O, { f (х);;. О, g(x) > O, { f (х) > (g (х))2 • ПРИКЛАД

Розв'яжіть нерівність

.J.-x-2_+_1_х_+_1_2 > 6- х.

Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукуnності двох систем..

{[

х>6,

6-х<О,

{х

+7х+12 > 0;

х <- 4,

> 6.

х~-3;

х<6, х>24.

19'

Розв'яжіть нерівність (х-3)../х 2 +4 < х2 -9.

ПРИКЛ .Д

Розв'я.Jання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:

(х - 3) (.Jx 2 +4 -х-3) < О. Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем.

{х-3>0, 2 .Jх

х-3,0,

{.Jx2 +4 > х+3.

купності

[

{х~3.

х 2 + 4 < Х 2 + 6х + 9;

< х + 3;

б'

х > 3.

6•

Друга нерівність системи рівносильна

cy-

х+3<0,

х <- ~ Тоді маємо: б.

{х+3>0, х 2 +4 ~ (х+3) 2 ;

__. ! Відповідь: -«>;-!J х<3, 5 х,

·lJ::~·~.

х~ - ~. 6 (

U [3;

+оо). 213

§ 3. Стеnенева функція Нерівність nриІUІадУ

можна розв 'язати інакше, викори

стовуючи метод інтервалів (див .

n. 12).

Сnравді, розв'язавши

рівняння (х -З)(.Jх 2 + 4 - х - З)=О, отримуємо два кореві х =З, х= -~. 6

Рис.

Розв'язувания даної нерівності nро

147

ілюстровано на рисуику

14 7.

При розв ' язуванні ірраціональн11х нерівностей можна корис туватися більш загальною теоремою. Те орем а

;J2.4.

ся керігкості

(f (x))a.t > (g

ПРИ

ІАД

RІCUfO дл.я 6удь·яІСоtо х Е М гuІСокуюmь·

(х) ~ О і

(х) ~ О, то кєрігкості

(х)

> g

(х)

(x))a.t, k Е N. рігкосил.ькі ко мкожикі М.

Розв'яжіть нерівність ../2х+1+../х-3~2Гх.

Ро з в'я з ан. rt я. Обидві частини даної нерівності набувають невід'ємних значень ва множині М = [З; +оо), яка є областю ви значения цієї нерівності. Тому дана нерівність ва миожииі М рівносильна нерівності

(../2%+1 +../х-З) < {2 ГхУ .

З:відси 2 ../2х + 1 .Jx- З <. х+ 2. На мвоживіМ = [З; +оо) обидві частини оставиьої нерівності

набувають невід'ємних значень. Тому за теоремою ємо:

{

4(2х+1)(х-З)~(х+2) 2 , х~З;

7%2 - 24х-16 < О, { х ;;t З;

J-*<x<4,

lх> З;

З<х<4.. Відповідь: [З;

4]. .

214

32.4

отриму-

32. Іррацюнальн і

нерІвностІ

Вправи

655: Розв'яжіть нерівність: 1) -.fx-1 >4; 2) -.fx-1 <4; 656:

3) -.fx-1 > -4; 4) -.fx-1 <-4

Розв'яжіть нерівність:

1) -./2х-4~-./5-х;

4) .Jx 2 -3x+1 >~;

2) Гх <-.Іх+ l;

5) ~>.Jx 2 -16;

3) .Jx2 +х < .Jx2 + 1;

2 -6) .Jх 2 - 3х + 2 < -J'2-x..,... 3х+1.

657

Розв'яжіть нерівність:

1) ~<Гх+б; 2) .J2x2 + 6х-3

658:

>.J,....x..,...2 -+-4х-;

Розв'яжіть нерівність:

х>-./24 - 5х;

3) -./,...-3-х---х-=-2 < 4 - х;

2) -./2х+7 tt;. x+2;

3-х >3 .J1-x

659.

2) -.fx+61 <х+5;

660: 1)

6) .J1x-x2 - 6 <2х+3

2~ ~х+ 4; .Jx2 +4х-5 < х-3.

Розв'яжіть нерtвність:

-./2-х >х;

2) -.fx+1>x+1;

f/61

;

+3х+3 <2х+1;

Розв'яжіть нерівність:

-./9х- 20 < х;

5) .Jx2

3) .Jx2 -1 >х; 4) .Jx2 -2x>4-x;

6) .J-x2 +6x-5>8-2x.

Розв ' яжіть нерівність:

1) Гх+"2>х;

2) -./2х+14 >х+3; 662:· Розв'яжіть нерівність: 1) (х+10) .JX=4 ~ О;

3) .Jx2 -5x-24

~ х +2;

4) .Jx + 4х -5 >х-3. 2

2) (х+2) J<4-x)(5-x) >О; 6 ·3 .. Розв'яжіть нерівність: 1) (х - 12) JX-:3 ~ О; 2) (x-3).Jx 2 +x-2 > 0; 215

(х 2 -

1) .Jx2 - 4

~ о.

§ 3. Степенева функція

664:· Розв'яжіть нерівність: 1)

~<1; х-2

l-~ <З;

З) ~8-2х-х 2 ~ ~8-2х-х 2 х+10

2х+9

665: ·

Розв'яжіть нерівність:

1) (х+1) ~х 2 +1 >х 2 -1; 2)

j;";20 -1 < О; х

666:· Розв'яжіть нерівність: 1) зJХ- ..fх+З > 1; 2)

З) ..fx+З<..fx-1+../x-2.

~1-х +~4-х <2;

667:· Розв'яжіть нерівність: 1) .Jx-6-../x+10~1;

216

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ••

ФУНКЦІ І

§ 4. Тригонометричні функції

Досі для вимірювання кутів ви використовували градуси або частини градуса

мінути і секунди.

У багатьох випадках зручно користуватися іншою одиницею

вимірювання кутів. Уї вазивають радіаном. () :І ІІа • Іf'ІІІІн . Кутом в один радіан вазкваютьцевтральвкй кут кола, який спирається ва дуrу, довжива JПСої доріввює ра· діусу кола . На рисуВ.І(у

148

зображено центральний кут АОВ, величина

якого дорівнює одному радіану. Пишуть:

АОВ =

рад. Також

говорить, що радіавва міра дуги АВ дорівнює одному радіану.

Пишуть: uАВ

= 1 рад.

Радіавва міра кута (дуги) не 38JІЄЖИТЬ від радіуса кола. Справ·

ді, розглянемо два кола зі сnільним центром О і радіусами

(R > r) (рис. 149). СекторАОВ гомотетячний сектору АрВ 1

і r

з цен·

тром О і коефіцієнтом R. Тоді, якщо довжина дуги АВ дорівнює r

радіусу

1 1 150 зображено коло

то довжина дуги А В дорівнює радіусу

На рисунку

радіуса

і дугу

MN,

довжи·

ва .RJ<oЇ дорівнює іл. Тоді радіаниа міра кута MON (дуги MN) дорівнює і рад. Узагалі, якщо центральвий кут кола радіуса R сnирається ва дУгу кола довживи

o.R,

то кажуть, що радіавва

міра цьоrо цевтральвоrо кута доріввює а рад.

Рис.

149

Довжина nівкола дорівнює

'lill.

Рис.

148

Рис.

Отже, радіавва міра nівкола

дорівнює 7t рад, а його градуева міра становить

218

150

180°.

33.

Радіанне вимірювання кутів

Це дозволяє встановити зв'язок між радіанною та градусною мірами, а саме:

(1) Звідси

180) (1t

Ірад= Поділивши новити:

180 на 3,14 57°.

(нагадаємо, що 1t ==

3,14),

можна уста

рад ==

Рівність

(1)

дозволяє також записати, що

11о=~ рад І

(2)

З цієї формули легко встановити, що, наприклад,

150 = 15. 1:0 рад= 17t2 рад, 900 = 90 ·1:0 рад= і рад, Зn

135° = 135. 180 рад= 4 рад. Зазвичай при записі радjанної міри кута позначення •Рад•

опускають. Наприклад, пишуть 135° = з:. У таблиці наведено градусну і радіанну міри кутів, які часто зустрічаються:

Градусна міра кута

Радіанна міра кута

оо

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 7t

7t 2

27t

Зп

57t

Використовуючи радіанну міру кута, можна отримати зручну формулу для обчислення довжини дуги кола. Оскільки централь ний кут в

1 рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу aR.

то кут в а рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює

Якщо довжину дуги, яка містить а рад, позначити

то можна

записати

Іt=а.вІ На координатній площині розглянемо коло одиничного раді уса з центром у початку координат. Таке коло називають оди ничним.

Нехай точка Р, починаючи рух від точки Р (1;

0),

пере

міщується по одиничному колу проти годинникової стрілки.

219

§ 4. Тригонометричні функції У певвий момент часу вона займе положення,

при якому

2 L Р00Р = : = 120° (рис. 151). Будемо говорити , що точку Р отримано з точки Р0 у резуль

таті повороту навколо початку координат на кут 2; (на кут 120°). Пишуть: Р =

RJ (Р0 ).

Нехай тепер точка Р перемістилася по одивичному колу за годинниковою

РОР0 = 2:

= 120°

но з точки Р на кут

21t

стрілкою

зайняла

положення,

при

якому

(рис. 152). Говоритимемо, що точку Р отрима

у результаті повороту навколо початку координат

(на кут

-120°).

Пишуть: Р =

-~ 3

{Р0 ).

Узагалі, коли розглядають рух точки по колу проти годинни кової стрілки, то кут повороту вважають додатним, а за годин

никовою стрілкою- від'ємним . у

УА

с Рис.

151

Рис.

152

Рис.

153

Розглянемо ще кілька прикладів. Звернемося до рисунку

Можна говорити, що точку А отримано з точки Р

153.

у результаті

повороту навколо початку координат на кут і (на кут 90°) або на кут

31t -2

(на кут

-270°),

тобто А=

!!.

RJ {Р0 ),

А=

2 {Р ). Точку В 0

отримано з точки Р у результаті повороту на кут 1t (на кут 0

або на кут -11: (на кут

-180°),

тобто В= R~ {Р0 ), В=

180°)

R0" {Р0 ). Точку С

отримано з точки Р0 у результаті повороту на кут з; (на кут 270°) Зn

або на кут -і (на кут -90°), тобто С = RJ {Р0 ), С = R~2 {Р0 ).

220

----- -

33. Радіа~ не вимірюванн~ - - - - - - ---- - -- - -

- ·- - -

кутів

Якщо точка Р, рухаючись по одиничному колу, зробить повний

оберт, то можна говорити, що кут повороту дорівнює

360°) або - 21t

(тобто

21t

(тобто

-360°).

Якщо точка Р зробить півтора оберти проти годинникової стрілки, то природно вважати, що кут повороту дорівнює

якщо за годинниковою стрілкою

540°),

то

- 31t

31t (тобто -540°).

(тобто

Зрозуміло, що кут повороту ик у радіанах, так і в градусах може виражатися будь-яким дійсним числом . Кут повороту однозначно визначає положеНlІя точки Р на одивичному колі . Проте будь-якому положенню точки Р на колі відповідає безліч кутів повороту. Наприклад, точці Р (рис .

. .

вtдпов1дають таю кути повороту:

а також

1t2п. 1t4 - 1t, Jt6 - 1t 1.

154)

т. д.

Кожному дійсному числу а nоставимо у відповідність точку Р

одивичного кола таку, що

P=Rg (Р0 ) .

Тим самим ми задали відо

браження множини дійсиих чисел ва мвоживу точок одивичво

го кола. Зауважимо, що це відображення

не

взаємно

однозначним :

кожній точці одивичвого кола відпо

відає безліч дійсних чисел. Напри клад, точці Р (рис .

154) відповідають

усі дійеві числа виду ~ + 21tk, k є Z. Зауважимо, що множину чисел виду

~ + 21tk, k є Z, можна задати й інакше. Наприклад:

- 47rt +2-ttm,

т є

91t 4 +21tn,

Рис.

n є Z, або

154

Вnрави

668: Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює: 1) 25°; 2) 40°; 3) 100°; 4) 160°; 5) 210°; 6) 300°. 669: Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: 1t

1) 10;

21t 5;

1t 9;

4) 1,21t; 221

5) 31t;

6) 2,51t.

§ 4. Тригонометричні функції

670. • Заnовніть

таблицю:

Градусне

12°

міра кута

З6°

240°

105° 225°

Радіанна

41t

З1t

міра кута

41t

1,81t

671: Чому дорівнює довжина дуги кола, радіус якого 12 см, якщо радіанна міра дуги становить: 1t 51t : 1) : 2) 2; 3) 4) 2n?

672. "

Обчисліть довжину дуги кола, якщо відомо її радіанну

міру а і радіус

кола:

1) а= З, R = 5 см;

673: 1) 67·&.·

2) а= з;, R = 6 см;

і 1,5;

-j і -2;

3) і і 1; 2)

_! і -~

в·

Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при

0 (1;

1) 45°;

З) 150°;

О) на кут:

5 5) ;:

7) -120°;

9) 450°;

11) - 5;:

Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при

повороті точки Р (1;

1) 225°;

677:

4) з; і 4,8.

Порівняйте величини кутів, зада~их у радіанах:

повороті точки Р

676. •

З) а= 0,41t, R = 2 см.

Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:

1) ~ і 1· 4 '

675. ·

дорівнює

З) ~;

на кут:

5) 420°;

7) 21t. з

9) бп;

8) - 51t.

10) -720°.

1З) -~1t;

17) 3;

14) -1,81t;

18) 6;

б' У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана

при повороті точки Р

0 (1;

О) на кут:

1) 127°;

5) -240°;

9) -4 70°;

2) 89°;

6) 400°;

10)

З)

276°;

7) 750°;

11) 41t.

15) 2,61t;

19) -2;

-1З0°;

8) -24°;

12)

51t 6;

16) _17. 4'

20) 7?

1t 5; з'

222

33. Радіанне вимірювання

678. · У

икій чверті зваходитьси точка одивичвого кола, отримана

при повороті точки Р

1) 94°;

0 (1;

О) на кут:

4) -100°;

7) -800°;

77t 10) - - ·

8 ) Зn.

1З)

11) 5,5n;

14)

-З;

12) _l17t.

15) 5?

4 ' Зn

9) - - ·

б '

4 '

679.· Знайдіть координати точки одиничного кола, повороті точки Р 0 (1; 0) на кут:

отриманої при

1) і;

З) -90°;

5 5) ;;

7) 450°;

2) n;

4) -180°;

6) -з;;

8) -2n.

680. • Які

координати :має точка одиничного кола, отримана при

0 (1;

повороті точки Р

1) з;;

681."

кутів

2) Зn;

О) на кут:

З) -і;

4) 180°;

Кути трикутника відиоситьси ик

5) -270°; 6) -540°? З:

Знайдіть радіанні

:міри його кутів.

()82. • Кути

чотирикутника відносятьси як

: 4 : 7.

Знайдіть

радіанні міри його кутів.

683."

Скільки сторін має правильний :многокутник, кут якого

ДОрІВНЮЄ

684:

lЗ7t? lS

Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює З6°.

Знайдіть радіанні :міри кутів цього трикутника.

685."

Укажіть найменший додатний і найбільший від'ємний

кути, при повороті на икі точки Р

0 (1; 0) буде

отримано точку

з координатами:

686."

(О;

1);

2) (-1;

О);

З) (О;

-1);

4) (1; 0).

Укажіть усі дійсні числа, икі відповідають точці Р одинич

ного кола (рис . у

155). у

а)

б)

Рис.

155

223

в)

§ 4. Тригонометричні функції

687:

Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одинич

ного кола (рис.

156). у

в)

б)

а)

Рис.

156

688." Серед кутів 400°, 510°, 870°, 1230°, -150°, -320°, -210°, -680°, -1040° укажіть ті, при повороті на які точка Р0 (1; О) займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 40°; 2) 150°. 0° ..;; а ..;; 360°, при повороті на який (1; О) займе те саме положення, як при повороті на 0 1) 440°; 2) -170°; 3) -315°; 4) 1000°.

68Н." Знайдіть кут а,

ка Р

600."

Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих

при повороті точки Р

0 (1;

О) на кути:

1) ~+2xk, k е Z:

3) і+пk, k е Z:

2) -i+41tk, k е Z;

4) 1tk, k

6!Jl.·

точ

кут:

5) 2пk, k е Z;

1tk 2'

k Е Z.

Побудуйте на одиничному колі точки, яким відповідає така

множина чисел:

з: +21tk, k е 31t

2) 2+21tk, k

692." Знайдіть усі

3) -~+1tk, k Е Z;

1tk 3. k

кути, на які потрібно повернути точку Р0

(1; 0),

щоб отримати точку:

1) 69;J:

Р 1 (0;1);

Р 2 (-1;0); 3)Р3 (~:-~): 4)Р4 (-~:~}

Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Р 0

(1; 0),

щоб Отримати точку:

Р (0;

-1);

р2(~: ~): 224

Р. (- J2. - J2) 2 ' 2 . з

34. Тригонометричні функції числового аргументу о-.

694: Доведіть,

що площу сектора, який містить дугу в а рад,

o.R2

можна обчислити за формулою S=т· де

R-

радіус кола.

ТриrонометричнІ функцJТ чисnо•оrо •рrументу Поняття •синус•, •косинус• і •тангенс• кутів від знайомі вам з .курсу геометрії

0°

до

180°

класу. Узагальнимо ці поняття

для довільного кута повороту а. Означаючи тригонометричні функції кутів від

0°

до

180°,

ми

користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів пово роту природно звернутися до одиничного кола.

Озвачеввн. Косма)'~ом і С!•а)'сом кута повороту а ваз11В810ТЬ відповідво абсцису х і ордивату такої, що Р = Пишуть:

Rg (Р0 )

cos

(рис.

157).

sin

а= у.

а= х,

11 точки Р (х;

у) одивичвоrо копа

Ро

в х

Рис.

ти: у

157

Рис.

Точки Р 0 , А, В і С (рис.

(1; 0),

(О;

. результатІ

1), (-1; 0),

повороту

158

158) мають відповідно -1). Вони отримані з

(О;

. . в1дповщно

. на таю

кути :

такі координа точки Р

Зл

0 (1;

2 , n, 2 .

користуючись даним означенням, можна скласти таблицю: х

Зл

sin

-1

cos

-1

225

О)

ому,

§ 4. Тригонометричні функції ПРИКЛАД

,t , Знайдіть усі кути повороту а,

при яких:

1) sin

а= О;

сов а= О. Розв'язання

1) Ординату,

яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди

ничного кола: Р

і В (рис.

158).

Ці точки отримано з точки Р

у результаті поворотів на такі кути:

О,

1t, 21t, З1t, ... або -21t, -31t, ... а= 1tk, де k Е Z. --11:,

Отже,

sin

а= О при

2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди ничного кола: А і С (рис.

Ці точки отримано з точки Р

158).

у результаті поворотів на такі кути:

1t 1t 1t 1t +21t, , +1t, 2 2 2 2 +З1t, ... 1t 1t 1t 2-1t, 2- 21t, 2-З1t,

або

Отже, cos а= О при a=i+1tk, де k Е Z. Означення. Танrенсом кута повороту а вазивають відвоmев вя синуса цьоrо кута до йоrо косввуса:

sna tga= cosa О зна чення. Котавrенсом кута повороту а вазивають відво шеввв косивуса цьоrо кута до йоrо синуса:

cosa

ctga=-sna 1

8in1t

Наприклад, tg 1t = со8 1t =О. ctg

-%) = со8(-~) . ( ~)=О.

(

810

-2

31t J2 cos- - ctg 31t =--4-=_2_=-1. 4 . 31t J2 8104

З означення тангенса випливає, що тангенс визначено для тих

кутів повороту а, для яких cos а

=F-

О, тобто при а =F- і+ 1tk, k Е Z.

З означення котангенса випливає, що котангенс визначено для тих кутів повороту а, для яких

Z. 226

sin

а <:1: О, тобто при а <:1:

1tk,

34. Тригонометричні

функції числового аргументу

Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точ ка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для

а:# "і+ 1tk, котангенса для а * 1tk, k е Z) кута а. Тому залежність значень синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута повороту є функціональною.

Функції

(а)= віn а,

(а)= сов а,

(а)=

а, р (а)

ctg

а,

які відповідають цим функціональним залежностям, називають

триrонометр~ими функціями кута повороту а. Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут а рад. Це дозволяє розглядати тригонометричні функції число вого аргументу.

Наприклад, запис віn

означає синус кута

радіана .

З означення синуса і косинуса випливає, що областю визна

чення функцій у

= віn х і у = сов х є множина IR.

Оскільки абсциси і ординати точок одиничного кола набувають усіх значень від

до

-1

включно, то областю значень функцій

у= віn хі у= сов х є проміжок

Кутам повороту а і а

[-1; 1]. де n е Z,

+ 21tn,

відповідає одна й та

сама точка одиничного кола. Тому

sin cos

а = а

sin

(а

= cos (а

+ 2м), n + 2м), n

Областю визначення функції у

= tg

е е

Z Z

х є множина

{х е IR І x~-i+1tk, k е Z}. Областю визначення функції у

{х е

= ctg

І х ~ 1tk, k е

х є множина

Z}.

Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої геометричної інтерпретації.

Проведемо пряму х = дить через точку Р

0 (1;

до одиничного кола (рис. Нехай Р

0 (1;

точка Р

Вона прохо

О) і дотикається

- М

159).

отримана

точки

О) у результаті повороту на кут а

і розміщена так, як показано на рисун

ку

159.

Пряма ОР перетинає прямух =

у точці М. Проведемо

.і ОР 0 •

З подібності трикутників випливає, що

PN ON

МР0 ОР.

OPN

і ОМР0 Рис.

•

227

159

§ 4. Тригонометричні функції

Оскільки PN = sin а, ON = cos а, ОР0 = 1, то МР0 = sina =tga. cosa

Отже, ордината точки М дорівнює

а.

Можна показати, що і при будь- якому іншому положенні

точки Р на одиничному колі виконується таке : якщо пряма ОР перетинає пряму х

Тому пряму х =

1, то ордината точки

перетину дорівнює

tg а.

називають віссю тавrевсів.

Зрозуміло, що при зміні положення точки Р на одиничному колі (рис.

160) точкаМ може зайняти довільне положення на пря що областю значень функції у = tg х є мно

мій х

= 1. Це означає,

жина

IR.

Рис.

160

Рис .

161

162

0 (1 ; 0) у результаті повороту 161. Можна показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у= 1, то абсциса точки перетину дорівнює ctg а (рис. 161). Тому пряму у= 1 на Нехай точка Ротримана з точки Р

на кут а і розміщена так, як показано на рисунку

зивають віссю котавrевсів .

162 зрозуміло, IR.

З рисунка

є множина

Якщо точки Р , О і Р

ОР

і ОР

що областю значень функції у=

ctg х

лежать на одній прямій, то прямі

перетинають вісь тавгенсів (котангенсів) в одній

і тій самій точці М (рис .

163, 164).

Це означає, що тангенси

(котангенси) кутів, які відрізвяют~ся на 1t,

2n,

Звідси

tg ctg

а а

= tg (а + nn), n е Z = ctg (а + nn), n е Z

228

Зn і т. д., рівні.

34. Тригонометричні у

163

Рис .

Рис.

ПРИКЛАд & Доведіть, що

функції числового аргументу

164

Рис.

165

cos а::;; sin (а+~).

Розв'язання. Нехай точки Р 1 і Р 2 отримано з точки Р 0 у ре

зультаті поворотів на кути а і а+~ відповідно. Опустимо пер пендикуляри Р А і Р В на осі хі у відповідно (рис.

165).

ки L J;.OP2 =~· то можна встановити, що ll ОР 1А Звідси ОА= ОВ. Отже, абсциса точки Р

ки Р 2 , тобто cosa=sin(a+~).

Оскіль

= ll ОР 2 В .

дорівнює ординаті точ-

Випадки розміщення точок Р 1 і Р 2 в інших координатних чвертях розглядаються аналогічно .

Розгляньте самостійно випадки , коли точки Р і Р лежать на

координатних осях.

ПРИКЛАд І Знайдіть найбільше і найменше значення виразу :

1) 1 - 4 cos а; 2) (2- sin а) сов а. cosa Розв'язання. 1) Оскільки -1,.;;; cos а..;; 1, то -4..;; -4 cos а..;; 4, -3 ..;; 1 - 4 cos а ,.;;; 5. Отже, найменше значення даного виразу до рівнює -3; вираз набуває його при cos а ::;; 1. Найбільше значення дорівнює 5; вираз набуває його при cos а= -1 . Відповідь: 5; -3.

2) маємо:

(2- sin а) сов а

набуває всіх значень від

2 - sin а,

яке дорівнює

при цьому

cos

cosa

sш а.

до

розумІЛо, що вираз

(2- sin а) сов а

cosa

найменшого значення не існує.

229

sш а

Найменше значення виразу

досягається лише при

а= О 1 вираз

sin

= 1,

проте

не визначений . Отже,

§ 4. Тригонометричні функції Аналогічно, найбільшого значення вираз лише при

sin

-1,

а=

2- sin а набуває cos а= О. Отже,

проте при цьому також

і найбільшого значення не існує. Відповідь : не існують.

ПРИКЛАД

Знайдіть область значень виразу: 1)

2-cos2.x'

2 ) Зsin х-2·

Розв'язання.

1~ від

1 2 - cos2.x

-1

до

Маємо:

-1..;;;

сов 2х..;;;

1; 1..;;; 2-

сов 2х..;;; З;

~ -З . Зрозуміло, що коли значення cos 2х змінюється 1

1 включно,

то значення виразу

2 _сов 2х

змінюється від

~ до 1 включно.

Відповідь: [і: 1 2)

Маємо :

-1..;;; sin

х..;;;

При О < Зsin х - 2 (; 1 отримуємо, що рівність досягається при

sin

-5 (; .1

-З(; Зsin х..;;; З;

Зsшх-2

2 (; 1.

~ 1, причому

= 1.

При -5 . ;;; З sin х - 2 < О отримуємо, що чому рівність досягається при

Зsin х-

sin

Зsіnх-2

. ;;; -! при5'

= -1. Отже, область значень

даного виразу- множина (-оо:-~] U (l;+oo).

І Вправи 695.·

Обчисліть значення виразу:

1) 2cos

оо+ Зsin

6) sinO+tg n-sin з;:

90°;

7) 5 cosn + 4 cos з; + 2 cos 2n; 8) бsin~-2 cosi+tg~-7 ctg~; 9) 2sin 2 ~+cos 2 ~ · 4

5) sin 45° cos 60° ctg

З0°;

10) sin і tg ~ ctg ~· 2

230

34. Тригонометричні функції числового аргументу Чому дорівнює значення виразу:

696."

Зсоs

1) sin 270° 2) cos

б0°

+ sin

sin ~+COS7t+ tg ~ • 5) _......__ ___ ~

180°;

2sin~

З0°;

. 7t cos 7t c t gЗ 7t ;

sш

7) cos З1t - sin З1t + ctg З1t • 2

8) б cos0+4 sin 27t+4 sin 2 ~?

697: Відомо, що а.=~ · Знайдіть і порівняйте значення виразів: 1) sin

2а. і

2sin

а.;

2) cos

За. і

З cos а..

()98.' Відомо, що Р=~· Знайдіть і порівняйте значення виразів: 1) sin 4t\ і 4sin р; 2) tg 4t\ і 4 tg р. 699. ·

Чи можлива рівність:

1) cosa.=i:

4) cosa.=i:

2) sina.=- J15; 4

З) sina.=-~;

б) sina.=~;

700.

7) tg а.= -4;

cosa.=~; 4

8) ctga.=../26?

Чи може дорівнювати числу ~ значення:

1) sin

а.;

З)

2) cos

а.;

4) ctg

101: 1)

а.; а.?

Знайдіть значення виразу:

sin 2а + сов 2<х (

)

sin а - ~ + 3 tg а

, ЯКЩО <Х=4;

sin (а+(}) 7t 7t 2 > sin(a-(})+cos<a+(})' якщо а.=з· Р=в:

З) (sin а.+ sin

t\) 2

(sin а.- sin 231

t\) 2 , якщо а.=~ , Р=~. 4

§ 4. Тригонометричні функції

702."

Знайдіть значення виразу:

Fзsin (а+~)+ ~сов (а+ fi} 1)

(5 } ( } tg ~ -а ctg ~-а 1

, якщо а =

sin 3j3 - sin JHg а 7t А 7t 2 ) совЗа-З sin (За+ 3/3)' якщо а= 3' 1-' = 6' 703." Укажіть найбільше і найменше значення виразу: 1) Зsin а; З) 2 - sin а; 5) sin2 а; 2) 4 + cos а; 4) 6 - 2cos а; 6) 2cos2 а- З. 704: Укажіть 1) -5cos а;

найбільше і найменше значення виразу:

2) cos а- 2;

З) 5 + sin 2 а;

4) 7 - Зsin а.

705: Знайдіть усі 1) sin х = 1;

значеннях, при яких виконується рівність:

706.' Знайдіть усі 1) сов х = 1;

значення х, при яких виконується рівність :

707:

2) sin 2) cos

Чи існує таке значення х е

у=

tg хі

у=

ctg х

IR,

= -1. = -1.

при якому обидві функції

не визначені?

708. • При яких значеннях а можлива рівність: 1) сов х = а + З; З) сов х = а2 - 1; 5) сов х = а2 2

2)sinx=a +1 ;

4)sinx=a -a-1;

709.' При яких значеннях 1) sin х = а - 2; 2) cos х = а 2 + 2;

ба

+ 5;

6)tgx=a+ 2 ? а-2

а можлива рівність:

З) cos х = а 2 - З ; 4) sin х = 2а - а 2

110: Порівняйте значення виразів 2sina і sin2 a, якщо О< а<~.

711 .'

Порівняйте:

712. • Знайдіть 1 1)

найбільше і найменше значення виразу:

З) sina(~+cosa); юnа

1+~na'

сов 3 а

2) - - ;

СОВа

713:

2соsа+Зsша-

2 cos 2 а . cosa

Знайдіть найбільше і найменше значення вир,азу:

1 ; cos а- 2

sin а cos а sin а

232

З)

. sin а cos а stn a+cosa. cos а

35. Знаки значень тригонометричних функцій

714: 1)

715:

Знайдіть область значень виразу:

1-cosx'

2 ) 4sinx-3·

Знайдіть область значень функції:

1) у=

716:·

2+sinx'

3- сов х

2) у=

;

Доведіть, що

717."" Доведіть,

1 ; sin х + 1

1 1-2cosx

sin а= -cos (~ +<х ).

що сов а= -сов

(1t

+а).

3накиsначеньтриrонометричних

функцІй. ПарнІсть І непарнІсть

триrонометричних функцІй Нехай точку Р отримано з точки Р

0 (1;

О) у результаті повороту

навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить І чверті, то говорять, що кут а є кутом І чверті . Аналогічно можна говорити про кути

ІІІ і

11,

чвертей .

Наприклад, ~ і -300° - кути І чверті, ~ і -185° - кути 5

11 чверті, :

к утн

і -96° - кути Ш чверті, 355° і -~ - кути lV чверті.

ВИДУ

1tkk 2,

'71

u..,

. •• • Не ВІДНОСЯТЬ ДО ЖОДИОl чвертІ .

Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису і ординату .

Отже, якщо а

кут І чверті, то віn а

Зрозуміло, що коли а

кут

Якщоа-кут ІІІ чверті, то Якщоа-кут

чверті, то

О,

cos

> О. > о.

чверті, то віn а

sin sin

а< О, а< О,

cos cos

сов а

О.

а< О. а> О.

Знаки значень синуса і косинуса схематично показано на рисунку

166.

sina

сова

а)

Рис.

Рис .

166

233

167

§ 4. Тригонаметрич ні функції

Осюльки

sina cosa·

сова

tg а=--, ctga;;-.· ,

то тангенси і котавгевен

sm а

кутів І і Ш чвертей є додатними, а кутів від'ємними (рис .

Нехай точки Р

0 (1; 0)

чвертей

167).

і Р2 отримано в результаті повороту точки

на кути а і -а відповідно (рис.

Для будь-якого а точки Р

168).

і Р мають рівні абсциси і проти

лежні ординати. Тоді з означень синуса і косинуса -випливає, що

для будь-якого а е сов (-а)

sin Ра

(-а) =

сов а

-sin

Це означає, що ФІІКJЩЇJ& хосикус

--~~---7~-----.~~

є паркою, а фукхціJ& сикус

ке-

паркою .

Області визначення фуНІ<цій у =

= tg х і у = ctg х симетричні віднос

но початку .координат (перевірте це

Рис.

самостійно). Крім того:

168 tg(-a) = с

ein(-a) сов (-а)

t g (-а) =

-віnа

= - - = - tga;

cos(-a) віn (-а)

сов а сова

-- =- с

- віn а

ga.

Оrже, фуJ~" ~ї такzекс і хотакzекс є кепарн.ими. Який знак має : Розв'язапня.

1) sin 280°; 2) tg (- 140°); 3) tg 2? 1) sin 280° < О, оскільки кут 280° є кутом

чверті;

2) tg (- 140°) >

О, оскільки кут

- 140°

є кутом ІІІ чверті;

3) оскільки ~ < 2 < 7t, то кут 2 рад є кутом ІІ чверті . Оrже, tg 2

< о.

ПРИКЛАд

Визначте знак виразу сов

Розв'язання. Оскільки Ш чверті,

sin 312°

312° -

кут

123° -

чверті, то

< О і їх добуток більший за О.

sin 200° і sin (- 200°). 200° - .кут ІІІ чверті, кут то sin 200° < О, sin (- 200°) > О. Оrже,

Лорівня.й:те Розв

123° tg 231° sin 312°. 231° - кут cos 123° < О, tg 231 о > О,

кут ІІ чверті,

Jах ня . Оскільки кут

- 200° - кут 11 чверті, sin 200° < sin (- 200°).

234

35. Знаки значен ь тригонометричних фун кцій

nриклАД 2) f

(х)

ОС.ЩДІТЬ

на D8рН1СТЬ

фУНКЦlЮ: . l) f( Х )

=l + oosx ; 2 х

= 1 + sm .r;

-віn х

І(х) =-2- ;

І(х) =

сов х

cos х -

х-

РоJв ·яJанпя. 1) Область визначення даної функції D <n =(-оо; О) U (0; -+-)є саметричвою ВJДНОСНО nочатІ<у І<оорд.иuат.

Маємо:

l+c~ x f(x).

І(-х) = l+ cos(-x) (-х)2

Оrже, дана функція є ларною.

Область визначення даної функції

D (f)

= (-оо; +оо) є симе

тричною відносно початку координат. Маємо:

Тоді

(-х)

*' f

(-х) =

1 + sin

(-х) =

1 - sin

х.

(х); І (-х) '1- -І (х). Оrже, дана функція не є ні

парною, ні непарною .

З) Область визначення даної функції

усі дійсні числа, крім

чисел видУ і+ 1tk, k е Z, - є симетричною відносно nочатку координат. Маємо:

f(-x)= sin(- x)

cos2 (-х)

_ sin..x = -І(х).

cos· х

Оrже , дана функція є непарною.

4) Область визначеmtя даної функції D (f) =

(-оо;

1) u {1;

+оо) не

є симетричною відносно поча·rку координат. Отже, дана функція не є ні парною, ні неnарною .

В прави

718 " Кутом

719:

якої чверті є кут:

5) - 98°;

7) 37t, 5 ,

9) _21t,

б)

8) 77t .

10) - 51t?

-285°;

з ,

Додатним чи від 'ємним числом є значення тригонометрич

ної функції:

1) sin 110°;

4) sin (- 280°);

7) sin (- 130°); 8) cos 2;

9) sin (- 3); 235

10) tg 1; 71t 11) ctg ;

12) tg

§ 4. Тригонометричні функції

720.•

Який знак має:

6) sin 37t; 7

4) cos (-78°);

721.• Знайдіть значення виразу : 1) sin (-З0°); 2) tg (-60°);

З)

722.• Чому дорівнює значення 1) cos (-60°) + tg (-45°);

2) ctg (-60°) sin (-45°)

ctg (-45°);

4) cos

виразу:

(-З0°).

cos (-45°)?

72З: Знайдіть значення виразу :

1) sin 2) 5

З) 4

)

(-З0°)

- 2 tg (-45°) + cos (-45°);

tg0+2sin(-:)-з ctg(-~)+4cos(-i);

tg (-і) ctg {-і)+ 2 cos (-1t)+4 sin 2

{-i);

1,5+sin 2 (- :}-co8 2 (-~} 2cos(-~}

724.' Знайдіть значення виразу: 1) Зsin (-45°) + cos (-45°) + 2sin 2) sin 2 (-60°) + cos 2 (-З0°);

(-З0°)

+ 6cos (-60°);

З) 2 tg{-~)ctg (-i)+Зsin (-і)+4 cos(-i)· 725.' Визначте знак виразу: 1) sin 100° sin 1З2°; 2) cos 210° sin 115°; З) cos 285° cos (-З16°); 4) tg 112° sin 165°; 5) cos 318° tg (-214°);

726."

6) ctg зооо sin 220°; 7) sin 1 cos 2; 8) віn 5 tg 5; 9) sin З cos 4 tg 5; 10) sin (-118°) cos 118° tg 118°.

Порівняйте з нулем значення виразу :

1) віn 102° cos 2) sin 1З4°

З50°; З) :~~ ~~~:;

cos 1З1°;

5) віn 112° сов (-128°) tg 198°;

4) c~sl ~~o; 6) sin (-245°) tg 18ЗО ctg (-190"). 810

727.' Відомо, що і< а< 1t. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) sin

а;

• 2 810 а;

З) 810 а;

сова

236

4) sin

сов а.

35. Знаки

728. о Відомо, що 1) sin

729:

1t <

значень тригонометричних функцій

f3 < з; . Порівняйте з нулем значення виразу:

f3 cos (3;

З) tgз J3 •

2) sin2J3 • cos J3'

sin J3 '

4) sin ,:\

+ cos ,:\.

Порівняйте :

1) tg

1З0° і

(-1З0°);

19З ;

2) tg 110°

4) sin 60° і sin 81t • 7' 2 5) ctg ; і cos 280°;

З) cos 80° і sin ЗЗ0°; 6) ctg 6 і ctg 6°. 730. • Порівняйте: 1) sin 200° і sin (-250°); З) cos 250° і cos 290°; 2) ctg 100° і ctg 80°; 4) cos 6,2 і sin 5. 7З1 : Відомо, що а - кут ІІІ чверті . Спростіть вираз : 1) sin а -І sin а І; З) І tg а 1- tg а. 2) І cos а І - сов а: 732: Відомо, що ,:\ - кут lV чверті. Спростіть вираз: 1) І sin f3 І + sin ,:\; З) І ctg f3 І - ctg ,:\. 2) cos р - І cos f3 І: 733: Кутом якої чверті є кут а, якщо :

1) sin

а > О і оов а < О;

З) І sin а І = sin а і а*-

2) sin а< О і tg а> О;

734. о

е Z;

4)ctga+lctgai=O і a*-i+nk, ke 7!:1

Кутом якої чверті є кут а, якщо :

1) cos

n:,

З) І cos а І = -cos а і а *

а > О і tg а > О;

2) sin а < О і ctg а < О;

4) І tg а І

n:,

k е Z;

tg а = О і а *- nk, k е Z?

7З5: Дослідіть на парність функцію :

1) f(x) = sin 2

х;

f(x)=~-cosx; +cosx

7) f(x)= (x - 1)cosx; х-1

f (х) = tg х;

5) f(x)=x 3 +cosx;

8 ) f (х) = х sш х. х

З) f (х) = tg х + cos х; 6) f (х) = х sin х ; 1-cosx

7З6: Дослідіть на парність функцію:

1) f (х) = tg х

+ ctg х;

2) f(x)=s~nx+tgx ; sшx-tgx

З) f(x)= c~sx ; х

-1

4) f(x)= tgзzx1; х 237

5) f(x)=cosx+

6) f (х) = (xz- ~) ctg х • х

-1

§ 4. Три ганометричні функції

Періодича.

' функції

Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через

27,3

доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця;

якщо сьогодві субота, то через

діб знову настане субота.

Подібні явища і процеси називають періодичиими, а функції, які є їх матеЬІатичиими моделями,- періоДJІЧІІИми фуmщівми.

Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності (х

2п)

соз (х

2п)

sin

= sin х = sin (х + 2п);

= соз х = соз (х + 2п).

Це означає, що значення функцій синус і косинус періодич но повторюються nри зміні аргументу на 2п. Функції у і у

= cos х е прикладами період)ІЧИИХ функцій.

Uаначення. Функцію

= віn х

називаІОТІt періодичною, якщо існує

таке число Т ~ О, що длв будь-я:коrо х з області визначевин функції

вкковуюn.си рівності

(х - Т)

(х)

= f (х + Т).

Чкспо Т назкааІОТІt періодом функції

Виконання записаних рівностей для будь-якого х е чає, що область визначении періодичної функції тивість: якщо х

D ((),

то (х -

Т) е

D (()

і (.х

D (f) озна

має таку влас Т) е

D (().

Ви знаете, що для будь-якого х 3 області визначення фуакції у =

х виконуються рівності

tg (х - п)

= tg х = tg (х + п).

Також для будь-якого х з області визначення функції у =

ctg х

виконуються рівності:

ctg

(х

п)

= ctg х =

ctg

(х

+ п).

Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодІІЧІІИ:МИ з періодом п .

Періодячною є функція дробова частина числа

у= {х} . Уї

періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді , у прикладі

п.

було доведено, що для будь-яких х е

ВИRОНУЄТЬСЯ ріВНіСТЬ { Х

+ k} =

IR і k

{ Х} .

Розглянемо ДЄЯІ(і властивості періодичних функцій .

Те орем а

36.1.

ЯJСЩО чис.л.о Т є періодом фfІКJСІfЇЇ f, то і чис

л.о -Т maJCOж є періодом фухrщії

Справедливість цієї теореми випливає 3 означення періодичної функції.

З цією функцією ви ознайомилися в п.

238

5 нас. 32.

36. Періодичні функції

-- ---- ----·-

36.2. Якщ.о числа Т 1

Теорема чому Т 1

+ Т 2 * О, то ч.исл.о

Т1

((х ((х

Звідси для будь-якого х е

(х - (Т 1

Отже, число т.

D (f)

+ Т 1 ) + Т2 ) = f

(х

+ (Т 1 + Т2 ));

- Т 1 ) - Т2 ) = f (х - (Т 1 + Т2 )). D (f) виконуються рівності :

+ Т2 )) = f

(х)

(х

+ (Т 1 + Т}).

т2 є періодом функції е

при

можна записати:

f. •

Наслідок . Якщо ч.исл.о Т є періодом фуккчії ч.исл.о виду пТ, де

+ Т2 також є періодом фукхції f.

Доведення. Для будь-якого х е

f (х) = f (х + Т 1 ) = f f (х) = f (х - Т 1 ) = f

--·- -- -

і Т2 є періодами фуккчії

то будь-яке

п *О, також є їі періодом.

Доведіть цей факт самостійно. Остання властивість означає, що кожна періодична функція

має безліч періодів.

Наприклад, будь-яке число виду

2nn, n

Z, n *

О, є періодом

= sin х і у = cos х ; будь-яке число виду nn, n е є періодом функцій у = tg х і у = ctg х. функцій у

Теорема

то ч.исл.о

36.3.

Z, n

* О,

(х),

Якщо ч.исл.о Т є періодом фуккчії у=

де k *О, є періодом фуккчії у= f

(kx

+ Ь).

Доведення. Для будь-якого х з області визначення функ.ції у=

f (kx + Ь)

можна записати:

(kх+Ь) =f ((kx +Ь)+Т) =f (k (х+f)+ь);

(kх+Ь) =f ((kх+Ь)-Т) =f (k (х-f)+ь ).

Звідси для будь-якого х з області визначення функції у=

f (kx + Ь)

виконується :

f (k (х-f)+ь)= f

Отже, число

(kх+Ь)= f (k(x+f)+ь).

є періодом функції у= f (kx + Ь). •

Якщо серед усіх періодів функції

існує найменший додатний

період , то його називають rоловвим періодом функції

Наприклад, головним періодом функції у = { х} є число

Те орем а

36.4. Гол.овним періодом фук1Щій у = sin хі у = cos х є = tg х і у = ctg х є ч.исл.о n.

ч.исл.о 2п; гол.овким періодом фуккчій у

Доведення . Проведемо доведення для функції у= шту тверджень теореми доводять аналогічно).

239

sin

х (ре

§ 4. Тригонометричні функції Якщо число Т є періодом функції у =

sin (х +

Т)

= sinx виконується

sin х, то рівність

при будь-якому дійсному значенні

х, зокрема при x=-t· Тоді маємо:

. ( т)2 ' .

. (--+ т т) =SІП

SІП

Звідси

-- •

. т

SІП-=-SІП- •

t =nk, Т = 27tk, k Е Z. З останньої рівності випливає,

що будь-який період функції у=

sin

х має вигляд

Найменшим додатним числом виду є періодом функції у=

Оrже, число

sin

2nk, k

є число

2n,

яке

х.

головний період функції у

2n -

Застосовуючи теореми

36.3

36.4

= sin х. .А sin (kx + Ь) 2 чи;сло : є періодом,

до функцій у=

і у= сов (kx + Ь), де k ~О, отримуємо, що а число 2;

є головним періодом цих функцій.

1 1 Головним періодом функцій у=

tg (kx + Ь)

і у=

ctg (kx +

Ь),

де k ~ О, є число І ~ • 1 Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний

період. Наприклад, функція у= с, де с

деяке число, є пері

одичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля,

є П періодом. Оrже , ця функція не має головного періоду. Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж не мають головного періоду.

Наприклад, розглянемо функцію Діріхле 1 у = !) (х). Ця функ ція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, від

мінне від нуля, є П періодом. Це випливає з того, що сума двох раціональних чисел- число раціональне , а сума раціонального

і ірраціонального чисел -число ірраціональне. Оrже, функція Діріхле не має головного періоду.

ПРИКnАД t Знайдіть значення виразу: 1) sin 660°; 2) sin(- 1:1t); З)

tg 135°. Розв'язання. 1)sіnбб0°

= sin(720°- 60°) = sin(-60° + 3000·2) =

= sin (-60°) =-sin60°=- J3. 2

sin(-~)=-sin l:1t =-sin(41t+~)=-sin(2·21t+~)=-sin і=- Jf. 1

З цією функцією ви ознайомилися в п.

240

5 нас. 31.

36. Періодичні функцїі

- - - - - - --

3) tg 135° = tg (- 45° + 180°) = tg (- 45°) = - 1. 169 зображено графік деякої періодичної функції f періодом Т, D (f) = JR. На рисунку

\2!\/~~Лт~т~ Рис .

169

Очевидно, що фрагменти графіка цісї функції на nроміжках [О; ТJ, [Т; 2Т), [ 2Т; 3Т) і т. д., а 't'аІ<Ож на щ:юміжках [ -Т;

f -3Т;

0], [ -2Т; - Т],

- 2Т] і т. д. є рівними фігурами, nричому будь-яка з цих

фігур може бути отримав& з будь-якої іншої nаралельвим перене сенням на вектор з коорд1шатами

(rzT; 0), де n -

Узагалі, якщо nроміжки [а; Ь] і [с;

+ Tn, n Е Z, то частини графіка функції f

є рівними фігурами (рис.

-2Т

-т

vt 1\ 'ot/ Рис.

n аи, n ДД

На рисунку

що с

=а + Tn,

на цих проміжках

170).

деяке ціле число.

d] є такими,

171

л т

2Т

170

зображено фрагмент графіка пері

одичної функцu , період якої дорівиює Т. Побудуйте графік цієї

. фYRKЦll... на проМІЖКУ

[ - ЗТ ; 5Т] .

2 2

Розв'язан.ня. Побудуємо образи зображеної фігури при паралельних перенесеннях на вектори з координатами (Т;

0), 0) і (-Т; 0). Об'єднання даної фігури та отриманих образів шуканий графік (рис . 172).

(2Т;

~-- 1

iu ~-.i=t ~Гl

L :

;

--~- ~-jj

· 0

Рис.

і jx;

Рис.

171

241

172

§ 4. Тригонометричні ф)'t'Ікції

1..

ПРИКЛАД

Покажіть, що число Т

:: 1t

є періодом функції

f (х) = .J- cos х. 2

Розв'язання. Областю визначення функції

<n = {х е IR І x=i+1tn,

чень змінної х, при яких cos х = О, тобто D

Z }.

Тоді якщо х Е Оскільки Е

ПРИІ<J1ДД

<n. то (.r + 1t) Е D Ш і (х -

<n = {0}, то f

Доведіть, що функція

Розв'язання . Зауважимо, що пустимо, що функція но, що х0

=2 -

<n -

Т Е

(х - 1t)

(х)

х ~

(n.

1t) Е D + 1t) = О .

(х

не є періодичною.

f(.r)= _!_

є :множина зна-

<n = (-оо; 2) U (2; +оо) . При * О. Очевид

є періодичною з періодом Т

<n,

тоді х0

+Т=

2 -

Т Е

D (!),

тобто

отримали суперечність.

Вnраам

737: Знайдіть

значення виразу:

1} sin 390°;

сов

(-750°);

9) сов 300°;

13) sin бn · 14) cos 77t·

2) cos 420°;

6) sin (-З90°);

10) tg 150°;

З)

7) tg (- 210°);

11) cos

8) ctg 225°;

12) sшт: . 23Jt

tg 780°;

4) ctg 405°; 738. ·

lln 6 :

3 '

15)

tg(- 1 ~).

Знайдіть значення виразу:

1) sin 420°;

4) sin 1110°;

5 7) ctg :;

2) cos 405°;

5) tg 765°;

8) sin (-

З)

7n 6) соsз;

lOn) 9)· ctg {-з.

739.•

( - Зl5°);

На рисунку

1 7З

~):

зображено частину графіка періодичної

функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку

[ -2Т;

ЗТ).

242

36. У.

Періодичні функції

rYJ

,\.

r<J

'\. /

fJ.

- r ./

о х

IJ а)

в)

Рис.

7 .ю. "

На рисунку

174

173

зображено частину графіка періодичної

функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; 2Т] . ІУ

1/ 1\

і"'"'

.f...

:f...

\ а)

Рис.

741:

174

Доведіть, що число Т є періодом функції

1) f(x)=cosi, Т

= Bn;

З)

2)f(x)=tgЗx, Т=- 2:;

4) f

(х)

= ctg nx, Т = З;

(х) = sin (5х - 2), Т = ~.

742." Доведіть, що числа 2: і -4n є періодами функції f (х) = сов 3х. 743:

Знайдіть головний період функції:

1) f (х) =сов (Зх

+ 1);

(х)

= sin 21tx;

2) f (х) = tg (2х + 1);

5) f (х) =сов .JЗх;

З) f (х) = ctg (-7х + 2);

6) f

(х) = tg (4nx- З); 243

7) f(x)={ бх+~ }; 8) f(x)={ 9) f

-J2x };

(х) = { nx+ ~ }.

§ 4. Тригонаметрич ні фун.щїі

7 44.• Знайдіть 1) f

головний період функції:

(х) = sin (Зх - 1); З) f (х) =tg (-х + 1);

f(x)=cos{~+2}:

745: Доведіть,

4) f

5) f

(х): cos nx;

(х)= ctg (і+4}:

6) f(x)={

~-2 }.

= sin х.

що число 1t не є періодом функції

(х)

746: Доведіть, що число -і не є періодом функції f (х): tg х. 747:

Знайдіть головний період функції

7 48. ·

Зкаіідіть головний nеріод функції f (х) =

f(x)=

v/1- ~. cos х /1---:-\--. sm х

Влаетv~вості і графік•• функцІ· !І = біц ж

ig =

Періодичність тригонометричю1х ф)'НJщій дозволнt: дос.'lіджу вати іх властивостj та будуttатн графіки за такою схемою.

1) Розглянути промІжок виду [а; а + Т] , то&t·о довільний про-

міжок завдовжю1 в nеріод Т ( найч~стіwе обира.ють проміжок

[О; Т] або проміжок 2)

[- ~; ~]).

Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.

З) Побудувати графік функції на цьому проміжку.

Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на век тори з координатами

(nT; 0), n Е Z.

~ Розглянемо функцію у=

sin

х на проміжку [О;

2n],

тобто на

проміжку завдовжки в період цієї функції.

При повороті точки Р0 (1;

0) навколо

початку координат на кути від О до і ордината точки одиничного кола збіль х

шується від О до

(рис.

чає, що функція у

проміжку [О;

iJ.

175). Це озна sin х зростає на

0 (1; 0) на

При повороті точки Р Рис .

175

•

вtд

до

244

31t

кути

ордината точки одиничного

37. Властивості і кола зменшується від

спадає на промІжку

1 до -1

графіки функцій у

(рис.

175).

sin хі у= ~os х

Отже, функція у

= sin

[1t2 : 231t] .

При повороті точки Р0 (1; О) на кути від 3: до 2n ордината точки одиничного кола збільшується від

ункЦІя у

. = sш

Функція у

= 1t,

х зростає на промІжку

= sin

х на проміжку [О;

-1

до О (рис.

175).

Отже,

[31t 2; 21t J• 2n]

= О,

має три нулі: х

= 21t.

Якщо х Е (О; Функція у

то

n),

= sin

sin

О; якщо х Е

х на проміжку [О;

шого значення, яке дорівнює

чення, яке дорІвнює-

2n]

при х

31t

(n; 2n),

то

sin

О.

досягає свого найбіль-

і найменшого зна-

при х=2·

Отримані властивості функції у = П графік на проміжку [О;

sin х дозволяють побудувати 2n] (рис. 176). Графік можна побудувати

точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригономе

тричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці

1 --+-----~------~------+-----~·~

21t

-1 Рис.

176

На всій області визначення графік функції у

sin

х можна

отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере

несень на вектори з координатами

(2nn; 0), n

(рис.

Рис.

Графік функції у

= sin

177

х називають сниусоїдою.

245

1 77).

§ 4. Тригонометричні функції У таблиці наведено основні властивості функції у Область

Область

[-1; 1]

значень

Нулі функції

Проміжки знакостапості

Парність

х.

.IR

визначення

Періодичність

= sin

Періодична з головним періодом, який

дорівнює

Числа виду

nn, n

sin х > О на кожному з проміжків (2nn; 1t + 2nn), n е Z sin х < О на кожному з проміжків (n + 2nn; 2n + 2nn), n е Z

виду виду

Непарна Зростає на кожному з проміжків виду

Зростання/ спадання

[-i+27tn; i+27tn ]. n

Спадає на кожному з проміжків виду

[ п +27tn;

Зп +27tn J, n е Z

Найбільшого значення, яке дорівнює Найбільше і найменше значення

набуває в точках виду і+ 27tn, n е Z Найменшого значення, яке дорівнює набуває в точках виду

":> Розглянемо функцію у=

cos

-.!!.+27tn 2 • n

хна проміжку [О;

Розглядаючи повороти точки Р

0 (1;

1t)

і зростає на проміжку

cos

2n]. cos

х спадає

(1t; 2n].

. . [О 2 ] . ФуикЦ1Я у =cos х на nроМІЖКу ; 1t має два нут:

Якщо хе[ О; і) u (з;;27t ]. то cos х

-1,

О) навколо початку коор

динат, можна дійти такого висновку: функція у=

на проміжку [О;

п Зп =2, =2. х

О; якщо хе(і; з;). то

2n]

досягає свого найбіль

х <о. Функція у=

cos

хна проміжку [О;

шого значення, яке дорівнює значення, яке дорівнює

-1,

при х

при х =

246

= О або х = 21t і найменшого

1t.

37. Властивості Графік функції у= рисунку

cos

і графіки функцій у

= sin х і у = cos х

2n]

х на проміжку [О;

зображено на

178. у

-1 Рис.

178

На всій області визначення графік функції у

= cos х можна

отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере

несень на вектори з координатами

(2nn; 0), n

(рис.

179).

Рис.

Графік функції у =

cos

179

х називають косивусоіДою.

Якщо скористатися формулою cosx=sin(~+x) (див. при клад

п.

34),

то зрозуміло, що графік функції у=

cos

х можна

отримати як результат паралельного перенесення графіка функ-

ції у= sin х на вектор з координатами (-~;о) (рис. означає, що графіки функцій у=

sin

хі у=

y-ain х у =- cos х

Рис.

180

247

cos

180).

Це

х- рівні фігури.

§ 4. Тригонометричні функції У таблиці наведено основні властивості функції у Область

= cos

х.

.IR

визначення

Область

[-1; 1]

значень

Періодичність

Нулі функції

Періодична з головним періодом, який

дорівнює

Числа виду ~+nn, n

cos

О на кожному з проміжків виду

Проміжки

(-~+2nn; ~+2пп), n е

знакосталості

cos

О на кожному з проміжків виду

(n2 +2nn; 2Зп +2nn}, ne Z

Парність

Парна

Зростання/

[1t + 2nn; 2n + 2nn], n

спадання

Спадає на кожному з проміжків виду

Зростає на кожному з проміжків виду

[2nn; 1t + 2nn], n Найбільше і найменше значення

ПРИКЛАД і

Найбільшого значення, яке дорівнює набуває в точках виду

2nn , n

Порівняйте:

О, 1n і

1) sin

+ 2nn, n sin

Найменшого значення, .яке дорівнює

набуває в точках виду 7t

О, 71n;

-1 ,

Z 2) cos 324°

cos 340°. Розв'язання.

Оскільки числа

0,71t

0,71n

належать про-

міжку [ ~; з;], на якому функція у = sin х спадає, і О, 7n < О, 71n, sin О, 1n > sin О, 11п . 2) Оскільки 324° і 340° належать проміжку [180°; 360°), на якому функція у= cos х зростає, і 324° < 340°, то cos 324° < < cos 340°.

то

ПРИКЛАД

Порівняйте

sin 40°

cos 40°.

Розв'язання. Оскільки sin40°<sin45°= ~, то

cos 40° > sin 40°. 248

cos40°>cos45°= ~,

37. Власти вості 1 графіки фун кцій у = sin х і у = cos х

= 2 sin 31 °? Розв'язання. Оскільки sin31 ° >sin 30°= ~' то 2 sin 31° > 1.

ПРИКЛАД

Чи можлива рівність

sin

а.

Отже, дана рівність неможлива.

ПРИКЛАД

Побудуйте графік функції y=sin(x+~)·

Розв'яз ання. Шуканий графік отримуємо з графіка функції у =

sin

ху результаті його паралельного перенесення вздовж осі

абсцис у від'ємному напрямі на ~ одиниць (рис 181).

-- ---~ ..............

у '

-з

---

2п

' ...'

- - ---~"'

Побудуйте графік функції y = ~sin2x.

рази, тобто зменшимо у

графіка функції у ції

х до осі орди

= sin х до осі ординат. Отримаємо графік функ

.Уі! , "; , 1~.! 2

sin

рази відстані від кожної точки

Потім цей графік стиснемо у

Це і буде шуканий графіІ< (рис .

рази до осі абсцис.

182).

= -sinx ...y--

t:J

------~~------~------2-n~

~.. . .'

-1 Рис.

ПРИКЛАД

- y = sin x

181

Розв'я з ання. Стиснемо графік функції у = нату

21t ,

-1 Рис.

п и :л

1~ х- ~~

', ... ____ _

182

Побудуйте графік функції y = sin,2x-~ І·

Розв 'я з ання. Проведемо такі перетворення:

1) у = sin х -+

ш І х І

симетрія відносно осі ординат

частини графіка, яка лежить у півплощині х

249

> О;

§ 4. Тригонометричні функції

2) 11 у

= sin

І х І

--+ у = sin І 2х І -

стиск до оеі о~диват

рази;

У= sin І2х І-+ У= sіп і 2 (х- ~) j - паралельне перенесен-

ии вздовж осі абсцис у додатному напрямі ва ~ одиниць (рис.

183). y=sinl2xl

-1t

Рис.

183

ПРИКЛАД • Побудуйте графік функції y=sin(21 х 1-і)· Розв'язання. Проведемо такі перетвоJ)енви: 1) у = sin х --+ 11 s1n 2х - стиск до осі ордиват у

2) 11 =sin 2х--+ у = sin (2 (х-:))

рази;

паралельне перенесении

вздовж осі абсцис у додатному напрямі ва і одиниць;

у =sin (2х- ~)--+у = sin (21 хі - ~)

симетрія відносно осі

ордиват частини графіка, ика лежить у півплощині х ;;J. О. Шуканий графік складається з двох симетричних частив

(рис.

184).

у= sin (2х- ~)

-..__ -1

y=sin(2!xi-~) Рис.

184

250

37. Властивості і графіки функцій у = sin хі у= cos х

....•.

ПРИКЛАд І Побудуйте графік рівнян ня

cos

+ cos у = 2.

Розв'язання. Оскільки І cos хІ~ 1 і І cos у І ~ 1, то дане рівняння рівно-

•

-4п -2п

. {cosx=1, cosy=1.

сильне системІ

2п

•

•··

2п

4п

•·

{х=2пп, neZ, . 3 ВІДСИ у=2пт, meZ. Шуканий графік це

•

-4п

Рис.

185.

точок, зображених на рисунку

• •·

• •

множина

-2п ,

• •

185

~~ Вnрааи 749.

Серед чисел -Зп, -

5п 2,

-2п,

Зп -2,

-11:,

п -2,

О,

п Зп 2' 2'

2п,

97t 2'

бп, 7п укажіть:

1) 2)

нулі функції у

sin

х;

значення аргументу, при яких функція у

= sin

х набуває

= sin

х набуває

найбільшого значення;

значення аргументу, при яких функція у найменшого значення.

"U • . Серед 7 і)

чисел

5п

, - Зп , -n, 0 , п , n, Зп , 25п , 27п , 5n, 2 2 2

cos

81t

укажіть:

1) 2)

нулі функції у

х;

cos

х набуває

= cos

х набуває

значення аргументу, при яких функція у = найбільшого значення;

значення аргументу, при яких функція у найменшого значення.

751:

На яких з наведених проміжків функція у=

sin

х є зрос-

таючою:

1) [

-~·~J

752. ·На яких з наведених проміжків функція у= sin х є спадною:

2)[-п; О];

7 5 1) [- ;:- ;];

753. о

[-~:~].

n]?

5 7 4) [ ;; 2

Серед наведених проміжків укажіть проміжки спадання

функції у=

cos

5 1) [- ; ; - з;

]•

х:

2)[-2п;

-n]; 251

[бп; 7п].

§ 4. Тригонометричні функції

754:

Серед наведених проміжків укажіть проміжки зростання

cos -2n];

функції у:=

755:

[-Зn;

х:

[О ;

З)

n];

[-n; n];

1011: •

251t ; 18

5) cos

2) sin 20° і sin 21 °; 20° і COS 21 °;

6) cos 5,1 і cos 5; 7) sin 2 і sin 2,1.

З) COS

7 56.·

1 cos

. l(ht 1. sш . 251t ;

sш

Порівняйте:

1) cos 2)

4n].

Порівняйте:

1) cos 1,6n і cos 1,68n;

[Зn;

1t .

З)

47t

1 cos-g:

. 57t .

sш

. 1 77t ; 1 s1n

. ( 77t) 1. sш . (- 10 З1t) ;

sш -зо

4) cos

1011: •

1 cos

ll7t 9 .

757: Розташуйте числа в порядку зростання: 1) sin З,2, sin 4, sin З,6, sin 2,4, sin 1,8; 2) cos З,5, cos 4,8, cos 6,1, cos 5,6, cos 4,2. 758." Розташуйте числа в порядку спадання:

1) sin (-0,2), sin 0,2, sin 1,5, sin 1, sin 0,9; 2) cos 0,1, eos 1,4, cos 2,4, cos З,1, cos 1,8.

759: Порівняйте: 1) sin 58° і cos 58°; 2) sin 18° і cos 18°; 760."

1) cos а = 2 sin 25°; 161: Побудуйте графік 1)

З)

cos 80°

2) sin а= J2 сов З5°? функції:

y=2sin{x+~)-2:

y=-~cos{x-~)+1 .

y=2cos{x+~)-1.

762: Побудуйте графік функції:

763:

Чи можлива рівність:

y=-Зsin{x-~)+~; Побудуйте графік функції:

1) y=sinl

х+~ І:

2) y=2cosl

х-~ І·

2) y=-cosl

х-~ І·

764.• Побудуйте графік функції:

1) y=2sinl

х+~ І:

252

sin 70°.

37. Властивості

765. •

і графіки функцій у

= sin хі у= cos х

Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної

функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання

і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен ия може набувати функція і при яких значеннях аргументу: у

y=sin(x-~);

= sin

+ 1;

766: Побудуйте

З) у=

sin

2х;

y=-~sinx.

графік функції, укажіть область значення даної

функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен ня може набувати функція і при яких значеннях аргументу:

1)у=совх-1;

y=cos(x+~); З) y=cos~; 4)у=Зсоsх.

767:

Побудуйте графік функції

y=sin(l

х 1-~).

768:

Побудуйте графік функції

y=2cos(1

769:·

Побудуйте графік функції y=2sin(2x+~)-1.

х 1-~)-1.

77о:· Побудуйте графік функції y=-Зsin(~-~}+2. 77t:• 1)

112:· 1)

Побудуйте графік функції:

у=

2 cos

ІЗх + 21;

y=-2sin(~l х 1-1).

y=~cos(21 х 1+~).

у=І cosl2x-~ 11·

у=І sin(~l хІ+~) І·

Побудуйте графік функції:

у= З sin І2х-

11;

77З. •• Побудуйте графік функції:

1) 77 4. ·• 1) 775:•

у=І sinl ~х+~ 11; Побудуйте графік функції:

у=І cos(21 х 1-~п Побудуйте графік функції: 2

1) y=(Jsinx)

;

5) y=Jcosx-1;

2) у = sin х + sin І х І;

б)

З) y=cosx+Jcos 2 x;

7) у=-,.-,;

=sinlxl. у sinx '

10) у=

sinx

SlllX

= tg

253

cos

9) у = tg х І cos х І;

х;

• 2 810 х 2

.Jsin х

§ 4. Тригонометричні функції 77().·•

Побудуйте графік функції:

1) y=(.Jcosx)

2 ;

4) y=.Jsinx-1;

7) у= ctgx І sinx І;

б)

)cosxl; cosx

б) у =

777:•

ctg

sin

=sinl хІ. у lsinxl

х;

Побудуйте графік рівняння:

1) sin

n (х2 + у 2 ) =О;

2) sin х + sin у= 2.

77Н."" Побудуйте графік рівняння :

1) cos n (х 2

+ у ) = 1; 2

2) cos х

+ cos

= -2.

; Властивості і графіки функцІй у = tg ж · І ll = ctg ж

r,: ~ Розглянемо функцію у= tg хна проміжку (-~;~). тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що

функція у= tg хв точках -~ і ~ не визначена). з

рисунка

186

. .

видно, що при зм1н1 аргументу х вщ

значення функції у

= tg

до

х збільшується від -оо до +оо. Це означає,

що функція у= tg х зростає на проміжку (-~;~). У

м6

д.

Рис.

Рис .

186

187

Функція у= tg хна проміжку (-~;~) має один нуль: х =О. 254

38.

Якщо

= tg х і у = ctg х

Влааивоаі і графіки функцій у

xe(-j;o), то tg х <О; якщо xe(O;j). то tg х >О. = tg х дозволяють побудувати (рис. 187). Графік можна побуду

Отримані властивості функції у

ії графік на проміжку

(-j;j)

вати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень три гонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці На всій області визначення графік функції у

= tg

х можна

отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере

несень на вектори з координатами

Рис.

(nn; 0), n е Z (рис. 188).

188

У таблиці наведено основні властивості функції у =

Область значень

Нулі функції

Періодична з головним періодом,

n Числа виду nn, n е Z який дорівнює

tg Піюміжки знакостапості

О на кожному з проміжків

виду (пп; j +nn), n е tg

О на кожному з проміжків

виду (-j+nn;nn), n е Парність

х.

{х Е IR Іх *i+nn, n Е z}

Область визначення

Періодичність

Непарна

Зростає на кожному з проміжків

Зростання/спадання

виду (-j+nn;j+nn), n е

Найбільше і найменше

Найбільшого і найменшого значень

значення

не набуває

255

§ 4. Тригонометричні функції ~ Розглянемо функцію у=

ctg

х на проміжку (О;

n),

тобто на

проміжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у

не визначена в точках О і З рисунка

189

видно, що при зміні аргументу х від О до

ctg х зменшується від +оо до -оо. = ctg х спадає на проміжку (О; n).

чення функції у=

що функція у

ctg х

n).

n зна

Це означає,

Рис.

189

190

Фувкціа у = ctg х на проміжку (О; n) має один нуль: х = і

Якщо х е (О: і)• то ctg х >О; якщо х е Графік функції у

рисунку

ctg

(i;n), то ctg х <О.

х на проміжку (О;

зображено на

190.

На всій області визначення графік функції у

= ctg

х можна

отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере

несень на вектори з координатами

(nn; 0), n

(рис.

191).

І І І І І

І І

-2n: х

Рис .

191

256

38. Властивості

і графіки функцій у --

··-

- ···

= tg х і у = ctg х ·-·

У таблиці наведено основні властивості функції у=

{х Е

Область визначення

IR Іх

nn, n

:1:

ctg

х.

Область значень

Періодична з головним періодом,

Періодичність

який дорівнює

Числа виду і+ nn, n

Нулі функції

ctg Проміжки

виду

знакасталості

ctg

виду Парність

О на кожному з проміжків

(nn;i+nn), n

О на кожному з проміжків

(-i+nn;nn), n

Непарна

Спадає на кожному з проміжків

Зростання/спадання

виду

(nn,

+ nn), n

Найбільше і найменше

Найбільшого і найменшого значень

значения

не набуває

ПРИКЛАД

Побудуйте графік функції у= І ctg хІ tg х.

Розв'язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні

числа, кр1м чисел виду

nn 2 ,

ш, то

D(y)={ xe1Rix:1:

бт

~n, neZ }.

Якщо nk<x<i+nk, k Е Z, то ctg х >О і у= 1. Якщо ~ + nk < х < n + nk, k Е Z, то ctg х < О і у = -1. Шуканий графік складається з окремих відрізків з •виколотими• кінцями (рис.

192). у

-n

-]"

-1 Рис.

192

257

n о

Зп

4.Тригонометричні. функції

Вnра1и

779.

Чи rtроходить графік функції у =

А(-~:1):

780,• Чи 1)

х через точку:

в( ;:-Гз): з) с(і;о):

781 .• Яю.

=ctg х через точку: З) с (n; 1); 4) v(~n:JЗ)?

в(З::о);

1t О 1t Зn 2. , - 2 , 2 .

з чисел

нулями функції у

-n, 2n, - 5tt ,

= ctg х;

~ ..

2) не належать області визначення функції у

782• • 1) 2)

v( 7;:- .Jf)?

проходить графік функції у

A(~:t);

1) є

Я ·

Зп -2·

Кl з чисел

-11:,

є нуJІЯМи функції у ~

1t О -2, •

7t 51t 2' 2'

з·

= ctg х?

х;

не належать області визначення функції у

== tg

х?

783.• Порівви.йхе: 3 l)tg(-38°)i tg(-~); 4) tg 0,91t і tg 1,2n; 7) ctg~ і ctg ;; 2

2) tg ; З)

784.•

і tg~~;

1З0° і tg

5) tg 1 і tg 1,5;

8)ctg(-40")ictg(~

150°; 6) ctg 24° і ctg 28°; 9) ctg 2

ctg

З.

Порівняйте :

5) tg (- 1) і tg (-1.2); 2) ctg 100° і ctg 92°; 4) ctg з; і ctg ~~;

6) ctg (-З) і ctg {-З,1).

785.' Розташуйте в порядку спадання: 1) tg 0,5, tg 1,2, tg (- 0 ,4), tg 0,9; 2) ctg З,2, ctg 4,6, ctg 6, ctg 5,З . 786. • Розташуйте в порядку зростаnвя: 1) tg 1,6, tg 4.1, tg З,6, tg 2,5; 2) ctg {- 0, 7), ctg (- 2,4), ctg (-2,8), ctg (- 1,4). 787.· Побудуйте графік функції:

l)y =-tgx; 788. • 1)

2)y=tgx+2;

З) y=tg(x-~}: 4)y = tgЗx.

Побудуйте графік функції:

у = -ctg х;

у = ctg х - 1; З) 258

y =ctg(x+i}; 4) y=ctgi.

39. Основні співвідношення

між тригонометричними функціями

Чи можлива рівність:

789:

2) cosa=ctg ~;

1) sina=i tg80°; 790.• Порівняйте: 1) sin 78° і tg 78°; 791.· Побудуйте графік

функції:

у= ~ ctg (х + ~) + 1;

Побудуйте графік функції:

102:

y=2tg(x+ 2;)-~:

793:·

Побудуйте графік функції:

( ~)2

y=ctg(зx- 1n2 ).

ctgx

1) у= vctgx ;

4) y=lctgxl;

2)y=tgx+tglxl;

з> y=J-tg 2x;

б) у= І tg хІ;

y=ctgx-~ctg 2x;

tg.xctgx'

8) у =І tg х І ctg х.

Побудуйте графіх функції:

794;•

1) y=(Jtgx)

2) у

=ctg х -

5) y=tgx+Jtg 2x;

;

ctg І х

б> у

З) у= ~-etg x; 4)

= І ctg х І;

7) у = tg х ctg х.

) tg хІ; tgx

ОсноанІ сnІааІдноwення мІж триrонометричними функцІями одноrо й тоrо самоrо арrументу У цьому пункті встановимо тотожності, які пов'язують зна чення тригонометричних функцій одного й того самого аргуменТу. Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задо

вольняють рівняння х2 де а

+у

= 1. Оскільки х = cos а, у = sin а,

0 (1;

кут повороту, у результаті якого з точки Р

отримано точку Р, то

О) було

(1) Звервемо увагу ва те, що точку Р обрано довільно. Тому то

тожність (1) справедлива для будь-якого а.lї називають основвою триrовометричвою тотожністю.

259

§ 4. Тригонометричні функції Використовуючи основну тригонометричну тотожність, зна

йдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між ко тангенсом і синусом.

Припустивши, що

cos

а :~:. О, поділимо обидві частини рівно

сті (1) на cos 2 а. Оrримаємо:

sin 2 a+ cos 2 a cos 2 а

1 cos 2 а;

sin 2 a + cos 2 a _ _1_. cos 2 а cos 2 а - cos 2 а' , . ------· ----· ··---- ..- ., І 1 ' ' l+tg2a:;;:--2- ' --- ~ - - --

сов а

-----------

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких

cos

а:~; О,

тобто при а:~:.і+п.k, k е Z. Припустивши, що

sin

а:~:. О, поділимо обидві частини рівно

сті (1) на sin а. Оrримаємо: 2

sin 2 a+cos 2 a 1 sin 2 a :;;: sin 2 a; 2

sin a + cos a :;;:_1_. sin 2 a sin 2 a sin 2 a' г-

-------------

.-- -- -~

Іl+ctg 2 a:;;:-.-2-

вm а

;

.... - ---····· ----· - ·-···· ·Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких -~----··

тобто при а :~;

1tk, k

sin

а :1:. О,

Зв' язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за допомогою означень цих

• uмаємо: t g а:;;:--, sina с t g а=-. cosa функЦІИ. -. cosa sща

Звідси

. -· -- - ~· . ·- - -·

tg а ctg а = 1 L________

(2)

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких

sin

а :1:. О

і cos а:~:. О, тобто при а:~:. 1tk і a:~:.i+1tk, k е Z. Зазначимо, що

{ае IR І а= 1tk, ke z} u {ае IR1a:;;:i+1tk, ke z}:;;: {ае IRia= 1t: ,ke z}. Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, що а:~:. k

Z. 260

rt:,

39. Основні сnіввідношення між тригономеrричними функціями Спростіть вираз:

1 . 2) - - - tg 2<p -sin 2 <p;

t + cos2 t + tg2 х;

1) зіn~

З)

coszcp

• 2

вш а

l+cosa

Розв'язання. 1) sin2 t+cos 2 t+tg 2 х= l+tg2 х=+; сов

2) + - t g 2 <p-sin 2 <p=l+ tg2 <p-tg 2 <p-sin 2 <p =1-sin 2 <p =cos2 <p; сов ср

sin 2 a 3) 1+cosa ПРИКЛАд

(1 -соsа)(1+сова)

1-cos2 a 1+cosa

l+cosa

=1 -cosa.

Доведіть тотожність:

1) tg а + ct( р =tg а ctg ~; ctga+tg~

2) cos2 а

+ sin2 а віn

+ sin2

а cos 2

13 = 1;

3 ) (sin а+ ~os а) -1

t 2 а. сtgа-вшасова 2 g

Розв'язання.!)

1 (tga+---\):(-+tg~)= tg"' tga

tga+ctg: ctga+tg

= tg а tg ~ + 1 : 1 +tg а tg ~ tg~

tga

tg а= t

tg~

2) cos а + sin а sin J3 + sin а cos J3 + cos2 13> = cos2 а+ sin2 а= 1. 2

З) (sina+cosa) 2 -l

а ct А.

= cos

g..,

+ sin2 а (sin2 13 +

sin 2 a+2sinacoвa+coв2 ct-l сова . - . - -sm а cos а

ctga-sinaoosa-

SІna

1+2sin а oosa-1 а (- .-1- - sin а)

oos

SlDQ

2sina·sina 2sin 2 a = 1-sin2 a = cosza 2

ПРИКЛАД Обчисліть

2sinacosa 1-sin2 a сова. sina

g а.

Відомо, що соsа=з·

sin

а.

Розв'язання . Маємо:

sin2 a

=1 -cos 3 a=l-.!=~. 9 9

sina= J5 3

або

Звідси

sina=- J5. 3

Рисунок 19З ілюструє цей при клад.

261

Рис.

193

§ 4. Тригонометричні функціі'

nи n

Заайдіть cos а, tg а. ct g а, якщо sin а= - ;

Іt <а< з;. Розв'ІІ~а,",,., Маемо:

cosza=l-sin2a=l-(-.:L)2 =1- 49 = 576 25 625 625'

Оскільки

то cos а< О, отже, cosa=-~:~: =-~:-

n<a < 32n,

sin а 7 ( 24) 7 1 24 tg а = cos а = - 25 : - 25 = 24; ctg а = tg а = 7 ·

ctg а= 16 , 90° < 63

Да но:

cos

а,

< 270°.

Знайдіть

sin

а,

а.

Розв'язан.н.я. Маємо:

tga= 63 . 16 2

_ 1_= l+ctg2a=l+ 256 = 4229. . 2 = 3969 =(63} sin 2 a 3969 3969' sш а 4225 65 · Оскільки ctg а > О і 90° < а < 270°, то 180° < а < 270°. . о . тОДl' Sln . а =- 63 . Sln а < 65 . 16 ( 63) 16 Маємо: cosa=ctgasшa=-• - - =-63

Оrже,

65'

Сnростіть вираз ~sin 2 a(l-ctga)+cos 2 a(l-tga),

якщо ~ <а < 2n. Розв'язан.н.я. ~sin 2 a (1-ctg a)+cos 2 a(l-tg а)= =

•

sш а -sш

sin а a ·cos --а +cos2 a - cos2 а ·--= sin а

сова

= ~sin a-sin а cos a+cos a-cos а sina:: 2

= ~sin 2 a.- 2sin а cos a+cos2 a

=~(sin a-cos а)2 = /sin а-сов а/.

Оскільки з; < а< 2n, то sin а< О, сов а> О. Тому sin а- сов а < О. Оrже, І

sin а - cos а І = сов а ·- sin а.

Відповідь:

cos

- sin

а.

262

39. Основні

співвідношення між тригонометричними функціями

І Вnрави 795: Спростіть вираз: 1) sin2 р- 1;

6) 1 - sin 2 а + ctg2 а sin2 а; 1 7) cos 2a+ctg 2a--.-- ;

2) 1 - sin 2 За- cos 2 За; З)

sш 2 а

1 -sш а; 1-cos2 a

4) cos

sin ~

а;

·2r.~.·cg"';

1 -s1n ..,

9) (1 + sini){1-sini):

1 5) - 2--1; cos a

10) (sin а+ cos а)2 + (sin а- сов а)2 .

796. • Спростіть вираз: 1) sin 2 2a + cos 2 2a + ctg25a;

5) (tg а cos а)2 + (ctg а sin а) 2 ; • 2 sш а 2 2

2) sin~·ctg~;

1 З) 1 - 2-·

1 1 7) ( --+tga)(---tga): cosa cosa

sin у' • 2 1 4) sш 2 а- +tgactga; cos а-1

1 + ctg а (cos а -1)'

8)(tg~+ctg~)2 -(tgp-ctgP)2 .

797: Чи можуть sin а і cos а одночасно дорівнювати нулю? ~ 798: Чи можуть tg а і ctg а за модулем бути: 1) обидва більші за 1; 2) обидва менші від 1? 799.· Спростіть вираз: 8

tg3a 1-ctg 2 3a ) tg 2 3a-1 • ctg3a ;

9) З)

ctg а • tga+ctga'

10) 1-ctgy.

sin а + sin а . 1+cosa 1-cosa'

1-tgy'

sinx ; 1 +cosx 1-sinx cosx 5) ; cosx 1+sin х

11) cos 4 а- cos2 а + sin 2 а;

sin а 1+cosa + sin а 1+cosa

1З) cos (-а) + cos а t~ (-а);

tga+tg~ . ctg a+ctg ~'

14 ) 1+sin(-~)

4) ctg х+

cos(-~)

263

tg(-~).

§ 4. Тригонометричні функції

800. ·

Спростіть вираз:

1) (1 + ctg J3)z

+ (1- ctg J3)2;

2) sin2 a оов2 а (tgZa +

cos~

)

ctia + 2);

tgza 1+ctg2a 1+tg2 a • ctg 2 a ; .

7) 1 + tg а · 1+ctga'

cos~ .

1+sin~ 1-sin~'

4) tg х + со~ х ; 1+s1nx 5)

cos~

9) sin2 а

-sin~.

+ sin2 а cos2 а +

cos4 а;

10) tg (-а) ctg а+ sin 2 (-а).

1- sin ~ + cos 13 '

801: Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

1 1) cosa=2;

3) tg

2) sin а= 0,6 і ~<a<n;

а= 2 і n<a< з;;

ctga=-~ і з; <a<2n.

802. • Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

1) cosa= 2) sin

803. • Чи 1)

804:

а= -

Jf і

<а< з;;

4) ctg а= -7 і ~<a<n.

1 1. cosa=-Jї5-; 4 = 2,5 і ctg а = 0,6;

3) COSa= 5 1. t ga=-2 .J6? 7 5

Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

sina=~ і cosa=~;

tga=~ і ctga=1~;

805." Доведіть 1)

3) tga=-! і Зп <a<2n;

можуть одночасно виконуватися рівності:

sша=

2) tg

~: і О<а< ~;

sina=-~ і

тотожність:

~osз_a-sinзa =cosa-sina; +s1nacosa

1 2) cos 2a+ 2 sin 2 a+ sin 2a tg 2a = - -2 - ; cos а 3) tg 2 а - sin 2 а = tg2 а sin 2 а;

4 ) J3-2sina = 1+2cosa ; 2cosa-1

2sina+J3

264

ctga=J37?

39. Основні співвідношення

б) ctg a-cos a 2

віn а- tg a 2

між тригонометричними функціями

-ctgв а· '

sina+tga tga; l+cosa 7) 1 + (ctg 2 а - tg2 а) cos 2 а= ctg 2 а;

•

вш а

ctg 2 а- cos 2 а

806. • Доведіть

tgta.

тотожність:

1) sin 4 а cos 2 а + sin 2 а cos 4 а = sin2 а cos 2 а; 2) ctg2 а - cos 2 а = ctg2 а cos 2 а; ctg 2 a 3) (tg 2 a-sin 2 a)·-.2 -=1. sш

807: Доведіть

тотожність:

1) sin 4 а + cos 4 а - sin6 а - cos6 а = sin2 а cos 2 а; 2) sin6 а + cos6 а+ 3 sin2 а cos 2 а= 1. 808: Доведіть тотожність 2 (sin6 а+ cos6 а)- 3 (sin4 а + cos4 а)= -1. 809... Знайдіть значення виразу: 1) s~na-cosa' якщо tga=l; sшa+cosa 3

t 2cos 2 a-7sin 2 a ' якщо с g а = - 2 ; 3cos 2 а+ 4sin а сов а 8sina-3cosa t 3) 3 2 , ЯКЩО g а = - 3 . sin a+5sin acosa-8cos 3 а

8to:· Знайдіть значення виразу: 5cosa+6sina _ , 1 ) 3sina-7cosa' якщо tga- 12' sinacosa 3 ; . 2 2 , якщо ctga=4 s1n a-cos а 2sin 3 a+3cos 3 a tg __ 4 3) б . , ЯКЩО а . sш a-cosa 811 ... Спростіть вираз: 2)

1) Jcos 2 j3(1+tg~)+sin 2 ~(1+ctg~). якщо n<~< з;;

J1-sin 2 a-cos 2 a cos 2 ~ tg~ctga

З1t

'якщо n<a<2, 2<~<n;

J2-2cos 2 ~+J2sin 2 ~-2F2sin~+1, якщо з:~~~1t. 265

§ 4. Тригонометричні функції

812:· Спростіть

вираз :

1) sino. - ~ctg 2 o.-cos 2 o., я.кщо 180° < о. < З60°;

37t

2) "~ - ~~· я.кщо 1t<0.<2;

З) ~4cos 2 o.-+4coso.+1 - .J4 - 4ein 2 o., якщо ~ ~ a ~ 1t. 813:· Д~о: sin

о.

+ cos

о. = Ь. Знайдіть:

1) sin о. сов о.;

2) sin3 о. + cos3 о.;

4) sin6 о. + cos6 о.;

8J4:· Дано: tg о.+ ctg 1) tg2 о. + ctg2 а; 2) tg3 а + ctg3 а; 815...

а=- Ь. Знайдіть:

3) tg4 о.+ ctg4 а; 4) (cos о.+ sin о.)2 •

Знайдіть найбільше і найменше значения виразу:

о.- З sin а;

1) 2 cos 2

З) 1-.Jcos2 o. -2sin2 o.; 4) З С()8 2 о. - tg а ctg а.

1 -; 2) tg 2 o.+сова

816:· Знайдіть найбільше 1) З sin2 а + З cos о.;

і вайменше значения виразу:

3) 2 sin2 а + З tg а ctg а.

2) 1 + .Jsin2 о.+ 2cos2 о.; Формули додавання ФормулаNИ додавання називають формули , які виражають

cos

(а±~).

sin (а±~) і tg (а±~) через тригонометричні фуW<ції

кутів о. і~· у

Доведемо, що

cos (а - ~) = cos о. cos Р + sin о. sin ~ . Нехай точки Р

і Р

отримано

в результаті повороту точки Р Ро

на кути о. і х

відповідно.

0 (1 ; О)

Розглянемо виnадок, коли

О ~ о.

- 13

Тоді кут між векторами О~ і ОР2

дорів.нює а - ~ (рис. Рис .

194

точок Р

266

і Р

194). Координати

відповідJІо дорівнюють

---

(cos (cos

а; а;

- - - - - --

40. Формули додавання - - - - - -- - - - - - -- ---

sin а) і (cos J3; sin J3). Тоді вектор О~ sin а), _а вектор ОР2 - (cos J3; sin J3).

має координати

Виразимо скалярний добуток векторів О~ і ОР2 через їх ко ординати:

О~ • ОР2

= cos а cos J3 + sin а sin J3.

Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна записати

о~ ·ОР2 =І о~ 1·1 OP2Icos(a-J3)=cos(a-J3). Звідси отримуємо формулу, яку називають косинус різниці :

(а - Р> =

cos

а cos Р + sin а sin Р І

Для доведення формули

(1)

скалярний добуток векторів О~

cos

і ОР2 можна застосувати і тоді, коли (а-

J3) е

[О;

1t].

(1)

У цьому ви

зможете переконатися на заняттях математичного гуртка.

Доведемо формулу косинус суми :

І cos (а + Р> = cos а cos р - sin а sinі] Маємо : cos (а + Р> = cos (а - (-J3)) = =cos а cos (-J3) + sin а sin (-J3) = cos а cos Р - sin а sin J3. Доведемо формули синуса суми і синуса різниці:

sin

(а

+ Р> = sin

sin

(а

cos

+ cos

sin

cos

- cos

sin

Р> =

sin

За допомогою формули

(1)

доведемо, що

І slna=oos(j-a) І Маємо:

cos (~-а)= cos ~ cos а+ sin ~ sin а= sin а.

Тепер доведемо, що

,..----------, cos а= sin {~-а)

Маємо: Тоді

cos а= cos {~-(~-а))= sin (~-а).

sin (a+J3) = cos (~-(а+ J3>)= cos ((~-а)-13)= 267

§ 4. ТриrономеrричнІ функцІї

-=сов (і-а) cos ~+ віn (~-а) sin ~ = sin а cos ~ + cos а sin ~; sin (а- ~) = sin (а+ (- ~)) =· sin а cos (-~) + cos а sin (~~) =

= sin а сов ~ -

cos а sin ~-

Формули таиrевса суми і танrевса різниці мають вигляд :

-.. -- - -- - - ·-1

'a+R)= tga+tg~

І g~

t - tratrP

tg (а-~) Доведемо формуду

(2).

(2)

tg a-tg Р l+tga tgp

(З)

Маємо :

t ( ~) _ sin (а+ Р> _ sin а сов Р +сов а sin р g а+ - cos(a+/3)- cosacoвP-sinasinp · Припусхивши, що

cos

~ ~ О, отриманий дріб можна пе

реписати тах:

. :;.;sin: :.:. . .;o:_c:. .:o_;._s7p + сов о: sin Р cos 0: cos .р сов 0: сов р - tg 0: + tg р cos о: сов Р ein о: sin р - 1- tg а tg р · сов о: сов р

сов а сов р

Формулу тангенса різниці (З) доведіть самостійно.

Тотожність (2) є правцльною ДJІJІ всіх а і~. при яких сов (а+~)~ ~ О, cos а :# О, cos J3 :# О. Тотожність (З) є правильною ДJІJІвсіх а і~. при яких cos (а- J3)~ :# О, cos а ~О, cos ~ :# О.

прост1ть вираз

Розв'язання. Маємо:

.J3sina+2cos(60°+a) r.:: • 2 sin (60°+а)- у 3СОІ! а

J3 sin а+ 2 cos (60° +о:) 2 sin (60° +а)- J3 cos о:

.JЗвіn а +2 (сов 60° coвo:-sin 60°sin а)

= 2 (sin 60° cos а+ cos 60°sin о:)- J3 cos ц = _ -

.J3sino:+2(}coso:-~sino:) _ 2(fcosa+!вrno:) - .J3cos o:. -

JЗвіп о:+сов a -.JЗsin о: = с~а ·= ctga. .JЗcoso:+ sino:-.JЗcoso: 268

sm а

40. Формули додавання

Доведіть тотожність: 1) sina-cosa tg~ = tg ~; 2) ct a-t Р= c_os(a.+/}) . g g sma.cosJ}

. -а. cosa.sm Розttязання. 1) sina-cosatg~=sina -2 2

s1n а cos -а - cos а sщ -а

СО82

а}

а- -

2 а

cos 2

. -а

sщ

__ 2 =tg~. а

cos 2

2 ) ct a-t Р= сова_ sinj} =cosacosf3-sinasinJ} = cos(a.+J}). g

sin а.

sin а cos 13

cosJ}

sin а. сов Р

1- tg 70° tg 65° tg о + tg о • 70

Знайд1ть значення виразу

Розв'язання. ВикористовуючІt формулу тангенса суми кутів

700

•

650 '

. l-tg70° tg65° tg' 70° + tg 65°

маємо.

tg (70° + 65°)

t 1350-

1 tg 135°

сg

= ctg (180°- 45°) = ~tg 45° =-1. Знайдіть

cos 15°.

Розв'язання. Маємо:

cos 15° = cos (60° - 45°) =

=cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45° =!2 · .J2 + .J3 . .J2 = .J2 + J6. 2 2 2 4 &

Знайдіть вайбільше і найменше значення виразу

cosa+J3 sina. Розв'язання. Представимо даний вираз у вигляді синуса суми. Для цього помвожимо і поділимо даний вираз ва

cosa+JЗ sina=2(~cosa+ ~ sina ) .

Ураховуючи, що ~= sin 30°, = cos 30°, отримуємо: cos а+ J3 sin а= 2 (sin 30° cos а+ cos 30° sіп а)= 2 sіп (30° +а). Оrже, вайбільше значення даноrо виразу дорівнює раз набуває при

-2

sin (30°

+а)=

(його вираз набуває при

1),

sin (30°

269

(його ви-

вайменше значення дорівmоє +а)=

-1).

§ 4. Тригонометричні функції

Даао: sin~=+· cos~=v5

Знайдіть а

f.:... 0°<a< 90°,0°<f}< 90°.

vlo

+ f}.

Розв'язаппя. Оскільки оо< а <

90°, 0° < f} < 90°, то оо < а+ f} < < 180°. На проміжку (0°; 180°) косинус набуває кожного свого зна чення з проміжку (-1 ; 1) один раз . Отже, знайшовши cos (а+ f}), можна визначити і значення а + f}. Маємо : cos а=- .J1 - sin 2 а = ~, sin ~ = ~,.-1--co-s-.".2 -P = Ь v5 Тоді

vlO

cos (а+ f}) = сов а cos Р - sin а sin f} = -i.,_1__ __2_ , _L __ 5 ___5___ _j_

- .,[5

JlO .J5 .J1o - J50 -

Беручи до уваги, що

0° < а + f} < 180°,

J2 - J2 .

отримуємо а

= 135°.

817: Спростіть вираз: 1) cos (а + 13> + cos (а - f}); --. 2) sin (З0° + а) - cos (60° + а); -З) J2 sin(a-45°)-sina+cosa; 4) 2cos(60° - a) -J3 sina - cosa.

818. •

Спростіть вираз:

-- 1) sin

(а

- 13) -

2) sin (30° -

819:

а)

sin

(а+

З) J2sin(~+a)-cosa-sina.

f});

+ сов (60° -

а):

Спростіть вираз:

1) sin а cos 4а + cos а sin 4а; 2) cos 17° cos 43° - sin 17° sin

4З ;

. 31t • 1t з) cos 31t cos 1t - sш • sш

4) sin а sin (а+ Р> + cos а cos (а+ 13); -- 5) sin 5З cos 7° - cos 53° sin (-7°); б) sin (а + f}) cos (а - 13) - sin (а- f}) cos (а+ І3); 7) (sin а cos р + cos а sin f})2 + (cos а cos р - sin а sin 13)2 ; 8 ) sin 20° cos 5° - cos 20° sin 5°. cos 10" сов 5"- sin 10° sin 5"' 9) cos (а + f}) + 2sin а sin 13. 0

270

40. Формули додавання О

Спростіть вираз:

1) cos ба cos 2а- sin ба sin 2а; 2) sin 12° cos 18° + sin 18° cos 12°; 3) sin (- 15°) cos 75° +сов 15° sin 75°; 4) cos (а+ ~) cos (а - ~) + sin (а + ~) sin

(а

- ~);

cos64° COS4° +Sin64° sin4° . sin 19° cos 41 о + sin 41 о cos 19° ' б} cos (а - Р> - 2 sin а sin ~. )

821:

Відомо, що

tg (а+

•

tga=

/3).

Відомо, що

tgP=

Знайдіть значення виразу

tg а = 3, tg ~ = 5. Знайдіть значення виразу

tg (а.- ~).

823:

Спростіть вираз:

tg 13° + tg 47° . l) 1 - tg l3° tg 47° '

1 - tg 27° tg33°.

3 > tg 27°+ tg 33° •

tg 1 о- tg 46° .

2> 1 + tg 1о tg 46° •

tg 1І + tg S1t 9 36 1 - tg 1t tg §Jt • 9 36

Спростіть вираз:

tg 24°+ tg 36° 1) 1-tg24° tg36° ;

825.'

tg5a-tg3a.

2 > 1 + tg 5а tg За •

Доведіть тотожність:

l) cos(a+~)+sinasin~ сов (а - ~) - sin а sin ~

Z) sin (а+ ~) +sin (f'I - ~) = t act р; sin(a+~)-sin (a -~) g g 3)

J2 cosa-2cos(45° +a)- = t ga; 2 sin (45° +а)- J2 sin а

) sin(a+~)cos(a-~)+cos(a+~}sin(a-~)=t 2а; cos (а+~) cos (a-~)-sin (а+Р) sin (а - ~)

5 ) sin(45°+ a)-cos(45° +a) =t а· sin(45°+a)+cos(45°+a) g '

б)

sin а+ 2 sin (60°- а) 2 cos (30°- а)cos а

.J3

г::

=..;.,с

ga.

271

§ 4. Тригонометричні функції

826. о Доведіть тотожність: ) віn (а+ ~)-віn ~сова= 1; 1 віn (а-~)+ sin ~ cos а 2

)

з)

.J2 cosa-2sin(45°-a) =.J2; 2віn (60°+a)-J3 сова

2sinacos~-sin(a-~) А • • cosacos..,-sшasш~

t (

а+..,.

827: Дано: sina= : • 90° <а< 180°. Знайдіть sin (а+ 45°). 1

828. · Дан о: cos 829:

= -0,6, 180° <

Знайдіть

< 270°.

cos (60° -

а).

Знайдіть cos (а+ /3), якщо cosa=~, О<а<~ і cos/3=-~.

~</3<7t. 8:30. о

n<а< з; і

Знайдіть sin (а - /3), якщо sin а=-:~,

cos 13 = ; , 5

з; </3<2n. 831: Дано: tga=i· sin/3=~, 0</3<~. Знайдіть tg (а+ /3). 832: Відомо, що tga=~. Знайдіть tg (45° +а).

833: Доведіть тотожність: 1) t a-t 13= sin(a-~); g g cosacos~ 8:34." Доведіть

835:

cos(a-A) 2) ctga+tg/3= . .., . sшacos~

тотожність ctg а+ ctg J3 = .in (а:~~. 8

stnasш

Спростіть вираз:

. а; 1) cos а c t g а +sш 2) ctg

- ctg

2а;

836. о Спростіть вираз: 1) cos 2а + sin 2а tg

837." Користуючись 1) sin 15°; 838.· Користуючись 1) cos 75°;

З) 1 + tg а tg 2а' cos2a sin 2а 4 ) сова- sina ·

а;

2) cos

4а

- sin

4а

ctg

формулами додавання, знайдіть:

2) sin 105°;

З)

ctg 105°.

формулами додавання, знайдіть:

2) sin 75°.

272

2а.

40. Формули додавання

839." Доведіть тотожність: 1) sin (а. + 13) sin (а.- 13) = sin2 а. - sin2 13; 2) (sin а.- sin 13)2 + (cos а. + cos 13)2 - 2 = 2cos (а. + 13);

З) tg2a2-tg2f =tg(a.+l3)tg(a.-13); 1-tg atg

4 ) tga+tg ~ + tga-tg Р + 2 tg2a.=-2-. tg(a+~) tg(a-~) cos 2a Доведіть тотожність:

8411."

1) cos (а. + 13) cos (а. - 13) =cos2 а.- sin 2 13; 2) tg (а. + 13) - (tg а. + tg 13) - tg (а. + 13) tg а. tg 13 =о. 841." Знайдіть найбільше значення виразу: 1) sin а.- .J3 cos а.; З) sin а. + cos а.; 2) 4 sin а. + 5 cos а.; 4) 2 sin а. - cos а.. 842."" Знайдіть найбільше значення виразу: 1) J3 cos а.- sin а.; 2) J5 cos а.- 2 .J5 sin а.; З) З sin а. + сов а..

а..о~9 .. Даво..

ооео.

844.""

2 в<<Х.<S. Б1t 41t ЗН8ИД1ТЬ SЩ а.. --5,

)COS (1t з-а.

Дано: sin(~-a.}=- ~,

Jt<a.< з;.

•

Знайдіть sin а..

845." Дано: cos (5°+ а.)= 0,6, 0° <а.< 55°. Знайдіть tg (З5° 846."" Даво: sin (40° +а.)= Ь, 0° <а.< 45°. Знайдіть cos (70° 847." Дано: sin 10° = Ь . Знайдіть sin З5° . 848."" Дано: tg (а.- 45°) =З . Знайдіть tg а..

+а.). +а.).

849."" Дана: tg (5°+а.)=}• 0° <а.< 40°. Знайдіть cos (50° +а.). 850."" Дано: tg а.=~· tg 13 = і• 851.""

Дано:

sina.=

Знайдіть а.+

852.""

Дано:

О< а.< і• О< 13 <і· Знайдіть а. - 13.

sinl3=

13.

21 , sin Р = cos а.= .J2ї

Знайдіть а.

J[} , оо <а.< 90°, оо < 13 < 90°.

+ 13.

.J7, 0° < а. < 90°, 0° < 13 < 90°.

853."" Даво: tg а.= 5, ctgj}=~, О<а.<і, О<Р<і· Доведіть, що а.+Р= 31t . 4

854."" Дана: tga.=~, tgP=}• оо< а.< 90°, 0° < 13 < 90°. Знайдіть а.

+ 13. 273

§ 4. Тригонометричні функції

855." 1)

Побудуйте графік функції:

= tg2x-tgx;

у l+tg2xtgx

= J3+tgx.

у l-J3tgx

856.·· Побудуйте графік функції: ) _ tgЗx-tg х • ) _ tg х-1 1 Y-l+tgЗxtgx• 2 Y-tgx+l' 857.* Доведіть. що коли а. р. у- кути гострокутного трикутника. то

+ tg

858. * Доведіть.

J3 +

у =

що коли а. Р. у а

J3 tg у. кути трикутника. то

tg2 tg2+tg2 tg2+tg2 tg2 =1.

859.* Обчисліть (1 + tg а) (1 + tg

J3). якщо

а+Р=~. а> о.

J3 >О.

860. * Обчисліть ( 1 + ctg а) ( 1 + ctg J3). якщо а+ Р =з:. а > о.

J3 > О.

861.* Доведіть нерівність sin (а+

J3) < cos а+ cos Р. де

O<a<j.

J3) < cos а+ sin Р. де

O<a<j.

O<P<j. 862.* Доведіть нерівність cos (аO<P<j.

Формули зведення Періодичність тригонометричних функцій дозволяє зводити обчислення значень синуса і косинуса до випадку. коли значення

аргументу належить проміжку [О;

2n].

а значень тангенса і ко

тангенса- до випадку. коли значення аргументу належить [О;

n].

У цьому пункті ми розглянемо формули. які дозволяють у таких

обчисленнях обмежитись лише кутами від О до і . Кожний кут у межах від О до 2n можна подати у вигляді і±а.

або n ± а. або з; ±а.

де О~ а ~і.

57t =Зп+~ з 2 6'

274

Наприклад.

27t

З= n-

41. Формули зведення . І. косинусІв . кутІв . виду 2 1t ± а., Обчислення синусІв

± а.,

Зп ± 2 а.

можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. . Напри клад :

• 1t • • cos ( 1t +а. ) =cos 1t cosa.-sш sшa.=-sшa.;

sin

(1t - а.)

= sin

cos

а.

- cos 1t sin

а.

= sin

а..

Застосовуючи формули додавання , аналогічно можна отри мати:

І sin(~-a.)=cosa. !

sin(~+a.)=cosa.

sin (n -

а.)

sin

а.)

= -sin

(1t

sin

. (37t ) sm т-а. =-cosa.

а.

sin( ;

+а.)= -cosa.

Ці шість формул називають формулами зведення для синуса. Наступні шість формул вазивають формулами зведення для косинуса:

cos(~-a.)=sina cos(~+a)=-sina

(n-а)= -cos а

cos( 3; -a)=-sina

cos (n +а)= - cos а

cos( 3; +a) = sina

cos

Ці тотожності теж легко отримати, застосувавши формули додавання .

Обчислення тангенсів і котавгенсів кутів виду ~±а. можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а.. Наприклад:

•

(1t

)

tg(~+a.)= "'n (:і!+аГ ~а =-ctgo.. 2 1t -mna cos

+а

Аналогічно можна отримати:

tg (~-а.)= ctg а

tg (~+а)= -ctg а.

ctg(~-a.) = tg а.

ctg (~+а.)= -tg а.

Ці чотири формули називають формулами зведення для тав

гевеа і котангенса .

275

§ 4. Тригонометричні функції

Проаналізувавши задисані

формул зведення, можна

помітити ааJСономірності , які роблять заучування цих формул не обов~ язковим. Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися таJСими правилами.

1. У nравій ~стині рівності

став.п.сть той зна1е, я1еий JІІ/4Є

.піга ос.астина аа у мови, що О < а <

2. Н1ещо в .півій части.ні формули аргумєнт маєвигляд ~ ± а

а6о 3Jt ±а. то синус JІСіняють на JСОсинус, танин.с -

на ко

танz.енс, і навn.а1еи. Н1ещо арzу•ент має гиz.л.яд п ± а, то зJІСіни

Фrнхції не відбrвається .

Покажемо, як працюють ці правила для виразу

sin (32 -а). 1t

Прнnустивши, що О < а < і, доходимо висновку: з; -а є кутом

ІІІ чверті. Тоді

sin( 3; -a)<o. За першим

частині рівності має стояти знаJС

. .

Ос КlЛЬКИ

оравилом у правій

•- • . 3Jt

аргумент має ВИГЛЯД т - а,

ТО За другим правИЛОМ

СJІід замівити синус ва косинус.

Отже, вїn( 3; -a)=-cosa. ПР

КЛАД

Зведіть до тригонометричної функції кута а:

ct»~'(~ нt};

2) ctg

(а - 90°).

Розв'язання. 1) Маємо:

cos (i+a)=(cos(i+a)J = =(-sin а) = sin а. 2

2) ctg ПР~t<Лдд

(а

- 90°)

= - ctg (90° -

а)

= - tg а .

Замініть значення тригонометричної функції зна

ченням функції гострого кута: 1)

Розв'язання.

cos ~~; 2) cos 871t; 3) tg (- 125°).

cos 91t =cos (1t - 2!..) =-cos 2!..; 10

2) COS Sп = COS (1t +~)<=·-COS ~;

7 7 7 3) tg ( ~125°) =- tg 125° = -tg (90° + 35°) = -(-ctg 35°) =ctg 35°. 276

41. Формули зведення ПРИКЛАД

Обчисліть:

Розв'язання.

1) sin 930°; 2) cos (- 480°).

1) sin 930° = sin (360°·2 + 210°) = sin 210° =

= sin (180° +30°) = -sin 30° = - !; 2

2) cos (- 480°) = cos 480° = cos (360° + 120°) = cos 120° =

= сов (90°+30°)=-sin 30° =-!. 2

ПРИКЛАД

Обчисліть

tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° · ... · tg 49°.

Роз в 'яза н н JІt. Маємо:

tg 49° = ctg 41°, tg 48'

= ctg 42° і т.

д.

Тоді, об'єднавши nопарно множники, які рівновіддалені від

кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких до

1: tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48

рівнює

= tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1.

45° = 1. Отже, tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° · ... ·tg 49° = 1.

Ще один множник даного добутку tg

ПРИКЛАД

Спростіть вираз:

sin{a-:) ctg (а- 5: ) -cos ( і+а) sin(a - п). зш {4 + а) •

Розвязання. Маємо: sin (a-~) =-sin(~-a).

Оскільки (~-а)+(~ а) = і· то sin(~+a)=cos(~-a). Отже, •in sm

~:- :~ сtф4

5 : )-

cos

+О.

(і +а) sin (а-

. (1t4- - 0.) ( ( )) = {7t ) . - ctg 1t+~ - a +sina·(- sina)= - Slll

cos 4 - о.

=- tg (~-а) · ( - ctg (~ -а))-sin2 а = 1-sin2 а= cos2 а

277

§ 4. Тригонометричні функції 4

~~-і. _В_п_р_а_в_и------------··- ··"·,.··

863: 1)

Зведіть до тригонометричної функції кута а:

sin(~-a);

4) cos

(-а+

3 1t -а); 2

5) cos

(а-

2) tg (

З) sin (1t - а); 864."

6) cos 2

270°);

180°);

7) ctg2 (90° 8)

(Зп - а);

+а);

cos(~+a);

9) sin ( 37t- а). 2

Зведіть до тригонометричної функції кута а:

1) cos( 3;

+а);

З) cos (1t- а);

2) ctg ( 3;

-а);

4) ctg

(а-

5) sin (180° 5

6) sin 2 ( ;

270°);

+а);

+а).

865.· Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу :

1) cos 12З 0 ;

З) cos (-218°);

2) sin 216°;

4) cos 5; .

866. · Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:

1) tg 124°;

867:

З)

ctg (-0, 7n);

4) sш . 141t .

4) cos{- ~Jt).

cos (-150°);

4) sin{- ;).

2) sin 240°;

З) cos 51t ·

2) ctg

З)

Обчисліть :

1) tg 210°;

..__ 869. а

(-З05°);

Обчисліть:

1) cos 225°;

868. а

2) sin

З15°;

Спростіть вираз:

4 ) sin(Jt-a);

1) sin{i-a)+cos(Jt-a);

cos(i+a) 3

2) tg(i+a)ctg{ ;

З) 870. а

-а);

5) cos2 (1t+a)+cos2 {i-a);

sin(n+a)cos{ ;+a);

6) sin{i+a)-sin{ ;

Спростіть вираз:

1) tg {i+a)-ctg (п-а); 2) sin (270° -

а)

+ cos (270° +

а);

278

+а).

41. Формули зведення

3) sin (i+a}+cos (п+a)+tg (з; -a.}+ctg (2п-а.); 4)

sin 2 (п-a.)+sin 2 (з; -а.).

871." Обчисліть: 1) 3 tg 135° - 2 sin 150° + tg 300° - 2 sin 240°; 2) sin 2 З15° cosЗ00°+tg ( -З15°). sin (-120°) cos 150° ' 3) sin 51t cos 5Jt tg (- 21t}ctg 41t · 4

4) 5

з'

sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100° sin 21 о сов 9° + cos 159° cos 99° cos 66° cos 6° + cos 84о cos 24 о cos 65° cos 5°+ cos 85° cos 25°.

) 872. • Знайдіть значення виразу: 1) 4 cos 225° - 6 cos 120° + 3 ctg 300° + tg 240°; ) 6cos2 ( -240°)ctg 210°; sin (-З00°) сов2 180° 3) sin 71t cos 27t tg 47t ctg 71t · 2

)

cos64°COS4°-cos86°coв26°

сов 71 о сов 41 о- cos 49° cos 19° 873." Спростіть вираз: ) sin(7t+tt)cos(2n-a); 1 tg (1t -а) сов (1t -а)

2) sin (п-~) cos(~- i}-sin(i+~} cos (п-~); 3) sin (90° +

а.)

sin (180° -

а.)

(tg (180° +

а.)

+ tg (270° -

а.));

4) sin (а-і) sin (a+i}-sin 2 (a-1t) sin 2 (a+1t)-cos 2 (a.+n) cos2 (a- з;}; 5) sin 2 (1t-X)+ tg 2 (1t-X) tg 2 ( З; +Х )+sin (i+x}cos (X-21t); 6) ( sin(i-x}+sin

(п-х) У+( cos(З27t -х}+соs(2п-х) У;

tg (п-x)sin (з;+ х}

cos(п+x)ctg (з; +х}'

279

§ 4. Тригонометричні функції

. 2(3Іt )

8) вtn 2+х +

2 ctg (x-27t)

віn2(-х) .

ctg2(x-з;)'

ctg (і-а){віn (~-а)+віn (1t+<x)}. ) ctg (1t+а)(сов (21t +а)-віn (21t-a))' 2

2 вin (1t- а) 10) (ctg(6,51t-a)cos(-a)+cos(1t-a))2 + ; tg(a-1t) •

вtn

ll) 8

87·&." 1)

-1 (

2 -а

) +вш . (а- 1t)

2 .

008 - 1 (а+ з;)+еов(а- з;)

Доведіть тотожність: вin(1t-a)вin(a+21t)

tg(7t+a)coв(~+a)

-cosa;

2) sin(1t+x)cos(i-x )+cos(21t+x)sin(з; +х)=-1; З)

tg (180°- а) сов (180°- а) tg (90°- а)= ; 1 віn (90° +а) ctg (90° +а) tg (90° +а)

4) sin (21t-q>) tg (з; -q>)-cos(q>-1t)-sin (q>-1t) = sin q>; 5)

tg (.!!.-а) сов (З1t -а) сов (27t -а)

ctg (1t+ а) віn (з; +а)

=sша;

. tg (З1t +а) 6) вш(7t+а) 2 +t (1t-a)=-1; . (З1t -а ) ctg (1t -а) g вш

вin(7t-a)coв(7t+a)tg(7t-a)

віn (~-a)ctg (~+а)сов(~+а) . -2(

sш

З1t)

а-2 +cos

-2(

51t)

-1;

а+2 = lвinacosal'

875.- Обчисліть: 1) ctg 5° ctg 15° ctg 25° · ... · ctg 75° ctg 85°; 2) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ... + tg 160° + tg 180°; 3) sin 0° + sin 1° + sin 2° + ... + sin 359° + sin 360°. 280

42. Формул1о1 подвійного, потрійного і nоловинного аргументів

- - - ·-·-·- ---·--М76:· Обчисліть:

1) sin 110° + sin 1ЗОО + sin 1500 + ... + sin 2300 + sin 250° + sin 270°; зоо

2) tg 10° tg 20° tg0 З)

877.-

ctg 15° + ctg

..... tg 70° tg 80°;

+ ctg 45° + ... + ctg 165°.

З0°

Доведіть тотожність:

сов {~+а) 3 +sin {!+а) tg {!_а) =1; 2

tg2{i-a) 2)

З) 878.-

=_!ctg2a; 2 3 cos•{a- ;)+віn•(а+ 2 5 2 2 5 2 3 sin { ; -a)(tg a-1) ctg{a- ;}вш- ( : сов (a-tt)

Jt)-t

+а)=2.

Знайдіть значення виразу

cos2 А+ сов2 31t + сов2 З1t + сов2 М н

879:· Спростіть

n·

вираз:

сов2 (~+а)+сов2 (~ -а)+віn{ 3; - a)cos(3; +а) tg(1t+a);

с~:(2Оо-а) +tg(a+l0°)ctg(80°-a). вш (70°+а)

Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів ФормуJІИ, які виражають тригонометричні функції аргумен ту 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами подвійвоrо арrумевту.

~формулах додавання

сов (а

~)=сов а сов ~

- · віn а sin ~.

віn (а+~)= віn а сов~+ віn ~сов а,

t (a+R)= tga+tgJ3 g

1- tga tgJ3

покладемо ~ = а.

281

§ 4. Тригонометричні функції Отримаємо :

cos 2а = cos2 а - sin2 а sin 2а = 2 sin a'cos а

Ці формули відповідно називають формуJІ8МИ косинуса, синуса і тавrевса подвійвого аргументу.

Оскільки cos 2 а= 1- sin 2 а і sin 2 а= 1 - cos2 а, то з формули cos 2а = cos 2 а- sin 2 а отримуємо ще дві формули:

cos 2а = 1 - 2 sin2 а cos 2а = 2 cos2 а - 1 Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:

1 - cos 2а

= 2 sin2 а

1+cos2a=2cos2 a або в такому вигляді:

----·---------------------, •

SID

а=

cos 2 а=

1-cos2a.

2 l+cos2a.

Дві останні формули називають формулами повижеввя сте пени.

ПРИКЛАД 1 Виразіть дану тригонометричну функцію через функ

ції вдвічі меншого аргументу:

cos~;

tg(~+a).

Розв'язання. 1) Маємо: ~=2·~· Тоді cos~=cos 2 ~-sin 2 ~; 2) Маємо: ~+а=2· ( ~+~. ) Тоді tg (!!.+а ) = 3

282

2tg(~+~)

6 2 .

1-tg2 (~+~)

42. Формули nодвійного, потрійного і половинного арrументів ПРf

ЛАД

Сnростіть вираз:

З) сов4 а- sin4 а;

cosa sin а

2 cos

5) tg

4) 1 - 8 sin2 13 cos2 13:

- ctg

а;

2 cos:z а - 1

tg{: -а) sin (: +а)

Розв'яз а н. uя.

1) Застосовуючи формулу Jtосинуса подвійкого cos2x=cos2 x-sin 2 x і формулу різниці квадратів,

аргументу отримуємо:

cosa .а а sш - -cos -

2) кута

.а а sш - -cos -

sin - -cos2 2

Застосовуючи формулу синуса подвійвого аргументу для а

отримуємо:

sin а

- --= 2 2 cos ~

. а а 2 sm 2 cos 2

2oos

sш

2 а --=tg - .

cos ~

;

3) cos~ а - sin 4 а= (cos 2 а - sin 2 а) (cos2 ех

+ sin2

а) =

cos 2а.

4) 1 - 8 sin2 13 сов2 13 = 1 - 2 · 4 sin j3 cos2 13 = 1 - 2 sin2 2Р =сов 4j3. 2

sin а cos а sin a - cos a =-----= =_;;.;..__,;_;;..:;_~ cos а sin а cos а sin а 2

5) t g

а -сt g а

2cos 2а 2sino:cosa

cos2a sin acosa

2cos2a t _s_in_2_a_ =-2 с g 2а.

6) Оскільки сума аргументів ~-а і :

а дорівнює ~· то

sin(~+a)=cos{~-a). Тоді

cos2a

= 2·

sin (~ -а) cos cos(~-a)

cos2a

( 1t 2

)

= 2 sin (~ -а) cos ( ~ - а) .

--(1

Застосувавши формулу синуса подвійного аргументу до кута

41t

а,

•

отримуємо.

283

§ 4. Тригонометричні функції

ПР

cos2a

2 sin (~ -a)cos(~-a)

sin(Ш-2а}

ОбчисЛіть

КЛ

cos2~ = l. cos2a

1-tg2 ~

8 tg~

Розв'язан.н.я. Застосовуючи формулу тангенса подвійного

1 - tg 2 ~ 8 аргументу, отримуємо:

tg~

=2·

1- tg 2 ~ 8=

2tg~

2 tg

(2. ~)

- 2 ----2.

tg~

1) 1 + cos 4а; 1 - sin а. Розв'язан.н.я. 1) Застосовуючи формулу 1 + cos 2х = 2 cos2 х. 2 отримуємо: 1 + cos 4а =2 cos 2а. 2) Застосовуючи формулу 1 - cos 2х = 2sin2 х, отримуємо: 1 - cos ба= 2sin2 За. ПР'

ЮІАД

2) 1 - cos

Подайте у виrляді добутку вираз:

ба ; З)

З) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус

і застосуємо формулу 1- cos 2х = 2 sin2 х:

1-sin а= 1-cos{i-a

)= 2sin (~-%)·

Спростіть вираз 2sin2 (45°- а)

+ sin

2а.

Розв'lІ. з оннл. Застосуємо формулу пониження степева для синуса, а потім формулу зведення . Оrримуємо:

2sin2 (45° - а)+ sin 2а = 1 - cos (90° - 2а) + sin 2а = = 1 - sin 2а + sin 2а = 1.

ПРИ Л

Доведіть тотожність

1 t cos~ -sin!! 2 2 - ctg а . 4 1-cos!! -sin~

Розв'язан.н.я. Маємо:

(

1 tcos~-sin~ 2cos2 ~-2sin~ cos~ 2 2= 4 4 4 1-cos~ -sin!! 2sin2 ~-2sin~ cos~ 2 2 4 4 4 4

а cos -а sш а) cos4 ·

2 sш

sш

-cos4

284

)

а• -ctg-

42. Формули ПРИКЛАД

подвійного, потрійного і половинного аргументів

Доведіть тотожmсть

sin 32а . 32sin а

cos а cos 2о. cos 4а cos 8а cos lба =

Розв'яза пн.R.. Ломвожимо і поділимо ліву частІшу даної рівності на

sin

а та багаторазово застосуємо формулу синуса по·

двійного аргумев1'у:

cosacos 2acos 4a cos 8а cos 16а =

sinacosacos2acoв4acos8acos 16<x

sша

sin 2а cos 2а cos 4а cos 8а cos 16а sin 4а cos 4а cos 8а cos 16« = 2sin а 4sin а sin 8а cos 8а cos 16а sin 16а cos 16а sin 32а = = - - - - -8sina 16sina 32 sin а·

Формули , які виражають тригонометричні функції аргумен

ту За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами nотрійвою аргументу.

= sin (2а + а) = sin 2а сов а + cos 2а sin а = =2 sinacoвacosa+(l - 2 sin2 a)sin а = 2 sinacoв2 a+sin_a - 2 sin8 а = = 2sina(l - sin2 a)+sina - 2sin3 a = 2sina - 2 sin8 a + sina - 2sin8 а = =З sin а - 4 sin8 а. Маємо:

sin

За

Оrже,

sin За= Зsin а- 4sin 8 а Цю формулу називають формупою синуса nотрійвоrо аргу менту .

Маємо: cos За= cos (2а + а)= cos 2а cos а- sin 2а sin а= = (2 сов2 а - 1) сов а - 2 сов а sin а sin а = 2 соваа - сов а - 2 сов а (і - ~ а) = 2 сов8 а - сов а - 2 сов а + 2 сов3 а = 4 сова а - З сов а. Оrже,

[ cos За = 4cos3

а- 3cos а

Цю формулу називають формулою косивуса nотрій:в.оrо ар rу.мепту.

АДАЧА

Доведіть тотоЖJdсn 4 сов а сов (00° - а) сов (60? +а) =

= сов За. Розв'язан.н.я. Застосувавши формули косинуса різниці і ко синуса суми, отримуємо :

= 4 сов

а (сов

4cos а cos (60°- а) cos (60° + а) = 00° сов а + sin ООО sin а) (сов 00° cos.a- sin 60° sin а) = 285

§ 4. Тригонометричніф}'І-!КЦЇЇ

----------------

= 4 сова (cos2 60° сов2 а - віn 2 60° sin 2 а) =4 сова{~ cos2 a-~вin 2 а)=

= сов а- З сов а віn а = cos3 а - 3З cos а (1 - cos2 а) = =1• 1.Jii~ а З сов ех + З сов а =4 cos а - З cos а =cos За. 3

Доведіть ріввість

16cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.

Розв'язання. Маємо: 16сов

20° cos 40°

сов

60°

сов

80° =

=16 • ~cos 20° сов 40. сов 80° =8 сов 20° cos 40° сов 80°. Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосу 0

вати тотожність, доведену в ключовій задачі цього nунхту (при

а -=

20°): 8cos 20°

сов

40°

сов

80° == 2

сов (З· 20°) =

Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, ях при

розв'язуванні приклада

8 sin 20° сов 20° cos 40° cos 80° 16 сов 200 cos 400 cos 600cos 800 = . 20о sm 4 sin 40° cos 40° сов 80° sin20°

2 sin 80° cos 80°

sin 160° sin 20°

sin (180° - 20°) sin 20°

Формули, яхі виражають тригонометричні фунхції аргумен

ту і через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами половиввою арrумевту .

Замінивши у формулах пониження степени а на і· отримуємо: .

вш

2а

1-cosa 2 •

2а

l +cosa

cos

2 =- -2---

Почлевне ділення nершої рівності на другу nризводить до формули

2~_1-cosa

g 2 -l +cosa·

Тепер можна заnнеати

2 І san. 2а І =Jt-cosa

286

42. Формули

подвійного, потрійного і половинного аргументів

а І =~l+cosa

СО82

cos а l+cosa І t g ~2 І = /1~------------------

Ці формули називають відповідно формуламн синуса, косинуса і тавrевса половиввоrо арrумевту.

ПРИКЛАД 9 Дано: tgЗа=З~, 60° <а< 90°. Знайдіть sin з;. cos За , tg За .

Розв'язання.

cos2за= 49 . 625 Оскільки 60°

Маємо:

<а<

90°,

то

180°

<За<

270°.

Отже,

cos

За< О.

Тоді cos3a=- ; 5 . Оскільки 90°< з:< 1З5°, то sin з: >0, а cos з: <0. Тоді: .

За ~1- cos За

sш 2 =

cos За =-~1+cos3a 2 2 . За

2 1 + 25 = 5'

=-~!( 1 - 257) =-!5' 2 За

sш2

4 tg 2 =-з;;= -з · cos -

ПРИКЛАД

Знайдіть sin 22°ЗО' і cos 22°ЗО'.

Розв'язання. Використовуючи формули половинноrо аргу менту, отримуємо:

2 -J2 = Ji;J2. sin22°З0'= v/1-cos2 45o =~!(1J2)=~ 2 2 4 2 •

соs22оЗО'=

l+cos45o = !(1+ J2)=~2+J2 = .J2;J2 2 2 2 4 2 . 287

4.Три~ичнІфун~ї

1-сова . ~1+cosa . 1---+

ПРИК:ЛАД

1+сова

1-cosa

1+сова

Розв'язання. Маємо:

1-сова

2віn ~сов~

Маємо: sin а =.---=2=------=2:-· sa' za віn 2+сов

Припустивmи, що сов% 'І: О,

поділимо чисельник і знаменник

отримаиоrо дробу ва cos2 і: 2в1n!!.соа~

сов2~

віn а= -----'2"---

sin2 ~ +сов 2 ~

сов.. ~

Отже,

sina=

Маємо: сов а=

2tg!! 2 1+tg 2 ~ 2

cos 2 ~-sin 2 ~

cos ~ + sin ~ 2

Припустивmи, що cosj- ~О, поділимо чисельник і знаменник отримавого дробу на cos2

%: 288

42. Формули подвійного,

потрійного і половинного дрrументів

сов2 !! сов а = - - - - '2=---2 <Х

• 2 <1

2<Х

COS 2+8Ш СО8

1- tg 2 ~ =---2=-

1+tg 2

2<Х

Оrже,

П Р И КЛ Ад

Даво:

tg ГI

=3 . 3· наидІТJ> sm а + сов а. V

•

2 tg~ Розв'язання. Маємо:

sina= 1+tg

oosu.=

1 - tg

1- 9

~ =-- =-<>,8. l+tg 2 2 1+ 9

nР~1kЛАД 1 • Зn< .... < 1 2 Uo

2· 3

+ = 0,6; 9

Toд1 sm а + сов а= 0,6 - 0,8 = - 0,2.

Знайдіть ооз 2а, якщо 2 ctg-2 а

+ 7 ctg

З = О

7n 4 .

Ро з в'язання. Розглянемо дану рівність як квадратне рівнян

ня відносно ctg а.. Знаходимо ctg а. =-~ або ctg а = -З.

Оскільки з; < а< 7: , то ctg а > ctg 7 n = -1 (нагадаємо, що коли а і~ - кути виnадку

4 IV чверті і а < ~.то ctg а > ctg ~).Отже, у даному

1 ctga.= -, tg 2

а.=

- 2.

Тоді

2 1- 4 3 cos2a= 1- tg 2 a =--=--.

1+tg a

1+4

І Вправи 880: Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:

сов а.;

2) sin

За; З)

tgi; 4) cos 289

8а; 5) sin(2.r-~):

6)tg7a..

§ 4. Тригонометричні функції

881. • Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:

1) sin 10а;

(а -13);

2) sin

882.о

З) cos~; 4)

віn2а

сов

віn2а 2 • 2 а-sш

З) cos 2а

+ sin2 а;

віn50°

11) 12

сов 44° + яіn 22° 2

сов 22°

)

;

(sin~+cos~}(sin~-cos~); вinacosa.

7) 1-2 sin 2 ~4'

15)

віn 2а

1З) cos•(~-a)-sin•(~-a); 14)

883. о

вin 2 actga

1-2віn 2 а'

6) cosa-sina ;

)

12а.

(віn а+ сов а) - віn 2а

сов2а

6) tg

10) (sin <Р - cos <Р)2 + sin 2<Р;

4) 2сов25°' 5)

З;

Спростіть вираз:

1 ) віnа; 2)

cos(~-20°);

5) tg

віn2а ; сов 2 а tga

cos2a+2вin 2 a

tg(45°+a) . 1-tg2 (45°+a)'

16) 4 sin а cos3 а - 4 sin3 а cos а.

Спростіть вираз:

віn 80°.

cos40°'

l+вin 2а

)

(віnа+сова) 2 '

9) sinacosa(cos 2 a-sin 2 а); віn4а

З) cos 413 + sin 2 2j3;

4) 2 sin 20° cos 20°;

11)

5) cos 2 1()(p- sin 2 1()(p;

12) sin 2 (13- 45°)- cos 2(l3- 45°);

6) cos6a+2sin 2 За;

1З)

4sinisin(90°-i)sin(270°-a);

14)

2 tg l,Ба . l+tg 2 l,Ба

cos70°

cos 35° + віn 35°'

)

сов•а-віn•а'

sin(~-a)cos(~-a);

290

42. Формули

884.о

подвійного, потрійного і половинного аргументів

Обчисліть:

2tg165° 5 ) 1-tg2 165°;

3) 1-2sin 2 ~·

12'

2) caf 15° - sin2 15°;

4) sin 22°30' сов

1-tg2 15° 6) tg15o •

2~30';

Н85." Обчисліть:

1) cos 2 22°30' - sin2 22°30';

3) 2 sin Зп cos Зп •

2tg 75° 2 ) 1-tg2 75°;

4) 1-2cos2 ~.

886." Знайдіть sin 2а, якщо sin а = -0,6 і з; <а< 2п. R8'"''. • З на йдіть sш . 2 а,

якщо соsа=-

б · п

1 з 1 2 <а< п.

888." Знайдіть cos 2а, якщо cosa=i· R89: Знайдіть cos 2а, якщо sina=-~· 890."

Знайдіть

1) tg

891."

а=

2а, якщо:

Знайдіть

2) sina=

1)ctga=2; 892." Подайте у

2) cosa=-~ і п<а<з;. вигляді добутку вираз:

1) 1 - cos 4а; 2) 1+cosi; 893.·

Вх;

2) 1+cos12a;

3) 1 + cos 40°;

4) 1-sin%.

sin 2 ~;

3)sin2 (2x-15°);

Понизьте степінь виразу:

1) sin2 5х; 896.о

4) 1 + sin 2а.

Понизьте степінь виразу:

1) cos2 895.

3) 1- cos 50°;

Подайте у вигляді добутку вираз:

1) 1-cosS:; 894."

Jf і О<а<і·

2) cos2 ~;

Доведіть тотожність:

1) 2 sin2 а + cos 2а = 1; 2) ctg За (1 - сов ба)

=sin 6а;

) 1-cos2a 2. 2

sin a ' 1-cos4a t 22 4 ) 1+cos4a = g а.

291

cos 2 (i+~).

§ 4. Тригонометричні функції 8Н7 .

Спростіть вираз:

2 ) 1 +.cos 8а.

1) 2 sin2 (135° - а) - sin 2а;

sш8а

898." Знайдіть sin а, cos а, tg а, якщо tg~=5. МНН.

cos

Знайдіть

2а, якщо

= -3.

900." Дано: cos 2а = -0,6, і< а< n. Знайдіть sin а і cos а.

!ЮІ . · Дано: cosa=~, 002." Знайдіть: 1) sin 15°; 2) cos 15°; 003." Спростіть

5) tg 112°30';

3) tg 75°; 4) cos 75°;

6) tgf.

вираз:

) 4tga(1-tg 2 a). (1+tg 2 a) 2 '

1 ) sin За_ сов За; sina сова

2) _

6) tg2atga. tg2a-tga'

_;;1=---,

ctg~-tg~

3) (tg

+ ctg

а)

sin

2а;

4 ) 1-tga -1+tga;

sin 4 a-cos4 а+сов2 а ) 2(1-cosa)

2cos(~-~)cos(~+~) 4 2 4 2 •

!Ю4: Спростіть вираз:

) . 4) ( cosa + сова sш2а; . . 1 +sша 1 -s1na

) cos6a+sin6a. sin 2а cos 2а'

2cos2a ctga-tga'

5) (ctg

005."

2 (

cos(~+2a)

1-tga'

5 2 5 : -2a)-cos ( : +2a)=sin 4а;

2) 1 + 2 cos 2а + cos 4а = 4cos2 а cos 2а;

3 ) 1--~os 4а + ~ ~~os 4а cos 2а-1 s1n ) 1+sin2a-cos2a 4 1+sin2a+cos2a

2а) 2

Доведіть тотожність:

1) cos

ctg

сов 2а + 1-cos а 6) --.,------.,,---

3)~+~· 1+tga

а-

2а-1

=2;

t ga; 292

sin

2а;

42. Формули

подвійного. п.отрійного і половинного арrумеFtтів

sin 2 2a+4sin2a-4 1 -ctg4 a; 2 1-8sin a-cos4a 2 cos(4a-~}sin ( 5; +2а} 6) = tga; (1 + cos 2а) (1 + cos 4а) cos4a+1 1 . 7) - - - - =- SID 4 а; ctga-tga 2 8 ) 2cos2a-s~n4a=tg 2 ( 45 o_a). 2cos 2а + sш 4а 906. • Доведіть тотожність: 5 5 1) sin 2( Jt -4a)-sin 2( : +4а) = -sin 8а; 4 2) 1- 2cos За+соs ба= -4sin 2 З: cos За; 5)

sin 2 (4a-~} 2

1 . 8

ctg(з; -2a}нg(32Jt +2а} =-4sш а;

2sin a-sin 2а 2sin a+sin 2а

907."

Доведіть, що

tg2~2.

tg 15° + ctg 15° = 4.

908." Доведіть, що tg75°-ctg75°=2Гз. 909." Доведіть тотожність: 3 ) sin a+sin3a cos3 a-cos3a sin 3 a+sin3a t 1) 3 2 cosa + sina ; cos3 a-cos3a =с ga. С}

() • Д . 1 . ОВеДІТЬ

ТОТОЖНІСТЬ

. ~~ 4 . 3 s1n ..u + s1n а cos3a-4cos3 а

сов ..u- сов а

sin3a+sin

•

Jf, 135° < а < 180°. Знайдіть sin а. В12." Дано: sina=- Jf, 90°<%'<135°. Знайдіть cos%-.

911."

Дано:

sin 2а =-

913." Дано: tg%'=6. Знайдіть sin а- сов а. 914." Обчисліть 2-13cos2a+-.-1- , якщо ctga=-!. s1n2a 5 3 915." Обчисліть 1+5sin2a--- , якщо tg а= -2. cos2a 916."" Знайдіть sin 2а, якщо cos а+ sin а = ~.

293

§ 4. Тригонометричні функції

•• 917 . 3 иаид1ть u

918. ••

• а а 1 sш а, якщо cos2-sш2=-2·

•

Спростіть вираз:

1) cos4 а- 6sin2 а cos 2 а cos2a 2)---ctg a-sin 2а'

+ sin4

а;

З) 2sin4a(1-tg 2a). 1 + ctg 2( + 2а) ' 2

sin 2 2а+ 4 sin 4 а -4 sin 2 а cos 2а 4) -----~----~---4-sin2 2a-4sin 2 a 2cos 2 a-1 5) --~--~--~--~ 2 2 ctg{~-a) sin (~-a)'

6) 919.""

2sin2 4a-1 5 2 ctg ( ~ + 4а) cos 2( 1t 4

-~-~-~-~

4а) •

Спростіть вираз :

cos2a . l) sin 22а (ctg 2 а- tg 2 а)'

сова

з) - - - - - , tg2 ~-ctg2 ~ 2 2

920."" 1)

Доведіть, що:

sin18°cosЗ6°=~;

2) 8cos!!.cos 2 Jt cos 4 n = 1· 9

•

З) cos!!.cos 4 Jt cos бJt = .!. 7

4) sin6°sin42°cos12°cos24°= 1 ; 16

cosacos2acos4acos8acos16acosЗ2a=

294

sin64a . • 64 sma

42. Формули подвійного,

------- ---------921:·

потрійного і половинного арrументів

Доведіть, що:

1) sin54°cos72°=~; 2) 8cos~cos 2п соs 4 п =-1· 7 7 7 • sin24a З) cos3acos6acos12a= . 9 ~; 8 810 ou. п 2п Зп 7п 1 4) cos 15 сов 15 cos 15 •... • cos 15 = 128.

922... Доведіть тотожність: 1) З + 4 cos 4а + cos Ва = 8 cos 4 2а; соs (4а-Зп)-4соs (2а-п)+З t 42 2) -~---=---~--..:.._= g а; 2 2 COS (4a +Зп)+ 4 COS (2a + 7t)-1 4 sin 4(2а - .?~} 2 З) = -2 ctg2 2а. 4 4 5 siq (2a- ~}+cos ( ; -2а}-1 923. •• Спростіть вираз: cos 4a-sin 4 a-cos2 a З) ..;..;....;;.......;._....;.__..;;._--'-~ 1 ) З+4cosa+cos2a 2(cosa-1) З-4cosa+cos2a' соs (а-л) . 2) --~--~~~----. 4(«+2 Зп} -1 ' cos 4(а- Зп} +вш 2

924:· Спростіть

вираз:

1) ~(ctg2 a-tg 2 a)cos2a ·tg2a, я:кщо ~<а< і; 2) 925:·

sin 4а 1 ·---+1, ctga-tga sin2a

Зп

я:кщо --<а<п.

Спростіть вираз :

1) J<ctga-tga)2ctg2a •tg2a+2, я:кщо і<а< З п; 2)

926...

cos2a п Зп 2 2 , я:кщо -2 <а<-4. ctg a-tg а Доведіть тотожність:

о--

1) 4sin а sin (60°- а) sin (60° +а)= sin За; 2) 16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° =З; З) 4sin 20° sin 50° sin 70° l. sin80°

295

§ 4. Т~rоtЮМетричні функції

9:l7 :· Доведіть тотожність: о-- 1) tg а tg (60° - а) tg (60° + а) = tg За; 2) tg20°tg40°tg80°=.JЗ. 928."" Доведіть тотожність sin За sin3 а+ сов За cos3 а= cos8 2а. 929."

Доведіть тотожність sin3 2acos6a+cos3 2asin6a=~sin8a.

930.- Спростіть 1) 2)

З)

вираз:

Jo,5+0,5~0,5+0,5cosa, якщо О ~ а < n; сова

sina

--г====, якщо оо

~1-cos2a sin

~1+cos2a

(45° + ~}2

~1 - sina 9:5 І :· Спростіть

sin

< 9 0°;

(45°- ~)2 ' ЯІ<ЩО оо < а < goo.

~l+sina

вираз:

~2+~2+2cos4a, якщо О<а..;~;

~0,5+0,5J0,5+0,5~0,5+0,5cosa, якщо О< а..; n;

З) ~1+sin~-~1-sinf.9 , якщо i<f.9<1t.

9З2."' Знайдіть sin 2а, якщо 2 tg2 а - 7 tg а + З = О і

5 :

<а< 8 n. 2

на:-\:· Дано: sina+cosa=l· Знайдіть tgi· 934.*

Обчисліть

sin 18°.

Формули для перетворення суми І рІзницІ

тригонометричних функцій у добуток У цьому пункті ми розглянемо форму.ли, ЯІ<і дозволяють пере

творити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток. Запишемо формулн додавання для синуса:

sin

(х

у) =

sin

(х

у)

sin

х сов у

+ сов

= sin х cos у -

cos

sin

у,

(1)

sin

у.

(2)

Додаючи почленно ліві і праві частини цих рівностей, отримаємо:

sin

(х + у)+

sin

(х - у)=

296

2sin

cos

у.

(З)

43.

Формули для перетворення суми і різниці у добуток

Введемо позначення: х +у= а,

13·

х-у=

ВІДСИ

а+Р

Х=--,

а-Р у=--. Зазначимо, що а і

13 можуть набува-

ти будь-яких значень.

Тоді рівність (З) можна переписати так:

а+Р

sin а+ sin 13 = 2 sin2-

а-Р

соs-г

Цю тотожність називають формупою суми синусів. Віднімемо почленно від рівності (1)1-рівність віn(х

+ у) -

віn(х

у)

(2):

2совх віnу.

Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отри маємо рівність, яку називають формупою різниці синусів:

І sina-slnP~2slв~ooв";P І Запишемо формули додавання для косинуса:

сов (х

+ у)

= сов х сов у -

cos

= cos

(х

у)

cos

sin

+ sin

х віn у, х

sin

у.

Додаючи і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отри муємо:

Звідси,

cos (х + у) + сов (х - у) = 2 cos х cos у; cos (х + у) - cos (х - у) = -2 sin х віn у. ввівши позначення х + у = а і х - у = 13,

(4) (5) отримаємо

відповідно формупи суми і різниці косинусів:

а+Р а-Р - cos-cos а+ cosj3 = 2 cos-

А . а-Р . а+І3 cosa-cos..,=-sІn-2 sІn-

Перетворимо у добуток вираз

tg а

+ tg 13.

Маємо:

А-

sina sinP _ sinacosl}+cosasinP _ віn(а+Р) . cos а cos Р сов а сов р cos а сов р

t ga+ t g..,---+--Рівність

t a+t А= sin(a+P)

g.., cosacosp

називають формупою суми тавrенсів.

297

§ 4. Тригоне>метри'-!ні функції Аналогічно можна довести такі три рівності:

t a-t А= sin(a-p) g g.., соваеовР sin(a+P)

ctga+ctg~= ~tiвuвinP .

ctg a.- ctg Р =

sin ф-а)

ваnавш

...

Ух називають формулами відповідно різ-ці тавrевсlв, сумв котавrевсів, різниці котавrевсів.

ПРИКЛАД

Перетворіть у добуток: 1) 1 + tg а; 2)

J3- 2 $in а,

Р • зв'язанн.я

1) 1+tga= tg~+tga= 4

sin (~+а.) 4

.J2 sin (~+а) 4

сова

сов4сова

;

J3 -2sin а=2( ~ -sina) =2(sin~-sina)= ~-а

.?!+а

. З . (Jt З а) cos (Jt-+-. а) = 2 · 2 sln--cos--= 4 sш --П ИКЛА.Д

Uеретоорjть у добуто1t Blfpaз sin За+

Р v .,j н я .J а н н я. Переtt·воримо суму віn За

sin Ба+ sin 7а. + sin 7а у добуток .

Маємо:

sin Зn+ sin 7a.+sin Ба.= 2sin Ба cos 2a+sin5n = 2sin5n (cos2a.+~).

Подамо ~ як cosi. Маємо: 2sin oo(cos 2а+~)= 2sin oo(cos2a+cosi)= =2 sin. Ба · 2 cos{a+ ~) cos(a.- ~)=4 sin Ба cos{a.+~)cos(a.-~). ПРИКЛДД

Доведіть тотожність

= sin 2а sin 2~.

sin2 (а. +

J3) - sin2

(а -

J3) =

Розв'язання. Застосуємо формули поиижеввя стеnевя, потім перетворимо отриману різницю косинусів:

. 2 s1n

(

+ ..,-s1n А) • 2 ( а -

А) ..,

1-cos(2a+2P) 1-cos(2a-2P) = 2 2

298

43. Формули дпя перетворення суми і різниці у добуток

1-cos(2a+2J})- l+cos(2a - 2~)

сов (2a-2J})-cos (2a+2f')

. 2a-2f'+2a+2P . 2a-2P-2a - 2J}

=-sm n~

ДоВеді'JІЬ, ЩО КОЛИ а

kJ1

tili\ 2 а

+- sin1

sш

. <>А 2astn .....,.

+ J3 + у =1t, то: + 2 cos а cos f3 cos у.

р + sin у = 2

• . 2 • 2n . 2 1-cos2a 1-cos2f} . 2 . р озвязан.ня. sш а+sш .., +вш "(= + +sш у= 2

cos2a+cos2f' . 2 1 =1+SШ "(=1-cos(a+J3)coв(a-J3)+l- C08 "( = 2 2 = 2 - СО8 (1t- у) COS (а - J3) - COS 2 у== 2 + СО8 у COS (а - J3) - СО8 у=

= 2 + соsу(оов (а - J3)- сову)= 2 + соsу(оов (а- f3} - сов (n- (а+ f3))) = + сов у (cos (а - 13) + cos (а + J3)) = 2 + 2 cos у cos а сов р.

Вnрави

935:

Перетворіть у добуток:

1) cos 2а - сов 4а;

5) cos(i+a}+cos(i-a};

2) sin J3 + sin 4f3;

6) tg

з ) cos 4) ctg 936."

+cos

5а

- ctg

;

tg (а - 30°);

7) ctg (45° -

а)-

ctg (45° +а).

а;

Перетворіть у добуток:

1) cos 16° - cos 36°;

5) sin (а + J3) - sin (а - J3);

2) sin 28° + sin 12°;

6) sin(i+a)+sin(i-a);

3) cos За

+ сов 5а;

cos(i+a)-cos(~-a).

З)

sin

4) ctg 55° - ctg 15°;

937: Перетворіть у добуток: 1) sin 20° + сов 20°; 1t

•

2) cos -stn

938. • Перетворіть у добуток: 1) sin 25° + cos 55°; 2) cos 22° - sin 66°;

- cos

а;

4) sin а

3) .s in а

+ cos р.

299

сов (а

- 60°).

§ 4. Тригонометричні функції 939." Спростіть вираз:

) sin Ва+ sin 2а . cos 8a+cos 2а'

940. о

віn

)

5a-sin а

сов 5а-сова'

74°-cos14°

Спростіть вираз:

) cos6a+cos4a. ) сова-совllа. 2 cos а. + сов 9а. ' віn 11а - віn а ' 941." Перетворіть у добуток: 1

cos 58° + сов З2° ) sin 58° + віn З2° ·

сов а;

З)

.J3 +2сова;

1-.J2 віnа; .J3 +ctg а.

З)

.J2 + 2сов а;

1) 1 - 2

942. о

сов

З) віn 74°+Sin 14° ·

Перетворіть у добуток:

1) 1 - 2

віn а;

.J3 -2сова;

4) .JЗ-tga.

943." Доведіть тотожність: 1)

совЗа-сов 4а- cos ба+ сов ба=- 4sin %sin а сов~;

сов{ з; +4а)+ sin (З1t-8a)-sin (41t-12a) = 4cos 2а cos 4а sin ба;

З) cos 2 а - cos 2

13 = віn

(а

+ 13) sin (13 -

а);

вina+вin3a+sin 5a+sin 7а t 4 ) - - - - - - - - - - - = g 4 а; cos а+ сов За+ сов 5а+ сов 7а 2

2(віn 2а+2сов а-1)

)

сов а. - віn а - сов За+ віn За =віn а '

1+сова+соs 2а+соsЗа б) ---------=---= 2 сов а;

сов а + 2 сов а - 1

(сов а- сов 13)2 + (sin а- sin І3) 2 = 4 віn 2 а; 13; 2

В) (sina-coвa) -1+sin4a

tga;

cos 2а +сов 4а 9)

10)

sina сова) соsа-сов7а _ . З . ---- . - -4 в1n а (віn 2а сов 2а віn а ' (cosa-cosЗa)(sina+sinЗa)_.

1 -сов 4 а

-в1n

. 2 а,

ll) sin(2a+2tt)+2вin(4a-tt)+sin(6a+4tt) =tg a. 4 cos (6tt- 2а) + 2 сов (4а- tt) +сов (ба- 4tt) зо о

43.

944.• Доведіть

Формули для перетворення суми і різниці у добуток

тотожність:

. 5 а+sш . ба+sш . 7 а+sш . 8 а= 4 cos а cosa sш. 13а -;

sш

. а . а+sш.:х.~.-sш . ~~ . 2а= 4 sш 2) sш

За

2 ; З) sina+sin~+sin(a-~)=4sin%cos~ cos а;Р; 2

cos

cosa

4) sin 2 а - sin 2 13 = sin (а + 13> sin (а ) сова-сов2а-сов4а+сов5а_ t За· 5 віn а-віn 2a-sin 4a+sin 5а- с g ' б) sina-sin3a-вin5a+sin7a coвa-cos3a+cos5a-cos7a

13);

-tg 2a· '

7) (sin a+sin ~) 2 +(cosa+cos~) 2 = 4cos 2 а;Р;

віn2асов4а(1+сов2а) (віn За+ віn а) (сов За+ сов 5а)

=!· 2'

(

віn4а 1 + -1- ) = 4 с t ga 9) - -сов4а)( -- -віn а сов а віn За віn а • 945: Доведіть тотожність: 1) ctg ба - ctg 4а + tg 2а = -ctg ба ctg 1 1 2) =ctg4a; tg3a+tga

4а

ctg3a+ctga

З) tga+ctga+tgЗa+ctgЗa= Вс_ов 2а. sш

Н46." Доведіть тотожність:

1) tg 2)

947:

За

- tg

1 tg3a+tga

2а

- tg 1

tg5a-tga

2а

За;

=sin2a.

Доведіть тотожність:

1) 1+sin a+cosa= 2.J2

= tg

cosicos(i-~);

1 +сов (4а- 2n)+cos {4а-і)

1+сов (4a+Jt)+cos {4а+ 32Jt)

=ctg 2а;

. 2(15n --g-2a) -cos2(17n -2а ) =- сов4а .J2 ;

З) sш

4) cos

(

5 2 1 ; +a)-sin ( :Jt +а)=

301

sin 2а.

2а;

§ 4. Тригонометричні функції

948:

Доведіть тотожність:

1) l-2cosa+coв2a=-4cosexsin 2 ~; 2) l-sina-cosex=2J2 sin~sin(~-45°);

З) sin 2 (~ +a)-sin 2 ( 1 ~x -а)= вinJ22a.. 949... Доведіть рівність tg 30° + tg 40° + tg 50° + tg 60° = ВсГаоо.

960. ••

Доведіть, що коли а

+ у = 1t,

то має місце тотожність:

1) sinex+sin P+sin у =4 сов~ cos~ cosi: 2ех

2) sin

+ sin

2Р

+ sin

2у

= 4 sin

ех

sin

З)

cosex+cosP+cos у= 1+4 віn jsin ~sin і:

сов 2ех

5) sin ех 2

сов 2Р

+ sin

+ сов

2у

= -1 -

4 cos

ех

cos

у;

р сов у;

sin у= 2 віn ех sin Р cos у. 2

н;, І . ·· Доведіть, що коли а+ Р +у = 7t, то має місце тотожність:

1) sin 4ех

+ sin 4fJ + sin 4у =-4 віn 2ех віn 2Р sin 2у; а+~

2) coscx+cosP+cos у = 1+4 cos - 3) cos* ех + cos Р + 2

а+у

~+у

сов -- cos -

-; 2 сов у= 1 - 2 сов ех сов Р сов у. 2

Н5:!." Доведіть, що коли a+P+y=j. то має місце тотожність:

cos2 ех + cos 2 р + сов 2 у = 2 + 2 sin а sin Р sin у.

Формули перетворення добутку трмrонометричних функцій у суму У п . 43 при доведеииі форхул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності:

+ у) + sin (х -

у)

+ у) + cos (х (х + у) - сов (х -

у)

віn (х сов (х сов

у)

302

= 2 sin х сов у; = 2 cos х сов у; = - 2 sin

sin

у.

44. Формули nеретворення добутку тригонометричних функцій у суму Перепишемо їх так:

sinxcos у =~(sin (х- y)+sin (.r+ у)) 1

cos х cos у =2 (cos(x- у)+ cos (х +

v»

Rin х яіn у = ~ (cos (х -у) - cos (х +у)) Ці тотожності вазивають формулами nеретворевил добутку

тркrоиометричпих фувкцій у суму. ПРИКЛАД 1 Перетворіть добуток у суму:

1) sin 15° 2)' вш

сов

10°;

п.п вш ;

cos

а сов За;

5) 2 sin

2а сов 5а.

4) 2 sin (а + f3) са~ (а - 13);

З)

Розв'язання

1) sin 15° coв10°=~(sin (15°-10°)+sin (15° + 10°)) =~ (sin 5°+sin 25°);

{n n))

п 1 ( сов ( 12-8 п} -сов 12 +8 = . п вш8=2 2) вш12

2!..}- cos 24 бп) = !2 {cos 2!.. - сов бп}· 24 24 ,

= ! (cos {2 24

З) сова cos За==~ (cos (а -3a)+cos(a+ За))=~ (cos 2а +сов 4а); 4) 2 sin (а+ Р> cos (а-13) = 2 · ~(віn (а+Р-а+Р) +віn (а+ Р+ а-р))== = sin 2Р + sin 2а; 5) 2 sin 2acos ба. =2 · ~(sin (2a-5a.)+sin (2а+ ба.))= =віn (-Зa)+sin 7а=віn 7a-sin За. ПРИКЛАд

Доведіть тотожиість :

4 cos

а сов

а)

(60° -

cos (60°

+ а) ;

сов За.

Розв'яз_ання. Двічі застосовуючи формулу перетвореИШІ добутку косивусів у суму, отримуємо:

==2 сов а (сов (60°-

а-

4 са1 а сов (60° - а) са1 (60" + 60° -а)+ cos (60° - а+ 60° +

а)

а))=

= 2 сова (cos 2а+ cos120°)= 2 cos а (сов 2а-~)= =2 1

сов а сов 2а

- cos

= cos а + cos За -

cos

Іншим способом ця тотожність була доведена в п.

303

= cos За.

42.

§ 4. Тригонометричні функції

ПРИКЛАД Доведітьтотожність sin 2 2a-cos(~-2a)sin(2a-~} = ~· Ро з в'язання. Застосуємо формули пониженвя степеня і пере творення добутку в суму:

sin2 2а- cos {~- 2а) sin (2а-~} = 1

~(sin{2a- ~-~+2a)+sin{2a-~+i- 2a})=

= - c;s a

= ! (1- cos 4a - sin (4a - .!!.} -sin.!!.) = !{1-cos 4a+ cos 4а-!) =! 2

ПРИkІІАД

Доведіть рівність п

coslї +сов

Зп

Бп

7п

+ cos 11 + cosll + cosїl = 2·

Розв'язання . Помножимо і поділимо ліву частину даної

рівності ва 2 sin 2 .

2 .

. Отримуємо:

Зn

57t 2 .

2 . n

7n 2 .

~lї~lї+~~~u+~п~ їl +~п~п+~ п ~п

. 1t 2 Slnll

Застосуємо формулу sin а сов~=~ (sin (а-~) +sin (а+~)) : . 2n

. 2n

sш ЇЇ - sшїl

. 4n

+ &n u

-в

u4n +

. бп . 61t . 8n sш ЇЇ - sш ЇЇ+ s1n

8n u - s1n. U +

. 101t

sш

2sin~

. 101t s1n- -

11 _ 1

11=

2 .

. sш

sш -

2 . 1t s1n 11

- 2·

nРИКЛАД Доведіть нерівність sin%sm%sin І ' ~' де а + ~ + у = 1t. Розв'язання . За умовою у = 1t - (а + ~) . Тоді

. а sш . f! sш . у =8Ul . а . f! . ( n а + /}) . а sm . /} cosа+/} sш sш - -- = sm - =

sш

= 1 ( cos-а-~ - -cos -а+/}) - cos-a+f! - = 1 ( cos-а --/} cos-а +-~ -cos2 -a+f!} - = 2 2 2 2 2 2 2 2 304

44. Формули nеретворення добутку тригонометричних функцій у суму

13 ( 1 сова - --сов13 а +-13 ) = 1 ( 1 сов2 -а - -2 4 2 2 2 2 . а . 13 . у~1 же. s1n- в1n- sln-..."-.

От

2 )

1 1 2 а - 13 1 2 . 4 сов -2 -~ 8 .

І Вправи _ 953. о Перетворіть добуток у суму: 1) сов 15° сов 5°; 4) 2) 2 сов (а. + 13) сов (а. - 13); 5) З) sin ба. сов 4а.; 954. о Перетворіть добуток у суму: 1) 2сов~соsі; 2)

віn

28°

віn

48°

віn (б0°

віn

74°; а.) віn (б0°

а.).

З) віn 5а. сов За.;

24 °;

955: Спростіть вираз: 1) 2 сов 20° сов 40° - сов 20°; 2) sin а. ( 1 + 2 сов 2а.); З) 2 сов а. сов 2а. - сов За.; 4) сов 2а. + 2 віn (а. + 30°) віn 956. о Спростіть вираз: 1) 2 віn 2а. віn а. + сов За.;

sin(~+a.)вin(~-a.).

(а.-

30°).

2) sin а.- 2 sin (~-__!!_)сов(~+__!!_). 2 12 2 12 957." Доведіть тотожність: 1) sin а. sin За. + sin 4а. sin 8а. = віn 7а.

віn 5а.;

2) sin (~+5а.) cos(~+ 2a.)-sin (~+а.) віn (~-6а.)= віn 4а. cos а.. 958." Доведіть тотожність: 1) сов За. сов ба. - сов 4а. 2) 959." 1)

сов

7а. = sin 1Оа. sin

а.;

2сов% віn {~+15°)сов{~-15°)=віn {45°+~)сов{45°- 3: Спростіть вираз:

віn 2 а.+сов {~-а.)сов{~+а.);

2) сов 2 а. + cos2 l3 - сов (а. + 13) сов (а. - 13); З) cos 2 (45° +а.)- cos 2 (З0°- а.)+ sin 15° віn (75°- 2а.) . 305

§ 4. Тригонометричні функції

960. ·

Спростіть вираз:

1) віn2 а + віn2 13 + сов (а + 13) сов (а - 13>; 2) oos 2 {45° - а) - cos2 (60° + а) - sin (75° - 2а) сов 75°. 961.••

Доведіть рівність:

1) cos 27t+cos 41t+cos 6 n=_!. 7 7 7 2'

2) sinl0°+sin20°+ ... +sin50°= ;~

81n

С(• • t•• д

.J ... .

•

171t 1 · oos 7t +cos 3Jt + ... +сов19=2 19 19

•

овед1ть р1вюсть

Гармонічні t<оли вання У поnередніх П}'ВJ(Тах ви ознайомилися з триrовометричними функціями у =

sin х, у= cos х та їх властивостями.

Розглядаючи

графіки ЦJІХ фувІЩій, можна згадаm , що в повсякденному житті ви бачили схожі криві та поверхні. Наприклад, хвилі на морі мають форМу, що вагадує синусоїду. І це не випадково. Багато фізичних величин періодично змінюються і можуть бути описаві

за допомогою тригонометричних функцій у =А у= А сов

(kx

+а), де А,

sin (kx

а ~ задаві числа , А"' О,

k"'

+ а)

або

О . У тако

му випадку говорять, що фізична величина здійснює rармовічве коJUUІаввя, а відповідuу тригонометричну функцію вазивають функцією rармовічвоrо коливання . Розглянемо рух точки зі сталою ненульовою швидкістю

по одиничному колу (рис.

195).

Нехай початкове положення

точки задається кутом а, тобто в nочатковий момент часу точка

0 (cos

має координати М

а; віn а) . За час

точка пройде по дузі

кола відстань vt . З озвачеввя радіанвої міри кута випливає, що довжина дуги одиничного кола, по якій перемістилася точка, дорівнює куту повороту початкової точки М • Тому через час

v t + а, а отже, точка матиме координати М (сов (vt + а); sin (vt + а)). Бачимо, що

положення точки ·визначатиметься кутом

кожна координата точки, яка рухається колом, визначає функцію гармонічного коливання: х У

= cos· (vt

+а), у =

sin (vt

+ а).

класі на уроках фізики ви вивчали коливальний рух,

зокрема рух математичного маятника (рис .

196).

Можна вста.ио

вити, що відхилення маятника від положення рівноваги визна·

ЗОб

45. Гармонічні

Рис.

195

Рис.

чається функцією у = А cos ( И

t ).

196

де А - величина відхилення

маятника від вертикалі у початковий момент часу, прпскорення вільного падіння ,

l -

коливання

g -

стала

довжина нитки маятника ,

час . Таким чином, коливання математичного маятника

t -

приклад гармонічного коливання.

Гармоиічні коливання також можна спостерігати при коли· ванні гирьки з пружиною; слухаючи музиІ<у, адже при цьому

в повітрі утворюються звукові хвилі; граючи на гітарі, бо струна набуває форми, близької до синусоїди; вивчаючи роботу електро приладів, оскільки змінний електричний струм також описується тригонометричними функціями, та в багатьох інmих випадках . Якщо у функції гармонічного коливання у = А у =А

cos (kx + а.)

числа А і

sin (kx

+ а.) або

є додатними , то число А називають

аМJШітудою гармонічного коливання, а число

k -

циКJІічною

частотою гармонічного коливання.

Оскільки у

= А сов (kx

тригонометричні

а.), де А

функції

з nроміжку [-А ; А], то амnлітуда гармонічного коливання nоказує най більше значення функції гармонічного коливання.

Оскільки головний період функцій

+ а.), у =А сов (kx + а.), де . ь додатне ЧИСЛО, ДОрІВНЮЄ k' ЩО

у =А віn

=А

sin (kx +

а.) ,

додатне число, набувають значень

(kx

разів відрізняється від головиого

періоду функцій у=

sin

хі у= сов х,

то циклічна частота

показує кіль-

307

§ 4. Тригонометричні функції кість головних періодів функції гармонічного коливання в одно му періоді функції у=

sin

х або у =

cos х .

Гармонічні коливання грають значну роль при вивченні бага тьох процесів. При цьому намагаються подати функцію складно го періодичного процесу як суму кількох функцій гармонічних коливань, які вважаються простішими. Наприклад, функцію, що описує складний музичний акорд, можна подати як суму функцій гармонічних коливань окремих нот, що складають цей

акорд. На цьому принципі nрацюють багато технічних пристроїв . Так, деякі типи радіопередавачів кодують інформацію у ви гляді окремих гармонічних коливань, випромінюючи у простір

хвилю, що є їх сумою. В іншому місці радіоnриймач виконує зворотний процес

подає отриманий сигнал як суму окремих

гармонічних коливань, що дозволяє відтворити nередану інфор мацію. Розділ математики, який вивчає rармонічні коливання, нази

вають •Гармонічний аналіз• . Якщо ви пов'яжете своє майбутнє з математикою, фізикою, технікою, то зможете озвайо!\4Птися з цим розДlлом у вищому навчальному закладі. ПРИКЛАД

Укажіть амплітуду А і циклічну частоту

н<Jго коливан11я, яке задається функцією:

rармоніч

y=-3sin(~-4x):

y =- 6cos(~-=} 8 2 '

Розв'язан.н.я

1) Можна

записати:

у= -3 sin (~- 4х} =3 sin (4х - ~). Оrже , А = 3, k = 4. 2)

Маємо:

-6 cos (і- і) =б cos (і - і+ Оrже, А = б, ПF-

І Л

7t)=б cos (і- 9:

k= 1 .

Доведіть, що функція у

= 3 sin 2х

+ 4 cos 2х є функ-

ціе10 гармонічного коливаиия.

Розв'язан.н.я. Запишемо вираз

.Jзz +42

3 sin

2х

+ 4 cos 2х у

вигляді

(Jh sin2x+ bcos2x)=s(!sin2x+icos2x). 32+42

32+42

308

45. Гармонічні коливання

Оскільки (~) +(~) 2

= 1,

то існує та-

. 4 кий кут а, що cosa=~, sma=5 (рис.

197).

Тоді маємо:

= 5 (sin 2х cos а + cos 2х sin а) : =5 sin

(2х +а}.

Отже, дана функція є функцією rармовічвого коливання, амплітуда якого дорівнює коливання

Р'Ис.

а циклічна частота

197

- 2.

Вправи

963."

Укажіть амплітуду А і циклічну чаС'І'оту

гармонічного

коливання:

l)y=2,6sin31tX; 964."

УJ<ажіТЬ амплітуду А

y=4 c-.as(~-t).

ЦПJ<ліЧR}' Ч8СТ01')'

rapMOWІ.ЦJOOO

Укажіть амплітуду А і циклічну частоту

гармонічного

коливання:

1) у

965."

=0,6 cos (2nx -

3);

коливання:

2) 966. ·

у= -1,5cos(-5x-~).

Укажіть амплітуду А і циклічну частоту

гармонічного

коливання:

1 (

2) y=- cos

1) y=-3sin(-1tX-i);

967." Доведіть,

що функція у=

2 sin

3х-

cos

-7х-

2n) .

3х є фуНJЩією гар

монічного коливання . Укажіть амплітуду і циклічну частоту цього коливання.

968:· Доведіть, що функція y=5sin~+12cos: є функцією гар монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту цьоrо коливання.

309

§ 4. Тригонометричні функції

---------

Ставай Остроградським! Видатний український математик Михайло Васильович Остроградський народився в селі Пашенівка на Полтавщині . У

1816- 1820 рр.

він навчався в Харківському університеті, а по тім удосконалював математичну освіту, навчаючись у таких великих учених , .як

П'єр Симон Лаnлас

(1749- 1827), Симеон (1781- 1840), Огюстен Луї Коші (1789- 1857), Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768-1830). Дені Пуассон

Серед величезної наукової спадщини, .яку залишив нам Михайло Остроград ський, значну роль відіграють роботи,

пов'язані з дослідженням триrоно:метрич: них рядів і коливань. Багато важливих

математичних теорем сьоrодні носять Миха йл о ВасU.ІІьович

Остроградський

(1801 - 1862)

ім'яОстроградськоrо . Крім наукових досліджень, Остро градс ький наnисав низку чудових під

ручників дл.я молоді, зокрема •Програму

і консnект тригонометрії•. Сам Остреградський надавав питанню викладання тригонометрії такого значення, що це стало предметом доnовіді в Академії наук . Науковий авторитет Остроградеького був настільки висоJ<и:м,

що в ті часи, відправляючи :молодь на навчання, казали: •Ставай Остроградським!• Це побажання актуальне і сьогодні , тому :

• Ставай

Остроградським!•

310

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 5. Тр11гонометржні рівнSІння і нерівності

~"' ~ ~:. \.U...O"'-- : о ~........,ес,'-

івняння cos х

=Ь

~'д"""-"-~'-.... ~ о~-..а . .с

....... (L'--.-~ о Оскільки областю значень функції у =cos х є nроміжок r-1; 1], Q._~"'O

то при І Ь І > 1 рівняння сов х = Ь не має роз.в' яз.ків. Разом з тим при будь-я.кому Ь тцому, що І Ь І~

це рівняння має корені,

більш того, їх безліч. Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпре

тації: графіки функцій у= сов х і у= Ь, де І Ь І~ спільних точок (рис .

1, мають безліч

198). у

y=cosx

Рис.

198

Зрозуміти, як розв'язувати рівняння

cos

х = Ь у загельному

виnадку, допоможе розгляд окремого виnадку. Наnри.клад, роз-

в'яжемо рівняння совх=~. На рисунку 199 зображено графіки функцій у

сов х і у=~.

у=оовх

Рис.

Розглянемо фуНJ<цію у=

cos

199 хна проміжку

[-n; n],

тобто на

проміжку, довжина я.кого дорівнює nеріоду цієї функції (червона

крива на рисунку 199). Пряма у=~ перетиває графік функції у= сов х ва nроміжJСу

[-n; n] у двох

є nротилежними числами.

[-n; n]

точках М і М , абсциси яких

Orже, рtвняння .

сов х

Ї на nромtжку

має два корені. Оскільки cos{-~)=cos~=~, то цими кo tt . 1t

ревями є числа -з 1 з·

312

46. Рівняння cosx = Ь Функція у = З

ІНШИХ

cos

КОреН!В

х є періодичною з періодом

рІВНЯННЯ

COS Х

2n.

ВІДрІЗНЯЄТЬСЯ

Тоді кожен

ВІД

ОДНОГО

знайдених коренів -~ або ~ на число виду 2nn , n е Z. Отже, корені розглядуваного рівняння задаються формулами

x=~+2nn і x=-~+2nn, n е Z. Як правило, ці дві формули замінюють одним записом :

X=±з+21tn,

Повернемося до рівняння проміжку (при Ь

= 1

[-n; n]

cos х = Ь, де І Ь І ~ 1 (рис. 200). На

це рівняння має два корені а і -а, де ае [О;

ці корені збігаються).

У+

у ~·

1і

Рис .

200

Зрозуміло, що всі корені рівняння

±а

+ 2nn,

cos х = е Z.

Ь мають вигляд

Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння

cos

Ь.

Корінь а має спеціальну назву- арккосинус.

О . Іначt>ннн . Арккосивусом чиЄJІа Ь, де І Ь І~ таке чиЄJІо а з проміжку [О;

7t],

вазивають

косинус якого дорівнює Ь.

arccos

Для арккосинуса числа Ь використовують позначення Наприклад,

arCCOS

t 2l 1 = g'

arccos (- J2) = 2

1t[O] g Е ; 1t

ОСКІЛЬКИ

І COS

З1t, оскільки З1t е [О; n] і 4

1tl g = 2;

cos З1t =- J2; 4

arccos О=~, оскільки ~ е [О; 1t] і cos ~ = О; arccos (-1) = n, оскільки arccos Ь =а, якщо а

Узагалі,

cos 1t = -1. cos а= Ь.

1t е [О; 1t] і Е [О;

313

7t]

Ь.

S.Тригоно~ричнірвнянняі~вносrі

Зазначимо, що, наприклад, cos(-j)=i· Проте arccosi*-i• оскільки

~ ~ [О; 1t].

Тепер формулу коренів рівняння

cos х = Ь.

І Ь І

можна

записати так:

І х = ±arccos Ь + 2m, n е

(1)

Зазначимо, що окремі випад.ки рівняння сов х Ь

= О,

= -1)

було розглянуто раніше (див. п.

= Ь (для Ь = 1,

34).

Нагадаємо

оrrримані результати:

cosx=l х

сов х =о

= 2nn, n є

х=2+1tп, п е

совх =-1

= 1t + 2nп,

п е

Такі самі відповіді можна отримати, використовуючи фор

мулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто. Тому радимо заnам'ятати отримані результати.

ПРИКЛАд Розв'яжіть рівняння: 1) cos4x =- ~; 2) cos(i+~)=i; З) cos(~-7x) =o; Розв'язакня.

сов nx2 =1.

1) Використовуючи формулу (1),

4x=±arccos(-

можемо записати:

~)+ 2nп, n е z.

Далі отримуємо:

4х =±Зп + 2nп; х = ±Зп + ~.

Відповідь: ± :; + п; п е Z. 2)

Маємо: х 1t 1 -+-=±arccos-+2nn

п е

Z·,

.=.з =±~~+ 2nn· 34 ,

.! + ~ =±~ + 2nп· З4

Зп =±1t- т+ 6пп.

Відповідь: ±n- Зп 4 +61tn• п е Z. 314

46. Рівняння cos х = Ь

З) Перепишемо даве рівнЯВИJІ у вкгладі сов (7х-і)= О. Маємо: 1x - ~=~+1tn, n Е Z.

Тоді 1х= ~+i+1tn; 1х = ~~ +1tn; х= 1~ + в~·апов~·аь:

+ 1m . n

7t;.

4) Маємо: 1tX2 = 21tn, n Е Z; х2 = 2n, n Е Z. Ос1<ільки х 2

> О, то 2n > О, тобто n

N U {0}.

Тепер можна записати х = .J2n або х = -.J2n, де n Е N U {О}. ВііІповідь : .J2n, -.J2n, n Е N U {О} . ПР

~д

проміжку

Визначте І<ількість коревів рівняння

[О; 5:)

ку

(рис.

=Ь

аа

залежно від значень параметра Ь.

Розв'я з ання . Зобразимо графік фуиRції у =

[О; 5:}

cos

201).

хна проміж

Кількість коренів визначається кількістю

точок перетину Пр$l...NОЇ у

графіка функції у

cos

=сов х.

=Ь

з виділеною червоною частивою

Рис.

201

Звернемо уваrу на те, що точка (О;

належить виділеиій

кривій, а точІ<а ( 541t; - ~) - не иалежить. Розглядаючи різні положення прямої у = Ь, отримуємо такі результати:

ІІІ<ЩО Ь

< - 1,

то кореиів немає ;

ІІ}(ЩО Ь

=- 1,

ТО ОДИН КОрінь;

ІІІ<ЩО -1 < Ь < - ~, то 2 кореві; 315

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

якщо - ~ <Ь <1, то один корінь; я:кщо Ь

> 1,

то коревів немає.

Відповідь: якщо Ь

< - 1 або Ь > 1, то коревів немає; якщо Ь = - 1

.J2 2,

або -т < Ь < l, то один корівь; якщо -1 < Ь< -

то

2 кореві .

Вправи

969."

Розв'яжіть рівняння:

совх=~;

2) cosx =

970: 1)

3) cosx =-

сов х= ..Гз; 2

971." Розв'яжіть

З) сов х =- .J2; 2 2

3) cos 6х

COS~X= ~;

1 5;

= 1;

5) cos9x=-

СОВ 2;-r = 0;

6) cos(-i}=

Розв'яжіть рівняння:

cos2x = ! · 2'

cos~= - ..Гз . 5 2 '

сов з: = -1.

Розв 'яжіть ріввяввя:

cos(x+~)= ~; 2) cos(~-x)=- Jf;

3) cos(i - 2) =-1;

4 5) совх = ;; ·

ріввяиия:

cosЗ.r. =- ~;

974:

4) cosx= J5.,

973;

cosx=E.;

Розв'яжіть рівняння:

4) cos x=*;

2) cosx= - !.

972."

Jf;

2cos(i-зx}+l=O.

J2cos(~+3)+1=0.

Розв'яжіть рівиявия:

cos(~ -4x)=l;

d~W·- Вайб'ІЛЬІПИИ В1,Ц1ЄtіІ.ІІИИ ----.К. КОрШЬ РІВНЯННЯ 975•О 3Н~о 0

СОВ ( Х -

976.• Знайдіть найменший додатвий корінь ріввяния 316

6n) =21 •

сов1 =- Jf.

46. Рівняння cosx = Ь

977. •

Скільки коренів рівняння

cos Зх =

належать проміжку

[-~;n} 0 • 3 97 п. НаИДlТЬ yCl u

•

НЯЮТЬ нерlВНlСТЬ

979;·

•

COS

(

7t )

1 =-2,

ЯКl З8ДОВОЛЬ-

< 41t.

Розв'яжіть рівняння:

27t 1) cos-=1; х

980.""

•

КОрею рІВНЯННЯ

2) cosn...;x=--; 2

З) cos(cosx)=~.

Розв'яжіть рівняння:

27t

1) cos ..;;=т;

2) cos(cosx)=

981." При яких значеннях параметра а рівняння сов 2х = -4а2 + 4а - 2 має розв'язки?

982. •• При яких значеннях параметра а

рівняння cos ( х- ~) = -а 2 -1

має розв'язки?

983." (а

При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння -

4) cos х = а + 2?

984. •• При

яких значеннях параметра а рівняння За

cos х =

2а

має розв' язки?

985:· При яких значеннях параметра а рівняння -;==c=o=s=x=-=a==

Jcosx-3a+1

має розв'язки?

986. ••

При яких значеннях параметра а рівняння

совх-а

--1

О має

COSX+S

розв'язки?

987 ... При

яких додатвих значеннях параметра а проміжок [О; а]

містить не менше ніж З корені рівняння cos х = ! ? 2

988.""

При яких додатних значеннях параметра а проміжок [О; а]

м1стить не менше юж

. .

корен1 р1вняввя

cosx=--1?

989:· Визначте кількість коренів рівняння cos х =

(-~; l~1t J залежно від значень параметра а. 317

а на проміжку

§ 5. Трwонометричні рівняння і нерівності

990...

Скільки коревів зЗJJежво від значення параметра а 111ає

рівняння сов х = а на проміжку

[ -Jt; і}

!J!J1." Визначте кількість коревів рівнянав cos х 1t Зп] - 2; 4 зЗJJежво ВІД значень параметра а.

[

=а ва проміжку

992.* При .ІІКИХ звачевпвх п_арам_етра а рівВJІВВJf (х-а) (сов х +

має єдиний корінь на проміжку

.Jf) = О

[ n; з;}

Щ);~.'~ Привкихзначеннях параметрааріввяввя(х+а) (cosx - ~)=о має єдиний корінь ва проміжку [-~;О]1 Рівняння sin ж

=Ь = sin х є проміжок [-1; 11 =Ь не має розв'язків. Разом з там

Оскільки областю значень функції у

то при І Ь І '> 1 рівняввв sin х

при будь-якому Ь такому, що І Ь І< 1, це рівиввия має корені, більш тоrо, їх безліч . Зазначимо, що окремі випадки рівввини

Ь =О, Ь

= -1)

ain

було розглянуто раніше (див . п.

Ь (для Ь

34).

== 1,

Нагадаємо

отримані результати:

sinx = 1

x: :rt +2nn, n

sin е

sin х =-1

х =О

= nn, n

1t x =--+ 21tn, ne

Для того щоб отримати загЗJJьву формулу коревів рівняввв

ain х = Ь, де І Ь І ~ 1, звервемося до графічної інтерпретації. На рисунку

202

зображено графіки функцій у

= sin х і у = Ь,

І ь І ~ 1. . у =sm . х ва проМІЖку . ·[ -2; 1t 2 Зn:] , тобто ва розглввемо фувкцlЮ проміжку, довжива якоrо дорівнює періоду цієї функції (червона лівів ва рисунку

202).

На цьому проміжку рівняввв

ain х = Ь має

два хорені. Поовачимо корінь, який вЗJJежвть проміжку [ -~; і]. 318

47. Рівнянняsіnх = через а. Оскільки

sin

sin а, то другий корінь дорівнює = 1 корені а і 1t - а збігаються.

(n-а)=

1t - а. Зауважимо, що при Ь

у!

1t'

у = sіп х

а) у

у о= sін х

б)

Рис .

Оскільки функція у

= sin

202

х є періодичвою з періодом

кожен з інших коревів рівняння

sin х =

із знайдених коревів на число виду

2n,

то

Ь відрізняється від одного

2nn, n

Тоді корені розглядуваиого рівняння задаються формулами

х = а

+ 2nn

і х = 1t - а

+ 2nn,

Ці дві формули можна замінити одним записом :

х = (-1) а

+ nk, k е Z. (1) k - парне число, тобто k = 2n, n е Z, то отри муємо х = а + 2nn; якщо k непарве число, тобто k = 2n + 1, n е Z, то отримуємох =-а+ 1t + 2nn = 1t- а+ 2nn. 11

Справді, якщо

Формула

(1)

показує, що корінь а відіграє особливу роль:

знаючи його, можна знайти всі інші кореві рівняння

sin

= Ь.

Корінь а має спеціальну назву- арксинус.

Означення. Арксниусом числа Ь, де І Ь І~ 1, вазивають таке

число а з проміжку [ -j:jJ. снвус якого дорівнює Ь. Для арксинуса числа Ь використовують позначення: Наприклад,

arcsini=~, оскільки ~е[ -~;~]і sin~=i: 319

arcsin

Ь.

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

. ( 2JЗ)

аrс81П

arcsin

1t [-2; 1t 21t] 1. Sln . (-з1t) = -т; J3

=-з, ОСІСІЛЬІСИ -з Е

О= О, оскільки ое[ -і; і] і sin О= О;

. ( - 1) = -2'

arCS1П

Узагалі,

arcsin

зазначимо,

ОСІСІЛЬІСИ

Ь =а, якщо ае

що,

1t 1t] 1. . (- -1t) =-1.

1t [

-- Е --•-

[

наприклад,

S1П

2' 2

sш

-j-;j-] 5л

= 1.

і sin а= Ь. П

роте

5л 2 -:F- 6'

. 1

arcsш

5 ОСІСіЛЬІСИ . 61t Е [-~· 2' ~] 2 . Тепер формулу коренів рівняння

sin

Ь.І Ь І,;;;;

можна за

писати або у вигляді сукупності:

[

х = arcsin Ь + 2nn, х

= 1t- arcsin Ь + 2nn, n е Z,

або одним записом :

1.--х-=-(--1-)-"-arcs--in_Ь_+_1tk_,k-e-Z.....,

(2)

Узагалі, при розв'язуванні тригонометричних рівнянь одна й та сама правильна відповідь може бути подана в різних формах запису.

Зрозуміло, що формула Ь

= 1,

Ь =О, Ь

= -1 .

(2) застосовна і для окремих випадків : sin х = 1, sin х =О, sin х = -1

Проте рівняння

зустрічатимуться часто . Тому радимо запам'ятати формули їх коренів, які записано на початку nункту .

ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння: 1) sin ~=-~; 2) sin(~-зx)=- ~; З)

sin(t+ :О)=-1. Розв'язан.н.я .

1) ВИІСористовуючи формулу (2), =-=(-1)n arcsin(-!.)+nn, n 2 2 .

Далі отримуємо :

~=(-1)n ·(-~)+nn; =-=-(-1)" ·~+nn· 2 6 •

=.2 =(-1)"+

•

320

~+nn· 6 '

можемо записати:

47. РівняtМА-sіnх =

х = (-1)"+ 1 • і+ 2nn. Відповwь: (-1)"+ 1 ·~+2nn, n е Z.

Перепишемо дане рівняння у вигляді -sin{3x-~)=- ~.

Тоді sin{3x-~)= ~; . 3х- 1t = ( - 1)" ·arcsш

+пn,

'7J "';

3х-~ =(-1)"·.!!.+nn· 3х =(-1)"·.!!.+~+nn· з

х =(-1)"·.!!.+~+ 1tn. 9 9 з

Відповідь: (-1)" ·.!!. +.!!. + 1tn n е Z 9 9 з' .

3) За формулою коренів рівняння sin х = -1

можемо записати:

t+~=-~+2nn n е Z. 10 2 '

далі маємо: t=-~-~+2nn· t=- З1t +2nn. 2

Відповtдь: -з; + 2nn, n е Z. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння .J3cosx+sinx=2. Розв' язанн.я. Перепишемо дане рівняння у вигляді:

J3 .

cosx+

1 sшx= . 1.

Оскільки т=sшз, а 2=соsз, ТО можна заnисати: .

Jt.

sшзсоsх+соsзsшх=

Використовуючи формулу синуса суми

= sin

(а+

J3),

отримаємо:

sin(~+x)=1. з· 1t 1 t 21tn, ВІДСИ 3+Х=2+ 1t

Відповідь: х =б+ 2nn,

n n

z• Z. 321

sin а cos J3

+ cos а sin J3 =

§ 5. Триr9;,tQМетрІ!\ЧНі рівняння і нерівності Зауважимо, що при розв'язуванні рівняння прикладу

було (!користатися і формулою косинуса різниці

cos

2 можна f3 +

а. сов

· О. SlJll-' ·А =СО8 (О.- 1-'. А)С Пр8ВДІ,· ОСКІЛЬКИ · .J3 7t 1 . Jt + SlJl 2 = COS 6, а 2 = SШ 6' cos

з· ВІДСИ

.Jt.

cosx+sІn

smx=

cos(x-~)=1 . · ·

отримуємо таку саму вІДповІДь:

= n2 + nn, n

ПРИКЛАД І; Скільки коревів залежно від значень параметра Ь

має рівняння (sinx-ь)(cosx-4-)=o на проміжку [О;

2n)?

Розв'язання. Дане рівняння рівносильне сукупності :

sin х=~, [ cosx=

Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [О; •

2n)

має

ко-

Jt.57t

реНl: з І з ·

При І Ь І

> 1 рівняння sin х = Ь коренів не має. Тоді дане в умові 2 корені. = 1 або Ь = -1, то рівняння sin х = Ь на проміжку [О; 2n)

рівняння має

Якщо Ь

має один корІнь.

це

п 1· 3 п . тому

ВІДПОВІДНО числа

при

ІьІ=1

дане в умові рівняння має З кореві.

Якщо І Ь І< 1, то рівняння sin х = Ь на проміжку [О; 2n) має

корені. Тому може здатися, що задане в умові рівняння в цьо

му випадку матиме

. sm

=ь

може з

корені . Насправді один з коренів рівняння

б"Ігатися

з числом З

бо

б7t

з числом З.

Знайдемо значення параметра Ь, при яких числа коренями рівняння

1) sin ~=Ь; 3

sin

57t

-є

х = Ь. Маємо :

Ь= .J3; 2

=Ь; Ь=- ~. При Ь = ~ рівняння sin х = Ь ва проміжку [О; 2n) має корені 5

2) sin ;

• 27t

•

І з• а дане В УМОВІ рІВНЯННЯ має

322

КОреНl: з•

27t

з•

57t

з.

47. Рівняння Sinx =

nри ь = -JЗ 2 •

аиалог1чво отримуємо, що .дане в умо81 рш~ІШВJІ

4Jt

51t

має з коре81: з· з· з · Відповідь: Якщо Ь

< -1

або Ь

> 1,

то

корені; якщо Ь

= -1,

або Ь = 1, або Ь =Jf, або Ь =- ~ , то З корені; якщо -1 < Ь < -J'f,

або ~ <Ь< ~·або ~ <b<l, то 4 кореаі. Вправи

994: Розв'яжіть ріввяввs: 1) sinx= .J2; 2) sinx=- JЗ; З) 2 2 9m;: Розв'яжіть ріввsнвs: 1)

sinx=~;

2) sinx=-

996." Роав'яжіть 1) ~J97.

sin~=-!· 6

sinx =

Jf;

4) sinx=../2.

4) sin

х=

1,5.

ріввsввs:

~; З)

sin.:r =-1 ;

віn 4х = JЗ . З) sin 5х = 1; з 2 '

4) sin(-8x)=i·

Розв'яжіть ріввsввs:

1) sin2x=

sin~=O;

998: Розв'яжіть ріввsввs: 1) Sln Х-6 =т;

. ( 1t) J2

З)

sin(f+1)=-1;

sm(i-x)= ~;

.J2 sin(1Jt2 - зх)-1 = 0.

2sin(~ -4)+1 =0.

J.J!JH. 1)

Розв'яжіть рівиsввя:

sin( 1~ - sx)=l;

1000: Знайдіть ваймекший додатвий корінь рівиявня sin {х + ~) =1'.ІСН :

Jf.

Знайдіть вайбільmийвід'ємвий корінь рівияиия sin {Зх- 1~) =-1.

1002.• звайдіть

проюжху

. (

1t) =2, 1

усІ коре& ршвsввs sш х- З

[ -n; 31t].

323

SКl В8JІежать

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1003: Скільки [

- 3Jt •

коренів рівняння

sin 3х = J2

належать проміжку

.!!.]?

2, 2

Розв'яжіть рівняння:

1004."

3) 3sin~+J3cos~=3.

1) J3sinx+cosx=2; 2)

J2 sinx-.J2 cosx=1;

НЮ5: Розв'яжіть рівняння:

1) sinx-JЗcosx=1; 1006."" Розв'яжіть рівняння: 1) sin! =О;

3) sin (cos х)

2) sin 1t JX = -1;

1001 : ·

2) sinx+cosx=.J2. =

0,5.

Розв'яжіть рівняння: •

.J3

3Jt

sш

:; = -т;

2) cos (1t sin

1008.- При яких значеннях (а 2 - 1) sin х = а + 1?

х)

о.

параметра а має розв'язки рівняння

1009:• При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння (а + 4) sin 2 2х = а 2 - 16?

1010...

ри яких значеннях параметра а р1вняння

sin х-а =0 . 1 810%-2

має розв'язки?

1011 .•• При яких значеннях параметра а рівняння

sinx+a sin х-2а+1

має розв'язки?

1012."" [

При яких додатних значеннях параметра а проміжок

- 2; Jt

]

•

МІСТИТЬ не менше НІЖ

•

КОреНІ рІВНЯННЯ

1013:· При яких від'ємних значеннях параметра а

•

SШ Х

= 1?

проміжок [а; О]

містить не менше ніж 3 корені рівняння sin х = -~? 1014... Визначте

кількість коренів рівняння на даному проміжку

залежно від значень параметра а:

1) sin

х =а, [О; 1 ~Jt

2) sin 324

х =а, (~; 74Jt J.

48. Рі вняння tg х

= Ь і ctg х = Ь

1015.'' Визначте кількість коревів рівняння sin х ку (-~; 2; залежно від значень параметра а.

= а ва проміж

101в:· Визначте кількість коревів ріввяпвя sin х

=а ва проміж

ку [-і; 2n] залежно від значень параметра а. 1О 17.•• Визначте .кількість

коренів рівняння

sin

= а ва проміж

І<У [- 5:; з;] залежно від значень параметра а. 1018.*

Скільки коревjв залежно від значень параметра а має

рівняння 1019.*

( cosx- ~}<sinx-a)=O

ва проміжку [О; 2n)?

Скільки коренів залежно від зnачень параметра а має

рівняння (cosx - a)(sinx+~)=o на проміжку (О; 2n]? Рівнян н Q;, ОскільІ<и областю значень функції у = tg х є миожииа рівняння

Для тоrо щоб отримати формулу коревів рівняння звервемося до графічної інтерпретації. На рисуику

JR,

то

= Ь має розв'язІ<и при будь-якому значенні Ь .

203

зображено графіки функцій у

Ь,

= tg х і у = Ь .

~-. Рис.

203

Розглянемо функцію у = tg х на проміжку (-~;і). тобто ва проміжку, довжива крива на рис .

203).

mcoro дорівнює періоду цієї фуш<ції (червова На цьому nроміжку рівняння

будь-теому Ь має одив корінь а .

325

=Ь

при

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Оскільки функція у

= tg х є періодячною з періодом n, то ко tg х = Ь відрізняється від знайде

жен з інших коревів ріввяввя ного кореня ва число виду

nn, n е Z.

Тоді множина коренів ріввяввя

=а

Ь задається формулою

+ nn, n е Z.

Отримана формула показує, що корінь а відіграє особли ву роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння

х = Ь. Корінь а має спеціальну назву

арктангенс.

Означеннн. Арктангенсом числа Ь вазивають таке число а

з проміжку (-і;і)• тавrевс якоrо доріввює Ь. Для арктангенса числа Ь використовують позначення

arctg Ь.

Наприклад,

arctgJЗ=i· оскільки іе(-і;і) і tgi=JЗ; arctg(-1)=-~, оскільки -~e(-i;j) і tg{-~)=-1; О= О, оскільки

arctg

Узагалі,

arctg

oe(-j;i) і tg О= О.

Ь =а, якщо ае

(-i;j)

і tg а= Ь.

Зазначимо, що, наприклад, tg (-з:)= 1. Проте arctg 1 ~-з:, оскільки - ЗJt f: (-~· ~). 4 2'2 Тепер формулу коренів рівняння

':'.

tg х =

arctg Ь + nn,

n е

Оскільки областю значень функції у

рівняння

ctg

На рисунку

Ь можна записати так:

= ctg х є

мвожива

то

= Ь має розв'язки при будь-якому значенні Ь.

204

зображено графіки функцій у=

Рис.

204

326

ctg хі

у= Ь.

48. Рівняння tg :r = Розглянемо функцію у

=ctg

ва проміжку (О;

Ь і

ctg :r =

1t), тобто на

проміжку, довжива якого дорівmоє періоду цієї фувкціІ (червова

крива на рис.

На цьому проміжку рівняння

204).

ctg :r = Ь

при

будь-якому Ь має одии корінь а.

Оскільки функція у

= ctg :r є періодичвою з періодом 1t, то ко

жен з іиших коренів рівняння

ctg :r = Ь відрізняється від знайде Z. Тоді ЮІожина коревів ріввЯJІвя ctg :r = Ь задається формулою :r =а + nn, n е Z. Корінь а має спеціальну назву - арккотангенс.

вого кореня ва число виду 1tn, n е

03наченІtя. Арккотавrевсом чиспа Ь вазивають таке чимо а з проміжку

(0; 1t),

котавrевс якоrо доріввює Ь.

Для арккотангенса числа Ь використовУJОТЬ позначеввя arootg Ь. Наприклад,

arcctg

J3 =~з' оскільки ~з е (0·1t) і з ' ·

arcctg (-.JЗ) ~ 51t, 6

оскільки

ctg !!= J3 · 3

5Jt е (О; 1t) 6

3 ' ctg 5: = -.JЗ;

arcctgO=i· оскільки ~e(0;1t) і ctgi=O.

= Ь. Зазвачимо,що.наприк.лад, ctg{-~)=-1. Проте ar~tg(-1)~-~.

"Узагалі,

arcctg

а, JІJІСЩО а е

(0; 1t) і ctg

оскільки -~~(O;n). Тепер формулу коревів рівняння

ctg :r =

х = arcctg Ь + nn, n е

Ь можна заnисати 'І'ак:

Розв'яжіть рівняння:

1) tg

Розв'яза-ння.

2: =-JЗ;

ctg( 2зJt -х)=-1.

Маємо: 2; =arctg(-.J3)+1tk, k е Z;

1t 3 !x=-!!+1tk" з 3 • x=--+-1tk. 2 2 Відnовідь:

2) Маємо:

-~+~1tk k Е Z. 2

' 2 ctg{:r- : )=1,

21t

x-з=arcctgl+1tk,

327

§ 5. Триrрнометричні рівняння і нерівжх:тl 21t

1t 4

nk· '

е Z.

х-- =- +

Відповідь: х = ~~ 1t +nk,

nr - І

х=

11 n+nk. 12

ВJtЗ.Rачте, при ЯJ<ИХ значеннях параметра ь рівняв-

ня (х - Ь) tg х =О ва проміжку [-~;і) має едивий І<орівь. Розв'язання. Мвожива І<оревів рівняння

ся формулою х =nn,

Розглядуваному проміжку [-і; і)

належить лише одни корінь х

Рівняння х

tg ·:r = О визначаєть

О.

= О має єдиний корінь х = Ь.

= О, то початкове рівняння має єдиний корінь х = О. Якщо ье[-~:о) (О; і)• то початкове рівняння ва задавому Якщо Ь

проміжку має два корені х

=О і

х = Ь.

ЗрозУlІfіло, що умова Ьt![-~:і) забезnечить існування у nо чаткового рівняви я тільки одного кореня.

Відповідь: Ь =О, або Ь<-і, або Ь :> і· Вnрави

1020:

Розв'яжіть рівнявия:

1) tgx = .JЗ; 2)

4) tg х = 5;

tgx =- ~;

3) tg

= - 1;

7) ctgx= -JЗ;

5) ctgx=

8) ctg х = ,fi;

х =

- 1;

9) ctg

6) ctg

х =О.

ІН:! І . Розв'яжіть ріввяввя :

1) tg х = 1; 2) tg

х =J3; з

1022: Розв'яжіть 1) tg

2х = 1;

% 1 2) tg-=-·

t023:

з'

З) tgx=-JЗ; 4) tg

5) ctg х

х = -2;

7) tg

х = о.

6) ctgx=-з;

рівняння:

3) tg(-

:}=.J3;

4) ctg- =0: 2 •

Розв'яжіть рівиявия:

1) tg!x=O;

=.JЗ;

ctg!.=-JЗ: 2

328

ctgбx=

6 ; 11

6) ctg(-9x)=

48. Рівняння

tg х =

Ь і ctg х

- - - . -------- ----·

Розв'яжіть рівняння:

1024:

tg(зx- 1~)= ~;

2) tg 1025:

--- -- --·--- --·

(З

2х) =

З)

J3 ctg(5x+~)+З=0;

1t х) =-. JЗ 4) ctg (---

РоЗв'яжіть рівняння:

tg(x+~)=1;

2) ctg (4-

Зх) = 2; З) Зtg(Зx+1)-J3 =0. =1

належать проміжку

1027.• Скільки коренів рівняння ctg і=-~

належать проміжку

1026: [О;

Скільки коренів рівняння

4х

n]?

[ -~;2n}

1028: Знайдіть суму коренів рівняння ctg 2х = -JЗ, які належать

проміжку

[ -n; ~

1029." Знайдіть суму коренів рівняння tg і= JЗ, які належать

проміжку 1030:

[ -2n; з;].

Розв'яжіть рівняння:

1) tg !!.=О; Х.

1031:

2) ctg

1t J; =1;

З) tg (n sin х) =JЗ.

Розв'яжіть рівняння:

1) ctg 21t=1; 5х

2) tg

1032:· При яких значеннях 1) tg х-а О; ctg х + 3

~=-1; vx

З)

ctg (n cos

х)

= 1.

параметра а має розв'язки рівняння:

2 ) sin 2х -а

О?

3 tg х -1

1033:· При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння :

1 ) ctg х+а =О; tg х-2

=О? 2 ) cosx-a 2

ctg х-3

1034.* При яких значеннях параметра а рівняння (х +а) (tg х- JЗ) =О

на проміжку (О; ~ Jмає єдиний корінь? 1035.* При

яких значеннях параметра а рівняння

на проміжку [-~;о) має єдиний корінь? 329

(x-a)(tg х+ 1) =О

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

arccosx і ·.:,

Для будь-якого а е (О;

[ - 1; 1]

рівняиня

Тому І<ожному числу х з проміжІ<у

х =а на проміжку

cos

має єдиний корінь, який дорівнює

arccos

[ -1; 1]

у відповідність єдине число у з проміжІ<у у=

arccos

а (рис.

205).

можна поставити [О;

n] TaJ<e,

що

х.

y=cosx

Рис.

205

(х)

Тим самим задано фунІ<цію

чення

D (f) = [-1; 1] і

Фующія значення

= аrссов х

областю значень Е

є оберненою до фунІ<ції

(х)

з областю визва

[О;

(f) =

= cos

n].

х з областю ви

D (g) = [О; n]. D (f) = Е (g) = [-1; 1]; Е (/) = D (g) = [О; n].

Дійсно,

З означення арІ<І<осинуса випливає, що для всіх х з проміжку

(-1; 1)

ВИJ<ОНУЄТЬСЯ рівНЇСТЬ

,. . . _c_os_(-ar._c_cos __x_)_= _x.....,l

Іншими словами,

g (f

СJ<азаве означає, що

(х)) = х для всіх х е

f іg-

D ({).

взаємно обернені функції.

Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. зволяють визначити деяІ<і властивості фуsJ<ції ОсІ<ільки фунІ<ція з теореми

10.3

(х)

= cos

х,

D (g) =

випливає, що фувJ<ція

(х)

10, до-

= arccos

х.

[О;

(х)

n], є спадною, то = arccos х таJ<ож є

спадною.

Для будь-якого х е для будь-якоrо х е [О;

D (g) маємо f (g (х)) = х. 7t] внІСонується рівність

/ arccos

Це означає, що

(сов х) = х І

Графіки взаємно обернених фун~<цій симетричні відносно пря мої у = х. Це дозволяє побудувати графіІ< фуНІ<ції (рис .

206). 330

(х)

= arccos х

49. Функції у

arccos

Відзначимо ще одну властивість функції у = для будь-якого х е

[-1; 1]

arccos (-

arccos

arcsin

х:

виконується рівність

І arccos (-х) = 7t Наприклад,

хіу =

J2) = 2

arccos х

J22 =

1t- arccos

(1)

1t-.!!. =

З1t. 4

(х)

··

-1

urc~:os х

2 -1 -----------------------Рис.

206

Рис.

207

Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисун

ку

207

АВ

= MN = arccos х0 ,

Доведемо рівність

Зауважимо, що а е [О; ною на проміжку [О;

NP = arccos (-х0), а MN + NP = 1t. arccos (-х) = аІ, 1t - arccos х = а2 • 1t], а2 е [О; 1t]. Функція у = cos х є спад

(1).

1t],

Нехай

отже, на цьому проміжку кожного свого

значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що

cos а 1

= cos а3 ,

тим самим доведемо рівність аІ

cos аІ = cos (arccos (-х)) = -х; cos а 2 = cos (1t - arccos х) = -cos (arccos Маємо:

~;,, Для будь-якого а е

[-1; 1]

рівняння

х)

sin

= а2 •

= -х. х =а на проміжку

[-і; і] має єдиний корінь, який дорівнює arcsin а (рис. 208). у

1 х

Рис.

208

331

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Тому кожному числу х з проміжку

[-1; 1]

. .

у ВlДПОВІДНlСТЬ ЄДИНе ЧИСЛО у З ПрОМІЖКУ

у=

arcsin

чення D (f) = [-1;

значення

[- 1t ; 1t] 22

Таке,

ЩО

х.

Тим самим задано функцію

Функція

можна поставити

(х)

= arcsin

і областю значень

є оберненою до функції

х з областю визна-

E(f)=[-i;iJ. = sin

g (х)

х з областю ви

D(g)=[ -i;iJ.

Справді,

D (f) =

(g) = [-1; 1];

E(f)=D(g)=[ -і; iJ. З означення арксинуса випливає, що для всіх х е

[-1; 1]

ви

конується рівність

sin (arcsin Іншими словами,

(f (х)) = f іg -

.х) = х

D (f).

х для всіх х е

Сказане означає, що

взаємно обернені функції.

Визначимо деякі властивості функції

Оскільки функція g (х) = sin х,

[-!!.;2 !!.], є непарною, то. 2

функція

N!! 234).

(х)

= arcsin

D (g) =

(х)

= arcsin

х.

х також є непарною (див. ключову задачу

Іншими словами, для будь-якого х е

[-1; 1] виконується

рівність

arcsin

Наприклад, Функція функція

= -arcsin х

arcsin(- ~)=-arcsin

(х) = sin х.

(х) =

arcsin

удь-якого

х е

~ =-~.

D(g)=[ -i;iJ.

є зростаючою. Отже,

х також є зростаючою (див. теорему

Для будь-якого х е для

(-х)

D (g)

1t 1t]

2; 2

маємо

f (g

10.3).

(х)) = х. Це означає, що

. .

виконується р1вюсть

arcsin (sin

х)

Знову скористаємося тим, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у

332

х.

49. Функції у На рисуику за

показано, як

209

допомогою

= arccos

графіка

у f (х)

функції

вати графік функції

(х) =

[ -1; 1]

виконується рівність о

arcsш х

х.

arcsin

+ arccos х =2

g І

arc~ln х ~

Доведемо, що для будь-якого х е

D(g)=[-~;~J. побуду

g(x)=sinx,

= arcsin

хіу

(Х)

.7.

,;ill Х

lt ------ - -

Для цього покажемо, що

Рис .

209

arcsin х = ~- arccos х. Маємо: -~ ~ arcsin х ~ ~· Крім того, О ~ arccos х ~ n. Тому

-n ~ -arccos х ~О· -~~~-arccosx~~. '

Отже, значення виразів arcsin х і ~-arccosx належать проміжку зростання функції у=

sin

х. Тому достатньо показати,

що sin(arcsinx)=sin{~-arccosx). Маємо:

sin (arcsin

х) = х,

sin {~- arccos х) = cos (arccos х) = х. У таблиці наведено властивості функцій у у=

arccos

агссов х і у у

[-1; 1]

Область визначення Область значень

[О;

Нулі функції

х=1

= arcsin

[-~;~]

знакостал ості

Якщо х е

то

arccos

х=О

[-1; 1), х

то

Зростання І спадання

Не є ні парною, ні непарною

Спад на

333

[-1; 0),

< О; (0; 1), arcsin х > О

arcsin

якщо х е

то Парність

[-1; 1]

Якщо х е Проміжки

= arcsin х.

Непарна

Зростаюча

§ 5. Тригонометричні рівн~нн~ і нерівності П

..,

Знайдіть область визначеввв фуmсції

у : arccos (х 2

З).

Розв'язання. Областю визначеввв

жива розв ' изків нерівності

Отже,

n f

І, (х)

{

{ х > 2;

1t ~

< 1.

J2 < х < 2.

Гn

х >..., 2;

D(y)=[-2; - /2] U [ /2;2]. Знайдіть найбільше і найменше значевни функції

= 4 - arccos

-2 < х < 2,

Зх.

Ро з в'я зання. Оскільки О < і

<х

х <4, [ х <-...,2, r;; [-2 <- х <-J2, 2 2

аємо:

-1

D (у) даної функції є мво

4 - arccos

Зазначимо, що

< 4.

Зх

arcoos Зх < n, то -1t < - arccos Зх < О

t(-i)=4-7t, t(i)=4.

Відnовідь: найменше значенви дорівнює чення дорівнює

4 - n, вайбільше зна

n А Обчисліть arccos {cos і)·

Розв'язання. Використовуючи формулу агссов

х е [О; n), маємо

(cos

х) = х, де

arccos(cosi)=i·

Вtдnовідь: і . n

Обчисліть

arcsin (sin 6).

Р о J r я з ан ня. Здавалося б, відповідь можна отрІПоІати ОдР83У,

зважаючи на рівність

лежить nром1жку

arcsin (sin

[-2; 1t 21t].

х)

= х.

Проте число х

= 6 не ва-

а отже, не може дор1внювати значен-

ню арксинуса.

Правильне міркування має бути таким:

arcsin (sin 6) то

arcsin (sin (6 - 2n)).

Оскільки

6 - 27te[-і; і]•

arcsin (sin 6) = 6 - 2n. Відnовідь: 6 - 2n. Обчисліть

arccos (sin 10).

Розв'язання. Маємо:

arccos(sin10)=arccos( cos(i-to)). 334

----~49. Функції у

= arccos

хі у

= aгcsin х

Зауважимо, що число ~-10 не належить проміжку [О; п]. Тому слід виконати такі перетворення :

arccos( cos(~-1o))= arccos( соs(1о-~-2п})= 10- ; . 5

Відповідь: 10- 5;.

ПРИКЛАД & Обчисліть

sin ( arccos ~):

Розв'язан.н.я. Нехай arccos~=a, тоді аЕ sin а. коли а Е [О; п], то sin а ~ О. sina=~1-cos2 a =~1- 295 =~.

[О; п] і

cosa= 3 .

Задача звелася до пошуку значення Урахуємо, що

Тоді отримуємо:

Відповідь: ~ПРИКЛАД 7. Розв'яжіть рівняння arcsin х- 1 =.!!.. 2

Розв'язан.н.я. Перепишемо дане рівняння у вигляді

. х-1 . J3 arcs1n - - = arcsш 2 · 2 Оскільки функція у= arcsin х є зростаючою, отже, кожного свого значення набуває один раз, то рівність arcsin х = arcsin х 1 2 виконується тоді і тільки тоді, коли х = х , х 1 Е [-1; 1] і х Е [-1; 1]. 1 2 2 х-1 J3 Тому дане рівняння рівносильне такому: - - = 2. 2 Відповідь: ../3 + 1.

ПРИКЛАД •. Розв'яжіть нерівність arccos(2x-1)>~ . Розв'язан.н.я. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:

arccos (2х -1) > arccos ~. Оскільки функція арккосинус є спадною, то дана нерівність

рівносильна системі

{

2х-1<!2'

Звідси

2х-1 ~-1.

Відповідь: [О;~). 335

{х<~4' х ~0.

§ 5. Триrонометричні рівняння і нерівності

Побудуйте графік функції у =

arcsin (sin

Розв'язання. Нагадаємо, що

arcsin (sin х)

х).

х лише за умови

Іх І< і· Тому думка, що шукавим графіком є пряма у = х,- по милкова.

Дана функція є періодичною з періодом Т =

2n. Тому достатньо

побудувати її графік ва проміжку [-і: з; J довжиною в пе ріод.

Якщо -і< х ..;·і· то arcsin (sin х) = х. Тому на проміжку

[-і: і] шукавий графік - це відрізок прямої у = х. Якщо і < х ~ 3;, то - i <n- x<i , отже, arcsin (sin х) =

-х)) = 1t -х Тому на nроміжку [і: з; J шуканий

= arcsin (sin (1t графік

це відрізок прямої у

Графік функції у=

= 1t -х. х) зображено на рисунку

arcsin (sin

•

Рис.

1036.

210 .

210

Чи є nравильною рівність:

1) arccos ( -

~)+arccos ~ = n;

2) arccos 2 ( -

.J3) 2

7t •

5) arcsin 1· arcsin ~ = : ; 2

~)= ~;

36 '

3) arcsinl+arcsin (-

336

1t2 =-? (arcsin -../2)2 2 16

1037:

Чи є правильною рівність:

Jf + arccos ~ = і; 2) arccos J2 ·arccos {-!} =- n 2 2 12' 1) arccos

7 4) arcsin О+ arcsin ~ = :;

•

. (-..Гз) 1t2? - =--

.J3

arcsш-•arcsш

3) arcsin ~ + arcsin {-~}=О; 1038:

Обчисліть:

1) sin(

arccos~}

2) cos( 2arccos

3) ctg ( 2 arcsin

Jf);

4) cos(

,1}

Зarcsin Jf +arccos(-~)).

1039." Обчисліть:

cos(~arcsin Jf}

З) sin (З arcsin (- Jf)}

2) tg (2 arccos (-1)); 1040:

1О4а. о

З) у= arccos ___.!!__. х+4

y=arccos.JЗ-x;

З)

3х

= arccos

+ 2.

Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

у=

arccos

+ n;

= arcsin

+ 1.

1044:

Обчисліть:

1) cos {arccos ~); 2) sin {arcsin ~).

1045.'

Обчисліть:

1046:

Розв'яжіть рівняння:

1) arcsin х = -~;

1047."

2 y=arccos-.

Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

y=arcsinx+i;

2) y=arccosГx;

Знайдіть область визначення функції:

1) y=arcsin(x+i};

1042:

~ +2arccos ~).

Знайдіть область визначення функції:

1) у= arcsin (х - 1);

1041."

4) sin(arcsin

sin{arcsin~};

cos(arccos~).

2) arccos х = ~;

. 3) arcs1n

х=

51t

Розв'яжіть рівняння:

1) arccos х = ~;

2) arccos х = -~; 337

З) arccos(2x-З)=i·

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1048:

Розв'яжіть нерівність:

1) arcsin х >-і;

4) arcsin х..;; і;

7) arccos

2) arcsin х ~-і;

5) arcsin х >і;

8) arccos х < 1t.

З) arcsinx~-i;

6) arccos

1049." Розв'яжіть нерівність: 1) arccos х ~ 1t; З) arccos

2) arcsin х < і;

..;;

О;

5) arccos

х ~ О;

> 1t.

4) arccos х ~ 1t;

1050: Знайдіть область визначення функції: 1) y=~1t-arccosx; З)y=~-arccosx; 5)y=arccos(-1-.x2). 2) y=~arccosx-1t; 4) y=arcsin(J%+1); 1051: Знайдіть область визначення функції: 1)

y=~i-arcsinx;

З) y=~arccosx;

у= ~arcsin х-і;

4) у= аrссов (і'- 2х + 2);

1052:

5) y=arccosx:; .

Знайдіть область значень функції:

1) y=arcsinJX+4;

1 . З) у= arcs1n

2) y=~-arccosx;

. 4) у=~ arccosx

105:3."

;

Знайдіть область значень функції:

1) y=arccosJX+2;

З) у=

2) y=~arcsinx;

4) у=

С>--1054: Доведіть, що при Іх І~

arccosx

;

.Jarcsin х

виконується рівність

sin(arccosx)=~1-x 2 • С>--1055." Доведіть, що при Іх І<

1 виконується cos (arcsin х) = ~1- х 2 •

рівність

1056: Обчисліть: 1) cos{arcsin і);

З)

cos{arcsin ~-arccos

2) sin (2 arcsin ю;

cos{~arccosk)·

338

1~);

1057: Обчисліть:

1) sin (arccos і);

З) cos(2arccos~);

2) sin (arccosi+arccos і);

1058." Розв'яжіть рівняння: 1) cos (arccos (4х - 9)) = х 2 - 5х 2) sin (arcsin (х + 2)) = х + 2.

cos(~arcsin 1~). + 5;

1059: Розв'яЖіть рівняння:

1) cos (arccos (4х- 1)) = Зх 2 ; 2) cos (arccos (х- 1)) = х- 1. 1060." Розв'яжіть рівняння: 1) arcsin (Зх - 2) = arcsin (-х + 2); 2) arccos (Зх - 16) = arccos (х 2 - 26). 1001: Розв'яжіть рівняння: 1) arccos (Зх + 2) = arccos (5х + З); 2) arcsin (х2 - 4) = arcsin (2х + 4).

1062."

Розв'яжіть нерівність:

1) arccos(2x-1)>i; 2) arcsin2x>~; 1ОШ~.·

З) arcsin(5-Зx)<-i·

Розв'яжіть нерівність:

З) arccos(4-7x) < 51t.

1) arccos(4x-1)> :;

2) arcsin(2-Зx)<~;

1064."

Розв'яжіть нерівність:

1) arcsin (Зх- 2) > arcsin (5х- З);

2) arccos(2x-1)<arccos!. х

НІН5: Розв'яжіть нерівність:

1)arcsin(~- х) > arcsin(Зx- 4); 2) arccos(1-2x)<arccos-1-. х-1

1066:· Побудуйте графік 1) у = arcsin І х - 1 І; НІ07_ •• Побудуйте графік 1)

у= arccos <Іх І+

1068.•• П обудуите u

1069:· 1) 2)

1);

ф"ІК

гра

функції:

2) у = arccos І 2х + 1

функції:

y=arcsin(~l х І-1}

.•.

функцн у=

І arcsinx . І І. arcs1n х 1

Побудуйте графік функції:

= sin (arcsin cos (arcsin

у =

х);

З) у

х);

339

= cos (2 arcsin

у =

sin (arcsin

х);

+ arccos х).

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 107о:· Побудуйте графік функції:

1) 2)

= cos (arccos

= sin (arccos х);

1011:• 1012:·

х);

З) у

Побудуйте графік функції у=

= cos (2 arccos

х);

= cos (arcsin х + arccos х). arccos (cos

х).

Обчисліть:

1) arcsin(sin ~); 2) arcsin(sin

3) arcsin (sin 3);

~);

4) arcsin (cos 8).

l07a:· Обчисліть: 2

1) arccos( cos : } 2) arccos(cos

l~7t);

Функції у

5) arccos (sin 12).

3) arccos (cos 6,28); 4) arcsin( cosi}

=arctg х І у =arcctg х

~ Для будь-якого а рівняння tg х =а на проміжку єдиний корінь, який дорівнює

arctg

а (рис .

211).

(-%;%) має Тому будь

якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у

з проміжку

(-%;%) таке, що у= arctg х. у

... . ... .

х:

. .

Рис .

Тим самим задано функцію

211 (х)

= arctg х

з областю визначен

ня D (f) = IR і областю значень Е (f) = (-%;% ). 340

50. Фу~кції у = arctg Функція І є оберненою до функції

значення

(х) =

хіу

= arcctg

х з областю ви

D(g)=(-i:i)·

Дійсно,

D ({)

= Е (g) = IR;

E(f) = D(g) =(-і: і)· 3

означення арктангенса випливає, що для всіх х е

вико

нується рівність

І tg (arctg х) = х І g (f

Іншими словами,

Сказане означає, що

(х)) = х для всіх х е

f і g-

D ({).

взаємно обернені функції.

Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п .

дозволяють визначити деякі властивості функції

Оскільки функція g (х) =tg х, то з теореми

10.3

D(g)=(-i:i)•

випливає, що функція

(х) =

10,

arctg

х.

є зростаючою, arctg

х також

є зростаючою.

Оскільки функція g (х) =tg х, функція М

234).

(х) =

arctg

D(g)=(-i:i)• є непарною, то

х також є непарною (див . ключову задачу

Іншими словами, для будь-якого х е

виконується рів-

ність

І arctg (-х) = -arctg х І Наприклад, arctg(-.JЗ)=-arctg .J3 =-~. Для будь-якого х е

D (g)

маємо І

(х)) = х. Це означає, що

для будь-якого х е (-і: і) виконується рівність / arctg (tg

х) = х

Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні від

носно прямої у= х. На рисунку

212

показано, як за допомогою графіка

функції g (х) =tg х,

D(g)=(-i:i)•

побудувати графік функції

(х) =

------1~-------------- х 1t

-2 і

= arctg х. Рис.

341

212

§ 5. Триrонометричні рівняння і нерівності ·~:. Для будь-якого а рівняння

ctg х =а arcctg

на проміжку (О;

єдиний корінь, який дорівнює

а (рис.

213).

1t) має

Тому будь

якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку

(0; 1t)

таке, що у=

Рис.

х.

arcctg

213

f (х) = arcctg х з = IR і областю значень Е (f) = (0; 1t).

областю визна

f є оберненою до функції g (х) = ctg D (g) = (О; 1t). Справді, Е (g) = IR. Таким чином, D (f) = Е (g) = IR; Е (f) = D (g) = (О; 1t).

х з областю ви

Тим самим задано функцію чення

D (f)

Функція значення

З означення арккотангенса випливає, що для всіх х е конується рівність

Іншими словами,

ctg (arcctg

ви-

х) = х І

g (f (х)) = х для всіх х е D (f). f і g - взаємно обернені функції.

Сказане означає, що

Визначимо деякі властивості функції Оскільки функція функція

(х) =

arcctg

Для будь-якого х е

D (g) 1t)

І 214

g (х)

= ctg х, х е

(О;

= ctg

х,

D (g)

(х)

=(О;

= arcctg х. 1t), є спадною,

то

х також є спадною.

для будь-якого х е (О;

На рисунку

(х)

маємо

f (g

(х)) = х. Це означає, що

виконується рівність

arcctg (ctg

х) = хІ

показано , як за допомогою графіка функції

1t),

побудувати графік функції

(х)

= arcctg х .

Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого х е

виконується рівність

arcctg

(-х) = 1t 342

arcctg

хІ

50. Функції у = arctg

хіу

= arcctg

- - ~ - -----

~1 j f (х) ·с:о areetg х х

Рис.

214

Наприклад, arcctg (-JЗ) = 1t- arcctg JЗ = 1t- ~ = S1t. 6

Доведемо цю властивість .

arcctg (-х) = а 1 і а е (0; n). 1 2 Функція у= ctg х спадає Нехай

а е

1t-

arcctg

х = а • Зауважимо, що

(0; n),

на проміжку (О;

n),

отже, на цьому

проміжку кожвого свого значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що

at =

ctg а 1 = ctg а2 ,

тим самим доведемо рівність

а2.

ctg а 1 = ctg (arcctg (-х)) = -х; ctg а2 = ctg (n - arcctg х) = -ctg (arcctg х) = -х. Оrже, ctg а = ctg а • 1 2 Покажемо, що для будь-якого х е IR виконується рівність Маємо:

І arctg х + arcctg х = ~ І Достатньо показати, що arctg х = ~- arcctg х.

Маємо: -~ < arctg х < ~· О < arcctg х <

1t;

-n < -arcctg х <О· -~<~-arcctgx<~ . '

Оrже, значення виразів arctgx і ~-arcctg х належать про міжку зростання функції у=

tgx.

Тому достатньо показати, що

tg(arctg х) = tg {~-arcctg х).

Маємо:

tg (arctgx) = х,

tg{~-arcctg x}=ctg(arcctg х)=х. 343

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

= arctg хі у = arcctg х.

У таблиці наведено властивості функцій у у= Область визначення

arctg JR

= arcctg lR

(-%; %)

Область значень Нулі функції

(О;

Якщо х Е (-оо ; то

знакосталості

arctg

то Парність

0), arcctg

х < О;

(0;

SІКЩО Х Е

arctg

+оо),

nРИКЛАд Обчисліть

х > О Не є ні парною, ні непарною

Зростаюча

спадання

при всіх х

Неnарна

Зростання І

Х= О

Проміжки

Спад на

cos(2arctg(-i)).

Розв'язаккя. Нехаіі 1 +tg 2

arctg(-i)=a, 1 cos

а=-2 -; а

тоді

tga=-i·

Запишемо:

9 . cos2 а=10

Звідси cos2a=2cos a-1=2· 1~ -1= ~· 2

Відповідь: ~· ПІРИКЛАд

Доведіть, що arctg~+arctgi=~·

Розв'язаккя. Оскільки функція у=

arctg

х є зростаючою, то

можна записати:

0< arctg~< arctg 1=~,

О< arctg і < arctg 1 = ~. Звідси О< arctg ~ + arctg і< і. Оrже, значення вИразів, записаних у лівій і правій частинах

рівності, яка доводиться, належать проміжку (О; і). На цьому проміжку функція у

х зростає.

344

Тоді для доведення достатньо показати, що

tg ( arctg 1 + arctg З = tg n .

І Вправи 1074:

Обчисліть :

1) cos (2 arctg 1);

3) tg( 2arctg(-

2) ctg (2 arcctg (-JЗ));

4) sin ( arcsin

1075:

]з)+~}

~ + 2 arctg 1).

Знайдіть значення виразу:

1) arcsin 1 + arccos (-1) + arctg J3 + arcctg (-JЗ); 2) arccosO+arcsin 3) 4 arccos (1076."

~ +arctg(-1)+arcctg(- ~}

~)- 3 arccos 1 + 2 arcsin ~- arctg ~.

Знайдіть значення виразу:

1) arcsin (- ~) + arctg О+ arcctg 1 + arccos 2) 2arccos(-

1077:

~)-5arcsin ~ +4arcsin(-1).

Знайдіть область визначення функції:

1) у= ~arcctg х;

2) у= .J,....ar-c-tg-(x---1-).

1078. • Знайдіть область визначення функції у = ~,-7t---a-r_c_ct_g_x_.

1079:

Знайдіть область значень функції:

1) у = arctg х

1080:

+ 2;

2) у= .J'ar_c_t_g_x.

Знайдіть область значень функції:

1) у= arcctg х + 4;

2) y=.Jг---ar-c-tg-x. 345

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1081: Обчисліть: 1) tg (arctg 4);

3) tg (arctg ~ );

2) ctg (arcctg 5); 1082: Розв'яжіть рівняння: 1) tg (arctg 2х) = 5; 1083: Розв'яжіть рівняння:

4) ctg (arcctg 1t).

2) ctg (arcctg (4 -

3х))

1) arctg х= ~;

3) arctg х =з:;

2) arctg

4) arctg(4x+9)=-~·

IU84. '

= 1;

Розв'яжіть рівняння:

1) arcctg х =з:;

3) arcctg х=-~;

2) arcctg

4) arcctg(5-8x)= : .

= -1;

1085: Знайдіть область значень функції у= 1086." Знайдіть область значень функції у= 1087:

= 2.

1 arctg х

1 arcctg r

Обчисліть:

1) sin (arctg 2);

3) cos( -arcctg{-~)}

2) cos (arctg 2);

cos(arctg~-arcctg3).

cos(2arctg~+arccos~).

1088. •

Обчисліть:

1) sin (arcctg (-2)); 2) sin (arctg (-3)); 1089: Розв'яжіть нерівність: n 1) arctg(5r+3)>- ;

1090."

5n 6.

2) arcctg(x-2)<

2) arctg(x+ll)<~.

Розв'яжіть нерівність:

1) arcctg(3x-7)> :;

1091: Побудуйте графік функції: 1) у= tg (arctg х); 2) у 1092." Побудуйте графік функції: 1) у= ctg (arcctg х); 2) у 1093.- Побудуйте графік функції у= 1094.". Побудуйте графік функції у=

346

= ctg (arctg

х).

= tg (arcctg х). arctg (tg х). arcctg (ctg х).

51. ТригонометричнІ рІвняння ЯКІ зводяться до алгебраічних

1095.- Обчисліть: 1) arctg ( tg

~~);

2) arctg (tg

1 1

10%."'

З)

°;);

arctg (tg 5);

5) arctg (ctg 17)•

137t); 4) arctg. (ctg 2l

Обчисліть:

1) arcctg ( ctg ~~ ); 2) arcctg (ctg

15 ; ); 1

З) arcctg (ctg 15); 4) arcctg ( tg

15 ;} 1

Тригонометричні рівнянн до алгебраїчних ,. У пунктах

рівнянь виду

5) arcctg (tg 10).

, які зводяться ··,

46- 48 було отримано формули cos х = а, sin х = а, tg х = а, ctg

для розв'язування

х = а. Ці рівняння

називають найпростішими триrоиометричвими. рівиЯJІІІямп . За доnомогою різних nрийомів і методів багато тригонометричних рівнянь можна звести до найпростіших.

Спочатку розглянемо тригонометричні рівняння, які зводяться до найnростіших за допомогою введення нової змінної. ПРИКЛАД

Розв'яжіть рівняння

sin

х - З

cos

2х

Розв'язання. Використовуючи формулу cos 2х

= 2. =1 -

2 sin2 х,

перетворимо дане рівняння:

sin х - З (1 - 2 sin 2 х) - 2 = О; 6 sin 2 х + sin х - 5 =О . Нехюі sm х = t. Отримуємо квадратне рівняння 6t2 + t- 5 =О. •

3В1ДСИ t 1 =

- 1, t2 =в·

Отже, дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

sin x =-1, . 5

[ sшх=в·

[х=(-:)" arcsin~+nn, х =-~ + 2nn,

Маємо:

neZ.

Відповідь: -%+2nn, (-1)" arcsin~+nn, n Е Z. 347

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Розв' я ж іть рівняння

П Р И КЛАД

1 tg х + - 2

сов х

=З .

Розв'язання. Оскільки +=1+tg2 x, то дане рівняння 008

можна записати так:

Звідси

tg2

Звідси

+ tg х

tg х + (1 + tg~ х) = З. 2 - 2 = О. Нехай tg х = t. Тоді t + t - 2 = О.

t 1 = 1, t 2 -2. Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сунупності двох

рівнянь:

tg х =1, . [ tgx=-2 . Звщси

[х = ~ + 1tп, х

Відповідь: .!!. + 1tn, - arctg 2

=- arctg 2+1tп,

пе

+ 1tп, п е Z.

4 ПРИ КЛАД Розв' Іtжіть рі.вняюtл 2 sin3 х + cos 4х - 2 = О . Ро з в'я зання Можн.з заnисати~ 1 - cos 2х + 2 cos 2 2х - 1 - 2 =О. Зві.дс\'1 2 cos 2 2х - cos 2х - 2 = О. Зробuмо заміеу cos 2х = t. Тоді останнє рівnяння набувае Вlt rляду 2е - t - 2 = О. Роов язавши його, отримуємо

Оскільки

=-1- 4./їі , t 2 =н../ї7 . 4

1 + jї1 > 1,

СИЛЬНе рІВНЯННЮ СОв

2Х

jї1 е [ -1; 1], то дане рівняння рівно=1- Jl7 , . 1-

ЗВІДСИ

x=±iarccos t-jИ +1tk, k

Відповідь: ±~ агссов l - jї1 + 1tk, k Е Z. nРИКЛАД

Розв'яжіть рівняння 12соs 2 і = 9 - 4совісов 3;

Розв'язання. Скориставшись формулами пониження степеня і nеретворення добутку в суму, отримуємо:

+ сов х) = 9 - 2 (сов 2х + сов х). + 8 cos х - З =О; 2 (2 cos2 х - 1) + 8 сов х - З = О; сов х + 8 сов х - 5 = О. Вшrорисrовуючи заміну сов х = t, отримаємо рівняв:ня. 4f + 8t - 5 = 6 (1

Звідси 2 cos 2х

=0. Звідси t1 =!, t =-~.Далі маємо: cosx=!; 2 .2 2 2 Відповідь: ±~+21tk, k є Z. 348

X=±з+21tk,

51. Тригонометричні ПРИКЛАД

рівняння. які зводяться до алгебраїчних

Розв'яжіть рівняння

tg2 х

+ ctg2 х +

3 tg х + 3 ctg х + 4 =О. + ctg2 х + 3 (tg r + ctg х) + 4 = О .

Розв'язання. Маємо: tg2 х Нехай

·tg

+ ctg

х =у. Підносячи обидві частини записа

ної рівності до квадрата, отримуємо: tg2 х + 2 + ctg2 х = у2 , або tg 2 х + ctg2 х = у2 - 2. Дане в умові рівнянн.я набуває вигляду 2

у -2

+ 3у +

+ 3у + 2 =О; У 1 = -1; У2 = - 2. tg x+ctg Х=-1. [ tg x+ctg х=-2. Розв'язуючи рівняння

4 =О, тоді у

Маємо сукуnність

сунупвості, знаходимо tg х

= - 1. Звідси х =-~ + nk,

k е Z.

Відповідь: -~ + nk, k е Z. О ан ач е н ня. Рівняввв виду

+ а1 sin" - 1 х cosx + ... + а,. _ 1 sinxcos"- 1 х + а,. со&" х =О, а , а , ... , а,.- дійсні числа, які одвочасво ве доріввюють 0 1

а0 sin" х

де

вуто, n е

N, вазивають однорjдним трнrонометричннм n.·ro стеnеия відносво sin хі cos х.

рівнянням

З означення випливає, що суми показників степенів при і

cos

sin

х усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння

рівні . Наприклад, рівняння

2 sinx- 3 cosx

=О- однорідне три

гонометричне рівняння nершого степеня, а рівняння sin 2 х - 5 sinx cosx + 2 cos2 х =О і 2 sin2 х - cos2 х = О - однорідні трн говометричні рівняння другого стеnени. Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв' взування.

ОзнаііО.ІІ.нt мося з ним на прикладах . П.,И.utАД

Розв'яжіть рівняння

7 sin 2 х - 8 sin х cos х - 15 cos2 х = О. Розв'язання. Якщо що

sin

х = О. Але

cos

х =О, то з даного рівняння випливає,

sinx і cosx

не можуть одночасно бути рівними

нулю, оскільки має місце рівність sin 2 х

+ cos2 х = 1.

Оrже, мно

жина коренів даного рівняввп складається з таких чисел х, при яких

cos

х ~о.

Поділивши обидві частини даного рівняння на cos 2 х, отрима ємо рівносильне рівняння:

7 sin2 Х cos 2 х

8sin XCOSX cos 2 х

15cos х = О; 2

COS

1 tg х - 8 tg х - 15 ::. о. 2

349

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівносrі 1t

tg х=-1, Звідси

x=-,+1tn,

15 7

[ tgx=-;

[

х =arctg ; 5 +nn, n е Z.

Відповідь: -~+nn, arctg 15 +1tn, 7

ПРИКЛАД

Розв•яжіть рівняння З sin х 2

+ sin 2х = 2.

Ро з в' з ап 'fЯ. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:

З sin 2 х

+ 2 sin х cos х = 2 (sin2 х + cos2 х); sin х + 2 sin х cos х - 2 cos2 х = О. 2

Оrримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому прикладі, отримуємо рівняння, рівносильне початковому: 2

tg х + 2 tg х - 2

= о.

Завершіть розв'язування самостійно.

ВідповІдь: arctg(-t±.JЗ)+nn, ПРИКЛАД

Розв'яжіть рівняння sin х - оое х

= 4 sin~ х.

Розб'яза н ня . Це рівняння не є однорідним. Переrmшемо його

+ cos2 х) (si.JІ х - cos х) =4 sin8 х.

інакше: (sin2 х

Після ро3Критт.я

дуж-ок і зведепня nодібних доданків маємо:

3 sin3 х + sin2 х сов х - віn х сов х

+ oos8 х =

О.

nоділивши обидві частиви цього рівнянм на cos8 х і позна чивши tg х = t , маємо: Зt8 + t 2 - t + 1 =О. Це рівняння очевидно має корінь

Зt 8

= -1.

Тому варто зробити такі перетворення:

+ t 2 - t + 1 = Зt 3 + Зt 2 - 2t2 - 2t + t + 1 = Зt 2 - 2t (t + 1) + (t + 1) = (t + 1) (Зt 2 - 2t + 1). Оскільки Зt2 - 2t

(t + 1) рівняння

+ 1 =О не має коренів, то tg х = - 1; х =-~+1tk, 4

k е Z.

ВіrJповідь: - ~+ 1tk, k е Z. ПРИКЛАД

Розв'яжіть рівняння

2 sit1

cos

= 2.

Ро.Jв'я.Jа н ня. Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тот.ожністю;

4sin х cos=- -з(cos2 ~- sin 2 =-)=2{cos =+ sin 2 2

=)· 2'

sin2 .! + 4 sin .= cos.! - 5 cos2 .! =О. 2

Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos2 ~ і зроби_ мо заміву tg~=t. Оrримуемо: f

+ 4t - 5 = О, звідси t 1 = 1, t2 = - 5,

350

51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраІчних ·-·--·-···· -

[х

- -- - - - - - - - - -- --

x=~+2тrn, = :2 arctg 5+

2тсп, n е Z.

Відповідь: ~ + 2тсп, -2 arctg 5 + 2тсп, n е Z. Зауваження. Рівняння прикладу

є окремим виnадком рів

няння виду

sin

cos

х = с,

(1)

де а, Ь, с- деякі числа, відмінні від нуля. При розв'язуванні таких рівнянь крім методу, розглянутого

в прикладі рівняння

9, можна використовувати такий прийом .

(1)

Осюльки належить

COS (j>

Перепишемо

у вигляді :

sin х +

.Ja2 +Ь2 2 ~ а2 2 ) + (

( va +b

одиничному а

=~, va2 +bz

SШ (j>

cos х =

(

va +b

va + b

колу.

Тому

існує

такий

va + b

кут

<р,

що

= ,--,---:-; va2 + Ь2

Тепер рівняння набуває вигляду

cos<psinx+sincpcosr=

З.відси sin(x+<p)=

Jaz +Ь2 Jaz +Ьа г;--::; 2ь 2 ) =l, то точка Р г;--::;; 2а 2 ~ 2ь 2 )

6·

а2 + Ь2

аа + Ь2

Таким чином, отримали найnростіше тригонометричне рів няння.

ПРИКЛАД

sin

При

яких

значеннях

параметра а

рівняння

3x -(a+~}sin3x+~ =0 має ва проміжку [ 37t;тr] рівно: 1)два

корені;

три корені?

Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне від-

носно

sin3x.

Тоді отримаємо рівносильну сукупність:

1 . 3 Х=-,

Sln

[

sinЗx =~.

Перше рівняння сукупності має на проміжку [ 2;; теJрівно два корені. У цьому можна nереконатися безпосередньо, знайшовши

351

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ці корені, або графічно (рис.

215).

Тому для задачі 1) треба, щоб друге рівняння сукупності не давало нових

·•

КОреІОВ Н8 прОМІЖКУ

При Рис.

1 2

а= -

З;

очевидно, що корені

рівнянь сукуnності збігаються. При

215

не має кореюв на nрОМіЖКУ

> 1

або а

[21t 3; 1tJ• ,, J

2) друге

О рівняння

sin

3х

=а

ЦЬОМУ ЗНОВ-ТВКИ можна

nереконатися , наnриклад, графічно (рис. Для задачі

[21t 1tJ•

215).

рівняння сукуnності на проміжку, що роз

глядається, nовинно додавати до множини всіх коренів тільки один корінь, Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при а

Відповідь: 1) а > 1, або а < О, або а=~; 2) а = 1 . Вправи

1097:

Розв'яжіть рівняння:

1) 2 sin 2 х + sin х - 1 = О; 2) 2 cos 2 х - 5 сов х - 3 = О;

3) sin2 3х + 2 sin Зх - 3

1098:

= О;

+ 1 "" О;

2) 2 cos·2 2х - cos 2х - 1 = О ;

З) 4

tg2 х - tg х -

З = О;

4) Зctg2 !. =0: 3 - ctg . =-2 з

Розв'яжіть рівняння:

/i r-1) sin х - cos х =О;

2) JЗsin ,r +cos.x = O: sin

х =

4) 4 cos

2х

6) 3cos ~+5cos~-2 = 0.

Розв'яжіть рівняння :

1) 2 sin2 х - 3 sin х

1099:

4) tlf х - 2 tg х - З = О; 5) З ctg2 2х + ctg 2..х - 4 =О;

2 cos

- sin

х; 2х = О;

5) sin~+5cos~ = 0; 6) sin2 х - 5 sin х

003

х + 4 ~ х = О;

7) sin і -3 sin fcos1+ 2 cos 2

=0;

8) Зsin 2 х - 2.JЗ sin xcosx+cos 2 х= О.

ноо: Розв'яжіть рівняння:

sin х + cos х = О; 4) cos 4х - З sin 4х = О; 2) sin х - .JЗ сов х =0; . ~~-- 5) sin2 х - 5 sin х cos х + 6 cos 2 х =О; 1 З) 2 sin х + cos х = О; · ~) 4 sin 2 х =3 sin х cos х + cos2 х. 1)

352

---

1101:

51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних

Розв•яжіть рівняння:

1) 6 cos2 х + 5 sin х- 7 =О;

8) cosi+cosx=O;

2) 2 sin х + 7 cos х + 2 = О; 9) tg х + ctg х = -2; З) cos 2х = 1 + 4 cos х; 7'- 10) 8 sin2 Зх + 4 sin2 6х = 5; -t-- 4) 2 cos х - cos 2х- cos2 х =О; -11) 4 tg 5х + З ctg 5х = 7; 2

5) cos 2х + sin х =О;

+ 12)

+=ctg х+З;

2 6) cos : -5cosj-2=0;

+- 1З) 2 tg

s1n

х + 4 cos2 х = 7;

7) cos2x-cos2 x-hsinx=O; 14) cos2x-4hcosx+4=0. ] 102: Розв'яжіть рівняння:

1) 4 sin 2 х + 8 cos х + 1 = О;

6) совх+віnі=О;

2) 2 cos2 х = 1 + sin х; З) cos 2х + 8 sin х = З;

7) 2 cos 2 4х - 6 cos 2 2х + 1 = О; 8) tg х + 2 ctg х = З;

4) cos 2х + sin2 х = сов х;

.JЗtgx+З=+; сов

5) 5sin~-cosj+З=O;

10) 4 віn х + 9 ctg х = 6. 2

1103: Розв'яжіть рівняння: -- 1) віn 2 х + 0.5 віn 2х - 2 сов 2 х = О; 2) cos 2 5х + 7 віn 2 5х = 4 віn 10х; З) (сов х + віn х) 2 = 1 - сов 2х; 4) З віn 2 х - 7 sin х сов х + 14 cos 2 х - 2 = О; 5) 5 cos 2 х - З віn 2 х - sin 2х = 2; 6) З віn 2 х + віn х сов х + 4 cos 2 х = З; 7) З віn х cos х + сов 2 х = 1; 2 cos х + sin х

8 > 7sinx-cosx =2· 1104: Розв•яжіть рівняння : 1) віn 2 х + З сов 2 х - 2 віn 2х = О; 2) 5 віn 2 х - 5 віn х сов х + 2 сов 2 х = 1; 2 2 З) 6 віn х + 2 віn 2х + 4 cos х = З; 2 4) 2 cos х + sin 2х - 2 = О; 5) З sin 2 х- 2 .J3 sin х cos х + 5 сов 2 х = 2; 2sinx-cosx

6 ) 5sinx-4cosx =з· 1105: Знайдіть JІайбільший від•ємний корінь sin 2 х + сов х + 1 = О.

353

рівняння

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1106.'

Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння

sin2 х + 0,5 sin 2х = 1. 1107."

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

6 sin2 х 1108. •

+ 2 sin2

2х = 5.

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

sin х сов х + cos 2 х = О. 1109." Розв'яжіть рівняння: 1) 4 cos х sin х = tg х + ctg х; 2) 3 сов х + 2 tg х = О; 3) 8 sin 2 х + 4 sin 2 2х + 8 cos 2х = 5; 4) 3 + 5 cos х = sin 4 х - сов4 х; 5) cos2x-9cosx+6 = 4 sin 2 ~. І

J 10.' Розв'яжіть рівняння:

1) 4 ctg х - 5 sin х = О; 2) 4 sin2 2х + 7 cos 2х - 2 віn 2 х = 6; 3) 7 + 2 sin 2х + 1,5 (tg х + ctg х) = О; 4) sin х = cos ~- sin ~; 2

5) 2 cos 4х - 2 сов 2 х = 3 сов 2х. 1111." Розв'яжіть рівняння:

віn 2 2х- ~=сов 2х сов 6х; 2) sin 2х sin х + сов х = віn 1)

+ cos2

4х.

Розв'яжіть рівняння:

1112.'

5х віn 4х

sш

. 3

sш

x+cos

1 2 = 4;

2 х

1113." Розв'яжіть рівняння: 1) 3 sin х - 8 cos х = 3; 1114."

2)2sinxoos3x=caf4x-sin2x + 1. 2) 2 sin

- 5 cos

= 3.

Розв'яжіть рівняння:

1) 3 sin х + 5 cos х = -3; 2) 3 .JЗ sin x-5cosx= 7. 1115." Скільки коренів рівняння cos 2х + sin х = cos 2 хналежать проміжку [-n; n]? 1116.' Знайдіть суму коренів рівняння 2 sin 2 х + 7 cos х + 2 = О,

яю належать промІжку

[-2; 1t 231t]·

1117." Знайдіть усі корені рівняння 2 cos 2 х = sin х, які задоволь-

. .

НЯЮТЬ нерІВНІСТЬ

1t <

< 1t.

354

51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних Знайдіть усі корені рівняння

1118.•

вольняють нерівність О

1119:·

sin

+ cos

= 1.

які задо

1t.

Розв•яжіть рівняння: 4

{х+~)=~;

{x+~)+sin 4 {х-~)=0.5.

1) sin x+sin 2) sin x+sin 1120."

Розв•яжіть рівняння:

1) 4 sin4

х + cos 4х = 1 + 12 cos4 х;

cos 4 Зx+cos4 (зх-~)=~.

1121.- При яких значеннях параметра а має корені рівняння: : 1) sin2 х - (За - З) sin х + а (2а - З) = О; 2) cos 2 х + 2 cos х + а 2 - ба + 1О = О? 1122. •• При яких значеннях параметра а має корені рівняння: 1) cos2 х- сов х +а - а 2 =О; 2) sin~ х - 2а sin х + 2а 2 - 4а + 4 = О? 1123.- Розв•яжіть рівняння : 1) tg4 х + ctg4 х + tg 2 х + ctg2 х = 4; 2) 18 cos 2 х + 5 (З cos х + cos- 1 х) + 2 cos- 2 х + 5 =О. 1124." Розв•яжіть рівняння : 1) tg 3 х + tg2 х + ctg 2 х + ctg3 х = 4; 2)

4sin 2 x+++4sinx+~=ll. 810 Х

81DX

1125.- Розв•яжіть рівняння: 1) cos3 х sin х + cos2 х sin2 х - З cos х sin3 х - З sin 4 х = О;

2) 2cos2 x+~sin 2 2x+sin 4 x+cos2x=O; З) sin 3 х = sin х

1126."

+ cos

х.

Розв•яжіть рівняння:

.J3 sin

х cos х- 4 sin х cos2 х + .JЗ cos3 х =О; 2) sin3 2х + cos3 2х- sin 2х =О. 1127.- Розв•яжіть рівняння: 1) cos Зх + 2 cos х = О; 2) sin 6х + 2 = 2 cos 1 128." Розв•яжіть рівняння: 1)

1) З sin ~ = sin х; 1129.- Розв•яжіть рівняння : 1) J5-2sinx =6sinx-1; 2)

2) cos

Зх

- 1 = cos

4х.

2х.

З) J2-Зcos2x =Jsin х .

J-cos2x =-.J2 cosx; 355

§ 5. Тригонометричні рівняння 1 нерівності

1130:· Розв'яжіть рівняння: 1) ~10-18cosx =6cosx-2;

3) ~3+4 cos2x =~2cosx.

2) ~3cos2x-1 =J2 sinx; 1131:· При яких додатних значеннях параметра а проміжок [О; а] містить рівно 3 корені рівняння: 1) 2 sin 2 х- sin х =О; 2) 2cos2 x-J3 cosx=O? 1132. ·• Визначте, при яких додатних значеннях параметра а про міжок [О; а] містить рівно

коренів рівняння:

1) 2 sin 2 х + sin х = О, n = 4; 2) 2 cos 2 х + cos х = О, n = 3. 1133.* Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння cos2 х-( корінь;

1 0 +a}cosx+ ~~ =0 має на проміжку[~; l~n]: 1) один 7

два корені?

Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння

1134.*

.J2) ·

• 2 sш х- ( а+2

корені;

три корені;

. маєвапромІЖку

[ О;З 4тt] :

1)два

не менше ніж три корені?

Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння

1135.* cos

а .J2

sшх+--= 0

x-(a-~}cosx-~=0 має на проміжку [~; 5;}:

рені;

три корені;

два ко

не менше ніж три корені?

; Розв'язування тригонометричних рівнянь : методом розкладання на множники Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину

вдалося розкласти на множники, то розв'язування цього рівняння можна звести до розв'язування кількох більш простих рівнянь.

ПРИКЛАД

sin 2х + cos х =О. 2 sin х cos х + cos х =О; cos х (2 sin х + 1) = О;

Розв'яжіть рівняння

Розв'язан.н.я. Маємо:

cosx =0, cosx=O, [ 2sinx+1=0; [ sin

lx = ~+1tn,

х ~~~; х ~ :~1)"'' ~+nn, n е Z.

Відповідь: ~+1tn, (-1)n ... t ~+1tn, n е Z.

356

52. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники ПРИКЛАД І Розв'яжіть рівняння Розв'язання. Маємо:

2 sin

2х

cos

х-

sin

2х =О;

2х

sin

+ sin

Зх

х = sin sin 2х =О; (2 cos х- 1) .=О;

sin

+ sin

Зх

sin

1tn

[ ::

Відповідь:

1t;,

2х.

х-

± ~·+

21tn. n Z.

±~ + 21tп, п Е Z.

ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння sin 2 х

+ sin 2 2х + sin2 3х = 1,5.

Розв'язання .. Скориставшись формулами nониження степеня, запишемо :

Далі маємо:

cos

1-cos2x 1-cos4x 1-соsбх 3 ----+ +---2 2 2 2 cos 4х + (cos 2х + cos бх) =О;

4х + 2 cos 4х cos 2х =О; 2cos4x(~+cos2x}=o.

Оrримуємо сукупність

cos4x=0, 1

[ cos2x=-2.

3вщси

[х=~+ 1t:, х=±~+1tп, пеZ.

Відповідь: ~+ 1tn, ±~+1tп, п Е Z.

ПРИКЛАД4Розв'яжітьрівнянняsіnбхсоs2х =

sin5xcos3x- sin2x.

Розв'язання. Перетворивши добуток тригонометричних функ цій у суму, отримуємо :

~ (sin 8x+sin 4х)= ~(sin 8x+sin 2x)-sin 2х; sin 4х + sin 2х =О; 2 sin

Зх

cos

О.

Перейдемо до сукупності

1tn

sin3x=O, [ cosx=O; в z·а повz·а ь: З' 1tn

2 +1tп,

п Е

х=-

3 '

[

х=~+1tп, пеZ.

z•

ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння s~n Зх

+ 3 sin

2х =З sin х.

Ро з в'язання. Застосувавши форму ли синуса подвійного та потрійного аргументів, отримуємо :

357

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності - - - ---

-- - -- -

3 sin х - 4 sin х + 6 sin х cos х = 3 sin х. 2 sin х (3 cos х - 2 sin2 х) = О; 2 sin х (3 cos х- 2 (1 - cos2 х)) =О; 2 sin х (2 cos 2 х + 3 cos х - 2) = О. sin х =0, Переходимо до сукупності [ 2cos2 x+3cosx-2=0. 3

Звідси

[

х =пп,

х=±~+2пп, пеZ.

Відповідь: пп, ±~+2пп, п е Z. ПРИКЛАД І Розв'яжіть рівняння

1 + sin

+ cos

+ sin

2х

+ cos

2х =О .

Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді

(1 + cos

2х)

+ sin

2х

+ (sin

+ cos

Тепер можна записати : 2 cos2 х + 2 sin х cos х

2 cos

х)

(sin х + cos х) + (sin х + cos х) = (2 cos х + 1) (sin х + cos х) = О .

Отримуємо сукупність

COSX=-!, . 2 [ sшx+cosx=O.

Відповідь: ± 27t + 2пп, -~+пп, п е 3

Звідси

О.

+ (sin х + cos х) = О; О;

[Х=±~ +21tп, 7t

х=--+пп, пеZ. 4

Вправи

, _.

1136: Розв'яжіть рівняння: 1) cos х + cos 3х =О ; - 3)2sinxcos2x- sinx + 2cos2x- 1 =О; 2) sin 5х- sin х =О; - 4) 2sin х tg х+2 .J3 sin x-tg х-.JЗ =0. І1а7 . ' Розв'яжіть рівняння:

1) sin 1х + sin х =О; - 3) tg3 х + tg 2 х- 2 tg х- 2 =О; 2) cos 9х- cos х =О; - 4) J2cosxctgx-3J2cosx+ctgx-3=0. 1138: Розв'яжіть рівняння : 1)

cos(~+x)+cos(~-x)=1;

3) sin

5х

sin(~+x)-sin (~-х)=1;

4) sin

10х

358

= cos

4х;

- cos

2х

= О.

52. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники

1139:

Розв'яжіть рівняння:

1) sin( 1t +x)+sin(~-x)=1; 2) cos 5х + sin 3х =О. 12 1140: Розв'яжіть рівняння: 1) sin 2х + 2 віn х = cos х + 1; 2) 1 + cos 8х = cos 4х; З) cos х + cos Зх + cos 2х = О; 4) 2 sin 2х + cos Зх - cos х = О; 5) cos х - сов Зх + sin х = О; 2 6) sin 4х + 2 cos х = 1; 7) cos х- cos 3х = 3 sin 2 х; 8) sin х + sin 2х + sin Зх + sin 4х = О; 9) cos 7х + sin 8х = cos Зх- sin 2х; 10) v'Зsin2x+cos5x-cos9x=O. 1141 : Розв'яжіть рівняння: 1) sin 2х + 2 sin х = О; 5) sin х + sin 2х + sin Зх =О; 2) sin2x-- cosx = 2 sinx - 1; 6)cos9x- сов7х + соsЗх- cosx =О; З) 1 - cos 8х = віn 4х; 7)sinx- sin2x + sin5x + sin8x =О; 4) sin2x + sin4x + cosx =О; 8) .J2 cos5x+sinЗx-sin 7х=О. 1142." Розв'яжіть рівняння:

1)sin 2 ~+sin 23:=1; 2

J,,":_

,' ·

'~cos х + cos 2х + cos2 Зх = 1,5; 2

З) cos 2х- cos 8х + cos 6х = 1; 4) 1 - cos х = tg х - sin х; 5) sin х + sin 3х = 4 сов 2 х; 6) cos2x=.J2(cosx-sinx);

7) sin Зх + J3 cos Зх = 2 cos 5х; 8) sin2 х + sin2 2х - sin2 Зх - sin2 4х = О; 9) cos 2 х + cos2 2х + cos 2 3х + cos2 4х = 2; 3 10) сов 9x=2sin ( ; -Зх ). J 143: Розв'яжіть рівняння:

1) cos2 6х

+ cos 2 5х = 1;

4) sin 2х

+ cos 2х = .J2 sin х;

2) cos х- sin 2х + cos Зх =~;

5)~х + oof2x = ~Зх + oof4x;

З) cos 2х- cos 4х = sin 6х;

3 6) sin 6х =2cos( ;

359

+2х).

§ 5. ТригонаметрИЧ НІ рІВНЯННЯ І нерівності

1144." 1)

Розв'яжіть рівняння:

сов Зх

+ віn

х віn 2х

= О;

3) 2

2) sin Зх сов 2х = віn 5х;

1145: Розв'яжіть

1) 2 віn

сов (х

4) сов

+ 20") сов х = сов 40·;

Зх сов бх =сов 4х сов 7х.

рівняння:

х віn 2х +сов Зх =О; З)

sin {x+~)cos(x+~)=0,5;

2) sin (х + 45j sin (х- 15) = 0,5; 4) віn 5х сов 3х = sin 1146.- Розв 'яжіть рівняння : 1) sin 7х - J2 cos5x + .J3 сов 7x-.J2 sin 5х = О; 2) 2sin Зх+віn х - сов2х = .J3 (sin 2x-cos х);

9х сов 7х .

З) ~ (2 - сов х)+ 4 віn 2х = sin х. 1147:· Розв'яжіть

рівняння:

1) сов 3х - віn х = -.JЗ (sin Зх- сов х);

2) (sin 2x+.J3 сов2х)2 - 5 =сов{~- 2х).

1148.- Розв 'яжіть рівняння: 1) sin Зх + sin х - віn 2х = 2 сов 2 х - 2 сов х; 2) (сов х - віn х) 2 - 0,5 віn 4х = віn 4 х - сов• х. 1149:· Розв'яжіть рівняння: 1) віn 3 4х + сов3 4х = 1 - 0,5 віn 8х; 2) cos2x+вin 2x=J2 (сов 4 2х - віn 4 2х).

дни

ПРИКЛАД

+ sin х + віл. х сов х = 1. = t. 'Годі siD2 :r + 2 sin х cos х +

Розв• .я:жі·rь рівняuня сов х

р ., з в' зон. ня. Нехаіі cos х .. 5in х

t2 ]

сов2 х = t 2 ; віn х сов х = Т . Даяе в умо1Іі рівняння набуває

вигляду 3

t+t

;

=1,

або

t 2 + 2t-

З = О. Звідси

t1 =

-З,

t 2 = 1.

урахуванням заміни отримуємо сукупність

[ Оскільки І віn х І

сов х t віn х = -З, coвx + sinx = 1 .

і І сов х І

ності коренів не має.

ЗбО

< 1,

то перше рівняння сукуп

53. Приклади

розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь

Залишається розв'язати рівняння

cos

+ sin х = 1.

Маємо:

J2 J2. Ji -cosx+-smx=-· 2 2 2 ' cos

•

.J2

•

4 cosx+sm4sшx=2;

cos(x - ~)= x-

=± +2nn, n

х= ~±~+21rn; x =21tn, [ x=j+2nn. ВiilnotJiдo: 2їш, і + 2nn, n Е Z. ПР

Розв'яжіm. рівняння

cos8 x .cos3:r+sin3 :rsin3:r=

Jf.

Розв'язання. З формул для синуса і носивуса потрійвого

аргументу знайдемо віn 3 х і cos3 х: • 3 3sinx-sin3x , СОВ 3 SlR Х =

=3cosx+cos3x 4

Тоді дане рівняння набуде виrляду:

3cosx+cos3:r

•COS 3 Х

+ Зsin x -sin Зх •Sln . .J2 3 %=4; 4

(cos 3x-sin 3х)+ 3(cosx cos 3x+sin х sin 3х) = J2; 2

cos бх + 3 cos 2х = J2; 4 cos 2х- 3 cos 2х + 3 сов 2х =J2; 3

cos3 2х=

cos2x= }ї;

х =±~+nk,

Е Z.

Відповідь: ±~+nk, k Е Z. ПР' ~АД

Розв'яжіть рівняв:ня

сов х

cos

2х

cos

4х

= cos

Розв'язанн.я. Помвожимо обидві частини рівняння на Оrримаємо рівняння-наслідок:

4 sin

cos

2х

cos

361

4х =

cos

7х

sin

х.

7х.

sin

х.

S. ТригонометричЖ~внянняі~вносrі

Звідси

sin

8х

= 2 cos

7х

sin

х;

sin

8х

= sin

8х-

sin

бх;

sin 6х = О; х = nk, k Е Z. 6

Оскільки корені рівняння

sin

=О

не є коревІІМИ задавого

в умові рівняння , то з отримавих розв'язків необхідно виключити всі числа виду х

=nm,

': * nm, від пов ідь:

ПР&.1КЛАД

1tk б'

"' Е ІLJ,

-~:-

Маємо

звідси k -~:- 6m. 6 m, m

Е '71 /LJ.

Розв'яжіть рівняння cos ха; Вх ·= х 2 + 1.

Ро з в 'язання. Оскільки при будь-якому значенні х виконух2- 8х

ються нерівності cos - --

і х2

+ 1 ~ 1, то коренями давого

рівнІІИИя є ті значення змінної, при яких значения його лівої

і правої частин одночасно дорівнюють

Отже, дане рівнІІНИя

. {cos xz -58х =1,

рtвносильне системt

х 2 +1=1. Друге рівияиия системи має єдиний корінь х

=О. Він також

задовольняє перше рівиІІИИя системи.

Відповідь: О .

· "U1 Ц

Розв'яжіть рівняння ха- 2х sin ~ + 1 = О.

Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне від

носво х. Оскільки дискримінант D=4sin2 ~ -4 має бути невід'ємним, то отримуємо sin2 ~ > 1. 3відсм sin ~ =1 або sin ~ =-1. Тепер зрозуміло, що задане в умові рівнЮІНя ріввосипьве сукуп ності двох систем:

. 1U 1 S l n - = -.... {

Відповідь:

х2 +~+1=0.

1; -1 .

362

53. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь

.,.,,.. _

______________,_,_, _

-8-п-ра_в_и

1150: Розв'яжіть 1151: Розв'яжіть 1152: Розв'яжіть 3

1) sin х

+ cos

рівняння рівняння

2 sin 2х =З (sin х + cos х) . sin 2х + 5 (sin х + cos х) =О.

рівняння:

2 ) 1+s~n2x+ 2 .1+tgx=З. 1-stn2x 1-tgx

х = 1;

115З: Розв'яжіть рівняння

+ cos

sin

+ sin

cos

х.

1154.- Розв'яжіть рівняння: 1) З cos х + З sin х + sin Зх - cos Зх = О; 2) cos 4х = cos2 Зх; 3 3 3 З) sin х sin Зх + cos х cos Зх = cos 4х. 1155."" Розв'яжіть рівняння : . 3 x+sln • з 3 J3 . 2х ; 1) s1n х=--sш

2) cos бх + 8 cos 2х - 4 cos 1156.- Розв'яжіть рівняння : 1) cos х cos 2х cos 4х cos 8х = 2) cos

+ cos

2х

+ cos

Зх

4х

- 5=

О.

;

+ cos

4х

= -0,5;

З) cos х + cos 2х + cos Зх + cos 4х =1 ~· 2

1157.""

Розв'яжіть рівняння:

1) cos х cos 2х cos 4х cos 8х = cos 15х; 2) sin х + sin 2х + sin Зх = cos х + cos 2х + cos cos 2х + cos 4х + cos бх + cos 8х = -0,5. 1158.- Розв'яжіть рівняння:

Зх;

З)

х2+2х

1) 2соs---=х 2 +4х+б;

1159:·

2)Зсоsх

+ 4sinx = х

- бх

Розв'яжіть рівняння:

1) sin

хх =х 2 -4х+5;

sшx+cosx 2

1160.- Розв'яжіть рівняння sin х = х + х + 1. 1161: · Розв'яжіть рівняння Зх 2 = 1- 2 cos х. 1162.- Розв'яжіть рівняння: 1) 4у 2 - 4у cos х + 1 =О; 2) (х + у)2 + 10 (х + у) cos (7txy) + 25 = О.

363

--J2-x

•

+ 14.

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності •

З·· Розв'яжіть рівняння:

l)x 2 +8xsin (xy) + 16 ::: 0; 2) y 2 -ЗJ2(cosx - siнx)y+9 = 0. Про рівносильні nереходи nри розв'язуванні тригонометричних рівнянь У попередніх пунктах ви ознайомилися з основними прийома ми розв' язування тригонометричних рівнянь. Проте nри застосу ванні кожного методу є свої тонкощі, нюанси, ~підводні риФ,• •· Очевидно, що nоза областю визна чення рівняння коренів бути не може

(риr .

216).

рjвняння

Якщо під час nеретворень відбуваєтьсп розширеннп

області його визначення, то зрозумі ло,

що

це

може

прявести до

появи

сторонніх коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги nри розв ' язуванні три Рис .

П РИКЛАД

216

гонометричних рівнянь.

Розв'яжіть рівнпння

2 - 2sin2 x -cos.r 6х 2 + 57t.X + ~t11

0 •

Розв'язання. Дане рівнпюrп рівносильне системі

2 - 2sin 2 x-cosx ==О, {6х 2 +5тсх+п ;tO. 2cos2 x-cosx=O, Маємо:

х~ - ~ 2'

Звідси

[

х =~ + nk, k Е Z, x=±~+2nn, ne Z,

x;t-~

7t х;t-з· Зауважимо, що при

n =

k = -1

корінь першого рівняння, а при

О один із коренів другого рівняння сукуnності не задоволь-

няють систему.

Відповідь: і+ 27tn, т ~О,

- 1.

364

54. Про рівносильнІ ПРИКЛАД

переходи nри розв'язуваннІ тригонометричних рівнянь 2

2 Розв'яжіть рівняння cos x-cosx 1-sinx

Розв'язан.н.я. Перейдемо до рівносильв-ої системи

cosx=O, {[cosx=l, sin Х*І;

[[

х=і+пk, =2пп,

х*

ke'll,

п Е 'll,

2 +2пl,

leZ.

Очевидно, що при парних значеннях

розв'язки першого

рtвняння сукупності не задовольняють систему. При

k =2m- 1,

тЕ Z, отримуємо х=і+п(2т-1)=-і+2пm, тЕ Z. Відповідь: -і+ 2пm, т Е Z, 2пп, п Е Z. .

ПРИКЛАД) Розв'яжІть ршняння

sin3x-2sinx cos3x

,-;:

"3 tg 2 х.

Розв'язан.н.я. Застосуємо формули синуса і косинуса пo-

трійного аргументу. Отримаємо:

Звідси

2 sin х <1- 4 sin х) cos х (1- 4 sin 2 х)

3sinx-4sin3x-2sinx 4 COS 3 Х-3 COS Х

J3 tg2 х. Останнє рівняння рівносильне

системі

tg х

=J3 tg2 х'

. ±] { SШХ* 2'

звідси

Відповідь: пп, п Е ПРИКЛАД

'll.

Розв'яжіть рівняння

Jg- х 2 (2 sin 27tX + 5 cos пх) =О. Роав'язан.н.я. Дане рівняння рівносильне системі 2

[ {

::~ :n~·+ 5 cos =О, 7tX

9-х ~0. 2

Звідси {[::~n :Х~·os пх + 5 cos пх =О, 9

,-;: '13 tg 2 х.

~9;

365

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

[

х =9, cos nx (4 sin 1tX + 5) =О , х2 ..;9;

{[

х 2 =9, cosnx=O, . 5 s1n nx=- ,

х2

{[

[

х 2 =9, nx=i+nk, keZ,

-3 .о;х о.; З;

..;;9;

х=3, Х=-3,

X=~+k,

keZ,

-3..;;х..;;3.

~+k<;3,

Розв'язавши відносно

систему

1 +k ;;i/l-3,ke Z,

отримаємо

Відповідь: х = 3, або х = -3, або х = ~ + k, де

{-3, -2, -1,

О,

1, 2).

ПРИКЛАД ;І Розв'яжіть рівняння Jcos2x совх=О. Розв'язання. Перейдемо до рівносильвої системи :

cosx=O, cos2x=O, cos2x;.O;

[[

х =і+ nk, k е Z, х=

пп

4 + 2,

пеZ,

cos2x;;;.o. При

2 +nk

маємо:

cos

2х

= cos (1t

+ 2nk) = -1 <

О і при

х=~+ Х: маємо: cos2x=cos(i+nп)=o;;;.o. в t·а повt·аь :

1t nn 4+2 ,

'71 п е ~ .

У деяких тригонометричних тотожностях вирази, які записано

в лівих і правих частинах, мають різну область визначення. На ведемо кілька прикладів.

2tg~

2sina=--""' l+tg2j

366

(1)

54. Про рівносильні переходи

при розв'язуванні тригонометричних рівнянь

Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множи

на R, а правої -

множина {а Е JR І а*

n + 2nk, k Е Z}.

tg(a+\3)= tg a+tg Р

(2)

1-tgatgp

Областю визначення лівої частин.и тотожності

((а,

\3) І

{2)

є множина

а+ 13 *і+ 1tk, k Е .Z}; область визначення правої частини -

мвожива ((а, \3) І a;~;i+nn, n Е Z, P*"i+1tm, m Е Z , a+P*i+Jtk, k

Z}. Застосування цих формул справа наліво призводить до розши

рення області визначення рівняння, а отже, з'являється загроза появи сторонніх коренів.

ПРИКЛАД

Розв'яжіть рівняння (1

+ tg2 х) sin х + t~ х-

1 = О.

Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді

+ tg2 х) sin х =

1 - tg~ х.

Поділимо обидві частІІНИ остаиньеrо рівняння ва

1 -t- tgJ х.

Зрозуміло, що таке перетвореШІЯ не порушує рівносnльвості.

Маємо sш ж=

1 - tg2 % 2

l + tg

•

• Оскільки має юсце формула

cos 2х =

1- tg

l+tg z

•

то виникає бажання замівити праву частиву останвьоrо рівНЯУftfЯ на сов 2х. Проте така заміва розширить його область визначення

на множину чисел виду і+ 1tk, k Е Z. Отже, дане рівняння рівно сильне системі

sin х =сов 2х, { COSX*O. Звідси

2 sin 2 х+ sin х-1 =О, { cosx:~;O;

{[

s~n x=~l, s1nx=

cosx:~;O .

. х =1 . маємо s1n 2

Відповідь: (-1)"~+1tn, n е Z. Очевидно, що звуження області визначення рівняння загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул зліва направо може призвести до втрати коренів.

367

- це (1) і (2)

§ 5. Тригонометричt'!і рівняння і нерівності

--------------

------ ---

----- - -~- ------

Розв'яжіть рів:вяв.вя tg 2х + sin 2х = ~: ctg х.

Розв'язання. Застосувавши формули

tg 2х= 2tgx 2 1-tg

sш2х:

2tgx l+tg 2 х

1 ctg х=--, tgx

дане рівняння зручно звести до алrебраїчиоrо рівняння відносно

х . Проте такі nеретворення звужують область визsаченвя рів

няння і nризводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати

коренів виду ~+пп, п Е Z. Цей факт треба врахувати nри заnи сі відnовіді.

2tgx 2tgx + -~=-l - tg2x ' 1+tg2 x

Розв' язавmи рівняння x = ±arctg

2 +пп,

п е

lбtg х '

отримаємо

Відповідь: ~+пп, ±arctg ~+пп, п Е Z.

ПРИКЛАд 8 Розв'яжіть рівняння

tg ( 5: + х) = - 1- 5 ctg х.

Розв'язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність

tg (бn + х)

tg 57t +tg%

1-tg5ntgx 4

. Але nри цьому область визначення рів-

нявня звузиться на множину {~+1tk,kez}. Легко переконатися, що числа виду і+ rtk, k Е Z, є коренями даного рівняння. Тому· заnишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню:

x=-

+nk, k єZ,

tg4+tgx = - _ __L, 1 tgx 1 - tg5nt 4 gx

ЗвІДси

[x=i+rtk, keZ, [x=~+rtk, keZ, l+tgx 1-tgx

Відповідь:

2 +nk,

1-2.__. tgx'

t Х=~. З

arctgз+rtk,

368

54. Про рівносильні переходи

при розв'язуванні тригонометричних рівнянь

І Вnрави Розв'яжіть рівняння:

1164:

2 х- сов 2х =О; З) 1-5sin 1tX+2cos 1tX _ 0 1 ) sin х =О; 2 ) 2-3 sin 2 2 2 бх +х-5 - · х + 21t бх - 1tX -1t

Розв'яжіть рівняння:

1165:

З) 3sin 21tX+7 cos21tX-3 _ 0 4х 2 -7х+3 - · 2

1 ) sinx-cosx -О· 4x-1t

cos2x-2cosx+1 12х 2 - 81tX + 1t 2

О;

Розв'яжіть рівняння:

1166: 1)

cos2x =О;

1-sin2x sin2x -О· l-cos2x- '

) sin2xcos8x-cos2xsin3x =О; l+cosx 8sin х cosx sin 2х-1

З) sin x+sinx -О· 2

l+cosx

б)

Розв'яжіть рівняння:

1167:

cos2x 1 ) l+sin2x

О·

sin2x 2) = 0; 1+cos2x

З) 2sin x+3sinx =О; 2

1-cosx sinx 4) = 1 -cosx; 1+cosx

sin2x

1 -cosx

=2sшх.

Розв'яжіть рівняння:

1168:

2) .J25-4x 2 (Зsin2nx+8sinnx)=O.

1) .Jx-2sinnx=O; Розв'яжіть рівняння:

1169:

2) .J49-4x 2 (sin nx+Зcos ~)=о.

1) Jз-х cosnx=O;

1110:·

О;

J3+2sin4x sin2x =-2cosx. . 1 +sшх

Розв'яжіть рівняння:

cos х-4 sin 2 xcos х sin3x+1

О;

З) sinx+cos4x-2 =О.

2сов ~-..J2 2

1-cosx-sin х -О· 2) cosx - '

1171:·

Розв'яжіть рівняння:

1 ) cos 2х- sin х =О; sin3x-1 2

369

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1172:· Розв'яжіть рівняння: 1) ~ cosx=O; 2)

З) ~cosx (8sinx+б-2cos2x)=O.

Jctgx-JЗ cosx=O;

1173:· Розв'яжіть рівняння: 1) .JOOSXsinx=O; 2) Jcosx1174:·

З) ~sinx(4-бcosx-2sin 2 x)=O.

~ sinx=O;

Розв'яжіть рівняння:

5 1) tg (2х+ ;)=2ctg 2x+~ctg l:1t; 1175:·

ll1t _ 2 ctg х + 3

б -

(

х+~ )"

Розв'яжіть рівняння:

1) tg 2х+ sin 2х = ~ ctg х; 2) tg (2x-i)=ctg

-t; +Зctg 2х;

З) 2tg(~+x)+s.J3 tg(i+x)=-7.

Приклади розв'язування систем

тригонометричних рівнянь

ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть систему рівнянь {х+у=і· sinx+siny = 1. Розв'язання. Перепишемо дану систему у вигляді

х+у=з·

х+

2sinтcosт=1.

Підставимо в друге рівняння системи ~ замість х +у. Маємо: х+у=-,

{ х+у=-, 1t 3

1t 3

. 1t х-у { 2sш-cos--=1; б

х+у=з·

xcos--Y =1; { х- y=4nk, keZ. 2

370

55. Приклади розв' язування систем тригонометричних рІвнянь

---------------Далі отримуємо:

{ Відповідь:

ПРИКЛАД

х==+2тсk, у =в-2тсk.

(~+2тсk;~-2тсk),

Розв'яжіть систему рівнянь

x - y=!!, 6

jcosx sin у = ~.

Розв'язан ня. Ураховуючи, що х-у=~. перетворимо друге рівняння системи:

~(sin(y-.x)+sin(y+x))=~; ~(sin{-~)+sin(x+y)) = ~; sin (.х +у)= 1; x+y=~+21tk, k Е Z.

Тепер система набуває вигляду {х-у=:·

х+ y="2+21tk.

Звідси отримуємо:

x=:+Jtk, { у=в+тсk.

Відповідь: (~+Jtk; ~+тсk),

Р Ю\АД Розв'яжіть систему рівнянь Jx+y=~·

х + tg у = 1.

Розв'язання. Перетворимо друге рівняння системи:

sin(x+y) cos.r сову

--=----"-=- 1.

ОскlЛьки х +у=-, то маємо:

~(cos(x+ y)+cos(x- у))=~; !(cos !Е. + cos (х-у))= J2; 2

371

.J2 ;

cos х cos у= -

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

~ +cos(x-y)=J2; cos(x-y)=

x-y=±-+2nk, k 4

Тепер отримуємо:

Звідси 1t х+у=-,

Відповідь:

y=4-1tk.

ПРИКЛАД

x-y=-~+2nk.

(~+nk; -nk),

(nk;

~-nk), k е

Розв'яжіть систему рівнянь

y=-nk,

~х =1t1tk,

[

X=~+1tk 4 •

sin х cos у= 0,25, . {COSXSlD у =0, 75.

Розв'язання. Запишемо систему, рівносильну даній:

sin xcosy+cosx sin у =1, { sin х cos у- cos х sin у= -0,5.

з.

ВІДСИ

{sin(x+y)=l, sin(x-y)=-0,5;

(1)

! х-у::-1)"•' і+

х +у =~ + 2nk, k е Z,

х+ у =~:21tk,

(2)

xn, n Z;

jx=:+n(k+

п),

y=з+1t(k-n),

x-y=-6+21tn,

! 372

х =-~ + n(k+ n), 21t

y=з+n(k-n).

55. Приклади

-----------------

розв'язування систем тригонометричних рівнянь

Зауважимо, що, переходячи від системи

(1) до системи (2),

при

записі розв'язків першого рівняння системи ми використовували параметр метр

а при записі розв'язків другого рівняння-- пара

Вживання тільки одного параметра призвело б до втрати

розв'язків. Справді, якщо записати систему лише параметр

(2),

використовуючи

отримаємо сукупність:

у =~:21tk,

{х =:+21tk,

х- у=-в+ 21tk,

x+ у= ~+21tk,

у= з· звідси

x = -~ + 21tk,

57t x-y=---+21tk 6 '

21t 3

у=--.

Тепер бачимо, що розв'язки отриманої сукупності є підмно жиною множини розв'язків вихідної системи. Так, наприклад,

пара

( 77t; ~7t) 6

є розв'язком системи рівнянь, проте не є розв'язком

отриманої сукупності.

Відповідь: (~+1t(k+n):i+1t(k-n)), (-~+1t(k+n); ~ +1t(k-n)), k

Z, n

ПРИКЛАД

Z. 5

Розв'яжіть систему рівнянь

tg x+tg у=2, { 2cosxcosy=1.

Розв'язання. Маємо:

sin (х + у)

cosxcosy

{ sш(х+ . y)=l,

cos х cos у= 0,5;

{

fx+ y=~+21tk,keZ,

lcos х cos у= 0,5;

у =~+21tk-x, Jу= ~+21tk-x, cos х cos(~+21tk-x)=0,5; lcosxsin х=0,5; 7t

y=-+21tk-x

1sin~x=l;

{х = ~4 + 1tn, y=~+1t(2k-n), keZ,neZ.

Відповідь: (~+1tn; ~+1t(2k-n)), k е 373

Z, n

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

І'' Вправи Розв'яжіть систему рівнянь:

1176:

х-у=-,

jcosx+cosy= ~;

{

x+y=in, 2)

З) сов' x- cos' у=-~; 3

х-у=-,

1177."

cos2 x+cos 2 y='4;

{

cosxcosy=~.

Розв'яжіть систему рівнянь:

1) {у-х=б0°, cosx+cos у= 1,5;

З) Jx+y=~.

l sin 1tX + sin пу= 1;

х+у=з·

sin х sin у= 0,25.

1178:

Розв'яжіть систему рівнянь:

Jx+y=2;.

lsinx-2siny=O;

Jx+y=%n, lcos2x+siny=2.

1179:

Розв'яжіть систему рівнянь Jх-У =~ п,

1180:

Розв'яжіть систему рівнянь:

l sin х = 2 sin у.

х+у=-,

х+у=2·

{

tg x+tg у=2;

1181." Розв'яжіть

{

tgxtgy=~.

систему рівнянь:

21t х-у=з·

tgx-tgy=-2.J3;

1t х-у=б·

ctgxctgy=1. 374

Найпростіші тригонометричні нерівності

56.

1182: 1)

Розв'яжіть систему рівнянь:

sinxsiny= J3, 4

J};

cosxcosy=

)

SID 1tX COS 1ty =

1 х+у

х-у

cos -2- cos - - = 0,25, 2

cosxcosy=-0,5.

1 -2,

tg 1tx ctg 1ty = -1;

1183:

Розв'яжіть систему рівнянь:

tg x-tg у=1,

1) {sin х c~s у= -0,5, COS Х SID у= 0,5;

. . 1

SlDXSІDy=

COS Х COS у=

cos х cos у= 0,25,

С'

4 v2

tg xtg у=~;

х+у

х-у

cos -2- cos -2- = 0,5.

Найпростіші тригонометричні нерівності Нерівності виду

(х)

а,

(х)

а, де

f -

одна з чотирьох

тригонометричних функцій, називають найпростішими триrово метричвими веріввостями.

Підr'рунтям для розв'язування цих нерівностей є таке на очне міркування: множиною розв'язків нерівності

(х)

(х) є

множина тих значень змінної х, при яких точки графіка функ

ції

(рис.

розміщені вище за відповідні точки графіка функції

На цьому рисунку проміжок

217).

розв'язків нерівності

(х)

> g

(х) .

Розв'язування найпростіших три гонометричних нерівностей проводи тимемо за такою схемою: знайдемо рQзв'язки

на

проміжку,

довжина

якого дорівнює періоду даної функції; усі інші розв' язки відрізняються від знайдених на функції,

Tn,

де Т

Z, n

-:1- О.

період даної

375

О Рис.

Розглянемо приклади .

(а; Ь)- множина

217

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерІВНОСТІ

ПРИІ<ЛАД

Розв'яжіть нерівність sinx>i.

Розв'яза~ня. На рисуюtу

218

зображено графіки функцій

у = sin х і у = і. Оскільки arcsin ~ =і· то графіки перетинаються в точках з абсцисами ~ + 2пп, 5:

+ 2пп, n

Е Z.

Розв'яжемо цю нерівність на проміжку [~;~+2пJ завдовжки в період функції у = sin х . На цьому проміжку графіR функції у

за графік функції у=~ при хе(~; У

5 :)

у=

Рис.

= sin х

(рис.

зваходиться вище

218).

sinx

218

Оrже, множиною розв'язків даної нерівності є • >б'едвання

проміжків виду

u<:ix 5 ( ~ + 2пп; : + 2пп) , n е Z. Таке об' єднання прийня-

то позначати так: U {~ + 2пп; neZ

5 Jt + 2пп). 6

Відповідь записують в один з трьох способів:

~+2пn<x< 5Jt+2пn,

або {і+ 2пп;

5 Jt 6

+2пп).

n n

або U (.!!. + 2пп; бп+ 2пп). n eZ

ПРИКЛАД Розв•sхжіть .верівніс·rь sin х < Розв'яJа нu я Оскіль.к•s

. .

рlВШСТЬ На ПроМІЖКу

[1t

arcsin

~ = ~. то розв'яжемо цю не-

J тобт0

Jt + 2 Jt 1 З; З

376

Jf.

. На ПроМІЖКУ

7Jt] [Jt з; з

•

Sб. Найпроаіші тригонометричні нерівноаі

sin х х е ( 2:; 7;)

На проміжку, що розглядається, графік функції у=

Jf при

розміщений нижче від графіка фуЮ<ції у = 219).

(рис.

у=

sinx

Рис.

219

Оrже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх

nроМІЖІОВ виду

(21t 2 71t 2 ) з+ 7tn;з+ 1tп,

'71

п Е tu.

Відповідь: 27t + 21tп < х < 77t + 27tп, п е Z. 3

У прикладах і

sin

розв'язуючи нерівності виду

х < а, ми розглядали проміжок виду

[arcsin

а;

sin arcsin а

х > а +

21t].

Зрозуміло, що розв'язування можна nровести, розглядаючи будь який інший проміжок, довжина якого дорівнює проміжок

[- 21t + arcsin

а;

arcsin

ПРИКЛАД ) Розв'яжіть нерівність

Розв'язання. Маємо: нерівність на проміжку

21t.

наприклад

а].

cos х >- ~.

arccos(-

~) = 341t . Розв'яжемо дану

[ - 21t + 31t; 31t 4 4

тобто на проміжку

[- 541t; з:]. На цьому nроміжку графік функцU у

за графік функції у=- J2 nри 2

xe(-

=cos х розміщений вище З1t) (рис. 220). 4

31t; 4

Оrже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх

nромtжюв виду

(- 31t +2 1tп; 4+ 31t 21tn, )

Відповідь: - З1t 4 + 21tп < х < З1t 4 + 21tn , п е 377

'71

п е tu.

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

Рис .

ПРИКЛАД

220

Розв'яжіть нерівність

< 1.

Розв'язання. Розв'яжемо дану нерівність на проміжку (-і; і)· Оскільки arctg 1 = ~· то на проміжку, що розглядається, гра фік функції у

= tg х розміщений нижче від графіка функції у = 1

при хе(-і;~) (рис.

221).

Рис.

221

Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх

проміжків виду (-і+ nn;~+ nn).

Відповідь: -і+ nn< х <~+nn, n е Z. ПРИКЛАД. Розв'яжіть нерівність ctg х;;.. -JЗ.

n). 5 Оскільки arcctg (-JЗ) = : , то на проміжку, що розглядається, Розв'язання. Розв'яжемо дану нерівність на проміжку (О;

графік функції у =

ції у= -JЗ при

ctg

х розміщений не нижче від графіка функ

х е (О; 561t

J (рис. 222). 378

56.

Найпростіші тригонометричні нерівності

Рис .

222

Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх

пром1жюв виду

Відповідь:

(1tn; 6 51t + 1tn , n

'71 . е UJ

1tn < х ".:; ; : + 1tn, n

е Z.

ПРИКЛАД І Розв'яжіть нерівність sin х- cos х > -1. Розв'язання. Маємо:

sin х- sin (~- х) > -1;

2cos~4 sin {х-~)>-1· 4 •

.J2 sin(x-~)>-1; . (

1t)

sш х-4 >-т·

Нехай x-~=t. Тоді

sint>- ~ · у=

sint

t у=-

,/2

Рис.

Скориставшись рисунком

223

223,

отримуємо:

51t --+21tn<t<-+21tn, n 4 4 7t

379

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

Звtд·си -~ + 2пп < х- ~ < 5Jt + 2пп· 4

2пп < х < з; + 2пп. Відповідь: 2пп < х < з; + 2пп, п Е

Розв' язування найпростіших тригонометричних нерівностей можна інтерпретувати за допомогою одиничного кола.

ПРИКЛАД 7 рОЗВ ' ЯЖІТЬ · нерІВНІСТЬ · · J3 <,. COS Х < 2· 1 -т Розв'язання. Виділимо на одинич ному колі множину точок, абсциси

. .

яких не меншІ вtд

(рис.

J3 1.

. .

меншІ вtд

224).

Множина розв'язків даної нерівно сті- це множина таких чисел х, що

точки

Р., = R~ (Ро)

або дузі Рис.

належать дузі АВ

CD.

Маємо:

224

arccos~=i і

У явімо собі, що ми рухаємося по дугах АВ і

arccos(CD

~)= 5:.

проти годинни-

5к

кової стрілки . Тоді можна записати: A=RJ (Ро), B=RJ <Ро>· 7к

6к

C=R"J (Ро), D=RJ (Р0 ). З урахуванням періодичності функції у

cos х

сукупності, яка рівносильна даній нерівності :

[

Відповідь:

і+ 21tk < х <. 5:

+21tk,

7 5 n + 2nk <. х < ; + 2nk, k е 6 і+ 2nk < х <. 5: 2nk

або 7: + 2nk <. х < 5; + 2nk,

380

е Z.

переходимо до

56.

Найпростіші тригонометричні нерівності

І Вправи Розв'яжіть нерівність:

1184: 1)

sinx<~;

sinx~- JЗ; 2

5) tg

х < -1;

6) tg

х ~ Jf;

3) cos х > Jf;

1185." 1)

1186:

sinx~Jf;

4) cosx> 5) tg

1) 1188:

ctgx~JЗ;

8) ctg

х > -1;

sinx<~;

10) tg

х > 3.

х ~

7) ctgx>

-1;

8) ctg

J}:

х ~

cosx>~;

10) ctg

Розв'яжіть нерівність:

tg(-~)<JЗ;

3) ctg

5х > 1; 4) cos(-3x)>~.

Розв'яжіть нерівність:

sin~<~;

ctg(-~)>JЗ;

3) tg2x<-

J}: 4) cos4x<~.

Розв'яжіть нерівність:

tg(x-~)~JЗ;

ctg(~-x)> }з:

cos(2x-~)>-~;

2sin(~-3x)~JЗ;

6) sin(1-2x)<-

1189." Розв'яжіть 1)

cos(~+~)~- ~;

ctg(x+~)~JЗ;

2sin(~7t-x)<1;

(

cos(x-~)~~;

sin{4x+~)~- ~·

Розв'яжіть нерівність:

1) _!~sinx<! .

3) -2 < tg

2) _!<cosx~! .

4) -1~ctgx~JЗ.

2 2

~·

нерівність:

х 7t) <-т: J2 4> tg (х3+47t) <з: J3 2> cos 2+3 1190."

< 2.

6) tgx<-JЗ;

cosx~- ·

1) sin2x> ~; 2)

1187."

Розв'яжіть нерівність:

2) sinx>-!. 2' 3)

cosx~~;

4' 4'

381

< 3;

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності

1191."

Розв'яжіть нерівність:

1)-

.J3 <cosx~-!. 2 2'

З)

2) !~sinx<!. з 2'

-4 < ctg

4)-

l,Б;

J} <tgx<1.

Приклади розв'язування більw складних тригонометричних нерівностей ПРИКЛАД І; Розв'яжіть нерівність tg 2 х <З.

Розв'язання. Маємо: -JЗ<tgx<JЗ. На рисунку 225 зображено графіки функцій у= tg х,

y=J3,

у=-JЗ.

Рис.

Оскільки arctg J3 =~,

225

arctg (-JЗ) =-~, то на проміжку

(-і; і) графік функції у= tg хрозміщений нижче від графіка функції у=JЗ і вище за графік функції у=-JЗ при хе(-~;і)· Звідси отримуємо відповідь.

Відповідь: -і+ nn< х <і+ nn, n е Z.

ПРИКІІАД ~· Розв'яжіть нерівність sin 4 х + cos4 х <і. Розв'язання. Маємо: (sin 2 x+cos 2 х)2 -2sin2 xcos 2 х<і; 382

57.

Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей

1-!·4sin2 xcos 2 х<~; 2 8 1-cos4x 2

3 4'

---->-· Нехай 4х

sin 2 2x>~4'·

1 . 22 х>-· 3 2 в'

-sш

cos4x<-

1 = t. Отримуємо cost<-2.

Звідси 2; + 21tп < t < ~ + 21tп, п е Z. (рис. 226). У

у=

Рис.

Тоді

cost

226

2 ; + 21tп < 4х < ~ + 21tп; .!!_+1tn<x<.!!.+1tп.

Відповідь: .!!. + пп < х < .!!. + nn п е Z.. 6 2 3 2' ПРИКЛАД

-5 sin х + cos 2х < 3. -5sinx + 1- 2sin2 x < 3; 2sin 2 x + 5sin х + 2 >О. sin х = t. Маємо:

Розв'яжіть нерівність

Розв'язання. Маємо: Зробимо заміну

2t 2 + 5t + 2 >О; t < -2 або t >-~.

Оскільки І t І~ 1, то sinx>-~. Звідси

-~+21tп<х< 1:+21tп, п е Z.. Відповідь: - ~ + 21tп < х < 7: + 21tп, п е Z.. У пункті

12 ви ознайомились із

методом інтервалів для розв'я

зування раціональних нерівностей. Цей метод можна використо вувати і при розв'язуванні тригонометричних нерівностей.

Для розв'язування нерівності видУ де

f -

(х)

О (або

(х)

< 0),

періодична функція, достатньо, користуючись методом

інтервалів, знайти розв' язки на проміжку, довжина якого дорів

нює періоду функції

Потім записати відповідь з урахуванням

383

періодичності . В аналогічний спосіб роЗв'язуються нестроrі не рівності

(х) ~ О і

ПРИkЛАД

(х)

< О.

Розв'яжіть нерівність

sin

+ sin

2х

О.

f (х) = sin 21t. nроміжку [ -п; 1t].

Розв'язання . Розглянемо фуНІщію

2х

+ sin

х,

яка є періодичною з nеріодом

D (f) = IR,

Знайдемо нулі функції Маємо:

sin

2 sin

2х

+ sin

на

х = О;

х cos х + sin х = О; 2sinx{cosx+~) = o: sin х =О, [ cosx =.-

[х =1tn,

21t

х = ±з+2пп ,

ne Z.

На nроміжку [ -п; 1t] функція f має n'ять нулів: -п, - ~, О, 21t 3'

1t.

ц·

ЧИСЛа роз Ива.ІОТЬ указаНИИ nроМІЖОК на nроМІЖКИ

знакасталості (рис.

227).

Рис.

227

Функція f набуває додатних значень на проміжках

2 (- 1t;- 1t) 3

(О; 2з1t ). З урахуванням періодичності функції

Відповідь:

ПРИЮ1ДД

2 -n + 2nn < х < - 1t + 2nn 3

або

заnишемо відnовідь.

2nn < х < ~ + 21tn, n

Розв'яжітьнерівність (sinx - ~)tg x~ O.

Розв'язання. Розглявемо функцію є nеріодичною з nеріодом

21t

Знайдемо нулі функ.ції

f(x) = (sin x-~)tg х.

Вона

(доведіть це самостійно).

на проміжку [-~;з; J. Маємо:

{sin x-~)tg х =О; 384

57. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей

[ sinx=~,

[x=(-1)"~+1tn,

tg х =О;

. [-2;2 1t 31t] на проМІЖку Фуи

х = nn,

функЦІя . f

n е Z.

. о , 6' 1t б' 51t 1t.

має чотири нут:

[ - 1t ; 31t]

- 1t , 2 22 і і з;. Ці числа і нулі функції f розбивають проміжок [-і; з; J .

кЦІя

на промІжку

на проміжки знакостапості (рис.

5n 6

Рис.

228).

не визначена в точках

Зп

228

урахуванням періодичності функції

запишемо відповідь.

Відповідь: -і+ 2nn < х ~ 2nn, або ~ + 2nn ~ х < і+ 2nn, або 5 1t +2nn ~ х ~ 1t+2nn, n 6

е Z•

....---------------·_....,'\:,.",. .,, І

Вnрави

Розв'яжіть нерівність:

1192:

1> І cos хІ~

2) cos

4> І tg хІ> 2.

І cos2x ~~~;

4) І ctg х І > 5.

2) sin

1194:

3х І<~;

Розв'яжіть нерівність:

1 193." 1)

.J2; 2

2х І < ~;

Розв'яжіть нерівність:

3 ) s~nx+cosx >~.

1) sin 4 .!+cos4 .!>!. 3

lctgxl< ~;

8lDX-C08X

sin(i-x)+cos(~-x) ~~; 385

§ 5. Тригонометричні рівняння і неріві-юсті

1195:

Розв•яжіть нерівність:

З) cosnx+sin(nx+~)>o.

1) sin 8 x+cos8 x~~; 2) sin х ~ cos х; 1196." Розв•яжіть нерівність: 1) 1197:

4cosxcos(x+~)>F3;

+ 2 sin

Зх

sin

cos

2х.

Розв•яжіть нерівність:

1) 2sin

(x+~)cosx < Гз:

1198:· Розв•яжіть нерівність: 1) 2 cos2 х + З cos х - 2 <:: О; 2) tg 2 x+(2-Fз)tg х-2Гз <0;

З)

2cos

(x+~)-зsin(~-x)>-1;

4) tg х ~ 2 ctg х. 1199:· Розв•яжіть нерівність: 1) 2sin 2 x+Fa sinx-З~O;

З) 4 sin 4 х tgx+l

1200."" Розв•яжіть нерівність: 1) sin 2х- sin Зх > О; 2) cos 2х tg х > О; 1-sin Зх.;;;;; (sin i-cosi)

4) 1 - sin 2х ;> cos х - sin х; 5) sin х + sin 2х + sin Зх > О.

2 ;

1201.·· Розв•яжіть нерівність: 1) sin 2х + 2 sin х > О; 2) sin

+ sin 2х + sin Зх + sin 4х < О;

З) sin х + sin 2х - sin Зх > О; 4) сов х сов Зх <сов 5х сов 1х. 2

О;

2 4) --<2-tgx.

2) ctg2 х + ctg х ~ О;

З)

+ 12 cos2 х - 7 <

386

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ

8. 2) (-2, 2}; 4) 0. 9 . 4) {5}. 23. 2) (4, О, 7}. 33. (7, 11, 19}. 36. З) До статньо; 4) необхідно. З9. 2) 0; 4) {2, З, 5, 7}. 40. 2) {хІх= 12n, n Е N}. 45. 2) Множина всіх натуральних чисел, крім 1; 3) множина, яка скла-

дається з усіх веоарних чисел і числа 50. {0}. 54.

б днів.

67.

2. 46. 2)

Показиику степеня числа

{-~}. мож

на поставити у відповідність кількість нулів, які вико ристано

70.

Рис.

запису десяткового

230. 71. 1)

дробу .

можна поставити у відповідність точку

ОВ;

69.

Рис.

229.

Кожній точці М(х 0 ) відрізка ОА

N(5x0 )

відрізка

Рис.

кожній точці М(х ) відрізка ОА (крім точки О)

· ··

можна поставити у ВІДПОВlДНlСТЬ точку

N( 1) Хо

229

променя

АВ.

82. 2) (-оо; -7) U (-7; 7) U (7; +оо); 4) [4; 6) U (6; +оо) . 84. 3) {-7}; 4) [2; +оо). 85. 2) (-оо; 6]. 86. 4) у = 9х2 - бх; 5) у = 9х - 2. 87. З) у = =ІХ- 1 1. 93. З) {1} U (2; +оо); 4) {-1} U (З; +оо); 5) (-2; О) U (О; +оо); 6) [О; +оо). 94. З) (-З; -1) u (-1; +оо); 4) {-4} u (З; +оо); 5) {-5} u [-2; +оо); б) (О; +оо). 9б. 1) [і:+оо); 2) (-оо;- 2;]: З) (-оо: і) U (~;+оо); 4) (-оо; +оо);

5)(-оо; -6) U (б; +оо). 96. 1) [~~;+оо); 4) (-оо; D (у)=

+оо); {О}

5) (-оо; -4] U (4;

+оо) .

97.

(-оо;- ~:J:

Рис. 2З1.

98.

(--: ~) U (~;+оо);

Рис. 2З2 . Вказівка .

U [1; +оо). 99. 1) Q; 2) (-оо; 0) U (1; +оо); З) усі дійсні числа,

крім цілих;

5) Q. 102. 5) -1; 1; 7) наймен 103. 6) -2; найбільшого значен ня не існує. 108. 5) 1; 6) 1; 7) (О; +оо). 109. 4) (-оо; О]; 5) З . 110. 4) ( -оо; -1), (-1; +оо). 111. 4) (-оо; -1), (-1; 1), (1; +оо). 120. Вка· зівка . Скористайтеся теоремою 6.2. 122. m =З. 123. k < -6. 124. Ь ..;; 18. 125. Ь ..;; -8. 128. Ні. 4)

усі ірраціональні числа ;

шого і найбільшого значень не існує.

tll о.

І І

'' '

х2 у=

-.., Рис. 2З1

387

І І

Рис. 2ЗО

1 І

\ І

Рис.

232

131. 1) min f R

max f н~

(х)

=4.

(х) = 1, найбільшого значення не існує ;

132. 1)

2) min f (,r) =2,

2) min f

Найменшого значення не існує,

найбільшого значения не існує.

(0;-)

~~~

max f

•

(х) =О,

(х)

=13;

133. с = -1ЗЗ. 134. с = 15.

135. 1) 16; 2) З2. 136. 2500 м • 137. 1) -1. Вказівка. Доведіть, що ліва 2) З. 138. 1) 1; 2) 9. 139. 9. Вказівка. Доведіть, що ліва і права частини рівняння задають функції, одна з яких є зростаючою, а друга спадною. 140. 4. 142. Необов'язково . 146. 4) Парна; 5) не є ні парною, ні непарною. 2

частина рівняння задає зростаючу функцію;

158. 0.160. 0 . 161.0 . 162.Парва. 163. Непарна . 164.Спадна . 165. 3рос

таюча. 166. 2; 5. 167. -З; -1. 180. 1) Вказівка. ~ - 4х + 6

=(х- 2) + 2. 2

181. З) Вказівка. у= - :~;2

=~ -

4х

+4 +2=

-2- x~l · 191. 1) 2; 2) 1;

1; 4. 192. 1) 2; 2) 4. 202. 1) [-7; 7); 2) [-З; 7], [О; 6]. 203. 1) -2; 2; -2), х Е (2; +оо); у< О при х Е (-2; 2); 2) -З; 2; у> О при х Е (-оо; -З), х Е (-З; 2), х Е (2; +оо). 205. Вказівка . 1) Скорис тайтеся схемою: у= f (х)--+ у= f (х- 1)--+ у= f <Іх 1- 1); 2) скористай теся схемою: у= f (х)--+ у= f <Іх І>--+ у= f <Іх- 11). 207. 4) Рис. 2ЗЗ. З)

у> О при х Е (-оо;

Вказівка. Скористайтеся схемою: - t

у= JX--+ у= ../1 + х --~ у ес v І -· х --+

у = Ji~T~-·1· 209. З) Рис. 2З4. Вказівка. Скористайтеся схемою:

у=fХ--+у=../х+2--tу '"' , ~ ; т; 2_"у= JГ;~тг-;. 2 .

215. 1> Рис. 2З5.

Вказівка . Скористайтеся схемою: у= JX--+ у=../х-1--+ у=~ -->

--;у =с Ji ~-~~- 1 -- 1--+ у=і ~1-tj. 222. З) у= l~x. 223. 1)у= 5 (х- 3). 224. 2)

х 2 +1

у=--,

D(y)

=[О; +оо) .

226. 4)

у={../2-х, якщох(;l, 2-х,

якщох>1.

, у

Рис.

Рис . 2ЗЗ

Рис . 2З5

388

234

З) один корінь . 23З.

232. 1) 1; 2) -7;

Коренів немає .

234.

Вказівка.

f - непарна , функція g - до неї обернена. Маємо: f (х0) = у0 , g (yJ = х0 • Тоді g (-yJ = g (-f (xJ) = g (f (-xJ) = -х0 = -g (у0). 235. k = 1, Ь =О або k = -1, Ь- будь-яке число. Вказівка . Обернена Нехай функція

функція задається формулою у= х~Ь або у= ~х-~. Звідси ~ =k і Ь=-~. 236. При довільному а, відмінному від О, і Ь =О. Вказівка. Обе рнена функЦlя · ких, що х

1·

задається

ф ормулою

1-Ьх

Т ОДl · .

у=--;;-·

для вс1х х та-

Х'#-;, має виконуватися р1вн1сть ах+Ь

можна переписати так: Ь (ах 2 ходить тільки Ь =О.

+ Ьх-

яку

1) =О. Тепер зрозуміло, що під

З) Може звузитися на число

247.

1-Ьх =---;;---•

-1,

тобто може

= -1; 4) може розширитися на число -1. (-1:-і) u (З; +оо). 251. 4) (-оо;-5) u (-~:о) u (~:2). 252. 2)(--оо; -1) u

бути загублено корінь х

250. 4)

(З;

4) u (4;

+оо); З) (-оо;-6) u (-~:~} u (~:2}:

253. 2) (1; 2,5) u

(З; +оо); З) (-оо;-4) u (-і:2) u (2;З).

1 )u ( •) U (-2;1

З) -оо;-2

+оо).

U (2;

255. 2)

(З;+оо); 6)

(-•-.J2ї -;1 2

(-~:з) U (3; +оо).

4)(-оо; -7) U (-1; 1) U (2; +оо); 5) (-1; ~) u

(0: і)

(1;

+оо);

)

(2; З)

)

1) U

(7;

+оо).

(-~:2):

8)(--оо;-З)U

(-5;0) U (~:1)

З). 261. 4) (-оо; 0) u

7) (-5; 1) u (2;

254. 2)

(-1+.J2ї - ; +оо;

U -

258.

(-оо;-4) u (~:з).

260. 5)

(1;8);

(-оо; -1) U

(1; 6); 5) (-оо; -4) u

u (-З; З) u (6; +оо); 8) (-J2:o). u (1:J2) u (2; +оо). 262.1)(-оо; 1] u [2: +оо); 2) (-оо; -4) U (5; +оо) U {-З}; 5) (-оо; -З) U (О; 2). 263. 1) (-оо; З) U U (5; +оо); 2) (1; 2) U {-2}; 4) (-оо; -6) U (-4; 6). 264. 2) (-оо; -2) U {1} U U (6; +оо); З) (-З; -1] u {0}. 265. 1) (-оо; -5] u [-4; О] U {2}; 2) (-З; -2) U u (-2; -1] u (2; З] u {7}. 266. [-1 ; 0) u (0; 5] u {-2}. 267. [-З; 0) u U (О; 4) U {5}. 268. 1) (-4; -З) U (5; +оо); 2) (-4; -З) U (5; +оо); 3) (-оо; -4); 4) (-оо; -4) U {-3; 5}; 5) 0; 6) (-оо; -2) U (2; +оо); 7) {-2; 2}; 8) (-оо; -2) U U (2; +оо); 9) (1; 2); 10) (-оо; 1) U (5; +оо); 11) (1; 2) U {5}; 12) (-оо; 1) U u {2} u [5; +оо). 269. 1) (З; 7); 2) [З; 7] u {-2}; З) (-2; З); 4) [-2; З] u {7}; 5) (-4; 4); 6) 0; 7) (-4; 4); 8) {-4; 4}; 9) (-оо; -1) U (5; +оо); 10) (-1; 2) U u (З; 5); 11)[-1; 2] u [З; 5]; 12) (-оо; -1] u [5; +оо) u {2; З}. 270. 2) Якщо а

= О,

то х

будь-яке число, крім З; якщо а

якщо а -:~: О і а

крім О; якщо а=

З, то х

= а; 4)

якщо а

= О,

= З,

то х

то коренів немає;

будь-яке число,

то розв'язків немає; якщо а'# О і а*

то х

= 4.

271. З) Якщо Ь=-'і· то коренів немає; якщо Ь*-'і• то х = ЗЬ. 272. 1) Якщо а= 1, то х = -1; якщо а= -1, то х = 1; якщо а* 1 і а'# -1, = 1 або х = -1; 2) якщо а* -2, то х =а або х =О; якщо а= -2, то х = О; 3) якщо а '# 7, то х = а або х = 6; якщо а = 7, то х = 6; то х

389

4) якщо а * 4 і а * -2, то х = 4 або х = -2; якщо а = 4, то х = -2; якщо = -2, ТО Х = 4; 6) ЯКЩО а = 0, ТО Х = 2; ЯКЩО а = 1, ТО Х = 1; ЯКЩО а-:# О і а* 1, то х =а або х = 2. 273. 2) Якщо Ь = -4 або Ь = 1, то коре нів немає; якщо Ь-:# -4 і Ь-:# 1, то х = -Ь; 4) якщо Ь =О, то х =З; якщо Ь =З, то х = -6; якщо Ь-:# О і Ь *З, то х =З або х = -2Ь. 274. 1) Якщо а

а> О, то х >О; якщо а< О, то х <О; якщо а= О, то розв'язків немає;

2)якщоа>О,то х<!; якщоа<О,то х>!; якщоа=О, тох-будьа

яке число; З) якщо а> О, то х ~

1; якщо а= О, 2; якщо а < 2, то х <а + 2; якщо а = 2, то розв'язків немає; 5) якщо а > -З , то х..;; а - З; якщо а < -З, то х ~ а - З; якщо а = -З, то х - будь-яке число; 6) якщо а< 2, то х < -2; якщо а> 2, то х > -2; якщо а= 2, то розв'язків не має. 275. 1) Якщо а-:# О, то х .;;; О; якщо а = О, то х - будь-яке число; то х- будь-яке число;

ЯКЩО а>

-4,

2-а

ТО Х>--; ЯКЩО а< а+4

якщо а=

-1,

то х

> -1,

то х >а+

-4,

ТО Х<--; ЯКЩО а=

то х<

2-а

a+l; якщо а < -1, то

будь-яке число.

-4,

а+4

276. 10 <

..;; 11.

= 1. 279. а = 6. 280. 1) Якщо а= 2, то коренем = 2; якщо а-:# 2, то х =а+ 1; 2) якщо а= 2 або а = З, то коренів немає; якщо а * 2 і а * З, то х = - 1-; З) якщо

277. 1 <

Ь .r;;;;

якщо а< О, то х.;;;

якщо а>

то розв'язків немає; З) якщо а х> а+

2. 278.

є будь-яке число, крім х

З-а

а = З або а = 7, то коренів немає; якщо а * З і а -:# 7, то х = а; 5 ; 4) якщо а=~ або а = О, то коренів немає; якщо а-:#~ і а * О, то х =За;

якщо а= О або а=

то коренів немає; якщо а= -З, то

коренем є будь-яке число, крім чисел

то х

=а -

З;

якщо а*

-2 і -З: якщо а * О, а * 1 і а * -З, = 2а або х = а + 2; якщо а = 1, немає; 7) якщо а * 1, то х =а - 2;

і а *О, то х

то х =З; якщо а= О, то коренів

якщо а= 1, то коренів немає. ~1. 2) Якщо Ь=~ або Ь=-%· то коренів немає; якщо Ь-:#~ і Ь-:#-~, то х= 4 (Ь + 1): З) якщо Ь =О, або Ь =-З, або Ь

Ь 2 -ь

х = - --:

4) 1 немає. 282. Ь+

= -1,

то коренів немає; якщо Ь *О, Ь *-З і Ь-:#

якщо а

-1,

то

* О, то х = За або х = -2а; якщо а = О, то коренів

З) а= О, або а= З, або а=

-1; 4)

а=

або а= О, або

а = 2; 5) а = -З або а=-~; 6) а= 2 J5, або а= -2 J5, або а = 6; 7) а= 1 або а=-1;

а=2 або а..;;

1. 283. 1)

Ь=-8 або Ь=З;

Ь=О, або

Ь=-1,або Ь=~; З) Ь=-~ абоЬ=-2; 4)Ь=2,абоЬ=-2,або Ь=-~; 5)

З, або Ь

= 4,

або Ь

=27 :

..;;

О або Ь

= 2. 284. 2) а =

О або а

= 2;

4) а= -1; 5) а= О або а= 1. 285. 1) {Ь І Ь * -4); 2) Ь = -1 або Ь =-З;

З) Ь =О; 4) таких значень Ь не існує. 286. 1) a.;;t; 2) а..:; О; З) а~ О. 390

287. 1) а=~; 2) а= 3; 3) а= О. 288. 1) а> 4; 2) -1o;;;;aor;;;~; 3) а> 6. 289. 1) а~ 9; 2) 3 ~а~ 7; 3) а~ 1. 290. 1) Якщо ао;;;:-~ або а~ 1, то

хе{-~:1}: якщо -~<a<l, то хе{-~:а) U (а;1);

якщо а<-~ або

а> 1, то хе[ -~;1 JU {а}; якщо -~or;;;aor;;;l, то хе[ -~;1

291. 1) Якщо

ао;;;:-~ або а~ 1, то хе{-~:1}: якщо -~<а<1, то хе{-~:а) U (а;1); 2)

якщо а<-~ або а

хе[-~:1].

298.3)

-і:

> 1,

то хе[-~:1] u {а}; якщо -~or;;;aor;;;1, то

-1.299.2)-2;

3) [ -1;-~J. 302. 1) [-3; 9); 4)

і·

301.2)(-oo;-1)U(2;+oo);

(-оо:-~) U (~;+оо).

304. 1) -4;

2) розв'язків немає. 305. 1) -4; -2; 2; 4; 2) О. 306. 1) -3;

307. 1) 1; 2)

розв'язків немає;

-~;

О;

-k: 2) 2; ~-

4) -2; -2J2; 5)

-З±/33.

308. 1) ~; 2) О; 1; 3) 1; -JЗ: 4) -3; 3. 309. 1) (2; +оо); 2) [О; 2]; 3) (.....,.,;+оо); 4) (-оо; 3) U [5; +оо); 5) (-оо;-5-М] U [ -5+.Jfi; +оо); 6) (-оо;-3) U

U (1-Jб; 4)

+оо)•

(-оо:~);

+оо);

310. 1) (3;

5) (1; 4); 6)

2) (.....,.,; -4] u [-1; 1] u [4; 2) (.....,.,; -3); 3) (О;

+оо).

[-~;+оо);

(-оо:-і] U [~;+оо). +оо);

(-oo:k] U [3; +оо);

311. 1)

+оо); 3) [О;~] u [%:+оо).

313. 1) (.....,.,;О) u (1;

[~:1) U (1; +оо);

312. 1) [4; 5) u (5;

2) (--оо; 3). 314\ 1) (-5; -2) U

U (-1; +оо); 2) (-5; -2) U (2; 3) U (3; 5); 3) [-1; 0). 315. 1) ~; ~; 2) 7; 3) 1; 4) 12: 2)

і:

розв'язків немає;

5) [О; 6); 6) [3;

3) -1: 4) [-5: 8J: 5) [2:

+оо):

+оо);

(-оо:

7) (2;

(-оо;

-1); 2)

[~:+оо);

3) [-1; 1). 320. 1)

2) 0;.3) [-3; 1]. 321. 1) (4; -2); 2)

(~: ~)-

+оо).

11 ; 5

316. 1) -8;

7) [3: 6). 317.

зівка. Скористайтеся геометричною інтерпретацією.

319. 1)

+оо);

вка

318. 1) 4; 2) 5.

(-оо;-6) U (і:+оо);

322. 1) (3; -2); 2)

(-і:і)·

331. 11) Рис. 236. Вказівка. x=JY-+x-1=./Y-+x - l=J!·y-: ---.ж-1=

=Jiy+-1~ --tix! - loc j<y -;·j- f : 12) Рис. 237. Вказівка. x=JY-+x-1= = .Jy+1-+l х І-1= .Jy+1-+l х І-1 = Jі"УТ+Ї. 335. 4) Вказівка. Дане рів-

. {О х 1-1) + У 2 =1, 2

няння рІвносильне системІ

у~О.

391

336. 4)

Вказівка. Дане

{

рівняння ріввосильве системі

343. Зх- у> 2. 352.

б) Рис .

х 2 +(І у 1- 2)

=4.

342.

х;;<:О .

2х

Зу

;;. - •.

239. 363. 2) Графіком нерівво 240 жовтим і червовим кольорами . 377. 1) а = б . 378. Ь = -5. 379. 1) а = -2, Ь = 1; 2) а = -25, Ь = 4. 380. а = -9, Ь = -9. 382. а = -3, Ь = -б, с = 8 . 383. а = 1, Ь = 1 238; 8)

рис .

сті є множина точок, позвачевих на рисунку

або а= 3, Ь = -1 . 384. х + 3 . 386. 1) -1; -3; -5; 2) -1; 2; -і: 4) 1; -2; 5) 2: -1; 1 --jЗЗ: 1 +-jЗЗ . 387.1) 1;

-JЗ-1; JЗ-1:

4) 1; -1;

-Jб-2;

.Jї7-. -5 n • 397. - n . 400. n ;;. 2. 5) 1; 2; -.Jїі -5 ; 396. -2n 2 2 +1 n+ 1 402. 1) Вказівка. 3 2• +8 + 2. +3 =(За.+ І + 2. +2). 2 + 7. 3 2• + 1; 2) Вказlв· ка . Досить показати, що різниця (ба. + 2 + 1gA + 1 - 2• + 2 ) - 19 (б 2 • + + 19• - 2• + 1) кратна 17. 403. 1) Вказівка. 1• + 2 + 8а. + 1 = 7 (7• + 1 + + 8 2•- 1) + 57·8а. - І. 404. 1) а=-~ ; 2) а=- 1 . 405.1) а=-~; 2)а = -8. 27 414. 1) (О; 0), (J2;8),. (-J2;8); 2) (О; 0), (-3; 81). 415. (О; 0), (1; 1), (-1; -1). 416. 4) 1. 417. 2) 1. 421. 1) Якщо а= б, то один корінь; якщо а > б, то 2 корені; якщо а < б, то коревів немає; 2) якщо а = 1 або а= -8, то один корінь; якщо а < -8 або а > 1, то 2 кореві; якщо -8 <а< 1, то коренів немає. 422. Якщо а= О, або а= 3, або а= -3, то один корінь; якщо а < -3 або О < а < 3, то 2 кореві; якщо -3 < а < О або а> 3, то коревів немає. 429. 4) min f(х)=25б, найбільшого зна"о-2;

чення

не існує;

(-:-2)

5) min f (-2;1)

(х) =О,

найбільшого значення не існує .

Рис . 23б

, , ... - .... ' ' , ,-- .... ' ' ' 1 , ' ,, \

,' 1 ' \ х

", І

' ',

, ',

_.... , ' .... __ ... , І\

........

Рис .

238

Рис.

237

Рис .

240

,'-1

,, 1 ',

Рис .

239

392

, ,, ',

431. 1) Парним; 2) 5)

парним;

непарним;

Розгляньте функцію f(x) = 2х 4

4) установити неможливо; 432. 1) 1; 2) -1; 1. в,.азів,.а.

непарним;

установити неможливо .

+х

• Вона є парвою. Тому досить зна·

йти невід'ємні корені цього рівняння . На (О; +оо) функція

ючою , отже, рівняння

одного кореня.

(х)

433. 1) -1; 2) -1; 1. 436. 1)

437. 1) а = -243; 2) а = 8. 444. 1) (-оо;

{2:~).

447. 1) (1; 1), (-1; -1); 2)

є зроста

на цьому проміжку має не більше

О)

U (О;

а=

+оо);

а= з·

-2500; 2)

2) (-оо; 2) U (2;

448. (1; 1). 451. 1)

+оо).

~~f(x)=64,

ff~ f (х) = 1; 2) ~;~ f (х) = 64, ~~u f (х) = 1; 3) re~ f (х) = 1, ваймен-

4) вайбільшого значення не існує , min f

шого значення не існує;

452. 1)

[-1; 0)

(х) = 1.

tp,a~f(x)=27, wJЧf(x)=*; 2) maxf(x)=-*· min f(x)=-1; l~:2j

l~:2j

[-2:-11

[- 2:-11

3) найбільшого значення не існує, min f (х) =(-:-31

; 4) найбільшого

значення не існує, minf(x)=-1 . 453. 1) 4 розв'язки; 2) 2 розв'язки . 8

(0:21

454. 1) 3

розв'язки;

неможливо;

462. s> 3:

в>

2) 2

парним;

розв'язки.

457. 1)

Непарвим;

уставовити неможливо.

1. 465. 1> 29: 2>

sв :

3) -

2) уставовити 461. 9) 3; 10) 2.

466. 1> -11,8: 2> 58

1 3.

467. 3) (-оо; О] U (1; +оо); 5) {О). 474. 1) -1 ; 1; -3; 3; 2) -2; f.fi; 3) -~; ~. 475. 1) ~; 3; 2) -4"3; ~. 476. 1) (-оо; -3) U (-1; 1) U u (3; +оо); 2) [-6; 3). 477. 1) (-оо; -6) u [-4; 4] u (6; +оо); 2) (-4; -3] u (3; +оо). 478. 1) -1; 2; 2) -1; 3. 479. 1) -3; 2; 2) -3; 1. 482. 1) Якщо а< -1, то один корінь; якщо а> -1, то 2 кореві; 2) якщо а <О, то коренів не має; ЯКЩО а ;) 0, ТО ОДИН КОрінь; 3) ЯКЩО а < 0 або а= 1, ТО ОДИН корінь ; якщо О.;;;; а < 1 або а > 1, то 2 кореві. 483. 1) Якщо а ~ -1 , то один корінь; якщо а< -1, то 2 кореві; 2) якщо а< О або а= 1, то один корінь; якщо а ~ О і а 1, то 2 корені. 497. 1) а ~ О, Ь ~ О ; 2) а < О, Ь < О ; 3) а ~ О, Ь < О; 4) а і Ь - довільні числа; 5) а і Ь довільні числа. 498. 2) [3; 7); 3) IR. 499. 4) І а3 1: 5) m2 • 501. 2) -n; 5) с 4 ; 8) -0,1а3 Ь6 • 502. 3) 10х; 7) -а 13Ь 11 с 11 • 505. 1) х ~ -4; 2) IR;

3) -1 ~ х < 3. 506. 2) ~.J2-1 . 510. 1) Коревів немає; 2) 3; 3) -1; 3. 511. 1) -4; 2) 2. 512. [3; 5]. 519. 1) О; 2) 3 f.firn . 520. 1) 27 ~; 2) 29~. 521. 4) ~; 5) fГх2: 6) 1{/128. 522. 5) ~; 6) 525. 5) 1~; 6)

'J./3:

~а 4 Ь 2 ;

1~.

526. 5)

ifa.

~а 4 Ь 3 •

527. 1) 3; 2) 1; 3) 14; 4) -1; 5) 1. 528. 1) 25; 2) 7; 3) -1. 535. 1) аЬ ~О; 2) Ь = О, а - будь-яке число або Ь > О , а ~ О; 3) Ь = О, а - будь-яке число або Ь > О, а < О. 536. 1) m2 ~; 2) а 2Ь 3 ~; 3) Іх І·у~; 4)

2m 4n 4 ~2m 2 n ;

-3аЬ 2 с 3 1/2;

393

а 3 Ь 3 ~а 3 Ь 3 ;

-а 3Ь6 ~-аЬ 2 •

537. 1) -2а~; 2) -5а~; 3) аЬ~; 4) а 3 Ь 3 ~. 538. 1) ~; 2) -f./6а 3Ь 4 ; 3) ~; 4) ~. якщоЬ~О. -~. якщоЬ<О;5) 6

4 4

-f.l-a

4 8

;

6) -~а~Ь • 539. 1) -~; 2) ~; 3) ~6а Ь ; 4) -f./За Ь ; 5) -~-а •

540. 1) 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5)

-~.

541. 1) 1; 2)

-1Га; 4) ~; 5) ~-~;

J23.

іfаЬ;

~ - 1;

542. 1)

f.la 2 -1.

548. 1) R;

2) [-1; +оо); 3) (-оо; -2) U (-2; +оо); 4) (-оо; -1) U [2; +оо); 5) (-оо; -1) U U [1; +оо); 6) [3; +оо) U {О). 549. 1) R; 2) [2; +оо); 3) (-оо; 3) U (3; +оо); 4) (-оо; 1] u [3; +оо); 5) [-3; 3); 6) [6; +оо) u {0). 550. 1) [1; +оо); 2) [-2; +оо); 3) R; 4) [О; +оо); 5) [О; +оо). 551. 1) [2; +оо); 2) [ -4; +оо); 3) R; 4) [О; +оо); 5)

[О; +оо).

552. 1) [-3; 2]; 2)

[~:10]:

[-~:2].

8) 6 tЯ = 4 ~· 557. 4) 4 і 5; 6) -5 і -4. 561. 2)

~<~;

555. 4)

'!J12 > ~;

.J3 < ~-128.

562.3) 1~<~2./2. 567.1) maxf(.r)=t/2, minf(.r)=1; 2) maxf(.r)=~. [1;2)

min f (.r) = 1;

minf(.r)=O; 5) н~

[-1:1)

І-2:21

3) [ -~;0]: 4) (4;

+оо);

5) [3;

корінь.

Якщо а>

572.

якщо а

кореві; якщо а

< О, 1 або

вай·

min f(.r)=1. 568. 3) maxf(.r)=~. [-2:2)

min f(.r)=O; 6)

[-1:-1

min f(.r)=O. 569. 1) (65;

(-.21

+оо) U

{-2). 570. 1) (-1;

3) [ -~;16 ]: 4) [-5; -2) U (2; 5]. 571. 1) значенні а;

(-1;2)

min f(.r)=O; 6)

(-.-І)

найбільшого значення не існує,

більшого значення не існує,

max f (.r) = t/2,

(-1;1)

найбільшого значення не існує,

більшого значення не існує,

minf(.r)=O; 5)

[-3;-1)

min f (.r) =О;

max f (.r) = 1,

[-3;-1)

[1; 2)

+оо);

2) (-оо; 21);

(-оо;

10);

Один корінь при будь-якому

то коревів немає; якщо а

;;;.

О, то один

а= О, то один корінь; якщо О< аЕ;

О, то коренів немає .

вай-

573. 27.

y=tfx-26+~ єзростаючою.574.10.579.3) ~; 5) ~; 8) ~- 580. 3) 19

+оо);

5) 4; 6) 7 32" 581. 3) [3; І

(-оо;

-1) u (7;

то

Вказівка . Функція

+оо) .

583. 3)

а6;

1 :; ~ а•~;

11) а2; 15) аіЬ -і . 584. 4) Ьі; 8) Ь; 12) а&ь -в; 16) ь-е.в. 585. 3) 125; 6) 10; 9) 4. 586. 2) 49; 5) 32; 8) 1. 587. 4) (~) • 588. 7) (m-o· 6 ) 2 ; 8) ('!Jm)

590. 1)

:> 2; 2)

2 •

> 2. 592. 1) 6; 2) 100; 3) 19,5; 4) 12g-: 5) 2; 6) 10;

2 25 7 7) 15; 8) 3; 9) 571; 10) 21; 11) 12. 593. 1) 7; 2) 10; 3) 122g-: 4) 1; 5)

1 4;

225 8 1 6) 21 ; 7) 256; 8) 729. 594. 1) 125; 2) 6; 3) 0 . 595. 1) g-: 3) 5. 2

(хМ

604.4)а0·~-2Ь0•5 ;8)а3-а3Ьі+Ьі;12)35.605. 3)1+ 1 ;6).r2.6у2.6 ( а2

394

0.5

_у0.5) +у

О.6);

2~.

606. 1) -1 ; 4

4) а +

Ь~) ( ~ Ь~) ~ + а2ЬІ2 1

610. 1) - ; х -у

612. 1)

2) 2 (а+Ь) •

а 0" +Ь0.ь'

З)

а-Ь '

І І

2· '

; 5) а + аЬ + Ь2 • 608. 1) 2m 3 n 3 ; 2) 3; З) -!!; 4) m- 2 • Ь

2) -

-1 • 1

хЗ - у а

х~ +у:;

ао"ьо.:. ·

2) 441. 607. 1)

2) 0; 3)

611. 1)

1zP1-zq11;

а З +Ьі;

3) - 1.

З-2JХ, якщо х Е (О; 9); -З, якщо х Е

(9;

+оо).

614. 5) -1; 1; 6) 1; 7. 615. З) -1; 1. 616. 1) ~; 2) ~; З) коренів немає; 4) З. 617. 2) Коренів немає; З) -5; 7; 4) 7. 618. 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) 5; 5) 4; 6) 2; 7) З; 8) - 4. 619. 1) - 5; 2) 4; 3) О; 4) - 1; 5} 5. 620. 1) 4; 2) 2;

3; 3) - 7; 8; 4) - 1; 1; 4. 621. 1) 1 ; 2) 7; - 4. 622. 1) О; 5; 2) 7. 623. 1) 6;

2) 2; 3) - 1; 3; 4) - 2. 624. 1) 2; 2) 8. 625. 1) б; 9; 2) lЗ 7 ; 3) коренів 16

немає; немає.

4) 1; - 3. 626. 1) -5; 4; 2) 3; 7; 3) - 1. 627. 1) 4; 2) 2; 3) коренів 628. 1) - 1; 2) 6. 629. 1) 27; 2) 5 < х < 10; З) коренів немає.

630. 1) 10; 2)

> - 4. 631. 3)

-З+Jбs ; 4) 2

О;

б)

5) 8;

25; 7) - 5; 6 З .

6 - Jб 634. 1) 2; 6; 2) - 1; 632. 3) 5; 4) -1. 633. 3) 1; 4) 1; 5) -З+.J5 -: 6) -з-· 2

з-'[3 .

635.

З)

14 ~.J7; 4) 10; 5) 4; -4; 6)

з -/5;

7) 5. 636. 1) 20;

-2 - 4Jlз 2) 22- , 464; 3) О; 5. 637. 2) 7; 8. 638. 2) 1. 639. 1) 2; ; 2) - 2;

1; 13. 640. 1) 5) 8; 6)

О;

2; 2) - 2;

1; 7) 1; 29; 8)

-2+2J9Ї О;

16; 9)

В;

641 . 1) 1;

В;

2) 16;

З)

25; 4) 1;

10) 8. 642. 1) 16; 2) 1; 512;

З)

4) -4; 11; 5) -8; 1; 6) -61; 7) О; 1; 8) 2,8; - 1,1 64З. 1) 1; 4; 2) -Jїї;

-Jб; Jб; Jii;

3) - 1; 4; 4) - 2; 5; 5) - 4 ; 1;

-З+2J22; -з-/22;

6) 1024.

644. 1) - 1; 5; 2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) - 6; 4. 645. 1) (9; 4), (4; 9); 2) (64; 1); 3) (8; 1), (1; 8); 4) (41; 40); 5) (6; 3), (3; 1,5); 6) (- 2; 3), (12; 24). 646. 1) (27; 1), (- 1; - 27); 2) (4; 1), (1 ; 4). 647. 1. Вн:азівн:а. Скористайтеся заміною -./х - 1 +-.Іх+ 3 =t або властивостями зростаючих і сnад них функцій. 648. З. Вн:азівн:а. Заміна -.lx + 6+ .Jx -2 =y. 649. 3.

650.

1+J6. Вн:азівн:а.Заміна ~=t.

651.3;

v2x+5

Поділіть обидві частини рівняння ва х2 • 652. 1; Вн:азівн:а. Нехай ~х+З =а,

Bl-~..197. Вн:азівн:а.

l+f!W.

~6 - х =Ь. Тоді аа + Ь

395

= 9.

653. -2; 5. 654. - 3; 4.

[О; +оо);

656. 1) [3; 5); 2) 6)

(-оо;

658. 1)

-1) U [2;

(3; 254 );

+оо).

2) [1;

(-оо;

[~:4);

657. 1)

+оо);

[О;

6) [1; 6). 659. 1) [ 2~; 4) U (5;

-1) U

[О;

1); 4) (4;

(-оо;

3); 4) [-1; 0)

+оо);

2) (3;

4) 12!. 600.1)(--оо; 1); 2)[-7; 2); 3)(--оо; -1); 4)

+оо);

5) [-8; -4);

+оо);

-4) U [1; U

3) 12!.

(~;+оо);

(0,6; 1); 5)

3) [-2; -1,6) U [О; 2);

[і:+оо); 5)(--оо; -2) U (2; +оо);

6) (3; 5). 661. 1) [-2; 2); 2) [-7; 1); 3) (-оо; -3); 4) (-оо; -5) U [1; 662. 1) 4; 2) [-2; 4] u [5; +оо); 3) -2; 2. 663. 1) [3; 12]; 2) (-2, 1} u [3; 3)[-4; -3] u [3; 4]. 664.1) 665. 1) (-1; 2) [ -1;-

+оо);

[~:2) u (5; +оо);

2) [-20;

О)

f) f J ;1

U (

U (5;

3) (

+оо);

[-~;о) u (а;~} 667. 1)[6;

+оо);

3)[-4; 1] u {2}.

3) {-4} U [2; 3). 666. 1) (1;

~ ;+оо).

+оо) .

+оо);

(~:4).

671. 3) 101t. 672. 2) ~ . 677. 5) У 11 чверті; 10) у І чверті; 15) у 11 чвер ті .

678. 4)

У ІІІ чверті;

чверті;

15)

чверті .

679. 3)

(О;

-1); 5) (О; 1); 8) (1; 0). 680. 2) (-1; 0); 6) (-1; 0). 681. !; З1t; ! . 682. 21t; 15 5 10 2 21t 81t 141t . 31t 1t 1t r;: 15 ; 15. 683. 15сторш. 685. 3) 2 : - 2 ; 4)21t; -21t. 686.6) - 4 +21tk,

Z. 687. б) 71t + 21tk, k Е l.. 890. 1) (JЗ 2; 21); 2)(0; -1); 3)(0; 1), (0; -1); 15 4) (1; 0), (-1; 0); 5) (1; 0); 6) (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (О; -1).

892. 1) i+2Jtk, k е Z; 2) 1t + 21tk, k е Z; 3) -~+21tk, k е Z; 4) з: +21tk, 3 ke Z. 893. 1) -i+2nk, ke Z; 2) ~+2nk, ke Z; 3) - ;+2Jtk, ke Гn 895. 1) 5; 3) v2; 5)

.J6 4 :

7) -3; 9)

896. 2) 1; 4)

О;

JЗ 6 :

899. 2) Так; 4) ні; 6) ні; 8) так. 700. 1) Ні; 3) так . 701. 3)

2-JЗ 703. 1) 3; -3; 3) 3; 1; 5) 1; 702. 2) -4-.

о.

8) 9.

-/2.

704. 2) -1; -3; 4) 10; 4.

708. 1) -4 < а ~ -2; 2) а= О; 3) --/2 <а t;, J2; 4) -1 ..:; а ..:; О або 1 t;, а..:; 2; 5) 1 t;, а ~ 2 або 3 < а t;, 4; 6) а* 2. 709. 1) 1 < а ~ 3; 2) таких значень а не існує; 3) -2 t;, а t;, -J2 або J2 t;, а t;, 2; 4) а = 1. 712. 1) Найбільшого

значення не існує; ~ - найменше; 2) найбільше значення 1; най меншого не існує;

найбільшого і найменшого значень не існує;

4) вайбільшого і найменшого значень не існує. 713. 1) -~; -1; 2) най-

більшого і найменшого значень не існує; 2) [0,5;

+оо);

(-оо;-~] U [2; +оо). 396

3) 1; -1. 714. 1)

715. 1)

[~:1]:

[~:1);

[~;+оо);

З) (-оо;-1) U [~; +оо). 72З.

З)

1) 3 + J2; 2) 2; 2

721. 1)

4; 4)

722. 1)

З) 4 J3-З.

724. 1) 2-.J2; 2) 1,5;

731. 1) 2 sin а; 2) -2 cos а; З) О . 732. 1) О; 2) О; З) -2 ctg ~· 733. 1) 11; З) І або 11. 734. 2) lV; 4) І або ІІІ . 735. 2) Парна; 5) не є ві парною, ві непарною; 8) непарна. 736. 2) Парна; 4) не є ві парною, ні вепарною; 6)

непарна. 737. З) J3;

З)

1; 6)

~·

8) -

-~;

743. 4) 1; 5)

12) -

15)

-J3.

738. 1)

)2:

744. 2) 47t; 3) 7t; 6) 4. 747. 7t. 748. 7t. 755. 1) cos 1,67t < З) COS

20° >

5) cos Hm < cos

21 °;

COS

17 1

756. 2) sin ; >sin ; : 4)

п•

~·

1,687t;

7) sin 2 > sin 2,1 .

18.

сов 1 ~ >cos 1 ~п. 759. 1) sin 58° > сов 58°;

2) sin 18° < сов 18°; 3) сов 80° < sin 70°. 760. 1) Так; 2) ві. 777. 1) Рис. 241. Вказівка. 7t (_r + J/) = 7tn, n Е Z; х2 + у 2 = n, n = О, 1, 2п

сов

7п

2 •.... 783. 2) tg 5 < tg 15; 5) tg 1 < tg 1,5; 8) ctg (-40°) < ctg (-60°). 784. 1) tg 100° >

> tg 92°; 4) ctg з; >ctg :;: 6) ctg (-3) < < ctg (-З,1) . 789. 1) Ні. Вказівка. tg80° >tg60°=J3; 2) ні ; З) так . 790. 2) sin 40° < ctg 20°. 795. 6) 2 cos2 а;

7) -sin2 а;

796. 4) 4)

si~ х:

9) cos 2

8) 1;

вш

О;

Рис .

10) 2.

5) 1; 6) 1; 7) 1; 8) 4 . 799. 1)

ві~ а;

7) tg

а tg j3;

8) 1; 9) cos

сов

241

2) 1; 3) ~;

в1n а

а; 10) -ctg у; 11) sin4 а;

12) 1; 1З) - 1- ; 14) - 1- . 800. 1) - 22-; 2) 1; 3) - 2- ; 4) _1_; сов а cos 13 віn 13 сов 13 сов х 5)

с~І3; 6) tg2 а; 7) tg а; 8) -1; 9) 1; 10) -cos2 а. 801. 2) cosa=-~.

tga=-

з 4•

ctga=-

802. 1) sina=

1~.

4 3:

tga=

З)

сова=-

1 J5'

sша=-

1 . 1 5 , ctga= :: 4) s1na= 12

2 J5'

J50•

ga= 2.

сова=-

Jfij '

tga=-~· 805. 2) Вказівка. Подайте доданок 2 sin2 а у виглsді суми sin 2 а+ sin 2 а; 4) Вказівка . Розгляньте різницю лівої і правої частив

даноі рівності і доведіть, що вона дорівнює нулю. 809. 1) -і· Вказів·

ка. Поділіть чисельник і знаменник даного дробу на cos а; 2) і: 397

З) -27. Вн:азівн:а. Помножте чисельник даного дробу на sin 2 а + cos2 а.

~~; 2) ~; З) ~~~. 811. 1) -sin 13 - сов 13: 2) -sin а cos 13:

810. 1) -

1-; 2) 2 ctg а; З) -1. Вн:азівн:а. Оскільки З) -2 tg а; 4) 1. 812. 1) -.sша

2 ;.;;;; а~ 7t,

ТО

cos ~~сова. 813. 1)

ь ; 1 . Вн:азівн:а. Ь 2 = (sin а +

2 2 4 2 4 +cosa) 2 =1+2sinacosa·2) Ь(З-Ь )· 3) 1 +2Ь -Ь • 4) 1+6Ь -3Ь •

•

8 1

< (Ь2 +2Ь-1)4-ь•). 2

814. 1) Ь2

- 2·• 2) ь

зівн:а. З умови випливає, що

(Ь2

•

- З)·•

З) Ь4

sшacosa

•

4Ь2 + 2· 4) •

•

Ь+ 2 •

Вн:а·

Ь. Звідси 2 sin а cos а=!. Ь

815. 1) 3~, -3. Вн:азівн:а. 2 cos а- 3 sin а= 2 (1 - sin а)- З sin а= 2

= -2 sin 2 а - З sin а + 2. Позначимо sin а = t і розглянемо функцію f (t) = -2t2 - Зt + 2, визначеву на проміжку [-1; 1]. Це квадратична функція зі старшим від'ємним коефіцієнтом а= -2. Вона набуває найбільшого значення в точці t0 =- - 3 =-~. яка належить про4 2 •(- 2) 2

міжку [-1;

1].

Оrже, maxf(t)=t(-~)=-2·(-~) -з·(-~)+2=З!. Для 4 4 4 8 (-1;1]

знаходження вайменшого значення обчислимо значення функції

(t)

ва кінцях проміжку

-З. Оrже,

[-1; 1]: f(-1)= -2 +З+ 2 =З, f(1) = -2- З+ 2 = min f (t) = -3; 2) вайбільшого значення не існує, наймен1-1;11

ше дорівнює -1; З) О; -1~; 4) найбільшого і найменшого значень не

існує. 816. 1) зі: -2; 2) З~; 2; З) найбільшого і найменшого значень

не існує. 817. 3) О; 6) sin 213;

(а+ І3).

6) cos 828. 2) 2)

3+4 J3 ---w-· . 1.,_;

З)

821.

829. -

cos

2а;

б . 823. 2) -1; 7

J6+J2; З) JЗ-2. Гn

О. 818. З) О. 819. 2) ~; 3) О; 4) cos 13: 5) 7) 1; 8) tg 15°; 9) cos (а - І3). 820. 2) ~; 3) 4) cos 213; 4)

З) з·

824. 1)

г;;

vЗ.

827. -

31J2

82 .

24 297 а . 830. . 831. 2. 832. 5. 835. 1) ctg : 426 25 4 4) - -1- . 836. 1) 1; 2) -1.837. 1) J6-J2; ~а 4 838. 1)

J6-J2;

JfнJ2. 4

841. 1) 2; 2)

Jії;

~ .J2Ї-2J3 . v10. 843. . Вн:азrвн:а. 10 2 . . (п (п )) 48+25J3 ~3(1-Ь )-Ь . siDa=siO з- з-а . 844. -0,6. 845. 11 • 846. 2

З) v~;

847.

~ 4) v5. 842. 1) 2; 2) 5;

~ (.J1-Ь 2 -ь).

З)

848. -2. 849.

Jf. 398

850.

-~.

851. 60°. 852. 120°.

854. 45°. 855. 1) Вказівка.

З графіка функції у =

х вилучіть точки,

абсциси яких дорівнюють w + 7t!! , n е Z. 857. Вказівка. З рівності І

tg(a+l3)= tga+tgl}l> виnливає, що tg а+ tg 13 = tg (а + 13) (1 - tg а tg 13). 1- tgatg Тоді tg а + tg 13 + tg у= tg (а + 13> (1 - tg а tg 13> + tg у = tg (7t -у) х х (1- tg а tgl3) + tgy = -tgy(l- tga tg 13> + tgy =- tgy + tga tgl3 tgy + + tg

У = tg а tg 13 tg у. 859. 2. Вказівка З рівності tg (а+ J3) = 1-tga tg а+ tg 1>1> tg

виnливає, що

tg а + tg J3 =tg (а + 13) (1 - tg а tg j3). Тоді (1 + tg а) (1 + tg 13> =

= 1 +tga+tgl3+ tga tg13 : 1+tg (a+J3)(1 -tga tgJ3)+tga tgJ3= 1+tg~ (14

-tga tgJ3)+tgatgJ3=1+1-tga tgJ3+tga tg 13= 2. 860. 2. 865. 3) ~ 38°;

) -вш ~. 866. З) tg~; 4) sin п . 869. 2) - 1; 6) 2 сов а. 870. 3) О; 4) 1. 871. 1) -4; 2)

.J}; 4) 1. Вказівка. Зведіть кожну функцію до

,-;;

. 0 СІШІЬКИ

Зtвн:а.

1t Зп 1t 8 +8 =2

=віn а Зп . 879. 1) сов2 а; 2) 1

•

5) 1. 872. 1)

3J2

2) 3; 3) - - ; 4 4) - 1. 873. 1) -сов а; 2) 1; 3) 1; 4) - 1; 5) 2; 6) 2; 7) 1; 8) 1; 9) - tg2 а; 10) 1; 11) tg а. 875. 1) 1; 2) О; 3) О. 876. 1) -1; 2) 1; 3) О. 878. 2. Вка· найменшого додатвого аргументу;

Зп 57t 1t ll+ = , 22 2

1 2 сов (сн10°)

ТО СОВ

3 - 2v~;

. B:Blfi 2

а Зп

•

СОВ

2 5п

. 882. 1) 2 cos а; 2) tg 2а; 3) сов2 а;

\) віn 25°; 5) 1; б) сов а+ віn а; 7) cos %: 8) 2: 9) ~; 10) 1; 11) -сов%: 12) ~ tg 2а; 13) sin 2а; 14) 1; 15) -~ ctg 2а; 16) віn 4а. 883. 1) 2 віn 40°; 2) сов lla; 3) сов2 2t\; 4) sin 40°; 5) сов 20q>; б) 1; 7) сов 35°- sin 35°; 8) 1; 9) ±віn4а; 10) 2 віn 2а; 11) ~сов2а; 12) -віn 2J3; 13) -віn 2а; 14) sm 3а. 884. 1)

.!; 2

J2; 4

897. 1) 1; 2) ctg 4а. 898. .

5) -

sша=

900. 8lna = JS' сова=- J5"

J2 -J3. 2 '

902 1) •

.JЗ; з 5

соsа= - з,

J2.:J3. 2 '

tga=-

. 899. - 0,8 . 12 .a.Ji. а.Jї4 a.fi 901. вш = 4 . cos 2 =-- . tg2 = 7 · 13

6) 2 .J3. 890. 2) -4 J5. 891. 2) - 24 .

3) 2+J3· 4) '

J2 -J3. 2 '

5) -(1+../2)· '

6) ../2 - 1. 903. 1) 2; 2) ~ tg а; 3) 2; 4) tg 2а; 5) віn 4а; б) sin 2а; 7) сов 2 5) 1;

б)

%: -

8) сов а. 904. 1) 2 ctg 4а; 2) sin 2а; З) tg 2а; 4) 4 sin а; ctga. 911.

. 912. - 1 . 913. 47 . 914. 57 . 915. 2. 916. - 8 . 2 37 5 9

917. ~- 918. 1) сов 4а; 2) tg а; 3) sin Ва; 4) tg4 а; 5) 1; б) - 1. 919. 1) ±:

399

2) 8 cos 2а; З) -~sin 2 a; 4) tg 4 %: 5) ~ctg2a; 6) -~. 92З. 1) ctg 4 %; 2) -~ctg 2 a; З) cos 2 %. 924. 1) -2; 2) О. 925. 1) 4; 2) -~sin2a.

930.1)cos~; 2) J2ctg2a; З) J2tga. 931.1)Якщо О"а"~· то2сова; якщо

4 <а"'2'

то

. . а. 2 sш а, 2) cos ,

З)

2cos ІР . 932.

З 1 5. 933. 2 або - 3.

J54- 1 . Вказівка. Маємо: sin 36° =сов 54°. Тоді: sin (2 •18°) = сов(З •18°);

934.

2 sin 18° cos 18° = 4 cos3 18° - З cos 18°; 2 sin 18° cos 18° = cos 18° х х (4 cos2 18°- З); 2 sin 18° = 4 cos 2 18°- З; 2 sin 18° = 4 (1 - sin 2 18°)- З; 2 sin 18° = 4 - 4 sin 2 18° - З; 4 sin 2 18° + 2 sin 18° - 1 = О. Розгляньте останню рівність як квадратне рівняння відносво sin 18° і врахуйте,

що sin 18° >О. 939. 1) ig 5а; 2) -ctg За; З) - JЗзз.

З)

4sin{%+~)sin{%-~):

1. 941. 1)

сова;

940. 1)

4cos{ 1~ +%)соs{ 1п2 -%): З)

2 sin{~-~)cos{~+~): 4) sin(~+a). 942.1) 4sin{2!..-~)cos{2!..+~): 8 2 8 2 sina 12 2 12 2

2J2

2sin(~-a)

4sin(%- 1п2 )sin{%+ 1п2 ): З) 4cos{~+%)cos{~-%):

2) tg ба;

cos4a

соsза

•

953. 1) j-tcos20°+cos10°); 2) cos 2а + cos 2/3; З) ~(sin2a+sin10a); 1

2(cos26°-cos122°); 1

2 (cos4°-cos52°);

2cos 2а+1

5) 1

З)

954.

4 .

2 (sш8а+sш2а);

cos Зп +cos 1Зп ,. 40 40

2сов2а-1

. 955. 1)

1 2:

2) sin За; З) сов а; 4) 0,5. 956. 1) сов а; 2) ~- 959. 1) ~; 2) 1; З) -sin 2а. 960. 1) 1; 2) sin

2а.

961. 1) Вказівка .

Помножте і поділіть ліву части·

ну рівності на 2sin~. 965. 2) 1,5; 5. 966. 2) ~; 7. 967. Jб; З. 968.

1З;

971. 2) ± п +12пn 5 -5-, n

±Зarccos

Z; 6)

3 +6nn,

972. 2) ± 2 :п + 107tn, n е Z; З) ~п + 8;n, n е Z. 973. З) 12 + бп + 12nn,

Z; 4)

± 2п + 2пn , n

9 3

974. 2) ± Зп -6+4nn, n

З1п 4: 5Jt 976. Зn. 977. 4 корев1.. 978. 7п ; 12: 12

5 +2n) N U {0), (-6

N U (0},

~ (Sn-1) 2

n '

1ЗІt 4·

З) розв'язків немає.

975. -

{5 ) 2

979. 2) 5+2k • 980. 1)

~. (8k+1)

2) ± arccos п + 27tk, ± arccos (--п )+ 27tk,

400

Z. 981.

а=

982. а=

сов х =а,

рівняння

{-1 . ;

або -~<а..;1 .

якщо

Дане

яка має розв ' язок тодІ, коли

соsх>За-1.

або а

983. а..;; 1 або а;;;. 3. 984.

Вказівка .

985.

{

О.

> 1,

987.

-1 <а..;;

а ..;; 1.

або а;;;.

рівносильне

системі

986. -1..;; а<- -

а>За-1 .

ае[ 7;: -too). 988. ае[ 8; : -too).

то коревів немає; якщо а

а,.;-

989.

Якщо а<

-1

= -1 або а = 1, то один корінь;

.Jf або .Jf <а< 1. то 2 корені; якщо .Jf <а..;; .Jf, то

3 корені. 990. Якщо ~..;;а< 1, то 2 корені; якщо -1..;; а<~ або а = 1, то один корінь; якщо а<

а< - .Jf або а>

-1

або а>

то коренів немає .

то коренів немає; якщо

991.

Якщо

.Jf ..;а<О або а= 1, то

один корінь; якщо О ..;; а < 1, то 2 корені. 992. а < 1t, або а> 3п , або а=

7п

6 . 993. а < О, або а> 2 , (- 1~n+І arcsin ~+Л:, n е Z.

або

а=

996. 3)

997. 3) (-1)"+ 1 • 5:

2пn

5 , n е Z; + 5;n, n е Z.

998. 2) (-1)" + 1 ·~+-i+1tn, n е Z. 999. 2) (-1)"+1 • : +20+51tn, n Е Z. 5

1000•

1Зп.

1001• -

1004. 1) ~+21tn,

1Зп

00 .

п 2;

51t

1002. -в;

n Е Z; 2)

7п

в·

1003. 6 КОреНІВ.

(-1)" ·~+~+1tn, n Е Z; 3) 1t + 41tn ,

~+41tn, n Е Z. 1005. 1) (-1)" ·~+~+1tn, n Е Z; 2) ~+21tn, n Е Z. 2

Jt 1006. 2) ( 2k--1 ) , k е N; 3) ±arccos-+21tk, k е Z. 1007.1)

(Зk+(-1) + 1 )

k е N; 2) ±~+1tk, k е Z. 1008. а ..;; О або а;;;. 2. 1009. а= -4 або 4..;; а..;; 5.

1010. ~<а(; 1.

1012. а ;;;. 171t.

:1t.

1014. 1) Якщо а< -1 або а > 1, то коренів немає;

1013. a,.;-

якщо а = -1, або -~<а< О, або а = 1, то 1 корінь; якщо -1 <а (;- ~ або О..;; а< якщо

а=

то

або

-1<а(;- .Jf або то

коревІв

.Jf . ; а< 1,

а=

-1,

якщо а<

або

-1

або а>

J2 <а..; J2 , 2

то коренів немає;

то

корІнь;

якщо

.Jf <а<1, то 2 корені. 1015. Якщо а..;-~ або а> 1,

немає;

то

кореві ;

якщо

корені.

- 1 <а<

1016.

JЗбо 2 а

Якщо 401

= 1,

.Jf . ; а..;; О,

то

1 . коршь; 3

якщо

корені; якщо

або -1<а<- Jf, то

корінь ; якщо а

< 1

або а

< -1

кореві; якщо а= -1 або а= 1, то

то коренів немає .

> 1,

Якщо

1017.

-1<а(;-і , то 3 кореві; якщо -і<а<1 або а= -1 , то 2 кореві; якщо а

= 1, то 1 корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає. 1018. Якщо

-1<а<- ~ , або -~<а<~, або ~ <a<l, то 4 кореві; якщо J2 J2 , або а= 1, то 3 корев1;. якщо а< -1 а= -1, або а=-т· або а= 2

або а> 1, то 2 корені. 1019. Якщо -1<а<- Jf , або- Jf <а< Jf , або J3 . J3 J3 т<а<1, ТО 4 КОреНІ ; ЯКЩО а= -1, або а=-т• або а=т• або а= 1, то 3 кореві; якщо а < -1 або а > 1, то 2 корені. 1022. 3) - :~ + 4 ;п, n е Z; 5) ~arcctg 6 + пвп, n е Z. 1023. 2) 5; +27tn, n е Z. 1024. 2) ~ 11

-~arctg2+ ~n, n е Z. 1025. 3) -і+ ~ + пзn, n е Z. 1026. 4 корені.

1027. 1 корінь. 1028. _.!!. . 1029. - 2п . 1030. 2) ~. k Е N u {О); з

(4k+1)

(-1)•arcsini+пk, (-1)•arcsin(-~)+пk,

kE Z;2)

16 (4Jtk-Jt) 2

kE N; 3) ±arccos!+27tk, 4

0:+

Z. 1031. 1)

±arccos(--З)+21tk, 4

kE Z.

1032 1) а<-! або _!<а<О або а > О· 2) -1<а<-! або _!<а<!

або !<а<1 2 .

1033. 1)

а<-!2' або _!<а<О абоа>О·' 2) -1<а<-JЗ 2 ' 2 '

або - J3 <а< J3 або J3 <а<1. 2 2 ' 2 1035.

а=-

з'

або

а..;-

1034

•

або а

О.

1040. 1)

[О ;

2]; 2)

(-оо;

(-оо;-~] U [і;+оо). 1042.1)п; О; 2) 2 + 7t; 2. 1043.1) 27t; 7t; Jt

[7t - 4;

немає. 1047. 1)

[О;

1];

1041. 1) [ -і-1;1-і]; 2) [2; 3);

-2+1 . 1044. 1) з; 2) б · 1045. 1) 3) коренів

а=-.!!.з' або а<-.!!.2 ' або а ; а. О.

-n - 4)

+оо).

з 4;

Jt 4" 1046.

2) i+l;

1) -2 ; 2) cos2;

.Jf; 2) коревів немає; 3) ~· 1048. 1) (-1; 1];

2) {-1); 3) [-1; 1]; 4) [-1 ; 1]; 5) розв'язків немає ; 6) {1); 7) [-1; 1); 8) (-1; 1]. 1049. 1) {-1); 2) [-1 ; 1); 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв'язків немає . 1050. 1) [- 1; 1]; 2) {-1); 3) Щ; 4) {О); 5) (0). 1051. 1) [-1 ; 1]; 2)

Щ;

3) [-1; 1]; 4) {1); 5) {-1; 1).

х 2 +1

Вrсазівrса. Якщо х >О, то ~>1,

402

причому рівність досягається тільки при х 2

= 1;

якщо х

О, то

<-1, причому ріввість досягається тільки при х = -1 .

1052. 1) [ 4; і+ 4

2) {0).

Вrсазівrса. Оскільки -агссов х

О, то об

ласть визначення дав ої функції складається з однієї точки х

(-:-~J u [~: +-):

[~:+-): 4) [й:+-). 1056. 1) і:

[Л:+-).

. ( . 5з) ( . 5з)

=2sш агсsш

сов агсsш

;

1053. 1) [ 2)

2:і+2J:

~:. Вrсазівrса.

2) [

= 1;

о:ИJ:

sin(2arcsini)=

з 1057. 1) -З-; 2 J2 2) 4 J2 + J5 ; 3) 56 : 4) 4· 9 65

3) 7 ; 4) ~· 1058. 1) х = 2. Вrсазівrса. сов (аrссов (4х - 9)) = 4х - 9 25 "26 тільки за умови І4х- 91< 1; 2) [-3; -1]. Вrсазівrса. Мвоживою коре-

вів цього ріввяввя є його область визвачеввя. 1059. 1) і· Вrсазівrса. Дане ріввяввя рівносильне системі

2) 5. 1061. 1) 1063. 1)

-~;

2) -2. 1062. 1)

[0; 2 _8J2):

14%-11..:1, {4JC-1=3x 2;

[О:~):

[О;

(~:~]:

2]. 1060. 1) 1;

3) (

З) [~: 8 ~f).

JЗ; 10 :2].

[~:~):

2) ( - J2:1]: 1064. 1) 6 1 2) 1065. 1) [ 1; + 2) {0). 2 11 1068. Рис . 242. Вrсазівrса . Якщо -1 ..: х < О, то 1 arcsin х < О і І arcsin х І = -aгcsin х, arcsin І х І = = arcsin (-х) = -arcsin х . Тоді у = 1. Якщо -1 о О < х < 1, то aгcsin х > О і І arcsin х І = 1 = arcsin х, arcsin І х І = arcsin х. Тоді у = 1. 1069. 3) Рис . 243. Вrсазівrса . Зауважимо, що Рис. 242 D (у)= [-1; 1]. Запишемо: сов (2 arcsin х) = = 1 - 2 sin 2 (arcsin х) = 1 - 2х2 • Оrже, шуканим графіком є частина параболи у= -2~ + 1; 4) Вrсазівrса . Оскільки

J5]:

розв'язків немає.

arcsinx+arccosx=i· то у= 1. Проте шукавий графік- це вепряма у=

1, а лише їі відрізок, оскільки D (у)= [-1; 1]. 1070. 2) Вrсазівrса . sin (arccos х) = ../1- х 2 ; 3) Вrсазівrса. сов (2 аrссов х) = 2х2 - 1 за умови Іх 1..: 1. 1071. Рис. 244. . 1072. 1) 1t 2) З1t 3) 1t- 3; 4) 5!t -8. 1073. 1) 2!t : 2) 7Іt . Вrсазюrса.

=cos(2n- 79 Іt)·' 3) 2n- 6 ' 28·' 4) ЗІt. 5) 9lt -12 • 1074. З) - J3 Coв llІt 9 8' 2 з. 1 8 1075. 1) ;: 3) :К. 1076. 2) -2n. 1077. 1) R; 2) [1; +оо). 1078. R.

403

Уі

=-2r+ 1

-n

-2n

Рис .

коренів немає; 4)

немає;

1 • JS'

15+.J3 ~·

п.

1085.

1082. 1>

Зn х

244

з· 1овз.

[О; Л)·

1> 1: 2> tg 1:

коренів немає; 3) коренів

(-оо;-;2) U (2;:+оо.) 1086. (1;:+оо. ) 1087. 1) JS' 2.

3) -~, 4) ~ ·

(-оо; ~ -11 ).

1080. 1) (4; 1t + 4); 2)

- 27 ;/З. 1084. 1) -1; 2)

1089. 1) (- З+5.JЗ: 2)

[О; Л).

1081. 1> 4: 2> 5: 3> 3)

Рис.

243

(2-і:2+і):

1079. 1)

+оо):

1091. 1)

1088. 1)

(2-JЗ; +оо).

1 JS:

2) -

1090. 1)

з JIO;

3) 85 .

(-оо;

21 ;-Гз):

Вrсазівrса. tg (arctg х) = х ори будь-якому х;

2) Вrсазівrса. ctg(arctg х)=! при будь-якомух *О. 1096. 1) Sn; 2) - 8Jt; х 13 13 5х lln 4n 4n 27n 3) 5- 2п: 4) : 5> 42 2 -11. 1оов. 1) її: 2) її: 3) 15- 4п: 4) 38 : 7 5) ; -10. 1097. 1) (-1)" ·~+1tn, -i+21tn, n Е Z; 2) ±~ +21tn, n Е Z; 2

3) ~+ ;п, n е Z; 4) -~+1tn,

2arcctg

( 4) + 2nn , n -з

arctg 3 + пп, n Е Z; 5) ~+ nn, 2 Z; 6) ±4arccosз+8пn, n е z. 1098. 1)(-1)" . n +xn,

i+27tn, n е Z; 2) ±i+xn, пп, n е Z; 3) ~+7tn, -arctg~+7tn, n е Z; 8

4) : +37tn,

3arcctg(-~)+37tn, n е

Z. 1099.1)

~+nn, n Е

Z; 2)

-~+7tn,

n Е Z; 3) arctg ~ + 1tn, n е Z; 4) ~ arctg 4 + п;, n е Z; 5) -3 arctg 5 + 3м, n е Z; 6) ~+7tn, arctg 4 +пп, n е Z; 7) i+27tn, 2 arctg 2 + 2пп, n Е Z; 8) ~ + xn, n Е Z. 1100.1) -~+пn, n е Z; 2) і+ пn, n Е Z; 3) -arctg ~ + 1tn,

n е Z; 4) ~arctg~+ nn, n е Z; 5) arctg 2 +пп, arctg 3 +пп, n е Z; 4

404

6) ~+nn, -arctg~+nn, n е Z. 1101. 1) (-1)"~+nn, (-1)"arcsin~+nn,

n е Z; 2) ±~ +2nn, n е Z; 3) ±arccos(1-.J2)+2nn, n е Z; 4) 2nn,

±(n-arccos~)+2nn,

(-1)". 1 ·~+nn, ~+2nn,

Z; 5)

Z; 6) ±2n +

+ 6nn, n е Z; 7) nn, n е Z; 8) ± 2; +4nn, 2n + 4nn, n е Z; 9) -~+nn, n Е Z· 10) ±..!!..+пп '

n Е Z· 11) ..!!..+пп

!arctg!+ пп

5 '

n е Z·

5 '

12) -~+nn, arcctg 2 +nn, n е Z; 13) ±~+nn, n е Z; 14) ±~+2nn, neZ. 1102.1) ±~+2nn, neZ; 2) (-1)"·~+nn, -~+2nn, neZ; 3) (-1)n ·arcsin(2-J3)+nn, n Е Z; 4) ~+nn, 2nn, n Е Z; 5) (-l)n+ 1 n +

+ 6nn, n Е Z; 6) (-1)". 1 ·~+2nn, n + 4nn, n Е Z; 7) ±~+п;, n Е Z; 8) ~+nn, arctg 2 +nn, n Е Z; 9) ~+nn, nn, n Е Z; 10) ±~+nn, n е Z. 1103 1) ~+nn, -arctg 2 +nn n Е Z· 2) ..!!..+nn •

!arctg!+ пп n е Z·

5' 5

3) -~+ п;, n е Z; 4) arctg 3 + nn, arctg 4 + nn, n Е Z; 5) -~+nn,

arctg~+nn, n Е Z; 6) ~+nn, -~+nn, n Е Z; 7) nn , arctg 3 +nn, n Е Z; 8) ~+nn, n Е Z. 1104. 1) ~+nn, arctg 3 +nn, n Е Z. Вказівка. sin 2х

= 2 sin х cos х; 2) ~+nn, arctg~+nn, n Е Z; 3) -~+nn,

-arctg~+nn, ne Z;4)nn, ~+nn, ne Z; 5) ~+nn, ne Z;6) -~+nn, n

Z. 1105. -n. 1106. -

2. lt

1107 •

1108.

1 2) (-1Y·arcsin -flO+nn, ne Z; 3)

n 2)

±~+nn,

1109. 1)

п nn 4+2 , n Е

ne Z; 4) ± 2;+2nn,

±~+2nn, n е Z. 1110. 1) ±arccos ~- 2 +2nn, n е Z; ±~+nn, n Е Z; 3) (-1)"+ 1~ + п;, n Е Z; 4) ±arccos .J52-l +2nn, Z; 5)

ne Z; 5) ±~+nn, ne Z.1111. 1) ± ~+п;, ne Z; 2) п;,

1п1 +

;;.

ne Z. 1112. 1) ±~+2nn, ne Z; 2) ~+п;, ne Z. 1113. 1) ~+2nn, -2 arctg 11 + 2nn, n Е Z; 2) 2 arctg (-1± .J5) + 21tn, n Е Z. 1114. 1) - ~ + 2nn, 5 2 arctg 4 + 2nn, n е Z; 2) ~ + 2nn, 2 arctg 2 J3 + 2nn, n е Z. 1115. 4

корені. 1116. 2n. 1117.

n-arcsin ~ - 1 . 1118.

405

~·

1119. 1) nn,

-~+1tn, n е Z;

2) nn, n е Z. 1120. 1) ±~+nn, n е Z; 2) ~+ Іt;,

- ~ + К:, n е Z. 1121. 1) -1 < а < 2; 2) а= З . 1122. 1) -1 < а < 2;

2) таких значень а ве існує. 1123. 1) ±~+nn, n е Z; 2) ±~+2nn,

±(n-arccosi)+21tn, +--\-)+5=0. сов

Е z. Вказівка.

5( Зсоsх+ c~x)+2(9cos 2 x+

Зробіть заміну Зсоsх+-1 -=у, тоді

9cos 2 x+-\-=

cosx

сов

=у -6. 1124. 1) ~+nn, n е Z. Вказівка. (tg х + ctgВ х) + (tg х + 8

+ ctg 2 х)- 4 =О. Зробіть заміву tg х + ctg х =у; 2) i+2nk, (-1)• · ~+ (-1)•arcsin ~-

+1tk.

+1tk,

Z. 1125. 1)

-~+nn, ±~+nn,

nn,

n е Z; 2) i+1tk, k е Z. ВказІвка. 2 cos2 х + 5 sin2 х cos2 х + sin• х + + сое2 х- sin1 х =О; sin1 х- З сое2 х = 5 sin1 х совах+ sin• х. Помножте ліву частиву ва вираз віn 2 х +совах; З) i+1tk, k е Z. 1126. 1) ~+nn, 1t

в+nn,

2+nn, n

Е Z; 2)

Іtn

±~+nn, n е Z; 2) Іt;, (-1)"+ 1 Іt + Іt;, n е Z. 1128. 1) Зnn, n е Z;

±arccos -fї3 +2nn, 1

2) i+nn,

ltn

5+2, n Е Z. 1127. 1) 2+nn,

4+2,

1129. 1)

(-1)"~+nn,

2) ±~+2nn, n е Z; З) (-1)"~+nn, n е Z. 1130. 1) ±i+2nn, n е Z;

(-l)"~+nn, n е Z; З) ±~+2nn, n е Z. 1131. 1) ~ <a<n;

2) З1t < < l11t а

або

6 •

а=-

10'

1134. 1)

або

1132. 1) ll1t <а<"-· 2) 41t < < Зк 6

-Га 7 -Га а>-· 2) -<а<2 ' 10 2 '

а<- Jf, або а=~, або а

З) т<а<1 або -

'"''"'

-Га

2 <а< 2 .

1135.1)

або

> 1; 2) а>

2·

1133 1)

10'

Іtn

Z; 2) 2' 6+3, n

З)

< -1

-<а<-

або а=

а= 1 або

-2+21tn,

1136 1)

-1.

Jf <а<О;

або а=-з· або а<

!<а<../2 абоа=-1·З) _!<а<../2 або -1<а<-!з· 2 2 ' з 2

2+nn, n

•

±в+1Щ

-1;

~+~ 4 2' n

4) (-1)" · ~+nn, -~+nn, n е Z 1137 1) ~+~ ~ n е Z · 2) Іtn 6 з · · 6 з' 4' • s'

Іt: n е Z; З) ± arctg .J2 +nn, -~+nn, n е Z; 4) ± з: + 2nn, arcctg З + пп,

406

±~+21tn, n е

- . 1138. 1)

.Е..+~ n Е Z. 1139. 1)

·і '

.Jf +nn, n Е Z; 4) 27t4 + 7t;, n Е Z·, 2) ~+nn, З1t +~. n Е Z. 4 16 4

Z; 2) (- 1)" arcsin

+21tn,

1140. 1) (-1)"·~+1tn, л+ 2тсп, ne Z; 2) ~+1t:.

± 7t +7tn, neZ; 12

3) ~+!!!!

± 21t+21tn n е ·, 4) nn Е Z · 5) nn (- 1)"• 1 ._E_+1tn 4 2 ' З ' 2 ' n ' ' 12 2 ' n е Z· 6) ~+_!!!! (- 1)" • • • ..!!..+2!!! n Е Z· 7) nn ±arccos~+2лn, n Е Z,· '

8) ~+nn 2

2 '

те

2 1tn

•

5 '

10) n n, (- 1)нt, 2

2nn n Е Z· 9)

2 '

-~+2nn

7tn

5 •

..!!..+ 2nn

5 '

n Е Z,·

+ nn, n Е Z. 1141. 1) nn, n Е Z; 2) 21tn, (-1)"·~+7tn, 7

n Е Z· 3) .!!!!. {- 1)" • .Е..+~ n Е Z · 4) ~+1tn (- 1)"" . ..!!..+~ n Е Z,· ' 4 • 24 4 • ' 2 ' 18 з , nn 21t 1t ttn 1tn ." 7) 1tn ~ + 21tn 5) 2' ±з+2nn, n е Z; 6) 5+3, S' n Е ""; а' 7 7 ' n Е

1~ + 7t;,

(- 1)"

1tn ·~+ 7t;, n е Z. 1142 . 1) ~+ 4 2'

2) 5+4, ±3+1tn, n

1tn 3'

Z; 3)

5) ~+nn. n Е Z; 6) : +1tn, n Е 1t

2+1tn,

1tn 9) ..!!..+ 10 5'

lt 7tn 4+2,

н:а.зюка. ."

ne "";

8+4, n

; 7) 7t + nn, - " +nn, 48 4 12

7t nn 5+3,

n Е Z·,

Z; 4) 2лn, 4"+1tn, n

1 -соs бх

1 - cos2x 1- cos4x 2 + 2

10)

~+1tn, 2

±n

nn 9+3,

n Е Z, 8)

7, О

1- cos8x 2

z· 1143· 1)

;

Іtn

22+ЇЇ'

; 2)

4) -~+21tn, 4

~+~ 6 з'

1144.

3} - 60°

+ 180°n, 40° + 180°n, n Е Z; 4) і~, n Е Z. 1145. 1) ~+nn,

2+1tn,

n Е Z; 2) 45° + 180°n, - 75° + 180°n, n Е .Е..+ 1tn 24

12'

n е Z. 1146. 1) -.E...+nn,

~±i+21tn, n е 4(

3) ±~+1tn, n Е Z; 4) 1t:,

~+ 1tn 144

6 ,

n е Z· 2) -..!!..+ 1tn '

2 Z; 3) ; +nn, (- 1)" arcsin i- ~+nn, n

Е Z . Вн:азlвн:а.

J'f +Sin 2x )- 2( J'f cosx+ ~sinx)=о; 2{sin~+Sin2x)-cos(x-~}=o;

4 sin {х+~) cos! х - ~ ) - cos( х -~)= О; 1147. 1) ~+ 8 1tn 2 '

4(~sin 2х+ ~со

n + 1t 12 n, 2

·• )

4 cos( x-~){sin (х+ ~)- ~)=о.

е Z·, 2) -12 Sn + nn,

е Z. Вказівка.

-5= ~СІS(~-{~+2х)): 4sin2 {2x+~)-sm{2x+~)407

-5=0. 1148. 1) 21tn, -~+1tn, i+1tn, n е :Z.. Вн:азівн:а. 2 sin 2х

х-

008

- 2 sin х 008 х - 2 сов х (сов х - 1) = О; 2 сов х (sin 2х - sin х - сов х + + 1) = О; 2 cos х ((1 + sin 2х) - (sin х + сов х)) =О; 2 cos х ((sin х + + 008 х)2 - (sin х +сов х)) = О; 2 008 х (sin х + cos х) (sin х + 008 х- 1) =О; 2) ~+1tn, i+7tn, n е Z. 1149. 1) п;, ~+ п;, n е :Z.. Вн:азівн:а. (sin 4х + + сов 4х) (sin 2 4х + cos 2 4х - sin 4х cos 4х) - (1 - sin 4х сов 4х) (sin 4х

+ cos 4х- 1) (1- sin 4х сов 4х) =О;

1150. (-1)"+ 1 arcsin

1г.: -п +7tn, n 2v2

= О;

2) -~+7tn, ;.. + пзn, n е :Z..

:Z.. 1151. (-1)" arcsin Ji.9;;_ 5 _,!+7tn, 2v2 4

n е :Z.. 1152. 1) 21tn, i+27tn, n е :Z.; 2) 1tn, arctg 2 + 7tn, n е Z.

Вн:азівн:а . Зробіть заміну s~n х +сов х t. 1153. 21tn, .! + 27tn, n е :Z.. 2

SJnx-coвx

1154.

cos 4х =

n е :Z.;

_,!+7tn, 4

1+сов6х

; 4 cos 2

2х

±_!!_+пn 12 2'

2) 7tn,

=1 +

- 2

4 cos

2х

n е :Z.. З

cos

Вн:азівн:а.

2х;

4 cos

2х

- 4 cos 2х- З сов 2х + З = О; 4 cos 2х (сов 2х- 1)- З (cos 2х- 1) =О; 2

сов2 2х- З) (cos 2х- 1) =О; З) п:, k е :Z.. 1155. 1) п;, ±~+27tn,

n п

2пn

+17,

2м

15, k е :z., k * 15р, ре :z., 2м ne:Z.,n;t17m+8,me:Z.;2) g' ke:Z.,k;t9p,pe:Z..

:Z.; 2) 1tn,

±в+Іtn,

:z..

1156. 1)

Вн:азівн:а. Помножте обидві частини рівності на 2 sin і; З) Л:, k е k

:z.,

* 9р, р е :Z.. Вн:азtвн:а. Скористайтеся формулою пониження степени.

1157. 1) п

пn

5+2, n має.

, k

З)

14р, рЕ

:Z., k ;t м 9'

k е :Z., k

Z; 2)

* 9р, ре

коренів немає.

1159. 1) 2; 2)

2м

а'

:l, k ;t

:Z.. 1158. 1) -2; 2)

1160.

Зр, рЕ

:Z.,

корев1в не-

Коренів немає . Вн:азівн:а.

Якщо х >О або х < -1, то~+ х + 1 > 1. При х е [-1; О] sin х " О, 2 а х + х + 1 > О. 1161. Коренів немає. 1162. 1) х = 21tk,

у=! абох = 1t+ 21tk, у=-!, k е 2

бо а

- -5- ~ х2 ,

або

x= 5 -.J2i="8,;, 2

1 163.1)х = -4, у= -З або

у=п

- -5+ ~

У-

пn

8+2

абох

у= З,

= 4, n

х= - 5 +~, у= - 5 -~,

бо ,а

y= 5 +.J2i="8,;, 2

x=- +27tn,

:Z.; 2)

2 - 5+ .J2i="8,; х2 ,

ke :Z., у=-

пе пn

8+2,

- 5- .J2i="8,; У2 ,

:Z., k "

З,

:Z.; 2) x=

Z. 1164. 1) 1tk, k

n..;;; 2. Зп

:Z., k

+27tn,

* -2;

2) i+27tk, k Е :Z., k ;t 0, (-1)"·~+7tn, n е :Z.; З) (-1).~+k, k Е :Z.,

408

k *- 1. 1165. 1) ~+1tk, k Е Z, k *- 0; 2) 21th, k Е Z, i+Jtn, n Е Z, k

n *- 0; 3)

4+ 2 ,

k е Z;

Z, k *- 1. 1166. 1) -

-%+2Jtk,

4 +nk,

k е Z;

27tk,

Z; 2) '2+7tk,

k е Z;

27tk,

~+ 1tk

k Е Z·, 6) (-1)k+І.!!.+7tk .!!.+27tk, k Е Z. 1167. 1) .!!.+Jtk 6 ' 2 4 ' k е Z; 2) 1tk, k е Z; 3) 7t +21th, k е Z; 4) 21th, i+2Jtk, k е Z; 5) 7t + 27tk, 5)

±з+21tk, х=±

11вs.

1) х = 3, x= 1 +k, k

2 .1169.

= k, k

х =о. х

N, k ",. 1; 2>

Z, k

< 2; 2)

х=±

= ±1,

= ±2,

= ±3,

= ±1.

(-1).~+7tk, keZ; 2) 27tk, keZ; 3) _з;+4nk,

1170. 1) -%+27tk,

k е Z. Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі

sinx=l, cos4x=1, cos

-~+21tk,

1171. 1) i+21tk, 1t

1172. 1) 1tk, 2+2Jtk, k

-~+21tk, 1t

Z; 2) 5+1tk, k

Е Z; 2) Jt+27tk, 1t

J2 ",. 2 2 . х

Z; 3) -6+27tk, 2+1tk, k

Е Z. е

1173. 1) i+Jtk, 27tk, k е Z; 2) .±~+27tk, 27tk, k е Z; 3) ~+2Jtk, 1tk, ke Z

-arctg 1t

2) k

1174.

~'[3 +nk,

1tk

4+ 2

Z. 1176. 1)

п п ) (3+7tk;2-Jtk' 4)

arctg

_!arctg.JЗ+пk 2 5 2'

Z. 1175. 1)

з .JЗ

1tk

13 + 2

, k

k е Z;

Z; 4)

±arctg

i+nk,

Z; 3)

+Jtk,

Z; 2)

(~+Jtk; ~-Jtk),

2) (21tk; 5; -27tk), k

~ +nk,

arctg Z; 2)

Z. 1179.1)

(~+Jtk;~-nk), k е Z;

Z. 1177. 1) (360°k; 60° + 360°k), (-600 +

(З:+ п;:-~-п;). k

.!!.+nk 2 '

з (5- .JЗ) +7tk, 11

((-1)• 6+6+2;(-1) п п пk • п п пk) 6-6+2'

(~+Jtk;nk), (1tk;-~+nk), k Е е

ke Z·,

(~+2Jtk;2nk), (21tk:-~+2nk), k е

+ 360°k; 360°k), k k

.!!.+пk 4 2'

Z; 3)

Z. 1178. 1) (i+Jtk;

(з; +Jtk;-~+7tk), k Е

(~+2k;~-2k), ~-Jtk),

Z. 1180.1)

(~+Jtk;

~-nk), k е Z;2)(arctg~+Jtk;~-arctg~-7tk), (arctg~+Jtk;~-arctg~-nk), ke Z. 1181. 1)

(~;+п;;- 1~+~). 409

ke Z; 2)

(~+Jtn;~+nn), (-~+nn;

-~+1tn), n е

(~+i(n+2k);~+i(n-2k)), (~+i(n+2k);

Z. 1182. 1)

~+i(n-2k)),

Z, k

(-~+i-k;~+i+k),

Z; 2)

З) (21tk;~+21tn). (21tk;-~+21tn), (~+21t/e;21tn),

Z, k

Z. 1183. 1)

+ 1 arccos J2 +n(n+k);

- n+l arccos J2 +n(n-k)),

+1t(n+k)·.!!.+!arccos '8

(-~+1t(i-/e);~+1t(i+k)). n Е 8 2

1 J2 ), --arccos-+1t(n-k) 2

+1t(n-k)), n

Z,k

Z;4)

(- ;+21tk;21tn),

Z, k

Z; 2)

(і+ J2 +

J2 +1t(n+k)·-.!!.4 • 8 nl J2 ---arccos-+

'82

(~+21tk;~+2nn). (~+21t/e;-~+21tn), (-~+21tk;~+21tn),

з: +1tn,

-~+21tn<x<";+2nn,

Z, ne Z. 1184. 2)

n е Z; З) -~+2nn<x<~+2nn,

е Z;З) (~+1t(k+n);1t(k-n)). (1t(k+n);-~+7t(k-n)).

(-~+21tk;-~+21tn), /ее 8) 1tn< х<

(----arccos-+n(n+k)· nl J2 82

Z, k

8 2

(.!!._!arccos 8

(- n+l arccos

J2 +1t(n-k)) 4 •

Е Z;

n Е Z; 6) ~+nn<x<i+nn. n Е Z;

9) n-arcsin ~+21tn< х <21t+arcsin ~+2щ

е Z. 1185. 2) -~+21tn<x< 7;+21tn.

n Е Z; 6) -i+1tn<x<-~+nn.

Е Z; З) ~+21tn<x<S:+21tn.

n е Z; 8) ~+nn<x<n+1tn,

n Е Z;

10) ~rcctg 2 + 1tn < х < 1t + 1tn, n Е Z. 1186. 1) ~+1tn<x<~+7tn, n Е Z; nn n nn r;<x< + ,

З)

lnn

4arccos 4+ 2

<r<

118 7. 3)

ne Z.

Ім

2- 4arccos 4+ 2

е Z; 2) -~+1tn<x<~+1tn,

Z. 1188.1)

Е Z; З)

4 + 2 <х<- 12 + 2 , -

ne Z; 27t

6 +1tn<x<з+nn.

1~+1tn<x<S:+1tn,

е Z;

4) - ~+~n<x<i+~n, ne Z; 5) 1t + 41tn < х < 21t + 41tn, ne Z;

Зnl

8 + 2+1tn<x< 8 + 2 +nn.

Z. 1189. 1) -

n +1tn<x<1tn, n

6 1 1 2) S:+4nn<x< ~n+41tn, ne Z; З) i+21tn<x< ~n+21tn. 4)

_97t+З1tn<x<-.!!.+З1tn, 4

n е Z; 5) -.!!.+21tn<;;r<;;.!!.+21tn, 6

ne Z;

n Е Z;

22n +.!!.!!. n Е Z 1190. 1) -.!!. +21tk<x<arcsin~+'>-Іo 6) 17 60Іt +.!!.!!.<х< 2 60 2 • . • ........ 1 1t-arcsin ~+27tk< х < : +21tk, k Е Z; 2) - ~ +21tn< х <-arccos~+21tn.

410

arccos

4 +27tn~.r< 3-+27tn,

Z; 3) -arctg 2 + 7tk <

< arctg 3 + 7tk,

ke Z; 4) ~+1tn~x~з:+1tn, n е Z. 1191. 1) - :+21tk<x"-~+21tk,

~ +21tk~x< 5:

+21tk,

е Z:

arcsin ~+27tk~.r< ~+27tk,

5 : +

+ 27tk < х ~ 1t -arcsin ~ + 21tk, k е Z; 3) arcctg 1,5 + 7tk < х < 1t - arcctg 4 +

+ 7tk, k

Е Z; 4) _.!!_+7tn<.r<.!!.+7tn, n е Z. 1192. 1) _.!!_+1tk~x~.!!.+1tk, 6

ke Z· 2) _!!_+nk<x<.!!.+nk '

-i+7tk<.r<-arctg2+7tk,

1193. 1) _.!!_+ nk <х<.!!.+ nk 6

~+7tk< х< ~ +1tk,

+ 1tk < х < 1t + 1tk,

ke Z·, k е Z.

arctg2+7tk<.r<i+7tk,

k Е Z· 2) _.!!_+ nk <х<.!!.+ nk ' 6 2 6 2'

k е Z·,

е Z; 4) 7tk < х < arcctg 5 + 7tk, 1t- arcctg 5 +

3) .!!.+7tk<.r< 5n +7tk 4

ke Z· 3) -.!!.+1tk<x<.!!.+1tk ' з з '

1194. 1) х *з:+ З~k' k Е Z; 2) 21tk, k Е Z:

k е Z

~ + 27tk < Х < 5: + 27tk,

1195

•

_.!!_+ nk ~х~.!!.+ nk

Е Z;

2 '

~ + 2k < Х < ~ + 2k,

k е Z·,

Е Z.

5 1198. 1) -i+7tk<.r<~+7tk, ke Z; 2) х * 7tk, ke Z. 1197. 1) - ;+ +1tk< х < 7tk, k

е Z: 2) - ~~ +1tk ~ х ~ ~; +1tk, k ·е Z. 1198. 1) i+27tk< х <

5 < ;+27tk, k е Z; 2) -arctg2+7tk<.r<i+7tk, k е Z; 3) ~+27tk<.r<

<з;+ 27tk,

е Z; 4) arctg J2 + 1tk ~ х <і+ 1tk, -arctg J2 + 7tk <::.. х < 1tk,

ke Z.1199.1) i+21tk<::..x<::..~+21tk, ke Z; 2) 1tk<x~i+1tk, з:+7tk..; <x<1t+1tk, k

7tk< Х< ~+1tk, k

З) ~+1tk<x<З4n+1tk,

Z: 4)

-i+1tk<x<-~+1tk,

Е Z.1200.1) ~+21tk< Х< з: +21tk,

1 1t+21tk< х < : +21tk,

~ +21tk<x<21t+21tk, k е

Z;2)

~ <Х<~+ п:,

з;+27tk<.r<::..7t+21tk, 5:+27tk~x<::.. 1:+21tk,

~+27tk<::..x~ 5:+21tk,

е Z;З) 21tk<x <~+21tk,

е Z; 4)-i+21tk<::...r~27tk,

е Z: 5) 27tk<.r<i+27tk, 1201. 1) 27tk <

- 2n +21tk< х< 21tk,

2n +21tk<x< .!!.+27tk, 5 2

6 : +27tk< х <з; +27tk, k 8

< 1t + 21tk, k

4 n +27tk< х< 1t+21tk, 5

е Z: 3) ~+7tk< .r<i+7tk, i+7tk< х< 5; +7tk.

ke Z·4) .!!_+nk<x<.!!.+nk '

2 ;+21tk<x<1t+21tk,

.!!_+nk<X<Зn+nk ke Z

2' 4

411

ПРЕДМЕТНІІЙ ПОКАЖЧИК АNWІітуда гармонічного коливання

307

Авалітичвий спосіб задавви функціj Аргумент фувкціj

130 225 - різниці 26 7 -суми 267 Косивусоїда 24 7. Котавгеве 226 Кут в 1 радівн 218 - І чверті 233 - 11 чверті 233 -многочлена

Косинус

ЗЗ

ЗО

313 Арккотангенс 327 Арксинус 319 Арктавгене 326 Арккосинус

Ваза lвдукціj

140

Взаємно однозначна ІІід.ІювіднЇ\."І'Ь

- ІІІ - lV

однозначне відображення множини на множину

з раціонального дробу

змівними

ІЗО

Винесення множника з-під знака коре-

ВідJ<ритий відріаок

118

--частка

Множина

170

Гармонічне коливання

306

Графік нерівності з двома рівняння

числової функції

Діаграма Ейлера

Елемент множини

мениюсу дробу

Значения функції

ні

Найменше значення функції на множи

Найпростіші тригонометричні нерівності 375

- -

138

34 7

рівняння

Наслідок нерівності

140

рівняння

Неповва частка 129 Нерівності рівносильні

138

Коефіцієнти алгебраїчного

Нуль функції

135

Корінь n-го степеви

158

-арифметичний n-го степеви -кубічний

7 25 102

рівнопотужні

ні

158

138

рівняння

19 6

Модуль числа

171

Індуктивний висновок перехід

скінченна

Найбільше значения функції на множи

Зв8JС кореня n-го степеви

симетрична відносно початку коор-

Звільнення від ірраціональності в зна-

Індукція

Мвоживи рівні

114

-метод

одноелементна

-числова

Дробова частина числа

нескіичевва

динат

123

128

зліченна

системи нерівностей

Еліпс

129

-порожня

118 112

змівними

128

-,який ділиться націло

Внесения множника під ав8JС коре

202 356

129 128

--остача

228

тавгенсів ня

розкладання ва множники

--неповна частка

135

139

рівносильвих перетворень

--дільник

Вільний член алгебраїчного рівиІІRRЯ Вісь котавгенсів 228

математичної івдукпії

Многочлен-ділеве

Відображення мвоживи ва множину

120

Метод інтервалів

169

Відкрита півплощина Відкрите півколо 24

~33

233

Лінійна неріввість з двома

Виділення цілої частини

ня

'іверті чверті

159

Об'єднання мвожив

160

Область визначення рівняння

- -

412

функції

ЗО

значень функції

ЗО

-суми

259

Одиничне коло

Осиовна тригонометрична

Остача

Перетин множин Період функції

2З8

головний

279

- -

Підкоревевий вираз

-власна

Потужність

158

Підмножина

континууму

Правильний дріб

1ЗО

Проміжок знакостапості функції

зростання функції

-спадання функції

Радикал Радіан

-ірраціональне

1З5

94 199

рівносильні

Розтяг від осі ордиват

Снгнум

12З

Синус

225 267

-суми

267 Синусоїда 245 Степіиь з раціональним показником

186

Сторонні

Тавгене

226 268

кусково задана

ЗЗ

87 - обериева 71 - оборотва 69 - - на множині 72

-числова

54, 114 осі ордиват 55, 11З корені рівняння 81

Сукупність рівнянь (нерівностей)

306

-неперервна

Стиск до осі абсцис Стиск до

118

ЗО

- періодична 2З8 - складена З3 - спадна 40 -, спадва на множині 40 - степенева з натуральним показвиком 146 - - - раціовальним показником 186 - - - цілим показвиком 152 - тригонометрична 227

-різниці

286

З1

зростаюча

-парна

54, 114 55, 113

Симетрія відносно осі ордиват

гармонічного коливания

-непарна

Розтяг від осі абсцис

ЗО2

281

ЗО

-,зростаюча на мвоживі

112

системи нерівностей

Розрив

пониження степеия

З49

рівняння

ПОЛОВИRНОГО аргументу

-Діріхле

Розв' язок нерівності з двома змівними

тригонометричне однорідне n- го

степеия

подвійного аргументу

Функція

З4 7

112

- , рівносильні на мвоживі

Функціональва залежність

найпростіше тригонометричне

-першого степеия з двома змінии-

перетворення добутку тригономе-

282 потрійного аргументу 285 Функції взаємно обериеві 71

218

з параметром

ми

274

тричних функцій у суму

Рівняння алгебраїчне

Формули зведення

158 218

Радіавва міра

41 41

-числовий

267

косинуса суми

267 синуса різниці 26 7 -синуса суми 267 - тангенса різниці 268 - тангенса суми 268 - різниці косинусів 297 - - котавгенсів 298 - - синусів 297 - - тавгенсів 298 - суми косинусів 297 - - котавгенсів 298 - - синусів 297 - - тавгенсів 297

129

Параметр

1ЗО

Формула косинуса різниці

259

тотожність

268

Теорема Безу

у=tГх

З1

178

Характеристична властивість множини

Ціла частина числа

Частота циклічна гармонічного коли

різниці

вания

413

ЗО7

3МІСТ

Від авторів

•••••••••••••. •••••••••••••••••••••. ••. •••••. •. . •. •. З •.•...••........••.•.•.....•.....••...•.••.•. 4

Ужовпі nозпачеппя

§ 1. Множини. ОперацІі над множинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 5 1. Множина та її елементи .. . . .. . ..... . .. .. . . . ... . . .... . . . 6 2. Підмножива. Операції вад множинами .. . .......... .... . 11 3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідвість ... 19 4. Нескінченні множини. Зліченні множини . . .. . .. .. ...... 24 • .я ба•Іу це. aolf' кінк 111~ можу цhом~· повірити~ • •.•..••• 27 § 2.

Функціі, многочлени, рівняння І нерівності

5. 6.

.. . .... . . . . .. ... .. 29

Повторення та розширення відомостей про функцію ...... ЗО Зростання і спадання функції.

Найбільше і найменше значення функції .....

7. 8.

Пар ні і непарні функції

. . . .... . .. . 39 .. .... . ............. . ...... . ... 48

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних

перетворень ... . ....... . .... . . . ...... . ................ 53 9. Як побудувати графіки функцій у= f (ІхІ) і у= І f (х) І. якщо відомо графік функції у= f (х) . . . . . . .... .. ... . . . . . 62 10. Обернена функція . ... . .. ...... . . . . . .. ........ . ..... . . . 69 • ЛьвіІ!Іська :\Іатематичка ШIH)Jiu •••••••• • • .•••••••••••••• 76 11. Рівносильні рівняння . Рівняння-наслідок . Рівносильні нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 12. Метод інтервалів . .. . .. .. . ....... . ..... . ...... . ........ 87 1З. Рівняння і нерівності з параметрами . . .. . .. . . . . . .. . .. . .. 94 14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля . . ....... 102 15. Рівняння з двома змінними та його графік . . ... . .. . .. . . 111 16. Нерівності з двома змінними .. . . . ... .. . .... . . . . ..•.. . . 118 17. Системи нерівностей з двома змінними .... . . ... ..•.. . . 12З 18. Ділення многочленів. Корені многочлена . Теорема Безу •• • 128 19. Алгебраїчні рівняння . . ... .. . . . . ... ..... . . .. ... . . .. . . 1З5 20. Метод математичної індукції ......................... 1З8

§ 3. Степенева функція ........................................ 21. Степенева функція з натуральним показвиком .... . .. . . . 22. Степенева фунt;ція з цілим показником .. .... .... ...... 2З. Означення кореня n-го степеня . . . .... . ~ · ·. · .•...... .. . .. . . 24. Властивості кореня п-го степеня ..........•....... . .. . . 25. Тотожні перетворення виразів, які містять кореві n-го степевя . . . . . . . . . . ....... . . . . . .. . . .• ..... . ....... 26. Функція у=~ ...•... . . ....•...•.••..•............. 27. Означення та властивості степевя з раціовальним показвиком . . . . . . ...... . .. ... . . ... .. . . .. . ... . ..... . . 28. Перетворення виразів, які містять степеві з раціовальним показником ... . . ... ... .. ..... . ...... . . 29. Ірраціональні рівняння ......... . . . . .. .... . .. . ... . .. . .

414

145 146 152 158 16З

169 178 185 192 197

30.

Метод рівносильвих перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь

31.

та їх систем

32.

... .. . ....... .. . .... . ... . .... . 202

Різні прийоми розв'язувания ірраціональних рівнянь

......................................... 208 212

Ірраціональні нерівності ..............................

§ 4. Тригонометричні функції .. . ... . . .. . . . . . . .. . . ..... ........ . 217 33. Радіанне вимірювання кутів .. ... .. ..... . ..... .. ... . .. 218 34. Тригонометричні функції числового аргументу .......... 225 35. Знаки значень тригонометричних функцій. Парність і непарність тригонометричних функцій ....... 233 36. Періодичні функції . ... .. ........ . ...... . ....... .. . .. 238 37. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х . • .. • 244 38. Властивості і графіки функцій у = tg х і у =ctg х . . .. . 254 39. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу . ... . ... . ... . 259 40. Формули додавания ....... .. ......................... 266 41. Формули зведення . . ....... .... ... . .. . .. .... . . .. ... .. 274 42. Формули подвійного, потрійного і половинвого аргументів ... ...... . ...... . .. .. .. . .. . ... . . . . . ....... 281 43. Формули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток .. ..... ..... .... . . 296 44. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму . ... . ........ . ...... . .... . . . . . . . . .. ... 302 45. Гармонічні коливання . . .. ... . ... . .. .. .. . ...... . ... .. . 306 • Ста вRЙ Остроt·рядсt. ~-;им! • • ••• • • •• •• •••••••. •• .•.•. •• . 310

§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності .... . . .. ... . . . ........ 46. Рівняння cos х = Ь • • •••• • ••• • • • •• ••• • • • •• • • ••• • •• • ••• 47. Рівняння sin х = Ь ••• • •• • ••• • ••• • •• • ••• •••• • • • • • •• ••• 48. Рівняння tg х = Ь і ctg х = Ь ........................... 49. Функції у= arccos хі у= arcsin х ... . .. . ... . . • . • . •• . •. 50. Функції у = arctg х і у = arcctg х .................. . ... 51 . Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних ...... . . . . .. ..... . . . . .. ... . . . .......... 52. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники ............................ 53. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь . . . . . . . .. . .. . . . . ... . . .... ... 54. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь . . ... . ... .. .... . . . . . . . ... .. . 55. Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь ........................ .. . 56. Найпростіші тригонометричні нерівності . ... . ... . . . . .. . 57. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей . . . . ......... . . . . ... .. . . Відnовіді та вказівки до вnрав Предметкий nокажttик

311 312 318 325 330 340

34 7 356 360 364 370 375 382

• .. . .. •. ... .. ............ . .. .•. . 387 • • •••• • • • • • •••• ••• • •• • ......•....... . •. 412

415

Видаво за рахунок державвих коштів Продаж заборонено

Навчальне видання Мерзляк Аркадій Григорович Номіровський Дмитро Анатолійович Половський Віталій Борисович

. Якір

Михайло Семенович

АЛГЕБРА

І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

клас

Профільний рівень

Редактор Г. Ф. Висоцька Художник С. Е. Кулинич Коректор Т. Є. Цента

Комп'ютерне верстання О. О. Удалива

Формат 60х90/16. Гарнітура шкільна. Ум . друк . арк .

Тираж

62 150

26,00.

прим. Замовлення М ~~'.

ТОВ ТО •Гімназія•, вул . Восьмого Березня,

31, м. Харків 61052 (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс : (057) 758-83-93 Свідоцтво суб'єкта видавничої справи ДК М 644 від 25. 10.2001 Тел .:

Надруковано з діапозитивів , виготовлених ТОВ ТО •Гімназія•, у друкарні ПП •Модем•, вул. Восьмого Березня,

31, м . Харків 61052 (057) 758-15-80 · видавничої справи ХК М 91 від 25. 12. 2003 Тел .

Свідоцтво суб'єкта

<<Моя любов- Україна і математика>>. Ці слова Ми хайла ІІилиповича Кравчука

(1892- 1942)

викарбовано

на гранітному постаменті пам·ятника науковцеві.

Ми сподіваємося, що це патріотичне висловлюван

ня видатного українського математика стане для вас надійним дороговказом на шляху до професіоналізму.

Графік степеневої функції

xn,

у=

xn,

у=

парне

у=

непарне

натуральне

число

число,

n>1

x-n,

у=

парне

x-n, непарне

натуральне

число

Властивості кореня

n-ro степеня

Дл.я будь-якого дійсного а виконуються рівності

2Іr+~a2Іr+l =а, 2~ =ІаІ· Якщо а ~ О і Ь ~ О, то ~

= ~ · ~;

.якщо а~ О і Ь >О, то ~ = ~; .якщо а~ О, то (~)Іr = ·~; .якщо а ~ о, то n!fa = «а .якщо а ~ о, то n~

;

Розміщення графіка квадратичної функції відносно осі абсцис

D=O

V®

а<О

®.. х

® Г\

Графіки тригонометричних функцій у =

Зп

1!!.

.....::L.Q. ./"Ї"..._

- - - - : 21t - 1t у =

І ~tг~п у

sinx

311

cosx

Зп

...--..-----4-n-

у =

--J

tgx -2n

у =

-7t

ctgx - 2n

Значеннятригонометричних

функцій деяких кутів о

а.

cos а.

а.

sin

ctg

а.

. "

.DO

..5

21t

Зп

1 2

J3 3

-JЗ

-1

J3 3

-JЗ

Зп

2 о

- ]

-1

Співвідношення між тригонометричними

функціями одного й того самого аргументу# 1 sin 2 а+ cos 2 а = 1; 1 + tg 2 а= - -; cos2 а

1 1 + ctg2 а = -.- ; tg а · ctg а = 1 2 sш

.І

Формули додавання

cos (а + 13) = cos а cos 13 - sin а sin 13; cos (а - 13) = cos а cos 13 + sin а sin І3; sin (а + 13) = sin а cos 13 + cos а sin 13; sin (а - 13) = sin а cos 13 - cos а sin І3; tg(a+l3)= tga+tgl3; 1-tgatgl3

tg(a-l3)= tga-tgl3 1+tgatgl3

Формули подвійного аргументу sin 2а = 2 sin а cos а; cos 2а = cos 2 а - sin 2 а = 2 cos 2 а - 1 = 1 - 2 sin 2 а; 2tga t g 2а = --=--::,1- tg 2 a формули пониження степеня • 2 1-cos2a 1+cos2a 2 s1na= ; co sa=--2 2

Формули суми і різниці синусів (косинусів) • • А · а+І3 а-13 s1na + s1n"' = 2 Sln-; 2 -cos2 • • А · а-13 а+І3 s1na-s1n"' = 2 Sln-cos-; 2 2

а+І3

cos а + cos 13 = 2 cos -

а-13

- cos-- ; 2 . А · а+І3 · а-13 а+І3 . 13-а cosa -cos"' =- 2 s1n--s1n-- = 2 s1n-s1n-2 2 2 2 2

Формули перетворення добутку в суму

sin а cos 13 = !<sin (а -13) + sin (а+ 13)); sin а sinl3 = !<cos (а -13)- cos (а+ 13)); cosacosl3 = !<cos(a -13) + cos(a + 13)) Формули синуса і косинуса потрійного аргументу

sin3a = Зsina- 4sin3 a;

cos3a = 4cos3 a- Зсоsа

Книга Підручник

для

вчителя

Збірник задач

ІКОНТрОЛЬНИХ

робіт