CONJECTURA LUI SMARANDACHE by Ryan Elias

CONJECTURA LUI SMARANDACHE OCTAVIAN CIRA R EZUMAT. Conjectura lui Smarandache afirm˘a c˘a ecuat¸ia neliniar˘a pxn+1 − pxn = 1, unde pn s¸i pn+1 sunt dou˘a numere prime consecutive, are solut¸ii > 21 , pentru orice n ∈ N∗ . ˆ acest articol stabilim condit¸iile ˆın care conjectura lui SmaranIn dache este adev˘arat˘a.

1. I NTRODUCERE Face notat¸ia P≥k = {p | p num˘ar prim, p ≥ k}. Fie pn , pn+1 ∈ P≥2 , dou˘a numere prime consecutive. Conjectura lui Smarandache. Ecuat¸ia (1.1)

pxn+1 − pxn = 1 ,

are solut¸ii > 12 , pentru orice n ∈ N∗ , [18, 25]. Num˘arul cS ≈ 0.567148130202539 . . ., solut¸ia ecuat¸iei 127x − 113x = 1 , este constanta lui Smarandache, [18, 29]. Conjectura asupra constantei lui Smarandache. Constanta cS este cea mai mic˘a solut¸ie a ecuat¸iei (1.1) pentru orice n ∈ N∗ . Funct¸ia de num˘arare a numerelor prime p, p ≤ x, a fost notat˘a de Edmund Landau ˆın anul 1909, cu litera π, [10, 27]. Pentru ap˘astra tradit¸ia vom adopta s¸i noi aceast˘a notat¸ie. Se cunosc urm˘atoarele conjecturi s¸i teoreme referitoare distribut¸ia numerelor prime. Conjectura lui Legendre, [8, 20]. Pentru orice n ∈ N∗ exist˘a p num˘ar prim astfel ˆıncˆat n2 < p < (n + 1)2 . The smallest primes between n2 and (n + 1)2 for n = 1, 2, . . ., are 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, . . . , [24, A007491]. The largest primes between n2 and (n + 1)2 for n = 1, 2, . . ., are 3, 7, 13, 23, 31, 47, 61, 79, 97, . . . , [24, A053001]. Date: 03 Oct. 2014. 1

OCTAVIAN CIRA

The numbers of primes between n2 and (n + 1)2 for n = 1, 2, . . . are given by 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, . . . , [24, A014085]; Teorema lui Bertrand. Pentru orice ˆıntreg n, n > 3, exist˘a ˆıntotdeauna un num˘ar p prim, astfel ˆıncât n < p < 2(n − 1). Teorema a fost enunt¸at˘a de Bertrand ˆın 1845. Aceast˘a presupunere a fost demonstrat˘a pentru prima dat˘a de Che¨ ˆın byshev ˆın anul 1850. Ramanujan ˆın 1919 , ˆın articolul [19], s¸i Erdos 1932, [5], au publicat câte o demonstrat¸ie simpl˘a a acestei teoreme. O alt˘a formulare pentru teorema lui Bertrand este: prentru orice n ∈ N∗ exist˘a p, num˘ar prim, astfel ˆıncât n < p < 2n. Hoheisel, ˆın anul 1930, a demonstrat c˘a exist˘a θ ∈ (0, 1), [9], astfel ˆıncât (1.2)

π(x + xθ ) − π(x) ≈

xθ . ln(x)

Este de mare interes g˘asirea celui mai mic interval care cont¸ine cel put¸in un num˘ar p prim. Unul din ultimele rezultate ˆın aceast˘a direct¸ie este a lui Andy Loo din 2011, [11]. El a demonstrat c˘a pentru orice n ∈ N∗ exist˘a ˆıntotdeauna un num˘ar p prim astfel ˆıncât 3n < p < 4n. Mai mult decât atât putem spune, de asemenea, c˘a ˆın cazul ˆın care ipoteza lui Riemann Z x √ du (1.3) π(x) = + O( x ln(x)) , 2 ln(u) este adev˘arat˘a, atunci ˆın relat¸ia (1.2) putem lua θ = lui Maier [12].

1 2

+ ε, conform

Conjectura lui Brocard, [26, 17]. Pentru orice n ∈ N∗ avem inegalitatea π(p2n+1 ) − π(p2n ) ≥ 4 adev˘arat˘a. Conjectura lui Legendre afirm˘a c˘a ˆıntre p2n s¸i a2 , unde a ∈ (pn , pn+1 ), exist˘a cel put¸in dou˘a numere prime s¸i c˘a ˆıntre a2 s¸i p2n+1 exist˘a, de asemenea, cel put¸in dou˘a numere prime. Cu alte cuvinte, dac˘a conjectura lui Legendre este adev˘arat, atunci exist˘a cel put¸in patru numere prime ˆıntre p2n s¸i p2n+1 . ˆ consecint¸a˘ , ˆın cazul ˆın care conjectura lui Legendre este adev˘aIn rat˘a, atunci s¸i conjectura Brocard este, de asemenea, adev˘arat˘a.

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

Conjectura lui Andrica, [1, 17, 13]. Pentru orice n ∈ N∗ avem inegalitatea √ √ (1.4) pn+1 − pn < 1 , adev˘arat˘a. Relat¸ia (1.4) este echivalent˘a cu inegalitatea √ √ (1.5) pn + gn < pn + 1 , unde s-a f˘acut notat¸ia gn = pn+1 − pn a gap-ului dintre pn+1 s¸i pn . Dac˘a ridic˘am la p˘atrat relat¸ia (1.5) rezult˘a relat¸ia echivalent˘a √ (1.6) gn < 2 pn + 1 . Prin urmare avem forma echivalent˘a a conjecturii lui Andrica: pentru orice n ∈ N∗ inegalitatea (1.6) este adev˘arat˘a. Paz ˆın 2014, [17], a demonstrat c˘a dac˘a conjectura lui Legendre este adev˘arat˘a atunci s¸i conjectura Andrica este adev˘arat˘a. Conjectura lui Smarandache generalizeaz˘a conjectura lui Andrica, [25]. Conjectura lui Cram´er [4, 23, 7, 21]. Pentru orice n ∈ N∗ avem relat¸ia (1.7)

gn = O(ln(pn )2 ) ,

unde gn = pn+1 − pn , sau altfel spus gn lim sup =1. 2 n→∞ ln(pn ) Cramér a dat o demonstrat¸ie pentru relat¸ia √ gn = O pn ln(pn ) , relat¸ie mult mai slab˘a ca relat¸ia (1.7), presupunând adev˘arat˘a ipoteza lui Riemann (1.3). Westzynthius a dovedit ˆın 1931 c˘a gap-urile gn creasc mai repede decât logaritmul numerelor prime, [30], adic˘a avem gn lim sup =∞. n→∞ ln(pn ) Conjectura lui Cramér-Granville. Pentru orice n ∈ N∗ avem inegalitatea (1.8)

gn < R · ln(pn )2 ,

adev˘arat˘a pentru R > 1, unde gn = pn+1 − pn . Granville prin teorema lui Maier arat˘a c˘a inegalitatea lui Cram´er (1.8) nu descrie ˆın mod adecvat distribut¸ia numerelor prime. Granville propune R = 2e−γ ≈ 1.123 . . . luˆand ˆın considerare numerele prime mici, [6, 13] prin numere prime mici, ˆın general, se ˆınt¸elege 6 numere prime p < 10 , [3] .

OCTAVIAN CIRA

Nicely a studiat valabilitatea conjecturii lui Cram´er-Grandville, prin calcularea raportului ln(pn ) R= √ , gn folosind gap-uri mari. El a constatat c˘a pentru aceste gap-uri avem aproximat¸ia R ≈ 1.13 . . . . Deoarece 1/R2 < 1, cu ajutorul raportului R nu putem obt¸ine o justificare pentru conjectura lui Cram´erGranville, [14]. Conjectura lui Oppermann, [16, 17]. Pentru orice n ∈ N∗ , ˆın intervalele [n2 − n + 1, n2 − 1] s¸i [n2 + 1, n2 + n] exist˘a cel put¸in un num˘ar p prim. Conjectura lui Firoozbakht. Pentru orice n ∈ N∗ avem inegaliatatea √ √ n+1 (1.9) pn+1 < n pn sau forma ei echivalent˘a 1 1+ n

pn+1 < pn

Dac˘a conjectura lui Firoozbakht este adev˘arat˘a, atunci pentru orice n > 4 avem inegalitatea (1.10)

gn < ln(pn )2 − ln(pn ) ,

ˆ anul 1982 Firoozbakht a verificat adev˘arat˘a, unde gn = pn+1 − pn . In inegalitatea (1.10) folosind gap-urilor maximale pân˘a la 4.444 × 1012 , [22], adic˘a pân˘a ˆın aproprierea pozit¸iei 48 din Tabelul 1. Pân˘a la data scrierii articolului aceast˘a tabel˘a a ajuns pân˘a la gapul maximal cu num˘arul de ordine 75, [15, 24]. Conjectura lui Paz, [17]. Dac˘a are loc conjectura lui Legendre atunci: √ (1) Intervalul [n, n+2b nc+1] cont¸ine cel put¸in un num˘ar p prim pentru orice n ∈ √ N∗ ; √ (2) Intervalul [n − b nc + 1, n] sau [n, n + b nc − 1] cont¸in cel put¸in un num˘ar p prim, pentru orice n ∈ N∗ , n > 1. Remarca 1.1. According to Cases (1) and (2), if Conjecture Legendre is true, then Andrica’s conjectureis also true, [17].

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

Conjecture Wolf. Furthermore, the bounds presented below suggest yet another growth rate, namely, that of the square of the so-called Lambert W function. These growth rates differ by very slowly growing factors like ln(ln(pn )) . Much more data is needed to verify empirically which one is closer to the true growth rate. Let P (g) be the least prime such that P (g) + g is the smallest prime larger than P (g). The values of P (g) are bounded, for our empirical data, by the functions √ √ Pmin (g) = 0.12 · g · e g , √ √ Pmax (g) = 30.83 · g · e g . For large g, there bounds are in accord with a conjecture of Marek Wolf [15, 32, 31]. 2. D EMONSTRAT¸ IA CONJECTURII LUI S MARANDACHE ˆ acest articol demonstr˘am c˘a nu exist˘a ecuat¸ii, ˆın raport cu x, de In tipul (1.1), cu solut¸ii ≤ 12 , pentru orice n ∈ N∗ . Fie funct¸ia f : [0, 1] → R, (2.1)

f (x) = (p + g)x − px − 1 ,

unde p ∈ P≥3 , g ∈ N∗ s¸i g este gap-ul dintre p s¸i num˘arul prim consecutiv p + g. Astfel avem ecuat¸ia echivalent˘a cu ecuat¸ia (1.1) (2.2)

(p + g)x − px = 1 .

Dup˘a cum bine se s¸tie pentru p ∈ P≥3 avem g ≥ 2 (dac˘a conjectura lui Goldbach este adev˘arat˘a, atunci g = 2 · N∗ 1). Teorema 2.1. Funct¸ia f dat˘a de (2.1) este strict cresc˘atoare s¸i convex˘a pe domeniul de definit¸ie. Demonstrat¸ie. Calcul˘am derivata ˆıntˆai s¸i derivata a doua a funct¸iei f f 0 (x) = ln(p + g)(p + g)x − ln(p)px s¸i

f 00 (x) = ln(p + g)2 (p + g)x − ln(p)2 px . Atunci rezult˘a c˘a f 0 (x) > 0 s¸i f 00 (x) > 0 pe intervalul [0, 1] deci prin urmare funct¸ia f este strict cresc˘atoare s¸i convex˘a pe domeniul de definit¸ie. Corolarul 2.2. Deoarece f (0) = −1 < 0 s¸i f (1) = g − 1 > 0 pentru c˘a g ≥ 2 dac˘a p ∈ P≥3 s¸i deoarece funct¸ia f este strict monoton cresc˘atoare rezult˘a c˘a ecuat¸ia (2.2) are o unic˘a solut¸ie ˆın intervalul (0, 1). 1

2 · N∗ este mult¸imea numerelor naturale pare

OCTAVIAN CIRA

Teorema 2.3. Pentru funct¸ia (2.1) avem f 12 < 0, pentru orice g care √ ˆındepline¸ste condit¸ia 2 ≤ g < 2 p + 1. √ √ Demonstrat¸ie. Inecuat¸ia p + g − p − 1 < 0 ˆın raport cu g are solut¸ia √ −p ≤ g < 2 p + 1. Avˆand ˆın vedere condit¸iile date rezult˘ a c˘a pentru √ 1 g care ˆındeplines¸te condit¸iile 2 ≤ g < 2 p + 1 avem f 2 < 0 pentru orice p ∈ P≥3 . √ Remarca 2.4. Condit¸ia ca g < 2 p+1 este conjectura lui Andrica (1.6). Teorema 2.5. Fie p ∈ P≥3 s¸i g ∈ N∗ , atunci ecuat¸ia (2.2) are o solut¸ie s mai mare ca solut¸ia sε a ecuat¸iei (p + g + ε)x − px − 1 = 0, pentru orice ε > 0.

F IGURA 1. Funct¸iile (p + g)x − px − 1 s¸i (p + g + ε)x − px − 1 Demonstrat¸ie. Fie ε > 0, atunci p + g + ε > p + g, de unde rezult˘a c˘a (p + g + ε)x − px − 1 > (p + g)x − px − 1, pentru orice x ∈ [0, 1]. Fie s solut¸ia ecuat¸iei (2.2), atunci exist˘a δ > 0, ce depinde de ε, astfel ˆıncˆat (p + g + ε)s−δ − ps−δ − 1 = 0. Prin urmare solut¸ia s, a ecuat¸iei (2.2), este mai mare ca solut¸ia sε = s − δ a ecuat¸iei (p + g + ε)x − px − 1 = 0, vezi Figura 1. Fie funct¸iile: √ • gA (p) = 2 p + 1 , funct¸ia gap a lui Andrica , • gCG (p) = 2 · e−γ · ln(p)2 , funct¸ia gap a lui Cram´er-Grandville , • gF (p) = g1 (p) = ln(p)2 − ln(p) , funct¸ia gap a lui Firoozbakht ,

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

• gc (p) = ln(p)2 − c · ln(p) , unde c = 4(2 ln(2) − 1) ≈ 1.545 . . . , • gb (p) = ln(p)2 − b · ln(p) , unde b = 6(2 ln(2) − 1) ≈ 2.318 . . . . Teorema 2.6. Inegalitatea gA (p) > gα (p) este adev˘arat˘a pentru: (1) α = 1 s¸i p ∈ P≥3 \ {7, 11, . . . , 41}; (2) α = c = 4(2 ln(2) − 1) s¸i p ∈ P≥3 ; (3) α = b = 6(2 ln(2) − 1) s¸i p ∈ P≥3 s¸i funct¸ia gA are cre¸sterea cea mai rapid˘a fat¸a˘ de funct¸ia gb . Demonstrat¸ie. Fie funct¸ia √ dα (p) = gA (p) − gα (p) = 1 + 2 p + α · ln(p) − ln(p)2 Derivata funct¸iei dα este α − 2 ln(p) + dα (p) = p 0

√

Funct¸ia d1 0 se anuleaz˘a ˆın valorile 5.099 . . . s¸i 41.816 . . . s¸i d1 0 (p) < 0 pentru {7, 11, . . . , 41} s¸i d1 0 (p) > 0 pentru p ∈ P≥3 \ {7, 11, . . . , 41}, de

F IGURA 2. Funct¸iile dα s¸i d0α

OCTAVIAN CIRA

aceea funct¸ia d1 este strict cresc˘atoare doar pe mult¸imea p ∈ P≥3 \ {7, 11, . . . , 41} (vezi Figura 2). Pentru α = c = 4(2 ln(2) − 1) ≈ 1.5451774444795623 . . ., d0c (p) > 0 pentru orice p ∈ P≥3 , (funct¸ia d0c se anuleaz˘a pentru p = 16, dar 16 ∈ / P≥3 ), atunci funct¸ia dc este strict cresc˘atoare pentru p ∈ P≥3 (vezi Figura 2). Deoarece √ ¸ia dc este strict cresc˘atoare s¸i dc (3) = funct ln(3) 8 ln(2) − 4 − ln(3) + 2 3 + 1 ≈ 4.954 . . ., rezult˘a c˘a dc (p) > 0 pentru orice p ∈ P≥3 . ˆ α = b = 6(2 ln(2) − 1) ≈ 2.3177661667193434 . . ., funct¸ia db are In cres¸terea cea mai rapid˘a pentru orice p ∈ P≥3 (pentru c˘a d0b (p) > d0α (p) pentru orice p ∈ P≥3 s¸i α ≥ 0, α 6= b). Deoarece db 0 (p) > 0 pentru orice p ∈ P≥3 s¸i deoarece √ db (3) = ln(3) 12 ln(2) − 6 − ln(3) + 2 3 + 1 ≈ 5.803479047342222 . . . . rezult˘a c˘a db (p) > 0 pentru orice p ∈ P≥3 (vezi Figura 2).

Remarca 2.7. Pentru determinarea lui c, rezolv˘am ecuat¸ia d0α (p) = 0 √ ˆın raport cu α. Solut¸ia α ˆın funct¸ie de p √este α(p) = 2 ln(p) − p. 4− p Determin˘am pe p astfel ˆıncˆat α0 (p) = 2p s˘a se anuleze. Atunci rezult˘a c˘a c = α(16) = 4(2 ln(2) − 1). Remarca 2.8. Pentru determinarea lui b, rezolv˘am ecuat¸ia d00α (p) =0 √ p ˆın raport cu α. Solut¸ia α ˆın funct¸ie de p este α(p) = 2 ln(p) − 2 − 2. √ 8− p 0 Determin˘am pe p astfel ˆıncˆat α (p) = 4p s˘a se anuleze. Atunci rezult˘a c˘a b = α(8) = 6(2 ln(2) − 1). Faptul c˘a funct¸ia db are cres¸terea cea mai rapid˘a este echivalent cu faptul c˘a cres¸terea funct¸ie gA este cea mai rapid˘a fat¸a˘ de cres¸terea funct¸iei gb . √ √ Fie funct¸ia h(p, g) = f 21 = p + g − p − 1. Teorema 2.9. Pentru funct¸ia hCG (p) = h(p, gCG (p)) =

p √ p + 2e−γ ln(p)2 − p − 1

avem hCG (p) < 0 pentru p ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 17} ∪ {359, 367, . . .} s¸i lim hCG (p) = −1 .

p→∞

Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile teoremei rezult˘a prin calcul direct. Vezi graficul din Figura 3.

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

F IGURA 3. Graficele funct¸iilor hb , hc , hF s¸i hCG Teorema 2.10. Pentru funct¸ia hF (p) = h1 (p) = h(p, gF (p)) =

p √ p + ln(p)2 − ln(p) − p − 1

avem maximul funct¸iei ˆın p = 111.152 . . . s¸i hF (109) = −0.201205 . . . iar hF (113) = −0.201199 . . . s¸i lim hF (p) = −1 .

p→∞

Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile teoremei rezult˘a prin calcul direct. Vezi graficul din Figura 3. Teorema 2.11. Pentru funct¸ia hc (p) = h(p, gc (p)) =

p √ p + ln(p)2 − c ln(p) − p − 1

avem maximul funct¸iei ˆın p = 152.134 . . . s¸i hc (151) = −0.3105 . . . iar hc (157) = −0.3105 . . . s¸i lim hc (p) = −1 .

p→∞

Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile teoremei rezult˘a prin calcul direct. Vezi graficul din Figura 3. Teorema 2.12. Pentru funct¸ia hB (p) = h(p, gB (p)) =

p √ ln(p)2 − b ln(p) + p − p − 1

avem maximul funct¸iei ˆın p = 253.375 . . . s¸i hB (251) = −0.45017 . . . iar hB (257) = −0.45018 . . . s¸i lim hB (p) = −1 .

p→∞

Demonstrat¸ie. Afirmat¸iile teoremei rezult˘a prin calcul direct ˆıntr-un soft matematic. Vezi graficul din Figura 3.

OCTAVIAN CIRA

Tabela 1: a gap-urilor maximale, [24, 14, 15] # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

n 1 2 4 9 24 30 99 154 189 217 1183 1831 2225 3385 14357 30802 31545 40933 103520 104071 149689 325852 1094421 1319945 2850174 6957876 10539432 10655462 20684332 23163298 64955634 72507380 112228683 182837804 203615628 486570087 910774004

pn 2 3 7 23 89 113 523 887 1129 1327 9551 15683 19609 31397 155921 360653 370261 492113 1349533 1357201 2010733 4652353 17051707 20831323 47326693 122164747 189695659 191912783 387096133 436273009 1294268491 1453168141 2300942549 3842610773 4302407359 10726904659 20678048297

gn 1 2 4 6 8 14 18 20 22 34 36 44 52 72 86 96 112 114 118 132 148 154 180 210 220 222 234 248 250 282 288 292 320 336 354 382 384

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

# 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

n pn 981765347 22367084959 1094330259 25056082087 1820471368 42652618343 5217031687 127976334671 7322882472 182226896239 9583057667 241160624143 11723859927 297501075799 11945986786 303371455241 11992433550 304599508537 16202238656 416608695821 17883926781 461690510011 23541455083 614487453523 28106444830 738832927927 50070452577 1346294310749 52302956123 1408695493609 72178455400 1968188556461 94906079600 2614941710599 251265078335 7177162611713 473258870471 13829048559701 662221289043 19581334192423 1411461642343 42842283925351 2921439731020 90874329411493 5394763455325 171231342420521 6822667965940 218209405436543 35315870460455 1189459969825483 49573167413483 1686994940955803 49749629143526 1693182318746371 1175661926421598 43841547845541059 1475067052906945 55350776431903243 2133658100875638 80873624627234849 5253374014230870 203986478517455989 5605544222945291 218034721194214273 7784313111002702 305405826521087869 8952449214971382 352521223451364323 10160960128667332 401429925999153707 10570355884548334 418032645936712127 20004097201301079 804212830686677669 34952141021660495 1425172824437699411

gn 394 456 464 468 474 486 490 500 514 516 532 534 540 582 588 602 652 674 716 766 778 804 806 906 916 924 1132 1184 1198 1220 1224 1248 1272 1328 1356 1370 1442 1476

OCTAVIAN CIRA

Not˘am cu an = bgA (pn )c (Andrica conjecture), cu cgn = bgCG (pn )c (Cram´er-Grandville conjecture) cu fn = bgF (pn )c (Firoozbakht conjecture), cu cn = bgc (pn )c s¸i bn = bgb (pn )c. Prezent˘am ˆın Tabelul 2 valorile an , cgn , fn , cn , bn s¸i gn a gapurile maximale, [14, 2, 28, 15]. Tabelul 2 confirm˘a conjecturile Cram´erGrandville s¸i Firoozbakht de la n ≥ 9 (de la p9 = 23, cel ce ocup˘a pozit¸ia a patra ˆın tabela gap-urilor maximale). Tabela 2: a aproximat¸iilor gap-urilor maximale # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

an 3 4 6 10 19 22 46 60 68 73 196 251 281 355 790 1202 1217 1404 2324 2330 2837 4314 8259 9129 13759 22106 27547 27707

cgn 0 1 4 11 22 25 43 51 55 58 94 104 109 120 160 183 184 192 223 223 236 264 311 318 350 389 407 408

fn -1 0 1 6 15 17 32 39 42 44 74 83 87 96 131 150 151 158 185 185 196 220 260 267 294 328 344 344

cn -1 -1 0 4 13 15 29 35 38 40 69 78 82 91 123 143 144 151 177 177 188 211 251 257 285 317 333 334

bn -2 -2 -1 2 9 11 24 30 33 35 62 70 74 83 115 134 134 141 166 166 177 200 238 244 271 303 319 319

gn 1 2 4 6 8 14 18 20 22 34 36 44 52 72 86 96 112 114 118 132 148 154 180 210 220 222 234 248

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

# 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

an 39350 41775 71952 76241 95937 123978 131186 207142 287598 299113 316583 413051 715476 853761 982163 1090874 1101584 1103811 1290905 1358957 1567786 1719108 2320599 2373770 2805843 3234157 5358046 7437486 8850161 13090804 19065606 26171079 29543826 68977097 82146088 82296594 418767467 470534915 568765768

cgn 439 444 494 499 521 546 552 598 633 637 643 672 734 754 771 783 784 785 803 810 827 838 875 878 899 918 983 1028 1051 1106 1159 1206 1224 1353 1380 1380 1648 1668 1701

fn 371 375 419 423 443 464 469 510 540 544 549 574 628 646 660 671 672 672 689 694 709 719 752 754 773 788 846 885 906 953 1000 1041 1057 1170 1194 1194 1430 1447 1476

cn 360 365 407 412 431 452 457 497 527 531 536 561 614 632 646 657 658 658 674 679 694 704 736 739 757 773 830 868 889 936 983 1023 1039 1151 1175 1175 1409 1426 1455

bn 345 349 391 396 414 435 440 479 509 512 517 542 594 612 626 636 637 637 653 659 673 683 715 717 735 751 807 845 865 912 958 998 1013 1124 1148 1148 1379 1396 1425

gn 250 282 288 292 320 336 354 382 384 394 456 464 468 474 486 490 500 514 516 532 534 540 582 588 602 652 674 716 766 778 804 806 906 916 924 1132 1184 1198 1220

OCTAVIAN CIRA

# 68 69 70 71 72 73 74 75

an 903297246 933883765 1105270694 1187469955 1267169959 1293108884 1793558286 2387612050

cgn 1783 1789 1820 1833 1844 1848 1908 1962

fn 1548 1553 1580 1592 1602 1605 1658 1705

cn 1526 1532 1558 1570 1580 1583 1636 1682

bn 1496 1501 1527 1538 1549 1552 1604 1650

gn 1224 1248 1272 1328 1356 1370 1442 1476

Tabelul 2 s¸i graficele 4 s¸i 5 verific˘a ipoteza c˘a (2.3)

gn = pn+1 − pn < ln(pn )2 − c · ln(pn ) ,

pentru p ∈ {89, 113, . . . , 1425172824437699411}. Aceste confirm˘ari ale inecuat¸iei (2.3) ne permite s˘a consider˘am urm˘atoarea ipotez˘a. Conjectura 2.1. Relat¸ia (2.3) pentru α = c este adev˘arat˘a pentru orice num˘ar prim pn , cu n ≥ 10, adic˘a pn ∈ P≥29 . Fie funct¸iile gα : P≥3 → R+ , gα (p) = ln(p)2 − α · ln(p) s¸i hα : P≥3 × [0, 1] → R, cu p fixat, hα (p, x) = (p + gα (p))x − px − 1 care, conform teoremei 2.1, este strict cresc˘atoare s¸i convex˘a pe domeniul de definit¸ie, iar conform corolarului 2.2 are o singur˘a solut¸ie ˆın intervalul [0, 1]. ˆ locul ecuat¸iei (2.2) vom rezolva ecuat¸ia In x (2.4) hc (p, x) = p + ln(p)2 − c ln(p) − px − 1 = 0 , ˆın raport cu necunoscuta x, pentru orice p ∈ P≥29 . Conform teoremei 2.5 solut¸ia ecuat¸iei (2.2) este mai mare ca solut¸ia ecuat¸iei (2.4). Prin urmare dac˘a demonstr˘am c˘a solut¸iile ecuat¸iei (2.4) sunt mai mari ca 1 atunci cu atˆat mai mult solut¸iile ecuat¸iei (2.2) sunt mai mari ca 12 . 2 Pentru ecuat¸ia hα (p, x) = 0 consider˘am metoda secantei, cu itera¸tiile init¸iale x0 s¸i x1 (vezi Figura 6). Iterat¸ia x2 este dat˘a de formula (2.5)

x2 =

x1 · hα (p, x0 ) − x0 · hα (p, x1 ) . hα (p, x1 ) − hα (p, x0 )

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

F IGURA 4. Graficul aproxim˘arii gapurilor maximale √ √ Dac˘a conjectura lui Andrica, p + g − p − 1 < 0 pentru orice p ∈ P≥3 , g ∈ N∗ s¸i p > g ≥ 2, este adev˘arat˘a, atunci hα (p, 21 ) < 0 (conform Remarca 1.1 dac˘a conjectura lui Legendre este adev˘arat˘a atunci s¸i conjectura lui Andrica este adev˘arat˘a), iar hα (p, 1) > 0. Deoarece funct¸ia hα (p, ·) este strict cresc˘atoare s¸i convex˘a iterat¸ia x2 aproximeaz˘a prin lips˘a solut¸ia ecuat¸iei hα (p, x) = 0, (ˆın raport cu x). Dup˘a calcule simple avem c˘a funct¸ia a care aproximeaz˘a solut¸ia x2 ˆın funct¸ie de hα , p, x0 s¸i x1 este: (2.6)

a(p, hα , x0 , x1 ) =

x1 · hα (p, x0 ) − x0 h − α(p, x1 ) . hα (p, x1 ) − hα (p, x0 )

OCTAVIAN CIRA

F IGURA 5. Erorile relative ale cg, f , c s¸i b raportate la g

F IGURA 6. Funct¸ia f s¸i metoda secantei Consider˘am funct¸ia aα (p) = a(p, hα , 21 , 1), atunci avem p √ 1 + p − ln(p)2 − α ln(p) + p 1 p (2.7) aα (p) = + . 2 2 ln(p)2 − α ln(p) + √p − ln(p)2 − α ln(p) + p

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

F IGURA 7. Graficul funct¸iilor ab , ac s¸i a1 Teorema 2.13. Funct¸ia ac (p) care aproximeaz˘a prin lips˘a solut¸ia ecuat¸iei (2.4) are valori ˆın segmentul deschis ( 12 , 1) pentru orice p ∈ P≥29 . Demonstrat¸ie. Conform teoremei 2.6 pentru α = c = 4(2 ln(2) − 1) √ avem ln(p)2 − c · ln(p) < 2 p + 1 pentru orice p ∈ P≥29 . Funct¸ia ac se poate scrie sub forma √ √ 1+ p− p+c 1 . ac (p) = + √ √ 2 2 c+ p− p+c dup˘a o analiz˘a elementar˘a rezult˘a c˘a √ √ 1+ p− p+c >0, √ √ 2 c+ p− p+c de unde rezult˘a c˘a ac (p) >

1 2

pentru p ∈ P≥3 (vezi Figura 7) s¸i avem

lim ac (p) =

p→∞

1 . 2

Pentru p ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} s¸i gap-uri corespunz˘atoare rezolv˘am ecuat¸iile (2.2).

(2.8)

(2 + 1)x − 2x = 1 , (3 + 2)x − 3x = 1 , (5 + 2)x − 5x = 1 , (7 + 4)x − 7x = 1 , (11 + 2)x − 11x = 1 , (13 + 4)x − 13x = 1 , (17 + 2)x − 17x = 1 , (19 + 4)x − 19x = 1 , (23 + 6)x − 23x = 1 ,

s=1 s = 0.7271597432435757 . . . s = 0.7632032096058607 . . . s = 0.5996694211239202 . . . s = 0.8071623463868518 . . . s = 0.6478551304201904 . . . s = 0.8262031187421179 . . . s = 0.6740197879899883 . . . s = 0.6042842019286720 . . . .

OCTAVIAN CIRA

Corolarul 2.14. S-a demonstrat c˘a aproximat¸iile prin adaos ale solut¸iilor ecuat¸iei (2.4) sunt > 21 pentru orice n ≥ 10, atunci solut¸iile ecuat¸iei (2.2) sunt > 12 pentru orice n ≥ 10. Dac˘a lu˘am ˆın considerare s¸i cazurile de except¸ie (2.8) putem spune c˘a ecuat¸ia (1.1) are solut¸ia s ∈ ( 12 , 1] pentru orice n ∈ N∗ . 3. C ONSTANTA LUI S MARANDACHE Solut¸iile ecuat¸iei (2.2) ordonate cresc˘ator folosind Tabelul 1 a gapurilor maximale. Tabela 3: a solut¸iilor ecuat¸iei (2.2) p 113 1327 7 23 523 1129 887 31397 89 19609 15683 9551 155921 370261 492113 360653 1357201 2010733 1349533 4652353 20831323 17051707 47326693 122164747 3 191912783 189695659

g 14 34 4 6 18 22 20 72 8 52 44 36 86 112 114 96 132 148 118 154 210 180 220 222 2 248 234

solut¸ia ecuat¸iei (2.2) 0.5671481305206224. . . 0.5849080865740931. . . 0.5996694211239202. . . 0.6042842019286720. . . 0.6165497314215637. . . 0.6271418980644412. . . 0.6278476315319166. . . 0.6314206007048127. . . 0.6397424613256825. . . 0.6446915279533268. . . 0.6525193297681189. . . 0.6551846556887808. . . 0.6619804741301879. . . 0.6639444999972240. . . 0.6692774164975257. . . 0.6741127001176469. . . 0.6813839139412406. . . 0.6820613370357171. . . 0.6884662952427394. . . 0.6955672852207547. . . 0.7035651178160084. . . 0.7088121412466053. . . 0.7138744163020114. . . 0.7269826061830018. . . 0.7271597432435757. . . 0.7275969819805509. . . 0.7302859105830866. . .

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

p 436273009 387096133 1294268491 1453168141 2300942549 4302407359 3842610773 10726904659 25056082087 42652618343 22367084959 20678048297 127976334671 182226896239 304599508537 241160624143 303371455241 297501075799 461690510011 416608695821 614487453523 1408695493609 1346294310749 2614941710599 1968188556461 7177162611713 13829048559701 19581334192423 42842283925351 90874329411493 218209405436543 171231342420521 1693182318746371 1189459969825483 1686994940955803 43841547845541060 55350776431903240 80873624627234850 218034721194214270

g 282 250 288 292 320 354 336 382 456 464 394 384 468 474 514 486 500 490 532 516 534 588 582 652 602 674 716 766 778 804 906 806 1132 916 924 1184 1198 1220 1248

solut存ia ecuat存iei (2.2) 0.7320752818323865. . . 0.7362578381533295. . . 0.7441766589716590. . . 0.7448821415605216. . . 0.7460035467176455. . . 0.7484690049408947. . . 0.7494840618593505. . . 0.7547601234459729. . . 0.7559861641728429. . . 0.7603441937898209. . . 0.7606955951728551. . . 0.7609716068556747. . . 0.7698203623795380. . . 0.7723403816143177. . . 0.7736363009251175. . . 0.7737508697071668. . . 0.7745991865337681. . . 0.7751693424982924. . . 0.7757580339651479. . . 0.7760253389165942. . . 0.7778809828805762. . . 0.7808871027951452. . . 0.7808983645683428. . . 0.7819658004744228. . . 0.7825687226257725. . . 0.7880214782837229. . . 0.7905146362137986. . . 0.7906829063252424. . . 0.7952277512573828. . . 0.7988558653770882. . . 0.8005126614171458. . . 0.8025304565279002. . . 0.8056470803187964. . . 0.8096231085041140. . . 0.8112057874892308. . . 0.8205327998695296. . . 0.8212591131062218. . . 0.8224041089823987. . . 0.8258811322716928. . .

OCTAVIAN CIRA

p 352521223451364350 1425172824437699300 305405826521087900 203986478517456000 418032645936712100 401429925999153700 804212830686677600 2

g 1328 1476 1272 1224 1370 1356 1442 1

solut¸ia ecuat¸iei (2.2) 0.8264955008480679. . . 0.8267652954810718. . . 0.8270541728027422. . . 0.8271121951019150. . . 0.8272229385637846. . . 0.8272389079572986. . . 0.8288714147741382. . . 1

4. C ONCLUZII Prin urmare dac˘a conjectura lui Legendre este adev˘arat˘a atunci s¸i conjectura lui Andrica este adev˘arat˘a conform lui Paz [17]. Conjectura lui Andrica asigur˘a urm˘atorul s¸ir de inegalit˘a¸ti an > cgn > fn > cn > bn > gn pentru orice n num˘ar natural, 5 ≤ n ≤ 75, ˆın Tabelul 2. Inegalit˘a¸tile cn < gn pentru orice n natural, 5 ≤ n ≤ 75, din Tabelul 2 ne permit s˘a consider˘am conjectura 2.1 . Dac˘a conjectura lui Legendre s¸i conjectura 2.1 sunt adev˘arate, atunci s¸i conjectura lui Smarandache este adev˘arat˘a. B IBLIOGRAFIE 1. D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory, Studia Univ. BabesBolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44–48. 2. C. Caldwell, The prime pages, http://primes.utm.edu/n0tes/gaps. html, 2012. 3. Ch. K. Caldwell, Lists of small primes, https://primes.utm.edu/lists/ small, Nov. 2014. 4. H. Cram´er, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arith. 2 (1936), 23–46. ¨ Beweis eines Satzes von Tschebyschef, Acta Scientifica Mathematica 5 5. P. Erdos, (1932), 194–198. 6. A. Granville, Harald Cram´er and the distribution of prime numbers, Scand. Act. J. 1 (1995), 12–28. 7. R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed., p. 7, Springer-Verlag, New York, 1994. 8. G. H. Hardy and W. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., ch. §2.8 Unsolved Problems Concerning Primes and §3 Apendix, pp. 19 and 415–416, Oxford University Press, Oxford, England, 1979. ¨ 9. G. Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33 (1930), 3–11. 10. E. Landau, Elementary number theory, Celsea, 1955.

CONJECTURA LUI SMARANDACHE

11. A. Loo, On the primes in the interval [3n, 4n], Int. J. Contemp. Math. Sciences. 6 (2011), no. 38, 1871–1882. 12. H. Maier, Primes in short intervals, The Michigan Mathematical Journal 32 (1985), no. 2, 131–255. 13. P. Mih˘ailescu, On some conjectures in additive number theory, Newsletter of the European Mathematical Society 1 (2014), no. 92, 13–16. 14. T. R. Nicely, New maximal prime gaps and first occurrences, Mathematics of Computation 68 (1999), no. 227, 1311–1315. 15. T. Oliveira e Silva, Gaps between consecutive primes, http://sweet.ua.pt/ tos/gaps.html, 30 Mach. 2014. 16. H. C. Orsted, G. Forchhammer, and J. J. Sm. Steenstrup (eds.), Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og dets Medlemmers Arbejder, pp. 169–179, http://books.google.ro/books?id=UQgXAAAAYAAJ, 1883. 17. G. A. Paz, On Legendre’s, Brocard’s, Andrica’s, and Oppermann’s conjectures, arXiv:1310.1323v2 [math.NT], 2 Apr 2014. 18. M. I. Petrescu, A038458, http://oeis.org, 3 Oct. 2014. 19. S. Ramanujan, A proof of Bertrand’s postulate, Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. 20. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, 3rd ed., pp. 132–134 and 206–208 and 397–398, Springer-Verlag, New York, 1996. 21. H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed., ch. The Cramér Conjecture, pp. 79–82, MA: Birkhäuser, Boston, 1994. 22. C. Rivera, Conjecture 30. The Firoozbakht conjecture, http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_030.htm, 22 Aug. 2012. , Problems & puzzles: Conjecture 007. The Cramér’s conjecture, http:// 23. www.primepuzzles.net/conjectures/conj_007.htm, 03 Oct. 2014. 24. N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis. org, 8 Oct. 2014. 25. F. Smarandache, Conjectures which generalize Andrica’s conjecture, Octogon 7 (1999), no. 1, 173–176. 26. E. W. Weisstein, Brocard’s conjecture, From MathWorld–A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/BrocardsConjecture.html, 26 Sept. 2014. 27. , Prime counting function, From MathWorld–A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction. html, 26 Sept. 2014. 28. , Prime gaps, From MathWorld–A Wolfram Web Resource http:// mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html, 26 Sept. 2014. 29. , Smarandache constants, From MathWorld–A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/SmarandacheConstants.html, 26 Sept. 2014. ¨ 30. E. Westzynthius, Uber die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors 5 (1931), 1–37. 31. M. Wolf, Some heuristics on the gaps between consecutive primes, http://arxiv. org/pdf/1102.0481.pdf, 5 May 2011.

OCTAVIAN CIRA

32. M. Wolf and M. Wolf, First occurrence of a given gap between consecutive primes, 1997. ˆ ”A UREL V LAICU ” U NIVERSITY OF A RAD , R OM ANIA