CONJECTURA LUI SMARANDACHE OCTAVIAN CIRA R EZUMAT. Conjectura lui Smarandache afirm˘a c˘a ecuat¸ia neliniar˘a pxn+1 − pxn = 1, unde pn s¸i pn+1 sunt dou˘a numere prime consecutive, are solut¸ii > 21 , pentru orice n ∈ N∗ . ˆ acest articol stabilim condit¸iile ˆın care conjectura lui SmaranIn dache este adev˘arat˘a.
1. I NTRODUCERE Face notat¸ia P≥k = {p | p num˘ar prim, p ≥ k}. Fie pn , pn+1 ∈ P≥2 , dou˘a numere prime consecutive. Conjectura lui Smarandache. Ecuat¸ia (1.1)
pxn+1 − pxn = 1 ,
are solut¸ii > 12 , pentru orice n ∈ N∗ , [18, 25]. Num˘arul cS ≈ 0.567148130202539 . . ., solut¸ia ecuat¸iei 127x − 113x = 1 , este constanta lui Smarandache, [18, 29]. Conjectura asupra constantei lui Smarandache. Constanta cS este cea mai mic˘a solut¸ie a ecuat¸iei (1.1) pentru orice n ∈ N∗ . Funct¸ia de num˘arare a numerelor prime p, p ≤ x, a fost notat˘a de Edmund Landau ˆın anul 1909, cu litera π, [10, 27]. Pentru ap˘astra tradit¸ia vom adopta s¸i noi aceast˘a notat¸ie. Se cunosc urm˘atoarele conjecturi s¸i teoreme referitoare distribut¸ia numerelor prime. Conjectura lui Legendre, [8, 20]. Pentru orice n ∈ N∗ exist˘a p num˘ar prim astfel ˆıncˆat n2 < p < (n + 1)2 . The smallest primes between n2 and (n + 1)2 for n = 1, 2, . . ., are 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, . . . , [24, A007491]. The largest primes between n2 and (n + 1)2 for n = 1, 2, . . ., are 3, 7, 13, 23, 31, 47, 61, 79, 97, . . . , [24, A053001]. Date: 03 Oct. 2014. 1