Analisis Vektor by Salmun aL Ghozh

SERI BUKU SCHAUM

TEORI DAN SI)AL-SOAL

AT{ALISIS VEK TOR dan suatu pengantar

ANALISIS TEhISQR (vrnsr

strMETRrK)

Murray H.. Spiegel,, Ph:.D: Froteqsor ol Mathematics Rensselacr Polytechnic I ruti tute

Alih

bahasa

Drs. Hans J. Wospakrik Ins

titut

knologi Bandung

r999

PLNERBIT ERLANGGA Jl. H. Baping RaJa No. 100 Ciracas, Jakarta 13740

(Anggota IKAPI)

Judul

Asli : Theory and Problems of VECTOR ANALYSIS (Schaum Series)

Hak Cipta dalam bahasa Inggris @ 1959 pada McGraw-Hill, Inc. Hak Terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penarbit Erlangga dengan perjanjian resmi tertanggal25 Oktober 1984.

Alih

Bahasa

Drs. Hans J. WosPakrik Departemen Fisika Institut Teknologi Bandung

Buku ini diset dan dilay-out oleh bagian produksi Penerbit Erlangga dengan huruf PR-10-M. Dicetak

oleh :

PT. Gelora Aksara Pratama

Cetakan pertama, 1987 Cetakan kedua yang diperbaiki, 1988. Cetakan ketiga, l99l Cetakan keempat, 1994 Cetakan kelinu" 1999 Dil^arang keras mengutip, menjiptah atau memlctokopi sebagian aau seluruh isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa izin tertulis dai Penerbit Erla.ngga.

@ HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG.UNDANG

KATA PENGANTAR Analisis vektor yang mulai dikembangkan pada pertengaharl abad ke-i9, dewasa ini merupakan bagian pen.ing latar belakang matematika yang diperlukan sarjana-sarjana teknik, fisika, matematika dan ilmuwan-ilmuwan lainnya. Persyaratan ini bukanlah suatu kebetulan, karena analisis vektor tidak hanya memberikan suatu notasi yang ringkas untuk memperkenalkan persamaan-persamaan yang muncul dalam perumusan matematis dari persoalan-persoalan fisika dan geometri tetapi ia juga merupakan suatu pembantu dalam membentuk gambaran dari ide-ide fisika dan geometri. Ringkasnya, ia dapat dipandang sebagai bahasa dan cara berpikir yang sangat pantas untuk ilmu-ilrru fisika.

Buku ini dirancang untuk dipergunakan sebagai suatu buku teks (text book) bagi kuliah formal dalam analisis vektor atau sebagai suatu pelengkap yang sangat bermanfaat bagi semua buku teks standar dewasa ini. Bagi mereka yang mengambil kuliah fisika, mekanika, teori elektromagnit, aerodinamika atau bidang-bidang lainnya dimana metode vektor dipergunakan, buku ini akanjuga bermanfaat.

Setiap bab dimulai dengan perumusan definisi, prinsip, dan teorema bersama dengan ilustrasi dan bahanbahan deskriptif lainnya. Ini diikuti dengan kumpulan soal-soal yang dipecahkan dan soal-soal tambahan. Tujuan soal-soal yang dipecahkan adalah untuk membantu memperjelas dan memperdalarn penguasaan teori, dan mempertajam bagian-bagian pentirlg tertentu yang ianpanya para rnahasiswa akan terus-menerus mer$a <iirinya kurang mempunyai dasar yang kuat, serta menyajikan ulalgan prinsip-prinsip dasar yang sangat penting untuk belajar secara efektif. Sejumlah bukti dari teorema serta penurunan rumus-rumus dimasukkan pula dalam soalsoal yang dipecahkan. Sejumlah besar soal-soal tambahan dengan jawaban-jawabannya membantu untuk memberikan suatu tinjauan-ulang yang lengkap dari bahan-bahan dalam setiap bab.

Topik-topik yang diliput mencakup aljabar, kalkulus diferensial dan integral dari vektor, teorema Stokes, teorema divergensi dan teorema-teorema integral lainnya bersama dengan penerapannya pada berbagai bidang. Bahan-bahsn tambahan adalah bab-bab mengenai koordinat-koordinat kurvalinear dan analisis tensoryangbermanfaat untuk studi dalam bidang-bidang teknik, fisika dan matematika lanjutan.

lebih banyak bahan telah dimasukkan di sini daripada'yang dapat diliput dalam kebanyakan kuliah-kuliah permulaan. Ini dilakukan agar membuat buku ini lebih luwes, menjadi suatu buku rujukan yang lebih berguna dan merangsang minat yang lebih lanjut terhadap semua topik.

Pengarang sangat berterima kasih kepada Mr. Henry Hayden atas jasa-jasanya dalam penanganan lay-out cetakan dan pembuatan ganrbar-gambar. Realisme dari gambar-gambar ini sangat membantu dalam keefektipan persentasi suatu subyek dimana visualisasi ruang memainkan peranan yang penting.

N4.

Rcnsscllcr I)()lytechnrc Institute

Juni.1959

R. Sprrcr:l

DAFTAR ISI HALAMAN

BAB

VEKTAR DAN SKALAR Vektor. Skalar. Aljabar vektor. Hukum-hukum aljabar vektor. Vektor satuan. Vektor'vektor !atuan legak-lurus. Komponen-komponen sebuah vektor. Medan Skalar. Medan Vektor.

HASIL.KALI Hasil-kali

TITI K DAN SILANG titik atau skalar. Hasil-kali silang

atau vektor. Hasil.kali tripel. Himpunan vektor-

vektor resiprokal.

DIFERENSIASI

VEKTOR

Tulrnan biasa dari vektor. Kurva-kurva ruang. Kontinuitas dan diferensiabilitas. Rumus-rumus diferensiasi. Turunan parsial dari vektor-vektor. Diferensial dari vektor-vektc:. Geornetri diferensial. Mekanika.

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL Operator diterensial vektor del. Gradien. Divergensi. Cuil. Run,us-rumus yang mengandung V

Invar;ans.

INTEGRASI VEKTOR

., ,

lntegral biasa dari vektor Integral garis. Inte;ral perurukaatr. lntegral volume TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAI.' TEOREMA-TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITA^J . Teorenra Divergensi Causs. Teoretrra Stokes. Teorenla Green dalaur bidang. Teorema-teo' rema integral yang berl:aitan. Bentuk operator integral untuk y .

KOORDIfIAT KURVALINI,qR . Transformasi koordinat. Koordinat kurvalinear ortogonal. Vektor-vektor satuan dalam sistem kurvalinear. Elemen panjang busur dan elemen volume. Cradien, divergensi Can curl. Sistemsistcnr koordinat ortogonal khusus. Koordinat silinder. Koordinat bola. Koordinat silinder parabolik. Koordinat Paraboloid. Koordinat silinder eliptik. Koordinal prolate spheroidal. Ko.

108

138

ordinat oblate spheroidal. Koordinat elipsoid. Koordinat bipolar.

8. ANALISIS

TENSOR

168

Hukuur-hukutl Fisika- Ruang bcrclirtrensi N. Transfbrurasi koordinat. Kaidah penjurnlahan. Vektor.vektor konlravarian dan kovar-ian. Tensor-tcnsr.rt kontravarian. kovarian dltr catrtputatr. Delta Kroneckcr. Tensor clcngan ran\ le{lh beslL daripl<il dul. Skalar atatt itlvariau. Msclatr tcns6r. Tcnspr-tctrs6r sintc(r'ik dan lrrti-sinrctri,k. Operasi-opcrasi dasat detlgatt tcnsor. Matriks-

Aljabar ntatriks. Elcntcn garis dau lettsol ntctrik. Tettsor konyugal atau resiprokal- Tensot sekutu. Panjang scbuuh vektor, sudut atrtirra vektor-vektor. Konrponen-korllpolletl fisis. Sinlbol Christoil'cl. Hukunr transfurnrasi dali sinthol Chl islol't'cl. Ceodesik. Turut'tr.ttl kovarian. Sinrbol dar: tensor petntutilsi. Bcntuk terls,rr clari grlrlicrr. divergensi dan curl. Tulunatt intrinsik atau atrsolut. Tensor rclatif dan absolut. INDEKS

2 t'7

VEKTOR

SKALAR

gaya VEKTORadalah besaran yang n'lempunyai besar dan arah, seperti perpindahan (displacenrent), kecepatan'

dan percePatan. Secara grafis, vektor digambarkan oleh sebuah anak panah OP (Gamb'1 ) yang nrendefinisikan arahnya sedangkan besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah. Ujung pangkal O dari anak panah disebut titik awl alau titik panglctl vektor dan ujung kepala P disebut frfrk temtirwl ztau temlinus' Secara analilis, vektor dilarnbangkan oleh sebuah huruf dengan anak, pa' nah diatasnya, seperti i dalanr Gamb. I dan besarnya dinyatakan oleh lal atru A. Daiam karya cetakan, huiuf dengan cetakan tebal seperti A, tlipergunakan untuk menyatakan vektor i sedangkan lA i atau .{ menyatakan be' sarnya. Dalanr buku ini akan kami pergurrakan notasi huruf dengan cetakan tebai ini.'Vektor OP jrrga dinyatakan sebagai dF atau oP; dalam hal ini

maka besarnya akan kita nyatakan

dengan[],lffilatau

'n* o

Gam bar I

lOPl.

dan SKAI-AR adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti lrassa, panjang, waktu, suhu elementer' aljabar dalanl sePerti biasa hurufhuruf oleh sebarang bilangan .iil. Sk.lur dinyatakan aljabar elementer' Operasioperasi dengan ikalar mengikuti atu.ran-aturan yang sama seperti halnya dalanr aljabar dari ALJABAR VEKTOR.Operasi-operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian yang lazim dalanr

skalar-skalar, dengan definisi yang sesuai, dapat diperluas kedalam aljabar dari vektor-vektor. Definisi-definisi berikut adalah mendasar' memandang keDua buah vektor A dan B sarna jika nrereka memiliki besar dan arah yang sama tanpa

.iuu

bilangan-bilangun

awalnya. Jadi A = B dalam Gamb' 2' yang arahnya berlawanan dengan vektor A tetapi memiliki besar yang sama dinyatakan Sebuah veklor olch -A (Canrb. 3).

dudukan

titik'titik

(irmbar

Gambar 3

\/I K] o}t I)AN SK{L,\R Jumlah atau resultan dari vektor-vektor A dan B adalah sebuah vektor C yang dibentuk dengan me-

titik awal dari B pada titik terminal dari A dan kemudian nienghubungkan titik awal dari A

nenrpatkan

dengarr titik terminal dari B (Gamb. 4). Jumlah ini ditulis A + B, yakni, C = A + B.

Definisi irri ekuivalen dengan hukum iajaran genidng untuk penjurnlahan vektor (lihat Soal 3). Perluasan ke dalam penjumlahan lebih daripada dua buah vektor adalah langsung (lihat Soal 4).

Gambar 4

Selisih dari vektor-vektor A dan B yangdinyatakan oleh A kan pada B menghasilkan vektor A. Secara ekrrivalen, A

(-B)

B, adalah vektor C yang apabila ditanrbahB dapat didelinisikan sebagai jumiah A r

Jika A = B, ntaka A - B didefinisikan sebagai vektor no! atau yektor i-osorrg dan dinyatakan oielr simbol 0 atau secara singkat 0. Besarnya nol dan tak menriliki arah yang tertentu. Vektor yang tak nol adalah vektor seiati (proper vector). Serrua veklcr akan dipandang sejati kecuali bila ada pernya(aan lainnya. 5.

Itasil kali sebuah vektor

A. dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mAyang besarnya lnrl kali besarnya A dan nrenriliki arah yang sanra atau berlawanan dengan A, bergantung pada apakah m positip atau negatip. Jika nr = 0 maka nzA adalah sebuah vektor nol.

HUKUM-HUKUM ALJABAR VEKTOR. Jika

A, B dan C adalah

vektor-vektor dan

dan

skalar-skalar,

nraka

,1. A+B = B+A 2. A+(B+C) = (A+B)+C 3. trtA = An 4. m (nA,) = (rnn) A 5. (.nt+ rr)A = rnA+aA 6. m(A1$) = 72itr+riB

Hukunr Komutatil untuk Penjunrlahan I{uk

url Asosiatif untuk

Hukunr

K-onr utat

Penjumlahan

il' unt uk Perkalian

Hukurn Asosiatif untuk Pcrkalian Hukunr Distributif Hukum Distributif

Perhatikan bahwa dalanr hukum-hukunr ini hanya pcrkalian sebuah vektor dengan satu atau lebih skalar'skalar yang dipergunakan. Dalam Bab 2, akan didefinisikan hasil kali dari vektor-vektor.

Hukum-hukum ini nrentungkinkan kita nrempcrlakukan pcrsalnaan-pcrsamaan vektor dengan cara yang jika A + B = C maka dengan nrenukarkan tempat

sama seperti persamaan-persanraan aljabar biasa. Sebagai nrisal,

A=C-8.

VEKTOR SATUAN aJalalr sebuah vckror yang besarnya satu. Jika A adalalr sebualt vcktor yang besarnya A * 0. nraka A/A adalah sebuah vcktor saturn yrr)g arahnya sarna dengarr A.

Scliap veklor

satuan a dalanr aralt sinrbol. A = Aa.

dapat dinyatgkan oleh scbuah vcktor

A dikalikan dengan besalnya A. I)alattt

VEKTOR-VEKTOR SATUAN TECAK LURUS i, j, k. Hinrpunan vektor-vcktor saluiul y:rng pcnt ing adalalr yang aralrnya menurut sumbu-sunrbu .t. .r, dan z positip dari sistcnr koor. dinat tegak lurus ruang tiga dirnerrsi. Masing-rtrasingnya di. nyatakan oleh

i,j

dan k (Canrb.

(iaqrhrr

l()i{ i)A:\ S\ \l

.\l<

Kita akan menggunakan sistem koordinat tegak'lurus aturan tangan kanan kecuali ada pernyataan lainnya' Sistem dentikian dinamakan dari kenyataan bahwa sebuah sekerup bergalur kanan yang diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah surnbu z positif' seperti dalam Gambar 5 di atas.

Pada umumnya, tiga buah vektor

A, B dan C yang titik'

titik pangkalnya berimpit dan tak 'koplanar (coplanar)' yak' ni tidak terletak pada atau sejajar bidang yang sama disebut

membentuk sebuah stilent tangan kanan ata]u sistem dekslral jika sebuah sekerup bergalur kanan yang diputar dengan su' dut yang lcbih kecil daripada 180" dari A ke Bpkan rnaju dalanr arali C scperti diperlihatkan dalam Gamb. 6'

Gambar 6

KON{PONEN-KOI\IPONEN SEBUAH VEKTOR. Setiap vek'

tor A dalam pangkal pa' titik dengan digambarkan dapat ruang 3 dimensi da titik asal O dari sistem koordinat tegak-lurus (Gamb' 7)' Misalkan (A, , Au , .A3 ) koordinat'koordinat tegak'lurus titik terminal dari vektor A dengan titik asal pada O. Vektorvektor ,{1i, A2; dan A3k disebut vektor-vcktor koinponen tegak lurus atau secara singkat ue,ktor-vektor komponen dari A berturut'turut dalem arah-arah x, y dan z. A1 , A:, A3 disebut komponen-komponen tegak'lurus atau secara singkat kompo nen'komponen dari A berturut' turut dalam arah-arah x, .Y dan z. Jumlah atau resultan dari A1i, Arj dan A3k adalah vek' tor A sehingga kita daPat menulis

A = Ari+Azj Besar dari A adalah

Alk

A=lnl

Gambar 7

E;{G

(Radius Pada khususnya, vektor posisj atau vektor ieiati vector) r dari O ke titik (-t, y, z) ditulis

,=i.r=e-r:;x.i+ri+zx

dan besarnYa

dalam ruang dikaitkan sebuah bilangan MEDAN SKALAR. Jika pada tiap{iap titik (I, y, z)i.^arisuatu daerahR skalardarikeduduks,tataufungsititikskalar z), n-nkaQrlisebut/ungsi ska'lar atau 6(r,'r, didefinisikan dalam R' (scalar point function) dan kita mengaiakan bahwa sebuah medan skalar @ telah

contoh+ontoh

.(I

)

Temperatur pada setiap

titik di dalam atau di

atas permukaan bumi pada suatu saat ter-

tentu mendefinisikan sebuah t.uedan skalar'

(2) 0(r' y' z)= x3y -

z2 mendefinisikan sebuah medan skalar'

rnedan skalar srastbrter alau keadaan tunak' Sebuah rnedan skalar yang tak bergantung pada waktu disebut

NTEDANVEKTOR. Jikapadatiap-tiaptitik(x, y,z)darisuatudaerahRdalamruangdikaitkansebuahvektor titik vektof (vector Y (x, y, z/, maka V disebut/angsi vektttr rlari kerlutlukan atau fungsi dalarn R' didefinisikan Y telah vektor meclan point functionl dan kita Oapat rnengrtakan bahwa sebtah

contoh-contoh

t" '.fij;ilil.;;.:iff.x:"lii,illll,l1;Ji,ilr',1ill,:;::1ft:1ftr":edang

bergerak

VI:]I(-TOR I)AN SKALAR

(2)

Y (x, y, z) =

1g1,zi

2yrt

sebuah medan vektor.

xzzk mendefinisikan

ebuah medan vektor yang tak bergantung pada waktu drseout sebuah medarr vektor stosioner ata:n keadaan rnak (steady state).

Soal-soal yang Dipecahkan Nyatakan manakah dari yang berikut ini skalar dan manakah yang vektor.

(a) berat (c) panasienis (e) kerapztan (b) kalori /d/ momentunt (f) energi Jawab. (a) vektor (c) skalar (e) skalar b) skalar (d) vektor /f/ skalar Ca.nbarkan secara gralis

/a/ /D/

sebuah gaya sebuah gaya

/g/ votume (h) jarak /g/ skalar (h) skalar

(i) kecepatan {i) intensitas medan magnetik

(i)

skalar

(i) vektor

l0 N yang arahnya 30" disebelah utara dari timur l5 N yang arahnya 30" drsebelah timur dari utara.

(ii:raba; (r,)

/.iami:ar

(D )

Pilih satuan dari besarnya seperti yang diperlihatkan. Vektor-vektor yang ditanyakan adalah yang digambar kan di atas. Sebudh mobil bergerak ke arah utara sejauh 3 km,'kemudian 5 km kearah timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukal vektor perpindahan resultannya {a) secaa grafis, ( b ) secara analitis.

Vektor OP atau A rnenggambarkan perpindahan 3 km ke arah utara.

Vektor PQ atau B menggambarkan perpindahan 5 km ke arah timur laut. Vektor OQ atau C menggambarkan vektor perpindahan resultan atau jumlah vektor-vektor

A + B. Ini

A dan B, yakni C =

adalah hukum segitiga darr penjumlahan vektor. Vektor resultan OQ dapat juga diperoleh dengan mem-. bentuk diagonal jajaran genjang OPQR yang memiliki vektorvektor OP = A dan OR (yang sama dengan vektor PQ atau B) sebagai sisi-sisinya. Ini adalah hukum iajaran genjang dari penjumlahan vektor.

(a)

Penentuan rcsultan secara grafis. Letakkan skala satuan I km pada vektor OQ untuk meniperoleh besar 7,4 km (kurang-lebih). Buat sudut EOg = 6r,t" dengen mempergunakan busur derajat. Maka vektor OQ besarnya 7,4 km dan arahnya 6 I ,5o di.sebelah utara dari timur.

(b)

Penentuan resultan secara anali,is. Perhatikan segitiga OPQ. Bila besar dari A, B, C maka kita peroleh dari hukum cosinus.

cz =

A2 + 82

2AB cos lopq

jadi C = 7,43(kurang-lebih)

= 32 +

2(3)(s) cos 1350

A, B, C dinyatakan oleh

= ss+ts,/, =

55,21

Vi:K I

Dari hukum

sin

()li i).\\ SKAL,\R

'= : : sinus. -' sin loep sin I ope

loep -

a sin

lopQ -

Maka

-r(o'10=zt 7.43

loqr

= 0.1855 dan

16"35,

Jadi vektor oQ besarnya 7,43 km dan arahnya (45" + 16o35') = 61'35'disebelah utara dari timur. 4. Carilah junrlah atau resultan perpindahan-perpindahan berikut utara dari timur;C,35 m ke selatan. Lihat Gamb. (a) dibawah. Pada Pada

titik terminal A, tempatkan titik titik terminal B, tempatkan titik

Resultan

D dibentuk

20 m

30" disebelah

pangkal B. pangkal C.

dengan menghubungkan

A+B+C. Secara grafis, resultan

: A, l0 m barat laut; B

titik

pangkal A dengan

titik terminal C, yakni p

diukur mempunyai besar 4,1 satuan = 20,5 m dan arah 60o disebelah selatan dari

timur. Untuk metode penjumlahan vektor secara analitis dari 3 atau lebih vektor-vektor lihat Soal 26.

Cam bar (a)

Gambar (b)

5. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah Lihat Gamb. (b) di atas.

oP+PQ = dan oR+RQ = Maka A+B = B+A. 6.

oQ OQ

komutatif, yakni A

atau A+B atau B +A

+B = B+A.

=c, =c.

Perlihatkan bahwa penjumlahap vektor adalah asosiatif, yakni A + (B

OP+PQ = oQ = (A+B), pe+eR = pR =,(B+C). . OP+ PR= OR = D, Yakni A+ (B+ C)=D. OO*QR= OR: D. Yakni (A+B)+C =D. Maka A+(B+C) = (A+B) rC. dan

Perluasan dari hasil-hasil Soal 5 dan 6 memperlihatkan bahwa urutan penjumlahan vektor-vektor tidak penting.

+C)

(A P-

B)+c. R

6'-e\

,.\

\rl:K1 Olt l)AN SK;\Lr\lt

7. Gaya-gava Fr , Fz, ..., F6 bekerja

pada obyek P seperti diperlihatkan. Gaya apakah yang diperlukan

untuk

mencegah P hergerak ?

Karena urutan penjumlahan vektor tidak penting. kita dapat memulai dengan sebarang vektor,,kataF, kemudian F3 danseterusnya. Vektoryangdigambafkandarititikawal Fl ketitikterminal F6 adalahresultail R,yakniR = Ft+F2+F,+F*+F,+F6 .

kan F1. I'ada F1 tambahkan

Gaya yang dibutuhkan untuk mencegah P bergerak adalah -R yang mana adalah sebuah vektu'i yang sama besarnya dengan vektor R tetapi berlawanan arah dan seringkali disebut penyeimbang (equilibrant).

D'.-\ 8. Diketahui vektor-vektor

B dan C (Gamb

la), garnbarkan (o)

A-

B + 2c (6) 3C

- {1ze-nt.

(a)

,/\ \' \

^/ ,/ -,.-

Gambar

(a)

Gmbar 2 (b)

(6)

Cambar I (D)

Cambar 2 (b)

, _,-.

.,.

)

VI]K]'oIt ]]AN SKAI-AR Sebuah pesawat{erbang bergerak dalam arah baratlaut dengan laju 1 25 km/jam relatif terhadap tanah. disebabkan terdapat angin barat dengan laju 50 km/jam relatif terhadap tanah. Berapakah laju dan dalam arah ntanakah pesawat akan bergerak jika tidak terdapat angin ?

t-&r-

Misalkan:W = kecepatanangin

V6 = V6 =

kecepatan pesawat dengan angin kecePatan Pesawat tanPa angin

Maka Vo = Vb*W

Satuan = 25 km/iam

atau Vb = Yo- S = Ya+ (-w)

V6 besarnya 6,5 satuan = I 63km/jam dan berarah 33o di sbbelah utara dari barat

l0 Diketahui

dua buah vektor a dan b yang tak-kolinear, carilah suatu pernyataan untuk sebarang vektor r

yang terletak dalam bidang yang dibentuk oleh a dan b.

Vektor-vektor. tak-kolinear (non-colinear) adalah vektorvektor yang tak sejajar dengan garis yang sama. Oleh karena itu

titiktitik

pangkalnya berimpitan, mereka menentukan r sebarang vektor yang terletak dalam bidang dari a dan b dan titik pangkalnya berimpit dengan titik' titik pangkalnya a dan b di O. Dari titik terminal R vektor r, gambarkan garis-garis yang sejajar vektor-vektor a dan b dan lengkapi jajaran-genjar:g ODRC derlgan n,emperpanjang garisgaris kerja dari a dan b bila perlu. Dari garnbar di samping

apabila

sebuah bidang. Misalkan

= ,(o,i) = za, di mana x sebuah skatar OC = /(OB) = y b, di rnana y sebuah skalar

Tetapi menurut hukum jajaran-genjang dari penjumlahan vektor

OR=OD+OC ataut=16+yb yang mana adalah pernyataan yang diinginkan. Vektor-vektor ra dan -r,b disebut konrponen'kotttporten atau negatif ,"kto, r masing-masing dalam arah-arah a dan b. Skalar-skatar'x dan.r'dapat berharga positif jelaslah bahwa' tergantung pada orientasi-orientasi relatii dari vektor-vektor. Dari cara penggambaran ini, , aun y adalah unik untuk a, b, dan r yang diberikan. Vektor-vektor a dan b disebut vekror-vektor basis da' lam bidang. perllyataan 11. Diketahui tiga buah vektor a, b dan c yang tak-kopianar, carilah suatu

untuk

sebarang vektor r

dalam ruang tiga dimensi.

Vektor-vektor tak-koplanar adalah vektor-vektor yang tak sejajar dengan bidang yang sama Jadi apabila titikpangkalnya berimpitan maka mereka tak terletak dalam bidang yang sama.

Misalkan r sebarang vektor dalalrl ruang yang titik' pangkalnya berimpitan dengan titik-titik pangkal a, b dan c di O. Melalui titik terminal r gambarkan birlang-biciang yang masing-masingnya sejajar dengan bidang-bidang yang ditentukan olch a dan b, b dan c. dan a dan c; dan lengkapi jajaran-genjang ruang PQRSTUV dengan memperpanjang garis-garis kerja dar.i a, b dan c bila perlu' Dari

garnbar disan.rping,

OV=,(OA)=ra di mana x sebuah skalar gp=7(OB)=yb di mana,Y scbuah skalar oT=z(OC)=zc tli ntana z scbttah skalar Tetapi OR = OV + YQ + QB = ov+oP+oT atau.r Dari cara mengganrbarkan. jelas bahwa 't,

datr

rt =

+yb+zc.

adalah unik untuk a. b, c

clan r Yang dihcrikan

VI,KTOR I)AN SKAL^It

arah

Vektor-vektor xa, yb dan zc disebut komponen-komponen vektor clari r masing-masing dalam arahr, b dan c. Vektor-vektor a, b dan c disebut vektor-vektor Dasu dalam ruang tiga-dimensi. Sebagai suatu ha! khusus,.jika a,

b dan c adalah vektor-vektor satuan i,j dan k, yang saling tegak-lurus,

kita melihat bahwa sebarang vektor r dapat dinyatakan

xi+yj+zk.

Juga, bila

c =0

maka

secara

unik dalam i, j, k melalui pernyataan r

haruslah terletak dalam bidang dari a dan b sehingga diperoleh hasil dari

Soal 10. 12. Buktikan bahwa jika a dan btak-kolinear nrakaxa

+yb=0menunjukkanx = y =

Andaikanx*0.Maka.xa+rb=0berarti.xa=_/bataua=_(y/x)b,yangberartiadanbharuslah sejajar dengan garis yang sama (kolinear) yang mana bertentangan dengan hipotesis. Jadi x 0; makalb 0 = = yang mana darinya y = 0.

13. Jika x1 a +y, b = x2a

rra

y2b, di mana a dan b tak-kolinear, maka

+ y,

b -- z"a+

yrb

dan

!t=

dapat ditulis

,Ia rtb - (xra+yrbl = 0 atau (xr- rr)t + (h- ya)b = 0. Oleh karena itu menurut Soal I 2, ,L- ,2= O, yt- !z= 0 atau aL= ,2, !t-. lz. +

14. Buktikanbahwajikaa,bdanctak-koplanarmakaxa+yb+zc=0menunjukarrx-y-z=0. Andaikan x * 0. Maka ra + yb + zc=O berartira = -yb - zcataua= (1t/x)b- (z/x)c.Tetapi - ty/x)b - (z/x)c adalah sebuah vektor yang terletak dalam bidang dari b dan c (Soal l0), yang berarti,

a terletak dalam bidang dari b dan c yang mana jelas bertentangan dengan hipotesis bahwa. a, b dan c tak-koplanar. Karena itu x = 0. Dengan penalaran yang sama didapatkan kontrrdiksi-kontradiksi untuk pengandaian 15.

O dan z

Jika'x1a+-vlb+z1c=x20, +-y2b+z2c,dimanaa,bdanctak-koplanar,maka.tl =.x2,!r=),z,,zr=zz. Persamaan diatasdapat ditulis (xr - x2)at (yr - yz)b+ (21 - z2)c= 0. . MakadariSoal 14, xr -xz=O,

16.

yr-!z=O,zt -

=0ataux1 = xz, !t= !z,zr=zz.

Buktikan bahwa diagonal-diagonal dari jajaran-genjang saling memotong di tengah-tengahnya. Misalkan ABCD adalah jajaran-genjang yang diketahui dengan diagonaldiagonalnya berpotongan di P. Karena BD+e = b, BD =

b-s. Maka BP = z(b-a). a+b, 6P = y(a+b). TetaPi ag = AP + PB = AP - BP, yaknia = y(a+b)-z(b-a) --'(x+y)a + (y-r)b. Karena AC =

Karena a dan

x*y=

b tak-kolinear, maka menurut Soal 13,

dar,y -x=0,yangberarti x=),=t/zdanPadalah

titik-tengah dari kedua buah diagonal.

17. Jika ritik-tengah dari sisi-sisi yang berurutan dari sebarang segi empat dihubungkan oleh garis-garislurus, buktikan bahwa segi empat yang terjadi adalah sebuahjajaran-genjang. Misalkan ABCD adalah segi empat yang diketahui dan P, Q, R, dang Gambar (a) di bawah.

Maka

PQ = +(s

Tetapia+b+c+d

+ b),

titik-titik

tengah dari sisi-sisinya. Pan-

eR = +(b+c), Rs = +(c+d), sp = *(o+a). Maka

PQ = +(s +b) = -"r(c+d) = SR dan eR

*tt+"1=-i(a+s)=Ps

Jadi sisi-sisi yang berlawanan adalah sama dan sejajarjadi PQRS adalah sebuah jajaran genjang.

VI]K'I ()It DAN SKAL,\I

18. Misalkan pt,pz,pt adalahtitik-titiktetaprelatif terhadaptitik-asal 0dan11 ,12,13 !â&#x201A;Źk1or-vektorkedudukan masing-masing titik dari 0. Perlihatkan bahwa, jika persamaan vektor a1r1 * a2t2 + a3r3 = 0 berlaku terhadap titik asal 0 maka ia akan berlaku.terhadap sebarang titik-asal lainnya 0';ika dan hanyajika

+ar =0.

+ a2

Misalkan r1', 12 ' dan 13' adalah vektor-vektor kedudukan dari P, , Pe dan P, terhadap 0' dan v adalah vektor posisi dari 0i terhadap 0. Kita mencari percyaratan-persyaratan yang dibafrahiya persamaan a1 r1' + azr2' + d3t31 = 0 akan berlaku dalam kerangka acuan yangbaru.

DariGamb./6/dibawah,jelasbahwa

rt=v+r'r, r2=a*t'2,11=v+r't

\rL+azJ2+orr, =0

sehingga

menjadi

o,rt* o2t2+ art., = catv+rl) + a2(v+r'r'l+ "r{v+r'r) = (aL+ az+or)v + "rir+ "rr'r+ art', = Hasil

"ti* "{L* \i

(ar+

akan berlaku jika dan hanva jika

ar+ar)v = 0, yangberarti

+ ar+ a,

Hasil ini dapat diPerluas.

Gambar (D)

Gmbar (a)

19. Carilah persamaan sebuah garis.lurus yang melalui

dr.ra

buah titik

dan B yang diketahui memiliki vektor-

vektor kedudukan a dan b terhadap sebuah titik Misatkao r adalah vektor kedudukan dari sebarang titik P asal O.

pada garis yang melalui

dan B.

Dari gambar di samPing,

OA+AP = OP atau a +AP dan OA+AB =OB atau e+AB

= r, yakni AP = r-a = b, yakni AB = b-i

Karena AP dan AB kolincar, AP = I AB atau persanraan 1'ang dikehendaki adalah

r = a+ ,(b-a)

t - a= t (b -

a)- Maka

atau r = (1-r)a + rb

Bila persamaannya dituliskan ( I - ,)a + /b - r =.0, jumlah dari koefisien-koefisiennya a,bdan radalah I -a+ t'-l=0.Oleh karena itu menurut Soal 18 terlihat bahwa titik /'sclalu berada

pada garis yang menghubungkan ,4 dan B dan tiditk bcrgantun8 pada pemilihan titik-asal 0, yang rnana me mang seharusnya de mikian.

Metode I.uin. Karena AP dan BP kolincar, nraka urttuk skalat-skalar m dann kita pcrolcll

mAp =

Pecahkan,

61*nb

m*n

npB atau n(r-e) = r(b-r)

yang disebut

b(ntuk si,nclrik.

\/t.K't (-)lt t),\N sK1\l_/\ll

(a) Carilah vektor-vektor kedudukan r1 dan 12 untuk

titik{itik P(2.4,3)

B(l , -5,2) dari sebuah

dan

sistem

koordinat tegakJurus, dinyatakan dalam vektor-vektor satuan i, j, k. (b) Tentukan secara gratis dan analitis resultan dari vektor-vektor kedudukan ini.

(o) rr = oP = oc+ cB+BP = 2i+4j +3k rz = OQ = OD+DE+EQ = i-5j+2k (b). Secaragrafs, resultan dari 11 dan 12 diperoleh sebagai diagonal OR dari jajaran-genjang OPRQ. Secara analitis, resuitan dari 11 dan 12 diberikan oleh

Ir* rz = (2i+4j+3k)+(i-5j+2k) = 3i-j :1. Buktikan

Ari+ Ari+l.k '

bahwa besarnya

dari vektor

adalafi

+5k

,E;E;fl

Menurut teorema PYthagoras,

@Pf -- @qt' *

<qet'

di mana OP menyatakan besarnya vektor OP, dan seterusnya. Begitu pula, <OQ>' =

I\{aka

' ',2-

Diketahui

@pl2 =

(Ot)'+ (nQ)'. (OR)2

1, = $i

(a) rc , (6) r, +

r2l- 13

Maka lr, * (c )

13.

Jika

ata,a

q;4;4

k, t, = 2i - aj - 3k, rs = -i (c) 2rr- 3r, - 5r. . 13

+ 2j +

2k,

carilah besarnl,a

(a) ttt lral = l-r +2j+2kl (D) 11+

+ <Rql, * (Wr2

= e?,* lf,+Af,,var,eberartiA=

(3i-2j+k)

= /et\\ +

a\ 0f

(2i-d-3k)+ (-i+2j+2k) = 4i -4j

0k = +i -4j

rr.r.l -,4i-4jr0kl = rAV.-47+af =,s2

2rr-3rr-5r. = z(3i-2i + k) - 3(2i -4j -3k) - 5(- i + 2j + 2k) = 6i-4j +2k-6i +12j +9k+5i -10j -10k = 5i-2j-kMaka I ,., -3r,-5r,1 = lt,-2i+kl = /Gf;e*;0f = /n. rr= 2i-j+k,

rr= i+3j-2k,

carilah skalar-skalar a, b, c sehingga

Kita menghendaki 3i +2j

Karena

t4=

% d,t7

= -2i+ j -3k dan ro= 3i+ 2j +5k, + 6r, + br, .

+5k = a(2i-j +k) + b(i+3j-2k) + c(-2i +j-3k) = (2a+b -2c)i + (<.+3b +c)j +(o-26*3c)h.

j, k tak-koplanar maka menurut Soal

I5,

2a+b-2c = 3, -a+3b+c --2, Pecahkan, a--2, b =1, c=-3 dan ro=-2r1+12-3r3.

a-2b-3c

= 5.

Vektor ra dikatakan bergantung linear (linearly dependent) pada 11 , 12 dan 13; dengan perkatan lain 11, 12, dan14 membentuksebuahhimpunanvektor-vektoryan1bergantunglinear. Dipihaklaintigabuah(atau lebih kurang) vektor sebarang dari vektor-vektor ini membentuk sebuah himpunan vektor-vektor yangbebas 13

li n ea

r (linearly i:rdependent). Pada umumnya, vektor-vektor

A, B, C

disebut bergantung linear jika kita dapat mencari suatu

hin-

VI.KTOR DAN SKALAR

punan skalar-sk alar a, b, c, .... tidak semuanya nol, sehingga dA + bB + cC + .... = 0, jika tidak maka mereka bebas linear.

24. Carilahsebuahvektorsatuanyangsejajarresultandarivektor-vektor rr= 2i+4i-5k'

Resultan

lnl

R= 11+rz= (2i+4J-5k)+(i+2j+3k) =3i = lsr+6i-2kl = /<8*@+<8 = t.

Maka sebuahvektor satuanyangsejajarRadalah

Periksa

3. + 6. -l -r 7 1'

-?*l

rr=i+2i+3k'

6j - 2k.

E - 3i+gj-2k = 3i* 6j117

rlr'+ tf,r'* ,- +r' =

25. Tentukan vektor yang memiliki titik-pangkal P(x 1, y ,, z 1) dan titik-terminal Q(x2,lz, zz) dan carilah besarnya. Vektor kedudukan P adalah Vektor kedudukan Q adalah

PQ =

re-

PQ =

r, = :rl + 7rJ + zrk r, = rrl + 12! + z2k.

atau

= (xri+yrt+ zrk)- (rrl+yrl+ zrk\ = (xr- xr')l + Uz- \)i + Qr- zr')k. atau

Besarnya pa=pQ Perhatikan bahwa

=rW

adaiah jarak antara

ini

titik-titik

dan Q"

26. Gaya-gaya A, B dan C yang bekerja pada sebuah obyek diberikan dalam komponen-komponennya oleh persamaan-persamaanvektor A= Ari+ A2l+ Ask, B = Bri+ Bri + B.k, C =Cri + Cj +C"k' Carilah b:sarnya resultan gaya'gaya ini.

Gayaresultan R = A+B+C = (Ar+ Br+Catl+ (4+82+CrJ + (13+83+Ca)k.

= vlAr

Besarnya resultan

Hasil ini dapat dengan mudah diperluas untuk lebih daripada tiga-buah gaya' 27. Tentukan sudut-sudut a, p dan 7 yang dibuat vektor r = xi * yj + zk dengan arah-arah positif dari sumbusumbu koordinat dan perlihatkan bahwa

cos2d+cos2P+cos2Y=1. Dengan n.relihat pada ganrber. segitiga OAP adalah sebuah segitiga siku-siku dengan sudut tegak lurus di,4; maka

cos

fr .

Begitupula dari segitiga siku-siku

I = fr lrl= ' = ',8;7;7 oBPdanoCP, Maka

cos

cosO=i,

sehingga a. B, 7 dapat

dan

cosB=2, diPeroleh.

cosT=

fi.suza

eosy=1 x

Dari sini diperoleh,

cosr

0*cos2B* cosry =

Bilangan-bilangan cos

,2ty2+22 - ,.

o, cos p, cos 1 disebut cosinus-Losinus arah dari vektor

OP.

\/i:KTOR DAN SKALAR

28. Tentukan himpunan dan Q@r, le, zr).

persamaan-persamaan untuk garis-garis lurus yang melalui

titik-titlk P(rr, yr,

zr')

Misalkan 11 dan 12 adalah masing-masing vektor-vektor kedudukan dari P dan Q, dan r vektor kedudukan dari sebarang titik R pada garis yang menghubungkan P dan Q

rr+ Pf,.= I rr+PQ=ru

atau PR = r - I atau PQ=12-11

Tetapi PR = tPQ di mana t sebuah skalar. Maka r - rr = adalah persamaan vektor yang dikehendaki dari

t(r2 - r1)

garis-Iurus (bandingkan dengan Soal 19).

Karena

r = r-i + ),j + zk,

maka dalam sistem koordinat

tegak-lurus kita peroleh atau

Karena i,

(xl+y! +zk) - (:ri +7rJ +zrk) = tL{:2l+frl + zrk) - (zri +'yrJ +zrk)] (r-:r)l+ (/-yr)J + (z-21)k = tlG2-rl)i + (yr- yr)l + 1zr-zr)k] j, k adalah vektor-vektor tak-koplanar maka dari Soal i 5 kita peroleh,

,-rL=

t(xr;rr'),

!-ft=

sebagai persamaan-persamaan parameter persamaan-persamaannya menjadi,

t(yz-yl),

z-z!= t(zr-zr) dari garis, di mana / adalah parameternya. Eliminasikan t

maka

,__1 x- x7 ^ / - lt *2- aa 7t- 7t = 22 - "! 29. Diketahui medan-5kalar yang didefinisikan oleh (a)

(0,0, 0), (b) (1,

il*, y, ,) -

3x2z

- xy!

-2,2) (a) d(0,0,0) = 3(o)2(q-(0X0)3+s = 0-0+5 = b (D) d(1,-2,2) = 3(1)2(2)-(1)(-2)3+5 = 6+8+s = 19 (c) d(-r,-2,-3) = s(-r)2(-3)-(-r)(-2)3+s = -s-8+s -2, -3).

30. Buatlah diagram medan-medan vektor yangdidefinisikanoleh

(a\ Y(r,y) =

yi,

(6) V(x,y\ =

Cambar (a)

-xi- yi,

+ 5, carilah

pada

-12

Ganrhar (b)

yi + zk.

titik-titik

Vl K l(lR l)AN SK;\l-AR

(a)

-),.) kecuali (0, 0), dari bidang -r-u didefinisikan sebuah vektor unik ri +/j yang .lcngan arah yang rnelalui titik asat dan keluar darinya. Untuk mempermudah proses penggantbaran diagramnya, perhatikan bahwa semua veklor-vektor yang berhubungan dengan titiktrtik na.lr lingkaran-lingkaran .rl t y' = o', c ) 0 besarnya a. Medannya dengan dcmikian kelihatan scpcrti dalen) (ianrbar (r. l di urana telah C.ipergunakan skala yang sesuai.

i'atla tiaP-lial) titik (.r. besurnya

\^j +-F

(b) Di sini ttap-tirrp \ektor .'iesarnya sama-dengan yang bersangkutan dengannya dalrm (a) tetapi arahnya

lang berlawanan. l!{edannya dengan dernikian kelihatan seperti dalam Gambar (D). Dalam Gamb- (a) medannya berbentuk seperti fluida yang keluar dari sebuah titik sumber 0 dan rnengalir menurut arah yang ditunjukkan. Karena alasan ini, medannya disebut sebuh medan-sumber (sourct Iickll den d disebut sebuah su,flbel lsottrcel. Dalam GamL'. (b ) medannya kelihatan mengalir menuju 0, dan medannya dengan demikian disebut sebuah rredari sungap (sink lieltl) dan 0 disebut sebuahsungap (sinli). Dalam ruang tiga dimensi. interpretasi yang bersangkutan adalah bahwa fluidanya mengalk keiuar secara radial (atau secara radial kedalam)dari sebuah garis sumber (atau garis sungap). Medan vektornya disebut berdimensi dua karena tak bergantung pada z.

- 7, (c) Karena besarn.va tiap-tiap vektor adalah tE;V maka sernua titik pada permukaan bola .r:2 + ,r.2 + z2 = 'tr , a2 ) (, nientiliki vektor-vektor yang besarnya a. Medannya dengan demikian berbentuk seperti r-ruida yang keluar dari 0 dan mengalir ke segala arah daiam ruang. Ini adalah sebuah medatt su;nber t:-i-: Ji,,relrJ/.

Soal-soal Tambahan 31. Manakah

dari besaran-besaran berikut adalah skalar dan vektor ? (a) energr kinetik, (b) intensitas medan (e) gaya sentrifugal, (f) temperatur, (g) potensial gravitasi (ft) muatan,

listrik, (c) entropi, (d) usaha, (i) tegangan. (7) frekuensi. Jawab. (a) skaiar, (D) rektor, 0) skalar.

32. Sebuah pesawat-terbang menempuh jarak J00 km ke arah barat dan kemudian 150 km dalam arah 60" di sebelah utara dari barar. Tentukan pergeseran resultan (c) secarA grafis, (D) secara analitis. Jawab.besarnya 304.i km (50 V37), arahnya 25o17'disebelah utara dari timur (arc sin 3 \Fttnql 33. Carilah resultan dari perpindahan-perpindahan berikui: A, 20 km dalam arah 30o di sebelah utara dan timur; B, 50 km ke arah barat; C, 40 km ke arah timur-laut; D, 30 km ke arah 60" di sebelah selatan dari bant. Jawab. besarny'a 20,9 km, arahnya 2 lo39' di sebelah selatan dari barat.

34. Perlihatkan secara grafis bahwa

- (A -

B) =

-A

+ B.

35. Pada sebuah obyek P bekerja tiga buah gaya koplanar seperti diperlihatkan dalam Gamb. (a) di bawah. Tentukan gaya yang dibutuhkan untuk mencegah P bergerak. Jawab. 323 N yang arahnya berlawanan dengan gaya i50 N.

(,rnlb.

(a)

(ianrb. (b)

t4 36. Diketahui vektor-vektor A, B,

lolt

1)AN

s(AL.1l{

C dan D (Gambar (D) pada halaman 13). Bentuklah

(a)

3A-28-(c-ol

<al

jc + |te-n+zol.

t7. llka ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam.beraturan, maka carilah resuitan dari Eayayan1dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE dan AF. Jawab. 3AD38.

gaya-

Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui, maka perlihatkan bahwa (o) l.L+ Bl< lAl+ lBl,

(b)

A-Br> rAr-

3e. Perlihatkanbahwa

rBr.

le*n*cl

1 lnl * lnl *

lcl.

kota A dan B terletak saling berhadapan ditepi sebuah sunga: yang lebarnya 8 km dan laju aliran 4 km/jam. Seorang yang berdiam di ,4 ingin mencapai kota C yang berada 6 km kearah udik (hulu sungai) pada tepi yang sama dengan kota B. Bila kapalnya dapat berlayar dengan laju maksimum l0 km/jam dan bila ia ingin mencapai C dalam waktu vang sesingkat mungkin, maka dalam arah manakah

40. Dua buah

sungainya

harus ia tempuh dan berapa lama perjalanannya

jawab. Arah garisJutus ke udik yang membuat sudut 34o28' dengan garis tepi sungai.

4t.

I jam 25 menit.

Seorang yang berjalan kearah selatan dengan laju l5 kmijam mengamati bahwa angin kelihatannya bertiup dari arah barat. Dengan menambahkan kecepatannya hingga 25 km/jam angin kelihatlnnya bertiup dari arah baratdaya. Carilah arah dan laju dari angin. Jawab. Angtn bertiup dari arah 56o18' disebelah utara dari barat pada kelajuan 18

km/jam.

42. Sebuah beban 100 kg digantungkan pada pertengahan sebuah tali seperti diperlihatkan dalam gambar disamping. Tentukan tegangan I dalam tali. "/cN'aD. 100 kg. Sederhanakan 2A + B +3C- ( e-ZS -2(2A-38-C) ). Jawab. 5A- 38 + C Jika a dan b adalah vektor-vektor tak-kolinear dan a = (x + 4y)a + (2x +)' + l) b dan B = lv - 2x + 2)a+ (2x - 3y - 1) b, maka carilah x dan y sehingga 3A = 28.lawab.x=2,)'=-1.

dinyatakdn dalam vektor- vektor 45. Vektor-vektor basis a\ , a2, ^. 2b2+ zbs, b1 an a, = 2b, + 3b2- bs, ", = Jika F = 3b,

- b, * 2b,, nyatakan

F dalanr

,lo0

basis b, ,

b., b, melalui hubungan-hubung'

2b1+ b2-2b3

a,, a, dan a,.

Jawab. 2a, * 5e, * 3a'.

lika a, b, c adalah vektor-vektor - 5b + lc, clan 13 = 4a

r2 = 3a karena 17

= 5r,

tak-koplanar nlaka tentukan apakah vektor-vektor r, = 2a -- 3b + c, 5b + c adalalr trebas atau bergantung linear- .lawab. Bergantung linear,

- 2r,.

Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui yang menyatakan diagonal-diagonal sebuah jajaran-genjang. nrak a ga rnbarkan jajaran-genjangnya. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah seg.itiga adalah sejajar dcngan sisi ketiga dan besarnya separuh tlari besatnya sisi ketiga ini.

49.

(a) lika 0 adalah

scbarang titik didalanr segitiga .4.8C dan l', Q, R nrasing-masingnya adalah tengahsisi-sisi AI), BC, Czl, rnakabuktikanbahwa OA+oB+oC = OP+OQ+oR.

(|)

titik-titik

Apakah hasil ini bcrlaku pula apabila 0 adalah sr:barang titik di luar scgitiga? Buktikan hasil jawabannru. Jatlah. Ya.

\IIIKI'OIi I)AN

ALA I{

50. Dalam gambar disaniping, ABCD adalah sebuah jajarangenjang dengan P dan Q adalah masing-masingnya titiktitik tengah dari sisi*isi BC dan CD. Buktikan bahwa AP dan l0 memotong diagonal BD atas tiga bagian yang sama di titik-titik E dan F.

----

5l Buktikan bahwa garis-garis berat sebuah segitiga

saling berpotongan pada sebuah titik yang sama yang mana adalah titik pembagi tiga garis-garis berat itu.

Buktikan bahwa garis-garis bagi sebuah segitiga berpotongan pada sebuah

titik

yang sama. D

53. Perlihatkan bahwa ada terdapat sebuah segitiga dengan sisi-sisi yang sama dan sejajar dengan garis-garis berat dari sebarang segitiga yang diketahui.

54. Misatkan vektor-vektor kedudukan dari titik-titik l'dan Q relatif terhadap sebuah titik-asal 0 masing-masingnya diberikan oleh pdan,q. Jika R adalah sebuah titik yang membagi garis PQ kedalambagian-bagian yang perbandingannya adalah m .' n, maka perlihatkan bahwa vektor kedudukan R diberikan oleh

r=--nD +aq

dan vektor ini tak bergantung pada titik-asal.

m+ n

55. Jika ri, r:, ..., r" adalah berturut-turut vektor-vektor kedudukan dari

massa-massa

mr.ttl2, ..., ,,], relatif

terhadap sebuah titik-asal 0, perlihatkan bahwa vektor kedudukan dari titik-beratnya diberikan oleh

*l,tl*

r= dan bah'ra ini tak bergantung pada

^zt2+

...+

*L* m2+...+

titik

mflrrl

asal.

56. Sebuah segiempat ABCD memiliki massa-massa yang besarnya 1, 2,3 dan 4 satu3n yang rnasing-mlsing:rya terletak pada titik-titik sudut .4(- 1, -2, 2). B(3, 2, -1 ), C( 1, -2, 4) dan D(3, 1, 2). Carilah koordinat-koor-

dinat titik-pusat massanya. lawab. (2, O,2).

57. Perlihatkan bahwa persamaan sebuah bidang yang meialui tiga buah titik

,4,

B, C yang tak terletak pada se-

buah garis-lurus dan yang men,iliki vektor-vektor kedudukan a, b, c relatif terhadap titik-asal 0. dapat di-

tuliskansebagai

r _ ua+nb+pc m* n* p

di mana m, n, p adalah skalar-skalar. Periksalah bahwa persamaan ini tak bergantung pada titik-asal.

58.Vektor-vektcrkedudukandarititik-titikl'd.anQdiberikanolehrr=2i+3i-k,12=4i-3j+2k.Tentukan PO dalam i, j, k dan carilah besarnya. Jawab. 2i

- 6j + 3k, 7 59. Jika A = 3i--j-4k, B = -2i+4j-3k, C = i+2j-k, carilah (a) 2A.- B+3C, (r) lA+B+Cl, (c) l3A 28 + 4Cl, (d)vektorsatuan yangsejajardengan 3A - 28 +4C. Jawab. '

) 1li -

8k (il/n

(c)

/56s

17)

!4:!EJ-1c,A,S

60. (iaya-gayaberikutbekerjapadasebuahpartikel/':F, =7i+3i-- 5k, F, =- 5i+j+3k, Fr=i-2.i+ 4k, F4 = 4i--3j- 2k.yangdiukurdhlamNewton.Carilah(a)resulii-r darigaya-gaya. (b)besarnyaresultan. Jau'ab. (al 2i

-j

(b)

\45

61. Dalam tiap-tiap kasirs be;ikrrt, tenlukan apakah vokt<lr-vektornya bebas lirrear atarrkah bcrgantung lincar: (a) A = 2i +j -3k, B = i-4k, C =4i +3j-k, (6) A = l-3j +2k, B = zi -aj-k, C =3i +2j-k. Jau,ab. (o) bergantung linear, (D) bebas lincar.

62. Buktikan bahwa empat-buah vektor sebarang, dalarn ruang berdilrcnsi tiga, haruslah bcrganlung lincar 63. Perlihatkanbahwasyaratperludancukupagarvektor-vektor A=A71 +A2t+13k, B-B1i+82i+83k,

VLl.fOR I)Ah- SkAl.All

l6 c = c1l + C2, + C"k [s!35 linear

adalah bahwa determinan

54. (a) Buktikanbahwavektor-vektor A= 3i+

(b)

j-2k,

A2 A3l l4 8, B; 8;

I tidak sama-dengan

lca c2 cal

nol.

=- i+ 3j+4k, C=4i-2i-6kdapatmemben-

tuk sisi*isl dari sebuah segitiga. Carilah panjang dari garis-garis berat segitiga itu.

Jawab. (bl

/G, *rhu, i/tio

65. Diketahui sebuah medan-skalar yang didefinisikan oleh $(x,y, z) = gze + carilah (a) 00,-1,-2), (6) d(0,-3,1). Jawab. b)

Szyz

- z2 + 2.

(6) -11

65. Lukiskan medan-medan vektor yang didefinisikan oleh : (o) Y(r,y) = xl-ti, $) Vk,y\ = yt-z!, (cl y(x,y,rl =

$.jj!-

{x2+y2+12

'ci sir

I-IASIL.KALI TITIK DAN SILANG

HASILKALITITIKATAU SK,\L,\R dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh

titik B) didetlnisikan

A'B

(baca A

sebagai hasil-kali antara besarnya vektor-vektor

A dan B dan cosinus sudut 0 antara keduanya. Dalam simbol,

A.B = ABcos0, Perhatikan bahwa

al01n

. B adalah sebuah skalar dan bukan vektor'

Hukum-hukum berikut berlaku

i. A.B = B.A

Hurum Komutatif untuk llasil-kali Titik

2. A,(B +C) = A.B + A'c

Hukum Distributif

J. n(A.g) = (rzA). B = A. (nB) = (A. B)m, di mana m adalah 4. i.i=j.j =k.k = I, i.i = j.k =k.i =0 5. If A=AJ+\i+A"k dan B=8ri*B.U+8.k,maka A'B = ArBr+ ArBr+ A"B"

sebuah skalar.

a.A = A' = A:.+ Af,+ Af, B.B=82=B?+Bl+Bl 6. Jika A

. B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka

A dan B tegaklurus.

x (baca A sitang B)' HASIL-KALISILANGATATIVEKTOp dari A dan B adalah sebuah vektor C = A B

BesarnyaAxBdidefinisikansebagaihasik.kaliantarabesarnya AdanBdansinussudutdantarakeduanya.ArahvektorC=AxBtegakluruspadabidangyangmemuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Dalam simbol,

AxB = AB sin?l,

O <-

0 1n

dimanauadalahvektor satuanyangmenunjukkanarahdariAxB.JikaA=B,atauAsejajardenganB,maka sin 0 =0 dan kita mendefinisikan A x B = 0. Hukum-hukum berikutjuga berlaku

1- Ax

B = - Bx A

(Hukum Komutatif tak berlaku untuk Hasil-kali Silang).

2. Ax (B + C) = Ax B + Ax C Hukum distributif 3. n(Axf,) = (mA)xB = Ax (rzB) = (AxB)m, dimananadalahsebuahskalar 4. ixi = jxj = kxk = 0, ixj=9, Jxk=i, kxi=j S.JikaA = ALI + A"l + \lt dan B = Bri + Brt +{k, maka

I{/\StLKALI '|ITIK DAN SILAN(I

ijk AXR

B7 B, ,8" 6.

Besarnya

7. Jika A

x B sama dengan luasjajaran genjang dengan sisisisi A dan B.

x B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar.

,IASIL-KALITRIPEL. Hasil-kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B, dan C dapat menghasilkanhasilkali yang mempunyai arti dalarn bentuk-bentuk berikut (A ' B)C' A ' (B x C) dan A x (B x C). Hukum-hukum berikut berlaku:

1. (A.C)C + A(B.C)

2. A' (B X C)= g. (CX A)=C .(AX B)=rolu..sebuahjajarangenjangruangyangmemilikisisisisi A, B dan C atau negatif dari volume ini, tangan-kananataukahridak

sesuai dengan apakah

JikaA=.4ri+Azj+A3k,

A, B dan B membentuk

sebuah sistem

=Bri+B2j+B3kdanC=Cli+C2j+

C3k, rnaka

41 .4^ 81 82

A.(B x C)

ca c2 J. 6x (RxC) I (AxB)xC 4. Ax (BxC) = (A.C)B - (A.B)C (AxB)xC = (A.C)B - (B.C)A

(HukumAsosiatiftakberlakuuntukUasil-kaliSilarrg)

Hasik-kaii A . (B x C) seringkali disebut &asil-kali tripel skalar atalu hasil-kali korak dan dapat dinyatakan ]. Hasil-kali A x (B x C) disebut hasil-kali ripel vektor.

dengan I ABC

DalamA.(BxC)scringkalidihilangkantanda-kurungnyadandituliskansajasebagaiA-BxC(lihat Soal-soal

Tetapi tanda-kurungnya harus dipergunakan dalam

Ax (B x C) (lihat

Soal-soal 29 dan47).

HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL (RECIPROCAL)..Himpunan vektor-vektor a, b, c dan a', b', c' disebut himpunan atou sistent vektor-vektor

resiprokal jlka

a.e'= b.b'= c.c' = 1 a'.U = 3.'.c = b'.a = b'.c = C'.a = C'.b = 0 Hirnpunan-himpunan a, b, c dan a', b',

adalah himpunan vektor-vektor resiprokal

bxc , z-,D,c a. bxc di mana a . b x c

* 0.

cxa

a- bxc

Soal-soal yang Dipecahkan HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR

l. Buktikan A.B = B.A. A.B = AB cos 0 = B,4 cos 0 = Btitik.

?xb

a. bxc

Lihat Soal-soal 53 dan 54.

Jadi hukum komutatiiberlaku untuk hasil kali

jika dan hanya jika

ilAslt.K.Al,l il.l lK l).\N sll-.\N(; Buktikan bahwa proyeksi A pada B sama-dengan b adalah vektor satuan dalam arah B

b, dimana

Melalui titik-titik pangkal dan terminal dari A buatkan bidang-bidang yang melewatinya dan yang berturut-turut te8aklurus B di G dan 11 seperti diperliliatkan dalam gambar di samping, maka

ProyeksiApadaB= Gll =

W -- e cosd

A'b

3. Buktikan A'(B+C) = A' B + A' C. Misalkan a sebuah vektor satuan dalam arah ,4, maka Proyeksi (B + C) pada A= proy. B pada A + proy. CpadaA

(B+C).e = B'8 + C'a Perkalikan dengan,4

(B+Ci.z{a = B.At + C.A^

(B+C).A=B.A+C.A

atau

Maka menurut hukum komutatif untuk hasil kali

titik

A.(B+C) = A.B + A.C jadi hukun-, distributil disini berlaku.

4. Buktikanbahwa (A +B).(C +D) = A.C + A.D + B.C + B.D. MenurutSoal 3, (A+B).(C+D) = A.(C+D)+B.(C+D) = A.C +A.D +B.C+B.D iadi hukum-hukum irasil-kali

biasa dari aljabar berlaku

5" Hitunglah masing-masing yang berlkut

i.t = l,l lil (D) i'k = lil ltl (c) k'J = ltl lil

(c)

cosoo

ini

untuk hasil'kali titik.

= (r)(r)(1) =

so".= (1)(1)(0) = 0 = (1)(1)(0) = o (d) i.(2i-3j+k) = 2j'i-3j'j+j'k = 0-3+0 = -3 (e) (2i-i)'(3i+k) = 2i'(3i+k)-j'(3i+k) = 6l'l+ 2i'k-3J'i-i'k

Jika A=

A.B

Azi +,43k dan

= 6+0-0-0

Bri + B2j+82i + 83k. maka buktikan bahwa

= ArBr+ ArBr* 4Br.

B = (lli + A2i + 4k\'(B1i +B2i +8sk) = l1i. (81i +Bj +8sk) + A2l.(B] +82J +B3k) + 4k.(B1i +B2J +83k) -- A7Bal. l+4B2l.J +48sl.k +ArBrt-l +Ardrl.l +,{r8rJ.k +/381k.1 +482k-t +l3B3k.k

karena

7. Jika

Ai+

cos

cos soo

= ArBr+ AzBz + AsBs i.i = j.j = k.k = 1 dansemuahasilkalititiklainnyanol.

Ari +

A; + 4k,

perlihatkan bahwa

,{ = ,tAA = 'q;4;7"

A.A = U\U)cos oo = ,{.2. Maka.l = /;i. Juga, e. A = ULI + A;l + 4k\. (AJ + A;+ 4k) = (Ar\(Ar\ + (A2)U2\ + (13)(/3) =

e2, +

ef, + ef,

IIASI

I.AI-I iI I IK I),\\ SILAN(;

Iflel;urut Soai 6. di nlana diambilkan B = A.

Maka /i = vA.A tt. Carilalr sridui

arrrrira

n'e1j

,* I

adalah besarnya A. Seringkali

A = 2i + 2j - k

A .A dituliskan A2

dan B = 6i-3j+2k.

0, A = vIzj;?ff;cff = 3, B = ,/@;74j2;(8 = 1 A.B = (2)(6)+ (2)(-3)+ (-1)(2) = 12_6_2 Maka cosd = A'B - 4 - 4 0,1905 dan d = 79o kuranglebih. (3)0) AB 27 A'B

9. Jika

AB cos

A . B = 0 dan jika

-,1

dan B tidaklah nol. perlihatkan bahwa A regaklurus B.

Jika A . B = 18 cos B = 0. rnaka cos 0 = 0 atau 0 = 90o. Sebaliknya, iika g = 90o. A . B = 0. I0. Tentukan hargaa sehinjga A = li +aj + k dan B = 4i Dari Soal 9. A dan B tegaklurusjika A . B = 0. Maka

I l_ Buktikan bahwa

tl)(4)+ (a)(-l)+(l) r,-:;--

-2a -

2k tegakluLus.

2=0

untuka=

vekror-vektorA=3i-lj +k, B=i-3j +5k, C= 2i+i-

4kmembentuksebuah segitiga

siku'siku. Pertama haruslah kita memperlihatkan bahwa vektor-vektornya membentuk sebuah segitiga.

(o)

(6)

Dari gambar terlihat bahwa vektor-vektornya akan membentuk sebuah segitiga jika

(a) salahsatuvektornya,katakan(3)adatahresultanataujumlahdari(l)dan(2), (b) jumlahatauresultandarivektor-vektor(1)+(2)+(3)adalahnol,menurut(a)duabuahvektornyamemiliki titik terminal yang sama atau (b) tak ada vektor-vektor yang memiliki titik termir,al yang sama. Dengan mencoba-coba,

kita dapatkan A = B + C sehingga dengan demikian vektor-vektornya

memang

rnembentuk sebuah segitiga. Karena A .B = (3) (l) + (*2) (-3) + (1) (s) = 1+. A.C = (3)(2)+(-2)(1)+ (l)(-4)=0, dan B.C = (1)(2) + (-3)(1) + (5)(-4) = -21, rnaka dari sini diperoleh bahwa A dan C salingtegaklurusdan segitiganva adalah sebuah segitiga siku-siku.

12. Carilah sudut-sudut yang dibentuk vektor A = 3i Misalkan

6j + 2k dengan sumbu-sumbu koordinat.

p. 7 adalah berturut-turut sudut yang dibentuk A dengan sumbu-sumbu .t,

A.i = (l)(1)cos d = /@+G6l'9.ef cos d = ?cos o A.i = (31-6j+2k).i = 3i.i-6J.i+2k.i = 3 Maka cos 0, = 3/7 = 0.4286, dan c = 64,6o kurang lebih. I =-e/2, B =1490 dan cosy= 2/1, y=13.4". p Cosinus-cosinus dari a, dan 1 disebut cosinzs-cosinus arah dari A. (Lihat Soal27, Bab. I ). I)engancarayangsama, cos

iI^SILKALI TI'IIK DAN SILANG 13. Carilalr proyeksi vektor

*2j

A=i

+ k pada vektor B = 4i

4i +7k'

= b= *6 = -ry ,/(+\' +(-4)2+ (?)z

VektorsatuandalamarahBadalah Proyeksi A pada B

tlr-fl-lrl = (1)(*) + (-2)(- $r * rutll

i'-

1r. I

= A.b = (i-2i +k)'

14. Buktikan hukum cosinus untuk

segitiga bidang.

Dari Gamb. (a) di bawah, B + C = A atau C = A

g.g = (A-B)'(A-B) = A'A+B'B-2A'B C2 = A2+82-2ABcos0-

Maka dan

Gambar (J)

Gambar (a)

Buktikan bahwa diagonaldiagonal belah-ketupat saling tegak-lurus. Pergunakan Carnb. (b) diatas

15.

sebagai

acuan.

OQ=OP+PQ=A+B OR+RP =OP atau B+RP= atau Oe.Rp = (A+B).(A-B)

dan RP = A-B - 82 = 0, karcra A--B .

= A2

Oleh karena itu OQ tegaklurus RP.

16. Tentukansebuahvektor satuanyangtegakJurusbidangA= Misalkan vektor C

cri *

c2j +

li -

-3kdan B=4i+3j

-k.

cak tegaklurus bidang yang memuat A dan B' N'{aka C tegaklurus A

dan iuga B. Oleh karena itu.

C.A = 2c1-6cr-3c" C.B = 4c1+3cr- c, Pecahkan (1 ) dan (2) secara serempak

0 atau U\ 2cr- 6c, = 3c, . ; ; 0 atau (2) 4cr+ 3c, = c" ,

= =

: q

l\'laka vcktor satuan (lrialn arah C aclalah

1 =

q C

l'7

%. %---

*u' " = trit-]i

;

''-i

* tr' 1(;l

-;J

rfxr.

+ Carilah usaha yang dihkukart dalanr nrenggerakkan sebuah obyek separljang vcktor r = 3i 2.; j - k. Pelgunakatt Gartlbat (s) di balik scbagai actlatr' gaya yang dikcnakan adalalr F = li

5k jika

II,\SI L K,\I-I 1'II IK I),,\N SIt-AN{;

Usaha yang dilakukan =

(besarnya gaya dalam arah gerak) (panjang lintasan yang ditempuh)

(F cos 0)

(r) = F. r -- (2i-j-k)'(3i+2i-5k)

= 6-2+5

= 9'

(;xnlbrr

(irnrtt.rr

(a)

(/t

)

Carilah persanraan untuk bidang yang tegaklurus vektor A = 2i + 3j + 6k dan melalui titik te-rminal dari vektor B = i + 5j + 3k (lihat Gambar (b) di atas).

titik P, dan Q titik terminai B. (B r). A = 0 atau r. A = B. A adatah persamaan bidang yang dikeA, PQ r tegaklurus Karena =Bhendaki dalam bentuk vektor. Dalam bentuk koordinat-koordinat tegaklurus, ini menjadi Misalkan r adalah vektor kedudukan dari

zk).(2i + 3j + 6k) = (i + 5j + 3k).(2i + 3i + 6k) 2x +3y +62 = (1)(2) + (5)(3) + (3)(6) = 35

(xi + y!

19.

Carilahjarak titik-asal ke bidang dalam Soal 18. Jarak dari

titik

asal ke bidang adalah proyeksi B pada A.

vektorsatuan dalamarah Aadalahh =

Maka,proyeksiBpadaA=

B.a

.,j!lli+j!-: + A = r'ef +(3f +(6F

Aj+A2l+4k,

Dengan cara yang

iI,\SII,- KALI

t<]t + srll + arf;r

A = (A'i)i + (A' j)i + (A'k)k.

A.i =,4ri'i +A2i.1 +A.k.i = A, Az dan A ' k = lg ' (A.i)i +(A.J)J +(A"k)k. =

sama, A' i

Maka A = Aj + 4i+4k

, +1r+9t. 1-7

-l7

(i+5i+3k)'(;i *fl tf;rl

Jika A adalah vektor sebarang, buktikan bahwa

KarenaA=

StL.\\(] ,\T,\U vEKI'OR

21. BuktikanAxB =

-BxA

Grnrbrr (a)

(iaqrhar (l)

It,\sl

t-K

ALt

't i i t l\

L),"Ii slt..\NC

A x B = C besarnya AB sin 0 dan arahnya sedemikian rupa sehingga A, B dan C nrembentuk sebuah sistem tangan kanan (Gambar (a) di halaman 22, barvah). BxA=DbesarnyaBAsin0danarahnyasedemikianrupasehinggaB,AdanDmembentuksebuahsistem tangan kanan (Gamb. (b) di halanran 22, bawah). Maka D besarnya sama dengan C tetapi berlawanan arah, yakni C =

D atau A x

B x A.

Hukurn komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang.

22. likaA

x B = 0 dan A beserta B tidaklah nol, perlihatkan bahwa A sejajar B.

JikaA xB =lBsin0 u= 0. makasin0 =0 dan0 =0" atau 180"

lRxnl'* le.rl" = lol'lrl'. lnrnl'* le.nl' = ln "tno ol'* l,lr co'ol'

23. Perlihatkanbahwa

A2B2

s1n2

A2B2

0 + A2B2

cos2

= lelrlrl,

Hitunglah r.nasing-masing yang berikut ini.

(a) ixJ = k (6) jxk = I

(d) kxj = -jxk (e) ixi = 0

= -i

(f) JxJ = o (g) ixx = -kxl = -J (h)(2fix(3k)=6Jxk = 6l (r) (3r)x(-2k) = -6ixk = 6j (i) 2jxt-3k = -2&.-3I = -5k

25. Buktikan bahwa A x (B + C) = A x B + A x C untuk kasus dimana A tegaklurus B dan juga C. Karena A tegaklurus B, A x B adalah sebuah vektor yang besarnya lB sin 90o = /48 atau besarnya vektor u{B. Ini ekivaien dengan mengalikan vektor B dengan A dan merotasikan vektor resultannya sebesar 90o ke kedudukan yang diperlihatkan dalam gambar di samping. Dengan carr yang sama. A x C adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan C dengan ,4

dan nrerotasikan vektor resultannya sebesar

90o

ke kedudukan yang diperlihatkan. Dengan cara yang sama, A x (B + C) adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan B + C dengan ,4 dan merotasikan vektor resultannya besar 90o ke kecludukan yang diperlihatkan.

se-

Karcna A'x (B + ' ) adalah diagonal jajaran-genjang Ax(B+C)=A'xB+AxC.

Buktikan bahrva A x (B + C) =A x B+A xC untuk kasus vang unrunr dimana A, B dan C tak-koplanar. Uraikan B kedalarn dua buah vektor kolrtponen, dirrana yang satunya tegaklurus A dan yang lainnya sejajar A. dan nyatakan nrasing-masingnya dengan

B, dan B,,. Maka

B = Br + Brr.

Jika 0 adalah sudut antara A dan B. nraka B, =

dengan sisi-slsl A x B dan A x C. Inaka kita Peroleh

llASlt-KAl.l 'l Ill( l)AN SIi-;\ir(,

A x 81 adalah AB sin 0, sama dengan besarnya A x B. Juga, arah dari A x 81 sama itu, A x B, = a x 3. cara yang sama, jika C diuraikan ke dalam dua buah vektor komponen C11 dan C1 yang masing-

.8 sin 0. Jadi besarnya

denganarahdari A Dengan

B. Olehkarena

masingnya sejajar dan tegaklurus A, maka A

C, =

a y 6.

Juga,olehkarena B+C = Br*Brr+Cr+C1 = (81+Cr)+(B,,*C,,)

n'-"kadarinyadiperoleh

Ax(Br+C1) = Ax(B+C). Sekarang, B-. dan C-' adalah vektor-vektor yang tegaklurus A sehingga menurut Soal 25,

Ax(Br+Cr) = AxBr+ AxCr

AX(B+C) = Ax3+AxC

Maka

-1, dan pergunakan Soal 2l,hasilinimenjadi (B +C) x A= B x A+C x A.Perhatikanbahwaurutanfaktor-faktordalam hasil-kali+ilangadalahpenting.

Jadi hukum distributif disini berlaku. Perkalikan dengan

Hukum-hukum aljabar biasa berlaku di sini hanyajika urutan yang sesuai tetap dipertahankan.

27.Jika A=Ati+Ari+A3k

ijk A1 A2 As 81 82 Bs

xB = (A,t+A2l +/sk) x (81i +82J +8sk) =,{1i x (B1i + BrJ + Qk) + A2! x (B7l + E2l + BsUl + l3k x (811 + 82j + 8ok) = AtBixl+A7B2lx! +11ftlxh +A287!xt+A2B2lx!+A2Belxh,+/{3g1kxl +asB2kx!+AsBsLx\ =

28.Jika

dan B=Bri+B2i+ B"k, buktikanbahwaAxB

(AzBs

AsBz\l + (AsB7- AtBs\l + (ALB2

A = 2i-3j-k

dan B

i J k! A, 4, A"l BL 82 Bsl

- A2Bl)k =

= i+4j-2k, carilah(a)AxB, (r)BxA, (c)(A+B)x(A-B).

T J LI

2 -3

-11

-2

=,1-: :;l-,1? :ll. -l? ll

=,,+3r+,1k

Metode lain.

(2i-3J -k)x(i+4J-2k) = 21x(t+{J-2k) - 3rx(t+4j-2k) - kx(i+4J-2k) = 2ixi + SixJ -4lxk -3Jxl -12JxJ + 6jxk - kxi -4kxj + 2kXk

= 0 +8k f

(b) BxA = (i+4J-2k)v(2i-3J-k)

=,1-',

-ii ,ll ::1.

+3k-0 +6r-r.f 4i +0 =

iJk 1 4-2 2-3-1 kl1 4l

-3

= -10i -

10i

+3j + l1k

11k.

Bantlingkan dengan (a ), A x B = - B. x A. Perhatikan bahwa ini ekivalen dengan teorema : Jika dua buah baris dari determinan dipertukarkan maka determinannya berubah tanda.

(t+4J-2k) = 3i +J -.3k

HASILKALI TITIK DAN SILANG

A-B = (2i-3J-k)-(i+4j-2k) = t-?j +k Maka (A+B)x(A-B) = (3i+J-3k)x(i-?j+k)

=,1-; -il

iik 3 1-3 1-7 I

-,li -ll

3 tl

r'l

l1 -7

= -20i -

22k.

Metode lain.

(A+B)x(A-B) = Ax (A-S) + Bx(A-B) = AxA-AxB+BxA-BxB = 0_AxB-AxB_O = -2AxB = -2(10i+3j+11k) = -20i - 6j -22k, pergunakan(a).

29. Jika

A = 3i-2j+2k, BB = 2i+j-k, dan C = i-Zj+ 2k,

carilah (a)

(AxB)xC,

(b) Ax(BxC).

(a) AxB Maka

i i

3 -1

1a y

B)xC = (- i+7j+5k) x(i-2j+2k)

2l =-i+7j+5k.

1 -'I

It I

I -2

(b) BxC = l2

-1

-2

!l =-,+?i-5k

= 0i-5j -5k = -5J-5k.

Maka 6y16 16; = (3i-j +2k) x (-sj-5k) Jadi (A x B) x C + me4ghindari tafsir ganda.

30. Buktikanlah

I j,

url

o -5

= ru,+rsr-lsk.

-51

Ax(B xC),yangmemperlihatkanperlunyatanda-kurungdalamAxB

xCuntuk

bahwa luas jajaran-genjang dengan sisi-sisi I I

A dan B adalah lA x Bl.

Luasjajaran-genjang

= ilBl = lAl sin 6 lBl = laxnl.

trt I

I I I

Perhatikan bahwa luas segitiga dengan sisi-sisi

AdanB=7,

lAxBl.

31. Carilatiluassegitigayangtitik-titiksudutnyaberadadiP(1,3,2),Q(2,*l,l), PQ

= (2-l)i+(-1

-3)j+(1-2)k

PR = (-1-1)i+(2-3)j+(3-2)k

R(-1,2,3)

= i-4j-k = -2i-j+k

Dari Soal 30, Luas

segitiga = !l rqxenl

ij k rl 1-4 -l -2 -1

ri-+i -k) x (-2i-j

+k)

= *l -si + j -sk I = iv(:sf-Tcl"-T .,,8 = +/tol

HASILKALI TITIK DAN SILANG

32. Tentukan vektor satuan yang tegaklurus bidang dari A = 2i

* 3k dan B = 4i + 3j -

A x B adalah sebuah vektor yang tegaklurus bidang dari A dan

ars = lz I

j -6 3

Vektor satuan yang sejajar A x B adalah

kt -31 = 15i-toj+3ok -1

AxB

ln"nl

15i-10j+30k

,nR;l.-l,rrf.-co7

Vektor satuan lainnya yang berlawanan arah adalah (- 3i + 2j

3. 2. 67r-?J+?x

6k)17. Bandingkan dengan Soal 16

Buktikan hukurn sinus untuk segitiga bidang. Misalkan a,.b dan c menyatakan sisi-sisi segitiga IBC

seperti diperiihatkan dalam gambar disamping; a * b n c = 0. Perkalikan dengan a x, b x dan cx

maka secara

berturutan, ki.ta peroleh

axb = bxc = cxr vakni

adsinC = 6csinl = cosinB

I abc

sin

atau

sin

34. Pandang sebuah tetrahedron dengan permukaan-permukaan F1, Fz, Fz, Fa. Misalkan Vr, V:, V3, Va adalah vektor-vektor yang besarnya masing-masing sama-dengan luas dari Ft, Fz, F3, Fa d.an yang aiah-arahnya tegaklurus pada permukaan-permukaan ini dalam arah keluar. Perlihatkan bahwa V, + v2 + V3 + V4 = 0.

Menurut Soal 30, luas permukaan sebuah segitiga yang dibentuk oleh R dan S adaiah y, ln x S l. Vektor-vektor yang berhubungan dengan permukaan-permukaan tetrahedron ini adalah

vr= |exn, Maka vr+Yz+"*n'

vr= |rxc,

vs=

*cxe,

vo= !1c-e1 x(B-a)

I ;i:,:l :::. :::.:1;:::;:'1".*AxAr

llasrl ini dapat diperluas untuk polihedra tertutup dan dalam keariaan limit untuk sebarang pernukaan tertutup. Dikarenakan oleh pemakaiannya yang disajitan disini, maka seringkali besaran luas diberi arah dan dakita berbicara mengenai.vektor luus.

Ianr hal ini

35. . Carilah suaiu pcrnyataan untuk r,rontcn dari sebuah gaya F terhadap sebuah

titik

Monlen M dan F terhadap 1' besarnya samadengan F kali jarak tegak-lurus P ke garis-kerja dari F. jika r adalah vektor dari 1, ke titik-pangkal e dari F,

Maka

F(r

sind) = rFsin6 = lrxrl

HASILKALI TITIK DAN SILANC

Bita kita memhayangkan sebuah sekerup berulir-kanan (right-[hreadedl cli l' yang rcrak-lurus bidang dari r Can F, ntaka bila gayii F bekerya. sc'kelupnya akan bergerak dalam arah r x F. Dikarenakan hal ini, maka adalah sesuai untuk nrendeiinisikal i:tomen sebagai vektor M = r x F.

,\-\ -_) 9.\

36. Sebuah benda-kaku berotasi ntengelilingi sebuah sumbu yans nrelalui titik O dt-ngan besar kecepatan sudut Gr. Buktikan bahwa kecepatan linear v dari sebuah titik P dari benda dcugau vektor kedudukan co

r diberikan oleh v = <,.l x r.

ndahh vektor yang besat'nya

dinrana

dan arahnya sesuai derlgan arah ntajurrya sekrup bila urcngalanri rotasi yang sama. c.r

Karcna P rnelintasi sebuah lingkaran berjejari

sin d,

nraka hc,sarnya kecepatan linear v adalah t,-l (r sin 0) = i c,.1.", l. Juga. v haruslah tegakJurus o)dan rkedua-duanya sedenrikian rupa sehingga r, (, dan v membentuk sebuah sistern tangan-kana11. lvlaka besar dan arah v sesuai dengan c^l x r, oleh karena itu v =0(,) x r. Vektor c,-l disebut kecepatan sudttt.

HASIL KALI TRIPEL.

37. Perlihatkan bahwa harga mutlak dari A . (B x C) ngafi

sama de-

volunle paralel-epipedum dengan sisi-sisi A, B dan C. Misalkan

adalah normal-satuan terhadap jajaran-gen-

searah dengan B x C dan misaikan /r adalah tinggi dari titik-terminal A di atas iajaran-genjang 1.

jang

/, yang

Volume paralel-epipedurn = (tinggi ft) (luas jajaran-genjane

I).

= (A.n)(laxcll = a.{ lt"cln} = A'(Bxc)

Jika A, B dan C

ll.(s *c) l. 38. Jika A

A2i +

tidak membentuk sebuah sistem tangan-kanan maka

Ask,

B =Bri+B2i +Bsk,

C =Cri

A. (BxC)

A.n(0

Crj +C"k perlihatkan

At B! Ct

A"l Brl

c"l

dan volumenya

bahrva

i j ki A.(BxC) = A. Bt 82 hl C1 C' C'I = (Ai + =

A2i

+ /{'k) .llBrcr-B"Cr)i +

(83C1

-81 Cs\i + G$z-BzCik)

A1(82C3-fuC2) + A2(BsCa- B1C3) + &(B$2-B2Ct)

A1 A2 Asl Ba B, B"l c, c2 c.l

HASILKALI TITIK DAN SILANG

39. Hitunglah

(2i-3i) - lfi*i-k)x(3i-k)].

2 -3 0r 1 1 -rl 3 o -rl

Menurut Soal 38, hasilnya Metode

=E.

/ain. Hasilnya samadengal

(2i-3i). [ir(Si-k) + jx(3i-k) - kx(3i-k)] = (2i-3j). [3ixi *ixk + 3ixi -jxk - gkxi + kxk] = (2i-3i).(0 + j - 3k - i - 3j + 0) = (2i-3i).(-i-2j-3k) = (2)(-1) + (-3)(-2) + (0)(-s) =

40.

Buktikan bahrva Menuiut Soal

A' (B x C) = B'

(C x

38,

A. (B

xC)

A) = C'(A x B). A. A. A.I a, ai s"l

cr c2

csl

Menurut salah satu teorema dari determinan yang menyatakan bahwa pertukamn dua buah baris dari sebuah determinan merubah tandanya, maka kita perolen

A, A. A.I

a, ai a"l ca c2

lAr A2

cal A3

ln, a, n" lc, ct c.

B. B^ B.I

cL c2

A, A, hl cl c2 c3

csl

cr c2 c3l Br 82 B3l Ar A2 hl

41. Perlihatkan bahrva A' (B x C) = (A x B). C DariSoal

81 82 B3l C7 C, C.l = B.(CxA)

ei ei e"l =

AL A2 81 82

= c.(AxB)

40, A.(BxC) = C.(AxB) = (AxB).C

x C) ditulis tanpa tanda-kurung seperti A .B x C, Dalam hal demikian tak mungkarena interpretasi yang hanya mungkin adalah A .(B x C) dan (A . B ) x C. Akan tetapi yang terakhir tak mernpunyai arti karena hasil kali silang antara skalar dan vektor tidak didefinisikan. Kadang-kadang

A - (B

kin timbul tafsir ganda

HasilA.BxC=AxB.Cseringkalidiringkasdalampernyataanbahwatitikdansilangdapatsaling dipertukarkan tanpa mempengaruhi hasilnya.

42. Buktikan bahr.va A. (A x C) = 0. DariSoal

43. Buktikan

41, A.(AxC) = (AxA).C = 0.

bahrva syarat pertu dan cukup agar vektor-vcktor A, B dan C koplanar adalah

Perhatikan bahwa

B x C tak dapat berartilain daripada

B x C = 0.

(B x C).

Jika A, B dan C kopla.nar, maka volume paraiel-epipedum yarrg dibentuk nrereka adalah nol. Maka rnenurutSoal 37,A.Bx C=0. Sebaliknya, jika A . B x C = O. maka volume paralel-epipedum yang dibentuk oleh vektor-vektor A, B dan C adalah nol, dan dengar demikian vektor-vektor haruslah terletak dalam sebuah bidang.

44.

Misalkan r1

=x1i +.r,rj + zrk,12=,r,i +,r'2j +z2k

d:ru 13 =,r'1i +-r,1i

+:rk

atlalah vcktor-vektorkcdu-

HASILKALI TITIK DAN SILANG

dukan dari titik-titik Pt (xr, yang nrelalui P 1. P2 dan P3.

!r, z),

Pz (*2, Iz, Zz) danP3 (x3,

!t,zt).

Carilah persamaanuntukbidang

Kita menganggap bahwa Pt, P2 dan P3 tidak terletak pada sebuah garis-lurus; oleh karena itu mereka menentukan sebuah bidang.

Misalkan r = xi+ yj + zk menyatakan vektor kedudukan dari sebarang titik P (x, .1-', z) dalam bidang diatas. Pandang vektor-vektor P 1P2 = 12 - r1, P1P3 = 13 - rl dan P1P = r - 11 }rang semuanya terletak dalam bidang.

43, P1P. P1P2 x PrPs = 0 (r-11).(r2-q)x(rs-11) = 0

Menurut Soal

atau

Dalam koordinat-koordinat tegak-iurus persamaan ini menjadi

[(z-2.)l +ly-ylt! 1(z-zr)k] 'l(4-rr\l + Q2-ylt! a Qr-zr'))t)x [(:"-zr)l z - zrl lx-zr f-lt pe!.gunakan atau, Soal ia. l2-y7 "r-rrl = o . l rr-r, I

ts-rt

(y3-y1)t + (:.-21)l] =o

,"- rrl

Ys-Y7

45. Carilah persamaan untuk bidang yang ditentukan oleh titik{itik Pr(2, *1

,l),

-l)

P2 (3, 2,

3, 2). Vektor-vektor kedudukan dart Pr,P2, P3 dan sebarang titik ^(x,

t2:Xl+2t-L, rs=-l +?t +2, da;r r =rl +yt+ zl. MakaPP, = r -rl,PzPr =r: -rr,P:Pr =13-11 sehingga (r - q) . (r2 - q) x (rs - 11) = 0

dan P3(-1.

z) adalah berturut-turuth=

2t-J

+k,

Sâ&#x201A;Ź(lu&nyaterletakdalamLidangyangdikehendaki,

[tr-z)t +(y+l)J+(z-1)k] . [t+si-2k] x[-et +*i +r,] = 0 [{r-z)t +(/+1)!+(z-1)r] . [rri+5J+ 13k] = 0 l1(r-2) +5(y+l)+73(z-1) = 0 atau llx+5y +132 = 30.

yakni

Jika titik-titik P, Q dan R sentuanya tidak terletak dalarn garis-lurus yang sama dan vektor-vektor keduduk-

annyarelatifterhadaptitikasaladalaha,bdancmakaperlihatkanbah$,aaxb+bxc+cxaadalahsebuah vektor yang tcgak-lurus bidang dari P, B dan R.

Misalkan r adalah vektor kedudukan dari sebarang titik dalam bidang dari P, Q dan R. Maka vektorvektor r - a, b - a dan c -'a koplanar, sehingga menurut Soal 43.

(r-r).(b-r)x(c-1) Jadi

= $ atau (r-a).(sxb+bxc+cxa)

xb+bxc+cx,ategak-lurus.padar-adandengandernikiantegak-lurusbidangdariP,Q

dan R. 41

BulCtikan:

(a) Ax(BxC) = B(A.C)-c(A.B),

(6) (AxB)xC = B(A.c)-A(B.C).

(a) Misalkan A=Ai,+Ail+Ask, B=B1t+BzJ+ Bsk, C=Crl+Czj+Csk.

Maka Ax(Bxc) = (ALI+A2!+l3k) x l81

J kl

Brl

lc, C, c.l

(A]. +A2!+,{3L)x([82C3 - &Cz] r + [r"C, - arc"]

+ lBlC2-

B2C7)ti

HASILKALI TITIK DAN SILANG

rjul AlA2Asl - B3C2 B3C7- BTC| B$"- B2C1l

B2C3

(A2B 7C2 - A2B2C

AyB3C1+ l3B1Ca)

i +

(AsB2Ce

A1B1C2- AIBIC2 + A1B2C

(A7B3C1- AtBrCs- A2B2C3 + A2Fâ&#x201A;Źc2rk

Juga. B(A.C) - C(A.B) = (B1l+B2l +83k)(11C1 +A2C2+AsCd - (Ci+C2l +C3k)(1181 +A282+A3Bs\ = (A2B LC 2 + AsB LC s - A2C aB 2 - Arb rB i + B 4$ t + B 2AsC a - C2A1B 1 - C2fu B ) ! "t + (BBATC L + B|A2C2- CaAaB t - CsA2B2)k (

dan dari sini diperoleh hasilnya.

(6) (AxB)xg = -Cx(AxB) = -{nfC.Sl-B(C.A)}

= B(A.C)-A(B'C)

dengan mengganrikan

A, B dan C dalam (a) berturut-turut dengan C, A dan B.

PerhatikanbahrvaAx(BxC)*(nxB)xC,yangberartibahwahukumasosiatifuntukhasilkali silang tak berlaku bagi semua vektor A. B. C.

+d. Buktikan : (AxB).(CxD) = (A-C)(B.D) - (A.D)(B.C). DariSoal

41, X'(CxD) = (XxC)'D. Misalkan X=AxB;maka (AxB).(cxD) = {(AxB)xc} . D = {B(A.c)-A(B.c)} . D = (A.C)(B.D) _ (A.D)(B.C), pergunakan Soal47

(b).

49. Buktikan: Ax(BxC) + Bx(CxA) + Cx(AxB) = 0. Menurut Soal 47

(a),

C) = B(A. C) - C(A' B) Bx(CxA) = C(B'A) - A(B'C) C x (A x B) = A(C.B) - B(C. A) A x (B x

Jumlahkan, maka diperoleh hasilnya.

50. Buktikan: (AxB) x(cxD) Menurut Soal 4't (o),

= B(A.cxD) - A(B.CxD) = C(A.BxD) - D(A.BxC).

Xx(CxD) = C(X.D) - D(X.C). Misalkan X=AxB;

maka

(AxB) x (CxD) = C(AxB.D) - D(AxB.C) = c(A.B xD) - D(A.B xC) MenurutSoal 47(D)

51. Misalkan PQR Buktikan bahs

(AxB)xY = B(A.Y)-A(B.Y). Misalkan Y=CxDi (Ax B)x (Cx D)=B(A.Cx D)-A(B.Cx D).

sebuah segitiga boia yang sisi-sisinya p, q,

maka

adalah busur-busur dari lingkaran-lingkaran besar.

sinP _ sinQ - sinR sin p sin g sin r

Andaikan bahwa bolanya (lihat gambar di halanran 3 t) berjejari satuan, dan misalkan vcktor-r'ektor satuan A, B, dan C digambarkan dari titik-pusat bola O bcrturut-turut ke P, Q, dan R. Dari Soal 50,

(j)

(AxB)x(AxC) = (A'BxC)A

I{ASILKALI TITIK DAN SILANG

Vektor satuan yang tegak-lurus adalah A, sehingga (1) menjadi

(2\ (3)

sinr sing sinP A = (A.BxC)A sinr sing sinP = A.BxC Dengan mempermutasikan p,

A x.B dan A x

B, C secara siklis,

q, r, P, Q, R

dan

kita dapati

sinp sinr sinQ = B'CxA sing sinp sinft = C.AXB

(4) (5)

Karena ruas kanan dari (3), (4) dan (5) adalah sama (Soal 40) maka

sin

rsin 4 sin P= sin p sin r sin Q =sinq sin p sin

sinP _ q1Q sinR sin g = sin r

yang darinya kita peroleh

sinp

Pernyataan ini disebut hukum sinus untuk segitiga bola

52. Buktikarr: (AxB)'(BxC)x(CxA) MenurutSoal

= (A'BxC)2.

47(a), xx(CxA) = C(x.A)-A(x.C).

MisalkanX=nx C;maka

(BXC)X(CXA) = C(BXC.A)- A(BXC.C) = C(A'BxC) - A(B'CxC) = C(A'BxC)

(AxB)'(Bxc)x(cxA) =

Jadi

53_

Diketahui

vektoi-vektor

perlihatkan bahrva

jika a'

(a) a'.a = b'.b = c'.c =

xi-

= -! a'bx

I 0,

::;l"i.f r,I"l = (A.Bxc)2

b'= cx

e.bxc

axb dan c' = a'bxc'

maka

(b) i'.b = a'.c = 0, b'.a = d'c = 0, c''a = c"b = 0, (c) jikaa'bxc = Znraka ,'.b'* c'= llV.

(d)

a', b' dan c' tak-koplanar jika a, b dan c tak-koplanar.

(a)

d.a = a.d

bx c a.bxc a.bxc =_=1 a.bxc a.bxc cx & b.cxa b.a.bxc a.bxc = a.bxc axb c.axb a.bxc ==

t'.t = t.d t, c. c

= c. c

rb) a''b = l.i

"'".rr"

bxc a-bxc

".nr" b.bxc a.bxc

a.b*" = i bxb.c a.bxc

Dengan cara yang sama diperoleh hasil-hasil lainnya. Hasil-hasil ini dapat dilihat dengan memperhatikan bahwa misalnya, a' arahnya sejajar b x c sehingga dengan demikian haruslah tegak-lurus b dan c dari mana

diperoleh

r'' b= 0dan a'' c= 0.

HASILKALI TITIK DAN SILANG

Dari (a) dan (D) kita melihat bahwa himpunan vektor-vektor a, b, c dan a', b', c'adalah vektor-vektor resiprokal. Lihat pula Soal-soal Tambahan 104 dan 106.

b'", d= "'", ",= "'b YVY (bxc).(cxa)x(axb) (axb).(bxc)x(cxe) t .,, Maka a'Dxc = vo tf V, L ----=-r _ (a.bxc)2 = = Pergunakan Soal 52. V" V. n (d) Menurut Soal 43,jika a, b dan c tak-koplanar a.b xc*0. Maka dari bagian (c)diperolehbahwa a' . b' x c' * 0, sehingga dengan demikian a', b' dar, c'juga tak-koplanar. (c)

,'=

54. Perlihatkan

bah,'va sebarang vektor

r dapat dinyatakan dalam vektor-vektor resiprokal dari Soa[ 53

r = Dari Soal 50, Maka

1r.

d1a + (r. b')b + 1r. c'1c.

B(A'CxD)-A(B'CxD) A(B-CxD) -A'BxC

Misalkair A = a. B=b, C=c danD=r. -I

= C(A.BxD)- D(A'Bx C) B(A.CxD) C(A.BxD) A.BxC A'BxC Maka

r'bxc

r'cxa-

a.bxc bxc .(ffi)a

a'bxc

............_a

seperti

r'exb t'bxc cxa-;

exb

+ r. (a.bx c)b + r'(---:-----r)c

= (r./)a + (r.d)b + 1r.d)c Soal-soal Tambahan 55. rHitunglah

: (o) k.(i+ j), (b) (t- 2k)'(J +3k), (c) 0 (6)-0 (c) I

(2i

Jawab. (a)

56. Jika (a) A.8

A=i+3j-2k ,

Jawab. (a)

dan R=4i-2j+4k,

-J

+ 3k).(3t +

2r-k).

carilah:

A, (c) 8, (d) l aa + zs l , (e) (za +r). - lo (6)y'r.4 (c) 6 (d) y' tso (") -ts

<b)

- 28).

57. Carilahsudutantara: (o)A=3i+2J-6kdan B=4i-3J+k, (6)C=4i-2J+4k Jawab. @\ 960 (6) arc cos

8/2'

dan D=3i-6J-2k.

= 6?036'

/ 58./Untut<harga-hargaayangmanakahA=ai-2j+k dan B=bi+aj - 4ksalingtegakJurus? '- ./ Jawah a = 1, ,l 59. Carilahsudutlancipyangdibuatolehgarisyangmenghubungkantitik-titik(1,-3,2)dan(3,-5, 1)dengan sumbu-sumbu koordinat. Jawab. arc cos 2/3, arc cos 2/3, arc cos 1/3 atau 48"12', 48"12', t0"32'

{

607 Carilah cosinus-cosinus arah dari garis yang menghubungkan titlk-titik (3,2,

' Jawab. 217 ,317 , -617 atau -217 ,

-317

617

-4) dan (1, -1,2)

B =4i-ia3k.Tentukan ,t[iAt{li,90o atau 36"4', 53"56', gO"

61. Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor A = 3i+6j - 2kdan sudut-sudut dari segitiga

ini. Jawab. arc cos7l1f75,

arc cos

HASILKALI TITIK DAN SILANG

sebuah jajaran-genjang diberikan oleh A = 3i - 4i - k dan B =2i+3i - 6k. Perlihatkan bahwa jajaran-genjangnya adalah sebuah belah-ketupat dan tentukan panjang sisi-sisi dan sudut-sudutnya. Jawab. 56/2, arc cos 23l?5, 1800 - arc cos 23/15 atau {,33, 12"8', Loflzt

62. Diagonal-diagonai

63. Carilah proyeksi vektor 2i - 3j + 6k pada vektor i + 2j + 2k. Jawab. 64. Carilah proyeksi vektor 4i Jawab.

.3j +

813

k pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,

--l) dan(-2,-4,3).

65,/JikaA=4i -3j+3k dan B = -2i+j-2k,carilahvektorsatuanyangtegak-lurusAdanB. " Jawab. i (i - 2j - 2k)13 56. Caritah sudut lancip yang dibentuk oleh dua buah diagonal

sebuah kubus.

Jawab. arc cos

3 atau

70o32'

67. Carilah vektor satuan yang sejajar bidang,r3 dan tegak-lurus pada vektor 4i - 3j + k. Jawab. *: (3i+

6!, PerlihatkanbahwaA=(2i '2j+k)13,3=(i+2i

4i)15

+2k)13 dan C=(2i+j-2k)/3adalahvektor-vektor

satuan yang saling tegak-lurus.

69. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah obyek sepanjang garis lurus dari (3,2, -l) hiagga (2, *1, 4) dalam sebuah medan gaya yang diberikan oleh F = 4i - 3j + 2k. Jawab. 15 70. Misalkan F sebuah medan-gaya konstan. Perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah obyek mengelilingi sebarang poligon tertutup dalam medan ini adalah nol. 71. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam

sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku.

7i-Misaltan.IBCDsebuah jajaran-genjang. Buktikan bahwa TB2+ BC2 + CD2 + oA2

= Ac2 +-8D2.

73. Jika ,4BCD adalah sebarang empat-persegi-panjang dan P dan Q adalah titik-titik tengah dari diagonaldiagonalnya, buktikan bahwa TB2 + E-C2 + CD2 + -DA2 = TC2 + TO2 + eFQ2 Ini adalah perluasan dari soal sebelumnya.

74. (a) Carilah persamaan sebuah bidang yang tegakJurus pada vektor A yang diketahui dan berjarak p dari titik-asal.

(D) Nyatakan persamaan dari (a) dalam koordinat-koordinat tegakJurus. Jawab. (a) r'n=p, dimana n= A/A; (b) Atx + Az!+ A3z= Ap 75. Misalkan 11 dan 12 vektor-vektor satuan dalam bidang xy yang membuat sudut-sudut a dan p sumbu

dengan

positip.

(c). Buktikanbahwa rr= cosd I + sind J, 12=cosp t * (b). Dengan meninjau

12, buktikan rumus trigonometri

cos(d,-P) I cosd cosB+ sind sin0'

"irB r.

cos(d+F) = cosd cosp-sind sinB

76. Misalkan a adalah vekior kedudukan dari sebuah titik (xr, yt, z1)yangdiket::hui, dan r vektor kedudukan

darisebarangtitik(x,y,z).Nyatakantempat-kedudukandarirjika(a)lr-al=3,(b)(r:a)'a=0, (c)(r-a).r=0.

Jav,sb.

(a). Perrnukaan bola, pusatnva di (.r 1, y 1, z1 ) dan berjejari 3. (b). Bidang yang tegak{urus a dan melalui titik terminalnya. (c). Permukaan bola dengan pusat di (xl12, yr12, z112) dan berjejari +t/;T;fr;/,

atau se-

buah permukaan bola dengan a sebagai diameter.

77. Diketahui A = 3i+j +2kdan B=i - 2j - 4kadalah berturut-turut vektor-vektorkedudukandarititik-titik P dan Q.

(a). Cariiah persanraan bidang yang melalui Q dan tegak-lurus garis PQ.

(b).

Berapakah jarz,k dari

Javtab.(,a)

78. Hitunglah

(r- B).(A

titik ( l, 1, I ) ke bidang

B) = 0 atau Zx+3y+62 = -28:' (b)

masing-masing yang berikut

ini

(o) 2Jx(3i-4k), (b) (t+2J)xk, (c) (2t-4I)x(l+A). (d) (41 +i-2k)x(3t+k), (e) (2i+J-k)x(3i-2J+4k). Jawub. (a) -8i-6k, (b) 2i-J' (c) 8t-4J +4k, (d) t-10J-3k' (e) 2t- 1U-7k

I{ASILKI\LI TITIK DAN SILANG

34 79

Jika A=3i-J-2k Ja*,ab.

(a)

xB) x c

B=2i+J-k

81.

carilah

(a)

lAxsl,

ra) fe+28)x(2A-B),

dan C=i+3J-2k, carilah:

(6) lA x(Bxc)1, Jawab..@)

B=2i+3J+k,

!G, *6) -25i +35j - 55k, (c\ 2y'lb

Jika A=i-2j-3k, (@) | (A

dan

(e) (AxB) x (B xc)

(D (AxB)(B.c)

5y'26, (6) 3fi-o, (c) -20, (d) -20, (e) -40i-20j +20k, ((f) BSi-35j +35k

PerlihatkanbahwajikaA#0dankeduapersyaratanberikut(a)A.B = A'C dan (b) AxB = AxC trerlaku secara serempak maka

B+C.

C, tetapi jika hanya salah satu dari persyaratan ini yang berlaku maka

82. Carilahluasjajaran-genjangyangmemilikidiagonal-diagonalA=3i+j-2kdanB=i-3j+4k.

Jawab. 5/t 83. Carilah luas segitiga yang 84.

titik-titik sudutnya pada (3, -1,2), (1, -1, -3)dan (4, -3, l). Jawab. ','..rfT6i.

JikaA=2i+1-3kdanB=i-2j+k,carilahsebuahvektorlangbesarnya5dantegak-lurusAdanB. Jattab.

f1i*t*Lt

85. Pergunakan

Soel 75 untuk menurunkan rumus

in(d-p1 = sindcosB - cosdsinp, sin(d+9) = sindcosp + cosdstnB

86. SebuahgyayangdiberikanolehF=3i+2j-4kdikcnakanpadatitik(1,-1,2).Carilahmomendari tei'hadap titik (2, - l, 3). Iawob. 2i - 7 j - 2k.

87. Kecepatan sudut dari sebuah benda-kaku yang berotasi mengelilingi sebuah sumbu rotasi diberikan oleh Q = 4i + j - 2k. Carilah kecepatan linear dari sebuah titik P pada benda di mana vektor kedudukannya relatifterhadap sebuah titik pada sumbu rotasi adaiah

88. Sederhanakan

+B)'

(B +C) x (C

+A).

89. Buktikanbahwa (A.BxC)(a.bxc)

2i-3j+k.

Jawab.

- 5i - 8j - l4k.

Jawab. 2A'RxC

la.a a.b e.cl = lr." B.b B."l

1"., c.b c."l

90. C:ilah volume sebuah paralelepipedum yang sisisisinya dinyatakan oleh A = 2i - 3j +4k, B=i+ 2j - k, C = 3t.- J + 2k. Jawab. '7 .

91. Jika A.BxC=0,perlihatkanbahwaatau (a) A,BdanCkoplanartetapitakadaduabuahvektordarinya yang kolinear, atau (D) dua buah vektor dari A, B dan C kolinear, atau (c) semua vektor A, B dan C kolinear.

2i-j+ k,i+2j - 3kdan 3i+aj+ 5kkoplanar. 93. Jika A= -tqa +y,blz1c, B = xra+yrb+z3cdan C=x3a*;,3b*23c, buktikan bahwa lr, y7 zrl 92. Carilah konstantaa

sehingga vektor-vektor

Jaw'ab.

a='-4.

n.src = 1,, y2 ,rl {a.t'c)

l'" fs

94. Buktikan bahwasyarat perlu dan cukup agarA.x "I (B x C) = (A x B)xCadaiah(AxC)x B=0. kasus dimana A.B = 0 atau B .C = O.

Bahaslah

95. Misalkantitik-titik P,Qdan R memilikivektor-vektorkedudukanrr =3i-2j* k, 12 =i+3j+4k t3 = 2i+ i 2k relatif terhadap titik-asal O. earilah jarak dari P ke bidang OQR. Jawab. 3.

dan

HASILKALI TITIK DAN SILANG

96. Carilahjarakterpendekdari(6, -4,4)ke garisyangmenghubungkan(2,i,2)dan(3. -1,4). Jawab.3 97. Diketahuititik-titik P (2,1,3), O(1,2, l), R (-1,-2, -2) dan S(1,-4,0), carilahjarakterpendek antara garis-garis PO dan' RS. Jawab. 3..fT

98. Buktikan bahwa buah

dari sebuah segitiga (garisnya diperpanjang bila perlu) berpotongan dise-

garis-garis tinggi

titik (orthocenter dari segitiga).

99. Buktikan bahwa garis-garis sumbu dari

sisi-sisi sebuah segitiga berpotongan disebuah

titik (circumcen,er dari

segitiga).

100. Buktikan bahwa (AxB).(CxD)

l0l.

+ (BxC).(AxD) + (CxA)'(BxD) = 0.

Misalkan PQR sebuahsegitigabolayangsisi-sisinya p,q,radalahbusur-busurdarilingkaran-lingkaranbesar' Buktikan hukum cosinus untuk segitiga bola,

cosp = cosg cosr + slng sinr cosP / yang diperoleh melalui permutasi siklis dari huruf-huruf. I Petunjuk: tnteipretasikan keduabelahruasdariidentitas(AxB)'(AxC) = (B'C)(A'A) -

dan juga rumus yang analog untuk cos q dan cos

(A' C)(B'.1),1 102. Cai-ilah suatu himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap himpunan vektor

2t+3J-k, t-J-2k, -t+2J+2k: rawcb.

103.

i,-**, -*,*t-i.,

Jika a'= -!:L. a.bxc'

cla n'= a.bxc

-]r.l-tt dan c'= "Ib . buktikanbahwa a.bxc'

b'xc' i c'

a'. b',

104. Jika a, b, c dan a', b',

-D=

e'ri a'. b'x c'

' .

dxb' d.

b',

adalah sedemikian rupa sehingga

a''a = b''6 = s1s = 1 !'.b = a'.c = bta = b'.c = c'. 1 = g'.6 =

buktikan bahwa dari sini diperoleh

bxc t , =..b'rc'

cxa -, h =*br"'

axb , " =;ffi

105. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor tangan-kanan ),ang dirinya sendiri juga vektor-vektor resiprokal adalah vektor-vektor satuan i,

j, k.

106. Buktikan bahwa terdapat satu dan hanya satu himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap suatu himpunan vektor-vektor tak-koplanar a, b, c yang diketahui.

DIFERENSIASI VEKTOR

TURUNAI\{ BIASA DARMKTOR. Misalkan R (u)

se-

buah vektor yang bergantung pada sebual-, variabel skalar runecal rr.

Maka AR _ R(u +Au) Au-Au

B(u)

An-n(u+Ar)-R(s)

di mana Aa nrenunjukkan suatu pertalnbahan dalanr u (lihat garrrbar disarnping). Turunan biasa dari vektor R (a) terlratlap skalar a diberikan oleti

ttm & = llm R(u+Au)-R(u) + du = Au:o Au a,ti-o Au

' iika lirnitnya ada.

Krr.n. d;R du

adalah sebuah vektor yang bcrgantung pada

'-":

Jika turunan ini ada, ia dinyatakarr otA,

u,kita

dapat ureninjau turunannya terhadap rr.

Dengan cara yang sama dibahas turunan dengan orde lebih tinggi

KI'IRVA - KURVA RUANG. Bila R (z) adalah vcktor kedudukan r (a) yang nrenghubungkarr titik asal O dari titik (x, y, z), nraka

suatu sistem koordinat dan sebaiang

r(z) = r(u)l + y(u)t + z(ulk dan spesifikasi fungsi vektor r (u) nrcndelinisikan x,

dan z scbagai fungsi-fungsi dari u.

Bila u bcrubah. titik ternlinal r nrengganrbarkan sebuah kurva ruang yang nrerniliki persanlaan-persalnaan pafarneter

ruakrr

r=r(u), y=y(u), z=z(u)

$ Au= Iaf*)--I.(l) Az

scbualr vektor yang scarah dengan

r,rrrrl,

4r (lilrat ganrbar disant-

ping). Jika

lirrr + : + 6r-s An ilu

ada. nraka linritnya

akan bcrupa

sc-

brrair vcktor yang scaralr dcngarr urah guris-singgung par!t kurva ruang di (x, -r,. z ) dan dibcrikalr olch

d"=d"l*fri

dz +-k du

DETTERENSIASI VEKTOR

Bila

adalah waktu

gambarkan kurvanya.

t, maka

*du

nrenyatakan keccpatan V yang mana dengannya titik-terminal dari r meng-

D.ng.,l.riJy.ng sanra,

ntenyatakan percepatana sepanjang kurva.

KOI.ITINUITASDANDIFERENSIABILITAS. Sebuah fungsi skalar

0 (u)

disebut konrirw

di u jika lim o

(. (u + Au) = Q(u).Ekivalen dengan ini, jika untuk setiap bilangan

positif'â&#x201A;Ź

{

(z) kontinu di n

kita dapat memperoleh bilangan positif6 sehingga

l41u+Lu1

-f<ull < e apabila lArl .

SebuahfungsivektorR(u) = Rr(z)i+Rr(u)j+R3(u)kdisebutkontinudiljikaketigafungsiskalar

R1(a), R2(u) dan R3(u) kontinu di u atau jika lim di u jika untuk setiap bilangan

+ oR(u

Au)= R(u). Ekivalen dengan ini, R(z) kontinu

positilâ&#x201A;Ź kita dapat menemukan bilangan positil6

lnln+Az1

-R(u)l<

sehingga

apabila la,I . A.

Sebuah fungsi vektor atau skalar dari u disebut diferensiabel berorde n jika turunan ke - n - nya ada. Sebuah fungsi yang dilerensiabel haruslah kontinu tetapi sebatiknya tidak berlaku. Bila tidak ada pernyataan lainnya, maka kita menganggap bahrva semua lungsi yang ditinjau adalah diferensiabel hingga otde yang diperlukan dalam pembahasan.

RUMUS DIFERENSIASI. Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar z yang diferensiabel dan @ sebuah fungsi skalar dari u yang diferensiabel, maka

t.4<e*$=+.+ du' du

fi<e.u = ^.#.ff-" s. !*<e,*u = n"# * dfi*,

t.4<an = ++ du du 5. f(A.Bxc)

**e du

n.sxdj+a.*xc+4'sxc du du du

* a,,r# 6. ! {n,(Bxcr} = Ax(8, Pl '- du''d,u xq + du'

$ du

x (Bxc)

Urutan dalam hasil-kali hasil-kali ini penling. TLJRUNAN PARSIAL DARMKTOR-VEKTOR. Jika A adalah sehuah vcktor yang bergarrturrg pada lcbih daripada satu variabcl skalar, katakar. x' )', z ulisalnya, rnaka kita tuliskan A = A (x, y. z). Turunan parsial dari A tcrh:dap r didcl'inisikan scbagai

jika linritnya ada.

Begitupula

P=i*W ar-0

idy

ar A(r, y +Ly, z\ - A(x,y,z\ .. IIm-

A, -0

DETTIRENSIASI

aA dz

VIKTOR

A@,y, z +Az)

Az..o

adalah masing-nrasing turunan parsial dari A terhadap

A(z,y,z)

dan z

jika linritnya ada.

Pernyataan kontinuitas dan diferensiabilitas untuk fungsi-tungsi dari satu variabel dapat diperluas bagi fungsi-fungsi dari dua atau lebih variabel. Misalnya, $(x,

dikatakan kontinu di (x, y)

jika lim

@(x

+ Ax, y

tJlS Ay) = Q(x, y), atau bila untuk setiap bilangan positif â&#x201A;Ź kita dapat menemukan bilangan positif 6 sehingga lq@ + Ax, y + Ay) - Q@, y) l( â&#x201A;Ź apabila iAr l< 6 dan lAy l< 6. Definisi yarg sama berlaku pula untuk fung-

si-fungsi vektor.

Untuk.fungsi-fungsi dari dua atau lebih variabel kita pergunakan istilah diferensiabel (differensiablei dengan pengertian bahrva fungsinya menriliki turunan-turunan parsial peltama yang kontinu. (lstilah ini dipergunakan oleh ;.ang lainnya dalam pengertian yang agak lebih lunak). Turunan-turunan yang lebih tinggi dapat didefinisikan seperti dalam kalkulus. Jadi, misalirya,

?2A ?2a ?.?e. a,aA. a7 = a"(a" )' ;V = tt3,''

?2.{ _ a,aA, a"a, = a,tt''

?2A

a,i," =

lr?4,,

artt''

E2A

?,4A,

a,' =- a,\i) a"A _

?r?2,l,,

a,a"".- ar'ar'' ^2

Jika A memiliki sekurang-kurangnya turunan-turunan parsial orde kedua yang kontinu.

*.f.. 5ffi

-2

yakni urutan dilerensiasinya tidaklah menjadi persoalan. Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang-dipergunakan dalam kalkulus elementer dari fungsi-fungsi skalar. Jadi jika A dan B adalah fungsi-fungsi dari x, y. z mzka, misalnya,

* $., l. 3ra.nr = A.P Ox,' dr dx 2.

* P's +6xB) = A ,9E dx dx dx ^2 = 3t3re.sri S.nl = ltn.P. -*re.sr oy ox, dy Ox Oy dx dx

g4.gE * g4.gE. o.E dy dx dy dx ' 6; ' i **:?:g.* 3;; 'B '

dan seterusnva'

DIFERENSIAL DARMKTOR-VEKTOR mengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari kalkulus elenrenter, Misalnya,

,1. Jika A=Ai+A"i+,\k,

d(A-

B) =

A. dB

maka dA= dAi+dAri+ilA"k

dA.B

3. d{Axa) = AxdB + dAxB 4. rika A= A(x,y.z),rnaka aa =

!a, . {+ * {a,,

arr.

GEOMETRI DIFERENSIAL menyangkut studi terhadap kurva-kurva ruang dan permukaan-permukaan. Bila C adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh kurva r (a), maka kita telah me-

DET;ERENSIASI VEKTOR

iihat bahwa

aoalah sebuah vektol yang searah dengan Baris-singgung pada C. Jika skalar

panjang busur s yang diukur dari suatu

titik pada Cmaka

Cinyatakar"r riengan T (tihat ganrbar dibarvah). Laju perubahan

Jan diberikan oieh

{T ds

Arah dari

4l ds

u diarnbil

sebagai

uaA^nsebuah vektor sirrggungsatuan pada C dan

T terhahap s adalah ukuran dari kelengkungan C

puaa sebarang titik

p:rda C adalah normal terhadap kurva pada titik tersebut (lihat Soal 9). Jika N adalah sebuah vektor satuan dalanr

rralr normal ini, nraka ia disebut normal utama (prin' = ,.N, di mana K di cipal nornul )pada kurva. Jadi # sebut kelengkungan (curvature ) dari C pada titik yang dispesifikasikan. Besaran p = 1lK disebu iejari kelengkurtgan (radius of cun,ature ).

VektorsatuanByang tegak-lurus pada bidang dari T dan N dan sedenrikian rupa sehingga B = Tx N, disebut blnonaai terhadap kurva. Dari sini diperoleh bah'uva T, N, B mernbentuk sebuah sistern koordinat tegakIurus tangan-kanan lokal pada sebarang titik dari C. Sistem koordinat ini disebut trihedral alautriad pada iitik 1'ang ditinjau. Bila s berubah, maka sistenr koordinatnya bergerak dan dikenal sebagai trihedral bergerak. Hirnpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-vektor fundamental T, N dan B cara kolektil dikenal sebagai rumus Frenet - Serret yang diberikan oleh

di mana sion

rn- <'r,

se-

P=-,r ds

adalah sebuah skalar yang disebut torsi (torsion). Besaran o

= llr

disebut ieiari torsi {radius

of tor'

Bfulang osktlasi (osculating plane) pada sebuah kurva dititik P adalah bidang yang rnengSndung vektor satuansing,gungdannorrnal utarnadiP. BidangnormaladalahbidangyangnlelaluiPdantegak-lurusvektorsatuan singgung. Bidang yang meralat (rectifying plure) adalah bidang yang meialui P dan tegak-lurus normal utama.

MEKANIKA menyangkut studi

terhadap gerak partikel sepanjang kutva-kurva, studi ini dikenal sebagai klneini beberapa hasil dari geometri diferensial dapat mempunyai arti.

matika. Dalarn hubungan

Studi terhadap gaya-gaya pada obyek-obyek yang bergerak ditinjau dalamdinamika. Yangmendasar dalam

studi ini adalah hukunr Nervton yang terkenal yang menyatakan bahrva jika F adalah gaya total yang bekerja pada sebuah obyek bermassa m yan1 bergerak dengan kecepatan v, uraka

*(nv)

di mana niv adalah rnomentum dari obyek. Jika rn

konsr"an, maka rumus

ini menjadi F = m

dr= dt

nza.

di mana

a adalah percepatan dari obyek.

Soal-soal yang Dipecahkan l. Jika R (u)

(u)i

y (u)j

huktikan bahrva

z(u)k, di manax, y,dznz fungslfungsi diferensiabel dari

dx. = -;-l d,u

dy. d.u

dR= Ilm .. R(u+Au) --:-:Cu

Nt-o

*u.

R(u)

sebuah skalar

DEF'ERENSIASI VEKTOR

+Az)I + y(a +Aa)i = rim [z(u du'-o

z(u +Au)

aijlo dx

=- dul +-A;V;t + 2. Diketahui

R = sinr i

+ cos,

rk,

- ,(z) .

+ z(z

+&)r.] - [z(s)t + l(u)J + z(u)k] A"

y@+N)

' ' ----a,

y(u)

z@+N1 i. * ---&-

z(u\

i;k Carilatr (c)

#, ,ur'#,nt lffl, Al t#l

dRddd fu) a, = A(sinr)i + ;(cosr)J +;(r)k = cosrl - sinrJ + k

(t ddr d d (b) d,2R dt2 = A(d,) =;(cosr)i-A(sinr)j+;(l)t

r- td'*.t @l?il = ',zr-5in4'11-"6s11'=

-sinri-cosrJ

3. Sebuali partikel

bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya sin 3r, di mana r adalah waktu. Tentukan kccepatan dan percepatannya pada sebarang saat. Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pada t = 0.

2 cos 3r,

(a) (D)

adalah.r=e't,y=

z =I

(a) Vektorkedudukanrdaripartikeladalah r =:7+yt+zi = e-tl+2cos3rr+2sin3, l. d: . Maka kecepatannya v = -"-t, - csh3, J + Gcos 3, E danpercepatannya

(b)Pada

r=0,

It #=

f;=-i*ot

"-t, dan

lScos3rJ

lSstn3rk

fi=r-rrt.

Maka

/e],lz;(8 = /n percepatan pada t = 0 adalah /{T; e@ = hzs.

besarnya kecepatan pada t = 0 adaiah besarnya

Sebuahpartikel bergeraksepanjangkurva

x=2t2,y=t2 -4t,2=3t*5,dimanaradalahwaktu.Carilah

komponen-komponen kecepatan dan percepatannya pada saat , Keceparan

= * = frlzrri + 1t2-4t1i + (3r-S)k] = 4ri+121-41;+3k = 4i-2J+3l

vektor satuan datam arah i _ 3j + 2k adalah

= I dalam

arah

3j + 2k.

pada'=l.

ffi

Maka komponen kecepatan dalam arah yang diberikan adalah

(4i-2j+3k).(i-3j+2k)

percepatan

= *r*t

(4)(1)+(-2)(-3)+(3)(2)

= -

ru- _ Bt/i

h4-

= frlnrr+(2,-4)J+3kl = 4r+2J+0k.

DIrt:ERENSIASMKTOR Maka kornponen percepatarl pada arah yang diberikan adalah

gt?r .j!t ..0_!l .lkt _

(4)

(1) +

(2)

f,rq

(-3) + (0)(2)

/rs

t/-u

- -/n 1

panSebuah kurva C tlidetllisikap oleh persalrraatl parallleter x = .x(s) )' =,v(s)' z = z(s), di mana s adalah pada C' titik sebarang dari vektor kedudukan adalah parJa Bila r C. jang husur C {iukur tlari suatu titik tctap perlihatkan bahrva r1r/t1s adalah veklor singgung satuan pada C.

Vektor dr - !.,1+ yj + zk) = #", - b*t - 'i* ds ds l,= -v(r), z = z\s). Untuk mernperlihatkan bahwa ia tdr

menvinggung

adalah vektor satuan.

kita perhatikan bahwa

karena dari kalkulus

kurvax = 'x(s),

(<1s)2

= (dx11 + (,dy)' + {dz)?.

6. (a) Carilahvektorsinggungsatuanpadasebarangtitikterhadapkurva. z (b) Tentukan vektor singgung satuan ini pada titik di mana r = 2' (a) Vektor singgung terhadap kurva pada sebarang titik adalah

+ (4r-3)j + 12c2-or;kl

'; = fila'*rl, Vektor ini besarnya

l*l

=t2iL, y--4t-3,

z =2t2-6t

= 2tt + 'ii + ({r-6)k

= /fa? * <&* <+r-ef

Makavektorsinggungsatuanyangdikehendakiadalah

Perhatikanbahwakarenal';l

T - 2ri + 4J + (4'-6)k

!'Aa'?;@T136:i:P

= fi,*unu , = m

=';

(b)Padat=2,vektorsinggungsatuanadalah,=ffi=3,*i,-i*. 7. Jika A dan

(o)

B adalah fungsi-fungsi skalar dari u yang diferensiabel, buktikan bahrva

!,a,st

tal' lte'gl du

"'# . ff'*, 6 !;(axB) = "'#

* df *n

- Ajl lim (A +AA)'(BJAB) = A2-0 Au

rim a:4EjA:E-lA4:AE = [i-o A"

* * *.n* = A.+ rim n.P - A, r ti.u = liz-.o du *.s A" A, clu

Metodelarr.Misalkan

9rn."l d.u '

A= Ai+ 4l+ 4k, B =8rl +

= !g.re, du'

+ A2B2

-- re,d#

. ,b* . uo*t * (#s, . ffa

AsBs)

(A+AA)x(B+AB) = 1im ' ' 41a*sy A" du' ii-o

141

+ B;! + 8"k.'Maka

AxB

.'**,

= ^.oi

* dA. du

DEI.-ER[,NSIASI VEKTO R

AxAg +AAxn +AAxAB

lim Lu-O

,r'$+S,r*Aj,an Au A" A"

lim

Lu-O

Metodc lain

= '- du +d4,8 ^xd] tlu

f,re"n1 = f,ln, A2 As la, 82

Pergunakan teorema diferensiasi dari determinan, maka hasil ini menjadi

ln,

ijk

44r 4!2

l'* '# '# 8. Jika A = St2i+rj-r3k

dan

fi6,'s1 = ^'d# .

B= sin / i

dB -:-- + dA -;- xB = Ax du d,u

413 d,u

* cosr j, carilah {rl S Ur.B),

(b)

ft<e,rU, Ol *tr.

#'"

= (5r2i * rJ - r"k).(cosri + sinrJ) + (lort +, - 3r2k)r(siir!l - cosrJ) = Sr2cosr + rsinl + l0rsin, - cos, = 15t"-l)cos, + llrsin, A.B = Sr2sin, _rcosr.

Metodelain. *rn.*,

-- fi sr"in,-

aolff6^,") = Ax#

o,axw

rcosc) = =

Maka

+,sln, -

Sr2cosr + 10,sln, 15t2-

I;i:, .1,

bos

r +

11,

co6,

sln,

fl .Ii::

_"1.,

= [F sinr i - l3 cosl 1 + 1it2 sin, - r cosryk] r [-3r2cosl I - St2sinrj + (-l0rcosl - sint)k] = (r3sln, - 3r2cosr)l - (lscosr + 3l2sirll)J + (sr2sin, - sin, -

-l,l

11,

cosr)k

Metode lain.

kr ri ,', AxB = |Sr, = -r3cosri-r3sin,!+(-Sicos,-rsinr)k -*l oI | -cos! "in, Maka rl{exa) = lr3sinr-3r2cosrli- lr3cosr +3r2sinr)J + lsr2sinr- llrcosr-sinr)k

<"t fi<a,.A)

= e.'* =

2(St2!

#.^

,**

+11-13h1.(lort+r_Br2k)

Irlctotielain. A'A = ua,Xa f;Qs{+f +t\

151c12

1112

10013

1-1a12

+ 2t +

= =

10013

26ta

+Zt +oF

6t6.

9. JikaAbcsarnyatetapnrakapcrlihatkanbahwaA dandAldtsalingtegak-lurusasalkan laA,/atl / Karcna A besarnya tetap, A . A = konstan.

e^1.

DEFERENSIASI VEKTOR

jte.e) = A.*^ * *^.n = ,n.oi = o.

ruau

JadiA'ff 10.

dan

A tegak-lrrr.ffasalkan

Buktikanrarrwarf(,t.BxC)=A.B fungsi diferensiabel dari skalar

iffi*o

"fi*t-#"r*#.BxC,dimanaA,B,cadalahfunssi-

zr.

MenurutSoal?(a)dan7(D),

fre'Orcl = e.'!*tsrc1 * jf'n"c = a'[n,# . #,c] + ff'n,"c = A.Bx#

Hitungrah

i".#-frr.

Menurutro,

fio.#"#,

. n.ff,c * dfi't,"c

v.ff,# . r.#,# .#.';"# =v.ff*ff *o*o =r'#,#

12. Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh r = cos t.rl i + sin olj di mana <,.t konstan Perlihatkan bahwa (c) kecepatan v dari partikel tegaklurus r, (D) percepatan a arahnya menuju titlk asal dan besarnya sebanding dengan;arak ke trtik-asal, (c) r x v = vektor konstan.

(a) y = *= -.sina.[i Maka

r'v

+ @ coso,tt

: l":'J:;l;:H,|.,:;:,;L'::; :",'"'

jadi r dan v saling tegak-lurus.

*to# =#

= -.'cosa, =

-..l.2

I-

tl.2sina,t!

["o" -, i + sin a.,, !) = -

c,;2t

Jadi percepatan berlawanan arah dengan arahnya r, yang berarti ia mengarah ke sebanding dengan I r I yang adalah jarak ke titik asal.

[cos

at I + slnr".t !] , [-r.., slna, I

a.r

sosor

titik

asal. Besarnya

iJk cosar, Blnor 0l = ar(cos2atr+sln2arr)k = alk,sebuahvektorkonstan -(D sLn @t @ cos at 0 Secara fisis, geraknya adalah gerak sebuah partikel pada lingkaran dengan laju sudut @ yang tetap Percepatannya yang mengarah ke pusat lingkaran, adalah pcrcepatan sentripeldl.

13. Buktikan

, n*t-; - ,fi-"

= i,rn-#

dLxB).

trn,* - 44xR\ = *;n"#t - |rff"nt

DEFERENSIASI VEKTOR

a. f; = e df . Misalkan a = Ati+A2t +Ask.

- ld*,a; . fr,d = n,# - #""

. #"r#

^"#

14. Perlihatkan bahwa

* ei +

)<ei

ef,y

4,qu,!!t

ed# * e,ff

Maka

rT--tr;R

* ze,ff * u,*t

e"ff ^.# = '

Yansberartil#=*'*'

Metode Iain.

Karena

A.A = A2, *rn.n, = *rn'r.

frre.rt = *af * *.^ = ,n.# Maka

' 15. Jika

,^.* = uff,uuu

rt<a\ = uff

o.o* = n#.

Perliatikan bahwajika A sebuah vektor konstan

A = {222y -r'1i

aan.

^ *

seperti dalam Soal 9.

("'t*'y sinr)J + (z2cos7)k,carilah,S,lA. a'A, ?'A. a'e - _fe dx oy'' dS' V' ;q' d;;;'

# = *r*"r-,1t

*r*-rsin,)J

= (4rt -4:31t + (lexl -, cosr)j +

$t'cos7)tr

2xcosy k

+ # = *,*,y-,n)t $<",t-7 sin:)J + $r,2cos7)rr

= 2r2l + (xexl- slnr)J - r2siny

= $rn", -{,3)i + lo"n -/ - l2e\7 +

cosx)i +

+, sinr) j +

$rz,

(4y

fi,r"r, $o).n -sin:)i - $r,, "inrrrr

(72ex1

cosy k

= n + az{1 ! - x2cosy*,= x2exJj

a'-l E,EA, ?,7y - Zr'4' -' =

cosrlr

Axzr2)i

rrcosTk

]e"'1 -sin')j - $c'"invlt

I + (ryexl +exl -cosx)i -

+ ara, = 3,$, artt)

= ?r*r-4r31i A,

2r sinT k

a 3-(,",)oy' /cosu)j + f(2xcos7)k

= 4rl + (xyexlaef,r-cosr;1 - 2rsinyk

DEFERENSIASI VEKTOR

perhatikan buh*u

E'A D'o vakni urutan diferensiasi 0y0x = dxdy '

umumnya berlaku apabila tinu.

16. Jika

A memiliki sekurang-kurangnya

tidak dipermasalahkan. Hal ini pada

turunan-turunan parsial orde kedua yang kon-

4G,y,z)=xyzzdanL=xzi-xyzi+yz2k,carilah$, (0A)padatitik(2,-1,1).

6l =

@y2z'1ezi-xy2.!+yz2k)

$,+nl = j<r'l'r'

72y2227

x2y4zJ +ry3zsk1

x2yai *3xy3z2k)

t'-ar<+nl = fi<uzf"i-

x2yazl +

?*2v22

xfzet

i - rzf I + 3rfz2h

4ry2z

bto

i +

3ysz2k

= j<+rt'rt*uyot+3ysz2k\ = 4/',i*ty't Ox

*,Onl dx'Oz

Jikax=2,y---1 , z=I inimenjadi 1(-l)2(1)i-2(-1)4j = ai-2i. l?. MisalkanFbergantungpadax,y,z,rdimanax,y,danzbergarrtungpadar.Buktikanbahwa dF _ a.E _ aFfu - aFdl: - !E&

dt = dt'ari'zydt'zzilt

di bawah anggapan diferensiabilitas yang sesuai' Misalkan bahwa F

= Fr(x;y.z,t)l + Fl*,y,z,t)J + Fr(x.y,z,t\\.

Maka

dF = dFLt+dF2!+d\k

$r, **r, **d,7r + t*r, *ffu,.*0, *{a t*" *ffo' .ff+ * $a'Jr

= t+ar

?n * P1 * 9&r1a, * (9Lr + 9Li * ]&1ya, = (=ji ot ot dt dx dz dr * P, * $*rr, - (+r * lEr * P11a, rPr ol Oy dy

'otoloyoz = dan crengan

$r, * $a,

demikian

* Pay *

$r,

f = * . *,; . *,i - #r,

GEOMETRI DIFERENSIAL.

18. BuktikanrumusFrenet-Ser.t

(a)

Karena

T' T = l,

(r)

= xN, (6) 33 = -"*, (")

maka dari Soal 9 didapatkan trahwa

Jika N sebuah vektor satuan dalam

K kelengkungan dan

(b)

Misarkan B

p : llK

arah

f, *"t,

# = rB-<T.

41 1'gak-lurus f =0,yangberarti *" Kita menyebut N normal utuma, # = T'

jeiarikelengkungan.

= TxN, nraka dE =

1r4 * #"n

r-f

+,<NxN =

rr#

DEFERENSIASI VEKTOR

dN dB T. dB = f .Tx ds ; = 0,jadiTteeaklurus fr Tetapidari B.B = I kitadapatkanbahwa B 4E #= 0(Soat9),jadi terletak dalam bidang dari T dan N Maka

Karena

.rtr$

terletakdalambidangdari

= -rN. Kitamenyebut B binormal, r rcrsi d.anro = t/r

T dan N dantegak{urus T,

= Br#

lsgak-lurus B dan

makaiaharuslahsejajar N;

ieiari-torsi.

membentuk suatu sistem tangan kanan, maka demikian pula N, B dan

= BXKN - 1rNXT = -KT +1rB =

frt

1-B

yakni

/<T.

19, Buatlah sketsa kurvaruangx = 3cosr, / = 3sinr, z = 4t dan carilah (a) vektor singgung satuan T, (D) norrnal utama N, kelengkungan I( dan jejari kelengkungan p, (c) binormal B, torsi r danjejari torsi o. Kurva ruangnya adalah heliks lingkcran (lihat gambar di sam-

ping). Karena t = z14,persxmaan kurvanyaadalahx =3 cos (z/4), .y = 3 sin Qla) jadi dengan demikran terletak pada permukaa;r silinder x2 +y2 = 9.

(a) Vektor

kedudukan dari sebarang

pada kurva adalah

3cosri + 3sinrJ

4th

-3slnrl + ScosrJ +4k d, rdrr (-3 sinr)2 + td.tt - y'/E &-dt

d,r

dt ds

titik

dr/dt ds

dT dT/dt 3 d" = d"/dt = - 2i cos' I -

Maka

f -7N

,E=

sln'

-|"o",t

xx, lf | = l"llxl

= r(N, kitaperoleh ijk 334 --Sln, 555 - cos,

- fsinrt

" = l#i = /;E*",r.

oari f

+ 42 :

3 3 4. - Esrnrr + EcosrJ * 5r.

/dt

= *r-$sin,t+$cos,i*f rl Karenadf, =

(3 cost)2

r]0.

.331 (-6srnt)-

= *

= -cosri - sin, j.

l f

43cosl I + = - slnr l - -5-5 5 q-

-cosl

-sinr

f "o",t+f sin,J, 'r+ - -T(- cosr I - slnr l)

dan. P=k

1"o"ri + lsinri 25 25

dB/dt ds/dt 4

25 cos,

A.A

sinc

I atau r=*

t2s (r=-=T4

DEI:I.]RENSIASI VEKTOR

Buktikan bahwa jejari kelengkungan dari kurva dengan persar.uaan paranleter x = x(s),

t' = y{s)' z = z{s)

, ,d' ,., ,d't,, +(-;-;)J ,i12 z,z'1-t1z diherikanoleh P = L(-;-=) +(,+)

Vektor kecudu*."

o*lr"o,,r,;:;,-

r = r(s)i + /(i)i + z(s)k. d2x d2v rl2z' dan { d;=dt"*iir+;7x'

,".r';,rva

Maka T =d'=dJt*dJt**X

d,s- ds

retaoiff = xN sehinssa

= ln]*l

adalah

#:W

ffir

danhasilnvaiangsung

diperolehkarenap= 1 21. Pertihatkanbahua

+.*"4 ds ds2

+. dss = p,

fr=r, &*=o#=.", * = "# - #N = ,((rB-rD *#n = KrB-^or*#n dr d2t dt,

d"' d"2^ d"" =

T ' /<N x (KTB

- x"r

+ dK-xl

= T.(r2rNxB -KsNxT*.

jf nrn) = T.(xzrT+x'B)

Dengan mempergunakan hasil dari Soal 20, maka hasil diatas dapat dituliskan sebagai berikut

,, y, t,, y lx I

'r '- Lk"l' + g")' * {r"\'1-' di mana tanda aksen menyatakan turunan terhadap

22. Diketahui kurva ruang

(a)

Maka

ti +

z z

.ttif"ft (a) kelengkungan K, (D) torsi r

t, y = t2. z =jr',

Vektor kedudukannya adalah

t,, lx

t2; *

f l"f

dj=t*2'i*2"k

f=l';l=,/-;r#

l+2t2

.^ .-d, - dt/dt - i+%t+%2k ds d,s/dt | + 2t2

n^-

{

2t2J(2i

+ 4tk) - (i-!ai + a2k')(4t) - *4t,i * (z-4t2)i + 4tk

(r + 2t')'

(l + 2t2)2

dT/dt

(2-a!1!r

qrx

d;- a"n,- -4t1.+e ,W-' _. dr -. K = rdr r lHtp;i_Ar_;18 Karenad- = KN, la"l =

N{akr.

Ai-*)3-

+ (7 - 2t2)i + zth (b) Dari (a), N = 14r - -2tl t+2t2 xds

_ "--1

2;zrz

DITILRINSIASI VEKTOR

i Makr

B - TXN

4ti +

dB dt

Sekarang

2t2

(4t2

2.e

7+2t2

-1 r+2P

T+W

-2)j rEf--

1-2t2

4rk

dan

2t2

t;2P +-*

dB ds

4ti + (4t'- 2)j {l + 2r'\

dB/dt

/dt

-o

K = T untukkurva

t*27-

Juga. -711 = -, I -zti + (1 -2t2)i + ztk ] . Karena 1+zt2 * Perhatikan bahwa

i - 2ti + k

= -rn.

kita dapatkan

4rk

0+zff

lnl

23. Carilah pcrsaniaan-persantaan dalant bentuk vektor dan koordinat tegaklurus untuk (c) vektor satuan. (D) nortnal utarna. dan (c) binormal terhadap kurva dari Soal ll pada ritik di mana r = 1. Misalkan pada

titik

T., N. dan Bo menunlukkan

singgung

vektor-vektor satuan singgung. normal utama dan binormal

yang dikehendaki. Maka dari Soal 22.

T" - i + 2i + zk,

No - -2i--i

+ 2k,

Jika A adalah sebuah vektor yang diketahui sedangkan ro Can r be;turur-turut menunjukan vektor kedudukan dari titik pangkal dan terminal'rektor A, maka r - ro sejajar A dan dengan demikian persamaanuntuk A adalah (r.-ro) x A = 0. Maka

Persamaan vektor singgung satuan Persamaan normal utama Persamaan binormal

t -ro1 , fo = 3 (i-ro) x No = 6 (r-ro) x Bo = 6

Dalam bentuk koordinat tegak-lurus. dengan. rnaan diatas berturut-turut menjadi

z-! _ y-l z-2/3 'T= z -= 2 Persamaan-persamaan

24. Carilah

x-l

-z

r = xi + /j

zk. r^ =i+j+ik "J

y-l z-2/3, = -122-21

x-t _ t-t

_ z-2/3

ini dapat pula dituiiskan dalam bentuk parameter (lihat Soal 28, Bab

persamaan-persanraan

persanraan-persa-

dalam bentuk vektor dan koordinat tegak-lurus untuk (a) bidang oskulasi,

(D) bidangnormal,dan(c)biciangyangmeralatterhadapkurvadariSoal 22dar23padatitikdimanar=1.

(a)

Bidang oskulasi adalah bidang yang memuat vektor singgung satuan dan normal utama. Jika r adalah

vektor kedudukan dari sebarang titik pada bidang ini dan ro vektor kedudukan dari titik t = 1, maka r - ro tegak-lurus Bo, yangadalah binormal di titik r= l, yakni (r 16). Bo = 0. -

(D)

Bidang normal adalah bidang yang tegakJurus vektor singgung yang dikehendaki adalah (r ro) .To = 0.

(c)

Bidang yang meralat adalah bidang yang tegak-lurus

normal utama di titik yang diti-jau. Persamaan yang dikehendaki adalah (r - ro) . No = 0. Dalam bentuk koordinat tegak-lurus, persamaan-

persanlaan (o), (b) dan (c) berturut-turut menjadi,

- 1) - 2(y -L) + l(z -2/J) = g, 1(r-l)+ 2(y*l)+ 2(z-2/3) = O, -2(x - l) - l(t - r) + 2(z -2/s\ = o. Gambar di samping memperlihatkan bidang-bi2(:

dang oskulasi, normal dan yang meralat terhadap kurva C di

titik

di titik yang ditinjau. Maka persamaan

DEIIERENSIASi VEKTOR

25. (a) Perlihatkan bahwa persarnaan r = r(a, u) menyatakan

{j, - #

sebuah permukaan

nrenyatakan sebual-r vektor yang norntal terhadap permukaan

(b)

Perlihatkan bahwa

(c)

Tentukan norntal satuan terhadap permukaan berikut dimana

)

atas.

r = o Cosu sin, i + asinusinui + acosuk (a) Jika u kita pandang berharga tetap, katakan uo. maka r = r(uo, u) menyatakan sebuah kurva yang dapat dinyatakan

z = uo. Begitu Pula z = z, mendefinisikan kurva lainnYa r = r(u1, r). Dengan demikian. bila u berubah maka r = r(u, v) menyatakan sebuah kurva yang

oleh

bergerak dalam ruang dan menghasilkan sebuah permukaan S. Maka r = r(u, u) menyatakan permukaan S yang dihasilkannya, seperti diperlihatkan dalarn gambar di samping.

Kurva-kurvatt=uo,u = ut.... menyatakankurva-kurvatertentupadapermukaan'Begitupula v -- vo, v =

rl , ...

menyatakan kurva-kurva pada permukaan'

permuka Dengan memberikan harga-harga tertentu untuk u dan v, kita peroleh sebuah titik pada pada peran. Selringga kurva u = ro dan u = u9, akan berpotongan dan titik (u6, vd dapat ditentukan kurvalinear rr,ukaan. Dalam hal ini kita mengataian bahwa (u, v) mendefinisikan lioordinat-koorditut (curvilirrear corrdinates) di atas permukaan. Iika semua kurva u = konstan pan r = konstart saling tegak iurus pada setiap titik perpotongan, kita menyebut sistem kobrdinat kurvalinearnya ortogonal. Untuk pembahasan lebih lanjut mengenai koordinat-koordinat kurvalinear, lihat Bab 7.

titik P yang memiliki koordinat-koordinat (uc, uo) pada permukaan ,S, .seperti diperlihatkan pada gambar di samping. Vektor 0r/Du di P diperoleh dengan menurunkan r terhadap tt, dimana dipertahankan v = konstan = vo. Dari teori kurva ruang diperoleh banwa dr/0u di P menyatakan sebuah vektor singgung terhadap kurva v = vo di P seperti terlihat dalam gambar di samping. Begitu pula dtldv di P menyatakan sebuah vektor singgung terhadap kurva u = konstan = uo. Karcna dtldu dan 0r/0u menyatakan vektor-vektor yang

(b) Pandar,g sebuah

menyinggung kurva-kurva yang terletak pada permukaan S di P, maka dari sini diperoleh

bahwa vektor-vektor

ini

menyinggung.per-

nrukaan di P. oleh karcna itu. fr x f, adalah sebuah vektor normal terhadap (c)

sdiP. + = -, du

sinu sinu

i + d cosu sinu

+ = rcosrcosul + osinucosuJ -csinulk dr t Maka

Er ?a

Er ?u

-c

sinu sinr

4 cos! cosu

o cosr

sinu

c sinu cosu

-a srnu j o2 sinu cosu -r2 cos, sin2u I - o2 sina sin2u -

nrenyatakan vektor nornral terhadap permukaan di sebarang

titik (u,

t').

DEFERENSIASI VTiKTOR

0r x ou

Normal satuannya diperoleh dengan membagi diberikan oleh o4 cos2u

sln4u *

oo lcos2

la'

dengan besarnya

-dv"

l- vans

"in.rffi

sin2a) sina

oo sin2 u (sin2 u

u+ o

stnsi

siinuu Jiik uKa sinu >.0

cos2 u)

cos 2,

{-a2 sine jika

sinu <

Jadi terdapat dua buah normal satuan yang diberikan oleh

t lcosu slnu i + sinu sinu 1 + cosu k) - *n Perlu diperhatikan bahwa permukaan yang diberikan didefinisikan oleh v, z = a cos y yang mana darinya terlihat bahwa x2 + i),

sin

bolaberjejari a_ Karena

n =

t = dn, makadarisinidiperoleh i * sinr sinu J + cosu k

1,2

x = a cos u sin v, t, =as\nu p..rnunuun = rr, Vr"g "a"f"fr

cosB sinu

yang adalah normalsatuan berarah keluar (outward tirawn unit norn,al) dari permukaan bola di titik (u, v).

26. Carilahpersamaanuntukbidangsinggungterhadapoermukaan

z = x2 +y2 ditirik

,_1 ,2)_

Misalkan -x' = u, y = v, z = u2 +v2 adalahpersamaan-persamaanparameterdaripermukaan. Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah

r = ui*uJ+1u2+u2)k a-\ Uakaij)= 'Oul

l+Zrk

= t+ 2k,

Menurut Soal 25, normal R

$ = , 1'2uk = J-2* dititik(1,

terhadap permukaan di

= *-*

titik ini

= (t+2k)x6-2k)

,D, a;manau=l dany=-l

adalah

= -2tr.2J+k

Vektor kedudukan dari titik (1, _1, 2) adalah Ro =

i - j + 2 k . Vektor kedudukan dari sebarang titik dang adalah B = ,l +y! + zk

pada bi-

Maka dari gambar di samping. R _ Ro tegak_lurus n dan persamaan bidang yang dikehendaki uaataf, in _ R.) .n

= o atau [(xi+yj+zk)_(i_j+2k)] t 2i+2j+kl = 0 yakni *2 (x - l) + 2Cy + l)+ (z _ 2)=0 atau 2x-21t-z=2.

MEKANIKA

27. Pcrlihatkan bahwa kecepatan

percepatan a dari scbuah

diberikan oleh

partikel yang bergerak sepanjang sebuah kurva ruang dengan

4* a = *, dtp * di mana T adalah scbarang adalah jcjari kelcngk trngan.

vcktor

5ipggung satuan terhadap kurva ruang, N vektor nornral utama,

dan p

DEI]ER!,NSIASI VEKTOR

Kecepatan v = besarnya v kali vektor satuan singgung T atau v

Diferei,siasikan. o ='; = ftorl = #, dT=4L4:=*Nf=KuN=,N TetapidariSoal18(a), A = d, A - nnn

r "ff p

Maka

Hasil ini memperlihatkan bahwa komponen percepatan dalam arah singgung terhadap lintasan adalah dt,ldt dart t'2lp adalah dalam arah normal terhadap lintasan. Ko'nponen percepatan yang terakhir ini seringkali disebut percepatdn sentripetal. Untuk hal khusus dari soal ini lihat Soal 12.

28. Bila r

adalah vektor kedudukan dari sebuah partikel bennassa nr relatilterhadap

titik

O dan F adalah gaya-

luarpadapartikel,nrakarxF=Madalah torsi ataumomendariF terhadap O. Perlihatkan bahwa M= dWldt, dimana H = r Y. mv dan v adalah kecepatan partikel. d

M=rxF d

Ietapr ;'(rxmY)

menurut hukum Neu'ton

rx-(mv) dt' d.r

:xmv d,L

<^v)

-- r xfr@v)

,rfi<*rl + o

vxmY

u =j

jadi

trx.v)

dg dt

perhatikan bahwa hasil ini berlaku baik untuk m konstan atau tidak. H disebut nrcmentum-sudur. Hasil ini menyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut terhadap waktu sama dengan torsiHasil

ini dapat diperluas

nya memiliki

rnaSSa

dengan mudah untuk suatu sistem dari n -buah partikel yang masing-masing..., mn dan vektor-vektor kedudukan 11,12...., r, dengan gaya-gaya luar

/D1, m2,

Fr, Fz,. .., Fn. Untuk hal ini, total, dan hasilnya adalah M =

n =i..^rrorrO

t.*;i,

adalah momentum sudut

total

*2=r'o'

torsi

yang sebelumnya.

29. Seorang pengamat yang berada di titik asal O dari suatu sistem koordinat xy z, mengarnati sebuah vektor A = Ari + A2i +,43k dan menghitung turunannya ter' hadap waktu sebagai

ff ,. fr i-

Ke-

mudian, ia menyadari bahwa ia dan sistem koordinatnya sebenarnya sedang berotasi terhadap sistenl koor-

titik

yang berada dalam keadaan dianr dengan YZ asalnya juga di 0. Ia lalu bcrlanya, ' Bagaimana

,a)

Jika

dinat X

pernyataan turunan terhadap waktu dari vektor A bagi seorang pengatllat yang berada dalant keadaan diarn terhadap sistem koordinat X l'Z 2'

Orn

q'aktu rnasing-rnasing menyatakan turunan terhadap

yang diam dan yang bergerak, pe'rlihatkan bahwa terdapat sebuah besaran Veklor

d{r .l d.t I

d{t , I dt.

I[ I

+ orx{

dari A tcrhadap sistcrr'

sehingga

DEF.ERENSIASI VEKT0R

/D/

Misalkan Dy dan D, masing-masing adalah simbol turunan terhadap waktu dalam sistem koordinat diam dan yang bergerak. Perhatikan ekivalen operator

Dl = D* * a, (a)

Ba8r pengamat diam, vektor-vektor satuan i, j, k sebenarnya berubah terhadap waktu. Oleh karena itu, turunan terhadap waktu dari vektor A akan dihitungnya sebagai

(I)

(2)

#, . fft r #o * n,oii * n,'; * A"'i #1,

e,#.

Karena i sebuah vektor satuan, maka terletak dalam bidang dari j dan k. Jadi

dildt

e,# A"#

tegak-lurus

(J)

Begitu

# = @) 'i = (s) # =

pula,

Karenai.j =

O, makaturunannyamenghasilkar-l..li

|i. t = d, dari (3) jadi do = - cr. Dengancarayangsamadari

oi.k i.x=0, J- o4 *

doi

d6l+dsJ

#.t=o.Tetapi t.

fi=u,

dari(4),dan

maka ctu=-dr; dai

#=-orr-o",

FdtAr-d"2As)r + (d,!Aa- dsA),

yang dapat drtuliskan sebagai,

i'lq

-d2

ln, A2 Maka bila kita

o"k +

- o:.

Jarti oi=orJ+dak, #r=o"*-drt, arfi + erfi - 4#

i (lihat Soal 9) dan dengan demikian harus

d1r+o2k

i.k=0, tff *fi.t=o

= o maka &o =

yakni

dan

(ct2A7+ d,rAr)k

k a1

memilih ds= @t, -dt= coz, gt= o)g determinannya menjadi

r kl

lo,, o)2 -"1 = (nxA

tt lAt

dimana a -- a,17 + ia,2! + i.,,s|t.

Besaran

A"l

adalah vektor kecepatan sudut dari sistem yang ber-

gerak terhadap sistem yang diam.

/b/

Menurut

definisi Df

= *l dttf = turunan

O*n = #l^ = Dari

(a),

dalam sistem yang diam.

turunan dalarn sistem yang bergerak.

DIA = Dra + a,x[ = (Dt +orx)A

yang memperlihatkan ekuivalensi operator

= D^+cox.

DEFERENSIASI VEKTOR

30. Tentukan (a) kecepatan dan (b) percepatan dari

bila dilihat oleh.kedua peng-

sebuah benda yang bergerak

amat dalam Soal 29.

/a/

Misalkan vektor A dalam Soal 29 adalah vektor kedudukan r dari partikel. Dengan mempergunakan notasi operator dari Soal 29 (b), kita peroleh

Dl, = (Dn+ @x)r = Dfrt + at\t

(f) Tetapi Dfr =

kecepatan partikel "ilf =

Dnr = vpln = kecepatan partikel

relatif telhadap sistem yang diam. relatif terhadap sistem yang bergerak.

b)st =. vr, = kecepatan sistem yang Maka

(I)

bergerak

relatif terhadap sistem yang diam,

dapat diruliskan sebagar,

,pl^ + otxr "flf =

(2) atau dalam notasi yang diusulkan

(J)

* "Ar = "pr^

"nr1

Perhatikan bahwa peranan dari pengamat diam dan yang bergerak tentu saja dapat bergantian. Jadi pengamat diam dapat berpikir bahwa dirinya sedang bergerak terhadap pengamat lainnya. Dalam hal ini kita harus mengubah indeks-bawah (subscript) m dan / dan juga mengubah c,; menjadi -o karena rotasi relatif dibalik. Apabila ini dilakukan, (2) meniadi

+ "fl* = 'pv- atxr ^tuu 'frf = "pl* a'xr sehingga hasilnya berlaku untuk tiap-tiap pengamst.

(b)

percepatanpartikel sebagaimana ditentukan oieh pengamat diam di O adalah Dlr = D7@7tL 1Tbilkan D1 dari kedua ruasnya (1), dan pergunakan ekivalen operator yang dib'uktikan dalam Soal 29(b), maka

Df(Dfn = D.@rr +arxr) = (Dfl+ o,x)(Drlt + arxr) = D*(D*t + anxr) + Ax(Dnt + anxr) atau

= nlr + D*(coxr\ + arxDnt + arx(rdxr) = D2^r + 2a xD^r + (D,-ot)xr + arx(arxr)

percepatan partikel relatif terhadap sistem yang diam' D2.r PII- = T = ,jA, = percepatan partikel relatif terhadap sistem yang bergerak. "pi* = ,rlf = 2a)xDmt + \Dn.l,) xr + a,x(a,xr) Maka = percepatan sistem yang bergerak terhadap yang diam dan kita dapat menuliskan ,il1 = ,pl^ + ,*lf

Misalkan a..

Dalam kebanyakan hal yang pelting, a adalah sebuah vektor korrstan, yakni rotasinya berlangsung dengan kecepatan sudut yang konstan. Maka D.ot = O dan

2otxD*r + @x(@xr) = 2cox v, + @x(arxr) ^rlf = Besaran

2(nxvn

disebttt percepatan Coriolis

dan arx(arxr) disebut

petcepatansentripetdl.

Hukum-hukum Newton hanyalah berlaku terbatas dalam Jrtem-ristem inersial, yakni sistemsistem yang diam atau bergerak dengan kecepatan tetap relatif terhadap suatu sistem yang diam. yang disebut gayaBumi tidaklah berupa sebuah sistem inersial dan ini disebabkan karena hadirnya apa .khayal' Jika massa sebuah yang diperhitungkan. harus mana (Coriolis, gaya tambahan {an sebagainya) partikeladalahsebuahkonstantaM,makahukumNewtonkeduamenjadi,

(4)

MD2*r = F-2M(axD.t)-MLox(oxt)l

dimanaD- menyatakan dlr)t

sebagai.mana

dihitung oleh seorang pengamat di atas bumi, dan F adalah

DETjERI,NSIASI VEKTOR

gaya resultan dari sernua gaya-Eaya nyata yang diukur oleh pengamat ini. Kedua suku terakhir dalam ruas-kanan dfi (4) sangat kecil sekali sehingga dalam kebanyakan hal diabaikan dan tak dipergunakan dalam praktek.

Teori relativitas yang dikemukakan Einstein telah mengubah secara radikal konsep gerak-mutlak Newton dan membawa perbaikan terhadap hukum-hukum Newton.

yang dihasilkan oleh konsep-konsep

Soal-soal Tambahan 31. JikaR =

"-ti

+rn1r2+ r11

tan, k, carilah (o)

#, *t# , u, lffl,

lffl

Padar=0 Jawab. @) -i

- k,

(6) i +

2j, G)y'i,

@.)y',

32, Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva x =2sin3t, y=2cos 3t, z = 8t pada sebarang saat , > 0. Carilah besarnya kecepatar dan percepatan. Jawab. v = 6 cos 3, i - 6 sin 3, J + 8k , a = -18 sin 3, i - 18 cos 3, J , I

, | = fO . | | = fg " 33. CarilahvektorsLnggungsatuandisebarangtitikpadakurvaz = acoso)t, / =a sln o)t, z =bt dimanaa, dan r^: adalah konsianta-konstanta. Jawab. -o@ sin at i + aa cos a), J + 6k

ffi

34. Jika A = t27- ti + Qt+1)k dan B = (2r-3)i +J - rk, carilah @

@' B'),

b*(A

B),

6 fil r+a,1, <at fi6,ff)

pada

35. Jika A=sinui+cosL j+uk, B=cosul-sinrJ-3k,dan

pada 36. Carilah

u=0. *

rawab.

37.Jika

'38.

".#

Jawab. 7i + 6j

- # ..,

r=r.

C=21

tr.,b.

ll\;:,#l1r..r*,

n,r,

+3r-k. carilah f tnrtt"")

jika A dan B adalah fungsi-fungsi diferensiabet.

A.{+ ds' - ':4." d.s'

A$)=3fi-(r+4)j

+qt2-2c1k danB(r)=sin,t+3.-tJ-3cosrL,carilahr!{axn)

pada r = O.

Jawab. -30i + l{1 1

Jika ff

ff = -t-

3k at r=0. Jawab. a = 1f -t+z1i +

rrr-

2qt2

261

i+4sin, k, carilahAbilapadasaatr=0,diketahuibahwa A = 2i+J

39. Perlihatkan bahwa , = "-t(C,

1t-zt\j

+ (r-4sinr)k

21), di rnana C 1 dan C2 - d! + s. = 0.

cos 2, + C2 sin

adalah solusi dari persamaan.difereisial

40. Perlihatkan bahwa solusi umum dari

persamaan

diferensial # - ,o* +

adalah vektor-vektor

to2:

adalah konstanta-konstanta, adalah

(a) r = .-ottcr"/7:iP (6) r =

t *

"-ot(CtrLnt6r-tt,

dan

t, jika a2_., > o "r"-,/Z-J ! { Czcos,/.r-a,q jika d2-a2 <

konstan,

di manaa dan

c^.r

DEF[,RIiNSIASI VEKTOR

4r.

pecahkan @\

Jay,ab. (a\

42. Pecahkan.

!:i -

- * = o, o, o#'+ zdj + t=0, G)"# +&=0.

r =Crest *Cr"-t, (b) r =

e-t1g, +C2cJ,

x, '# = -Y. Jawab. x : c1 cos, +

'2y'Stxo A = cosrr Jav,ub.7A

+df,

- -y

+ (sxy

-u')i -

l3z +2y11, carilah

C2 sln

r, Y

Cr citr, - C2 cos.l

?e Ee ?'a ?'e 3'a

?'n

i + (3y-4*)j - 3k,

, t 3r, - 2r, = -., "I3 a2' d-A OA , .o R 2 . \d=A \d'a ccxy + sin:/)l + 3J -x cosr" l. -{67 : -,- cosr/ I - *J, ->-i vy = -zov' 9!9- ffi, = -(xy

sinxT

^2 dA

.--\. 44j

Jika

A = x2yzl -

2.223! + rz2

-/// .0.-)) lawab

*,u,r;r.itirik, 45.

dan

B = 2zI +y.t -:2 1,carilah

?4 '(y,- , a)

-1i-r:

L"orun*fo*,r"*,I.** (C1 sin tr/ +Cz cos ),y) memenuhi persama:rn diferensial e..rid # . # t

urt*"1 l' "'-^U'

Jika c1 dan c2 adalah vektor-vektor konstan oun

po"it(!- r/ct, A= di mana po sebuah .vektor konstan, o) dan c skalar-skalar ^^2 2dA l dA Hasil ini penting dalam teon dan i = nf-1 memelrtri ne.samaun r dt c' O,'

Buktikan bahwa konstan

elektromagnetik.

GEOMETRJ DIFERENSIAL

47. Carilah (a) vektor singgung satuan T, /b/ kelengkungan K, (c) normal utama N, /d/ binormal B, dan (e) torsi r untuk kurvaruang ,=,-t3/3, y=t2, z=t+ts/s. Jawab.

(a\r = (t - r')i + 2ti + 11 +r';h [r$+t\ (b)<=-

2t l+t'

(d)B= (r'-t)t

(1 + ,-)-

48.

l-t2 l+t'

- 2rJ + (12+t)k

y'i6

r= C_W 1

?,1

s melalui persamaan-persamaan , =arctans, y = L/it"<s2 + 1;, z =s -arctans cariiah (c) T, (D) N, (c) B, (d) K, G)r, $ p, G)a. i +.{i"j + s2 k li (d) x= P-+ Jawdb. @) T _ 1 i --2+ y'isk * /z s2+l . (6) N _ -y'zsi + (t s\l + (e)r= G) q= ----s2 + 1 s'+ 1 r/2 s2+l (c) B -s2i-4sj+k p= ----=-

Sebuah kurva-ruang didefinisikan dalam parameter panjang busur

s2+1

DEFERENSIASI VEKTOR

49. Carilah K dan r untukkurvaruang 7= t, f=t2, z= ts

z/gta+gt2i (9t4+4t2+L\3t2 50. Perlihatkan bahwa untuk

yangdisebutkubikterbelit(twistedcubic)

I 9f + 9r2 + I

sebuah kurva ruang

torsi z =

51. Perlihatkan bahwajejari kelengkungan dari sebuah kurva bidang dengan persamaan-persamaan

y= f(x),

z-_ 0,

yakni kurva dalam bidang r1, diberikan oleh P =

* ,tvrlrlil

52. Carilahkelengkungandanjejarikelengkungandarikurvadenganvektorkedudukanr=4cosui+Dsinuj, di manaa dan Jawab. K =

adalah konstanta-konstanta positif. Interpretasikan kasus

a = b, nakakurvayangditinjauini,vangmanaadalah

|,.iit"

A;G;;#;e;Pd=

sebuah elips, menjadi sebuah lingkaran berjejari

dan jejari kelengkungannya

53. PerlihatkanbahwarumusFrenet-serretdapatdituliskandalambentuk f dan tentukan ar. Jawab. ot =

titik

-rt,

# =-t}r,'*

secara numerik

oleh x

menyatakan turunan terhadap r.

55. /ai Buktikan bahwa ? = i.j+; lrxrl-

(b)

p = a. = -ru

TT + KB

54. Buktikan bahwa kelengkungan dari kurva ruang r = r(t) diberikan mana tanda

di fianaa = b.

Jrkaparameter

untuk kurva ruang r

t arialahpanjangbusur s,

r(r).

perlihatkanbahwa 7

lix'dl = Hs . di

lrl

ttr +.-,id2r ds, =E'!*^=Of . 1d2 11ds2 y2

56.

Jika e=ixi.

perlihatkanbahwa

"= ?;

y=l-cos9,

57. Carilah K dan r untukkurvaruang ' =0-sh?, Jawab.

'=qsinl9/\' | .------- _.-z _ (3 + cos/\cos9/Z + Zsin? sin9/Z x = ;/r- 2cos0, = ffi2cos, _* "

58. Carilahtorsidarikurvaz =?*,,

=4,

Jawab. r = 0. Kurvanya terletak dalam bidang

z =t+2' -x

Jelaskanjawabanda'

- 3-r + 3z =

59. Perlihatkan bahwa persamaan dari garis singgung, normal dan binormal terhadap kurva r = r/rl pada titik t = to dapat dituliskan berturut-turutsebagai t = to + tTo, r = ro A /No, t = to * rBo.ditrlaua

adalah sebuah parameter.

60. Carilah persarrtaan'rntuk garis /a/ singgung, /b/ normal utama, /ci [rinormal terhadap kurva -t = 3cost, , = 3sint, z = 4t padatitikdinranar=7r. *f ll atau x=-3,v=-?rl-' '=4r+1L Jawab. /a/ (iarissinggung:r=-3i+41tk+rt-|i /b/ Normal : r = -31 +4lti+rl atau x= -3+t, y =47I, z=0.

1rl

Binorrual

:r = -31 +4nj+r1ft+fll

atau x=-3' v=41t+t','=1''

1lI lrlrliI :-SIi\SI YI:IrTOR

61. Carilah persamaan (a) bidang oskulasi, (b) bidane normal dan /c/ bidang yang meralat kurva x = 3t -

y=3(,z=3t+

62..(a)

r,padatitikdimanar= l. Jawab. (aly-z+I=0.(b)

Perllhatkan bahwa diferensial dari panjang busur pada kurva

y+z -7=0,(c) x=2.

r = r(u, v) diberikan

oleh

ds2 = Edu2 + 2Fdudu + Gilv2

drmanao = E.

(?, +.4 "" = B.E =,?.r,. a"'8, =

E F ar'au = (aL) , f = ar';;,

/b/

=,8.,,

Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar sistem koordinat kurvalinear u,

6r,/Canlah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z =

titik

ortogonal adalah F = 0.

(2, 3,6). Jawab. 3x + 2y

z=6

64. Carilah persamaan untuk bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan 4z = x2 - y2 di titik

(3,1,2).

Jawab. Sx

-y -22 =4; a =3t +3, y =l-t,

=2-A

-X55. Buktikan bahwa rrormal satuan terhadap permukaan t = r(u, u/ adalah a - t ffi. r/

dan C didefinisikan seperti dalam Soal 62.

- F'

di mana E, F

I\{EKANIKA

65. Sebuah partikel bergeraksepanjangkurva r = (r3-4r)l +1t2+4t11 + (8e-3F1k, 6imanatadalahwaktu. Carilah besarnya kornponen-kompcnen tangensial dan normal dari percepatannya bila r = 2.

Jawab. Tangensial, l6; normal. 2y'73 5?. Jika kecepatan sebuah partikel v dan percepatannya a

sepanjang sebuah kurva ruang,

jejari kelengrungan dari lintasannya diberikan secara numerik oleh

p = a= I v xa

buktikan bahwa

68. Sebuah obyek tertarik menuju sebuah titik tetap O dengan gaya F = f(r) r, yang disebut Saya sentral, (central force), dimana radalah vektor kedudukan dari obyek relatif terhadap 0. Perlihatkan bahwa r x v = h di mana h sebuah vektor konstan. Buktikan bahwa momentum sudutnya konstan. 69. Buktikan bahwa vektor percepatan dari sebuah partikel yang bergerak sepanjang sebuah kurva selalu terietak dalam bidang oskulasi.

70. (a) Carilah percepatan sebuah partikel yang bergerak dalam bidang x1, dinyatakan dalam koordinat-

(b)

koordinat polar (p, d) A,pa komponen-komponen percepatan yang sejajar dan tegaklurus p

Jawah

(o)

(b)

r = t<i-pO'lcosd - <p4'*zi|lsindlr * l<i-pt't sin @ + <p'Q r ziO cos dl

i - pO', p4'* zbf

RADI EN,

DIVERGENSI DAN CURL

OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR DEL, dituliskan

didefinisikan oleh

i * +dy j * =3 dx

3k dz

= i<? dx

- jgdy * k3oz

Operator vektor ini :nemiliki sitat-sifat yang analog dengan vektor-vektor biasa- Adalah bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yang muncul dalam pemakaian praktis yang dikenal sebagai gradien, dt vergensi dan curl. Operator V juga dikenal sebagai naDla.

Q@, y., z ) terdetinisikan dan diferensiabei pada tiap-tiap titil: (x, y, z)dalam suatudaerah tertentu dari ruang (yakni d mendefinisikan sebuah medan skalar diferensiabel). Gradien Q, dituliskan V@ atau grad @, didefinisikan oleh

GRADIEN. Misalkan

* Pr *Pr. *3: * dz = Ft <3, ct oy oz dx Ay 3ur*

Perhatikan bahwa V@ mendefinisikan sebuah medan-vektor.

dari

Komponen dari V0 dalam arah sebuah vektor-satuan a diberikan oleh A@.a dan disebut turunan-arah @ pada arah a. Secara fisis, ini adalah laju perubahan g pada (x, y, z) dalam arah a.

DMRGENSI. Misalkan Y(x,y,z) = Yti + V2i +

Vsk

teldefinisikandandiferensiabeldalamsuaturia-

erah ter-tentu dari ruang (yakni, V mendefinisikan sebuah rnedan vektor). Mzkadivergensi dari V, dituliskan V. v atau div V, didefinisikan oleh

+ + i * +k).(l{i v.v = (3i 'dx dz dy av^ av^ ov^

Perhatikan arraloginya dengan

A'B = 4Br, + A2B2 +

CURL. Jika Y(x, y, z) adalah sebuah ntedan vektor curl V atau rot V. didelltrisikan oleh

VxV

A"B"

Juga perhatikan bahwa

dil'eLensiabel maka

aa (=r 'dt + -oy l

aa ?i,

?r VY 12

+ V2i + 4k)

,{r, dz

curl

atalu

V' v I v 'V .

rotasi

lr(v11 + v2i +

I/"k)

dari

V , dituliskan

(;11AI)ll-

1)iVllR(;l-.NSl

DA\ CtlllL

?l '- lr I,. I. a

zJ1?

av.

\ 2.

ct.

=a\ )J

aaa

ox oy

(' al. -ax -

AV, )t( =aY

haruslah mendahului oz

(UMUS-RUNIUS YANG MENGANDUNG

V. Jika A abe1,

{x,

l/1

Perhatikan bahwa dalam penguraian determinan, operator-operator

q,.Y2,us

al t, l*

a 3x

lt'

;i; ?.' -

y, z\ yang diferensiabel, maka

dan B adalah fungsi-fungsi vektoi yang diferensidan d dan g fungsi-fungsi skalar dari kedudukan

V@*{l = V$ + Vp atau erud(O+/l = grad @ + grad rl z. Y.6+B) = V.e + V.n atau div(A+B) = div A + div B atau curl(A+B) = curlA + curlB 3. Vx(A+B) = VxA +VxB 1.

4. V.@A) = (V.r).A + d(V.A) s. vx(@A) = (vd)xA + d(vxA) 6. V'1axB) = B'(VxA) - A'(VxB) 7. VxlexB) = (B.V)a - B(V.A) - (A-V)B + A(V.B) s. V(A.B) = 1s.V)e + (A.V)B + Bx(VxA) + Ax(VxB) e. v.1v@1 = v2o = dimana

- 7y' . {+ {4 7x2 {1 722

$2= gdx' - + dy' * $ dz'

oir.uutoperarorLaplace

x(Vd) = 0. Curldarigradien@adalahnol. 11. V.(V x A) = 0. Divergensi dari curl A adalah noi. 12. YxlVxa) = VtV.el - V'a

10. 9

Dalam rumus-rumus 9

INVARIANS.

12, dianggap bahwa

d dan a memilikiturunan-turunanparsialkeduayangkontinu'

koordinat tegak-lurus atau kerangka-kerangka aguafi xyz dan x'y'z' (lil-rat gambar di bawah) yang memiliki titik-asal O yang sama tei:api sumbu-sumbu sistem

Pandang dua buah sistem

koordinat yang satu terotasikan (terputarkan) terhadap yang lainrrya. Sebuah titik P dalam ruang memiliki koordinatkoordinat (x, y, z) atau (x', y', z!) relatif terhadap sistem-sistem koordinat ini. Persamaan-persamaan transformasi antara koordinat-koordinat atau transformasi koor' dinal diberikan oleh

(1)

x'= l.,r+lpN+ltsz y' ='lxx + lnT + lnz z'=lsg+ln!+lssz

dimana lik, i, k= 1, 2, 3 menyatakan arah-arah cosinus dari sumbu-sumbu x', y' dan z' terhadap sumbu-sum-

t'^

(t,f,!)

(r',r', r')

GItAI)l llN. I)lVl-RGi..NSI I),rrN Ctil{L

bu x, y, dan z (lihat Soal 38). Dalam hal di mana titik-titik asal dari kedua buah sistem koordinat tidaklah berimpitan, maka persamaan transformasinya menjadi

(:, )

dimanatitik-asal

sistem-koordinat

lnx+lpy+Lr,z+a't l-r , lrry . !n: 'a': lsx+Lyt+lsz-aL

xyz

berada di(a1', a2',

a3') relatif terhadap sistem-koordinatx'y'z'.

Persamaan-persamaan transformasi (1)mendefinisikan slatu rotaslmunri sedangkan persamaan-persamaan mendefinisikan suatu rotcsi ditambah translasi. Sebarang benda-kaku memiliki efek translasi yang diikuti tlengan rotasi. Transformasi (1) juga disebv transformasi ortogonal. Sebuah transformasi koordinat linear disebut suatu transformasi afin (affine transformation).

/2i

Secara fisis, sebuah fungsi skalar atau medan skalar 0 (x, y, z) yang dihitung pada suatu titik tertentu haruslah tak bergantung pada koordinat-koordinat dari titik tersebut. Jadi temperatur pada suatu titik tidaklah bergartung pada apakah koordinat-koordinat (x, y, z) atau (x', y', z') yang dipergunakan. Makabila Q (x, y, z) adalah temperatur pada titik P dengan koordinat (x, y, z) sedangkan 0' $', y', z') adalah ternperatur pada titik P yang sama dengan koordinat-koordinat (x', y', ,'), haruslah kita peroleh S (x, y, z) = Q' $', y', z'). Jike 0 @, y, z) = 0' (*', y', ,'), di manax,y, zdan x', y', z'dihubungkan oleh persamaan-persamaan transformasi (1) atau (2),maka kita menyebut Q @, y, z) sebuah invarian (invaiant)terhadap transformasi ini. Misalnya, x' + y' + 22 invariandibawahtransformasirotasi (1 ),karena :2 + y2 + 22 = x'2 r-yt2 tr r'2.

Begitu pula, sebuah fungsi vektor atau medan vektor A{x, y, z) disebut sebuah invarian itka A(x, y, z) =

A'(x',y', z'). Ini akan benar,jika

Ar@,y,2)i+ ArQ,y,z)i+A"(x,y,z\k = ALG,y',i)i'+A'r1r',y',ili'+A:@,y',i)k' Dalam Bab 7 dan 8, ditinjau transformasi-transformasi koordinat yang lebih umumdankonsep-konsepdiatas diperluas.

Dapat diperlihatkan (lihat Soal 4l) bahwa gradien dari sebuah medan-skalar invarian adalah sebuah medan vektor skalar terhadap transformasi-transformasi /1 i atau ( 2 ). Begitu pula, divergensi dan curl dari sebuah medan vektor invarian adalah invarian di bawah transformasi ini.

Soal-soal yang Dipecahkan GRADTEN

l. ltka $g,y,z)

3x2y

y"r'

caLilah

(atau gradd) pada

titik (1, -2, -1).

vd = (*, $: *!*1u,'v-v""'1 = t*G,'y-y'r') * ;f,6r"v-v'r''t * xl&"'r-v'12) i +

z2)i - 2y3 zk 6(1)(-2)i * {a(r)'-3(-2)2(-1)2}j - 2(-2)3(-1)F. 6xy

(3x2

3y2

-r2i-gj-16k = VF+VG, (D) V(FG) = FVG+GYF 'dimana Fd.anG adalahfungsi-fungsi z yang diferensiabel.

2. Buktikan (d) V(F+G) skalar daLi x,

dan

GRAI)l[N. I)TVIRGI]NSI l)AN CURL

(a)V(F, G)

= <3r*Pt*?111ic,+c) Ox Oy Oz = r$rr*cr

* rf,<r*cl *

*$<"*cr

='#.,ff-r#.,#.*9.*$ = r#. i#. *$ -,ff.,#. *$ = (6)v(rc)

(r++rP**Plr*rr3*13+*3lc ot Oy Oz Ot Oy dz

=,*, **r

= Vr+Vc

*$r.rrrcl

$,"",, * $rrcu + a3{r'G)r * cPrr + (rS * cslr = (r+ ou Ot Cy dy

(r+ + cPlr dz dz

",#,*$r*$rr + c(H,.#r*$*r

3. Carilah V@ jika {a) 6 = rn I r l, (6) d =

.(o) r=tt+yl+zk. Maka

lrl=/*-y\r"

ree

+cer

}. dan

d=rnlrl = i:lnlr'+y'+?1.

VO = LYtrr(r'+y'*"')

= *{r$ rna2+!2+*') + iS rn1,".+yz+22\ + y}n@'*y'**1y = *ha#-*,, . ia#.a . Yz#*\ = =

5## i

(6)

vd = vtll = v(#'t

= Y{@2+v'+,"-r4

= t*<r'*y'**;t/z * tf,{r,*t,*r,')-!' + x!62+rz+rz;t/z

= i{-l1rz+y2+*f shoy * J i-; _- -"t-yt-rL -= _. (t2+y2arz1sn

6z+rz+zz1-3/22y}

*{-.}@r+rz*rz1-3/22r}

4. Perlihatkanbahwa Vrz = orn-'ry

,n = V <,/7 +y4 ,, \n = Y k2 +yz * "z1n/z = ,* {6e+rz+,zrn/2 1 * if,{r,,*yz*"zrn/z} - o* =

1{\qx2+y2+rrrn/,-,

n(x2+y2+zrr^/z-1

{62+rta"zrn/zy

u) * i{\lrr+f +*\n/,-, zy} + x{\<*+y2*rrr,//r-r r,y

+ z k)

uR,\l)ll );. i)l\ l.li(;l

62 ^ -/o-t = n(rz\"t'

l)erhatikan bahwa jika

NSI I)AN ( ul{L

nrr

r - rrr

di mana

sebuah vektor satuan dalam arah r, maka

Perlilratkan b:rlr*,a V@ adalah seb',rh vektor yang tegakJurus pada pennukaan O(x,y,

grn = orr-, tt

z) =

c dimanac

sebuah konstanta.

Misalkan r = r'i + 1'j + zk adalah vektor posisi untuk sebarang titik P(x, y, z) pad.a permukaan. ir = d-ri + dvi + dzk terletak dalam bidangsinggung terhadap permukaan di atas pada P.

Maka

rcran! .-'*,.L'do =

yakni

V@ . mukaannya.

Ldr, *rr, * ?9r" ,ir, , ?O r, ==0atau,e;,,;;j-;;k).(dti n ^, ?'a ar lm '"^sehingga

dr = O

dengan demikian

Carilah normal satuan terhadap pennukaan

x'y * 2xz = 4

Maka normal-saluan terhadap permukaan di atas =

dzk)=

V@ tegak-lurus dr dan dengan demikian terhadap per-

pada

titik (1, -2,3).

Y1*y+Zxz) = (2xy+22)l + r2i + ?ak = -2i + 4j + 4k

Normal-satuan yang lain adaiah

tdyi-

f i - ?, - io

pada

titik (2, -2,3).

-2i+4j+4k --:-

= --t

/(-z\'+Gf*t+)2 yang

r -!

3- '-l(.3

memiliki arah berlawanan dengan yang di

atas,

- 4x = 7 pada trtik (l , - l, 2) Y12rz2-3"y-4x) = (222-3y-4)i - sxl + 4xzk Maka normal terhadap permukaan pada titik (1, -1, 2) adalah 7i - 3j + 8k. Persamaan dari sebuah bidang yang melalui sebuah titik yang vektor kedudukannya ro dan yang mana tegak-lurusnormai N adalah (r-ro).N = 0(LihatBab2,SoallS.).MakapersamaanyangdikehenCarilali persanraan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2xz1

3xy

daki adalah

lq*i

zk)-(i*j +2k)]. (?i-Bj +8k) = ?(z-1) - 3(y+1) + 8(z-2) = 0.

+ y3 +

atau

Andaikan $(x, y, z) dan S@+M, y+Ly, z+Lz\ adalahtemperatur-temperaturpadaduabuahtitik P(x, y, z) dan Q(x + Ax, y + Ly,.z + N) dari suatu daerah tertentu, yang berdekatan.

(a) lnterpretasikan

secara fisis besaran

ffi

_ a(x+Lx, y+Ly, z+Lz) - Q@,y,2) di mana As As

adalah

jarak antara titik-titik P dan 0.

(b) Hitunglah

.fim As F = As-o

duninterpretasikan secara fisis.

v* . d: . * ,/s = ds-

Karena A@ adalahperubahantemperaturantaratitik-titikPdanQdan

titik ini,

P menuju Q.

As adalahjarakantaratitik-

menYatakan laju rata-rata dari perubahan temperatur persatuan jarak dalam arah dari

)

Il,\

!)il N

l)l Vl. ltc

l.:isl

1\ ( t'R l

Dan kalkulus,

O+ = #O

Maka

O, * #O, .

otl.o# =

berorde lebih tingsi

:X:.1.r:t*,1-infinitesimal

dr.#* . #^* .#*

& *Po, dx d.s ,i ds =P+

atau

dari Ax' Av''

1d ,n"nyu,utan laju perubahan temperatur

.q.-a,

* E

titik P dalam

terhadap jarak di

arah menuju Q'

Inijuga disebvt turunan bertrah (directional derivative)da'ri S

deay bad, dq = ?qa, ,");; f;;,;7, -#; =

ot vq).

dr _.

Perhatikan bahwa karena vektor satuan iili.

dz a@ Ao- .dx. d.3i. = (A.'.fri-#u,'(;tt -j+*k)

jIds

u6u1u1,

vektor'satuan. V6.+

adalah

'ds

komponen

daiam arah

terjadi paPerlihatkan bahwa laju perubahan terbesar oari @, yakni harga maksimum tulunan berarahnya' vektor da arah vektor V{ dan besarnya sama-dengan besarnya Dari Soat a(c),

bila Vd '

dan

besarnya adatah

Zi = W'qd,

adalah proyeksi

4 nremitiki arah ds

patla lr;ah

lL '

Proyeksi ini akan maksimum apa-

yang sama. Maka harga maksimum dari

ij-

terjadi pada n131

<ls

l.Vdl.

10. Carilahturunanberarahdari

= x2yz+4x22 paria(l'-2'-l)daiamarah li-j

* ==';-:;:X:' Vektor satuan dalam arah 2i

- i - 2k

f'!'+

-lk'

1*Y +*xz)k

'7'-,,1,',"Y1

adalah

a = /(2)'r = {r-i,-30 -:=l:l;1.=== (-1)- + (-3)' Maka tururtan berarah yang dikehendaki adaleh

vd." = (8i-r-1ok)-rJr--}r-fur = T -+-T = T

Karena hasil diatas bcrharga positif. ini berarti p bertambah dalarn arah ini'

ll. /ai Dala;tarahntaiukalrdarititik(1. l. l).turtrrruubcrarahtlrriQ = /bi BcLaplkah bcsarnyl halgr tlrtksin,trnl itri l

= ::;':"*

Maka dari Soal 9.

- 3'27"2 k 1

,,?""u,' i,:;_i,

x2.t'23 bcrlurgltttaksitrtunr'l

dan

(IR,A

/a/ (b)

DII,N. I)I\II]-R.(; I. NSI I).\N CT]RI.

arah Vd = _*f _41 + Ut, lV+l = /@T@+eg = fi26 =

turunan berarahnya maksimum dalam besarnya maksimuminiadalah

12. Carilalrsudutantarapermukaan-perrnukaan

xz +y2 +22 =9dan z = x2 +y,

Sudul "rntara permukaan-permukaan pada mukaan-permukaan di titik itu. Normal terhadap xz

y2 + z2 =

titik

E/h. -3 padatitik(1,-l,l).

diatas adalah sudut antara normal-normal pada per-

9 di (2, -1,2)

adalah

Y6, = Y(* +y2+r2) -- 2xi + zy! + 2zh = 4l - 2j + 4k Normalterhadap z = x2 +y2 -3 atau i2 +.v2 -z = 3 di(2,_1,2) adalah Yda = Y1r2+y2-21 = 2ei + zyJ - x = 4i - 2i - k (94i.(VQz) = lVOrl lV6rl d, "o"

dimana0 adalahsudut yangdiinginkan. Maka

(qi-2i +4k).(4i- 2j-k) = I u,_ 2j +4k I I li_z:_* | cos â&#x201A;Ź 16 + 4 - + = /@. 1-2n@ / Ga47i-r7;â&#x201A;Ź* dan cos0= JL=* etE 13. Misalkan

= 0.5819i jadi suduttancipnya adalah0=arccos0.58tg = 64o2s'.

adalahjarakdarisebuahtitik tetap

bahwa VR adalah vektor satuan dalam arah Ap

Jika ra danrp

cos

A(a,b,c\

kesebarangritik P(x.S,,z). perlihatkal

adalahmasing-masingvektor-vektorposlsi ai+D-i+ck

dan xi+yj+zkdari.4 P,makaR=rp_in=(x;a)i+6l_b)j+(z-c)k,sehinggap,=/<mf*ffi,uiiu

Vn=v(@)=

(x-dtl + (!-D)J + (z-c)k /-----____y'qx-a1'+(y-bf'+(z-cf

dan

=ER

adalah vektor satuan dalam arah R.

? sebarang titik pada elips yang titik-titik apinya berada pada titik-titik A daa B,seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah. Buktikan bahwa garisgaris ,4P dan BP membuat zudut-sudut y"ng ,urnu

14. Misalkan

terhadap garis-singgung pada elips di P.

Misalkan

R, = AP dan Rr =

masing-masing menyatakan vektor-vektor yang digambarkan dari titik-titik A dar' B ke titik p pada elips, dan misalkan ?" adalah sebuah vektor singgung satuan pada elips di P. Karena sebuah alips adalah tempat kcduLlukan dari semua titik p yang junrlah jaraknya ke dua buah titik tetap A dan I adalah sebuah konstanta p, maka terlihat bahwa persamaan untuk elips adalah R r + R2 = p.

Menurut 5q21 5, VlRr+ftr1 adalah normal terhadap

elips; oleh karena itu [V1Rr+Rr1] ..r = O atau,(V&). .r _(vRl) .T. =

Karena VR1 dan VRz :rdalah masing-masing vektor-vektor satuan dalam arah R1 dan R2 (Soal l3), maka cosinus dari sudut

antara V?, cl"n T sarna-deJan T;karena

ngan cosinus dari sudut antare Vfi1 itu sudutnya sen<iiri adalah sama.

(;RAl)tliN. l)lVliR(; l)NSl t)Arv CURI Persoalan ini mempunyai suatu interpretasi fisis. Sinar-sinar cahaya (atau gelombangâ&#x201A;Źelombang suara) yang berasal dari titik-api misalnya, akan dipantulkan dari elips ke titik api 8.

DIYERCENSI

15. Jika

A = x2zl - 4t", I

V.e

xy2zlt,

* * tPr Oz Ox P1 Oy $ll

makacarilah

. (;2zt

* * !<-2r",'\ ]t,'"1 Ol Ot

rysz2

V.A

(ataudiv A)

! + rv2zli)

j@r',1

bz - q2z2 t xy2 = 2(r)(r) 16.

Diketahui dimana

1o1

0 = 2x1y2za. (a)

Carilah

V.V@

V' = 4 * -{ * a" lx2 7y2 722

padatitik(l,-l,l).

6(-1)2(1)2 +

(atau divgrad

(1)(-l)2 = -3 ii(1,-

0). (b) Perlihatkan bahwa 9-v6 =g'4,

menyatakan operator tapiacian.

Vo = t*<2"'yr".1 + 1$ptf,'t , tf.wY,lli = &2/2zo'i + Maka V.V@

4zslza

! +

g"3y2r3

= ,*, *$r * !n.<*'r'ft+4zsyza!+s,3y2,'t1

lr*1+', * f;<n*r*t * L2.zy2za

ial V.Vo

aa + *t = r*l Ox Oy aad

= =-(<-) Oz Ot ^1 oo

'a"' 17. Buktikan rrun*,

+ 4rsza +

24zsy2z2

* P, * P*, 3rrrPi dz da dy dz

a ad

a'6 a'6

a ad

'V;1|1 =0.

v'rlr al dt y'rz *rz * 2 dr.

dx'

!<esr',"t

t(t)*.,(t)=AF,V*a,, . v'6 At' #,r = +

y're *rz

*rz

=,*r.*.$,,ffi'

+rc*rzr-sh lo, *r,**)-7/2 = -*(r2

![-,

<,' * r'

gr2(12 +),2 +

Dengan cara yang sama,

,'\-3k)

*f,/z

1,1)

pz +rz *

"r)-"/'

a'o

(r('\i)ll:N. lrl\ t.R(,i.N)i l).\i\ ( LRL

?'rtr-E-r2-r2A21,-zr'-r'-y' = q(r,Vrr*rr' orrr"rr* Makadenganmenjumlahkan.

Persamaan Y'O

dan

= p-r4$v,

d7(ml

({ . { .â&#x201A;Źr,-:=r-, Ot dy' dz' y'x2 +y2+ z2

d.isebut persdmaan Laplace. Dengan demikian,

e = lr 1

adalah solusi dari

persamaan ini.

18. Buktikan: (o) V.(A+ B) = V.A + V.n

(6) V.(dA) = (vd).A + d(v.A).

1al Miselkan A = Ari + A2i+13k, B = Bri +Bzj + gsk.

Maka V.1e+n1 =

f9,

.Orqdz =

]r,1. k4*ar)t + (L+B)i

+ 11.+8")k)

* p1e,*a; * 3ra*al P,a*q, ox Oy dz' "

=+..+-g'*?f'*93.P' ouOydzdxqdz =

* * $*1.qr,, +Ad+Aak\ 19, Ox $i dy dz

* <P, * * &oyoz^31 3*1.<rr, = 1ay V. 1@n,1

+8"J

+4r)

V.e + V.n

= Y.(6,qi + +A2i + e&k)

$,0r,, * $<de,t * $<d;"r

ffn, . = !n, ax =

o* *#n,. o+ *#n" . 6* *# n, . rr* . .*, ffn, *

a6. -$*,.,r,r ,?,r.S,

= (Vd).A + 19. Buktikan V.(

r'!) = 0

Misalkan

,,*,.*,

*$*r.<r,,

@1V.e1

r-3 dan

Maka V.(r-3r1

20. Buktikan'v.Qvy

+A2i+Ask).

4=rdalam hasildariSoal 1g/6/.

= 1Vr-3).1 + 1r-3)V.r = -3r-sr.r + 3r-3 = g,

pergunakanSoal4.

= uY'y - vv2u. ! VV Q = lJ dan e

-vYul

Dari Soal l8(b), d,enean

Y.tuYvl =

1Vu1.1Vrzy

+ u(V.Vv,, = tVut.1iv,1

* uy,v

+A2!+Ask\

c,llAl)l aN. l)lV tjR(;llNSl l)AN Ct'Rl

Pertukarkan

U dan

Kemudian kurangkan,

menghasilkan Y. <v YUI

9.<uYvt

Y.tv

Vui

6"1

= (Vv).(Vu) + vY"tt. Y.pYv -vVu\ tVul.tVvl * uY2v - ltVrrl.tVul+vY2u) uV'v - v92u

t(x, y, z)' Perlihatkan bergerak sehingga kecepatannya pada sebarang titik adalahsebuah ernpat-persegi-panjang dalam waktu per satuan uolume pei satuan (the n"ial hilangan fluida "i koordinat yang besarsumbu'sumbu dengan kecil yang memiliki pusat di P(x, y, z)dan sisi-sisinya sejajar v' v' v = diu oleh diberikan pendekatan nya masing-masing Ar, Ay, Az.secara bahwa. ke-

21. suatu fluida

r."

r Dengan melihat Pada gambar diatas

Maka

v di P = ',

komponen

x dari v

padapusat sisiAFED

komponen

x dari v

pada pusat sisi

darikecepatan

GIICB =

a, - 19r 2?x

kurang lebih

^ + _t?u. __--! L\a kurang lebih

2?x

("1

-rL&rAvAz 22,

volume fluida yang melewati GHCB pet satuan waktu

(vr

x Kehilangan dalam volume per satuan waktu dalam arah

(2)

91 - (1) = Z" a,arl..

(1)

volume fluida yang melewati AFED pet satuan

(2)

Dengan cara

waktu =

yangsama, kehilangan dalam volume per satuan v/aktu daiam arahy kehilangan daiam volume per satuan waktu dalam arah

?''t Art

Av Az

LOx

- Idy UN4'.

x = f l't 6t 6' 4"

per satuan waktu Maka, kehilangan total dalam volume per satuan volume cL. 'C1

;l' -Y

1,. ,

)

-1t 1:r.

\: =

l,1

V'V

-:.

titik P' yakni bila Ax' menyusut se.ara eksak benar hanya dalam limit empat-persegi-panjangnya rke V v = 0. Ini disebut per*u1u Ay dan & menuju nol. Jita tak ada kehilangan nulOa ai *unuprr., (incompressible)' Karena termampatkan tak fluida untuk (continuity equation) samaan kontmuitas dikatakan bahwa ia tak memiliki fluida tak diciptakan maupun dimusnahkan pada sebarang titik. maka nol kerapkali disebut yang divergensinya v seperti vektor (sink). Sebuah sungap (source) dan sumber

Ini

solenoidal.

GRADIEN, DIVLR(]I:NSI DAN CURI.

22.

Tentukankonstanta Sebuah

vektor V

V = (r+3/)i

sehinggavektor

1y-Zzlj

adalah solenoidaljika divergensinya nol (Soal

V-v = .4"+3yl + 3(y-zz) ox Oy Vy=a+2=0 apabilao=_!.

Maka

+ (x+dz,)k adalahsolenoidal.

2l).

+az\ = I + I + a 3r, dz'

CURL

23. Jika A =

xz?

vr A =,;,

?.x2yzj

);) +

ay:i

2yzo

carilah

fk)x1xz3

i - k2tzj

i,a

-l _?l el

-2x2yz

zy""|

a E, ,r"

Vx A (ataucurlA)padatitik(1, -1, l).

= l]<zr".t - *"r-*r,rli * [f . 24. lika A = r2yi curl curl

12za +

2z2y)i +

3xz2

+ 2/.4k)

1,.3v

- !,rr"^11, * i*.<-r*r,r - f

i - 4*rry = 3j + 4k

di (1,-1,1).

- Lrzi + 2yzk, carilahcurlcurlA.

e =

Vx (Vx e)

= V,

33+ ox cy ,2y

- bz

" le, +22)i -

(r2

a 1 2x +22

j a a.y 0

25. Buktikan: (a) VX(A+B) =

VxA + VxB , (6) Vx(dA) = rA + d(VxA). IVdl

Misalkan

= AJ+Ael +131, B = Brt +Brt +8"&.

;)). vx(A+B) = ,;,*;j.

a"ul

Maka:

, l(,qrrBr)t +(A2+82)i +1x.+8.1k]

aaa a,ua. At+81

+2r)k)

Zyz

Iai

r,""y]x

A2+82

A"*?"

k d

<' Oz 2^

= (2r+2)l

(,ltAi)ll:N. I)lVllR{;t.)Sl lrAN ('Lilll.

r4,*8.)

- !,{arnarii , l{otr.a,l ,

fr<1"*a.lJJ

rx,'r, - ;

(,41+81)lk

, [-a1,-1r"],. ' d, ?' -- t+-Plu D"

tla4_r_a1,li - al '

[;a

- U'li ),''

19&

. i+dx - lglu . l* 'Ez - *t, E'dy

V,A ' V,R Vx(OAJ+Qarl+$,erx\ tI i i

to) Vx (de)

Dz A1 QA, QA, t.3<e+r

-l

AA"l

- $rd.aali

l.!<ae,t

- $,++,1, *

t+*dy * dyj e, - o*dz - PrJ, az. . td* -ffn, - d* - #r", I . @* ' ok'g*-1&,, dz dy

t$<o+r

-'#n, - oa+ -

* 13{^,-*r*l 1!{^,-*,, ox dz .dx

o <Ye,- Pr,lul * [rPe" ,Po, 'dz ' -9r",, ot dx qdz -!0,r, +

4i1Vx

= glVx a) 26. Hitunglah V-1ex ivlisalkan

Maka

lVgy x

+/"k, r = xl + yt

)" );

+ 2 k-

= (zA2- YAs\t +

dan

jika Vx A = 0.

A = AJ + A2!

Axr

1xA3

- zAi! + UAt- rA)l

v-(r'r) = !1,tr-y,t"l * $ae"-za1\ + !on'-'n'l

ZA,

?1"

-a!9

,7A,

- *td4li oy

* ,?-" - ,9+

?9e,1r

(;RAl)ll:N. llll l:R(;l.NSI t)AN ('tiltl

,,*-*, * rt*-*, *,1!-*, '?: dy dz dz tx' Al lxr + y1.,*J. trf -*rr- (# *,, . (*-$r*r r.1Vxe1 = r.curlA. Jika VxA=0 inimenjadinol. 27.

Buktikan:1c1 Vx1VS1 (o)

vx(vd)

=g (curlgradd=Ol, (6) V.(VxA) =0 (divcurlA=0).

v,.#,.#,.#*, t

a a a, a,

a,l

ad a@ adl a, a, tl

. i.3r$, - $,$,r, - t*,#,- $rffrr-

= t+(#) - jrff,i, =

,#-$,, r,*-#,, .,ffi-;*"

asalkan kita menganggap bahwa @ memiliki turunan-turunan parsial kedua yang kontinu sehingga urutan dari tururrannya tidak pcnting.

111

aaa lVxal = V. ?" ay A7

Zz A3

v-[i+ * (+ - 1b,, . (y2- *r*t ay - +)r az Az dx Ox df ?

E,r. ?A,

dx ay =

ar. A"

?, E1

dz _

\2. 34, * ?, ?r

? E,l, AA"

E 3;"

dy dz

dz dx

12 dA, )7

dx _

-2 dAs E7

-2 dA, D,

7e, dv

..;. d.{r D.

l-'

dengan menganggap bahwa A memiliki turunan-turunan parsial kedua yang kontinu. Perhatjkan kesamaan antara hasil-hasil diatas dengan (C x Cm)

skalardan

C.(CxA) = (CxC).A = 0

28. Carilah cutl lr Jft )) di curl (r

rnana

l/ri

diferensiabcl.

f(r)) = V x (r f(r)) = Vx(zfr,r)i+rfU)i

+ z /(r) k)

ol a.

u ,

f(,)

-?_

y f(,)

' f,',

{C x

C)m

= 0, di mana /n scbuah

(iRr\DllrN, lriVf:.RGl.NSl l)AN ('UR

* tvS-'{'u . r,S-"*,, 'dx '"E, iv d'-

-- (,?/-illr -1 'Zr"

ii.l tr,\\"r) ar Cx

. rZ,r!:) T.t",,i ' 9I dx dr ct

Dengan

o." ,"r'i o,nr,

Makahasilnya

29. Buktikan V x

* + =

*= +

"^"

(,+-r+)t

-!9::

y'*?+y2+"2

f-1. r

@+-

''*r, * o+ -'f|" '

lVxA) = -V'?n + V(V.e). iJk

aaa

Vx lVxa) = V*

.4..

Zs- ?s^ - V* ,l(_-__-)i d7

11r-1&,, dx Cz

.dz

- (*-1L,*l cx cY

dA, 7A,

E.4, ?a,

?e" 7A, -r-E

;;-;r.

a,-;;

?,4o , .L a 7* _ d,q. _ D ( E,l._ _1")Ji a(.^Oz ^: ox oz Oy dy 'Ax =) Ex" E,{,. r 3x" AA" ? (:l--)li , D(---) + t: .

dz dy

^dx dr

- t3,%-*, 3,*-*rt* dz Cz dx - dy dy t2' a'; )2t a'.a- a'A- . - eo#-.#tt ?"#-ff'* ,#A2n -#r, -1r,, - (+.9+,n *=.'X.,, . ,?'+ (:. --,r'n, '?rEy Er?7'- 'd*1. E'?'' a, c.a." dz

3'0, ai,., * e ,-{!, - a'1" - a"4",'u ,-i1, - {t, --in,r, * t-17 e in, ;-#a; rrt" az2)r a?- df a=,, - *,. ', 1. !o-, * !'* r,. ,{+. g*-,, 7.,?

(+r'^ dr'

Dr'

- { - d-, (Att + dv' dz'

,*,*

rtu&,

,li?v 'D.

A2r

dY' d' C'

,*dz.*cz cr

dz'

A3k)

-,i,* ,X'-*,

- *;1,#,'-*l .

GRADILN, DIVEI{GLNSi DAN ('LIRL

d'q, -dA"t -Y'e, , Yr?ll . ox dy dz

-V'A * VrV.al Bila diinginkan, pekerjaan menulis ini dapat dipersingkat begitupula dengan turunan-turunan lainnya dengaa hanya menuliskan komponen-komponen i karena yang lainnya dapat diperoleh berdasarkan simetri. Hasil di atas dapat juga dibuktikan secara formal sebagai berikut.

Dari Soal 47 (a) , Bab 2,

(1)

Ax(Bxc) = B(A.c)-(A.B)c

.lnrbil A=S=V dan C=F,

VxlVxny = V1V.ny-1V.V1 r = VrV.nt_fn

Perhatikan bahwa rumus /1/ haruslah ditulis sedemikian sehingga operator-operator A dan mendahului B operator C, bila tidak demikian maka rumus ini tak dapat digunakan.

30. Jika v = o) x r, buktikan (n = ,, cwl v dimana ar

adalah sebuah vektor konstan.

curty = 7x v = Yx (arxl) = O, l.',

= Y , f@r" -r,4fll

=l| I

I ds2z

Maka ar

+ (ayx - tDrz)l + (a* -r,,2")\)

i I

:r,

?, --

asx - a)tz

o:y _ a2x

- a4y

= iVrv

= 2(r,ttl + a2J + c.3k) = 2d,

= lcurtv.

Soal ini merrunjukkan bahwa curl dari sebuah medan vektor mempunyai hubungan dengan sifat*ifat rotasi dari medan. Ini diperkuat dalam Bab 6. Jika medan F disebabkan karena fluida yang bergerak misalnya, maka sebuah kincir air yang ditempatkan pada berbagai tempat dalam medan akan cenderung untuk berputar dalam daerah dimana curl F * 0, sedangkan dalam daerah dimana curl F 0 maka taII = akan terjadi perputaran (rotasi) dan medan' F disebut irotasional. Sebuah medan yang tidak irotasional seringkali disebut sebuah medan pual otou

31. Ilila'v'E =0,v'H =0,vxE = -

uortri,

(vortex field). 2

$,vru

$nerlihatkanbahwa

VxlVxry = Vx(-$, = -?r<v,nl = -*,*, DariSoal 29, Begitupula,

Tetapi

YxlVxsl = -f"

V,1V,ny

V,,*,

VxlVxR) = -V2R

*V1V.e1 = -fr. =

= * Maka

*,Or", = a?,-J},

+ V1V.ny

= -fu.

E dan H memenuhifu

Maka

= *.

tr,

=?u It'

(lllAl)iLN. l)lVlrlt(;t,NSl l)AN ('iiR, Persamaan-persamaan yang diberikan

elektromdkneti&. Persamaan 9"_

Ox'

atas berhubungan Jengan persdmodn Maxwell dalam teori

^2 - *+ * {i^2 = *+ Oz' da'

disebut persamaan gelombang.

SOAL-SOAL ShRIIA ANEKA 32. (a) &buah vektor a, D,

disebut irotasional jika

curl V

= 0 (lihat Soal 30). Carilah konstanta-konstanta

sehingga

Y = (r+2y+az\i + (br-3y-z)t

+ (4r+cf+22)k

irotasional

/Di

Perlihatkan bahwa

ra curr\' = Vr\' -

dapat dinyatakan sebagai gradien dari sebuah fungsi skalar.

;

x+2y+az

bx-31 -z

= (c+r)i { (a-4)i

+ (6-2)k

4x*cy+17

Inisamadengannolapabila a = 4, b = 2, c = -l sehingga V = (, +2y +42)l + (?., -3y -z)t + G, -y +22)i

(b)

Anseaptah.v

Maka

- -^@* * ='?6 = P, dx P, dy dz.

(I)

Integrasikan

ad * = ,*A +4,:

(t)

secara sebagian

(4) dimana

(2)

a6= b-tv-2, i

terhadap

(J)

ad e; = k-v *2r.

dengan mempertahankan

/ dan z

konstan,maka

O=+!bt+4*z+l(y,z) f (y,

adalah suatu fungsi sebarang dari

dan

Dengan cara yang sama maka dari (2)

dan (3) diperoleh (5)

e = 4y -+ - yz + s(r,z)

(6)

4 = qzr-lz

Perbandingkan (4), bila kita memilih

(5) dan (6)

+ z2 +h(r,71.

maka terlihat bahwa akan terdapat suatu harga

-3v2or2r-r23v2 f(y,z\---:t-+z',

g(x,z)=1'"',

h(x,y)= Z-

yang sama apa-

sehi ngga

6=+

Y*,r*2ny+4;tz-yz

Perhatikan bahwakitadapat pulamenambahkansebarangkonstantapada p. Pada umumnya jika Vx V = O, maka kita dapat menemukan @ sehingga V=Vd. Sebuah medan vektor yang dapat diturunkandari sebuah medan skalar { sehingga v=Vd disebut sebuah oedan vektor konservatif dan @ disebut potensial skalar. PerhatTkan bahwasebaliknya jika v=Vd, .maka Vxv = 0 (lihat Soal27a').

33. Perlihatkan bahwa jlka g(x, y, z)

adalahsebarang solusi dari persamaan laplace, buah vektor yang bersifat solenoidal maupun irotasional.

Menurut hipotesis, @ memenuhipersamaan Laplace lah solenoidal (lihat Soal*oal 2l dalr22\. Dari Soal 27a., 9 x

tVdl

sehingga

itf= o,. yakni

adalah irotasional

maka V@

V.1V@1 =

adalah se-

Maka V@ aaa-

(;RADILN. Dl\/il{(il:NSl l).\N ( UIiL

34.

Berikan definisi yang mungkin dari grad B.

Anggaplah

B = 8ri

+ 82J +

83k.

Secara formal,

;; (ai++J+

aB.ii * ?n^ =+ i?i1 Ax Ax

3n.

::13 ik dt

aB"

Ea"

_-'jt+:jj++lk dy 9t +

sebagai

<ari + B"j + Brk) *rl da

aB,

kita dapat mendefinisikan grad B

Da. - hi

-_dz

da^

=iCz kJ

tsr"

--: kk Oz

Besaran-besaran i i, i j, dan seterusnya disebut dyad-tlyad satuan.(Perhatikan bahwa i sama dengan j i..). Sebuah besaran yang berbentuk

misalnya tidak

arii + oeij + dfik + arrii + aoii + a%lk + aokl + orrkl + aokh disebut sebuah dyadik (dyadic) dan koefisien-koefisien ar t Susunan dari kesembilan komponen ini dalam bentuk

(:' i

, dtz, . . .

adalah komponen-komponennyd.

;)

3 kali J. Dyadik adalah perluasan dari vektor. Perluasan yang lebih lanjut menghasilkan triadik (triadic) yanr adalah besaran yang terdiri atas 27 buah suku berbentukalsl iii+ a21v iii +... Studi mengbnai bagaimana komponen-komponen sebuah dyadic atau triadic bertransformasi dari sistem koordinat yang satu ke yang lainnya memperkenalkan subyek analisis tensor yang dibicarakan dalam Bab 8. disebut marriks berukuran

A didefinisikanoleh A -- Ari+A2i+,4.3k dansebuahdyadikr[.oleh {r = arrii + arrii + osik + arrji + a22ii + ar"jk + rhtki + arrkj + a."kk

35. 'Misalkansebuahvektor I

Berikan definisi yang mungkin

dari A . O

Secara formal, anggaplah hukum

distributif bertaku,

A.O = (A1i+A2j +l3k).c) = A7i.a+ A2i.o+ l3k.o Sebagai contoh, pandang i' O Perkalian ini dibentuk dengan mengambil perkalian-titik dari i dengan tiap-tiap suku dari O dan hasil-hasilnya dijumlahkan. Contoh-contoh yang khas adalah l. a471, 7. a12it, i'qttt, i'"s2ki, dan seterusnya. Bila kita berikan arti terhadap perkalian ini sebagai berikut i -a11ii i.aeij l.a21jl i -aeekj

o11(i. i)l - i)

o21(i . j)

cp(i =

%:(i'k)i

= alr7 = opJ

karena i.l

-- 0

karclra i.k

dan berikan pula interpretasi yang analog terhadap suku-suku

karena l.l I:arena l.J

@ dan k

= = = =

0 0

Q, maka

A.O = A|@irai+ a12j+ a13k) + A26rri+ aDJ+a%k) + As@871+q2j+o3k) -- (AtantA2a21 *Asoet)i + lArap+Aeap+As"sill + (A7aa2+Azats+z{rao;k yang mana adalah sebuah

vektor.

(;

36.

(a)

Interpretasikan simbol

R.\i)li: \. I)lVlr R(ltlNSI t)1\N ('i;iiL

A.V. /Di Berikaninterpretasiyangmungkinuntuk (A'V)B. (c) A.VB tanpa menimbulkan tafsir ganda?

Apa'

kah mungkin untuk menuliskan ini sebagai

/a/

Misalkan A = Atl + A2t +

,{s[.

Maka, secara formal

. A.v = i,.11i'

42i

+/"k).(+t * Pi -3u.l Ax

= {,-!c)r , Ar!at - ^3-Az adalah sebuah operator. Misalnya,

(r.v)@

- ,r,,i - 4,; *r. j,lo = 1,* - A,y; * o"#

Perhatikan bahwa iai sama dengan A'V@.

(b)

Secaru

(A-V)B

formal. dengan mempergunakan (a) dimana

diganti oleh g

Bai + B2t

+ Bcb,

. x"3ls = 1,+ - ,4,+ * erP - ra-jax n,a,3 A\ dy dy dz Cz

lR-

Att,

aB"+ls ar" ?)8. Dn- aPls. - 1lt aB, -ls-<j)i + (lr-<j +Ar-;: *,4s+)j + (/1=j +Aq-=:= -jax A2 ^-Y)k oy az Oy Oz Oy Oz Cx Ox /c/

Pergunakan interf,retasi dari VB yang dikemukakan dalam Soal 35,

A.VB = (A1t +

A2t

+lsh).VB

sebagaimaaa diberikan dalarrr Soal 34.Maka, menurut arti simbol

= ,{1t.VB + l2J.VB + lst.VB

aB" aao Ea.+5;r+;;r) ?r. ?a. ?a" * n,r6r+i;t+ ?r. aB" ?4" * As(a;t A{;1+dJ+frr 6*,

yang mana memberikan hasil yang sama seperti yang diberikan C-alam bagian {b). Dafnya diperoleh (A.V)B = e.Vn tanpa menimbulkan tafsir ganda asalkan konsep dyadik.diperkenalkan dengan sifatnya :/ang sebagaimana telah ditunjukkan.

B=r2i+yz!- zyk dan Q.=2r'y2", carilah A=4zl-*yi+r*k, (o) (A.Vld, (6) a.Vd, (c) (B.V)A, (d) (AxV)d, (e) A x Vd.

37. Bila

(o) (A.V)o

= lpu. i *

x:r

):f = (2yz; _ ?,

j - *.2k).,*, - 3.; .3xl.l o

zv'io,rLJ'23)

,,2!)

(z,-y"z)

"r*ru','"1

= (2vz\(4xrzs) - 1x2r)1?t223) + = 8ry'"o - 2.oyrt + or3yz4

* "2!{2,2t'"' 1xz2116fyz21

ra)e.Vd = (zyzt-,2y1 +,"'r,l .tli-ffr-lPu, = (zyzl - ,2yJ + ,r2k1 - 14ry"31 + Zr2z3: + 6r2yz2k)

(;R,r,i)tt..N. l)rVL.R(;t..NSI 1)AN

= ,ry2ro - zr"yrs *

(c )

6r"Tro

Ban<lingkan dea1an

(o)

menggambarkan

yzl

- xyr.l.(a3, . *,

(B.V)A

l1*'r

t t'ItL

trasil (A'V)d = A'Vd.

* /"3 -,r.a;o = = rr'3 C1 Oz Aa

$rl1a

- ,ri*

,.:?n

"+ Ax

= ,21-2xy1 + z2k1 + yz{2zi - r'j) - xy(2yi + 2rzk) = 12y22 - 2ry2)t - (Zr3y + x2yz)j + 11222 - Zx2yz)k B.Vl , [hat

Untuk membandingkannya dengan

+ xz2k1,

^^t -^'y

,r'I

d E,

_d_ Ay

D,l

x2,'

36(c).

* * pr.tJo 1]i l7 dr J; dr

(d) (AxV1o = l.ey"t -

Soat

-t -'l

tit-,'r]-,,'p) Oz Oy

51,,2J-rpJ, oz Ox

- a@+ xz'^dd + (xz'^oa zyz da - - (x't g\i ax * "r)l = -.16*oy'"'+ 2x325;l + (4x2yzs - L2"2y2r311

exVq\ = eyzi

- Pyi +,"2k1,1#t - H,

(2r: i

^),

+ r'vi),@ CI

(2vz-:' + lv^Eo - )k 'Cx +

(

4x't;

+ 41372"3 ; k

Hu,

ijk 2yz

ad ?,

-r2y

,"' ad E'

^2rz Do "AA - xz1',r)i "do.. + (rzloZo, = (-r'yt' 7r)i + a1 = *16xa"y2r.2+2r3rs)i + 1+r2trs*tzfy2rs1i Bandingkan dengan

(2yz

?.ta...)k -- * tn

" 14x2rro -413v22!;k

(d) menggambarkanhasil (AxV)4 = |.xiQ.

INVARLT,N

38.

Dua buah sistem

koordinat xyz dan x'y'z' yangtitik-asalnya berimpitan dirotasikan yang satu terhadap

yang lain. Turunkan persamaan-persamaan transformasi antara koordinat-koordinat sebuah titik dalam kedua sistem.

(;l{ \

Misalkan

r dan r'

lrll.\. l)l\/l:l{(;l:NSl

D..\N

('tjRL

titik P dalam kedua sistem (lihat gambar dar = r', maka .'i' * y'i' + ,'k' = ti * r, ;k

vektor-vektor posisi dari sebarang

lam halaman 59). Karena

(1)

Untuk sebarang vektor

A kita

peroleh (Soal 20, Bab 2),

A = (A.i')i'+ Maka dengan mengambilkan A = i, j, k

(A.J')j'+

(A.k')k'

secara berurutan,

( , = (i.i')i' + (i.j')J' + (i.k')k' = 1ti' + l^j' + l:yk' { I = (j.i')i' + (j.:')i' + (j.k')k' = tpi' + Lz:J' + t' k' t u = (k.i')i' + (k.j');' + ik.k'.1k' = t13i' + l',3j' + tok'

(2)

Substitusikan persamaan-persamaan

dalam ( t

)

dan jumlahkan koefisien-koefisien

dari i', j', k',

kita peroleh

(3)

,'= htz +lpy +lsz,

f'=

lzrx +lzzy +lzcz,

+h2y +haz "'= hrx

yang adalah porsamaan-persamaan transformasi yang dikehendaki

39. Buktikan i' = lui + l12i + tgk

i'= lzri+122i+ksk k'= J.1i+rs2j+6sk Untuksebarangvektor

A kitaperoleh tr = (A.i)t + (A.j)i + (A.k)k. A = i', j', k' seca.a bcrurutan,

Maka dengan mengambil

l' = (i'.i)i + (i'.j)5 + 1i'.t;h' = l,.i + Ipj + l13k !' = (J'.i)t + (j'.j)j + (j'.k)k. = L27i + l22i + lzsk k' = (k'.i)i + (k'.i)i + (kr.k)k' = l31i + /l2j + A3k 1

L jkam=n dan0jika m + n,

40. Buktikanbahwa 2- l*ln= 9=t

dirnana

m d,a n

dapatmengambil

sebarang harga-harga 1, 2, 3.

Dari persamaan-pâ&#x201A;Źrsamaan

l.l

(2) d$i

= 1 =

Soal 38,

(la7it +

bt! + r31k'). (/11i' + lzrj'

+ lsrk')

= t|, * tl, + t!,

1., = 0 = (l7tl'+bti'+h1\').(let'+Ln:'+h2k') - iitlp + lztl,n * 1:r/t.k = 0 : (1771' + L2tj'+ lcrk'). (lr.ii = Ittlo + lztlts - 1sr1o Inimembuktikanhasil yangdiinginkandimana m = dan k.k makahasilnyadapatdibuktikanufltuk m = Dengan

menuliskan Er,,

Simbol

6,,,

{; lf T,1i

disebut sirnbol Kronecker.

lr"j'+

lcsk')

l- Dengan meninjau j'i, j' j' j'k' k'i' k' j 2 dar. m = 3.

*^o^hasilnya dapat dituliskan sebagai

3rt6

tpn

= 6^n.

GRA

IllliN. I)lVLRCiINSI DAN ('trRL

S@, y, z) adalah sebuah skalar yang invarian terhadap rotasi sumbu-sumbu maka buktikan bahwa grad @ adalah sebuah vektor yang invarian dibawah transformasi ini.

41. Jika

Menurut hipotesis 0G, y,

kitabuktikanbahwa

z) = Q'G', y', z'). untuk

membuktikan hasil yang diinginkan.haruslah

p: @',,* * Pr * Pr P, - ?r,' ,, *'?r,l ox oy 7r' =

1-'.., f;J*

Dengan mempergunakan aturan rantai dan persamaan-persamaan transformasi peroleh

(3) dai

Soal 38, kita

a0 =

7$ 7"' ad, &, 76,?,, U' A6' * a6' = 3n,h, + u;4 a" a,'t. ai.t * rt -'., ad zg,7r, a6'ar, Ed,a,, M M' M -?; = a,,U . q./a, . a/a, = *,r, * grn * *,* ad' P * = ?d, a, = 3d'31'.?dy,W?! a;d, . Va, * a/t _ *'r" *-W'. *'* Vtn Perkalikan masing-masing persamaan ini dengan i,

j, k, kemudian jumlahkan dan

pergunakan Soal 39,

maka diperoleh hasil yang dikehendaki.

Soal-soal Tambahan 42. Jika O = 2r"o -x2y,caitah Vp OanlV4

l paaatitik(2, -2, 1).

Jawab.

43. Jika A=2x2 1-3yz!+xz2 l,lanQ=Zz-xsy,ca:ilah.t.V4 Aan Jawab. 5,

roi- Ei-.mlr. z/G

axV{ p3datitik(1,-l,l)

?i-J-l1k

=r'"*"!/' danG= a'y-ry',carilah(a)V1r+c1 Jawab. (a) -4i + 9i + k, (6) -Sj a5. Carilah V l.rl3. Jawab.3rr

44. JikaF

46. Buktikan 914 = f 'ql , 47. Hitunglah

Y6r2

48. Jika YU =

Ao r

- +f

(6)V(r'c)

padatitik(1,0,-2).

*y', l.

, carilah {l

Jawab. (6

Jawab. r 6/3

49. Carilah@(r) sehingga VO =+ 50. ('arilah Vry' dimana

dan

{., = (x2 + ),2

dan

zr-sh

o-t/s,s r

+ konstanta

d(t) = o

Jawab.

y'u' * ,, ) "-/*'r

Ot,l=ffr-{l

Jo*ab.

r) e-r r

5l.JikaYQ=Uy""t+x2zsi+3*2y"2k,carilahQG,y,r\jlka4,1,-2,2)=4.Jawab.d=r'tr'+20 52. Jika Yrp = O'-b,yz31l t(3+\ry-r'"')j

Jawab. 53. Jika U

,lt =

"y,

_ ,ry"3

+ 3y + (3/2\ za

adalah sebuah fungsi dari x,

Yu.dr=du.

+(623-3r2y"21k,Carilah konstanta

y, z yang diferensiabel, maka buktikan

ry',.

(;l{AI)lt'.N l)l\/ER(ihNSI DAN ('LillL

54. Jika F adalah sebuah fungsi dai x, y, z, t ferensiabel dari r, maka buktikan bahwa

yan1 diferensiabel,

dF = E dt dt

adalah fungsi-fungsi di-

= n.

maka buktikan Ask, dA = (VAa,dtlt + (VA2.dr)J + (Vls.dr)k.

vrll = NV

d.t

A(x,y,z) = u{ri + A2t +

s7. Bukrikan

di mana x, y,

*vr.4

55. Jika A sebuahvektorkonstan,makabuktikanV(r-a) 56. Jika

bahwa

jikaGlo.

58. Carilah vektor satuan yang tegak-lurus pada permukaan dari paraboloid putaran z -- z2 + y2 di titik

2i+41-1 (1,2,5). Jawab.--r7-u 59. Carilahnormalsatuanyangarahnyakeluarpadapermukaan (x-l)2+r,2+(z+2\2 = 9 dititik(3, 1,-4). fawab.(2i + t - 2k)/? xz2 +x2y

60. Carilahpersamaanuntukbidangsinggungpadapermukaan

Jawab.Lx-y-32 +l = 0

61. Carilah

persamaan-persamaan

ultuk

=z- I dititik(1,-3,2).

bidang singgung dan garis-normal pada perraukaan

z = x2 + y2

di ritik (2, -1, s).

Jawab.

4r-4-z = 5, + =++=+

62, Carilah turunan berarah dari $ = 4rz3 - ir2y2z

lawab.

atau pada

- l,

(2,

3'1617.

63. Carilahtr",rrnunberarahdari P =

z= 4t+2, y=-2t-1, 2) dalam arah 2i

=-t+s

- 3j + 6k.

4e2x-y+z padatitik(1, l,-l)dalamaraLmenuju(-3,5,6).

.Iawab. -2019.

64'

Dalam arah manakah dari titik (1,3,2),turunan berarah kah besarnya maksimum ini ? Jawab. Dalam arah vektor 4i - 6i + 2k, z,/Ta

dari d = 2xz - y2 adalah maksimum

55. Carilahharga-hargadarikonstanta-konstantaa,b,csehinggaturunanberarahdari@ di

- l ) memiliki suatu maksimum Jawab. a=6, b=24, c=-8 (

arc

j-"o" t/tqy'zt =

arc

= axy2 +byz+czzx3

yang besarnya 64 dalam arah sejajar sumbu z.

66. Carilahsudutlancipantarapermukaan-perrpukaan (1, _2, l). Jawab.

? Berapa-

cos 6

xy2z = 3x+22 dan 3x2 -y2 +22 = I dititik

lgotrs'

67. Carilahkonstanta-konstantaadanbsehinggapermukaandx2 an 4x2 y + z3 = 4di titik (t, *1, 2)

-byz =(a+2)xakantegakJuruspermuka-

Jawab. a=512, b=1

68. /a/ Misalkan u dan v adalah

fungsi-fungsi diferensiahel dari x,

y di.n z. Perlihatkan bahwa syarat perlu

cukup agar u d,an v berhubungan secara fungsional rnelalui persamaan F (u,

v) = 0

VuxVu = 0.

/Di

Tentukanlah apakah u = arc tanr + s,rs tany ' dan

lawab. (b) Ya (u = tan u)

*!, , = -lL-xy

dan

adalah bahwa

berhubungan secara fungsional.

GRADIL]N, DIVL-RGENSI I)AN CTJRL

69. (a) Perlihatkanbahwasyaratperludancukupagar.u{x,y,z),v(4,y,2)danw(x,y,z,/berhubungan secara fungsional melalui persamain F(u, v, w) = O aaaUn Vz .i"ri* = o. /D/ Nyatakan Au ' Av x Aw dalam bentuk determinan. Dcterminan ini disebut persamaan Jacob dari

Q(a,u,pt atau /(',',-). -2,!,2' O(z,l,zl /c/ Tentukan,apakah z !x*y+2, u =12+y2+"2 dana = z7+Jz+2, u, v, w terhadap x,

Jawab.

zdan

ditulis

?u ?r ?u Dz ?y 7, ?u 7u ?" dzqdz

1b1

a- a-

70. Jika A=3xyz2 l+bysl-r2y, titik (1,-r,1).

71. Hitungiah

= O)

dxqdz

(d) V-(VO), di

berhubungansecarafungsional.

k dan Jawab.

1ay

=322-!2, carilahlayV.A, (6)A.Vd, tctV.tdel,

4, (6) _ 15, (c) r, (d)

(b2z I

Jawab. 4zz - T-yz + Byz - xy2z ! + 3yz2 h1. 72. Buktikan@=Jx2z-y'r'+4r,y+Zx-gy-s,makacarilahg2$.lau,ab.6z+2b7_2rr_6yr,

73. Hitunglah V'1ln ,1.

Jawab. llr2

74. Buktikan f rf, = n(n+l)rn-2 dimana n sebuah konstanta. 75. Jika .p = (3r2y-z)l + lxzs +ya11 - 1xsz2;'.makacarilah VtV.rl Jawab.-6i+241 -32k

dititik(2,-1,0).

76. Jika ,&radalahsebuahvektorkonstandanv=c,.rx r , makabuktikanbahwa div v = 0. 77. Buktikan V'<+rlrl = OV'rl, + 2VO-Vqr 78. Jika

fawab.

=3x2y, (6y22

V=t? - ?

- l?.*)l

79. Hitunglah .V.

1rs

+ 6rz2

r1.

* *fA.

makahitunglah.l(erad U).(grad

+ l2syz k

Jawab. 6rs

80. Hitunglah V' [rV(t/.3)] .

lawab. ir-a.

81. Hitunglah V'[9. G/,r'i .

Jawab. 2r-a

82. Jika A = r/r, 83.

carilah grad

(a) Buktikan Y'

11,1

yl].

div {.

Jawab. -2r-3 r

# . ? nj,

(b)

carlah f(ri di mana

Jawab. lH = a+Bft dimanaA dan B adalahkonstanta*onstanta

84. Buktikan

bahwa

vektor A =

3yaz2

I + *r3zz ! - lr'y'k

y.'1 = s . sebarang.

solenoidal.

85. Perlihatkanbahwa n = (*2 tlxy2z\l + (3x3y - 3zy)! - (4y222+2x321i tidaklahsolenoidai tetapi B = ryzzL solenoidal. 85. Carilahfungsidiferensiabel f(r) yangpalingumrimsehingga//r/rsole4oidal. Jawab. f(r) = C/r3 dimanaCkonstantasebarang.

87. Perlihatkan

bahwa medan

vektor v = -" ! x'-:,+ f'

adalah sebuah "medan sungap" Gambarkan dan beri-

fisisnya.

kan interpretasi

88. Jika U dan V

l{,\ DILN. DIVirRGtrNSl l).\N ('UllL

medan-medan skalar yang diferensiabel, maka buktikan

bahwa VUx VIz solenoidal.

*3:zskdan{= x2yz,cailah (o)VxA, (r)curl(de), (")VxlVxA), talV[e.curlA], (e)curlerad (dA) dititik(1, t,l) (c)Si +3k, (d)-2i +i +8k, (e) 0 Jau'ab. @Ji +J, (6)5i-3i-4k,

89. Jika A=2xz2t-!"1

90. Jika F = x2yz,

9l Hitunglah

(x2z

24zyz\l

falV[fVrl'fVcl] , tolV'[tVrt'tVcl] , (clVx ltV'rl*fVcl]

- l?.xyz)i + (4xyz -

Jartab. @) (2y22 +?x2z (b) 0

(c)

maka carilah

= xy-322,

(12-x2z +

Y x 1t/r21. Jawab.

6"22')i + (2s'y2

l-xyz)i + 1by2 +

- 6'2y)k

12y22 + x3)k

92. Untukhargakonstantaaberapakah,vektor A =1axy-zs)l + (a-21x2 I + ll-a\x;2Y curl yang sama dengan ncl. lawab. o = 4.

akanmemiliki

93.

Buktikan curl. {d grad d

94.

Gambarkan diagra'n medar-medan vektor A = .ri+-r,j dan B = yi-xi. Hitunglahdivergensidancurl dari tia-p-tiap medan rektor dan jelaskaa arti fisis dari hasil-hasil yang diperoleh.

) = 0.

- yzl + Zxk dan| = 2,'2 +vz, (o) A-(VO), (D) (A-V)@, (c) (A'V)8, (d) B(A'V), (e) (V'A)8.

95. Jika A = r2zi + yz3 i - 3xyk, R'= y' Jauab.

1a1

(c\

4#z

+ y"4

2y2231 +

3rl2

(b'1 4x3z + yza

(3ry2-yz4)l + ?*22k,

makacarilah

3xy2 (sama seperti (a) )

(d)operator @ffzi-x2yz2 1+ zsrk)$ + lyszsi-y2rti * ?ryr"a\& .

+ 1-3xysi+3xy2zi-O*yr,l$

(e\ (2ty2z + ,fr3'11 - (L"yr2 + yz4)i +

(4x22 + 2s231y

96. JikaA =yz2 1-3rr2 1+2xyzh, B = 3ri + 4z!-xykdan Q=,y". (c) Ax (Vd), (E) (AxV) 4, G) (Vx A) x B, (d) B'Vx A. Jauub. @) -5*yz2 1 + xY2z2! + 4xYz3 k (b) -ix2yz2 i - zf z2 ! + 4xyzs k ( sama seperti (4) ) (d) )4x22 (c) 1623i + 18x2y:z -l2iz2\i + 3?,x22 k

$a122

e= r"2i+4i-3xzk

97. CarilahAx(VxB)dan1lxV1 xBdititik(1,-I,2).jika Jawab. AxiVxni = l8i - 12j + 16k, (axV)xB

makacarilah

danB=}xzi+ryzl-22h"

= 4j +?6k

98. Buktikan (v.V)v = LArr - vr lVx v;.

s) = B. (Vx A) - A. 1Vx B ). 100. Buktikar V:i,trB) = (B'V)A - s(V'a) - (A'V)B + A(V'B). l0l. Buktikan V1e- nt = 1n-V;e + (A.V)B + sxlVxA) + AxlVxrl99. Buktikan V.

(e x

102. Perlihatkan bahwa A = ley+2311 + (k2 - ")i +

Jawab. 6 = 3iy t xz3 - 7z +

konstanta.

13x22

-y)k

irotasional.Carilah@ sehinggaA = V@"

GR,.\i]IL\. DIvI]R(;iiNSI I),\N

103- Perlihatkanbahwa

a)0. Jawab.

E = r/r2 irotasional. carilah

CLiR

@ sehingga

E = - vd

danfla)=0

dimana

= ln{alr).

104. Jika A dan B irotasional, maka buktikan bahwa A x B solenoidal.

10rl

Jika

f(r)

diferensiabel, buktikan bahwa

t'/r)r

irotasional.

106. Apakah terdapat fungsi vektor diferensiabel V sehingga (a) curl V = r, (|) curl y = 2i+j + 3k Jika ada, maka carilah V. Jawab. (a) Tidak ada. (b) V = 3.tj + ferensiabel dua kali.

107. Periihatkan bahwa solusi dari

(2t -x)k + g4!,

di mana

adalah fungsisebarangyang di-

persamaan Maxwell

V'xR =

V.n=0, y.a

Vxr = -* *,

* *.

= rllrp

di mana p sebuah fungsi dari x, y, z dan c kecepatan cahaya yang dianggap konstan, diberikan oleh

di mana

E = -vd

A dan

- l*'

H=vxA

@ masing-masingnya disebut potensial-potensial vektor dan skalar, yang memenuhi per-

samaan-persamaan

(1)

v.A .

i # = r,

e1f q -:r# - -471p, (r) fA

=:,#

108. (r) Diketahui dyadik

(F = i i + i j + k k, hitunglah r . (O . r) ctan (r . (F) . :. (D) Apakah terdapat dua arti dalam menuliskan r . O ; r ? (c) Apatah yang dinyatakan oleh r . O .r = 1 secara geometris ?

Jawab. (a) r. (O. r) = (r. O).r = r2+y2

12,

(D) Tidak.

(c)

Permukaan bola dengan pusat pada

109. (a) JikaA= '27-y2 1+yz2i tuk (Ax V)g di titik (1,

titik

asal.

dan B=2227'-xyl+ysb,

-1,

(D) Apakah boleh untuk menuliskan hasilnya sebagai Ax 1VB1 ij + 3tk - JJ - {Ji + 3kk

Jawab. (o)-4it-

(b) ya, apabila operasi

10. Buktikan bahwa

(x, y, z) =

makaberikanartiyangmungkinun-

1.)

dengan mempergunakan dyadik.

dilakukan secara tepat. +

+ z2 sebuah skalar invarian di bawah rotasi sumbu*umbu.

lll. Jika A(x,y,z)sebuahmedanvektordiferensiabelinvarianlerhadaprotasisumbu_sumbu,makabirktikan bahwa (a) div A dan (b) curl A masing-masingnya adalah medan-medan skalar dan vektor invarian di bawah transformasi.

Pecahkan persamaan-persamaan

x,y z.

(

j) dari

Soal-soal yang Dipecahkan no.

g untuk -r, 1,, z dinyatakan dalam

Jowab. x =llrtx'+lety'+ latz', y = ltzr'+Lrry'+lor',

, =ltsx,*l*y,+lsszt 113. Jika A dan B invariandibawahrotasimakaperlihatkanbahwa A.B dan AxB jugainvarian. I

14. Perlihatkan bahwa di bawah rotasi

v = i3Ax * rP - *3 dy dz II

+ j,g+ 1,1 i'3 dx' dz' E'

5. Perlihatkan bahwa operator persamaan l-aplace invarian di bawah rotasi.

Bab

INTEGRASI VEKTOR

INTEGRALBIASADARIVEKTOR.MisalkanR(u)

R1(u)i+Rr(r.r)j+R3{u)ksebuahvektoryangbergan-

tung pada variabel skalar tunggal a.di manaRl(rzl' RJU)' R3/u/kontinu

dalam suatu selang yang Citentukan. Nlaka

J*t,,a, = ,l

*u,ra, *

n,ru)du + uJ

disebtrt integral tak tennrdari R/rrl. Bila terdapat sebuah vektor

! *,,,r, = {

*o*rl

Vu/ sehingga R(:,;) =

s(u) +

dimanacadalah-yektor konstan sebarang yang tak bergantung padau. Integral u = b dalam ha.l demikian dapat ditulis

[,0 Integral

ini

*r"ro" =

I"'

dapat juga didefinisikan sebagai

*"r'r"

ft,$<'t1a' =

s(u)

f (vrl), ,ur.,

teiiu

"lb =

a;rtata

s(b)

limit-limil u = c dan

s(o)

limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan yang

pada kalkulus

integral elementer.

Misalkan r(u) = rir1i + y(u)j + z(a)k. dimana r(u) adalah vektor posisi dari (x, y, z), mendefinisikan sebuah kurva C yang menghubungkan titik-titik P1 Can P2, di mana u = ur dan il = u: untuk masing-masingnya. INTEGRALG.{.RIS.

Kita menganggap bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurvadimanauntuk masing-masingnya r/r,ri memiliki turunan yang kontinu. Misalkan A(x,y,z') = Aj + Ari + A"k sebuah fungsivektordariposisi yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C. Maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P1 ke P2 , ditulis sebagai

f"n-0, uP,

= ucfn-r, = Jc[n,dx+Ardy+A"d,

Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel 1'ang bergerak sepanjang C, maka (yang nrana akan integral garis ini menyutakan usaha yang diiakukan oieh gaya. Jika C adalah kurva tertutup maka integral sendiri)' dirinya yang tak memotong yakni kurva seclerhana, kzrrua tertutup kira angjap sebagai

adalah cohtoh dzri integral

gais.

mengelilingi C sering ditunjukkair

oleh

f 6 n.a, = 6

Avd.x +

A,dv + A2dz

lNl Il(;RASI VtrK f()li

Dalam aerodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dariA mengelilingi C, di mana A menyatakan kecepatan dari fluida. Pada umumnya, setiap integral yang dihitung sepanjang sebuah kurva disebut integral garis. Integral-integral demikian dapat didefinisikan dari segipandangan limit-limit dari jumlah-jumlah seperti halnya integral-integral kalkulus elementer.

Untuk metode'metode menghitung integral-integral garis, lihat Soal-soal yang dipecahkan. Teorema berikut adalah penting.

Vd pada semua titlk Sx!a2,b1 STlbr,ctlzl

TE0REMA' Jika A = 'a1

turunan yang kontinu dalarn R, maka

ff: 1. I J.

A- ,tt

dalam suatu daerah R dari ruang, yang didefinisikan oleh cz, dimanaNr,y,r)berhargatunggaldanmemilikiturunan-

tidak belgantirng pada lirltasxn Cihlam R yane urr-nghubungkan P1 dan P..

,-1

.q'r1r -.

l11gl1gsli1inui scriap

tJ rertirtup (cr t(rr trlr (..dllarn kur\a r uJIJ,ll

Dalam hal Oemikian A disebut sebuahmedon vektor

1i 1\

konsenatif daaS adalahpotensial skalamya.

sebuah n'edan vektcr A adalah kcnsen'atif lika dan hanya.iika

A = Vd. Dalam hal soal 10 14.

demikian,

A.dr =

dx +

dy + A,

VxA=0, atau juga ekivalen dengan ai = aq, suaiu diferensial eksak. Lihat Soal-

INTEGRAL PERMUKAAN. Misalkan S sebuah permukaan bersisi-dua, seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah. Misalkan sisi yang satu dari s dipandang sebagai sisi positip (ika s adalah permukaan tertutup, ini diambil sebagai sisi luar). sebuah normal satuan n pada sebarang titik dari sisi positifnya .S disebut normal satuan p ositif atatt yang digambar ke arah luar. Hubungkan dengan diferensial luas permukaan d.S dan arahnya menurut n. Maka dS = ndS. Integral

dS, sebuah vektor dS yang besarnla

ll o.r" = [[ qu

n.^0,

adalah contoh dari integral permukaan yang disebut

fluks dari

melalui ,S. Integral-integral pernrukaan

lainnya.

II*,', ff *

0,,

$ o, u,

di mana d adalah sebuah fungsi skalar. lntegral-integral denrikian dapat rlidelinisikan dari segi pandangan iimit jurnlah seperti dalam kalkulus elenrenter (lihat Soal 17)

Notasi

# JJo

kadang-kadang dipergunakan untuk rncnyatakan integrasi rtrelalui perrnukrrn tertLltup

Dalanr hal di mana tidak rrrcninrbulkan kcbingungan boleh dipergunakan nrta

notrri -gf,

ih! I l:(,ii4si

\/llKTOl{

Untuk menghitung integral-integral permukaan, adalah memudahkan untuk menyatakannya sebagai integral lipat dua mclalui proyeksi dari luas permuk,Hn S pada salah satu bidang koordinat. lni mungkin jika sebarang garis yang tegak lurus bidang koordinat yang dipilih medrotong permukaan hanla pada satu titik. Akan tetapi ini tidaklah mengemukakan masalah yang berarti karena pada umumnya kita dapat membagi S dalam bagian-bagian permukaan yang memenuhi persyaratan ini.

INTEGRALV0LUME.PandangsebuahpermukaanterlutuPdalamruangyangmenutupvolumeV.Maka

III,ty ^"

dan

fif " "

adalah contoh-contoh dari integral volume ata\) integral ruang sebagaimana mereka biasanya disebut- Untuk menghitung integral-integral dem ikian, lihat Soal-soal yang d ipecahkan'

Scal-soal yang DiPecahkan l.

Jika R(u) =

(u-u2)i + 2usj -

3k,

earilah

ta<"ldu

,,, {or,ro, . { rr-,2;i+ zu3i-lx)d,.. * 1 2,"du + | =,

fr-,'ra,

= ,(*-t'*", = ,*-tr,

lan

*, I

R'(u)

du'

{-rr,

+ 11u|+cr1 + k(-3u 'cs) - *l - 3uk + c1 I + ct! +

cak

234'

<\-?tr*?t-3uk+c di mana c adalah vektor konstan ctl + c2 | + ca l.

.(D) Daritr),

f22s1 n1u1au

* ft - eur * .1,' = k+- f,,, * {t - "<uu * "1 - t<f,- f,r, = tf -{lr

.lt

3(1)k + cl

Metode lain.

* !['-'au'*fi -ro" = ,(+-*,1, + t(*)1, * rr-r,rl, = -3, * Et -

J'*,,,ru = t[:

tu-u2)du

nn.2^,2

Percepatan sebuah partikel pada setiap saal

)>-

diberikan oleh

+ 16,k i: = 12cos2ti- ssin2rj Jika kecepatan v dan pergeseran r adalah nol pada t = 0, carilah v dan r pada setiap saat. Dengan mengintegrasi,

v =' I lzccs2t';t - I [ - 8 airt2' dt * f " = 6stn2rl + 4cos2rJ + A7\, * cr

'u'

INTtTGRASMiKT0R

Denganmengambilv=obila ,=O,kitaperoleh

0 = 0l + 4J + 0h

+ c1 dan ct

=_ 4j.

Maka v = 6sin2rt + (4cos2r-4)J + Bt2k Sehingga * = 6sll2rr + (4cos2r-4)J + 8r2t(. Denganmenghtegrasi,r = tl6atn2td,,,

- t[

({cos2r-4ldt+

= -3cos2, I + (2sin2r-4r), Dengan

3. Hitunglah

Persamaan gerak sebuah

-r*,#

= [fio,rffl*

{^,$r,

= o,o#

= ex#+c.

partiketp bernrassa rn diberikan oleh

* il'r iP = /(r) di mana r adalah vektor posisi P diukur dari si dari jarak P ke O.

(a) Perlihatkanbahwa, *

* =c

titik

asal

o, r, vektor satuan dalam

arah

danf( Ir)sebuah rurrr / evvesrr fung-

climana c sebuahvektorkonstan.

Berikan interpretasi fisisnya untuk kasus-kasusf(r) <. O dan f(r) ) O. Berikan inrerpretasi geometris dari hasil di (a). Uraikan bagaimana hasil-hasil yang aiperoieh di atas dalam hubungannya dengan' gerak ov^sr! planet-planet rrs.vr rrq,\ dalam sistem tata

(c)

I n-#r,.

Denganrnengrnregrasi,

r = (3-3cos2r)l + (2sln2r_+r1i + $rst.

fio*dfit = n,#

(D)

$r"t

afac

mengambilr=0 apabilar=0, 0= -3i+0j+0k+c2 dan e2 =3i.

Maka

surya.kita.

Perkalikan kedua ruas auri

^fi

(r,)tt^

dengan

Maka

^rr&^ dr ' lQ)rx1' = =

karena r dan 11 searah , rnaka r x

rl = 0. Jad'

,,'i= o dan fr<r*frt=o d2,

Dengan Soal 3).

mengintegrasi. , * = c, *

(D) Jika I (r) { o p"rrrpor^, dt's arahnya dan partikel selalu

Jika

ttrtarik menuju

J(r) ) 0

tolak d.i O.

di mana

adalah vektor konstan. (Bandingkan

berrawanan dengan

dengan

r, ; karena itu, arah gayanyamenuju o

arah gayanya menjauhi

dan partikel beradadi bawah pengaruh sebuahgayu

Sebuah gaya yang arahnya tnenuju atau menjauhi sebuah gantung pada.jarak r dari O diselsutgal,n ssnlyn!.

titik

tetap O dan bosarnya hanya ber-

INTI]GR,\SI V}:KTOR

(c)

Dalam waktu A, partikel bergerak dari M ke N (Lihat gambar disamping). Luas yang disapu vektor posisi dalam waktu ini mendekati separuh luas sebuah jajaran genjang dengan sisi*isi r dan Ar, ataw y2 r x Ar. Maka luas pendekatan yang disapu oleh vektor jejari setiap satuan waktu adalah

+. "

;

saat adalah

oleh sebab itu laju perubahan luas se-

llm +lx- Ardr. *lx- = *txv Lt = ' d. ' Lt-o'

adalah kecepatan sesaat dari partikel. Besaran luas. Dari bagian (a),

dimana

= H = irr*

Kecepatanluas

Karena r . H

= 0, geraknya

|rx

konstan

d,t

= tr x v

disebtt kecepatan

dalam sebuah bidang, yang kita ambilkan sebagai bidang

dalam

gambar di atas.

(d)

Sebuah planet (seperti bumi) ditarik menuju matahari menurut hukum universal gravitasi Newton, yang menyatakan bahwa dua buah benda yang masing-masingnya bermassa m dan M saling tarik me-

narik dengan sebuah gaya yang besarnya F =

dimana

ry,

adalah jarak antara obyek-obyek dan

sebuah konstanta universal. Misalkan m dan M adalah masing-masing mass4 planet dan matahari dan pilihkan suatu sistem kcordinat dengan ritik asal di matahari. Maka persamaan gerak dari planet adalah

GMn * ,l2r rt dr, = --j

d2r GM atau dtt = -7tt

dengan anggapan bahwa pengaruh planet-planet lain dapat diabaikan.

Menurut bagian (c), vektor posisi sebuah planet yang bergerak mengelilingi matahari menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama. Hasil ini dan yang dari Soal 5 adalah dua dari ketiga hukum Kepler yang terkenal yang ia deduksikan secara empiris dari tumpukan data yang dikumpulkan dan disusun oleh ilmuwan astronomy Tycho Brahe. Hukum-hukum ini memungkinkan Newton merumuskan hukum universal gravitasinya. Untuk hukum Kepler ketiga, lihat Soal 36.

5. Perlihatkan bahwa lintasan sebuah planet mengelilingi matahari salah satu titik apinya.

adalah sebuah elips dengan matahari pada

Dari Soal-soa1 4(c) dan 4(d), (I

dv dt

)

rxv

(2)

Sekarang (3)

,=rrr, ii

dr, + dr -:j f. dtdt' -

-sT

= 2H =

tt h

Sehrnssa

. dr, h = rxv = r11 X trff*fir; r-&xdt Dari(r),#"n = -4-rrrn = -GMrrx111 xf;) = Pergunakan persamaan (3) dan kenyataan

Tetapikarena

_GN

tr,,.fl,, _

bahwa ,r.o* =

h adalahvektorkonstan, #,n

= $lvxrrl

4rvx tt tll'

(11..,)

(Soal 9, Bab 3). sehingga

d+ dt

INl'Ii(iR^SI VIIK'I'OR Integrasikan,

Yx h = GltJa + Et r'(vxh) = Gillr.11 + r.p = GMr + rrr.E = CMr + rpcos0

yang dariny3

dimana

vektor konstan sebarang dengan besar

Karena

r'(vxh)

dan

adarah sudut

t:"]'=:t='-:H;t-=

antara p dan rr.

GMr+lpcosd

dan

- iOtcul .".e

GM+pcos?

Dari ilmu-ukur analitik, persamaan polar/kutub sebuah irisan kerucut dengan titik apinya berada pada titik asaldaneksentrisitasnyaeadalah r =

I _*;e

mana a suatu konstanta. Bandingkan

ini dengan persa_ maan yang dituruakan, nampak bahwa orbit yang disyamtkan adalah sebuah irisan kerucut dengan eksen-

trisitas e = plGM. Orbitnya

adalah sebuah elips, paratola atau hiperbola apabila e lebih kecil daripada, sama dengan atau lebih besar daripada satu. Karena orbit dari planet-planet tertutup, mereka haruslah berbentuk elipsclips.

Elips , = L1+6cosU

Ii.,ITECRAL GARIS

Jika a = 6r2+6y\t lintasan-lintasanC berikut

r4yz!

+ 20rz2k, hitungl* f

(a) x = t, y = t2, z = t3. (6) garis'garis lurus dari (0, 0, 0) ke (l , 0, 0), kemudian ke (r, l, (c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, l, l).

(a) Jikax:t, y:t2, z=t3, titik-titik (0,0,0) r = 0 dan r = 1. Maka

t4yz

dan

dy +

) <tf+6;1dc -

,(dxt

dyt

+ dzk)

20rr2 d,

(1, l, l) masing-masingnya berhubungan

I e,.& .tc

l)sepanjans

0) dan kemudian ke (1, r, 1).

t)n'n, = {^[o*'*qrt-r4yzr+2&z2kf = .rcl-<s"'+6r)dx -

dari(0,0,0)ke(i,1,

^.r,

r4(t2l(ts1dqc21

dengan

zo(t)(ts)2 d(ts)

t=o

s? at

2BtB

dt *

17 Gt'-z1ru*6orn) JI t=o

6otn d,

d, =

3r3

+r7 + 6rD

l'o =

Metode lain, SepanjangC,

A=9121-14r6J+20t7} dan r=xl+y!+zk=rl+Pt+f*,

Maka rc f n.r. =

l'rnrrr-1416J *zorrb).(t+2r!+3trk1 dt

_J. - frrcc2-2Its+6ols)dr =

4u1. y'7=(I+2t!+S*k)dt.

INTEGRASI VEKTOR

(D) Sepanjanggarislurusdari(0,0,0)ke(1,0,0) y=0, z=O, dy=O, dz =0sedangkanxberubah dari 0 hingga l. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah al?L7

,"r;:., dari 0 hingga

= | *' d, = ,t l^ =

t4(0)(o)(0) + 20,(0)2 (0)

| 1rr'*6161; dr JJO

- 14r(0)d/ + 20(1)(0)20 =

garis lurus dari (1, o, o) ke (1, t, 0), x = L, z:=:, Maka integal sepanjang bagian lintasan ini adalah

(3(r12+6y16

o, dz= 0 sedangkan y berubah

y=o

Sepanjanggaris lurus dari (1, 1,0) ke (1, 1', l)x =1, I = L, dari 0 hingga l. Maka integral sepanjang bagian .lintasan ini adalah

f' trtrt'*u<r))o z=0

t*1r1

z$) +.;0.,)22 dz

Garis lurus yang menghubungkan (0,

0,0)

dan (1,

I n'a, = | trr'*o) dr Js t!-o

14(,)(,)

x=t, y:t,

z: t.

!^'<rr'**-r4t'+zot"'1" t=o

= t2 +

= J6| r.ar = JgI <uytt2

= .J|

sp2+t11zt21d1f

t=I

= f' J,

(0,0)

hingga

($-tlt'+2&"'tdt = f

i,hitunglah [

sz, + 1&i).(drt +dy! +dzL\

=3xyl-f

d, + 2o(t)('\2 d'

l,y =2t2, z= t3 darir= I hinggar=

= .rCI *ydx - iz,ty +

8. Jika F

1) dalam bentt'k parametrik diberikan oleh

yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan Eayayan9 diberikan

F= 3xyi- 5zj+ lOxksepanjangkurvar Usahatotal

t^1

oleh

*{ l:

Maka

f?L

7. Carilah usaha total

zo,'a, =

f' z=0

Jumlahkan, !cf-n't, = 1*6*ff (c)

dx=0, dy = 0sedangkanzberubah

62ru + lora

Lo:d,

+y -

r2t3

Bot2\

s<t3\

d(%2't

dt =

+ 10(l+r)

303

dimana Cadalahkurva dalam bidangy

"-r,

d(r3)

=2x2,dari

(l .2).

Karena integrasi dilakukan dalam bidang xy

I, "'*

= =

{

(.2

= O), kita dapat mengambil r = xi +

,r,r,

- v'11'p,r + dv

|,,,dx-y2cty

yj.

Maka

INTEGRAST vEKToR

Metode pertamd' Misalkan dan

t = l.

x = t dalam ! = 2.x2. Maka persamaan-persamaan parameter dari C adalah x = t, ), -- 2r2. Titik-titik (0,0) dan ( I, 2) masing-masingnya berhubungan dengan , = 0

Maka

.f^ 'tc ".0,

= f'

,urrrt2ldt

,J=o

Metode kedua. Substitusikan

(zt2)2

d(2r2\

= f' t=o

= 2x2 secara langsung, dimana

?rtft

t,rorrdx | ..a. = Jc x=o -J^'

1l,212 d12x21

<af --rcruta,

= -*

x mulai dari 0 hingga l.

Maka

= J'te,._roruta, = _i x=o

Perhatikan bahwa bila kurva dilintasi dalam arah sebaliknya, yakni dari (1, 2) ke (0, 0), harga integral akan menjadi 7 16 daipada * 7 16.

Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel mengelilingi lingkaran C dalam bidang asal dan berjejari 3 dan medan gaya diberikan oleh

xy sekali,jika lingkaran berpusat di titik

Dalam

F = (?.x-y+z)i + (/+y-22)i + (gr_4+qz)\ bidang z=0, F = (Z<-y)l +(x+y)!+(3x-2y)k dan dr =dxl+cty!

sehinggausahayang

dilakukan adalah

Pilih persamaan-persamaan parameter lingkaran sebagai .r = 3 cos /,

y = 3 sin r

di mana I berubah dari 0 hingga 2r (lihat gambar disamping).

Maka integral lintasan samadengan

?zn

)

[z(g"o"r)-3sinr] [-l"inr]ar

+ [scosr +3sinr] [s"*r]a,

t=o f2f,

= J.'"

esinr cos')

d' =

- | "in" f' =

l87t

Dalam melintasi C kita teiah memilih arah berlawanan perputaran jarum

jam yang ditunjukkan dalam gambar disamping. Kita menyebutnya arah positif, atau mengatakan bahwa C telah dilirtasi dalam arah positif. Jika C dilintasi dalam arah perputaran jarum jam (negatif) harga integral akan menjadi

t0.

(a)

t=rl+yl =3cosrl+3slnrJ

18 zr.

Jika

F = Vd , di mana @ berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu, perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel d^ari satu titik pr (* y ,, , , zt ) dalam medan ini ke titik lainnya P, (xz, iz, zr) tidak bergantung pada lintasan yang= bungkan kedua buah

(b) Sebaliknya'

titik.

jika l^ r'ar JC

se.barang, maka

me,!ghu-

tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan dua buah tirik

perlihatkan bahwa eda terdapat suatu fungsi

(a) Usaha yang dilakukan

sehingga f

= V@.

(" O*.0,

= fP'

Jp, ".r, = th Zb * ad fPz(-=i I Jh

a6 +5-k)-(dxi --j ot dz

+dyl + dzi\

INTEGRASI VEKTOR

w,- ,@,- -'*Pr, fh aro" -- Jr, aroY a""' fP,

= Jo oQ =

Q(P,\

- +(ri = 6@r,7r,z) -

S@1,v1,21\

Jadi integral hanya bergantung pada titik-titik P1 dan P, dan tidak pada lintasan yang menghubungkan mereka. Ini hanyalah benar jika 0(x, y, z) berharga tunggal pada semua titik-titik P1 dan P.2.

(D) Misalkan f = &i + f2, + f3k. Menurut menghubungkan dua buah dan (x, y, z). Maka

tidak bergantung pada lintasan Cyang

J, ".r,

sebarang, yang masing-masingnya kita ambil sebagai (x1,

(x'r'zl F.dr - rk'v'zl f Jkr,rr., J(rr,yr, rr.) "r) pada lintasan yang menghubungkan (x1, ! r, z) -

6kJ,"l tak bergantung

titik

hipotesis,

eG+Lz, y, z)

e@,y,r\

G*t'''' = r(xryt, " ..r. f zi f(x*Yt,zi =lF.dr+lF'dr J1x,y,z\

Fldx dan (x,

F2dy

!r, z)

+ f"/2

y, z). Jadi

k'v'2)

f J(ztlr,

F.dr

zt\

7@rtrx,y,z) J@1,y1,211

f(x+L.x,y,zt f(x*Lz,y,z\ F.dr = I Fldz + F2dy + Fsdz = | J (r ,y ,zl ./ (x ,y ,z) Karena integral terakhir di atas haruslah tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan (x, y, a,) (x + bx, y, z.), kita dapat memilih lintasannya berbentuk garis-lurus yang menghubungkan titik-titik ini sehingga dy dan dz adalah nol. Maka dan

_______e__ = L f @+$x,y,z) \dx NJ<,,r,"1

4@+L,,y, z) - cb@,y,r) Ambilkar limit dari kedua ruas jika Ax

0, kita

peroleh

Dengan cara yangsama.kitadapat memperlihatkan

Maka

&i+r2i+F3k = #,.#J

bahwa

r, ff =

d^^

Aa!

Fr.

= Vd.

fPe

Jika .1t

l-pr F'dr

1np bergantung pada lintasan

yang rnenghubungkanl'1

danP2,maka F konser-

vatif, dan sebaliknya p = V4! Bukti dengan mempergunakan vektor. Jika integral garis tak bergantung pada lintasan. maka

6k,v,z) - f(x't'z\ F'dr - fe'v'z') r'.* ds J(rtyt, zt) J@yy1, z;

Dengan

rnenurunkan.

. *

Tetrpi #

Karcna ini harus trerlaku untuk sebarang trarga

f ,

kita

,O ,*

peroleh

sehingea

F= Vd.

rVd- rt.*

= o.

INTEGRASI VEKTOR

II. (a) JikaFsuatumedankonservatif,buktikanbahwacurl p=Vxf =6 jika

fuakniFadalahirotasiona!)

VxF = 0 (yakni F adalah irotasional), buktikan bahwa F konservatif.

(D)

Sebaliknya,

(a)

Jika F suatu medan konservatif , maka menurut Soal 10, F = Vd. Jadi Curl p = Vx Vd = O (lihat Soal 27 (a), Bab 4).

iJr (D)

Jika VxF = 0,

maka

+ ox 3q

3ozlI = o dandengandomikian

?rl,

?n,

Er,

. Z;=U;'

_ Tr=;;,

7F,

aEr dy

Kita harus membuktikan bahwa p = V45 sebagai konsekuensinya. Usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dari (x1, medan gaya F adalah

I JC

f11, ,y ,.1

a, +

Fr(x,y ,z\

dy +

lr, zt) ke (x, y, z)

dalam

f"(x,y ,z) d:

dimana C adalah lintasan yang menghubungkan (xr, yr, z, ) dan (x, y, z). Baiklah kita memilih lintasan khusus, yakni potongan-potongan garis-lurus dari (x1, !r, zr\ ke (x, y1, zs) ke (x, y, z)ke (x,y,z)dan menyebut Q 6, y , z) usaha yang dilakukan sepanjang lintasan khusus ini. Maka

cbk,y,,) = f'F1..,y1,2)dx * fv JY, diperoleh J"'

116,y,,r'1

Dari sini

ay * l" J',

Fr1,,y,r1

# = ?9U

Fs(x'Y'z)

F21x,y,z)

F2-,y,2)

l"'rff

oo, z) dz

f,',*;r,,r," )dz

= F2r,y,2) + F2Q1,4lr,

# =

F1@,y1,21\

F1@,y1,21)

= \(x,Tt,z)

F2Q,y,zl1 + F2Q,y,z\ - F2@,y,2) =

u* g.y,z)dy

@,y,zldy

I; *

Fr(,,y,41f,,

!,',*

F2@,y,2)

@,y,2)dz

t"',*o,r.,ro.

* \(,,r,"\lz,

+ F1@,y,2) - F,(x,y1,zr)r + \(x,y,z) - F{x,y,z)

Maka F = FLt+F2i+F3k #,-#r.#*

= F1Q,y,z)

VO.

Jadi syarat perlu dan cukup agar sebuah medan F konservatif adalah bahwa curlrF

VxF

= O.

93i

INTEGRASI VEKTOR

Perlihatkanbahwa F = (by+23)i + x'i + 3xz2 k sebuahmedangayakonservatif. (D) Carilahpotensial skalar. (c) Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah benda dalam medan ini dari

i2. (a)

(1,-2,1)ke(3,1,a). (a)

Dari Soal I l, syarat perlu dan cukup agar sebuah gaya konservatif adalah curl F = VxF = 0.

a a at -'==l=0.

Sekarang V, r

OxOydzl

2xy

zs ,2

3r"'l

Jadi F sebuah medan-gaya konservatif.

(b)

Metode Pertama.

MenurutSoall0, r=Vd

atau

$,*$,

-Sa

= (b,y+zs\t+22 1+3122 l.

(I)# =Lry*zs <r)#=; Integrasikan, kita peroleh dari

(l),

Maka

<s,.ff=s,,'

(2) dan (3), masing-masing

O=r'l+zz3+f(7r,2) +g(r.zl O - r2y uzs +h(r,y'1 O = lni sesuai apabila kita memilih f 0.2)' O, g(r,z\ = t,s . h(rlt Q = r'y +"29 dengan tambahan sebarangkonstanta.

sehingga dengan demikian

b[etode Kedua. Karena F dan (x,

y, z).

konservatif, rc f- ,.r,

tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan(a,r:., zr)

Dengan mempergunakan metode dari Soal I

Q@.y,rt

= Jr,f-

(?tyL+

zsr)

1,2.1r+,,1\li,

l(D),

(tx , f' ,, o, * f" *"' Jy, Jzt

* ,',l!r, * ,,"

11,,

* "1 - {4 -'r"3 +'2Y -'2ft * *'3 - "1 ,2y + xzs - "lr, - "rrl - r'y I xz3 + konstanta

-'21t

Metode Ketiga.

Maka

dan

F.ttt = 9g.* = !r,

-#r,

**r,

d4 = F.dr = (by + 231 dx + x2 tly + 3zz2 dz = (by dx + x2 dy1 + 123 dx + 3tz2 d.1 = d(x2y) + d(xzs) = d(x2y +xz3) = x2y+ xz3 +

konstanta.

INTEGRASI VEKTOR

(c)

Usaha yang dilakukan

{d "'* fe <or*r'ydx

I!;

'o'r+rzs;

+ x2 dr

tzs

r2v

'rr2

ti: |

,',

+. xz3 l(s,1,4) 111-z,t\

202

Metode lain Dari bagian

(b),

Usaha yang

dilakukan = 0 O,1,4\

y, z) =

fPz

13. Buktikan bahwa jika barang

I f. a. Jpt

+ xzx + konstanta.

{1,

-2, t1 =

262.

tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dua buah titik se-

P1 dan P2 dalam suatu daerah yang diberikan, maka

r S f. ar = 0 untuk semua

lintasan tertutup

itu dan begitupula sebaliknya.

dalam daerah

Misalkan PTAPyBPt (lihat gambar disamping) adalah sebuah kurva tertutup. Maka

$r.r,= PLAP2BPL I F.dr = PLIP2 [*.r,o f

{

*.n,

P2BPT .

rr'

= J F.dr - )".a, = o P1AP2 P1BP2

karena berdasarkan hipotesis integral dari P1 hingga P2 sepanjang lintasan yang melalui u,l sama dengan yang melalui B.

f J

Sebaliknya,jika $ r.dr = O,

[.-* - PLIP2 t F.dr- ["." ! .',, ' P2BP|

F-dr

PalP2BPa

sehingga,

maka

= [.,,

*',,

[

\BP2

PalP2

P7AP2

PaBP2

14. (a) Perlihatkan bahwa syarat perlu dan cukup agar Fldx + Frdy + F:dz suatu diferensial eksak adalah

VxF

dimana F =

(D) Perlihatkan bahwa

(y'2" cos, -

bahrva

&i +Frj +F"k. 4xsz)

ilr +

rensial eksak dari sebuah fungsi 0 dan carilah

2z3y sinx

dy +

13y222 sinx

-#r, **or, suatu (a) Andaikan Fldx + F2dy + Fsttz = rtd = ff0, x, y dan z adalah variabei-varia'uel yang bebas satu terhadad lainnya, maka

.,=S, o,=ff, dandengandemikian

r= rrr+F2r+&k

ra1

suatu dife-

diferensial eksak. Karena

r"=#

$t - #t -#k

= Vd.

Iadi Vxp=VxVd=0.

INTEGRASI

VEKTOR

Sebaliknya,jik. V, r r 0 maka menurut Soal ll,

9$.ar = d$,yakni \itz (6) F =

6r2zs

+ F2dy +

Fsitz =

r = Vd dandengandemikian F.dr= surtu diferensialeksak.

dS,

coaz-4zsz)t + 2zsyslnxl + (3y222 sln:-1411 dan VxF

dihitung berharga nol, sehingga menurut bagian (c) 1y2

zs cosz -

4xo

dx 1 2r3!

slnx

Menurut metode-metode dari Soal 12 kita

dy + lgl'r'

slnx

xa'1

dz =

peroleh Q = !'rt slrz - r4z +

konstanta.

15. Misalkan F sebuah medan konservatif sehingga f = -Vd. Andaikan sebuah partikel bermassa konstannt bergerak dalam medan ini. Jika,4 dan B adaiah dua buah titik dalam ruang, buktikan bahwa

4<Al+**"i = d(8)+t*"; di mana oA dan eB masing-masingnya adalah besar kecepatan oartikel di A dan B.

* = ^,=

^fi.

Integrasikan,

d(4)

F.d; =

^* #

*,*i-

[n' ,'0, = \* l:, = i^"i - i^t'

j: ,.* = -['e4.a, = -f: rr = o@t-ou,t.

r*ar=-vd, Maka

Maka

- Otal = t^6 - +^'i

dan dari sini diperoleh hasilnya.

0 (,4 ) disebut energi potensial di A dan I mo/ energi kinetik di A. Hasil di atas menyatakan bahwa . energi total di ,4 sama dengan energi total di B (kekekalan energi). Perhatikan penggunaan tanda negatif dalam F = -VA.

16. Jikh Q=?xyz2,

F=xyi -zj+x2kdanCadalahkurvax=t2,1=2t, z=t3 darir=0hinggar=i,maka

hitunglahintegral-integrat

(a)

Sepanjang

garis(a) -JgJc f Oar,

Ol f

"*rr.

C, 6 = 2zyz2 = 21t21q2t'11ff = 4P, t = xl+y!+zk = t2 l+2rl+ask, dt = Qtl + Zl + 3t2k) dt. Maka

I Oo, ' = rc

ft | +rrgt+2!+zt2k1

dan

,!o

Jo'

r,*o,

fo'

(n) SepanjangC, F = xyl - z! + r'U -- rr" I Maka px dr =

12t3

r,no, ts 1

fo'

rr,"o, =

*, * fr * r

+ t4l,.

r + to k1 * q2tl + 21 + Btr kt dt

-tr" :" | ,, = l<-z:-ao1r *

2t 2 ,fl

12ru-6ru

+ $t'+zt')*)dt

INTEGRASI VEKTOR

f,,, "

fo'

<-t'u-2"'ta' - t {: 9*t61dt * * I'

14t3+2ta1dt

-*,-3,*I.

INTEGRAL PERMUKAAN 17. Berikan definisi

dari

I I ^-" s

dS melalui permukaan S dalam

limit dari

suatu jumlah.

Bagikan S kedalam ,11 buah elemen luas A,Sp di manap = L,2,3, ... M. Pilih sebarang titik Po-didalam yan8 koordinat-koordinatnya (x p, r p, z, ). Definisikan A(x p, y p, z ,) = Ao . Misalkan n, adalah normal satuan positif terhadap A.9p di P. Bentuk penjumlahan A

q'ry

l=r

^st

di mana Ap . np adalah komponen normal dari Ap di Pe. Sekarang ambilkan

limit dari jum-

lah ini bile M + @ sedemikian

rupa sehingga ukuran terbesar dari tiap-tiap

S, mendekati lo1. Bila Iimit ini ada, ia disebut integral permukaan dari komponen normal A melalui S dan A

dinyatakan oleh

f{ " o'"

18. Andaikan proyeksi permukaan S pada bidang xy adalah R (lihat gambar dari Soal l7). Perlihatkan bahwa

II^."u = $ ^"ff, Menurut Soal 17, integral permukaan adalah limit dari jumlah

(r)

I l=t

ProyeksiAS, padabidangxy adalah

Lr^Ly^

sehingga

(2')

Ax,

-, = Fffi.

e.r.nrLs,

lfnrAsp'ul'tau Inr'tlASp

Yansmanasama det*anLzpLy,

Jadi jumlah (1) rnenjadi

7r^n",ffi Menurut teorema dasar dari kalkulus integral, timit jumlah ini bila M dan Ay, yang terbesar mendekati nol, adalah

sedemikian rupa sehingga

INT[GRASI VT-KTOR

A'n

dzdy

Fkl

Dengan demikian terbuktilah hasil yang dikehendaki' Secara tegas.

pehanyalah mendekati benar tetapi dapat diperlihatkan dengan

hasil AS^ = W z

Inp.r

hanya oleh

yang lainnya ngujian yang lebih lanjut bahwa masing-masingnya berbeda dari satu dengan A!0. Dengan mempergunakan kenyataan Ax, daripada besar lebih orde dengan infinitesimal-infinitesimal ini. limit-limit dari (l ) dan (2) dapat diperlihatkan sama besarnya'

19.

Hitungrah

!jc

^.rrt,

dimana A=

l8zi - l2i+3ykdansadalahbagiandaribidang2x+3v+

6z = 12 yang terletak dalam oktan pertarna-

PermukaanSdanproyeksiRnyapadabidangxl,diperlihatkandalamgambardibawah.

Dari Soal 17,

[f5,?^." o' = I{ ^." ln-kl

dx dy

Untukmemperolehn,perhatikankembalibahwasebuahvektoryangtegaklurusterhadappermukaan dari Bab 4)' Makanormalsatuan 2x +3y +62= t2aiu.rit".,'oi"r,'VA;;;j;G;)= 2i +3J +6k (lihat Soal 5 adalah gambar di atas) (lihat terhadap sebarang titik dari.S

n =

Jadi

(182

trrr 4r_gu

/"+3'?+,'?

n.k = ,?r*fi.ftl.l Juga A.n

2i+3j+6k-

dandengandemikian

1-12i+32,k)'rfi*|i*ftl -

di mana dipergunakan kenyataan bahv.,a z

ffsipR^.^ ,, = fi

n.,

ff#, =

dr=la,av'

362-3-6+18]'

- 2: * 3y dari persamaan

untuk s- Maka

{t ee+ztl ai tl g a.

2x) dx dv

INTEGRASI VEKTOR

Untuk menghitung integral lipat dua ini melalui R, ambilkan x tetap dan integrasikan terhadap y = 6 (P dalam gambar di atas) hingga y =12

datam gambar di atas); kemudian integrasikan terhadap

x dari x = 0 hingga x = 6. Dengan cara ini R sama sekali terliputi. Integral menjadi

16 j=o [o*'?^/' ,=o

2a\ dy

dx =

|^t

(24

rzx *

{=o

$t a, =

Bila kita mengambil arah normal satuan n berlawanan dengan arah dalam gambar di atas, kita akan memperoleh hasil

20. Hitunglah

dimana

^'"rt,

a = zi

ri -

3y2zkdan!adalahpermukaansilinderx2

16 yang terdapat dalam oktan pertama antara z = O dan z = 5.

Proyeksikan S pada bidang xz seperti dalam gambar di bawah dan sebut proyeksinya R. Perhatikan bahwa proyeksi S pada bidang xy tak dapat dipergunakan disini. Maka

[!tf

^."

o' =

II ^.n !-!1

terhadap x2 + y2 = 16 adalah V62 +y21 = ^ . Normal 4t. J adi normal saiuan.terhadap S sebagaimana

?ai +

diperlihatkan dalam gambar di samping, adalah

"=-PJ:Z!*-ri+Yi t'1u12 + 12y,12

karenax2 +y2 = 16 pada.S.

A.n = (zi +uj* tfrnl.. (Yl n.i = 'i 17i .t = I:

= !<rz+xy,1

Maka integral permukaannya sama dengan

{[ ';'"" I f " JJ .t

21. Hitunglah

,[,u

f"dS

!,. '#

I J

(42+B\dz =

z=0

Soal 20.

i{ r"" = "r[ *" fffi s

xi + Y i Pergunakan"=7,"-i=i

*-,fti+vi)

dx dz

dimana g=3lSxyzdanSadalahpermukaandari

Kita peroleh

))

seperti dalam Soal 20, integral terakhir

ini menjadi

r, r'r dz = I I (x2zit xzr/r6..r2 !) dt * JJ z=0

_3 8

x=0

I t*,i t 9jzildz = rooi + looj 'JJ

INTEGRASI VEKTOR

'r', Jika.

hirunglah

{=yi+(x-?ez)i-ryk, x'+y' + ,, = q] di atas bidang xy ._

Vxr

<V-rl.n dS

{!c

dimanaSadalah permukaan bola

i ;l l" l?, U

zi+yt-2zk ?,1 =

x-?*z

Normal terhadap.x2

Yg2+y2+r21

-,rl y2 + zr = a2 adalah

= zri + zy! + 2zk

Maka normal satuan n dari gambar di atas diberikan oleh

?.x1+At+22k _ zl+yt+zk

n =: y'4r2+4y2+4r2

karena x2 +y2 + z2 = a2 . proyeksi dari .S pada bidang (lihat gambar di atas). Maka

adalah daerah

yang dibatasi oleh lingkaran

= a2, z =

$si ,v**r.^ r, = If iv,r1.n ffi = fi @t+y!-l-,r).r'Jaig, 1f P

=r" J

y=-/7=

di mana telah.dipergunakan kenyataan bahwa z. = @ - 7 -7. Untuk menghitung integral lipat dua di atas, transformasikan ke:koordinat*oordinat'polar (p,il di mana, = p cosQ,y = p sin 0 dan d.xdy diganti oleh p dp dQ. Maka integral lipat duanya menjadi

J=:"

J,"#PdPd+

= Jf* Jfo d=o

= I* 6=o

p=o

t(p'-o') * o' ,,/-p_22

[." <-ro/24 p=0 -

fpz-ozrs/z

1a3-a31d$ =

23. Jika F = 4rzi

- y'i + yzk, hitunglah

F..

n /.9

ffii

o2G'z-p2li=ol

d=o

6=o

p dp do

ac ao

100

INTECRASI VEKTOR

di mana 5 adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh

x=0,x= I.-v=0, )'=l.z=O,z=1. Sisi

n=i,.r=l.Maka

DEFG

F.nds =

DEFG

= Sisi

ABCO:

(4zr-ye!+yzk\.idydz

['[

4z,tydz =

I'[

-L x

Maka

r'r' Gy' i ff ,."0, _ - JoJo

+ yz

k). (-t)

dy dz

ABCO

.trr, ABEF: n=i,/=1.

Maka

lf ,"0' = I'I' (4xzi-i+zk).!dxdz = I"'I'-0,r,

= -r

ABE P

OCDC: n=

-i, y=h.

f{..",' OGDC

Maka

@xzt'1.eltttxdz

BCDE: t=k, z = 1. . Maka

{f ''" o' = f'[' 1+xi-y2!.+yk).hdrdy = !'{'r**

BCD E

AFGO:

n=-k,

jf .."0' lFGO

Jumlahkan,

Maka

I'f'

cy2

t't.Fk)

dxdy

2+o+(-1)+o+i+o

24. Dalam mernbicarakan integral-integral perrnukaan kita telah membatasi diri .pada permukaan-per-mukaan yang bersisi-dua. Berikan contoh dari sebuah pcrnrukaan yang tidak bersisi-dua.

Ambilkan selenrbar kertas seperti ABCD yang dipcrIihatkan pada ganrbar di samping. Pclintirkan lcmbaran di

atas sehingga titik-titik A dan B masing-masingnya jatuh pada D dan C, seperti dalam garnbar di sanrping. Jika n adalah nornral positil'pada titik P dari pcrnrukaan, kita dapatkan bahwa bila n bergcrak mengelilingi permukaan ia merubah arah sernulanya ketika tiba kenrbali di /, Jika k ita nrencoba membcri warna setu sisi saja dari pcrrnukaan, akan kita dapatkan bahwa semua permukaan ternyata menjadi bcrwarna. Pernrukaan ini discbut lentbar ll[oebius, yang adalah suatu contoh dari perntukaan berisi-satu. Ini kadang-kadang disebut permukaan tak dapat diorientasikan. Pernrukaan berisidua adalah dapat diorientasikan.

im'

t0l

INTEGRASI VEKTOR

INTEGRAL VOLUME

25. Misalkan Q = 45x2y dan Z menyatakanruangtertutupyangdibatasiolehbidang-bidang4x+2y+z=8'

x = o, y =0,

(a)

=0.

(a) Nyatakan

[f{f

sebagai

limit dari jumlah. (D) Hitunglah integral di (a).

Bagikan ruang tr/ ke dalam M buah kubuskubus dengan volume LVe= LxpLypLzp k = l, 2,. . ., M seperti diperlihatkan dalam gambar di samping dan misalkan (x *, y *, z1 ) sebuah titik dalim kubus ini.

Definisikan jumlah

ilxp y*, z*)'Qr.

s1t{

(r)

Pandang

QpLvu

h=r

yang diambil untuk semua kubus yang

mungkin dalam ruang yang ditinjau. Limit dari jumlah ini, bila M -+ 6 sedemikian rupa sehingga kuantitas-kuantitas terbesar [I'1 akan mendekati nol,

dan jika limit rni ada, diayatakan oleh

{f{

dv-Dapat,<iipe:lihatkan bahwa Ii-

mit ini tak

bergantung.pada cara pemba-

giannya jika

0 kontinu diseluruh

daerah

Dalam membentuk jumlah (l) untuk semua kubus-kubus yang mungkin dalam ruang di atas, adalah sebaiknya diteruskan dalam cara yang beraturan. Salah satu kemungkinan adalah pertama menambahkan semua suku-suku dalam ( I ) yang berhubungan dengan elemen-elemen volume yang terkandung dalam sebuah kolom seperti PQ dalam gambar diatas. Ini sama artinya dengan mempertahankan .xk semua kolom-kolom seperti PQ yzng ter' dengan menjumlahkan semua kubusartinya sama dan sebagai akibatnya kandung dalam lempengan kubus yang terkandung dalam lempengan demikian. Akhirnya, rubah xp, Ini sama artinya dengan menjumlahkan semua lempengan seperti R,S.

terhadap semua /

j. Ini sama artinya dengan menjumlahkan 7RS,

Dalam proses yang diutarakan di atas, penjumlahan pertama dilakukan terhadap z& kemudian terhadap y* dan akhirnya terhadap x&. Namun demikian, penjumlahan ini jelas dapat dilakukan dalam sebarang urutan lainnYa.

dalam metode penjumlahan yang diutarakan di (a) dapat dipergunakan untuk menghitung integralnya. Ambilkan x d,at y tetap, dan integf,asikar darr, z = 0 (alas dari kolom PQ) hingga z = 8 - 4x - 2/ (tutup atas dari kolom P@). Kemudian ambilkan x tetap dan integrasikan terhadapy. Ini sama artinya dengan penjumlahan kolom-kolom dengan ala-s pada bidangxy (.2=O)yang terietak dalam ruang dari R(dimana/=0)hinc$s(dimaaa 4x +2y = 8 atau y = 4 - 2x), dan integrasinya darty = 0 hinggay = 4 - 2x. Akhirnya,kita jumlahkan semua lempengan yang sejajar bidang yz, yan1 sama artinya dengan integrasi dari:r = 0 hinggax = 2. Integrasinya dapat dituliskan

(b) Ide yang terkandung

^+-2a

J J x=O y=O

a8-4x-2Y

J z=O

4sx2ydzdydz

=isJ

-*-2r

x2y(B-4x-2y)dydx

t=O l-4 ^2 = 45 | ,!o

rIrr<+-a:r"

a, -- rzl

l02

.INTEGRASI VEKTOR

Catatan

Secara fisis, hasilnya dapat diinterpretasikan sebagai masa dari

ruatg V di mana kerapatan-

nyapberubah-ubah menurut 0= 4Sx2y.

26. Misalkan F

=?szi-xj+y2k.Hltunglah

mukaan-permukaanr=0,

III t=0, y=6, ,=*', !=4.

dimana I/adalahruangyangdibatasiolehper-

Ruang l/terselubungi dengan (a) mempertahankan : dan y tetap dan integrasikan darj. z = 12 hingga (D) kemudian pertahankan x dan y tetap dan integasikan dari

z = 4 (alas kâ&#x201A;Ź tutup atas dari kolom PO),

7=0hinCga.v=6(Rke.Sdalamlempengan),(c)akhirnya,integrasikandarix=0hinegax=2(dimana z = x2 bertemu dengan z = 4). Maka integml yang diinginkan adalah:

u=0

,!,i

.[:

(2.zzl-zj+y2tydrdyd,

= ,{, '1,'[.: = 27. Carilah volume dari

L28 i-

2.zz dz tly

j +

dr -

'1,'$;

x dzdydx, +

,[,"{^{;

dzdyd,

384k

ruang yang merupakan irisan antara Silinder-silinder

x' + y'

a2 dan x2 + 22 = o2 .

Volume yang diinginkan = 8 kali volume dari ruang yang diperlihatkan dalam gambar di atas

103

INTEGRASI VEKTOR

= 8 {" [*" x=O y-0 =8

In'dzdydx

z=0

^a ^/87

,/?=, rrn, = , {" J"o--'!" ,=0 rt=o r=0

(a2-r2\dx

Soal-soal Tambahan 28. Jika R(r) = (3r2-r)i +(2-6r),

-4rk,

Jatuab. (a\ 1ts-t72)l + (2t.-3t2)t

29. Hitunglah |

n/2 <S

sinr I *

?s,2t +

2 cos uJ)

30. Jika A(r) = , t-c2i+ (r-l)L Jawab. (oJ

carilahtrl

JnAlar

c (6)

501

Hitunglah 1o; ' 'Jtf^2

24r

du Jawab. 3l + 2i

dan B(r) =

2r2

12 l+6t1, hitunelah(a)Jo *aat,

=t-

zi +2L, c = 3l

12 <Ol

AxBdr.

+rJ-h-

e.rtc ar,61 12 Ax(Bxc) ttt. Jt

Jawab.

32.Percepatatadarisebuahpartikelpadasebarangszatt Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah nol pada saat

32J

f"* *rrrr.

72 (b\ -241- fl * $r

31. Misalkan A =li-3J +2tk, B

lawab.

dan (6)

-e-t)l -

(gr2+&), +

(6)

-\t'-

ff - fr

>0diberikanoleha=;ti-6 (r+lI+3sinrkt

= 0, carilah v dan r pada sebarang saat.

(3-3cosr)x, 1= (t-1+e-li - (,3+3P),

(3'-3sln')l i

33. Percepatanadarisebuahbendapadasebarangsaattdiberikanolehr= -Slj,dimanagsebuahkonstanta' pada saat , = O kecepatan diberikan oleh v = r5 cos 96 I + t6 sin d6 I dan perpindahan. = 0. Carilah v dan r pada sebarang saat , > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah'peluru yang ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut 06 terhadap sumbu - x'positif dengan kecepatan awal yang besarnya us Jawab.

v=.6cos06t + (rosindo-6r)r.

34. Hitunglah

[r'n.ff0,

i= 1q3coe9e)ri + [(oosfn6o)t -i1?)t

jikaA(2)= 2i-i+2k dan A(3)=4i-2j+3k

Jawab-

lo I

35. Carilah kecepatan luas sebuah partikel yang bergerak sepaojanglintas r=acosGrfi+Dsinc..rrj dimana a, D, tr adalahkonstanta-konstanta dan , waktu. Jawab. I ab<.'k.

36. Buktikan bahwa kuadrat periode dari planet-planet dalam geraknya mengelilingi matahari berbanding-lurus dengan pangkat tiga sumbu panjang dari lintasan-lintasan elipsnya (Hukum Kepler ketiga)

17. lrka'A = (Z/+3)i + zzJ + gz-r)k.

hitunglah.rC f- e.drsepanlangilintasan-lintasanCberikut:

INTEGRASI VEKTOR

I()4

(a).-r=2t2,t'=t, z=1t dari r=0

hingga

t=1,

(D).garis-Barislurusdari(0,0,0) ke (0,0, l), kemudian ke (0, l,l)dankemudianke(2, 1,!), (c). garis lnrus yang menghubungkan (0,0,0) dan (2, l, 1) Jawab. {a) 288135 (r) l0 38.

Jika F = (5x7 - 6x2;i + (2), - 4x)i. hitunglah I r.dr Jg

ilari titik (1, 39.

l) ke (2.8). Jawab.

Jika F = (2,t +y)i+ atas garis-garis lurus

(3.y

sepanjang

kurvaCdalambidangxy,y=x3

f -x)j,hitunglah I r.ar dimanaC adalahkurvadalambidangxyyangterdiri

(0,0) ke (2,0)

"C dan kemudian'ke

(3,2). Jawab.

usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya F y')j + zk sepanjang (c) garis-lurus dari (0, 0, 0) ke (2, I, 3)

40. Carilah

(r) kurvaruangx=2t2', y=t, z=4t2 -t dari t=O ke r=1. (c) kurvayangdidefinisikanoleh x2 --4y,3x3 =82 dari x=0 ke x = Jawab. (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

41. Hitunglahf f.at .rc

dimana F=(x-

--3x2i+(2xz'

3y)i+O -2x)j dan C adalahkurvatertutupdalambidangxy,

x=cosr,y =3 sinf dari,=0hingga r=2n Jawab.

42. Jika T

6 zr,

jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam).

sebrrah

vektor stnggung satuan terhadap kurva C, t = t(u), perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan

dalam menggerakkan sebuah partikel dalam sebuah medan gaya F sepanjang- C diberikan rli mana S adalah panjang busur.

43. Jika F = (2x +y2;i + (3y - 4x)i, hitunglah $ .rc arah yang

",0,

oleh f- f' f at ic

mengelilingisegitigaCdariGambar

l, (a) dalarrr

diperlihatkan, (D) berlawanan terhadap arah yang diperlihatkan,

Jawab. (a) - lal3

1413.

Gambar I

Gmbar

44. Hitunglah -Js S o-0, mengelilingikurvatertutupCdariGamb.2diatasjikaA=(rr-

y)i+{x+y)j.

Jawab.2l3. 45. -Iika A = (.v - 2x)i + (3x + 2),)j, hitunglahsirkuiasi A mengelilingisebuah lingkaran Cdalam bidang.xy dengan pusat di titik asal dan jejari 2, jika Cdilintasi dalarn arah positif . Jawab. 8tr

a6.@) JikaA= 14xy- 3x222)i+2x2j*2x3zk,buktikanbahwa f n.O, takbergantungpadakurvaC Jg yang menghubungkan dua buah titik yang dibedkan. (D) Perlihatkan bahwa ada terdapat suetu fungsi diferensiabel @ sehingga A = Vd dan carilah fiingsi itu. Jawab. (il Q=2x?Y - x3z2 +konstanta.

47. (a) Buktikanbahwa F = (y2 cosz +2311 + (ryslna -4)J + (3r22+2ll.adalahsuatumedankonservatif. (D) Carilah potensial skalar untuk F.

105

INTEGRASI VEKTOR

(c) caritah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah obyek hingea (a/2, -1,2) Jawab. (b) 6=y2sin x+xz1 -4y+22 +konstanta' (c) 15+41

dalam medan ini dari

Jawab'$ ={

48. Buktikanbahwa F = 12r adalahkonservatifdancarilahpotemialskalarnya'

(0' l' -l)

+ konstanta

atau tidak-konser49. Tentukan apakah medan gaya F = bzl + (12-!rt + (22 - x2;k konser"atif

vatif. Jawab. Tidakkonservatif'

partikel dalam menggerakkannya dari-z{ hinega I 50. Perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan pada sebuah .Sayanya kinetik pada titik'titik ini, tak bergantung pada apakah medan sama dengan perubahan energi konservatif atau tidak.

51. Hitunglah f n.o,

+y2=1, z=l dalamarahpositifdari(0, I,l)hingea(1,0,

sepanjangkurvax2

Jowob' I'

jika n= Otz+zx)i+xzi+(xy+22)k

g= -i$t 52. (a) Jika E = rr, apakah terdapat sebuah fungsi f sehingga

?3 d ".r.

lah (b)

Jika demikian,

jika C sebarang kurva tertutupsederhana' Jawab' @) Q =

carilah' (b) Hitune+ konstan

ilz adalah statu.diferensial + cosT + z sln/) d, + (zz coey * z2 sltll dy ! f,l!T + cos/ - x2 s16l'ldy + + dz i sinyt cosy <'z pecahkan persamaan diferensial 1L

53. perlihatkan bahwa (2r eksak. Karena itu,

Jawab'r2cosl + xz sLny

z stnT fz = 0.

= ko:rstan'

54. Pecahkan (a'1 p-! -'gr2y2)ilx + (2xsy -r"'!)'ly = o, (6) (z - e'xsLty)dx + (l +e-'co.sv) dy + (x-&2\ilz = O' Jawob.1a1

,.-! +,s!2 =konstan (b)rz + e-xslay

422 =konstan

:27. hitunglah J, Q o, di mana C. (a) adalahkurva r=t, l=t2,2=ts dari r=0hinsgar= l'

55. Jika Q = 2"y2, +

(D) terdiriatasgarisAarislurusdari(0,0,0)tetiIO,0),kemudianke(f,1,0)dankemudianke(1'l'l)'

rawab. (a)

|tr * {tr * ff r

(b)

=hyl- zt+zk, hitunglah Jra*O' * dari /=0 hingga t=n12. Jawab. (2 -!lt

56. Jika s

57. Jika A = (3r+/)t

- r!

(y-2\l

danB =

an dalam bldang x7 yang berpusat di titik

sepanjangkurva:=costr (1r

7=sln'' z=2cos'

+'),

-3!+k,

hitunglah

f J fe"nl'dr

mengelilingilingkar-

asal dan berjejari 2 yang dilintasi dalam arah

positif'

Jawab.41T(1i+31\

58. Hitunglah

-f{ ^'"ds

untuk tiap-tiap kasus berikut'

(a) A = y I + ?, ! olehbidangz=4

k dan S adalah

permukaan bidang 2x + y = 6 dahm oktan pertama yang dipotong

(b) A = (a+y2)l- 2tt + 2yzh dan S adalah permukaanbidang2x +)+22 =5dalamoktanpertama'

5g. Jika F = 2yl - z! + x2k danSadalahpermukaansilinderparabolik.y2

=8.rdalamoktanpertamayang

INTEGRASI VEKTOR

dibatasi oleh bidang-bidang.y = 132

Jawab.

60. Hitunglah

"8ff

^'"

x=0, y=0, z= 0 61.

Hitunglah

d,an z = 6, hitungrah

,." rt .

ff3

melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinderx2 + zz =9,

dan y =8,

,."rt

jika A = 6zl

(b+y)l _ xt.

melalui : (a) permukaan

,Iawab. lgn.

dari kubus satuan yang dibatasi oleh bidang-bidang

koordinat dan bidang-bidangf = di

(0,0,0).

52' Hitunglah

Jawab. (a)

^'"ds

l, y = l, 3 (b) 4r,os

(a)

Misalkan

1, (b)

jika A = 4zzl

+ xyz2!

adalah proyeksi dari sebuah permukaan

s diberikan

permukaan sebuah bola berjejari a dengan pusat

melalui seluruh permukaan dari daerah di atas bidang

rucutz2 =x2 +y2 danbidangz=4, 63.

oleh

rlf-@

+ 3zl.

yangdibatasi oleh ke-

Jawab. 320n

S di atas bidang xy. Buktikan

drdy

bahwa luas permu-

adatah z =

64. Carilahluaspermukaandaribidangx +2y+22=lZ yanedipotongoleh (o):=O,r=0. (6) r=0. /=0, dan x2 + y2 = 16. Jawab. (a) 312 (b)l en

r=1,!=li

kaan

If /.

iikapersamaan untuk

f(x, y),

(D) Lalu

bagaimana luas permukaannya

jika S memiliki persamaan F(rg,zl=e7

,,â&#x201A;Ź."W-T,# ' dtd-

Jawab. ll rJ .P -dz

l?rl l=-l

65. Carilah luas permukaan dari daerah yang merupakan persekutuan irisan silinder+ ilnder 12+ z2 =

o2.

Hitungrah

* +f

Jawab. l6a2

Ol ff <Y,n.ras

dan

(D)

fi f

Q = q"+3y-22, dan .S adalahpermukaan 2x+y+22=6 Jawdb (c)1 (;) 2i+J+2t

ads jikaF

yangdibatasioleh

= (,+2r)r

x=0, x=1, !=O

3tl

dan

67. Pecahkansoaldiatasjika S adalahpermukaan2x+y+22=6yangdibatasiolehx=0, Jawab.

68.

(al

9/2 (bl tZt + 36, + ?2t

Hitunglah Jawab. l44tr

59. Hitunglah

ff{

O-fdzdy

melalui daerah R dalam bidang

xy yan1dibatasi

dan

rt, y=2.

y=O dan z=0.

oteh x2 +

36.

,*rrtdV.

bidang-bidan[x=0, y= O,

dimana

y=Z

dan

adalahruang tertutup yang dibatasi oleh silinder z =

z=0.

Jawab.

8Ol3

- x2 dan

INTECRASIVEKTOR 20.

Iika F = (2r2-3.)r

- byt- 4,i,

hitunelah

<rl

tffv-rav 7l

mana Y adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang.r = Jawab. (al

$ ttl $6-rl

IO7

dan

{D)

{ffvrrrv,

0, y =0, z=0 dan Zx+Zy+z=4.

TEoREMA DIVERCENSI GAUSS menyatakan bahwa jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu pers dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari keduduk-

an dengan turunan-turunan

,*, oor,rfi]ffl"tertutup

ff{r^a, di mana n adalah normal positif (Cigambarkan ke arah luar) dari

A.ds

TEoREMA sToKEs menyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi-dua yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup C yang tidak merrotong dirinya (kurva tertutup sederhana) rraka jika A memiliki turunan-turunan kontinu

f*"

= -[f

rr,A1.n

ds =

tv*^t.a,

di mana c dilintasi dalam arah positif. Arah dari c disebut p ositif jka seorang pengamat, berjalan pada daerah batas dari s dalam arah ini dengan kepalanya menunjuk pada arah normal poriii terh"dap s, maka ia mendapatkan permukaan ini disebelah kirinya. TEoREMA GREEN DALAM BIDANG. Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam biciar-rg xy yangdibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C dan jika M jan ,a/ adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R , maka

f or, *rr, = "l"Ir*

Yt dy

d,d'

di mana c dilintasi dalam arah positif (berlawanan akan selalu menganggap

arah putaran jarum jam). Bila tidak ada pernyataan lain, kita berartibahwa integrz'nya dimaksudkan a.rr* ,.J f.ritir.

Teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes (lihat Soal 4). Juga, menarik untuk diketahui bahwa teorema divergensi Gauss adalah perluasan teorema.Green dalam bidang di mana (bidangnya) daerah R dan batasnya yang tertutup (kurva) c diganti oleh suatu a..*tr 1-rrgy z dan batasnya yang tertutup (permukaan) S. Berdasarkan alasan ini teorema divergensi seringkali disebut tef,rema Green dalam ruang (lihat Soal 4).

Teorema Green dalam bidang juga berlaku untuk_ daerah-daerah yang dibatasi oleh sejumlah berhingga kurva.kurvasederhanayangtidakberpotongan(1ihatSoa1-soal10dan11i.

TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA STOKES, DANTEOREMA INTEGRAL YANG

TEOREMA.TEOREMA INTEGRAL YANG

il{y,9 rrf s + rsv.

tvt

fl dv

BERKAITAN

IO9

]

f f ,ro 'r,'',,"

Ini disebut teoremo identitas Green pertama

,. {I{,rn,1, - et41av

,fI@V,l'-

*V{4r.ds

J Ini disebut teoremd identitas Green kedua atau teorema simetis- Lihat Soal

fffv,^r, = ff,,*n,rt = ffrr-n Perhatikan bahwa disini perkalian titik dari teorema divergensi Green diganti dengan perkalian silang. Lihat Soal 23.

joa,

= Il,"xvpyds

ff ', 'v+

Misalkan ry' menyatakan sebuah fungsi vektor atau skalar bergantung pada apakah simbol o menyatakan sebuah

titik

atau tanda silang atau suatu perkalian silang. Maka

fffo"rr, = fi"",r,n = IJds"* I Y

lt = II-xv1

rPds

f{""xv1 .'

Teorema divergensi Gauss, teorema Stokes dan teorema-teorema 3 dan 4 adalah kasus-kasus khusus dari teo' rema-teorema ini. Lihrt Soal-soal 22,23 dan 34.

BENTUK OPERATOR INTEGRAL UNTUK

Adalah menarik untuk qrempergunakan terminologi dari Soal 19, bahwa operhtor V . dapat dinyatakan secara sim'

bolik dalam bentuk

! o = tim LV -L .FA.ls Y/-" " ^Y'o

dimana o menyatakan sebuah titik, tanda silang atau perkalian biasa (lihat Soal 25). Pemyataan di atas terbukti bermanfaat dalam memperluas konsep-konsep gradien, divergensi dan curl kedalam sistem-sistem koordinat lain dari pada sistem koordinat tegak lurus (lihat Soal-soal 19,24 danjuga Bab 7).

lI0

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DANTEOREMA INTEGRAL YANG BERKATTAN

Soal-soal yang Dipecahkan TEOR.EMA GREEN DALAM BIDANG

Buktikan teorema Green.dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa sebarang garis lurus yang sejajar sumbu-sumbu koordinat memotong Cpaling banyak pada dua buah titik. Misalkan persamaan kurva-kurva AEB dan AFB (lihat gambar di samping) adalah masing-masing y y1{x) dan I = tzft). Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, kita peroleh

{!*". = ,!,'l,l*,"'*,4,, = {,'uo,,tf),,.,* = f.ub,,,,,,-*o,,,1,, = - fo uo,rr, o,

ro.r,,

fo"

,, = - f, r *

(;) Jc [*0. =

Maka

, ${0,r, uru

Dengan cara yang sama, misalkan persamasn?ersamaan kurva

Ng1,fidy *

Maka

n<*,,r1r,

EAF

dan

EBF adalah

= frr*

f{**,, fi, d/v q' dr x

Jumlahkan

{t'laane1,$Mdr +Ndy

2. Buktikan teorema

-lltUdA.

Green dalam bidang untuk

6 @y +y') ilr t

x2 dy di mana

adalah

* kurva tertutup dari daerah yang dibatasi.oleh

.y=x dan /=x2. y = x dan y = x2 berpotongan di (0,0) dan (1, l). Arah positif dalam melintasi C seperti yang diperlihatkan dalam gambar di samping. Sepanjang

= x2 ,

integral garisnya samadengan

((,)(,')

+ xa)

dx + @1ql-1ax

* *1

a, =

masing-masiag

Ilt

TEORIlMA DIVtiRGI:NSI. TT]ORTJMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Sepanjang

x dari ( 1. I ) hingga (0, 0) integral garisnya

10 (1''11'1 * a' + J, ") Maka integral lintasan yang

dicari=

fo dr = J,

i3 - t = - *

3x2

dx = -l

-{rr,a = ff t$<,'r *$pv*v't7a,av fi,* PP = ['

= fio-rrrr,o, f,

I tf

= ["'

<.-aror)o,

1xa-f1 dr

f'o-rrrnrr,

a= Q y=a2

= [' ar-fili,a,

= -*

sehingga dengan Jemikian terbuktilah teoremanya.

3. Perluastah pembuktian teorema Green dalam bidang yang diberikan dalam Soal I untuk kurva'kurva Cuntuk mana

garis-garis yang sejajar sumbu'sumbu koordinat memotong C pada lebih daripada dua titik.

Pandalg sebuah kurva tertutup C seperti diperlihatkan dalam gambar disamping, dalam mana garisgaris yang sejajar sumbu+umbu koordinat memotong C pada lebih daripada dua titik. Dengan membuat garis,SI, maka daerah yang ditinjau terbagi kedalam dua buah daerah Q dan R2 yang tergolong kepada jenis yang ditinjau dalam Soal I dan yang mana berlaku teorema Greerq yakni

(I) f

*r,*nr,

JfrS

- ffr* - at'

7M ,

d,d,

(2t f rr,*nr, = ilr*-{ru* Jrfs R2

Jumlahkan ruas-ruas tiap kasus, kita peroleh

kiri dari (1)

dan

(2),

maka,denganmengabaikanintegrandMdx

{.{={.[.[.{= f .f =f Jf

sfr.9 srrs

di nrana telah dipergunakan kenyataan Jumlahkan ruas-ruas kanan dari

rlts srr f,t

bahwa [ = [ st fJ

(l ) dan (2), dan abaikan pula integrandnya,

fi.il P1

1t13

=ff R2

mana R terdiri atas daerah-daerah R1 dan R2.

*Nd7

TgSYT

dalam

se-

TEOREMA DIVERCENSI, TEOREMA STOKES. DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Maka

{

dr + N dy

USTt

U* = ff ,* *, x

dan dengan demikian terbuktilah teoremanya.

Daerah R seperti yang ditinjau di sini dan dalam Soal l, untuk mana sebarang kurva tertutup yang terletak dalam R dapat disusutkan sâ&#x201A;Źc.iua kontinu ke sebuah titik tanpa meninggalkan R, disebut suatu daerah terhubung-sederhana (simply-connected region) Daerah yang tak terhubung sederhana disebut terhubunglipatzanda (multiply-connected). Disini telah kita perlihatkan bahwa teorema Green dalam bidang berlaku untuk daerahdaerah terhubung-sederhana yang dibatasi oleh kurva-kurva tertutup. Dalam Soal 10, teorema ini diperluas untuk daerah-daerah terhubung-lipat-ganda.

Untuk daerahdaerah terhubung-sederhana yang lebih rumit, seperti .Sf, untuk membuktikan teoremanya.

perlu dibuat lebih banyak

garis4aris,

Nyatakan teorema Green dalam bidang dalam notasi vektor.

Kitamemperolehl{dx+ Ndy = (l{t+NJ).(drt +dy!,' = A.dr,dimana,A =,t{l+/Y,

dan r = xl+y1

sehingga eh

= drl+dyl.

. Juga,jika A = Ml +/VJ maka

tJt

Vxe

Sehinsga

a_a = -gr*gr+(P 'dz - 3,. dj Vz dz -

?24?, 4.,0

(Vre).,,

* -#

Maka teorema Green dalam bidang dapat dituliskan

,o-A).r

d,R

di mana dR = dxdy Perluasan hasil ini kepada permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya memberikaln teorema Stokes yang dibuktikan dalam Soal 31. Metode tdin. Seperti

di atas,Mdx + Ndy * a" = A.Tds, ' = A.dr = e. d,s

f; = f = vektor singgung satuan pada C (lihat gambar di samping). Jika n adalah normal satuan di mana

dengan arah keluar pada C, maka T =

k x n sehingga

)l dx + N dy = A.T ds = A.(hxn)ds = (Axk).n ds

Karena

?ry

A =Ml+Nl, B = Axk = (/tii+tYJ)xk

= v.,. -@ dy

iYl-i/j

dan

Mak: teorenra Creen dalam bidang mcnjadi

t B.nds = ffv."r* f

di mana dR = d.rd v.

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTECRAL YANO BERKAITAN

perluasan hasil ini ke dalam hal di mana diferensial panjang busur ds dari sebuah kurva tertutup C di ganti dengan diferensial luas permukaan dS dari sebuah permukaan tertutup .i, dan daerah bidang R yang dibersangkutan yang dibatasi oleh C dieanti dengan volume / yang dibatasi oleh S, memberikan teorema ruang. dalam teoremd Green vergensi Gcuss atau

fi 5.

B.n

f[[ v",,

Inter2retasikan secara I'isis hasil pertama dari Soal 4-

Bila A menyatakan medan Eaya yan1 bekerja pada sebuah partikel, maka JC $

*a,

adalah usaha

yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C dan ditentuhalkhusus dimana jika VxA=0 atau ekivalen dengan e=V@, maka integral mengelilingi suatu lintasan tertutup adalah nol. Ini sama artinya dengan mengatakan bahwa usa[ra yang dilakukan dalam menggerakkan partikel dari satu titik dalam bidang ke titik lain tak bergantung pada lintasan dalam bidang yang menghubungkan titik-titik ini atau medan gaya adalah konservatif. Hasil-hasil ini telah diperlihatkan untuk medan-medan gaya dan kurva-kurva dalam ruang (lihat Bab 5).

t"n1t.n harga Vxe. O"ri1ini, untuk

Sebaliknya, jika integralnya tak bergantung pada lintasan yang mâ&#x201A;Źnghubungkan dua buah titik sebarang dari suatu daerah, yang berartijika integral mengelilingi sebarang kurva tertutup adalah nol, rnaka

VxA=0. Dalam bidang, persyaratan VxA=0 A=Mi+Nj.

Hitunglah

{,,,"

- \rn'

(10ra-?,xys1dx

ekivalen dengan persyaratan

dTsepanjanglintasan

f-6xf

?y_?N

Zy-?,

=arz

Perhitungan secara langsung adalah sulit. Walaupun demikian, dengan mengingat bahwa M

N = -1x12 'dya.n

= -Gry"=y,

di mana

= l}xl

-?,ays

maka dari sini diperoleh bahwa integralnya tak bergantung pada lintasan. Maka kita dapat mempergu.nakan sebarang lintasan, misalnya lintasan yang terdiri atas potongan-p6tongan garis{urus dari (0,0) ke (2,0) dan kemudian dari (2,0) ke (2, l). Sepanj ang lintasan garis lurus

dari (0, 0) ke (2, 0), y = 0, dy = O dan integralnya sama{engan p2

I tox4dt = 64.

lo Sepanjang lintasan garis lurus dari

(2,0) ke (2, 1), x = 2, dx = 0 dan integralnya samadengan aI

I =-4. J -n'dv

y=0

Maka harga dari integral garis yang diinginkan = 64

4 = 6O.

Metode lain. Karena

?u=?ry 7v 7,

(lox4

zrysl d,x

- 3x\2

adalah suatu diferensial eksak (dari 2xs

- ,' !')

Maka

{:,";"

eox4-zxy3)dx

3x)2dy

= [:,:"

dpxs-?ys)

zxs

-.rtii;ii

II4

TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA

7. Perlihatkan bahwa r

fr.. o, -

.y,t,

luas daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana

,a,

- y,

ly' =

-.a, = {t

- $<_r) a,u =

(S<"r

8. Carilahluasdarielips r = c cos 0, y = b f

{, "* -

y dx

{f o,r, =

sin|.

?2n

,= *t, ,4 - yd, = *J, 6 72tr

= il.ts 9. Hitunglah

diberikan oleh

dalam teorema Green. Maka

di mana ,4 adalah luas ysng diinginkan. ladi A = f

Luas

Ambilkan M =

STOKES, DAN TEOREMAINTEGRAL YANG BERKAITAN

cos011b cos01

sind11-a

sin01 a0

n?t

ab@oa20+stazltd0

= *l--',0a0 = 'Jo

nab

# ,r-slar.1i!x + Jsr

eosx

ily,

mana c

ad.alah segitiga dari gambar di samping: (a) secara langsung

(D) pergunakan teorema Green dalam bidang.

(a)

Sepanjang

OA, y = 0, ay = 0 dan integralnya

sama_

dengan

fnh Jo

nnh

- alnt)dr + (cosr)(o) = J,

sin:

tnb = coszlo = -l Sepanjang

AB, r =[,

Ar=g dan

integralnyasamadengan

o-t)o + od]' =

Sepanjang BO, y =

ff , ay = fla, dan integralnya samadengan r0 l,O ,*- slnr)dz + fl cos, d" = <f r.ou* +Z sinll,o* Makaintegralsepanjangc = (b| M = J,-sln:, /Y = cosr.

ur, r rr,

-l + 0 + I - f - + = =

-"inr, $

: II ,* -{rr,o, R

-Tr2 '4Tt 2. at

= r. dan

{[ ,-"r,, - rr dydx R

= f l l"'"(-sinr - ,, orfo, = (-/ sinr - y)l:'/' r, z=0 L/=o ,f,o" nnh

I Fl

sesuai dengan bagian (a).

sn,

- ffto, = -+r-,cosx+sinr)

-+(

-+-i

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

lts

perhatikan bahwa meskipun terdapat garisaaris yang sejajar sumbu-sumbu koordinat (berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat dalam hal ini) yang memotong C dalam tak berhingga banyaknya titik-titik, teorema Green dalam bidang tetap berlaku. Pada umumnya, teorema ini berlaku bila C tersusun oleh sejumlah berhingga potongan-potongan garis lurus.

R seperti 10. perlihatkan bahwa teorema Green dalam bidang juga berlaku untuk daerah terhubung-lipat-ganda ini. yang diperlihatkan dalam Sambar di bawah karena tidak setiap Daerah berbayangan R yang diperlihatkan di bawah, adalah terhubunglipatianda kurva tertutup yang terletak dalam R dapat disusut-

kan ke suatu titik tanpa meninggalkan R, yang dapat diamati dengan misalnya rlemandang sebuah kurvayang mengelilingi DEFGD. Batas dari R, yang terdiri dari batas lrat AHJKLA dan batas dalam DEFGD' dilintasi dalam arah positif, sehingga seseorang yang beq'aian menurut arah ini selalu mendapatkan bahw4 daerah R disebelah kirinya. Terlihat bahwa arah-arah positif adalah arah-arah yang ditunjukkan dalam gam-

bar disamping. Untuk membuktikan teorema ini, buatkan sebuah

garis, seperti AD, yang disebut sebuah penyilang (cross-cut), yang menghubungkan batas-batas luar dan oalam. Daerah yang dibatasi oleh ADEFGDAL' KJHA fialah terhubung-sederhana dan derrgan demrkian berlaku teorema Green. Maka

N,tv = tt f ADEFGDAIItrJflA Mdx +

,AN (<-

- lt dy

a,o,

Tetapi integral disebelah kiri, dengan mengabaikan integrannya, sama dengan

I - T - J- T

karena

DEPGD DA

l,= -fn.

R yang terdiri atas Cr

I'KJIIA

DEFGD

-J f ALXJEA

tuorjika kurva C1 adalah kutvaALKJHA, C2 kuna DEFGD dan C adalah batas dari

dan C, (dilintasi dalam arah positif), maka Irr. [,

$ruo"*ro, =

[

dan dengan demikian

<! ol Ox-lta,o,

yang dibatasi Perlihatkan bahwa teorema Green dalam bidang berlaku untuk daerahR dari gambar dibawah' (flKLPa, (QSTUQ) ca dan Cx vwxYm. oieh kurva-kurva sederhana c L (ABDEFGA), c,

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Buatkan penyilang-penytlang AH, LQ d,an TV. Maka daerah yang dibatasi oleh AHKLQSTVWXYVTIIALPHABDEFGA adalah terhubung*ederhana sehingga teorema Green berlaku. lntegral melalui batas ini samadengan

{.1.f .{.1. t.{.{.[.1.1, {

Afl

frXI, LQ

83T TY

Karena integral-integral sepanjang puskan, integral ini menjadi

YYXTY iT HA, LQ

dan

QL, TV dan VT

I I, [. {. {.

flXL

TTXTY

Q,T

IAQ

LPil

TgA A

LBDEFCA

secara berpasangan saling mengha-

{

IIPI

IBDEIG{

.({./) . yyxrr =U./) [. I ,gsr toA, LPE' 'ErL

nDEFcA

EKLPfl

YIIXTY

WTUQ

ILD_EFGA

!r,* {r". [r,* fr,= v2

di mana C adalah batasnya yang terdiri atas

aa, *

$ Aa, +

Ndy =

, Cz, Ct , dan

xa, =

Ca . Maka

il,y -{ta.+

sebagaimana dikehendaki.

12. Buktikanbahwa

bung sederhana jika dan hanya

jika

mengelilingisebarangkurvatertutupCdalamsuatudaerahterhu-

..: q[

oy = AI Ox

di semua

titik

da]am daerah

itu.

Anggaplah M dan N kontinu dan memiliki turunan-turunan parsial kontinu di semua titik dalam daerah R yang dibatasi oleh C, sehingga teorema Green berlaku. Maka

Mdx+Nd,r

t Jika + = + dy dx

dalam

pada sebuah

titik

maka

jelas

$ ,0,

Sebaliknya,andaikan

$ fr*+Ndv

P, maka dari sifat

uo, *

Ntty = o.

untuk semua kurva-kurva C.

kontinu turunan-turunnya, berlaku Uanwa

rapa daerah ,4 yang mengelilingi P. Bila

$ rPA

f[,Pox -!1a,av

"f"

fitaS-P,

p -P r Ox dy

0dalam bebe-

adalah batas dari ,4 maka

uo, =

II,* -{ta,a, , ,

yang bertentangan dengan anggapan bahwa integral garis mengelilingi setiap kurva tertutup adalah nol.

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

a/v

Dengan cara yang sama, anggapan pada semua

dM dy

0 menghasilkan suatu

hat Soal*oal l0 dan I

13. Misatkan, =

Bab 5).

F dy. = P o,

dengan VxA = 0 di mana A = l/t + iVJ 0i.

Untuk perluasannya padakurva-kurva dalam ruang, lihat Soal 31.

(a) HitunglahVx

+#.

ekivalen

F. (D). Hitunglah

tertutup dan jelaskan hasilnYa.

mengelilingi sebarang kurva

aa zv

?, +y2

-y

,u,

?ry_?u_n

titik.

Perhatikan bahwa persyara,"n

(c)Vxr

kontradiksi. Jadi

tt7

dalam sebarang daerah tidak termasuk

(0,0).

+y2

f ..r, = {4#9.

Misarkan

,=pcose,y=psind, dimana(p,d)

adalah koordi-

nat-koordinat Poiar. Maka

dx = -psind dQ + itp.cosQ, dy = pcosQ dQ + dpsLn$

=+#h f +y'

dan dengan <iernikian

=d4r= alarctan|)

0 Untuk sebuah kurva terhltup ABCDA (lihat Gambar (a) di bawah) yang mengelilingi titik asal, 0 = garis sama integral hal ini Dalam .4. di lengkap kembali satu lintasan di ;4 dan d = 2n setelah melakukan

dengan

rhr

dQ=Zn.

Gambar

(a)

Gambar

(D).

Untuk sebuah kurva tertutup PQRSP (tihat Gambar (b) di atas) yang tidak mengelilingi titik-asal, O = O"

Can Q

sama-dengatr

garis = do setelah melakukan satu lintasan lengkap kembali di P. Dalam hal ini integral

t6" !. oO = o. Vo

Karena

F= Mi+ NJ,

VxF=0

ekivalendengan 'Olox + =

maka hasilnyatampakbertentangan

dengan hasil dari Soal 12. Walaupun demikian, tidak terdapat kontradiksi karenaM

-*rzdan N = 7+

(0,0), dan ini tidak memiliki turunan-turunan yang kontinu di seluruh sebarang daerah yang mengandung dianggap berlaku dalam Soal I 2.

TEOREMA DIVERGET.ISI

14. (a) Nyatakan teorema divergensi dalam kata-kata dan(D) tuliskan dalam bentuk koordinat-koordinat tegak' lurus.

ll8

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA.STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

(a) Integral permukaan dari komponen normal sebuah vektor A mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama{engan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas.

a= A.'+A2i+Ask.MakadivA= V.A = *,. dx %a dy +. dz NormalsatuanterhadapSadalah n = nri + 12j + qk. Makanl= n.i = cosd, n2= n.J = cosB dan z3= n.k = cos7, dimana&,0,yadalahsudutsudutyangditruatnmasing-masingdengan

(b) Misalkan

sumbu-sumbux,y,zataudenganarah-arahi,j,k.Besaran-besarancosa, cosp, cosT adalaharah-arah cosinus dari

Maka

A.n = (l1i +A2l+Ask\.(cosoi + cosBj + cosTk) = /4lcosU, + A2cosB + Ascosf dan teorema divergensi dapat dituliskan

f$,+.*.!t,,0,0, [5.

[{J ,o,.,.,

+ Arcosp + ;{rcosT)dS

Demonstrasikan teorema divergensi secara fisis. Misalkan A = kecepatan v pada sebarang

titik dari fluida yang bergerak. Dari Gambar (a) di

bawah:

Volume dari fluida yang melewati dS dalam Ar detik = volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dS dan tinggi atau panjang vAf

= (v&).ndS = v.ndSAr Maka volume per detik dari fluida yang melewati dS = v

n d,S

Gambar (a)

Dari Gambar (6) di atas

Gambar (D)

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

= Dari Soal volume d

tr/.

Bab

4, Y.v ttV

{ft ''"n'

adalah volume per detik dari fluidayangkeluardarisetruahelemen

Maka

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam

fit

Y.v

Jadi

,.",'

tt{ V.v Y

TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRALYANG

BERKAITAN

I19

16. Buktikan teorema divergensi.

Misalkan S sebuah permukaan tertutup yang sedemikian rupa sehingga sebarang Egris sejaiar sumbusumbu koordinat memotong S paling banyak pada dua buah titik. Anggaplah persamaan-persamaan dari bagian-bagian bawah dan atas, Ss dan Sr, masing-masingnya adalah z =fr{x,y) dar. z =L (r,y).Nyatakan proyeksi dari permukaan pada bidangxy dengan R. Pandang

fff

** = ryf !r,,,,, = $ l,={::, *,,)** n,o.r,,rl!=,.b* -!7'

ll"; Untuk bagian k. lancip 7, dengan ",".

,r,

Untuk bagian bawah

51,

sudut tumpul 71 dengan k.

Maka

dy dx

cos/2 dS,=k.

dr -- - cos

{{

n"o,,.1,,r,,,

o.,,1,,,,o*

= I{ r

A.t,.r,r,\) dy,t,

n, dS2. karena normal n2 terhadap 52 membuat sudut

d51 =

- h'trt d51

{l -

karena normal

terhadap

^"r.n2ds2

[4a,r,r,t

il^"t.n1ds1 .tl

dan

ft n"<''''1'to'o' - f I o""'''r;)dYd' = fi fr

^,tr.n2ds,

n,k.n1ds,

o,*.^0,

sehingga

,) {!{r,t **

= ![

n.u.^n,

Dengan cara yang sama, dengan memproyeksikan S pada bidang-bidang koordinat lainnya,

membuat

I2O

TEOREMA DIVERCENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

(2)

Ifi**

= fIn,u^o'

(r) {l{** = ffn,,.^o' rt Jtrmlahkan

(1),(2) dan (3),

,*-+.ltrn fff ys

= fi

,^,r+/2,+r3k).nds

v.^,, - {f n.",' fff vs

atau

Teorema ini dapat diperluas pada permukaan-permukaan yang ada sedemikian rupa sehingga garis-ga-

ris yang sejajar sumbu-sumbu koordinat mâ&#x201A;Źmotongnya pada lebih daripada dua buah titik. Untuk membuktikan teorema ini, bagikan daerah yang dibatasi S kedalam subdaerah*ubdaerah yang permukaan-permukaannya memenuhi persyaratan ini. Prosedur ini analog dengan yang dipergunakan pada teorema Green dalam bidang.

dimana F = 4xzi-y2i+yzk il "."r/S, batrsioleh ,=0,,y =1,y=O,!=L, z=0, z=l-

dan S adalah permukaan kubus yang

17. Hitunglah

Dari teorema divergensi, integral yang dimintakan sama-dengan

= f tf fi[o.",, YY = il{ Y

[rtn ,, * f,e,,t * *,,",)on @z-ytdv

= {' [' ['*n,-y\dzd,ydx r=o !=o z=o

= [' !'r"r-r,l'"-odrd, = [' {'rr-r.,nrn, = t x=o y=o x=O f=O Integral permukaan dapat pula dihitung secara langsung seperti dalam Soal

18. Periksalah kebenaran teorema divergensi untuk A = 4xi yang dibatasi oleh x2 + y' = 4,2 = O dan z = 3.

r,,tesrarvorume

= IIIs.a,av = VY = fil

2y2

Bab 5.

z2k yang diintegrasikan melalui ruang

Iil [*,*, *&r-rr,r.*r*r)0,

G-4y+22)dv

= f {* [' x1-z y-=-nq:7 io

Permukaln S dari silinder terdiri atas alas S1 (z = 0), tutup atas

:'2 = 4).

23,

.S2

,u-nr*r,rdzdyd,x =

(z = 3) dan bagian cembung Sr(-r2 +

Maka

rntegrarpermukaan

s41r

={f n^ot = fI^'"as,- f{l.'nds,+ {{n'^"" s.51&&

t2l

TEOREMA DIVERGENSI TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC BERKAITAN

(z=0), n=-k, A=

4xt-2y2! danA.n=0,sehingga $ Pada.lz (z = 3), n=k, A = 4at - 2y2! + g*, dan A.n=9,sehioeg. & Pada,Sr

=6.

fi& "'"0t, = t I{ u, = s,tr,karenaluas sz=4tr

. PadaSr (x2 +y2

^."dS1

=4).

Sebuahgarisyangtcgak-lurusx2 +y2 =4 mempunyai arah 9p2+yz1

?J.Makanormalsatuannyaadalah

P +4y2 " = y'4r2

A.n = (4rt-tyrll.rzyr.r'l!Yly

"Y = z*-y"

221+

karenax2 +y2 = 4.

dV=drdydz

Dari gambar di atas,x = 2 cos

{! ^'"""

.y = 2 sin

0, 0t'

J:,[:[z(eco"

dS3

M0dz, dan dengan demikian

(zsind)3]

f2n

2dz d0

72t

| G1cos2/-4asin301d.0= | *acos20d0-4Br. ,,J

0=O

9=O

Maka integral perrnukaan = 0 + 36:r + 48r, = 84tr, yang mana sesuai dengan integral volume dan dengan demikian kebenaran teorema divergensi ini terbukti. Perhatikan bahwa perhitungan integral permukaan melalui 53 dapat juga dilakukan dengan memproyeksikan .S3 pada bidang-bidang koordinat

atatt yz.

19. Jika div A menyatakan divergensi sebuah medan vektor A pada sebuah titikP, perlihatkan bahwa

div

di mana A / adalah volume kan A I/ ke titik P.

lim A[-o

yang diselubungi oleh permukaan AS dan linritnya diperoleh dcngan mcnyusttt-

Menurut teorema divergensi,

u,'",, = [[ ^.",' [{[ ar A.'

122

TEOREMA DIVERGENSI. TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Menurut teorema harga rata-rata dari integral, ruas kiri dapat dituliskan

or'"

adalah suatu harga antara maksimum dan minimum dari div A di seluruh

diil

di mana

fffo, = aii-n Av

JJJ

AIl.

Maka

JJ n'" as div -d = Ambilkan

limit

div A pada

titik

=-- AV

A V + O sedemikian rupa sehingga Pselalu didalam P; oleh karena itu

JJN.,

divA = Iim S

Ar-o

A Z, maka iiivA- mendekati harga

Hasil ini dapat diambil sebagai titik awal pendefinisian divergensi dari A, dan darinya semua sifat-sifat dapat diturunkan termasuk pembuktian teorema divergensi. Dalam Bab 7 kita pergunakan definisi ini untuk memperluas konsep divergensi sebuah vektor kedalam sistem koordinat lain yang berbeda dari sistem koordinat tegak lurus. Secara fisis,

ffe.nas

menyatakan fluks atau neto aliran-keluar setiap volume.satqan vektor A melalui permukaan AS. Jika div A positif dalam lingkungan (neighborhood) sebuah titik P, ini berarti bahwa aliran-keluar dari P adalah positif dan kita ;nenyebut P sebuah sumber. Begitupula, jika div A negatif dalam lingkungan P, aliran-keluarnya

sebenarnya aliran kedalam dan P disebut sebuah sungap (sink) Bila dalam suatu ruang tidak terdapat sumber dan sungap, maka div A = 0 dan kita menyebut A sebuah medan-vektor solenoidal.

f I r., aS, " JJ

20. Hitunelah

di mana S sebuah permukaan tertutup.

Menurut teorema divergensi,

= fiJ r..,, {1,."0' ,tr

= ttt Y

* Ptl '*' *'

. (xl+y1 +zk\ dY

{f{,*.*r ),?t =,{J[,, = Oz

di mana

tr/

2r. Misarkan

adalah volume vang diselubungi oleh S'

{ffyS

,Or',t'

AmLilkan A = OVr!

l,Y'Oto, =

-[-[r|vl,

rpv@l'ds.

dalam teorema divergensi. Maka

fi[vs,sr.1g:,p1dv,,','l{,rv+).ndsl = {{

ov,t't.a"

TEOREMA DIVE,RGENSI, TEORE,MA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC

V.tdv,/l =

retapi

Jadi at

d<V.V{,1 + 1V@1.1V/y

BL,RKAITAN

I23

= Of ,t + 1V@1.4Vry'1

= Ifilof,t,*tydt.<y,ttiav IJIr.(6vtrdv YV

(r) ffI ror'v + pQ1.1Yta]av = r.s

tl14vfi.as

yang mana membuktikan identitas Green yang pertama. Pefiukarkan

dan

(2\ f If r*r'+ + ayt4.fig1]av = II r,t Ambilkan selisihnya afiara (2) dan

(r) '{{{,ro'f rJ

dalam (1 ),

.+v@).ds

), kita peroleh

"1tY'E1av

= ff

,rr,1,

- ry'vp1.as

yang mana adalah identitas Green kedua atau teoremd simetrik. Dalam pembuktian di atas kita telah rnenganggap bahwa Q dan ry' adalah fungsi-fungsi skalar dari kedudukan dengan paling sedikit turuniin-turunan kedua yang kontinu.

Buktikan

r, = .fIr"u. f{fro rs

Misalkan A = dC dalam teorema divergensi dimana C vektor konstan. Maka

If[''(Qc)av = [[o"'"0' Karena

V.(Ocl = (VO)-c = c.VO dan @c.n = c'(dn),

fflv,t ..Yq dv II ".(en)

Keruarkancdaritanda-ta"^t''''''t'^ior"

= "'{{a"o' karena C adalah sebuah vektor sebarang, maka

= !Jr"n' JIIoo', r,s 23. Buktikan

,1",f{,

r,s

Misalkan A

xB dv

- ,[,f "x B ds.

C dalarn teorema tlivergensi

di mana C sebuah vektor konstan. Maka I

{ff,.(Bxc\dY {[ rs

<r*"t,*rs

TEOREMA DIVERGENST, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

124

Karena V.(BxC)

= C.(VXB) dan (Bxe).1 = B.(Cxn) = (Cxn).B = C.(nxB),

Ijfr.s..rv"^rn, = fi".(nxB)ds Keluarkan C dari tanda-tanda integral

..{ffv,"n, r3

= ".Jffo'.r,

dan karena C sebuah vektor sebarang, maka

!{{v,",, = [{,,,,' rc

24. Perlihatkan bahwa pada

sebarang

titikP

ff0""

fi"*eas

,tr,

dan

^li%

(E) VxA = llm Af di:b Ly

mana AIl adalah volume yang diselubungi oleh permukaan A.S, dan li:nitnya diperoieh dengan rnenyusutkan A/ ke titik P.

(a)

Dari Soar

22, Ifirr Lv

av =

o"as !! ff "^*^ !At A,r

Pergunakan prinsip yang sama yang diterapkan dalam Soal 19,

%.; =

[[ o"',

't itY o

o"',

nt.

A,S

kita peroleh

-a,

adalah suatu harga antara maksimum dan minimurn dad Vd. I diseluruh AIz AmEJ bilkanlimit LV+Osedemikianrupasehingga titikPselaluberadadibagiandalamAl/,makrlvd.tmen-

di mana

dekati harga

(r)

Vd.r

Dengan cara yang sama

(2) (j)

kita Peroleh

IJ o".l.as

= irr1. " -

Vd.r =

auas

ili "-a, t{

a"'x

vd.r = iii t --.--

Perkalikan (/ ), (2), (J) masing-masingnya dengan i,

V{ = lVd.rtt+tVd.lll+1Vd.tr1t.

j, k, dan jumlahkan,

dengan mempergunakan

n = (n.t)t+(n.J)J+(n.k)k

(lihat Soal 20, Bab 2) maka diperoleh hasil yang diinginkan.

TEORIMA DIVI RGI]NSI. TtlORtiMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG

(b) (iantikarrBdenganAclalamSoal23,

{fI Ltt

r"AdY = {{

BERKAITAN

125

", ort.

Maka seperti dalaru bagian (a), kita dapat memperlihatkan bahwa

/J 1Vx

tn,or.t

lim Ar-.0

R).t =

dan hasil-hasil lainnya yang sama di mana j dan k menggantikan i. Perkalikan dengan i, j, k dan jumlahkan, maka diperoleh hasil yang diinginkan. Hasil-hasil yang diperoleh ini dapat diambil sebagai titik permulaan untuk mendefinisikan gradien dan curl. Dengan mempergunakan definisidefinisi ini, dapat dilakuk'an perluasan kedalam sistem-sistem koordinat yang lain daripada sistem koordinat tegaklurus.

25. Buktikan ekivalensi operator

so = Ar-o riin +#or" a aJ

di mana o menyatakan perkalian titik, perkalian silang atau perkalian biasa.

Untuk membuktikan ekivalensinya, nraka hasil operasinya pada meCan -r:.ktor din skalar haruslah suai dengan hasil-hasil yang telah dibuktikan.

Jika o adalah perkalian titik, maka untuk sebuah vektor A,

voA

u,, *Jfr""^ = A[-t A.9

atau

diYA

= ^ri3.

*ff*.^ A.r,

rim --l- ffo., = Ar-o L,

"O{

yang telah dibuktikan dalam Soal 19. Begitu pula,.iika o adalah perkalian silang,

currA

,$ *llrr"^ = vxn = A1 a., = ^$s

*{lnxAds

yang telah dibuktikan dalam Soal 24 (D).

Juga bila

adalah perkalian biasa, maka

untuk sebuah skalar

,ffi 1; IJ or"o vog, = Ar As yang telah dibuktikan dalam Soal 24 (a).

atau

vd =

^]i *ffr* A.,

se-

TEOREMA DIVERGINSI, TEORLMA STOKES, DAN TLORI,MA INTEGRAL YANG BERKAI]'AN

126

26. Misalkan S sebuah perrnukaan tertutup dan r menyatakan vektor posisi dari sebarang titik (x, y, z) yang diukur terhadap titik asal O. Buktikan bahwa

"U:* " 5

sanra dengan (a) nol

jika O terlelak di luar S, (fi at jtka O terletak di dalam S. Hasil ini dikenal

sebagai

teorerua Gauss-

(a)

Menurut teorema divergensi,

fetapiV.l = 0(Soal

f.tr I T ,t = {J I

19, Bab 4)padasemuatitikdidalam

O berada.di luar Ir jadi berada di luar S. Maka

{ { ';

tr/asalkanr*0dalam

Iz,

yakniasaikan

dS = 0.

(D) .lit<a O di dalam S, selubungi O dengan sebuah permukaan bola kecil s berjejari a: Misalkan

me-

nyatakan daerah yang dibatasi S dan s. Maka menurut teorenla divergensi'

lf y,' - flf

as*

,S+sSsT

{ly*

titv'fiav

karenar*0dalamr.Jadi

II'r"

a2,

7 - -?

- ffY ds =

ft * ds =+ ff ,' a'

dan

ta"' d'

=4n

27. Interpretasikan teorema Gauss (Soal 26) secara Seometris.

Misalkan dS menyatakan luas sebuah elemen

permulaan dan hubungkan semua titik pada batas dari dS dengan O (lihat gambar di samping), sehingga dengan cara demikian terbentuk sebuah kerucut. Misalkan dC) luas sebagian permukaan bola dengan pusat di O dan berjejari r yang dipotong kerucut ini; maka srdu, ruang yang dibentuk dS pada titik O

didefinisikan scbagai

/ar = + r

yang secara nu-

merik sama-dengan luas sebagian permukaan trola atas dcngan titik pusat di O dan berjejari satuan yang dipotong oleh kerucut. Misalkan n adalah norrnal satuan positil terhadap dS dan 0 sudut antara

n dan

=t f

maka cos A

= \:

sehinggada; =

Juga, dQ

t!f

= +dS

cos

ds,tanda+

- dipilih sesuai dengan sudut 0 yang dibentuk antara n dan r apakah lancip atau tumpul. atau

Misatkan S sebuah permukaan, seperti dalam Gambar (a) di bawah, yang adalah scdemikian rupa sehingga S dipotong oleh setrarang garis tidak lebih <laripada dua buah titik. Jika O terletak di luar ^l' nrr-ka

t27

TEOREMA DMRGIlNSI. TIIOR[MA STOKtis. DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

I, Li

padasuatukedudukanseperti

aS =

a-; sedangkanpadakedudukan2,H

dS =

-da;.

Integrasi

melalui daerah-daerah ini hasilnya nol. karena kontribusi terhadap sutltit-ruang saling menghapuskan. Bila

integrasinya dilakukan nrelalui S

maka -sf f ,+ r"

dS =

karena untuk setiap kontribusi positif terdapat

pula kontribusi negatifnya. Sedangkan dalam hal dimana

dan pada

+, !4

aS =

0 terletak di

sel.ringga dcngan

dalam S, maka pada kedudukan seperti

S, 94 aS = aa

demikian kontribusinya saling menambah daripada rneng-

hapuskan- Sudut ruang total daiam hal ini sama dengan luas permukaan sebuah bola satuan yang adalah 4zr, sehingga dengan

demikia"r

.;[/H

4tr.

Cambar

(a)

Gambar

(b)

Untuk permukaan-permukaan S, di rnana sebuah garis dapat memotong S pada lebih daripada dua buah keadaarr yang tepat sama juga berlaku seperti terlihat pada Gambar (b) di atas. Bila 0 berada di luar S, misalnya, maka sebuah kerucut dengan sudut puncak di O mentotong S pa.la sejumlah genap tempat-tempat dan kontribusinya pada integral permukaan rdalah nol karena sudut-ruang yang terbentuk di O secara berpasangan saling menghapuskan. Sedangkan bila O berada di dalam ,S, maka sebuah kerucut dengan sudut-puncak di O memotong S pada sejumlah ganjil tempat-tempat dan oleh karena kontribusi yang saling menghapuskan hanya terjadi untuk yang berjumlah genap, maka selalu terdapat kontribusi 4 7r untuk

titik,

seluruh permukaan

28. Sebuah fluida dengan kerapatan p (x, y, z, r) bergerak dengan kecepatan v (x, y, z, t). Bila tidak terdapat sumber dan sungap, buktikan bahwa.

V..r Pandang sebarang pernrukaan

7p ?r

= 0 dimana J = pv

ylng nrenyelubungi volunre / dari fluida.

I/ pada setiap saat adalah

M= Laju pertamhahan massa ini adalah

I{I

"' fiI +cv Zo dt

Massa

fluida pcr satuan waktu yang meninggalkan t" atlalah

Massa fluida di dalanr volume

I28

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

IIJ *'" " (lihat Soal

) dan dengan demikian laju pertambahan massa adalah

-ilpv.nds = -fitY.pvlav .sy

menurut teorema divergensi. Maka

[[l ,, = - fflr.(pa)dy utu

fil

,r.(pvt

*\dv =

X^r"n Vsebarang. intearannya, yang dianggap kontinu, haruslah nol, beldasarkan alasan yang sama seperti yang dipergunakan dalam Soal I2. Maka

V..l*p

dimanaJ=pv

ini disebut persamaan kontinuitas. Jika p konstan, maka fluidanya tak-termampatkan (incomV. v = 0, yakni v adalah solenoidal. Persamaan kontinuitas di atas juga berlaku dalam.teori elektromagnetik, dimanap adalah kerapatan mulrtan dan J = pv adalah kerapatan arus. Persamaan

pressible) dan

29.

Jika temperatur pada sebarang titik (x, y, z') dari sebuah zat padat pada saat / adalah U(x, y, z, t) dan bila dan c masing-masing adalah konduktivitas panas, kerapatan dan kapasitas panas zat padat, yang dianggap konstan, perlihatkan bahwa

k, p

= *tu

dimana

k=x/pc

Misalkan V adalah sebarang volume di dalam z.at padat dan misalkan.S menyatakan permukaannya. Fluks total dari panas yang melalui,S, atau kuantitas panas yang meainggalkan S persatuan waktu, adalah

If ,-.vu)'n

Jadi kuantitas panas yang memasuki S per satuan waktu adalah

(1)

o' = {fir.Geu) ftuvu.^ s7

menurut teorema divergensi. Panas yang terkandung dqlam volume

{[f

"0,

av diberikan oleh

Maka laju pertambahan panas adalah

(2) Samakan ruas kanan dari (1

cpt)dv = I{! "c! II{ YT

) dan (2),

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

III u, *, -V.(*Vu))dv ;

)-9

dan karena

sebarang, integrandnya, yang dianggap

^au -=cP dt

atau

kontinu, haruslah nol sehingga

V. 1r Vul

jika x, c, p adalah konstanta-konstanta, maka

W- = !-j.yu = *fa cP ?r Besaran /r disebut koefisien dr'lusi.

Untuk aliran panas dalam keadaan tunak (yakni

bergantung pada waktu) persamaannya ter-reduksi menjadi persamaan Laplace

:ak

= O.

TEOREMA STOKES

30. (a) Nyatakan Ieorema Stokes dalam kata-kata dan (D) tuliskan'dalam bentuk koordinat tegak-lurusnya (a) Integral garis dari komponen tangensial sebuah vektor A mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C samadengan integral permukaan komponen ncrmal dari curl A melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai hatasnya.

(r)

Seperti dalam Soal 14(D),

n = cosdl +cosBJ + co87l

A = AJ+A2!+Ask, Maka

i r kl

* f, el = ,+ -!t' * (Y-pr'.'*-#'*

Vxe

A7 A2 l"l

(VxA).n

a.h

= ,* -lrcosd + (*-p,'*B '(*-fr"o"z (A1+A2!+,{sk).1drl+ily!+dzh) = Ait

+ Ardy +

Atdz

dan teorema Stokes menjadi

u*- $,"o"o * (* - $,eosB +,* -*tcosTlds = f, JI s 31. Buktikan teorema Stokes.

Misalkan S sebuah permukaan yang adalah sedemi-

kian rupa sehingga proyeksinya pada bidang-bidangxy,

yz dan xz adalah daerahdaerah yang dibatasi oleh kurvakurva tertutup sederhana, seperti ditunjukkan dalam gambar

samping. Andaikan

.l dinyatakan oleh z

atau x = g{x, y ) atau y -- h(x, z),di mana f, g, h adalah fungsi-fungsi yang berharga tunggal, kontinu dan diferensiabel. Kita harus memperlihatkan bahwa

f(x, y)

= t! lJ,v,n,.,r, s.'

[vx1r,r+r,J

z{"k)]. n

n'o'+

A2ctv+ Asdz

I3O

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC BERKAITAN

6l.dr

di mana

C adalah batas dari S.

Pertama

nandaneJJ [Vx(lrt)].n ds.

t 1q".sn3

J' t

a a al = 7A,. 7A,. a; T, tl &,-i*'

V x (l1t)

aLo0

(l)

lvx(,{,r)].n

lika z

'/(x, y) diambil

, = li+yl+zk

ds = ,1},., }n.xr

sebagai persamaan

=r t+y!+f(x,y.1k

dari S,

sehingga

maka vektor posisi

dari sebarang

titik

pada S adalah

* =,' * lr,.Tetapi $ *a! =,' **7y -' a7--7y

adalahsebuah

vektor singgung terhadap S (lihat Soal 25, Bab 3)jadi dengan demikian tegak-lurus n, sehingga

,- + 4

= n.J + Pn'k = dY

n'j

atau

= -6"*

Substitusikan dalam (-l ) maka diperoleh

(.7A,

a;n.r

at au

(2) Pada

Z,E, Z, - f?1,n.tl as = (-T;# ".* -

[Vxr,{,r)].n

?1,. -rn.k)ds

ds = - (+,.p},n.k ol Oz dy

S, A{x,y,z'; = A1(z,y,f(x,y)) = F@,y); oleh karena it,

?j' ?y +t"4I

= ]..{ ay

aun

(2) menjadi

[Vx(lrr)].n

ds = - $ dvqn.r as = -!

a,a,

Maka

{[s.Ptr"(rrr)].n ds = tf -{ di mana f adalah proyeksi S pada bidang samadengan

$ -'r

f a"

di mana

x-r,.

o,a,

Menurut teorema Creen dalam bidang, integral yang terakhir

adalah batas dari R. Karena pada tiap-tiap

titik (x,./) dari f

harga dari

F sama dengan harga .41 pada tiap-tiap titik (r, y, z) dari C, dan karena dx adalah sama untuk kedua kurva, maka kita harus memperoleh

{r'"

= i,

n'n'

atau

$ .9

,O,(rri)l.n ds

n,r,

Begitu pula, dengan memproyeksikan pada bidang-bidang koordinat lainnya,

TEOREMA DIVT-RGENSI. TI]ORFJTIA STOKI.]S. I)AN TI]ORFMA IIVTF]CRAL YANC BI]RKAITAN

J! [Vx(lzjl]'n

[V x 1,{3ti.1]'n ds

Az dy

As dz

{

l3l

Jadi dengan menjumlahkan,

,, "A).n

{ ^.*

persyaratan-persyaratan Teorenia inijuga berlaku untuk permukaan-permukaan s yang tak memenuhi yang dikenakan di atas. Karena andaikal -t dapat dibagi-bagi kedalam pertnukaan-permukaan S1' 52' "'' Sp dengan batas-batas C1, ('2. ..., Ct yang mana nremenuhi persyalatan'persyalatan diatas, maka teorema permukaan ini' maka Stokes berlaku untuk tiap-tiap peimukaan. Dengan menjumlahkan integral-integral garis yang bersangkutlahkan integral-integral menjun Dengan melalui .S. permukaan total diperoieh integral an scpz,njang Cr, Cz, ..., Cp. maka diperoleh integral garis seoanjang C'

J2. PeriksatahkebenaranteoremaStokesuntuk A=(2x-y)i'yz'inlrkaan bola x2 + y2 + z2 = l bagian atas dan C batasnya

v2sk,dimana'Sadalahseparuhdariper-

Batas C dari S adalah sebuah lingkaran dalam bidang.t,r' yang berjejari satu dan berpusat dititik asal' Misalkan x=cost, y--sint, z=0, O(r(2aadalahpersamaan-persamaanparameterdariC. Maka

{ n.". = Jc$ ,*-yl tr - y* ay -- y2z dz Jc sin') (- sin')

1"" ,,cos' -

rjk

aaaiy

Vxe

Iuga,

?z ?-x

Maka

//<v"nr..,' .ssR

karena n

't x= -r

-y

-yz2

-y2z

= {{u."0'=

{[0",,

dS = dxdz dan R adalah proyeksi S pada bidang -r1,. Integral yang terakhil ini sama-dengan

J J ,_-

oro,

,ro, = nroro ['{G

[' ,/t-"ra"

'tr

_,/l_-xz

dan terbuktilah kebenaran teorema Stokes.

dan cukupr hahwa { 33. Buktikan bahwa syarat perlu r- ---"-" -

vxA=0 Syurat

n'O, =

6 untuk

setiap

cukup- Andaikan Vx

n'o'

Maka menurut teorema Stokes

= fi .s

1Vxn1'n

kurva tertutup C adalah

132

TF-ORl-.M,\ DIV! RGh-n\SI. TIaORUMA STOKI:S. DAN TEORITMA

l-,orar pcriu. Andaikan

titik /,.

beberapa sebagar

! e.*

Vx I l 0pada

= 0 sepanjangsetiaplintasantertutupC,dananggaplah

V"e kontinu

Maka dcngan rilenganggap

trtrk urtcrior, dimana Vxe

INTIGRAL YANC BERKAITAN

I O.

maka akan terdapat suatu daerah dengan p

S sebuah permukaan yang terkandungdalam daerah irriyangnormalnyanpadatiap-tiaptitikmemilikiarahyangsanrasepertiVxA,yakni Vx6=6n dimanaa Misalkan

adalah seb '.h konstanta positif. Misalkan ('adalah batas dari S. Maka menumt teorerna Stokes

as a = { ^." ;ff,v,nr.n = [[ yang mana bertentangan dengan hipotesis bahwa

$ O. O, = 0-.Jadi Jc

VxA = 0. Juga diperoleh bahwa

Vx4

"." as >

hal ini mempertihatkan bahwa

adalah suatu syarat perlu dan cukup agar integral

*rO

rP^

J,' ,1

A. d,

tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan titik-titik P1 dan P2. (Lihat Soalsoal l0 dan

11,

Bab 5)

34. Buktikan

f ,, **

fft ,"'v'

* B

d^S.

\mbilkan A = B x c dalam teorema stokes, di mana c sebuah vektor konstan. Maka

3['a.'<n'ct

,r,(Bxc)l.n

{ "',"'*,

U..nre

c'1[ a"n

f,".rtBl. n ds -

[Vrn.nl] as

.. {f Karena C vektor konstan sebarang

[vrn.nr

maka

c(V.s)l. n as

"1v.n1l.n

n(v. B)lds

nrr,

[n1V.a1]

= ".Il(nxv)xBds 5

= ;fftn,Vl*aas s

35. Jika AS adalah sebuah permukaan yang dibatasi oleh kurva-kurva tertutup sederhana C, P sebarang titik dari A.l tetapi tidak terletak pada Cdan n adalah normal satuan terhadap AS di P, maka perlihatkan bahwa di P berlaku

(curlA).n =

lim

AJ_o

di mana limitnya diambil sedemikian rupa sehingga A.i menyusut ke titik p. MenurutteoremaStor<es,;fl<curl A).n

ds =

{ ^.".

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

pergunakan teorema harga rata-rata untuk integral-integral seperti dalam Soal-soal bentuk ini dapat dituliskan sebagai berikut

("*I A)*

133

dan 24, maka

e,.a, As

dan hasii yang diinginkan segera diperoleh dengan mengambilkan

limit

Hasil ini dapat dipergunakan sebagai titik-awal untuk mendefinisikan curl A (lihat Soal 36) dan adalah bermanfaat untuk memperoleh curl A dalam sistem-sistem kbordinat yang lain daripada sistem koordinat

tegak-lurus. K"r"nu

disebut sirkulasi dari

mengelilingi C, maka komponen normal dari Curl

dapat diinterpretasi secara fisis sebagai limit dari sirkulasi per satuan luas, jadi menerangkan sinonimnya rotasi dari 6 (rot A) daripada curl dari A.

36. JikacurlAdidefinisikanmenurutproseslimitdarisoal 35,makacarilahkomponenzdaricurlA.

H adalah empat-persegi-panjang yang sejajer dengan bidang xy dengan titik interior P(x' sebagai titik-pertengahan, seperti diperlihatkan daiam gambar di atas. Misalkan At dan Az komponen-komponen A di P datam arah-arah x positif dan y positif. Misalkan

L)FG

y, z) diambil

Jika C adalah batas dari empat-persegi-panjang, maka

I^'"+

{ ^." Tetapi

{ EI

A.dt = (At* *.oy * A.

d,r = (42

?1,

22,

A.dt

a,,4, a,.,

{ Gfl

A.dr

a. dr

flE

I ?lt = -(aL+ 2a!

{ ^-* Gfl

Lvl

t 7Az I n.r, = -(At- ia- &lAr

di mana telah diabaikan suku-suku infinitesimal-infinitesimal yang berorde lebih tinggi. Jumlahkan, maka secara pendekatan kita peroleh

Karena

A.! = Ax A,t',

f n'r, aA^ 7,q,. = (; fl I

maka

kotnponenz tlaricurl A= (curlA)'k

*a'

Iim -----:-

A9-o

TEORE]U.E. DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA

INTEGRAL YANG BERK.{ITAN

Vt- Ze, (=i _ a_.)& da dv = lim _-__*a-A,x rl/ &-o

Ly-o

-Z+ 7x

?et a.

Soal-soal Tarnbahan 37. Periksalah kebenaran teorema Green dalam bidang untuk

$ G*'-ey'1lx

+ (4y

*6xy)ti,,

di mana C ada-

lalr batas daerair vang didefinisikan oleh: 1o; y =,/;, y"= 12i (b) x=O,T=o, x+y = 1. Jay'ab. (a) harga kedua-duanya - 312. (b) harga kedua-duanya = 5/3. 33.Hitunglah

f <zr**y1ar+Qx-\y)dy dimanaC,sebuahlingkaranberjejariduadenganpusatpad,titikc asal dan bidang.r.v. dilintasi dalam arah positif. Jawab. * 8r

39. Kerjakansoalsebelumnyauntukintegralgaris 40. Hitungtah dan -r =

f <r2-uyla, +1fy+s1dy

2 (a) secara langsung, (D) r

(a.2)

41. Hitunglah../

-(o,o)

f G2ry2\d.x+?xy2dy, Jau,ob. l2n. *",i'r",trrr,, batas dari daerah yang didefinisikan oleh-rrr = 8x

pergunakan teorema Green. Jawab. 12815.

(6zy-y21dx+G;-2ty\dy,

sepanjangcycloidx

=0 -sin0, y=l -cos0.

Jawab. -6n2 -4tr

f {rr'*Zy1a, * @+Bcos1\d.! sepanjang. empat-persegi-panjang yang memiliki titik-titik sudut di i0,0). (2,0), (3, 1) dan (1, 1). Jawab. - 6

42. Hitunglah

43.Carilahluasdaerahyangdibatasiolehsatulengkungandaricycloidx=a(0 -sin0), ),=d(l-cos0), a ) 0 dan sumbu -r. Jawab. 3na2 . 44. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh hypocloid ,'fr *y'h = a2h, asO. petunjuk: persamaan-persamaan parameternya adalah , = a cost0, y = a sirl3 0. Jawab. 3na3/a . 45. Perlihatkan bahwa dalam koordinat-koordinat polar (p,Q)pernyataa xdy - ydz = f do. Interpretasikan

,dy-ya*.

46. Carilah luasloopyangterdiriatasenrpatlembarrose p=3sin'20. Jawab. 9n18. 47. Carilah luas kedua buah loop dari lcmniscate p2 48. Carilah luas loop dari. folium

Descartes

= a2 cos

x3 + ys

2Q. Jau,ab.

3ux1', a)0(lihatgambardisamping).Petunjuk.. Misalkan

= t-r dan peroleh persamaan parameter dari kurva ini. Kemudian pergunakan kenyataan bahwa

Luas=l$,ay-ya,

=;f

= Jawob.

3a2lz..

;ag '"a'

TEOREMA DIVERGENSI. TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG

BI,RKAITAN

I35

- xydy, dimana Cadalah batas dibatasi oleh lingkaran-lingkaran *' *y'= I dan x2 +y2 =9. Javvab. Harga kedua belah

49. Periksalah kebenaran teorema Green dalam bidang untuk uc 6 <u-fla, dari daerah yang ruas = 60

(-l '0) 50. Hirunglah f " J(r,o)

y d-x +-x dy x2 +y2

sepanjang lintasan-lintasan berikut

(a) potongan-potongangaris-lurusdari(1,0)ke(1,1),kemudianke(-1,I),dankemudianke(-l'0) (b) potongan-potongangaris-lurusdari(1,0)ke(1,-l),.kemudianke(-1,-l),dankemudianke(*1,0) Perlihatkan bahwa meskipu"

kan (1, 0) dengan (-

tetapi integral garisnya bergantung pada lintasan yang menghubung-

l, 0) dan j'elaskan. (b) -1r.

Jawab. (a) t. 5

Dengan merubah variabel-variabel dari (x, y) ke (u, u) menurut transformasi x = x (2, r'). y (u, v), maka perlihatkan bahwa luas ,4 dari daerah R yang dibatasi oleh kurva sederhana C diberikan oleh

1"4 --

^ [[

t<fitl a"a"

dimana

r<fit

?z =

7r4 ?"

?u adalah Jacobian dari x dan _y terhadap u dan v. Batasan-batasan apakah yang harus dibuat ? Ilustrasikan hasilnya di mana a dan v adalah koordinat-koordinat polar.

Petunjuk : Pergunakan hasil pergunakan teorema Green.

r'n d5, 61 mana F = 24'i+ yz2i+

52. Hittrnglah [[

' (c)

I = L ray--ydr,transformasikanke I xz k dan l- adalah

kocrdinat-koordinat u,vdankemuCian

permukaan balok yang dibatasi oleh x = 0, y = 0, z = O, x = 2, y = | dan z = 3 permukaan dari daerah yang dibatasi oleh x = O, l' = 0, y = 3, z = 0 dan x + 2 z = 6. Jawab. (a) 30 (b) 35112

(D)

53. PeriksalahkebenaranteoremaGreenuntuk A=2x2yi-y'j+4xz2kyangdiambilmelaluidaerahdaiam Jawab. 1 80 oktan pertama yang dibatasi oleh y2 + z2 = 9 dan x = 2. 54. Hitunglah t { r." dS di mana (c) S adalah permukaan bola berjejari 2 dengan pusat di (0, 0, 0), (D) S ,t adalahpermlkaankubusyangdibatasiolehx= -1, y=-1, 2=-l,x=1, y=1, z=L. (c) Sadalah permukaan yang dibatasi oleh paraboloid z = 4

Jawab. (a) 32r

(b) 24 (c) 24tr

- (r' + y')

dan bidang xy.

55. JikaSadalahpermukaantertutup sebarangyangmenutupisebuahvolume'VdanA=axi+bl;*czk.maka buktikan bah*a

A. n dS = (a +b +c)V.

56. Jika H = curl A, maka buktikan A^n*a [[

H.n dS = 0 untuk

sebarang permukaan

tertutup

57. Jika n adalah nonnal satuan berarah keluar pada sebarang permukaan tertutup dengan luas S, maka perlihatkan bahwa

JJF Y

Buktikan

5e. Buktikan

ut,

dY =

= [[+*. t{{r"! rs [{,'"

as =

{[[

s,sr av.

I35

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

50. Buktikan

aS =

[{ "

untuk sebarangpermukaan tertutup.S.

6I.

perlihatkan bahwa identitas Green kedua dapat dituliska n seaazai

{{,o# - *fftos

62. Buktikan

//r c

aS =

! [ [ (Ov'* -

,1.,g241av =

untuk sebarang perrr,ukaan tertutup

,S.

63. Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk l=(y - z+2)i+Qz+a)i -xzk,d.i manaSadalahpermukaankubusx=O, y.=O, z=O, r=2, y=2, z= 2 diatasbidangxy.

Jawab.

Harga kedua belah ruas =

-4.

64. Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk F = xzi * yi+ x2 yk,di mana,S adalah permukaan dibatasi oleh x = 0, y = O, z = 0, 2x + y + 2 z = 8 yang tak termasuk daiam bidang xz. Jawab. Harga kedua belah ruas = 32/3 65. Hitunglah {favrrl."ds,

daerah yang

dimanaA = (x2 + y -4)i+3xyj+(2xz+22)kdan,sadatah(a)

separuh

permukaanbola:r2 +y2 +22 = 16diatasbidang.xT, (D) paraboloid z=4-(x2+y2ldiatasbidangxy Ja--ab. (a) - l6n, (b) - 4n

66. Jika A= 2yzi - (x + 3y - 2)j+ (r2 + z)k,makatritunefafrJf<VxA).n dSmelaluipermukaandariirisan silinder-silinder x2 + y2 =

Jawob.

67.

x2 + z7 = a2 yang terkandung auf,.n oktan pertama.

-2

- fulsn*a,"1

Sebuah vektor B selalu tegak-lurus (normal) pada permukaan

= 0, di mana

68. Jika

adalah volume yang dibatasi

oleh,S.

$ t.a, = -++o' [[^.ar.aimanaSadalah uru Jc "

lihatkan bahwa Vx E = -

6e. Buktikan

f^O ,,, o, =

1?E

r?r

tertutup S. Perlihatkan irrnna

sebarang permukaanyangdibatasiolehC,makaper-

ar,Va.

70. Pergunakan operator ekivalendariSoal-soalyang dipecahkan no.25 untuksampaipada (c) V x A dalam sistem koordinat tegakJurus.

?r. Buktikan {{[va.o

[ [ [ cdn aV f

av = IIO^.n

- {[{+v.n

1c1

VS,

1a1

V.e,

or.

sebarang titik relatif terhadap sebtrah titik asal O. Andaikan @ meruiliki turunan-tunrnan kontinu yang sekurang-kurangnya berorde dua dan misalkan S sebuah permukaan tertutup yang membatasi sebuah volume I Nyatakan p di O oleh {6. Perlihatkan bahwa

72. Misalkan r vektor posisi dari

[[ r+vd - dv<]rl .r, = [l{v\! on * o di mana a = 0 atau

4 nSo sesuai

dengan apakah O di luar ataukah di dalam

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG

BERKAITAN

73. Potensialp(P) disebuahtitikP(x,y,z)yangdisebabkanolehsuatusistem muatan-muatan (atau Q r, Qz, ..., q n yan1 memiliki vektor-vektor kedudukan rt , lz , --.,

Buktikan hukum

I37

massa-massa)

terhadap P, diberikan oleh

+ = #,'* iv

Gauss ![

a" = tn Q

dimana S = -Vd n

dan Q=

f, e'

adalah intensitas medan listrik, S sebuah permukaan yang menutupi semua muatan-

adalah muatan total di dalam

74. Jikasebuahvolume ruangVyangdibatasiolehpermukaanSmemilikidistribusimuatan(ataumassa)yang kontinu dengan kerapatan p, maka potensial 0(P) disebuah titik P didefinisikaa oleh += Dedukpikan hasil-hasil berikut di bawah anggapan-anggapan yalg sesuai

<,t

l/"'a. sr

= n"

f {.!cdY.

dimana

I U ry

E=-vd.

O = -bnp (persamaan Poisson) di semua Laplace) di mana tidak terdapat muatan-

titik

di mana terdapat muatan, aan

!F$

0 (persamaan

KOOR DI N AT, KURVAII N EAR

TRANSFORMASI KOORDINAT.

(l)

Misalkan koordinat-koordinat tegak-lurus (x, y, z) dari sebarang takan sebagai fungsi-fungsi dari(u1, u2, tt3) sehingga

x = r(ufu2,us),

f = l@t,u2,ur),

Andaikan bahwa (1) dapat dipecahkan untuk u1,

u, = ur(r, y, z) ,

(2)

ur, u3

dalam x,

titik

dinya-

z = z(ufu{u")

y, z, yakni

= u2@'y'z) '

u, = u.(x,y,z)

Fungsi-fungsi dalem (1) dan (2) dianggap tunggal dar-. memiliki turunan-turunan yang kontinu sehingga kaitan y' ' z) dan (u 1, uz, u t) adalah tunggal. Dalam praktek anggapan ini dapat te{adi tak berlaku pada titjk-titik teitentu dan di sini diperlukan tinjauan khusus.

Ir{isalkan diketahui sebuah titik P dengan koordrnat-kcordinat tegakJurus (x,./, z) maKa dari (2)kita dapat mengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat (u1, uz, ut) yang tunggal yang disebut koordirut-koordinat kurvalinear d,ai P. Himpunan persamaan-persamaan (1) dan (2) mendefinisikan statu transformasi koordinat.

KOORDINAT KURVALINEAR ORTOGONAL Pernrukaan-permukaan ut = cr, ilz =uz, mana c1, c2, c3 adalah konstanta-konStanta, disebut perntukaan-permukaan koordinat, dafi setiap pasangan

ut:ct,

permukaan-permukaan ini berpotongan melalui kurvakurva yang disebut kuna-kurva atau garis-garis koordinat (llhat Gamb. 1). Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegakJurus, maka sistem koordinatnya disebut ortogonal. Kurva-kurva kooidinat rz1, u2 dan u3 dari sistem kurvalinear ini analog dengan sumbu-sumbu koordinat .r, 1, dan z dari sistem koordinat tegak-lurus.

Gmbar I

VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KURVALINEAR. Misalkan r = ni + yJ + zkadalah vektor kedudukan dari sebuah titik P. Maka (1) da-

patdituliskansebagair=r(ur,ur,a3).sebuahvektorsinggungpadakuivar.rldiP(dimanau2d.aner3konstan)

adrlah

l#, I

j,Lr.

Maka vektor satuarr daiam arah

Dengan cara yang sama,

ini

adalair

.r=

*r/l

arl

seninesalt-= Ireldimana lzq

jika e2 dan e3 adalah berturut-turut vektor-vektor satuan pada kurva-kurva a2

139

KOORI)INAT KL]RVALINE],AR

,r,rr.,'

di 1,.rrr:rka $ =

ou2

Itr. lt, 111.

clisebut ./akror llr. l/1.

l+l.Besara,-besaran/r'' oui

dalam arah pertanlbahan loktor skala. vektor-vektor satuan e1. €t. €: beltttrut-turut

adalait sebuah vcktor-yang norntal terhadap pertnukaan tr1

Krrcnu Vr,

larn arah ini diberikan oleh

dan n. = 9u"/l[u"l di

tlirrrana [r= l+l [r", x,"]L = " 'du2' Jantr= ous fue"

. D.ngun cara yangsama,vektor-vektor satuan

E, = vrr/lvurl

aclala6

=c, diP' r.uaka

vektor satuan da

r,2=vu2/lv'2l

a3 = ca bcrturut-t*r.t nortltal terhadap permukaalr-perlnukaan ut = cz dan

P-

pada tiap-tiap titik P dari stlattt sistenl kurvaiinear' tcrdaPat dua buah hir.:rpunan vektor-vektor untitttrnva 1;acla satueil er . €2, el 1'lng ntctlyiriggttttg kurva-kurva ktlordit.iat dan E, , 8.,, E. -,-ang ttorntll tcrhadap pellnukaall-perrllukaln koortlittat (lihat Garnb. 11. llrnrpunall-hillpunan ini nrenjadi identik jika dan hanva jlka sistern koordinat kurralinearnlr orlogorral (lihat Soal l9) Dalarr hal tetakhir ini' kedua hinrpunan vcktor satuatl di atas analog dengan vektor-vektor sa-

Jrdi

-.:

iuan i. j, k clalant sistcnl koorclitlat tegakJutus tetapi herbeda clari vektor-vektor satuarl ini yaitu bahwa arah-arahnya dapat herubah-ubi,h dari

titik

Yang satu ke

titik

yang lainnya' Dapat

diperlihatk:n (litrat Soal i 5) bahwa himpunan-himpunan

?r?r?rr :\dut , due, -- dus

(?t1

Ju1,Yrr,iu"

Gambar'.2.

membentuk sis-

tem vektor-vbktor resiprokal (reciprocai vectors)'

el, €:, €-r atau 81, E2, +ogF'" +arF= orE.

Sebuali.vcktor A dapat dilyatakal dalam Yektor-vektor basis satuan

A = Arer+$er+Are"

bentuk dinrarra

,4r. Ar, A3

dandy. a2, a3 adalah masing-masingkompttnen-komponen

Kita dapat pula menyatakan A dalam vektor-vektor

basis *

E3 dalam

dari A dalam tiap-tiap sistem'

' *t' *

atau Vur, Vur,

Vu"

]ang

umumnya bukanlah vektor-vektor satuan' Dalam disebut yekror-vektor basis uniter (unitdryl tetapi yang paCa hal ini

A = C,3L -dus = -'?ut * C,+ 'du2 * C.9 A = 6rVu1 +

dan

c29u2

C.,ct+ Czat + C.c"

+ caVu3 = ctqt+ ct&+

csqs

dan c1, c2, ca disebut komponen-kompo' dimana Ct, Cr, C3 disebut komponen-komponen kontravarian dariA bahwa Perhatikan d'r= nen kovariandari A (lihat Soal-soal 33 dan 34)' ' p = l'2'3 '

fi'OO=V",

Dari r = ELEN{EN PANJANG BUSUR DAN ELEMEN VOLUME'

t (u1' u2' u3) kita

peroleh

dr = Ptdr,*lLdu,+{du, ous ou2 out hq du1

e1 + h, du2 et +

hs dua es

Maka dilerensial dari panjang busur ds ditentukan dari clsz = th . dr. Untuk sistem'sistem ortogonal, €t ' ez =

€2.€: =e3'cr =0dln

its2

hi dui + hi dui +

hf, duf,

Untuk sistern-sistem kurvalinear yang tak ortogonal

atau

yang umum lihat Soal 17.

Seiranlnnt kurva u 1, u2 dan u3 konstan sehingga dr = h rrlt-t re

rr,

Maka diferensial dari panjang busur ds1 sepanjang

Ci P adalal-r h,r/a 1 . Derrgatt cara yallg sama. diferensial

Gambar 3.

KOORDINAT KURVALINEAR

140

panjang busur sepanjang

dan

d,i

adalah ds2 = h2du2,ds3-hxdu1.

Dalam Cambar 3 terlihat bahwa etemen volume untuk sebuah sistem koordinat kurvalinear diberikan oleh

karena

dy = llhltlulet).(hduzeelx(["du"es)l = l"r.urre"l = r.

h1l4l4du1du2dus

GRADIEN, DMRGENSI DAN CURL. dapat dinyatakan dalam koordinat-koordinat kurvalinear. Bila O adalah sebuah fungsi skalar dan A = .41e1 t Azez t,43e3 sebuah fungsi vektor dari koordinat-koordinat a,, u2, us,maka hasil-hasil berikut ini berlaku.

r.vo = $ado= f 2'

v'a

dtv

ffi",*tH",*f ffi* * lfirr,,*o,r ftrr"r, ht + !*<r,ued)

htet be"

3. Vxe = ourlA =

h7hzhs

l5e"

a?a iu, 'du2 ?n3 hrA, hA" urs

fQ = persamaanLapraceo = ik

[*,*

.oE,

*r*

ffi, *,*

H,]

h, = hz = ht = I dan €1, €2, €3 diganti oleh i,j, k, maka hasil-hasil ini tereduksi kedalam pernyataan-per. nyataan yang lazim dalant'koordinat tegakJurus dimana (u 1, 12, a 3 ) diganti oleh x, y, z.

!rka

Perluasan hasil-hasil di atas dicapai melalui teori sistem kurvalinear umum yang mempergunakan metode analisis tensor yang ditinjau dalam Bab 8.

SISTEM.SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL KHUSUS

Koordinat Silinder (0,0, 11. Lihar Gamb.4 di bawah

*, = P cos@, , = psin6, dimana P

2. Koordinat Bola (r,

il.Lihat

0, 0S+ < 2n, -oo< hp=t, hO-p, hz=l >=

z=z z <co

Gamb. 5 di bawah.

r = rsin 0 cosS, / = rsln 0 sh$, z = dimana r20, 056<ztr, 0!0!n hr=L, he=r, h6=rsta0

rcos 0

t4l

KOORDINAT KURVALINEAR

Garirbu 5

Gambar 4

Koordinat Silinder Parabolik @, v, z). Lihat Gamb.6 di bawah.

x = t@2-u21 , y=uu, Z=z dimana -co<u<o, ,a0, -o<z<@ hu=hu=/r4"', hr=l Dalamkoordinat silinder, u

= r'Ap cos +, u -- {Ip "in f;.

Jejak dari permukaan-permukaan koordinat pada bidang xy diperlihatkan dalam Gamb. 6 di bawah. Jejak-iejak ini aCalah parabola-parabola konfokal (confocal) dengan sumbu yang sama.

Gmhar

t42

KOORDINAT KURVALINEAR

Koordinat Paraboloid (u, v,

Q).

cos@. y = uusin+. z = r@2-o2) dimana u>=0, ,>0, O<A<21r ,7 +7, h" = h; = h;= ,,

ut)

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan memutarkan parabola-parabola dari Gamb. 6 di atas mengeiilingi sunrbu Jr yang {inamai kembali sebagai sumbu z. Himpunan permukaan koordinat ketiga adalah bidang-bidang yang melalui sumbu ini. Koordinat Silinder Eliptik (a, u, z). Lihat Gamb. 7 di barvair.

x = a coshzcosu, f = a sinhzsinu, Z=z dimana uZ0, OSu<2n, -co<z<co hu = hr= ar'slnh'u 1Sln2u, h" = | Jejak dari permukaan-permukaan kr-ordinat pada bidang ry diperlihatkan dalam Carnb. T Jejak-jejak ini berupa elips-elips dan hiperbola-hiperbola konlokal.

bawah

/:;\ N

6. Koordinat

Prolate Spheroidal

(t, n,0)

x = a sinh( sin4 cos@, f = asinl( sin4 sin@, Z = acosh{ dimana 6lo, o5nSn, 014<zr h, = = \ "'/si;h?+ sinT , ho= a sinh ( sin4

cosr1

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan menrutarkan kurva-kur.ra dari Carnb. T atas lnengeliling sumbu x yang dinanrai kcmbali scbagai surnbu z. Himpunan pcrmukaan koordinat ketiga adalah bidang-bidang yang mclalui sumbu ini .

KOORDINAT KURVALINEAR

7. Koordinat Oblate Spheroidal (t,

143

n, d).

u = acoshf cos4 cos@, y = acosh( cos4 sip@, z = asinhf sin4

â&#x201A;ŹZo, -fSnSS, oSO<2Tr hC = h, -"'/;iR11 sin"n , h6 = o eosh f cos dimana

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan memutarkan kurva-kurva dari Gamb. 7 sebagai sumbu z. Hirnpunan permukaan koordinat ke' ini. yang sumbu meialui tiga adalah bidang-bidang

di atas mengelilingi sumbu y yang dinamai kembali

Koordinat Elipsoid

(I, r, u) x2

a -^ x'

"'-

r" d2 -u

, nr.

y2 62-\ v'

b'- tr

,'-\

y' b2-u

"'-

\<c2<b2<C

c2 11.,.<b2<a2

c2<b'<u<a2

rr,

"'-,

= z1 Yf c/-\Xr-NAf,q(6,-\x",-b'

hr=L 9. Koordinat Bipolar

.1 htr=i

p'tG2

(t -v111.t-v1 @3-vi(b2-v\(c2-v\

(u, v, z). Lihat Gamb. 8 di bawah.

12+(y-acotu12 = a2csc2u. (x*ocotho)2+y'=

Gambr atau

(z-s.)(\-P) (o'- p\(b'-

a2csch2v, z=z

csinu z=z v= cosil:;s&, dimana 01 u < 2tt, -co<tr < co, -co< z <ln . a h..=h..= , h,=l w u coshu - cosu

oslnhu "=c;f;=;s,,

trJ

144

KOORDTNATKURVALTNEAR

Jejak dari permukaan-permukaan koordinat pada bidang x7 diperlihatkan dalam Gamb. 8 di atas. Dengan memutarkan kurva-kurva dari Gamb. 8 mengeliiingi sumbu sumbu z, maka diperoleh sebuah srirem koordinat toroid.

dan menamakannya kembali sebagai

Soal-soal yang Dipecahkan l.

Gambarkan permukaan-permukaan koordinat dan kurva-kurva koordinat untuk (a) koordinat silinder dan

(D) bola.

(a)

Permukaan'permukaan koordinat adalah

P = cr Q = cz z = ct

permukaan-permukaan silinder bersumbu sarna (coaxial) deqgan sumbu z (atau sumbu z jika c, = 0) bidang-bidang yang melalui sumbu z bidang-bidang yang tegak-lurus sumbu z

Kurva-kurva koc:dinat adalah

Irisan dari p = cr dan @ = c, (kurva z) yang adalah sebuah garis lurus. Irisan dari p = cl dan z = ca (kurva Q)yangadalah sebuah lingkaran (atau Irisan dari Q = c2 dan z = ca (kurva p) yang adalah sebuah ga.is lurus.

(D) Permukaan-perrr^ukaan koordinat adalah

titik).

r = ct 0 = cz

permukaan-permukaanbolayangberpusat di titik asal (atau titik asaljika cr = 0). permukaan-perm,-tkaan kerucut dengan titik puncaknya di titik asal (garis-garis jika e2 = 0 atau n, darr bidang xy Srka c, = n121.

Q = cz

bidang-bidang yang melalui sumbu

Kurva-kurva koordinat aCalah

Irisan dari r = c1 dan d = c2 (kurva@) yang adalah sebuah lingkaran (atau iitik). Irisan dari r = c1 dan @ = ca (kurva 0) yang adalah separuh-lingkaran (c1l 0). Irisan dari 0 = c2 dalr p = ca (kurvr r) yang adalah sebuah garis.

2. Tentukan transformasi koordinat dari koordinat-koordinat silinder kedalam koordinat-koordinat tegaklurus. Persamaan-persamaan yang mendefinisikan transformasi koordinat dari koordinat-koordinat tegak-lurus kedalam koordinat-koordinat silinder adalah

(1)

r= pc6O.

Q) y =

psta$,

Kuadratkan (1) dan (2)kemudian jumlahkan,p2(cos26+sif

Q) z = z

4) = ,'+y'

^tuu

p = /7Tr,-,karenacos26+sin26= 1 dan ppositif.

Bagikan(2)oleh(1), L = pg,'"t = tsnd araud = arctanl. x pcosS ' Maka transformasi koordinat yang diinginkan adalah, (4) p = /?+f , @ O = arc taa 1, (6)z-2. Perhatikan bahwa untuk titik-titik pada sumbu z (x demikian disebut ririk-ririk singular dari transformasi.

=0,y

= 0), maka

Buktikan bahwa sistem koordinat silinder adalah ortogonal.

Vektor kedudukan dari sebarang titik dalam koordinat silinder adalah

harganya tak-tcntu.

Titik-titik

I45

KOORDTNATKURVALINEAR = pcosQt+Psln@J+zk

r = xl+y!+zk

O- *

$ ,* ^dp@dz I =r

Vektor-vektor singgung pada kurva-kurv a p,g danz berturut-turut diberikan ol"rr

= "*@r oPWdz

dimana-?l-

srn@1, + = - psra$t

pcmdr'

Vektor-vektor satuan dalam arah-arah ini adalah

co!4_!_i_sin_el = s.osd r + stnd, = zr/7o = a;&T+ snt,a @A ay'w = --e-*:tJ:-2:y:4 = -sln@r + cosgJ . -=.. oz - li'twl =6 = /V;L?o - n;?o

= ep

&/7"

Es=az

Maka

P'/7'l = (cosd t + stnd r)'(-sind t + cosd J) = €1.€s = lcos{l+slndJ).(k) = o %'% = (-sin@l+cosdl'thl = 0 e1.€2

jadi e,, el dan e3 saling tegak-lurus dan dengan demikian sistem koordinatnya ortogonal'

Nyatakan vektor A = zi

2xj + yk

dalam koordinat-koordinat silinder. Jadi tentukan.d p,

d,an

Ar.

Dari Soal 3,

(2)ed = -sir.@l +cosdJ

(1\ep = cosot+eLn$t

Q\er=y

Pecahkan (1) dan (2) secara serempak, maka didapatkan

I = cosQ"p- sh@e6,

J = sinOep+ cos$e6

Maka A= zl-?rt+fk = z(cos@eo-sln@ ad - zpcos@lslndep+cosQ"e * pslaQe, = (z cos@ - 2pcos$ sh{1e, - (z stod + 2pcos2$\e6 + pshn$e" jadi Ap = , cos@ - 2pcosd slnd, A6 = -z slu@ - 2pcos2$, A" = psinQ' 5. Buktikan

*r.,

V, *"f

di mana tanda titik menyatakan turunan terhadap waktut.

Dari Soal 3,

ep = cosd i + shd i.

ed = -sin$ I + cosd J

d' = -(stnd)it +tnosd)dt = 1-stn@t+cosdJ)d = Q"6 Maka &ep * "* = -(cosd)dr - t"rndldl = -(cG@t + slu OnQ = -Q"p

Nyatakan kecepatan v dan percepatan a dari sebuah partiket dalam koordinat silinder' keceVektor kedudukan dalam sistem koordinat tegak-lurus adalah r = xi + + zk dan vektor-vektor

patan dan PercePatan adalah

# = ir+i1+it dan . - # = ?ir+1it+iu

KOORDINAT KURVALINEAR

Dalant koordinat silinder di mana dengan mempergunakan Soal 4,

r = rl +yt + zh =

cos

d)(coc

p e, _

sin

e4)

+ (psin@11sin@ ep + cos 6 e4,) +

= pep+ zez dt"p ,i

-iu,

= Ptr* PQe6+

zez

di mana dipergunakan Soal 5. Diferensiasikan sekali lagi,

d2r d . : . = dr@ep+PQe6+ze2l j .. d.6 . duo ., * P.p * PA = 0 + pQe6+ pQer+'ie, * " = i$.0+ i'eo + p6<-6"pt + pOe6+ p$e6+.;e"

= tii - p Q'l.p * <pO * zp$1 ur *'i." di mana dipergunakan Soal 5.

7. Carilah kuadrat

elemen panjang busu; dalan koordinat silinder dan tentukan iaktor-faktor skala yang ber-

sangkutan.

{etodf

Pertama.

x = pccsQ, t = psLa,, z=z dz = -p sin O dO + cos$ dp. dy = pcos6 dO +

sin$

clp.

N{aka ds2 = dz2+dy2+ttz2 = (-psinOc+ + cos$apf + (pcosdad = @pJ2 + p'@6)' + 1d,z)2 - t?<apf + nf,1ag.f + nf,6,f

dz = dz

+ slrn$apf +

dan ir = hp= l. hr= hf= P, hs= hz= I adalahfaktor-faktorskala. Metode Kedua. Vektor kedudukan adalah r = p cos Oi + p sin @i + z k. Maka

d?=$ro*3ao*Ea, op@dz radi

ds2

t),ip + (-psin@t + pcos$ fidO + kdz (cosQ ap - pstn6 df)t + (slnf dp +pcos g agyl + xaz

= =

(cos@

= dt'dr

+ stnO

= 8. Kerjakan Soal

(s)

dan

+ (slnd

*;!':;';':".r

dp +

p cos$ a$f + 6zf

'::{

untuk koordinat-koordinat (a) bola dan (D) silinder parabolik.

z=rsin0cos$,

y=rs.tndsin@, z =rcos.Q Maka ,tx = *rsinAsin$tl$+rcos6coseaA + sin6cos$dr dy = rsin0cosrbrt$+rcosdsinOa0 + singsin$dr dz = -rsin 0 a0 + cos, d; @s12

(dx12

+ 6yf + 6,f =

@r\2

+ p1a0f +

r2sin20

1de12

@z)2

KOORDINAI KLiRVALtNt:AR

Faktor-faktorskala adalah ht= hr= l, hr= hg = r, hs= h6= r rLn e.

(6)

z=z l1t?-v2), y=u!, +'d'u, d'z=dz dY = udu Maka dx = udu-udu, dan (dr)2 = <arf + Gyf + @z)2 = 1u2+r'\(d'>'+ 1u2+v211dv12 + (d'zf hs=hz=1. hz= hu= /7-*r', Faktor-faktorskalaatlalah hr= hu= /7.;], ,=

Sketsakanelemenvolur.ledalam koordinat^koordinat (a) silinder dan (b) bola dantentukan besar rusukfusuknya.

(a)

Rusuk-rusuk elcmen volume dalam koordinat silinder (Gamb. (a) di bawah) besarnya pdA, dp tlan dz. Ini dapat pula dilihat dari kenyataan bahu'a rusuk-rusuknya diberikan oleh

d.sr= hrdur= (tl(dp) =

dp,

Csr= hrdur= p

di mana <tipergunakan faktor-faktor skala dari Soal

dA,

ds"= (l)(lzJ =

dY =

Btn9 d6\ tr dei

12 stut9 .tr

d0 dO

Gambar (b) Elemen volume dalam koordinat trola

Gambar (a) Elemen volume dalam

koordinat silinder

(b)

Rusuk-rusuk elemen volume dalarn koordinat bola (Gambar (b) di atas) besarnyadr, rd9 dan r sin0 d$.

ini dapat pula dilihat dari kenyataan bahwa rusuk-rusuknya diberikan oleh dsr= hrdur: (l)(dr) =

dr,

dsr= hrd.ur= r

d,A, ds. = ,tr(u"

sin

d'$

dimana dipergunakan faktor-faktor skala dari Soal 8 (a).

10. Carilah elemcn

vr>luure

dV dalan koordinat-koordirrat (a)silinder, (b) bola dan (c) silinder parabolik.

Elclnen volume dalarn koordinat-kurvalinear ortogonal

dV = (a) Dalarn koordinatsihnder

uL=

llt,

rl2, u3 adalah

h1h2h3 du1du2du3

h1=

l, ftr= p,

dz =

p ap a$

p, u2=Q, us= i,

dv = (l)(p)(t)

dp d$

Ilasil ini dapat pula diarnati [angsung dari Gamb. (a) Soal 9.

h3 =

1 (lihat

Soal

7).

lt'taka

KOORDINAT KURVALINEAR

(D) Dalamkoordinatbola ut=r, u2=0, q=$, h1=1, ftr=t,

hs=

6lnA (lihatSoal 8(c)).Maka

dY = (t)(r)(rsin6) dr d0 dO = r2sing dr d,0 d$ Hasil ini dapat pula diamati langsung dari Gamb (b) Soal 9.

(c)

Dalam koordinat silinder parabolik ua= u, u2= o, r,c,= z,

(lihat Soal 8 (D) ). Maka

dy = (7+ ozlp/yz+,z)el II

tr=/ur17, h=t

h=/717,

du du

dz =

1u2+

t?1 du du dz

Carilah (a) faktor'faktor skala dan (D) elemen volume d I/ dalam koordinat oblate spheroidal.

(o) , = acosh(coszTcos@, / = acoshf cosz;sin4!, e = osinhf sin4 dx = -acosh(cos?sin#dd * acoshfsin?cos6an + astnhfcos4cos@df dT = ocosh(cosrcosOdO - acoshfsinrisindaT + aslnhfcos?sinddf dz = a slnhfcosndq + "cosh( sinqd{ Maka (ds\2 = (dx\2 + (dy)2 + (dz)2 = o2(sinh2€+et#n)@€,r2 + c21stnh2f + sin2q11dt712 + c2 cosh2f cos2q 6$12 dan

f,1 =

(D) av =

16= o4rnrrz5+!!,1rr7

p/ffi 1affir)

hz=h,r=

r,6il2<*;or1 . h=

("'/"rnh?;sinrt)

(a cosh

= .3(sinh2f+sin2T) .osh { cosq d€ c, d$

hO=

d cosh

(

cosrl .

cos11 a€ art aO

12. Carilah pernyataan untuk elenren luas dalam koordinat kurvalinear. Dengan melihat pada Gambar 3,

hal. I 16, maka elemen luas diberikan oleh

dA7 = l6raure2)x(Asau""oll -

karena l%r"rl

= l"rl

= r.

du1

= hzhattuetlq

"rr"rlarraa

Dengancarayangsama

dA2 = | grraurel) x dAs = I tf,

hzhsl

([3

e31

| =

h1h3

e; x (h2du2er1l = \h2

dqdt4 du1dt4

13. Jika ur,u.),usadalahkoordinat-koordinatkurvalinear,perlihatkanbahwapersamaanJacob darix,y,z terhadap

ur, u2,uj adalah

?x 7y

ar, 4", r,.x_t_/J , _ 'u7,u2,us'

a@,y,2) d(utuz,u1)

E: 3y

6G d;

ar, Zz

ht h, lr,

Zx ty Oz Dr, ?r. ?r" Menurut Soal 38 dari Bab 2, determinannya samadengan

7y .7, , +.-j (n-l out Out

Z" E, ?y 'du, * +J -dut k).(<-l dur-

E,tr1*1$t ?, _ du, ' 'Du, -

+ --J + ;-k) ous Ous

t49

KOORDINAT KURVALINEAR

ar ?r

du, duz

?r dug

lre, x

hLeL.

hthzh â&#x201A;Ź1.

Jika persamaan Jacob-nya samadengan nol

f,aea

â&#x201A;Ź2

â&#x201A;Źs =

hthpha

maka + , dug dut, + due +

adalah vektor-vektor koplanar

dan tlansformasi koordinat kurvalinearnya gagal, yakni terdapat hubungan antara y, z) = O. Dengan demikian kita akan mensyaratkan persamaan Jacob tidak nol'

14. Hitunglah jejari a.

ilfr ",. y2+

22) d*

dimana

dy dz

,, y,

adalah bola yang berpusat

z berbentuk F('x,

dititik

asal dan ber'

i-la"0drdot6

Gambar (D)

Gambar {a)

Integral yang dikehendaki samadengan delapan kali integral yang dihitung terhadap bagian bola dalam oktan pertama (lihat Gamb. (a) di atas). Maka dalam koordinat tegak-lurus integralnya samadengan Fa./E-x2

I J I ,=O y=O

?v/d2-a2a2

@2+v2+z2ldzdvdz

J z=o

yang meskipun dapat dihitung tetapi sangat panjang dan menjemukan. Perhitungan ini menjadi-lebih-midah + y2^+ dengan mempergunakan koordinat bola. Dalam merubah ke koordinat bela, integrannya x2 " ,"JungLun elemen volume dxdydz diganti oleh elemen volume r2 sln0diganti oleh besaran "ki""l";;;;l aiaO aO (lihat Soal l0 (b) ). Untuk meliput daerah yang dikehendaki dalam oktan pertama, ambilkan 0 pertahankan p dan o konstan (lihat Gamb. (D) di atas) dan integrasikan dari r = 0 hingga r = o; kemudian konstan dan integrasikan dari 0 = 0 hingga n l2; akhirltya integrasikan terhadap 4 dan tl = 0 hingga Q = n12. pula urutDisini kita telah nrelakukan integrasi dalam urutan r, 0, @ walaupun demikian dapat dipergunakan an lainnya. Hasilnya adalah

, !"" f f 0-=o Lo

1r:11psln

d=o

r[,* ,["*' f

araaae)

= , !"o !* f ts,,l drdldg 6=o 0=o r=o

sind li=,aea4

=+ J,*' ,[,*' nrr/z

8a6laa=47ra6 s.J5 O=0

stn. a,ag

150

KOORDINAT KURVALTNITAR

titik

Secara fisis. integralnya menyatakan momen-inersia dari bola terhadap polar, jika bolanya memiliki kerapatan massa satuan.

asal,

yakni momen-inersia

Pada umumnya, dalam mentransformasikan integral-integral lipat dari koordinat tegak-lurus ke koordinat kurvalinear ortogonal maka elemen volume dxdydz diganti oleh hrh2h3du1du2du3 atau ekivalennya

t(..''.:''.. )drrdu2du3 dimana./adalahpersamaanJacobuntuktransformasid,arix,y,zkeul,u2,u3 U U2, ll3 1,

(lihat Soal I 3).

15. Jikaul,u2,u3adalahkoordinat-koordinatumum,perlihatkanbahrva

+,+, dut

duz

Qf dus

O.n

jur,Yur,flu"

adalah sistem vektor-vektor resiprokal.

Kitaharusmemperlihatkanbahwa 34.U" dimana p danq dapat memiliki gJikaplq oub , - 1r.;iLup=9

sebarang harga 1 . 2,3 - Kita peroleh

dr = $au, * Qt-ar, * $ar. dur^dur'du. Perkalikan dengan

Vur.

Vr1 '

atau

. Maka

- d,t = (Vzr. fr1r,, + (Vu1 . frrr,, + (Vzr. *rr* Vr,.P V,,.S duz= o, dus

Vr,. ' P dur= r,

Begitupula. dengan mengambilkan perkaliannya dengan

16.Buktikan

Dari Soal'15,,

Vr, ;dan

fr"*}{o,,.v,,,v,"} g

Vz3 .maka relasi-relasisisanyaterbukti.

dan Vr1,Vr2,Vr3 adalah sistem vektor-vektor resiprokai. Maka hasii

, }- , du1' du2' -&Zus

yang dikehendaki segera diperoleh dengan mempergunakan Soal 53 (c) dari Bab 2. Hasil ini ekivalen dengan suatu teorema untuk persamaan Jacob karena

Vu1

Er, ?n, ?, 7y

311

7u, 7r,

?u,

,,uL,u2.us\ E 6 ;;l I -- '\-vi:;'

'Vu2rVr"

?u. ?r. ?r. 7" ay 7z

dan dengan

demikian I(*th)

= 1

l(u+#f)

di mana dipergunakan Soal 13.

17. Perlihatkan bahwa kuadrat elemen panjang busur dalam koordinat kurvalinear umum dapat dinyatakan bagai

ds2

= I

l=t'

q=t

studutduq

Kita peroleh

dr = +dr, + da + {au" ?rr'}ur'7u"Pr-

ardvl +

t&2du2

dodu3

se-

KOORDINAT KURVALINEAR

Maka ds2 =

dr .

dr =

41- d.1

dul + Ar'9,,

du1du2

+ (L'Oj iluldu3

a"t + Q'Cs dhdus + Q 'Cr dus du1 t Q' dc drg du2 + do' At d'; + b.Qt

du2d,u1

+ *'A,

I E p=1 q=a

stq d'iduq di mana cr,

= cf'do

Pernyataan ini disebut bentuk kuadratik fundamental atau bentuk metrik. Besaran-besaran 8rn disebut koeJisien-koefisien metik dan adalah simetrik, yaknigro = gqp.Ilka 8pe = 0, p *q, maka sistemkoordinatnya ortogonal. Dalam hal ini gr r = hr2 , Bzz = htz., Ctt = hl.Perluasan bentuk metrik kedalam ruang berdimensi lebih tinggi memainkan peranan yang sangat penting dalam teori relativitas umum (lihat Bab 8).

GRADIEN, DTVERGENSI DAN CURL DALAM KOORDINAT ORTOGONAL

18. Turunkan pernyataan untuk VQ dalam koordinat kurvalinear ortogonal.

Misalkan VQ = /, ea+ f2e2+ fses di mana f r, fz, h akan ditentukan.

Karena

dr = +arr*$aurtlaue dut duz dus = htetaul *

h2e2Cu2

h3esdus

kita peroieh

(I)

rerapi samakan

(/)

dQ = VQ . ar =

(2\ d+ = dan

Maka

h1f1du1 +

l2du2 + hslsdus

Hr,, * Hru, * ffiru.

i H, ,,= i#,, 4 = i ffi v+= rH.?y_.frH 4

Pernyataan ini menunjukkan ekivalensi operator

e-â&#x201A;Ź1D"rEeaa Y =

v"r* tra**

yang mana tereduksi ke pernyataan

untuk V

n"-a""

yang lazim dalam koordinat tegak-lurus.

19. Misalkan u1, tt2. tt3 adalah koordinat-koordinat ortogonal.

(a) BuktikanbahwalY"pl= hf,l , p=r,2,s. (b) Perlihatkan bahwa ep = Ep

(c)

Ambilkan O = a1 dalam Soal 18. MakaVul = 1",

(b)

l= t.

Begitupuiadenganmengambilka;r@

Menurut definisl

.Dari t, = k lvubl

dan terbuktilah hasilnYa.

lVrrl = 1"rl/nr= 7,i1 , karena = uTdanur,lY"rl = lr-''dunlVr"i= U-'.

aun dengan demikiu"

bagian (d), pernyataan ini dapat dituliskan sebagai E2 =

hrior= e,

KOORDINAT KURVALINEAR

t52 20. Buktikan

e.= hh"9urxV6

bersamadenganpersamaanserupauntuke2 dane3,dinlanaal,u2,u3ada-

lah koordinat-koordinat ortogonal.

Dari Soal

2I.

le,

,V"r=fi, V" = *

%, = f

dt o*

Maka VurxVu" = tt

Dengancarayangsalno, G2=

isirVa3xVrl dan e3 = hthzVrtxYuz.

et= hzhsVu,'Vq.

Perlihatkan bahwa dalam koordinat ortogonal.

(a) v .

= ih f,rn,r,Ut (E) Vx(11e1) = &.3-re.r,l - #,firl,^,, 1r,

e,)

bersama dengan persamaan serupa untuk

(a)

vektor-vektor,{2e2 dar Alex.

Dari Soal 20,

V' (lrer) = i' Gtbh3Vu2xVz"1 = V U\h2l*,t . Yu2rYus +

A]"la9.1VzrxVz"1

fr. o = i<Arhr',,;t.#" = [ f f; ,r.ror", . 7 *,(thznl) - f * ,"thz,.lt] rn 161

Vx 1it1e1

V1rri.fu).

hfi'"^'a'

= =

V(,{r[1) xVn,

V1,{raf

[f fi'""

= 22. Nyatakan div A

ff-

1l1fuVn1)

+ ,{1fuVxVu1

,il *

. 7*(/1h) + fr fiu'u]

#'fit"ro - f'att"^'r

= V' A

dalam koordinat ortogonal

V.a = V. 1,{re1 +/-2e2+/oe.,) = V'6rcr1 +i'ptrcrl+V'14c"1

I [3,r'ut", * ]lrrqlr) * g1r.^r^l du2 dq J

h$2\ ldul

di mana dipergunakan Soal 2l (a).

23. NyatakancurlA= Vx A dalamkoordinat ortogonal.

VxA = Vx(lrer+Aze2+As%)

- Vx(,{red +ixlArcrl

-e2Esa iri, E",("ltht\ - -rt"fi(A'h'\

.frfio,ut-&*,^"r'

+Vx(z{ges)

KOORDINA

. &f,

t -= e'r-a ?;<'"0"' | ^""

''.t"'

- &,aL,,,',^",

,] .,;L[*(A,hi-f,.r"^",]

"^T':'' a ffirla'-r'n,^s - ;, t'errr)l

di mana dipergunakan Soal

153

-l

ll (b). Hasil ini dapat dituliskan

,1"'

sebagai

hz_ez

1 |ld d d -= hrh"h" Zu, ar" l?", I nr^, Azhz A"h"l I

V"r

)4. Nyatakan

V'r!

Dari Soal 18.

dalam koordinat ortogonal.

u' VU * ' = h1 3{ du1

q 9P * h3 w ?,,'

h2 du2

y . or=:y, , _l w " h3 du3 h2 Au2

Jika A=VV, maka ,{r=:

h1 du1

V.e = V.V., = V"rl, 1 f A,h2hAQ,. * = rr44 t [a,r i, a*'

dan menurut Soal 22,

**,*#,.*,**,]

)5. Pergunakan definisi integral ff

JJe',

divA = v'n = Iim aAr-o

V'A ortogonal.

(lihat Soal 19, Bab 6) untuk menyatakan dalam koordinat kurvalinear

Pandang elemen volume AIl (lihat gambar samping) yang memiliki rusuk-rusuk h1Au1, h2 Au2, h3Au3. Misalkan A = Aiel * Azez + 13e3 dan n normal satuan berarah keluar pada permukaan AS dari volume A Z. Pada sisi JKLP,n= -e1.

Maka kita peroleh, sebagai pendekatan

If JJ

n.^

ot =

(A. n di titik p) (Luas JKLP)

JILP

Ases). eet)) $rh"NrNs\

[1,{1e1 + A2e2+

- A7h2b N4&3

Pada permukaan EFGH, integral permukaannya adalah

A1h2t4

Lu2Lq

{roruro"

&rA,r1

KOORDINAT KURVALTNITAR

15.{

mana diabaikan suku-suku infinitesimal.yang ordenya lebih tinggi daripada busi total pada integral permukaan dari keCua permukaan ini adalah

3- 6r.hrh" Ar2A4) Az1 = + (At h2h) d,t'- - ?r,

Luy Lu2 Au3. Maka kontri-

Au1 Au2 A,g

Kontribusi dari keenam sisinya A tr/ adalah

(42hlh)+ [3,r,A,As)t+ ouc L Oq Bagikan hasil

3dusr.r" r,r,llI

4"1&2 A"g

ini dengan volume h1 h2 lt3 t\u1 Lu2 Az3 dan ambilk an Iimit bila Az1, Au2, Aul menuju

nol, kita peroleh div

A = v.e = in[rt,r,

o,u"t

{(a2hJd. fi,.r,

r,oa]

perhatikan bahwa hasil yang sama akan kita peroleh apabila misalnya kita memilih elemen volume AIl dengan yang disedemikian rup4 sehingga titik P berada dipusatnya. Dalam hal ini, perhitungannya analog lakukan dalam Soal 21, Bab 4.

Pergunakan definisi integral

(currA).n =

lvxA)." = jlT.

t^ n'a,

-=IS-

(lihat Soal 35, Bab 6) untuk menyatakan V x A dalam kcordinat kurvalinear.

Baiklah terlebih dahulu kita menghitung el. Untuk ini, pandang permukaan

(curl A)

yang normal terhadap e1 di P, seperti diper-

lihatkan dalam gambar di samping. Nyatakan batas 51 dengan A2e2

. Misalkan A = .4 r e,

A3e3. maka kita peroleh

fr,o'* =

* {n'',

In'0,

PQA

{n.0,

Lil

* f n.o,

Pendekatan-pendekatan berikut berlaku

(l)

{ n.,, PQ

(A at

(ALe\

thru2ed)

Aee2+

ls%)' (hrLu2e) =

Maka

o'0,

A, ho N,'

* 3dur'-tx, h,- &^21 Ns

i{L

atau (2)

{ n.,,

-A2h2Au2

rt{

) a;(A2h2Au1)Ns

Dengan cara yang sama,

Pil atd u

e,'a,

(A at

- 1[. &" er1 =

Ashs

AthzAv,z

KOORDINAT KURVALINUAR

155

(3)

J a,.a, =

-As,,e\,a

!'s .J e,. a, =

AshsA"s

ilP dan

(4\

V))

4B,,oL,o'tNt_

Jumlahkan (1), (2). (3), (4). kita peroleh

= f". vL ^'"

#,(/stuaus)au,

**rn,h,N,1Na

= t*(rsis) - f;rr,t,r]

N,M

di mana diabaikan suku-suku infinitesimal dengan orde lebih tinggi daripada Au2 Au2. Bagikan dengan luas 51 yang samadengan h2h3 Au2 Au3 dan ambilkan limit bila Au2 dan Au3 mendekati nol, maka

(curiA) .

el = *"[fi

rr"r"r

Begitupula, dengarr memilihkan luas 52 dan

.S3

-.*,r,t,]

bert'rrut-turut tegak-1urus e2 dan e3 di P, maka kita peroleh

(curl A) . e; dan (curl A) . er. Ini membcrikan hasil yang Cikehendaki

currA

_9,

[3,r.r.,

_ !rn,^u1

)'Zt;,,":

i].,"^,] r rrer ,qe, #,|fit"^'- at'"^'r] = #l *l -

rse3

^rn,

hzAz

"A"l

Ilasil yang sama dapat kita turunkan pula dengan memilih P sebagai pusat dari luas S1 ; dan perhitungannya sama-dengan yang dilakukan dalam Soal 36, Bab 6.

27. Nyatakan dalant koordinat silinder besaran-besaran (o) VQ, (6) V'A,

(c.) V

Untuk koordinat-koordinat silinder (p,0, z), ul= pt u2=Q, us= hr= ho=

dan

" ;

et=ep, er=ed. es=ez

h2= h6=

p, hr= hr=

199", * 1?9", * fhs 1o". h1 du, h2 du2

dus

l?Q

1ap'r'

r?Q

o"*'**

r?O

ia""

$, 'iS"' * *'" (6) V.

ffi t* o2hAL\ + fi<r,"r,r, . * <^,r,n,l

x A, (d) V2Q

KOORDINAT KURVALINEAR

156

* * ,-r*, [$ (to""',) S (t'rt't'o) $ (rrtnrr,)] . b&,ono, #.{,0n,,) di mana A = Ap., + A6e2+ A"e3,yakni A'= Ap, At= A6, As= Az,

(cl

ir",

hzez

&e3l

Pe6 e,

+ sl = +l+ + *l l:;, i:;, i:;.1' l; :r I

= -+-l+ o*

:",1

; [(#

- g,onr,)"0

. Q+ -,+) ", . (*,*,

*) i

# [*(+r) . *(*H) . *.(*#)] [+ (ry #) ",*=,,

.'" (.}, H) . * (w #)]

b*tr) . b#.. # 28.

(b) V' { dalam koordinat bola. r, u2= Q, u"=S; e1=er, e2=ee, e3=e6 l hL=hr=1, fir=h6=r, ta=h6="be'

Nyatakan (a) V x

Disini zr=

dan

hter hz% fs% (d\ Vxe

a a .l

I h1hrh"

Out

[{*t

(r)(r)(r stng) I

sind '{6)

- {# - f (b, v.,t,

la a

Ouc Oui I

& A0

lAr rA, rstt9A6

hrAr h2A2 hsAsl

= #;"

l.n ,"e r sla0 e6

- $cnsl "

r,"in6e6r},.,

- {* lrAr) - *1,*,r"r]

=#[*(*#) .*(*#) .*(*#)] Ia

.)(,)(r srne) La,

., . *(*y\ .) +) /r,,a",n8,

*[""'3(-#)

*e (r:i$ #)] .,%("*'#) . ##.1

KOORDINAT KURVALINEAR

= 29. Tuliskan

157

ir"(-*) .d**(""'#) . ?k ao,

t_9_

persamaan l-aplace dalam

koordinat parabolik silinder.

Dari Soal 8 (b), ut=

Maka

t!z=

uB=

;

/717, b= tG *7 , h=t

rr=

.*(#) .*(,*..,,#)]

v'* = *[*(**)

, (a',!, a'*\ . Z'* 2"2 \ ar' vr' I

,'* "' Persamaan Laplacenya

adalah t rt, = o atau

t rL + -=-; A'rL + =-+ dv' du'

^2 9-Y= Oz' '

(u2

r21

30.NyatakanpersamaankondL'ksipanas!=*v,udaiamkoordinateliptiksiIinder.

Disini

ut=u, tlt=D,

s'a = a*,F--\;6

us=z

hr1=l1r=rr4inh"u

"lo'r.

[t=t.

Maka

. . . [* (*) * (*) * (''"'""' "tr') #)] ff u

o21slnh2u+siu2u) l?u2

* 7', * a'uf 722 ?r'J

dan persamaan konduksi panas adalah,

7u ,.t 1 *' a'ul *- a'u\ F("i"F. - ";t; a, La,' aP J a,' I -l'a', KOORDINAT KURVA LINEAR PERMUKAAN

31. Perlihatkanbahwakuadratelemenpaniangbusurpadapermukaanr={u,v)dapatdituliskan

ils2 = Eduz + 2Fd.ttla + Kitaperoleh Maka ds2 =

dr = *r,

Gilv2

*r,

dr . dr

- L,t. ,r*,,'.,*ri::32. Perlihatkan bahwa elemen

- *'*

luas permukaan dari permukaan r = r(u, u) diberikan oleh

ds =

,rg5,

- p'

4u4,

KOORDINAT KURVALINEAR

t58 l-.lemen luas diberikan oieh

ds l,1a,r'rla,rl = l+,1lr,r, du I I du Id, dul Besaran di bawah tanda akar pangkat dua sama-dengan

.?r Er..Er Er. - (:-'-)(^'-) .Er Dr..Er (=-'r-r(-'=) dL du dv dv du dv du

{lihat Soal 48, Bab

EG-F2

diperoleh hasil yang darinya

dikehendaki.

SOAL.SOAL SERBA ANEKA MENGENAI KOORDINAT I.'MUM 33. Misalkan A sebuah vektor yang didelinisikan terhadap dua buah sistem koorilirrat umum {ur, ur, u3)

(7.14,4).

dan

Carilah hubungan antara konrponen-kornponen kontravarian dari vektor ini dalam kedua

sistem koordinat.

Andaikan persamaan-persamaan transformasi dari sistern koordinat tegak{urus (x,1,, z\ ke sistent-sistem (u1, u2, u3) dan (7'a,i2,4) diberikan oleh

t ,

(1)

\(u7,u2,us), y = y1(u1,u2,u3\, z =

z1(uyu2,u3\

I r= x2(81,i2,i), y= y2(i1,i2,is), z = z2(ibi2'is\ a

Maka terdapat suatu transformasi langsung dari sistem

(ut, uz, u3) ke sistem tir. i2,

r-r3) yang

didefinisikan

oleh (2)

u1 =

u{iy-u2,iis\,

= ulipi2,i).

= 4([,y]a2,-q\

dan sebaliknya. Dari (1 ),

dr ,

* lru = ts;u, drs,

due

?r.-

du1 + Qu7 --

?..-

dth -=Ouz

?r,du6

dtdut

?r dua .-

d7d.ia + ara4

-Er"

ous

+ O,2du2 + *dus + o4tti3

Maka

(3)

d1du1

Dari

(2),

,lut ,luz

du.

d,2du2

E". = id4 dit (J)

o3dA.

l_ I -

?r+ =:-'dia 1 ?"diz di" -dis

dan samakan koefjsien-koefisien

I a,

| (4t

= dtdit + dzdiz +

?u, ?r, ,- * ?u, ,= ,r"",,- * 6=4ou, Ttro'. 7u, .- + ?u .- + Zu" .du. du. = ==- d,u. dar'dar'dt"=-

Substitusikan keda lam

kita peroleh

+ h,l"s

dari diL, dA2. dr73 dalarn kcdua belas ruas.

* .,,3 - dfr, + ,,!2 an.- a." k

d-&,

Du,* o.riA ?,. * o"i, E". d2 - drau, I,

( a" = d,* - **: - ""H Vr:ktor A sckarang dapa I dinyatakan dalanr kedua sistem koordinat sebagai

159

KOORDINAT KURVALINEAR

(5) di mana

A = Crd, + CzS + Csth dan A = Crd, * CrC, * e"A" cr, c., ('r tlan Cr. cr, c3 adalah komponen-komponen kontravarian iari -4 dalam kedua sistem.

Substitusikan (4) ke tlalan: ( i).

+ Czh + C3d3 = - Eu.+ -c, E,. -A ?r. d'7 + (cl - Er, -q tcraq aor* aar* t-;)

Crd, + c2 g'2 + ca&3

CtQh

Maka

(

1a'U. C. A " =j) dit' A-rr*

?u,

-Ea -?u. * -Er. rc' ai crau+ csfi)ds

. e,yh * .,*-'

e,H

= a,, * =7u, t'fu, * =zu, "t a-u" 1 ', - c' ad,

(6)

( ,, = ,,H . e,*, . e"t atau dalam notasi yang lebih singkat

Cn ,

(/)

?r" - ----: -Ct Eu^+ C,

^-t Jdt

atau daiam notasi yang jauh lebih singkat

1,2,3

oug

fr co=: lr =zub ' duq

Cr = ,

(8)

_ Eu^ Ca=J

Ouz

q=t

= 1,2,3

= L'2,3

Begitu pu1a, dengan mempertukarkan koordinat-koordinat kita melihat bahwa 3r-

e^ = '

c,?

o=' '

ouq

besaran Cr, Cz, Cz Hasil-hasil di atas membawa kita untuk menyetujui definisi berikut. Jika trga buah dari sistem koore lainnya besaran tiga ,,Q,e" dengan (u1, u3) berkaitan u2. dari suatu sistem koor<linat

dinat(ur, lt2,i)melaluipersamaan-persamaalltransfoimasi {o),(7),(8)atau(9).makabesaran-besaranini rank satu' kontravaritn disebut komponen-komponen dari sebuah vektor kontravaridn atau sebuah /enscr

34. Kerjakan Soal 33 untuk komponen-kor.nponen kovarian dari A' Tuliskan komponen-komponen kovarian dari A dalam sistem-sistem berturut-turut sebagai c1, c2, ca dan ir, Ez. Es Maka

(I)

A Karena

uz) dengan p =

/ % I a, = (2)

l'2,3,

'!!_7", Er, ?,

ru,

= \ a,

?or?u,

* Eu, ?,

Juga

?r.

?u,

r.,*,

3r" -id, ?u"

dy % =-

= 1,2'3

oup ?u" ?abzuz -.-r a* dz Zu2 7,

Vr, + c2Yu2 + csYrg = 1c.=i+co=:+."#lt ''dr'dx-ox ",

aup

* "or 7r2 7, % ?it }uz ouf

] a* = lop ?u, * 7"rU ?r, B I a,

I q (3)

ErVfr + zri?, + 73ft3

Vr1 + c29u2 + cs9us =

ip= ip'(ut, uz'

(ul, tt2, u3) dan Ga,n2'4)

",**

',ff11

,.r

?r.

}uo

?u".

fr+ctfi+c.;j)k

KOORDINAT

160

URVALh-l-AR

dan

(4)

V;, + drYi,

Au, dtt^ du(c1;.*- + c2;: + E3 - --) i Ox Ax Ox

z"W"

. ru,* .u,* * z"$ri Samakan koefisien-koefisien dari

i,j,

Out Ouc , + c2 1i I c1 ^lOxOxdaOxOxAx

t^ Eu, I c11 +

())

l'dy

1,,

'dy

c2-:a

(rr*.." # * u.*ru

k dalam (-l) dan (4), Out ca-

?u"

+ca=-

E[, - 3lr, - ][" -c1-+c2-+43 "ay

dut dus Cus _ is-- ar=- + _ e2=: + _ Oz Oz Oz

Ou. Oue dut I \ c1 -' + c2 a: + ca;j Oz Oz dz

Ouz Ouq _ Out + -c2-<- + -cA=-c1 1-

'7y

'ay

Substitusikan persamaan (2) dengan p = 1,2,3, dalam persamaan-persamaan (5) dan samakan koefisienkoefisren

du.i --"

E,, ?!, 'P!" 3l-l. % . D,. . Eu, E,^ D,' E,' ?,' 4' dy' ?y' E,' u';

dur - oue -c1i-lc2-+eS'du2 ' du,

(6)

cc =

E,-

pada kedua belah ruas' kita peroleh

ous

'du,

1- dut * - ouz * - oug t, "a ", Zu, ?r" au"

yang dapat dituliskan sebagai (7)

cA Y

* e"+ r er! = erP oul o% oub

cA t

= l'2,3

= 1,2,3

atau (8) Dengan cara yang sama (e)

r -"'q

U c"5q=7 '"b

kita dapat memperlihatkan bahwa

_;?.n

q=7

;truub

Hasil di atas membawa kita untuk menyetujui definisi berikut. Jika tiga buah besaran c1, c2, ca dari sebuah sistem koordinat (ut, uz, z3) berkaitan dengan tiga buait besaran lainnya e.7,e2,is dari sistem koordinat lain (u-1,[r,E ) melalui persamaan-persamaan transformasi (6). (7), (8) atau (9). maka besaranbesaran ini disebut komponen-kotrtponcn duri sebuuh vektor kovurian atau tensor kovoria.n rank satu. Perluasan konsep-konsep dalam Soal ini dan Soal 33 kedalam ruang-ruang berdimensi lebih tinggi, dan perluasan konsep vektor membawa kita kepada analisis tensor yang ditinjau dalarn Bab 8. Dalam proses perluasan ini adalah memudahkan untuk mempergunakan notasi yang ringkas agar dapat menyatakan ideide dasarnya dalam bentuk yang padat (cornpact). Namun demikian, perlu diingat bahwa disamping penonjolan notasi yang dipergunakan, ide-ide yang ditinjau dalam Bab 8 erat hubungannya dengan yang ditinjau dalam bab ini.

35. (a) Buktikan hahwa dalam koordinat ulnunl

(.tt 1,

Et1 8r, 8t, bzt

8r, 8", gs

u2, ttr),

= (#'#.#r

l6l

KOORDINAT KURVALIN[,AR

di mana gru adalah koefisien-koefisien dari duodu, dalam dsu (Soal I 7).

(r)

Perlihatkan bahwa eienten volume tlalant koordinat-unturn aclalah

du1 du'2 tlu3.

(a) Dari Soal 17,

a'.=t g3..gg-3.P (/) A -? -\1 d"p du, = 7"p 7u, d"r, vu, "bq = ct^.d,d-

du6

p,q=1,2,3

dun

Kemudian dengan mempergunakan teorema berikut untuk perkalian determinan

l"'

1::::::l kita peroleh

3, ?y

Dr1 ?r1

?r1

Z, 7y

7"2 1"2

7u2

?, El ?, 3q Drs ?r3 ?"?l?z ?r1 ?r1

?r1

7, Zt 7, ?o2 ?u2 7u2 ?r ?y ?4 ?u3

?, ?z ?r =Aut =duz =dus }-av 4 ?a1 ?r2

?23

7z 7z

?ug

Er1 Eu2

7z Er3

612 8B

8r,

8o 8*

c^.

8n t""

(D) Elemen volume diberikan oleh

I <3 ,tu,1 , dv = I ,3a,,1 dur dut I

= y'l duldu2dus

q! 4u.1 dua

Il- 3' ?r ?rl I

Dr, ?,u,

Er"

du1 du2 dug

menurut bagian (a)

Perhatikan bahwa ,,fg adalah harga-mutlak dari persamaan Ja cob x, .y, z tethadap

, u2 , u 3

(

lihat Soal

1 3

Soal-soal Tambahan Jarvabln r,,rtuk Soal-soal Tanrbahan ini diberikan pada bagiarr akhir. dari Bab ini.

Uraikan dan buatlah sketsa permukaan-permukaan koordinat dan kurva-kurva koordinat untuk koordinatkoordinat (a) silinder eliptik, (b) bipolar dan (c) silinder parabolik. 37. Tentukan transformasi dari (a) koordinat bola ke koordinat tegak-lurus, silinder. 38. Nyatakan tiap-tiap tempat-kedudukan

(a)

permukaanbola x2 +v2 +72

(D)

permukaan kerucut

(loci) berikut dalam koordinat bola

z7 = 3 {r2 + y2)

(c)

pr:rrnukaanparaboloid @) bidang z = 0

(e)bidangy=-r.

(b)

koordinat bola kc koordinat

z =.r2 +y1

KOORDINA]' KURVALINEAR

162

39. Jika p.Q.z adalahkoordinat-koordinatsilinder,

utarakan tiap-tiap tempat-kedudukanberikutdantulis-

kan persanraan untuk masing-masing tempat-kedudukan ini dalam koordinat tegak-lurus (a)

p= 4,2= 0; (i) p= 4; (c)Q =riZi @)o =T/3, z=r.

40. Jika u, v. z

adalah koordinat-koordinat eliptik silintjer di nlana d = 4, utarakan tiap-tiap tempat-kedudukan berikut dan tuliskan persamaan untuk masing-masing terrpat-kedr lukan ini dalam koordinat tegakJurus :

@) v=n/4; (6)4=6, z=0; (c)u-1n2, z=2; ld\u=O, z=0.

41. Jika u, t., z adalah koordinat-koordinat silinder parabolik, buatkan grafik dari kurva-kurva atau daerah berikut

daerah-

(a)u=2,:=0;

(6)

v=1, z= 2; (c)

l=<

uS2, 25"13,

z-- Q; (d) 1au

<2, 2<v<3, z=0.

42. (a) Canlahvektor-vektorsltuane^e6 dan ep darisistemkoordinatboladalami,jdank.

(6)

Pec.rhkan

i.j

dan k dalam er, eg dan e4

43. i\'yatakanvektorA--2yi-zi+3xkdalarnkoordinatboladantentukanAr,AgdanAE.

44, Buktikan

bahwa sistem koordinat bola ortogonal.

45. Buktikan bahwa

sistem-sistem koordinat (c) silinder parabolik (D) silinder eLiptik, dan (c) oblate spheroidal

adalah ortogonal.

46. Buktikar i, = 0."+ sinl4ef, 47. Nyatakan kecepatan

6a =

- 0"r* "*eQ.O,

6O= -sio|6er-

"or0$"r.

v dan percepatan a deri sebuah partrkei dalam kcordinat-bola.

48. Carilah kuadrat elemen panjang busur dan faktor-faktor skalanya yang bersangkutar, dalam sistem*istem koordinat (a) praboloidal, (b) silinder eliptik. dan (c) oblate spheroidal. 49. Carilah elemen volume dV

oalam sistem-sistem koordinat

(a) paraboloidal, (D) silinder eliptik, dan (c) bi-

polar.

50.'Carilah(a) faktor-faktorskaladan {D) elemenvolumedl/untuksistemkoordinatprolatespheroidal. 51. Turunkanpernyataanuntukfaktor-faktorskaladalamsistemsistemkoordinat

(a) elipsoidaldan (b)

bi-

polar.

52. Carilah elemenelemen luas dari

sebuah elemen volum dalam koordinat-koordinat (a)

silinder, (D) boia dan

53. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup

agar sebuah sistem koordinat kurvalinear ortogonal adalah bahwa

{pq=ountukp*q. untuk koordinai-koordinat (a) silinder, (6) bola, (c) silinder parabolik, (d) si 54. Carilah Jacobian I(+\ U\, U2, ug Iinder eliptik dan (e) prolate spheroidal.

55. t{itunglah If I ,p -f

d.xdytlz,rti rnana

aijalah volume ruang

yang dibatasi oleh z = x2 + y2 dan

(t2 +:-7). I'etunjuk : Pergunakan koordinat-koordinat silinder.

z=8

56. (arjlalr volumc yang terkccil darj kedua buah ruang yang dibatasi oleh pcrnrukaan b,rlr 12 +.v2 +:2 =

clan kerucut z2 = 12 +.y2.

57. Irergunakarr k6ortiinat bola untuk mencarikan volunrc yang terkecil dari kcdua buah ruang yang dibatusi

oleh permukaarr sebuah bola berjejari a dan sebuah bidang yang rnemotong permukaan trola pada jarak lt dari pusat bola.

58, (a) Utarakan perrnukaan-perrnukaan koordinat ,2

- y' =

2u1 cos

dan kurva-kurva koordinat untuk sistcnl

u2,

xY = u1 sln

u2, z = us

KOOR

(b)

DINAT

KU RVALIn-

[AR

Perlihatkan bahwa sistem-nya ortogonal. (c) Tentukan

163

I(-::lt-) 'uj. tL2, Us

bahwa u1 dan rr2 berhubungan dengan koordinat-koordinat silinder nya.

untuk sistem. (d) Perlihatkan

dan

0 dan tentukan hubungan-

59. Carilahmomeninersiadariruangyangdibatasioleh.t2 *),2 =2, x'-y2 =4, xy = 1, x.v =2, z=1 dan z = 3 terhadap sumbu z jika kerapatannya konstan dan sama dengan x. Petunjuk : Ambilkan x' - y2

= 2u, xy =

60. Carilah

t).

g, 3, =Q!. ?r1' ?r2' ?r3

Vrr, Yrr,Yus dalam koordinat-koordinat (a) silinder, (b) boia, dan (c) sili-

der parabolik. Perlihatkan bahrva e1 =

6l'

E1,

e2 =

E2, er = E3 untuk sistem*istem ini.

Diketahui transfortllasi koordinat t,lt = '\-1 . 2u, = nya tak

orrogonal. (b)' Carilah I(::7::-). u1.u?,us

+ ut = z' '2 )'2,

(c)

(a) Perlihatkan bahwa sistem koordinat-

L-arilah r/s2.

62. Carilah VQ, atva dan curl A dalam koordinat parabolik silinder. 63. Nyatakan @ Yrlt dan (b) V'A dalum koordinat bola. 64. Carilah V',p -dulu* koordinat oblate spheroidal. 45. Tuliskan persamlan

-2-

)2o.

Y * i-Y- + )x2 ly' =

dalam koordinat eliptik silinder.

56. Nyatakanpersamaan Maxwell Vx E = - : *

dalamkccrdinatprolatespheroidal.

67. Nyatakan persamaan Schroedinger dalant mekanika kuantum V'rl, rit * 'Tr'^

('E

- Y(z,y,z)l/ = o

dalam

koordinat parabolik silinder, dimana rr. /: dan E adalah konstanta-konstanta.

68. Tuliskan

persamaan Laplace dalam koordinat paraboloidal.

konduksi panas

= "f r. (a) Q, (b) @ dan 0, (c) r dan t, (d) 0,0 dan t.

69. Nyatakan

persamaan

70. Carilah elernen panjang busur

dalam koordinat boiajika Utak bergantung pada

pada perrnukaan sebuah bola berjejari a.

71. Buktikan bahwa dalam sistem koordinat kurvalineal, div curl A = 0 dan culr 72. Buktikan bahwa iuas permukaan dari suatu daerah R

grad

pada permukaan r = r (u,

S = 0.

v) adalah I { m -e R

,Cu

dr. Pergunakan hasil ini untuk menentukan luas dari permukaan bola.

73. Buktikan bahwa scbuah vektor yang panjangnya P dan di (u, r,) diberikan oleh \

mana-mana normal terhadap permukaan

r=r

A = +or9!r9LJ/oc-r' '" E" Z"'/ 74. (a) Utarakan transforrnasi

(b)

bidang x = x {u, v), y (u, v) Di bawah syarat-syarat apakah garisâ&#x201A;Źaris kootdinht u, u akan ortogonal?

dari sebuah titik P dalam bidang tegakJurus xy dan (4, r,)koordinatdalam bidang tegak{urus uy. Jika .r = x (2, v) dan } = y (u, v) nraka kita 1rlengatakan bahwa terdapat suatu kaitan atalu peme!,7d.n (mapping) antara titik-titik P dan Q. (a) Jika x =2.u * v dan-r,=u -2v. perlihatkanbahwagaris-garisdalam bidangry berkaitandengangaris-

75. Misalkan

(-r, -y) koordinat-koordinat

koordinat dari sebuah

titik 0

garis dalanr bidang ur.

KOORDINAT KURVALINEAR

164

(r) Apakaitannyabujur-sangkaryangdibatasiolehx=0, x=5, l=0 dang zr'

(c)

dan

y=5

denganyangdalambi-

Hitunglah persamaan Jacob,I(

j,'! I

au" perlihatkan bahwa pernyataan

ini berhubungan

dengan per-

bandingan luas bujur+angkar dan bayangannya dalam tridang arr.

16.

Jikax= h(u2 -v2), y=rv,tentukanU"y"rgr.,(ataubayangan-bayangan)dalambidangurdarisebuatr bujur-sangkaryangdibatasiolehx=0, x= 1, y =0, y = 1 dalambidangxT.

Perlihatkan bahwa dibawah syarat-syarat yang memadai untuk F dan G,

f ['

"-"1,*3,;

F@) G(y)

dxdy

Petunjuk: Pergunakan transformasi x +y=t, teori transformasi Laplace. 78.

(a)

Jika x = 3u1 + u2

iasi oleh.)r = 0, x

= !"* "- ", {["t

x =t dari bidangxy

,r,,

"u_,r

rul

ke bidang yr. Hasilinipentingdalam

- ux,)t=urlZu2*2u3,2=2ur *uz -tt,carilahvolumedarikubusyangdiba= 15,}, = 0,.), = 10,2 = 0 d.anz = 5, dan volume dari bayangankubus inidalam

sistem koordinat tegak-lurus ur, uz, u3. Hubungkan perbandingan antara volume-volume ini dengan persamaan Jacob dari transformasi.

79. Misalkan (x, y, z) dan (21, u2, u3) masing-masingnya adalah koordinat-koordinat tegak-lurus dan kurvalinear dari sebuah titik.

(a) Jikax=31tt+u2-u3. y=uL+2u2+2yr, z=2u1 -uz-u3,apakahsistema1u (b) Carilah d,r2 <ian g untuk sistem irri. (c) Apa hubungan antara hasil ini dan soal sebelumnya ?

80.

Jika

x=ut2 + 2, y-ur +u2, z=u32 ju,

carilah

u3ortogonal?

(a)gdan(D)persamaanJacob"/=:ylz'|-

C(uL, u2, u3)

Periksalah bahwa J2 = g.

JAWABAN LTNTUK SOAL. SOAL TAMBAHAN

36. (a) u = cl dan u = c2 masing-masingnya adalah silinder*ilinder eliptik dan hiperbolik dengan sumbu sebagai sumbu sekutu. z = ca adalah bidang-bidang. Lihat Gamb Z, halaman 142.

(b) u = cr

(c)

dan v = c2 adalah silinder-silinder, yang irisannya dengan bidang xy berupa lingkaran-lingkaran yang pusat-pusatnya berturut-turut terdapat pada sumbu-sumbu y dan x dan berpotongan pada sudutsudut siku-siku. Sllinder-silinder u = cr semuanya melalui titik-titik (-a, 0, 0) dan (o. O, O). z = cz adalah bidang'bidang. Lihat Gamb. 8, halaman 143. u = c1 dan u = c2 adalah silinder-silinder parabolik yang jejak-jejaknya pada bidang -tl berupa parabola-parabola bersumbu sekutu (coaxial) yang saling berpotongan tegak-lurus dengan titik-titik puncaknya berada pada sumbu x tetapi pada keduabelah pihak dari titik-asal. z = ca adalah bidang-bidang. Lihat Gamb. 6. halaman i4l.

Kurva-kun'a koordinat berupa irisan-irisan antara permukaan-permukaan koordinat.

37. (o) ,

u/r4r4rz,

â&#x201A;Ź = arcr^nEt,1 , 6= arctanZ

6, =v}*rz, 38. (a) r= 3,

(e)

0 = arctrn!, O= o (b) O=n/A, G) tsin20 = cos 0,

A=t/2,.

bidang x =-v dibentuk oleh kedua separuh-bidang $ =

da11.

= 5n14.

39. (a) Lingkaran dalam bidang x.1, ,' * y' = 16, z = O. (b) Sitinder *, * y, = 16 yang sumbunya berimpit dengan sumbuz. (c) Bidang.yz di mana /i0. (d)Garislurusy = ,G r, r= I di nrana ,]0, /]0.

x' * y2 = 8. (D) Garis yang meirghubungkan titik-titik (-4. 0, 0) dan (4, 0, 0) yakni x=t, y--o, z=0dimana -+1t1+. (c)Etips = r, z=2. (d)Bastansumbuxyangdidefi*-r;

40- (a) Silinder hipertrolik

kan

oleh xa 4, y =0. z =0.

165

KOORDINAT KORVALINEAR

41. (a)Parabolay2 =_g(x -2), z=O. (b)Parabolay2 =2x+1, z=2. (c) Daerahdalambidangxyyangdibatasiolehparabola-parabola yx = -2(x -yr), y2 = -8 (-t - 2\, y2 = 8 (x+2)dany2 =18(x+912) termasuk batasnya. (d) Sama dengan (c) tetapi batasnya tak termasuk.

+ 42,(a)e, = slndcos@l + slngBhd, cosdcosSt + cosdstndJ = "0 I + cosd J "6 = -sind (b)t = sindcos@e, + cos9 cos@e, t = sindsin@e, + cosdstn@e, k = cos0e, - sln9eg 43. A An Ae A6

cosdk sh0k - sln@e, + cosded

Arer + Are6 * A6.6 di mana + Srsindcos0cos{ bsin20 sin{cosd - rslndcos0sln$ 2rsln 0 cos0 sin@ cos $ - r cos26 slnd - S, sin28 cos@ -2, sind sin2@ - rcos 0 cosd

= = = =

47. v = orer * u..e * ,6o6 di mana ,r=i, ,, =r0, ,*=, s*0 6

4 = orer * oeee + afef dimansar='i-rb'-rsin20(,2,

"r=! !<r,e)-rstn 0 cos0 g-, "d= ;;7 fi<"'ffe 6t 48. (o) ds2 = 1u2+u2'1 1du2+du2'1 + u2tP d$2, hu = hu = ,r/il-rz, h6= uu (b\ ds2 =. a2(sinh2r + sin2u; 1du'-+do21 + d.2, iq= ho = otlGilIu" * "i-n (c) ds2 = ,2(sinh26 + sin2z1) 1d{2+drf1 + a2cosh2( cos27 d$2, h€ = h, = "l4ioh'4' + sin'? , h6= o cosh f cos z; 49. (o)

ddd,ud$, (b) a2(sinh2u + sin2u)

uu(u2+o21

dutludz

o/rin,€ * ,in?n, h6= c sinh ( 1bi c31sintr2f, + sin21) sinh ( sin "rl d( an aS

50. (a)

= h,t=

-1@L ' lcosh u-

<"1 '-

hz=

cos u)2

sinrT

52. (a't p dp d.6, p d$ az , dp dz (b) r sln 0 a, a$, I stn 0 dA a$, r dr d.0

G\ 54. (a)

(G +u2)

dudu, ur/u\r' dud$, ur/71-r'duil$

ro. "i?'

(6; r2sin J6.

€,

647(2:v5')

57.

!p&-:,,2h+h\)

5s. (c)

(d\

q=!pz,

59. 2K 60. 1oy

A = cos@t + sindJ, Yp = :::+ = cosdt + sindJ ap v x'+y' 9E = -sin@-i:-:S:5j sin{i+ pcose:, S b= dz

Vz=1

(6) + = sind cos@i + sind sin$1 + cosdk dr

(

sin4

ur=zS

KOORDINAT KURVALINEAR

rcosP cosQi + r cosP sind t -, sind

a0 ?r

-rsind sinS i + rsin6 cos$ j

Arb

r i + yJ + z k

y'x2+y2+22

= srnecos4)i + singsin@1 + cosdk

tzi+ yzt - (x2+y2)k _ cos 6 cosd I +cos A sind J - sin, t ^ r'r;-6 (x'+y'+ z') r'+y' _ -sindi+cosdj -Ti+x! ,2+y2 rsinO

v0 vO

.Er (c) ^du

ul + ui, + vt u'+ u'

%= ui 61. (6)

Er ?r *=k do dz ==-oi+ui, * -1-' V, = V, = u'+u' ='j,

-+,

f'-x'

62. vo diy A

curl A

es. (o) (6)

ac.

Vry'

Y'r!,

^=;

cosh 6 (sinn?6 + sin2q1

+ -1 ,*s ;26 - 226 ut' ;; ;; uu'

" dâ&#x201A;Ź -4t"o"n5#l df ' -"ilf?)

"Giil1,6+

,1t"*'#' . ";ia *"', #

o2(sinh2u + sin2u)Q

# [{***'- $.'"'} ",

,", . {$,'r,, - f,<srrr} ^"r] {$,'ur, - }r*rr,} , ?'d , ?', , zr, ar"1-;ae't-7a,"d

167

KOORDINAT KURVALINEAR

di mana

rt =

slnh

sin

rl dan s = 6iir,'61 "in"l

- +(z-vq,,,,a)q - ?:+ 62.;+[{+-{gl h2 \ 322 ?r, ) u2+t? l7u2 ffi. uu2*,,#, es.

r,)

u',1,,#, * <,'*,'tfr =

= 0,dimanay1u,v,i1=Y(x,v,z\.

"[]*o'#,- o**$r""4$r]

,u,* = "[i*u'*,]

(c)sine$r"i,a#,.# ='

L6t!1 =n

= "z{a02 + sttf 0 a62) 7" 7" + ar a" 74.(b)^ = u -+ du ^Qu du du

?0. ds2

78. (o) 'rJS, "75; (b)

persamaan Jacob

= l0

?9. (c)Tidak. <b) de = i.l^dul+6duf,+6du2+6du;lurE0. (c) g =tela1"3, (b)

t = tutus

6du.du"+ Sdurilus, 8=100

ANALISIS TENSOF.

HUKUM-HUKUM FISiKA haruslah tak bergantung pada sistem koordinat yang dipergunakan untuk menyatakannya secara matematik, apabila hukunr-hitkum ini berlaku. Studi terhadap konsckuensi-konsekuetrsi dari persyalatan ini r.nenjurus kepad,aanalisis tens()r yangrnemainkan peranan penting dalarn tcori relativitas umunr, geometri diferensial. rnekanika, elastisitas, hidrodirlamika, teori elektromagnetik dan sejumlah bidang-bidang srins dan teknik lainnya.

RUANG BERDIMENSI try'. Dalam ruang trerdirnensi tiga, sebuah titik adalah suatu himpunan tiga buah bilangarr, yang drsehut koordindt-kocrdina!, yang ditelltukan berdasarkan sistenr koorCinat atau kerangka acuan yang dipilih. Misalnya (x, y, z),(p, Q, z),(r,0,il adalah berturut-turut koordinat-koordinat dalatrr sistem-sistent koordinat tegakJurus, silinder dan bola. Berdasarkan analogi, sebuah titik dalarn ruang berdimensi ly' adalah suatu himpunan iy' buah bilangan yang dinyatakan oleh (*', *',..., .yN) di nrana 1,2, ..., lr' ti.lak dipanCang sebagai eksponensial tetepi sebagaiindeks atas (sttpenc:ipr). suatu penetapan yang mana akan terbukti bermanfaat. Kenyataatr bahwa kita tak dapat menrbayangkan titik-titik dalam ruang-ruang yang berdinrensi lebih tinggi daripada tiga tidak ada sangkut pautnya dengan ada tidaknya titik-titik tersebut.

,',...,

xtr) dan (*' , ?,..., ,N) adalah koordinat-koorc.linat t*', sebuah titik dalarn dua buah kerangka acuan yang berbeda. fuidaikan terdapat N buah relasi yang tak saling bergantungan antara koordinat-koordinat dari kedua sistem berbentuk

TRANSFORMASI KOORDINAT. Misalkan

(l)

,7 = i7(x7, ,' , ... , rx ) ,2 = ,2(r7.r',...,J)

: i

?lt = ,x(rl , ,, , ... , *l

)

yang dapat kita nyatakan secara singkat dengan

(2)

7h = -\"t,x',,..,rx)

k = r,2,...,N

di ruana dianggap bahwa fungsi-fungsi yang terlibat di sini berharga tunggal, kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu. Scbaliknya untuk setiap hinrpunan koordinat (;t. purran koorclinat (xr, x2, .... "rN) tunggrrl vanq kaitannva diberikan oleh (3) Rclasi-r'clasi l:rinnya.

xh = *\r',a2,...,xx)

i',

...,

-t')

akan teLdapat sebuah lrirn-

k = 1,2,...,N

(2) atau (3) rrrendelinisikan suatu transfornusi kutrdinat dari kerangka acuan yang satu kc yang

169

ANALISIS TENSOR

KAIDAH PENJUMLAHAN. Dalarn r,enuliskan suatu pernyataan seperti a1 ]t

dapat nternpergunakan notasi singkat ,?.

o-/.

xt t

a. i;' + ... + al. ;tr kita

Dan notasi yang lebih singkat

setiap sebuah adalah menuliskarrnya scbagai aixl. di mana kita menyetujui suatu kaidah (convention) bahrva terharnenjumlal'rkan rnaka ini berartikita tertentu suku suatu dalarr ditilangi indeks (indeks bawah atau atas) peniumlahan kaidah Llap indeks tersebut dari I hingga .\' kecuali bila ada pernyatMn iainnya. Ini disebut

llgi

dari indeksi, katakanp' dan lsttnt.ntation cotyentiotl). Jelas bahwa kita dapat pula menggunakan huruf lainnya sehirlgpenjumlahannya dapat dituliskan sebagai arxP. Sebarang indeks yang diulang dalarl suatu suku tertentu ga diterapkan kaidah penjr,mlahan disebut indeks dumnty atau indeks ttmbral

dan berarti seSebuah indeks yang hanya nruncul sekali dalam suatu suku tertelltu disebut irrdeks bebas tnasing-nrasingnya yang tttana (3), (2) atau persamaan k dalant 2, ..., N seperti halnya barang bilangan dari "nyatakan ly' buah persalllaan.

VEKTOR-VEKTOR KONTRAVARIAN DAN KOVARIAN. Jika

y'r' buah besaran

At' A2. ",

sebuah sistem koordinat

A',n',..., Jv

berhubungan dengan lV buah besaran-besaran lainnya ra' ) melalu

pe rsa nt aan-pe

''1N dalarn

|x1'x2""'xn1

drlun, sistettt koordinat lain

fit' i2'

rsamaan t rans iorrnasi ],t

''ar

Oxr A'0

p = 1,2,-.-'N

q=7

yang mana berdasarkan kaidah yang telah disetujui dapat dituliskan sebagai

-n A=#Aai4 ,q atau tensor konfia' rrraka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari sebuah vekror kontavarian transfonnasi'transdan ini varian rartk kesatu atau orde kesattt' Untuk nlernbsrikan motivasi terhadap tinjauan lormasi yang kernudian, tihat Soal-soal 33 dan 34 dari Bab 7'

JikaNbuahbesaran Ar,Az,...,,lrydalamsebuahsistemkoordinat(r',t',...,irN)berhubungandengan

NbuahbesaranlainnyaTl,

ir,

,i^,dolamsistemkoordinatlain@t,x',..,tN)melaluipersamaan-persa-

maan transforlrrasi

ll-

= I#0,

p -- r,2,...,N

q=7

atau

-i AP : nraka besaran-besaran kesatu atau ordc satu.

}xQ , z-rPnq

ini disebut komponen-komponen dari

sebuah vektor

kowrian atau tensor kovarian rank

kontravarian sedangPerhatikan bahwa indcks atas dipergunakan untuk menyatakan komponen-komponen adalah perkecualiannya kovarian, komponen-komponen dipergunakan untuk menrrnjukkan

kan indeks bawah

pada notasi untuk koordinat-koordinar.

kita akan seringkaii Daripada mengatakarr sebuah tensor yarrg komponen-komporrennya adalah Ap alatAp nrengatakantcnsor,4p.ttauAn.Dalamhal ini tentusajatakakantirnbulkesalahpahaman.

TENSOR-TENSOR KONTRA\/ARIAN, KOVARIAN DAN TENSOR

CAMPURAN. Jika N2 buah besaranbesaran -,1q" dalam se-

lairinya'4p'dalam buah sisten-r koordinal (."', ,', . . . , -r'v) berhubungan dengan N2 buah besaran-besaran transformasi' xN)melalui persamaan-persatrlaan . . , tern koordinat lain (ir i2,.

sis-

ANALISIS TENSOR

t70

I T

-nr

S=1

I I-

-t dil

f-,7"q

Zir

,Qs :--.< d

dx-

p,r = 1,2,...,N

I t

7t,

771

77r ps

1o{ oi-'{ oa

berdasarkan kaidah yang disetujui, maka besaran-besaranini disebutkomponen-komponenkontravariandari sebuah tensor rank kedua atau rank dua.

N2 buah

besaran

,4r,

disebut komponen-komponen kovaritn dari sebuah tensor rsnk kedua

ErQ

70, Begitupula 1y'2 buah besaran

,43

?rs

jika

alf ;r"q"

disebut komponen-komponen dari sebuah tensor campuran rank kedua

jika

,f nr

d,f art

4x1 dx,

-^--rs DELTA KRONECKER dituliskan

6/*, didefinisikan oleh

!o tr

jrkait'k lrkai=1t

Sebagaimana ditunjukkan oleh notasinya, maka ia adalah sebuah tensor campuran rank kedua.

TENSOR DENGAN RANK LEBIH BESAR DARIPADA DUA dapat didefinisikan dengan mudah. Misalnya, Af,s,t adalah komponen-komponen dari sebtrah tensor campuran rank 5, yang kontravarian berorde 3 dan kovarian berorde 2,jika mereka bertransformasi menurut relasi

-Prn 4.. t1

_ - ait air a,a

SKALAR ATAU INVARIAN. Misalkan

A"c ar" a"r

arh

arl

# iil

,9"t ^et

fungsi dari koordinat-koordinat xk danl menyatakan harga di bawah transformasi ke sebuah himpunan koordinat baruit . Ma-

@ seLruah

fungsional

ka @ disebut sebuah skalar atau invarian terhadap transformasi koordinatjika 4 = 4-. Sebuah skalar atau invarian juga disebut sebuah tensor rank nol.

MEDAN TENSOR. Jika pada se{iap titik dari sebuah daerah dalam ruang berdimerrsi ly' terdapat kaitan sebuah tensor. rrtaka kita rncngatakan bahwa sebuah medan tensor terdefinisikan. Ini berupa sebuair medqn t,ektor tlau medan skalar lcrganlung pada apakah ter,sornya ber-rank satu atau nol. Perlu

diperhatikan bahwa sebuah tensor atau ntedan tensor tidak hanya berupa himpunan komponen-komponennya dalant satu sistem koordinat yang khusus tctapi semua himpunan komponen-komponen yang mungkin dibawah se

barang

anslorrnasi koord inat.

TENSOR - TENSOR. SIMETRIK

DAN ANTI - SIMETRiK. Scbuah tensor dikatakan sinerrik terhatlap kedua indeks ktntrcvarian atau kovariannya jika kom-

ponen-konrponerlnya tetap tak berubah dalanr nrempertukarkan kedua indcks tcrscbut. Jrdi jika Ai:' = Aoo:" nraka tcnsornya sirnctrik dalam nl danp. Jika sebuah tensor sinretrik dalam dua indeks kontravariin scborang darr dua indeks kovarian sebarong, rnaka tensornya discbut simetik.

171

ANALISIS TENSOR

jika komponenSebuah tensor disebut anttsimetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau ko,-ariannya Dilf

_A'qs mal(a komponennya berubah tanda dalam mempertukarkan kedua indeks tersebut. Jadi jika.i*j' = tensornya antisimetrik dalarn nr dan p. Jika sebuah tensor anti-simetrik terhadap dua indeks kontravarian sebarang dan dua indeks kovarian sebarang, maka tensornya disebut anti-simetrik

OPERASI.OPERASI DASAR DENGAN TENSOR

junrlah indeksPenjumlahan. Jumlah dari dua buah atau lebih tensor yang rank dan jenisnya sama (yakni juga tensor dengan sebuah adalah sama) indeks kontravariannya sama dan jumlah indeks-indeks kovariannya + B^p a.dalah Amp cnp maka = adalah tensor-tensor, jlia E dan A\e jenis Jadi yang sama. rank dan { juga sebuah tensor. Penjumlahan tensor-tensor bersifat komutatif dan asosiatif.

Pengurangan. Sclisllr dari dua buah tensor yang rank dan jenisnya sama adalah juga sebuah tensor dengan

rank dan jenis yang sama. Jadi

1lka,

Aie

da-n

B^rp adalah tensor-tensor, maka O"'o'= OT'

- Bi'e adalah

juga sebuah tensor.

Perkalian luar (Outer Multiplication). Hasil-kali dari dua buah tensor adalah sebuah tensor yang ranknya sama dengan jumiah rank dari kedua buah iensor yang diperkalikan. Perkalian ini yang mana menyangkut perkalian biasa r.lari kornponen-komponen tensor disebrt hasil-kali luar (outer product)- Misalnya Af,'

luar dari Ap' = 6!t'n -qs adalah oerkalian q '

dan

81s

'-,

. Namun Cemrkian, perlu diperhatikan bahwa tidak semua

tensor dapat dituliskan sebagai suatu hasil-kali dari dua buah tensor dengan rank yang lebih rendah- Berda' sarkan alasan ini, pembagian tensor tidaklah selalu mungkin.

Jika satu indeks kontravarian dan satu indeks kovarian sebuah tensor disamakan, maka hasilnya menyatakan penjumlahan terhadap kedua indeks yang sama ini sesuai dengan kaidah penjumlahan. Hasil penjumlahan ini adalah sebuah tensor yang ranknya dua kali lebih rendah daripada tensor semula. Proses ini disebut kontraksr. Misalnya. pengambilan r = s dalam tensor rank 5,1]f 'menehasilkan

4. Kontraksi (Contraction).

yang adalah sebuah tensor rank 3. Selanjuinya dengan B^p q ' B^p p' = ( vans. adalah sebuah tensor rank l.

A.^P'= qr

5. perkalian dalam (Inner Multiplication). Melalui

mengambilkan O =

q kita peroleh

proses perkalian luar dua buah tensor kemudian

diikuti

sebuah tensgr baru yang disebut ftasrl-kali dalam (inner product/ dari tensordan tensor yang diperkalikan. Prosesnya disebur pertiliaidatam. Misalnya, diketahui tensor-tensor

dengan kontraksi,

kita peroleh

A\e

t q = r, kita peroleh hasil-kali dalatm Ale ri ' amtlkan dalam dan luar dari tensorpt diperoleh. Perkalian Q = r dan p = s, hasil-kali dalam lainnya yakni A^p r Bl. tensor bersitat komutatif dan asosiatif.

.B' . hasil'kali luarnya

adalah A-p

a'-

. Arntitta

6. Hukumhasil-bagi(Quotientl-aw).AndaikantidakdiketahuiapakahsebuahbesaranXadalahsebuahtensor

maka X ataukah tidak. Apabita hasil-krili dalam dari X dengan sebarang tensor adalah juga sebuah tensor, hasil'bagi' Aturan disebuthulatm juga ini tensor. sebuah adalalr

N{ATRIKS.

elemenSebuah matriks orde m x n adalah suatu susunan besaran-besaran a^^, yang diseblul elenten. yang disusun dalarn rr buah baris dan r buah kolom dan pada friumnya dinyatakan oleh

('"'j=t,=l)

l"'r: 1]

ANALISIS TENSOR

r-2

atau daiambentuk singkat oleh (arn) ataufaorl ,p=1,...,m;q =1,...,n.likam =nmatriksnyaadalah ftatriks buiur-sangkar orde m x m atau disingkat m; jika m = I matriksnya ad,alah matriks baris atzu vektot baris: jika

matriksnya adalah matriks kolorn atau vektor kalom.

Diagonal dari matriks bujur-sangkar mengandung elemen+lemen dtr, d22,..., amm, yangdisebut diagorwl utant'" (principal or main diagonal). Sebuah matriks bujur-sangkar yang elemen-eleminnya berharga satu pada diagonal utamanya dan nol di mana-mana disebut ruarnts satuan dandinyatakan dengan,l. Sebuahmatiks nol, dinyatakan dengan O, adalah matriks yang semua elemennya berharga nol.

ALJABAR MATRIKS. Jika ,4 = (aor) 1.

dan

B = (b

adalah matriks-matriks yang berorde sama (rz x n) maka

B itka dan hanya jika o =b o, o,

Jumlah S dan selislr D adalah matriks-matriks yang didefinisikan oleh

S = A+B = @ls*bpq), D = A-B = (alq-bpq) -)-

Hasil-kali P = AB terd.efinisi hanya bila jumlah kolom n dalam A sama dengan jumlah baris dalam didelinisikan oleh

P = AB = di mana opr brq

(opr)(bpq)

dan

= (op7 brq\

menurut kaidah penjumlahan. IVlatriks-matrigs yang hasil-kalinya terdefi-

,"frbrl

nisi disebut sesuai (conformable) Pada untumnya, perkalian matriks tidak komutati f , yakni AB * BA. Tetapi hukum asosiatif untuk perkalian matriks berlaku, yakni A(BQ = (AB)C asalkan matriks-matriksnya sesuai. Hukum distributif juga berlaku, yakni A(B + C) = eA + AC, (A + B)C = AC + BC. 4.

o""T:';:;;;Hi;,'ltil

ii';;***tr

A = (ao,) dinvatakan oleh r'4

r' det

'4' t ao, t atau

d'et

(ao)'

Invers d'ari sebuah matriks l adalah matriks Aa sehingga AA-r = I, dimana ,I adalah matriks satuan. syarat perlu dan cukup agar rnatriks A-r ada adalah det ,4 * 0. Jika d,et A = 0, maka.4 disebut singylar. Hasil kali matriks ,4 )r = (ao), dengan sebuah skalar tr dinyatakan oleh L4, adalah matriks (traro) di mana tiap-tiap elerren.4 dikalkan dengan ).. 7.

Transpose dari sebuah matriks dan kolomnya. Jadi jika A = (a

adalah matriks yang dibentuk dari,4 dengan rnempertukarkan baris maka -4 r = (a Transpose dari ,4 juga dinyatakan oleh 7. - -). ^^),

ELEMEN GARIS DAN TENSOR METRIK. Dalarn koordinat tegak-lurus (x, l', ,) diferensial panjang busur ds diperoleh dari ds2 = dxz + 4;2 + gz2. Dengan melakukan transformasi ke koordinat umum (lihat Soal I 7, Bab 7) bentuk ini menjadi ruang demikiar, dinamakan ruong-ruang Luklid berdimensi

at' = L

l=t

tiga.

E tr, dupdur.

Ruang.

q=t

Perluasan kedalam ruang berdimensily' dengan koordinat-koordinat (xr, x', ..., ,N) adalah langsung. Kita nrendcfirrisikan elemen garis ds dalam rL'ang ini, oleh bentuk kuadratik berikut. yang disebut benruk metik atau

metik,

dsz = atau dengan menggunak:,n kaidah penjumlahan,

,{J I I. p?,

fr,')'

dr?drQ

t73

ANALISIS TENSOR

ds2

'bq

d*b d*q

& sedemikian rupa sehingga bentuk Dalam l-ral khusus di mana terdapat transformasi koordinat dari xl ke + ... + (&N)2 atau[xkdik, maka ruangnya disebut metrik ditransormasikan kedalam bentuk (&1)2 * ruang Euklid berdimenti N. Tetapi, dalam hal yang umum ruangnya disebut ruang Riemann.

(dr')'

Besaran-besaran

atau tensor funao*rifo\.

adalah komponen-komponen dari sebuah tensor rank dua yang disebut tensor metrik Kita dapat ian akan selalu memilih tensor ini simetrik (lihat Soal 19).

TENSOR KONYUGAT ATAU RESIPROKAL.

Misalkan

g = | gpq I n-renyatakan

elemen-elemennY^

determinan matriks yang

gon dan andaikan

O- Definisikan

9Pq oleh

gps

kofaktor dari go, =

(conyugate) Maka gPo adalah sebuah tensor kontravarian simetrik rank dua yang disebut tensor konyugat (Soal bahwa 33) g (lihat diperlihatkan Dapat resiprokal Soal 34). dari atau

. TENS,R sEKUnr

*14

Bro

El,

3ffii[:l'.[X'il.Kff,ffff',*?,:,n#X,TJ;1il,:]:1i,i]il:..::::':ry:;:l;:l

p, kita peroleh ienso;.4p.n tanda titik me;runjukkan tempat semula dari indeks yang dipindahkan. Dengan menaikkan pula indeks q kita peroleh tensor.44?. Apabila tidak membingungkan, kita akan nrengabaikan tanda-tanda titik; jadi Ap.q. dapat dituliskan sebagai.4pq. Terisor'tensor 1'ang diturunkan ini dapat diperoleh dengan membentuk hasil-kali dalam dari tensor yang ditinjau dengan tensor metrik 8ro atau

menail<kan indeks

konyugatnya gpq. Jadi misalnya.

Al,

= e'f

Arr, trll - r''f gt4 Ar, eT;'o =

t|h

Al,r, = s*

Alq."

r"nr'* elrlto

p (atau p = r) Hal ini menjadi jetas jika kita menginterpretasikan perkalian dengan gip berarti :cmbilkan r = perkalian interpretasikan kita Begitupuia dalam tensor apapun yang diperkalikannya dannaikkanindeks.ini. turunkan dan yang diperkalikannya apapun tensor (atau r) dalam q dengan grn berarii , .*ul"lt.n 7 = 4= indeks ini. dalamnya dengan Semua tensor -vang diperoleh dari sebuah tensor tertentu dengan membentuk hasil-kali yang tertentu tensor rnetrik dan konl,ugatrrya disebut tensor-tensor sekutu (associated tensors) dari tensor

ini. Misalnya A'"

dan A

^ kedua kornponcn kovarian.

yarlg adriah tensor-tensor sekutu. yang pertama adalah konrponen kontravarian dan [lr-rburlgan antara keduanya diberikan oleh

Ap = ,t, A'

atau

AP = gtq

Dalanr koordinat tegak-lurus Eor= 1 jika p = q, dan O jikag # q, sehingga.4, =Ap,vangnrananrenjelaskan babmenglpa r,iCrk Cibedlkl,n arrtara kornnonen-kon.rponen kontravattan dan kovarian dari sebuah vektor dalanl bab terdahulu. ada' PANJANG SEBUAH VEKTOR, SUDUT ANTARA VEKTOR-VEKTOR.Besaran ApBo, YanE mana

lah hasil-kali dalam dari AP

dan

I'74

ANALISIS TFNSOR

3_.. adalirh scbuah skalar 1,ung tnalog dengan hasil-kali skalar dalanr koordinat tegak-lurus. Kita definisikan I dari vektor lp atau lo oleh

pan.iang

L' = oooo = B,

Krl;: dapat rnendefinisikan sudut 0 antara Ap dan

cosd

gbq.4pAs

Ep,

oleh

4* 4x*8il

KOMPONEN-KOMPONEN FISIS dari sebuah vektor Ap atau Ap. yang dinyatakan oleh.4r, A,,, danA* adalah proyeksi-proyeksi dari vektor pada arah singgung dari kurva-kurva koordinat clan dalam hal kocrdinat-koordinat ortogonal diberikan oleh

= {t-A' = ,*, r'6r,

= {s-A, = y'g* +,

= {E*.4' = vTss +

B/gitu puia komponen-komponen fisis dari sebuah tensor,4pq atau Ao, diberikan oleh

Auu=

4.,

.rl t,.A" = 611 -,

A.^

Aur= vTrreoA" = y'ErrTn "\)"'4 #,

Au, = r'Vrrg*Ar" '11(

Ar"

,/*

' Orl aS

dst.

SIMBOL CHRISTOFFEL. Simbol-simbol

rLpll,rJ r = t zgp,* dgy_ zsb, i( arn arp A"r)

h) = s"'tpq,,) berturut-turut disebut sirzDol Aristoffelienispertama dan kedua. Simbol lain yang dipergunakan sebagai ganti

{o'n} '""n tidak

{pc,"}

dan

fjn.

Simbol terakhir ini membayangkan suatu sifat tensor. yang pada umumnya

benar'.

HLIKUM TRANSFORMASI DARI SIMBOL CHRISTOFFEL. Bila kita nyatakan sebuah simbol dalanr sistern koordinat nya (a bar), maka

dengan tanda garis clatar di atas-

urn = bs,i:*##.Ep,#{A, trt

\ ir' f

_ - l"l

10,

ar,d,bz,a * ain ?2*e

a""

rt xo

a,,

;J;*

adalah hukunr-hukum translormasi untuk simbol-simbol Christoffel yang memperlihatkan bahrva rnereka bukanlah tensor kecuali jika suku-suku kedua di ruas kanan nol.

GEODESIK. Jarak s antara dua buah

litik

11 dan

pada sebuah kurva

kan oleh

' = .[rr'

drf dt

drT dt

x' = x'(t)

dalam ruang Riemann diberi-

175

ANALISIS TENSOR

Kurva dcmikian yang nlerupitkan garis penghubung terpendek dalant ruang disebut sebuah geodesik dari ruang. di' Dcngan nrernpergunakaa kitkulLrs uaruasr (lihat Soal-soal 50 dan 5l), geodesik didapatkan dari persarnaan fe

rensial

d'"n.1'\drbd*a dsz lPq I ds

pada bidang datar adalah garisdi mana s adalah parameter panjang busur. Sebagai contoh, geodesik-geodesik garis lurus sedangkan geodesik-geodesik pada pernrukaan bola adalah lingkaran-lingkatan besarnya'

TURUNAN KOVARIAN dari sebuah tensor ,4, terhadap xq dinyatakan oleh /p, o dan didehnisikan oleh

Ai,q = *

{;}'"

yang adalah sebuah tcnsor kovarian rank dua'

Turunan kovarian dari sebuah tensor,4p terhadap xq dinyatakan oleh Ap , q dan didefinisikan oleh

Jpir' oF ' ls" l" 'v = 4.

Ap^

yang adalah sebuah tensor canlpuran rank dua.

U'tuk sistenr-sistem tegak-l,,rrus, simbol-simbol Christof fel adalah nol dan dengan demikian turunan ko(lihat Soal 52)' varian adalah turrrnan parsial biasa. Turunan kovarian dari tensor-tensor adalahjuga tensor Hasil-hasil

di atas dapat diperluas untuk turunan kovarian dari tensor-tensor dengan rank yang lebih tinggi

i adi

P,...Pn= ""t7"'rn at!,"'!*

A',' ;', 1 '. ""nt ,

^0 ox

1," nl

\or:l adalalr ttrrunan kovarian dari Af,,'

o:',;::.'4 o),'.::',,'" prm

),n\s

oo'::;,0':

{.:,}

. {;: \ ol:.'o; o' + '

tP'"'P^ ''\"'rn-rs D ...D

{;*}

t' 7 'n-7 ,,,,,,.,n

terhadap xq.

szttlta-dengan y'ang berlaku Aturan-aturan tlari turunan kova,ian untuk jurnlah dan hasil-kali tensor-tensor diperlakr'rkansebagai 6p dapat dan untuk turunan biasa- Dalam nrelakukan difererrsiasi. tctlsol-tensor Son.gno rtleuyatakan kovarian turttnan kglstanta-konstant{ karcna turullan kovariannya nOI. (tihat St'al i+;' Karena kovlrian Itlrtrllll]1 tltlkl pililian kerlrrrgka:te;'trn' pada laju pcrubahan br-srtltt-ilcsaratl tisika yarrg tak betgtntung llsika' ltukunt-ltukutn ini sangat pcnting dalattt tttctryataklttr

slMBoL DAN TENSOR PERMUTASI. Dcllnisikln cpqr nrenurut lelrtsi-relasi eas:t=â&#x201A;Źtst=ent= -1, eon,=O jika dua alau lcbih indeksnya sama â&#x201A;Źtzs=â&#x201A;Źzt =esu =*1, perntutasi rlrn dcfiirisikan pull r,rn. tlllanr cura yang sanra. Sirutr,rl'sirrtlrol ar,r, J,,,,t'rqt tliscbut sitrtbttl-sintbol dulnru ruang berdirrrcnsi tig,l.

Sclanjutnya, kita dcl-;nisikrrtt

-pqr

1 G-pq, '

bor '- r'te -

bo'

t76

ANALISIS TI]NSOR

Dapat diperlihatkan bahrva arn, drn dq' berturut-turut adalah tensor-tensor kovarian tlan kontravarian, yang disebut tensor perrnutasi dalam ruang berdimensi tiga. Perlrrasan ke dalam ruang-ruang yang bcrdinrensi lebih linggi dapat pula dilakukan.

BENTUK TENSOR DARI GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL.

1. Gradien. Jika

adalah sebuah skalar atau invarian. maka grarlien Q clidefinisikan oleh

Ve = erade a'p = aO ii di rnana 0,o adalah turunan kovarian dari Q terhadap xp.

2. Divergensi. Divergensi AP,

<la"i

Ap adalah kontraksi turunan kovariannya terhatlap -rc, vakni kontraksi dari

Maka

3. Curl. Curl rlari ,4-p adalah A. p,q. delinisikan sebagai

- â&#x201A;Źr'

4. Laplacian. Laplacian

dari

d,ivAb = fi. ..,p =

rt.

Ga,,tv+A)

y - A,, q,p^ = dx, -*, dxy

ylntsrdelah tensorrank dua.Curl jugadi-

@ adaleh

divergensi dari grad O aiau

v'e = dive,2 = +3,,;dnS, g dxL dx" r'

Dalamhal

r/lc

c<O,

\/charusdigantidenganr,/-g.Keduahalg)0dang(0dapatdicakupdengannienulis

aari oada Vg.

TURLJNAN INTRINSIK ATAU ABSOLUT dari

dengan turunan-kovaria n A

sepanjang sebuah kurva

notasr

= xq(t), yang dinyatakan

didefiilisikan sebagai hasil-kati dalanr dari

dlq ,unrdiberikan oleh p, dan dt'., vukni Ap,q d,Q dt ' 6AP y /r)

Er -=

oi\

dxQ

- \orl o"A

)engan cara yang sama, kita mendefinisikan

sAP

dAb lP\rd,,d, Dr = dt -'tr.l"

Vcktor-vektor l- p atau.4p dikatakan bergerakparalel sepanjang sebuah kurva apabila turunan-turunan intrinsiknya sepanjang kurva itu adalah rrol. Turunan-turunan

intrinsik untuk

tensor-tensor dengan rank lebih tinggi didel-inisikan clengan ctra yang

sanla.

TENSOR RELATIF DAN ABSOLUT. Sebuah tensor

,4p' .' p-

disebut tensor relatiJ' berbobot

komponen-kornponennya

iar"'?* sr"'Sz =

I ?"

I a;

bertransforntasi nlenurut persatnean

?,r1, ... ?zq" E{t ... ?rnn l' Afr"'f^ rr"rn I 7rb1 Zrl, ?*t, at",

ltka

ANALISIS

dinrana

TENSOR

I1i

adalahJacobiandaritransforrnasi.Jikaw=0tensornyadikatakan absolutdaniniadalah

l*l

jenis tensor yang kita tinjau di atas. Jika w = I tensor relatifnya disebut /ersorkerapatan. Operasi-operasi penjumlahan, perkalian dan seterusnya, dari tensor-tensor relatif mirip dengan yang berlaku untuk tensor absolut.

Lihat nrisalnya Soal 64.

Soal-soal yang Dipecahkan KAIDAH PENJUMLAHAN

Tuliskan masing-masing yang berikut ini dengan mempergunakan kaidah penjumlahan

dO '

*p.a,, = !o*, ?r1 ae

., . dik t"tJ-

("\

(rL)2

1d1

ds2 =

}Eb

1,7

+ ... +

}rh drz

*oJ. 7*t Zi,h

dO =

dr,'

dih

ZZk afl dt -a-,tf;

a"rz;-a.rzt-"'-;77t' -1*212

+ ... + (ri)'-

11312

go1drr12

go1dz212

,krb

* ao@ff

d.s2

*, P,i,rrra/a,q. 2.

loi V"J

= gOodxkd.rb, N=3

spqd*rd'Q,N=3

Tuliskan suku-suku dalam nrasing-masing penjumlahan berikut

b=t JR

or it AprAT.

+rn" =

P" g=1

Xtt

A,rA" * AprA" + ... + ApxAx'

7,j 7,h (")4" = siht{#,n=r.

: i -ors z=LL

t,ja,h

ja_,fi,.

ojb3;r

Z,i

|r-s

2,,

o" j=t rd ^ { a;s =

611

ojz

d,i

Er1 ?r1 * ?*2 drl 6117-r,

ai, ats

7*,

atr ais 4s

bjs

a,j

Jika

xk, k = l. 2,....

y'r'

grs

?r1 ExS t ?Er af

?r1 g"t ?r3

att ar*

-',,## - *,##. *

E,.

air axs'

*,#Yr

?tt ?"' 8"" 37 3os a-rr ats ' 7r2 7r3

adalah koordinat-koordinat tegak-lurus, apa tempat-kedudukan,

jika

mcmang

ANALISIS TENSOR

178

Bila perlu, angada, yang dinyatakan oleh masing-nrasing persanraan berikut untuk N = 2,3 dan N]+. gaptah fungsi-fungsinya berharga tunggal. memiliki turunan-turunan yang kontinu dan tak bergantung.

{a)

auxk

di mana a1 adalah konstanta-konstanta.

UntukN=2, a,xr +orx2 =l.adalahsebuahgarisdalamruangberdimensidua,yaknisebuah garis dalam bidang.

Untuk,V=3,at-rr +urx2 +sta3 = l,adalahsebuahbidangdalamruangberdimensitiga. Untuk N) 4, arxl + arx2 + ... + afxl -- 1 adalah sebuah hiper-bidang (hiper-plane).

(b) xrxk = L Untuk -r\'= 2,

(r'

)2 + (x2 12

= 1, adalah sebuah lingkaran berjejari satuan dalarn bidang.

UrrtukN= 3, (x1)2 +(x2)2 + (r')'= l, adalahsebuahpermukaanbolaberjejarisatuan. Untuk N 24, @')' + (x\2 +... + 1:,i)2 = 1 , adalah sebuah hiper-permukaon bola (hypersphere) berjejari satuan.

1u1,x2 =12 (r), adalahsebuahkurvabidangdenganparameteru. 1u1, -t2 = -.2 (u), :r3 = x3 (u). adalah sebuah kurva ruang berdimensi tiga. adalahsebuah kurvaruangbetdimensiN.

Untuk N = 3, x1 =.r1

Untuk. {)a, (d) .tk =..rk (u, r)

xt = xt (u, v), x2 = t' (2, v) adalah transformasi koordinat dari (u, u) ke (xl, x2 ). Urrtuk N = 3, xl = ;61 (u, v), x2 = x2 (u, u), x3 = 13 1u, v) adalah sebuah permukaan daiam ruang berdimenrj tiga Jengan plrameter-parameter a dan v. Untuk Ar = 2,

Untuk

]4,

adalan sebuah hiper-permukaan \hypersurfaee).

VEKTOR DAN TENSOR KONTRAVARIAN DAN KOVARIAN

6 4i*

Tuliskan hukunr transforrnasi untuk tensor-tensor

(a)

di" dxJ dx' ,i

1D 'qr

Alu,

A^;_

a-*q

G) C^ .

a-"" "in

Sebagai pertolongan untuk mengingat transformasinya, perhatikal bahwa kedudukan relatii uari indeks-indeks p, q, r pada ruas kiri dari transformasi sama dengan yang diruas kanan. Karena indeksindeks ini diasosiasikan dengan koordinat-koordinat i dan indeks-indeks i, /, k berturut-turut diasosiasi kan dengan indeks-indeks p, q, r maka transformasi yang dikehendaki dapat dengan rnudah dituliskan.

_ a=p a;q a"i ai 6\ Epq. a!.? rsT z*f, zrn ar-/ ar-s u ai-t LJE .=Ddi^r (c)L',=-L

5. Sebuah

dr"'

besaran

A (j, k, /, rr) yang adalah

tern koordinat lain

koordinat-koordinat:r' bertransformasi ke sis-

sebuah fungsi dari

menurut aturan

xq,q,,,s1

- ##,# fi

,t<,,r,,1,*t

(a) Apakah besaran ini sebuah tensor ? (D) Jika denrikian. tuliskan tensornya dalam notasi yang

sesuei

dan (c) tentuken orde kontravarian dan kovarian dan ranknya.

(a) Ya. (.h\ Ar.'n' (c) I

Kontravarian berorde tiga, kovarian berorde 1 dan rank 3

-I

= 4.

Tentukan apak4h rnasing-masing besaran berikut adalah sebuah tensor. Jika demikian, nyatakan apakah ie kontravarian atau kovarian dan tentukan rank-nya

1a) dxh,

d99"'A dx'-

ANALISIS

(a)

Anggap transformasi koordinatnya

ii (r',

TENSOR

I79

..., *N). Maka

dij =

r.o

jadidengandemikian

dxt (b)

adalah sebuah tensor kontravarian rank satu atau sebuah vektor kontravarian. Perhatikan bahwa letaknya indeks /t telah sesuai. Karena 6r adalah sebuah funFi dari xk maka di bawah transformasi koordinat *r = !.0 (;t, ..., tN),

jugasebuahfungsidarii'-sedemikianrupasehingga QG',...,-.])=d(tt,...,iN),yakniO

adalah sebuah skalar atau invarian (tensor rank nol). Menurut aturan rantai dari turunan parsial,

a@ a@- u, ?,': -= 4 bertransfornrasi --" th" * urn axi- ail ;Jfr # ari ;?

seperti

lp.

Maka

adalah sebuah tensor kovarian rank satu atau sebuah vektor kovarian.

,rO"o..rra muncul dalam penyebut jadi berperan sebagai sebuah indeks-

perhatikan bahwa dalam

$ &4 sifat kovariannya. Kita menyebut t.nro. barvah (subscript) yang menuniukkan "'':"^. E't .d sebagai gradien ,- dari , ", @, :..".,...." grad ;; ' yang tlitulis "-"; O^ atau "," , Vd konrponen-komponen $. tensor kovarian memiliki kor-nponen-komponen Cari komponen kovariannya dalarn koordinat bola.

7. Sebuah

-r1',

1)'

- ,'.

atau tensor densan

,xz dalam koordinat tegakJurus.

Misalkan,4- menyatakan komponen-komponen kovarian dalam koorctinat tegak'lurus .r3 = z. Maka '

A, = 2y-22 = 2x2-Q3\t,

xf = xrx2,

.4s

xr = x, x2 = y,

xLxs

dimana perlu dibedakan antara indeks atas dan ekSponen.

Misalkan ,fu m"n:ratakan komponen-komponen kovarian tialam koordinat bola

r. i2

Maka

(i)

ik = {n,

Persamaan-persaillaan

x7 =

transformasi antara

sln

cos

kedua,*t"'l *.,'o*at

iâ&#x201A;Ź,

x2 = Va sin

sin

adalah

is,

,3 = Vr

cos

Maka persamaan (1) menghasiikan komponen-komponen kovarian yang dikehendaki, yakni

(sin

cos

-xs1

1x7x21

(sin ;2 sin is) (2x2

lsin 6 cos A) 02 si.n2 e sin d cos d) + lsin 6 sin @J (2r sin 6 sin a

+ 7,

(cos

(r2 sin

n, * H $Ox' r, * Y ox' Aa' 1r cos

cos

12 cos2â&#x201A;Ź1

cos q1

,q.

I cos o;1r2 sin20 sln d cos d) + (r cos 6 sln @) (2r s|n 0 sin o 1-r sln 6)

- (r")') + (cos ,2) (x7xs\

1r2

12 cos2 â&#x201A;Ź1

sin 0 cos 6 cos

Zr'n*dr'r-aa3 6F^r* ;,uAz* 6.s4" 1-r sin 6 sln d; (r2 sin26 sin p

cos

0, i3

ANALISIS TENSOR

r80

(r sh 6 cos @;12 sin

+ 8-

Perlihatkan

7A; bahrva '

(0)

sin Q

(l sin 6 cos 0

cos

12 cos2Ay

bukanlah sebuah tensor meskipun,4, adalah sebuah tensor rank satu.

Cxa

dzr

= A:=

Menurut hipotesis,

dzJ -

v'.

Turunkan terhadao

7rl &!

7,1,p

,,f

trAp ?,q

a,f

arq

^2b *

" 77kv7i "?

d7*

or I ^2

#a"q#

l,tf

av?a;,: r -At drr r-2 r-, dr dt! --At

--i Ox" --h Ox -Ax'

Hadirnya suku kedua di ruas kanan memperlihatkan bahwa

,rOu* bertransformasi sebagaimana

Z,Q

seharusnya sebuah tensor yarrg

Kelak akan kita perthatkan bagaimana dengan menambal,kan sebuah besaran

ZA* memadai pada :-j menyebabkan hasiljumlahnya

sebuah terrsor (Soal 52).

axl

9. Perlihatkan

bahwa kecepatan sebuah fluida pada sebarang

Kecepatan fluida pada sebarang Dalam sistem koordinat

titik

adalah sebuah tensor kontravarian rank satu.

titik memiliki komponen-kompor"n 4 dt

kecepatan ini adalah

{

d-S __ dt

dalam sistem kocrdinat xk.

. r"tuoi 7-J

|*k

a*h dt

menurut aturan rantai, dan dari sini diperoieh bahwa kecepatan adalah sebuah rensor kontravarian rank satu atau sebuah vektor kontravarian.

DELTA KRONECKER

^b.ffbo 10. Hitunglah (c) En l. , (6) S; E;. Karena 6p =

jika p = q dan0 jika p

* q,kitaperoleh ba

,q ale{ = e!' I

Perlihatkan

bah*, '

&f = aro

Jika

p=0, +: = i dx'

Jika

Ax'

Maka 10

Ax'

* ?,Q .Y

16) Eq Ef

bs.

- g

karena xP = xQ

karena xP d,an

xQ tak bergantungan

l8l

ANALISIS TENSOR

12. Buktikan hahwa

-D--oA 9r; d'-

Koordinat-koordinat xr adalah fungsi dari koordinat-koordinat koordinat-koortlinat -xt. Maka menurut aturan rantai dan Soal I l,

i,f - a,f azq _ = Zr'

13.

A-rq

Ar'

yang sebaliknya juga fungsi dari

r2 o'

o ^o -b ox' no buktikanbahria ,4' -b = ^-, Jika A' l'. = p4

ZxQ

?nP

Kalikan persamaan

Maka

Vl? Zzf

,'-b = >=fu'o #

dengan

- zr'zil f = aL,f =,4" 'l Zzb d,s

# menurutSoalr2.

r = q maka diperoleh hasil yang dikehendaki. Hasil ini menunjukkan bahwa dalam persamaanpersamaan transformasi irntuk komponen-komponen tensor besaran-besaran dengan tanda garis datar Ambilkan

diatasnya dan yang tanpa tanda garls datar diatasnya dapat saling dipertukarkan, suatu hasil yang pada umumnya dapat dibuktikan.

14. Buktikan bahwa 6! adalah sebuah tensor campuran rank 511q3 $Pn

dua.

adalahsebuah tensor campuran rank dua, ia harus bertransformasi menurut aturan,

;jok = Ruas-kanansamadengan

Zzi a,q o, .f a;P a-,u

= t! menurutSoal12.rur"nuqj={=,jikai =k,dan0 jikai *t, 11 a,f azb R

maka dari sini diperoleh bahwa 6Pn adalah sebuah tensor rank dua, yang mana membenarkan notasi yarg dipergunakan.

Perhatikanbahwakitaseringkalimempergunakannotasi6o,=ljikap=qdan0jlkap*4sebagai delta Kronecker. Meskipun notasinya kelihatan menunjukkan bahwa ia sebuah tensor kovarian rank dua ternyata ia bukanlah sebuah tensor.

OPERASI- OPERASI DASAR DENGAN TENSOR

15.

Jika Ap"q dan Bp,q adalah tensor-tensor. buktikan Lrahwa jumlah dan selisihnya adalah tensor.

Menurut hipotesis

alq aan/q

adalah tensor-tensor, sehingga

=rt = ^L Elo '

Jumlahkan,

Kurangkan,

nlo

. e',ot =

ilo-elo, t L

;

r^7{

7zr ^ Zi*

z-,q

,nq

4YY,! dtr dx\ dl,"

yJ# #,1'

=Y Y:?4 G!,q dxy dxq diu

40',

B!,q)

ANALISIS TENSOR

t82 Ma'ka Ap"q +

Bpq

d'an

o'"n - ul'

adalah tensor-tensor dengan rank dan jenis yang sama seperti 1pq

,lan B'

t6.

Jika

)',' O^.Bi

adalah tensor-rensor, buktikan bahwa

C,f" = A:'

Bijuga sebuah tensor.

Kita harus mernbuktikan bahwa Cp.q" adalah sebuah tensor yang komponen-komponennya dengan mengambil hasil-kali dari komponen-komponen tensor

Apq

dan

Bi.

Karena

<libentuk

Apq dan af

adalah

tensor-tensor, maka

;jb

azk Z,r ar? E"9 D;'!

.bq

?Z: U ?-{ d,t "r I.rt-* ouQ "t ,s ''L 'n - atr Z"b Z,Q ?r-l E," 7rn

Karikan,

O!' ,i

yang mana memperlihatkan bahwa

dan indeks.inrleks kovarian r,

adalah sebuah tensor rank 5, dengan indeks kontravarian p, q,

ladi membenarkan notasi Crq". Kita sebut

Cr!":oi'

hasil-kali luar

(outer product) rlari APl dan Bi.

17. Misatkan, l,l adalah sebuah ren"or. (a) Pilih p = t dan perlihatkan bahwa,Af$,riimanadipergunakan kaidah perrjurnlahan, adalah sebuah tenscr. Apa ranknya? (r) Pitih p = t (larr q = s dan dengan cara yang sa. nra perlihatkan bahwa

(a)

Aeq,

adalah sebuah tensor. Apa lanknya?

Karena .4P1 sebuah tensor, maka

(i)

--i --t -Qi' drn D,' P1! Z,t "rst nbo Orb ;.rQ azt Zz, |;:

f!:Lnn

Kita harus perlihatkan bahwa ANo adalah sebuah tensor. Samakan indeks-indeks

7 dan

n kenru-

dian jumlahkan terhadap indeks ini, maka

;J&

LnJ

.-i ot- --r oL_ _drr _Ers _A"t !_fq Z,f ?,a avl a? |vl "rst

= E,t ai a* axr axs rbq a,j A,b 2,4 Zzt lvn"rst ,- ,, Er-k axr ars ,pq o -lr "b ' ^ dx' dxu -Idx* ^rst urr 7*s ,bg -= ?ti i,q v.; 7u ""th Jadi Apq, adalah sebuah tensor rank

3 dan dapat dinyatakan oleh Bq". Proses rrrenyamakansebuah in-

deks kontrava:ian dan sobuah inCcks kcvarian tlalam sebuah tJnsor dan kemudian jumlahkan disebut kontraksi (controction). Melalui proses demikian dibentuk sebuah tensor yang ranknya berkurang dua dari rank tensor scrnula.

(b) Kita (1

harus rncrnperlihatkan batrwa

lp{

seburh tensor. Anrbilkan

) drri bagian (a) tl.,n junrlahkan terlladap / tlan k. kita pcroleh

= n dan k = rn clalarn pcrsanlaarl

183

ANALISIS TENSOR

ih = azi &h E / ?,s 1rt Arst ,fq tpj a,p a,r a,, 7rs *i jq _ Ert D;j ?,u AEh axr ^"t = arj

arr Tg

vr7

}xr nf| = A.'S" ? e 7iL ,'sE 7rr

Z;l

,fQ rqP

-A

satu dan dapat dinyatakan oleh ).ang mana memperlihatkan bahwa ANo adalah sebuah tensor rank c". Perhatikan bahwa tlengan mengkontraksikan dua kali, rank tereduksi dengan 4.

Buktikan bahwa kontraksi dari tensor.4f adalah sebuah skalar atau invarian. Kita

,l = ##

peroreh

= = y7'e ..q ?,n ar; 'f

lu,,,ro,,Nu,,! ,.r!j Ambitkani=kdanjumlahkan. Maka

ii..-- Ap, dandari sini diperoteh

bahwa

et =

s1 -?--q

Af, haruslah sebuah invarian. Karena.4p seLuah tensor

rank dua dan kontraksi terhadap sebuah indeks menurunkan ranknya dua, kita dengan demikian mendefinisikan sebuah invarian sebagai tensor rank noI.

9. perlihatkan

bahwa kontraksi hasil-kali luar dari tensor-tensor,4p dan Bn adalah sebuah invarian-

duo Dengan mengkontraksikan (ambilkan

,o=#rn.

,t=#/,

KatenaAp danBn adalahtensor-tensor,

Maka

= ##n",

dan jumlahkan)

I=k

,ti, = ##

,o =

tqr er

mengkontraksiProses mengalikan tensor-tensor (perkalian luar) dan kemudian hasil-kali ini skalar' sebuah Ap B, clalom'Katena ltasrl-kali disebut hasilnya perkaliatt-dalam dan

jadi AeBesebuah invarian. kan disebut

li skalar dari vektor-vek tor Ap

kaclang-kadang disebut hasflko

dan

sebuah tensor 20. perlihatkan bahwa sebarang hasil-kali dalam tlari tensor-tensor Ao, dan Bf" adalah rank tiga. Hasil-kali Iuar dari ;1e dan

B)" =

ao, Bl"

dengan

p / tlan jur.rtlahkan. Kita Baiklah kita kontraksikan terhadap indeks-indeks p dan t, yakni anrbilkarr = tnen.alBf,", adalah sebuah harus nrcmperlihatkan bahwa hasil-kali clalam yang tlihasilkan, yang <linyatakan tcnsor rank tiga. Bcrdasarkan hipotesis,

tte

dan

Bl"

aclalah tensor-tensor; ntaka

.p ;j A; = a,j a*, o,' ?l ;*

;tn Bn

a:Il aZ E,,

&t ;

an"

o1. "t

lg4

ANALTSTS TENSOR

Kalikan keduanya, ambilkan

n dan jumlahkan, maka kita peroleh

rJR'E _!^

?{ all @! ?4 n!,a uIr =d arb aZb Axq axs AZJ

7,' 77u

?tL

nt ,os 7,4 7rs r t

7r' azl ain Al Bqs -= "' "P a;h ar, a"t Bq"

!'ang mana memperlihatkan bahwa Ap hadap,q dan

atau,r dan

dalam

adalahsebuah tensor rank tiga. Dengan mengkontraksikan ter-

hasil-kafilf

tit"

Arn",

dapat memperlihatkan dengan cara yang sama bah-

rla sebarang hasil-kali dalam adalah sebuah tensor rank tiga. Metode lain. Hasil-kali luar dari dua buah tensor adalah sebuah tensor yang ranknya adalah jumlah.dari rank tensor-tensor yang diperkalikan. ladi Ap Bqr' adalah sebuah tensor rank 2 + 3 = 5. Karena kontraksi menghasilkan tensor dengan rank kurang dua dari tensor semula, maka dari sini diperoleh bahwa sebarang

kontraksi

aari, ae Oqtt adalah sebuah

21. Jika X(p, q, sor

B"n

tensor dengan rank 5

2 = 3.

adalahsebuah besaran yang sedemikian rupa sehingga X(p, q, r)

,'rn

= O untuk sebarang ten-

buktikan bahwa X(p, S, r) = O.

Karena

Bqn

sebarang tensor,

pilih satu komponen tertentu (katakan komponen dengan q = 2, r = 3)

yang tak not, sedangkan komponen lain semuanya nol. Maka

X(p,2,3) 81" = O, sehingga X(p,2,3)=O

karena B2ro * 0 Dengan penalaran yang sama untuk semua kombinasi yang mungkin dari oleh X(p, q, r) = 0 dan dengan demikian terbukti hasilnya.

22. Sebuah besaran A(p, q,

r) adalah sedemikian rupa

dimana B"q" sebarang tensor dan Dalam koordirr

sehingga dalam sistem

dan

koordinat xi, A(p,q,

sebuah tensor. Buktikanbahwa AQt, q,

{

r, kita per-

)A!" =Ci

r) sebuah tensor.

ut x i, i g, k. D E:^ = a:.

Maka fti,t "' .tt

^-L

?-r:

--,W ?d ^qs

ErQ ?rs

V1n

Dil

Zz^

Zrl

dxr

OrJ

c; = #*n,o,o,ut

?,f f}zb )-r :*i A(i,k'tr, -

?,' La/ Ambilkan perkalian-dalamny

f1^1-t

-7t1

dengan

A(P,c,.l4' =

(yakni kalikan dengan

?.xn

i:7

dan kemudian kontraksikan

dengan a = m) menghasilkan

.: [t}] ',-1 1rc Ot" L

A(i,k,t) -

ft__c'h a,' iti.tc,Ll l-^ -. dit L.rr r

d*D

dx)

A(p,q, ,)] Br

dr" A(p,

Br _'l

185

ANALISIS TENSOR

Karena

Bq'

adalah sebarang tensor, maka menurut Soal

E^'

?" ?;'I

i<i,r,,tt 1 0

Ambilkan perkalian dalam dengan

- A d?r

{

4e,q,,)

yang mempe"rlihatkan bahwa.4 @, q, an irotasi .4 pq

menghr"rlkan

_U +i Fl 4(p,q,r1 = E;J E;, Eri

i1i,n.n) = *tg E'cxJ Eia

arau

a--

2dr "' ?; Oa'

a! Ril,o -q -L -',' ' '

2I, l;ita peroleh

A@.q',\

adalah sebuah tensor dan dengan demikian membenarkan pengguna-

yang menyatakan bahwa Dalam soal ini kita telah membuktikan suatu hal khusus dari hukum hasil-bagz besaran X dengan sebarang tensor 8 adatah sebuah tensor C' maka X adalah

jika hasil-kali dalam dari sebuah sebuah tensor.

TENSOR. TENSOR SIMETRIK DAN ANTI.SIMETRIK

23. Jika sebuah tensor ,4?.q" simetrik (antisimetrik) terhadap indeks-indeks p

dan

q dalam

salah saiu sistem

..koordinar, perlihatkan bahwa ia tetap simetrik (antisimetrik) terhadap p dan q dalam sebarang sistem koordinat.

Karenahanyaindeks-indeks pdanqyangterlibat,makakitaakanmembuktikanuntukBPq

lrka BPq simetrik, jadi

f o = Bqo ,^aka

"Eih jadi

tetap simetrik dalam sistem koordinat

Jtyafq

anti-simetrik, iadi

-Eik jadi

= E:\o,c z,q lrD

= 4d3rtt Ei' a's fq

Bhi

f i'

- f',^uku

= _ Qrh!;o brQ E*D

= 4!4roo Z,b Z,Q -

tetap anti-simetrik dalam sistem koordinat

_shi

Hasil di atas tentu saja berlaku untuk tensor-tensor simetrik (anti-simetrik) lainnya.

yang satu' 24. perlihatkan bahwa setiap tensor dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua buah tensor, di mana kontravarian-nya' dan kovarian pasangan indeks-indeks nya simetrik ,lan I'angiainnya anti-simetrik dalam Tinjau misalnya, tensor Bpq. Kita peroleh

alq =

l1afq*eqt1

;@P-q-aq|1

anti-siBqe\ = Rqp adalah simetrik, dan Spq = V'(Bpq - Bqe) = -'sqpadalah tensor' metrik, Dengan penalaran yang sama terlihat bahwa hasilnya berlaku untuk sebarang

Tetapi Rpq "'/r(Bpq

simetrik' 25. Jika Q-a.uAiAh,perlihatkanbahwakitaselaludapatmenulis Q=b-rAiAk dimana J'o

o =

oroti

lh =

or.eb

ei = oori eh

ANALISIS TENSOR

186

Maka

i k i k + ao.A"A aipA"A

o -

dan

di mana b., = *(o., .'

= bpj

PJ'

+@ jh+ our\

(a,.+o,,lAjAh ,J" eJ.

eb =

Ai ,th

bj*

adzlah simetrik'

MATRIKS

26. Tuliskan jumlahS =-4 +,8, selisihD

B da n hasil-kali P = AB, Q = BA dari matriks'matriks

A (l?-l) s=n*r=[

B -=

(-i I -l\ \i-i

t 3+2

4-4 -2+7 s*z) \-z* t t-1 -r+ol

1+0 -2-1\

(-:

t 3-2

1-0

(: ; -i)

D=A-B= ( ,rn

-2+1\

-2-t s-rl I+t -r-ol

\-r-t t Q)Q) + (1X-4) + (-2X1) P= AB = [ rlXzl+(-2X-4)+ (3)(r) \(-2X2) + (1X-4) +(-rXr)

;i)

(-2X-1) (3X-1)

(3X0) + (1X1) + (4X0) + (-2Xr) +

(-2x0)

(3X-1) + (1X2) + (-2X0)\ (4X-1) + (-2X2) + (3X0) I

+ (txt) + (-lx-r) (-2x-l) + (rx4 + (-1x0)/

(,i _: rl\ \_, , nl t 8 i -l\ BA = =

I-" \-l

" -ul

Hasil ini memperlihatkan bahwa AB

BA , yakni perkalian dari matriks-matriks pada umumnya tidak

komutatif.

27.Jika

A=(

\-1

^.'

r A"

()

dan

:) ,-,

fr -r') ,

(; :)

= (_:,

t)(-l:) =(-::)

-82

(1 rl)

Olehkarena jtu,(,4 + B)(A

o..,,nrtkan bahwa <A+B](A-B)

:)fi -:) =(-: ':) B':(-r -;)rl _:) =(i ;)

. Maka (A+B|(A-B)

* A'- B'.

- B) + A2 -a2

Tetapi,

(/+8)(A-B)

A'-AB+BA-B',

Nyatakan dalam notasi matriks, persamaan-persamaan transformasi untuk (a) vektor kovarian, (D) tensor kontravarian rank dua, dengan anggapanN = 3.

(o)

Persamaan

transformasi

l^= n^ v !, ai?e

dapat dituliskan sebagai

ANALISIS TI.]NSOR

187

(l ffi*ilfl

dalam vektor-vektor kolom atau juga ekivalen dalam vektor-vektor traris

l* # s\

@r7rFS

= (Atnrnrrls # #l

\r ##l

(b)

Persarnaan

," =

transformasi

# #

,n"

dapat dituliskan sebagai

l',:',:',:\ \r"'^r"'^r""J Perluasan dari hasil-hasil gi, metode matriks ini gagal.

ffi \*

#ilt", ;l #Yril

l, (fi #f)

ini dapat dilakukan untuk N ) 3. Untuk tensor-tensor dengan rank yang ting-

ELEMEN GARIS DAN TENSOR METRIK

29. Jika lsz

g.odxtdxk invarian, perlihatkan bzhwa g.uadalah sebuah tensor kovarian rank dua yangsimetrik.

Menurut Soal 25, 9= dt', A' = dl danAh =dxk,maka dari sini diperoleh bahwa8:-o dapat dipilih simetrik. Juga karena ds2 sebuah invarian,

p d*jd,k = "rt z"tsazhazs = "jk z ?'J-aolVa z ?ia'o a=f afl 7;P ?zc = -rt 7z? Zzq >-i >.-h dan adalah sebuah tensor kovarian rank dua yang simetrik, yang <lisebut Maka Epq = frt B-o * * terls0r

metik.

30. Tentukan tensor rnetrik dalam koordinat-koordinat (a) silinder dan (D) bola.

(a)

Scperti dalam Soal

Jlka

=P,

7,Bab7,

ds2

dp2+ p2d$2+drz.

r'= Q, f =: maka Brr,=l,sn=p1 8""=l,6rr=Eo=

Dalam hcntuk rnarriks. tensormetrik dituliskansebaCai

gr"=fu=0,Bsr=B,.=0.

/rr, ,- ,o\ l rrr r_ r^ 8", 8o7) \6r,

o o\

t : f \

: l /

ANALISIS TENSOR

188 (D) Scperti dalam Soal 8(a), Bab 7, ds2

Jika :1= r, x2= 0, * =6

Pada umumnya,

/72a

{Qz*

sin20 d$2.

maka tensormetrikdapat dituliskansebagai

untuk koordinat-koordinat ortogonal, 8-& = 0 untukl

6r.r. 31. (a) Nyatakan determinan

6r.

,,"L)

c^, g^^ L"l

i: i',

dalam elemen-elemett

c;;l

baris kedua dan kofaktor'kofaktornya yang bersangkutan.

(b) perliharkan bahwa g.o G(f, &) = g dim

G(j, &) adalah kofaktor dari g-o dalam g dimana hanya dijum-

an^

lahkan terhadap k.

(a) Kofaktor dari g-, adalah determinan yang diperoleh dari g dengan (1) menghapuskan baris dan kolom * k untuk determinan ini' Jadi, yang m:na g-k #I-,ncrt dan (2) berikan tanda (- I )i

Korakror

dari

s,, = (-r)'+'

l::Z:!,

Kofaktor d.ari

Koraktor dari

so = (-r)'*'

1il ffl

- -.r*, I &. E.^l to = (_r) ,;l l%;

Nyatakan kofaktor-kofaktorini berturut-turut dengan G(2. pergunakan prinsip sederhana dari determinan, kita peroleh

1),G(2,2) danG(2,3). Maka dengan mem-

g4C(2,L) + g22G(2,2\ + goG(2,3) = t

(b)

peroleh spG(i, k) =g di mana Dengan menerapkan hasil dari (a) pada sebarang baris.atau kolom, kita berpenjumlahannya hanya terhadap k Hasil ini berlaku pula di mana I =lg.rladaiatr determinan orde

Ar.

32. (a) Buktilianbahwa g2tc(3,1) + g*G(3,2) + t%G(3,3) = 0'

(D) Buktikan bahwa sro G{p' k) = O jika i * p'

gr, 8r, 8ol (c) Tinjau determinan

r;, t; t;l tr, 8r, 8ol

vang adalah nol karena kedua baris bawahnva identik' Uraikan

menurut elemen-elemen dari baris'terbawah, kita peroleh

SzrG(3,|) + grG(3,2) + g,, G(3.3) =

(b)

Dengan mcn),amakan eiemen-elemen dari dua baris dalair bagian (a), bahwa s * G(p, k) = o jlka i* orde N-

';b

t'ir!)

33. Delinisikan gr'- =::g

Buktrkan bahwag ogek Menurut Soal MenurutSoal Maka 8ro

di mana G(i,

sebarang dapat kita perlihatkan, seperti Hasil ini berlaku puia untuk determinan ber-

(kolom)

adalah kofaktor dal-

E,o dalam determinang= lg-*l*0.

= 6f.

31, ,., = , atau g.odb = t, dimana "jb "(i'o) I 32, s*W.D = O atausih,Jh=0, jikap*1

{h (= t

lika p

=i, danOjika

il = ai.

penjumlahannya hanyaterhadapk'

I89

ANALISIS TENSOR

Kita telah pergunakan notasi 6/k meskipun belum kita perlihatkan bahwa notasi ini dibenarkan, yakni bahwa grk atjalah iensor rank dua. Ini dibuktikan dalam Soal 34. Perhatikan bahwa kofaktor dituliskan CA, k) dan bukan (/k karena dapat kita perlihatkan bahwa ia bukanlah tensor dalam pengertian biasaNamun demikian, dapat diperlihatkan bahwa ia adalah tensor relatif berbobot w yang kontravarian dan dengan perluasan konsep tensor ini, notasi C)k dapat dibenarkan (lihat Soal Tambahan 152)-

34. Buktikan bahwa.dk adalah tensor kontravarian simetrik rank dua. Karena Jtka

E,osimetrik, maka

G(7, &)

simetrik dan dengan demikian dh = G(i, /<)/g simetrik'

Bp adalah sebarang vektor kontravarian, maka 8n

gorBl

adalah sebarang vektor kovarian. Per-

kalikan dengan 3/h, ciq

son

at =

nr = ni atau

= ui

Karena B adalah sebarang vektor, maka dengan mempergunakan hukum hasilbagi, dk adalabsebuah tensor kontrfvarian rank dua. Tensor6/h disebut /enJol metrik konyugat (coniugate mefiic tensor).

35. Tentukan tensor metrik konyugat dalam koordinat-koordinat (a) silinder dan (D) bola-

ol + p' 0 rl

*r = Igr:It-! tp'

kofaktorgzz I tr tp' kofaktorg:: = + t*'= 8p' g1e

Dengan cara yang sama g/k = takan oleh

kofaktorgrz

tp'

10 0l

=-+

op2

00 01

0 jikai;e k. Dalam bentu matri ks tensor metrik konyugat dapat dinya-

f iv l) (D)

lool o r2 o I = 0 0 ,' sin'01

Dari Soal 30 (D),

Seperti dalam bagian (c), k ita dapatkan

i* k,

sl!=1,

,asin2.'

f=*,

tlan dalam bentuk matrik s dapat dituliskan sebagai

0 0

1/12

,r*:r"r)

*= r:-r

dan

sik = 0

untuk

ANALISIS TI.;NSOR

t90 36 Carilah (a)B:

dan(b)dh yang berhubungan dengands2 = b(dx1)2 + 3(dr12 + +@f)2 - 6 dxadx2 4 dx2 d.rs

(o) grr=5, tD=3, gs=4,8e=821=-3, g%=ge=z,8r"=8","=0. Maka g

(D) Kofaktor-kofaktor G(i, k) dai g.,

5-30 -3 32 o 24

adalah

G(1,1)=8, G(z,z)=zo, G1r,:1=6, G(t,2\=G(2,1)=12, G(2,3)=G(3'2)=-10' G(1,3)=G13'r)=-6 Maka

grr=2, g2=5, gB=3/2, g1t=gz=3, ga=*2=-5/2, q13=fa=-3/2

Perhatikan bahwa hasil-kali dari matriks-matriks (Sro) dan G/k) adalal, nlatriks satuan I. yakni

(, iX;,!,,.i':,) (' :) TENSOR.TENSOR SEKUTU

37. Jika O, = gittAh, perlihatkanbahwa Ak = dk Ai. Perkalikan

Ai = EipAk

dengan

gtq

a, = das,uAh = 61Ao = Aq yakni Aq = d'tAj atar- Ak = gu Ai. Tensor-tensor rank satu. A. dan Ak, disebut bcrse&ruu (associoted). Mereka menyatakan komponenMaka 6/q

komponen kovarian dan kontravirian dari sebuah vektor.

38. (a) Perlihatkan bahwa 12 = gpq Ap Aq sebuah invarian. (D) Perlihatkan bahwa L2 = gps A, Ar.

(a)

Misalkan.4

dan

aq=Elek

,_AX Y1-DJ9r'

dA'-n:,

7"k

- -b = A*j Atb .u ApA ,_,r#o,n'=

dan sehingga dengan

demikian

Ay'i

a .i 3;AjA=

AjA"

adalah sebuah invarian yang kita sebut

- "jk L'= o,,rj s nooj = "Pq , r Dari

sebuah vektor. Maka

Ah komponen-komponen kovarian dan kontravarian dari

I2.

Maka kita dapat menulis

AbA=

r'j lo= rj' oi no= ,ft ,t.,tr. Besaran skalar atau invarian t = t/A 7 artcbut besar atau panjang dari vektor rlengan komponen(a).

t'=

= Aj

komponen kovarian,4, dan kornp<tncn-komponcn kontravarian

3e. (a) Jika,4p dan /lq (b) Pcrlilratkan

adalah vektor-vektor, perlihatkan bahwa 8on Ap

balrwa -:

tnn

,/<tb

AP Bq

!L: e

rtGq

sebuah invarian

Bq)

lJq

scbuah invarian.

l9l

ANALISIS T}

ApBp = Aps Bq = "Pq s .4pBq sebuahinvarian. "pq Karena AP Ap dan Ba B, adalah invarian-invarian, maka t[4aWrl

(a) Menurut Soal 38,

(b)

adalah sebuah invarian dan

dengan demikian

s^-A'Bj Yq

adalah sebuah invarian.

/A y'(A'A^\(8, B^\ y

Kita definisikan

AY 81

sp,

@66

cos â&#x201A;Ź cosirtus sudut antord vektor'vektor Ap dan

Bq. lkagpaAPBq = APBp = 0, maka vektor-vektornya

ortog0nal. 40. Nyatakan hubungan antara tensor-tensor campuran

@) AihL dun

Afrr, <tl \lt

dan AQh'

= ,if ,4 rlr Apq,

Aiht

Ailt = tiq tLrAQh'

@ nP;'"; = Epi

srh

uruu

utuu'

'r'"i a^" ejril

<rl af

Alq, = Bjl

er, ,tibl

sp,

fa' = ,lt sL'\!1

,u nii'i'

uruu

ejqit =

shj srp

t" n!;il

41. Buktikan bahwa sudut-sudut 0s2, 023 dan 031 antara kurva-kurva koordinat dalam sebuah sistem koor' dinat berdimensi tiga diberikan oleh

cos

^t' = 0o +, vs

cos

t . aaa v22

Sepanjang kurva koordina t xr

Maka dari bentuk

metrik,

8r" --, {

cos 6", =

8rr 6r"

g11(dxa)2

kurva.rl

arru

di t

{

f,ri.

adahh

"31

{t"*c'

dan x3 = konstan.

, x2 = konstan

ds2

Jadi vektor satuan sepanjang

* "11

Dengan cara yang sama, vektor-vektor satuan sepanjang kurva-kurva koordinat ' ^:=

+ a[ ,/e

aun

,ri=

,/e , "(4

Cosinus dari sudut

dan x3 adalah

,:.

2 antata A 1' dan,4 2' diberikan oleh

cosz,,= r,-nloX= " Pq Dengan cara yang sama

r,-**a'"al= bq '/crt sn "

18r, 8n

kita peroleh hasil-hasil lainnya.

8:r = 0. Ini langsung diperoleh dari Soal 4l dengan mengambil 01 2 = 0tt = 0tr = 90'. bahwalloo = 8qp juga dipcroleh bahwa 8lr, = 1tz = 8r: = 0. 11 Buktikan bahwa untuk scbuah sistern koordinat ortog(rnill Err: asl ott ' o22 ,lz'

42. Buktikan bahu'a urrtuk:istern koordinat ortogona!,

8tz = 8tt

Dari kenyataan

43.

1 D

t92

ANALISIS TENSOR

6b "ef'e"rq = -q' Jikap= q=1, gr"8", = I ataug1l8r, * f"trr+ Dari Soal 33,

Maka dengan mempergunakan Soal 42,.gr, =

Dengancarayangsama,jika p=q=2,

r*=

goEr, =

danjika

p=q=3,r*=S

SIMBOL CHRISTOFFEL

44. Buktikan @) tps,.t

(o) tpq,,)

i;l

,",

,r"{rr} atau

(6)

= s"[ps,,] =

c"'[*,'r

= ,u"r"' lpq,,l = a[

+"{jo} ,"u.r

[pq,k] =

Perhatikan bahwa mengalikan lpq, deks

{;} ,

{;}

O"r*", g*

atau

fu,,) =

rr*= (6)

(o) lp^,q) ,u,

[p.,

{;}

-?A, = w ,rl.

lpq,*j

=,,"{;} g"' berakibat

dengan

menggantikan

bersegi dengan kurawal yang

8", berakibat

lpq,rl

,.}rai; = o.

**.#t" Kalikan dengan

yakni

atau

{ #

dan dengan nrenggantikan r, k, i,

. Begitu pula,

Ttr,.

Maka

â&#x201A;Źir, ," rrrS

menaikkan in-

# '" t

+ ltn,n) = r,?fu *"*, r rr?tr!- -yy ' zt *a arl--?'ry, a*q' " ar" arc-?tr!, Alt

{siksrl =

{;}

"' {f,}

{i,}

dengan

menghar*""

+ {s^,p]

-/" {:,1- ,*

s dengan r, menurunkan indeks ini

menggantikan

menggantikan kurawal dengan tanda-kurung bersegi, yakni

45. Buktikan

{;}

lpc,,)

ini dan menggantikan tanda kurung

mengalikan

{;}

-k .y - y, = r,* .*

= [cp,,],

atau

,r,*I= -rrt*

= -rU i'* =-

nir

(i^,il

+ [;n,i]

_,r,l,Il _,,,

i berturut-turut denganp,

l,;l

q, n,

maka diperoteh hasilnya

dan

ANALISIS TENSOR

(c)

Dari Soal

,c=

8jk

G(i'

/<)

(penjumlahan terhadap k saja)'

-?c7tj, =

Karena G(7, /r) tidak mengandung gyo secara eksplisit' maka

terhadap

j dan r,

G(i,r\.

Kemudian, iumlahkan

?c = ?g ati, = c1,n* ?rt ,*

"tr, ;r lti, = ssJ'{li*,,1+ = tsl'#

,({;}

[rn,i])

= ,'{,'.}

{;})

Jadi

a'[au

={;}

Hasilnyadiperolehde.nganmenggantikan

{,;}

dengan

46. Turunkan hukum tra:rsfcrmasi untuk simbol Christcffel

*"*

p dan m

dengan q'

(a) jenis pertama, (D) jenis kedua'

(4)

Karena

ti,

= art a,c tpn'

1-a o,

?%qarr

?'9 + arP v',' . ,. * _',1 t;tOe az"Ai Azh V,r Z1;a &i &*;ah'lq

= i"f &i

oEio

(l)

arq

Permutasikan secara siklis indeks-indeksl, k,

4on

/r\ \2,

* }E,j

7'9 a" &,h Ar*

Can p, q' r

dtq'

?'t * Y r-er * "1"' V7i7rx 7ih d,f dzi

?r!.?,e * fu[ _i',f (3) # _ = ?,r_a"f ar* ari ?rq ar& 7r* trjfi

trt *

Kurangkan ( I ) darijumlah (2 ) dan ("?) dan perkalikan dengan nisi simbol Christoffel jenis pertama, kita peroieh,

ilra

(4)

(b) Perkaiikan (4) dengan

snn

,.*,

yi*,-1 =

a"{ arl , "rf

A=haz* 77i

maka dengan memPergunakan defi-

*$!u,.'t. #*Y*'*

*" = #{U

t/z'

72rQ Zrn , a;j a;h 7z^ \r

kita peroleh

# #Y-##rg"t

[pc,,]

#*##

{,;} = *##Efs"'rr,,.1 .:*ffals"ts* * t,f &n = Z*fa,qa;"f"\ azj Azb A,l azi a=b 3,s (re I

nw,

s"t

spo

ANALISIS TENSOR

194

ku..nu E'

47. Buktikan

s"t lpc,,f = e"r lpq,,) =

,rt

,r, =

a,f a*9 az, ( " ) .

-2A O x'

Ox'"

avl;J

a"k'

a*? a,e

= {;rl# -

{b).

DariSoal46

a,. lool

Erg"rf "l -- ijzrl i7 "'lonl

EIX

?ri?'c (r)

48. Hitunglah

simbol Christoffel (a) jenis pertama, (6) jenis kedua,

dr'

-o.

arl;*

untuk ruang.ruang di manag*

Lpq,p)

berbeda, maka [pq,

rl =

= 0 jika

=12 :e! lrl

= [pp,r] = +W.*-y)

p=rsr, lpq,,) =

J1kap,q,

^,[

Zzl ZtP I

p=q=r, lpq,,) = lpp,pl = +(*.*-*)

Jl|<ap-qlr, lpq,,) lika

^2h

maka diperoleh hasilnya.

p+q. (a) rika

-2il ox

1ai 77h \et I

unrr1 -31'"-, }zJ }rE

rf, =

1,1.

=__t\+

Pecahkan

urn

ail arb lps I

*,*t

t;}

perkaiikano"n*,n$

a".

{;}

- L?'ft. 2ar'' ,dtfi 2a,q'

= +(*.y-*) 0

Kita tak menggunakan kaidah penjumlahan disini.

(D) Menurut

{;}

Soal

43,

p=n*,,

rika P="*0,

p,q,s

pq'" ] ltiaak dijumlahkan) jika r 6"t

Jika,p=o=",

Jtka

(tidak dijumlahkan). Maka

s"'[pc,,] = ojika r*s, dan=g""Ips."] =

Menurut (a)

J ka

d, = +

{;}

{;} {;}

berbeda,

. {;}

t;}

lpp,p)

ofl IPP'"] 6ss

lpq,pl

{;}

-r*.

'ft {;

It = o.

, Trpt - r ? - 2sro a,f 2 a,i -

tpf

E&r.

-rc*

a".

Stpp

zsfi z'q

,) i a,q '" tpo

= r.

ANALISIS

49. Tent.krn

(t')

sinrbol (-hListol-iil

I95

TI.]NSOR

icnis kedua dalanr koordinat-koordinat (o; tegak lurus' (D) silinder,

dan

bola.

ortogonal Lrl,, (tapat pergunirkan hasil-hasil dari Soal 48, karena untuk koordinat-koordinat

3ro =0.iik.rP*r7' =, {; } (D) Daiant koordilal silintlcr. xl = P, .r-2 = d, ,r3 = z, maka menurul Soal -30 ("r) kita peroleh' 8r t = l' di mana gz: = g2.8.rr = l. Sirnbol-simbol ('hristoffel jenis kedua yang t:ik nol han!'a dapat tel-iadi P = l. \lertka adalah. (r'l 1 ?.^2. 1 Z8r, r - -F' =z Trtt' ar \rrl \, (a)

Drl;trtr koctitlin;rt tr:gak-lttrus, I oo

Jr\

\ztf

(r)

sehingga

t Et,, =, 3,o,, = 1 1r\ = 2gnZxL P zpz3p'' \tz!

= 0, nraka nten.:ut Soal '10 (b), Sr r = 1' 8zz = dapat terjadi di mana sin2 0. Sirnbol-simbol C'hristoffel ienis kerlua yang tak nol hanya

Dalanr koordinat bo1a,

.r1 = r, .r2 = B, ,r3

r:. .g-.: = r: P = I alau -1. Mereka adalah,

, dr* - \at A",

{;}

1 dB". -6,o

{;}

422 7r2

__ tE_(rt zdr

Es-

* 1

{;i

/,\=

{;}

tzal

.fr[='

-28*

agar

2 Zr'

%=-r--=-ir,,"in3ll=l 0 7?r1 zP sin2

a--: "5 = 26s Zr2

GEODESIK

50. Buktikan bahwa syarat perlu

t D - t' 7o'rr2sln2i\ = -sinFcos4

e&3s

I ia I

r ?.,. -(f2r' dr

dx' _

= _r

t = f

I zr2 sin2

,rr,x,i\ dt

sin2

Z9 0 -g2

â&#x201A;Ź) =

sebuah ekstremunr

cot 0

(maksinum alau mi-

nimum)rdclch h:rhwa

A! - -d r$i 7x dt a;

- o.

Misalkan kurva yangmembuat.lsebuahekstremumadalah-t

=X (r), t, 1 t 1,2. Maka x = X(t\+

e41l),dimanaetakbergantungpadar,adalahsebuahkurvatetanggayangmelalui/ldant2sehingga

a(r,) = n(rz) = 0. Hargaluntukkurvatetanggainiadalah ftc IG) = I ' F(t, x+ â&#x201A;Źn, i+ eip at J+L7

f Ini adalah suatu ekstrimum untuk e = 0. Syarat perlu untuk ini adalan de barvah tanda integral, dengan anggapan bahwa

#1,=. =

|le

= 0' =o

ini berlaku, maka

.l),"'*n*{ito' =

Ambilkal turunannya di-

196

ANALISIS TENSOR

yang dapat dituliskan sebagai

n?!rl'r',-

['*ra,

Karena 4 sebarang, maka

f,"r*,*," = f,'r(# -*,,#,)r,=

integrand"r"

:; - $ t$l = r.

Hasil ini dapat diperluas dengan mudah untuk integral

#-*,#'

dan menghasilkan

,U,rr,01,r2.i2,...,rX, LX\ dt

I r"

yang disebut persamadn Euler ataa Logronge. (Lihat juga Soal 73).

5l.PerlihatkanbahwageodesikdalamsuaturuangRiemanndiberikanorcnff-{;rl##=, Kita harus menentukan ekstrrm (Soal 50) di mana

/rp, iP i4 -

dari

I.' ,q77

Xita peroleh

-Lt

= i"";b;e'-t/z%t""

# = i"rr;?;,Yr/z Pergunakan

ep,

dengan mempergunakan persamaan Euler

z.,phir

maka persamaan Euler dapat dituliskan sebagai A

r. a=*oJ ;o;, = ,Ehki', ) a,(-j z; a,* d

atau

sppip

**rr

ruriskan'9 ,r;q = * ,yl! -!r!, oois 2' arg A,O' ZrQ

,pu* *

ifu*r persamaan

ini menjadi

.t.. r+ lPq,k);t ;q =

Jika kita pergttnakan panjang busurstbagai pararneter, ,ruurU"=

, LPq,ki;-;; t ,tdrfd.r4 - 4'rb + sfiil

l,!'

dan

Perkalikan ,iengun g"k, kita peroleh

d'r' - { r\

arl4rl

ds2 lonla";

TURUNAN KOVARIAN

52. Jika

A p dan,4p adalah tensor-tensor, perlihatkarr bahwa (a) -

7A;

^p,q - irs - {;},. t:

persanraannya menjadi

197

ANALISIS TENSOR

dan

(a)

Karena

I,J = ?4 A-, OzJ

(6)

o',n

{ ;" }

aa"un tensor-te,lsor

maka

grY?!,* t*',n, 5 = a*t azh ?rh

(,)

azj

avj d:,h

Dari Soal 47.

Z'rn - (olZrr arjar, li* I {2" Substitusikan kedalam

aA'

z,r ?,t

a;I

y - FI litl

a,'

iei izh a,t

atau

o _ z,' ! o, a;b I,,,,1 a;j "J

T,n"'

##*.i-;),"-##{;},'

# ffl'"= ##(#-{;,},')

iadi t

?,9-

,l - ?,'Er'f / \,t ar, aoo

adalah sebui.h tensor llovarian rank kedua, yang disebut turunan kovarian dari

! " \ Os

tpc I terhadap xq dan ditulis .4r,,

(b) Karena fi = C Ar ,

maka

Zrr

--; aAr

(2\

- ; ^ t ^ +

^2 ;

dir dA' dx"

dxL ,t axraxt a-* ^

a,' a,t ;j '

Dengan mempertukarkan koorctrnat-koordinat

dan

dalam Soal 47 maka,

a,zi _ !^[ar;_ a=ia;Lli\

E.'Ert

\"1 arn

7r'Zrt t'1,

Substitusikan drlarn (2),

# Y"Y,.{;} *-"#r - *##\:,1 =

#H#.{;} #*,'

- *.'i{1Y^'

- Jo\ariaJo, _.fr\ri = ?rta,qt. t"n/ a,o aro" - \'nl" a,b ari at atau

?nt.- !i\n,^ -- ui?r(il-{r}r"\ " aib i;b \a,o \r" | I ,-n \n,f

I9E

ANALISIS TENSOR

jadi

adalah ," {;" } AP terhadap rn dun ditulis,4l s-

sebuah tensor campuran rank kedua, yang disebut turunan kovarian dori

53. Tuliskan turunan kovarii: terhadap xq dari 1a1

Ain,

Aio

@) Aro,

masing-masing tensor

berikut

ol Alt, @ Ar:: .

?A,

{o\Aia,q

= # -{,"r}o,

(r) Ai,,q

= # - {i,}r", . {;"}r"

{;}t

Ee! ; ,,rr'r,, =#

-{;}rl .{i"}r; <at Ar,t,q = * - {;}<, - {;},J" . u"l^"* .ikl t"t A'in,q

^nil' - {;t n( - {,",i,'*' . {;:1 4u, .l:}^';: . \:"1^# #

54. Buktikan bahwa turunan-turunan kovarian dari (a)g-u, @) iu (a)

, (c)

0'p adalah not.

cn,q = *

- {;},", - {*},u = % - liq,t) - l*q,il = 0 ZrQ

{tt eihn = #

{;"}r"o {j"}/t

, arJ /.r i r",si.n = * -{;}'1

menurutsoat45(a).

menurutSoar4s(b).

r.) ^ 1..\ -{i"},; .{;} = = o-{;}

55. Carilah turunan kovarian dariAih.Bt^ terhadap xq.

1notit,,

4P .

- {;} n:d- -

l;l^lq

{i"}4# . {;"} n1u'r '

{;"1^',";

(# - {;},r .{;"} ^;) * . ^l (#- {;},:" . {,1},;' . {;},f)

199

ANALISIS TENSOR

o'o'"!"

n'u**

Hasil ini memberi gambaran tentang kenyataan bahwa turunan kovarian dari perkalian tensor-tensor memenuhi hukum-hukum yang serupa dengan yang berlaku untuk turunan biasa dari perkalian dalam kalkulus elementer.

h,*

56. Buktikan (rro An-)

s =

.ka

Bip An

e,o Al*t

s =

,j0,,

nl*

* ,,0 *,,

karena Sro, = 0 menurut Soal 54 (a). Dalam turunan kovarian, Bro. n k

= ',i 4.^ 'o g'o d^n a'o Arpu, diperlakukan sebagai

onstanta-konstanta.

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL DALAM BENTUK TENSOR.

57. Buktikanbahwa ,liv

Af = + ]-rG /g dx*

O'r.

atau Divergensi dari Ap adalah kontraksi dari turunan kovarian dari Ap, yakni kontraksi dari,4p,o Ao

M^ou. dengan mempergunakan Soal 45 (c),

dtv

A,t =

tti = #. {r'r}rt

anr*,? rnfitAh = gt_*/_?Gyeo = +3.rG^0, = Erk '7rk"''u'" Zrh G arh' G ErP.58. Buktikan bahwa

V2e

t #rG ,o'$r.

Gradien dari O adalah grad iD Soal 6 (b)

) dan didefinisikan

yang bersekutu dengan

O,.

yang adalah sebuah tensor kovarian rank satu (lihat

sebagai turunan kovarian

adalah. Ah

ro' #.

dari'6, ditulis @,"' Tensor kontravarian rank

= dlvr"ht?Ql As,l

At,q-Aq,t

satu

Maka menurut Soal 5?'

I ?,r' = G

v'o

59. Buktikan bahwa Ar,,

= VA = J!, Zrr

d - "?Q c t-' a;-l

";{/

= (?r-{;},,")

(*-{;}^)

Tensor rank dua ini rtidefinisikan sebagai curl dari ,4,.

60. Nyatakan divergensi dari vektor (a) silinder, (b) bola.

dalam komponen-komponen fisisnya dalam koordinat-koordinat

ANALISIS TENSOR

(a)

xr = p, x2 - g, x3 = z , 100 o p2 ol = p' dan G. p 001

Untuk koordinat silinder

Komponen-komponen fisisnya yang dinyatakan dengan

Ao = {suA1 = At, Maka

= {AA,

(lihat Soal 30 (a) )

lo, Af, A,

= pAr,

d,ibeikan oleh

Az = {so l" = 1"

tt = ft $tG ,rot =

*rP-p,r,l Yop@oz

(b) Untukkoordinatbola,tr =r, *2 =0,

+ Srear

* !<pA,tl

x3.=0,

100

lo r' o o

= f sin20 dan G

o 12

,2 sLn9 (lihat Soal 30 (D)

)

sln20

Komponen-komponen fisisnya yang dinyatakan dengan

Ar = ,Qre' = e',

Ae = FsoA2 =

1".

o, A

diberikan oleh

,A2, nA = {r*As = ,sin1

Maka

at'

,rf = y'g I =

J.r6nu,,

dzn

= i*,rn,, . Dalam koordinat

. $,"r4 nrt

,*#

v'Q, dul"* (a) koordinat silinder, (D) koordinat bola. silindergr | = 1, g22 = llp, 533 = I (lihat Soal 35 (a) ). Maka dari Soal 58,

61. Nyatakan l:placian dari

(a)

* I<,,l.ll t + !dAe s,.l Aa') a-"

lsln7 d =)-[]t#"indt

(D,

vb = *,,*,0'#, t = i r**#, . . &,r. #, * rnf,l r?.?O. +;---Irab a J-a ab = ;=-(P=-) P dp dp P'4, 2"2

(b)

Dalam koorrlinat bola gt

g?2 = !lr2

g33

= l/r2 sin2 g (lihat Soal 35 (D) ). Maka,

vb = * *,*,*"#, = F*;E t$r*"r,4 #, - # 1"r"a $r - $,;fu S,r

201

ANALISIS TENSOR

^aO = r' i-(r''<-) Or Or

*(s,"a#) .

a'o

Tfu -@'

TURUNAN INTRINSIK

62. Hitunglah turunan intrinsik dari tensor-tensor beurikul, yang dianggap darir: (a) invarian Q, (b) Ai , {r)Ain, (d) A'm^.

aq d'q = d+, dt dt -

7,q

rurunan biasa.

(#.{;:},) # 4 . \;")r # i

se!

t") Trh

A''k,q

sebagai fungsi-fungsi diferensiabei

=#*

{;"},

(# {;},: .{;:},,;)#

# {;},:# .{;:} ^,#

,,,$

= ^l:,,,#

(*-i;) e,--{;}'*1. - {;},*, . U"} n;:.{1"}'i:")

.lA:

Lnn

{;,},:1,

# - {;i,* #

\:,1^.I"

.{;:}';i"#.{:")^l:"4 63. Buktikanbahwaturunanintrinsik darig.o, gio drn

'ff=

u,,,,,*=,' *

rr,n#

6ro adalahnol.

=,,

t4=

r,,#=

menurutsoar'4'

TENSOR RELATIF

64.

Jika Ap dan BT berturur-turut adalah tensor-tensor relatif berbobot w1 dan w2, perlihatkan bahwa hasilkali da[am dan luarnya arialah tensor-tensor relatif berbobot ], r + v/2 . Menurut hipotesis,

-j A,.h

}zi ?r9

,f ',u1 z,p ?;k "s'

nl* 1L

-r* }tl ?2" ?rt 't-- 7rr ?rs E/ ^r.s t

2O2

ANALISIS TENSOR

Ilrsrr-karj ruarnya

adalah i'o

Al' =

ft+uh

# ##

*4*

sebuah tensor relatif herbobot w, + ryr. Sebarang hasil-kali dalam, yang adalah kontraksi dari hasil-kali luar, adalah sebuah tensor relatif berbobot h, I + rr.2.

65. Buktikan

bahwa

adalah sebuah tensor berbobot satu yaknr sebuali tensor keraparan.

Elernen-elemcn dari determinan g yang diberikan oleh

8rn bertransfornrasi menurut

tia= a,f aot|ffrpq' a,e

Ambitkan determinan dari kedua berah ruas, mana memperlihatkan bahwa

66. Buktikan bahwadV =

*.nr.r,

Soat

fadalah

G dr!

65, dV

ih2

l5l

t = !28 ut", y'f = rtf?,

yane

sebuah tcnsor relatif berbobot satu.

... drx sebuah invarian.

dv7

lltrl

,,.

drt = G I di2 ...

ar,

a* ... azx

dJ = t/i d,x" drz ... drx = dY

Dari sini diperoleh bahwa jika Ohdalah sebuah invarian, maka

{

t6av = {...[** Y

untuk sebarang sistem koordinat di mana integrasinya dihitung melalui volume I/ daiam N. Pernyataan yang serupa dapat pula dinyatakan untuk integral-integral permukaan.

ruan.q berdimensi

SERBA ANEKA PENERAPAN

67. Nyatakan dalam bentuk tensor (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partikel.

(a) Jika partikelnya

h itxb "' = i (b) Besaran

bergerak sepanjang sebuah kurva

,o(r)

dimana r adalah parameter waktu, maka

adalah kecepatannya dan adalah sebuah tensor kontravarian rank satu tlihat Soal 9).

pada umumnya bukanlah sebuah tensor dan dengan demikian tak dapat menya-

takan besaran fisis percepatan dalam semua sistem koordinat. Kita mendefinisikan percepatan aft bagai turunan intrinsik dari kecepatan,

yakni ob = &'&

se-

yang adalah sebuah tensor kontravarian rank

satu.

68. Tuliskan hukurn Newion dalam bentuk tensor. Anggaplah massa M dari partikel sebuah invarian yang tak trer'gantung pada waktu r. Maka Uoh = sebuah tensor kontravarian rank satu disebut ga-ya pada partikel. Jadi hukum Ncq'ton dapat ditulis

Fh = t{ok = -*

203

ANALISIS TENSOR

69. Buktikan bahwa Karena

* ! * \ 4/ al al =- 6'o - t'u E, = aT-\pqf dt 7t'

,k sebuah tensor kontravarian, maka menurut

&[ = = &

Soal 62 (D)

d'rh * 1t\,,rarq dt - \q"f " ;r -= dt2 I kl drl drq = a',b dT * lrol dt dt

kita peroleh

- l'\"eda,

duh

lqPl-

70. Carilah kontponen-kornponen tlsis dari (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partikel dalam koordi' nat silinCer.

(a)

Dari Soal 67 (a), komponen-komponen kontravarian dari kecepatan adalah

dP dt'

dxt dr

dx2 dd dt dt

drt dt

Makr. komponen-komponen fisis dari kecepatan adalah

di dO .dan .-,toT' rUidx2 = Pi;

dx7 dP {E = fr, "

l, 6z= P', Su= t.

di mana dipergunakan 6r=

(b) Drri Soal-soal

tlz d,

69 dan 49 (D). komponen-komponen kontravarian dari percepatan adalah

( tl dr, dr, tp ^.@_c a', = tr, dr, * 1r, I d, d, = 7;r - P{Tr 2dpdO - = d2*t . (zldr,d*z * izldr2d*r = tO a' 7v trrlT; d, lrrlt d, zP ' Vli'lt

dt.

Maka komponen-komponen fisis dari percepatan adalah

Err'

- PO', {ro"

= P,i

* zbf

dan e

di mana tanda titik menyatakan turunan terhadap waktu'

71. Jika energi kinetik 7'dari sebuah parrikel bermassa M yangkonstan dan bergerak dengan kecepatall )ang buktikan bahwa bcsarnya v diberikan oleh I = !Ma2 = iMSr, it ie,

d.aT. i\ u)

ar at -=

Ma.

"'luh

di ntanaap tnenyatakan komponen-konrponen kovarian dari percepatan. Karena

r = *xsrr;f

kita peroleh

# = ,u!4;rt, # = uro,rn dan :,#, - N(thq .fu,

ANALISIS TENSOR

204

Maka

!1 "\"pq, ;q *:fu tr'Zik'- ?,k = u( iJ-

ar31,

*i ;c -

La$n;p;q\ --rTF" ^/

= u(,ouo r i,*.*-*,r*) =

+ lpq.*j;t ;ey

u(cpq'nq

= *shr(, -

{J,}

Nsn

o, -

Hoh

di mana dipergunakan Soal 69. Hasil ini dapat dipergunakan untuk menyatakan percepatan dalam

berbagai

sistem koordinat.

72. Pergunakan Soal

untuk mencarikan komponen-komponen fisis dari percepatan sebuah partikel

+p,af2+d22,

dalam

koordinat silinder. Karenads2 =

Dari Soal ?1 dengan

u2 =

r*f

b'*p'â&#x201A;Ź+L2

dan T = i6u2 =

!U1i:2+prf *2r1.

*t = p, x2 = Q, x3 = z kita dapatkan at

='i- p$', * = fi<fot,

as = ?

Maka komponen-komponen fisisnya diberiican oleh

+, +, vgD + {gs

!t* karenagl

r=1,

Ezz

= g2, gtt = 1.

73. Jika gaya kovarian yang bekerja

I-r, +3 = g diE di?

ii-

otr,i fi<c,ot,;

BandingkandenganSoalT0.

pada partikel diberikan

energipotensial.perlihatkan O^n*^

Dari L

atau

.f,<fu) #

karena

oleh f,P =

di mana V(rr, - 34 }xh = 0 di mana L = T-V.

tak bergantung

pad,a

....,rNy od.lrh

Maka dari Soat ?1,

d,Ar. ar _ u^ _ D _ 7v dan a,Zt. ;raru, - iJ = Mok = Fk = -# ;(#) -;j

Fungsi I disebut I'agrangian. Persamaan yang mengandung 1- di atas disebut persanodn Lagrange, yang cukup penting dalam mekanika. Menurut Soal 50, hasil ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa sebuah

partikel bergerak sedemikian .upa sehingga

fh ,n,

sebuah ekstremum (extremum). Pernyataan

ini dise-

but prinsip Hamilton.

74. Nyatakan tdorelna divergensi dalam bentuk tensor. Misalkan lI mendefinisikan sebuah medan tensor rank satu dan rn menyatakan normal satuan berarah keluar pada setrarang titik dari sebuah permukaan tertutup S yang m6nyelubungi V. Maka teorema divergensi menyatakan trahwa

ANALISIS TENSOR

fi{ r,s

ek,o

av =

205

Ah u, as

Untuk ruang berdimensi N integral hpat tiganya diganti dengan integral lipat N dan integral lipat duanya denganintegrallipatl/- l.lnvarianr{',p adalahdivergensi dariAh (lihatSoal 57). InvarianAkvoadalah hasil-kali skalar dari,4E darr

analog dengan A

.n dalam notasi vektor dari Bab

Kita telah dapat menyatakan teoremanya dalam bentuk tensor; karena itu ia berlaku dalam semua tem koordinat karena ia berlaku untuk sistem koordinat tegak-lurus (lihat Bab 6). Juga lihat Soal 66.

yJ:fi1,r,i'i:ffi.;

(c)VxE=-

Maxwerllo)dlvB=0. (6)dtvD =4np,

Definisjkan tenso.r-tensor Bk, Dk, Eo, Hu, persamaannya dapat dituliskan sebagai

dan anggaplab

sis-

, @)exn--!fl

dan c invarjan-invarian. Maka persamaan-

(o)BI=C h (b\D,u=|np

r?aJ k1 -61he6c ?t arau â&#x201A;ŹihqE E,q = -r?aJ h,q = c ?r

@)-â&#x201A;Źihqrr,r=

Persamaan-oersamaan

ini membentuk dasar teoi elektromagnet.

76. (a) Buktikan bahwa.4_ ^..

(D) Buktikan

(or Ar,q,

uatrwa

,ihqHn,q=

- A-

__ = R"___A_ dimana Ap adalah sebarang tensor kovdrian rank satu. ffiufitiun bahwn Rrq," = 8,, Ri o*

n/,,n"i.ur"fi't!?lro..

(nt,r),, =

{J,}

ni*

{1,\^o,

. *(* {;},,) - fi}(* {;},*) - fi} (* {;},)

*r- *t)^, - {;;} *

{J,}

.{;}

\:,1^r

{#* .lt,l{l,l^,

Dengan mempertukarkan q dan r dan kurangkan, kita dapatkan

At,q,

At.,q

= {;} {:,1^, = {;} lt,)^, =*!pqr A.

*{i,l^,-

{;,} {:,1^r.

* {l,l^,

- ;} {;,1^, - {;} \*l^, . *{J.},,

206

ANALISTS TENSOR

dn,ana Gantikan

(b)

*i,.-={;}{;} -*{J,} -{i,}{;,} .*{J,}

1 dengan

n maka diperoleh hasilnya.

A 1p, ,, sebuah tensor, Rln, 1n sebuah tensor; dan karena ,4, adalah sebarang tensor. o, o, maka menurut hukum hasil bagi, Rnoq, adalah sebuah tensor. Tensor ini disebut tensor Riemann-

Karena

ChristotJel dan seringkali ditulis

(c)

Rlo, Ro'r'!, atau

secara sinskat

R'jn..

Rpqrs = &,rrR1,q, adalah tensor sekutu dari Rf,o, danden1an denrikian adalah sebuah tensor. Tensor ini disebut tensor kelengkttngan kovarian dan sangat penting d,alant teori relctivitas untum Einstein.

Soal-soal Tambahan Jawaban untuk Soal-soal Tambahan diberikan pada bagian akhir dari Bab ini.

77. fuliskan masing-masing

yang berlkut ini dalam kaidah penjumlahan

+ el"ns *... *,qlnx @48'*,lja' (d')g2LBt + g22sct+ g2llst+ t2at+t

+... +arxxxs (b')A2tB.+AaBr+ A%8"+...'A2[Bx (a'yarxTxs +arx2zs

G) B'fr' + afi2 + 78. Tuliskan suku-suku dalam

*hG

th'1,

N=s

8r' * ,T

masing-masing penjumlahan berikut-

eik

a! rj,

r=2

r.c\

# #

79. Tempat kedudukan apakah yang dinyatakan olehaoxhxh = ldimana *h, k= l.2,...,Nadalahkoordinatkoordinat teqak-lu rus, a o adalah konstanta-konstanti' dan N = 2, 3 atau 4

80. Jika

.n/

= 2, tuliskan sistcm persamaan yang dinyatakan oleh

rxq = b ,.

81. Tuliskan hukum transformasi untuk tensor-tensor @ A! . (il Blk, G\ Cnn, @l A*. besaran-besaran BQ, k, nt)dan C(7, k, m, ilyang bertransformasi dari sebuah sistem koordinat xt ke yang lainnya ^ti menurut aturan-aturan transformasi berrKut

82. Tentukan apakah

(a) B(p.r',, =

Yr# # B(i'k.n)

rbt

ctp,s,r,s) =

*###

c(i,k,n,n)

adalah tensor-tensor. Jika demikian, tuliskan tensor-tensornya dalam notasi yang sesuai dan sebutkan ranknya serta orde kovarian dan orde kontravariannya.

83.

Berapa banyakkah komponen-komponen yang

dimiliki sebuah tensor rank 5 dalam ruang berdimensi 4

bahwa jika komponen-komponen dari sebuah tensor berharga nol dalam satu sistem koordinat maka mereka tetap berharga nol dalam semua sistem koordinat.

84 Buktikan

85. Buktikan bahwa jika komponen-komponen dari dua buah tensor sama dalam satu sistem koordinat mereka tetap sama halam semua sistem koordinat.

maka

ANALISIS TENSOR

drb 86. Perlihatkan bahwa kecepatan -;-=u dt

sor.

207

dari fluida adalah sebuah tensor, tetapi dlk dt

bukan sebuah ten-

87. Carilah komponen-komponen

p,0, z, (b) koordinat Iah 2-r

kovarian dan kontravarian dari sebuah tensor dalam (a) koordinat silinder bola r, 0, Q jlka komponen-komponen kovariannya dalam koordinat tegak-1urus ada-

- z, x2.1,, .l'2.

88.. Komponen-komponen kontravarian dari sebuah tensor dalam koordinat tegakJurus adalah Carilah komponen-konrponen kovariannya dalam koordinat silinder parabolik.

b."

Bl'.

8e. Hitungtah A\6c 90. Jika Ap"q

n, -b.n l'",

(6) E; E"

ad,alah sebuah tensor,

91. Perlihatkan

bahwa

D;o

nya.

Jtka AU =

# nn

t*a i! '

a;2 DrQ

- {t i = t' [o it k

1-r!

buktikan bahwa ,4n

a" z1 brktikan bahwa ,1 = ?x4, ?ir '1"' =b ?z? 7S Zr' j'

Apq dan B

-6^9.r.s E; E; E;.

bukanlah sebuah tensor kovarian seperti ditunjukkan oleh notasi-

Jika O adalah seouah invarian, tentukan uo^t.un

95. tilra

ral

+ y.

perlihatkan bahwa Apr adalah sebuah tensor kontravarian rank satu.

1 O

b o r

rcl 5i 5i

yz,3,2x

ffi

adalah tensor-tensor, buktikan bahwa Ae,

sebuah tensor.

dan ApqBq adalah tensor-tensor dan

tentukan

rank dari masing-masingpya.

96. Perlihatkan bahwa llka1d-! adalah sebuah tensor, maka.4',i* oi! adalahtensorsimetrik d,anApq -

Aq"p,

iensor anti-simetrik.

97. llka Apq dan Br" adalah tensor-tensor anti-simetrik, perlihatkan bahwa C"q = Aon

simetrik.

98. Jika sebuah tensor simetrik (antisimetrik), apakah kontraksi yang berulang kali dari tensor ini juga simetrik

(anti-simetrik)

99. Buktikan bahwa A

orxp

xq = 0 jika .4rn sebuah tensor anti{imetrik.

100

Berapakah jumlah terbesar komponen-komponen yang berbeda yang dapat dimiliki oleh sebuah tensor kontravarianrank dua yangsimetrik jika (a)N=a, @)N = 6 ? Berapakah jumlahnyauntuksebaranghargaN?

l0l.

Berapa ban;-ak komponen-komponen tak nol, selain daripada perbedaan dalam tanda, yang dimiliki sebuah tensor kovarian rank tiga yang anti-simetrik ?

02. Jrka Apq sebuah tensor, buktikan bahwa kontraksi rangkapnya menghasilkan sebuah invarian.

l0 3. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar sebuah tensor rank R menjadi invarian melalui kontraksi yang berulangkali a.ialah bahwa R adalah genap dan bahwa jumlah indeks-indeks kovarian dan kontravariannya sama-dengan

R/2.

A-^ pa dan 8"" adalah tensor-tensor, perlihatkan bahwa hasil-kali luarnya adalah sebuah tensor rank empat dan bahwa dapat dibentuk dua buah hasil-kali dalam darinya yang berturut-turut memiliki rank dua dan nol

104. Jika

ANALISIS TENSOR

208

105. Jika ,q@, q)Bq = Cp dimana 8u adalah sebarang tensor kovarian rank satu dan Cp sebuah tensor kontravarian rank satu, perlihatkan bahwa.4(p, q) haruslah berupa sebuah tensor kontravarian rank dua" 106. Misaikan Ap .dan Bo adalah tensor-tensor sebarang. Perlihatkan bahwa jika Ae B q C{p, maka C(p, q) adalah sebuah tensor yang dapat dituliskan

{)

sebuah invarian

t0?.Carilahjumlah.S=A+B,selisihD=A-B,danhasil-kaliP=ABdanQ=BA,dimanaAdan8adalah matriks-matriks.

(a,A=

(; -l) . B= (-; -:)

I z o r\ I t z\ (b\a=l-r-r rl. ' B= [, -1,-nl \-, -, ,/ \-' t 4l 108. Carilah (3A 109.

(a)

- 2B)(2A -

B), di mana A dan B adalah matriks-matriks dalam soai sebelumnya.

det (lP) = {aet e} {a"t a}

Buktikan trahwa

(b).Apakah det(AB)

untuk matrik-matriks dalarn Soal 107.

= det(BA)

rlo.Mis,rkanr=(: -ii,).

l-s z -t\ B= (;: :)

Perlihatkan bahwz (a) Alterdefinisikan dan carilah.4B

,, lI2.

cari,ah x,ydan z sehingga

-r jika

Apakah A-t

j)(t) ti i

BAdan

+ B tak terdefinisikan.

Invers dari sebuah matriks bujur-sangkar A, yang ditulis.4-r didefinisikan oleh persamaan AA-t = I, di mana 1 adalah matriks satuan yang memiliki elemen+lemen berharga satu pada diagonal utamanya sedangkan yang lainnya nol.

carilah.

, (b)

(o)

A=1

Buktikan bahwa

(_; -:)

dalam kasus-kasus ini

, = (j j) _j

(bt A

(? _l i)

tak memiliki invers.

l14. Buktikan bahwa(,48I 1 = j-1,4-l,dinanaAdanBadalahmatrk;-matriksbujur*angkaryangtaksi ngular.

ll5.

Nyatakan dalam notasi matriks pâ&#x201A;Źrsamaan-persamaan transformasi untuk (a) vektor kontravarian (b) tensor kovarian rank dua {c) tensor campuran rank dua.

ANALISlS Tt:NSOR

Tentukan harga-harga dari konstanta sebarang nrrrtriks. [larga-harga ], ini

sehingga

/ A)' _,u.ur = )wY' di mana I = I ' -'\rl \_3

danxadatah

disebut harga'lurga karakteristik atau eigenvalue dari matriks '4'

karakteristik dari matriks '4 ili= 0 dari soal sebelumnya untuk nlenentukan harga-harga F(,4) adalah matriks vllg di. mana pertihatkan di 0. F(l) = bahwa sebut persttrrruun kara*teriiiik untuk .4. mana suku konstant c diganti peroleh dengan menggantikan tr dengan I dalam persamaan karakteristik di berharga nol (disebut matriks nol)' Hasil rJengan nratriks c.I. dan 0 adalah mairiks yang elernen-elemennya bahwa seLruah matriks memenuhi yang menyatakan ini adalah hal khusus dal- rcctrettu llarttilton-Ca1,lc.f persarnaan

F(I)

persamaan karakteristiknYa.

ll8

Buktikan hrhiva

(,{Bi = B'

(a) silinder parabolik Tentukan tensor metrik dan tensor metrik konyugat dalam koordinat-koordinat

(b) silinder eliPtik.

a! dan br adalah konstanta-konstanta bau ah transformasi afin i" = af,xp + bt ' di mana kontravarian dari sebuah fo,' = 6p. tak ada perbedaan antara komponen-komponen kovarian dan yang satu ke yang laintegakJurus koordinat sistem dari transformasinya t""r.5"1uf, hr; ih;r;t di mana

t20 Birktikan bahwa di sehinsga

nya, nraka tensor-tensornya disebtrt tentor-tensor kartesii'

yangberhubungandengands2 =3(d-rr )2 +2(dx212

l2l. Carilahgdany'k

i22. lika ,qh = dh Ai,

perlihatkan bahwa

t 4(dx3)2 -6d\tdx3

= g jkAh dan sebaliknya'

123. Nyatakan hubungan antara tensor-tensor sekutu berikut

(a) Apq dan Aiq, O) .41;' dzn Apr,<") Ai'i

r24. perlihatkan

bahwa

(o't A;q

dan

A!k,.

a!r, = /q atrs. o\ Allrer'

e)1rsfr

ni*

'!r '

Karenanva' de-

dummy dalam suatu suku dapat diturunkan dari kemonstrasikan hasil umum berikut bahwa sebuah simbol tanpa merubah harga dari sukunya' bawahnya kedudukan dari dudukan atasnya dan dinaikkan

125. perlihirtkan bahwa srkaAior= *,nrr,makaApqr=BorCrdanA'a'=.Bo,qCr.Karenanya'demonstrasikan memiensor dapat dinaikkan dan diturunkan tanpa nasil berikut bahwa sebuah indeks bebas dalam sebuah pengaruhi berlakunYa Persamaan'

126. Perlihatkan bahwa tensor-tensorg

127. Buktikan (o) c;t '

7r1

= + Oxl

,r'foo

)-s

qc"#'

dan 6p adaiah tensor-tensor sekutu'

= tf c' ?xf d-;

(b) -ik

?zb

a,,

yang bersangkutan 128. Jika -4p sebuah medan vektor, carilah vektor satuan

vektor satuan 3 dimensi U' dengan kurva129. Perlihatkan bahwa cosinus dari sudut-sudut yang dibentuk oleh kurva koordinat diberikan oleh

Ur,2,+ y'to

,Fto {to

koordinat-koordinat (a) tegak-lurus' (b) silinder 130. Tenrukan sirnbol-simbol christoffel jenis pertama dalam dan (c) bola.

ANALISIS TENSOR

31. Tentukan sinrbol-simbol Christoffel jenis pertama dan kedua dalam koortiinar-koordinat (a) silinder bolik, (b) silinder eliptik.

32. Carilah persamaan diferensial untuk geodesik dalam koordinat-koordinat (a) silinder, (b) bola.

33. Perlihatkan bahwa geodesik pada bidang datar berupa garis.garis lurus.

para-

134. Perlihatkan bahwa geodesik pada permukaan bola adalah lingkaran-lingkaran besarnya. 135. Tuliskan sinrbol-simbol Christoffel jenis kedua untuk metrik

ds2 =

1ctxr12

+ l@rf -@L)2)(dr2)2

dan persamaan geodesik yang bersangkutan.

136. Tuliskan turunan-kovarian tcrhadap -tq deri masing-masing tensor berikut

AlLb,

Alt:. <q

Aln,

137. Carilahtrrrn.nkovariandari 138. Pergunakan hubungan,4i

AibL, @

Alk.

(o)errA , (b)AJ

tinAo untuk

Bh,

@SIAJ

terhadapxq.

memperoleh turunan kovarian-4

dari turunan kovarian,4o.

139. Jika O sebu:h invarian, t'uktikan bahwa <P,rn = O.,Ip,yakni urutan dari turunan kovarian tidak penting. 140. Perlihatkan bahwa

l4l.

€Pqr

dan epqr adalah berturut-turut tensor-tensor kovarian dan kontravarian.

Nyatakan divergensi vektor.4p dalam komponen-komponen fisisnya untuk koordinat-koordinat (a) silinder

parabolik, (D) paraboloid. 142. Carilah komponen-komponen tisis dari grad @ dalam koordinat-koordinat (a) sihnder parabolik, (6) silinder eliptik. 143. Carilah

I44.

V26

dalam koordinat silinder parabolik.

Pergunrkan notasi tensor untuk mernperlihrtkln bahwa (a) div curl

lb) curl grad O = 0.

145. ftitunglah turunan intrinsik dari nrcdan-rlcdan terrsor lrerikut, anggaplahsebagai lungsi-lung:i diferensiabel rlrri I {a)Ao, $).:io, (r)A Bk, kt)AArk di rnana<lrscbuahinvaridn. :

146. ('aril;rh lunrnrlr inlrinsik 147. Bukrikirrr

diri (o)

SiOAb,

firr,, nrn.l = ,rlq b

{t)

aJOer, <rt

r.tl 4.

148. Perlihatkitnbahwajikatakadagayaiuarylngbckerja,ntakascbuahpartikelrlenganmassakonstanbergerak sepan.jang gt'odcsik yang diberikan

olth

9,d, d-s ds

2lt

ANALISIS TtsNSOR

jen:syangsamaadalah Buktikan bahwajumlah dan selisih dari tiua buah tensor relatifdengan bobot dan jenis yang sama. dan juga sebuah tensor relatif dengan bobot I 50.

l5t.

ll1a Alq adalah sebuah tensor relatif berbobot w, buktikan bahwa I

t /?

zlpq adillah sebuah tensor absolut'

B,qr adalah rensor relatifsebarang tjengan botot u i .lan c|, adrlrh tensot relatif yang diketahui dengan bobot rt 2. buktikau bahwa,4(p, q) adalah sebuah tensor relatif berbobot rt'2 w, . Ini adalah sebuah contoh dari hukum hasil-bagi untuk tensor-lensor relatif Itka A(p, s)

B:" =a;" ,0,

mana

152. perlihatkan bahwa besaran (;U, k) d,ari Soal-soal 1'ang Dipecahkan nonlor

adalah sebuah tensor relatif

berbobot dua. koor153. Carilah komponen-komponen fisis dari (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partike'l dalam dinat bola.

154- Misalkan

dan

adalah dua buah

vektor dalanr ruang berdimensi tiga. Perlihatkan bahwa jika L dan g

adi,lah konstanta-konstanta, maka C' = M' + pB' adalah

sebuah vektor yang terletak dalanl bidang dari

danB'. Apakah interpretasinya dalam ruang yang berdimensi lebih tinggi

155. Perlihatkan bahwa vektor normal terhadap permukaan $(xt, x?,.t3) = konstan diberikan

oleh Ap

Carilah normal satuan yang bersangkutan'

,fn #.

155. Persamaan kontinuitas diberikan

oleh V'1ou) * *dt

di mana o adalah kerapatan dan I kecepatan

fluida. Nyatakan persanlaannya dalam bentuk tensor.

157. Nyatakan persamaan kontinuitas dalam koordinat+(oordinat (a) silinder dan I

(b)

t'ola.

58. Nyatakan hukum Stokes dalam bentuk tensor.

(a) p danq' (b)rdans' 159. Buktikan bahwa tensor kelengkungan kovarianRrn," adalah anti-simetrik dalanr

160-BuktikanR pqrs =R rspq 16l. Buktikan

* (b) RrqJ"s *

("\

Rpqrs

Rp"gr.

+ Rp,l-rn

Rrqf" + Rr"pq + Rpsaq

Buktikan bahwa turunan kovarian dalam ruang Euklitl adalah nol. Dcngan deniikian hasil ini nremperlihatkan bahwa tensor Riemann-Christoffel dan tensor kelengkungan adalah nol dalam ruang Iiuklitl.

16 3.

Misalkan ,' = #

rdalah

ktor singgung rerhadap kurva C yang pcrsar.ttaannya atlalah xp

nranaspa:rjangbusur. (a)l)erlihatkan bthwaSorTef r.crnpcrlihltkan baSwa dC =

g + Kas

krn brl,*, 6fl9 rrrt.g.rrrrl tcrlrrJap b.

=1. (b)Buktikanbah*:grn"#=O

adalrlr norrnal satr:a,r tcrhrdap C untuk Nq

xp(s) tli yang

yang scsuai.. (c) Bukti-

ANALISIS TENSOR

112

64. Dengan notasi dari soal terdahulu, buktikan

(o)

srrf

tq=0,

(b)

%s/Y=-K

atau

Er/rY+xrq'1 =s.

,' = +(Y - xIl1 yang ortogonal baik terhadap Tp dan Nq

Hasil ini dengan demikian memperlihatkan bahwa

untuk

yang sesuai,

adalah sebuah vektorsatuan

.65. Buktikan run.Ius-rumus Frenet-Serret

.ro, {

=,ur

-*rr, *

-,n'

di mana Tp , Np

d,an Bp adalah vektor-vektor singgung satuan, normal satuan dan binormal satuan terhadap C, dan x dan r adalah kelengkungan dan torsi dari C.

166. Perlihatkan bahwa ds2

c2(dr4f

drh drh 1N=s1 invarian di bawah transformasi linear (affine)

y67-ux\,

72 =

x2,

-xo

= x3. ,a

= 7@a

- â&#x201A;Ź *,

di mana 1,$, c dan v adalah konstanta-konstantap= vlc d,ar.7= (l - A\-'/'. {ni adalah transformtsi Lorentz dari teori relativiias khusus. Secara fisis, seorang pengamat pada titik asal dari sistern ;rt melihat suatu peristiwa pada kedudukan xr , x2, x3 pada saat x4 sedangkan seorang pengamat pada titir. asai dari sistem ii me-

lihatperistiwayangsamaterjadipadakedudukanll.n2, x3 pada saat-a. Dianggap bahwa (1) sumbusumbu xl dan- I trerimpitan, (2) sumbu-sumbu positif x2 dan x3 mhsing-masingnya sejajar dengan sumbusumbuposrtifi2 dan73, (J)sisterniibergcrakdengankecepatanvrelatif terhadapsisterr,xi,dan (4)kecepatan cahaya c adalah sebuah konstanta.

167. Perlihatkan bahwa sebuah batang yang berada dalam keadaan diam dalam sistem ii 1xi) dan terletak sejajar dengan sumbu ii(x') da.r panjangnira Z dalam sistem ini kelihatannya memiliki panjang yang berkurang L \n -e 'Gejata ini disebut konrra ksi Loreniz-Fitzgerald.

JAWABAN UNTUK SOAL-SOAL TAMBAHAN 71. (a) aoxkxs (b)

zs'

A2iBj o elnh

r"r-alr{;1r * };tGe', * 61 ,lr1 nprc,

,1,1

nlrc, +

@,1 s29

srr,N=4

4;r,N=z

+-<Gn"t r"t49r:-dw (c) aa1 a7*' a" bl'*

#af,c, + l,2of;c,

79. ElipsuntukN= 2, elipsoiri untuklY= 3. hiperelipsoid untuk N=4.

80'

( a..rl

+ a.nx2

t ";;,' 'o'o,'

8r. (o)

--9 A,k .ii r"bo = r-y' -a,, # # ^i A^r

o\*q'=

--6

ul' 5 YY p dis ^-o

dxl dxr

. rc) icpq _ = )*, ?rf, r^"

# #

i^" = \

dl.,

' -a/ a'l

a,x

a;"

213

ANALISIS TENSOR

82. (a) B(i, ft, rz) adalah sebuah tensor rank tiga, kovarian orde dua dan kontravarian orde satu. Ia dapat ditulis B:. @) C(j, k, m,n ) bukan sebuah tensor.

83. 4s =

1024.

$ - z cos @ + p3 sin2 $ co.'6, -2p2sin dcosd + pzslnO * fslnScos3$,

81. (q) 2p

cos2

sin

lb) 2r sin20 cos2@ - r sind

cos

0 cosf +

sina6 sln2@ cos2S

+ P sln9 cos2d

sln@,

2r2sin9 cos6 cos2@ - 12cos26 cos@ + rasins9 cosd sirf $ cos2$ - r3sin29 cosd sin@, -2r2sitf0 sind cosd + r2sing ccs0 sin@ + rasina€ sint' cos3@

88.

u2uz * 3u, 3u - uo2z, u2 + uu -

8s. rol Bfs, o) th'

95.

)4. Ia bukan sebuah tensor 100. (o)

10,

,o?.(o)r=(;;),

(b,s-[; ,08.

(a)

lll.

t---l

r1z. (c)

r0r.

(6) 21 , (c) N(N+ 1)/2

lr',r

-:)

,,, (_.1

-t)

j:: 1;:)

Masin g-masing rank 3 dan I

,r, ( -:

(i ,;

-E

-3

-l; -il) '= (-i ri)

-;)

z=2

r)rl *,

til ri: i)

(l) (fi -il() 1,,,

"'\;,

Ya.

,= (:: -:)

98.

(N- 2)/6

P = (';

I ?) fii

(;li -ll) ,y--3,

{-; D=

, r"l 51, ral ru

,,, ,."\

:-:) €EilF^'

€*s

ANALISIS TENSOR

214

[t il ffif il V,) ffiril

l1e (a)

116.\=4,-1

('i"':,,l) (

\ =+-,, "-

J."- ,

(6)

i), (*1=*

('-t'"1+srn2u),.",*,0,."*,, jL

"?Cilh';0 "D'")

u r\ rtz ol

lttt

' \i o'l | o

t?t.

,=6,

123.

(.)

126.

q",m

lsi}y =

Abah:'qn = s,'Aj ,

bb A,

tu,

n.o

r'L

njo* nr 4o'= spisra{L

ei.ht

130. (a) Yang lain semuanya nol (6)

(c)

lzz,t) = -p lzz,t) = -',

, ln,il [as.r]

= lzt,z) = p. Yznglain semuanya nol sta20, [rs.z] = -12stn9 cos0

=-r

[n,21= [o,z) = '. [gt,r] = [rs,r] = r sln20 Yang lain semuanya [ez,s] = [zs,s] =

131. (a)

sin9 cos0.

= ", fzz,z)=,, [rr,z] = -", Lzz,r) Irz,r] = [zr,r] = ,, lzr,z) = ln.il = ".

[rr,r]

{,i} = ?+}, l:,\ {,1}= {;} (6)

nol

-u,

=;}, {;} i;?, t,1}

,.}_a".'{;}

{;}=

,-!u",

?r},

Yangrainsemuanvanor

[rr,r] = 2a2slnhucoshu, lzz,z) = 2c2sinucoso, [rr,z] = --2a2slnucosu Lzz,i = -2a2slnh u cosh u, Irz,t] = [zr,r] = 2a2 slnu "o"r, Izr,z] =ln,il'2c2slnhu cosu J , \ =-sinhucoshu. .f, \=- sinhu cosha J, \ = - slnu -"1r'r' ).zz il -"tr'r' \zz I slnh2r +sln2u' f "i"h', l f "t"h'" sinucosu Jr\= -stnucosu ,1\ =/t\= +sin2r' +sin2u' sinh2u stnh2a i ttt \2, I ltzJ

{; } = {,1 } = #:fr#r: '

yang lain semuanva nor

coahu

ANALISIS TENSOR

#- o,fff = o, '# riy'* = ,, *

or*-,,n:f -,s#01{4Y = ds-

sinocoso<ofr =

#.?*r:-

a'e*?drde*zcoto]1a6=o ds2

r ds ds

{;} =.' {;} = {;}

ata

\:,)'

Yang lain semuanya nol 1x212

6L12'

#-*,f,=o. #,.af,*;,'*f .vf-,*(ir =; - {;},jo . {J,},;- . { j"} ,i (a\

L,q

d"'

-;k dA:

ttt.ll h,q

-O Ox'

erj ""kln

,q!. R

LfrIq

_ ikl dA;

ibL

-:---

<al A^,q

(e)

r3?. (o)

aei"

dx\

_ih

dA: Ltln .J dt'

Lnntq

,',1 . ,;* . {;" } {,; } ^': - l,i,}

- {;l^'*,- {;}

ll,ln11'

{j"}

,J. .

{;"} 4,,

,*' . {;,}4',"

- {; } ^i:"- l),|^,i.- {;},ii" . {;:}

li" , ,0, ni,,, n. * s.. J4YY4k,qAJ,q

, l-:

n',u'

},,i-- {;1

{,;

{j"},#

Firl*rr"'+u2

,qi

Au\ +

,*l-alf,"',r;'

a. ,

) .-

,,x .

{l } ,,1'"

6.i e.

E,e" . ; fr<y'"2+"'n,)) e,r + <,,/,'* e,t) $

^2 . r dA"

7"2

r)OrEOaO l4Z. (a) -r--1 {: e, + -r-ie, + ii e, y'u2- u2 au dz v's2qrz =dv (D)

(Iia+ez + ;+ -:_-]_-;er) . "rnr,

ay'sinhzu

di mana e*

Ia3.

, [- D'Q -;-:-.1 y'l u' l *au' bA_

,nr. ("1

dan

Jhr = A"'',Y^

ao ; ",

adalah berturr,lt-turut vektor-vektor satuan dalam arah pertambahanu,

* 1T ov'

1,2*,21Q1

*= (} {;},")

* +-{;\^,#

v,danz

ANALISIS I'LNSOR

216

*,+ = +.

n'o# -

{;"}

{i} n" #

t.rfreTa'l = Y,o.,,# =

. .#. *C

,r,*,orj, bt

1{6a

(# - {;} ^"#)ab * '<i(# . {j"}"#)

,,.4 ,.,#lii: il;}'r#)'*c

,,,,jp = ':(?- {;} ^"#) = '* - {i,l*# n,,,ori$ = trh(# {;},1 'i.l;"1:;#) i, 16,, er,l| $ (D) i - ,# -, atr,20 $2, L

ln3. (o)

,*. ?g+ -*

1!2. (o)

tal

fi<r,,t

t<C4 - r stal .or0 $",

= 0

* . $roa $ro,4

12,

dan

tts. f Pds 4 ds = - [{ 'lc ^^ J

+ .X

adalah komponen-komponen

,"'

*622tn20

dimanavqadatahkomponen-komponenkontravariandarikecepatan

^r,,

cotl) -9

*!<.,cl *=f1o,"1 *rr4+f 3ror,l drdAdO'dt di mana vl,

kontravarian dari kecepatan.

ds di *un^ d

adalah vektor satuan singgung pada kurva ter-

tutup C dan trP adalah normal satuan pada perrnukaan S yang memiliki

C sebagai batasnya.

A Aerodinamika, 84 Aliran panas, dalam keadaal tunak, 129

DEKS

Cutl, {bnjutan) bentuk tensor, lj6,199 dalam koordinat bola, 156 dalam koordinat ortogonal, 140, 153 dalam koordinat siiinder, 15,51, 56

medan skalar, 3 medan vektor, 3 Aljabar matriks, 172

&uigradien, 59,70,2lO

vektor, 1,2

definisi integr3l dari, I 25, 154, 155 interprestasi secara fisis. 1 33 invarians dari, 82

Analisis tensor, 74, t40, 160,168-216 Arah berlawanan perpuraran jam, 90 Arah negatif, 90 Arah perputaran jarum jam, 90 Aturan rantai, 78, 179, t 80

Cycloid 134 D Daerah terhubung-lipat-ganda, il4 -lL6 Daerah terhubung-sederhana, I 12, I 15. I 16 terhubung sederhana, (simply-connected), 116 Dapat diorientasikan, I 00 biasa, 36. 37

ll2,

Bebas, linear, 10, l5 Benda-baku, gerak dari, 60 kecepatan da,j, 27, 34 Bentuk kuadratik fundamental a iau metrik, I Bentuk kuadratik fundamental. 151

Bentuk matriks. 151 Bentuk operator integraj untuk v,109,125 Besar, dari sebuah vekto;, I Bidang normal, 39. 48 Bidang oskulasi, 39, 48 Bidang rectifiying" 39, a8 Bidang singgung, 50, 52 Bidang jarak titik asal ke, 22 normal, 39, 48 oskulasi, 39,48 persamaan dai, 15. 22, 29 rectifying, 39, 48 singgung, 50, 50. 62 vektor yang tegak lurus, 29 vektor-vektor pada scbuah, (/Ira, vektor-vektor koplanar

Binormal, 39,46,48 Brahc, Tycho, 87 C Cahaya, kecepatan dari, 82

Circumcenter,35 Cosinus-cosinus arah, I

Curl, 58, 59,68-73

5.9

1 1

2, I I 5,

parsial, 37, 38 rumus untuk, 37, 39, 41, 42 urutan dad, 38, 70 Del (v), 58, 59, {lfuat juga Gradien, Divergensi dan Curl) bentuk operator integral r:ntuk v, I 09, I 25 irwarians, 82 rumuvrumus yang mengandung v, 59 Delta Kronecker, 170, 180, lgl Delta, Kronecker, 170. 180. l}l (tihat juga simbol Kro necker Descartes, folium dari, 16

Determinan, kofaktor dari, 1 73, 1 gg cud dinyatakan sebagai, 58, 59 dari sebuah matriks, l7Z, )OB

diferensial,42

kd: :ilang dinyatakan sebagai, 1g, 24 hasil-kali tripel skalar dinyatakan sebagai, lg, 2g, 29 perman Jacob, (lihat persatwan tacob) Determinan, perkalian dari, 161 Diagonal dari matriks bujur-sangkar, i 72 Diagonal utama, I72 Diferensiabel, medan skalar, 58 medan vektor, 58 hasil

Diferensiasi vektor-vektor.

36-57

Diferensial eksak, 84, 94, 1 I

INDEKS

218

Gelombang sinar sinar, 65 Geodesik, l'14, 175,196, 197, 210 Geometri diferensial, 3 8, 3 9. 45 - 50, 167, 2l j, -212 Ccome tri, diferen sial, (/rft a, Seometri diferensial) Gerak fluida, 67,68,73,118, 119, 128 tak termarnpatkan, 67, 1 28 Gerak, dari fluida, (/iiar gerak fluida) dari planet, 86-88 Gerak, mutlak, 54 Gradien, 58, 59, 60-64, 179 bentuk tensor dari, 176, 199 dalam koordinat kuwalinear, 140, 151, 152 dalam koordinat-koordinat bola, 155, 200 dalam koordinat-koordinat silinder parabolik, 1 5 7, 2 i 0 dalam koordinat-koordinat silinder, 155, 156 invarians dari, 82 Gran, (lihat jugo gradien) Green, teorema identitas pertana, 109, 123 identitas kedua atau teorema simettik, L09,123 teorema dalam ruang, (lihat teorema divergensi)

Di ferensial-diferensial, 3 8

Diferensiabilitas, 37, i8 Dinamika, 39 (lihat iuga mekanika) hukum Newton dalam" (lihat hukum Newton) persamaan Lagrange, 196, 2O4

Divergensi,5T,65-67 bentuk tensor dari, 1?6, 199, 200 da.lam koordinat kurvalinear, 140, 153 da-lam koordinat parabolik silinder, 163 dalam koordinat silinder, 155, 199, 200 dari curl. 59, 70,71, 2lC dari gradien, 59,65 invarians dari, 82 penggunaan secara fisis, 122 Div, (liha t Divergensi)

Dyadic.74*75,82 Dyad,74 Dyed-dyad satuan, 74 E

I-igenvalue, 209 Einstein, teori relativitas Eksentrisitas, 88

dai, 206, 2I2

H Harga-harga karakteris

Ekstrim, 195

Hasil-kali Hasil-kali

Elemen garis, 172, 187 -189 Elenen, dari sebuah matriks, 171 Elemen, garis, l7Z, 187- 190 volumc, 139, 140, 161 Elips,64, 142 prrak dari planet dalam, 87, 8[ luas d-ari,

luar,171,182 skalar, 1 83, (/iftar juga hasil-kati titik) tensor, 171 vektor, (lilut juga hasil-kali vektor) Hasil-kali dalam(inner product), f7l, 183 Hasil-kali kot3k, 17 dalam, 171, 183

Energi, 95 kekekalan dari, 95

determinan, 161 matriks, 172 sebuah vektor dengan sebuah skalar, silang, (lihat hasil kallsilang) tid.k, (lihat hasil-icali titik)

kinetik,94,203 potensial, 95 Energi kinetik, 95, 203 F

Fluks,84,122

titik, skalar dan vektor,

(kegagalan) hukum

G Garis, persamaan dari, 9, 12 persamaan-persilnaan dari parameter, I 2 sungap, l3 sumber, 13 Gaya inomen, 26,27,5l Gaya sentral, 57, 86

coriolis,53 momen dari, 26,27 , 5l pada partikel, 203,2M tolak. 86 universal gravitasi, 87 Caya-gaya nyata, 54 Gaya-gaya "khaval", 53 nyata, 54 resultan. I I

39,41' 46, 48' 50

komutatif untuk, I 7

titik,

17, 18-22 hukum distributif, 17, 19

Hasil-kali

trjntuk simetrik untuk persamaan dari, 9

Garis-singgung, terhadap kurva ruang

Hasil-kali kotak, 18 Hasil-kali luar, 17i Hasil-kali silang, 17, 18, 22-27 bentuk determinan untuk, 24 hukum distributifuntuk, 17, 24

Fakto:-faktor skala, I 39 Fungsi

tik atau eigenvalue, 209

tipel, 18,27 -32

hukum komutatif untuk, 17, 19

Hasil-ka]i, kotak, 18 dalam, 171, 183

determinan, 161 matriks, 172 sebuah vektor dengan sebuah ska-lar, silang, (Iihat trasil-kali silang)

titk, (l iha t hasil-kali) Hasil-kali, (/rhar hasil-kali) Heliks, lingkaran, 46 Himpunan atau sistem vektor-vekto: resiprokal, 18, 32, 35,139, r50 Hiperbola, 88 Hiper-bidang (hyperplane). 1 78 Hiper-permukaan bola (hypersphere)

2t9

INDEKS Hukum asosiatil-. 2. 5, l8 Hrrkum

distributii

untuk untuk untuk untuk

dyadik, 74 hasil-kali silang, 18, 22, 24 hasil-ka]i titik, I 7, I 8

matriks- 172

Hukum Gauss, 137 Hukum hasil basi. 171, 185 Hukum jaiaran genjang untuk persamaan vektor, 24 Hukum Kepler, 87, 88, 103 Hukum Kepler, 87. 88, 103 Hukum komutadL 2, 5, l7 Hukum Newlon. 39, 5 l, 53 da.lam bentuk tcnsor, 202 universal gravitasi, 87

Hukum-hukum aljabar vekror, 2, i9 Ht pocycloid. I 34

Kecepatan luas, 87

Kecepatan lelatif, -53 Kecepatan sudut, 27, 43 Kecepatan, 4

sudut, 27,43, 52 Kecepatan, sepanjang kurva ruang, 37,40 dari cahaya, 82 dari fluida, r.:,, dari partikel, 43, 53, 202. 203

linear, 27 luas. .;7 relatif terhadap pengarnat yang diam dan bergerak, 53 sudut, 27,43, 52 Kekekalan energi, 95 Kclengkungan, 39, 45, 47, I i 3 jejari, 39, 45, 47, 50

Riemann-Christoffel, 206

lndcks dumm!'. 169

tensor, 205 Kepler, hukum. 87. 88. 103 Kerangka-kerangka acuan, 59, 168 Kerapatan arus, I 28 Kerapatan muatan, I 28

Indeksumbral. 169

Kcnpatan, I28

lndeks atas, 168 Indeks bebas. 169

Indeks, dumnr)' atau umbra.l, 169 . bebas, 169 lnteg;al garis, 83 88-96, I l3 evaluasi dari. 88-90. I l3 sirkuiasi seei pandangan, 84, 133 teorema Green dan evaluasi dari, I l5 tidak bergantung pada lintasan, 84, 9

t, 1 I 3, I 16, 131 132 Integral permukaan, 85, 96 - 1 00 didefinisikan sebagai limit dari suatu jumlah, 96 evaluasi dari, 85 Integral ruang, (lihat integral volume) I4tegral volume, 85, 101-103 didefrnisikan sebagai limit dari suatu jumlah, I 00, 101 Integral, dari rektor, 83-107 garis, (lihat integral garis) permuk aan, (lihat integral permukaan) tak tentu, 83 tentu, 83 teoremFteorema pada, (lihat integral teorema) volume, (lihat intergpl volume) Integrasi (iihat integral, dari vektor-vektor) Irisan kerucut; 88 J

Jajaran genjang. luas Caii, 18, 25 Jarak antara dua titik, I 1 Jejari, dari kelcngkungan, 39,45,47, 50 dari jejari torsi. 39, 46 K Kaidah penjumlahan. I 59. I 7'?, l'l'1. 206 Kalkulus variasi, 1 75 Keadaan tunak, 3 medan skalar, 3 medan vektor, 3

arus, I 28 muatan. i 28

tensor,177,202 Kesamaan, oari matriks-matriks, I 72 dari vektor-vektor. I Khayal, gaya, 53

Kinematika, 39, (lihat juga dinamika dan rnekanika) Kcrfiscn difusi, i 29 Koefisien-koefisien matriks, r 5 1 Kofaktor, 1 73. 1 88, 1 89

Komponen-komponen fisis, 174, 20C, 2M, 2ll Komponen-komponen kontravarian, 1 39, 158, 1 59,

dyadik, 74 fisis

(lihat komponen fisis)

kovarian,139

vektor,3, 139, 158, i60, 169 Komponen-komponen kovarian, 139, 159, 150, 169 dari sebuah vektor, 139, 159, 160, 159 dari sebuah tensor, i69, 170 Komponen-komponen sebuah vektor, 3, 7, 8 tegak lurus, 3

Komponen.komponen kontravarian, 139, 158, 170 darisebuah tensor, 159, 169, 170 darisebuah vektor, 139, I58, 159, 169

Konduktivitas panas, I :8 Kontinuitas, 37, 38 persamaan

dai, 67', 128,

2ll

Kontraksi, 1 ; -, 1 82, 1 83 Koordinat kurva atau garis, 138 Koordinat bipolar, 143, 16 1 Koordinat bola, elemen volume dalam,

Koordinat bola, 140, curl dalam, 155

i47,

148

l4l,144,149,

divergensi dalam, 199, 200

geodcsik dalanr,210

161, 162

i59, f69,

INDEKS

220 Koordinat bola (lani utan) gradien dalam Jacobian dalam, 162 kecepatan dan percepatan dalam, 162, 2l I komponertkomponen kovarian dalam, I 79, I 80 Laplace dalam, l,<7, 200 panjang busur dalam,57, 148 persarnaan kontinuitas dalam, 211 persamaan panas dalam, 163 simbol Christoflel dalam, 194,2O9 tensor metrik dalam, 187 t'ensor metrik konyugat dalam, 189 K oordinat elipsoi dal, 1 43, 16 2 Koordinat kurvalinear permukaan; 4qJ7, 157 panjang busur, 57, 148

Koordinat kurvalinear, dcfinisi,136

,l40,

Kurva tertutup sederhana, 83, 108 luas dacrah yang dibatasi, I l4 Kurva, ruang, (lihat kurva-kurva ruang) Kurva-kurva ruang 36.

binormal, 39,46,48 jejari kelengkungan, 39.45,47, 50 jejari torsi, 39, 46 kelengkungan dari, 39, 56, 139, 150 normal utama, 39, 45, 48, 50 panjang busur dari, 39, 56, 139. 150

bipolar, 143, 161 bola, 140. l4l,(lihet koordinat bola) elipsoid, 143,162 oblate spheroidal, 141, 148, 162,163 paraboloid, 143, 161, 163,21i prolate spheroidal, l1Z, 162 silinder cliptik, 112, 157, 16I, 16.2, 210 silinder parabollk, l4l (lihat iuga koordinat silinder Parabolik)

Kubik terbelit, 56

135

panjang busur dalam, 57, 139, 140, 161 percepatan, 145,203, ZM, Zll permukaan, 49, 57 , I 57 umum, 150, 156-159 Koordinat oblate Spheroidal, 143, 146, 162, 163 Koordinat ortogonal. khusus, 140* I 44

(lo ni u ta

kecepatan dan percepatan pada, 145, 203,2O4 Laplacian pada, 155, 156, 200 pzuljang busur pada, 146 parabolik. (lihat koordinat silinder parabolik) sinrbot Christoffel pada, 195, 210 tensor mctrik konyugat pada, 2 I I tensor metrik pada, t87

16 7

elcmen-elemen volume dalam, 139,

ortogonal,49,

Koordinat-koordinat silinder iacobian iada, 162

percepatan sepanjang, 37,40, 50, 57 4 1, 46, 48, 50

vektor singgung satuan, 39, L Larange, 204

Lembar Mocbius, 100 Lemniscate. 134 Luas daerah, yang dibatasi olch sebuah kurva tcrtutup derhana, 1 14 dari elips, I 14 dari jajaran gcnja:rg, I 7. 25 dari permukaan, 105, 106, 163 dari segi tiga 25 vcktor, 26, 84

silinder, 140, 141, (/rl,a, koordinat silinder)

toroid,144 Koordinat paraboloid, L42, 162, i63, 210 Koordinat Prolate Spheroidal, 142, 162 Koordinatsilinder parabolik, 14l, 146, 157, 16 1, 163, 2L0 curl dalam, 163 divergensi dalam, elcmen volume dal.am, 147 gradicn dalam, Jacobian dalam, 162 Laplacc dalam, 157

ptmjang busur dalam, 146 persamaan Schrocdinger dalam, 163 simbol Christoffcl dalam, 210 Koordinat silinder, 142, 157, l6 l, 210 Koordinat Spheroidal, oblatc, 143, 148. 162, 163

prolatc.142. I62 Koordinat toroid, 144 oordinat, kurvalincar, (//ral koordinat ku rvalinear) Koordinat-koordinat silinder, 140, I 4 l, I 44, t4 5, I 6 t, 162 curl pada, 15, 156 divcrgcnsi dari, 155, 199, 200 elip ttk, {liha t koordinai silinder clip tik)

clcmcn vohrmc pada, 147 gcodesik pada,2l0 gradicn peda, 155, 156

Matriks baris atau vektor, 17 2 Matriks nol, 172 Matriks satuan, 172 Matriks sesuai (conformable), I72 Matriks singular, 172 Matriks, bujur-sangkar, I 72 transposc dari, I 72. 209 Matriks, 171, 172, 186, (lihat iugo matriks) pcnjumlahan, l7l

sama 172 scsu:ri, (conformable), i 72 eijabar,

'diagon:rl

di tcrima

dari, I 72, 208

tarna

da:i, 172

clcmc:n-elcmcn, 172 invcrs dari, I 72

kolom, I72 nol,172 ordc dari, I 72 singular. I 72

Mcdur ktnsc;vntif, 73, 64. 91, 95 gcrrk partikcl di. 95 s-u"rrrat pcrlu ilan cukup, 92, 93

se-

INDEKS

221

Medan vonteks, 72 ilfedan selonoidal, 68, 73, 122, I.28 Medaa sumber, 13,(lihat iu4a sumber) Medan sungap, 13,67, 122 Medani oihat skalar dan medan vektor) irotasional, 7 2, 73, 92 konservatif, (lihat medan konservatif) solenoidal, 67, 73, .122, 128 sumber, 13, (lihat juga sumber) sungap (sink), 13,(lihat juga sungtp) tensor, 170 vorteks, 72 Mekanika kuantum, 163 Mekarika, 39, 57, (lihat iuga dinamika)

Penyeim bang (equilibrium), 6

Penyilang (cross-cut), 1 15 Percepatan coriolis, 53 Percepatan relatif, 53 Percepatan sentripetal, 43,

1, 53

Percepatan, 37, 40, 41, 50, S7

coriolis, 53 dalam koordinat silinder, 145. 203 dalam koordinagkoordinat bola" 16l, Zll dalam koordinat-koordinat polar, 5 7 dari sebuah partikel, 43, 50. -s3, 85,2O2,2U relatif terhadap pengamat 1'ang diam dan bergerak, 53

sentripetal,43,5l,53

Mekanika-mekanika fluida, 84

Periode, dari planet-planet, I 03 Perkalan dalam, 171, 183 Perkalian luar, 171

Momentum, 39

Permuka?rn, luas

fluida, 84

sudut,51,52,57

benisidua, N

Normal berarah keluar, 50, 84 Normal utama, 39, 45, 48, 50 Normal, terhadap permukaan, 49, 50, positif atau beraratr L^cluar, .5 0, 84 Nsrmal, utaina, 39, 43 bi-. 39,45,48

bersisi-satu, I00 dapat diorientasikan, 100 digambar normal kearah luar. 84 57 ,

koordinat,138

panjarg busur, 5 7 sudut antara, 64 P.'namaan diferensial, 54, 105 Persamaan Euler, 196 Persamaan gelombang, 73

o\' Operasi-operasi dengan tenso-i i ? 1, 1,-a,1 85 Operator, 58, (lihat Del) Laplacian, (lihat operator lirptac.ian) turunan waktu, terhadap sislem yaflg diam dan bergc-

rak, 51, 52 Orde, dari matriks, 171 dari lenssor, 169 Orthocenter, 35 P

Panas, 128, 129 kapasitas, I 27 Panjang busur, 39, 57, 139, 150

rielam koordinat kurvalinear ortogonal, I 39 dalzun koordinat kurvalinear, 57, 150 pada kurva, 57

Panjang, dari sebuah vektor, I 73,174,190

Parabola,88, Peluru, l03

drri, 105, 106. 163

Permukaar.perm'rkaan koordinat. Permukaan-permukaan, 3 8

141

Pemetaan, 163 Pengurimgan, dari tcnsor, I 71

dari vektor.

Pengurangan, dari tensor-tensor, I 7l

dari vcktor-vcktor, 2 Pcnjunrlalan, dari nratriks, I 70 dari tcnsor, 169 ?cnjurrl'r-han vcktor, 2, 4. 5 hukurn rsosiatif un tuk, 2 hukum.jajarm gcnjang, 2, 4 hukurn komutatif, 2, 5 hukum segitiga, 4

Persamaan Jacob, 80, 149

Persamaan karakteristik, 209 Persamaan Larange, 196, ZU

Penamaan Ma;iwell, 73, 82 dalam bentuk tensor, 2O4 Persamaan panas, 128, 129,463 dalam koordinai bola, 162 dalam koordinat eliptik silinder, 157 Pcrsamaan parameter, dari sebuah kurva,40,41 dari garis, I 2 dari permukaan, 49, 50 Persamaan Schrocdinger, 163 Potensial skalar, 73, 82, E4,93 vektor, 82 Prinsip Hamilton, 204 Proyeksi, dari sebuah vektor, 19, 21 permukaan, 96, 97 R

Rark, dari scbuah lcnsor, 169 Rclativitas, teori dari, 206 I{csultrn dari vcktor-vcktor. l.-1. 5. 6, 10 Rotasi, barvah invarians, (lihat inr.arians) murni, 60 sunrbu-sumbu, 59, 76,

7 7

Ruarg Riornaln, 173, 174 Ruang. bcrdimcnsi N, 168 Ruang, I:ukiid.172 Ricnr:mn..173

Ruangrumg cukJid, 1?2 bcrdimcnsi N. I73 Rumus Irrcne t- Scrrcl, 39, 45

INDEKS

222

S Secara grafis, penjumlahan vektor,

penggambaran, Segitig:a, Iuas

dari, 25,

Selisih dari rrratriks-matriks,

171 vektor, 2

Tensormnknol,I70

-1

Tensor

172

Tensor, absolut, 177 anti-simetrik, 170, 171 campumn, 169,170 fundamental, 1?3 kartesis, 209 kelengkungan, 206 kerapatan, 177,202 kontravarian, (lihat komponerrkomponen kontravari-

tensor,

Simbol Christoffel, l74,192-195,21O hukum transformasi dad, 174, 193, 194 Simbol dan tensor permutas\ l7 5, 176 Simbol Kronecker,77,207 Sinar-sinar cahaya,65 Sinus, hukum dari, untuk segitigabidang,25 untuk segitigabola" 30,31 Sirkulasi, 83, 133 Sistem koordinat rotasi, 51, 53 Sistem dekstral, 3 Sistem diam dan bergerak,5Z-53 Sistem koordinat atuan tangan kanan, 2,3

lokal,

Sistem koordinat kurvalinear ortogonal,49, 138,

klusus, 140-144 Sis&m koordinat tegak lurus,

Sistem yang diam dal bergerak, pengamat di, Sistem-sistem inenial,

Skalar, 1,4, 170 f';ngsi kedudukal, fungsi titik skalar,

an)

konyugat 173

191

51-53

3 3 hasil-ka1itripel,(I/rarhasfl-kalitripel) hasil-kati, 183,(lihat hasil-kali titik) medan, 3, 7, 8 potensial, 73,82,84,93 variabel, 36 Stasioner tunak, 3 Sudut antara, 64 antaraduavektor,20, l'74,191 sudut ruang, 126, 127 Sudutrum& 126, l2'1 Sudut, antara dua permukaan, 64 antara duavektor,21, l'14,191 kecepatan sudut,27,43,52 momentum, 51, 52,57 ruang,126,121 Sumber, 13,67, 122 Sungap, 13, 6'1, 122

kovarian, 0ihat komponen-komponen kovarian) medan, 170 metrik, 172 orde dari, 169 rank dari, 169 reiatii 176, 2O1,202,211 resiprokal, lT3 sekutu, 173, 190, 191, 209 simetrik, 170 Tensor, operasi dasar dengan, 171, 180-:"95 Tensor-tensordampuran, i69, 170 Tensor-tensor kartesis, 209 Teorema divetgensi Gauss, Qiiat te.reJna divergensi) Teoremadivergensi, I08,1f.U, tt:, ll7-129 arti fisika dari, 118, itq' l,entuk tegai<-lurus dad, 1 lS. 122

116,131,130 Tensor absolut, 177

113

t7Z,173,187_Lg9

unurkdaerah terhubung:lipat-ganda, 115-117 untuk daerah terhubungsederhana. 110-ll2 Teorema Hamilton-Cayley, 209 Teorema itientitas Green pertama, 109, 123 identitas Green kedua atau teorcma simetrik, 109, 123

113

Tensor fundamefital, lT3 Tensor kelengkungan kovarian, 206 Tensor kontravarian rank satu, 159, 169 rank dua dan lebih besar, 170 Tensor konyugat, I 73 Tensor kovarian, rank satu, 159 Tensor matriks konyugat (conyugate matric tensor)"

D; l/l IYIUf

dinyatakan dengan kalik:rta, 117 teorema Green sebagai hai khusus dari, I 08, 1 1 2, 1 13 TeoremaGauss, 126,127 Teorema Green dalam bidang; 1 08, 1 10- 1 1 7 sebagaihalkhususdari teorcmastokes, 108, 112 sebagai hal khusus dari teorcma divergensi, 1 08, i I 2,

teorcma dalarn nranB oihat teorcma divergensi)

Tak bergantung (bebas), dari asa1, pada lintasan yang menghubungkan, 84, 90, 91,

,r'

bentuk tersor dt"t,204' bukti dari, I 19, :20

188' 189 Tensormetrik,

relatit l'16,201,202,211

Tensorresiprokal, lT3 Tensor Riemann-Christoffel, 2M,211 Tensorsekutu, 173, 190, 191, 209

Teoremaintegal, lO9, L22, L23,126, 123,132 (lihatjuga teorema Stokes dan teorema divergensi) Teorema Pytdgoras, 10 TeoremaStokes, l08,112,129-133 bentuk tensor dai,zll

bukti dari, 129 -131

173,

teorema Green sebagai hal khusus, I 12 Teori elktromagnetik, 55, 73, 205 Teori relativitas khusus, 212 Terhubung lipat ganda, dierah. 1 1 2. 1 14-l 1 6 Tidak bergantung, dari titik asat, 9 Tidak bergantung, pada pcmilihan titik asal, 9 Titik asal atau titik pangkal dari sebuah vektor,

litikpangkalvektor, I