Problemario olimpiada de matematicas (1) by Salvador Hernández

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN BÁSICA DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA DIRECCIÓN GENERAL DE PROGRAMAS ESTRATÉGICOS DIRECCIÓN DE PROGRAMAS DE ACOMPAÑAMIENTO PEDAGÓGICO

CUARTA OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA

CUADERNILLO DE ENTRENAMIENTO NIVEL PRIMARIA

Guadalajara, Jalisco; febrero de 2013

Cuadernillo de Entrenamiento Nivel Primaria

4ª OEMEPS 2013

ÍNDICE PRESENTACIÓN JUSTIFICACIÓN INSTRUCTIVO DE PROCEDIMIENTOS PARA LA APLICACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS EXÁMENES PROBLEMARIO SOLUCIONES FUENTES DE CONSULTA

Pág. 3 5 6 7 17 45

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PRESENTACIÓN La Secretaría de Educación Jalisco a través de la Coordinación de Educación Básica, con el propósito de fortalecer el desarrollo de las competencias matemáticas en los alumnos de educación primaria y secundaria por medio de un concurso que implique el razonamiento y la creatividad en la resolución de problemas, convoca a la Cuarta Olimpiada Estatal de Matemáticas en Educación Primaria y Secundaria 2013 (4ª OEMEPS).

La 4ª OEMEPS es un concurso en el que los alumnos de cuarto, quinto y sexto grados de primaria y de los tres grados de secundaria asesorados por sus profesores resolverán, en un lapso de tiempo suficiente, problemas que implican razonamiento y creatividad, a la vez que muestran su nivel de desarrollo en las competencias de resolución de problemas de manera autónoma, comunicación de información matemática, validación de procedimientos y resultados, y manejo de técnicas con eficiencia, consideradas en los Programas de Estudio de Matemáticas (2011c). Los principios pedagógicos que sustentan el Plan de Estudios de Educación Básica de la SEP (2011b) además señalan:

Centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje. El centro y el referente fundamental del aprendizaje es el estudiante, porque desde etapas tempranas se requiere generar su disposición y capacidad de continuar aprendiendo a lo largo de su vida, desarrollar habilidades superiores del pensamiento para solucionar problemas, pensar críticamente, comprender y explicar situaciones desde diversas áreas del saber, manejar información, innovar y crear en distintos órdenes de la vida (pág. 26).

Por otro lado, la definición que la SEP (2011b) plantea con respecto al concepto Competencias para la vida, considera:

Competencias para el manejo de la información. Su desarrollo requiere: identificar lo que se necesita saber; aprender a buscar; identificar, evaluar, seleccionar, organizar y sistematizar información; apropiarse de la información de manera crítica, utilizar y compartir información con sentido ético (pág. 38).

Los alumnos participantes escribirán sus procedimientos de solución y los profesores evaluadores asignarán puntos según el avance logrado en sus respuestas. Esta jornada de trabajo intenso necesariamente dejará aprendizajes de gran valor en los alumnos y desarrollará competencias profesionales en los docentes, tales como: Organizar y animar situaciones de aprendizaje. Se relacionan con: el conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay que enseñar y su traducción en objetivos de aprendizaje; trabajar a partir de las representaciones de los alumnos; trabajar a partir de los errores y los obstáculos en el aprendizaje; construir y planificar dispositivos y secuencias didácticas e implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento (Perrenoud, 2007).

Para esta 4a OEMEPS se podrán incorporar como Fase Piloto a la Etapa de Escuela exclusivamente, alumnos de tercer grado primaria, sumándose a los trabajos de preparación de las seis categorías establecidas por la Convocatoria del evento para el ciclo escolar 2012-‐2013, desarrollando como parte del periodo de preparación, las actividades relacionadas con la resolución de problemas que se plantean en este Cuadernillo de 3

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Entrenamiento. Los alumnos de cuarto, quinto y sexto de primaria, y los tres grados de secundaria, podrán participar en la categoría y en las etapas que les correspondan de acuerdo con las bases de la Olimpiada.

Pensando en apoyar a los profesores en la preparación de los estudiantes que participarán en los distintos momentos de la Olimpiada, se ha elaborado este Cuadernillo de Entrenamiento, en el que se proponen problemas similares a los que los alumnos enfrentarán en cada una de las etapas del concurso y como parte de los temas de Fortalecimiento de Competencias para Mejorar el Desempeño en Secundaria1 propuestos por la Secretaría de Educación Pública (SEP) en el marco de la Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo (EIMLE). Es importante que el maestro dedique un tiempo exclusivo para el trabajo con los alumnos en la resolución de problemas. Se recomienda destinar al menos una hora a la semana. La metodología de trabajo sugerida es la misma que se propone en los programas oficiales correspondientes a la asignatura de Matemáticas para la Educación Básica (SEP, 2011c).

En un ambiente de confianza creado por el maestro, los alumnos deberán abordar los problemas con las herramientas personales de que disponen e intentar encontrar, sin el uso de la calculadora, en cada caso al menos una solución, para confrontar posteriormente con el resto de sus compañeros los resultados a los que se lleguen, justificando y argumentando paso a paso cada una de las respuestas dadas a los cuestionamientos que se les plantean. Con la finalidad de favorecer la consistencia y claridad en la argumentación que hagan los alumnos, es importante que el profesor les solicite escribir todas las ideas que se les ocurran durante el proceso de resolución, independientemente de si los llevaron o no a la solución final.

El profesor previamente deberá resolver los problemas que propondrá en la sesión de trabajo o revisar las soluciones que se proponen y presentar al menos una solución en el caso de que los alumnos no logren encontrar alguna. Además, es necesario que durante la confrontación de soluciones, organice los diferentes resultados a los que arriben sus estudiantes y aproveche el momento para hacer las precisiones convenientes en cuanto a conceptos, definiciones o el repaso de los algoritmos que hayan sido necesarios en la resolución o que presentaron alguna dificultad para los estudiantes.

Algunos de los problemas incluidos en este Cuadernillo formaron parte de los exámenes aplicados en la edición anterior de la OEMEPS, mismos que fueron tomados principalmente de Calendarios Matemáticos, de Exámenes y Problemarios de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas (ANPM) o de otras Olimpiadas de Matemáticas. Los criterios de evaluación presentados son una propuesta para dar idea de cómo puede dividirse el proceso de solución, otorgando puntos a cada avance parcial. 1

Línea de acción de la Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo (EIMLE), que tiene como objetivo que los estudiantes que ingresan a la secundaria cuenten con una herramienta que les permita consolidar estrategias básicas para la comprensión de nuevos aprendizajes de matemáticas a través de poner en juego sus conocimientos, relacionar la información que se le proporciona, desarrollar estrategias de resolución y evaluar sus procedimientos. (SEP, 2012)

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JUSTIFICACIÓN La Cuarta Olimpiada Estatal de Matemáticas en Educación Primaria y Secundaria es una iniciativa de la Secretaría de Educación Jalisco que busca promover el desarrollo de las competencias matemáticas y favorecer el gusto e interés por las matemáticas en los alumnos de Educación Básica de la entidad, para elevar el rendimiento escolar, considerando los resultados de la Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE) y el Informe del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA). La 4ª OEMEPS tiene como propósito desarrollar competencias para entender y resolver problemas a partir de la aplicación del conocimiento en alumnos de tercer grado (Fase experimental), cuarto, quinto y sexto grados de primaria y primero, segundo y tercer grados de secundaria, a través de exámenes que son aplicados en cada una de sus Etapas: de Escuela, de Zona Escolar, de Sector Educativo (Nivel Primaria) y Estatal, con el apoyo de problemarios elaborados por especialistas en matemáticas. La evaluación, a diferencia de otras acciones emprendidas para este fin, toma en cuenta el avance logrado y el grado de desarrollo de las competencias matemáticas mostradas en los procedimientos de solución. La finalidad del uso de este Cuadernillo no es seleccionar a los alumnos más competentes, esa función le corresponde al examen de la Etapa de Escuela, y su aplicación será gradual con respecto a la dificultad de los problemas que se apliquen, previa selección de los mismos. El objetivo es compartir con los docentes el tipo de problemas utilizados como parte de la preparación o entrenamiento de los alumnos, recopilados de los exámenes de otras olimpiadas y que, aunados a los aportes a partir de búsquedas en Internet, permitirán crear un banco de problemas. El Cuadernillo está enfocado a la preparación o entrenamiento de los alumnos que participarán en la 4ª OEMEPS.

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INSTRUCTIVO DE PROCEDIMIENTOS PARA LA APLICACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS EXÁMENES EN LAS ETAPAS DE ESCUELA Y DE ZONA ESCOLAR a)

d) e) f)

g) h)

Los exámenes que se aplicarán en cada una de las etapas serán suministrados por el Comité Organizador del evento, así como una propuesta de soluciones y criterios de evaluación. Los exámenes constarán de cinco problemas y se podrán resolver por los alumnos en hasta cuatro horas. Cada problema tendrá un valor de siete puntos, distribuidos de la siguiente manera: uno o dos puntos por el resultado correcto del problema y de cinco a seis puntos más por los procedimientos de solución utilizados; en total, siete puntos por problema. Los puntos se asignarán de acuerdo con los resultados parciales, el avance logrado y el grado de desarrollo de las competencias matemáticas mostradas en sus procedimientos de solución y tomando como base los criterios de evaluación de cada uno de los problemas de los exámenes, mismos que serán revisados y acordados antes de la aplicación. Los problemas de los exámenes pueden tener más de una forma de resolverse, las soluciones que se adjuntan a ellos son sólo una propuesta, al igual que sus criterios de evaluación. En caso de que sean resueltos por los alumnos de una manera distinta, se deberán proponer nuevos criterios de evaluación. Se utilizará un código de registro como identificador del examen de cada alumno, asignado en el momento de la inscripción en la etapa correspondiente; por lo tanto, los evaluadores no conocerán la identidad del alumno durante el ejercicio. Los problemas del examen deberán ser evaluados por un jurado integrado por al menos cinco profesores destacados en la asignatura. Cada uno de los miembros del jurado evaluará un máximo de dos problemas y cada problema deberá ser evaluado por al menos dos jueces. Por ejemplo, si se dispone del mínimo de jueces (cinco) y los llamamos A, B, C, D y E, los cinco problemas del examen pueden ser evaluados así: juez A: problemas 1 y 2; juez B: problemas 2 y 3; juez C: problemas 3 y 4; juez D: problemas 4 y 5 y juez E: problemas 5 y 1. Los alumnos concursantes podrán utilizar lápiz, borrador, sacapuntas, juego de geometría y hojas blancas, pero no calculadora u otros aparatos electrónicos, al resolver el examen. Los dibujos de los problemas pueden no estar a escala, por lo que se deben considerar los datos que se proporcionan en cada caso. Las soluciones no deberán basarse en las medidas que el alumno tome sobre la figura, sino en los datos del problema.

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PROBLEMARIO Problema 1 La clase de español duró 50 minutos y empezó a las 12:40 horas. Exactamente a la mitad de la clase nos visitó en el salón el Director de la escuela. ¿A qué hora fue eso? Problema 2 Daniel y Laura viven en un edificio de 25 pisos. Laura vive 14 pisos arriba de Daniel. Un día Daniel salió de donde vive y se fue por la escalera para visitar a Laura. A la mitad del camino iba en el 11° piso. ¿En qué piso vive Laura? Problema 3 En la tienda de la escuela se venden lonches durante el recreo, antes de iniciar la venta había 54 de jamón, 65 de pierna y 48 de panela. Al final sobraron 7 lonches de jamón, 19 de pierna y 11 de panela, ¿cuántos lonches se vendieron en total durante el recreo? Problema 4 Tenemos dos cadenas con 165 eslabones cada una y otra con igual número de eslabones que las dos primeras juntas. ¿Cuántos eslabones hay en total? Problema 5 Quiero escribir en el pizarrón una palabra de 5 letras, una de 6 letras, una de 7 letras y así sucesivamente. ¿Cuántas letras escribiré para formar las primeras 9 palabras? Problema 6 Miguel tiene 13 años de edad, Juan 4 años menos que Miguel y su abuelo tiene 2 años más que 9 veces la edad de Juan. ¿Cuántos años tiene el abuelo? Problema 7 La maestra Evangelina quiere repartir 9 dulces a cada uno de sus 37 alumnos, si tiene una bolsa con 550 dulces, ¿cuántos dulces le faltan o le sobran después del reparto? Problema 8 Se quiere cercar un terreno con la forma que se muestra en la siguiente figura. Si se sabe que todos los ángulos son de 90° y que las medidas indicadas están en metros, ¿cuál será la longitud total de la cerca?

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Problema 9 Un tren de mercancías mide 63 metros de largo, un segundo tren mide 3 metros menos que el doble del primero. ¿Cuántos metros miden entre los dos? Problema 10 En una bodega había 128 cajas de galletas. Se han vendido 36. Las cajas que quedan en la bodega pesan 8 kilogramos cada una. ¿Cuántos kilogramos de galletas hay en existencia? Problema 11 En una carrera, la niña que ganó el primer lugar corre 195 metros por minuto y el niño que ganó el segundo lugar corre 176 metros por minuto. ¿Cuántos metros les separan después de 5 minutos de empezar la carrera? Problema 12 Una fotocopiadora hace 22 copias cada minuto. ¿Cuánto costarán todas las copias que puede hacer durante tres horas de fotocopiado continuo si cada copia cuesta dos pesos? Problema 13 Un tinaco lleno contiene 560 litros de agua. ¿Cuántos segundos tardarán en llenarlo dos llaves que descargan dos litros y tres litros de agua por segundo respectivamente? Problema 14 Los profesores han repartido 24 crayolas a cada uno de los 42 alumnos de mi escuela y aún les sobran 87 crayolas. ¿Cuántas crayolas tenían al inicio para repartir? Problema 15 En una canasta había 88 huevos y al caérsele la canasta al tendero se le rompió la cuarta parte del total de los huevos. ¿Cuántos huevos quedaron sin romper para su venta? Problema 16 Un señor contrata a cinco obreros por cinco días de trabajo. ¿Cuánto dinero necesita para pagar a los obreros si les da veinte pesos por hora a cada uno y cada día trabajan ocho horas? Problema 17 A Karina le gustan mucho los cuentos. Ella lee tres cuentos cada martes y cada jueves. Los sábados lee cuatro cuentos y cada uno de los demás días de la semana lee sólo dos cuentos. ¿Cuántos cuentos lee en una semana? Problema 18 En una encuesta se encontró que a 32 de cada 100 alumnos de una escuela les gusta jugar beisbol. En la escuela tienen 350 alumnos. Calcula a cuántos alumnos de esa escuela les gusta jugar beisbol. 8

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Problema 19 Carlos y Fernando van a jugar una carrera de 100 metros. Con sus piernas tan largas, Carlos avanza con cada paso 2 metros. Fernando, por su parte, inventó un aparato que le permite avanzar 4 metros con un solo paso. Si los dos empiezan al mismo tiempo y dan el mismo número de pasos, ¿con cuántos metros de ventaja debe empezar Carlos para que lleguen juntos a la meta? Problema 20 En el dibujo se muestran los únicos rectángulos de lados enteros que tienen área igual a 4 cm. El área de un rectángulo se obtiene de multiplicar uno de los lados verticales por uno de los lados horizontales. Haz una lista de todas las posibles medidas de los rectángulos de lados enteros que tengan área igual a 48 cm2

Problema 21 En la siguiente figura, el perímetro de cada cuadrado es igual a la suma de dos de los lados del cuadrado de su izquierda. Si el lado del cuadrado más pequeño es de 4 m, ¿cuánto es la suma de todos los perímetros?

Problema 22 La moneda del lejano reino de Zulandia es el Zu, la del remoto país de Zolatlán es el Zo y la moneda del gran imperio de Zalanda es el Za. Un Zu es igual a la mitad de un Zo. Tres Za es igual a la mitad de un Zu. ¿A cuántos Za equivale un Zo? Problema 23 El cuerpo de un gusano está formado por 6 círculos. ¿De cuántas formas diferentes se puede colorear si 3 de los círculos deben ser blancos y 3 deben ser grises? La figura muestra el ejemplo de una de las posibilidades, encuentra todas.

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Problema 24 Iván compró este año escolar tres cajas de crayones y tenía dos crayones que le sobraron del año pasado. Karla compró una sola caja porque tenía 12 crayones que le sobraron del año pasado. Si Iván y Karla tienen la misma cantidad de crayones. ¿Cuántos crayones vienen en cada caja?

Problema 25 Noventa y seis chocolates deben repartirse en grupos que tengan la misma cantidad, sin que sobren chocolates. ¿De cuántas formas diferentes puede hacerse esto si cada grupo debe tener más de 5 pero menos de 20 chocolates? Problema 26 La figura mostrada está formada por 4 cuadrados. El perímetro del cuadrado I es 16 m y el área del cuadrado II es 36 m2. Calcula el área de la figura formada. Problema 27 El viejo reloj del abuelo se retrasa 8 segundos por hora, si lo puso a la hora exacta a las 9:00 de la noche al irse a dormir. ¿Cuál será la hora correcta al despertarse por la mañana si el reloj marcó las 6:30 horas? Problema 28 Cinco pasteles de chocolate cuestan tanto como dos de manzana. Un pastel de manzana cuesta tanto como tres donas. ¿Cuántas donas cuestan lo mismo que diez pasteles de chocolate? Problema 29 En una alcancía de cochinito sólo hay monedas de 50 centavos y de un peso. El número de monedas de 50 centavos es el doble del número de monedas de un peso. Si se gastan doce monedas de cada tipo, ahora la cantidad de monedas de un peso es la tercera parte de la cantidad de monedas de 50 centavos. ¿Cuánto dinero había inicialmente en la alcancía? 10

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Problema 30 Jorge tiene 5 dulces de caramelo de distintos colores: Amarillo, Verde, Rojo, Morado y Blanco; y tiene también 4 chiclosos de diferentes sabores: Cajeta, Fresa, Limón y Naranja. Quiere llevar a la escuela 2 dulces y 3 chiclosos. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección? Problema 31 Con tres piezas de madera: una cuadrada de 1200 mm de perímetro y dos rectangulares, se armó un cuadrado como se muestra en la figura. El perímetro del cuadrado formado con las tres piezas es de 2012 mm. ¿Cuál es la pieza que tiene mayor área de los dos rectángulos?

Problema 32 El número 2012 es divisible por 4 y la suma de sus cifras es igual a 5. ¿Cuántos números de cuatro cifras son divisibles por 4 y la suma de sus cifras es 5? Problema 33 En una competencia de barcos de vela hay 86 tripulantes en todos los barcos. Los barcos de una sola vela tienen tripulaciones de cinco personas y los de dos velas de siete personas. Indica todas las posibles combinaciones de barcos que puede haber. Problema 34 Los cubos y cilindros que hay en la balanza pesan en total 500 gramos. ¿Cuánto pesa un cubo? Problema 35 En un juego se establecen las siguientes reglas: el primer jugador gana $ 3.00, cualquier otro jugador gana lo que ganó el anterior jugador más $ 5.00, ¿cuánto gana el décimo jugador? 11

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Problema 36 La elaboración de un juguete típico en el taller de Santa Claus requiere de una hora para ensamblarlo, 35 minutos para decorarlo y cinco minutos para empacarlo. Si Santa Claus dispone de 300 ayudantes para realizar el trabajo, ¿cómo debe distribuirlos en los departamentos de ensamblaje, decoración y empaquetado de manera que no se atrase el trabajo en ninguno de los departamentos? Problema 37 Si el cuadrado mayor (en el que está dibujada la estrella de ocho puntas) tiene un área de 24 cm2, ¿cuánto mide el área de la parte sombreada?

Problema 38 La mamá de Jaime usa café regular y una mezcla que contiene la mitad de moka y la mitad de café regular. Si ella pone cuatro cucharadas de la mezcla con moka y tres cucharadas de café regular en la cafetera, ¿cuál es la fracción de café regular en la cafetera? Problema 39 Cuando un trozo de papel de forma cuadrada se dobla verticalmente por la mitad, se forma un rectángulo de 39 cm. de perímetro. ¿Cuál es el área del cuadrado original? Problema 40 ¿Cuál posición de las manecillas del reloj determina el menor ángulo, a las 8:20, a las 12:20 o a las 13:30 horas? Explica por qué. Problema 41 En la siguiente multiplicación, las letras representan dígitos diferentes. Encuentra el número ABCDE. Nota: un dígito es un número de una sola cifra.

Problema 42 Una serie de siete libros fue publicada durante un periodo de manera que se publicará un libro de la serie cada 9 años. Cuando el séptimo libro se publicó, la suma de todos los años de publicación era 13,601. ¿En cuál año se publicó el primer libro?

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Problema 43 Encuentra un número de cuatro dígitos que cumpla las siguientes condiciones: todos los dígitos son diferentes, el dígito de los millares es el triple del dígito de las decenas, el número es impar y la suma de los dígitos es 27. Problema 44 Hugo dobla una hoja de papel cinco veces. Luego hace un agujero en el papel doblado como se muestra en la figura, y desdobla el papel. ¿Cuántos agujeros aparecen en el papel desdoblado? Problema 45 Un bombero que está apagando el fuego, está parado en el peldaño de la mitad de la escalera. Sube tres peldaños, pero el fuego hace que baje cinco peldaños. Vuelve a subir siete peldaños para extinguir el fuego y finalmente sube seis peldaños para alcanzar el último peldaño de la escalera. ¿Cuántos peldaños en total tiene la escalera? Problema 46 El diseño muestra dos cuadrados de papel sobrepuestos, uno de lado 5 cm. y otro de lado 6 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura completa formada? (La que marca la línea gruesa del contorno del diseño). Problema 47 En una tienda venden tres artículos de $ 30.00 cada uno y dos artículos de $ 40.00 cada uno. Encuentra todas las cantidades diferentes de dinero que puede ganar la tienda con la venta de uno, varios o todos los artículos. Problema 48 Tenemos tres cajas y tres objetos; una moneda, una lápiz y un cepillo de dientes. Cada caja contiene un objeto y se sabe que: • El cepillo de dientes está a la derecha de la caja roja • La caja verde está a la izquierda de la caja azul • La caja roja está a la derecha del lápiz • La moneda está a la izquierda del cepillo de dientes • ¿En qué caja está el lápiz? 13

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Problema 49 ¿Cuánto vale el volumen de la caja? Problema 50 Cristina le dice a su amiga que hoy cumple 19 años. Pero la amiga sabe que Cristina le está quitando a su edad un año menos que la cuarta parte de su verdadera edad. ¿Cuántos años cumple hoy realmente Cristina? Problema 51 Observa las balanzas en equilibrio. ¿Cuánto pesa la bola negra? Explica cómo obtienes la respuesta. Nota: las bolas pequeñas grises son parte de las pesas y no tienen peso propio.

Problema 52 El señor Ye y la señora Zeta quieren nombrar a su bebé de manera que las iniciales de sus dos nombres estén en orden alfabético y que no tengan letras repetidas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Supongamos que no hay nombres que empiecen con ñ, por tanto, se consideran 26 letras. Problema 53 Cuatro amigos están de vacaciones, por lo que decidieron dar un paseo en “La pista”, un circuito para bicicletas que mide 4000 metros de largo. Si Daniela avanza 500 metros en un minuto y Octavio 400 en el mismo tiempo y, además, Daniela decide darle a Octavio una ventaja de 300 metros, ¿quién de los dos llegará primero y por cuántos metros le ganará a su contrincante? Problema 54 Lucas recibe de parte de su abuelo cuatro carritos de juguete que lo hacen brincar de contento porque le fascinan los autos, Octavio y Pamela proponen jugar carreras. Para hacer más interesante el juego, Daniela dibuja una pista de tres metros y entre todos deciden las reglas del juego: • Cada quien impulsará su carrito dos veces; la primera desde la marca de salida y la segunda será a partir de la posición a la que llegó con el primer impulso. • El carrito que salga de la pista o se volteé, se elimina. 14

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En el primer impulso, el carrito de Daniela recorrió de la pista, el de Pamela de la !"

pista, el de Lucas de la pista y el de Octavio quedó a de la meta. Desde la posición en ! ! que quedaron, les dieron el segundo impulso y cada carrito avanzó un poco más: el carrito ! ! de Daniela, del total de la pista; el de Pamela, del total de la pista; el de Lucas quedó a !

a de la meta y el de Octavio avanzó a del total de la pista. ¿En qué lugar quedó cada !" ! carrito después del segundo impulso? Problema 55 Octavio espera impaciente la llegada de sus tres amigos. Su mamá va a hornear galletas y quiere que le ayuden. Cuando llegan, van directamente a la cocina, donde la mamá de Octavio les indica que la primera actividad es leer la receta con atención para saber cuáles son los ingredientes y la cantidad indicada para cocinar las galletas. Galletas de nuez con chocolate Ingredientes para preparar 80 galletas: • 4 yemas de huevo • 1 lata de leche condensada • 200 gms. de nuez finamente picada • 1 cucharada de vainilla • 400 gms. de mantequilla ! • 3 tazas de harina cernida •

taza de azúcar glas ! !

de taza de chocolate para repostería ! Modo de preparación: 1. Bata la mantequilla hasta que esté a punto de crema 2. Añada la leche, la nuez, la vainilla, las yemas y la harina ! 3. Extienda la pasta hasta que quede de cm de grosor y corte las galletas a su gusto ! 4. Colóquelas en una charola y hornee a 200° durante 20 minutos 5. Deje enfriar y decórelas con azúcar glas y chocolate derretido Cuando terminan de leer, inmediatamente quieren empezar a preparar las galletas, pero les gustaría hornear 20 para cada uno, y 20 para la mamá de Octavio. Sin embargo, las cantidades que aparecen en la receta son para 80 galletas y de acuerdo con sus cálculos ellos tendrían que hacer más de 80. Así que deciden aumentar la cantidad de cada uno de los ingredientes de la receta. ¿Qué harías para calcular las cantidades necesarias de cada ingrediente para preparar 100 galletas? •

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Problema 56 Los muchachos miran las figuras caprichosas que se forman en el piso con los mosaicos que lo recubren.

Daniela llama a sus amigos para decirles que le gustaría saber el perímetro y el área de la figura que se forma con las líneas de dos mosaicos: un segmento de recta y dos arcos. Todos ponen atención a la figura que Daniela señala y deciden apoyarla. Cada uno de los mosaicos que están observando mide 20 cm. de lado y tiene marcado un arco. En el dibujo de arriba se muestra la figura que señala Daniela, los arcos se trazan apoyándose en el vértice C y en el vértice A. ¿Cómo calcularías el área y el perímetro de la figura sombreada?

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SOLUCIONES NOTA IMPORTANTE: Los problemas pueden tener más de una forma de resolverse, las soluciones que se presentan son sólo una propuesta, al igual que sus criterios de evaluación. En caso de que sean resueltos por los alumnos de una manera distinta, se deberán proponer nuevos criterios de evaluación. Problema 1 La clase de español duró 50 minutos, el director nos visitó a la mitad del tiempo, esto es, a los 25 minutos después de haber iniciado, 50 entre 2 es igual a 25 minutos. Como la clase de español empezó a las 12:40 horas, sumamos 25 minutos a la hora de inicio, por lo que la hora en que nos visitó el director eran las 13:05 horas. Criterio de evaluación: 3 puntos por dividir 50 entre dos igual a 25 minutos; 3 puntos por sumar los 25 minutos de la hora de inicio de la clase y 1 punto por el resultado correcto. Problema 2 Daniel tiene que subir 14 pisos para visitar a Laura, a la mitad del camino lleva subidos siete pisos de los catorce que tiene que subir, 14 entre 2 = 7, y en ese momento está en el piso once, por lo que después de subir siete más, llegará al piso 18, es decir, 11 + 7 = 18, que es el piso en el que vive Laura. Si restamos 11 menos 7 que lleva, 11 – 7 = 4, sabemos que Daniel parte del cuatro piso y sube 14, por lo que 4 + 14 = 18, llegará al piso 18, donde vive Laura. Criterio de evaluación: 3 puntos por hacer 14 entre 2 igual a los 7 pisos que lleva; 3 puntos por sumar piso 11 + los 7 que lleva y 1 punto por el resultado correcto. De igual manera, 3 puntos por hacer 14 entre 2 igual a 7 pisos; 2 puntos por hacer piso 11 menos 7 igual al 4° piso donde vive Daniel y 2 puntos por sumar 4 + 14 igual al 18° piso. Problema 3 Solución 1 Podemos obtener el total de lonches que había al principio, sin tomar en cuenta la variedad: 54 + 65 + 48 = 167 lonches Cantidad de lonches que sobraron: 7 + 19 + 11= 37 lonches Cantidad de lonches que se vendieron durante el recreo: 167 – 37 = 130 lonches Criterio de evaluación: 3 puntos por obtener el total de lonches; 2 puntos por el total de lonches que sobraron y 2 puntos por calcular correctamente la diferencia. 17

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Solución 2 Calculamos por separado las ventas de cada tipo de lonches: De jamón, había 54, sobraron 7, por lo que se vendieron 54 – 7 = 47 De pierna, había 65, sobraron 19, por lo que se vendieron 65 – 19 = 46 De panela, había 48, sobraron 11, por lo que se vendieron 37, 48 – 11 = 37 Ahora sumamos el total de lonches vendidos de cada tipo: 47 + 46 + 37 = 130 Por lo que se vendieron 130 lonches en total durante el recreo. Criterio de evaluación: 2 puntos por el total de lonches de cada tipo vendidos, de jamón, de pierna y de panela, lo que da 6 puntos y 1 punto por la suma correcta de los tres totales. Solución 3 Podemos calcular la cantidad de lonches que se vendieron de cada tipo por medio de una tabla: Lonche de Al principio Sobraron Se vendieron Jamón 54 7 47 Pierna 65 19 46 Panela 48 11 37 Total 167 37 130 Criterio de evaluación: Igual al de la solución 2. Problema 4 Si tenemos dos cadenas con 165 eslabones cada una, suman 165 + 165 = 330 eslabones, tenemos otra con igual número de eslabones que las dos primeras = 330 eslabones. El total de eslabones de las tres cadenas es de 330 + 330 = 660 eslabones. Criterio de evaluación: 3 puntos por la suma del número de eslabones de las dos primeras cadenas; 2 puntos por decir el número de eslabones de la tercera cadena y 2 puntos por hacer correctamente la suma del número de eslabones de las tres cadenas. Problema 5 Si se escribe la primera palabra de 5 letras, la segunda es de 6, la tercera de 7, la cuarta de 8, la quinta de 9, la sexta de 10, la séptima de 11, la octava de 12 y la novena de 13; entonces la suma de 5+6+7+8+9+10+11+12+13 es igual a 81, por lo tanto el resultado es 81 letras. Criterio de evaluación: 1 punto por decir que la cuarta palabra tiene 8 letras; 1 punto que la quinta tiene 9 letras; 1 punto que la sexta 10 letras; 1 punto que la séptima 11 letras; 1 18

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punto que la octava 12 letras y 1 punto que la novena 13 letras; con lo que llevamos 6 puntos, y 1 punto por la suma correcta. Problema 6 Si Miguel tiene 13 años y Juan cuatro menos, entonces Juan tiene 9 años, este resultado lo multiplicamos por nueve y obtenemos 81, que son las 9 veces de la edad de Juan y a 81 le sumamos dos años más, para obtener los 83 años que tiene el abuelo. Criterio de evaluación: 3 puntos por restar 13 – 4 igual a 9 años de Juan; 2 puntos por multiplicar 9 por 9 igual a 81 años y 2 puntos por sumarle dos años para llegar a la edad del abuelo. Problema 7 Se multiplican los 9 dulces que recibirá cada alumno por 37 que son el total de alumnos, de lo que resulta 333, que son los dulces que se repartirán; esta cantidad se resta al total de dulces en la bolsa que son 550, el resultado es 217, por tanto sobran 217 dulces. Criterio de evaluación: 3 puntos por multiplicar 9 por 37 igual a 333 dulces a repartir; 3 puntos por restar 333 del total de dulces y 1 punto por el resultado correcto. Problema 8 Con la suma de las medidas horizontales que nos proporcionan: 5 + 5 + 4 = 14, obtenemos la medida del frente del terreno, que es de 14 metros; sumando las medidas verticales que conocemos: 2 + 4 + 4 = 10, obtenemos la medida lateral del terreno, que es de 10 metros; la suma de todos los lados es: 4 + 2 + 5 + 4 + 5 + 4 + 14 + 10 = 48 metros. También se podría sumar: 14 + 10 + 14 + 10 = 48 metros.

Criterio de evaluación: 3 puntos por encontrar la medida de 14 metros; 3 puntos por encontrar la medida de 10 metros y 1 punto por la suma correcta de todas las medidas. Problema 9 Se sabe que la medida del primer tren es de 63 metros. El segundo mide el doble del primero menos 3 metros, 2 veces 63 son 2 x 63 = 126 metros. A ese resultado se restan los 3 metros menos del doble del primero, 126 – 3 = 123 metros. A esta cantidad 123 metros, se le suma la medida del primero, 123 + 63 = 186 metros. 19

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La medida de los 2 trenes es de 186 metros. Criterio de evaluación: 2 puntos por multiplicar 2 x 63 igual a 126 metros; 3 puntos por restarle tres metros y llegar a los 123 metros que mide el segundo tren y 2 puntos por hacer la suma correcta de la medida de los dos trenes. Problema 10 Tenemos como referencia inicial 128 cajas de galletas, les restamos las 36 que ya se vendieron, 128 – 36 = 92 cajas de galletas, que son las que hay en existencia. Sabemos que cada caja pesa 8 kg., entonces obtenemos el peso multiplicando las 92 cajas de galletas por los 8 kg. que pesa cada una, 92 x 8 = 736 kg. El peso total de las galletas es de 736 kg. Criterio de evaluación: 3 puntos por restar 128 – 36 igual a 92 cajas de existencia; 3 puntos por multiplicar por los 8 kg de cada caja y 1 punto por el resultado correcto. Problema 11 La niña que ganó la carrera corre 195 metros en un minuto, después de 5 minutos de empezar la carrera lleva recorridos 195 x 5 = 975 metros. El niño que quedó en segundo lugar corre 176 metros en un minuto, después de 5 minutos de empezar la carrera lleva recorridos 176 x 5 = 880 metros. Después de 5 minutos de iniciar la carrera la niña que ganó lleva 95 metros de ventaja, porque 975 – 880 = 95 metros. Criterio de evaluación: 3 puntos por multiplicar 195 por 5 igual a 975 metros; 3 puntos por multiplicar 176 por 5 igual a 880 metros y 1 punto por la resta correcta de las dos distancias. Problema 12 Se puede calcular cuántas copias sacará en una hora multiplicando 22 copias por minuto por 60 minutos que tiene una hora, 22 x 60 = 1320 copias por hora.

Luego se multiplican las 1320 copias de una hora por las tres horas, 1320 x 3 = 3960 copias en tres horas.

Para calcular el costo de las 3960 copias, las multiplicamos por los dos pesos que vale cada una. 3960 x 2 = 7920 pesos.

El costo total de las fotocopias es de $ 7,920.00 Criterio de evaluación: 3 puntos por obtener el número de copias en una hora; 2 puntos por el número de copias en tres horas y 2 puntos por el costo total de las copias. 20

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Problema 13 Si sumamos lo que aportan las dos llaves, resulta que descargan cinco litros por segundo. Tenemos que el tinaco tiene una capacidad de 560 litros, entonces podemos dividir 560 entre 5, lo que nos da 112, por lo tanto, tarda 112 segundos en llenarse el tinaco.

Criterio de evaluación: 3 puntos por sumar las descargas de las dos llaves; 3 puntos por dividir los 560 litros entre la descarga conjunta y 1 punto por el resultado correcto.

Problema 14 Tenemos que se han repartido 24 crayolas a cada uno de los 42 alumnos, entonces multiplicamos 42 por 24 y resulta que en total se repartieron 1008 crayolas, más 87 que sobraron, entonces, el total con que se inició la repartición fue 1095 crayolas.

Criterio de evaluación: 3 puntos por multiplicar 24 por 42 y obtener el total de crayolas repartido; 3 puntos por sumar las 87 que sobraron y 1 punto por el resultado correcto. Problema 15 Si se rompió la cuarta parte de los huevos, se divide 88 entre 4, de lo que resulta 22, ahora sabemos que se rompieron 22 huevos, a los 88 que teníamos le restamos estos 22 y quedan 66 huevos para la venta.

Criterio de evaluación: 3 puntos por dividir el total de huevos entre cuatro; 3 puntos por restar este resultado del total de huevos y 1 punto por el resultado correcto. Problema 16 Si multiplicamos los 20 pesos que reciben los obreros por hora por las 8 horas que trabajan al día, tenemos que cobran 160 pesos diarios cada uno, esto lo multiplicamos por los 5 obreros y resulta que se pagan 800 diarios, que multiplicados por los 5 días que los contrató, entonces se necesitan 4,000 pesos en total.

Criterio de evaluación: 2 puntos por multiplicar 20 pesos por 8 horas; 2 puntos por multiplicar 160 pesos por 5 obreros; 2 puntos por multiplicar por 5 días de trabajo y 1 punto por el resultado correcto. Problema 17 Podemos hacer una tabla con los días de la semana y los cuentos que se leen cada día: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Total 2 3 2 3 2 4 2 18

Se hace la suma de los cuentos de todos los días de la semana.

En total, Karina lee 18 cuentos en una semana.

Criterio de evaluación: 3 puntos por enumerar los siete días de la semana con la cantidad de cuentos leídos, 3 puntos por realizar la suma, 1 punto por el resultado correcto. 21

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Problema 18 De los 350 alumnos, son 32 alumnos que les gusta jugar beisbol por los primeros 100 alumnos de la escuela, más 32 alumnos por el segundo ciento, más 32 alumnos del tercer ciento, más 16 alumnos por los 50 restantes. En total, 32 + 32 + 32 + 16 = 112 alumnos que les gusta el beisbol. Criterio de evaluación: 1 punto por encontrar cada una de las cuatro cantidades parciales, 2 puntos por hacer la suma, 1 punto por el resultado. Problema 19 Carlos, al dar pasos de 2 metros, necesita 50 pasos para alcanzar 100 metros. Fernando, al dar pasos de 4 metros, necesita 25 pasos para alcanzar 100 metros. Como Carlos avanza la mitad de Fernando, entonces debe empezar a la mitad de la carrera, es decir, debe empezar con 50 metros de ventaja para llegar juntos a la meta. Criterio de evaluación: 3 puntos por calcular los pasos de Carlos, 3 puntos por calcular los pasos de Fernando, 1 punto por el resultado. Problema 20 Como el área se calcula con la multiplicación de los lados del rectángulo y tenemos un área de 48 cm2, buscamos números enteros que multiplicados den 48. Estos números son: 48 cm x 1 cm 24 cm x 2 cm 16 cm x 3 cm 12 cm x 4 cm 8 cm x 6 cm Criterio de evaluación: 1 punto por cada uno de los primeros tres casos correctos que se propongan, 2 puntos por el cuarto caso y dos puntos por el quinto caso. Problema 21 El perímetro del cuadrado pequeño es 4 m + 4 m + 4 m + 4 m = 16 m. Por lo que en el cuadrado de su izquierda, dos de sus lados miden 16 m. y su perímetro 32 m.

Así mismo, en el cuadrado de su izquierda dos de sus lados miden 32 m. y su perímetro 64 m. Por último, en el cuadrado de su izquierda dos de sus lados miden 64 m. y su perímetro 128 m.

La suma de todos los perímetros es 16 m + 32 m + 64 m + 128 m = 240 metros. Criterio de evaluación: 1 punto por encontrar el perímetro de cada cuadrado, 2 puntos por la suma y 1 punto por el resultado correcto. 22

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Problema 22 Si un Zu es la mitad de un Zo, entonces Zu + Zu = Zo, es decir, dos Zu es igual a un Zo. Como tres Za es la mitad de un Zu, entonces Za + Za + Za + Za + Za + Za = Zu, es decir, seis Za es igual a un Zu.

Por lo tanto, doce Za es un Zo.

Criterio de evaluación: 3 puntos por encontrar el valor de un Zo en términos del Zu, 3 puntos por encontrar el valor de un Zu en términos del Za y 1 punto por el resultado correcto. Problema 23 Las formas diferentes de colorear el gusano se enlistan a continuación: 1 11

6 7

14 15 16

18 19

En total son 20 formas diferentes de colorear el gusano.

Criterio de evaluación: 1 punto por los primeros 4 casos, 1 punto por los siguientes 4 casos (llegar a 8), 1 punto por los siguientes 4 casos (llegar a 12), 1 punto por los siguientes 3 casos (llegar a 15), 1 punto por los siguientes 3 casos (llegar a 18), 1 punto por los últimos 2 casos y 1 punto por decir el número total de formas diferentes posibles. 23

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Problema 24 Como todas las cajas tienen la misma cantidad de crayones, podemos eliminar una caja de Iván con una caja de Karla, y además eliminamos dos crayones de cada uno.

Así quedan 2 cajas igual a 10 crayones.

Por lo que una caja tiene la mitad de crayones.

Una caja contiene 5 crayones.

Criterio de evaluación: 2 puntos por eliminar una caja y dos crayones de cada uno, 2 puntos por decir que dos cajas son igual a diez crayones, 2 puntos por dividir entre dos las cajas y los crayones restantes y 1 punto por el resultado correcto. Problema 25 Encontramos los divisores de 96: 96, 48, 32, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1

Dividimos entre cada uno de ellos para poder repartir los chocolates, tomado en cuenta que si tiene menos de 5 o más de 20 chocolates, no se acepta.

Dan valores menores que cinco: 96/96 = 1 no 96/48 = 2 no 96/32 = 3 no 96/24 = 4 no

Dan valores entre 5 y 20: 96/16 = 6 SÍ 96/12 = 8 SÍ 96/8 = 12 SÍ 96/6 = 16 SÍ

Dan valores mayores que 20: 96/4 = 24 no 96/3 = 32 no 96/2 = 48 no 96/1 = 96 no

Se pueden repartir de 4 maneras diferentes con grupos de más de 5 y menos de 20 chocolates.

Criterio de evaluación: 2 puntos por encontrar los divisores de 96, 1 punto por calcular los casos en que da menor que cinco, 1 punto por calcular los casos en que da mayor que veinte, 2 puntos por encontrar los casos entre 5 y 20 chocolates y 1 punto por el resultado correcto. 24

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Problema 26 Si el perímetro del cuadrado I es 16 m. cada uno de sus lados mide 16 / 4 = 4 m. y su área es 4 x 4 = 16 m2.

Como el área del cuadrado II es 36 m2, entonces cada lado mide 6 m. porque 6 x 6 = 36.

Conociendo la medida de los lados del cuadrado I y II, podemos conocer la medida del lado del cuadrado III, esto es 4 + 6 = 10 m. y su área es 10 x 10 = 100 m2.

Conociendo la medida de los lados del cuadrado II y III, podemos conocer la medida del cuadrado IV, esto es 6 + 10 = 16 m. y su área es 16 x 16 = 256 cm2.

El área total de la figura formada es: 16 + 36 + 100 + 256 = 408 m2

Criterio de evaluación: 1 punto, por el área del cuadrado I, 1 punto, por el lado del cuadrado II, 1 punto, por el lado del cuadrado III, 1 punto, por el área del cuadrado III, 1 punto, por el lado del cuadrado IV, 1 punto, por el área del cuadrado IV, 1 punto, por el resultado correcto. Problema 27 De las 9 de la noche a las 6:30 de la mañana transcurrieron 9 horas y treinta minutos.

Como se retrasa 8 segundos por hora, en 9 horas se retrasa 8 x 9 = 72 segundos, más 4 segundos por la media hora restante, en total se retrasa 72 + 4 = 76 segundos, lo que equivale a 1 minuto y 16 segundos.

Por lo que si al despertarse por la mañana marcó las 6:30 horas, la hora correcta era las 6:31 con 16 segundos.

Criterio de evaluación: 2 puntos, por calcular el tiempo transcurrido en el reloj, 1 punto, por calcular los 72 segundos en 9 horas, 1 punto, por los 4 segundos de la media hora, 1 punto, por calcular las 76 segundos de retraso total, 1 punto, por convertirlo a 1 minuto y 16 segundos, 1 punto, por calcular la hora correcta. Problema 28 Si cinco pasteles de chocolate cuestan tanto como dos de manzana, entonces, Diez pasteles de chocolate cuestan tanto como cuatro de manzana.

Como un pastel de manzana cuesta tanto como tres donas, entonces, Cuatro pasteles de manzana cuestan tanto como doce donas.

Por lo tanto, diez pasteles de chocolate cuestan lo mismo que doce donas.

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Criterio de evaluación: 3 puntos, por calcular que diez pasteles de chocolate cuestan tanto como cuatro de manzana, 3 puntos, por calcular que cuatro de manzana cuesta lo mismo que doce donas, 1 punto, por el resultado correcto. Problema 29 Podemos probar el número de monedas con la ayuda de una tabla. Monedas de un peso Menos 12 monedas Menos 12 Monedas de (mitad de las de 50 gastadas de 50 monedas gastadas 50 centavos centavos) centavos de un peso 40 20 28 8 42 21 30 9 44 22 32 10 46 23 34 11 48 24 36 12 Se observa que cuando se tienen 48 monedas de 50 centavos, hay 24 monedas de un peso (la mitad) y al gastarse 12 monedas de cada tipo, quedan el triple de monedas de 50 centavos, 36, que de a peso, 12. Por lo que la cantidad de dinero que había inicialmente en el cochinito era de 24 pesos por 48 monedas de 50 centavos, más 24 pesos en monedas de a un peso, en total 48 pesos. Criterio de evaluación: 2 puntos, por construir la tabla, 2 puntos, por probar con algunas cantidades, 2 puntos, por encontrar el número de monedas que había en el cochinito, y 1 punto, por el resultado correcto. Problema 30 Llamemos a los dulces de caramelo por sus iniciales: A = Amarillo, V = verde, R = Rojo, M = Morado, B = Blanco Y a los chiclosos: C = Cajeta, F = Fresa, L = Limón, N = Naranja Si escoge 2 dulces podría hacerlo así: 1 A V 2 A R 3 A M 4 A B 5 V R 6 V M 7 V B 8 R M 9 R B 10 M B De diez formas diferentes 26

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Si escoge tres chiclosos lo podría hacer así: 1 C F L 2 C F N 3 C L N 4 F L N De cuatro formas diferentes Si escoge 2 dulces y 3 chiclosos podría hacerlo de cuatro maneras por cada una de las diez formas de escoger 2 dulces, es decir, de 40 formas diferentes. Criterio de evaluación: 3 puntos, por encontrar las diez formas de escoger dos dulces, 2 puntos, por encontrar las cuatro formas de escoger tres chiclosos, 1 punto, por relacionar los dos resultados, y 1 punto, por el resultado correcto. Problema 31 La pieza cuadrada tiene 1200 mm., de perímetro, por lo que cada uno de sus lados mide 1200 / 4 = 300 mm. El perímetro del cuadrado formado por las tres piezas tiene un perímetro de 2012 mm., por lo que cada uno de sus lados mide 2012 / 4 = 503 mm. Con estas medidas podemos calcular las medidas de los lados de las tres piezas: El lado del cuadrado formado por las tres piezas que mide 503 mm., está formado por los segmentos ab y bc, como bc mide 300 mm., entonces ab mide 503 – 300 = 203 mm. De la misma manera procedemos con los lados cg y eg, obteniendo: cd = 300 mm., dg = 203, ef = 203 mm., fg = 300 mm., como se muestra en la figura. El área del rectángulo II es 203 x 503 = 102 109 mm2 El área del rectángulo III es de 300 x 203 = 60 900 mm2 Si restamos las dos áreas obtenemos cuál es la mayor: 102 109 – 60 900 = 41 209 mm2, por lo que el rectángulo II es mayor que el rectángulo III. Criterio de evaluación: 1 punto, por encontrar la medida de los lados del cuadrado I, 1 punto, por encontrar la medida de los lados del cuadrado formado por las tres piezas, 1 punto, por encontrar la medida de los segmentos de 203 mm., 1 punto, por calcular la medida del área del rectángulo I, 1 punto, por encontrar la medida del rectángulo II, 1 punto, por hacer la resta de las dos áreas, 1 punto, por el resultado correcto. 27

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Problema 32 El número 2012 es divisible por 4 y la suma de sus cifras es igual a 5. ¿Cuántos números de cuatro cifras es divisible por 4 y la suma de sus cifras es 5? La forma de sumar 5 con cuatro dígitos es: Suman 5 Se pueden formar: 5 + 0 +0 + 0 5000 4 + 1 + 0 + 0 1004, 1040, 1400, 4001, 4010, 4100 3 + 2 + 0 + 0 2003, 2030, 2300, 3002, 3020, 3200 1 + 1 + 3 + 0 1013, 1031, 1103, 1130, 1301, 1310, 3011, 3101,3110 1 + 2 + 2 + 0 1022, 1202, 1220, 2012, 2021, 2102, 2120, 2201, 2210 1 + 1 + 1 + 2 1112, 1121, 1211, 2111

Y de ellos, los que son divisibles entre 4 son: 5000, 1004, 1040, 1400, 4100, 2300, 3020, 3200, 1220, 2012, 2120, 1112

Son 12 números de 4 dígitos que sus cifras suman 5 y son múltiplos de 4.

Criterio de evaluación: 1 punto, por encontrar las maneras en que los dígitos de cuatro cifras pueden sumar cinco, 1 punto, por cada siete cantidades de cuatro dígitos que sumen cinco encontradas, 1 punto, por el resultado correcto. Problema 33 Podemos auxiliarnos de una tabla y probar con las diferentes combinaciones Barcos con 7 Número de Faltan por Barcos de 5 Número de Faltan por tripulantes tripulantes repartir tripulantes tripulantes repartir 1 7 79 15 75 4 2 14 72 14 70 2 3 21 65 13 65 0 4 28 58 11 55 3 5 35 51 10 50 1 6 42 44 8 40 4 7 49 37 7 35 2 8 56 30 6 30 0 9 63 23 5 20 3 10 70 16 3 15 1 11 77 9 1 5 2 12 84 2 0 0 2

Las únicas dos combinaciones en las que se pueden repartir a los 86 tripulantes en barcos con 5 y barcos con 7 tripulantes son: 3 barcos con 7 tripulantes y 13 barcos con 5 tripulantes, en total 86 tripulantes. 8 barcos con 7 tripulantes y 6 barcos con 5 tripulantes, en total 86 tripulantes.

Criterio de evaluación: 3 puntos, por completar la tabla, 3 puntos, por señalar las combinaciones posibles, 1 punto, por el resultado correcto. 28

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Problema 34 Los cubos y los cilindros pesan en total 500 gramos, se observa que hay una pesa de 20 gramos, que sumados al peso de los cubos y los cilindros da un peso total de 500 + 20 = 520 gramos, la balanza está en equilibrio, por lo que la mitad del peso total deberá estar a cada lado de la balanza, por lo que en cada lado de la balanza hay 520 / 2 = 260 gramos. En el lado izquierdo hay 3 cubos y 1 cilindro, en el lado derecho hay 2 cubos, 2 cilindros y una pesa de 20 gramos. Podemos eliminar 2 cubos de cada lado y un cilindro de cada lado, quedando así:

Se observa que del lado izquierdo de la balanza queda un cubo que pesa lo mismo que un cilindro más los 20 gramos que están a la derecha de la balanza. Por lo que un cubo pesa 20 gramos más que un cilindro. Podemos proponer el peso de cada cubo y del cilindro (con 20 gramos menos que el cubo): Peso Izquierda de la balanza Derecha de la balanza Cubo Cilindro 3 cubos Cilindro Total 2 Cubos 2 Cilindros Pesa Total 40 20 120 20 140 80 40 20 140 50 30 150 30 180 100 60 20 180 60 40 180 40 220 120 80 20 220 70 50 210 50 260 140 100 20 260 Criterio de evaluación: 1 punto, por determinar que el peso total es de 520 gramos, 1 punto, por repartir el peso, 260 gramos en cada lado de la balanza, 1 punto, por eliminar los cubos y cilindros en ambos lados de la balanza, 1 punto, por determinar que la diferencia de peso entre un cubo y un cilindro es de 20 gramos, 2 puntos, probar con diferentes pesos para el cubo y el cilindro, 1 punto, el resultado correcto. Problema 35 Solución 1 Jugador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ganancia 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 El décimo jugador gana $ 48.00 29

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Criterio de evaluación: 3 puntos si calcula la ganancia con hasta 3 jugadores, 3 puntos si hace la tabla completa y 1 punto por el resultado correcto. Solución 2 Observamos que cada jugador gana $ 5.00 más que el anterior, excepto el primero que gana $ 3.00, la diferencia es de $ 2.00, si multiplicamos el número del jugador por 5 y le restamos 2, que es la diferencia, obtenemos su ganancia. Entonces, el jugador número 10 gana 5 por 10 menos 2, igual a $ 48. Criterio de evaluación: 2 puntos si observa que hay que multiplicar por cinco el número de jugadores para obtener la ganancia acumulada, 2 puntos si indica que para el primer jugador hay que restar dos, 2 puntos por calcular la ganancia para el décimo jugador y 1 punto por el resultado correcto. Problema 36 Santa Claus necesita asignar los ayudantes de manera proporcional al tiempo que se emplea en cada juguete. Completar cada juguete requiere de 100 minutos: 60 de ensamblaje, 35 de decoración y 5 de empacado. Por lo tanto, el departamento de ensamblaje requiere 60% de los ayudantes: 300(60%) = 180. El departamento de decoración, el 35%; 300(35%) = 105 Y el departamento de empacado, el 5%; 300(5%) = 15 Se deben distribuir 180 ayudantes al ensamblaje, 105 a la decoración y 15 al empacado. Criterio de evaluación: 1 punto si se calcula el tiempo total requerido por un juguete, 2 puntos por calcular el número de ayudantes para ensamblaje, 2 puntos por calcular el número de ayudantes para decoración y 2 puntos por calcular el número de ayudantes para empacado. Problema 37 Cada cuadrito tiene un área de 1/16 de los 24 cm2, es decir, 24/16 = 1.5 cm2 y cada triángulo sombreado tiene un área entonces de 1/32 de los 24 cm2, es decir 24/32 = 0.75 cm2. Son ocho triángulos de las puntas de la estrella y cuatro más que forman el cuadrado sombreado del centro. En total los 12 triángulos sombreados determinan 12/32 o reduciendo, 3/8 o en decimales, 0.375 cm2 de los 24 cm2, que dan un área sombrada de 24(3/8) = 72/8 = 9 cm2. 30

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Criterio de evaluación: 2 puntos por decir que cada cuadrito es 1/16 o que cada triángulo es 1/32 del área total, 2 puntos por decir que el área sombreada es 12/32 o 3/8 del total, 2 puntos por calcular el área que corresponde a lo sombreado del total de 24 cm2 y 1 punto por el resultado correcto. Problema 38 Dado que la mezcla con moka tiene la mitad de café regular, las cuatro cucharadas de la mezcla contienen el equivalente a 2 cucharadas de café regular. Estas dos cucharadas más las tres cucharadas de café regular que se sirven completan cinco cucharadas totales de café regular en la cafetera. Por lo tanto, la fracción de café regular es 5/7. Criterio de evaluación: 3 puntos por decir que las cuatro cucharadas de la mezcla equivalen a dos de de café regular, 3 puntos por decir que son cinco de las siete cucharadas de café regular y 1 punto por escribir la fracción que corresponde al resultado correcto. Problema 39 Al doblar el cuadrado por el eje vertical a la mitad, se forma un rectángulo en el que dos de sus lados son los lados originales del cuadrado y los otros dos miden la mitad del lado del cuadrado, por lo que el perímetro del rectángulo será tres veces el lado del cuadrado original. Como se indica que es de 39 cm., quiere decir que el lado del cuadrado es 39/3 = 13 cm. y por lo tanto el área del cuadrado original es 13(13) = 169 cm2. Criterio de evaluación: 2 puntos por decir que dos lados del rectángulo formado miden lo mismo y dos la mitad del lado del cuadrado, 2 puntos por decir que el perímetro es tres veces el lado del cuadrado, 2 puntos por calcular la medida del lado del cuadrado y 1 punto por calcular el área del cuadrado y decir el resultado correcto. Problema 40 La manecilla de las horas se mueve 30˚ cada hora, lo que equivale a 5˚ cada 10 minutos. La manecilla de los minutos se mueve 30˚ cada 5 minutos. A las 8:20 horas, la manecilla de las horas ha pasado 10˚ del 8; por lo tanto el ángulo entre las dos manecillas es 4 (30˚) + 10˚ = 120° + 10° = 130˚ A las 12:20 horas, el ángulo entre las dos manecillas es 4 (30˚) – 10˚ = 120° – 10° = 110˚ A las 1:30 horas, el ángulo entre las manecillas es 5 (30˚) – 15˚ = 150° – 15° = 135° Por lo tanto, el menor ángulo es de 110° y corresponde a las 12:20 horas. 31

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Criterio de evaluación: 1 punto por decir la equivalencia en grados del movimiento de la manecilla de las horas, 1 punto por decir la equivalencia del movimiento de la manecilla de los minutos, 2 puntos por calcular los tres ángulos diciendo sólo cuántas veces son los 30° (120°, 120° y 150°), 2 puntos más si se calculan los tres ángulos sumando o restando los 5° por cada 10 minutos y 1 punto por el resultado correcto. Problema 41

Debido a que al multiplicar la primer cifra por 4, entonces A debe ser un número par y no puede ser mayor a 2 porque el resultado de la multiplicación sería de 6 cifras, por lo que A = 2.

Para obtener A = 2 se multiplica 4 X E. Entonces E puede ser 3 u 8, pero como ya sabemos el valor de A, al multiplicar en el otro extremo 4 x A = 8, 4 x 2 = 8, entonces E = 8.

Para obtener el valor de B consideramos que al multiplicar 4 X B no podemos tener excedente de 10 para no alterar el valor de E, por lo que puede ser 1 o 2, pero 2 es el valor de A, así que B = 1.

El valor de D lo obtenemos de multiplicar 4 x D y donde el resultado tiene que coincidir con B = 1, por lo que 4 X 7 = 28, más 3 que llevamos = 31, por lo que D = 7. El valor de C se obtiene de 4 x C más 3 que llevamos, 4 X 9 = 36 más 3 igual a 39, C = 9.

Así que 21978 x 4 = 87912 y el número ABCDE es 21978.

Criterio de evaluación: 2 puntos si encuentra el valor de A, 1 punto por encontrar el valor de E, 1 punto por hallar el valor de B, 1 punto por el valor de D, 1 punto por el valor de C, en cada uno de los casos sólo se darán los puntos si prueba los valores posibles o explica cómo los encontró y 1 punto por el resultado correcto. Problema 42 Dado que la publicación ocurre a intervalos regulares de 9 años, una forma de aproximación es determinar la media de los años, para lo que dividimos 13,601 entre 7, obteniendo el año de 1943.

El primer año de publicación será tres periodos antes de este valor, es decir 3 x 9 = 27 años, o sea, 27 años antes de 1943.

Por lo que el año en que se publicó el primer libro es: 1943 – 27 = 1916

Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular el año medio de las publicaciones, 2 puntos por decir el número de años que hay desde la primera publicación y el año medio, 2 puntos por calcular el año de la primera publicación y 1 punto por el resultado correcto. 32

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Problema 43 El dígito de las decenas sólo puede ser 1, 2 o 3, ya que el de los millares debe ser el triple, es decir, 3, 6 o 9.

Si se tomara el 2 para las decenas, el dígito de los millares sería 6 y tendríamos una suma parcial de 8, lo que dejaría una suma de 19 entre los dos dígitos faltantes, lo que es imposible de obtener con dos dígitos, por lo que se descarta esta opción y con mayor razón la del dígito 1.

Tenemos entonces que el dígito de las decenas es 3 y el de los millares es 9, cuya suma es 12 y deja 15 unidades para repartir entre el dígito de las unidades y el de las centenas.

Las opciones para las unidades y las centenas son: a) 9 y 6, que se descarta porque el 9 ya está considerado y los dígitos deben ser diferentes. b) 8 y 7, que es la otra opción se acepta.

Como se pide que el número sea impar, el 7 debe corresponder a las unidades y el 8 a las centenas.

Resultando el número 9837.

Criterio de evaluación: 2 puntos por encontrar que el dígito de las decenas es tres, 1 punto por encontrar que el dígito de los millares es nueve, 2 puntos por encontrar que el dígito de las unidades es siete, 1 punto por encontrar que el dígito de las centenas es ocho y 1 punto por el resultado correcto. Problema 44 Al desdoblar cada sección se obtiene el doble de agujeros que la vez anterior, así: 1, 2, 4, 8, 12, 16, 32, habrá 32 agujeros. Criterio de evaluación: 1 punto por empezar la serie, 2 puntos por llegar al 16, 2 puntos por llegar al 32, 1 punto determinar que hay un hoyo por cada cuadrito y 1 punto por el resultado correcto. Problema 45 El bombero está parado a la mitad, sube 3 pero baja 5, sube 7 y sube 6, y está al borde de la escalera, por lo que: 3 – 5 + 7 + 6 = 11 peldaños en cada mitad, 11 + 11 = 22, más el peldaño en el que está parado a la mitad de la escalera, por lo tanto la escalera tiene 23 peldaños.

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Criterio de evaluación: 1 punto por ubicar al bombero en la mitad, 1 punto por llegar al -‐2, 1 punto por llegar al 5, 1 punto por llegar al 11, 2 puntos por multiplicar por 2 y 1 punto por el resultado correcto. Problema 46 El cuadrado menor tiene dos lados completos de 5 cm., un lado de 5 – 2 = 3 cm. y otro lado de 5 – 1 = 4cm. El cuadrado mayor tiene dos lados completos de 6 cm., un lado de 6 – 2 = 4 cm. y otro lado de 6 – 1 = 5 cm. El perímetro del contorno de la figura es 5 + 5 + 4 + 3 + 6 + 6 + 5 + 4 = 38 cm. Criterio de evaluación: 1 punto por determinar los lados iguales del cuadrado menor, 1 punto por determinar los lados iguales del cuadrado mayor, 2 puntos por encontrar la medida de los lados restantes del cuadrado menor, 2 puntos por encontrar la medida de los lados restantes del cuadrado mayor y 1 punto por encontrar el perímetro. Problema 47 Se puede construir una tabla para encontrar todas las diferentes formas en que se pueden vender los artículos: Cantidad A, B, C a $ 30.00 c/u D, E a $ 40.00 c/u Total 1 1 -‐-‐-‐-‐-‐ 30 1 -‐-‐-‐-‐-‐ 1 40 2 2 -‐-‐-‐-‐-‐ 60 2 -‐-‐-‐-‐-‐ 2 80 2 1 1 70 3 3 -‐-‐-‐-‐-‐ 90 3 2 1 100 3 1 2 110 4 3 1 130 4 2 2 140 5 3 2 170 Contemos cuántas cantidades de dinero diferentes se pueden obtener. Se obtienen 11 cantidades de dinero diferentes. Criterio de evaluación: 1 punto por encontrar 2 o 3 casos aislados, 1 punto por encontrar 4 o 5 casos aislados, 2 puntos por seguir algún tipo de orden encontrando hasta 8 casos, 1 puntos por encontrar 9 casos, 1 punto por encontrar 10 casos y 1 punto por encontrar los 11 casos. 34

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Problema 48 Criterio de evaluación: 2 puntos por encontrar el orden correcto de las cajas, 2 puntos por encontrar el orden correcto de los objetos, 2 puntos por justificar su procedimiento y 1 punto por la solución. Problema 49 Necesitamos obtener las tres dimensiones de la caja armada: Largo = 6 – 2 = 4 Ancho = 6 – 2 = 4 Alto = 1 Volumen = Largo x Ancho x Alto = 4 x 4 x 1 = 16 u3 Criterio de evaluación: 2 puntos por determinar cada una de las medidas de la caja: largo, ancho y alto, y 1 punto por la solución. Problema 50 Sabemos que Cristina tiene más edad que la que dice, por lo que podemos proponer una edad y restarle su cuarta parte menos uno. La edad real debe ser múltiplo de cuatro porque tenemos que calcular su cuarta parte Edad real Cuarta parte Cuarta parte menos uno Edad que diría Cristina 20 5 4 16 24 6 5 19 28 7 6 22 La edad real de Cristina es 24 años. Criterio de evaluación: 2 puntos por determinar que debe ser múltiplo de 4, 2 puntos por probar algunos casos, 2 puntos por encontrar el resultado correcto y 1 punto por probar que no hay más casos.

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Problema 51

Solución 1 En la primera balanza, se observa que el cubo y la bola negra pesan 60 kg. En la segunda balanza se observa que el cubo pesa más de 50; 50 más la bola negra. Para que el cubo y la bola negra sumen 60, el cubo tendrá que pesar 55 kg y la bola negra 5 kg, ya que cualquier otro peso de la bola negra desequilibraría las balanzas, ejemplo si la bola negra pesa 1 kg, el cubo tendría que pesar 59 kg, pero en la segunda balanza la bola negra ya no pesaría 1 kg, tendría que pesar 9 kg. Criterio de evaluación: 1 punto por determinar que el cubo y la bola negra pesan 60 kg, 1 punto por determinar que el cubo pesa 50 más la bola negra, 2 puntos por encontrar el peso del cubo, 1 punto por el resultado y 2 puntos por la explicación. Solución 2 Llamemos x = cubo, y = bola negra Primera balanza: x + y = 50 + 10 Segunda balanza: x = 50 + y Sustituimos el valor de x en la primera ecuación: ( 50 + y ) + y = 60 2y = 60 – 50 y = 10/2 y = 5, la bola negra pesa 5 kg. Criterio de evaluación: 2 puntos por determinar la primera ecuación, 2 puntos por determinar la segunda ecuación, 2 puntos por el proceso de solución y 1 punto por el resultado correcto. Problema 52 Solución 1 Consideremos 26 letras del alfabeto, la ñ no: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z Si el primer nombre comienza con A, el segundo nombre, podría empezar con B, C, D,… es decir, de 25 formas diferentes, hasta llegar a la Z. 36

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Si el primer nombre comienza con B, el segundo podría empezar con cualquiera de las 24 letras restantes. Si el primer nombre comienza con C, el segundo empezaría con cualquiera de las 23 letras restantes. Así: Primer nombre El segundo de tantas Primer nombre El segundo de tantas empieza con: formas diferentes como: empieza con: formas diferentes como: A 25 N 12 B 24 O 11 C 23 P 10 D 22 Q 9 E 21 R 8 F 20 S 7 G 19 T 6 H 18 U 5 I 17 V 4 J 16 W 3 K 15 X 2 L 14 Y 1 M 13 Z 0 Sumemos todas las posibilidades, pueden ponerle a su hijo de 325 maneras diferentes con estas condiciones. Solución 2 Si se considera como parte del nombre a las iniciales de los apellidos, Y y Z, entonces se consideran 24 letras, la A con 23 letras restantes, la B con 22 letras restantes, la C con 21 letras restantes… y resultan 276 maneras diferentes con estas condiciones. Criterio de evaluación: 1 punto por interpretar el enunciado del problema, hace ejemplos válidos, 1 punto por esbozar una estrategia, 2 punto si la estrategia es clara, 2 puntos por presentar el cálculo, 1 punto por el resultado correcto. Problema 53 Solución 1 Daniela avanza 500 metros en un minuto, por lo que para recorrer los 4000 metros de la pista se tarda 8 minutos, 4000 / 500 = 8 minutos. Octavio avanza 400 metros en un minuto, por lo que para recorrer la pista requiere de 10 minutos, 4000 / 400 = 10 minutos. Pero Daniela le da una ventaja de 300 metros, por lo que a esa velocidad Daniela habrá concluido la carrera en 8 minutos y Octavio habrá recorrido 400 x 8 = 3200 metros, más la ventaja de 300 metros, serán 3500 metros. Daniela será quien ganará la carrera con una ventaja de 500 metros. 37

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Solución 2 Apoyados en una recta:

Octavio inicia con una ventaja de 300 metros, Daniela tarda 8 minutos en completar el recorrido y al cruzar la meta en ese momento Octavio lleva recorridos 3500 metros, por lo que Daniela habrá ganado con una ventaja de 500 metros. Solución 3 Apoyados en una tabla: Metros Minutos Daniela Octavio 0 0 300 1 500 700 2 1000 1100 3 1500 1500 4 2000 1900 5 2500 2300 6 3000 2700 7 3500 3100 8 4000 3500 Se observa que Daniela cruza la meta en 8 minutos y que en ese momento Octavio lleva recorridos 3500 metros por lo que Daniela ganará con una ventaja de 500 metros. Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular el tiempo de Daniela, 2 puntos por calcular el tiempo de Octavio considerando la ventaja, 2 puntos por calcular la distancia recorrida por Octavio en el momento en que Daniela cruza la meta, 1 punto por el resultado correcto. Problema 54 Solución 1 Ubicar en una recta la posición en que queda cada uno de los carritos después del primer impulso.

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Se pueden trazar individualmente para evitar confusiones al dividir las rectas:

Para el segundo impulso, se pueden buscar fracciones equivalentes: Carrito de Daniela: ! Primer impulso !"

! !

Segundo impulso que se pude escribir como !

Avance total + = !" !" !" Carrito de Pamela: ! !" Primer impulso = !

!" !!

Segundo impulso =

! !" !" !"

Avance total + = !" !" !" Carrito de Lucas: ! ! Primer impulso = !

Segundo impulso llegó a = !" !" !" !

El segundo impulso fue de – = !" !" !" Carrito de Octavio: ! ! Primer impulso = !

!" !

Segundo impulso = !

! !

!" !"

Avance total + =

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El carrito de Octavio quedó en primer lugar, el de Lucas en segundo lugar, el de Daniela y Pamela empataron en tercer lugar.

Solución 2 Se puede calcular la medida en metros de cada impulso, sabemos que la pista mide 3 metros.

Para el carrito de Daniela: Recorrió x 3 = = 1.2 metros, completemos la tabla Recorrido en metros Primer impulso Segundo impulso 1.2 1.5 1.5 1.2 1.125 1.625 1.8 1

Carrito Daniela Pamela Lucas Octavio

Total en metros 2.7 2.7 2.75 2.8

El carrito de Octavio quedó en primer lugar, el de Lucas en segundo lugar, el de Daniela y Pamela empataron en tercer lugar. Solución 3 Sumando fracciones:

Carrito de Daniela: ! ! ! ! ! + = + =

Carrito de Pamela: ! ! !" !" !" + = + = !

Carrito de Lucas: !! ! !" ! !" – = – = !" ! !" !" !"

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Carrito de Octavio: ! ! ! ! !" + = + =

El carrito de Octavio quedó en primer lugar, el de Lucas en segundo lugar, el de Daniela y Pamela empataron en tercer lugar.

Criterio de evaluación: Para las 3 soluciones. 2 puntos por ubicar o calcular el primer impulso, 2 puntos por ubicar o calcular el segundo impulso, 2 puntos por ubicar o calcular la distancia total recorrida por cada carrito, 1 punto por el resultado correcto.

Problema 55 Solución 1 Se puede ir aumentando de 80 en 80 hasta llegar a 400 galletas y dividir entre 4 para obtener las cantidades para 100 galletas: Número de galletas Ingredientes 80 160 240 320 400 100 Yemas de huevo 4 8 12 16 20 5 ! 1 Latas de leche 1 2 3 4 5 ! Nuez picada (gramos) 200 400 600 800 1000 250 ! 1 Vainilla (cucharada) 1 2 3 4 5 Mantequilla (gramos)

400

800

1200

Harina (tazas)

Azúcar glas (tazas)

Chocolate (tazas)

! !

1600

2000

! !

500 !

4 !

Solución 2 Se puede disminuir de mitad en mitad hasta llegar a encontrar la cantidad necesaria para 20 galletas y aumentarla a las de 80 galletas para obtener 100. Número de galletas Ingredientes 80 40 20 100 (80 + 20) Yemas de huevo 4 2 1 5 ! ! ! 1 Latas de leche 1 ! ! ! Nuez picada (gramos) 200 100 50 250 ! ! ! 1 Vainilla (cucharada) 1 ! ! ! Mantequilla (gramos) 400 200 100 500 !

Azúcar glas (tazas)

Chocolate (tazas)

! !

Harina (tazas)

! !

! ! !

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Solución 3 Se puede dividir cada cantidad entre 80 para obtener la cantidad necesaria para una galleta, (valor unitario) y multiplicar por 100 galletas. Número de galletas Ingredientes 80 1 100 Yemas de huevo 4 0.05 5 ! Latas de leche 1 0.0125 1.25 o 1 ! Nuez picada (gramos) 200 2.5 250 ! Vainilla (cucharada) 1 0.0125 1.25 o 1 ! Mantequilla (gramos) 400 5 500 !

Harina (tazas)

3 o 3.5

Azúcar glass (tazas)

o 0.5

Chocolate (tazas)

o 0.25

! !

0.04375

4.375 o 4

0.00625

0.625 o

0.003125

0.3125 o

! !

Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular hasta 2 ingredientes, 2 puntos por calcular hasta 5 ingredientes, 2 puntos por calcular hasta 7 ingredientes, 1 punto por calcular los 8 ingredientes.

Problema 56

Solución 1 Calcular el área de la figura a partir del cálculo de las áreas no sombreadas, obteniendo el área del círculo completo y del cuadrado:

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Área del cuadrado: 20 × 20 = 400 cm2 Área del círculo: π × r2 = 1256.64 cm2 El área de la figura sombreada delimitado por el arco en el cuadrado ADEF es igual a la cuarta parte del área del círculo completo. 1256.64 cm2 ÷ 4 = 314.16 cm2 El área de la figura sombreada delimitada por el arco trazado en cuadrado ABCD es igual al área del cuadrado menos el área de la cuarta parte del círculo completo. 400 cm2 – 314.16 cm2= 85.84 cm2 El área de toda la figura sombreada es 314.16 cm2 + 85.84 cm2 = 400 cm2

Solución 2 Se observa que el área sombreada del primer mosaico es igual a la formada fuera de la figura sombreada del segundo mosaico, es decir, que el área delimitada por los vértices DBA es igual al área delimitada por los vértices DEF. Como estas dos figuras tienen la misma área, entonces se puede colocar la figura DBA en el lugar que ocupa la figura DEF y con ello se “completa” un cuadrado, esto es, se completa el área de un mosaico, por lo que el área de la figura sombreada es igual al área de un mosaico que mide 20 x 20 = 400 cm2. Solución 3 Trazar dos diagonales, una en cada mosaico y observar que los “gajos” que se forman son iguales, con lo que al colocar el gajo sombreado en el lugar que ocupa el gajo sin sombrear se puede completar el triángulo BDF y calcular su área:

La base del triángulo BDF mide 40 cm y su altura 20 cm, por lo que su área mide: 40 x 20 ÷ 2 = 400 cm2. Por lo que el área de la figura sombreada es de 400 cm2. 43

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Solución para el perímetro: Para calcular el perímetro de la figura sombreada se obtiene el perímetro de la circunferencia completa. Perímetro de la circunferencia: 2r × π = 125.66 cm Perímetro de la cuarta parte de la circunferencia: 125.66 cm ÷ 4 = 31.42 cm Perímetro de la figura sombreada = Longitud del segmento BF + la cuarta parte del perímetro la circunferencia, arco BD + la cuarta parte del perímetro de la circunferencia, arco DF: 40 cm + 31.42 cm + 31.42 cm = 102.84 cm. Criterio de evaluación: Solución 1 1 punto por calcular el área del cuadrado completo, 1 puntos por calcular el área del círculo completo, 1 punto por determinar que el área sombreada corresponde a la cuarte parte del círculo completo, 2 puntos determinar que el área sombrada es la diferencia con el área del cuadrado, calcular el total del área sombreada, 1 punto por el cálculo del perímetro. Solución 2 2 puntos por determinar que el área sombreada del primer mosaico es igual a la formada fuera de la figura sombreada del segundo mosaico. 2 puntos por colocar la figura DBA en el lugar que ocupa la figura DEF completar un cuadrado, 2 puntos por calcular el área de la figura sombreada, 1 punto por el cálculo del perímetro. Solución 3 2 puntos por trazar las diagonales, 2 puntos por señalar que los “gajos” que se forman son iguales. 2 completar el triángulo BDF y calcular su área, 2 puntos por calcular el área de la figura sombreada, 1 punto por el cálculo del perímetro.

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FUENTES DE CONSULTA Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas (2001-‐2012). Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria (ONMAS, OMAP y ONMAPS). México. Perrenoud, Phillippe (2007). Diez Nuevas Competencias para Enseñar: Biblioteca de aula, No. 196. Graó, Barcelona, 5a edición. Secretaría de Educación Pública (2011a). Acuerdo número 592 por el que se establece la articulación de la Educación Básica. SEP, México. Secretaría de Educación Pública (2011b). Plan de Estudios 2011, Educación Básica. México, págs. 38-‐39. Secretaría de Educación Pública (2011c). Programas de Estudio 2011. Guía para el maestro. Educación Básica, Primaria, Sexto Grado. México. Secretaría de Educación Pública (2011d). Programas de Estudio 2011. Guía para el maestro. Matemáticas, Educación Básica, Secundaria. México. Secretaría de Educación Pública (2012b). Lee, piensa, decide y aprende. Matemáticas. Tercera fase. Guía del alumno. Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo. México. Secretaría de Educación Pública (2012a). Lee, piensa, decide y aprende. Matemáticas. Tercera fase. Guía del maestro. Estrategia Integral para la Mejora del Logro Educativo. México. Sociedad Matemática Mexicana (2003-‐2012). Canguro Matemático Mexicano, Calendario Matemático, Calendario Matemático Infantil y Olimpiada Matemática Mexicana (OMM). México.

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DIRECTORIO

José Antonio Gloria Morales Secretario de Educación Jalisco

Pedro Diaz Arias Coordinador de Educación Básica

Roberto Hernández Medina Director General de Educación Primaria

Gilberto Tinajero Díaz Director General de Programas Estratégicos

Miguel Ángel Casillas Cerna Director de Programas de Acompañamiento Pedagógico COMITÉ ORGANIZADOR

Coordinación General (Presidente) Miguel Ángel Casillas Cerna

Comisión Académica Silvia Esthela Rivera Alcalá Luis Alejandro Rodríguez Aceves Luis Miguel Ramírez Pulido Evangelina Avelar Durán Silvia Esthela Cruz Cervantes Juan Carlos Gómez Castro Giovani Rigoberto Rico López María Teresa Adriana Fonseca Cárdenas Jesús Rodríguez Montero Cristina Eccius Wellmann

Manuel Oregel Ramos

Comisión Operativa Víctor Manuel Rodríguez Trejo Santos Arreguín Rangel Olga Godínez Guzmán Liliana Lizette López Razcón Alma Patricia Casillas Tovar Gerardo Rivera Mayorga

Comisión de Logística Luis Javier Estrada González María Soledad Castillo Castillo Elizabeth Álvarez Rodríguez Gregorio Cárdenas Casillas Cristóbal Carrillo Rivera Alfonso Martínez Zepeda

Comisión de Difusión Evangelina Arellano Martínez Brenda del Rocío Pérez Landa Luz Elena Miramontes Arreola Víctor Manuel Villafuerte Grajeda Francisco Sánchez Bautista

Colaboradores Académicos César Octavio Pérez Carrizales José Javier Gutiérrez Pineda Christa Alejandra Amezcua Eccius César Andrés Magaña Martínez Carlos Alberto Villalvazo Jáuregui Pedro Javier Bobadilla Torres Pablo Alberto Macías Martínez Julio Rodríguez Hernández

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