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G E O M E T R Í A A NA L Í T I C A PA R A T O DA S Y T O D O S

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Tabla de contenidos 06

Leonhard Paul Euler Vida y obra del matemático más prolífico de toda la historia, además de uno de los más trabajadores y con más influencia en las matemáticas.

Curiosidades sobre Euler La vida de Euler fue muy interesante, además de ser un hombre increíblemente productivo, ¡No creeras todos los descubrimientos que realizó! ¡Te sorprenderá la cantidad de manuscritos que realizó!

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Conceptos básicos para comprender la geometría analítica En este artículo encontrarás algunas definiciones que te serán muy útiles para poder entender este complejo tema.

Geografía analítica

Geometría Fractal

Entretenimiento

Referencias

Editor: Samuel Marcano Diseño:Samuel Marcano Redactores: Samuel Marcano Julio Pérez Miguel Piñero Ignacio Oliveira Entretenimiento: Samuel Marcano Ignacio Oliveira

Matemáticas & El mundo

Aprender matemáticas nos enseña a pensar de una manera lógica y a desarrollar habilidades para la resolución de problemas y toma de decisiones. Gracias a ellas también somos capaces de tener mayor claridad de ideas y del uso del lenguaje. Con las matemáticas adquirimos habilidades para la vida y es difícil pensar en algún área que no tenga que ver con ellas. Todo a nuestro alrededor tiene un poco de esta ciencia.

as habilidades numéricas en general son valoradas en la mayoría de los sectores habiendo algunos en los que se consideran esenciales. El uso de la estadística y la probabilidad efectiva es fundamental para una gran variedad de tareas tales como el cálculo de costos, la evaluación de riesgos y control de calidad y la modelización y resolución de problemas. Hay quienes plantean que en el mundo actual tan cambiante en el que vivimos, particularmente en términos de los avances tecnológicos, la demanda de conocimientos matemáticos está en aumento.

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LEONHARD PAUL EULER “Él es el maestro de todos los matemáticos” -Pierre Simon Laplace

eonhard Paul Euler, conocido como Leonhard Euler, fue un matemático, físico y filósofo suizo. Se trata del principal matemático del s iglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (e), número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, la óptica y la astronomía.

donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico II el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, 6

En 1748 publicó la obra Introductio in

Leonhard Euler por Jakob Emanuel Handmann (hacia 1756) Deutsches Museum, MĂşnich.

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Retrato de Euler del aĂąo 1753 dibujado por Jakob Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, asĂ como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien mĂĄs tarde Euler tuvo problemas de cataratas.

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analysim infinitorum, en la que expuso permitieron

continuar su actividad el concepto de función en el marco del científica; así, entre 1768 y 1772 escribió análisis matemático, campo en el que sus Lettres à une princesse d'Allemagne así mismo contribuyó de forma decisiva (Cartas a una princesa de Alemania), en con resultados como el teorema sobre las que expuso concisa y claramente los las funciones homogéneas y la teoría principios básicos de la mecánica, la óptica, de la convergencia. En el ámbito de la la acústica y la astrofísica de su tiempo. geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y De sus trabajos sobre mecánica revolucionó el tratamiento de las funciones destacan, entre los dedicados a la mecánica trigonométricas al adoptar ratios numéricos de fluidos, la formulación de las ecuaciones y relacionarlos con los números complejos que rigen su movimiento y su estudio sobre mediante la denominada identidad de la presión de una corriente líquida, y, en Euler; a él se debe la moderna tendencia relación a la mecánica celeste, el desarrollo a representar cuestiones matemáticas de una solución parcial al problema de y físicas en términos aritméticos. los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa En el terreno del álgebra obtuvo así del centro de las órbitas elípticas planetarias, mismo resultados destacados, como el que identificó con el centro de la masa solar. de la reducción de una ecuación cúbica a Tras su muerte, se inició un ambicioso una bicuadrada y el de la determinación proyecto para publicar la totalidad de su de la constante que lleva su nombre. obra científica, compuesta por más de A lo largo de sus innumerables obras, ochocientos tratados, lo cual lo convierte en tratados y publicaciones introdujo gran el matemático más prolífico de la historia. número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, No hay científico que no venere suma de los divisores de un número y al matemático suizo Leonhard Euler. expresión del número imaginario raíz de Hanspeter Kraft, también matemático menos uno. También se ocupó de la teoría (en la Universidad de Basilea) y suizo, ha de números, campo en el cual su mayor convertido en trabajo esa devoción. Como aportación fue la ley de la reciprocidad presidente de la Comisión Euler se ocupa de cuadrática, enunciada en 1783. popularizar la figura del gran matemático y sobre todo de publicar su extensísima obra, tarea aún incompleta. Los trabajos A raíz de ciertas tensiones con de Leonhard Euler, a quien Laplace llamó su ptrón Federico el Grande, regresó "el maestro de todos los matemáticos", nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco componen casi un millar de títulos entre de llegar perdió la visión del otro ojo. A libros y artículos, además de 40.000 pesar de ello, su memoria privilegiada y su páginas de textos manuscritos, de los que, prodigiosa capacidad para el tratamiento según Kraft, sólo un 10% se conoce bien. computacional de los problemas le

Curiosidades sobre Euler A lo largo del siglo XVIII amplió las fronteras del conoCimiento matemático en todos sus campos. Euler intodujo el concepto de función matemática. Fue el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. También estableció la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (al número e también se le conoce como número de Euler). Introdujo la letra griega ∑ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria de los números complejos. Aunque no fuese el primero en usar el símbolo Π para hacer referencia a la razón entre la circunferencia y su diámetro, popularizó el uso de esta letra griega.

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GEOMETRÍA La geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva Y del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global.

PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

SISTEMA DE COORDENADAS En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".

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GEOMETRÍA ANALÍTICA

e conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica:

Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes. Podemos decir que los dos objetivos fundamentales de la geometría analítica son: 1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de coordenadas , obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. 2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión.

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Por ejemplo, en la figura 1 , el punto A está a 1 unidad hacia la derecha en el eje horizontal (x) y a 4 unidades hacia arriba en el eje vertical (y). Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y 4, y el punto queda fijado con las expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal con dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0 . De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares.

FUNCIONES Las funciones se interpretan y estudian cómodamente mediante sus gráficas y, recíprocamente, las propiedades de una curva se pueden obtener a partir del estudio de sus ecuación, que es la traducción analítica de la definición de geométrica. El objeto de la geometría analítica, es precisamente esta aplicación del análisis a la geometría, y sus dos problemas fundamentales son: dada la ecuación y = f(x), trazar la gráfica correspondiente, y dada una línea L, encontrar su ecuación y = f(x). La correspondencia cartesiana "punto" - "par de números" se prolonga en el plano con la correspondencia "líneas" - "ecuación". Una función puede venir dada por su tabla, por su gráfica o por su ecuación o expresión analítica.

FIGURAS La elipse como forma cartesiana centrada en el origen: La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical.

La circunferencia como forma cartesiana: La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2

La Parabola como forma cartesiana: La forma estándar de una ecuación cuadrática es una parábola. Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola. Su función es:

f(x)= ax2+bx+c

La Hipérbola como forma cartesiana: Llamamos función de proporcionalidad inversa o hipérbola equilátera a la función y=f(x)=x/k Tal que k es la razón de proporcionalidad.

La recta como forma cartesiana: Una recta es una función de la forma y=mx+n “M”es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen. La ordenada en el origen nos indica el punto de corte con el eje Y: (0, n)

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Benoît Mandelbrot

GEOMETRÍA FRACTAL La geometría fractal es una rama de las matemáticas más recientes, específicamente a finales del siglo XX, esta se crea con el fin de poder describir elementos y fenómenos de la naturaleza. Antes de que se creara este tipo de geometría por Benoît Mandelbrot se utilizaba la geometría tradicional para estudiar puntos, líneas, planos y volúmenes, describiendo y estudiando objetos de la vida cotidiana y elementos construidos por los seres humanos. Benoît Mandelbrot en su libro “Geometría Fractal de la Naturaleza” publicado en 1982 dice lo siguiente:

no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta” La geometría fractal trata de modelar y describir muchos fenómenos naturales y experimentos científicos, y se ha transformado en pocos años en una herramienta multidisciplinar. “La geometría fractal es un nuevo idioma que, una vez aprendido, nos permitirá describir la caprichosa forma de una masa nubosa tan precisamente como un arquitecto describe en sus planos la casa a construir”

“Las nubes no son esferas, las montañas 20

Ejemplo de geometrĂa fractal en la naturaleza

Encuentra a: Euler

Einstein

PitĂ goras

AL-Juarismi

SOPA DE LETRAS

FRACTALES UNA OBRA POR SAMIGURT

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