Matemática 6 Conocer más by María Candelaria Pagella

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Matemรกtica

6 12/10/12 11:24 AM

Estas son las herramientas que encontrarás en tu libro Matemática 6 que te ayudarán a En cada capítulo hay tres momentos de evaluación que te facilitarán la organización para estudiar mejor: eas

Sumando id

Para trabajar con los saberes previos, en el inicio de cada capítulo.

Revisando las ideas

as Organizando las ide

Para repasar e integrar lo aprendido, en las actividades de cierre de cada capítulo.

Para sintetizar y ordenar lo aprendido, en una sección al final del libro.

Estudiar en banda

Conocé

Las técnicas de estudio están desarrolladas para que trabajes en forma colaborativa con tus compañeros.

¿Querés saber un poquito más sobre un tema? Aquí encontrarás más información, curiosidades y datos interesantes para que no te quedes con las ganas.

Para agendar En estas páginas figura todo lo que necesitás para entender y poder hacer las actividades.

� Tablero y dados para jugar. � Plantillas para armar un prisma y una pirámide.

Nosotros te vamos a ayudar con pistas y comentarios.

C A P Í T U L O

Sistemas de numeración Sumando ideas Lautaro puso un video del Sistema Solar para hacer un trabajo de Ciencias. ¿Es correcto el número que escribió?

La distancia entre la Tierra y el Sol es de 149.000.000.600.000 km. Entre la Tierra y el Sol hay unos ciento cuarenta y nueve millones seiscientos mil kilómetros.

¿Cómo escribirías vos esa distancia? 7

Millones y miles de millones. El billón 1. Mirá las distancias aproximadas de estos planetas al Sol en kilómetros. Júpiter: 778.330.000

Marte: 227.940.000

Mercurio: 57.910.000

Neptuno: 4.504.300.000

Saturno: 1.429.400.000

Tierra: 149.597.871

Urano: 2.870.990.000

Venus: 108.200.000

está a mil cuatrocientos veintinueve millones cuatrocientos mil kilómetros del Sol.

se encuentra a ciento ocho millones doscientos mil kilómetros del Sol.

b. ¿Cuál es el más cercano al Sol? ¿Cómo sabés que esa distancia es la menor?

c. Escribí con letras a cuántos kilómetros del Sol está el planeta más cercano y el más lejano de los ocho.

El más cercano al Sol:

El más alejado del Sol:

2. La Unión Astronómica Internacional determinó que la distancia entre la Tierra y el Sol es de 149.597.870.700 metros. Esta es la nueva “Unidad Astronómica”. ¿Cómo se lee ese número?

a. Escribí el nombre de los planetas correspondientes.

3. Completá el cuadro. Un millón menos

Número

Un millón más

Trece millones doscientos cuatro mil novecientos. 6.500 millones 350.007.000 499.206.090

4. Ubicá los números en el cuadro.

3.000.600.420

30.000.000.600.420

3.600.000.000.420

3.000.000.600.420

3.000.600.420.000

Número

Se lee

3 billones seiscientos millones cuatrocientos veinte mil 3 mil millones seiscientos mil cuatrocientos veinte 3 billones seiscientos mil millones cuatrocientos veinte 30 billones seiscientos mil cuatrocientos veinte 3 billones seiscientos mil cuatrocientos veinte

5. Escribí < (menor) o > (mayor).

56.000.900.990

7.800.000.000.000

56.000.909.000 7.000.999.999.999

6. Dar en la tecla.

Hacé una sola operación para que la cifra indicada en rojo en cada número cambie por la verde.

a. 871.009.349 5

b. 368.654.870 2

c. 998.675.059 4

Multiplicación y división por 10, 100, 1.000… 7. Para componer o armar el número 203.830.402, podés sumar productos multiplicando por 10, 100, 1.000, etcétera. Completá para componer el número de esa manera.

203.830.402 = 2 × 100.000.000 + 3 × 1.000.000 +

9. Rodeá el cálculo que da como resultado 6.076.077.

6 × 1.000.000 + 7 × 100.000 + 6 × 10.000 + 7 × 10 + 7 × 1

6 × 10.000.000 + 7 × 10.000 + 6 × 1.000 + 7 × 10 + 7 × 1

6 × 1.000.000 + 6 × 10.000 + 7 × 1.000 + 7 × 10 + 7 × 1

6 × 1.000.000 + 7 × 10.000 + 6 × 1.000 + 7 × 10 + 7 × 1

10. Escribí cada número con multiplicaciones por 10, 100, 1.000, ... a. 7.809.051 =

b. 92.060.504 =

c. 12.005.030.000 =

d. 5.050.505.000 =

Multiplicar o dividir por 10.000 es lo mismo que hacerlo 4 veces por 10.

8. Miranda hizo estas operaciones. ¿Podés indicar qué número obtuvo, sin hacer ningún cálculo? 9 × 10.000.000 + 4 × 1.000.000 + 2 × 100.000 + 7 × 10.000 + 3 × 1.000 + 5 × 100 + 6 × 10 =

11. El pictograma muestra la cantidad de personas que vieron cada película en un mes, pero faltan algunas caritas en las últimas dos. Cada una representa 10.000 espectadores.

La princesa y el sapo g J J J J J J

Los dinos g J J J J J J J J J J J J

Aventuras de Walter g

Fábrica de robots g J

a. ¿Cuántos vieron La princesa y el sapo?

¿Y Los dinos?

b. Aventuras de Walter tuvo 100.000 espectadores. Dibujá las caritas. c. Fábrica de robots tuvo la mitad de espectadores que Los dinos. Dibujá las caritas que faltan. d. ¿Cuántas caritas habría en cada caso si cada una representara 100 espectadores? Escribí el número.

La princesa y el sapo:

Aventuras:

Los dinos:

Fábrica de robots:

12. Una fábrica de tornillos envasa su producción en cajas de 10, 100 o 1.000 unidades, según los pedidos que reciben. Este mes produjeron 78.295 tornillos. ¿Cuántas cajas de cada tipo pueden armar como máximo y cuántos tornillos sobran en cada caso? De 10 tornillos:

De 100 tornillos:

De 1.000 tornillos:

Estudiar en banda Resolvemos problemas Para empezar a resolver un problema de Matemática, seguimos estos pasos. ¿Entendimos bien el enunciado? Cuenten el problema con sus propias palabras. Pregúntense qué deben hallar y qué datos tienen. ¿Qué plan podemos seguir? Una vez que comprendieron el enunciado, busquen una estrategia para resolver el problema. Para ello: Escriban las ideas que pueden servirles. Piensen si resolvieron un problema similar. Háganse preguntas que los ayuden a descubrir lo que les piden. Ayúdense con dibujos o esquemas. Fíjense si faltan datos o si hay de más. ¿Qué debemos hallar en la actividad 12? La cantidad máxima de cajas que pueden armar y el número de tornillos que sobran en cada caso.

¿Qué datos tenemos? ® Son 78.295 tornillos. ® Los envasan de a 10, 100 o 1.000.

Para seguir el plan, pueden dividir por 10, 100 y 1.000, o anticipar los cocientes y restos mirando las cifras del número.

El sistema de numeración maya 13. Mirá los números escritos en el sistema maya; los cuatro tienen dos niveles. ¿Qué números representan en nuestro sistema de numeración? Recordá que el punto vale 1, la raya vale 5 y el caracol, 0. 

× 20 =

14. Completá. En cada nivel se pueden poner como máximo No puede haber más de

puntos.

rayas en cada nivel.

El mayor número que admite el primer nivel es el

15. a. Seguí los pasos para escribir 132 en el sistema maya. Fijate cuántos grupos de 20 se pueden formar con 132 unidades y cuántas quedan sueltas. 132

Entonces, 132 =

× 20 +

. 132 

2. nivel o

1. nivel er

b. Usá un procedimiento similar para escribir cada número en el sistema maya.

320 

254 

158 

En el sistema maya se agrupa de a 20. Por eso en el segundo nivel se multiplica el valor de los símbolos por 20, y en el tercero, por 400 (porque es 20 × 20).



16. a. Tenés que dibujar el mayor número de dos niveles en el sistema maya. Para ello, primero pensá qué símbolos vas a dibujar y cuántos de cada uno, por nivel. Ayudate con la actividad 14. b. ¿Qué número de nuestro sistema representa el que dibujaste?

17. Completá el razonamiento y escribí 943 en el sistema maya.

943 es mayor que 399 ⇒ Me fijo cuántos grupos de 400 unidades puedo formar, cuántos de 20 y cuántas unidades quedan sueltas.

943 400

143

943 =

143 20

× 400 +

3.er nivel

× 20 +

2.o nivel

1.er nivel

18. Mateo afirma que para escribir 860 en el sistema maya, necesita usar una vez el símbolo del caracol. ¿Tiene razón? ¿Cómo se escribe 860 en el sistema maya?

19. Teo hizo estos cálculos para averiguar qué números estaban representados en el sistema maya, pero se le mezclaron. ¿Cuál va con cada uno? Unilos con flechas y escribí qué números son.

12 × 400 + 7 × 20 + 8

7 × 400 + 13

4 × 400 + 8 × 20 + 11

Conocé Los mayas poseían dos calendarios: el Tzolkin y el Haab. El Tzolkin tenía un fin religioso y ceremonial; en cambio, el Haab era el calendario civil, basado en el recorrido de la Tierra alrededor del Sol. El Tzolkin estaba compuesto por 260 días, distribuidos en 20 meses de 13 días. El Haab, en cambio, tenía 18 “meses” de 20 días más un adicional de 5 días, lo que totalizaba 365 días. ¡Era muy exacto!

Comparación de sistemas de numeración 20. Observá el 480 escrito en diferentes sistemas de numeración. Luego completá el cuadro comparativo.

Sistema romano g CDLXXX Sistema

Sistema maya g

¿El valor de un símbolo depende de la posición que ocupa?

Sistema egipcio g

¿Cuántos símbolos usa?

¿Se usa un símbolo para representar el cero?

Romano © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Egipcio Maya El nuestro

21. Completá este otro cuadro comparativo. Nuestro sistema de numeración

Se agrupa de a

Sistema maya

Se agrupa de a

111

unidades.

Es posicional, ya que el valor de

× 10 +

unidades.

un símbolo depende del en el que está ubicado. El mayor número de 3 niveles que se puede escribir es

El mayor número de 3 cifras que se puede escribir es × 100 +

unidades.

Es posicional, ya que el valor de

una cifra depende de la que ocupa en el número.

19 × 400 +

× 20 +

22. En nuestro sistema, si un número tiene más cifras que otro, es mayor. ¿Ocurre algo similar en el sistema maya? ¿Y en el romano? 14

Para agendar

Sistemas de numeración Sistema de numeración decimal ¿Cómo leo estos números? 1.000.000.000 g Mil millones 10.000.000.000 g Diez mil millones

100.000.000.000 g Cien mil millones 1.000.000.000.000 g Un billón

¿Cómo hago para leer cualquier número? Separo el número en grupos de tres cifras, empezando por la cifra de las unidades. Conozco el nombre de los agrupamientos: unidades simples, de mil, de millón, de mil de millón, de billón.

28.561.369.409.174 g V eintiocho billones quinientos sesenta y un mil trescientos sesenta y nueve millones cuatrocientos nueve mil ciento setenta y cuatro.

¿Qué características tiene nuestro sistema de numeración? Es decimal porque se agrupa de a diez; con 10 unidades de un orden se forma una unidad de un orden superior.

10 veces 10.000 es 100.000. 10 veces 100.000 es 1.000.000. 10 veces 1.000.000 es 10.000.000.

Es posicional, porque el valor de cada cifra o símbolo depende de su posición en el número.

45.673.894.201.152 Este 4 vale 40 billones.

Este 4 vale 4 millones.

Con solo diez símbolos puedo escribir cualquier número.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Puedo descomponer un número de distintas maneras, por ejemplo:

46.872.789.902.127 = = 46.000.000.000.000 + 872.000.000.000 + 789.000.000 + 902.000 + 127 = 46 × 1.000.000.000.000 + 872.789 × 1.000.000 + 902 × 1.000 + 127 = 4 × 10.000.000.000.000 + 6 × 1.000.000.000.000 + 8 × 100.000.000.000 + + 7 × 10.000.000.000 + 2 × 1.000.000.000 + 7 × 100.000.000 + 8 × 10.000.000 + + 9 × 1.000.000 + 9 × 100.000 + 2 × 1.000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 7

Para agendar El sistema de numeración maya ¿En qué se parece y en qué se diferencia con nuestro sistema decimal? El sistema de numeración maya usa solo tres símbolos. Estos son sus dibujos y valores.

Punto 1

Raya 5

Caracol 0

Es un sistema vigesimal, porque se agrupa de a 20. El sistema de numeración maya es posicional como el sistema decimal, pero la posición está dada por el nivel en el que se ubican los símbolos.

 13 × 20 = 260 +

267

 7

Multiplicación y división por 10, 100, 1.000, … ¿Por qué agrego ceros al multiplicar? Como en nuestro sistema de numeración se agrupa de a 10, al multiplicar por 10, las unidades se transforman en decenas, las decenas en centenas y así sucesivamente. Multiplicar por 100 es lo mismo que multiplicar dos veces seguidas por 10, por eso agrego 2 ceros. Si multiplico por 1.000, agrego 3 ceros, porque es lo mismo que multiplicar 3 veces seguidas por 10. 968 × 10 = 9.680 1.587.532 × 10 = 15.875.320

138 × 100 = 13.800 65.300 × 100 = 6.530.000

920 × 1.000 = 920.000 1.965 × 1.000 = 1.965.000

¿Y cuando divido por 10, 100 y 1.000? Puedo quitar ceros, como en los ejemplos. 365.000 : 10 = 36.500

365.000 : 100 = 3.650

365.000 : 1.000 = 365

Si el número no termina en cero, al hacer la división entera por 10, por ejemplo, aparece como cociente la cantidad de decenas enteras del dividendo, y como resto, la cifra de las unidades.

Dividendo Divisor Resto Cociente

18.345 10 5 1.834

18.345 = 1.834 × 10 + 5

Cada punto no puede escribirse más de 4 veces; en lugar de 5 puntos, se coloca una raya.

Revisando las ideas

1. Escribí estos números. a. b. c. d.

Doce millones doce mil. Doce mil doce millones ciento doce mil. Doce billones doce mil ciento doce. Doce billones doce mil millones doce.

2. Estos restos fósiles pertenecen a dinosaurios patagónicos. a. Escribí con números la antigüedad de cada uno. Giganotosaurus: noventa y cinco millones de años. Amargasaurus: 13 × 10.000.000 de años. Piatnitzkysaurus: 165 × 1.000.000 de años. b. ¿Cuál de los tres tiene mayor antigüedad? 3. Ordená de mayor a menor antigüedad estos sucesos.

A: ocurrió hace dos mil millones de años. B: sucedió hace doscientos cuarenta millones de años. C: se produjo hace 2 × 1.000.000 de años. D: ocurrió hace 46 × 100.000.000 de años. E: sucedió hace 57 × 10.000.000 de años.

4. ¿Cuáles de las siguientes escrituras corresponden al número cinco mil quinientos cinco millones? a. b. c. d. e. f.

5.000.505.000.000 5.505 × 1.000.000 5.005.005.000 5.505.000.000. 5 × 1.000.000.000 + 5 × 100.000.000 + + 5 × 1.000.000 5.000.000 + 500.000 + 5.000

5. Dar en la tecla. ¿Cómo podés transformar 98.364.621.075 en 87.364.021.075 haciendo una sola operación? 6. Escribí el número doce billones doscientos catorce mil millones seis mil quince. a. ¿Qué número obtenés si le restás catorce mil millones? Escribilo con números y con letras. b. ¿Qué número obtenés si le sumás 25 millones al que obtuviste en el ítem a.? Escribilo con números y con letras. 7. a. ¿Cuál es el mayor número de 13 cifras que se puede escribir? b. ¿Y el menor? c. Escribí cómo se lee cada uno de los números anteriores. 8. ¿Qué número obtenés si al mayor número de diez cifras diferentes le sumás quince billones cincuenta mil cien? ¿Cómo se lee? 9. Escribí estos números usando sumas y multiplicaciones por 10, 100, 1.000, etc., según corresponda. a. 704.630.100 b. 5.800.203.000 c. 90.304.710.500 10. Se van a repartir 50 cajas con 1.000 libros de cuentos cada una a 100 escuelas. ¿Cuántos libros corresponden a cada escuela, si todas recibirán la misma cantidad? Resolvelo mentalmente.

Revisando las ideas 11. Dar en la tecla.

15. Traducí del sistema maya al decimal.

Hacé que se vea 746.193. ¿Cómo harías para que aparezca 74.619.325 haciendo únicamente una multiplicación y una suma?

12. Los argentinos consumimos un promedio de 6.000.000 de alfajores diarios. Utilizá este dato para completar la tabla. Cantidad de alfajores

Cantidad de días

16. Completá estos números escritos en el sistema maya.

60.000.000 6.000.000.000

10.000

13. Para una fiesta popular, el municipio compró 4 millones de banderines con los que van a decorar mil cuadras, cada una con varias hileras de banderines. a. Si va la misma cantidad de banderines por cuadra, ¿cuántos colocarán en cada una? b. Si quisieran colocar 5.000 banderines por cuadra, ¿cuántos más debería comprar el municipio? c. Si colocaran 400 banderines por cuadra, ¿para cuántas cuadras le alcanzarían los banderines comprados? 14. Indicá si cada afirmación corresponde al sistema maya, al nuestro o a ambos. a. b. c. d. 18

Se agrupa de a 20. El valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Tiene un símbolo para el cero. Se usan solo 3 símbolos.

825

2.307

1.280

17. a. Escribí un número que en nuestro sistema tenga tres cifras y en el maya, dos niveles. b. Escribí un número que tenga tres niveles y dos caracoles en el sistema maya, y que sea menor que mil. c. Escribí un número mayor que 6.000 que se represente en el sistema maya usando únicamente rayas (o sea, que no tenga puntos ni caracoles). 18. a. En el sistema romano, ¿se cumple siempre que si un número tiene menos símbolos que otro, es menor que él? b. En el sistema maya, ¿se cumple siempre que si un número tiene menos niveles que otro, es menor que él?

Realizá el

Organizando las ideas

de la página 136.

100

s a e d i s a l o d n a z i n Orga

Índice Sistemas de numeración (capítulo 1)..............................................................136 Operaciones con naturales. Divisibilidad (capítulo 2).....................................136 Circunferencia y polígonos (capítulo 3)..........................................................137 Fracciones (capítulo 4)...................................................................................138 Decimales (capítulo 5)....................................................................................138 Proporcionalidad. Medidas (capítulo 6)..........................................................139 Perímetros y áreas (capítulo 8)........................................................................139 Más sobre polígonos. Poliedros (capítulo 7)....................................................140

135