Recorridos Santillana Matemática 6 by María Candelaria Pagella

Matemรกtica

Santillana

Matemรกtica

Santillana

Por un cambio

Matemática 6 – Santillana– te acompaña paso a paso en tu estudio para que aprendas más y mejor. Mirá con atención ‘‘las paradas’’ que encontrarás en el recorrido de los capítulos.

de actitud

Respetamos la diversidad

En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés hacer para ‘‘aprender a vivir con otros’’.

Temas en imágenes

En varios capítulos hay una doble página en la que los contenidos están expresados, fundamentalmente, a través de imágenes. Técnica

Al final del libro, en la sección Taller de técnicas, vas a encontrar un conjunto de estrategias que te ayudarán a ‘‘aprender a estudiar’’. En los capítulos está indicado cuándo consultarlas.

Momentos de evaluación

En cada capítulo encontrarás tres etapas para ir evaluando tu trabajo:

A ver qué sé…

Te preparás para lo que vas a empezar a estudiar.

Parada especial

A ver cómo voy…

Parás y revisás lo que aprendiste hasta el momento.

Para entender En cada capítulo hay una doble página con todo lo que necesites saber para hacer las actividades. Está todo muy fácil, como si te lo contaras a vos.

A ver qué aprendí…

Repasás y organizás tus ideas.

Santillana

Los millones y los billones. Nuestro sistema de numeración. El sistema de numeración maya. Las multiplicaciones y las divisiones por 10, 100, 1.000, …

1 A ver qué sé…

Números muy grandes

Completá la pantalla del juego de la compu: primero hay que formar los números que se piden en los carteles, después, los que se indican abajo.

4 2

Cuarenta y tres millones ochenta mil trescientos veinte. Veintisiete millones ochocientos cinco mil setecientos uno.

0 2

Treinta millones setecientos cincuenta mil veinticuatro.

¡Atención! Todos los números son de 8 cifras.

usando solo ceros? • Yanina asegura que si completa los cubos verdes con un 3 en el lugar de las unidades y un 0 en el otro espacio, forma el cuarenta y tres millones ochenta mil trescientos veintitrés. ¿Es cierto?

• Escribí cómo se lee el número que forman los cubos lilas si los completás de izquierda a derecha con 7, 0 y 5, respectivamente.

• ¿Cuál es el número más grande que se forma al completar con ceros todas las filas de cubos que comienzan con 2? 6 6

• ¿Cómo se lee el número que se forma al completar los cubos amarillos

Millones y miles de millones 1. Marcela, Fernando y Lucas juegan al “Millonópolis”, donde se venden y compran casas, edificios y fábricas que valen lo que anuncia cada cartel. ¿Cómo se lee el valor de cada propiedad?

424.0

00.00

0 23.47

1.487

1.589

.000

.700.0

2. Estas son las propiedades que compró cada participante en el juego anterior. MARCELA

FERNANDO

LUCAS

Calculá cuánto gastó en propiedades cada uno.

¿Quién gastó menos dinero? ¿Quién gastó más? ¿En cuánto supera al que gastó menos?

7 7

Temas en imágenes

Sistema de numeración maya La civilización maya permitió el desarrollo de importantes manifestaciones culturales, como la arquitectura, la pintura, la astronomía y la matemática. Este pueblo tenía dos calendarios: el Tzolkin y el Haab. En relación con la medición del tiempo, crearon un sistema de numeración vigesimal (agrupaban de a veinte).

1 Punto

5 Raya

0 Caracol

El Tzolkin es un calendario de 260 días compuesto por 13 meses de 20 días. Tenía un fin religioso y ceremonial; en cambio, el Haab es el calendario civil, basado en el recorrido de la Tierra alrededor del Sol en un año de 365 días: tenía 18 “meses” de 20 días más un adicional de 5 días.

10 10

Estos son los símbolos que usa el sistema maya de numeración. En lugar de 5 puntos se pone una raya.

El sistema maya agrupa de a 20 y la posición está dada por el escalón en el que está escrito el símbolo.

25 escalón inferior 5

¡No me acuerdo cómo escribir el 19!

392 escalón superior

escalón inferior

1 × 20

escalón superior + 19 × 20

Ese no es el 19. Miralo acá. Se escribe así.

Mirá las imágenes y respondé estas preguntas referidas al sistema de numeración maya. ¿Por qué era necesario el símbolo del cero? Este sistema es posicional pero, ¿qué lugar ocupan las “unidades”? ¿Hasta cuántas unidades se pueden escribir en el primer escalón? ¿Y si se usa también el segundo? Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca importante acerca de estos números.

Yo opino:

11 11

Para entender

Sistemas de numeración

Sistema de numeración decimal

¿Cómo leo estos números?

1.000.000.000 10.000.000.000 100.000.000.000 1.000.000.000.000

Mil millones Diez mil millones Cien mil millones Un billón

¿Cómo hago para leer cualquier número? Me conviene siempre: Separar el número con puntos o espacios, en grupos de tres cifras (unidades, decenas, centenas), empezando por la cifra de las unidades.

35.472.168.250.403

Treinta y cinco billones cuatrocientos setenta y dos mil ciento sesenta y ocho millones Conocer el nombre de los agrupamiendoscientos cincuenta mil cuatrocientos tres. tos: unidades simples, de mil, de millón,

de mil de millón, de billón.

¿Qué características tiene nuestro sistema de numeración?

Es posicional porque el valor de cada 35.472.168.250.403 cifra o símbolo depende de su posición en el número. Vale 30 billones Vale 3 Con solo diez símbolos puedo escribir cualquier número.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Puedo descomponer un número de distintas maneras, por ejemplo: 35.472.168.250.403 =

= 35.000.000.000.000 + 472.168.000.000 + 250.000 + 403 = 35 × 1.000.000.000.000 + 472.168 × 1.000.000 + 250 × 1.000 + 403 = 3 × 10.000.000.000.000 + 5 × 1.000.000.000.000 + 4 × 100.000.000.000 + 7 × 10.000.000.000 + 2 × 1.000.000.000 + 1 × 100.000.000 + 6 × 10.000.000 + 8 × 1.000.000 + 2 × 100.000 + 5 × 10.000 + 4 × 100 + 3

Es decimal, tiene base 10, porque se agrupa de a diez; con 10 unidades de un 10 veces 10.000 es 100.000. orden se forma 1 unidad de un orden 10 veces 100.000 es 1.000.000. 10 veces 1.000.000 es 10.000.000. superior.

El sistema de numeración maya

¿En qué se parece y en qué se diferencia con nuestro sistema decimal? El sistema de numeración maya es posicional como el decimal, pero la posición está dada por el escalón en el que ubico los símbolos. Como pudiste ver en las páginas 10 a 12 del capítulo, este sistema usa solo tres símbolos y agrupa de a 20, o sea, es de base 20.

13 x 20 = 260 267

Multiplicación y división por 10, 100, 1.000, …

¿Por qué agrego ceros al multiplicar? Como en el sistema decimal se agrupa de a 10, al multiplicar las unidades por 10 se transforman en decenas, las decenas se transforman en centenas y así para cada cifra. Multiplicar por 100 es lo mismo que hacerlo dos veces seguidas por 10 y por eso agrego 2 ceros, o sea, estoy transformando en centenas la cifra de las unidades, en unidades de mil, la cifra de las decenas, etc. Al multiplicar por 1.000 agrego 3 ceros porque es lo mismo que multiplicar por 10 tres veces seguidas.

3 × 10 = 30 24 × 10 = 240 835 × 10 = 8.350 1.725.432 × 10 = 17.254.320 24 847 54 1.527

× 100 = 2.400 × 100 = 84.700 × 1.000 = 54.000 × 1.000 = 1.527.000

¿Y cuando divido por 10, 100 y 1.000? Puedo quitar ceros, como en los ejemplos. Si el número no termina en cero, al hacer la división entera por 10, por ejemplo, aparece como cociente la cantidad de decenas enteras del dividendo, y como resto, la cifra de las unidades.

Dividendo Divisor Resto Cociente

123.000 : 10 = 12.300 123.000 : 100 = 1.230 123 123.000 : 1.000 =

12.537 7

10 1.253

12.537 = 10 × 1.253 + 7

A ver qué aprendí… Repaso 6. Completá los siguientes cálculos para que las afirmaciones sean correctas.

Once billones once mil once. Once billones once mil millones once. Once mil once millones ciento once mil. Once millones once mil.

725.187 > 725 × 1.247.254 < 124 × × 1.000 > 5.420.000 × 10.000 < 870.000

2. Indicá cuál de las descomposiciones del número 75.847.239.500 es correcta. Explicá por qué están mal las incorrectas. 75 × 1.000.000.000 + 847 × 1.000.000 + 239 × 1.000 + 5 × 100 75.847.239 × 100 75.847 × 10.000 + 239 × 1.000 + 500 7.584 × 100.000 + 7.239 × 1.000 + 5 × 100 Escribí el número como la suma de cada cifra multiplicada por 10, 100, 1.000, etc., según corresponda.

3. Completá el cuadro. Un millón menos

Número

Dos billones más

72.854 millones 895 mil millones 11.000 millones 7 billones

Dar en la tecla. ¿Cómo harías para transformar el número 7.894.653.076 en el 5.764.631.046 haciendo una sola operación?

Dar en la tecla. Escribí en la calculadora 875.234. ¿Cómo harías para obtener 87.523.439 haciendo solamente una multiplicación y una suma?

8. Sin hacer los cálculos, decidí si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. 18 cajas de 100 marcadores cada una me alcanzan para darle 10 marcadores a cada uno de los 190 alumnos de una escuela. En la panadería “El vigilante” las medialunas se hornean en bandejas de 100. Esta tarde se hizo un pedido de 587 medialunas, que se cocinaron en 5 bandejas. Para decorar su salón de casamiento, Valeria compró 12 ramos de 100 flores cada uno. Con ellos armó 100 ramilletes de 12 flores cada uno.

9. Calculá mentalmente y completá.

Resto

43.672

275

100

1.570

Divisor

875.436

100

436.724

5. Si al mayor número de 13 cifras le agregás 1 billón, ¿cuántas cifras va a tener el nuevo número? ¿En qué número va a terminar?

Cociente entero

Dividendo

72.047

1. Escribí los siguientes números en tu carpeta.

Uso de las fracciones. Fracciones equivalentes. Comparación y ubicación de fracciones en la recta numérica. Sumas y restas de fracciones. Fracción de una cantidad.

4 A ver qué sé…

Fracciones

Leé, observá detenidamente la ilustración y respondé. La mamá repartió en partes iguales 7 chocolates entre sus 3 hijos y no sobró ni un poquito.

A cada uno nos toca

• ¿Cómo relacionás los números de esta cuenta con la fracción de chocolate que recibió cada chico? 7 1

46 46

3 2

1 de choco. 3

• ¿Está bien lo que dice Carlos?

• ¿Es cierto que la mitad de cada molinete está pintada de verde?

Uso de las fracciones 1. Señalá con una cruz los gráficos que representan

5 . 8

Explicá por qué los otros gráficos no representan esa fracción.

2. Dibujá en tu carpeta un cuadrado de 6 cm de lado y pintalo así: • La mitad de verde. • La tercera parte del resto, de naranja. • La cuarta parte de lo que no está pintado de verde ni de naranja, de violeta. Compará tu dibujo con el de tus compañeros. ¿Son todos iguales? ¿Qué diferencias podés ver?

¿Qué fracción del entero falta pintar?

3. Leo compró un turrón para regalarle a su novia. En el camino se tentó y lo empezó a comer. Este dibujo muestra lo que dejó. 1 del turrón 5 ¿Cómo pudo ser el turrón entero? Dibujalo. Leo se siente avergonzado. ¿Por qué será?

47 47

Fracciones equivalentes 4.

¿Qué fracción de los 12 meses del año representa el primer trimestre? 1 , seño. 4

¡Para mí,

3 ! 12

Técnica

¿Qué signiﬁca que un número sea múltiplo de otros?

5. María quiere buscar fracciones equivalentes a las escritas cuyo denominador sea múltiplo de 5 o de 9. ¿Cómo podrá hacer? Escribilas. 3 = 4

8 = 9

24 = 13

12 = 37

Trabajo con otros. Compará tus respuestas con las de tu compañero. ¿Los dos escribieron las mismas fracciones? ¿Por qué será?

48 48

¿Quién tiene razón? ¿Podés explicar cómo lo pensó cada uno?

Sumas y restas con fracciones 8. Roberta y Juan salieron de vacaciones. Recorrieron

1 del trayecto y pararon a 3

cargar combustible, luego recorrieron 7 y pararon a comprar medialunas y 18 recargar el agua para el termo. En el momento de las compras, Roberta se preguntó qué parte del recorrido total habían realizado e hizo la siguiente Explicá los pasos que siguió Roberta. cuenta en una servilleta:

A Juan le preocupaba saber qué fracción del camino faltaba para llegar. Entonces calculó 1 −

13 . ¿Podrías explicar por qué? 18

las velitas. Sus invitados comieron las porciones que figuran abajo. 2 1 2 1 Mariana: Tomás: Luciano: Romina: 16 10 5 8 ¿Quiénes comieron más torta, los varones o las mujeres? Para calcular las sumas, en cada caso podés buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

Andrea y su mamá se comieron el resto de la torta. ¿Qué fracción comieron?

50 50

9. Para el cumpleaños de Andrea la mamá preparó una deliciosa torta para que sople

Temas en imágenes

Fracciones en la historia Se considera que fueron los egipcios quienes usaron las fracciones por primera vez. Así lo testimonia un papiro de más de 4.000 años de antigüedad. Este pueblo vivía a orillas del río Nilo, que se desbordaba con frecuencia y borraba los límites de los terrenos sembrados. Para volver a medirlos, los habitantes se valían de las fracciones y los marcaban una y otra vez. También representaron fracciones en distintos objetos, como el Ojo de Horus.

Los egipcios usaban fracciones de numerador 1 y también la fracción 2 . 3 Una especie de boca abierta reemplaza a la barra de fracción y debajo aparecen los jeroglíficos que indican qué número es el denominador.

1 6

1 3

1 4

1 2

2 3

Asimismo, para representar algunas fracciones había símbolos especiales.

1 331

5 8

52 52

Si el denominador de la fracción era demasiado grande, la “boca” se ponía al principio del “denominador”.

Otras fracciones las representaban como una suma de fracciones distintas de numerador 1. Además, archivaban los cálculos y los usaban como ayuda para hacer otros.

Horus fue uno de los dioses del antiguo Egipto, quien perdió su ojo en un combate. Los demás dioses mandaron a reconstruirle un ojo sano y completo, que representa la integridad física, el conocimiento, la visión y la fertilidad.

Los escribas utilizaban distintas partes del Ojo de Horus para representar las fracciones del héqat, unidad de medida que equivalía a unos 5 litros.

¿Cuál de estas sumas habrán usado los antiguos egipcios?

Mirá las imágenes y respondé estas preguntas. ¿Cómo representarían los antiguos egipcios la frac1 ción ? 5 ¿Qué fracciones sumaban 5 = ? para representar 8 3 ¿Cómo podrías escribir 4 como una suma de fracciones de numerador 1? ¿Cuánto suman las fracciones que componen el Ojo de Horus? Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca novedoso o interesante acerca de las fracciones usadas por los antiguos egipcios. 1. 1. xxxxxxxxxxx

Yo opino: ¡¡¡Para mí que usaban las cuentas de los escribas como una calculadora!!! Una fracción podía expresarse con distintas sumas.

53 53

Para entender

Las fracciones

Uso de las fracciones

¿Cómo represento una fracción?

Numerador

Divido el entero en la cantidad de partes iguales que indica el denominador y pinto la cantidad que indica el numerador.

2 7

Denominador

¿Cómo sé si dos o más fracciones son equivalentes?

3 4

Me fijo si representan la misma parte del entero. Por ejemplo:

6 8

3 6 9 = = son fracciones 4 8 12

9 12

equivalentes.

¿Cómo encuentro fracciones equivalentes? Puedo multiplicar y, a veces, dividir el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. Si la fracción no se puede simplificar, se la llama irreducible.

Amplifico

Simplifico

2 4 = 5 10

20 5 = 16 4

Si tienen el mismo denominador, comparo solo los numeradores. 1 3 porque 1 < 3. < 4 4

Si tienen el mismo numerador, comparo solo los denominadores. 2 2 porque los tercios son más < 7 3 grandes que los séptimos.

Si tienen distinto numerador y denominador, puedo buscar fracciones equivalentes. 3 4 3 3 × 7 21 4 4 × 5 20 y = = > porque = = 5 7 5 5 × 7 35 7 7 × 5 35

¿Cómo comparo fracciones?

A ver qué aprendí… Repaso 1. Escribí qué fracción se expresa en cada enunciado.

4. Con los siguientes números se pueden armar dos grupos de fracciones equivalentes.

De las 5 notas de Matemática, 3 son muy buenas. De los 32 compañeros, solo 15 son varones.

En la tele escuché que de cada 100 personas, 68 leen el diario los domingos.

4 6 8 12 6 14 15 12 30 21 , , , , , , , , , 6 10 12 20 9 21 25 18 50 35 Simplificalas y descubrí cuáles van en cada grupo. Agregá a cada grupo cuatro fracciones equivalentes más.

5. Juana le quiere regalar a su amiga el paquete de galletitas más pesado. Uno pesa Pedro

Ana

2. Julieta hizo pintar dos paredes de su casa con tramos de distintos colores. Estas son las indicaciones que le dio al pintor: “Quiero pintar de anaranjado 7 de esta 10 5 pared y de verde manzana, los de esta 8 otra”.

3 kg, otro, 5

2 7 kg, y el tercero, kg. ¿Cuál debe elegir? 3 12

1 de una pizza 7 3 y junto con un amigo después se comieron 4 más. ¿Qué fracción de la pizza consumieron entre los dos?

6. El hermano de Flor se comió

¿Le dejaron alguna porción a Flor?

7. Roque, el panadero del barrio, vendió en una ¿Cuál es la pared más pintada? ¿Qué fracción le queda sin pintar en cada una de ellas?

1 1 kg de ﬂautitas y 7 kg de 4 3 figacitas. ¿Cuántos kilos de estos panes vendió en total esa mañana? mañana 19

3. Completá el numerador o el denominador que faltan en cada caso para que los pares de fracciones resulten equivalentes. 36

12 4

7 = 8 40

39 12

6 10

8. Resolvé mentalmente y después escribí cuál es tu estrategia en cada caso. 12 –

5 6

7 −1 4

8–

3 5

5 +2 6

Luis

Temas en imágenes

Todo muy regular Los polígonos regulares aparecen en las creaciones humanas y en la Naturaleza.

Todos los ángulos interiores de un polígono regular son iguales y también todos sus lados.

Ángulo central de 72º

Se puede inscribir en una circunferencia, o sea, tener sus vértices en ella.

En el pentágono regular el valor del ángulo central se obtiene dividiendo 360° por 5, porque tiene 5 lados.

El centro de la circunferencia es vértice de los ángulos centrales.

Los polígonos regulares se nombran de acuerdo con el número de lados que tienen.

Octógono

Cuadrado

Pentágono

Eneágono

Decágono

Muchas ﬂores tienen forma de pentágono, por eso se llaman pentámeras. También las estrellas de mar esconden la forma pentagonal.

104 104

Hexágono

Undecágono

Heptágono

Dodecágono

Triángulo equilátero

Las celdas de los panales de abejas tienen forma hexagonal. Esta disposición permite agrupar el mayor número posible de celdas en un espacio limitado.

A partir de polígonos regulares se pueden obtener distintos polígonos estrellados y realizar diseños divertidos.

Esta es la estrella pitagórica, un polígono estrellado que se obtiene prolongando los lados de un pentágono regular.

105-1

Este piso se cubrió con distintos polígonos regulares; ellos también se usan para diseñar vitrales y otros objetos. Algunas veces se pueden usar polígonos iguales.

Dodecaedro

Polígonos regulares iguales forman las caras de los poliedros regulares, también llamados cuerpos platónicos. Solo hay 5.

Icosaedro

Observá las imágenes anteriores y respondé. ¿Qué polígonos regulares cubren el piso diseñado? ¿Podrías cubrir un piso solo con baldosas que tengan forma de rombo? ¿Cuántas caras tiene cada poliedro regular? ¿Qué polígono regular es cada cara? Escribí algo que te parezca interesante sobre los polígonos regulares.

Yo opino:

Octaedro Tetraedro

Cubo

105 105

Taller de técnicas

Cuando hacemos Matemática es necesario interpretar bien lo que nos piden para poder armar un plan de trabajo. También es muy importante revisar lo que hicimos. En este taller te ofrecemos algunas técnicas que van a ayudarte con estas cuestiones y permitirán que resuelvas mejor los problemas. También hay técnicas que van a servirte para aprender a leer la información que muestran algunos gráficos y cómo construir otros con los datos que tenés. Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras aprendés, y lograr mejores resultados.

Índice Técnica 1: Interpreto enunciados .......................................................................... 131 Técnica 2: Armo un plan y chequeo los resultados ............................................... 132 Técnica 3: Interpreto gráficos cartesianos ............................................................ 134

Técnica 4: Construyo gráficos circulares .............................................................. 136

130 130

Técnica

Interpreto enunciados Para interpretar el enunciado de un problema, por ejemplo este, me hago las preguntas rodeadas con violeta.

María formó un número que no tiene cifras repetidas, tres son pares y dos son impares; una de las cifras pares vale el doble de 4 y las otras dos, valen el doble de las impares.

¿Qué hay que averiguar?

Formé el mayor número posible de 5 cifras. ¿Cuál es? ¿Cómo se lee?

¿Qué datos tengo disponibles?

Para responderme esas preguntas… 1.º Leo el enunciado. Si no entiendo alguna palabra, la busco en el diccionario, y para lo que no me acuerdo, miro el

Busco cuándo un número es par. “Los números pares terminan en 0, 2, 4, 6 u 8”.

libro o mi carpeta.

2.º Trato de contar o escribir el enunciado con mis propias palabras.

3.º Leo de nuevo con mucha atención y anoto los datos.

Hay que encontrar un número de 5 cifras y todas son distintas. Algunas son pares y otras impares; hay pistas para averiguarlas y tienen que formar el número más grande que se pueda • El número tiene 5 cifras distintas. • Tres cifras son pares y dos, impares. • Una cifra par es el doble de 4. • Las otras cifras pares valen el doble de las impares.

Si ya comprendí el enunciado, estoy en condiciones de pensar cómo buscar una estrategia para resolver el problema. Para eso, puedo ayudarme con la técnica 2.

131 131