Matem谩tica
en sexto
Claudia Broitman M贸nica Escobar Ver贸nica Grimaldi Andrea Novembre In茅s Sancha
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Proporcionalidad
Capítulo
9
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E
n el antiguo Egipto toda la tierra pertenecía al faraón, pero eran los campesinos quienes la trabajaban. La producción de todos los campos se destinaba a la fabricación de alimentos, que se distribuían entre los habitantes del reino. Los funcionarios del faraón debían controlar esta producción, de modo de evitar fraudes. La fabricación de pan era difícil de controlar, ya que era posible que se agregara agua en mayor proporción que la debida, o que el trigo se mezclara con cereales menos valiosos. Debido a estas dificultades, los controles se realizaban sobre la entrada y la salida del alimento: se medía la cantidad de grano que entraba en la panadería y se contaba la cantidad de panes que se producían. La relación entre estas dos cantidades siempre debía ser la misma. A esa relación se la llamaba pesu. La producción de cerveza se controlaba de manera similar: los funcionarios sabían que debían obtener tres jarras por una cierta cantidad fija de cebada. Tanto para la producción de pan como para la de cerveza o de otros productos elaborados se utilizaba una relación proporcional entre la cantidad de cada elemento que debían utilizar y la de producto que querían obtener.
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Estudiar problemas de proporcionalidad 1 En un supermercado venden 3 paquetes de vainillas por $ 14.
¿Cuánto habrá que pagar por 6 paquetes de vainillas? ¿Y por 114? ¿Y por 240?
2 Como parte de su entrenamiento Ramiro sale a correr todos los
días. Ayer corrió 6 km, siempre a la misma velocidad, y tardó media hora. a) ¿Cuánto tardará en recorrer 12 km a esa misma velocidad? ¿Y 18 km? ¿Y 15 km?
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b) Si hoy Ramiro solo pudo correr durante 45 minutos a la misma velocidad de ayer, ¿cuántos kilómetros recorrió? 3 a) Completá la tabla de precios teniendo en cuenta que el precio
del kilo no varía. Helado (kg)
5
Precio ($)
100
2 1 7 1 2 2
1 1 4 300 200
14 75
b) En la heladería de Lautaro, 7 kg de helado cuestan $ 136,50. ¿En cuál de las dos heladerías es más barato el helado?
Machete: Cuando dos magnitudes se relacionan de manera tal que al doble, triple, cuádruple, mitad, tercio, cuarto, etc. de una cantidad le corresponde el doble, triple, cuádruple, mitad, tercio, cuarto, etc. de la otra, decimos que la relación entre estas magnitudes es de proporcionalidad directa. En las relaciones de proporcionalidad directa también se comprueba que a la suma de dos cantidades de una de las magnitudes le corresponde la suma de las dos cantidades correspondientes de la otra magnitud.
Paquetes Figuritas
×5
6 30
×3 + + ×3
18 90
= =
24 120
÷5
El valor correspondiente a la unidad se llama constante de proporcionalidad. Siempre se cumple que si el valor de una de las cantidades se multiplica por esta constante, se obtiene el valor correspondiente de la otra cantidad.
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4 a) Estas tablas representan relaciones de proporcionalidad
directa. Completalas. Longitud (cm)
10
Longitud (m)
0,1
Chocolate (kg)
3 4
Precio ($)
2,5
0,025 200
1 4 4,50
0,35
1,48 3 1 2
0,1 36
49.50
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b) En cada caso encontrá la constante de proporcionalidad y explicá qué representa en el problema.
5 En la fábrica de tornillos Rosquita, 7 de cada 8 tornillos
fabricados no tienen fallas. En la fábrica La Arandela, 8 de cada 9 tornillos fabricados no tienen fallas. ¿En cuál de las dos fábricas se produce la mayor proporción de tornillos sin fallas? ¿Por qué?
Una vuelta de tuerca
• Una canilla permanece abierta durante 10 minutos y hace que la altura del agua de una pileta suba 25 cm. Si se deja la canilla abierta durante 18 minutos más, ¿es posible anticipar, sin hacer cuentas, si el nivel del agua subirá más o menos de 50 cm? ¿Cuál será el nivel del agua de la pileta luego de esos 18 minutos? (Supongan que el caudal de agua cuando se abre la canilla es siempre el mismo).
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Porcentaje 15% sobre todas las compras que se paguen al contado. Completá la tabla. Monto de la compra ($) 100 Descuento ($)
50
250
10
15
45
2 Si Lautaro quiere comprar
la remera, ¿cuánto tendrá que pagar con el descuento?
6
Machete: El porcentaje, que se simboliza con %, se utiliza para representar una proporción en la que se considera a 100 como la cantidad de referencia. Por ejemplo, 15% se lee “quince por ciento”, y representa 15 de una 100 determinada cantidad.
3 Sabiendo que el 10% de 180 es 18, calculá mentalmente.
a) 20% de 180:
d) 25% de 180:
b) 15% de 180:
e) 1% de 180:
c) 50% de 180:
f) 0,1% de 180:
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1 Este fin de semana un supermercado hace un descuento del
4 Calculá estos porcentajes.
a) 25% de 600:
d) 50% de 210:
b) 25% de 700:
e) 75% de 800:
c) 50% de 150:
f) 75% de 1.200:
5 Encontrá qué porcentaje representa cada número del otro.
a) 125 es el _____ % de 250.
d) 22,5 es el _____ % de 30.
b) 62,5 es el _____ % de 250.
e) 7,5 es el _____ % de 30.
c) 3,5 es el _____ % de 35.
f)
21 es el _____ % de 35.
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6 En 6.º A hay 18 chicas y 12 chicos. ¿Qué porcentaje de chicas y
chicos hay en este curso?
7 Viviana compró una remera con un 10% de descuento y la pagó
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$ 45. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
8 El dueño de un negocio compra los productos a un mayorista y
carga un 20% a su valor para venderlos. Si vende un artículo a $ 30, ¿a qué precio lo compró al mayorista?
Una vuelta de tuerca
• Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Expliquen por qué. a) Para calcular el 11% de 240 se puede calcular el 10%, luego el 1% y finalmente sumar ambas cantidades. b) El 25% de 800 representa su cuarta parte. Puede calcularse dividiendo 800 por 4 o multiplicándolo por 0,25. c) El 50% de 230 es lo mismo que la mitad de 230. Se lo puede calcular dividiendo 230 por 2 o multiplicando 230 por 0,5. d) El 75% de 420 representa 43 de esa cantidad. Puede calcularse multiplicando 420 por 43 o por 0,75. e) El 10% de 800 es un décimo de esa cantidad. Puede calcularse dividiendo 800 por 10 o multiplicándolo por 0,1.
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Representaciones gráficas 1 En una encuesta realizada a varias empresas, se les preguntó
acerca del medio que eligen para publicitarse. Teniendo en cuenta que cada empresa solo usa un medio de publicidad, se obtuvo el siguiente gráfico, que resume los resultados de la encuesta. a) ¿Qué porcentaje corresponde a la categoría “Otros”?
Otros Volantes (10%) Diarios (30%)
Televisión (50%)
b) Sin medir, calculá la amplitud del ángulo que le corresponde a cada una de las categorías en el gráfico. Televisión:
Diarios:
Entrega de volantes:
Otros:
¿Qué cálculo hiciste en cada caso? 2 En un gráfico circular…
b) ¿Cuánto medirá el ángulo correspondiente al 10%? ¿Y al 5%?
c) ¿40% se representa con un ángulo de 40°? ¿Por qué? 3 En otra encuesta sobre publicidad, 1 de las empresas
4 encuestadas solo utilizan la televisión, el 20% solamente diarios, el 15% reparte volantes y el resto utiliza otros medios. En un gráfico circular con estos datos, ¿cuál sería la amplitud del ángulo correspondiente a cada categoría? Podés completar la tabla como ayuda para calcular los valores que se piden. Porcentaje
100
Amplitud del ángulo
360°
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a) ¿Cuál es la amplitud del ángulo correspondiente al 25%?
4 Construí un gráfico circular para cada una de estas situaciones.
a) “La mitad de las personas encuestadas usa champú para cabello lacio. De las restantes, la mitad usa champú anticaspa y la otra mitad, champú para cabellos con rizos”. b) “De cada 5 personas, 2 prefieren la gaseosa A y las otras 3 prefieren la gaseosa B”.
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5 Este gráfico representa la distancia que recorre un auto en un
Machete: Los sistemas de coordenadas cartesianas permiten dar la ubicación precisa de un punto cualquiera sobre el plano. Estos sistemas están formados por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto, llamado “origen”, ubicado en la posición (0,0). Desde el origen se hacen marcas a la misma distancia una de la otra sobre ambas rectas y se les asignan números ordenados.
tiempo determinado, viajando siempre a la misma velocidad. Distancia en km 450 360 270 180 90 0
0
1
2
3
4
5
6 Tiempo en horas
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a) ¿Es cierto que en 3 horas recorre 270 km? ¿En qué parte del gráfico encontrás esta información?
b) ¿Cuál es el punto sobre el gráfico que da información sobre la distancia que recorre en 5 horas? ¿Cuántos kilómetros recorre en ese tiempo?
c) Completá la tabla con datos del gráfico y con otros que podés deducir de ellos, suponiendo que el auto sigue viajando a la misma velocidad. Distancia (km) Tiempo (horas)
45 1
2
3
81 2
5
Una vuelta de tuerca • Este gráfico representa el llenado de una pileta utilizando una bomba. En el mismo gráfico representen una bomba que llene la pileta más rápido y otra que la llene más lento.
540
14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0
Cantidad de agua en la pileta (en litros)
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (en horas)
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¿Se podrá usar la proporcionalidad? 1 Una empresa de remises cobra $ 2 por kilómetro más una
cantidad fija de $ 4. a) Completá la tabla de precios según la distancia del viaje. Distancia (kilómetros)
1
Precio que se paga ($)
6
2
1 2
1 4
61 2
b) La relación entre la distancia del viaje y el precio que se paga, ¿es de proporcionalidad directa? ¿Por qué?
2 Mariela tiene un sueldo básico mensual de $ 800. Además,
Cantidad de horas extra trabajadas
Lucía de su casa desde las 12:00 del mediodía del 4 de julio. Ella va en su auto por la ruta. a) ¿A qué distancia de su casa estaba a las 12:00? b) ¿A qué distancia estaba Lucía de su casa a las 17:00? ¿Y a las 14:00? ¿Y a las 20:00? c) ¿Cuántos kilómetros recorre Lucía en una hora?
Distancia a la casa de Lucía (km)
3 El gráfico muestra la distancia a la que se encuentra
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Sueldo total mensual ($)
b) ¿Cuál de estos gráficos podría representar la relación entre la cantidad de horas extra que trabaja Mariela por mes y el sueldo que cobra? ¿Por qué?
Sueldo total mensual ($)
cobra $ 12 por cada hora extra que trabaja durante el mes. a) ¿Cuánto cobrará a fin de mes si trabajó 50 horas extra? ¿Y si hubieran sido 25 horas? ¿Y 10 horas? ¿Y 45 horas?
800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
0
1
Cantidad de horas extra trabajadas
2
3
4
5
6 7 8 Tiempo (horas)
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4 Julián, el hermano de Lucía,
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salió de su casa a las 12:00 y manejó a una velocidad constante de 90 km/h, durante 8 horas, por la misma ruta que su hermana y sin detenerse. a) Hacé un gráfico que muestre la distancia que recorrió Julián desde que salió de su casa. b) Compará este gráfico con el de Lucía. ¿Pensás que se van a encontrar en algún lugar del camino?
Una vuelta de tuerca
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 00
Lautaro
Distancia recorrida (km)
• Agustín y Lautaro participan de una carrera de bicicletas. Los dos tienen el mismo entrenador, quien comenzó a cronometrarlos cuando estaban a 10 km de la largada. Agustín pedalea a una velocidad constante de 15 km/h. La relación entre la distancia recorrida por Lautaro y el tiempo que transcurrió desde que se comenzó a cronometrar está representada por este gráfico. ¿Cuál de los dos amigos fue más rápido? ¿Por qué?
1
2
3
4
Tiempo (horas)
5
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Proporcionalidad inversa 1 4 canillas que vierten agua en forma constante llenan un
depósito en 3 horas. Si se usan 8 canillas que tienen el mismo caudal que las anteriores, ¿cuánto tiempo tardarán en llenar ese depósito? ¿Y si se usan 2 canillas?
2 Para juntar dinero los alumnos de 6.º deciden hacer una fiesta.
El precio del alquiler del salón es de $ 400 y lo pagan entre los que organizan. a) Completá la tabla que permite saber cuánto dinero tiene que pagar cada chico según la cantidad de los que participan en la organización. 10
Dinero que paga cada uno ($) 40
20
5 10
8
b) ¿Es cierto que si hay el doble de chicos cada uno pagará el doble de dinero? Y si hubiera la mitad de chicos, ¿pagarían la mitad de dinero? ¿Por qué?
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Chicos que participan
Machete: Cuando dos magnitudes se relacionan de manera que al doble de una cantidad le corresponde la mitad de la otra, al triple de una cantidad le corresponde la tercera parte de la otra, etc., decimos que la relación entre estas magnitudes es de proporcionalidad inversa. ×2 :2 El valor de la unidad se llama constante de 50 2 × proporcionalidad inversa. Siempre se cumple Velocidad (km/h) × 100 : 2 200 × × Tiempo (horas) 4 2 8 que si se multiplican los valores correspon= 400 400 = 400 = dientes de ambas magnitudes, se obtiene la constante de proporcionalidad. En este ejemplo, 100 × 4 = 200 × 2 = 50 × 8 = 400. 3 Para envasar cierta cantidad de aceite se necesitan 8 toneles de
200 litros de capacidad cada uno. Si se quiere envasar la misma cantidad de aceite en 32 toneles, ¿cuál debería ser la capacidad de cada uno de estos otros toneles?
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4 Completá estas tablas de proporcionalidad inversa.
a) Recorrido de una misma distancia a distintas velocidades. Velocidad (km/h)
150
100
50
Tiempo (horas)
30
6
20
5
b) Reparto de arcilla a diferentes grupos de alumnos, en partes iguales y sin que sobre nada. Alumnos
25
50
Cantidad para cada uno (g)
250
8
10
500
125
5 Para cada una de estas tablas, decidí si representan relaciones
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de proporcionalidad directa, inversa o ninguna de las dos. Explicá cómo te diste cuenta. a)
b)
c)
4
7
9
16
9
15
19
37
4
6
16
128
6
9
24
192
24
2
6
10
10
120
40
24
6 Completá estas tablas de modo que en una se represente una
relación de proporcionalidad directa y, en la otra, de proporcionalidad inversa. 5
10
15
20
5
10
15
20
Una vuelta de tuerca
• Se buscan dos números que al multiplicarlos el resultado sea 480; por ejemplo, 60 × 8 = 480. ¿Es posible usar este producto para encontrar otros que den el mismo resultado? ¿Qué relación hay entre los números que encuentran?
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Una colección de problemas para estudiar 1 Para preparar un budín se utilizan 350
4 En 6.º A ayer faltaron 4 alumnos y
gramos de azúcar. ¿Cuántos budines se podrán preparar con una bolsa de 14 kilos de azúcar?
estuvieron presentes 16, mientras que en 6.º B faltaron 8 y estuvieron presentes 24 alumnos. ¿Es cierto que en ambos grados hubo igual proporción de ausentismo?
2 Determiná cuál o cuáles de estas tablas
Tiempo de viaje (minutos) Distancia recorrida (km)
2
3
1 2
0,25
2,4
3,6
0,6
0,3
Distancia recorrida (km)
0
2
4
10
5 En un negocio de artículos de
computación venden un juego por $ 50 y hacen un descuento del 10%. En otro negocio lo venden a $ 60 pero hacen un descuento del 20%. ¿Dónde conviene comprarlo?
Total a pagar ($) 3,80 5,8 7,80 13,80 Cantidad de mandarinas (kg) Precio ($)
2
3
3,50 5,25
4
5
7
8,75
6 Calculá mentalmente.
10% de 3.200 =
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representan relaciones de proporcionalidad directa.
50% de 342 = 3 a) Una gaseosa dietética tiene 2 calorías cada
100 cm3. ¿Cuántas calorías consume una persona que toma una botella de 385 cm3?
30% de 3.200 = 25% de 1.000 = 45% de 3.200 = 0,5% de 200 = 7 Calculá qué porcentaje representa…
b) Otra gaseosa dietética tiene 2,5 calorías cada 150 cm3. Si esta gaseosa y la del punto a) se venden en botellas de 1 litro, ¿cuál de las dos tiene menos calorías?
20 de 100 10 de 20 20 de 200 20 de 20 20 de 400 1 de 20
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8 En una escuela se votó para elegir a dónde
ir de viaje de estudios. Votaron 145 chicos y estos fueron los resultados: Tafí Viejo, 35%; San Javier, 25%; Valles Calchaquíes, 20%; Otros, 10%. Los restantes fueron votos en blanco. a) ¿Qué porcentaje votó en blanco?
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b) ¿Cuántos votos tuvo el destino ganador? c) Este gráfico circular está incompleto. Completalo para que represente los resultados de la votación. Aclará al lado de cada sector qué lugar representa.
a) Construí en tu carpeta una tabla de valores que contenga información que esté representada en el gráfico. b) ¿Es cierto que en 10 días, funcionando siempre al mismo ritmo, la máquina consumirá 200 litros? c) ¿Cuántos días podría funcionar la máquina si dispusiera de 280 litros de combustible? d) Otra máquina consume 15 litros de combustible por día. ¿Es cierto que el gráfico de esa máquina sería más empinado que el de la primera si se usaran las mismas escalas? ¿Por qué?
10 En una fábrica todos los días se produce
9 Este gráfico representa la cantidad de
Cantidad de combustible (l)
combustible que consume una máquina funcionando siempre al mismo ritmo.
la misma cantidad de harina, que se almacena en 100 bolsas de 25 kilos cada una. a) Si se quieren usar 50 bolsas, ¿qué cantidad de harina debería poder guardarse en cada una? b) Si la harina se guardara en cajas de 100 kilos, ¿cuántas cajas se necesitarían?
80 70 60 50
11 Pedro tiene ahorrados $ 420 para hacer un
40
viaje. Quiere calcular cuánto dinero puede gastar por día como máximo. Completá la tabla con algunas posibilidades.
30 20 10 0
0
1
2
3
4
Tiempo (días)
Dinero que gasta 60 20 15 21 por día ($) Días que puede 7 6 10 durar el viaje
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PA
Por cada 3 latas de salsa de tomates que se compren, un supermercado regala 2 latas de arvejas. a) Si se compran 9 latas de salsa de tomates, ¿cuántas latas de arvejas se reciben de regalo? ¿Y si se compran 18? ¿Y 36? ¿Y 19? b) ¿Son proporcionales las cantidades de latas de tomates que se compran y de latas de arvejas que se reciben de regalo?
2
En una farmacia ofrecen un 15% de descuento a todos sus clientes. Sobre este descuento, Ramiro recibe un 5% más de descuento por su obra social. Él cree que es lo mismo que hacer un 20% de descuento. ¿Están de acuerdo con Ramiro?
Cantidad de combustible que consume (en litros)
4
10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Distancia (en km)
a) ¿Cuántos kilómetros recorre este auto con 1 litro de nafta? b) Representen en el mismo sistema de coordenadas el rendimiento de un auto que consuma la mitad de este.
Precio ecio ($)
Este gráfico muestra el consumo de nafta de un auto que va por una ruta a velocidad constante.
3
8.000
Betty se compró 7.000 un auto usado 6.000 por $ 8.000. A 5.000 medida que pasa 4.000 el tiempo, su 3.000 precio de venta es 2.000 cada vez menor y la relación puede 1.000 0 representarse con 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiempo (años) este gráfico. a)¿Cuál era el precio del auto 5 años después de que Betty lo compró? ¿Y 3 años después? ¿Y 8 años después? ¿Cuánto disminuyó el precio por año en los primeros 5 años? b) ¿El precio del auto varía proporcionalmente?
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OS
1
S G RUP
PE N S A R RA
ÑO
Una vuelta más de tuerca
PEQ U EN E
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Matem谩tica
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