História da Matemática A Construção dos Números
Surgimento da ideia de Número • Há cerca de 10.000 anos atrás surgiram os primeiros registros simbolizando as quantidades. • Naquela época o homem sentiu a necessidade de controlar a quantidade de alimentos suficiente para alimentar os membros do grupo, visto que a população aumentava cada vez mais.
Conforme a quantidade de alimentos necessårios aumentou o homem começou a cultivar plantas e criar animais, com isso sentiu-se a necessidade de controlar os rebanhos, pois precisavam saber se não estavam faltando animais.
Cada vez que liberavam os animais para pastarem ele separava uma pedra para cada animal que passasse e as guardavam. • Assim, quando os animais voltavam retirava-se uma pedra do monte para cada animal que voltava.
• Dessa forma sabiam se tinham perdido animais ou se outros animais juntaram-se ao bando. • É provável que o homem não tenha utilizado apenas pedras nessas contagens. Podem ter utilizado qualquer objeto que estivesse ao seu alcance, como por exemplo os próprios dedos. • Porém surge um problema: a contagem com os dedos permitia saber a quantidade naquele momento, mas não permitia guardar a informação.
• A partir daí foram criados os primeiros registros de números, que eram feitos em pedaços de pau, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. • Isso indica que o homem sentiu a necessidade de registrar o total de objetos que contava.
• Para registrar o total ele utilizava o sistema de um a um, ou seja, uma marca para cada objeto. • Mas como será que eles faziam para registrar grandes quantidades? • Hoje em dia, quando precisamos contar grandes quantidades separamos os objetos em monte ou grupos. • Por exemplo: quando contamos em dúzias é uma forma de agrupar de 12 em 12.
โ ข Os agrupamentos facilitam o nosso trabalho; em vรกrias coisas que compramos podemos perceber que vem agrupados, como por exemplo: ovos, cigarros, lรกpis de cor, comprimidos etc.
• Os primeiros agrupamentos provavelmente se relacionavam com a quantidade de dedos nas mãos, isto é, deveriam ter sido de 5 em 5, 10 em 10. • Depois que o homem percebeu que agrupar facilitava a contagem surgiu o problema de registrar os agrupamentos.
• Imagine uma pessoa que usasse traços para representar cada objeto, e se ela tivesse a necessidade de representar 15 objetos teria que escrever: l l l l l l l l l l l l l l l . • Seria muito mais demorado e trabalhoso do que se representasse através dos agrupamentos. • Acredita-se que eles tenham encontrado a seguinte solução:
- Separar grupos de marcas. Por exemplo: Um homem tem llllllllll llllllllll lllll animais. Aqui os grupos estão separados a cada 10 marcas, ou seja, de 10 em 10. • Hoje ainda Ê comum contar alguma coisa agrupando de 5 em 5.
Por exemplo: Em uma brincadeira em sala de aula, onde compete meninas contra meninos, para marcar os pontos de cada grupo dividi-se a lousa assim:
Dessa forma saberemos quem venceu a brincadeira.
Números Egípcios • Os egípcios criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em agrupamentos. • O 1 era representado por uma marca que lembra um bastão: l, o 2 por duas marcas:ll, e assim por diante. • Para representar o 10, ao invés de 10 marcas eles trocavam por: que representava o agrupamento de 10.
• Então continuavam até chegar no 19: l,
11
ll,
12
lll etc...
13
O 20 era representado por:
E continuavam até chegar no 100. O 100 por sua vez, era representado por: Que lembra um pedaço de corda enrolado. E continuavam até chegar no 1000.
• Quando chegavam no 1000 trocavam por um símbolo que é a representação da flor de lótus: • Cada vez que atingiam 10 marcas iguais trocavam por uma nova, assim conseguiam escrever todos os números que necessitavam.
Símbolos Egípcios
• Entretanto, usando esse sistema fica muito trabalhoso escrever o alguns números, como por exemplo o número 999. no sistema egípcio seria:
Sistema de Numeração Romano • Os Romanos também criaram seu próprio sistema de numeração, são eles: I VX L C D M
1 5 10 50 100 500 1000 • Para não repetir 4 vezes o mesmo símbolo os romanos utilizavam o sistema de subtração.
• Abaixo alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e como os Romanos os escreveram:
quatro nove quarenta quarenta e quatro novecentos IV IX XL
XLIV
CM
5-1 10-1 50-10 (50-10)+(5-1) 1000-100
• Mas assim como o sistema de numeração egípcio, também nos numerais romanos era trabalhoso escrever alguns números, como por exemplo o número 3888: MMMDCCCLXXXVIII
Surgimento do Valor Posicional
• O principio posicional já aparecia em outros sistemas de numeração como o dos babilônios, antes de aparecer no sistema desenvolvido pelos hindus. • Provavelmente foi a através do ábaco que fez surgir a ideia de dar valores diferentes ao mesmo algarismo, dependendo do lugar em que ele esta escrito.
• No ábaco as bolinhas são todas iguais, mas o valor de cada bolinha depende da fileira em que ela ocupa.
• Vejamos o exemplo:
Difusão da Numeração Hindu
• Os árabes entraram em contato com a cultura hindu e interessaram-se especialmente pela astronomia, aritmética e pela álgebra, que eram muito desenvolvidas naquela civilização. • Estudaram acima de tudo o Sistema de Numérico Hindu, reconhecendo sua simplicidade e praticidade.
O surgimento do Zero • Nosso antepassados demoraram muito para inventar o zero, e mesmo depois de sua invenção demoraram para aceitá-lo. • Isso ocorreu por que os números foram criados para representar as quantidades, e se não tem quantidade alguma, que necessidade tem de representá-la?
• Por esse motivo o Zero demorou para ser entendido e aceito.
• O zero foi inventado para resolver um problema do sistema posicional de numeração, mas depois da sua invenção e aceitação ele passou a ser tratado como qualquer um dos outros símbolos.
• Os árabes que viviam na Europa levaram o conhecimento numérico dos Hindus para lá, mas na Europa Medieval houve uma grande resistência à introdução dos conhecimentos orientais, sobre tudo ao sistema de numeração hindu. • Estabeleceu-se então um conflito entre os partidários do velho ábaco, herança dos romanos, e os que reconheciam as vantagens do método hindu, que ficaram conhecidos como: “abacistas” e “algoristas”
• A Expressão “Algorista” vem do matemático e astrônomo árabe: Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi, que se tornou famoso ao escrever vários livros sobre o sistema de numeração hindu. • Apesar dele explicar que a origem daquelas ideias eram hindus, a nova numeração ficou conhecida como a de alKhowarizmi, que com o tempo foi modificado para algorismi e que na Língua Portuguesa acabou virando algarismo.
A escrita dos algarismos
• Antes da invenção da imprensa, os livros eram copiados manualmente. Como cada copista tinha a caligrafia diferente dos outros, as letras e símbolos para representar números sofreram muitas modificações. • Além disso, como o sistema de numeração criado pelos hindus foi adotado também pelos árabes e passado aos europeus, é natural que a forma de escrever sofressem alterações.
• Por volta do século IV, os Hindus representavam os algarismos assim: • No século IX , já com o número zero, a representação foi para:
• No século XI, os árabes que estavam no Ocidente representavam assim:
• Os Europeus representavam assim no século XV e XVI:
• Hoje em dia a representação é esta: 1234567890
• Após a invenção da imprensa as variações foram pequenas, foram padronizadas as formas de escritas, mas mesmo assim as modificações são inevitáveis. • Nos visores eletrônicos por exemplo os algarismos são representados assim:
• Já na letra cursiva são escritos desta forma:
Bibliografia • Como surgiu o número. Disponível em: <http://netin.ese.ipcb.pt/alunos/numeros/calcul os.htm> Acesso em 15 de setembro de 2012. • Números e sistemas de numeração. Disponível em: https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0BOvG8cS-tCkVmZ6ZjF6YmJqWXM/edit. Acesso em 15 de setembro de 2012.
• Imagens disponíveis em: https://www.google.com.br/imghp?hl= pt-BR&tab=wi